Modelado, Control y Simulación de Vehículo Eléctrico de Competición

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Modelado, Control y Simulación de Vehículo Eléctrico de Competición Autor: Antonio Meléndez Román Tutor: Juan Manuel Mauricio Dpto. Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de Tecnologías Industriales Modelado, Control y Simulación de Vehículo Eléctrico de Competición Autor: Antonio Meléndez Román Tutor: Juan Manuel Mauricio Profesor Titular Dpto. Ingeniería Eléctrica Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2021 Trabajo Fin de Grado: Modelado, Control y Simulación de Vehículo Eléctrico de Competición Autor: Antonio Meléndez Román Tutor: Juan Manuel Mauricio El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Agradecimientos Gr acias a todos mis familiares, compañeros y amigos que me han acompañado y apoyado durante toda mi formación y que han hecho posible este trabajo. También agradecer a mi tutor, Juan M. Mauricio, que en este tiempo me ha proporcionado los conocimientos necesarios para afrontar este proyecto. Antonio Meléndez Román Sevilla, 2021 I Resumen De vido al auge de la implementación de sistemas de propulsión eléctrica, tanto para uso diario como para uso en competiciones, surge la necesidad de poder estudiar la dinámica de estos sistemas, además de poder incluir en ellos los diversos controles necesarios para su correcto funcionamiento. Es por ello que en este documento se realizará un análisis detallado de la dinámica intrínseca de un vehículo de competición con tracción eléctrica. Además de implementar dicha dinámica en un programa de simulación a elegir, donde realizaremos diversas simulaciones para consolidar el buen funcionamiento del sistema estudiado, añadiendo sistemas de control en velocidad y tracción a nuestro vehículo. III 2Capítulo 1. Introducción. 1.2 Objetivo. Con todo lo explicado anteriormente y conocido el auge de este tipo de movilidad, este documento tendrá como objetivo el estudio de los vehículos basados en tracción eléctrica para situaciones de competición, ya sea de aceleración como de trayectorias, pasando a realizar un estudio dinámico de todo nuestro vehículo, de forma que consigamos entender las situaciones físicas detrás del comportamiento de este. Además añadiremos diversos sistemas de control, que se encargarán de controlar los motores de nuestro sistema en función del requerimiento impuesto, ya sea este requerimiento de velocidad, estabilidad o ambos. Posteriormente, después de realizar dicho estudio, implementaremos todo lo obtenido con anterioridad en un entorno de simulación a concretar. Donde podamos simular diversas situaciones a las que deba enfrentarse nuestro sistema, más específico nuestros sistemas de control. Pudiendo discutir finalmente los datos obtenidos de estas simulaciones llegando a una serie de conclusiones finales. 2 Modelado del vehículo. 2.1 Introducción. En este segundo capítulo, expondremos el modelado por completo del sistema en estudio. El modelado es una pieza clave a la hora de aproximar una figura física real a un comportamiento puramente matemático, de éste se extraerá la información relevante gracias a diversas simulaciones posteriores. Hay que recalcar la relación entre: complejidad del modelo y aproximación a la realidad. Esta relación es inversamente proporcional, nos encontramos en un punto de inflexión; ya que obtendremos un mayor error por parte de las simulaciones posteriores al implementar un modelo más básico, lo que reitera la especial atención e importancia de este apartado en todo el trabajo. Aunque ya anticipamos que realizaremos ciertas simplificaciones que comentaremos en este capítulo. En nuestro caso, estudiaremos el modelado total de nuestro sistema en tres subsistemas: • Dinámica planar del vehículo. En este subsistema incorporaremos todos los cálculos necesarios para la obtención de los parámetros característicos del movimiento de nuestro vehículo con sus tres grados de libertad, incluyendo fuerzas y momentos soportados por el mismo. De forma que nuestro vehículo realice un movimiento plano, es decir posea la capacidad de traslación en el plano XY y de rotación respecto al eje normal al plano. • Modelado de las ruedas. Las ruedas son una parte esencial en todo vehículo, además de tener un comportamiento de lo más peculiar, de este modo es necesario un apartado independiente para su estudio, en el cual mostraremos las características de estas además de las fuerzas tanto ejercidas como soportadas. • Modelado del motor. Otra parte esencial en el funcionamiento de nuestro sistema es el motor eléctrico, que proporciona tanto fuerzas de empuje como de frenado, esto hace que sea una pieza de vital importancia en el funcionamiento del sistema y por ende de especial importancia en nuestro modelado. Además se modelarán y se tendrán en cuenta funcionamientos y estados que relacionan todos los subsistemas entre sí, incluyendo otras partes características necesarias para, en este caso, el correcto funcionamiento del motor; aunque podemos extraerlos del modelado exclusivo del motor, como pueden ser el convertidor y la batería. 2.2 Modelado del vehículo. En este apartado introduciremos todos los conceptos físicos-inerciales a tener en cuenta al tratar a nuestro sistema de estudio como un sólido-rígido, capaz de tener movimiento libre según un movimiento plano, lo que implica la aparición tanto de fuerzas longitudinales y transversales en nuestro vehículo, además de momentos perpendiculares al plano del suelo. En primer lugar, al tratar con un sistema tan voluminoso y complejo como puede ser un vehículo en movimiento es necesario el establecimiento de unos ejes de referencias, tanto fijos como móviles, para poder tratar con todas las fuerzas y momentos resultantes que actúen sobre nuestro sistema. 3 4Capítulo 2. Modelado del vehículo. 2.2.1 Sistemas de referencia. Como citamos al inicio del capítulo es inmediato la división de nuestros sistemas en varios subsistemas distintos. En este apartado esto cobrara cierta relevancia, ya que necesitamos incluir un sistema de referencia especifico para cada rueda y así poder establecer un criterio de signos para todas las fuerzas aplicadas individualmente a cada rueda. Los sistemas de referencia de cada rueda serán diferentes de los necesarios para el tratamiento inercial del vehículo en su plenitud, esto viene impuesto por la necesidad de tratar, a parte, las fuerzas ejercidas por las ruedas, de las soportadas por la carrocería del vehículo, lo cual hace que asignemos un triedro fijo al plano de cada rueda, como indica Jazar (2019, Capítulo 1 de [1]). Se pueden tener hasta tres triedros de referencia en cada rueda, teniendo sus puntos de origen en: a) Punto de contacto rueda-suelo b) Punto de rotación central de la rueda c) Punto de unión de la rueda con el cuerpo del vehículo. Además Jazar explica las diversas traslaciones necesarias para la obtención de las coordenadas de un punto respecto a un sistema de referencia en función de los diversos ángulos formados por la rueda respecto a los tres planos de movimiento. En nuestro caso no llegaremos a implementar todas las posibilidades que se citan en el capítulo, ya que por simplicidad y por no necesitar más nivel de detalle se optará por la obtención de un triedro de referencia con punto de origen en el eje de giro de cada rueda y solidario a esta (triedro W), tal y como se puede ver en la siguiente figura (Fig. 2.1): Figura 2.1 Relación entre el plano rueda y rueda-vehículo, de Jazar (2019,[1]). Debemos incidir en que dicho sistema de referencia tendrá un movimiento de rotación respecto al eje Z en las ruedas directrices de nuestro vehículo, de modo que formará un ángulo, tal y como denomina Jazar (2019, Capítulo 1 de [1]). Este ángulo se puede denominar ángulo de dirección ( δ ). Además, tendremos una disparidad entre el valor de las componentes longitudinal y transversal del vehículo y de las ruedas; hecho que recalcaremos más adelante con el estudio planar del vehículo. Es inmediato que, resuelta la necesidad de establecer un sistema de referencia respecto a las ruedas, debemos establecer un sistema de referencia respecto al cuerpo de nuestro vehículo. La forma más sensata y como también implementa Jazar (2019, Capítulo 1 de [1]) , es la localización de éste en el centro de gravedad de nuestro vehículo (c.d.g). En el transcurso de este trabajo supondremos que el c.d.g de nuestro vehículo se encuentra totalmente centrado, situación que puede variar en un caso real y que debe ser obtenido experimentalmente, (caso que no se trata en este trabajo) de forma que, tendremos el eje X solidario a la componente longitudinal del vehículo, lo cual implica que el eje Y se encuentre también solidario a la componente lateral del vehículo y el eje Z sea perpendicular y positivo al plano del suelo, obteniendo un triedro de referencia solidario al vehículo (triedro local B) como denota la siguiente imagen (Fig. 2.2): 2.2 Modelado del vehículo. 5 Figura 2.2 Existencia de los distintos sistemas de coordenadas, de Jazar (2019,[1]). Recalcar, que en la figura anterior se encuentran varios parámetros que introduciremos a lo largo de este capítulo. También debemos incluir un sistema de referencia global (sistema G), para a través de él comprobar el correcto movimiento de nuestro vehículo, en nuestro caso el sistema de referencia global será coincidente en un primer momento con respecto al sistema solidario al vehículo. Al tratarse el movimiento realizado por nuestro vehículo como un movimiento plano, el sistema de referencia solidario al vehículo tendrá una rotación y una traslación según el sistema fijo global. Dicha rotación será calculable a través de parámetro heading angle ( ψ ), tal y como indica Jazar(2019, Capítulo 2 de [1]) y la traslación será calculada a través de los valores de posición del vehículo. Finalmente debemos establecer un criterio de signos para los momentos respecto del eje Z y los ángulos de rotación según este mismo eje, en este caso se tomarán momentos positivos si se tratan de momentos antihorarios y negativos si estos tienen sentido horario. 2.2.2 Modelo interacción rueda-pavimento de Pacejka. Ya habiendo afrontado la implementación de los diversos modelos de referencias, necesarios para la realización del modelado del vehículo, vamos a abordar unos de los subsistemas existentes, en concreto las ruedas. Debemos pensar que las ruedas son un elemento de lo más complicado de modelar, ya que no podemos abordarlas según una implementación de cuerpo solido-rígido, ya que su característica de deformación es la principal razón de su funcionamiento, por lo cual debemos encontrar otras formas de resolver este problema. Una de las soluciones para este problema es despreciar las fuerzas realizadas por las ruedas o suponerlas proporcionales al par ejercido por el motor, este enfoque puede ser acertado si nos encontramos con un movimiento del vehículo unidimensional, pero debemos recordar que nosotros planteamos un enfoque bidimensional, en el cual las ruedas ejercerán fuerzas con componentes longitudinal y lateral distintas, es por esto por lo que optamos por un modelo mucho más avanzado y muy probado, conocido por el Modelo de Pacejka o Pacejka’s magic formula. Este modelado se obtiene a partir de unos valores experimentales que se deben obtener individualmente de las ruedas, estos parámetros no son objeto de estudio de este trabajo, por ello optaremos por la utilización de unos valores aleatorios dentro del intervalo normalizado (Tablas 2.1 y 2.2) que podemos encontrar más adelante en [3]. Este modelado se basa en la existencia de dos parámetros característicos, como indica Pacejka (2006, Capítulo 1 de [2]), de la dinámica rueda-vehículo, los cuales son el parámetro de deslizamiento (slip) y el ángulo de deslizamiento lateral ( α ), este último será resultante de la diferencia del ángulo de deslizamiento lateral rueda-vehículo ( β , ángulo formado por el vector velocidad del vehículo y la componente longitudinal del mismo) y el ángulo de dirección (δ). 6Capítulo 2. Modelado del vehículo. Tabla 2.1 Parámetros de la fuerza longitudinal. Tabla 2.1 Parámetro Role Unidades Rango típico b1Factor de forma - 1.4..1.8 b2 Influencia de la carga en el coeficiente de fricción longitudinal (por 1000) 1/kN -80..+80 b3 Coeficiente de fricción longitudinal (por 1000) - 900..1700 b4 Factor de curvatura de rigidez / carga N/%/kN2-20..+20 b5 Cambio de rigidez con deslizamiento N/% 100..500 b6 Cambio de progresivo de rigidez / carga 1/kN -1..+1 b7 Cambio de curvatura con carga2- -0.1..0.1 b8 Cambio de curvatura con carga - -1..+1 b9Factor de curvatura - -20..+1 b10 Influencia de la carga en el desplazamiento horizontal %/kN -1..+1 b11 Desplazamiento horizontal % -5..+5 b12 Desplazamiento vertical N -100..+100 b13 Desplazamiento vertical con carga = 0 N -10..+10 b14 Cambio de curvatura - -1..+1 En el caso del parámetro de deslizamiento éste será función de las diferencias de velocidades entre la componente longitudinal de la rueda ( vx ) y su velocidad de rotación ( ωw ), diferenciando si nos encontramos en un momento de frenado (Rw·ωr<vx) o aceleración (Rw·ωr>vx). El valor del parámetro slip variará entre -1 y 1, valores en tanto por unidad. Los casos extremos corresponderán al bloqueo total de las ruedas en el caso de frenado en el que el vehículo continúe en movimiento y el caso en el que las ruedas giren sin proporcionar tracción al vehículo y por lo tanto sin movimiento de este, respectivamente. El cálculo de ambos parámetros se muestra a continuación (ecuaciones 2.1, 2.3 y 2.4): α=β−δ(2.1) β=arctanVy Vx(2.2) En la ecuación anterior denotamos a Vi , como una de las componentes (longitudinal o lateral) de la velocidad de nuestro vehículo al completo expresada en el sistema local B. También comprobamos que el ángulo de deslizamiento (α) será función del ángulo de dirección δ, para todas aquellas ruedas que posean la capacidad de establecer un ángulo determinado respecto al eje longitudinal de nuestro vehículo; en el caso de no poder establecer un ángulo de dirección el valor de αserá igual al valor del ángulo de velocidad (β). slip =Rw·ωr−vx Rw·ωr si Rw·ωr>vxy 0 <slip <1 (2.3) 2.2 Modelado del vehículo. 7 Tabla 2.2 Parámetros de la fuerza lateral. Tabla 2.2 Parámetro Role Unidades Rango típico a1Factor de forma - 1.4..18 a2 Influencia de la carga en el coeficiente de fricción lateral ( 1000) 1/kN -80..+80 a3 Coeficiente de fricción lateral ( 1000) - 900..1700 a4 Cambio de rigidez con deslizamiento N/deg 500..2000 a5 Cambio de progresividad de rigidez / carga 1/kN 0..50 a6 Influencia de la comba en la rigidez %/deg/100 -0.1..+0.1 a7 Cambio de curvatura con carga - -2..+2 a8Factor de curvatura - -20..+1 a9 Influencia de la carga en el desplazamiento horizontal deg/kN -1..+1 a10 Desplazamiento horizontal con carga = 0 y comba = 0 deg -1..+1 a11 Influencia de la comba en el desplazamiento horizontal deg/deg -0.1..+0.1 a12 Desplazamiento vertical N -200..+200 a13 Desplazamiento vertical con carga = 0 N -10..+10 a14 Influencia de la comba en el desplazamiento vertical, dependiente de la carga N/deg/kN -10..+10 a15 Influencia de la comba en el desplazamiento vertical N/deg -15..+15 a16 Influencia de la comba en el coeficiente de fricción lateral 1/deg -0.01..+0.01 a17 Cambio de curvatura con comba - -0.1..+0.1 a18 Cambio de curvatura - -1..+1 slip =Rw·ωr−vx vx si Rw·ωr<vxy−1<slip <0 (2.4) Como introdujimos anteriormente, las ruedas ejercerán tanto componentes longitudinales, debidas al efecto del deslizamiento; como componentes laterales, debidas al efecto del ángulo de deslizamiento lateral. Para el cálculo de estas fuerzas, Pacejka (2006, Capítulo 1 de [2]) indica que se pueden obtener a partir de una función no lineal (ecuación 2.5), que resultará en la obtención de una figura de fuerzas en un rango determinado de valores de ambos parámetros (Fig. 2.3). 8Capítulo 2. Modelado del vehículo. Esta fórmula dependerá de los parámetros B, C, D, Sv y Sh , el valor resultante será la fuerza longitudinal ejercida por la rueda o la fuerza lateral en función de si el parámetro introducido es slip oα. Los valores de las constantes B, C, D, Sv y Sh , se obtendrán a partir de los valores físicos obtenidos experimentalmente (ecuaciones 2.6, 2.7, 2.8, 2.9 y 2.10), tal y como podemos encontrar en [3]. Por lo tanto, en función del valor momentáneo de estos dos parámetros (slip y α ) podremos obtener el valor de las fuerzas ejercidas por la rueda, lo que nos permite estudiar su comportamiento de forma muy exacta. Fx=Dsin(Carctan(B(x+Sv)−E(B(x+Sv)−arctan(B·x))))+ Sh(2.5) B= (b4F2 z+b5Fz)e −b6Fz CD (2.6) C=b1(2.7) D=Fz(b2Fz+b3)(2.8) Sv=b12Fz+b13 (2.9) Sh=b9Fz+b10 (2.10) Figura 2.3 Representación de valores de las fuerzas longitudinales y laterales de una rueda, en estado de reposo.. En estas ecuaciones tenemos la influencia de la fuerza normal soportada por la rueda ( Fz ), en nuestro caso, al suponer nuestro vehículo tiene una dinámica intrínseca, tenemos que calcular la fuerza normal de cada rueda como presentaremos más adelante; además tenemos la influencia de los diversos valores experimentales obtenidos para cada rueda en concreto (b). Por último, debemos recalcar el criterio de signos utilizado por Pacejka (2006, Capítulo 1 de [2]), ya que para deslizamientos positivos conseguiremos fuerzas longitudinales positivas, según el criterio que asignamos anteriormente, al igual que para deslizamientos negativos, obtendremos fuerzas negativas según el criterio de signos asignados. Pero para el caso de las fuerzas laterales el criterio de signos utilizados por Pacejka (2006, Capítulo 1 de [2]) es contrario al asignado por nosotros, de forma que coincide con los asignados por Jazar (2019, Capítulo 1 de [1]), debido a que, para valores de ángulos de deslizamiento positivos tendremos fuerzas negativas, según nuestro criterio de signos; y al contrario para ángulos negativos (Fig. 2.4). Esto genera que, si no tenemos en cuenta esta diferencia de criterio, obtendremos un sistema inestable que no se asemejará a valores obtenidos en la realidad. 2.2 Modelado del vehículo. 9 Figura 2.4 Coexistencia de fuerzas longitudinales y transversales en la rueda, de Jazar (2019,[1]). 2.2.3 Fuerza normal soportada por cada rueda. Como acabamos de ver un parámetro que determinará la dinámica de cada rueda será la fuerza normal soportada por esta, por lo cual su cálculo deberá de ser un punto donde debamos de incidir. En este caso podemos llegar a realizar dos suposiciones para su cálculo. 1) En primer lugar podemos llegar a suponer que en la mayoría de los casos, donde nuestro vehículo se encuentre en situaciones de estabilidad, y donde las aceleraciones en los ejes de movimiento no sean demasiado elevadas, podemos suponer que la fuerza normal soportada por cada rueda sea proporcional al peso total del vehículo. En nuestro caso teniendo en un principio un vehículo de cuatro ruedas, la fuerza normal soportada por cada rueda será igual a un cuarto del peso del vehículo. 