A modelação matemática e a justiça social na aprendizagem de funções de alunos do 3º Ciclo do Ensino Básico

Alice Patrícia Lopes Faro e Santos A modelação matemática e a justiça social na aprendizagem de funções de alunos do 3º Ciclo do Ensino Básico dezembro de 2024 A modelação matemática e a justiça social na aprendizagem de funções de alunos do 3º Ciclo do Ensino Básico Alice Patrícia Lopes Faro e Santos UMinho|2024 Universidade do Minho Instituto de Educação Alice Patrícia Lopes Faro e Santos A modelação matemática e a justiça social na aprendizagem de funções de alunos do 3º Ciclo do Ensino Básico dezembro de 2024 Tese de Doutoramento Doutoramento em Ciências da Educação Especialidade em Educação Matemática Trabalho efetuado sob a orientação do Professor Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu e do Professor Doutor Manuel António Ferreira da Silva Universidade do Minho Instituto de Educação ii DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição-NãoComercial-CompartilhaIgual CC BY-NC-SA https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ iii AGRADECIMENTOS Numa primeira linha, gostaria de deixar um profundo agradecimento ao meu orientador, professor Floriano Viseu. A sua orientação foi pautada pelo rigor, seriedade e dedicação. Ao longo dos anos em que se desenvolveu este trabalho foi construída uma relação de confiança, incentivo, mas também de compreensão e admiração. Agradeço ao professor Manuel da Silva pelo direcionamento dado no vasto universo da teoria crítica. Ainda nesta vertente, a todos os alunos e professores que participaram neste estudo, principalmente, às professoras que integraram os estudos de caso, assim como aos investigadores que, gentilmente, responderam aos meus pedidos, Vince Geiger, Gloria Stillman, Stanislaw Schukajlow e Eric Guststein. Numa esfera mais ampla, um obrigada aos meus alunos por me mostrarem as possibilidades que temos para reinvindicar o presente e as matizes com que podemos desenhar o futuro. À turma do 9.º A não só por alegrarem as minhas manhãs, como também por darem significado à reciprocidade da relação educativa. Agradeço, também, às amizades na minha vida e que, de alguma maneira, sustentaram a concretização deste trabalho. Umas por serem amigas de luta, Susana e Catarina; outros por serem amigos de sempre, Domingos. Umas amizades por servirem de bússola, Denise; umas, por serem montanha, Salomé, Bruno e Carina; e, outras, por apoiarem nos detalhes, Emília e Isa. Por fim, os agradecimentos dirigem-se à minha família. À família nuclear e à família alargada, ambas sinónimos de alento e encorajamento. À minha irmã Susana, pela paciência e por ser um dos meus grandes lugares seguros; ao meu pai, por ouvir o meu inconformismo. À avó das minhas filhas, Amélia, por as ter mimado o quanto conseguiu, deixando nelas o carinho e a lembrança. À família de Guardizela, pelo aconchego e por acompanhar as nossas inquietações. Ao Pedro, no plano do concreto, por me mostrar o poder das palavras sem receios e por conduzir-me na assertividade. Ao entrar, na minha vida, numa fase em que tudo era só um projeto, tornou possível não só a sua concretização, mas todas as que se lhe juntaram. No plano etéreo, pelo amor, pelo apoio mútuo e por, juntos, resgatarmos o tempo. Às minhas filhas, Laura e Helena, que acompanharam este trabalho (primeiro uma e depois outra) desde as suas vidas embrionárias e entenderam a importância que tinha para a mãe terminá-lo. O vosso amor inabalável foi determinante para o conseguir. iv DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. v A MODELAÇÃO MATEMÁTICA E A JUSTIÇA SOCIAL NA APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES DE ALUNOS DO 3º CICLO DO ENSINO BÁSICO RESUMO Posicionar a Matemática como uma ferramenta disponível aos alunos para que, com ela, sejam capazes, como futuros cidadãos, de entender e agir sobre as desigualdades sociais e, simultaneamente, conectá-la à realidade para fortalecer a sua compreensão é um duplo desafio da educação matemática. Neste sentido, explorar nas salas de aula tarefas de modelação, cujos contextos incidam em fenómenos sociais, é contribuir para uma escola justa, que deixe de perpetuar a disciplina de Matemática como um fator determinante de insucesso e exclusão escolar. Este estudo visa averiguar o contributo da modelação matemática e da justiça social na aprendizagem de funções de alunos do 3.º Ciclo do Ensino Básico. Na concretização deste objetivo, procura-se responder aos seguintes objetivos específicos: enquadrar as expetativas dos alunos para a aprendizagem de funções através de tarefas de modelação sobre fenómenos sociais, face à cultura da escola; identificar as atividades dos alunos na resolução de tarefas de modelação, com foco na justiça social, na aprendizagem de funções; e verificar como os alunos valorizam as tarefas de modelação contextualizadas por situações de justiça social na aprendizagem de funções. Princípios axiológicos de justiça, pedagogia crítica, educação matemática para a justiça social e modelação matemática constituem os domínios da sustentação teórica deste estudo. Atendendo à natureza do objetivo geral do estudo, adotou-se uma metodologia de índole qualitativa e interpretativa, com um design de estudo de caso, relativo a duas turmas, uma de 8.º ano e uma de 9.º ano, de escolas distintas da rede pública de ensino, da região sul do país. Participaram nesta investigação, para além dos alunos, os diretores dos agrupamentos dessas escolas, os professores do grupo de Matemática e as docentes de Matemática de cada uma das turmas. Os dados foram recolhidos através da observação e de gravações áudio e vídeo de aulas, de entrevistas, das produções dos alunos, bem como de documentos relevantes que fazem parte das escolas, assim como notas de campo da investigadora. Tais dados foram sujeitos a uma análise de conteúdo. Os resultados mostram que, para os alunos, o principal impulso motivacional à frequência escolar é de raiz social, assim como o grau de interesse às experiências escolares é determinado pelo aspeto relacional. Enquanto um grupo de alunos deposita a esperança num futuro promissor através da meritocracia, o outro valoriza o tempo presente, reconhecendo nos recursos físicos e humanos os benefícios da escola que frequentam. Transversalmente, os alunos selecionam o par exercícioproblema como as tarefas associadas à aprendizagem da Matemática, posicionando-a e, em especial, ao tópico de funções, desconectados da realidade. Estes alunos valorizam a disciplina pelo impacto que terá para os seus futuros e aceitam o insucesso que demonstra, assente no status quo de um ensino da Matemática que seleciona e estratifica. No âmbito das atividades dos alunos na resolução de tarefas de modelação, com foco na justiça social, os alunos executam as tarefas de modo holístico e atomístico. Compreender e simplificar a tarefa são atividades implícitas que os alunos desenvolveram em grupo, de autonomia variável consoante as dificuldades. A definição do modelo é uma atividade de modelação explícita, que deixa transparecer alguns obstáculos que são minimizados com a intervenção das respetivas docentes. A atividade de trabalhar com o modelo revelou-se a mais aproximada ao modo de trabalho que os alunos têm por hábito realizar. Na atividade de interpretação dos resultados houve diferentes manifestações do conhecimento reflexivo. A validação do modelo foi uma atividade que, para muitos alunos, se revelou uma barreira. Outras atividades em que os alunos se envolveram foram a leitura crítica dos dados, trabalhar em grupo, desenvolver a autonomia e o estabelecimento de discussões verbais. Os principais contributos que os alunos destacam na resolução das tarefas de modelação sobre fenómenos sociais são a visibilidade da aplicação dos conteúdos de funções à realidade, o espaço dado à promoção da autonomia e a ação dialógica em que se envolveram. Para esta opinião, influenciaram, de forma simbiótica, o desenvolvimento da consciência sociopolítica e a mobilização das experiências socioculturais dos alunos. Como consequência do cruzamento das funções com a realidade e as interações verbais, as narrativas indicam uma reconfiguração da perceção dos alunos relativamente à utilidade das funções. Palavras-chave: Alunos do 3.º Ciclo do Ensino Básico; aprendizagem; funções; justiça social; modelação matemática. vi MATHEMATICAL MODELLING AND SOCIAL JUSTICE IN THE LEARNING OF FUNCTIONS BY MIDDLE SCHOOL STUDENTS ABSTRACT Positioning mathematics as a tool available to students so that, with it, they are able, as future citizens, to understand and act on social inequalities and, at the same time, connect it to reality in order to strengthen their understanding is a double challenge for mathematics education. In this sense, exploring modelling tasks in the classroom, whose contexts focus on social phenomena, means contributing to a fair school that no longer perpetuates the subject of mathematics as a determining factor in school failure and exclusion. This study aims to investigate the contribution of mathematical modelling and social justice in the learning of functions by middle school students. In order to achieve this goal, the following specific objectives was sought: the framing of students' expectations for learning functions through modelling tasks on social phenomena, in relation to the school culture; the identifying of students' activities in solving modelling tasks, with a focus on social justice, in learning functions; and the verifying of how students value modelling tasks contextualized by situations of social justice in learning functions. Axiological principles of justice, critical pedagogy, mathematical education for social justice and mathematical modelling constitute the domains for the theoretical basis of this study. Given the nature of the general aim of the study, a qualitative and interpretative methodology was adopted, with a case study design, relating to two classes, one in year 8 and another in year 9, from different public schools in the southern region of the country. In order to meet the specific objectives, in addition to students, headmasters, teachers of the maths department, the maths teachers of both classes took part in this research. Data collection involved observed lessons, interviews at different times during the empirical component, audio and video recordings of the lessons observed, the students' productions, as well as all the relevant documents that are part of the school, as well as the researcher's field notes. The data collected was subjected to content analysis. The results show that, for students, the main motivational impetus for attending school is social, while the degree of interest in school experiences is determined by the relational aspect. While one group of students’ hopes for a promising future is achieved through meritocracy, the other group values the present time, recognising in physical and human resources the benefits of the school they attend. Across the board, the students select the exercise-problem pair as well as the tasks associated with learning mathematics, positioning it, in particular, with the topic of functions, disconnected from reality. These students value the subject for the impact it will have on their futures and accept the failure it enfolds, based on the status quo of a mathematics education that both selects and stratifies. With reference to the students' activities in solving modelling tasks, with a focus on social justice, the students carry out these tasks in a holistic and atomistic way. Understanding and simplifying the task are implicit activities that the students carried out in groups, with varying degrees of autonomy depending on the difficulties raised. Defining the model is an explicit modelling activity, which reveals some obstacles that are minimised with the intervention of the respective teachers. The activity of working with the model proved to be the closest to the way the students usually work. In the activity of interpreting the results, there were different manifestations of reflective knowledge. Validating the model was an activity that proved to be a barrier for many students. Other activities in which the students engaged in were critical reading of data, working in groups, developing autonomy and establishing verbal discussions. The main contributions that the students highlight in solving the modelling tasks on social phenomena are the visibility of the application of function content to reality, the space given to promoting autonomy and the dialogical action in which they were involved. This outcome was influenced, in a symbiotic way by the development of socio-political awareness and the mobilisation of the students' socio-cultural experiences. As a result of crossing functions with reality and verbal interactions, narratives show a reconfiguration of students' perception on the utility of functions. Keywords: Functions; learning; mathematical modelling; middle school students; social justice. vii ÍNDICE AGRADECIMENTOS ........................................................................................................................ iii DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE .................................................................................................... iv RESUMO ......................................................................................................................................... v ABSTRACT ..................................................................................................................................... vi ÍNDICE .......................................................................................................................................... vii CAPÍTULO 1 ....................................................................................................................................... 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 1 1.1. Âmbito e relevância do estudo ............................................................................................. 1 1.2. Motivações do estudo .......................................................................................................... 6 1.3. Objetivos do estudo ............................................................................................................. 7 1.4. Estrutura da tese ................................................................................................................. 9 CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................................... 11 A MODELAÇÃO MATEMÁTICA COMO CENÁRIO EDUCATIVO ............................................................. 11 2.1. Da generalização à especificidade da modelação matemática ............................................. 11 2.1.1. Génese ...................................................................................................................... 12 2.1.2. Fundamentos ............................................................................................................ 13 2.1.3. Abordagens e perspetivas .......................................................................................... 15 2.2. A modelação matemática em contexto educativo ................................................................ 17 2.2.1. Definição e fundamentação ........................................................................................ 17 2.2.2. As etapas cognitivas do processo de modelação ......................................................... 20 2.2.3. A modelação como competência................................................................................ 23 2.2.4. Metacognição, resolução de problemas, aplicações e modelação ............................... 25 2.3. Finalidades da modelação matemática como prática .......................................................... 26 2.3.1. Conectar o ensino em contexto de modelação ao papel do professor .......................... 27 2.3.2. O aluno interpretando o seu mundo ........................................................................... 28 2.3.3. A autenticidade do contexto e as tarefas de modelação .............................................. 30 2.4. Implementação e dinâmicas em torno da modelação matemática ...................................... 34 2.4.1. Procedimentos, estratégias e desafios da modelação matemática como ambiente de aprendizagem .......................................................................................................................... 34 2.4.2. Descortinar possíveis bloqueios nas etapas de modelação .......................................... 36 2.4.3. Uma intervenção pedagógica que pontue a diferença e o diálogo ............................... 37 xiv Figura 57. Excerto da Tarefa 2.1., Alíneas a) a d) ......................................................................... 255 Figura 58. Grupos em trabalho autónomo .................................................................................... 256 Figura 59. Excerto da tarefa ‘Retratos de vidas de trabalho’, alíneas a), b), c) d), e) ...................... 257 Figura 60. Excerto da Tarefa ‘Redistribuição da riqueza’, alíneas a), b), c), d) ............................... 258 Figura 61. Excerto da tarefa ‘A uberização do trabalho’, alíneas a), b), c) ...................................... 259 Figura 62. A docente presta alguns esclarecimentos .................................................................... 260 Figura 63. Grupo retrata incêndios de Pedrogão ........................................................................... 260 Figura 64. Grupo apresenta trabalho sobre consumo de água ..................................................... 261 Figura 65. Representação da tarefa “As mutações do trabalho” .................................................. 262 Figura 66. Anotações de Liang (G5) e de Ana (G3) ....................................................................... 264 Figura 67. Registos de Miguel (G5) e de Matilde (G7) ................................................................... 265 Figura 68. Registo de Inês (G4) .................................................................................................... 265 Figura 69. Registo de Guilherme (G2)........................................................................................... 265 Figura 70. Folha de cálculo projetada para a turma analisar ......................................................... 266 Figura 71. Identificação das variáveis na resolução de Vera (G2) .................................................. 267 Figura 72. Registo de Raquel (G6) ................................................................................................ 267 Figura 73. Cálculos efetuados por Raquel (G6) ............................................................................. 268 Figura 74. Representação Gráfica de Carolina (G1) ...................................................................... 268 Figura 75. Tabela apresentada por Daniela (G3) ........................................................................... 269 Figura 76. Resolução de Vera (G2) ............................................................................................... 269 Figura 77. Resolução de Tomás (G4) ........................................................................................... 270 Figura 78. Resolução de Margarida (G1) ...................................................................................... 270 Figura 79. Mapa síntese da relação entre as etapas de modelação, atividades cognitivas e estratégias da tarefa ‘As mutações do trabalho’ ................................................................................................ 271 Figura 80. Representação da tarefa ‘A redistribuição da riqueza’ .................................................. 272 Figura 81. Resoluções de Maria (G4) e de Ricardo (G2) ................................................................ 274 Figura 82. Resolução de Madalena (G5) ....................................................................................... 274 Figura 83. Resolução de Daniela (G3) .......................................................................................... 275 Figura 84. Tabela apresentada por Carlos (G7) ............................................................................ 275 Figura 85. Resolução de Maria (G4) à alínea c) ............................................................................ 276 Figura 86. Resolução de Raquel (G6) ........................................................................................... 276 Figura 87. Parte da resposta de Margarida (G1) ........................................................................... 276 xv Figura 88. Identificação das variáveis de Ana (G3) ........................................................................ 277 Figura 89. Parte da resposta de Vera (G2) .................................................................................... 277 Figura 90. Modelo apresentado por Leonor (G4) ........................................................................... 278 Figura 91. Tabela construída por Theresa (G7) e gráfico desenhado por Raquel (G6) (G7) ............. 278 Figura 92. Determinação dos lucros pelos trabalhadores de Gabriel (G1) e de Madalena (G5) ....... 278 Figura 93. A professora comenta a resolução da alínea c) ............................................................ 280 Figura 94. Projeção da folha de cálculo elaborada pela professora................................................ 280 Figura 95. Alunos do Grupo 1 a trabalhar com a folha de cálculo ................................................. 281 Figura 96. Resposta dada por Madalena (G5) ............................................................................... 281 Figura 97. Resposta de Gonçalo (G7) ........................................................................................... 282 Figura 98. Resposta de Nídia (G3) ................................................................................................ 282 Figura 99. Mapa síntese da relação entre as etapas de modelação, atividades cognitivas e estratégias da tarefa ‘A redistribuição da riqueza’ ............................................................................................. 283 Figura 100. Representação da tarefa ‘A uberização do trabalho’ .................................................. 284 Figura 101. Esboço de um gráfico de Lúcia (G6) .......................................................................... 286 Figura 102. Resolução de Madalena (G5) .................................................................................... 286 Figura 103. Identificação das variáveis de Raquel (G6) ................................................................. 287 Figura 104. Resolução de Martim (G6) ........................................................................................ 288 Figura 105. Trabalho matemático de Carolina (G1) ...................................................................... 288 Figura 106. Trabalho matemático de Nídia (G3) ........................................................................... 289 Figura 107. Resolução de gonçalo (G7)........................................................................................ 289 Figura 108. Cálculos efetuados por Ricardo (G1) ....................................................................... 2890 Figura 109. Respostas de Tiago (G6) e de Maria (G4) .................................................................. 291 Figura 110. Mapa síntese da relação entre as etapas de modelação, atividades cognitivas e estratégias da tarefa ‘A uberização do trabalho’ .............................................................................. 291 Figura 111. Respostas de Diogo (G3) e de Carolina (G1) na tarefa ‘O trabalho e as mulheres ....... 294 Figura 112. Determinação do ano em que se atingirá a igualdade de género económica por Ricardo (G2) na tarefa ‘O trabalho e as mulheres’ ....................................................................................... 295 Figura 113. Distribuição do tempo diário proposto por Vera (G1) .................................................. 295 Figura 114. Representação gráfica de Raquel (G6) na Tarefa ‘O trabalho e a conquista das 8 horas’ .............................................................................................................................................. 296 Figura 115. Resposta de Leonor (G4) .......................................................................................... 297 xvi Figura 116. Resposta de Inês (G4) ............................................................................................... 297 Figura 117. Reflexões de Daniela (G3) e de Maria (G4) sobre existência de desigualdade na tarefa ‘Retratos da vida ............................................................................................................................ 298 Figura 118. Propostas de Miguel (G5) e de Nídia (G3) .................................................................. 298 Figura 119. Proposta de Margarida (G1) ...................................................................................... 299 Figura 120. Respostas de Tomás (G4) e de Lúcia (G6) na Tarefa ‘A Uberização do Trabalho’ ....... 300 Figura 121. Respostas de Madalena (G5) e de Carlos (G7) ........................................................... 300 Figura 122. Barreiras cognitivas apresentadas na resolução das tarefas de modelação ................ 331 Figura 123. Relações entre etapas de modelação, representações e conhecimento de funções .... 334 xvii ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1. Fases do processo empírico e dos instrumentos de recolha de dados ............................ 112 Tabela 2. Possíveis temas e modelos matemáticos a serem trabalhados ....................................... 120 Tabela 3. Tarefas de modelação de 8.º ano de acordo com as AEM .............................................. 121 Tabela 4. Tarefas de modelação de 9.º ano de acordo com as AEM .............................................. 123 Tabela 5. Significado dos códigos atribuídos aos materiais da recolha de dados ............................ 125 Tabela 6. Categorias e dimensões relativas ao tema Caracterização do contexto escolar ............... 126 Tabela 7. Categorias e dimensões relativas a Momentos de aprendizagem .................................... 127 Tabela 8. Categorias e dimensões relativas a Contributos das tarefas de modelação ..................... 128 Tabela 9. Respostas relativas à Prática Profissional dos Professores de Matemática do Agrupamento LJ .......................................................................................................................................... 137 Tabela 10. Respostas relativas ao ensino de funções e integração de tarefas de modelação .......... 143 Tabela 11. Respostas relativas ao ensino da Matemática e responsabilidade social ....................... 145 Tabela 12. Frequências relativas ao percurso e motivação escolares da turma de 8.º ano ............. 150 Tabela 13. Frequências relativas à aprendizagem da Matemática ................................................. 152 Tabela 14. Frequências relativas às aprendizagens dos conteúdos de funções .............................. 154 Tabela 15. Frequências relativas à noção de justiça social ............................................................ 155 Tabela 16. Relação entre o número de aulas e as tarefas de modelação de 8.º ano propostas ...... 159 Tabela 17. Tarefas de modelação de 8.º ano e modelo matemático .............................................. 167 Tabela 18. Frequências das respostas dos alunos à tarefa ‘Previsão da Escassez Hídrica’ ............ 168 Tabela 19. Frequências das respostas dos alunos à tarefa “Por que motivo os preços importam?” 177 Tabela 20. Frequências das respostas dos alunos à tarefa “Comparação da Pegada Hídrica” ....... 184 Tabela 21. Relação entre as barreiras cognitivas, tipos de representação e dificuldades na mobilização do conhecimento matemático por Tarefa ..................................................................... 191 Tabela 22. Relação entre as tarefas propostas de 8.º ano e as questões sociais ........................... 193 Tabela 23. Frequência de intervenções efetuadas pelos alunos de 8.º ano .................................... 197 Tabela 24. Frequências relativas à aprendizagem por tarefas de modelação matemática .............. 201 Tabela 25. Frequências relativas à aprendizagem de funções por tarefas de modelação matemática .............................................................................................................................................. 204 Tabela 26. Frequências relativas à aprendizagem de funções por tarefas de modelação com base em assuntos de justiça social ............................................................................................................... 206 Tabela27. Respostas relativas à prática profissional dos Professores de Matemática da Escola MA 223 xviii Tabela 28. Respostas dos docentes relativas ao ensino de funções e integração de tarefas de modelação ............................................................................................................................. 228 Tabela 29. Respostas dos docentes relativas ao ensino da Matemática e responsabilidade social .. 231 Tabela 30. Frequências relativas ao percurso e motivação escolares dos alunos de 9.º ano .......... 236 Tabela 31. Frequências relativas à aprendizagem da Matemática dos alunos de 9.º ano ............... 238 Tabela 32. Frequências do reflexo das aprendizagens escolares na vida quotidiana dos alunos de 9.º ano ........................................................................................................................................ 240 Tabela 33. Frequências relativas à noção de justiça social dos alunos de 9.º ano.......................... 242 Tabela 34. Relação entre o número de aulas e as tarefas de modelação de 9.º ano propostas .... 246 Tabela 35. Relação entre as tarefas de modelação de 9.º ano e modelo matemático .................... 261 Tabela 36. Etapas dos alunos à tarefa ‘As mutações do trabalho’ ................................................. 263 Tabela 37. Etapas dos alunos na tarefa ‘A redistribuição da riqueza’ ............................................ 273 Tabela 38. Etapas dos alunos na tarefa ‘A uberização do trabalho’ .............................................. 285 Tabela 39. Relação entre as barreiras cognitivas, tipos de representação e dificuldades na mobilização do conhecimento matemático por Tarefa ..................................................................... 292 Tabela 40. Relação entre as tarefas de 9.º ano propostas e as questões sociais ........................... 293 Tabela 41. Frequência de intervenções efetuadas pelos alunos de 9.º ano .................................... 301 Tabela 42. Frequências relativas à aprendizagem por tarefas de modelação matemática .............. 305 Tabela 43. Frequências relativas à aprendizagem de funções por tarefas de modelação matemática .............................................................................................................................................. 306 Tabela 44. Frequências relativas à aprendizagem de funções por tarefas de modelação com base em assuntos de justiça social ............................................................................................................... 309 Tabela 45. Forma de trabalho dos alunos na etapa de compreensão, simplificação e estruturação do problema em cada uma das tarefas ................................................................................................ 326 Tabela 46. Forma de trabalho dos alunos na etapa de matematização e trabalho com o modelo ... 328 Tabela 47. Forma de trabalho dos alunos na etapa interpretação dos resultados e validação do modelo .................................................................................................................................. 330 xix À memória da minha mãe, Laurinda, que continua a orientar todos os passos que dou. CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Neste capítulo, apresenta-se o âmbito do estudo do contributo da modelação matemática e da justiça social na aprendizagem de funções de alunos do 3.º ciclo do ensino básico, bem como se assinala a sua relevância. Espera-se, com esta priorização, mostrar os elementos que forneceram as bases para sustentar a pertinência em adotar um ambiente de aprendizagem de funções que conjugue a modelação matemática com temas de justiça social. Esta última noção é aplicada à investigação na sua pluridimensionalidade. Assim, de seguida, dão-se a conhecer as motivações que levaram à concretização deste trabalho. Segue-se a descrição do objetivo da investigação e dos objetivos específicos que a delinearam. Finaliza-se com o modo como está estruturada esta tese, salientando os pontos centrais de onde se situa o debate. 