Monstruos de Weierstrass
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UNIVERSIDAD DE SEVILLA Facultad de Matemáticas Departamento de Análisis Matemático MONSTRUOS DE WEIERSTRASS Trabajo Fin de Grado presentado por Pablo José Gerlach Mena Directores: María del Carmen Calderón Moreno José Antonio Prado Bassas Sevilla, Septiembre de 2015
Índice general Abstract iii Resumen v Introducción vii 1. Preliminares 1 1.1. Espaciosmétricos.............................. 1 1.2. Convergencia de funciones y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Espacios de Banach clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4. Categoría .................................. 4 2. Algunos ejemplos clásicos: Weierstrass, Bolzano y Van der Waerden 7 2.1. Monstruos de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. La función de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. La función de van der Waerden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Tamaño Topológico 23 4. Tamaño Algebraico 29 4.1. Lineabilidad................................. 30 i
Índice Trabajo Fin de Grado 4.1.1. c -Lineabilidad............................ 30 4.1.2. Lineabilidad densa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2. Otrosresultados............................... 39 Bibliografía 41 ii
Abstract Since the nineteenth century nowhere dierentiable continuous functions have aroused the interest of both mathematicians and the general public due to its strong counter-intuitive character. In all this time, it has gone from defending its absence to show that not only are not rare but most continuous functions are nowhere dierentiable. Throughout this report we will focus on the study of so called Weierstrass Monsters. This work is divided into four chapters. In the rst one, so that reading is selfcontained, we will make a brief review of basic notions and concepts of Mathematical Analysis, Series of Functions, Functional Analysis and Topology that we will use in later chapters. In the second chapter we will see the rst example of Weierstrass Monster and we will study the classic examples of Bolzano and van der Waerden. In the third chapter we focus on the topological study of Monsters. We show that they form a set of second category and conclude its residuality in the space of continuous functions. Finally, in the fourth chapter, we will see some algebraic structures inside the set of Monsters such as lineability or algebrability, connecting with some modern results in this eld. The completion of this work has allowed to introduce us into a line of research that combines concepts from Functional Analysis, Topology and Linear Algebra. It is a booming eld in recent decades, although its origins date back to the late nineteenth century. iii
Abstract Trabajo Fin de Grado The bibliography has been divided into two parts. First we highlight the Main bibliography , which has collected the references that have been handled with greater intensity to the performance of work. Furthermore, under the heading Other references we have included a collection of some of the most important papers in the literature, both classical and modern, and illustrate the importance that the study of nowhere continuous functions has purchased. iv
Resumen Desde el siglo XIX las funciones continuas no derivables en ningún punto han llamado la atención tanto de los matemáticos como del público en general debido a su fuerte carácter antiintuitivo. En todo este tiempo, se ha pasado desde la defensa de su no existencia hasta la demostración de que no solo no son raras sino que son mayoría. A lo largo de la presente memoria nos centraremos en su estudio y llamaremos Monstruo de Weierstrass a toda función continua no derivable en ningún punto. Este trabajo se dividirá en cuatro capítulos. En el primero de ellos, con el n de que la lectura sea autocontenida, realizaremos un breve repaso de las nociones y conceptos básicos del Análisis Matemático, Series de Funciones, Análisis Funcional y Topología que usaremos en los capítulos posteriores. En el segundo Capítulo veremos el primer ejemplo de Monstruo de Weierstrass que da nombre a este tipo de funciones. Para nalizar, estudiaremos los ejemplos clásicos de Bolzano y van der Waerden. En el Capítulo tercero nos centraremos en el estudio topológico de los Monstruos. Demostraremos que conforman un conjunto de segunda categoría y concluiremos la residualidad del mismo en el espacio de las funciones continuas. Por último, en el cuarto Capítulo, nalizaremos la memoria buscando algunas estructuras algebraicas dentro del conjunto de Monstruos, tales como la lineabilidad o la algebrabilidad, enlazando con algunas resultados modernos en este campo. La realización del presente trabajo nos ha permitido adentrarnos en una línea de investigación que conjuga conceptos propios del Análisis Funcional, la Topología o el Álgebra Lineal. Se trata de un campo en auge en las últimas décadas, aunque sus v
