Nuevos fenómenos en la controlabilidad exacta a cero de sistemas de EDP parabólicas
Full text
Nuevos fenómenos en la controlabilidad exacta a cero de sistemas de EDP parabólicas Manuel González-Burgos, UNIVERSIDAD DE SEVILLA III Encuentro RSME - SMM Zacatecas, México, Septiembre 2014 M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
Objectivo general: Estudiar algunos fenómenos que surgen en el estudio de la controlabilidad de sistemas parabólicos no escalares. Sistemas parabólicos no escalares: surgen en problemas de reacción química, en modelado de problemas biológicos y en una amplia variedad de problemas físicos. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
Contents 1Introducción 2Ecuación escalar del calor 3Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control 4Segundo fenómeno: Dependencia de la posición del abierto de control M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
1. Introducción M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
1. Introducción Fijemos T>0 y sean HyUdos espacios de Hilbert separables. Consideremos también el sistema evolutivo: (1) (y0=Ay+Buen (0,T), y(0) = y0∈H. AyBson operadores “apropiados”, y0∈Hes el dato inicial en t=0, u∈L2(0,T;U)es el control (ejercido mediante el operador B) y la solución y=yu(t)∈Hes el estado asociado al control u. Ejemplos 1H≡Rn,U≡Rm,Amatriz n×n,Bmatriz n×m: Sistema Diferencial Ordinario con necuaciones y controlado con mcontroles. 2H≡L2(Ω) (Ω⊂RNabierto no vacío), U≡L2(Ω ×(0,T)),A≡∆, B≡1ωfunción característica sobre ω(ω⊂Ω) + Condiciones sobre la frontera: Ecuación del calor con control distribuido. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
1. Introducción Fijemos T>0 y sean HyUdos espacios de Hilbert separables. Consideremos también el sistema evolutivo: (1) (y0=Ay+Buen (0,T), y(0) = y0∈H. AyBson operadores “apropiados”, y0∈Hes el dato inicial en t=0, u∈L2(0,T;U)es el control (ejercido mediante el operador B) y la solución y=yu(t)∈Hes el estado asociado al control u. Ejemplos 1H≡Rn,U≡Rm,Amatriz n×n,Bmatriz n×m: Sistema Diferencial Ordinario con necuaciones y controlado con mcontroles. 2H≡L2(Ω) (Ω⊂RNabierto no vacío), U≡L2(Ω ×(0,T)),A≡∆, B≡1ωfunción característica sobre ω(ω⊂Ω) + Condiciones sobre la frontera: Ecuación del calor con control distribuido. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
1. Introducción Supongamos que el problema está bien planteado: ∀(y0,u)existe una única solución yu∈C0([0,T]; H)de (1) dependiendo de manera continua de los datos. Controlabilidad Exacta: El sistema (1) es exactamente controlable en el instante Tsi ∀(y0,y1)∈H×H,existe u∈L2(0,T;U)t.q. la solución yude (1) satisface yu(T) = y1. Controlabilidad nula o exacta a cero: El sistema (1) es controlable a cero en el instante Tsi ∀y0∈Hexiste u∈L2(0,T;U)t.q. yu(T) = 0. Controlabilidad Aproximada: El sistema (1) es aproximadamente controlable en el instante Tsi ∀(y0,y1)∈H×H, y cualquier ε>0, existe u∈L2(0,T;U)t.q. kyu(T)−y1kH≤ε. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
