Control predictivo polifásico mediante dos constelaciones de vectores virtuales de tensión

Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 20 (2023) 348-354 www.revista-riai.org Resumen En el campo de los accionamientos el´ectricos de velocidad variable ha aparecido recientemente el m´etodo predictivo basado en vectores virtuales de tensi´on. Este m´etodo permite reducir la contribuci´on del voltaje en el subespacio x-y, en el cual no se produce par, sino p´erdidas. De este modo no s´olo se limitan las p´erdidas sino que se reduce la complejidad de sinton´ıa del controlador predictivo. Los vectores virtuales de tensi´on se obtienen mediante combinaci´on de vectores de tensi´on pertenencientes a distintas coronas peque˜na, media y grande adem´as de los vectores nulos. En una aplicaci´on t´ıpica se elige en primer lugar la(s) corona(s) a usar y despu´es se desarrollan los vectores virtuales. El controlador predictivo usa en cada periodo de muestreo el vector virtual m´as adecuado. En este trabajo se propone el uso de varios conjuntos de vectores virtuales provenientes de diferentes combinaciones de coronas. Para cada punto de operaci´on del accionamiento el´ectrico se utiliza el conjunto que proporciona mejores valores de cierto criterio de bondad. El m´etodo propuesto es validado experimentalmente usando una m´aquina de inducci´on de seis fases. Palabras clave: Máquinas de inducción, sistemas polifásicos, mapa de rendimiento, control predictivo, vectores virtuales de tensión Multi-phase predictive control using two virtual-voltage-vector Constellations Abstract In the field of variable speed electric drives, the predictive method based on virtual voltage vectors has recently appeared. This method allows to reduce the voltage contribution in the x-y subspace, in which no torque is produced, but losses. This not only limits the losses but also reduces the tuning complexity of the predictive controller. The virtual voltage vectors are obtained by combining tension vectors belonging to different small, medium and large crowns in addition to the null vectors. In a typical application, first the crown(s) to be used are chosen and then the virtual vectors are developed. The predictive controller uses in each sampling period the most suitable virtual vector. In this work we propose the use of several sets of virtual vectors coming from different combinations of crowns. For each operating point of the electric drive, the set that provides the best values of a certain goodness criterion is used. The proposed method is experimentally validated using a six-phase induction machine. Keywords: Induction machines, multi-phase systems, performance maps, predictive control, virtual-voltage-vectors 1. Introducci´ on Los convertidores de potencia se han usado tradicionalmente mediante bloques moduladores usando la t´ ecnica de la Modulaci´ on por Ancho de Pulso (MAP) u otras similares. En cambio, el Control Digital Directo Basado en Modelo (CDDBM) no precisa de modulaci´ on (Duran et al., 2022). Esta idea fu´ e propuesta en los a˜ nos 1980 para m´ aquinas trif´ asicas (Holtz y Stadtfeld, 1983) y m´ as recientemente para m´ aquinas polif´ asicas (Satu´ e et al., 2023). Entre las ventajas del CDDBM se cita un incremento del ancho de banda en el control (Lim et al., 2022; Gonzalez-Prieto ∗Autor para correspondencia: [email protected] Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0) Control predictivo polifásico mediante dos constelaciones de vectores virtuales de tensión Manuel G. Satuéa,∗, Manuel R. Arahala, Daniel R. Ramíreza, Federico Barrerob aDpto. Ingeniería de Sistemas y Automática, U. Sevilla, 41092 Espa˜na. bDpto. Ingeniería Electrónica, U. Sevilla, 41092 Espa˜na. To cite this article: Satué, M. G., Arahal, M. R., Ramírez, D. R., Barrero F. 2023. Multi-phase predictive control using two virtual-voltage-vector constellations. Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 20, 347-354. https://doi.org/10.4995/riai.2023.19205 et al., 2022). Adem´ as, dado que la formulaci´ on empleada utiliza la minimizaci´ on de una Funci´ on de Coste (FC), es posible atender a varios criterios de funcionamiento, incluyendo restricciones y efectos no lineales (Ben Slimene y Khlifi, 2022). El CDDBM ha sido aplicado al control de corriente (Kali et al., 2023), control directo de par (Wei et al., 2022) y control de velocidad (Preindl y Bolognani, 2013). En el caso particular de sistemas polif´ asicos, el control predictivo de corriente es la variante m´ as usada (Arahal et al., 2022; Berm´ udez et al., 2020). En este contexto, se ha propuesto el uso de Vectores Virtuales de Tensi´ on (VVT) para sustituir a los vectores que el convertidor de potencia puede producir. Por ejemplo, un convertidor de seis fases puede albergar 26=64 estados que producen 49 voltajes diferentes. Estos vectores primarios de tensi´ on (VPT) se distribuyen en capas o coronas como se muestra en la Figura 1. El m´ etodo de los VVT combina, dentro de un mismo periodo de muestreo, la aplicaci´ on de varios vectores primarios. La combinaci´ on se realiza de modo que las componentes x−ytienen media nula. Por ejemplo, tomando un vector de la corona MG (mediana-grande) que act´ ua durante un tiempo T1=0,73 ×Tm(siendo Tmel periodo de muestreo) y un vector de la corona G (grande) que act´ ua durante el tiempo T2=0,27 ×Tmse obtiene un VVT que contribuye a la producci´ on de par, pero que, en media, tiene contribuci´ on nula en el plano de p´ erdidas (Gonzalez-Prieto et al., 2017). Los VVT se han usado con m´ aquinas de distintos tipos y fases (Xue et al., 2017; Garcia-Entrambasaguas et al., 2019; Entrambasaguas et al., 2018); adem´ as, se han propuesto variantes como las que se comentan a continuaci´ on. G MG PM Figura 1: Vectores de voltaje (enumerados del 0 al 63) para un convertidor de seis fases. Los ejes de la izquierda representan el plano α−βy los de la derecha el plano x−y. Se indican las coronas P, M, MG y G en el plano α−β. En el trabajo de (Gonc¸alves et al., 2019) se presenta un control bi-espacio con dos grupos de VVT, uno para la regulaci´ on de la componente fundamental y el otro para las componentes x−y. En (Wang et al., 2022), se utiliza la generaci´ on de VVT no restringida a constelaciones, para un motor de nueve fases. En (Mwasilu et al., 2017) se considera la pata del inversor que lleva la mayor corriente. Mediante un modelo predictivo y funci´ on de coste se deriva la acci´ on de control considerando solamente dos VPT. De este modo se busca reducir el n´ umero de conmutaciones y el coste computacional. En (Luo y Liu, 2018) se consideran VVT de dos magnitudes distintas. Mediante una tabla se excluyen ciertas combinaciones proporcionando una reducci´ on en el tiempo de c´ alculo. Adem´ as se evita la sinton´ ıa de la funci´ on de coste. Un enfoque parecido es usado en (Luo y Liu, 2019) donde se usa una funci´ on de coste de dimensi´ on reducida. En este trabajo la funci´ on de coste considera el error de seguimiento y la frecuencia de conmutaci´ on, por lo que se necesita sinton´ ıa. En este sentido se ha de recordar que las aplicaciones de CDDBM han de conformarse con una soluci´ on de compromiso entre objetivos contradictorios (Elmorshedy et al., 2021). Esta situaci´ on emana de la minimizaci´ on de la funci´ on de coste. Dicha minimizaci´ on se lleva a cabo en cada instante de muestreo y produce un cierto comportamiento del sistema el´ ectrico, caracterizado por seguimiento de corrientes, frecuencia de conmutaci´ on, y otras variables. En particular los autores han mostrado en (Arahal et al., 2021) que el error de seguimiento en x−y, el error en α−βy la frecuencia media de conmutaci´ on est´ an relacionadas por una superficie Titeica. Esto conlleva que la sinton´ ıa no pueda mejorar simult´ aneamente estas tres variables. As´ ı, si se intenta disminuir la frecuencia media de conmutaci´ on ser´ a inevitable un deterioro en el seguimiento en x−y, o en α−βo en ambos. La sinton´ ıa de CDDBM se ha llevado a cabo seleccionando unos par´ ametros que sirven como pesos de ponderaci´ on (PP) para los distintos t´ erminos cuadr´ aticos que aparecen en la funci´ on de coste. Lo m´ as habitual es considerar unos valores fijos para los PP. Esos valores se obtienen por simulaci´ on o mediante experimentaci´ on para conseguir un comportamiento m´ as o menos adecuado en todo el intervalo de operaci´ on del accionamiento (Lim et al., 2014; Shawier et al., 2021). Para ello se manejan ciertos indicadores de bondad. En este trabajo se busca como objetivo la minimizaci´ on del error de seguimiento de corriente en ejes α−βmanteniendo la frecuencia de conmutaci´ on bajo l´ ımites. Esta elecci´ on es relevante pues lleva a una reducci´ on de p´ erdidas por conmutaci´ on. Por otro lado, las p´ erdidas en el cobre debida al contenido en ejes x−yson mantenidas en un nivel bajo gracias a la aplicaci´ on de VVT. Estas consideraciones son importantes por la relevancia de la eficiencia energ´ etica y por la dificultad de modelado de todas las posibles p´ erdidas (Tawfiq et al., 2022). Hay otras l´ ıneas de trabajo abiertas en relaci´ on con los aspectos citados. Por ejemplo, en (Mamdouh y Abido, 2022) se consideran cuatro candidatos VPT usando una tabla y la se˜ nal de control aplicada en el periodo anterior. De este modo se busca minimizar el n´ umero de conmutaciones en el convertidor. En (Serra y Cardoso, 2022) se propone eliminar los PP simplificando el dise˜ no al tiempo que se alivia la carga computacional. El presente trabajo propone el uso de superficies de los indicadores de bondad (SIB) en el intervalo de operaci´ on del accionamiento. Este an´ alisis SIB es llevado a cabo para el caso particular de un motor de seis fases. Se van a considerar dos constelaciones: la habitual formada por vectores MG+G y la formada por los VPT peque˜ nos y medios P+M. Adem´ as, se usan las ideas de (Arahal et al., 2019) para considerar todas las posibles sinton´ ıas de la FC para cada punto de operaci´ on dado por una cierta velocidad y una cierta carga del motor. Las contribuciones del presente trabajo son las siguientes: en primer lugar se propone el uso de dos constelaciones de vectores virtuales de tensi´ on en lugar de s´ olo una. En segundo lugar se hace uso de superficies de los criterios de bondad para analizar cada constelaci´ on. En tercer lugar se hace uso del concepto de controlador local para extenderlo a constelaci´ on local, de forma que cada punto de operaci´ on del accionamiento es manejado 348 Satué M. G. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 20 (2023) 324-354 por la constelaci´ on m´ as adecuada. Adem´ as, la sinton´ ıa del controlador predictivo tambi´ en se considera localmente, de forma que para cada punto de operaci´ on se usan los pesos de ponderaci´ on m´ as adecuados. El m´ etodo propuesto se pone a prueba en el control de un motor de inducci´ on de seis fases mediante ensayos de laboratorio. Se mostrar´ a que los resultados obtenidos para cada constelaci´ on pueden ser mejorados usando en cada punto de operaci´ on la constelaci´ on m´ as adecuada. Se mostrar´ a tambi´ en que la carga de c´ alculo extra es despreciable. En el apartado siguiente se presenta el esquema de CDDBM mediante VVT para un motor de inducci´ on de seis fases. En la secci´ on 3 se presentan las SIB para las dos constelaciones de VVT consideradas. De dichas SIB se obtendr´ a la tabla para combinar las dos constelaciones en el controlador propuesto en la secci´ on 4. Finalmente, en la secci´ on 5 se mostrar´ an los resultados experimentales obtenidos para el m´ etodo propuesto. 2. Control Polif´ asico con VVT En la Figura 2 se presenta el diagrama del control predictivo de una m´ aquina de seis fases mediante VVT considerando una sola constelaci´ on. Existe un bucle de control externo que se ocupa del seguimiento de velocidad y otro interno que tiene como objetivo la producci´ on de corrientes de est´ ator. La referencia para las corrientes de est´ ator viene dada por el PI de control de velocidad usando los ejes d−q. Posteriormente se usa la transformaci´ on de Park para obtener valores en el plano α−βque es el plano donde se produce el par motor. La matriz de transformaci´ on es: D= cos θssin θs −sin θscos θs!