Existencia y unicidad de soluciones periódicas para una ecuación de Liénard discontinua lineal a trozos

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–6) Existencia y Unicidad de Soluciones Peri´odicas para una Ecuaci´on de Li´enard Discontinua Lineal a Trozos J. Llibre1, E. Ponce2, F. Torres2 1Departament Matem`atiques, Universitat Aut`onoma de Barcelona. Facultat de Ciencies, Edifici C, 08193 Bellaterra, Barcelona E-mail: [email protected]. 2Departamento de Matem´atica Aplicada II, Universidad de Sevilla, E.T.S.Ingenieros, Camino de los Descubrimientos, 41092 Sevilla. E-mails: [email protected], [email protected]. Palabras clave: Soluciones peri´odicas, ecuaciones de Li´enard, sistemas discontinuos. Resumen En esta comunicaci´on se establece un resultado de existencia y unicidad de soluciones peri´odicas en una ecuaci´on de tipo Li´enard, donde las funciones involucradas son lineales a trozos discontinuas. Para ello, se ha transformado la ecuaci´on inicial en un sistema plano de Li´enard y se ha seguido el m´etodo convexo de Filippov para extender las ´orbitas que alcanzan la l´ınea de discontinuidad. Nos hemos limitado a considerar sistemas que no poseen soluciones deslizantes (sliding motions) en el sentido de Filippov. 1. Introducci´on y principales resultados La existencia y unicidad de soluciones peri´odicas para las ecuaciones de Li´enard es un problema que ha producido una ingente cantidad de resultados bajo diferentes hip´otesis, v´ease [9]. Un requisito com´unmente exigido es la suavidad de las funciones involucradas, por lo que en ausencia de continuidad los resultados conocidos no son aplicables a fortiori. En este trabajo presentaremos diversos resultados de existencia y unicidad de soluciones peri´odicas para una ecuaci´on de Li´enard donde los t´erminos de la misma son funciones discontinuas lineales a trozos con dos zonas. En concreto, consideramos la ecuaci´on diferencial de Li´enard, x00 −f(x)x0+g(x) = 0,(1) donde las funciones fygestan dadas por f(x) = T1,si x < 0, T2,si x > 0,g(x) = D1x+a1,si x < 0, D2x+a2,si x > 0. 1 J. Llibre, E. Ponce, F. Torres Obs´ervese que las las funciones fygson lineales a trozos y discontinuas en el origen. Si usamos la notaci´on x=(x, y)T,la ecuaci´on (1) puede escribirse en la forma x0=            T1−1 D10x+0 a1,si x < 0, T2−1 D20x+0 a2,si x > 0. (2) N´otese que si a1=a2, el sistema puede extenderse de forma continua en x= 0, y entonces perteneceria a la clase de sistemas ya estudiados en [3]. En lo que sigue asumimos salvo indicaci´on expresa en sentido contrario que a16=a2. La ecuaci´on (1) es una particularizaci´on del caso m´as general donde las funciones fy gvienen dadas por f(x) = f1(x) si x < 0, f2(x),si x > 0,g(x) = g1(x) si x < 0, g2(x),si x > 0.(3) siendo f1, g1por un lado, y f2, g2por otro, continuamente diferenciables en los intervalos (−∞,0) y (0,∞),respectivamente.Obs´ervese que las funciones f, g no est´an definidas para x= 0,resultando admisible que ambas funciones posean una discontinuidad de salto finito en el origen. Mediante el cl´asico cambio de Li´enard y=F(x)−x0, donde F(x) = Zx 0 f(s)ds, la ecuaci´on anterior se transforma en el sistema de Li´enard, x0=F(x)−y, y0=g(x),(4) y es claro que F(0) = 0,mientras que g(0) no est´a definida por el momento. Es evidente que ambas componentes del campo vectorial definido en (4) son continuas cuando x6= 0.Por otra parte, a lo largo de la l´ınea x= 0,la componente