Un modelo para la descripción de las transiciones de fases en una barra de acero

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–6) Un modelo para la descripci´on de las transiciones de fases en una barra de acero J. M. D´ ıaz Moreno, C. Garc´ ıa V´ azquez, M. T. Gonz´ alez Montesinos, F. Orteg´ on Gallego1 1Dpto. de Matem´aticas, Universidad de C´adiz, Campus del R´ıo San Pedro, Puerto Real 11510 C´adiz. E-mails: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]. Palabras clave: Diagramas TTT y CCT, transiciones de fases en el acero, tratamiento t´ermico, ecuaciones diferenciales ordinarias, m´etodos de Runge-Kutta Resumen El acero es una aleaci´on de hierro y carbono al que se pueden unir una serie de elementos aleantes (Si, Mn, Ni, Cr, Al,. . . ). La cantidad de cada uno de ellos determina las propiedades del material y, por tanto, sus usos y aplicaciones industriales. En los aceros hipoeutectoides (con un nivel de C inferior al 0’77 %), se aprecia un cambio significativo en su estructura cristalina en un rango de temperaturas entre los 727◦C y los 912◦C, aproximadamente. A partir de este proceso de austenizaci´on, tras un enfriamiento “brusco” aparecen nuevas fases: perlita, ferrita, bainita y, fundamentalmente, martensita. Las propiedades f´ısicas asociadas a cada una de ellas resultan cualitativamente diferentes: la martensita presenta un nivel de dureza superior a las dem´as fases pero tiene el inconveniente de ser fr´agil; por contra, la perlita es d´uctil. En este trabajo nos centramos en el estudio de un modelo que describe las transiciones de fases en el acero (concretamente, para los aceros 42CrMo4 y SAE 1145). Se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la temperatura ser´a considerada inicialmente un dato, de acuerdo a un perfil de temperatura previamente fijado. 1. Las transiciones de fases En el proceso de fabricaci´on de una cremallera de direcci´on (para autom´oviles, por ejemplo) se parte de un cilindro dentado de acero. Para que cumpla las condiciones que su uso le va a exigir, interesa dotar superficialmente la zona dentada de un mayor nivel de dureza, manteniendo la ductilidad en el resto de la pieza. Para ello, se somete la barra a un 1 J. M. D´ıaz Moreno, C. Garc´ıa V´azquez, M. T. Gonz´alez Montesinos, F. Orteg´on Gallego ferrita perlita bainita martensita        calor −→ austenita fr´ıo −→        ferrita perlita bainita martensita Figura 1: Fases que aparecen en el acero. proceso de calentamiento por conducci´on e inducci´on seguido de un enfriamiento brusco, mediante una ducha de agua. El objetivo de este tratamiento t´ermico es conseguir que aparezca martensita en la parte de los dientes. La martensita es una fase del acero que corresponde a una estructura cristalina tetragonal lo cual le confiere una mayor dureza que la que presentan otras fases. A temperatura ambiente, el acero es en general, una mezcla de ferrita, perlita, bainita y martensita. Si se calienta suficientemente, todas estas fases se transforman en austenita. Durante el enfriamiento vuelven a aparecer las fases iniciales (ver figura 1). La distribuci´on de fases final depende de la estrategia de enfriamiento utilizada: la transformaci´on de la austenita en ferrita y perlita corresponde a tasas de enfriamiento relativamente lentas, mientras que los mecanismos de obtenci´on de bainita y, sobre todo, martensita corresponden a transformaciones sin difusi´on, con el consiguiente aumento en la dureza del material. Tradicionalmente se manejan esquemas, determinados de modo experimental para cada acero, que describen todas estas transformaciones tanto en transformaciones isotermas como no isotermas (diagramas de fases TTT). En la figura 2 se puede ver, por ejemplo, el diagrama correspondiente al acero SAE 1145 tal y como aparece en [1]. Para una correcta interpretaci´on de la cin´etica de estas transformaciones, se puede consultar, por ejemplo, la referencia [5] La idea a partir de este punto es derivar modelos matem´aticos que nos permitan describir estos cambios de fases. La identificaci´on de los par´ametros que se requieran debe ser efectuada a partir de los diagramas de fases referidos. Asimismo estos esquemas nos proporcionan los datos experimentales necesarios para estimar la precisi´on del modelo. 2. Un modelo de Leblond-Devaux En [2], [3], [6] o [7], aparecen modelos matem´aticos para las transiciones de fases en el acero. En este trabajo vamos a centrarnos en el que aparece en [6]. Si pensamos inicialmente en la transformaci´on de una fase Aen una fase B(A−→ B) y denotamos por 0 ≤z(t)≤1 la cantidad de Bque existe en el instante t, Leblond y Devaux proponen que la evoluci´on de la cantidad de Bse puede regular con una ecuaci´on del tipo dz dt =1 τz(T)(zeq(T)−z(t))+, sujeta a un dato inicial z(0) = z0. Aparecen, por tanto, dos funciones que han de ser determinadas a partir de los datos experimentales, ambas dependientes de la temperatura T:zeq(T) y τz(T). La primera de ellas es una funci´on mon´onota que toma valores comprendidos entre 0 y 1. La segunda de ellas representa un tiempo caracter´ıstico. Tes, por 2 Transiciones de fases en el acero Figura 2: Diagrama CCT para el acero SAE 1145 (cortes´ıa de Sidenor). 