Condiciones suficientes de estabilidad para Ecuaciones en Derivadas Parciales estocásticas con retardos

Condiciones suficientes de estabilidad para Ecuaciones en Derivadas Parciales Estoc´asticas con retardos Tom´as Caraballo Garrido Departamento de An´alisis Matem´atico, Facultad de Matem´aticas (Universidad de Sevilla), Apartado de Correos 1.160. 41080-SEVILLA, Spain. ABSTRACT: Sufficient conditions for pathwise exponential stability of the zero solution of stochastic PDE with deviating argument dxt=Axtdt +Bxρ(t)dwtare given. The assumptions on the operators Aand Bare the same that in the case without delay, but the proof is different. In fact, our method shows an alternative proof for the results in the particular case ρ(t) = t . First, we obtain sufficient conditions for the second moment of xtto decay exponentially. Next, asymptotic exponential stability of paths (with probability one) is deduced. Finally, an example is given in order to illustrate our theory. 1. INTRODUCCI´ ON Y PRELIMINARES El principal objetivo de este trabajo es establecer condiciones suficientes para garantizar la estabilidad asint´otica de las soluciones de una clase de ecuaciones en derivadas parciales estoc´asticas con retardo. ´ Estas intervienen, como es bien sabido, en la modelizaci´on de numerosos fen´omenos con origen en F´ısica, Biolog´ıa, 1 Econom´ıa, etc...(v´ease Chow [3] para fen´omenos f´ısicos, Fleming [5] para fen´omenos de gen´etica de poblaciones, Pardoux [9] para modelizaci´on y simulaci´on de problemas de filtraje...) La situaci´on general en la que se va a desenvolver nuestro trabajo es la siguiente: Consideraremos fijados un espacio de probabilidad filtrado y completo (Ω,F,Ft, P), un proceso de Wiener real normalizado, wt, relativo a la filtraci´on {Ft}t≥0(v´ease Pardoux [8,9] para todos los resultados relativos a integraci´on estoc´astica). Sean V, H espacios de Hilbert reales separables verificando V ,→H(con inclusi´on continua y densa). Identificando, como es habitual, Hcon su dual H0 se tiene la relaci´on V ,→H≡H0,→V0. Se denotar´a por k.kla norma de V, por |.|la de H, por k.k∗la de V0. El producto escalar de Hser´a (.,.) y la dualidad V0, V ser´a < ., . >. Dados h, T ≥0 se denota por I2(−h, T ;V) el espacio de los procesos estoc´asticos (xt)t∈[−h,T ](brevemente se escribir´a xt), medibles (como aplicaci´on definida de [−h, T ]×Ω en V), tomando valores en el espacio de Hilbert Vy verificando adem´as: i) xtes Ft−medible c.p.d. en t(donde Ft=F0para t∈[−h, 0] ) ii) ERT −h|xt|2dt < +∞. Es f´acil comprobar que I2(−h, T;V) es un subespacio cerrado (y por tanto completo) del espacio L2(Ω ×[−h, T ],F ⊗ B([−h, T ]), dP ⊗dt;V) Por comodidad de notaci´on se escribir´a L2(Ω; C(−h, T;H)) en lugar de L2(Ω,F, dP;C(−h, T;H)) ,donde C(−h, T;H) denota el espacio de las funciones continuas definidas sobre [−h, T ] y tomando valores en H. Sea A:V−→ V0un operador lineal continuo (i.e. A∈ L(V, V 0) ) y Bun 2 elemento de L(H) = L(H, H),verific´andose la condici´on de coercividad siguiente: (c)∃ν∈IR, ε > 0 : −2< Ax, x > +ν|x|2≥εkxk2,∀x∈V. Dada