Resumen Trabajo Fin de Grado orígenes se remonten a nales del siglo XIX. La bibliografía la hemos dividido en dos partes. En primer lugar destacamos la Bibliografía fundamental , en la que hemos recogido las referencias que se han manejado con mayor intensidad para la realización del trabajo. Por otro lado, bajo el epígrafe de Otras referencias hemos incluido una colección de algunos de los artículos más importantes en la literatura, tanto clásicos como modernos, y que ilustran la importancia que el estudio de las funciones continuas no derivables en ningún punto ha adquirido. vi
Introducción Cuando se trabaja con funciones derivables, a menudo se piensa que éstas deben tener un comportamiento regular, en parte al hecho de que deben ser continuas y en parte porque en la práctica siempre nos hemos encontrado con que esto era así. Nada más lejos de la realidad. El 18 de julio de 1872, el matemático Karl Weierstrass [21] conmocionó a toda la comunidad matemática al presentar, ante la Real Academia de las Ciencias de Berlín, el primer ejemplo conocido de una función continua no derivable en ningún punto de R . A pesar de que posteriormente fueron muchos los matemáticas que siguieron buscando y construyendo ejemplos de funciones con estas características, y que incluso con anterioridad autores como Bolzano conocían de la existencia de las mismas, las funciones continuas no derivables en ningún punto han pasado a ser conocidas como Monstruos de Weierstrass. En el presente Trabajo veremos algunas de estas funciones, y que el conjunto ND([0,1]) de todas las funciones continuas no derivables en ningún punto de [0,1] es topológicamente grande. En este sentido, los autores Banach [7] y Mazurkiewicz [15] probaron que ND([0,1]) es un conjunto residual en el espacio de las funciones continuas C([0,1]) , convirtiendo así en algo excepcional el hecho de que una función continua poseyera derivada en algún punto. A partir de estos resultados se desarrolló una gran atracción por la búsqueda de grandes estructuras que cumplieran ciertas propiedades para este tipo de funciones. A lo largo del Trabajo manejaremos la denición de lineabilidad acuñada por V. I. vii
Preliminares Trabajo Fin de Grado Teorema 1.9. El espacio C([a, b]) dotado de la norma del supremo dada por kfk∞:= sup x∈[a,b] |f(x)| es un espacio de Banach. Consideremos un intervalo [a, b]⊂R y el espacio de las funciones continuas C([a, b]) con la distancia inducida por la norma del supremo. Entonces el conjunto de los polinomios P:= (p(x) := N X i=0 aixi:N∈N) es denso en (C([a, b]),k·k∞) . 1.4. Categoría Vamos a introducir los conceptos de categoría y residualidad que nos serán de gran utilidad a la hora de profundizar en el estudio de la cantidad de Monstruos que existe o podemos encontrar. El Teorema de Baire nos será de gran ayuda, ya que estaremos trabajando siempre en espacios métricos. Dado A⊂X , denotamos por A a su clausura y por int (A) a su interior. Comenzaremos viendo un par de conceptos previos. Denición 1.10. Sea (X, d) un espacio metrico: 1. Un subconjunto M⊂X se llama denso en X si M=X . 2. Un subconjunto M⊂X se llama denso en ninguna parte si int(M) = ∅. Denición 1.11. Sea (X, d) un espacio metrico y M⊂X : 1. M se dice que es de primera categoría si M puede escribirse como la unión numerable de subconjuntos densos en ninguna parte de X. 2. Si M no es de primera categoría se llama entonces de segunda categoría. 4
Trabajo Fin de Grado Preliminares Denición 1.12. Decimos que un espacio topológico X es de Baire si todo subconjunto de X , abierto y no vacío, es de segunda categoría. Denición 1.13. Si el espacio topológico X es de Baire, decimos que un subconjunto A⊂X es residual si su complementario es de primera categoría. En este aspecto, podemos interpretar que los conjuntos residuales de un espacio topológico de Baire X son topológicamente grandes. Teorema 1.14 ( Baire ) . Todo conjunto abierto no vacío de un espacio métrico completo (X, d) es de segunda categoría. En particular, X es de Baire. Demostración. Sea M6=∅ un conjunto abierto. Por reducción al absurdo, supongamos que M no fuera de segunda categoría. Entonces, M sería de primera categoría, por lo que existiría una sucesión {Mn} de subconjuntos de X tal que: M= ∞ [ n=1 Mn, y int (Mn) = ∅ ∀n∈N. Dado un elemento x0∈M , existe r0>0 tal que B(x0, r0)⊂M , donde B(x, r) denota a la bola abierta de centro x y radio r y B(x, r) a la bola cerrada. Debido a que M1 es denso en ninguna parte, existe una bola cerrada B(x1, r1)⊂ B(x0, r0/2) (por tanto B(x1, r1)⊂M ) tal que B(x1, r1)∩M1=∅ . De nuevo, debido a que M2 es denso en ninguna parte, existe una bola cerrada B(x2, r2)⊂B(x1, r1/2) con B(x2, r2)∩M2=∅ . Repitiendo este argumento inductivamente encontramos una sucesión de puntos {xn} y de radios {rn} (con 0< rn≤r02−n ) satisfaciendo que: (i) B(xn+1, rn+1)⊂B(xn, rn)⊂M∀n∈N . (ii) l´ım n→∞ rn= 0 . (iii) B(xn, rn)∩Mn=∅ ∀n∈N . Por lo tanto, existe un único ex∈ ∞ \ n=1 B(xn, rn)⊂M . Sin embargo, por construcción de las bolas B(xn, rn) tenemos que ex /∈Mn para todo n∈N , luego en particular ex6∈ M , lo cual es una contradicción. 5
