A escrita matemática na resolução de problemas envolvendo a proporcionalidade direta: uma experiência de Gallery Walk com alunos do 7.º ano

A escrita matemática na resolução de problemas envolvendo a Proporcionalidade Direta: Uma experiência de Gallery Walk com alunos do 7.º ano Universidade do Minho Instituto de Educação Patrícia Pilar Martins Vaz dezembro de 2021 A escrita matemática na resolução de problemas envolvendo a Proporcionalidade Direta: Uma experiência de Gallery Walk com alunos do 7.º ano Patrícia Pilar Martins Vaz UMinho|2021 Patrícia Pilar Martins Vaz dezembro de 2021 A escrita matemática na resolução de problemas envolvendo a Proporcionalidade Direta: Uma experiência de Gallery Walk com alunos do 7.º ano Trabalho efetuado sob a orientação da Doutora Maria Helena Martinho Relatório de estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Universidade do Minho Instituto de Educação ii DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição CC BY https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ iii AGRADECIMENTOS À minha supervisora, Doutora Maria Helena Martinho, pela sua disponibilidade durante o estágio profissional, pela sua orientação no momento de construção deste relatório, por toda a aprendizagem ao longo deste mestrado e por todos ensinamentos ao longo de todo o seminário, que certamente irei levar para a minha vida profissional. À minha orientadora, Maria Felicidade Silva, pela sua disponibilidade em me transmitir a sua experiência, por todo o apoio prestado ao longo do ano letivo, pelas suas ideias e por me ter dado liberdade para trabalhar com os alunos das suas turmas, por me integrar na escola e me transmitir toda a informação importante sobre o funcionamento de uma escola. À minha colega de estágio, Sofia Pinheiro, por todo o apoio, troca de ideias, pelas discussões/conversas produtivas e por estares sempre lá para me amparar. Às minhas amigas e colegas de mestrado, por estarem sempre disponíveis para me ajudar, pela troca de ideias, por tudo o que me ensinaram e por todo o apoio que me transmitiram ao longo deste mestrado. Aos alunos da turma de intervenção, por toda a simpatia e carinho, por toda a paciência, empenho e colaboração que revelaram ao longo de todo o ano letivo. À minha amiga, Letícia Martins, por ter acreditado sempre em mim, por me ter apoiado nesta etapa muito importante da minha vida, pela sua disponibilidade para me dar apoio moral e por estar sempre presente quando mais precisava. À minha família e amigos, que sempre estiveram presentes nos momentos em que mais precisei de auxílio/amparo, por toda a paciência para comigo e por todo o amor que me transmitiram e que me ajudou bastante nesta fase da minha vida. iv DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. v A escrita matemática na resolução de problemas envolvendo a Proporcionalidade Direta: Uma experiência de Gallery Walk com alunos do 7.º ano RESUMO O tema deste estudo incide em três tópicos, a resolução de problemas, a comunicação escrita e a função de proporcionalidade direta. Este estudo ocorreu numa turma do 7.º ano e recorreu-se a uma Gallery Walk para promover o desenvolvimento das capacidades em estudo (comunicação escrita e resolução de problemas). O principal objetivo deste projeto é compreender a forma como os alunos comunicam matematicamente aquando da resolução de problemas de proporcionalidade direta e compreender de que forma a experiência com uma Gallery Walk pode contribuir para a evolução da comunicação escrita e para a compreensão da proporcionalidade direta. Assim, pretende-se com este estudo responder às seguintes questões de investigação: 1. Quais as estratégias utilizadas na resolução de problemas de proporcionalidade direta? Que dificuldades sentem?; 2. Como explicitam os alunos as resoluções de problemas de proporcionalidade direta? Que dificuldades sentem na escrita?; 3. Na perspetiva dos alunos, qual o contributo do trabalho realizado através da Gallery Walk para a evolução da comunicação escrita? Para a compreensão da Proporcionalidade direta? Na maior parte da intervenção, recorreu-se a uma metodologia de trabalho de grupo. Os instrumentos de recolha de dados utilizados neste estudo foram: uma ficha de diagnóstico, com tarefas destinadas a analisar os pré-requisitos dos alunos; duas fichas de trabalho com problemas sobre o tópico em estudo, realizadas em grupo; Gallery Walk ; uma ficha formativa, realizada individualmente; observação e gravação das aulas; um questionário, realizada individualmente e notas de campo. Os resultados obtidos demonstraram que a estratégia mais utilizada, pelos alunos, na resolução de problemas de proporcionalidade direta foi a “Regra de três simples” como esperado. No que diz respeito às dificuldades na resolução de problemas, as mais evidentes foram a compreensão do enunciado e a compreensão da própria situação apresentada no problema, se envolve ou não proporcionalidade direta. Por fim, sobre as dificuldades na escrita matemática, as mais notórias foram a construção frásica, a conversão das suas ideias em palavras e a explicitação do seu raciocínio. Palavras-chave: Comunicação escrita, Proporcionalidade Direta, Resolução de Problemas. vi Mathematical writing in solving problems involving Direct Proportionality: A Gallery walk experience with 7𝑡ℎ graders ABSTRACT The theme of this study focuses on three topics, problem solving, written communication and the function of direct proportionality. This study took place in a 7th grade class and used a Gallery Walk to promote the development of the skills under study (written communication and problem solving). The main objective of this project is to understand how students communicate mathematically when solving problems of direct proportionality and understand how the experience with a Gallery Walk can contribute to the evolution of written communication and to the understanding of direct proportionality. Thus, this study aims to answer the following research questions: 1. What strategies are used in solving problems of direct proportionality? What difficulties do you have?; 2. How do students explain resolutions of problems of direct proportionality? What difficulties do you have in writing?; 3. From the students' perspective, what is the contribution of the work done through Gallery Walk to the evolution of written communication? For the understanding of direct proportionality? In most of the intervention, a group work methodology was used. The data collection tools used in this study were: a diagnostic form, with tasks designed to analyze the students' prerequisites; two worksheets with problems on the topic under study, carried out in groups; Gallery Walk ; a formative form, performed individually; observation and recording of classes; a questionnaire, performed individually and field notes. The results showed that the most used strategy by the students in solving problems of direct proportionality was the "Simple Three Rule" as expected. With regard to the difficulties in solving problems, the most evident were the understanding of the utterance and the understanding of the situation presented in the problem itself, whether or not it involves direct proportionality. Finally, about the difficulties in mathematical writing, the most notorious were the construction of music, the conversion of their ideas into words and the explicitness of his reasoning. Keywords: Direct Proportionality, Problem Solving, Written Comunication. vii ÍNDICE DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS ........................ ii AGRADECIMENTOS ............................................................................................................................ iii DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE ......................................................................................................... iv RESUMO ............................................................................................................................................. v ABSTRACT ......................................................................................................................................... vi ÍNDICE .............................................................................................................................................. vii ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................................................ x ÍNDICE DE TABELAS .......................................................................................................................... xi ÍNDICE DE ESQUEMAS ...................................................................................................................... xii CAPÍTULO I ........................................................................................................................................ 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 1 1.1. Tema e finalidades .............................................................................................................. 1 1.2. Pertinência do estudo .......................................................................................................... 2 1.3. Estrutura do relatório ........................................................................................................... 3 CAPÍTULO II ....................................................................................................................................... 5 ENQUADRAMENTO TEÓRICO ............................................................................................................. 5 2.1. Resolução de problemas ......................................................................................................... 5 2.1.1. Conceito de problema ...................................................................................................... 5 2.1.2. Tipologia de tarefas e Tipologia de problemas ................................................................... 6 2.1.3. Resolução de problemas no ensino da Matemática ......................................................... 10 2.1.5. Resolução de Problemas nos Programas ........................................................................ 12 2.1.6. Métodos de resolução de problemas .............................................................................. 16 2.2. Proporcionalidade Direta ....................................................................................................... 17 2.2.1. Ensino da Proporcionalidade Direta ................................................................................ 17 2.2.2. Proporcionalidade Direta ao longo dos Programas .......................................................... 18 2.2.3. Raciocínio Proporcional .................................................................................................. 21 2.2.4. Estratégias de resolução de problemas envolvendo Proporcionalidade Direta .................. 23 2.2.5. Conceito de Proporcionalidade Direta ............................................................................. 26 2 3. Na perspetiva dos alunos, qual o contributo do trabalho realizado através da GW para a evolução da comunicação escrita? Para a compreensão da Proporcionalidade direta? 1.2. Pertinência do estudo A Resolução de Problemas e a Comunicação Matemática são duas das capacidades mais valorizadas nos documentos curriculares em vigor. Após a implementação do programa atual, surge o Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (DGE, 2017) como um documento de referência para a organização de todo o sistema educativo. Neste documento a Resolução de Problemas e a Comunicação Matemática estão inseridas em duas das dez áreas de competências a ser desenvolvidas ao longo da escolaridade. Em relação à Comunicação Matemática, o aluno deve tornar-se um cidadão “capaz de pensar crítica e autonomamente, criativo, com competência de trabalho colaborativo e com capacidade de comunicação” (p. 15). É mencionado, ainda, que uma das ações que o professor pode implementar, em sala de aula, para promover o desenvolvimento do Perfil dos Alunos é, “promover de modo sistemático e intencional, na sala de aula e fora dela, atividades que permitam ao aluno fazer escolhas, confrontar pontos de vista, resolver problemas e tomar decisões com base em valores” (p. 31). As Aprendizagens essências de Matemática é outro documento curricular onde é destacado o papel da Resolução de Problemas e da Comunicação Matemática no ensino da Matemática. Segundo as Aprendizagens Essenciais de Matemática do 7.º ano de escolaridade (DGE, 2018), estas duas capacidades surgem como duas das finalidades do ensino da Matemática. Ao longo deste documento, em cada conteúdo programático, são apresentadas orientações metodológicas para se implementar a comunicação e a resolução de problemas. É referido ainda que os alunos, ao longo deste ano de escolaridade, devem adquirir um vocabulário e linguagem própria da Matemática, devem desenvolver “a capacidade de comunicar em Matemática, por forma a serem capazes de descrever, explicar e justificar, oralmente e por escrito, as suas ideias, procedimentos e raciocínios, bem como os resultados e conclusões que obtêm” (p. 2) e devem desenvolver “a capacidade de resolver problemas, em situações de maior complexidade e que convocam a mobilização das novas aprendizagens nos diversos domínios, aprofundando a análise de estratégias e dos resultados obtidos, e formulando problemas em contextos variados” (p. 5). A resolução de problemas é um bom instrumento para desenvolver a escrita matemática porque na resolução o aluno terá de explicitar o seu raciocínio, explicar a estratégia e os passos que desenvolveu para chegar à solução. Nos Princípios para a ação (NCTM, 2017), pode ler-se: 3 Um ensino eficaz da matemática envolve os alunos na resolução e discussão de tarefas que promovem o raciocínio matemático e a resolução de problemas, além de permitirem diferentes abordagens e várias estratégias. (p. 10) É ainda salientado pela NCTM (2017) que o papel do aluno “é estar ativamente envolvido em dar sentido às tarefas matemáticas, através do uso de estratégias e representações variadas, da justificação de soluções, do estabelecimento de ligações com conhecimentos anteriores ou com contextos e experiências familiares, e ter em consideração o raciocínio de outros” (p. 11). Desenvolver a comunicação e a capacidade de resolver problemas são dois aspetos muito importantes no ensino da matemática e podem ser trabalhos em conjuntos. Posto isto, a Gallery Walk é uma estratégia de ensino onde é trabalhada estas duas competências, sendo que os alunos resolvem, em grupo, um problema e após a exposição da sua resolução (Comunicação escrita) irão discutir as várias estratégias e as dificuldades apresentadas (Comunicação oral). Neste estudo, pretende-se perceber como os alunos irão apresentar a sua estratégia, isto é, se vão explicar e justificar todos os passos; compreender as dificuldades que apresentam na resolução do problema apresentado; compreender as dificuldades que os alunos têm na escrita matemática; analisar quais as estratégias utilizadas e averiguar se o trabalho em grupo, no contexto da Gallery Walk , contribui para a evolução da comunicação escrita e para a compreensão da Proporcionalidade Direta . 1.3. Estrutura do relatório Este Relatório de Estágio estruturado em cinco capítulos: introdução, enquadramento teórico, enquadramento contextual, apresentação dos resultados e conclusões, implicações, recomendações e limitações. No primeiro é apresentado o tema, as finalidades e objetivos do estudo, a pertinência do mesmo e a estrutura do relatório. No capítulo dedicado ao enquadramento teórico, está exposto uma revisão da literatura sobre o tema em estudo. Neste capítulo será abordado o tema Resolução de Problemas, discutindo assim a noção de problema, as diferentes tipologias de problemas, a importância da Resolução de problemas aos olhos de outros autores e dos programas, os vários métodos de resolução de problemas e as várias formas de implementar no ensino. Será, também, debatido o tema da Proporcionalidade Direta, mais concretamente a Função de Proporcionalidade direta; a Comunicação escrita na Matemática e a Gallery Walk no ensino da Matemática. 4 Em relação ao Capítulo III, apresenta-se o contexto onde ocorreu a intervenção pedagógica, as metodologias de ensino implementadas na intervenção pedagógica e as estratégias de investigação. No Capítulo IV, será revelado a apresentação dos resultados obtidos através da análise dos dados recolhidos. Ao longo da análise serão apresentadas algumas produções escritas dos alunos e alguns diálogos importantes para responder às questões de investigação. No Capítulo final, será apresentado e discutido as principais conclusões do estudo, com a finalidade de responder às questões de investigação. E, também, serão indicadas algumas implicações e limitações deste estudo, assim como, algumas recomendações para estudos futuros. 5 CAPÍTULO II ENQUADRAMENTO TEÓRICO Neste capítulo será apresentado o enquadramento teórico relativo ao tema em estudo. Como o tema engloba quatro temáticas, então este capítulo será dividido em quatro categorias: Resolução de problemas, Proporcionalidade direta, Escrita Matemática e Gallery Walk . 2.1. Resolução de problemas Neste subcapítulo, será abordado a noção de problema, as diferentes tipologias de problemas apresentadas por vários autores, a importância da resolução de problemas no ensino da Matemática, a importância da mesma ao longo dos programas e os vários métodos de resolução de problemas. 