Sobre la región de accesibilidad de ciertas iteraciones de tercer orden

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Sobre la regi´on de accesibilidad de ciertas iteraciones de tercer orden J. A. Ezquerro1, M. A. Hern´ andez1, N. Romero1 1Dpto. Matem´aticas y Computaci´on, Universidad de La Rioja, C/ Luis de Ulloa s/n, E-26004 Logro˜no. E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]. Palabras clave: ecuaciones no lineales en espacios de Banach, m´etodo de Newton, iteraciones de tercer orden, convergencia semilocal, existencia y unicidad de soluciones, R-orden de convergencia. Resumen La regi´on de accesibilidad de los procesos iterativos cuando se aplican a la resoluci´on de ecuaciones no lineales adquiere cierto inter´es a la hora de elegir un proceso iterativo. Sabemos, a priori, que cuanto mayor es el orden de convergencia de los procesos iterativos, menor es su regi´on de accesibilidad. Nosotros aqu´ı presentamos una simple modificaci´on de las iteraciones cl´asicas de tercer orden de manera que podamos considerar, para cada una de ellas, la misma regi´on de accesibilidad que para el m´etodo de segundo orden m´as conocido, el m´etodo de Newton. 1. Introduci´on En este trabajo vamos a considerar el problema de aproximar localmente una ra´ız z∗ de la ecuaci´on F(z) = 0,(1) en un espacio de Banach X, donde Fes un operador definido en un subconjunto abierto convexo no vac´ıo Ω de Xy con valores en otro espacio de Banach Y. Un gran n´umero de problemas de matem´atica aplicada y de ingenier´ıa se pueden formular como (1), por lo que su resoluci´on adquiere cierta relevancia. La resoluci´on de este tipo de ecuaciones se lleva a cabo com´unmente mediante la aplicaci´on de procesos iterativos, de manera que, a partir de una o varias aproximaciones iniciales, se construye una sucesi´on de aproximaciones que converge a la ra´ız de la ecuaci´on. Aqu´ı s´olo vamos a considerar procesos iterativos de un punto de la forma xn+1 =G(xn), n≥0, con x0dado. Un aspecto muy importante en el estudio de este tipo de procesos es la elecci´on de una buena aproximaci´on inicial. En 1 J. A. Ezquerro, M. A. Hern´andez, N. Romero general, es conocida la necesidad de imponer condiciones a las aproximaciones iniciales para obtener la convergencia semilocal de los procesos iterativos. El m´etodo de Newton, x0∈Ω, xn+1 =xn−[F0(xn)]−1F(xn), n ≥0, es seguramente la iteraci´on de un punto m´as conocida y utilizada para resolver ecuaciones como la anterior, siendo su convergencia al menos cuadr´atica ([9]). Tambi´en son muy utilizados otros m´etodos iterativos de tercer orden, como el m´etodo de Chebyshev, el m´etodo de Halley, etc. Es bien sabido que cuanto mayor es el orden de convergencia de un proceso iterativo, mayor es su velocidad de convergencia a una soluci´on de la ecuaci´on. Pero tambi´en es conocido que uno de los problemas, entre otros, que tiene la utilizaci´on de iteraciones de alto orden es que la regi´on de accesibilidad se reduce con respecto a la del m´etodo de Newton ([5]). El principal objetivo de este trabajo