Preliminares Trabajo Fin de Grado Corolario 1.15. Si M es de primera categoría en un espacio métrico completo (M, d) entonces X\M es denso en X . Demostración. Sea N:= X\M , y supongamos que existe a∈X\N . Debido a que N es un conjunto cerrado, tenemos que dist (a, N)>0 . En consecuencia, existe una bola abierta B(a, ε) tal que B(a, ε)∩N=∅ , es decir, B(a, ε)⊂M . Pero por el Teorema de Baire 1.14, B(a, ε) es de segunda categoría, y por lo tanto también lo sería M , lo cual es una contradicción. 6
Capítulo 2 Algunos ejemplos clásicos: Weierstrass, Bolzano y Van der Waerden A principios del siglo XIX, el pensamiento general de la comunidad matemática era que una función continua debía poseer derivada en un conjunto signicante de puntos, en el sentido de que la derivada podía no existir o ser innita en algunos puntos aislados del dominio de la función, como ocurre por ejemplo con la función valor absoluto f(x) = |x| . Esto es debido a que, en general, estaban más interesados en el cálculo explícito de la derivada de una función que en la hipotética existencia de una función continua que no poseyera derivada en ningún punto, lo cual había sido posible en la mayoría de los casos, exceptuando algunos puntos singulares del dominio. Son estos hechos los que llevaron a la errónea creencia de que toda función continua iba a poseer derivada. Incluso el matemático y físico francés André-Marie Ampére [6] trató de consolidar, sin éxito, este pensamiento con una justicación teórica en su artículo de 1806 (sin embargo, no se tiene la certeza de si trataba de probarlo para toda función continua o para algún subconjunto menor). Usando la cita que nos proporciona Hermite en una carta dirigida a Stieltjes fechada 7
Algunos ejemplos clásicos Trabajo Fin de Grado a 20 de mayo de 1893: Me alejo con miedo y horror de la lamentable plaga de funciones continuas que no poseen derivada... no es de extrañar la reacción de los matemáticos del sigo XIX ante la existencia de este tipo de funciones. Sin embargo, la respuesta armativa a la existencia de funciones continuas no derivables en ningún punto por parte de K. Weierstrass en 1872 [21] ocasionó una reconsideración del concepto de función continua y un incremento del rigor en el Análisis Matemático, tratando de evitar el engaño que podía ocasionar la intuición geométrica en estos aspectos. Tras la publicación de la función de Weierstrass, muchos otros autores han tratado de construir funciones de similares características. Nosotros nos centraremos en la función original de Weierstrass, haremos un breve repaso por la función de Bolzano y nalizaremos viendo el ejemplo construido en el año 1930 por el matemático B. van der Waerden [20]. En la actualidad, las funciones continuas no derivables en ningún punto están siendo fundamentales en nuevas áreas de investigación y aplicaciones tales como los fractales, el caos o las ondas, por ejemplo. 2.1. Monstruos de Weierstrass El 18 de julio de 1872 el matemático alemán Karl Weierstrass conmocionó a toda la comunidad matemática al presentar, durante una conferencia en la Real Academia de las Ciencias de Berlín, el primer ejemplo de una función continua no derivable en ningún punto. La función en cuestión venía denida por W(x) = +∞ X k=0 akcos(bkπx), 8
Trabajo Fin de Grado Algunos ejemplos clásicos Figura 2.1: Función de tipo Weierstrass siendo a∈R con 0< a < 1 y b un entero impar mayor que 1 vericando que ab > 1 + 3π 2 . Durante su conferencia Weierstrass dijo que: Hasta la fecha se ha supuesto en general, que una función concreta continua de variable real siempre posee una primera derivada, cuyo valor podría ser indeterminado o innito solo en unos valores aislados. Incluso en los artículos de Gauss, Cauchy o Dirichlet no se encuentra, por lo que sé, declaración alguna de la cual pueda deducirse innegablemente, que estos matemáticos, los cuales en su conocimiento estaban acostumbrados a realizar las críticas más fuertes, fueran de otra opinión. Primero Riemann, como he podido llegar a saber por algunos de sus pupilos, ha expresado con seguridad (en el año 1861 o quizás incluso antes) que toda suposición es ilícita, y que por ejemplo la función construida a través de la serie innita +∞ X n=1 sen(n2x) n2 no resulta cierta. Lamentablemente la prueba de Riemann de este hecho no ha sido publicada, y tampoco parece conservarse en sus artículos o por transimisión oral. Es para lamentarlo más aún, ya que no he podido llegar a saber ni una sola vez con seguridad cómo Riemann ha sido capaz de explicar cara a cara a sus pupilos estos hechos con total claridad. Los 9