2.1.1. Conceito de problema A matemática é uma disciplina que é associada, frequentemente, à resolução de problemas. Antes de nos debruçarmos sobre a resolução de problemas, deveremos indagar-nos sobre o que é um problema. Este conceito tem sido definido, ao longo dos anos, por vários autores. Pólya (1973) refere que um problema deve desafiar a curiosidade e estimular a criatividade do aluno para a sua resolução. Já Ponte (1992) define um problema como uma “tarefa para a qual o aluno não dispõe de um método imediato de resolução, mas em cuja solução se empenha activamente” (p. 95). Ou seja, um problema é uma tarefa que não tem um método de resolução óbvio, o aluno terá de ponderar no caminho que irá seguir para chegar à solução (Vale et al., 2015). Thompson (1989, referido em Romanatto, 2012) menciona que um problema deve apresentar um vasto leque de estratégias para descobrir a sua solução. Para este autor, um problema pode ser um quebra-cabeças, um labirinto e pode ser uma questão que envolva ilusões com imagens. Já Kantowsky (1974, referido em Monteiro, 2015) afirma que é um problema quando o conhecimento habitual que o aluno tem não é suficiente para a sua resolução. Para Proença (2021), o aluno está perante um problema quando necessita de mobilizar conceitos e procedimentos matemáticos já estudados para chegar a uma solução, ou seja, não há uma fórmula ou regra para o resolver. Salienta ainda, que quando a tarefa é resolvida por uma fórmula ou regra pré-definida, então trata-se de um exercício. A noção de problema apresentado por Proença (2021) é a definição estabelecida para este estudo. A definição de Van de Walle (2009, referido em Romanatto, 2012) é semelhante à anterior, visto que define um problema 6 como sendo uma tarefa que não tem regras memorizadas para o resolver, nem uma abordagem óbvia para a sua resolução. No ponto de vista de Vianna (2002), um aluno está na presença de um problema quando: “tem uma questão para resolver; quer ter uma resposta para essa questão; não tem, previamente, uma resposta para essa questão” (p. 402). No que concerne às características dos problemas, Boavida et al. (2008) referem que os problemas devem: i) ser percetíveis pelo aluno, embora a solução não deva ser imediata; ii) ser motivantes e estimulantes; iii) ter mais que uma estratégia de resolução; iii) agregar vários temas. Exercícios e problemas são dois conceitos que são muitas vezes confundidos (Dias, 2019). Ponte (1992) aponta que na resolução de exercícios, os alunos aplicam os métodos de resolução estudados, já na resolução de problemas não estão pré-estabelecidos métodos de resolução, ou seja, o aluno terá que ponderar na sua estratégia para encontrar a solução. 2.1.2. Tipologia de tarefas e Tipologia de problemas Nesta secção começaremos por apresentar a tipologia de tarefas e, de seguida iremos abordar as diferentes tipologias de problemas encontradas na literatura. Segundo Ponte (2005), as tarefas podem ser caracterizadas de várias formas, umas mais desafiantes outras mais acessíveis, umas mais abertas outras mais fechadas, umas referentes a contextos da realidade outras formuladas em termos matemáticos. O mesmo autor refere que há duas dimensões fundamentais das tarefas, que são o grau de desafio matemático e o grau de estrutura. O grau de desafio matemático é caracterizado por “reduzido” e “elevado”, ou seja, se uma tarefa é muito desafiante ou pouco desafiante. O grau de estrutura é caracterizado por “aberto” ou “fechado”. Numa tarefa de natureza fechada o enunciado é claro, o aluno consegue identificar o que é dado e o que é pedido e uma tarefa aberta “é a que comporta um grau de indeterminação significativo no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas” (Ponte, 2005, p. 8). 7 Fonte: Ponte (2005, p. 8) Na figura 1 está apresentado a tipologia que Ponte (2005) definiu, tendo em conta o grau de desafio e de estrutura. Os problemas e os exercícios têm uma estrutura fechada. Os exercícios são caracterizados de desafio reduzido, enquanto que os problemas têm um desafio elevado. Segundo Dias et al. (2013) referem que devido ao elevado grau de desafio nos problemas, o procedimento da resolução nem sempre é percetível, o aluno tem de compreender o enunciado e formular uma estratégia de resolução, exigindo assim reflexão e persistência por parte do aluno. Relativamente às tarefas com uma estrutura aberta, Ponte (2005) refere as explorações e investigações. As tarefas de investigação têm um grau de desafio elevado, enquanto que as tarefas de exploração têm um grau de desafio reduzido, ou seja, “se o aluno puder começar a trabalhar desde logo, sem muito planeamento, estamos perante uma tarefa de exploração. Caso contrário, será talvez melhor falar em tarefa de investigação” (Ponte, 2005, p. 8). É nesta tipologia que será baseada a investigação que consta neste trabalho. Nos Princípios para a Ação (NCTM, 2017) está exposto uma diferente taxonomia de tarefas elaborada por Stein et al. (1996) e Stein e Smith (1998) sustentada no tipo e nível de raciocínio necessários para a resolução das mesmas. Esta taxonomia é dividida em dois níveis de exigência cognitiva: exigência baixa e exigência alta. No nível de exigência baixa encontramos as tarefas de memorização , tarefas que envolve a aplicação direta de regras, fórmulas e definições estudadas anteriormente e surge, claramente, no enunciado a regra que o aluno tem de aplicar na resolução. Ainda no nível baixo de exigência, encontramos as tarefas de procedimentos sem conexões . Estas tarefas são caracterizadas pela algoritmização, isto é, é evidente qual o procedimento que o aluno terá de aplicar e pela exigência cognitiva limitada. Os alunos não são estimulados a pensar no procedimento que têm de aplicar ou como o devem aplicar. O foco destas tarefas está nas respostas corretas e não na compreensão matemática. Relativamente ao nível de exigência alta, temos Figura 1: Tipologia de tarefas 8 as tarefas de procedimentos com conexões e as tarefas de Fazer matemática . As primeiras tarefas envolvem níveis mais profundos na compreensão de conceitos e ideias matemáticas, os alunos podem aplicar procedimentos gerais e amplos, podem utilizar várias representações ao longo da resolução. É necessário que os alunos apliquem as ideias conceptuais subjacentes para resolverem com sucesso a tarefa. As tarefas designadas por Fazer matemática , “requerem que os alunos acedam a conhecimentos e experiências relevantes, utilizando-os de forma apropriada no trabalho realizado durante a tarefa” (NCTM, 2017, p. 18). Quando o aluno está perante uma tarefa deste tipo é importante que eles ponderem bem na estratégia a aplicar e devem ter em atenção os vários obstáculos que poderão aparecer no seu caminho. Estas tarefas de exigência alta estimulam o desenvolvimento da compreensão matemática. Estas duas tipologias de tarefas têm características em comum, sendo possível estabelecer uma conexão entre elas. Pelo esquema 1 apresentado acima, verificamos que as tarefas denominadas por Explorações (Ponte, 2005) não tem conexão com nenhuma das tarefas apresentadas por Smith e Stein (1998). Em relação à tipologia de problemas, vários autores apresentam diferentes taxonomias para classificar os problemas. Charles e Lester (1986, citado em Palhares, 2004) apresentam uma classificação com cinco tipos de problemas: problemas de um passo , problemas de dois ou mais passos , problemas de processo , problemas de aplicação e problemas tipo puzzle . Os problemas de um passo são caracterizados pela sua resolução direta, em que para descobrir a solução Esquema 1: Comparação entre as tipologias estudadas 9 basta aplicar uma das quatro operações básicas da aritmética. Quanto aos problemas de dois passos , a sua resolução é feita através de duas ou mais etapas, sendo que em cada etapa é aplicado uma das quatro operações básicas da aritmética. Em relação aos problemas de processo , os alunos podem aplicar vários métodos de resolução, ou seja, não há uma estratégia pré-definida/mecanizada. Os problemas de aplicação “são os que normalmente requerem a recolha de dados acerca da vida real e a tomada de decisões. Muitas vezes utilizam uma ou mais operações e uma ou mais estratégias de resolução” (Palhares, 2004, p. 18). Para finalizar, os problemas tipo puzzle são mais desafiantes porque os alunos precisam de “olhar” para este tipo de problema nos vários pontos de vista e para encontrar a solução destes problemas é necessário um “flash”, ou seja, os alunos precisam de uma epifania para os resolver. Na mesma obra, Palhares (2004) divulga mais uma taxonomia de problemas desenvolvida pelo projeto GIRP*, onde os autores dividem os problemas em quatro categorias: problemas de processo, problemas de conteúdo, problemas de aplicação e problemas de aparato experimental: Problemas de processo – Um problema deste tipo não se resolve, geralmente, pela aplicação directa de um algoritmo, isto é, dificilmente se resolverá sem a utilização de estratégias de resolução de problemas (…). Problemas de conteúdo – Um problema deste tipo requer a utilização de conteúdos programáticos, conceitos, definições e técnicas matemáticas. Sem eles dificilmente poderá ser resolvido. Problemas de aplicação – Um problema deste tipo utiliza dados da vida real, apresentados ao solucionador ou por ele recolhidos. A tomada de decisões assume uma relevância importante e surge como consequência da análise dos dados. (…) Problemas de aparato experimental – um problema deste tipo requer a utilização de um aparato experimental, sobre o qual o solucionador deve exercer as suas ações. (p. 19 – 20) Na classificação desenvolvida por Boavida et al. (2008), são apontados três tipos de problemas: problemas de cálculo , problemas de processo e problemas abertos . Nos problemas de cálculo , os alunos terão que ponderar qual a operação ou operações que terão que utilizar para chegar à solução do problema. Relativamente, aos problemas de processo , não podem ser resolvidos aplicando apenas operações aritméticas. Normalmente, apresentam contextos mais complexos e para chegar à solução, os alunos terão que aplicar estratégias de resolução mais criativas. Os alunos terão que ser persistentes, ter pensamento flexível e ser organizados. Em relação aos problemas abertos , que os autores referem que se podem denominar, também, por investigações , podem ter mais que um processo de resolução e mais do que uma solução correta. Os autores, referem que para resolver este tipo de problema os alunos terão de “fazer explorações para 10 descobrir regularidades e formular conjecturas, apelando, por isso, ao desenvolvimento do raciocínio, do espírito crítico e da capacidade de reflexão” (Boavida et al., p. 20). 2.1.3. Resolução de problemas no ensino da Matemática Numa tentativa de definir o que é a Resolução de Problemas, vários autores afirmam que é uma ação que envolve utilizar os conhecimentos já estudados em situações novas, onde o aluno irá questionar-se, aplicar estratégias e formular, testar e provar conjeturas. É uma atividade desafiante, pois leva o aluno a pensar para além do ponto de partida, a pensar em vários caminhos para chegar à solução e leva o aluno a raciocinar matematicamente (Boavida et al., 2008). Numa outra perspetiva, Romanatto (2012) define resolução de problemas como uma atividade onde se apresenta, ao aluno, uma tarefa da qual não é conhecido o processo para chegar à solução e para o encontrar o aluno terá que aplicar os seus conhecimentos matemáticos. Este autor, salienta que ao longo do ensino os alunos deveriam ser desafiados, frequentemente, a formular e a solucionar problemas. Num contexto pedagógico, Boavida et al. (2008) referem que a resolução e formulação de problemas é uma competência essencial na disciplina de Matemática. O desenvolvimento de tal competência é lento, portanto os alunos devem ter contacto desde cedo com problemas desafiadores para desenvolver a sua capacidade de resolver problemas e também a sua autoconfiança (Fonseca, 2014). George Pólya, matemático húngaro, foi um dos impulsionadores da Resolução de Problemas no ensino. O seu objetivo era que os alunos de Matemática se tornassem bons resolvedores de problemas. Através da sua obra “A arte de resolver problemas”, Pólya sugere como deve ser ensinada a Resolução de Problemas. No seu ponto de vista, ensinar os alunos a resolver problemas é uma das grandes finalidades do ensino da Matemática (Romanatto, 2012). Ao longo das últimas décadas foram vários estudos realizados sobre a resolução de problemas (por exemplo, Charles & Silver, 1988; Lester, Garofalo & Kroll, 1989; Schoenfeld, 1992, segundo Romannatto, 2012). A resolução de problemas é vista por Proença (2021) e pelo NCTM (2017) como um método para que os alunos aprendam os conceitos matemáticos. Com isto, a resolução de problemas promove o desenvolvimento das capacidades matemáticas dos alunos, a sua compreensão sobre a estrutura matemática e a sua habilidade a resolver problemas. A resolução de problemas é uma das competências mais importantes na Matemática porque desenvolve capacidades intelectuais, tais como, criatividade, intuição, imaginação, iniciativa, autonomia, liberdade, 11 estabelecimento de conexões, experimentação, tentativa e erro, interpretação dos resultados (Romanatto, 2012). Segundo este autor, o aluno deve experimentar bons problemas, participar em discussões perante diferentes resoluções, discutir processos e raciocinar. Com o apoio do feedback do professor, o aluno desenvolve as suas competências de questionamento, colaboração, pensamento crítico e comunicação e estas capacidades são muito valorizadas no mundo profissional (Carvalho & Dourado, 2013). A resolução de problemas tem um papel importante no ensino da Matemática, uma vez que promove a exploração de diferentes representações, permite que os alunos recorram, com mais frequência, à comunicação (escrita e oral), incita o raciocínio e a justificação, mostra a utilidade que esta disciplina tem no nosso dia a dia e, através da resolução de problemas, os alunos estabelecem conexões entre os vários conteúdos matemáticos e entre a Matemática e as outras disciplinas (Boavida et al., 2008; NCTM, 2017). Assim sendo, segundo Dante (1988, referido em Soares & Pinto, 2012) os problemas propostos em sala de aula devem: “(1) Fazer o aluno pensar produtivamente; (2) Desenvolver o raciocínio do aluno; (3) Preparar o aluno para enfrentar situações novas; (4) Dar oportunidade aos alunos de se envolverem com aplicações de matemática; (5) Tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras; (6) Equipar o aluno com estratégias e procedimentos que auxiliam na análise e na solução de situações onde se procura um ou mais elementos desconhecidos; e (7) Dar uma boa alfabetização matemática ao cidadão comum” (p. 5-6). Na obra Princípios para a Ação (2017) afirmam que, atualmente, existem duas perspetivas diferentes sobre o ensino da matemática, uma que valoriza a memorização de conteúdos, fórmulas e procedimentos, e outra perspetiva onde se valoriza o envolvimento dos alunos na resolução e discussão de tarefas que proporcionem o desenvolvimento do raciocínio e a resolução de problemas. Nesta última perspetiva, é valorizada a partilha de métodos de resolução promovendo assim a comunicação em sala de aula e o conhecimento de novas estratégias. Outra das características, também valorizadas nesta perspetiva é a justificação e explicitação dos raciocínios. Tanto uma perspetiva como a outra podem influenciar na opinião que o aluno tem sobre a matemática e na sua atitude em relação a esta disciplina. Nesta obra, é sugerido oito práticas do ensino da matemática que promovem uma aprendizagem profunda desta disciplina. Entre elas está a proposta de tarefas que promovam o raciocínio e a resolução de problemas. O contacto regular com tarefas que envolvam o raciocínio e a resolução de problemas proporciona uma aprendizagem com compreensão. É, também, importante que os alunos tenham 18 2009). Silvestre e Ponte (2009) referem que esta compreensão pode não ocorrer devido a certos fatores, tais como: “variedade dos contextos (…), dificuldade em reconhecer que a estrutura matemática se mantém independentemente do contexto e consequente incapacidade de operar sobre esta estrutura” (p. 2). Na disciplina de Matemática, a proporcionalidade é um tópico muito importante porque une e relaciona vários conteúdos, logo o ensino deste tópico não deve ser focado num ano de escolaridade, 7.º ano. Este conceito deve ser ensinado ao longo de toda a escolaridade e deve-se promover a sua integração nos diversos conteúdos presentes nas várias áreas de estudo (Soares & Nehring, 2013). Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2007) referem que a proporcionalidade direta é um tema integrante do programa para os anos letivos 6.º, 7.º e 8.º anos: A convergência e a integração do currículo são ainda evidentes na ênfase que é dada à proporcionalidade, enquanto tema integrante do programa para estes anos de escolaridade. A familiaridade com a proporcionalidade desenvolve-se através do trabalho em diversos temas do currículo, incluindo a razão e a proporção, percentagem, semelhança, escala, equações lineares, declive, histogramas de frequência relativa e probabilidades. A compreensão da proporcionalidade deverá também emergir através da resolução de problemas e do raciocínio, sendo importante na conexão entre diferentes tópicos matemáticos e entre a matemática e outros domínios, como as ciências e as artes. (p. 248) No âmbito do Programa de Matemática (DGE, 2013) para o 2.º ciclo do Ensino básico, é importante que os alunos demonstrem destreza no uso de números racionais em vários contextos, apresentá-los nas suas diversas representações (frações, dizimas, números mistos, percentagens) e que adquiram as seguintes competências: “noção de grandezas diretamente proporcionais e de constante de proporcionalidade direta; (…) regra de três simples; Propriedade Fundamental das proporções; escalas em mapas; problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta entre grandezas mutuamente dependentes” (DGE, 2013, p. 18). Este conceito é muito importante para os seguintes anos da Matemática, por isso, Lesh et al. (1988, referido em Silvestre & Ponte, 2008) sugerem que o ensino deste tema seja considerado como um dos principais objetivos na aprendizagem da Matemática. 2.2.2. Proporcionalidade Direta ao longo dos Programas O ensino deste conceito começa no 6.º ano de escolaridade. No Programa de Matemática de 1991 (DGEBS, 1991), refere que antes do 6.º ano os alunos já recorrem ao raciocínio proporcional de forma intuitiva. Por exemplo, ainda no 1.º ciclo conseguem determinar o valor necessário 19 para comprar três lápis, sabendo o preço de um lápis. É mencionado que neste ano deve-se construir o conceito de proporcionalidade direta em conjunto com os alunos, através da exploração de tarefas que envolvem este conceito. De seguida, será apresentada a evolução da aprendizagem deste conceito (no 6.º ano) numa tabela. Na tabela 3, serão ilustrados os conteúdos e objetivos no ensino de Proporcionalidade direta ao longo dos vários programas até ao atual (DGE, 2013). Ao longo dos anos, os programas foram mudando a sua estrutura. No Programa de Matemática do 2.º ciclo do ensino básico de 1991, são apresentados os conteúdos e os objetivos . No programa de Matemática do 2.º ciclo do ensino básico de 2007, está organizado por tópicos , objetivos específicos e notas . Na tabela 3, está apresentado os conteúdos que estavam subjacentes nos objetivos e na coluna dos objetivos estão expostos os objetivos específicos e as notas . Em relação ao Programa atual (DGE, 2013), na coluna identificada por “Conteúdos” está identificado os conteúdos apresentados neste documento relativo ao tópico Proporcionalidade Direta e na coluna dos “objetivos” estão apontadas as metas curriculares estabelecidas no mesmo documento sobre o tópico em análise. 20 Tabela 3: Evolução da aprendizagem de Proporcionalidade direta Conteúdos Objetivos Programa Matemática – Plano de Organização do Ensino-Aprendizagem, Ensino Básico, 2.