Bifurcación Silla-Nodo de Conos Invariantes en sistemas lineales a trozos Vía Bifurcación Foco-Centro-Ciclo Límite

Bol. Soc. Esp. Mat. Apl. no42(2008), 69–78 BIFURCACI´ ON SILLA–NODO DE CONOS INVARIANTES EN SISTEMAS LINEALES A TROZOS VIA BIFURCACI´ ON FOCO-CENTRO-CICLO L´ıMITE V. CARMONA, E. FREIRE, E. PONCE, J. ROS Y F. TORRES Departamento de Matem´atica Aplicada II Universidad de Sevilla {vcarmona,efrem,eponcem,javieros,ftorres}@us.es Resumen En este trabajo se considera la existencia de conos invariantes en sistemasdin´amicos continuos tridimensionales lineales a trozos, dada la relevancia que estas variedades invariantes tienen en la determinaci´on de la estabilidad del origen en tales sistemas. Se recogen varios resultados de existencia de conos invariantes y se analiza una bifurcaci´on silla-nodo de estas variedades invariantes. La relaci´on biun´ıvoca existente entre los conos invariantes y las ´orbitas peri´odicas de ciertos sistemas planos discontinuos (en particular, las que se generan en una bifurcaci´on fococentro-ciclo l´ımite) constituye la herramienta fundamental en el estudio. Palabras clave: Sistemas din´amicos lineales a trozos, variedades invariantes, bifurcaci´on silla-nodo. Clasificaci´on por materias AMS: 34C23, 37G15 1 Introducci´on Los sistemas lineales a trozos se utilizan en diferentes disciplinas cient´ıficas para modelar una amplia gama de procesos y dispositivos. Entre estos sistemas, tienen especial relevancia los sistemas continuos que poseen dos zonas de linealidad, con el origen como ´unico punto de equilibrio del sistema y situado en la frontera que separa dichas zonas. Una primera tarea en el estudio de estos sistemas es la determinaci´on de la estabilidad y tipo topol´ogico del origen. La estabilidad del origen puede garantizarse, como es bien sabido, mediante el uso de funciones de Liapunov. Sin embargo, la b´usqueda de funciones de Liapunov en estos sistemas no es una tarea sencilla (v´eanse [8] y [9]) y, por otro lado, la existencia de una funci´on de Liapunov no es una condici´on necesaria de estabilidad. Por lo tanto, resulta apropiado considerar otras t´ecnicas para determinar la estabilidad del equilibrio. En el caso bidimensional con dos zonas de linealidad, la estabilidad del origen est´a perfectamente caracterizada (v´ease, por ejemplo, [6]), mientras que si el sistema no es plano, el problema no es en absoluto trivial (ver [3] y [5]). 69 70 V. Carmona, E. Freire, E. Ponce, J. Ros y F. Torres Todo sistema din´amico continuo tridimensional lineal a trozos con dos zonas y con un equilibrio en el origen localizado en la frontera de separaci´on, puede escribirse en la forma ˙ x=F(x) = (A+xif x⩾0, A−xif x < 0,(1) donde x= (x, y, z)T∈R3y las matrices A+yA−de orden tres comparten, por continuidad, sus dos ´ultimas columnas; esto es, A+−A−= (A+−A−)e1e1T, siendo e1= (1,0,0)Tel primer vector de la base can´onica R3. El campo vectorial Fque define al sistema lineal a trozos (1) es homog´eneo; es decir, F(µx) = µF(x) para todo x∈R3yµ⩾0. Por consiguiente, el flujo del sistema (1) transforma semirrectas contenidas en el plano de separaci´on x= 