Discurso, normas e identidades en estudiantes para maestro en relación con las matemáticas

UNIVERSIDAD DE SEVILLA DEPARTAMENTO DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS DISCURSO, NORMAS E IDENTIDADES EN ESTUDIANTES PARA MAESTRO EN RELACIÓN CON LAS MATEMÁTICAS TESIS DOCTORAL ROCÍO TOSCANO BARRAGÁN SEVILLA, 2019 AGRADECIMIENTOS Mi agradecimiento a todas y cada una de las personas que de alguna manera han estado presentes y me han ayudado en la realización de este trabajo: Especialmente a los directores de esta Tesis, al Dr. José María Gavilán Izquierdo y a la Dra. Victoria Sánchez García por su ayuda constante en la dirección de la misma, por su paciencia a lo largo de todo el proceso, por ser ante todo amigos y por estar siempre. A mis compañeros de Departamento por su interés y apoyo en el seguimiento y desarrollo de esta investigación. A la Dra. Marta Civil por su colaboración en el período de estancias realizadas. A los estudiantes participantes en este estudio por su contribución al haber hecho posible la realización de esta investigación. Y, por último, a mi gran familia por apoyarme en todo momento. A mis abuelos Declaración de Lenguaje no Sexista En aplicación de la Ley 3/2007, de 22 de marzo, para la igualdad efectiva de mujeres y hombres, así como la Ley 12/2007, de 26 de noviembre, para la promoción de igualdad de género en Andalucía, toda referencia a personas, colectivos o cargos académicos, cuyo género sea masculino, estará haciendo referencia al género gramatical neutro, incluyendo, por tanto, la posibilidad de referirse tanto a mujeres como a hombres Cuadros Rocío Toscano Barragán vi Cuadro III.4.3. Proceso del análisis relacional ............................................ 102 Cuadro III.4. Proceso de análisis ................................................................ 103 Cuadro IV.1.2.1. Categorías de narrativas endosadas asociadas con la relación entre estudiante-profesor ......................................................................... 115 Cuadro IV.1.2. 2. Categorías de narrativas endosadas asociadas con la relación entre los EPM y las tareas profesionales ...................................... 129 Cuadro IV.1.4. Rutinas identificadas .......................................................... 138 Cuadro IV.2.1. Respuesta extraída de uno de los informes ........................ 147 Cuadro IV.2.2. Texto extraído de Jaime & Gutiérrez (1990, pp. 306-307) ... 148 Cuadro IV.3.1. Normas inferidas en el Discurso como Alumnos ................. 158 Cuadro IV.3.2. Normas inferidas en el Discurso como Futuros Profesores . 165 INTRODUCTION Introduction Rocío Toscano Barragán 1 INTRODUCTION Over the last few decades of the past century, and within the general framework of research collected under the name of teacher thinking (Marcelo, 1987), numerous attempts were made to go more deeply into the specific knowledge required by teachers, and about the important role that it plays in the processes of students’ learning (see Sánchez, 1990, for a review of the work carried out in those decades). This interest has manifested itself in widely differing aspects, giving rise to numerous lines of research: analysis of educational systems and public policies; educational reforms and innovations; methodology of research and educational evaluation; curriculum, didactics, quality and equity in education; etc. From among these lines of research, teacher education constitutes one of the most-discussed topics, especially regarding the initial education of teachers. Focusing primarily on mathematics, we proceed to briefly develop certain ideas that are important to situate our research. The importance of primary teacher education with respect to mathematics has significantly increased its visibility and reinforced its relevance in Introduction Rocío Toscano Barragán 2 diverse forums. Specific conferences, such as the XV ICMI, which was dedicated to the Professional Education and Development of Teachers of Mathematics (2005), together with specialized journals, and many books and articles on this particular subject, have substantially contributed towards the creation of public awareness of this issue worldwide. This has led to a modification of curricular orientations of some countries, and new mathematics teacher education programs or courses have been implemented at universities and colleges of education. Nevertheless, although it may be assumed that the impact of these programs or courses on Primary teacher education has been significant, if we compare with initial stages of the implementation process, much less attention has been paid by researchers to what actually happens a number of years after in pre-service teachers’ classrooms. In this context, socio-cultural approaches have provided new and important insights for the analysis of the learning processes of pre-service teachers. This research is situated within the scope of those studies that strive towards a greater understanding of the processes of teaching and learning in general, and of that of pre-service teachers in particular. The importance at all levels (educational, social, etc.) of a better understanding of the aforementioned processes highlights the need to carry out research in this field. In recent years, research on these processes has been expanded from a cognitive perspective with the emergence of different theoretical perspectives grouped under the heading of socio-cultural perspectives, which have also been labeled as socio-historical and historical-cultural perspectives (Lave & Wenger, 1991; Wells & Claxton, 2002; Wertsch, 1985). From this, new concepts and ideas have emerged that are helping towards a better understanding Introduction Rocío Toscano Barragán 3 of these processes. In particular, the importance assigned to discourse in these approaches has been emphasized. The necessity has therefore arisen for further exploration into these new contributions and into the new avenues they open to the field of educational research. Specifically, we want to study the reality of university classrooms in which it is intended that pre-service Primary teachers try to solve professional tasks in a mathematical teacher education course of their teacher education program. This leads us to put the focus on some preservice teachers, in the context of a mathematics teacher education course, and in specific situations (working in groups to solve didacticmathematical tasks in the practical part of the course). We wish to emphasize that, in our research, the focus is situated in the pre-service teachers, and not in the university teacher. In order to address these issues, in the first chapter we initially discuss the origin of the research approaches coming from sociocultural theories. We then show several important ideas and concepts that have emerged from those approaches. This allows us to situate our research problem, and to access to what is known in the scientific field of Mathematics Education about this problem, the literature related to it is reviewed. This review enables us to substantiate the study and to frame the research problem. Specifically, this research strives to approach the discourse, norms and identities that are identified when some pre-service Primary teachers solve didactic-mathematical tasks in a mathematics teacher education course of their educational program. In the second chapter, we proceed to configure the conceptual framework of this research. This framework allows us to address the study of our research questions, and to interpret the results obtained. In Introduction Rocío Toscano Barragán 4 particular, we adopt Sfard’s perspective, and the contributions of Cobb and colleagues (Cobb, Gresalfi & Hodge, 2009; Gresalfi & Cobb, 2011) for the characterization of identity. Posteriorly, in the third chapter, the methodological design of this research is developed in keeping with the nature of the research questions raised and with the conceptual framework adopted. This methodological design enables to access to the data and hence, through its analysis, answers can be given to the research questions in the following chapters. First, we focus on the participants in the study, as well as on the context in which this research is carried out. Subsequently, we go on to detail the instruments of data collection: recordings and documents. These allow us different ways of accessing to that which really happens in the discourse of future teachers. Finally, we give details of the procedure of data analysis, which is composed of three levels: descriptive analysis, inferential analysis and relational analysis. For some of these analyses, we rely on the ATLAS.ti qualitative analysis software. Later, in Chapter IV, the results obtained of the study are presented. In Chapter V, the discussion and conclusions are set out. Through them, we try to respond the research questions posed, and the contributions and limitations of this research are outlined. Finally, the references are included, and the annex that provides supplementary information related to the didactic-mathematical tasks is given. CAPÍTULO I I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 5 CAPÍTULO I. Origen y justificación del problema de investigación I.1. Las aproximaciones socioculturales Los principios epistemológicos de las perspectivas socioculturales proceden en gran medida del trabajo de Vygotsky (1978), y sus seguidores (Leontiev, 1981; Luria, 1982) y aquellos quienes han ampliado sus teorías (entre ellos, Cole, 1996; John-Steiner, 1997; Kozulin, 1990, 1998; Lantolf, 2000, 2006; Wells, 1999; Wertsch, 1991). Vygotsky concibe el desarrollo cognitivo como una construcción cultural, que se realiza a través de la interacción con otras personas de una determinada cultura mediante la realización de actividades sociales compartidas. De este modo, en las teorías socioculturales derivadas de sus aportaciones, las actividades humanas, los eventos y las acciones no pueden separarse del contexto en el que ocurren. Por tanto, el contexto se convierte en un tema importante en la investigación sociocultural. Además, tanto el aprendizaje como la cognición se consideran procesos que están situados en contextos particulares. I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 12 autocomprensiones, especialmente aquellas con fuerte resonancia emocional para el narrador, son a lo que nos referimos como identidades. (Holland et al., 1998, p. 3) Holland et al. (1998) consideran estas diferencias en la posición en relación con otros miembros del grupo como ‘identidad posicional’. La identidad posicional tiene que ver con “las relaciones del día a día y sobre el terreno de poder, deferencia y derecho, la afiliación social y la distancia; con las interacciones sociales, las estructuras relacionales sociales del mundo vivido” (Holland et al., 1998, p. 127). En esencia, la identidad posicional se refiere a la conciencia de la posición social de una persona dentro de un mundo figurado. El espacio local de práctica combinado con los distintos mundos figurados dentro, permiten a los participantes a asumir e imponer diferentes identidades posicionales. Posteriormente, en un trabajo conjunto, Holland y Lave (2000) se refieren al contexto social de esta interacción como el espacio local de práctica. Es importante destacar dos aspectos. En primer lugar, que este espacio está socialmente e históricamente situado, es un mundo real que existe en un determinado lugar y tiempo. En segundo lugar, que en cada uno de los diferentes mundos figurados que están presentes, existen relaciones de poder interpersonales que afectan la participación en el espacio local de la práctica. Estos autores, partiendo de los trabajos de Vygotsky, Bakhtin y Mead para desarrollar su aproximación a la "historia en la persona" han formulado una teoría histórica de la práctica social que integra el estudio de las personas, las prácticas locales y las controversias (“struggles” en versión original) históricamente institucionalizadas (Holland & Lave, 2009). La teoría de la práctica social, como la teoría de la actividad histórico-cultural, tiene I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 13 la actividad como un foco central. Pero, en contraste con esta última, la teoría de la práctica social hace hincapié en la producción histórica de las personas en la práctica, y presta especial atención a las diferencias entre los participantes y a los litigios/luchas que se desarrollan a través de actividades en torno a esas diferencias. Junto a ello, incorpora una gran atención a la tensión, conflicto y diferencia en la participación en las actividades culturales. Y, por último, esta teoría hace una llamada al estudio exhaustivo de las relaciones entre las actividades culturales tanto en contextos institucionales como en las prácticas locales y translocales. I.1.3. Wenger y la teoría social del aprendizaje Wenger (1998) con su teoría social del aprendizaje aporta una visión holística del mismo al considerar que debe incluir todos los aspectos de nuestras vidas. Aprender es una parte importante de nuestra vida diaria y no una actividad separada que suceda únicamente en el aula. El considera que “el enfoque principal de esta teoría es el aprendizaje como participación social” (p. 4) y que la participación no está limitada puramente a algunas actividades sino más bien a “un proceso que incluye la participación activa en las prácticas de las comunidades sociales y construir identidades en relación a estas comunidades” (Wenger, 1998, p.4). En su teoría, Wenger (1998, p. 5) plantea cuatro principios generales para entender y posibilitar el aprendizaje. - Significado: Una forma de hablar acerca de nuestra (cambiante) habilidad, individual y colectiva, para adquirir un conocimiento sobre I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 14 nuestra vida y el mundo como algo significativo a través de las circunstancias o situaciones vividas. - Práctica: Una forma de hablar acerca de recursos sociales e históricos compartidos, marcos y perspectivas que puedan apoyar el compromiso mutuo en acción. - Comunidad: Una forma de hablar acerca de las configuraciones sociales en las cuales se reconocen nuestros esfuerzos como algo que merece la pena y nuestra participación como competencia. - Identidad: Una forma de hablar acerca de cómo el aprendizaje moldea quienes somos y crea historias personales de lo que llegamos a ser en el contexto de nuestras comunidades. Este autor considera la práctica como una negociación de significados y la identidad como una experiencia negociada, ambas en términos de participación y reificación. Para él la participación se refiere “a un proceso de tomar parte y también a las relaciones con los demás que reflejan este proceso” (Wenger, 1998, p. 55). Por tanto, se considera tanto la acción como la conexión. Él utiliza el término participación “para describir la experiencia social de vivir en el mundo en términos de condición de miembro de una comunidad social y la implicación activa en iniciativas sociales” (1998, p. 55). Por otro lado, el término de reificación se refiere “al proceso de dar forma a nuestra experiencia mediante la producción de objetos que congelan esta experiencia en cosas” (Wenger, 1998, p. 58). Con este término lo que el autor pretende es incidir en la creación de ideas de focalización alrededor de las cuales la negociación de significados llega I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 15 a estar organizada. Por ejemplo, anotar una regla, crear un procedimiento o producir una herramienta podría ser un proceso mediante el cual se da forma a la comprensión y se convierte en el foco para la negociación de significado. Cómo los individuos usan la regla para argumentar una idea, o cómo usan la herramienta para desarrollar una acción se introduce de este modo en el discurso, creando una nueva distinción que sirve como foco alrededor del cual se organiza la discusión (Wenger, 1998). Por tanto, la reificación se puede referir tanto al proceso como su producto. Así, el proceso de reificación proporciona un acceso directo de comunicación. En palabras de Wenger, “proyectamos nuestros significados en el mundo y luego los percibimos como existentes en el mundo, como teniendo una realidad propia” (Wenger, 1998, p. 58). De este modo, en la participación nos reconocemos en el otro, y en la reificación nos proyectamos hacia el mundo, pero no nos reconocemos en esas proyecciones porque a nuestros significados le atribuimos una existencia independiente. El uso de los constructos como "participation" y "reification" (en versión original) para analizar el proceso de construcción de "significados" en situaciones docentes han permitido la identificación de comunidades de práctica, su constitución, su evolución en el tiempo, de las relaciones entre prácticas, de las identidades