se va a centrar en analizar la convergencia a una ra´ız de (1), desde los mismos puntos de salida que el m´etodo de Newton, de la siguiente familia de iteraciones con orden de convergencia al menos tres ([7]): (z0∈Ω, yn=zn−[F0(zn)]−1F(zn), zn+1 =yn+1 2LF(zn)H(LF(zn))(yn−zn), n ≥0,(2) donde LF(zn)=[F0(zn)]−1F00(zn)[F0(zn)]−1F(zn) y H(w) = I+Pi≥22Aiwi, con Ai∈ R+∪ {0},i≥2, y Pi≥2Aixi<+∞para |x|< r = 1/l´ımi Ai+1 Ai. Notemos que la familia (2) se obtiene como caracterizaci´on de m´etodos iterativos tipo Newton de tercer orden (v´ease [7]), e incluye las iteraciones de tercer orden m´as usuales ([1], [2], [3], [4]): el m´etodo de Chebyshev, el m´etodo de Halley, el m´etodo de Super-Halley, los C-m´etodos, etc. Prestaremos especial atenci´on al estudio de la convergencia semilocal de los procesos iterativos bajo condiciones de tipo Newton-Kantorovich ([9]), as´ı como a las regiones de existencia y unicidad de soluciones y al R-orden de convergencia. Para ello, utilizaremos una t´ecnica que consiste en la construcci´on de un sistema de relaciones de recurrencia en el que ciertas sucesiones escalares est´an implicadas, demostr´andose a partir de ellas la convergencia de las iteraciones. A lo largo de todo el trabajo denotaremos B(x, r) = {y∈X;ky−xk ≤ r}yB(x, r) = {y∈X;ky−xk< r}. 2. Convergencia semilocal La convergencia semilocal de procesos iterativos punto a punto se ha estudiado tradicionalmente bajo condiciones de tipo Newton-Kantorovich ([9]). Supongamos as´ı que existe [F0(x0)]−1∈ L(Y, X), para alg´un x0∈Ω, donde L(Y, X) es el conjunto de los operadores lineales acotados de Yen X. Adem´as, se tiene que (C1) k[F0(x0)]−1k ≤ β, (C2) k[F0(x0)]−1F(x0)k ≤ η, 2 Sobre la regi´on de accesibilidad de ciertas iteraciones de tercer orden (C3) kF00(x)k ≤ M,x∈Ω, (C4) kF00(x)−F00(y)k ≤ Kkx−yk,x, y ∈Ω. Bajo las condiciones anteriores de convergencia, podemos garantizar los siguientes resultados de convergencia semilocal para el m´etodo de Newton (v´ease [6]) y la familia de iteraciones (2) (v´ease [8]). Teorema 1 Sean XeYdos espacios de Banach y F: Ω ⊆X→Yun operador dos veces diferenciable Fr´echet en un conjunto abierto convexo Ω. Supongamos que [F0(x0)]−1∈ L(Y, X)existe para alg´un x0∈Ωy que se satisfacen (C1)–(C3). Si B(x0, R1)⊆Ω, donde R1=2(1−a) 2−3aηya=Mβη, y a=Mβη < 1/2,(3) entonces la ecuaci´on (1) tiene una soluci´on z∗a la que converge cuadr´aticamente el m´etodo de Newton. Supongamos que existe [F0(z0)]−1∈ L(Y, X)para alg´un z0∈Ωy que se cumplen (C1)–(C4) para z0. Si B(z0, R2)⊆Ω, donde R2=ψ(˜a)η 1−˜ f(˜a)˜g(˜a,˜ b),˜a=M˜ β˜η,˜ b=K˜ β˜η2, ψ(t) = 1 + t 2(1 + tν(t)), ν(t) = X i≥2 2Aiti−2,˜ f(t) = 2 2−2t−t2−t3ν(t), ˜g(s, t) = s2 21+(1+s)ν(s) + s 4(1 + sν(s))2+t/6. con k[F0(z0)]−1k ≤ ˜ β,k[F0(z0)]−1F(z0)k ≤ ˜η, y ˜a < r, ˜aψ(˜a)<1y˜ b<ϕ(˜a),(4) siendo ϕ(t) = 12 + 6t−6(2t+ 1)ψ(t)+3t(2t−1)ψ(t)2,(5) entonces la ecuaci´on (1) tiene una soluci´on z∗a la que converge c´ubicamente cualquier iteraci´on de la familia (2). A simple vista, parece que la utilizaci´on de cualquier iteraci´on de (2) es m´as restrictiva que la del