0 que pasan por el origen en semirrectas del mismo tipo. Si una de estas semirrectas es invariante para el flujo, entonces el sistema (1) posee un cono invariante que calificaremos de bizonal porque interseca a los dos semiespacios de linealidad {x > 0}y{x < 0}. El sistema (1) puede tener tambi´en conos invariantes que se encuentren en uno s´olo de los semiespacios de linealidad, en cuyo caso se denominar´an unizonales. La estabilidad del origen para el sistema (1) est´a estrechamente relacionada con la presencia o ausencia de conos invariantes en dicho sistema. As´ı, tal y como se deduce de la Proposici´on 10 de [3] y el Teorema 2 de [5], si ambas matrices A+ yA−poseen autovalores complejos y el sistema (1) carece de conos invariantes bizonales, entonces el origen del sistema es globalmente asint´oticamente estable si y s´olo si los autovalores reales de A+yA−son estrictamente negativos. Este resultado generaliza el teorema enunciado por Busenberg y Van Den Driessche en [1] para sistemas homog´eneos de clase C2. Por otra parte, la presencia de un cono invariante bizonal en el sistema complica el estudio del tipo topol´ogico del origen. En efecto, tal y como se recoge en el Teorema 1 de [5], cuando el sistema posee un cono invariante, el punto de equilibrio puede ser inestable aunque ambas matrices A+yA−tengan su espectro en el semiplano real negativo. Adem´as, existen otras situaciones en las que el cono aparece foliado por un continuo no acotado de ´orbitas peri´odicas. De los resultados expuestos se puede deducir la importancia del an´alisis de la existencia de conos invariantes en los sistemas lineales a trozos. En [3] se hace un estudio detallado de la existencia de conos invariantes, donde se demuestra que a lo sumo pueden aparecer dos conos invariantes aislados y se conjetura la existencia de una bifurcaci´on silla–nodo de los mismos. En este trabajo mostramos que los conos invariantes en el sistema tridimensional se corresponden biun´ıvocamente con las ´orbitas peri´odicas de ciertos sistemas planos cuadr´aticos a trozos con dos zonas. M´as a´un, un adecuado cambio de variable transforma estos sistemas cuadr´aticos a trozos en sistemas lineales a trozos con dos zonas, pero ya no homog´eneos y discontinuos. Esta relaci´on entre conos invariantes y ´orbitas peri´odicas nos permitir´a, entre otros resultados, probar la existencia de la bifurcaci´on silla–nodo conjeturada en [3] y obtener la expresi´on anal´ıtica que deben satisfacer los par´ametros del Silla–Nodo de Conos Invariantes en Sistemas Lineales a Trozos 71 sistema en esa bifurcaci´on. El resto del art´ıculo se organiza de la siguiente forma. En la siguiente secci´on mostramos que los conos invariantes del sistema tridimensional, bajo condiciones gen´ericas, se corresponden con las ´orbitas peri´odicas de ciertos sistemas planos discontinuos lineales a trozos. En la tercera secci´on mostramos que dichos sistemas planos experimentan una bifurcaci´on foco-centro-ciclo l´ımite, lo que utilizaremos para obtener resultados de existencia de conos invariantes. En la ´ultima secci´on se analiza la degeneraci´on de la bifurcaci´on foco-centro-ciclo l´ımite, demostrando que ´esta proporciona una bifurcaci´on silla-nodo de conos invariantes, cuya expresi´on puede darse de forma anal´ıtica. Por ´ultimo, y como consecuencia del estudio realizado, se presentan nuevos resultados sobre la estabilidad del origen en los sistemas tridimensionales. 