1.1. Âmbito e relevância do estudo A modelação matemática no ensino e na aprendizagem da Matemática é um assunto que merece reflexão, especialmente nos últimos anos, após o impacto social da importância dos modelos matemáticos na sociedade, nas várias disciplinas científicas e no mundo quotidiano (Carreira & Blum, 2021a; Greefrath & Carreira, 2024). Neste seguimento, estudos recentes mostram a aplicação do processo de modelação sobre o atual problema da propagação de doenças infeciosas e a forma como pode ser promovido nas universidades, nos programas de formação de professores e nas práticas de sala de aula (Carreira & Blum, 2021a). O cruzamento, aqui efetuado, da modelação matemática com o conceito de justiça social surge vinculado aos assuntos do quotidiano passíveis de serem modelados e que vão ao encontro da concretização de práticas metodológicas e educativas que possibilitem, aos alunos, analisarem problemas para que se tornem participantes ativos da sociedade (Vithal et al., 2024). Numa perspetiva sociocrítica, através desta ligação, os alunos poderão refletir criticamente sobre os problemas da sociedade, com vista a desenvolverem o discurso reflexivo, criando significados necessários para a transformação estrutural da própria sociedade (Rosa & Orey, 2015). Clarificar-se-á, de seguida, esta reunião, tentando sintetizar as noções de forma sequencial. Os conceitos de educação e justiça são, à luz da atualidade, indissociáveis. Se é a educação que promove, para além do conhecimento, o pensamento crítico e a cidadania, é através da justiça que é assegurado o acesso, de todos os cidadãos, à educação, de acordo com a noção de sociedade bem 2 ordenada (Platão, 2007; Rawls, 2013). Não é, portanto, de estranhar que a metanarrativa consagrada na Constituição da República Portuguesa, nos artigos relacionados com a educação, seja a de possibilitar a igualdade de oportunidades no acesso e êxito escolares através de uma educação de qualidade, gratuita e inclusiva. É, através deste normativo, propalada uma educação que promova o desenvolvimento integral do indivíduo não apenas em termos académicos, mas também nos valores éticos e sociais, que forme cidadãos participativos e solidários, com vista a uma sociedade mais igualitária, que minimize as desigualdades económicas, sociais e culturais. Com a proclamação destes princípios, fica evidente o lugar da justiça na educação e, se dúvidas persistissem, a Lei de Bases do Sistema Educativo reforça-o, sustentando que é da responsabilidade do Estado garantir o direito a uma justa e efetiva igualdade de oportunidades no acesso e sucesso escolares. No entanto, existem palavras que, de tanto serem usadas, perdem o seu significado original para se converterem em expressões vazias (Murillo & Hernández-Castilla, 2014). Perante esta união invisível entre educação e justiça, é inevitável surgirem algumas interrogações, de entre as quais: é suficiente garantir a igualdade de oportunidades no acesso e sucesso escolares para que a escola seja uma escola justa? Até que ponto o Estado deve intervir, sobre a forma da educação, para mitigar as desigualdades económicas e sociais? Para responder a questões similares, um conjunto vasto de investigações têm sido desenvolvidas e, para as quais, parece fazer sentido que a mitigação das desigualdades sociais se dê através da mitigação das desigualdades escolares (Lopes et al., 2017; Pacheco, 2019; Rosa & Amaral, 2014), ou seja, a escola deverá ajudar na erradicação do determinismo social à nascença (Bourdieu & Passeron, 2008). A ser verdade, também o parece ser que o primeiro reto foi conseguido, uma vez que, à data, as desigualdades escolares de acesso estão suavizadas principalmente desde o prolongamento da escolaridade obrigatória. O mesmo não se poderá afirmar quanto ao sucesso escolar. Sabe-se que os projetos implementados pelas várias tutelas, ao longo dos anos, para melhoria dos resultados escolares se vão acumulando. Contudo, os números indicam que, quer nas avaliações internas, quer nas avaliações externas dos alunos na disciplina de Matemática, a variação do nível de sucesso na última década e meia é mínima (Canavarro et al., 2020). Sabe-se que a literacia matemática é importante para todos os alunos, mas os alunos de meios socioeconómicos mais desfavorecidos estão desproporcionalmente representados no domínio da literacia matemática, o que limita significativamente a sua oportunidade de aceder a uma vasta gama de cursos do ensino superior (Vithal et al., 2024). Perante este cenário, como pode o ensino da Matemática contribuir para sair deste labirinto que não permite concretizar a justa igualdade de oportunidades no sucesso escolar? Mais ainda, a perpetuação do insucesso escolar em Matemática, ao contribuir para uma clivagem, 3 define-se, também, como responsável por agravar a exclusão escolar, qual tira de Möbius representando um caminho cujo início já se desconhece e não se vislumbra o seu fim. Numa análise de percurso ascendente, o currículo surge, obviamente, como o farol, tendo nos programas das respetivas áreas disciplinares as suas âncoras. Um dos princípios para a Matemática Escolar é o princípio para a equidade (NCTM, 2017), através do qual se divulga que a visão de acesso e equidade obriga a ter em conta os contextos de origem dos alunos, a sua experiência e conhecimento quando se concebe, implementa e avalia a eficácia de um programa de Matemática. Neste sentido, as adaptações curriculares são cada vez mais exigidas sobre o mote de tornar as escolas mais inclusivas e equitativas (OECD, 2021). Uma vertente de currículo sugerida é um currículo baseado em competências e conteúdos transversais, cujas experiências de aprendizagem sejam mais envolventes e práticas para todos os alunos, colocando o tónus no facto de ser dirigido a todos os alunos e não apenas a certos grupos de alunos, alertando para ser uma medida de equidade e não de segregação (OECD, 2021). Com a garantia da participação, da disponibilização das mesmas oportunidades de aprendizagem e do envolvimento de todos os alunos, com um currículo comum, encontra-se assegurada a igualdade de oportunidade no acesso e no ensino. A ser verdadeira esta proposição, a pergunta que se coloca reside na exequibilidade do envolvimento de todos os alunos. Até porque se considera que existe uma ligação entre proporcionar o envolvimento de todos os alunos como um bem básico, à semelhança do valor da autoestima da teoria de justiça de Rawls (2013). Para este autor, o valor da autoestima é um bem básico, associando às funções de um Estado que pretende ser justo o dever de criar condições para que todos os cidadãos se possam respeitar a si próprios (Camps, 2022). A par desta ideia está, também, a viabilidade na igualdade equitativa de oportunidades quanto ao sucesso, ou seja, ao conhecimento. Neste ponto, os resultados dos alunos em Matemática incluem não somente a persistência no trabalho escolar como também a atitude que possuem face à Matemática e a capacidade para utilizarem a Matemática em contextos reais (Gutiérrez, 2012), sendo o mais importante assegurar que, independentemente dos contextos de origem, todos os alunos tenham as mesmas possibilidades de obterem resultados significativos (Gutiérrez, 2018). A reunião de ambas as conceções faz emergir a necessidade de encontrar novas formas de estruturar o ensino da Matemática, indo ao encontro de uma educação matemática mais orientada com a realidade, como postulado em muitas posições didáticas, desde o fim de século vinte (Blum & Niss, 2024). Neste sentido, um dos conceitos mais estudados, nas últimas décadas, na educação matemática, é a modelação como ambiente de aprendizagem, encontrando-se, assim, na modelação 4 matemática a oportunidade de conjugar o currículo nacional com as realidades sociais dos alunos por forma a que, por conseguinte, os alunos melhorem as suas capacidades para utilizar as representações matemáticas em situações do quotidiano (Gutstein, 2006). De facto, a necessidade de “proporcionar experiências que permitam que os alunos compreendam que a Matemática possui utilizações poderosas na modelação e na previsão de fenómenos reais” (NCTM, 2007, p. 12) é, reiteradamente, integrada no currículo, mormente no campo da Álgebra e de modo transversal a todo o percurso escolar. Para esse fim, é fundamental oferecer a possibilidade aos alunos de trabalharem com os modelos matemáticos e a modelação de situações inseridas em contexto real, assim como a análise da variação. No 3.º ciclo do ensino básico, o estudo de funções oferece um dos cenários para a concretização destas conjugações. A escolha da aplicação da modelação matemática na aprendizagem de funções é ancorada, primeiramente, no currículo, associada a uma solicitação das oportunidades, dadas aos alunos, de modelar matematicamente uma vasta gama de fenómenos, em particular no estudo de funções (NCTM, 2007), quer nos documentos reguladores do ensino da Matemática internacionais, quer nos programas nacionais ao longo dos anos. Um vasto conjunto de investigadores internacionais tem mostrado como é possível conjugar assuntos de justiça social, no seio do currículo de Matemática, nomeadamente na área da Álgebra, seja conectando a Matemática à realidade dos alunos, seja ligando-a à sua cultura e comunidade (Gutstein & Peterson, 2013). O projeto Equações radicais: literacia matemática e direitos civis, que dura há duas décadas, é um projeto de Álgebra, destinado a alunos do 3.º Ciclo, cuja finalidade é auxiliar estudantes afroamericanos a atingir um nível mais elevado de competências matemáticas (Moses & Cobb, 2001). Outro exemplo, mostra a possibilidade de trabalhar o estudo de funções em alunos de 8.º ano, analisando as variáveis, recorrendo às representações gráfica e algébrica para calcular o salário diário e mensal de alguns trabalhos do setor de serviços, descobrir os custos associados à procura de habitação ou comparar salários mínimos de trabalhos (Dean, 2013). Por sua vez, a pertinência da modelação matemática, na atualidade, parece ser indiscutível. Certos acontecimentos e fenómenos assim o têm mostrado, como durante a pandemia da COVID-19, em que foram mostrados os modelos epidemiológicos criados para convencer o público da necessidade de restringir comportamentos, ou o intenso debate gerado em torno do acordo de Paris sobre o clima; acontecimentos que mostram a necessidade de tomar decisões informadas e fundamentadas em factos, que, por sua vez, se baseiam em modelos matemáticos (Siller et al., 2024; Skovsmose, 2021). Por estes mesmos motivos, a par da modelação é também requerida uma leitura crítica dos dados (Rubel et al., 2021), fundamentada na crescente prevalência das visualizações de 11 CAPÍTULO 2 A MODELAÇÃO MATEMÁTICA COMO CENÁRIO EDUCATIVO O presente capítulo é dedicado ao aprofundamento de um cenário educativo 1 que priorize a modelação matemática como motriz de aprendizagem, pelo que se encontra dividido em seis secções, sendo a última uma síntese. Neste caminho, são tidos em consideração alguns fatores que ajudam a clarificar a estratégia a seguir, assim como as etapas cognitivas do processo de modelação, o desenvolvimento de competências de modelação ou a análise dos processos cognitivos envolvidos nas atividades de modelação e na aplicação de resolução de problemas. Por este motivo inicia-se com uma abordagem à terminologia e a especificação de alguns conceitos, para passar à fundamentação da modelação em contexto educativo. Seguem-se os vetores da sua finalidade pedagógica, segundo a vertente do ensino, da aprendizagem e da importância da autenticidade nas tarefas de modelação. Analisam-se formas e dinâmicas de implementação da modelação em contexto educativo, bem como a sua conjugação com o tópico de funções de acordo com o currículo nacional. Por fim, realça-se a dimensão sociocrítica da modelação, para evidenciar, sobretudo, como é possível construir um ambiente educativo que combine ação e reflexão. 2.1. Da generalização à especificidade da modelação matemática Nas últimas décadas, à relação entre a Matemática e o mundo real foi atribuída especial importância, especialmente no campo educativo, mediante o processo denominado modelação matemática (Blum & Niss, 2024; Galbraith, 2024; Smith & Morgan, 2016; Stillman, 2019), cujos produtos académicos contribuíram significativamente para as salas de aulas, nos mais diversos níveis e contextos educativos. A relevância na definição de termos e conceitos relacionados com o processo de modelação matemática transporta um caráter precioso na clarificação e desenvolvimento do tema em questão. A sustentação teórica envolverá uma distinção entre modelação matemática como método científico e como abordagem educativa. No domínio científico, surge associada a uma estratégia de investigação ou a um método de pesquisa (Ärlebäck & Doerr, 2015; Bassanezi, 2002; Biembengut, 2009), assim como aparece numa dimensão pedagógica, sob a forma de ambiente de aprendizagem (Barbosa, 1 A ideia de cenário educativo é proveniente do investigador Ole Skovsmose (2007). 12 2008; Galbraith, 2024; Skovsmose, 2007) ou como um sistema de ensino e aprendizagem (Aroeira et al., 2024). 2.1.1. Génese Um modelo é uma descrição simplificada de uma situação, seja ela real ou imaginária (Ponte, 1992), indubitavelmente associada à representação de um sistema (Bassanezi, 2002) e derivando, pelo menos, em dois tipos de modelos: o modelo objeto, como representação de um objeto ou facto concreto, e o modelo teórico, conectado com uma teoria geral existente. Tal definição implica atividade, sentido, conexão com a realidade. Esta atividade pode ser representada por diversas formas, sejam elas palavras, desenhos ou esboços, modelos físicos ou fórmulas matemáticas e diferentes linguagens, englobando todo um processo: o processo de modelação. O processo de modelação é a construção dessas representações, como são elaboradas e de que forma exprime a informação acerca do real (D’Ambrosio, 2009). O conceito de modelo matemático figura em inúmeros estudos e invade diversas áreas de investigação quer no domínio científico (Blum & Niss, 2024) quer numa perspetiva educativa (Almeida & Ferruzzi, 2009; Barbosa, 2001; Blum & Ferri, 2009; Niss, 2010; Ponte, 1992). Concretamente, um modelo científico torna-se num modelo matemático se o modelo descrever ou representar uma situação do mundo real, desde que a estrutura de construção envolva conceitos e ferramentas matemáticas (Pollack, 2003). No sentido lato, um modelo matemático de um fenómeno ou de uma situação problema “é um conjunto de símbolos e de relações matemáticas que representam, de alguma maneira, o fenómeno em questão” (Biembengut & Hein, 2007, p. 106). Neste sentido, os modelos podem ser vistos como sistemas concetuais que são usados para construir, interpretar, explicar e, matematicamente, descrever uma situação (English & Watters, 2005). Mais especificamente, os modelos são sistemas concetuais significativos que promovem a compreensão concetual e a matematização (Lesh & Zawojewski, 2007). As situações que se pretendem descrever vêm sempre associadas a fenómenos particulares do mundo real. Deste último conceito – o mundo real – imanam inúmeras considerações, no entanto, destacase, de momento, aquilo a que vários autores denominam como o domínio extra-matemático (Ärlebäck, 2009; Ferri, 2006; Niss, 2012). Desse mundo, o que se pretende é utilizar a Matemática para lidar com características, fenómenos, estruturas, questões ou propriedades. Seguidamente, cada uma dessas entidades tem de ser representada por entidades matemáticas que sejam relevantes para o contexto. Em síntese, a pertinência está em mapear ou traduzir as entidades selecionadas do domínio 13 extra-matemático em entidades matemáticas pertencentes ao domínio matemático correspondente. Para concluir esta transferência e obter conclusões matemáticas, é, para Niss (2012), necessário traduzi-las de volta ao domínio extra-matemático. Este processo é conhecido na literatura como ciclo de modelação (Blum & Ferri, 2009; Galbraith & Stillman, 2006; Stillman et al., 2013), no fundo, uma descrição teórica do que envolve a modelação do mundo real (Stillman, 2019). 2.1.2. Fundamentos Niss (2012) apresenta a simbologia, que intitula metáfora teórica, segundo o triplo (D,f,M) a que usualmente é chamado matematização. D é atribuído ao domínio extra-matemático, M representa o domínio matemático e f uma tradução de D para M ou uma matematização de D por meio de M. De notar que D e M são mais do que conjuntos constituídos por elementos singulares, englobando também fenómenos, relações ou questões. Não obstante a relevância deste processo de matematização, a verdade é que é apenas uma etapa de um processo bem mais alargado e dinâmico, conhecido como modelação matemática e a que Blum e Ferri (2009) sucintamente, descrevem como o processo de transição entre o mundo real e a Matemática, em ambas as direções. Isto porque, e como reforça Lingefjärd (2006), o processo de modelação envolve observar uma situação, conjeturar relações, aplicar análises matemáticas, obter resultados matemáticos e reinterpretar o modelo no mundo real. Do mesmo modo, Bassanezi (2002) expõe a modelação matemática como uma dinâmica criada com vista à obtenção e validação de modelos matemáticos. A ligação com a realidade nunca é descurada, uma vez que a modelação consiste, precisamente, numa forma de abstração e generalização com o intuito de transformar a realidade em problemas matemáticos. O facto de o processo de modelação envolver ciclicamente a realidade leva a que haja autores que argumentem a necessidade de reconhecer o papel decisivo do sujeito na perceção dessa realidade e consequente construção do modelo, na medida em que a representação é criada por um dado sujeito com distintas conceções e interpretações da situação real (Carreira, 2001). No entanto, Bassanezi (2002) alerta que “a modelação é eficiente a partir do momento que nos conscientizamos que estamos sempre trabalhando com aproximações da realidade” (p. 24). Como resultado deste carácter subjetivo, D’Ambrosio (2009) sustenta que os modelos apenas fornecem aproximações do comportamento real e, por esse motivo, podem ser mais ou menos úteis, na medida em que estão sujeitos a reformulações. Contudo, servem sempre para reformular hipóteses ou até formular outras, podendo levar ao estabelecimento de novas teorias mais apropriadas à questão original. A tradução em modelo matemático da realidade “depende do conhecimento dos factos, 14 fenómenos e do reconhecimento do comportamento dos objetos ou sistemas reais” (D’Ambrosio, 2009, p. 91). Outra grande vantagem que aponta o autor é o facto de a modelação matemática servir para fazer previsões sobre o comportamento de um sistema e, subsequentemente, poder controlar o sistema. Por outras palavras, Ferruzzi e Almeida (2015) entendem a modelação matemática como a procura de uma representação matemática para um objeto ou fenómeno que pode ou não ser matemático. E, neste sentido, estes autores consideram que “trata-se de um procedimento criativo e interpretativo que estabelece uma estrutura matemática que deve incorporar as características essenciais do objeto ou fenómeno que pretende representar” (p. 378). Blum (2015) chega mesmo a defender que o processo que transforma a situação em modelo cria uma realidade que depende do conhecimento, das intenções e dos interesses do sujeito da resolução. Parece ser consensual admitir que este processo requer do modelador habilidades específicas, como conhecimento matemático e capacidade de interpretar o fenómeno segundo uma ótica matemática (Biembengut, 2014). Para além disso, encontra-se, frequentemente, na literatura a descrição deste processo através de um esquema que ilustra como o processo de modelação conecta o mundo extra-matemático e o mundo matemático, quer de uma forma iterativa ou cíclica, o ciclo de modelação. Um destes exemplos surge com Ferri (2006), como representado na Figura 1, que, ao adaptar o ciclo de modelação, nomeadamente, de Blum e Leiss, dentro de uma perspetiva cognitiva, descreve o processo de modelação em seis fases: situação real; representação mental da situação; modelo real; modelo matemático; resultado matemático; e resultados reais. Na transição entre essas fases, a autora evidencia as fases: entender a tarefa; simplificar/estruturar a tarefa; matematizar; trabalhar matematicamente; interpretar; e validar. Figura 1 Ciclo de modelação adaptado por Ferri (2006, p. 92) 15 2.1.3. Abordagens e perspetivas É neste contexto que surge a tentativa de mediação entre a evolução da pesquisa matemática e a educação matemática e que a implicação do conceito de aplicabilidade se estabelece como uma ponte. Conforme alertam Burkhardt e Pollak (2006), é fundamental saber mais sobre a melhor forma de permitir que todos os professores de Matemática adquiram as habilidades extra-matemáticas necessárias para ensinar modelação. Realce-se que as influências intelectuais dominantes na matemática escolar provêm de matemáticos. No fundo, o que mais interessa é que a modelação matemática, quer esteja sob uma ótica científica, quer segundo uma estratégia de ensino e aprendizagem, seja entendida como a “arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando as suas soluções na linguagem do mundo real” (Bassanezi, 2002, p. 16). Ao observar a evolução no debate acerca da categorização das perspetivas de modelação, distingue-se em Kaiser-Messmer (1991) duas perspetivas: a pragmática e a científica-humanística. A primeira, segunda esta autora, consiste em estimular nos alunos habilidades matemáticas para a solução de problemas reais, mais ainda, tendo em vista as futuras profissões dos mesmos. Na perspetiva científica-humanística, Kaiser-Messmer (1991) destaca que as atividades de modelação fornecem apenas o contexto para desenvolver os tópicos previstos no programa, tendo como objetivo final aprender Matemática. Por outro lado, tomando como referência as abordagens propostas por Kaiser e Sriraman (2006), pode-se estabelecer uma clarificação na distinção entre abordagens didáticas e perspetivas de pesquisa científica. Enquanto as abordagens didáticas seguem uma conduta normativa, em que as aplicações e modelação em educação matemática são o cerne, as perspetivas científicas caracterizam-se por se especializarem sobre aspetos específicos das aplicações e da modelação matemática. A categorização proposta por estes autores das diferentes abordagens que pode assumir a modelação matemática não é um produto final, senão um instrumento de trabalho que tem auxiliado pesquisadores e profissionais, permitindo uma sistematização de conceitos, noções, processos e dinâmicas. Destacam-se seis perspetivas, denominadas realista, contextual, cognitiva, educacional, epistemológica e sociocrítica. Três objetivos centrais, revestidos de carácter utilitário e pragmático, são apresentados para caracterizar a modelação matemática segundo a perspetiva realista: resolução de problemas reais, compreensão do mundo real e promoção de competências de modelação. O processo de modelação é usado para analisar uma situação ou prática da vida real e o intuito de investigação prende-se com a verificação das condições necessárias para modelar um determinado problema concreto. A utilização 16 desta perspetiva difunde-se por profissionais de engenharia, economia, ciência e outras áreas em que a matemática seja um denominador comum. Na linha reiterada por Haines e Crouch (2001), Kaiser e Schwarz (2006) apresentam, como principal característica desta perspetiva, o facto de a modelação ser entendida como uma atividade a ser utilizada para resolver problemas autênticos e não como desenvolvimento de teorias matemáticas, especificando que o processo de modelação é executado como um todo e não parcialmente. Na sua vertente pedagógica, a perspetiva realista dota o processo de modelação de pragmatismo, convergindo na aplicação de atividades interdisciplinares de resolução de problemas e, por isso, exemplos reais provenientes de diversas áreas de investigação científica são utilizados com o fim de proporcionar um ambiente de aprendizagem baseado na análise de problemas do mundo real ou na aplicação de situações reais. Importa reconhecer que foi Pollack (1969) que abriu caminho à abordagem desta perspetiva como ambiente de aprendizagem, defendendo a ideia de que a natureza “aplicada” da matemática é mais relevante para a sua aprendizagem do que a sua dual “pura”, tendo ficado conhecida como perspetiva pragmática. De uma forma simplificada, a perspetiva contextual é sinónimo de resolução de problemas. Baseia-se na investigação que se desenvolveu em psicologia e tem como motor promover o ensino dos conteúdos matemáticos e o estudo das aprendizagens dos alunos. Autores como Kaiser et al. (2007), enquadram a perspetiva cognitiva como uma meta perspetiva. Ao centrar-se na investigação da psicologia, tem como objetivo analisar e compreender os processos cognitivos que se produzem no decorrer das atividades de modelação. Pretende estimular os processos de pensamento matemático através do uso de modelos como imagens mentais ou imagens físicas. Além disso, realça a modelação como um processo mental como abstração ou generalização. Diferenciam-se na categoria da perspetiva educacional a modelação didática e a modelação conceptual, sendo que têm como objetivo a estruturação do ensino e a sua promoção e a aprendizagem dos conteúdos matemáticos. Têm uma vertente de promoção da motivação e melhoria das atitudes face à matemática e da compreensão crítica dos processos de modelação e o desenvolvimento de modelos. Por sua vez, a perspetiva epistemológica apoia-se na Antropologia e na teoria da Didática para promover as conexões existentes entre as atividades de modelação e as atividades matemáticas. Ao centrar-se nos conteúdos matemáticos, tenta desenvolver uma nova concetualização e reorganização da Matemática, do ponto de vista da modelação. Por último, para Barbosa (2006), a discussão teórica dirigida por Kaiser-Messmer (1991) revela-se insuficiente no que diz respeito ao tipo de conhecimento em que as diferentes abordagens 17 relativas ao processo de modelação se centram. De modo lacónico, relembramos que este autor reconhece que a abordagem pragmática prioriza o conhecimento técnico, enquanto a abordagem científica faz ressaltar o conhecimento matemático. Contudo, chama à atenção para um outro conhecimento, que não é contemplado por nenhuma destas abordagens, aquilo que Skovsmose (2007) define como conhecimento reflexivo, ou seja, a capacidade de compreender as implicações dos resultados matemáticos, na prática social. O conhecimento técnico e o matemático não são disjuntos do conhecimento reflexivo, apenas dependem do que se pretende evidenciar na prática de modelação. Por este motivo, Barbosa (2009) propõe, na esteira de uma abordagem emancipatória da modelação matemática, a perspetiva sociocrítica. O conhecimento reflexivo é o foco e o desenvolvimento do pensamento crítico uma prioridade. Esta dimensão sociocrítica da modelação matemática é considerada, segundo Orey e Rosa (2018), uma extensão da Teoria Crítica do Conhecimento. 2.2. A modelação matemática em contexto educativo Segundo Barbosa (2006), é imprescindível diferenciar o trabalho desenvolvido por modeladores profissionais das atividades de modelação aplicadas em sala de aula, uma vez que a modelação na educação matemática assume contornos especiais, dependendo do contexto educativo, dos professores envolvidos, do perfil dos alunos, entre outros fatores (Araújo, 2009). A integração da modelação matemática na sala de aula é agora um cenário defendido por um extenso número de investigadores (Almeida & Kato, 2014; Blum 2015; Madruga & Biembengut, 2016; Niss & Blum, 2020), chegando mesmo a assumir-se como uma tendência metodológica (Klüber, 2016). Até porque, na perspetiva da educação matemática, a modelação matemática, é definida genericamente como “a abordagem de problemas da realidade, utilizando conteúdos matemáticos” (Souza & Barbosa, 2014, p. 32). Adotando como referência esta definição, as ramificações para outras definições parecem não ter fim. A modelação matemática é tomada como um recurso, uma atividade, uma perspetiva de aprendizagem, um ambiente de aprendizagem, uma ferramenta, uma alternativa pedagógica. Contudo, os aspetos que detêm em comum revelam-se simples de enunciar: matemática e realidade. 2.2.1. Definição e fundamentação Importa reconhecer que o papel desempenhado pelo ensino e aprendizagem da modelação matemática começa no séc. XIX com Felix Klein (Schukajlow et al., 2018), porém, é apenas nos anos oitenta do séc. XX que os investigadores colocam questões relacionadas com os efeitos que terá nos 18 alunos a utilização da modelação matemática. Os estudos desta época revelam como principais interesses de investigação a promoção de habilidades e as competências de modelação. Nas últimas décadas, o foco de estudo recaiu sobre os aspetos cognitivos. Neste contexto, importa reconhecer o contributo de congressos e encontros internacionais que promovem o debate e a exposição de resultados de estudos empíricos no âmbito da modelação matemática como ambiente de aprendizagem em todos os níveis e ciclos de ensino. O primeiro destes encontros, ICMTE (International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications), surgiu em 1983. Na mesma linha de ação, são de realçar o Congress ICME (International Congress on Mathematical Education) e as conferências CERME (Conferences of European Society for Research in Mathematics Education). Nos primeiros três congressos do ICTMA a preocupação centrou-se na criação de novos exemplos e temas matemáticos de modelação a serem abordados em contexto educativo e, especialmente, em novas formas de projeção de cursos de modelação (Blum & Niss, 1989). A partir desta data, o hiato torna-se estreito, podendo encontrar-se na literatura um sem número de publicações com base em estudos teóricos e investigações empíricas. No início da década de 90, Blum e Niss (1991) ressalvam que a utilização da modelação matemática como ambiente de aprendizagem conduz a um cumprimento dinâmico do currículo, despromovendo o ensino tradicional estanque por temas. Encontra-se, em Ponte (1992), um pedido de valorização da modelação matemática na sua vertente educativa como um trunfo a explorar para o desenvolvimento da capacidade de compreender, desenvolver, construir e analisar criticamente modelos matemáticos simples. Blum (2011) discorre sobre quatro argumentos que considera essenciais no favorecimento da modelação na educação matemática, sendo eles os argumentos pragmático, formativo, cultural e psicológico. Para além desta sustentação teórica, o autor revela que a integração da modelação no ensino e na aprendizagem da Matemática pode contribuir, significativamente, para que os alunos deixem de encarar a mesma sob um ponto de vista mecânico de mera manipulação de símbolos. Barbosa (2001) sublinha que a modelação é considerada como um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são levados a problematizar e investigar, através da Matemática, situações com referência na realidade. Situações essas que, a partir dos anos 90, são frequentemente apresentadas nos currículos oficiais como áreas extra-matemáticas, ao que os investigadores respondem que o ensino da Matemática não pode ser reduzido apenas à aplicação de exemplos baseados na realidade, senão que estes exemplos da realidade devem desempenhar um papel central (Kaiser & Schwarz, 2006). Paralelamente, a abordagem de questões reais, provenientes de um contexto do interesse dos 19 alunos, pode motivar a compreensão de conteúdos e processos matemáticos, permitindo, simultaneamente, a visibilidade da aplicação da Matemática noutras áreas do conhecimento (Almeida & Brito, 2005). Blum e Ferri (2009) especificam que o uso da modelação e dos seus modelos, na sala de aula, possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de competências críticas e a compreensão dos seus próprios contextos e aspetos sociais, para além de contribuir para a formação de cidadãos responsáveis e interventivos numa sociedade que requer, cada vez mais, competências em modelação. Uma vez reconhecido, pela comunidade científica, o papel da modelação no campo educacional (Carreira & Blum, 2021b; Galbraith, 2024), os estudos dirigem-se para os processos cognitivos que lhes são inerentes e uma das primeiras questões que surge diz respeito à forma como deve ser encarada a modelação matemática, se por uma proficiência ou como uma competência na aprendizagem da Matemática (Carrejo & Marshall, 2007). Transversalmente, o foco da atenção vai para os alunos e como se processa a aprendizagem, sendo que “a modelação pode realmente ser aprendida se o ensino obedecer a determinados critérios de qualidade, em particular, mantendo um permanente equílibrio entre a orientação do professor e a independência dos alunos” (Blum & Ferri, 2009, p. 45). Neste mesmo sentido pronunciam-se Rosa e Orey (2012), ao definirem a modelação como um “ambiente de aprendizagem que tem como objetivo facilitar a investigação de uma situaçãoproblema através da elaboração de atividades pedagógicas contextualizadas que auxiliem os alunos na conversão e na utilização dos conhecimentos matemáticos para a resolução de situações-problema” (p. 264). Mais concretamente, Viseu e Menezes (2014) apresentam a modelação em sala de aula como uma atividade que consta em interpretar os elementos e as relações de uma dada situação, solucionar a situação com base na Matemática, proceder à análise dos resultados, compará-los com o fenómeno em estudo e, por fim, obter conclusões. Vista como um processo, a modelação matemática implica uma série de ações ou fases que fazem com que a construção ou interpretação de um modelo não se efetue de forma instantânea na sala de aula, o que na literatura ficou conhecido como ciclo de modelação (Villa-Ochoa, 2015). A questão que importa, neste momento, evidenciar é a seguinte: como se confere o processo de modelação matemática? 20 2.2.2. As etapas cognitivas do processo de modelação Kaiser-Messmer (1987) descreveu o processo de modelação como um ciclo que parte do mundo real para o mundo matemático e volta para o real. De acordo com Kaiser e Schwartz (2006), o ponto de partida do processo de modelação é uma situação do mundo real. Posteriormente, a situação é simplificada e estruturada para obter um modelo do mundo real. Esse modelo do mundo real é matematizado, isto é, traduzido em matemática de tal forma que se obtenha um modelo matemático da situação original. As considerações matemáticas que resultam do modelo matemático produzem resultados matemáticos, que devem ser reinterpretados na situação real. A adequação destes resultados deve ser verificada e validada. Por sua vez, Almeida e Ferruzzi (2009) apresentam um conjunto de procedimentos tomados ao desenvolver atividades de modelação: (…) a busca de informações, a identificação e seleção de variáveis, a elaboração de hipóteses, a simplificação, a obtenção de uma representação matemática (modelo matemático), a resolução do problema por meio de procedimentos adequados e a análise da solução que implica numa validação, identificando a sua aceitabilidade ou não. (p. 121) A procura de um ciclo que descreva as etapas gradativas do processo de modelação fez recrudescer o enfoque no papel do aluno e do professor. No entanto, dependendo do objetivo da pesquisa, esses ciclos de modelação podem parecer diferentes e destacar aspetos distintos do processo de modelação (Haines & Crouch, 2013). Ponte (1992) apresenta um diagrama (Figura 2) através do qual descreve o processo de modelação através de um ciclo que tem início na tradução de uma situação do mundo real num problema. Segue-se para a escolha de uma estrutura matemática que represente o problema e, simultaneamente, selecionam-se e estabelecem-se relações entre as variáveis. Utilizando ferramentas matemáticas, analisa-se o modelo matemático procurando obter conclusões, onde, de seguida, se utilizam as conclusões para interpretá-las à luz da situação real inicial. Neste momento, verifica-se a adequabilidade do modelo e, se o caso for negativo, procura-se redefinir o problema, encontrar novas variáveis e reajustes. Se necessário, ter-se-á que repetir várias vezes este ciclo até obter um resultado que se pense satisfatório. 27 Justificada a dimensão pedagógica da modelação matemática, importa perceber que a construção desta dinâmica tem várias matizes, numa gradação sem hierarquias que passa tanto pelo aluno, como pelo professor, pelo contexto, pelo ambiente de aprendizagem, pela atividade, pelos tipos de tarefas e sua autenticidade, pelos tipos de representação, pela construção do conhecimento, numa enumeração difícil de finalizar. Ao apresentar-se como uma alternativa metodológica que traz para a sala de aula os problemas da vida real e da cultura dos alunos (Brandt et al., 2016), torna-se imprescindível enquadrar e colocar em evidência todos os elementos que fazem parte deste preâmbulo educativo, a partir do qual parece ser possível alterar o rumo de um ensino da Matemática descontextualizado e de carácter seletivo. 2.3.1. Conectar o ensino em contexto de modelação ao papel do professor Para o desenvolvimento de uma atividade com modelação matemática existem, na literatura, inumeráveis propostas de etapas e procedimentos, alguns deles já aqui retratados. Independentemente daquelas que se elegerem, para Burak (2016) essas etapas devem ser conduzidas com base em dois pressupostos. Em primeiro lugar, o interesse do grupo, em segundo, a obtenção de informações e dados do contexto onde se encontra o interesse do grupo. Para operacionalizar esse processo, o papel do professor é determinante na medida em que assume o papel de mediador, orientador e problematizador (D’Ambrosio, 2015; Lima & Araújo, 2021). No entanto, Barbosa (2001) ressalva que “o ambiente de aprendizagem que o professor organiza pode apenas colocar o convite. O envolvimento dos alunos ocorre na medida em que seus interesses se encontram com esse” (p. 6). Esta posição leva diretamente a um conceito designado conhecimento do professor que ver-se-á, em detalhe, mais adiante. Para o autor em questão existem três formas de o professor se posicionar em face às possíveis organizações curriculares da modelação (Figura 5). Figura 5 Esquema representativo da participação do professor e do aluno em cada caso (Barbosa, 2001, p. 9) 28 No primeiro caso, o professor coloca uma situação, com referência na realidade que tenha por base um problema a ser resolvido, fornecendo as informações necessárias à sua resolução. Aos alunos, cabe o processo de resolução sob a orientação do professor. No segundo caso, o professor apresenta um problema inicial, sustentado na realidade, incitando os alunos à procura e simplificação de dados que sejam importantes para a sua resolução. O terceiro caso aproxima-se do trabalho de projeto, uma vez que a situação-problema de contexto real é formulada pelo aluno, que posteriormente recolhe informação e trabalha os dados com vista à sua resolução. Qualquer dos casos revela um conjunto de passos que o norteia, diferindo no foco dado ao professor: à medida que este diminui, tendencialmente aumentará no aluno, segundo uma relação que se ilustra através do seguinte esquema e que pretende traduzir o envolvimento de ambos. 