horizontal resulta continua (de hecho, x0=−y), mientras que la componente vertical no puede definirse con continuidad. Esto obliga normalmente a establecer algun criterio para extender las ´orbitas cuando alcanzan la l´ınea x= 0.El criterio m´as frecuentemente adoptado, es el m´etodo convexo de Filippov [4], que permite definir un nuevo campo vectorial sobre la l´ınea de discontinuidad cuando ambos campos no pueden ser concatenados de forma obvia. Debemos se˜nalar que el criterio de Filippov ha sido justificado mediante procesos de regularizaci´on de ecuaciones diferenciales v´ease [5], [8], y mediante t´ecnicas de perturbaci´on singular v´ease [1], [6]. En nuestro caso, una ´orbita que pasa por un punto con coordenada x < 0 estar´a bien definida mientras no llegue al eje x= 0,pero si la ´orbita alcanza dicho eje lo har´a en un punto (0, y) con y < 0 y se comportar´a como si el valor g(0) fuera igual a a1. Seguidamente, basta admitir que la ´orbita continuar´a en la regi´on x > 0 a partir del punto de llegada al eje OY comport´andose como si el valor g(0) fuera igual a a2.Resulta as´ı natural la 2 Soluciones Peri´odicas en una Ecuaci´on de Li´enard Discontinua Lineal a Trozos concatenaci´on de soluciones que llegan al eje OY, si exceptuamos el origen, de manera que el sistema no presenta soluciones deslizantes (sliding motions) en el sentido de Filippov. El ´unico punto donde se anula la primera componente de ambos campos es el origen, luego el (0,0) es el ´unico punto que puede ser singular. Dependiendo de los valores a1ya2, los campos involucrados en (2) ser´an en el origen o bien nulos o bien tangentes al eje OY. Cuando ambos campos son anticolineales, es decir cuando a1a2<0,el origen es entonces un pseudoequilibrio, que se comporta como un punto de equilibrio del sistema (2) pero que podr´ıa ser alcanzado en tiempo finito. En este caso, estudiando las ´orbitas en un entorno del origen se determina que el origen es un foco topol´ogico si a1<0 y a2>0, mientras que el origen es una silla topol´ogica si a1>0 y a2<0. Desde el punto de vista de las aplicaciones resulta muy interesante el caso en que el origen es un pseudoequilibrio de tipo foco porque entonces se tiene localmente comportamiento oscilatorio que facilita la existencia de ´orbitas peri´odicas. Para estos planos de fase es posible asegurar la existencia de un punto singular en el interior de cada ´orbita peri´odica y mediante el Teorema de Green podemos establecer el siguiente resultado. Proposici´on 1 Si el sistema (2) tiene una ´orbita peri´odica, entonces o bien T1=T2= 0 o bien T1T2<0. Hacemos notar que la proposici´on anterior nos indica que el comportamiento oscilatorio del sistema se produce s´olo cuando no hay disipaci´on en ninguna zona, (condici´on T1= T2= 0) o cuando el flujo se expande en una zona (la que posee traza positiva), y se contrae en la otra (la que posee traza negativa). Nuestro principal resultado est´a referido a sistemas (2) con s´olo un punto singular en el origen, por lo que exigiremos a1⩽0 y a2⩾0,y asumiremos que en cada semi-plano el comportamiento es de tipo foco, por lo que impondremos 4D1−T2 1>0 y 4D2−T2 2>0. Como estamos interesados en la existencia de ´orbitas peri´odicas, a la vista de la proposici´on anterior supondr´emos as´ımismo la condici´on T1T2<0.Antes de enunciarlo, introduciremos dos par´ametros claves γ1=T1 2ω1 =T1 p4D1−T2 1 , γ2=T2 2ω2 =T2 p4D2−T2 2 que representan