Estimación del índice de Gini mediante diseños muestrales complejos

Estimación del Índice de Gini mediante Diseños Muestrales Complejos José Antonio Mayor Gallego Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universidad de Sevilla. Facultad de Matemáticas Septiembre de 2007 José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   1/21 Problema Considerado: Estimación del Índice de Gini en poblaciones finitas Elementos básicos Población finita. U={1,2,...,N} Variable de estudio. Y={yi|i∈U} Función de distribución poblacional, F(t) = 1 NX i∈U ∆(t−Yi) ∆(t−Yi) = 1t≥yi 0t<yi Media y total poblacionales, Y=1 NX i∈U yi=1 NT(Y) José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   2/21 Problema Considerado: Estimación del Índice de Gini en poblaciones finitas Índice de Gini IG =ZIR ZIR |t−u|dF(t)dF(u) ZIR u dF(u) Características Medida de uniformidad en el reparto de la variable en estudio. Útil en estudios económicos y demográficos sobre distribución de bienes, salarios, población, etc. Habitualmente se estudia a partir de encuestas por muestreo.. Objetivos Desarrollar un estimador del índice de Gini en poblaciones finitas, fácilmente adaptable a diseños muestrales complejos. Estudiar sus propiedades en relación al sesgo y al error cuadrático medio. Realizar mediante simulación un estudio comparativo con otros estimadores de la bibliografía. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   3/21 Problema Considerado: Estimación del Índice de Gini en poblaciones finitas Índice de Gini IG =ZIR ZIR |t−u|dF(t)dF(u) ZIR u dF(u) Características Medida de uniformidad en el reparto de la variable en estudio. Útil en estudios económicos y demográficos sobre distribución de bienes, salarios, población, etc. Habitualmente se estudia a partir de encuestas por muestreo.. Objetivos Desarrollar un estimador del índice de Gini en poblaciones finitas, fácilmente adaptable a diseños muestrales complejos. Estudiar sus propiedades en relación al sesgo y al error cuadrático medio. Realizar mediante simulación un estudio comparativo con otros estimadores de la bibliografía. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   3/21 Problema Considerado: Estimación del Índice de Gini en poblaciones finitas Índice de Gini IG =ZIR ZIR |t−u|dF(t)dF(u) ZIR u dF(u) Características Medida de uniformidad en el reparto de la variable en estudio. Útil en estudios económicos y demográficos sobre distribución de bienes, salarios, población, etc. Habitualmente se estudia a partir de encuestas por muestreo.. Objetivos Desarrollar un estimador del índice de Gini en poblaciones finitas, fácilmente adaptable a diseños muestrales complejos. Estudiar sus propiedades en relación al sesgo y al error cuadrático medio. Realizar mediante simulación un estudio comparativo con otros estimadores de la bibliografía. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   3/21 Parámetros de concentración Familia de índices de Gini. Nygård and Sandström (1985a,1985b) IGJ=1 YZ∞ 0 J[F(t)]tdF(t) J(·)es una función de ponderación, continua. Índice de Gini clásico. J(p) = 2p−1 IG =1 YZIR [2F(t)−1]tdF(t) = 1 YZIR ZIR |t−u|dF(t)dF(u) =1 2N2YXX i,j∈U|yi−yj| ∈ [0,1−1/N] José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   4/21 Parámetros de concentración Familia de índices de Gini. Nygård and Sandström (1985a,1985b) IGJ=1 YZ∞ 0 J[F(t)]tdF(t) J(·)es una función de ponderación, continua. Índice de Gini clásico. J(p) = 2p−1 IG =1 YZIR [2F(t)−1]tdF(t) = 1 YZIR ZIR |t−u|dF(t)dF(u) =1 2N2YXX i,j∈U|yi−yj| ∈ [0,1−1/N] José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   4/21 Índice de Gini y curva de Lorenz Curva de Lorenz IG =1 2N2YX i,j∈U|yi−yj|=2δ Estimación Diseño muestral (M,p(·)) →m, muestra. Probabilidades de inclusión, Π = {πij |i,j∈U}>0 Estimaciones de F(t)and G(t), b F(t) = 1 b NX i∈m ∆(t−yi) πi b G(t) = 1 b T(Y)X i∈m yi ∆(t−yi) πi Estimación de la curva de Lorenz. {(b F(t),b G(t)) |t∈IR} José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   5/21 Estimador de Nygård y Sandström c IG =2b δ=1 b N2b Y n X i=12Pi+1 πjiyji πji−1 b Y=b T(Y)/b N.Pidadas por, P1=0,Pi= i−1 