Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante.

2Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Autor: Adrián Soto González Tutor: Daniel García Vallejo Contutor: Javier López Martínez Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 iii Proyecto Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Autor: Adrián Soto González Tutor: Daniel García Vallejo Profesor titular Contutor: Javier López Martínez Departamento de Ingeniería Universidad de Almería Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 v Proyecto Fin de Carrera: Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Autor: Adrián Soto González Tutor: Contutor: Daniel García Vallejo Javier López Martínez El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal vii Por mí y todos mis compañeros, y por mi familia, primero. ix Agradecimientos I didn’t know who I was. How could I? For the first 22 years of our lives, we are trained to listen to voices that are not our own. Parents and professors fill our heads with wisdom and information, and then employers and mentors take their place and explain how this world really works. Usually these voices of authority make sense, but sometimes doubt starts to creep into our heads and into our hearts. “That’s not quite how I see the world” it is kind of easier just to nod, agree with and go along. We have to take this “Going along” until we find our character and this character will give us a dream. Steven Spielberg said once; when you have a dream, it doesn’t often come at you yelling in your face “This is who you are and this is what you must be for the rest of your life.”, sometimes a dream almost whispers. The hardest thing to listen to; your instincts, your human personal intuition, always whispers, it never shouts. And if everyone is talking to you, you don’t listen to the echos of your mind. So, you have to, every day of your live, be ready to hear what whispers, in your ear, very rarely shout and if you can listen to the whispers, it tickles your heart and there’s something you think you want to do for the rest of your life, then, that is going to be what you do for the rest of your life and we will benefit from everything you do. To my inner voice. Adrián Soto González Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales Sevilla, 2018 4.6.6!Vector!de!restricciones!40! 4.7!Grados,de,libertad,del,mecanismo,41! 4.8!Restricciones,de,movilidad,41! 4.9!Derivadas,de,las,ecuaciones,de,restricción,respecto,al,tiempo,42! 4.10!Planteamiento,alternativo,del,sistema,43! 4.10.1!Coordenadas!y!restricciones!alternativas!44! 5!Dinámica.del.sistema.47! 5.1!Ecuación,diferencial-algebraica,de,equilibrio,del,sistema.,47! 5.2!Fuerzas,aplicadas,49! 5.2.1!Fuerzas!elástica!49! 5.2.2!Fuerzas!gravitatorias!50! 5.2.3!Fuerzas!cuadratica!en!velocidad!50! 5.2.4!Fuerza!de!rodadura!51! 5.3!Arreglo,ecuación,diferencial-algebraica,de,equilibrio,del,sistema,53! 5.4!Coordenadas,y,sus,derivadas,respecto,al,tiempo.,53! 5.4.1!Estabilización!de!Baumgarte!54! 5.4.2!Problema!de!velocidad!55! 5.4.3!Problema!de!aceleraciones!55! 6!Resolución.numérica.57! 6.1!Definición,del,mecanismo,57! 6.1.1!Coordenadas!simbólicas!57! 6.1.2!Interpolación!de!la!superficie!de!la!leva!58! 6.1.3!Pares!cinemáticos!59! 6.1.4!Jacobianos!61! 6.1.5!Generación!de!funciones!61! 6.2!Simulación,dinámica,61! 6.2.1!Parámetros!del!Sistema!61! 6.2.2!Posición!incial!62! 6.2.3!Integración!de!la!posición!63! 6.2.4!Velocidad,!aceleración!y!fuerzas.!63! 7!Resultados.67! 7.1!Posición,inicial,67! 7.2!Trayectorias,68! 7.2.1!Valores!que!se!mantienen!nulos!69! 7.2.2!Movimientos!en!X!69! 7.2.3!Movimientos!en!Y!70! 7.2.4!Giros!71! 7.3!Velocidades,72! 7.3.1!Valores!que!se!mantienen!nulos!72! 7.3.2!Velocidades!en!X!73! 7.3.3!Velocidades!en!Y!74! 7.3.4!Velocidades!angulares!74! 7.4!Aceleraciones,75! 7.4.1!Valores!que!se!mantienen!nulos!75! 7.4.2!Aceleraciones!en!X!76! 7.4.3!Aceleraciones!en!Y!77! 7.4.4!Aceleraciones!angulares!77! 7.5!Fuerzas,78! 8!Conclusiones.81! 8.1!Conclusiones,81! xvii 8.2!Ampliación,del,estudio,83! 8.2.1!Mecanismo!A!84! 8.2.2!Mecanismo!C! 85! 9!Referencias.87! xix Notación < 𝑂, 𝑋, 𝑌 > Sistema de referencia global < 𝑜(, )𝑥(, 𝑦(>) Sistema de referencia local 1-.- Matriz identidad 𝑎0 ( Aceleración del punto P del Sólido i 𝑎1 ( Aceleración del centro de gravedad del Sólido i 𝐴) ( Matriz de giro del Sólido i B Termino constante 𝐵)(𝑞) Matriz jacobiana de las restricciones no holónomas respecto al vector de velocidades generalizadas y no generalizadas 𝐵7 )(𝑞) Matriz jacobiana de las restricciones no holónomas respecto al vector de velocidades generalizadas y no generalizadas dependientes 𝐵7) )(𝑞) Matriz jacobiana de las restricciones no holónomas respecto al vector de velocidades generalizadas y no generalizadas independientes 𝑏 Vector en sistema de referencia global 𝑏 Vector en sistema de referencia local 𝐶 Vector de restricciones 𝐶):; Vector de restricciones introducidas por el par de rotación primero 𝐶):- Vector de restricciones introducidas por el par de rotación segundo 𝐶)0; Vector de restricciones introducidas por el par prismático 𝐶<; Vector de restricciones introducidas por el par de leva 𝐶= Matriz jacobiana del vector de restricciones)𝐶 respecto de q 𝐶=7 𝐶=( ) Matriz jacobiana del vector de restricciones 𝐶 respecto de 𝑞7>? Matriz jacobiana del vector de restricciones 𝐶 respecto de 𝑞(@7 𝐶)AB Vector de restricciones no holónomas 𝐶)CDE Vector de restricciones de movilidad 𝐶F Derivada del vector 𝐶 respecto al tiempo 𝐶FF Derivada del vector 𝐶F respecto al tiempo 𝐷 Matriz formada por el jacobiano 𝐹 I Fuerza del actuador 𝐹F Fuerza de tensión 𝐹J Fuerza elástica ℎ Paso de integración 𝐻( Matriz jacobiana de 𝑟( respecto a 𝑞 ℎ( Matriz jacobiana de 𝑣( respecto a 𝑞 𝐼1( Tensor de inercia del Sólido i respecto a su centro de gravedad 𝑘 Rigidez del elemento elástico 𝑙F Longitud del tirante 𝑀 Matriz de masas 𝑚( Masa del Sólido i 𝑚 Pendiente de la recta tangente al perfil de la leva en el punto 𝐶 𝑁 Fuerza normal 𝑝(,V W Parámetros usados para definir el par cinemático B entre los Sólidos i y j 𝑄 Fuerzas generalizadas 𝑄E Fuerzas generalizadas cuadráticas en velocidad 𝑄CY>ZZ> Fuerza generalizada elástica 𝑄[\]E Fuerza generalizada gravitatoria 𝑞 Vector de coordenadas generalizadas y no generalizadas 𝑞7>? Vector de coordenadas generalizadas y no generalizadas dependientes 𝑞(@7 Vector de coordenadas generalizadas y no generalizadas independientes 𝑞 Vector de velocidades generalizadas y no generalizadas 𝑞7>? Vector de velocidades generalizadas y no generalizadas dependientes 𝑞(@7 Vector de velocidades generalizadas y no generalizadas independientes 𝑞 Vector de aceleraciones generalizadas y no generalizadas 𝑞7>? Vector de aceleraciones generalizadas y no generalizadas dependientes 𝑞(@7 Vector de aceleraciones generalizadas y no generalizadas independientes 𝑟(0 Vector de posición respecto al sistema de referencia global del punto P relativo al Sólido i 𝑡 Tiempo 𝑡(𝑦) Vector tangente al perfil de la leva en el punto C 𝑈7>` Energía de deformación 𝑢( 0 Vector de posición del punto P perteneciente al Sólido i en sus ejes de referencia 𝑣 Vector de velocidades generalizadas y no generalizadas 𝑣0 ( Velocidad del punto P del Sólido i 𝑥(𝑦) Coordenada que marca la posición del punto de contacto C dependiente de la coordenada no generalizada y 𝑥b Elongación inicial del muelle 𝑥; Coordenada generalizada que sitúa el sistema de referencia local del Sólido 1 en el eje horizontal 𝑥- Coordenada generalizada que sitúa el sistema de referencia local del Sólido 2 en el eje horizontal 𝑥c Coordenada generalizada que sitúa el sistema de referencia local del xxi Sólido 3 en el eje horizontal 𝑥d Coordenada generalizada que sitúa el sistema de referencia local del Sólido 4 en el eje horizontal 𝑦; Coordenada generalizada que sitúa el sistema de referencia local del Sólido 1 en el eje vertical 𝑦- Coordenada generalizada que sitúa el sistema de referencia local del Sólido 2 en el eje vertical 𝑦c Coordenada generalizada que sitúa el sistema de referencia local del Sólido 3 en el eje vertical 𝑦d Coordenada generalizada que sitúa el sistema de referencia local del Sólido 4 en el eje vertical 𝑦) Coordenada no generalizada que marca el punto de contacto C 𝛼 Ángulo formado entre la vertical y el tirante de longitud)𝑙F 𝛽) Ángulo formado entre la vertical y la recta tangente al perfil de la leva en el punto C ∆𝑥 Incremento de la coordenada x 𝜖 Coeficiente de estabilización de Abangarte 𝜇\ Coeficiente de fricción entre la superficie de la leva y el Sólido 2 𝜇: Coeficiente de rodadura entre la superficie de la leva y el Sólido 2 𝜆 Vector de multiplicadores de LaGrange 𝜙- Coordenada no generalizada que marca el punto de contacto C 𝜃; Coordenada generalizada que marca el giro del Sólido 1 respecto al sistema de referencia global 𝜃- Coordenada generalizada que marca el giro del Sólido 2 respecto al sistema de referencia global 𝜃c Coordenada generalizada que marca el giro del Sólido 3 respecto al sistema de referencia global 𝜃d Coordenada generalizada que marca el giro del Sólido 4 respecto al sistema de referencia global 𝜔- Velocidad angular del Sólido 2 𝜔 Velocidad angular del actuador ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1 Cinta metálica firmemente enrollada que proporciona fuerza al resto del mecanismo. 1! Figura 1-2 Mecanismo Stackfreed. 2! Figura 1-3 Girard-Perregaux Constant Escapement, con la hoja de silico extrafino. 2! Figura 2-1 Mecanismo de leva a estudiar diseñado mediante la herramienta SolidWorks. 8! Figura 2-2 Diseño conceptual representado esquemáticamente. 9! Figura 2-3 Todas las fuerzas influyentes del sistema en equilibrio. 10! Figura 2-4 Trayectoria del centro del rodillo y perfil de la leva, además, definición del ángulo β. 11! Figura 2-5 Trayectoria del centro del rodillo en función de varios valores de 𝜇𝑟 y distintas direcciones. 13! Figura 2-6 Trayectoria del centro del rodillo en función de varios valores de k y distintas direcciones. 14! Figura 2-7 Ratio 𝐹/𝐹′ en función de los diferentes valores que pueden ir tomando 𝑙𝑡 15! Figura 3-1 Mecanismo de leva a estudiar diseñado mediante la herramienta SolidWorks. 11! Figura 3-2 Planos de simetría del mecanismo. A la derecha (z-x) y a la izquierda (z-y). 12! Figura 3-3 Mecanismo considerado como plano por la simetría (z-y). 13! Figura 3-4 Mecanismo plano simplificado por la simetría (x-z). 13! Figura 3-5 Sólidos y elemento elástico que componen el sistema. De izquierda a derecha y desde arriba; sólido 1, sólido 2, sólido 3 y 4, y elemento elástico 15! Figura 3-6 Sólidos y elemento elástico conformando el mecanismo esquemáticamente. 16! Figura 3-7 Aplicación rigurosa de la simetría. 16! Figura 3-8 Esquema y simplificación final del sistema que se lleva a estudio. 17! Figura 4-1 Sistema con coordenadas globales y de referencia de cada sólido. 19! Figura 4-2 Sistema con coordenadas generalizadas globales y de referencia de cada sólido. Además, las coordenadas no generalizadas. 