la funci´on (de retardo) ρ: [0,+∞)−→ [−h, +∞) con ρ∈C1(0,+∞; IR) , inft≥0{ρ0(t)}=ρ∗>0 , y dado el proceso inicial ψ: Ω ×[−h, 0] −→ Vcon ψ∈I2(−h, 0; V)∩L2(Ω; C(−h, 0; H)) , se verifica (v´ease Real [10,11]) que existe un ´unico proceso xt∈I2(−h, T ;V)∩L2(Ω; C(−h, T :H)) (∀T≥0) y tal que es soluci´on del siguiente problema (Q)xt=ψ(0) + Rt 0Axsds +Rt 0Bxρ(s)dwsP−c.s. , ∀t≥0 xt=ψ(t) si t∈[−h, 0], donde la primera igualdad se entiende en el espacio V0. Este problema se suele escribir en t´erminos de diferenciales estoc´asticas como (Q∗)dxt=Axtdt +Bxρ(t)dwt,∀t≥0 xt=ψ(t), t ∈[−h, 0]. A un tal proceso se le llama soluci´on en sentido fuerte (o simplemente soluci´on fuerte) de (Q) . De otro lado, es bien conocido (v´ease, por ejemplo, Dautray-Lions [4]) que de la condici´on (c) se deduce que el operador Agenera un semigrupo de operadores, {Ut}t≥0⊂ L(H),de tipo c0,y en consecuencia se puede definir el concepto de soluci´on generalizada (“mild-solution”) de (Q) asociada al proceso xt, y que no es m´as que el proceso ytsoluci´on de yt=Utψ(0) + Zt 0 Ut−sByρ(s)dws(igualdad en H). En estas condiciones, se verifica (v´ease Chojnowska-Michalik [2]) que la soluci´on fuerte coincide con la generalizada asociada, es decir, xt=Utψ(0) + Zt 0 Ut−sBxρ(s)dws, P −c.s. , ∀t≥0. Pues bien, en la situaci´on que acabamos de describir, vamos a establecer condiciones suficientes para obtener resultados de estabilidad asint´otica exponencial para las trayectorias del proceso soluci´on fuerte de (Q) . Previamente se 3 obtienen condiciones suficientes para la estabilidad exponencial del segundo momento de xt. Este mismo esquema es usado por Haussmann [6] en el caso sin retardo, es decir, cuando ρ(t) = t , pero hace uso de un funcional de Liapunov constru´ıdo a partir de un cierto operador P∈ L(H) . El m´etodo que vamos a desarrollar proporciona una demostraci´on en la que se prescinde de tal funcional. En la Secci´on 2 se establece la estabilidad exponencial para el segundo momento. En la Secci´on 3 se deduce la estabilidad trayectorial. Un interesante ejemplo de aplicaci´on se encuentra en la Secci´on 4. 2. ESTABILIDAD EXPONENCIAL DEL SEGUNDO MOMENTO Comencemos fijando definitivamente las hip´otesis que van a ser efectuadas sobre los operadores AyB, la funci´on de retardo ρy el dato inicial ψ . Para ρ: (2.1) ρ∈C1(0,+∞; IR),∃h > 0 : −h≤ρ(t)≤t, ρ0(t)≥1,∀t≥0. Esto implica autom´aticamente que existe la inversa, ρ−1,y adem´as (2.2) ∃k > 0 : t≤ρ−1(t)≤t+k, ∀t≥0. Para A: (A1)A∈ L(V, V 0), con −Acoercivo, es decir: (c)∃ν∈IR, ε > 0 : −2< Ax, x > +ν|x|2≥εkxk2,∀x∈V. La siguiente hip´otesis exige que A´o, lo que es lo mismo el semigrupo generado por ´el, Ut, es exponencialmente estable: (H1)∃γ > 0, c > 0 : |Ut| ≤ ce−γt ∀t≥0. Aqu´ı por |.|denotamos tambi´en la norma en L(H). 