1. Introducción Observación Trataremos problemas parabólicos. Así, debido al efecto regularizante de estos problemas no hay controlabilidad exacta. Por tanto, nos centraremos en controlabilidad nula oaproximada de los sistemas que consideraremos. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor El operador −∂xx sobre (0, π)con condiciones de contorno Dirichlet homogéneas tiene una sucesión de autovalores yautofunciones normalizadas dadas por λk=k2,φk(x) = r2 πsin kx,k≥1,x∈(0, π). El conjunto {φk}k≥1es una base ortonormal de L2(0, π)y ortogonal de H1 0(0, π). En lo que sigue usaremos la notación: Para f∈L2(0, π), fk=Zπ 0 f(x)φk(x)dx (coeficiente de Fourier). Ventajas: 1Tenemos una base. 2Tomando ϕT=φk, la solución del problema adjunto es: ϕ(x,t) = e−λk(T−t)φk(x). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Propiedad: v∈L2(0, π)es un control nulo para el sistema (2) (i.e., v∈L2(0,T)es un control t.q. la solución yvde (2) satisface yv(·,T) = 0 en (0, π)) si y solo si ZT 0 v(t)ϕx(0,t)dt =−Zπ 0 y0(x)ϕ(x,0)dt,∀ϕT∈H1 0(0, π). Dado y0∈L2(0, π), existe un control v∈L2(0,T)t.q. la solución yvde (2) satisface y(·,T) = 0 en (0, π)si y solo si existe v∈L2(0,T)t.q. ZT 0 v(t)e−λk(T−t)φk,x(0)dt =−Zπ 0 y0(x)e−λkTφk(x)dx,∀k≥1,⇐⇒ ZT 0 e−λk(T−t)v(t)dt =−1 krπ 2e−λkTy0,k≡ck∀k≥1. Este problema se denomina problema de momentos. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Resumiendo: Hemos probado que el sistema (2) yt−yxx =0 en Q= (0, π)×(0,T), y(0,·) = v,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), es controlable a cero en el instante Tsi y solo si existe v∈L2(0,T)tal que ZT 0 e−λktv(T−t)dt =−1 krπ 2e−λkTy0,k≡ck∀k≥1. Dos cuestiones 1. ¿El sistema es compatible? Independencia lineal de las exponenciales. 2. En caso positivo, ¿podremos hallar una solución ven L2(0,T)? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Resumiendo: Hemos probado que el sistema (2) yt−yxx =0 en Q= (0, π)×(0,T), y(0,·) = v,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), es controlable a cero en el instante Tsi y solo si existe v∈L2(0,T)tal que ZT 0 e−λktv(T−t)dt =−1 krπ 2e−λkTy0,k≡ck∀k≥1. Dos cuestiones 1. ¿El sistema es compatible? Independencia lineal de las exponenciales. 2. En caso positivo, ¿podremos hallar una solución ven L2(0,T)? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Se tiene el siguiente resultado: Theorem Para cualquier y0∈H−1(0, π)y T >0, existe v∈L2(0,T)solución del anterior problema de momentos. Es decir, el sistema (2) yt−yxx =0en Q = (0, π)×(0,T), y(0,·) = v,y(π, ·) = 0sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), es exactamente controlable a cero en el instante T, para cualquier T >0. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Prueba: Familias Biortogonales: ([FATTORINI,RUSSELL] Arch. Rat. Mech. Anal. (1971)). Dos ingredientes (λk=k2): 1X k≥1 1 λk <∞=⇒la familia {e−λkt}k≥1es linealmente independiente en L2(0,T)⇐⇒ existe una familia (no única) {pk}k≥1⊂L2(0,T)que satisface ZT 0 e−λktpl(t)dt =δkl,∀k,l≥1 (biortogonalidad). 2|λk−λl| ≥ ρ|k−l|,∀k,l≥1=⇒podemos elegir una familia biortogonal con la propiedad: ∀ε>0, ∃C(ε,T)>0 t.q. kpkkL2(0,T)≤C(ε,T)eελk∀k≥1. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Prueba: Familias Biortogonales: ([FATTORINI,RUSSELL] Arch. Rat. Mech. Anal. (1971)). Dos ingredientes (λk=k2): 1X k≥1 1 λk <∞=⇒la familia {e−λkt}k≥1es linealmente independiente en L2(0,T)⇐⇒ existe una familia (no única) {pk}k≥1⊂L2(0,T)que satisface ZT 0 e−λktpl(t)dt =δkl,∀k,l≥1 (biortogonalidad). 2|λk−λl| ≥ ρ|k−l|,∀k,l≥1=⇒podemos elegir una familia biortogonal con la propiedad: ∀ε>0, ∃C(ε,T)>0 t.q. kpkkL2(0,T)≤C(ε,T)eελk∀k≥1. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Podemos encontrar un control que satisfaga el problema de momentos ZT 0 e−λktv(T−t)dt =−1 krπ 2e−λkTy0,k≡ck∀k≥1. como combinación de {pl}l≥1: v(T−s) = X l≥1 clpl(s) = −rπ 2X l≥1 1 le−λlTy0,lpl(s) y la serie converge absolutamente en L2(0,T): Tomamos ε=T/2>0: kpkkL2(0,T)≤C(T)eT 2λk=⇒X k≥1 1 ke−λkT|y0,k|kpkkL2(0,T)≤C(T)X k≥1 e−T 2λk, λk=k2y la serie converge en L2(0,T). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Podemos encontrar un control que satisfaga el problema de momentos ZT 0 e−λktv(T−t)dt =−1 krπ 2e−λkTy0,k≡ck∀k≥1. como combinación de {pl}l≥1: v(T−s) = X l≥1 clpl(s) = −rπ 2X l≥1 1 le−λlTy0,lpl(s) y la serie converge absolutamente en L2(0,T): Tomamos ε=T/2>0: kpkkL2(0,T)≤C(T)eT 2λk=⇒X k≥1 1 ke−λkT|y0,k|kpkkL2(0,T)≤C(T)X k≥1 e−T 2λk, λk=k2y la serie converge en L2(0,T). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor Comentarios: 1El anterior resultado es válido para cualquier intervalo acotado no vacío (a,b)y para cualquier operador de segundo orden: operador elíptico autoadjunto: Ly=−(α(x)yx)x+c(x)y,x∈(a,b), con α∈C1([a,b]),α>0 in (a,b), y c∈C0([a,b]). 2También es posible probar el resultado de controlabilidad a cero con control distribuido: yt+Ly=v1ωen Q= (a,b)×(0,T), y(a,·) = 0,y(b,·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (a,b), con y0∈L2(0, π)yω⊆(a,b), un subconjunto abierto no vacío y 1ωla función característica en ω. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
2. Ecuación escalar del calor ALGUNAS REFERENCIAS 1H.O. FATTORINI, D.L. RUSSELL,Exact controllability theorems for linear parabolic equations in one space dimension, Arch. Rational Mech. Anal. 43 (1971), 272–292. 2G. LEBEAU, L. ROBBIANO,Contrôle exact de l’équation de la chaleur, Comm. P.D.E. 20 (1995), no. 1-2, 335–356. 3O. YU. IMANUVILOV,Controllability of parabolic equations, (Russian) Sb. Math. 186 (1995), no. 6, 879–900. 4A. FURSIKOV, O. YU. IMANUVILOV,Controllability of Evolution Equations, Lecture Notes Series 34, Seoul National Univ., Seoul, 1996. 5O. YU. IMANUVILOV, M. YAMAMOTO,Carleman inequalities for parabolic equations in Sobolev spaces of negative order and exact controllability for semilinear parabolic equations, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 39 (2003), no. 2, 227–274. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control Consideremos ahora un sistema parabólico 2 ×2 lineal (sistema de reacción-difusión) (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q:= (0, π)×(0,T), y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), con y=yv(x,t)es el estado, y0∈L2(0, π;R2)es el dato inicial y D=diag (d1,d2)∈ L(R2), con di>0, y A0∈ L(R2)matrices constantes; B=0 1vector de R2; v∈L2(0,T)es un control escalar. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control Observación De nuevo estamos interesados en estudiar las propiedades de controlabilidad del sistema (3): Problema de controlabilidad frontera para un sistema de EDPs parabólicas. IMPORTANTE Tenemos un sistema de dos ecuaciones del calor acopladas y queremos controlar el sistema (dos estados) actuando solamente sobre la segunda ecuación. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), donde A0=0 1 0 0 ,B=0 1v∈L2(0,T): control escalar. Theorem (Fernández-Cara, M.G.