Semigrupos de tranformações (lineares) com um conjunto invariante

Carlos Filipe da Silva Freitas Semigrupos de Transformações (Lineares) com um Conjunto Invariante outubro de 2024 UMinho | 2024 Carlos Filipe Fireitas Semigrupos de Transformações (Lineares) com um Conjunto Invariante Universidade do Minho Escola de Ciências Carlos Filipe da Silva Freitas Semigrupos de Tranformações (Lineares) com um Conjunto Invariante Dissertação de Mestrado Mestrado em Matemática e Computação Área de especialização em Matemática Trabalho efetuado sob a orientação da Professora Suzana Mendes Gonçalves Universidade do Minho Escola de Ciências outubro de 2024 iii DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Creative Commons Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional CC BY-NC 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/deed.pt Agradecimentos Este trabalho contou com a paciência e apoio de muitos, a quem devo os meus mais sinceros agradecimentos. À minha caríssima orientadora, Professora Suzana Mendes Gonçalves, pela serenidade, perseverança, ajuda, compreensão, orientação, expertise. Esta lista podia continuar, já que é mais que merecido o reconhecimento. Aos restantes professores com quem me cruzei, não só ao longo do Mestrado, mas também da Licenciatura. Foram muitos os que deixaram a sua marca. Ao Centro de Matemática da Universidade do Minho e à Fundação Portuguesa para a Ciência e Tecnologia, pelo financiamento desta dissertação, através da Bolsa de Investigação CMAT - 37/ECUM/CMAT/2023UIDB/00013/2020. Ao Ricardo, por todo o apoio, disponibilidade, presença e viagens de volta à terra nos momentos em que nos esquecemos de confirmar o que é a realidade. À Catarina, às Carolina’s, à Bruna, à Beatriz, à Sara e à Rita, pelas palavras motivadoras e por relembrarem que o caminho estava quase, quase a chegar ao fim (mesmo quando ainda estava a começar). À minha colega de mestrado, Sofia, pela partilha nas lutas ao longo deste curso. À família, em particular, à Érica, à “família do Rope Skipping” e a todos os amigos que não ficaram nomeados, por saberem que ia chegar a bom porto, até quando a dúvida afligia. A todas estas pessoas, o meu muitíssimo obrigado! iv v DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. Resumo Semigrupos de transformações (lineares) com um conjunto invariante O estudo da teoria de semigrupos é significativamente facilitado pelo desenvolvimento da teoria de semigrupos de transformações, uma vez que se sabe que todo o semigrupo pode ser mergulhado num semigrupo de transformações. Nesta dissertação, apresentamos e analisamos os resultados de quatro semigrupos de transformações totais, a saber, 𝑇(𝑋,𝑌),𝑆(𝑋,𝑌),𝑇(𝑉,𝑊 )e𝑆(𝑉,𝑊 ). Em cada um desses semigrupos, identificamos os elementos regulares, caracterizamos as relações de Green e, em alguns casos, examinamos subsemigrupos maximais e ideais. O objetivo principal é consolidar e comparar as diferentes técnicas de demonstração aplicadas a semigrupos de transformações de conjuntos e de espaços vetoriais. Notavelmente, embora muitos dos resultados sejam análogos, as técnicas variam consideravelmente entre esses dois tipos de semigrupos. Assim, esta dissertação contribui para o entendimento aprofundado das estruturas dos semigrupos de transformação e de transformações lineares, compilando resultados essenciais da área e facilitando o avanço dos estudos nesse campo. Além disso, explora as semelhanças e contrastes entre as técnicas de demonstração utilizadas em cada uma dessas áreas. Palavras-chave: Semigrupos de transformações, Semigrupos de transformações lineares, Conjuntos invariantes, Regularidade, Relações de Green, Ideais. vi Abstract Semigroups of (linear) transformations with an invariant set The theory of semigroups is significantly facilitated by the development of the theory of semigroups of transformations, since it is known that every semigroup can be embedded in a semigroup of transformations. In this paper, we present and analyze the results of four semigroups of total transformation, namely 𝑇(𝑋,𝑌),𝑆(𝑋,𝑌),𝑇(𝑉,𝑊 )and 𝑆(𝑉,𝑊 ). In each of these semigroups, we identify regular elements, characterize Green’s relations and, in some cases, examine maximal subsemigroups and ideals. The primary objective is to consolidate and compare the different proof techniques applied to semigroups of transformation of sets and vector spaces. Notably, although many results are analogous, the techniques vary considerably between these two types of semigroup. Thus, this dissertation contributes to a deeper understanding of the structures of transformation semigroups and of linear transformation semigroups, compiling essential results in the field and facilitating further study in this area. In addition, it explores the similarities and contrasts between the proof techniques used in each of these areas. Keywords: Semigroups of transformations, Semigroups of linear transformations, Invariant sets, Regularity, Green’s Relations, Ideals. vii Índice 1 Introdução 1 2 Preliminares 3 2.1 Conceitosiniciais.................................. 3 2.2 RelaçõesdeGreen ................................. 8 2.3 Semigrupos de transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Semigrupos de transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Semigrupos de transformações com imagem contida num certo conjunto 16 3.1 Regularidade.................................... 17 3.2 RelaçõesdeGreen ................................. 20 3.3 Subsemigrupos Inversos Maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 Semigrupos de transformações com um conjunto invariante 35 4.1 Regularidade, isomorfismos e mergulhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2 RelaçõesdeGreen ................................. 40 4.3 Ideais ....................................... 49 4.4 Elementosregulares ................................ 52 5 Semigrupos de transformações lineares com imagem contida num certo subespaço 66 5.1 RelaçõesdeGreen ................................. 67 5.2 Ideais ....................................... 76 5.3 Subsemigrupo regular maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6 Semigrupos de transformações lineares com um espaço invariante 98 6.1 Isomorfismos.................................... 99 viii CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Não é difícil verificar que a intersecção de uma família de subsemigrupos de um semigrupo 𝑆ou é vazia ou é um subsemigrupo de 𝑆. Dado um subconjunto não vazio 𝐴de 𝑆, existe pelo menos um subsemigrupo de 𝑆que contém 𝐴: a saber, o próprio 𝑆. Logo, a intersecção de todos os subsemigrupos de 𝑆que contêm 𝐴é um subsemigrupo de 𝑆que contém 𝐴e que representamos por h𝐴i. O subsemigrupo h𝐴ifica definido pelas seguintes duas propriedades: 1. 𝐴⊆ h𝐴i; 2. se 𝑈é um subsemigrupo de 𝑆que contém 𝐴, então h𝐴i ⊆ 𝑈. O subsemigrupo h𝐴idiz-se o subsemigrupo de 𝑆gerado por 𝐴. Não é difícil provar que h𝐴ié exatamente o conjunto de todos os produtos finitos de elementos de 𝐴. Se h𝐴i=𝑆, dizemos que 𝐴é um conjunto de geradores de 𝑆. Se 𝐴={𝑎}, escrevemos h𝑎iem vez de h{𝑎}i, e temos h𝑎i={𝑎𝑛:𝑛∈ℕ}. Sejam 𝑆um semigrupo e 𝑎∈𝑆. O subsemigrupo h𝑎idiz-se o subsemigrupo monogénico de 𝑆 gerado por 𝑎.Aordem de 𝑎é a ordem do subsemigrupo h𝑎i. Dados um semigrupo 𝑆e um elemento 𝑎em 𝑆, se não existir nenhuma repetição nas potências de 𝑎, então h𝑎i={𝑎, 𝑎2, 𝑎3, . . . }é isomorfo ao semigrupo (ℕ,+). Neste caso, dizemos que 𝑎tem ordem infinita em 𝑆. Por outro lado, se existirem 𝑚, 𝑛 ∈ℕtais que 𝑚≠𝑛, mas 𝑎𝑚=𝑎𝑛, então o conjunto {𝑘∈ℕ| ∃ 𝑟∈ℕ\ {𝑘}:𝑎𝑘=𝑎𝑟} é não vazio e tem um elemento mínimo. Este mínimo é o menor dos expoentes cuja potência de 𝑎 associada se repete, e diz-se o índice de 𝑎. Se 𝑚é o índice de 𝑎, então o conjunto {𝑘∈ℕ:𝑎𝑚+𝑘=𝑎𝑚} é não vazio e, como tal, tem elemento mínimo 𝑝, que designamos por período de 𝑎. Se 𝑎∈𝑆tem índice 𝑚e período 𝑝, as potências 𝑎, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚, 𝑎𝑚+1, . . . , 𝑎𝑚+𝑝−1são todas distintas, pela minimalidade de 𝑚e de 𝑝. Mais, prova-se que h𝑎i={𝑎, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑚, 𝑎𝑚+1, . . . , 𝑎𝑚+𝑝−1}, 6 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES pelo que |h𝑎i| =𝑚+𝑝−1. Neste caso, dizemos que 𝑎tem ordem finita. Note-se que a ordem de 𝑎é o antecessor da soma do índice de 𝑎com o seu período. Prova-se que o conjunto 𝐾𝑎={𝑎𝑚, 𝑎𝑚+1, . . . ,𝑎𝑚+𝑝−1}é um subgrupo cíclico do subsemigrupo monogénico h𝑎i. Um semigrupo 𝑆diz-se periódico se todos os seus elementos tiverem ordem finita. Observemos que todo o semigrupo finito é necessariamente periódico. A proposição que se segue permitenos concluir que, em todo o semigrupo periódico, existe, pelo menos, um idempotente. Proposição 2. Num semigrupo periódico todo o elemento tem uma potência que é idempotente. Dado um semigrupo 𝑆, dizemos que 𝑎∈𝑆éregular se existe 𝑥∈𝑆tal que 𝑎𝑥𝑎 =𝑎. Se todos os elementos de 𝑆são regulares, 𝑆diz-se um semigrupo regular. Existem outros tipos de regularidade. Dado um semigrupo 𝑆, dizemos que 𝑎∈𝑆éregular à esquerda se existe 𝑏∈𝑆tal que 𝑎=𝑏𝑎2e é regular à direita se existe 𝑐∈𝑆tal que 𝑎=𝑎2𝑐. O elemento 𝑎 diz-se completamente regular se existe 𝑑∈𝑆tal que 𝑎=𝑎𝑑𝑎 e𝑎𝑑 =𝑑𝑎 eintrarregular se existem 𝑓 ,𝑔 ∈𝑆tal que 𝑎=𝑓 𝑎2𝑔. Dizemos que 𝑎écorregular se existe ℎ∈𝑆tal que 𝑎=ℎ𝑎ℎ =𝑎ℎ𝑎. Proposição 3. Sejam 𝑆um semigrupo e 𝑎∈𝑆. O elemento 𝑎é completamente regular se e só se 𝑎é regular à esquerda e regular à direita. Demonstração. Suponhamos que 𝑎é completamente regular. Então, existe 𝑑∈𝑆tal que 𝑎=𝑎𝑑𝑎 e 𝑎𝑑 =𝑑𝑎. Portanto, 𝑎=𝑎𝑑𝑎 =(𝑎𝑑)𝑎=(𝑑𝑎)𝑎=𝑑𝑎2, com 𝑑∈𝑆. Portanto, por definição, 𝑎é regular à esquerda. De modo análogo, temos 𝑎=𝑎𝑑𝑎 =𝑎(𝑑𝑎)=𝑎(𝑎𝑑)=𝑎2𝑑, com 𝑑∈𝑆. Logo, 𝑎é regular à direita. Reciprocamente, suponhamos que 𝑎é regular à direita e à esquerda. Então existem 𝑏,𝑐 ∈𝑆tais que 𝑎=𝑏𝑎2=𝑎2𝑐. Então, 𝑏𝑎 =𝑏(𝑎2𝑐)=(𝑏𝑎2)𝑐=𝑎𝑐. Por outro lado, 𝑎𝑏𝑎 =𝑎(𝑎𝑐)=𝑎2𝑐=𝑎e 𝑎𝑐𝑎 =(𝑏𝑎)𝑎=𝑏𝑎2=𝑎. 7 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Assim, tomando 𝑑=𝑏𝑎𝑐, temos 𝑎𝑑 =𝑎(𝑏𝑎𝑐)=(𝑎𝑏𝑎)𝑐=𝑎𝑐 =𝑏𝑎 =𝑏(𝑎𝑐𝑎)=𝑑𝑎 e, por fim, 𝑎𝑑𝑎 =𝑎(𝑏𝑎𝑐)𝑎=(𝑎𝑏𝑎)𝑐𝑎 =𝑎𝑐𝑎 =𝑎. □ O semigrupo 𝑆diz-se regular à esquerda [resp. regular à direita, completamente regular, intrarregular, corregular] se todo o elemento de 𝑆é regular à esquerda [resp. regular à direita, completamente regular, intrarregular, corregular]. Grupos são, obviamente, semigrupos regulares, uma vez que, para todo o 𝑎∈𝐺, com 𝐺grupo, se tem 𝑎=1𝐺𝑎=𝑎𝑎−1𝑎. É fácil perceber que um elemento idempotente𝑒de um semigrupo𝑆satisfaz todos os tipos de regularidade (basta notar que 𝑒2=𝑒, pelo que 𝑒4=𝑒3=𝑒). 2.2 Relações de Green Os conceitos de ideais principais (laterais e bilateral) de 𝑆, apresentados na secção anterior, vão permitirnos definir as chamadas relações de Green em 𝑆, que são relações de equivalência em𝑆que assumem uma relevante importância no estudo da estrutura de um semigrupo. Seja 𝑆um semigrupo. Definimos uma relação binária Lem 𝑆da seguinte forma: 𝑎L𝑏⇔𝑆1𝑎=𝑆1𝑏(𝑎,𝑏 ∈𝑆). Observemos que, dados dois elementos em 𝑆, eles estão L-relacionados se geram o mesmo ideal esquerdo principal. De um modo dual, definimos a relação R: dois elementos de 𝑆estão R-relacionados se geram o mesmo ideal direito principal. Seja 𝑆um semigrupo. Definimos uma relação binária Rem 𝑆da seguinte forma: 𝑎R𝑏⇔𝑎𝑆1=𝑏𝑆1(𝑎,𝑏 ∈𝑆). Como a relação de igualdade de conjuntos é uma relação de equivalência em P(𝑆), o conjunto das partes de 𝑆, facilmente concluímos que as relações ReLsão relações de equivalência em 𝑆. O resultado que se segue oferece-nos uma caracterização alternativa de ReL, que torna mais evidente o modo como expressam um tipo de divisibilidade mútua. 8 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Proposição 4. Sejam 𝑆um semigrupo e 𝑎,𝑏 ∈𝑆. Então, 𝑎R𝑏⇔ ∃𝑢, 𝑣 ∈𝑆1:𝑎𝑢 =𝑏e𝑏𝑣 =𝑎; 𝑎L𝑏⇔ ∃𝑥,𝑦 ∈𝑆1:𝑥𝑎 =𝑏e𝑦𝑏 =𝑎. Demonstração. Vamos provar que 𝑎R𝑏se e só se existem 𝑢, 𝑣 ∈𝑆1tais que 𝑎𝑢 =𝑏e𝑏𝑣 =𝑎. A demonstração da outra equivalência é obtida de forma análoga. Comecemos por considerar 𝑎,𝑏 ∈𝑆tais que 𝑎R𝑏. Então, 𝑎𝑆1=𝑏𝑆1. Ora, temos 𝑎∈𝑎𝑆 ∪ {𝑎}=𝑎𝑆1, pelo que 𝑎∈𝑏𝑆1. Logo, existe 𝑣∈𝑆1tal que 𝑎=𝑏𝑣. De modo análogo, 𝑏∈𝑏𝑆 ∪ {𝑏}=𝑏𝑆1e, portanto, 𝑏∈𝑎𝑆1. Assim, existe 𝑢∈𝑆1tal que 𝑏=𝑎𝑢. Reciprocamente, se 𝑎,𝑏 ∈𝑆são tais que 𝑎𝑢 =𝑏e𝑏𝑣 =𝑎para certos 𝑢, 𝑣 ∈𝑆1, então 𝑎𝑆1=(𝑏𝑣)𝑆1=𝑏(𝑣𝑆1) ⊆ 𝑏𝑆1=(𝑎𝑢)𝑆1=𝑎(𝑢𝑆1) ⊆ 𝑎𝑆1, pelo que 𝑎𝑆1=𝑏𝑆1, ou seja, 𝑎R𝑏.□ Uma vez que a interseção de duas relações de equivalência é ainda uma relação de equivalência, L ∩ R é uma relação de equivalência em 𝑆, que denotamos por H. É claro que Hé o ínfimo de {L,R}. A união de duas relações de equivalência não é necessariamente uma relação de equivalência. No entanto, existe sempre o supremo de {L,R}, que representamos por D, isto é, D=L ∨ R. A descrição do supremo de duas relações de equivalência não é, normalmente, tarefa fácil. No entanto, como iremos verificar na proposição que se segue, LeRcomutam e, portanto, a caracterização de D torna-se bem menos complexa do que seria de esperar. Proposição 5. As relações L𝑒Rcomutam, ou seja, L ◦ R =R ◦ L. Demonstração. Seja 𝑆um semigrupo. Vamos ver que L ◦ R ⊆ R ◦ L. Para isso, tomemos 𝑎,𝑏 ∈𝑆tais que (𝑎,𝑏) ∈ L ◦ R. Então, existe 𝑐∈𝑆tal que 𝑎L𝑐e𝑐R𝑏. Pela Proposição 4, existem 𝑢, 𝑣, 𝑥,𝑦 ∈𝑆1 tais que 𝑢𝑎 =𝑐,𝑣𝑐 =𝑎e𝑐𝑥 =𝑏,𝑏𝑦 =𝑐. Ora, 𝑎𝑥 =𝑣𝑐𝑥 e𝑣𝑐𝑥𝑦 =𝑣𝑏𝑦 =𝑣𝑐 =𝑎. Se denotarmos 𝑣𝑐𝑥 por 𝑑, temos que 𝑎𝑥 =𝑑e𝑑𝑦 =𝑎. Novamente pela Proposição 4, podemos concluir que 𝑎R𝑑. Analogamente, 𝑣𝑏 =𝑣𝑐𝑥 =𝑑e𝑢𝑑 =𝑢𝑣𝑐𝑥 =𝑢𝑎𝑥 =𝑐𝑥 =𝑏, e, portanto, 𝑑L𝑏(também pela Proposição 4). Assim, existe 𝑑∈𝑆tal que 𝑎R𝑑e𝑑L𝑏, pelo que (𝑎,𝑏) ∈ R ◦ L. Ou seja, provamos que L ◦ R ⊆ R ◦ L. 9 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES A outra inclusão é provada usando um raciocínio análogo. □ Sabe-se que D=L ∨ R =(L ◦ R)∞, ou seja, dados 𝑎,𝑏 ∈𝑆,𝑎D𝑏se e só se existem 𝑛∈ℕe 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥2𝑛−1∈𝑆tais que 𝑎L𝑥1, 𝑥1R𝑥2, 𝑥2L𝑥3, . . . , 𝑥2𝑛−1R𝑏. Mas, pela proposição anterior, podemos concluir que D=L ◦ R =R ◦ L. As relações LeRsão definidas através dos ideais laterais principais. É, pois, natural considerar uma relação binária em que dois elementos estão relacionados se e só se geram o mesmo ideal (bilateral) principal. Seja 𝑆um semigrupo. Definimos em 𝑆uma relação binária Jda seguinte forma: 𝑎J𝑏⇔𝑆1𝑎𝑆1=𝑆1𝑏𝑆1(𝑎,𝑏 ∈𝑆). De forma análoga a Re a L, concluímos que a relação Jé uma relação de equivalência, que pode ser caracterizada como se segue. Proposição 6. Seja 𝑆um semigrupo. Então, 𝑎J𝑏⇔ ∃𝑥,𝑦,𝑢, 𝑣 ∈𝑆1:𝑥𝑎𝑦 =𝑏, 𝑢𝑏𝑣 =𝑎(𝑎,𝑏 ∈𝑆). As relações R,L,H,DeJforam primeiro estudadas por J. A. Green, em 1951, e, de acordo com J. Howie, em [5], p. 45, contribuiram de um modo muito significativo para o desenvolvimento da Teoria de Semigrupos. São conhecidas como as relações de Green. É óbvio que L ⊆ J eR ⊆ J. De facto, dados 𝑎,𝑏 ∈𝑆tais que 𝑆1𝑎=𝑆1𝑏, temos 𝑆1𝑎𝑆1=(𝑆1𝑎)𝑆1=(𝑆1𝑏)𝑆1=𝑆1𝑏𝑆1. Por outro lado, se 𝑎𝑆1=𝑏𝑆1, também 𝑆1𝑎𝑆1=𝑆1𝑏𝑆1. Como D=L ∨ R,L ⊆ J eR ⊆ J, podemos concluir, pela definição de supremo, que D ⊆ J. Em muitos casos, temos D⊊J. No entanto, é possível ter D=J, como veremos mais à frente. Para tornar a notação mais simples, vamos usar 𝐿𝑎[resp.: 𝑅𝑎,𝐻𝑎,𝐽𝑎,𝐷𝑎] para denotarmos a L-classe [resp.: R-classe, H-classe, J-classe, D-classe] que contém um certo elemento 𝑎de um semigrupo 𝑆. 10 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Tendo em consideração que as relações de Green L,ReJestão definidas à custa de ideais principais, a inclusão de conjuntos induz uma ordem nas classes de equivalência. Assim, é natural definirmos as seguintes relações de ordem entre as L-classes [resp.: R-classes, J-classes]: [𝐿]𝐿𝑎≤𝐿𝑏se e só se 𝑆1𝑎⊆𝑆1𝑏; [𝑅]𝑅𝑎≤𝑅𝑏se e só se 𝑎𝑆1⊆𝑏𝑆1; [𝐽]𝐽𝑎≤𝐽𝑏se e só se 𝑆1𝑎𝑆1⊆𝑆1𝑏𝑆1. Note-se que, se 𝑆é regular, então 𝑎=𝑎𝑥𝑎, pelo que 𝑎∈𝑎𝑆 e𝑎∈𝑆𝑎. Logo, 𝑎∈𝑆𝑎𝑆. Desta forma, quando nos referimos às equivalências de Green num semigrupo regular 𝑆, não necessitamos de 𝑆1e simplificamos como se segue. 1. 𝑎L𝑏se e só se 𝑆𝑎 =𝑆𝑏. 2. 𝑎R𝑏se e só se 𝑎𝑆 =𝑏𝑆. 3. 𝑎J𝑏se e só se 𝑆𝑎𝑆 =𝑆𝑏𝑆. Sejam 𝑆um semigrupo e 𝑈um subsemigrupo de 𝑆. Dados 𝑎,𝑏 ∈𝑈, pode haver ambiguidade sobre o significado de 𝑎L𝑏, uma vez que podemos ter a relação Lem 𝑈ou em 𝑆. De modo a clarificar a notação, escrevemos 1. 𝑎L𝑈𝑏se existirem 𝑢, 𝑣 ∈𝑈1tais que 𝑢𝑎 =𝑏e𝑣𝑏 =𝑎; 2. 𝑎L𝑆𝑏se existirem 𝑠, 𝑡 ∈𝑆1tais que 𝑠𝑎 =𝑏e𝑡𝑏 =𝑎. Relativamente às L-classes, usamos a seguinte notação. 