20! Figura 4-3 Sistema con coordenadas globales y de referencia de cada sólido. 21! Figura 4-4 Coordenadas de referencia para un punto P del Sólido i. 22! Figura 4-5 Sólido 2 y sus puntos de interés y coordenadas de referencia. 25! Figura 4-6 Vectores de posición de los puntos importantes del Sólido 2. 26! Figura 4-7 Puntos de interés y coordenadas de referencia del Sólido 3. 28! Figura 4-8 Sólido 4 y sus puntos de interés y coordenadas de referencia. 29! Figura 4-9 Elemento elástico del mecanismo. 30! Figura 4-10 Sólido 1. 31! Figura 4-11 Perfil de leva obtenido a partir de los parámetros antes presentados. 32! Figura 4-12 Sólido 1 y sus puntos de interés y coordenadas de referencia. 33! Figura 4-13 Representación de todos los pares y coordenadas de referencia. 34! Figura 4-14 Pares de rotación con todos sus coordenadas y parámetros involucrados. 35! Figura 4-15 Par prismático con todos sus coordenadas y parámetros involucrados. 36! Figura 4-16 Par de leva con todos sus coordenadas y parámetros involucrados. 38! Figura 4-17 Trayectoria del Sólido 4, introducida por el actuador. 42! Figura 4-18 Planteamiento alternativo del sistema. 44! Figura 5-1 Par prismático con todos sus coordenadas y parámetros involucrados. 49! Figura 5-2 Descomposición de fuerzas en Sólido 2. 52! Figura 6-1 Interpolación de la superficie de la leva. 58! Figura 6-2 Precisión de la interpolación de la superficie de la leva. 59! Figura 7-1 Posición inicial de todos los sólidos. 68! Figura 7-2 Recorrido del centro del Sólido 2. 68! Figura 7-3 Coordenadas que deben ser nulas. 69! Figura 7-4 Desplazamientos que realizan la coordenada x de los Sólidos 2 y 3. 70! Figura 7-5 Desplazamiento que realizan las coordenadas y. 70! Figura 7-6 Giro de la coordenada 𝜃3. 71! Figura 7-7 Definición de las coordenadas 𝜙2)𝑦)𝜃2). 71! Figura 7-8 Giro de la coordenada 𝜃2)𝑦)𝜙2. 72! Figura 7-10 Velocidades que deberían dar valor nulo. 73! Figura 7-11 Velocidades en eje x. 73! Figura 7-12 Velocidades en el eje y. 74! Figura 7-13 Velocidades angulares. 75! Figura 7-14 Aceleración que deben dar valor nulo. 76! Figura 7-15 Aceleraciones en eje x. 76! Figura 7-16 Aceleraciones en eje y. 77! Figura 7-17 Aceleraciones angulares. 78! Figura 7-18 Fuerzas obtenidas. 78! Figura 7-19 Descomposición de fuerzas en Sólido 2. 79! Figura 7-20 Forma de la fuerza del actuador. 80! Figura 8-1 Fuerza actuador con incremento de masas y velocidad. 82! Figura 8-1 Fuerza actuador con incremento de masas. 82! Figura 8-2 Fuerza actuador con diferentes rigideces. 83! Figura 8-3 Mecanismos presentados en (Javier López-Martínez, 2017). 84! Figura 8-4 Esquema del mecanismo A. 84! Figura 8-5 Esquema del mecanismo C. 86! iii Introducción 4 El primero de ellos viene constituido por el más simple, pero a la vez más común de ellos. Engloba a los mecanismos formados por elementos rígidos y elásticos lineales, como muelles. Los primeros pasos en el mundo de los CFM se dieron desarrollando los muelles de tensión constante o “Negator Spring” (Wall, 1963) que consisten en una espiral de muelle plano usados en numerosos dispositivos (Williman, 1995). En este grupo se suelen encontrar patentes que consisten en un muelle lineal, articulado a un extremo, mientras que el otro extremo es obligado a seguir el perfil no lineal de una leva, unido a su vez a un rodillo que gira para disminuir o evitar la fricción. Este perfil está diseñado para que, junto al muelle, se consiga una fuerza constante, aunque en algunas aplicaciones como la robótica se persiga además un torque no lineal. Por un lado, en el segundo grupo, se tiene a los denominados “compliant force mechanims” o de deformación, que aprovechan el pandeo o deformación de algún elemento deformable como vigas, arcos y elementos de rigideces negativas y positivas descritos en (Weight, 2002) donde la biestabilidad viene dada por el pandeo de algún elemento curvado. Las ventajas de este grupo es que un único elemento es el que contiene toda la energía y esta no necesita ir pasando de un elemento a otro. Otra ventaja de estos mecanismos es la escasa cantidad de piezas que necesita, reduciendo así su complejidad de ensamblaje y mantenimiento, lo que los hace bastante atractivos aun no estando a la altura de los CFM rígidos. En este campo destacan mecanismos como el diseñado por (Ü Sönmez, 2008). Dentro de este grupo los mecanismos se pueden agrupar de muy diferentes formas, como se hace en (P. Alabuzbey, 1989), que atendiendo a las diferentes rigideces se clasifican a su vez en 4 diferentes grupos. 1.1 Motivación El mecanismo de fuerza constante que se va a analizar en este documento pertenece al primer grupo de los descritos en el apartado anterior. Concretamente, a aquellos constituidos por un par de leva. En todo este tipo de mecanismos el perfil de leva se obtiene, en la mayoría de los casos, a partir de un análisis cuasiestático de las fuerzas que en este se ven involucradas, lo que no es más que despreciar las fuerzas de inercia. En cierto modo, esta consideración es oportuna, ya que las masas de los sólidos de los sistemas no serán de relevancia y las aceleraciones a las que estos serán sometidos tampoco son importantes relativamente. Por otro lado, también se suelen despreciar las fuerzas de rozamiento. Así, este proyecto parte de los resultados obtenidos en que, aun considerando las fuerzas de rozamiento en el estudio del perfil de leva del mecanismo, sí que el análisis sigue siendo cuasiestático, no considerando las fuerzas de inercia. Tal y como se puede ver en el artículo (Javier López-Martínez, 2017) las fuerzas de rozamiento juegan un papel importante a la hora de determinar el perfil de la leva, llegando a veces a determinar un perfil completamente diferente si no se tienen en cuenta. Es por ello, por lo que en este proyecto se pretende hacer el estudio dinámico, considerando las fuerzas de inercia. Se determinará la influencia que tienen las masas de cada uno de los sólidos, así como el papel que juegan cada uno de los parámetros del mecanismo en la fuerza de salida del sistema. 5 5 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 1.2 Estructura Después de haber sentado las bases y los antecedentes de los mecanismos de fuerza constante, se adentran los siguientes capítulos en una descripción más detallada de cada uno de los aspectos de interés y necesarios para terminar determinando el comportamiento dinámico del mecanismo y como cada uno de los parámetros influyen en el diseño de este. En el Capítulo 2 se presentará el mecanismo diseñado (Javier López-Martínez, 2017) para llevar a cabo el estudio dinámico. De este mecanismo elegido se hará una descripción detallada, determinando la relación de la fuerza de salida con todos los parámetros de diseño, así como el papel que cada uno de ellos juega a la hora de definir el perfil de la leva del mecanismo de fuerza constante. Centrando ya toda la atención en el mecanismo elegido, en el Capítulo 3 se hará una simplificación de este, aprovechando los diferentes ejes de simetría por los que está formado, dejando así un sistema más simple de estudio sin perder información. Seguidamente se definirán los sólidos que conforman el mecanismo y las coordenadas que se usarán para su estudio. Se describirán los pares cinemáticos que forman entre ellos y las ecuaciones que modelan estas restricciones que deben cumplir las coordenadas. Todo ello de forma muy sistemática. Al final de este capítulo se definen los grados de libertad del mecanismo y un planteamiento alternativo de las ecuaciones de restricción de este. Pasando al Capítulo 4 se usarán todas las ecuaciones definidas en el Capítulo 3 para llegar a las ecuaciones que modelan el comportamiento dinámico del mecanismo. Para ello se partirá de las ecuaciones de D’Alembert, para obtener las ecuaciones de Newton-Euler. A partir de ellas y unas magnitudes que se introducirán denominadas Multiplicadores de LaGrange, se llegará a las ecuaciones diferenciales de primer orden que orquestarán el movimiento del mecanismo. Al final de este capítulo se hará una leve modificación de estas ecuaciones para asegurar su convergencia a la hora de buscar su solución. El Capítulo 5 presentará el programa creado en la herramienta de programación Matlab para obtener la solución de las ecuaciones presentadas en los capítulos anteriores, haciendo así la simulación dinámica del mecanismo. Una vez obtenidos los valores de todas las variables del problema cinemático y dinámico se procederán a estudiar los resultados obtenidos en el Capítulo 6. Finalmente, en el Capítulo 7 y 8 se comentarán una serie de conclusiones y potenciales estudios de mecanismos similares mediante las mismas herramientas usadas en este documento. 7 2 DISEÑO CONCEPTUAL DEL MECANISMO En este capítulo se hace una descripción detallada del diseño conceptual presentado y definido (Javier López-Martínez, 2017) a partir del cual se lleva a cabo el análisis dinámico del sistema multicuerpo. Además, se desarrolla el estudio cuasiestático que se ha seguido (Javier López- Martínez, 2017) para obtener el perfil de la leva y el papel que juega cada uno de los parámetros presentes en el diseño, para así considerarlos en el análisis dinámico al que se quiere llegar en los siguientes capítulos. 2.1 Diseño conceptual. El mecanismo elegido para llevar a cabo el análisis cinemático y dinámico es uno de los diseños presentados en (Javier López-Martínez, 2017). Entre ellos, es en el que podría resultar más fácil su estudio, así se pretende despejar el camino, para facilitar el mismo análisis con los demás mecanismos presentados en el mismo documento. Invention is a process; you don’t get there overnight. -Louis Foreman- 8 Figura 2-1 Mecanismo de leva a estudiar diseñado mediante la herramienta SolidWorks. Esquemáticamente y para la mejor comprensión de las representaciones de los siguientes capítulos, el diseño anterior queda como en la siguiente imagen. 9 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Figura 2-2 Diseño conceptual representado esquemáticamente. Observando el mecanismo; se observa que está constituido por una leva que es simétrica respecto al eje vertical. Por el perfil de cada una de las ramas rodarán simétricamente y sin deslizar los rodillos. Estos están unidos mediante un muelle, que se deforma y traslada verticalmente cuando los rodillos recorren el perfil de la leva. El movimiento se transfiere a los rodillos mediante unos tirantes que por un lado están articulados al centro de los rodillos y por otro se unen a la pieza que sirve de articulacion con la correa que acciona el mecanismo. Como bien se ha explicado, este mecanismo es impulsado mediante una fuerza de entrada de pull, y no de push, que podría ser la entrada interesante en ciertas ocasiones. Es por ello por lo que se considera que un movimiento de push se puede conseguir fácilmente cambiando levemente el diseño. 