-B., de Teresa, (2010)) Supongamos que d1=d2>0. Entonces, el sistema (3) es controlable a cero en el instante T para cualquier T >0. OBJETIVO Supondremos que d16=d2y, por ejemplo, d1=1, d2=d6=1. Dado T>0, queremos probar la existencia de un control v∈L2(0,T) t.q. yv(T) = 0? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), donde A0=0 1 0 0 ,B=0 1v∈L2(0,T): control escalar. Theorem (Fernández-Cara, M.G.-B., de Teresa, (2010)) Supongamos que d1=d2>0. Entonces, el sistema (3) es controlable a cero en el instante T para cualquier T >0. OBJETIVO Supondremos que d16=d2y, por ejemplo, d1=1, d2=d6=1. Dado T>0, queremos probar la existencia de un control v∈L2(0,T) t.q. yv(T) = 0? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), Controlabilidad aproximada: Theorem (Fernández-Cara, M.G.-B., de Teresa, (2010)) Supongamos d6=1. Entonces, el sistema (3) es aproximadamente controlable en el instante T >0if and only if √d6∈ Q. Theorem (de Teresa (2000), M.G.-B., Pérez-García (2004), ....) El sistema (3) con control distribuido en ω⊂(0, π)es controlable a cero en el instante T, para cualquier T >0yd>0. Primera diferencia: Propiedad de controlabilidad exacta a cero con control frontera no equivale a la propiedad de controlabilidad exacta a cero con control distribuido para (3). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), Controlabilidad aproximada: Theorem (Fernández-Cara, M.G.-B., de Teresa, (2010)) Supongamos d6=1. Entonces, el sistema (3) es aproximadamente controlable en el instante T >0if and only if √d6∈ Q. Theorem (de Teresa (2000), M.G.-B., Pérez-García (2004), ....) El sistema (3) con control distribuido en ω⊂(0, π)es controlable a cero en el instante T, para cualquier T >0yd>0. Primera diferencia: Propiedad de controlabilidad exacta a cero con control frontera no equivale a la propiedad de controlabilidad exacta a cero con control distribuido para (3). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), Hipótesis En lo que sigue, D=diag (1,d), con d6=1 , y A0=0 1 0 0 ,B=0 1. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), Sea ϕla solución del problema adjunto: −ϕt−Dϕxx +A∗ 0ϕ=0 en Q, ϕ(0,·) = ϕ(π, ·) = 0 sobre (0,T), ϕ(·,T) = ϕ0∈H1 0(0, π)2en (0, π). If yves la solución del problema directo, entonces hyv(·,T), ϕ0i−hy0, ϕ(·,0)i=ZT 0 v(t)B∗Dϕx(0,t)dt Así, yv(·,T) = 0⇐⇒ ∃v∈L2(0,T)tal que ZT 0 v(t)B∗Dϕx(0,t)dt =−hy0, ϕ(·,0)i,∀ϕ0∈H1 0(0, π)2 M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), Condiciones necesarias Problema de momentos: kB∗DVk,iZT 0 v(T−t)e−λk,itdt =−e−λk,iThy0,Φk,ii,∀(k,i) Condición necesaria (I): B∗DVk,i6=0 para todo k≥1,i=1,2: OK. Condición necesaria (II): la familia de exponenciales debe ser independiente: Así, λk,16=λj,2, es decir, k26=dj2,∀k6=j≥1⇐⇒ √d6∈ Q M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), kB∗DVk,iZT 0 v(T−t)e−λk,itdt =−e−λk,iThy0,Φk,ii,∀(k,i) Resumiendo Queremos v∈L2(0,T)tal que ZT 0 v(T−t)e−λk,itdt =bk,ie−λk,iT,∀k≥1,i=1,2 donde bk,ies un dato que satisface |bk,i| ≤ Cεeελk,i M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control ZT 0 v(T−t)e−λk,itdt =bk,ie−λk,iT,∀(k,i)λk,1=k2,λk,2=dk2,√d6∈ Q. Dos ingredientes?? 