2 Conos Invariantes y ´ Orbitas Peri´odicas en Sistemas Planos La relaci´on biun´ıvoca existente entre los conos invariantes del sistema tridimensional (1) y las ´orbitas peri´odicas de determinados sistemas planos ser´a considerada en esta secci´on. S´olo estudiaremos sistemas tridimensionales que no pueden ser desacoplados, pues en caso contrario, el problema a resolver ser´ıa de menor dimensi´on. Siguiendo muy de cerca los conceptos y resultados enunciados en [2], consideraremos sistemas tridimensionales observables, es decir, aquellos que pueden reducirse a la denominada forma can´onica de Li´enard, ˙ x=(M+xsi x⩾0, M−xsi x < 0,con M±=  t±−1 0 m±0−1 d±0 0  .(2) Aqu´ı, los par´ametros t±,m±yd±son los coeficientes de los polinomios caracter´ısticos de las matrices M±, a saber, pM±(λ) = det(M±−λI) = −λ3+t±λ2−m±λ+d±. Si λ−es un autovalor real de la matriz M−, entonces es directo observar que el plano Π− F≡(λ−)2x−λ−y+z= 0 es una variedad invariante para el sistema lineal ˙ x=M−x. An´alogamente, si λ+es un autovalor real de la matriz M+, entonces el plano Π+ F≡(λ+)2x−λ+y+z= 0 es invariante para el sistema lineal ˙ x=M+x. La invariancia de estos planos para los sistemas lineales anteriores limita las zonas donde se localizan los conos invariantes. Obs´ervese que si λ−6=λ+, entonces tanto Π+ Fcomo Π− Fno son invariantes para el sistema completo (2) y si λ−=λ+, entonces los planos Π+ Fy Π− Fcoinciden y conforman un cono invariante para el sistema (2). Adem´as, utilizando el Lema 21 y la Proposici´on 22 de [3], podemos asegurar que los conos invariantes no planos del sistema (2), si existen, se encuentran simult´aneamente por encima de ambos planos Π+ Fy Π− Fo simult´aneamente por debajo de ellos. Entendemos que un objeto geom´etrico est´a por encima de otro cuando las terceras componentes de todos los puntos del primer objeto son mayores que las correspondientes del segundo. 72 V. Carmona, E. Freire, E. Ponce, J. Ros y F. Torres En consecuencia, debemos buscar conos invariantes no planos por encima del plano Π+ Fo por debajo de ´el. Si los buscamos por encima de dicho plano, los conos invariantes se corresponden, tal y como probamos en la siguiente proposici´on, con las ´orbitas peri´odicas de un sistema continuo cuadr´atico a trozos. Proposici´on 1 Si λ+es un autovalor real de la matriz M+, entonces los conos invariantes del sistema (2) que est´an por encima del plano Π+ Fse corresponden biun´ıvocamente con las ´orbitas peri´odicas del sistema plano continuo cuadr´atico a trozos    ˙u1= (t−−λ+)u1−u2−pM−(λ+)u2 1, ˙u2=hm−+ (λ+)2iu1−2λ+u2−pM−(λ+)u1u2−1,u1⩽0.(3a)    ˙u1= (t+−λ+)u1−u2, ˙u2=hm++ (λ+)2iu1−2λ+u2−1,u1>0.