Algunos ejemplos clásicos Trabajo Fin de Grado matemáticos que, tras el conocimiento de la hipótesis de Riemann en más círculos, se han ocupado del tema, parecen haber sido de la opinión (al menos en su mayoría) que basta probar la existencia de funciones, las cuales se puedan representar en un intervalo tan pequeño de los valores de su argumento, donde no son derivables. Que existen funciones de este tipo se deja probar de forma extraordinariamente sencilla, y creo por ello, que Riemann solo tuvo en mente funciones que no poseían un cociente diferencial para ningún valor de su argumento. La prueba para ello, de que la serie anterior establece una función de estas características me resulta mientras tanto bastante complicada; se pueden construir fácilmente sin embargo funciones continuas de argumento real x , para las cuales puede demostrarse, con los medios más sencillos, que no poseen un cociente diferencial nito para ningún valor de x . Esto puede ocurrir de la siguiente manera. Figura 2.2: Artículo original de K. Weierstrass 10
Trabajo Fin de Grado Algunos ejemplos clásicos Teorema 2.1 ( Weierstrass, 1872 ) . La función W:R−→ R dada a través de W(x) = +∞ X k=0 akcos(bkπx) donde 0< a < 1 , ab > 1 + 3 2π y b es un entero impar mayor que 1 , es una función continua no derivable en ningún punto. Demostración. Vamos a comenzar viendo que la función W(x) está bien denida, es decir, que las sumas parciales de W(x) convergen uniformemente. Para ello, y con el objetivo de utilizar el Teorema M de Weierstrass (Teorema 1.8) acotamos cada uno de los términos que aparecen en dicha suma sup x∈R |akcos(bkπx)| ≤ |ak|=ak. Como la suma ∞ X k=0 ak=1 1−a<+∞ , las sumas parciales n X k=0 akcos(bkπx) convergen uniformemente en R . Debido a que el límite uniforme de funciones continuas es una función continua, tenemos además que W∈ C(R) . Pasamos a continuación a la prueba de la no derivabilidad de W(x) en ningún punto x∈R . Demostraremos para ello que dado un punto x0∈R arbitrario los límites de los cocientes incrementales laterales derecho e izquierdo en x0 no coinciden. Dado m∈N arbitrario, escojemos αm∈Z de modo que xm+1 := bmx0−αm∈ −1 2,1 2 , lo cual siempre es posible, ya que basta tomar αm:= (bbmx0c si {bmx0} ≤ 1/2, bbmx0c − 1 si {bmx0}>1/2, siendo byc , {y} las partes entera y fraccionarias respectivamente de y∈R , de modo que y=byc+{y} . Denimos los puntos que nos servirán para estudiar los cocientes incrementales a derecha e izquierda de x0 ym:= αm−1 bm, zm:= αm+ 1 bm. 11
Algunos ejemplos clásicos Trabajo Fin de Grado Observemos que ym−x0=αm−1 bm−x0=αm−1−bmx0 bm=−1 + xm+1 bm<0, zm−x0=αm+ 1 bm−x0=αm+ 1 −bmx0 bm=1−xm+1 bm>0. Así, ym< x0< zm . Por otra parte zm−ym=2 bm→0 porque b > 1 . Luego, se tiene que ym→x− 0 y zm→x+ 0 . Comenzaremos estudiando el cociente diferencial lateral izquierdo asociado al pun- to ym W(ym)−W(x0) ym−x0 = +∞ X k=0 akcos(bkπym)−cos(bkπx0) ym−x0 = = m−1 X k=0 (ab)kcos(bkπym)−cos(bkπx0) bk(ym−x0)+ + +∞ X k=mam+kcos(bm+kπym)−cos(bm+kπx0) ym−x0=: S1+S2. Con el objetivo de acotar cada una de las sumas por separado empezaremos por S1 . Debido a que sen x x≤1 y haciendo uso de la fórmula trigonométrica de la conversión de la suma de cosenos en producto de senos cos(A)−cos(B) = −2 sen A+B 2sen A−B 2 podemos acotar |S1|= m−1 X k=0 (ab)kcos(bkπym)−cos(bkπx0) bk(ym−x0)= = m−1 X k=0 (ab)k(−π) sen bkπym+x0 2sen bkπym−x0 2 bkπym−x0 2 ≤ ≤ m−1 X k=0 π(ab)k=π(ab)m−1 ab −1≤π(ab)m ab −1. (2.1) 12
Trabajo Fin de Grado Algunos ejemplos clásicos Por otro lado, para tratar de acotar S2 intentaremos reescribir adecuadamente los términos que intervienen en dicha suma cos(bm+kπym) = cos bm+kπαm−1 bm= cos(bkπ(αm−1)) = = cos(bkπαm) cos(−bkπ)−sen(bkπαm) sen(−bkπ) Pero b∈N es impar, luego cos(−bkπ) = −1 y sen(−bkπ)=0 , luego cos(bm+kπym) = −cos(bkπαm) = −(−1)bkαm=−(−1)αm. (2.2) Análogamente, usando la fórmula trigonométrica del coseno de una suma y que αm, b ∈Z se tiene cos(bm+kπx0) = cos bm+kπαm+xm+1 bm= cos(bkπ(αm+xm+1)) = = cos(bkπαm) cos(bkπxm+1)−sen(bkπαm) sen(bkπxm+1) = =(−1)bkαmcos(bkπxm+1) = (−1)αmcos(bkπxm+1). (2.3) Por (2.2) y (2.3) tenemos que S2= +∞ X k=0 am+kcos(bm+kπym)−cos(bm+kπx0) ym−x0= = +∞ X k=0 am+k−(−1)αm−(−1)αmcos(bkπxm+1) −1 + xm+1 bm = = (ab)m(−1)αm +∞ X k=0 ak1 + cos(bkπxm+1) 1 + xm+1 . (2.4) Debido a que cada término que aparece dentro de la suma es no negativo y que xm+1 ∈−1 2,1 2 podemos encontrar la siguiente cota inferior +∞ X k=0 ak1 + cos(bkπxm+1) 1 + xm+1 ≥1 + cos(πxm+1) 1 + xm+1 ≥1 1 + 1 2 =2 3. 13
Algunos ejemplos clásicos Trabajo Fin de Grado Podemos estudiar entonces la diferencia f(bn)−f(an) bn−an −f0(x)= bn−x bn−anf(bn)−f(x) bn−x−f0(x)+ +x−an bn−anf(an)−f(x) an−x−f0(x)= ≤ f(bn)−f(x) bn−x−f0(x)+ f(an)−f(x) an−x−f0(x) n→∞ −→ 0. En consecuencia tenemos que efectivamente l´ım n→∞ f(bn)−f(an) bn−an =f0(x). Teorema 2.6. La función V(x) de van der Waerden es continua y no derivable en ningún punto de R . Demostración. Comencemos viendo la continuidad de la función V(x) . Comencemos deniendo φ(x) := ´ınf m∈Z|x−m| . Sabemos que la función φ(x) = ´ınf m∈Z|x−m| es una función acotada en R con sup x∈R´ınf m∈Z|x−m|=1 2 . Por lo tanto, obtenemos que sup x∈R 1 10k´ınf m∈Z|10kx−m|≤1 2·1 10k, y como la serie con este término general es convergente, el Teorema M de Weierstrass nos asegura la convergencia uniforme de la serie, de donde obtenemos en particular la continuidad de la función V(x) . La prueba para la no diferenciabilidad en ningún punto se basa en el argumento proporcionado por Billingsley. Por reducción al absurdo, dado x∈R arbitrario supongamos que existe V0(x) . Con idea de usar el lema anterior, si tuviésemos dos sucesiones un, vn con un< vn tales que un≤x≤vn y vn−un→0 , se cumpliría entonces que V(vn)−V(un) vn−un →V0(x). 20
