Aletoriedad del crecimiento de grietas por fatiga bajo cargas de amplitud constante

ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 379 ALEATORIEDAD DEL CRECIMIENTO DE GRIETAS POR FATIGA BAJO CARGAS DE AMPLITUD CONSTANTE C. Lapetrn y J. Domínguez Universidad de Sevilla Departamento de Ingeniería Mecánica y de los Materiales E.T.S.I.I., Avda. Reina Mercedes, s/n, 41012 Sevilla Resumen. El objeto de este trabajo es el análisis de la aleatoriedad de la velocidad de crecimiento de grieta en probetas de aleación de aluminio 2024 teóricamente idénticas, ante las mismas cargas de' amplitud constante. Se presentan los resultados de crecimiento de grieta producidos en una serie de 18 ensayos en probetas tipo "compact". Dichos resultados se analizan estadísticamente, aproximándose distintas leyes de crecimiento considerando aleatorios algunos parámetros de la~ mismas. Entre los resultados obtenidos cabe destacar la influencia del tamaño de grano en los parámetros que defmen la variabilidad de la velocidad de crecimiento entre un instante y otro en una misma probeta, al menos en la superficie y la buena representación del proceso aleatorio de crecimiento que se obtiene empleando un modelo de ley cúbica de crecimiento con dos parámetros aleatorios, a la que se suma un proceso aleatorio determinado. Abstrnct. The objetive of this paper is to analyse the randonmess of the fatigue crack growth m 2024 aluminium alloy compact tension specimens under the constant amplitude loading. Eighteen teoretically identical tests have been carried on. The results have been stadisticaHy analysed and different stochastic fatigue crack growth Iams have been fitted. Sorne interesting results have been obtained. One is the influence of the grain size on the parameters defming, the fatigue crack growth random process measured at the specimen surface. Another is the good aproach produced by adding a random process to a cubic low with two random parameters. l. INTRODUCCION Generalmente, el proceso de crecimiento de grieta por fatiga se trata como un fenómeno determinista, considerando constantes los parámetros y variables que gobi~man su evolución. De esta consideración resulta que dos elementos idénticos, con la misma longitud y forma de grieta inicial, sometidos a los mismos estados de carga, sufrirán el mismo incremento de longitud. Sin embargo, la realidad es distinta. Diversas series de ensayos con carga de amplitud constante, realizadas por distintos investigadores manteniendo iguales los principales parámetros que gobiernan el proceso de la fatiga, han permitido comprobar que la curva de crecimiento de cada probeta es distinta [1,2]. Las dispersiones de los resultados de vida a fatiga Dbtenidos pueden llegar a ser significativas. En ensayos teóricamente iguales, la amplitud de la dispersión de los resultados depende de diversos parámetros. Así, para dos grupos de ensayos realizados con dos materiales distintos, la dispersión no será normalmente la misma. Igualmente, distinto nivel de tensiones o espesor de probeta en cada grupo de ensayos también producirá diferente variabilidad de los resultados del grupo. Cuando la dispersión llega a niveles significativos se hace necesaria la consideración del carácter estadístico de la velocidad de crecimiento de grieta. En este trabajo se realiza un estudio de la variabilidad de la velocidad de crecimiento de una grieta ante una carga definida de amplitud constante, obteniéndose un modelo estocástico de crecimiento que representa la aleatoriedad del crecimiento de grietas por fatiga. Para ello, en primer lugar, se ha realizado una serie de ensayos de crecimiento de grieta en probetas obtenidas de una misma placa de aleación de aluminio, manteniendo constantes, en lo posible, todos los parámetros que se considera pueden influir en el proceso. Posteriormente, se han comparado los resultados en forma de registros longitud de grieta-número de ciclos (a-N) y de curvas dajdN-IlK, ajustando dichas curvas a modelos conocidos. A partir de estos ajustes, se ha obtenido un modelo estadístico capaz de representar la desviación aleatOria de los resultados respecto a los modelos deterministas. 