Estudio de la reacción de intercambio de carga 238U(p; n)238Np mediante un potencial de modelo óptico dispersivo con simetría de isospín

Estudio de la reacci´on de intercambio de carga 238U(p,n)238Np mediante un potencial de modelo ´optico dispersivo con simetr´ıa de isosp´ın Alfonso Lazo Pedrajas alflazp[email protected] Tutores: Jos´e Manuel Quesada Molina Antonio Mat´ıas Moro Mu˜noz Facultad de F´ısica, Universidad de Sevilla 18 de Junio de 2020 ´ Indice general 1 Introducci´on 1 2 Fundamentos de la teor´ıa de la dispersi´on 3 2.1 An´alisis en ondas parciales ........................... 4 2.1.1 Secci´on eficaz el´astica .......................... 5 2.1.2 Secci´on eficaz el´astica en presencia del potencial coulombiano y nuclear ................................... 7 2.1.3 Dispersi´on el´astica en presencia de absorci´on ............. 8 2.2 Teor´ıa de la dispersi´on inel´astica ........................ 10 2.2.1 M´etodo de canales acoplados (CC) .................. 11 3 El potencial de modelo ´optico dispersivo para la reacci´on 238U(p,n)238Np 14 3.1 El modelo rotacional .............................. 15 3.1.1 El rotor r´ıgido con simetr´ıa axial ................... 16 3.1.2 Estados IAS del 238Np ......................... 19 3.2 Parametrizaci´on del potencial ´optico dispersivo ............... 21 3.2.1 Potencial de Lane y simetr´ıa de isoesp´ın ............... 25 3.3 C´alculo de los elementos de matriz en el modelo rotacional ......... 28 3.3.1 Deformaci´on del potencial de Coulomb ................ 29 3.3.2 Deformaci´on del potencial nuclear ................... 30 i ´ Indice general ´ Indice general 4 Resultados 34 4.1 El archivo de entrada de FRESCO ...................... 35 4.2 Resultados .................................... 41 4.2.1 Dispersi´on de protones por n´ucleos de 238U............. 41 4.2.2 Secci´on eficaz de intercambio de carga 238U(p,n)238Np ...... 44 5 Conclusiones 47 A51 A.1 Input de la reacci´on 238U(p,n)238Np ..................... 51 A.2 C´alculo de potenciales ............................. 53 A.3 C´alculo de Mn(Eλ) y δ............................. 57 ii ´ Indice de figuras 2.1 Esquema de un proceso de dispersi´on el´astica ................ 3 2.2 Regiones del potencial ............................. 7 2.3 Forma del potencial efectivo .......................... 9 3.1 E(4+)/E(2+) frente a A............................ 15 3.2 Momento angular en el sistema intr´ınseco ................... 16 3.3 Esquema de niveles ............................... 20 3.4 Formas de W-S ................................. 21 3.5 Esquema de acoplamientos ........................... 33 4.1 Dispersi´on el´astica de protones por 238U................... 42 4.2 Dispersi´on inel´astica de protones a los estados 2+y 4+del 238U...... 43 4.3 Intercambio de carga a los estados IAS del 238Np ............... 45 iii Cap´ıtulo 1. Introducci´on Cap´ıtulo 1 Introducci´on El presente trabajo tiene como objetivo principal el estudio de la secci´on eficaz de la reacci´on de intercambio de carga 238U(p,n)238Np, por la cual el n´ucleo de uranio captura un prot´on incidente para convertirse en neptunio liberando un neutr´on. Si bien el c´alculo de esta secci´on eficaz no tiene una aplicaci´on tecnol´ogica directa, resulta de gran importancia a la hora de comprobar la validez de los denominados potenciales de modelo ´optico dispersivo que describen la dispersi´on de nucleones por n´ucleos pesados en la regi´on de los act´ınidos. Mediante los mismos se pueden estudiar procesos diversos como la dispersi´on de neutrones por n´ucleos de 238U o la formaci´on del n´ucleo compuesto, los cuales s´ı es necesario tener en cuenta en aplicaciones de energ´ıa nuclear. As´ı, es fundamental probar los potenciales que gobiernan dichos procesos de una forma m´as general, para lo que la reacci´on de intercambio de carga supone una buena herramienta. En concreto este trabajo probar´a a trav´es de dicha reacci´on la denominada consistencia Lane de los potenciales nucleares, que permite hacerlos sim´etricos respecto a rotaciones en el espacio de isoesp´ın, o lo que es lo mismo, respecto a la interacci´on de un prot´on o un neutr´on con el n´ucleo objetivo. As´ı, el cap´ıtulo 2comenzar´a por exponer los fundamentos detr´as de la teor´ıa cu´antica de la dispersi´on, para entender de esta forma el m´etodo de canales acoplados que permite calcular num´ericamente las secciones eficaces de reacci´on. Para ello es necesario construir los principios de la dispersi´on el´astica, para despu´es extender paso a paso el formalismo al caso inel´astico, de mayor inter´es en este estudio. Seguidamente, el cap´ıtulo 3presentar´a en primer lugar un estudio de las deformaciones nucleares y del espacio de estados rotacionales que describe las excitaciones de los n´ucleos fuertemente deformados como el 238U y 238Np. A continuaci´on se introducir´a la parame- 1 Cap´ıtulo 1. Introducci´on trizaci´on empleada del potencial de modelo ´optico dispersivo y el c´alculo de los elementos de matriz del mismo, necesarios en el formalismo de canales acoplados. El cap´ıtulo 4contiene todos los c´alculos necesarios que hay que suministrar al software FRESCO1, empleado para resolver num´ericamente las ecuaciones de canales acoplados y calcular las secciones eficaces deseadas. Se analizar´an por tanto los resultados que este programa produce para las secciones de dispersi´on el´astica e inel´astica de protones por n´ucleos de 238U, que permitir´an verificar la validez del potencial calculado, y para la secci´on eficaz de intercambio de carga en ´ultimo lugar. En todos los casos, se comparar´an los c´alculos de FRESCO con los datos experimentales disponibles. Para concluir este trabajo, el cap´ıtulo 5resume todo el procedimiento llevado a cabo y los resultados obtenidos, valorando su fidelidad con los c´alculos de los estudios previos [13] y [20] que este trabajo trata de reproducir como objetivo principal. 1[16]. 2 Cap´ıtulo 2. Dispersi´on Cap´ıtulo 2 Fundamentos de la teor´ıa de la dispersi´on Figura 2.1: esquema de un proceso de dispersi´on el´astica. En primer lugar resulta fundamental asentar las herramientas matem´aticas de la teor´ıa de la dispersi´on el´astica, puesto que naturalmente el formalismo para tratar las dispersiones inel´asticas se construye sobre lo anterior. En esencia, un problema de scattering estacionario consiste en la resoluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger independiente del tiempo HΨ(r) = EΨ(r)1sujeta a la condici´on de contorno asint´otica Ψ(r→ ∞)→eik·r+f(Ω)eikr r,(2.1) lo cual equivale a demandar que el comportamiento de la funci´on de onda en el infinito muestre la onda incidente m´as una onda esf´erica modulada por la amplitud de dispersi´on 1En los problemas de dos cuerpos, E=ma ma+mbElab. 