(1) PI Motor de 6 fases Convertidor de 6 fases T D-1 CDDBM Constelación ωm* ωm is iαβ i*αβ i*q i*d s Figura 2: Diagrama del CDDBM para un motor de seis fases. Las corrientes de fase is=(isa,isb,isc,isd,ise,is f ) se miden con sensores y se convierten a ejes α−βmediante la transformaci´ on de Clarke invariante en potencia, dada por T=1 √3 1−1/2−1/2√3/2−√3/2 0 0√3/2−√3/2 1/2 1/2−1!(2) El controlador predictivo compara la referencia i∗ α−βcon el valor medido iα−βy decide cu´ al de los VVT se debe aplicar en el siguiente periodo de muestreo. Habitualmente se obtiene VVTopt(k+1) mediante minimizaci´ on de la funci´ on de coste. Esta minimizaci´ on se realiza de forma combinatoria calculando los errores predichos para k+2 para cada posible VVT. Los errores se predicen usando un modelo del sistema que incluye el convertidor de potencia y la m´ aquina el´ ectrica. Dicho modelo se puede expresar en espacio de estados, siendo el vector de estado is=iα,iβ⊤. Aplicando discretizaci´ on temporal a las ecuaciones de tiempo continuo (Preindl y Bolognani, 2013) se obtiene ˆ is(k+2) =Ai(k)+B1u(k)+B2u(k+1) +G(k) (3) La acci´ on de control ues el voltaje que el convertidor proporciona para los ejes α−β. El vector Gtoma en consideraci´ on el efecto de las corrientes del rotor, que usualmente no pueden medirse. En el instante discreto kel controlador ha de decidir el voltaje a aplicar en k+1 minimizando la funci´ on de coste J que tiene en cuenta los errores de control predichos para k+2 y que puede albergar otros t´ erminos (Camacho y Bordons, 2013). Los errores de control predichos son ˆe=(i∗ S(k+2) −ˆ iS(k+2)). Entre otros posibles t´ erminos, la funci´ on de coste en CDDBM a menudo incluye una penalizaci´ on al n´ umero de conmutaciones en el convertidor al pasar de u(k) a u(k+1). Este n´ umero SC se puede calcular como SC(k)= 6 X i=1|Si(k+1) −Si(k)|,(4) siendo Siel estado del conmutador i-´ esimo del convertidor. Se considera que el estado del convertidor es S, un vector de ceros y unos que indican la posici´ on de cada uno de los 6 interruptores de que consta. Teniendo esto en cuenta la funci´ on de coste puede expresarse del siguiente modo J(k+2) =∥ˆeαβ(k+2)∥2+λscS C(k+2),(5) siendo λsc un factor o peso de ponderaci´ on (PP). Este esquema de control puede usarse bien con VPT o extenderse al caso de VVT con algunos retoques. En la Figura 1 se muestran los VPT numerados de 0 a 63 en los planos α−βy x−y. En cada plano es posible distinguir cuatro coronas. Usualmente se toma el plano α−βcomo referencia para diferenciar las coronas. La de menor amplitud es la corona peque˜ na (P) que incluye los VPT con identificadores 35, 12, 49, 46, 21, 34, 28, 51, 14, 17, 42 y 29. Despu´ es viene la corona media (M), la corona media-grande (MG) y la corona grande (G). Existen adem´ as cuatro VPT que producen voltaje nulo en ambos planos, con indicadores 0, 7, 56 y 63. La idea de los VVT es combinar dentro de un mismo periodo de muestreo dos o m´ as VPT de forma que la contribuci´ on en ejes x−ysea nula. Por ejemplo tomando un VPT de MG aplicado durante 0,73 ×Tmy un VPT de G aplicado durante 0,27 ×Tm. De este modo se tiene que, en media, el voltaje de ejes xy es nulo mientras que el voltaje medio en ejes α−βno lo es. Los factores dependen del n´ umero de fases de la m´ aquina, siendo los valores 0,73, 0,27 los adecuados para seis fases. De este modo se consigue una constelaci´ on que contiene 12 VVT. A esta constelaci´ on se le suele a˜ nadir un VPT nulo. De este modo se obtiene la constelaci´ on usualmente llamada MG+G que Satué M. G. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 20 (2023) 324-354 349 consta de 13 elementos. En lo que sigue, el n´ umero de elementos (n´ umero de VVT) se denotar´ a como Nv. En este trabajo se considera tambi´ en la constelaci´ on P+MG en la cual los VVT se obtienen aplicando un VPT de P durante 0,42 ×Tmm´ as un VPT de MG durante el resto del periodo. A˜ nadiendo un VPT nulo se llega a un total de Nv=13 elementos para la constelaci´ on P+MG. Es interesante observar que, la constelaci´ on MG+G proporciona voltajes de mayor m´ odulo en el plano α−βque la constelaci´ on P+MG. Por tanto cabe esperar que en puntos de operaci´ on donde i∗tenga mayor m´ odulo la constelaci´ on MG+G sea m´ as apropiada mientras que en situaciones de baja velocidad y/o carga la constelaci´ on P+MG puede dar mejores resultados. Una posibilidad para lidiar con esta situaci´ on es utilizar la constelaci´ on uni´ on de MG+GyP+MG que tiene Nv=25 elementos diferentes. El problema es que la fase de optimizaci´ on del CDDBM requiere el c´ alculo de la funci´ on de coste para cada posible acci´ on de control. Esto resulta en un aumento del tiempo de c´ alculo que ha de trasladarse a un aumento del periodo de muestreo. A priori no est´ a claro si el mayor n´ umero de combinaciones usando Nv=25 compensa un aumento del tiempo de muestreo, ni tampoco si esa compensaci´ on se produce en todos los puntos de operaci´ on. Para responder a estas cuestiones se van a usar las SIB. En la Tabla 1 se resumen los datos de las constelaciones que se consideran en este trabajo y que se han indicado m´ as arriba.Los tiempos de muestreo est´ an calculados para el equipo experimental disponible que se detalla a continuaci´ on. Tabla 1: Constelaciones de VVT Const. P MG G NvTm(µs) C1=MG +G✓ ✓ 13 36 C2=P+MG ✓ ✓ 13 36 C3=C1∪C2✓✓✓25 51 Tabla 2: Par´ ametros de la bancada. VDC 200 (V) nm1000 (rpm) Rs4.2 (Ω)Rr2 (Ω) Lm420 (mH) Lls 1.5 (mH) Llr 55 (mH) 2.1. Bancada de ensayos experimentales Se va a usar una bancada de ensayos experimentales consistente en un motor de inducci´ on de seis fases con los par´ ametros de la Tabla 2. Adem´ as se usan dos convertidores de potencia Semikron SKS22F, un procesador digital de se˜ nal (DSP) TMS320F28335, sensores de corrientes LEMLAH25-NP y un codificador angular GHM510296R/2500 para la medida de velocidad. El motor acepta un par de carga externo proporcionado por un motor de corriente continua acoplado al eje. La Figura 3 muestra un diagrama de la bancada. Convertidores Motor de 6 fases Unidad de Control Carga s i S m ω m ω * Figura 3: Diagrama de bloques de la bancada de ensayos experimentales. 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.2 1.21 1.22 1.23 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 Tiempo (s) is (A) iαiβ Figura 4: Evoluci´ on temporal de isαeisβobtenidas en la bancada experimental para un punto de operaci´ on. Para obtener el modelo predictivo de la ecuaci´ on (3) se identifican los par´ ametros del motor usando ensayos como se indica en (Riveros et al., 2012). Adem´ as, se ha ensayado la t´ ecnica CDDBM con VVT usando diferentes sinton´ ıas del controlador (valores del PP de la funci´ on de coste). A modo de ejemplo la Figura 4 presenta la evoluci´ on temporal de la se˜ nal de control isα,isβusando la constelaci´ on C1 y con λsc =0. Para obtener los indicadores de bondad se usa simulaci´ on del sistema en bucle cerrado. Para ello se han usado las funciones para ecuaciones diferenciales de MATLAB (R2017a) para las partes de tiempo continuo y programas ad hoc para la parte de tiempo discreto teniendo en cuenta el tiempo de c´ alculo necesario en el DSP para las posteriores pruebas con el sistema real (v´ ease Tabla 1). 3. Superficies de Indicadores de Bondad A fin de obtener las SIB se precisa: la definici´ on del propio indicador y una partici´ on del espacio de trabajo. En el caso de motores tiene sentido considerar como indicadores los errores de control de corriente: eα,eβ,ex,eyy la frecuencia media de conmutaci´ on del convertidor fsw. Comoquiera que los VVT proporcionan una contribuci´ on de media nula en el plano x−y se pueden obviar exyey. Por otro lado, al ser la referencia i∗senoidal, las componentes αyβdeber´ ıan ser similares por lo que basta con considerar s´ olo una de ellas (previa comprobaci´ on de la necesaria simetr´ ıa en los resultados obtenidos). De este modo quedan eαyfsw como indicadores. Estas cantidades se obtienen 350 Satué M. G. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 20 (2023) 324-354 promediando en el intervalo de instantes discretos (k1,k2). De este modo se llega a la definici´ on siguiente: eα=v u t1 (k2−k1+1) k2 X k=k1 e2 α(k) (6) fsw =1/6 Tm(k2−k1+1) k2 X k=k1 SC(k) (7) En cuanto a la partici´ on del espacio de trabajo, la velocidad de giro y el par externo definen el punto de operaci´ on. Resulta sin embargo m´ as claro trabajar con la amplitud de la se˜ nal de referencia I∗y la frecuencia el´ ectrica pues as´ ı se elimina el efecto del deslizamiento y adem´ as se barajan cantidades similares a eαyfsw. De este modo se van a considerar los siguientes intervalos: I∗∈Ia=[0,A], fe∈If=[0,F], siendo Ala cota superior de las corrientes de est´ ator y Fla cota superior de las frecuencias el´ ectricas. El espacio de trabajo ser´ a por tanto el producto cartesiano Ω = Ia×If. A modo de ejemplo se proporciona la SIB de la Figura 5 correspondiente al CDDBM usando la constelaci´ on C1 para un valor de PP dado por λsc =0,0035. En la representaci´ on se usa el color para mostrar el valor del indicador eαofsw. Puede verse que, para esta situaci´ on, el indicador eαempeora para bajas velocidades y cargas mientras que el indicador fsw mejora. A altas velocidades y cargas la situaci´ on se invierte. ´ Este es un comportamiento t´ ıpico de los controladores CDDBM resultado de la interacci´ on entre los VVT disponibles y las condiciones del punto de operaci´ on. 3.1. Sinton´ıa Local Una mejora propuesta para los CDDBM es el uso de PP adaptados a cada punto de operaci´ on. En (Arahal et al., 2019) y (Arahal et al., 2021) los autores proponen dos v´ ıas para obtener estos PP adaptados. T´ engase en cuenta que, en todo caso, la soluci´ on es un compromiso entre los indicadores pues habitualmente est´ an en conflicto. A modo de ejemplo se puede ver en la Figura 5 que la relaci´ on entre valores de PP y puntos de operaci´ on no es lineal. Se ha usado un valor λsc =0,0035 para obtener un valor medio (media en los puntos de operaci´ on) de fsw de 6kHz a efectos ilustrativos. El ajuste de los PP a cada punto de operaci´ on considera que el convertidor tiene una limitaci´ on en la frecuencia de conmutaci´ on (caso habitual) que no debe superarse en ning´ un punto de operaci´ on; por tanto fsw <Ufor all (I∗,fe)∈Ω. Adem´ as, se considera como objetivo un error de seguimiento peque˜ no, por lo que se busca minimizar eα. De este modo se puede expresar el problema de la sinton´ ıa local como eo α=m´ ın λsc eα s.a. fsw <U (8) Con fines ilustrativos se proporciona la Figura 6 conteniendo la SIB para el caso de usar la ecuaci´ on (8) tomando U=12 (kHz). Comparando con el caso previamente mostrado en la Figura 5 se observa una reducci´ on notable en eα. El valor de fsw se ha incrementado, pero permanece bajo l´ ımites en todo caso. Figura 5: SIB para los indicadores eα(arriba) y fsw (abajo) para la constelaci´ on C1 con λsc =0,0035. Figura 6: SIB del indicador eαpara la constelaci´ on C1 con un valor ´ optimo para λsc ajustado a cada punto de operaci´ on. El procedimiento de sinton´ ıa local se puede aplicar a cualquier constelaci´ on. Resulta interesante aplicarlo a la constelaci´ on C3, obteni´ endose el resultado mostrado en la Figura 7. Dicho resultado es sorprendente por varios motivos. En primer lugar en la literatura se presta mucha atenci´ on a la constelaci´ on C1 y sin embargo C3 reduce eαen una regi´ on amplia del esSatué M. G. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 20 (2023) 324-354 351 pacio de trabajo. Por otra parte, dado que C3 incluye a C1 se podr´ ıa pensar que C3 siempre tendr´ a mejores resultados. Sin embargo esto no ocurre. El motivo es que C3 necesita un tiempo de c´ alculo mayor por lo que ha de recurrir a mayores tiempos de muestreo. Figura 7: SIB del indicador eαpara la constelaci´ on C3 con un valor ´ optimo para λsc ajustado a cada punto de operaci´ on. 4. CDDBM con dos constelaciones Como extensi´ on de los resultados mostrados en la secci´ on anterior se indaga ahora en el uso de la constelaci´ on m´ as adecuada a cada punto de operaci´ on. Las SIB obtenidas en el punto anterior para C1 y C3 (figuras 6 y 7) permiten identificar los puntos de operaci´ on en los que C3 mejora los resultados de C1; es decir, los puntos donde eo α(C3)<eo α(C1). Esta regi´ on ser´ a designada como Ω2. N´ otese que esta regi´ on es un subconjunto de Ωy por tanto est´ a formada por pares (I∗,fe). A continuaci´ on se define la regi´ on para el presente caso, para ello se proporcionan las fronteras de la misma. Los l´ ımites de Ω2quedan definidos mediante dos segmentos rectos y dos trozos de hip´ erbola. El primer segmento recto es horizontal y queda definido matem´ aticamente mediante la expresi´ on fe=F. Se trata por tanto de la cota superior en la variable fe. El segundo segmento recto es vertical y se define matem´ aticamente mediante I∗=A. Se trata por tanto de la cota superio en la variable I∗. La primera hip´ erbola corresponde a la curva inferior en la Figura 8 y queda definida mediante I∗×fe=65 (A/s). Esta hip´ erbola intersecciona con los segmentos rectos como puede verse en dicha figura. La segunda hip´ erbola corresponde a la curva superior en la Figura 8 y queda definida mediante I∗×fe=180 (A/s). Finalmente, la regi´ on Ω2corresponde al espacio interior a las fronteras previamente descritas. Desde el punto de vista de la realizaci´ on en tiempo real del algoritmo, es interesante indicar que, la pertenencia a Ω2requiere pocas operaciones. Ha de tenerse en cuenta que siempre se cumple que fe≤FyI∗≤A. Por tanto, la pertenencia a la regi´ on Ω2queda garantizada comprobando ´ unicamente que 65 <I∗×fe<180. Esto requiere un producto y dos comparaciones. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 10 20 30 40 50 60 70 Ω2 I* (A) fe (Hz) Figura 8: Regi´ on Ω2en el espacio de trabajo del motor. El esquema para el controlador con dos constelaciones se muestra en la Figura 9. Se han resaltado los cambios respecto al esquema original del CDDBM (Figura 2). El bucle exterior es responsable del control de velocidad y opera en escalas de tiempo bastante mayores que las del bucle interior. En particular este bucle proporciona los valores I∗yfe. Ah´ ı es por tanto posible calcular I∗×fey verificar si el punto de operaci´ on pertenece o no a Ω2. Esto indica cu´ al de las constelaciones han de usarse. PI Motor de 6 fases Convertidor de 6 fases T D-1 CDDBM ωm* ωm is iαβ i*αβ i*q i*d s C1 C3 Є Ω2 Figura 9: Diagrama del m´ etodo propuesto para el CDDBM con dos constelaciones. De nuevo, las SIB pueden usarse para comparar la propuesta con las t´ ecnicas previamente existentes. Utilizando en cada punto de operaci´ on la constelaci´ on m´ as adecuada con el PP m´ as apropiado se obtiene el resultado mostrado en la Figura 10. Puede verse que la propuesta proporciona mejores resultados que C1 y C3. En la Tabla 3 se comprueba que la propuesta conserva los puntos fuertes de C3 en lo tocante a valores extremos de eα con un valor medio reducido y manteniendo la frecuencia de conmutaci´ on bajo l´ ımites. Finalmente se presentan los resultados del m´ etodo propuesto para un punto de operaci´ on usando el m´ etodo tradicional con la constelaci´ on C3 (Figura 11 arriba) y usando el m´ etodo propuesto (Figura 11 abajo). Obs´ ervese que el resultado es contrario a la intuici´ on (como se ha comentado en la introducci´ on) 352 Satué M. G. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 20 (2023) 324-354 pues cabe suponer que C3 debe proporcionar siempre mejores resultados, especialmente en este caso en el que se ha elegido cuidadosamente la sinton´ ıa de la funci´ on de coste ajustando los PP al punto de operaci´ on. Sin embargo se observa un mejor seguimiento en la corrientes de est´ ator para el m´ etodo propuesto pues en ese punto de operaci´ on la mejor opci´ on no es usar C3. Tabla 3: Resumen de resultados comparando diferentes constelaciones y sinton´ ıas. eα−β(mA) fsw (kHz) m´ ın. med. m´ ax. m´ ın. med. m´ ax. C1 47.4 55.0 58.3 0.98 6.0 12.4 C1 (opt) 19.3 24.0 59.5 1.66 8.5 11.9 C3 (opt) 15.8 23.3 44.3 2.51 10.0 11.9 Propuesta 15.8 22.1 44.3 2.51 9.7 11.9 