La desigualdad de Hardy: su historia y algunos resultados relacionados
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! Facultad de Matemáticas Dpto. de Análisis Matemático La desigualdad de Hardy: su historia y algunos resultados relacionados Samuel Reyes de la Cruz Trabajo Fin de Grado Curso acad´ emico 2018/2019 Tutor: Jos´ e A. Facenda Aguirre
´ Indice general Lista de figuras v Abstract vii Introducci´ on ix 1. La Prehistoria de la desigualdad de Hardy 1 1.1. La motivaci´ on de Hardy: desigualdad de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. El art´ ıculode1915 ............................. 3 1.3. El art´ ıculode1919 ............................. 6 1.4. La contribuci´ ondeRiesz .......................... 7 1.5. El art´ ıculode1920 ............................. 9 1.6. Una carta de Landau a Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7. El art´ ıculode1925 ............................. 13 1.8. M´ as contribuciones del trabajo de 1925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9. Pruebas de Elliot e Ingham: desigualdad de Copson . . . . . . . . . . . . 17 1.10. Conclusi´ on ................................. 22 2. La desigualdad de Hilbert 23 2.1. La desigualdad de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Una ecuaci´ on funcional para la funci´ on Gamma . . . . . . . . . . 28 2.2. El c´ ırculo en la desigualdad de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. La desigualdad de Hardy 37 3.1. La desigualdad de Hardy y el “flop” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1. Aplicaci´ ondel“flop”........................ 39 3.2. La desigualdad discreta de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. La desigualdad de Carleson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1. La desigualdad de Carleman de nuevo . . . . . . . . . . . . . . . 45 4. Notas biogr´ aficas 47 4.1. GodfreyHaroldHardy ........................... 47 4.2. DavidHilbert ................................ 49 Bibliograf´ ıa 53
´ Indice de figuras 1.1. Desigualdad de Young. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1. Integral de contorno para calcular B(r,s)con r+s=1. ......... 30 2.2. Lema del cuarto de c´ ırculo.......................... 32 2.3. Construcci´ on para ver que πes la mejor constante. . . . . . . . . . . . . . 34 3.1. ϕ(py)≥ϕ(y) + (p−1)yϕ0(y)........................ 44 3.2. Elecci´ on de ϕpara demostrar la desigualdad de Carleman. . . . . . . . . 45
Abstract The fundamental objective of this work is to demonstrate two inequalities due to Hilbert and Hardy. Hardy’s inequality. If p>1 and (an)is a sequence of non negative real numbers such that Pn≥1ap n<∞then ∞ X n=1 1 n n X k=1 ak p < p p−1!p∞ X n=1 ap n. Hilbert’s inequality. If (am)and (bn)are square summable series of nonnegative real numbers, then ∞ X m=1 ∞ X n=1 ambn m+n≤π ∞ X m=1 a2 m 1/2 ∞ X n=1 b2 n 1/2 . The work is divided into four chapters. In the first one, we follow [9] to present the history of Hardy’s inequality. The main source of motivation for Hardy (that he regarded as “one of the simplest and most beautiful in the theory of double series of positive terms”) was to find an elementary proof of an inequality discovered in the early 1900s by David Hilbert. Other mathematicians were involved in the development of Hardy’s inequality, in particular Landau and Riesz. The final section of the first chapter contains proofs of Elliot and Ingham. In the second and third chapter we follow [13] to present proofs of these inequalities. According the review by Garling of [13], the book is written in the spirit of Georg P´ olya, asking the reader leading questions, trying solutions that don’t work, showing why they don’t work, and then revealing the key ideas that lead to a solution. Additionally, we present a section on the gamma function, where we prove a necessary functional equation in the demonstration, Γ(z)Γ(1−z) = π sen πz. It is also worth mentioning the work [12] included in the second chapter, where the author gives an elementary proof of Hilbert’s inequality as well as a simple example
viii Abstract showing that the constant πis optimal. Also the inequality is generalized as follows: ∞ X m=1 ∞ X n=1 ambn m+n≤π sin π p ∞ X m=1 ap m 1/p ∞ X n=1 bq n 1/q , for all sequences of nonnegative real numbers (am)and (bn)such that Pm≥1ap m<∞and Pn≥1bq n<∞for p,q>1 such that 1/p+1/q=1. Chapter 3 is dedicated to demonstrating the discrete and continuous versions of Hardy’s inequality. We finish the same studying the inequalities of Carlesson and Carleman. In the last chapter we include brief biographical notes of the mathematicians Hardy and Hilbert.
Introducci´ on El objetivo fundamental de este trabajo es presentar las demostraciones de dos desigualdades importantes del An´ alisis Matem´ atico. Desigualdad de Hardy. Si p>1 y (an)es una sucesi´ on de n´ umeros reales no negativos, entonces ∞ X n=1 1 n n X k=1 ak p ≤ p p−1!p∞ X n=1 ap n. Desigualdad de Hilbert. Si (an)y(bn)son dos sucesiones de n´ umeros reales no negativos de cuadrado sumable, entonces ∞ X n=1 ∞ X m=1 ambn m+n≤π ∞ X m=1 a2 m 1 2 ∞ X n=1 b2 n 1 2 . En el primer cap´ ıtulo desarrollamos la historia de la desigualdad de Hardy durante el periodo 1906-1928. Matem´ aticos de la talla de Hardy, Landau, P´ olya, Schur y Riesz contribuyeron sustancialmente. La motivaci´ on original de Hardy fue buscar una prueba elemental de lo que ´ el consideraba uno de los resultados m´ as simples y bellos de la teor´ ıa de series dobles, la desigualdad de Hilbert, que afirma ∞ X n=1 a2 n<∞ ⇒ ∞ X n=1 ∞ X m=1 aman m+n<∞. Se concluye este cap´ ıtulo con las demostraciones debidas a Elliot e Ingham. Los cap´ ıtulos 2 y 3 siguen el libro de Steele ([13]) que pertenece a la serie de libros de problemas de la Mathematical Association of America. Es por ello que el autor plantea estas desigualdades como problemas, con el esp´ ıritu de G. P´ olya, planteando cuestiones, intentando soluciones que no funcionan, viendo porqu´ e no funcionan y mostrando las ideas que nos conducen a una soluci´ on. Se demuestran en esos cap´ ıtulos primero la desigualdad de Hilbert y luego la de Hardy. Aunque el autor recurre a que se consulte Mathematica o Maple para evaluar la integral Z∞ 0 1 (1+y)y2λdy, 0 <λ<1 2,
61. La Prehistoria de la desigualdad de Hardy 1.3. El art´ ıculo de 1919 Probablemente la contribuci´ on m´ as importante de este art´ ıculo, v´ ease [5], fue la nueva prueba del teorema 1.2. De hecho, el art´ ıculo tambi´ en incluye una primera prueba de la desigualdad (1.1) para el caso p=2 y da como la mejor constante 4 (ve´ ase la nota 1.6). Nueva prueba del teorema 1.2. Es claro que An n2 =an+An n−an2 ≤2a2 n+2An n−an2 =4a2 n+2An n2 −4anAn n. Por tanto, N X n=1An n2 ≤4 N X n=1 a2 n+2 N X n=1An n2 −4 N X n=1 anAn n. (1.8) para cada N. Adem´ as, −2anAn=−A2 n−A2 n−1−a2 n≤ −(A2 n−A2 n−1), luego −2 N X n=1 anAn n≤ − N X n=1 (A2 n−A2 n−1) n =−A2 1 1·2−A2 2 2·3−···− A2 N−1 (N−1)·N−A2 N N ≤ − N X n=1 1 n(n+1)A2 n. Sustituyendo esta acotaci´ on en (1.8) obtenemos N X n=1An n2 ≤4 N X n=1 a2 n+2 N X n=1An n2 −2 N X n=1 1 n(n+1)A2 n =4 N X n=1 a2 n+2 N X n=1 1 n2(n+1)A2 n, que da como resultado N X n=1 1−2 n+1!An n2 ≤4 N X n=1 a2 n. (1.9) Y deducimos el teorema 1.2.