1X k≥1,i=1,2 1 λk,i <∞=⇒la familia {e−λk,it}k≥1es linealmente independiente en L2(0,T)⇐⇒ existe una familia (no única) {pk,i}k≥1,i=1,2⊂L2(0,T)que satisface (biortogonalidad): ZT 0 e−λk,itpl,j(t)dt =δklδij,∀k,l≥1,i,j=1,2. Resolución formal del problema de momentos: v(T−t) = Pk,ibk,ipk,i(t). 2¿Condición de separación |λk,i−λl,j| ≥ ρ|k−l|,∀(k,i),(l,j)?NO. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control ZT 0 v(T−t)e−λk,itdt =bk,ie−λk,iT,∀(k,i)λk,1=k2,λk,2=dk2,√d6∈ Q. Dos ingredientes?? 1X k≥1,i=1,2 1 λk,i <∞=⇒la familia {e−λk,it}k≥1es linealmente independiente en L2(0,T)⇐⇒ existe una familia (no única) {pk,i}k≥1,i=1,2⊂L2(0,T)que satisface (biortogonalidad): ZT 0 e−λk,itpl,j(t)dt =δklδij,∀k,l≥1,i,j=1,2. Resolución formal del problema de momentos: v(T−t) = Pk,ibk,ipk,i(t). 2¿Condición de separación |λk,i−λl,j| ≥ ρ|k−l|,∀(k,i),(l,j)?NO. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control Sea Λ={λk}k≥1⊂(0,∞)una sucesión con elementos distintos dos a dos: X k≥1 1 |λk|<∞ Objetivo: Dado {bk}k≥1⊂Rsatisfaciendo |bk| ≤ Cεeελk, hallar v∈L2(0,T)t.q. ZT 0 v(T−t)e−λktdt =bke−λkT,∀k≥1. Theorem Bajo las condiciones anteriores, e−λktk≥1⊂L2(0,T)admite una familia biortogonal {qk}k≥1in L2(0,T), i.e., ZT 0 e−λktql(t)dt =δkl,∀k,l≥1 M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control Solución formal de ZT 0 v(T−t)e−λktdt =bke−λkT,∀k≥1, es vdado por: v(T−t) = X k≥1 bke−λkTqk(t), Pregunta:v∈L2(0,T)?, i.e., ¿la serie X k≥1 bke−λkTqk(t)converge en L2(0,T)? Esto nos lleva a: kqkkL2(0,T)∼ k→∞? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control Solución formal de ZT 0 v(T−t)e−λktdt =bke−λkT,∀k≥1, es vdado por: v(T−t) = X k≥1 bke−λkTqk(t), Pregunta:v∈L2(0,T)?, i.e., ¿la serie X k≥1 bke−λkTqk(t)converge en L2(0,T)? Esto nos lleva a: kqkkL2(0,T)∼ k→∞? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control Theorem Supongamos X k≥1 1 |λk|<∞. Entonces, para cualquier ε > 0se tiene C1,ε e−ελk |E0(λk)|≤ kqkkL2(0,T)≤C2,ε eελk |E0(λk)|,∀k≥1, donde E(z)es la function de interpolación: E(z) = ∞ Y k=11−z2 λ2 k,E0(λk) = −2 λk ∞ Y j6=k 1−λ2 k λ2 j! M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control Definition El índice of condensación de Λ={λk}k≥1⊂Ces: c(Λ) = lim sup k→∞ −ln |E0(λk)| <(λk)∈[0,+∞]. Corollary Para cualquier ε > 0se tiene kqkkL2(0,T)≤Cεe(c(Λ)+ε)λk,∀k≥1. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control Recordemos que teníamos bkt.q. |bk| ≤ Cεeελk, para cualquier ε>0, y queríamos resolver: v∈L2(0,T)y ZT 0 v(T−t)e−λktdt =bke−λkT,∀k, Tomamos v(T−t) = X k≥1 bke−λkTqk(t). Del resultado anterior: Dado ε>0: |bk|e−λkTkqkkL2(0,T)≤Cεe−λk,i(T−c(Λ)−2ε) Entonces, T>c(Λ) =⇒v(T−t) = X k≥1 bke−λkTqk(t)∈L2(0,T). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), Λd={k2,dk2}k≥1,√d6∈ Q. Hemos probado: Theorem Existe T0=c(Λd)∈[0,+∞]tal que si T >T0entonces el sistema (3) es controlable a cero en el instante T. T>c(Λd)es una condición suficiente para la controlabilidad nula de (3) en el instante T. Pero, ¿qué ocurre si T<c(Λd)? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), Λd={k2,dk2}k≥1,√d6∈ Q. Hemos probado: Theorem Existe T0=c(Λd)∈[0,+∞]tal que si T >T0entonces el sistema (3) es controlable a cero en el instante T. T>c(Λd)es una condición suficiente para la controlabilidad nula de (3) en el instante T. Pero, ¿qué ocurre si T<c(Λd)? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), Theorem Supongamos que T <T0=c(Λd)∈[0,+∞]. Entonces el sistema (3) no es controlable a cero en el instante T. La prueba es muy técnica. Ingrediente principal: Uso del concepto de "overconvergence" de series de Dirichlet. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), El resultado de controlabilidad 1∀T>0: Controlabilidad aproximada si y solo si √d6∈ Q 2Supongamos √d6∈ Q,∃T0=c(Λd)∈[0,+∞]tal que 1el sistema es controlable a cero en el tiempo Tsi T>T0 2Incluso si √d6∈ Q, si T<T0el sistema no es controlable a cero en el instante T. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), T0>0? ¿Es posible encontrar un tiempo mínimo de control >0? I.e., para Λd={k2,dk2}k≥1con √d6∈ Q, ¿se tiene c(Λd)>0? Theorem Para cualquier τ∈[0,+∞], existe √d6∈ Qtal que c(Λd) = τ. Remark Existe √d6∈ Qtal que c(Λd)=+∞(LUCA,DE TERESA). c(Λd) = 0 para casi todo d∈(0,∞)tal que √d6∈ Q. Para cualquier τ∈[0,+∞], el conjunto {d∈(0,∞) : c(Λd) = τ}es denso en (0,+∞). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control (3) yt−Dyxx +A0y=0 en Q, y(0,·) = Bv,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0en (0, π), T0>0? ¿Es posible encontrar un tiempo mínimo de control >0? I.e., para Λd={k2,dk2}k≥1con √d6∈ Q, ¿se tiene c(Λd)>0? Theorem Para cualquier τ∈[0,+∞], existe √d6∈ Qtal que c(Λd) = τ. Remark Existe √d6∈ Qtal que c(Λd)=+∞(LUCA,DE TERESA). c(Λd) = 0 para casi todo d∈(0,∞)tal que √d6∈ Q. Para cualquier τ∈[0,+∞], el conjunto {d∈(0,∞) : c(Λd) = τ}es denso en (0,+∞). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
3. Primer fenómeno: Tiempo mínimo de control F. AMMAR KHODJA, A. BENABDALLAH, M.G.-B., L. DE TERESA, Minimal time for the null controllability of parabolic systems: the effect of the condensation index of complex sequences, J. Funct. Anal. 267 (2014), no. 7, 2077–2151. http://personal.us.es/manoloburgos M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Dependencia de la posición del abierto de control M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control (4) yt−yxx +q(x)A0y=Bu1ωen Q, y(0,·) = 0,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0,en (0, π), donde q∈L∞(Q), A0=0 1 0 0 ,B=0 1, ω= (a,b)⊂(0, π)yv∈L2(Q)es un control escalar. Objetivo Propiedades de controlabilidad del sistema (4) (Control Distribuido). Un único control para controlar dos estados. Control sobre la segunda ecuación. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control (4) yt−yxx +q(x)A0y=Bu1ωen Q, y(0,·) = 0,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0,en (0, π), Resultados previos: ω∩Supp q6=∅: Controlabilidad nula y aproximada. L. DE TERESA, Comm. PDE 25 (2000). F. AMMAR-KHODJA, A. BENABDALLAH, C. DUPAIX, I. KOSTIN, ESAIM:COCV (2005). M.G.-B., R. PÉREZ-GARCÍA, Asymptot. Anal. (2006). M.G.-B., L. DE TERESA, Port. Math. (2010). Coeficientes de difusión distintos, resultados en RN, problemas no lineales. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control (4) yt−yxx +q(x)A0y=Bu1ωen Q, y(0,·) = 0,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0,en (0, π), Cuestión Dado T>0 y suponiendo que |I1,k(q)|2+|I2,k(q)|26=0⇐⇒ |I1,k(q)|2+|Ik(q)|26=0, ¿es el sistema (4) exactamente controlable a cero en el instante T>0? M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control (4) yt−yxx +q(x)A0y=Bu1ωen Q, y(0,·) = 0,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0,en (0, π), Theorem Sean ω= (a,b)⊂(0, π)yq∈L∞(Q)satisfaciendo ω∩Supp q=∅y |I1,k(q)|2+|I2,k(q)|26=0⇐⇒ |I1,k(q)|2+|Ik(q)|26=0. Entonces, existe T0(q)∈[0,∞]tal que, dado T >0, se tiene 1Si T <T0(q), entonces el sistema (4) no es exactamente controlable a cero en el instante T >0. 