4.1. An´alisis de Inexactitud Param´etrica La incertidumbre en el valor de los par´ ametros del sistema constituye un aspecto importante para los controladores basados en modelo. Para el caso del control predictivo de sistemas polif´ asicos, el problema ha sido analizado previamente introduciendo errores param´ etricos y estudiando el deterioro en las prestaciones (Mart´ ın et al., 2017). Para evitar redundancias, este apartado presenta un an´ alisis de inexactidud param´ etrica para el caso de los par´ ametros m´ as significativos. En lo que sigue se supone que los par´ ametros nominales son los que se observan en la Tabla 2, mientras que los par´ ametros usados por el modelo contienen errores. Para cuantificar el error se usa una serie de variables ξde forma que los par´ ametros del modelo se calculan como ˆ Rs=ξ1Rs,ˆ Rr=ξ2Rr,ˆ Lls =ξ3Lls, ˆ Llr =ξ4Llr, y ˆ LM=ξ5LM. Los valores ξicon i=1, ..., 5 permiten considerar diversos casos de inexactitud. De este modo se obtiene la Tabla 4 en la cual el efecto de la inexactitud se presenta mediante un factor de degradaci´ on δdefinido como δ=ed α−β/ec α−β. El super´ ındice cindica valor obtenido con par´ ametros correctos (es decir, con ξi=1 para todo i), mientras que el super´ ındice dindica valor obtenido con par´ ametros distorsionados. Puede verse que el m´ etodo propuesto no altera apreciablemente las caracter´ ısticas del m´ etodo habitual en lo tocante a inexactitud param´ etrica. Figura 10: SIB del indicador eαpara el m´ etodo propuesto. Tiempo (s) (A) (rpm) (A) Tiempo (s) (A) (rpm) (A) Figura 11: Evoluci´ on temporal de las variables controladas para un ensayo con el m´ etodo tradicional (arriba) y con el m´ etodo propuesto (abajo). Tabla 4: Efecto de la Inexactitud Param´ etrica. Cambio δ δ M. convencional M. Propuesto ξ1=0,5 1.09 1.09 ξ1=2,0 1.01 1.01 ξ2=0,5 1.46 1.47 ξ2=2,0 1.41 1.41 ξ3=0,5 1.18 1.17 ξ3=2,0 1.31 1.31 ξ4=0,5 1.00 1.01 ξ4=2,0 1.01 1.01 ξ5=0,5 1.00 1.00 ξ5=2,0 1.95 1.93 Satué M. G. et al. / Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial 20 (2023) 324-354 353 5. Conclusiones Este trabajo abre una v´ ıa no explorada previamente para el control de m´ aquinas el´ ectricas alimentadas por convertidores. Aunque los resultados se han basado en un motor de seis fases, el m´ etodo es f´ acilmente adaptable a otro tipo de sistemas. Los resultados indican que la combinaci´ on de constelaciones de VVT proporciona ventajas para hacer frente a los requisitos de control de los accionamientos de velocidad variable. En dichos accionamientos la combinaci´ on de velocidad de giro y par de carga crean puntos de operaci´ on con requisitos muy diferentes, lo cual hace necesaria una mayor flexibilidad. Por otro lado la inclusi´ on de todos los posibles vectores de tensi´ on (primarios y virtuales) incrementa enormemente los requisitos de c´ alculo. Finalmente, este trabajo muestra que el uso de las superficies de indicadores de bondad tiene grandes posibilidades, a pesar de lo cual su uso en la literatura existente es muy reducido. Agradecimientos Este trabajo es parte de los proyectos TED2021-129558BC22 (financiado por el Ministerio de Ciencia e Innovaci´ on Agencia Estatal de Investigaci´ on de Espa˜ na MCIN/AEI/ 10.13039/501100011033 y tambi´ en por Uni´ on Europea NextGenerationEU/PRTR) y PID2021-125189OB-I00 (financiado por MCIN/AEI /10.13039/501100011033/FEDER, UE Ministerio de Ciencia e Innovaci´ on, Agencia Estatal de Investigaci´ on de Espa˜ na y el Fondo Europeo de Desarrollo Regional). Referencias Arahal, M. R., Barrero, F., Berm´ udez, M., Satu´ e, M. G., 2022. Predictive stator current control of a five-phase motor using a hybrid control set. IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics. Arahal, M. R., Kowal, A., Barrerro, F., Castilla, M. d. M., 2019. Optimizaci´ on de funciones de coste para control predictivo de m´ aquinas de inducci´ on multif´ asicas. Revista Iberoamericana de Autom´ atica e Inform´ atica Industrial 16 (1), 48–55. Arahal, M. R., Satu´ e, M. 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