3 2.1. An´alisis en ondas parciales Cap´ıtulo 2. Dispersi´on f(Ω). Para satisfacer esta condici´on, el potencial incluido en el hamiltoniano ha de anularse en el infinito seg´un rV (r)→0 para garantizar la existencia de la onda plana asint´otica. En la teor´ıa de la dispersi´on, la magnitud fundamental que proporciona informaci´on sobre la interacci´on del haz incidente con el potencial es la secci´on eficaz diferencial dσ/dΩ, definida como el cociente entre la corriente de probabilidad asint´otica fluyendo radialmente a trav´es de la superficie r2dΩ en la direcci´on del ´angulo s´olido Ω, y la corriente de probabilidad incidente. A partir del l´ımite (2.1) y la definici´on de corriente de probabilidad 2puede demostrarse que la secci´on eficaz diferencial viene dada por 3 dσ dΩ =jout ·ˆ rr2 |jin|=|f(Ω)|2.(2.2) Como se ver´a en secciones posteriores, la influencia del potencial se encuentra impl´ıcita en la amplitud de dispersi´on puesto que ´esta se calcular´a adaptando las soluciones de la ecuaci´on de Schr¨odinger a la forma asint´otica (2.1). De ahora en adelante se proceder´a a calcular (2.2) mediante distintos procedimientos seg´un se trate de una dispersi´on el´astica o inel´astica. 2.1. An´alisis en ondas parciales El m´etodo de resoluci´on de problemas de dispersi´on que da nombre a la presente secci´on toma como Ansatz o hip´otesis la descomposici´on de Ψ (soluci´on de hˆ H−EiΨ(r) = 0) en ondas parciales de momento angular lseg´un Ψ(r, θ) = 1 kr ∞ X l=0 (2l+ 1) ilYl(kr)Pl(cos θ),(2.3) donde se ha supuesto un potencial con simetr´ıa esf´erica y, por tanto, la funci´on de onda no depende expl´ıcitamente de la coordenada azimutal φ. El factor num´erico se ha introducido por conveniencia y Pl(cos θ) denota el polinomio de Legendre de orden l. Los coeficientes Yl(kr), siendo kel momento correspondiente a la onda plana incidente, satisfacen la ecuaci´on diferencial para cada valor de l d2 dr2−l(l+ 1) r2−2µ ~2V(r) + k2Yl(kr) = 0.(2.4) 2j=~ 2µi (Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗), siendo µla masa reducida del sistema en el caso de dos part´ıculas. 3V´ease, por ejemplo, [1]. 4 2.1. An´alisis en ondas parciales Cap´ıtulo 2. Dispersi´on Puede comprobarse que (2.4) se obtiene introduciendo (2.3) en la ecuaci´on de Schr¨odinger, multiplicando ´esta posteriormente por Pl06=ly haciendo uso de las relaciones de ortogonalidad de los polinomios de Legendre 4. A la luz de dicha expresi´on, se observa que el an´alisis en ondas parciales permite obtener ecuaciones monodimensionales radiales para cada t´ermino de momento angular definido. Adem´as, el desarrollo (2.3) podr´a en general truncarse para un lmax ≈kR 5en el caso de potenciales de corto alcance, lo cual resulta beneficioso de cara a la resoluci´on computacional de las ecuaciones. 2.1.1. Secci´on eficaz el´astica En el fen´omeno de la dispersi´on el´astica, los canales de entrada y salida de la dispersi´on coinciden, entendi´endose por canal una configuraci´on concreta de los sistemas que interaccionan (naturaleza de las part´ıculas y estados de las mismas). Adem´as, la conservaci´on de la energ´ıa exige que se verifique |kin|=|kout|=ksiendo la onda plana incidente eikin·r, adem´as de que el flujo de probabilidad total incidente ha de ser el mismo que el dispersado para todas las direcciones. Todas estas condiciones implican que la soluci´on de la ecuaci´on (2.4) para r→ ∞ (suficientemente lejos del alcance del potencial) d2 dr2+k2Yl(kr)=0,(2.5) no puede diferir de la onda plana sin(kr) m´as que en un corrimiento de fase δldebido a la conservaci´on del m´odulo de la onda incidente. Esta magnitud incorpora impl´ıcitamente la influencia del potencial V(r) en la funci´on de onda asint´otica, de tal forma en que en el infinito las soluciones de (2.5) se sustituyen en Ψ de la ecuaci´on (2.3) para dar Ψ(r→ ∞, θ) = 1 kr ∞ X l=0 (2l+ 1) ilalsin kr −π 2l+δlPl(cos θ)6.(2.6) Por otra parte, sabemos que la funci´on de onda de todo problema de dispersi´on debe adecuarse a la condici´on de contorno (2.1), para lo cual se acostumbra a descomponer asimismo la amplitud de dispersi´on en ondas parciales seg´un 4R1 −1d(cosθ)Pl0Pl=2 2l+1 δll0 5Para una deducci´on semicl´asica de este resultado, v´ease [2] p. 104. 6El t´ermino πl 2procede del desarrollo de la onda plana en ondas parciales en el l´ımite r→ ∞ ([1], eq. 1.30). 5 2.2. Teor´ıa de la dispersi´on inel´astica Cap´ıtulo 2. Dispersi´on Eβ=E−β, con ˆ HintΦβ=βΦβ. La ecuaci´on (2.21) abarca en principio un n´umero infinito de t´erminos al ser ψun conjunto completo, pero experimentalmente s´olo las secciones eficaces de unos pocos canales podr´an resolverse, lo que permite truncar el desarrollo reteniendo un n´umero finito de t´erminos. Se obtienen as´ı ecuaciones diferenciales acopladas, cuya resoluci´on es puramente num´erica. Sin embargo, al realizar tal truncamiento restringiendo el problema a un subespacio de inter´es del conjunto ψ, el potencial Vha de ser sustituido por una interacci´on efectiva 14 cuya forma funcional solo puede aproximarse mediante parametrizaciones, que adem´as depender´an de la energ´ıa del proyectil debido a que por definici´on el potencial efectivo es funci´on de E. El m´etodo CC es la base de los programas de c´alculos de reacciones nucleares como FRESCO. Debido a que la parte no diagonal de los potenciales se expresar´a como desarrollos multipolares, un desarrollo de la funci´on de onda relativa ψen ondas parciales (secci´on 2.1) permitir´a calcular la parte angular de los elementos Vββ0de forma cerrada. As´ı, se expresa15 Ψ = 1 rX J,n,ln,jn RJnlnjn(r) (Ylnjn⊗ΦIn)JM = 1 rX J,n,ln,jn RJnlnjn(r)X mjMnhjnInmjMn|JMiYmj lnjnΦMn In,(2.22) siendo la parte angular de la funci´on de onda del proyectil Ymj lnjn=X mlmshlsmlms|jmjiilYml lnχms s.(2.23) En ambas expresiones, el´ındice netiqueta el estado n-´esimo del objetivo tal que ˆ HintΦMn In= nΦMn In. Los n´umeros de esp´ın symsest´an referidos al proyectil, a cuya onda parcial de momento lnse acoplan seg´un jn=ln+s. A su vez, el esp´ın total del proyectil se acopla al esp´ın del objetivo para dar J=jn+In. As´ı, mediante (2.22) se reescriben las ecuaciones acopladas (2.21) de la forma 14V´ease [5], expresi´on 8.18. 15V´ease [6], p. 684. 