2.3.2. O aluno interpretando o seu mundo Uma das questões que se coloca mais premente é a seguinte: por que é que é tão importante para o aluno a modelação? De acordo com Blum e Ferri (2009), uma das explicações pode partir pelo facto de quer os modelos matemáticos, quer a modelação estarem por todo o lado, inclusivamente na sua estreita ligação com as ferramentas tecnológicas, algo que é próximo dos alunos. Mas estes autores assentam, essencialmente, esta justificação em quatro premissas que consideram ser, em simultâneo, princípios subjacentes ao ensino da Matemática. O primeiro argumento que apresentam para responder à questão é o de que a modelação pode ajudar os alunos a melhor compreenderem o mundo, da mesma forma que mune a aprendizagem da Matemática de uma rede de suporte que abrange motivação, formação de conceitos, compreensão e retenção, contribui para o desenvolvimento de certas competências matemáticas e, por fim, dota a Matemática de uma imagem mais positiva na medida em que prepara os alunos para o seu uso em diferentes áreas ao mesmo tempo que incrementa a compreensão do seu papel sociocultural. Segundo Pollack (2007), perdem-se os alunos quando apenas se lhes ensina matemática ‘pura’. Na mesma linha posicionam-se Galbraith e Stillman (2006), ao apresentarem como propósitos da integração da modelação matemática desenvolver habilidades dos alunos para aplicar a Matemática no seu mundo, levar a Matemática para além da sala de aula e usar o contexto do mundo real como uma componente chave. Burkhardt (2018) compila todos estes argumentos em apenas um, alegando que modelar situações da vida quotidiana é o cerne da alfabetização matemática. Mais peremptoriamente, para que a Matemática seja significativa e relevante para os alunos, experimentar 29 atividades de modelação nos primeiros anos escolares é uma necessidade (Blum et al 2007; English, 2018), o que levanta diretamente uma outra questão: o que é a matemática significativa? Indiscutivelmente, o envolvimento dos alunos, definido em qualquer uma das suas dimensões, é um contributo fundamental para uma participação ativa na aprendizagem. Reeve e Tseng (2011) defendem que, para além de influenciar o desempenho académico, o envolvimento é um fator que pode auxiliar na minimização da indisciplina e do abandono escolar. Se a disciplina de Matemática puder desfrutar desse suporte à aprendizagem, isso é algo a não desperdiçar. Atendendo a este facto, as atividades de modelação que têm por base tarefas de modelação autênticas são um aliado inequívoco. Para além do mencionado, a modelação fornece, aos alunos, formas eficazes para os ajudar a melhor solucionarem problemas e serem capazes de usar a Matemática em situações da vida real extraescolares (Lesh & Zawojewski, 2007). Pollack (2007) refere que um dos benefícios da integração de atividades de modelação em sala de aula é, as mesmas exigirem para a sua resolução um maior desenvolvimento cognitivo do que a tradicional resolução de problemas. Tal justificação reside no facto de que situações autênticas pressupõem, da parte dos alunos, uma maior interpretação e descrição de formas matemáticas em vez de uma simples determinação da solução de um problema (Lesh & Hager, 2001), levando também a explorações matemáticas e generalizações. Como visto anteriormente, o pensamento crítico é uma competência que os alunos desenvolvem ao trabalharem com modelação. De acordo com Lesh e Hager (2001), ao usar modelos para interpretar e explicar sistemas complexos, ao desenvolver fluência representacional e ao raciocinar matematicamente de diversas formas, os alunos estão a aprimorar o pensamento crítico, na medida em que estas etapas os ajudam a pensar no problema criticamente antes de enfrentá-lo. É de realçar que as atividades de modelação oferecem oportunidades para que os alunos expressem as suas ideias e pensem em múltiplas representações acerca de uma mesma situação (English & Watters, 2005). Em Asempapa (2015), encontra-se enquadramento para aquilo que Pollack (2007) refere como sendo mais um benefício das atividades de modelação: o discurso de sala de aula. As experiências de modelação são ideais para promover comunicação, levando à exploração colaborativa e ao trabalho em equipa através de experiências sociais. Estudos demonstram que os alunos debatem, participam em discussões e partilham ideias ao trabalharem a partir da criação de modelos e a representação dos seus dados, tendo-se com eles concluído que os processos de comunicação inerentes às atividades de modelação resultam em importantes contribuições no que diz respeito ao 30 desenvolvimento social e matemático dos alunos. Este mesmo autor reforça que propiciar um ambiente de ensino que promova nos alunos uma cidadania responsável e participativa exige que nele assente o desenvolvimento de competências de modelação. Bahmaein (2011) ressalta que a resolução de problemas é importante, mas a sua única aplicação não estimula adequadamente o conhecimento, os processos e os desenvolvimentos sociais que são exigidos aos alunos para lidarem com os sistemas cada vez mais sofisticados da nossa sociedade. Em contrapartida, as atividades de modelação parecem ir ao encontro dessa reivindicação. Paralelamente, ao proporcionar aos alunos situações que estejam relacionadas com as suas próprias experiências, é-lhes permitido aprofundar e ampliar a sua compreensão do alcance e utilidade da Matemática. Não obstante, conjugar estes benefícios da modelação matemática numa prática pode ser um verdadeiro desafio, como se focará, mais adiante. 2.3.3. A autenticidade do contexto e as tarefas de modelação Chegando a este ponto, crê-se importante não avançar sem antes discorrer acerca de três pressupostos inerentes à caracterização das tarefas de modelação: realidade, contexto e autenticidade, uma vez que, se se focar a atenção nas dimensões pragmática e crítica, os alunos deverão envolver-se em situações autênticas da cultura e sociedade a que pertencem e reconhecer as práticas, usos e papéis autênticos que as comunidades fazem da Matemática e da modelação (Villa-Ochoa, 2017). A origem da palavra realidade encontra-se no vocábulo latino realitas , que corresponde a uma qualidade do que é real e desemboca no conceito de verdade. Real é, portanto, aquilo que tem existência verdadeira. Para além do seu significado etimológico, o termo realidade é controverso sob o ponto de vista filosófico e, genericamente, sinónimo de antagonismo entre um mundo com uma existência independente versus a possibilidade de ser um conjunto de representações do nosso pensamento 2 . Analogamente, isto significa que um contexto que traduza uma representação do pensamento dos alunos deverá ser uma aproximação do que é experienciado por eles próprios e que implique situações que compreendem e a que atribuem significado (Freudenthal, 1991). Com efeito, uma das justificações para que sejam utilizados modelos matemáticos é os alunos poderem ver a aplicabilidade real das ideias matemáticas, podendo ser esse um fator de motivação (Zbiek & Connor, 2006), que é incrementada quando os problemas explorados fazem parte das suas próprias experiências de vida ou se uma determinada finalidade prática pudesse ser identificada diretamente (Kaiser & Schwarz, 2006). Contudo, quais os contextos do mundo real que realmente interessam aos alunos? O que será necessário para que um contexto seja autêntico? Neste sentido 2 Para Platão, a realidade está dividida em duas partes: uma parte é o mundo sensível, a outra parte é o mundo inteligível, o mundo das ideias. 31 pronunciam-se Stender e Kaiser (2015), referindo que os problemas de modelação não podem ser autênticos apenas sob o ponto de vista dos investigadores ou dos professores, mas acima de tudo dos alunos, até porque o processo de modelação não pode viver inteiramente na sala de aula de Matemática, uma vez que começa e termina no mundo real (Stillman & Galbraith, 2012). No seguimento deste questionamento, surge em Skovsmose (2012a) a abordagem, sob a reflexão acerca de ambiente de aprendizagem, ao conceito de “referência”, sendo que o apresenta como a produção de significado em educação matemática e, na sua perspetiva, as referências incluem o contexto que servem de motivação às ações. O autor avança três tipos de contextos para auxiliar na definição e constituição de um cenário educativo – o de matemática pura, o de semi-realidade e o de realidade. O primeiro tem a ver com questões e atividades matemáticas cuja referência apenas à Matemática diz respeito 3 . O segundo critério é uma estrutura intermédia entre a Matemática e a realidade, a que Skovsmose designa por semi-realidade. Para o autor, este tipo de referência apenas oferece suporte aos alunos para a resolução de um problema, que é geralmente dado sob a forma de exercício, extraído do manual escolar, em que o único propósito é resolvê-lo e através do qual é estabelecido um contrato entre o professor e o aluno, embora de contornos unilaterais. O conteúdo e a informação contidos no exercício acabam por ser irrelevantes e somente as quantidades enumeradas são alvo de atenção, o que acaba por se traduzir numa falsa realidade, artificial, eloquentemente intitulada por Skovsmose (2007) de um mundo sem impressões dos sentidos, de uma metafísica da semi-realidade 4 . Exemplo disso são, para o autor, questões retiradas dos manuais didáticos. O terceiro critério prima pela ausência de caracterização, revelador da dificuldade, uma vez mais, de definir a realidade. Contudo, o investigador aponta que, uma vez que neste tipo de cenário as referências são reais, se torna possível os alunos produzirem significados distintos para as atividades e não somente os conceitos. Mas afinal, pelas linhas seguidas, o que enrobustece a caracterização de realidade? Veleda e Almeida (2009) apoiam-se em Bicudo para discorrer acerca da noção de realidade, que se refere a quatro matizes da realidade: objetiva, percebida, construída e criada. Estas autoras definem a realidade objetiva como sendo uma realidade independente do conhecimento que temos dela, enquanto a realidade percebida é restrita à perceção de cada observador. Estas duas vertentes de realidade assemelham-se àquilo que outrora Platão sustentou como Formas. Por outro lado, “as concepções de 3 Num ambiente de aprendizagem que tenha por referência a matemática pura é natural a adoção praticamente exclusiva do paradigma do exercício. Como exemplo, Skovsmose dá a resolução de uma expressão numérica. Se se pretender investigar com este tipo de referência matemática, o autor ilustra com a translação de figuras geométricas numa tabela de números. 4 Skovsmose exemplifica a utilização de exercícios com referência à semirealidade da seguinte forma: “Um feirante A vende maçãs a 0,85 € o kg. Por sua vez, o feirante B vende 1,2 kg por 1,00 €. (a) Que feirante vende mais barato? (b) Qual é a diferença entre os preços cobrados pelos dois feirantes por 15 kg de maçãs?” (2000, p.8) 32 realidade construída ou realidade criada negam a existência de uma única realidade” (Veleda & Almeida, 2009, p. 1054). Uma vez que a realidade resulta da construção mental individual, cada pessoa concebe a sua própria realidade. Em que é que a modelação matemática permite, então, alargar esta conceção? Encontra-se, em Villa-Ochoa (2015), um estudo com professores sobre o significado da realidade na modelação matemática escolar. O autor investiga as crenças e perceções que os professores têm acerca da realidade e conclui que as diferenças que revelam acerca das mesmas condicionam e determinam as situações e os problemas que apresentam e que, a priori , impõem ritmos distintos na implementação da modelação como recurso em sala de aula. No que diz respeito à abordagem da realidade em atividades de modelação, Veleda e Almeida (2009) baseiam-se em Negrelli para analisarem, numa atividade, as realidades que lhe estão implícitas e que apresentam como realidade inicial e intermediária. A realidade inicial tem contornos platonistas e configura-se pelos elementos que são exteriores ao sujeito. Por sua vez, a realidade intermediária é estabelecida pela seleção dos objetos apreendidos pelo sujeito, elaborada com base na relação que é estruturada através dos elementos possíveis de serem captados. Através deste estudo, as autoras concluem que as atividades de modelação nem sempre estão próximas das vivências dos alunos. Ainda que o modelo matemático represente bem a realidade inicial, pode não proporcionar uma ação dos alunos nessa realidade. Maaβ (2010) desenvolveu um esquema de classificação de tarefas por aproximação à realidade. Para sustentar o argumento de que existem muitos tipos de tarefas relacionadas com a realidade e a modelação, a autora sintetizou um conjunto de características com base nas classificações já existentes. Com este esquema, Maaβ pretende demonstrar uma visão geral dos diferentes recursos das tarefas de modelação e orientar nos processos de seleção das tarefas segundo os grupos alvo. Relativamente à característica que intitula como natureza da relação com a realidade, a autora classifica as tarefas em cinco categorias: i) autêntica; ii) próxima da realidade; iii) envolvida de realidade; (iv) intencionalmente artificial; e v) fantasiosa. Na tentativa de aprimorar esta categorização, Villa-Ochoa et al. (2017) apresentam uma classificação alternativa com o propósito de identificar o contexto que faz parte dos enunciados que compõem as tarefas e nele reconhecer a referência que é feita à realidade. Para tal, os autores expõem quatro categorias que, em detalhe, justificam quais derivam em subcategorias e as exemplifica: i) enunciados verbais; ii) construção de representações; iii) modelação de projetos; e iv) uso de análise de modelos. Delas, vale a pena destacar a primeira categoria que diz respeito àquilo que Villa-Ochoa et al. 33 (2017) chamam enunciados verbais, mas que no panorama nacional é amplamente designado por resolução de problemas 5 . Aqui, os investigadores argumentam sobre a necessidade de distinguir o contexto dos problemas em realistas e autênticos. A primeira subcategoria evidencia que o tipo de tarefas de carácter realista pode “evocar aspetos realistas ou imaginários sem necessariamente vincular contextos próximos da experiência diária do aluno” (Villa-Ochoa et al., 2017, p. 230). Os autores salientam que nas perspetivas pragmáticas e críticas não se reconhecem estes problemas como tarefas de modelação, na medida em que a principal ênfase é atribuída ao reconhecimento da estrutura matemática que está subjacente no problema. Este tipo de tarefas é elaborado pelos professores e a participação do aluno apenas consiste em resolvê-las. No entanto, estas tarefas podem ser integradas em ambientes que promovam o diálogo sobre os usos e contextos da tarefa e o questionamento da situação implícita e das condições do contexto real. Apesar disso, estas tarefas que se reduzem a problema rotineiros são, por vezes, o único recurso que alguns professores utilizam para exemplificar as conexões da Matemática com a realidade. Villa-Ochoa et al. (2017) vão mais longe ao avançar que a resolução de problemas é muitas vezes utilizada como “uma maneira de conservar o status quo em currículos com características rígidas e centrados no desenvolvimento dos conteúdos” (Villa-Ochoa et al., 2017, p. 232). A segunda subcategoria foca-se no papel da autenticidade do contexto dos problemas. O autor inspira-se em Bonotto (2007) para fundamentar a importância de criar problemas capazes de estabelecer vínculos mais fortes entre a Matemática e o conhecimento extraescolar, revestindo a cultura escolar de uma mudança com vista à criação de novas normas sóciomatemáticas. Estes problemas, chamados problemas autênticos, têm diferentes contornos no diz respeito à autenticidade, podendo ser, por exemplo, de autenticidade de contexto, de atividade, de impacto, ou mesmo de autententicidade do pessoal ou de valor. Estas características distinguem-se entre si na medida em que os problemas que refletem experiências dos sujeitos incluem-se em autenticidade pessoal. Quando os resultados de determinado problema produzem um impacto na tomada de decisão dos alunos, o carácter de autenticidade é de impacto. Por sua vez, se as tarefas ou projetos respondem, de certa forma, a perguntas pessoais ou comunitárias, a autenticidade designa-se de valor. Os autores Villa-Ochoa et al. (2017) observam que, apesar de várias perspetivas da modelação transparecerem a preocupação para com a elaboração de tarefas que possuam um contexto autêntico, reproduzindo um contexto que embora próximo da realidade não se aproxima de aspetos sociais ou culturais da vida dos alunos, as características de autenticidade pessoal, de impacto ou de valor 5 Para Verschafell, “os problemas verbais são textos nos quais se descreve uma situação mais ou menos familiar e se coloca uma pergunta quantitativa que se pode resolver com a ajuda da matemática” (Villa-Ochoa 2017, p.229). 34 requerem projetos mais próximos da realidade dos estudantes, desenvolvendo, desta forma, processos mais complexos de aprendizagem. 2.4. Implementação e dinâmicas em torno da modelação matemática Entre as pesquisas que se têm efetuado em torno da modelação matemática, a sua implementação em contexto educativo tem-se destacado. Em alguns casos, sob o ponto de vista das estratégias e dinâmicas que se estabelecem, sobre quais os critérios a que o seu ensino deverá obedecer e qual o equilíbrio a ter em conta entre a orientação do professor e a independência dos alunos (Blum, 2015). Noutros, procurando detetar quais as dificuldades e constrangimentos a ser ultrapassados. Por sua vez, o panorama nacional reflete os avanços e recuos dados no sentido de implementação da modelação em contexto escolar. Apesar da modelação matemática se ter tornado a base da estrutura matemática no PISA 2015 e de ter sido enquadrada nos currículos de sistemas de ensino um pouco por todo o mundo (Ng & Lee, 2015), nem sempre as reformas educativas portuguesas se traduziram numa ênfase às práticas de modelação e a sua incorporação tem sido subtil. 2.4.1. Procedimentos, estratégias e desafios da modelação matemática como ambiente de aprendizagem Um dos procedimentos que parece importante destacar tem a ver com a criação de uma cultura em sala de aula que sustente as atividades de modelação. O conhecimento do professor tornase, com frequência, um dos principais desafios encontrados quando se analisam estudos realizados neste sentido (Asempapa, 2018; Blum & Ferri, 2009). Isto porque, para modelar fenómenos do mundo exterior, é necessário entender esses fenómenos e, portanto, o conhecimento do mundo real é imprescindível. Esta ideia leva, por consequência, à necessidade de um ensino mais aberto e, desde logo, menos prevísivel. Um ensino que dá a oportunidade ao aluno de exercer um papel investigativo e, portanto, que fomenta a cultura investigativa (Mendonça & Lopes, 2017). Outro desafio realçado por Blum e Ferri (2009) tem a ver com a exigência cognitiva das tarefas de modelação na medida em que existe um fosso entre os produtos da investigação na área e a prática educativa que deixa transparecer que a modelação é difícil para grande parte dos professores, o que redunda em que os alunos também a achem difícil. Burkhardt (2018) alega que um currículo em 35 mudança pede por um programa da Matemática atualizado que inclua aspetos quer de ensino, quer de aprendizagem em modelação matemática. Para Blum e Niss (1991), o tempo, o espaço e a necessidade do cumprimento integral do programa são barreiras que os professores consideram existir, no que diz respeito à implementação da modelação. Por sua vez, Artaud (2007) defende que a falta de tempo é um revés que tem de ser ultrapassado e, portanto, facultar mais tempo deverá ser uma prioridade para que a modelação possa ser uma realidade concretizável nas salas de aula de Matemática. Na visão de Jacobini (2004), ainda que existam projetos educacionais, individuais, do professor ou institucionais que inovam na tentativa de valorizarem a ação pedagógica, muitas vezes tendem a embater em questões relacionadas com a avaliação. Outro dos desafios ponderados por este autor tem a ver com o facto de “ou por os alunos estarem habituados ao “paradigma do exercício” ou por entenderem que essa nova dinâmica de trabalho vai exigir deles muita dedicação e esforço, nem sempre estão dispostos a aceitar uma nova dinâmica pedagógica” (Jacobini, 2004, p. 46). Aqui, a resposta poderá estar naquilo a que Skovsmose (2000) chama “contrato didático 6 ” (p. 85). Ultrapassadas algumas das dificuldades que podem surgir na implementação de um ensino que tenha por base a modelação, importa reconhecer que estratégias lhe estão subjacentes. A dinâmica criada tem como mote uma série de ações que se desencadeiam, de uma forma genérica e dependendo do ciclo de modelação adotado, que passam por “procura de informação sobre o fenómeno a ser estudado, identificação e seleção de variáveis, elaboração de hipóteses, simplificação do problema, obtenção e validação de um modelo matemático” (Ferruzi & Almeida, 2015, p. 379). Neste ponto, o que até aqui existe de novo por destacar é o papel fundamental das interações que se estabelecem no seio das atividades de modelação. Um grande número de pesquisas reflete que estas interações são determinantes para a aprendizagem e, portanto, uma das premissas é, precisamente, estas atividades desenvolverem-se em grupo. Este ponto de partida fornece para English et al. (2005) uma oportunidade para a colaboração social e o desenvolvimento de habilidades de comunicação, na medida em que os alunos podem comparar e discutir conceitos, explicações, justificações e representações matemáticas. Blum e Ferri (2009) partilham desta ideia, mas vão mais longe, apoiando-se numa máxima montessoriana 7 para justificar que a intervenção do professor na orientação dos alunos deve ser mínima e propiciar a máxima independência dos alunos. Este equilíbrio deverá ser 6 Do ponto de vista de Skovsmose (2000), um contrato didático define-se como um equilíbrio no ambiente de aprendizagem, traduzindo-se numa harmonia entre os elementos do ambiente de aprendizagem como a organização das tarefas, a estrutura do manual, o desenvolvimento da comunicação preconizado pelos principais atores: o professor e os alunos. 7 “ Ajuda-me a fazer por mim” é considerada uma das principais frases que resume o método pedagógico de Maria Montessori. 36 guiado através de um metanível de intervenção por parte do professor, que se foque essencialmente em intervenções estratégicas de orientação, sempre estimulando a maior autonomia do aluno. Como resultado das suas investigações, Blum e Ferri (2009) defendem quatro implicações para o ensino da modelação. A primeira sustenta que um ensino de modelação de qualidade só poderá ter como base tarefas de modelação de apropriadas e cuja manipulação premeiem um equilíbrio entre a independência máxima dos alunos e uma orientação mínima do professor. A segunda implicação tem a ver com permitir que os alunos utilizem as suas próprias rotas de modelação e incentivar a várias soluções. Segundo Ferri (2007), uma rota de modelação é um processo de modelação individual num nível interno e externo, percorrendo as várias fases do ciclo de modelação. O aluno começa com este processo numa certa fase, de acordo com as suas preferências, continuando por diferentes fases tantas vezes quantas pretender, focando-se numa determinada fase ou ignorando outras. Uma terceira implicação é relativa ao conhecimento do professor no que diz respeito aos modos de intervenção, particularmente, pedagógicos, estando subjacente, uma vez mais, o fator da mínima orientação. Por fim, o professor deverá dominar formas de levar os alunos a estratégias adequadas para resolverem tarefas de modelação, podendo munir-se de uma ferramenta útil como é o ciclo de modelação (Lima & Araújo, 2021). 2.4.2. Descortinar possíveis bloqueios nas etapas de modelação A ideia de esmiuçar as dificuldades dos alunos não é nova em qualquer campo da educação matemática assim como também não o é na aprendizagem da modelação matemática. Entre os seus divulgadores encontramos em Blum e Ferri (2009) estudos que permitem compreender a origem de algumas dificuldades reveladas pelos alunos na hora de trabalharem com tarefas de modelação e que levam diretamente à complexidade cognitivas dessas tarefas. Os autores elegem três passos no ciclo de modelação que utilizam (ver ciclo de modelação Blum & Leiβ, 2007) para analisar dificuldades específicas dos alunos. Primeiramente, na fase de construção os alunos têm por hábito trabalhar com estratégias cujas soluções são superficiais, uma vez que podem ignorar o contexto real e extrair do conteúdo dos problemas apenas os números que permitam calcular algo de acordo com um esquema mais ou menos familiar. Deduz-se que se a tarefa exigir que a situação do problema seja compreendida, aí residirão as dificuldades. Na fase de simplificação, apesar de os alunos conseguirem construir um modelo apropriado, não conseguem fazer conjeturas. Por fim, o passo da validação parece ser verdadeiramente preocupante. Ao não verificarem se as soluções são razoáveis ou apropriadas, cabe ao professor ser o responsável pela correção das soluções. Por este motivo, o 43 mundo real, no 9.º ano. Nas ações estratégicas correspondentes a estes objetivos específicos, as AEM (MEC, 2021) apontam para a dinamização de atividades de modelação de fenómenos reais, pela determinação de modelos adequados e realizadas em grupo. 2.4.5. Importância das representações matemáticas nas conexões externas A importância da representação na atividade matemática resulta, segundo Duval (2012), do momento em que o aluno é capaz de conjugar e dominar dois registos de representação para um mesmo objeto e declara que uma tática relevante para a compreensão da Matemática é a distinção entre um objeto e a sua representação. Reforçando esta ideia, para Moretti e Thiel (2012), a variedade dos sistemas de representação é fundamental, para além da sua aprendizagem, para a construção de novos conceitos. Tais argumentos criam uma espécie de paradoxo cognitivo do pensamento matemático (Duval, 2012). Por um lado, a utilização de representações semióticas para a apreensão de objetos matemáticos é essencial, uma vez que a única forma possível para tal que aconteça é através da produção de representações semióticas. Por outro lado, a aquisição de conhecimentos matemáticos requer uma clara diferenciação entre os objetos matemáticos e suas representações e, portanto, não pode ser mais do que uma apreensão concetual. Não é de descurar que o NCTM (2017), defende que o uso de múltiplas representações, fomenta, nos alunos, a interiorização e a compreensão dos conceitos matemáticos. Assim, surgem, também, nas AEM (MEC, 2021) reivindicações no sentido de desenvolver a capacidade dos alunos para utilizarem representações múltiplas. Espera-se, com isso, que os alunos sejam capazes de expressar ideias e procedimentos matemáticos através de linguagem natural, simbólica, verbal, com esquemas e diagramas, com a presença ou não de tecnologias, ou combinando vários tipos (Amado, 2022). 2.5. Ação e reflexão: A abordagem sociocrítica Se for reconhecida a argumentação ramificada nas seguintes premissas: a aprendizagem como ação e um sujeito crítico tem que ser um sujeito que age, então deverá aceitar-se as ideias-chave da teoria educativa desenvolvida por Skovsmose (2007). Não será estranho, por isso, que Skovsmose (2007) contraponha ao paradigma do exercício tão naturalizado, nas salas de aula, pelo menos, do mundo ocidental, uma abordagem investigativa que contribua para o enfraquecimento de várias autoridades existentes na aula de matemática tradicional: a do monólogo expositivo do professor, a da 44 imposição externa dos exercícios do manual, a da resposta única aos exercícios. Propõe-se, pois, um cenário de investigação que alicie os alunos a participar ativamente nos seus processos de aprendizagem, pondo em prática um ambiente educativo que combine ação e reflexão e que, dessa forma, atribua à educação matemática uma dimensão crítica. Tomando como referência os trabalhos de D’Ambrosio, de Skovsmose e de Gutstein, esta dimensão crítica estabelece-se com base na característica comum de tornar a Matemática numa linguagem de desconstrução social, de aspirar a que a matemacia seja para todos. O termo matemacia surge associado ao movimento ‘Educação Matemática Crítica’ e é criado por Skovsmose (1994), traduzindo-o como uma competência pela qual nos tornamos capazes de interpretar e entender as características da nossa realidade social. De igual forma, Gutstein (2006) defende que a Matemática deve ser um meio para os alunos aprofundarem a compreensão dos contextos sociopolíticos dos quais fazem parte. Através do processo de estudarem as suas realidades – usando a Matemática – os alunos fortalecem a compreensão concetual e procedimentos matemáticos. Importa reconhecer D’Ambrosio (2009) como o pai da Etnomatemática, um conceito que o mesmo define como o reconhecimento de que as ideias matemáticas são intrínsecas à natureza humana e que os processos matemáticos têm origem no ambiente natural, social e cultural onde se inserem os indivíduos. Tendo em consideração o referido até aqui, destaca-se que a educação matemática crítica, o movimento ensinar para a justiça social e a Etnomatemática têm em comum estabelecerem-se sobre uma pedagogia crítica, serem teorias construídas nas culturas e experiências e na tentativa de envolver os alunos para usar a Matemática para pensar e agir sobre o mundo. Na mesma linha dos autores referidos, Barbosa (2009) fundamenta as justificações da perspetiva sociocrítica da modelação matemática, começando por relembrar a implicação da Matemática na vida quotidiana das pessoas e, com esta premissa, desenha uma trajetória que conduz a um exercício pleno de cidadania, em que a prática de intervenção social passe pelo domínio de habilidades e argumentos matemáticos que sejam necessários. Mais diretamente influenciado pela educação matemática crítica, este autor reforça a ideia da necessidade de educar criticamente por meio da Matemática e promover o pensamento crítico através da aplicação da Matemática em situações reais e não fictícias. Neste mesmo prisma, e na senda de Skovsmose (1994), Araújo (2009) sustenta que o uso dos modelos matemáticos na sociedade contribui à compreensão da Matemática como uma linguagem de poder, proporcionando a formação de cidadãos críticos, autónomos e participativos. Araújo (2009) alerta para o facto de podermos estar a contribuir para a manutenção de uma sociedade injusta se 45 trabalharmos com a modelação matemática e “não discutirmos questões como o uso da matemática na sociedade, a ideologia da certeza e o poder formatador na Matemática” (p. 64). Daí que a autora defenda uma abordagem da modelação matemática que vá mais além do que apenas fornecer instrumentos matemáticos ou dar exemplos das aplicações da matemática na realidade, mas sim uma modelação que faça os alunos refletir sobre a presença da Matemática na sociedade e que reajam criticamente em situações que a Matemática também ajude a construir. Não se pode negar estar perante uma perspetiva de modelação que se assume com propósitos educacionais. É indiscutível que a sua investigação caminha nesse sentido, conjugando aspetos comuns ao conhecimento reflexivo, pensamento crítico e modelação. Desta triangulação deriva uma das definições de modelação como ambiente de aprendizagem, resultando num “ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagarem e investigarem, através da Matemática, situações com referência à realidade” (Barbosa, 2003, p. 230). Orey e Rosa (2007) partem de duas questões para fundamentarem o uso da dimensão sociocrítica na abordagem da modelação matemática: i) “qual é o papel das escolas na promoção da eficiência sociocrítica dos alunos? ii) Como as práticas pedagógicas atualmente usadas no processo de ensino e aprendizagem de matemática afetam a eficiência sociocrítica dos alunos?” (p. 197). Barbosa (2009) justifica o papel crítico da Matemática no sentido de que ela pode ser usada de diversas maneiras em que uma das mais visíveis é usar os resultados matemáticos para fundamentar conceções na sociedade. Daí que Barbosa (2009) aproveite para esclarecer a grande diferença, sob a perspetiva sociocrítica, acerca das situações que servem de base para exemplificar a aplicação da Matemática, em sala de aula. Estas situações não deverão ser meras transferências do problema para situações do quotidiano, mas oportunidades que os alunos tenham de envolverem-se e refletirem sobre situações que, de facto, aconteceram ou acontecem na sociedade (Barbosa, 2009). Até porque, como advoga Jacobini (2004), existe uma maior probabilidade de os procedimentos matemáticos passarem a ser vistos pelos alunos como algo útil e presente no seu dia a dia se as situações trazidas para a aula estiverem relacionadas com questões do interesse da comunidade local ou da sociedade e fazerem parte daquilo a que o autor compara com o “mundo da vida” (p. 41). A sala de aula é assumida “um espaço democrático, onde o diálogo, no sentido de ação dialógica, é a forma de comunicação entre os participantes” (Jacobini & Wodwotzki, 2006, p. 73). Posicionando-se num sentido oposto à utilização de estágios normativos para entender as transições dos alunos no processo de modelação, Barbosa (2006) defende que as cognições dos alunos deverão ser antes analisadas sob o ponto de vista das condições da sua produção, bem como a 46 possibilidade de constituir práticas sociocríticas. Neste sentido, Barbosa (2006) reconhece o discurso dos alunos como uma forma de compreender os aspetos cognitivos no processo de modelação. Para fundamentar esta posição, o autor apoia-se na definição de discurso como um todo, incluindo todos os tipos de linguagem, sinais, gestos, partindo de uma perspetiva discursiva cultural que reforça que o discurso constitui consciência e que é inseparável da cognição. Para esse fim, Barbosa (2006) categoriza os tipos de discussão: matemáticas, referem-se às ideias pertencentes ao campo da matemática pura; tecnológicas, dizem respeito às técnicas de construção do modelo matemático; e reflexivas, referem-se, para além da natureza do modelo matemático, aos critérios usados na sua construção e às suas consequências. A espaços de interação, Barbosa (2006) clarifica como os momentos em que alunos e professores interagem verbalmente sobre uma atividade de modelação, em que para além das informações acerca do que os alunos dizem, também se podem retirar informações sobre a perspetiva que usam e os significados que lhes atribuem. Consequentemente, Barbosa (2006) sublinha que existe uma dinâmica correlacional para representar as transições que podem ocorrer com as questões levantadas nas discussões. O peso dado a cada um dos tipos de discussão depende da perspetiva do professor. Para Barbosa (2006), “na escola pragmática do pensamento, as discussões tecnológicas são privilegiadas; as discussões matemáticas têm prioridade de uma perspetiva científica; e de acordo com uma escola de pensamento sociocrítico, o interesse está nas discussões reflexivas” (p. 6). Ainda em Barbosa (2008) encontramos a noção de rotas de modelação para delinear os discursos produzidos com uma função clara de construir uma representação matemática para a situação problema em estudo. No seguimento, o autor perscruta acerca de um tipo de discussões a que chama discussões paralelas e as quais define pelo seu contrário, sustentando que são aquelas que não são nem técnicas, nem matemáticas, nem reflexivas. Estas discussões acontecem nos espaços de interação, no entanto, ocorrem paralelamente às rotas de modelação. A sua importância reside no facto de se relacionarem com a contexto social e cultural e influenciarem, de certa forma, “o modo como os alunos concebem a situação problema, o termo “paralela” para este tipo de discussão não significa disjunção em relação às rotas de modelação, mas apenas define um tipo de discussão a qual é diferente delas” (p. 56). Figura em Jacobini (2004) uma enumeração de situações que o autor considera poderem retratar aquilo a que Skovsmose (2000) intitula ambiente de aprendizagem com referência à realidade e que aqui já foi ilustrado. Entre elas, “questões relacionadas com as elevadas taxas de desemprego, a existência de diversos índices de variação de preço e suas composições, as medições da 47 popularidade do Presidente da República ou de uma política que está sendo implementada, a matemática da rua ou a matemática presente no dia-a-dia do trabalho”. (p. 42) Por sua vez, Orey e Rosa (2007) consideram que existem, pelo menos, três práticas pedagógicas distintas de modelação matemática que podem ser utilizadas no currículo escolar. No primeiro caso exposto, por Orey e Rosa, e, normalmente, aquele que surge como um primeiro passo para a integração de atividades de modelação, os professores selecionam um problema ou uma situação, de acordo com o currículo a ser desenvolvido, e descrevem-na aos alunos. Além disso, também fornecem aos alunos as ferramentas matemáticas para a elaboração dos modelos. No segundo caso apresentado pelos autores, os professores sugerem e elaboram uma situação inicial, mas são os alunos que investigam o problema, reúnem os dados e formulam hipóteses. Assim, são os alunos os responsáveis por conduzir as atividades para desenvolver o processo de modelação. Naquilo a que Orey e Rosa (2007) posicionam como caso três, os professores apenas facilitam, orientam e motivam as atividades de modelação. Cabe aos alunos escolherem os temas e desenvolverem projetos nos quais sejam os responsáveis por todas as etapas do processo de modelação, pressupondo um envolvimento sociocrítico. Em qualquer um destes casos, os autores destacam que o mais importante é a análise crítica dos resultados obtidos e que é a mesma que deve ser incentivada e desenvolvida. Os autores sintetizam que o uso da modelação matemática sociocrítica desenvolve as habilidades críticas, quer de professores, quer de alunos, que permitem interpretar dados, formar e testar hipóteses e verificar a eficácia dos modelos matemáticos. Rosa e Orey (2015) vão mais longe e propõem um ciclo de modelação matemática de acordo com a perspetiva sociocrítica (Figura 6), posicionando a Matemática numa ótica dinâmica e humanizada. Segundo os autores, uma forma eficaz de integrar a modelação é expor aos alunos uma variedade de problemas ou temas provenientes da realidade. Estas situações têm raízes culturais, económicas, políticas, ambientais e sociais que se misturam e interrelacionam, fazendo uma ponte com o modo como os alunos as interpretam. A conjugação das próprias experiências dos alunos (Individualidade) combinadas com a reflexão crítica sobre essas experiências (Eficiência sociocrítica) “podem ajudá-los a identificar problemas comuns e desenvolver coletivamente estratégias para resolvêlos” (Rosa, 2015, p. 234). 