2) En segundo lugar podemos pensar que la dinámica inercial del vehículo juegue un papel importante en el cálculo de estas fuerzas, dado que en un supuesto de giro es lógico pensar que las ruedas interiores a dicho giro tendrán una fuerza normal mayor que las externas, todo ello generado por la propia inercia del vehículo en el propio giro. Este caso es el que se toma en consideración en la obra de Jazar (2019, [1]) y que implementaremos, donde podemos obtener el valor de estas fuerzas en cada rueda en función de parámetros característicos del vehículo y en función de valores inerciales, obteniendo las siguientes ecuaciones (2.11, 2.12, 2.13 y 2.14): Fz(dd)=m l·w·g(a·g−h(˙vx−ϕ·vy))(b·g−h(˙vy+ϕ·vx)) (2.11) Fz(id)=m l·w·g(a·g−h(˙vx−ϕ·vy))(b·g+h(˙vy+ϕ·vx)) (2.12) Fz(dt)=m l·w·g(a·g+h(˙vx−ϕ·vy))(b·g−h(˙vy+ϕ·vx)) (2.13) Fz(it)=m l·w·g(a·g+h(˙vx−ϕ·vy))(b·g+h(˙vy+ϕ·vx)) (2.14) En las ecuaciones anteriores podemos ver diversas variables que todavía no hemos introducido, como puede ser el caso de las componentes de aceleraciones y velocidades de nuestro vehículo ( ˙vi y vi ); y otros parámetros como la gravedad ( g ) y parámetros que definirán las dimensiones del vehículo y que introduciremos a lo largo de este capítulo. Aunque hacemos una excepción con el parámetro h , ya que será la única vez que lo necesitemos y que establece la altura del centro de gravedad (c.d.g) de nuestro vehículo respecto del suelo. Además se introducen las parejas de sufijos [i,d] y [d,t], donde simbolizan si la rueda se encuentra en el lado izquierdo o derecho del vehículo, y si pertenecen al eje delantero o trasero de nuestro vehículo. 10 Capítulo 2. Modelado del vehículo. 2.2.4 Modelado longitudinal del vehículo. Después de obtener las diversas características de las ruedas, nos centraremos en el estudio de las fuerzas longitudinales que sufre nuestro vehículo, para así poder calcular la aceleración longitudinal de nuestro sistema respecto al triedro local de referencia B. En este caso tenemos varias fuerzas implicadas, además de las fuerzas ejercidas por nuestro vehículo, también el ejercido por las ruedas. Fuerza aerodinámica. Todo cuerpo sumergido en un fluido y en movimiento, sufre una fuerza correspondiente al movimiento relativo entre el fluido y el cuerpo. En nuestro caso el fluido es el aire, y por tanto la fuerza soportada por nuestro vehículo se denomina Fuerza aerodinámica. Esta fuerza dependerá de varios factores, entre los que se encuentra la acción de la densidad del fluido ( ρ ), la superficie equivalente del cuerpo ( Sf ), velocidad del fluido, velocidad del cuerpo y el coeficiente aerodinámico ( Cx ). Este último parámetro indica la relación entre la superficie externa del cuerpo y la influencia de éste en el fluido; dicho parámetro suele obtenerse experimentalmente. En nuestro caso supondremos que el fluido en cuestión se encuentra en reposo, por lo cual no tenemos la influencia de su velocidad en el cálculo de la fuerza. Obtenemos la ecuación 2.15, para el cálculo de la fuerza resultante. Fa=1 2SfCxρ(vh−vaire)2(2.15) En el caso de los vehículos de competición, las fuerzas aerodinámicas soportadas por el cuerpo del vehículo son muy importantes e influyentes en el comportamiento dinámico del cuerpo, en una trayectoria bidimensional esta fuerza tendrá componentes bidimensionales, pero en la mayoría de ocasiones la componente lateral de esta fuerza suele ser mucho menor que la sufrida longitudinalmente, ya que la velocidad del vehículo lateral suele ser mucho menor que la obtenida longitudinalmente; de forma que en el estudio de este trabajo simplificaremos la acción de esta fuerza a sólo componentes longitudinales, incidentes en el c.d.g de nuestro vehículo, como especifica Jazar (2019, [1]). Es inmediato saber que dicha fuerza será de oposición al movimiento longitudinal con lo cual tendrá valores negativos, según los sistemas de referencia longitudinales del vehículo. Fuerzas longitudinales de las ruedas. En este subapartado aclararemos el tratamiento de las fuerzas longitudinales de las ruedas, en el cálculo longitudinal global del vehículo. Estas fuerzas longitudinales aplicadas, pueden ser tanto de frenado como de tracción; ya que el valor de estas fuerzas dependerá del valor del parámetro slip, tal y como se explico en el apartado pertinente. En el caso de ser fuerzas de frenado se pueden optar por dos sistemas, en particular para este propósito: 1) Un sistema de frenado regenerativo 2) Un sistema de frenado convencional. 1) Para el primer caso, el sistema de frenado regenerativo, se opta por la realización de un par negativo en las ruedas, de modo que este par sea el responsable del frenado del vehículo, a la vez que se consigue aprovechar la dinámica de rotación de las ruedas para suministrar corriente eléctrica a los dispositivos de almacenamiento. Así aprovechamos la dinámica de las ruedas para producir electricidad, que irá destinada a recargar las baterías. La principal ventaja de este sistema es que es muy eficiente, dado la gran eficiencia propia de los motores eléctricos actuales. Pero por el contrario, no es capaz de realizar un par de frenado muy elevado, ya que sólo es capaz de aportar su par máximo, que suele tener valores de en torno a 800 Nm. 2) Por otro lado tenemos el sistema de frenado convencional, en el cual se actúa sobre un sistema hidráulico, para que éste, a partir de unos dispositivos de fricción, haga parar la rueda proporcionalmente a la acción sobre el sistema hidráulico. La principal diferencia sobre el sistema regenerativo es que este es capaz de aportar una mayor cantidad de par de frenado, llegando a valores de hasta diez veces más que el sistema anterior. Otra característica de este sistema es que necesita un sistema, a parte en nuestro vehículo, incrementando levemente el peso de éste. Aunque la utilización de un sistema híbrido sería el más indicado para una implementación real, de 2.2 Modelado del vehículo. 11 forma que añadimos tanto eficiencia energética como seguridad; en nuestro caso optamos por el uso único del sistema de frenado regenerativo, de forma que podamos ver más de cerca el efecto de deslizamiento de las ruedas en la dinámica de nuestro vehículo y corroborar la necesidad, o no, de este segundo tipo de sistema de frenado en las diferentes situaciones a simular. Debemos recordar que cada rueda poseerá una fuerza longitudinal y lateral que se expresará en su sistema de referencia propio, por lo cual el valor de dichas fuerzas puede tener valores distintos. Si aplicamos el cálculo longitudinal de fuerzas según el sistema de referencia solidario al cuerpo del vehículo, ya que las ruedas directrices tendrán un ángulo de dirección ( δ ), de forma que tendremos que las fuerzas longitudinales del vehículo se podrán expresar en función de las fuerzas tanto laterales como longitudinales de las ruedas, realizando una conversión según el ángulo δ(ecuación 2.16) (Fig. 2.5). En el caso de las ruedas no directrices, la fuerza longitudinal que aportará al sistema será la fuerza longitudinal completa que realice. Figura 2.5 Transformación entre plano rueda y plano rueda-vehículo, de Jazar (2019,[1]). Ft long =Fr xcos(δ)−Fr ysin(δ)(2.16) En esta ecuación denotamos como Ft long , la fuerza resultante longitudinalmente aportada por cada rueda, además de Fr xcomo la fuerza longitudinal propia de cada rueda y Fr yla fuerza lateral de cada rueda. Fuerza de resistencia a la rodadura. Anteriormente, comentamos la característica de deformación de la rueda y como esta era esencial en el trabajo que ejerce sobre el sistema, de forma que con esta deformación éramos capaces de ejercer fuerzas sobre el suelo y de esta forma poder mover el vehículo. Pero la característica elástica del neumático hace que la rueda no siempre posea un diámetro constante y por ende que los puntos de contacto con el suelo sean fruto de la deformación parcial del elemento; de esta forma las fuerzas normales, aplicadas sobre el neumático ( FN ) no poseen un punto centrado con el eje de rotación de la rueda, lo que llega a crear una fuerza opositora a la rotación de la rueda y de forma global al movimiento del vehículo (Fig. 2.6). 18 Capítulo 2. Modelado del vehículo. 2.3.1 Transformada de Park. Conocido el inconveniente de tratar con variables no continuas en nuestro motor, hace que debamos buscar una forma de convertir estos valores de fase variables en valores continuos. Esto pude hacerse gracias a la Transformada de Park ( Tp ). El enfoque de este tipo de transformación es muy sencillo, pues los ejes correspondientes a las fases de las señales eléctricas (‘abc’) son inmóviles, denominaremos un nuevo sistema de ejes (’dq0’), que en este caso se encuentra solidario al rotor de nuestro motor, de forma que nuestro nuevo sistema de ejes se encuentre en función de la orientación de nuestro rotor o lo que es idéntico de la velocidad angular de éste. Tal y como se puede apreciar en la siguiente figura (Fig. 2.9). Figura 2.9 Representación de los ejes de referencia de un motor PMSM. Obtenido de: https://link.springer.com/article/10.1007/s40435-017-0327-5/figures/1. Como se puede apreciar en la figura anterior, no se llega a representar la componente homopolar de nuestro nuevo sistema de referencia, ya que este parámetro representa el valor promedio obtenido y esta es una característica que no necesitaremos en nuestro estudio. De esta forma sólo tenemos las componentes ’dq’. Para pasar de las componentes iniciales a estas nuevas sólo necesitamos realizar las proyecciones pertinentes para convertir los valores del sistema ‘abc’ en valores del sistema ’dq’, dicha transformación se especifica en la ecuación 2.32. xd xq=2 3cos(θe)cos(θe−2 3π)cos(θe−4 3π) −sin(θe)−sin(θe−2 3π)−sin(θe−4 3π)  xa xb xc (2.32) De esta forma conseguiremos pasar las componentes variables de nuestro motor a componentes constantes en el tiempo, a partir del ángulo eléctrico formado por la diferencia de orientación entre los dos sistemas de referencia θe ; simplificando el control posterior. De esta transformación obtenemos valores en el denominado eje cuadrático ’q’ y eje directo ’d’. 2.3.2 Modelo eléctrico. Como en el caso de la dinámica de nuestro vehículo, también necesitamos realizar un modelado de nuestro motor, en este caso su comportamiento es capaz de asimilarse a un circuito eléctrico equivalente. Este circuito eléctrico equivalente estará formado por dos fuentes de tensión, seguidas de una resistencia y una bobina. Como tratamos con un motor de alimentación en corriente alterna es inmediato saber que nuestro motor puede subdividirse en tres fases complementarias, de forma que los valores característicos de estas fases sean iguales entre sí, al suponer una situación de fases equilibradas entre sí. El circuito equivalente de nuestro motor es el que se puede apreciar en la figura 2.10. 2.3 Modelado de los motores. 19 Figura 2.10 Representación del circuito equivalente de un PMSM. Obtenido de [5]. Como podemos apreciar en la figura anterior, en cada fase dispondremos de un valor de corriente, el cual será determinante para el funcionamiento posterior de nuestro motor. Observando el circuito equivalente sólo debemos aplicar la Ley de tensiones de Kirchhoff, para poder obtener un sistema de ecuaciones que nos ayuden al tratamiento de nuestro motor, del modo que obtenemos las ecuaciones 2.33, 2.34 y 2.35. dia dt =1 Ls (va−Ria+ωeΨsin(θe)) (2.33) dib dt =1 Ls (vb−Rib+ωeΨsin(θe−2 3π)) (2.34) dic dt =1 Ls (vc−Ric+ωeΨsin(θe−4 3π)) (2.35) Como podemos ver, las ecuaciones del comportamiento de cada fase se encuentran referenciadas a los valores variables de las intensidades y de la tensión de cada fase, además de parámetros relevantes como la velocidad angular del campo eléctrico o el flujo magnético constante del interior del motor. En el caso de la velocidad angular del campo eléctrico ( ωe ), esta se puede obtener a través del valor de la velocidad angular del rotor del motor ( ωr ) y de un parámetro constructivo del dispositivo denominado el número de par de polos ( Npp ); ωe=Nppωr . También debemos de relacionar el ángulo del campo eléctrico interno a nuestro motor ( θe ), como la integral de la velocidad angular de dicho campo eléctrico, cumpliéndose dthetae dt =ωe. Es momento de aplicar la Transformada de Park, introducidas en el apartado anterior (ecuación 2.32), para obtener las ecuaciones características de nuestro motor, en función de valores constantes de las intensidades en el tiempo, facilitando el cálculo posterior. Para ello agruparemos matricialmente las ecuaciones 2.33, 2.34 y 3 2.35 (ecuación 2.36, 2.37, 2.38, 2.39 y 2.40), de forma que la transformación sea lo más fácil posible, de modo que obtenemos las siguientes ecuaciones resultantes (ecuaciones 2.40 y 2.41), tal y como realiza Mauricio (2019, [5]), obteniendo: iabc =  ia ib ic (2.36) vabc =  va vb vc (2.37) eabc =  ωeΨsin(θe) ωeΨsin(θe−2 3π) ωeΨsin(θe−4 3π) (2.38) I=  100 010 001 (2.39) LsIdiabc dt =vabc −RIiabc −eabc (2.40) 20 Capítulo 2. Modelado del vehículo. Ls did dt =vd−Rid+Lsωeiq(2.41) Ls diq dt =vq−Riq−Lsωeid−ωeΨ(2.42) De esta forma obtenemos el funcionamiento de nuestro motor según los ejes ’dq’. 2.3.3 Potencia del motor. En este caso vamos a tratar la relación entre la potencia eléctrica de nuestro motor y la potencia mecánica suministrada, de forma que tenemos que encontrar la relación entre el mundo eléctrico y el mundo físico. Como nos encontramos hablando de potencia, es preciso pensar en la potencia eléctrica como la resultante de multiplicar el valor de tensión por el valor de corriente. De forma análoga, se puede obtener este cálculo para las componentes de alterna como (ecuación 2.43): P=VaIa+VbIb+VcIc(2.43) Puesto que disponemos de las ecuaciones que rigen nuestro motor (ecuaciones 2.33, 2.34 y 2.35), podemos llegar a sustituir el valor de las corrientes de cada fase en la ecuación anterior, y si seguidamente, agrupamos el resultado convenientemente, podemos obtener la siguiente relación de potencia (ecuación 2.44): P=R(i2 a+i2 b+i2 c)+Ls(ia dia dt +ib dib dt +ic dic dt )−ωeΨ(iasin(θe)+ibsin(θe−2 3π)+icsin(θe−4 3π)) (2.44) A continuación, nos centraremos en las diversas componentes que forman la nueva relación de potencia de nuestro motor. Como podemos observar tenemos un total de tres componentes, de forma que la primera componente equivale a las pérdidas de potencia resultante de las resistencias impuestas por las bobinas del estátor de nuestro motor. Si continuamos analizando la ecuación resultante podemos ver, que tenemos un término dependiente de la variación temporal de las corrientes de fase de nuestro motor, estas corrientes al ser sinusoidales y encontrándose equilibradas, hacen que el valor de este término sea nulo. Finalmente nos queda el último término de la ecuación, al ser los dos anteriores responsables de pérdidas y nulos, respectivamente, tenemos que este último término será el equivalente a la potencia mecánica interna de nuestro motor ( pmi ). Pero como podemos comprobar, este término sigue siendo dependiente de las corrientes de fase en función del sistema ‘abc’, de modo que como en el caso anterior realizaremos una agrupación matricial (ecuación 2.45), para poder obtener este valor en función del sistema ’dq’ (ecuación 2.46). pmi =iT abceabc = (T−1 pidq)Teabc (2.45) pmi =idiq0 3 2Ψωe(2.46) Resultando que somos capaces de obtener el valor de la potencia mecánica de nuestro sistema a partir de los valores eléctricos de nuestro motor. Pero a la vez la potencia eléctrica es capaz de ser expresada según la multiplicación de dos parámetros, la potencia mecánica también es capaz, siendo esta la resultante de la multiplicación del par y la velocidad angular (ecuación 2.47). De modo que si introducimos esta nueva relación en la ecuación obtenida anteriormente, seremos capaces de obtener el par de nuestro motor en función de los parámetros eléctricos, dato de gran importancia posteriormente, de forma que obtenemos la ecuación 2.48: pmi =τmiωr(2.47) τmi =3 2ΨNppiq(2.48) Finalmente, podemos observar que esta relación sólo tendrá como parámetro eléctrico variable la corriente según el eje cuadrático, haciendo que el control se centre el valor de este parámetro como veremos más adelante. 2.4 Modelado de la batería. 21 2.4 Modelado de la batería. En este apartado realizaremos una introducción a la batería de nuestro vehículo. Ella es la encargada de proporcionar la energía eléctrica necesaria a partir de la energía química almacenada, para posteriormente poder accionar los motores. Las baterías son fuentes de energía eléctrica continua, y están diseñadas para componerse a su vez de celdas electroquímicas (en la mayoría de los casos) independientes, las cuales estarán distribuidas en asociaciones serie y paralelo. El número de celdas y el número de asociaciones entre ellas describirá la capacidad y características de nuestra batería. Las baterías se pueden encontrar formadas por diversas tecnologías, entre las cuales se encuentran las baterías formadas por condensadores o las formadas por diversas sustancias de semiconductores y metales, estas últimas son las más extendidas y utilizadas. Debemos diferenciar el uso de baterías formadas por conjuntos de condensadores, ya que estas tienen una menor capacidad de almacenaje y sus implementaciones habituales son en aplicaciones con poca necesidad de potencia, al contrario que en el caso que nos compete. Por ello es lógico que nuestra opción sea usar baterías compuestas por celdas electroquímicas, las cuales son las más utilizadas en el campo del automovilismo. A su vez existen gran cantidad de opciones dentro de este campo, dada una gran cantidad de compuestos diversos, los cuales proporcionan distintas características, entre todos ellos podemos descartar las baterías compuestas de plomo-ácido, níquel-cadmio, níquel-hidruro metálico, iones de litio, etc. Para poder elegir entre todas ellas podemos utilizar el diagrama de Ragone, en el cual podemos observar las distintas capacidades de las baterías en función de sus componentes (Fig. 2.11). Figura 2.11 Representación de las capacidades de las diversas tecnologías de almacenamiento de energía. Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Ragone. Una vez elegido el material a utilizar deberíamos de poder caracterizar el comportamiento de la batería, ya que esta no puede proporcionar la cantidad de energía eléctrica necesaria instantáneamente, por lo cual tendrá un periodo de establecimiento hacia este valor. En nuestro caso no introduciremos el modelo de la batería en nuestro trabajo, pero realizamos una breve introducción a éste para posteriores usos y como introducción a la movilidad eléctrica. Uno de los modelados más comunes y sencillos que se realizan en este campo, es la similitud del comportamiento de nuestra batería a un circuito eléctrico (Fig. 2.12) formado por una fuente de tensión, seguida de un resistencia característica y seguida por una impedancia RC en paralelo. Este último elemento es el responsable de modelar la dinámica de la batería tanto en su carga como en su descarga, no teniendo una existencia real. Por otro lado la otra resistencia existente modela la resistencia interna de la batería, la cual hace que tenga una serie de pérdidas y asemeje más a la realidad el modelado. De este modelo eléctrico podemos obtener las ecuaciones que rigen el funcionamiento de la batería, con la simple aplicación de las leyes de Kirchoff (ecuaciones 2.49, 2.50 y 2.51). 