12 2.2. Teor´ıa de la dispersi´on inel´astica Cap´ıtulo 2. Dispersi´on 1 + d2 dρ2 n−ln(ln+ 1) ρ2 n−1 En VdiagRJnlnjn= 1 EnX n0,ln0,jn0h(Ylnjn⊗ΦIn)JM |Vcoupl|Yln0jn0⊗ΦIn0JM iRJn0ln0jn0,(2.24) siendo ρn=knr,Vdiag la parte diagonal del potencial (independiente de coordenadas internas) y Vcoupl la parte responsable del acoplamiento de canales. Cabe resaltar en (2.24) que el sumatorio en Jdesaparece al ser ´este un buen n´umero cu´antico para el hamiltoniano 16, debido a la conservaci´on del momento angular total. Por tanto, por cada valor posible de Jse tiene un conjunto de ecuaciones acopladas, cuyo n´umero depender´a del total de estados nucleares incluidos y de sus momentos angulares. Las soluciones RJnlnjndel conjunto de ecuaciones acopladas (2.24) se obtienen num´ericamente, para lo cual se requiere evaluar los elementos de matriz de Vcoupl constituyendo esto la parte fundamental del procedimiento. El software FRESCO empleado en este estudio sigue un proceso muy similar al expuesto en la secci´on 2.1.1 para calcular las secciones eficaces inel´asticas en este caso17, por el cual se exige la continuidad de las soluciones RJnlnjna un cierto radio rcon el comportamiento asint´otico esperado de las mismas, para extraer as´ı los elementos de la matriz de dispersi´on que determinan las dσ[In,In0]/dΩ de cada transici´on entre estados del n´ucleo blanco. Por ´ultimo conviene mencionar que en efecto, se comprueba que el m´etodo DWBA de la secci´on 2.2 constituye la aproximaci´on en primer orden del m´etodo de canales acoplados. Es decir, el primero se obtiene del segundo con tan solo considerar el acoplamiento del canal de entrada a un ´unico canal de salida. Introduciendo sucesivamente m´as acoplamientos, se van realizando aproximaciones de ´ordenes superiores a las secciones eficaces. 16V´ease [6], p. 684. 17V´ease [4], secci´on 5.3.5 y 5.3.6 para la deducci´on de la secci´on eficaz diferencial en el m´etodo de canales acoplados. 13 Cap´ıtulo 3. DOMP Cap´ıtulo 3 El potencial de modelo ´optico dispersivo para la reacci´on 238U(p,n)238Np En el cap´ıtulo 2se han presentado los fundamentos de la teor´ıa cu´antica de la disper- si´on, permitiendo as´ı entender el formalismo implementado en los programas de c´alculos de reacciones nucleares. El siguiente paso para estudiar la reacci´on que da t´ıtulo a este trabajo es modelar el hamiltoniano que dar´a lugar a los estados excitados observados en los n´ucleos blanco (238U) y residual (238Np), y que adem´as definir´a el espacio de estados rotacionales en el cual se calcular´an los elementos de matriz de las ecuaciones de canales acoplados. Dicho hamiltoniano se enmarca dentro del modelo de rotor r´ıgido, como se ver´a a continuaci´on. Asimismo, en la presente secci´on se expondr´a el potencial de modelo ´optico dispersivo (DOMP) para act´ınidos (elementos del periodo 7 de la tabla peri´odica al que pertenecen el U y Np), haciendo ´enfasis en la simetr´ıa de isosp´ın del mismo. Por ´ultimo, se pondr´an en pr´actica los conocimientos de los apartados anteriores para mostrar las expresiones expl´ıcitas de los elementos de matriz de (2.24). 14 3.1. El modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP 3.1. El modelo rotacional Uno de los modelos m´as satisfactorios a la hora de explicar un amplio rango de estados excitados nucleares es el modelo de capas, a partir del cual pueden obtenerse el esp´ın y paridad de los mismos en base al acoplamiento de dos o m´as estados monoparticulares. Las excitaciones se pueden obtener entonces a la luz de este modelo a trav´es de la ruptura de pares de nucleones pertenecientes al mismo nivel, cuya energ´ıa necesaria es en general del orden de los 2 MeV. Sin embargo, para un amplio n´umero de n´ucleos par-par, existe un primer estado excitado 2+a una energ´ıa del orden de 1.2 MeV, a media distancia de las excitaciones monoparticulares mencionadas anteriormente. Por tanto, no existe combinaci´on posible de estados individuales que explique una energ´ıa tan baja, sino que de alguna forma debe existir una excitaci´on colectiva de nucleones capaz de dar cuenta de la misma. Figura 3.1: E(4+)/E(2+) frente a Apara los estados 4+y 2+m´as bajos de n´ucleos par-par [7]. La figura 3.1 muestra dos reg´ımenes claros del cociente entre las energ´ıas de los dos primeros estados m´as bajos. Para A < 150 se tienen fluctuaciones entorno a E(4+) E(2+)≈2 mientras que en el rango 150 < A < 190 y A > 230 el cociente se mantiene constante en 3.33. Esto evidencia la presencia de dos mecanismos distintos de excitaciones colectivas , a saber1: Por debajo de A=150, se describen usualmente las excitaciones de los niveles anteriores en base a vibraciones de la superficie nuclear entorno a su forma de equilibrio, mediante deformaciones del radio nuclear dependientes del tiempo. 1V´ease [7], sec. 5.2. 15 3.1. El modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP El rango 150 < A < 190 y A > 230 concierne a n´ucleos de momentos el´ectricos cuadrupolares significativos y por tanto deformaciones permanentes, lo que sugiere la naturaleza rotacional de los estados excitados. Para estudiar la reacci´on 238U(p,n)238Np debe explorarse por tanto el modelo rotacional. Cabe resaltar en la figura 3.1 que los n´ucleos con n´umeros m´agicos en Z o N muestran una fuerte ca´ıda en el cociente de energ´ıas de los dos estados, lo que sugiere que la excitaci´on de dichos niveles en esos n´ucleos no es de origen colectivo. Es m´as, conforme se van a˜nadiendo nucleones a estas configuraciones de capas completas, la curva exhibe una mayor concentraci´on de n´ucleos pesados deformados y rotacionales. Es por ello que se puede atribuir el origen de las deformaciones permanentes a interacciones residuales entre protones y neutrones de valencia 2. 3.1.1. El rotor r´ıgido con simetr´ıa axial La existencia de deformaciones en los n´ucleos pesados supone una ruptura de la simetr´ıa esf´erica, lo que permite fijar direcciones preferentes como ejes de simetr´ıa en el sistema fijo al n´ucleo {x0y0z0}. Para especificar la orientaci´on de ´este respecto al sistema fijo al laboratorio ser´an necesarios los tres ´angulos de Euler ω={φ θ ψ}, y el estado de movimiento del sistema estar´a completamente caracterizado por tres n´umeros cu´anticos. Puesto que el momento angular total del n´ucleo Jconmuta con las proyecciones del mismo sobre el sistema intr´ınseco, estos n´umeros pueden escogerse simult´aneamente como los autovalores de J2,JzyJz0que se muestran en la figura 3.2. Figura 3.2: momento angular proyectado a lo largo del eje de simetr´ıa del n´ucleo con autovalor Ky a lo largo del eje zdel sistema laboratorio con autovalor M. 2Una explicaci´on extensa de este origen de la colectividad se puede encontrar en [8], sec. 6.7. 