los cocientes entre la parte real y la parte imaginaria de los autovalores de la parte lineal del sistema en cada zona. Teorema 2 Suponiendo a1⩽0, a2⩾0,4D1−T2 1>0,4D2−T2 2>0, T1T2<0y a2T16=a1T2en el sistema (4), se verifican las siguientes afirmaciones. (a) Si γ1+γ2<0ya2T1> a1T2,entonces el sistema (4) tiene una ´unica ´orbita periodica, que adem´as es un ciclo l´ımite estable. (b) Si γ1+γ2>0ya2T1< a1T2,entonces el sistema (4) tiene una ´unica ´orbita periodica, que adem´as es un ciclo l´ımite inestable. Existen otras situaciones no contempladas en el anterior teorema en las que el sistema posee ´orbitas peri´odicas. Se presentan cuando las dos trazas son nulas, no existe contracci´on ni expansi´on, o cuando el car´acter expansivo del flujo en una zona se compensa con el 3 J. Llibre, E. Ponce, F. Torres car´acter contractivo del flujo en la otra zona, situaci´on que se produce cuando se verifican las igualdades γ1=−γ2ya2T1=a1T2.En ambos casos, toda ´orbita del sistema es una ´orbita peri´odica. En el resto del trabajo se describen las t´ecnicas que permiten demostrar el Teorema 2. En primer lugar introducimos unas semiaplicaciones de Poincar´e y describimos algunas de sus propiedades que se utilizar´an en la prueba de nuestro principal resultado. 2. Aplicaciones de Poincar´e. Si tomamos el punto (0, y) con y > 0,como punto inicial de una ´orbita, ´esta evolucionar´a en la zona x < 0 hasta que alcanza el eje OY en un punto (0, P1(y)) con P1(y)<0 despu´es de un tiempo t1=τ1/ω1.Si ahora continuamos la ´orbita a trav´es de los puntos (0, y) con y < 0,de la manera natural que se expuso en la introducci´on, vemos que la ´orbita progresar´a en la zona x > 0 y despu´es de un tiempo t2=τ2/ω2,llegaremos al punto (0, P2(y)) con P2(y)>0.La composici´on de las aplicaciones P1yP2permite definir la aplicaci´on de Poincar´e P: [0,∞)−→ [0,∞), P(y) = P2(P1(y)) ,con P(0) = 0. Antes de continuar introduciremos la funci´on auxiliar ϕγ(τ) = 1 −eγτ (cos τ−γsen τ), que posee las simetrias ϕ−γ(−τ) = ϕγ(τ), ϕ−γ(τ) = ϕγ(−τ),∀γ, τ ∈R. Si γ > 0,entonces la funci´on ϕγtiene m´aximos relativos cuando τ=−π,τ=πy un primer cero positivo para un cierto valor ˆτ∈(π, 2π). Puesto que la restricci´on del sistema a cada zona con x6= 0 es lineal podemos integrarlo y determinar la aplicaciones Pique ser´an explicitamente obtenidas cuando aiγi= 0 y en forma param´etrica mediante el empleo de la funci´on ϕγcuando aiγi6= 0,como se muestra en la siguiente proposici´on. Proposici´on 3 Supongamos que 4D1−T2 1>0,4D2−T2 2>0,en el sistema (4), entonces se verifican las siguientes afirmaciones. (a) Si aiγi= 0 entonces Pi(y) = −eγiπy, donde y⩾0,si i= 1, y⩽0,si i= 2. (b) Si a1<0, a2>0, γ1γ26= 0,entonces y=−aiωie−γiτiϕγi(τi) Disen(τi), Pi(y) = aiωieγiτiϕ−γi(τi) Disen(τi), τi∈[0, π), y adem´as −1⩽P0 i(y)<−e−γiπ, −eγiπ< P0 i(y)⩽−1, si γi<0, si γi>0, para i= 1,2. 4 Soluciones Peri´odicas en una Ecuaci´on de Li´enard Discontinua Lineal a Trozos (c) Si a2⩽0, a2⩾0,entonces l´ım y→∞P0(y) = e(γ1+γ2)π. (d) La derivada de la aplicaci´on de Poincar´e en el origen est´a determinada en cada caso por las siguientes expresiones. (d1) Si a1= 0, a2>0,entonces P0(0) = eγ1π. (d2) Si a1<0, a2= 0,entonces P0(0) = eγ2π. (d3) Si a1<0, a2>0,entonces P0(0) = 1, P00(0) = 4 3T2 a2 −T1 a1, P000(0) = 3 2P00(0)2. 