de los participantes y de ampliar organizaciones en las cuales existían comunidades de práctica (Wenger, 1998). Para Wenger el concepto de práctica “connota haciendo, pero no haciendo en y por sí mismo. Está haciendo en un contexto histórico y social que da estructura y significado a lo que hacemos” (Wenger, 1998, p. 47). Este autor considera identidad como I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 16 una superposición de eventos de participación y reificación por los cuales nuestra experiencia y su interpretación social informan mutuamente. Como percibimos nuestro efecto sobre el mundo y desarrollamos nuestras relaciones con los demás, dan lugar a capas que se van construyendo una sobre otra para producir nuestra identidad como un complejo entretejido de la experiencia participativa y proyecciones de reificación. (Wenger, 1998, p. 151) Es precisamente en la interacción que se produce en la negociación de significados donde la experiencia de vida se convierte en una de identidad, permitiendo construir quienes somos. Este autor muestra en el mencionado trabajo cómo las diversas características de la práctica pueden interpretarse como características de la identidad, estableciéndose así un paralelismo entre ambas y obteniéndose una caracterización de la identidad que hereda la riqueza y la complejidad de la práctica. Para Wenger (1998), identidad en la práctica se define socialmente, no sólo porque es reificado en un discurso social del individuo y de categorías sociales, sino también porque se produce como una experiencia vivida de la participación en determinadas comunidades. Qué relatos, categorías, roles y posiciones llegan a significar como una experiencia de participación es algo que debe ser resuelto en la práctica. (p. 151) I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 17 Para desarrollar una práctica se necesita la formación de una comunidad cuyos miembros puedan participar y relacionarse con los demás, y así dar lugar a la negociación de identidades (Wenger, 1998). I.1.4. Bernstein y la dimensión social Las aportaciones de Bernstein (1996), desde un punto de vista más sociológico, se han centrado en el conocimiento escolar y su transmisión, poniendo en relación los aspectos sociolingüísticos con el análisis de los códigos de la escuela. Al relacionar el proceso y contenido de la escuela con las diferencias de las clases sociales y al poner de manifiesto la necesidad de un análisis de las consecuencias de esas diferencias en el currículo y la pedagogía, Bernstein aporta una dimensión social a los procesos de enseñanza/aprendizaje, y pone de manifiesto que los sociólogos de la educación tienen que llevar acabo la difícil tarea empírica de observar el mundo de la escuela desde dentro y poner en relación las prácticas educativas con un contexto de factores institucionales, sociales e históricos más amplios, del que forma parte la escuela. El concepto de clasificación es clave en la teoría del discurso y la práctica pedagógica de Bernstein y tiene que ver con el aislamiento o las fronteras entre las categorías del currículo (áreas de conocimiento y materias), incorporando una valiosa información a la hora de abordar la práctica educativa. En su desarrollo, la teoría de Bernstein se ha centrado tanto en procesos micro como macro, considerando que su interrelación da cuenta de las formas de producción y reproducción en el campo de control simbólico. Se puede considerar que su centro de atención está puesto en los modos prácticos de la transmisión y que la comunicación, la práctica pedagógica, se constituye en un objeto central de estudio. I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 18 Esta comunicación se puede dar entre las instituciones y los docentes, entre docentes y estudiantes, entre padres e hijos, entre iguales, etc., interactuando sujetos y relaciones y configurando un discurso situado en un contexto que, para ellos, es relevante. La teoría de Bernstein permite describir y explicar la práctica pedagógica desde la perspectiva de la transmisión-adquisición del conocimiento y cómo, a su vez, podemos conectar esta práctica pedagógica con procesos globales de distribución y apropiación de tipos de conocimiento entre grupos sociales. El modelo que propone Berstein se centra en cómo diferentes formas de seleccionar y organizar el conocimiento curricular producen diferentes identidades y relaciones en contextos pedagógicos. Formulado con referencia a la importante reestructuración de los sistemas educativos que se ha producido desde la década de 1960, el modelo intenta comprender nuevas formas de organización curricular y la producción correspondiente de identidades educativas. Para Graizer y Navas (2011): El modelo del discurso pedagógico (Bernstein, 1986, 1990a) pretende señalar sistemáticamente los «principios que conforman la práctica comunicativa especializada», que es la característica distintiva de la actividad central de la escuela, las relaciones de transmisión-adquisición. Es decir, pretende averiguar cómo funciona el propio proceso de transmisión-adquisición, prestando atención no tanto a los productos de ese proceso, sino a los principios que lo hacen posible. Si sabemos cuáles son los principios que subyacen a la pedagogía, podremos I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 19 realizar tanto descripciones como explicaciones acerca de cómo funciona el proceso de transmisión-adquisición. (p.136) Este modelo puede ser utilizado en cualquier contexto en el que haya una comunicación pedagógica, constituyéndose en el objetivo básico del modelo el proporcionar una estructura para empezar a estudiar las prácticas comunicativas, las reglas de su producción y las de su reproducción. Esto podría producir descripciones y explicaciones de las formas de identidad generadas en esas prácticas y sus relaciones con los procesos de producción y reproducción de lo social (Bernstein, 2000, 2001). El trabajo de Bernstein ha sido bastante polémico. Durante más de dos décadas se ha debatido, probado y retado. Una crítica general es que el trabajo de Bernstein es excesivamente funcionalista, técnico, teorizante de las relaciones sociales y poco conocedor respecto a las escuelas reales (McFadden, 1995). Bernstein (1996) sugiere que estas críticas de su obra teórica surgen en parte de la dificultad que implica publicar libros constituidos por investigaciones empíricas organizadas en relación con una teoría de la información, especialmente cuando la teoría es interdisciplinaria e intersecta muy diferentes lugares de publicación. I.1.5. Una consideración global Para finalizar este apartado se destaca que, aunque no se puede hablar de un campo teórico unificado, en mayor o menor medida las aproximaciones socioculturales tienen un origen común en los trabajos de Vygotsky (1978), compartiendo la idea de que “comunicación, pensamiento y aprendizaje son procesos relacionados que están I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 20 modelados por la cultura” (Mercer, 2004, p. 138). Según este último autor, los sucesos comunicativos se modelan por factores históricos y culturales, y el pensamiento y el aprendizaje no se pueden entender sin tener en cuenta la naturaleza social y comunicativa de la vida humana. En el breve recorrido por los diferentes autores que hemos ido realizando hemos podido apreciar orígenes compartidos y diferentes trayectorias investigadoras, pero en todos ellos hay algo en común: el discurso que modela la interacción interpersonal se vuelve un elemento clave, y esto es precisamente lo que nos permite situar nuestra problemática de investigación, como se muestra en el siguiente apartado. Los trabajos anteriormente mencionados nos han llevado a apreciar la existencia de discursos particulares, de unas normas que regulan esos discursos y de unas identidades que se generan a través de las interacciones que se dan en ellos. La importancia alcanzada por estos aspectos y la posible influencia que pueden tener en el proceso de formación de los estudiantes para maestro de Primaria es el marco en el que se sitúa nuestra problemática de investigación. I.2. Revisión de literatura relacionada con la problemática de investigación en el campo de la Educación Matemática Dado que discurso, normas e identidad son los tres elementos teóricos en los que se enmarca nuestra problemática de investigación, pasamos a revisar en los apartados posteriores alguna literatura relacionada con ellos, centrándonos fundamentalmente en el campo de la Educación Matemática, de modo que, basándonos en lo ya conocido, I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 21 podamos situar y concretar la problemática de investigación, y fundamentar el diseño metodológico que permita abordarla. I.2.1. Investigaciones relacionadas con el discurso en Educación Matemática El asumir la importancia que el discurso tiene en las aproximaciones socioculturales nos lleva a profundizar en el papel que se le ha asignado en el campo de la Educación Matemática. Desde un punto de vista institucional, la importancia del papel del lenguaje/discurso en el aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas ha sido destacada en muchos documentos oficiales y estándares curriculares relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas (Barwell, 2016). Muchos planes de estudio de Matemáticas a diferentes niveles incluyen en la actualidad recomendaciones explicitas sobre el desarrollo del lenguaje matemático, a menudo con un enfoque específico en el vocabulario. Entre ellos, el propio Barwell menciona el OME (Ontario Ministry of Education, 2005), el UK Department for Education (The National Curriculum in England: Key stages 3 and 4 framework document, 2013), o el US Common Core State Standards Initiative for Mathematics (2010). En el currículo de Matemáticas de la escuela de Secundaria de Inglaterra, por ejemplo, el lenguaje hablado está vinculado explícitamente al pensamiento matemático. En el caso de nuestro país, en el BOE del jueves 29 de enero de 2015 se recoge la orden ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se describen las relaciones entre las competencias, los contenidos y los criterios de evaluación de la Educación Primaria, la Educación Secundaria Obligatoria y el Bachillerato, en la que se enfatiza la importancia de este lenguaje en numerosas ocasiones y contextos. Se I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 28 Matemáticas de la escuela Primaria en Quebec, dentro de un proyecto diseñado para examinar el aprendizaje matemático en diferentes idiomas en alumnos de 5º y 6º cursos, de 10 a 12 años. Los alumnos son aprendices de un segundo idioma, y están aprendiendo sobre los polígonos. A lo largo de un periodo de tres semanas se grabaron en audio tanto las interacciones del gran grupo como las de los pequeños grupos. Considerando la lección como un todo, la perspectiva dialógica subraya la naturaleza emergente, situada, local y constante de los discursos matemáticos en la lección, y la relación que se construye entre maneras más o menos formales de expresar las Matemáticas. Este autor argumenta que ambas maneras (expresión matemática informal y formal) son necesarias y que siempre están en tensión. Muy recientemente una serie de autores se han centrado en el discurso matemático de estudiantes de Matemáticas universitarias, estudiando el aprendizaje matemático a través del cambio discursivo siguiendo el marco comognitivo de Sfard. Estos estudios han dado lugar a la identificación de diferentes discursos dentro del discurso matemático, discurso geométrico, algebraico o analítico para estudiar la línea tangente y su transición entre los diferentes contextos matemáticos (Biza, 2017), o discurso de evaluación de los profesores, discurso escolar y discurso universitario para estudiar las prácticas de evaluación de los profesores en relación a la transición de los estudiantes a las Matemáticas universitarias (Thoma & Nardi, 2017), entre otros. En estos trabajos se ejemplifican la aplicación del marco comognitivo en estudios que investigan el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas en el nivel universitario. Considerados globalmente, las investigaciones relacionadas con el discurso que hemos mencionado han mostrado: I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 29 - la presencia que tiene el discurso en los documentos y estándares curriculares, mostrando en ocasiones la divergencia entre discursos, - el discurso como medio de aproximarse al aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas, - como las interacciones que se producen en él influyen en el razonamiento matemático y la cognición social, - la coexistencia de discursos y las problemáticas que generan, y - la existencia de diferentes discursos y la transición de unos a otros mientras se aprende Matemáticas. I.2.2. Investigaciones relacionadas con la identificación de normas Son numerosos los trabajos que en las últimas décadas se han ocupado de las distintas normas identificadas en diferentes contextos y con diferentes consecuencias. En estos trabajos, estas normas se han considerado con matices a veces diferentes. Desde una perspectiva sociológica, las normas o prescripciones han sido especificadas como demandas si se muestran de manera obvia o normas si son supuestos ocultos o ideas subyacentes (Biddle & Thomas, 1996). Autores como Herbel-Eisenmann (2003) han proporcionado información sobre diferentes terminologías que han sido utilizadas con respecto al uso de la palabra 'norma', según la perspectiva adoptada. Aquí se van a considerar exclusivamente los más directamente relacionados con este estudio, incidiendo en cómo consideran las normas, cómo han accedido a ellas, y qué resultados han obtenido. Análogamente a lo que sucedía con el discurso, algunos autores (Roy, Tobias, Safi & Dixon, 2014) han señalado que los intentos actuales de reforma (recogidos en diferentes recomendaciones oficiales I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 30 que estos autores mencionan y que podrían extenderse a nuestro país) describen aulas en las que los estudiantes toman un papel más activo en su aprendizaje. En estos tipos de entornos de aprendizaje, el establecimiento de constructos normativos dicta las interacciones entre todos los miembros de la comunidad de aula y, a su vez, determina lo que se aprende. Estos constructos normativos, que se identifican en las recomendaciones oficiales, también han sido tenidos en cuenta en el campo de la investigación. Las interacciones sociales que se generan en diferentes contextos y su relación con las normas establecidas en ellos han sido el foco de interés de numerosos investigadores. Roy et al. (2014) señalan que las investigaciones desarrolladas con estudiantes de los primeros niveles (Dixon, Egendoerfer, & Clements, 2009; Lopez & Allal, 2007; Kazemi, 1998; Kazemi & Stipek, 2001; McClain & Cobb, 2001; Stephan & Whitenack, 2003; Yackel, Cobb, & Wood, 1998), así como con estudiantes universitarios de matemáticas (Ortiz-Robinson & Ellington, 2009; Stylianou & Blanton, 2002; Yackel, Rasmussen & King, 2000; Yoon, Kensington-Miller, Sneddon, & Bartholomew, 2011) que participan en una comunidad escolar han documentado la importancia y la forma en la que las normas sociales y socio-matemáticas permiten a los estudiantes a asumir un papel más activo en su aprendizaje de las matemáticas. (pp. 34-35) Centrándonos en aquellos trabajos que se han ocupado de las normas sociales, socio-matemáticas y matemáticas, Yackel y Cobb I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 31 (1996) presentan una forma de interpretar lo que sucede en las aulas de Matemáticas que tiene por objetivo dar cuenta de cómo los estudiantes desarrollan los valores y creencias matemáticas y, en consecuencia, cómo llegan a ser intelectualmente autónomos en Matemáticas. Para ello, se centran en lo que ellos consideran normas socio-matemáticas, consideradas como “los aspectos normativos de discusiones matemáticas específicos de la actividad matemática de los estudiantes” (p. 461). Por ejemplo, la comprensión normativa de lo que cuenta como matemáticamente diferente, sofisticado, eficiente o elegante, junto con explicaciones o justificaciones matemáticas aceptables en una clase son para estos autores normas socio-matemáticas. La incorporación de este tipo de normas amplía su trabajo previo sobre las normas sociales generales de aula consideradas como “aquellas que sostienen las microculturas de la clase caracterizadas por la explicación, argumentación y justificación” (p. 460). Ejemplos de estas normas sociales pueden ser normas generales de la clase que pueden ser aplicadas a cualquier materia, como pedir a otros alumnos que justifiquen sus decisiones, etc. Los propios autores previenen de la sutil distinción que hay entre estas normas sociales y socio-matemáticas, señalando que: El entendimiento de que los estudiantes deben explicar sus soluciones y sus maneras de pensar es una norma social, mientras que el entendimiento de lo que cuenta como una explicación matemática aceptable es una norma socio-matemática. Asimismo, la comprensión de que al hablar de un problema los estudiantes deben ofrecer soluciones diferentes de las ya aportadas es una norma social, mientras que el entendimiento de lo que I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 32 constituye la diferencia matemática es una norma sociomatemática. (Yackel & Cobb, 1996, p. 461) Desde una perspectiva teórica que, según los propios autores, deriva del constructivismo, el interaccionismo y la etnometodología, Yackel y Cobb (1996) utilizan como constructos teóricos críticos para el desarrollo de la noción de normas socio-matemáticas la constitución interactiva de significados y la reflexibilidad. Las fuentes de datos del estudio incluyeron grabaciones en vídeo de todas las lecciones de Matemáticas del ciclo escolar y de entrevistas individuales con cada alumno de la clase al principio, medio y final del año escolar. Fuentes de datos adicionales fueron las notas de campo de los investigadores y las copias del trabajo escrito de los estudiantes. En base a ello, se elaboraron episodios de un aula escolar para aclarar los procesos mediante el cual se constituyen interactivamente las normas sociomatemáticas e ilustrar cómo estas normas regulan la argumentación matemática e influyen en las oportunidades de aprendizaje para los estudiantes y el profesor. De esta manera, muestran cómo los estudiantes desarrollan una disposición matemática y dan cuenta del desarrollo creciente de la autonomía intelectual de los estudiantes en Matemáticas. En el proceso, el papel del profesor como representante de la comunidad matemática es elaborado. Estos autores han mostrado como estas normas regulan la argumentación matemática e influyen en las oportunidades de aprendizaje para los estudiantes y el profesor. Otros autores han usado las normas socio-matemáticas con un mayor peso social que en la interpretación de Yackel y Cobb, enfocándose en las distintas reinterpretaciones de las mismas normas en las aulas multiétnicas donde los estudiantes inmigrantes sienten que I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 33 ellos mismos o sus contribuciones eran valoradas negativamente (Gorgorió & Planas, 2005). Para estas autoras, en la búsqueda de continuidades y discontinuidades, la idea de norma se convierte en un concepto esencial. Ellas se centran en las normas socio-matemáticas y las normas de la práctica matemática. Aunque ellas mismas indican que al comenzar la investigación (Gorgorió, Planas & Vilella, 2002; Planas & Gorgorió, 2001), utilizaron las normas tal y como fueron introducidas por Cobb y sus colegas, en el desarrollo del estudio de los procesos de transición, se hizo evidente que estas construcciones no permitían totalmente interpretar lo que estaban observando: diferentes interpretaciones de la misma norma dentro de un aula de Matemáticas. Por todo ello, incluyeron en su consideración de las normas las regularidades de la práctica y de la interacción social que se establecen por el individuo y las interpretaciones del grupo de lo que se percibe como aceptable o deseable. En las tres aulas de Secundaria multiculturales que estudiaron encontraron diferentes percepciones de una situación particular como ‘ser aceptable o deseable’, lo que provocaba los obstáculos para el proceso comunicativo. Esto les llevó a plantearse preguntas como ‘¿qué normas establecen?’, ‘¿cómo pueden ser acordadas, negociadas o cambiadas?’, o ‘¿cómo se establece lo ‘accesible’ o ‘aceptable’?’ En su trabajo se puso de manifiesto como la falta de negociación causa obstáculos a la participación de los estudiantes inmigrantes en la conversación matemática. Para Partanen y Kaasila (2015) los conceptos de las normas sociales y socio-matemáticas han sido útiles para guiar la participación de los debates de los estudiantes en las discusiones matemáticas, y para mejorar la calidad de sus contribuciones cuando se tienen en cuenta enfoques de colaboración en el estudio de las Matemáticas. Estos I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 34 autores llevaron a cabo un experimento de enseñanza con 700 alumnos de aproximadamente 17 años de edad, en un curso obligatorio de cálculo del nivel de enseñanza Secundaria Superior. La clase experimental estaba formada por 31 estudiantes de segundo año de Secundaria. Los alumnos trabajaron en grupos de tres a cuatro. El profesor no presentaba los conceptos básicos de cálculo, límites y derivadas, directamente, sino que les daba a los alumnos secuencias de preguntas y problemas para discutir y resolver juntos. En la construcción de las preguntas no se utilizó ninguna perspectiva teórica del aprendizaje específica. En el desarrollo del estudio, antes de enseñar los conceptos de cálculo, se pidió a los estudiantes que respondiesen algunas preguntas y resolviesen problemas en grupos pequeños. El objetivo era que los estudiantes construyesen aspectos importantes de los conceptos por sí mismos mientras discutían ideas y hablaban sobre Matemáticas. Durante la fase en pequeños grupos, el profesor recorría los diferentes grupos, discutiendo con los estudiantes y respondiendo a sus preguntas. Después de las sesiones en pequeños grupos, se discutían y resumían las ideas de los estudiantes, intentando el profesor establecer conexiones entre conectar su enseñanza y las experiencias de los estudiantes. Se seleccionaron dos pequeños grupos para la grabación de vídeo. Los estudiantes de estos grupos eran de un alto nivel, y aceptaron voluntariamente participar en las grabaciones. Los datos principales consistieron en los debates de estos grupos durante seis sesiones de investigación. En sus resultados, los autores consideran que la aproximación investigativa adoptada en el aula propició que nuevas I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 35 normas socio-matemáticas tuvieran que ser negociadas o producidas. En concreto, cuando se investiga en Matemáticas, uno debe abordar el tema de una manera creativa, y al investigar en Matemáticas se dan por válidos diferentes enfoques, además de los métodos simbólicos. Los autores indican que no han encontrado descripciones de la norma relacionada con la investigación creativa en la literatura revisada. En la negociación entre el profesor y los alumnos se identifican normas socio-matemáticas ya existentes. Algunas de ellas parecen ser relevantes en la nueva situación, como que la justificación explícita en Matemáticas debe basarse en las propiedades de objetos matemáticos. Sin embargo, algunas de las normas existentes parecían molestar la utilización del enfoque investigativo, tales como que el método aceptado para una tarea matemática deba ser en forma simbólica. Especial relevancia tiene para este estudio aquellos trabajos que se han ocupado de la identificación de las diferentes normas en futuros profesores. En este sentido, Tatsis y Koleza (2008), se han centrado en normas sociales y socio-matemáticas, estudiando cómo estas normas son establecidas durante las interacciones de futuros profesores cuando resuelven problemas matemáticos, y su efecto en el proceso de resolución de problemas. Estos autores contemplando las normas en el mismo sentido de Yackel y Cobb (1996), investigaron cómo se establecen las normas sociales y socio-matemáticas durante las interacciones de futuros profesores de Primaria cuando resuelven problemas matemáticos. Los participantes en la investigación fueron 40 estudiantes que se prestaron a colaborar en el estudio. En particular, en este trabajo intentaron identificar las normas establecidas en ese contexto particular con objeto de compararlas con otras ya establecidas en la literatura sobre el tema. El marco adoptado fue el interaccionismo I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 36 simbólico. A través del análisis de las transcripciones de las discusiones de los estudiantes, estos autores identificaron tres normas sociales y seis normas socio-matemáticas. Entre las tres normas sociales, identificaron la norma de colaboración; en ella se esperaba que los participantes alcanzaran un acuerdo sobre el proceso de solución y sus características, poniendo como ejemplo de estas últimas los conceptos y procedimientos incluidos. Esto se pudo identificar por la utilización de la primera persona del plural de los verbos y por las preguntas que realizaban a los compañeros para pedir opinión antes de hacer algo. Otra de las normas sociales fue la norma de justificación que como su propio nombre indica tiene que ver con la justificación de tú opinión ante los demás, particularmente cuando es una postura diferente a los compañeros. En este caso, esta norma pudo ser identificada por el uso de palabras tales como “porque”, “es por”, etc. La última norma social identificada fue denominada por estos autores ‘evitación de amenazas’ ‘(avoidance of threat’ en versión original), que consideraba que una persona no pretende adoptar una actitud desafiante u hostil hacia sus compañeros; esto se pudo apreciar mediante el discurso indirecto empleado o mediante diferentes actos de cortesía. Dentro de las seis normas socio-matemáticas identificaron dos normas relacionadas; una primera norma de no-ambigüedad, en la cual se consideraba que las expresiones matemáticas tienen que ser claras e inequívocas, lo que se expresaba a través de las reformulaciones que realizaban en busca de claridad, y la otra norma estaba relacionada con la comprensión de la tercera persona, que se relacionó con la anterior incidiendo en la reformulación de esas expresiones unidas a referencias I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 37 a una tercera persona. Otra de las normas socio-matemáticas fue la norma de justificación matemática que trata sobre la necesidad de justificar un método matemático antes de usarlo, es decir, se consideraba que tiene que haber una razón que justifique su uso. Esta norma se pudo identificar por el uso de preguntas, sobre todo aquellas que incluyen “por qué”. También, se encontraba entre dichas normas socio-matemáticas, la norma de la diferenciación matemática en la que se consideraba que las áreas matemáticas son distintas y no pueden solaparse, además comprendía lo que los estudiantes entienden como una solución ‘matemática’ y una ‘práctica’ solución a un problema pues encontraron una diferenciación entre las Matemáticas y las prácticas cotidianas. La norma de validación, en la cual los métodos matemáticos tienen que ser validados antes o después de su aplicación. Esta norma estaba relacionada con la norma de justificación, y se pudo apreciar por las expresiones en busca de información u otras expresiones pertinentes tales como “olvídalo, nos llevará años hacer eso”. Y, por último, la norma relacionada con la relevancia, que indicaba que se espera que el resultado de un método sea relevante para el problema considerado. Estos autores concluyen que algunas normas identificadas en otros estudios también fueron encontradas en su caso. Sus resultados muestran que la mayor parte de estas normas, una vez establecidas, mejoran el proceso de solución de problemas. Indican que existen también excepciones, pero éstas tienen una orientación local y una relativamente menor influencia. La descripción de las diferentes formas en las que los futuros profesores de Primaria contribuyeron a las normas que fueron establecidas y re-establecidas a lo largo de todo un semestre en un I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 44 perfectamente estructurado en su forma de enseñanza y aprendizaje. Además, a través de estas últimas normas también se identificaron características de determinadas perspectivas, por ejemplo, transmitir, validar y resolver son verbos que pueden describir acciones o condiciones que caracterizan el rol del profesor para estos futuros profesores (Toscano et al., 2013). Sin embargo, cómo algunas normas podrían fomentar el desarrollo de ideas o apreciaciones relacionadas con la adopción de una perspectiva determinada de un profesor no se consideraron en profundidad. En general, las investigaciones relacionadas con la identificación de normas en las aulas matemáticas han revelado: - cómo se establecen las normas durante las interacciones sociales que se generan en diferentes contextos, - el importante papel que juegan en el aprendizaje de los estudiantes en diferentes niveles educativos, y - el rol del profesor para desarrollar las normas en clase como miembros de una misma comunidad. I.2.3. Investigaciones relacionadas con la identidad La idea de identidad en la investigación educativa es una noción controvertida. Los defensores afirman que este concepto permite a los investigadores ampliar el alcance de sus análisis más allá de un enfoque exclusivo sobre la naturaleza del razonamiento matemático de los estudiantes, considerando también la manera en que los estudiantes piensan sobre sí mismos en relación con las Matemáticas y el grado que han desarrollado de compromiso y han llegado a ver valor en las Matemáticas como se realiza en el aula. Por tanto, abarca cuestiones I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 45 que incluyen la persistencia e interés en las Matemáticas de los estudiantes y su motivación para aprender Matemáticas (Cobb et al., 2009). A pesar de estos argumentos, Sfard y Prusak (2005) indican que sus detractores pueden argumentar con una cierta justificación que su construcción es vaga y mal definida, y que su relevancia para la mejora del aprendizaje y la enseñanza de las Matemáticas centrales no siempre ha sido evidente. Estas autoras indican que, para ellas, “la noción de identidad es un perfecto candidato para el papel de ‘el lazo perdido’ en la historia de los investigadores (researchers’ story) de la compleja dialéctica entre el aprendizaje y su contexto sociocultural” (Sfard & Prusak, 2005, p.15). Desde nuestro punto de vista, la amplitud de los contextos en los que ha sido aplicada, y que ha llevado a los investigadores a hablar de distintas identidades, identidad cultural (De Abreu & Hale, 2011), políticas de identidad (Hale, 1997), identidades de aprendizaje (Boaler, 1999), desarrollo de la identidad de los profesores (González, 2009) entre otras muchas, puede haber contribuido a sus múltiples conceptualizaciones. En una revisión sobre la literatura relacionada con la identidad en Educación Matemática en los últimos 20 años que abarca un total de 188 artículos, Darragh (2016) señala en base a ella que se confirman las quejas dentro de este campo de investigación sobre la falta de definiciones claras sobre este concepto y sugiere que algunas investigaciones sobre él son a veces incompatibles teóricamente. Esta autora pone de manifiesto que el trabajo en este campo puede venir de dos paradigmas distintos, indicando que “la identidad puede ser vista como una acción y encaja dentro de un marco sociológico o puede ser vista como una adquisición encajando dentro de un marco psicológico” I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 46 (p. 19). Para Darragh (2016), cuales quiera que sea la precisión del nivel en que se sitúe un estudio, la identidad proporciona unas lentes a través de las cuales se puede analizar, entender y deconstruir una situación. La aceptación por la comunidad investigadora de la identidad como una noción fundamental nos lleva a plantearnos si las normas identificadas en el discurso de los futuros profesores pueden contribuir de algún modo a la construcción de determinadas identidades. A continuación, nos centraremos en aquellos trabajos más directamente relacionados con nuestra problemática de investigación, tratando de fundamentar las decisiones que asumimos en este estudio. Autores como Boaler y Greeno (2000) consideran el aprendizaje como un proceso de formación de la identidad que los estudiantes van desarrollando a medida que aprenden a ser estudiantes de Matemáticas en los mundos figurados de las clases de Matemáticas. Ellos en su trabajo consideran saber y entender las matemáticas como aspectos de la participación en las prácticas sociales, en particular las prácticas del discurso, en las que las personas se dedican a dar sentido y resolver problemas utilizando representaciones matemáticas, conceptos, y métodos como recursos. Llamar a estas prácticas sociales no excluye las actividades de los individuos que trabajan solos. (Boaler & Greeno, 2000, p. 172) Teniendo esto en cuenta, el aprendizaje matemático de los estudiantes es considerado por estos autores como “una trayectoria de I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 47 participación en las prácticas del discurso y el pensamiento matemático” (p. 172). Por tanto, las prácticas sociales ofrecen un contexto