16 3.1. El modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP En lo siguiente, se supondr´a una simetr´ıa axial con z0como eje de simetr´ıa. En mec´anica cu´antica, las rotaciones en torno a dicho eje son indistinguibles del reposo local, al ser el hamiltoniano invariante frente a las mismas. Por ello, ˆ Hrot incorpora las componentes Jx0 yJy0de tal forma en que puede expresarse como ˆ Hrot =J2 x0+J2 y0 2I=J2−J2 z0 2I,(3.1) donde Ies el momento de inercia. Las energ´ıas del espectro rotacional del n´ucleo ser´an por tanto E(J, K) = ~2[J(J+ 1) −K2] 2I,(3.2) con la proyecci´on Kdefinida en la figura 3.2. Para un valor fijo de K, las energ´ıas dadas por los valores posibles de Jconstituyen una banda rotacional, siendo el valor m´ınimo K= 0 el que define la banda fundamental. Por otra parte, la condici´on de simetr´ıa axial restringe Ken las autofunciones de ˆ Hrot a un ´unico valor para cada banda al ser ´este un buen n´umero cu´antico, de tal forma en que puede demostrarse que las funciones de onda resultan ser una suma de las matrices D de Wigner de la forma3: ΨJMK =2J+ 1 16π21/2 ΦKDJ MK(ω)+(−1)J+KΦ−KDJ M−K(ω),(3.3) siendo ΦKla parte de la funci´on de onda que engloba el resto de grados de libertad no asociados a la rotaci´on, y ωel conjunto de los ´angulos de Euler definidos anteriormente. Puede observarse entonces que (3.3) para los estados de la banda fundamental K= 0 ser´a no nula ´unicamente para valores pares de J, que tendr´an por tanto paridad ΠJ= (−1)J positiva. De esta forma, se tendr´an estados Jπ= 0+, 2+, 4+y as´ı en adelante para la banda fundamental de los n´ucleos rotacionales considerados en este estudio. Las energ´ıas experimentales y estimadas mediante el modelo de rotor r´ıgido de los mismos se recogen en la tabla 3.1, para el n´ucleo de 238U. 3V´ease [9], sec. 4-2c. 17 3.1. El modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP JπEexp (keV)ERR (keV) 0+0.0 0.0 2+44.92 44.92 4+148.38 149.72 Tabla 3.1: energ´ıas experimentales y estimadas seg´un el modelo de rotor r´ıgido para los tres primeros estados de la banda fundamental del 238U [10]. Como puede verse en la tabla 3.1, las energ´ıas estimadas de los tres primeros estados reproducen bastante bien las experimentales. De hecho, en estos tres casos son m´as fidedignas que las calculadas mediante el modelo m´as sofisticado de rotor blando, seg´un se recoge en el art´ıculo [10]. En el presente estudio se considerar´a hasta el nivel 4+en el esquema de acoplamiento de niveles (v´ease la figura 3.5), pues tal y como se indica en [13] dicho esquema satura al a˜nadir acoplamientos superiores, es decir, la consideraci´on de acoplamientos a estados de mayor energ´ıa en la banda fundamental no altera significativamente las secciones eficaces de intercambio de carga. Por otra parte, es necesario parametrizar las deformaciones nucleares permanentes de la forma apropiada, para poder simplificar el c´alculo de los elementos de matriz en las ecuaciones de canales acoplados. Esto se lleva acabo mediante un desarrollo en arm´onicos esf´ericos del radio nuclear, modelada por los par´ametros βλ0de deformaci´on axial 4 Ri(θ0, φ0) = R0 i 1 + X λ=2,4,6 βλ0Yλ0(θ0, φ0)!,(3.4) donde {θ0, φ0}son las coordenadas esf´ericas en el sistema fijo al n´ucleo, R0 i=riA1/3y el ´ındice irecorre las distintas partes del potencial ´optico que se expondr´an en la secci´on 3.2, tales como el t´ermino de Hartree-Fock (HF), de Coulomb, de volumen y de superficie. Gracias a (3.4) se introduce un car´acter tensorial en el potencial V(r) que permitir´a su desarrollo multipolar y la separaci´on del mismo en Vdiag (parte sin componente tensorial con arm´onicos esf´ericos) y Vcoupl como se realiza en la ecuaci´on (2.24). Cada orden multipolar λ= 2,4,6 presente en (3.4) introduce la posibilidad de transiciones a los estados 2+, 4+y 6+respectivamente. 4Esta parametrizaci´on es t´ıpica y viene recogida en m´ultiples textos como [6]o[11]. 18 3.1. El modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP Para los c´alculos de las secciones siguientes conviene expresar (3.4) en el sistema fijo al laboratorio {θ, φ}mediante la relaci´on Yλµ(n0) = Pµ0Dλ µ0µ(ω)Yλµ0(n)5, quedando los radios nucleares de la forma: Ri(θ, φ) = R0 i 1 + X µ,λ=2,4,6 βλ0Dλ µ0(ω)Yλµ(θ, φ)!.(3.5) Los par´ametros de deformaci´on del 238U y 238Np se muestran en la tabla 3.2. Aunque la ´ultima secci´on eficaz que se calcul´o fue la de intercambio de carga al estado 4+del neptunio, la deformaci´on del potencial se consider´o hasta orden 6. 238Uy238Np β20 0.228 β40 0.062 β60 -0.0056 Tabla 3.2: par´ametros de deformaci´on est´atica extra´ıdos de [11]. 3.1.2. Estados IAS del 238Np Hasta ahora, se han presentado el modelo de rotor r´ıgido y las energ´ıas de los estados excitados m´as bajos del 238U en el marco del mismo. Ahora bien, para caracterizar la reacci´on de intercambio de carga se requiere igualmente determinar la energ´ıa y caracter´ısticas de los estados del n´ucleo residual 238Np, que constituir´an los canales de salida de la reacci´on. Una forma simple de llevar a cabo este estudio es explotando la simetr´ıa de isoesp´ın de las interacciones nucleares. A modo esquem´atico, se representar´a la reacci´on de la forma A(p,n)B. El estado fundamental del n´ucleo blanco A tendr´a, seg´un la tendencia reflejada en el t´ermino de simetr´ıa de la f´ormula semiemp´ırica de masas, un isoesp´ın igual al valor absoluto de la tercera componente del mismo, Tmin A=|T3A|=N−Z 2donde Nes su n´umero de neutrones y se ha supuesto que T3A<0 debido al exceso de neutrones en los n´ucleos pesados que nos conciernen. Por su parte, el n´ucleo residual B tendr´a un isoesp´ın en su estado fundamental Tmin B=|T3B|=N−1−(Z+1) 2=|T3A|−1. As´ı, el estado de isoesp´ın Tmin Aestar´a presente en 5V´ease [12] eq. 3.10.20. 19 3.1. El modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP el n´ucleo B como un estado excitado (ya que Tmin A> Tmin B). Tanto el estado excitado de B con isoesp´ın T=Tmin Acomo el propio estado fundamental de A, formar´an parte por tanto de un mismo multiplete de isoesp´ın T, donde ambos estados ser´an los miembros con valores contiguos de T3(T3AyT3A+ 1 para A y B respectivamente). Si la interacci´on nuclear es sim´etrica respecto a rotaciones en el espacio de isoesp´ın, entonces despreciando la repulsi´on coulombiana entre protones y la diferencia de masa entre ´estos y neutrones, los estados excitados colectivos del n´ucleo A deber´ıan estar asimismo presentes en el n´ucleo B con isoesp´ın Tmin A. Este es el origen de los estados is´obaros an´alogos o IAS (isobaric analog states). Si se considera ahora la repulsi´on electrost´atica entre los protones dentro del n´ucleo residual, se espera que los IAS est´en desplazados en energ´ıa respecto a sus hom´ologos del n´ucleo A en ∆C= 1.444 ¯ Z/A1/3−1.13 MeV 6, estimado emp´ıricamente y conocido como desplazamiento de Coulomb. Adem´as, hay que tener en cuenta el valor Qde la reacci´on en cuesti´on, procedente de la f´ormula semiemp´ırica de masas y que representa la separaci´on energ´etica entre los estados fundamentales de los n´ucleos. Para el caso de la reacci´on 238U(p,n)238Np los estados IAS del neptunio (0+, 2+y 4+) presentar´an por tanto una energ´ıa de excitaci´on, respecto al estado fundamental del 238U, igual a las recogidas en la tabla 3.1 m´as ∆C= 20.42 MeV, y por otra parte, una energ´ıa EIAS =E238U+ ∆C−|Q| respecto al estado fundamental del 238Np, como se muestra en la figura 3.3. 0.0 0.04491 0.14841 19.4934 19.5383 19.6418 IAS GS || Figura 3.3: esquema de los niveles rotacionales considerados en la reacci´on con sus correspondientes energ´ıas en MeV, dadas respecto al estado fundamental de sus respectivos n´ucleos, con ∆C= 20.42 MeV yQ=−0.930 MeV. 6V´ease la introducci´on de [13]. 