𝐿𝑈 𝑎={𝑢∈𝑈:𝑢L𝑈𝑎}e𝐿𝑆 𝑎={𝑠∈𝑆:𝑠L𝑆𝑎}. É imediato que L𝑈⊆ L𝑆∩(𝑈×𝑈). Com a notação correspondente, saem analogamente os resultados R𝑈⊆ R𝑆∩ (𝑈×𝑈),H𝑈⊆ H𝑆∩ (𝑈×𝑈),D𝑈⊆ D𝑆∩ (𝑈×𝑈)eJ𝑈⊆ J𝑆∩ (𝑈×𝑈). Estas inclusões podem ser próprias: por exemplo, é possível termos dois elementos de 𝑈que estão Lrelacionados em 𝑆, mas não estão L-relacionados em 𝑈. O resultado que se segue permite-nos concluir que todo o subsemigrupo regular de um semigrupo 𝑆herda as caracterizações das relações de Green L, ReHem 𝑆. 11 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Teorema 1. Sejam 𝑈um subsemigrupo regular de um semigrupo 𝑆. Então, as seguintes igualdades são válidas. 1. L𝑈=L𝑆∩ (𝑈×𝑈) 2. R𝑈=R𝑆∩ (𝑈×𝑈) 3. H𝑈=H𝑆∩ (𝑈×𝑈) Temos ainda o chamado Teorema de Green Teorema 2 (Teorema de Green).Se 𝐻é uma H-classe num semigrupo 𝑆, então ou 𝐻2∩𝐻=∅ou 𝐻2=𝐻e, neste caso, 𝐻é um subgrupo de 𝑆. Tendo em conta o Teorema de Green, se considerarmos um elemento idempotente 𝑒num semigrupo 𝑆, temos 𝑒2=𝑒. Assim, 𝑒∈𝐻𝑒e𝑒=𝑒2∈𝐻2 𝑒, pelo que 𝐻2 𝑒∩𝐻𝑒≠∅. Portanto, 𝐻𝑒é um grupo e, como tal, tem apenas um idempotente, que é o seu elemento identidade. Corolário 1. Se 𝑒é um idempotente num semigrupo 𝑆, então 𝐻𝑒é um subgrupo de 𝑆. Para além disso, nenhuma classe Htem mais do que um idempotente. □ 2.3 Semigrupos de transformações Dado 𝑋um conjunto não vazio, seja𝑇(𝑋)o conjunto de todas as transformações totais em 𝑋. É sabido que (𝑇(𝑋),◦) é um semigrupo, e todo o semigrupo pode ser mergulhado em algum 𝑇(𝑋). Para além disso, tal como observado por Sullivan em [14], os semigrupos de transformações são para a teoria de semigrupos o que os grupos de permutações são para a teoria de grupos, no sentido em que os semigrupos de transformações oferecem uma forma concreta de entender a teoria de semigrupos. Iremos introduzir algumas notações específicas de semigrupos de transformações. Dado 𝛼∈𝑇(𝑋), representamos o conjunto imagem por i𝑚 𝛼, ou simplesmente, por 𝑋𝛼. Recordamos que, como já referimos, iremos usar a notação à esquerda para representar imagens de objetos por aplicações. Assim, escrevemos 𝑥𝛼 em vez de 𝛼(𝑥)e𝛽◦𝛼como 𝛼𝛽. 12 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Iremos optar pela notação introduzida por Clifford e Preston em [2], Vol. 2, p.241: dado 𝛼∈𝑇(𝑋), podemos escrever 𝛼=©« 𝐴𝑖 𝑥𝑖ª®¬, onde se assume que 𝑖pertence a um conjunto não mencionado de índices 𝐼, que {𝑥𝑖}denota o conjunto {𝑥𝑖:𝑖∈𝐼}e que 𝑋𝛼 ={𝑥𝑖}, enquanto que 𝑥𝑖𝛼−1=𝐴𝑖, para cada 𝑖∈𝐼. Se existir um 𝑎∈𝑋tal que, para todo 𝑥∈𝑋,𝑥𝛼 =𝑎, então 𝛼é uma transformação constante e escrevemos 𝛼=𝑋𝑎. Quando escrevermos 𝑋=𝐴¤ ∪𝐵queremos denotar que 𝑋é uma união disjunta dos conjuntos 𝐴e𝐵. Comecemos por verificar que todos os elementos de 𝑇(𝑋)são regulares. Proposição 7. O semigrupo 𝑇(𝑋)é regular. Demonstração. Seja 𝛼∈𝑇(𝑋). Escrevamos 𝑋𝛼 ={𝑥𝑖:𝑖∈𝐼}. Para cada 𝑖∈𝐼, seja 𝑥𝑖𝛼−1=𝐴𝑖. Então, podemos escrever 𝛼como 𝛼=©« 𝐴𝑖 𝑥𝑖ª®¬. Escrevamos 𝑋={𝑥𝑖}∪{𝑦𝑗}, fixemos 𝑖0∈𝐼e definamos 𝛽em 𝑇(𝑋)por 𝛽=©« 𝑥𝑖𝑦𝑗 𝑎𝑖𝑎𝑖0ª®¬, onde 𝑎𝑖∈𝐴𝑖, para cada 𝑖. Ora, 𝛼𝛽𝛼 =©« 𝐴𝑖 𝑥𝑖ª®¬©« 𝑥𝑖𝑦𝑗 𝑎𝑖𝑎𝑖0ª®¬©« 𝐴𝑖 𝑥𝑖ª®¬=𝛼. Logo, 𝛼é um elemento regular em 𝑇(𝑋)e, portanto, 𝑇(𝑋)é um semigrupo regular. □ Em 1952, Malcev mostrou que, dado um conjunto não vazio 𝑋, os ideais de 𝑇(𝑋)são precisamente os conjuntos: 𝑇𝑟={𝛼∈𝑇(𝑋):|𝑋𝛼|<𝑟}, onde 2≤𝑟≤ |𝑋|0(onde 𝑘0denota o sucessor de um cardinal 𝑘, ou seja, o menor cardinal maior que 𝑘). Para cada 𝛼∈𝑇(𝑋), definimos a seguinte relação de equivalência em 𝑋: 𝛼◦𝛼−1={(𝑥,𝑦) ∈ 𝑋×𝑋:𝑥𝛼 =𝑦𝛼}. 13 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Representamos o conjunto quociente de 𝑋em relação a 𝛼◦𝛼−1por 𝜋𝛼. Como afirmam Clifford e Preston em [2], p.51, em 1955, Miller e Doss caracterizaram as relações de Green em 𝑇(𝑋): nomeadamente, dados 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋), (a) 𝛼L𝛽se e só se 𝑋𝛼 =𝑋 𝛽; (b) 𝛼R𝛽se e só se 𝛼◦𝛼−1=𝛽◦𝛽−1; (c) 𝛼D𝛽se e só se |𝑋𝛼|=|𝑋𝛽|; eD=Jem 𝑇(𝑋). Prova-se que 𝑇(𝑋)é isomorfo a 𝑇(𝑌)se e só se |𝑋|=|𝑌|. Este resultado segue do facto de todos os elementos zero à direita de 𝑇(𝑋)serem precisamente as transformações constantes de 𝑋(ver [2], Vol 1, p. 6, Exercício 7). Mais, cada isomorfismo 𝜙:𝑇(𝑋) → 𝑇(𝑌)é induzido por uma bijeção 𝑔:𝑋→𝑌 tal que para todo 𝛼∈𝑇(𝑋),𝛼𝜙 =𝑔−1𝛼𝑔. 2.4 Semigrupos de transformações lineares Sullivan observou em [13] que há uma correspondência entre semigrupos de transformações e semigrupos de transformações lineares e que, apesar da similaridade dos resultados, as ideias e técnicas de demonstração são bastante diferentes. Dado um espaço vetorial𝑉sobre um corpo 𝐾, se𝑊e𝑈são subespaços de 𝑉tais que𝑊∩𝑈={0𝑉}, então𝑊⊕𝑈representa a soma direta dos dois subespaços. Dizemos que 𝑈é complementar de𝑊em 𝑉se 𝑉=𝑊⊕𝑈. Prova-se que o complementar de um subespaço vetorial não é único. No entanto, todos os complementares têm a mesma dimensão. Mais, dim𝑈=dim𝑉/𝑊. Seja 𝑇(𝑉)o conjunto de todas as transformações lineares totais em 𝑉. Prova-se que (𝑇(𝑉),◦) é semigrupo. Analogamente ao que acontece com𝑇(𝑋), sabemos que𝑇(𝑉)é semigrupo regular e não é difícil provar que a aplicação nula, que representamos por 𝑉0, está em 𝑇(𝑉)e é, de facto, o seu elemento zero. Introduziremos, agora, alguma notação. O subespaço de𝑉gerado pelo subconjunto {𝑣𝑖}de𝑉é denotado por h𝑣𝑖i. Em grande parte dos casos, escrevemos 𝑊=h𝑤𝑖ie assumimos, sem o escrever, que o conjunto {𝑤𝑖}é, efetivamente, base do subespaço 𝑊. 14 CAPÍTULO 2. PRELIMINARES Para a construção de uma aplicação 𝛼em 𝑇(𝑉), começamos por escolher uma base {𝑣𝑖}de 𝑉e um conjunto {𝑤𝑖} ⊆ 𝑉, e definimos 𝑣𝑖𝛼=𝑤𝑖para cada 𝑖. Depois, estendemos a aplicação a todo o 𝑉, por linearidade. De um modo geral, apenas dizemos que, dados {𝑣𝑖}e{𝑤𝑖}no contexto, definimos 𝛼por 𝛼=©« 𝑣𝑖 𝑤𝑖ª®¬. Por vezes, é necessário começar por escolher uma base para um subespaço de𝑉e depois estender essa base para 𝑉, mas o argumento de contrução segue passos similares. Como já referimos, as relações de Green assumem um papel importante no estudo de um semigrupo. À semelhança do que temos para𝑇(𝑋), a caracterização das relações de Green em𝑇(𝑉)é bem conhecida: dados 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉), (a) 𝛼L𝛽se e só se 𝑉𝛼 =𝑉 𝛽; (b) 𝛼R𝛽se e só se ker 𝛼=ker 𝛽; (c) 𝛼D𝛽se e só se dim(𝑉𝛼)=dim(𝑉 𝛽); eD=Jem 𝑇(𝑉). Mais, tal como Clifford e Preston observaram em [2], dado um espaço vetorial𝑉qualquer sobre um corpo 𝐾, os ideais de 𝑇(𝑉)são precisamente os conjuntos 𝑇𝑟={𝛼∈𝑇(𝑉): dim𝑉𝛼 <𝑟}, onde 1≤𝑟≤dim𝑉0. 15 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO De seguida, caracterizaremos a relação Rem𝑇(𝑋,𝑌). Recordemos que, dado 𝛼∈𝑇(𝑋,𝑌),𝛼◦𝛼−1= 𝜋𝛼é uma a relação de equivalência em X, usualmente denominada núcleo de 𝛼, e que |𝑋/𝜋𝛼|=|𝑋𝛼|. Teorema 6. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋, 𝑌). Então, 𝛼=𝛽𝛾, para algum 𝛾∈𝑇(𝑋,𝑌), se e só se 𝜋𝛽⊆𝜋𝛼. Mais, 𝛼R𝛽se e só se 𝜋𝛽=𝜋𝛼. Demonstração. Suponhamos que 𝛼=𝛽𝛾, para algum 𝛾∈𝑇(𝑋,𝑌). Seja (𝑎,𝑏) ∈ 𝑋×𝑋tal que 𝑎𝛽 =𝑏𝛽. Então, 𝑎𝛼 =(𝑎𝛽)𝛾=(𝑏𝛽)𝛾=𝑏𝛼, pelo que (𝑎,𝑏) ∈ 𝜋𝛼. Logo, 𝜋𝛽⊆𝜋𝛼. Reciprocamente, sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋, 𝑌 )tais que 𝜋𝛽⊆𝜋𝛼. Escrevemos 𝛽=©« 𝐵𝑖 𝑦𝑖ª®¬ onde 𝑋𝛽 ={𝑦𝑖}e, para cada 𝑖∈𝐼,𝑦𝑖𝛽−1=𝐵𝑖. Como 𝛽∈𝑇(𝑋,𝑌),{𝑦𝑖:𝑖∈𝐼} ⊆ 𝑌. Para todo 𝑖∈𝐼, se 𝑎,𝑏 ∈𝐵𝑖, então 𝑎𝛽 =𝑏𝛽 =𝑦𝑖, pelo que (𝑎,𝑏) ∈ 𝜋𝛽. Portanto (𝑎,𝑏) ∈ 𝜋𝛼, pelo que 𝑎𝛼 =𝑏𝛼. Seja {𝑥𝑗:𝑗∈𝐽}=𝑋𝛼 ⊆𝑌e seja 𝑥𝑗𝛼−1=𝐴𝑗, para cada 𝑗∈𝐽. Acabámos de ver que, para todo 𝑖∈𝐼, existe 𝑗∈𝐽tal que 𝐵𝑖⊆𝐴𝑗. Para cada 𝑗∈𝐽, consideremos 𝐼𝑗={𝑖∈𝐼:𝐵𝑖⊆𝐴𝑗}. É claro que Ð𝑖∈𝐼𝑗𝐵𝑖⊆𝐴𝑗. Suponhamos que existe 𝑎∈𝐴𝑗\Ð𝑖∈𝐼𝑗𝐵𝑖. Então, existe 𝑖0∈𝐼\𝐼𝑗tal que 𝑎∈𝐵𝑖0. Como 𝑎∈𝐴𝑗, sabemos que 𝑎𝛼 =𝑥𝑗. Ora, para cada 𝑏∈𝐵𝑖0,𝑏𝛽 =𝑦𝑖0=𝑎𝛽. Assim, (𝑎,𝑏) ∈ 𝜋𝛽⊆𝜋𝛼, pelo que 𝑏𝛼 =𝑎𝛼 =𝑥𝑗e, consequentemente, 𝐵𝑖0⊆𝐴𝑗. Portanto, 𝑖0∈𝐼𝑗, uma contradição. Logo, 𝐴𝑗=Ð𝑖∈𝐼𝑗𝐵𝑖. Escrevamos 𝐶𝑗={𝑦𝑖:𝑖∈𝐼𝑗}, para cada 𝑗∈𝐽, e seja 𝑋=Ð𝑗∈𝐽𝐶𝑗¤ ∪𝑍. Fixemos 𝑗0∈𝐽e consideremos 𝛾∈𝑇(𝑋)definida por 𝛾=©« 𝐶𝑗𝑍 𝑥𝑗𝑥𝑗0ª®¬. Como 𝑋𝛾 ⊆𝑋𝛼 ⊆𝑌, temos 𝛾∈𝑇(𝑋, 𝑌). Mais, dados 𝑗∈𝐽e𝑎∈𝐴𝑗, existe 𝑖∈𝐼𝑗tal que 𝑎∈𝐵𝑖e 𝑎(𝛽𝛾)=(𝑎𝛽)𝛾=𝑦𝑖𝛾=𝑥𝑗=𝑎𝛼. Assim, para todo 𝑗∈𝐽e todo 𝑎∈𝐴𝑗,𝑎𝛼 =𝑎𝛽𝛾. Portanto, 𝛼=𝛽𝛾. Desta forma, segue naturalmente que 𝛼R𝛽⇔ ∃𝛾, 𝛿 ∈𝑇(𝑋,𝑌)1:𝛼=𝛽𝛾 e𝛽=𝛼𝛿 ⇔𝜋𝛽⊆𝜋𝛼e𝜋𝛼⊆𝜋𝛽 ⇔𝜋𝛼=𝜋𝛽. 22 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO □ Como vimos, a caracterização da L-classe de um elemento 𝛼em 𝑇(𝑋,𝑌)depende do facto de 𝛼ser ou não regular. Do resultado que se segue, podemos concluir que dois elementos R-relacionados ou são ambos regulares ou ambos não regulares. Teorema 7. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋,𝑌). Se 𝜋𝛼=𝜋𝛽, então ou 𝛼, 𝛽 ∈𝐹ou 𝛼, 𝛽 ∉𝐹. Demonstração. Suponhamos que 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋,𝑌)são tais que 𝜋𝛼=𝜋𝛽e (𝛼∉𝐹ou 𝛽∉𝐹). Assumamos, sem perda de generalidade, que 𝛼∉𝐹. Então, (𝑋\𝑌)𝛼⊈𝑌𝛼, ou seja, existe𝑎∈𝑋\𝑌tal que 𝑎𝛼 ∉𝑌𝛼. Desta forma, 𝑎𝛼 ≠𝑦𝛼, para todo𝑦∈𝑌, pelo que (𝑎,𝑦)∉𝜋𝛼, para todo 𝑦∈𝑌. Como 𝜋𝛼=𝜋𝛽, sabemos que (𝑎,𝑦)∉𝜋𝛽, para todo 𝑦∈𝑌, ou seja, 𝑎𝛽 ≠𝑦𝛽, para todo 𝑦∈𝑌. Logo, 𝑎∈𝑋\𝑌e𝑎𝛽 ∉𝑌 𝛽, pelo que (𝑋\𝑌)𝛽⊈𝑌𝛽 e𝛽∉𝐹.□ Corolário 2. Dado 𝛼∈𝑇(𝑋,𝑌), as afirmações seguintes são verdadeiras. 1. Se 𝛼∈𝐹, então 𝑅𝛼={𝛽∈𝐹:𝜋𝛼=𝜋𝛽}. 2. Se 𝛼∉𝐹, então 𝑅𝛼={𝛽∈𝑇(𝑋, 𝑌 ):𝛽∉𝐹e𝜋𝛼=𝜋𝛽}. Demonstração. A demonstração segue trivialmente aplicando os Teoremas 6 e 7. □ Observemos que a L-classe de um elemento não regular 𝛼∈𝑇(𝑋,𝑌)é sempre singular. Por outro lado, aR-classe de 𝛼é formada por todos os elementos não regulares com núcleo igual ao núcleo de 𝛼. Teorema 8. Dado 𝛼∈𝑇(𝑋, 𝑌 ), as afirmações seguintes são verdadeiras. 1. Se 𝛼∈𝐹, então 𝐻𝛼={𝛽∈𝐹:𝑋𝛼 =𝑋𝛽 e𝜋𝛼=𝜋𝛽}. 2. Se 𝛼∉𝐹, então 𝐻𝛼={𝛼}. Demonstração. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋,𝑌). Então, pelo Teorema 6, 𝛼H𝛽se e só se 𝛼L𝛽e𝜋𝛼=𝜋𝛽. Pelo Teorema 7, se 𝛼H𝛽então (𝛼, 𝛽 ∈𝐹)ou (𝛼, 𝛽 ∉𝐹). Logo, pelos Teoremas 5 e 6, 23 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO 𝛼H𝛽⇔ (𝛼, 𝛽 ∈𝐹∧𝛼L𝛽∧𝜋𝛼=𝜋𝛽)ou (𝛼, 𝛽 ∉𝐹∧𝛼L𝛽∧𝜋𝛼=𝜋𝛽) ⇔ (𝛼, 𝛽 ∈𝐹∧𝑋𝛼 =𝑋𝛽 ∧𝜋𝛼=𝜋𝛽)ou (𝛼, 𝛽 ∉𝐹∧𝛼=𝛽∧𝜋𝛼=𝜋𝛽) ⇔ (𝛼, 𝛽 ∈𝐹∧𝑋𝛼 =𝑋𝛽 ∧𝜋𝛼=𝜋𝛽)ou (𝛼, 𝛽 ∉𝐹∧𝛼=𝛽). Portanto, se 𝛼∈𝐹, então 𝐻𝛼={𝛽∈𝐹:𝑋𝛼 =𝑋𝛽 e𝜋𝛼=𝜋𝛽}. Por outro lado, se 𝛼∉𝐹, então 𝐻𝛼={𝛼}.□ O resultado que se segue permite-nos caracterizar a relação Dem 𝑇(𝑋, 𝑌 ). Teorema 9. Dado 𝛼∈𝑇(𝑋, 𝑌 ), as afirmações seguintes são verdadeiras. 1. Se 𝛼∈𝐹, então 𝐷𝛼={𝛽∈𝐹:|𝑋𝛽|=|𝑋𝛼|}. 2. Se 𝛼∉𝐹, então 𝐷𝛼={𝛽∈𝑇(𝑋, 𝑌):𝛽∉𝐹e𝜋𝛽=𝜋𝛼}. Demonstração. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋,𝑌)tais que 𝛼∈𝐹e𝛼D𝛽. Então, existe 𝛾∈𝑇(𝑋, 𝑌 )tal que 𝛼L𝛾e𝛾R𝛽. Como 𝛼∈𝐹e𝛼L𝛾, podemos concluir que 𝛾∈𝐹e𝑋𝛼 =𝑋𝛾. Por outro lado, como 𝛾R𝛽e𝛾∈𝐹, concluímos que 𝛽∈𝐹e𝜋𝛾=𝜋𝛽. Ora, |𝑋𝛽|=|𝑋/𝜋𝛽|=|𝑋/𝜋𝛾|=|𝑋𝛾|=|𝑋𝛼|. Reciprocamente, se 𝛽∈𝐹é tal que |𝑋𝛼|=|𝑋𝛽|, podemos escrever 𝛼=©« 𝐴𝑖 𝑥𝑖ª®¬, 𝛽 =©« 𝐵𝑖 𝑦𝑖ª®¬, com 𝑋𝛼 ={𝑥𝑖:𝑖∈𝐼},𝑋𝛽 ={𝑦𝑖:𝑖∈𝐼}e, para cada 𝑖∈𝐼,𝑥𝑖𝛼−1=𝐴𝑖e𝑦𝑖𝛽−1=𝐵𝑖. Consideremos 𝛾em 𝑇(𝑋)definido por 𝛾=©« 𝐵𝑖 𝑥𝑖ª®¬. Como 𝑋𝛾 ={𝑥𝑖:𝑖∈𝐼}=𝑋𝛼 ⊆𝑌, temos 𝛾∈𝑇(𝑋, 𝑌 ). Uma vez que 𝛽∈𝐹, temos que 𝑋𝛽 ⊆𝑌𝛽. Assim, para todo 𝑎∈𝑋,𝑎𝛽 ∈𝑌 𝛽, pelo que existe 𝑦∈𝑌tal que 𝑎𝛽 =𝑦𝛽. Como 𝑋 𝛽 ={𝑦𝑖:𝑖∈𝐼}, existe 𝑖∈𝐼tal que 𝑎𝛽 =𝑦𝛽 =𝑦𝑖e, por isso, 𝑎,𝑦 ∈𝑦𝑖𝛽−1=𝐵𝑖. Por definição de 𝛾,𝑎𝛾 =𝑥𝑖=𝑦𝛾. Logo, 𝑋𝛾 ⊆𝑌𝛾 e, portanto, 𝛾∈𝐹. Logo, podemos concluir que 𝛼L𝛾. Por outro lado, 𝑋/𝜋𝛾={𝐵𝑖:𝑖∈𝐼}=𝑋/𝜋𝛽, pelo que 𝜋𝛾=𝜋𝛽. Assim, 𝛾R𝛽. Logo, 𝛼D𝛽em 𝑇(𝑋,𝑌). Portanto, 𝐷𝛼={𝛽∈𝐹:|𝑋𝛼|=|𝑋𝛽|}. 24 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO Consideremos, agora, 𝛼∈𝑇(𝑋, 𝑌)\𝐹e tomemos 𝛽tal que 𝛼D𝛽. Então, existe 𝛾∈𝑇(𝑋,𝑌)tal que 𝛼L𝛾e𝛾R𝛽. Como 𝛼∉𝐹e𝛼L𝛾, concluímos que 𝛼=𝛾. Assim, 𝛼R𝛽em 𝑇(𝑋,𝑌), pelo que 𝛽∉𝐹e 𝜋𝛼=𝜋𝛽. Reciprocamente, tomemos 𝛽∉𝐹tal que 𝜋𝛼=𝜋𝛽. Pelo Teorema 6, 𝛼R𝛽. Logo, 𝛼D𝛽, uma vez que R ⊆ D. Portanto, 𝐷𝛼={𝛽∈𝑇(𝑋,𝑌):𝛽∉𝐹e𝜋𝛼=𝜋𝛽}.□ Resta-nos caracterizar a relação J. Para o fazer, necessitaremos do seguinte lema. Lema 3. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋,𝑌). Se existem 𝜆∈𝑇(𝑋,𝑌)e𝜇∈𝑇(𝑋,𝑌)1tais que 𝛼=𝜆𝛽𝜇, então |𝑋𝛼| ≤ |𝑌𝛽|. Demonstração. Suponhamos que 𝛼=𝜆𝛽𝜇, para certos 𝜆∈𝑇(𝑋,𝑌)e𝜇∈𝑇(𝑋,𝑌)1. Como 𝜆∈ 𝑇(𝑋,𝑌), temos 𝑋𝜆 ⊆𝑌. Logo, 𝑋𝜆𝛽 =(𝑋𝜆)𝛽⊆𝑌 𝛽, pelo que |𝑋𝜆𝛽| ≤ |𝑌𝛽|. Assim, |𝑋𝛼|= |𝑋(𝜆𝛽𝜇)| =|(𝑋𝜆𝛽)𝜇| ≤ |𝑋𝜆𝛽| ≤ |𝑌 𝛽|. Logo, |𝑋𝛼| ≤ |𝑌𝛽|, como pretendíamos mostrar. □ O resultado que se segue descreve-nos a relação Jem 𝑇(𝑋,𝑌) Teorema 10. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋,𝑌). Então, 𝛼J𝛽se e só se 𝜋𝛼=𝜋𝛽ou |𝑋𝛼|=|𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|= |𝑋𝛽|. Demonstração. Suponhamos que 𝛼J𝛽. Então, existem 𝛾, 𝛿,𝛾0, 𝛿0∈𝑇(𝑋, 𝑌 )1tais que 𝛼=𝛾𝛽𝛿 e 𝛽=𝛾0𝛼𝛿0. Se 𝛾=𝛾0=1, então 𝛼=𝛽𝛿 e𝛽=𝛼𝛿0e, consequentemente, 𝛼R𝛽. Pelo Teorema 6, 𝜋𝛼=𝜋𝛽. Suponhamos agora que 𝛾≠1ou 𝛾0≠1, ou seja, que 𝛾∈𝑇(𝑋,𝑌)ou 𝛾0∈𝑇(𝑋,𝑌). Não é difícil de concluir que, neste caso, existem 𝜎, 𝜎0∈𝑇(𝑋,𝑌)e𝜆, 𝜆0∈𝑇(𝑋, 𝑌 )1tais que 𝛼=𝜎𝛽𝜆 e𝛽=𝜎0𝛼𝜆0. Comecemos por observar que, quando 𝛾≠1e𝛾0≠1, este facto é trivial. Suponhamos, sem perda de generalidade, que 𝛾∈𝑇(𝑋, 𝑌 )mas 𝛾0=1. Então 𝛽=𝛼𝛿0=(𝛾𝛽𝛿)𝛿0=𝛾(𝛼𝛿0)𝛿𝛿0=𝛾𝛼(𝛿𝛿0𝛿). Neste caso, basta tomar 𝜎=𝜎0=𝛾∈𝑇(𝑋, 𝑌 ),𝜆=𝛿, 𝜆0=𝛿𝛿0𝛿∈𝑇(𝑋, 𝑌 )1. Como 𝜎, 𝜎0∈𝑇(𝑋,𝑌) e𝜆, 𝜆0∈𝑇(𝑋,𝑌)1, segue do Lema 3 que |𝑋𝛼| ≤ |𝑌𝛽|e|𝑋 𝛽| ≤ |𝑌𝛼|. Assim, |𝑌𝛼| ≤ |𝑋𝛼| ≤ |𝑌𝛽| ≤ |𝑋𝛽| ≤ |𝑌𝛼|. Logo, |𝑋𝛼|=|𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|=|𝑋 𝛽|, como pretendido. Reciprocamente, pelo Teorema 6, se 𝜋𝛼=𝜋𝛽então 𝛼R𝛽. Como R ⊆ J, podemos concluir que 𝛼J𝛽. Suponhamos, assim, que |𝑋𝛼|=|𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|=|𝑋𝛽|. Observemos que |𝑋/𝜋𝛼|=|𝑋𝛼|=|𝑌 𝛽|e 25 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO |𝑋/𝜋𝛽|=|𝑋𝛽|=|𝑌𝛼|. Escrevamos 𝑌𝛽 ={𝑦𝑖:𝑖∈𝐼}e𝑋𝛽 ={𝑦𝑖:𝑖∈𝐼}¤ ∪ {𝑦𝑗:𝑗∈𝐽}. Para cada 𝑖∈𝐼, seja 𝑦𝑖𝛽−1=𝐵𝑖e, para cada 𝑗∈𝐽, seja 𝑦𝑗𝛽−1=𝐵𝑗. Temos 𝛽=©« 𝐵𝑖𝐵𝑗 𝑦𝑖𝑦𝑗ª®¬. De forma análoga (e porque |𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|), escrevamos 𝑌𝛼 ={𝑥𝑖:𝑖∈𝐼}e𝑋𝛼 ={𝑥𝑖:𝑖∈𝐼}¤ ∪ {𝑥𝑘: 𝑘∈𝐾}. Para cada 𝑖∈𝐼, seja 𝑥𝑖𝛼−1=𝐴𝑖e, para cada 𝑘∈𝐾, seja 𝑥𝑘𝛼−1=𝐴𝑘. Assim, 𝛼=©« 𝐴𝑖𝐴𝑘 𝑥𝑖𝑥𝑘ª®¬. Notemos que |𝐼|=|𝐼|+|𝐽|, uma vez que |𝑌𝛽|=|𝑋𝛽|, e |𝐼|=|𝐼|+|𝐾|, pois |𝑌𝛼|=|𝑋𝛼|. Deste modo, podemos escrever 𝑌 𝛽 ={𝑐𝑖:𝑖∈𝐼}¤ ∪ {𝑐𝑘:𝑘∈𝐾}e𝑌𝛼 ={𝑑𝑖:𝑖∈𝐼}¤ ∪ {𝑑𝑗:𝑗∈𝐽}. Definamos 𝛾, 𝜆 em 𝑇(𝑋)como 𝛾=©« 𝐴𝑖𝐴𝑘 𝑐𝑖𝑐𝑘ª®¬e𝜆=©« 𝐵𝑖𝐵𝑗 𝑑𝑖𝑑𝑗ª®¬. É importante reparar que 𝑋𝛾 =𝑌𝛽 ⊆𝑋 𝛽 ⊆𝑌e𝑋𝜆 =𝑌𝛼 ⊆𝑋𝛼 ⊆𝑌, pelo que podemos concluir que 𝛾, 𝜆 ∈𝑇(𝑋,𝑌). Mais, como 𝜋𝛼=𝜋𝛾e𝜋𝛽=𝜋𝜆, sabemos que 𝛼R𝛾e𝛽R𝜆, pelo que existem 𝛾0, 𝜆0∈𝑇(𝑋,𝑌)1tais que 𝛼=𝛾𝛾0e𝛽=𝜆𝜆0. Para cada 𝑖∈𝐼, temos que 𝑦𝑖∈𝑌 𝛽 ={𝑦𝛽 :𝑦∈𝑌}, pelo que existe 𝑦∈𝑌tal que 𝑦𝛽 =𝑦𝑖. Por outras palavras, temos 𝑦𝑖𝛽−1∩𝑌≠∅, donde podemos tomar 𝑎𝑖∈𝑦𝑖𝛽−1∩𝑌, para cada 𝑖∈𝐼. Por outro lado, como 𝑋𝛾 =𝑌 𝛽 ={𝑦𝑖:𝑖∈𝐼}, temos que 𝑋/𝜋𝛾={𝐸𝑖:𝑖∈𝐼}, onde, para cada 𝑖,𝐸𝑖=𝑦𝑖𝛾−1. Ou seja, podemos escrever 𝛾como 𝛾=©« 𝐸𝑖 𝑦𝑖ª®¬. Definamos, então, 𝛽0∈𝑇(𝑋)como 𝛽0=©« 𝐸𝑖 𝑎𝑖ª®¬. Como, para cada 𝑖∈𝐼, se tem 𝑎𝑖∈𝑌, concluímos que 𝛽0∈𝑇(𝑋,𝑌). Pelo que observámos acima, é fácil verificar que 𝛾=𝛽0𝛽. Analogamente, podemos definir 𝛼0∈𝑇(𝑋, 𝑌 )tal que 𝜆=𝛼0𝛼. Portanto, 𝛼=𝛾𝛾0=𝛽0𝛽𝛾0e𝛽=𝜆𝜆0=𝛼0𝛼𝜆0, pelo que 𝛼J𝛽, como desejado. □ Em qualquer semigrupo 𝑆, temos D ⊆ J. No caso particular de 𝑇(𝑋),D=J. No entanto, em 𝑇(𝑋,𝑌), esta igualdade não se verifica necessariamente. Atentemos o exemplo que se segue. 26 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO Exemplo 1. Seja 𝑋o conjunto dos números naturais e seja 𝑌o conjunto de todos os números pares. Escrevamos 𝑋={𝑛:𝑛∈ℕ}e consideremos as transformações 𝛼, 𝛽 definidas em 𝑇(𝑋)por 𝛼=©« 𝑛 2𝑛ª®¬, 𝛽 =©« 2𝑛2𝑛−1 4𝑛2ª®¬. Como as imagens de qualquer número natural por 𝛼e por 𝛽são sempre números pares, sabemos que 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋, 𝑌 ). Mais, uma vez que as imagens de qualquer número par por 𝛼e por 𝛽são sempre múltiplos de 4e, por outro lado, 2∈𝑋𝛼 ∩𝑋𝛽, podemos afirmar que 𝛼, 𝛽 ∉𝐹. É claro que 𝛼J𝛽, pois |𝑋𝛼|=|𝑌𝛼|=ℵ0=|𝑌𝛽|=|𝑋 𝛽|. No entanto, 𝜋𝛼≠𝜋𝛽(pois os números ímpares pertencem todos à mesma classe de equivalência definida por 𝜋𝛽, o que não acontece em relação a 𝜋𝛼). Logo, 𝛼não está D-relacionado com 𝛽em 𝑇(𝑋, 𝑌 ), e D≠J. No exemplo anterior, definimos duas aplicações 𝛼e𝛽em𝑇(𝑋, 𝑌 ), para certos conjuntos 𝑋e𝑌, tais que 𝛼J𝛽mas 𝛼6D 𝛽. Na verdade, tal foi possível apenas porque as aplicações definidas não são regulares. Corolário 3. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝐹. Então, 𝛼J𝛽em 𝑇(𝑋,𝑌)se e só se 𝛼D𝛽em 𝑇(𝑋,𝑌). Demonstração. É claro que, se 𝛼D𝛽, então 𝛼J𝛽. Suponhamos agora que 𝛼J𝛽. Então, 𝜋𝛼=𝜋𝛽 ou |𝑋𝛼|=|𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|=|𝑋 𝛽|. Se 𝜋𝛼=𝜋𝛽, é claro que |𝑋𝛼|=|𝑋/𝜋𝛼|=|𝑋/𝜋𝛽|=|𝑋𝛽|. Logo, |𝑋𝛼|=|𝑋𝛽|em ambos os casos, e, portanto, pelo Teorema 9, sabemos que 𝛼D𝛽.□ No teorema que se segue, vemos que as relações DeJcoincidem em 𝑇(𝑋,𝑌)sempre que 𝑌é um conjunto finito. Teorema 11. Se 𝑌é um subconjunto finito de 𝑋, então D=Jem 𝑇(𝑋,𝑌). Demonstração. Suponhamos que 𝑌é um subconjunto finito de 𝑋. Sabemos que D ⊆ J. Tomemos 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋, 𝑌 )tais que 𝛼J𝛽. Então, 𝜋𝛼=𝜋𝛽ou |𝑋𝛼|=|𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|=|𝑋 𝛽|.