3 J. M. D´ıaz Moreno, C. Garc´ıa V´azquez, M. T. Gonz´alez Montesinos, F. Orteg´on Gallego tanto, una funci´on dependiente del tiempo (y en su caso de la posici´on x), que entra como dato en esta ecuaci´on. Adem´as u+= m´ax{u, 0}denota la parte positiva de la funci´on u. Con una buena elecci´on de los par´ametros, estas ecuaciones ofrecen un ajuste adecuado de los datos experimentales, incluso si consideramos transformaciones simult´aneas entre las diversas fases. Sean pues a(t), [f+p], b(t) y m(t) las proporciones de austenita, ferrita + perlita, bainita y martensita presentes, respectivamente, en el instante t(a(t)+[f+p]+b(t)+m(t) = 1). El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que consideraremos aqu´ı se escribe da dt =1 τa(T)(aeq(T)−a(t))+−˙ [f+p]−˙ b−˙m(1) d[f+p] dt =1 τf+p(T)([f+p]eq(T)−[f+p](t))+(2) db dt =1 τb(T, ˙ T)(beq(T)−b(t))+(3) dm dt =1 τm(T)(meq(T)−m(t))+(4) Las fracciones de equilibrio aeq, [f+p]eq ybeq(t) se calculan del diagrama TTT correspondiente, teniendo en cuenta que el valor de equilibrio alcanzado no puede superar en ning´un caso la proporci´on de austenita que no ha sido a´un transformada. meq(t) se ajusta utilizando la f´ormula de Koistinen-Marburger (v´ease [4]), i.e., meq(T) = 1 −eckm(Ms−T), con cmyMsrecogidos en el diagrama isotermo de transformaci´on de fases. El resto de los par´ametros se determinan de un modo “efectivo” a partir de los datos experimentales, resolviendo el sistema reiteradamente hasta conseguir un ajuste adecuado. La funci´on τb(T) ha de ser sustituida para recoger de modo expl´ıcito la fuerte dependencia de ˙ Ten el proceso de formaci´on de la bainita. 3. Tratamiento num´erico de la transformaci´on de fases en los aceros 42CrMo4 y SAE 1145 Tras la identificaci´on de par´ametros analizada en la secci´on anterior, se utilizan diferentes funciones dato T(t) para resolver las ecuaciones (1) −(4) y comprobar el ajuste entre los datos del modelo te´orico y los experimentales, que ofrecen los diagramas CCT. En la resoluci´on num´erica se ha utilizado el programa de computaci´on cient´ıfica Mathematica, que implementa un esquema adaptativo de cuarto orden (basado en en m´etodos de Runge-Kutta) para la resoluci´on de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Como avance, en la figura 3 se recogen los resultados correspondientes a las transformaciones de fases para el acero 42CrMo83, cuya composici´on qu´ımica aparece en la tabla 1, partiendo de un acero austenizado completamente y para distintas tasas de enfriamiento constantes. Se observa como las tasas de enfriamiento m´as altas corresponden a un aumento en las proporciones finales de martensita obtenidas. 4 Transiciones de fases en el acero 100 200 300 400 500 0.2 0.4 0.6 0.8 1 200 400 600 800 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 20 40 60 80 0.2 0.4 0.6 0.8 1 400 600 800 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 12 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 400 600 800 1000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Figura 3: Gr´aficas de la evoluci´on de la proporci´on de cada una de las fases con respecto a las variables tiempo y temperatura (columna de la izquierda y derecha, respectivamente) para tasas de enfriamiento constantes de −7200◦C/h, −43000◦C/h y −522000◦C/h. 5 J. M. D´ıaz Moreno, C. Garc´ıa V´azquez, M. T. Gonz´alez Montesinos, F. Orteg´on Gallego C Si Mn P S Cr Cu Mo Ni 0.38 0.23 0.64 0.019 0.013 0.99 0.17 0.16 0.08 Tabla 1: Composici´on qu´ımica del acero 42CrMo83. Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado trav´es del proyecto MTM2006-04436, FEDER, y por la Junta de Andaluc´ıa, grupo FQM-315. Referencias [1] American Society for Metals, Atlas of isothermal and cooling transformations diagrams, Ohio 1977. [2] D. H¨omberg, A mathematical simulation of the Jominy end-quench test, Acta Mater., 44 (1996),4375– 4385. [3] D. H¨omberg, W. Weiss, PID-control of laser surface hardening of steel, IEEE Transactions on Control Systems Technology, 14 (1995), 896–904. [4] D. P. Koistinen, R. E. Marburger, A general equation prescribing the extent of the austenitemartensite transformation in pure iron-carbon alloys and plain carbon steels, Acta Met., 7 (1959), 59–60. [5] G. Krauss, Steels: heat treatment and processing principles, ASM International 1990. [6] J. B. Leblond, J. Devaux, A new kinetic model for anisothermal metallurgical transformations in steels including effects of austenite grain size, Acta Metal., 32 (1984), 137–146. [7] A. Visitin, Mathematical models of solid-solid phase transitions in steels, IMA J. Appl. Math., 39 (1987), 143–157. 6