20 3.2. Parametrizaci´on del potencial ´optico dispersivo Cap´ıtulo 3. DOMP 3.2. Parametrizaci´on del potencial ´optico dispersivo Una vez establecido el espacio de estados colectivos presentado en el apartado anterior, es necesario a continuaci´on exponer la formulaci´on del potencial de modelo ´optico que describe la interacci´on nucle´on-n´ucleo. Naturalmente, se trata de una ´unica forma funcional que pueda describir tanto los estados de dispersi´on de energ´ıa positiva como los estados ligados monoparticulares. Como se mencion´o en la secci´on 2.1.3, este potencial tendr´a partes real e imaginaria para las que se adopta generalmente la forma 7 V(r, R(θ0, φ0), E) = −VHF(E)+∆VCoul HF (E)fws (r, RHF (θ0, φ0)) −∆Vv(E)+∆VCoul v(E) + iWv(E)fws (r, Rv(θ0, φ0)) −∆Vs(E)+∆VCoul s(E) + iWs(E)gws (r, Rs(θ0, φ0)) +~ mπc2 [Vso(E)+∆Vso(E) + iWso(E)] ×1 r d drfws (r, Rso) (ˆσ·ˆ L) + Vcoul (r, Rc(θ0, φ0)) ,(3.6) donde fws ygws son las formas de Woods-Saxon est´andar y su derivada (v´ease la figura 3.4): fws(r, Ri(θ0, φ0)) = 1 1 + e r−Ri(θ0,φ0) ai gws (r, Rs(θ0, φ0)) = −4as d drfws (r, Rs(θ0, φ0)) .(3.7) R r(fm) -1 0 fws(r) (a) R r(fm) 0 gws(r) (b) Figura 3.4: (a) forma de Woods-Saxon (de profundidad negativa) con par´ametros arbitrarios y (b) su derivada gws, nula en todo el espacio salvo en el entorno del radio nuclear R. 7La discusi´on de todos los t´erminos sigue las f´ormulas propuestas en [11]y[13]. 21 3.3. C´alculo de los elementos de matriz en el modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP Es decir, los potenciales isovectoriales (3.25) y (3.26), m´as la correcci´on dispersiva ∆Vs 1, determinan totalmente el potencial de transici´on. Entonces, seg´un la ecuaci´on de Lane para Vpn (3.24), los elementos de matriz de las ecuaciones de canales acoplados (2.24) se reescriben15: hn, TB;IB|V(r)|p, TA;IAi=hn, TB|Tcoupl|p, TAihIB|V1(r)|IAi= √N−Z 2AhIB|V1(r)|IAi.(3.27) 3.3. C´alculo de los elementos de matriz en el modelo rotacional Habiendo expuesto en la secci´on 3.1 el modelo rotacional que define el espacio de estados excitados, as´ı como el potencial ´optico en la secci´on 3.2, puede presentarse en los apartados siguientes el c´alculo expl´ıcito de los elementos de matriz del potencial y sus expresiones, para poder ser introducidos en el archivo de entrada de FRESCO que calcular´a la secci´on eficaz de 238U(p,n)238Np. Con dicho fin, conviene en primer lugar se˜nalar cu´al es el criterio implementado en FRESCO para producir los acoplamientos (2.24). Dado un operador tensorial S([L, sp], st) (por ejemplo, una componente de multipolaridad dada del potencial) que produce transferencia de momento angular spentre estados del proyectil y stentre los del n´ucleo blanco, los elementos de matriz de dicho operador est´an implementados en FRESCO de la forma 16 h(lIp)j, It;JM|S([L, sp], st)|(l0I0 p)j0, I0 t;JMi= (−1)st+J+j0+It(j0I0 tJ Itj st)ˆ jˆ j0 ×       l0I0 pj0 L spst l Ipj0        1 √4π ˆ Lˆ lhl0L0|l00i hIp||sp||I0 pi hIt||st||I0 ti.(3.28) 15[13]. 16Ecuaci´on V4 del manual de FRESCO [16], donde se ha ajustado la notaci´on a los elementos de (2.24). 28 3.3. C´alculo de los elementos de matriz en el modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP Se recuerda la notaci´on establecida en (2.24) por la cual les el momento angular de la onda parcial del proyectil, j=l+Ip,Ip= 1/2 en nuestro caso y J=j+It. Por otra parte, Les el de momento angular orbital transferido por el operador y sp=1,st=Vλ(r) siendo λel orden multipolar. Adem´as se define ˆ j=√2j+ 1 y los t´erminos entre corchetes son los s´ımbolos 6j y 9j de Wigner, respectivamente. Los elementos de matriz reducidos se definen de acuerdo al teorema de Wigner-Eckart y est´an implementados en FRESCO seg´un el convenio hj0m0|ˆ Oλµ|jmi=1 √2j0+ 1hjmλµ|j0m0ihj0||ˆ Oλ||ji.(3.29) De forma autom´atica, FRESCO genera todos los factores de (3.28) que acompa˜nan a los elementos reducidos de matriz, por lo que son estos ´ultimos los que se presentar´an en las siguientes secciones y se introducir´an en el programa. 3.3.1. Deformaci´on del potencial de Coulomb Seg´un se expuso en 3.2, FRESCO calcula el t´ermino de Coulomb del potencial ´optico realizando un desarrollo multipolar del potencial el´ectrico de una esfera cargada 17: Vcoul =ZZ0e2Zρ(r, θ0, φ0) |r−r0|dr0 r>>r0 =ZZ0e2X λµ Zρ(r, θ0, φ0)r0λ rλ+1 4π 2λ+ 1Y∗ λµ(θ, φ)Yλµ(θ0, φ0) dr0 =ZZ0eX λµ 4π 2λ+ 1 M(Eλ, µ) rλ+1 Y∗ λµ(θ, φ),(3.30) donde M(Eλ, µ) = eRρ r0λYλµ(θ0, φ0) dr0es el operador multipolar el´ectrico. A la hora de tomar los acoplamientos I→I0del potencial (3.30) entre estados rotacionales, aparecer´an los elementos de matriz reducidos M(Eλ) = iI−I0+|I−I0|hI0||M(Eλ)||Ii18 que no depender´an de las proyecciones µ.´ Estos son calculados por FRESCO a partir de las deformaciones nucleares 19 17El desarrollo multipolar 1/|r−r0|=X λµ 4π 2λ+ 1rλ <r−(λ+1) >Y∗ λµ(θ, φ)Yλµ(θ0, φ0) se ha extra´ıdo de [6], ecuaci´on 7. 18El factor de fase ifue introducido por convenio en FRESCO. 19Del art´ıculo [17] que acompa˜na a la versi´on de FRESCO descargada. 29 3.3. C´alculo de los elementos de matriz en el modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP M(Eλ) = 3Zeβλ(R0 C)λ 4πiI−I0+|I−I0|√2I+ 1 hIKλ0|I0Ki =Mn(Eλ)iI−I0+|I−I0|√2I+ 1 hIKλ0|I0Ki.(3.31) En definitiva, son los elementos de matriz intr´ınsecos Mn(Eλ) los que requieren ser introducidos en el archivo de entrada de la reacci´on, para que FRESCO pueda computar autom´aticamente los elementos reducidos (3.31) y con ellos los acoplamientos (3.28) del potencial coulombiano. Los Mn(Eλ) se calculan de forma sencilla mediante los par´ametros de deformaci´on est´atica βλseg´un Mn(Eλ) = 3Zeβλ(R0 C)λ 4π,(3.32) con R0 c=rcA1/3. El coeficiente Clebsch-Gordan hIKλ0|I0Kien (3.31) procede de nuevo del teorema de Wigner-Eckart e introduce las reglas de selecci´on habituales para cada transici´on de orden multipolar λ, a saber: |I0−I| ≤ λ≤I0+IyK= cte, es decir, las transiciones ocurren entre bandas rotacionales de igual proyecci´on K, en nuestro caso entre estados de la banda fundamental. Por ´ultimo, multiplicando por la dependencia radial se obtiene el factor de forma completo: Vλ c(r) = M(Eλ)e√4π 2λ+ 1 1 rλ+1 para r > Rc.(3.33) Multiplicados por los factores de momento angular que aparecen en (3.28), los coeficientes (3.33) determinan la parte coulombiana de las ecuaciones de canales acoplados (2.24). Cabe notar en ´ultimo lugar que la dependencia con Y∗ λµ(θ, φ) en (3.30) factoriza en estos elementos de matriz tomados sobre coordenadas internas del n´ucleo, pero genera los acoplamientos entre momentos orbitales l, l0yLque aparecen en (3.28) con L=λ. 3.3.2. Deformaci´on del potencial nuclear Para los elementos de matriz del potencial nuclear, se comienza de forma an´aloga al caso coulombiano, presentando el desarrollo multipolar del potencial ´optico con sus componentes diagonal y de acoplamiento separadas seg´un V(r, θ0, φ0) = Vdiag +Vcoupl con 30 3.3. C´alculo de los elementos de matriz en el modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP Vcoupl(r, θ0, φ0) = X λ>0,µ Vλ coupl(r)Dλ µ0(ω)Yλµ(θ, φ).