(1) Se 𝛼, 𝛽 ∈𝐹então, pelo Corolário 3, temos que 𝛼D𝛽. Por outro lado, se 𝛼, 𝛽 ∉𝐹, então, em particular, 𝑌𝛼 ⊊𝑋𝛼. Sendo 𝑌finito, 𝑌𝛼 também o é e, portanto, |𝑌𝛼|<|𝑋𝛼|. Por (1), concluímos que 𝜋𝛼=𝜋𝛽, pelo que 𝛼D𝛽. 27 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO Suponhamos, agora, que 𝛼∈𝐹e𝛽∉𝐹. Então, |𝑋𝛼|=|𝑌𝛼|, mas |𝑌𝛽|<|𝑋𝛽|. De (1), segue que 𝜋𝛼=𝜋𝛽, o que contradiz Teorema 7, pois 𝛼∈𝐹e𝛽∉𝐹. De modo semelhante, concluímos que não é possível ter 𝛼∉𝐹e𝛽∈𝐹. Assim, podemos afirmar que J ⊆ D, pelo que a igualdade segue. □ 3.3 Subsemigrupos Inversos Maximais Começamos por recordar que um semigrupo𝑆se diz inverso se é regular e se quaisquer dois idempotentes comutam entre si. Notemos que, se |𝑌|=1, então existe um e um só elemento em 𝑇(𝑋, 𝑌 ): a saber, a aplicação constante 𝑋𝑦, onde 𝑌={𝑦}. Neste caso, é óbvio que não existem subsemigrupos inversos maximais em 𝑇(𝑋,𝑌). Por isso, daqui em diante, assumimos que |𝑌| ≥ 2. Para prosseguir o estudo desta secção, auxiliar-nos-emos de certos subconjuntos de 𝑇(𝑋,𝑌), que definimos em seguida. Para cada 𝑎∈𝑌, seja 𝐹𝑎={𝛼∈𝐹:𝑎𝛼 =𝑎e𝛼é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1}. Não é difícil concluir que 𝐹𝑎é não vazio, para cada 𝑎∈𝑌. De facto, a aplicação constante 𝑋𝑎fixa 𝑎e é regular em 𝑇(𝑋,𝑌)(por ser idempotente). Logo, 𝑋𝑎∈𝐹𝑎, uma vez que 𝑋\𝑎𝑋−1 𝑎=𝑋\𝑋=∅. Observemos que 𝐹𝑎é formado por todo o elemento regular 𝛼de 𝑇(𝑋, 𝑌 )que fixa 𝑎e tal que, se dois objetos distintos têm a mesma imagem por 𝛼, então essa imagem é 𝑎. Teorema 12. Sejam 𝛼∈𝑇(𝑋,𝑌)e𝑎∈𝑌. Então, 𝛼∈𝐹𝑎se e só se {𝑎} ∪ (𝑋\𝑌) ⊆ 𝑎𝛼−1e𝛼é injetiva em 𝑌\𝑎𝛼−1. Demonstração. Se 𝑌=𝑋, nada há a provar. Suponhamos, então, que 𝑌⊊𝑋e tomemos 𝛼∈𝐹𝑎. Então, 𝛼∈𝐹,𝑎𝛼 =𝑎e𝛼é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1. Uma vez que 𝑌⊆𝑋, é claro que 𝛼é injetiva em 𝑌\𝑎𝛼−1. Como 𝛼fixa 𝑎, temos que 𝑎∈𝑎𝛼−1. Sabemos também que (𝑋\𝑌)𝛼⊆𝑌𝛼, pois 𝛼∈𝐹. Assim, dado 𝑥∈𝑋\𝑌, temos 𝑥𝛼 ∈𝑌𝛼, donde existe 𝑦∈𝑌tal que 𝑥𝛼 =𝑦𝛼. Mais, uma vez que 𝑋𝛼 ⊆𝑌, sabemos que 𝑥𝛼 =𝑏=𝑦𝛼, para algum 𝑏∈𝑌. Logo, 𝑥,𝑦 ∈𝑏𝛼−1. Mas 𝑥∈𝑋\𝑌e𝑦∈𝑌, e, portanto, 𝑥≠𝑦. Ora, por hipótese, 𝛼é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1, pelo que 𝑏=𝑎. Portanto, 𝑥∈𝑎𝛼−1e, desta forma, (𝑋\𝑌) ⊆ 𝑎𝛼−1, como pretendíamos mostrar. Reciprocamente, suponhamos que {𝑎} ∪ (𝑋\𝑌) ⊆ 𝑎𝛼−1e𝛼é injetiva em 𝑌\𝑎𝛼−1. Então, 𝑎∈𝑎𝛼−1, donde segue que 𝑎𝛼 =𝑎. Para mostrarmos que 𝛼∈𝐹𝑎, falta ver que (𝑋\𝑌)𝛼⊆𝑌𝛼 e que 𝛼é injetiva 28 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO em 𝑋\𝑎𝛼−1. De {𝑎} ∪ (𝑋\𝑌) ⊆ 𝑎𝛼−1, segue que (𝑋\𝑌)𝛼⊆ {𝑎}={𝑎𝛼} ⊆ 𝑌𝛼, pois 𝑎∈𝑌. Logo, 𝛼∈𝐹. Para terminar, vejamos que 𝛼é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1. Por 𝛼∈𝐹,𝑋𝛼 =𝑌𝛼 e, por {𝑎}∪ (𝑋\𝑌) ⊆ 𝑎𝛼−1, temos (𝑋\𝑌) \ 𝑎𝛼−1=∅. Desta forma, temos 𝑋\𝑎𝛼−1=((𝑌∪ (𝑋\𝑌))\𝑎𝛼−1=𝑌\𝑎𝛼−1∪ (𝑋\𝑌)\𝑎𝛼−1=𝑌\𝑎𝛼−1. Como 𝛼é injetiva em 𝑌\𝑎𝛼−1, concluímos que 𝛼é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1. Portanto, 𝛼∈𝐹𝑎.□ Observemos que 𝛼∈𝑇(𝑋, 𝑌 )é idempotente se e só se, para todo 𝑥∈𝑋𝛼,𝑥𝛼 =𝑥. De facto, tomando 𝛼∈𝑇(𝑋,𝑌), se 𝛼é idempotente, então 𝛼2=𝛼. Dado 𝑥∈𝑋𝛼, existe 𝑎∈𝑋tal que 𝑎𝛼 =𝑥. Logo, 𝑥=𝑎𝛼 =𝑎𝛼2=(𝑎𝛼)𝛼=𝑥𝛼. Reciprocamente, admitamos que 𝑥𝛼 =𝑥, para todo 𝑥∈𝑋𝛼, e tomemos 𝑎∈𝑋. Então, 𝑥=𝑎𝛼 ∈𝑋𝛼. Assim, 𝑥𝛼 =𝑥⇔ (𝑎𝛼)𝛼=𝑎𝛼 ⇔𝑎𝛼2=𝑎𝛼, concluindo o pretendido. Lema 4. Sejam 𝛼∈𝐹e𝑎∈𝑌. Se 𝛼é idempotente em 𝐹𝑎, então 𝑥𝛼 =𝑥, para todo 𝑥∈𝑌\𝑎𝛼−1. Demonstração. Seja 𝛼∈𝐹𝑎. Suponhamos que 𝛼é idempotente e tomemos 𝑥∈𝑌\𝑎𝛼−1. Temos 𝑥𝛼2=𝑥𝛼, por 𝛼ser idempotente. Como 𝑥∈𝑌\𝑎𝛼−1e𝑥𝛼 ∈𝑋𝛼 ⊆𝑌, resta observar que 𝑥𝛼 ∉𝑎𝛼−1. De facto, temos (𝑥𝛼)𝛼=𝑥𝛼2=𝑥𝛼 ≠𝑎. Como 𝛼é injetiva em 𝑌\𝑎𝛼−1, de 𝑥𝛼2=𝑥𝛼 segue que 𝑥𝛼 =𝑥.□ Lema 5. Seja 𝑎∈𝑌e seja 𝐿um subsemigrupo regular de 𝑇(𝑋, 𝑌 )tal que 𝐹𝑎⊊𝐿. Dado 𝛼∈𝐿\𝐹𝑎 tal que 𝑎𝛼−1≠∅, são verdadeiras as seguintes afirmações. 1. 𝛼L𝛽em 𝐿, para algum idempotente 𝛽∈𝐹𝑎. 2. se 𝑎𝛼 =𝑎, então 𝛼não está R-relacionado em 𝐿com qualquer elemento de 𝐹𝑎. Demonstração. Como 𝐿é um semigrupo regular e 𝛼∈𝐿, sabemos que 𝛼é regular. Pelo que observámos imediatamente antes do Teorema 4, 𝐹é o conjunto de todos os elementos regulares de 𝑇(𝑋,𝑌). Logo, 𝐿⊆𝐹e, em particular, 𝛼∈𝐹. Assim, 𝛼∉𝐹𝑎se e só se 𝑎𝛼 ≠𝑎ou 𝛼não é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1. Por hipótese, 𝑎∈𝑋𝛼. Escrevamos, então, 𝛼=©« 𝑎𝛼−1𝐴𝑖 𝑎 𝑎𝑖ª®¬, 29 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO com 𝑋𝛼 ={𝑎}¤ ∪ {𝑎𝑖:𝑖∈𝐼}e, para cada 𝑖∈𝐼,𝑎𝑖𝛼−1=𝐴𝑖. Podemos escrever 𝑋={𝑎𝑖:𝑖∈ 𝐼}¤ ∪ {𝑏𝑗:𝑗∈𝐽}. Definamos 𝛽∈𝑇(𝑋)por 𝛽=©« 𝑏𝑗𝑎𝑖 𝑎 𝑎𝑖ª®¬. É claro que 𝑋𝛽 =𝑋𝛼 ⊆𝑌, pelo que 𝛽∈𝑇(𝑋,𝑌). Mais, como 𝑎∉{𝑎𝑖:𝑖∈𝐼}, sabemos que 𝑎∈ {𝑏𝑗:𝑗∈𝐽}. Logo, 𝛽2=©« 𝑏𝑗𝑎𝑖 𝑎 𝑎𝑖ª®¬©« 𝑏𝑗𝑎𝑖 𝑎 𝑎𝑖ª®¬=©« 𝑏𝑗𝑎𝑖 𝑎 𝑎𝑖ª®¬=𝛽, e𝛽é idempotente. Sendo idempotente, 𝛽é regular (pois 𝛽=𝛽𝛽𝛽). Logo, 𝛽∈𝐹. Vejamos que, na verdade, 𝛽∈𝐹𝑎. Temos que 𝑎𝛽 =𝑎. Além disso, em 𝑋\𝑎𝛽−1={𝑎𝑖:𝑖∈𝐼},𝛽é injetiva. Portanto, 𝛽∈𝐹𝑎e, como 𝐹𝑎⊊𝐿,𝛽∈𝐿. Pelo Teorema 5, uma vez que 𝛼∈𝐹,𝛽L𝛼em 𝑇(𝑋,𝑌)se e só se 𝛽∈𝐹e𝑋𝛽 =𝑋𝛼. Ora, ambas as condições são satisfeitas e, portanto, 𝛽L𝛼em𝑇(𝑋,𝑌). Mas 𝐿é um subsemigrupo regular de𝑇(𝑋,𝑌). Pelo Teorema de Hall (ver [5, Proposição 2.4.2]), L𝐿=L𝑇(𝑋,𝑌)∩ (𝐿×𝐿). Assim, podemos concluir que 𝛼L𝛽em 𝐿, como pretendíamos. Assumamos agora que 𝑎𝛼 =𝑎e suponhamos que 𝛼R𝛽, para algum 𝛽∈𝐹𝑎. Então, pelo Teorema 6, 𝜋𝛼=𝜋𝛽. Logo, podemos escrever 𝛼, 𝛽 como 𝛼=©« 𝑎𝛼−1𝐴𝑖 𝑎 𝑎𝑖ª®¬, 𝛽 =©« 𝑎𝛼−1𝐴𝑖 𝑏 𝑏𝑖ª®¬, onde Ð𝑖∈𝐼𝐴𝑖=𝑋\𝑎𝛼−1. Sabemos que 𝑎∈𝑋𝛽, porque 𝑎𝛽 =𝑎. Assim, 𝑎=𝑏ou 𝑎=𝑏𝑖, para algum 𝑖∈𝐼. Se 𝑎=𝑏𝑖, para algum 𝑖, temos 𝑎∈𝑎𝛽−1=𝑏𝑖𝛽−1=𝐴𝑖. Contudo, 𝑎∈𝑎𝛼−1, pelo que 𝐴𝑖∩𝑎𝛼−1≠∅, que sabemos ser uma contradição. Logo, 𝑎=𝑏e𝑎𝛽−1=𝑏𝛽−1=𝑎𝛼−1. Tomemos, agora 𝑥1, 𝑥2∈𝑋\𝑎𝛼−1tais que 𝑥1𝛼=𝑥2𝛼. Então, (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝜋𝛼e, consequentemente, (𝑥1, 𝑥2) ∈ 𝜋𝛽. Logo, 𝑥1𝛽=𝑥2𝛽. Como 𝛽é injetiva em 𝑋\𝑎𝛽−1, concluímos que 𝑥1=𝑥2. Por outras palavras, vimos que 𝛼é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1. Mas, 𝛼∉𝐹𝑎. Obtemos, assim, uma contradição, que vem do facto de supormos que 𝛼R𝛽, para algum 𝛽∈𝐹𝑎.□ Já vimos que 𝐹é o maior subsemigrupo regular de𝑇(𝑋,𝑌). No resultado que se segue, iremos determinar uma família de subsemigrupos inversos maximais de 𝑇(𝑋,𝑌). 30 CAPÍTULO 3. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO CONJUNTO Teorema 13. Para cada 𝑎∈𝑌, o conjunto 𝐹𝑎é um subsemigrupo inverso maximal de 𝑇(𝑋,𝑌). Demonstração. Seja 𝑎∈𝑌. Comecemos por verificar que 𝐹𝑎é um subsemigrupo de 𝑇(𝑋,𝑌). Vimos anteriormente que 𝐹𝑎≠∅. Por definição, 𝐹𝑎⊆𝐹⊆𝑇(𝑋, 𝑌 ). Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝐹𝑎. Então, 𝑎𝛼 =𝑎𝛽 =𝑎, 𝛼é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1e𝛽é injetiva em 𝑋\𝑎𝛽−1. É imediato que, como 𝛼, 𝛽 ∈𝐹e𝐹é ideal direito de 𝑇(𝑋,𝑌)(pelo Lema 1), 𝛼𝛽 ∈𝐹. Mais, (𝑎𝛼)𝛽=𝑎𝛽 =𝑎. Logo, 𝑎(𝛼𝛽)=𝑎. Vejamos que 𝛼𝛽 é injetiva em 𝑋\𝑎(𝛼𝛽)−1. Para isso, tomemos 𝑥,𝑦 ∈𝑋\𝑎(𝛼𝛽)−1tais que 𝑥(𝛼𝛽)=𝑦(𝛼𝛽). Como 𝑥∉𝑎(𝛼𝛽)−1, segue que 𝑥(𝛼𝛽)≠𝑎. Logo, (𝑥𝛼)𝛽≠𝑎e, portanto, 𝑥𝛼 ∈𝑋\𝑎𝛽−1. De modo análogo, concluímos que𝑦𝛼 ∈𝑋\𝑎𝛽−1. Sendo 𝛽injetiva em 𝑋\𝑎𝛽−1, de (𝑥𝛼)𝛽=(𝑦𝛼)𝛽segue que 𝑥𝛼 =𝑦𝛼. Se 𝑥𝛼 =𝑎, então 𝑥(𝛼𝛽)=𝑎𝛽 =𝑎, um absurdo. Logo, 𝑥,𝑦 ∈𝑋\𝑎𝛼−1. Como 𝛼é injetiva em 𝑋\𝑎𝛼−1 e𝑥𝛼 =𝑦𝛼, concluímos que 𝑥=𝑦. Portanto, 𝛼𝛽 é injetiva em 𝑋\(𝛼𝛽)−1. Desta forma, 𝛼𝛽 ∈𝐹𝑎, e 𝐹𝑎 é um subsemigrupo de 𝑇(𝑋,𝑌). Queremos provar, agora, que 𝐹𝑎é semigrupo inverso, isto é, 𝐹𝑎é regular e todos os seus idempotentes comutam. Seja 𝛼∈𝐹𝑎. Pelo Teorema 12, qualquer que seja 𝑥∈𝑌𝛼\{𝑎},|𝑥𝛼−1|=1, já que 𝛼é injetiva neste conjunto. Assim, seja 𝑌𝛼\{𝑎}={𝑦𝑖:𝑖∈𝐼}e, para cada 𝑖∈𝐼, seja 𝑥𝑖∈𝑌tal que 𝑥𝑖𝛼=𝑦𝑖. Temos 𝛼=©« 𝑥𝑖𝑎𝛼−1 𝑦𝑖𝑎ª®¬, com 𝑌={𝑥𝑖:𝑖∈𝐼}¤ ∪ {𝑎}e𝑋=𝑌∪𝑎𝛼−1. Podemos escrever 𝑋como {𝑦𝑖:𝑖∈𝐼}¤ ∪ {𝑎𝑗:𝑗∈𝐽}. É claro que 𝑎∈ {𝑎𝑗:𝑗∈𝐽}. Definamos 𝛿∈𝑇(𝑋)por 𝛿=©« 𝑦𝑖𝑎𝑗 𝑥𝑖𝑎ª®¬. Como 𝑋𝛿 =𝑌, temos que 𝛿∈𝑇(𝑋,𝑌). Vejamos que 𝛿∈𝐹𝑎. É fácil ver que 𝛿∈𝐹, já que (𝑋\𝑌)𝛿= {𝑎}={𝑎𝛿} ⊆ 𝑌𝛿. Temos 𝑎∈𝑎𝛿−1, isto é, 𝑎𝛿 =𝑎. Mais, 𝛿é injetiva em {𝑦𝑖:𝑖∈𝐼}=𝑋\𝑎𝛿−1, pelo que 𝛿∈𝐹𝑎. Como 𝛼𝛿𝛼 =©« 𝑥𝑖𝑎𝛼−1 𝑦𝑖𝑎ª®¬©« 𝑦𝑖𝑎𝑗 𝑥𝑖𝑎ª®¬©« 𝑥𝑖𝑎𝛼−1 𝑦𝑖𝑎ª®¬=𝛼, podemos concluir que 𝐹𝑎é regular. Provemos, agora, que os idempotentes de 𝐹𝑎comutam. Sejam 𝛼, 𝛽 idempotentes de 𝐹𝑎. Então, 𝑥𝛼 =𝑥, para todo 𝑥∈𝑋\𝑎𝛼−1, e 𝑥𝛽 =𝑥, para todo 𝑥∈𝑋\𝑎𝛽−1. Mais, como 𝛼, 𝛽 ∈𝐹𝑎, temos 𝑎𝛼 =𝑎e 𝑎𝛽 =𝑎. 31 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE De seguida, encontramos uma condição necessária e suficiente para 𝐸ser subsemigrupo regular de 𝑆(𝑋,𝑌). Observemos primeiro que, sendo 𝐸o conjunto de todos os elementos regulares, o semigrupo 𝑆(𝑋,𝑌)é regular se e só se 𝐸=𝑆(𝑋,𝑌)e, neste caso, 𝐸é fechado para a composição. Também é fácil perceber que, quando 𝑋=𝑌, temos 𝐸=𝑆(𝑋, 𝑌 )e, nessas mesmas condições, 𝑆(𝑋, 𝑌 )=𝑇(𝑋), que sabemos ser regular. Ou seja, se 𝑋=𝑌, então 𝐸=𝑆(𝑋,𝑌)=𝑇(𝑋)é um semigrupo regular. Por outro lado, se |𝑌|=1, todos os elementos de 𝑆(𝑋,𝑌)são regulares, isto é, pertencem a 𝐸. Desta forma, obtemos novamente a igualdade 𝐸=𝑆(𝑋,𝑌)e concluímos que 𝐸=𝑆(𝑋,𝑌)é um semigrupo regular. Notemos ainda que, como ilustram os exemplos acima e como mostraremos no seguinte lema, quando 𝑋≠𝑌e|𝑌|>1, o conjunto 𝐸não é subsemigrupo de 𝑆(𝑋, 𝑌 ). Lema 6. As afirmações seguintes são equivalentes: 1. 𝐸é subsemigrupo regular de 𝑆(𝑋,𝑌). 2. 𝑆(𝑋,𝑌)é semigrupo regular. 3. 𝑋=𝑌ou |𝑌|=1. Demonstração. Como observámos acima, se 𝑋=𝑌ou |𝑌|=1, então 𝐸=𝑆(𝑋,𝑌)é um semigrupo regular. Suponhamos, por contrarrecíproco, que 𝑋≠𝑌e|𝑌|≠1. Podemos, então, tomar 𝑎,𝑏 ∈𝑌tais que 𝑎≠𝑏e𝑐∈𝑋\𝑌. Definamos 𝛼, 𝛽 em 𝑇(𝑋)por 𝛼=©« 𝑌 𝑋\𝑌 𝑎 𝑐 ª®¬, 𝛽 =©« 𝑎 𝑋\{𝑎} 𝑎 𝑏 ª®¬. Temos 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋, 𝑌 ), uma vez que 𝑌𝛼 ={𝑎} ⊆ 𝑌e𝑌𝛽 ={𝑎,𝑏} ⊆ 𝑌. Além disso, 𝑋𝛼 ∩𝑌={𝑎}= 𝑌𝛼 e𝑋 𝛽 ∩𝑌={𝑎,𝑏}=𝑌𝛽, pelo que 𝛼, 𝛽 ∈𝐸. No entanto, 𝛼𝛽 =©« 𝑌 𝑋\𝑌 𝑎 𝑐 ª®¬©« 𝑎 𝑋\{𝑎} 𝑎 𝑏 ª®¬=©« 𝑌 𝑋\𝑌 𝑎 𝑏 ª®¬, pelo que 𝛼𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌)mas 𝑋𝛼𝛽 ∩𝑌={𝑎,𝑏}≠{𝑎}=𝑌𝛼𝛽. Logo, 𝛼𝛽 ∉𝐸, donde concluímos que 𝐸 não é um subsemigrupo de 𝑆(𝑋,𝑌). Para além disso, como 𝛼𝛽 é um elemento não regular de 𝑆(𝑋, 𝑌 ), podemos concluir que 𝑆(𝑋, 𝑌 )não é um semigrupo regular. □ Trivialmente, se 𝑋é conjunto infinito e 𝑌é subconjunto finito de 𝑋, então 𝑋≠𝑌. Do lema anterior, segue, assim, o seguinte corolário. 38 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Corolário 6. Se 𝑋é um conjunto infinito e 𝑌é um subconjunto finito de 𝑋, então 𝐸=𝑆(𝑋, 𝑌)é regular se e só se |𝑌|=1. No Teorema que se segue, vemos que 𝑆(𝑋,𝑌)e𝑇(𝑍)raramente são isomorfos. Teorema 15. O semigrupo 𝑆(𝑋,𝑌)é isomorfo a 𝑇(𝑍), para algum conjunto 𝑍, se e só se 𝑋=𝑌e |𝑌|=|𝑍|. Demonstração. Suponhamos que 𝑋=𝑌. Se 𝑍é um conjunto tal que |𝑍|=|𝑌|, temos 𝑆(𝑋,𝑌)=𝑆(𝑌,𝑌)={𝛼∈𝑇(𝑌):𝑌𝛼 ⊆𝑌}=𝑇(𝑌)𝑇(𝑍). Reciprocamente, suponhamos que 𝑆(𝑋,𝑌)𝑇(𝑍), para algum conjunto 𝑍, e admitamos, por absurdo, que 𝑌⊊𝑋. Temos, desta forma, que |𝑋|>1, e vamos analisar dois casos: quando |𝑌|=1e quando |𝑌|>1. Se |𝑌|=1, então 𝑌={𝑎}, para algum 𝑎∈𝑋, e 𝑎𝛽 =𝑎, para todo 𝛽∈𝑆(𝑋,𝑌). Pelo Lema 6, 𝑆(𝑋,𝑌) é regular (pois |𝑌|=1). Como |𝑋|>1, podemos tomar 𝑏∈𝑋\{𝑎}. Definamos 𝛼1, 𝛼2em 𝑇(𝑋)por 𝛼1=©« 𝑋 𝑎ª®¬, 𝛼2=©« 𝑎 𝑋\{𝑎} 𝑎 𝑏 ª®¬. Temos 𝛼1, 𝛼2∈𝑆(𝑋,𝑌). Logo, 𝑆(𝑋,𝑌)tem mais do que um elemento, pelo que 𝑇(𝑍)também terá (pois são isomorfos). Consequentemente, |𝑍|>1(caso contrário, não conseguiriamos definir, pelo menos, duas aplicações distintas). Comecemos por reparar que 𝑋𝑎é elemento zero de 𝑆(𝑋,𝑌)nestas condições. Suponhamos, então, que 𝛾é elemento zero de 𝑇(𝑍). Assim, para todo 𝛼∈𝑇(𝑍),𝛼𝛾 =𝛾𝛼 =𝛾. Em particular, se 𝛼=𝑍𝑐, para algum 𝑐∈𝑍, temos 𝛾𝛼 =𝛾⇔𝛾©« 𝑍 𝑐ª®¬=𝛾⇔©« 𝑍 𝑐ª®¬=𝛾. Porém, pelo observado acima, |𝑍| ≥ 2, pelo que existe 𝑑∈𝑍\ {𝑐}. Assim, 𝛾=𝑍𝑐=𝑍𝑑, com 𝑐≠𝑑, o que é uma contradição. Logo, 𝑇(𝑍)não tem elemento zero. Como 𝑋𝑎é elemento zero de 𝑆(𝑋, 𝑌), concluímos que 𝑇(𝑍)≇𝑆(𝑋,𝑌). Se, por outro lado, |𝑌|>1, então, pelo Lema 6, 𝑆(𝑋,𝑌)não é regular. Porém, 𝑇(𝑍)é regular para qualquer 𝑍≠∅, pelo que 𝑇(𝑍)≇𝑆(𝑋,𝑌), e assim concluímos a prova. □ 39 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Vimos no Corolário 6 que, nas condições de 𝑋ser infinito e 𝑌ser finito, 𝑆(𝑋,𝑌)é regular se |𝑌|=1. Também vimos no Teorema 15 que, se |𝑌|=1e𝑌⊊𝑋, então 𝑆(𝑋,𝑌)≇𝑇(𝑍), para qualquer 𝑍. Desta forma, segue o resultado abaixo. Corolário 7. Se 𝑋é um conjunto infinito e 𝑌é um subconjunto finito de 𝑋, então 𝑆(𝑋,𝑌)nunca é isomorfo a 𝑇(𝑍), para qualquer conjunto 𝑍. Em [5] Teorema 1.1.2, prova-se que todo o semigrupo 𝐴pode ser mergulhado no semigrupo de transformações totais da seguinte forma: para cada 𝑎∈𝐴, seja 𝜌𝑎:𝐴1→𝐴1tal que, para todo 𝑥∈𝐴1, 𝑥𝜌𝑎=𝑥𝑎. Então, 𝜌𝑎∈𝑇(𝐴1), já que 𝜌𝑎é uma transfomação total cujo domínio é 𝐴1. Mais, se tomarmos 𝜙:𝐴→𝑇(𝐴1)definido por 𝑎𝜙 =𝜌𝑎, não é difícil de verificar que 𝜙é um monomorfismo. Falta apenas ver que 𝜌𝑎∈𝑆(𝐴1, 𝐴). Ora, se 𝑥=1, então 𝑥𝜌𝑎=𝑥𝑎 =1𝑎=𝑎∈𝐴. Se 𝑥≠1, como 𝐴 é semigrupo, qualquer que seja 𝑥∈𝐴,𝑥𝜌𝑎=𝑥𝑎 ∈𝐴. Logo, 𝜌𝑎∈𝑆(𝐴1, 𝐴), ficando, desta forma, demonstrado o teorema que se segue. Teorema 16. Todo o semigrupo 𝐴pode ser mergulhado em 𝑆(𝐴1, 𝐴). Observemos o seguinte: sabemos que 𝑆(𝐴1, 𝐴)é subsemigrupo de 𝑇(𝐴1)e que 𝑆(𝐴1, 𝐴)é regular se e só se |𝐴|=1ou 𝐴1=𝐴. Se 𝐴for um semigrupo sem identidade, então 𝐴1≠𝐴. Suponhamos que |𝐴|=1. Então, 𝐴={𝑎}, para algum 𝑎. Mas 𝐴é semigrupo, donde 𝑎𝑎 =𝑎e, consequentemente, 𝑎é uma identidade de 𝐴, uma contradição. Portanto, |𝐴|≠1. Por outras palavras, se 𝐴não tem identidade, então 𝑆(𝐴1, 𝐴)é um subsemigrupo próprio não regular de 𝑇(𝐴1). Assim, o mergulho apresentado por Howie mergulha 𝐴num semigrupo regular, ao passo que este mergulho o faz num semigrupo não regular. 4.2 Relações de Green Na secção anterior, vimos que 𝑆(𝑋,𝑌)quase nunca é subsemigrupo regular de 𝑇(𝑋)(ver Lema 6). Desta forma, as relações de Green LeRem 𝑆(𝑋, 𝑌 )não herdam as caracterizações de LeRem 𝑇(𝑋). Comecemos pela caracterização da relação Lem 𝑆(𝑋,𝑌). Recordemos que, dados 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋), 𝑋𝛼 ⊆𝑋 𝛽 se e só se existe 𝛾em 𝑇(𝑋)tal que 𝛼=𝛾𝛽. 40 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Lema 7. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋, 𝑌). Então, 𝛼=𝛾𝛽, para algum 𝛾∈𝑆(𝑋, 𝑌 ), se e só se 𝑋𝛼 ⊆𝑋𝛽 e 𝑌𝛼 ⊆𝑌 𝛽. Consequentemente, 𝛼L𝛽se e só se 𝑋𝛼 =𝑋𝛽 e𝑌𝛼 =𝑌 𝛽. Demonstração. Supondo que existe 𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌)tal que 𝛼=𝛾𝛽, então 𝑋𝛼 =𝑋(𝛾𝛽)=(𝑋𝛾)𝛽⊆𝑋𝛽. Analogamente, 𝑌𝛼 ⊆𝑌 𝛽. Reciprocamente, suponhamos que 𝑋𝛼 ⊆𝑋𝛽 e𝑌𝛼 ⊆𝑌𝛽. Notemos que 𝑌(𝛼|𝑌) ⊆ 𝑌(𝛽|𝑌), onde 𝛼|𝑌, 𝛽|𝑌∈𝑇(𝑌). Portanto, da observação anterior segue que 𝛼|𝑌=𝛿𝛽|𝑌, para algum 𝛿∈𝑇(𝑌). Para todo 𝑥∉𝑌, existe 𝑥0∈𝑋tal que 𝑥𝛼 =𝑥0𝛽, já que 𝑋𝛼 ⊆𝑋𝛽. Logo, para cada 𝑥∉𝑌, fixa-se 𝑥0∈𝑋. Estenda-se 𝛿∈𝑇(𝑌)para 𝛾∈𝑇(𝑋)por: 𝑥𝛾 = 𝑥𝛿 se 𝑥∈𝑌 𝑥0se 𝑥∉𝑌 É claro que 𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌), pois 𝑌𝛾 =𝑌𝛿 e𝛿∈𝑇(𝑌). Mais, dado 𝑥∈𝑋, (𝑥𝛾)𝛽= 𝑥𝛿𝛽 se 𝑥∈𝑌 𝑥0𝛽se 𝑥∉𝑌 = 𝑥𝛿𝛽|𝑌se 𝑥∈𝑌 𝑥𝛼 se 𝑥∉𝑌 = 𝑥𝛼|𝑌se 𝑥∈𝑌 𝑥𝛼 se 𝑥∉𝑌 =𝑥𝛼. Logo, 𝛼=𝛾𝛽. Sabemos que, dados 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌),𝛼L𝛽se e só se existem 𝛾, 𝜇 ∈𝑆(𝑋,𝑌)tais que 𝛼=𝛾𝛽 e 𝛽=𝜇𝛼. Ora, acabámos de ver que 𝛼=𝛾𝛽 para algum 𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌)se e só se 𝑋𝛼 ⊆𝑋 𝛽 e𝑌𝛼 ⊆𝑌 𝛽. Logo, 𝛼L𝛽se e só 𝑋𝛼 ⊆𝑋𝛽 e𝑌𝛼 ⊆𝑌 𝛽 e𝑋𝛽 ⊆𝑋𝛼 e𝑌 𝛽 ⊆𝑌𝛼. Ou seja, 𝛼L𝛽em 𝑆(𝑋,𝑌)se e só 𝑋𝛼 =𝑋𝛽 e𝑌𝛼 =𝑌 𝛽.□ Na descrição da relação R, auxiliar-nos-emos, tal como é habitual, de partições. Para o efeito, dado 𝛼∈𝑆(𝑋,𝑌), consideramos a partição 𝜋𝛼={𝑥𝛼−1:𝑥∈𝑋𝛼}de 𝑋, e um seu subconjunto, relacionado com 𝑌, a saber: 𝜋𝛼(𝑌)={𝑦𝛼−1:𝑦∈𝑋𝛼 ∩𝑌}. Usaremos, ainda, o conceito de refinamento de uma família de classes de equivalência. Dados 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑆(𝑋,𝑌),A ⊆ 𝜋𝛼eB ⊆ 𝜋𝛽, dizemos que Arefina Bse, para cada 𝐴∈ A, existe 𝐵∈ B tal que 𝐴⊆𝐵. Lema 8. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌). Então, 𝛼=𝛽𝛾, para algum 𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌), se e só se 𝜋𝛽refina 𝜋𝛼e 𝜋𝛽(𝑌)refina 𝜋𝛼(𝑌). Consequentemente, 𝛼R𝛽se e só se 𝜋𝛼=𝜋𝛽e𝜋𝛼(𝑌)=𝜋𝛽(𝑌). 41 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Demonstração. Suponhamos que 𝛼=𝛽𝛾, para algum𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌). Pretendemos mostrar que 𝜋𝛽refina 𝜋𝛼, ou seja, para cada 𝐴∈𝜋𝐵, existe 𝐵∈𝜋𝛼tal que 𝐴⊆𝐵. Tomemos, então, 𝐴∈𝜋𝛽. Por definição de 𝜋𝛽, existe 𝑥∈𝑋𝛽 tal que 𝐴=𝑥𝛽−1. Para cada 𝑎∈𝐴, temos 𝑎𝛽 =𝑥. Logo, 𝑥𝛾 =(𝑎𝛽)𝛾=𝑎𝛼, qualquer que seja 𝑎∈𝐴. Podemos, então, concluir que, para todo 𝑎∈𝐴, se tem 𝑎∈ (𝑥𝛾)𝛼−1. Como 𝐵=(𝑥𝛾)𝛼−1∈𝜋𝛼, segue que existe 𝐵∈𝜋𝛼tal que 𝐴⊆𝐵. Assim, 𝜋𝛽refina 𝜋𝛼. Vejamos agora que 𝜋𝛽(𝑌)refina 𝜋𝛼(𝑌). Para isso, tomemos 𝑦∈𝑋 𝛽 ∩𝑌e consideremos 𝐴=𝑦𝛽−1. Como 𝑦∈𝑌e𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌), sabemos que 𝑦𝛾 ∈𝑌. Para todo 𝑎∈𝐴, temos 𝑎𝛽 =𝑦. Assim, 𝑎𝛼 =𝑎(𝛽𝛾)=(𝑎𝛽)𝛾=𝑦𝛾 e, portanto, 𝑎∈ (𝑦𝛾)𝛼−1. Mas 𝑦𝛾 ∈𝑋𝛼 pois 𝑦𝛾 =𝑎𝛼, com 𝑎∈𝑋, pelo que 𝑦𝛾 ∈𝑋𝛼 ∩𝑌e(𝑦𝛾)𝛼−1∈𝜋𝛼(𝑌). Se tomarmos 𝐵=(𝑦𝛾)𝛼−1, temos que 𝐴⊆𝐵. Por outras palavras, 𝜋𝛽(𝑌)refina 𝜋𝛼(𝑌). Reciprocamente, admitamos que 𝜋𝛽refina 𝜋𝛼e𝜋𝛽(𝑌)refina 𝜋𝛼(𝑌). Ora, para cada 𝑥∈𝑋 𝛽, existe 𝑧∈𝑋tal que 𝑥=𝑧𝛽. Definamos 𝛾em 𝑇(𝑋)tal que 𝑥𝛾 = 𝑧𝛼 se 𝑥∈𝑋 𝛽 𝑥𝛽 se 𝑥∈𝑋\𝑋𝛽 Notemos que 𝛾está bem definida, já que 𝜋𝛽refina 𝜋𝛼. De facto, se 𝑥∈𝑋𝛽 é tal que 𝑥=𝑧1𝛽=𝑧2𝛽, então 𝑧1, 𝑧2∈𝑥𝛽−1. Como 𝑥𝛽−1∈𝜋𝛽e𝜋𝛽refina 𝜋𝛼, sabemos que existe 𝐵∈𝜋𝛼tal que 𝑥𝛽−1⊆𝐵. Portanto, 𝑧1, 𝑧2∈𝐵. Mas 𝐵∈𝜋𝛼, pelo que existe 𝑢∈𝑋𝛼 tal que 𝐵=𝑢𝛼−1. Assim, 𝑧1𝛼=𝑢=𝑧2𝛼, ou seja,𝛾está bem definida em 𝑋𝛽. Como 𝛽está bem definida,𝛾também está bem definida em 𝑋\𝑋𝛽. Vejamos que 𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌). Para cada 𝑦∈𝑌, temos 𝑦∈𝑋\𝑋 𝛽 ou 𝑦∈𝑋𝛽 ∩𝑌. Se 𝑦∈𝑋\𝑋𝛽, então 𝑦𝛾 =𝑦𝛽 ∈𝑌, pois 𝛽∈𝑆(𝑋,𝑌). Por outro lado, se 𝑦∈𝑋𝛽 ∩𝑌, então existe 𝑥∈𝑋tal que 𝑥𝛽 =𝑦. Como 𝜋𝛽(𝑌)refina 𝜋𝛼(𝑌), temos que 𝑥∈𝑦𝛽−1⊆𝑦0𝛼−1, para algum 𝑦0∈𝑋𝛼 ∩𝑌. Portanto, 𝑦𝛾 =𝑥𝛽𝛾 =𝑥𝛼 =𝑦0∈𝑌. Logo, 𝑌𝛾 ⊆𝑌e𝛾∈𝑆(𝑋, 𝑌). Para além disso, por definição de 𝛾, temos 𝑥(𝛽𝛾)=(𝑥𝛽)𝛾=𝑥𝛼, para todo 𝑥∈𝑋, uma vez que 𝑥𝛽 ∈𝑋 𝛽. Ou seja, 𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌)é tal que 𝛼=𝛽𝛾. Falta observar que, se 𝜋𝛽refina 𝜋𝛼e, por outro lado, 𝜋𝛼refina 𝜋𝛽, então 𝜋𝛽=𝜋𝛼. Na verdade, dado 𝐴∈𝜋𝛽, existe 𝐵∈𝜋𝛼tal que 𝐴⊆𝐵. Mas, como 𝐵∈𝜋𝛼, sabemos que existe 𝐶∈𝜋𝛽tal que 𝐵⊆𝐶. Portanto, 𝐴⊆𝐶. No entanto, 𝐴e𝐶são classes de equivalência, pelo que 𝐴=𝐶. Assim, podemos concluir que 𝐴=𝐵. Ou seja, todo o elemento de 𝜋𝛽está em 𝜋𝛼. De modo análogo, concluímos que todo o elemento de 𝜋𝛼está em 𝜋𝛽, donde segue que 𝜋𝛽=𝜋𝛼. 42 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Usando um argumento análogo, concluímos que, se 𝜋𝛽(𝑌)refina 𝜋𝛼(𝑌)e𝜋𝛼(𝑌)refina 𝜋𝛽(𝑌), então 𝜋𝛽(𝑌)=𝜋𝛼(𝑌). Desta forma, é imediato que, dados 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋, 𝑌 ), se tem 𝛼R𝛽se e só se 𝜋𝛼=𝜋𝛽 e𝜋𝛼(𝑌)=𝜋𝛽(𝑌).