º ciclo (1991) - Constante de proporcionalidade directa; - Proporções; - Percentagem; - Escala. - Reconhecer situações de proporcionalidade directa. - Descobrir experimentalmente a propriedade fundamental das proporções. - Resolver problemas que envolvam o conceito de proporcionalidade directa. - Interpretar uma percentagem num dado contexto. - Interpretar gráficos circulares relativos a percentagens. - Resolver problemas da vida corrente que envolvam a aplicação directa de uma percentagem. - Calcular mentalmente, em casos simples, o resultado da aplicação de uma percentagem. - Determinar e utilizar a escala de um mapa ou de um desenho. Programa de Matemática do Ensino Básico (2007) - Razão, proporção; - Constante de proporcionalidade direta. - Percentagem; - Escala; - Tabelas; - Gráficos cartesianos; - Compreender os conceitos de razão, proporção e constante de proporcionalidade. - Utilizar proporções para modelar situações e fazer previsões. - Resolver e formular problemas envolvendo situações de proporcionalidade directa. - Distinguir situações em que não existe proporcionalidade de situações em que existe, solicitando, neste caso, a constante de proporcionalidade. - Usar situações que envolvam percentagens e escalas, e a análise de tabelas e gráficos. - Propor situações que permitam verificar a propriedade fundamental das proporções. Programa e Metas Curriculares de Matemática, Ensino Básico (2013) - Noção de grandezas diretamente proporcionais e de constante de proporcionalidade direta; - Proporções; extremos, meios e termos de uma proporção; propriedades; regra de três simples; - Escalas em mapas; - Problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta entre grandezas mutuamente dependentes. - Identificar uma grandeza como «diretamente proporcional» a outra quando dela depende de tal forma que, fixadas unidades, ao multiplicar a medida da segunda por um dado número positivo, a medida da primeira fica também multiplicada por esse número. - Reconhecer que uma grandeza é diretamente proporcional a outra da qual depende quando, fixadas unidades, o quociente entre a medida da primeira e a medida da segunda é constante e utilizar corretamente o termo «constante de proporcionalidade». - Reconhecer que se uma grandeza é diretamente proporcional a outra então a segunda é diretamente proporcional à primeira e as constantes de proporcionalidade são inversas uma da outra. - Identificar uma proporção como uma igualdade entre duas razões não nulas e utilizar corretamente os termos «extremos», «meios» e «termos» de uma proporção. - Reconhecer que numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. - Determinar o termo em falta numa dada proporção utilizando a regra de três simples ou outro processo de cálculo. - Saber que existe proporcionalidade direta entre distâncias reais e distâncias em mapas e utilizar corretamente o termo «escala». - Identificar pares de grandezas mutuamente dependentes distinguindo aquelas que são diretamente proporcionais. - Identifica pares de grandezas mutuamente dependentes distinguindo aquelas que são diretamente proporcionais. - Resolver problemas envolvendo a noção de proporcionalidade direta. Fonte: Adaptado de DGE (1991, p. 38; 2007, p. 41; 2013, p. 18 e 45) Em julho de 2018, foram construídos documentos de orientação curricular base na planificação, realização e avaliação do ensino e da aprendizagem designados por Aprendizagens 21 essenciais . Estes documentos têm como objetivo promover o “desenvolvimento das áreas de competências inscritas no Perfil dos Alunos à saída da Escolaridade Obrigatória ” (DGE, s.d). Nas Aprendizagens essenciais de Matemática do 6.º ano de escolaridade (DGE, 2018) são apresentados os objetivos essenciais de aprendizagem e as práticas de aprendizagem referentes ao conceito de proporcionalidade direta. Na tabela 4, serão apresentadas essas mesmas práticas e objetivos. Tabela 4: Apresentação das Aprendizagens essenciais sobre o conceito de Proporcionalidade Direta Objetivos essenciais de aprendizagem Práticas essenciais de aprendizagem - Reconhecer os significados de razão e proporção e usá-las para resolver problemas. - Reconhecer situações de proporcionalidade direta num enunciado verbal ou numa tabela e indicar uma das constantes de proporcionalidade, explicando o seu significado dado o contexto. - Conceber e aplicar estratégias de resolução de problemas envolvendo (…) proporcionalidade direta, em contextos matemáticos e não matemáticos. - Distinguir, em contextos diversos, situações em que existe proporcionalidade direta de situações em que não existe. - Resolver e formular problemas de proporcionalidade direta envolvendo, nomeadamente, escalas e percentagens. Fonte: Adaptado de DGE (2018, p.11-12) 2.2.3. Raciocínio Proporcional Segundo vários autores (Miranda, 2016; Behr et al., 1992; Lamon, 2007; Karplus, Steven et al., 1983, citado em Avelar et al., 2019), na aprendizagem da proporcionalidade direta é importante desenvolver-se o raciocínio proporcional dos alunos em vez de se focar na memorização de regras. Os mesmos autores salientam a importância do uso, com o devido conhecimento, de estratégias multiplicativas, em lugar de estratégias aditivas usadas pelos alunos na resolução de tarefas sobre proporcionalidade direta. Salientam, assim, que a compreensão da estrutura multiplicativa referente à relação de proporcionalidade direta é uma referência no desenvolvimento do raciocínio proporcional (Avelar et al., 2019). Lamon (2020) reforça que é muito importante distinguir o raciocínio proporcional do conceito de proporcionalidade, sendo o raciocínio proporcional um pré-requisito para a compreensão de contextos que envolve proporcionalidade. Para a mesma autora, este raciocínio está associado à compreensão de duas relações entre grandezas: Invariância – relação constante entre duas grandezas e a covariância – duas grandezas estão relacionadas, de tal forma que se uma se altera a outra altera-se na mesma proporção. Os alunos devem ter “a capacidade de perceber que, na equivalência entre razões, há algo que muda (quantidades absolutas) e que, ao mesmo tempo, há algo que se mantém constante (na mesma proporção)” (Ponte et al., 2010, p. 4). Na perspetiva 22 da mesma autora, a compreensão da natureza multiplicativa presente em situações proporcionais é uma das tarefas mais complexas para os alunos, pois não têm ainda maturidade matemática para compreender a diferença entre adicionar e multiplicar e para eles é mais “natural” aplicar a adição. O raciocínio proporcional é essencial para o ensino da Matemática, muito útil na interpretação de situações do nosso dia a dia, é muito importante para o progresso cognitivo dos alunos (Cramer & Post, 1993, referido em, Viegas, 2018) e é essencial na aquisição de vários tópicos matemáticos e de outras ciências (Avelar et al., 2019). Sendo assim, é fundamental que este raciocínio seja desenvolvido meticulosamente, embora o seu desenvolvimento exija tempo e esforço (Alves, 2012). Cramer et al. (1993, referido em Silvestre, 2012) referem que é importante compreender a relação matemática presente em situações que envolvem proporcionalidade direta, para que um individuo revele capacidade de raciocínio proporcional. Esta relação envolve os seguintes quatro tópicos: “(i) a natureza multiplicativa; (ii) a representação gráfica, isto é, a reta que passa na origem; (iii) a equivalência das razões; e (iv) a representação pela equação y=mx, em que m é o declive, a razão unitária e constante de proporcionalidade” (Silvestre, 2012, p. 13). No seu estudo, Silvestre (2012) definiu que o raciocínio proporcional envolve três aspetos: (i) capacidade para distinguir situações que têm subjacentes relações de proporcionalidade direta de situações que não o têm; (ii) compreensão da natureza multiplicativa das relações proporcionais; e (iii) capacidade para resolver vários tipos de problemas, revelando a flexibilidade mental para realizar diferentes abordagens sem ser afetado pelo fenómeno descrito no contexto, dados e estrutura numérica, grandezas e as representações (texto, gráficos, tabelas, razões) (p. 281). Avelar et al. (2019) referem que é importante compreender a relação multiplicativa presente nas relações proporcionais antes de apresentar a “regra de três simples”, porque, caso contrário, pode criar a “ilusão de que todos os acontecimentos envolvem uma relação de proporcionalidade direta e a de facilidade e eficácia” (p. 50). Ponte et al. (2010) refere que os problemas que envolvem relações de proporcionalidade direta podem ser divididos em três categorias: 23 Tabela 5: Categorização de problemas de proporcionalidade direta Tipo de Problema Descrição Problemas de valor omisso É fornecido três dos valores que compõem uma proporção e é pedido o quarto. Problemas de comparação É apresentado duas razões e pede-se para indicar qual é maior, menor ou se são iguais. Problemas de conversão entre representações A partir dos dados representados num determinado sistema, se pede a sua representação noutro sistema mantendo a mesma relação entre si. Fonte: Ponte et al. (2010, p. 4) O problema de valor omisso é considerado o problema mais conhecido e estudado, em comparação com os problemas de comparação (Silvestre & Ponte, 2009). Em relação aos problemas de conversão entre representações e análise gráfica, Tobias (2018) refere que neste tipo de problema os alunos devem ser capazes de identificar se o gráfico representa ou não uma situação que envolve proporcionalidade direta ou não, e, caso exista, determinar o valor da constante de proporcionalidade. Lesh et al. (1988, referido em Costa & Ponte, 2008) referem que a diversificação das tarefas é essencial para que os alunos desenvolvam a flexibilidade do seu raciocínio proporcional, logo é essencial que os alunos tenham contacto com vários tipos de problemas. O tipo de problema de proporcionalidade é um dos fatores que influenciam diretamente no desempenho dos alunos, mas existe outros elementos que devem ser considerados (Tobias, 2018). Tourniaire e Pulos (1985, referido em Tobias, 2018) afirmam que as relações entre as grandezas, tais como: o contexto das grandezas (ou variáveis); as estruturas dos problemas e os valores numéricos envolvidos no problema são elementos que podem influenciar a complexidade do problema (maior ou menor). 2.2.4. Estratégias de resolução de problemas envolvendo Proporcionalidade Direta Vários autores analisaram as estratégias que os alunos aplicam na resolução de problemas de proporcionalidade. Alguns destes autores, referem que a capacidade de raciocinar proporcionalmente manifesta-se nos alunos antes da aprendizagem do conceito de proporcionalidade direta (Costa & Ponte, 2008). Segundo Silvestre (2006, referido em Costa & Ponte, 2008), na resolução de um problema, a escolha da estratégia certa, por parte do aluno, pode depender da interpretação que ele faz do enunciado, da sua compreensão sobre os números e “das relações que consegue estabelecer de imediato” (p. 68). 24 Silvestre e Ponte (2009) referem na sua comunicação as estratégias identificadas por Post et al. (1988) e Crammer et al. (1993): (i) Razão unitária , também conhecida por “quanto para um”, identificada como a estratégia mais intuitiva atendendo ao facto dos alunos a usarem desde os primeiros anos de escolaridade (cálculo de razões unitárias em problemas de divisão e cálculo de múltiplos das razões unitárias em problemas de multiplicação); (ii) Fator de mudança ou fator escalar (Hart, 1983), conhecida por “tantas vezes como”, estratégia que está condicionada a aspetos numéricos dos problemas, mas está presente no reportório de estratégias das crianças; (iii) Comparação das razões , associada a problemas de comparação, que permite comparar as razões unitárias através de duas divisões; (iv) Algoritmo do produto cruzado , também conhecida como “regra de três simples”, que, embora eficiente, é um processo mecânico desprovido de significado no contexto dos problemas. (p. 2-3) A estratégia razão unitária é referida por Cramer et al. (1993, referido por Viegas, 2018) como a estratégia a que os alunos recorrem predominantemente na resolução de problemas de valor omisso e de comparação, caso não tenham conhecimento da estratégia do algoritmo do produto cruzado . Estes autores referem, ainda, que na sua vida quotidiana os alunos utilizam, frequentemente, a razão unitária quando fazem compras, ou seja, determinam, regularmente, os preços unitários dos produtos, portanto, esta é uma estratégia natural na resolução deste tipo de problemas. Quando os alunos recorrem à estratégia fator de mudança ou fator escalar , tem por base, o pensamento de “quantas vezes mais” , isto é, “se quero o dobro de maças, o preço será o dobro” , este raciocínio apresenta a descoberta da relação multiplicativa de medidas (Cramer et al., 1993, referido em Viegas, 2018). Viegas (2018) refere que a estratégia de comparação de razões é utilizada na resolução de problemas de comparação, onde os alunos comparam as razões unitárias através de duas divisões. O algoritmo do produto cruzado , também denominado por regra de três simples é uma estratégia que, segundo Menduni-Bartoli e Barbosa (2017), é abordada de forma prioritária no ensino do conceito de proporcionalidade direta. Esta estratégia é muito eficaz, mas muitas vezes utilizada como um processo mecânico, sem compreensão do contexto apresentado no problema (Silvestre & Ponte, 2009). Cramer et al. (1993, referido em Viegas, 2018), refere que o uso desta mecanização não significa “que os alunos compreendem as bases subjacentes ao pensamento 25 proporcional, sendo que a capacidade para compreender claramente a proporcionalidade, consiste num marco de grande importância no desenvolvimento mental dos alunos” (p. 15). Silvestre e Ponte (2009) referem também a estratégia da interpretação gráfica , apresentada por Post et al. (1988). Nesta estratégia, os gráficos podem ser utilizados com o objetivo de identificar razões equivalentes ou para encontrar o valor desconhecido em problemas de valor omisso. Infante e Canavarro (2017) divulgam no seu estudo que as estratégias de resolução podem ser divididas em estratégias de natureza multiplicativa e estratégias de natureza aditiva . Geralmente, os alunos utilizam as estratégias de natureza multiplicativa , quando são apresentados dois valores que estão relacionados multiplicativamente, sendo que essa relação será aplicada a um terceiro valor. Estas estratégias dividem-se em raciocínios escalares e raciocínios funcionais (Infante & Canavarro, 2017). • Raciocínio escalar – ocorre quando existe uma relação inteira entre os valores da mesma variável, designada por relação interna ( within relation ). (Pittalis et al., 2003, referido em Costa & Ponte, 2008) • Raciocínio funcional – ocorre quando existe uma relação inteira entre valores de variáveis diferentes, designada por relação externa ( between relation ). (Pittalis et al., 2003, referido em Costa & Ponte, 2008) A correta aplicação de cada estratégia depende de vários fatores, tais como o tipo de problema e as relações aritméticas entre os dados do problema (Kaput & West, 1994; Lamon, 1994, referido em Silvestre & Ponte, 2009). O raciocínio escalar, é uma das estratégias mais utilizadas porque muitos problemas que envolvem razão e proporção podem ser resolvidos por adições sucessivas (Costa & Ponte, 2008). As estratégias de natureza aditiva englobam o método designado por building-up e o método denominado por diferença constante . Building-up é um procedimento que recorre a adições repetidas e está relacionado com o raciocínio multiplicativo. Em relação ao método de diferença constante , é definido uma relação dentro de uma razão que é calculada subtraindo um termo do outro, em seguida, essa diferença é aplicada. Por exemplo, na preparação de um sumo de laranja, 1 dose de concentrado equivale a 3 doses de água. Utilizando o método da diferença constante , calcula-se a diferença entre o número de doses de água (3) e de concentrado (2), 3 − 2 = 1, de seguida, esta diferença é aplicada à outra razão. Como queremos saber quantas doses de água se terá de acrescentar a 6 doses de concentrado, então 6+1=7 doses de água (Infante & 26 Canavarro, 2017). Este método é utilizado, muitas vezes, por alunos com pouca experiência com a relação multiplicativa em relações proporcionais e, também, por alunos mais velhos, na resolução de problemas mais complexos (Baxter & Junker, 2001; Infante & Canavarro, 2017). As estratégias que serão alvo de estudo nesta investigação são as estratégias apontadas por Silvestre e Ponte (2009) e as estratégias de natureza aditiva apresentadas por Infante e Canavarro (2017). 2.2.5. Conceito de Proporcionalidade Direta Segundo Menduni-Bartoli e Barbosa (2017), a grandeza X é diretamente proporcional à grandeza Y se ambas variam na mesma razão, ou, se dados 𝑎 e 𝑐 elementos de X e 𝑏 e 𝑑 elementos de Y, os quatro elementos formarem a proporção 𝑎 𝑐=𝑏 𝑑 . Os autores Imenes e Lellis (2005) vão de encontro à definição anterior, referindo que quando se multiplica os elementos de A por um valor 𝑘, então os elementos de B são multiplicados pelo mesmo valor. Silvestre e Ponte (2009), referem que o conceito de proporcionalidade direta é definido na literatura em duas perspetivas, como conceito matemático ou como conceito psicológico. Em termos matemáticos, a Proporcionalidade Direta é apresentada como uma igualdade entre razões, a/b=c/d, ou como função linear 𝑦 = 𝑚𝑥, 𝑚 ≠ 0. Na abordagem psicológica, este conceito é apresentado, tendo por base as características que lhes estão inerentes, tais como, estrutura, invariância e equivalência. Os mesmos autores, referem que os alunos aprendem primeiro a resolver problemas que envolvem a utilização de igualdade entre razões com duas variáveis (regra de três simples) e só depois apresentam o conceito como função linear, “não estabelecendo, no entanto, qualquer relação entre essas duas representações” (Viegas, 2018, p. 16). Com o objetivo de que os alunos não usem exclusivamente a regra de três simples, Ponte et al. (2010) sugerem que a proporcionalidade direta deva ser desenvolvida através do ensino de regularidades e da função linear. Através da aprendizagem de padrões geométricos, numéricos ou algébricos, os alunos irão mais facilmente estabelecer uma relação entre a lei de formação e a constante de proporcionalidade. Assim, através das regularidades podem ser definidas as leis de formação de funções lineares (Menduni-Bartoli & Barbosa, 2017). Relativamente ao ensino de proporcionalidade direta através da função linear, Ponte et al. (2010) defende que esta abordagem deva ser realizada desde os primeiros anos de escolaridade e salientam que seja prioritária em relação à noção de igualdade entre razões (proporção). Através da taxa de variação, do fator-escalar presente na ampliação e redução de figuras e da percentagem é possível modelar uma situação de proporcionalidade direta como uma função linear. Menduni-Bartoli e Barbosa (2017) referem que a proporcionalidade direta pode ser 27 apresentada como uma função linear, do tipo 𝑓: ℝ+→ ℝ+ dada por 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ ℝ+. A relação de covariação “ocorre entre os valores de forma conjunta” (p. 961) e a invariância representa o coeficiente angular da função (𝑎). É nesta definição que será baseada a investigação que consta neste trabalho. A função de duas variáveis que define a proporcionalidade direta entre elas é a função linear (Tobias, 2018). A definição de função de proporcionalidade direta é apresentada por vários autores de forma diferente. Teixeira (2020) refere que duas grandezas são diretamente proporcionais quando as duas condições seguintes são satisfeitas: i. 