4 Para el operador B: (B1)B∈ L(H), (H2)Z∞ 0 B∗U∗ tUtB dt <1. Obs´ervese que, gracias a (H1), la integral precedente posee sentido en L(H). Recu´erdese que (2.3) Z∞ 0 B∗U∗ tUtB dt = sup x∈H\{θ}R∞ 0(B∗U∗ tUtBx, x)dt |x|2. Por ´ultimo, para el dato inicial ψ: (2.4) ψ∈I2(−h, 0; V)∩L2(Ω; C(−h, 0; H)). En las condiciones (2.1), (A1),(B1),(2.4), se tiene asegurada la existencia y unicidad de soluci´on xtdel problema (Q). A˜nadiendo las hip´otesis (H1),(H2), vamos a obtener estabilidad exponencial del segundo momento de xt. Un resultado que juega un papel fundamental es el hecho de que la soluci´on fuerte de (Q) es tambi´en soluci´on generalizada. TEOREMA 2.1.– Bajo las hip´otesis (2.1),(A1),(B1),(H1),(H2),(2.4),la soluci´on xtde (Q)verifica : (2.5) ∃λ , K > 0tales que E|xt|2≤Kkψk2 1e−λt,∀t≥0, donde kψk2 1= m´ax{E|ψ(0)|2,R0 −hE|ψ(s)|2ds}. Demostraci´on: La efectuaremos en dos etapas. En la primera probaremos la existencia de λ > 0, K1>0,tales que Z∞ 0 eλtE|xt|2dt ≤K1kψk2 1. En la segunda, haciendo uso de la estimaci´on anterior y de la F´ormula de Itˆo (v´ease Pardoux [8], Ichikawa [7]), obtendremos la estimaci´on (2.5). 5 Etapa 1: La soluci´on xtde (Q) se puede escribir como (2.6) xt=Utψ(0) + Rt 0Ut−sBxρ(s)dws, t ≥0, xt=ψ(t), t ∈[−h, 0] , (igualdades en H), de donde sigue |xt|2=|Utψ(0)|2+Zt 0 Ut−sBxρ(s)dws 2 (2.7) + 2 Utψ(0),Zt 0 Ut−sBxρ(s)dws,∀t≥0. De aqu´ı, (2.8) E|xt|2=E|Utψ(0)|2+Zt 0 E|Ut−sBxρ(s)|2ds, ∀t≥0, ya que, por las propiedades de la integral estoc´astica (v´ease Pardoux [8,9]) EZt 0 Ut−sBxρ(s)dws 2 =Zt 0 E|Ut−sBxρ(s)|2ds, y por otro lado, como Utψ(0) es F0-medible, EUtψ(0),Zt 0 Ut−sBxρ(s)dws=EEF0Utψ(0),Zt 0 Ut−sBxρ(s)dwsight] =EUtψ(0), EF0Zt 0 Ut−sBxρ(s)dws =E(Utψ(0),0) = 0, donde EF0denota la esperanza condicionada. Tomemos λ > 0 (todav´ıa por determinar), multipliquemos la ecuaci´on (2.8) por eλt e integremos: Z∞ 0 eλtE|xt|2dt =Z∞ 0 eλtE|Utψ(0)|2dt(2.9) +Z∞ 0 eλt Zt 0 E|Ut−sBxρ(s)|2ds dt. A continuaci´on, llevaremos a cabo una estimaci´on de cada uno de los sumandos del segundo miembro de (2.9). 6 Por (H1), Z∞ 0 eλtE|Utψ(0)|2dt ≤c2Z∞ 0 e(λ−2γ)tE|ψ(0)|2dt ≤c2kψk2 1Z∞ 0 e(λ−2γ)tdt =c2 2γ−λkψk2 1, siempre que λverifique 0 <λ<2γ. Luego, para un tal λ, (2.10) Z∞ 0 eλtE|Utψ(0)|2dt ≤c2 2γ−λkψk2 1. Para el segundo sumando, aplicando el Teorema de Fubini, tenemos: Z∞ 0 eλt Zt 0 E|Ut−sBxρ(s)|2ds dt(2.11) =Z∞ 0Z∞ s eλtE|Ut−sBxρ(s)|2dt ds =Z∞ 0Z∞ 0 eλ(t+s)E|UtBxρ(s)|2dt ds =Z∞ 0 eλs Z∞ 0 eλtE(UtBxρ(s), UtBxρ(s))dt ds =Z∞ 0 eλs Z∞ 0 eλtE(B∗U∗ tUtBxρ(s), xρ(s))dt ds ≤Z∞ 0 eλsE|xρ(s)|2Z∞ 0 eλtB∗U∗ tUtB dt ds ≤Z∞ 0 eλsE|xρ(s)|2ds Z∞ 0 eλtB∗U∗ tUtB dt . Por otro lado, efectuando el cambio de variables u=ρ(s), se sigue: Z∞ 0 eλsE|xρ(s)|2ds =Z∞ ρ(0) eλρ−1(u)E|xu|21 ρ0(ρ−1(u)) du ≤Z∞ −h eλueλkE|xu|2du =eλk Z0 −h eλsE|xs|2ds +eλk Z∞ 0 eλsE|xs|2ds ≤eλkkψk2 1+eλk Z∞ 0 eλtE|Utψ(0)|2dt +eλk Z∞ 0 eλt Zt 0 E|Ut−sBxρ(s)|2ds dt, 7 gracias a (2.1), (2.2) y (2.9). Tomando de nuevo 0 <λ<2γ, resulta: Z∞ 0 eλsE|xρ(s)|2ds ≤eλk 1 + c2 2γ−λkψk2 1 +eλk Z∞ 0 eλt Zt 0 E|Ut−sBxρ(s)|2ds dt ≤eλk 1 + c2 2γ−λkψk2 1 +eλk Z∞ 0 eλtB∗U∗ tUtBdtZ∞ 0 eλsE|xρ(s)|2ds. As´ı, para f(λ) = Z∞ 0 eλtB∗U∗ tUtBdt llegamos a la desigualdad siguiente, v´alida para 0 <λ<2γ: Z∞ 0 eλsE|xρ(s)|2ds ≤eλk 1 + c2 2γ−λkψk2 1 (2.12) +eλkf(λ)Z∞ 0 eλsE|xρ(s)|2ds. Ahora bien, por (H2) y por la continuidad de las funciones definidas por integrales dependientes de par´ametros, resulta inmediato que ∃λ > 0 (suficientemente peque˜no y adem´as menor que 2γ), de tal suerte que eλkf(λ)<1. Luego de (2.12) se deduce que (2.13) Z∞ 0 eλsE|xρ(s)|2ds ≤eλk 1 + c2 2γ−λ1 1−eλkf(λ)kψk2 1. Sustituyendo en (2.11), obtenemos : (2.14) Z∞ 0 eλt Zt 0 E|Ut−sBxρ(s)|2dsdt ≤1 + c2 2γ−λeλkf(λ) 1−eλkf(λ)kψk2 1. Uniendo (2.10) y (2.14) llegamos a que ∃λ: 0 <λ<2γ , ∃K1>0 tal que (2.15) Z∞ 0 eλtE|xt|2dt ≤K1kψk2 1. 