22 Capítulo 2. Modelado del vehículo. Figura 2.12 Circuito equivalente del modelo de una batería. Obtenido de: https://paginas.fe.up.pt/˜ ee03195/Carro_Solar/BateriasModelos.html. Vcc=ibR+Vc+Vb(2.49) ic=CdVc dt (2.50) ib=ic+iR2(2.51) 2.5 Modelado del convertidor. Como en el caso anterior introduciremos la existencia de un elemento eléctrico fundamental para el funcionamiento de cualquier vehículo eléctrico, pero no incluiremos su funcionamiento a nuestro modelo final. En este caso hablamos del convertidor eléctrico, este dispositivo es el encargado de poder transformar la energía eléctrica continua (DC) que nos proporciona la batería, en energía alterna (AC) para los motores. En su composición se encuentra formado por elementos electrónicos de potencia, capaces de soportar grandes niveles de energía, existen gran variedad de tipologías usadas para estos dispositivos en función de la tecnología que se elija y el tipo de conversión a realizar. Podemos encontrar entre todas ellas, desde el uso de diodos (convertidores AC-DC), transistores de potencia o tiristores. En nuestro caso nos centraremos en una conversión AC-DC, en las cuales el uso de las dos últimas tecnologías es lo más frecuente. Además después del tipo de tecnología a utilizar existe una gran cantidad de formas de control sobre estos dispositivos donde podemos destacar el uso de Pulse Width Modulation, en la cual nos centramos en la modificación del Duty Cycle de una señal para poder establecer la conmutación de los dispositivos, o el uso de técnicas más avanzadas como la modulación espectral. Por último tenemos que recordar que al tratarse de un dispositivo eléctrico, este tendrá asociado pérdidas por efecto Joule, de forma que el convertidor es otra fuente de pérdidas dentro del circuito eléctrico de nuestro vehículo, y en la implementación de un modelado mayor a realizar, es punto clave a tener en cuenta en la composición de nuestro sistema. 2.6 Modelado de la transmisión. En este apartado hablaremos de un componente previamente introducido en los puntos anteriores y el cual será de vital importancia para el funcionamiento de nuestro vehículo. Este componente es la transmisión. Esta es la responsable de convertir la potencia suministrada por los motores a valores distintos de velocidad angular y par, en función de la relación de transmisión establecida. Este componente se encuentra formado por parejas de engranajes los cuales impondrán la relación de transmisión. Para aportar una vista general de las cajas de cambio en el mercado en su totalidad, tenemos que dividir este dispositivo en dos grupos: • Cajas de cambios manuales • Cajas de cambios automáticas 2.7 Parametrización numérica del modelo. 23 Tabla 2.4 Parámetros constructivos del vehículo. Tabla 2.4 Parámetro Valor asignado Masa del vehículo (M) 1000 Kg Superficie frontal (Sf) 2.13 m2 Coeficiente aerodinámico (Cx) 0.37 Radio de rueda (Rw) 0.31595 m Momento inercial según el eje Z (Izz) 2000 Kg ·m2 Componente longitudinal del vehículo (ai) 1 m Componente lateral del vehículo (bi) 0.7 m Altura del centro de masa respecto del suelo (h) 0.9 m Tabla 2.5 Parámetros constructivos de los motores utilizados. Tabla 2.5 Parámetro Valor asignado Inductancia del motor (Ls) 0.000395 H Flujo magnético (Ψ) 0.1194 Wb Número de par de polos (Npp) 4 Resistencia interna (R) 2 Ω Las funciones que desempeñan las dos tipologías son idénticas, pero es en la forma de establecer el cambio de marcha y su composición es donde podemos encontrar sus diferencias. En el primer tipo, es el conductor el cual realiza el cambio de marcha teniendo que actuar sobre un mando mecánico, que realizará la acción sobre los diversos engranajes mediante cables flexibles sin varillas; esta tipología esta formada por cajas de cambio con pares de engranajes cilíndricos y la unión con el motor se realiza a partir de un elemento de fricción denominado embrague. En la segunda tipología de cajas de cambios nos encontramos las denominadas automáticas, esta tipología realiza el cambio de marcha en función de parámetros como la velocidad del vehículo o la potencia del motor entre otros, de forma que escoge la más conveniente. A diferencia del caso anterior, este cambio se encuentra totalmente automatizado por un controlador electrónico y el conductor no tiene que preocuparse por tal acción. Estas cajas de cambios suelen estar formadas por engranajes epicicloidales a diferencia que al tipo anterior, y son las más utilizadas en el caso de movilidad eléctrica, por esto será la que dispondremos en nuestro modelo. Su tratamiento y obtención de parámetros más característicos se realizará en los siguientes apartados. 2.7 Parametrización numérica del modelo. En esta sección introduciremos los valores de diversos parámetros necesarios para la creación de un modelo computacional. En primer lugar dispondremos de los valores característicos de parámetros de nuestro vehículo (Tabla 2.4). En segundo lugar dispondremos los valores numéricos utilizados para el modelado de los motores (Tabla 2.5). En tercer lugar dispondremos los valores obtenidos para modelar la transmisión que utilizaremos (Tabla 2.6). Por último dispondremos de los valores normalizados con los cuales parametrizaremos los neumáticos en nuestro modelo (Tabla 2.7). 24 Capítulo 2. Modelado del vehículo. Tabla 2.6 Parámetros constructivos de la transmisión. Tabla 2.6 Parámetro Valor asignado 1º relación de transmisión (rt1) 5.01 2º relación de transmisión (rt2) 2.83 3º relación de transmisión (rt3) 1.79 4º relación de transmisión (rt4) 1.26 5º relación de transmisión (rt5) 1 6º relación de transmisión (rt6) 0.83 Relación de transmisión del diferencial (rd f ) 1 Tabla 2.7 Parámetros constructivos de las ruedas. Tabla 2.7 Parámetro Valor asignado Vector de valores a (a1−a18)a1=1,a3=a4=1100,a5=10,a8=−2 Vector de valores b (b1−b14)b1=1.5,b3=1100,b5=300,b9=−2 Todos los valores no indicados, se consideran nulos 3 Control del vehículo. En este apartado realizaremos una introducción a la teoría de control necesaria para poder actuar sobre nuestro sistema y los métodos elegidos por nuestro criterio para el control autónomo de diversas características de nuestro vehículo. 3.1 Introducción al control de sistemas. Primero explicaremos la teoría utilizada en general para el control de sistemas, ya que es la utilizada como base para el control del vehículo en su totalidad. En un principio tenemos que establecer que todo sistema en estudio se puede modelar respecto a una función que denominaremos de transferencia (G(s)), esta función puede expresarse como la relación entre las salidas y las entradas al sistema en estudio, denominando las salidas como Y(s) y las entradas como U(s), pudiendo establecer la relación G(s) = Y(s) U(s) . Esta relación debe obtenerse respecto a las ecuaciones o leyes que rijan al sistema. G(s) = K τts+1(3.1) Toda función de transferencia se puede aproximar a lo que se denomina un sistema de primer orden (ecuación 3.1), este tipo de sistema se caracteriza por su simplicidad y por parametrizar a un sistema en estudio según el valor de dos parámetros, la constante de tiempo ( τt ) y la ganancia del sistema (K). La constante de tiempo se expresa como, el tiempo que debe de transcurrir para que la salida del sistema alcance un 66% del valor en régimen permanente. En el caso de la ganancia, como su nombre indica, representa la ganancia del sistema, es decir la relación entre la salida obtenida y la entrada proporcionada. Una vez introducida la obtención del comportamiento del sistema respecto a una función característica debemos introducir la idea general de control. En este caso, el control intenta, en todo momento que el sistema llegue a un valor de referencia determinado de su estado. Este valor se le impone, de modo que siempre intenta llegar a dicho valor. Pero para poder llegar a un valor determinado, el control se nutre de la diferencia del estado actual del sistema con el valor de referencia impuesto, a esta diferencia de valores se le denomina error (E(s)). Consiguiendo de esta manera una realimentación en nuestro sistema de control. Este error sería la entrada de nuestro sistema de control, al cual podemos expresar de la misma forma que a nuestro sistema, según una función característica que denominaremos C(s). La salida de este sistema de control corresponde a la entrada de nuestro sistema en estudio, de forma que podemos obtener el siguiente diagrama de bloques (Fig. 3.1). Figura 3.1 Diagrama de bloques resultante del sistema de control. 25 26 Capítulo 3. Control del vehículo. Ahora que sabemos la topología que tiene un sistema de control básico, introduciremos qué relación existe entre la entrada y la salida del bloque de control (C(s)). Esta segunda variable será la responsable de que nuestro sistema sea capaz de alcanzar la referencia impuesta. La relación entre estas dos componentes llega a ser de tres tipos: 1) Relación Proporcional. 2) Relación Integral. 3) Relación Derivativa. 1) En primer lugar tenemos la relación proporcional entre el error y la señal de control, esta se trata de la relación más simple que podemos encontrar en un sistema de control y que, si se implementa, se denomina a los controladores como proporcionales (P). Como su nombre indica establece una relación proporcional entre la salida de nuestro sistema de control y el error que representa la entrada de este, U(s) = KpE(s) . En este caso cuanto mayor sea el valor de la constante proporcional ( Kp ), se alcanzará mucho antes el valor de referencia establecido. Pero si esta variable tiene un valor muy elevado puede llegar a ocurrir que exista en el sistema sobreoscilaciones y fenómenos de inestabilidad; por lo cual hay que encontrar un valor adecuado para esta variable que haga que el tiempo de transición entre el valor actual y el deseado sea el menor posible sin incorporar inestabilidades. 2) En segundo lugar tenemos la relación integral, esta relación se basa en la existencia de un valor constante ( Ti ) que multiplica a la integral el valor del error desde un instante cero hasta el momento actual. Esta relación se encarga de mejorar el régimen permanente de establecimiento de la señal respecto a la referencia dada, de forma que no exista mucha disparidad entre los dos valores. En general esta relación suele ir acompañada de la relación anterior (PI) o todas en conjunto (PID). En caso de tener esta característica se le incluye a los controladores el término de integral. 3) Como última relación tenemos el término diferencial, en este caso como en el anterior, este término se refiere a la existencia de un valor constante ( Td ) que multiplicaría al valor de la derivada del error, obteniendo en este caso una acción según la evolución del error y pudiéndonos centrar en el control, en el régimen transitorio de nuestro sistema. Como en el caso anterior, esta relación no suele existir aplicada individualmente y siempre suele ir acompañada del término proporcional (PD) o en conjunto con todos los términos (PID). En este caso, a los controladores que poseen este término se les otorga la característica de derivativos. De forma que un controlador completo con todas estas características se puede obtener según las ecuaciones 3.2 y 3.3: E(s) = Re f erencia −Y(s)(3.2) C(s) = U(s) E(s)=Kp(1+1 Tis+Tds)(3.3) Por último tenemos que aclarar que todas las variables de los sistemas se han definido en función de una variable s, esto ocurre porque la teoría de control se basa en sistemas a los cuales se le ha aplicado una transformación de Laplace, debido a que gracias a esta transformación se puede trabajar más fácilmente con ecuaciones, las cuales incluyan derivadas o integrales, y que son muy frecuentes en las aplicaciones reales. Además tenemos que añadir que toda esta teoría se basa en sistemas de ecuaciones lineales, caso que no es el nuestro, por lo cual, para tratar con el control de nuestro sistema, tendremos que realizar una linealización de este cerca de un punto de funcionamiento. 3.2 Control de intensidades. En primer lugar introduciremos el control aportado a los motores de nuestro vehículo, ya que tal y como vimos en el apartado de modelado, el par deseado se encuentra directamente relacionado con la intensidad en el eje de cuadratura del motor (ecuación 2.48), por lo cual es evidente que el control de estas intensidades será primordial para aportar el par demandado por el conductor al vehículo. Como introdujimos en el apartado anterior, podemos modelar un sistema en función de las ecuaciones que lo rigen, obteniendo en este caso una función de transferencia; relación directa entre las entradas y salidas de nuestro sistema. Es directo suponer que las salidas de nuestro sistema tienen que ser del mismo tipo 3.3 Control de velocidad. 27 que la referencia a asignar, por lo cual estas salidas serán las intensidades ’dq’. Según las ecuaciones 2.41 y 2.42, podemos describir unas nuevas variables como udq (ecuaciones 3.4 y 3.5), de modo que resultan las ecuaciones 3.6 y 3.7, y de estas la obtención de un sistema de primer orden para cada eje del sistema (ecuaciones 3.8 y 3.9). ud=vd+Lsωeiq(3.4) uq=vq−Lsωeid−ωeΨ(3.5) Ls did dt =ud−Rid(3.6) Ls diq dt =uq−Riq(3.7) Gd(s) = 1 R Ls Rs+1(3.8) Gq(s) = 1 R Ls Rs+1(3.9) En este caso implementaremos un control PI, tal y como realiza Mauricio en [5], el cual tendrá la función de transferencia según la ecuación 3.10. Podemos establecer la relación entre el valor de los parámetros del sistema de primer orden a controlar y el propio controlador, realizando una asignación en bucle abierto ( GBA ) y en bucle cerrado (GBC) de ambos sistemas (ecuaciones 3.11 y 3.12). C(s) = uj(s) eij(s)=Kp(Tis+1 Tis)(3.10) En la ecuación anterior el sufijo jestablece la relación entre las parejas de parámetros ( ud y eid ) y ( uq y eiq). GBA(s) = C(s)G(s) = Kp(Tis+1 Tis)K τs+1(3.11) GBC(s) = GBA 1+GBA =1 Ti KpKs+1(3.12) De esta forma si en la relación en bucle abierto tratamos de anular el denominador de nuestro sistema, podremos obtener el valor de la constante de tiempo de nuestro controlador (ecuación 3.13). En el caso de la relación en bucle cerrado podemos obtener el valor de la componente proporcional del controlador, en función del valor de la constante de tiempo de nuestro sistema realimentado ( τsist ) (ecuación 3.14). Como pretendemos que la dinámica de los motores sea mucho más rápida que la dinámica de nuestro vehículo completo, asignaremos un valor pequeño a la constante de tiempo del sistema realimentado, obteniendo los valores del controlador indicados en la tabla 3.1. Ti=τ(3.13) Kp=Ti τsist K(3.14) 3.3 Control de velocidad. En este apartado indicaremos el trabajo realizado para establecer un control de velocidades óptimo para nuestro sistema. En primer lugar debemos indicar la necesidad de dicho control, ya que en las ecuaciones de modelado de nuestro sistema, el par que generan los motores es un parámetro fundamental para la dinámica del vehículo; pero para que los motores generen dicho par debemos proporcionar un par de referencia al 34 Capítulo 3. Control del vehículo. En esta ecuación denotamos a K, como la ganancia aplicada al error de deslizamiento ( eslip ). Este error de deslizamiento tendrá valores definidos de la siguiente forma (ecuación 3.23): eslip =slipre f −slip si slipre f <slip 0 en otro caso (3.23) Control de estabilidad basado en ganancias. Este tipo de controlador fue diseñado por Miguel Navas en [7], de modo que propone una vectorización del par aplicado en cada rueda. Para poder comprender mejor el controlador propuesto, explicaremos brevemente en qué consiste la técnica de vectorización del par. Este tipo de controlador trata de relacionar el par demandado por el conductor con el par realmente aplicado a las ruedas, de forma que consigamos cumplir tanto con la consigna de velocidad como con las consignas de tracción. Esta relación se obtiene a través de unas constantes que se denominan Ktraccin y Kestabilidad, obteniendo la ecuación 3.24: τe jercido =KtraccinKestabilidadτdeseado (3.24) Como podemos ver se trata de un controlador simple, que facilita el tiempo de cálculo de nuestro sistema y cuyo ajuste se debe realizar experimentalmente. A continuación explicaremos cómo podemos expresar las diversas constantes de este método y a qué circunstancias hacen referencia. 1) En primer lugar vamos a tratar sobre las ganancias de tracción. Estas ganancias se basan en realizar una relación proporcional, entre el par aplicado y el demandado según la carga vertical que soporta cada rueda, de forma que tienen la siguiente expresión (ecuación 3.25): Ktraccin =4Kt Fz M(3.25) En la ecuación anterior podemos ver como la ganancia depende de ciertos valores. Entre los que se encuentran Fz , denominando a la fuerza vertical soportada por cada rueda; M , la masa total del vehículo y Kt , un parámetro ajustable, para determinar la relación entre la importancia de esta variable respecto de la relación global. 2) En segundo lugar tenemos la ganancia de estabilidad, esta ganancia es creada para relacionar los pares respecto del error cometido según la diferencia entre un yaw rate deseado y un valor real. Obteniendo un valor de esta ganancia para cada una de las ruedas de nuestro vehículo (ecuaciones 3.26-3.29): Kestabilidad1=1−Kpeyawrate (3.26) Kestabilidad2=1+Kpeyawrate (3.27) Kestabilidad3=1−Kpeyawrate (3.28) Kestabilidad4=1+Kpeyawrate (3.29) Aquí podemos observar que el valor de estas ganancias también serán variables en función de un valor ajustable denominado Kp y un valor denominado eyawrate , siendo este último la diferencia entre un valor de yaw rate deseado y el valor real obtenido, eyawrate =ϕdes −ϕ . Además, debemos observar que en función de a qué rueda estemos calculando esta ganancia, debemos sumar o restar el error cometido. Este se trata de un criterio tomado sólo para una situación de sobreviraje, en el caso de encontrarnos en una situación subviraje debemos cambiar el signo del error. Por último a esta ganancia explicada se le aplica en ciertas circunstancias una corrección. De forma que si el deslizamiento en la rueda supera cierto umbral, el valor de la ganancia de estabilidad debe ser corregido, para así realizar un menor par, lo que implicaría una disminución del deslizamiento resultante, según la siguiente ecuación (ecuación 3.30): Kestabilidadi=Kestabilidadi 1 Kdslip (3.30) 3.5 Control de tracción. 