m´etodo de Newton, puesto que para que se d´e la convergencia semilocal en el m´etodo de Newton el punto inicial x0debe cumplir la condici´on (3), mientras que para las iteraciones de (2) el punto inicial z0debe satisfacer las condiciones que aparecen en (4). El objetivo de este trabajo es construir una sencilla modificaci´on de la familia (2) de manera que cualquier iteraci´on de ´esta converja desde los mismos puntos de salida que el m´etodo de Newton. Para ello, definimos el siguiente algoritmo:                  (x0∈Ω, xn+1 =xn−[F0(xn)]−1F(xn), n = 0,1, . . . , N0−1,      z0=xN0, yk=zk−[F0(zk)]−1F(zk), zk+1 =yk+1 2LF(zk)H(LF(zk))(yk−zk), k ≥0, (6) 3 J. A. Ezquerro, M. A. Hern´andez, N. Romero donde x0satisface s´olo (3), mientras que z0=xN0satisface (4). Entonces, si se cumple (3), podemos usar el m´etodo de Newton para un n´umero finito de pasos N0hasta que xN0=z0cumpla (4), y aplicar despu´es una iteraci´on de (2) en vez del m´etodo de Newton. La clave del problema reside en garantizar la existencia de N0. A partir de las condiciones generales (C1)–(C3) para el m´etodo de Newton podemos definir los par´ametros aybde Mk[F0(x0)]−1kk[F0(x0)]−1F(x0)k ≤ Mβη =a, Kk[F0(x0)]−1kk[F0(x0)]−1F(x0)k2≤Kβη2=b, y construir el siguiente sistema de relaciones de recurrencia ([6]): k[F0(xn)]−1k ≤ 1 1−an−1k[F0(xn−1)]−1k, kxn+1 −xnk ≤ an−1 2(1−an−1)kxn−xn−1k ≤ a 2(1−a)nk[F0(x0)]−1F(x0)k, Mk[F0(xn)]−1kk[F0(xn)]−1F(xn)k ≤f(an−1)g(an−1)Mk[F0(xn−1)]−1kk[F0(xn−1)]−1F(xn−1)k ≤ an, Kk[F0(xn)]−1kk[F0(xn)]−1F(xn)k2 ≤f(an−1)g(an−1)2Kk[F0(xn−1)]−1kk[F0(xn−1)]−1F(xn−1)k2≤bn, kxn+1 −x0k ≤ 2 2−af(a)1−a 2(1−a)n+1k[F0(x0)]−1F(x0)k<2 2−af(a)η=R1, (7) donde (a0=a, an+1 =anf(an)g(an), n ≥0, b0=b, bn+1 =bnf(an)g(an)2, n ≥0,(8) y f(t) = 1 1−tyg(t) = t 2(1 −t).(9) Notemos que la sucesi´on {an}garantiza la convergencia del m´etodo de Newton. La clave es el decrecimiento estricto de la sucesi´on {an}siempre que se cumpla (3). La sucesi´on {bn}no es necesaria para probar la convergencia del m´etodo de Newton, pero es esencial para localizar un punto de salida v´alido para una iteraci´on de (2) ([7]). Obs´ervese que las sucesiones {an}y{bn}son estrictamente decrecientes a cero si a0<1/2, ya que 0< an< γ2n−1 1a0y 0 < bn< γ2(2n−1) 1b0, n ≥0, donde γ1=f(a0)g(a0)<1. An´alogamente, v´ease [7], de las condiciones generales (C1)–(C4) para la familia de iteraciones (2) y con punto inicial z0, podemos definir los par´ametros ˜ay˜ btales que Mk[F0(z0)]−1kk[F0(z0)]−1F(z0)k ≤ M˜ β˜η= ˜a, Kk[F0(z0)]−1kk[F0(z0)]−1F(z0)k2≤K˜ β˜η2=˜ b, 4 Sobre la regi´on de accesibilidad de ciertas iteraciones de tercer orden y construir el sistema de relaciones de recurrencia k[F0(zn)]−1k ≤ ˜ f(˜an−1)k[F0(zn−1)]−1k, k[F0(zn)]−1F(zn)k ≤ ˜ f(˜an−1)˜g(˜an−1,˜ bn−1)k[F0(zn−1)]−1F(zn−1k ≤(˜ f(˜a)˜g(˜a,˜ b))nk[F0(z0)]−1F(z0)k, Mk[F0(zn)]−1kk[F0(zn)]−1F(zn)k ≤˜ f(˜an−1)2˜g(˜an−1,˜ bn−1)Mk[F0(zn−1)]−1kk[F0(zn−1)]−1F(zn−1)≤˜an, Existencia de H(LF(zn) y kH(LF(zn)k ≤ 1 + ˜anν(˜an), Kk[F0(zn)]−1kk[F0(zn)]−1F(zn)k2 ≤˜ f(˜an−1)3˜g(˜an−1,˜ bn−1)2Kk[F0(zn−1)]−1kk[F0(zn−1)]−1F(zn−1)2≤˜ bn, kzn+1 −ynk ≤ ˜an 2(1 + ˜anν(˜an))k[F0(zn)]−1F(zn)k, kzn+1 −znk ≤ ψ(˜an)k[F0(zn)]−1F(zn)k, kzn+1 −z0k ≤ ψ(˜an)1−(˜ f(˜a)˜g(˜a,˜ b))n+1 1−˜ f(˜a)˜g(˜a,˜ b)k[F0(z0)]−1F(z0)k<ψ(˜a)η 1−˜ f(˜a)˜g(˜a,˜ b)=R2, (10) de manera que se garantice la convergencia semilocal de (2) a partir del decrecimiento estricto de las siguientes sucesiones reales: (˜a0= ˜a, ˜an+1 = ˜an˜ f(˜an)2˜g(˜an,˜ bn), n ≥0, ˜ b0=˜ b, ˜ bn+1 =˜ bn˜ f(˜an)3˜g(˜an,˜ bn)2, n ≥0, siempre que se cumpla (4). La idea es aplicar una iteraci´on de (2) para aproximar una soluci´on z∗de la ecuaci´on (1) a partir de la iteraci´on z0=xN0, donde x1, x2. . . , xN0son aproximaciones dadas por el m´etodo de Newton empezando en x0∈Ω. Veamos que esto es as´ı. En primer lugar, como {an}es una sucesi´on estrictamente decreciente a cero, siempre existir´a un N1∈N tal que aN1< r. En segundo lugar, como xψ(x) = φ(x) es una funci´on creciente con φ(0) = 0 y {an}decrece estrictamente a cero, tambi´en existir´a siempre un N2∈Ntal que aN2ψ(aN2)<1. Y en tercer y ´ultimo lugar, como ϕes una funci´on decreciente y {an}es una sucesi´on estrictamente decreciente, la sucesi´on {ϕ(an)}es estrictamente creciente y, como b0≥ϕ(a0) y {bn}decrece estrictamente a cero, podemos garantizar la existencia de un N3∈Ntal que bN3< ϕ(a0) = ϕ(a)< ϕ(aN3), para ϕ(a0)>0 dado. Podemos tomar as´ı N0= m´ax{N1, N2, N3}, elegir z0=xN0y aplicar una iteraci´on de (2), empezando en este punto, para garantizar la convergencia de (6). Notemos que la condici´on ˜a < r se podr´ıa omitir en el caso en que tengamos la posibilidad de elegir un m´etodo de la familia (2), ya que rpodr´ıa ser +∞, como en los casos en que el desarrollo en serie que aparece en (2) sea finito, situaci´on que se da por ejemplo en el m´etodo de Chebyshev. Siempre que la sucesi´on (6) est´e bien definida, el estudio de la convergencia se reduce a ver que esta sucesi´on es de Cauchy. En el siguiente resultado, probamos la convergencia semilocal de (6) y obtenemos conclusiones acerca de la existencia de soluciones y el dominio en el que ´estas se localizan. 5 J. A. Ezquerro, M. A. Hern´andez, N. Romero En primer lugar, reescribimos (6) de la siguiente forma: wn=xn,si n<N0, zn−N0,si n≥N0. Teorema 2 Sean XeYdos espacios de Banach y F: Ω ⊆X→Yun operador dos veces diferenciable Fr´echet definido en un dominio abierto convexo no vac´ıo Ω. Sea x0∈Ωy supongamos que se cumplen (C1)–(C4). Si se satisface (3) y B(x0, R1+R2)⊆Ω, la sucesi´on (6), definida por {wn}y empezando en w0, converge a una soluci´on z∗de (1). Adem´as, la soluci´on z∗y las iteraciones wnpertenecen a B(x0, R1+R2). Demostraci´on. Observamos en primer lugar que w0, w1, . . . , wN0∈Ω por ser iteraciones del m´etodo de Newton y, en consecuencia, kwi−x0k ≤ R1< R1+R2, para i= 1,2, . . . , N0. As´ı, wi∈B(x0, R1)⊂B(x0, R1+R2)⊆Ω, para i= 1,2, . . . , N0. Ahora, si elegimos wN0=z0=xN0, las iteraciones wi, para i > N0, est´an dadas por (2) y, por tanto, kwi−wN0k< R2, para i > N0. Luego, kwi−x0k ≤ kwi−wN0k+kwN0−x0k< R1+R2ywi∈B(x0, R1+R2)⊆Ω, para i>N0. Entonces, wn∈Ω, para todo n∈N, y {wn}est´a bien definida. Finalmente, veamos que {wn}es una sucesi´on de Cauchy en Ω. Para ello, basta con probarlo para {wn}n≥N0, que est´a generada por (2) (v´ease [7]). Por lo tanto, existe z∗∈ B(x0, R2)⊂B(x0, R1+R2) tal que z∗= l´ımnwn. Para terminar, se sigue inmediatamente que F(z∗) = 0 (v´ease [7]).  