48 Figura 6 Ciclo de Modelação segundo a abordagem sociocrítica de Rosa e Orey (2015) Como resultado, e por meio de ações como fazer hipóteses, testá-las, corrigi-las, generalizar, analisar, concluir e tomar decisões sobre o objeto em estudo, o uso da modelação matemática pode ser uma abordagem pedagógica transformadora que tem como característica fundamental a “ênfase na análise crítica dos alunos sobre as estruturas de poder da sociedade” (Rosa & Orey, 2007, p. 198). Para encerrar os contributos, recorre-se a Silva e Kato (2012) e às suas propostas para a identificação de um conjunto de elementos que caracterizam uma atividade de modelação matemática na perspetiva sociocrítica, às quais as autoras chegam à conclusão após analisarem referenciais teóricos publicados sobre o tema. Entre elas, definem um conjunto de quatro categorias, como premissa irrevogável para que uma atividade de modelação possa ser enquadrada à luz da perspetiva sociocrítica. A estas características, Silva e Kato (2012) designam ‘Características da Perspetiva Sociocrítica da Modelação Matemática’. A primeira característica constitui um dos principais elementos no desenvolvimento de qualquer atividade de modelação, dado que relaciona o aluno e a sua participação ativa na construção do modelo. As investigadoras sintetizam que, para a elaboração do modelo matemático, é importante que os alunos discutam ideias e confrontem opiniões, daí a relevância quer do trabalho em grupo, quer da escolha de um problema inicial que seja do interesse de todo o grupo, para que todos se sintam envolvidos nas problematizações e discussões. Só faz sentido, sob a perspetiva sociocrítica, as atividades de modelação desenvolverem-se num espaço em que se participe igualmente para que seja possível que os alunos “observem como a Matemática e o modelo matemático construído podem servir para analisar e tomar decisões sobre determinado problema” (p. 830). Outro elemento que se insere nas categorias de análise é a participação ativa do aluno na 49 sociedade. Segundo as autoras, é expetável que as atividades desenvolvidas, através das soluções encontradas, sejam interpretadas no contexto social que se lhes equipara, o que pode levar a mudança de atitudes ou, eventualmente, a tomadas de posição na sociedade. Em última instância, exemplos disso são ações comunitárias e, portanto, a comunidade surge como uma extensão do espaço democrático da sala de aula. A terceira categoria tem, por sua vez, relação com a escolha do problema não matemático da realidade, o que pressupõe que os alunos selecionem problemas sobre os quais tenham interesse e que, desde logo, sejam reais. Este ponto de partida considera “a cultura do grupo e também da comunidade à qual pertencem, o que envolve, igualmente, os conhecimentos que já possuem (matemáticos ou não)” (Silva & Kato, 2012, p. 831). Por sua vez, ao ter em conta a cultura dos alunos, é preciso ter noção que tal facto influenciará as suas interpretações dos modelos matemáticos obtidos. Por último, não é descurado a atuação do professor como mediador. A ele cabe ser o elemento propiciador das ações a desenvolver nomeadamente ao estimular o trabalho em conjunto e fomentando a exposição de argumentos, tornando a sala de aula um espaço democrático para além de auxiliar a escolha do problema tendo por base o conhecimento da cultura dos seus alunos. O seu papel, numa dimensão crítica, consiste ainda em encorajar os alunos a estabelecerem uma ponte entre a sala de aula e a sociedade. 2.6. Síntese do capítulo Integrar a modelação matemática como um ambiente de aprendizagem para intersetar o ensino da Matemática com a realidade é uma proposição válida para quem, sob uma perspetiva sociocrítica, pretender tornar as salas de aula de Matemática em lugares democráticos, incentivando os alunos a usarem a Matemática para pensar e agir sobre o mundo. Neste sentido, fundamentou-se, teoricamente, ao precisar terminologia e desenvolver conceitos intrinsecamente conectados ao longo de todo o processo de modelação. O conceito de modelo matemático tem estado presente em muitas das áreas onde a Matemática é preponderante, principalmente para a resolução de problemas. O seu significado assume-se como uma descrição ou representação de uma situação do mundo real, por meio de representações cuja combinação corresponde ao processo de modelação. Reconhecendo que o conceito de realidade é impreciso, apresentou-se necessário discorrer, um pouco, sobre a investigação efetuada no campo da educação matemática. Assim, o mundo real é designado, frequentemente, por domínio extra-matemático e a Matemática é utilizada para traduzir entidades do domínio extra-matemático para entidades do domínio matemático correspondente, um procedimento conhecido como matematização. Para validar esse procedimento e obter conclusões, é necessário 50 transferir as entidades de volta ao domínio extra-matemático, num processo denominado por ciclo de modelação. Uma vez que a tradução da realidade em modelos matemáticos é subjetiva, dependendo de fatores como o conhecimento, perceções, intenções ou interesses do sujeito que dirige esse processo, vários autores continuam, ao longo de décadas, a propor ciclos de modelação que evidenciam fases ou etapas, que compreendem de uma forma global as seguintes etapas cognitivas: compreensão da tarefa, simplificação/estruturação, matematização, trabalhando matematicamente, interpretação, validação e, por último, apresentação dos resultados (Blum & Leiβ, 2007; Ferri, 2006). As abordagens e perspetivas da modelação matemática multiplicam-se, tornando evidente a aplicabilidade da modelação matemática quer em contexto científico, quer educativo. A transversalidade da sua aplicação infere-se por ser uma estratégia que possibilita a compreensão de um conceito matemático através das potencialidades do seu contexto. Quanto às finalidades da modelação como prática educativa, conectou-se o seu ensino ao papel do professor, bem como se pretendeu deixar claro a importância de usar o contexto do mundo real nas tarefas de modelação, de forma a levar os alunos a interpretarem o seu mundo. Para tal, foram retratadas estratégias e dinâmicas de implementação da modelação como ambiente de aprendizagem, como sendo o posicionamento do professor face ao grau de envolvimento do aluno e consoante cada uma das etapas do processo (Barbosa, 2001), num equilíbrio que permita que a intervenção mínima do professor na orientação dos alunos (Blum, 2015). Por sua vez, as tarefas de modelação proporcionam aos alunos inúmeros benefícios como uma aprendizagem significativa, ajudálos a melhor compreenderem o mundo (Blum, 2015), assim como a entenderem a aplicação da Matemática no mundo (Galbraith & Stillman, 2006), para referir alguns. Em relação à autenticidade das tarefas, as mesmas deverão ter características de autenticidade pessoal, de impacto ou de valor, que sejam próximas da realidade dos alunos, fomentando, assim, processos mais complexos de aprendizagem (Villa-Ochoa, 2017). Ao longo deste capítulo foram, também, analisados os bloqueios e as dificuldades com que os alunos se podem deparar na resolução de tarefas de modelação, deduzindo que apesar de existirem fases mais desafiantes como a fase de construção, a fase de simplificação e a fase de validação (Blum & Ferri, 2009), os bloqueios podem ocorrer quando alguma das atividades tiver que ser realizada (Stillman et al., 2007). A conjugação das funções e da modelação matemática tem várias potencialidades para os alunos, fazendo ressaltar a dualidade de desenvolver a sensibilidade para entender o uso de funções como modelos matemáticos de situações do mundo real (ME, 2001). 51 Por fim, emerge a perspetiva sociocrítica associada ao par ação/reflexão. De forma resumida, com esta abordagem a sala de aula é configurada para ser um lugar democrático, um espaço de interação, de onde emerge a ação dialógica, fruto das discussões reflexivas originadas pelos alunos (Araújo, 2009; Barbosa, 2001). 52 CAPÍTULO 3 UMA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA PARA A JUSTIÇA SOCIAL É pressuposto da presente investigação que a adoção de uma educação matemática (EM) dentro de uma prática educativa que valorize a justiça social, proporciona aos alunos um meio para desenvolverem aptidões para a interpretação da realidade social, atenuando, simultaneamente, a perpetuação na identificação da disciplina de Matemática como um fator determinante de insucesso e exclusão escolar. O propósito do presente capítulo é fundamentar esta intencionalidade, estando, para isso, dividido em oito secções, finalizando com uma síntese. As três primeiras secções partem do questionamento de onde se situa, hoje, a escola enquanto instituição, qual é o lugar dos professores e o espaço deixado aos alunos. A resposta contra-hegemónica parece indiciar uma necessidade de radicalização axiológica e, por esse motivo, segue-se a análise da pluralidade do conceito de justiça com a intenção de o aplicar à educação. Assim, na quarta secção é apresentado o imperativo ético da educação matemática, pela que, na quinta parte, se evidencia o poder emancipatório da mesma. Nesta senda, averiguam-se as potencialidades de uma educação matemática para a justiça social e perscrutase a sua presença normativa, a nível nacional. Por fim, interseta-se a educação matemática para a justiça social e a modelação matemática crítica, fazendo emergir as potencialidades de ambas no sentido de mitigação e combate às injustiças estruturais. 3.1. A Escola como antecâmara do mundo 14 : Um caminho para uma liberdade emancipadora ou uma máquina institucional de controlo? A educação vista enquanto processo global e permanente é, hoje, uma realidade indubitável embora funcione como um pêndulo difícil de equilibrar. Por um lado, ainda que seja frequente encontrar a ideia de uma educação global um pouco por toda a História, principalmente conectada com o humanismo, também é repetida a forma como as vestes institucionalizadas desrespeitam a riqueza das possibilidades humanas, reduzindo-as a uma única dimensão – a intelectual, sob o aspeto cognitivo (Monteiro, 2017). Ao tornar-se a escola uma instituição forte e privilegiada, criou-se a tendência de identificar educação com educação escolar . Numa vertente oposta, encontra-se obsoleta a ideia de educação como mera transmissão de conhecimentos, tendo vindo, cada vez mais, a ser 14 Arendt, H. A Crise na Educação in Pombo, O. (2000) Quatro textos excêntricos 59 Bowles e Herbert Gintis publicaram Schooling in Capitalist America 24 . Influenciada pela Escola de Frankfurt e pelo conceito de teoria crítica por ela criado, é também emoldurada pelos seus procedentes 25 , como Jürgen Habermas 26 ou Paulo Freire 27 . A Escola de Frankfurt foi fundada em 1922, associada à Universidade de Frankfurt, com o intuito de teorizar acerca dos movimentos operários na Europa e tendo como principais impulsionadores Max Horkheimer, Theodor Adorno, Herbert Marcuse (para referir os principais). Este último autor era um filósofo alemão que assinalou a existência de um massivo endoutrinamento ideológico, praticado nas sociedades avançadas, que faz com que o indivíduo fique fora de jogo para decidir o seu destino (Marcuse, 2012). Tendo em vista que o foco da teoria Crítica é desconstruir as relações de poder, a hegemonia e o status quo, é compreensível que, para McLaren (2015), a pedagogia crítica seja desmistificadora, e, com a qual, os sistemas de sinais dominantes são reconhecidos e desnaturalizados, o sentido comum é historiado e o significado é entendido como uma prática política e responsável diante dos dilemas sociais. Reconhecendo a natureza dialética da Teoria Crítica, McLaren (2015) desafia o investigador educacional a ver a escola para além de “uma arena de endoutrinação ou socialização ou um local de instrução, mas também como um terreno cultural que promova o empoderamento do aluno e a autotransformação” (p. 194). Com Freire (2018a), surge o termo conscientização , o qual implica que que seja ultrapassada a esfera espontânea de apreensão da realidade, para se chegar a uma esfera crítica na qual “a realidade se apresenta como objeto cognoscível e na qual o homem assume uma posição epistemológica” (p. 26). Esta posição associa-se a uma consciência histórica, permitindo que se desenvolva um novo tipo de conhecimento que tenha em conta a dialética das relações entre a cultura dominante e a dominada (Giroux, 2023). Freire (2010) insiste na necessidade de uma permanente atitude crítica com vista à superação de uma atitude de mera acomodação e como única via de apreensão de temas e tarefas da sua época. O conceito de praxis, nos trabalhos de Freire, pressupõe dois fatores: a radicalização 28 e o diálogo, numa linha em que submete sempre a ação à reflexão. E é nesta conjugação que emerge a consciência crítica. Pelo contrário, qualquer fonte de dominação vem da ação antidialógica (Freire, 2018b) e anticomunicativa, até porque somente a praxis revolucionária se pode opor à praxis das elites 24 Em Schooling in Capitalism America: Educational Reform and the Contradictions of Economics Life (1976) , os autores analisam as injustiças políticas e económicas presentes na educação, integrando-se no que viria, mais tarde, a ser designado por teorias da reprodução social e cultural . 25 Também Pierre Bourdieu e Jean-Claude Passeron (autores de A Reprodução, 1977) ou Louis Althusser (1970) cimentaram a abordagem teórica da Pedagogia Crítica. 26 Habermas começou por conectar emancipação a uma crítica ao positivismo da pesquisa em ciências sociais e à necessidade de as ciências sociais se basearem na procura e interesse pela emancipação. 27 A obra de Paulo Freire, Pedagogia do Oprimido (2018b), é considerada uma obra seminal da Pedagogia Crítica. “Ninguém liberta ninguém, ninguém se liberta sozinho, os Homens libertam-se em comunhão” (p. 29) é uma das máximas presentes nesta obra e que marca toda a teoria educativa de Freire. 28 Para Freire (2003), a radicalização é positiva, “porque preponderantemente crítica (…) o homem radical na sua opção, não nega o outro de optar. Não pretende impor a sua opção. Dialoga sobre ela” (p. 50). 60 dominadoras que tem como constituintes a “manipulação, a sloganização , o depósito, a condução, a prescrição” (p. 71). Ao analisar a relação de educador e educando, sob a perspetiva freireana, deparase com um conceito a que autor denomina por educação bancária. Esta relação é tendencialmente narradora, implicando um sujeito que narra e um ouvinte estático, tornando-a, em potência, esvaziada de realidade, uma vez que o seu principal mote é o depósito desenfreado de conteúdos. Este carácter depositário valoriza a memorização mecânica dos conteúdos por parte dos educandos, a que autor caracteriza como “uma narração que os transforma em vasilhas, em recipientes a serem enchidos pelo educador”. O autor concluiu então que “uma educação torna-se um ato de depositar, em que os educandos são os depositários e o educador o depositante” (Freire, 2018b, p. 33). Esta visão bancária da educação acarreta em si mesma uma prática de dominação. Revestindo o saber como uma doação dos “que se julgam sábios aos que julgam nada saber” (p. 33), instrumentaliza-se como uma ideologia da opressão. Como força antagónica a uma educação bancária, Freire (2018b) apresenta uma educação problematizadora que tenha raiz no diálogo e que sirva à libertação, onde não haja lugar à neutralidade e à apatia e estando bem seguros de que não existe, em nenhum caso, transformação sem ação. Por sua vez, encontra-se uma vasta abordagem literária, filosófica ou sociológica relativamente à adoção de uma postura neutra em situações críticas (no sentido de pressuporem ação). Nos seu ensaio, Pensamentos e Considerações Morais 29 , Arendt (2007) exemplifica-o afirmando que “a triste verdade é que os maiores males são praticados por pessoas que nunca se decidiram pelo bem ou pelo mal” (p. 247). A frase de Zinn (2018) que dá título a uma obra de memórias do historiador e ativista americano “não podes ser neutro num comboio em movimento”, transportada à educação, sugere que a neutralidade não é uma opção, ou se é resistente ou se é complacente, e que a potencialidade educativa é, precisamente, a ação. Na perspetiva de Freire (2010), “não há nem jamais houve prática educativa em espaço-tempo nenhum de tal maneira neutra, comprometida apenas com ideias preponderantemente abstratas e intocáveis” (p. 78). Na esteira deste pensamento, Giroux (2024a) assegura que as escolas não são locais neutros uma vez que incorporam disputas ora de formas de autoridade ora de regulação moral ou de tipos de conhecimento. Daí que, se os professores não quiserem ser lançados do comboio em movimento, utilizando o figurativo de Zinn, não poderão ser neutros. Subjacente a este princípio o autor sugere que os professores se afirmem como intelectuais transformadores, procurando, desta forma, “tornar o pedagógico mais político e o político mais pedagógico” (Giroux, 2024a, p. 163), bem como resume esta última implicação, recomendando que 29 Este ensaio faz parte da obra de Arendt (2007) Responsabilidade e Julgamento . 61 os professores assumam a “necessidade de dar aos estudantes voz ativa nas suas experiências de aprendizagem” (p. 163). Cabe então questionar, como revestir a educação com elemento crítico, elemento este gerador de ação? McLaren (2018) responde, em tom axiomático, reconhecendo que, em primeiro lugar, as pedagogias devem assumir-se potencialmente de criticismo social e cultural. Acrescenta-se a este, que todo o conhecimento é estabelecido por relações linguísticas que são, na sua essência, constituídas histórica e socialmente. Além disso, todos os indivíduos estão “sincronamente relacionados com a sociedade em geral através de relações de mediação (família, amigos, religião, ensino formal, cultura popular)” (p. 268), assim como é de sublinhar que os factos sociais nunca se podem dissociar dos valores dominantes nem separar das formas ideológicas de produção. É de relembrar que, para a Teoria Crítica, o poder é visto como “participante das relações entre as pessoas que estão diferenciadamente capacitadas para atuar em virtude das oportunidades disponíveis em função da sua raça, etnia, classe, género e orientação sexual” (p. 269). De modo lacónico, a pedagogia crítica dá conta dos contextos sociais, culturais e políticos, mas, essencialmente, tenta analisar e também desestabilizar essas mesmas configurações sociais. É decisivo para a ação que os professores e estudantes explorem a “relação das suas próprias experiências quotidianas, as suas práticas pedagógicas de sala de aula, os conhecimentos que produzem, e as disposições sociais, culturais e económicas da ordem social em geral” (McLaren, 2018, p. 270). Este posicionamento crítico implica uma forma de aprendizagem que fomenta nos alunos poder e controlo sobre a própria aprendizagem, desmarginalizando-se, desta forma, da apropriação do saber (Estêvão, 2012). Se bem que a Pedagogia Crítica não oferece receitas milagrosas, também é verdade que se assume como uma prática da crítica bem como uma crítica da prática hegemónica (McLaren, 2018). Um dos exemplos é a referência ao currículo oculto (Apple, 2018; Giroux, 2004), através do qual está implícito um conjunto de normas, valores e crenças não declarados que são transmitidos aos alunos, “adquiridos mediante a participação nos vários processos e interações que ocorrem nas organizações educativas” (Estêvão, 2012, p. 102). Do ponto de vista de Giroux (2004), o currículo oculto é entendido como uma ferramenta pedagógica pronta para ativar uma pedagogia crítica. Ainda que reconheça a existência de visões tradicionalistas, liberais e radicais 30 deste conceito, o autor analisa-as para ele 30 Segundo Giroux (2004), o currículo oculto, sob o enquadramento tradicionalista, é tido como uma reprodução da estabilidade e coesão da sociedade global aplicada ao sistema de escolarização. Por sua vez, com o enfoque liberal, é deixado de lado o estudo das estruturas sociais e apenas se analisa a forma de produção e negociação dos significados ocorridos em sala de aula. Por fim, desde a perspetiva radical, a preocupação reside nas estruturas sociais e na construção dos significados com vista à compreensão do funcionamento do “processo de escolarização para reproduzir e sustentar as relações de dominação, exploração e desigualdade entre as classes” (p. 83). 62 próprio apresentar uma reconceptualização de currículo oculto, defendendo, em primeiro lugar, que esta noção terá de ocupar um lugar central no desenvolvimento da teoria curricular. Neste contexto, quer a teoria, quer a prática curricular terão de integrar na sua problemática uma noção de crítica, necessária ao questionamento dos pressupostos normativos que estão subjacentes na sua lógica e no seu discurso. Giroux (2004) entende que o currículo oculto deverá ser usado não só para analisar as relações sociais de sala de aula, mas também os “silêncios estruturais e as mensagens ideológicas que dão forma e conteúdo ao conhecimento da escola” (p. 89). É importante que uma redefinição de currículo oculto se associe a uma noção de libertação, enraizada nos valores de dignidade pessoal e de justiça social. A sua essência seria estabelecida mantendo o foco não só na reprodução como também na transformação. Por fim, na proposta de Giroux (2014), é imperativo que se incluam nesta teoria abordagens à consciência e ação humanas, bem como formas de análise que explorem a forma como se conjugam. Por estes aspetos, a pedagogia crítica indica um caminho que se direciona, fundamentalmente, num processo transformador da educação, que guie na “construção de uma luta emancipadora anticapitalista, antirracista, anti-sexista e pró-democrática, ou seja, defendendo a justiça social” (McLaren, 2018, p. 54). Nestas circunstâncias, é, pois, de assinalar que o fator pedagógico mais importante, partilhado pela teoria crítica e pela pedagogia crítica, é o de levar os educandos a situaremse, ativamente, no contexto sociopolítico, como agentes de uma praxis transformadora do discurso de reprodução das estruturas de poder desde o currículo (Cánovas, 2014). Contudo, apesar da pedagogia crítica dar pistas e estabelecer vários sentidos, a questão radical continua no cerne: que papel outorga a educação na construção de uma sociedade mais justa? Por sua vez, também é válido o seu recíproco: qual o lugar da justiça na educação? Destes questionamentos emerge uma relação explícita entre o conceito de justiça social e pedagogia crítica que é inevitável investigar. 3.2. Pluralidade do conceito de justiça O carácter fugaz, algo leviano, a que, muitas vezes, é feita referência à expressão justiça social leva a uma perda do seu sentido original, convertendo-se em palavras que de tanto serem manuseadas já nem se sabe o que significam (Murillo & Hernández-Castilla, 2014). Não só por esse motivo, torna-se difícil apresentar uma definição que abarque uma essência de raiz histórica clara, que traduza o seu real objetivo contemporâneo. Embora o conceito de justiça esteja embebido numa tradição filosófica, pelo menos desde o tempo de Aristóteles, sendo sobretudo na área da filosofia política e moral que encontrou o seu lugar 63 de destaque, a força do seu paradigma abrange âmbitos de pesquisa que vão desde teoria jurídica e económica, psicologia, ciência política ou ética médica, para referir alguns exemplos. Porém, o facto de muitos se referirem a questões de justiça não significa que todos falem do mesmo, até porque dependem do ponto de vista – axiológico, ético – que lhes for atribuído ou mesmo de um sentido – restrito ou abrangente. Mais ainda, o seu carácter polissémico invoca a articulação entre uma diversidade de ideias que vão desde liberdade, igualdade, lei, ordem, virtudes morais e éticas. De igual modo, a sua pluridimensionalidade – redistribuição, reconhecimento, participação – ultrapassa a esfera conceptiva para se posicionar no plano da atuação. Pensa-se que um preâmbulo que aborde, de forma geral, a metanarrativa da justiça poderá ser útil para reconhecer em que plano normativo e analítico se está a propor investigar e refletir. 3.2.1. Revisitação das teorias de justiça social Na República, Platão (2007) perscruta acerca das ideias de justo e de justiça , indagando se e por que devemos ser justos, que tipo de bem constitui a justiça e que razões promovem a sua aspiração. A resposta que procura dar a estas questões, baseia-se na construção de uma sociedade bem ordenada, na qual impera a harmonia e o respeito pelo equilíbrio das classes sociais, e o justo é aquele que se comporta de acordo com a lei. Aristóteles (2011) argumentou que a justiça é um princípio que garante a ordem social através da regulação da distribuição de benefícios, com base numa noção de igualdade correspondente ao mérito. No entanto, na sua visão, a igualdade e a justiça aplicavam-se somente a indivíduos que ocupassem o mesmo estrato social hierárquico. Segundo as ideias aristotélicas de justiça social, as desigualdades na hierarquia social eram para ser tratadas de forma desigual, não pretendendo que fossem mudadas as estruturas sociais, mas sim atuar dentro delas. Os filósofos modernos canalizam a atenção para a justificação da, não só, obrigação política, mas também de um dever de todos, apenas divergindo no modo como o fazem. A ideia de contrato social surge com Thomas Hobbes e John Locke. Hobbes (2017), filósofo moral de tradição jusnaturalista, estabelece importantes conexões entre sociedade, leis, direito e justiça. A noção de justiça hobbesiana segue a equação justiça igual a pacto , sendo que não existe pacto sem o Estado e as suas leis civis. Por contrato, Hobbes clarifica que, seguindo-se os preceitos das leis naturais hobbesianas, o homem deve renunciar ou abdicar de alguns dos seus direitos através de uma translação, ou transferência mútua de direitos. A teoria da justiça de Hume (2002) prima pela construção de um modelo normativo onde a justiça é assumida como uma virtude de sentido natural, 64 pois nenhuma virtude é mais natural que a justiça. Destaca-se a importância que dá à educação e à aprendizagem moral para o processo de construção de normas como garantia de estabilidade. Para Rousseau (2011), a busca e a realização de justiça estão ligadas à preservação da liberdade individual e igualdade de oportunidades e direitos, mas, acima de tudo, sustenta a organização estrutural do contrato social na certeza de uma criação coletiva das normas de justiça. Mais importante que a procura de estabilidade das instituições é a existência de um critério normativo independente que permita avaliar criticamente a justiça de ordem social. Uma vez que as leis são atos provenientes da vontade geral, nenhuma lei pode ser injusta, pois ninguém é injusto para consigo mesmo. Analogamente, a máxima rousseauniana estende-se de forma inversa, sublinhando que “a única verdadeira lei fundamental que deriva imediatamente do pacto social, é que cada um prefira em todas as coisas o maior bem de todos” (Rousseau, 2011, p. 124). Na obra de Kant, assiste-se a uma oscilação entre a teoria moral e a teoria política no que diz respeito à tentativa de uma construção categorial do sentido de justiça (Maffettone & Veca, 2005). Em traços muito gerais, segundo a perspetiva kantiana, a justiça está conectada ao imperativo categórico (entendendo como imperativos, conformidades das ações à lei) e, neste sentido, implica o formalismo da lei moral 31 (Kant, 2011). Sendo estritamente formal, este princípio, que não tem qualquer influência empírica nem depende das circunstâncias, é, portanto, válido universalmente e tem origem na liberdade da razão. Esta lei universal é também um fim em si mesmo e deve derivar da razão pura. O valor moral da ação é garantido não pelo meio, mas pelo seu fim. De acordo com a ética kantiana, o imperativo categórico surge da vontade universalmente legisladora, do sujeito racional que age intencionalmente por dever, regendo-se pela lei da vontade ou, simplesmente, pela lei moral, guiado pela máxima suprema “devo proceder sempre de maneira que eu possa querer também que a minha máxima se torne uma lei universal” (Kant, 2011, p. 209). A partir do início do século XIX, com a inclusão da questão social, começa-se a reformular o conceito de justiça, procurando satisfazer fins e expectativas sociais, uma vez que persistem as desigualdades e injustiças e se torna cada vez mais difícil conciliar a igualdade social e a preservação das liberdades individuais. O centro das questões está nas cooperações sociais e nas relações sociais de produção, onde a justiça é reinterpretada como justiça social (Maffettone & Veca, 2005). Aborda-se, pela primeira vez, a noção de justiça distributiva , que passa a estar no cerne da teoria política normativa. Na obra de Jeremy Bentham, Fragmentos sobre o governo , surge, pela primeira vez, o conceito de utilidade como sinónimo do desejável, como instrumento para conseguir e felicidade da 31 O imperativo categórico assume um papel central na obra Fundamentação da Metafísica dos Costumes. 65 humanidade. Bentham (2018) considera que o carácter utilitarista da justiça se sustenta na maximização da utilidade coletiva, ou seja, o conceito de justiça é baseado no princípio da utilidade, como bem-estar coletivo, ocorra ela individual ou coletivamente. Mill (2023) corrobora esta posição, embora vá mais longe, garantindo a dependência da justiça em relação à utilidade fundamentando-a no facto de ser a ligação mais vinculativa de toda a moral, não sendo, portanto, de estranhar ter esta visão ficado conhecida como o princípio da máxima felicidade. Por sua vez, Marx (1971) define justiça como uma construção ideológica, criada por uma ordem particular das relações sociais e da produção. O seu conceito assenta no princípio de que a redistribuição deve ser feita com base na necessidade e no valor humanos, em oposição ao que um indivíduo merece, com base no seu estatuto social ou produtividade. Em jeito conclusivo, as perspetivas utilitaristas 32 de Bentham e Mill seguem uma ética consequencialista e desenham-se a partir do momento em que a deliberação de uma ação a realizar tenha em vista o maior alcance de resultados. No fundo, o que é suposto é agir de forma a produzir a maior quantidade de bem-estar, ainda que tal possa ser desvantajoso para uma minoria. É na contemporaneidade que se encontra o maior número de textos consagrados à teoria da justiça e os nomes dos seus autores parecem não terminar. No entanto, para discutir com propriedade, sobre justiça é imprescindível ler a obra de Rawls (2013), ‘Uma Teoria da Justiça’. Com esta obra, florescem as teses e perspetivas acerca do tema e, indiscutivelmente, até para os seus maiores críticos, Rawls (2013) produz uma das teorias de maior relevância no respeitante às soluções propostas quanto à justiça como equidade 33 . Os modelos alternativos de uma sociedade bem ordenada proliferam e dividem-se, essencialmente, devido à difícil conciliação entre dois tipos de valores: o da liberdade individual e o social comunitário, por outras palavras, os interesses particulares e o bem comum, dando origem a perspetivas liberalistas e comunitaristas. Por um lado, as posições liberalistas ramificam-se em versões libertárias empreendidas por Robert Nozick e em abordagens igualitárias, tendo com John Rawls o seu principal representante. Por outro lado, nomes como Charles Taylor, Michael Sandel, Alasdair MacIntyre e Michael Walzer sustentam que a justiça se encontra conectada às comunidades e que, por isso, está associada a uma ideia de bem que pode ser muito variável (Maffettone & Veca, 2005). 32 Também Hume e Adam Smith fazem parte do rol dos grandes pensadores utilitaristas (Rawls, 2013). 33 Reacendido o debate público e académico, diferentes perspetivas surgem como resposta ou paralelas à teoria de Rawls. Uma delas é a de Robert Nozick, de tez libertária, com a sua obra Anarquia, Estado e Utopia . Surgem reformulações do utilitarismo com R.M. Hare ou no contratualismo de David Gauthier., Abordagens comunitaristas com Taylor, Sandel e MacIntyre em destaque assim como posições pluralistas como Michael Walzer com a sua obra Esferas da Justiça: em defesa do pluralismo e da igualdade . A teoria de democracia deliberativa de Habermas assume grande relevo na década de 70 (Maffettone & Veca, 2005). 66 3.2.2. A teoria rawlsiana Rawls (2013) começa por contestar os utilitarismos dominantes nas sociedades liberais argumentando que, em muitos casos, se acaba por recorrer ao intuicionismo como variante ao princípio da utilidade. Ao fazê-lo, justifica o porquê de tentar apresentar uma conceção que consiga responder a uma certa lacuna deixada pelo utilitarismo. Para isso, vai ao encontro da teoria tradicional do contrato social de Locke, de Rousseau e de Kant, procurando desenvolver uma análise sistemática que a consiga elevar. Desta forma, um dos grandes objetivos que lança Rawls (2013) na sua teoria da justiça como equidade é destinar as suas ideias centrais a uma implicação prática numa democracia constitucional. Outra distinção está em que, enquanto o utilitarismo se assume como uma teoria teleológica, a justiça como equidade define-se como uma teoria deontológica, ou seja, “não interpreta o conceito de justo como maximização do de bem” (Rawls, 2013, p. 46), antes coloca o conceito de justo como prioritário ao de bem. A ideia central da doutrina deontológica é a de que agir eticamente é cumprir o dever, sejam quais forem as consequências que daí decorrerem (Seiça, 2016). A proposta de justiça de Rawls apresenta-se como a estrutura básica da sociedade, ou por outras palavras, a articulação das principais instituições 34 num sistema único de cooperação. Com um ideal moral de índole ética, esta teoria tem como virtudes primeiras da atividade humana, a verdade e a justiça. Acarreta a proposição da inviolabilidade pessoal que decorre da justiça, a qual, em nenhum momento, pode ser posta em causa, mesmo que isso implique um benefício do bem-estar da sociedade como um todo (crítica ao utilitarismo). De essência distributiva, pressupõe a distribuição dos direitos e deveres fundamentais e a divisão dos benefícios da cooperação em sociedade. Para adentrar na teoria de justiça como equidade, é fundamental compreender os seus princípios, contudo, antes de os definir há que aclarar que o papel destes princípios é fornecer “um critério para a atribuição dos direitos e deveres nas instituições básicas da sociedade” que traduzam “a distribuição adequada dos encargos e benefícios da cooperação social” (Rawls, 2013, p. 28), bem como, definir alguns conceitos imprescindíveis à sua exposição. O primeiro deles é o de sociedade bem ordenada , que o autor apresenta como uma sociedade regulada por uma conceção pública de justiça, em que todos os elementos aceitam os mesmos princípios de justiça e na qual as instituições básicas atendem a esses princípios, existindo esse reconhecimento na esfera pública. Mais ainda, numa sociedade bem ordenada, todos os elementos que dela fazem parte partilham um entendimento comum sobre o que é justo ou injusto. Em segundo lugar, para ser possível chegar aos princípios que 34 Rawls (2013) define instituições “como sendo um sistema público de regras que determina funções e posições, fixando, por exemplo, os respetivos direitos e deveres, bem como poderes e imunidades” (p.63), ou, em sentido mais geral, como práticas sociais. 