Trabajo Fin de Grado Algunos ejemplos clásicos Nuestra intención es construir dos sucesiones que contradigan este hecho. Para ello, reescribimos la función de van der Waerden como sigue V(x) = ∞ X k=0 1 10k´ınf m∈Z|10kx−m|= ∞ X k=0 1 10kφ(10kx). Sea D10 := {j10−n:jn ∈Z} el conjunto de los números racionales 10 -aditivos, es decir, aquellos números racionales cuyo denominador es una potencia de 10 . Si tomamos u∈D10 de modo que el orden de u sea n , es decir, u=j 10n con j∈Z , entonces para cada entero k≥n se verica que 10ku∈Z . Como φ(p)=0 para cada p∈Z , se deduce que V(u) = n−1 X k=0 1 10kφ(10ku). Sean un, vn∈D10 números sucesivos de orden n (es decir, existe i∈Z tal que un= (i−1)/10n, vn=i/10n ) para los cuales se tiene un≤x≤vn . Entonces vn−un= i10−n−(i−1)10−n= 10−n→0 , y además V(vn)−V(un) vn−un = n−1 X k=0 1 10k φ(10kvn)−φ(10kun) vn−un . Claramente la función φ(x) es lineal para cada x∈[10kun,10kvn] ya que el intervalo [10kun,10kvn] = i−1 10l,i 10l donde l=n−k∈N . En consecuencia, para 0≤k < n tenemos que 1 10k φ(10kvn)−φ(10kun) vn−un =±10−l 10−l=±1, lo cual nos proporciona V(vn)−V(un) vn−un = n−1 X k=0 ±1. Observemos que cuando n→ ∞ la serie denida a la derecha no converge, lo cual contradice la suposición de que V0(x) existe. Ya que el punto x∈R había sido escogido arbitrariamente, podemos concluir que la función V(x) es no derivable en ningún punto. 21
Algunos ejemplos clásicos Trabajo Fin de Grado 22
Capítulo 3 Tamaño Topológico En el Capítulo anterior hemos visto la existencia de varios Monstruos de Weierstrass. En concreto hemos visto que la función W(x) = ∞ X k=0 akcos(bkπx) es una función continua en todo R pero no es derivable en ningún punto cuando 0< a < 1 y b es un entero impar mayor que 1 cumpliendo ab > 1 + 3 2π , y que de hecho no es el único ejemplo de función con estas características. En este Capítulo nos preguntamos si estos ejemplos son casos excepcionales o, si por el contrario, existe una gran cantidad de Monstruos. Para ello nos basaremos en algunas propiedades topólogicas genéricas y en el concepto de residualidad, donde gracias al Teorema de Categoría de Baire y debido a que el espacio de las funciones continuas C([a, b]) es un espacio de Banach, podremos ver que no solo existen muchísimos Monstruos sino que de hecho dicha cantidad es topológicamente grande, en el sentido de la residualidad. Comenzaremos introduciendo algunas deniciones con las cuales trabajaremos a lo largo del Capítulo. Denición 3.1. Denotamos ND([a, b]) , para a < b , al conjunto de todas las funciones continuas f: [a, b]−→ R no derivables en ningún punto. Recordemos que el espacio de las funciones continuas C([a, b]) junto con la norma 23
Tamaño Topológico Trabajo Fin de Grado del supremo dada por kfk∞:= sup x∈[a,b] |f(x)| conforma un espacio de Banach. Observemos que, aunque claramente el conjunto ND([a, b]) ⊂ C([a, b]) y esta contención es estricta, no es un espacio vectorial en sí mismo (es claro que W∈ ND([a, b]) , pero 0 = W(x)−W(x)∈ C([a, b])\N D([a, b]) ). Ya en el año 1931 autores como Banach [7] y Mazurkiewicz [15] dieron algunos resultados topológicos acerca del tamaño de ND([0,1]) , en respuesta a las cuestiones que planteaba el matemático polaco Hugo Steinhaus [18] en su artículo de 1929. Ambos autores se basaron fuertemente en el Teorema de Categoría de Baire, aunque nosotros aquí vamos a reproducir y completar la demostración dada por John C. Oxtoby [16]. Necesitaremos para ello de algunos resultados previos. Denición 3.2. Denotamos P([a, b]) al conjunto de todas las poligonales, es decir, al conjunto de funciones continuas y lineales en un número nito de trozos denidas sobre el intervalo [a, b] con a<b . Lema 3.3. El conjunto P([a, b]) es denso en C([a, b]) . Demostración. Es evidente que P([a, b]) ⊂ C([a, b]) . Para ver la densidad basta probar que dado cualquier ε > 0 y g∈ C([a, b]) existe h∈ P([a, b]) tal que kg−hk< ε . Fijemos g∈ C([a, b]) y ε > 0 . Por ser g uniformemente continua en [a, b] existe δ > 0 de modo que para x0∈[a, b] dado y todo x∈[a, b] con |x−x0|< δ se tiene |g(x)−g(x0)|<ε 4 . Sea una partición P:= {a=t0< t1< . . . < tn=b} de modo que m´ax i=0,...,n−1|ti+1 −ti|< δ, y sea h(x) la función denida por h(x) := g(ti)ti+1 −x ti+1 −ti +g(ti+1)x−ti ti+1 −ti ,∀x∈[ti, ti+1],∀i= 0,1, ..., n −1. Claramente h es lineal a trozos y es continua para cualquier t∈(ti, ti+1) con i= 0,1, . . . , n −1 . Para ver la continuidad en cada nodo ti con i= 1, . . . , n −1 , basta tener en cuenta que h(t+ i) = h(t− i) = h(ti) = g(ti). Luego, efectivamente h∈ P([a, b]) . 24