(3b) Demostraci´on. S´olo es necesario realizar el cambio de variables u1=x (λ+)2x−λ+y+z, u2=y (λ+)2x−λ+y+z, Z =¡λ+¢2x−λ+y+z, v´alido cuando (λ+)2x−λ+y+z > 0. ¤ Si λ+=λ−, entonces el sistema (3) es lineal en cada semiplano, mientras que si λ+6=λ−, entonces el sistema es lineal en el semiplano u1⩾0 y cuadr´atico en el semiplano u1⩽0. Seguidamente, probamos que el sistema cuadr´atico puede ser transformado en un sistema lineal. Proposici´on 2 Si λ+6=λ−, entonces el sistema cuadr´atico (3a) es equivalente al sistema lineal (˙u1= (t−−λ−)u1−u2, ˙u2=hm−+ (λ−)2iu1−2λ−u2−1,(4) en cada uno de los semiplanos abiertos que determina la recta de ecuaci´on 1−¡λ+−λ−¢£¡λ++λ−¢u1−u2¤= 0.(5) Demostraci´on. Es suficiente realizar el cambio de variables U1=u1 1−(λ+−λ−) [(λ+−λ−)u1−u2] U2=u2 1−(λ+−λ−) [(λ+−λ−)u1−u2] (6) v´alido cuando no se satisface (5), y renombrar las variables U1yU2.¤ Debemos se˜nalar que las ´orbitas peri´odicas del sistema (3), si existen, no pueden tener puntos comunes con la recta (5), ya que deben corresponder a Silla–Nodo de Conos Invariantes en Sistemas Lineales a Trozos 73 conos invariantes por encima de los planos Π+ Fy Π− F, y entonces, las ´orbitas peri´odicas del sistema (3) deben estar localizadas en la regi´on R=©(u1, u2)∈R2: 1 −¡λ+−λ−¢£¡λ++λ−¢u1−u2¤>0ª.(7) Por otra parte, obs´ervese que el cambio dado en (6) deja invariante la recta de separaci´on u1= 0 y el ´unico punto fijo sobre ella es el origen. N´otese adem´as, que el cambio (6) se reduce a la identidad cuando λ+=λ−. Tambi´en debemos indicar que el sistema que se obtiene como uni´on del sistema lineal (4) actuando en la zona u1<0 con el sistema lineal (3b) es discontinuo y es necesario introducir desplazamientos en la recta u1= 0 para recuperar las ´orbitas del sistema (3). Cuando una ´orbita alcance la recta de separaci´on u1= 0 con ˙u1<0, el punto de intersecci´on debe sufrir en la recta de separaci´on el desplazamiento δ(u2) = u2 1 + (λ+−λ−)u2 ,(8) antes de que el flujo del sistema de la zona u1<0 act´ue. An´alogamente, cuando una ´orbita alcance la recta de separaci´on u1= 0 con ˙u1>0, el punto de intersecci´on debe sufrir en la recta de separaci´on el desplazamiento inverso δ−1(u2) = u2 1−(λ+−λ−)u2 ,(9) antes de que el flujo del sistema de la zona u1>0 act´ue. Puesto que debemos trabajar en la regi´on Rdefinida en (7), las funciones δyδ−1act´uan en puntos de sus respectivos dominios de definici´on. As´ı, la b´usqueda de conos invariantes en el sistema (2) que est´an por encima del plano Π+ Fse traslada a la b´usqueda de ´orbitas peri´odicas del sistema lineal a trozos con impactos δyδ−1, (˙u1= (t−−λ−)u1−u2 ˙u2=hm−+ (λ−)2iu1−2λ−u2−1u1<0,    ˙u1= (t+−λ+)u1−u2, ˙u2=hm++ (λ+)2iu1−2λ+u2−1,u1>0. (10) Ahora, teniendo en cuenta que el cambio U2=−2λ−u1+u2transforma el sistema (4) en la forma de Li´enard (˙u1= (t−−3λ−)u1−U2, ˙ U2=hm−−2λ−t−+ 3 (λ−)2iu1−1, es inmediato enunciar el siguiente resultado, ya que las funciones de impacto no se ven alteradas. La derivada del polinomio caracter´ıstico pM±respecto de λse denotar´a por p′ M±. 