35 Con esto podemos apreciar que dicha corrección será inversamente proporcional al valor de deslizamiento y a un parámetro ajustable denominado Kd . Puede llegar a ocurrir que nuestro sistema se encuentre durante mucho tiempo oscilando en torno al punto de corrección elegido, de forma que para no encontrarnos grandes cantidades de activaciones y desactivaciones seguidas de esta corrección utilizamos el concepto de histéresis introducido en apartados anteriores. De este modo disponemos de un intervalo determinado por nosotros para distanciar dichos puntos de activación de la corrección de ganancia. Control de yaw rate mediante PI. Este tipo de control fue mostrado por David Rodríguez en [8], donde se propone realizar un control de tracción del vehículo mediante un control PI de un sistema SISO (Sigle Output Single Input). De forma que podemos actuar sobre un sistema con tres grados de libertad siendo estos: • Torque de la rueda frontal interior. • Torque de la rueda frontal exterior y trasera interior. • Torque de la rueda trasera interior. De forma que la suma de estos torques sea igual al demandado por el conductor. De eta forma lo que se consigue es calcular el valor de un ratio independiente para cada rueda, de modo que en función del par demandado podamos obtener el par que debe de realizar cada rueda independientemente; según la ecuación 3.31. La obtención de los diversos ratios se obtienen gracias a las ecuaciones de 3.32 a 3.35, además podemos observar la composición del controlador según la figura 3.7. τaplicado =ratioi·τdemandado (3.31) ratiofi = (1−u)(1−u)(3.32) ratiof o = (1−u)u(3.33) ratiori =u(1−u)(3.34) ratioro =u2(3.35) Figura 3.7 Modelo del control del yaw rate mediante PI. Obtenido de [8]. Como es lógico pensar, al implementar un controlador PI, la entrada de éste debe ser el error del yaw rate real respecto de un valor deseado. Además los ratios se encuentran referidos a las ruedas internas (sufijo i), ruedas externas (sufijo o), frontales y traseras (sufijo fyrrespectivamente), por lo cual el ratio aplicado a cada rueda dependerá del sentido del giro que el conductor imponga. 3.5.3 Modelo de Ackerman y obtención de referencia. Anteriormente hemos introducido una serie de controladores que podemos implementar en nuestro modelo, y de la misma forma en varias ocasiones nos hemos referido a un término que necesitamos para el control, 36 Capítulo 3. Control del vehículo. como es la necesidad de un valor de referencia. Pero no hemos especificado cómo obtener este valor de referencia según las imposiciones de velocidad y dirección del conductor, tema que abordaremos en este subapartado y que requerirá de la utilización del modelo de Ackerman. Modelo de Ackerman. En primer lugar debemos recordar que todos los cálculos realizados hasta el momento se han basado en una serie de simplificaciones, que en la mayoría de los casos concuerdan con los obtenidos en la realidad. Pero esto acaba aquí, ya que la necesidad de imponer una referencia respecto de la trayectoria impuesta por el conductor hace que tengamos que dejar de utilizar los modelos simplificados e implementar ciertas características nuevas. El modelo utilizado hasta ahora ha sido el denominado modelo de la bicicleta (Fig. 3.8), como su nombre indica asemejamos el vehículo a una bicicleta, de forma que el ángulo de giro ( δ ) se utiliza como igual en ambas ruedas directrices, caso que no ocurre en la realidad. Figura 3.8 Diferencias entre el modelo de bicicleta y el modelo de Ackerman. Obtenido de [8]. En el supuesto que impusiéramos este caso en un modelo real, se crearían inestabilidades a la hora de realizar curvas, ya que en un caso real, la rueda exterior al sentido de giro debería de girar en menor proporción que la rueda interior. Para lograr esto hay que imponer distintos ángulos de giro a cada rueda, esto se consigue gracias al modelo de Ackerman. Modelo que establece una relación trigonométrica entre los ángulos de dirección de cada rueda (ecuación 3.36). cot(δo)−cot(δi) = w l(3.36) En esta ecuación se encuentra el ángulo de dirección de las ruedas directrices, referidas como δi y δo , rueda interior y exterior en el sentido del giro respectivamente; además de parámetros respectivos a la dimensión del vehículo introducidos anteriormente. De modo que obtendremos una diferencia respecto a los dos ángulos de dirección, consiguiendo así una mejor similitud respecto a un caso real, dando mayor robustez a nuestro modelado y control. En nuestro caso el ángulo de dirección que obtenemos por parte del conductor corresponderá al asignado a la rueda 1, mientras que el de la rueda 2 será obtenido mediante el modelo de Ackerman. Obtención de referencia. Como introdujimos anteriormente en los diversos métodos de control explicados necesitamos una medida de referencia de nuestro vehículo, para ser más concreto necesitamos un valor concreto del yaw rate que deseamos alcanzar en cada momento. Esta referencia la encontramos contemplada en [8], de forma que se define como (ecuación 3.37): yawratedeseado =vx Rd (3.37) En el documento de David Rodríguez ([8]), se hace referencia al cálculo del ángulo de giro real del modelo respecto al ángulo de giro del modelo de Ackerman y la aceleración longitudinal del vehículo. De forma que este último parámetro tiene añadido una ganancia denominada Kv , que podría variar en función de la existencia de sobreviraje o subviraje en el vehículo. Pero para la obtención de una referencia para nuestro 3.5 Control de tracción. 37 Tabla 3.5 Parámetros del control de tracción basado en PI. Tabla 3.5 Parámetros de control Valor asignado Parámetro Proporcional (P) 40 Parámetro Integral (I) 1 Tabla 3.6 Parámetros del control de estabilidad basado en constantes. Tabla 3.6 Parámetros de control Valor asignado Parámetro ajustable Kt0.25 Parámetro ajustable Kp1.5 Parámetro ajustable Kd1 sistema de control se toma como situación real la relacionada con el equilibrio, donde el valor de la ganancia indicada anteriormente es cero. En este caso el yaw rate deseado dependerá de la velocidad longitudinal del vehículo ( vx ) y del radio de giro deseado ( Rd ). En este caso el radio de giro deseado se establece según la relación entre el ángulo de giro del modelo de Ackerman y la componente longitudinal del vehículo de la siguiente forma (ecuación 3.38): δackerman =arctan(L Rd )(3.38) Llegado este punto ya tenemos todas las piezas necesarias para poder implementar tanto el modelado como el control de nuestro sistema completo. 3.5.4 Control de tracción resultante. En el apartado anterior hemos visto un total de tres alternativas distintas, de las cuales podemos obtener un control de tracción realizable. En el primero de ellos hemos visto que se trataba de un sistema de limitación de par, es decir no cambiaba la consigna de par definida anteriormente por el sistema, de modo que lo implementaremos por su sencillez y para garantizar que no se apliquen pares excesivos a las ruedas y que puedan crear una inestabilidad real. Aunque no utilizaremos la corrección de limitación en función del error de deslizamiento, lo que correspondería a un caso de K=0. En segundo lugar vamos a introducir en nuestro módulo de control, tanto el control basado en PI como el basado en ganancias. Estos se alimentarán del par pedido por el control de velocidad y lo modificarán en función de las necesidades del conductor. Además estos dos sistemas de tracción son obtenibles experimentalmente, lo que nos permitirá probar dicho sistema para distintas circunstancias y valores de parámetros de control. Aclaramos que no se implementarán ambos sistemas a la vez, es decir, en el momento de simulación se deberá de escoger entre uno de ellos para ser utilizado. El valor finalmente asignado a cada controlador se puede observar en las tablas 3.5 y 3.6. 4 Implementación software. Una vez hemos definido el sistema de ecuaciones que rigen el comportamiento de nuestro sistema, y hemos adoptado una serie de métodos para su control; debemos de realizar una implementación real en alguna plataforma de simulación o software, que nos permita tratar con el sistema propuesto y así corroborar la validez de este. Todos estos puntos los trataremos en este capítulo, de forma que elegiremos la plataforma final donde realicemos dicha implementación; comentaremos algunos cambios que tuvimos que realizar a nuestro modelo, y que solo pudimos detectar su necesidad a la hora de realizar ciertas simulaciones. 4.1 Software a utilizar. En un primer lugar debemos de buscar las características que debe de tener la plataforma software donde realicemos dicha implementación. Existen una gran variedad de lenguajes de programación y de aplicaciones que están enfocadas a un uso de gran cantidad de datos, y a su uso en análisis y cálculo numérico; enfocados para desarrollar todo tipo de algoritmos y creación de modelos. Entre todos ellos podemos destacar un lenguaje de programación que está tomando cada vez más relevancia por su capacidad de cómputo y por la existencia de una gran cantidad de módulos enfocados a diversos propósitos, como es Python. Por otro lado tenemos una plataforma software también muy utilizada en el campo científico y de la ingeniería, que dispone de una gran cantidad de toolbox y funciones diseñadas específicamente para enfocarse en un campo concreto de la ciencia, en este caso estamos hablando de Matlab/Simulink. A continuación expondremos ambas plataformas, para poder ver cuál es la que mejor encaja en las necesidades que tenemos. 4.1.1 Python. Para poder introducir las capacidades de este lenguaje de programación debemos de realizar una breve explicación de las características principales que diferencian a Python de otros tipos de lenguaje existente. En primer lugar el lenguaje Python se define como un lenguaje interpretado. Un lenguaje interpretado es aquel que no realiza una compilación previa del fichero a ejecutar, no separando esta forma el momento de comprobación de errores o inconsistencias en el código, del momento de ejecución de este. De esta forma si en un caso real tuviéramos algún tipo de error de programación según las normas que nos impone este lenguaje, solo seriamos capaces de comprobarlas ejecutando el código. Si comparamos esta característica con el funcionamiento de otros lenguajes de programación, más populares y utilizados en gran cantidad de aplicaciones como puede ser C++; este tipo de lenguaje separa las dos fases anteriormente mencionadas, de forma que somos capaces de detectar los diversos errores y solucionarlos sin que el programa tenga que encontrarse en ejecución. Además al separar ambas fases conseguimos una mayor eficiencia del programa, de forma que el código desarrollado pasa en una fase anterior por una traducción de un lenguaje de alto nivel a instrucciones máquina que el dispositivo debe de realizar. Pero aunque podamos pensar, que esto hace que cualquier programa en este lenguaje se vuelva ineficiente frente a la misma programación en lenguajes con versatilidad de alto y bajo nivel (caso de C++), estaríamos 39 40 Capítulo 4. Implementación software. equivocados. Dado que python tiene diversas características que hacen que se encuentre entre los lenguajes de programación actuales más usados y con un abanico de posibilidades más amplios. Aunque ya comentamos que nuestro código se centra en una filosofía de lenguaje interpretado, también podemos destacar que nos permite una gran libertad a la hora de creación de estructuras y variables que estén compuestas de tipos de datos distintos, a diferencia de otros lenguajes de programación. Esto ocurre dado que python se concibió con la idea de ser un lenguaje que no impusiera un tamaño o cualquier tipo de restricciones a los usuarios con este tema, frente a los datos que utilizaremos, a la vez que trataba de ser simple y de fácil aprendizaje si ya sabíamos utilizar otros lenguajes de programación. En la actualidad este lenguaje se utiliza en ámbitos tan diversos como puede ser, la representación gráfica, el desarrollo de inteligencia artificial y la implementación de machine learning o la programación web tanto en grandes servidores como en todo tipo de clientes. Además es muy aceptado por académicos de todo el mundo que desarrollan en una gran cantidad de aplicaciones en diversos campos. Es en la idea de estas aplicaciones o mejor conocidos como módulos donde debemos de hacer hincapié. Estos módulos se pueden concebir como ficheros externos donde se definen una cierta cantidad de funciones o clases, la mejor analogía con otros lenguajes de programación son las tan famosas bibliotecas de funciones que podríamos tener en otros lenguajes como C++. De forma que no hace falta que debamos desarrollar el código por completo dado que nos podríamos ayudar de dichos módulos. Entre todos ellos podemos encontrar módulos destinados al tratamiento de imágenes, el aprendizaje de inteligencia artificial o módulos dedicados al uso de plataformas hardware específicas. Todo esto gracias a la filosofía de open source en la que se basa el lenguaje. Este tipo de modelo de desarrollo de software se enfoca en la característica de proveer al usuario la capacidad de poder acceder al código fuente de programación del lenguaje, de modo que este pueda realizar modificaciones o añadir ciertas prestaciones nuevas al mismo. Además garantiza la viabilidad de obtener de forma gratuita dicho software y poder crear ampliaciones para el mismo, este último caso sería la capacidad de creación de módulos definidos anteriormente. De este modo el lenguaje de Python se basa en la automejora realizada por una gran comunidad de usuarios, teniendo como resultado una mejora continua del software y aparición de cada vez más capacidades y opciones de este. Por este motivo en los últimos años las aplicaciones que se encuentran basadas en Python, a aumentado considerablemente, incluso llegando a superar a plataformas de software propietario de empresas destacadas en el sector. 4.1.2 Matlab/Simulink. En el otro lado de la balanza tenemos una plataforma de software propietario que podemos destacar su uso en muchos campos de la ciencia y de la ingeniería, como es Matlab, pero más concretamente en su paquete de simulación y modelado Simulink. Como hemos comentado esta se trata de una plataforma de software propietario, por lo cual podremos crear nuestros propios ficheros o funciones pero solo podremos depender de las ampliaciones y toolbox que nos ofrezca la compañía MathWorks propietaria del software. Como en el caso anterior, Matlab también se trata de una plataforma software de lenguaje interpretado. Es decir, como en el caso anterior no tenemos una separación entre las fases de compilación y detección de errores y la propia ejecución del modelo. Matlab, es uno de los softwares propietarios más utilizados para la realización de cálculos matemáticos y el tratamiento de datos, dado que dispone de un sinfín de extensiones enfocadas a diversos ámbitos de la ciencia, entre los que podemos destacar el tratamiento de datos, el tratamiento de imágenes, toolbox de probabilidad y estadística, toolbox de robótica, etc. Pero en nuestro caso no nos interesa la utilización de estos toolbox, dado que queremos implementar un modelado que tenemos bien definido matemáticamente. Por lo cual necesitaremos un entorno de programación que nos facilite la creación de un modelo y su posterior comprobación frente a representaciones de datos obtenidos; es ahí donde encontramos más que beneficioso el paquete de Simulink que nos ofrece Matlab. Para introducir este paquete de diseño y simulación de modelos, tenemos que dejar a un lado en un primer momento la idea de programar un sistema creando ficheros que ejecuten una serie de funciones que nosotros definamos, con sus respectivas entradas y salidas. Puesto que el paquete de Simulink ofrece un tipo de programación gráfica, en el cual incorporaremos una serie de bloques en los cuales definiremos una función a realizar, con sus respectivas entradas y salidas. De forma que nosotros deberemos de crear dichos bloques, ahora sí programando unas ciertas funciones y posteriormente conectarlos entre sí, mediante una interfaz gráfica de líneas. Este paquete de simulación puede llegar a ser muy versátil, dado que desde un inicio disponemos de una librería implementada, desde la cual disponemos de una gran cantidad de bloques predefinidos, como pueden 4.2 Implementación del modelo definido. 41 ser controladores PID, generadores de señal, simuladores de robots, etc. De forma que cierta parte del código puede llegar a ser extraída de estas bibliotecas preexistentes. Además el paquete de Matlab/Simulink interactúa entre sí, de forma que automáticamente se genera código en diversos lenguajes de programación perteneciente al modelo de bloques implementado en Simulink, y este código es analizado y ejecutado por la plataforma Matlab. De modo que si quisiéramos, podríamos extraer un código ejecutable de nuestro fichero en Simulink y poder ejecutarlo en cualquier otro dispositivo con capacidad de procesamiento de código. De forma que conseguimos de una manera fácil y rápida la conversión de un sistema gráfico fácil de comprender, en una serie de ficheros ejecutables. De este modo, podemos realizar diversas simulaciones de una gran cantidad de sistemas distintos, sin la necesidad de depender del propio sistema físico y poder obtener resultados computables por cualquier dispositivo con la suficiente inteligencia. 4.1.3 Software elegido. Una vez hemos podido ver las diversas características de ambas opciones, es hora de poder decantarse por una de ellas. En este caso como tenemos que realizar la implementación de un modelado de un sistema que es complejo, debemos de procurar que la implementación sea de lo más intuitiva posible, a la vez que aseguramos el correcto funcionamiento de todos los componentes de este. Por todo esto y por tener mayor experiencia en el uso de esta plataforma, nos decantamos por implementar dicho modelado en la plataforma Matlab/Simulink. En cualquier caso si se quisiera realizar una implementación en cualquier tipo de sistema diferente a este, se podría realizar sin problemas, debiendo de tener en cuenta las diferencias entre ambos, aunque la implementación sería muy similar. 4.2 Implementación del modelo definido. En este apartado comentaremos las diversas consideraciones que hemos tenido para implementar todas las partes de nuestro sistema, así como diversas variaciones que hemos tenido que realizar para el correcto funcionamiento de todas las partes. 