2.2 Definición de la fuerza de entrada. Para diseñar un mecanismo de fuerza constante parece obvio que por donde se debe empezar es determinando que parámetros de diseño influyen en esta fuerza y de qué forma. A continuación, se presenta el equilibrio cuasiestático para determinar el perfil de la leva, en función de todos los parámetros de diseño del mecanismo. 10 Figura 2-3 Todas las fuerzas influyentes del sistema en equilibrio. En la imagen superior se muestran todas y cada una de las fuerzas en equilibrio cuasiestático que influirán en el diseño del perfil del sistema y muchas de las relaciones que serán de interés en los siguientes capítulos. Como se puede apreciar, se tienen en cuenta todas las fuerzas existentes, incluso las de rozamiento, pero se desprecian las fuerzas de inercia. Centrando la atención en las demás fuerzas que aparecen en el equilibrio planteado, se puede observar el vector 𝑁) que representa la fuerza de reacción entre el rodillo y la superficie de leva. Entre estos dos sólidos se tiene también la fuerza de fricción 𝐹 `, que se define como el producto entre el coeficiente de fricción y la fuerza normal de contacto, quedando como: 𝐹 `= 𝜇\𝑁 2-1 Esta expresión representa la fricción de rodadura, ya que se asume que el rodillo rueda sin deslizamiento. Por otro lado, del resultado de la unión del rodillo con el muelle, está 𝐹J que es la fuerza que genera el muelle al deformarse, cuya expresión es: 𝐹J= 2𝑘∆. 2-2 Donde K es la rigidez del muelle y 2∆. es la elongación del muelle, la diferencia entre la longitud actual, 2𝑥, y la inicial, 2𝑥b. De igual forma, de la unión del rodillo con la correa, aparece 𝐹F, que representa la tensión a la que está sometida la correa debido a la fuerza que introduce el usuario, 𝐹. Si se considera el ángulo 𝛼 que se forma entre la correa y el eje y, la relación entre 𝐹 y 𝐹F queda como: 11 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 𝐹 = 2𝐹F𝑐𝑜𝑠𝛼 2-3 Así, recopilando todas y cada una de las fuerzas descritas se lleva a cabo el equilibrio en el eje horizontal y vertical, quedan las expresiones que siguen. 𝐹J+ 𝐹F𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝐹 `𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝛽 2-4 𝑁𝑠𝑖𝑛𝛽 + 𝐹 `𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝐹F𝑐𝑜𝑠𝛼 2-5 Donde 𝛽 se define como el ángulo entre la tangente a la curva imaginaria que describe el centro del rodillo y el eje vertical. Así la pendiente de la curva, importante en los siguientes capítulos, queda como: 𝑡𝑎𝑛𝛽 =∂𝑥 ∂𝑦 2-6 Figura 2-4 Trayectoria del centro del rodillo y perfil de la leva, además, definición del ángulo β. Realizando las operaciones pertinentes, con el desglose anteriormente hecho, se llega a la expresión de la fuerza de entrada que depende de la rigidez del muelle, su elongación, el coeficiente de fricción y la pendiente en cada punto de la curva, de la siguiente forma: 𝐹 = 4𝑘 ∆𝑥 1 − 𝜇\)𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛𝛽 + 𝜇\) −𝑡𝑎𝑛𝛼 {; 2-7 Así para una determinada rigidez y fuerza constante y conocida, según la ecuación (2-7), el termino entre paréntesis debe permanecer constante, permitiendo así obtener un perfil a partir de esta expresión. 12 𝐵 = ∆𝑥 1 − 𝜇\)𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑡𝑎𝑛𝛽 + 𝜇\)−𝑡𝑎𝑛𝛼 {; ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2-8 E ignorando la fricción, tal y como se hace en numerosos diseños que se han presentado en la bibliografía: 𝐹′ = 4𝑘∆𝑥 1 𝑡𝑎𝑛𝛽 −𝑡𝑎𝑛𝛼 {; 2-9 𝐵′ = ∆𝑥 1 𝑡𝑎𝑛𝛽 −𝑡𝑎𝑛𝛼 {; ≡ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2-10 2.3 Integración numérica del movimiento del centro del rodillo Una vez se tiene la definición de la fuerza en función de todos los parámetros involucrados en el diseño del mecanismo se puede pasar a obtener las trayectorias de cada uno de los rodillos. A partir de la trayectoria de estos, teniendo en cuenta su radio, se define el perfil de la leva fácilmente, como se puede intuir en la imagen del apartado anterior. Primeramente, se prepara la ecuación de arriba y se deja como: ∆𝑥 = 𝐵 1 − 𝜇\) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝜇\) )− 𝑡𝑎𝑛𝛼 2-11 Donde)se ha incluido 7. 7• en sustitución a 𝑡𝑎𝑛𝛽. Por otro lado, desarrollando 𝑡𝑎𝑛𝛼 en términos de 𝑥 se tiene: 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑥 𝑙F 1 − 𝑥 𝑙F -{; - 2-12 Con todo esto, se llega a una ecuación diferencial de primer orden no lineal, 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =1 − 𝜇\)𝑓 𝑥 𝜇\+ 𝑓 𝑥 2-13 Con: 𝑓 𝑥 = 1 𝐵𝑥 − 𝑥b+𝑥 𝑙F 1 − 𝑥 𝑙F -{; - 2-14 Llevando a cabo una integración basada en la fórmula de diferencias finitas de Euler, donde h es el paso de integración, se llega a la siguiente ecuación de iteración: 13 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 𝑥(− 𝑥({; − ℎ 1 − 𝜇\)𝑓 𝑥( 𝜇\)+ 𝑓 𝑥( = 0 2-15 esta se resuelve mediante el método de Newton Rapson, que se supone con suficiente precisión para este proyecto, y cuya salida será el recorrido del centro del rodillo para unos parámetros dados. Los valores iniciales de 𝑥 serán (𝑥 𝑦b= 𝑋b)𝑐𝑜𝑛)𝑦b= 0), considerando que 𝑋b puede ser diferente a 𝑥b, el muelle puede estar deformado inicialmente. 2.4 Influencia de los diferentes parámetros y consideraciones de diseño. Una vez se tiene la expresión matemática para obtener el perfil se estudia la influencia de cada uno de los parámetros de diseño del mecanismo en la forma del perfil de la leva. Para ello se representan en cada uno de los casos los diferentes perfiles que se obtendrían con diferentes valores del parámetro en cuestión, manteniendo los demás con un valor constante. 2.4.1 Influencia del coeficiente de fricción. Así en la siguiente imagen se representan los diferentes perfiles que son producto de la salida de la ecuación iterativa anterior, considerando diferentes valores de 𝜇\. Cada uno de los perfiles de estos valores se representa con un color. Así los tres primeros colores de derecha a izquierda representan las superficies de leva obtenidas para los valores de resistencia a la rodadura representados y a su vez, las gráficas de izquierda a derecha, para los mismos valores de resistencia a la rodadura, pero considerando el movimiento inverso del mecanismo. Figura 2-5 Trayectoria del centro del rodillo en función de varios valores de 𝜇\ y distintas direcciones. Como bien se puede apreciar en la imagen anterior, la fricción es un parámetro importante que tiene su principal repercusión en aquellos sistemas de leva que vayan a ser usados tanto para movimiento de subida como de bajada. Si este es el caso, es conveniente usar un perfil intermedio, porque si se usa solo uno de los dos, se tendrá un comportamiento indeseado en una 14 3.1.2 Solidos del sistema Para seguir simplificando el sistema y hacer de su estudio algo más liviano, se divide el mecanismo al completo en diferentes partes. Si se centra la atención en los diferentes sólidos remanentes en la última simplificación, y se estudian las relaciones entre estos, se llega a un último esquema que define al completo el sistema a estudiar. El mecanismo en su conjunto se puede llegar a dividir en cinco partes o elementos relacionados entre ellos, de las cuales cuatro son sólidos y la quinta parte es el elemento elástico. Entendiendo el movimiento que realizan cada uno de los sólidos se tiene que la leva será el Sólido 1 o barra fija. La barra fija se define como su propio nombre indica como el único sólido que no realizará ningún desplazamiento, ni deformación y será la base y origen para los demás sólidos. El Sólido 2 será el rodillo que rodará sin deslizar a lo largo del perfil del Sólido 1, formando así, como después de detallará, un par de leva. El Sólido 2 se encontrará unido a la correa, Sólido 3, mediante un par de rotación. Este último sólido se encarga de transmitir el movimiento al Sólido 2, desde el actuador que corresponde al Sólido 4. Este último sólido está unido al Sólido 3, también mediante un par de rotación. 15 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Figura 3-5 Sólidos y elemento elástico que componen el sistema. De izquierda a derecha y desde arriba; sólido 1, sólido 2, sólido 3 y 4, y elemento elástico Quedando el sistema representado esquemáticamente, mediante los sólidos y elementos elásticos que lo componen, como sigue. Además, se acotan en dicha figura algunas magnitudes de interés, así como puntos de relevancia. 16 Figura 3-6 Sólidos y elemento elástico conformando el mecanismo esquemáticamente. En este punto, si se aplica rigurosamente las propiedades de simetría, al Sólido 4 y al elemento elástico se llega a una nueva característica del sistema. Figura 3-7 Aplicación rigurosa de la simetría. Teniendo además en cuenta que el Sólido 4 solo realizará movimientos verticales, obligado por la propia geométrica del mecanismo, se puede asumir que el Sólido 4 sufrirá una restricción de par prismático con la barra fija, o Sólido 1. 17 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Por otro lado, el Sólido 2, también está unido el elemento elástico, que originalmente unía ambos rodillos y de la forma en la que se ha ido simplificando el sistema, el muelle queda unido entre el Sólido 2 y la Barra fija o Sólido 1, contrayéndose o expandiéndose según el Sólido 2 suba o baje por el perfil de la barra fija. Por esto, se define la unión del elemento elástico a la barra fija, mediante un par prismático con movimiento vertical. Este par, hará que el muelle permanezca horizontal en todo instante y a la misma altura del centro de gravedad del Sólido 2. Teniendo en cuenta los sólidos considerados y el papel y vínculos con el que juega cada uno de ellos, se llega al esquema final del sistema. Este esquema definitivo no pierde información respecto al sistema original y es el que se tratará a lo largo de todo este estudio. Figura 3-8 Esquema y simplificación final del sistema que se lleva a estudio. Finalmente, aunque no influye en el esquema del modelo en sí, es necesario para definir completamente el sistema saber que el Sólido 4 correrá el papel de actuador. Mediante esta parte del mecanismo el usuario creará el input de fuerza al mecanismo. 18 4 CINEMÁTICA DEL SISTEMA Una vez conocido a la perfección el sistema, se pasa en este capítulo a conocer los pares cinemáticos, suspensionales y actuadores que relacionan entre sí a los diferentes sólidos, así como las entidades matemáticas que gobiernan estas uniones entre los sólidos del mecanismo. Destacar que el punto de vista desde el que se definirá el sistema está dirigido a un planteamiento y resolución computacional de todas las ecuaciones, algoritmos y procedimientos. Esto termina derivando en el método sistemático que se sigue en (Franco, 2017), que como en los siguientes apartados se verá, escapa a la lógica si pretende resolverlo una persona en vez de un computador. Aun así, al final del capítulo, se hará un planteamiento menos sistemático y más lógico, con un uso más reservado de coordenadas y por tanto de restricciones, para así tener una visión de ambos planteamientos. En el transcurso de este capítulo, diferentes magnitudes y relaciones entre estas que serán de interés en el mismo capítulo y en los siguientes. 