74 V. Carmona, E. Freire, E. Ponce, J. Ros y F. Torres Proposici´on 3 Si λ+es un autovalor real de la matriz M+, entonces los conos invariantes del sistema (2) que est´an por encima del plano Π+ Fse corresponden biun´ıvocamente con las ´orbitas peri´odicas del sistema plano discontinuo lineal a trozos con impactos δyδ−1definidos en (8) y(9) ½˙u1= (t−−3λ−)u1−u2 ˙u2=−p′ M−(λ−)u1−1u1<0, (˙u1= (t+−3λ+)u1−u2, ˙u2=−p′ M+(λ+)u1−1,u1>0. (11) Evidentemente, si p′ M+(λ+)⩾0 y p′ M−(λ−)⩽0, entonces el sistema continuo cuadr´atico a trozos (3) no posee puntos de equilibrio y, por tanto, tampoco ´orbitas peri´odicas. Es decir, cuando p′ M+(λ+)⩾0 y p′ M−(λ−)⩽0, el sistema (2) no puede tener conos invariantes por encima de los planos Π+ Fy Π− F. Un comentario an´alogo puede hacerse cuando se buscan conos invariantes por debajo de dichos planos. En particular, si todos los autovalores de las matrices M+yM−son reales, entonces se podr´ıa probar que el sistema (2) no puede tener conos invariantes. 3 La Bifurcaci´on Foco-Centro-Ciclo L´ımite para el Sistema con Impactos En esta secci´on describiremos el fen´omeno de bifurcaci´on foco-centro-ciclo l´ımite (v´ease [4]) y [7]) que tiene lugar en el sistema discontinuo plano lineal a trozos con impactos (11). Supondremos que en una de las zonas de linealidad es posible la existencia de un centro, lo que obliga a la existencia de un par de autovalores complejos en una de las zonas. Tambi´en supondremos, aunque no es necesario, que la matriz de la otra zona tiene autovalores complejos. Por tanto, asumimos que las matrices M+yM−del sistema tridimensional (2) poseen autovalores λ+,α+±iβ+yλ−,α−±iβ−, con β±>0. En consecuencia, el sistema (11) adopta (renombrando las variables u1yu2como xey, respectivamente) la forma (˙x= 2(α−−λ−)x−y ˙y=h(α−−λ−)2+ (β−)2ix−1x < 0, (˙x= 2(α+−λ+)x−y ˙y=h(α+−λ+)2+ (β+)2ix−1x > 0. (12) Los autovalores de las matrices que rigen al sistema (12) son (α±−λ±)±iβ±. As´ı, es f´acil ver que el sistema (12) tiene un ´unico punto de equilibrio, que se encuentra en la zona derecha, y que es de tipo centro si y s´olo α+=λ+. En estas condiciones podemos enunciar el siguiente resultado, que por razones de brevedad acompa˜namos s´olo con un esquema de la prueba. Como paso previo definimos los coeficientes η= 3λ+−λ−−2α−y ˜η= 3λ−−λ+−2α+.(13) Silla–Nodo de Conos Invariantes en Sistemas Lineales a Trozos 75 Teorema 4 Supongamos que las matrices M+yM−del sistema continuo lineal a trozos tridimensional (2) poseen autovalores λ+,α+±iβ+yλ−, α−±iβ−, con β±>0, y sea ηel valor definido en (13). Entonces, el sistema plano lineal a trozos discontinuo (12) con impactos δyδ−1definidos en (8) y(9) posee un ciclo l´ımite cuando α+−λ+es suficientemente peque˜no y (α+−λ+)·η > 0. Este ciclo l´ımite emerge de la ´orbita peri´odica de la configuraci´on de centro, existente para α+=λ+, que es tangente a la recta de separaci´on x= 0 en el origen. Adem´as, el ciclo l´ımite es ´unico en un entorno de la ´orbita peri´odica. Demostraci´on. Supongamos que sistema (12) posee una ´orbita peri´odica de dos zonas, entonces existen dos puntos (0, y0) y (0, y1), con y1>0 e y0<0, y dos valores positivos τ+yτ−tales que ½φ+((0, y0), τ+) = (0, y1), φ−((0, δ(y1)), τ−) = (0, δ(y0)),(14) donde φ+yφ−son los flujos de los sistemas lineales en la zona x > 0 y x < 0 que definen al sistema (12) y δla funci´on desplazamiento