Trabajo Fin de Grado Tamaño Topológico Ahora, recordando la elección de nuestra partición, tenemos que |g(x)−hn(x)|=g(x)−1 ti+1 −ti (ti+1g(ti)−tig(ti+1) + x(g(ti+1)−g(ti)))= =g(x)−ti+1g(ti)−tig(ti+1) ti+1 −ti −xg(ti+1)−g(ti) ti+1 −ti= =g(x)−g(ti+1)−ti+1 −x ti+1 −ti (g(ti)−g(ti+1))≤ ≤ |g(x)−g(ti+1)|+ ti+1 −x ti+1 −ti|g(ti+1)−g(ti)| ≤ ε 4+ 1 ·ε 4=ε 2. En consecuencia hemos obtenido que kg−hnk ≤ m´ax i=0,...,n−1 sup x∈[ti,ti+1] |g(x)−hn(x)|!≤ε 2< ε, lo que concluye la demostración. Teorema 3.4 ( Banach-Mazurkiewicz ) . El conjunto ND([a, b]) es de segunda categoría en C([a, b]) . Demostración. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que [a, b] = [0,1] . Sea BM+ el conjunto de las funciones continuas que poseen derivada lateral derecha en algún punto, es decir BM+:= {f∈ C([0,1]) : ∃x0∈[0,1) tal que ∃f0(x+ 0)∈R}. Análogamente podemos denir BM− como el conjunto de las funciones continuas que poseen derivada lateral izquierda en algún punto, y consideremos el conjunto BM := BM+∪BM− . Para cada n∈N denimos ahora los conjuntos En:= f∈ C([0,1]) : ∃x∈0,1−1 n tal que ∀h∈(0,1−x) se tiene |f(x+h)−f(x)| ≤ nh. Es claro que si una función f∈ C([0,1]) es derivable en algún punto x0∈[0,1) , entonces existe su derivada lateral por la derecha, es decir l´ım h→0+ f(x0+h)−f(x0) h=f0(x+ 0)∈R. 25
Tamaño Topológico Trabajo Fin de Grado Sea N∈N tal que |f0(x+ 0)|+ 1 ≤N y x0∈0,1−1 N . Entonces, tomando ε=N existe δ > 0 con δ < 1−x0 tal que |f(x0+h)−f(x0)| ≤ |f0(x+ 0)|+ 1 ≤Nh, ∀h∈(0, δ). (3.1) Por otra parte, la función g(h) = f(x0+h)−f(x0) h es continua en [δ, 1−x0] , luego existe M∈N tal que |g(h)| ≤ Mh para todo h∈[δ, 1−x0] . Por tanto |f(x0+h)−f(x0)| ≤ Mh, ∀h∈[δ, 1−x0]. (3.2) Sea N0= m´ax{N, M} . Entonces 1−1 N≤1−1 N0 y x0∈0,1−1 N0 . Además, por (3.1) y (3.2) tenemos que |f(x0+h)−f(x0)| ≤ N0h, ∀h∈(0,1−x0). Así, f∈EN0 . Análogamente podemos probar que si existe la derivada lateral por la izquierda de f para algún x0∈(0,1] entonces existe N1∈N tal que f∈EN1 . Luego, ND([0,1]) ⊂BM ⊂[ n∈N En . Para concluir la demostración del teorema basta probar ahora que los conjuntos En son densos en ninguna parte. Para ello veremos que son cerrados y de interior vacío. • Los conjuntos En son cerrados para todo n∈N . Dada f∈En , sabemos que existe una sucesión fk∈En con kfk−fk → 0 cuando k→ ∞ . Debido a que fk∈En , por denición existe xk∈0,1−1 n tal que |fk(xk+h)−fk(x)| ≤ nh, ∀h∈(0,1−xk). La sucesión {xk}k∈N está claramente acotada por 1 , luego por el Teorema de Bolzano-Weierstrass podemos extraer una subsucesión {xkl}l∈N convergente a un cier- to elemento x∈0,1−1 n . Sea {fkl}l∈N la correspondiente subsucesión de {fk}k∈N . Por construcción tenemos que |fkl(xkl+h)−fkl(xkl)| ≤ nh, 0< h < 1−xkl, l ∈N. 26
Trabajo Fin de Grado Tamaño Topológico Sea h∈(0,1−x) . Como xkl→x , existe l0∈N tal que ∀l≥l0 , h∈(0,1−xkl) . Así |f(x+h)−f(x)|=|f(x+h) + f(xkl+h)−f(xkl+h) + fkl(xkl+h)− −fkl(xkl+h) + fkl(xkl)−fkl(xkl) + f(xkl)−f(xkl)−f(x)| ≤ ≤ |f(x+h)−f(xkl+h)|+|f(xkl+h)−fkl(xkl+h)|+ +|fkl(xkl+h)−fkl(xkl)|+|fkl(xkl)−f(xkl)|+|f(xkl)−f(x)| ≤ ≤ |f(x+h)−f(xkl+h)|+kf−fklk+ +nh +kfkl−fk+|f(xkl)−f(x)|. Por la continuidad de la función f en los puntos x y x+h y la convergencia uniforme de fkl cuando l→ ∞ obtenemos la desigualdad |f(x+h)−f(x)| ≤ nh, 0< h < 1−x, lo que indica que f∈En y concluye la prueba de que los conjuntos En son efectivamente cerrados para todo n∈N . • Los conjuntos En son densos en ninguna parte. Consideremos el conjunto P([0,1]) , el cual es denso en C([0,1]) por el Lema 3.3. Para probar que En es denso en ninguna parte basta ver que para cada g∈ P([0,1]) y cada ε > 0 existe una función h∈ C([0,1])\En tal que kg−hk< ε , ya que entonces B(g, ε)6⊂ En para cualquier n y cualquier g∈ P([0,1]) , por lo que int (En) = int (En) = ∅ . Dado ε > 0 sea M la pendiente máxima de cualquier trozo de la función g (es decir, consideramos la pendiente de la recta que une los puntos extremos de cualquier trozo de g ). Sea m∈N de modo que mε > n +M , y recordemos que φ(x) = ´ınf k∈Z|x−k|= dist (x, Z). La demostración se basa ahora en escoger la función h(x) := g(x)+εφ(mx) , la cual claramente es continua en [0,1] por ser suma de funciones continuas. Entonces, para cualquier punto x∈[0,1) nuestra función h(x) posee una derivada lateral derecha 27
Tamaño Topológico Trabajo Fin de Grado h0+(x) de modo que se cumple que |h0(x+)|=|g0(x+) + εmφ0(mx+)| ≥ εm|φ0(mx+)|−|g0(x+)| ≥ εm −M > n. Por tanto, nuestra función h verica que h∈ C([0,1]) pero h6∈ En . Por último, h∈B(ε, g) porque kg−hk= sup x∈[0,1] |g(x)−h(x)|= sup x∈[0,1] |g(x)−(g(x)−εφ(mx))|=εsup x∈[0,1] |φ(mx)|=ε 2< ε. Concluimos así que los conjuntos En son densos en ningún punto en C([0,1]) . Corolario 3.5. El conjunto ND([0,1]) es residual en C([0,1]) . Los matemáticos Banach y Mazurkiewicz no probaron realmente lo mismo en sus artículos, aunque sus resultados coinciden cuando se formulan como en el Teorema 3.4. Mientras que Mazurkiewicz demostró que el conjunto de las funciones continuas que poseen una derivada lateral nita en algún punto es de primera categoría, Banach probó que el conjunto de las funciones continuas con derivada de Dini acotada en algún punto es de primera categoría, lo cual hace que realmente el Teorema de Banach sea más potente que el desarrollado por Mazurkiewicz. 28
