Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population

I Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Máster Ingeniería Aeronáutica Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Autor: Andrea García Tárrega Tutor Profesional: Sergio Toledo Redondo Tutor Académico: Rafael Vázquez Valenzuela Dpto. de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 Trabajo Fin de Máster Ingeniería Aeronáutica Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Autor: Andrea García Tárrega Tutor Profesional: Sergio Toledo-Redondo Investigador postdoctorado en CNES Tutor Académico: Rafael Vázquez Valenzuela Profesor titular Dpto. de Ingeniería Aeroespacial y Mecánica de Fluidos Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 Trabajo Fin de Máster: Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Autor: Tutor Profesional: Tutor Académico: Andrea García Tárrega Sergio Toledo-Redondo Rafael Vázquez Valenzuela El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal A mi familia A mis maestros I Agradecimientos En primer lugar, me gustaría agradecer a mi tutor de prácticas Sergio Toledo por su cercanía e implicación en el proyecto. Gracias por el tiempo dedicado, la paciencia y la generosidad que muestras con todos tus compañeros. Agradecer también a los trabajadores de IRAP, y en concreto, al equipo de la misión MMS (Benoit Lavraud, Christian Jacquey, Philippe Louarn, Emmanuel Penou…) que han seguido semana tras semana los avances del trabajo compartiendo con nosotros su visión como expertos y aportando propuestas para afrontar las dificultades que se presentaban. Gracias a mis compañeros de despacho (Jesús, Naïs, Quentin y Amelie) por su amable compañía durante estos meses de estancia en Toulouse. A mi tutor en Sevilla, Rafael Vázquez, por aceptar este proyecto y ofrecerme su tutela y seguimiento. Finalmente, agradecer a mi familia y amigos su apoyo incondicional. Andrea García Tárrega Sevilla, 2019 Índice XVII 3.4.3 Discusión de resultados 44 4 Conclusiones y Trabajo Futuro 53 Conclusiones 53 Trabajo futuro 55 Referencias 57 Apéndice 59 A-1 Integrales de Maxwell 59 A-2 Distribución de Maxwell-Boltzmann 59 XVIII ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2–1. Presición del instrumento FPI. 27 Tabla 2–2. Formato TLE de NORAD. 30 Tabla 2–3. Línea 1 del formato TLE. 30 Tabla 2–4. Línea 2 del formato TLE. 31 Tabla 2–5. TLE de los satélites MMS1, MMS2, MMS3 y MMS4 el 22/09/2019 a las 16:06:21 UTC. 31 Tabla 2–6. Periodo, apogeo y perigeo de los satélites MMS1, MMS2, MMS3 y MMS4 el 22/09/2019 a las 16:06:21 UTC. 32 Tabla 2–7. Elementos orbitales de los satélites MMS1, MMS2, MMS3 y MMS4 el 22/09/2019 a las 16:06:21 UTC. 32 Tabla 3–1. Parámetros ajustados según el modelo maxwelliano de distribución de velocidad. 44 Tabla 3–2. Densidades estimadas para la población fría de iones magnetosféricos. 45 Tabla 3–3. Comparación de los resultados obtenidos en los distintos modelos de ajuste 1D. 47 Índice de Tablas XIX XX ÍNDICE DE FIGURAS Figura 2-1. Topología del entorno solar-terrestre. 4 Figura 2-2. Ionosfera y plasmasfera terrestres. 5 Figura 2-3. Esquema general de las corrientes magnetosféricas. 6 Figura 2-4. Líneas de campo que conectan los sistemas de corriente en la magnetosfera con las corrientes en la ionosfera polar. 7 Figura 2-5. Órbita helicoidal de un ion en presencia de un campo magnético uniforme. 8 Figura 2-6. Desplazamiento de partículas en presencia de campos eléctrico y magnético. 9 Figura 2-7. Desplazamiento de partículas en presencia de un gradiente de campo magnético. 9 Figura 2-8. Fuerza centrífuga experimentada por una partícula moviéndose a lo largo de la línea de campo. 10 Figura 2-9. Órbita de un ion en un campo magnético convergente. 11 Figura 2-10. Trayectoria de las partículas atrapadas a lo largo de una línea de campo magnético. 12 Figura 2-11. Ilustración de una tormenta geomagnética. 12 Figura 2-12. Difusión de las líneas de campo magnético. 13 Figura 2-13. Líneas de campo magnético moviéndose junto con el plasma. 13 Figura 2-14. Evolución de la reconexión de las líneas de campo magnético. 14 Figura 2-15. Ciclo de reconexión magnética. 15 Figura 2-16. Convección de plasma en el proceso de reconexión magnética. 16 Figura 2-17. Posición de la partícula y elemento de volumen en el espacio de fase. 17 Figura 2-18. Distribuciones maxwellianas en velocidad unidimensionales. 19 Figura 2-19. Regiones de interés del campo magnético que estudia la misión MMS. 23 Figura 2-20. Satélites MMS volando en formación tetraédrica. 24 Figura 2-21. Instrumentos integrados en la nave MMS. 25 Figura 2-22. Diagrama de bloques simplificado del instrumento FPI. 25 Figura 2-23. Coberturas angulares del instrumento FPI. 26 Figura 2-24. Configuración de un DES/DIS que proporciona los distintos campos de visión angulares. 27 Figura 2-25. Diagrama representación de anomalías. 29 Figura 2-26. Elementos orbitales de un cuerpo. 29 Figura 2-27. Posición del satélite MMS1 el 22/09/2019 a las 16:06:21 UTC. 32 Figura 3-1. Límites de integración de la distribución para la población caliente (rojo) y fría (azul). 33 Figura 3-2. Representación de una distribución de datos en el espacio esférico. 35 Figura 3-3. Sistema de coordenadas FAC. 35 Índice de Figuras XXI Figura 3-4. Proyección usando el método de Montecarlo para un elemento de volumen esférico en el plano cartesiano. 36 Figura 3-5. Distribuciones reducidas a 1D, f1D,‖ , f1D,⟘1 y f1D,⟘2 a partir de los datos del instrumento FPI. 39 Figura 3-6. Distribuciones reducidas a 2D f2D,‖ ⟘1 , f2D,⟘2 ‖ y f2D,⟘1 ⟘2 a partir de los datos del instrumento FPI. 40 Figura 3-7. Otra representación de la función de datos reducida a 2D, f2D,‖ ⟘1 a partir de los datos del instrumento FPI. 40 Figura 3-8. Resultado del ajuste unidimensional de f1D,‖ , f1D,⟘1 y f1D,⟘2 con lsqcurvefit. 41 Figura 3-9. Distribución reducida a 2D, f2D,‖ ⟘1 a partir de los datos del instrumento FPI. 42 Figura 3-10. Resultado del ajuste bidimensional de f2D,‖ ⟘1 con lsqcurvefit. 42 Figura 3-11. Serie temporal medida por la nave MMS en el intervalo 12:09:20 – 12:10:40, el 27 de enero de 2019. (a) Campo eléctrico de alta resolución. (b) Estimaciones de la densidad del plasma. (c) Espectrograma de energía de los iones. Más detalles en el texto. 45 Figura 3-12. Resultados del ajuste de f1D,‖ , f1D,⟘1 y f1D,⟘2 (colas dispersas) con lsqcurvefit. 46 Figura 3-13. Resultados del ajuste de f1D,‖c, f1D,⟘1c y f1D,⟘2c,y f1D,‖h, f1D,⟘1h y f1D,⟘2h con lsqcurvefit. 47 Figura 3-14. Diagramas de dispersión de los resultados 1D de la población fría. 49 Figura 3-15. Diagramas de dispersión de los resultados 1D de la población caliente. 49 Figura 3-16. Diagramas de dispersión de los resultados 2D de la población fría. 50 Figura 3-17. Diagramas de dispersión de los resultados 2D de la población caliente. 50 Figura 4-1. Variación del RMSE con los parámetros nc,T‖cy v0‖cen la distribución de datos f1D,‖. 55 XXII NOTACIÓN log Función logaritmo RMSE Root Mean Square Error UTC Universal Time Coordinated MMS Multiescala Magnetosférica ISEE International Sun-Earth Explorer RBSP Radiation Belt Storm Probes THEMIS Time History of Events and Macroscale Interactions during Substorms FPI Fast Plasma Investigation HPM Hot Plasma Suite HPCA Hot Plasma Composition Analyzer EPDS Energetic Particles Detector Suite FEEPS Fly’s Eye Energetic Particle Sensor EIS Energetic Ion Spectrometer AFG Analog Fluxgate DFG Digital Fluxgate EDI Electron Drift Instrument SDP Spin-plane Double Probe ADP Axial Double Probe SCM Search Coil Magnetometer DES Dual Electron Spectrometer DIS Dual Ion Spectrometer IDPU Instrument Data Processing Unit CIDP Central Instrument Data Processor TLE Two-Line Element set NORAD North American Aerospace Defence Command Notación XXIII 1 1 INTRODUCCIÓN a reconexión magnética es un proceso que se produce en los plasmas, capaz de convertir grandes cantidades de energía almacenada en los campos magnéticos en energía cinética de las partículas cargadas que constituyen el plasma. La reconexión magnética ocurre en diversas regiones del espacio, y en general, es posible en cualquier situación en la que campos magnéticos dispares interaccionen en presencia de plasma. Este fenómeno es responsable de muchos de los procesos dinámicos del Sol, entre los que se encuentra la generación de llamaradas solares y eyecciones de masa coronal en el Sol, o del nacimiento de auroras boreales en la Tierra. Asimismo, guarda estrecha relación con la aparición de raros fenómenos en astros lejanos, como las llamaradas de rayos X en magnetares, las complejas interacciones magnéticas en las estrellas de neutrones o los agujeros negros. La reconexión magnética también está activa en laboratorios magnetizados de plasmas. En éstos, la reconexión impide los procesos de contención de plasma necesarios para conseguir el control de la fusión nuclear. [1][2][3] Más allá del interés teórico en nuestro universo natural, comprender los mecanismos responsables de la reconexión magnética resulta de enorme utilidad a la hora de predecir la «meteorología espacial» y los fenómenos como llamaradas o tormentas magnéticas que afectan a sistemas tecnológicos de redes de telecomunicaciones, navegación GPS y redes eléctricas, así como en la profundización del desarrollo de reactores de fusión nuclear. A pesar de que los efectos de la reconexión magnética son observables a escalas planetarias, la reconexión comienza en el plasma en una región muy confinada espacialmente, en la denominada región de difusión del electrón. En ésta, el plasma se vuelve difusivo y las líneas de campo se reconfiguran, cambiando la topología del campo magnético. La misión Multiescala Magnetosférica (MMS) de la NASA revela por primera vez las microfísicas de la reconexión magnética con una resolución temporal sin precedentes, lo que permite resolver a escala cinética los procesos dinámicos responsables de la reconexión. [4] La misión MMS ha sido concebida para ser llevada a cabo en el entorno de la magnetosfera terrestre, la parte ionizada de la atmósfera (región de plasma alrededor de la Tierra) donde el movimiento de las partículas es controlado por el campo magnético terrestre. Las cuatro sondas idénticas