(3.34) El desarrollo (3.34) se realiza sobre la superficie nuclear con deformaci´on axial dada por Ri(θ0, φ0), lo que conferir´a una buena convergencia cuando se retengan solo unos pocos t´erminos de la serie20. Las matrices de rotaci´on Dλ µ0(ω) aparecen al expresar las coordenadas en el sistema laboratorio, respecto al cual la orientaci´on del n´ucleo est´a dada por el conjunto de ´angulos de Euler ωseg´un se vio al final de la secci´on 3.1.1. Los coeficientes del desarrollo para un orden multipolar fijo son los factores de forma radiales 21: Vλ coupl(r)=2πZπ 0−(V+iW)fws(r−R(θ0, φ0)) Yλ0(θ0) sin(θ0) dθ0 = 2πX i=HF,v Zπ 0 −(Vi+iWi)Yλ0(θ0) sin(θ0) dθ0 1 + exp " r−R0 i{1 + X λ0=2,4,6 βλ0Yλ00(θ0)}!/ai# +2πZπ 0 −4 (Vs+iWs) exp " r−R0 s{1 + X λ0=2,4,6 βλ0Yλ00(θ0)}!/as# 1 + exp " r−R0 s{1 + X λ0=2,4,6 βλ0Yλ00(θ0)}!/as#!2Yλ0(θ0) sin(θ0) dθ0. (3.35) El ´ındice irecorre los t´erminos de Hartree-Fock y volumen del potencial ´optico (3.6) con sus partes real e imaginaria. La contribuci´on del t´ermino de superficie es proporcional a gws (ecuaci´on (3.7)) y por ello su integral radial es la presentada en la tercera l´ınea, mientras que el t´ermino de esp´ın-´orbita no aparece al no ser deformado. Como puede verse, las deformaciones nucleares se consideran hasta orden 6 y est´an recogidas en la tabla 3.2. Adem´as, se ha anticipado µ= 0 en (3.35) debido a la regla de selecci´on que se presentar´a m´as adelante. Al evaluar los elementos de matriz reducidos del potencial seg´un (3.28), el operador sp=1 dar´a simplemente, teniendo en cuenta la definici´on de FRESCO de dichos elementos 20Discusi´on extra´ıda de [6]. Seg´un dicho autor, el desarrollo multipolar es m´as conveniente para retener los ´ordenes inferiores que la serie de potencias del potencial entorno a la forma esf´erica. 21Se sigue el planteamiento propuesto por Tamura [6]. 31 3.3. C´alculo de los elementos de matriz en el modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP h1 2||1||1 2i=r21 2+ 1 h1 2mp|1 2mpi h1 2mp00|1 2mpi=r21 2+ 1 = √2.(3.36) Para la parte del n´ucleo blanco, st=Vλ coupl(r)Dλ µ0(ω) puesto que el arm´onico esf´erico del desarrollo multipolar no depende de coordenadas internas del n´ucleo. Al tomar los elementos reducidos de los acoplamientos It→I0 tresulta hI0 t||Vλ coupl(r)Dλ µ0||Iti=Vλ coupl(r)p2I0 t+ 1 hI0 t0|Dλ µ0|It0i hIt0λ0|I0 t0i,(3.37) donde se ha aplicado nuevamente la definici´on (3.29) de los elementos reducidos. A continuaci´on, se determinan por separado los elementos de la matriz de rotaci´on Dλ µ0, haciendo uso de la expresi´on para los productos de tres matrices de dicho tipo22: hI0 t0|Dλ µ0|It0i=p(2I0 t+ 1)(2It+ 1) 8π2Z(DI0 t 00)∗Dλ µ0DIt 00 dΩ =p(2I0 t+ 1)(2It+ 1) 8π2 8π2 2I0 t+ 1 hλµIt0|I0 t0ihλ0It0|I0 t0i µ=0 =s2It+ 1 2I0 t+ 1 hλ0It0|I0 t0i2.(3.38) En la ecuaci´on superior, se ha sustituido la expresi´on para las funciones de onda en la banda rotacional fundamental23 ΨI0=1 √2πr2I+ 1 4πDI 00. Al pasar de la segunda a la ´ultima l´ınea el primer coeficiente de Clebsch-Gordan fuerza necesariamente µ= 0 para que no se anulen los elementos de matriz y el segundo coeficiente impone la regla de selecci´on habitual para cada orden multipolar |I0 t−It| ≤ λ≤I0 t+It. Insertando (3.38) en (3.37) y multiplicando por la parte del proyectil (3.36) se tiene h1 2||sp||1 2ihI0 t||Vλ coupl(r)Dλ µ0||Iti=√4π√2λ+ 1√2p2It+ 1 Vλ coupl(r)hIt0λ0|I0 t0i.(3.39) El factor √4π√2λ+ 1 se introduce intencionadamente por coherencia con los c´alculos internos de FRESCO. Como se ver´a en el cap´ıtulo siguiente, la expresi´on (3.39) es la que se debe introducir en el archivo de entrada del programa, para generar los acoplamientos 22V´ease la f´ormula B13 en [18]. 23V´ease [9] secci´on 4-2c. 32 3.3. C´alculo de los elementos de matriz en el modelo rotacional Cap´ıtulo 3. DOMP del potencial nuclear entre las particiones de entrada y salida. Las transiciones se considerar´an hasta orden multipolar λ= 4 seg´un se muestra en el esquema de acoplamientos de la figura 3.5. λ = 0 λ=2 λ=4 λ=2 λ=0,2,4 λ=2,4 λ=4 λ=2,4 λ=0,2,4 Figura 3.5: esquema con los acoplamientos entre particiones considerados en el c´alculo. Aparte de los propios a los canales (p,n), FRESCO genera acoplamientos y reorientaciones entre los estados dentro de las particiones del U y del Np. Los mostrados en esta figura se generar´an en ambos sentidos. 33 Cap´ıtulo 4. Resultados Cap´ıtulo 4 Resultados En el presente cap´ıtulo se expondr´an todos los c´alculos y procedimientos llevados a cabo para preparar el archivo de entrada que lee FRESCO en la secci´on 4.1, empleando para ello el fundamento que se explic´o en el cap´ıtulo 3. Como se ha anticipado en numerosas ocasiones, este programa resuelve las ecuaciones de canales acoplados (2.24) de forma iterativa hasta el orden que se le indique, y a partir de las condiciones de contorno asint´oticas calcula los elementos de la matriz de dispersi´on S. Con ellos, mediante m´etodos an´alogos a los presentados en el cap´ıtulo 2, FRESCO calcula finalmente las secciones eficaces de dispersi´on el´astica e inel´astica. En la secci´on 4.2 se ver´a el resultado que produce el programa para las secciones eficaces de dispersi´on el´astica e inel´astica de protones por n´ucleos de 238U, compar´andose con los datos experimentales disponibles para comprobar la validez de los c´alculos realizados para el potencial. En ´ultimo lugar se mostrar´a la secci´on eficaz de intercambio de carga (p,n) a los estados is´obaros an´alogos del 238Np y se comparar´a igualmente con datos experimentales. 34 4.1. El archivo de entrada de FRESCO Cap´ıtulo 4. Resultados 4.1. El archivo de entrada de FRESCO En primer lugar es necesario justificar los datos de entrada al programa que conforman al archivo del anexo A.1. FRESCO toma como entrada archivos en formato namelist en los cuales los distintos par´ametros que se introducen est´an organizados en tarjetas. A continuaci´on se explicar´a el significado de cada una de ellas y de los datos recogidos en las mismas. La primera tarjeta que aparece en el anexo mencionado establece los valores que FRESCO toma como referencia en el c´alculo num´erico de las funciones de onda: &FRESCO hcm=0.1 rmatch=50 rintp=0.5 jtmax=30 thmin=5 thmax=-180.00 thinc=1 ips=1 iter=0 iblock=6 nnu=24 treneg=100 smats=2 xstabl=1 elab= 26 unitmass=1.000 finec=137.03599d0 / Tarjeta 4.1: par´ametros generales del c´alculo y de la resoluci´on num´erica de las ecuaciones de canales acoplados. Comenzando por la primera l´ınea, hcm marca la longitud de los intervalos en fm a los que el programa calcula las funciones de onda hasta el l´ımite superior dado por rmatch, correspondiente al radio al cual se exige la continuidad de las funciones radiales bajo el potencial de interacci´on y las asint´oticas (v´ease la figura 2.2). El