4.1 Selección de coordenadas Para realizar un estudio eficaz y sistemático del sistema, lo fundamental es elegir un conjunto apropiado de coordenadas. Estas coordenadas permitirán determinar la posición y orientación de los sólidos rígidos, así como la deformación de aquellos que tengan esta propiedad. La principal característica de las coordenadas es que no pueden tomar cualquier valor, son dependientes cumpliendo así las ecuaciones de restricción que se determinaran en los siguientes apartados. Existen muchas formas de elegir las coordenadas de cualquier mecanismo, pero dado que el fin de este estudio es su implementación computacional se usarán las coordenadas de referencia. Las coordenadas elegidas se definen mediante dos sistemas de referencia, uno global < 𝑂, 𝑋, 𝑌 > y un sistema de referencia local de cada sólido < 𝑜(, )𝑥(, 𝑦(>) que en el caso de la barra fija coincidirá con el global, por su sencilla localización y por su característica de inmovilidad. Los sistemas de referencia locales acompañan a cada uno de los sólidos en su movimiento de translación y rotación, y contienen las coordenadas generalizadas que determinan la posición de cada sólido respecto al sistema de referencia global. Así, el conjunto de todos los sólidos con cada uno de sus sistemas de referencia locales y el sistema de referencia global, queda representado como sigue. The laws of nature are written by the hand of God in the lenguaje of mathematics. - Galileo Galilei - 19 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Figura 4-1 Sistema con coordenadas globales y de referencia de cada sólido. Donde las coordenadas generalizadas de referencia de un sólido son definidas como: 𝑞(†= 𝑥())))𝑦())))𝜃(, 𝑖 = 2,3,4. 4-1 Y las del sistema en general en primera instancia podría quedar como: 𝑞ˆ= [𝑥;𝑦;𝜃;𝑥-𝑦-𝜃-𝑥c𝑦c𝜃c𝑥d𝑦d𝜃d] 4-2 O de forma más simplificada como: 𝑞 = [𝑞;†𝑞-†𝑞c†𝑞d†] 4-3 Donde a partir de este punto, en este documento se omiten las del sólido primero por simplificar, ya que estas siempre tendrán valor nulo, por su ligadura a la barra fija y coincidencia con el sistema de referencia global. Sin embargo, computacionalmente se mantendrán, para así seguir con el planteamiento sistemático del sistema. 𝑞;†=𝑥;𝑦;𝜃;=000 4-4 En esta línea también se podrían haber omitido las coordenadas 𝜃d y 𝑥d ya que el Sólido 4 al estar restringido por el par prismático no podrá ni rotar, ni desplazarse horizontalmente. Aun así, estas coordenadas se mantendrán con el propósito de mantener un procedimiento sistemático que ayude en los siguientes apartados a la determinación más sencilla de las ecuaciones que definirán el sistema. 20 Como bien es sabido, el mecanismo en cuestión tiene un par de leva, el cual es la restricción que resultará más interesante de estudiar. Para ello, es necesario definir dos coordenadas más, llamadas coordenadas no generalizadas, que ayudaran a la hora de definir las restricciones de este vínculo entre sólidos del sistema. Estas dos nuevas coordenadas se definen con el propósito de determinar el punto de contacto entre el Sólido 2 y el perfil de la barra fija. La primera de ellas, 𝜙- , se define como el ángulo existente entre el eje horizontal del sistema de referencia local del Sólido 2 y el eje que une el centro de gravedad del sólido segundo con el punto de contacto, del rodillo y perfil de leva, definido en sentido levógiro. Por otro lado, 𝑦 y 𝑥(𝑦) es la coordenada que determina la posición del punto de contacto de la leva y el Sólido 2, con origen el sistema de referencia global, de forma cartesiana. En la figura siguiente (Figura 3.9), se pueden apreciar estas dos nuevas coordenadas. Figura 4-2 Sistema con coordenadas generalizadas globales y de referencia de cada sólido. Además, las coordenadas no generalizadas. De esta forma, las coordenadas definitivas, generalizadas y no generalizadas, que se usaran para el estudio del mecanismo quedan como: 𝑞 = [𝑥-𝑦-𝜃-𝑥c𝑦c𝜃c𝑥d𝑦d𝜃d𝜙-𝑦] 4-5 o de forma más simple como: 𝑞 = [𝑞-†𝑞c†𝑞d†𝑞<†] 4-6 21 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Donde 𝑞<† contiene a las coordenadas que ayudaran a definir las restricciones pertenecientes al par de leva. Por tanto, el mecanismo queda descrito por 14 coordenadas que, como más adelante se desarrollará, deberán cumplir 13 restricciones definidas por los pares cinemáticos que unen cada uno de los sólidos. De esta forma se podrá apreciar matemáticamente el grado de libertad del que goza el mecanismo. Este será eliminado con una restricción adicional a las restricciones introducidas por los pares cinemáticos que vendrá definida por el actuador o fuerza de input, F. 4.2 Matrices de transformación Según se han definido las coordenadas del sistema, se tiene que varios sistemas de referencias locales a lo largo del movimiento del sistema, rotarán. Por tanto, para conocer la situación geométrica, respeto al sistema de referencia global, de algún punto del mecanismo ligado a un sistema de referencia local será necesario transformar las coordenadas para así definir la localización exacta del punto del solido que estemos estudiando, respecto al sistema de referencia deseado. Figura 4-3 Sistema con coordenadas globales y de referencia de cada sólido. Como se puede ver en la imagen anterior se representa un vector 𝑟 que está ligado al sistema de referencia local < 𝑜, 𝑥, 𝑦 > y que por otro lado se encuentra el sistema de regencia global < 𝑂, 𝑋, 𝑌 > . Estos dos sistemas de referencia son diferentes, pero realizando unas sencillas operaciones se encuentra que están relacionados mediante el mismo ángulo que muestra la coordenada 𝜃()que representa el giro del sistema de referencia local, siendo 𝜃(= 𝛽. Así se tiene que la relación entre cada uno de los sistemas de referencia es 𝑏. 𝑏•=𝑐𝑜𝑠𝛽 −𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑏. 𝑏• 4-7 22 o de forma simplificada; 𝑏 = 𝐴(𝑏 4-8 Así se define a la matriz 𝐴( como matriz de transformación o de giro del Sólido i. Que como bien se ha visto anteriormente nos permite obtener las coordenadas ligadas a un sistema de referencia a partir de esas mismas coordenadas ligadas a otro sistema de referencia. 4.3 Coordenadas de referencia del sistema El siguiente apartado pretende determinar la posición de cualquier punto de un sólido una vez que sean conocidas las coordenadas de referencia de dicho sólido. Conociendo la posición, si además se conoce el valor numérico de su derivada primera y segunda, se llegará a obtener la velocidad y aceleración. El valor de todas estas variables será necesario para definir otras magnitudes estrictamente necesarias para llegar al análisis dinámico del sistema. En primer lugar, para conocer la posición de un punto de un sólido, respecto al sistema de referencia global de cualquier punto P, perteneciente o no a un Sólid i pero si relativo a él, se hace uso de la ecuación fundamental de la cinemática con coordenadas de referencia. Figura 4-4 Coordenadas de referencia para un punto P del Sólido i. 𝑟 ?𝑖 = 𝑟(+ 𝑢? ( 4-9 o, respecto al sistema de referencia global < 𝑂, 𝑋, 𝑌 >, haciendo uso de (3-7): 23 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 𝑟 ?𝑖 = 𝑟(+ 𝐴(𝑢? ( 4-10 la ecuación (3-8) se desarrolla de la siguiente forma con las coordenadas de referencia del sólido en cuestión: 𝑟 ? (𝑞(, 𝑢? (=𝑟 . ( 𝑟 • (+𝑐𝑜𝑠𝜃( )−𝑠𝑖𝑛𝜃( ) 𝑠𝑖𝑛𝜃( )𝑐𝑜𝑠𝜃( ) 𝑢0. ( 𝑢0• ( 4-11 donde 𝑢? ( determina la posición del punto P en el sólido i en cualquier instante. Para obtener la velocidad del punto P, se hace la derivada respecto al tiempo de la ecuación anterior, quedando: 𝑣0 (=𝑑𝑟 ? ( 𝑑𝑡 )) = 𝑟 . ( 𝑟 • (+ 𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃( )–𝑐𝑜𝑠𝜃( 𝑐𝑜𝑠𝜃(−𝑠𝑖𝑛𝜃( ) 𝑢0. ( 𝑢0• ( 4-12 la derivada parcial de la matriz de giro con respecto a la coordenada que determina el giro del sólido al que pertenece, se puede simplificar como: 𝜕𝐴( 𝜕𝜃(= 𝐴) (=−𝑠𝑖𝑛𝜃( )–𝑐𝑜𝑠𝜃( 𝑐𝑜𝑠𝜃(−𝑠𝑖𝑛𝜃( ) 4-13 de esta forma, se puede escribir la ecuación anterior de forma más compacta como: 𝑣0 (= 𝑟(+ 𝜃(𝐴) (𝑢0 ( 4-14 Una forma de llegar al mismo resultado, pero de forma más compacta es aplicando la regla de la cadena, de forma que: 𝑣0 (=𝑑𝑟 ? ( 𝑑𝑞( 𝑑𝑞( 𝑑𝑡 = 𝐻0 (𝑞() 4-15 con: 𝐻0 (=𝑑𝑟 ? ( 𝑑𝑞(= 𝑑𝑟 ?• ( 𝑑𝑟 . ( 𝑑𝑟 ?• ( 𝑑𝑟 • ( 𝑑𝑟 ?• ( 𝑑𝜃)( 𝑑𝑟 ?Ž ( 𝑑𝑟 . ( 𝑑𝑟 ?Ž ( 𝑑𝑟 • ( 𝑑𝑟 ?Ž ( 𝑑𝜃)( 4-16 denominada 𝐻0 ()como matriz jacobiana de la posición con respecto a las coordenadas de referencia del Sólido 𝑖. Pudiendose simplificar como: 𝐻0 (=1-.- 𝐴• (𝑢0 ( 4-17 Dicha matriz no es constante, dependiendo en todo momento de las coordenadas que determinan el giro, 𝜃( mediante 𝐴) (, y su uso será de gran importancia en los siguientes capítulos. Por otro lado, igual que se obtuvo la velocidad a partir de la posición, obtenemos la aceleración como: 30 Figura 4-9 Elemento elástico del mecanismo. En este caso, su geometría en primera instancia para la definición del modelo matemático no es de interés. La rigidez dada por k y su elongación inicial 𝑥b, serán parámetros determinantes. 𝑘 = 0.690 𝑁 𝑚𝑚 4-41 𝑥b= 0.068)𝑚𝑚 4-42 Como bien se ha visto en el diseño inicial del mecanismo se tienen dos muelles, por lo que la rigidez aparecerá como 2𝑘. Además, se obtiene una duplicación en la extensión del muelle, ya que este se está deformando tanto por la rama de la leva izquierda, como por la derecha. Así se tendrá que ∆𝑥)= 𝑥 − 𝑥b esta consideración de los desplazamientos hace que se tenga: 2∆𝑥)= 2(𝑥 − 𝑥b) 4-43 Por otro lado, su masa primeramente no se tendría en cuenta en el sistema, ya que la forma en la que se implementa el resorte en las ecuaciones se considera como sólido estático y el implementar su masa 31 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. complicaría el sistema. Pero como ya se ha visto, el resorte se mantiene en todo instante horizontal y a la misma altura del centro de gravedad del Sólido 2, por lo que la masa del resorte se suma a la del Sólido 2, para así no perder esta información. 𝑚-C = 𝑚-+ 𝑚CY>ZZ> =26.83)𝑔 + 80)𝑔 = 106.83)𝑔 4-44 En cuanto a puntos de interés, como bien ya se ha visto en los anteriores apartados, se tiene que el muelle se une al Sólido 2 en el punto 𝑜-. 4.4.5 Sólido primero El Sólido 1 ya fue definido como la barra fija. Este sirve de base para todo el sistema y de superficie de rodadura para el Sólido 2. Figura 4-10 Sólido 1. Su geometría fue determinada en (Javier López-Martínez, 2017) mediante las diferentes simplificaciones y estudios realizados. Las dimensiones de leva serán el principal parámetro de interés ya que, en función de su anchura, se obtendrá un comportamiento u otro. Con todos los parámetros definidos por los demás sólidos se obtiene el siguiente perfil. 