Capítulo 4 Tamaño Algebraico En el Capítulo anterior hemos visto que, en contra de lo que cabría esperar, la cantidad de Monstruos es bastante grande en sentido topológico. Es más, Banach y Mazurkiewicz consiguieron demostrar que es algo excepcional que una función continua tenga derivada al ver que el espacio ND([a, b]) era residual. Desde siempre, los grandes matemáticos de todas las épocas se han sentido atraídos y fascinandos por la existencia de grandes estructuras algebráicas que verican ciertas propiedades que contradicen la intuición matemática. Podríamos destacar las curvas de Peano, los Monstruos de Weierstrass y algunas de las más novedosas y recientes como las funciones derivables no monótonas en ninguna parte. Una de las herramientas más útiles y que han sabido explotar matemáticos como Banach ó Mazurkiewicz es el Teorema de Categoría de Baire (el cual ya hemos empleado anteriormente), debido a que cuando trabajamos en un espacio métrico completo E , nos garantiza que el complemento de un conjunto de primera categoría es denso en casi todo E , y usualmente dichos complementos son los conjuntos de extrañas características que tanto nos atraen. Sin embargo, esto puede no sernos suciente si a la hora de ver la densidad de los conjuntos o algunas otras propiedades se nos vuelve muy complicado. Es por ello que en las últimas décadas cada vez más matemáticos se han sentido sumamente atraídos por la busqueda de estas grandes estructuras algebraicas de nuestros objetos 29
Tamaño Algebraico Trabajo Fin de Grado 1≤i≤l . Además, ya que 0< ai< a1 para 2≤i≤l y 9ai>1 obtenemos nalmente que: l´ım m→∞ (9a1)m l X i=1 λiai a1mπ 9ai−1(εi 1,m +εi 2,m) + ηi m 4 3!= signo (λ1)· ∞, lo cual contradice la conclusión (4.9) acerca de que el valor de dicho límite es nulo. 4.1.2. Lineabilidad densa Una vez vista la lineabilidad del conjunto ND[a, b]) , nos preguntamos ahora si es posible escoger el espacio vectorial Y de modo que fuera denso, es decir, si el espacio de las funciones continuas no derivables en ningún punto es denso lineable. Los autores R. M. Aron, F. J. García-Pacheco , D. Pérez-García y J. B. Seoane- Sepúlveda [1] ofrecen una demostración de este resultado, para la cual necesitaremos introducir algunos conceptos y resultados previos. Denición 4.5. Sean A y B dos subconjuntos de un espacio vectorial X . Decimos que A es más fuerte que B si A+B⊆A . Observemos que en general no vamos a poder garantizar que el elemento neutro 0∈A . Veremos a continuación un resultado que nos proporcionará un método para probar la lineabilidad densa de ciertos conjuntos X lineables. Teorema 4.6. Sea X un espacio de Banach separable, y consideremos dos subconjuntos A y B de X , de modo que A es lineable y B es denso lineable. Si A es más fuerte que B , entonces A es denso lineable en X . Demostración. Tenemos por denición que existen dos espacios vectoriales de dimensión innita Y y Z tales que Y⊂A∪ {0} , Z⊂B∪ {0} y además Z es denso en X . La idea se basa en tomar la familia innita de elementos independientes {yn:kynk= 1, n ∈N} ⊂ Y y una sucesión densa dada por {zn:n∈N} ⊂ Z . 36
Trabajo Fin de Grado Tamaño Algebraico Denimos entonces W como el espacio generado por los siguientes elementos: W:= span 1 nyn+zn:n∈N, el cual será nuestro candidato a subespacio vectorial denso contenido en A . Observemos primero que W⊂A∪ {0} . De hecho, si tomamos λ1, . . . , λp∈R\{0} y n1, . . . , np∈N números naturales distintos tenemos que λ11 n1 yn1+zn1+. . . +λp1 np ynp+znp= = p X j=1 λj nj ynj+ p X j=1 λjznj=y0+z0∈(Y\{0}) + Z⊂A, debido a que Y⊂A , Z⊂B y A+B⊂A por ser A más fuerte que B . Por último, obtenemos la densidad de W directamente de la construcción realizada, ya que el conjunto {zn:n∈N} había sido escogido denso en X , luego también lo es el conjunto 1 nyn+zn:n∈N. Para ello, jemos x∈X y ε > 0 . Por la densidad de {zn} existe n0 tal que kx−znk<ε 2 y 1 n0 <ε 2 . Por tanto: 1 n0 yn0+zn0−x ≤1 n0 kyn0k+kx−zn0k=1 n0 +kx−zn0k<ε 2+ε 2=ε. Concluimos así que A es denso lineable en X . Teorema 4.7. El conjunto ND([a, b]) es denso lineable en C([a, b]) . Demostración. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que [a, b] = [0,1] . Sabemos por el Teorema 4.4 que el conjunto ND([0,1]) es lineable, y consideremos ahora la variedad densa lineable de los polinomios en C([0,1]) , la cual llamaremos P . Claramente el conjunto ND([0,1]) es más fuerte que P . En efecto, dado W∈ ND([0,1]) y p∈ P , consideremos f(x) = W(x) + p(x)∈ C([0,1]) . Si f(x) fuese derivable en algún punto x0 , entonces también lo sería W(x) = f(x)−p(x) , lo cual no es posible. Luego tomando A:= ND([0,1]) y B:= P el Teorema 4.6 garantiza que el conjunto ND([0,1]) es denso lineable en C([0,1]) . 37