2. METOOO DE ENSAYO Los ensayos se han realizado en una máquina servohldráulica, determinándose la velocidad de crecimiento sobre probetas de aluminio 2024 T-351. El ensayo se ha realizado de acuerdo con el método propuesto por la norma ASTM E 64 7 - 93, sobre probetas tipo "compact-tension", con W=50 mm y 12 mm de espesor. La medida de la longitud de grieta se ha realizado con un sistema de caída de potencial de corriente alterna (ACPD), registrándose la evolución de la longitud de forma continua mediante un sistema de 380 ANALES DE DE LA FRACTURA VoL 12 o ü adquisición de datos. El número de probetas ensayadas ha sido 18. En todos los casos se ha empleado una carga de amplitud constante con unos valores mínimo y máximo de 900 y 4500 respectivamente. La evolución de se ha controlando en un intervalo de su longitud entre 17.5 y 29.5 mm. En la figura 1 se muestran los datos obtenidos en este trabajo. Se representan en ordenadas la longitud de la grieta y en abscisas el número de ciclos ocurridos hasta alcanzar dicha longitud. La figura 2, para las 18 probetas ensayadas, los valores de velocidad de crecimiento obtenida cada 0.1 mm de incremento de longitud. Para la determinación de estos valores se ha empleado el método de la secante. La figura 3 muestra los mismos datos para una de estas probetas. 30 28 26 24 22 20 18 16 L...,.~L,_,_~~~~.._.._l~.._._L~._,_J_~_,_j o 10 20 30 40 50 60 70 N(1()(X)ciclos) Fig. l. Curva de crecimiento de los 18 ensayos 2,51E·3 i.OOE-3 i 3.98E-4 1.5BE-4 6.30E-5 7.94 8.91 10.00 1L22 12.59 14.13 15.85 17.78 MPaVm 2. Curvas de velocidad de crecimiento de lo 18 ensayos. 2,51E·3 1.00E-3 o ü ·o 'E 3.98E-4 E -·· 1.58E-4 6.30E·5 7.94 8.91 10.00 11.22 12.59 14.13 15.85 17.78 MPaVm Curva de velocidad de crecimiento para 1 3. MODELO ESTOCASTICO DE CRECIMIENTO Analizados los valores obtenidos en los granc<:lS a-N y se observa que, modelos del:ennirtistas se produce en los resultados que, a efectos de 'u'''""''""• dos · La es responsable de que en dos distintas se duraciones diferentes del proceso de crecimiento la Da origen, por tanto, a distintas velocidades medias de crecimiento en cada ensayo. Como consecuencia de los pa:ránlletros de de de crecimiento detennirtista, por serán distintos para cada Podría denominarse componente de baja frecuencia de la Aic·~~·~;,;~ -La segunda se manifiesta mediante las variaciones continuas de la velocidad de crecimiento durante el ensayo de una Ello hace que la curva a-N sea irregular en cada uno de estos ensayos. Podría denomtinarse de alta frecuencia. El modelado de una de crecimiento que los realizarse mediante la por una ecuación del donde ser es una ecuación de crecimiento en la que se considera <uc¡uuua, que tomará un valor para cada ensayo: El de la ecuación de crecimiento a los datos de cada uno de los ensayos una muestra de los aleatorios. Esta aleatoriedad de los v•u<u.u~;u'J" pernritiJrá n~pr1~seJt1tar la variabilidad de ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 381 frecuencia. es una variable aleatoria, función de la longitud de la grieta, que cambiará continuamente durante un ensayo. Permitirá representar el tipo de dispersión de alta frecuencia. Tomando logaritmos en ambos miembros de la ecuación (l ), se obtiene: donde ((a)= logZ(a) (3) En determinadas condiciones, el proceso aleatorio ((a) puede considerarse estacionario, gausiano y de media cero. En este caso, estará completamente caracterizado si se conoce su función de autocorrelación ~(a..), definida por [5,6]: (4) Para cada ensayo, si se toman medidas de longitud de grieta y número de ciclos a intervalos constantes de longitud, el valor de ((a) para una longitud de grieta a i = a 0 + i AA puede obtenerse particularizando la ecuación (2): que tendrá media nula sif(!lK) se ajusta por el método de los mínimos cuadrados. A partir de estos valores, la función de autocorrelación discreta podrá obtenerse mediante la expresión: (6) Si el proceso aleatorio ((a) es estacionario, gausiano y de media cero, la componente de alta frecuencia de la dispersión en dicho ensayo quedará caracterizado conociendo su función de autocorrelación. Para representar el comportamiento de baja frecuencia en los ensayos realizados se han efectuado ajustes con las leyes de crecimiento de París y cúbica [7] representadas, respectivamente, por las ecuaciones siguientes: da = C(M)" dN (7) (8) En la segunda ecuac1on se han hecho ajustes considerando la ley monodimensional, con el parámetro a de la ecuación aleatorio y bidimensional, con a y b aleatorios. 