La contribuci´on de Riesz 7 Nota 1.6. Hardy no se hab´ıa dado cuenta que la desigualdad (1.9) se pod´ıa usar para deducir la desigualdad discreta de Hardy (1.1) para p =2y hacer 4 como la constante fuerte. Nota 1.7. En [5] Hardy tambi´en enunci´o algunos resultados para el caso continuo. Sin embargo, el aspecto m´as importante para la historia de la desigualdad de Hardy fue su afirmaci´on de que Z∞ a 1 xZx a f(t)dt!2 dx ≤4Z∞ a f2(x)dx cuando a >0y que 4 es la mejor constante. De hecho, se puede probar que esta acotaci´on implica (1.2) para p =2. Hardy no dio una prueba de esta afirmaci´on, solamente dio una prueba para el caso discreto que hemos mencionado. 1.4. La contribuci´ on de Riesz En su art´ ıculo de 1920, v´ ease [6], Hardy hizo referencia a una carta de Marcel Riesz y escribi´ o: El doctor M. Riesz, al que le comuniqu´e el teorema 1.2 encontr´o otra prueba, que es igual a la m´ıa en simplicidad y que nos parece a los dos m´as natural y por tanto preferible. Su prueba naturalmente sugiere una interesante generalizaci´on. Hardy formul´ o el resultado de Riesz en la siguiente forma d´ ebil: Teorema 1.8 (M. Riesz).Si p >1, an≥0y∞ X n=1 ap nes convergente entonces la serie ∞ X n=1An np es convergente, donde An= n X k=1 ak. Para su demostraci´ on, necesitamos la f´ ormula de sumaci´ on por partes de Abel. Teorema 1.9. Sean (an)y(bn)dos sucesiones de n´umeros reales y An=a1+a2+···+ an. Entonces, n X k=1 akbk=Anbn+1− n X k=1 Ak(bk+1−bk). Demostraci´on. Observemos que ak=Ak−Ak−1, donde definimos A0=0. Entonces, n X k=1 akbk= n X k=1 (Ak−Ak−1)bk
81. La Prehistoria de la desigualdad de Hardy = n X k=1 Akbk− n X k=1 Ak−1bk = n X k=1 Akbk− n X k=1 Akbk+1+A0b1+Anbn+1 = n X k=1 Ak(bk−bk+1) + Anbn+1 =Anbn+1− n X k=1 Ak(bk+1−bk). Con esto, podemos pasar a la prueba del teorema 1.8 de M. Riesz. Demostraci´on. Sea Φn=n−p+ (n+1)−p+ (n+2)−p+···. Entonces, usando la sumaci´ on por partes, para cada N(siendo A0=0) tenemos que N X n=1An np = N X n=1 Ap n(Φn−Φn+1) = N X n=1 (Ap n−Ap n−1)Φn−Ap NΦN+1 ≤ N X n=1 (Ap n−Ap n−1)Φn ≤p N X n=1 anAnp−1Φn. Adem´ as, Φn<n−p+Z∞ n x−pdx =n−p+n−(p−1) p−1≤p p−1n−(p−1). Con estas desigualdades y utilizando la desigualdad de H¨ older1, ∞ X n=1 anbn≤ ∞ X n=1 ap n 1/p ∞ X n=1 bp n 1/p p>1, 1 p+1 q=1!. (1.10) 1En [6] Hardy comenta que la desigualdad (1.10) se debe probablemente a H¨ older, y se refiere a un art´ ıculo de Landau de 1907. En [8] se dice que H¨ older establece el teorema en una forma menos sim´ etrica a como lo hizo Rogers en 1888, un a˜ no antes que H¨ older. Usa el nombre desigualdad de H¨ older. Esto ha contribuido a que se conozca tal desigualdad con ese nombre. Fue Riesz quien estableci´ o en 1910 la desigualdad en la forma dada en (1.10). As´ ı, esta deber´ ıa ser conocida como desigualdad de H¨ older-Rogers o desigualdad de H¨ older-Rogers-Riesz.
El art´ıculo de 1920 9 se tiene que N X n=1An np ≤p2 p−1 N X n=1 anAn np−1 ≤p2 p−1 N X n=1 ap n 1/p N X n=1An np 1−(1/p) . Por tanto N X n=1An np ≤ p2 p−1!pN X n=1 ap n. (1.11) Nota 1.10. El razonamiento de Riesz va m´as all´a de lo que Hardy formul´o en el teorema 1.8, es decir, (1.8) implica la validez de (1.1) con la constante (p2/(p−1))pen lugar de (p/(p−1))p. 1.5. El art´ ıculo de 1920 En este art´ ıculo, [6], Hardy observ´ o que la acotaci´ on en la prueba de (1.9) no fue muy fina y que la constante Cp= (p2/(p−1))ppod´ ıa mejorarse afinando la acotaci´ on de Riesz. Indic´ o que Cppod´ ıa reemplazarse por una constante m´ as peque˜ na, (pζ(p))p. El razonamiento que lo confirma lo recibi´ o en una carta de Schur. Naturalmente, Hardy por ese entonces ya hab´ ıa admitido que (p/(p−1))pera la constante fuerte, aunque no lo afirm´ o expl´ ıcitamente. Una raz´ on de esto seguramente fue una observai´ on de Schur en la misma carta en la que le indic´ o que al menos era cierto para p=2. Hardy no se dio cuenta que la desigualdad (1.9) de su art´ ıculo [5] de 1919 pod´ ıa usarse para deducir la desigualdad (1.1) para p=2 con la mejor constante C=4. No sabemos a ciencia cierta cual fue el razonamiento de Schur, pero fue aproximadamente asi: Sea cn=1−2/(n+1)y para m=2, 3, ··· sea a1=a2=··· =am=b1,am+1=am+2=··· =a2m=b2,..., a(N−1)m+1=a(N−1)m+2=··· =aNm =bN. De la desigualdad (1.9) con Nm en lugar de Nse obtiene 4m N X n=1 b2 n≥(c1+···+cm)B1 12 + (cm+1+···+c2m)B2 22 +··· + (c(N−1)m+1+···+cNm)BN N2 , donde Bn= n X k=1 bk. Dividiendo por m y haciendo m→ ∞, obtenemos que (c1+c2+···+cm)/m→1,
10 1. La Prehistoria de la desigualdad de Hardy (cm+1+cm+2+···+c2m)/m→1, etc. En consecuencia, N X n=1Bn n2 ≤4 N X n=1 b2 n, que, en particular, implica (1.1) para p=2 con la mejor constante. Un importante resultado de este trabajo es la formulaci´ on de una versi´ on inicial de (1.2): Teorema 1.11. Si p >1, a >0, f (x)≥0, y Z∞ a f(x)pdx es convergente, entonces Z∞ a 1 xZx a f(t)dt!p dx ≤ p p−1!pZ∞ a f(x)pdx, (1.12) siendo la constante (p/(p−1))pfuerte. Hardy no prob´ o la desigualdad (1.12) en su art´ ıculo de 1920. Sin embargo, indic´ o que si se consideraban las funciones f(x) = x−(1/p)−, siendo una constante positiva suficientemente peque˜ na, entonces la constante (p/(p−1))pes fuerte. Mencion´ o tambi´ en que pod´ ıa probar que la mejor constante en el caso discreto no pod´ ıa ser estrictamente menor que (p/(p−1))p, pero dudaba en asegurar que (1.1) fuera cierta con la constante (p/(p−1))p. 1.6. Una carta de Landau a Hardy La carta de Landau a Hardy data del 21 de junio de 1921, v´ ease [10]. Es curioso que esta carta fue publicada oficialmente cinco a˜ nos despu´ es de la carta de Landau a Schur. La causa de esta larga espera no est´ a clara, pero no hay duda que los contenidos de esta carta son interesantes, por dar una prueba de (1.1) con la constante fuerte (p/(p−1))p, ya que esto no hab´ ıa sido publicado antes. El principal resultado probado en este carta es el siguiente. Teorema 1.12. Sea p >1, an≥0, y An=Pn k=1ak. Entonces la desigualdad N X n=1An np ≤ p p−1!pN X n=1 ap n(1.13) se mantiene para todo N en No N =∞. Adem´as, la constante es fuerte para N =∞ La desigualdad (1.13) se conoce como desigualdad de Hardy-Landau. Demostraci´on. Para y≥0 se tiene yp−py +p−1≥0.
Una carta de Landau a Hardy 11 Es conocida como la desigualdad de Bernouilli cuando la escribimos as´ ı: yp≥1+p(y−1). Usando esta desigualdad con y=y1/y2obtenemos que yp 1−py1y2p−1+ (p−1)yp 2≥0 Ponemos y1=bnyy2= (p−1)Bn/(pn), donde Bn= n X k=1 bk, y sabiendo que bp n−pbn p−1 p Bn n!p−1 + (p−1) p−1 p Bn n!p ≥0, tenemos que N X n=1 bp n− p−1 p!p−1N X n=1 pbnBn np−1 + (p−1) p−1 p!pN X n=1Bn np ≥0. Adem´ as, pbnBnp−1=pBnp−1(Bn−Bn−1)≥Bp n−Bp n−1, de donde usando la f´ ormula de sumaci´ on parcial, N X n=1 pbnBn np−1 ≥ N X n=1 (Bp n−Bp n−1)1 np−1 ≥ N X n=1 Bp n 1 np−1−1 (n+1)p−1 ≥(p−1) N X n=1 Bp n 1 (n+1)p. Combinando las dos desigualdades llegamos a N X n=1 bp n≥ p−1 p!pN X n=1 Bp n p (n+1)p−p−1 np! = p−1 p!pX n=1 NcnBn np . donde cn=p 1+1 n!−p −p+1→1 cuando n→ ∞. Ahora usamos el razonamiento de la secci´ on anterior, poniendo b1=b2=··· =bm=a1,bm+1=bm+2=··· =b2m=a2,..., b(N−1)m+1=b(N−1)m+2=··· =bNm =aN
12 1. La Prehistoria de la desigualdad de Hardy y sustituyendo Npor Nm para concluir que m p−1 p!pN X n=1 ap n≥(c1+c2+···+cm)A1 1p + (cm+1+cm+2+···+c2m)A2 2p +···+ (c(N−1)m+1+c(N−1)m+2+···+cNm)AN Np . Dividiendo por my haciendo m→ ∞ llegamos a que c1+c2+···+cm m→1, cm+1+cm+2+···+c2m m→1, ··· lo cual indica que (1.13) se mantiene para todo N<∞(luego sigue siendo v´ alido cuando N→ ∞). Para probar que (p/(p−1))pes la constante fuerte para N=∞, consideramos an=n−1/p−, 0 < < 1−1 p. Para esta elecci´ on de los an An= n X k=1 k−1/p−>Zn 1 x−1/p−dx =1 1−1/p−(n1−1/p−−1)>p p−1(n1−1/p−−1), implica que An np > p p−1!p n−1−p 1−1 n1−1/p−!p ≥ p p−1!p n−1−p1−p n1−1/p− = p p−1!p (n−1−p−pn−2+1/p+−p). Adem´ as, N X n=1An np > p p−1!pX n=1 Nap n−p N X n=1 1 n2−1/p−+p = p p−1!p N X n=1 ap n−pCN, , donde CN,→Ccuando N→ ∞para cualquier > 0 porque 2−1 p−+p>1.