2Si T >T0(q), entonces el sistema (4) es exactamente controlable a cero en el instante T >0. Tiempo mínimo de control en un problema de controlabilidad exacta a cero distribuida de un problema parabólico. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control (4) yt−yxx +q(x)A0y=Bu1ωen Q, y(0,·) = 0,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0,en (0, π), Observación Si |I1,k(q)|2+|I2,k(q)|26=0 y Za 0 q(x)dx 6=0oZπ b q(x)dx 6=0oZπ 0 q(x)dx 6=0, entonces T0(q) = 0(Controlabilidad Exacta a Cero de (4) para todo T >0). M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control Example q(x) = (1 si x∈(a1,a1+`) −1 si x∈(a2,a2+`), a1>0, a1+` < a2,a2+` < π,` > 1. 1ω= (a,b)⊆(a1+`, a2):T0(q) = 0. Controlabilidad Exacta a Cero ∀T>0. 2ω= (a,b)⊆(0,a1):I1,k(q) = 0, ∀k, I2,k(q) = −1 ksin (k(a1+a2+`)) sin (k(a2−a1)) sin (k`) Cont. Aprox. T>0⇐⇒ (a1+a2+`)/π , (a2−a1)/π , `/π 6∈ Q. Dado τ∈[0,∞],∃a1,a2y`satisfaciendo propiedad anterior t.q. T0(q) = τ. Hay tiempo mínimo de controlabilidad exacta a cero que puede ser T0(q) = ∞. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control Example q(x) = (1 si x∈(a1,a1+`) −1 si x∈(a2,a2+`), a1>0, a1+` < a2,a2+` < π,` > 1. 1ω= (a,b)⊆(a1+`, a2):T0(q) = 0. Controlabilidad Exacta a Cero ∀T>0. 2ω= (a,b)⊆(0,a1):I1,k(q) = 0, ∀k, I2,k(q) = −1 ksin (k(a1+a2+`)) sin (k(a2−a1)) sin (k`) Cont. Aprox. T>0⇐⇒ (a1+a2+`)/π , (a2−a1)/π , `/π 6∈ Q. Dado τ∈[0,∞],∃a1,a2y`satisfaciendo propiedad anterior t.q. T0(q) = τ. Hay tiempo mínimo de controlabilidad exacta a cero que puede ser T0(q) = ∞. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control Example q(x) = (1 si x∈(a1,a1+`) −1 si x∈(a2,a2+`), a1>0, a1+` < a2,a2+` < π,` > 1. 1ω= (a,b)⊆(a1+`, a2):T0(q) = 0. Controlabilidad Exacta a Cero ∀T>0. 2ω= (a,b)⊆(0,a1):I1,k(q) = 0, ∀k, I2,k(q) = −1 ksin (k(a1+a2+`)) sin (k(a2−a1)) sin (k`) Cont. Aprox. T>0⇐⇒ (a1+a2+`)/π , (a2−a1)/π , `/π 6∈ Q. Dado τ∈[0,∞],∃a1,a2y`satisfaciendo propiedad anterior t.q. T0(q) = τ. Hay tiempo mínimo de controlabilidad exacta a cero que puede ser T0(q) = ∞. M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
4. Segundo fenómeno: Posición abierto de control (4) yt−yxx +q(x)A0y=Bu1ωen Q, y(0,·) = 0,y(π, ·) = 0 sobre (0,T), y(·,0) = y0,en (0, π), Theorem Dado τ∈[0,+∞], existe q∈L∞(0, π)tal que T0(q) = τ. F. AMMAR KHODJA, A. BENABDALLAH, M.G.-B., L. DE TERESA, Minimal time of controllability of two parabolic equations with disjoint control and coupling domains, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, (2014). http://personal.us.es/manoloburgos M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
Resumen Caso Escalar versus Sistemas CASO ESCALAR SISTEMAS Tiempo mínimo de control No Sí Controlabilidad Aproximada ⇔Nula Sí No Control Frontera ⇔Control Distribuido Sí No Dependencia Posición Abierto Control No Sí M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas
Gracias por vuestra atención M. González-Burgos Nuevos fenómenos en la controlabilidad de sistemas