67 constituirão a justiça como equidade é de referir que a teoria segue uma doutrina contratualista, na medida em que se estabelecerá um acordo cujo conteúdo implica a aceitação de certos princípios morais, a que o autor designa por posição original . A mesma constitui um status quo inicial que garanta que os “acordos fundamentais estabelecidos em tal situação são equitativos” (Rawls, 2013, p. 34). Este acordo seria firmado por indivíduos colocados numa situação inicial semelhante, cobertos por um v éu de ignorância que impossibilite saber o seu lugar na sociedade seja ele a sua geração, estatuto social, fortuna, distribuição de talentos naturais e capacidades, inteligência, etc. Nesta posição original, os sujeitos deliberariam sobre os princípios que deveriam orientar equitativamente a atribuição dos direitos e deveres fundamentais e a distribuição dos benefícios. Determinar os princípios de justiça para a regulação de uma sociedade bem ordenada é uma das principais tarefas ao desenvolver a conceção da justiça como equidade, os quais só poderiam ser escolhidos na posição original (através de um acordo original originado em situação de igualdade) e sob a condição natural de uma teoria contratualista, que subjaz a condição que o conhecimento seja público. É neste contexto que Rawls lança uma conceção mais geral – relativamente aos princípios – de justiça : “Todos os valores sociais – liberdade e oportunidade, renda e riqueza, e as bases sociais do respeito próprio – devem ser distribuídos igualmente, salvo se uma distribuição desigual de algum desses valores, ou de todos eles, redunde em benefício de todos” (Rawls, 2013, p. 69). É importante aclarar, neste momento, que na base da distribuição estão, aquilo a que o autor designa por bens primários . Nestes, são considerados bens sociais primários , os direitos, liberdades e oportunidades, rendimentos e riqueza, bem como o respeito por si próprio ou autoestima. Quanto à saúde, inteligência ou imaginação são denominados por bens naturais, uma vez que não se encontram sob o controlo direto da estrutura básica. Após o desenho do cenário que compõe os alicerces da teoria e as suas finalidades, torna-se imperativo avançar com os dois princípios que compõem a justiça como equidade. O primeiro deles é o princípio da igual liberdade, “cada pessoa deve ter um direito igual ao mais amplo sistema total de liberdades básicas iguais que seja compatível com um sistema semelhante de liberdades para todos” (Rawls, 2013, p. 239). O segundo princípio visa a distribuição das desigualdades económicas por forma a garantir, em simultâneo: a) o princípio da diferença, postulando que “redundem nos maiores benefícios possíveis para os menos beneficiados” e de forma a que se alcance b) o princípio da igualdade equitativa de oportunidades, “sejam a consequência do exercício de cargos e funções abertos a todos em circunstâncias de igualdade equitativa de oportunidades” (Rawls, 2013, p. 239). Duas notas são de salientar, a primeira tem a ver com a aplicação de uma regra de prioridade que 68 estabelece uma ordenação dos princípios sendo que o primeiro tem prioridade sobre o segundo, isto é, “as violações das liberdades básicas iguais protegidas pelo primeiro princípio não podem ser justificadas, ou compensadas, por maiores vantagens económicas e sociais” (Rawls, 2013, p. 68). Por sua vez, o princípio da igualdade equitativa de oportunidades tem prioridade sobre o princípio da diferença, ou seja, não se pode maximizar a soma dos benefícios se tal colocar em causa a igualdade de oportunidades. A segunda nota diz respeito ao carácter fortemente igualitário do princípio da diferença, uma vez que só existe ganho, na distribuição, quando o outro sujeito melhorar também a sua posição, mais especificamente, a menos que haja uma distribuição que melhore a situação dos menos favorecidos, uma distribuição igual é preferível. Por conseguinte, e, não obstante os direitos e deveres dos indivíduos e das instituições, as funções do Estado são claras: ser interventivo de forma a reparar as desigualdades imerecidas, sejam naturais ou sociais, fruto da lotaria social e não da responsabilidade do indivíduo - Princípio da reparação - e proceder a uma redistribuição da riqueza favorecendo os mais desfavorecidos - Justiça distributiva (Santos, 2015). 3.2.3. Multidimensionalidade da justiça Ao considerar insuficiente a noção distributiva de justiça, Young (2022) 35 sustenta que a deliberação de distribuição não se pode restringir à riqueza ou bens materiais que se possuem e se repartem, esquecendo aspetos de identidade ou cultura. Argumenta que, quando as sociedades se tornam multiculturais, o significado político das questões de distribuição material é redutor, para ser substituído por questões de reconhecimento cultural que traduzem a justiça como um conceito multidimensional 36 . Para além da crítica ao paradigma distributivo, Young analisa a debilidade do ideal de imparcialidade liberal que está inerente a este princípio (aquilo que em Rawls se designa por véu de ignorância). Como salienta Valencia-Gutiérrez (2019), a tese de Young adverte que, numa sociedade heterogénea, insistir na imparcialidade é uma tentativa de homogeneização dos grupos, menosprezando, por sua vez, as suas características distintivas. Embebida de um discurso reflexivo, a filósofa defende uma noção ampla de justiça que consiga concatenar três finalidades, “esclarecer o significado de conceitos e questões, descrever e explicar as relações sociais e articular e defender ideais e princípios” (Young, 2022, p. 5). A teoria de justiça youngiana é fortemente marcada pela valorização da diferença cultural, uma vez que o seu contrário permite a exploração e a opressão dos grupos sociais. Young (2022) alerta que 35 Uma das obras mais citadas da filósofa Iris Marion Young, Justice and the Politics of Difference, data de 1990. 36 As reivindicações dos movimentos feministas, LGBTIQ+, indígenas ou nacionalistas não se circunscrevem à redistribuição de recursos, clamam por respeito, reconhecimento e valorização das diferenças culturais (Belavi & Murillo, 2016). 75 índole redistributiva acarreta que o processo de ensino se ocupe da autoestima e da autovalorização de cada aluno. Tal pode ser feito tendo presente que o ensino e a sua avaliação sejam adaptados à diversidade – às características, capacidades, situação prévia ou necessidades de cada estudante - estando justificado sob a proposição de que não há nada mais injusto que o mesmo tratamento para pessoas diferentes. Com a avaliação há que ter especial atenção ao modo como é efetuada, pelo facto de ao mesmo tempo que referenda também sanciona e, portanto, pode levar a perpetuar as desigualdades sociais. Partindo da dimensão de justiça como reconhecimento, Murillo e Hernández-Castilla (2014) asseguram que uma escola justa se empenha numa mudança cultural na sociedade que demanda uma elevação das identidades não respeitadas. Impreterivelmente, são reconhecidas, respeitadas e valorizadas todas as diferenças, sejam de origem cultural, etnia, raça, identidade de género, expressão de género, orientação sexual. O reflexo educativo passa por a escola ter docentes conscientes da importância da diversidade, bem como da complexidade relativa às suas representações. Ao trabalharse para a construção de um currículo multicultural, está-se a participar na transformação das condições culturais e sociais que geram essas representações. Ainda de forma curricular, fomenta-se o pensamento crítico e o raciocínio ético quando se dá conta das situações de desigualdade atuais. Ao existir uma cultura escolar baseada no respeito e solidariedade na diferença, criam-se condições à responsabilidade individual e coletiva e ao empoderamento dos estudantes. É valorizada a bagagem (as suas histórias, experiências ou valores) dos alunos e mantido um vínculo verdadeiro com as famílias baseado numa mútua colaboração. Sob o espetro da justiça como participação, a natureza organizativa é que mais se destaca da normatividade tradicional. Isto porque, uma escola socialmente justa requer como princípio básico a participação de toda a comunidade educativa quer em aspetos curriculares, quer de organização e funcionamento, refletindo-se em decisões e responsabilidades que se compartem na tomada de decisões de todos em conjunto (docentes, alunos, famílias, pessoal não docente). Face a este cenário, cuida-se a participação integral, tomando especial atenção ao envolvimento e representação dos grupos tradicionalmente marginalizados. Num campo mais específico, as aulas organizam-se democraticamente, tomando decisões conjuntas que envolvam a aprendizagem, seja no que diz respeito à forma de organização, dos conteúdos a desenvolver, de estratégias didáticas ou da avaliação. A enumeração de todos os fatores fornece uma ideia de como se podem conjugar pedagogias socialmente justas com princípios de justiça social. Ainda assim, é possível elencá-los com seis fases, 76 sugeridas pelos mesmos autores, que servem para ajudar na conexão do currículo com o ensino da justiça social. Este algoritmo começa com o incentivo ao autoconhecimento e autoestima, pela valorização da identidade e história de cada um dos alunos, desmontando estereótipos negativos e cuidando da dignidade dentro da diversidade. A segunda fase é o respeito pelos outros, levando os alunos a escutar com interesse e empatia as experiências dos seus colegas, ajudando a quebrar mitos estereotipados. Em terceiro lugar, é importante abordar dentro do currículo, aspetos sobre injustiça social. Ao fazê-lo pode-se ajudar os alunos a entenderem melhor as formas como a opressão opera e, consequentemente, como valorizar as suas próprias experiências pessoais. Uma fase posterior seria criar uma ponte com a realidade, mostrando exemplos históricos de ações e lutas concretas contra as desigualdades levadas a cabo por pessoas emblemáticas ou por movimentos sociais. A intenção é despertar consciências e, com isso, colocar os próprios alunos a sensibilizar outros membros da comunidade, sendo esse passo precursor para aquilo que se propõe como última fase – a passagem à ação social – e que surge como um apogeu neste processo. Colaborar ativamente na luta contra as injustiças torna-se uma ideia concretizável se os alunos conseguirem adquirir competências para começar a transformá-las. Por fim, outro contributo interessante de Murillo e Hernández-Castilla (2014) é a reflexão sobre as capacidades que deve ter um professor que educa para a justiça social. Delas, destaca-se o domínio dos conteúdos, pois apenas dessa forma os docentes são capazes de transmitir uma realidade baseada em factos, contextualizá-la e analisar o conteúdo aos níveis macro e micro. Esta ferramenta é insuficiente se não for apoiada pelo pensamento crítico e análise da opressão, assim como pela capacidade de reflexão pessoal. Esta autorreflexão surge no sentido de o professor ver-se, em si mesmo, como podendo fazer parte do sistema opressivo. A sensibilidade acerca das dinâmicas dos grupos multiculturais mostra-se uma potencialidade para criar um ambiente de aprendizagem que considere as diferentes identidades e perspetivas multiculturais. 3.4. A educação matemática como imperativo ético Em tom de, por um lado, alarme e, por outro, de reivindicação, Stinson (2014) levanta uma série de questões que fazem recair uma responsabilidade moral e ética sob o educador de matemática. Exemplos disso são: “como pode um professor ajudar uma criança a ir além da consciência das injustiças em direção à análise das injustiças?” (Stinson, 2014, p. 3) e, uma vez que, ter consciência de um problema só por si não é suficiente para resolver o problema, como pode um professor propiciar um estudante a ultrapassar a análise da injustiça para passar a uma “ação de 77 autoempoderamento face às injustiças” (Stinson, 2014, p. 3)? A resposta que Stinson (2014) atribui a estas indagações remete para a sala de aula como um espaço propício à aplicação dos problemas das injustiças como um catalisador para a aprendizagem das ciências e da Matemática, no sentido de que a resolução de problemas requer fazer ciência e agir. De acordo com Boylan e Woolsey (2015), investigação recente tem identificado a necessidade de articular um quadro teórico que permita guiar os professores num ensino para a justiça social, indo ao encontro dos princípios desenhados pelas dimensões de justiça redistributiva, de reconhecimento e participativa. Porém, assim como é essencial a articulação do quadro teórico também o é de pedagogias que possibilitem um ensino da Matemática para a justiça social. Neste âmbito, o foco central é a importância do desenvolvimento da crítica e o envolvimento para com pedagogias contra-hegemónicas e as relações de sala de aula. Na visão de Murillo e Hernández-Castilla (2014), a luta contra as desigualdades sociais tem de ser explícita, caso contrário estar-se-á, precisamente, a contribuir para a reprodução das mesmas. Aquiescem Rosa e Amaral (2014) ao insistirem na mitigação das desigualdades sociais através da minimização das desigualdades escolares e defendendo que a escola deverá ajudar na erradicação do determinismo social à nascença. Seguindo estes argumentos, autores como Gutierréz (2008) exploram o papel da Matemática como responsável por vedar o acesso a um nível educacional mais elevado, assim como o seu papel na reprodução da desigualdade e hierarquização social. Até porque, como recordam Jurdak (2016), as práticas utilizadas pelos professores para promover a equidade e uma educação matemática de qualidade são fortemente moldadas pelas políticas escolares, as quais, por sua vez, estão condicionadas pelas políticas governamentais. Há mesmo quem advogue que a ética e a justiça social são os conceitos-chave para a compreensão da equidade e da qualidade na educação matemática (Atweh, 2010). Skovsmose e Valero (2002b) designam por “dissonância intrínseca” (p. 11) ao argumento que o ensino tem, historicamente e em muitos países, uma função social de diferenciação e exclusão. Particularmente, a disciplina de Matemática desempenha um papel regulador na separação entre os aptos e os inaptos da sociedade (Skovsmose & Valero, 2002b), decidindo quem evolui e quem fica para trás. Na linha destas conjeturas infere-se que o ensino da Matemática reproduz, de modo sistemático, as diferenças sociais, sejam elas de cariz sócio económico, de género ou etnia e, maioria das vezes, independentemente das competências matemáticas a priori 45 (Jurdak, 2016). Estas 45 Exemplos disso são encontrados a vários níveis. Ao nível da linguagem, existem em estudos que aplicam a teoria de códigos de linguagem de Bernstein na prática pedagógica e que indicam que alunos com baixa situação económica são excluídos do sucesso na Matemática pelo uso generalizado de uma linguagem que é apenas compreensível para alunos com alto nível socioeconómico. Também no campo na sociologia, Bourdieu estuda como a preparação de manuais didáticos elaborados para alunos de alto nível socioeconómico é cuidadosa enquanto, para os restantes alunos, os manuais escolares promovem o reconhecimento submisso da superioridade das abordagens matemáticas (Jurdak, 2016). 78 desigualdades sociais são também espelhadas nas condições materiais em que se processa o ensino e a aprendizagem da Matemática, originando resultados diferenciados. Esta diferença tende a aumentar à medida que aumentam as desigualdades iniciais, fazendo emergir uma “persistente lacuna de desempenho” (Jurdak, 2016, p. 19) que é metodicamente identificada em estudos dirigidos a grupos de alunos provenientes de contextos desfavorecidos sejam eles de dimensão socioeconómica, etnia, raça, género ou de idioma. Embora tudo o referido seja verdade, também é verdade, segundo a OECD (2021), que alunos que revelam vantagens ao nível socioeconómico tendem a superar os seus colegas provenientes de lares ou contextos com carência socioeconómica, em maior escala do que quando comparados com outros grupos de alunos. Este cenário retrata que o peso do estatuto económico e social é mais significativo para explicar diferenças no desempenho matemático em comparação com outros fatores. Colocando em destaque o peso do fracasso escolar no seio do ensino da Matemática, Pais et al. (2012) trazem à luz que este fracasso é uma questão ideológica e não de mau funcionamento do sistema. Justifica-o evidenciando que o desenvolvimento de competências matemáticas faz parte de um sistema de créditos na educação, que pode ou não converter em êxito escolar. Por outras palavras, o insucesso a Matemática traduz-se numa condição do próprio sistema que permite a separação clara de quem adquire valor dos que redundam em desvalorizados. 3.5. A procura de uma educação matemática que proporcione empoderamento 46 A ligação da Matemática e da educação matemática à cultura, democracia, política ou poder começa a ser introduzida no início dos anos 80, do século passado, gerando um sobressalto académico, mas não só (Valero et al., 2015). Desassociar a importância do desenvolvimento de competências matemáticas nos cidadãos como competências imprescindíveis “à mão de obra necessária para os mercados e o sistema capitalista” (Valero et al., 2015, p. 291) foi um desafio nas correntes educativas à época. Existem, desde então, muitas referências que indicam que educação Matemática pode simbolizar empoderamento, mas que também pode significar supressão. Pode ajudar à inclusão ou, pelo contrário, levar à discriminação e exclusão (Skovsmose & Valero, 2002a). Daí que se possa concluir que os papéis sociopolíticos da matemática não são nem fixos, nem determinados, embora muitos sejam questionáveis (Skovsmose, 2020). Com este cenário, apresentam-se conceitos como matemacia ou literacia matemática para designar uma competência que inclui a leitura crítica de 46 Existem diferentes referências que sugerem a possível relação entre aprendizagem Matemática e empoderamento (Skovsmose, 2020). Exemplos disso serão abordados ao longo deste capítulo. 79 um contexto sociopolítico (Alrø & Skovsmose, 2021; Frankenstein, 2012), bem como se abordam as influências da Etnomatemática para transcender uma perspetiva educacional matemática eurocentrista. 3.5.1. O poder emancipatório da educação matemática Tendo presente que existe uma distinção entre ensinar Matemática e educar matematicamente (Matos, 2005), vários investigadores dedicam-se a aprofundar esta dualidade que muitas vezes pode ser antagónica. Tomando como inspiração os trabalhos de Paulo Freire, esgrimem-se os primeiros argumentos no sentido de aceitar que a aprendizagem e o ensino da matemática podem conceber-se como uma alfabetização matemática que permite ler o mundo criticamente com a Matemática (Valero et al., 2015). Além disso, também é estendida a noção de não-neutralidade à educação matemática , reconhecendo-se que a mesma cede, de alguma maneira, “a interesses ideológicos, políticos, económicos ou culturais” (Guerrero, 2008, p. 3). Olhando criticamente para o conhecimento matemático e a forma como transcendeu a ciência e a tecnologia para se tornar instrumento das estruturas de poder, faz com que seja impossível desconectar a Matemática de uma postura ética (Skovsmose et al., 2015). Neste sentido, os movimentos que surgiram como uma reflexão às dimensões cultural, crítica e política da educação matemática, fizeram-se ressoar. Desenvolveram-se em várias direções, uns chamaram-lhe matemática crítica , outros ensinar Matemática para a justiça social e outros ainda lhe atribuíram o termo Etnomatemática . O primeiro ponto que têm, indiscutivelmente, em comum é reconhecerem que a EM é um domínio político (Frankenstein, 2009; Gutstein, 2018; Skovsmose, 2023). É de realçar que o referencial teórico pelo qual se guiam aglomera os aspetos sociais e políticos da aprendizagem matemática, embora os contextos geopolíticos através dos quais cada uma destas posições se desenvolveram tenham sido diferentes – três abordagens que partilham o pressuposto de que a educação matemática como prática social implica que não seja desconectada de valores democráticos, de equidade, justiça social ou inclusão e, portanto, dotam as competências matemáticas com um traço político que ajuda a desmontar as estruturas de poder na sociedade (Valero et al., 2015). A ser assim, requer levar a literacia a um nível mais alto do que apenas o desenvolvimento da competência da leitura e da escrita. Mais concretamente, o poder emancipatório inerente à literacia matemática deve-se às suas dimensões crítica e política que, ao permitirem “empoderar e tornar as pessoas conscientes da sua condição de classe, com o objetivo de poderem emancipar-se de tais relações” (Valero et al., 2015, p. 292), possibilitam que se faça frente às injustiças sociais. 80 Na década de 70, D’Ambrosio foi precursor do Programa Etnomatemática, fundamentando-o naquilo que afirma ser os dois principais objetivos da educação. Promover a criatividade nas pessoas ao mesmo tempo que se ajuda a elevar, ao máximo, as suas capacidades, salvaguardando, contudo, que não se incuta uma obediência cega e uma aceitação de regras ou condutas que violem a dignidade humana. Paralelamente, fomentar a cidadania através da transmissão de valores e mostrando direitos e responsabilidades na sociedade, sempre com o foco numa criatividade responsável. O autor exemplifica-o quase em tom de ironia: “não queremos que os nossos alunos se tornem cientistas brilhantes, criando armamentos e instrumentos de opressão e desigualdade”, para reforçar as dinâmicas do capitalismo (D’Ambrosio, 2015) ou atuando “como blade runners da classe dominante” (p. 26). Numa dimensão ética da educação matemática, D’Ambrosio (2015) propõe um currículo que condense três vertentes que considera fornecerem os instrumentos comunicativos, analíticos e tecnológicos necessários para a vida do século XXI. “Um novo trivium , estruturado para fornecer capacidades críticas de comunicação, capacidade crítica de lidar e analisar símbolos e familiaridade crítica com a tecnologia” (p. 27), a que chama Literacia, Materacia e Tecnoracia 47 . O Programa Etnomatemática surge como resposta à criação desse novo currículo, tendo por base o ideal da construção de “uma civilização que rejeite desigualdade, arrogância e intolerância” sob uma ótica educativa que priorize o “empoderamento dos setores excluídos das sociedades” (D’Ambrosio, 2007, p. 29). A Etnomatemática é, muitas vezes, denominada por Programa Etnomatemática , porque emerge de pesquisas. Caracteriza-se, resumidamente, por possuir, de forma intrínseca, a ética da diversidade, uma vez que contribui para reestabelecer a dignidade cultural e oferecer as ferramentas intelectuais para o exercício da cidadania. É também, por sua vez, um sistema de conhecimento que fomenta uma relação mais harmoniosa entre humanos e entre humanos e a natureza. Para entender as suas implicações pedagógicas, é necessário clarificar alguns conceitos, nomeadamente o de cultura . Aqui, a cultura abarca a arte, ciência, história, medicina, literatura, música, filosofia, religião, ciência ou tecnologia, bem como é entendida pela partilha entre sistemas de conhecimento, numa perspetiva transcultural e transdisciplinar. Acima de tudo, é fundamental, em Etnomatemática, reconhecer as contribuições de outras culturas e a importância da dinâmica dos encontros culturais. Tal pressuposto traduz-se numa tentativa de entender e explicar vários sistemas de conhecimento 48 , em diferentes 47 No original, “Literacy, matheracy and technoracy” (D’Ambrosio, 2007, p. 28) 48 Como sistemas de conhecimento, D’Ambrosio exemplifica “matemática, religião, culinária, vestir, futebol e várias outras manifestações práticas e abstratas da espécie humana” (2007, p. 30). 81 realidades contextuais 49 . D’Ambrosio argumenta esta contextualidade desconstruindo a Matemática que vai para além da ideia ocidentalizada da matemática académica, invocando que “lidar com o espaço, o tempo, classificar, comparar” bem como “os códigos e técnicas para expressar e comunicar as reflexões sobre esses comportamentos são inegavelmente contextuais” (p. 30). Não é por acaso que François e Stathopoulou (2012) apresentam a ideia de que a Etnomatemática pode ser vista como uma reação ao eurocentrismo. Destaca-se, por último, que o reflexo deste projeto nas salas de aula de Matemática é notado quando se exige claramente que o pensamento crítico seja uma ação política (Appelbaum et al., 2022). Na senda da imersão da educação crítica a partir da Teoria Crítica, origina-se, na Europa, o ambiente propício ao surgimento da educação matemática crítica ainda nos anos 70, do século passado. Uma sua versão estende-se aos Estados Unidos e, na década de 80, a primeira pessoa a publicar artigos científicos sobre o tema foi Marilyn Frankenstein 50 . Os estudos desta autora são particularmente importantes no que diz respeito à análise do uso da Matemática escolar como possíveis sistemas de opressão de classe e de raça. Neste sentido, é de salientar que a EMC é influenciada pela dimensão política da Etnomatemática, uma vez que procura a “descolonização que se dá em grupos sociais e o respeito pelas suas raízes e origens sem desrespeitar o outro” (Guerrero, 2008, p. 5) Frankenstein (2012) usa a designação literacia matemática crítica para reforçar a ideia de que a literacia matemática é mais do que a capacidade para calcular, é a destreza de usar números para clarificar certos assuntos, sustentar ou refutar opiniões. Estas competências envolvem a análise crítica da forma como os números e os procedimentos matemáticos são utilizados. Uma das máximas que reflete os seus estudos é “precisamos saber o significado dos números que descrevem a realidade para aprofundar a nossa compreensão do mundo” (Frankenstein, 2012, p. 1). Mais do que isso, especifica que a Matemática tem de ser trabalhada ou vivida, ou ensinada, no contexto real, no contacto direto com os problemas reais, uma vez que “a diferença entre problemas matemáticos da vida real são reais problemas matemáticos da vida real” (Frankenstein, 2009, p. 114) 49 Um dos exemplos de um projeto no campo da Etnomatemática foi o projeto Fronteiras Urbanas (FU) que surgiu em 2010 e foi desenvolvido por uma equipa de investigadores do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa. Apresentou-se como um movimento etnográfico crítico centrado no desenvolvimento de uma política educativa emancipatória por meio de uma observação de conhecimentos presentes em comunidades multiculturais. Neste caso, envolvia a população das Comunidades Piscatória e Bairro. Estas duas comunidades registaram, ao longo de meio século, diversos problemas de inclusão como a inexistência de água canalizada. Através do desenvolvimento de atividades do projeto FU, procurou-se atender as necessidades educacionais dessas populações in situ . E é com esses problemas do dia a dia que entra em ação a organização de parâmetros que suportam um currículo de educação multicultural, baseada na realidade sócio cultural e económica dessas comunidades. Este projeto proporcionou aos habitantes do Bairro aulas de Alfabetização Crítica, Inglês, Francês, Crioulo, Matemática ou Eletricidade. O currículo proposto baseou-se na literacia, materacia e tecnocracia, assumindo-se como uma estratégia de ação educativa que possibilita o domínio equitativo de conhecimentos necessários para uma sobrevivência ativa e participativa, que vai além do ler, escrever e contar. 50 Em Critical Mathematics Education: An Application of Paulo Freire’s Epistemology, Frankenstein (1987) analisa e aplica a teoria da educação de Paulo Freire no contexto de um currículo de Matemática para a classe trabalhadora adulta urbana. 82 Reforçando a ideia da não neutralidade na educação, Frankenstein (2009) advoga que a própria resolução de problemas matemáticos não é neutral, destacando a importância de perceber quais os aspetos das evidências quantitativas são factos matemáticos e quais são políticos. Para o justificar, sustenta-se no facto de que muitos dados são apresentados, pelos governos, por exemplo, como se fossem descrições neutras da realidade, ofuscando, no entanto, as escolhas políticas que produziram esses mesmos dados 51 . Em solo europeu, Skovsmose 52 foi pioneiro em agregar três influências distintas e reproduzir estudos que forjaram as raízes da educação matemática crítica, a saber: a já mencionada teoria crítica da escola de Frankfurt, as obras de Paulo Freire, a pedagogia da libertação e a educação bancária e a Etnomatemática (Valero et al., 2015). Skovsmose inicia os seus trabalhos na década de 1980, tendo publicado o seu primeiro livro em inglês, “ Towards a philosophy of critical mathematics education 53 ”, em 1994. Nesta obra, o autor discorre, primeiramente, sobre a noção de crítica, conectando-a não só com a sua origem semântica, crise 54 , mas também com a sua raiz histórico-filosófica 55 . Nesta incursão, Skovsmose (1999) aponta caminhos interpretativos para chegar a uma ponte em que analisa o facto de uma crise poder desembocar numa situação crítica e daí advir a necessidade de reação 56 (Skovsmose, 1999, p. 16). E é nesta reação que reside a condição para o compromisso ético de qualquer tipo de crítica (Skovsmose, 1999, p. 20), bem como o objetivo de uma atividade crítica perspetiva uma emancipação. Adquirir liberdade contra estereótipos de pensamento é entendido como uma liberdade emancipatória e esse deve ser um princípio subjacente à educação. Deste ponto até à educação crítica é um pequeno passo, dado que será a premissa para a resposta à questão colocada, por Skovsmose (1999, p. 22), “que instituições sociais deverão reagir face à natureza crítica da sociedade”? Desta ideia deriva a seguinte tese: “se as práticas e a investigação educativas são críticas, então devem abordar os conflitos e as crises na sociedade. A educação crítica deve revelar as desigualdades e a repressão de qualquer tipo” (p. 22). Imbuído nas ideias de Giroux (que, por sua vez, se inspira nas ideias freireanas) quanto à teoria emancipatória da alfabetização, que assinala um 51 Para exemplificar este argumento, Frankenstein (2009) descreve que, quando o Governo distingue os trabalhadores que pertencem à força de trabalho dos trabalhadores que contam como desempregados, reescrever esta informação em percentagem é um algoritmo matemático que tem uma única resposta e não levanta qualquer questionamento. A política sobre a qual se deve questionar tem a ver com a decisão do Governo de contabilizar trabalhadores a part-time como trabalhadores a tempo inteiro e, simultaneamente, não contabilizar trabalhadores que procuraram trabalho durante mais de um ano e não encontraram, como desempregados (p.119). 52 Ole Skovsmose é um investigador de nacionalidade dinamarquesa cujos trabalhos tornaram-se uma referência para muitos investigadores. Valero (1999) descreve-o como um “livre pensador multifacetado” (Prefácio, p. VIII). 53 Na verdade, este livro recolhe o trabalho de mais de uma década do autor, reunindo artigos como Mathematical education versus critical education de 1985, Mathematical education and democracy de 1990 ou Democratic competence and reflective knowing in mathematics de 1992. 54 Skovsmose (2007) relaciona, etimologicamente, crise e crítica , que derivam da palavra grega krinein , evoluindo, mais tarde para, respetivamente, krisis e kritikos. 55 O autor percorre os estudos da era Iluminista, aprofundando obras de filósofos como Kant ou Hume. Dá especial atenção à obra de Marx até chegar Teoria Crítica da Escola de Frankfurt (Skovsmose, 1994). 56 Skovsmose (2007) escreve que “uma situação crítica ou uma crise conduz a uma necessidade de ação e envolvimento, isto é, uma necessidade de crítica” (p.73). 83 desenvolvimento de condições para que as pessoas se situem na história e reconheçam a sua posição na sociedade, Skovsmose (2007) formula a hipótese de se introduzir o termo alfabetização matemática ao mesmo tempo que questiona se com ele se poderá obter o propósito desta potenciação. Além disso, qual será a importância de uma educação matemática como base para a participação dos estudantes numa vida democrática? Ao partir para este questionamento, Skovsmose (2007) incorre numa saga cronológica à procura de respostas para ideias democráticas básicas e competências democráticas até chegar à questão fulcral “que instituições sociais podem assumir o trabalho de desenvolver uma competência democrática” (p. 45)? Veja-se, então, como se quadram quer a teoria crítica, quer a freireana para dar origem ao termo que Skovsmose (2007) designa por matemacia e que, no seu sentido lato, se traduz por como uma competência pela qual nos tornamos capazes de interpretar e entender as características da nossa realidade social. No seu sentido estrito, destaca-se o paralelismo, na sua essência, com a noção de aptidão literária de Freire, cuja intencionalidade com o seu programa de alfabetização foi ir mais além do que ensinar pessoas analfabetas a lerem e escreverem, senão também criar um suporte para o desenvolvimento de cidadãos críticos capazes de interpretarem uma situação social como estando aberta à mudança. De igual modo, poder-se-á pensar a matemacia como uma competência que inclui não apenas referências à Matemática, como também sustenta uma base para a cidadania crítica. A matemacia surge como resposta à formulação levantada por Skovsmose (2007) para representar, essencialmente, três competências. A primeira é lidar com noções matemáticas, a segunda aplicar essas noções em diferentes contextos e, a terceira, refletir sobre essas aplicações, não esquecendo que a componente reflexiva é essencial para “conferir à matemacia um poder radicalizado” (Skovsmose, 2020, p. 41). Retomando a teoria emancipatória de Giroux, Skovsmose (2020) sintetiza, eloquentemente, que a literacia matemática, como constructo radical, tem de ser enraizada num espírito crítico e num projeto de possibilidades que permita aos indivíduos o entendimento e a transformação da sua sociedade, tornando-se numa pedra basilar para a emancipação social e cultural (Skovsmose, 2020). Outro ponto de vista, que ajuda à caracterização desta noção, tem a sua inspiração num dos conceitos desenvolvidos por Adorno, da Escola de Frankfurt, Mündigkeit 57 , cuja essência está conectada quer com a ideia de crítica, quer com a de democracia. Portanto, a ligação vinculada entre a competência democrática e a capacidade crítica, que se traduz num único termo por Mündigkeit , é um objetivo essencial a uma educação crítica. Daí que Skovsmose (2007) saliente o 57 Este conceito tem um duplo sentido, como explica Skovsmose (1999). O primeiro refere-se aos direitos legais e responsabilidades adquiridas por uma pessoa ao atingir a maioridade. O segundo sentido tem a ver com ter a capacidade de uma pessoa falar por si mesmo. 84 sentido de educar para a Mündigkeit, relacionando-o com a posição que a alfabetização matemática pode tomar neste contexto. 3.5.2. A inquietação ética da educação matemática crítica Considerando que a função da educação matemática não pode ser determinada pela mera introdução de diretrizes gerais na elaboração do currículo, Skovsmose (2000) atreve-se assumir que a grande incerteza que representa a natureza crítica da educação matemática é o primeiro passo até à educação matemática crítica. Daí que o autor fundamente a educação matemática cítica (EMC) nos desafios inerentes a uma posição crítica da educação matemática e rejeite que a mesma possa ser entendida como um ramo da educação matemática, uma metodologia de sala de aula ou constituída por um currículo específico. Entre as várias formulações que Skovsmose (2007) levanta, uma delas surge como representativa das inquietações da EMC e tem a ver como o ensino da Matemática é parte de um processo de globalização e guetorização . Por outras palavras, quais são os papéis possíveis que a educação matemática pode desempenhar tendo em conta o contexto sociopolítico e que tipo de oportunidades pode oferecer aos alunos. Neste plano, Skovsmose (2007) aponta o modo como a Matemática pode ser legitimadora, simultaneamente, de inclusões e exclusões. A EMC pretende analisar este paradoxo, preocupando-se como se estabelecem as relações no seio das escolas sujeitas a um processo de globalização, principalmente, junto dos potencialmente excluídos. O conceito de globalização pode-se referir a todos os aspetos da vida, mas é, desde logo, uma mistura de tendências políticas, económicas, culturais e da comunicação. Como não podia deixar de ser, Skovsmose (2007) sustenta-se em Baumann (1999) para retratar o facto de a globalização deter conotações tanto negativas quanto positivas, para alguns, a globalização é o que nos une quando estamos felizes, para outros é a causa da nossa infelicidade. Já a noção de guetorização correlacionase com exclusão social e a que Skovsmose (2007) recorre a Castells para definir como “o processo pelo qual certos indivíduos e grupos são sistematicamente barrados ao acesso às posições que poderiam capacitá-los a uma vida autónoma dentro dos padrões sociais delimitados pelas instituições e valores num dado contexto” (2007, p. 73). Skovsmose (2007) acrescenta que o gueto moderno funciona como “um depósito de lixo para pessoas que não têm nenhum papel a desempenhar na economia informacional” (p. 63), o que traduzindo na linguagem baumaniana, são pessoas descartáveis . Assim sendo, globalização implica inclusão ao conectar grupos, regiões, empresas, mas também significa exclusão uma vez que as conexões feitas são parciais e servem interesses particulares, pelo que se induz que globalização e guetorização são aspetos do mesmo processo. E, 91 periodicidade de dois a três projetos ou atividades por período. Neste âmbito, poderá existir uma lista quase infindável. Gutstein (2013) 62 desenvolveu um projeto no qual os alunos analisavam os dados da separação ou discriminação racial nas operações stop . Ao nível matemático estão implícitos os conceitos de proporcionalidade, probabilidade, aleatoriedade, tamanho da amostra, a lei dos grandes números e valor esperado. Sem compreender esses conceitos, é difícil perceber que são parados mais motoristas latinos e afroamericanos do que seria de esperar. Dentro do campo político, económico e social, Gutstein (2006) propõe a exploração de assuntos como os seguintes: perceber se as eleições presidenciais de 2004 dos EUA foram “roubadas”, estudar o afastamento geográfico de populações de minorias, proceder à análise de género dos deputados de Assembleia (Municipal, Parlamentar), usar a Matemática para olhar criticamente o modo como é determinada a taxa de desemprego. Peterson (2013) relata a forma como inicia o ano letivo, pedindo aos seus alunos, do 5.