4.2.1 Modelo longitudinal del vehículo. Como ya explicamos en su momento, el modelo longitudinal del vehículo consta de la aplicación de la Segunda Ley de Newton, en la que se realiza un sumatorio de fuerzas aplicadas en dicha componente y se iguala al múltiplo de la masa del vehículo por la aceleración en dicha componente (Fx=m·ax). Influencia del modelado solido-rígido en nuestro sistema Como introdujimos en el apartado respectivo del modelado de nuestro sistema, todo modelado inercial que hemos realizado en el plano son respectos a los ejes solidarios a nuestro vehículo y de forma que obtenemos la información relevante del punto de masa o c.d.g. Pero en nuestro sistema a implementar adelantamos que necesitaremos conocer las velocidades de puntos característicos como las ruedas del vehículo para la implementación posterior del modelo de Pacejka. Otra implementación que debemos de recordar es la implementación del modelado dinámico longitudinal del vehículo, para este necesitaremos las fuerzas de resistencia la rodadura, que se trataban de unas fuerzas opositoras al desplazamiento del vehículo. De modo que en función del valor de la velocidad de cada rueda, debemos de determinar el valor de dicha fuerza. En caso de tener una velocidad positiva de las ruedas en los ejes de referencia locales, tendremos una fuerza negativa respectos a estos ejes, como causa de la oposición al movimiento. Es por ello por lo que el cálculo de la velocidad de cada rueda es un parámetro a tener en cuenta y que no hemos sopesado aún. Es por esto por lo que debemos indagar en la dinámica del modelo sólido-rígido. Para el caso del cálculo de estas velocidades, debemos de tratar al vehículo en estudio como un sólidorígido. De esta forma y como también realiza Jazar (2019, [1]), podríamos obtener el valor de la velocidad de cualquier punto del sólido si aplicáramos la Ley del Campo de Velocidades. De este podemos obtener la relación de la velocidad de dos puntos que formen parte del mismo sólido como (ecuación 4.1): ~ vP=~ vO+~ ω∧~ OP →  vP x vP y 0 =  vO x vO y 0 +  0 0 ϕ ∧  ±ai ±bi 0 (4.1) 42 Capítulo 4. Implementación software. En la ecuación anterior se puede obtener el vector velocidad en un punto determinado P, a partir del vector velocidad de otro punto (O); y del producto vectorial que forman la velocidad angular del sólido ( ~ ω ) y el vector de posición del punto P respecto del punto O. En nuestro caso supondremos que la velocidad del punto conocido será la velocidad del punto de masa (c.d.g) obtenible de los modelados definidos, la velocidad angular del sólido es igual al valor del yaw rate, y que el vector de posición lo podemos obtener de las características físicas del modelo. De este modo obtendremos la velocidad de la rueda respecto al sistema de referencia rueda-vehículo, triedro C en la figura 2.1, que coincidirá con las velocidades de las ruedas no directrices pero no en el caso contrario; con lo cual debemos de calcular dicha velocidad expresada en el triedro de referencia de la rueda (triedro W) usando el ángulo de dirección ( δ ), tal y como se puede apreciar en la figura 2.5. Por lo cual concluimos , del mismo modo que Jazar (2019, [1]), que las ecuaciones que rigen la componente longitudinal de la velocidad de cada rueda es equivalente a las siguientes ecuaciones (ecuaciones 4.2 a 4.5): vR1= (vx−ϕb1)cos(δ1)+(vy+ϕa1)sin(δ1)(4.2) vR2= (vx+ϕb1)cos(δ2)+(vy+ϕa1)sin(δ2)(4.3) vR3=vx−ϕb2(4.4) vR4=vx+ϕb2(4.5) De modo que somos capaces de obtener el valor de las velocidades longitudinales de cada rueda, en función de valores que conocemos y de parámetros que obtendremos más adelante. De esta forma, seremos capaces de poder establecer las diversas ecuaciones y modelados explicados anteriormente que necesitan velocidades de puntos distintos al del centro de masa. Otra característica de este modelado que no comentamos en su momento es la relación entre la expresión de dichas fuerzas en componentes de los ejes solidarios a nuestro vehículo y los ejes globales de referencia. Tal y como introduce Jazar(2019, [1]) se puede relacionar dichas fuerzas a partir de una matriz de rotación respecto el eje Z ( RB G ), siendo esta matriz la correspondiente en convertir los valores obtenidos de los ejes globales (G) en valores correspondientes a los ejes solidarios al vehículo (B). De modo que la expresión que relaciona ambas fuerzas se obtiene como (ecuación 4.6): ~ FB=RB G~ FG=RB G(m·~ aG B) = m·(˙ ~vB+~ ωB∧~vB)(4.6) En esta ecuación resultante podemos ver que la aceleración se descompone en varios partes, siendo la aceleración global dependiente de la aceleración expresada en ejes locales (B), además del producto del yaw rate y la velocidad local. Por lo cual tendremos que el valor real de la aceleración expresada en ejes locales se puede obtener de la siguiente relación (ecuación 4.7): ~a=  dvx dt dvy dt 0 =  ˙vx−ϕvy ˙vy−ϕvx 0 (4.7) Como mencionamos en el apartado de modelado del sistema, para obtener el valor de la velocidad expresada en ejes locales, debemos de integrar el valor de la aceleración local, pero nos encontramos que esta es dependiente de su propia integral. Para poder solucionarlo despejaremos la ecuación anterior paro solo obtener el valor de ~ ˙B v , y supondremos que tenemos como entrada a nuestra función el valor de la velocidad necesaria. Adelantamos que dicho valor será posible gracias a la implementación de un bloque nativo de Matlab denominado integrador, y que nos proporciona un valor de condiciones iniciales. Durante todo el transcurso de este capítulo veremos como la necesidad de establecer unas condiciones iniciales previas será fundamental para poder realizar una correcta implementación del modelo. Entradas a la función. Si continuamos con la implementación de dicho modelado vemos que como entradas a nuestra función necesitaremos: 4.2 Implementación del modelo definido. 43 • Fuerzas implicadas. Necesitaremos todo el conjunto de fuerzas longitudinales que afectan a nuestro vehículo, además de las fuerzas laterales de las ruedas directrices, que como vimos en puntos anteriores cobran relevancia si existe un ángulo de dirección distinto de cero. • Características generales del modelo. Características del vehículo que en un principio podrían ser aleatorias, pero que deben de tomarse de un sistema real, si se pretende realizar una simulación lo más semejante a la realidad posible. Entre estos datos podemos destacar, la masa del vehículo, el coeficiente de rodadura, parámetros aerodinámicos ya mencionados y parámetros dimensionales del vehículo. • Velocidad del vehículo. Como introdujimos anteriormente necesitaremos las componentes de la velocidad del vehículo para el cálculo tanto de la aceleración como de la fuerza aerodinámica sufrida por el vehículo. • Ángulo de la dirección del vehículo ( δ ). Necesitaremos dicho valor para poder establecer las componentes longitudinales de las fuerzas relacionadas con las ruedas directrices. Además tendremos que implementar el modelo de Ackerman, como indicamos en puntos anteriores. • Yaw rate ( ϕ ). Necesitaremos el valor de dicho parámetro para el cálculo de la aceleración pertinente. Código implementado. Aunque hemos supuesto como entrada a nuestra función todas las fuerzas que se implican en el modelo longitudinal del vehículo, solo serán entrada las que necesiten de un cálculo más extenso, como pueden ser las fuerzas correspondientes al modelo de Pacejka y las fuerzas normales soportadas por las ruedas. En todos los demás casos se realizará su cálculo en el interior de la función. El resultado final de la función a programar se muestra a continuación: function ax = ModLongVeh (car_data,alfa,Fx1,Fx2,Fx3,Fx4,Fy1,Fy2,vx,vy,yaw_rate, delta,Fz1,Fz2,Fz3,Fz4,Crr) %% Datos necesarios rho_air=1.225; g=9.81; Sf=car_data(1); Cx=car_data(2); Crr=car_data(3); M=car_data(5); a1=car_data(9); b1=car_data(10); %% Calculo de fuerzas implicadas f_delta=g*M*sin(alfa); fd=0.5*rho_air*Sf*Cx*vx^2; %Modelo de Ackerman delta1=delta; if delta>0 delta2=acot((b1/a1)+cot(delta)); elseif delta<0 delta2=acot(-(b1/a1)+cot(delta)); else delta2=delta; end c1=cos(delta1); s1=sin(delta1); c2=cos(delta2); s2=sin(delta2); 50 Capítulo 4. Implementación software. function [alfa1_r,alfa2_r, alfa3_r, alfa4_r,alfa1_w,alfa2_w, alfa3_w, alfa4_w] = ModAngVeh (Kw,Fx1,Fx2,Fx3,Fx4,tau1_w, tau2_w,tau3_w,tau4_w, tau1_r, tau2_r,tau3_r,tau4_r,vx,vy,yaw_rate,delta,car_data,Fz1,Fz2,Fz3,Fz4,Crr, enable) Jr=0.35; Jw=5; Rw=0.31595; %% Parametros constructivos Crr=car_data(3); a1=car_data(9); b1=car_data(10); %% Modelo de Ackerman delta1=delta; if delta>0 delta2=acot((b1/a1)+cot(delta)); elseif delta<0 delta2=acot(-(b1/a1)+cot(delta)); else delta2=delta; end c1=cos(delta1); s1=sin(delta1); c2=cos(delta2); s2=sin(delta2); %% Velocidad longitudinal de cada rueda vxt_1=(vx-yaw_rate*b1)*c1+(vy+a1*yaw_rate)*s1; vxt_2=(vx+yaw_rate*b1)*c2+(vy+a1*yaw_rate)*s2; vxt_3=vx-b1*yaw_rate; vxt_4=vx+yaw_rate*b1; %% Fuerzas de resistencia a la rodadura de cada rueda Crr1=Crr(1); Crr2=Crr(2); Crr3=Crr(3); Crr4=Crr(4); fr1=Fz1*Crr1*sign(vxt_1); fr2=Fz2*Crr2*sign(vxt_2); fr3=Fz3*Crr3*sign(vxt_3); fr4=Fz4*Crr4*sign(vxt_4); %% Aceleraciones angulares de los rotores if enable~=0 alfa1_r=(1/(Jr+Jw*Kw^2))*(tau1_r-Kw*Rw*Fx1+Kw*Rw*fr1); alfa2_r=(1/(Jr+Jw*Kw^2))*(tau2_r-Kw*Rw*Fx2+Kw*Rw*fr2); alfa3_r=(1/(Jr+Jw*Kw^2))*(tau3_r-Kw*Rw*Fx3+Kw*Rw*fr3); alfa4_r=(1/(Jr+Jw*Kw^2))*(tau4_r-Kw*Rw*Fx4+Kw*Rw*fr4); else alfa1_r=(1/(Jr))*(tau1_r); alfa2_r=(1/(Jr))*(tau2_r); alfa3_r=(1/(Jr))*(tau3_r); alfa4_r=(1/(Jr))*(tau4_r); 4.2 Implementación del modelo definido. 51 %% Aceleraciones angulares de cada rueda alfa1_w=(1/(Jw))*(tau1_w-Rw*Fx1+Rw*fr1); alfa2_w=(1/(Jw))*(tau2_w-Rw*Fx2+Rw*fr2); alfa3_w=(1/(Jw))*(tau3_w-Rw*Fx3+Rw*fr3); alfa4_w=(1/(Jw))*(tau4_w-Rw*Fx4+Rw*fr4); end Obteniendo el siguiente bloque resultante: Figura 4.6 Bloque final obtenido de la implementación del modelado inercial de ruedas y ejes. 4.2.6 Modelo de Pacejka de cada rueda. Como introdujimos en el apartado pertinente al modelado de Pacejka, vimos que seriamos capaces de obtener la fuerza equivalente al movimiento que ejercen las diversas ruedas sobre el pavimento, en función de diversos parámetros. Entre los cuales tenemos tanto parámetros que debemos de calcular, como el deslizamiento, y parámetros característicos de cada elemento que debemos de obtener de los elementos reales que queremos simular, como los vectores aybcaracterísticos de las fuerzas longitudinales y laterales de las ruedas. Para la implementación del modelo de Pacejka, realizaremos un sistema que calculará el deslizamiento y el ángulo de deslizamiento para calcular las fuerzas pertinentes a las ruedas. Este sistema mayor lo desglosaremos en varios bloques funcionales, para la implementación del parámetro pertinente y posteriormente de su fuerza respectiva. Con lo cual deberemos de realizar diversas funciones dividiéndolas dos grupos característicos, un primer grupo para el cálculo de los parámetros a introducir el en modelo de Pacejka ya sea el deslizamiento (slip) o el ángulo de deslizamiento ( α ); y un segundo grupo para la implementación del modelo de Pacejka para el cálculo tanto de las fuerzas longitudinales como laterales de cada rueda. Sistema global: Entradas al sistema global. • Velocidad del vehículo. Necesitaremos las componentes de la velocidad del vehículo para poder obtener la velocidad longitudinal pertinente a cada rueda. • Yaw rate. Como en el caso anterior este parámetro será necesario para el cálculo de las velocidades longitudinales de las ruedas directrices. • Ángulo de dirección ( δ ). Parámetro necesario para el cálculo de la velocidad longitudinal de las ruedas directrices. • Velocidad angular de la rueda pertinente. • Parámetros constructivos del vehículo. Entre estos parámetros podemos destacar los vectores característicos de cada rueda (ayb), así como los parámetros constructivos de nuestro vehículo y relacionados con el c.d.g. 52 Capítulo 4. Implementación software. Una vez establecido el sistema global pasaremos a descomponer este en los diversos bloques funcionales intrínsecos. Debemos de recordar que el valor de deslizamiento debe de ser calculado en tanto por ciento%, dado que la implementación del modelo de Pacejka para fuerzas longitudinales así lo demanda. Además trataremos con una inconsistencia de dicho modelo que encontramos en algunas ocasiones y que nos obliga a cambiar dicha implementación. Cálculo de parámetros característicos del modelo de Pacejka. Cálculo del slip. Inconsistencia del modelo de Pacejka a bajas velocidades. Si analizamos el modelo de Pacejka, podemos ver que obtenemos una forma eficiente de calcular las diversas fuerzas que ejercen los neumáticos de nuestro vehículo sobre el pavimento, pero no siempre estos resultados tienen un significado real y existe la posibilidad de tener situaciones de mal funcionamiento de nuestro modelo. Estas situaciones son de lo más simple, si volvemos a pensar en las ecuaciones que rigen el modelo de Pacejka, podemos ver que el parámetro del deslizamiento se trata de un parámetro adimensional que se basa en la división de dos variables. Un denominador que será la diferencia entre la velocidad longitudinal real e ideal de la rueda, y un numerador que será alguno de los dos parámetros anteriores en función de la situación que nos encontremos. Pero debemos pensar que ocurrirá si nos encontramos en una situación de baja velocidad, donde la diferencia de las velocidades mencionadas sea baja pero también lo sean los valores individuales de dichas velocidades. Lo que provocará un valor del numerador muy pequeño, esto implicaría un aumento significativo del valor del deslizamiento. Lo que significa que para un momento en el que tenemos un bajo deslizamiento real, obtendremos un deslizamiento muy elevado de nuestro modelo, lo que dará una fuerza ejercida por los neumáticos mucho mayor a la real. Con lo cual podemos ver esta inconsistencia en el modelo de Pacejka, que se ajusta muy bien a situaciones de velocidades medias/altas, pero encontramos estas inconsistencias a velocidades bajas. Para corroborar dichas situaciones mostraremos a continuación una serie de figuras obtenidas de un modelo inicial individual de cada rueda (Fig. 4.7 y Fig 4.8). En la primera figura se muestra la velocidad que se impone al vehículo durante la simulación. En la segunda imagen podemos observar las fuerzas longitudinales de cada rueda obtenidas durante la simulación. Figura 4.7 Señal de velocidad longitudinal demandada al vehículo durante la simulación [m/s]. 4.2 Implementación del modelo definido. 53 Figura 4.8 Representación de las fuerzas longitudinales de cada rueda ( Fxi [N]) obtenidas en la simulación. Como podemos ver en los resultados obtenidos, tenemos unas constantes oscilaciones de dichas fuerzas longitudinales, en los intervalos de tiempo correspondientes a una velocidad del vehículo cercana a cero. Lo que corrobora la inconsistencia de dicho modelo para velocidades bajas, con lo cual debemos de buscar una forma de corregir dicha inconsistencia. Este punto lo encontramos tratado en el documento de Cantabrana ([9],2016) concretamente en el punto 4.7,dedicado a dicha inconsistencia del modelo de Pacejka. Aunque en este punto se hace referencia al artículo "Wheel dynamics" de George Drill ([10],2007), será este artículo el que utilizaremos durante el presente apartado. En dicho artículo se habla sobre la gran variedad de modelados que podemos introducir en un sistema rueda-vehículo, dichas implementaciones se basan en la integración de varias ecuaciones de movimiento; y en la existencia de un par ejercido sobre cada rueda y una fuerza longitudinal a esta. Además se trata sobre la estabilidad de dicha integración y el resultado de los sistemas implementados, entre dichas estabilidades se introduce una variación del cálculo del deslizamiento de forma que podamos anular las inestabilidades a velocidades bajas, como las que obtuvimos anteriormente. Para poder entender dicha modificación del parámetro de deslizamiento, debemos de introducir las ecuaciones que regirán al sistema rueda-vehículo. Dicho sistema se simplifica de forma individual para cada rueda, de forma que obtenemos un sistema más simplificado denominado chasis-rueda (Fig. 4.9) en el artículo de Drill ([10], 2007). Figura 4.9 Sistema simplificado chasis-rueda. Obtenido de [10]. En el anterior modelo simplificado, podemos ver el resultado de un sistema rueda-chasis, de forma que las diversas variables representan: • m: Masa del chasis. •Θ: Inercia de la rueda. •Ω: Velocidad angular de la rueda. • r: Radio efectivo de la rueda. • T: Torque aplicado a la rueda. 54 Capítulo 4. Implementación software. •Fx: Fuerza longitudinal aplicada por la rueda. • v: Velocidad del sistema. Las ecuaciones que modelan dicho sistema son similares a las que hemos impuesto durante todo el documento, pero en este caso solo realizamos dichas implementaciones para realizar un movimiento en una dimensión. Por lo cual obtenemos las siguientes dos ecuaciones (ecuaciones 4.9 y 4.10): m˙v=Fx(4.9) Θ˙ Ω=T−rFx(4.10) Una vez introducidas las ecuaciones de dicho sistema, Drill realiza una linealización de las ecuaciones que rigen el sistema. En esta linealización se establece una relación entre los valores de velocidad longitudinal y angular del sistema, añadiendo unas nuevas variables que simbolizarán las perturbaciones reales que podemos tener en nuestro sistema (Fig. 4.10). Dicha linealización la realiza suponiendo situaciones con pequeños valores de deslizamiento, en los cuales se puede afirmar que Ω≈v r . De esta forma se pueden establecer las siguientes ecuaciones (ecuaciones 4.11, 4.12 y 4.13): Figura 4.10 Fuerzas longitudinales obtenidas de un sistema real. Obtenido de [10]. v=vo+∆v(4.11) Ω=vo r+∆Ω (4.12) sx=rΩ−v r|Ω|=vo+r∆Ω −vo−∆v |vo+r∆Ω |≈r∆Ω −∆v |vo|(4.13) Debemos de aclarar que para el cálculo del deslizamiento longitudinal se debe de cumplir que para pequeñas distorsiones ∆vvo y r∆Ω vo . Además para pequeños valores de deslizamiento se puede aproximar el valor de la fuerza longitudinal producida por la rueda, como una función lineal de la siguiente forma (ecuación 4.14): Fx≈dFo·sx(4.14) Donde dFo , define la pendiente que muestra la gráfica de la fuerza longitudinal capaz de aplicar el neumático pertinente. Una vez definidas las ecuaciones de las diversas variables del sistema con sus respectivas perturbaciones, podemos sustituir dichas variables en las ecuaciones que definen el comportamiento total de nuestro sistema. De modo que podemos definir las derivadas de las perturbaciones introducidas anteriormente (ecuaciones 4.15 y 4.16): ∆˙v=1 m dFo vo (r∆Ω −∆v)(4.15) ∆˙ Ω=T Θ−r Θ dFo vo (r∆Ω −∆v)(4.16) 4.2 Implementación del modelo definido. 