MMS vuelan en formación piramidal ajustable, lo cual permite observar la estructura tridimensional de la reconexión magnética. El análisis científico de las medidas tomadas por las naves MMS ha hecho posible determinar la existencia de distintas poblaciones de partículas cargadas en el entorno de la magnetosfera. En el interior de la misma, se dan procesos magnetohidrodinámicos y cinéticos que modifican las propiedades del plasma, concretamente, la densidad y temperatura de sus partículas. De esta manera, se distinguen múltiples fuentes de plasma con diferentes características. En las capas más externas de la magnetosfera donde la densidad es tenue (0.1–100 partículas/cm3), los plasmas son no colisionales, lo que implica que no interaccionan de forma directa y en una región del espacio pueden convivir poblaciones con diferentes temperaturas. El trabajo que a continuación se presenta está centrado en la determinación de dos tipos de poblaciones iónicas en el entorno no colisional de la magnetosfera. Para ello, se han utilizado las medidas recogidas por el instrumento FPI (Fast Plasma Investigation) de la misión MMS, que mide la densidad de iones y electrones presentes en el plasma magnetosférico durante los procesos de reconexión. El objeto principal del estudio es la caracterización sistemática de un conjunto de iones fríos (pocas decenas de eV) de forma separada respecto a una población de mayor temperatura (del orden de varios keV). Se ha demostrado que los iones fríos predominan un 60-70% del tiempo en las principales zonas donde se produce la reconexión magnética en la magnetosfera [5]. Además, estudios recientes señalan que las nubes de iones fríos suelen contener iones pesados, de manera que incrementan la masa total del plasma y disminuyen la velocidad asociada, reduciendo por consiguiente la tasa de reconexión [6]. Junto a esta influencia a gran escala en la reconexión, la microfísica del proceso también se ve modificada por la presencia de iones fríos [7]. Este proyecto supone una primera aproximación a un L Introducción 2 planteamiento mucho más ambicioso cuyo objetivo es caracterizar por completo las condiciones del plasma magnetosférico que, con el viento solar, participa en el proceso de reconexión magnética. Un mejor conocimiento del escenario permitirá entender fenómenos importantes como las tormentas magnéticas o la erosión de las atmósferas planetarias. La caracterización de las dos poblaciones iónicas se realiza ajustando las funciones de distribución de los iones a funciones de Maxwell, de manera que una distribución está constituida por dos funciones maxwellianas, características de cada población. En estas condiciones, se han obtenido los distintos parámetros que definen la distribución y, por tanto, los dos tipos de iones presentes. Las funciones de distribución de densidad se han ajustado con un algoritmo iterativo de optimización que resuelve problemas de ajuste en el sentido de mínimos cuadrados. El espacio de velocidad se considera en 1D, 2D y 3D. En el análisis se estudia la población de iones observada en la región de la magnetosfera terrestre el día 27 de enero de 2019 a las 12:09 UTC. Los resultados alcanzados se contrastan con valores de la densidad, temperatura y velocidad de las partículas que ofrecen otros modelos de estimación empleados en la actualidad. Las soluciones no son satisfactorias para el caso tridimensional, y se proponen ciertas mejoras posibles al modelo. El documento se estructura en cuatro capítulos. En este primer capítulo de introducción, se presenta el trabajo llevado a cabo y el alcance del mismo. El segundo capítulo comprende el estado del arte del proyecto, que incluye: un apartado referente al entorno espacial, que contextualiza el escenario donde tiene lugar el fenómeno de reconexión magnética; un apartado de la física de la reconexión, en el que se describen los conceptos teóricos fundamentales para comprender la microfísica del proceso; y un último apartado relativo a la misión MMS, los satélites y los equipos e instrumentos que la componen. El capítulo tercero es el núcleo del trabajo, en él se especifican los modelos e hipótesis de partida, los algoritmos desarrollados y las simulaciones realizadas, junto con los resultados obtenidos. Finalmente, el último capítulo ordena y resume las conclusiones alcanzadas y abre las líneas de investigación de trabajo futuro. Al final del documento se adjuntan también las debidas referencias y apéndices del desarrollo. 3 2 ESTADO DEL ARTE n el presente capítulo se repasa el estado del arte que sitúa los antecedentes previos al trabajo. El marco teórico que procede emplaza el escenario espacial donde ocurre la reconexión magnética y resume los conceptos teóricos básicos de la física de plasmas. De modo general, se detallan los fenómenos asociados a la reconexión magnética en el entorno de la magnetosfera terrestre y se describe la misión MMS (Multiescala Magnetosférica) de la NASA que estudia este proceso y cuyas mediciones serán objeto de análisis. 2. 1 Entorno espacial Plasma Se denomina plasma al cuarto estado de agregación de la materia, un estado similar al gaseoso compuesto por un número igual de partículas positivas y negativas cargadas eléctricamente. Tener aproximadamente el mismo número de cargas de signo diferente garantiza que los posibles campos eléctricos de las partículas se cancelan entre ellos y el plasma visto desde el exterior se comporta como eléctricamente neutro. Los átomos de este estado se encuentran en un estado excitado metaestable, con un nivel de energía superior al estado fundamental. La elevada energía permite vencer el acoplamiento con las partículas vecinas, por lo que las partículas del plasma pueden moverse libremente. El plasma es considerado así un gas caliente y fuertemente ionizado. A pesar de que en la superficie de la Tierra es complicado encontrar plasmas naturales, el plasma es el estado de agregación más abundante en el Universo, constituyendo más del 99% de toda la materia conocida (estrellas y medio interestelar). Viento solar El Sol emite continuamente un plasma altamente conductor a velocidades supersónicas cercanas a los 500 km/s hacia el espacio interplanetario como resultado de la expansión supersónica de la corona solar. Este plasma es denominado viento solar y está constituido principalmente por protones y electrones, con una mezcla de 5% de iones de helio. Cuando el viento solar alcanza el campo magnético de la Tierra, no puede penetrar simplemente, sino que es ralentizado y deformado en torno al mismo. Dado que el viento solar alcanza el obstáculo a velocidad supersónica, se genera una onda de choque que frena el plasma y gran parte de la energía cinética de las partículas se transforma en energía térmica. La región de plasma subsónico a altas temperaturas a continuación de la onda de choque se denomina magnetofunda (“magnetosheath”) (ver Figura 2-1). El plasma en la magnetofunda es más denso y más caliente que el plasma del viento solar, y el campo magnético en esta región es también más fuerte. E Estado del Arte 10 2.2.3.4 Fuerzas externas El movimiento que experimenta una partícula debido a la acción de una fuerza en presencia de un campo magnético viene dado por: 𝒗F=1 𝑤𝑔(𝑭 𝑚×𝑩 𝐵) (2–5) Donde 𝑤𝑔=𝑞𝐵 𝑚 es la frecuencia de giro o frecuencia de ciclotrón. 2.2.3.5 Fuerzas de curvatura Además del desplazamiento de las partículas provocado por gradientes de campo magnético, entre las desviaciones dadas por la no homogeneidad del campo se encuentra las debidas a la curvatura de las líneas magnéticas. Las partículas experimentan una fuerza centrífuga asociada a la componente de la velocidad paralela al campo magnético: 𝑭R=𝑚𝑣‖𝑹𝐶 𝑅𝐶𝟐 (2–6) Siendo 𝑹𝐶 el radio local de curvatura. Sustituyendo esta fuerza centrífuga en la ecuación (2-5), se tiene la velocidad debido a la curvatura de las líneas de campo: 𝒗R=𝑚𝑣‖2 𝑞𝑹𝐶×𝑩 𝑅𝐶𝟐𝐵2 (2–7) La velocidad 𝒗R es proporcional a la energía paralela de la partícula, 𝑊‖=12𝑚 𝑣‖2, y perpendicular al campo magnético y a su curvatura. De nuevo, el movimiento en sentido contrario de iones y electrones ocasiona la aparición de corrientes transversales (perpendiculares también a la curvatura del campo magnético y al mismo). En un campo cilíndricamente simétrico, es posible considerar conjuntamente la desviación debida al gradiente del campo magnético y a su curvatura, esto es, 𝒗B=𝒗R+𝒗∇. Las corrientes transversales asociadas a 𝒗B son las denominadas corrientes de anillo mencionadas en la Subsección 2.2.1. Figura 2-8. Fuerza centrífuga experimentada por una partícula moviéndose a lo largo de la línea de campo. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] 11 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population 2.2.3.6 Espejo magnético y partículas atrapadas En el supuesto de una partícula moviéndose en el seno de un campo magnético no homogéneo, dado que el momento magnético no varía y la energía total es una constante del movimiento, sólo puede modificarse el ángulo de paso cuando el campo magnético aumente o disminuya a lo largo de la trayectoria del centro de la órbita. La siguiente expresión muestra que los ángulos de paso de una partícula en posiciones diferentes están directamente relacionados con la fuerza del campo en dichos puntos: sin2𝛼2 sin2𝛼1=𝐵2 𝐵1 (2–8) En una geometría en la que el campo magnético converge, si una partícula se mueve a regiones donde el campo es más fuerte, aumentará su ángulo de paso, aumentando la energía perpendicular al campo a expensas de disminuir la paralela. En un punto a lo largo de la línea de campo donde el ángulo de paso alcanza los 90°, toda la energía será perpendicular y la partícula no podrá penetrar más, siendo “reflejada” desde este punto de espejo. Si se tiene una geometría de campo magnético simétrica con una fuerza de campo mínima en la mitad y líneas de campo magnético convergentes a ambos lados, como en el dipolo terrestre, la partícula puede oscilar hacia atrás y hacia adelante entre sus dos puntos de espejo, quedando “atrapada”. Figura 2-9. Órbita de un ion en un campo magnético convergente. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] En el caso del campo magnético terrestre, el cual se puede aproximar como un dipolo donde la fuerza magnética es mínima en el ecuador y las líneas convergen en los hemisferios, las partículas que quedan atrapadas son las partículas de alta energía de los cinturones de radiación (ver Figura 2-1). Estas partículas no sólo giran y oscilan, sino que sufren una ligera desviación 𝒗B consecuencia del gradiente y la curvatura del campo magnético terrestre. Dicha deriva tiene direcciones opuestas para iones y electrones, de manera que los iones son desviados hacia el oeste, mientras que los electrones se mueven hacia el este alrededor de la Tierra. La corriente asociada a este movimiento de cargas opuestas constituye la ya mencionada corriente de anillo. Estado del Arte 12 Figura 2-10. Trayectoria de las partículas atrapadas a lo largo de una línea de campo magnético. Fuente: University of New Hampshire. Experimental Space Plasma Group [11] 2.2.3.7 Tormentas magnéticas En ocasiones, el número de partículas inyectadas desde la cola en el cinturón de radiación exterior aumenta, lo que se traduce en un crecimiento de la corriente de anillo. La acentuación del número de partículas generalmente se debe a un incremento del campo eléctrico en la región de la cola, y suele requerir de estímulos externos, tales como la llegada de un frente de choque o un chorro rápido de viento solar. En estos casos, se aprecian fuertes descensos en la magnitud medida del campo magnético terrestre, debido al campo magnético inducido por la corriente de anillo, que se contrapone al dipolo magnético terrestre. Las caídas del campo magnético fueron detectadas por magnetogramas en la superficie terrestre mucho antes de conocerse las corrientes de anillo, y se señalaron entonces como tormentas magnéticas. Figura 2-11. Ilustración de una tormenta geomagnética. Fuente: Phys.org [12] 13 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population 2.2.4 Magnetohidrodinámica En los apartados anteriores, se ha tomado la aproximación más simple de la física de plasmas para explicar las partículas atrapadas y las corrientes de anillo. No obstante, algunas de las características propias más importantes del plasma sólo pueden justificarse considerando el movimiento conjunto de partículas. En general, las partículas de alta energía se mueven a través de las líneas del campo bajo la acción de gradientes magnéticos y fuerzas de curvatura. Sin embargo, las partículas más frías del plasma tienen giroradios pequeños y no sienten las fuerzas magnéticas pues su energía es mucho menor en esas escalas espaciales. En ausencia de campos eléctricos externos, las partículas frías se mantienen girando alrededor de la línea de campo magnético (condición “frozen-in”). Esto no significa que el plasma frío en la magnetosfera sea estacionario; el plasma se mueve junto con las líneas del campo magnético bajo la influencia de dos fuerzas externas, en la magnetosfera externa la fuente de energía más importante para el movimiento es la energía cinética del viento solar, mientras que en la magnetosfera interna el movimiento se debe a la rotación diaria de la Tierra. 2.2.4.1 Flujo congelado (“frozen-in”) y difusión Las partículas frías del plasma magnetosférico están ligadas a una línea de campo específica, la cual no pueden abandonar a menos que se den fenómenos colectivos, como colisiones anómalas de partículas. Incluso las partículas de alta energía se mantendrán fijas a la línea alrededor de la cual giran en regiones donde los gradientes de campo magnético o la curvatura sean débiles. En consecuencia, siempre que una línea de campo se mueva debido a la acción de fuerzas externas, el plasma frío asociado a la línea se moverá con ella. Asimismo, dado que no puede abandonar la línea, el plasma frío transportará en su movimiento las líneas de campo magnético. En el caso del viento solar, el campo magnético se encuentra “congelado” en el plasma y es desplazado junto con el chorro de partículas. Con el tiempo, el campo magnético tiende a dispersarse en el plasma de manera homogénea (ver t1 Figura 2-12). En ocasiones, cuando las líneas de campo de diferentes regiones se superponen, estas pueden sumarse vectorialmente y cambiar la estructura topológica del campo magnético (ver t2 Figura 2-12). Figura 2-12. Difusión de las líneas de campo magnético. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] Siempre que la difusión magnética sea mínima, se tendrá la situación de flujo magnético congelado y las líneas de campo magnético se moverán junto con el plasma de acuerdo a la condición anteriormente mencionada “frozen-in”. Figura 2-13. Líneas de campo magnético moviéndose junto con el plasma. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] Estado del Arte 14 La condición “frozen-in” puede evaluarse mediante el denominado número de Reynolds magnético, que compara el movimiento convectivo del campo y el plasma en conjunto frente a la difusión del campo magnético a través del medio. 𝑅𝑚~𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜−𝑝𝑙𝑎𝑠𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖ó𝑛 𝑚𝑎𝑔𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (2–9) El número de Reynolds magnético resulta muy útil a la hora de determinar si un medio está dominado por la difusión o por el flujo. En particular, cuando 𝑅𝑚≫1 el término difusivo puede ser despreciado y el campo magnético simplemente se mueve con el flujo de plasma, se dice que se halla “congelado” en el mismo. Por otro lado, si 𝑅𝑚≈1 la difusión se vuelve importante, pudiendo dominar el movimiento. En este caso, el campo magnético deja de estar congelado en el plasma y puede desplazarse a través del mismo. Por tanto, en una región dominada por la difusión, el plasma podrá fluir libremente atravesando el campo magnético sin que esto tenga un efecto significativo en el mismo. El número de Reynolds magnético es proporcional a la conductividad, la escala de longitud y la velocidad; aumentar cualquiera de estos términos implica una preponderancia de la condición “frozen-in”. Cabe destacar que la velocidad considerada será siempre la perpendicular al campo magnético, cualquier flujo paralelo al campo no tendrá consecuencia alguna. Generalmente, la velocidad del flujo de plasma presenta valores bajos, por lo que las cantidades dominantes que determinan el comportamiento serán la conductividad y la escala de longitud. 2.2.4.2 Reconexión magnética y configuración tipo-X Existe un escenario en el que el concepto de flujo congelado y su ruptura son igualmente importantes. Se trata del proceso de reconexión magnética, en el que las líneas de campo se cortan y conectan con otras líneas, cambiando la topología del campo magnético. Se considera una topología con líneas de campo antiparalelas congeladas en el plasma, como muestra la Figura 2-14. Dicha configuración se tiene en regiones donde existen láminas finas de corriente, como en el caso de la magnetopausa y en la lámina de plasma de la cola magnética (zona diurna y nocturna de la magnetosfera). Si las líneas de campo a ambos lados de la lámina de corriente son estacionarias y no se mueven, esta disposición puede ser estable durante largos periodos de tiempo. Sin embargo, si el plasma y las líneas de campo a ambos lados se mueven hacia la lámina de corriente, la situación puede cambiar. Cuando el número magnético de Reynolds se hace igual o mayor a uno, por ejemplo, en un volumen pequeño debido a colisiones anómalas, el campo magnético podría desaparecer en un punto concreto como consecuencia de la difusión. Esto da lugar a la configuración tipo-X mostrada en el panel medio de la Figura 2-14, donde el centro magnético es cero en el centro de la X, el denominado punto neutro magnético. Las líneas de campo que forman la X y pasan a través del punto neutro se conocen como separatrices. Como resultado de lo anterior, el plasma y las líneas de campo llegan desde cada lado de la lámina al punto neutro, ahí las líneas antiparalelas se cortan a la mitad y las medias líneas de campo de un lado conectan con las del otro lado. Seguidamente, las nuevas líneas son “expulsadas” del punto neutro (panel derecho de la Figura 214). Las líneas de campo que resultan de la reconexión estarán pobladas de una mezcla de plasma de cada lado. Figura 2-14. Evolución de la reconexión de las líneas de campo magnético. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] 15 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population 2.2.4.3 Reconexión magnética en la magnetosfera En el espacio magnetosférico, el flujo de viento solar magnetizado implica un campo eléctrico en el marco de referencia de la Tierra. Dado que el viento solar no puede penetrar directamente en la magnetopausa (ver Subsección 2.1.2), dicho campo eléctrico tampoco podrá hacerlo en la magnetosfera. En el caso de que el campo magnético interplanetario tenga una componente dirigida hacia el sur, las líneas del campo magnético terrestre que se encuentran orientadas hacia el norte en el lado diurno de la magnetopausa podrán conectar con las líneas del campo magnético interplanetario. Cuando una línea de campo interplanetario dirigida hacia el sur (indicada como 1 en la Figura 2-15) alcanza la magnetopausa, enlazará con la línea 1 de campo terrestre más próxima. Las líneas conectadas se separarán en dos líneas de campo abiertas, señaladas como 2, cada una de las cuales tiene un extremo que conecta con la Tierra y otro que se extiende hacia el viento solar. El viento solar transportará cada línea hasta la región de la cola (ver líneas 3, 4, 5, 6) y, debido a la rigidez de la línea de campo, la parte magnetosférica de la línea (dentro de la región sombreada) también será transportada hasta la cola. En el lado nocturno de la magnetosfera, a una distancia de entre 100-200 radios terrestres en la región de la cola, las dos líneas de campo abiertas volverán a encontrarse y a reconectar (líneas 7), dando lugar a una línea de campo terrestre cerrada en la magnetocola y una línea de campo de viento solar aguas debajo de la magnetosfera (líneas 8). Como consecuencia de la tensión magnética, la línea de campo cerrada se relajará y acortará, dirigiéndose hacia el este terrestre. Durante la relajación transportará consigo el plasma “congelado” en ella hacia la Tierra. En condiciones de equilibrio, la línea de campo llegará de nuevo hasta el frente de la magnetosfera y reemplazará a la línea de campo terrestre 1, si no fuese así, la parte diurna de la magnetosfera pronto estaría falta de flujo magnético. Siempre y cuando el campo magnético interplanetario siga teniendo una componente hacia el sur, el ciclo se repetirá de nuevo. El enlace en el frente de la magnetopausa y la reconexión en la cola no se producen en puntos singulares, sino a lo largo de una línea, denominada línea-X o línea neutral, dado que la fuerza del campo magnético es nula en los puntos que forman dicha línea. Figura 2-15. Ciclo de reconexión magnética. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] Estado del Arte 16 Figura 2-16. Convección de plasma en el proceso de reconexión magnética. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] 2.2.4.4 Tasa de reconexión y subtormentas magnetosféricas La cantidad de flujo magnético en la parte diurna que se enlaza por unidad de tiempo, la tasa de reconexión diurna, depende del número de líneas de campo interplanetarias dirigidas hacia el sur que entren en contacto con la magnetopausa terrestre durante el intervalo de tiempo dado. A su vez, ello depende de la velocidad del viento solar y de la magnitud de la componente orientada al sur del campo magnético interplanetario, presentando esta última mayor variabilidad. De hecho, se dan considerables periodos temporales en los que el campo magnético interplanetario está dirigido al norte y la conexión de las líneas en el frente diurno no es posible. De este modo, se encuentran tanto intervalos en los que la magnetosfera se halla en calma y la convección cesa, como periodos donde se enlazan grandes cantidades de flujo y el plasma magnetosférico está activo. Con el tiempo, todo el flujo magnético transportado a la cola debe reconectarse y ser llevado de vuelta al frente de la magnetosfera. Sin embargo, las tasas de reconexión instantáneas no tienen por qué ser iguales en el lado diurno y en el lado nocturno, únicamente deben serlo sus tasas medias. En realidad, sólo una parte del flujo que es transportado a la cola se reconecta instantáneamente y vuelve al frente de la magnetopausa. Las líneas de campo restantes se adhieren a los lóbulos de la cola, incrementando en estas regiones la densidad del flujo magnético. Después de cerca de una hora, estas líneas de campo almacenadas de manera intermedia se reconectan repentinamente en la cola y su energía magnética es liberada de manera explosiva. La reconexión súbita tiene efectos importantes en el plasma magnetosférico, implicando fenómenos como las auroras y las corrientes magnetosféricas e ionosféricas, que duran entre una y dos horas y son conocidos como subtormentas magnetosféricas. Cuando se producen seguidamente grandes subtormentas, la corriente de anillo crece significativamente y se produce una tormenta magnética (ver Apartado 2.2.3.7). 2.2.5 Teoría cinética del plasma En lo que sigue se describirá el comportamiento global del plasma desde una aproximación de naturaleza estadística, recogida en la denominada teoría cinética del plasma. El comportamiento colectivo del plasma se fundamenta en las interacciones de largo alcance entre las partículas del plasma cargadas debido a los campo eléctricos 𝑬(𝒙,𝑡), y los campos magnéticos 𝑩(𝒙,𝑡) generados cuando las cargas se mueven a una velocidad dada 𝒗. La configuración de campo real será la suma de todas las contribuciones microscópicas de las partículas a los campos. Dicho campo promedio presenta una estructura espacial extremadamente compleja y, además, varía en las diferentes escalas temporales. Asimismo, el movimiento de las partículas en todos los campos microscópicos está lejos de la descripción simple del movimiento de una sola partícula expuesta anteriormente. Por ello, tener en cuenta todos los campos y la dinámica completa de las partículas es una tarea de enorme complejidad y resulta necesario considerar ciertas simplificaciones. 17 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population 2.2.5.1 Densidad de partícula. Espacio de fase Se asume un sistema constituido por un gran número de partículas que interaccionan entre sí, cada una de las cuales con una posición 𝒙𝑖(𝑡) y una velocidad 𝒗𝑖(𝑡) específicas en función del tiempo. Estas posiciones y velocidades se toman como coordenadas independientes en un espacio de seis dimensiones con ejes de coordenadas (𝒙,𝒗), llamado espacio de fase. Es posible definir una densidad exacta ℱ𝑖 de cada partícula 𝑖 tal que: ℱ𝑖(𝒙,𝒗,𝑡)=𝛿(𝒙−𝒙𝑖(𝑡))𝛿(𝒗−𝒗𝑖(𝑡)) (2–10) Donde 𝛿(𝒙−𝒙𝑖(𝑡))=𝛿(𝑥−𝑥𝑖(𝑡))𝛿(𝑦−𝑦𝑖(𝑡))𝛿(𝑧−𝑧𝑖(𝑡)) y 𝛿(𝒗−𝒗𝑖(𝑡)) son funciones delta de Dirac tridimensionales 1 . La ecuación (2-10) supone que la densidad en el espacio de fase es distinta de cero sólo en la posición y velocidad de la partícula 𝑖 en el tiempo 𝑡. Para cada partícula 𝑖 dicha densidad es singular dado que su posición en el espacio de fase, 𝒙=𝒙𝑖 y 𝒗=𝒗𝑖, en el tiempo 𝑡 no es más que un punto dentro de un elemento de volumen 𝑑𝒙𝑑𝒗, como muestra la Figura 2-17. Al integrar sobre todo el espacio de fase se obtiene el valor uno, lo cual implica que la partícula puede encontrarse con certeza en algún lugar del espacio de fase. Figura 2-17. Posición de la partícula y elemento de volumen en el espacio de fase. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] La función de densidad total del plasma será la suma de todas las densidades particulares de cada partícula, es decir: ℱ(𝒙,𝒗,𝑡)=∑𝛿(𝒙−𝒙𝑖(𝑡))𝛿(𝒗−𝒗𝑖(𝑡)) 𝑖 (2–11) Si el plasma contiene distintas especies, la expresión anterior debe especificarse para cada una de las mismas, siendo la densidad total la suma de las densidades de las especies. La interpretación geométrica de la ecuación (2-11) es que el volumen del espacio de fase que ocupa el plasma se compone del conjunto de puntos, o de manera equivalente, de los elementos de volumen correspondientes a dichos puntos (véase Figura 2-17). 2.2.5.2 Densidad promedio. Función de distribución Es posible definir un promedio de densidad de espacio de fase, 〈ℱ(𝒙,𝒗,𝑡)〉=𝑓(𝒙,𝒗,𝑡), y expresar la densidad total como la suma de la densidad media y una fluctuación, 𝛿ℱ, que tenga en cuenta la desviación de la densidad total respecto a la densidad promedio: ℱ(𝒙,𝒗,𝑡)=𝑓(𝒙,𝒗,𝑡)+ 𝛿ℱ(𝒙,𝒗,𝑡) (2–12) 1 Delta de Dirac: función 𝛿(𝑥) cuyo valor es infinito en x=0 y es nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno. Estado del Arte 18 Dado que las fluctuaciones deben formar un conjunto estadístico, el promedio de la fluctuación debe ser cero, 〈𝛿ℱ〉=0. La densidad promedio 𝑓 es la función de distribución de las partículas en el espacio de fase y se interpreta como la probabilidad de encontrar un punto en un elemento de volumen 𝑑𝒙𝑑𝒗 concreto. La función de distribución, como magnitud promedio, presenta la ventaja de no depender de las coordenadas particulares de todas las partículas de una especie, sino únicamente de las coordenadas del espacio de fase (𝒙,𝒗,𝑡). En este caso, ya no se describe la posición exacta de las partículas en el volumen, en su lugar, se estudia la probabilidad de encontrar el conjunto en el intervalo {𝒙,𝒙+𝑑𝒙},{𝒗,𝒗+𝑑𝒗}. 𝑓(𝒙,𝒗,𝑡) será por tanto una función de distribución de densidad de probabilidad. 2.2.5.3 Función de distribución en velocidad. Distribución de Maxwell Resulta imposible representar gráficamente la función de distribución 𝑓(𝒙,𝒗,𝑡) en el espacio de fase de seis dimensiones, dado que éste varía en espacio, velocidad y tiempo. Sin embargo, generalmente la propiedad más interesante de la función de distribución es su dependencia con la velocidad en una posición fija del espacio. Muchas de las características distintivas de los plasmas pueden entenderse conociendo su dependencia con la velocidad. En lo que sigue, se considera la función de distribución como una función de distribución en velocidad, 𝑓(𝒗), asumiendo que el plasma es estacionario y está espaciado homogéneamente, esto es, que no cambia en el tiempo y que no muestra variaciones espaciales. En general, dicho supuesto es cierto sólo cuando el plasma se encuentra en equilibrio térmico. En caso contrario, el intervalo de tiempo en que se estudia la distribución debe ser pequeño para asegurar el equilibrio. La forma más común de expresar la función de distribución en velocidad de un plasma sin colisiones es la distribución de Maxwell (véase Apéndice A-2). Un plasma maxwelliano se encuentra en equilibrio térmico, lo que implica que no dispone de energía libre y, por tanto, no se producen procesos de intercambio de energía entre las partículas del mismo. En este caso, las velocidades de las partículas pueden asumirse distribuidas aleatoriamente en torno a la velocidad promedio. Para un plasma en reposo, la velocidad promedio es cero, y la distribución de las velocidades se expresa como una distribución de errores gaussiana: 𝑔(∆𝑥)=(𝜋〈∆𝑥〉2)−1/2exp(−(∆𝑥)2 〈∆𝑥〉2) (2–13) Sustituyendo ∆𝑥 por una componente de la velocidad, p. ej. 𝑣𝑥, y la varianza 〈∆𝑥〉 por la velocidad media de propagación 〈𝑣𝑥〉, y multiplicando por la densidad de partícula promedio 𝑛, se obtiene la expresión unidimensional en velocidad de la función de distribución en equilibrio: 𝑓(𝑣𝑥)=𝑛 (𝜋〈𝑣𝑥〉2)1/2exp(−𝑣𝑥2 〈𝑣𝑥〉2) (2–14) La ecuación (2-14) puede reescribirse convenientemente de la forma: 𝑓(𝑣𝑥)=𝑛(𝑚 2𝜋𝑘𝑇)1/2exp(−𝑚𝑣𝑥2 2𝑘𝑇) (2–15) Donde 𝑚 es la masa de la partícula, 𝑘 la constante de Boltzmann y 𝑇 la temperatura cinética promedio (véase Apartado 2.2.6.5), considerando 𝑇 igual en todas las direcciones en el caso de un plasma isótropo 2 . La velocidad media de propagación 〈𝑣〉=(2𝑘𝑇/𝑚)1/2 se denomina velocidad térmica y su desarrollo se explica con detalle en el Apartado 2.2.6.5. Es posible generalizar la expresión (2-16) al caso en tres dimensiones definiendo 𝒗=𝑣⟘1𝒓⟘1+𝑣⟘2𝒓⟘2+ 𝑣‖𝒓‖, esto es, componentes perpendiculares y paralela a la dirección del campo magnético terrestre. Además, la ecuación puede extenderse al supuesto en que la velocidad promedio de la función de distribución con respecto a 𝑣𝑥 no sea cero, como muestra la parte derecha de la Figura 2-18. En este caso, 𝑣𝑥 debe sustituirse por 𝑣𝑥−𝑣0 2 Isótropo: presenta propiedades idénticas en todas las direcciones. 