Control en dimensión finita

FACULTAD DE MATEM ´ ATICAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y AN´ ALISIS NUM´ ERICO Trabajo Fin de Grado CONTROL EN DIMENSI´ ON FINITA Miguel Trujillo Al´es Dirigido por: Diego Araujo de Souza Sevilla, Julio 2023 A mi difunta abuela, a mi hermano, a mis padres y al resto de mis seres queridos. ´ Indice general Introducci´on 7 1. Preliminares 12 1.1. Definiciones y resultados del ´ Algebralineal ..................... 12 1.2. El bidual E∗∗ ...................................... 13 1.3. Topolog´ıas d´ebiles. Espacios reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1. La topolog´ıa m´ınima para la que un conjunto de aplicaciones son continuas 14 1.3.2. Definici´on y propiedades elementales de la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗) . . . . 15 1.3.3. Definici´on y propiedades elementales de la topolog´ıa d´ebil ∗,σ(E∗, E) . . 16 1.3.4. Los espacios reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4. Los espacios Lp..................................... 17 1.5. Los espacios de Sobolev W1,p ............................. 19 2. Controlabilidad 21 2.1. Controlabilidad de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.1. Controlabilidad de sistemas lineales aut´onomos . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2. Controlabilidad de sistemas lineales dependientes del tiempo . . . . . . . 35 2.1.3. Geometr´ıa de los conjuntos accesibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2. Controlabilidad de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1. Geometr´ıa de los los conjuntos accesibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3. Estabilizaci´on 49 3.1. Estabilizaci´on de sistemas lineales aut´onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Estabilizaci´on de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.1. Recordatorios de estabilidad: teoremas de Lyapunov y Lasalle . . . . . . . 60 3.2.2. Aplicaci´on a la estabilizaci´on de sistemas de control no lineal . . . . . . . 64 3.2.3. El m´etodo de Jurdjevic-Quinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Conclusiones 76 4 Abstract The aim of this work is to give an introduction to control and stabilization theory in finitedimensional spaces. It will be started exposing the basic concepts of controllability in finitedimensional spaces. Throughout this first part, it is intended to apply these controllability concepts to different types of control systems. First, it will be studied the controllability of linear systems, for both autonomous and non-autonomous cases, with and without control constraints. It will be also seen the controllability of non-linear systems, but only local results. The main idea will be to establish sufficient conditions that ensure the controllability of nonlinear control systems. Finally, it will be also exposed the basic concepts of stability/stabilization in finitedimensional spaces. Firstly, it is intended to apply these concepts to autonomous linear systems and it will be seen the difficulties that emerge when one tries to stabilize non-autonomous linear systems. It will be also studied the stabilization of non-linear control systems, where the theory of Lyapunov functions will be useful. Resumen El objetivo de este trabajo es presentar una introducci´on a la Teor´ıa de control y estabilizaci´on en dimensi´on finita. Se comenzar´a exponiendo los conceptos b´asicos de controlabilicad en espacios de dimensi´on finita. A lo largo de esta primera parte, se pretende aplicar dichos conceptos de controlabilidad a diferentes tipos de sistemas de control. Primero, se estudiar´a la controlabilidad de sistemas lineales, tanto aut´onomos como no aut´onomos, con y sin restricciones en los controles. Tambi´en se ver´a la controlabilidad de sistemas no lineales, pero solamente resultados locales. La idea principal ser´a establecer condiciones suficientes que aseguren la controlabilidad de sistemas de control no lineales. Por ´ultimo, se expondr´an tambi´en los conceptos b´asicos de estabilidad/estabilizaci´on en espacios de dimensi´on finita. En primer lugar, se pretender´a aplicar estos conceptos a los sistemas de control lineales aut´onomos y se ver´an las dificultades que emergen al intentar estabilizar sistemas lineales no aut´onomos. Tambi´en se estudiar´a la estabilizaci´on de sistemas no lineales, siendo necesario el uso de la teor´ıa de las funciones de Lyapunov. Agradecimientos A mi padre, mi madre y mi hermano. Gracias por facilitarme el camino. Si no fuera por vosotros, no habr´ıa llegado hasta este escal´on de una larga escalera que estoy a punto de terminar de subir. Soy quien soy a d´ıa de hoy por los valores que me hab´eis transmitido. Aqu´ı tambi´en debo incluir a Diana Pe˜nalver. Gracias por escucharme siempre. A mis verdaderos amigos que he conocido durante estos a˜nos: Rafael Porras, Beatriz Mart´ınez y Antonio Castillo; y a mis amigos de la infacia: ´ Africa Sierra, Ester Hidalgo y Manuel Quero. En alg´un momento de este periodo han sido el S´eneca que asesoraba a Lucilio en sus crisis de existencia a trav´es de sus ep´ıstolas. A mi entrenador de powerlifting Alberto Vega y a todos los componentes del Club powerlifting Chipiona. ´ El no solo me ret´o en otros ´ambitos de la vida como es el mundo de la competici´on, sino que me fortaleci´o un m´usculo muy importante: el de la voluntad del alma. Gracias a ´el, he sido capaz de compaginar mis dos pasiones: las matem´aticas y la f´ısica y el levantamiento de potencia, siendo ambas muy exigentes, tanto a nivel mental como f´ısico. Gracias a t´ı, he sido capaz de soportar cuatro o cinco horas de clase y entrenamientos de nueve a once de la noche, para depu´es, a la ma˜nana siguiente, volver a clase y atender las obligaciones que ello conllevaba. A mis profesores de instituto. A Paco, de f´ısica, por embelesarme con su p´asi´on a la hora de dar clases y quedarse con sus alumnos hasta la una de la madrugada con su telescopio. A Antonino Mediado y a Wenceslao Narv´aez, por intentar transmitirme c´omo son las matem´aticas verdaderamente. En ´ultimo lugar, a Mercedes Mar´ın, de Biolog´ıa, por ense˜narme que las clases van m´as all´a de unas lecciones y que en muchas ocasiones, un profesor puede llegar a ser un gran apoyo en la vida. En los momentos de m´axima dificutad, recurr´ıa a ellos en mi interior para recordar el porqu´e empec´e en esto. Finalmente, a mi tutor Diego Araujo de Souza, por su gran disponibilidad y confianza en mi persona. Con este trabajo fin de grado, he vuelto a recuperar esa pasi´on dormida que ten´ıa por las matem´aticas. Como me dijo en alg´un momento: “Lo bueno que tienen los matem´aticos es que nunca est´an solos. Siempre habr´a alg´un matem´atico que te pueda ayudar en tus problemas”. As´ı lo he sentido. Gracias tambi´en a Manuel Gonz´alez Burgos, por proponerle a Diego que fuera mi tutor. Este trabajo fin de grado es tanto m´ıo como vuestro. 6 Introducci´on La teor´ıa de control es el ´area de las matem´aticas que lidia con los principios subyacentes al an´alisis y dise˜no de los sistemas de control. Controlar un objeto puede entenderse como la acci´on de influir en su comportamiento con la finalidad de conseguir un objetivo determinado. Para implementar dicha influencia en la respuesta del objeto en cuesti´on los ingenieros dise˜nan dispositivos que incorporan varias t´ecnicas matem´aticas. Estos aparatos van desde el regulador de la m´aquina de vapor de Watt, confeccionado durante la Revoluci´on Industrial inglesa, hasta complejos controladores de microprocesador que se encuentran en art´ıculos de consumo (tales como los autom´oviles) o en robots industriales y pilotos autom´aticos en aviones. Desde un punto de vista gen´erico, en la teor´ıa de control han existido dos l´ıneas de trabajo que en ocasiones parece que han tomado direcciones opuestas, pero que en realidad son complementarias. La primera l´ınea se basa en la idea de que un buen modelo del objeto que se quiere controlar es asequible y la finalidad de dicho modelo es optimizar de alguna forma el comportamiento del objeto en cuesti´on. Por ejemplo, los principios de la F´ısica y las especificaciones de la Ingenier´ıa, pueden emplearse (y de hecho, se emplean) con el fin de calcular la trayectoria de una nave espacial que minimiza el tiempo total de vuelo o el consumo de combustible. Las t´ecnicas aqu´ı empleadas est´an ´ıntimamente relacionadas con el c´alculo de variaciones cl´asico y otras ´areas de la teor´ıa de optimizaci´on. Por otro lado, la segunda l´ınea se fundamenta en las restricciones impuestas por la incertidumbre asociada al modelo o al entorno en el que el objeto opera. La herramienta principal aqui es usar la retroalimentaci´on con el fin de corregir desviaciones respecto al comportamiento deseado. Por ejemplo, varios sistemas de control retroalimentados se emplean en vuelos espaciales reales con el fin de compensar lo errores en la trayectoria precalculada. Desde un punto de vista matem´atico, la teor´ıa de estabilidad/estabilizaci´on, los sistemas din´amicos y especialmente la teoria de las funciones de una variable compleja han tenido una fuerte influencia en este campo de estudio. Hoy en d´ıa, se reconoce en un amplio rango que estas dos grandes l´ıneas de trabajo tratan con diferentes aspectos de un mismo problema. No solo se puede realizar un recorrido en la historia de los sistemas de control, sino que estos se encuentran de forma extensa en la naturaleza. Los mecanismos de control son empleados por organismos vivos con el fin de mantener variables esenciales como la temperatura corporal y los niveles de glucosa en sangre en unos puntos deseados. En la ´epoca de los romanos, ya se encontraban niveles de agua en acueductos que se manten´ıan constantes mediante el uso de varias combinaciones de v´alvulas. En el siglo XVII comenzaron los primeros desarrollos modernos. En este per´ıodo, las necesidades asociadas a la navegaci´on tuvieron una fuerte influencia en las investigaciones cient´ıficas y tecnol´ogicas. Se necesitaban relojes precisos para derterminar la hora solar. El matem´atico y astr´onomo alem´an Christiaan Huygens y su coet´aneo Robert Hooke compitieron a la hora de dise˜nar relojes de p´endulo con el fin de analizar el problema del control de velocidad. Durante el siglo XVIII, la atenci´on se centr´o en los molinos de viento, y los controles de velocidad basados en las ideas de los dos cient´ıficos anteriores comenzaron a dise˜narse. La idea principal aqu´ı era el empleo de los centrifugadores: dos bolas unidas a un eje giran junto al molino de viento, de tal manera que la fuerza centr´ıfuga debida a la velocidad angular hace que se eleven; a su vez, este movimiento ascendente afecta a las posiciones de las aspas del molino de viento. Por tanto, la retroalimentaci´on se implement´o por los enlaces del centrifugador con las aspas. No obstante, no fue hasta la Revoluci´on Industrial, con la adaptaci´on realizada 7 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 14 A continuaci´on, se adjunta la siguiente proposici´on [1, p´agina 4, Corolario 1.4]. Proposici´on 1.1. Para cada x∈Ese tiene que: ||x||E=sup ||f||≤1 f∈E∗ |⟨f, x⟩| =max ||f||≤1 f∈E∗ |⟨f, x⟩|. Definici´on 1.2. Sea E un espacio vectorial y E∗su dual. El bidual, denotado por E∗∗, es el dual de E∗con la norma: ||ξ||E∗∗ =sup ||f||≤1 f∈E∗ |ξ(f)|. Definici´on 1.3. Existe una inyecci´on can´onica J:E→E∗∗ definida como sigue: dado x∈E, la aplicaci´on f7→ ⟨f, x⟩es un funcional lineal y continuo en E∗; es decir, es un elemento de E∗∗, que se denota por Jx. Se tiene que: ⟨Jx, f⟩E∗∗,E∗=⟨f, x⟩E∗,E,∀x∈E, ∀f∈E∗. Est´a claro que J es lineal y J es una isometr´ıa, esto es, ||Jx||E∗∗ =||x||E. En efecto, por la Proposici´on 1.1 se tiene que: ||Jx||E∗∗ =sup ||f||≤1 f∈E∗ |⟨Jx, f⟩| =sup ||f||≤1 f∈E∗ |⟨f, x⟩| =||x||E. Puede ocurrir que J no sea sobreyectiva de Een E∗∗. No obstante, es conveniente identificar E con el subespacio E∗∗ usando J. Si Jresulta ser sobreyectiva, entonces se dice que E es reflexivo yE∗∗ se identifica con E (est´o se ver´a con m´as detalle en la secci´on 1.3.4). 1.3. Topolog´ıas d´ebiles. Espacios reflexivos El contenido de esta secci´on se recoge en [1, Cap´ıtulo 3, secciones 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 y 3.5, p´aginas 55, 57, 60, 67 y 72 (respectivamente)]. 