□ É sabido que, em 𝑇(𝑋), cada H-classe que é um grupo é um grupo isomorfo a um grupo 𝐺(𝐴)de permutações de 𝐴, para algum 𝐴⊆𝑋. Em 𝑆(𝑋,𝑌), temos um resultado análogo. Iremos ver que toda aH-classe que é um grupo é um grupo isomorfo a 𝐺(𝐴, 𝐵)={𝜌∈𝐺(𝐴):𝜌|𝐵∈𝐺(𝐵)}, para certos subconjuntos 𝐴e𝐵de 𝑋e de 𝑌, respetivamente, tais que 𝐵⊆𝐴. Teorema 17. Seja 𝜀um idempotente de 𝑆(𝑋, 𝑌 ). Então o grupo 𝐻𝜀é isomorfo a 𝐺(𝐴, 𝐵), para certos subconjuntos 𝐴e𝐵de 𝑋e de 𝑌, respetivamente, tais que 𝐵⊆𝐴e𝐴é um conjunto de representantes de 𝜋𝜀. Demonstração. Como 𝜀é um idempotente, podemos escrever 𝜀=©« 𝐶𝑖𝐷𝑗 𝑐𝑖𝑑𝑗ª®¬, com 𝑐𝑖∈𝐶𝑖∩𝑌e𝑑𝑗∈𝐷𝑗⊆𝑋\𝑌. Temos 𝜋𝜀={𝐶𝑖:𝑖∈𝐼}¤ ∪{𝐷𝑗:𝑗∈𝐽}e𝜋𝜀(𝑌)={𝐶𝑖:𝑖∈𝐼}. Sejam 𝐵={𝑐𝑖:𝑖∈𝐼}e𝐴={𝑐𝑖:𝑖∈𝐼}¤ ∪{𝑑𝑗:𝑗∈𝐽}. Então, 𝐵⊆𝑌e𝐴⊆𝑋. Mais, como 𝑐𝑖∈𝐶𝑖 e𝑑𝑗∈𝐷𝑗, para cada 𝑖e cada 𝑗, temos que 𝐴é um conjunto de representantes para a partição 𝜋𝜀. Dado 𝛼∈𝑆(𝑋,𝑌), pelos Lemas 7 e 8, 𝛼H𝜀se e só se 𝑋𝛼 =𝑋𝜀,𝑌𝛼 =𝑌𝜀,𝜋𝛼=𝜋𝜀e𝜋𝛼(𝑌)= 𝜋𝜀(𝑌). Assim, existem 𝜎∈𝐺(𝐵)e𝛿∈𝐺(𝐴\𝐵)tais que 𝛼=©« 𝐶𝑖𝐷𝑗 𝑐𝑖𝜎 𝑑𝑗𝛿ª®¬. Se considerarmos 𝜌=𝜎∪𝛿, então 𝜌é uma permutação de 𝐴e, uma vez que 𝜌|𝐵=𝜎, temos que 𝜌∈𝐺(𝐴, 𝐵). Mais, 𝛼=©« 𝐶𝑖𝐷𝑗 𝑐𝑖𝜌 𝑑𝑗𝜌ª®¬. Portanto, 𝐻𝜀=©« 𝐶𝑖𝐷𝑗 𝑐𝑖𝜌 𝑑𝑗𝜌ª®¬:𝜌∈𝐺(𝐴, 𝐵) e𝐻𝜀é isomorfo a 𝐺(𝐴, 𝐵), onde 𝐺(𝐴, 𝐵)é subgrupo do grupo de permutações 𝐺(𝐴).□ 43 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Depois de caracterizadas as relações L,ReH, segue a relação D. Clifford e Preston provaram que, em 𝑇(𝑋),𝛼D𝛽se e só se |𝑋𝛼|=|𝑋 𝛽|. Em 𝑆(𝑋, 𝑌), temos a necessidade de mais restrições, seguindo desta forma o próximo teorema. Teorema 18. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌). Então 𝛼D𝛽se e só se |𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|,|𝑋𝛼\𝑌|=|𝑋𝛽\𝑌|e |(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|=|(𝑋 𝛽 ∩𝑌)\𝑌𝛽|. Demonstração. Comecemos por assumir que existe 𝛾∈𝑆(𝑋,𝑌)tal que 𝛼L𝛾e𝛾R𝛽. Então, pelo Lema 8, temos 𝜋𝛾=𝜋𝛽e𝜋𝛾(𝑌)=𝜋𝛽(𝑌). Logo, podemos escrever 𝛽=©« 𝐴𝑖𝐵𝑗𝐶𝑘 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑐𝑘ª®¬e𝛾=©« 𝐴𝑖𝐵𝑗𝐶𝑘 𝑥𝑖𝑦𝑗𝑧𝑘ª®¬, onde 𝐴𝑖∩𝑌≠∅, para cada 𝑖,𝐵𝑗,𝐶𝑘⊆𝑋\𝑌, para cada 𝑗e cada 𝑘,{𝑎𝑖}¤ ∪{𝑏𝑗} ⊆ 𝑌,{𝑥𝑖}¤ ∪{𝑦𝑗} ⊆ 𝑌 e, ainda, {𝑐𝑘},{𝑧𝑘} ⊆ 𝑋\𝑌. Pelo Lema 7, 𝑋𝛼 =𝑋𝛾 e𝑌𝛼 =𝑌𝛾. Assim, podemos escrever 𝛼=©« 𝐿𝑖𝑀𝑗𝑁𝑘 𝑥𝑖𝑦𝑗𝑧𝑘ª®¬, com 𝐿𝑖∩𝑌≠∅e𝑀𝑗, 𝑁𝑘⊆𝑋\𝑌. Desta forma, |𝑌𝛼|=|𝐼|=|𝑌𝛽|,|𝑋𝛼\𝑌|=|𝐾|=|𝑋𝛽\𝑌|e |(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|=|𝐽|=|(𝑋 𝛽 ∩𝑌)\𝑌𝛽|, como pretendido. Reciprocamente, suponhamos que |𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|,|𝑋𝛼\𝑌|=|𝑋𝛽\𝑌|e|(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|=|(𝑋𝛽 ∩ 𝑌)\𝑌 𝛽|. Então, podemos escrever 𝛼=©« 𝐴𝑖𝐵𝑗𝐶𝑘 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑐𝑘ª®¬e𝛽=©« 𝑈𝑖𝑉𝑗𝑊𝑘 𝑢𝑖𝑣𝑗𝑤𝑘ª®¬, onde 𝐴𝑖∩𝑌≠∅,𝑈𝑖∩𝑌≠∅,𝐵𝑗,𝐶𝑘,𝑉𝑗,𝑊𝑘⊆𝑋\𝑌,{𝑎𝑖}¤ ∪{𝑏𝑗} ⊆ 𝑌,{𝑢𝑖}¤ ∪{𝑣𝑗} ⊆ 𝑌, {𝑐𝑘},{𝑤𝑘} ⊆ 𝑋\𝑌. Definamos 𝜇∈𝑇(𝑋)por 𝜇=©« 𝑈𝑖𝑉𝑗𝑊𝑘 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑐𝑘ª®¬. Notemos que 𝑌 𝜇 ={𝑎𝑖} ⊆ 𝑌, pelo que 𝜇∈𝑆(𝑋, 𝑌). Mais, 𝑌 𝜇 ={𝑎𝑖:𝑖∈𝐼}=𝑌𝛼 e𝑋𝜇 ={𝑎𝑖: 𝑖∈𝐼}∪{𝑏𝑗:𝑗∈𝐽}∪{𝑐𝑘:𝑘∈𝐾}=𝑋𝛼. Portanto, pelo Lema 7, 𝛼L𝜇. É imediato concluir que 𝜋𝜇=𝜋𝛽e𝜋𝜇(𝑌)=𝜋𝛽(𝑌). Assim, pelo Lema 8, 𝜇R𝛽. Desta forma, temos 𝜇∈𝑆(𝑋,𝑌)tal que 𝛼L𝜇e𝜇R𝛽, ou seja, 𝛼D𝛽.□ 44 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE É claro que, seguindo a linha de ideias da secção anterior, surge a questão do que é que acontece quando 𝑋é um conjunto infinito e 𝑌é um subconjunto finito e não vazio de 𝑋. Nas relações anteriores é fácil perceber que não há qualquer implicação com esta restrição. O mesmo já não acontece na relação D. Atentemos o corolário que se segue, que tem o propósito de explorar essa mesma ideia. Corolário 8. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋, 𝑌 ). Se 𝑌é um subconjunto finito de 𝑋, então 𝛼D𝛽se e só se |𝑋𝛼|=|𝑋𝛽|,|𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|e|𝑋𝛼 ∩𝑌|=|𝑋 𝛽 ∩𝑌|. Demonstração. Suponhamos que 𝑌é um subconjunto finito de 𝑋. Se 𝛼D𝛽, então |𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|, |𝑋𝛼\𝑌|=|𝑋𝛽\𝑌|e|(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|=|(𝑋𝛽 ∩𝑌)\𝑌 𝛽|, pelo Teorema 18. De 𝑋𝛼 ∩𝑌=𝑌𝛼 ¤ ∪ [(𝑋𝛼 ∩ 𝑌)\𝑌𝛼], segue que |𝑋𝛼 ∩𝑌|=|𝑌𝛼| + |(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|. Analogamente, |𝑋 𝛽 ∩𝑌|=|𝑌 𝛽| + |(𝑋𝛽 ∩ 𝑌)\𝑌 𝛽|. Logo, |𝑋𝛼 ∩𝑌|=|𝑌𝛼| + |(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|=|𝑌𝛽| + |(𝑋 𝛽 ∩𝑌)\𝑌 𝛽|=|𝑋𝛽 ∩𝑌|. De modo análogo, |𝑋𝛼|=|𝑋𝛼 ∩𝑌|+|𝑋𝛼\𝑌|=|𝑋 𝛽 ∩𝑌|+|𝑋𝛽\𝑌|=|𝑋𝛽|. Reciprocamente, admitamos que |𝑋𝛼|=|𝑋𝛽|,|𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|e|𝑋𝛼 ∩𝑌|=|𝑋𝛽 ∩𝑌|. Por hipótese, 𝑌é finito, pelo que também os conjuntos 𝑌𝛼,𝑌 𝛽,𝑋𝛼 ∩𝑌e𝑋𝛽 ∩𝑌são finitos. Resta-nos ver que |𝑋𝛼\𝑌|=|𝑋𝛽\𝑌|e|(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|=|(𝑋𝛽 ∩𝑌)\𝑌 𝛽|. Como 𝑋𝛼 =(𝑋𝛼 ∩𝑌)¤ ∪ (𝑋𝛼\𝑌), sabemos que |𝑋𝛼|=|𝑋𝛼 ∩𝑌| + |𝑋𝛼\𝑌|. De modo semelhante, |𝑋𝛽|=|𝑋 𝛽 ∩𝑌|+|𝑋𝛽\𝑌|. Logo, |𝑋𝛼 ∩𝑌|+|𝑋𝛼\𝑌|=|𝑋 𝛽 ∩𝑌|+|𝑋𝛽\𝑌|. Temos, por hipótese, que |𝑋𝛼 ∩𝑌|=|𝑋𝛽 ∩𝑌|e vimos, ainda, que estes dois conjuntos são finitos. Portanto, podemos concluir que |𝑋𝛼\𝑌|=|𝑋 𝛽\𝑌|. Por último, observemos que |𝑋𝛼 ∩𝑌|=|(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|+|𝑌𝛼|e, de modo análogo, |𝑋 𝛽 ∩𝑌|= |(𝑋 𝛽 ∩𝑌)\𝑌𝛽|+|𝑌 𝛽|, com |𝑌𝛼|=|𝑌𝛽|e𝑌𝛼,𝑌𝛽 finitos. Portanto, |(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|=|(𝑋 𝛽 ∩𝑌)\𝑌𝛽|, como pretendíamos demonstrar. □ Vejamos agora a caracterização da relação Jem 𝑆(𝑋,𝑌). Teorema 19. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌). Então 𝛼=𝜆𝛽𝜇, para alguns 𝜆, 𝜇 ∈𝑆(𝑋,𝑌), se e só se |𝑋𝛼| ≤ |𝑋𝛽|,|𝑌𝛼|≤|𝑌𝛽|e|𝑋𝛼\𝑌|≤|𝑋𝛽\𝑌|. Consequentemente, 𝛼J𝛽se e só se |𝑋𝛼|=|𝑋 𝛽|,|𝑌𝛼|= |𝑌𝛽|e|𝑋𝛼\𝑌|=|𝑋 𝛽\𝑌|. 45 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Demonstração. Assumamos que existem 𝜆, 𝜇 ∈𝑆(𝑋,𝑌)tais que 𝛼=𝜆𝛽𝜇. Então, |𝑋𝛼|=|𝑋𝜆𝛽𝜇| ≤ |(𝑋𝜆)𝛽| ≤ |𝑋 𝛽|. Analogamente, temos |𝑌𝛼|=|𝑌𝜆𝛽𝜇| ≤ |(𝑌𝜆)𝛽| ≤ |𝑌 𝛽|. Por outro lado, |𝑋𝛼\𝑌|= |(𝑋𝜆𝛽𝜇)\𝑌| ≤ |𝑋 𝛽𝜇\𝑌|. Ora, 𝑋 𝛽𝜇\𝑌=[(𝑋 𝛽\𝑌)¤ ∪ (𝑋 𝛽 ∩𝑌)]𝜇\𝑌=[(𝑋𝛽\𝑌)𝜇¤ ∪ (𝑋 𝛽 ∩ 𝑌)𝜇] \𝑌. Mas𝑌 𝜇 ⊆𝑌, pelo que (𝑋 𝛽 ∩𝑌)𝜇\𝑌=∅. Logo, |𝑋 𝛽𝜇\𝑌|=|(𝑋𝛽\𝑌)𝜇\𝑌| ≤ |(𝑋𝛽\𝑌)𝜇| ≤ |𝑋𝛽\𝑌|. Portanto, |𝑋𝛼\𝑌| ≤ |𝑋 𝛽\𝑌|. Reciprocamente, suponhamos que |𝑋𝛼| ≤ |𝑋 𝛽|,|𝑌𝛼| ≤ |𝑌𝛽|e|𝑋𝛼\𝑌| ≤ |𝑋 𝛽\𝑌|. Escrevamos 𝛼=©« 𝐴𝑖𝐵𝑗𝐶𝑘 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑐𝑘ª®¬, onde 𝐴𝑖∩𝑌≠∅,𝐵𝑗,𝐶𝑘⊆𝑋\𝑌,{𝑎𝑖}¤ ∪{𝑏𝑗} ⊆ 𝑌e{𝑐𝑘} ⊆ 𝑋\𝑌. Por hipótese, podemos escrever 𝛽=©« 𝑈𝑖𝑈𝑙𝑉𝑚𝑊𝑛𝑊𝑘 𝑢𝑖𝑢𝑙𝑣𝑚𝑤𝑛𝑤𝑘ª®¬, onde 𝑈𝑖∩𝑌≠∅,𝑈𝑙∩𝑌≠∅,𝑉𝑚,𝑊𝑛,𝑊𝑘⊆𝑋\𝑌,{𝑢𝑖}¤ ∪{𝑢𝑙}¤ ∪{𝑣𝑚} ⊆ 𝑌,{𝑤𝑛}¤ ∪{𝑤𝑘} ⊆ 𝑋\𝑌e |𝐼|+|𝐽|+|𝐾| ≤ |𝐼|+|𝐿|+|𝑀|+|𝑁|+|𝐾|. São possíveis dois casos: |𝐽| ≤ |𝐿|+|𝑀|+|𝑁|e|𝐽|>|𝐿|+|𝑀|+|𝑁|. Comecemos por supôr que |𝐽| ≤ |𝐿| + |𝑀| + |𝑁|. Então, podemos escrever 𝐿∪𝑀∪𝑁como 𝑃¤ ∪𝑄, com |𝑃|=|𝐽|. Assim, podemos escrever {𝑈𝑙}∪{𝑉𝑚}∪{𝑊𝑛}como {𝑆𝑝}∪{𝑆𝑞}e reescrevemos 𝛽 como 𝛽=©« 𝑈𝑖𝑆𝑝𝑆𝑞𝑊𝑘 𝑢𝑖𝑠𝑝𝑠𝑞𝑤𝑘ª®¬. Como |𝐽|=|𝑃|, existe uma bijeção 𝜑:𝐽→𝑃. Seja 𝜆=©« 𝐴𝑖𝐵𝑗𝐶𝑘 𝑥𝑖𝑦𝑗𝜑 𝑧𝑘ª®¬, onde 𝑥𝑖∈𝑈𝑖∩𝑌,𝑦𝑗𝜑 ∈𝑆𝑗𝜑 e𝑧𝑘∈𝑊𝑘. Temos, então, 𝜆∈𝑆(𝑋,𝑌). Escolha-se 𝑖0∈𝐼e seja 𝐼0=𝐼\{𝑖0}. Defina-se 𝜇=©« 𝑢𝑖0𝑠𝑗𝜑 𝑤𝑘𝑋\{𝑢𝑖0, 𝑠𝑗𝜑,𝑤𝑘} 𝑎𝑖0𝑏𝑗𝑐𝑘𝑎𝑖0ª®¬. Assim, 𝜇∈𝑆(𝑋,𝑌)e 𝜆𝛽𝜇 =©« 𝐴𝑖𝐵𝑗𝐶𝑘 𝑥𝑖𝑦𝑗𝜑 𝑧𝑘ª®¬©« 𝑈𝑖𝑆𝑝𝑆𝑞𝑊𝑘 𝑢𝑖𝑠𝑝𝑠𝑞𝑤𝑘ª®¬©« 𝑢𝑖0𝑠𝑗𝜑 𝑤𝑘𝑋\{𝑢𝑖0, 𝑠𝑗𝜑,𝑤𝑘} 𝑎𝑖0𝑏𝑗𝑐𝑘𝑎𝑖0ª®¬=𝛼. 46 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Por último, suponhamos que |𝐽|>|𝐿| + |𝑀| + |𝑁|. É importante repararmos que, neste caso, 𝑋 𝛽 é infinito. Caso contrário, como |𝐼| + |𝐽| + |𝐾|=|𝑋𝛼|=|𝑋𝛽|=|𝐼|+|𝐿|+|𝑀|+|𝑁|+|𝐾|, concluímos que |𝐽|=|𝐿| + |𝑀| + |𝑁|e chegamos a uma contradição. Logo, 𝑋𝛽 é infinito e temos um de dois casos: |𝐽| ≤ |𝐼|ou |𝐽| ≤ |𝐾|, com |𝐽|,|𝐼|e|𝐾|cardinais infinitos. Se |𝐽|≤|𝐼|, então escrevemos 𝐼=𝑃¤ ∪𝑄, com |𝑃|=|𝐼|e|𝑄|=|𝐽|. Podemos escrever {𝑈𝑖}como {𝑆𝑝}∪{𝑆𝑞}e reescrevemos 𝛽como 𝛽=©« 𝑆𝑝𝑆𝑞𝑈𝑙𝑉𝑚𝑊𝑛𝑊𝑘 𝑠𝑝𝑠𝑞𝑢𝑙𝑣𝑚𝑤𝑛𝑤𝑘ª®¬. Como |𝐼|=|𝑃|e|𝐽|=|𝑄|, existem bijeções 𝜑:𝐼→𝑃e𝜓:𝐽→𝑄. Definamos 𝜆,𝜇em 𝑇(𝑋)por 𝜆=©« 𝐴𝑖𝐵𝑗𝐶𝑘 𝑥𝑖𝜑 𝑦𝑗𝜓 𝑧𝑘ª®¬e𝜇=©« 𝑠𝑖0𝜑𝑠𝑗𝜓 𝑤𝑘𝑋\{𝑠𝑖0𝜑, 𝑠𝑗𝜓,𝑤𝑘} 𝑎𝑖0𝑏𝑗𝑐𝑘𝑎𝑖0ª®¬, onde 𝑥𝑖𝜑 ∈𝑆𝑖𝜑 ∩𝑌,𝑦𝑗𝜓 ∈𝑆𝑗𝜓 ,𝑧𝑘∈𝑊𝑘e𝐼0=𝐼\{𝑖0}, para algum 𝑖0∈𝐼. Não é difícil de verificar que 𝜆, 𝜇 ∈𝑆(𝑋,𝑌)e𝜆𝛽𝜇 =𝛼, como pretendido. O caso em que |𝐽| ≤ |𝐾|é análogo. □ Tal como em 𝑇(𝑋,𝑌), nem sempre temos D=Jem 𝑆(𝑋, 𝑌 ). Atentemos os exemplos, onde vemos um caso em que𝑌é infinito e outro em que 𝑌é finito. Relembremos que, em qualquer semigrupo, temos D ⊆ J, pelo que pretendemos encontrar duas aplicações em 𝑆(𝑋,𝑌)que estejam J-relacionadas, mas não D-relacionadas. Exemplo 4. Seja 𝑋=ℕe seja 𝑌o conjuntos dos números pares naturais. Consideremos as seguintes transformações 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋): 𝛼=©« 𝑛 2𝑛ª®¬, 𝛽 =©« 2𝑛 𝑋\𝑌 4𝑛2ª®¬. É claro que as imagens de todos os números pares naturais, tanto por 𝛼como por 𝛽, são números pares e, portanto, 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋, 𝑌 ). Mais, |𝑋𝛼|=ℵ0=|𝑋𝛽|,|𝑌𝛼|=ℵ0=|𝑌 𝛽|e|𝑋𝛼\𝑌|=0=|𝑋 𝛽\𝑌|, donde 𝛼J𝛽, pelo Teorema 19. No entanto, |(𝑋𝛼 ∩𝑌)\𝑌𝛼|=ℵ0≠1=|(𝑋𝛽 ∩𝑌)\𝑌 𝛽|, pelo que 𝛼6D 𝛽. Exemplo 5. Tomemos, agora, 𝑋=ℕe𝑌={1,2,3,4}. Definamos 𝛼, 𝛽 em 𝑇(𝑋)por 𝛼=©« {1,2} {3,4}𝑛+4 3 1 𝑛+4ª®¬, 𝛽 =©« {1,2,4}3{5,6}𝑛+6 1 2 3 𝑛+6ª®¬. 47 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Teorema 25. O número de elementos regulares à esquerda em 𝑆(𝑋, 𝑌 )é 𝑛−𝑟 Õ 𝑚=0 𝑟 Õ 𝑘=1𝑟 𝑘𝑘!𝑘𝑟−𝑘𝑛−𝑟 𝑚𝑚!(𝑘+𝑚)𝑛−𝑟−𝑚, onde |𝑋|=𝑛e|𝑌|=𝑟. Pretendemos, de seguida, descrever os elementos corregulares de𝑆(𝑋,𝑌). Mas comecemos por observar que, se |𝑋|=1, então 𝑆(𝑋,𝑌)=𝑇(𝑋)contém exatamente um elemento e, portanto, é um semigrupo regular, corregular, regular à direita, regular à esquerda, completamente regular e intrarregular. Mais, temos um resultado análogo quando |𝑋|=2, como podemos verificar no lema que se segue. Lema 9. Se |𝑋|=2, então 𝑆(𝑋, 𝑌 )é regular, corregular, regular à esquerda, regular à direita, completamente regular e intrarregular. Demonstração. Suponhamos que |𝑋|=2. Como ∅≠𝑌⊆𝑋, temos dois possíveis casos: |𝑌|=1ou |𝑌|=2. Se |𝑌|=1, tomemos 𝑋={𝑎,𝑏}e𝑌={𝑎}. Então, 𝑆(𝑋,𝑌)=©« 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏ª®¬,©« 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎ª®¬. É fácil observar que os dois elementos de 𝑆(𝑋,𝑌)são idempotentes, pelo que, trivialmente, cada elemento é regular, corregular, regular à esquerda, regular à direita, completamente regular e intrarregular. Por outro lado, se |𝑌|=2, então 𝑋=𝑌,𝑆(𝑋, 𝑌 )=𝑇(𝑋)e 𝑆(𝑋,𝑌)=©« 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏ª®¬,©« 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎ª®¬,©« 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎ª®¬,©« 𝑎 𝑏 𝑏 𝑏ª®¬. Ora, as primeira, terceira e quarta aplicações indicadas são idempotentes e, consequentemente, regulares. Denotemos por 𝛼2a segunda aplicação indicada no conjunto acima. Não é difícil verificar que 𝛼3 2=𝛼2. Logo, 𝛼2é corregular e, por isso, todos os elementos de 𝑆(𝑋,𝑌)são regulares, corregulares, regulares à esquerda, regulares à direita, completamente regulares e intrarregulares, isto é, 𝑆(𝑋,𝑌)é um semigrupo regular, corregular, regular à esquerda, regular à direita, completamente regular e intrarregular, tal como pretendíamos mostrar. □ Na secção 4.1, vimos que 𝑆(𝑋, 𝑌 )não é, em geral, um semigrupo regular. De modo análogo, 𝑆(𝑋,𝑌)não é, em geral, corregular. Não é difícil verificar que todo o elemento idempotente de 𝑆(𝑋,𝑌)é corregular. 54 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Em particular, as transformações constantes em 𝑆(𝑋,𝑌), da forma 𝑋𝑎com 𝑎∈𝑌, são elementos corregulares. Assim, o conjunto dos elementos corregulares de 𝑆(𝑋,𝑌)nunca é vazio. Porém, a maior parte das vezes, é um subconjunto próprio de 𝑆(𝑋,𝑌). Atentemos o próximo exemplo. Exemplo 7. Sejam 𝑋={1,2,3,4,5,6}e𝑌={1,2,3}. Consideremos 𝛼=©« 1 2 3 4 5 6 2 2 1 1 4 5ª®¬ em 𝑇(𝑋). Temos 𝑌𝛼 ={1,2} ⊆ 𝑌, pelo que 𝛼∈𝑆(𝑋,𝑌). Ora, 𝛼3=©« 1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 1ª®¬≠𝛼, pelo que 𝛼não é corregular. O próximo resultado dá-nos condições necessárias e suficientes para que um elemento de 𝑆(𝑋,𝑌)seja corregular. Teorema 26. Seja 𝛼∈𝑆(𝑋, 𝑌 ). Então, as seguintes afirmações são equivalentes. 1. 𝛼é corregular. 2. 𝑥𝛼 ∈𝑥𝛼−1, para todo 𝑥∈𝑋𝛼. 3. 𝛼2|𝑋𝛼 =i𝑑𝑋𝛼. Demonstração. Suponhamos que 𝛼é corregular, isto é, 𝛼3=𝛼. Dado 𝑥∈𝑋𝛼, existe 𝑧∈𝑋tal que 𝑥=𝑧𝛼. Assim, 𝑥=𝑧𝛼 =𝑧𝛼3. Pela associatividade da composição de aplicações, 𝑧𝛼3=(𝑧𝛼)𝛼2= 𝑥𝛼2=(𝑥𝛼)𝛼. Logo, 𝑥=(𝑥𝛼)𝛼, pelo que 𝑥𝛼 ∈𝑥𝛼−1. Admitamos, agora, que para todo 𝑥∈𝑋𝛼,𝑥𝛼 ∈𝑥𝛼−1. Então, para cada 𝑥∈𝑋𝛼, temos 𝑥𝛼2|𝑋𝛼 =𝑥𝛼2=(𝑥𝛼)𝛼=𝑥=𝑥i𝑑𝑋𝛼 e, portanto, 𝛼2|𝑋𝛼 =i𝑑𝑋𝛼. Por último, suponhamos que 𝛼2|𝑋𝛼 =i𝑑𝑋𝛼 e tomemos 𝑥∈𝑋. Temos 𝑥𝛼3=(𝑥𝛼)𝛼2=(𝑥𝛼)𝛼2|𝑋𝛼 =(𝑥𝛼)i𝑑𝑋𝛼 =𝑥𝛼. Logo, 𝛼3=𝛼, pelo que 𝛼é corregular. □ 55 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Iremos ver que, quando |𝑋|>2, o conjunto dos elementos corregulares de 𝑆(𝑋, 𝑌 )não é, efetivamente, todo o conjunto 𝑆(𝑋,𝑌). No exemplo anterior, consideramos um conjunto 𝑋finito. No exemplo que se segue, consideramos um conjunto 𝑋infinito e verificamos a existência de um elemento corregular não idempotente e um elemento não corregular de 𝑆(𝑋, 𝑌 ). Exemplo 8. Tomemos 𝑋=ℕe𝑌={1,2,3,4,5,6}. Consideremos 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋)definidas por 𝛼=©« {1,2}3{4,5} {6,7}2𝑛2𝑛+1 6 4 3 1 2𝑛+1 2𝑛ª®¬𝑛≥4 , 𝛽=©« {1,2} {3,4,5} {6,7}𝑛 316𝑛+1ª®¬𝑛≥8 . Como 𝑌𝛼 ={1,3,4,6} ⊆ 𝑌e𝑌 𝛽 ={1,3,6} ⊆ 𝑌, temos 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌). Mais, 𝛼2=©« {1,2}3{4,5} {6,7}2𝑛2𝑛+1 1 3 4 6 2𝑛2𝑛+1ª®¬𝑛≥4 , pelo que 𝛼2|𝑋𝛼 =i𝑑𝑋𝛼 e, pelo Teorema 26, 𝛼é corregular. Por outro lado, 𝛽2=©« {1,2} {3,4,5} {6,7}𝑛 1 3 6 𝑛+2ª®¬𝑛≥8 . Temos que 9∈𝑋𝛽, mas 9𝛽2=11 ≠9=9 i𝑑𝑋 𝛽. Logo, 𝛽2|𝑋 𝛽 ≠i𝑑𝑋 𝛽 e, pelo Teorema 26, 𝛽não é corregular. Depois de caracterizarmos os elementos corregulares de 𝑆(𝑋,𝑌)no Teorema 26, surge a questão da existência de condições necessárias e suficientes que nos permitam facilmente verificar se este semigrupo é corregular. Temos, de facto, o Teorema que se segue. Teorema 27. O semigrupo 𝑆(𝑋,𝑌)é corregular se e só se |𝑋| ≤ 2. Demonstração. Pelo Lema 9 e a observação feita antes desse resultado, se |𝑋| ≤ 2, então 𝑆(𝑋,𝑌)é um semigrupo corregular. Suponhamos, por contrarrecíproco, que |𝑋| ≥ 3e consideremos os dois casos que se seguem. 56 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Se |𝑌|=1, então |𝑋\𝑌| ≥ 2. Escrevamos 𝑌={𝑦}e tomemos 𝑧∈𝑋\𝑌. Como |𝑋\𝑌| ≥ 2, temos 𝑋\{𝑦, 𝑧}≠∅. Definamos 𝛼em 𝑆(𝑋,𝑌)por 𝛼=©« {𝑦, 𝑧}𝑋\{𝑦, 𝑧} 𝑦 𝑧 ª®¬. É claro que 𝑧∈𝑋𝛼 e𝑧𝛼 =𝑦∉𝑋\{𝑦, 𝑧}=𝑧𝛼−1. Logo, pelo Teorema 26, 𝛼não é corregular. Se |𝑌|>1, então podemos considerar 𝑎,𝑏 ∈𝑌tais que 𝑎≠𝑏. É claro que 𝑋\{𝑎,𝑏}≠∅, uma vez que |𝑋| ≥ 3. Definamos 𝛼em 𝑇(𝑋)por 𝛼=©« {𝑎,𝑏}𝑋\{𝑎,𝑏} 𝑎 𝑏 ª®¬. Obviamente, por 𝑋𝛼 ={𝑎,𝑏} ⊆ 𝑌,𝛼∈𝑆(𝑋,𝑌). Temos, ainda, que 𝑏∈𝑋𝛼 e𝑏𝛼 =𝑎∉𝑋\{𝑎,𝑏}= 𝑏𝛼−1. Logo, pelo Teorema 26, 𝛼não é corregular. Concluimos, assim, que quando |𝑋| ≥ 3,𝑆(𝑋, 𝑌) não é corregular, tal como pretendido. □ Denotamos o conjunto dos elementos corregulares de 𝑆(𝑋, 𝑌 )por 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Pelo Teorema 26, 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) ={𝛼∈𝑆(𝑋, 𝑌 ):𝑥𝛼 ∈𝑥𝛼−1, para todo 𝑥∈𝑋𝛼} ={𝛼∈𝑆(𝑋,𝑌):𝛼2|𝑋𝛼 =i𝑑𝑋𝛼 }. Já observámos que, na maioria dos casos, 𝑆(𝑋,𝑌)não é um semigrupo corregular. Na verdade, em geral, 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) não é subsemigrupo de 𝑆(𝑋, 𝑌 ). Exemplo 9. Sejam 𝑋={1,2,3,4,5}e𝑌={1,2,3}. Consideremos 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋)definidas por 𝛼=©« {1,2,3} {4,5} 1 4 ª®¬, 𝛽 =©« {1,2} {3,4,5} 3 2 ª®¬. Temos 𝑌𝛼 ={1} ⊆ 𝑌e𝑌 𝛽 ={2,3} ⊆ 𝑌. Logo, 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌). Facilmente se verifica que 𝛼é idempotente e, portanto, é corregular. Por outro lado, 𝛽2=©« {1,2} {3,4,5} 2 3 ª®¬, pelo que 𝛽2|𝑋𝛽 =i𝑑𝑋𝛽, ou seja, 𝛽é corregular. No entanto, 𝛼𝛽 =©« {1,2,3} {4,5} 1 4 ª®¬©« {1,2} {3,4,5} 3 2 ª®¬=©« {1,2,3} {4,5} 3 2 ª®¬. 