º ano, que explorem o modo como é usada a Matemática nas suas casas e comunidades, aliciando-os a elaborarem uma autobiografia. Como ponto de partida, os alunos escrevem um ensaio a que intitulam de “o eu numérico” (p. 11) através do qual tentam descrever como os números estão conectados às suas vidas. Posteriormente, constroem algumas linhas cronológicas para representar quer datas de aniversários, quer representar as suas atividades diárias e cronologias de vida. Com estas atividades os alunos desenvolvem competências de raciocínio lógico e crítico, para entenderem as relações que se estabelecem entre os números, distância, tempo, frações, decimais. Além disso, Peterson (2013) implementa vários projetos ao longo do ano, com os seus alunos, os quais incidem sempre na ligação entre a Matemática e assuntos de justiça social: pobreza e saúde mundial; desemprego e tendências de trabalho; salário mínimo; assuntos com os quais os alunos trabalham percentagens, estabelecem comparações, desenham gráficos, tiram conclusões. Outro interesse por parte deste investigador é utilizar a Matemática para entender a História, pelo que leva os alunos a analisar as contribuições de várias culturas e civilizações não europeias para o pensamento matemático. Ainda com este objetivo, Peterson (2013) considera que é importante que os alunos compreendam que os números não são acessórios permanentes da nossa estrutura social, mas que podem variar ao longo do tempo como resultado dos movimentos sociais, tais como os movimentos dos direitos civis ou dos direitos das mulheres. Sob o jugo “Viver a álgebra, viver o salário”, Dean (2013, p. 67) apresenta este projeto para alunos do 8.º ano, através do qual os objetivos eram, primeiramente, levar os alunos a aplicarem as competências matemáticas, seguindo uma postura ética, em assuntos de justiça social conectados às 62 A este projeto Gutstein (2013, p. 16) intitulou de “ Driving while black or Brown ”. 92 suas vidas como é o caso de um salário decente. Em segundo lugar, motivar os alunos para a aprendizagem da Álgebra, concretamente para o estudo de funções. Berg et al. (2018) dedicaram-se à fusão pedagógica entre Estatística e assuntos de justiça social desenvolvendo, nesse âmbito, um projeto que tivesse por base a interseção de ambos os conteúdos. As atividades que criaram para esse fim envolveram construção e interpretação de gráficos retirados de artigos reais, através dos quais os alunos tinham de comparar distribuição de riqueza em determinados países, analisar densidades de tráfego numa cidade do Brasil, pensar sobre a justiça implícita no caso do julgamento de um jovem negro constituído por um júri totalmente branco. Como argumentado por Gutstein (2007) e Gutstein e Peterson (2013), os benefícios de integrar assuntos de justiça social no currículo de Matemática são múltiplos e significativos, quer para os alunos, quer para os professores. Os alunos poderão reconhecer o poder da Matemática como uma ferramenta analítica para perceber e potencializar a mudança do mundo, em vez de olhar a Matemática meramente como uma coleção de regras desligadas para ser memorizada; aprofundar o seu conhecimento de assuntos locais, nacionais ou globais; tornarem-se mais motivados para desenvolver o pensamento crítico e a capacidade para resolver problemas. Para os professores, as potencialidades dessa integração vão para além de diferenciar o currículo ou a criação de um currículo interdisciplinar. Ao desenvolver a aprendizagem de uma forma contextualizada, os professores poderão aprender sobre os seus alunos e sobre as comunidades onde ensinam, facilitando e promovendo, desta forma, o envolvimento dos alunos. Nunca descurar que defender os valores da sociedade e fornecer perspetivas sociais global autênticas é fulcral para incentivar os alunos a pensar globalmente e a agir localmente (Voss & Rickards, 2016). 3.6.3. Desafios em aprender a ensinar matemática para a justiça social Uma das implicações, segundo Kokka (2019), de pôr em prática justiça social e competências para o século XXI como pensamento crítico, resolução de problemas, criatividade, inovação, liderança ou compreensão intercultural, reside em criar salas de aula onde os alunos têm autonomia para investigar o seu mundo em comunidade. Para providenciar essas salas de aula, é prioritário elaborar e adaptar tarefas nesse sentido para os alunos, constituindo um aspeto da prática pedagógica que requer formação profissional contínua. Por conseguinte, Nicol et al. (2019) questionam acerca das possibilidades e dos desafios envolvidos quando se aprende a ensinar Matemática por meio da justiça social. Para responderem a esta questão, os autores empreenderam um estudo centrado nessa temática, tendo chegado a três principais conclusões. A primeira delas tem a ver com navegar entre 93 questões locais e globais e entre a Matemática e assuntos interdisciplinares, bem como os desafios que são colocados aquando o desenho de tarefas a desenvolver. Os resultados demonstram que, enquanto uns criam problemas começando com um conceito matemático e só posteriormente desenvolvem um contexto, outros há que dão origem a um problema que tenha por base uma questão social, examinando, a posteriori , quais os procedimentos matemáticos que se ajustam à resolução da questão. Além disso, verificou-se que o objetivo de desenvolver problemas locais e conectados com os interesses e realidades dos alunos levou a privilegiar questões locais sobre questões globais. A segunda conclusão prendeu-se com o papel da justiça social ao longo dos níveis de ensino. Nicol et al. (2019) averiguaram que os professores de Matemática de nível superior manifestaram que as oportunidades em compatibilizar o currículo com questões sociais eram limitadas, assim como o tempo para cumprimento do mesmo. Por último, os resultados apontam que um dos desafios é equilibrar a experiência do educador com um possível desconforto. Como relembram os autores, explorar a Matemática por meio de questões interdisciplinares e sociais requer aquilo que na ótica freireana se designa por “curiosidade epistemológica” (p. 1014) o que, neste caso, se traduz em estar aberto para aprender a ler e a escrever o mundo com a Matemática. A vertente de desconforto pode surgir quando existe um pêndulo a balançar entre as possibilidades de obter um ensino matemático para a justiça social que se torna, simultaneamente, “curativo e perturbador” (Nicol et al., 2019, p. 1014), no sentido de estar em diálogo e em conflito, como refere Vithal (2012). Isto porque uma pedagogia que pretenda reescrever o mundo pode gerar, ocasionalmente, formas contraditórias de o fazer. Ao que Nicol et al. (2019) acentuam, recorrendo à máxima freireana, que “não há ensino sem aprendizagem” (p. 1014), pelo que os professores iniciantes nesta pedagogia são, à vez, alunos e professores. De uma forma geral, Simic-Muller (2019) adverte para os reptos de aprender e de ensinar Matemática para a justiça social, salientando a necessidade de reconhecer os desafios que, muitas das vezes, obstaculizam este trabalho. Um deles é que a construção de atividades baseadas em dados do mundo real consome tempo e, portanto, muito investimento por parte do professor, tendo presente também que nem sempre é simples conectar certos tópicos matemáticos com as experiências reais. O fator tempo é ainda destacado no que diz respeito ao tempo necessário para abordar os contextos ou, de modo inverso, o diálogo de sala de aula pode ficar muito focado na questão do mundo real e pouco na Matemática. Por fim, pode surgir resistência, por parte dos alunos, em abordar contextos reais, pois consideram que a Matemática deve ser mantida afastada das questões sociais. Voss e Rickards (2016) realizaram um estudo, com uma turma de nono ano, com o intuito de analisar a aplicação de uma pedagogia de ensino da Matemática, usando temáticas de justiça social. 94 Sobre esta base, construiu-se um projeto que consistia em que os alunos comparassem os seus estilos de vida com famílias de outros países e que usassem a Matemática para investigar sobre as desigualdades. Os resultados indicaram que a par de um maior envolvimento dos alunos na sua aprendizagem, melhoria do desempenho académico assim como capacidade de conexão da Matemática com a realidade social, também surgiram alguns desafios no que diz respeito à prestação dos professores. Entre eles, destacam-se realizar o projeto e, simultaneamente, abranger o currículo bem como o tempo extra, necessário para preparar os recursos didáticos. No que diz respeito ao tempo disponível para a realização do projeto, o departamento de Matemática da escola apenas concedeu um tempo por semana. Por sua vez, esta condição gerou nos alunos uma certa confusão, pois tinham alguma dificuldade em vincular os conteúdos de uma aula para a seguinte. Ainda assim, como existia a pressão do cumprimento do programa para a preparação de um exame final nacional, a decisão do departamento foi irrevogável. Os resultados do estudo demonstraram que, dado este constrangimento, o projeto foi concluído em amplitude, mas não em profundidade, aferindo-se que os professores podem encontrar resistência na implementação desta pedagogia, devido a um currículo sobrecarregado, sendo obrigados a negociar e a fazer concessões. Noutro plano, o tempo requerido para a planificação e preparação de materiais surge como uma eventual adversidade encontrada ao ensinar usando pedagogias de justiça social, havendo relatos que indicam que a quantidade de tempo dedicada à preparação destas aulas é três vezes superior às restantes. 3.7. A marca normativa da educação matemática para a justiça social nos documentos nacionais É inquestionável que o reflexo normativo dos valores de justiça na educação tem um pendor europeísta, com os documentos de primeira linha a serem produzidos pela União Europeia e pela Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico (OCDE). Ambas as instituições lançam publicações e relatórios que ora estabelecem metas e objetivos, ora analisam os resultados e situações atuais dos diversos Estados-Membros, salvaguardando, porém, que “cada país da UE é responsável pelos seus próprios sistemas de educação e formação. A política europeia neste domínio visa apoiar a ação a nível nacional e ajudar a fazer face a desafios comuns” (OECD, 2024). Passando, então, a território nacional, é preciso não esquecer que a orientação oficial máxima pela qual se rege a democracia portuguesa é a Constituição da República Portuguesa, na qual são pormenorizados direitos educativos inalienáveis, enumerados num vasto rol de artigos. Nesta linha, surge a Lei de Bases do Sistemas Educativo Português , de 1986, definindo, no seu ponto 2, do Artigo 95 1.º, o direito à educação como um dos princípios básicos para o progresso social e a democratização da sociedade, e advogando a garantia do direito a uma justa e efetiva igualdades de oportunidades no acesso e sucesso escolares. Da parte dos sucessivos Ministérios de Educação e Ciência (MEC), o discurso educacional foi sendo vinculado às orientações oficiais que iam sendo produzidas, matizando, mais ou menos indelevelmente, as ideologias partidárias. De substrato comum, pelo menos a partir de década de 90, os diferentes Governos manifestaram responsabilidade pela melhoria da qualidade da educação, ainda que em termos avaliativos, e preocupação pelo combate ao abandono escolar precoce e à exclusão escolar (Seiça, 2016), no seio de um Estado que continuou a exercer, de modo centralizado, as funções reguladora e distributiva. Já em inícios do novo milénio, as políticas educativas viram-se para uma tentativa de minimização do papel do Estado e, a acrescentar à modernização das escolas e à ideologia da inclusão, ergue-se a bandeira da autonomia escolar e da necessidade de maior flexibilização do sistema educativo (Estêvão, 2012). Fruto desta conjuntura, sobressaem um conjunto de projetos de diferenciação pedagógica e medidas de promoção do sucesso escolar que harmonizam o ramalhete composto pelas orientações curriculares e normativos legais. Um dos exemplos é a implementação do programa Territórios Educativos de Intervenção Prioritária (TEIP), que surge inicialmente em 1996, mas é gradualmente estendido, em 2009, a todo o país (Despacho Normativo 55/2008), destinado a comunidades educativas particularmente desfavorecidas económica ou socialmente, eventualmente marcadas pela pobreza e exclusão social, mais expostas a casos de violência, indisciplina ou insucesso escolar. Na base encontra-se uma perspetiva compensatória e de territorialização, dirigida para uma atenuação das vulnerabilidades sociais presentes em ambiente educativo. Compensatória, porque parte da discriminação positiva para trabalhar no sentido de instaurar equidade na redistribuição de recursos e da garantia de um mínimo de competências. O princípio de territorialização das políticas educativas remete para a tendência de descentralização do poder do Estado nas tomadas de decisão das escolas, sublevando a transferência de competências para o poder local – autarquias e agrupamentos –, permitindo a mobilização dos atores locais numa ação conjunta que dê sentido a um projeto comum (Roldão et al., 2011). A par do programa TEIP, surgiram outras medidas de promoção do sucesso educativo como a metodologia Fénix, a metodologia Turmas Mais, ou o projeto-piloto de inovação pedagógica, mecanismos estes que visavam fomentar o sucesso e a qualidade das aprendizagens dos alunos, tendo como veículo principal a autonomia escolar. Na área da Educação para a Cidadania, o MEC (2017a) fez transparecer, por decreto, a preocupação para com a existência de uma transversalidade que envolve diferentes dimensões da 96 educação para a cidadania, partindo da ideia que, enquanto processo educativo, a educação para a cidadania contribui para a formação de pessoas responsáveis, autónomas e solidárias. O documento reforça a importância de introduzir as diferentes componentes da educação para a cidadania, quer nas áreas disciplinares, quer nas atividades e projetos (Santos, 2015). Quanto ao referencial educativo mais recente, o Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (2017b) tem como imperativo assegurar a coerência do sistema educativo, após ter sido alargado o número de anos de escolaridade obrigatória. Este quadro de referência fundamenta-se em oito princípios. Um deles é a sua base humanista, defendendo que a “escola habilita os jovens com saberes e valores para a construção de uma sociedade mais justa” (MEC, 2017b, p. 8). Destaca-se ainda o princípio da inclusão, apresentando a “escola obrigatória como sendo de e para todos, promotora da equidade e democracia” (MEC, 2017b, p. 8). Com este documento depreende-se a necessidade de espelhar os valores e as competências que se pretenderia que o jovem tivesse, à saída da escolaridade obrigatória, e através dos quais se tornasse um cidadão “munido de múltiplas literacias que lhe permitam analisar e questionar criticamente a realidade, avaliar e selecionar a informação, formular hipóteses e tomar decisões fundamentadas no seu dia a dia” (MEC, 2017b, p.10). Verifica-se, com este documento, que continua a haver preocupação para com o desenvolvimento de valores de equidade, justiça, democracia, pensamento crítico. No entanto, este referencial parece ser mais revelador de uma sólida base humanista, comprometido com o ideal de cidadão livre, crítico e autónomo. Mais ainda, apresenta aos professores a responsabilidade de tornarem os jovens nesse cidadão ideal, enumerando um conjunto de ações determinantes a esse florescimento. Por tudo o precedido, para todos os professores, que assumem uma postura ética preconizada pelo Estatuto da Carreira Docente , será um objetivo adequar uma pedagogia de equidade e justiça social ao cumprimento dos currículos nacionais (Santos, 2014). Da mesma forma que, como sublinha Bartell (2018), um dos objetivos da EMJS é fornecer os conteúdos obrigatórios abrangidos pelo currículo nacional. Ora, este princípio vai ao encontro, precisamente, do que é estabelecido pelo Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (PASEO) , quando apresenta um conjunto de ações relacionadas com a prática docente que pressupõem uma mudança nas práticas pedagógicas e didáticas presentemente. Uma dessas ações é “abordar os conteúdos de cada área do saber, associando-os a situações e problemas presentes no quotidiano da vida do aluno ou presentes no meio sociocultural e geográfico em que se insere, recorrendo a materiais e recursos diversificados” (MEC, 2017b, p. 24). Destaca-se, de igual modo, a referência à organização do ensino, estimulando a 97 utilização crítica de distintas fontes de informação. Por fim, é de salientar, que uma das ações sugeridas é a de “promover de modo sistemático e intencional, na sala de aula e fora dela, atividades que permitam ao aluno fazer escolhas, confrontar pontos de vista, resolver problemas e tomar decisões com base em valores” (MEC, 2017b, p. 24). Nas Aprendizagens essenciais da Matemática AEM (MEC, 2021) para o 3.º CEB, que entram em vigor no ano letivo 22/23, definem-se uma multiplicidade de objetivos de aprendizagem consoante seis tópicos de capacidades matemáticas transversais. Neste documento, definem-se quatro objetivos relacionados com as conexões matemáticas que pontuam pela valorização dada à interpretação matemática do mundo real e o seu poder para prever e intervir sobre situações do mundo real. 3.8. Interseção entre a educação matemática para a justiça social e a modelação matemática crítica O itinerário até aqui percorrido pretendia tornar visível a multiplicidade de vertentes e intersecionalidades que se podem estabelecer ao trabalhar no campo da EMJS, as quais só são possíveis no seio de um quadro de diálogo entre investigadores que, partindo de diferentes situações de marginalização não só educativas, contribuem para a análise de formas de mitigação e combate às injustiças estruturais. Dado que os pontos de contacto entre a EMJS e a modelação matemática Crítica não se podem negar, julga-se conveniente assinalar quatro características que, indiscutivelmente, as conectam. Parte-se da ideia de que ambas assentam na abordagem de Wright (2016) que defende que o ensino da Matemática deve fornecer experiências relevantes, significativas e que envolvam os alunos para a Matemática, ao mesmo tempo que possibilitam maiores oportunidades para os alunos mais desfavorecidos a poderem realizar, em alternativa a um ensino da Matemática que contribua para a reprodução das desigualdades e perpetuação dos privilégios na sociedade. Uma das características que detêm em comum é inserirem-se numa perspetiva sociopolítica que, como Jurdak (2016) põe em evidência, estabelece a relação entre Matemática, discurso e poder. Recorrendo, uma vez mais, a Skovsmose (2024), a ambição educativa imprimida pelo termo matemacia é tornar a Matemática numa linguagem de desconstrução social, encontrando-se em Araújo (2009) que o uso dos modelos matemáticos pode contribuir nesse sentido. Como enfatiza Simic-Muller (2019), a expressão gutsteiniana, ler o mundo com a Matemática não vem com um manual de instruções, no entanto, a modelação matemática parece ser uma boa forma de o abordar em sala de aula, em vez de um conjunto de algoritmos predeterminados. Ainda neste sentido, as pesquisas indicam que, dentro da perspetiva de modelação sociocrítica, a investigação recai não sobre as 98 competências matemáticas dos alunos, mas, precisamente, nas capacidades dos mesmos para serem modeladores críticos e reconhecerem o seu próprio poder (Abassian et al., 2019). Incorporar as experiências dos alunos para enfatizar a relevância cultural da Matemática (Wright, 2015) é um dos objetivos de uma educação crítica, assim como permitir que as suas vozes sejam ouvidas e as suas histórias sejam contadas também é justiça (Simic-Muller, 2019). A modelação matemática crítica junta-se a esta premissa ao postular o desenvolvimento do pensamento crítico através do uso da Matemática em situações reais e não fictícias, privilegiando discussões reflexivas que se dão em espaços de interação, em que professores e alunos interagem verbalmente sobre uma atividade de modelação. Na base desta potencialidade encontra-se aquilo que é descrito, em pedagogia progressista, como pedagogia culturalmente relevante (Rubel & Nicol, 2020), que se traduz por uma perspetiva cultural de aprendizagem, substanciada pelo princípio de que o currículo e o ensino devem basear-se nas experiências socioculturais dos próprios alunos e não numa padronização cultural branca de classe média. Esta ação pedagógica procura trazer o background dos alunos para a sala de aula, construindo atividades curriculares orientadas e induzidas a partir do contexto cultural dos alunos, conhecidos como fundos de conhecimento dos alunos (Oliveira et al., 2016). Um pendor crítico associado a um ambiente educativo pressupõe que o mesmo combine ação e reflexão e, por esse motivo, a educação matemática para a justiça social e a modelação matemática crítica estão assentes na ideia de agência crítica. O termo é usado por Greer e Skovsmose (2012) para designar o diálogo concomitante entre a ação e a reflexão. Ora, um dos objetivos da educação matemática para a justiça social é utilizar o poder da Matemática para reconfigurar a sociedade, tornando-a mais ética e justa. A mesma tendência é assumida pela modelação matemática crítica ao embandeirar o pressuposto de que a Matemática pode influenciar ativamente a tomada de decisões na sociedade, tendo como linha orientadora o papel social que a educação matemática pode desempenhar. É preocupação de ambas as vertentes proporcionar investigações matemáticas que desenvolvam a agência crítica e permitam os alunos participar de uma cidadania ativa. Num plano mais etéreo, Skovsmose (2007) considera problemático quando a modelação e aplicações são descritas em termos de representação, na medida em que a conceção de modelação matemática como representação está relacionada com uma perspetiva dual do mundo, na qual o modelo matemático apenas representa uma parte dessa realidade. Ao invés disso, o autor defende que a modelação deveria não só cartografar a realidade, mas estabelecer-se como uma “Matemática em ação” (p. 116), uma Matemática que faça parte de uma tomada real de decisões. Os motivos 99 assinalados revelam potencialidades comuns para a conjunção dialética onde Matemática e poder interagem e de onde emergem os conceitos de envolvimento, ação e mudança. Por último, ambas respondem à demanda de um enquadramento normativo cujo reflexo curricular é a reivindicação do sucesso e qualidade das aprendizagens com base numa educação que garanta a igualdade de oportunidades. Em consonância com esta linha, de que forma pode o ensino da Matemática atender a esta chamada? Veja-se que o documento Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007) destaca que “os contextos dos problemas poderão variar desde experiências familiares dos alunos, relativas às suas vidas pessoais ou ao dia a dia escolar, até aplicações envolvendo as ciências e o mundo do trabalho” (p. 57). Não obstante, relatórios nacionais, baseados em estudos internacionais de avaliação de desempenho dos alunos, mostram que os resultados dos alunos portugueses são particularmente fracos em itens que mobilizam a capacidade de encontrar estratégias para a resolução de problemas, como o são em itens onde se solicita a construção de textos de carácter argumentativo (IAVE, 2015). No que diz respeito ao contexto familiar, os dados recolhidos em estudos internacionais, mostram que ter mais recursos disponíveis em casa traduz-se em efeitos significativos nos desempenhos dos alunos, bem como encarregados de educação mais escolarizados produz alunos com melhores desempenhos. Assim, a EMJS e a modelação matemática crítica encontram-se necessariamente unidas na construção educativa, mas também social, de um caminho que mitigue as desigualdades iniciais e que responda, efetivamente, a uma maior igualdade de oportunidades, ao mesmo tempo que apresentam uma saída para a descontextualização do ensino da Matemática. 3.9. Síntese do capítulo Nas palavras de Giroux (2014), a educação contemporânea tornou-se um conjunto de políticas que desvalorizam a aprendizagem, uma educação colapsada no treino. O autor é categórico em denunciar que o sistema neoliberal produziu a ideia de que o currículo deve ser organizado em torno de testes, na criação de alunos passivos e na aplicação de uma pedagogia de repressão. Por seu lado, Lima (2019) critica a subordinação da educação à economia e à competitividade, mas também a circunscrição do próprio conceito de cidadania a um mercado de liberdades económicas, orientado para a constituição dos consumidores. Com este cenário, levanta-se a questão: que relação educativa poderá existir que não implique unicamente o endoutrinamento? Procurando perceber se existe uma resposta contra-hegemónica que vá nesse sentido, situou-se a discussão no plano da pedagogia crítica. 100 Na última década, o termo justiça social popularizou-se entre o discurso mediático, perpassando a sua habitual esfera sociofilosófica e degenerando, com frequência, numa vulgarização do seu conceito. Deste modo, lançou-se um périplo pelas teorias de justiça, perspetivando obter uma linha ariadniana que conseguisse trazer à luz as contribuições para o plano da educação. Deste modo, tendo sido analisada a multidimensionalidade do valor de justiça, reconhece-se como sustentação fundamental à prática educativa as suas vertentes de redistribuição e de reconhecimento. Direcionando o olhar, primeiramente, para a justiça sobre a forma de equidade, de Rawls extraem-se três pontos que se consideram essenciais para a responsabilidade educativa, tendo por base a igualdade de oportunidades: i) igualdade no acesso; ii) igualdade no ensino; iii) igualdade no conhecimento. Estas igualdades só serão possíveis segundo o Princípio da Diferença, sob a dimensão de redistributiva. Da justiça reconhecimento (Fraser, 2009) entendem-se os alunos como sujeitos principais da aprendizagem, num ambiente de sala de aula que fomente um sentido de comunidade e identidade onde todos partilhem opiniões, com recurso à resolução de problemas que valorizem diferentes contextos socioculturais. Assim, entrelaça-se o anterior descrito com a especificidade da educação matemática (EM), no seio de uma perspetiva crítica. Na verdade, nem toda a referência da EM como ferramenta à cidadania está enquadrada de uma visão crítica. Isto, porque esta interpretação crítica consiste em muito mais do que a participação cívica na sociedade. O repto está em questionar o funcionamento do poder e da utilização da própria Matemática como elemento de diferenciação, e, portanto, de segregação de alunos e pessoas que, por sua vez, constituem injustiça e exclusão (Valero et al., 2015). Diferentes nomes são dados ao estudo crítico dentro da EM: matemática radical (Frankenstein, 1987); matemacia (Skovsmose, 2020); literacia matemática (Gutstein, 2006). Estes autores conjugam-se no sentido de defender que é possível conectar o currículo com as realidades sociais dos alunos e que, por conseguinte, os alunos melhorarem as suas capacidades para utilizar as representações matemáticas em situações do quotidiano (Gutstein, 2016), num caminho que espelhe, verdadeiramente, a multidimensionalidade da justiça na educação. 107 mantido, a observação mais pormenenorizada foi conseguida na escola relativa à turma de 9.º ano. A par deste motivo, encontrou-se, aquando a análise dos dados, aquilo que Dooley (2002) refere como a produção de um grande volume de dados para análise, acrescentado que a complexidade inerente aos estudos de caso pode levar a que coexistam vários casos dentro de um estudo. Para evitar este conflito selecionaram-se os casos de 8.º e 9.º anos. A decisão para manter estes casos em detrimento do caso de 7.º ano, prendeu-se, precisamente, com a motivação para a sua seleção. Isto porque, por análise comparativa, ambos podem ser considerados, até certo ponto, de ambientes contrastantes, assim como privilegiou-se, também, o caso de 9.º ano por pertencer a um nível de final de ciclo. Com a prerrogativa desta escolha, entende-se que, doravante, os casos a serem citados serão, exclusivamente, os casos das turmas de 8.º e 9.º anos. 4.2.1. Caracterização das Escolas e Diretores O contexto geográfico e socioeconómico das duas escolas envolvidas na investigação reforça a singularidade das turmas que lhe correspondem. A escola a que pertence a turma de 8.º ano, designada, ficticiamente, por Agrupamento de Escolas Lídia Jorge (LJ), localiza-se num meio urbano da costa litoral do barlavento algarvio, pertencendo a um concelho em crescimento demográfico, com uma elevada taxa de Crescimento Natural. Ainda que o Agrupamento seja composto por onze unidades orgânicas, do pré-escolar ao ensino secundário, com alunos de variados contextos socioculturais, a Escola Básica e Secundária Lídia Jorge contém jovens cujos agregados familiares correspondem a classes sociais médias altas em termos económicos e académicos (Projeto Educativo [PE], Escola LJ). No desempenho do cargo de diretora encontra-se Ana Maria, uma pessoa dinâmica que, no ano letivo que teve lugar o trabalho de campo, contava com 39 anos de serviço, dos quais 20 foram em direções de escolas. Do Agrupamento de Escolas a que se reporta este estudo de caso, é diretora há 8 anos. Ana Maria é licenciada em Química e não consegue apontar uma razão que a tenha levado a ser professora. No entanto, desde que começou a dar aulas sentiu que era um trabalho gratificante e sempre gostou da relação com os alunos (ED, LJ). Do seu discurso, ressalta a importância que atribui às relações humanas e o contacto que estabelece com todos os membros da comunidade educativa. A escola que alberga a turma de 9.º ano, representada por Escola Secundária Mariana Alcoforado (MA), situa-se no interior do Baixo Alentejo, num concelho marcado pela ruralidade, com alta taxa de desemprego e migração sazonal, com perda de população desde a década de 50 do século XX (PE, MA), especialmente acentuada nas últimas duas décadas e envelhecida (PORDATA, 2023). Este panorama provoca assimetrias económicas, sociais e culturais em comparação com o 108 resto do país. Neste sentido, a instituição escolar coloca-se no centro do desiderato por uma vida melhor, com números que registam um aumento substancial do número de anos médio da habilitação escolar, na última década. A equipa de gestão da Escola Mariana Alcoforado é presidida por João Afonso pelo segundo ano consecutivo, embora o mesmo pertença à equipa diretiva desde 2010, tendo passado por adjunto da direção e exercido o cargo de subdiretor. A sua área de formação é Educação Física e apresenta a ligação à prática desportiva enquanto aluno de secundário e o facto de ter familiares professores de Educação Física como razões para o seu percurso formativo. Fez o estágio em 2000, possuindo dezoito anos de serviço à data do estudo. Da sua carreira profissional o diretor destaca dois momentos, o primeiro é relativo à sua mudança para o Alentejo, referindo que foi a mudança mais profunda, ao nível profissional e pessoal; o segundo foi quando foi convidado para a direção. 4.2.2. Caracterização do grupo disciplinar de Matemática Os professores que compõem o grupo disciplinar de Matemática da Escola Lídia Jorge são quatro, incluindo a professora da turma de 8.º ano, cujos nomes são fictícios. Dois deles, Jorge e Cristina, eram professores cuja situação profissional era a de ‘Contratados’, por sua vez as professoras, Paula e Marta, eram professoras de ‘Quadro de Escola’, encontrando-se Marta em situação de ‘Mobilidade Interna’. Quanto ao tempo de serviço docente, Cristina e Jorge possuíam 9 e 10 anos, respetivamente, enquanto Marta tinha 16 anos e Paula completava 17 anos de serviço. Todas as professoras referidas trabalharam sempre em escolas da rede pública de ensino, lecionando quer o ensino básico, quer o ensino regular, bem como cursos regulares e cursos profissionais. No âmbito das suas formações académicas superiores, algumas das razões que levaram estes professores a optarem pelo ensino da Matemática repetem-se entre si, apesar de cada um deles sugerir uma motivação pessoal. Embora nenhum refira ter sido uma opção sine qua non , todos acabaram por ilustrar eventos mutuamente exclusivos, sugerindo que uma coisa levou à outra e onde, desde logo, se sentiram confortáveis com a decisão. A menção à influência que exerceu algum antigo professor de Matemática do ensino secundário nas suas decisões é partilhada por dois professores. No que diz respeito às experiências mais relevantes durante o curso de formação de professores, os professores foram unânimes em destacarem o ano de estágio profissional como a verdadeira preparação pedagógica, corroborando a ideia de que o estágio foi o culminar da preparação para a docência, e tecem algumas críticas aos quatro anos que o precederam. Do ponto de vista de uma das docentes, o curso preparoua cientificamente, no entanto, apenas o estágio lhe forneceu a parte pedagógica. 109 Quanto à promoção do desenvolvimento profissional, estes professores recorrem, em primeiro lugar, à participação em ações de formação, bem como identificam a importância de um trabalho de interajuda e partilha de experiências entre docentes. Neste âmbito, os professores Jorge e Cristina são os que mais realçam o papel da autoformação como sendo o motor do seu desenvolvimento profissional que, na ótica de Cristina, está diretamente relacionado com o empenho que coloca na investigação pessoal. Ainda no que concerne ao desenvolvimento profissional, e quando questionados face às razões que os levam a frequentarem ações de formação, são as professoras de ‘Quadro’ que mais evidenciam os seus motivos, os quais se encontram entre o facto de ser obrigatório para a progressão na carreira, a não estagnação dos conhecimentos ou a vontade de ver surgir novas teorias pedagógicas que possam pôr em prática com os seus alunos. Do ponto de vista de Marta, também é importante estar atualizada ao nível das ferramentas digitais, como as funcionalidades do quadro interativo ou algumas das aplicações educativas para dispositivos móveis. O grupo de docentes de Matemática da Escola Mariana Alcoforado é constituído por Isabel, a professora da turma de 9.º ano, Odete, Margarida e Luís Freire, nomes, uma vez mais, fictícios. Neste grupo de docentes, ressalta o aspeto referente às suas situações profissionais, na medida em que todos possuem um vínculo com o Estado. Isabel e Margarida com a categoria de professoras QZP e Odete e Luís têm a categoria de professores QE. Por sua vez, diferem no que diz respeito ao tempo de serviço docente, tendo Isabel 12 anos de serviço e Margarida 14 anos. Já Luís afirma ter 32 anos de docência e no caso de Odete a professora confessa ser o seu 38.º ano. É transversal o facto de a experiência profissional deste grupo de professores ter sido sempre em escolas da rede pública e quase em todos os níveis de ensino. Odete e Luís têm mais experiência de secundário, embora desde que a escola começou a ter 3.º ciclo, passaram a ter cumulativamente turmas de 3.º ciclo. Isabel é a docente que conta com uma maior diversidade de percursos. Em termos de formação académica, os quatro docentes coincidem no gosto pela disciplina que lecionam e daí a motivação por estudarem Matemática, embora no caso de Luís a sua formação superior seja em Engenharia Mecânica. Já as razões que levaram estes professores para a docência diferem. Dos quatro, apenas Odete relata que ainda enquanto aluna de Secundário queria ser professora de Matemática. A vivência de Luís é, segundo a sua narrativa, comum a muitos da sua época, uma vez que começou por exercer Engenharia e como havia falta de professores, começou a dar aulas, optando por esta profissão. Especificamente, no caso de Margarida existiu a motivação de ter o seu pai como professor de Matemática, embora admita que no 1.º ano da Faculdade ainda 110 pensou em desistir. Para Isabel, pendeu unicamente o gosto pela Matemática e a facilidade à disciplina durante o Secundário, sendo que o ensino foi uma escolha aleatória. Da reflexão efetuada pelo grupo de professores acerca do modo como se desenvolvem profissionalmente, nomeadamente no que diz respeito à dimensão científico-pedagógica, os docentes destacam três formas em comum, a troca de experiências, as coadjuvações e as ações de formação. Isabel esmiúça o assunto e separa claramente a parte científica da pedagógica. Todos os docentes conectam a motivação para frequentar ações de formação com a respetiva obrigatoriedade para a progressão na carreira, em simultâneo com o facto de ser uma forma de atualização das práticas docentes. Odete explica que, para mudar de escalão, são sempre necessários créditos de formação e, por isso, quase todos os anos faz formação. Por sua vez, Isabel esclarece que, ao serem de carácter obrigatório, tenta selecionar as ações que vão de encontro aos seus interesses. 4.2.3. Caracterização dos alunos A turma de 8.º ano é constituída por vinte e dois alunos, dos quais oito são raparigas e catorze são rapazes. A idade média dos alunos é de 12 anos e varia entre os 12 e os 14. Todos os alunos têm nacionalidade portuguesa e em termos de ação social escolar, doze alunos beneficiam de um dos três tipos de escalão. Nenhum dos alunos é repetente, bem como nenhum tem acompanhamento por necessidades educativas específicas. Deste grupo, sete frequentam o ensino integrado e um o ensino articulado de Música. A maioria dos alunos possui como encarregado de educação a mãe, cujas formações académicas variam entre o 3.