32 Figura 4-11 Perfil de leva obtenido a partir de los parámetros antes presentados. Al ser fijo, para el estudio que se pretende hacer no interesa ninguna característica que influya en la dinámica del sistema como puede ser su masa y su inercia, aun así, mediante el modelo realizado en la herramienta de diseño Solidworks se obtienen estos parámetros. 𝑚;=312.82)𝑔 4-45 𝐼;=4515544.93)𝑔𝑚𝑚- 4-46 Como bien se comentó, las coordenadas de este sólido no se tienen en cuenta, ya que son todas nulas, por lo que desarrollando la expresión que determina la posición de cualquier punto del sólido se tiene: 𝑟 ? ;𝑞;, 𝑢? ;=𝑟 . ; 𝑟 • ;+𝑐𝑜𝑠𝜃;𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑠𝑖𝑛𝜃;𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑢0. ; 𝑢0• ;=0 0+1 0 0 1 𝑢0. ; 𝑢0• ;=𝑢0. ; 𝑢0• ; 4-47 donde la posición de cada uno de los puntos viene definida directamente por su vector de posición ya que el sistema de referencia local < 𝑜;, 𝑥;, 𝑦;> es coincidente con el global < 𝑂, 𝑋, 𝑌 > y además la barra es fija. Teniendo esta última expresión y sabiendo que el punto de mayor interés del Sólido 1 es su perfil en sí, la localización de cualquiera de estos puntos sería: 𝑢0. ; 𝑢0• ;=𝑥(𝑦) 𝑦 4-48 33 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Y sus puntos de interés y coordenadas de referencia como en la siguiente imagen. Figura 4-12 Sólido 1 y sus puntos de interés y coordenadas de referencia. 4.5 Vinculos entre sólidos Los vínculos entre los sólidos mencionados en los primeros apartados determinan las restricciones que deberán cumplir las coordenadas antes planteadas. A continuación, se presentan las restricciones que existen en el sistema, así como las expresiones matemáticas que las modelan. Para mantener un estudio sistemático y ordenado, estas quedarán representadas mediante un vector de restricciones que dependerá de las coordenadas generalizas, el tiempo y la derivada de las coordenadas generalizadas o velocidades generalizadas. En este caso se considerará además una restricción reónoma, es decir, que dependerá del tiempo implícitamente. Esta restricción viene incluida por la acción del actuador. Por otro lado, la dependencia de las velocidades generalizadas es introducida por una restricción no holónoma que genera el par de leva. 4.6 Restricciones Representando en primer lugar el mecanismo con todos sus pares cinemáticos y coordenadas, se puede observar con claridad el par prismático entre la barra fija y el Sólido 4 y los dos pares de revolución. El primero de ellos entre el Sólido 4 y el Sólido 3, y el segundo de ellos entre el Sólido 3 y el Sólido 2. Por 34 último, el par más destacable es el par de leva entre el Sólido 2 y la barra fija. Este par se describirá más detalladamente por sus peculiares características. Figura 4-13 Representación de todos los pares y coordenadas de referencia. 4.6.1 Restricciones de par de rotación Para la descripción cinemática de este par del mecanismo consideraremos el par de revolución entre el Sólido 3 y Sólido 4. De esta forma las coordenadas a utilizar serán: 𝑞 = 𝑞c†𝑞d†ˆ=𝑥c𝑦c𝜃c𝑥d𝑦d𝜃dˆ 4-49 Y de forma análoga para el par de revolución entre el Sólido 2 y Sólido 3: 𝑞 = 𝑞-†𝑞cˆ=𝑥-𝑦-𝜃-𝑥c𝑦c𝜃cˆ 4-50 El par de revolución elimina dos grados de libertad, ya que, al fijar el movimiento de ambos sólidos, solo se permite la rotación de uno de ellos respecto al punto geométrico de contacto, que en el caso del par entre Sólido 2 y Sólido 3 se denomina A y en el caso del par entre el Sólido 3 y Sólido 4 se denomina B. Al dejar solo un grado de libertad entre estos se debe tener en cuenta que se deben formar dos ecuaciones de restricción. 35 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Figura 4-14 Pares de rotación con todos sus coordenadas y parámetros involucrados. Para entender la ecuación de restricción de un par de rotación, es fácil observar que el punto de contacto A, donde se produce la rotación, debe ser geométricamente siempre el mismo para ambos sólidos implicados. Por ello se cumple, atendiendo a esta afirmación se tiene que: 𝑟-+ 𝐴-𝑢— -= 𝑟c+ 𝐴c𝑢— c 4-51 𝑟-+ 𝐴-𝑢— -− 𝑟c− 𝐴c𝑢— c= 0 4-52 y de forma desarrollada: 𝑟 . - 𝑟 • -−𝑟 . c 𝑟 • c−𝑐𝑜𝑠𝜃c−𝑠𝑖𝑛𝜃c 𝑠𝑖𝑛𝜃c𝑐𝑜𝑠𝜃c 𝑙c 2) ) 𝑙c 2) ) 4-53 Y de igual forma para el par entre los Sólidos 3 y 4, con el punto de contacto B 𝑟c+ 𝐴c𝑢W c− 𝑟d− 𝐴d𝑢W d= 0 4-54 𝑟 . c 𝑟 • c−𝑐𝑜𝑠𝜃c−𝑠𝑖𝑛𝜃c 𝑠𝑖𝑛𝜃c𝑐𝑜𝑠𝜃c 𝑙c 2) ) 𝑙c 2) )−𝑟 . d 𝑟 • d= 0 4-55 Además de las coordenadas, se hacen uso de parámetros que determinan la posición constante del punto A y B. Por lo que, de forma compacta, estas ecuaciones de restricción se pueden representar mediante: 36 𝐶; :; 𝑞-, 𝑞c, 𝑝-,c :; = 0 𝐶- :; 𝑞-, 𝑞c, 𝑝-,c :; = 0 𝐶; :- 𝑞c, 𝑞d, 𝑝c,d :- = 0 𝐶- :- 𝑞c, 𝑞d, 𝑝c,d :- = 0 4-56 Donde 𝐶; :; y 𝐶- :;)es la primera y segunda ecuación del primer par de rotación y 𝐶; :- y)𝐶- :-lo análogo al segundo para de rotación entre los Sólidos 2 y 3. Todas estas ecuaciones se agrupan en un vector de restricciones de la siguiente forma. 𝐶:; 𝑞-, 𝑞c, 𝑝-,c :; =𝐶; :; 𝐶- :; = 0 4-57 𝐶:- 𝑞c, 𝑞d, 𝑝c,d :- =𝐶; :- 𝐶- :- = 0 4-58 4.6.2 Restricciones de par prismático Para la definición de este par, se usará el mismo procedimiento que se ha usado con el par de rotación. Se consideran los sólidos entre los que se da el par prismático, Sólido 4 y barra fija. Es por ello por lo que las coordenadas a utilizar serían las siguientes según la bibliografía (Franco, 2017). 𝑞 = 𝑞;†𝑞d†ˆ=𝑥;𝑦;𝜃;𝑥d𝑦d𝜃dˆ 4-59 Pero como ya se vio que 𝑞;†= 0 queda: 𝑞 = 𝑞d†ˆ=𝑥d𝑦d𝜃dˆ 4-60 Figura 4-15 Par prismático con todos sus coordenadas y parámetros involucrados. 37 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Al igual que ocurría con el par prismático, este elimina dos grados de libertad, por lo que se buscan dos ecuaciones de restricción. Aunque en este caso no es tan intuitivo como en el caso anterior. La primera ecuación se obtiene teniendo en cuenta que al ser el par prismático y solo permitirse su traslación, la diferencia de las rotaciones entre ambos sólidos dada por las coordinas 𝜃d)𝑦)𝜃;)siempre será la misma. 𝜃d− 𝜃;= 0) 4-61 La segunda restricción se obtiene al imponer que el movimiento de todos los puntos de ambos sólidos sea paralelo siempre a una misma trayectoria. Matemáticamente se obtiene al imponer un producto escalar nulo entre un vector paralelo a esta trayectoria y otro perpendicular a ella. Uniendo el punto B del Sólido 4 y el punto O del Sólido 1 se obtiene un vector paralelo a la trayectoria de estos sólidos. 𝑟;+ 𝐴;𝑢™ ;− 𝑟d− 𝐴d𝑢W d= 0 4-62 Por otro lado, atendiendo a la figura, el vector perpendicular ℎ( se define como: ℎ)=1 0))))))))𝑦)))))))))𝐴;=1 0 0 1 4-63 Así como el producto de estos vectores se obtiene la restricción: 𝐴;ℎ)ˆ(𝑟;+ 𝐴;𝑢™ ;− 𝑟d− 𝐴d𝑢W d) = 0 4-64 Si se trabajan las ecuaciones recién obtenidas se puede llegar a obtener los siguientes valores directamente. 𝜃d= 0 4-65 𝑦d= 0 4-66 En este punto, para seguir una definición sistemática, se mantendrán las restricciones originales y al igual que se hizo con los pares prismáticos se incluyen en un vector de restricciones tal que: 𝐶; 0; 𝑞;, 𝑞d, 𝑝;,d 0; = 0 𝐶- 0; 𝑞;, 𝑞d, 𝑝;,d 0; = 0 4-67 Y en forma de vector geométrico: 𝐶0; 𝑞;, 𝑞d, 𝑝;,d 0; =𝐶; 0; 𝐶- 0; = 0 4-68 4.6.3 Restricciones de par de leva Se presentan a continuación las coordenadas que se verán involucradas en las restricciones de par de leva, que, a diferencia de las anteriores, se usan las coordenadas no generalizadas. 38 Figura 4-16 Par de leva con todos sus coordenadas y parámetros involucrados. 𝑞 = 𝑞-†𝑞<†= 𝑥-𝑦-𝜃-𝑦 𝜙-ˆ 4-69 Resulta intuitivo pensar que en el punto de contacto C, al igual que ocurría en el par de revolución, debe ser el mismo en todo instante tanto para el Sólido 1 como para el Sólido 2. 𝑟;+ 𝐴;𝑢š ;− 𝑟-− 𝐴-𝑢š -= 0 4-70 de forma desarrollada: 𝑥(𝑦) 𝑦−𝑟 . - 𝑟 • -−𝑐𝑜𝑠𝜃-−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃-𝑐𝑜𝑠𝜃- 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜙- 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜙-= 0 4-71 Donde 𝑥(𝑦) no es una coordenada más, si no que es una función dependiente de la coordenada 𝑦. Teniendo ya el perfil de leva definido, se obtiene 𝑥(𝑦) mediante una interpolación. 𝐶<; 𝑞-, 𝑞<, 𝑝;,- <; =𝐶; <; 𝐶- <; = 0 4-72 39 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 4.6.4 Contacto perpendicular La siguiente restricción que impone el par de leva es el contacto perpendicular con el perfil de la barra fija. Así se puede definir un vector normalizado que recorre toda la superficie de la leva tangencialmente como: 𝑡 𝑦 = 1 1 + 𝑚𝑚 1 + 𝑚- 4-73 donde la pendiente m, también conocida a partir de la coordenada y se obtiene a partir de la siguiente expresión: 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝛽 =𝑑𝑥 𝑑𝑦 4-74 Para imponer que el contacto sea perpendicular, se usa la misma propiedad del producto escalar que en el par prismático. Así el vector que es perpendicular en todo momento al vector tangente al punto C es aquel que une este punto con el centro geométrico del Sólido 2. De esta forma queda la restricción definida como: 𝑟0 -∗ 𝑡 𝑦 = 𝑟 . - 𝑟 • -+𝑐𝑜𝑠𝜃-−𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜃-𝑐𝑜𝑠𝜃- 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜙- 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜙- 1 1 + 𝑚𝑚 1 + 𝑚- 4-75 y desarrollando: 𝑟 . -+𝑐𝑜𝑠𝜃-𝑅-𝑐𝑜𝑠𝜙-−𝑠𝑖𝑛𝜃-𝑠𝑖𝑛𝜙-𝑅- 1 1 + 𝑚- +𝑚 1 + 𝑚-𝑟 • -+𝑠𝑖𝑛𝜃-𝑅-𝑐𝑜𝑠𝜙-−𝑐𝑜𝑠𝜃-𝑠𝑖𝑛𝜙-𝑅-= 0) 4-76 Unida el vector de restricciones como: 𝐶<; 𝑞-, 𝑞<, 𝑝;,- <- = 𝐶c <; = 0 4-77 4.6.5 Rodadura sin deslizamiento La rodadura sin deslizamiento se impuso en la definición del mecanismo y se puede plantear de varias formas. Por un lado, se puede decir que la velocidad del punto de contacto de ambos sólidos sea coincidente o bien, que la velocidad del punto de contacto del Sólido 2 con el perfil de la barra fija, sea nulo. Así, haciendo uso de esta segunda opción, se tiene que la proyección de la velocidad sobre la tangente a la curva en el punto de contacto sea nula, de forma que queda: 𝑣0 -∗ 𝑡 𝑦 = 0 4-78 Donde: 46 47 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 5 DINÁMICA DEL SISTEMA En el siguiente capítulo se tratan las formulaciones matemáticas que modelan el movimiento del mecanismo de leva bajo estudio para describir su comportamiento dinámico, movimiento y las fuerzas que se ven involucradas. Estas formulaciones, a las que se llegará siguiendo también una filosofía sistemática, serán útiles para la simulación computacional del movimiento del mecanismo y la evaluación de su diseño. Para llegar al modelo matemático, ecuaciones de movimiento del sistema, se partirá de las ecuaciones de Newton-Euler, basadas en el principio de D’alembert y formulaciones de LaGrange. Así, una vez entendidas las magnitudes que se usarán y las ecuaciones que modelan el mecanismo, se tiene que dependiendo de las magnitudes de las que se partan y se busquen, existen dos estudios diferentes. Por un lado, si se pretende conocer el movimiento del sistema, el estudio se denominará, dinámica directa. En este lo que se busca son los movimientos que provocan las fuerzas conocidas. En el otro caso, dinámica inversa, es el que adoptará en este estudio. Las fuerzas son desconocidas y se buscan sus magnitudes a partir de la posición, velocidad y aceleración conocidas de los sólidos. 