19 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population o, de manera más general, 𝒗 se reemplaza por 𝒗−𝒗0. Dado que las componentes de la velocidad son independientes, la función de distribución 3D en un plasma se obtiene como producto de tres maxwellianas unidimensionales 3 : 𝑓(𝒗)=𝑛(𝑚 2𝜋𝑘𝑇)3/2exp(−𝑚(𝒗−𝒗0)2 2𝑘𝑇 ) (2–16) El resultado de integrar la ecuación (2-16) en el espacio tridimensional de velocidades es 𝑛, la densidad macroscópica total (consultar Apéndice A-2). Por tanto, la distribución en velocidad maxwelliana da una idea de cómo la densidad de la partícula en equilibrio, en un punto dado del espacio y tiempo, se distribuye en el espacio de velocidades, dependiendo de la energía térmica media de las partículas. Figura 2-18. Distribuciones maxwellianas en velocidad unidimensionales. Fuente: Basic Space Plasma Physics [10] 2.2.5.4 Distribución anisótropa Hasta ahora, se ha tomado una temperatura 𝑇 uniforme en todas las direcciones. Sin embargo, en el caso real, la presencia de campos magnéticos conlleva cierta anisotropía, distinguiéndose distintas temperaturas 𝑇⟘1, 𝑇⟘2 y 𝑇‖. De nuevo, dado que tanto las componentes de la velocidad como de la temperatura son independientes, las distribuciones en 2D y 3D se calculan como producto de las expresiones unidimensionales en las direcciones consideradas. o Caso 1D: 𝑓(𝑣‖)=𝑛 𝑇‖1/2(𝑚 2𝜋𝑘)1/2exp(−𝑚(𝑣‖−𝑣0‖)2 2𝑘𝑇‖) (2–17) 𝑓(𝑣⟘1)=𝑛 𝑇⟘11/2(𝑚 2𝜋𝑘)1/2exp(−𝑚(𝑣⟘1−𝑣0⟘1)2 2𝑘𝑇⟘1 ) (2–18) 𝑓(𝑣⟘2)=𝑛 𝑇⟘21/2(𝑚 2𝜋𝑘)1/2exp(−𝑚(𝑣⟘2−𝑣0⟘2)2 2𝑘𝑇⟘2 ) (2–19) Las funciones de distribución 𝑓(𝑣‖), 𝑓(𝑣⟘1) y 𝑓(𝑣⟘2) tendrán unidades [𝑠 𝑚4]. La integración en velocidad de una función de distribución unidimensional proporciona el valor de la densidad en un punto, [1 𝑚3]. 3 Una idea de la probabilidad básica es que para eventos independientes se toma el producto de las probabilidades individuales. Estado del Arte 26 Convenios geométricos Los espectrómetros duales miden distribuciones de flujo direccional diferencial en 3D (nivel de energía y espacio angular 2D) a alta resolución temporal. Los espectrómetros proporcionan una cobertura de energía de 2 eV a 30keV y un área completa de cobertura 2D angular, dada por: (1) Ángulo polar θ, tal que 0°≤𝜃≤180°, parte del eje +Z de la nave (el denominado eje de espín). (2) Ángulo azimutal φ, tal que 0°≤φ≤360°, ángulo en el plano X-Y de la nave, parte del eje +X con orientación positiva de acuerdo a la regla de la mano derecha respecto al eje +Z. Los espectrómetros se montan en el instrumento FPI de manera que los ángulos polar y azimutal coinciden con los de la nave. En el modo de operación de mayor resolución del instrumento, se consigue una cobertura total del skymap (360°x180°) cada 150 ms para los iones. En este caso, cada espectrómetro proporciona muestras de espacio fase (𝜖,φ,𝜃) de 32x32x16. El barrido de energía 𝜖 proporciona la componente radial de la velocidad, siendo la resolución del instrumento mucho mayor a niveles bajos de energía. En la dirección polar (vertical), el instrumento tiene un detector apuntando a cada ángulo, de manera que los 16 ángulos polares se muestrean simultáneamente (cada espectrómetro cubre 180° en θ). En cambio, para hacer el barrido en azimutal, ángulo horizontal, cada uno de los ocho espectrómetros es independiente y cubre 45° de los 360° en cuatro estados de deflexión (0-3 en las Figuras 2-23 y 2-24), 11.25° cada estado. Para ello, los espectrómetros del FPI incorporan una desviación electrostática, de manera que el centro del campo de visión de cada espectrómetro puede desviarse en el plano de giro de la nave hasta ± 16.875°. Los espectrómetros se valen de unas placas externas que inducen un campo eléctrico que deflecta el ángulo de llegada de las partículas. De este modo, se hace un barrido temporal en el que pasa un tiempo para cada uno de los estados de deflexión (el barrido no es simultáneo como en el caso del ángulo polar). Los ocho espectrómetros, cada uno con cuatro campos de visión, producen las 32 muestras de ángulo azimutal. Las coberturas azimutal y polar se ilustran en la Figura 2-23. En el panel izquierdo, el campo de visión azimutal de un conjunto de DIS o DES se muestra en el marco de referencia de la nave. Las designaciones 0, 1, 2 y 3 se refieren a las definiciones de zona de deflector. La parte derecha de la figura muestra la cobertura de 16 ángulos polares, donde se indica el eje de giro +Z de la nave. La Figura 2-25 presenta la configuración del espectrómetro que permite obtener los distintos campos de visión angulares. [20] Figura 2-23. Coberturas angulares del instrumento FPI. Fuente: Pollock et al. (2016) [20] 27 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Figura 2-24. Configuración de un DES/DIS que proporciona los distintos campos de visión angulares. Fuente: Pollock et al. (2016) [20] Modos de operación. Productos de datos del FPI El instrumento FPI genera datos científicos en dos modos de operación denominados Fast Survey y Slow Survey. En el modo Slow Survey, se adquieren medidas cada minuto, tanto para los DES como para los DIS. Dichos datos tienen poca relevancia en la consecución de los objetivos primarios de la misión, y suponen menos de un 1% de los datos del FPI incluidos en la telemetría de la nave a tierra. El modo Fast Survey se emplea cuando la nave se encuentra dentro de la región científica de interés. En este modo, las medidas se adquieren cada 30 ms para los DES y cada 150 ms para los DIS. Todas las medidas son comprimidas por la IDPU antes de ser transmitidas a tierra. Sin embargo, dadas las limitaciones de la telemetría y el alto volumen de datos adquiridos, incluso una vez comprimidos, no es posible mandar todos los datos. Todo el conjunto de datos de Slow Survey y Fast Survey es monitorizado, pero sólo los intervalos considerados de mayor importancia para el análisis científico son bajados a tierra. La prioridad de descarga es determinada por científicos en tierra en base a una versión en baja resolución de los datos. [20] Procesado de datos científicos A partir de los productos de datos del FPI, se calculan numéricamente las integrales de las distribuciones de velocidad. Antes de la integración se realizan correcciones a las energías, y por tanto a las velocidades, dado que el potencial de la de la nave con respecto al plasma que lo rodea no es nulo. Por otro lado, el instrumento FPI no distingue los iones de acuerdo a su masa. En el cálculo de la función de distribución a partir de los datos del DIS, se asume que todos los iones son protones. Las medidas del instrumento HCPA, que mide iones como una función de la masa por carga, pero a una resolución temporal menor que el FPI, pueden emplearse para identificar los intervalos es los que dicho supuesto es falso. [20] Tabla 2–1. Precisión del instrumento FPI. Variables Iones Electrones Rango de energía 2 eV-30 keV 6 eV-30 keV Resolución de energía 20% o mayor 20% o mayor Resolución angular 15º o mayor 15º o mayor Sensibilidad >5×10−4 cm2 sreV/eV >1×10−4 cm2 sreV/eV Resolución temporal 150 ms 30 ms Estado del Arte 28 2.3.4 Elementos orbitales Los elementos orbitales son seis parámetros que determinan la forma, tamaño y orientación que tiene la órbita de un cuerpo y su posición en cada instante. Los primeros tres elementos coinciden con los ángulos de Euler 4 que detallan la orientación de la órbita en el espacio. Los otros tres elementos orbitales definen la forma y la posición del cuerpo en dicha órbita. Los seis elementos orbitales son:  Longitud del nodo ascendente (𝛺): es el ángulo medido desde una dirección de referencia, llamada origen de la longitud, a la dirección del nodo ascendente, medido en un plano de referencia. El nodo ascendente es el punto donde la órbita pasa a través del plano de referencia (ver Figura 2-26). Para una órbita geocéntrica, el plano de referencia es el plano ecuatorial 5 de la Tierra y el origen de longitud es el Primer Punto de Aries 6 . En este caso, la longitud también se denomina ascensión recta del nodo ascendente y el ángulo se mide en sentido antihorario desde el Primer Punto de Aries hasta el nodo.  Inclinación de la órbita (𝑖): es el ángulo que forma el plano de la órbita con respecto a un plano de referencia. La inclinación de las órbitas en los satélites naturales o artificiales siempre es medida con respecto al plano ecuatorial del planeta desde el cual orbitan, en este caso, la Tierra.  Argumento del perigeo (𝜔): es el ángulo que va desde el nodo ascendente hasta el perigeo, medido en el plano orbital del cuerpo y en el sentido de su movimiento. Nótese la relación: 𝜋=𝛺+𝜔 (2–34)  Semieje mayor de la órbita (𝑎): en órbitas elípticas, es la distancia media de un cuerpo que orbita alrededor de otro, donde el cuerpo central, en este caso la Tierra, ocupa uno de los focos de la elipse. Para los objetos del Sistema Solar, el semieje mayor está relacionado con el período de la órbita por la tercera ley de Kepler, originalmente descrita como: 𝑃2=𝑘𝑎3 (2–35) Donde 𝑃 es el período medido en años, 𝑎 es el semieje mayor medido en unidades astronómicas y 𝑘 una constante de proporcionalidad. Esta fórmula fue modificada por Newton al desarrollar su teoría gravitatoria, expresándola como: 𝑃2= 4𝜋2 𝐺𝑀𝑎3 (2–36) Siendo 𝐺 la Constante de gravitación universal y 𝑀 la masa del cuerpo central. El semieje mayor de la elipse puede calcularse directamente como la media aritmética entre el apogeo y el perigeo: 𝑎= 𝑟𝑎𝑝𝑜𝑔𝑒𝑜+𝑟𝑝𝑒𝑟𝑖𝑔𝑒𝑜 (2–37)  Excentricidad de la órbita (ε): la excentricidad es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1 y viene dada por la expresión: ε=√1−𝑏2 𝑎2 (2–38) Donde 𝑏 es el semieje menor de la elipse, esto es, la mitad de su diámetro más corto. 4 Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos. 5 El plano ecuatorial es el plano perpendicular al eje de rotación del planeta y que pasa por el centro del cuerpo. 6 El punto Aries o punto vernal es el punto de la eclíptica a partir del cual el Sol pasa del hemisferio sur celeste al hemisferio norte, lo que ocurre en el equinoccio de marzo (iniciándose la primavera en el hemisferio norte y el otoño en el hemisferio sur). 