3. Prueba del Teorema 2 Partiendo de las t´ecnicas usadas en [2] y extendi´endolas adecuadamente hemos establecido un resultado de unicidad de ciclos l´ımites para sistemas de Li´enard con funciones discontinuas, v´ease [7]. Teorema 4 Sean f,gfunciones definidas en (3) tales que fiygison de clase C1para i= 1,2,y supongamos que f, g tambien satisfacen las siguientes condiciones. (i) Si x6= 0,entonces xg(x)>0. (ii) Si x6= 0,entonces xf(x)>0. (iii) l´ım x→0− g(x) f(x)=l1,l´ım x→0+ g(x) f(x)=l2,con 0< l2< l1<∞. (iv) El sistema de ecuaciones F(x1) = F(x1),g(x1) f(x1)=g(x2) f(x2)(5) posee a lo sumo una soluci´on (x1, x2) = (s1, s2)que verifica s1<0< s2. Entonces se verifican las siguientes afirmaciones (a) Si el sistema (4) posee una una ´orbita peri´odica entonces el sistema (5) tiene una soluci´on (x1, x2) = (s1, s2)que verifica s1<0< s2. (b) Si la funci´on α(x) = g(x) f(x)F(x) es creciente para x < 0,entonces el sistema (4) tiene a lo sumo una ´orbita peri´odica y si existe tiene un exponente caracter´ıstico negativo. 5 J. Llibre, E. Ponce, F. Torres Para probar el apartado (b) de este teorema se asume la existencia de una ´orbita peri´odica y se calcula su exponente caracter´ıstico. Se obtiene que necesariamente el citado exponente es negativo y como no es posible la existencia de dos ´orbitas consecutivas estables, concluimos que a lo sumo existe una ´unica ´orbita peri´odica. Debemos resaltar que la prueba de este resultado es muy t´ecnica, y que se obtiene mediante un adecuado cambio de variables que puede interpretarse como un plegamiento del plano de fases a lo largo del eje vertical. La prueba del Teorema 2, tiene dos partes claramente diferenciadas, por una parte la existencia cuya prueba descansa en la comparaci´on de las derivadas de las aplicaciones de Poincar´e en el origen y para valores de la variable ysuficientemente grande, y por otra parte la unicidad que es una consecuencia del Teorema 4. Si γ1+γ2<0,de la afirmaci´on (c) de la Proposici´on 3, deducimos que la derivada de la aplicaci´on de Poincar´e es positiva y menor que uno para grandes valores de y, mientras que de la afirmaci´on (d3) deducimos P0(0) = 1, P00(0) >1.Como por otra parte P(0) = 0,una aplicaci´on directa del Teorema del valor medio nos permite deducir la existencia de una ´orbita peri´odica. Observamos que los sistemas (4) que verifican las hip´otesis del Teorema 2 cuando a2T1> a1T2,tambien satisfacen las hip´otesis del Teorema 4, por lo que podemos garantizar que nuestros sistemas poseen una ´unica ´orbita peri´odica. Finalmente el caso γ1+γ2>0, a2T1> a1T2se reduce al caso anterior mediante la transformaci´on, x→ −x, y → −y, t → −t, T1→ −T1, T2→ −T2, D1→D1, D2→D2, a1→a1, a2→a2. Referencias [1] C. Buzzi, P.R. Silva & M.A. Teixeira, A Singular Approach to Discontinuous Vector Fields on the Plane, J. Differential Equations 231 (2006) 633–655. [2] W.A. Coppel, Some Analytical Systems with at most one Limit Cycle, Dynamics Reported, Vol 2, pp. 61–88, editado por U. Kirchgraber & H.O. Walther, John Wiley Sons Ltd, 1989. [3] E. Freire, E. Ponce, F. Rodrigo & F. Torres, Bifurcation Sets of Continuous Piecewise Linear Systems with Two Zones, Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 8, No.11 (1998) 2073–2097. [4] Yu. A. Kuznetsov, S. Rinaldi & A. Gragnani, One-Parameter Bifurcations in Planar Filipov Systems, Int. J. Bifurcation and Chaos, Vol. 13, No.8 (2003) 2157–2188. [5] J. Llibre & M.A. Teixeira, Regularization of Discontinuous Vector Fields in Dimension Three. Discrete Contin. Dynam. 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