5.1 Ecuación diferencial-algebraica de equilibrio del sistema. Partiendo de las ecuaciones de Newton-Euler, y aplicando las formulaciones de LaGrange se llega a la ecuación de equilibrio del sistema (Shabana, 1998). De forma simplificada, y aplicada al sistema en cuestión: 𝑀 𝑞 𝑞 )+ 𝐷ˆ(𝑞)𝜆) = 𝑄]?Z(𝑞, 𝑞) + 𝑄E(𝑞, 𝑞) + 𝐴¤𝑞 𝜏 5-1 Donde 𝑀 es la matriz de masas, 𝑄]?Z es la suma de todas las fuerzas generalizadas aplicadas al sistema, 𝑄E es el vector de fuerzas generalizadas cuadráticas en velocidades y 𝐴¤𝑞 𝜏 es el vector de fuerzas generalizadas resultado de las acciones que actúan sobre el mecanismo, 𝜏, que, en el caso del sistema, se refiere a la fuerza del actuador, el único grado de libertad que debe ser cubierto por una acción externa, por lo que se cumple: 𝜏 = 𝐹 5-2 Siendo F la fuerza que se pretende obtener de todo el estudio para determinar si se cumple un input de fuerza constante y de qué forma influyen cada uno de los parámetros en esta fuerza. Everything is energy and that’s all there is to it. - Albert Einstein- 48 Así en este mismo término se tiene 𝐴¤𝑞 que se obtiene de la matriz jacobiana 𝐿 𝑞 . Y que para este sistema se tiene: 𝐴¤𝑞 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5-3 Por otro lado, se tiene el producto 𝐷ˆ(𝑞)𝜆, donde 𝜆 son los multiplicadores de Lagrange (Franco, 2017) y marcan las fuerzas de reacción entre cada uno de los sólidos en cada uno de los pares. 𝜆 = 𝜆. b 𝜆• b 𝜆. :; 𝜆• :; 𝜆. :- 𝜆• :- 𝜆. 0; 𝜆• 0; 𝜆. <; 𝜆• <; 𝜆A <; 𝜆ˆ <; 5-4 Así entendiendo cada uno de estos términos y sabiendo que 𝜏 = 𝐹 es el valor de fuerza que se pretende obtener el sistema queda tal que: −𝐷ˆ𝑞 , 𝐴¤𝑞𝜆 𝜏= 𝑀 𝑞 𝑞 − 𝑄]?Z 𝑞, 𝑞 − 𝑄E(𝑞, 𝑞) 5-5 Y despejando: 𝜆 𝜏= −𝐷ˆ𝑞 , 𝐴¤𝑞{;(𝑀 𝑞 𝑞 − 𝑄]?Z 𝑞, 𝑞 − 𝑄E(𝑞, 𝑞)) 5-6 Así, a continuación, se definen y desarrollan cada uno de los términos de este sistema a resolver. 49 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 5.2 Fuerzas aplicadas 5.2.1 Fuerzas elástica La fuerza elástica viene introducida íntegramente por el muelle. Para definirla se define el siguiente principio energético teniendo en cuenta el esquema que se presenta a continuación y las características del elemento elástico con las que estamos trabajando. Figura 5-1 Par prismático con todos sus coordenadas y parámetros involucrados. 𝑈7>` =1 2𝑘2 𝑥 − 𝑥b- 5-7 𝑄CY>ZZ> = − 𝜕𝑈7>` 𝜕𝑞 ˆ == −2𝑘(𝑥 − 𝑥b) 5-8 Donde: 𝑥 = 𝑟¦— 5-9 Y 𝑙b es la longitud inicial definida en las características del muelle. Por otro lado, se tiene que, haciendo las pertinentes simplificaciones y normalización: 𝑟¦— = 𝑟-+ 𝐴-𝑢— -− 𝑟;− 𝐴;𝑢¦ ;= 𝑟-− 𝑢¦ ;= 𝑟-− 𝑢¦ ; 5-10 50 𝑙 = 𝑟¦— = 𝑟¦— ˆ𝑟¦— ; -= 𝑟 . --+ 𝑟 • -− 𝑦 - 5-11 Donde geométricamente se deduce que 𝑟 • - e 𝑦 tendrán el mismo valor en todo momento por lo que 𝑙 queda como: 𝑙 = 𝑟 . - 5-12 Teniendo así que el muelle se deformará tanto como el Sólido 2 se desplace horizontalmente. 5.2.2 Fuerzas gravitatorias La fuerza gravitatoria viene introducida por el propio peso de los sólidos. Así, esta solo tendrá influencia verticalmente como se podrá ver en las siguientes expresiones. 𝑄[\]E(F]FD\(] = 0 𝑚;𝑔 𝑚;(𝑢1×𝑔) 0 𝑚-𝑔 𝑚-(𝑢1×𝑔) 0 𝑚c𝑔 𝑚c(𝑢1×𝑔) 0 𝑚d𝑔 𝑚d(𝑢1×𝑔) 0 0 5-13 Donde 𝑚;, 𝑚-, 𝑚c)𝑦)𝑚d son las masas de cada uno de los sólidos ya conocidas y 𝑢1 representa la distancia del centro de gravedad al centro geométrico del sólido, que para este sistema en todos los casos se cumple; 𝑢1 (=0 0)𝑝𝑎𝑟𝑎)𝑖 = 1,2,3)𝑦)4. 5-14 Y por otro lado se define g, como la gravedad tal que: 𝑔 = 0 −9.81 ) 5-15 5.2.3 Fuerzas cuadratica en velocidad La fuerza cuadrática en velocidad representa la fuerza centrífuga a la que son sometidos cada uno de los sólidos en su centro geométrico, donde se sitúa el sistema de referencia local. Teniendo en cuenta la expresión de la fuerza centrífuga y los valores de 𝑢1 ( antes expuestos 51 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 𝑄E= [𝑚;𝜃; -(𝐴;×𝑢1 ;)]-.; 0 [𝑚-𝜃- -(𝐴-×𝑢1 -)]-.; 0 [𝑚c𝜃c -(𝐴c×𝑢1 c)]-.; 0 [𝑚d𝜃d -(𝐴d×𝑢1 d)]-.; 0 0 0 = 0 ;d.; 5-16 Donde 𝐴)) ( es la matriz de transformación o de giro de cada uno de los sólidos. 𝐴)) (=cos) 𝜃(−sin) 𝜃( sin) 𝜃(cos) 𝜃( 5-17 5.2.4 Fuerza de rodadura La fuerza de rodadura, aunque es una de las fuerzas que menos influencia tiene un tratamiento diferente a las demás fuerzas generalizadas ya que esta depende a su vez de uno de los multiplicadores de LaGrange los cuales son uno de los resultados. Así la fuerza de rodadura se define tal que: 𝑄`= 𝐺 ∗ 𝜇:∗ 𝑁 5-18 Así 𝐺 se define como el vector resultante de la descomposición de fuerzas en el sólido 2 que se muestra en la figura. 52 Figura 5-2 Descomposición de fuerzas en Sólido 2. Centrando solo la atención en la fuerza 𝐹 ` y como esta computa en cada una de las descomposiciones, se tiene: 𝑒𝑗𝑒)𝑥:))𝐹 `∗𝑠𝑖𝑛𝛽) = )𝑠𝑖𝑛𝛽 ∗ 𝜇:∗ 𝑁 5-19 𝑒𝑗𝑒)𝑦:)𝐹 `∗𝑐𝑜𝑠𝛽 = )𝑐𝑜𝑠𝛽 ∗ 𝜇:∗ 𝑁 5-20 𝑔𝑖𝑟𝑜:))𝐹 `∗ 𝑅-= 𝑅 ∗ 𝜇:∗ 𝑁) 5-21 Se deduce por tanto que: 𝐺 = 0 0 0 )𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑅 0 0 0 0 0 0 0 ) 5-22 Por otro lado, la normal N se obtiene a partir del vector de multiplicadores de LaGrange antes definido, 𝜆. Si se toma esta componente se tiene 𝑁 = ) 0 0 0 0 0 0 𝜆. <; ∗𝑐𝑜𝑠 𝜆• <; ∗𝑠𝑖𝑛 0 0 0 0 0 ˆ 5-23 53 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 5.3 Arreglo ecuación diferencial-algebraica de equilibrio del sistema Como se ha podido comprobar en estos apartados se tiene que: 𝑄]?Z 𝑞, 𝑞, 𝜆 = 𝑄CY>ZZ> + 𝑄[\]E + 𝑄E+ 𝑄\D7]7Y\] 5-24 Y todo ello implementado en la ecuación diferencial-algebraica de equilibrio quedaría tal que: −𝐷ˆ𝑞 , 𝐴¤𝑞𝜆 𝜏= 𝑀 𝑞 𝑞 − 𝑄E𝑞, 𝑞 − 𝑄CY>ZZ> − 𝑄[\]E − 𝑄\D7]7Y\] 5-25 La expresión general de la fuerza generalizada de rodadura quedaría dependiente de multiplicadores de LaGrange los cuales son incógnita del problema que se pretende resolver. Por ello se lleva a cabo el siguiente cambio, quedando el sistema ordenado en cuanto a variables se refiere. −𝐷ˆ𝑞 − 𝑄\D7]7Y\], 𝐴¤𝑞𝜆 𝜏= 𝑀 𝑞 𝑞 − 𝑄E𝑞, 𝑞 − 𝑄CY>ZZ> − 𝑄[\]E 5-26 De esta forma queda el sistema de nuevo preparado para su resolución a falta definir las expresiones con las que se obtendrán las posiciones, velocidades y aceleraciones de las cuales son dependientes las expresiones que se acaban de presentar. 5.4 Coordenadas y sus derivadas respecto al tiempo. La dinámica inversa se define como el cálculo de fuerzas y momentos necesarios para cumplir las trayectorias deseadas de las variables, y sus derivadas en función del tiempo, que determinaran la posición de cada uno de los sólidos del sistema. Aunque no se considera la verdadera simulación dinámica, sí que permite obtener el valor de todas las variables del problema algebraicamente, con solo una integración numérica, para obtener la posición del sistema. En este caso la acción de los actuadores viene introducida mediante la restricción de movimiento presentada anteriormente como: 𝐶CDE 𝑞, 𝑡 = 𝑦d− 𝐿 1 − cos 𝜔𝑡 2= 0 5-27 Gracias a esta restricción adicional, el sistema queda con el mismo número de número de restricciones, ecuaciones, que de coordenadas o incógnitas. Por lo tanto, con el siguiente sistema 𝐶 𝑞, 𝑞, 𝑡 = 𝐶 𝑞, 𝑡 𝐶)AB 𝑞, 𝑞, 𝑡 𝐶)CDE 𝑞, 𝑡 = 0 5-28 dado que se tienen 14 ecuaciones y 14 incógnitas parece tentador obtener el valor de todas las coordenadas aplicando el método de Newton Rawson para ecuaciones no lineales, obtener el valor de todas las coordenadas 𝑞 𝑞 = [𝑥-𝑦-𝜃-𝑥c𝑦c𝜃c𝑥d𝑦d𝜃d𝜙-𝑥] 5-29 54 y a partir de ellas el valor de sus derivadas primera y segunda, 𝑞 y 𝑞, necesarias para solventar las ecuaciones de equilibrio del sistema. Pero como se puede ver, una de las ecuaciones es una restricción no holónoma, por lo que depende además de la derivada primera de las coordenadas generalizadas y no generalizadas, dejando el sistema con 14 ecuaciones, pero con 28 incógnitas. Para saltar esta inconveniencia se separan las restricciones holónomas y no holónomas y se derivan respecto al tiempo las holónomas de la siguiente forma: 𝐶=𝑞 𝑞)= 0 5-30 𝐶)AB 𝑞, 𝑞)= 𝐵 𝑞 𝑞)= 0 5-31 Así, además se pueden separar todas las restricciones en coordenadas dependientes e independientes, siendo la coordenada independiente 𝑦d, por la restricción de movimiento. 𝑞7>? = [𝑥-𝑦-𝜃-𝑥c𝑦c𝜃c𝑥d𝜃d𝜙-𝑥] 5-32 𝑞(@7 = [𝑦d] 5-33 Y realizando las mismas operaciones que en las ecuaciones 5-42 y 5-43 pero esta vez separando las coordenadas dependientes e independientes, se tiene: 𝐶=¬𝑞 𝑞7+ 𝐶=-𝑞 𝑞(= 0 5-34 𝐵7𝑞 𝑞7+ 𝐵(𝑞 𝑞(= 0 5-35 Y uniendo ambas ecuaciones matricialmente, se llega a: 𝐶=¬𝑞 𝐵7𝑞𝑞7= − 𝐶=-𝑞 𝐵(𝑞𝑞( 5-36 que cambiando la nomenclatura queda como: 𝐷7(𝑞)𝑞7= −𝐷((𝑞)𝑞( 5-37 Teniendo esto, si se despeja la derivada respecto al tiempo de las coordenadas dependientes, y se tiene en cuenta la dependencia respecto al tiempo de la coordenada independiente, se llega a: 𝑞7= − 𝐷7𝑞 , 𝑡 {;𝐷((𝑞, 𝑡)𝑞((𝑡) 5-38 Teniendo la ecuación diferencial primer orden ODE, se puede integrar obteniendo así el valor de las coordenadas dependientes, y sumando el valor de la coordenada independiente se obtiene el valor de todas y cada una de las coordenadas generalizadas y no generalizas. 5.4.1 Estabilización de Baumgarte El verdadero éxito del algoritmo computacional que se usara para resolver estas ecuaciones depende de la convergencia del método de Newton-Raphson. 55 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. La solución de la derivada de las ecuaciones de restricción puede ir acumulando un error iteración tras iteración, que puede derivar en un aumento exponencial de este, siendo así una solución inestable. Baumgarte soluciona esta inestabilidad modificando la ecuación 5-48 mediante 𝐶 𝑞 + 𝜖𝐶(𝑞) = 0 5-39 con 𝛼 > 0. Lo que combinando la ecuación anterior con la modificación de Baumgarte, se llega al sistema a integrar 𝑞7= − 𝐶=¬𝑞7, 𝑡 𝐵7𝑞7, 𝑡 {; 𝐶=-𝑞(, 𝑡 𝑞(𝑡 + 𝛼>𝐶(𝑞7, 𝑡) 𝐵(𝑞7, 𝑡 𝑞(𝑡) 5-40 con las condiciones iniciales 𝑞7b = 𝑞7(𝑡b) 5-41 Esto hace que se obtengan resultados precisos, y aunque no hay un método determinado para elegir el parámetro α, se suelen elegir cuanto mayor, mejor resultado se obtiene con el precio de un coste computacional mayor. 5.4.2 Problema de velocidad Una vez se tiene el valor de las coordenadas generalizadas y no generalizadas 𝑞 se puede obtener el valor de velocidad, derivada primera de las coordenadas generalizadas. 𝑞 = 𝑞(𝑞, 𝑡) 5-42 Par ello se utilizarán las expresiones definidas en los capítulos anteriores: 𝐶=𝑞 + 𝐶F= 0 5-43 Y despejando la derivada primera respecto al tiempo de las coordenadas, se tiene: 𝑞 = −𝐶F/𝐶= 5-44 Obteniendo así el valor de las velocidades de cada uno de los sólidos. 