Tamaño Algebraico Trabajo Fin de Grado En 2008, Bernal [2] prueba un teorema más general que el Teorema 4.6, y como aplicación, es capaz de demostrar varios resultados que veremos a continuación. Denotaremos NDp([a, b]) al conjunto de funciones de clase Cp en [a, b] tales que f(p) no es derivable en ningún punto de [a, b] . Teorema 4.8. Sea p∈N0 . Entonces, la clase de funciones NDp([0,1]) es densolineable en Cp([0,1]) . Demostración. Vamos a realizar la demostración usando el Teorema 4.6 y para el caso p= 1 . El resto de casos se realizan de forma análoga. Queremos probar que el conjunto ND1([0,1]) = {f∈ C1([0,1]) : f0 no es derivable en ningun punto x∈[0,1]} es denso lineable en C1([0,1]) . Como ND([0,1]) es c -lineable, existe un subespacio lineal A0 con A0⊂ ND([0,1])\{0} . Denotemos A:= g(x) = Zx 0 G(t)dt :G∈A0. Claramente el conjunto A es un espacio lineal en sí mismo. En efecto, dadas g, h ∈ A , existen G, H ∈A0 tales que g(x) = Zx 0 G(t)dt y h(x) = Zx 0 H(t)dt. Por lo tanto αg(x) + βh(x) = αZx 0 G(t)dt +βZx 0 H(t)dt =Zx 0 (αG(t) + βH(t))dt ∈A debido a que αG +βH ∈A0 . Así pues, el conjunto A es lineable y usando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral obtenemos que para g∈A g0(x) = G(x)∈A0, es decir, las funciones g∈ C1([0,1]) verican que su derivada g0 es una función continua no derivable en ningún punto de [0,1] . Por último, usando de nuevo que el conjunto 38
Trabajo Fin de Grado Tamaño Algebraico B:= P de los polinomios es un subconjunto denso lineable de C1([0,1]) y que, de forma análoga al teorema anterior, A es más fuerte que B , el Teorema 4.6 nos garantiza la lineabilidad densa de A . Pero Bernal es capaz de ver más incluso, demostrando que también se tiene un resultado similar cuando hacemos tender p→ ∞ . Más concretamente vamos a denotar ND∞([a, b]) al conjunto de funciones de clase C∞ en [a, b] tales que no son analíticas en ningún punto de [a, b] , es decir, aquellas funciones para las cuales no es posible encontrar un pequeño entorno de algún punto de su dominio en el cual poseen un desarrollo en serie de potencias convergente en dicho entrono. Teorema 4.9. La clase de las funciones ND∞([a, b]) es denso-lineable en C∞([0,1]) . 4.2. Otros resultados Por último, para cerrar el capítulo y el trabajo veremos algunos resultados más en esta línea. Vista ya la lineabilidad densa, nos preguntamos si podemos un pedir un poco más y conseguir un subespacio vectorial lineal cerrado, siendo entonces el conjunto ND([0,1]) no solo lineable sino espaciable. En el año 1998, el mismo V.I. Gurariy da una respuesta armativa a esta cuestión junto a los autores V.P Fonf y M.I. Kadets [10]. En realidad, en su artículo son capaces de demostrar un resultado más fuerte. Teorema 4.10. Existen un subespacio vectorial cerrado innito dimensional E de C([0,1]) y un subconjunto A del intervalo [0,1] de medida uno, tal que si la función f∈E no es idénticamente nula, entonces f es no derivable en ninguna parte en [0,1] y además tampoco posee derivadas laterales izquierda o derecha en el conjunto A . La demostración del Teorema 4.10 está basada en la construcción de unas funciones 39
Tamaño Algebraico Trabajo Fin de Grado de tipo van der Waerden: u1(x) := x si 0≤x≤1 4, 1 2−x si 1 4≤x≤3 4, x−1 si 3 4≤x≤1, extendiéndose periódicamente en R . A partir de esta función construyen las funciones: un(x) := 81−nu1(8n−1x) para n= 2,3, . . . , es decir: un(x) := x si 0≤x≤1 4·8n−1, 1 2·8n−1−x si 1 4·8n−1≤x≤3 4·8n−1, para n= 2,3, . . . x−1 8n−1 si 3 4·8n−1≤x≤1 8n−1, las cuales extenderemos periódicamente en R . Sin embargo podemos armar mucho más. Posteriormente, L. Rodriguez-Piazza [17] generalizó el resultado anterior, probando que el conjunto E del Teorema 4.10 podía escogerse isométricamente isomorfo a cualquier espacio de Banach separable. Teorema 4.11. Todo espacio de Banach separable es linealmente isométrico a un subespacio cerrado X del espacio de las funciones continuas en [0,1] , tal que cada elemento no nulo de X es no derivable en ningún punto. Para nalizar, podemos estudiar otras muchas estructuras algebraicas, tales como la algebrabilidad. Denición 4.12. Dado un álgebra de Banach A y un subconjunto B ⊂ A decimos que: (1) B es algebrable si existe un subálgebra C de A tal que C ⊂ B∪{0} y la cardinalidad de cualquier sistema de generadores de C es innita. 40
Trabajo Fin de Grado Tamaño Algebraico (2) B es denso-algebrable si C puede escogerse además denso en A . En este ámbito Bayart y Quarta [8] nos proporcionan el siguiente resultado, relacionado con la estructura algebraica de ND([0,1]) , aunque es más fuerte de lo que necesitamos. Recordemos que una función f∈ C([0,1]) es Hölder continua si existe una constante α∈(0,1) tal que existe M > 0 con |f(x)−f(y)|< M|x−y|α . Teorema 4.13 ( Bayart y Quarta, 2007 ) . El conjunto de las funciones continuas que no son Hölder en ningún punto en [0,1] (exceptuando la función nula) contiene un álgebra innitamente generado. Es más, dicho álgebra puede escogerse denso en C([0,1]) . En otras palabras, el conjunto de las funciones continuas que no son Hölder continuas en ningún punto de [0,1] es ℵ0 -denso-algebrable. En particular, como toda función derivable es Hölder continua, se tiene que ND([0,1]) es ℵ0 -denso-algebrable. 41
Tamaño Algebraico Trabajo Fin de Grado 42
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