8 Nota 2.1.– De hecho, hemos probado algo m´as fuerte: “Para cada λ > 0 suficientemente peque˜no, existe una constante K1=K1(λ) (que podemos encontrar expl´ıcitamente) tal que tiene lugar (2.15)”. Etapa 2: En virtud de la F´ormula de Itˆo (v´ease Pardoux [8,9], Ichikawa [7]) aplicada al proceso eλt|xt|2,se deduce eλt|xt|2=|ψ(0)|2+λZt 0 eλs|xs|2ds + 2 Zt 0 eλs < Axs, xs> ds(2.16) +Zt 0 eλs|Bxρ(s)|2ds + 2 Zt 0 eλs(Bxρ(s), xs)dws. De aqu´ı, tomando esperanza y aplicando las propiedades de la integral estoc´astica resulta (2.17) eλtE|xt|2=E|ψ(0)|2+EZt 0 eλs(λ|xs|2+ 2 < Axs, xs>+|Bxρ(s)|2)ds. En virtud de la coercividad de −Ay de las desigualdades (2.13) y (2.15), obtenemos : eλtE|xt|2≤ kψk2 1+ (λ+ν)Zt 0 eλsE|xs|2ds(2.18) +|B|2Zt 0 eλsE|xρ(s)|2ds ≤ kψk2 1+ (λ+ν)Z∞ 0 eλsE|xs|2ds +|B|2Z∞ 0 eλsE|xρ(s)|2ds ≤(1 + (λ+ν)K1)kψk2 1+1 + c2 2γ−λeλk|B|2 1−eλkf(λ)kψk2 1, siendo esto v´alido ∀t≥0.Luego, para una cierta constante K > 0, (2.19) eλtE|xt|2≤Kkψk2 1,∀t≥0, o, lo que es igual, (2.20) E|xt|2≤Kkψk2 1e−λt,∀t≥0. 9 Se verifica que P(Λ) = 0 . Para cada ω∈Ω\Λ,existir´a N(ω)≥N0tal que ω6∈ Aj,∀j≥N(ω),es decir (3.14) sup t∈Ij |xt(ω)|< εj,∀j≥N(ω); teniendo en cuenta el valor de εj,resulta (3.15) sup t∈Ij |xt(ω)|<kψk1e−λj 8,∀j≥N(ω). Ahora bien, si t∈Ijtenemos −j≤ −(t−1); luego de (3.15) se obtiene que (3.16) sup j≤t≤j+1 |xt(ω)|<kψk1e−λ 8(t−1),∀t∈Ij,∀j≥N(ω), de donde se sigue (3.17) |xt(ω)|<kψk1eλ 8e−λt 8,∀t∈Ij,∀j≥N(ω), y por tanto, (3.18) |xt(ω)|2≤αkψk2 1e−βt,∀t≥N(ω), con α=eλ 4, β =λ 4. 4. EJEMPLO Los ejemplos m´as interesantes aparecen cuando los operadores AyBson operadores en derivadas parciales, y en particular, cuando el primero de ellos es de segundo orden y de tipo el´ıptico, mientras que el segundo es un operador de multiplicaci´on (i.e. de orden cero). Veamos a continuaci´on un ejemplo que se puede interpretar como un fen´omeno de difusi´on (por ejemplo, de calor) en el que se presenta una perturbaci´on estoc´astica: Sea Oun abierto acotado de IRN. Sean V=H1 0(O; IR), H =L2(O: IR) , que, como sabemos, satisfacen las inyecciones densas y continuas usuales (v´ease Brezis [1], por ejemplo). 16 Sean A= N X i=1 ∂2 ∂x2 i , B =r(x)I , donde r(.)∈L∞(O: IR) ,eIes el operador identidad. Tambi´en es conocido que la semi-norma kuk2=ZO N X i=1 ∂u ∂xi2 dx , es, de hecho, una norma en V, equivalente a la norma usual. Para la funci´on de retardo y el dato inicial se suponen las hip´otesis de las Secciones precedentes. Escribamos expl´ıcitamente qu´e significa que el proceso utes soluci´on fuerte del correspondiente problema (Q) : ut∈I2(−h, T;V)∩L2(Ω; C(−h, T ;H)) ∀T > 0, ZO ut.v dx +Zt 0"ZO"N X i=1 ∂us ∂xi ∂v ∂xi#dx#ds =ZO u0.v dx +Zt 