57 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Ora, 2(𝛼𝛽)=3∉{4,5}=2(𝛼𝛽)−1. Portanto, pelo Teorema 26,𝛼𝛽 não é corregular e𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) não é subsemigrupo de 𝑆(𝑋, 𝑌 ). Na verdade, o que o exemplo acima ilustra pode ser generalizado da seguinte forma. Lema 10. Se |𝑋| ≥ 3, então 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) não é subsemigrupo de 𝑆(𝑋,𝑌). Demonstração. Seja 𝑋tal que |𝑋| ≥ 3. Comecemos por ver o caso em que 𝑋=𝑌. Tomemos 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋, todos distintos, e definamos 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋)=𝑆(𝑋,𝑌)por 𝛼=©« {𝑥,𝑦}𝑋\{𝑥,𝑦} 𝑦 𝑧 ª®¬, 𝛽 =©« 𝑦 𝑋\{𝑦} 𝑦 𝑥 ª®¬. Podemos verificar que 𝛼e𝛽são ambos idempotentes e, portanto, são corregulares. Porém, 𝛼𝛽 =©« {𝑥,𝑦}𝑋\{𝑥,𝑦} 𝑦 𝑥 ª®¬. Ora,𝑥∈𝑋𝛼𝛽 e𝑥(𝛼𝛽)=𝑦∉𝑋\{𝑥,𝑦}=𝑥(𝛼𝛽)−1. Logo, 𝛼𝛽 não é corregular, pelo que𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) não é semigrupo, neste caso. Vejamos, agora, o caso em que 𝑌⊊𝑋. Sejam 𝑦∈𝑌e𝑧∈𝑋\𝑌. Se |𝑌|=1, então 𝑌={𝑦}e existe 𝑥∈𝑋\{𝑦, 𝑧}. Tomando 𝛼e𝛽como no caso anterior, temos 𝑌𝛼 ={𝑦} ⊆ 𝑌e𝑌 𝛽 ={𝑦} ⊆ 𝑌, pelo que 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋, 𝑌 ). Assim, temos 𝛼, 𝛽 elementos corregulares de 𝑆(𝑋,𝑌)tais que 𝛼𝛽 não é corregular. Para terminar, se |𝑌| ≥ 2, existe 𝑥∈𝑌\{𝑦}. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋)definidas por 𝛼=©« 𝑌 𝑋\𝑌 𝑦 𝑧 ª®¬, 𝛽 =©« 𝑌\{𝑥} (𝑋\𝑌) ∪ {𝑥} 𝑦 𝑥 ª®¬. É claro que 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌). Mais, 𝛼e𝛽são idempotentes e, consequentemente, corregulares. No entanto, 𝛼𝛽 =©« 𝑌 𝑋\𝑌 𝑦 𝑥 ª®¬. Como 𝑥(𝛼𝛽)=𝑦∉𝑋\𝑌=𝑥(𝛼𝛽)−1, concluímos que 𝛼𝛽 ∉𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)). Desta forma, concluímos que 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) não é subsemigrupo de 𝑆(𝑋,𝑌)para |𝑋| ≥ 3.□ O próximo teorema é um corolário imediato do Teorema 27 e do Lema 10. 58 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Teorema 28. As afirmações seguintes são equivalentes: 1. |𝑋| ≤ 2. 2. 𝑆(𝑋,𝑌)é corregular. 3. 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) é subsemigrupo de 𝑆(𝑋,𝑌). De seguida, alargaremos este estudo aos outros tipos de regularidade em 𝑆(𝑋,𝑌), isto é, iremos determinar quando é que 𝑆(𝑋, 𝑌 )é um semigrupo regular à esquerda, regular à direita, completamente regular e intrarregular. Denotamos o conjunto de todos os elementos regulares à esquerda (respetivamente: regulares à direita, completamente regulares, intrarregulares) de 𝑆(𝑋,𝑌)por 𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) (respetivamente: 𝑅𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)),𝐶𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)),𝐼𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 ))). Teorema 29. As afirmações seguintes são equivalentes: 1. |𝑋| ≤ 2. 2. 𝑆(𝑋,𝑌)é regular à esquerda. 3. 𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) é subsemigrupo de 𝑆(𝑋,𝑌). Demonstração. Se |𝑋| ≤ 2, pelo Lema 9 e pelo que foi observado imediatamente antes deste lema, 𝑆(𝑋,𝑌)é regular à esquerda. Por outro lado, se 𝑆(𝑋,𝑌)é regular à esquerda, então todos os elementos de 𝑆(𝑋,𝑌)são regulares à esquerda, pelo que 𝑆(𝑋, 𝑌 )=𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). É claro que 𝑆(𝑋,𝑌)é subsemigrupo de 𝑆(𝑋, 𝑌 ). Suponhamos, agora, que |𝑋| ≥ 3. Queremos mostrar que 𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) não é fechado para a composição de aplicações. Se 𝑋=𝑌, então tomamos 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈𝑋, todos distintos, e definimos 𝛼, 𝛽 em 𝑆(𝑋,𝑌) por 𝛼=©« {𝑥,𝑦}𝑋\{𝑥,𝑦} 𝑦 𝑧 ª®¬, 𝛽 =©« 𝑦 𝑋\{𝑦} 𝑦 𝑥 ª®¬. Temos 𝛼e𝛽idempotentes, pelo que ambos são regulares à esquerda, mas 𝛼𝛽 =©« {𝑥,𝑦}𝑋\{𝑥,𝑦} 𝑦 𝑥 ª®¬e(𝛼𝛽)2=©« 𝑋 𝑦ª®¬. Como 𝑋(𝛼𝛽)≠𝑋(𝛼𝛽)2, concluímos, pelo Teorema 23, que 𝛼𝛽 não é regular à esquerda. 59 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Admitamos, agora, que 𝑌⊊𝑋, e comecemos por supor que |𝑌|=1. Sejam 𝑌={𝑦}e𝑥, 𝑧 ∈𝑋\{𝑦}, distintos. Tomando 𝛼e𝛽definidas como no caso anterior, já sabemos que 𝛼, 𝛽 ∈𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) e 𝛼𝛽 ∉𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Por último, se |𝑌| ≥ 2, tomemos 𝑥,𝑦 ∈𝑌, distintos, e 𝑧∈𝑋\𝑌. Consideremos 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑋)definidas por 𝛼=©« 𝑌 𝑋\𝑌 𝑦 𝑧 ª®¬, 𝛽 =©« 𝑌\{𝑥} (𝑋\𝑌) ∪ {𝑥} 𝑦 𝑥 ª®¬. É claro que 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑋,𝑌). Mais, 𝛼e𝛽são idempotentes e, portanto, 𝛼, 𝛽 ∈𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)). No entanto, 𝛼𝛽 =©« 𝑌 𝑋\𝑌 𝑦 𝑥 ª®¬e(𝛼𝛽)2=©« 𝑋 𝑦ª®¬, donde segue que 𝑋𝛼𝛽 ≠𝑋(𝛼𝛽)2e𝛼𝛽 ∉𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Concluímos, assim, que se 𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) é subsemigrupo de 𝑆(𝑋, 𝑌), então |𝑋| ≤ 2.□ Observemos que, nos diferentes casos em que 𝑋=𝑌ou (𝑌⊆𝑋e|𝑌|=1) ou (𝑌⊆𝑋e|𝑌| ≥ 2), as aplicações 𝛼e𝛽definidas na demonstração deste resultado, quando |𝑋| ≥ 3, são sempre idempotentes e, como tal, são elementos regulares à esquerda e à direita, completamente regulares e intrarregulares. Não é difícil verificar que, também em todos os casos,𝛼𝛽 não é nem regular à direita, nem completamente regular ou intrarregular. Desta forma, pelo Lema 9 e pela observação que o antecede, obtemos, de modo análogo à demonstração do Teorema 29, a demonstração dos três resultados que se seguem. Teorema 30. As afirmações seguintes são equivalentes: 1. |𝑋| ≤ 2. 2. 𝑆(𝑋,𝑌)é regular à direita. 3. 𝑅𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) é subsemigrupo de 𝑆(𝑋, 𝑌). Teorema 31. As afirmações seguintes são equivalentes: 1. |𝑋| ≤ 2. 60 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE 2. 𝑆(𝑋,𝑌)é completamente regular. 3. 𝐶𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) é subsemigrupo de 𝑆(𝑋,𝑌). Teorema 32. As afirmações seguintes são equivalentes: 1. |𝑋| ≤ 2. 2. 𝑆(𝑋,𝑌)é intrarregular. 3. 𝐼𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) é subsemigrupo de 𝑆(𝑋,𝑌). Uma consequência direta destes últimos teoremas é o corolário que se segue. Corolário 11. As afirmações seguintes são equivalentes: 1. |𝑋| ≤ 2. 2. 𝑆(𝑋,𝑌)é corregular. 3. 𝑆(𝑋,𝑌)é regular à esquerda. 4. 𝑆(𝑋,𝑌)é regular à direita. 5. 𝑆(𝑋,𝑌)é completamente regular. 6. 𝑆(𝑋,𝑌)é intrarregular. Todo o elemento corregular é regular à esquerda e à direita e, portanto, é completamente regular. No entanto, de um modo geral, nem todo o elemento completamente regular de 𝑆(𝑋,𝑌)é corregular. Lema 11. Se |𝑌| ≥ 3ou |𝑋\𝑌| ≥ 3, então existe 𝛼∈𝐶𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) tal que 𝛼∉𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)). Demonstração. Suponhamos, em primeiro lugar, que |𝑌| ≥ 3. Sejam 𝑎,𝑏,𝑐 ∈𝑌, todos distintos, e escrevamos 𝑋\ {𝑎,𝑏, 𝑐}={𝑥𝑖:𝑖∈𝐼}. Definamos 𝛼∈𝑇(𝑋)por 𝛼=©« 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥𝑖 𝑏 𝑐 𝑎 𝑥𝑖ª®¬. 61 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE É claro que 𝛼∈𝑆(𝑋,𝑌)e 𝛼2=©« 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥𝑖 𝑐 𝑎 𝑏 𝑥𝑖ª®¬. Temos 𝑋𝛼 =𝑋=𝑋𝛼2e𝑌𝛼 =𝑌=𝑌𝛼2, ou seja, 𝛼∈𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Para além disso, 𝜋𝛼=𝜋𝛼2 e𝜋𝛼(𝑌)=𝜋𝛼2(𝑌), isto é, 𝛼∈𝑅𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Logo, 𝛼∈𝐶𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). No entanto, 𝑐𝛼 =𝑎∉ {𝑏}=𝑐𝛼−1e, pelo Teorema 26, 𝛼∉𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Admitamos, agora, que |𝑋\𝑌| ≥ 3. Sejam𝑎,𝑏,𝑐 ∈𝑋\𝑌, distintos, e definamos 𝛼como no caso anterior. Então, 𝛼é um elemento de 𝑆(𝑋, 𝑌 )regular à esquerda e à direita, mas não é corregular. □ Pelo Corolário 11, se |𝑋| ≤ 2, então os conjuntos 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)),𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)),𝑅𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)), 𝐶𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) e𝐼𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) são todos iguais. O próximo Teorema indica-nos que há mais casos em que isto acontece. Teorema 33. Se (|𝑋|,|𝑌|) ∈ {(3,1),(3,2),(4,2)}, então 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) =𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) =𝑅𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) =𝐶𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)) =𝐼𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Demonstração. Sabemos que todo o idempotente é corregular e que todo o elemento corregular é regular à esquerda. Logo, para quaisquer 𝑋e𝑌, 𝐸(𝑆(𝑋,𝑌)) ⊆ 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) ⊆ 𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Comecemos por supor que |𝑋|=3e|𝑌|=1, e escrevamos 𝑋={𝑎,𝑏,𝑐}e𝑌={𝑎}. Então, 𝐸(𝑆(𝑋,𝑌)) =i𝑑𝑋,©« 𝑎{𝑏,𝑐} 𝑎 𝑏 ª®¬,©« 𝑎{𝑏,𝑐} 𝑎 𝑐 ª®¬,©« {𝑎,𝑏}𝑐 𝑎 𝑐ª®¬,©« {𝑎,𝑐}𝑏 𝑎 𝑏ª®¬, 𝑋𝑎. Tomemos 𝛼=©« 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑐 𝑏ª®¬∈𝑆(𝑋, 𝑌 ). Como 𝛼2|𝑋𝛼 =i𝑑𝑋𝛼, sabemos, pelo Teorema 26, que 𝛼é corregular. Logo, 𝐸(𝑆(𝑋,𝑌)) ∪ {𝛼} ⊆ 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) ⊆ 𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )). Pelo Teorema 25, como 𝑛=|𝑋|=3e𝑟=|𝑌|=1, vem que |𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌))| = 2 Õ 𝑚=02 𝑚𝑚!(𝑚+1)2−𝑚=7. 62 CAPÍTULO 4. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES COM UM CONJUNTO INVARIANTE Ora, |𝐸(𝑆(𝑋,𝑌)) ∪ {𝛼}| =7=|𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌))|, pelo que 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) =𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). De seguida, assumamos que |𝑋|=3e|𝑌|=2, e escrevamos 𝑋={𝑎,𝑏,𝑐}e𝑌={𝑎,𝑏}. Então, 𝐸(𝑆(𝑋,𝑌)) =i𝑑𝑋,©« 𝑎{𝑏,𝑐} 𝑎 𝑏 ª®¬,©« {𝑎,𝑏}𝑐 𝑎 𝑐ª®¬,©« {𝑎,𝑏}𝑐 𝑏 𝑐ª®¬,©« {𝑎,𝑐}𝑏 𝑎 𝑏ª®¬, 𝑋𝑎, 𝑋𝑏. Definamos 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3∈𝑆(𝑋,𝑌)por 𝛼1=©« 𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 𝑎 𝑐ª®¬, 𝛼2=©« {𝑎,𝑐}𝑏 𝑏 𝑎ª®¬, 𝛼3=©« 𝑎{𝑏,𝑐} 𝑏 𝑎 ª®¬. É fácil verificar que 𝛼2 𝑖|𝑋𝛼𝑖 =i𝑑𝑋𝛼𝑖, para 𝑖∈ {1,2,3}. Logo, para cada 𝑖∈ {1,2,3}, a aplicação 𝛼𝑖 pertence a 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)). Assim, 𝐸(𝑆(𝑋,𝑌)) ∪ {𝛼1, 𝛼2, 𝛼3} ⊆ 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )) ⊆ 𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌 )). Uma vez mais, pelo Teorema 25, como |𝑋|=3e|𝑌|=2, sabemos que |𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌))| = 1 Õ 𝑚=0 2 Õ 𝑘=12 𝑘𝑘!𝑘2−𝑘(𝑚+𝑘)1−𝑚=10. Como, |𝐸(𝑆(𝑋,𝑌)) ∪ {𝛼1, 𝛼2, 𝛼3}| =10 =|𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌))|, temos que 𝐶𝑜𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋, 𝑌)) =𝐿𝑅𝑒𝑔(𝑆(𝑋,𝑌)). Admitamos, por último, que |𝑋|=4e|𝑌|=2. Sejam 𝑋={𝑎,𝑏,𝑐,𝑑}e𝑌={𝑎,𝑏}. Ora, 𝐸(𝑆(𝑋,𝑌)) =i𝑑𝑋,©« {𝑎,𝑏}𝑐 𝑑 𝑎 𝑐 𝑑ª®¬,©« {𝑎,𝑏}𝑐 𝑑 𝑏 𝑐 𝑑ª®¬,©« {𝑎,𝑐}𝑏 𝑑 𝑎 𝑏 𝑑ª®¬, ©« {𝑎,𝑑}𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐ª®¬,©« 𝑎{𝑏,𝑐}𝑑 𝑎 𝑏 𝑑ª®¬,©« 𝑎{𝑏,𝑑}𝑐 𝑎 𝑏 𝑐ª®¬,©« 𝑎 𝑏 {𝑐,𝑑} 𝑎 𝑏 𝑐 ª®¬,©« 𝑎 𝑏 {𝑐,𝑑} 𝑎 𝑏 𝑑 ª®¬, ©« {𝑎,𝑏} {𝑐,𝑑} 𝑎 𝑐 ª®¬,©« {𝑎,𝑏} {𝑐,𝑑} 𝑎 𝑑 ª®¬,©« {𝑎,𝑏} {𝑐,𝑑} 𝑏 𝑐 ª®¬,©« {𝑎,𝑏} {𝑐,𝑑} 𝑏 𝑑 ª®¬, ©« {𝑎,𝑐} {𝑏, 𝑑} 𝑎 𝑏 ª®¬,©« {𝑎,𝑑} {𝑏, 𝑐} 𝑎 𝑏 ª®¬,©« {𝑎,𝑏, 𝑐}𝑑 𝑎 𝑑ª®¬,©« {𝑎,𝑏, 𝑐}𝑑 𝑏 𝑑ª®¬,©« {𝑎,𝑏,𝑑}𝑐 𝑎 𝑐ª®¬, 63 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Suponhamos, agora, que 𝛼L𝛽em 𝑇(𝑉,𝑊 ). Então, temos 𝛼=𝜆𝛽 e𝛽=𝜆0𝛼, para alguns 𝜆, 𝜆0∈ 𝑇(𝑉,𝑊 )1. É claro que, se 𝜆=1ou 𝜆0=1, então 𝛼=𝛽. Por outro lado, se 𝜆≠1e𝜆0≠1, então 𝜆, 𝜆0∈𝑇(𝑉,𝑊 )e 𝛼=𝜆𝜆0𝛼e𝛽=𝜆0𝜆𝛽. Desta forma, 𝑉𝛼 =(𝑉 𝜆𝜆0)𝛼⊆𝑊 𝛼 e, analogamente, 𝑉 𝛽 ⊆𝑊 𝛽. Ou seja, 𝛼, 𝛽 ∈𝑄. Mais, 𝑉𝛼 = 𝑉𝜆𝛽 ⊆𝑉 𝛽 e𝑉 𝛽 =𝑉 𝜆0𝛼⊆𝑉𝛼, donde segue a igualdade. O recíproco segue trivialmente da primeira parte deste lema. □ Depois de descrevermos a relação esquerda, caracterizemos a relação direita. Esta relação, tal como veremos, depende dos núcleos das transformações lineares. Lema 14. Se 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 ), então 𝛽=𝛼𝜇, para algum 𝜇∈𝑇(𝑉,𝑊 ), se e só se ker 𝛼⊆ker 𝛽. Consequentemente, 𝛼R𝛽em 𝑇(𝑉,𝑊 )se e só se ker 𝛼=ker 𝛽. Demonstração. Suponhamos que existe 𝜇∈𝑇(𝑉,𝑊 )tal que 𝛽=𝛼𝜇. Dado 𝑣∈ker 𝛼, temos 𝑣𝛼 =0. Logo, 𝑣𝛽 =(𝑣𝛼)𝜇=0𝜇=0e, portanto, 𝑣∈ker 𝛽. Assim, ker 𝛼⊆ker 𝛽. Reciprocamente, suponhamos que ker 𝛼⊆ker 𝛽e escrevamos ker 𝛼=h𝑢𝑖ieker 𝛽=h𝑢𝑖i ⊕ h𝑢𝑗i. Mais, escrevamos 𝑉=ker 𝛽⊕ h𝑣𝑘i. Assim, 𝛼=©« 𝑢𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0𝑤𝑗𝑤𝑘ª®¬e𝛽=©« 𝑢𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0 0 𝑤0 𝑘ª®¬, para alguns 𝑤𝑗,𝑤𝑘,𝑤0 𝑘∈𝑊. Tomemos, ainda, 𝑉=𝑉 𝛼 ⊕ h𝑣𝑙ie definamos 𝜇∈𝑇(𝑉,𝑊 )por 𝜇=©« 𝑣𝑙𝑤𝑗𝑤𝑘 0 0 𝑤0 𝑘ª®¬. Ora, 𝛼𝜇 =©« 𝑢𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0𝑤𝑗𝑤𝑘ª®¬©« 𝑣𝑙𝑤𝑗𝑤𝑘 0 0 𝑤0 𝑘ª®¬=©« 𝑢𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0 0 𝑤0 𝑘ª®¬=𝛽. O restante segue trivialmente. □ É claro que, depois de caracterizadas as relações LeR, segue de imediato a caracterização da relação H. 70 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Lema 15. Dados 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 ),𝛼H𝛽se e só se 𝛼=𝛽ou (𝑉𝛼 =𝑉 𝛽 eker 𝛼=ker 𝛽e𝛼, 𝛽 ∈𝑄). Dada uma qualquer transformação 𝛼∈𝑇(𝑉,𝑊 ), é óbvio que dim(𝑊 𝛼) ≤ dim(𝑉𝛼), já que𝑊⊆𝑉. Para cada 𝜋∈𝑇(𝑉), é possível definir um isomorfismo de espaços vetoriais 𝜙𝜋:𝑉 𝜋 →𝑉/ker 𝜋, donde segue o Teorema das Dimensões para espaços vetoriais (ou seja, a dimensão de 𝑉é igual à soma das dimensões do núcleo e da imagem de 𝜋). Mais, se ker 𝛼⊆ker 𝛽, então dim(𝑉𝛼) ≥ dim(𝑉 𝛽). Também é importante observar que, dado 𝛼∈𝑇(𝑉,𝑊 ), se escrevermos 𝑊∩ker 𝛼=h𝑢𝑖ie𝑊= h𝑢𝑖i⊕h𝑢𝑗i, então dim(𝑊 𝛼)=|𝐽|. Isto segue pelo facto de {𝑢𝑗𝛼}ser uma base de 𝑊 𝛼 e a restrição 𝛼|h𝑢𝑗iser um isomorfismo de espaços vetoriais de h𝑢𝑗iem𝑊 𝛼. Esta observação dá-nos uma ferramenta necessária para podermos abordar a relação Jem 𝑇(𝑉,𝑊 ). Lema 16. Se 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 ), então existem 𝜆, 𝜇 ∈𝑇(𝑉,𝑊 )tais que 𝛽=𝜆𝛼𝜇 se e só se dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑊 𝛼). Consequentemente, 𝛼J𝛽se e só se ker 𝛼=ker 𝛽ou dim(𝑉 𝛼)= dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊 𝛽)=dim(𝑉 𝛽). Demonstração. Supondo que 𝛽=𝜆𝛼𝜇, para alguns 𝜆, 𝜇 ∈𝑇(𝑉,𝑊 ), temos que 𝑉 𝛽 =𝑉(𝜆𝛼𝜇)= (𝑉 𝜆)𝛼𝜇 ⊆𝑊 𝛼𝜇. Logo, dim𝑉 𝛽 ≤dim𝑊 𝛼𝜇 ≤dim𝑊 𝛼. Suponhamos, agora, que dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑊 𝛼)e escrevamos 𝛼=©« 𝑢𝑗𝑤0 𝑘𝑣𝑙 0𝑤0 𝑘𝛼 𝑤𝑙ª®¬, 𝛽 =©« 𝑢𝑖𝑣𝑘 0𝑤𝑘ª®¬, onde ker 𝛼=h𝑢𝑗i,ker 𝛽=h𝑢𝑖i,𝑉 𝛽 =h𝑤𝑘i ⊆ 𝑊,h𝑤0 𝑘i ⊆ 𝑊e𝑉𝛼 =h𝑤0 𝑘𝛼i⊕h𝑤𝑙i ⊆ 𝑊. Temos, então, 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 ). Escrevamos 𝑉=h𝑤0 𝑘𝛼i⊕h𝑣𝑚ie definamos 𝜆, 𝜇 ∈𝑇(𝑉,𝑊 )por 𝜆=©« 𝑢𝑖𝑣𝑘 0𝑤0 𝑘ª®¬, 𝜇 =©« 𝑣𝑚𝑤0 𝑘𝛼 0𝑤𝑘ª®¬. Desta forma, 𝜆𝛼𝜇 =©« 𝑢𝑖𝑣𝑘 0𝑤0 𝑘ª®¬©« 𝑢𝑗𝑤0 𝑘𝑣𝑙 0𝑤0 𝑘𝛼 𝑤𝑙ª®¬©« 𝑣𝑚𝑤0 𝑘𝛼 0𝑤𝑘ª®¬=©« 𝑢𝑖𝑣𝑘 0𝑤𝑘ª®¬=𝛽, o que conclui a demonstração da primeira parte do Lema. Suponhamos, agora, que existem 𝜆, 𝜆0, 𝜇, 𝜇0∈𝑇(𝑉,𝑊 )1tais que 𝛽=𝜆𝛼𝜇 e𝛼=𝜆0𝛽𝜇0. Ora, se 𝜆=1, então 𝛽=𝛼𝜇 eker 𝛼⊆ker 𝛽. Por outro lado, se 𝜆≠1, então dim(𝑉 𝛽)=dim(𝑉𝜆𝛼𝜇) ≤ 71 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO dim(𝑊 𝛼). É claro que temos algo idêntico para 𝜆0, pelo que concluímos o seguinte: (ker 𝛼⊆ker 𝛽ou dim𝑉 𝛽 ≤dim𝑊 𝛼)e(ker 𝛽⊆ker 𝛼ou dim𝑉𝛼 ≤dim𝑊 𝛽). Daqui, decorrem quatro casos: (i) ker 𝛼=ker 𝛽; (ii) ker 𝛼⊆ker 𝛽edim𝑉𝛼 ≤dim𝑊 𝛽; (iii) dim𝑉 𝛽 ≤dim𝑊 𝛼 eker 𝛽⊆ker 𝛼; (iv) dim𝑉 𝛽 ≤dim𝑊 𝛼 edim𝑉𝛼 ≤dim𝑊 𝛽. Tendo 𝑊⊆𝑉, o caso (iv) traduz-se nas igualdades dim𝑉 𝛽 =dim𝑊 𝛼 =dim𝑉𝛼 =dim𝑊 𝛽. Se ker 𝛼⊆ker 𝛽edim(𝑉𝛼) ≤ dim(𝑊 𝛽), então𝑊∩ker 𝛼⊆𝑊∩ker 𝛽edim(𝑉𝛼) ≥ dim(𝑉 𝛽). Assim, podemos escrever 𝑊∩ker 𝛽=(𝑊∩ker 𝛼) ⊕ 𝑈1, 𝑊 =(𝑊∩ker 𝛽) ⊕ 𝑈2, para certos subespaços 𝑈1e𝑈2de𝑊, e temos 𝑊 𝛼 =𝑈1𝛼⊕𝑈2𝛼e𝑊 𝛽 =𝑈2𝛽. Consequentemente, dim(𝑊 𝛽)=dim(𝑈2)=dim(𝑈2𝛼) ≤ dim(𝑊 𝛼) ≤ dim(𝑉𝛼) ≤ dim(𝑊 𝛽). Logo, dim(𝑊 𝛽)=dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑉𝛼). Por outro lado, dim𝑉 𝛽 ≤dim𝑉𝛼 ≤dim𝑊 𝛽 ≤dim𝑉 𝛽, pelo que temos as igualdades pretendidas. De forma análoga, de ker 𝛽⊆ker 𝛼edim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑊 𝛼)seguem, novamente, as igualdades pretendidas. Reciprocamente, se ker 𝛼=ker 𝛽, então 𝛼R𝛽, pelo Lema 14, e, como R ⊆ J, concluímos que 𝛼J𝛽. Por outro lado, se dim(𝑉𝛼)=dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊 𝛽)=dim(𝑉 𝛽), então, pela primeira parte deste lema, existem 𝜆, 𝜆0, 𝜇, 𝜇0em𝑇(𝑉,𝑊 )tais que 𝛽=𝜆𝛼𝜇 e𝛼=𝜆0𝛽𝜇0. Portanto, 𝛼J𝛽.□ Sabemos que 𝛼J𝛽em 𝑇(𝑉)se e só se dim(𝑉 𝛼)=dim(𝑉 𝛽). Pelo Lema 16, temos que, se 𝛼J𝛽 em𝑇(𝑉,𝑊 ), então dim(𝑉𝛼)=dim(𝑉 𝛽). No entanto, o recíproco é falso, mesmo quando a dimensão de V é finita. Atentemos o próximo exemplo. 