55 Ahora podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ( ˙x=A·x ) en forma matricial (ecuación 4.17): ∆˙v r∆˙ Ω="−dFo vo 1 m dFo vo 1 m dFo vo r2 Θ−dFo vo r2 Θ#∆v r∆Ω+0 T Θ(4.17) En estas ecuaciones se define la distorsión de la velocidad longitudinal del vehículo ( ∆v ) y la distorsión de la velocidad angular de la rueda pertinente ( r∆Ω ) como variables estacionarias. Una vez establecido el sistema de ecuaciones diferenciales, se puede determinar la solución de este como x(t) = xoe−λt . En esta solución xo corresponde al autovector correspondiente a la solución del sistema, y λ corresponde a los autovalores correspondientes. Donde la relación entre estas dos variables se define como (A−λ·I)xo=0. Para determinar el valor de dichos autovalores, que definirán la dinámica del sistema, debemos de obtener las soluciones no triviales correspondiente al sistema matricial, que debe de cumplir |A−λI|=0 . Donde se obtiene la siguiente ecuación cuadrática a resolver (ecuación 4.18): (−dFo vo 1 m−λ)(−dFo vo r2 Θ−λ)−(dFo vo 1 m)(dFo vo r2 Θ) = 0 (4.18) De esta ecuación cuadrática se pueden obtener los siguientes dos valores de autovalores ( λ ) que definen la estabilidad del sistema (ecuación 4.19): λ1=0 y λ2=−dFo vo (r2 Θ+1 m)(4.19) Como podemos ver, de los dos valores obtenidos de los autovalores anteriores, observamos que solo el segundo de estos puede tener una cierta influencia en la estabilidad del sistema. Además, este segundo autovalor es dependiente únicamente de la inversa de la velocidad del vehículo, por lo cual será esta variable la dependiente de la estabilidad del sistema. Para ser más concretos cuando tengamos un menor valor de la velocidad del vehículo, nuestro sistema se encontrará con una menor estabilidad volviéndose más rígido. Desde un punto de vista del solver de Matlab, en este caso, se debe de disminuir el paso de los algoritmos de integración, para tratar de estabilizar el sistema. Con lo cual vemos que la estabilidad del sistema es también dependiente del método de integración de la plataforma de cómputo utilizada, por lo cual a continuación trataremos sobre este tema, tal y como también realiza Drill ([10], 2007). Una vez introducido el método de integración numérica de nuestro solver, y como este influye en la estabilidad del sistema. Debemos de hablar donde se encuentran los límites de dicha estabilidad, como estamos tratando con bajas velocidades debemos de encontrar dicho valor mínimo que haga inestable el sistema descrito. Para ello Drill explica la estabilidad de la integración de nuestro sistema para el algoritmo de Euler implícito, que se define por la ecuación 4.20. x(t+h) = x(t)+h f (t,x)(4.20) Donde la estabilidad del sistema debe de cumplir la siguiente inecuación (ecuación 4.21). Donde h corresponde al paso de integración utilizado por el algoritmo; y λ corresponde a los valores de los autovalores calculados anteriormente. |1+hλ|<1 (4.21) Con lo cual vemos que la ecuación anterior puede definir la estabilidad de nuestro sistema en función de los dos parámetros mencionados anteriormente. Para poder obtener el valor límite de velocidad de nuestro sistema que refleja la estabilidad de este, solo debemos de sustituir la ecuación 4.19; en concreto el valor correspondiente al segundo autovalor calculado y despejar la velocidad del sistema ( vo ). Realizando todo esto obtenemos la ecuación 4.22, que define la velocidad mínima del sistema que establece la estabilidad del sistema en función de valores conocidos de nuestro sistema. |vo|≥ h 2dFo(r2 Θ+1 m)(4.22) 56 Capítulo 4. Implementación software. Con lo cual si tenemos los diversos parámetros que definen a nuestro sistema seremos capaces de calcular el valor límite de la velocidad. En nuestro caso se usan los valores de masa e inercia y radio de las ruedas ya comentados en otros puntos de este trabajo. Además utilizaremos un valor de dFo igual a 427.5277 N, obtenidos de la figura 2.3; y un valor de paso de integración simbólico de 0.5 milisegundos. Siendo los demás valores Θ=5kgm2 y m=1000kg . Establecemos este valor "simbólico" dado que, el solver que posteriormente utilizaremos para nuestro sistema usa un tipo de algoritmo con paso variable; aunque podemos observar que este valor es una constante en casi todos los casos que vallamos a simular de modo que obtenemos un valor muy parecido al real. |vo|>0.045 (4.23) Una vez establecido el valor límite de la velocidad de nuestro sistema, Drill ([10], 2007) plantea un nuevo enfoque al parámetro del deslizamiento. Dado que para un valor de cero o cercano a cero este parámetro empezará a divergir tal y como se puede ver en la figura 4.12. Para solucionar dicha situación, se plantea la adición de un nuevo parámetro al numerador del deslizamiento; este parámetro se llamará vnum ( vnum >0 ), de forma que el nuevo algoritmo explícito de Euler cumpla la ecuación 4.24. |vo|+vnum ≥h 2dFo(r2 Θ+1 m)(4.24) Figura 4.11 Diferencias entre el deslizamiento físico y modificado. Obtenido de [10]. De forma que el deslizamiento actualizado tiene la siguiente fórmula (ecuación 4.25): sx=rΩ−v r|Ω|+vnum (4.25) Con esta nueva modificación del deslizamiento, seremos capaces de establecer una buena transición al realizar un paso entre velocidades moderadas y velocidades bajas. Pudiendo de esta manera eliminar las oscilaciones de las fuerzas longitudinales que generan loa neumáticos de las ruedas de nuestro vehículo. En nuestro caso tomaremos un valor de vnum igual a vo , de modo que se cumpla la condición de estabilidad del algoritmo de integración explícito de Euler (ecuación 4.24) y por tanto la estabilidad de nuestro sistema. Cálculo del ángulo de deslizamiento En el apartado anterior implementamos una nueva definición del deslizamiento longitudinal de modo que podamos obtener un valor de lo más cercano al real de las fuerzas longitudinales ejercidas por cada neumático. Pero en este caso debemos de pensar en el ángulo de deslizamiento ( α ), para a partir de él poder obtener la fuerza lateral realizada por cada neumático. En el apartado pertinente al modelado de Pacejka, pudimos ver la ecuación correspondiente para obtener el parámetro α para cada neumático (ecuación 2.3). Donde podemos ver que necesitamos las componentes de las velocidades de cada neumático para calcular el parámetro β intrínseco, es por esto por lo que volvemos a aplicar el Teorema de Charles para obtener las componentes de la velocidad de cada rueda en función de la velocidad del centro de masa (c.d.g). 4.2 Implementación del modelo definido. 57 De este modo si implementamos el Teorema de Charles, ecuación 4.6; en la ecuación 2.3 podemos obtener el correspondiente ángulo de velocidad de cada rueda. Posteriormente podemos introducir dicho valor en la ecuación 2.1, para obtener el calor del ángulo de deslizamiento para cada rueda. En el caso de las ruedas 3 y 4, el valor del ángulo de velocidad β, será igual al ángulo de deslizamiento α. De dichas ecuaciones obtenemos las siguientes expresiones del ángulo de velocidad β para cada rueda (ecuaciones 4.26a 4.29): β1=arctan(vy+a1ϕ vx−b1ϕ)(4.26) β2=arctan(vy+a1ϕ vx+b2ϕ)(4.27) β3=arctan(vy−a2ϕ vx+b2ϕ)(4.28) β4=arctan(vy−a2ϕ vx−b1ϕ)(4.29) Con estas expresiones somos capaces de establecer el cálculo del ángulo de velocidad y por ende el valor del ángulo de deslizamiento, para así poder obtener las fuerzas laterales que corresponden a cada neumático. Implementación del modelo de Pacejka Una vez que hemos sido capaces de solucionar la inestabilidad de nuestro sistema y sabemos los diversos parámetros necesarios para la creación de los bloques funcionales pertinentes, podemos crear las diversas funciones para la implementación de este modelo. En nuestro caso tendremos un total de cuatro ruedas en nuestro vehículo, crearemos un subsistema para cada una de ellas, de forma que podamos obtener las fuerzas longitudinales y laterales de cada rueda y el deslizamiento que sufre cada una de ellas. Para ello crearemos un total de cuatro bloques funcionales independientes, dos de ellos serán la implementación directa de las ecuaciones de las fuerzas longitudinales y laterales obtenibles del modelo de Pacejka. Por lo cual en ellos solo debemos de implementar las ecuaciones 2.5a 2.10. Para el caso de los demás bloques funcionales, estos tratarán del cálculo de los parámetros de deslizamiento (slip) y ángulo de deslizamiento ( α ). Para el primer caso trataremos con el deslizamiento modificado que hemos visto en el punto anterior, y para el caso del parámetro α trataremos con las ecuaciones que hemos obtenido del apartado anterior. De modo que las salidas de estos dos bloques funcionales sean las entradas de los otros dos bloques donde implementaremos las fórmulas correspondientes al modelo de Pacejka. En este caso solo mostraremos la implementación de los bloques correspondientes al cálculo de los parámetros α yslip, dado que la implementación del modelo de Pacejka es directa de las ecuaciones mostradas en el apartado de modelado correspondiente. Cálculo del slip Para este primer caso necesitaremos diversas variables para poder implementar las ecuaciones que hemos mostrado en apartados anteriores, entre dichos parámetros podemos encontrar: • Velocidad del vehículo. Para ser concretos necesitaremos las componentes de la velocidad del sistema para poder implementar las diversas ecuaciones pertinentes. • Velocidad angular de la rueda. Necesitaremos la velocidad angular de la rueda para el cálculo de la velocidad ideal de esta, y por tanto obtener el deslizamiento. • Radio de la rueda. Necesitaremos el radio de la rueda para el cálculo del deslizamiento. • Ángulo de dirección (δ). Necesitaremos el ángulo de dirección en el caso de las ruedas 1 y 2, puesto que necesitamos calcular la velocidad longitudinal de cada rueda (ecuaciones 4.2a 4.4), para el cálculo del deslizamiento. • Yaw rate (ϕ). Este parámetro será necesario para el cálculo de las velocidades longitudinales. • Parámetros constructivos del vehículo. Parámetros como las dimensiones de los ejes delanteros y traseros del vehículo, además de la separación entre estos tomando como referencia el c.d.g serán necesarios para el cálculo de las velocidades longitudinales de cada rueda. 58 Capítulo 4. Implementación software. Teniendo en cuenta estas variables de entrada a la función de cálculo pertinente, podemos crear el siguiente código funcional para establecer el cálculo del deslizamiento, tal y como se muestra en el siguiente fragmento de código: function out = slip_parameters (vx,vy,w_car,Rw,delta,yaw_rate,car_data) %% Datos constructivos a1=car_data(9); b1=car_data(10); %% Calculo de la velocidad longitudinal de la rueda vx=(vx-yaw_rate*b1)*cos(delta)+(vy+a1*yaw_rate)*sin(delta); %%Eleccion de valor de vnum if w_car<1 vnum=0.0045; else vnum=0; end %% Calculo del deslizamiento if (w_car*Rw>vx) out=((Rw*w_car-vx)/(Rw*w_car+vnum))*100; elseif (w_car*Rw<vx) out=((Rw*w_car-vx)/(vx+vnum))*100; else out=0; end end El caso anterior, muestra el cálculo del deslizamiento para la rueda 1, de modo que si queremos realizar dicho cálculo para rueda 2 debemos de implementar el modelo de Ackerman, para la obtención del ángulo de dirección y la ecuación correspondiente a la velocidad longitudinal de dicha rueda. Para el caso de las ruedas 3 y 4, debemos de implementar las fórmulas correspondientes de la velocidad longitudinal de cada rueda. Una vez implementado dicho código en un bloque de función, obtendremos el siguiente bloque funcional en el entorno Matlab/Simulink: Figura 4.12 Bloque funcional para el cálculo del deslizamiento (Caso concreto de la rueda 1). Cálculo del ángulo de deslizamiento (α) En este segundo caso vamos a calcular el ángulo de deslizamiento para cada rueda, de forma que podamos obtener las fuerzas longitudinales en cada caso. Para este caso necesitaremos las siguientes variables de entrada para la implementación de las funciones respectivas. • Velocidad del vehículo. Necesitaremos los componentes de la velocidad del vehículo para la implementación de las diversas ecuaciones pertinentes. 4.2 Implementación del modelo definido. 59 • Yaw rate (ϕ). • Ángulo de dirección ( δ ). Este parámetro solo será necesario para las ruedas 1 y 2. Para las demás ruedas no será necesario. • Parámetros constructivos del vehículo. Parámetros como las dimensiones de los ejes delantero y trasero del vehículo, así como la separación entre ambos respecto del c.d.g; serán necesarios para la implementación de las diversas ecuaciones involucradas. Una vez definidas las entradas a la función pertinente para el cálculo del parámetro α , podemos definir la siguiente función: function alfa_i = slip_angle (vy,vx,yaw_rate,car_data,delta) %% Parametros intrinsecos del vehiculo a1=car_data(9); b1=car_data(10); %% Calculo del angulo de velocidad beta=atan((vy+a1*yaw_rate)/(vx-b1*yaw_rate)); %% Calculo del angulo de deslizamiento alfa_i=beta-delta; end Como podemos ver la implementación de las diversas ecuaciones es muy directa y simple. También debemos de recalcar que esta implementación ha sido para el caso de la rueda 1, de modo que para las demás ruedas debemos de utilizar las ecuaciones pertinentes; además para el caso de la rueda 2 debemos de introducir el modelo de Ackerman para el cálculo del ángulo de dirección delta pertinente. Una vez implementado dicho código obtendremos el siguiente bloque funcional correspondiente: Figura 4.13 Bloque funcional para el cálculo del ángulo de deslizamiento (Caso concreto de la rueda 1). Para el caso de las ruedas 3 y 4, el bloque funcional carecerá de entrada para el ángulo de dirección δ , puesto que dichas ruedas carecen del sistema de dirección pertinente en el caso que tratamos y el valor de α será igual al valor de β. 4.2.7 Fuerzas normales a cada rueda. Una vez implementados los modelos anteriores necesitaremos implementar el cálculo de las fuerzas normales a cada rueda de nuestro vehículo. Como ya introdujimos en el caso pertinente dichas fuerzas serán variantes de la dinámica de nuestro vehículo y dependerán de componentes tanto de la velocidad como de la aceleración de nuestro vehículo; además de parámetros característicos de nuestro vehículo y del yaw rate, por lo cual estos parámetros serán las entradas a nuestra función de cálculo. Siendo el código implementado, las ecuaciones 2.11 a 2.14. Con lo cual podemos crear el siguiente bloque funcional que calculará las fuerzas normales soportadas por cada rueda, parámetro necesario posteriormente para la implementación del modelo de Pacejka, de modo que obtenemos el siguiente bloque funcional: 66 Capítulo 4. Implementación software. function [K_trac, K_est1, K_est2, K_est3, K_est4, yaw_rate_des] = calculo_ganancias(car_data, vx, delta, yaw_rate,Fz1,Fz2,Fz3,Fz4) %% Parametros constructivos del vehiculo M=car_data(5); a=car_data(9); b=car_data(10); Kt=2; Kp=10; %% Calculo de las constantes de traccion K_trac=ones(1,4); K_trac(1)=4*Kt*(Fz1/M); K_trac(2)=4*Kt*(Fz2/M); K_trac(3)=4*Kt*(Fz3/M); K_trac(4)=4*Kt*(Fz4/M); %% Calculo del yaw rate deseado e implementacion del modelo de Ackerman if delta>0 Rd=2*a/tan(delta); yaw_rate_des=vx/Rd; %Valor deseado elseif delta<0 delta=(cot(delta)-a/b); %Modelo de Ackerman Rd=2*a/tan(delta); yaw_rate_des=vx/Rd; %Valor deseado else yaw_rate_des=0; end %% Calculo del error er=yaw_rate_des-yaw_rate; %%Calculo de las constantes de estabilidad if yaw_rate_des>yaw_rate K_est1=1-Kp*er; K_est2=1+Kp*er; K_est3=1-Kp*er; K_est4=1+Kp*er; elseif yaw_rate_des<yaw_rate K_est1=1+Kp*er; K_est2=1-Kp*er; K_est3=1+Kp*er; K_est4=1-Kp*er; else K_est1=1; K_est2=1; K_est3=1; K_est4=1; end end Corrección de las constantes de estabilidad. En este segundo bloque funcional pasaremos a corregir los valores de las constantes de estabilidad previamente calculados, si se llegará a superar un valor límite del deslizamiento de la rueda pertinente mediante 4.2 Implementación del modelo definido. 67 el uso del término de histéresis. Para este caso además de un bloque funcional que nosotros codificaremos, utilizaremos un bloque predefinido por el equipo de MathWorks (imagen 42). De modo que cada vez que este bloque de histéresis nos de confirmación de que se haya superado dicho valor de sweet spot de deslizamiento, nuestro bloque funcional propio proceda a corregir el valor de las constantes de estabilidad pertinentes. Figura 4.23 Bloque de histéresis. Entradas a la función. De esta forma cuando el bloque de histéresis nos de la señal de activación se empezará a aplicar la ecuación de corrección (ecuación 3.30), que además de necesitar del valor de la constante de estabilidad necesitará el valor del deslizamiento de dicha rueda, por lo cual las entradas de la función siguiente se basan en: • Constante de estabilidad (Kestabilidad). • Señal de activación (salida del bloque de histéresis). • Deslizamiento de la rueda pertinente. Implementación en código. Una vez definidas las entradas y el funcionamiento de nuestro bloque, es directa la aplicación de dichas ecuaciones y la obtención del código pertinente como: function K_est_corregida =correcion_ganancia(K_est, correcion, slip) Kd=1/10; %% Comprobacion de activacion y correcion if correcion K_est_corregida=K_est*(1/(Kd*slip)); else K_est_corregida=K_est; end end De esta forma tendríamos que implementar un total de cuatro bloques funcionales, uno para cada constante de estabilidad en nuestro caso, dado que nuestro vehículo se compone de un total de cuatro ruedas. Finalmente obtendríamos el siguiente bloque funcional individual: Figura 4.24 Bloque de corrección de una constante de estabilidad. Cálculo de pares actualizados. Una vez calculados los valores de las diversas constantes implicadas en este método de estabilidad, solo necesitaremos calcular el valor pertinente de los pares que debemos de aplicar en cada rueda. Por ende, la salida de este último bloque funcional será el par a aplicar en cada rueda y las entradas serán las necesarias para aplicar la ecuación 3.26. 68 Capítulo 4. Implementación software. Entradas a la función. • Constantes de estabilidad (Kestabilidad). • Constantes de tracción (Ktraccin). • Pares calculados previamente en el control de velocidad (τ). Implementación en código. La implementación es directa y sencilla, solo debemos de aplicar la ecuación 3.24 para cada rueda, de la siguiente forma: function Tau_trac =par_traccion(K_trac,K_est1,K_est2,K_est3,K_est4,Tau) %% Calculo de los pares de cada rueda Tau_trac=zeros(4,1); Tau_trac(1)=K_trac(1)*K_est1*Tau; Tau_trac(2)=K_trac(2)*K_est2*Tau; Tau_trac(3)=K_trac(3)*K_est3*Tau; Tau_trac(4)=K_trac(4)*K_est4*Tau; end De modo que obtenemos el siguiente bloque funcional a nuestro sistema: Figura 4.25 Bloque de cálculo de pares finales. 4.2.13 Control mediante elipsoide de tracción. En el capítulo nº 2 apartado 5, donde introdujimos los diversos métodos de control de tracción que íbamos a utilizar en este trabajo, hablamos sobre el método del elipsoide de tracción. Este método consiste en la limitación del par a realizar por cada rueda en función de una ecuación lineal a la fuerza máxima que podía aplicar cada neumático (ecuación 3.22). En dicha ecuación también se encuentra el valor del error del yaw rate, pero este depende un parámetro adicional que nosotros imponemos, en este caso dicho parámetro K tendrá un valor nulo, tal y como concluimos en dicho apartado. De forma que vamos a limitar el par a aplicar en cada rueda, por lo cual utilizaremos un bloque nativo de Matlab al final de los bloques de control anteriores. De esta forma nos aseguraremos de que el par implementado en cada rueda no sea superior al máximo admisible. Este bloque nativo de las librerías de Matlab se denomina saturation dynamic, y nos permite realizar esta limitación de un valor determinado en una señal. El hecho de optar por un bloque cuyo nombre indica la propiedad de dinámico, radica en que el control de tracción se encuentra con anterioridad a la aplicación de los pares en los motores y en la conversión posterior de la transmisión. Por lo cual tenemos que realizar esta limitación de par anterior a la aplicación en los motores en consecuencia del valor del coeficiente de transmisión que se tuviera. Por todo esto el valor límite de par que podremos implementar será el igual a Rw·Fx según la ecuación 3.22, pero añadiendo la ecuación pertinente a la transmisión (ecuación 2.27), finalmente se cumple que |τlimite |=Rw·Fx·K=861·KNm. 4.2 Implementación del modelo definido. 69 Figura 4.26 Bloque de limitación de par. Como podemos ver el bloque funcional de saturación tiene un total de tres entradas independientes, entre estas tres entradas podemos destacar las denominadas como up ylo. Estas dos entradas denominan a los límites superior e inferior, que nuestro bloque de saturación va a imponer a la segunda entrada denominada como u. Por lo que podemos concluir que el modo de conectar los diversos bloques necesarios para esta parte de control se puede apreciar en el siguiente diagrama de bloques. Figura 4.27 Diagrama del sistema de tracción basado en elipsoide. 