º Ciclo do Ensino Básico, Ensino Secundário, Licenciatura, Mestrado e Doutoramento e as situações profissionais revelam um grande número de trabalhadoras por conta de outrem. No que diz respeito ao aproveitamento escolar, onze alunos não obtiveram qualquer nível inferior a três no ano transato, no entanto, sete alunos tiveram uma negativa, dois alunos obtiveram duas negativas e dois alunos tiveram três níveis inferiores a três. As disciplinas que mais contribuíram para este cenário foram Matemática e Inglês. Quanto ao modo como encaram a escola, este grupo de alunos mostra-se desanimado, imprimindo na relação escolar um hábito e um meio para o convívio social. Da obrigatoriedade da frequência escolar esperam colher os frutos para um futuro bom. O grau de motivação para aprenderem Matemática é baixo, dado que oito alunos afirmam ser a disciplina que têm mais dificuldades e apenas três alunos revelam ser a disciplina preferida. 111 No que diz respeito aos alunos de 9.º ano, a turma compõe-se por vinte e nove alunos, entre os quais dezassete raparigas e doze rapazes. As idades variam entre os 13 e os 17 anos, sendo que a idade média é de 14,3. Deste grupo, quatro alunos não têm nacionalidade portuguesa e doze deles beneficiam de Ação Social Escolar. No plano académico, a turma tem dois alunos repetentes e seis alunos que apresentam uma retenção no seu percurso escolar. Nenhum dos alunos obtém acompanhamento por Necessidades Educativas Específicas. Quanto aos Encarregados de Educação são, maioritariamente, as respetivas mães, as quais apresentam como formação académica o 2.º Ciclo do EB, 3.º Ciclo do EB, o Ensino Secundário e Licenciatura e possuem como situação profissional contratos por conta de outrem, por conta própria, desempregadas e domésticas. No âmbito do sucesso escolar, apenas doze alunos não apresentam qualquer nível inferior a três no final do ano letivo anterior. Dos restantes, oito alunos obtiveram uma negativa, seis tiveram duas negativas e três alunos obtiveram três níveis inferiores a três. Das disciplinas que mais se evidenciaram neste leque foram Matemática, Inglês e Físico-Química. O posicionamento deste grupo de alunos face à escola é, em geral, de conforto. Dizem-se bem acolhidos e, apesar desse bem-estar nem sempre ser alargado à sala de aula e à relação com alguns dos professores, o sentimento da necessidade de estudarem é quase transversal. Relativamente à disciplina de Matemática sentem-se motivados, depositando na relação de abertura com a professora confiança para suprirem as suas dificuldades. 4.3. Procedimentos e técnicas de recolha de dados Parafraseando Cohen et al. (2018), um dos aspetos essenciais do estudo de caso é a seleção da informação, orientado pela possibilidade da utilização de várias fontes de evidência (Yin, 2017), que devem estar em consonância com o caso e o seu contexto. Vários autores (por exemplo, Bogdan & Biklen, 2013; Denzin & Lincoln, 2018; McMillan & Schumacher, 2014; Yin, 2017) discorrem sobre a multiplicidade de métodos de recolha de dados na investigação qualitativa, partilhando a visão comum do estabelecimento de limites para o estudo e elencando os seguintes elementos de recolha de dados: observação; entrevistas; e documentos. Atendendo a estas diretrizes e após estabelecidos os protocolos que derivaram nas escolas envolvidas e na seleção das turmas que constituem a singularidade dos casos, o desenvolvimento da investigação empírica ocorreu em quatro fases (Tabela1). 112 Tabela 1 Fases do Processo Empírico e dos Instrumentos de recolha de dados Fases Atividade Instrumentos de Recolha de Dados 1 Enquadramento do Contexto Educativo Entrevista a professores Documentos internos da Escola Elaboração das tarefas de modelação Observação de momentos de trabalho; Notas de Campo; 2 Caracterização dos alunos Entrevista a alunos; Documentos 3 Momentos de aprendizagem Observação de aulas Notas de Campo Produções dos alunos 4 Perspetivas finais dos Participantes Entrevista a alunos e a professoras Numa primeira fase, procurou-se, através de entrevistas, auscultar as experiências e práticas habituais dos professores de Matemática, bem como reconhecer a postura do representante do órgão de gestão face à missão e à responsabilidade educativa do Agrupamento e fundamentar o enquadramento do contexto educativo. Posteriormente, entre as professoras e a investigadora, foram codesenvolvidas tarefas que conjugam a unidade temática de funções e assuntos de justiça social. Estas tarefas assumiram diferentes contornos como sendo projetos sobre tópicos de funções que inseriam o tema, serviam de apoio ao seu desenvolvimento ou a proposta de projetos nos quais tiveram como autoria os próprios alunos. Numa segunda fase, procedeu-se à caracterização dos alunos da turma relativos a cada um dos estudos de caso. Pretendeu-se com este levantamento perceber o desempenho escolar de cada um dos alunos, não só na Matemática como também nas restantes disciplinas. Através de entrevistas em grupo indagaram-se os alunos acerca das finalidades de aprender Matemática, tentando também, desta forma, perceber o que sabem de justiça social. A fase três desta investigação encontrou-se reservada à observação das aulas e através das quais se procedeu à recolha de dados empíricos que, para além da observação direta não participante, englobaram entrevistas (a professores e a alunos) em diferentes momentos da componente empírica (início, durante e no final), gravações áudio e vídeo desses registos. Numa fase final, efetuou-se uma análise documental com a qual se tencionou verificar a perceção dos alunos relativamente a todo o trabalho desenvolvido. Esta análise integrou as produções dos alunos, os registos das professoras participantes e os registos, sobre a forma de notas de campo, efetuados pela investigadora, bem como todos os documentos relevantes que fazem parte da escola (Projeto Educativo, Plano de Atividades, Regulamento Interno). 113 Em síntese, os instrumentos de recolha de dados utilizados neste estudo envolveram: (i) a realização de entrevistas; (ii) a observação de aulas; (iii) documentos (das escolas e resoluções dos alunos); e, por último, (iv) notas de campo. 4.3.1. Entrevistas Nos estudos qualitativos, as entrevistas podem assumir uma estratégia dominante no decurso da investigação ou podem ser combinadas com outras técnicas de recolha de dados (Bodgan & Bicklen, 2013). Este método é revestido como um banco de dados descritivo que constitui um veículo direto à linguagem verbal dos próprios intervenientes, possibilitando-os expressar as suas perspetivas e modos de encarar situações e, acima de tudo, assume como central a interação humana na produção do conhecimento (Bodgan & Bicklen, 2013; Cohen et al., 2018). Adotando esta abordagem, utilizou-se a entrevista em profundidade, cujo carácter de perguntas de resposta aberta (McMillan & Schumacher, 2014; Yin, 2017) permitiu recolher dados sobre o significado que os alunos e professores atribuem a dois aspetos transversais ao tema em estudo, a saber: (i) modelação matemática e funções; e (ii) papel da Matemática na interpretação de fenómenos sociais. Com este lineamento, foram realizadas, ao longo deste estudo, entrevistas a todos os participantes – alunos, docentes do grupo de Matemática e diretores dos Agrupamentos. A natureza das entrevistas depende, segundo McMillan e Schumacher (2014), da sua estruturação, profundidade, abertura de questões e extensão. Nesta investigação, foram elaboradas entrevistas com recurso a um guião orientador constituído por questões abertas, tendo em vista garantir a abordagem dos temas mais relevantes, ao mesmo tempo que se priorizaria as reflexões pessoais de cada um dos sujeitos acerca dos temas em análise. Concretamente, realizaram-se duas entrevistas a cada um dos alunos, uma inicial e uma final, uma entrevista a cada um dos docentes participantes, assim como a cada um dos diretores das escolas e, por fim, uma entrevista final a cada umas das docentes das turmas. É de referir que os respetivos guiões foram alvo de revisão e validação por parte de dois especialistas em Educação (Bodgan & Bicklen, 2013). As primeiras entrevistas a serem realizadas foram aos docentes de Matemática de cada umas das escolas. Ocorreram, no dealbar do trabalho de campo, com o intuito de estabelecer uma relação de maior proximidade com os intervenientes, naquilo que Bodgan e Bicklen (2013) descrevem como “investigador e sujeito passarem a conhecer-se e o investigador pôr o sujeito à vontade” (p. 135). Deste modo, foram entrevistados, individualmente, quatro professores de Matemática por escola. No guião (Apêndice 17) que orientou as conversas encontram-se questões que pretendiam captar 114 informações, entendimentos e reflexões acerca da formação, prática profissional, ensino de funções, ensino da Matemática e a sua conexão com a justiça social. Quanto às entrevistas iniciais feitas aos alunos, o guião (Apêndice 14) que lhes serviu de base contempla dois eixos orientadores – percurso escolar e aprendizagem na disciplina de Matemática. Neste sentido, as questões que propõem um itinerário flexível, pretendem captar a relação que os alunos detêm com a escola, bem como as motivações, interesses, objetivos de futuro e principais dificuldades sentidas na globalidade dos seus percursos escolares. No que diz respeito à aprendizagem da Matemática, o guião incide sobre a importância da Matemática na realidade, conteúdos privilegiados e que têm mais dificuldades, tipos de tarefas preferenciadas, aprendizagem de funções e a sua relação com o mundo real, noções que possuem de justiça social e relevância da Matemática para esta compreensão. É de referir que estas entrevistas foram efetuadas em pequenos grupos para encorajar os alunos a falarem sobre os temas (Bodgan & Bicklen, 2013), retirando, assim, um possível peso inquisitivo. O relato verbal obtido dos diretores dos Agrupamentos foi conseguido com recurso a uma entrevista semiestrutura cujo guião (Apêndice 16) recai sobre a experiência profissional dos mesmos, a caracterização genérica do corpo docente do Agrupamento, nomeadamente, quanto à identificação do grau de motivação profissional e os constrangimentos que se sentem na atividade profissional desses docentes. Os princípios e valores que orientam a ação do Agrupamento são postos em relevo de modo a conhecer de que forma o corpo diretivo operacionaliza um ensino de qualidade, assente na igualdade de oportunidades, pautado por valores éticos e socialmente responsáveis e, também, que atividades desenvolve no domínio da intervenção social. Neste roteiro, são tidas em conta a visão sobre o desempenho dos alunos na disciplina de Matemática e que propostas a direção da escola tem para combater o insucesso. Por último, num bloco de perguntas sobre o tema ‘Matemática e Justiça Social’, são levantadas questões de como conectar a Matemática à realidade e como combater a perpetuação na identificação da disciplina de Matemática como um fator determinante de desigualdade e exclusão escolar. A condução das entrevistas finais às docentes de Matemática das turmas dos casos assentou num lineamento (Apêndice 18) em torno de dois aspetos: ‘Modelação matemática no ensino de funções’ e ‘Integração de assuntos de justiça social, na prática de ensino’. O primeiro bloco de perguntas procura perscrutar, essencialmente, sobre as principais diferenças em trabalhar os conteúdos matemáticos através de tarefas de modelação, os constrangimentos que ocorreram na aplicação das tarefas ou como foram geridos os momentos de aula, bem como as dinâmicas. Num 115 plano focal no aluno, que processos privilegiaram os alunos no seguimento das aulas com recurso à modelação, quais as maiores dificuldades que os alunos evidenciaram na aprendizagem do tópico de funções através da modelação, que contributo teve a realização de tarefas de modelação para a avaliação dos alunos e, em jeito de síntese, o que destacar entre a aplicação de resolução de problemas e as tarefas de modelação e, ainda, quais foram os pontos fortes da integração da modelação matemática, na prática de ensino. O segundo bloco de questões, recai sobre a visão das professoras acerca das tarefas de modelação propostas que lhes pareceu que os alunos mais tenham gostado, em que medida o trabalho em grupo favoreceu o debate crítico, se a realização de tarefas com base no quotidiano permitiu uma maior conexão dos conceitos matemáticos com a realidade e se foi ao encontro dos interesses dos alunos. Em suma, se sentiram que os alunos desenvolveram o pensamento crítico e se houve alguma mudança de atitude relevante face à disciplina de Matemática, bem como quais os desafios que se colocam na continuidade da integração de tarefas de modelação no ensino do tópico de funções em alunos do 3.º CEB. As perspetivas finais dos alunos (Apêndice 15) foram, novamente, ouvidas, em grupo, concentradas em três eixos: modelação matemática; modelação na aprendizagem de funções; e justiça social e aprendizagem de funções através da modelação matemática. Primeiramente, as questões atentaram nas principais diferenças em trabalhar os conteúdos matemáticos através da modelação, as vantagens do trabalho em grupo, o visionamento de uma conexão dos conceitos matemáticos com a vida real através da resolução de tarefas com situações da vida real. Mais concretamente, de que forma influenciou a utilização da modelação matemática para a aprendizagem do tópico de funções e à interpretação dos conteúdos em situações do quotidiano, bem como as principais dificuldades sentidas durante o processo de modelação. Por último, indaga-se qual a tarefa que mais significado atribuíram, assim como o maior contributo da resolução e debate de questões do quotidiano associadas a fenómenos sociais para a aprendizagem de funções. Todas as entrevistas, tanto as iniciais como as finais, tiveram lugar nas respetivas escolas em momentos previamente combinados com os participantes. Salvaguardando a dimensão ética das entrevistas (Cohen et al., 2018) é de realçar que, no caso dos alunos, foi primeiramente, solicitada a permissão (Apêndice 19) de participação, por escrito, aos encarregados de educação. Neste âmbito, foram expostas a finalidade das entrevistas e da participação dos educandos no estudo, sublinhando a confidencialidade e a garantia de anonimato. Deste modo, todos os alunos e docentes contactados se mostraram cooperantes à colaboração. As entrevistas aos docentes foram todas áudio gravadas, enquanto as dos alunos, uma vez que decorreram em grupo, foram registadas em audiovisual. As 116 primeiras tiveram uma duração entre 50 e 90 minutos. Nas segundas, a sua durabilidade oscilou entre 45 e 90 minutos, por grupo, sendo notório que as entrevistas finais se aproximaram mais do extremo superior do intervalo. 4.3.2. Observação Em qualquer estudo qualitativo, os investigadores introduzem-se nos contextos, dado que a fonte direta dos dados é o ambiente natural (Bodgan & Bicklen, 2013), daí que, para a triangulação dos métodos de recolha de dados, a observação surge, invariavelmente, como um instrumento privilegiado, ou nas palavras de McMillan e Shumacker (2015), “é o esteio da investigação qualitativa” (p. 376). Devido à natureza desta investigação, a observação assume-se como a técnica em relevo para cartografar os cenários de aprendizagem de funções que se desenvolvem com a aplicação de tarefas de modelação contextualizadas por fenómenos sociais. Atendendo a esta especificidade, este estudo não seria concretizável se não decorressem na sala aula evidências de aprendizagem. O grau de envolvimento do investigador na observação é considerado uma das três dimensões deste tipo de intervenção. Apesar de todas as pesquisas terem alguma forma de observação participante, as mesmas diferem pelo posicionamento do observador numa escala que varia entre uma participação completa e o seu oposto que é um mero observador (Cohen et al., 2018). A observação é caracterizada por não intervencionista (Cohen et al., 2018) na medida em que, com ela, não se pretende ‘manipular’ a situação ou os acontecimentos nem estimular os sujeitos. Por sua vez, uma observação participante implica um envolvimento do investigador de forma a obter “as perceções das pessoas sobre eventos e processos expressos em ações, sentimentos, pensamentos e crenças” (McMillan & Schumacher, 2014, p. 378). Torna-se, pois, importante, estabelecer um equilíbrio observacional que estabeleça validade e fiabilidade ao estudo. Nesta investigação, a observação decorreu no seu contexto, definindo-a como naturalista, observando os atores a interagir no processo natural do quotidiano (Cohen et al., 2018). Para isso, os cenários selecionados foram as aulas e os momentos de trabalho com as docentes das turmas. O papel assumido pela investigadora variou entre a observação participante e a não participante, dentro de um carácter flexível e aberto. Esta opção encontra-se fundamentada pelas características de um estudo qualitativo que abarca diversos níveis de envolvimento do investigador em função das situações a observar. Por estes motivos, recorreu-se a uma observação participante em sessões de trabalho conjunto com as professoras e à observação não participante nas aulas. 123 Tabela 4 Tarefas de modelação de 9.º ano de acordo com as AEM Tarefas de 9º Ano Tema e Tópicos Objetivos de aprendizagem O trabalho e as Mulheres Álgebra - Funções afins - Funções de proporcionalidade inversa - Funções quadráticas - Resolução de equações de 2.º grau a uma incógnita Interpretar e resolver problemas que envolvam proporcionalidade inversa; Identificar variáveis inversamente proporcionais e calcular constante de proporcionalidade; Representar e reconhecer uma função de proporcionalidade inversa através de representações múltiplas e estabelecer conexões entre estas; Resolver problemas com recurso a funções de proporcionalidade inversa; Interpretar e modelar situações de outras áreas do saber que envolvam a proporcionalidade inversa; Reconhecer funções quadráticas no mundo real; Resolver problemas que envolvam equações do 2.º grau, em diversos contextos. O trabalho e a conquista das 8 horas As mutações do trabalho Retratos da vida de trabalho Redistribuição da riqueza A uberização do trabalho A tarefa ‘Trabalhadoras de ontem e de hoje’ (Apêndice 7) tem por objetivo introduzir o tema, levando os alunos refletir sobre as principais diferenças existentes no Mundo Laboral, sendo, portanto, uma tarefa introdutória. A primeira tarefa de modelação de 9.º ano ‘O trabalho e as mulheres: Desigualdade salarial de género’ (Apêndice 8) assinala as desigualdades salariais existentes entre género, exemplificando-o através da instituição, na União Europeia, do dia da Igualdade Salarial. É solicitado aos alunos que determinem um modelo matemático que permita prever quantos anos serão precisos para atingir igualdade de género económica a nível mundial. Na tarefa ‘O trabalho e a conquista das 8 horas’ (Apêndice 9) mostra a evolução da redução do número de horas de trabalho semanal a partir do séc. XIX. Os alunos terão de descrever matematicamente a situação e fazer inferências acerca da possível existência de uma relação de proporcionalidade. Na tarefa seguinte, ‘As mutações do trabalho’ (Apêndice 10), aborda a indústria têxtil da região do Vale do Ave, panorama que se utiliza para criar um modelo que descreva o número de trabalhadores necessários à produção do volume de encomendas, desde o ano de 1850, fazendo variar o número de horas semanal. 124 A tarefa ‘Retratos da vida de trabalho’ (Apêndice 11) é emoldurada pela comparação salarial entre os trabalhadores de uma empresa internacional sediada em Portugal, evidenciando, através de modelos matemáticos, as desigualdades sociais provocadas pelas diferenças salariais. Na tarefa ‘Redistribuição da riqueza’ (Apêndice 12) os alunos são levados a criar modelos que ensaiem possíveis redistribuições de lucros de dadas empresas, de acordo com dois modelos económicos. Por fim, a tarefa ‘A uberização do trabalho’ (Apêndice 13) enfoca a precariedade associada ao trabalho na área do transporte privado urbano, associado a empresas multinacionais. A construção do modelo possibilita determinar o ganho diário de um motorista desta plataforma eletrónica e inferir algumas situações associadas a essa remuneração. 4.5. Procedimentos e técnicas de análise dos dados Os dados recolhidos foram sujeitos a uma análise, o que pressupôs trabalhar com o material que foi acumulado seguindo uma estrutura cronológica que envolveu “a sua organização, divisão em unidades manipuláveis, síntese, procura de padrões, descoberta de aspetos importantes e do que deve ser apreendido” (Bodgan & Biklen, 2013, p. 205). Dito de outra forma, começou por se realizar um processo de familiarização com os dados de modo a proceder-se ao reconhecimento de padrões tendo, com este propósito, sido adotada a análise de conteúdo (Bardin, 2016). Para se proceder a essa categorização foram objeto de análise as aulas observadas, as notas de campo elaboradas ao longo dos momentos de trabalho, o conteúdo das entrevistas, as produções dos alunos e os documentos internos e reguladores das escolas. De modo equivalente, Miles et al. (2020) sugerem que a análise de conteúdo se divide numa sequência de três passos: redução dos dados; apresentação dos dados; e conclusões. Neste mesmo sentido, Bardin (2016) propõe a análise temática como um dos modelos da análise de conteúdo, a qual envolve, pelo menos, três fases, a saber: i) Pré-análise; ii) Exploração do material; e iii) Inferência e interpretação. Orientando a análise segundo estas diretrizes, começou-se por se estruturar o corpus documental efetuando, primeiramente, uma chamada leitura flutuante com o intuito de que a escolha dos documentos que o comporiam fossem ao encontro de respostas significativas aos objetivos de investigação. Com efeito, os instrumentos reunidos para constituir o corpus da pesquisa definem-se por registos orais como sendo as entrevistas efetuadas aos participantes do estudo, registos orais das aulas observadas que passam por gravações áudio e vídeo, registos escritos das tarefas elaboradas pelos alunos e documentos oficiais dos Agrupamentos de Escolas tais como ‘Projetos Educativos’ e ‘Planos Anuais de Atividades’. 125 É de salientar que tanto os registos de observação de aulas como as transcrições das entrevistas foram alvo de leituras atentas, com vista à identificação de excertos e segmentos que se coadunassem com uma categorização referente às dimensões do estudo numa perspetiva dedutiva ou, eventualmente, indo ao encontro de características que se vislumbrassem apenas na sua análise, segundo uma perspetiva indutiva. Numa segunda fase do processo, que corresponde à exploração do material, partiu-se para o aprofundamento do estudo do corpus documental com vista à sistematização das decisões previamente tomadas (Bardin, 2016), começando por definir como unidade de registo o tema. No que diz respeito a essa análise, a procura na identificação de regularidades incidiu, em torno de quatro unidades de análise: (i) posicionamento dos alunos, professores, diretores e documentos internos dos Agrupamentos face à temática da modelação matemática e da Justiça Social; (ii) aprendizagem de funções com tarefas de modelação; (iii) aprendizagem de funções com tarefas contextualizadas por questões sociais; e, por fim, (iv) contributos da aprendizagem de funções com tarefas de modelação com temáticas de justiça social. Este enquadramento perspetivou-se a priori em torno da utilização de assuntos de justiça social e da modelação matemática na prática letiva, mas ocorreu, essencialmente, a posteriori , a partir dos próprios dados obtidos, segundo uma natureza interpretativa. De forma a operacionalizar os procedimentos de análise, impõe-se uma preparação quer dos textos a tratar, quer dos restantes instrumentos recolhidos (Bardin, 2016), surgindo, assim, a codificação que lhes corresponde. Na Tabela 5 encontram-se descriminados os significados relativos a cada um dos códigos construídos. Tabela 5 Significado dos códigos atribuídos aos materiais da recolha de dados Código Significado ED_LJ/MA E_Nome_LJ/MA EI/F_Nome_LJ/MA EI/F_Aluno,Gx_LJ/MA EI/F_Gx_LJ/MA GOAx GOAx_Gx GOAx_Professora GOAx_Aluno,Gx RE_Aluno,Gx NCEI/F_data NCOA_data NCMT_data Entrevista a(o) diretor(a) Escola Lídia Jorge/Mariana Alcoforado Entrevista professor(a) ) Escola Lídia Jorge/Mariana Alcoforado Entrevista Inicial/Final professora turma Escola Lídia Jorge/Mariana Alcoforado Entrevista Inicial/Final alunos, Grupo x, Escola Lídia Jorge/Mariana Alcoforado Entrevista Inicial/Final Grupo x, Escola Lídia Jorge/Mariana Alcoforado Gravação de observação de aula número x Gravação de observação de aula número x, relativa ao Grupo x Gravação de observação de aula número x, professora Gravação de observação de aula número x, relativa aoAluno/a Grupo x Registo Escrito aluno, Grupo x Nota de campo de entrevista inicial/final, alunos/professores, data Nota de campo observação de aula, data Nota de campo momentos de trabalho, data Nota: A letra x contempla vários valores: No que respeita ao número de grupos em que se organizaram os alunos, na Escola Lídia Jorge varia entre 1 – 5 e na Escola Mariana Alcoforado varia entre 1 – 7. Quanto ao número de aulas observadas, na Escola Lídia Jorge varia entre 1 – 32 e na Escola Mariana Alcoforado varia entre 1 – 26. 126 Profundamente ligado ao processo de codificação, encontra-se a categorização dos dados que permite operacionalizar a correspondência entre um determinado código e a categoria em que se considera incluí-lo (Amado, 2017). Para esta constituição foram tidos em conta alguns critérios e regras sugeridos por Bardin (2016), como foi o caso de agrupar as unidades por temas, cumprindo o critério semântico; a regra da exaustividade que impele a, uma vez definido o corpus , ter em conta todos os elementos desse corpus, algo que se verificou; a regra da homogeneidade uma vez que foi utilizado um único princípio de categorização; a regra da pertinência na medida em que as dimensões analisadas pertencem ao quadro teórico; a regra da objetividade e fidelidade, pois as categorias revestem-se de clareza na sua definição e utilização; e, por fim, a regra da produtividade uma vez que a partir das categorias obtiveram-se resultados profícuos e inferiram-se conclusões relevantes. Importa reconhecer que a última etapa surge com o trabalho minucioso do tratamento dos dados, inferência e interpretação (Gibbs, 2018). Nesta ótica essencialmente interpretativa, foi criado o diálogo comparativo entre as categorias já definidas e, novamente, revisitada a literatura. Salienta-se que para cada tema foi reelaborado um sistema de categorias, após o refinamento dos dados. Nesta reestruturação assenta a forma como estão elaborados os casos. Quanto ao primeiro tema, ‘Caracterização do contexto escolar’ (Tabela 6), definiram-se três categorias: i) horizonte escolar; práticas profissionais dos docentes e trajetórias e vivências escolares dos alunos; ii) perspetivas sobre modelação matemática; e iii) noções de educação e justiça social. Tabela 6 Categorias e dimensões relativas ao tema Caracterização do contexto escolar Categorias Subcategorias Dimensões Horizonte escolar Missão escolar Responsabilidade social Princípios Práticas Organizativas e Gestão Visões e desafios Intervenção na Comunidade Posicionamento face à Matemática Prática Docente Prática profissional Ensino de funções Práticas de modelação Trajetórias escolares dos alunos Motivações escolares Contrariedades Relação com a Matemática Perspetivas de Modelação Matemática Matemática e Realidade Tarefas de Modelação Contexto das tarefas Noções de Justiça social Implicações da Matemática na exclusão escolar e desigualdade social Valorização dos diferentes contextos de partida Avaliação das desigualdades existentes 127 As subcategorias relativas à categoria ‘Horizonte escolar’ emergiram dos dados, numa perspetiva indutiva, fruto da análise dos documentos orientadores dos Agrupamentos e do registo das entrevistas. A categoria ‘Perspetivas de modelação matemática’ é dimensionada a três unidades de análise com influências da literatura (Barbosa 2006; Brandt et al., 2016; Maaβ, 2010). De igual modo, a categoria ‘Noções de justiça social’ é analisada, segundo o enquadramento teórico, priorizando as implicações da Matemática na exclusão escolar e desigualdade social (Rawls, 2013; Skovsmose, 2021; Young, 2022); a valorização dos diferentes contextos de partida (Valero, 2023; Fraser, 2022) e a avaliação das desigualdades existentes (Gutiérrez, 2018). No que diz respeito ao tema ‘Momento de Aprendizagem’ (Tabela 7) definiram-se três categorias: i) narrativa da intervenção; ii) processos em torno das tarefas de modelação; e iii) aprendizagem matemática contextualizada por fenómenos sociais. Tabela 7 Categorias e dimensões relativas a Momentos de aprendizagem Categorias Subcategorias Dimensões Narrativas da Intervenção Panorama cronológico Motivação Trabalho em grupo Autonomia de trabalho Tarefas de modelação Processos estabelecidos nas etapas de modelação compreensão, simplificação e estruturação da tarefa matematização e trabalho com o modelo interpretação dos resultados e validação do modelo Barreiras cognitivas Tipos de representação Aprendizagem de funções contextualizada por fenómenos sociais Conhecimento reflexivo Importância dos resultados para a interpretação Espaços de interação Debate crítico A categoria ‘Narrativas de Intervenção’ é relatada numa visão cronológica e analisada nas vertentes da motivação, trabalho em grupo e autonomia de trabalho, indicadores provenientes da investigação sobre implementação da modelação matemática em contexto educativo (Blum & Ferri, 2009; Blum, 2015). 128 Com a finalidade de analisar a subcategoria ‘Processo estabelecidas nas etapas de modelação’ é seguido o modelo de Verschafell et al. (2000) e o ciclo de modelação de Blum e Leiss (2007), a partir dos quais se descrevem as etapas do processo de modelação, guiadas pela análise das atividades dos alunos na resolução de tarefas de modelação, ao longo de um conjunto de ações que se condensam em três etapas: (1) compreensão, simplificação e estruturação da tarefa; (2) matematização e trabalho com o modelo matemático; e (3) interpretação dos resultados e validação do modelo matemático. A par desta análise, elencam-se as atividades cognitivas associadas às transições entre as diferentes fases do processo de modelação de Stillman e Galbraight (2012), bem como as representações privilegiadas pelos alunos (Amado, 2022). A categoria ‘Aprendizagem de funções contextualizada por fenómenos sociais’ é dividida em duas subcategorias de análise: o conhecimento reflexivo; e espaços de interação. Por sua vez, estas subcategorias são percecionadas por elementos da literatura que conduzem à importância que os alunos atribuem à aplicação da Matemática para a resolução da tarefa (Gutstein, 2018; Rubel et al., 2021; Skovsmose, 2023); e o debate crítico que é gerado (Barbosa, 2006; Simic-Muller, 2019). Relativamente ao tema ‘Contributos das tarefas de Modelação’ (Tabela 8), circunscreve-se a análise às categorias: i) perspetivas dos alunos; e ii) perspetivas das professoras da turma. Tabela 8 Categorias e dimensões relativas a Contributos das tarefas de modelação Categorias Dimensões Perspetivas dos alunos Importância das Pesquisas Trabalho em grupo Benefícios das tarefas Dificuldades Contributo do debate das questões sociais Matemática como ferramenta de apoio à interpretação das desigualdades Perspetivas da professora da turma Mudança de atitudes nos alunos Dificuldades no processo de modelação Motivação e autonomia dos alunos Constrangimentos As duas categorias relativas ao tema Contributos das tarefas de modelação foram analisadas segundo dimensões que emergiram dos dados, como forma de balanço dos produtos finais. 129 CAPÍTULO 5 ESTUDO DE CASO SOBRE A TURMA DE 8º ANO O capítulo do caso de uma turma de 8.º ano encontra-se organizado em quatro secções. Na primeira, procede-se a uma descrição do contexto escolar e a um retrato preambular dos intervenientes, que pretende situar o caso no seu ambiente. Ainda nesta secção é dada a conhecer a voz dos alunos (assim como da diretora e dos docentes do grupo de Matemática) sobre o sentido que atribuem à importância de aprenderem Matemática e às situações de ensino que lhes são inculcadas com esse fim, procurando, desta forma, analisar as condições de partida e o grau de recetividade dos alunos à indução de atividade de modelação matemática, bem como as suas perspetivas sobre uma Educação Matemática para a Justiça Social. Na segunda secção é descrita a atividade dos alunos referenciada às tarefas de modelação matemática baseadas em questões sociais. De seguida, é percecionado o benefício da introdução de atividades de modelação que relacionem o tema de funções com temas extraescolares do mundo real, primeiramente, sob o ponto de vista dos alunos, seguido da posição da professora. Por fim, é apresentada uma síntese do capítulo com o propósito de refinar as dinâmicas estabelecidas em torno das tarefas de modelação circunstanciadas ao ambiente em que se desenvolveram e aos produtos que originaram. 5.1. O horizonte escolar e as vozes de intervenientes da comunidade educativa O enquadramento do ambiente educativo vivido pelos alunos que são o foco investigativo é aqui apresentado, em primeiro lugar, pelo modo organizativo da escola e pelos seus principais eixos de ação, emergentes quer dos seus principais documentos, quer do discurso da representante do órgão de gestão. A escola composta por diferentes agentes educativos é um dado adquirido desde a democratização da mesma. Julga-se, portanto, incontornável dar a conhecer a perceção dos seus principais intervenientes, pela mão da representante do órgão de gestão da instituição, pelos professores do grupo de Matemática e pelos alunos da turma de 8.º ano. O objetivo desta abordagem é conhecer algumas das inquietações éticas e das práticas relativas à profissão, no caso da diretora e dos professores de Matemática. No caso dos alunos, tentase compreender como equacionam e vivem as práticas educativas, a par das noções que detêm sobre Matemática e a realidade bem como o enfoque dado à disciplina relativamente a assuntos de carácter social. 130 5.1.1. A escola e a sua missão O Agrupamento de Escolas da turma que integra este estudo de caso, doravante designado por Agrupamento de Escolas Florbela Espanca, situa-se num dos concelhos do Barlavento algarvio e abrange três das suas freguesias. Embora a escola sede date do ano letivo 2010 2011, as restantes escolas que a compõem têm décadas. Conta, no momento, com cerca de 1900 alunos, distribuídos por onze estabelecimentos, desde o ensino pré-escolar ao ensino secundário. A escola a que se reporta o presente estudo é a escola sede, escola de Ensino Básico de 2.º e 3.º ciclos e Ensino Secundário, localizando-se em meio urbano o que, desde já, a faz distinguir das outras duas escolas similares do Agrupamento, uma vez que uma delas se situa num meio piscatório e a outra num meio rural. Cada uma das escolas apresenta realidades singulares não só pela sua dispersão geográfica como também pelo facto de a população escolar que a frequenta derivar de diferentes contextos socioeconómicos (Projeto de Intervenção 2019-2023, p. 7). Quanto à resposta educativa, o Agrupamento de Escolas aposta no Ensino Básico, para além dos currículos regulares, na promoção da inclusão social com a oferta do Programa Integrado de Formação e Educação (PIEF) numa das suas escolas, tendo também na escola sede turmas de ensino integrado de Música. O Ensino Secundário funciona apenas na escola sede e encontra-se totalmente dedicado ao Ensino Profissional nas áreas da Música e Artes do Espetáculo. O Agrupamento possui uma unidade de apoio especializado à educação de alunos com multideficiência. Em termos genéricos, a missão do Agrupamento incide na promoção do sucesso individual dos alunos, tal como é preconizado no seu Projeto Educativo (PE), bem como, pretende que o ensino seja de qualidade, assente na igualdade de oportunidades, pautado por valores éticos e socialmente responsáveis. Para operacionalizar estes princípios o corpo diretivo apoia-se numa oferta educativa diferenciada, como explicita a diretora: Ao nível do agrupamento, nós oferecemos dentro do 1.º, 2.º e 3.º ciclos, no secundário, diferentes oportunidades. Por exemplo, numa das escolas do agrupamento temos PIEF que é uma oportunidade que contribui de facto para a inclusão, isto é, aqueles alunos que estavam no fim de linha o agrupamento dá-lhes respostas e com o tempo tem vindo a funcionar muito bem, a dar as respostas adequadas. Nós conseguimos dar aos nossos alunos que têm um percurso mais irregular esse encaminhamento, que lhes permite concluir o 3.