4. ANALISIS DE RESULTADOS Antes de analizar la bondad de los diferentes ajustes de la ley de crecimiento, se ha determinado la variabilidad de la velocidad de propagación en cada probeta, a lo largo del proceso de crecimiento. La variabilidad se ha definido mediante el proce.._"' aleatorio (¡ representado en la ecuación (5) en la que se ha sustituido el logaritmo de la ley de crecimiento (log(f(AK)) por los valores medios de los logaritmos de las velocidades medidas en todos los ensayos. Para ello, a partir de la velocidad de crecimiento para cada longitud a¡ y probeta m, denominada (dajdN)im, se ha obtenido la media en el conjunto de los 18 registros paia cada longitud (E[log(dajdN)]J, expresada: ~ [da JJ 1 18 E log _ = _ L dN i 18 m:! (9) Con lo que Si se puede expresar: (10) Tomando 0.01 mm como intervalo de medida de la longitud de grieta, a partir de la variable Si se han obtenido las funciones de autocorrelación defmidas mediante la ecuación (6), para los primeros milímetros de crecimiento de cada una de las 18 probetas. La figura 5 presenta una muestra de estas funciones de autocorrelación. 0.05 El_g ¿Ji o -0.05 o Fig.4. Función probeta. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 mm de autocorrelación de ((a) para una 382 DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 En esta curva se observa claramente que hay una tendencia cíclica de evolución, produciéndose picos cada, aproximadamente, 0.09 mm. Analizado el tamaño de grano en la dirección de crecimiento de la grieta, ha podido comprobarse que el valor medio es muy ¡.11'-'Ali"''v a 0.9 mm. Esta forma de la función de autocorrelación viene por tanto determinada por el tamaño de grano. 0.0022 0.002 0.0018 0.0016 ~ f 0.0014 ~~ 0.0012 E 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 o ~~~~~~~~~~~~~~~ o 5 1 o 15 20 25 30 35 40 45 50 mm·' 5. Densidad espectral de ~(a) para una probeta. Este efecto se explica por el de sistema de medida empleado. Debido al efecto "skin", la corriente alterna de alimentación del sistema ACPD se concentra en la superficie de la probeta, lo que origina que las caídas de tensión producidas al crecer la grieta sean debidas a incrementos ocurridos en la superficie. El sistema, por tanto, registra la longitud en un espesor de pocas milésimas desde la superficie libre de ·la .. probeta, registrando incrementos locales de longitud, sensibles a la microestructura, más que valores medios, cuya """'""''uutU<Jcu al tamaño de grano será mucho menor. A la vista de la forma de las funciones de autocorrelación y sus transformadas de que representan las densidades del proceso puede decirse que es próximo a un ruido blanco, al que, al menos en la superficie, se la añade una componente de banda estrecha con periodo central al tamaño medio del grano. Por ello, si se integra la ecuación de crecimiento en un intervalo suficientemente amplio, el efecto de este ruido no alterará prácticamente el valor de la vida. En ese caso, cuando la longitud de crecimiento sea suficientemente grande, no será necesario considerar el efecto de este ruido para incluir la aleatoriedad del crecimiento en el modelo. A continuación se analizan los resultados obtenidos al ajustar las diferentes de crecimiento mencionadas a los datos de crecimiento para las variaciones de frecuencia de la velocidad de propagación. Ley de Paris Ajustando los resultados de creclllilento a la ley de por el método de mínimos cuadrados, se obtiene para cada probeta una recta como la representada en la figura 6. En cada probeta, la recta presenta diferente pendiente y no existe ningún punto común a todas ellas. Ello decir que los valores de C y n de la ecuación son