29 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population  Anomalía verdadera (𝜈): en una órbita geocéntrica, es el ángulo que forman las líneas Tierra-satélite y Tierra-perigeo. La anomalía verdadera es un parámetro que sirve para identificar la posición de un satélite a lo largo de su órbita: si es 0º, se encuentra en el perigeo, mientras que si es 180º, en el apogeo. A veces, en lugar de la anomalía verdadera se utiliza la anomalía media o, raramente, la anomalía excéntrica. La anomalía media (𝑀) es la fracción de un período orbital que ha transcurrido, expresada como ángulo. La anomalía excéntrica (𝐸) mide el ángulo desde el centro de la elipse que forma la proyección del cuerpo sobre la circunferencia principal y el eje de la elipse. La relación entre la anomalía media y la anomalía excéntrica es la llamada ecuación de Kepler: 𝑀=𝐸−εsin𝐸 (2–39) En ésta ecuación 𝑀 y e son conocidos por lo que 𝐸 es la incógnita. La solución no es fácil porque se trata de una ecuación trascendente donde la incógnita 𝐸 no se puede despejar en términos de funciones elementales. Asimismo, la anomalía verdadera y la anomalía excéntrica se relacionan por la expresión: tan𝜈2=√1+ε 1−εtan𝐸2 (2–40) Figura 2-25. Diagrama representación de anomalías. Fuente: Wikipedia [30] Figura 2-26. Elementos orbitales de un cuerpo. Fuente: European GNSS Service Centre [31] Estado del Arte 30 2.3.4.1 Formato TLE (Two-Line Element set) Existen programas informáticos que permiten el seguimiento de los satélites artificiales en órbita alrededor de la Tierra. Los elementos orbitales de los diferentes satélites se listan en un código de texto que puede darse en diferentes formatos. El más común es el formato TLE (Two-Line Element set), empleado por el NORAD (North American Aerospace Defend Command) y la NASA, que proporciona los elementos orbitales en dos líneas de código. En este formato, cada línea tiene 69 caracteres y los valores se presentan como muestran las Tablas 2-2, 2-3 y 2-4. Tabla 2–2. Formato TLE de NORAD. Fuente: CelesTrak [32] Tabla 2–3. Línea 1 del formato TLE. Fuente: CelesTrak [32] Línea 1 Columna Descripción 1 Número de línea, es decir, 1 2 Espacio en blanco 3-7 Número de satélite 8 Clasificación (U no clasificado) 9 Espacio en blanco 10-17 Designador internacional 10-11: Dos últimas cifras del año de lanzamiento 12-14: Número de lanzamiento del año 15-17: Identificación componente del lanzamiento 18 Espacio en blanco 19-32 Época 19-20: Dos últimas cifras del año 21-32: Día del año y fracción del día 33 Espacio en blanco 34-43 Primera derivada de la velocidad orbital media (en revoluciones/día2) 44 Espacio en blanco 45-52 Segunda derivada de la velocidad orbital media (en revoluciones/día3) 53 Espacio en blanco 54-61 Término de resistencia B* (en Re-1, donde Re es el radio de la Tierra) 62 Espacio en blanco 63 Número 0 64 Espacio en blanco 65-68 Número de elemento 69 Suma de verificación (suma de todas las cifras numéricas individualmente, añadiendo 1 por cada signo negativo, y pasado a formato 0-9) 31 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Tabla 2–4. Línea 2 del formato TLE. Fuente: CelesTrak [32] Línea 2 Columna Descripción 1 Número de línea, es decir, 2 2 Espacio en blanco 3-7 Número de satélite 8 Espacio en blanco 9-16 Inclinación 𝑖 (en grados) 17 Espacio en blanco 18-25 Ascensión recta del nodo ascendente 𝛺 (en grados) 26 Espacio en blanco 27-33 Excentricidad ε 34 Espacio en blanco 35-42 Argumento del perigeo 𝜔 (en grados) 43 Espacio en blanco 44-51 Anomalía media 𝑀 (en grados) 52 Espacio en blanco 53-63 Velocidad orbital media (en grados) 64-68 Número de revoluciones en la época (en revoluciones) 69 Suma de verificación (suma de todas las cifras numéricas individualmente, añadiendo 1 por cada signo negativo, y pasado a formato 0-9) 2.3.4.2 Elementos orbitales en la mission MMS Tal y como se ha indicado, las cuatro naves MMS trazan dos órbitas elípticas alrededor de la Tierra. La duración considerada para la fase 1 (lado diurno) es de un año y medio, mientras que en la fase 2 (lado nocturno) el tiempo es de 6 meses. Transcurridos los primeros dos años, la formación de satélites ha continuado su recorrido en órbita de acuerdo a lo anteriormente establecido. En la actualidad, los satélites se encuentran en la fase 2 de la órbita sobrevolando el lado nocturno del campo terrestre (véase Figura 2-27). La Tabla 2-5 proporciona las líneas TLE de las naves MMS1, MMS2, MMS3 y MMS4 correspondientes al día 22 de septiembre de 2019 a las 16:06:21 UTC (día 265), disponibles en el software de visualización de satélites CelesTrak, en la extensión NORAD Two-Line Element Sets Current Data [32]. Estos datos permiten obtener los elementos orbitales que caracterizan el movimiento de los satélites (propios de la fase 2 de la órbita). Nótese que el semieje mayor no es proporcionado en el código TLE. El valor del mismo puede obtenerse como media aritmética del apogeo y el perigeo (expresión (2-37)), magnitudes también disponibles en CelesTrak [32] (véase Tabla 2-6). Finalmente, los elementos orbitales para la fecha indicada se recogen en la Tabla 2-7. Tabla 2–5. TLE de los satélites MMS1, MMS2, MMS3 y MMS4 el 22/09/2019 a las 16:06:21 UTC. Fuente: CelesTrak [32] Estado del Arte 32 Tabla 2–6. Periodo, apogeo y perigeo de los satélites MMS1, MMS2, MMS3 y MMS4 el 22/09/2019 a las 16:06:21 UTC. Fuente: CelesTrak [32] Satélite 𝑃 [min] 𝑟𝑎𝑝𝑜𝑔𝑒𝑜 [km] 𝑟𝑝𝑒𝑟𝑖𝑔𝑒𝑜 [km] MMS1 5041,63 178016 4020 MMS2 5041,70 178002 4036 MMS3 5040,65 178013 3998 MMS4 5041,14 177994 4029 Tabla 2–7. Elementos orbitales de los satélites MMS1, MMS2, MMS3 y MMS4 el 22/09/2019 a las 16:06:21 UTC. Fuente: CelesTrak [32] Satélite 𝑖 [°] 𝛺 [°] ε 𝜔 [°] 𝑀 [°] 𝑎 [km] MMS1 18,4054 119,4159 0,8932431 15,4523 354,0442 91018 MMS2 18,4054 119,4164 0,8930771 15,4530 354,2564 91019 MMS3 18,2666 119,4160 0,8934549 15,3624 1,6159 91005,5 MMS4 18,4038 119,4058 0, 8931410 15,4520 354,7146 91011,5 Figura 2-27. Posición del satélite MMS1 el 22/09/2019 a las 16:06:21 UTC. Fuente: CelesTrak [32] 33 3 DESARROLLO l trabajo desarrollado se centra en identificar y caracterizar los dos tipos poblaciones de iones que están presentes en la parte externa de la magnetosfera, la parte que interactúa con el viento solar a través de la reconexión magnética. En esta región, se diferencian una población de iones fríos que provienen de la ionosfera, y los iones calientes de la corriente de anillo. En concreto, se busca caracterizar la población fría que, pese a ser parte activa de la reconexión, a menudo no es contabilizada por los equipos de detección de partículas de las naves MMS y no se tiene en cuenta en la mayoría de modelos existentes sobre reconexión magnética. Se propone un método para examinar la distribución de velocidad proporcionada por el FPI como una distribución que resulta de la suma de dos funciones maxwellianas, una por cada población. El objetivo será lograr el ajuste más cercano del modelo de función maxwelliana a la función de datos reales. Los parámetros que caracterizan la distribución se obtendrán con un algoritmo iterativo de optimización que resuelve problemas de ajuste en el sentido de mínimos cuadrados. Los resultados mostrados responden a la aplicación del modelo para la población de iones observada en la región de la magnetosfera terrestre el día 27 de enero de 2019 a las 12:09 UTC. Las soluciones alcanzadas se contrastan con valores de la densidad, temperatura y velocidad de las partículas que ofrecen otros modelos de estimación empleados en la actualidad. 3.1 Consideraciones previas 3.3.4 Momentos parciales Como se ha indicado, de la observación directa del plasma espacial pueden obtenerse cantidades físicas macroscópicas a partir de los momentos de las funciones de distribución (p. ej. La densidad numérica, la velocidad media de las partículas y la temperatura). En trabajos anteriores, estas variables físicas macroscópicas se calculan para las diferentes poblaciones definiendo unos momentos parciales, que resultan de resolver las integrales de los momentos (Subsección 2.2.6) para la función de datos 3D del instrumento en determinados intervalos de energía (o equivalentemente, de velocidad) según la población que se pretende caracterizar. Los intervalos de integración se eligen manualmente, por lo que este método tiene el inconveniente de depender de los límites establecidos. La Figura 3-1 muestra los intervalos o rangos de velocidad que podrían definirse para cada población. La gráfica representa la distribución de datos a escala logarítmica, distinguiendo el intervalo correspondiente a la población caliente con el color rojo, y el respectivo a la fría con azul. Téngase en cuenta que ésta es una representación unidimensional a modo ilustrativo, en el desarrollo real, la integración se realiza para la función de datos en el espacio de velocidades 3D. Figura 3-1. Límites de integración de la distribución para la población caliente (rojo) y fría (azul). Los momentos parciales, por tanto, son estimaciones de la densidad, la velocidad media y la temperatura de las partículas frías y calientes empleadas en los análisis de iones magnetosféricos realizados hasta la fecha. Por contra, el presente estudio caracteriza estas variables como parámetros de una suma de dos distribuciones E Desarrollo 34 normales, a la que se ajustará la distribución de datos proporcionada por los equipos de medición. La descripción de la distribución de datos como dos distribuciones normales, en física de plasmas distribuciones de Maxwell (véase Apartado 2.2.5.3), se establece bajo la hipótesis de un equilibrio térmico local (plasma en régimen no colisional), de manera que las dos distribuciones no se relajan (rápidamente) a una única gaussiana. 