𝑣 = [𝑥-𝑦-𝜃-𝑥c𝑦c𝜃c𝑥d𝑦d𝜃d𝜙-𝑥] 5-45 5.4.3 Problema de aceleraciones Llegado este punto, una vez que se tiene el valor de las coordenadas y su derivada primera se puede obtener la derivada segunda de las coordenadas ya que se cumple: 𝑞 = 𝑞(𝑞, 𝑞, 𝑡) 5-46 Usando, igual que para el caso de la velocidad, una de las ecuaciones usadas en el Capítulo 3 62 Mec.w = 0.7; %Velocidad angular actuador Mec.tfin = pi/Mec.w; tspan = 0:0.001:Mec.tfin; Mec.para = [Mec.Long Mec.w Mec.R]; %-------- PARAMETROS DE SOLIDOS Mec.Solidos(1).nombre = 'Fija'; Mec.Solidos(1).m = 0; % kg Mec.Solidos(1).I = 0; % kg*m^2 Mec.Solidos(1).uG = [0 0]'; Mec.Solidos(2).nombre = 'Rodillo'; Mec.Solidos(2).m = 0.02683; % kg Mec.Solidos(2).I = 0.00004914576; % kg*m^2 Mec.Solidos(2).uG = [0 0]'; Mec.Solidos(3).nombre = 'Barra'; Mec.Solidos(3).m = 0.02385; % kg Mec.Solidos(3).I = 0.00000762372; % kg*m^2 Mec.Solidos(3).uG = [0 0]'; Mec.Solidos(4).nombre = 'Corredera'; Mec.Solidos(4).m = 0.01134/2; % kg Mec.Solidos(4).I = 0.000002922/2; % kg*m^2 Mec.Solidos(4).uG = [0 0]'; 6.2.2 Posición incial Para comenzar se obtiene la posición inicial a partir de una estimación inicial y se incluye la restricción del ususario. q00 = [0 0 0 12.3 12 2*pi*0/360 6.21 53.2 2*pi*98.57/360 0 2*pi*0/360 13.1 2*pi*173/360]; options = optimoptions('fsolve','Maxiter',330000,'MaxFunEvals',330000,'Display','iter'); [q0] = fsolve(@Funeval,q00,options); 6.2.2.1 Función para evaluar. function yp = Funeval(ys) global Mec t=0; x1 = ys(1); y1 = ys(2); theta1 = ys(3); x2 = ys(4); y2 = ys(5); theta2 = ys(6); x3 = ys(7); y3 = ys(8); theta3 = ys(9); x4 = ys(10); theta4 = ys(11); y = ys(12); phi = ys(13); %-------- RESTRICCION DEL USUARIO ----------------------------------------- y4 = Mec.altura + (Mec.L/2)*(1-cos(Mec.w*t)); 63 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. dy4 = (Mec.L/2)*(Mec.w*sin(Mec.w*t)); ys = [x1 y1 theta1 x2 y2 theta2 x3 y3 theta3 x4 y4 theta4 y phi]; Cqd = MatCqdep(t,ys); Bd = MatBdep(t,ys); Cqi = MatCqind(t,ys); Bi = MatBind(t,ys); CP = MatCPares(t,ys); Dd = [Cqd ;Bd]; yp = (-Dd\([Cqi*dy4+30*CP'; Bi*dy4])); end 6.2.3 Integración de la posición Se integra todo el recorrido y se incluye la coordenada dependiente en el vector que recoge todas las coordenadas. Se evalúa en la función antes presentada. [t,ys] = ode45(@Fun,tspan,q0); y4 =Mec.altura + (Mec.L/2)*(1-cos(Mec.w*tspan(1:flag))); qfinal = [ys(1:flag,1),ys(1:flag,2),ys(1:flag,3),ys(1:flag,4),ys(1:flag,5),ys(1:flag,6),ys(1:flag,7),ys(1: flag,8),ys(1:flag,9),ys(1:flag,10),y4',ys(1:flag,11),ys(1:flag,12),ys(1:flag,13)]'; 6.2.4 Velocidad, aceleración y fuerzas. Una vez se tiene la posición se pueden obtener la velocidad la aceleración y finalmente la fuerza impulsora del movimiento. for i=1:flag % ----- VELOCIDAD ------ vfinal(:,i) = Velocidad(tspan(i),qfinal(:,i)); % ----- ACELERACION ----- afinal(:,i) = Aceleracion(tspan(i),qfinal(:,i),vfinal(:,i)); % ----- FUERZA ---------- fuerzas(:,i) = Fuerzas(tspan(i),qfinal(:,i),vfinal(:,i),afinal(:,i)); end 6.2.4.1 Velocidad function vs=Velocidad(t,ys) global Mec %-------- ECUACI?N DINAMICA INVERSA --------------------------------------- MD = MatD(t,ys); vcCt = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-(Mec.L/2)*(Mec.w*sin(Mec.w*t)))]'; 64 vs = -(MD)\vcCt; end 6.2.4.2 Aceleracion function as=Aceleracion(t,ys,vs) global Mec %-------- ECUACIÓN DINAMICA INVERSA --------------------------------------- MDpunto = MatDpunto(t,ys,vs); M2D = MatD(t,ys); vcCtpunto = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (-(Mec.L/2)*(((Mec.w)^2)*cos(Mec.w*t)))]'; as = -(M2D)\(MDpunto*vs+vcCtpunto); 6.2.4.3 Fuerzas function Fspaqui = Fuerzas(t,ys,vs,as) % MATRIZ DE MASAS M = zeros(14,14); for i = 1:4 teti = q(3*(i-1)+3); Atet = RotTet(teti); mi = Mec.Solidos(i).m; uG = Mec.Solidos(i).uG; I = Mec.Solidos(i).I + mi*(uG(1)^2+uG(2)^2); %Teorema de Steiner M(3*(i-1)+1:3*(i-1)+2,3*(i-1)+1:3*(i-1)+2) = mi*eye(2); M(3*(i-1)+3,3*(i-1)+3) = I; M(3*(i-1)+1:3*(i-1)+2,3*(i-1)+3) = mi*Atet*uG; M(3*(i-1)+3,3*(i-1)+1:3*(i-1)+2) = mi*uG'*Atet'; end % FUERZAS DE INERCIA Qv = zeros(14,1); for i = 1:4 teti = q(3*(i-1)+3); A = RotMat(teti); dteti = v(3*(i-1)+3); mi = Mec.Solidos(i).m; uG = Mec.Solidos(i).uG; Qv(3*(i-1)+1:3*(i-1)+2,1) = mi*dteti^2*A*uG; end % FUERZAS DE GRAVITATORIA Qgrav = zeros(14,1); for i = 1:4 teti = q(3*(i-1)+3); Atet = RotTet(teti); 65 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. mi = Mec.Solidos(i).m; uG = Mec.Solidos(i).uG; g = Mec.g; Qgrav(3*(i-1)+1:3*(i-1)+2,1) = mi*g; Qgrav(3*(i-1)+3,1) = mi*uG'*Atet'*g; end % FUERZAS DE ELASTICA Qmuelle = zeros(14,1); Qmuelle(4,1) = Mec.Muelles.k*(q(4) + Mec.Muelles.l0); % FUERZAS DE RODADURA Qf = zeros(14,1); load xx.txt ; xpunto=xx(1,:); load yy.txt ; ypunto=yy(1,:); load mm.txt ; mpunto=mm(1,:); mm = polyfit(ypunto(100:1000),mpunto(100:1000),4); dxdy = mm(1)*ys(13).^4+mm(2)*ys(13).^3+mm(3)*ys(13).^2+mm(4)*ys(13)+mm(5); bheta = acos(-1./(sqrt(1+(dxdy).^2)))'; n = size(dxdy); A=zeros(14,n(2)); A(4,:) = sin(bheta); A(5,:) = cos(bheta); A(6,:) = Mec.R; B=zeros(n(2),13); B(:,7) = cos(bheta); B(:,8) = sin(bheta); Qf=A*Mec.rod*B; D = MatD(t,ys); A = [0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; Fspaqui = (([D(1:13,:)-Roz';A])\(M*as-Qv-Qgrav-Qm)); 66 67 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 7 RESULTADOS Como bien es sabido, la principal ventaja del planteamiento sistemático para la simulación dinámica de este mecanismo, es que se pueden obtener de forma directa el valor de todas las coordenadas de los sólidos, así como las velocidades de cualquiera de sus puntos y aceleraciones. Por otro lado, con los multiplicadores de LaGrange definidos en los apartados anteriores se pueden encontrar las fuerzas de reacción en cada uno de los pares cinemáticos del mecanismo, así como, la fuerza del actuador, que era lo que realmente se buscaba con este estudio. En este capítulo se presentan y comentan estos resultados obtenidos. 7.1 Posición inicial Los primeros datos y de mayor interés que se obtienen del programa es la posición inicial de los sólidos para comenzar la integración del movimiento. Se obliga al programa a aprovechar todo el perfil de leva, marcando la posición inicial y final de la coordenada 𝑦. El único inconveniente de esta restricción es que la interpolación en la parte inicial de la leva es muy pobre, por lo que los resultados obtenidos en las diferentes coordenadas es posible que tengan un comportamiento inusual en estos primeros segundos de simulación. Math is not about numbers, equations, computations, or algorithms: it is all about understanding. - William Paul Thurston - 68 Figura 7-1 Posición inicial de todos los sólidos. 7.2 Trayectorias En este apartado se estudian las trayectorias que toman los diferentes solidos del mecanismo a lo largo del movimiento hasta el final de la trayectoria. El estudio se llevará a cabo separando las coordenadas x e y. Así, dado que el actuador está imponiendo el movimiento vertical del Sólido 4 será más intuitivo comentar las demás trayectorias a partir de esta. Antes de comenzar, se presentan en la siguiente figura las trayectorias finales de los diferentes sólidos. Figura 7-2 Recorrido del centro del Sólido 2. Observando cada una de las trayectorias se puede saber a priori que el Sólido 4 solo realiza un movimiento vertical, como es obvio, que el Sólido 3 experimenta un pequeño giro acompañado de un leve 69 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. desplazamiento en eje x, en comparación al desplazamiento del eje y. Por último, el Sólido 2 girará para ir rodando a lo largo de leva, elevando su coordenada y desplazando en menor magnitud la coordenada x. 7.2.1 Valores que se mantienen nulos Como se acaba de comprobar en esta primera aproximación existen diferentes valores que deben permanecer nulos. En primera instancia, los que marcan la posición de la leva, 𝑥;, 𝑦;, y)𝜃;, y, por otro lado, 𝑥d y 𝜃d, que como bien se comprobó en el desarrollo de las restricciones de par prismático, también permanecían deberían permanecer nulas. En la siguiente figura, se comprueban todas estas hipótesis. Figura 7-3 Coordenadas que deben ser nulas. 7.2.2 Movimientos en X En la siguiente figura se presentan los movimientos en eje x de los Sólidos 2 y 3. Como bien se puede apreciar, los valores de estos crecen muy rápidamente al comienzo para luego tender a ser constantes. Esto está justificado por el mismo perfil de la leva, que si se observa detenidamente y se imagina que este continúa elevándose, el perfil sería prácticamente vertical, anulando así cualquier movimiento en eje x. En cuanto a las magnitudes de estas coordenadas se sabía a priori que debían ser relativamente de poca magnitud, en especial la trayectoria del Sólido 2, ya que está tiene el mismo incremento que el perfil de la leva, ya que va girando por todo su recorrido, Así la trayectoria de la leva forma la evolvente del recorrido del Sólido 2. 70 Figura 7-4 Desplazamientos que realizan la coordenada x de los Sólidos 2 y 3. 7.2.3 Movimientos en Y De los desplazamientos en el eje y se esperaba que tuvieran toda la misma forma que el desplazamiento del actuador, como bien se puede apreciar. Por otro lado, todos ellos tendrían prácticamente el mismo incremento, ya que por un lado el Sólido 3 no rota lo suficiente como para amortiguar este desplazamiento y el Sólido 2 está condenado a seguir el perfil de la leva. Dentro de este último sólido se comprueba además que la coordenada 𝑦 e 𝑦-, punto de contacto de leva-rodillo y centro del rodillo tienen prácticamente la misma posición excepto al principio, ya que como se puede observar en la posición inicial del recorrido, el centro de gravedad del rodillo se encuentra por debajo. Figura 7-5 Desplazamiento que realizan las coordenadas y. 71 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 7.2.4 Giros En cuanto a los giros, primeramente, se observa como el giro del Sólido 3 es prácticamente nulo, por su longitud, no tiene por qué hacer ningún giro prácticamente para cumplir con las restricciones, como ya se vio en la figura de todas las trayectorias. Figura 7-6 Giro de la coordenada 𝜃c. Por otro lado, se tiene el giro de Sólido 2, el cual es el responsable implícitamente de dos giros como se puede apreciar en el siguiente esquema. Figura 7-7 Definición de las coordenadas 𝜙-)𝑦)𝜃-). 78 Figura 7-16 Aceleraciones angulares. 7.5 Fuerzas Por último, se omiten las fuerzas de reacción en cada uno de los pares y se centra la atención en la fuerza a objetivo. Como bien era sabido la fuerza a obtener es de 25 N y como se puede apreciar en la siguiente figura es el valor obtenido. Figura 7-17 Fuerzas obtenidas. Se representa además la fuerza obtenida por el teorema de las fuerzas vivas, la cual se obtiene a partir del equilibrio de fuerzas de la siguiente figura. 79 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Figura 7-18 Descomposición de fuerzas en Sólido 2. Donde haciendo equilibrio de fuerzas y solo considerando 𝐹 y 𝐹J para simplificar el análisis se obtiene: 𝐹 ∗ 0 𝑞• d= 𝐹J∗𝑞. - 0 7-1 Y despejando 𝐹: 𝐹 = 𝐹J𝑞. -+ 𝑃 ∗ 𝑞• - 𝑞• d 7-2 De esta forma se obtiene de forma aproximada el valor de 𝐹, comprobando que la cinemática del sistema está calculada de forma correcta. Pasando a comentar la figura anterior, primeramente, se obtiene que la diferencia entre ambas fuerzas, como se ha podido entender en estas últimas operaciones viene dada por las simplicaciones echas en las expresiones 7-1 y 7-2. Por otro lado, al comienzo del movimiento se obtiene una desviación que como bien es sabido por los apartados anteriores se tiene que es debido a la mala interpolación de la leva en el primer tramo del perfil. En el resto del tramo se obtiene una fuerza constante con pequeñas desviaciones debidas a la interpolación como se puede ver en la siguiente figura. 