𝑦 (ou 𝑓) é uma função crescente de 𝑥; ii. 𝑓(𝑚 × 𝑥)= 𝑚 × 𝑓(𝑥), para todo o valor de 𝑥 e todo o número racional positivo 𝑚. Sendo que estas duas condições são satisfeitas, existe um número 𝑘, designado por constante de proporcionalidade entre 𝑥 e 𝑦, tal que 𝑓(𝑥)= 𝑘 × 𝑥, para todo o valor de 𝑥. É de salientar que as duas grandezas são diretamente proporcionais apenas se as duas condições serem satisfeitas (Teixeira, 2020). Num outro estudo, Lima et al. (2005) referem que a função linear é o modelo matemático que define uma relação de proporcionalidade. O Teorema Fundamental da Proporcionalidade é a chave para determinar se uma dada função é ou não linear: Teorema Fundamental da Proporcionalidade: Seja 𝑓: ℝ → ℝ uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. 𝑓(𝑛𝑥)=𝑛𝑓(𝑥) para todo 𝑛 ∈ ℕ e todo o 𝑥 ∈ ℝ 2. Pondo 𝑎 = 𝑓(1), tem-se 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥 para todo o 𝑥 ∈ ℝ 3. 𝑓(𝑥 + 𝑦)= 𝑓(𝑥)+ 𝑓(𝑦) para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ (Lima et al., 2005, p. 95) Trajano (1883, referido em Lima et al., 2005) menciona que “Duas grandezas são proporcionais quando elas se correspondem de tal modo que, multiplicando-se uma quantidade de uma delas por um número, a quantidade correspondente da outra fica multiplicada (…) pelo mesmo número. (…) as grandezas se dizem diretamente proporcionais…” (p. 93). Substituindo as grandezas apresentadas por Trajano por números reais, os autores declaram que: Uma proporcionalidade é uma função 𝑓: ℝ → ℝ tal que, para quaisquer números reais 𝑐, 𝑥 tem-se 𝑓(𝑐𝑥)= 𝑐. 𝑓(𝑥) (proporcionalidade direta) … (Lima et al., 2005, p. 93) 34 primeiro começam a falar e só depois aprendem a ler e a escrever. Para o mesmo autor a comunicação no ensino da Matemática engloba “o questionamento, a dinamização de discussões, a explicação e sistematização de conhecimentos e avaliação” (Menezes & Nacarato, 2020, p. 2). Tanto a comunicação escrita como a oral são importantes no desenvolvimento e na capacidade de comunicação (Seabra & Martinho, 2013). Brendefur e Frykholm (2000, referido em Faria & Rodrigues, 2020), apresentam quatro tipos de comunicação que o professor pode adotar em sala de aula, que são: comunicação unidirecional , comunicação contributiva , comunicação reflexiva e comunicação instrutiva. Fonte: Faria e Rodrigues (2020, p. 94-95) Uma boa ferramenta para desenvolver a comunicação nos alunos é propor-lhes tarefas matemáticas onde lhes é pedido, direta ou indiretamente, que expliquem o seu raciocínio. O professor deve escolher cuidadosamente essas tarefas, pois tem de ter em conta que elas apresentem oportunidades de comunicação, tanto escrita como oral. Essas tarefas não têm que ser necessariamente abertas (Boavida et al., 2008). Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (2007) mencionam que no momento de planificação, os professores devem apresentar aos alunos tarefas que: COMUNICAÇÃO UNIDIRECIONAL O professor é o elemento principal da aula, pois é ele que transmite os conteúdos descritos no currículo. Os alunos são considerados “ouvintes passivos” que terão de demonstrar o que aprenderam na resolução das tarefas propostas pelo professor. Este tipo de comunicação está “associada a um ensino do tipo expositivo”. (p. 94) CONTRIBUTIVA O professor implementa estratégias de ensino, planeadas por ele, com o objetivo de incentivar os alunos a participar na aula. Os alunos participam na aula com intervenções curtas, pouco exigentes. Normalmente estas intervenções são respostas curtas a questões de confirmação que o professor coloca ao longo da aula. Este tipo de comunicação também está associado a um ensino expositivo. REFLEXIVA Este tipo de comunicação é caracterizado por “momentos de momentos de partilha multidirecional de ideias, estratégias e resultados matemáticos obtidos através de investigações e explorações” (p. 95). O objetivo deste tipo de comunicação é aprofundar a compreensão matemática dos alunos através da sua participação. INSTRUTIVA É similar à comunicação reflexiva relativamente aos intervenientes, “procura que o percurso do aluno no decorrer da aula seja delineado através dos diálogos estabelecidos” (p. 95). Esquema 2: Tipos de comunicação 35 • Relacionem noções matemáticas importantes; • Possam ser abordadas por métodos de resolução diversos; • Permitam representações múltiplas; • Permitam que os alunos tenham oportunidades de interpretar, justificar e formular conjeturas. (p. 321) A comunicação é considerada, por vários autores, uma capacidade que deve ser desenvolvida no ensino da Matemática. À vista disso, os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (2007), sugerem que os programas de ensino desde o pré-escolar ao 12.º ano de escolaridade devem capacitar todos os alunos para: “Organizar e consolidar o seu pensamento matemático através da comunicação; Comunicar o seu pensamento matemático de forma coerente e clara aos colegas, professores e outros; Analisar e avaliar as estratégias e o pensamento matemático usados por outros e; Usar a linguagem da matemática para expressar ideias matemáticas com precisão” (p. 66). 2.3.2. Comunicação matemática nos Programas A importância da comunicação matemática é reconhecida ao longo dos vários programas curriculares do nosso país, tanto no ensino básico como no ensino secundário. Iremos focar na análise dos programas do ensino básico, visto que a turma em análise neste relatório é do 7.º ano de escolaridade. A comunicação matemática está presente nos vários programas (DGEBS, 1990; DGE, 2007, 2013, 2017, 2018), mas ao longo dos anos a sua abordagem nos programas tem sofrido algumas alterações. No documento Organização Curricular e Programas, volume I, 3.º ciclo do ensino básico (DGEBS, 1990) o desenvolvimento da comunicação matemática é tida como uma das finalidades e um dos objetivos gerais do ensino da Matemática. Esta capacidade surge como uma das capacidades/aptidões que os alunos devem adquirir neste ciclo, isto é, ao longo do 3.º ciclo os alunos devem: “ler e interpretar textos de Matemática; interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões, …); transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para a linguagem simbólica (gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas, …) e vice versa; exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na linguagem matemática” (DGEBS, 1990, p. 176-177). O mesmo programa (DGEBS, 1990) propõe que os professores apliquem, em sala de aula, tarefas que incentivem e impliquem a comunicação oral e escrita, com o objetivo de colocar os alunos a expressar os seus raciocínios, a analisar, a explicar, a discutir e a confrontar as estratégias e resultados dos colegas. 36 É no Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007 que a comunicação matemática se torna uma das três capacidades transversais, surgindo assim com um papel importante para a aprendizagem da Matemática. Neste programa, o desenvolvimento da comunicação é considerado, também, uma das finalidades do ensino desta disciplina, reforçando que os alunos, ao longo dos três ciclos do ensino básico, devem desenvolver a “capacidade de comunicar em Matemática, oralmente e por escrito, descrevendo, explicando e justificando as suas ideias, procedimentos e raciocínios, bem como os resultados e conclusões a que chega” (DGES, 2007, p. 3). Mas não é só este ponto que o Programa de 2007 tem em comum com o anterior, pois também neste o desenvolvimento da comunicação é um dos objetivos gerais do ensino da Matemática. Os alunos devem ser hábeis a expressar os seus raciocínios e interpretar os raciocínios dos colegas, logo, devem ser capazes de: • Interpretar enunciados matemáticos formulados oralmente e por escrito; • Usar a linguagem matemática para expressar as ideias matemáticas com precisão; • Descrever e explicar, oralmente e por escrito, as estratégias e procedimentos matemáticos que utilizam e os resultados a que chegam; • Argumentar e discutir as argumentações de outros. (DGE, 2007, p. 5) Esta capacidade, também, é considerada um objetivo curricular, sendo assim importante que o professor promova a comunicação, em sala de aula, propondo atividades que propiciem momentos de discussão na turma ou em pequenos grupos (comunicação oral) e sugerindo tarefas em que seja pedido para elaborar relatórios onde os alunos justifiquem o seu raciocínio e, também, pode propor que os alunos realizem pequenos textos onde têm de explicar tópicos matemáticos já lecionados (comunicação escrita) (DGE, 2007). Como verificamos esta capacidade é muito valorizada neste programa (DGE, 2007), por esse motivo a comunicação matemática é realçada como um tópico matemático, como álgebra, geometria, etc. Na tabela seguinte (Tabela 8) surge as orientações metodológicas deste conteúdo. 37 Tabela 8: Objetivos e notas relativos ao tópico Comunicação Matemática Tópico Objetivos específicos Notas Comunicação matemática • Interpretação • Representação • Expressão • Discussão • Interpretar informação, ideias e conceitos representados de diversas formas, incluindo textos matemáticos. • Representar informação, ideias e conceitos matemáticos de diversas formas. • Traduzir relações de linguagem natural para linguagem matemática e vice-versa. • Exprimir resultados, processos e ideias matemáticos, oralmente e por escrito, utilizando a notação, simbologia e vocabulário próprios. • Discutir resultados, processos e ideias matemáticos. • Proporcionar a análise e interpretação de textos matemáticos com origens diversas (livros, manuais, jornais, Internet). • Recorrer a vários tipos de representações (gráfica, algébrica e tabular) e estabelecer conexões entre elas para obter múltiplas perspectivas de um problema e das suas soluções. • Solicitar aos alunos a utilização progressiva e consistente de simbologia e vocabulário adequados às situações. • Criar oportunidades para apresentações individuais e em grupo, e para diversos tipos de interação (professoraluno, aluno-aluno, aluno-turma, professorturma). • Criar situações em que os alunos interpretam e criticam as soluções de um problema (ou a inexistência de soluções) no seu contexto e discutem o processo de resolução usado, apresentando argumentos fundamentados. Fonte: Adaptado de DGE (2007, p. 64) No programa atualmente em vigor, Programa e Metas Curriculares de Matemática do ensino básico (DGE, 2013), a comunicação matemática perdeu o seu estatuto anterior, isto é, já não é considerada como um objetivo curricular. Neste programa, é proposto aos professores que trabalhem com os alunos a sua “capacidade de compreender os enunciados dos problemas matemáticos, identificando as questões que levantam, explicando-as de modo claro, conciso e coerente, discutindo, do mesmo modo, estratégias que conduzam à sua resolução” (DGE, 2013, p. 5). Além disso, devem incentivar os alunos a expressar o seu raciocínio, a comentar as opiniões dos colegas e do professor e a colocar as suas dúvidas. Em relação à comunicação escrita, os professores devem encorajar os alunos a escrever as suas respostas, explicando o raciocínio utilizado para obter essa solução e apresentar as suas conclusões, escrevendo corretamente em português e utilizando linguagem matemática. Ao longo deste documento, esta capacidade apenas surge uma vez contemplada de forma explícita. Nas novas Aprendizagens Essenciais de Matemática (DGE, 2021), a comunicação matemática, também, conquistou um lugar de destaque, sendo apresentados objetivos de 38 aprendizagem e ações estratégicas de ensino, relativamente à expressão de ideias e à discussão de ideias. Na tabela 9 são apresentadas essas diretrizes. Tabela 9: Novas Aprendizagens essenciais sobre a Comunicação Matemática TEMAS, Tópicos e Subtópicos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: Conhecimentos, Capacidades e Atitudes AÇÕES ESTRATÉGICAS DE ENSINO DO PROFESSOR CAPACIDADES MATEMÁTICAS: Comunicação matemática Expressão de ideias Discussão de ideias Descrever a sua forma de pensar acerca de ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito. Ouvir os outros, questionar e discutir as ideias de forma fundamentada, e contrapor argumentos. Reconhecer e valorizar os alunos como agentes da comunicação matemática, usando expressões dos alunos e criando intencionalmente oportunidades para falarem, questionarem, esclarecerem os seus colegas, promovendo progressivamente a construção da sua autoconfiança. Criar oportunidades para aperfeiçoamento da comunicação escrita, propondo a construção, em colaboração, de frases que sistematizem o conhecimento matemático institucionalizado sobre ideias matemáticas relevantes, ou a produção de relatórios sobre investigações matemáticas realizadas. Colocar questões com diferentes propósitos, para incentivar a comunicação matemática pelos alunos: obter informação sobre o que aluno já sabe; apoiar o desenvolvimento do raciocínio do aluno, focando-o no que é relevante; encorajar a explicação e reflexão sobre raciocínios produzidos, favorecendo a autorregulação dos alunos. Incentivar a partilha e a discussão de ideias (conceitos e propriedades) e de processos matemáticos (resolver problemas, raciocinar, investigar, …), oralmente, entre os alunos e entre o aluno e o professor, solicitando que fundamentem o que afirmam, valorizando a apresentação de argumentos e tomada de posições fundamentadas e capacidade de negociar e aceitar diferentes pontos de vista. Fonte: Adaptado de DGE (2021, p. 15-16) Pela Tabela 9, observa-se que neste novo documento (DGE, 2021) é evidenciada a importância de os alunos explicitarem, por escrito, o seu raciocínio e explicarem o seu processo de resolução. É também, incentivada a partilha de ideias e de métodos de resolução, indo assim ao encontro de Castro (2014), Menezes (2021), NCTM (2007; 2017), Boavida et al. (2008). 2.3.3. Comunicação escrita na matemática A comunicação pode ser caracterizada por comunicação escrita ou por comunicação oral, sendo que a oral a mais favorecida na aula de matemática visto que esta surge mais frequentemente e com maior naturalidade (Barbosa & Vale, 2019). Ambas são importantes no ensino desta 39 disciplina, mas os alunos não se sentem tão à vontade com a escrita porque para eles é mais difícil (em relação à oral) e não compreendem o objetivo desta vertente no ensino (Barbosa & Vale, 2019). Ponte et al. (2007) salienta que a linguagem escrita é uma ferramenta importante no ensino-aprendizagem da Matemática para que os alunos reflitam sobre a sua compreensão da Matemática, estabeleçam conexões entre diferentes conceitos e clarifiquem os conceitos aprendidos. Com a escrita, os alunos conseguem desenvolver a sua capacidade de raciocínio e desenvolver a sua capacidade de comunicar as suas ideias/raciocínios/estratégias com os seu pares e professor. Freitas (2006, referido em Castro, 2014) declara que a escrita é uma poderosa ferramenta para o aluno construir o seu conhecimento, pois é através dela que o aluno transcreve para o papel os seus pensamentos e ideia, consolidando assim as aprendizagens. Reforça, ainda, que a escrita cria oportunidade ao aluno para refletir sobre a sua própria aprendizagem, “assumindo uma postura ativa no seu processo de aprendizagem, ou seja, fazendo uso de uma pedagogia construtivista” (Castro, 2014, p. 12). Castro (2014) refere que a transição do pensamento em palavras é uma das maiores dificuldades dos alunos, isto é, “a escolha das palavras, a organização das frases e o encadeamento de ideias” (p. 14) são alguns dos obstáculos que eles têm quando vão passar para o papel o que está no seu pensamento. A escrita matemática pode aparecer, em sala de aula, em vários contextos, como por exemplo, na resolução de um exercício ou um problema, na realização de uma exploração ou uma investigação e nas sistematizações de aprendizagens (Menezes, 2021). Na resolução de um exercício, há “pouco espaço para a criatividade” (Menezes, 2021, p. 13) porque os registos são muito padronizados, mas nos problemas e explorações os alunos têm mais oportunidade de serem criativos pois “os registos têm uma natureza mais divergente” (Menezes, 2021, p. 13). Em relação à escrita inerente à sistematização de aprendizagens, os registos são “frequentemente construídos pelos alunos com o apoio do professor, são registos organizados de definições, regras e procedimentos” (Menezes, 2021, p. 14). Através da escrita o professor consegue avaliar se o aluno consolidou as aprendizagens, pois através dos textos construídos pelo aluno, o professor percebe se o aluno compreendeu os conceitos matemáticos lecionados e que significados lhes foram atribuídos (Barbosa et al., 2008, referido em Castro, 2014). A obra Princípios para a ação (2017) vai de encontro ao referido anteriormente, salientam que as explicações e justificações dos alunos dão evidências sobre a 40 compreensão dos alunos sobre os conceitos estudados e reforçam que essas evidências “devem ser utilizadas na avaliação contínua e nas decisões de ensino” (NCTM, 2017, p. 54). Tendo em consideração a importância de escrever em Matemática, deve, então, ser implementada esta prática, em sala de aula, desde muito cedo para que os alunos se habituem a escrever (Boavida et al., 2008). No início os alunos começam por fazer desenhos e esquemas, mas a escrita surgirá progressivamente “à medida que as competências nesse domínio se vão desenvolvendo” (Boavida et al., 2008, p. 68). Ao implementar em sala de aula tarefas que envolvam a escrita está-se a proporcionar o desenvolvimento da comunicação escrita nos alunos. O professor deve incentivar os alunos a explicar como obtiveram a solução, que estratégia utilizaram e explicar o seu raciocínio (Boavida et al., 2008). Na sua explicação, os alunos podem recorrer a várias representações (materiais manipuláveis, tabelas, figuras, desenhos, diagramas, vocabulário, linguagem simbólica, etc.) para expor o seu raciocínio (Pires et al., 2018). É importante que, no momento de avaliação, o professor tenha em conta a coerência, a lógica e a clareza presente na justificação do aluno (Pires et al., 2017). Menezes (2021) refere que a escrita tem vários