1.3.1. La topolog´ıa m´ınima para la que un conjunto de aplicaciones son continuas Sea Xun conjunto (sin ninguna estructura) e {Yi}i∈Iuna colecci´on de espacios topol´ogicos. Sea {φi}i∈Iuna colecci´on de aplicaciones tal que para cada i∈I,φi:X7→ Yi. Se considera el siguiente problema. Problema 1.1. Construir una topolog´ıa en Xque haga a todas las aplicaciones {φi}i∈Icontinuas. Si es posible, encontrar una topolog´ıa Tque sea la m´as econ´omica en el sentido de que es la que tiene menos conjuntos abiertos. Se ver´a, que siempre hay una (´unica) topolog´ıa “m´as barata” Ten X para la que cada aplicaci´on φies continua. Se denomina la topolog´ıa m´ınima od´ebil asociada a la colecci´on {φi}i∈I. Si ωi⊂Yies cualquier conjunto abierto, entonces φi−1(ωi) es necesariamente un conjunto abierto en T. Como ωirecorre la familia de conjuntos abiertos de Yieirecorre I, obtenemos una familia de subconjuntos de X, cada uno de los cuales debe ser abierto en la topolog´ıa T. A esta familia se denota por {Uλ}λ∈Λ. Por supuesto, esta familia no tiene por qu´e ser una topolog´ıa. Se tiene entonces el siguiente problema. Problema 1.2. Dado un conjunto Xy una familia {Uλ}λ∈Λde subconjuntos de X, construir la topolog´ıa “m´as barata” Ten X, en la que Uλes abierto para todo λ∈Λ. CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 15 En otras palabras, se debe encontrar la familia m´as econ´omica F, de subconjuntos de X que sea estable bajo ∩finita y∪arbitraria (i.e., la intersecci´on finita de conjuntos de Fy la uni´on arbitraria de conjuntos de Fpertenecen ambas a F) y con la propiedad de que Uλ∈ F para todo λ∈Λ. La construcci´on es la siguiente. Primero, se consideran intersecciones finitas de conjuntos en {Uλ}λ∈Λ, i.e., ∩λ∈ΓUλdonde Γ ⊂Λ es finito. De esta forma, se obtiene una nueva familia, llamada Φ, de subconjuntos de X, que incluye {Uλ}λ∈Λy que es estable bajo ∩finita. Sin embargo, no tiene por qu´e ser estable bajo ∪arbitraria. Por tanto, se considera ahora la familia Fobtenida a partir de la uni´on arbitraria de elementos de Φ. Est´a claro que Fes estable bajo ∪arbitraria. No est´a claro que Fsea estable bajo ∩finita. No obstante, se tiene el siguiente resultado ([1, p´agina 56, Lema 3.1]). Lema 1.1. La familia Fes estable bajo ∩finita. Para resumir esta discusi´on se tiene que los conjuntos abiertos de Fse obtienen considerando primero ∩finita de los conjuntos de la forma φi−1(ωi) y luego ∪arbitraria. Se sigue que para cada x∈X, se obtiene una base de entornos de x para la topolog´ıa Tconsiderando conjuntos de la forma ∩finitaφi−1(Vi), donde Vies un entorno de φi(x) en Yi. En lo que sigue, a Xse le equipa con la topolog´ıa Tque es la topolog´ıa m´ınima o d´ebil asociada a la colecci´on {φi}i∈I. Se muestra ahora una propiedad simple que caracteriza la convergencia de sucesiones en la topolog´ıa F([1, p´agina 56, Proposiciones 3.1 y 3.2]). Proposici´on 1.2. Sea {xn}n∈Nuna sucesi´on en X. Entonces xn→x(en F) si y solo si φ(xn)→φ(x)para cada i∈I. 1.3.2. Definici´on y propiedades elementales de la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗) Sea Eun espacio de Banach y sea f∈E∗. Se denota por φf:E→Ral funcional lineal φf(x) = ⟨f, x⟩. Como frecorre E∗obtenemos una colecci´on {φf}f∈E∗de aplicaciones de Een R. Se ignora ahora la topolog´ıa usual en E(asociada a || · ||E) y se define una nueva topolog´ıa en el conjunto Ecomo sigue: Definici´on 1.4. La topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗)en E, es la topolog´ıa m´ınima asociada a la colecci´on {φf}f∈E∗(en el sentido de la subsecci´on 1.3.1 con X=E,Yi=R, para cada i, y I=E∗). Observaci´on 1.1. Si una sucesi´on {xn}n∈Nen E converge a x en la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗) se escribir´a xn→x. Para evitar cualquier tipo de confusi´on, a veces se dir´a “xn→xd´ebilmente en σ(E, E∗)”. Con el fin de ser completamente claro a veces se enfatizar´a la convergencia fuerte diciendo “xn→x fuertemente”, significando que ||xn−x|| → 0. En la siguiente proposici´on ([1, p´agina 58 Proposici´on 3.5]) se muestra unas caracterizaciones de la convergengia d´ebil en σ(E, E∗). Proposici´on 1.3. Sea {xn}n∈Runa sucesi´on en E. Entonces: 1. [xn→xd´ebilmente en σ(E, E∗)]⇔[⟨f, xn⟩ → ⟨f, x⟩ ∀ f∈E∗]. 2. Si xn→xfuertemente, entonces xn→xd´ebilmente en σ(E, E∗). 3. Si xn→xd´ebilmente en σ(E, E∗), entonces {||xn||}n∈Rest´a acotada y ||xn|| ≤ l´ım inf ||xn||. 4. Si xn→xd´ebilmente en σ(E, E∗)y si fn→ffuertemente en E∗(i.e.,||fn−f||E∗→0), entonces ⟨f, xn⟩→⟨f, x⟩. CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 16 Se sabe que todo conjunto d´ebilmente cerrado es fuertemente cerrado, pero el rec´ıproco es falso en espacios infinito-dimensionales. No obstante, es muy ´util saber que para conjuntos convexos, d´ebilmente cerrado coincide con fuertemente cerrado, tal y como se muestra en el siguiente teorema ([1, p´agina 60, Teorema 3.7]). Teorema 1.3. Sea C un subconjunto convexo de E. Entonces C es cerrado en la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗)si y solo si es cerrado en la topolog´ıa fuerte. Como consecuencia de este teorema, se obtiene el Teorema de Mazur ([1, p´agina 61, Corolario 3.8]). Proposici´on 1.4. (Teorema de Mazur). Asuma que la sucesi´on {xn}n∈Nconverge d´ebilmente a x. Entonces, existe una sucesi´on {yn}n∈Nconstitu´ıda por combinaciones convexas de los xnque converge fuertemente a x. 1.3.3. Definici´on y propiedades elementales de la topolog´ıa d´ebil ∗,σ(E∗, E) Por ahora, se tienen las siguientes topolog´ıas en E∗: 1. la topolog´ıa (fuerte) usual asociada a la norma de E∗, 2. la topolog´ıa d´ebil σ(E∗, E∗∗), obtenida aplicando a E∗la construcci´on de la subsecci´on 1.3.2. Se va a definir ahora una tercera topolog´ıa en E∗llamada topolog´ıa d´ebil ∗y denotada por σ(E∗, E) (la ∗se emplea aqu´ı para recordar que esta topolog´ıa se define solo en espacios duales). Para cada x∈Ese considera el funcional lineal φx:E∗→Rdefinido por f7→ φx(f) = ⟨f, x⟩. Como xrecorre Eobtenemos una colecci´on {φx}x∈Ede aplicaciones de E∗en R. Definici´on 1.5. La topolog´ıa d´ebil ∗,σ(E∗, E)es la topolog´ıa m´ınima en E∗asociada a la colecci´on {φx}x∈E(en el sentido de la subsecci´on 1.3.1 con X=E∗,Yi=R, para todo ie I=E). Observaci´on 1.2. Si una sucesi´on {fn}en E∗converge a fen la topolog´ıa d´ebil ∗se escribir´a: fn∗ →f. Para evitar cualquier confusi´on algunas veces se enfatizar´a “fn∗ →fen σ(E∗, E)”, “fn→fen σ(E∗, E∗∗) 2 “fn→ffuertemente”. En la siguiente proposici´on ([1, p´agina 63 Proposici´on 3.13]) se muestra unas caracterizaciones de la convergengia d´ebil en σ(E∗, E). Proposici´on 1.5. Sea {fn}una sucesi´on en E∗. Entonces: 1. [fn∗ →fen σ(E∗, E)]⇔[⟨f, xn⟩→⟨f, x⟩ ∀ x∈E]. 2. Si fn→ffuertemente, entonces fn→fen σ(E∗, E∗∗). Si fn→fen σ(E∗, E∗∗), entonces fn∗ →fen σ(E∗, E). 3. Si fn∗ →fen σ(E∗, E)entonces {||fn||} est´a acotada y ||f|| ≤ l´ım inf ||fn||. 4. Si fn∗ →fen σ(E∗, E)y si xn→xfuertemente en E, entonces ⟨fn, xn⟩→⟨f, x⟩. CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 17 1.3.4. Los espacios reflexivos Definici´on 1.6. Sea E un espacio de Banach y sea J:E→E∗∗ la inyecci´on can´onica de E en E∗∗ ( ver definici´on 1.3). El espacio Ese dice que es reflexivo si Jes sobreyectivo, i.e., J(E) = E∗∗. Cuando Ees reflexivo, E∗∗ se identifica normalmente con E. Observaci´on 1.3. Muchos espacios importantes en an´alisis son reflexivos. Claramente, los espacios finito-dimensionales son reflexivos (dado que dim E =dim E∗=dim E∗∗). Los espacios Lpcon 1<p<∞son reflexivos ( ver secci´on 1.4). Sin embargo, espacios igualmente importantes en an´alisis no son reflexivos; por ejemplo: L1yL∞no son reflexivos (ver secci´on 1.4). A continuaci´on, se adjunta un teorema de gran relevancia ([1, p´agina 69, teorema 3.18]). Teorema 1.4. Sea Eun espacio de Banach reflexivo y sea {xn}una sucesi´on acotada en E. Entonces existe una subsucesi´on {xnk}k∈Nque converge en la topolog´ıa d´ebil σ(E, E∗). 1.4. Los espacios Lp Definici´on 1.7. Se dice que la terna (Ω,M, µ)es un espacio medible, si Ωes un conjunto y: 1. Mes un σ−´algebra en Ω, i.e., Mes una colecci´on de subconjuntos de Ωtales que: a)∅ ∈ M. b)A∈M⇒Ac∈ M. c)∪∞ n=1An∈ M, siempre y cuando An∈ M,∀n. ii.µes una medida, i.e., µ:M → [0,+∞]satisface: a)µ(∅)=0. b)µ(∪∞ n=1An) = ∪∞ n=1µ(An)siempre y cunado {An}n∈Nsea una familia de miembros de Mdisjunta y numerable. Los miembros de Mreciben el nombre de conjuntos medibles. Se puede escribir tambi´en |A|en lugar de µ(A). iii.Ωes σ-finita, i.e., existe una familia numerable {Ωn}n∈Nen Mtal que Ω = ∪∞ n=1Ωny µ(Ωn)<∞,∀n. Los conjuntos E∈ M con la propiedad de que µ(E) = 0, se llaman conjuntos de medida nula. Se dice que una propiedad es cierta p.c.t (o para casi todo x∈Ω) si se cumple en todo Ω excepto en un conjunto de medida nula. De ahora en adelante se considerar´a familiar las nociones de funciones medibles yfunciones integrables f: Ω →R. Se denota por L1(Ω, µ) o simplemente L1(Ω) (o incluso L1) al espacio de las funciones integrables de Ω en R. Asimismo se tiene que: ||f||L1=||f||1=ZΩ |f|dµ =ZΩ |f|. Se procede ahora a definir los espacios Lp. CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 18 Definici´on 1.8. Sea p∈Rcon 1<p<∞: Lp(Ω) := {f: Ω →R|f es medible y |f|p∈L1(Ω)}, con: ||f||Lp=||f||p=ZΩ |f(x)|pdµ1/p . Asimismo: L∞(Ω) := {f: Ω →R|f es medible y existe una constante C tal que |f(x)| ≤ Cp.c.t x∈Ω}, con: ||f||L∞=||f||∞=inf{C| |f(x)| ≤ Cp.c.t x∈Ω}. A continuci´on se muestra una desigualdad que ser´a empleada con frecuencia ([1, p´agina 92, teorema 4.6]). Definici´on 1.9. Sea 1≤p≤ ∞; se denota por p′al exponente conjugado de p, i.e., al n´umero que cumple: 1 p+1 p′= 1. Teorema 1.5. (Desigualdad de H¨older.) Sea f∈Lpyg∈Lp′con 1≤p≤ ∞. Entonces fg ∈L1y: Z|fg| ≤ ||f||p||g||p′. Se adjuntan tambi´en una serie de teoremas que ser´an de gran utilidad a lo largo de este documento ([1, p´agina 90, teorema 4.2; p´agina 93, teoremas 4.7 y 4.8; p´agina 94, teorema 4.9; p´agina 95, teorema 4.10]). Teorema 1.6. (Teorema de la convergencia dominada). Sea {fn}n∈Nuna sucesi´on de funciones en L1que satisface: 1. fn(x)→f(x)p.c.t x∈Ω. b. existe una funci´on g∈L1tal que para todo n, |fn(x)| ≤ g(x)p.c.t x∈Ω. Entonces f∈L1y||fn−f||1→0. Teorema 1.7. Lpes un espacio vectorial y || ||pes una norma para cualquier p, 1≤p≤ ∞. Teorema 1.8. Lpes un espacio de Banach para cualquier p, 1≤p≤ ∞. Teorema 1.9. Sea {fn}n∈Nuna sucesi´on en Lpy sea f∈Lptal que ||fn−f||p→0. Entonces, existe una subsucesi´on {fnk}k∈Ny una funci´on h∈Lptal que: 1. fnk(x)→f(x)p.c.t x∈Ω. 2. |fnk| ≤ h(x)p.c.t x∈Ω. Teorema 1.10. Lpes reflexivo para cualquier p, con 1<p<∞. Teorema 1.11. (Teorema de representaci´on de Riesz). Sea 1<p<∞y sea φ∈(Lp)∗. Entonces existe una ´unica funci´on u∈Lp′tal que: ⟨φ, u⟩=Zuf, ∀f∈Lp. Adem´as, ||u||p′=||φ||(Lp)∗. CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 19 Sea p= 1 y sea φ∈(L1)∗. Entonces existe una ´unica funci´on u∈L∞tal que: ⟨φ, u⟩=Zuf, ∀f∈L1. Adem´as, ||u||∞=||φ||(L1)∗. Observaci´on 1.4. En lo que sigue, se pueden hacer las identificaciones siguientes: (Lp)∗≡Lp′, con 1<p<∞. (L1)∗≡L∞. Observaci´on 1.5. Los espacios L1(Ω) yL∞(Ω) no son reflexivos. No obstante, L∞(Ω) cumple la siguiente propiedad de gran importancia. Si Ωes un subconjunto medible de Rny{fn}n∈Nes una sucesi´on acotada en L∞(Ω), entonces existe una subsucesi´on {fnk}k∈Ny un f∈L∞(Ω) tal que fnk→fen la topologia d´ebil ∗ σ(L∞, L1). 