72 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Exemplo 11. Sejam 𝑉=h𝑒1, 𝑒2, 𝑒3ie𝑊=h𝑒1, 𝑒2i. Definam-se 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉)por 𝛼=©« 𝑒1𝑒2𝑒3 0𝑒2𝑒1ª®¬, 𝛽 =©« 𝑒1𝑒2𝑒3 𝑒10𝑒2ª®¬. Ora, 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 )pois 𝑉 𝛼 =𝑊=𝑉 𝛽. Mais, desta igualdade segue que dim(𝑉𝛼)=dim(𝑉 𝛽)= dim𝑊=2. Como ker 𝛼=h𝑒1i≠h𝑒2i=ker 𝛽edim𝑊 𝛼 =1=dim𝑊 𝛽, sabemos que 𝛼6J 𝛽. Debruçando-nos um pouco mais sobre este exemplo, verificamos que 𝑉𝛼 ⊈𝑊 𝛼 e𝑉 𝛽 ⊈𝑊 𝛽, pelo que 𝛼, 𝛽 ∉𝑄. É claro que 𝛼≠𝛽. Portanto, 𝛼e𝛽não estão L-relacionados em 𝑇(𝑉,𝑊 ), apesar de 𝑉𝛼 =𝑉 𝛽. Mais, apesar de termos dim(𝑉 𝛼)=dim(𝑉 𝛽)edim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊 𝛽), temos 𝛽≠𝜆𝛼𝜇, para quaisquer 𝜆, 𝜇 ∈𝑇(𝑉,𝑊 ), algo que não acontece em 𝑇(𝑉). Porém, se nos restringirmos a 𝑄, isto é, tomando apenas os elementos regulares de 𝑇(𝑉,𝑊 ), os resultados seguem análogos aos de 𝑇(𝑉). Lema 17. Se 𝛼, 𝛽 ∈𝑄, então 𝛽=𝜆𝛼𝜇, para alguns 𝜆, 𝜇 ∈𝑄se e só se dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑉 𝛼). Consequentemente, 𝛼J𝛽em 𝑄se e só se dim(𝑉𝛼)=dim(𝑉 𝛽)e, portanto, J=Dem 𝑄. Demonstração. Se 𝛼, 𝛽 ∈𝑄e𝛽=𝜆𝛼𝜇, para alguns 𝜆, 𝜇 ∈𝑄, então, pelo Lema 16, temos dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑊 𝛼). Ora, sendo 𝛼um elemento de 𝑄, temos 𝑊 𝛼 =𝑉𝛼, pelo que dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑉𝛼). Reciprocamente, suponhamos que 𝛼, 𝛽 ∈𝑄edim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑉𝛼). Ora, podemos escrever 𝛽=©« 𝑢𝑟𝑤𝑖 0𝑤𝑖𝛽ª®¬, 𝛼 =©« 𝑢𝑠𝑤0 𝑖𝑤𝑗 0𝑤0 𝑖𝛼 𝑤𝑗𝛼ª®¬, onde h𝑤𝑖i ⊆ 𝑊,h𝑤0 𝑖i⊕h𝑤𝑗i ⊆ 𝑊. Escrevamos 𝑉=h𝑢𝑡i⊕h𝑤0 𝑖𝛼ie definamos 𝜆, 𝜇 ∈𝑇(𝑉)por 𝜆=©« 𝑢𝑟𝑤𝑖 0𝑤0 𝑖ª®¬, 𝜇 =©« 𝑢𝑡𝑤0 𝑖𝛼 0𝑤𝑖𝛽ª®¬. Como 𝑉𝜆 =𝑊 𝜆 =h𝑤0 𝑖i ⊆ 𝑊e𝑉 𝜇 =𝑊 𝜇 =h𝑤𝑖𝛽i=𝑉 𝛽 ⊆𝑊, concluímos que 𝜆, 𝜇 ∈𝑄. Assim, basta reparar que 𝜆𝛼𝜇 =©« 𝑢𝑟𝑤𝑖 0𝑤0 𝑖ª®¬©« 𝑢𝑠𝑤0 𝑖𝑤𝑗 0𝑤0 𝑖𝛼 𝑤𝑗𝛼ª®¬©« 𝑢𝑡𝑤0 𝑖𝛼 0𝑤𝑖𝛽ª®¬=©« 𝑢𝑟𝑤𝑖 0𝑤𝑖𝛽ª®¬=𝛽. 73 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Para a segunda parte do Lema, suponhamos que 𝛼J𝛽em 𝑄. Então, existem 𝜆, 𝜆0, 𝜇, 𝜇0∈𝑄1tais que 𝛽=𝜆𝛼𝜇 e𝛼=𝜆0𝛽𝜇0, pelo que dim(𝑉 𝛽)=dim(𝑉 𝜆𝛼𝜇) ≤ dim(𝑉𝛼𝜇) ≤ dim(𝑉𝛼) e, de forma análoga, dim(𝑉𝛼) ≤ dim(𝑉 𝛽). Pela primeira parte do Lema, se dim𝑉𝛼 =dim𝑉 𝛽, então existem 𝜆, 𝜆0, 𝜇, 𝜇0em 𝑄tais que 𝛽=𝜆𝛼𝜇 e𝛼=𝜆0𝛽𝜇0. Portanto, 𝛼J𝛽. Por último, sabemos que D ⊆ J. Para provar a igualdade entre JeD, falta mostrar que J ⊆ D. Comecemos por reparar que 𝑄é subsemigrupo regular de 𝑇(𝑉,𝑊 ), pelo que as relações LeRem 𝑄 são restrições das relações LeRem 𝑇(𝑉,𝑊 ). Pelos Lemas 13 e 14, se 𝛼, 𝛽 ∈𝑄, então 𝛼L𝛽em 𝑄 se e só se 𝑉 𝛼 =𝑉 𝛽 e𝛼R𝛽em 𝑄se e só se ker 𝛼=ker 𝛽. Dados 𝛼, 𝛽 ∈𝑄tais que 𝛼J𝛽, temos dim𝑉𝛼 =dim𝑉 𝛽. Suponhamos que 𝑊∩ker 𝛼=h𝑢𝑗i, ker 𝛼=h𝑢𝑗i⊕h𝑢𝑘ie𝑉𝛼 =h𝑣𝑖i. Como 𝛼∈𝑄, temos 𝑉𝛼 =𝑊 𝛼, pelo que existe 𝑤𝑖∈𝑊tal que 𝑣𝑖=𝑤𝑖𝛼, para cada 𝑖∈𝐼. Mais, prova-se que 𝑉=h𝑢𝑗i⊕h𝑢𝑘i⊕h𝑤𝑖i. Assim, podemos escrever 𝛼=©« 𝑢𝑗𝑢𝑘𝑤𝑖 0 0 𝑤𝑖𝛼ª®¬. De modo análogo, podemos escrever 𝛽=©« 𝑣𝑟𝑣𝑠𝑤0 𝑖 0 0 𝑤0 𝑖𝛽ª®¬, onde |𝐽|+|𝐾|+|𝐼|=dim𝑉=|𝑅|+|𝑆|+|𝐼|(recordemos que |𝐼|=dim𝑉𝛼 =dim𝑉 𝛽). Consideremos 𝛾∈𝑇(𝑉)definida por 𝛾=©« 𝑢𝑗𝑢𝑘𝑤𝑖 0 0 𝑤0 𝑖𝛽ª®¬. É claro que𝛾∈𝑇(𝑉,𝑊 )pois𝑉𝛾 =𝑉 𝛽 ⊆𝑊. Mais,𝑊𝛾 =h𝑢𝑘i⊕h𝑤𝑖i𝛾=h𝑤𝑖𝛾i=h𝑤0 𝑖𝛽i=𝑉𝛾. Assim, 𝛾∈𝑄. É fácil verificar que ker 𝛼=ker𝛾e𝑉𝛾 =𝑉 𝛽, pelo que 𝛼R𝛾e𝛾L𝛽em 𝑄. Por outras palavras, vimos que 𝛼D𝛽em 𝑄, e podemos concluir que D=Jem 𝑄.□ Depois de analisada a relação Dno semigrupo 𝑄, vejamos o que acontece em 𝑇(𝑉,𝑊 ). Lema 18. Se 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 ), então 𝛼D𝛽em𝑇(𝑉,𝑊 )se e só se ou ker 𝛼=ker 𝛽ou (dim(𝑉𝛼)= dim(𝑉 𝛽)e𝛼, 𝛽 ∈𝑄). 74 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Demonstração. Suponhamos que 𝛼D𝛽em 𝑇(𝑉,𝑊 ). Então, 𝛼R𝛾L𝛽, para algum 𝛾∈𝑇(𝑉,𝑊 ). Assim, pelo Lema 14, temos ker 𝛼=ker𝛾e, pelo Lema 13, temos 𝛾=𝛽ou (𝑉𝛾 =𝑉 𝛽 e𝛾, 𝛽 ∈𝑄). Analisemos, assim, cada um dos dois casos. Se ker 𝛼=ker𝛾e𝛾=𝛽, então ker 𝛼=ker 𝛽. Por outro lado, se ker 𝛼=ker𝛾e𝑉𝛾 =𝑉 𝛽, com 𝛾, 𝛽 ∈𝑄, então, pelo Lema 14, existe 𝜇∈𝑇(𝑉,𝑊 )tal que 𝛼=𝛾𝜇. Como 𝛾∈𝑄, temos 𝑉𝛾 =𝑊𝛾, o que implica 𝑉𝛼 =𝑉𝛾𝜇 =𝑊𝛾𝜇 =𝑊 𝛼. Desta forma, conclui-se que 𝛼∈𝑄. Para além disso, temos dim(𝑉 𝛽)=dim(𝑉𝛾)=dim(𝑉/ker𝛾)=dim(𝑉/ker 𝛼)=dim(𝑉𝛼). Reciprocamente, suponhamos que ker 𝛼=ker 𝛽. Então, pelo Lema 14, 𝛼R𝛽. Como R ⊆ D, temos 𝛼D𝛽. Por último, suponhamos que 𝛼, 𝛽 ∈𝑄edim(𝑉 𝛼)=dim(𝑉 𝛽). Pelo Lema 17, concluímos que 𝛼D𝛽 em 𝑄. Mas 𝑄⊆𝑇(𝑉,𝑊 ), pelo que 𝛼D𝛽em 𝑇(𝑉,𝑊 ).□ Sabemos que, num semigrupo 𝑆, se tem D ⊆ J. Apesar de temos a igualdade D=Jem 𝑇(𝑉)e em 𝑄, o mesmo já não acontece necessariamente em 𝑇(𝑉,𝑊 ). Atentemos o próximo exemplo. Exemplo 12. Sejam 𝑉=h𝑢1,𝑢2,𝑢3,𝑤1i ⊕ h𝑤𝑘ie𝑊=h𝑤1i ⊕ h𝑤𝑘i, onde 𝐾é infinito. Fixemos 𝑘0∈𝐾e definamos 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 )por 𝛼=©« 𝑢1𝑢2{𝑢3,𝑤1}𝑤𝑘 0𝑤1𝑤𝑘0𝑤𝑘ª®¬, 𝛽 =©« 𝑢1𝑢2𝑢3𝑤1𝑤𝑘 0 0 𝑤1𝑤𝑘0𝑤𝑘ª®¬. Comecemos por reparar que 𝑢2∈ker 𝛽mas 𝑢2∉ker 𝛼. Logo, ker 𝛼≠ker 𝛽. Por outro lado, temos dim(𝑉𝛼)=dim(𝑊 𝛼)=|𝐾|=dim(𝑊 𝛽)=dim(𝑉 𝛽), pelo que 𝛼J𝛽. Em contrapartida, 𝑊 𝛼 =h𝑤𝑘i⊊𝑊=𝑉𝛼 e, analogamente, 𝑊 𝛽 =h𝑤𝑘i⊊𝑊=𝑉 𝛽. Portanto, 𝛼, 𝛽 ∉𝑄e, pelo Lema 18, 𝛼6D 𝛽. Assim, neste caso, D⊊J. Não é difícil constatar que, no exemplo acima, o facto de 𝑊ter dimensão infinita é a ideia chave para definir as aplicações 𝛼e𝛽tais que 𝛼J𝛽mas 𝛼6D 𝛽. De facto, no resultado que se segue, vemos que, para 𝑊finitamente gerado, as relações DeJcoincidem. Corolário 12. Se dim𝑊<ℵ0, então D=Jem 𝑇(𝑉,𝑊 ). 75 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Demonstração. Suponhamos que 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 )e𝛼J𝛽. Se ker 𝛼=ker 𝛽, então 𝛼D𝛽, pelo Lema 18. Por outro lado, se ker 𝛼≠ker 𝛽, então, pelo Lema 16, dim(𝑉𝛼)=dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊 𝛽)= dim(𝑉 𝛽). Como, por hipótese, 𝑊é finitamente gerado, também 𝑉𝛼,𝑊 𝛼,𝑊 𝛽 e𝑉 𝛽 são finitamente gerados. Assim, de 𝑊 𝛼 ⊆𝑉 𝛼 ⊆𝑊e𝑊 𝛽 ⊆𝑉 𝛽 ⊆𝑊, concluímos que 𝑊 𝛼 =𝑉 𝛼 =𝑊=𝑊 𝛽 =𝑉 𝛽. Em particular, 𝛼, 𝛽 ∈𝑄e, como dim(𝑉𝛼)=dim(𝑉 𝛽), temos 𝛼D𝛽, pelo Lema 18. Portanto, temos J ⊆ D, e a igualdade segue. □ 5.2 Ideais Vimos, na secção anterior, que 𝑄é um subsemigrupo regular do semigrupo 𝑇(𝑉,𝑊 ), ao qual nos referiremos, para simplificação da escrita, por 𝑇. Aqui, começamos por tomar o conjunto 𝑄de todos os elementos regulares de𝑇(𝑉,𝑊 )e estudamos os seus ideais. Posteriormente, tal como seria de esperar, procuramos os ideais de 𝑇(𝑉,𝑊 ). A descrição dos ideais de 𝑄é idêntica à descrição dos ideais de 𝑇(𝑉), como podemos verificar com o seguinte teorema. Teorema 35. Os ideais de 𝑄são precisamente os conjuntos 𝑄𝑟={𝛼∈𝑄: dim(𝑉𝛼)<𝑟}, onde 1≤𝑟≤dim(𝑊)0. Mais, 𝑄𝑟é ideal principal de 𝑄se e só se 𝑟=𝑠0, onde 1≤𝑠≤dim(𝑊). Demonstração. Dados 𝛼∈𝑄𝑟e𝛽∈𝑄, temos 𝑉𝛼 =𝑊 𝛼,𝑉 𝛽 =𝑊 𝛽 edim𝑉 𝛼 <𝑟. Logo, 𝛼𝛽, 𝛽𝛼 ∈𝑄edim(𝑉 𝛼𝛽) ≤ dim(𝑉𝛼)<𝑟e𝑉 𝛽𝛼 ⊆𝑉𝛼, donde dim(𝑉 𝛽𝛼) ≤ dim(𝑉𝛼)<𝑟. Assim, 𝛼𝛽, 𝛽𝛼 ∈𝑄𝑟, pelo que 𝑄𝑟é ideal de 𝑄. Reciprocamente, suponhamos que 𝐼é ideal de𝑄e seja𝑟o menor cardinal maior que dim(𝑉𝛼)para todo 𝛼∈𝐼. Como 𝑉𝛼 é um subespaço de 𝑊, temos 0≤dim𝑉𝛼 ≤dim𝑊. Portanto, 1≤𝑟≤dim𝑊0. Ora, é claro que, por escolha de 𝑟, temos 𝐼⊆𝑄𝑟. Procuramos a igualdade, pelo que tomemos 𝛽∈𝑄𝑟e suponhamos que dim(𝑉 𝛽)=𝑠<𝑟. Notemos que existe 𝛼∈𝐼tal que dim(𝑉𝛼) ≥ 𝑠: se não existisse, dim(𝑉𝛼)<𝑠, para todo 𝛼∈𝐼, e a escolha de 𝑟estaria comprometida (pois 𝑠<𝑟). 76 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Desta forma, dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑉𝛼)e, pelo Lema 17, existem 𝜆, 𝜇 ∈𝑄tais que 𝛽=𝜆𝛼𝜇. Como 𝛼∈𝐼 e𝐼é ideal de 𝑄, concluímos que 𝜆𝛼𝜇 =𝛽∈𝐼, ou seja, temos 𝑄𝑟⊆𝐼, de onde se conclui que os ideais de 𝑄são, precisamente, os conjuntos 𝑄𝑟, com 1≤𝑟≤dim𝑊0. Relativamente à segunda parte do Lema, comecemos, agora, por supor que 𝑟=𝑠0, para algum 𝑠tal que 0≤𝑠≤dim(𝑊). Pretendemos provar que 𝑄𝑟é ideal principal de 𝑄, ou seja, queremos mostrar que 𝑄𝑟é um ideal (𝛼)gerado por um elemento 𝛼∈𝑄. Portanto, queremos concluir que 𝑄𝑟=𝑄1𝛼𝑄1, para algum 𝛼∈𝑄. Tomemos 𝛼∈𝑄tal que dim(𝑉𝛼)=𝑠<𝑠0=𝑟(basta tomar um subespaço 𝑈 de 𝑊com dimensão 𝑠e definir 𝛼em 𝑄com espaço imagem igual a 𝑈: por exemplo, se 𝑠=0então 𝛼=𝑉0). Como 𝛼∈𝑄edim𝑉𝛼 <𝑟, temos 𝛼∈𝑄𝑟. Acabamos de ver que 𝑄𝑟é ideal de 𝑄e𝛼∈𝑄𝑟, pelo que 𝑄1𝛼𝑄1⊆𝑄𝑟. Por outro lado, dado 𝛽∈𝑄𝑟, sabemos que dim(𝑉 𝛽)<𝑟=𝑠0, pelo que dim(𝑉 𝛽) ≤ 𝑠=dim(𝑉𝛼). Pelo Lema 17, existem 𝜆, 𝜇 ∈𝑄tais que 𝛽=𝜆𝛼𝜇, isto é, 𝛽∈𝑄1𝛼𝑄1. Assim, 𝑄𝑟⊆𝑄1𝛼𝑄1, e obtemos a igualdade, como pretendido. Reciprocamente, suponhamos que 𝑄𝑟é ideal principal de𝑄. Então, existe 𝛼∈𝑄𝑟tal que 𝑄𝑟=𝑄1𝛼𝑄1. Pretendemos mostrar que existe um cardinal 𝑠tal que 𝑟=𝑠0. Como 𝛼∈𝑄𝑟, temos dim(𝑉𝛼)<𝑟. Seja 𝑠=dim(𝑉𝛼). Então, 𝑠<𝑟. Suponhamos que existe 𝑡tal que 𝑠<𝑡<𝑟. Como referimos atrás, existe 𝛽∈𝑄tal que dim(𝑉 𝛽)=𝑡, pelo que 𝛽∈𝑄𝑟=𝑄1𝛼𝑄1. Assim, 𝛽=𝜆𝛼𝜇, para certos 𝜆, 𝜇 ∈𝑄1. Ora, se 𝜆=1, então 𝑉 𝛽 =𝑉 𝛼𝜇, o que implica que dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑉𝛼). Por outro lado, se 𝜇=1, 𝑉 𝛽 =𝑉𝜆𝛼 ⊆𝑉𝛼, concluindo-se o mesmo. Por último, se 𝜆≠1e𝜇≠1, então, pelo Lema 17, voltamos a ter dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑉𝛼). Assim, concluimos que 𝑡=dim(𝑉 𝛽) ≤ dim(𝑉𝛼)=𝑠<𝑡, uma contradição. Portanto, não existe 𝑡tal que 𝑠<𝑡<𝑟, donde 𝑟=𝑠0.□ Encontrados os ideais de 𝑄, pretendemos agora caracterizar os ideais de 𝑇(𝑉,𝑊 ). Comecemos por definir 𝑇𝑟, de modo análogo ao que temos em 𝑄. Se 1≤𝑟≤dim𝑊0, escrevemos 𝑇𝑟={𝛼∈𝑇: dim(𝑉𝛼)<𝑟}. É fácil perceber que, se 𝛼∈𝑇𝑟e𝜆, 𝜇 ∈𝑇, então 𝑉 𝜆𝛼 ⊆𝑉𝛼 edim(𝑉𝛼𝜇) ≤ dim(𝑉𝛼)e, consequentemente, 𝜆𝛼, 𝛼𝜇 ∈𝑇𝑟. Logo, 𝑇𝑟é um ideal de 𝑇. 77 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO No entanto, veremos que, em𝑇=𝑇(𝑉,𝑊 ), os ideais não são todos da forma 𝑇𝑟se𝑊é um subespaço próprio de 𝑉. No que se segue, restringimo-nos a este caso: ou seja, assumimos que𝑊≠𝑉. Para caracterizarmos todos os ideais de 𝑇, precisamos de considerar certos conjuntos associados a subconjuntos não vazios de 𝑇, como passamos a descrever. Seja 𝑌um conjunto não vazio de 𝑇. Consideremos o cardinal 𝑟(𝑌)=𝑚𝑖𝑛{𝑟:𝑟>dim(𝑊 𝛼), para todo 𝛼∈𝑌} e o conjunto 𝐾(𝑌)={𝛽∈𝑇: ker 𝛽⊇ker 𝛼, para algum 𝛼∈𝑌}. É importante notar que 𝑟(𝑌)existe sempre, já que os cardinais são bem ordenados. Lema 19. Dado um subconjunto não vazio 𝑌de𝑇(𝑉,𝑊 ), os conjuntos𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌)e𝑇𝑟(𝑌)0∪𝐾(𝑌) são ideais de 𝑇. Demonstração. Seja𝑌um subconjunto não vazio de𝑇=𝑇(𝑉,𝑊 ). Para mostrarmos que𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌) é ideal de𝑇, vamos tomar 𝛽∈𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌)e𝜆, 𝜇 ∈𝑇e vamos mostrar que 𝜆𝛽, 𝛽𝜇 ∈𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌). Sejam, então, 𝛽∈𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌)e𝜆, 𝜇 ∈𝑇. Então, 𝛽∈𝑇𝑟(𝑌)ou 𝛽∈𝐾(𝑌). Se 𝛽∈𝑇𝑟(𝑌), sabemos já, pelo visto acima, que 𝜆𝛽, 𝛽𝜇 ∈𝑇𝑟(𝑌), pois𝑇𝑟(𝑌)é um ideal de𝑇. Logo, 𝜆𝛽, 𝛽𝜇 ∈𝑇𝑟(𝑌)⊆ 𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌). Por outro lado, se 𝛽∈𝐾(𝑌), por definição, temos que existe 𝛼∈𝑌⊆𝑇tal que ker 𝛼⊆ker 𝛽 e, pelo Lema 14, 𝛽=𝛼𝛾, para algum 𝛾∈𝑇. Assim, 𝛽𝜇 =(𝛼𝛾)𝜇=𝛼(𝛾𝜇). Pelo Lema 14 e por 𝛾𝜇 ∈𝑇, concluímos que ker 𝛼⊆ker(𝛽𝜇), com 𝛼∈𝑌. Portanto, 𝛽𝜇 ∈𝐾(𝑌) ⊆ 𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌). Resta ver que, neste caso, também 𝜆𝛽 ∈𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌). Ora, dim(𝑉 𝜆𝛽) ≤ dim(𝑊 𝛽)=dim(𝑊 𝛼𝛾) ≤ dim(𝑊 𝛼)<𝑟(𝑌). Portanto, 𝜆𝛽 ∈𝑇𝑟(𝑌)⊆𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌). Logo, 𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌)é um ideal de 𝑇. Para o conjunto 𝑇𝑟(𝑌)0∪𝐾(𝑌), a demonstração segue de modo análogo. Basta apenas notar que dim(𝑉 𝜆𝛽)<𝑟(𝑌)<𝑟(𝑌)0.□ Provamos, de seguida, um resultado que nos ajudará a mostrar que os ideais de 𝑇são exatamente os conjuntos da forma 𝑇𝑟(𝑌)∪𝐾(𝑌)e𝑇𝑟(𝑌)0∪𝐾(𝑌), com 𝑌subconjunto não vazio de 𝑇. Lema 20. Se 𝛽∈𝑇e𝑟<dim(𝑊 𝛽)=dim(𝑉 𝛽)=𝑠, então existe 𝜆∈𝑇tal que dim(𝑊 𝜆𝛽)=𝑟e dim(𝑉 𝜆𝛽)=𝑠. 78 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Demonstração. Comecemos por ver o caso em que 𝑠é finito. Nestas condições, por hipótese,𝑊 𝛽 =𝑉 𝛽 e podemos escrever 𝛽=©« 𝑢𝑝𝑤1. . . 𝑤𝑟𝑤𝑟+1. . . 𝑤𝑠 0𝑤0 1. . . 𝑤0 𝑟𝑤0 𝑟+1. . . 𝑤0 𝑠ª®¬, com h𝑤1, . . . ,𝑤𝑟, 𝑤𝑟+1, . . . 𝑤𝑠i ⊆ 𝑊. Tomemos 𝑢∈𝑉\𝑊. Como 𝑢∉𝑊,𝑢+𝑤𝑗∉𝑊, para cada 𝑗=𝑟+1, . . . , 𝑠. Vejamos que {𝑤1, . . . ,𝑤𝑟,𝑢 +𝑤𝑟+1, . . . ,𝑢 +𝑤𝑠}é linearmente independente. Se existem escalares 𝑥𝑖e𝑦𝑗tais que 𝑟 Õ 𝑖=1 𝑥𝑖𝑤𝑖+ 𝑠 Õ 𝑗=𝑟+1 𝑦𝑗(𝑢+𝑤𝑗)=0, então obtemos 𝑟 Õ 𝑖=1 𝑥𝑖𝑤𝑖+ 𝑠 Õ 𝑗=𝑟+1 𝑦𝑗𝑤𝑗∈ h𝑢i. No entanto, 𝑢∉𝑊, ou seja, 𝑊∩ h𝑢i={0}. Queremos, com isto, dizer que 𝑥𝑖=𝑦𝑗=0, para todos 𝑖e𝑗. Portanto, o conjunto {𝑤1, . . . ,𝑤𝑟,𝑢 +𝑤𝑟+1, . . . ,𝑢 +𝑤𝑠}é linearmente indepentente. Logo, podemos estender este conjunto para uma base de𝑉, pelo que escrevemos𝑉=h𝑢ℓi⊕h𝑤1, . . . ,𝑤𝑟,𝑢 + 𝑤𝑟+1, . . . ,𝑢 +𝑤𝑠i. Definamos 𝜆1=©« 𝑢ℓ𝑤1. . . 𝑤𝑟𝑢+𝑤𝑟+1. . . 𝑢 +𝑤𝑠 0𝑤1. . . 𝑤𝑟𝑤𝑟+1. . . 𝑤𝑠ª®¬. Temos 𝜆1∈𝑇(𝑉)e𝑉 𝜆1⊆𝑊, pelo que 𝜆∈𝑇. Mais, 𝜆1𝛽=©« 𝑢ℓ𝑤1. . . 𝑤𝑟𝑢+𝑤𝑟+1. . . 𝑢 +𝑤𝑠 0𝑤0 1. . . 𝑤0 𝑟𝑤0 𝑟+1. . . 𝑤0 𝑠ª®¬, com dim(𝑊 𝜆1𝛽)=𝑟edim(𝑉 𝜆1𝛽)=𝑠, tal como pretendido. Suponhamos agora que 𝑠é infinito, e escrevamos 𝑉=h𝑢𝑝i⊕h𝑤𝑗i⊕h𝑣𝑘ie 𝛽=©« 𝑢𝑝𝑤𝑗𝑣𝑘 0𝑤𝑗𝛽 𝑣𝑘𝛽ª®¬, onde |𝐽|+|𝐾|=|𝐽|=𝑠≥ ℵ0. Ora, isto implica que |𝐾| ≤ |𝐽|. Podemos, assim, definir 𝜆2=©« 𝑢𝑞𝑤𝑗 0𝑤𝑗ª®¬, 79 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Vejamos que ker𝜀𝜎 =ker𝜀. Dado 𝑢∈ker 𝜀𝜎, temos (𝑢𝜀)𝜎=𝑢(𝜀𝜎)=0, pelo que 𝑢𝜀 =0(pois 𝜎é um automorfismo). Logo, 𝑢∈ker 𝜀e, portanto, ker 𝜀𝜎 ⊆ker𝜀. É claro que ker 𝜀⊆ker𝜀𝜎, e a igualdade pretendida segue. Como 𝑉𝜀𝜎 =𝑉𝜀 eker 𝜀𝜎 =ker 𝜀, temos, pelo Lema 15, que 𝜀𝜎 ∈𝐻𝜀 (pois 𝜀𝜎, 𝜀 ∈𝑄). Tomemos, agora, 𝛼∈𝐻𝜀. Pelo Lema 15, 𝑉𝜀 =𝑉𝛼 eker 𝜀=ker 𝛼. Como 𝐻𝜀é a H-classe de um idempotente, sabemos que 𝐻𝜀é um grupo e 𝜀é a sua identidade. Logo, 𝜀𝛼 =𝛼. Definamos 𝜎como a restrição de 𝛼a𝑉𝜀, isto é, 𝜎=𝛼|𝑉𝜀 . Então, 𝜎é uma aplicação linear de domínio 𝑉𝜀 e(𝑉 𝜀)𝜎=(𝑉𝜀)𝛼=𝑉(𝜀𝛼)=𝑉𝛼 =𝑉𝜀, pelo que 𝜎:𝑉𝜀 →𝑉𝜀 é uma aplicação sobrejetiva. De seguida, mostramos que 𝜎também é injetiva. Para isso, tomemos 𝑢, 𝑣 ∈𝑉𝜀 tais que 𝑢𝜎 =𝑣𝜎. Sendo 𝜎 a restrição de 𝛼a𝑉𝜀, podemos concluir que 𝑢𝛼 =𝑣𝛼. Logo, (𝑢−𝑣)𝛼=0, ou seja, 𝑢−𝑣∈ker 𝛼. Por hipótese, ker 𝛼=ker𝜀e, assim, (𝑢−𝑣)𝜀=0. Logo, 𝑢𝜀 =𝑣𝜀. Ora, como 𝑢, 𝑣 ∈𝑉𝜀, existem 𝑢0, 𝑣0∈𝑉 tais que 𝑢=𝑢0𝜀,𝑣=𝑣0𝜀. Portanto, 𝑢=𝑢0𝜀=𝑢0𝜀2=(𝑢0𝜀)𝜀=𝑢𝜀, 𝑣 =𝑣0𝜀=𝑣0𝜀2=(𝑣0𝜀)𝜀=𝑣𝜀, donde segue que 𝑢=𝑢𝜀 =𝑣𝜀 =𝑣. Logo, 𝜎é injetiva. Por outras palavras, vimos que 𝜎∈𝐺𝐿(𝑉𝜀). Falta apenas ver que 𝛼=𝜀𝜎. Ora, para cada 𝑣∈𝑉,𝑣(𝜀𝜎)=(𝑣𝜀)𝛼=𝑣𝛼. Então, 𝛼=𝜀𝜎, com 𝜎∈𝐺𝐿(𝑉𝜀).□ Com o Lema anterior, vemos que podemos escrever cada elemento da H-classe de um idempotente 𝜀 como o produto de 𝜀por um automorfismo de 𝑉𝜀. Assim, verificamos que cada H-classe de 𝑄que é um grupo é isomorfa a um grupo de automorfismos, como descrevemos em seguida. Lema 23. Para cada idempotente 𝜀em 𝑄,𝐻𝜀𝐺𝐿(𝑉𝜀). Demonstração. Seja 𝜀∈𝑄. Pelo Lema 22, 𝐻𝜀={𝜀𝜎 :𝜎∈𝐺𝐿(𝑉𝜀)}. Definamos 𝜙:𝐺𝐿(𝑉𝜀) → 𝐻𝜀 por 𝜎𝜙 =𝜀𝜎, para cada 𝜎∈𝐺𝐿(𝑉𝜀). Vejamos, em primeiro lugar, que 𝜙é injetiva. Sejam 𝜎,𝜏 ∈ 𝐺𝐿(𝑉𝜀)tais que 𝜎𝜙 =𝜏𝜙. Pela definição de 𝜙, temos 𝜀𝜎 =𝜀𝜏. Para cada 𝑣∈𝑉𝜀, existe 𝑣0∈𝑉tal que 𝑣=𝑣0𝜀e, portanto, 𝑣𝜎 =(𝑣0𝜀)𝜎=𝑣0(𝜀𝜎)=𝑣0(𝜀𝜏)=(𝑣0𝜀)𝜏=𝑣𝜏. Assim, 𝜎=𝜏, e 𝜙é injetiva. Para mostrarmos a sobrejetividade de 𝜙, tomemos 𝛾∈𝐻𝜀. Então, 𝛾=𝜀𝜎, para algum 𝜎∈𝐺𝐿(𝑉𝜀). Por definição, 𝜎𝜙 =𝜀𝜎 =𝛾, isto é, 𝜙é sobrejetiva. Falta mostrar que 𝜙é morfismo de grupos, isto é, 𝜙preserva a composição de funções. Tomemos, então, 𝜎,𝜏 ∈𝐺𝐿(𝑉𝜀). Então, (𝜎𝜏)𝜙=𝜀(𝜎𝜏)=(𝜀𝜎)𝜏. Vimos acima que, para todo 𝑢∈𝑉𝜀, temos 𝑢=𝑢𝜀. 86 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Ora, para todo 𝑣∈𝑉,𝑣𝜀 ∈𝑉𝜀, pelo que (𝑣𝜀)𝜎∈𝑉𝜀. Logo, (𝑣𝜀)𝜎=((𝑣𝜀)𝜎)𝜀. Portanto, para todo 𝑣∈𝑉, 𝑣(𝜀𝜎𝜀)=(𝑣𝜀)𝜎. Logo, para todo 𝑣, 𝑣(𝜀𝜎𝜀𝜏)=𝑣(𝜀𝜎𝜀)𝜏=(𝑣𝜀)𝜎𝜏 =𝑣(𝜀𝜎𝜏), pelo que (𝜎𝜏)𝜙=𝜀(𝜎𝜏)=𝜀𝜎𝜏 =𝜀𝜎𝜀𝜏 =(𝜎𝜙)(𝜏𝜙).□ Ao longo do resto desta secção, 𝑊é um subespaço finitamente gerado e dim𝑊=𝑛(com 𝑛∈ℕ0). No teorema seguinte, descrevemos a J-classe 𝐽(𝑛)de 𝑄. Teorema 38. Seja {𝜀𝑝:𝑝∈𝑃}o conjunto de todos os idempotentes em 𝐽(𝑛). Então, 𝐽(𝑛)=Ø 𝑝∈𝑃 𝐻𝜀𝑝 e, portanto, 𝐽(𝑛)é uma união disjunta de grupos, todos isomorfos. Demonstração. Vimos antes que {𝜀𝑝:𝑝∈𝑃}≠∅e sabemos que H ⊆ J. Logo, 𝑃≠∅e, para cada 𝑝∈𝑃,𝐻𝜀𝑝⊆𝐽(𝑛). Portanto, Ø 𝑝∈𝑃 𝐻𝜀𝑝⊆𝐽(𝑛). Para a inclusão recíproca, tomemos 𝛼∈𝐽(𝑛). Por definição de 𝐽(𝑛),𝛼∈𝑄edim(𝑉𝛼)=𝑛. Suponhamos que ker 𝛼=h𝑢𝑖ie𝑉𝛼 =h𝑤𝑗𝛼i, onde, para cada 𝑗∈𝐽,𝑤𝑗∈𝑊. Como, por hipótese, dim(𝑊)=𝑛<ℵ0e𝑉𝛼 ⊆𝑊, temos 𝑉𝛼 =𝑊e, por isso, |𝐽|=𝑛. Podemos, assim, escrever 𝛼=©« 𝑢𝑖𝑤𝑗 0𝑤𝑗𝛼ª®¬. Definamos 𝜀em 𝑇(𝑉)por 𝜀=©« 𝑢𝑖𝑤𝑗 0𝑤𝑗ª®¬. É claro que 𝜀é idempotente em 𝑄e, como dim(𝑉𝜀)=|𝐽|=𝑛, temos 𝜀∈𝐽(𝑛). Mais, como 𝑛<ℵ0, podemos concluir que 𝑉𝜀 =𝑊. Ora, temos ker 𝛼=h𝑢𝑖i=ker 𝜀e𝑉 𝛼 =𝑊=𝑉𝜀, ou seja, 𝛼∈𝐻𝜀⊆Ð𝑝∈𝑃𝐻𝜀𝑝, de onde se conclui a igualdade. Para concluir a demonstração, basta notar que, pelo Lema 23, para todo 𝑝∈𝑃,𝐻𝜀𝑝𝐺𝐿(𝑉𝜀𝑝)= 𝐺𝐿(𝑊), ou seja, temos uma união disjunta de grupos isomorfos entre si. □ 87 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Introduzimos, agora, dois lemas mais técnicos, que nos permitirão demonstrar outros resultados. Lema 24. Sejam 𝜀𝑖e𝜀𝑗idempotentes em 𝐽(𝑛)e seja 𝜎∈𝐺𝐿(𝑊). Então, 𝜀𝑖𝜎𝜀𝑗=𝜀𝑖𝜎e𝜀𝑖𝜀𝑗=𝜀𝑖. Demonstração. Tomando 𝑣∈𝑉, temos que 𝑣𝜀𝑖∈𝑉𝜀𝑖=𝑊. Notemos que (𝑣𝜀𝑖)𝜎∈𝑊=𝑉𝜀𝑗(pois 𝜎∈𝐺𝐿(𝑊)). Assim, sabemos que existe 𝑢∈𝑉tal que 𝑢𝜀𝑗=𝑣𝜀𝑖𝜎, donde 𝑣𝜀𝑖𝜎𝜀𝑗=(𝑢𝜀𝑗)𝜀𝑗=𝑢𝜀𝑗= 𝑣𝜀𝑖𝜎. Portanto, 𝜀𝑖𝜎𝜀𝑗=𝜀𝑖𝜎. Em particular, se 𝜎=i𝑑𝑊∈𝐺𝐿(𝑊), utilizando o que acabamos de ver, temos 𝜀𝑖𝜀𝑗=𝜀𝑖i𝑑𝑊𝜀𝑗= 𝜀𝑖i𝑑𝑊=𝜀𝑖.