benefícios para o ensino da Matemática, sendo eles: - Desenvolve a compreensão matemática; - Promove a reflexão; - Incrementa a autoconfiança ao comunicar oralmente; - Produz registros para estudo; - Gera atitudes positivas em relação à Matemática; - Apoia a avaliação da aprendizagem da Matemática (pelo aluno e pelo professor). (p. 14) Existem várias formas de implementar a comunicação escrita em sala de aula. Menezes (2021) refere que vários autores (Martin et al., 2017; Morgan, 2002) apresentaram algumas estratégias, que são: “resolver problemas; descrever imagens; explicar por que razão algo funciona; descrever o que alguém fez; produzir reflexões; escrever histórias sobre Matemática; criar um jornal” (Menezes, 2021, p. 14) 2.4. Gallery Walk no ensino da Matemática A comunicação e a resolução de problemas são duas das capacidades transversais (DGE, 2007) que devem ser desenvolvidas ao longo da escolaridade. Há várias formas de as implementar no ensino da Matemática, e uma delas é a utilização da Gallery Walk . Atualmente, deparamo-nos com uma comunidade jovem muito sedentária e na escola os alunos passam a maioria do tempo 41 sentados. A Gallery Walk permite que os alunos se movimentem na sala enquanto vão observando os trabalhos dos seus colegas (Vale & Barbosa, 2018). A Gallery Walk é uma estratégia ativa de aprendizagem “que permite que os alunos, através de trabalho colaborativo, resolvam problemas, apresentem e discutam as suas resoluções em pósteres, localizados à volta da sala de aula” (Vale & Barbosa, 2020, p. 1). Através desta estratégia, os alunos têm oportunidade de receber um feedback do seu trabalho, tanto do professor como dos seus colegas, e podem partilhar com os seus colegas as suas estratégias e raciocínios (Vale & Barbosa, 2018). A partilha e discussão de estratégias, a capacidade de argumentar, a valorização dos argumentos dos colegas e a aprendizagem partilhada encontram-se diretamente associadas à Gallery Walk e vão ao encontro de algumas ações estratégicas de ensino destacadas pelas novas Aprendizagens Essenciais (DGE, 2021), como é possível verificar nas tabelas 2 e 9. Uma aprendizagem ativa é um método instrucional onde os alunos são envolvidos no processo de aprendizagem, ou seja, nesta abordagem metodológica o foco são os alunos e a atividade que eles desenvolvem (Prince, 2004, referido em Vale & Barbosa, 2018). Através da resolução de problemas pode-se assegurar uma aprendizagem ativa, se os alunos para além da apresentação dos procedimentos explicarem e justificarem o seu raciocínio. Esta explicação/justificação pode ser feita em discussão turma ou por escrito. Como referido nos Princípios para a ação (2017), para que ocorra um ensino eficaz da matemática, deve-se promover discussões, em sala de aula, entre os alunos para que haja uma partilha de ideias, argumentos e raciocínios e para elaborarem argumentos convincentes sobre as suas propostas de resolução, desenvolvendo assim a sua comunicação matemática. Com isto, a Gallery Walk é uma aprendizagem ativa que envolve a discussão, a comunicação escrita e a resolução de problemas. A aprendizagem ativa envolve três dimensões: social, intelectual e física (Vale & Barbosa, 2018). 42 Fonte: Vale e Barbosa (2018, p. 3) Na Gallery Walk , é apresentada uma tarefa que os alunos devem resolver, em grupo ou individualmente. Em grupo, os alunos devem pensar e discutir qual a melhor forma de resolver a tarefa e desseguida apresentam a resolução numa cartolina para que seja afixado nas paredes da sala de aula, como se fosse uma Galeria de Arte. Quando os trabalhos de todos os grupos estiverem expostos, os alunos irão analisar os trabalhos dos seus colegas. Enquanto vão vendo os trabalhos dos colegas, cada aluno tem a oportunidade de colocar questões e/ou comentários em post-its e colar na cartolina que estão a analisar. Após esta análise, os alunos irão recolher os seus trabalhos e, em grupo, vão refletir sobre as questões colocadas pelos seus colegas. Na fase final, o professor irá orientar uma discussão coletiva, onde cada grupo irá apresentar o trabalho e responder aos comentários com o objetivo de clarificar dúvidas ou erros apontados pelos colegas (Vale & Barbosa, 2018). Portanto, podemos considerar que a Gallery Walk pode ser dividida em seis etapas: Resolução da tarefa , Construção dos posters , Apresentação e Observação dos posters , Elaboração de comentários , Discussão em grupo e Discussão coletiva (Vale & Barbosa, 2018). As mesmas autoras referem que esta metodologia pode ser realizada num curto período de tempo (uma aula) ou pode ser realizada em várias aulas, conforme o objetivo do professor e a natureza da tarefa. Podemos notar que a Gallery Walk tem múltiplos benefícios (Vale & Barbosa, 2018), ou seja, os alunos: • Envolvem-se ativamente na atividade e circulam pela sala de aula (combatendo o sedentarismo); Figura 2: As três dimensões da Aprendizagem Ativa 43 • Têm “a oportunidade de contactar com diferentes ideias e/ou resoluções de toda a turma” (Vale & Barbosa, 2018, p. 4), o que permite um aumento do seu reportório de estratégias de resolução; • Envolvem-se na discussão, desenvolvendo assim a sua capacidade de comunicar matematicamente; • Têm oportunidade de fornecer e receber feedback escrito e oral dos seus colegas e professor, o que promove uma aprendizagem colaborativa. • Aprendem a trabalhar em grupo, desenvolvendo assim o pensamento crítico, a entreajuda e a comunicação matemática. Através da Gallery Walk os alunos envolvem-se numa dimensão intelectual (resolução da tarefa), numa dimensão social (trabalho colaborativo em pequenos grupos) e numa dimensão física (trabalho manual – construção do cartaz e movimento em sala de aula) (Vale & Barbosa, 2018). O momento de discussão deve ser bem planeado para que o professor esteja preparado “para saber quando deve intervir, quando deve questionar ou quando deve deixar que o debate flua” (Coelho, 2017, p. 47). Segundo Smith e Stein (2011, referido em NCTM, 2017), no momento da planificação da discussão coletiva, o professor deve: 1. Prever as respostas dos alunos, antes da aula 2. Verificar o trabalho e o comprometimento dos alunos nas tarefas 3. Selecionar determinados alunos para apresentarem o seu trabalho 4. Ordenar as respostas dos alunos para serem discutidas numa sequência específica 5. Relacionar entre si as diferentes respostas dos alunos e relacioná-las com ideias chave da matemática (NCTM, 2017, p. 30) Ao longo da discussão, é importante que o professor dê oportunidade ao aluno de falar, responder e questionar com a finalidade de promover uma aprendizagem conjunta, isto é, os alunos vão aprendendo uns com os outros (NCTM, 2017). No ponto de vista do aluno, os registos escritos são uma ferramenta muito importante para o momento de discussão, porque é através dela que ele organiza todos os seus argumentos para poder se expressar oralmente. Ao terem esse registo, os alunos sentem-se confiantes para apresentar o seu raciocínio, sendo que “podem desenvolver uma atitude mais positiva face à Matemática” (Menezes, 2021, p. 14). Para o aluno, a Gallery Walk promove uma partilha de ideias e pensamentos num ambiente menos formal e mais reservado e através desta metodologia têm a oportunidade de receber feedback do seu trabalho sem medo de represálias. Para o professor, esta metodologia 50 Tabela 10: Organização da Intervenção Pedagógica Supervisionada Data Duração Descrição 19/04/2021 50’ Realização da ficha de diagnóstico. 22/04/2021 100’ Introdução ao tópico: Função de Proporcionalidade Direta . Resolução de exercícios. 23/04/2021 50’ Divisão da turma em grupos. Resolução da ficha de trabalho 1. 26/04/2021 50’ Apresentação, no quadro, de um método de resolução da ficha de trabalho 1 através da Função de Proporcionalidade Direta . Resolução da ficha de trabalho 2, em grupos. 29/04/2021 100’ Resolução de um problema, sobre o tópico em estudo, em grupos, através da realização de uma Gallery Walk . 30/04/2021 50’ Discussão, em grupo turma, das várias estratégias utilizadas pelos alunos na resolução do problema definido para a aula anterior, dificuldades na resolução e análise de possíveis erros cometidos. 05/05/2021 100’ Realização da ficha formativa. 04/06/2021 50’ Realização do questionário. 3.2.2. Metodologias de ensino e aprendizagem O tema deste relatório tem como base o tópico Proporcionalidade Direta (PD), um conceito já conhecido dos alunos, sendo que no 7.º ano de escolaridade este conceito é associado à função linear definindo assim a Função de proporcionalidade direta. A segunda aula da intervenção foi dedicada à introdução do conceito de Função de Proporcionalidade direta (Anexo 8). Esta aula segue uma metodologia de ensino expositivo, também designado por método de ensino tradicional, onde o professor expõe o conteúdo programático oralmente aos alunos. Neste método o professor é considerado o “detetor do verdadeiro conhecimento” (Santos, 2014, p. 11) e os alunos os recetores desse conhecimento. O trabalho de grupo foi outra das estratégias aplicadas ao longo da intervenção pedagógica. Valente (2012) apresenta no seu trabalho duas metodologias diferentes envolvendo o Trabalho de Grupo, o Trabalho de Grupo organizado segundo os princípios da aprendizagem cooperativa e o Trabalho de Grupo Tradicional. A metodologia de ensino e aprendizagem implementada nestas aulas foi a primeira. Sobre o Trabalho de Grupo Tradicional , Valente (2012) refere que os elementos do grupo não são estimulados a pensar e a resolver as tarefas em conjunto, não existe entreajuda e partilha de ideias, ou seja, não são interdependentes; apenas um elemento do grupo é líder, isto é, é esse elemento que é responsável “pela condução do trabalho e pelos resultados 51 alcançados por todo o grupo” (Valente, 2012, p. 35); e os elementos do grupo têm tendência a trabalhar individualmente e não se importam com o trabalho dos restantes elementos. Nesta perspetiva o professor poucas vezes intervém e “não tem em atenção se o grupo está, ou não, a trabalhar positivamente” (Valente, 2012, p. 35). No Trabalho de Grupo em aprendizagem cooperativa, pretende-se que os elementos do grupo se preocupem com a aprendizagem e o desempenho dos colegas e com o seu próprio desempenho e aprendizagem, gerando assim uma “interdependência positiva” (Valente, 2012, p. 35). O professor fornece um feedback individual, a cada aluno, sobre o seu progresso com a finalidade que os restantes elementos do grupo o ajudem e incentivem. Os grupos são heterogéneos, isto é, os elementos de cada grupo apresentam características diferentes com o objetivo de que os alunos se apoiem uns aos outros e colaborem em conjunto na resolução das tarefas. Todos os elementos do grupo são líderes, por isso todos têm a responsabilidade no trabalho realizado e nos resultados obtidos. Nesta metodologia, procura-se que os elementos do grupo estejam unidos na aprendizagem para que exista uma aprendizagem conjunta. O professor tem um papel mais ativo nesta perspetiva, pois ele “observa e analisa os alunos, os problemas que estes manifestam ao trabalhar em conjunto e fornece feedback aos grupos quanto ao processo e ao produto que estes estão a conseguir obter de modo a que sejam capazes de ultrapassar os problemas com os quais se vão confrontando para poderem progredir” (Valente, 2012, p. 36). Após estas aulas práticas, realizou-se uma Gallery Walk que envolvia a resolução de um problema sobre a Função de Proporcionalidade Direta . Esta atividade foi realizada em duas aulas, numa aula de 100 minutos que está no anexo 9 e numa aula de 50 minutos que está no anexo 10. A turma foi dividida em grupos de 4 alunos. Na primeira aula foi entregue, a cada grupo, o problema (Anexo 4) que teriam que resolver em grupo e um postal (Anexo 5) com as fases da Gallery Walk . O postal foi pensado com a finalidade de que os alunos compreendessem todas etapas desta atividade. Quando os grupos terminaram a sua resolução e a colocaram na cartolina, foi indicado que os alunos colocassem a cartolina na parede, no local indicado, como se tratasse de uma Galeria de Arte. De seguida, os grupos foram comentar os trabalhos dos seus colegas. Esta fase, teve como objetivo que os alunos refletissem sobre a resolução dos colegas e comentassem os seus trabalhos. Esses comentários deveriam conter: dúvidas de algum passo realizado na resolução, opiniões, possíveis erros na resolução, conselhos sobre o trabalho, etc. Na segunda aula, foi o momento de discussão. Nesta aula, os alunos apresentaram os seus trabalhos e 52 responderam aos comentários apresentados. No momento de discussão, os grupos apresentaram o seu trabalho e responderam aos comentários e dúvidas dos colegas. 3.3. Estratégias de investigação e avaliação da ação Esta investigação assemelha-se a um estudo de caso, pois, de acordo com Ponte (1994), esta estratégia de investigação é caracterizada “como um estudo de uma entidade bem definida como um programa, uma instituição, um sistema educativo, uma pessoa, ou uma unidade social” (p. 3). Nesta investigação, a turma onde foi implementada a Intervenção Pedagógica é o caso em estudo. Nesta secção, serão apresentados os instrumentos de recolha de dados utilizados ao longo deste estudo para responder às questões de investigação propostas. Para além de apresentar os instrumentos, será ainda descrito o modo como foram analisados os dados recolhidos e como foram selecionados para a apresentação dos resultados. 3.3.1. Instrumentos de recolha de dados Ao longo da Intervenção Pedagógica, foram utilizados alguns instrumentos de recolha de dados que ajudaram a responder às questões de investigação deste estudo: observação e gravação das aulas, produções dos alunos, notas de campo, questionário. Observação e Gravação das aulas do Projeto A observação e gravação de aulas foram essenciais para responder às questões de investigação 1 e 2 e, foram também, um grande auxílio na planificação das aulas. Por exemplo, através das observações das aulas verificou-se que os alunos tinham pouco à vontade com a resolução de problemas. Com isto, implementou-se ao longo da intervenção várias fichas de trabalho com problemas com o objetivo de incentivar os alunos a ultrapassar esta barreira. A entreajuda entre colegas foi outro dos aspetos observados ao longo do ano letivo, aspeto que foi tido em conta na planificação das aulas. Todas as aulas tiveram gravação de áudio e vídeo, com as respetivas autorizações dos Encarregados de Educação (Anexo 11). Estas gravações foram muito importantes para as reflexões das aulas e serviram de auxílio para a planificação das aulas seguintes. Na aula em que se implementou a Gallery Walk foi colocado um gravador em cada grupo com a finalidade de analisar as discussões ocorridas em cada grupo sobre a resolução do problema apresentado e verificar se houve cooperação entre todos os elementos do grupo. 53 Produções dos alunos Ao longo da intervenção foram aplicadas algumas fichas com a finalidade de recolher as produções dos alunos para responder as questões de investigação 1, 2 e 3. Em seguida serão apresentadas as fichas implementadas e o respetivo objetivo de cada ficha. Ficha de diagnóstico: Na Intervenção Pedagógica, começou-se por aplicar uma ficha de diagnóstico (Anexo 1), constituída por vários exercícios, para aferir se os alunos tinham adquirido os pré-requisitos necessários para a introdução ao tópico Função de Proporcionalidade Direta . Esta ficha contém, também, problemas sobre Proporcionalidade Direta com a finalidade de analisar as possíveis dificuldades dos alunos na resolução de problemas e na comunicação escrita. As primeiras três tarefas envolvem o conceito de proporção e a propriedade fundamental das proporções. A ficha contém, ainda, uma tarefa onde os alunos terão que averiguar se existe proporcionalidade direta nas tabelas apresentadas e uma tarefa em que os alunos terão que completar uma tabela que representa uma situação de proporcionalidade direta. Com esta tarefa, pretendo analisar o modo como, os alunos, justificam que as grandezas são diretamente proporcionais e as dificuldades na comunicação escrita. Por fim, a ficha contém dois problemas que envolvem proporcionalidade direta , com o objetivo de averiguar: se os alunos, perante um problema, desistem facilmente de o resolver ou continuam até conseguir; se os alunos explicam os passos da resolução; e analisar a forma como os alunos escrevem as suas justificações e respostas. Ficha de trabalho 1 – Problemas : Como definido no Projeto de Intervenção Pedagógica, após a introdução do tópico em estudo propôs-se à turma a resolução de uma ficha de trabalho com problemas sobre Proporcionalidade Direta (Anexo 2). Esta ficha teve como objetivo incentivar os alunos a resolver problemas e a desenvolver a comunicação escrita. Com esta ficha, espera-se retirar ilações importantes para responder às questões de investigação 1 e 2. Ficha de trabalho 2 - Esta ficha de trabalho (Anexo 3) é constituída com dois problemas sobre Proporcionalidade direta e um exercício sobre o tópico em estudo de aplicação direta. Esta ficha teve como finalidade que os alunos consolidassem as suas aprendizagens e melhorassem a sua comunicação escrita com o apoio dos seus colegas de grupo. Gallery Walk : A recolha dos trabalhos teve como objetivo responder às questões 1 e 2, averiguar se os alunos apresentam e justificam os passos da resolução, verificar se apresentam uma resposta completa ao problema e analisar as estratégias apresentadas nos diferentes grupos. 54 Ficha Formativa : Na fase final da minha intervenção, implementou-se duas fichas formativas diferentes, uma mais acessível porque esta turma tem vários alunos com muitas dificuldades de aprendizagem – Versão A – e outra para os alunos com um nível de aprendizagem moderado e elevado – Versão B (Anexo 6). Estas fichas têm a finalidade de averiguar se houve ou não uma evolução na resolução de problemas e na comunicação escrita por parte dos alunos. Ao longo da análise é feita uma comparação entre esta ficha, a ficha diagnóstica e as fichas implementadas ao longo da Intervenção Pedagógica. A versão B é constituída por 7 questões, sendo as duas primeiras sobre Funções e as outras cinco sobre Função de Proporcionalidade Direta . A versão A é constituída por 6 questões, sendo as duas primeiras sobre Funções e as outras quatro sobre Função de Proporcionalidade Direta . A elaboração destas fichas, também, teve como objetivo avaliar as aprendizagens dos alunos sobre Funções e sobre Função de Proporcionalidade Direta . Para a construção deste Relatório Final, apenas se analisam as questões relativas à Função de Proporcionalidade Direta . Na Versão B, das questões que envolvem este tópico, três são exercícios de aplicação e dois são problemas. Na versão A, dois são exercícios de aplicação e dois problemas. Notas de campo Ao longo da intervenção a investigadora fez algumas anotações sobre algumas dúvidas apresentadas pelos alunos com o objetivo de as clarificar na aula seguinte. Estas anotações foram muito benéficas também para as planificações, pois através das dificuldades observadas adaptava as aulas seguintes para que estas fossem colmatadas. Por exemplo, na primeira aula que os alunos resolveram uma ficha com problemas verificou-se que os alunos tinham dificuldade em aplicar a Função de proporcionalidade direta nos contextos problemáticos. Com isto, na aula seguinte a investigadora começou a aula por resolver, em conjunto com a turma, no quadro os problemas da ficha de trabalho da aula anterior com essa função. As notas de campo, é um dos instrumentos que servirão de apoio para responder às questões 2 e 3. Questionário Para responder à terceira questão de investigação foi aplicado um questionário anónimo (Anexo 7) com o objetivo de perceber se os alunos consideram que a Gallery Walk os ajudou a desenvolver a capacidade de comunicação escrita e se esta metodologia de trabalho de grupo os ajudou a colmatar as suas dificuldades na resolução de problemas de Proporcionalidade Direta , com o apoio dos seus colegas e professora. Este questionário é composto por 10 questões e por 42 afirmações, divididas em três tópicos: apreciação das aulas, resolução de problemas e Gallery Walk . 