1.5. Los espacios de Sobolev W1,p El contenido de esta secci´on se recoge en [1, Cap´ıtulo 9, p´aginas 263 y 264]. Sea Ω ⊂Rnun conjunto abierto y sea p∈Rcon 1 ≤p≤ ∞. Definici´on 1.10. El espacio de Sobolev W1,p(Ω) se define como: W1,p(Ω) = u∈Lp(Ω) | ∃ g1, g2, ..., gN∈Lp(Ω) tales que ZΩ u∂φ ∂xi =−ZΩ giφ∀φ∈C∞ c(Ω),∀i= 1,2, ..., N. Cuando no haya confunsi´on se escribir´a a veces W1,p en vez de W1,p(Ω). Se establece: H1(Ω) = W1,2(Ω). Para u∈W1,p(Ω) se define ∂u ∂xi=gi, y se escribe: ∇u=grad u = ( ∂u ∂x1 ,∂u ∂x2 , ..., ∂u ∂xN ). El espacio W1,p(Ω) esta equipado con la norma: ||u||W1,p(Ω) =||u||p+ N X i=1     ∂u ∂xi   p , o a veces con la norma equivalente (||u||p p+PN i=1 || ∂u ∂xi||p p)1/p (si 1≤p≤ ∞). El espacio H1(Ω) est´a equipado con el producto escalar: (u, v)H1= (u, v)L2+ N X i=1 (∂u ∂xi ,∂v ∂xi )L2=ZΩ uv + N X i=1 ∂u ∂xi ∂v ∂xi . La norma asociada: ||u||H1= (||u||2 2+ N X i=1 || ∂u ∂xi ||2 2)1/2 es equivalente a la norma de W1,2. CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES 20 Observaci´on 1.6. En la definici´on de W1,p,C∞ c(Ω) es el espacio de las funciones test φ, es decir, el espacio de las funciones φque pertenecen a C∞y tienen soporte compacto. Observaci´on 1.7. La teor´ıa de distribuciones aporta un significado a ∂u ∂xi, es un elemento del espacio de las distribucines D′(Ω). Usando el lenguaje de las distribuciones se puede decir que W1,p(Ω) es el conjunto de las funciones u∈Lp(Ω) para el que todas las derivadas parciales ∂u ∂xi, 1≤p≤ ∞ (en el sentido de las distribuciones) pertenecen a Lp(Ω). Proposici´on 1.6. W1,p(Ω) es un espacio de Banach para cada 1≤p≤ ∞.W1,p(Ω) es un espacio reflexivo para cada 1<p<∞. Cap´ıtulo 2 Controlabilidad Sean nymdos n´umeros enteros positivos. En este cap´ıtulo se considera un sistema de control en Rn: ˙x(t) = f(t, x(t), u(t)) (2.1) donde xes la variable estado,ues la variable control yf:R×Rn×Rm→Rnes una funci´on continuamente diferenciable con respecto a (x, u) y localmente integrable con respecto a t. Los controles son funciones del tiempo, medibles y esencialmente acotadas que toman sus valores en alg´un subconjunto medible Ω de Rm(conjunto de las restricciones sobre los controles). En primer lugar, dados un estado inicial x0∈Rny un control u∈L∞(0, T; Ω), existe una una ´unica soluci´on x, absolutamente cont´ınua en I0, de (2.1) tal que x(0) = x0, m´aximamente definida en alg´un intervalo I0de Rconteniendo al 0. N´otese que este teorema generalizado de Cauchy-Lipschitz no es exactamente el usual dado que aqu´ı la din´amica puede ser discontinua (debido al control). Para una versi´on general de existencia y unicidad de este teorema, se recurre a [2, Cap´ıtulo 11, p´aginas 219-225] y [3, Ap´endice C.3, p´agina 474]. La ecuaci´on diferencial (2.1) se tiene para casi todo tdel intervalo maximal. Dado un tiempo T > 0 y un punto inical x0, se dice que el control u∈L∞(0, T; Ω) es admisible siempre y cuando la correspondiente soluci´on x, tal que x(0) = x0, est´a bien definida en todo el intervalo [0, T]. El conjunto de controles admisibles en [0, T] se denota por Ux0,T,Ω. Definici´on 2.1. Sea x0∈RnyT > 0. El conjunto accesible ACCΩ(x0, T)se define como el conjunto de todos los puntos x(T), donde xes una soluci´on del sistema de control (2.1), con x(0) = x0, asociada a alg´un control u∈Ux0,T,Ω. De forma resumida: ACCΩ(x0, T) = {x(T)|˙x(t) = f(t, x(t), u(t)), x(0) = x0, u ∈Ux0,T,Ω}. Definici´on 2.2. El sistema de control (2.1) se dice que es controlable en tiempo Tsi para todo x0de Rnse tiene que ACCΩ(x0, T) = Rn. El objetivo de este cap´ıtulo es estudiar la propiedad de controlabilidad para sistemas de controles lineales y no lineales, con y sin restricciones en los controles. 2.1. Controlabilidad de sistemas lineales Se dice que el sistema de control es lineal siempre que: f(t, x, u) = A(t)x+B(t)u+r(t), con A∈L∞ loc(0, T;Mn×n), B∈L∞ loc(0, T;Mn×m) y r∈L∞ loc(0, T;Rn) (en realidad, L1ser´ıa suficiente). El sistema lineal se dice que es no aut´onomo siempre y cuando las matrices AyB dependan de t, y se dice que es aut´onomo si A(t) = AyB(t) = B, es decir no dependan del 21 CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 22 tiempo. N´otese que, para sistemas de control lineales no hay explosi´on en tiempo finito (i.e., la admisibilidad es cierta en cualquier intervalo). Haciendo referencia a los sistemas lineales aut´onomos, se distinguir´an dos casos: en el primero no habr´a restricciones sobre el control, mientras que en el segundo, si se impondr´an. En cuanto al primer caso, se probar´a un condici´on necesaria y suficiente para la controlabilidad, que se conoce como condici´on de Kalman. En cuanto al segundo caso, tambi´en se contemplar´a un resultado de controlabilidad tomando la condici´on de Kalman como hip´otesis. En la subsecci´on referida a este tipo de sistemas lineales tambi´en se ver´a la noci´on de similitud entre sistemas, junto con un resultado (Teorema de la Forma Normal de Brunovski) que garantiza la similitud entre un sistema cualquiera y un sistema de una forma concreta que se especificar´a m´as adelante. Por otro lado, haciendo menci´on a los sistemas lineales dependientes del tiempo, se demostrar´an dos importantes resultados que garantizar´an la controlabilidad del sistema siempre y cuando no se impongan restricciones sobre el control. Aunque en este caso no se podr´a establecer un teorema que asegure la controlabilidad del sistema si se consideran restricciones sobre el control, s´ı ser´a posible estudiar la geometr´ıa del conjunto accesible sin m´as que imponer al conjunto de las restricciones propiedades como la compacidad y la convexidad del mismo. 2.1.1. Controlabilidad de sistemas lineales aut´onomos En esta secci´on, se asume que A(t) = AyB(t) = B. Caso sin restricciones en el control: condici´on de Kalman El famoso teorema de Kalman ofrece una condici´on necesaria y suficente para sistemas de control lineales aut´onomos sin restricciones en el control. Teorema 2.1. Supongamos que Ω = Rm,x0∈RnyT > 0. El sistema de control ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + r(t), x(0) = x0, es controlable en el tiempo Tsi y solo si la matriz de Kalman (de tama˜no n×mn): K(A, B) := (B, AB, ..., An−1B), es de rango m´aximo igual a n. Observaci´on 2.1. La condici´on de Kalman de arriba no depende ni de T, ni de x0. Esto implica que si un sistema de control lineal aut´onomo es controlable en alg´un tiempo T, comenzando en alg´un x0, entonces tambi´en es controlable en cualquier tiempo, comenzando en cualquier punto. N´otese que la condici´on de Kalman es puramente algebraica y f´acil de comprobar. Prueba.Para cada use tiene un SDO lineal con coeficientes constantes: (˙x(t) = Ax(t) + bu(t), x(0) = 0,(2.2) con bu(t) := Bu(t) + r(t). Se procede a obtener la ´unica soluci´on xdel sistema (2.2) asociada al control uy con valor inicial x(0) = x0. El SDO homogeneo es: ˙x(t) = Ax(t).(2.3) La matriz fundametal asociada al SDO homogeneo (2.3) es FA(t) = etA, donde etA es la exponencial de la matriz A, esto es: etA = +∞ X n=0 (tA)n n!, CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 23 con FA(0) = In. Por tanto, la soluci´on general del SDO homogeneo viene dada por: xh(t) = FA(t)ch, con ch∈Rn. Se busca ahora una soluci´on particular ˆx(t) del SDO no homogeneo (2.2) de la forma ˆx(t) = FA(t)c(t) con c∈W1,∞(0, T;Rn). Para obtener c(t) se impone: ˙ FA(t)c(t) + FA(t)˙c(t) = AFA(t)c(t) + bu(t). Teniendo en cuenta que ˙ FA(t) = AFA(t), se obtiene: FA(t)˙c(t) = bu(t), o equivalentemente ˙c(t) = F−1 A(t)bu(t), con F−1 A(t) = e−tA. Si se fija un punto t0(por ejemplo, t0= 0), se llega a: c(t) = ˆc+Zt 0 F−1 A(s)bu(s)ds. Por tanto: x(t) = xh(t) + ˆx(t) =FA(t)ch+FA(t)ˆc+Zt 0 F−1 A(s)bu(s)ds =FA(t)(ch+ ˆc) + FA(t)Zt 0 F−1 A(s)bu(s)ds =etA(ch+ ˆc) + Zt 0 e(t−s)Abu(s)ds. (2.4) Como x(0) = x0, teniendo en cuenta la expresion anterior, se obtiene x0=ch+ ˆc. En definitiva: x(T) = eTAx0+ZT 0 e(T−s)Abu(s)ds =eTAx0+ZT 0 e(T−s)Ar(s)ds+ZT 0 e(T−s)ABu(s)ds =eTAx0+ZT 0 e(T−s)Ar(s)ds+LTu, donde: LT:L∞(0, T;Rm)−→ Rn u7−→ LTu:= ZT 0 e(T−s)ABu(s)ds. Este operador satisface las siguientes propiedades: Linealidad: se tiene por la linealidad de la integral. En efecto, para u, v ∈L∞(0, T;Rm) y α, β ∈Rse obtiene: LT(αu +βv) = ZT 0 e(T−s)AB(αu(s) + βv(s))ds =αZT 0 e(T−s)ABu(s)ds+βZT 0 e(T−s)ABv(s)ds =αLTu+βLTv. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 30 Teniendo en cuenta estos dos puntos, se prueba ahora que 0 ∈˚ K0,T,r. En primer lugar, se toma {e1, e2, ..., en}una base cualquiera de Rny se define: e0:= − n X i=1 ei. Gracias a la Condici´on de Kalman, para cada i∈ {0, . . . , n}, existe un control ui∈L∞(0, T;Rm) tal que xies soluci´on del sistema: (˙xi(t) = Axi(t) + Bui(t), xi(0) = 0, xi(T) = ei. Ahora bien, como 0 ∈˚ Ω, se toma µsuficientemente grande tal que: u′ i:= 1 µui∈L∞(0, T;B(0, r)),∀i∈ {0,1, . . . , n}. Luego, par cada i∈ {0, .., n}, se tiene: e′ i:= 1 µei=x′ i(T)∈K0,T,r, donde: (˙x′ i(t) = Ax′ i(t) + Bu′ i(t), x′ i(0) = 0. Sean ahora ϵ1, ..., ϵn, tales que 0 ≤ϵi<1 2(n+1) para todo i∈ {1, ..., n}. Se tiene entonces que: n X i=1 ϵie′ i= n X i=1 1−ϵ n+ 1 −1−ϵ n+ 1 +ϵie′ i= n X i=1 1−ϵ n+ 1 +ϵie′ i+1−ϵ n+ 1e′ 0, con ϵ= n X i=1 ϵin´otese que ϵ < 1 2. Se trata de una combinaci´on convexa. En efecto: n X i=1 1−ϵ n+ 1 +ϵi+1−ϵ n+ 1 =1−ϵ n+ 1n+ϵ+1−ϵ n+ 1 =1−ϵ n+ 1(n+ 1) + ϵ= 1 −ϵ+ϵ= 1. En definitiva, como e′ i∈K0,T,r para todo i∈ {0, ..., n}, y dicho conjunto es convexo, se tiene que: ϵ1 µe1+... +ϵn µen∈K0,T,r,para todo 0 ≤ϵi<1 2(n+ 1). Asimismo, como K0,T,r es sim´etrico, se llega a que: ϵ1 µe1+... +ϵn µen∈K0,T,r,para todo |ϵi|<1 2(n+ 1), por lo que 0 ∈˚ K0,T,r. Esto concluye la demostraci´on. Proposici´on 2.3. As´umase que r= 0, que 0∈˚ Ω, que la condici´on de Kalman se verifica y que todos los autovalores de Atienen parte real negativa. Entonces, para cada x0∈Rn, existe un tiempo T > 0y un control u∈L∞(0, T; Ω) tal que la soluci´on de ˙x(t) = Ax(t)+Bu(t), x(0) = x0, satisface x(T)=0. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 31 Prueba.En primer lugar, aplicando la definici´on de matriz de Kalman al par (−A, B) se llega a: K(−A, B)=(B, −AB, ..., (−1)n−1An−1B= (−1)n(n−1) 2K(A, B). Por hip´otesis, rg(K(A, B)) = n, por lo que tambi´en se tiene que rg(K(−A, B)) = n. Como 0∈˚ Ω, si se aplica la proposici´on anterior al punto inicial 0, se tiene que para un T1>0 dado, existe r > 0 tal que: B(0, r)⊂A− CCΩ(0, T1), donde A− CCΩ(0, T1) := {x−(T1) : ˙x−(t) = −Ax−(t) + Bu−(t), x−(0) = 0, u−∈L∞(0, T1; Ω)}. En segundo lugar, se tiene tambi´en por hip´otesis que todos los autovalores de Atienen parte real negativa. Por consiguiente, aplicando un resultado que se ver´a con posterioridad en el seguiente capitulo, se sabe que el punto 0 es asint´oticamente estable, es decir, todas las soluciones del sistema: (˙x+(t) = Ax+(t), x+(0) = x0, (aqu´ı se tiene el sistema original con u= 0) convergen a 0 cuando t→+∞. Por tanto, teniendo en cuenta estos dos puntos, se deduce que existe T0>0 (lo suficientemente grande) tal que x+(T0)∈B(0, r) y existe u−∈L∞(0, T1; Ω) tal que la soluci´on x−del sistema ˙x−(t) = −Ax−(t) + Bu−(t) con x−(0) = 0 satisface x−(T1) = x+(T0). Si se define ahora T:= T1+T0y se considera el sistema: (˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x0, para todo tiempo tdel intervalo [0, T] y u∈L∞(0, T; Ω) dado por: u(t) = (0,si t∈[0, T0], −u−(T−t),si t∈[T0, T], Lo primero n´otese que x(t) = x+(t) en el intervalo [0, T0] y por lo tanto verifica la ecuaci´on arriba. En segundo lugar, observe que x(t) = x−(T−t) en el intervalo [T0, T ]. En efecto, x(T0) = x−(T1) = x+(T0) y x(T) = x−(0) = 0. Por otro lado, en el intervalo [T0, T], tenemos: ˙x(t) = −˙x−(T−t) =Ax−(T−t)−Bu−(T−t) =Ax(t) + Bu(t). Esto concluye la prueba. Sistemas similares En esta secci´on se va a ver el efecto de un cambio de bases en sistemas de control lineales. Se empezar´a definiendo c´uando dos sistemas de control lineales y aut´onomos son similares y seguidamente, se adjuntar´an dos resultados. El segundo es bien conocido y recibe el nombre de Teorema de la forma normal de Brunovski. Establece la similitud entre un sistema de control lineal y aut´onomo cualquiera y otro, cuyas matrices tienen una forma esp´ecifica que se mostrar´a posteriormente. Este teorema ser´a de gran utilidad cuando se estudie la estabilizaci´on de sistemas lineales aut´onomos en el siguiente Cap´ıtulo, pues se emplear´a para probar otro resultado de gran importancia. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 32 Definici´on 2.3. Se dice que los sistemas de control lineales ˙x1(t) = A1x1+B1u1y˙x2(t) = A2x2+B2u2son similares siempre que exista P∈GLn(R), tal que A2=PA1P−1yB2=P B1. Entonces se tiene que x2=Px1yu2=u1. Tambi´en se dice que los pares (A1, B1)y(A2, P2) son similares. Observaci´on 2.2. La propiedad de Kalman es intr´ınseca, es decir, (B2, A2B2, ..., An−1 2B2) = P(B1, A1B1, ..., An−1 1B1). En efecto: B2=PB1, A2B2=PA1P−1PB1=PA1B1, A2 2B2=PA1P−1PA1B1=PA2 1B1, ... An−1 2B2=PAn−1 1B1. Por consiguiente: (B2, A2B2, ..., An−1 2B2) =(PB1, PA1B1, ..., PAn−1 1B1) = P(B1, A1B1, ..., An−1 1B1) En particular, el rango de la matriz de Kalman es invariante bajo una transformaci´on similar, ya que si la matriz K(A1, B1)tienen rango r, entonces la matriz K(A2, B2)tambi´en tiene rango r, por ser Puna matriz invertible. Proposici´on 2.4. Sea A una matriz de tama˜no n×n, y sea B una matriz de tama˜no n×m. Entonces el par (A,B) es similar al par (A’,B’), con: A′=A′ 1A′ 3 0A′ 2y B′=B′ 1 0, donde A1es de tama˜no r×r,B1es de tama˜no r×m, y r es el rango tanto de K(A,B) como de K(A′ 1, B′ 1). Observaci´on 2.3. En otras palabras, este resultado dice lo siguiente. Denotando por y=y1 y2 las nuevas coordenadas, tales que, y=Px, con y1de dimensi´on r e y2de dimensi´on n-r, el sistema de control en las nuevas coordenadas se escribe como: ˙y1=A′ 1y1+B′ 1u+A′ 3y2, ˙y2=A′ 2y2. Dado que el par (A′ 1, B′ 1)satisface la condici´on de Kalman, se sigue que la parte del sistema en y1es controlable: se llama parte controlable del sistema. La parte en y2es no controlable y se llama la parte no controlable del sistema. Prueba.En primer lugar, se asume que el rango de K(A, B) es menor que n(en caso contrario, no habr´ıa nada que probar). En segundo lugar, se considera el subespacio generado por las columnas de la matriz de Kalman. A este subespacio se le denota por F. Por consiguiente, dim F = rg(K(A, B)) = r. Tambi´en se considera el subespacio Gde Rn, tal que Rn=F⊕G. Sean B1={f1, ..., fr}una base de FyB2={fr+1, ..., fn}, una base de G, se tiene en cuenta la uni´on de dichas bases, denotada por B=B1∪ B2. Sea Pla matriz de cambio de base de B={f1, ..., fn}a la base can´onica de Rn, se tiene que: Pfi=ei, i = 1, ...n, CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 33 o equivalentemente: P−1ei=fi, i = 1, ...n, es decir P−1= (f1|...