□ Lema 25. Seja {𝜀𝑝:𝑝∈𝑃}o conjunto de todos os idempotentes em 𝐽(𝑛). Então, {𝜀𝑝:𝑝∈𝑃}é semigrupo zero à esquerda e 𝐻𝜀𝑖𝐻𝜀𝑗=𝐻𝜀𝑖, para todos 𝑖, 𝑗 ∈𝑃. Demonstração. Sejam 𝜀𝑖, 𝜀𝑗idempotentes em 𝐽(𝑛). Pelo Lema 24, temos 𝜀𝑖𝜀𝑗=𝜀𝑖. Portanto, {𝜀𝑝: 𝑝∈𝑃}é semigrupo zero à esquerda. Tomemos 𝛼∈𝐻𝜀𝑖e𝛽∈𝐻𝜀𝑗. Temos, então, 𝛼=𝜀𝑖𝜎e𝛽=𝜀𝑗𝜏, para alguns 𝜎, 𝜏 ∈𝐺𝐿(𝑊). É importante notar que 𝐺𝐿(𝑊)=𝐺𝐿(𝑉𝜀𝑖)=𝐺𝐿(𝑉𝜀𝑗), como vimos anteriormente. Pelo Lema 24, temos 𝛼𝛽 =(𝜀𝑖𝜎)(𝜀𝑗𝜏)=(𝜀𝑖𝜎𝜀𝑗)𝜏=(𝜀𝑖𝜎)𝜏=𝜀𝑖(𝜎𝜏). Como 𝜎, 𝜏 ∈𝐺𝐿(𝑊), também 𝜎𝜏 ∈ 𝐺𝐿(𝑊)=𝐺𝐿(𝑉𝜀𝑖), pelo que 𝛼𝛽 ∈𝐻𝜀𝑖e𝐻𝜀𝑖𝐻𝜀𝑗⊆𝐻𝜀𝑖. Para verificarmos a inclusão recíproca, consideremos 𝛾∈𝐻𝜀𝑖. Então, existe 𝜋∈𝐺𝐿(𝑉𝜀𝑖)=𝐺𝐿(𝑊) tal que 𝛾=𝜀𝑖𝜋e, consequentemente, 𝛾=𝜀𝑖𝜋=𝜀𝑖𝜋𝜀𝑗=𝛾𝜀𝑗∈𝐻𝜀𝑖𝐻𝜀𝑗. Portanto, 𝐻𝜀𝑖⊆𝐻𝜀𝑖𝐻𝜀𝑗,ea igualdade verifica-se. □ Podemos agora mostrar que a J-classe 𝐽(𝑛)de 𝑄é um semigrupo regular. Teorema 39. O conjunto 𝐽(𝑛)é um subsemigrupo regular de 𝑄. Demonstração. Pelo Teorema 38, 𝐽(𝑛)=Ð𝑝∈𝑃𝐻𝜀𝑝Logo, o Lema 25 assegura-nos que 𝐽(𝑛)é um semigrupo. Falta, assim, provar a regularidade de 𝐽(𝑛). Dado 𝛼∈𝐽(𝑛), existe 𝑖∈𝑃tal que 𝛼∈𝐻𝜀𝑖. Sabemos que 𝐻𝜀𝑖é grupo, pelo que existe 𝛼0∈𝐻𝜀𝑖tal que 𝛼0𝛼=𝛼𝛼0=𝜀𝑖. Mais, como 𝛼∈𝐻𝜀𝑖, então 𝛼=𝜀𝑖𝜎, para algum 𝜎∈𝐺𝐿(𝑊). Desta forma, 𝛼𝛼0𝛼=𝜀𝑖𝛼=𝜀𝑖(𝜀𝑖𝜎)=𝜀𝑖𝜎=𝛼, pelo que 𝛼é regular em 𝐽(𝑛). Assim, 𝐽(𝑛)é um subsemigrupo regular de 𝑄.□ 88 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO No que se segue, iremos assumir que o corpo 𝐾é finito. Assim, 𝑊é um subespaço finitamente gerado de 𝑉definido sobre um corpo 𝐾finito. Já vimos que 𝑄é o maior subsemigrupo regular de 𝑇(𝑉,𝑊 ). Pretendemos agora descrever todos os subsemigrupos regulares maximais de 𝑄. O resultado que se segue será usado na demonstração de outros resultados. Lema 26. Para todo 𝛼∈𝐽(𝑛−1), 𝐽(𝑛−1) ⊆ 𝐽(𝑛)𝛼 𝐽 (𝑛). Demonstração. Seja 𝛼∈𝐽(𝑛−1). Escrevemos 𝑉𝛼 =𝑊 𝛼 =h𝑤𝑖𝛼i, onde {𝑤𝑖}é um conjunto linearmente independente de vetores de 𝑊, com |𝐼|=𝑛−1. Como 𝑊 𝛼 =h𝑤𝑖𝛼i, temos 𝑊= (ker 𝛼∩𝑊) ⊕ h𝑤𝑖i. Ora, dim(𝑊)=𝑛edimh𝑤𝑖i=𝑛−1, pelo que dim(ker 𝛼∩𝑊)=1. Portanto, ker 𝛼∩𝑊=h𝑢i, para algum 𝑢∈𝑉. Escrevamos ker 𝛼=h𝑢i ⊕ h𝑢𝑗i. Desta forma, temos 𝑊=h𝑢i⊕h𝑤𝑖ie𝑉=h𝑢i⊕h𝑢𝑗i⊕h𝑤𝑖i, pelo que podemos escrever 𝛼como 𝛼=©« 𝑢 𝑢𝑗𝑤𝑖 0 0 𝑤𝑖𝛼ª®¬. Pretendemos mostrar que 𝐽(𝑛−1) ⊆ 𝐽(𝑛)𝛼 𝐽 (𝑛). Para isso, tomemos 𝛽∈𝐽(𝑛−1). Tal como vimos para 𝛼, podemos escrever 𝛽como 𝛽=©« 𝑢0𝑢0 𝑘𝑤0 𝑖 0 0 𝑤0 𝑖𝛽ª®¬, onde 𝑉 𝛽 =𝑊 𝛽 =h𝑤0 𝑖𝛽i,ker 𝛽∩𝑊=h𝑢0i,ker 𝛽=h𝑢0i⊕h𝑢0 𝑘ie𝑉=h𝑢0i⊕h𝑢0 𝑘i⊕h𝑤0 𝑖i. Observemos que |𝐾|=c𝑜𝑑𝑖𝑚𝑊 =|𝐽|. Por |𝐼|=𝑛−1, existem 𝑤e𝑤0em 𝑊tais que 𝑊= h𝑤𝑖𝛼i ⊕ h𝑤i=h𝑤0 𝑖𝛽i ⊕ h𝑤0i. Escrevamos 𝑉=𝑊⊕ h𝑣ℓi. É claro que, como |𝐿|=c𝑜𝑑𝑖𝑚𝑊 , temos |𝐿|=|𝐽|=|𝐾|. Definamos 𝛾, 𝛿 ∈𝑇(𝑉,𝑊 )por 𝛾=©« 𝑢0 𝑘𝑢0𝑤0 𝑖 0𝑢 𝑤𝑖ª®¬, 𝛿 =©« 𝑣ℓ𝑤 𝑤𝑖𝛼 0𝑤0𝑤0 𝑖𝛽ª®¬. É trivial que 𝛾, 𝛿 ∈𝐽(𝑛)e 𝛾𝛼𝛿 =©« 𝑢0 𝑘𝑢0𝑤0 𝑖 0𝑢 𝑤𝑖ª®¬©« 𝑢 𝑢𝑗𝑤𝑖 0 0 𝑤𝑖𝛼ª®¬©« 𝑣ℓ𝑤 𝑤𝑖𝛼 0𝑤0𝑤0 𝑖𝛽ª®¬=©« 𝑢0 𝑘𝑢0𝑤0 𝑖 0 0 𝑤0 𝑖𝛽ª®¬=𝛽, pelo que 𝛽∈𝐽(𝑛)𝛼 𝐽 (𝑛)e, portanto, 𝐽(𝑛−1) ⊆ 𝐽(𝑛)𝛼 𝐽 (𝑛).□ 89 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Descrevemos, no resultado que se segue, o primeiro subsemigrupo regular maximal de 𝑄. Em particular, este resultado diz-nos que, excluindo todas as transformações em 𝑄cuja imagem tem dimensão 𝑛−1, continuamos a ter um semigrupo regular. Teorema 40. O conjunto 𝑄𝑛−2∪𝐽(𝑛)é um subsemigrupo regular maximal de 𝑄. Demonstração. Pelo Teorema 35, 𝑄𝑛−2é ideal de 𝑄. Como 𝑄é o conjunto de todos os elementos regulares de 𝑇(𝑉,𝑊 ), vem que 𝑄𝑛−2é subsemigrupo regular de 𝑄. Por outro lado, pelo Teorema 39, 𝐽(𝑛)é subsemigrupo regular de 𝑄. Assim, 𝑄𝑛−2∪𝐽(𝑛)é subsemigrupo regular de 𝑄. Falta apenas provar a sua maximalidade. Suponhamos, então, que existe 𝑆subsemigrupo regular de 𝑄tal que 𝑄𝑛−2∪𝐽(𝑛)⊊𝑆⊆𝑄. Então, existe 𝛼∈𝑆\(𝑄𝑛−2∪𝐽(𝑛)), ou seja, existe 𝛼∈𝑆tal que 𝛼∉𝑄𝑛−2e𝛼∉𝐽(𝑛). Portanto, 𝛼∈𝑆∩𝐽(𝑛−1)edim(𝑉𝛼)=𝑛−1. Queremos provar que 𝑆=𝑄. Ora, temos 𝑄=𝑄𝑛−2∪𝐽(𝑛−1) ∪ 𝐽(𝑛)e sabemos, por hipótese, que 𝑄𝑛−2∪𝐽(𝑛)⊊𝑆. Se 𝐽(𝑛−1) ⊆ 𝑆, podemos concluir que 𝑄⊆𝑆e a igualdade segue. Desta forma, tomemos 𝛽∈𝐽(𝑛−1)e verifiquemos que 𝛽∈𝑆. Pelo Lema 26, existem 𝛿,𝛾 ∈𝐽(𝑛)tais que 𝛽=𝛿𝛼𝛾. Como 𝐽(𝑛)⊊𝑆, temos 𝛿,𝛾 ∈𝑆. Também 𝛼é um elemento de 𝑆, pelo que 𝛽∈𝑆. Assim, 𝑄=𝑆, e 𝑄𝑛−2∪𝐽(𝑛)é um subsemigrupo regular maximal de 𝑄.□ Denotemos por 𝐸(𝐽(𝑛)) o conjunto de todos os idempotentes de 𝐽(𝑛), isto é, 𝐸(𝐽(𝑛)) ={𝜀𝑝:𝑝∈𝑃}. Pelo Lema 23, para cada 𝜀𝑝∈𝐸(𝐽(𝑛)), 𝐻𝜀𝑝𝐺𝐿(𝑉𝜀𝑝)=𝐺𝐿(𝑊). Por outro lado, sabe-se que 𝐺𝐿(𝑊)é isomorfo a 𝐺𝐿(𝑛, 𝑞), o grupo linear geral de grau 𝑛, onde 𝑞=|𝐾|. Ora, 𝐺𝐿(𝑛,𝑞)é um grupo finito e, portanto, para todo 𝑝∈𝑃,𝐻𝜀𝑝é também grupo finito. Dado 𝑝∈𝑃, consideremos o isomorfismo de grupos 𝜙𝑝:𝐻𝜀𝑝→𝐺𝐿(𝑊)tal que, para todo 𝜎∈ 𝐺𝐿(𝑊),𝜀𝑝𝜎𝜙 =𝜎. Tomando 𝑈subgrupo maximal de 𝐺𝐿(𝑊), podemos afirmar que 𝑀𝑝=𝑈𝜙−1 𝑝= {𝜀𝑝𝜎:𝜎∈𝑈}é subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑝. No próximo resultado, usamos estes subgrupos maximais para construir um subsemigrupo regular maximal de 𝐽(𝑛). 90 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Lema 27. Sejam {𝜀𝑝:𝑝∈𝑃}o conjunto dos idempotentes de 𝐽(𝑛)e𝑈um subgrupo maximal de 𝐺𝐿(𝑛,𝑞). Para cada 𝑝∈𝑃, sejam 𝜙𝑃e𝑀𝑝=𝑈𝜙−1 𝑝como definidos acima. Então, o conjunto 𝑀=Ø 𝑝∈𝑃 𝑀𝑝 é um subsemigrupo regular maximal de 𝐽(𝑛). Demonstração. Comecemos por reparar que 𝑀=Ø 𝑝∈𝑃 𝑀𝑝⊆Ø 𝑝∈𝑃 𝐻𝜀𝑝=𝐽(𝑛). Num primeiro passo, vejamos que 𝑀é semigrupo. Sejam 𝛼∈𝑀𝑝1e𝛽∈𝑀𝑝2, para certos 𝑝1, 𝑝2∈𝑃. Podemos escrever𝛼=𝜀𝑝1𝛿1e𝛽=𝜀𝑝2𝛿2, onde𝛿1, 𝛿2∈𝑈. Assim, segue que𝛼𝛽 =(𝜀𝑝1𝛿1)(𝜀𝑝2𝛿2)= (𝜀𝑝1𝛿1𝜀𝑝2)𝛿2=(𝜀𝑝1𝛿1)𝛿2=𝜀𝑝1(𝛿1𝛿2). Ora, 𝛿1𝛿2∈𝑈, pelo que 𝛼𝛽 ∈𝑀𝑝1⊆𝑀. Logo, 𝑀é semigrupo e, consequentemente, subsemigrupo de 𝐽(𝑛). Quanto à regularidade, basta-nos reparar que, para cada 𝑝∈𝑃,𝑀𝑝é grupo e, portanto, 𝑀é regular. Falta apenas provar a maximalidade de 𝑀. Seja 𝑇um subsemigrupo regular de 𝐽(𝑛)tal que 𝑀⊊𝑇⊆𝐽(𝑛)e tomemos 𝛼∈𝑇\𝑀. Então, 𝛼∈𝐻𝜀𝑝\𝑀𝑝, para algum 𝑝∈𝑃. É claro que h𝑀𝑝∪{𝛼}i ⊆ 𝑇e é bem sabido que todo o subsemigrupo finito 𝑆de um grupo 𝐺é seu subgrupo. Logo, como 𝐻𝜀𝑝é grupo finito, o seu subsemigrupo h𝑀𝑝∪ {𝛼}i é subgrupo de 𝐻𝜀𝑝. Temos 𝑀𝑝⊊h𝑀𝑝∪ {𝛼}i ⊆ 𝐻𝜀𝑝. Como 𝑀𝑝é subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑝, segue que h𝑀𝑝∪ {𝛼}i =𝐻𝜀𝑝. Pretendemos mostrar que 𝑇=𝐽(𝑛), ou seja, que 𝐽(𝑛) ⊆ 𝑇. Desta forma, tomemos 𝛽∈𝐽(𝑛). Então, existe 𝑞∈𝑃tal que 𝛽∈𝐻𝜀𝑞, pelo que podemos escrever 𝛽=𝜀𝑞𝜋, para algum 𝜋∈𝐺𝐿(𝑊). Pelo Lema 24, 𝜀𝑞𝜀𝑝=𝜀𝑞. Logo, 𝛽=𝜀𝑞𝜋=(𝜀𝑞𝜀𝑝)𝜋=𝜀𝑞(𝜀𝑝𝜋). Ora, como 𝑈é subgrupo de 𝐺𝐿(𝑊)ei𝑑𝑊é a identidade neste grupo, temos 𝜀𝑞=𝜀𝑞i𝑑𝑊∈𝑀𝑞. Por outro lado, 𝜀𝑝𝜋∈𝐻𝜀𝑝=h𝑀𝑝∪ {𝛼}i ⊆ 𝑇. Assim, como 𝑀𝑞⊆𝑀⊆𝑇, segue que 𝛽∈𝑇. Logo, 𝐽(𝑛) ⊆ 𝑇, de onde concluímos a maximalidade de 𝑀.□ Este resultado permite-nos construir mais um subsemigrupo regular maximal de 𝑄. 91 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Teorema 41. Seja 𝑀=Ð𝑝∈𝑃𝑀𝑝como definido no Lema 27. Então, 𝑄𝑛−1∪𝑀é um subsemigrupo regular maximal de 𝑄. Demonstração. Comecemos por observar que 𝑀é subsemigrupo regular de 𝑄e que 𝑄𝑛−1é ideal do semigrupo regular 𝑄, pelo que 𝑄𝑛−1é subsemigrupo regular de 𝑄. Podemos, então, concluir que 𝑄𝑛−1∪𝑀é subsemigrupo regular de 𝑄. Vamos agora mostrar que é maximal nessas condições. Seja 𝑆subsemigrupo regular de 𝑄tal que (𝑄𝑛−1∪𝑀)⊊𝑆⊆𝑄. Notemos que 𝑀⊆𝐽(𝑛) ⊆ 𝑄e que 𝑄𝑛−1∩𝐽(𝑛)=∅. Assim, (𝑄𝑛−1∪𝑀) ∩ 𝐽(𝑛)=𝑀e𝑄∩𝐽(𝑛)=𝐽(𝑛), pelo que temos 𝑀⊊𝑆∩𝐽(𝑛) ⊆ 𝐽(𝑛).(2) Como 𝐽(𝑛)é a união disjunta dos grupos 𝐻𝜀𝑝, com 𝑝∈𝑃, temos 𝑆∩𝐽(𝑛)=𝑆∩©«Ø 𝑝∈𝑃 𝐻𝜀𝑝ª®¬=Ø 𝑝∈𝑃 (𝑆∩𝐻𝜀𝑝). Vamos mostrar que, para cada 𝑝∈𝑃,𝑆∩𝐻𝜀𝑝=𝑀𝑝ou 𝑆∩𝐻𝜀𝑝=𝐻𝜀𝑝. Para isso, tomemos 𝑝∈𝑃. Temos 𝑀⊆𝑆, pelo que 𝑀𝑝⊆𝑆. Por outro lado, 𝑀𝑝⊆𝐻𝜀𝑝. Logo, 𝑀𝑝⊆𝑆∩𝐻𝜀𝑝⊆𝐻𝜀𝑝.(3) Como 𝐻𝜀𝑝é grupo finito e 𝑆∩𝐻𝜀𝑝é um seu subsemigrupo, sabemos que 𝑆∩𝐻𝜀𝑝é subgrupo finito de 𝐻𝜀𝑝. Mas 𝑀𝑝é um subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑝. Portanto, de (3) vem 𝑆∩𝐻𝜀𝑝=𝑀𝑝ou 𝑆∩𝐻𝜀𝑝=𝐻𝜀𝑝. Desta forma, concluímos que 𝑆∩𝐽(𝑛)=Ð𝑝∈𝑃(𝑆∩𝐻𝜀𝑝)é uma união disjunta de grupos e, portanto, 𝑆∩𝐽(𝑛)é um semigrupo regular. Mas 𝑀é um subsemigrupo regular maximal de 𝐽(𝑛)e, por (2), concluímos que 𝑆∩𝐽(𝑛)=𝐽(𝑛). Logo, temos 𝐽(𝑛) ⊆ 𝑆e𝑄𝑛−1⊆𝑆. Então, 𝑄=𝑄𝑛−1∪𝐽(𝑛) ⊆ 𝑆⊆𝑄e, portanto, 𝑆=𝑄. Desta forma, a maximalidade de 𝑄𝑛−1∪𝑀fica provada. □ Iremos provar que existem apenas dois tipos de subsemigrupos regulares maximais de 𝑄: exatamente os descritos nos Teoremas 40 e 41. Para tal, iremos precisar dos próximos quatro lemas. Lema 28. Seja 𝑇um subsemigrupo regular maximal de 𝐽(𝑛). Seja 𝑅={𝑟∈𝑃:𝑇∩𝐻𝜀𝑟≠∅} e seja 𝑇𝑟=𝑇∩𝐻𝜀𝑟, para todo 𝑟∈𝑅. Tomando 𝜙𝑟como definido no parágrafo anterior ao Lema 27, seja 𝑇𝑟𝜙𝑟=𝑉𝑟em 𝐺𝐿(𝑊), para todo 𝑟∈𝑅. Então, 92 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO 1. 𝑉𝑟=𝑉𝑠, para todos 𝑟,𝑠 ∈𝑅; 2. 𝑇𝑟é subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑟, para todo 𝑟∈𝑅. Demonstração. Comecemos por provar a igualdade entre𝑉𝑟e𝑉𝑠para certos 𝑟, 𝑠 ∈𝑅. Notemos que𝑇𝑟é subsemigrupo finito de 𝐻𝜀𝑟, que é um grupo finito. Portanto,𝑇𝑟é subgrupo de 𝐻𝜀𝑟. Assim, sabemos que 𝑇𝑟≠∅e, analogamente, 𝑇𝑠≠∅. Mais, podemos escrever 𝑇𝑟={𝜀𝑟𝜎:𝜎∈𝑉𝑟}, onde 𝜀𝑟é idempotente de 𝐻𝜀𝑟. Tomemos, agora, 𝜎∈𝑉𝑟. Então, 𝜀𝑟𝜎∈𝑇𝑟. Ora, pelo Lema 24, 𝜀𝑠𝜎=𝜀𝑠(𝜀𝑟𝜎), pelo que 𝜀𝑠𝜎∈𝑇𝑠𝑇𝑟⊆ 𝑇. Por outro lado, 𝜀𝑠𝜎∈𝐻𝜀𝑠, pelo que 𝜀𝑠𝜎∈𝑇∩𝐻𝜀𝑠=𝑇𝑠. Temos, assim, que 𝜀𝑠𝜎∈𝑇𝑠, o que implica que 𝜎∈𝑉𝑠e, consequentemente, 𝑉𝑟⊆𝑉𝑠. De forma semelhante, o recíproco prova-se, concluindo-se que 𝑉𝑟=𝑉𝑠. Para a segunda parte do Lema, suponhamos que existe 𝑠∈𝑅tal que 𝑇𝑠não é subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑠. Assim, existe 𝑁𝑠subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑠tal que 𝑇𝑠⊊𝑁𝑠⊊𝐻𝜀𝑠. Seja 𝑈=𝑁𝑠𝜙𝑠⊆𝐺𝐿(𝑊). Então, como 𝜙𝑠é um isomorfismo de grupos, 𝑈é subgrupo maximal de 𝐺𝐿(𝑊). Mais, 𝑉𝑠=𝑇𝑠𝜙𝑠⊊ 𝑁𝑠𝜙𝑠=𝑈, já que 𝜙𝑠é isomorfismo. Tomemos 𝑀=Ð𝑝∈𝑃𝑀𝑝, onde 𝑀𝑝=𝑈𝜙−1 𝑝, para todo 𝑝∈𝑃. Pelo Lema 27, 𝑀é subsemigrupo regular maximal de 𝐽(𝑛). Assim, como 𝑇𝑟𝜙𝑟=𝑉𝑟=𝑉𝑠⊊𝑈, para todo 𝑟∈𝑅, segue que 𝑇𝑟⊊ 𝑈𝜙−1 𝑟=𝑀𝑟, para todo 𝑟∈𝑅. Portanto, 𝑇=Ø 𝑟∈𝑅 𝑇𝑟⊊Ø 𝑟∈𝑅 𝑀𝑟⊆Ø 𝑝∈𝑃 𝑀𝑝=𝑀⊊𝐽(𝑛), o que contradiz a maximalidade de 𝑇. Logo, podemos concluir que𝑇𝑟é subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑟, para todo 𝑟∈𝑅.□ Lema 29. Um conjunto 𝑇é subsemigrupo regular maximal de 𝐽(𝑛)se e só se existir 𝑈subgrupo maximal de 𝐺𝐿(𝑊)tal que 𝑇=Ð𝑝∈𝑃𝑀𝑝, com 𝑀𝑝=𝑈𝜙−1 𝑝, para todo 𝑝∈𝑃. Demonstração. Seja 𝑅tal como definido no Lema 28. Se 𝑅=∅, então 𝑇=Ø 𝑝∈𝑃 (𝑇∩𝐻𝜀𝑝)=Ø 𝑝∈𝑃 ∅=∅, o que é uma contradição. Logo, 𝑅≠∅e existe 𝑟∈𝑅tal que 𝑇𝑟=𝑇∩𝐻𝜀𝑟≠∅. Pelo Lema 28, 𝑇𝑟 é um subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑟. Seja 𝑇𝑟𝜙𝑟=𝑉𝑟. Como 𝜙𝑟é isomorfismo, 𝑉𝑟é subgrupo maximal de 93 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO 𝐺𝐿(𝑊). Tomemos 𝑈=𝑉𝑟e reparemos que, novamente pelo Lema 28, 𝑈=𝑉𝑠, para todo 𝑠∈𝑅. Seja 𝑀𝑝=𝑈𝜙−1 𝑝, para todo 𝑝∈𝑃. Vamos mostrar que𝑇=Ð𝑝∈𝑃𝑀𝑝. Dado 𝛼∈𝑇, existe 𝑠∈𝑃tal que 𝛼∈𝑇∩𝐻𝜀𝑠. Assim,𝑇∩𝐻𝜀𝑠≠∅, pelo que 𝑠∈𝑅e𝑇∩𝐻𝜀𝑠=𝑇𝑠. Mais, 𝑇𝑠é subgrupo maximal de 𝐻𝜀𝑠. Temos 𝛼𝜙𝑠∈𝑇𝑠𝜙𝑠=𝑉𝑠=𝑈. Logo, 𝛼∈𝑈𝜙−1 𝑠=𝑀𝑠⊆Ð𝑝∈𝑃𝑀𝑝. Ficamos, então, com 𝑇⊆Ø 𝑝∈𝑃 𝑀𝑝⊊𝐽(𝑛), onde Ð𝑝∈𝑃𝑀𝑝é um subsemigrupo regular de 𝐽(𝑛)(pelo Lema 27). Pela maximalidade de𝑇, podemos concluir que 𝑇=Ð𝑝∈𝑃𝑀𝑝, como pretendido. O recíproco sai diretamente do Lema 27, ficando a prova concluida. □ Lema 30. Para cada 𝑘tal que 0≤𝑘≤𝑛−1, o semigrupo 𝑄𝑘é gerado por 𝐽(𝑘). Demonstração. Seja 0≤𝑘≤𝑛−1. Se 𝛼∈𝐽(𝑘), então 𝛼∈𝑄𝑘, pois 𝑄𝑘=𝑄𝑘−1∪𝐽(𝑘). Logo, 𝐽(𝑘) ⊆ 𝑄𝑘e, como 𝑄𝑘é semigrupo, temos h𝐽(𝑘)i ⊆ 𝑄𝑘. Tomemos agora 𝛼∈𝑄𝑘=𝐽(𝑘) ∪ 𝑄𝑘−1. Se 𝛼∈𝐽(𝑘), é claro que 𝐽(𝑘) ⊆ h𝐽(𝑘)i. Por outro lado, se 𝛼∈𝑄𝑘−1, então existe 𝑡tal que 0≤𝑡≤𝑘−1e𝛼∈𝐽(𝑡). Assim, temos dim(𝑉 𝛼)=𝑡. Escrevamos 𝑉𝛼 =𝑊 𝛼 =h𝑤𝑖𝛼i, com 𝑤𝑖∈𝑊e|𝐼|=𝑡. Por um argumento usado anteriormente, podemos escrever 𝑉=ker 𝛼⊕ h𝑤𝑖ie𝑊=(ker 𝛼∩𝑊) ⊕ h𝑤𝑖i. Temos dim(𝑊)=𝑛edim(𝑊 𝛼)=𝑡≤𝑘−1≤ 𝑛−2, pelo que dim(ker 𝛼∩𝑊) ≥ 2. Logo, existem 𝑢, 𝑣 ∈ker 𝛼∩𝑊tais que {𝑢, 𝑣}é linearmente independente. Escrevendo ker 𝛼=h𝑢, 𝑣i⊕h𝑣𝑠i, podemos escrever 𝛼como 𝛼=©« 𝑢 𝑣 𝑣𝑠𝑤𝑖 0 0 0 𝑤𝑖𝛼ª®¬. Escrevamos 𝑊=h𝑤𝑖𝛼i⊕h𝑤𝑗i. Como |𝐼|=𝑡≤𝑛−2, sabemos que |𝐽|>0. Fixemos 𝑗0em 𝐽e definamos 𝛽,𝛾 em 𝑇(𝑉)por 𝛽=©« 𝑢 𝑣 𝑣𝑠𝑤𝑖 0𝑢0𝑤𝑖ª®¬, 𝛾 =©« 𝑢 𝑣 𝑣𝑠𝑤𝑖 0𝑤𝑗00𝑤𝑖𝛼ª®¬. É claro que 𝑉 𝛽 ⊆𝑊e𝑉𝛾 ⊆𝑊, pelo que ambas as aplicações estão em 𝑇(𝑉,𝑊 ). Mais, como 𝑉 𝛽 =𝑊 𝛽 e𝑉𝛾 =𝑊𝛾, temos 𝛽,𝛾 ∈𝑄. Ora, 𝛽𝛾 =©« 𝑢 𝑣 𝑣𝑠𝑤𝑖 0𝑢0𝑤𝑖ª®¬©« 𝑢 𝑣 𝑣𝑠𝑤𝑖 0𝑤𝑗00𝑤𝑖𝛼ª®¬=©« 𝑢 𝑣 𝑣𝑠𝑤𝑖 0 0 0 𝑤𝑖𝛼ª®¬=𝛼. 94 CAPÍTULO 5. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM IMAGEM CONTIDA NUM CERTO SUBESPAÇO Como dim(𝑉 𝛽)=dim(𝑉𝛾)=|𝐼| + 1=𝑡+1, concluímos que 𝛼∈𝐽(𝑡+1)𝐽(𝑡+1). Seguem, assim, duas hipóteses. Se 𝑡+1=𝑘, então 𝛼∈𝐽(𝑘)𝐽(𝑘) ⊆ h𝐽(𝑘)i. Por outro lado, se tivermos 𝑡+1<𝑘, então podemos repetir o raciocínio inicial para concluir que 𝛽,𝛾 ∈𝐽(𝑡+2)𝐽(𝑡+2). Se 𝑡+2=𝑘, então 𝛼 escreve-se como o produto de quatro elementos de 𝐽(𝑘)e, portanto, pertence a h𝐽(𝑘)i. Caso contrário, voltamos a repetir o raciocínio até conseguirmos escrever 𝛼como o produto de um número finito de transformações pertencentes a 𝐽(𝑘). Concluímos, então, que 𝛼∈ h𝐽(𝑘)i e, portanto, 𝑄=h𝐽(𝑘)i.□ Lema 31. Seja 𝑆um subsemigrupo regular maximal de 𝑄. Então, as seguintes afirmações são verdadeiras. 1. Se 𝑆∩𝐽(𝑛)=𝐽(𝑛), então 𝑆∩𝐽(𝑛−1)=∅. 2. Se 𝑆∩𝐽(𝑛)⊊𝐽(𝑛), então 𝑆∩𝐽(𝑛)é subsemigrupo regular maximal de 𝐽(𝑛). Demonstração. Comecemos por provar que 𝑆∩𝐽(𝑛)≠∅. De facto, se 𝑆∩𝐽(𝑛)=∅, então 𝑆⊆ 𝑄𝑛−1⊊𝑄𝑛−1∪𝑀⊊𝑄, onde 𝑀é um subsemigrupo regular maximal de 𝐽(𝑛)definido tal como no Lema 27. Pelo Teorema 41, 𝑄𝑛−1∪𝑀é um subsemigrupo regular maximal de 𝑄, o que contradiz a maximalidade de 𝑆. Assim, 𝑆∩𝐽(𝑛)≠∅. Suponhamos, em primeiro lugar, que 𝑆∩𝐽(𝑛)=𝐽(𝑛). Então, 𝐽(𝑛) ⊆ 𝑆. Se existir 𝛼∈𝑆∩𝐽(𝑛−1), então 𝛼∈𝐽(𝑛−1)e, pelo Lema 26, temos 𝐽(𝑛−1) ⊆ 𝐽(𝑛)𝛼 𝐽 (𝑛) ⊆ 𝑆𝛼𝑆 ⊆𝑆. Assim, 𝑆é um subsemigrupo de𝑄que contém 𝐽(𝑛−1). Pelo Lema 30,𝑄𝑛−1⊆𝑆, (pois𝑄𝑛−1é o menor subsemigrupo de 𝑄que contém 𝐽(𝑛−1)). Portanto, 𝑄=𝑄𝑛−1∪𝐽(𝑛) ⊆ 𝑆, pelo que 𝑄=𝑆, o que contradiz a maximalidade de 𝑆. A contradição resultou de supormos que existe 𝛼∈𝑆∩𝐽(𝑛−1). Logo, 𝑆∩𝐽(𝑛−1)=∅. Suponhamos, agora, que 𝑆∩𝐽(𝑛)⊊𝐽(𝑛). Como 𝑆∩𝐽(𝑛)≠∅, segue que 𝑆∩𝐽(𝑛)é subsemigrupo de 𝐽(𝑛)e𝑆∩𝐻𝜀𝑟≠∅, para algum 𝑟∈𝑃. Definamos, como anteriormente, 𝑅={𝑟∈𝑃:𝑆∩𝐻𝜀𝑟≠∅}. Então, 𝑆∩𝐽(𝑛)=Ø 𝑟∈𝑅 (𝑆∩𝐻𝜀𝑟), onde 𝑆∩𝐻𝜀𝑟é subsemigrupo finito de 𝐻𝜀𝑟, para todo 𝑟∈𝑅. Portanto, 𝑆∩𝐽(𝑛)é uma união disjunta de grupos e, em particular, é um subsemigrupo regular de 𝐽(𝑛). Se 𝑆∩𝐽(𝑛)não é maximal nestas 95 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE Demonstração. Se 𝛼=𝛾𝛽, então 𝑉𝛼 =𝑉(𝛾𝛽)=(𝑉𝛾)𝛽⊆𝑉 𝛽 e, similarmente, 𝑊 𝛼 =𝑊(𝛾𝛽)= (𝑊𝛾)𝛽⊆𝑊 𝛽. Suponhamos, agora, que 𝑉𝛼 ⊆𝑉 𝛽 e𝑊 𝛼 ⊆𝑊 𝛽. Sejam 𝑊=h𝑤𝑖ie𝑉=h𝑤𝑖i ⊕ h𝑣𝑗i. Como 𝑊 𝛼 ⊆𝑊 𝛽, temos que 𝑤𝑖𝛼∈𝑊 𝛽, pelo que existe 𝑤0 𝑖∈𝑊tal que 𝑤𝑖𝛼=𝑤0 𝑖𝛽. Analogamente, temos que para todo 𝑣𝑗𝛼∈𝑉𝛼, existe 𝑣0 𝑗𝛽∈𝑉 𝛽, tal que 𝑣𝑗𝛼=𝑣0 𝑗𝛽. Tomemos 𝛾=©« 𝑤𝑖𝑣𝑗 𝑤0 𝑖𝑣0 𝑗ª®¬. É claro que 𝛾∈𝑇(𝑉)e𝑊𝛾 =h𝑤0 𝑖i ⊆ 𝑊. Logo, 𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Mais, (𝑤𝑖𝛾)𝛽=𝑤0 𝑖𝛽=𝑤𝑖𝛼e (𝑣𝑗𝛾)𝛽=𝑣0 𝑗𝛽=𝑣𝑗𝛼, pelo que 𝛼=𝛾𝛽. Pelo que acabamos de ver, segue trivialmente que 𝛼L𝛽em 𝑆(𝑉,𝑊 )se e só se 𝑉𝛼 =𝑉 𝛽 e𝑊 𝛼 = 𝑊 𝛽.□ Lema 36. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Então 𝛼=𝛽𝛾, para algum 𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 ), se e só se 𝑘𝑒𝑟𝛽 ⊆𝑘𝑒𝑟𝛼 e𝑊 𝛽−1⊆𝑊 𝛼−1. Consequentemente, 𝛼R𝛽se e só se ker 𝛼=ker 𝛽e𝑊 𝛽−1=𝑊 𝛼−1. Demonstração. Suponhamos que 𝛼=𝛽𝛾, para algum 𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Tomemos 𝑣∈ker 𝛽. Então 𝑣𝛽 =0e𝑣𝛼 =𝑣(𝛽𝛾)=(𝑣𝛽)𝛾=0𝛾=0. Logo, 𝑣∈ker 𝛼, e temos a primeira inclusão pretendida. Dado 𝑤∈𝑊 𝛽−1, temos 𝑤𝛽 ∈𝑊. Como 𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 ), sabemos que 𝑊𝛾 ⊆𝑊e, portanto, 𝑤𝛼 = 𝑤(𝛽𝛾)=(𝑤𝛽)𝛾∈𝑊. Logo, 𝑤∈𝑊 𝛼−1, donde segue que 𝑊 𝛽−1⊆𝑊 𝛼−1. Reciprocamente, suponhamos que ker 𝛽⊆ker 𝛼e𝑊 𝛽−1⊆𝑊 𝛼−1. Então, podemos escrever ker 𝛽∩ 𝑊=h𝑤𝑖i,ker 𝛽=h𝑤𝑖i ⊕ h𝑣𝑗i,ker 𝛼∩𝑊=h𝑤𝑖i ⊕ h𝑤𝑘ieker 𝛼=h𝑤𝑖i ⊕ h𝑤𝑘i ⊕ h𝑣𝑗i ⊕ h𝑣ℓi. Tomemos𝑊=h𝑤𝑖i ⊕ h𝑤𝑘i ⊕ h𝑤𝑠ie, por fim, 𝑉=𝑊⊕ h𝑣𝑗i ⊕ h𝑣ℓi ⊕ h𝑢𝑡i. Com estas escolhas de bases, podemos escrever 𝛼=©« 𝑤𝑖𝑤𝑘𝑤𝑠𝑣𝑗𝑣ℓ𝑢𝑡 0 0 𝑤𝑠𝛼0 0 𝑢𝑡𝛼ª®¬, 𝛽 =©« 𝑤𝑖𝑤𝑘𝑤𝑠𝑣𝑗𝑣ℓ𝑢𝑡 0𝑤𝑘𝛽 𝑤𝑠𝛽0𝑣ℓ𝛽 𝑢𝑡𝛽ª®¬. Temos 𝑉𝛼 =h𝑤𝑠𝛼i⊕h𝑢𝑡𝛼ie, ainda, 𝑉 𝛽 =h𝑤𝑘𝛽i⊕h𝑤𝑠𝛽i⊕h𝑣ℓ𝛽i⊕h𝑢𝑡𝛽i. Assim, podemos escrever 𝑉=𝑉 𝛽 ⊕ h𝑧𝑟i⊕h𝑧𝑝i, onde 𝑊=(𝑊∩𝑉 𝛽) ⊕ h𝑧𝑟i. Definamos 𝛾∈𝑇(𝑉)por 𝛾=©« 𝑤𝑘𝛽 𝑤𝑠𝛽 𝑣ℓ𝛽 𝑢𝑡𝛽 𝑧𝑟𝑧𝑝 0𝑤𝑠𝛼0𝑢𝑡𝛼0 0 ª®¬. 102 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE Vejamos que 𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 ), ou seja, que 𝑊𝛾 ⊆𝑊. Como, para todo 𝑟,𝑧𝑟𝛾=0∈𝑊, basta verificar que (𝑊∩𝑉 𝛽)𝛾∈𝑊. Assim, tomemos 𝑤∈𝑊∩𝑉 𝛽. Então, existe 𝑥∈𝑉tal que 𝑤=𝑥𝛽. Como 𝑥∈𝑉, podemos escrever 𝑥=Õ 𝑖∈𝐼 𝑎𝑖𝑤𝑖+Õ 𝑘∈𝐾 𝑏𝑘𝑤𝑘+Õ 𝑠∈𝑆 𝑐𝑠𝑤𝑠+Õ 𝑗∈𝐽 𝑑𝑗𝑣𝑗+Õ ℓ∈𝐿 𝑒ℓ𝑣ℓ+Õ 𝑡∈𝑇 𝑓𝑡𝑢𝑡, donde segue que 𝑤=Õ 𝑖∈𝐼 𝑎𝑖(𝑤𝑖𝛽) + Õ 𝑘∈𝐾 𝑏𝑘(𝑤𝑘𝛽) + Õ 𝑠∈𝑆 𝑐𝑠(𝑤𝑠𝛽) + Õ 𝑗∈𝐽 𝑑𝑗(𝑣𝑗𝛽) + Õ ℓ∈𝐿 𝑒ℓ(𝑣ℓ𝛽) + Õ 𝑡∈𝑇 𝑓𝑡(𝑢𝑡𝛽) =Õ 𝑘∈𝐾 𝑏𝑘(𝑤𝑘𝛽) + Õ 𝑠∈𝑆 𝑐𝑠(𝑤𝑠𝛽) + Õ ℓ∈𝐿 𝑒ℓ(𝑣ℓ𝛽) + Õ 𝑡∈𝑇 𝑓𝑡(𝑢𝑡𝛽). e, aplicando 𝛾, temos 𝑤𝛾 =Õ 𝑠∈𝑆 𝑐𝑠(𝑤𝑠𝛼) + Õ 𝑡∈𝑇 𝑓𝑡(𝑢𝑡𝛼). Determinemos, agora, 𝑥𝛼: 𝑥𝛼 =Õ 𝑖∈𝐼 𝑎𝑖(𝑤𝑖𝛼) + Õ 𝑘∈𝐾 𝑏𝑘(𝑤𝑘𝛼) + Õ 𝑠∈𝑆 𝑐𝑠(𝑤𝑠𝛼) + Õ 𝑗∈𝐽 𝑑𝑗(𝑣𝑗𝛼) + Õ ℓ∈𝐿 𝑒ℓ(𝑣ℓ𝛼) + Õ 𝑡∈𝑇 𝑓𝑡(𝑢𝑡𝛼) =Õ 𝑠∈𝑆 𝑐𝑠(𝑤𝑠𝛼) + Õ 𝑡∈𝑇 𝑓𝑡(𝑢𝑡𝛼). Então,𝑤𝛾 =𝑥𝛼. Ora, sabemos que𝑤=𝑥𝛽 ∈𝑊∩𝑉 𝛽. Em particular, 𝑥𝛽 ∈𝑊e, portanto, 𝑥∈𝑊 𝛽−1. Mas𝑊 𝛽−1⊆𝑊 𝛼−1, pelo que 𝑥𝛼 ∈𝑊, ou seja,𝑤𝛾 ∈𝑊. Logo,𝑊𝛾 ⊆𝑊e𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Facilmente se verifica que 𝛼=𝛽𝛾.