0ZO r(x)uρ(s).v dxdws ∀v∈V, P −c.s., ∀t≥0, ut=ψ(t)c.p.d. en O, P −c.s., ∀t∈[−h, 0]. Denotemos por r0la cantidad r0:= krkL∞(O:IR) . Se verifica que −< Au, u >=ZO N X i=1 ∂u ∂xi ∂u ∂xi dx =kuk2,∀u∈V, |Bu|2=ZO r(x)2u(x)2dx ≤r2 0kuk2. Para que se cumpla la condici´on (c) , hace falta encontrar εyνtales que εkuk2≤ν|u|2+ 2kuk2. Pero esto es cierto sin m´as que tomar ν= 0 y ε≤2. Por otra parte, tambi´en es conocido (v´ease Weinberger [12]) que la condici´on (H1) es cierta con c=γ= 1 .Por lo tanto, para poder aplicar los resultados de las Secciones 2 y 3 necesitamos comprobar que se verifica (H2) . 17 Ahora bien, Z∞ 0 B∗U∗ tUtB dt ≤ krk2 L∞(O:IR) Z∞ 0 |Ut|2dt =1 2krk2 L∞(O:IR). Luego si r(.) es tal que 1 2krk2 L∞(O:IR) <1 entonces se tiene estabilidad exponencial asint´otica del segundo momento, y consecuentemente, estabilidad exponencial de las trayectorias de utcon probabilidad uno. Siguiendo con la interpretaci´on del ejemplo, podemos decir que los resultados obtenidos nos vienen a decir que si la perturbaci´on estoc´astica que se produce en el fen´omeno de difusi´on de calor es “peque˜na” (es decir, se verifica (H2) ) y el fen´omeno sin perturbar es exponencialmente asint´oticamente estable (lo que se deduce de (H1) ), entonces el fen´omeno perturbado mantiene el car´acter de exponencialmente estable. Agradecimiento Quiero manifestar mi profundo agradecimiento a J. Real Anguas por los valiosos consejos y comentarios que me ha proporcionado. Referencias [1] H. Brezis, Analyse Fonctionnelle, Masson, Paris (1983). [2] A. Chojnowska-Michalik, Stochastic Differential Equations in Hilbert Spaces and Their Applications, Thesis, Institute of Mathematics, Polish Academy of Sciences (1976). [3] P.L. Chow, Stochastic Partial Differential Equations: Turbulence and Related Problems, Prob. Analysis and Related Topics, 1, A.T. Bharucha-Reid, Academic Press, New York (1978). 18 [4] R. Dautray and J. L. Lions, Analyse Math`ematique et Calcul Num´erique pour les Sciences et les Techniques, Masson, Paris (1984). [5] W.H. Fleming, Distributed Parameter Stochastic Systems in Population Biology, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 107, Springer-Verlag, Berlin-New York (1975). [6] U. G. Haussmann, Asymptotic Stability of the Linear Itˆo Equation in Infinite Dimensions, J. Math. Anal. Appl. 65 (1978), 219-235. [7] A. Ichikawa, Stability of Semilinear Stochastic Evolution Equations, J.Math. Anal.Appl. 90 (1982), 12-44. [8] E. Pardoux, ´ Equations aux D´eriv´ees Partielles Stochastiques non Lin´eaires Monotones, Thesis, University of Paris XI (1975). [9] E. Pardoux, Stochastic Partial Differential Equations and Filtering of Diffusion Processes, Stochastics 3, (1979) 127-167. [10] J. Real, Contribuci´on al estudio de una clase de Ecuaciones en Derivadas Parciales Estoc´asticas con Retardo, Thesis, University of Sevilla (1980). [11] J. Real, Stochastic Partial Differential Equations with Delays, Stochastics 8, 2 (1982-83), 81-102. [12] H. F. Weinberger, A First Course in Partial Differential Equations, Blaisdell, New York (1965). 19