3.3.4 Fast plasma density Otra estimación que se emplea regularmente como medida de la densidad del plasma es a partir de medir la frecuencia característica del plasma en las medidas de campo eléctrico o magnético. Los equipos de medición MMS en el modo de operación de mayor resolución son capaces de obtener el campo eléctrico en una region específica del espacio para una serie temporal dada. Mediante la transformada de Fourier es posible calcular la frecuencia característica a la que resuena el espectro de plasma eléctrico, y esta frecuencia de oscilación está relacionada con la densidad del plasma por la expresión: 𝜔=√𝑛·𝑒2 𝑚·𝜀0 (3–1) Donde 𝜔 es la frecuencia del plasma, 𝑛 es la densidad de la muestra, 𝜀0 es la permitividad eléctrica del vacío, 𝑒 la carga y 𝑚 la masa de las partículas del plasma (en el caso presente, iones). La densidad así obtenida también es designada como 𝑛𝑓𝑝 (fast plasma). Este método, sin embargo, no proporciona valores de la densidad en cada instante, sino únicamente en aquellos tiempos en los que se puede extraer la línea de frecuencia del plasma, un proceso no siempre posible. Por ello, su utilidad está limitada y en este estudio se empleará exclusivamente como valor para contrastar la fidelidad con los resultados obtenidos en el modelo de ajuste maxwelliano. 3.2 Datos para el ajuste 3.2.1 Espacio esférico Tal y como se ha señalado, el instrumento FPI proporciona funciones de distribución en el espacio de velocidad (3D). Por defecto, el instrumento define un sistema de coordenadas esféricas en el que la posición espacial de cada punto viene dada mediante una distancia y dos ángulos. De acuerdo a lo desarrollado en el Apartado 2.2.5.1 en el que se explicó el concepto de espacio de fase, cada punto representa un valor de la densidad del plasma, y los distintos puntos quedan confinados dentro de los elementos de volumen en los que se divide el espacio esférico. En el sistema esférico (𝜖,φ,𝜃), los rangos de variación de las coordenadas son los del instrumento FPI: valores siempre positivos para la coordenada radial (velocidad radial de las partículas, o lo que es equivalente, su nivel de energía 𝜖, que oscila entre 2 eV y 30keV); de 0° a 360° en el caso del ángulo azimutal φ; de 0° a 180° para el ángulo polar 𝜃. La Figura 3-2 muestra un volumen esférico en el que cada diferencial de volumen contiene un valor igual a la densidad del plasma en el espacio de velocidades en un punto concreto del espacio (posición de la nave). 35 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Figura 3-2. Representación de una distribución de datos en el espacio esférico. 3.2.2 Reducción de datos a 1D y 2D Con el fin de poder analizar la distribución de la velocidad de las partículas en el marco de dimensiones 1D y 2D, es necesario reducir la función de datos tridimensional a funciones equivalentes unidimensionales y bidimensionales. Para ello, se define un espacio cartesiano (𝑣⟘1,𝑣⟘2,𝑣‖) dado por las direcciones perpendiculares y paralela al campo magnético, el denominado sistema de coordenadas FAC (Field Aligned Coordinates). El sistema FAC se establece con la dirección del campo y la posición de la nave; la coordenada paralela se corresponde con la velocidad alineada con la dirección del campo magnético, la variable perpendicular 2 resulta del producto vectorial de la componente paralela y la posición de la aeronave en coordenadas GSE (Geocentric Solar Ecliptic), y la perpendicular 1 es el producto vectorial de la segunda por la primera. En el caso a estudio, la velocidad tomará valores de -2000 km/s a 2000 km/s en los tres ejes de coordenadas, de manera que se cubra por completo el espectro de energías. Figura 3-3. Sistema de coordenadas FAC. Desarrollo 42 Figura 3-9. Distribución reducida a 2D, 𝑓2𝐷,‖ ⟘1 a partir de los datos del instrumento FPI. Figura 3-10. Resultado del ajuste bidimensional de 𝑓2𝐷,‖ ⟘1 con lsqcurvefit. 43 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Por último, se realiza el ajuste de la función 3D 𝑓3𝐷,⟘1 ⟘2 ‖. La Tabla 3-1 recoge los valores de los parámetros obtenidos en los ajustes 1D, 2D y 3D y los compara con los momentos parciales tomados como valor de referencia en la primera iteración. En los casos 1D y 2D, los momentos finales se tienen del promedio de parte de los resultados obtenidos en cada dirección o plano: o Para el ajuste 1D: 𝑛𝑐=𝑛𝑐,‖+𝑛𝑐,⟘1+𝑛𝑐,⟘2 3 (3–6) 𝑛ℎ=𝑛ℎ,‖+𝑛ℎ,⟘1+𝑛ℎ,⟘2 3 (3–7) El resto de valores serán de inmediata aplicación: 𝑣0𝑐=(𝑣0⟘1𝑐,𝑣0⟘2𝑐,𝑣0‖𝑐), 𝑇𝑐=(𝑇⟘1𝑐,𝑇⟘2𝑐,𝑇‖𝑐), 𝑣0ℎ=(𝑣0⟘1ℎ,𝑣0⟘2ℎ,𝑣0‖ℎ), 𝑇ℎ=(𝑇⟘1ℎ,𝑇⟘2ℎ,𝑇‖ℎ). o Para el ajuste 2D: 𝑛𝑐=𝑛𝑐,‖⟘1+𝑛𝑐,⟘2‖+𝑛𝑐,⟘1⟘2 3 (3–8) 𝑇⟘1𝑐=𝑇⟘1,‖⟘1𝑐+𝑇⟘1,⟘1⟘2𝑐 2 (3–9) 𝑇⟘2𝑐=𝑇⟘2,⟘2‖𝑐+𝑇⟘2,⟘1⟘2𝑐 2 (3–10) 𝑇‖𝑐=𝑇‖,‖⟘1𝑐+𝑇‖,⟘2‖𝑐 2 (3–11) 𝑣0⟘1𝑐=𝑣0⟘1,‖⟘1𝑐+𝑣0⟘1,⟘1⟘2𝑐 2 (3–12) 𝑣0⟘2𝑐=𝑣0⟘2,⟘2‖𝑐+𝑣0⟘2,⟘1⟘2𝑐 2 (3–13) 𝑣0‖𝑐=𝑣0‖,‖⟘1𝑐+𝑣0‖,⟘2‖𝑐 2 (3–14) E idéntico para la población caliente (donde 𝑐 se tendría ℎ). Desarrollo 44 Tabla 3–1. Parámetros ajustados según el modelo maxwelliano de distribución de velocidad. Parámetro PM 1D 2D 3D Unidades 𝑛𝑐 4,4 2,0 0,9 6,2 [cm-3] 𝑇⟘1𝑐 7 5 10 6 [eV] 𝑇⟘2𝑐 2 9 8 7 [eV] 𝑇‖𝑐 8 8 10 6 [eV] 𝑣0⟘1𝑐 23 23 27 9 [km/s] 𝑣0⟘2𝑐 57 52 14 43 [km/s] 𝑣0‖𝑐 -4 -7 45 11 [km/s] 𝑛ℎ 0,2 0,2 0,4 9,3 [cm-3] 𝑇⟘1ℎ 5736 3619 8119 4655 [eV] 𝑇⟘2ℎ 930 3843 9138 4722 [eV] 𝑇‖ℎ 3210 2941 11965 3546 [eV] 𝑣0⟘1ℎ 17 18 43 2 [km/s] 𝑣0⟘2ℎ 45 3 26 48 [km/s] 𝑣0‖ℎ 33 70 28 26 [km/s] 3.4.3 Discusión de resultados 3.4.3.1 Densidad de las poblaciones iónicas El primer parámetro que permite cotejar de manera inmediata la veracidad de los resultados es el valor de la densidad que se obtiene, en cada caso, para las poblaciones fría y caliente. En principio, la densidad de los iones fríos 𝑛𝑐 podría llegar hasta los 10 cm-3, mientras que para la población caliente 𝑛ℎ rara vez supera 1 cm-3. De acuerdo a lo anterior, se comprueba como la solución del ajuste tridimensional se encuentra completamente fuera del límite establecido para 𝑛ℎ. En cuanto a la densidad de la población fría, los valores de 𝑛𝑐 obtenidos se contrastan con las estimaciones de la densidad dadas por 𝑛𝑓𝑝 (estimación de la densidad a partir de medir la frecuencia característica del plasma). La Figura 3-11 muestra las observaciones de la nave MMS1 en el intervalo 12:09:20 – 12:10:40, el 27 de enero de 2019. El panel superior presenta la medida de campo eléctrico 𝐸 de alta resolución, que permite inferir la frecuencia característica del plasma y, con ella, la densidad 𝑛𝑓𝑝. El panel medio de la figura muestra la densidad del plasma que mide el instrumento FPI: iones en alta resolución (línea negra), iones en baja resolución (puntos azules) y electrones en alta resolución (línea roja). Asimismo, se representa en escala de colores el espectrograma resultante de las medidas de campo eléctrico del panel superior. Se puede observar que la línea de la frecuencia característica del plasma (en tonos verdosos) provee valores similares a los obtenidos por FPI – iones. Por último, el panel inferior muestra el espectrograma del instrumento FPI – iones. La población fría y la caliente son claramente distinguibles según el rango de energía. La temperatura promedia del plasma (negro, 𝑇𝑖,‖, azul, 𝑇𝑖,⟘) no es representativa en este caso de dos poblaciones con energías separadas por tres órdenes de magnitud. La Figura 3-11 proporciona un valor aproximado de 𝑛𝑓𝑝 de 2,5 cm-3 para la población de iones fríos en el instante estudiado 12:09:50 (indicado en el panel medio de la figura). Este valor de referencia se compara con las soluciones de 𝑛𝑐 en los distintos ajustes (véase Tabla 3-2). 45 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Tabla 3–2. Densidades estimadas para la población fría de iones magnetosféricos. Parámetro PM 1D 2D 3D 𝑛𝑓𝑝 Unidades 𝑛𝑐 4,4 2,0 0,9 6,2 2,5 [cm-3] Se comprueba como la estimación por momento parciales (PM) proporciona una densidad superior a la real, mientras que los modelos 1D y 2D no logran alcanzar el valor inferido de la frecuencia característica del plasma. La solución tridimensional nuevamente se encuentra fuera de rango. En lo que respecta al caso 3D, se concluye que el ajuste simultáneo de un número tan elevado de variables imposibilita que el algoritmo converja a soluciones con sentido físico. Además, el coste computacional que conlleva su procesado hace inviable la aplicación del mismo con fines prácticos. En cuanto a los supuestos 1D y 2D, a pesar de que el modelo converge a una solución (el algoritmo encuentra el mínimo), las distribuciones maxwellianas logradas no llegan a alcanzar el “pico” de la función de datos reales, lo que se traduce en que los valores de la densidad de la población fría son menores de lo que cabría esperar (ver Figuras 3-8 y 3-10). A pesar de que es posible que existan puntos “no reales”, producto de las proyecciones que proporcionan las funciones de datos en 1D y 2D, tal y como muestra la Tabla 3-2 la densidad medida es menor que la real. Para tratar de resolver esta discrepancia, se plantearon diversas variantes del algoritmo de cálculo; a continuación, se incluyen los modelos de colas dispersas y de ajuste independiente desarrollados para el caso unidimensional. Figura 3-11. Serie temporal medida por la nave MMS en el intervalo 12:09:20 – 12:10:40, el 27 de enero de 2019. (a) Campo eléctrico de alta resolución. (b) Estimaciones de la densidad del plasma. (c) Espectrograma de energía de los iones. Más detalles en el texto. 