□ Para demonstrarmos o próximo Teorema, onde caracterizaremos a relação Dem 𝑆(𝑉,𝑊 ), precisamos dos dois lemas que em seguida apresentamos. Lema 37. Seja 𝛼∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Então, 1. dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊/(𝑊∩ker 𝛼)). 2. dim((𝑉𝛼 ∩𝑊)/𝑊 𝛼)=dim(𝑊 𝛼−1/(𝑊 𝛼)𝛼−1). 3. dim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) =dim(𝑉/𝑊 𝛼−1). 103 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE Demonstração. Comecemos por escolher bases para os espaços vetoriais em questão. Como 𝛼∈ 𝑆(𝑉,𝑊 ), podemos escrever 𝑊 𝛼 =h𝑤𝑖𝛼ie𝑉𝛼 ∩𝑊=h𝑤𝑖𝛼i ⊕ h𝑣𝑗𝛼i, de onde segue que 𝑉𝛼 = h𝑤𝑖𝛼i⊕h𝑣𝑗𝛼i⊕h𝑣𝑘𝛼i. Escrevamos, agora, ker 𝛼∩𝑊=h𝑧𝑟ieker 𝛼=h𝑧𝑟i⊕h𝑧𝑡i. Por último, podemos escrever 𝑉=h𝑤𝑖i⊕h𝑣𝑗i⊕h𝑣𝑘i⊕h𝑧𝑟i⊕h𝑧𝑡i,𝑊=h𝑤𝑖i⊕h𝑧𝑟ie𝑊 𝛼−1= h𝑤𝑖i⊕h𝑣𝑗i⊕h𝑧𝑟i⊕h𝑧𝑡i. Vejamos, em primeiro lugar, que dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊/(𝑊∩ker 𝛼)). Ora, pela construção acima, é fácil ver que dim(𝑊 𝛼)=|𝐼|=dim(𝑊/(𝑊∩ker 𝛼)). Para a segunda igualdade, reparemos que (𝑊 𝛼)𝛼−1=h𝑤𝑖i⊕h𝑧𝑟i⊕h𝑧𝑡i, pelo que dim((𝑉𝛼 ∩𝑊)/𝑊 𝛼)=|𝐽|=dim(𝑊 𝛼−1/(𝑊 𝛼)𝛼−1). Por último, dim(𝑉 𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) =|𝐾|=dim(𝑉/𝑊 𝛼−1).□ Lema 38. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉,𝑊 ). Então, ker 𝛼⊆ker 𝛽se e só se (𝑊 𝛼)𝛼−1⊆ (𝑊 𝛽)𝛽−1. Demonstração. Suponhamos que ker 𝛼⊆ker 𝛽. Vamos mostrar que (𝑊 𝛼)𝛼−1⊆ (𝑊 𝛽)𝛽−1. Para tal, tomemos 𝑥∈ (𝑊 𝛼)𝛼−1. Então, 𝑥𝛼 ∈𝑊 𝛼 e, portanto, existe 𝑤∈𝑊tal que 𝑥𝛼 =𝑤𝛼. Assim, 𝑥−𝑤∈ker 𝛼⊆ker 𝛽, pelo que (𝑥−𝑤)𝛽=0, isto é, 𝑥𝛽 =𝑤𝛽. Como 𝑤∈𝑊, concluímos que 𝑥𝛽 ∈𝑊 𝛽 e, portanto, 𝑥∈ (𝑊 𝛽)𝛽−1. Logo, (𝑊 𝛼)𝛼−1⊆ (𝑊 𝛽)𝛽−1.□ Estamos, assim, em condições de avançar para o Teorema que se segue. Teorema 43. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Então, 𝛼D𝛽se e só se dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊 𝛽),dim((𝑉𝛼 ∩ 𝑊)/𝑊 𝛼)=dim((𝑉 𝛽 ∩𝑊)/𝑊 𝛽)edim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) =dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)). Demonstração. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 )e suponhamos que 𝛼D𝛽. Então, existe 𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 )tal que 𝛼L𝛾R𝛽. Pelo Lema 35, sabemos que 𝑉𝛼 =𝑉𝛾 e𝑊 𝛼 =𝑊𝛾 e, pelo Lema 36, ker𝛾=ker 𝛽e 𝑊𝛾−1=𝑊 𝛽−1. Ora, pelo Lema 37, temos que dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊𝛾)=dim(𝑊/(𝑊∩ker𝛾)) =dim(𝑊/(𝑊∩ker 𝛽)) =dim(𝑊 𝛽). Mais, novamente pelo Lema 37, dim((𝑉𝛼 ∩𝑊)/𝑊 𝛼)=dim((𝑉𝛾 ∩𝑊)/𝑊𝛾)=dim(𝑊𝛾−1/(𝑊𝛾)𝛾−1). 104 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE Como 𝑊𝛾−1=𝑊 𝛽−1e, pelo Lema 38, (𝑊𝛾)𝛾−1=(𝑊 𝛽)𝛽−1(uma vez que ker𝛾=ker 𝛽, temos dim(𝑊𝛾−1/(𝑊𝛾)𝛾−1)=dim(𝑊 𝛽−1/(𝑊 𝛽)𝛽−1)=dim((𝑉 𝛽 ∩𝑊)/𝑊 𝛽). Por último, temos, pelo Lema 37, dim((𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) =dim((𝑉𝛾/(𝑉𝛾 ∩𝑊)) =dim(𝑉/𝑊𝛾−1) =dim(𝑉/𝑊 𝛽−1)=dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)). Reciprocamente, suponhamos que 𝑊 𝛼 =h𝑤𝑖𝛼i,𝑊 𝛽 =h𝑤0 𝑖𝛽i,(𝑉𝛼 ∩𝑊)/𝑊 𝛼 =h𝑢𝑗𝛼+𝑊 𝛼i, (𝑉 𝛽∩𝑊)/𝑊 𝛽 =h𝑢0 𝑗𝛽+𝑊 𝛽i,𝑉𝛼/(𝑉𝛼∩𝑊)=h𝑣𝑘𝛼+𝑉𝛼∩𝑊ie𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽∩𝑊)=h𝑣0 𝑘𝛽+𝑉 𝛽∩𝑊i. Temos, desta forma,𝑉𝛼 ∩𝑊=h𝑤𝑖𝛼i⊕h𝑢𝑗𝛼ie𝑉𝛼 =h𝑣𝑘𝛼i⊕h𝑤𝑖𝛼i⊕h𝑢𝑗𝛼i. Analogamente, temos 𝑉 𝛽 ∩𝑊=h𝑣0 𝑘𝛽i ⊕ h𝑤0 𝑖𝛽ie𝑉 𝛽 =h𝑣0 𝑘𝛽i ⊕ h𝑤0 𝑖𝛽i ⊕ h𝑢0 𝑗𝛽i. Sejam ker 𝛼=h𝑧𝑟ie𝑘𝑒𝑟𝛽 =h𝑧𝑡i. Então, 𝑉=h𝑧𝑟i⊕h𝑣𝑘i⊕h𝑤𝑖i⊕h𝑢𝑗ie𝑉=h𝑧𝑡i⊕h𝑣0 𝑘i⊕h𝑤0 𝑖i⊕h𝑢0 𝑗ie podemos escrever 𝛼=©« 𝑧𝑟𝑤𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0𝑤𝑖𝛼 𝑢𝑗𝛼 𝑣𝑘𝛼ª®¬, 𝛽 =©« 𝑧𝑡𝑤0 𝑖𝑢0 𝑗𝑣0 𝑘 0𝑤0 𝑖𝛽 𝑢0 𝑗𝛽 𝑣0 𝑘𝛽ª®¬. Definamos 𝛾=©« 𝑧𝑡𝑤0 𝑖𝑢0 𝑗𝑣0 𝑘 0𝑤𝑖𝛼 𝑢𝑗𝛼 𝑣𝑘𝛼ª®¬. Então, 𝛾∈𝑇(𝑉)e𝑊𝛾 ⊆𝑊, pelo que 𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Para além disso, 𝑉𝛼 =𝑉𝛾 e𝑊 𝛼 =𝑊𝛾. Portanto, pelo Lema 35, 𝛼L𝛾. Mais, como ker𝛾=ker 𝛽e𝑊𝛾−1=h𝑤0 𝑖i⊕h𝑢0 𝑗i=𝑊 𝛽−1, temos, pelo Lema 36, 𝛾R𝛽.□ No resultado que se segue, caracterizamos a relação Jem 𝑆(𝑉,𝑊 ). Teorema 44. Sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Então 𝛼=𝜆𝛽𝜇, para alguns 𝜆, 𝜇 ∈𝑆(𝑉,𝑊 )se e só se dim(𝑉𝛼) ≤ dim(𝑉 𝛽),dim(𝑊 𝛼) ≤ dim(𝑊 𝛽)edim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) ≤ dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩ 𝑊)). Consequentemente, 𝛼J𝛽se e só se dim(𝑉𝛼)=dim(𝑉 𝛽),dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊 𝛽)e dim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) =dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)). Demonstração. Suponhamos que 𝛼=𝜆𝛽𝜇, para alguns 𝜆, 𝜇 ∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Segue de imediato que dim(𝑉𝛼)=dim((𝑉𝜆)𝛽𝜇) ≤ dim((𝑉 𝛽)𝜇) ≤ dim(𝑉 𝛽). 105 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE De modo análogo, dim(𝑊 𝛼)=dim((𝑊 𝜆)𝛽𝜇) ≤ dim((𝑊 𝛽)𝜇) ≤ dim(𝑊 𝛽). Por último, temos dim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) =dim(𝑉 𝜆𝛽𝜇/(𝑉𝜆𝛽𝜇 ∩𝑊)) ≤ dim(𝑉 𝛽𝜇/(𝑉 𝛽𝜇 ∩𝑊)) ≤dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)). Assumamos, agora, que dim(𝑉 𝛼) ≤ dim(𝑉 𝛽),dim(𝑊 𝛼) ≤ dim(𝑊 𝛽)e, ainda, que dim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼∩ 𝑊)) ≤ dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)). Escrevamos𝑊 𝛼 =h𝑤𝑖𝛼i,𝑉 𝛼 ∩𝑊=h𝑤𝑖𝛼i⊕h𝑢𝑗𝛼i,𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)= h𝑣𝑘𝛼+𝑉𝛼∩𝑊ie, portanto,𝑉𝛼 =h𝑤𝑖𝛼i⊕h𝑢𝑗𝛼i⊕h𝑣𝑘𝛼i. Analogamente, sejam𝑊 𝛽 =h𝑤0 𝑖𝛽i⊕h𝑤0 ℓ𝛽i, 𝑉 𝛽 ∩𝑊=h𝑤0 𝑖𝛽i⊕h𝑤0 ℓ𝛽i⊕h𝑢0 𝑚𝛽i,𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)=h𝑣0 𝑛𝛽+𝑉 𝛽 ∩𝑊i⊕h𝑣0 𝑘𝛽+𝑉 𝛽 ∩𝑊i e, consequentemente, 𝑉 𝛽 =h𝑤0 𝑖𝛽i ⊕ h𝑤0 ℓ𝛽i ⊕ h𝑢0 𝑚𝛽i ⊕ h𝑣0 𝑛𝛽i ⊕ h𝑣0 𝑘𝛽i. Assim, escrevamos 𝑉= h𝑤𝑖i⊕h𝑢𝑗i⊕h𝑣𝑘i⊕h𝑧𝑟i, onde ker 𝛼=h𝑧𝑟ie, ainda,𝑉=h𝑤0 𝑖i⊕h𝑤0 ℓi⊕h𝑢0 𝑚i⊕h𝑣0 𝑛i⊕h𝑣0 𝑘i⊕h𝑧𝑡i, onde ker 𝛽=h𝑧𝑡i. Desta forma, podemos escrever 𝛼e𝛽como 𝛼=©« 𝑧𝑟𝑤𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0𝑤𝑖𝛼 𝑢𝑗𝛼 𝑣𝑘𝛼ª®¬, 𝛽 =©« 𝑧𝑡𝑤0 𝑖𝑤0 ℓ𝑢0 𝑚𝑣0 𝑛𝑣0 𝑘 0𝑤0 𝑖𝛽 𝑤0 ℓ𝛽 𝑢0 𝑚𝛽 𝑣0 𝑛𝛽 𝑣0 𝑘𝛽ª®¬. Temos que |𝐼|+|𝐽|+|𝐾| ≤ |𝐼|+|𝐿|+|𝑀|+|𝑁|+|𝐾|, uma vez que, por hipótese, dim(𝑉 𝛼) ≤ dim(𝑉 𝛽). Vamos considerar dois casos, e começamos pelo caso em que |𝐽| ≤ |𝐿|+|𝑀|+|𝑁|. Suponhamos que 𝐿¤ ∪𝑀¤ ∪𝑁=𝑃¤ ∪𝑄, onde, sem perda de generalidade, |𝑃|=|𝐽|. Desta forma, podemos escrever {𝑤0 ℓ}¤ ∪{𝑢0 𝑚}¤ ∪{𝑣0 𝑛}={𝑠𝑝}¤ ∪{𝑠𝑞}e reescrever 𝛽como 𝛽=©« 𝑧𝑡𝑤0 𝑖𝑠𝑝𝑠𝑞𝑣0 𝑘 0𝑤0 𝑖𝛽 𝑠𝑝𝛽 𝑠𝑞𝛽 𝑣0 𝑘𝛽ª®¬. Como |𝐽|=|𝑃|, existe uma bijeção 𝜑:𝐽→𝑃. Seja, assim, definamos 𝜆em 𝑇(𝑉)por 𝜆=©« 𝑧𝑟𝑤𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0𝑤0 𝑖𝑠𝑗𝜑 𝑣0 𝑘ª®¬. Reparemos que𝑊 𝜆 =h𝑤0 𝑖i ⊆ 𝑊. Logo, 𝜆∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Temos 𝑉 𝛽 =h𝑤0 𝑖𝛽i ⊕ h𝑠𝑝𝛽i ⊕ h𝑠𝑞𝛽i ⊕ h𝑣0 𝑘𝛽i e podemos escrever 𝑉=h𝑤0 𝑖𝛽i⊕h𝑠𝑝𝛽i⊕h𝑠𝑞𝛽i⊕h𝑣0 𝑘𝛽i⊕h𝑧0 𝑠i. Definamos 𝜇∈𝑇(𝑉)por 𝜇=©« 𝑧0 𝑠𝑤0 𝑖𝛽 𝑠𝑗𝜑 𝛽 𝑠𝑞𝛽 𝑣0 𝑘𝛽 0𝑤𝑖𝛼 𝑢𝑗𝛼0𝑣𝑘𝛼ª®¬. 106 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE É claro que 𝜇∈𝑆(𝑉,𝑊 )e 𝜆𝛽𝜇 =©« 𝑧𝑟𝑤𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0𝑤0 𝑖𝑠𝑗𝜑 𝑣0 𝑘ª®¬©« 𝑧𝑡𝑤0 𝑖𝑠𝑝𝑠𝑞𝑣0 𝑘 0𝑤0 𝑖𝛽 𝑠𝑝𝛽 𝑠𝑞𝛽 𝑣0 𝑘𝛽ª®¬©« 𝑧0 𝑠𝑤0 𝑖𝛽 𝑠𝑗𝜑 𝛽 𝑠𝑞𝛽 𝑣0 𝑘𝛽 0𝑤𝑖𝛼 𝑢𝑗𝛼0𝑣𝑘𝛼ª®¬ =©« 𝑧𝑟𝑤𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0𝑤𝑖𝛼 𝑢𝑗𝛼 𝑣𝑘𝛼ª®¬=𝛼. Consideremos agora o caso em que |𝐽|>|𝐿|+|𝑀|+|𝑁|. Temos, então, dim(𝑉 𝛽)infinita, pelo que |𝐽| ≤ |𝐼|ou |𝐽| ≤ |𝐾|. Se |𝐽| ≤ |𝐼|, então escrevemos 𝐼=𝑃¤ ∪𝑄, onde |𝑃|=|𝐼|e|𝑄|=|𝐽|. Podemos escrever {𝑤0 𝑖}= {𝑠𝑝}¤ ∪ {𝑠𝑞}e reescrevemos 𝛽=©« 𝑧𝑡𝑠𝑝𝑠𝑞𝑤0 ℓ𝑢0 𝑚𝑣0 𝑛𝑣0 𝑘 0𝑠𝑝𝛽 𝑠𝑞𝛽 𝑤0 ℓ𝛽 𝑢0 𝑚𝛽 𝑣0 𝑛𝛽 𝑣0 𝑘𝛽ª®¬. Por hipótese, temos |𝐼|=|𝑃|e|𝐽|=|𝑄|e, por isso, existem bijeções 𝜑:𝐼→𝑃e𝜓:𝐽→𝑄. De 𝑉 𝛽 =h𝑠𝑝𝛽i⊕h𝑠𝑞𝛽i⊕h𝑤0 ℓ𝛽i⊕h𝑢0 𝑚𝛽i⊕h𝑣0 𝑛𝛽i⊕h𝑣0 𝑘𝛽i, podemos escrever 𝑉=h𝑠𝑝𝛽i⊕h𝑠𝑞𝛽i ⊕ h𝑤0 ℓ𝛽i⊕h𝑢0 𝑚𝛽i⊕h𝑣0 𝑛𝛽i⊕h𝑣0 𝑘𝛽i⊕h𝑧0 𝑡i. Assim, definimos 𝜆, 𝜇 em 𝑇(𝑉)por 𝜆=©« 𝑧𝑟𝑤𝑖𝑢𝑗𝑣𝑘 0𝑠𝑖𝜑 𝑠𝑗𝜓 𝑣0 𝑘ª®¬, 𝜇 =©« 𝑧0 𝑡𝑠𝑖𝜑 𝛽 𝑠𝑗𝜓 𝛽 𝑤0 ℓ𝛽 𝑢0 𝑚𝛽 𝑣0 𝑛𝛽 𝑣0 𝑘𝛽 0𝑤𝑖𝛼 𝑢𝑗𝛼0 0 0 𝑣𝑘𝛼ª®¬. Logo, 𝛼=𝜆𝛽𝜇. O subcaso |𝐽| ≤ |𝐾|é análogo, pelo que o resultado segue. □ Os próximos exemplos mostram que, geralmente, em 𝑆(𝑉,𝑊 ),D≠J. Em ambos os exemplos, 𝑉é infinitamente gerado, sendo que 𝑊é infinitamente gerado no primeiro exemplo e finitamente gerado no segundo. Exemplo 13. Sejam 𝑉=h𝑤i ⊕ h𝑤𝑘i ⊕ h𝑢1,𝑢2ie𝑊=h𝑤i ⊕ h𝑤𝑘i, com 𝐾infinito. Escrevamos {𝑤𝑘:𝑘∈𝐾}={𝑤0}¤ ∪{𝑤0 𝑘:𝑘∈𝐾}e consideremos 𝛼, 𝛽 em 𝑇(𝑉)definidas por 𝛼=©« 𝑢1𝑢2𝑤 𝑤0𝑤0 𝑘 0𝑤 𝑤0𝑤0𝑤0 𝑘ª®¬, 𝛽 =©« 𝑢1𝑢2𝑤 𝑤0𝑤0 𝑘 0𝑤0𝑤0𝑤0𝑤0 𝑘ª®¬. Obviamente, temos 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 )e𝑉𝛼 =h𝑤,𝑤𝑘i,𝑉 𝛽 =h𝑤𝑘i,𝑊 𝛼 =h𝑤𝑘ie𝑊 𝛽 =h𝑤𝑘ie, desta forma, dim(𝑉𝛼)=|𝐾|=dim(𝑉 𝛽),dim(𝑊 𝛼)=|𝐾|=dim(𝑊 𝛽)edim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) = 0=dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)). Logo, pelo Teorema 44, 𝛼J𝛽. Como dim((𝑉𝛼 ∩𝑊)/𝑊 𝛼)=1≠0= dim((𝑉 𝛽 ∩𝑊)/𝑊 𝛽), pelo Teorema 43, 𝛼6D 𝛽. 107 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE Exemplo 14. Sejam 𝑉=h𝑤1,𝑤2,𝑤3i ⊕ h𝑢i ⊕ h𝑢𝑘ie𝑊=h𝑤1,𝑤2,𝑤3i, com 𝐾é infinito. Consideremos 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉)definidas por 𝛼=©« 𝑢 𝑤1𝑤2𝑤3𝑢𝑘 0 0 𝑤1𝑤3𝑢𝑘ª®¬, 𝛽 =©« 𝑤1𝑤2𝑤3𝑢 𝑢𝑘 0𝑤1𝑤3𝑤2𝑢𝑘ª®¬. É claro que 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Mais, 𝑉𝛼 =h𝑤1,𝑤2i⊕h𝑢𝑘i,𝑊 𝛼 =h𝑤1,𝑤3i,𝑉𝛼 ∩𝑊=h𝑤1,𝑤3i, 𝑉 𝛽 =h𝑤1,𝑤2,𝑤3i⊕h𝑢𝑘i,𝑊 𝛽 =h𝑤1,𝑤3ie𝑉 𝛽 ∩𝑊=h𝑤1, 𝑤2,𝑤3i. Então, dim(𝑉𝛼)= |𝐾|=dim(𝑉 𝛽),dim(𝑊 𝛼)=2=dim(𝑊 𝛽)e, por fim, temos dim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) =|𝐾|= dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)). Logo, pelo Teorema 44, 𝛼J𝛽. Por outro lado, dim((𝑉𝛼 ∩𝑊)/𝑊 𝛼)=0≠ 1=dim((𝑉 𝛽 ∩𝑊)/𝑊 𝛽)e, pelo Teorema 43, 𝛼6D 𝛽. De seguida vemos uma condição necessária e suficiente para que, em 𝑆(𝑉,𝑊 ), as relações DeJ coincidam. Teorema 45. Em 𝑆(𝑉,𝑊 ),D=Jse e só se 𝑊=𝑉ou 𝑊={0}ou dim(𝑉)<ℵ0. Demonstração. Se 𝑊=𝑉ou 𝑊={0}, então 𝑆(𝑉,𝑊 )=𝑇(𝑉)e, consequentemente, D=J. Suponhamos, agora, que 𝑉é finito e sejam 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 )tais que 𝛼J𝛽. Então, pelo Teorema 44, temos que dim(𝑉𝛼)=dim(𝑉 𝛽),dim(𝑊 𝛼)=dim(𝑊 𝛽)e, ainda, dim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) = dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)). Escrevamos 𝑊 𝛼 =h𝑤𝑖𝛼i,𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)=h𝑢𝑘𝛼+𝑉𝛼 ∩𝑊i,𝑊 𝛽 =h𝑤0 𝑖𝛽ie𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)= h𝑢0 𝑘𝛽+𝑉 𝛽 ∩𝑊i. Escrevamos também 𝑉𝛼 ∩𝑊=h𝑣𝑗𝛼i⊕h𝑤𝑖𝛼i,𝑉𝛼 =h𝑣𝑗𝛼i⊕h𝑤𝑖𝛼i⊕h𝑢𝑘𝛼i, 𝑉 𝛽 ∩𝑊=h𝑣0 ℓ𝛽i ⊕ h𝑤0 𝑖𝛽ie𝑉 𝛽 =h𝑣0 ℓ𝛽i ⊕ h𝑤0 𝑖𝛽i ⊕ h𝑢0 𝑘𝛽i. Temos, assim, dim(𝑉 𝛼)=|𝐼| + |𝐽| + |𝐾| edim(𝑉 𝛽)=|𝐼|+|𝐿|+|𝐾|. Como, por hipótese, estas duas dimensões são finitas e iguais, concluímos que |𝐽|=|𝐿|e, consequentemente, dim((𝑉𝛼 ∩𝑊)/𝑊 𝛼)=dim((𝑉 𝛽 ∩𝑊)/𝑊 𝛽). Logo, pelo Teorema 43, 𝛼D𝛽. Vimos, portanto, que J ⊆ D. Ora, em qualquer semigrupo, temos D ⊆ J. Logo, D=J. Reciprocamente, suponhamos que dim𝑉>ℵ0e{0}≠𝑊⊊𝑉. Consideremos dois casos, quando 𝑊é finitamente gerado e quando 𝑊é infinitamente gerado. Suponhamos que dim𝑊=𝑛<ℵ0. Sejam 𝑉=h𝑤1, . . . ,𝑤𝑛i⊕h𝑢i⊕h𝑢𝑘ie𝑊=h𝑤1, . . . ,𝑤𝑛i, com 𝑛≥1e𝐾infinito. Definamos 𝛼, 𝛽 em 𝑇(𝑉)por 𝛼=©« 𝑢 𝑤1𝑤2. . . 𝑤𝑛𝑢𝑘 0 0 𝑤2. . . 𝑤𝑛𝑢𝑘ª®¬, 𝛽 =©« 𝑤1𝑤2. . . 𝑤𝑛𝑢 𝑢𝑘 0𝑤2. . . 𝑤𝑛𝑤1𝑢𝑘ª®¬. 108 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE É claro que 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Mais, dim(𝑉𝛼)=|𝐾|,dim(𝑊 𝛼)=𝑛−1edim(𝑉 𝛼 ∩𝑊)=𝑛−1. Temos, ainda, dim(𝑉 𝛽)=|𝐾|,dim(𝑊 𝛽)=𝑛−1edim(𝑉 𝛽 ∩𝑊)=𝑛. Pelo Teorema 44, 𝛼J𝛽. No entanto, como dim((𝑉𝛼 ∩𝑊)/𝑊 𝛼)=0≠1=dim((𝑉 𝛽 ∩𝑊)/𝑊 𝛽), 𝛼e𝛽não estão D-relacionados. Logo, J≠D. Para o caso em que dim𝑊>ℵ0, sejam 𝑉=h𝑤,𝑤0i⊕h𝑤𝑘i ⊕ h𝑢i ⊕ h𝑢𝑖ie𝑊=h𝑤,𝑤0i ⊕ h𝑤𝑘i, com 𝐾infinito (𝐼pode ser eventualmente vazio). Definamos 𝛼, 𝛽 em 𝑇(𝑉)por 𝛼=©« 𝑢𝑖𝑢 𝑤 𝑤0𝑤𝑘 0𝑤0𝑤𝑤𝑤𝑘ª®¬, 𝛽 =©« 𝑢𝑖𝑢 𝑤 𝑤0𝑤𝑘 0𝑤0𝑤0𝑤0𝑤𝑘ª®¬. Como 𝑉𝛼 ⊆𝑊e𝑉 𝛽 ⊆𝑊, é claro que 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Temos dim(𝑉𝛼)=|𝐾|=dim(𝑉 𝛽), dim(𝑊 𝛼)=|𝐾|=dim(𝑊 𝛽)e, por fim, dim(𝑉 𝛼/(𝑉𝛼∩𝑊)) =0=dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽∩𝑊)). Portanto, pelo Teorema 44, 𝛼J𝛽. Por outro lado, como dim((𝑉𝛼∩𝑊)/𝑊 𝛼)=1≠0=dim((𝑉 𝛽∩𝑊)/𝑊 𝛽), 𝛼não está D-relacionado com 𝛽. Assim, J≠D.□ 6.3 Ideais Nesta secção estudaremos e caracterizaremos os ideais de 𝑆(𝑉,𝑊 ). Esta caracterização depende, como seria natural prever, de dimensões de subespaços de 𝑊e de 𝑉. Sejam, então, dim𝑉=𝑎,dim𝑊=𝑏 edim(𝑉/𝑊)=𝑐. Para cada 𝑟,𝑠e𝑡, tais que 1≤𝑟≤𝑎0,1≤𝑠≤𝑏0e1≤𝑡≤𝑐0, seja 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)={𝛼∈𝑆(𝑉,𝑊 ): dim(𝑉𝛼)<𝑟, dim(𝑊 𝛼)<𝑠edim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) <𝑡}. O conjunto 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)é, de facto, um ideal de 𝑆(𝑉,𝑊 ), como veremos de seguida. Teorema 46. O conjunto 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)é um ideal de 𝑆(𝑉,𝑊 ). Demonstração. Sejam 𝛼∈𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)e𝛽∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Notemos que dim(𝑉𝛼𝛽) ≤ dim(𝑉 𝛼)<𝑟, dim(𝑊 𝛼𝛽) ≤ dim(𝑊 𝛼)<𝑠e, por último, dim(𝑉𝛼𝛽/(𝑉𝛼𝛽 ∩𝑊)) ≤ dim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) <𝑡. Assim, 𝛼𝛽 ∈𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡). Analogamente, prova-se que 𝛾𝛼 ∈𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡), para 𝛾∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Portanto, 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)é ideal de 𝑆(𝑉,𝑊 ).□ 109 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE Depois de vermos que 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)é, efetivamente, ideal de 𝑆(𝑉,𝑊 ), analisemos alguns casos que seguem, trivialmente, da definição. Ora, é claro que, se 𝑟=𝑎0,𝑠=𝑏0e𝑡=𝑐0, então 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)=𝑆(𝑎0,𝑏0,𝑐0)=𝑆(𝑉,𝑊 ). Por outro lado, se 𝑟=𝑏0,𝑠=𝑏0e𝑡=1, 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)=𝑆(𝑏0,𝑏0,1)=𝑇(𝑉,𝑊 ). De facto, se 𝛼∈𝑆(𝑉,𝑊 )é tal que dim(𝑉 𝛼)<𝑏0,dim(𝑊 𝛼)<𝑏0edim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼 ∩𝑊)) <1, então 𝑉𝛼 ⊆𝑊. Ou seja, 𝑇(𝑉,𝑊 )é ideal de 𝑆(𝑉,𝑊 ), como já tínhamos visto na Proposição 12. Mais, se 𝑉=𝑊, então dim𝑉=𝑎=dim𝑊,dim(𝑉/𝑊)=0,𝑆(𝑉,𝑊 )=𝑇(𝑉)e, para cada 𝑟tal que 1≤𝑟≤𝑎0,𝑆(𝑟, 𝑟, 1)é o conjunto de elementos de 𝑇(𝑉)tais que dim(𝑉𝛼)<𝑟, ou seja, 𝑆(𝑟, 𝑟, 1)=𝑇𝑟, que sabemos bem ser ideal de 𝑇(𝑉). Observemos que, se 𝑟≤𝑢,𝑠≤𝑣e𝑡≤𝑤, então 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡) ⊆ 𝑆(𝑢, 𝑣, 𝑤). No entanto, pelo exemplo que se segue, podemos verificar que nem todos os ideais de 𝑆(𝑉,𝑊 )são da forma 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡). Mais, podemos também concluir que os ideias de 𝑆(𝑉,𝑊 )não formam uma cadeia. Exemplo 15. Sejam 𝑉=h𝑤1,𝑤2i⊕h𝑢1,𝑢2ie𝑊=h𝑤1,𝑤2i. Temos dim𝑉=4,dim𝑊=2e dim𝑉/𝑊=2. Como 𝑆(3,3,1)e𝑆(4,2,2)são ideais de 𝑆(𝑉,𝑊 ), então 𝑆(3,3,1) ∪ 𝑆(4,2,2)é também ideal de 𝑆(𝑉,𝑊 ). Suponhamos que 𝑆(3,3,1) ∪ 𝑆(4,2,2)=𝑆(ℓ,𝑚,𝑛), para 1≤ℓ≤5,1≤𝑚≤3e 1≤𝑛≤3. Tomemos 𝛼em 𝑇(𝑉)definida por 𝛼=©« 𝑤1𝑤2𝑢1𝑢2 0𝑤1𝑤2𝑢2ª®¬. Como𝑊 𝛼 =h𝑤1i ⊆ 𝑊, temos 𝛼∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Mais, dim(𝑉𝛼)=3,dim(𝑊 𝛼)=1edim(𝑉𝛼/(𝑉𝛼∩ 𝑊)) =1. Portanto, 𝛼∈𝑆(4,2,2)\𝑆(3,3,1). Notemos que, se ℓ<4ou 𝑛=1, temos 𝛼∈ 𝑆(4,2,2)\𝑆(ℓ,𝑚,𝑛). Por outro lado, consideremos 𝛽∈𝑇(𝑉)definida por 𝛽=©« 𝑤1𝑤2𝑢1𝑢2 𝑤1𝑤2𝑤20ª®¬. 110 CAPÍTULO 6. SEMIGRUPOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES COM UM ESPAÇO INVARIANTE Temos 𝑊 𝛽 =𝑊, pelo que 𝛽∈𝑆(𝑉,𝑊 ). Como dim(𝑉 𝛽)=2<3,dim(𝑊 𝛽)=2<3e dim(𝑉 𝛽/(𝑉 𝛽 ∩𝑊)) =0<1, temos 𝛽∈𝑆(3,3,1)\𝑆(4,2,2). Observemos que, se 𝑚<3, então 𝛽∈𝑆(3,3,1) \ 𝑆(ℓ,𝑚, 𝑛). Ora, como 𝑆(3,3,1) ∪ 𝑆(4,2,2)=𝑆(ℓ,𝑚,𝑛), concluímos que ℓ≥4,𝑚≥3e𝑛≥2. Consideremos, assim, 𝛿∈𝑇(𝑉)definida por 𝛿=©« 𝑤1𝑤2𝑢1𝑢2 𝑤1𝑤2𝑢10ª®¬. Temos 𝛿∈𝑆(4,3,2)e, portanto, para quaisquer 𝑟,𝑠e𝑡tais que 𝑟≥4,𝑠≥3e𝑡≥2, temos 𝛿∈𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡). Mas 𝛿∉𝑆(3,3,1) ∪ 𝑆(4,2,2), pelo que, quaisquer que sejam 𝑟≥4,𝑠≥3e𝑡≥2, 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡)≠𝑆(3,3,1) ∪ 𝑆(4,2,2). Assim, 𝑆(3,3,1) ∪ 𝑆(4,2,2)é um ideal de 𝑆(𝑉,𝑊 )mas não é da forma 𝑆(𝑟, 𝑠, 𝑡). Este exemplo, dá-nos, então, o mote para avançar para o Lema que se segue. Lema 39. O conjunto de ideais de 𝑆(𝑉,𝑊 )é uma cadeia se e só se 𝑉=𝑊ou 𝑊={0𝑉}. Demonstração. Se 𝑉=𝑊ou 𝑊={0𝑉}, então 𝑆(𝑉,𝑊 )=𝑇(𝑉)e os ideais de 𝑇(𝑉)são precisamente os conjuntos 𝑇𝑟={𝛼∈𝑇(𝑉): dim(𝑉 𝛼)<𝑟}, onde 1≤𝑟≤𝑑𝑖𝑚(𝑉𝛼)0, que formam uma cadeia. Reciprocamente, suponhamos que {0𝑉}≠𝑊⊊𝑉. Sejam 𝑊=h𝑤i ⊕ h𝑤𝑗ie𝑉=h𝑤i ⊕ h𝑤𝑗i ⊕ h𝑢i⊕h𝑢𝑖i, onde tanto 𝐼, como 𝐽podem ser vazios. Temos dim𝑉=|𝐼|+|𝐽| + 2,dim𝑊=|𝐽| + 1e dim𝑉/𝑊=|𝐼| + 1. Consideremos 𝛼, 𝛽 ∈𝑇(𝑉)definidas por 𝛼=©« 𝑤 𝑤𝑗𝑢 𝑢𝑖 𝑤0 0 0 ª®¬, 𝛽 =©« 𝑤 𝑤𝑗𝑢 𝑢𝑖 0 0 𝑢0ª®¬. Temos 𝑊 𝛼 =h𝑤i ⊆ 𝑊e𝑊 𝛽 ={0𝑉} ⊆ 𝑊, pelo que 𝛼, 𝛽 ∈𝑆(𝑉,𝑊 ). É fácil ver que 𝛼∈ 𝑆(2,2,1)\𝑆(2,1,2)e𝛽∈𝑆(2,1,2)\𝑆(2,2,1). Assim, temos dois ideias de 𝑆(𝑉,𝑊 )que não são comparáveis pela relação de inclusão, ou seja, o conjunto dos ideais de 𝑆(𝑉,𝑊 )não é uma cadeia. □ De forma a obter uma caracterização de todos os ideais de 𝑆(𝑉,𝑊 ), consideraremos um conjunto associado a cada subconjunto não vazio de 𝑆(𝑉,𝑊 ), como passamos a descrever. Para cada subconjunto 111