El art´ıculo de 1925 13 As´ ı que N X n=1An np / N X n=1 ap n> p p−1!p 1−pCN,/ N X n=1 ap n→ p p−1!p , pues N X n=1 ap n= N X n=1 n−1−p→ ∞ cuando N→ ∞y→0+. Esto finaliza la prueba. Notemos que el c´ alculo anterior tambi´ en es v´ alido cuando =0. Nota 1.13. En su carta, Landau tambi´en mencion´o que la igualdad en (1.13), y, como consecuencia, en la desigualdad discreta de Hardy (1.1)ocurre si y solo si an=0para todo n. Nota 1.14. No est´a claro de que forma la carta de Landau a Hardy (fechada a 21 de junio de 1921) y la carta de Landau a Schur (fechada el 22 de junio de 1921) est´an relacionadas, pero por la informaci´on que Hardy proporcion´o en su art´ıculo [7] de 1925, y la forma publicada en el trabajo de Landau [10], deben ser muy similares, si no incluso la misma. 1.7. El art´ ıculo de 1925 En la introducci´ on de este art´ ıculo, Hardy enunci´ o el teorema 1.11 y escribi´ o: Yo no di una prueba, principalmente me ocup´e del teorema de series infinitas, y no mencion´e en que sentido se efect´ua la integraci´on. El profesor Landau me ha llamado la atenci´on recientemente, y por ello doy una prueba del teorema de una forma m´as precisa. V´ ease el teorema 1.15. M´ as tarde, en este mismo art´ ıculo ofreci´ o la siguiente informaci´ on ([7], p. 154): En una carta de 21 de junio de 1921, el profesor Landau me proporcion´o una prueba directa de (1.1), con el valor correcto de la constante (p/(p−1))p. El tambi´en not´o que si el teorema integral se extend´ıa al caso a =0, entonces el teorema para series, con el valor correcto de la constante, pod´ıa deducirse inmediatamente f (x) = a, 0≤x<1, f (x) = a2,1≤x<2,... En efecto, asumiendo, sin p´ erdida de generalidad, que estamos considerando una funci´ on decreciente f, o, equivalentemente, una sucesi´ on decreciente a1≥a2≥ ··· y observando que la funci´ on 1 xZx 0 f(t)dt =Pn−1 k=1ak+an(x−n+1) x
14 1. La Prehistoria de la desigualdad de Hardy es decreciente en [n−1, n], se obtiene ∞ X n=1 Pn k=1ak n!p ≤∞ X n=1Zn n−1Pn−1 k=1ak+an(x−n+1) x p dx =Z∞ 0 1 xZx 0 f(t)dt!p dx ≤ p p−1!pZ∞ 0 f(x)pdx = p p−1!p∞ X n=1 ap n. Hardy a˜ nadi´ o un comentario refiri´ endose a otra carta ([7], p.154): En una carta m´as reciente, del 13 de diciembre de 1924, demuestra como deducir el teorema integral para a =0, a partir de a >0(por un m´etodo parecido a la prueba del profesor P´olya) y reducir la dependencia del teorema de series a la dependencia de este ´ultimo Con esta informaci´ on, Hardy enunci´ o y prob´ o su famosa desigualdad (1.2) en la siguiente forma: Teorema 1.15. Sea p >1y sea f (x)≥0una funci´on p-integrable en (0, ∞), Entonces la funci´on F(x) = Rx 0f(t)dt <∞para todo x >0y Z∞ 0 F(x) x!p dx ≤ p p−1!pZ∞ 0 f(x)pdx (1.14) La constante (p/(p−1))pes fuerte. Hardy se˜ nal´ o en este art´ ıculo que si f(x) = 0 cuando x<a, entonces su versi´ on anterior (teorema 1.11) se deduce del teorema 1.15. La prueba original de Hardy conten´ ıa muchos detalles y explicaciones muy t´ ecnicas, pero en una nota al final de la prueba el mencion´ o una simplificaci´ on sugerida por P´ olya. Seguidamente damos una prueba que sigue las ideas originales de Hardy, pero evita esos detalles t´ ecnicos utilizando esa simplificaci´ on que le sugeri´ o P´ olya. Demostraci´on. Integrando por partes y usando y la identidad d/dx(F(x)p) = pF(x)p−1f(x), que es v´ alida para casi todo x∈(0, ∞), se obtiene para valores arbitrarios de αyAcon 0<α<A<∞que: ZA α F(x) x!p dx =−1 p−1ZA α F(x)pd dx(x1−p)dx =α1−p p−1F(α)p−A1−p p−1F(A)p+1 p−1ZA α x1−pd dx(F(x)p)dx ≤α1−p p−1F(α)p+p p−1ZA α F(x) x!p−1 f(x)dx.
M´as contribuciones del trabajo de 1925 15 Adem´ as, utilizando la versi´ on continua de la desigualdad (1.10) de H¨ older, observamos que Z∞ α F(x) x!p−1 f(x)dx ≤ Z∞ α f(x)pdx!1/p ZA α F(x) x!p dx!(p−1)/p . Escogiendo βtal que α≤βAy aplicando las dos desigualdades anteriores a F(x)−F(α) en lugar de F(x), se tiene que ZA α F(x)−F(α) x!p dx ≤p p−1ZA α F(x)−F(α) x!p−1 f(x)dx ≤p p−1 ZA α f(x)pdx!1/p ZA α F(x)−F(α) x!p dx!(p−1)/p . Por tanto ZA α F(x)−F(α) x!p dx!1/p ≤p p−1 ZA α f(x)pdx!1/p , y se tiene ZA β F(x)−F(α) x!p dx!1/p ≤p p−1 Z∞ 0 f(x)pdx!1/p . En esta desigualdad primero hacemos α→0+y observamos que F(x)−F(α)tiende a F(x)Para finalizar la prueba hacemos A→ ∞ yβ→0+. Nota 1.16. Hardy se hab´ıa dado cuenta de la dificultad de que la constante (p/(p− 1))pera la mejor en su art´ıculo de 1920. En ese trabajo decidi´o no mencionarlo como parte del teorema que enunci´o, pero incluy´o los detalles de la prueba (usando una forma modificada del ejemplo que consider´o en el art´ıculo de 1920). 1.8. M´ as contribuciones del trabajo de 1925 Adem´ as del principal resultado (teorema 1.15), el art´ ıculo de 1925 incluy´ o bastantes resultados interesantes que contribuyeron a la investigaci´ on de las desigualdades de Hardy. En particular, Hardy prob´ o que la siguiente variante de 1.1 se mantiene incluso si la media aritm´ etica (1/n)Pn k=1akse cambia por una media aritm´ etica m´ as general con pesos. Teorema 1.17. Supongamos que an≥0yλ > 0, que An=λ1a1+λ2a2+···+λnany Λn=λ1+λ2+···+λnpara n =1, 2, . . . ,y que ∞ X n=1 λnap nes convergente. Entonces ∞ X n=1 λn An Λn!p ≤ p p−1!p∞ X n=1 λnap n. (1.15)
22 1. La Prehistoria de la desigualdad de Hardy Vemos que podemos reformularlo como: ∞ X n=1 an 1 n n X k=1 bk=∞ X n=1 bn n X k=1 ak k. Entonces se tiene: H∗:`p→`p,a= (an)7→ H∗a= ∞ X k=n ak k donde se cumple que kH∗akp≤ kH∗kkakp. Sustituyendo se tiene: ∞ X n=1 ∞ X k=n ak k p 1/p ≤p ∞ X n=1 ap n 1/p , y elevando toda la expresi´ on a pobtenemos la desigualdad que busc´ abamos. Hardy antes demostr´ o en [5] una versi´ on d´ ebil de (1.23) para el caso p=2, por lo que (1.23) es tambi´ en conocida como desigualdad de Copson-Hardy. Hardy fue el primero en comentar la dualidad entre (1.22) y (1.17). 1.10. Conclusi´ on Normalmente los matem´ aticos presentan sus resultados de una manera clara y esmerada que es muy adecuada para aplicaciones y fomentar investigaciones posteriores. Sin embargo, es bien sabido que en el proceso de llegar a los resultados finales urgen otras l´ ıneas, colaboraciones e incluso errores. La historia que hemos descrito de la evoluci´ on de las famosas desigualdades de Hardy puede servir como un buen ejemplo de este hecho. En particular, este documento nos permite conocer una mejor visi´ on de los razonamientos de Hardy. De todo lo descrito anteriormente sacamos en claro que G. H. Hardy, tuvo buenos contactos con otros matem´ aticos de la ´ epoca, qui´ enes se interesaron en su tema y realizaron intercambios de informaci´ on de diferentes formas ya fuera por cartas formales o v´ ıa privada, fue un gran maestro en el desarrollo te´ orico de las matem´ aticas, sintetiz´ o de manera inteligente el conocimiento obtenido de diferentes fuentes y jug´ o un papel fundamental en el desarrollo descrito en este trabajo. En particular, es adecuado que de nombre a las desigualdades (1.1) y (1.2). Sin embargo, tambi´ en otros matem´ aticos como Landau, P´ olya, Riesz y Schur realizaron importantes contribuciones a este desarrollo. De hecho, podemos decir que si los resultados de los nombres mencionados anteriormente hubieran sido publicados de una manera diferente, podr´ ıamos hoy referirnos a la desigualdad (1.1) como desigualdad de Riesz o desigualdad de Landau-Riesz, o desigualdad de Hardy-Landau-Riesz.