valor jtmax indica el m´aximo del intervalo de momento angular total J(resultado de acoplar los espines intr´ınsecos del proyectil y del n´ucleo y el momento angular orbital asociado a su movimiento relativo), en el cual son calculados los conjuntos de ecuaciones acopladas. Por encima de 30 se comprob´o que no se alteraban los resultados significativamente. Otros par´ametros importantes de esta tarjeta son iter eiblock. El primero de ellos es el n´umero de iteraciones con las que se deben resolver la ecuaciones acopladas, mientras que el segundo es el n´umero de pares de estados excitados dentro de una partici´on que ser´an acoplados para dar lugar a dichas ecuaciones. En principio, con iter=0 se resuelve ´unicamente la secci´on eficaz el´astica, pero se comprob´o que un valor de iblock=6 predomina sobre el anterior y fuerza a FRESCO a resolver el c´alculo completo de canales acoplados, 35 4.1. El archivo de entrada de Fresco Cap´ıtulo 4. Resultados utilizando todos los acoplamientos de los tres estados que se definir´an en cada partici´on. Por ´ultimo en esta tarjeta se introducen varios valores num´ericos indicando al programa que la partici´on y estados de proyectil de entrada de la reacci´on son los que se definir´an en primer lugar. Se introduce igualmente la energ´ıa de 26 MeV del prot´on incidente. Las tarjetas siguientes que comienzan por &PARTITION (anexo A.1) introducen por orden las particiones de entrada y salida. En la primera de ellas se identifica el proyectil con un prot´on y se establece el n´ucleo blanco 238U, especificando su masa en unidades de masa at´omica y su carga. Posteriormente, las l´ıneas con &STATES definen los estados rotacionales que se consideran en cada partici´on con sus respectivos momentos angulares, energ´ıas y bandas a las que pertenecen (la fundamental en todos los casos con paridad positiva que se indica con bandt>0). La segunda tarjeta de particiones es an´aloga a la anterior pero introduciendo el neutr´on como proyectil y el n´ucleo de 238Np como blanco. Todos los momentos angulares y energ´ıas de los tres estados rotacionales de cada partici´on son los que se presentaron en la figura 3.3, con las energ´ıas de excitaci´on referidas a sus propios estados fundamentales. En siguiente lugar, se presentan las tarjetas que introducen los valores de los diferentes t´erminos del potencial de modelo ´optico dispersivo en cada una de las l´ıneas que siguen a &POT. La tarjeta 4.2 recoge los potenciales del canal de entrada, pero la tarjeta para el canal de salida tiene una estructura id´entica con los valores correspondientes al n´ucleo 238Np por lo que la explicaci´on que sigue es igualmente v´alida. En ambas, la primera l´ınea establece los par´ametros geom´etricos del potencial de Coulomb, que se toma en su orden monopolar como el de una distribuci´on de carga con forma de Woods Saxon. A continuaci´on las l´ıneas con type=1, 2 y 3 introducen los potenciales de Hartree-Fock, volumen, superficie y esp´ın-´orbita respectivamente. Dentro de las mismas el primer par´ametro es siempre la profundidad real y el cuarto es la profundidad imaginaria, teniendo en cuenta que no es necesario incorporar el signo negativo global de la definici´on (3.6), mientras que el resto de par´ametros de la l´ınea son los radios y difusividades que vienen recogidos en la tabla 3.3. Para los t´erminos de HF y volumen se escoge una forma de Woods-Saxon por defecto, mientras que el t´ermino de superficie depende de la derivada como ya se mencion´o. 36 4.1. El archivo de entrada de Fresco Cap´ıtulo 4. Resultados &POT kp=1 itt=F at=238 rc=1.2174 ac=0.551 / &POT kp=1 type=11 shape=12 itt=F p2=285.027 p3=0. p4=4411.57 p5=0. p6=-22679.9 / &POT kp=1 type=1 itt=F p1=44.942 p2=1.252 p3=0.636 / &POT kp=1 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.76901 p3=0.0 p4=0.481048 p5=0.0 p6=-0.0434495 / &POT kp=1 type=1 itt=F p1=2.314 p2=1.253 p3=0.680 p4=1.828 p5=1.253 p6=0.678 / &POT kp=1 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.77043 p3=0.0 p4=0.481432 p5=0.0 p6=-0.0434842 / &POT kp=1 type=2 itt=F p1=3.815 p2=1.181 p3=0.603 p4=13.212 p5=1.181 p6=0.603 / &POT kp=1 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.6687 p3=0.0 p4=0.453768 p5=0.0 p6=-0.0409855 / &POT kp=1 type=3 itt=F p1=4.480 p2=1.121 p3=0.590 p4=-0.130 p5=1.121 p6=0.590 / Tarjeta 4.2: potenciales del canal de entrada p+238U. La tablas 4.2 y4.1 recopilan todas las profundidades reales e imaginarias en los canales de entrada y salida de la reacci´on, que fueron calculadas mediante las expresiones de la secci´on 3.2 en el programa de MATLAB que se incluye en el anexo A.2. Las integrales dispersivas se implementaron seg´un (3.10) y se contrast´o su valor con el obtenido a trav´es del programa publicado en [19], encontr´andose una buena coincidencia. Las correcciones de Coulomb, sin embargo, no pudieron calcularse por separado al requerir de la forma anal´ıtica de las integrales dispersivas, por lo que se emplearon las ∆VCoul calculadas en su momento para el art´ıculo [11]. VHF VvVsVT so Real (MeV) 40.641 2.145 3.124 5.407 Imaginario (MeV) — 0.308 5.870 -0.020 Tabla 4.1: potenciales para el canal de salida n+238Np, evaluados a la energ´ıa del neutr´on En= 27 MeV− ∆C≈7 MeV. En la partici´on del neutr´on las correcciones de Coulomb no son necesarias. 37 4.2. Resultados Cap´ıtulo 4. Resultados niveles 6+y 8+en el c´alculo contribuye a un flujo de probabilidad extra en los canales 2+y 4+que realmente no les corresponde. No obstante, como se se˜nal´o en la secci´on 3.1.1, el esquema de acoplamientos reducido que se emple´o es suficiente para describir el canal de intercambio de carga. Las figuras 4.1 y 4.2 por tanto muestran que dentro de los l´ımites de validez de este esquema, FRESCO es capaz de calcular satisfactoriamente las secciones de dispersi´on de protones a los estados m´as bajos de la banda rotacional fundamental, y por tanto, los acoplamientos que calcula este programa autom´aticamente dentro de la partici´on p+238U son adecuados para ser usados posteriormente en el c´alculo de la reacci´on de intercambio de carga. Asimismo, se concluye que el potencial de la tabla 4.2 es v´alido para describir la interacci´on del prot´on con el n´ucleo blanco. 