Notemos que podemos aplicar (6) siempre que se cumplan las condiciones del teorema 2, ya que siempre existir´a N0. Sin embargo, podemos mejorar el algoritmo si somos capaces de estimar a priori el valor de N0para ahorrarnos as´ı la verificaci´on de la condici´on ˜ b<ϕ(˜a) en cada paso. La estimaci´on del valor de N0se sigue del siguiente resultado. Teorema 3 Supongamos que se cumplen las hip´otesis del teorema anterior y que se satisface (3), pero no (4), para alg´un x0∈Ωcumpliendo (C1) y (C2). Sea z0=xN0 con N0= m´ax{N1, N2, N3}, donde N1= 1 + hlog r−log a log(f(a)g(a)) i,N2= 1 + h−log(aψ(a)) log(f(a)g(a)) i, N3= 1 + hlog ϕ(a)−log b log(f(a)g(a)2)i,fand gest´an definidas en (9), ϕen (5) y [t]denota la parte entera del n´uemro real t. Entonces, z0cumple (4). Demostraci´on. Teniendo en cuenta los razonamientos dados para garantizar que el algoritmo (6) est´e bien definido, en el sentido de que siempre exista un N0∈N, de forma que podamos aplicar una iteraci´on de la familia (2) empezando en z0=xN0, se tienen que satisfacer las condiciones dadas en (4). En primer lugar, como aN0=aN0−1f(aN0−1)g(aN0−1) = · · · =a0 N0−1 Y j=0 f(aj)g(aj), la sucesi´on {an}es decreciente y fygson funciones crecientes en (0,1/2), podemos escribir aN0< a (f(a)g(a))N0y exigir que a(f(a)g(a))N0< r para que z0=xN0cumpla la primera condici´on dada en (4); es decir: log a+N0log(f(a)g(a)) <log roN0>log r−log a log(f(a)g(a)). 6 Sobre la regi´on de accesibilidad de ciertas iteraciones de tercer orden Luego, se debe cumplir que N0≥N1, donde N1= 1 + hlog r−log a log(f(a)g(a)) i. En segundo lugar, como la funci´on ψes creciente en R+, siguiendo un razonamiento an´alogo al anterior, podemos decir que la segunda condici´on dada en (4) se reduce a ver que a(f(a)g(a))N0ψ(a)<1, que es lo mismo que N0>−log(aψ(a)) log(f(a)g(a)) . Por tanto, se necesita que N0≥N2, donde N2= 1 + h−log(aψ(a)) log(f(a)g(a)) i. En tercer y ´ultimo lugar, basta con exigir que bf(a)g(a)2N0< ϕ(a) para que z0=xN0cumpla la tercera condici´on dada en (4), lo que lleva a que N0>log ϕ(a)−log b log(f(a)g(a)2)yN0≥N3, donde N3= 1+hlog ϕ(a)−log b log(f(a)g(a)2)i. Finalmente, basta con elegir N0= m´ax{N1, N2, N3}. Nota Notemos que si la condici´on ˜a<rde (4) se cumple, como la sucesi´on {an}es decreciente, an< r, para todo n, no es necesario calcular el valor N1y el c´alculo de N0se reduce a N0= m´ax{N2, N3}. Si la que se cumple es la segunda condici´on ˜aψ(˜a)<1 de (4), de nuevo por ser la sucesi´on {an}decreciente, anψ(an)<1, para todo n, no es necesario calcular el valor N2y el c´alculo de N0se reduce a N0= m´ax{N1, N3}. An´alogamente para la tercera condici´on ˜ b<ϕ(˜a) de (4) y cualquier combinaci´on de las condiciones que pueda darse. 