CAP´ ITULO 2 La desigualdad de Hilbert En este cap´ ıtulo trataremos con m´ as profundidad algunas desigualdades relacionadas con este tema: la desigualdad de Hilbert, la desigualdad de Hardy y tambi´ en la desigualdades de Carleson y Carleman. 2.1. La desigualdad de Hilbert Existe una constante Ctal que para todo par de sucesiones de n´ umeros reales {an}y {bn}se tiene: ∞ X m=1 ∞ X n=1 ambn m+n<C ∞ X m=1 a2 m 1/2 ∞ X n=1 b2 n 1/2 (2.1) Esta desigualdad fue descubierta a principios del siglo XX por David Hilbert; m´ as precisamente, Hilbert prob´ o que la desigualdad (2.1) se mantiene para C=2π A˜ nos despu´ es del descubrimiento de Hilbert, Issai Schur proporcion´ o una nueva prueba que muestra que la desigualdad de Hilbert se mantiene para C=π. Veremos que no hay un valor m´ as peque˜ no de Ctal que la desigualdad se siga manteniendo. A pesar de las similitudes entre la desigualdad de Hilbert y la desigualdad de Cauchy, Hilbert le dio un enfoque diferente, evaluando ciertas integrales trigonom´ etricas. Sin embargo, como veremos, se puede probar la desigualdad de Hilbert mediante una apropiada aplicaci´ on de la desigualdad de Cauchy. Si Ses un conjunto numerable y {αs}y{βs}son colecciones de n´ umeros reales indexados por S, la desigualdad de Cauchy se escribe de la forma: X s∈S αsβs≤X s∈S α2 s 1/2X s∈S β2 s 1/2 (2.2) Haciendo unas elecciones adecuadas de S,{αs}, y {βs}nos permitir´ a ligar (2.2) con la desigualdad de Hilbert (2.1) En un primer intento, podr´ ıamos elegir como conjunto de ´ ındices S={(m,n):m≥ 1, n≥1}y tomar αsyβscomo los cocientes:
24 2. La desigualdad de Hilbert αs=am √m+n,βs=bn √m+n donde s= (m,n) Por construcci´ on, los productos αsβsnos dan los t´ erminos del lado izquierdo de la desigualdad de Hilbert, pero la cota que se obtiene aplicando la desigualdad de Cauchy (2.2) es decepcionante. De manera precisa, obtenemos la siguiente acotaci´ on: ∞ X m=1 ∞ X n=1 ambn m+n 2 ≤∞ X m=1 ∞ X n=1 a2 m m+n ∞ X n=1 ∞ X m=1 b2 n m+n(2.3) pero, desafortunadamente, los dos t´ erminos resultan ser infinito. El primer t´ ermino del lado derecho de (2.3) diverge como una serie arm´ onica cuando sumamos en n, y el segundo t´ ermino diverge como serie arm´ onica cuando sumamos en m. Por tanto, la desigualdad (2.3) no nos sirve. Sin embargo, podemos corregir este problema realizando una elecci´ on m´ as adecuada de {αs}y{βs} Como hemos visto las dos sumas del lado derecho de (2.3) divergen, pero veamos el motivo de esta divergencia. El primer t´ ermino diverge porque αs=am √m+n es muy grande como funci´ on de n, mientras que el segundo factor diverge porque βs=bn √m+n es muy grande como funci´ on de m. Por tanto, esto nos indica que podr´ ıamos mejorar αsyβssi multiplicamos la primera por una funci´ on decreciente en ny la segunda la multiplicamos por una funci´ on decreciente en m. Ya que queremos preservar la propiedad b´ asica de que αsβs=ambn m+n, ser´ ıa buena opci´ on introducir como candidatos una familia param´ etrica tal que αs=am √m+nm nλ βs=bn √m+nn mλ (2.4) donde s= (m,n)y donde λ > 0 es una constante que elegiremos m´ as adelante. Esta nueva familia de candidatos nos permitir´ a llegar a la prueba de la desigualdad de Hilbert. Cuando sustituimos las igualdades de (2.4) en la desigualdad de Cauchy (2.2), obtenemos ∞ X m=1 ∞ X n=1 ambn m+n 2 ≤∞ X m=1 ∞ X n=1 a2 m m+nm n2λ∞ X n=1 ∞ X m=1 b2 n m+nn m2λ ,
La desigualdad de Hilbert 25 por tanto, cuando consideramos el primer t´ ermino del lado derecho se tiene: ∞ X m=1 ∞ X n=1 a2 m m+nm n2λ =∞ X m=1 a2 m ∞ X n=1 1 m+nm n2λ . Por la simetr´ ıa de los sumandos ambn/(m+n)en nuestra suma objetivo, observamos que la prueba de la desigualdad de Hilbert estar´ a terminada si probamos que para cada elecci´ on de λhay una constante Bλ<∞tal que ∞ X n=1 1 m+nm n2λ ≤Bλ,∀m≥1. (2.5) Ahora necesitamos acotar la suma (2.5), y para ello primero recordamos que dada cualquier funci´ on decreciente no negativa f:[0, ∞]→R, tenemos la cota integral ∞ X n=1 f(n)≤Z∞ 0 f(x)dx. En el caso particular de elegir f(x) = m2λx−2λ(m+x)−1, tenemos: ∞ X n=1 1 m+nm n2λ ≤Z∞ 0 1 m+x m2λ x2λdx =Z∞ 0 1 (1+y)y2λdy, (2.6) donde en la ´ ultima igualdad hemos efectuado el cambio de variable x=my. ¿Qu´ e pasa con la integral del lado derecho de la desigualdad (2.6)? Como λ > 0, en el infinito no tiene problema y para que sea convergente en el origen debe ser 2λ < 1. As´ ı pues, converge cuando 0 < λ < 1/2 y, por tanto, existe un λtal que (2.5) est´ a acotada. Luego esto bastar´ ıa para probar la desigualdad de Hilbert (2.1). Nuestro problema ya est´ a resuelto, pero nos falta saber el valor de la constante C que proporciona la prueba. Cuando revisamos el razonamiento, observamos que hemos probado que la desigualdad de Hilbert (2.1) es cierta para cualquier C=Cλcon Cλ=Z∞ 0 1 (1+y)·1 y2λdy, 0 <λ<1/2. (2.7) Naturalmente, debemos encontrar el valor de λm´ as peque˜ no de todos. Evaluemos pues la integral Z∞ 0 1 (1+y)·1 y2λdy. Observemos que si escribimos 1 1+y=Z∞ 0 e−t(1+y)dt, nos permite entonces poner Z∞ 0 1 (1+y)y2λdy =Z∞ 0 Z∞ 0 e−t(1+y)dt!1 y2λdy
26 2. La desigualdad de Hilbert =Z∞ 0 e−t Z∞ 0 e−ty 1 y2λdy!dt. En la integral obtenida en el integrando hacemos el cambio de variable ty =u, y usamos la funci´ on gamma, con lo que Z∞ 0 e−ty 1 y2λdy =Z∞ 0 e−uu t−2λ1 tdu =1 t1−2λΓ(1−2λ), as´ ı que Z∞ 0 1 (1+y)y2λdy =Γ(1−2λ)Z∞ 0 e−tt2λ−1dt =Γ(2λ)Γ(1−2λ). Y por lo que probamos en la siguiente secci´ on (p´ agina 28), concluimos que Z∞ 0 1 (1+y)y2λdy =π sen 2πλ, 0 <λ<1 2. (2.8) Dado que sen 2πλ alcanza el m´ aximo cuando λ=1/4, tenemos que el menor valor de Bλcon 0 <λ<1/2 es B1/4=Z∞ 0 1 (1+y)√ydy = [y=t2] = Z∞ 0 2 1+t2dt =π. (2.9) Al sustituir el valor de λobtenemos: C=C1/4=Z∞ 0 1 (1+y) 1 √ydy =π. (2.10) Hemos hallado sin mucha dificultad en nuestro intento de probar la desigualdad de Hilbert, el valor de la constante C=πque fue descubierta por Schur. Y ha sido gracias a la desigualdad de Cauchy. No obstante, hoy d´ ıa hay muchas pruebas de la desigualdad de Hilbert, algunas muy breves. Sin embargo, hay un peque˜ no punto que no debemos pasar por alto. La integral (2.8) es actualmente un resultado cl´ asico en libros de texto; Bak y Newman1y Cartan2lo usaron para ilustrar la t´ ecnica usual para la integraci´ on de R(x)/xαen [0, ∞)donde R(x)es una funci´ on racional y 0 < α < 1, Esta integral tambi´ en tiene una conexi´ on notable con una identidad de la funci´ on gamma que mencionaremos m´ as adelante. Puede parecer que se necesita un milagro para que usando la desigualdad de Cauchy- Schwarz sea lo suficientemente preciso como para mostrar que se puede tomar C=π en la desigualdad de Hilbert, pero hay otra manera de ver la relaci´ on entre los dos lados de la desigualdad de Hilbert que aclara que no se requer´ ıa milagro. Con el punto de vista correcto, se puede ver que tanto πcomo las integrales especiales (2.8) tienen un papel inevitable. Para desarrollar esta conexi´ on, asumiremos el desaf´ ıo de demostrar lo contrario de nuestro primer problema. Consideremos el siguiente problema: 1Bak, J., Newman, D. J. Complex analysis, 2nd Edition, Springer-Verlag, Berlin, (1997). 2Cartan, H. Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, Hermann, Paris, (1961).