X k=1 1 πjk i=2. . . n j1,j2, . . . jntales que, yj1≤yj2≤ ··· ≤ yjn Para el diseño MAS(N,n),πi=n/N, c IGNS,MAS =1 2n2¯ yXX i,j∈m|yi−yj| Nygård and Sandström (1985a,1985b) José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   6/21 Estimador c IGM1. Estimador de la varianza b V[c IGM1] = 1 b θ2 2XX i6=j∈m z2 ij π2 ij (1−πij ) +2XX i6=j,i6=k∈m j6=k zij πij zik πik πijk −πij πik πijk +XX i6=j,k6=l∈m i6=k,j6=l zij πij zkl πkl πijkl −πij πkl πijkl  zij = (N−1)|yi−yj|−Nc IGM1(yi+yj)i6=j b θ2=NPPi6=j∈m(yi+yj)/πij José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   13/21 Estudio comparativo. Simulación Poblaciones. Chambers y Dunstan (1986), Särndal et al. (1992) SUGAR CANE. N=338 plantaciones de caña de azucar. Chambers y Dunstan (1986). Y: PRODUCCIÓN. MU284. N=284 municipios de Suecia. Särndal et al. (1992). Y: POBLACIÓN en 1985. Simulación muestral Extraccion de L=1000 muestras aleatorias simples. n=10,15,20,25 y 30. Se calculan, SESGO =104×1 L×IG L X 1=1 (IG −c IGi) √ECM =104× 1 L×IG2 L X 1=1 (IG −c IGi)2!1/2 José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   14/21 Resultados SUGAR CANE POBLACIÓN SUGAR CANE. N=338 c IGNS c IGM1−M2 n SESGO √ECM SESGO √ECM 10 2295 3660 387 3576 15 1168 2459 215 2407 20 572 1693 102 1676 25 484 1568 106 1554 30 375 1438 72 1433 Resultados comparativos para la población SUGAR CANE, siendo la variable de estudio Y:PRODUCCIÓN. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   15/21 Resultados MU284 POBLACIÓN MU284. N=284 c IGNS c IGM1−M2 n SESGO √ECM SESGO √ECM 10 1961 2998 1100 2741 15 1404 2578 823 2450 20 1182 2294 751 2195 25 850 2111 502 2068 30 831 2052 487 1948 Resultados comparativos para la población MU284, siendo la variable de estudio Y:P85. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   16/21 Diseño complejo. Muestreo por conglomerados Población. Särndal et al. (1992) MU284C. N=284 municipios de Suecia clasificados en M=50 conglomerados. Särndal et al. (1992). Y: POBLACIÓN en 1985. Simulación muestral. Muestreo por conglomerados. Una etapa Extraccion de L=1000 muestras aleatorias simples de conglomerados. g=4,6,8 y 10 conglomerados. Se calculan, SESGO =104×1 L×IG L X 1=1 (IG −c IGi) √ECM =104× 1 L×IG2 L X 1=1 (IG −c IGi)2!1/2 José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   17/21 Resultados MU284C POBLACIÓN MU284C. N=284. 50 CONGLOMERADOS c IGNS c IGM1 c IGM2 g SESGO √ECM SESGO √ECM SESGO √ECM 4 1142 2352 511 2246 664 2285 6 732 1954 343 1900 416 1944 8 552 1679 257 1644 323 1673 10 420 1504 207 1498 235 1494 Resultados comparativos para la población MU284C, siendo la variable de estudio Y:P85 José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   18/21 Conclusiones Los estimadores c IGM1 yc IGM2 presentan en general una notable reducción de sesgo en relación al estimador clásico c IGNS. En el estudio realizado mediante un diseño muestral complejo como es el muestreo por conglomerados en una etapa, dicha reducción es más acentuada para c IGM1. En relación al error cuadrático medio, todos los estimadores estudiados presentan resultados muy similares. Líneas de trabajo Desarrollo de estimadores para otros parámetros de concentración, en el ámbito de los diseños muestrales complejos. Estudio de la viabilidad de las técnicas de “jackknife” para estimar el error de muestreo. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   19/21 Nygård, F. and Sandström, A. (1985a). Income Inequality Measures Based on Sample Surveys. Proceeding of the 45th Session of the International Statistical Institute. Amsterdam. Nygård, F. and Sandström, A. (1985b). The Estimation of the Gini and the Entropy Inequality Parameters in Finite Populations. Journal of Official Statistics. 1, 399-412. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   20/21 Chambers, R.L. and Dunstan, R. (1986). Estimating distribution functions from survey data. Biometrika. 73, 597-604. Särndal, C., Swensson, B. and Wretman, J. (1992). Model Assisted Survey Sampling. Springer-Verlag. New York, Inc. José A. Mayor. Universidad de Sevilla. jmay[email protected] XXX Congreso S.E.I.O. Valladolid C B   21/21