|fn). En tercer lugar, el subespacio Fpuede escribirse de la siguiente forma: F={y∈Rn:y= n−1 X k=0 αkAkBx, x ∈Rm, αk∈R, k = 0, ..., n −1}. Sea g:Rn−→ Rnel endomorfismo inducido por la matriz cuadrada de tama˜no n×n, es decir: x∈Rn7−→ g(x) := Ax. Se tiene que F es invariante por g, esto es, dado y∈F,g(y)∈F. En efecto, sea y∈F, existen x∈Rmyα0, ..., αn1∈Rtales que y=Pn−1 k=0 αkAkBx. Entonces, si se emplea el teorea de Hamilton-Cayley se llega a que: g(y) = Ay =A n−1 X k=0 αkAkBx!= n−1 X k=1 αk−1AkBx + n−1 X k=0 αn−1akAkBx = n−1 X l=0 βlAlBx, donde β0:= αn−1a0yβl:= αl−1+αn−1alcon l= 1, ..., n −1. Por tanto g(y)∈FyFes invariante por g. En cuarto lugar, se estudia la forma que tiene la matriz de grespecto de la base Bde Rn. Para ello, hay que calclular las coordenadas respecto de Bde las im´agenes por gde los vectores de la base B. Se observa que: g(fj) = Pr i=1 bijfi(j= 1, ..., r) por ser Finvariante por g. g(fj) = Pn i=1 cijfi(j=r+ 1, ..., n). Por tanto, la matriz de grespecto de la base Btiene la forma: A′=PAP−1=A′ 1A′ 3 0A′ 2. Por otro lado, se define h:Rm→Rn, dado por: v7→ h(v) := Bv. Como h(Rm)⊂F, se llega a que: B′=PB =B′ 1 0. Finalmente, teniendo en cuenta observaci´on 2.2 est´a claro que el rango de K(A′ 1.B′ 1) es igual al rango de K(A, B) Teorema 2.2. (La forma normal de Brunovski). Sea A una matriz de tama˜no n×ny sea B una matriz de tama˜no n×1(n´otese que aq´ı m=1), tales que (A, B)satisface la Condici´on de Kalman. Entonces el par (A, B)es similar al par (˜ A, ˜ B), con: ˜ A=     0 1 · · · 0 . . ........ . . 0· · · 0 1 −an−an−1· · · −a1     y˜ B=     0 . . . 0 1      donde los coeficientes aison aquellos del polinomio caracter´ıstico de A, es decir χA(X) = Xn+ a1Xn−1+... +an−1X+an. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 34 Observaci´on 2.4. Este resultado quiere decir que, en las nuevas coordenadas, el sistema es equivalante a la ecuaci´on diferencial escalar de orden n con control escalar x(n)(t)+a1x(n−1)(t)+ ... +anx(t) = u(t). Prueba.En primer lugar, sup´ongase que existe una matriz P∈GLn(R) tal que el par (A, B) es similar al par ( ˜ A, ˜ B). Entonces se tendr´ıa por definici´on que: ˜ A=PAP−1⇒A=P−1˜ AP, ˜ B=PB ⇒B=P−1˜ B. Tambi´en se tendr´ıa una base B={f1, ..., fn}de Rnen la que el par (A, B) tomar´ıa la forma (˜ A, ˜ B), de modo que Pser´ıa la matriz del cambio de la base Ba la base can´onica de Rn, esto es: Pfi=ei, i = 1, ..., n ⇔P−1ei=fi, i = 1, ..., n ⇒P−1= (f1|...|fn). Por tanto se tendr´ıa: B=P−1˜ B=fn, Af1=P−1˜ APf1=P−1˜ Ae1=−anfn, Afi=P−1˜ APfi=P−1˜ Aei=fi−1−an−i+1fn, i = 2, ..., n, de donde se podr´ıa definir los vectores de la base Bcomo siguen: fn=B, fi=Afi+1 +an−ifni=n−1, n −2..., 1. El conjunto {f1, ..., fn}ser´ıa una base de Rn, dado que: Span{fn}=Span{B}, Span{fn, fn−1}=Span{B, AB}, ... Span{fn, ..., f1}=Span{B, ..., An−1B}=Rn. Esto ´ultimo se tiene gracias a la Condici´on de Kalman. Faltar´ıa probar que Af1=−anfnteni´endose as´ı el resultado. En efecto: f1=Af2+an−1fn, por lo que: Af1=A2f2+an−1Afn =A2(Af3+an−2fn) + an−1Afn =A3f3+an−2A2fn+an−1Afn ... =Anfn+a1An−1fn+... +an−1Afn = (An+a1An−1+... +an−1A)fn =−anfn, dado que por el Teorema de Hamilton-Cayley se tiene que An+a1An−1+... +anI= 0. En esta base, el par (A, B) toma la forma ( ˜ A, ˜ B), concluyendo as´ı la prueba. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 35 Observaci´on 2.5. Este teorema puede generalizarse al caso m > 1, pero la forma normal no es tan simple. De forma m´as precisa, si el par (A, B)satisface la condici´on de Kalman, entonces es similar a alg´un par (˜ A, ˜ B)tal que: ˜ A=      ˜ A1∗ · · · ∗ 0˜ A2.... . . . . .......∗ 0· · · 0˜ As      ,˜ BG =   ˜ B1 . . . ˜ Bs   , donde las matrices ˜ Aitienen la forma de la matriz ˜ Adel teorema anterior, Ges una matriz de tama˜no m×s, y para cada i∈ {1, ..., s}, todos los coeficientes de ˜ Bison iguales a 0excepto aquel en la ´ultima fila, columna i-´esima, que es igual a 1. 2.1.2. Controlabilidad de sistemas lineales dependientes del tiempo En esta secci´on se va a estudiar la controlabilidad de los sistemas lineales dependientes del tiempo sin resctricciones en los controles: (˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + r(t), x(0) = 0. Para ello, se van dar dos resultados. En el primero se dar´a una condici´on necesaria y suficiente; mientras que en el segundo, mediante una serie de hip´otesis, de entre las cuales, una es una comprobaci´on algebraica, se podr´a asegurar la controlabilidad del sistema. Tambien se llevar´a a cabo un an´alisis de la geometr´ıa de los conjuntos accesibles cuando los controles est´an restringidos. En lo que sigue, se denota por Mal resolvente omatriz fundamental del sistema lineal ˙x(t) = A(t)x(t), esto es, la ´unica soluci´on del sistema lineal ˙ M(t) = A(t)M(t), M(0) = In. N´otese que, en el caso aut´onomo A(t) = A, se tiene M(t) = etA. Pero en general, el resolvente no puede calcularse de forma expl´ıcita. Teorema 2.3. Suponga que Ω = Rm(no hay restricciones en el control). El sistema de control ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + r(t)es controlable en tiempo T (desde cualquier punto inicial x0) si y solo si la matriz Gramiana: GT:= ZT 0 M(t)−1B(t)B(t)⊤(M(t)−1)⊤dt es invertible. Observaci´on 2.6. N´otese que esta condici´on depende de Tpero no del punto inicial. En otras palabras, si un sistema de control lineal no aut´onomo es controlable en tiempo T, desde el punto inicial x0, entonces es tambi´en controlable desde cualquier otro punto inicial (pero con el mismo tiempo T). Observaci´on 2.7. Se tienen las siguientes propiedades: 1. GT=G⊤ T. 2. ψ⊤GTψ=⟨GTψ, ψ⟩=ZT 0 |B(t)⊤(M(t)−1)⊤ψ|2dt ≥0,∀ψ∈Rn. Esto es, GTes una matriz sim´etrica no-negativa. La condici´on de controlabilidad de arriba dice que el sistema es controlable si y solo si GTes definida positiva. Por un argumento de diagonalizaci´on, esto es equivalente a decir que existe CT>0(el autovalor m´as peque˜no de GT) tal que: CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 36 ZT 0 |B(t)⊤(M(t)−1)⊤ψ|2dt ≥CT|ψ|2,∀ψ∈Rn.(2.5) Esto es lo que se conoce como desigualdad de observabilidad. Observaci´on 2.8. Aunque no se desarrollar´a aqu´ı una teor´ıa general de observabilidad, puede notarse que esta condici´on es apropriada para generalizarse al conjunto infinito-dimensional y ser´a un intrumento de importancia en el llamado m´etodo de HUM. Aunque no se ha definido el concepto de observaabilidad, el sistema es controlable en tiempo Tsi y solo si, la desigualdad de observabilidad de arriba se mantiene: esto se conoce como la dualidad entre controlabilidad y observabilidad. Prueba.Sea x0∈Rnarbitrario. Para obtener la soluci´on xdel sistema asociada a un control uy con valor inicial x(0) = x0se sigue un rozanomaiento an´alogo al empleado en la prueba del Teorema 2.1, teniendo en cuenta ahora que la matriz fundamental asociada al SDO homog´eneo ˙x(t) = A(t)x(t), tiene una forma gen´erica Mcon ˙ M(t) = A(t)M(t), M(0) = In. Por tanto, cualquier soluci´on del sistema de control, asociada a alg´un control udesde el punto x0, satisface en el tiempo T: x(T) = ˆx+M(T)ZT 0 M(t)−1B(t)u(t)dt, donde ˆx=M(T)x0+RT 0M(t)−1r(t)dt. Se hace primero la implicaci´on de derecha a izquierda. Sup´ongase que la matriz gramiana GT es invertible. Hay que probar que el sistema de control es controlable desde x0en tiempo T, esto es, ACCΩ(x0, T) = Rncon Ω = Rm. Sea x1∈Rnun punto objetivo. Se tiene que buscar un control apropiado u, de forma que x(T) = x1. Se propone entonces u(t) = B(t)⊤(M(t)−1)⊤ψ, con ψ∈Rna determinar para que x(T) = x1. Si se sustituye dicho control en la expresi´on de x(T) se tiene que x(T) = ˆx+M(T)GTψ, y dado que GTes invertible, es suficiente tomar ψ=G−1 TM(T)−1(x1−ˆx). Reciprocamente, se procede por reducci´on al absurdo. Sup´ongase que GTno es invertible. Entonces, por la Observaci´on 2.7 se tiene que existe ψ∈Rn\ {0}tal que ψ⊤GTψ= 0 y por tanto, RT 0|B(t)⊤M(t)−1⊤ψ|dt = 0, de donde se obtiene que ψ⊤M(t)−1B(t) = 0 para casi todo t∈[0, T]. Como consecuencia, se llega a que ψ⊤RT 0M(t)−1B(t)u(t)dt = 0 para cada control u∈L∞(0, T;Rm). Por consiguiente, ψ⊤M(T)−1(xu(T)−ˆx) = 0, que significa que xu(T) pertenece a alg´un subespacio af´ın propio de Rn, mientras uvar´ıa. Por tanto, el sistema no es controlable, llegando as´ı a un absurdo. Observaci´on 2.9. Este teorema puede probarse de una forma m´as f´acil y natural con el principio m´aximo de Pontryagin (desde un punto de vista del control ´optimo). En realidad, el control usado en la prueba de arriba es ´optimo para la norma de L2. La prueba de arriba tambi´en conduce, en el caso infinito-dimensional, al m´etodo de HUM. Observaci´on 2.10. Si el sistema es aut´onomo (A(t) = A, B(t) = B) entonces M(t) = etA y entonces: GT=ZT 0 e−tABB⊤e−tA⊤dt. En este caso, dado que la condici´on de controlabilidad (Kalman) no depende del tiempo, se sigue que GT1es invertible si y solo si GT2es invertible, que no es evidente por la forma integral de arriba. Se proporciona ahora un ´ultimo teorema que generaliza la condici´on de Kalman en el caso no aut´onomo. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 37 Teorema 2.4. Suponga que Ω = Rm(no hay restricciones en el control). Considere el sistema de control: ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + r(t), donde t→A(t)yt→B(t)son de clase C∞. Se define la secuencia de matrices B0(t) = B(t), Bi+1(t) = A(t)Bi(t)−˙ Bi(t), i ∈N. Si existe ˜ t∈[0, T]tal que Span{Bi(˜ t)v|v∈Rm, i ∈N}=Rn,(2.6) entonces el sistema es controlable en tiempo T. Observaci´on 2.11. Si t→A(t)yt→B(t)son adem´as anal´ıticas (i.e., expandibles en una serie de potencias convergente para cualquier t), entonces el sistema es controlable para cualquier T si y solo si (2.6) se cumple para todo t∈[0, T]. Prueba.Por reducci´on al absurdo, se supone que el sistema no es controlable en tiempo T. Entonces, por el Teorema 2.3, se tiene que la matriz gramiana, GT, no es invertible, esto es: ∃y∈Rn\ {0} | GTy= 0, y en particular: ∃y∈Rn\ {0} | y⊤GTy= 0. Por tanto: ZT 0 ||B(t)⊤M(t)−1⊤y||2dt= 0. Ahora bien, como B∈C∞([0, T]; Mn×m(R)) (por hip´otesis) y M∈C1([0, T]; L(Rn)) (el resolvente es una aplicaci´on continua) se sigue que: y⊤M(t)−1B(t)=0∀t∈[0, T].(2.7) Asimismo, el resolvente es una matriz invertible. En efecto, como M(t) es tal que cumple ˙ M(t) = A(t)M(t), M(0) = In, usando la f´ormula de Abel-Liouville se obtiene: det M(t) = det(M(0))eZt 0 Tr A(s)ds = det IneZt 0 Tr A(s)ds =eZt 0 Tr A(s)ds = 0,∀t∈[0, T], donde Tr Aes la traza de la matriz A. Por tanto, M(t) es invertible y existe M(t)−1. Si se toma ahora t=˜ ty se tiene en cuenta la igualdadd (2.7), en la que se incluye M(˜ t)−1M(˜ t) = In, se tiene: y⊤M(˜ t)−1M(˜ t)M(t)−1B(t)=0,∀t∈[0, T], y defininendo z:= (M(˜ t)−1)⊤y, no nulo, se obtiene de forma equivalente: z⊤M(˜ t)M(t)−1B(t)=0,∀t∈[0, T]. Por definici´on B0(t) = B(t). Entonces: z⊤M(˜ t)M(t)−1B0(t) = 0,∀t∈[0, T], y en particular, tomando t=˜ t: z⊤B0(˜ t)=0. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 38 Derivando respecto a t, se llega a: z⊤M(˜ t)[ ˙ M(t)−1B0(t) + M(t)−1˙ B0(t)] = 0,∀t∈[0, T].