55 No primeiro tópico, são apresentadas seis questões onde espero obter informações sobre a perspetiva dos alunos quanto às aulas lecionadas pela professora estagiária e sete afirmações sobre o que gostam nas aulas de matemática, no geral. O tópico dois é focado na resolução de problemas, onde se pretende averiguar as dificuldades que os alunos sentem ao resolver problemas, o que sentem quando estão a resolver problemas e quais as estratégias mais usadas pelos alunos na resolução de problemas sobre o tópico em estudo. A questão referente às estratégias de resolução será aproveitada para responder à primeira questão de investigação. No último tópico, apresento quatro questões sobre a Gallery Walk para averiguar se os alunos consideram que esta atividade os ajudou a colmatar as suas dificuldades na resolução de problemas e se os ajudou a desenvolver a capacidade de comunicação escrita. Na tabela 11, estão apresentados os instrumentos de recolha de dados que contribuíram para responder às questões de investigação deste estudo. Tabela 11: Instrumentos de recolha de dados para responder às questões de investigação Instrumentos Questões Observação e gravação de aulas Produções dos alunos Notas de campo Questionário Questão 1 ✓ ✓ ✓ Questão 2 ✓ ✓ ✓ Questão 3 ✓ ✓ ✓ 3.3.2. Análise de dados O tema e as questões de investigação deste estudo englobam três temáticas: Comunicação Escrita, Resolução de Problemas e o conteúdo programático – Proporcionalidade Direta. Como o Relatório tem uma dimensão limitada, foi realizada uma seleção das tarefas onde estava patente estas três características, com a finalidade de ter uma análise mais diversificada e completa. Na ficha de diagnóstico foram selecionados os exercícios 1, 3 e 5 e o problema 4. Nas fichas de trabalho 1 analisou-se o problema 2 e 3 e na ficha de trabalho 2 selecionou-se o problema 2 e a alínea d) do exercício 1 para averiguar a evolução dos alunos, em relação à escrita matemática. Na Ficha Formativa – Versão A, analisou-se o exercício 3.2. e o problema 6 e na Ficha Formativa – Versão B, analisou-se o exercício 3.1. e o problema 7. No fim será feito um balanço sobre a evolução dos alunos em relação à comunicação escrita e à resolução de problemas. 56 Quanto à análise da Gallery Walk , serão analisados os sete trabalhos dos alunos, com o objetivo de averiguar as estratégias utilizadas, as dificuldades dos alunos na resolução de problemas e verificar se os alunos descrevem e explicam a sua estratégia. Também, será avaliado o trabalho de grupo, através das gravações para perceber se os alunos cooperaram e entreajudaram ou se foi apenas um aluno a resolver o problema. O capítulo seguinte, denominado por Apresentação de Resultados será dividido em seis secções. Quatro destas secções são referentes à análise das fichas apresentadas ao longo da intervenção, outra dessas secções diz respeito à análise do questionário e na última será destinada à evolução dos alunos, ao longo da intervenção, na resolução de problemas e na comunicação escrita. Na apresentação dos resultados da análise das fichas será apresentada as estratégias utilizadas pelos alunos nos vários problemas analisados, as dificuldades dos alunos na resolução de problemas e será avaliada, também, a comunicação escrita dos alunos na apresentação da resolução do problema. 57 CAPÍTULO IV APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos através da análise dos dados recolhidos ao longo da intervenção pedagógica. Este capítulo será dividido em seis secções. A intervenção pedagógica começou com a realização de uma ficha de diagnóstico com o objetivo de analisar os pré-requisitos, as dificuldades detetadas na resolução de problemas e na comunicação escrita. Por isso, a primeira secção terá a apresentação dos resultados dessa análise. Na segunda secção, serão apresentados os resultados da resolução de duas fichas de trabalho realizadas após ter sido lecionado o tópico Função de Proporcionalidade Direta . A terceira secção será centrada na atividade Gallery Walk , onde será exposto o trabalho dos grupos e a análise da atividade. Nesta análise será explorada a interação dos alunos na resolução do problema proposto e na construção do cartaz, as dificuldades sentidas pelos alunos na sua resolução, as dificuldades na escrita, o tipo de feedback dos alunos aos trabalhos dos colegas e a discussão realizada após a exposição dos trabalhos. Na fase final da intervenção pedagógica foi realizada uma ficha formativa com o intuito de analisar a evolução dos alunos relativamente à consolidação das aprendizagens, à resolução de problemas e comunicação escrita e, ainda, verificar se as dificuldades dos alunos foram colmatadas. Esta análise será apresentada na quarta secção deste capítulo. Na secção cinco, será exposto a perceção dos alunos sobre a atividade Gallery Walk , relativamente à sua evolução pessoal na comunicação escrita e na resolução de problemas. E, na secção final, será feito um balanço sobre a evolução dos alunos relativamente às dificuldades na resolução de problemas, estratégias de resolução e comunicação escrita. 4.1. Secção 1: Ficha de diagnóstico Com a ficha de diagnóstico pretendia-se averiguar as aprendizagens dos alunos sobre a Proporcionalidade Direta e sobre uma propriedade importante para a compreensão deste tópico, a Propriedade Fundamental das Proporções (PFP). Com isto, será apresentado os resultados obtidos na análise feita à questão 1 relativamente à comunicação escrita e à apreensão desta propriedade. 58 Questão 1 Nesta questão a maioria dos alunos resolveram corretamente, cinco não responderam e três resolveram incorretamente. O Leonardo e o Lourenço (Figura 5) utilizaram a soma em vez da multiplicação, o que demonstra que não apreenderam esta propriedade. Através da resolução do Leonardo verifica-se que o aluno não leu corretamente o enunciado, porque respondeu que “não tem proporcionalidade direta” e a questão solicitava que se demonstrasse que a proporção verificava a PFP. Isto demonstra que o conceito não foi corretamente apreendido. Este mesmo erro ocorreu com mais quatro alunos. Já a Lorena (Figura 6) na sua resolução fez a divisão do numerador pelo denominador em vez de utilizar a PFP. Verifica-se que a aluna não identificou que era aplicável, pois não a aplicou nesta tarefa. Relativamente à resposta, a maioria dos alunos não responderam o que revela que não estão habituados a apresentar respostas às tarefas. Um aluno respondeu que se verificava a propriedade fundamental das proporções, mas não explicou o raciocínio. Três alunos apresentaram uma resposta completa, sendo que explicaram o porquê de a proporção verificar a PFP. Através das figuras 7, 8 e 9 verificamos que esses três alunos compreenderam a PFP e conseguiram Figura 4: Questão 1 - Ficha de diagnóstico Figura 5: Resolução do Lourenço e resolução do Leonardo à questão 1 Figura 6: Resolução da Questão 1 da Lorena 59 explicar o seu raciocínio, exceto o Jorge (figura 9) que não explicou quais são as “multiplicações que dão o mesmo valor”. Questão 3 Com a questão 3 pretende-se verificar quais as estratégias que os alunos usam para descobrir o valor de x. Nesta questão a maioria dos alunos recorreram à “regra de três simples”, no entanto, três alunos resolveram por um método diferente. Na resolução do Daniel (Figura 11) verifica-se que o aluno considerou o “fator escalar” (Hart, 1983, referido em Silvestre & Ponte, 2009). O aluno percebeu que o denominador se alterou através da divisão por 6 (42:6=7), e aplicou a mesma divisão no numerador, descobrindo assim a incógnita. Figura 7: Resposta à questão 1 do Miguel Figura 8: Resposta à questão 1 da Luíza Figura 9: Resposta à questão 1 do Jorge Figura 10: Questão 3 - Ficha de diagnóstico Figura 11: Resolução da Questão 3 do Daniel 66 Problema 3 Neste problema a “Regra de três simples” foi a estratégia mais utilizada pelos grupos, sendo que um grupo optou por uma estratégia diferente. Surgiram duas resoluções diferentes usando a “Regra de três simples”. Alguns grupos optaram por aplicar os 4% e outros optaram por colocar na regra de três simples o 104%, porque como a gasolina aumentou 4% então adicionaram essa percentagem aos 100% (percentagem antes do aumento). Os Grupos 2, 6 e 7 resolveram utilizando o 4% como vemos, por exemplo, na figura 30, isto é, pela regra de três simples perceberam que a gasolina aumentou 0,060€ e depois adicionaram esse valor ao preço inicial e descobriram o preço após a subida de 4%. Constatou-se que o grupo 2 não fez o arredondamento corretamente, pois o valor exato era 1,58392€ e arredondando com três casas decimais ficaria 1,584. No Grupo 4 (Figura 31) enganaram-se nos cálculos, pois o valor do aumento deu 60, 92€. O grupo não percebeu que este aumento não fazia sentido e não adicionaram este valor ao preço anterior. Pode-se concluir que o grupo não compreendeu o que estava a determinar. Figura 29: Questão 3 - Ficha de trabalho 1 Figura 30: Resolução do problema 3 do grupo 2 Figura 31: Resolução do problema 3 do grupo 4 67 Os grupos 1 (figura 32) e 5 (figura 33) optaram por utilizar o 104%, ou seja, adicionaram 4% aos 100% e determinaram o valor da gasolina através da “Regra de três simples”. No entanto, apenas o grupo 5 tem a resolução correta pois o grupo 1 cometeu um erro de arredondamento. O Grupo 3 (figura 34) optou por uma estratégia diferente, determinou quanto seria 4% do preço inicial e, depois adicionou esse valor ao preço inicial e, assim, descobriram o preço da gasolina após o aumento. Na ficha de trabalho 2 foi analisada a alínea d) da tarefa 1 com o propósito de avaliar a comunicação escrita dos alunos e o problema 2 para averiguar quais as estratégias utilizadas pelos alunos e verificar se os alunos, após a introdução da Função de Proporcionalidade Direta , a utilizam para resolver os problemas propostos. Figura 32: Resolução do problema 3 do grupo 1 Figura 33: Resolução do problema 3 do grupo 5 Figura 34: Resolução do problema 3 do grupo 3 68 Tarefa 1 – alínea d) Todos revelaram algum conhecimento do conceito na sua justificação. Alguns alunos apresentaram uma resposta pouco clara como a ilustrada na figura 36, em vez de “valores de y”, deviam ter colocado “valores da variável y” (de igual modo para os “valores de x”). Três grupos (Grupos 1, 2 e 3) destacaram-se com uma resposta completa e correta como a apresentada na figura 37. Com isto, pode-se afirmar que os elementos destes grupos compreenderam o conceito de Função de Proporcionalidade Direta . No entanto, dois grupos, o 4 e o 5, não apresentaram uma resposta correta. O Grupo 5 (figura 38) não justifica porque é que a função é de proporcionalidade direta, apenas apresentam a constante e o Grupo 4 (Figura 39) afirma que não é função de proporcionalidade direta, o que demonstra que os elementos destes grupos não assimilaram corretamente o conceito de Função de Proporcionalidade Direta . (…) Figura 35: Questão 1. d) - Ficha de trabalho 2 Figura 36: Resposta à alínea d) do grupo 7 Figura 37: Resposta à alínea d) do grupo 3 Figura 38: Resposta à alínea d) do grupo 5 Figura 39: Resposta à alínea d) do grupo 4 69 Problema 2 No início da aula em que esta ficha foi aplicada, a professora estagiária apresentou, no quadro, um método de resolução utilizando a Função de Proporcionalidade Direta nos problemas da ficha de trabalho 1. Após a análise do problema 2 da ficha de trabalho 2, verificou-se que o Grupo 5 aplicou esta estratégia na sua resolução (figura 41), o que revela que compreenderam a explicação. Os restantes grupos optaram pela “Regra de três simples” para resolver o problema proposto, sendo que o grupo 1 se destacou por uma resolução diferente, determinando 80% do preço em vez de 20 %. Os Grupos 2, 3, 4, 6 e 7 optaram pelo método exemplificado na figura 42, determinaram quanto é 20% de 20€ e, de seguida subtraíram esse valor ao preço inicial. O Grupo 1 (Figura 43), como referido acima, subtraiu 20% aos 100%, pois tratava-se de um desconto, e depois utilizaram a “Regra de três simples” para determinar o preço com desconto. Figura 40: Questão 2 - Ficha de trabalho 2 Figura 41: Resolução do problema 2 do grupo 5 Figura 42: Resolução do problema 2 do grupo 4 70 Constata-se, após a análise destas duas fichas, que os alunos escolhem a “Regra de três simples”, maioritariamente, para resolverem os problemas que envolvam a Proporcionalidade Direta . Também, notou-se que os alunos utilizaram pouco a escrita matemática, isto é, apenas a utilizaram para responder aos problemas. Esperava-se que os alunos explicassem o raciocínio por escrito, mas os alunos apenas apresentaram os cálculos necessários para a solução do problema. 4.3. Secção 3: Gallery Walk A Gallery Walk foi desenvolvida em duas aulas, a primeira foi a resolução do problema, a exposição dos trabalhos de grupo e o feedback dos alunos relativamente aos trabalhos dos restantes grupos; a segunda aula foi dedicada à discussão dos Trabalhos. Sendo assim nesta secção serão apresentados os resultados dos diferentes momentos da Gallery Walk : trabalhos de grupo (cartazes), gravações e feedback dos alunos na discussão coletiva. Figura 43: Resolução do problema 2 do grupo 1 Figura 44: Problema da Gallery Walk 71 Trabalhos de Grupo – Cartazes Durante a construção dos cartazes, todos os elementos de cada grupo se empenharam, tendo cada um uma tarefa diferente. Através da análise das Gravações áudio e vídeo, verificou-se que cada grupo dividiu tarefas pelos elementos do grupo quanto à elaboração dos cartazes. A estratégia utilizada pela maioria dos grupos foi a “Regra de três simples”, no entanto, dois grupos optaram por métodos diferentes, um grupo (Grupo 6) utilizou a Função de Proporcionalidade Direta e o outro grupo (Grupo 3) aplicou as percentagens na sua resolução. Nas resoluções dos Grupos que utilizaram a “Regra de três simples” surgiram dois métodos diferentes de resolução do problema. Como vemos na figura 46, o Grupo 1 utilizou a “Regra de três simples”, sendo que encontrou, em primeiro lugar, o preço do Smartphone após o aumento de 10% (110%) e, de seguida, calculou o preço final do Smartphone após o desconto de 10% (90%). Verifica-se que o grupo compreendeu que o valor que iria sofrer o desconto era o preço após o aumento de 10%. O grupo não apresentou uma resposta completa, pois falta justificar o erro cometido e, também, não explicaram o raciocínio por detrás da resolução apresentada. Figura 45: Imagens do trabalho de grupo 72 O Grupo 5 optou pela mesma estratégia do Grupo 1, não explicaram o seu raciocínio e a sua resposta apresenta um erro, “10% de 220€ era 198€” (Figura 47). Verifica-se que os alunos perceberam qual foi o erro do comerciante, mas não conseguiram explicar corretamente o seu raciocínio. O Grupo 2 (figura 48), também escolheu a “Regra de três simples” na sua resolução, mas com um raciocínio diferente. Este grupo optou por calcular 10% do preço inicial e adicionar esse valor ao preço do Smartphone , e de seguida determinou quanto seria 10% do preço do Smartphone após o aumento e retirou esse valor ao preço após o aumento. O grupo compreendeu qual foi o erro do comerciante, no entanto a explicação apresentada não está correta porque não justificam que os 10% que se retirou do preço do Smartphone seria do preço após o aumento. Neste trabalho, também falta a explicação dos passos da resolução. Figura 46: Cartaz do Grupo 1 Figura 47: Cartaz do Grupo 5 73 O Grupo 4 (figura 49) utilizou a mesma estratégia que o Grupo 2, no entanto tiveram o cuidado de apresentar, de forma mais organizada a sua resolução. A resposta está incompleta e os alunos não explicaram o seu raciocínio por escrito, apenas apresentaram os cálculos. Neste trabalho verificamos dois erros que são: “200€+10%=?” e “220%-10%=?”