3. Unicidad de soluci´on A continuaci´on estudiamos la unicidad de la soluci´on z∗de la ecuaci´on (1). Teorema 4 Supogamos que se cumplen (C1)–(C4). La soluci´on z∗de la ecuaci´on (1) es ´unica en la regi´on Bx0,2 Mβ −(R1+R2)∩Ωsiempre que R1+R2<2 Mβ . Demostraci´on. Supongamos que existe otra soluci´on y∗de la ecuaci´on (1) en la regi´on Bx0,2 Mβ −(R1+R2)∩Ω. Entonces, para ver que z∗=y∗, de Z1 0 F0(z∗+t(y∗−z∗)) dt (y∗−z∗) = F(y∗)−F(z∗) = 0, se sigue que hay que probar que el operador T=R1 0F0(z∗+t(y∗−z∗)) dt sea invertible. Por el lema de Banach, tenemos entonces que demostrar que kI−Tk<1. En efecto, kI−Tk ≤ kΓ0kZ1 0 kF0(z∗+t(y∗−z∗)) −F0(x0)kdt ≤Mβ Z1 0 kz∗+t(y∗−z∗)−x0kdt ≤Mβ Z1 0 ((1 −t)kz∗−x0k+tky∗−x0k)dt < Mβ 2R1+R2+2 Mβ −(R1+R2)= 1, y la demostraci´on queda as´ı completada.  7 J. A. Ezquerro, M. A. Hern´andez, N. Romero 4. R-orden de convergencia Las condiciones de convergencia de una iteraci´on dependen de la elecci´on de la distancia k·k, pero, para una distancia dada, la velocidad de convergencia de la sucesi´on {wn} se caracteriza por la velocidad de convergencia de la sucesi´on de n´umeros no negativos kz∗−wnk, donde z∗= l´ımnwn. Una medida importante de la velocidad de convergencia es el R-orden de convergencia (v´ease [10]). Es conocido que una sucesi´on {wn}converge con R-orden al menos τ > 1 si existen constantes C∈(0,∞) y γ∈(0,1) tales que kz∗−wnk ≤ Cγτn,n= 0,1, . . . Bajo las condiciones (C1)–(C3) el m´etodo de Newton converge con R-orden al menos dos ([6]), mientras que las iteraciones de (2) lo hacen con R-orden al menos tres si se satisfacen (C1)–(C4) ([8]). Adem´as, para encontrar estimaciones a priori para las distancias kz∗−wnk,n= 1,2, . . ., se busca una funci´on δ:N→R+ tal que kz∗−wnk ≤ δ(n), n= 1,2, . . . Bas´andonos en la t´ecnica desarrollada en [6] y [7] para el m´etodo de Newton y para las iteraciones de (2) respectivamente, obtenemos las siguientes cotas a priori del error para la sucesi´on (6): kz∗−wnk ≤ δ(n),donde δ(n) =        γ2n −1 1∆n 1 1−γ2n 1∆1η, 0≤n<N0, ψ(˜a)γ 3n −1 2 2∆n 2 1−γ3n 2∆2η, n ≥N0, con γ1=f(a)g(a), ∆1= 1/f(a), γ2=˜ f(˜a)2˜g(˜a,˜ b)y∆2= 1/˜ f(˜a). Por tanto, la sucesi´on (6) tiene R-orden de convergencia al menos dos hasta la iteraci´on N0−1 y R-orden de convergencia al menos tres desde la iteraci´on N0, puesto que kz∗−wnk ≤ C1γ2n 1,0≤n<N0,donde C1=η γ1(1 −γ1∆1), kz∗−wnk ≤ C2γ1/2 23n , n ≥N0,donde C2=ψ(˜a)η γ1/2 2(1 −γ2∆2). Referencias [1] I. K. Argyros y D. Chen, Results on the Chebyshev method in Banach spaces, Proyecciones, 12, 2 (1993), 119–128. [2] V. Candela y A. Marquina, Recurrence relations for rational cubic methods I: the Halley method, Computing, 44 (1990), 169–184. [3] V. Candela y A. Marquina, Recurrence relations for rational cubic methods II: the Chebyshev method, Computing, 45 (1990), 355–367. [4] D. Chen, I. K. Argyros y Q. S. Qian, A note on the Halley method in Banach spaces, Appl. Math. Comput., 58 (1993), 215–224. [5] J. A. Ezquerro y M. A. Hern´andez, Region of accessibility for a class of Newton-type iterations, Proyecciones, 17, 1 (1998), 71–76. [6] M. A. 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