(2.8) Se obtiene a continuaci´on una expresi´on para ˙ M(t)−1. Para ello, se parte de la igualdad In= M(t)−1M(t). Si se deriva respecto al tiempo, y se tiene en cuenta de nuevo que ˙ M(t) = A(t)M(t), M(0) = In, se consigue lo siguiente: 0 = ˙ M(t)−1M(t) + M(t)−1˙ M(t) =˙ M(t)−1M(t) + M(t)−1A(t)M(t) = [ ˙ M(t)−1+M(t)−1A(t)]M(t), y como M(t)= 0 para todo t∈[0, T], se llega a que: ˙ M(t)−1=−M(t)−1A(t). Por consiguiente, sustituyendo la expresi´on obtenida para ˙ M(t)−1en (2.8): z⊤M(˜ t)M(t)−1[−A(t)B0(t) + ˙ B0(t)] = 0,∀t∈[0, T]. y en particular, tomando t=˜ tse llega a que: z⊤[−A(˜ t)B0(˜ t) + ˙ B0(˜ t)] = 0 ⇔z⊤B1(˜ t)=0. En definitiva, se tiene que: B0(˜ t)⊤z= 0 y B1(˜ t)⊤z= 0. Por inducci´on, se puede llegar a que: Bi(˜ t)⊤z= 0,∀i∈N, obteniendo un absurdo, ya que se tiene z∈Rn\ {0}tal que: Span{Bi(˜ t)⊤z, i ∈N}= 0. 2.1.3. Geometr´ıa de los conjuntos accesibles No hay afirmaciones simples que aseguren la controlabilidad de los sistemas de control no aut´onomos bajo restricciones en el control. En realidad bajo restricciones en el control, se puede esbozar una imagen clara de las propiedades de controlabilidad estudiando la geometr´ıa del conjunto accesible, tal y como se ver´a a continuaci´on. Teorema 2.5. Se considera el sistema de control en Rn ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + r(t), con controles utomando sus valores en un subconjunto compacto y convexo Ωde Rm. Sea x0∈Rn. Para cada T≥0, el conjunto accesible ACCΩ(x0, T)es compacto, convexo y var´ıa continuamente respecto a t. Observaci´on 2.12. Aqu´ı se establece la continuidad en tiempo gracias a la topolog´ıa de Hausdorff. Observaci´on 2.13. N´otese que la convexidad del conjunto accesible se sigue cumpliendo aunque Ωno se asuma que sea convexo. Este punto sin embargo no es obvio y se sigue del lema de Lyapunov (asimismo basado en el teorema de Krein-Milman en dimensi´on infinita). En realidad, esta discusi´on conduce a que ACCΩ(x0, T) = ACCConv(Ω) (x0, T), donde Conv(Ω) es la envoltura convexa de Ω. En particular se tiene que ACC∂Ω(x0, T) = ACCΩ(x0, T), donde ∂Ωes la frontera de Ω. Este resultado ilustra el llamado principio bang-bang. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 39 Prueba.Se puede definir ACCΩ(x0, T) como sigue: ACCΩ(x0, T) = M(T)x0+ZT 0 M(T)M(t)−1r(t)dt +LT(L∞(0, T; Ω)), donde LT:L∞(0, T;Rm)−→ Rnes un operador lineal y continuo (esto se puede ver de forma an´aloga a como se hizo en la demostraci´on del Teorema 2.1, pero usando una matriz fundamental gen´erica M(t)) definido como: LTu=ZT 0 M(T)M(t)−1B(t)u(t)dt. Convexidad. Se va a comprobar que ACCΩ(x0, T) es convexo, es decir, sean xu1(T), xu2(T)∈ACCΩ(x0, T) (con ui∈L∞(0, T; Ω), i = 1,2 controloes admisibles), entonces: λxu1(T)+(1−λ)xu2(T)∈ ACCΩ(x0, T) (con λ∈(0,1)). En efecto, teniendo en cuenta la linealidad de operardor LT, se tiene que: λxu1(T) + (1 −λ)xu2(T) = M(T)x0+ZT 0 M(T)M(t)−1r(t)dt +λLTu1+ (1 −λ)LTu2 =M(T)x0+ZT 0 M(T)M(t)−1r(t)ds +LT(λu1+ (1 −λ)u2). Si se comprueba ahora que λu1+ (1 −λ)u2∈L∞(0, T; Ω) (es decir, que L∞(0, T ; Ω) es convexo), se tendr´a la convexidad de ACCΩ(x0, T). En efecto, como para i= 1,2 se tiene que, ui(t)∈Ω para todo t∈[0, T]\Eicon |Ei|= 0 y adem´as, Ω es convexo, se llega a que λu(t) + (1 −λ)v(t)∈Ω para todo t∈[0, T]\Econ E=E1∪E2. Por consiguiente λu1+ (1 −λ)u2∈L∞(0, T; Ω). Compacidad. Se prueba ahora la compacidad de ACCΩ(x0, T). Sea {x1 n}n∈Nuna sucesi´on de puntos de ACCΩ(x0, T). Para cada n∈N, sea un∈L∞(0, T; Ω) un control que dirige al sistema desde x0ax1 nen tiempo T, y sea xnla correspondiente trayecctoria. Se tiene que: x1 n=xn(T) = M(T)x0+ZT 0 M(T)M(t)−1(B(t)un(t) + r(t))dt. (2.9) En primer lugar, se tiene que la sucesi´on {un}n∈Nest´a acotada en L2(0, T;Rm). En efecto, Como Ω es un subespacio compacto de Rm, por el Teorema de Heine-Borel, Ω es cerrado y acotado. Por tanto: ∃M > 0| |un| ≤ M, ∀n∈N, y con ello: ||un||2 L2(0,T;Rm)=ZT 0 |un(t)|2dt ≤M2T∀n∈N. En segundo lugar, como L2(0, T;Rm) es un espacio reflexivo y la sucesi´on {un}n∈Nest´a acotada en dicho espacio, por el Teorema 1.4 se tiene que existe una subsucesi´on {unk}k∈N de {un}n∈Ntal que: unk→u(d´ebilmente en L2(0, T;Rm), para alg´un u∈L2(0, T;Rm). Teniendo en cuneta la caracterizaci´on de convergencia d´ebil (Proposici´on 1.3), se tiene de forma equivalente que: ⟨f, unk⟩→⟨f, u⟩(en R)∀f∈(L2(0, T;Rm))∗. CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 46 2.2.1. Geometr´ıa de los los conjuntos accesibles Se tiene el siguiente resultado, similar al Teorema 2.5. Teniendo en cuenta una serie de hip´otesis expuestas a continuaci´on, se va a probar que el conjunto accesible es compacto y var´ıa continuamente en el tiempo. Teorema 2.8. Sea x0∈Rny sea T > 0. Suponga que: Ωes compacto; existe un b > 0tal que, para cada control admisible u∈Ux0,T,Ω, se tiene que |xu(t)| ≤ b para cada t∈[0, T]; existe un c > 0tal que |f(t, x, u)| ≤ cpara cada t∈[0, T ], para cada x∈Rntal que |x| ≤ b y para cada u∈Ω; el conjunto de velocidades V(t, x) = {f(t, x, u)|u∈Ω}es convexo, para todo (t, x); f es globalmente Lipschitz en x en [0, T]ׯ B(0, b)×Ω. Entonces, el conjunto ACCΩ(x0, t)es compacto y var´ıa continuamente en tiempo en [0, T ]. Observaci´on 2.20. La segunda hip´otesis (acotaci´on uniforme de trayectorias) se hace para evitar la exploxi´on en tiempo finito de las trayectorias. Se satisface por ejemplo si la din´amica f es sublineal en el infinito. La tercera hip´otesis se hace por motivos t´ecnicos en la prueba, porque al principio se asume que fes localmente integrable, solo, respecto a t. La hip´otesis de convexidad de V(t, x)se asume por ejemplo para sistemas de control afines (esto es, siempre y cuando f es af´ın en u) y si Ωes adem´as convexo. Prueba.En primer lugar, se va a comprobar que V(t, x) es compacto para todo (t, x), es- to es, dada una sucesi´on {f(t, x, un)}n∈N⊂V(t, x), hay que ver que existe una subsucesi´on {f(t, x, unk)}k∈N⊂V(t, x), tal que f(t, x, unk)→f(t;x, u) en Rn, con u∈Ω. Por la definici´on del conjunto V(t, x), se tiene que la sucesi´on {un}n∈N⊂Ω, pero como Ω es compacto, se obtiene una subsucesi´on {unk}k∈N⊂Ω tal que unk→uen Rm, con u∈Ω. Pero como fes una funci´on C1en (x, u), en particular es continua, por lo que se tiene que f(t, x, unk)→f(t;x, u) en Rn, con u∈Ω, tal y como se buscaba. En segundo lugar, se va a probar que ACCΩ(x0, t) es compacto para cada t∈[0, T]. Para ello, es suficiente ver que para cada sucesi´on de puntos {xn}n∈Nde ACCΩ(x0, t) se puede extraer una subsucesi´on convergente. Para cada natural n, sea un∈Ux0,t,Ωun control que dirija al sistema desde x0axnen tiempo ty sea xn: [0, t]→Rnla correspondiente trayectoria, se tiene que: xn=xn(t) = x0+Zt 0 f(s, xn(s), un(s))ds. Se define ahora gn(s) := f(s, xn(s), un(s)). Por hip´otesis se tiene lo siguiente: como un∈Ux0,T,Ωpara todo n∈Ny [0, t]⊂[0, T], entonces ||xn(s)|| < b para todo s∈[0, t]. como s∈[0, t]⊂[0, T], un(s)∈Ω para todo n∈Nyxn(s) es tal que ||xn(s)|| ≤ bpara todo n∈N, entonces |gn(s)|=|f(s, xn(s), un(s)| ≤ c. En conclusi´on, |gn(s)| ≤ cpara todo s∈[0, t]. De aqu´ı se deduce que la sucesi´on de funciones {gn(·)}n∈Nest´a acotada en L∞(0, t;Rn). Ahora bien, por la Observaci´on 1.5, como {gn(·)}n∈N est´a acotada en L∞(0, t;Rn), se tiene que existe una subsucesi´on {gnk(·)}k∈Nde {gn(·)}n∈Ntal que: gnk ∗ →g(d´ebilmente ∗en L∞(0, t;Rn)), CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 47 para alg´un g∈L∞(0, t;Rn). Equivalentemente, teniendo en cuenta la identificaci´on L∞(0, t;Rn)≡ (L1(0, t;Rn))∗y la caracterizaci´on de la convergencia d´ebil ∗(Proposici´on 1.5) ⟨gnk, v⟩ → ⟨g, v⟩,∀v∈L1(0, t;Rn). Y de nuevo, de forma equivalente, teniendo ahora en cuenta el segundo punto del Teorema 1.11 (Teorema de representaci´on de Riesz para p= 1) se llega a que: Zt 0 gnk(s)v(s)ds →Zt 0 g(s)v(s)ds (en R)∀v∈L1(0, t;Rn).(2.11) Para cada τ∈[0, t], se define ahora x(τ) := x0+Rτ 0g(s)ds. Por un lado se tiene que al ser guna funci´on definida en el intervalo [0, t] e integrable Lebesgue, xes absolutamente continua en [0, t]. Por otro lado, por la caracterizaci´on de la convergencia d´ebil ∗(2.11), si se toma 1 ∈L1(0, t;Rn) se llega a que: Zt 0 gnk(s)1ds →Zt 0 g(s)1ds (en R) de donde se concluye que la sucesi´on de funciones {xnk}n∈Nconverge puntualmente a x. El objetivo ahora es probar que xes una trayectoria asociada a un control uque toma sus valores en Ω, es decir, probar que g(s) = f(s, x(s), u(s)) para casi todo s∈[0, t]. Para ello, para todo natural ky para casi todo s∈[0, t], se define hnk(s) := f(s, x(s), unk(s)) junto con el siguiente conjunto: V={h∈L2(0, t;Rn)|h(s)∈V(s, x(s)) p.c.t s ∈[0, t]}. N´otese que hnk∈ V para cada entero k. A todo esto se suma que el conjunto Ves convexo y cerrado en L2(0, t;Rn) para la topolog´ıa fuerte. Se ve a continuaci´on: Convexidad. Dados h1, h2∈ V y un λ∈[0,1], hay que ver que λh1+ (1 −λ)h2∈ V, o equivalentemente que λh1+ (1 −λ)h2∈L2(0, t;Rn) y λh1(s) + (1 −λ)h2(s)∈V(s, x(s)) p.c.t s∈[0, t]. Por la definici´on del conjunto V, se tiene para cada i= 1,2, que hi∈ L2(0, t;Rn) y hi(s)∈V(s, x(s)) para todo s∈[0, t]\Eicon |Ei|= 0, o equivalentemente que hi(s) = f(s, x(s), ui(s)), con ui(s)∈Ω para todo s∈[0, t]\Eicon |Ei|= 0. Ahora bien, como L2(0, t;Rn) es un espacio vectorial, se tiene que λh1+ (1−λ)h2∈L2(0, t;Rn). Asimismo, por hip´otesis, se sabe que el conjunto de velocidades V(s, x(s)) es convexo, luego λh1(s) + (1 −λ)h2(s)∈V(s, x(s)) para todo s∈[0, t]\E, con E:= E1∪E2y |E|= 0. Para ver que Ves un conjunto cerrado, hay que probar que dada una sucesi´on {ln}n∈N contenida en Vtal que ln→len L2(0, t;Rn), entonces l∈ V, es decir, que l∈L2(0, t;Rn) (esto es evidente) y que l(s)∈V(s, x(s)) p.c.t s∈[0, t]. Ahora bien, como {ln}n∈Nes una sucesi´on que converge fuertemente en L2(0, t;Rn), por el Teorema 1.9, se puede extraer una subsucesi´on {lnk}k∈Nque converge puntualmente a lp.c.t s∈[0, t]. Pero como lnk∈ V(s, x(s)) p.c.t s∈[0, t] y para todo k∈Ny el conjunto de velocidades V(s, x(s)) es compacto, se tiene finalmente que l(s)∈V(s, x(s)) p.c.t s∈[0, t]. Por tanto, como el conjunto Ves convexo y cerrado en L2(0, t;Rn) para la topolog´ıa fuerte, se tiene por el Teorema 1.3 que Ves tambi´en cerrado en L2(0, t;Rn) para la topolog´ıa d´ebil. Pero al igual que {gn}n∈N, la sucesi´on {hnk}n∈Nest´a acotada en L2(0, t;Rn) y como dicho espacio es reflexivo, existe alguna subsucesi´on {hnkj}j∈Nque converge a alg´un hpara la topolog´ıa d´ebil y hdebe pertenecer a Vdado que Ves d´ebilmente cerrado. Finalmente, se va a probar que g=hp.c.t s∈[0, t], es decir: Zt 0 φ(s)g(s)ds =Zt 0 φ(s)h(s)ds, ∀φ∈L2(0, t;R). CAP´ ITULO 2. CONTROLABILIDAD 48 Sumando y restando, se obtiene para cada φ∈L2(0, t;Rn): Zt 0 φ(s)gnkj(s)ds =Zt 0 φ(s)hnkj(s)ds +Zt 0 φ(s)(gnkj(s)−hnkj(s))ds. (2.12) Ahora bien, por hip´otesis se sabe que fes globalmente Lipschitz en xen [0, T]ׯ B(0, b)×Ω, es decir, existe una constate C > 0 tal que: |f(t, x1, u)−f(t, x2, u)| ≤ C|x1−x2|,∀t∈[0, T], x1, x2∈¯ B(0, b), u ∈Ω. Asimismo, la sucesi´on {xnkj}j∈Nest´a contenida en ¯ B(0, b) y converge puntualmente a xp.c.t s∈[0, t]. Como el conjunto ¯ B(0, b) es compacto (por ser la clausura de un conjunto acotado en Rn), necesariamente x(s)∈¯ B(0, b) p.c.t s∈[0, t]. Por tanto, se llega a: |gnkj(s)−hnkj(s)|=|f(s, xnkj(s), unkj(s))−f(s, x(s), unkj(s))| ≤ C|xnkj(s)−x(s)|p.c.t s ∈[0, t]. Ahora se aplica el teorema de la convergencia dominada a la sucesi´on de funciones {znkj}j∈N definida como znkj:= gnkj−hnkj. Por la desigualdad obtenida antes, se tiene que: la sucesi´on {xnkj}j∈Nconverge puntualmente a xp.c.t s∈[0, t], por lo que la sucesi´on {znkj}j∈Nconverge puntualmente a 0 p.c.t s∈[0, t]. |znkj(s)|=|gnkj(s)−hnkj(s)|≤|gnkj(s)|+|hnkj(s)| ≤ 2cpara todo natural jy p.c.t s∈[0, t]. Por tanto: Zt 0 φ(s)(gnkj(s)−hnkj(s)) →0 cuando j→ ∞, de donde se sigue, usando la igualdad 2.12: Zt 0 φ(s)g(s)ds =Zt 0 φ(s)h(s)ds, ∀φ∈L2(0, t;R), es decir, g=hp.c.t s∈[0, t]. En particlar, se tiene que g∈ V, y por tanto, p.c.t s∈[0, t] existe u(s)∈Ω tal que g(s) = f(s, x(s), u(s)). Aplicando ahora un lema de selecci´on medible en teor´ıa de la medida [5, Lemas 2A y 3A, p´agina 161] (n´otese que g∈L∞(0, t;Rn)), upuede elegirse para que sea medible en [0, T]. En definitiva, la trayectoria xse asocia en [0, t] con el control utomando sus valores en Ω, y x(t) es el limite puntual de los puntos xnkj. Se tiene as´ı la compacidad de ACCΩ(x0, t). Queda por probar la continuidad del conjunto accesible con respecto al tiempo. Sean t1yt2 dos n´umeros reales tales que 0 < t1< t2≤Ty sea x2∈ACCΩ(x0, t2). Por definici´on, existe un control uque toma sus valores en Ω, generando la trayectoria x, tal que: x2=x(t2) = x0+Zt2 0 f(t, x(t), u(t))dt. El punto x1=x(t1) = x0+Rt1 