. Verifica-se que o grupo compreendeu que é 10% do preço do Smartphone mas devia estar referido isso, por exemplo: “10% do preço inicial” e “10% do preço após aumento”. Continuando na mesma estratégia, temos o Grupo 7 (Figura 50), que apresentou a resolução de forma organizada e a justificação correta e completa, pois responde às questões do problema e explica o raciocínio de forma clara. Este grupo, também, identificou inicialmente os dados do problema, o que demonstra uma boa organização na resolução do problema. Figura 48: Cartaz do Grupo 2 Figura 49: Cartaz do Grupo 4 74 O Grupo 3 (figura 51) foi o único grupo que explicou todos os passos, mas apresentaram uma resposta incompleta porque apenas referem quem tem razão e não explicam o porquê. Este grupo também se distinguiu por uma resolução diferente, já que optaram por determinar os 10% de 200€ e os 10% de 220€ sem recorrer à “Regra de três simples”. O Grupo 6 (figura 52) utilizou a Função de Proporcionalidade Direta , apresenta os passos corretamente e a resposta está completa e correta. Verifica-se que os alunos compreenderam o tópico lecionado nas aulas anteriores e conseguiram aplicar num problema que envolvia a Proporcionalidade Direta. Figura 50: Cartaz do Grupo 7 Figura 51: Cartaz do Grupo 3 75 Após esta análise podemos constatar, que os Grupos 1, 2, 4 e 5 têm pouca habilidade na comunicação escrita e têm algumas dificuldades em explicar o seu raciocínio. Já Grupo 3 não tem dificuldade em explicá-lo, por escrito. Os Grupos 6 e 7 foram os únicos que apresentaram uma resposta correta e conseguiram explicar o erro do comerciante. Trabalho de Grupo – Gravações Através das Gravações áudio e vídeo foi possível verificar que em todos os grupos, exceto um, os elementos cooperaram e colaboraram uns com os outros. No geral, todos os grupos trabalharam em equipa e entreajudaram-se e quando alguém tinha dificuldades em compreender, os outros elementos do grupo esforçavam-se para explicar o raciocínio por detrás da resolução do problema. No entanto, no grupo 6 tal não ocorreu, porque apenas um elemento resolveu o problema. Através das Gravações verifica-se que esse elemento se esforçou para explicar o problema e como resolver, mas os restantes elementos não mostraram interesse em ouvir nem em compreender. Apenas no momento de expor o trabalho na cartolina, todos os elementos desse grupo cooperaram e participaram. Uma das dificuldades antecipadas pela investigadora, era de os alunos não compreenderem que o desconto de 10% incidia sobre o aumento, dificuldade que ocorreu no Grupo 3. Este Figura 52: Cartaz do Grupo 6 82 Em relação às adições sucessivas, apenas um aluno a aplicou neste problema tal como é ilustrado na figura 64. Na figura 65, verificamos que há uma falta de compreensão sobre a natureza multiplicativa que envolve a relação de proporcionalidade. Através da figura 65, verifica-se que o aluno adicionou 15 aos 45 litros, 15 aos 60 litros e 15 aos 75 litros, logo não compreendeu que se os minutos duplicam então os litros duplicam também. Com isto, podemos constatar que há uma falta de compreensão relativamente à noção de covariância apresentada por Lamon (2020). Este aluno não apresentou os cálculos que efetuou e não explicou o seu raciocínio. No geral, conclui-se que a “Regra de três simples” continua a ser a estratégia mais aplicada em detrimento da Função de Proporcionalidade Direta . Relativamente à comunicação escrita, os alunos apenas redigiram a resposta aos problemas e na questão onde era solicitado que justificasse se a tabela representava ou não uma Função de Proporcionalidade Direta , apenas dez alunos registaram uma resposta correta e completa. Figura 63: Resolução do problema 7 da Frederica Figura 64: Resolução do problema 7 do Lourenço Figura 65: Resolução do problema 7 do Daniel 83 4.5. Secção 5: Questionário O primeiro tópico deste Questionário diz respeito à opinião dos alunos, relativamente às aulas lecionadas pela professora estagiária. Apenas quatro alunos não responderam na secção destinada a escrever a sua opinião. Sobre a postura da mesma ao longo das aulas, os alunos referiram que “as aulas foram boas e a professora explica bem”, “são muito divertidas, são bem explicadas e aprendemos super bem” e “deu para entender a matéria”. Acerca do Trabalho de Grupo (TG), catorze alunos referiram que “o trabalho de grupo foi bom” e “foi divertido e interessante”; três alunos afirmaram que esta metodologia os ajudou a aceitar a opinião dos colegas – “ajudou-me a aceitar as respostas dos meus colegas”; e sete revelaram que aprenderam com os colegas e aprenderam a trabalhar em equipa – “Foi muito bom porque a gente trabalhou em conjunto”, “deu para apender com os meus colegas” e “aprendemos a resolver muito melhor em conjunto”. Todos os alunos afirmaram que gostaram de trabalhar em grupo. Sobre a compreensão do tópico Função de Proporcionalidade Direta e o Trabalho de Grupo, quinze alunos mencionaram que o TG os ajudou a compreender melhor este tópico, porque com o apoio dos colegas, a colaboração e com a troca de ideias conseguiram ultrapassar as dificuldades relativamente ao tópico lecionado, por exemplo, “havia coisas que eu não entendi e os meus colegas de grupo me ajudaram”, “consegui ver o ponto de vista dos meus colegas em relação à proporcionalidade direta” e “em grupo temos a ajuda dos colegas e também podemos trocar opiniões de como resolver os problemas”. E nove alunos apenas responderam “sim” à pergunta “Consideras que o trabalho de grupo te ajudou a compreender a Função de Proporcionalidade Direta?”. Todos os alunos afirmaram que este tópico ficou bem compreendido. Sobre a questão “Nas aulas de Matemática gosto quando:” (questão de opção), dezassete alunos indicam que gostam do momento em que o professor expõe a matéria, doze alunos assinalaram a opção “o professor propõe a resolução de exercícios” e vinte e seis alunos referem que gostam do trabalho em grupo. Ainda nas questões de opção, no tópico referente à Resolução de problemas, vinte e quatro alunos afirmaram que quando estão a resolver problemas gostam da sensação de desafio e cinco alunos referiram que sentem ansiedade. Quando estão a resolver problemas, vinte e cinco alunos afirmaram que, tentam ler o enunciado várias vezes até compreendê-lo, vinte e um referiram que apontam os dados mais importantes, vinte e cinco alunos revelaram que verificam a resposta após a resolução e vinte e dois alunos confirmam que justificam o seu raciocínio. Relativamente às dificuldades “no momento de resolver problemas”, doze alunos indicam que têm dificuldades em pensar numa estratégia para resolvê-lo, treze têm dificuldade na execução dessa 84 estratégia, dezassete na explicação dos passos da resolução e doze alunos no modo de iniciar a resolução do problema. Vinte alunos referem que sentem essas dificuldades, porque têm falta de confiança nas suas capacidades e quinze alunos indicam que têm pouca prática na escrita matemática. Visto que o TG esteve muito presente na Intervenção Pedagógica, uma das questões de opção, deste questionário era direcionado para a resolução de problemas em grupo. Vinte e dois alunos consideram que todos os elementos do grupo colaboraram na resolução de problemas, vinte e um afirmam que o TG permitiu que os colegas de trabalho se ajudassem uns aos outros, vinte e cinco consideram que foram encorajados pela professora a resolver problemas e vinte e três referiram que tiveram apoio da professora na reflexão sobre o modo de resolver os problemas. Sobre as estratégias implementadas na resolução dos problemas, vinte alunos referiram que utilizam a “Regra de três simples” e dez afirmaram que aplicavam a “Construção de tabelas”. Nove alunos indicaram a “Função de Proporcionalidade Direta” como uma das estratégias que mais utilizavam. Na secção sobre a Gallery Walk , a maioria dos alunos referiram que o TG foi muito importante: “ajudamos os colegas com mais dificuldades”, “os membros do meu grupo ajudaram-me quando tive dúvidas”, “partilhamos ideias”, “ajudou-nos a perceber melhor a matéria”, “aprendemos a respeitar os nossos colegas”, “para compreender o ponto de vista dos outros” e “em grupo aprendemos mais e discutimos o problema”. Sobre as vantagens, os alunos apresentam os mesmos argumentos enumerados acima, e sobre as desvantagens, apenas referem que alguns elementos do grupo não cooperaram – “alguns elementos do grupo trabalham e outros não” e “uns trabalharam mais que outros”. Sobre a discussão, dezoito alunos referem que acham este momento benéfico: “aprendi com os meus erros e os dos colegas”, “conhecer novas formas de resolver os problemas”, “os meus erros e dos meus amigos foram esclarecidos pela professora”, “aprendemos mais”, “sabemos a opinião dos outros” e “se não percebermos uma coisa a stora explica”. Seis alunos não responderam a esta questão. Relativamente à comunicação escrita, todos os alunos afirmaram que esta atividade os ajudou a melhorar a sua capacidade de escrever, mas apenas dois alunos referiram o porquê: “aprendi a justificar melhor as minhas respostas” e “aprendi a explicar o que estou a fazer no problema”. Resumindo, podemos afirmar que, no geral, os alunos gostaram de trabalhar em grupo, consideram que foi benéfico para eles trabalhar com os colegas pois aprenderam uns com os outros e ajudaram quem tinha mais dificuldade. Ao longo deste questionário, também é notório 85 que os alunos consideram que a Gallery Walk os ajudou a melhorar a sua escrita matemática e a resolver problemas . 4.6. Secção 6: Evolução Nesta secção será explicada a evolução dos alunos na resolução dos problemas, as diferentes estratégias que os alunos utilizaram ao longo da Intervenção Pedagógica e a evolução da comunicação escrita dos alunos. 4.6.1. Diferentes estratégias de resolução Tendo em consideração que as fichas de trabalho 1 e 2 e o trabalho realizado na Gallery Walk foram resolvidas em grupos e as restantes fichas foram resolvidas individualmente, será de seguida apresentado, na tabela 12, um balanço das estratégias aplicadas pelos alunos ao longo da intervenção. Tabela 12: Balanço das estratégias utilizadas pelos alunos Produções dos alunos Estratégias Ficha de diagnóstico Ficha de Trabalho 1 Ficha de Trabalho 2 Gallery Walk Ficha Formativa Questionário Razão unitária - - - - - - Fator escalar 4 - - 1 10 - Comparação das razões - - - - - - Algoritmo do produto cruzado 15 9 7 5 23 15 Estratégia da interpretação gráfica - - - - - - Building-up - - - - 4 - Diferença constante - - - - - - Função de Proporcionalidade Direta - - 1 1 - 5 Construção de tabelas 2 - - - 3 8 Total 21 9 8 7 40 28 Os números apresentados na tabela representam o número de vezes que essa estratégia foi aplicada na ficha em questão. Os alunos foram utilizando diferentes estratégias de resolução o que demonstra que aprenderam diferentes estratégias com os colegas. É de salientar que apenas dois grupos (Grupo 5 na ficha de trabalho 2 e grupo 6 na Gallery Walk ) aplicaram a Função de Proporcionalidade Direta . Este facto pode significar que esta estratégia pode não ter sido compreendida por todos os alunos. 86 4.6.2. Comunicação escrita Ao longo da análise das várias fichas apresentadas aos alunos, observou-se uma pequena evolução da capacidade de comunicação escrita dos alunos. Para evidenciar a evolução dos alunos na comunicação escrita, optou-se por apresentar a resposta à questão 6. b) da ficha de diagnóstico e a resposta à questão 3.1. (versão B) da ficha formativa. Por exemplo, na figura 66 encontra-se as respostas a essas duas questões onde se verifica que a aluna melhorou a escrita, mostrando as suas ideias de forma mais clara e coerente. Através da figura 66, consegue-se verificar que a aluna apurou a sua construção frásica, ou seja, responde de forma correta à questão indicada e explica o seu raciocínio corretamente e apresentou uma resposta completa, identificando a constante (o que não aconteceu na questão 6.b). Esta progressão foi visível em mais seis alunos. Em relação à figura 67, observa-se que a aluna desenvolveu a sua comunicação escrita, pois, na questão 6.b) da ficha diagnóstico (anexo 1) justificou-se apenas com cálculos e na questão 3.2. (versão A) da ficha formativa (anexo 6) explicaram através de texto o seu raciocínio de forma clara. Houve mais cinco alunos onde foi possível notar este progresso (figura 67). No entanto, houve um aluno que se destacou bastante no que toca ao desenvolvimento da escrita matemática, esse aluno foi o Filipe (Figura 68). Este aluno, no início da intervenção tinha dificuldade em explicar o seu raciocínio, esta dificuldade observou-se na ficha de diagnóstico. Ao longo das aulas, o aluno foi solicitando o apoio da investigadora e com esse apoio melhorou bastante, ao ponto de apresentar uma resposta clara e coerente. Com esta evolução, pode-se constatar que o aluno compreendeu o tópico em estudo e desenvolveu a sua escrita matemática. Figura 66: Resposta à questão 6.b) - Resposta à questão 3.1. [Laura] Figura 67: Resposta à questão 6.b) - Resposta à questão 3.2. [Adriana] 87 Em relação aos restantes alunos, a evolução foi mais leve, sendo que dois dos alunos continuam com dificuldades na explicitação escrita do seu raciocínio. Na tabela 13 será demonstrada a evolução dos alunos na explicitação das resoluções dos problemas. Com isto, é possível observar que houve uma pequena evolução em relação à explicitação do raciocínio. Tabela 13: Evolução sobre a explicitação da resolução de problemas Produções dos alunos Resolução de problemas Ficha de diagnóstico (individual) Ficha de Trabalho 1 (Grupos) Ficha de Trabalho 2 (Grupos) Gallery Walk (Grupos) Ficha Formativa (individual) Identificação dos dados 0/28 0/7 0/7 1/7 10/28 Apresentação das etapas 6/28 5/7 6/7 7/7 16/28 Apresentação dos cálculos 18/28 7/7 7/7 7/7 23/28 Justificação 1/28 1/7 1/7 1/7 5/28 Apresentação da resposta 21/28 7/7 7/7 7/7 17/28 Figura 68: Resposta à questão 3.1. do Filipe 88 CAPÍTULO V CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES Este capítulo encontra-se dividido em três subcapítulos, sendo a primeira dedicada às conclusões deste estudo e nas duas últimas secções são apresentadas as implicações, recomendações e limitações do estudo. 5.1. Conclusões Neste subcapítulo serão apresentadas as respostas às questões de investigação em conformidade com os resultados obtidos. 5.1.1. Questão 1: Quais as estratégias utilizadas na resolução de problemas de proporcionalidade direta? Que dificuldades sentem? No enquadramento teórico foram abordadas as várias estratégias de resolução de problemas sobre Proporcionalidade Direta apresentadas por alguns autores. Através dos dados recolhidos pelas várias fichas e pelo questionário, foi construída a tabela 12 com a finalidade de expor as estratégias que os alunos utilizaram na resolução de problemas sobre o tópico em estudo. Ao longo da intervenção, verificou-se que vários alunos recorriam a tabelas na resolução de problemas sobre proporcionalidade direta quando aplicavam a estratégia fator escalar (Tabela 12). Através da tabela 12 observa-se que o algoritmo do produto cruzado foi a única estratégia que esteve presente em todas as fichas aplicadas ao longo da intervenção. Cramer et al. (1993, referido por Viegas, 2018) declararam que a razão unitária era uma das estratégias mais utilizadas pelos alunos, o que não se verificou neste estudo, pois nenhum aluno a aplicou em nenhum problema. Mas, os mesmos autores afirmam que isto apenas ocorre quando os alunos não têm conhecimento da estratégia do algoritmo do produto cruzado . Como se observa na tabela 12 esta foi a estratégia mais utilizada ao longo da intervenção, o que pode demonstrar que os alunos estão mais à vontade com esta estratégia, indo assim ao encontro do que Menduni-Bartoli e Barbosa (2017) referem: o algoritmo do produto cruzado ou regra de três simples é apresentada aos alunos de forma prioritária no ensino da proporcionalidade direta. Observa-se, também, que o fator escalar foi a estratégia em que se verificou uma maior evolução ao longo da intervenção, pode significar que os alunos compreenderam a relação multiplicativa de medidas inerente à proporcionalidade direta (Cramer et al., 1993, referido em Viegas, 2018). Em relação ao Building-up e à Função de Proporcionalidade Direta observa-se que foram utilizadas isoladamente, isto é, o Building-up foi aplicado apenas na ficha formativa e a Função de Proporcionalidade Direta foi aplicado na ficha de trabalho 2 e na Gallery Walk . Com isto, podemos concluir que ao longo da intervenção os alunos 89 recorreram a diversas estratégias na resolução de problemas de proporcionalidade direta: Algoritmo do produto cruzado , fator escalar , building-up , Função de Proporcionalidade Direta e construção de tabelas . Através das produções dos alunos e das gravações constatou-se que uma das dificuldades mais sentidas pelos alunos no momento de resolver problemas diz respeito à compreensão do enunciado, ou seja, apresentam uma falta de domínio da língua materna e têm dificuldades em compreender o contexto apresentado no problema. Verificou-se, também, que alguns alunos sentem dificuldade em compreender se a situação apresentada no problema envolve ou não proporcionalidade direta. No questionário, a maioria dos alunos referiram que sentem dificuldades em planear uma estratégia e executá-la. Com isto, verifica-se que estas dificuldades vão ao encontro das apresentadas pelo Costa e Ponte (2008) e por Silvestre (2012). 5.1.2. Questão 2: Como explicitam os alunos as resoluções de problemas de proporcionalidade direta? Que dificuldades sentem na escrita? No início da intervenção poucos eram os alunos que apresentavam uma resposta completa ao problema, apenas um aluno explicou o seu raciocínio. Em relação à “Apresentação da resposta” observa-se um pequeno decréscimo, mas é de salientar que na ficha de diagnóstico a maior parte dos alunos apresentaram apenas a solução do problema, enquanto na ficha formativa houve menos alunos a responder, porém a resposta apresentada era completa e clara. Pela tabela 13, observa-se que a maior parte dos alunos no início da intervenção, perante um problema, apresentavam apenas os cálculos e a resposta ao enunciado. Já na ficha formativa, constata-se que evoluíram na forma como explicitam a resolução do problema: Identificam os dados, apresentam as etapas de resolução, os cálculos e uma resposta completa. Sobre a “apresentação das etapas” verifica-se que ao longo da intervenção alguns alunos começaram a apresentar as etapas do problema. Quanto à “identificação dos dados”, no início da intervenção todos os alunos não identificavam os dados do problema, sendo que na ficha formativa (final da intervenção) 10 alunos identificaram-nos. Através das produções dos alunos foi possível identificar algumas dificuldades, dos alunos, na escrita. Uma delas diz respeito à construção frásica, por outras palavras, os alunos apresentam justificações pouco coerentes por causa do pouco domínio sobre os conceitos matemáticos. Esta dificuldade, também poderá estar associada à falta de domínio da língua materna, ou seja, os alunos têm pouca aptidão em converter as suas ideias em palavras e apresentam pouca destreza em estabelecer ligações entre o próprio conhecimento e o que se pretende justificar. Ao longo das 90 aulas, foi possível verificar que alguns alunos sentiram muita dificuldade em explicar textualmente a sua estratégia e as etapas de resolução, porque, segundo eles, não conseguiam explicar sem ser através dos cálculos. Alguns alunos responderam incorretamente às tarefas por não terem interpretado corretamente o enunciado. Ao longo do questionário, houve vários alunos que referiram que sentiram dificuldades na escrita matemática, por terem falta de confiança em si e por terem pouca prática na transcrição das suas ideias para texto. 