𝒏𝒇𝒑~𝟐,𝟓 𝐜𝐦−𝟑 Desarrollo 46 Modelo de colas dispersas Como puede observarse en las Figuras 3-5 y 3-8, la cantidad de datos en la parte de la distribución que corresponde a la población caliente es mucho mayor que la relativa a los iones fríos (se tienen más puntos). Cabría pensar que, debido a lo anterior, el algoritmo da más peso a la parte caliente y no invierte lo suficiente en ajustar los puntos más altos. A modo de solución, se definieron nuevas funciones de datos 𝑓1𝐷,‖ , 𝑓1𝐷,⟘1 y 𝑓1𝐷,⟘2 en las que, conocido aproximadamente el rango de velocidad en que puede localizarse cada tipo de población, se reduce el número de puntos considerados en la región de la curva de los iones calientes. Los resultados obtenidos, sin embargo, no mostraron prácticamente mejora respecto al caso anterior, siendo las distribuciones ajustadas muy similares a las adquiridas con la totalidad de puntos. La Figura 3-12 muestra los resultados del ajuste para las funciones 𝑓1𝐷,‖ , 𝑓1𝐷,⟘1 y 𝑓1𝐷,⟘2 , en las que previamente se ha reducido el número de datos en la “cola” de la distribución. Figura 3-12. Resultados del ajuste de 𝑓1𝐷,‖ , 𝑓1𝐷,⟘1 y 𝑓1𝐷,⟘2 (colas dispersas) con lsqcurvefit. Modelo de ajuste independiente Otra de las aproximaciones fue realizar el ajuste de las dos distribuciones de iones de manera separada. De este modo, las expresiones analíticas no se escribirían como una suma de funciones de Maxwell, sino independientemente para cada población. En el caso 1D: 𝑓𝑐(𝑣𝛼)=𝑛𝑐(𝑚 2𝜋𝑘𝑇𝛼𝑐)1/2exp(−𝑚(𝑣𝛼−𝑣0𝛼𝑐)2 2𝑘𝑇𝛼𝑐) (3–15) 𝑓ℎ(𝑣𝛼)=𝑛ℎ(𝑚 2𝜋𝑘𝑇𝛼ℎ)1/2exp(−𝑚(𝑣𝛼−𝑣0𝛼ℎ)2 2𝑘𝑇𝛼ℎ) (3–16) Para cada dirección 𝛼=‖,⟘1,⟘2. Dado que el ajuste se lleva a cabo de forma independiente, no será necesario tomar logaritmos en la expresión analítica, ni tampoco sobre las funciones de datos 𝑓1𝐷,‖ , 𝑓1𝐷,⟘1 y 𝑓1𝐷,⟘2 . No obstante, sí será preciso definir una región del espacio de velocidades a partir del cual generar las funciones de datos de cada población que se van a ajustar: 𝑓1𝐷,‖𝑐, 𝑓1𝐷,⟘1𝑐 y 𝑓1𝐷,⟘2𝑐; 𝑓1𝐷,‖ℎ, 𝑓1𝐷,⟘1ℎ y 𝑓1𝐷,⟘2ℎ. La región se define a partir de un umbral como un tanto por ciento del valor máximo de la función de datos, que se decide de la inspección visual de la 47 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population distribución (línea de puntos en Figura 3-13). Con los resultados de los momentos de cada población se pueden representar las distribuciones maxwellianas las direcciones 𝑣⟘1,𝑣⟘2 y 𝑣‖ que se muestran en la Figura 3-13. Pese a que este resultado logra valores de densidad de iones fríos más acordes, la solución dependerá en gran medida del límite umbral establecido, que a priori es difícil de establecer. Figura 3-13. Resultados del ajuste de 𝑓1𝐷,‖𝑐, 𝑓1𝐷,⟘1𝑐 y 𝑓1𝐷,⟘2𝑐,y 𝑓1𝐷,‖ℎ, 𝑓1𝐷,⟘1ℎ y 𝑓1𝐷,⟘2ℎ con lsqcurvefit. La Tabla 3-3 resume los resultados de los distintos modelos de ajuste en 1D. Tabla 3–3. Comparación de los resultados obtenidos en los distintos modelos de ajuste 1D. Parámetro 1D 1D (colas dispersas) 1D (ajuste independiente) Unidades 𝑛𝑐 2,0 2,8 2,8 [cm-3] 𝑇⟘1𝑐 5 4 1 [eV] 𝑇⟘2𝑐 9 8 3 [eV] 𝑇‖𝑐 8 7 1 [eV] 𝑣0⟘1𝑐 23 22 17 [km/s] 𝑣0⟘2𝑐 52 52 44 [km/s] 𝑣0‖𝑐 -7 -8 -1 [km/s] 𝑛ℎ 0,2 0,2 0,2 [cm-3] 𝑇⟘1ℎ 3619 5288 5737 [eV] 𝑇⟘2ℎ 3843 3715 931 [eV] 𝑇‖ℎ 2941 2647 3210 [eV] 𝑣0⟘1ℎ 18 11 18 [km/s] 𝑣0⟘2ℎ 3 6 49 [km/s] 𝑣0‖ℎ 70,50 67,98 32,25 [km/s] Desarrollo 48 Considerando que en ningún caso se han obtenido mejoras sustanciales, los métodos anteriores no se han aplicado al caso bidimensional. 3.4.3.2 Relación entre resultados del ajuste y valores iniciales Para tener una idea de la relación entre los resultados obtenidos y los momentos parciales tomados como parámetros de partida, se han representado diagramas de dispersión de las magnitudes más significativas de ambas poblaciones (𝑛,𝑇,𝑣𝑜‖,𝑣𝑜⟘ , en cada caso) para el intervalo de 60 s. Cada punto del gráfico representa un tiempo o, lo que es equivalente, una función de distribución, por lo que los diagramas se componen de 400 puntos. En cuanto a la temperatura, se ha tomado el valor promediado entre las tres direcciones: 𝑇𝑐=𝑇⟘1𝑐+𝑇⟘1𝑐+𝑇‖𝑐 3 (3–17) 𝑇ℎ=𝑇⟘1ℎ+𝑇⟘1ℎ+𝑇‖ℎ 3 (3–18) Relativo a las velocidades, se considera la velocidad paralela al campo magnético y una única componente perpendicular, dada por: 𝑣𝑜⟘𝑐=𝑣𝑜⟘1𝑐+𝑣𝑜⟘2𝑐 2 (3–19) 𝑣𝑜⟘ℎ=𝑣𝑜⟘1ℎ+𝑣𝑜⟘2ℎ 2 (3–20) El diagrama de dispersión permite visualizar la correlación entre los valores iniciales y los obtenidos como producto del ajuste, a fin de estudiar la adecuación de la solución. Para facilitar la comparación, se ha dibujado la línea 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠=𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑒. Las Figuras 3-14 (población fría) y 3-15 (población caliente) muestran los gráficos de dispersión que resultan de comparar las magnitudes 𝑛,𝑇,𝑣𝑜‖,𝑣𝑜⟘ del ajuste 1D respecto a los valores de los momentos parciales. 49 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population Figura 3-14. Diagramas de dispersión de los resultados 1D de la población fría. Figura 3-15. Diagramas de dispersión de los resultados 1D de la población caliente. Los gráficos representados en las Figuras 3-16 (población fría) y 3-17 (población caliente) comparan los resultados del ajuste 2D de la distribución 𝑓2𝐷,‖ ⟘1 con los parámetros de partida. Desarrollo 50 Figura 3-16. Diagramas de dispersión de los resultados 2D de la población fría. Figura 3-17. Diagramas de dispersión de los resultados 2D de la población caliente. De las figuras anteriores se acepta que, en general, los ajustes de las 400 funciones de distribución (400 tiempos) siguen tendencias similares. En el caso 1D, los gráficos de dispersión (Figuras 3-14 y 3-15) son concordantes con los resultados mostrados en la Figura 3-8 y en la Tabla 3-1 (solución para el tiempo 68 de 400). Tal y como se comentó, la densidad de 51 Measuring Particle Distribution Functions in Collisionless Space Plasmas: Multiple Ion Population la población de iones fríos es menor que la predicha en la estimación por momentos parciales, si bien esta última es considerablemente superior a la dada por la estimación de 𝑛𝑓𝑝, que se acepta como el valor más próximo al real. El resto de parámetros está de acuerdo con lo esperado. Cabe resaltar que, como se aprecia tanto en la Figura 3-8 como en la Tabla 3-1, la temperatura de la población caliente en la dirección perpendicular 2 es mucho mayor a la estimada en los momentos parciales. Se concluye que en esta dirección el valor obtenido por momentos parciales no es el adecuado (en la Figura 3-8 se observa como la forma de la distribución de datos 𝑓1𝐷⟘2 no coincide con la distribución 𝑓ℎ𝑜𝑡,𝑃𝑀), probablemente debido a que no se seleccionasen correctamente los límites de integración en el cálculo de los momentos parciales de cada población. En cuanto al caso 2D, las densidades de la población iónica fría son aún menores de las obtenidas en el caso unidimensional. En el gráfico de temperatura de la población caliente, se muestran valores muy superiores a los correspondientes momentos parciales. Esto podría explicarse por la inexistencia de puntos en las colas de la distribución, que debe llegar de -2000 km/s a 2000 km/s, dibujándose la función ahí donde no existen datos y aumentando, en consecuencia, la temperatura total. Referencias 58 [17] NASA Magnetospheric Multiscale, extraído el 24/06/2019 de https://www.nasa.gov/mission_pages/mms/spacecraft/orbit.html. [18] EUREKA, Blog de Daniel Marín, Lanzamiento de los satélites científicos MMS de la NASA (Atlas V 421), extraído el 24/06/2019 de https://danielmarin.naukas.com/2015/03/14/lanzamiento-de-los-satelitescientificos-mms-de-la-nasa-atlas-v-421/. [19] NASA Magnetospheric Multiscale, extraído el 24/06/2019 de https://www.nasa.gov/feature/goddard/2016/nasa-directly-observes-fundamental-process-of-nature-for1st-time [20] Pollock, C. J., et al. (2016), “Fast plasma investigation for magnetospheric multiscale”, Space Sci. Rev., 199, 331–406, doi:10.1007/s11214-016-0245-4. [21] Young, D. T., et al. (2014), “Hot plasma composition analyzer for the magnetospheric multiscale misión”, Space Sci. Rev., 199, 407–470, doi:10.1007/s11214-014-0119-6. [22] Mauk, B.H., Blake, J.B., Baker, D.N. et al. (2016), “The Energetic Particle Detector (EPD) Investigation and the Energetic Ion Spectrometer (EIS) for the Magnetospheric Multiscale (MMS) Mission”, Space Sci. Rev., 199-471, https://doi.org/10.1007/s11214-014-0055-5. [23] Blake, J.B., Mauk, B.H., Baker, D.N. et al. (2016), “The Fly’s Eye Energetic Particle Spectrometer (FEEPS) Sensors for the Magnetospheric Multiscale (MMS) Mission”, Space Sci. Rev., 199-309, https://doi.org/10.1007/s11214-015-0163-x. [24] Russell, C.T., Anderson, B.J., Baumjohann, W. et al. (2016), “The Magnetospheric Multiscale Magnetometers”, Space Sci. Rev. 199-189, https://doi.org/10.1007/s11214-014-0057-3. [25] Torbert, R.B., Vaith, H., Granoff, M. et al. (2016), “The Electron Drift Instrument for MMS”, Space Sci. Rev., 199-283, https://doi.org/10.1007/s11214-015-0182-7. [26] Lindqvist, PA., Olsson, G., Torbert, R.B. et al. (2016), “The Spin-Plane Double Probe Electric Field Instrument for MMS”, Space Sci. Rev., 199-137, https://doi.org/10.1007/s11214-014-0116-9. [27] Ergun, R.E., Tucker, S., Westfall, J. et al. (2016), “The Axial Double Probe and Fields Signal Processing for the MMS Mission”, Space Sci. 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Estas integrales aparecen frecuentemente en la física de plasmas donde las funciones de distribución se modelan como productos o sumas de maxwellianas. La integral básica es la integral impropia de la función de Gauss definida sobre toda la recta de los reales: ∫exp(−𝑥2) ∞ −∞ 𝑑𝑥=√𝜋 La integral de Gauss puede resolverse por diversos métodos de cálculo. Es posible generalizar el resultado anterior para expresiones comunes en plasmas, de la forma: ∫𝑥𝛼exp(−𝑎𝑥2) ∞ 0𝑑𝑥= { 𝛤(𝑛+1 2) 2𝑎𝑛+1 2 para 𝛼=2𝑛 𝑛! 2𝑎𝑛+12 para 𝛼=2𝑛+1 Donde 𝛤 es la función Gamma tal que 𝛤(𝑛+1 2)=(2𝑛−1)‼ 2𝑛√𝜋 𝑎 , y 𝑎 tiene una parte real positiva que hace que la integral converja. Dada la asimetría del integrando para los valores 𝛼 impares, resulta evidente que en dicho caso las integrales de −∞ a +∞ se cancelan, mientras que para los números 𝛼 pares serán dos veces el valor dado. A-2 Distribución de Maxwell-Boltzmann Matemáticamente la distribución de Maxwell-Boltzman es la distribución de una variable aleatoria escalar 𝑋2= 𝑋12+𝑋22+𝑋32 combinación de otras tres variables aleatorias 𝑋𝑖 cada una de las cuales se distribuye según una distribución normal 𝑋𝑖~𝑁(0,𝑎2). Físicamente el módulo de la velocidad de una molécula 𝑣 es igual a la raíz de la suma cuadrados de las velocidades coordenadas de la partícula 𝑣=√𝑣𝑥2+𝑣𝑦2+𝑣𝑧2, y como cada una de ellas siguen distribuciones gausianas (en física de plasmas, distribuciones de Maxwell, Apartado 2.2.5.3) entonces 𝑣 debe seguir una distribución de Maxwell-Boltzmann explícitamente: 𝑓(𝑣)=𝑛 4𝜋𝑣2(𝑚 2𝜋𝑘𝑇)3/2exp(−𝑚𝑣2 2𝑘𝑇) Donde el factor 4𝜋𝑣2 resulta de expresar la distribución de velocidad como suma sobre todas las direcciones. Una forma de visualización directa es hacer la conversión del elemento de volumen cartesiano a coordenadas polares esféricas, en ese caso, la suma sobre todas las direcciones implica la integración sobre las coordenadas Apéndice 60 angulares: 𝑓(𝑣)=𝑛(𝑚 2𝜋𝑘𝑇)3/2exp(−𝑚𝑣2 2𝑘𝑇)∫∫𝑣2sin𝜃𝑑𝜑 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝜋 0 Haciendo uso de la integral de Gauss: ∫exp(−𝑥2) ∞ −∞ 𝑑𝑥=√𝜋 Se verifica fácilmente que el resultado de integrar la ecuación en el espacio tridimensional de velocidades es 𝑛, la densidad macroscópica total. 4𝜋𝑣 2 61