4.2.14 Interconexión de los subsistemas y anotaciones. Interconexión de los subsistemas. Una vez que hemos aplicado los diversos subsistemas más importantes en nuestro vehículo, es momento de poder conectar todos ellos de forma que tengamos un gran sistema de simulación, que como entrada tendrá el valor de la velocidad que el conductor demanda, y por tanto quiere alcanzar; y el valor del ángulo de dirección (δ), que nuestro conductor introduce en el sistema mediante el volante. Como salida nuestro sistema debe de tener que mostrar las posiciones en los diversos momentos de simulación, así como los valores de velocidad, yaw rate y heading angle en cada momento. Una vez repasadas las entradas y salidas de nuestro sistema, podemos comenzar a conectar todos los subsistemas. En primer lugar, debemos de recordar que la mayoría de los subsistemas que hemos analizado en este documento necesitamos una señal que se genera en bloques anteriores o posteriores a este. Por lo cual se puede decir que todos los subsistemas se encuentran enlazados entre sí, todo esto hace que el solver de nuestro sistema informático sufra a la hora de resolver este sistema, la solución a esto lo encontraremos más adelante en el apartado de anotaciones pero es importante saberlo también para la interconexión de todos los subsistemas. El sistema en su totalidad se puede ver interconexionado en el siguiente diagrama de bloques: Figura 4.28 Diagrama de bloques sobre la conexión del sistema. 70 Capítulo 4. Implementación software. Como podemos ver en el sistema final tenemos una realimentación consolidada por el vector de estados, salida de nuestro sistema. Dicha salida estaría conformada por el valor de la posición global del vehículo, velocidad y aceleración de este, además del valor del yaw rate y velocidad angular tanto de las ruedas del vehículo como de los ejes motores. Por último debemos de recordar que muchos de los bloques funcionales necesitan algún valor de constantes o datos estructurales del vehículo, que en el anterior diagrama no se incluyen. Anotaciones. Como pudimos ver en el apartado anterior, el sistema final que se obtienen posee una fuerte realimentación del vector de estado obtenido a la salida del sistema. Además como adelantamos en el apartado anterior, esta continua realimentación hace que sea difícil para nuestro software realizar las diversas simulaciones pertinentes, dado que nuestro software resuelve ecuaciones incrementales y debe de encontrar un punto de comienzo para ello. Normalmente el software de Matlab posee un método propio para resolver estos tipos de bucles lógicos, pero en este caso esta realimentación es demasiado complicada. Por ello es importante añadir un bloque denominado de condiciones iniciales (IC), el cual podemos obtener en las librerías propias de Matlab. Con esto conseguimos introducir un punto de comienzo en el bucle de nuestro sistema de ecuaciones con lo cual nuestro solver es capaz de resolver el problema de ecuaciones pertinente. Pero debemos de encontrar un punto donde introducir dicho bloque y un valor el cual introducir. En este caso lo más directo y sencillo es añadir un bloque IC en cada cálculo de las aceleraciones del vehículo. Este bloque también se implementará en el subsistema correspondiente al parámetro µ , de forma que se pueda establecer un valor inicial a dicha variable. Figura 4.29 Bloque funcional IC. Esto lo realizamos, dado que es la señal pertinente a las velocidades la cual establece esta realimentación continua, de modo que debemos dar un valor inicial a la señal que genera la anterior y estas por tanto son las aceleraciones. En el caso de asignar un valor a dichas aceleraciones, optamos por el caso más sencillo y lógico, el cual es un valor nulo para ambas aceleraciones, ya que supondremos una velocidad inicial determinada pero ningún valor de aceleración inicial. Figura 4.30 Análisis de bucles lógicos del sistema. En el caso que no fuéramos capaces de encontrar las señales que generan dicho bucle lógico, Matlab posee un analizador propio de dichas circunstancias. Tal y como se puede observar en la figura 4.5, en esta figura se ve el bucle lógico de nuestro sistema. En este caso se puede ver que el principal bucle lógico del sistema 4.2 Implementación del modelo definido. 71 lo conforman el valor de las velocidades del vehículo y la necesidad de estas en el cálculo de las fuerzas de las ruedas, que posteriormente se necesitan para el cálculo de las velocidades. Con lo cual tenemos la misma conclusión a la que llegamos anteriormente, de esta forma vemos que la aplicación del bloque de IC en el origen de la señal de aceleración tanto longitudinal como transversal es tanto acertada como necesaria. 5 Pruebas sobre modelo final. Una vez hemos conseguido llegar a implementar todos los subsistemas que conforman nuestro sistema final, es hora de empezar a realizar una serie de pruebas para poder ver el funcionamiento de las diversas características de nuestro vehículo y comprobar si son adecuadas o no, así como las diferencias que encontramos entre opciones similares. Debemos de añadir que realizaremos diversas pruebas suponiendo el parámetro de resistencia a la rodadura ( Crr ) de nuestro sistema constante, e igual al caso de un neumático estándar sobre pavimento, con un valor de 0.03. 5.1 Prueba de control de velocidad. En esta primera prueba sobre nuestro sistema, vamos a realizar un intento de alcanzar la velocidad demandada por el conductor partiendo de la premisa de que nuestro sistema empieza desde una situación de mínimo movimiento, prácticamente cero. En este primer caso no tendremos en cuenta ni la inclinación del trazado, dado que lo supondremos nulo y daremos un valor del ángulo δ también nulo, es decir en este caso solo nos centraremos en conseguir una velocidad adecuada. Esta velocidad que nuestro conductor va a demandar al sistema será variable, de forma que habrá una cierta aceleración para nuestro vehículo hasta que alcancemos una velocidad de 15 m/s o lo que es igual de 54 Km/h. Una vez alcancemos dicha velocidad se procederá a frenar nuestro vehículo hasta una nueva velocidad constante requerida, de modo que podamos ver el comportamiento de nuestro sistema tanto en aceleraciones como en frenadas a distintas velocidades. El comportamiento de la señal de velocidad demandada será la siguiente: Figura 5.1 Velocidad de referencia del sistema. 73 74 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Además debemos de recalcar, que nuestro sistema tendrá en todo momento desactivado todos los sistemas de control de estabilidad en función del yaw rate, para tratar solo con el funcionamiento en concreto del control de velocidad. Una vez que hemos realizado la prueba pertinente podemos obtener los siguientes casos: 1. Velocidad real - deseada. En la figura 5.2, podemos ver la relación que obtenemos entre la velocidad demandada por el conductor (señal en azul) y la velocidad real que nuestro control es capaz de alcanzar (señal en rojo). Como se puede observar se consigue un buen seguimiento de dicha velocidad, aunque se puede encontrar un pequeño retraso en como la segunda señal persigue a la primera. Figura 5.2 Velocidad de referencia - deseada. La razón por la que se da este tipo de retraso es dada a que nuestro sistema es muy complejo, en el cual se encuentra tanto la dinámica inercial del cuerpo de nuestro vehículo como la dinámica interna a cada motor. Es la existencia de dichas dinámicas, lo que provoca un leve retraso entre el momento en el que se demanda una velocidad concreta y el momento en el que se alcanza dicha señal. Todo esto es consecuencia de un sistema real y no fallo de nuestro modelo. Además de este pequeño retraso debemos de realizar un pequeño zum en la zona de régimen permanente de nuestra prueba. Es de esta forma como podemos apreciar un pequeño error que tiende a minimizarse. 5.1 Prueba de control de velocidad. 75 Figura 5.3 Zum de figura de velocidades. Esto se debe a que nuestro sistema de control de velocidad tiene implementado un control PID, esto hace que el término integral actúe en régimen permanente para resolver ese pequeño error, aunque el valor del término integral no es lo suficientemente grande como para minimizarlo lo máximo posible. Dado que en nuestro supuesto, nos encontramos controlando un vehículo de competición donde hemos preferido conseguir una aceleración y frenada lo más parecida a la que demande el conductor; y despreocuparnos en cierta medida de señales en régimen permanente que pueden ser menos comunes en este caso. Figura 5.4 Variaciones de pendiente. Cabe señalar en la segunda ampliación (Fig. 5.3), que en ella tenemos las siguientes variaciones de pendiente de la señal de velocidad. Estas variaciones de pendiente son debidas al cambio de relación de transmisión que nuestro sistema de transmisión realiza automáticamente, y también señala como una vez que estos cambios se llevan a cabo en la transmisión nuestro control de velocidad debe adecuarse a ellos variando el valor del par aplicado, lo que indica una relación entre ambos sistemas y como se adecúan a los cambios del otro. Además de analizar si la finalidad de nuestro control se lleva a cabo correctamente o no, también analizaremos los resultados obtenidos en otras señales de nuestro sistema para comprobar que se adecúen a la situación actual en los siguientes apartados. 2. Par de control calculado previamente y par final aplicado a cada rueda. 82 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. En este caso, como en el ocurrido en la primera prueba de nuestro sistema, obtenemos una figura de fuerzas longitudinales proporcional a la figura de pares finales aplicados en las ruedas. Debido a que la relación entre estas dos variables es el parámetro de deslizamiento y las ecuaciones inerciales de las ruedas. Todo esto se puede observar en la figura 5.13, que tiene el análisis idéntico al caso anterior. Figura 5.13 Fuerzas longitudinales aplicadas (Fx). Prueba con pendiente negativa. En este caso, realizaremos el mismo análisis de nuestro sistema, pero en esta situación se realizará la prueba con una pendiente negativa y comprobaremos si nuestro sistema actúa en consecuencia para alcanzar la velocidad deseada. 1. Velocidad de referencia - real En este apartado, veremos como nuestro vehículo alcanza la velocidad deseada en la situación actual. 5.2 Prueba de conducción en tramo con pendiente. 83 Figura 5.14 Velocidad de referencia - deseada del sistema. En la figura anterior, figura 5.14, se puede apreciar el mismo comportamiento que en el caso anterior. De esta forma, se tienen en ciertos momentos de la simulación, zonas con mayor error en el término de velocidad, todo ello causado por el cambio de pendiente de nuestro trazado. Siendo estas zonas, los puntos de inflexión de nuestro controlador y posteriormente a ellas se consigue una gran similitud entre ambas señales. 2. Pares de control de velocidad y finales aplicados. En estas representaciones se obtienen como en casos anteriores resultados similares, siendo el factor proporcional impuesto la relación de transmisión. Si nos enfocamos en los datos obtenidos, estos muestran un incremento gradual negativo del par impuesto por el control de velocidad y por ende aplicado en las ruedas, ya que se intenta mantener el valor de velocidad mientras que aumenta la pendiente a la que se enfrenta el vehículo. 84 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Figura 5.15 Par calculado por el control de velocidad. Figura 5.16 Pares finales aplicados a las ruedas. Además, podemos apreciar que la figura de pares obtenidos es inversamente proporcional a la obtenida en el caso anterior con pendiente positiva. Esto se da ya que, para mantener una velocidad constante en este caso se necesita un par de frenado mayor. En el caso de necesitar acelerar el vehículo el par impuesto deberá de ser de frenado pero en menor medida, para así acelerar nuestro vehículo a partir del efecto de la pendiente negativa. Por lo cual el caso de una frenada será contrario al de aceleración, necesitando en este caso un par de frenado de mayor valor. 3. Fuerzas longitudinales a las ruedas. 5.3 Pruebas de controles de tracción. 85 En este último caso de la simulación actual, podemos ver como en los casos anteriores que nuestra figura de fuerzas será proporcional a la figura de pares anteriores dada la relación de estas dos variables según las ecuaciones de inercia de los ejes del sistema. Teniendo como resultado un análisis similar al del apartado anterior. Figura 5.17 Fuerzas longitudinales aplicadas (Fx). 5.3 Pruebas de controles de tracción. En este apartado realizaremos las diversas simulaciones pertinentes, para la obtención de resultados y calificación de nuestros sistemas de control de tracción. Comenzando en un primer momento, por simulaciones con dichos sistemas no operativos para la obtención del comportamiento correspondiente a nuestro vehículo. 5.3.1 Caso sin control de tracción. Prueba a velocidad constante y giro a izquierda. Esta primera prueba consistirá en realizar un recorrido de forma que se mantenga una velocidad constante de 10 m/s, mientras que el ángulo de dirección δtenga la siguiente variación en el tiempo: 86 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Figura 5.18 Ángulo de dirección δdurante la simulación. En este caso solo se encontrará activo el control de velocidad, por lo cual nuestro vehículo será libre a la hora de tener una señal de yaw rate determinada, y será este parámetro el cual determine en mayor medida el correcto funcionamiento de nuestro sistema de control. Resultando en la siguiente gráfica de yaw rate (Fig. 5.19). Figura 5.19 Yaw rate (ϕ) deseado - real. Como podemos observar se tiene un cierto error durante todo el transcurso de la simulación. Dicho error proviene de la existencia de un retardo en nuestro sistema en el caso de régimen transitorio, y es que el sistema no puede alcanzar el valor de referencia, dado que necesita un cierto tiempo hasta llegar al valor de 5.3 Pruebas de controles de tracción. 87 velocidad y ángulo de dirección necesario. En el caso del régimen permanente, se obtiene un error constante debido a que se aplica un par similar a todas las ruedas de nuestro vehículo (Fig. 5.20), y esto no simboliza la situación ideal donde dichos pares deben de ser diferentes entre sí para alcanzar el valor pertinente. Figura 5.20 Pares finales aplicados en cada rueda. Figura 5.21 Par de control calculado. Además como nuestro control de velocidad es el único que se encuentra activo, se consigue seguir la referencia de velocidad que impone nuestro conductor, aunque exista un error mínimo en velocidad que consideraremos despreciable, tal y como se muestra en la siguiente imagen (Fig. 5.22): 88 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Figura 5.22 Velocidad deseada - real. También podemos presentar los diversos valores de las fuerzas tanto longitudinales como laterales realizadas por las ruedas (Fig. 5.23 y Fig. 5.26 ). Como en los diversos casos de movimientos unidimensionales vistos anteriormente, las fuerzas longitudinales aplicadas en cada rueda tienen una evolución similar, pero en este caso se tienen distintos valores de deslizamiento longitudinal en cada rueda, haciendo que las fuerzas correspondientes a las ruedas interiores (ruedas 1 y 3) sean mucho menor que las fuerzas ejercidas por las ruedas exteriores (ruedas 2 y 4). Figura 5.23 Fuerzas longitudinales aplicadas (Fx). Este cambio en el deslizamiento (Fig. 5.24), es solo fruto de la situación de giro actual. donde las ruedas 5.3 Pruebas de controles de tracción. 89 exteriores deben de girar más rápido que las interiores para conseguir un movimiento fructífero, pero esto a su vez hace que aumente el valor del deslizamiento en las ruedas interiores. Así como lo refleja el valor de la velocidad angular de cada rueda (Fig. 5.25). Figura 5.24 Deslizamiento longitudinal en cada rueda. Figura 5.25 Velocidad angular de cada rueda. En el caso de las fuerzas laterales de cada rueda, se puede ver como dichas fuerzas en las ruedas exteriores (ruedas 2 y 4), son mucho mayor que en las interiores, aunque se tengan valores del ángulo de deslizamiento muy similares (Fig. 5.27). Esto se debe a que las fuerzas normales, parámetro que cobra importancia en el 90 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. cálculo de dichas fuerzas, toma un mayor valor en estas ruedas creando un aumento en el valor de las fuerzas laterales. Figura 5.26 Fuerzas laterales aplicadas (Fy). Figura 5.27 Ángulo de deslizamiento (α). Con lo cual podemos concluir, que para la creación de fuerzas ejercidas por las ruedas también es importante el valor de las fuerzas normales que estas soportan, y no únicamente el valor del deslizamiento pertinente. 5.3 Pruebas de controles de tracción. 91 Figura 5.28 Fuerzas normales soportadas por cada rueda (Fz). Prueba con variación de velocidad y giros a izquierda y derecha. Una vez que hemos podido realizar la prueba anterior, comprobando el correcto funcionamiento de nuestro vehículo ante una situación de velocidad constante, debemos de dificultar más la situación a simular. En este último caso de simulación sin control de tracción, debemos de comprobar si nuestro sistema puede conseguir alcanzar un estado satisfactorio en una situación con velocidad demandada y ángulo de dirección variantes en el tiempo, tal y como se muestran en las siguientes figuras (Fig. 5.29 y Fig. 5.30): Figura 5.29 Velocidad de referencia. 98 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Figura 5.40 Velocidad deseada - real. Aunque podemos ver como existe una pequeña variación de la velocidad de nuestro sistema, aunque esta tiene un valor de error máximo cercano a 0.03 m/s. Como este error es mínimo podemos confirmar que el seguimiento de la velocidad deseada es óptimo, y el único error que se encuentra se debe a la existencia de una variación en la aceleración lateral de nuestro vehículo, reafirmando el correcto funcionamiento de nuestro sistema de control de velocidad. Pares de control y pares finales aplicados. En cuanto a los pares finales aplicados (Fig. 5.41), podemos observar que si lo comparamos con los pares aplicados en casos anteriores son distintos en cada rueda. Para ser más concretos, el par aplicado en las ruedas 1 y 4 son independientes entre sí y entre los demás; en el caso de las ruedas 2 y 3, estos son idénticos puesto que en el caso del control mediante PI definimos las parejas de ratios fo-ri yfi-ro. Entrando más en detalle en los resultados, podemos determinar que el valor de par aplicado en la rueda número 4 (trasera derecha) es mucho mayor que en las demás, siendo el valor de par de las ruedas número 2 y 3 el de menor valor. Todo ello ocurre dado que en este caso se pretende aumentar el valor del yaw rate que genera nuestro vehículo, para ello se deberá de aumentar el valor de par en las ruedas laterales exteriores al sentido de giro y viceversa. Además se puede observar que el comienzo de actuación de par en la rueda nº 4, es mucho anterior a las demás, recalcando así la importancia de esta rueda en el caso actual. Aunque, este comienzo de aplicación de par es distinto a lo que podemos observar en las demás representaciones, también debemos señalar que en nuestro control genera una situación final donde prácticamente solo aplica un mayor valor de par en la rueda nº 4, lo que caracteriza a la actuación de este controlador. 5.3 Pruebas de controles de tracción. 