5.1.3. Questão 3: Na perspetiva dos alunos, qual o contributo do trabalho realizado através da GW para a evolução da comunicação escrita? Para a compreensão da Proporcionalidade direta? Os alunos partilharam a sua perspetiva sobre a Gallery Walk no questionário apresentado no final da intervenção. A maioria dos alunos referiram que no TG, os colegas colaboravam uns com os outros e apoiavam-se nos momentos de maiores dificuldades. Muitos deles referiram, ainda, que quando um colega tinha dúvidas, os restantes colegas de grupo uniam-se com o objetivo de lhe explicar a estratégia de resolução e o seu raciocínio. A aprendizagem conjunta foi outro dos aspetos mais mencionados pelos alunos, pois, segundo os mesmos, esta atividade proporcionou um ambiente de entreajuda que lhes ajudou a compreender melhor o tópico em estudo e a colmatar algumas dificuldades. Em relação ao momento da discussão, muitos alunos referiram que aprenderam bastante com os colegas, porque aprenderam estratégias diferentes de resolução, ficaram a compreender melhor o tópico em estudo, aprenderam a respeitar as ideias e opiniões dos colegas e, mais importante, aprenderam com os erros e dificuldades um dos outros. No momento de apresentar a resposta ao problema e de justificar o raciocínio, verificou-se que os elementos do grupo dialogaram para apresentar uma resposta completa ao problema. No entanto, através dos trabalhos apresentados averiguou-se que a maioria dos grupos não conseguiu transmitir o seu raciocínio por palavras, pois no momento de discussão, oralmente, conseguiram comunicar as suas ideias e justificações, no entanto, nos cartazes não estava transmitida essa mensagem corretamente. Os alunos indicaram que esta atividade os ajudou a melhorar a sua capacidade de escrita, pois através da discussão aprenderam, com os restantes colegas e a investigadora, como devem melhorar as suas justificações/respostas e como devem explicar as etapas de resolução. Resumindo, pelo ponto de vista dos alunos esta atividade tem vários benefícios, tais como: a entreajuda, a aprendizagem colaborativa, melhoria nas aprendizagens, desenvolvimento da 91 comunicação matemática, aprendizagem de novas ideias e estratégias e aceitação das opiniões dos colegas, aspetos que são referidos por Vale e Barbosa (2018). 5.2. Reflexões, recomendações e limitações Antes da implementação deste projeto, verificou-se que a turma em estudo não tinha muita prática com problemas, no entanto, existia muita entreajuda entre colegas. Por estas razões optouse por colocar os alunos em grupo a resolver problemas sobre o tópico em estudo, para que em conjunto desenvolvessem a sua capacidade de resolução de problemas. Devido à situação pandémica que estamos a ultrapassar encontrou-se algumas barreiras, no que se refere ao Trabalho de Grupo. Foi possível organizar os alunos em grupos, mas com o afastamento sugerido pela DGS, os elementos do grupo encontravam-se muito afastados uns dos outros. Esse distanciamento levava a que sentissem necessidade de falar mais alto e levantarem-se para conseguirem explicar o seu raciocínio aos restantes colegas de grupo. Acredito que numa situação “normal” o ruído na sala não seria tão intenso. Outro entrave, também decorrente da pandemia, foi o tempo limitado para a intervenção. Inicialmente estava previsto contar com mais aulas para a resolução de problemas em grupo antes da implementação da atividade Gallery Walk . Este entrave ocorreu devido à necessidade de cumprir o programa. Uma recomendação para futuro é tentar alargar o tempo da intervenção para se retirar melhores resultados quanto à postura dos alunos perante a resolução de problemas e no desenvolvimento da comunicação escrita. Com esta expansão do tempo, se se utilizasse mais aulas para o trabalho de grupo acredito que, provavelmente, a evolução dos alunos no que toca à comunicação escrita e resolução de problemas seria mais notória. Outra das dificuldades encontradas, foi na escolha de problemas. A turma era bastante heterogénea e esse aspeto dificultou a procura de problemas adequados ao perfil da turma e que incentivasse os alunos a usar a Função de Proporcionalidade Direta sem ser pedido explicitamente. Outra recomendação para estudos futuros é incluir a formulação de problemas, uma ação estratégica e um dos objetivos de aprendizagem sugeridos pelas novas Aprendizagens Essenciais (DGE, 2021). Posto isto, conclui-se que, perante um problema de proporcionalidade direta, os alunos, geralmente, apresentam os cálculos necessários para encontrar a solução do problema e apresentam a resposta ao problema, no entanto, poucos alunos explicam o seu raciocínio por palavras e justificam as suas respostas. A Gallery Walk é uma metodologia de ensino que envolve ativamente os alunos e que contribui para a evolução da comunicação escrita e para a compreensão da matemática. Ao longo desta atividade observou-se que os alunos com mais dificuldades 98 ANEXOS 99 Anexo 1: Ficha de diagnóstico 100 101 Anexo 2: Ficha de trabalho 1 - Problemas 102 Anexo 3: Ficha de trabalho 2 103 104 Anexo 4: Problema Gallery Walk 105 Anexo 5: Postal Gallery Walk FRENTE VERSUS 106 Anexo 6: Fichas Formativas Versão B 107 114 8. Comparar a função linear com a função de proporcionalidade direta e identificar o que têm em comum: Função de proporcionalidade direta é igual, no seu domínio, a uma função linear de coeficiente 𝑎 = 𝑓(1) . Atividades Práticas: Tarefa 1: Verifica se as funções definidas através das seguintes tabelas são funções de proporcionalidade direta e escreve uma expressão analítica que traduza cada uma delas. a) 𝒙 1 2 4 6 𝒚 3 6 12 18 b) 𝒙 1 4 1 12 1 6 3 2 𝒚 3 1 6 18 Exercício 1, 2 página 80 e exercício 3 página 81 do manual Matematicamente falando, Areal Editores: 1. Das seguintes funções definidas por tabelas, indica as que são de proporcionalidade direta e, nesse caso, escreve a sua expressão algébrica. (A) 𝒙 3 6 9 15 21 𝒚 1 2 3 5 7 (B) 𝒙 -5 -3 2 3 10 𝒚 -3 -2 2 3 2 5 (C) Tempo: 30 minutos A tarefa 1 será resolvida, em grupo turma, com o objetivo de os alunos compreenderem como aplicar o conceito em estudo. Tarefa 1 retirada do manual - Novo Espaço, Porto Editora, parte 1, página 95. As restantes tarefas, são do manual adotado pela escola e serão resolvidas individualmente. As tarefas serão de aplicação direta, para consolidarem os conhecimentos. Ainda irei focar a minha atenção na escrita matemática, para eles desenvolverem essa característica. Explicando aos alunos como explicar o seu raciocínio através da escrita. 115 𝒙 1 1 2 -1 −3 2 −5 2 𝒚 -2 -1 2 3 5 (D) 𝒙 1 3 -1 −4 3 -2 -3 𝒚 1 3 4 6 7 2. Considera uma torneira cujo caudal é de 20 l de água por minuto. a) Copia e completa a tabela que traduz esta situação de proporcionalidade direta. b) Indica a constante de proporcionalidade. c) Escreve a expressão algébrica da função que traduz esta situação. d) Representa o gráfico da função. e) Quantos litros de água serão debitados pela torneira numa hora? f) Pretende-se encher um tanque cuja capacidade é de 5 000 l. Quanto tempo deverá a torneira ficar aberta? Apresenta o resultado em horas e minutos. 3. Considera duas grandezas, X e Y, diretamente proporcionais. Sabe-se que a uma medida de X igual a 1,2 corresponde a medida 6 de Y. Determina uma expressão algébrica para a função de proporcionalidade direta 𝑓 associada. Tarefas adicionais: 6 da página 81 e 8 da página 90 do manual Matematicamente falando, Areal Editores: 6. Por vezes, o comprimento da diagonal do ecrã de um televisor é indicado em polegadas. No gráfico que se segue, podes ver a relação aproximada existente entre esta unidade de comprimento e o centímetro. a) A quantos centímetros corresponde uma polegada? Se os alunos resolveram as atividades práticas, irão realizar as tarefas adicionais propostas nesta planificação. 116 b) A relação aproximada entre a polegada e o centímetro é de proporcionalidade direta? Justifica a tua resposta e, em caso afirmativo, indica a constante de proporcionalidade e o que representa. c) Qual das quatro igualdades que se seguem permite calcular a diagonal do ecrã de um televisor, em centímetros (c), dado o seu comprimento em polegadas (p)? Explica a tua resposta. (A) 𝑐 = 1,27𝑝 (B) 𝑐 = 2,54𝑝 (C) 𝑐 = 1 1,27 𝑝 (D) 𝑐 = 1 2,54 𝑝 d) Se o comprimento da diagonal do ecrã de um televisor fosse 2,25 polegadas, qual seria o seu comprimento, em centímetros? 8. Sabe-se que as grandezas x e y são diretamente proporcionais. 𝒙 2 1 2 11 𝒚 8 12 20 a) Determina a constante de proporcionalidade. b) Copia e completa a tabela. c) Escreve a expressão algébrica desta função de proporcionalidade direta identificando o seu coeficiente. Materiais: Computador, projetor, Marcadores, Quadro. Resolução da atividade prática feita no quadro em conjunto com os alunos Tarefa 1: Para verificar se se trata de uma função de proporcionalidade direta, teremos que mostrar que o quociente entre y e x é constante. a) 3 1= 3 ; 6 2= 3 ; 12 4= 3 ; 18 6= 3 Como verificamos, é constante o quociente entre y e x, por isso podemos afirmar que se trata de uma função de proporcionalidade direta. A constante de proporcionalidade direta é 3. Expressão algébrica da função de proporcionalidade direta é: 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥. 𝑎 → constante de proporcionalidade 𝑓(𝑥)= 3𝑥 b) 3 ÷ 1 4=3×4 1=12 ; 1 ÷ 1 12 = 1 × 12 1=12 ; 6 ÷ 1 6= 6 × 6 1=36 ; 18 ÷3 2=18 ×2 3=36 3=12 Como verificamos, não é constante o quociente entre y e x, por isso podemos afirmar que não se trata de uma função de proporcionalidade direta. 117 Anexo 9: Planificação da primeira aula da Gallery Walk Tópico: Gallery Walk: Função de Proporcionalidade Direta Objetivo: Resolução de um problema, sobre o tópico em estudo, em grupos, através da realização de uma Gallery Walk . Descrição da aula 1.ª fase: Dividir a turma em grupos em grupos de 4. Grupo 1: Miguel, Luciano, Gabriel, Anabela. Grupo 2: Lúcia, Daniel, Júnior, Maria. Grupo 3: Júlia, Lourenço, Jorge, Frederica. Grupo 4: Rodrigo, Teodoro, Luciana, Alice. Grupo 5: Tomé, Leonardo, Fabiana, Mariana. Grupo 6: Filipe, Adriana, Carlos, Lorena. Grupo 7: Laura, Luíza, Artur, Vanessa. 2.ª fase: Apresentação do problema e entrega de um postal sobre a Gallery Walk. Problema – Descobre o erro Um comerciante fez o lançamento de um smartphone ao preço unitário de 200 €. Passado algum tempo, aumentou o preço em 10%. Como as vendas diminuíram muito, pensou em voltar ao preço inicial e colocou um cartaz onde se lia: Redução de 10%. Um cliente comprou um smartphone, fez as contas e decidiu pagar 198€. O comerciante reclamou dizendo que faltava dinheiro, pois o custo do smartphone era 200 €. Quem tem razão? Onde está o erro? Explica o teu raciocínio. 3.ª fase: Cada grupo irá ler e discutir o problema entregue. Após a discussão irão resolvêlo e expor a sua resolução na cartolina. 4.ª fase: Os grupos irão colocar a sua cartolina na parede, no local referido. Comentários: Nesta aula, irei realizar uma estratégia de ensino designado por Gallery Walk. A turma contém 28 alunos, 14 rapazes e 14 raparigas. A sala já estará preparada para os trabalhos em grupo. As mesas já estarão organizadas e sinalizadas com o grupo destinado. Quando os alunos chegarem à sala, já estará afixado no quadro os grupos e os seus elementos, para que os alunos se dirijam à mesa do seu grupo. No início da aula, será entregue um postal com a explicação da atividade a ser desenvolvida: Gallery Walk. Juntamente com o postal irá ser entregue uma folha com o problema. Tempo mínimo: 30 minutos Enquanto os grupos pensam e discutem sobre o problema, irei entregar o resto do material: • uma cartolina; • post-it’s; • alguns marcadores. Antes da aula começar será colocado na parede o local onde cada grupo irá afixar o seu trabalho. Com os post-its entregues no início da aula, os alunos irão comentar os trabalhos dos colegas. Será explicado que 118 5.ª fase: Cada grupo irá comentar os restantes trabalhos. Poderão colocar os comentários que acharem pertinentes, em grupo, ou individualmente. De seguida, em grupo, irão responder aos comentários deixados no seu trabalho. Tarefas adicionais: Se houver algum grupo que termine mais cedo que os restantes, ser-lhes-á proposta a resolução da ficha entregue na aula anterior. Materiais: Marcadores, Quadro, cartolina, post-it´s, fita-cola, ficha com o problema, postal. poderão colocar comentários positivos, dúvidas, erros encontrados, etc. De seguida os grupos recolhem os comentários para, em grupo, analisarem e responderem. Cada grupo deverá escolher um portavoz, para explicar a resolução e responder aos comentários. Informarei que terão 4 minutos para a apresentação. A discussão será feita na aula seguinte. Os alunos irão realizar a tarefa adicional: • Se concluírem a tarefa antes do tempo definido; • No momento de observação dos trabalhos, os alunos que estiverem à espera da sua vez para comentarem os trabalhos dos colegas. 119 Propostas de resolução do problema: Proposta 1 O comerciante começa por aumentar 10% à valor do produto inicial, 200€: 100%+10%=110% – percentagem do valor da peça com o aumento. 𝑥 – preço do produto com o aumento de 10 %. Preço do produto percentagem 200€ 100% 𝑥 110% 𝑥 = 200 ×110 100 =22000 100 =220 Após o aumento, o valor do produto é 220€. Ou seja, a partir deste momento o preço do produto é 220€. Passado algum tempo, o comerciante decidiu reduzir 10 %. Como o valor agora é 220€, então, iremos retirar 10% a esse preço e não ao inicialmente definido. 100%-10%=90% – percentagem do valor da peça com a redução. 𝑦 – preço do produto com a redução de 10 %. Preço do produto percentagem 220€ 100% 𝑦 90% 𝑥 = 220 ×90 100 =19800 100 =198 Após a redução, o valor do produto é 198€. Ou seja, o valor do produto é 198€. Proposta 2 O comerciante começa por aumentar 10% à valor do produto inicial, 200€. Então veremos quanto é 10€ de 200€: 200 ×10% =200 ×10 100 =2000 100 =20€. Então o comerciante aumento 20€ ao preço inicial, ficando o produto a valer 200€+20€=220€. Após este aumento, passado algum tempo o comerciante decidiu reduzir 10%. Como o preço da peça neste momento custa 220€, então a redução de 10% será feita neste valor. Veremos então quanto é 10€ de 220€ para descobrirmos o valor que vamos reduzir aos 220€. 220 ×10% =220 ×10 100 =2200 100 =22€ 220€-22€=198€ - preço do produto após a redução de 10%. Proposta 3 Consideremos este retângulo como o valor do produto – 200€. Vamos dividir o retângulo em partes iguais de forma a que cada parte seja 10% do total: 100% : 10% = 10 partes: Como o comerciante aumentou 10%, então agora iremos aumentar mais um quadrado ao retângulo: Proposta 4 O comerciante começa por aumentar 10% à valor do produto inicial, ou seja, 100%+10%=110%. 110% =110 100 = 1,1 Então, verificamos que ao valor inicial iremos multiplicar por 1,1. Ou seja, o preço do produto com o aumento é diretamente proporcional ao preço sem o aumento. Então, a expressão algébrica que define esta proporcionalidade, será 𝑓(𝑥)= 1,1𝑥, onde 𝑓(𝑥) é o preço com o aumento e 𝑥 o preço inicial. 𝑓(200)= 1,1 × 200 =220 – O preço do produto com o aumento de 10% é 220€. Ou seja, neste momento o produto custa 220€. 200€ 100 % 10% 10% 120 Agora o retângulo está dividido em 11 partes iguais, por isso, cada parte vale: 100%:11=9,09%. Para o retângulo voltar à forma inicial, terá que ser retirado um quadradinho, ou seja, 9,09% e não 10%. O comerciante decidiu reduzir 10%. Como preço agora é 220€, então a redução será feita a esse valor. 100%-10% = 90% 90% =90 100 = 0,9 O produto irá só custar 90% de 220€, então a este preço iremos multiplicar por 0,9. O preço do produto com a redução é diretamente proporcional ao preço sem a redução. Então, a expressão algébrica que define esta proporcionalidade, será 𝑔(𝑥)= 0,9𝑥, onde 𝑔(𝑥) é o preço com o aumento e 𝑥 o preço inicial (após o aumento dos 10%). 𝑔(220)= 0,9 × 220 =198 – o preço do produto com a redução de 10% é 198€. Então o cliente terá que pagar 198€. R: O cliente tem razão, porque após o aumento de 10%, o produto ficou a custar 220€. Quando o comerciante decidiu reduzir, o preço que estava fixado era 220€, logo a redução será feita a esse valor. O erro do comerciante foi aplicar a redução ao preço original, anterior ao aumento de 10%. 121 Anexo 10: Planificação da segunda aula da Gallery Walk – Discussão Tópico: Gallery Walk: Função de Proporcionalidade Direta Objetivo: Discussão, em grupo turma, das várias estratégias utilizadas pelos alunos na resolução do problema definido para a aula anterior. Dificuldades na resolução e análise de possíveis erros cometidos. Os alunos foram informados que os grupos seriam chamados aleatoriamente e cada um teria 4 minutos para apresentar a sua resolução e responder aos comentários colocados. Discussão: Cenário 1: Cada grupo ter uma resolução diferente da dos outros grupos. Se este cenário ocorrer, irei pedir aos representantes dos grupos que apresentem a sua resolução e respondam aos comentários. A partir da apresentação das resoluções irei moderar a discussão, de forma a que todos os alunos interajam e tirem as suas dúvidas. Cenário 2: Haver algumas resoluções diferentes, mas haver grupos com a mesma resolução. Se houver alunos que tenham pensado na mesma estratégia irei analisar os trabalhos e ponderar qual o grupo que irá apresentar por forma a contribuir para uma maior discussão dos resultados. Dependendo do número de resoluções diferentes que encontre, irei moderar a discussão, de forma a que todas as estratégias sejam debatidas, colocando questões pertinentes para que os alunos reflitam. Como só irá um grupo apresentar a estratégia (repetida), irei envolver os outros grupos que optaram pela mesma estratégia, questionando-os com o objetivo de apresentarem comentários pertinentes para a discussão. Cenário 3: Haver apenas uma estratégia. Neste cenário irei inquirir os alunos com algumas questões, com o objetivo de chegarem a um método diferente de resolução. Se a estratégia usada não usar a função de proporcionalidade direta, questionarei os alunos apresentando a possibilidade de haver outros telemóveis com valores diferentes, com o intuito de se aperceberem da utilidade desta resolução. No caso de utilizarem a função de proporcionalidade direta, questionarei se será a única possibilidade de resolução do problema. Cenário 4: Haver algum grupo que tenha errado, ou seja, darem razão ao comerciante. Comentários: A discussão será feita em grupo turma. As produções da Gallery Walk foram analisadas assim como os comentários. Cada grupo escolherá um ou dois elementos para fazer a apresentação. Questões: - Têm a certeza de que o comerciante tem razão? - Será que o cliente tem razão? - Qual foi o erro que o comerciante cometeu? - O que aconteceu ao preço do smartphone quando o comerciante fez um aumento de 10%? - Qual é o valor do smartphone que irá sofrer um desconto de 10%? (quero saber se eles sabem que o preço que vai sofrer um desconto será o preço após o aumento de 10%) - O que acontece ao preço do smartphone quando o comerciante faz um desconto de 10 %? - Onde tiveram mais dificuldades? - Acham que o valor que o cliente tem que pagar é de 200€? Têm a certeza? - E se fosse 300€, 500€, …? (função de proporcionalidade direta. 122 Neste cenário, irei questionar os alunos com o objetivo de perceberem que após o aumento, o smartphone fica a custar 220€. Logo, quando o comerciante faz um desconto, este incidirá sobre o preço com o aumento e não sobre o preço inicial. Neste cenário irei começar pelo trabalho do grupo que apresentou a resolução errada, com o intuito de que os alunos ponderem no erro. Espero que com esta resolução, os alunos discutam entre si para verificar se compreendem o erro cometido. Materiais: Computador, projetor, Marcadores, Quadro. 123 Anexo 11: Declaração de autorização dos Encarregados de Educação