definida en (8). Las expresiones dadas en (14) se denominan ecuaciones de cierre y caracterizan las ´orbitas peri´odicas bizonales del sistema (12) cuando se verifican las condiciones eT 1·φ+((0, y0), t)>0∀t∈¡0, τ+¢,eT 1·φ−(0, δ(y1)), t)<0∀t∈¡0, τ−¢,(15) donde eT 1= (1,0). Supongamos fijos todos los par´ametros que intervienen en el sistema a excepci´on de α+. De esta forma, las ecuaciones de cierre (14) pueden ser entendidas como un sistema de cuatro ecuaciones con cinco inc´ognitas: y0<0, y1>0, τ−>0, τ+>0 y α+. Es inmediato comprobar que ¯q= (¯y0,¯y1,¯τ−,¯τ+,¯α+) = (0,0,0,2π/β+, λ+) es soluci´on de las ecuaciones de cierre y se corresponde con la ´orbita del centro lineal de la zona derecha tangente a la recta de separaci´on en el origen. Dicho punto es singular y no es posible aplicar el teorema de la funci´on impl´ıcita. Afortunadamente, el desarrollo en serie de la tercera ecuaci´on de (14) es proporcional a τ−y no es dif´ıcil conseguir, tras la eliminaci´on del factor com´un τ−, unas ecuaciones equivalentes para τ−6= 0 y no singulares en el punto. La aplicaci´on del teorema de la funci´on impl´ıcita sobre estas ´ultimas ecuaciones nos permite concluir, teniendo en cuenta que φ+ yφ−son flujos de sistemas lineales, que existe soluci´on de las ecuaciones de cierre con τ−6= 0 en un entorno del punto ¯qy los siguientes desarrollos en las inc´ognitas son v´alidos para τ−suficientemente peque˜no: y0=−τ− 2+η 12 (τ−)2+O(τ−)3, y1=τ− 2+η 12 (τ−)2+O(τ−)3, τ+=2π β+−τ−+O(τ−)3, α+=λ++(β+)3η 24π(τ−)3+O(τ−)5,(16) siendo ηel coeficiente definido en (13). 76 V. Carmona, E. Freire, E. Ponce, J. Ros y F. Torres Finalmente, teniendo en consideraci´on el signo de τ−, podemos afirmar que las soluciones (16) de las ecuaciones de cierre (14) se corresponden con un ciclo l´ımite del sistema (12) si α+−λ+es suficientemente peque˜no y (α+−λ+)·η > 0, pues es directo probar que las soluciones (16) satisfacen las condiciones (15) siempre que τ−>0 sea suficientemente peque˜no. ¤ El teorema anterior nos conduce al siguiente resultado de forma inmediata. Teorema 5 Bajo la hip´otesis del Teorema 4, el sistema (2) posee un cono invariante bizonal por encima de los planos Π+ FyΠ− Fsi α+−λ+es suficientemente peque˜no y (α+−λ+)·η > 0. Notemos que se puede dar un resultado dual para los conos invariantes que se localizan por debajo de los planos Π+ Fy Π− F. Teorema 6 Bajo la hip´otesis del Teorema 4, el sistema (2) posee un cono invariante bizonal por debajo de los planos Π+ FyΠ− Fsi α−−λ−es suficientemente peque˜no y (α−−λ−)·˜η > 0,donde ˜ηest´a definida en (13). 4 Degeneraci´on de la Bifurcaci´on Foco-Centro-Ciclo L´ımite En este apartado se analiza la situaci´on de degeneraci´on de la bifurcaci´on foco-centro-ciclo l´ımite que se produce cuando uno de los coeficientes η= 3λ+−λ−−2α−´o ˜η= 3λ−−λ+−2α+es nulo. Si esto ocurre, entonces aparece una bifurcaci´on silla-nodo de conos invariantes, como mostramos a continuaci´on, y la conjetura apuntada en [3] queda as´ı demostrada. Debemos se˜nalar, como se deduce del Teorema 2 de [3], que (α+−λ+)·(α−−λ−)<0 si el sistema (2) tiene m´as de un cono invariante bizonal. La