99 Figura 5.41 Pares finales aplicados en cada rueda. Si prestamos atención a los pares calculados por el control de velocidad (Fig. 5.42), podemos ver que en este caso existe gran disparidad entre el valor de par de control y el valor final aplicado. Aun así, solo podemos establecer una cierta correlación entre el par calculado por el control de velocidad y el aplicado en la rueda nº 4, en el caso de régimen permanente de dicha rueda. He aquí el efecto de la aplicación de los ratios calculados por este controlador. Figura 5.42 Par de control calculado. Fuerzas longitudinales y laterales de las ruedas. En un primer lugar, vamos a ver cómo afecta nuestro sistema de control a las fuerzas longitudinales 100 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. generadas por cada rueda (Fig. 5.43). En caso anteriores vimos que el par aplicado es muy similar a la figura de fuerzas aplicadas por las ruedas, en este caso se vuelve a cumplir dicha regla, pero podemos destacar que existe una ligera diferencia con respecto a casos anteriores, efecto de nuestro controlador de tracción. Figura 5.43 Fuerzas longitudinales aplicadas (Fx). En la figura 5.44, se puede apreciar que los deslizamientos que sufren cada rueda son distintos, lo que crea que incluso sufriendo pares iguales (ruedas 2 y 3), se obtienen fuerzas longitudinales distintas afectando al comportamiento inercial de nuestro sistema. También debemos tener en cuenta, que las fuerzas normales a cada rueda varían por la dinámica de nuestro vehículo, lo que también afecta a las fuerzas longitudinales ejercidas por los neumáticos. Por lo cual seguimos comprobando que la generación de fuerzas según el modelo de Pacejka, son tanto dependientes del deslizamiento pertinente y del valor de la fuerza normal de cada rueda. 5.3 Pruebas de controles de tracción. 101 Figura 5.44 Deslizamientos longitudinales de cada rueda. En un segundo caso, debemos de centrarnos en las fuerzas laterales que sufren nuestros neumáticos. En esta prueba tenemos la acción de los sistemas de dirección de nuestro vehículo, como no ha ocurrido en otros casos, esta acción del sistema de dirección generará la aparición de los parámetros denominados como ángulos de deslizamiento. Será este parámetro uno de los causantes de generar las fuerzas laterales de cada neumático. Figura 5.45 Fuerzas laterales generadas (Fy). Como se puede ver en la figura 5.45, se puede determinar que las fuerzas laterales correspondientes a las ruedas exteriores al sentido de giro (ruedas nº 2 y 4) son mayores que las correspondientes a las interiores. 102 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Esto se debe a que son estas ruedas las que poseen un mayor valor de fuerzas normales soportadas, aunque el valor del ángulo de deslizamiento sea muy idéntico en todas las ruedas, tal y como se muestran en las siguientes dos imágenes (Fig. 5.46 y Fig. 5.47). Figura 5.46 Fuerzas normales soportadas (Fz). Con lo cual podemos concluir como parte de este apartado que las fuerzas normales soportadas por cada rueda también serán un parámetro importante que señalar para la generación tanto de fuerzas longitudinales como laterales mediante el modelo de Pacejka. Figura 5.47 Ángulos de deslizamiento (α). 5.3 Pruebas de controles de tracción. 103 Yaw rate deseado - real. Para poder asegurar el correcto seguimiento del yaw rate, debemos de ver cómo evoluciona este valor de nuestro vehículo durante toda la simulación. Todo ello lo podemos ver en la Fig. 5.48, en esta figura tenemos dos señales, la señal de color azul corresponde al yaw rate deseado que se calcula durante toda la simulación; por otro lado la señal de color rojo corresponde al valor de yaw rate que presenta nuestro vehículo causado por la distribución de par de nuestro sistema de control. Figura 5.48 Yaw rate (ϕ) deseado - real. Como podemos observar en la figura 5.48, podemos ver que en el seguimiento del valor de referencia se tiene un cierto error en torno al régimen transitorio de estas señales. En el caso del régimen permanente, podemos ver como gradualmente la señal real del yaw rate se aproxima a su valor deseado, esto es generado por el parámetro integral de nuestro controlador; aunque si realizamos un ligero aumento de nuestra imagen anterior (Fig. 5.48), podemos ver como existe un ligero error constante en régimen permanente. Figura 5.49 Zum en la figura respectiva de yaw rate. 104 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Podemos concluir que nuestro sistema de control mediante PI, consigue obtener un bajo error de yaw rate en el régimen permanente de la señal, aunque este error se mantienen constante durante todo este periodo. Por otro lado, en el caso del régimen transitorio se tienen un mayor error que en el caso alterno debido a la dinámica de nuestro vehículo, por lo cual se podría reflexionar la aplicación de un controlador PID para garantizar la minimización de dicho error durante todas las situaciones de la simulación. Trazado realizado por el vehículo con/sin control de tracción comparándolo con el caso ideal. Aunque en los apartados anteriores, hemos analizado las señales de velocidad, fuerzas, pares y yaw rate que son aplicadas y sufridas por nuestro vehículo, obteniendo de ellas ciertos datos importantes en el comportamiento de nuestro sistema, también es importante apreciar el recorrido realizado por nuestro vehículo comparándolo con el supuesto sin control, además del trazado ideal. Figura 5.50 Trazado realizado en caso sin/con control de tracción y trazado ideal. De esta forma podemos ver cómo afectan las situaciones de control a nuestro sistema, tal y como se ve en la figura 5.50, podemos apreciar que en el caso de aplicación del sistema de control obtenemos una trayectoria final más cerrada, lo que significa un mayor valor de yaw rate. En el caso de no aplicación del control del yaw rate, tenemos una trayectoria más abierta dado que tenemos en este caso un valor mucho más pequeño de yaw rate, con lo cual podemos ver como la existencia de nuestro sistema de control asegura una mejor trayectoria y más similar a la deseada. Si comparamos el recorrido realizado en el caso de control activo y la ideal, podemos ver que estos dos trazados difieren en gran medida. Esto se debe a que como se mostraba en el apartado anterior con las señales de yaw rate deseadas y reales, nuestro sistema no es capaz de seguir el valor ideal desde un primer momento solo alcanzando dicho valor en régimen permanente. Con lo cual tenemos una diferencia entre ambos trazados a causa de la dinámica real del sistema. Prueba con variación de velocidad y giros a izquierda y derecha. Una vez que hemos podido ver el resultado de la prueba anterior, es momento para realizar la siguiente prueba vista con anterioridad, que demandará mucho más a nuestro sistema de control en una situación más complicada. Velocidad deseada - real. En esta segunda prueba, podemos ver como nuestro sistema no puede llegar a conseguir de forma adecuada el valor de velocidad de referencia impuesta. Esto se debe a que para poder seguir el valor de yaw rate 5.3 Pruebas de controles de tracción. 105 previamente calculado, se debe de prescindir de seguir el valor de velocidad impuesto, todo esto lo veremos más en detalle en los siguientes apartados. Figura 5.51 Velocidad deseada - real. Pares de control y finales aplicados en cada rueda. En este caso, podemos ver como el par aplicado en cada rueda es muy diverso, esto se debe al cálculo de los diversos ratios implementados por nuestro controlador. Además podemos ver como existe una zona de sobreoscilaciones, entre los 6 y 10 segundos de simulación, veremos más adelante que esta serie de oscilaciones son típicas de cuando el sistema se encuentra muy cercano al valor demandado, pero pequeñas variaciones en el par hacen que se incremente el error considerablemente y que se intente corregir de inmediato. 106 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Figura 5.52 Pares finales aplicados en cada rueda. . Como vemos el resultado de nuestro controlador es una figura de pares finales aplicados muy diversas y con ciertas oscilaciones, pero debemos ver como esto repercute en otros parámetros de nuestro sistema para poder llegar a una conclusión, aunque la aparición de dichas oscilaciones no suele ser adecuado. Figura 5.53 Par de control calculado. En cuanto a la figura de pares de control, podemos ver como se tienen pocas similitudes entre estos valores con los finales aplicados. Esto se debe a que cuando el control de tracción intenta corregir el error de yaw rate, el control de velocidad sigue intentando corregir el error en velocidad llegando a valores de saturación, una 5.3 Pruebas de controles de tracción. 107 señal de que ambos controles no tienen una comunicación establecida entre sí y que se debe de reflexionar. Fuerzas longitudinales y laterales aplicadas por las ruedas. Como resultado de la figura de pares realizados, nuestro sistema realiza una serie de fuerzas longitudinales (Fig. 5.54) y fuerzas laterales (Fig. 5.57). Figura 5.54 Fuerzas longitudinales aplicadas (Fx). En la primera figura de fuerzas longitudinales, podemos ver que dichas fuerzas generadas por las ruedas son muy similares a los pares aplicados respectivamente. También debemos de destacar que estas fuerzas toman diversos tramos de valores en las distintas ruedas, esto se puede ver en la figura 5.55, en la cual podemos ver los diferentes valores de deslizamiento; y donde se puede apreciar que en la rueda nº 1, se llegan a tomar un valor de deslizamiento cercano al -20%, mientras que en las demás ruedas se toman valores entre el ±2%. 114 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Como correspondencia al régimen permanente, podemos ver que las fuerzas se establecen en torno a un valor 50 N y 250 N para las ruedas interiores y exteriores respectivamente. Figura 5.65 Fuerzas longitudinales aplicadas (Fx). Esta diferencia de fuerzas es causada por el valor de las fuerzas normales soportadas por cada rueda. Dado que como se puede apreciar en la figura 5.66, se tienen valores similares de deslizamiento en todas las ruedas. Estos valores de deslizamiento corresponden a una figura similar al obtenido en los pares finales aplicados, teniendo un periodo transitorio hasta los 2 segundos de simulación con un posterior régimen permanente con valor de deslizamiento cercano al 0.2%. Figura 5.66 Deslizamiento longitudinal en cada rueda. 5.3 Pruebas de controles de tracción. 115 En cuanto a las fuerzas laterales aplicadas (Fig. 5.67), podemos volver a corroborar que las fuerzas laterales en las ruedas exteriores son mucho mayores que en las interiores, como corresponde con los diversos valores de las fuerzas normales. Figura 5.67 Fuerzas laterales aplicadas (Fy). En cuanto al valor del deslizamiento lateral (Fig. 5.68), se obtiene un valor muy similar en todas las ruedas de nuestro vehículo. Como en los demás casos, tenemos un periodo transitorio que se estabiliza en torno a valores de -0.04 y -0.05 radianes. Figura 5.68 Ángulo de deslizamiento (α). 116 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Yaw rate deseado - real. En cuanto al valor de yaw rate (Fig. 5.69), podemos ver que la respuesta de nuestro sistema es muy adecuada. Aunque se tiene un error durante el periodo transitorio de nuestra prueba, se puede obtener un error mínimo en régimen permanente en esta señal, en este caso de 0.0073. De modo que con un controlador mucho más simple, se puede llegar a conseguir valores muy cercanos a los que se pueden obtener con un control PI. Figura 5.69 Yaw rate deseado - real. Trazado realizado por el vehículo con/sin control de tracción comparándolo con el caso ideal. En cuanto a los resultados obtenidos en el trazado realizado por nuestro vehículo, podemos ver que se realiza una trayectoria más cerrada que en el caso sin control. Esto es debido a que en este caso se consigue minimizar el error de yaw rate en régimen permanente, consiguiendo así una mayor similitud con el trazado deseado. Aunque nuestro trazado real tienda a la trayectoria sin control, dado que tenemos un error en régimen permanente existente, aunque menor que en el caso sin control. Si comparamos las trayectorias del caso con control e ideal, podemos ver como volvemos a tener una diferencia significativa entre ambas, todo ello causado por la dinámica de nuestro vehículo que posee un cierto periodo de reacción, por el cual no es capaz de seguir la variación de yaw rate deseada. 5.3 Pruebas de controles de tracción. 117 Figura 5.70 Trazado realizado por el vehículo con/sin control de tracción. Prueba con variación de velocidad y giros a izquierda y derecha. A continuación realizaremos la segunda prueba a nuestro sistema, de modo que volveremos a comprobar su funcionamiento durante una prueba mucho más exigente. Velocidad de referencia - real. En cuanto en los resultados correspondientes al seguimiento de la velocidad demandada, podemos ver que se obtienen un magnífico resultado (Fig. 5.71). Todo ello es fruto de que nuestro sistema de control es capaz de implementar un mayor valor de par en las ruedas que soportan una mayor fuerza normal, lo que significa que aplica un mayor par en las ruedas con una mayor fuerza de resistencia a la rodadura, además de ser estas ruedas las que pueden generar mayores fuerzas, consiguiendo así un buen seguimiento de la velocidad demandada. 118 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Figura 5.71 Velocidad deseada - real. Pares de control y finales aplicados. Respecto a la figura 5.72, y comparándola con la figura de pares finales (Fig. 5.73), podemos ver que la variación del par calculado por nuestro control de tracción comienza en torno al segundo 6 de simulación. Después de este momento de la simulación se aprecia que el par aplicado en las ruedas es distinto al calculado por el control de velocidad, de forma que el control de tracción varia este par previo para que se pueda adecuar a la necesidad de velocidad y dirección demandada. Figura 5.72 Par de control calculado. 5.3 Pruebas de controles de tracción. 119 En los siguientes apartados comprobaremos si esta variación de par es oportuna para la validez del control de tracción. Figura 5.73 Pares finales aplicados en cada rueda. Fuerzas longitudinales y laterales aplicas por las ruedas. En cuanto a las fuerzas longitudinales que aplica nuestro sistema de tracción (Fig. 5.74), podemos apreciar que son de lo más diversas, de forma que se tienen figuras de fuerzas similares en las parejas de ruedas laterales del vehículo, ruedas 1-3 y ruedas 2-4. Aunque el valor de estas fuerzas es independiente entre sí. Figura 5.74 Fuerzas longitudinales aplicadas (Fx). 120 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Como en todos los casos vamos a corroborar el valor del deslizamiento longitudinal en cada rueda (Fig. 5.76), para poder comprender la fuente de los valores de las diversas fuerzas aplicadas. En este caso podemos ver que las parejas de ruedas antes comentadas tienen un valor de deslizamiento similares, siendo el de las ruedas laterales izquierdas, bajo en la mayor parte de la simulación a excepción de un pico de -15% en torno al segundo 8 de simulación. Por otro lado el de las ruedas laterales derechas, tienen unas figuras de deslizamientos muy características y diversas, centrándose en la zona de ±1% aproximadamente. Figura 5.75 Fuerzas normales soportadas (Fz). Aunque en este caso, los valores de deslizamiento son característicos del resultado de fuerzas longitudinales aplicadas, también debemos de añadir que el valor de las fuerzas normales (Fig. 5.75) son relevantes también en la generación de estas fuerzas. Siendo estas, las causantes de la disparidad de valores de fuerzas longitudinales en ruedas con similar deslizamiento (Fig. 5.74). 5.3 Pruebas de controles de tracción. 121 Figura 5.76 Deslizamiento longitudinal en cada rueda. Para el caso de las fuerzas laterales, tenemos un mayor valor en las ruedas del lateral derecho en el caso del giro en sentido izquierdo, y un mayor valor de estas fuerzas en las ruedas izquierdas cuando se cambia el sentido de giro. Figura 5.77 Fuerzas laterales aplicadas (Fy). En cuanto al valor del ángulo de deslizamiento (Fig. 5.78) tenemos una similitud entre las ruedas pertinentes al eje delantero y trasero del vehículo que favorece la diversidad de la figura de fuerzas laterales (Fig. 5.77). Pero como en casos anteriores también debemos de dar importancia a las fuerzas normales como contribuyentes de esta variedad en la figura de fuerzas laterales. 122 Capítulo 5. Pruebas sobre modelo final. Figura 5.78 Ángulo de deslizamiento en cada rueda. Yaw rate deseado - real. En cuanto a la señal del yaw rate (Fig. 5.79), podemos ver que este tipo de control no es capaz de seguir en gran medida el valor deseado, puesto que se pueden apreciar grandes desviaciones del valor real del deseado. Puesto que el control presente es puramente proporcional y si debe de realizar una gran corrección de la señal de yaw rate esta se produce lentamente. Figura 5.79 Yaw rate deseado - real. Una prueba de esto es el error creciente a partir del segundo 6 de simulación, puesto que se encuentra un incremento del error a partir de este momento y el sistema debe de corregir esta señal pero, esta corrección 5.3 Pruebas de controles de tracción. 123 es muy paulatina y no se puede alcanzar en poco tiempo, generando la gran desviación de la figura. Si comprobamos la distribución Gaussiana que generan estos datos, podemos observar que se tiene un mayor error medio que en el caso de control, media(µ) = 0.059 y varianza(σ) = 0.049. Con lo cual podemos concluir que este sistema es eficaz a la hora de alcanzar el valor de velocidad demandada, pero no se puede implementar de forma satisfactoria en situaciones de mayor complejidad. Trazado realizado por el vehículo con/sin control de tracción comparándolo con el caso ideal. En cuanto al trazado realizado por nuestro sistema es el siguiente (Fig. 5.80): Figura 5.80 Trazado realizado por nuestro vehículo sin/con control de tracción. Podemos ver la gran disparidad entre las dos situaciones, dado que en esta prueba de más complejidad, el sistema de control basado en ganancias no es lo suficientemente eficaz para resolver el problema existente. Aunque si comparamos este resultado con el proporcionado por el sistema de control PI, podemos ver que su seguimiento de la trayectoria no difiere tanto como en el otro caso. Esto se debe a que nuestro sistema es capaz de seguir de forma más adecuada el seguimiento de la velocidad demandada, aunque su valor de yaw rate se pueda considerar peor que en el caso anterior. Por lo cual podemos concluir que nuestro control tampoco es capaz de cumplir con las especificaciones de yaw rate demandadas en esta simulación, mientras que es capaz de seguir fielmente el valor de velocidad impuesta por el conductor. Índice de Tablas 2.1 Parámetros de la fuerza longitudinal 6 2.2 Parámetros de la fuerza lateral 7 2.3 Parámetro Crr según diversas condiciones 12 2.4 Parámetros constructivos del vehículo 23 2.5 Parámetros constructivos de los motores utilizados 23 2.6 Parámetros constructivos de la transmisión 24 2.7 Parámetros constructivos de las ruedas 24 3.1 Parámetros del control de intensidades 28 3.2 Parámetros del control de velocidad 28 3.3 Desarrollo de transmisión obtenidos 29 3.4 Parámetros para el cálculo de µ. Obtenido de [6] 32 3.5 Parámetros del control de tracción basado en PI 37 3.6 Parámetros del control de estabilidad basado en constantes 37 131