diferentes para cada caso. En la figura 6 se puede observar que, para bajas velocidades de crecimiento, la recta ajustada predice valores mayores a los reales. Este efecto se aprecia de forma general en los 18 ensayos. Ello es debido a que la ley de parís no es una buena aproximación para toda la gama de velocidades de crecimiento. Definiendo los valores de ~i mediante la ecuación (5), empleando como f(LlK¡) para cada probeta la ley de París "111'ct''rt" a ella y obteniendo para cada i el valor medio de los 18 ~i' puede obtenerse una estimación de la tendencia de i;;'i con b.K. Un registro de otras medias de 1;;' se muestra en la figura 7. En ella se más claramente la tendencia general y los errores del ajuste de la de París a la velocidad de crecimiento. Esta desviación hace que el proceso aleatorio · no sea estacionario, una de baja frecu~ncia d~. marcado carácter ae1tenmrusta, que pueden imputarse a la dificultad de la de París para aproximar adecuadamente la forma de evolución de la velocidad de propagación con b.K. Ello dificulta la definición de la aleatoriedad de alta frecuencia mediante un sólo pru~ántetJ:o aleatorio a través de su función de autocorrelación. 2,51E-3 1.00E-3 o o ~ .3.98E-4 .. E .58E-4 6.30E-5 7.94 8.91 1<.22 12.59 14.13 MPavm 6. Media de los residuos de acuerdo a la París. de cúbica monodimensional pr<)atiCHIOS con el ajuste de una recta en escala lo~~arítn:lic:1, se ha hecho también una aproximación con un polinomio cúbico como el de la ecuación (8). El ajuste se ha llevado a calxl '-'"''""...a"'"'-' una regresión núninlo-cuadrática en escala obteniendo los cuatro coeficientes del polinomio para el conjunto de todos los El a orden cero se convirtió en aleatorio. Considerando una distribución de vida logarítmico-normal [4,8]. 0.8 0.6 0.4 -0.4 ~.6 f -0.8 -1 7.94 8,91 10,00 11.22 12.59 14.13 15.85 17,76 MPaVm 7. Desviación de la vida de acuerdo a una unidimensionaL pr<lattce una distribución normal del a, vcu.a~•~u~ que será de la de la y constante para cada ensayo. Para hacer que la variable a media cero, el se ha obtenido a de la ecuación de crecimiento escrita de la forma: da (11) Donde ~-,,-~·-- término del miembro es una ecuación determinista que se obtiene por del de ensayos. .La variable P es aleatoria con uvuu<u, de media cero. Su varianza se obtener a proceso de continuación. de la de la varianza de la duración del crecimiento como se indica a expresarse: Vol. 12 383 Dado que el integrando del tercer miembro, así como los límites de son deterministas, la varianza de N será: expresión de la que puede obtenerse fácilmente la desviación típica de p, conocida la de N a partir de los resultados de los ensayos y tomando las longitudes inicial y fmal como límites de integración. Obtenida la desviación típica de ~' aplicando la ecuación anterior para diferentes longitudes finales de la grieta, podría aproximarse la-desviación típica de la vida que se produciría considerando distintas longitudes fmales de grieta. La figura 8 muestra la evolución real de la desviación de N en función de la longitud de grieta considerada como fmal en los 18 ensayos y la apJroxJm.acJtón obtenida por el procedimiento anterior. El es muy bueno para vidas no muy bajas, mientras que para éstas se presentan valores ex]pei1men1tal<:s ciertamente mayores que los predichos. Esto se deber a: - No tener en cuenta la función de autocorrelación de los residuos, cuya influencia es más elevada para vidas cortas. Sin embargo, como se verá más tarde, la función de autocorrelación afecta a una longitud menor que la que se produce la diferencia en este caso. de crecimiento inapropiada para velocidades bajas: la ley unidimensional empleada no contempla el cruce de las curvas de crecimiento [8], lo que se traduce en una menor desviación para vidas cortas. 30 28 26 'E E 24 Cií 22 20 18 16 o 8. con ruido. 