para el aprendizaje matemático, y la participación en estas prácticas es lo que nos dice qué aprendizaje de las Matemáticas ocurre. En su trabajo, Boaler y Greeno (2000) interpretan los resultados de 48 entrevistas con estudiantes de Secundaria de cálculo utilizando el término de ecologías de participación (ecologies of participation en versión original) considerado en términos de mundos figurados, posicionamiento y autoría desarrollados por Holland et al. (1998). Las entrevistas eran semiestructuras, y se les pedía que describieran sus lecciones de clase, aquellas que le gustaron y las que no, el grado de discusión matemática, y la naturaleza de la confianza matemática. Las descripciones indicaban sus percepciones de los entornos de aprendizaje, sus posiciones de participación en ellos y reflejaban sus creaciones de las identidades como aprendiz de Matemáticas. Aquí los autores van a considerar la representación que los estudiantes hacen de sus entornos de las clases de Matemáticas en las que trabajaban y subsecuentemente sus creencias sobre las Matemáticas. Los resultados mostraron dos tipos de entornos de aprendizaje, proporcionando una imagen de los mundos figurados que los estudiantes experimentaron. Para hacer distinciones entre ambos los autores consideran las diferentes maneras de saber (ways of knowing: received knowing, subjective knowing, separate knowing and connected knowing) desarrolladas por Belenky y sus colegas (Belenky, Clinchy, Goldberger & Tarule, 1986), pero para Boaler y Greeno (2000) estas maneras de saber “son características de las adaptaciones de los estudiantes a sus entornos de aprendizaje matemáticos” (p. 174). Las entrevistas aportan evidencias de las diferentes maneras de saber que los estudiantes están I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 48 obligados a aceptar, negociar u oponerse en las aulas matemáticas. También consideran las implicaciones que las diferentes experiencias y creencias tienen para la naturaleza del conocimiento, la identificación y la participación de las Matemáticas proporcionando información sobre las identidades que los estudiantes crearon con respecto al saber y aprender Matemáticas. Tratando de hacer operativa la noción de identidad, para evidenciar su potencial como herramienta analítica en las investigaciones relacionadas con el aprendizaje, y de acuerdo con su consideración como una actividad discursiva, Sfard y Prusak (2005) sugieren que “las identidades pueden definirse como colecciones de historias sobre las personas o, más específicamente, como esas narrativas sobre los individuos son reificadas, endosables y significativas” (p.16). Para ellas, estas historias, incluso dichas individualmente, son productos de unas narraciones colectivas. Estas identidades pueden ser divididas en dos subconjuntos: identidades reales, formadas por historias sobre el estado real de las cuestiones que se tratan, e identidades designadas, narrativas que presentan un estado de la cuestión que, por diferentes razones, puede esperarse que se den ahora o en el futuro. Tomando como punto de partida estas consideraciones, las autoras tratan de aplicar su visión de la identidad como el ‘lazo perdido’ entre el aprendizaje y el contexto sociocultural en el que éste tiene lugar. Para ello, se apoyan en un estudio más amplio anteriormente realizado (ver Prusak, 2003), que sirve a Sfard y Prusak (2005) para ilustrar empíricamente que el aprendizaje se puede considerar como una forma de salvar la distancia entre la identidad real y la identidad designada I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 49 consideradas como dos conjuntos de historias significativas y reificadas sobre el aprendizaje que también son aprobadas por el aprendiz. En el estudio que llevaron a cabo los participantes pertenecían a una clase de Educación Secundaria Superior (17 años de edad) y seguían un programa de Matemática avanzada. Nueve de los 19 estudiantes eran inmigrantes recientes que provenían de grandes ciudades en la antigua Unión Soviética. El resto eran nativos israelíes. La segunda autora, que a su vez era inmigrante de la Unión Soviética, fue la profesora. A lo largo de todo el curso escolar, se observaron y documentaron cuidadosamente todos los procesos de aula. Como fuentes de datos adicionales, se realizaron entrevistas con los estudiantes, sus padres y otros profesores. El análisis de los datos permitió apreciar la importancia de las diferencias entre los procesos de aprendizaje de los dos grupos, mostrando a través de tareas la consistencia de la homogeneidad intragrupal y de las disparidades intergrupales. Concretamente, en su trabajo, presentan la discusión en base a dos casos representativos de cada uno de los dos grupos, una nativa y una recién llegada, que denominaron Leah y Sonya, respectivamente. Ambas eran consideradas buenas estudiantes, pero diferían sustancialmente en la forma en que aprendían. Así, por ejemplo, mientras la primera de ellas estudiaba de forma independiente, con la ayuda de un libro de texto y una hoja de cálculo, realizando todas las tareas encomendadas por el profesor, los informes de Sonya revelaron un proceso mucho más complejo de aprendizaje, incluyendo repetidas pruebas, autocorrección y auto-organización de lo aprendido. Para Leah, el maestro parecía ser el destinatario final, mientras que para Sonya lo que hacía parecía que era para ella misma, de acuerdo con su propia valoración de la importancia. I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 50 El análisis de las autoras permitió apreciar numerosas observaciones similares, que llevaron a identificar que el aprendizaje de Leah era un aprendizaje ‘ritualizado’, es decir, motivado principalmente por un deseo de adherirse a las ‘reglas del juego’ con el que, por razones sociales, se sentía obligada a cumplir. Diferentemente, Sonya se esforzó hacia un aprendizaje sustancial, con efectos que duran más allá de las actividades del aula y que pueden evaluarse según criterios independientes de los gustos u opiniones personales de un profesor particular. Las autoras concluyen el trabajo estableciendo lazos entre el aprendizaje y la identidad, y entre la propia identidad y el contexto sociocultural del aprendizaje, señalando la existencia de una estrecha correspondencia entre las formas de aprendizaje de las dos estudiantes y la efectividad de su aprendizaje. Otros trabajos sobre la identidad han puesto su foco de interés en proporcionar aproximaciones analíticas que permitan documentar las identidades. Así Bucholzt y Hall (2005), desde una perspectiva sociocultural, han propuesto un marco para el análisis de la identidad que se establece en la interacción lingüística basado en una serie de principios (en versión original, ‘Emergence’, ‘Positionality’, ‘Indexicality’, ‘Relationality’, y ‘Partialness’). Estos principios para las autoras representan una variedad de formas en las que los investigadores se aproximan a los temas relacionados con la identidad y que deben ser tenidas en cuenta cuando se intenta aproximarse a ella. En el artículo se ejemplifican esos principios a través del examen de un repertorio de las mencionadas interacciones. Aunque el conocer estas múltiples formas de abordar el problema nos ha permitido ampliar nuestra perspectiva a la hora de abordar esta I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 51 investigación, más directamente relacionado con ella están los trabajos de Cobb et al. (2009), y de Gresalfi y Cobb (2011). El primero de estos trabajos, Cobb et al. (2009), apoyándose en un esquema interpretativo propuesto por ellos mismos para el análisis de las identidades que están desarrollando los estudiantes que participan en la actividad matemática en las aulas, presentan un caso que ilustra la importancia de centrarse en las identidades que los estudiantes desarrollan cuando están realizando actividades en las aulas. En su investigación participaron estudiantes de una clase de Secundaria. Estos participantes formaban parte de dos clases diferentes (una clase de álgebra sin especiales características y una clase de análisis de datos estadísticos en la que se incorporaba un diseño experimental). Los datos utilizados para documentar la identidad normativa como un “hacedor” de Matemáticas en la clase de álgebra consistieron en notas de campo de las observaciones de cada sesión de clase durante 14 semanas. En el caso de la clase experimental, los datos consistieron en grabaciones en vídeo de las 41 sesiones de aula y notas de campo. El objetivo de los investigadores en el análisis de los datos de cada clase fue documentar obligaciones de clase general enfocándose en la distribución de autoridad y las formas de agencia que los estudiantes puedan ejercer legítimamente y, obligaciones específicamente Matemáticas de los estudiantes en base a la argumentación matemática y las formas normativas de razonamiento con herramientas y símbolos escritos. El análisis de datos realizado por estos investigadores es una variante del método de comparaciones constantes de Glaser y Strauss (1967). En la primera fase trabajaron cronológicamente todos los datos recolectados de cada clase. En esta fase, hicieron, aprobaron y revisaron conjeturas sobre las obligaciones generales y específicamente I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 52 matemáticas. En la segunda fase, analizaron la cadena de conjeturas y refutaciones resultante para producir empíricamente relatos fundamentados de ambas obligaciones en cada clase. En base a los relatos (accounts), que consistían en una red de afirmaciones que abarca cada conjunto de datos, los autores fundamentaron sus afirmaciones acerca de la distribución de la autoridad en cada clase, las formas de agencia que los estudiantes fueron capaces de ejercer, lo que consideran competencia matemática y comprensión en cada clase, y lo que contaba para los estudiantes como matemáticamente correcto. El análisis de las obligaciones generales y específicamente matemáticas de los estudiantes en las clases de álgebra y de diseño experimental ilustra un enfoque concreto para documentar la identidad normativa como un hacedor de Matemáticas en clases particulares. El análisis de las muestras reveló que las identidades normativas difieren significativamente entre las dos clases. En el caso de la clase de álgebra, los estudiantes debían identificar una forma de actividad matemática que limitaba el ejercicio de su autonomía (pasos de cálculo prescritos sobre notaciones algebraicas escritas, etc.). En cambio, en la clase experimental tenían que identificar una forma de actividad matemática en la que podían ejercer autonomía conceptual cuando creaban e interpretaban muestras de datos para identificar tendencias y patrones que dieron origen a ideas sobre el fenómeno bajo investigación. Partiendo del anterior trabajo, Gresalfi y Cobb (2011) proporcionan una aproximación analítica para documentar las identidades para la enseñanza de las Matemáticas que negocian los profesores que pertenecen a dos comunidades que definen la enseñanza de dicha I. Origen y justificación del problema de investigación Rocío Toscano Barragán 53 materia en términos diferentes. Se centran en una cuestión que consideran clave para mejorar la enseñanza, como es lo que hace que los profesores se sientan motivados para mejorar su práctica de aula. Consideran que la visión de una enseñanza de unas matemáticas de calidad, que se pretende en cursos y orientaciones relacionados con el desarrollo profesional de los profesores, puede no estar alineada con la visión en el contexto institucional de las escuelas en que trabajan los profesores. Su análisis se basa en dos marcos específicos para entender los cambios en las identidades de los profesores para la enseñanza de las Matemáticas. En primer lugar, la noción de Gee (2001b) de la existencia de diversas fuentes de la identidad (específicamente, identidad institucional e identidad por afinidad, construidas por experiencias compartidas como parte de un grupo con el que se comparte el acceso y la participación en prácticas específicas). En segundo lugar, extienden el trabajo de Gee mencionando un trabajo anterior (Cobb et al., 2009) proponiendo que el proceso de identificación en un contexto particular puede ser entendido como una relación entre dos elementos: la identidad normativa que ha sido establecida en ese contexto y las identidades personales que los individuos desarrollan cuando ellos participan en las prácticas de ese contexto. (Gresalfi & Cobb, 2011, p. 274) Concretamente, Gresalfi y Cobb (2011) muestran que los cambios en los tipos de prácticas de enseñanza con que los profesores se identifican, y por tanto en su identidad personal como profesores de Matemáticas, involucran cambios en sus motivaciones para la II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 58 esta visión adquisicionista se considera el aprendizaje como un acto de posesión individual creciente, como una adquisición de entidades tales como conceptos, conocimientos, habilidades, esquemas mentales, por tanto, en este discurso se pueden apreciar expresiones cotidianas como, por ejemplo, la adquisición de conocimientos, la formación de conceptos o la construcción de significados (Sfard, 2006a, 2008). Quizás la deficiencia de la visión adquisicionista se deba a que se han considerado las similitudes situacionales en lugar de las diferencias, pues se cree en la invariabilidad de los procesos de aprendizaje a través de contextos diferentes. Las mentes individuales son la principal fuente de su propio desarrollo, considerando que la labor de la investigación es descubrir el plano universal de dichos procesos. De hecho, mientras el aprendizaje humano sea visto como algo originario en lo individual, y este proceso sea visto como impermeable a otras influencias, en concreto las procedentes de las interacciones con otros individuos, uno no tiene medios para tener en cuenta que formas humanas de hacer evolucionan en la historia. Dentro de los límites del discurso adquisicionista, “no hay una explicación convincente para el hecho de que los resultados de las transformaciones se acumulen de generación en generación, redefiniendo constantemente la naturaleza y el alcance del crecimiento individual” (Sfard, 2006a, p. 156). El partipacionismo proviene en cierto modo de los intentos fallidos del adquisicionismo para tratar ciertos dilemas sobre el pensamiento humano, aunque generalmente proviene del trabajo de Vygotsky (1987) y otros fundadores de la teoría de la actividad (Engeström, 1987; Leontiev, 1981). Aportaciones como las de Lave y Wenger (1991) contribuyeron a la formación de la visión participacionista y su desarrollo. Lave (1988) reemplaza la metáfora aprendizaje como II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 59 adquisición por la metáfora aprendizaje como participación. En particular, Lave y Wenger (1991) empiezan a pensar en el término de aprendizaje como participación en actividades socialmente organizadas, de este modo, en lugar de ser un adquirente de bienes, ahora el aprendiz será visto como un practicante principiante tratando de tener acceso a una bien definida e históricamente establecida de hacer humano. De este modo, el participacionismo se enfoca en los contextos sociales y culturales del aprendizaje y, conceptualiza las transformaciones como cambios en el qué y en el cómo y afirma que las actividades con un patrón colectivo son previas a las individuales desde un punto de vista desarrollista (Sfard, 2007). Mientras que la perspectiva adquisicionista considera el desarrollo individual como procedimiento de adquisiciones personales a la participación en actividades colectivas, la perspectiva participacionista revierte la imagen y consideran que las personas van de la participación en las actividades colectivas realizadas a formas similares de hacer sin ayuda (Sfard, 2006a, 2008). Para esta autora, la diferencia entre la visión adquisicionista y participacionista del desarrollo humano se encuentra en la forma en que entendemos el origen y la naturaleza de la singularidad humana. En el adquisicionismo esta singularidad radica en la composición biológica del individuo, mientras el participacionismo la considera como resultado del hecho fundamental de que los seres humanos somos seres sociales que participamos en actividades colectivas (Sfard, 2006a). Otro cambio que tiene lugar en la transición del discurso adquisicionista al discurso participacionista es la unidad de análisis “patterned collective doings”, que se centra en lo que las personas están haciendo y cómo lo están haciendo. Otras posibles unidades de análisis del participacionismo son la forma de vida (Wittgenstein, 1953), la II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 60 actividad (Leontiev, 1981; Vigotsky, 1987) y la práctica (Cobb, 2002; Wenger, 1998). Por