80 Figura 7-19 Forma de la fuerza del actuador. Estas desviaciones son inapreciables ya que son del orden de 0.015 N y además son inevitables ya que con otro programa de simulación u otras formas de interpolación como han hecho los investigadores en la bibliografía (Javier López-Martínez, 2017) también se obtienen estas desviaciones. 81 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 8 CONCLUSIONES En este último capítulo pretende ser un medio condensador de toda la información que se puede obtener del estudio realizado, así como un medio de unión a las conclusiones obtenidas en (Javier López- Martínez, 2017) para ampliar los conocimientos que se tiene hasta el momento de este mecanismo. Así también se da un primer paso para hacer el mismo estudio con los mecanismos presentados en esta misma bibliografía. 8.1 Conclusiones Como ya se sabe de (Javier López-Martínez, 2017) según las expresiones por las que se ve determinado el perfil de leva, este es totalmente dependiente de los parámetros de rigidez, k, longitud del Sólido 3, 𝑙F, y coeficiente de rodadura, 𝜇. Así, a mayor coeficiente de fricción, se obtiene un perfil de leva para el movimiento de subida con una anchura menor que para el movimiento de bajada y como ya se vio está diferencia de anchuras era menor, cuanto mayor era el coeficiente de fricción. Por otro lado, un aumento de la longitud del tirante provoca un aumento del ángulo 𝛼, aumentando así la normal 𝑁 y llevando a los mismos efectos recién comentados para el coeficiente de rodadura 𝜇. El coeficiente de rigidez por su parte genera un aumento de la anchura de la leva cuanto menor es el coeficiente. Por tanto, si se pretende obtener una leva de pequeña anchura es preferible elegir coeficientes de rigidez moderados, controlando a la vez la capacidad de elongación del elemento elástico, así como longitudes del Sólido 3 cuanto mayor mejor, siempre cuidando la ergonomía del mecanismo y materiales con coeficientes de rodadura pequeños para así sofocar los desfases entre las fuerzas de subida y bajada. Una vez que se ha diseñado cuasiestáticamente el perfil de leva con los determinados parámetros, se puede continuar jugando con los parámetros, para estudiar que influencia tienen, esta vez, sobre la fuerza de salida en la simulación dinámica. En primera instancia si se mantienen los parámetros de diseño de la superficie de la leva se obtiene un valor muy aproximado a la fuerza objetivo con una diferencia de 0.5)𝑁, debido a las masas de los diferentes sólidos. Estas masas consiguen modificar la fuerza de salida por el mero peso de sus sólidos. Ya que el actuador tiene que vencer la fuerza del muelle además del peso de los sólidos. Por su lado, para valores mayores de la velocidad del actuador no se obtienen modificaciones importantes. Si hay una fuerza que pudiera desprender la fuerza constante de este mecanismo esas son las fuerzas de inercia. Para ver exactamente el efecto de las fuerzas de inercia, se aumenta la velocidad del actuador y se obtiene a mayores velocidades un aumento de la fuerza inicial. The first chapter sells the book; the last chapter sells the next book. - Mickey Spillane - 82 Figura 8-1 Fuerza actuador con incremento de masas y velocidad. Este efecto de la inercia se ve más acentuado cuanto mayores son las masas del sistema. Un aumento de las masas como ya se ha visto, además de agrandar la fuerza neta, incrementa la fuerza de inicio del movimiento. Pero como ya se ha visto, para que estos efectos sean importantes se debe aumentar la masa, así como una velocidad que hace que el movimiento dure 0.3 segundos lo cual no es posible para la aplicación real de este mecanismo. Incrementando las masas solamente se sigue manteniendo una fuerza constante, pero de módulo mayor. Solo llevando a cabo una duplicación de las masas de los diferentes sólidos se obtiene un aumento de la fuerza de salida llevando a obtener una media de 26.2 N Figura 8-2 Fuerza actuador con incremento de masas. 83 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. Por lo que, para obtener un mecanismo preciso en cuento a fuerza objetivo, se requieren masas lo más moderadas posibles. Esto es debido a que, para masas mayores, el usuario debe vencer la fuerza del muelle además del peso de los distintos sólidos. Examinando ahora el comportamiento dinámico del sistema ante cambios en la rigidez del muelle con un perfil de leva ya compilado, se obtienen fuerzas de salida proporcionales. Es decir, se mantiene la fuerza constante durante todo el perfil de la leva, pero con un mayor módulo. El efecto de un aumento de la rigidez del muelle es una multiplicación de la fuerza resultante. Figura 8-3 Fuerza actuador con diferentes rigideces. Este aumento proporcional de la fuerza resultante respecto al aumento de las rigideces tiene grandes aplicaciones y da una versatilidad enorme al mecanismo. Dado que el uso original que se quiere dar al sistema es su implementación en centros deportivos, se podría obtener un cambio de fuerzas resultantes sin modificar el mecanismo solo modificando los muelles de este mediante algún sistema rápido y eficaz. Resulta interesante el hecho de que ni las velocidades ni las aceleraciones de ninguno de los sólidos se ven afectadas por ninguna de estas modificaciones. Esto se debe a que las modificaciones en los diferentes parámetros son absorbidas por la fuerza resultante. Esta última se ve modificada para mantener el comportamiento del resto del mecanismo ante estos cambios. 8.2 Ampliación del estudio Una aplicación futura de este modelo matemático y computacionales sería su aplicación al estudio de los modelos presentados en (Javier López-Martínez, 2017). Así, realizando varias modificaciones a este programa, se podrían estudiar los otros dos mecanismos de leva restantes de la bibliografía (Javier López- Martínez, 2017). 84 Figura 8-4 Mecanismos presentados en (Javier López-Martínez, 2017). En la figura 8-3 se tienen los tres mecanismos, de los cuales el segundo es el estudiado dinámicamente en este documento. Se plantean a continuación las diferencias entre el estudio realizado y los hipotéticos cambios a realizar para llevar a cabo el mismo estudio de los restantes mecanismos. 8.2.1 Mecanismo A Este primer mecanismo aun siendo prácticamente el mismo que en el caso ya estudiado, introduce diferentes cambios a tener en cuenta. Comenzando por los diferentes sólidos que conforman el sistema, en este caso se cuenta con tres y no con cuatro sólidos. Esto es debido a que el sólido cuarto quedaría unido al sólido tercero que a su vez hace las veces de barra que propulsa a los rodillos. Esta es la principal diferencia entre los mecanismos B y A, la forma en la que se transmite el movimiento desde el actuador a los rodillos. Con estas consideraciones, el esquema del mecanismo sería el que se presenta en la imagen siguiente, donde se puede apreciar el enlace rígido entre el travesaño que proporciona el movimiento al Sólido 2 y el actuador. Figura 8-5 Esquema del mecanismo A. La propia anatomía de este mecanismo hace que obviamente las coordenadas y los pares cinemáticos que relacionan los distintos sólidos cambien respecto al mecanismo estudiado. Así se tendrán como coordenadas las nueve generalizadas correspondientes a cada uno de los sólidos y más dos no generalizadas correspondientes a cada par de leva, el formado por el Sólido 2 y la barra fija, y por otro lado entre el Sólido 2 y el Sólido 3, este último sin la restricción de rodadura sin deslizamiento. 85 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 𝑞 = [𝑥;𝑦;𝜃;𝑥-𝑦-𝜃-𝑥c𝑦c𝜃c𝑦 𝜙-] 8-1 Dando lugar a las siguientes restricciones. En primer lugar, entre el Sólido 2 y la barra fija, se da un par de leva, donde se tendrán sus respectivas restricciones de posición del punto de contacto C. 𝑟;+ 𝐴;𝑢š ;− 𝑟-− 𝐴-𝑢š -= 0 8-2 Además, en ese mismo punto se da la restricción de contacto perpendicular y rodadura sin deslizamiento, así: 𝑟0 -∗ 𝑡 𝑦 = 0 8-3 Y para la rodadura sin deslizamiento: 𝑣¯ -∗ 𝑡 𝑦 = 0 8-4 Como bien es sabido, en este mecanismo el Sólido 3 proporciona el movimiento al Sólido 2 mediante un empuje, que se traduce en un par de leva sin la restricción de rodadura sin deslizamiento en el punto B. 𝑟;+ 𝐴;𝑢W ;− 𝑟-− 𝐴-𝑢W -= 0 8-5 Y para el contacto perpendicular: 𝑟W -∗ 𝑡 𝑦 = 0 8-6 Por último, para completar las 8 restricciones se tiene el par prismático formado entre el Sólido 1 y el Sólido 3. 𝐴;ℎ;ˆ(𝑟;+ 𝐴;𝑢™ ;− 𝑟c− 𝐴c𝑢W c) = 0 8-7 8.2.2 Mecanismo C Este último mecanismo es la mínima expresión de los otros dos mecanismos ya presentados. Así es tan simple que su esquema no aporta mayor información que el sketch ya presentado en la 8-3. El Sólido 1 sería la leva en sí, tal y como en los mecanismos anteriores, y el Sólido 2 rueda sin deslizar alrededor de esta propulsado por una correa que desliza por el perfil del sólido primero. Aun así, se debe introducir un nuevo sólido para poder introducir el actuador del sistema. Este nuevo sólido tendrá un par de rotación con el Sólido 1 en el mismo punto donde se une el elemento elástico, y por otro lado se unirá al Sólido 2 mediante un par prismático. Sus coordenadas serán por tanto las nueve generalizadas más dos respectivas al par de leva, tal que: 𝑞 = [𝑥;𝑦;𝜃;𝑥-𝑦-𝜃-𝑥c𝑦c𝜃c𝑦 𝜙-] 8-8 Así este Sólido 3 introducirá el movimiento en el sistema mediante la coordenada 𝜃c. 86 Figura 8-6 Esquema del mecanismo C. Así, como se ha comentado estas cumplirían las restricciones de par de rotación entre el Sólido 1 y Sólido 3. 𝑟;+ 𝐴;𝑢— ;− 𝑟-− 𝐴-𝑢— -= 0 8-9 Siguiendo con el Sólido 3, este cumplirá el par prismático con el Sólido 2. 𝐴;ℎ;ˆ(𝑟;+ 𝐴;𝑢W ;− 𝑟c− 𝐴c𝑢W c) = 0 8-10 Y, por último, el Sólido 2 cumplirá las restricciones de par de leva en el punto de contacto C, esta vez prescindiendo de la restricción de contacto perpendicular, ya que este ya viene impuesto indirectamente por la restricción de par prismático. 𝑟;+ 𝐴;𝑢š ;− 𝑟-− 𝐴-𝑢š -= 0 8-11 Y para la rodadura sin deslizamiento: 𝑣¯ -∗ 𝑡 𝑦 = 0 8-12 87 Análisis dinámico de un mecanismo de fuerza constante. 9 REFERENCIAS Ü Sönmez, C. T. (2008). A compliant bistable mechanism design incorporating elastica buckling beam theory and pseudo-rigid-body model. J. Mech. A. Jafari, J. R. (2016). Independent force and position control for cooperating manipulators handling an unknown object and interecting with an unknown enviroment. J. Frank Inst. C. Liang, F. 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