º ciclo com sucesso e que lhes permite depois seguir o seu percurso educativo. (ED) Para além do já referido, um dos objetivos da escola é assumir-se como um espaço de intervenção social (PE), e, neste sentido, o Agrupamento desenvolve um conjunto de atividades que se possam inscrever neste domínio; nomeadamente, na interação dos alunos com instituições de 131 solidariedade, quer seja no campo da recolha e doação de bens materiais: “agora, por exemplo, não tarda, vão realizar uma atividade que tem a ver com os animais, tudo aquilo que conseguirem angariar vão entregar à associação dos animais” (ED), quer seja numa ótica de partilha de saberes: “também, por exemplo, os alunos vão aos lares de idosos, vão trabalhar com eles, tocar, cantar…” (ED). Em termos diretivos, o órgão de gestão da escola é formado por uma equipa coesa e com experiência de trabalho conjunto, que dá início ao funcionamento da escola sede no ano letivo 2010 2011, empenhado em construir o Agrupamento com base na “diversidade de todos quantos o integram, com a atenção e acompanhamento devidos, no respeito pelas especificidades e preservação de cada identidade” (Projeto de Intervenção 2011-2015, p. 3). Nas palavras da diretora, corroboradas pelo PE, o corpo docente é estável, verificando-se, recentemente, um aumento significativo de professores pertencentes aos Quadros. As idades dos professores concentram-se entre os 35 e os 50 anos, o que, segundo a diretora, se caracteriza por um corpo docente jovem. Não temos muitas pessoas em idade de aposentação, temos muitas pessoas jovens. Ainda outro dia estive a consultar os escalões e não há muitas pessoas no 8.º ou 9.º escalão. Há uma grande quantidade de professores contratados, tem vindo a diminuir, mas especialmente na escola sede, que tem características diferentes, que é o facto de ter ensino artístico especializado, nomeadamente nos cursos profissionais porque temos cursos de jazz e teatro e aí leva-nos a ter um conjunto de professores contratados jovens. Fora isso, é um corpo minimamente estável, com as mudanças naturais. (ED) No que se refere ao ambiente da escola em termos profissionais, a diretora define-o como “agradável, as pessoas sentem-se bem, acho que se sentem livres, confortáveis” (ED). Já no que diz respeito à motivação do corpo docente, apesar de não sentir que exista mais desmotivação que há uns anos, reconhece que os professores revelam desgaste e cansaço e aponta uma possível razão: “o que eu acho que são exigidas muitas tarefas fora de sala de aula. Enquanto diretora tento, dentro dos normativos legais, ao abrigo do artigo 79, por exemplo, retirar o excesso, tudo o que sirva para apaziguar” (ED). Relativamente aos resultados do desempenho escolar dos alunos, tanto na avaliação interna como na avaliação externa proveniente dos exames nacionais às disciplinas de Português e Matemática, a diretora, Ana Maria, mostra-se orgulhosa: 132 Na avaliação externa que tivemos fomos avaliados com Muito Bom nessa área, como, aliás em todas as outras áreas. Nós, neste r anking que saiu, tendo eu muitas reticências em relação aos rankings porque eles dependem exatamente dos contextos, ficamos em primeiro lugar no concelho. Em relação à média nacional também julgo que estamos bem. (ED) Com esta afirmação depreende-se uma certa preocupação com a avaliação externa e posicionamento nos rankings escolares que acaba por ir ao encontro da missão do agrupamento que incide na promoção do sucesso individual dos alunos (PE). No que diz respeito aos resultados alcançados pelos alunos do Agrupamento à disciplina de Matemática na avaliação externa, Ana Maria remete para o Muito Bom obtido na avaliação externa do próprio Agrupamento, no que se refere a esse indicador, e acrescenta que a escola ficou em primeiro lugar relativamente às outras escolas do concelho. Ainda assim, salienta que, dentro do Agrupamento, os resultados das três escolas foram distintos porque os contextos também o são, alertando, por isso, para o cuidado a ter na leitura deste tipo de estudos, explicitando: Eu tenho muitas reticências em relação aos rankings , porque eles dependem exatamente dos contextos. Por exemplo, os professores que nós temos aqui são os mesmos que temos em B e C, e lá os resultados são diferentes. Eu não posso comparar a escola A com a B ou a C porque o estrato social a nível socioeconómico e cultural dos pais é diferente. (ED) Nos corredores da escola, o ambiente é tranquilo, onde a reverberação do som de alguns instrumentos cria uma atmosfera intimista. As paredes cobrem-se de desenhos, pinturas e inúmeros trabalhos são expostos um pouco por todo o lado, denotando uma participação ativa dos alunos na comunidade escolar. Num dos acessos à sala dos professores, em lugar de destaque, encontra-se uma plataforma de exposição dedicada à floresta, sendo a mesma preenchida por trabalhos de vários alunos e cujo tema central é a importância de defender a floresta 63 (NC_fev 2018). 5.1.2. A diretora do Agrupamento Nesta subsecção é dado lugar ao posicionamento individual da representante do órgão de gestão no que diz respeito às representações que estabelece quanto a um possível imperativo ético da disciplina de Matemática, razões do seu insucesso e propostas de reorientações curriculares. 63 No ano de 2017 deflagraram, em dois momentos distintos, incêndios devastadores, sobretudo, na região centro de Portugal. 235 No referente à qualidade das aprendizagens relativas ao 1.º período do ano letivo em curso, constatou-se que os níveis inferiores a três foram significativos a grande parte das disciplinas curriculares, embora tenham contrastado com os resultados à disciplina de Matemática onde somente 6 alunos tiveram nível inferior a três. A este propósito intui-se uma divergência latente no discurso dos professores do Conselho de Turma e na professora de Matemática. Por um lado, o conselho de turma considera que os alunos, de uma forma geral, revelam baixos níveis de atenção em sala de aula, não apresentam hábitos, métodos e organização de trabalho, nem sempre realizam as tarefas propostas para casa e manifestam pouco empenho na realização das atividades escolares. Como estratégia de superação, o conselho de turma referiu que irá continuar a incentivar a participação em sala de aula, valorizar os hábitos e métodos de trabalho e aumentar o controlo sobre os cadernos diários e trabalho de casa, orientando os alunos para o estudo. A diretora de turma, por sua vez, continuará a solicitar aos respetivos encarregados de educação a consulta dos registos de índole comportamental (Ata de Avaliação 1.º P., 9.º Y). Por outro lado, a docente de Matemática discorda da avaliação que os seus colegas fazem da turma, revelando que, na sua opinião, a turma tem bom ritmo e capacidade de trabalho na aula, são participativos, embora desorganizados e aderem com facilidade às atividades propostas em contexto sala de aula. O grande problema da maioria dos alunos é a falta de hábitos de estudo em casa, o que, segundo a docente, se deve à falta de referentes e do pouco incentivo que recebem fora da escola da importância do trabalho e da persistência (NCMT _jan 2019). Ainda nesta análise, ressalta o elevado número de atividades agendadas no Plano de Turma, ocorram elas no seio escolar ou em visitas de estudo, tranversais à maioria das disciplinas (PT). Inferese que este cenário vai ao encontro do preconizado no Projeto Educativo da Escola e na sua aposta em projetos educativos. A relação que os alunos estabelecem com as escolas que frequentam é determinante nos processos de aprendizagem que desenvolvem ao longo de todo o seu percurso, ainda assim os alunos têm tendência a analisarem-na apenas com base no vínculo atual. Os resultados (n= 22), apresentados na Tabela 30, não deixam dúvidas à inferência de que os alunos desta turma de 9.º ano encontram-se satisfeitos com a sua escola, justificando-o com aspetos que vão desde os recursos físicos, aos projetos escolares, à existência de bons professores, como exemplificam as afirmações de Ana, Martim e Leonor: “Gosto da escola, é um lugar acolhedor e as instalações são novas” (EI_G3); “Temos muitas atividades para fazer para além das aulas e os espaços são agradáveis” (EI_G6); “temos professores muito porreiros e que nos compreendem” (EI_G4). Ainda assim há alguns alunos (n=7) que qualificam o seu gosto pela escola como “mais ou menos”, sendo o caso de Gabriel: “quando andava na primária 236 gostava tinha os meus amigos e diversões, agora quando vim para esta escola já não é assim, prefiro estar em casa, é mais as aulas e a seca de ter de estudar muito, na primária tínhamos mais liberdade” (EI_G1). Tabela 30 Frequências relativas ao percurso e motivação escolares dos alunos de 9.º ano Subcategorias Perceções Frequência Relação com a escola Boa 22 Mais ou menos 7 Motivação para a escola Estar com os amigos 25 Aulas interativas e práticas 8 Aprender um pouco mais 2 Ter uma rotina 3 Fatores de desmotivação Aulas aborrecidas 20 Maus professores 12 Muitos testes juntos 15 Aulas iniciarem muito cedo 8 Pouco diálogo com os professores 6 Disciplinas preferidas Ciências Naturais 9 Matemática 5 Educação Visual 4 Português 4 Inglês 4 Educação Física 3 Espanhol 2 Disciplinas menos apelativas Físico-Química 9 História 9 Inglês 5 Geografia 3 Matemática 3 Disciplinas que revelam mais dificuldades Inglês 8 Físico-Química 8 História 4 Matemática 4 Ciências Naturais 2 Educação Visual 2 Português 2 Área que gostariam de estudar no futuro Gestão/Contabilidade 4 Engenharia Informática 5 Profissional de Saúde 7 Educação Infantil 2 Designer 2 Veterinária 2 Assistente de bordo 1 Agricultura 1 Não Sabe 5 237 Na esfera motivacional à frequência escolar encontra-se, em primeiro lugar, o convívio com os pares ( ), como no caso de Raquel: “o que mais me motiva em vir para a escola é saber que vou estar com os meus amigos” (EI_G6), seguida da referência a aulas interativas e práticas assim como a importância de terem uma rotina. Apenas um aluno alude ao facto de poder “aprender um pouco mais” (EI_Gonçalo, G7). O que mais desmotiva os alunos são aulas que intitulam “aborrecidas” ( ), muitas das vezes sinónimas de “teóricas” ( ), como argumentam as seguintes alunas: “Há professores que não nos deixam respirar, levam tudo muito a sério e não criam qualquer ligação connosco. Há uma grande distância” (EI_ Maria, G4); “Gosto de vir à escola quando sei que vou ter aulas interessantes. Quando sei que naquele dia só vou ter aulas aborrecidas, só me apetece ficar em casa” (EI_Raquel,G6). Deduz-se do discurso dominante que vários são os alunos que gostam do recinto escolar e de tudo o que isso proporciona, mas das aulas em si sentem bastante relutância, como afirma Miguel: “gosto de vir para a escola não gosto é de ter aulas” (EI_G5). Alguns alunos ( ) também referem, como fator negativo, a entrada matinal na escola ocorrer muito cedo, principalmente quem tem de percorrer muitos quilómetros até chegar ao recinto, como afirma Inês, “quem é das aldeias tem de acordar muito cedo para chegar à escola a horas, eu acordo todos os dias às 5 e meia da manhã” (EI_G4). Do leque de disciplinas preferidas, Ciências Naturais surge como a eleita ( ), sendo que os argumentos mais usados para esta escolha foram o gosto pelo conhecimento do corpo humano e da natureza ( ). Quem escolheu a disciplina de Matemática ( ), fê-lo justificando a preferência pela professora, como foi o caso de Maria, “sem dúvida que a professora tem uma grande influência nesta escola, está sempre disposta a ouvir-nos e as aulas são muito interativas” (EI_G4). Por sua vez, quem elege como disciplina favorita Inglês ou Espanhol, justifica-o com a importância na comunicação universal, como exemplificam as afirmações de Martim e Isabel: “É o Inglês pelo facto de ser uma língua que todos devemos falar e aprender” (EI_G6); “Para mim são o Inglês e Espanhol, pois adoro aprender outros idiomas para poder comunicar sem ser na minha língua materna” (EI_G5). Na vertente oposta, os alunos apresentam a disciplina de Físico-química como a que lhes desperta menor interesse ( ), associando-o, essencialmente, com dois aspetos, a dificuldade em entenderem os conteúdos e a relação de pouco à vontade com a professora, como se infere da seguinte afirmação “não gosto de Físico-química porque não entendo como a professora faz e explica 238 os exercícios. Mas também não me sinto nada à vontade para perguntar” (EI_Vera, G2). Inglês surge como a disciplina mais referenciada, a par de Físico-química, no que diz respeito às disciplinas que sentem mais dificuldades ( ), sendo que os motivos se repetem entre o não compreenderem e a pouca empatia com as professores, como indica Maria: “sempre achei Inglês muito difícil porque nunca tive as bases necessárias, mas com esta professora também sinto que nem vale a pena o esforço, não vou conseguir” (EI_G4). No ramo dos objetivos futuros, as profissões ligadas à Saúde ( ) são as mais desejadas, seguidas de Engenharia Informática e a área de Gestão. Não sendo de estranhar, dado a conexão ao meio rural, ainda são mencionadas áreas como Agricultura ou Veterinária. Um número significativo de alunos ( ) apontam as disciplinas de Matemática e Biologia como determinantes para o seu futuro. Ao perscrutar sobre as perceções dos alunos relativas a alguns aspetos das suas aprendizagens da Matemática, verificou-se, em primeiro lugar, que a turma de 9.º ano indica a realização de exercícios e a resolução de problemas como tarefas preferenciais. É, de facto, esta fusão, como se pode ler na Tabela 31, que predomina no discurso dos discentes na hora de argumentarem a escolha e que emerge das seguintes afirmações: Gosto de resolver exercícios, pois gosto de ir aumentando o grau de dificuldade, e quando já percebo gosto de resolver problemas (EI_ Theresa, G7); Exercícios e problemas, pois aprendemos a matéria e depois praticámo-la (EI_Madalena,G5); Exercícios, porque são o que percebo melhor (EI_ Daniela,G3); Gosto mais de exercícios porque são mais fáceis de perceber (EI_ Inês, G4); Problemas, porque isso faz pensar (EI_ Ricardo, G2). Destas declarações, infere-se que a dualidade exercício-problema tanto pode ter um carácter complementar, como pelo contrário, ser excludente. Tabela 31 Frequências relativas à aprendizagem da Matemática dos alunos de 9.º ano Subcategorias Perceções Frequência Tarefas Exercícios 22 Problemas 10 Trabalhos em grupo 2 Conteúdos matemáticos mais interessantes Funções Quadráticas 1 Equações 10 Inequações 8 239 Teorema de Pitágoras 2 Funções 4 Conteúdos matemáticos com mais dificuldades Inequações 3 Geometria 6 Equações 5 Expressões algébricas 1 Funções 7 Resolução de Problemas 6 Dos conteúdos matemáticos que, à data, mais os motivaram, nomeiam as equações (n=10), seguidas das inequações. Identifica-se das apreciações feitas pelos alunos que se referem às equações de 2.º grau, como exemplificam as seguintes afirmações: As equações porque gosto de usar a fórmula resolvente (EI_ Theresa, G7); A fórmula resolvente porque é muito fácil de aprender e simples de aplicar (EI_Lúcia,G6). Deduz-se destas escolhas que o facto dos procedimentos matemáticos implicarem regras práticas e/ou aplicação de fórmulas são, em geral, mais aceites por este grupo. No entanto, e apesar de parecer que os alunos são capazes de reconhecer e produzir formas equivalentes de expressões, equações e desigualdades, o mesmo não é certo que consigam utilizar a da álgebra simbólica de modo a, por exemplo, escreverem expressões algébricas para expressarem funções. Até porque, as temáticas em que os alunos admitiram sentir mais dificuldades são as Funções ( ), bem como a Geometria ( ), sendo que, nesta última, não especificam os tópicos. No domínio das funções, o grupo especifica as dificuldades na compreensão e utilização dos conceitos algébricos, como se regista com as afirmações: “tive dificuldade na interpretação das expressões algébricas” (EI_ Ricardo, G2); “de funções em geral não percebo nada, principalmente, na passagem do gráfico para a expressão” (EI_Nídia,G3). É de destacar que um número significativo ( ) apresentou a resolução de problemas como um obstáculo na aprendizagem da Matemática, embora não concretizem a sua referência. Procurando perceber a forma como encaram a importância da Matemática nas suas vidas, sugere-se que os alunos da turma exponham esta relação. Das respostas dadas é latente a perceção de que a Matemática terá um lugar privilegiado nos seus futuros dependendo da profissão que tiverem, como registado na Tabela 32, e sendo exemplo das afirmações dadas nesse sentido a de Martim: “o básico é sempre necessário, mas além disso, vai depender da profissão que tivermos” (EI_G6). Ainda 240 assim, muitos são os alunos que respondem, perentoriamente, que a Matemática é importante para os seus futuros ( ), embora tenham dificuldade na sua argumentação, redundando na escolha da profissão, como exemplificam as seguintes afirmações: “para aquilo que eu quero ser é muito necessário que é seguir Gestão” (EI_ Lúcia, G6); “na verdade, eu acho que na maioria das profissões é precisa a Matemática” (EI_ Ana, G3). Tabela 32 Frequências do reflexo das aprendizagens escolares na vida quotidiana dos alunos de 9.º ano Subcategorias Perceções Frequência Atribuição importância à Matemática para os seus futuros Sim 12 Depende da profissão 14 Utilidade da matemática na vida quotidiana Para outras disciplinas 6 Compras 9 Saúde 2 Culinária 3 Desporto 1 Gestão familiar 8 Vida dos adultos 1 Temáticas de tarefas que tratam de situações do dia a dia Áreas e perímetros de terrenos 3 Trajetória de uma bola 6 Descontos e saldos 8 Conteúdos que recordam de funções Linguagem de funções 9 Proporcionalidade Direta 12 Proporcionalidade Inversa 14 Função Afim 5 Dificuldades em funções Expressão algébrica 15 Em tudo 7 Sem dificuldades 6 No que diz respeito ao modo como utilizam a Matemática diariamente, este grupo de alunos dá exemplos daquilo a que um deles chama “a Matemática está mais ligada à vida dos adultos” (EI_Gabriel, G1). Nessa lista surgem: “para pagamentos e fazer a gestão familiar” (EI_ Madalena, G5); “no futebol usa-se a Geometria” (EI_ Carolina, G1); “nos horários, para calcular o tempo necessário” (EI_ Martim, G6); “usa-se a proporcionalidade direta para fazer um bolo” (EI_ Inês,G4); “quando vamos às compras, precisámos sempre da Matemática, em quantidades, promoções” (EI_ Nídia, G3); “tem de se calcular as medidas de líquido quando tomamos um antibiótico” (EI_ Guilherme, G2). É de notar que alguns alunos acrescentam que, dos conteúdos que aprendem no 9.º ano, as aplicações no quotidiano são inexistentes e remetem a sua aplicabilidade apenas para outras disciplinas, principalmente, Físico-química, como é o caso de Diogo “sinceramente a Matemática que estamos a 241 dar não me serve para nada do dia a dia a não ser, por exemplo, em Físico-química, ajuda nas fórmulas” (EI_G3). Das tarefas que realizam nas aulas de Matemática e que retratam situações do dia a dia, os alunos narram as seguintes: por exemplo, naqueles exercícios que pedem para calcular a vedação a colocar num terreno” (EI_ Guilherme, G2); ainda agora quando demos a função quadrática tínhamos de determinar a trajetória de um foguete, e de uma bola (EI_ Maria, G4); pelo menos desde o 7.º ano que fazemos exercícios para calcular o valor do desconto, num certo produto (EI_ Olex, G3). Em relação aos conteúdos de funções que estudaram até à data e que mais presentes estão, a turma revela homogeneidade nas referências, nomeadamente, os objetivos que envolvem linguagem de funções, sendo que muitos mencionam a proporcionalidade direta ( ) e outros a proporcionalidade inversa ( ). Quanto às dificuldades mais sentidas no estudo de funções, a maioria dos respondentes indica as expressões algébricas ( ), clarificando que é de todos os conteúdos o que menos dominam, como é o caso de Leonor: De tudo o que demos em Matemática é mesmo aquilo que não entra, então na função afim é horrível, mas também aqueles exercícios de passar da função de proporcionalidade inversa para a quadrática não percebo. Os gráficos sim, mas depois passar para a expressão não consigo (EI_G4); Esta afirmação indicia as dificuldades corroboradas por grande parte da turma. Dos restantes alunos, uma parte ( ) diz sentir dificuldades em todos os conteúdos de funções e a outra ( ) declara não ter qualquer dificuldade no estudo de funções. No seguimento, as vozes dos alunos da turma de 9.º ano são ouvidas, em primeiro lugar, quanto à perceção que têm sobre o conceito de justiça (Tabela 33). Neste caminho, encontraram-se opiniões que recaem, na sua maioria, em termos como igualdade ( ) ou direitos iguais ( ). Alguns alunos particularizam “todos terem direitos iguais, independentemente do género, da espécie, da raça ou da estabilidade económica” (EI_ Inês, G4). Curiosamente, muitos foram os casos ( ) em que os alunos aplicaram o contrariu sensus para dissertar sobre justiça social, defendendo que a mesma não existe, o que existe é desigualdade. 242 Tabela 33 Frequências relativas à noção de justiça social dos alunos de 9.º ano Subcategorias Perceções Frequência Noção de justiça social Igualdade 14 Direitos iguais 12 Não existe 8 Desigualdade na distribuição de recursos Necessidades básicas 10 Diferenças de género 4 Económica 5 No acesso à cultura 2 Matemática permite debater problemas sociais Entender os números 5 Cálculo de percentagens 8 Estatísticas 6 Sem relação 10 Contributo das funções Leitura de Gráficos 6 Organizar informação 4 Não respondem 19 Na esfera da desigualdade na distribuição dos recursos, uma das unidades comparativas utilizada pelos alunos é o Continente, sendo que realçam os Continentes africano e asiático como vítimas da falta de recusos básicos ( ). Especificam que as desigualdades se encontram associadas no acesso à saúde e educação, como os seguintes alunos: “Muitas crianças em países africanos ou asiáticos não vão à escola porque têm de trabalhar” (EI_ Theresa, G7); “quando fazem aqueles peditórios para o Banco Alimentar eu e os meus pais damos sempre, porque há pessoas em África que não têm o que comer” (EI_ Miguel, G5). Outra comparação que estabelecem para exemplificar a existência de desigualdade é a de género. Um dos respondentes aponta esta situação da seguinte forma: “Em Portugal, tivemos uma ditadura durante 40 anos, onde Salazar aplicou aquele modelo da mulher ficar em casa e o homem trabalhar para ser o sustento da casa, isso influenciou a sociedade que temos hoje, ainda machista” (EI_ Martim, G6). Uma das alunas desabafa sobre a sua situação familiar: “somos dois irmãos, eu sou rapariga e ele é rapaz. Eu ajudo a minha mãe em tudo o que posso, ele se lavar a loiça já acha que faz muito” (EI_ Maria, G4). Na continuidade deste tema há quem aborde a existência de desigualdade no acesso à cultura, pondo a questão na diferenciação dos recursos nacionais ao nível territorial, como se verifica no seguinte comentário: “Se quisermos ter acesso a uma peça de teatro ou a um concerto, temos de ir a Lisboa, até para ir ao cinema precisamos de fazer 120 km, no total, isso não é igualdade!” (EI_ Matilde, G7). 243 Na vertente da Matemática poder ajudar a perceber estas diferenças, a maioria do grupo considera que não existe qualquer relação ( ). De entre os alunos que encontram na Matemática um ponto de contacto que os leva a melhor entender as problemáticas sociais, nomeiam o entendimento dos números, o cálculo de percentagens e a Estatística. Há até quem sugira tarefas como no caso de Martim e Madalena: “este ano existe uma certa percentagem de crianças que não vão à escola e no ano seguinte pode-se ir verificar se houve uma evolução (EI_G6); “Até podemos ir ver se há um padrão e se sim quanto tempo levará até que todas as crianças consigam ir à escola. E o que podemos fazer para melhorar essa percentagem” (EI_G5). Dos alunos que rejeitam que a Matemática pudesse ajudar a entender e debater as desigualdades ( ), as justificações remetem para outras áreas disciplinares, como o caso de Diogo: “acho que não, acho que aí seria mais a argumentação com o Português, ou então com a Geografia.” (EI, G4). No campo particular das funções, pressente-se pela ausência de respostas ( ), que os alunos foram confrontados com uma questão que sentem confusa (NCEI_jan2019). Dos que encontram paralelismo, mencionam, como exemplos, a leitura de gráficos e organização de informação, contributos úteis para estabelecerem previsões, como indica a aluna: “servem para comparar coisas passadas com o presente, para estudar os valores, pôr em tabelas e em gráficos” (EI_ Joana, G2). Síntese A turma de 9.º ano posiciona-se num ambiente educativo enfatizado pela carência social e económica do meio em que está inserida. Quanto à análise do percurso e motivações escolares, destaca-se que os alunos se sentem satisfeitos com a escola e a principal motivação para a frequência escolar é a convivência com os amigos. Dos fatores de desmotivação sobressaem as aulas aborrecidas e o aglomerar da realização dos testes de avaliação. Do conjunto de disciplinas, Ciências Naturais e Matemática surgem como as favoritas, argumentando-o com o gosto pelos conteúdos no respeitante à primeira e com a relação estabelecida pela professora no que concerne à segunda. Este último argumento é novamente utilizado, embora em sentido oposto, quando os alunos elencam as disciplinas menos apelativas, Físico-Química e História. Como áreas a seguir no futuro distinguem-se as áreas de Saúde e Engenharia Informática como as mais referenciadas. No plano da aprendizagem matemática, o grupo de alunos evidencia a resolução de exercícios como o tipo de tarefas que preferem resolver, ainda que haja um número não despiciendo de alunos que privilegiam a resolução de problemas. Os conteúdos matemáticos que consideram mais 244 interessantes são as Equações, seguido pelas Inequações. Dos conteúdos onde sentem mais dificuldades, são apontados a Geometria, as Equações e a resolução de problemas. Uma parte significativa dos alunos atribui uma importância relativa à Matemática para os seus futuros, na medida em que a fazem depender da profissão que desempenharem. Verificam a utilidade da Matemática no quotidiano, nas compras e gestão familiar, destacando também a sua função noutras disciplinas, exemplificando como temáticas de tarefas que tratam de situações do dia-a-dia, descontos e saldos ou a trajetória de uma bola. Em específico no campo das funções, recordam a proporcionalidade direta e inversa e a linguagem de funções, apresentando as expressões algébricas como o subtópico onde tiveram mais dificuldades. Esta turma de final de ciclo, associa justiça a igualdade e direitos iguais, enumerando as diferenças nas necessidades básicas; económicas; e de género como exemplos de desigualdades existentes. Grande parte dos alunos não considera que a Matemática permita debater problemas sociais, ainda que alguns refiram a Estatística e o cálculo de percentagens como elementos-chave no debate. Em concomitância, o contributo das funções não é ponderado pela maioria, não obstante, um número reduzido de alunos menciona a leitura de gráficos como um auxílio à compreensão de temáticas sociais. 6.1.5. Interseccionalidade das vozes Ao entrelaçar a imagem da escola, refletida nos seus principais documentos, e o discurso dos intervenientes no estudo, apresenta-se um mapeamento desse diagnóstico (Figura 48). Figura 48 Mapa Concetual do discurso dos intervenientes da turma de 9.º ano 251 Figura 52 Aluna apresenta a sua resolução, no quadro De seguida, a docente interroga a turma se os cálculos que efetuaram são suficientes para inferir conclusões, ao que os alunos respondem afirmativamente e acrescentam que vão ao encontro da frase que consta na alínea a) (Figura 53). Figura 53 Excerto da tarefa ‘O trabalho e as mulheres’, Alíneas a), b) e c) O restante tempo da aula foi passado com os alunos a desenvolverem a tarefa em grupo (NCOA_fev2019). A quarta aula observada foi dedicada à continuidade da tarefa, especialmente à alínea que pressupõe a aplicação de um modelo matemático. Previamente, a professora Isabel solicitou a apresentação das respostas às alíneas b) e c). Neste âmbito, o Grupo 3 pede para expor o que pesquisaram e concluíram, como exemplifica a seguinte conversação: Ana: Na alínea b) deu-nos que para conseguirem ganhar o mesmo que os homens, as mulheres, em Portugal, teriam de trabalhar mais 65 dias, ou seja, até dia 6 de março. Nídia: E que, ao invés, os homens poderiam começar a trabalhar apenas nesse dia para haver igualdade salarial. 252 Professora: Muito bem! E na alínea c), que pergunta como se pode inverter esta situação? Alguma ideia? Daniela: Posso, professora? A verdade é que pesquisamos e encontrámos algo que nos pareceu uma boa ideia. Professora: Força! Daniela: Na Islândia obrigaram as empresas com mais de 25 trabalhadores a pôr fim com as diferenças de salário entre homens e mulheres, e foi mesmo este ano que agora estas empresas têm de provar que pagam salários iguais a homens e mulheres que tenham as mesmas funções. (GOA4_G3) Paralelamente, ouviram-se comentários de aprovação perante o exposto quer da parte dos alunos (NCOA_fev2019). Este facto ajudou a manterem o interesse e a depositarem atenção na leitura do problema real, que constava da alínea d) e que serviria como uma primeira abordagem à modelação matemática. Neste caso, pretendia-se criar um modelo de previsão relativo ao número de anos necessário para atingir a igualdade de género económica a nível mundial. Os alunos trabalharam em grupo enquanto a professora circulava pelos lugares e auxiliava naquilo que seria a construção do modelo. Esta dinâmica durou cerca de trinta minutos, entre os quais um intervalo de dez minutos, ao qual os alunos optaram por não ir, denotando-se, entre os grupos, troca de ideias e trabalho conjunto. Terminado este tempo, a docente impeliu à discussão da resolução da tarefa em grupo turma, indicando que “daquilo que me fui apercebendo enquanto vocês resolveram é que gostaria que dois dos grupos apresentassem as vossas resoluções porque foram duas formas distintas de resolver, já veremos o porquê” (GOA5_Professora). Uma das alunas do Grupo 1 demonstra, no quadro, a sua resolução, como indicado na Figura 54. Figura 54 Docente e aluna dialogam sobre a resolução No seguimento, a professora usa-a para estabelecer o ponto da situação e instigar à discussão matemática, como exemplifica o seguinte excerto: 253 Professora: Primeiro passo importante. Organizar os nossos dados, retirando os que são importantes do texto e organizá-los. Portanto, diz-me, Carolina, por onde começaste? Carolina: Coloquei, nesta tabela, os anos do texto, 2008 e 2016 e depois transformei-os em número de anos, ao que fiz corresponder a taxa de igualdade económica. Professora: Muito bem! Mas aqui tem um dado que não está na tabela, qual será? Carolina: É o 68%? Professora: Esse é necessário? Carolina: Não! Ah, a igualdade económica aumenta todos os anos, em igual proporção. Isso foi preciso para o que vem a seguir. Está aqui, 2%. Professora: Muito bem! E esta divisão por 8? Carolina: Isso é para ver qual é o aumento anual. Porque 2% foi em 8 anos, qual deu 0,25%. Professora: E a seguir? Esta equação aqui em baixo, que significa? O que é este ? Carolina: A seguir percebemos que tínhamos de aplicar a função E este 57 é o valor inicial. O é o número de anos. Professora: Em geral, está perfeito! Faltam aqui alguns passos que gostava de para a próxima tivessem em atenção, como a identificação das variáveis. Antes de terminarmos, vamos só registar no caderno os passos que devemos seguir quando estamos a modelar uma situação, sim? (GOA5) Torna-se evidente com este diálogo que a professora pretendeu sistematizar, em grupo turma, os processos de modelação, abordando-os de forma clara e pausada, na medida em que era o primeiro contacto formal que os alunos tinham com a modelação. Desta forma, os alunos registaram no caderno, à medida que a professora ia enumerando, seis fases de modelação: Então, têm que, primeiro, interpretar a situação, depois organizar os dados seja numa tabela ou num gráfico, como quiserem, de seguida, identificar as variáveis e isto é importante, para depois chegarem ao modelo. Depois, trabalham com o modelo, claro e, por fim, interpretam os resultados, está entendido? (GOA5_Professora) Para finalizar a tarefa, a aluna continuou a expôr a resolução do seu grupo no quadro (Figura55), ao que a professora aproveitou para questionar os restantes alunos sobre a função que serviu como modelo: “como se chama esta função? E porque escolhemos esta? Já agora, como é o gráfico desta função? Qual o seu declive, e ordenada na origem?” (GOA6). Alguns alunos foram respondendo, recetivos e participativos ao questionamento (NCOA_fev2019). 254 Figura 55 Apresentação da resolução, no quadro, da alínea d) No momento em que a aluna chegou ao resultado, a professora pediu à turma que o comentassem. De entre eles, apenas surgiram “ainda temos muito que sofrer até se conseguir chegar lá” (GOA6_Raquel, G6); “só com o esforço de todas conseguiríamos mudar um pouco isto” (GOA6_Theresa, G7). Por fim, a professora chama à atenção da resolução apresentada por um dos alunos, referindo que o mesmo atingiu os mesmos resultados, mas sem o carácter formal pretendido neste nível de ensino. Com este exemplo (Figura 56), a docente evidencia a capacidade de síntese do aluno, mas salienta a falta dos passos de modelação. Figura 56 Professora comenta a resolução de um aluno Nas duas aulas seguintes, foi trabalhada a tarefa T2.1 ‘O Trabalho e a conquista das 8 horas’. Foi iniciada pela leitura do texto em grande grupo, durante a qual a professora ajudou a compreender algumas das ideias nele contidas, entre as quais “Grande Depressão e sua relação com a queda de Wall Street, modelo Keynesiano” assim como teceu alguns comentários paralelos: “Em países como a Dinamarca trabalha-se, atualmente, 27 horas semanais, por isso, pode ser, efetivamente, uma realidade” (GOA6_Professora). A dinâmica de trabalho é sugerida pela professora que aponta trinta minutos para a resolução, em grupo, da tarefa (Figura 57). De facto, é nesse tempo que os alunos se concentram a interpretar, analisar e discutir, durante o qual a docente se mostra sempre disponível para auxiliar. Desta orientação observaram-se sugestões e apontamentos como: “estou a ver aí um ramo de hipérbole 255 desenhada, o que significa um ramo de hipérbole?; tens de fazer à escala senão parece uma reta” (GOA6_Professora). Figura 57 Excerto da Tarefa 2.1., Alíneas a) a d) Ao mobilizar os alunos para a apresentação, à turma, dos resultados, a docente começou por ler as duas perguntas do texto a que se refere a alínea a): “como escapar à ditadura do tempo e se seria possível cumprir-se, em Portugal, a profecia das seis horas de trabalho” (GOA7_Professora). A intervenção foi feita por uma aluna do Grupo 5 que respondeu: Começar a trabalhar menos para fugir à ditadura do tempo e uma das formas de mudar mentalidades, principalmente, dos governantes era fazer com que estes vissem que as pessoas que trabalham o dia inteiro não têm nenhum tempo para descansar ou até estar com a família. (GOA7_Madalena, G5) Dos restantes contributos percebe-se que estiveram presentes as ideias de “mudança de mentalidades”, “greves e manifestações para reduzir o horário de trabalho” (GOA_7). Apesar de concordarem com a redução do número de horas de trabalho, nem todos os alunos a contabilizaram para a forma da distribuição do tempo laboral, de descanso e lazer (NCOA_fev2019). Um dos grupos apresentou a distribuição do dia em 6 horas de trabalho, 8 horas de descanso e 10 horas de lazer, acrescentando que nesta última porção estaria: ler um livro, ver um filme, passear, fazer desporto, estar com a família. No que diz respeito à representação gráfica dos dados contidos no texto verificouse uma grande dificuldade na mesma, que fez emergir eixos cartesianos não identificados, representações de histogramas/gráficos de barras justapostas e de ramos de uma hipotética hipérbole. 256 Com estes registos a professora aproveitou para indicar que poderiam usar calculadoras gráficas para as próximas tarefas. A tarefa terminou com o reconhecimento de que não havia evidências de proporcionalidade, quando analisado o gráfico (GOA7). A oitava aula iniciou-se com a distribuição da tarefa 2.2 ‘As mutações do trabalho’, momento em que surgiu o comentário de um aluno que provocou um riso coletivo incluindo da professora: “então, professora, estamos nós aqui a falar em reduzir o horário de trabalho e a professora dá-nos cada vez mais?” (GOA8). Leram, uma vez mais, o texto em conjunto, prática que permitiu alguns comentários e esclarecimentos por parte da docente, que foi seguida de 40 minutos de trabalho autónomo. No tempo seguinte, os alunos retiraram dúvidas com a professora onde a mesma, ao denotar as dificuldades sentidas pelos grupos, sugeriu que utilizassem o computador da sua secretária para trabalharem com o Excel. Nas duas aulas que se seguiram, a tarefa foi analisada, discutida e apresentadas as resoluções de cada grupo. A exploração da tarefa 3, ‘Retratos da vida de trabalho’, foi começada na 12.ª aula observada. Começou-se a notar uma certa naturalidade na iniciação do trabalho de forma autónoma, que correspondia à receção da tarefa, leitura em grupo do texto nela contido, seguida de diálogo intragrupal (Figura 58). Figura 58 Grupos em trabalho autónomo Após essa dinâmica, a professora pediu silêncio para lerem a tarefa para o grupo turma e aproveitou para relembrar (talvez por se aperceber de alguns alunos menos focados) o interesse matemático das tarefas, mas não só, usando as seguintes palavras: A semana passada isto correu muito bem, vamos lá ver se continua. Isto são temas importantes para vocês também, é para isto que serve a Matemática, não é só para fazer contas e não servir para mais nada, é para isto, terem sentido crítico e saberem interpretar os dados que vos dão. (GOA11_Professora) [Document text truncated for crawler view.]