último, esta transición acaba con la distinción entre el desarrollo de un individuo y el desarrollo de un colectivo. Las transformaciones del desarrollo humano son el resultado de dos procesos: la individualización de lo colectivo y el hacer común lo individual. Con respecto al pensamiento matemático, se puede decir que la diferencia más significativa entre la perspectiva adquisicionista y la perspectiva participacionista se encuentra en los orígenes del aprendizaje. Por un lado, las perspectivas adquisicionistas consideran el aprendizaje como resultado de los esfuerzos directos de los aprendices para llegar a una visión coherente del mundo, por otro lado, las perspectivas participacionistas contemplan el aprendizaje como algo que surge principalmente de los intentos de uno para dar sentido a la visión de la otra persona de este mundo (Sfard, 2006a). De este modo, el aprendizaje se concibe ahora como un proceso de llegar a ser miembro de una determinada comunidad. Esto implica, sobre todo, la habilidad de comunicarse en la lengua de esta comunidad y actuar de acuerdo con sus normas particulares. Se puede decir que el participacionismo permite dar respuestas a fenómenos que se escapan de las explicaciones del adquisicionismo y también pueden ofrecer explicaciones alternativas para otros. Tratando de precisar lo que implica una perspectiva participacionista, Sfard (2008) subraya la unidad entre la comunicación (‘communication’ en versión original) y el pensamiento (‘cognition’ en versión original) adoptando la palabra ‘commognition’ en un intento de reunificar la comunicación con lo cognitivo. Este enfoque que hemos traducido como ‘comognitivo’ reconceptualiza el pensamiento como II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 61 una forma individualizada de actividad comunicativa con uno mismo (Sfard, 2008). De este modo considera que, en el discurso propuesto en el pensamiento, los procesos cognitivos y los procesos de comunicación interpersonal son diferentes manifestaciones de básicamente el mismo fenómeno. Esta autora define discurso como comunicación, aclarando que esta comunicación no necesariamente involucra a otra persona porque los individuos frecuentemente nos comunicamos con nosotros mismos. El cambio discursivo se estimula a través del conflicto comognitivo, en otras palabras, a través de la situación que se presenta cuando diferentes interlocutores están actuando de acuerdo a diferentes normas discursivas. Desde este enfoque, las matemáticas son un tipo especial de discurso, aprender matemáticas es cambiar el discurso matemático y el aprendizaje de las matemáticas se define como individualización del discurso matemático, lo que produce que los discursos matemáticos tanto interpersonales como individualizados se conviertan en objeto principal de la investigación. Los criterios de aprendizaje se formulan en términos de formas de acción, no propiedades del aprendiz (desde el discurso sobre los objetos matemáticos al discurso sobre el aprendiz). Recientemente, autoras como Presmeg (2016) han alertado de la complejidad de la teoría comognitiva y señalan que incluso cuando las mismas nociones que se basan en ella se incorporan a los marcos teóricos subyacentes a las investigaciones, estas nociones no siempre se utilizan de la misma manera. El análisis que esta autora realiza de cómo se utiliza la teoría comognitiva de Sfard en cinco aportaciones realizadas bajo este marco en un número especial de la revista Educational Studies in Mathematics (Commognition as a lens for research) le lleva a concluir que esta teoría es lo suficientemente amplia II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 62 como para ser una lente teórica útil en diversas situaciones, concluyendo que: Teniendo en cuenta la profundidad y la complejidad de la formulación de la teoría de Sfard—que está diseñada para tener en cuenta la complejidad y riqueza del aprendizaje humano y el desarrollo en general—estas categorías son representadas adecuadamente como una introducción a los elementos teóricos utilizados en las cinco investigaciones en esta colección. Pero parafraseando otra de las caracterizaciones de Sfard, no es sólo el qué sino también el cómo del uso teórico lo que es importante. (Presmeg, 2016, p. 224) Para finalizar, aunque como hemos indicado inicialmente, en esta investigación asumimos como marco teórico principal la propuesta de Sfard, los comentarios anteriores nos han conducido a precisar cuidadosamente los significados que en ella se dan a todas y cada una de las nociones teóricas que se van a utilizar. En cuanto al uso de la palabra ‘sociocultural’, la propia Sfard (2006b) establece distinciones entre su significado empleado para indicar el continuo incremento de la atención prestada por los investigadores a los factores sociales y culturales y la expresión ‘revolución (“turn” en versión original) sociocultural’, que para ella expresa la transición de la forma de ver el desarrollo humano y el aprendizaje desde el adquisicionismo al participacionismo. Cuando se aplica en este último contexto, “el término sociocultural se refiere a una mezcla de aproximaciones más que de estas teorías en concreto que son identificadas ‘oficialmente’ con este nombre” (Sfard, 2006b, p. 22), II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 63 utilizando la palabra en un sentido amplio e inclusivo, que es el núcleo participacionista común a numerosas tradiciones socioculturales. Es este último significado el que aquí damos a esta expresión. Dentro de esta forma de entender el término sociocultural, Sfard (2001) considera que “el discurso matemático se hace especial por dos factores principales: primero, por su excepcional dependencia de artefactos simbólicos como sus herramientas de mediación de comunicación, y segundo, por las meta-normas particulares que regulan este tipo de comunicación” (p. 13). Partimos de esta idea y la extendemos a un discurso didáctico-matemático, que se supone que es el que se pretende generar en las aulas de Didáctica de las Matemáticas de los programas de formación de profesores. Hipotetizamos que en este discurso el uso que se hace de los artefactos simbólicos en las situaciones de enseñanza/aprendizaje y las meta-normas particulares que esas situaciones generan son en este caso los factores importantes. Aquí, asumimos que el discurso generado entre los estudiantes para maestro de Primaria al resolver una tarea didáctico-matemática puede ser considerado un discurso coloquial, que incorpora características de la espontaneidad e informalidad de las conversaciones cotidianas. En ese discurso coloquial, presumimos que pueden existir, entre otras características, algunas propias de un discurso didáctico-matemático, y que las expresiones relacionadas con la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas están incluidas en él. En contraste con el discurso específicamente matemático, en el cual: “a diferencia de muchos otros discursos, los objetos de las matemáticas, aquellas cosas sobre las que se está hablando, no preexisten a la charla; por el contrario, surgen como subproductos de la permanente conversación matemática” (Nachlieli & Tabach, 2012, p. 10), en un discurso didáctico-matemático II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 64 pueden coexistir dos tipos de objetos. Algunos de ellos originados por la propia Matemática (triángulos, funciones, etc.), y otros objetos con significados lingüísticos asociados a los procesos de enseñanza y aprendizaje de dicha materia (comprensión, problema, etc.). Dentro de ese discurso coloquial, y siguiendo con las aportaciones de esta autora, para Sfard (2008) existen unas normas que se consideran como “reglas metadiscursivas que son ampliamente endosadas y promulgadas dentro del discurso de la comunidad” (Sfard, 2008, p. 300). Compartimos en este trabajo este significado y, sin minimizar la importancia de otras normas, asumimos la existencia de unas normas sociales y socio-matemáticas que provienen de las experiencias previas como alumnos en las aulas escolares en las que, en diferentes contextos, niveles y con diferentes profesores, han cursado diferentes asignaturas en general y la asignatura de Matemáticas en particular. Aquí nos centramos tanto en esas normas como en las normas socio-didáctico-matemáticas o didáctico-matemáticas que pueden surgir en la interacción entre estudiantes para maestro de Primaria cuando resuelven tareas relacionadas con la actividad profesional específica del profesor como pueden ser el análisis de actividades escolares o la interpretación de las respuestas de los alumnos. Se asume que, en el discurso coloquial que surge entre estos estudiantes cuando resuelven una tarea didáctico-matemática, podrían existir diferentes discursos regulados por diferentes normas. En particular, en esta investigación, se considera que: - las normas sociales son aquellas que se han establecido conjuntamente por un profesor y unos estudiantes como miembros de una misma comunidad generada en el aula (actual o pasadas) donde II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 65 dichas normas se definen (o se han definido), configurando los roles del profesor y los estudiantes, - las normas socio-matemáticas provienen de la manera de considerar las Matemáticas como una materia escolar en unos contextos específicos (Sánchez & García, 2011, 2014), contextos situados en nuestro caso en el pasado de estos EPM como aprendices de Matemáticas, - las normas socio-didáctico-matemáticas vienen de la manera de considerar la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas (Didáctica de las Matemáticas) por parte de los estudiantes universitarios (EPM) en un contexto específico: formación de profesores (Toscano et al., 2013). Pueden tener un papel de ‘normas previas (que los EPM traen al aula universitaria)’ sobre las relaciones entre el papel de un profesor en general, unos alumnos y un contenido, que en este caso se concreta en un contenido didáctico-matemático, o ser generadas con el propio contenido didáctico-matemático, y - las normas didáctico-matemáticas comprenden los requerimientos, reglas o convenios de carácter normativo relacionados con la Didáctica de las Matemáticas, establecidos en esa comunidad científica, y aceptados comúnmente dentro de ella. No se trata en nuestro caso de normas apreciadas en la interacción que involucra la participación del profesor universitario con sus estudiantes, sino de aquellas normas que se identifican en la interacción entre los propios estudiantes para maestro. Además de estas normas específicas, se asume que existen otras normas de muy distinto tipo, pero no se abordan en este estudio dado el contexto. Con respecto a la identidad, para Sfard y Prusak (2005), II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 66 junto con la aceptación de la identidad como una noción fundamental del nuevo discurso de investigación, viene la declaración de que los seres humanos son agentes activos que juegan un papel decisivo en la determinación de la dinámica de la vida social y en la conformación de las actividades individuales. (p. 15) Por lo tanto, la identidad es tenida en cuenta cuando se intenta abordar cuestiones relacionadas con cómo los discursos colectivos forman mundos personales y cómo las voces individuales se combinan dentro de una comunidad. Para estos autores, en este contexto, esto conlleva a entender el término ‘identificar’ (identifying en versión original) como “la actividad en la que uno utiliza recursos comunes para crear una combinación única, adaptada individualmente” (Sfard & Prusak, 2005, p. 15). Además, estas autoras consideran identificar como una actividad discursiva, en la que “las identidades pueden definirse como colecciones de historias sobre las personas o, más específicamente, como esas narrativas sobre los individuos son reificadas, endosables y significativas” (p. 16). De este modo, para ellas existen identidades múltiples para cualquier persona, pues las relaciones con el mundo y con otras personas cambian continuamente. Gresalfi y Cobb (2011), reconociendo la diversidad de formas en las que el término identidad ha sido utilizado tanto en Educación Matemática como en otros campos, asumen con Gee (2001b) que “la identidad no es un conjunto de características personales o creencias. En lugar de ello, la identidad se refiere al conjunto de prácticas y expectativas que modelan la participación en contextos particulares” (Gresalfi & Cobb, 2011, pp. 273-274). En esta investigación, asumimos esta forma de considerar la identidad. II. Marco conceptual Rocío Toscano Barragán 67 Para abordar su estudio y hacer operativa esta noción nos basamos en el esquema interpretativo propuesto por Cobb et al. (2009). Tratando de evitar precisamente la aparente vaguedad de este concepto, estos autores proponen una aproximación concreta para analizar las identidades que están desarrollando los estudiantes que participan en la actividad matemática en clases concretas. Cobb et al. (2009) destacan que, en investigaciones previas, se ha documentado diferencias en la identificación de los estudiantes con la actividad matemática desarrollada en el aula (identificación, cooperación, o resistencia), involucración que puede variar significativamente de unas aulas a otras. Para ellos, estos resultados muestran la necesidad de “un esquema interpretativo que se centre directamente en las relaciones entre las microculturas establecidas en las clases particulares y las identidades que los estudiantes están desarrollando en esas clases” (Cobb et al, 2009, p. 41) proponiendo un enfoque analítico que haga la noción de identidad, en lo que se refiere a la enseñanza/aprendizaje de las Matemáticas, manejable y relativamente concreta. Para ello, toman como punto de partida el análisis de lo que Martin (2000) considera identidad matemática. Este autor desarrolló un marco que consta de cuatro niveles que pueden guiar las investigaciones sobre identidad (sociohistórico, comunitario, escolar e intrapersonal). Dada la complejidad de abordar los cuatro niveles, Cobb et al. (2009) sitúan su esquema en los dos últimos niveles, extendiendo con su propuesta la caracterización de los mismos hecha por Martin (2000). Coincidimos con Cobb y sus colegas (Cobb et al., 2009) en que esos niveles no son específicos de las Matemáticas y que pueden ser usados para caracterizar entornos de aprendizaje en las aulas de ciencias o estudios sociales en general. Nosotros extendemos estos niveles a las aulas de III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 73 CAPÍTULO III. Diseño de la investigación III.1. Metodología Teniendo en cuenta la naturaleza de las preguntas de investigación planteadas, este estudio se sitúa en una aproximación metodológica cualitativa/interpretativa, ya que se intenta describir, decodificar e interpretar los significados de los sucesos que ocurren en un contexto social particular, tratando de obtener una visión del fenómeno considerado que no puede ser recogida por investigaciones cuantitativas. Coherentemente con ello, y con el marco conceptual adoptado, se han considerado unas fuentes de datos y unos métodos analíticos compatibles con estos presupuestos, elaborándose un diseño de la investigación que se estructura en los diferentes apartados que se van a desarrollar a continuación. En primer lugar, nos centramos en los participantes en el estudio, así como el contexto en el que se desarrolla esta investigación. A continuación, pasamos a detallar los instrumentos de recogida de información que nos permiten acceder al discurso de los estudiantes para maestro de diferentes formas posibles (grabaciones y documentos). Posteriormente, detallaremos el procedimiento de análisis III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 74 de los datos para pasar, en el capítulo siguiente, a centrarnos en los resultados obtenidos. III.2. Sujetos y contexto Los participantes son 88 estudiantes para maestro (EPM), de los cuales 66 son mujeres y 22 hombres. Todos los estudiantes tienen más de 19 años, provienen de diversos contextos socioeconómicos y antecedentes educativos (Bachillerato o Formación Profesional), y no han tenido experiencias formales como docente. Estos estudiantes participan voluntariamente en el estudio. Todos ellos están matriculados en el Grado en Educación Primaria, una titulación de 240 ECTS (European Credit Transfer System) implementada en la última década en las universidades españolas. Siguiendo las recomendaciones oficiales del Real Decreto 1393/2007, de 29 de octubre, por el que se establece la ordenación de las enseñanzas universitarias oficiales (BOE núm. 260, de 30 de octubre de 2007), los planes de estudios conducentes a la obtención de un título deberán tener en el centro de sus objetivos la adquisición de competencias profesionales por parte de los estudiantes. En el caso