La desigualdad de Hilbert 27 Problema 2.1. Supongamos que la constante C satisface ∞ X m=1 ∞ X n=1 ambn m+n<C ∞ X m=1 a2 m 1/2 ∞ X n=1 b2 n 1/2 (2.11) para todo par de sucesiones de n´umeros reales {an}y{bn}. Demu´estrese que C ≥π. Si ponemos cualquier par de sucesiones {an}y{bn}en la desigualdad (2.11) conseguiremos una cota inferior para C, pero no llegaremos muy lejos con este m´ etodo si no conseguimos elegir bien las sucesiones. Lo que nos gustar´ ıa es tener una familia param´ etrica de pares {an()}y{bn()}que nos proporcione una sucesi´ on de l´ ımites inferiores en C que tienda a πcuando →0. El problema es, ¿c´ omo encontramos los candidatos adecuados para {an()}y{bn()}? Dos ideas b´ asicas nos pueden ayudar en este an´ alisis. Primero, necesitamos ser capaces de calcular (o aproximar) las sumas que aparecen en la desigualdad (2.11). No podemos hacer muchas sumas, lo cual nos limita el an´ alisis. La segunda idea es m´ as sutil. Necesitamos poner la desigualdad bajo estr´es. Esta idea general tiene muchas interpretaciones posibles, pero este caso nos sugiere buscar sucesiones {an()}y{bn()}tal que todas las cantidades de la desigualdad (2.11) tiendan a infinito cuando →0. Esta estrategia particular aplicada a la desigualdad (2.11) puede no ser muy convincente cuando uno lo enfrenta por primera vez, pero experimentar con algunos ejemplos es suficiente para convencernos que la idea puede ser ´ util. Vemos que los candidatos m´ as naturales para {an()}y{bn()}vienen dados por an() = bn() = n−1 2− Con esta elecci´ on, uno puede f´ acilmente calcular las aproximaciones que son necesarias para entender el lado derecho de la desigualdad de Hilbert. En concreto, como →0 se tiene que ∞ X m=1 a2 m() 1/2 ∞ X n=1 b2 n() 1/2 =∞ X n=1 1 n1+2∼Z∞ 1 dx x1+2=1 2. (2.12) Para completar la soluci´ on del problema 2.1, solamente nos queda ver que la correspondiente suma para el lado izquierdo de la desigualdad de Hilbert (2.1) es asint´ oticamente equivalente a π/2cuando →0. Presentamos el resultado en el siguiente lema. Lema 2.2 (Suma doble).Se cumple que ∞ X m=1 ∞ X n=1 1 n1 2+·1 m1 2+·1 m+n∼π 2,→0. Demostraci´on. Para la prueba, primero notamos que las comparaciones con integrales nos dicen que basta ver
28 2. La desigualdad de Hilbert I() = Z∞ 1Z∞ 1 1 x1 2+ 1 y1 2+ 1 x+ydxdy ∼π 2→0, y el cambio de variables u=y/xtambi´ en nos dice que I() = Z∞ 1 x−1−2"Z∞ 1/x u−1 2−du 1+u#dx. (2.13) Esta integral ser´ ıa f´ acil de calcular si pudi´ eramos reemplazar el l´ ımite inferior 1/x de la integral interior por 0, y, para ver como quedar´ ıa modificada la integral, primero observamos que: 0<Z1/x 0 u−1 2−du 1+u<Z1/x 0 u−1 2−du =x−1 2+ 1 2−. Cuando usamos esta acotaci´ on en la ecuaci´ on (2.13) y escribimos el resultado usando la notaci´ on O grande de Landau (tambi´ en llamado orden de una funci´ on), se tiene: I() = Z∞ 1 x−1−2 Z∞ 0 u−1 2−du 1+u!dx +O Z∞ 1 x−3 2−dx! =1 2Z∞ 0 u−1 2−du 1+u+O(1). Finalmente, haciendo →0, vemos por nuestra anterior experiencia con la integral (2.10) que tenemos: Z∞ 0 u−1 2−du 1+u→Z∞ 0 u−1 2du 1+u=π, lo que completa la prueba. 2.1.1. Una ecuaci´ on funcional para la funci´ on Gamma Vamos a ver el resultado que usamos anteriormente en la demostraci´ on de la desigualdad de Hilbert. Recordemos que la funci´ on gamma se define como Γ(z) = Z∞ 0 xz−1e−xdx (<(z)>0). (2.14) Si zes real, la integral converge en infinito porque e−xtiende a cero m´ as r´ apidamente que el crecimiento de cualquier potencia xz−1. La convergencia es uniforme en z≤b porque en ese caso, xz−1≤xb−1para x>1. La integral converge en cero si z>0, uniformemente si z≥a, para cualquier a>0, porque si z≥aentonces xz−1≤xa−1si x<1. Si zes complejo, como |xz−1|=x<(z)−1, se sigue que la integral converge absolutamente si <(z)>0, y uniformemente en a≤ <(z)≤b, para cualesquiera 0 <a<b. En
La desigualdad de Hilbert 29 particular, si <(z)>0, la integral converge uniformemente en un entorno de z, podemos derivar bajo el signo integral para obtener Γ0(z) = Z∞ 0 xz−1e−xlog x dx. Esto demuestra que Γ(z)es anal´ ıtica si <(z)>0. Integrando por partes tenemos que Γ(z+1) = zΓ(z),(<(z)>0), (2.15) y, en particular, ya que Γ(1) = 1, tenemos que Γ(n+1) = n!. Si escribimos (2.15) como Γ(z) = Γ(z+1) z, podemos usar esta expresi´ on para definir una prolongaci´ on anal´ ıtica de Γ(z)al dominio D1={<(z)>−1}\{0}, luego a D2={<(z)>−2}\{0, −1}, y as´ ı sucesivamente a Dn= {<(z)>−n}\{0, −1, ..., 1 −n}. Esto nos permite afirmar que la funci´ on Γ(z)definida por la ecuaci´ on (2.14) tiene una prolongaci´ on anal´ ıtica al dominio C\{0, −1, −2, . . .}y verifica (2.15) para todo zde ese dominio. Para manejar ciertas propiedades de la funci´ on gamma es ´ util introducir la funci´ on beta, definida como B(r,s) = Z1 0 xr−1(1−x)s−1dx (<(r),<(s)>0). (2.16) Como en (2.14), esta integral converge absoluta y uniformemente en un entorno de cualquier punto (r,s)tal que <(r),<(s)>0 y define una funci´ on anal´ ıtica en cada variable. Haciendo el cambio y=1−xen (2.16) tenemos que B(r,s) = B(s,r). Veamos la relaci´ on entre estas funciones. Γ(r)Γ(s) = Z∞ 0 xr−1e−xdx! Z∞ 0 ys−1e−ydy!=Z∞ 0Z∞ 0 xr−1ys−1e−(x+y)dx dy. Si hacemos el cambio de variables x=uv y=u(1−v)⇒∂(x,y) ∂(u,v)= v u 1−v−u =−u, u=x+y v=x x+y tenemos que 0 <u<∞y 0 <v<1. La integral es entonces Γ(r)Γ(s) = Z1 0Z∞ 0 (uv)r−1(u(1−v))s−1e−uu du dv =Z∞ 0 ur+s−1e−udu Z1 0 vr−1(1−v)s−1dy =Γ(r+s)B(r,s). (2.17)