500 1000 1500 de la media N(ciclos) una 2000 2500 bidimensional 384 ANALES DE MECANICA DE LA Ley .cúbica bidimensional Introduciendo dos parámetros aleatorios, de acuerdo a los trabajos de Ostergaard y Hillberry [8] y considerando distribuciones normales, se llega a unas aproximaciones muy parecidas al caso de un solo parámetro aleatorio. El uso de dos parámetros permite que se produzca el cruce de las curvas de crecimiento. En el caso de uno sólo esto no ocurre, de tal modo que un grieta que empieza su crecimiento de una forma rápida llega a longitudes de grieta elevadas con una velocidad alta. En el caso de dos parámetros aleatorios puede producirse un comienzo de crecimiento lento y posteriormente acelerarse en el fmal de la vida y viceversa. Los parámetros aleatorios se definen a partir de la ecuación (8), reescribiéndola de la forma: (14) donde (15) (16) son los parámetros de la ley de Paris, y (17) es un factor que le. da la forma adecuada a la recta de París para que se adapte a la tendencia real de la curva de crecimiento. Los coeficientes de <I> son deterministas y se obtienen ajustando por mínimos cuadrados el conjunto de ensayos. A continuación, se ajusta para cada ensayo el polinomio cúbico que de el minimo error cuadrático manteniendo constantes los coeficientes de segundo y tercer orden calculados previamente. Si se representa logC frente a m se observa una clara tendencia de los valores a agruparse en tomo a una recta, igual que ocurre cuando se usa como ley de crecimiento la ley de Paris. Siguiendo el trabajo de Ostergaard y Hillberry [8] se han definido como variables aleatorias m y F, donde F se calcula como: F=é e (18) siendo logé el valor estimado de logC a partir de la recta de regresión a los valores de C y sus obtenidos en los ensayos. Estas nuevas variables se distribuyen de forma independiente definiendo las dos dimensiones estadísticas del problema. VoL 12 cúbica bidimensional con ruido aleatorio. Se adopta una ley de velocidad de crecimiento gobernada por los dos parámetros aleatorios anteriores y se multiplica por una muestra del proceso aleatorio s(a). A partir de las distribuciones obtenidas para las variables aleatorias se han simulado un conjunto de curvas de crecimiento, determinando a partir de ellas unas estimaciones de las curvas de media y varianza. Al igual que en casos anteriores la media se ajusta perfectamente a los resultados experimentales (Figura 9). En este caso la desviación típica se ajusta mucho a las curvas para vidas muy cortas debido al incremento de la dispersión que supone introducir un proceso aleatorio de frecuencia alta (11 (Figura 10). E E ro 30 28 26 24 22 20 18 16 real modela o 10 20 30 40 50 60 70 N ( ciclosx 1 000) Fig. 9. Ajuste de la vida de modelo bidimensional con ruido. 18 E E ro o Fig. 10. Desviación ruido. N(ciclos) --real modelo 500 de modelo bidimensional con DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 385 CONCLUSIONES A la vista de los resultados pueden obtenerse '"ouu•= CIJnc:lusionLes, que se exponen a continuación. a. La distribución de vida producida en los ensayos aproxJI1ll2trse por una ley de tipo logaritnúconormal. b. caso, la variabilidad de la vida entre Otc)be:tas y, para una misma la variación de la velocidad de de un punto a otro, mediante una de parámetro con un proceso aleatorio defmido a de su función de autocorrelación. c. Una muy sencilla como la de París introduce para valores de p.uu-l\An>v una función de autocorrelación que se atenúa muy por lo que es neceSario su uso para la estimación de la media y varianza del incluso para vidas relativamente altas. d. con tres n<l1r<>n,l'tro<: u•~·~~·"~, modela de una forma correcta varianza es también muy bien aunque para vidas muy cortas es necesario tener en cuenta el residuo. e. La cúbica bidimensional introduce una nueva variable de de la de crecimiento. El modelado de estas variables con el modelo el cruce en las curvas de crecimiento La distribución de vida obtenida con este modelo es muy similar a la observada Sin la Añadiendo un proceso bidimensional se que cúbica la g. La función de autocorrelación de los residuos claramente ciertas variaciones asociadas a incrementos de muy similares al tamaño de grano. Esto se por el de medida '-'Jtll!-""'"ua por el sistema donde la lectura se realiza unas pocas centésimas por la libre. 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