de este título en concreto, su función esencial es proporcionar las competencias necesarias que permitan a un individuo convertirse en un maestro en el nivel de Educación Primaria. Dentro del plan de estudios del Grado en Educación Primaria ofertado por la Universidad de Sevilla (y publicado en su página web), los estudiantes cursan, en primer curso, unas ‘Matemáticas específicas para maestro’ que tiene como objetivo proporcionar una base previa Matemática particularizada para estos estudiantes para maestro. En segundo curso, se sitúa la asignatura que tiene por nombre “Didáctica de las Matemáticas para maestro”. III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 75 La “Didáctica de las Matemáticas para maestros” tiene una totalidad de nueve grupos, con una media de unos 75 alumnos por grupo. Es una asignatura de 9 créditos anual distribuidos, según consta en el plan de estudios de la Universidad de Sevilla, en una parte teórica (6 créditos, 2 horas semanales) y una parte práctica (3 créditos, 1 hora semanal), siendo en estas últimas donde se llevó a cabo el estudio. Cuadro III.2.1. Contexto en el que se enmarca el estudio Cuando se implementó en el curso 2010/2011 el actual plan de estudios, en el diseño de la asignatura, el “conocimiento situado” y el “aprendizaje cognitivo” formaron el marco teórico inicial que permitió a los profesores universitarios abordar el conocimiento y el aprendizaje de los estudiantes para maestro (Collins, Brown & Newman, 1989; García & Sánchez, 2002; García, Sánchez & Escudero, 2007). A través del proceso de resolver “actividades auténticas” (Brown, Collins & Duguid, 1989; Sánchez & García, 2009), se esperaba que los estudiantes se aproximasen a las actividades profesionales de un maestro de Primaria, y comenzar a desarrollar un discurso próximo a esa comunidad de práctica. Esta perspectiva teórica inicial, que se ha III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 76 mantenido con posterioridad, fue el punto de partida en el diseño del programa. En la actualidad, la asignatura de Didáctica de las Matemáticas consta de diferentes secciones (Sentido numérico, Magnitud y Medida, Sentido geométrico y, por último, Probabilidad y Estadística). Hay dos partes en cada sección: una dedicada a proporcionar herramientas conceptuales, que se desarrolla con el grupo de estudiantes completo (Parte Teórica) y una segunda dedicada a poner estas herramientas en práctica, en las cuales se desglosa el grupo completo en dos subgrupos prácticos (Parte Práctica). Ambas partes se desarrollan en 90 horas a lo largo del curso académico (60 horas en total para la parte teórica y 30 horas para la parte práctica). En la parte teórica, se proporcionan las herramientas conceptuales. Estas son entendidas como los conceptos y constructos teóricos que se han generado desde la investigación en formación del profesorado en relación con las Matemáticas, y que pueden conducir a la comprensión y la gestión de situaciones de enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Dichas herramientas pueden ser proporcionadas a través de información ofrecida por los profesores universitarios, vídeos específicos, artículos de la literatura de Educación Matemática, etc. Por otro lado, en la parte práctica, los profesores universitarios proponen en el aula tareas didáctico-matemáticas, entendidas como actividades auténticas. Estas se centran en acercar a los futuros profesores a la realidad de las tareas profesionales de un profesor de Primaria. Por ejemplo, una tarea didáctico-matemática puede estar relacionada con una tarea profesional como interpretar las producciones matemáticas de los alumnos. Los estudiantes para maestro tienen que resolver la tarea planteada, analizar e informar sobre aspectos que han aprendido. Estas III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 77 tareas didáctico-matemáticas son desarrolladas por todos los estudiantes para maestro matriculados en la asignatura. Para resolver estas tareas, en esta parte práctica los estudiantes trabajan en pequeños grupos compuestos de 3 a 6 estudiantes (subgrupos). Las tareas didáctico-matemáticas son comunes a todos los grupos de la asignatura. También son muy diferentes a las tareas tradicionales a las que hasta el momento se han enfrentado los estudiantes para maestro. Específicamente, las tareas didáctico-matemáticas presentan situaciones relacionadas con los sistemas de actividad de los profesores y diferentes contenidos matemáticos (números, geometría, etc.). Siguiendo a Llinares (2004), los sistemas de actividad del profesor incluyen: la organización de los contenidos matemáticos para ser enseñados, la gestión de los contenidos matemáticos y el discurso de aula, y el análisis e interpretación del pensamiento matemático de los estudiantes, entre otros. Por tanto, las tareas forman parte de esos sistemas de actividad y son de la máxima importancia en un contexto de un programa de formación de profesores. Finalmente, las tareas didáctico-matemáticas adoptan la forma de caso en la que refleja por un lado el contenido y por otro los sistemas de actividad que tienen después que desarrollar como profesores. Además de la información dada en la parte teórica, los profesores universitarios proporcionan a los EPM algunas herramientas conceptuales más específicas (artículos de revistas especializadas, etc.) para resolver el caso. Los subgrupos reciben una autonomía total respecto a su forma de trabajar, no hay indicaciones por parte de los profesores universitarios ni por parte de los investigadores. III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 78 Concretamente, esta investigación se desarrolló en la parte práctica de la asignatura (cinco sesiones de una hora semanal por sección) correspondiente a las dos últimas secciones (Sentido geométrico y Probabilidad y Estadística). Cuadro III.2.2. Concretando el contexto en el que se enmarca el estudio En el estudio han participado un total de 21 subgrupos (nombrados aquí como SG1, SG2, etc.) entre los que se distribuían los 88 participantes que pertenecían a los desdobles prácticos (P1 - P2) de tres grupos de la asignatura (T1 - T2 - T3) impartidos por diferentes profesores universitarios. III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 79 Cuadro III.2.3. Distribución de subgrupos participantes en el estudio El estudio se ha desarrollado cuando los EPM resolvían dos de los casos planteados por los profesores universitarios en la parte práctica, uno de ellos correspondiente al contenido de geometría y la tarea profesional de analizar actividades escolares e interpretar las respuestas de los alumnos (Caso 5º de la asignatura), y el otro caso trata el contenido de probabilidad y la tarea profesional de analizar actividades escolares y plantear preguntas a los alumnos (Caso 6º de la asignatura). En el Anexo se incluyen estos casos que se desarrollaban en la parte práctica de la asignatura según constaban en la plataforma virtual, III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 80 donde los profesores universitarios de la asignatura ponen a disposición de los estudiantes los materiales de la misma, y que como ya se ha indicado eran comunes a todos los grupos. Por la importancia que tienen estos casos en el desarrollo de esta investigación, y queriendo poner de manifiesto que no hubo ninguna intervención por nuestra parte en el diseño ni en la implementación de estos casos, vamos a comentar brevemente sus características. III.2.1. Las tareas didáctico-matemáticas recogidas en los casos La primera de estas tareas corresponde a la parte práctica de la sección de Geometría, y a las tareas profesionales de analizar e interpretar las producciones de los alumnos. Sobre la base de una propuesta de Burger y Shaughnessy (1986), se planteaba en el caso 5º una actividad escolar para niños de segundo ciclo de Primaria relacionada con la geometría y, en particular, con las figuras planas de cuadriláteros (ver Anexo). En esta actividad escolar, a los niños se les da una lámina de quince figuras planas de cuadriláteros y, en una primera parte de la actividad, ellos tienen que identificar las figuras que son cuadrados, rectángulos, paralelogramos y rombos incluyendo la justificación de dichas identificaciones. En una segunda parte de la actividad, los mismos niños tienen que responder preguntas relacionadas con la identificación y clasificación de dichas figuras. Estas preguntas están encaminadas a trabajar la definición y clasificación tanto exclusiva como inclusiva de los cuadriláteros. A partir de esta actividad escolar, en el caso se demandaba a los EPM algo común en la práctica profesional de un maestro, como es tener que analizar la actividad escolar mencionada e, interpretar las III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 81 respuestas de los niños en base a varias entrevistas que ellos tenían que diseñar y realizar. Concretamente, en primer lugar, a los EPM se les pedía que analizasen la actividad escolar teniendo en cuenta las estrategias y niveles en los procesos de razonamiento que se podrían considerar. En segundo lugar, para acercarles más aun a su futura labor y ver qué sucede con la implementación de la actividad en el aula, se les pedía que plantearan la actividad escolar a modo de entrevista a alumnos de 2º ciclo de Primaria, recogiendo las respuestas para posteriormente analizarlas en base a estrategias utilizadas, procesos desarrollados y niveles de razonamiento de Van Hiele en el que los niños se situaban en dichos procesos. Las herramientas conceptuales provenían de la información que se proporcionaba en la parte teórica y algunos artículos (Gutiérrez & Jaime, 1998; Hoffer, 1981; Jaime & Gutiérrez, 1990). También, el profesor universitario proporcionaba información sobre el tema en el currículo español del grado en cuestión. El segundo caso (correspondiente a la parte práctica de la sección de Probabilidad y Estadística) se centraba en la probabilidad. La tarea profesional demandaba analizar problemas escolares y pensar qué preguntas podrían plantear a sus futuros alumnos sobre ideas relacionadas con la probabilidad. Para ello, en el caso se proporcionaba a los EPM una colección de ocho enunciados de problemas y ejercicios extraídos de libros escolares de Primaria o de algunos enlaces webs sobre algunas ideas relacionadas con la probabilidad (ver Anexo). En esta situación, los EPM tenían que analizar estos problemas identificando conceptos y procedimientos matemáticos que subyacen en ellos, y posteriormente, pensar qué posibles preguntas para cada problema podrían plantear en una situación de enseñanza, es decir, a III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 88 caso de las transcripciones. Esto permitió ver que parte del discurso coloquial (hablado) era asumida por los subgrupos para dar respuesta, por medio del discurso escrito a las cuestiones planteadas en los casos. A continuación, mostramos en el cuadro III.4.1. el esquema del proceso seguido en este primer análisis para cada uno de los instrumentos de recogida de datos, pasando posteriormente a describir con más detalle cada una de las etapas anteriormente mencionadas. Cuadro III.4.1. Proceso del análisis descriptivo Primera etapa Una vez que las grabaciones en audio de cada uno de los subgrupos fueron transcritas en su totalidad, teniendo en cuenta en todo momento el contexto en el que el discurso había sido generado (conversación entre los EPM cuando resolvían los casos planteados), analizamos el discurso recogido de cada una de las cinco sesiones consecutivas para ambos casos (Caso 5º y Caso 6º). Dado que se transcribieron todas las grabaciones en su totalidad, las 210 horas de grabación generaron una gran cantidad de material transcrito, por lo que el proceso de reducción III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 89 de información alcanzo en nuestra investigación una especial relevancia. Para esta reducción de datos se llevó a cabo un análisis de contraste. En primer lugar, se procedió por parte de la investigadora y otro miembro del equipo a una lectura detallada de todas las transcripciones, señalando sobre una versión impresa de ellas las partes del discurso relacionadas con las Matemáticas, su enseñanza y aprendizaje que ambos consideraron relevantes. De este modo, la identificación fue validada, asumiéndose las selecciones comunes y discutiéndose, aceptándose o rechazándose, las que se presentaran como problemáticas, de tal manera que sólo las susceptibles de aportar información relevante fueron finalmente escogidas. Queremos mencionar que, al ser tan concreta la selección, en algunos subgrupos dio lugar a pocas partes consideradas/seleccionadas para analizar. Para no perder el sentido de las partes del discurso seleccionadas en el análisis de contraste, todas las transcripciones se volcaron en el software ATLAS.ti para continuar con el proceso de análisis. Segunda etapa Una vez volcado todos los datos en el ATLAS.ti, se procedió a analizar los datos haciendo hincapié por un lado en las partes del discurso seleccionadas, y por otro teniendo en cuenta todo el discurso coloquial en el que estaban situadas esas partes. Para ello, fueron decisivas las herramientas teóricas proporcionadas por Sfard (2007, 2008), que la propia autora considera parte del discurso y, a su vez, medio para analizarlo. Estas herramientas que son aplicables específicamente al discurso matemático, en esta investigación se han adaptado, como veremos en párrafos posteriores, al discurso didáctico- III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 90 matemático, entendido en este trabajo como aquel en el que se incluyen expresiones relacionadas con el profesor, alumno y contenido matemático. Para Sfard (2007, 2008), las mencionadas herramientas se concretan en: uso de palabras, mediadores visuales, narrativas y rutinas. Las palabras en matemáticas se asocian a aquellas palabras cuyo uso y significado viene dado por el discurso matemático; las narrativas se corresponden a una serie de expresiones, habladas o escritas, que se formulan como una descripción de objetos, de relaciones entre objetos o procesos con o por objetos, y están sujetas a aprobación o rechazo, esto es, ser etiquetadas como “verdaderas” o “falsas”. (Sfard, 2008, p. 300) En caso de aceptación por el grupo reciben el nombre de narrativas endosadas; los mediadores visuales son entendidos como medios con los que los participantes del discurso identifican el objeto de su charla y coordinan la comunicación; y por último, las rutinas son entendidas como "una categoría abarcadora que se superpone parcialmente con las tres características formadas (uso de palabra, uso de mediador y narrativas endosadas) pero es mucho más amplia que eso" (Sfard, 2007, p. 574); son patrones repetitivos bien definidos en las acciones de los interlocutores, característicos de un discurso dado. En Sfard (2008, pp. 133-135) se puede encontrar una detallada descripción de estas herramientas, y en Tabach y Nachlieli (2016) una síntesis posterior. En nuestro caso, como hemos indicado, para este estudio y teniendo en cuenta nuestras preguntas de investigación, adaptamos la propuesta III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 91 de Sfard a un discurso didáctico-matemático, en el cual consideramos que: - las palabras se asocian con aquellas que proporcionan información importante acerca de los procesos de enseñanza y aprendizaje en general, y de las Matemáticas en particular, como objeto de estudio. Pueden aparecer de formas individuales o combinadas con otras, recogiendo un único significado. Por ejemplo, explicar, comprensión de los niños, niveles de razonamiento, modos de representación, secuencia de aprendizaje, etc. - Con respecto a las narrativas en nuestra adaptación, puesto que analizamos el discurso entre pares, consideramos que una narrativa es la oración u oraciones sucesivas que expresan una idea relacionada con la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas. Si "un discurso matemático se considera que se basa en relaciones puramente deductivas entre narrativas" (Tabach & Nachlieli, 2016, p. 301), consideramos que un discurso didáctico-matemático puede incluir diferentes tipos de relaciones que tienen como objeto la tríada estudiante/profesor/contenido. Por ejemplo, siguiendo a estos autores, si las definiciones matemáticas son narrativas, ya que se desarrollan por medio de la comunicación en la comunidad de matemáticos, y entonces se comunican una y otra vez en la comunidad del aula, asumimos que en el discurso coloquial entre los EPM, considerado como comunicación dentro de la comunidad del aula de estudiantes para maestro, pueden surgir proposiciones de diferentes procedencias (aulas de formación de profesores u otras aulas escolares) como “podemos utilizar los niveles de Van Hiele para ver las respuestas de los niños” o “nosotros [los EPM] podemos presentar a los alumnos primero el paso III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 92 de los datos a la tabla, y luego una representación gráfica del problema…”, que se pueden considerar como narrativas que se desarrollan en la comunicación de la comunidad de estudiantes para maestro. Mantenemos el significado de narrativa endosada propuesto por Sfard en el sentido de que son aquellas aceptadas por el grupo considerado y asumidas como propias por todos los miembros incorporándolas al discurso. En este estudio, consideramos las narrativas que son endosadas explícita o implícitamente a lo largo del discurso. Explícitamente, porque una narrativa confirma esa aceptación o implícitamente porque la idea expresada en una narrativa aparece asumida por el subgrupo en ocasiones posteriores. - Los mediadores visuales en nuestro caso se entienden como medios (objetos específicos, dibujos o símbolos) con los que los EPM identifican el objeto de su charla y forman parte del proceso de comunicación entre ellos. Por ejemplo, las imágenes que aparecen en la actividad escolar incluida en los casos que se plantearon a los EPM podrían ser utilizadas a veces como un mediador para identificar las características relacionadas con respuestas de los alumnos. - Finalmente, las rutinas, entendidas como patrones repetitivos bien definidos en las acciones de los EPM, característicos del discurso dado; en el caso del discurso didáctico-matemático, pueden ser formas repetitivas de analizar actividades escolares, de diseñar actividades, etc. La adaptación de estas herramientas que hemos mencionado en los párrafos anteriores y su posterior aplicación, nos permitió identificar cada una de las herramientas teóricas en el discurso coloquial. Una vez identificadas, siguiendo un método de comparaciones constantes III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 93 basado en el trabajo de Glaser y Strauss (1967), adoptado en numerosas ocasiones a investigaciones relacionadas con el análisis sistemático de datos en Educación Matemática (Cobb & Whitenack, 1996), el análisis se centró en los datos obtenidos para identificar diferentes particularidades en cada una de las dichas herramientas. Se comenzaron a establecer conjeturas en base a semejanzas y diferencias sobre lo recogido en cada una de ellas en relación a la triada profesor/alumno/contenido matemático (en el siguiente apartado, en el que incluimos la ejemplificación del proceso seguido, mostramos cómo fueron identificándose estas semejanzas y diferencias) que se fueron validando y contrastando mientras se revisaban los datos de las sucesivas sesiones. De esta manera, fuimos comprobando la viabilidad de nuestras conjeturas en el proceso de análisis. Este “hacia atrás y hacia delante” incorpora además un medio de establecer la fiabilidad de dicho proceso. Finalmente, basándonos en las categorizaciones obtenidas en cada una de las herramientas, pasamos en una lectura transversal a analizar conjuntamente las categorías de palabras, mediadores visuales, narrativas endosadas y rutinas, estableciendo relaciones entre aquellas que podrían configurar un determinado discurso. Esto nos capacitó para identificar discursos con características propias en el discurso coloquial de los EPM a lo largo de todo el proceso de resolución de los casos planteados. Tercera etapa Con respecto al procedimiento de análisis de los informes finales de los subgrupos, en una tercera etapa, pasamos a analizar las respuestas escritas de los EPM en dichos informes. Para ello, tomamos como III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 94 referencia las categorías identificadas en el discurso coloquial (hablado), tratando de establecer relaciones con lo recogido en el discurso escrito. Esto nos permitió recoger información sobre las diferencias o semejanzas entre el discurso hablado con respecto al discurso escrito recogido en las respuestas de los informes finales de los subgrupos. En base a las diferencias/semejanzas entre ambos discursos recogidas en el análisis anterior se vio que categorías presentaban una mayor correspondencia, reafirmándose en ambos discursos, o que categorías eran más específicas de cada discurso. A continuación, se muestra un ejemplo del proceso seguido en este primer análisis. III.4.1.1. Ejemplificación del análisis descriptivo Como ya hemos indicado anteriormente, en primer lugar, una vez consensuadas las partes del discurso que podían aportar información relevante para esta investigación y volcado todos los datos en el ATLAS.ti, se pasó a identificar las palabras, las narrativas, los mediadores visuales y las rutinas en dichas partes teniendo en cuenta el discurso global para no sacar de contexto a las mencionadas partes del discurso. Para ello, la investigadora procedió del siguiente modo: las palabras fueron señaladas en negrita, las narrativas fueron subrayadas y los mediadores visuales fueron señalados en cursiva. A continuación, mostramos una copia de la imagen recogida del ATLAS.ti en la que se muestra una de las partes del discurso seleccionada por ambos investigadores para mostrar cómo fue su III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 95 análisis. La parte del discurso seleccionada corresponde al SG8 cuando estaba realizando el caso 5º. Cuadro III.4.1.1.1. Análisis de una parte seleccionada del discurso A continuación, una vez finalizado el proceso de identificación de las herramientas teóricas en todas las partes seleccionadas del discurso, en cada una de ellas por separado se procedió a identificar particularidades en base a semejanzas y diferencias que nos llevaron a establecer conjeturas, permitiéndonos categorizarlas. En el caso de las palabras se pudo diferenciar su origen, significado y uso, en los mediadores visuales se distinguió su uso y en las narrativas se empezaron a agrupar aquellas relacionadas con una idea común. En un primer momento se empezaron a distinguir en el discurso coloquial narrativas relacionadas con el papel del profesor y narrativas relacionadas con la tarea profesional. Dentro de cada uno de estos bloques se fueron estableciendo matices en las narrativas recogidas de manera que permitieron categorizarlas (con el apoyo del ATLAS.ti) asignándoles un código con este programa a medida que iban surgiendo en los datos. En el caso de las narrativas relacionadas con el papel del profesor mostraban rasgos de cómo los EPM consideran el papel de III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 96 profesor, y las narrativas relacionadas con la tarea profesional mostraban rasgos de cómo los EPM se aproximan a dichas tareas. A continuación, recogemos dos ejemplos de narrativas (formadas en este caso por sucesivas oraciones) correspondientes a diferentes subgrupos, y que fueron explícita o implícitamente endosadas a lo largo del discurso coloquial de cada uno de los subgrupos. En el análisis realizado con el ATLAS.ti, estas narrativas fueron consideradas por la investigadora parte de una misma categoría, identificada con el código “TP-PRN (Pensar en cómo responderán los niños)”. Las narrativas incluidas en esta categoría comparten la misma idea en relación con la importancia de tener en cuenta las respuestas de los niños como se ve reflejado en la narrativa recogida en el cuadro anterior. Extracto correspondiente al SG4 94: EPM4: No entiendo yo, si tú le dices a alguien reconoce los cuadriláteros que hay aquí, pues que el niño te diga los cuadriláteros es que tienen cuatro lados, otro pues lo que tiene los vértices 95: EPM1: Yo creo que el niño también, porque pone aquí análisis, el niño está sobre avisado de propiedades de una figura, yo pienso que sí porque por ejemplo el niño sabe cuadrado que tiene cuatro lados y no sé qué no sé cuánto, entonces el niño lo tiene que saber para reconocer que eso es un cuadrado, yo creo que esa estrategia si la usa el niño ¿no? Bueno es que eso en verdad es estrategia visual 96: EPM2: Yo creo que depende porque él [refiriéndose al niño] igual reconoce un cuadrado como aquello que se parece a un dado III. Diseño de la investigación Rocío Toscano Barragán 97 y todo lo que vea que tiene forma de dado es un cuadrado para ellos [refiriéndose a los niños] por ejemplo Extracto correspondiente al SG5 22: EPM4: Y los procedimientos sería como el niño llega a la conclusión final ¿no? 23: EPM1: Si, para resolver esa tarea 24: EPM4: El procedimiento a lo mejor podría ser poner en plan que el niño se haga un dibujo y que vea, o sea que coloree las bolas de los colores ¿no? 25: EPM1: Si, que emplee el dibujo ¿no? Posteriormente, a través del ATLAS.ti se procedió a ver el número de narrativas situadas en cada categoría, y la forma de distribuirse en cada uno de los subgrupos. A continuación, mostramos un ejemplo tal y como lo recogía el ATLAS.ti. En lo mostrado aparece el código que refleja la categoría a la que se asignaron las narrativas (TP-PRN (Pensar en cómo responderán los niños)), el número de narrativas identificadas (26), los subgrupos en los que aparecen (SG1, SG3, SG4, SG5, SG8, SG9 y SG15) y las líneas en las que se identifican las narrativas en cada subgrupo (por ejemplo, en SG3, (715:724)). Como se puede apreciar en algunas ocasiones las narrativas estaban situadas en una sola línea u ocupaban varias líneas (ver por ejemplo SG5T2). En ambos casos, como ya se ha mencionado con anterioridad, las narrativas pueden estar compuestas por una oración o varias oraciones, pudiéndose dar el caso de que una sola línea recogiese más de una oración. Mostramos a continuación lo indicado con la categoría mencionada anteriormente que estamos ejemplificando. CAPÍTULO IV IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 104 CAPÍTULO IV. Resultados de la investigación A continuación, vamos a presentar los resultados obtenidos en esta investigación. En primer lugar, nos centraremos en caracterizar el discurso que hemos identificado en los EPM cuando resuelven las tareas didáctico-matemáticas planteadas en su programa de formación, documentando las características que subyacen en él. En un segundo lugar, las diferentes normas que regulan ese discurso, y finalmente, las identidades normativas que se identifican a través de las interacciones que ocurren en el discurso entre los EPM. Queremos destacar que dada las características cualitativas de esta investigación con estos resultados no pretendemos generalizar sino aproximarnos a lo que sucede en unas aulas universitarias concretas de un programa de formación de profesores de Primaria, con unos estudiantes determinados y unas tareas didáctico-matemáticas que formaban parte de ese programa de formación y en cuya elaboración e implementación no se ha intervenido. IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 105 IV.1. Caracterización de las herramientas en el discurso de los EPM El análisis realizado nos ha permitido identificar las características de las herramientas discursivas y, teniendo en cuenta estas características, aproximarnos a las ideas que subyacen en ellas. IV.1.1. Profundizando en las palabras En particular, y centrándonos en las palabras que podrían aportar información en este estudio, teniendo en cuenta las preguntas de investigación, el análisis descriptivo realizado ha permitido establecer diferencias relacionadas con el origen, significado y uso de dichas palabras. El origen de las palabras incorporadas en el discurso de estos EPM muestra algunas diferencias. Algunas palabras tienen un origen matemático provenientes de clases de Matemáticas previas, que consideramos como palabras matemáticas (cuadrilátero, polígono, etc.). Otras palabras son comunes a otros contextos escolares (profesor, actividades escolares, etc.), y las hemos considerado como palabras didácticas. Podríamos decir que estos dos tipos de palabras ya formaban parte de previos discursos como estudiantes en otros cursos. También se identificaron palabras, más específicas, que estaban ligadas con la presentación de la actividad/problema escolar. Son palabras que aparecen en la descripción de la situación planteada en la actividad/problema escolar, y que hemos considerado como palabras de enunciado. Ejemplos representativos pueden ser "escala" que aparece en el caso 6º, o "localizar" que forma parte del enunciado del caso 5º. Finalmente, otros términos estaban relacionados con lo que la tarea profesional demandaba o con las herramientas IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 106 conceptuales/conceptos didáctico-matemáticos involucrados en la mencionada demanda. En un sentido estricto, no se puede hablar de una palabra, sino que para expresar la idea son necesarias a veces la combinación de palabras que conjuntamente toman un significado didáctico-matemático. Ejemplos representativos pueden ser palabras combinadas como "nivel de los niños (refiriéndose a los niveles de van Hiele)" o "formas de representación (refiriéndose a la forma de introducir un concepto matemático)". Con respecto al significado de las palabras, independientemente de su origen, algunas palabras mantenían su significado a lo largo del discurso, sin aportar información relevante. Sin embargo, identificamos otras palabras que expandían su significado o lo cambiaban, indicando un aprendizaje en los EPM. En algunas ocasiones esta expansión o cambio causaba conflictos durante la resolución de la tarea. Un ejemplo representativo del SG5 podría ser el uso de “paralelos/iguales dos a dos” en relación a los lados del rectángulo/cuadrado. El significado de estas palabras combinadas amplía el significado de clasificación exclusiva a clasificación inclusiva a lo largo del discurso. El uso de las palabras también era diferente. Por un lado, identificamos cambios que dependían de la persona o las personas que realizan la acción del verbo (EPM como sujeto frente a futuros alumnos como sujeto). Ejemplo representativo de esta situación es la palabra “responder”, cuyo uso se adapta a la persona involucrada: “nosotros tenemos que responder” frente a “los alumnos tienen que responder”. Es decir, el responder en un caso procede del propio EPM y en el otro caso de un futuro alumno de Primaria. Por otro lado, los cambios se relacionaban con el contexto en que el EPM se situaba. Identificamos palabras como "hacer", usada para responder el caso planteado IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 107 considerado como "trabajo universitario" y la misma palabra usada para responder al caso planteado considerado como una futura tarea profesional. Estos usos de las palabras permitieron ver donde se situaban los EPM y cómo abordaban dicha tarea. IV.1.2. Profundizando en las narrativas Aunque a veces las palabras se presentaban aisladas, generalmente se incorporan a narrativas personales. Estas narrativas personales podían no ser discutidas, pero si incorporadas dentro del discurso común. No eran aceptadas en el sentido de convicción, sino que simplemente formaban parte del diálogo informal que surge al tratar de completar la tarea. Otras veces las narrativas son rechazadas y no se incorporan en el discurso. En otras ocasiones las narrativas eran asumidas por todos los miembros del subgrupo aceptándose directamente o cambiando a lo largo del discurso para ser aceptadas por todos los miembros del grupo y usadas en la resolución de la tarea, configurando una narrativa 'endosada'. Por la problemática considerada en este estudio nos quedamos con este tipo de narrativas. La segunda parte del análisis en esta etapa, realizado con el software ATLAS.ti, nos llevó a identificar grupos de narrativas relacionadas con ideas comunes que tenían una gran presencia, en el sentido de que se repetían a lo largo del discurso de los diferentes subgrupos (independientemente del profesor universitario, como ya hemos indicado). Concretamente, como resultado de este análisis se identificaron dos bloques. El primer bloque agrupaba todas las narrativas que tenían que ver con la relación entre estudiante-profesor, y en el otro bloque aquellas que tenían su foco en la relación entre los EPM y la tarea profesional. IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 108 A continuación, pasamos a detallar cada uno de estos bloques. En primer lugar, describimos las narrativas incluidas en cada uno de ellos, en segundo lugar, las recogemos de manera resumida en una tabla y, finalmente, discutimos lo recogida en ella globalmente. Bloque 1. Narrativas endosadas asociadas con la relación entre estudiante-profesor Como resultado de la segunda etapa del análisis descriptivo se identificaron dos categorías globales en este primer bloque asociadas con la relación entre estudiante-profesor, que venían determinadas por el papel que jugaba el EPM. Por un lado, la relación entre los EPM como estudiantes y el profesor universitario. Y por otro, la relación entre los EPM como futuros profesores y sus futuros alumnos. Dentro de cada una de ellas, surgieron categorías según los matices que las narrativas presentaban (expresados en los códigos del ATLAS.ti). A continuación, pasamos a describirlas incluyendo un extracto de protocolo representativo de cada una de ellas. Como se indicaba en el Capítulo III, en algunas ocasiones las narrativas están situadas en una sola línea u ocupan varias líneas. En ambos casos, pueden estar compuestas por una oración o varias oraciones, pudiéndose dar el caso de que una sola línea recogiese más de una oración. Precisamente por la dificultad de cuantificar narrativa/líneas se ha tomado la decisión de no incluir el número de narrativas que nos documenta cada categoría para que no origine confusión dicha cuantificación. Narrativas endosadas asociadas con la relación entre los EPM como estudiantes y el profesor universitario IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 109 • Una de las categorías de narrativas identificadas en el discurso de los EPM fue denominada por el código “PP-PCT (Profesor como Proporcionador Contenido Tarea)”. En estas narrativas se puede ver como los EPM solicitan al profesor universitario información sobre el contenido implicado en la tarea, a pesar de tener otras fuentes de información como las lecturas, las clases teóricas, etc. Incluso hay narrativas en las que los EPM explícitamente priorizan al profesor como fuente de información ante otras fuentes como las lecturas en este caso. Estas narrativas se han identificado con el código “PP-PFvL (Profesor Fuente versus Lecturas)”. Como se puede observar en el siguiente protocolo representativo que encontramos en el SG3, en ocasiones se llega a rechazar la posibilidad de consultar las lecturas: SG3. Contexto: Los EPM están resolviendo la primera pregunta del caso 5º (ver Anexo). 