30 2. La desigualdad de Hilbert A partir de esta relaci´ on, escribi´ endola como B(r.s) = Γ(r)Γ(s) Γ(r+s) es posible prolongar anal´ ıticamente la funci´ on beta a todo r,s<{0, −1, −2, . . .}, pero no nos har´ a falta para lo que necesitamos en nuestro caso. Usaremos la funci´ on beta en el dominio definido en (2.16). Si en la definici´ on de la funci´ on beta hacemos el cambio x=u u+1, 1 −x=1 u+1,dx =du (u+1)2, tenemos entonces que B(r,s) = Z∞ 0 ur−1 (u+1)r+sdu (<(r),<(s)>0). La ventaja de esta expresi´ on es que podemos calcular esta integral en el caso de ser r+ s=1 usando el teorema de los residuos. Para ello, consideremos la integral C (−z)r−1 z+1dz donde usamos la rama principal (−z)r−1=e(r−1)Log(−z)y el contorno de la figura siguiente. yielding the identity (r)(s)=B(r, s)(r+s).(10) We will see shortly that (z) has simple poles at z=0,1,2,..., and no zeroes. Temporarily taking this for granted, it is possible to continue B(r, s) analytically to all r, s 62 {0,1,2,...}by rewriting (10) as B(r, s)=(r)(s) (r+s).(11) In these notes, however, we will only need to make use of the beta function on the domain where it is defined by (7). We now make a change of variable x=u u+1,1x=1 u+1,dx=du (u+1) 2 in (7), obtaining an alternative formula B(r, s)=Z1 0 ur1 (u+1) r+sdu (Re(r),Re(s)>0).(12) One advantage of this formula is that for r+s= 1, we can evaluate it using the residue theorem. To do this we consider the contour integral ZC (z)r1 z+1 dz, (13) where we use the principal branch (z)r1=e(r1) Log(z)and the contour shown here. e R â Since Log(z) has a branch cut on the negative real axis, (z)r1has a branch cut on positive real axis. Along the upper side of the cut, we have Arg(z)=⇡and (z)r1=ei⇡(r1)xr1. Along the lower side, we have Arg(z)=⇡and (z)r1ei⇡(r1). Figura 2.1: Integral de contorno para calcular B(r,s)con r+s=1. Como Log ztiene el corte de rama en el eje real negativo, (−z)r−1lo tiene en el eje real positivo. En la parte superior del corte, Arg(−z) = −πy(−z)r−1=e−iπ(r−1)xr−1. En la parte inferior es Arg(−z) = πy(−z)r−1=eiπ(r−1)xr−1. cuando R→ ∞ yε→0
El c´ırculo en la desigualdad de Hilbert 31 la contribuci´ on a la integral de contorno de los lados correspondientes al corte son, por tanto, e−iπ(r−1)−eiπ(r−1)Z∞ 0 xr−1 x+1dx =−2isen (π(r−1))B(r, 1 −r). La integral en el c´ ırculo grande, |z|=Rtiende a cero si R→ ∞porque r zr−1 z+1∼RRρ−1 R=Rρ−1, siendo ρ=<(r) = 1−<(s)<1. An´ alogamente, la integral en el c´ ırculo peque˜ no, |z|=εtiende a cero si ε→0 porque ε zr−1 z+1∼εερ−1=ερ,ρ > 0. Por tanto, C (−z)r−1 z+1dz =−2isen (π(r−1))B(r, 1 −r). Dado que la funci´ on (−z)r−1/(z+1)tiene un polo simple en z=−1 con residuo 1r−1= 1, el teorema de los residuos nos da −2isen (π(r−1))=2πi, o bien sen (π(1−r)) πB(r, 1 −r) = 1. Usando (2.17), que Γ(1) = 1 y que sen(π−x) = sen x, podemos escribir la relaci´ on anterior como Γ(z)Γ(1−z) = π sen πz. (2.18) Hemos deducido esta expresi´ on, que usaremos en la siguiente secci´ on, suponiendo que 0<<(z)<1. Dado que se trata de una igualdad entre funciones anal´ ıticas, se sigue que es cierta en sus dominios de definici´ on, es decir en todo n´ umero complejo zque no sea entero. 2.2. El c´ ırculo en la desigualdad de Hilbert Cada vez que πaparece en un problema en el que a simple vista no hay c´ ırculo resulta un poco extra˜ no. Algunas veces no hay una resoluci´ on satisfactoria, pero, en el caso de la desigualdad de Hilbert, una explicaci´ on geom´ etrica para la aparici´ on de πfue encontrada en 1993 por Krysztof Oleszkiewicz (v´ ease [12]. Este descubrimiento se sale un poco de nuestro objetivo principal, pero se basa en c´ alculos que acabamos de completar, y ayuda a entender mejor el problema. Exponemos a continuaci´ on otra demostraci´ on de la desigualdad de Hilbert.
38 3. La desigualdad de Hardy es decir, 1 (α+1)2ZT 0 x2αdx ≤CZT 0 u2αdu, y en definitiva, 1 (α+1)2(2α+1)≤C (2α+1)para todo αtal que 2α+1>0. Ahora, haciendo α→ −1/2, vemos que para que la desigualdad (3.2) se mantenga en general se debe tomar C≥4. A continuaci´ on, intentaremos dar una prueba de la desigualdad (3.1) Cuando trabajemos con una integral debemos tener en cuenta las formas alternativas que puede adoptar despu´ es de un cambio de variables u otra transformaci´ on. Queremos vincular la integral de un producto de dos funciones, por lo que acudiremos a la integraci´ on por partes, m´ as a´ un sabiendo que la integral se puede reescribir de la siguiente manera. I=ZT 0 Zx 0 f(u)du!21 x2dx =−ZT 0 Zx 0 f(u)du!2 1 x!0 dx A priori no hay manera de saber si una integraci´ on por partes nos proporcionar´ a una formulaci´ on m´ as adecuada de nuestro problema, pero en principio no perdemos nada intent´ andolo, asi, que de momento vamos haciendo los c´ alculos. u= Zx 0 f(u)du!2 ⇒du =2 Zx 0 f(u)du!f(x)dx dv =1 x2dx ⇒v=−1 xdx, as´ ı que la integral se transforma en I=2ZT 0 Zx 0 f(u)du!f(x) xdx − Zx 0 f(u)du!21 x T 0 (3.3) Ahora, simplificando la ´ ultima expresi´ on, primeramente vemos que podemos asumir que fes de cuadrado integrable, pues si no nuestra desigualdad (3.1) es trivialmente cierta. Tambi´ en observamos que para cualquier funci´ on de cuadrado integrable f, aplicando la desigualdad de Schwarz y realizando manipulaciones tenemos que para cualquier x≥0 se tiene: Zx 0 f(u)du≤x1/2 Zx 0 f2(u)du!1/2 =o(x1/2),x→0, por tanto, nuestra f´ ormula de integraci´ on por partes (3.3) puede simplificarse a I=2ZT 0 Zx 0 f(u)du!f(x) xdx −1 T ZT 0 f(u)du!2 .
La desigualdad de Hardy y el “flop” 39 Esta forma de la integral Ipuede parecer que no es m´ as convincente que la representaci´ on anterior, pero nos sugiere algo m´ as. El ´ ultimo t´ ermino no es positivo, luego podemos desecharlo de la identidad obteniendo ZT 0 1 xZx 0 f(u)du!2 dx ≤2ZT 0 1 xZx 0 f(u)du!f(x)dx. (3.4) Ahora nos hacemos una pregunta: ¿Es esta nueva desigualdad (3.4) lo suficientemente fuerte para implicar nuestra desigualdad objetivo (3.1)? La respuesta resulta ser r´ apida e instructiva. 3.1.1. Aplicaci´ on del “flop” Si introducimos funciones ϕyψde manera que: ϕ(x) = 1 xZx 0 f(u)du,ψ(x) = f(x), (3.5) entonces la nueva desigualdad (3.4) se puede escribir como: ZT 0 ϕ2(x)dx ≤CZT 0 ϕ(x)ψ(x)dx, (3.6) donde C=2. El principal problema de esta desigualdad es que la funci´ on ϕest´ a elevada a una potencia mayor en el lado izquierdo de la ecuaci´ on que en el lado derecho. Esto lejos de ser un detalle menor nos da la posibilidad de una modificaci´ on la cual se ha presentado en cientos de investigaciones. La observaci´ on clave es que aplicando la desigualdad de Schwarz al lado derecho de la desigualdad (3.6), obtenemos ZT 0 ϕ2(x)dx ≤C ZT 0 ϕ2(x)dx!1/2 ZT 0 ψ2(x)dx!1/2 , (3.7) luego, si ϕ(x)no es id´ enticamente nula, podemos dividir ambos lados de esta desigualdad por ZT 0 ϕ2(x)dx!1/2 ,0. Esta simplificaci´ on resulta ZT 0 ϕ2(x)dx!1/2 ≤C ZT 0 ψ2(x)dx!1/2 , (3.8) y, cuando nosotros ajustamos esta desigualdad y reemplazamos C,ϕ, y ψcon sus valores definidos (3.5), vemos que la desigualdad ”postflop” (3.7) es exactamente la misma que la desigualdad objetivo (3.1), que esper´ abamos probar.