prueba del siguiente teorema se realizar´a, por razones de brevedad, de forma esquem´atica. Teorema 7 Supongamos que (α+−λ+)yηson suficientemente peque˜nos, (α+−λ+)·(α−−λ−)<0y(α+−λ+)·η > 0. Entonces, existe una funci´on αSN =αSN (λ+, λ−, α−, β+, β−)definida localmente por αSN =λ++729√2 10π(β+)3·λ+−(λ−+2α−)/3 (λ−−α−)[(λ−−α−)2+9(β−)2]¸3/2 ·3λ+−λ−−2α− 3+··· de manera que se satisfacen las siguientes propiedades: 1. Si (α+−αSN )·(α+−λ+)<0, entonces el sistema (2) posee dos conos invariantes bizonales. 2. Si (α+−αSN )·(α+−λ+)>0, entonces el sistema (2) no posee conos invariantes y el origen del sistema (2) es globalmente asint´oticamente estable si y s´olo si λ+<0yλ−<0. 3. Si α+=αSN (λ+, λ−, α−, β+, β−), entonces el sistema (2) posee un ´unico cono invariante bizonal y es semiestable, es decir, la correspondientes ´orbita peri´odica del sistema cuadr´atico (3) es semiestable. Silla–Nodo de Conos Invariantes en Sistemas Lineales a Trozos 77 Demostraci´on. El desarrollo de α+dado en (16) hasta orden cinco es α+=λ++(β+)3η 24π(τ−)3+(β+)3(λ−−α−)h(λ−−α−)2+9(β−)2i+O(η) 2160π(τ−)5+··· (17) El n´umero de soluciones τ−>0 de la ecuaci´on (17) cuando τ−es suficientemente peque˜no se corresponde con el n´umero de ciclos l´ımite del sistema plano (12), y por tanto con el n´umero conos invariantes bizonales del sistema tridimensional (2) que est´an por encima del plano Π+ F. Cuando ηes suficientemente peque˜no el n´umero de soluciones positivas de la ecuaci´on (17), para τ−suficientemente peque˜no, es el mismo que el de las soluciones positivas de la ecuaci´on h(τ−) = 0, siendo h(τ−) = λ+−α++(β+)3η 24π(τ−)3+(β+)3(λ−−α−)h(λ−−α−)2+9(β−)2i 2160π(τ−)5. Las hip´otesis aseguran que el n´umero de soluciones positivas de la ecuaci´on h(τ−) = 0 se discrimina a partir del signo del valor de la funci´on hen su extremo relativo τ− ∗>0. Puesto que este valor viene dado por h¡τ− ∗¢=α+−λ++729√2 10π¡β+¢3 η 3 (λ−−α−)h(λ−−α−)2+ 9 (β−)2i  3/2 ·η 3 la conclusi´on del Teorema es inmediata. ¤ El Teorema 7 tiene la siguiente versi´on dual. Teorema 8 Supongamos que (α−−λ−)y˜ηson suficientemente peque˜nos, (α+−λ+)·(α−−λ−)<0y(α−−λ−)·˜η > 0. Entonces para la funci´on ¯αSN =λ−+729√2 10π(β−)3·λ−−(λ++2α+)/3 (λ+−α+)[(λ+−α+)2+9(β+)2]¸3/2 ·3λ−−λ+−2α+ 3+··· se satisfacen las siguientes propiedades: 1. Si (α−−¯αSN )·(α−−λ−)<0, entonces el sistema (2) posee dos conos invariantes bizonales. 2. Si (α−−¯αSN )·(α−−λ−)>0, entonces el sistema (2) no posee conos invariantes y el origen del sistema (2) es globalmente asint´oticamente estable si y s´olo si λ+<0yλ−<0. 3. Si α−= ¯αSN , el sistema (2) posee un ´unico cono invariante bizonal y es semiestable. En los dos ´ultimos resultados, adem´as de probar la existencia de la bifurcaci´on silla–nodo conjeturada en [3], se avanza en la caracterizaci´on de la estabilidad del origen, pero el problema est´a aun lejos de ser resuelto completamente. La propiedad de homogeneidad hace que en estos sistemas se confunda la din´amica local y la global, de manera que bien puede ocurrir que s´olo con t´ecnicas de caracter global sea posible resolver definitivamente el problema de la estabilidad del origen.