47: EPM3: Pero esto es lo que dijo la profesora de 48: EPM5: Vamos a ver, ella ayer dio los nombres 49: EPM3: Eah que son esas ¿no? 50: EPM4: Y la explicación viene aquí [refiriéndose a las lecturas] 51: EPM2: Pero ella dice que el próximo día va a empezar con la estrategia 52: EPM5: A explicarlas 53: EPM3: Claro que las estrategias ella las va a explicar ¿no? 54: EPM2: Claro IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 110 55: EPM3: Y no nos podemos esperar a que lo explique ella, yo es que me entero mucho mejor cuando lo explica en la diapositiva • Otra categoría fue llamada “PP-AET (Profesor como Aclarador Estructura Tarea)”. En las narrativas que se identificaron y que fueron incluidas en ella, los EPM solicitan aclaraciones de la tarea en sí. En el siguiente protocolo representativo se pueden ver narrativas que fueron incluidas en esta categoría. SG1. Contexto: Los EPM tienen una duda sobre lo que hay que hacer en una parte de la tarea. 10: EPM2: [leyendo una de las preguntas del caso 5º] Plantea esta tarea a estudiantes de primaria si es posible … 11: EPM1: Pero espérate primero hay que hacer esto 12: EPM3: Pero que hay que hacérselo a uno o cada una a una persona 13: EPM1: Ni idea 14: EPM2: Eso, ya tenemos una pregunta para la Profesora [….] 18: EPM1: Profesora, una cosa. ¿Las preguntas las tenemos que hacer cada una a un niño? • En ocasiones, se identificaron narrativas en las que los EPM le dirigen al profesor preguntas con el propósito de averiguar lo que quiere el profesor, categoría que hemos denominado “PP-AQQP (Adivinar lo Que Quiere el Profesor)”, como se puede observar en las siguientes narrativas representativas. IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 117 Narrativas endosadas asociadas con las tareas profesionales consideradas como un trabajo escolar “tradicional” • Narrativas que hemos categorizado como “TP-CMM (Cuánto más mejor)”. En las narrativas identificadas en los subgrupos, se puede ver como los EPM no dejan de mencionar información para incluir en la respuesta de la tarea. En este caso llegan a incluir información proporcionada por el profesor, por las lecturas y por los propios miembros del subgrupo sin hacer una labor de análisis/síntesis. Esto da lugar, en muchas ocasiones, a una redundancia en la respuesta. Protocolo representativo de una narrativa que ha permitido identificar esta categoría, se muestra en el extracto incluido a continuación. SG3. Contexto: Los EPM respondiendo la primera pregunta del caso 5º (ver Anexo) 180: EPM4: ¿Algún motivo más? 181: EPM6: Yo verbales no pondría 182: EPM4: Pero en estrategia visual el único motivo que vamos a dar es ya que los alumnos necesitan explorar con figuras planas [….] 193: EPM1: Ya, ya claro. Para hacer una aclaración en visual también pone aquí que [leyendo una lectura] ‘la geometría es claramente un tema visual’ y que ‘esta estrategia sirve como herramienta para demostraciones’, ponerlo también 194: EPM4: Sí, sí IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 118 • Relacionada con la categoría anterior, pero con un matiz diferente, hemos identificado la categoría “TP-TPR (Tarea para rellenar)”. En este caso las narrativas de los EPM incluyen cualquier información en la respuesta de la tarea o repiten la respuesta de otra pregunta, aunque no esté relacionada, antes de dejarla sin responder. Esto se aprecia en el siguiente protocolo representativo. SG3. Contexto: Los EPM dando justificaciones a las respuestas dadas por ellos en la primera pregunta del caso 5º (ver Anexo) 207: EPM1: Venga vamos a decir el porqué de las estrategias verbales 208: EPM2: En la estrategia visual he puesto, ya que … [sigue hablando] 209: EPM3: Vale 210: EPM2: Y ahora estrategia verbal 211: EPM4: Yo pondría lo que os he leído ante 212: EPM1: Yo pondría lo que tú has dicho 213: EPM5: Sí 214: EPM4: Estrategia verbal ya que hay una estrecha relación entre el lenguaje y los niveles no se pueden poner tiene que ser … 215: EPM5: Aquí pone, [leyendo una lectura] ‘los estudiantes a menudo expresan sus ideas de un modo impreciso que difiere del que usa el profesor o del que ofrece el libro de texto’, es decir, lo del rombo que digan que es una cometa [….] 222: EPM4: Pon eso entonces 223: EPM5: Los estudiantes a menudo expresan ideas … IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 119 224: EPM2: Vale, espérate 225: EPM5: Y ahora le podemos poner, en este sentido en la tarea aparecen dos nuevas definiciones de paralelogramo 226: EPM4: Definiciones no, yo pondría conceptos 227: EPM5: Bueno de conceptos, aparecen los conceptos 228: EPM4: Paralelogramo, rombo, cuadrado y rectángulo 229: EPM5: Nombrándolos geométricamente y no desde la vida cotidiana del niño 230: EPM4: Yo pondría también por ejemplo que lo de las distintas capacidades de razonamiento que están asociadas también a la forma de expresarse y el significado que se le da a determinados vocabularios 231: EPM1: También, eso lo podemos poner al final • Narrativas categorizadas como “TP-TCA (Tarea como Aplicación)”. En todos los subgrupos se han identificado narrativas en las que se puede apreciar como los EPM consideran a la tarea profesional como una tarea en la cual tienen que aplicar el contenido didáctico-matemático ya dado. En las ocasiones que no disponen directamente de ese contenido didáctico-matemático a aplicar, recurren a cualquier fuente de información para poder obtener un contenido para posteriormente aplicarlo. En diferentes narrativas incluidas en esta categoría, los EPM parecen considerar, por ejemplo, los niveles de Van Hiele como un tipo de “lista”, pasando a comprobar simplemente donde las respuestas de los niños podrían encajar. En el siguiente extracto IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 120 podemos apreciar unas narrativas representativas de esta categoría. SG1. Contexto: en el proceso de resolución del caso 5º, los EPM intentan situar las respuestas de los niños con respecto a los niveles de van Hiele 106: EPM3: Aquí tengo los distintos niveles, nivel 1 de reconocimiento, venga voy a leerlo [EPM3 empieza a leer], percibe la figura en su totalidad, las figuras son objetos individuales, se limitan a describir el físico, frases como se parece a … 107: EPM1: En el 1 no está 108: EPM3: Vale. En el 2 [continúa leyendo] perciben las figuras formadas por partes, pueden deducir otras propiedades a partir de la experimentación sin embargo no son capaces de relacionar unas figuras con otras … 109: EPM2: Sí 110: EPM3: Sigamos vale, [continúa leyendo] de clasificación comienza la capacidad de razonamiento formal, son capaces de reconocer que unas propiedades se deducen de otras … [sigue leyendo] • Narrativas categorizadas como “TP-PR (Resolver únicamente la actividad escolar)”. En estas narrativas se puede apreciar como los EPM resuelven lo que propone la actividad escolar como si fueran los niños a los que va dirigida, sin ningún tipo de reflexión posterior. Una vez encontrada la respuesta a la actividad escolar, dan por terminada su tarea profesional. Esta categoría se puede apreciar en el siguiente protocolo representativo. IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 121 SG2. Contexto: Analizando problemas escolares relacionados con la probabilidad (caso 6º) 182: EPM1: Pon 3 fichas negras y 2 fichas blancas. En la caja B se han metido 2 fichas negras y 1 blanca. Si tienes que sacar una ficha negra para ganar un premio, sin mirar dentro de la caja ¿Cuál elegirías para hacer la extracción? Pues la A porque hay más negra 183: EPM2: Hay más probabilidad 184: EPM3: Pero también darte cuenta de que en la B hay menos, hay menos bolas, es que es lo mismo ¿no? 185: EPM1: Vamos a ver si tú tienes que sacar una ficha negra para ganar un premio sin mirar dentro de la caja, pero es que aquí te pone las dos cajas, no te pone para elegir ¿no? 186: EPM2: No, no, si tú tuvieras que elegir de que caja hacerlo 187: EPM1: Ah vale 188: EPM2: Aquí hay más negra, pero hay más bolas, aquí hay menos 189: EPM3: Es lo mismo porque si aquí hay 3, y aquí 2, aquí hay 2 y aquí 1. Aquí tienes más elección de negra, pero tienes más blanca y te puedes equivocar también 190: EPM1: Y que hay más bolas 191: EPM2: Yo elegiría la B • Por último, se han identificado narrativas que se han categorizado como “TP-IPE (Usar las palabras del enunciado)”. En las narrativas situadas en esta categoría los EPM, cuando se les demanda que analicen una actividad escolar, usan como respuesta IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 122 las palabras que aparecen en el enunciado de dicha actividad, cogiéndolas directamente del enunciado sin una previa reflexión de lo que la actividad solicita a los niños. Una narrativa incluida en esta categoría se puede apreciar en el protocolo representativo que mostramos a continuación. SG6. Contexto: Caso 6º, identificar los conceptos y procedimientos matemáticos en problemas escolares relacionados con la probabilidad 21: EPM1: Vale, el 2 [leyendo el enunciado del problema] se trata de completar el problema anterior tratando de asignar un número a cada uno de los sucesos de la tabla, utilizando la escala que se muestra a continuación, imposible 0, seguro 1 [….] [los EPM hablan sobre de que trata el problema] 30: EMP1: Entonces conceptos serian otra vez, es que como dice igual que arriba … 31: EPM3: Concepto escala A continuación, pasamos a presentar las categorías incluidas en la segunda categoría global correspondiente al Bloque 2. Narrativas endosadas asociadas con las tareas profesionales consideradas como un medio para desarrollar una futura actividad profesional Dentro de las narrativas asociadas con esta relación, identificamos las siguientes categorías: • Narrativas categorizadas como “TP-PRN (Pensar en cómo responderán los niños)”. Esta categoría se ha documentado en base a narrativas en las que se puede apreciar como algunos IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 123 subgrupos de EPM se sitúan como profesores, e intentan considerar las posibles respuestas de los niños a las cuestiones planteadas en la actividad escolar. En ocasiones, indican la necesidad de tener futuribles respuestas de los niños para poder dar respuesta al análisis de la actividad escolar o, en otras narrativas relacionadas con la propuesta de preguntas, los EPM indican que las preguntas tienen que dar posibilidad a diferentes respuestas. De alguna manera, ellos empiezan a considerar la capacidad de predecir como algo necesario para realizar su labor como futuros profesores. Esto podría marcar una transición entre su papel como estudiantes que simplemente resuelven la tarea y estudiantes que intentan incorporar esta capacidad como parte de su futura actividad profesional. La siguiente narrativa es representativa de esta categoría. SG8. Contexto: Analizando una pregunta de la actividad escolar que aparece en el caso 5º 2: EPM2: [leyendo una de las preguntas de la actividad escolar incluida en el caso 5º] ¿En qué le dirías a alguien que se fijara para localizar todos los rectángulos en una lámina de figuras? 3: EPM3: Pero esto hay que pasárselo a los niños 4: EPM2: Sí, yo creo que sería, yo creo que un niño diría que se fijase… es que… ¿en qué curso están? ¿En segundo ciclo? 5: EPM4: Pero saben que… 6: EPM1: Que tengan dos lados iguales, dos a dos y más delgado que el cuadrado 7: EPM2: Yo creo que, si supieran lo que es el ángulo recto, dirían que IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 124 es un polígono o una figura que tiene cuatro ángulos rectos y que tiene los lados paralelos dos a dos, eso es segundo ciclo de primaria y ya está ¿no? 8: EPM1: Tercero y cuarto de primaria 9: EPM2: Eso es 8 o 9 años 10: EPM1: En los libros de primaria te viene paralelos dos a dos 11: EPM2: Claro • Narrativas categorizadas como “TP-ICDM (Usar el contenido didáctico-matemático)”. Esta categoría se ha identificado a través de las narrativas en las que los EPM manejan el contenido didáctico-matemático relacionado con los casos a la hora de abordar las preguntas planteadas en ellos. Se puede apreciar en la siguiente narrativa representativa. SG5. Contexto: en el proceso de resolución del caso 5º, los EPM intentan situar las respuestas de los niños con respecto a los niveles de van Hiele 353: EPM3: ¿En qué nivel dirías que está tu primo? 354: EPM4: En el tres 355: EPM3: Sí. ¿Por qué en el tres? 356: EPM4: Porque por ejemplo dice se fija en los lados opuesto y se da cuenta de una propiedad de los paralelogramos, esto es una de las cosas del nivel, el darse cuenta a partir de varias figuras es una propiedad para digamos saber … 357: EPM3: Por ejemplo ¿cuándo veía un rectángulo también te decía que era paralelogramo o no? IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 125 358: EPM4: ¿Cuándo veía qué? 359: EPM3: Si porque por ejemplo aquí habla de paralelogramo ¿no?, y ahora las clasifica ¿no? 360: EPM4: Sí 361: EPM3: ¿Esto no son paralelogramo? 362: EPM4: Sí 363: EPM3: Que clasifica varias ¿no? 364: EPM4: Sí • Narrativas categorizadas como “TP-PR (Resolver como paso previo la actividad escolar)”. Estas narrativas indican que los EPM resuelven las actividades escolares que están incluidas en los casos pero, a diferencia de las narrativas anteriormente categorizadas como “TP-PR (Resolver únicamente la actividad escolar)”, lo utilizan como un paso previo para posteriormente considerar lo que la tarea profesional demanda en las preguntas de los casos. A continuación, mostramos un protocolo representativo de las narrativas que se han incluido en esta categoría. SG1. Contexto: Analizando problemas escolares relacionados con la probabilidad (caso 6º) 7: EPM2: [leyendo el problema] En el bombo hay 6 bolas rojas, 4 amarillas y 2 azules. Indica con una cruz en la tabla siguiente el tipo de suceso en la experiencia de sacar una bola de la bolsa y anotar su color. Sacar una bola amarilla … IV. Resultados de la investigación Rocío Toscano Barragán 126 8: EPM1: Pero eso no lo hacemos nosotros ¿o sí?, ¿esto lo hacemos nosotros? 9: EPM3: Nosotros, ¿no? Para ver que concepto mueve … 10: EPM1: Posible, es posible [….] 16: EPM2: Es decir, primero la haces ¿no? 17: EPM: Claro, yo la estoy haciendo 18: EPM2: Para ver los conceptos que hacen falta, vale, gracias 19: EPM1: Vale pues yo estoy haciendo esta. Imposible verde, venga sacar una bola que no sea azul, seguro [….] 27: EPM2: Posible. Vale ahora ya hemos resuelto eso ¿vale? 28: EPM1: Espérate voy a ir guardando, venga 29: EPM2: Ahora tenemos que ver qué conceptos y procedimientos necesitamos para hacer esta tarea • Narrativas categorizadas como “TP-PFRP (Preguntas para ayudar a resolver)”. Se han identificado narrativas en las que los EPM realizan preguntas encaminadas a ayudar a los niños en la resolución de la actividad escolar. En ellas, los EPM proporcionan con sus preguntas “pistas” para facilitar a los niños el proceso de resolución. Protocolo representativo de esta categoría se muestra en la siguiente narrativa. SG10. Contexto: Planteando preguntas a sus futuros alumnos relacionado con un problema de probabilidad (caso 6º)