0f(t, x(t), u(t))dt pertenece a AccΩ(x0, t1) y usando la hip´otesis en f, se obtiene: |x2−x1|=|Zt2 t1 f(t, x(t), u(t))dt| ≤ Zt2 t1 |f(t, x(t), u(t))|dt ≤c|t1−t2|. De aqu´ı, se concluye f´acilmente. Observaci´on 2.21. Se pueden encontrar resultados de controlabilidad global en la literatura. No obstante, no se mencionar´an en este trabajo de fin de grado, ya que para realizar la demostraci´on de los mismos se requiere de conocimientos avanzados de ´algebra (sobre los corchetes de Lie) y variedades diferenciables. Cap´ıtulo 3 Estabilizaci´on El objetivo principal de este cap´ıtulo ser´a estabilizar un posible punto de equilibrio inestable a trav´es de un control de retroalimentaci´on. Sean nymdo enteros positivos. En esta cap´ıtulo se considera un sistema de control aut´onomo en Rn: ˙x(t) = f(x(t), u(t)) (3.1) donde f:Rn×Rm−→ Rnes de clase C1con respecto a (x, u), y los controles son funciones del tiempo, medibles y esencialmente acotadas que toman sus valores en algun subconjunto medible Ω de Rm(conjunto de las restricciones en el control) Sea (¯x, ¯u)∈Rn×Rmun punto de equilibrio, esto es, f(¯x, ¯u) = 0, tal que ¯u∈˚ Ω (interior de Ω). El objetivo ser´a dise˜nar un control de retroalimentaci´on u(x) que estabilice localmente el equilibrio (¯x, ¯u), esto es, tal que el sistema “lazo cerrado” ˙x(t) = f(x(t), u(x(t))) sea localmente asintoticamente estable en ¯x. 3.1. Estabilizaci´on de sistemas lineales aut´onomos Esta secci´on est´a dedicada al estuido de la estabilidad de los sistemas lineales aut´onomos. En primer lugar, se mostrar´a un resultado que permite establecer si el punto 0 de un sistema lineal aut´onomo es un punto de equilibrio estable, asint´oticamnte estable o por el caso contrario, inestable, sin m´as que estuidar el signo de la parte real de los autovalores de la matriz Adel sistema lineal. Asimismo, dicho resultado se complementar´a junto con dos criterios: el criterio de Routh y el criterio de Hurwitz. Estos criterios permiten estudiar el signo de la parte real de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la matriz Adel sistema lineal aut´onomo,es decir, de sus autovalores. Finalmente, se ver´a la noci´on de control de retroalimentaci´on y cu´ando un sistema lineal aut´onomo se puede estabilizar de forma retroalimentada. Al final de esta secci´on se estudiar´an los sistemas lineales dependientes del tiempo, donde se presentar´an las dificultades existentes a la hora de estudiar la estabilidad de dichos sistemas. Se considera la siguiente definici´on: Definici´on 3.1. Se considera el sistema lineal ˙x(t) = Ax(t), con A∈ Mn(R). Se denota por x(·, x0)la soluci´on tal que x(0, x0) = x0. Se dice que el punto 0, que es por supuesto un punto de equilibrio (es el ´unico si Aes invertible), es estable si: ∀ϵ > 0∃η > 0| ∀x0∈Rn:|x0| ≤ η⇒ |x(t)| ≤ ϵ, ∀t≥0. El punto 0es asint´oticamente estable si es estable y adem´as x(t)→0cuando t→+∞. Observaci´on 3.1. Para un sistema lineal, la estabilidad local es equivalente a la estabilidad global. Se tiene el siguiente y bien conocido resultado: 49 CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 50 Teorema 3.1. Se tiene lo siguiente: Si existe un autovalor (complejo) λde Atal que Re(λ)>0, entonces el punto de equilibrio 0 es inestable, esto es, existe x0∈Rntal que la soluci´on de ˙x(t) = Ax(t), x(0) = x0 satisface |x(t)| → +∞cuando t→+∞. Si todos los autovalores (complejos) de A tienen una parte real negativa, entonces 0 es asint´oticamente estable, esto es, todas las soluciones de ˙x(t) = Ax(t)convergen a 0 cuando t→+∞. El punto de equilibrio 0 es estable si y solo si todos los autovalores de A tienen una parte real no positiva y si un autovalor λes tal que Re(λ)=0entonces λes una raiz simple del polinomio m´ınimo de A. Prueba.La prueba sigue de los siguientes puntos: Se comienza la prueba con el primer punto. Sea x0,λ un autovector (no nulo) asociado a un autovalor λ∈C, tal que Re(λ)>0. Por definici´on se tiene que Ax0,λ =λx0,λ. Sea ahora xλ(t) = eλtx0,λ. Se tiene que xλ(0) = 0, ˙xλ(t) = λxλ(t) y Axλ(t) = λxλ(t). Por tanto, xλes soluci´on de: (˙xλ(t) = Axλ(t), xλ(0) = x0,λ. De ese modo, se concluye con: |xλ(t)|=eRe(λ)t|x0,λ| → +∞, t →+∞, gracias a que Re(λ)>0. Por lo tanto, el punto de equilibrio 0 es inestable. El resolvente del sistema lineal ˙x(t) = Ax(t) es M(t) = etA. Ahora bien, por el Teorema 1.2 (Teorea de descomposici´on de Jordan), existe una matriz P∈GLn(C) tal que PAP−1= bloque diag[J1, . . . , Jr], donde Jies el bloque de Jordan asociado al autovalor λide A. Por consiguiente, teniendo todo esto en cuenta, se obtiene un resultado (extra´ıdo de [2, Cap´ıtulo 11, Proposici´on 11.2.2, p´agina 223]) que se enuncia en el siguiente lema: Lema 3.1. Todas las soluciones del sistema ˙x(t) = Ax(t)son de la forma: x(t) = X 1≤i≤rX 1≤j≤mi eλittj−1vi,j, donde mies el orden del bloque de Jordan Ji,vi,j ∈N(λi), con N(λi)el espacio propio asociado al autovalor λi. Como en este caso, si Re(λi)<0, para todo 1 ≤i≤r, se llega a que: |x(t)| ≤ X 1≤i≤rX 1≤j≤mi eRe(λi)t|t|j−1|vi,j| ≤ etRe(λ0)X 1≤i≤rX 1≤j≤mi |t|j−1→0, t →+∞, donde λ0es el autovalor cuya parte real es la m´as proxima a 0. Usando el Lemma 3.1, la norma de los t´erminos de la suma asociados a un autovalor con parte real negativa va a cero cuando ttiende al infinito. Por otro lado, la norma de los t´erminos de la suma asociados a un autovalor con parte real igual a cero, tienen su comportamiento, cuando ttiende al infinito, determinado por el orden del bloque de Jordan asociado a dichos autovalores. De eso modo, si todos los autovalores con parte real igual a cero son simples entonces el orden del bloque de Jordan asociado es igual a uno y por lo tanto etA est´a acotado. Luego 0 es un equilibrio estable. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 51 Definici´on 3.2. La matriz A se dice que es Hurwitz si todos sus autovalores tienen parte real negativa. A continuaci´on se va a ver dos criterios cl´asicos que aseguran cu´ando una matriz dada (con coeficientes reales) es Hurwitz. Estos criterios son particularmente notables porque son puramente algebraicos (condiciones polin´omicas en los coeficientes de la matriz), y no requieren el c´alculo de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la matriz (que es imposible de conseguir algebraicamente en general, para grados mayores que 5, como es bien sabido por el Teorema de Abel-Ruffini). Criterio de Routh. Se considera el polinomio complejo: P(z) = a0zn+a1zn−1+... +an−1z+an, con coeficientes reales ai. Se va a formular una serie de condiciones bajo las cuales todas las ra´ıces de este polinomio tienen parte real negativa (en dicho caso, se dice tambi´en que Pes Hurwitz). N´otese que Aes Hurwitz si y solo si su polinomio caracter´ıstico χAes Hurwitz. Definici´on 3.3. La tabla de Routh se define como sigue: a0a2a4a6· · · completada por 0 a1a3a5a7· · · completada por 0 b1b2b3b4· · · donde b1=a1a2−a0a3 a1, b2=a1a4−a0a5 a1,· · · c1c2c3c4· · · donde c1=b1a3−a1b2 b1, c2=b1a5−a1b3 b1,· · · . . .. . .. . .. . . El proceso sigue mientras el primer elemento de la fila es distinto de cero. El proceso finaliza cuando se tienen constru´ıdas n+ 1 filas. La tabla de Routh se dice que es completa si tiene n+ 1 filas cuyos primeros coeficientes son distintos de 0. Si la tabla de Routh es completa, el criterio de Routh afirma que el n´umero de ra´ıces en el semiplano derecho (SPD) del polinomio P(z) es igual al n´umero de cambios de signo en la primera columna de la tabla. El semiplano derecho (semiplano izquierdo) se toma como la parte del plano tal que Re(z)>0 (Re(z)<0). Resulta que no puede haber ra´ıces en el eje imaginario (es decir, tal que Re(z) = 0). Esto se recoge en el Teorema 3.2. Rec´ıprocamente, el criterio de Routh implica que las r´aices de P(z) est´an el el semiplano izquierdo (SPI) si y solo si todos los elementos de la primera columna no son nulos y tienen el mismo signo. Esto se recoge en el Teorema 3.3. Teorema 3.2. (Criterio de Routh.) Si la tabla de Routh es completa entonces P no tiene ra´ıces puramente imaginarias, y el n´umero de ra´ıces con parte real positiva es igual al n´umero de cambios de signo en la primera columna. Teorema 3.3. Todas las ra´ıces de P tienen parte real no negativa si y solo si la tabla de Routh es completa y los elementos en la primera columna tienen el mismo signo. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 52 Explicaci´on de la tabla de Routh. Las dos primeras filas de la tabla de Routh contienen los coeficientes de los polinomios: P1(z) = a0zn+a2zn−2+... P2(z) = a1zn−1+a3zn−3+... donde los elementos que son nulos se omiten en la tabla por construcci´on. Uno de estos dos polinomios es par (es decir, solo tiene potencias pares de z, incluyendo la potencia z0) y el otro es impar (solo tiene potencias impares de z). Un polinomio P3(z) se define como el resto obtenido al dividir P1(z) por P2(z), esto es: P1(z) = Q1(z)P2(z) + P3(z), donde Q1(z) = a0z/a1es el cociente. La tercera fila de la tabla de Routh contiene los coeficientes del resto: P3(z) = (a2−a0a3 a1 )zn−2+ (a4−a0a5 a1 )zn−4+... =b1zn−2+b2zn−4+... Si se repite el proceso, se obtienen un conjunto de polinomios Pk(z) tales que: Pk(z) = Qk(z)Pk+1(z) + Pk+2(z) para k= 1, ..., n −1, o equivalentemente: Pk+2(z) = Pk(z)−Qk(z)Pk+1(z) para k= 1, ..., n −1. Los polinomios Pk(z) son de la forma: Pk(z) = ckzn−k+1 +..., donde ckes el coeficiente que lidera la k-´esima fila de la tabla de Routh, con c1=a0yc2=a1. Los cocientes Qk(z) vienen dados por: Qk(z) = ck ck+1 zpara k= 1, ..., n −1. Los polinomios Pk(z) se van alternando entre polinomios pares e impares de orden decreciente. La tabla de Routh contiene los coeficientes de estos polinomios, omitiendo aquellos que son siempre nulos debido a la propiedad par/impar. Si ningun ckes nulo, los dos ´ultimos polinomios de la secuencia son Pn(z) = cnzyPn+1(z) = cn+1. Junto con los polinomios Pk(z), dicho algoritmo tambi´en genera una secuencia de polinomios Pk(z) + Pk+1(z), comenzando con el polinomio original P(z) = P1(z) + P2(z). El criterio de Routh se origina a partir de una propiedad clave que se aplica a cada uno de estos polinomios en cada paso del proceso en cuesti´on. Dicha propiedad clave se muestra en el siguiente lema. Lema 3.2. Suponga que c1, ..., ck+1 = 0, entonces el n´umero de ra´ıces de Pk(z) + Pk+1(z)con Re(z)<0(o Re(z)>0) es igual al n´umero de ra´ıces de (1 + Qk(z))(Pk+1(z)) + Pk+2(z)) con Re(z)<0(o Re(z)>0). Las ra´ıces con R(z) = 0 son iguales en ambos polinomios, inclu´ıdas sus multiplicidades. N´otese que el ´ultimo polinomio en la secuencia es Pn(z) + Pn+1(z) = cnz+cn+1. Dado que 1 + Qk(z) = (ckz+ck+1)/ck+1, el criterio de Routh se sigue de esta propiedad clave de forma directa. Se concluye con los siguientes puntos: CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 53 Si el polinomio P(z) tiene ra´ıces imaginarias, la tabla de Routh no es completa. En efecto, 1 + Qk(z) y cnz+cn+1 solo pueden tener ra´ıces reales, por lo que el proceso debe acabar antes del ´ultimo paso si hay ra´ıces imaginarias. Si ck+1 = 0 para algun k, entonces Pk(z) + Pk+1(z) tiene ra´ıces tales que R(z)≥0. En efecto, ck+1 = 0 si y solo si el segundo coeficiente de Pk(z) + Pk+1(z) es cero. El segundo coeficiente es la suma de las ra´ıces de Pk(z) + Pk+1(z), lo que implica que algunas ra´ıces deben estar en el plano imaginario o en el semiplano derecho. El polinomio original debe tener al menos el mismo n´umero de ra´ıces con Re(z)≥0. Rec´ıprocamente, si P(z) tienes todas sus ra´ıces con Re(z)>0 entonces la tabla de Routh debe ser completa. Prueba del lema.La prueba se sustenta sobre la naturaleza par/impar de los polinomios y propiedades que se pueden demostrar de forma directa. Por un lado, un polinomio Pp(z) se dice que es par, si cumple que Pp(iω) (con ω∈R) es puramente real. Por tanto, se tiene que Pp(z) = Pp(−z) y sus ra´ıces deben ser pares de ra´ıces imaginarias (±iω), pares de ra´ıces reales (±a) o cu´adruplas de ra´ıces complejas (±a±ib). Por otro lado, un polinomio Pi(z) se dice que es impar, si cumple que Pi(iω) (con ω∈R) es puramente imaginario. Por tanto se tiene que Pi(z) = zPp(z), donde Pp(z) es un polinomio par. Sus ra´ıces deben incluir una ra´ız en z= 0, m´as el mismo tipo de ra´ıces que un polinomio par. Asimismo, se tienen la siguientes propiedades: la suma de dos polinomios pares/impares es par/impar, el producto de dos polinomios pares o dos polinomios impares es par, y el producto de un polinomio par con uno impar es impar. A continuaci´on se considera el siguiente polinomio: Dk,g(z) = Pk(z) + Pk+1(z) + gQk(z)Pk+2(z) =Pk+2(z) + Qk(z)Pk+1(z) + Pk+1(z) + gQk(z)Pk+2(z), con g∈[0,1]. Para g= 0, Dk,0(z) = Pk(z) + Pk+1(z); mientras que para g= 1, Dk,1= (1 + Qk(z))(Pk+1(z) + Pk+2(z)). El polinomio Dk,g(z) es la suma de Pk(z) y dos polinomios de menor grado. Por tanto, Dk,g(z) tiene grado n−k+ 1 para todo g∈[0,1] y una rama continua conecta los ceros de Dk,0(z) a los de Dk,1(z). N´otese ahora que una ra´ız de Dk,g(z) pertenece al plano imaginario si y solo si, para alg´un ω0: Pk+2(iω0) + Qk(iω0)Pk+1(iω0) + Pk+1(iω0) + gQk(iω0)Pk+2(iω0)=0. Debido al alterne par/impar de los polinomios Pk(z) y que Qk(z) es un polinomio impar, la ecuaci´on anterior puede dividirse en una parte real y otra imaginaria, obteni´endose: Pk+2(iω0) + Qk(iω0)Pk+1(iω0) = 0, Pk+1(iω0) + gQk(iω0)Pk+2(iω0)=0. Se sigue que: (1 −gQ2 k(iω0))Pk+2(iω0) = 0. Como (1 −gQ2 k(iω0)) = 1 + g(ckω0/ck+1)2≥1, para todo g∈[0,1], se tiene que Pk+2(iω) = 0 yPk+1(iω) = 0. En definitiva, cualquier ra´ız imagnaria de Dk,g(z) para alg´un g∈[0,1] tambi´en es ra´ız de Pk(z) + Pk+1(z), de Pk+1(z) + Pk+2(z) y de Dk,g(z) para todo g∈[0,1]. Finalmente, las ra´ıces imaginarias permanecen en su localizaci´on, y ninguna ra´ız de Dk,g(z) puede moverse desde el SPD o desde el SPI hasta el plano imaginario. Por tanto, ninguna ra´ız puede moverse del SPD al SPI y viceversa. Con esto, el lema queda probado. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 54 Ejemplo 3.1. Consider´ese el polinomio c´ubico P(z) = z3+a1z2+a2z+a3. La tabla de Routh asociada es: a0a20 0 a1a30 0 b1b20 0 c1c20 0 donde b1=a1a2−a0a3 a1,b2=a1a4−a0a5 a1= 0,c1=b1a3−a1b2 b1=a3yc2=b1a5−a1b3 b1= 0. Por consiguiente, la tabla de Routh queda como sigue: 1a20 0 a1a30 0 a1a2−a3 a10 0 0 a30 0 0 Ahora bien, por el Teorema 3.3, Pes Hurwitz, si y solamente si se cumplen las siguientes condiciones: a1>0, a3>0, a1a2−a3>0. Ejemplo 3.2. En uno de los primeros an´alisis matem´aticos de los sistemas de control con retroalimentaci´on, Maxwell (1868), en su art´ıculo Sobre reguladores [10] consider´o el problema de regular la velocidad angular de los ejes motores. Se proceder´a a describir su estudio sobre el regulador de Jenkin. Es bastante d´ıficil entender la forma exacta de este regulador seg´un el art´ıculo de Maxwell, por lo que se ha usado el esquem´atico dado en Bennet (1979) [9] (ver Figura 3.1). El experimento se realiz´o con el regulador en cuesti´on por Maxwell, Balfour Stewart y Jenkin en 1863. Desafortunadamente, no se ha encontrado ninguna descripci´on sobre el regulador de dicho ´epoca, aunque el regulador se preserva en el Whipple Museum of Science en la Universidad de Cambridge. El objetivo del regulador es asegurar que las desviaciones de la velocidad angular del eje motor respecto de un valor nominal sean peque˜nas. B´asicamente, se trata de un regulador de fricci´on. Si la velocidad angular aumenta respecto de su valor nominal, las bolas voladoras se alejan y la fuerza entre ´estas y el anillo de fricci´on aumenta. Esto provoca que el anillo rote a una velocidad angular incrementada, que da lugar a los siguientes efectos: el peso en el fluido amortiguante se eleva con el fin de proveer un amortiguamiento hidr´aulico. el engranaje helicoidal dentado accionado por una espiral giratoria hace que el freno de cinta apriete el eje motor. un torque extra proporcional a la desviaci´on angular del anillo de fricci´on respecto de un valor nominal se aplica al eje motor. El anillo de fricci´on puede girar en ambas direcciones de modo que si la velocidad angular disminuye por debajo de su valor nominal los dos ´ultimos efectos se invierten. A continuaci´on se definen las siguientes variables: y=desviaci´on angular del anillo respecto de su valor nominal. dx dt =velocidad angular del eje. P=torque del eje motor. R=torque de carga fijo del eje motor. M=momento de inercia de la m´aquina. G=constante que relaciona el torque aplicado a la m´aquina con y. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 55 F=coeficiente de fricci´on. V1=velocidad de operaci´on fijada lo m´as baja posible. B=momento de inercia del anillo Y=coeficiente de amortiguamiento viscoso. W=torque debido al peso. Teniendo en cuenta estas variables, Maxwell emple´o las siguientes ecuaciones: Md2x dt2=P−R−Fdx dt −V1−Gy, Bd2y dt2=Fdx dt −V1−Ydy dt −W. Si se toman como variables de estado: x1=dx dt , x2=y, x3=dy dt , las ecuaciones anteriores pueden escribirse entonces como sigue: M˙x1=P−R−F(x1−V1)−Gx2, ˙x2=x3, B˙x3=F(x1−V1)−Y x3−W. Para obtener los puntos de equilibrio se impone ˙x1= 0,˙x2= 0,˙x3= 0: ˙x2= 0 ⇔xe 3= 0; ˙x3= 0 ⇔F(xe 1−V1) −Y xe 3−W= 0 ⇔xe 1=W F+V1; ˙x1= 0 ⇔P−R−F(xe 1−V1)−Gxe 2= 0 ⇔xe 2=P−R−F(xe 1−V1) G=P−R−W G. Si se define ahora la variable x:= x′+xe, las ecuaciones presentan la siguiente forma: ˙x′ 1=−F Mx′ 1−G Mx′ 2, ˙x′ 2=x′ 3, ˙x′ 3=F Bx′ 1−Y Bx′ 3, o de forma equivalente:   ˙x′ 1 ˙x′ 2 ˙x′ 3  =  −F/M −G/M 0 0 0 1 F/B 0−Y/B   x′ 1 x′ 2 x′ 3  . Los autovalores de la matriz de arriba satisfacen la siguiente ecuaci´on caracter´ıstica: P(λ) = λ3+Y B+F Mλ2+FY MB λ+F G MB = 0, y por el ejemplo anterior, este polinomio es Hurwitz si y solo si: Y B+F MFY MB −F G MB >0, CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 62 En definitiva, la funci´on Ves una funci´on de Liapunov. Por el quinto punto, tambi´en se deduce que Ves propia. Por tanto, por el Teorema 3.7, (¯x1,¯x2)es GAE en R2. Finalmente, se adjunta un resultado que tambi´en ser´a de vital importancia. Mediante el estudio de los autovalores de la matriz jacobiana del sistema linealizado en un punto de equilibrio dado, se puede obtener un resultado de estabilidad loca alrededor de dicho punto. Sin embargo, no se ofrece ning´un tipo de informaci´on acerca de los conjuntos de estabilidad. Teorema 3.8. (Teorema de linealizaci´on). As´umase que fes de clase C1. Sea Ala matriz jacobiana de fen el punto de equilibrio ¯xdel sistema ˙x(t) = f(x(t)). 1. Si todos los autovalores de Atienen parte real estrictamente negativa, entonces el punto de equilibrio ¯xes localmente asint´oticamente estable. 2. Si existe un autovalor de Acuya parte real es estrictamente positiva, entonces el punto de equilibrio ¯xes inestable. Prueba.Sea el sistema aut´onomo ˙x(t) = f(x(t)), donde f:Rn→Rnes una funci´on de clase C1, se realiza un desarrollo de Taylor de primer orden alrededor del punto de equilibrio ¯x (f(¯x) = 0): f(x) = f(¯x) + ∂f ∂x(¯x)(x−¯x) + R(x−¯x) = A(x−¯x) + R(x−¯x), donde Aes la matriz jacobiana de fen el punto de equilibrio ¯x, i.e., A=∂f ∂x (¯x) y R(x−¯x) es una funci´on que cumple que: R(x−¯x) |x−¯x|→0 cuando |x−¯x| → 0. Para continuar con la demostraci´on, se verifican las siguientes propiedades: Propiedad 1. Como todos los autovalores de la matriz A∈ Mn(R) tienen parte real negativa, para cualquier matriz Qsim´etrica definida positiva, existe una ´unica matriz P sim´etrica definida positiva que es soluci´on de la siguiente ecuaci´on de Lyapunov: A⊤P+PA =−Q. En efecto, se considera P:= R+∞ 0etA⊤QetAdt. Como Qes una matriz definida positiva, existe una matriz no singular Q1 2tal que Q= (Q1 2)⊤Q1 2. Teniendo esto en cuenta, se llega a lo siguiente: •Como Qes sim´etrica, es decir, Q⊤=Qse obtiene: (etA⊤QetA)⊤= (etA)⊤Q⊤(etA⊤)⊤=etA⊤QetA,∀t∈(0,+∞) por lo que Pes sim´etrica. •Sea v∈Rn\ {0}: v⊤etA⊤QetAv=v⊤etA⊤(Q1 2)⊤Q1 2etAv= (Q1 2etAv)⊤Q1 2etAv=|Q1 2etAv|2>0,∀t∈(0,+∞). Por consiguiente, Pes definida positiva. •Se comprueba ahora que Psatisface la ecuaci´on de Lyapunov: A⊤P+PA =Z+∞ 0 {A⊤etA⊤QetA +etA⊤QetAA}dt =Z+∞ 0 d dt(etA⊤QetA)dt = l´ım n→∞ etA⊤QetA −Q=−Q. Por el Teorema 3.1, como Aes Hurwitz, se tiene que l´ımt→∞ ||etAx0|| = 0, para todo x0∈Rny en particular, l´ımn→∞ ||etA|| = 0. Por un razonamiento an´alogo, se tiene tambi´en que: l´ımn→∞ ||etAT|| = 0. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 63 Como Qes cualquier matriz sim´etrica definida positiva, para el caso particular de Q=In, se tiene que la matriz Pes de la forma P:= R+∞ 0etATQetAdt y la ecuaci´on de Lyapunov queda: A⊤P+PA =−In. A partir de ahora, para las propiedades venideras se tiene en cuenta este caso particular en el que Q=In. Propiedad 2. Se considera la funci´on V:Rn→Rdefinida como: x7→ V(x) := ⟨x−¯x, P(x−¯x)⟩. Ves una funci´on de Lyapunov para el sistema ˙x(t) = A(x(t)−¯x) en ¯xy adem´as, el punto de equilibrio ¯xes GAE. En efecto: •Ves de clase C1en Rn. •V(¯x) = ⟨¯x−¯x, P (¯x−¯x)⟩=0 y dado x= ¯x: V(x) = ⟨x−¯x, P(x−¯x)⟩= (x−¯x)⊤P(x−¯x)>0, por ser Puna matriz definida positiva. •Se calcula en este punto la derivada respecto al tiempo de la funci´on de Lyapunov: d dtV(x(t)) = d dt(⟨x(t)−¯x, P(x(t)−¯x)⟩) =⟨˙x(t), P (x(t)−¯x)⟩+⟨x(t)−¯x, P ˙x(t))⟩ =⟨A(x(t)−¯x), P(x(t)−¯x)⟩+⟨x(t)−¯x, PA(x(t)−¯x)⟩ =⟨x(t)−¯x, A⊤P(x(t)−¯x)⟩+⟨x(t)−¯x, PA(x(t)−¯x)⟩ =⟨x(t)−¯x, (A⊤P+PA)(x(t)−¯x)⟩=⟨x(t)−¯x, −In(x(t)−¯x)⟩= =−⟨x(t)−¯x, x(t)−¯x⟩=−|x(t)−¯x|2<0,∀x= ¯x. •Ves propia. En efecto: V(x) = ⟨x−¯x, P(x−¯x)⟩=|P1 2(x−¯x)|2≥C|x−¯x|2, con C > 0. Este ´ultimo paso es posible porque Pes invertible, por lo que P1 2tambi´en lo es. Como x(t) = ¯xes la ´unica soluci´on del sistema para la que d dt V(t) = ⟨∇V(x(t)), f(x(t))⟩= 0, por el Principio de LaSalle, el punto de equilibrio ¯xes GAE. Propiedad 3. La funci´on Vprecedente es tambi´en una funci´on de Lyapunov para el sistema ˙x(t) = A(x(t)−¯x) + R(x−¯x) en el punto de equilibrio ¯xsobre un abierto Ω de la forma B(¯x, δ) (con δuna cantidad positiva lo suficientemente peque˜na). Adem´as, el punto de equilibrio ¯xes LAE en Ω. En efecto, los dos primeros puntos se tienen ya. Tan solo hay que ver que la funci´on de Lyapunov es estricta en Ω \ {¯x}. ⟨∇V(x), f(x)⟩=⟨A(x−¯x) + R(x−¯x), P(x−¯x)⟩+⟨x−¯x, P(A(x−¯x) + R(x−¯x))⟩ =⟨x−¯x, (A⊤P+PA)(x−¯x)⟩+⟨R(x−¯x), P(x−¯x)⟩+⟨x−¯x, P R(x−¯x)⟩ =⟨x−¯x, −In(x−¯x)⟩+ 2⟨x−¯x, PR(x−¯x)⟩ =−|x−¯x|2+ 2⟨x−¯x, P R(x−¯x)⟩ ≤ −|x−¯x|2+ 2|x−¯x|||P||Mn(R)|R(x−¯x)| ≤ |x−¯x|2−1+2||P||Mn(R) |R(x−¯x)| |x−¯x|. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 64 Ahora bien, dado ϵ:= 1 4||P||Mn(R), existe δ=δ(ϵ) tal que si |x−¯x|< δ, entonces |R(x(t)−¯x)| |x(t)−¯x|< ϵ. Teniendo esto en cuenta, si x∈B(¯x, δ) se llega a que: ⟨∇V(x), f(x)⟩≤|x−¯x|2−1+2||P||Mn(R) |R(x−¯x)| |x−¯x| ≤ |x(t)−¯x|2−1+2||P||Mn(R) 1 4||P||Mn(R) ≤ −1 2|x(t)−¯x|2. Con esto se tiene que Ves estricta en Ω\{¯x}y por tanto, el punto de equilibrio ¯xes LAE. Con todas estas propiedades probadas se llega a que si los autovalores de la matriz jacobiana A en el punto de equilibrio ¯xtienen parte real negativa, entonces ¯xes localmente asint´oticamente estable, tal y como se enunciaba en el teorema. Finalmente, la prueba del segundo item es parecida y hace uso de la propiedad 1 y de la construcci´on apropiada de una funci´on de Lyapunov tal que ˙ V > 0 (esto puede verse con gran detalle en [16, Teorema 3.7, p´agina 127]). 3.2.2. Aplicaci´on a la estabilizaci´on de sistemas de control no lineal Consid´erese el sistema de control no lineal general (3.1), y un punto de equilibrio (¯x, ¯u)∈ Rn×˚ Ω, tal y como se estableci´o al principio del cap´ıtulo. Se considera el sistema linealizado en dicho punto: δ˙x(t) = Aδx(t) + Bδu(t), donde: A=∂f ∂x(¯x, ¯u) y B=∂f ∂u(¯x, ¯u). Si el sistema linealizado puede estabilizarse de forma retroalimentada, es decir, si se puede encontrar una matriz Kde tama˜no m×ntal que A+BK es Hurwitz, entonces el Teorema 3.8 implica un resultado de estabilizaci´on local para el sistema de control no lineal (3.1). En otras palabras, se tiene el siguiente teorema. Teorema 3.9. Si el par (A, B)satisface la condici´on de Kalman, entonces existe una matriz K de tama˜no m×ntal que el control de retroalimentaci´on u=K(x−¯x) + ¯uestabiliza asint´oticamente al sistema de control no lineal (3.1) localmente alrededor de (¯x, ¯u). En otras palabras, el sistema bucle-cerrado ˙x(t) = f(x(t), K(x(t)−¯x) + ¯u)es LAS en ¯x. N´otese que el entorno tiene que ser lo suficientemeente peque˜no como para que el control de retroalimentazi´on utome sus valores en el conjunto Ω. Ejemplo 3.4. (Estabilizaci´on del p´endulo inverso). Consid´erese un p´endulo inverso como el de la Figura 3.2, de masa my longitud lque est´a unido a un carro de masa Mcuya aceleraci´on est´a controlada por el control u. Asimismo, se definen a continuaci´on las siguientes coordenadas: ξ: determina la posici´on del carro. En este caso, el carro se modela como una masa puntual M, con coordenada ξen el eje horizontal. ξ2: determina la posici´on de uno de los extremos del p´endulo inverso en el eje horizontal respecto al carro. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 65 Figura 3.2: P´endulo inverso. (Imagen extra´ıda de [2], p´agina 80). ς2: determina la posici´on de uno de los extremos del p´endulo inverso en el eje vertical respecto del carro. θ: determina el desplazamiento angular del p´endulo inverso respecto del eje vertical. . Las energ´ıas cin´etica y potencial son: Ec=1 2M˙ ξ2+1 2M(˙ ξ2 2+ ˙ς2 2), Ep=mgς2. Por otra parte, se tiene que ς2=lcos θyξ2=ξ+lsin θ. Por consiguiente, el sistema en cuesti´on tiene dos grados de libertad que est´an determinados por las coordenadas ξyθ. Entonces, el Lagrangiano del sistema es: L=Ec−Ep=1 2M˙ ξ2+1 2m(˙ ξ2 2+ ˙ς2 2)−mgl cos θ =1 2M˙ ξ2+1 2m[( ˙ ξ+l(cos θ)˙ θ)2+ (l(sin θ)˙ θ)2]−mgl cos θ =1 2M˙ ξ2+1 2m[˙ ξ2+l2cos2θ˙ θ2+ 2lcos θ˙ ξ˙ θ+l2sin2θ˙ θ2]−mgl cos θ =1 2(M+m)˙ ξ2+ml ˙ ξ˙ θcos θ+1 2ml2˙ θ2−mgl cos θ. De acuerdo con las Ecuaciones de Euler-Lagrnage: d dt ∂L ∂˙x=∂L ∂x +Fext si se aplican a cada una de las coordenadas, se obtienen las siguientes ecuaciones de movimiento: Coordenada θ. Primero se deriva el lagrangiano respecto a ˙ θ: ∂L ∂˙ θ=ml ˙ ξcos θ+ml2˙ θ y derivando respecto al tiempo tse llega a: d dt ∂L ∂˙ θ=ml¨ ξcos θ−ml ˙ ξsin θ˙ θ+ml2¨ θ. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 66 Ahora se deriva respecto a θ: ∂L ∂θ =−ml ˙ ξ˙ θsin θ+mgl sin θ. En este caso Fext = 0. Por consiguiente se concluye: ml¨ ξcos θ+ml2¨ θ−mgl sin θ= 0. Se despeja ¨ θde la ecuaci´on anterior: ¨ θ=mgl sin θ−ml¨ ξcos θ ml2.(3.2) Coordenada ξ. Primero se deriva el lagrangiano respecto a ˙ ξ: ∂L ∂˙ ξ= (M+m)˙ ξ+ml ˙ θcos θ y derivando respecto al tiempo tse llega a: d dt ∂L ∂˙ ξ= (M+m)¨ ξ+ml¨ θcos θ−ml ˙ θ2sin θ. Ahora se deriva respecto a ξ:∂L ∂ξ = 0. En este caso Fext =u. Por consiguiente se concluye: (M+m)¨ ξ+ml¨ θcos θ−ml ˙ θ2sin θ=u. Se despeja ¨ ξde la ecuaci´on anterior: ¨ ξ=u−ml¨ θcos θ+ml ˙ θ2sin θ M+m.(3.3) Se sustituye la ecuacion anterior en la ecuaci´on (3.2) obteni´endose as´ı la ecuaci´on de movimiento para la coordenada θ ¨ θ=−ml ˙ θ2sin θcos θ+ (M+m)gsin θ−ucos θ l(M+msin2θ)(3.4) Sustituyendo ahora esta ´ultima ecuaci´on en la ecuaci´on (3.3) se llega a la ecuaci´on de movimiento para la coordenada ξ: ¨ ξ=ml ˙ θ2sin θ−mg cos θsin θ+u M+msin2θ(3.5) Se definen ahora las siguientes variables de estado: x1=ξ,x2=˙ ξ(esto implica que x2= ˙x1), x3=θyx4=˙ θ(esto implica que x4= ˙x3). Por consiguiente, considerando el vector x:= (x1, x2, x3, x4)tse obtiene el siguiente sistema no lineal: ˙x=f(x, u)⇔    ˙x1 ˙x2 ˙x3 ˙x4    =    f1(x, u) f2(x, u) f3(x, u) f4(x, u)    , CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 67 donde: f1(x, u) = x2, f2(x, u) = mlx2 4sin x3−mg cos x3sin x3+u M+msin2x3 , f3(x, u) = x4, f4(x, u) = −mlx2 4sin x3cos x3+ (M+m)gsin x3−ucos x3 l(M+msin2x3). Una vez obtenido el sistema en las nuevas variables, se procede a obtener los puntos de equilibrio del sistema. Para ello, se impone f(x, u)=0. f1(x, u)=0⇔x2= 0. f2(x, u)=0⇔u=−mlx2 4sin x3+mg cos x3sin x3. f3(x, u)=0⇔x4= 0. f4(x, u)=0⇔ −mlx2 4sin x3cos x3+ (M+m)gsin x3−ucos x3= 0 ⇔ (M+m)gsin x3−mg cos2x3sin x3= 0 ⇔ −mlx2 4sin x3cos x3+ (M+m)gsin x3−[−mlx2 4sin x3+mg cos x3sin x3] cos x3= 0 ⇔ sin x3= 0 ⇔x3= 0; θ∈[−π, π]. En definitiva, ¯x= (¯x1,0,0,0) con ¯u= 0. Ahora que se ha deducido el punto de equilibrio del sistema en cuesti´on, hay que determinar el sistema linealizado en el punto de equilibrio. Para ello, se calcula primero la matriz jacobiana del sistema, esto es, A=∂f(x,u) ∂x y despu´es se calcula ∂f(¯x,¯u) ∂u . Derivadas de la primera componente de f: ∇xf1(¯x, ¯u) = (0,1,0,0). Derivadas de la segunda componente de f: ∂f2 ∂x1 =∂f2 ∂x2 = 0, ∂f2 ∂x3 =(mlx2 4cos x3−mg cos(2x3))(M+msin2x3) (M+msin2x3)2 −(mlx2 4sin x3−mg cos x3sin(x3) + u)(M+msin 2x3) (M+msin2x3)2, ∂f2 ∂x4 =2mlx4sin x3 M+msin2x3 . Por consiguiente, ∇xf2(¯x, ¯u) = (0,0,0,1). Derivadas de la tercera componente de f: ∇xf3(¯x, ¯u) = (0,0,−mg M,0). CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 68 Derivadas de la cuarta componente de f: ∂f4 ∂x1 ,∂f4 ∂x2 = 0, ∂f4 ∂x3 =[−mlx2 4cos (2x3)+(M+m)gcos x3+usin x3](M+msin2x3) l(M+msin2x3)2 −[−mlx2 4sin x3cos x3+ (M+m)gsin x3−ucos x3](M+msin (2x3)) l(M+msin2x3)2, ∂f4 ∂x4 =−2mlx4sin x3 M+msin2x3 . Por tanto, ∇xf4(¯x, ¯u) = (0,0,−(M+m)g M,0). En definitiva, la matriz jacobiana en el punto de equilibrio queda como sigue: A=∂f(¯x, ¯u) ∂x =    0 1 0 0 0 0 −mg M0 0 0 0 1 0 0 (m+M)g lM 0    . Falta por deducir la matriz Bdel sistema linealizado, es decir, B=∂f(¯x,¯u) ∂u . En este caso, se tiene lo siguiente: ∂f1(x, u) ∂u =∂f3(x, u) ∂u = 0, ∂f2(x, u) ∂u =1 M+msin2x3 , ∂f4(x, u) ∂u =−cos x3 M+msin2x3 , y por consiguiente: ∂uf(¯x, ¯u) = (0,1 M,0,−1 lM ). Entonces la matriz Ben el punto de equilibrio tiene la forma: B=∂f(¯x, ¯u) ∂u =    0 1 M 0 −1 lM    . A modo de conclusi´on, el sistema linealizado presenta la forma: δ˙x(t) = Aδx(t) + Bδu(t), con A∈R4×4yB∈R4×1con las formas mostradas m´as arriba. Una vez obtenido el sistema linealizado, se va a comprobar si se puede estabilizar de forma retroalimentada, es decir, por la Definici´on 3.4, se va a ver si existe una matriz de ganancia K∈R1×4tal que el sistema bucle-cerrado con la retroalimentaci´on lineal δu(t) = Kδx(t): δ˙x(t)=(A+BK)δx(t) es asint´oticamente estable, esto es, la matriz A+KB es Hurwitz, o equivalentemente, la parte real de sus autovalores es negativa. Para ver la existencia de la matriz de ganancia K, se hace uso del Teorema 3.5 (Teorema del cambio de polo), que establece que si (A, B)satisface la condici´on de Kalman, entonces para CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 69 cada polinomio real de grado ncon coeficiente l´ıder igual a 1 (se denota a dicho polinomio por P), existe K∈Rm×n(en este caso particular, m= 1 yn= 4), tal que χA+BK =P, es decir, el polinomio caracter´ıstico de A+BK es igual a P. En efecto, la matriz de Kalman K(A, B), para el sistema linealizado es: AB =    0 1 0 0 0 0 −mg M0 0 0 0 1 0 0 (m+M)g lM 0        1 M 0 −1 lM 0    =    0 1 M 0 −1 lM    , A2B=A·AB      0 mg lM2 0 −(m+M)g (lM)2     , A3B=A·A2B    mg lM2 0 −(m+M)2g lM 0    . Por consiguiente: K(A, B)=(B, AB, A2B, A3B) =      01 M0mg lM2 1 M0mg lM20 0−1 M0−(m+M)g (lM)2 0 0 g l2M0     . Como detK(A, B) = −g2 l4M4= 0, esta matriz tiene rango m´aximo igual a 4, por lo que se cumple la condici´on de Kalman. Por consiguiente, se garantiza la existencia de la matriz de ganancia K∈R1×4, tal que A+BK es Hurwitz. Se puede asegurar por tanto que el sistema linealizado es estabilizable de forma retroalimentada. Teniendo todo esto en cuenta, por el Teorema 3.8 (Teorema de linealizaci´on), como fes una funci´on de clase C1yA+BK es Hurwitz, entonces el punto de equilibrio (¯x, ¯u)es localmente asint´oticamente estable. En definitiva, con todos estos pasos se ha conseguido estabilizar asint´oticamente al sistema de control no lineal (p´endulo inverso) localmente alrededor del punto de equilibrio (¯x, ¯u), usando para ello un control de retroalimentaci´on que se ha constru´ıdo a partir de una matriz de ganancia K∈R1×4. A continuaci´on se adjuntan dos representaciones gr´aficas que se han obtenido mediante el software Matlab. El c´odigo se ha extra´ıdo de [2, Cap´ıtulo 3, p´aginas 238-241]. En relaci´on al m´etodo directo, mediante el software maple se ha obtenido una expresi´on del polinomio caracter´ıstico de la matriz A+BK,χA+BK. Posteriormente se ha calculado la tabla de Routh asociada a dicho polinomio con el fin de obtener condiciones necesarias y suficientes sobre Kpara que A+BK sea Hurwitz. Finalmente se han determinado los valores de los elementos de la matriz de Kde tal modo que las ra´ıces de χA+BK sean igual a -1 (esta ra´ız tendr´ıa entonces multiplicidad algebraica igual a 4). Por otro lado, en cuanto a la funci´on place de matlab, ´esta situa a las r´aices del polinomio caracter´ıstico χA+BK en (−1,−2,−3,−4). Esta funci´on es de la forma: K = place[A,B,p], es decir, hay que dar las matrices AyBy un vector pque contiene a las ra´ıces. Como resultado, devuelve una matriz de ganancia K. CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 70 Figura 3.3: M´etodo directo. Figura 3.4: Uso de la funci´on place de matlab. Comparando ambos m´etodos, se puede ver de forma clara que el segundo es m´as eficiente que el primero. En la figura 3.3 se contempla como a medida que avanza el tiempo, las funciones que describen la posici´on y sus respectivas derivadas se aproximan al equilibrio (punto 0 para las cuatro funciones) pero de forma oscilante. No obstante. en la figura 3.4 se infiere que, transcurrido un tiempo considerable, las funciones tienden al equilibrio, indicando as´ı que se ha podido estabilizar asint´oticamente al p´endulo inverso localmente de forma retroalimentada, mediante la matriz de ganancia determianda por la funci´on place. 3.2.3. El m´etodo de Jurdjevic-Quinn Los teoremas de Lyapunov y LaSalle pueden aplicarse tambi´en a los sistemas de control de una forma evidente, aportando informaci´on de los entornos de estabilidad. Por ejemplo, se tiene la siguiente afirmaci´on: consid´erese como m´as arriba el sistema de control no lineal (3.1). Se asume que existe una funci´on V: Ω →R+de clase C1, tomando valores positivos en Ω \ {¯x}, y tal que, para cada x∈Ω, existe u(x)∈Ω tal que ⟨∇V(x), f(x, u)⟩<0; entonces el control u estabiliza al sistema de control globalmente en Ω. Muchas otras afirmaciones similares pueden derivarse f´acilmente, basadas en los teoremas de Lyapunov y LaSalle. Naturalmente, lo que es d´ıficil aqu´ı, es ser capaz de asegurar una buena regularidad de los controles de retroalimentaci´on. Esta cuesti´on no se discutir´a en este Trabajo de Fin de Grado, pero puede decirse que ha surgido todo un campo de investigaci´on asociado a este tema. Para ilustrar el papel de las funciones de Lyapunov en estabilizaci´on, se va a describir a continuaci´on una estrategia espectacular y CAP´ ITULO 3. ESTABILIZACI ´ ON 71 ampliamente usada (y sin embargo muy simple) con el fin de dise˜nar controles de estabilizaci´on gracias a las funciones de Lyapunov. Teorema 3.10. Consid´erese el sistema de control af´ın en Rn ˙x(t) = f(x(t)) + m X i=1 ui(t)gi(x(t)),(3.6) donde fygi(con i= 1, ..., m) son campos vectoriales “suaves”en Rn. Sea ¯xtal que f(¯x) = 0. En otras palabras, ¯xes un punto de equilibrio del sistema no controlable (esto es, con ui= 0). As´umase que existe una funci´on de Lyapunov en ¯xpara el sistema incontrolable, es decir, se asume que existe una funci´on V:Rn→R+tal que: 1. V(¯x)=0yV(x)>0para cada x= ¯x; 2. Ves propia; 3. LfV(x) = ⟨∇V(x), f(x)⟩⩽0para cada x∈Rn; 4. El conjunto: {x∈Rn|LfV(x)=0y Lk fLgiV(x)=0,∀i∈ {1, ..., m},∀k∈N} se reduce al conjunto unitario {¯x}. Entonces el punto de equilibrio ¯xes GAE en Rnpara el sistema de control blucle-cerrado con el control de retroalimentaci´on definido como ui(t) = −LgiV(x(t)),i= 1, ..., m. Observaci´on 3.8. 1. La notaci´on LfVse denomina la derivada de Li de V a lo largo de f. Se define como LfV(x) = ⟨∇V(x), f(x)⟩. Es la derivada de Va lo largo de la direcci´on f. 2. Si se denota por Gicon i∈ {1, ..., m}a la funci´on dada por: Gi:Rn→R x7→ Gi(x) := LgiV(x), se tiene que: LfGi(x) = ⟨∇Gi(x), f(x)⟩= n X j=1 ∂xjGi(x)fj(x) = n X j=1 ∂xjLgiV(x)fj(x) = n X j=1 ⟨∂xj∇V(x), gi(x)⟩+⟨∇V(x), ∂xjgi(x)⟩fj(x) = n X j=1 n X k=1 ∂xj∂xkV(x)gk i(x) + ∂xkV(x)∂xjgk i(x)fj(x). Prueba.En primer lugar, se considera la siguiente funci´on: F(x) := f(x)− m X i=1 LgiV(x)gi(x). N´otese que F(¯x) = 0, es decir, ¯xes un punto de equilibrio del sistema ”lazo cerrado” (3.6) con ui(t) = −LgiV(x(t)) (con i= 1, ..., m). En efecto, por la hip´otesis 1, Ves una funci´on suave y alcanza su m´ınimo en ¯x, luego ∇V(¯x) = 0, y por tanto LgiV(¯x) = ⟨∇V(¯x), gi(¯x)⟩= 0 para BIBLIOGRAF´ IA 78 [13] W. H. Fleming et. al., Future Directions in Control Theory: A Mathematical Perspective. (Ingl´es) [Direcciones futuras en la Teor´ıa de Control: Una Perspectiva Matem´atica], SIAM Publications, Philadelphia, 1988. [14] A. H. Levis et. al.,”Challenges to control: A collective view. Report from the workshop held at the University of Santa Clara on September 18-19, 1986”. (Ingl´es) [”Retos en el control: Una visi´on colectiva. Informe del taller celebrado en la Universidad de Santa Clara en Septiembre, 18-19, 1986”], IEEE Trans. Autom. Control 32(1987): 275-285. [15] Igor R. 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