40 3. La desigualdad de Hardy 3.2. La desigualdad discreta de Hardy Dado un resultado para funciones reales o complejas, siempre surge la pregunta de si existe un an´ alogo para sucesiones, y la respuesta suele ser rutinaria. Sin embargo, hay veces en que se encuentran dificultades inesperadas que conducen a otra visi´ on. Vamos a enfrentarnos a una situaci´ on de este tipo al estudiar la desigualdad discreta de Hardy. Consideremos el siguiente problema. Problema 3.1. Probar que dado cualquier conjunto finito a1,a2,...,aNde n´uneros reales no negativos se cumple que N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!2 ≤4 N X n=1 a2 n. (3.9) Seguramente, la forma m´ as natural de enfocar este problema es imitar el m´ etodo que usamos para el problema anterior. Adem´ as, nuestra reciente experiencia tambi´ en nos puede ayudar en el desarrollo del problema. En particular, podemos observar que para probar la desigualdad (3.9) por una aplicaci´ on del “flop”, podr´ ıamos buscar una desigualdad digamos “preflop” de la forma N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!2 ≤2 N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!an, (3.10) que es completamente an´ aloga a nuestra anterior desigualdad “preflop” (3.4) La suma por partes es el an´ alogo en este caso a la integraci´ on por partes que usamos anteriormente, y, tambi´ en, es algo menos mec´ anico. Aqu´ ı, por ejemplo, podemos decidir como representar 1/n2como una diferencia; despu´ es de todo, podemos escribir 1 n2=sn−sn+1, siendo sn=∞ X k=n 1 k2 o, alternativamente, podemos observar en la suma inicial y escribir 1 n2=˜sn−˜sn−1, siendo ˜sn= n X k=1 1 k2. La ´ unica forma de realizar una buena elecci´ on es experimentando primero, luego, por el momento, tomaremos la primera opci´ on. Ahora, si tomamos TNque denota la suma del lado izquierdo de la desigualdad objetivo (3.9), entonces se tiene TN= N X n=1 (sn−sn+1)(a1+a2+···+an)2, por tanto, distribuyendo las sumas y corriendo los ´ ındices, tenemos
La desigualdad discreta de Hardy 41 TN= N X n=1 sn(a1+a2+···+an)2− N+1 X n=2 sn(a1+a2+···+an−1)2. Cuando volvemos a juntar las sumas, vemos que TNes igual a s1a1−sN+1(a1+a2+···+an)2+ N X n=2 sn{2(a1+a2+···+an−1)an+a2 n} y, como sN+1(a1+a2+···+an)2≥0, finalmente obtenemos: N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!2 ≤2 N X n=1 (sn(a1+a2+···+an))an. (3.11) Esta acotaci´ on se puede parecer mucho a la desigualdad “preflop” (3.10), pero hay un peque˜ no problema: en el lado derecho tenemos sndonde esper´ abamos tener 1/n. Como sn=1/n+O(1/n2), parece que hemos avanzado, pero la desigualdad (3.10) no est´ a en nuestras manos. Un modo natural de intentar desarrollar el plan y llevarlo a una conclusi´ on l´ ogica es simplemente reemplazar la suma snen la desigualdad (3.11) por una cota superior adecuada. El modo m´ as claro de estimar snes por comparaci´ on integral, aunque realizando sumas telesc´ opicas tambi´ en llegamos a un resultado equivalente. Observemos que para n≥2 se tiene: sn=∞ X k=n 1 k2≤∞ X k=n 1 k(k−1 =∞ X k=n 1 k−1−1 k!=1 n−1≤2 n, y, como s1=1+s2≤1+1/(2−1) = 2, se tiene que ∞ X k=n 1 k2≤2 n,n≥1. (3.12) Ahora, cuando usamos esta acotaci´ on en nuestra desigualdad de suma por partes (3.11), obtenemos: N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!2 ≤4 N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!an, (3.13) y esto es casi la desigualdad (3.10) que queremos probar. La ´ unica diferencia es que la constante 2 en la desigualdad ”preflop” (3.10) la hemos cambiado por 4. Desafortunadamente, esta diferencia es suficiente para alejarnos de nuestro objetivo final. Cuando aplicamos el “flop” a la desigualdad (3.13), no conseguimos la constante que es requerida en nuestro problema; obtenemos un 8 donde necesitamos un 4.
42 3. La desigualdad de Hardy Una vez m´ as, nuestro plan se ha quedado corto, y debemos buscar alguna manera de mejorar nuestro argumento. Ciertamente podemos afinar en nuestra aproximaci´ on de sn, pero, antes de cambiar peque˜ nos detalles, debemos repasar la estructura de nuestro plan. Usamos suma por partes porque esper´ abamos obtener un resultado satisfactorio del obtenido en integraci´ on por partes, pero el componente fundamental de nuestro argumento nos pide probar la desigualdad N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!2 ≤2 N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!an. (3.14) No hay una norma que nos diga que debemos probarlo empezando por el lado izquierdo de la desigualdad y usando suma por partes. Si somos m´ as flexibles, quiz´ as encontremos un nuevo enfoque que nos lleve al objetivo. Para empezar nuestro nuevo argumento, podemos eliminar parte del desorden tomando An=a1+a2+···+an n. Tambi´ en, si consideramos las diferencias t´ ermino a t´ ermino ∆nentre los sumandos de la desigualdad “preflop” (3.14), entonces tenemos la identidad ∆n=A2 n−2Anan. La prueba de la desigualdad “preflop” (3.14) se reduce entonces a demostrar que la suma de los incrementos ∆ncon 1 ≤n≤Nest´ a acotada por cero. Ahora tenemos un objetivo concreto, pero no mucho m´ as. Podemos recordar que uno de los pocos modos de simplificar sumas es mediante la suma telesc´ opica. As´ ı, aunque no veamos a simple vista las sumas telesc´ opicas, podr´ ıamos explorar el ´ algebra de la diferencias ∆ny dejar como segunda opci´ on la suma telesc´ opica. Si intentamos escribir ∆ncomo funci´ on de AnyAn−1, entonces tenemos ∆n=A2 n−2Anan =A2 n−2An(nAn−(n−1)An−1) = (1−2n)A2 n+2(n−1)AnAn−1, pero, desafortunadamente, aparece el producto AnAn−1como nuevo problema. Sin embargo, podemos eliminar este producto si recordamos la “humilde cota” del producto por la semisuma de cuadrados, es decir, reemplazamos AnAn−1por (A2 n+A2 n−1)/2 y tenemos ∆n≤(1−2n)A2 n+ (n−1)(A2 n+A2 n−1) = (n−1)A2 n−1−nA2 n. Despu´ es de algunos fracasos, conseguimos obtener beneficios, y es que la ´ ultima desigualdad es una suma telesc´ opica. Cuando sumamos en n, obtenemos N X n=1 ∆n≤ N X n=1(n−1)A2 n−1−nA2 n=−NA2 N,
La desigualdad de Carleson 43 y, al ser el ´ ultimo t´ ermino negativo la prueba de la desigualdad “preflop” (3.14) est´ a completada. Finalmente, sabemos que el “flop” nos llevara de la desigualdad (3.14) a la desigualdad (3.9) de nuestro problema, por tanto hemos hallado la soluci´ on del problema. El conocimiento de la t´ ecnica del “flop” nos da acceso a estrategias para probar desigualdades para integrales y sumas. En nuestro segundo problema, intentamos imitar la estrategia que funcion´ o para el caso continuo, pero el proceso definitivo lleg´ o cuando nos enfocamos directamente en el “flop” y cu´ ando trabajamos hacia una prueba directa de la desigualdad ‘preflop” N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!2 ≤2 N X n=1 1 n(a1+a2+···+an)!an. El nuevo enfoque fue afortunado, y encontramos que la desigualdad “preflop” se pod´ ıa obtener por un argumento de sumas telesc´ opicas usando poco m´ as que la cota xy ≤(x2+ y2)/2. En los primeros dos ejemplos alcanzamos el “flop” ayud´ andonos de la desigualdad de Cauchy o de la desigualdad de Schwarz, pero la idea b´ asica es obviamente m´ as general. En el siguiente problema (y en algunos ejemplos) veremos que la desigualdad de H¨ older es quiz´ as la manera m´ as natural de usar el “flop”. 3.3. La desigualdad de Carleson En nuestro siguiente problema a simple vista no parece que podamos usar el “flop” pues no vemos un producto de manera inmediata. Sin embargo, pronto descubriremos que el producto (y por tanto el “flop”) no est´ a muy lejos de alcanzarse. Teorema 3.2 (La desigualdad de convexidad de Carleson).Sea ϕ:[0, ∞)→Rconvexa y ϕ(0) = 0. Entonces, para todo −1<α<∞se cumple I=Z∞ 0 xαexp −ϕ(x) x!dx ≤eα+1Z∞ 0 xαexp(−ϕ0(x))dx. (3.15) La desigualdad (3.15) no es caracter´ ıstica de ninguna que hayamos visto antes, por tanto, a priori no tenemos ning´ un plan de prueba razonable. Sin embargo, la convexidad es una caracter´ ıstica ´ util; en particular, la convexidad nos proporciona una estimaci´ on de la diferencia ϕ(y+t)−ϕ(y). Desafortunadamente esta estimaci´ on no parece ayudarnos mucho aqu´ ı. El modo en que Carleson trat´ o de resolver el problema fue considerar la diferencia de cambio de escala ϕ(py)−ϕ(y) donde p>1 es un par´ ametro que optimizaremos despu´ es. Esta es una idea inteligente, que debemos a˜ nadir a nuestros razonamientos.
44 3. La desigualdad de Hardy Carleson cre´ o su estimaci´ on de la integral Irealizando primero el cambio de variables x7→ py y despu´ es usando la convexidad, ϕ(py)≥ϕ(y) + (p−1)yϕ0(y), (3.16) que est´ a representada en la siguiente figura. 174 Hardy’s Inequality and the Flop Fig. 11.1. The convexity bound ϕ(py)≥ϕ(y)+(p−1)yϕ′(y)forp>1tells us how ϕchanges under a scale shift. It also cooperates wonderfully with changes of variables, H¨older’s inequality, and the flop. the conjugate q=p/(p−1) and apply H¨older’s inequality to the natural splitting suggested by 1/p +1/q = 1, we then find p−α−1IA≤!A 0"yα/p exp #−ϕ(y) py $%"yα/q exp #−(p−1) pϕ′(y)$%dy ≤I1/p A"!A 0 yαexp #−ϕ′(y)$dy%1/q . Since IA<∞,wemaydividebyI1/p Ato complete the flop. Upon taking the qth power of the resulting inequality, we find IA=!A 0 yαexp #−ϕ(y) y$dy ≤p(α+1)p/(p−1) !A 0 yαexp #−ϕ′(y)$dy, and this is actually more than we need. To obtain the stated form (11.15) of Carleson’s inequality, we first let A→∞and then let p→1. The familiar relation log(1 + ϵ)=ϵ+O(ϵ2) implies that pp/(p−1) →eas p→1, so the solution of the challenge problem is complete. An Informative Choice of ϕ Part of the charm of Carleson’s inequality is that it provides a sly generalization of the famous Carleman’s inequality, which we have met twice before (pages 27 and 128). In fact, one only needs to make a wise choice of ϕ. Given the hint of this possibility and a little time for experimentation, one is quite likely to hit on the candidate suggested by Figure 11.2. For Figura 3.1: ϕ(py)≥ϕ(y) + (p−1)yϕ0(y). La exponencial de esta suma nos da un producto, luego la desigualdad de H¨ older y el “flop” est´ an casi listos para actuar. Todav´ ıa, tenemos que tener cuidado para evitar integrales que puedan ser divergentes, por tanto, primero enfocaremos nuestra atenci´ on en un intervalo finito [0, A]para tener IA=ZA 0 xαexp −ϕ(x) x!dx =pα+1ZA/p 0 yαexp −ϕ(py) py !dy ≤pα+1ZA 0 yαexp −ϕ(y)−(p−1)yϕ0(y) py !dy, donde en el segundo paso hemos usado la cota (3.16) y extendido el rango de integraci´ on desde [0, A/p]a[0, A]. Si introducimos el conjugado q=p/(p−1)y aplicamos la desigualdad de H¨ older a la divisi´ on natural sugerida por 1/p+1/q=1, obtenemos; p−α−1IA≤ZA 0 yα/pexp −ϕ(y) py !! yα/qexp −(p−1) pϕ0(y)!!dy ≤I1/p A ZA 0 yαexp (−ϕ0(y))dy!1/q . Como IA<∞, podemos dividir por I1/p Apara completar el “flop”. Al tomar la q-´ esima potencia de la desigualdad resultante, tenemos IA=ZA 0 yαexp −ϕ(y) y!dy ≤p(α+1)p/(p−1)ZA 0 yαexp(−ϕ0(y))dy,
La desigualdad de Carleson 45 y esto es m´ as de lo que necesitamos. Para obtener la expresi´ on de la forma (3.15) de la desigualdad de Carleson, primero hacemos A→ ∞ y despu´ es hacemos p→1. Recordando que log(1+) = +O(2) tenemos que pp/(p−1)→e cuando p→1, y el problema est´ a resuelto. 3.3.1. La desigualdad de Carleman de nuevo Parte del inter´ es de la desigualdad de Carleson radica en que proporciona una generalizaci´ on de la famosa desigualdad de Carleman, que vimos en el capitulo 1 (v´ ease la p´ agina 17), de hecho solamente necesitamos hacer una elecci´ on adecuada de la funci´ on ϕ. Dadas las pistas y tomando un tiempo para experimentarlo, es muy probable dar con el candidato sugerido en la siguiente figura. Hardy’s Inequality and the Flop 175 Fig. 11.2. If y=ϕ(x)isthecurvegivenbythelinearinterpolationofthe points (n, s(n)) where s(n)=log(1/a1)+log(1/a2)+···+log(1/an), then on the interval (n−1,n)wehaveϕ′(x)=log(1/an). If we assume that an≥an+1 then ϕ′(x)isnon-decreasingandϕ(x)isconvex. Also,sinceϕ(0) = 0, the chord slope ϕ(x)/x is monotone increasing. the function ϕdefined there, we have identity !n n−1 exp(−ϕ′(x)) dx =ak(11.17) and, since ϕ(x)/x is nondecreasing, we also have the bound "n # k=1 ak$1/n =exp"−ϕ(n) n$≤!n n−1 exp "−ϕ(x) x$dx. (11.18) When we sum the relations (11.17) and (11.18), we then find by invoking Carleson’s inequality (11.15) with α=0that ∞ % n=1 "n # k=1 ak$1/n ≤!∞ 0 exp "−ϕ(x) x$dx ≤e!∞ 0 exp(−ϕ′(x)) dx =e∞ % n=1 an. Thus we recover Carleman’s inequality under the added assumption that a1≥a2≥a3···.Moreover,thisassumptionincursnolossofgenerality, as one easily confirms in Exercise 11.7. Exercises Exercise 11.1 (The LpFlop and a General Principle) Suppose that 1 <α<βand suppose that the bounded nonnegative functions ϕand ψsatisfy the inequality !T 0 ϕβ(x)dx ≤C!T 0 ϕα(x)ψ(x)dx. (11.19) Show that one can “clear ϕto the left” in the sense that one has !T 0 ϕβ(x)dx ≤Cβ/(β−α)!T 0 ψβ/(β−α)(x)dx. (11.20) Figura 3.2: Elecci´ on de ϕpara demostrar la desigualdad de Carleman. Sea (an)una sucesi´ on de n´ umeros reales positivos. Viendo la figura en la que y= ϕ(x)es la curva dada por la interpolaci´ on de los puntos (n,s(n)), donde s(0) = 0, s(n) = log 1 a1 +log 1 a2 +···+log 1 an , es decir, ϕ(n) = snpara cada nyϕes lineal en cada subintervalo (n−1, n), en el intervalo (n−1, n)tenemos que ϕ0(x) = sn−sn−1=log 1 an . Si suponemos que an≥an+1, entonces ϕ0es creciente y ϕconvexa. Adem´ as, dado que ϕ(0) = 0, la pendiente de la cuerda del origen a (x,ϕ(x)), que es ϕ(x)/xes mon´ otona creciente. Adem´ as, si n−1<x<n, se tiene que ϕ(x) x≤ϕ(n) n=1 n n X k=1 log 1 ak . (3.17) La igualdad en (3.17) para todo nyximplicar´ ıa que la sucesi´ on (an)es constante, lo cual no puede ser si suponemos que la serie Pnanes convergente. As´ ı que la desigualdad debe
46 3. La desigualdad de Hardy ser estricta para ciertos nyx. Tenemos por tanto que Zn n−1 exp(−ϕ0(x)) dx =an(3.18) y al ser ϕ(x)/xcreciente, (a1a2···an)1/n=exp −ϕ(n) n!≤Zn n−1 exp −ϕ(x) x!dx. (3.19) Sumando (3.18) y (3.19) y aplicando la desigualdad de Carleson, tenemos que ∞ X n=1 (a1a2···an)1/n≤Z∞ 0 exp −ϕ(x) x!dx ≤eZ∞ 0 exp(−ϕ0(x)) dx =e∞ X n=1 an. Hemos probado pues la desigualdad de Carleman pero con la hip´ otesis adicional de ser la sucesi´ on (an)decreciente. Pero esto no es problema como se deduce del siguiente lema. Lema 3.3. Sea (an)una sucesi´on decreciente de n´umeros reales positivos y sea (bn)una reordenaci´on cualquiera de la sucesi´on (an). Entonces, cualquiera que sea N ∈Nse cumple que N X n=1 (b1b2···bn)1/n≤ N X n=1 (a1a2···an)1/n. Demostraci´on. Si nes fijo, podemos suponer que b1,b2,...,bnest´ an ordenados en orden decreciente. En ese caso, es claro que se cumple que b1≤a1,b2≤a2, etc. Luego b1b2···bn≤a1a2···any se concluye que ∞ X n=1 (b1b2···bn)1/n≤∞ X n=1 (a1a2···an)1/n ≤e∞ X n=1 an=e∞ X n=1 bn, pues al ser an≥0 la serie es incondicionalmente convergente, todas las reordenaciones suman lo mismo.
CAP´ ITULO 4 Notas biogr´ aficas 4.1. Godfrey Harold Hardy Cuando se olvide a Esquilo, Arqu´ımedes ser´a todav´ıa recordado, porque los lenguajes mueren, pero las ideas matem´aticas no. Puede que inmortalidad sea una palabra tonta, pero probablemente un matem´atico tiene la mejor oportunidad de alcanzar lo que sea que signifique. Hardy, en A Mathematician’s Apology Hardy naci´ o el 7 de febrero de 1877 en Cranleigh (Surrey, Inglaterra) y muri´ o el 1 de diciembre de 1947 en Cambridge (Inglaterra). Sus padres eran de ascendencia pobre y no tuvieron educaci´ on universitaria. A la edad de 12 a˜ nos, en 1889, obtuvo una beca para estudiar en el Colegio de Winchester, que era la mejor para el estudio de las matem´ aticas hasta ese momento. Hardy reconoci´ o que fue bien educado all´ ı, aunque no particip´ o plenamente en actividades no acad´ emicas (´ el ten´ ıa pasi´ on por los juegos de pelota en general y el cricket en particular, pero no fue entrenado en deportes).