4.2.2. Secci´on eficaz de intercambio de carga 238U(p,n)238Np Por ´ultimo, pueden presentarse las secciones eficaces de intercambio de carga a los estados IAS del n´ucleo residual 238Np, para cuyo c´alculo se emplea naturalmente el archivo de entrada de FRESCO que aparece completo en el anexo A.1. A diferencia de la secci´on anterior, en esta ocasi´on s´ı se tienen en cuenta todos los acoplamientos posibles entre las particiones (figura 3.5) adem´as de dentro de las mismas. Los resultados se muestran en la figura 4.3 para la energ´ıa incidente del prot´on de 26 MeV. En ella, las secciones eficaces individuales permitir´an analizar la contribuci´on de cada estado al c´alculo de canales acoplados, mientras que la secci´on eficaz conjunta de los tres ser´a comparada con los datos experimentales disponibles. Gracias a la figura 4.3 se constata en primer lugar, como ya se hab´ıa anticipado en la secci´on anterior, la d´ebil contribuci´on del canal de intercambio de carga a los procesos de dispersi´on de protones por n´ucleos de 238U, puesto que a ´angulos superiores a 30◦la secci´on eficaz conjunta (l´ınea negra s´olida en la figura) es ya inferior a 1 mb/sr, mientras que las gr´aficas 4.1 y4.2 muestran secciones muy superiores a ´esta para el canal el´astico y el 2+del 238U. Pueden compararse para m´as claridad las secciones eficaces integradas para cada uno de los estados en ambas particiones (tabla 4.6), que muestran en efecto c´omo la dispersi´on inel´astica de protones predomina sobre el intercambio de carga. 44 4.2. Resultados Cap´ıtulo 4. Resultados 0 50 100 150 3c:m:(deg) 10!2 10!1 100 d<=d+(mb=sr) 0+ 2+ 4+ 0+;2+;4+ Hansen Figura 4.3: secci´on eficaz diferencial de intercambio de carga 238U(p,n)238Np a Ep=26 MeV. Las l´ıneas discontinuas muestran las secciones individuales de excitaci´on de cada uno de los estados is´obaros an´alogos, mientras que la l´ınea s´olida es la suma de las secciones de los tres estados anteriores. Los datos experimentales as´ı como sus barras de error se extrajeron de [20], de nuevo mediante la herramienta web [22]. Estado 2+ 238U 4+ 238U IAS 0+IAS 2+IAS 4+ σmb 56.6699 5.0523 1.8329 1.4282 0.4502 Tabla 4.6: secciones eficaces integradas por FRESCO entre 5◦y 180◦, para la excitaci´on de cada uno de los estados excitados mediante protones incidentes. Por otra parte, las secciones eficaces de excitaci´on de cada estado rotacional del 238Np por separado indican c´omo contribuyen ´estos al c´alculo. Puede observarse que en la regi´on 75◦≤θc.m.≤170◦, el estado 2+contribuye en mayor medida a la secci´on total que el estado 0+al presentar una mayor secci´on eficaz, de tal forma en que queda completamente justificada la inclusi´on del primero en el formalismo de canales acoplados. Es decir, se deduce que los elementos de matriz que acoplan el estado IAS 2+del 238Np a los distintos del 238U son comparables en magnitud a los correspondientes al estado IAS 0+del n´ucleo residual. Adem´as, el estado 4+ya presenta una secci´on eficaz muy inferior 45 4.2. Resultados Cap´ıtulo 4. Resultados a los otros dos IAS en casi todo el dominio, como constatan las secciones integradas de la tabla 4.6, por lo que los acoplamientos a los estados 6+y 8+no hubieran aportado cambios significativos a la secci´on total 2, mostr´andose as´ı la denominada saturaci´on del esquema de acoplamientos empleado. La secci´on total, suma de las tres secciones individuales de los estados, reproduce aproximadamente los datos experimentales, y muestra en efecto que su comportamiento general est´a marcado sobre todo por la excitaci´on de los estados IAS 0+y 2+. La raz´on de realizar la suma de las secciones eficaces es que tal y como apuntan los autores de [20], de donde proceden los datos, la anchura de l´ınea natural de los estados IAS del n´ucleo residual es Γ ≈250 keV, por encima de la diferencia en energ´ıa entre los mismos. Ello comporta que en la pr´actica estos niveles no son observables por separado, puesto que su dispersi´on en energ´ıa (una consecuencia natural del decaimiento radiactivo) se superpone a sus energ´ıas individuales, impidiendo as´ı distinguir entre s´ı a los neutrones que proceden de cada estado del 238Np . Es interesante apuntar adem´as que seg´un [20], los errores experimentales est´an asociados mayormente a la superposici´on de los neutrones dispersados del intercambio de carga sobre un fondo continuo de neutrones de fisi´on procedentes de la muestra de 238U. Seg´un dicho estudio este error disminuye con la energ´ıa del haz de protones incidente, pero los par´ametros del potencial de los que se dispuso para el c´alculo (tabla 3.3) est´an ajustados a 26 MeV y no reproducir´an con exactitud secciones eficaces a energ´ıas superiores 3. En definitiva, a pesar de que las secciones eficaces de excitaci´on de los tres primeros estados is´obaros an´alogos del 238Np no son observables a trav´es del intercambio de carga, la secci´on conjunta de los mismos s´ı es sensible a dichas secciones. La secci´on eficaz conjunta es adem´as plenamente coincidente con la mostrada en la figura 2 de [13]4, tal y como este trabajo pretend´ıa lograr. 2V´ease la discusi´on en [13]. 3En el estudio original [20] se incluyen tambi´en resultados a 27 MeV que, por la raz´on citada, no se consideran en este trabajo. 4Existe un error en el pie de dicha figura. En ´el, se dice que las secciones eficaces se calcularon a 27 MeV, mientras que realmente fue a 26 MeV. 46 Cap´ıtulo 5. Conclusiones Cap´ıtulo 5 Conclusiones En este trabajo se ha presentado un estudio de la reacci´on de intercambio de carga 238U(p,n)238Np, empleando para ello un potencial ´optico dispersivo y el m´etodo de canales acoplados, cuyo uso ha quedado ampliamente justificado a la luz de las figuras 4.1,4.2 y4.3, que exhiben el fuerte car´acter colectivo de los estados excitados del uranio y el neptunio y adem´as muestran c´omo es necesario acoplar ´estos entre s´ı. Asimismo, se ha empleado exitosamente el potencial de modelo ´optico dispersivo para la descripci´on de la dispersi´on de protones por n´ucleos de 238U. Siguiendo las formulaciones de dicho potencial planteadas en [11]y[13], se ha logrado aplicar la extensi´on del mismo al caso de la reacci´on de intercambio de carga 238U(p,n)238Np, mediante la incorporaci´on de las ecuaciones de Lane al formalismo y el uso de la simetr´ıa de isoesp´ın para introducir los acoplamientos entre las particiones del uranio y el neptunio, ampliando as´ı la aplicabilidad del planteamiento original de Tamura [6] (v´ease la secci´on 2.2.2). En definitiva, la secci´on eficaz de intercambio de carga se ha aproximado satisfactoriamente a los datos experimentales de [20], especialmente teniendo en cuenta que no se incluy´o el canal (p,n) en el ajuste de los potenciales1, y ha reproducido plenamente los c´alculos previos de [13] lo que demuestra una vez m´as el acierto del formalismo de Lane ya probado en los art´ıculos mencionados. Por tanto se concluye que el objetivo primordial de este trabajo, consistente en realizar y entender los procedimientos que se llevaron a cabo en [13], ha sido cumplido con ´exito. Sin embargo, tal y como se remarca en [13], la discrepancia existente con los valores experimentales reside tambi´en en que la denominada consistencia Lane del potencial nuclear 1V´ease [13]. 47 Cap´ıtulo 5. Conclusiones es meramente aproximada. Es decir, la forma funcional del potencial de modelo ´optico (3.6) no es completamente invariante frente al intercambio de prot´on y neutr´on como proyectil (en la parte nuclear, sin tener en cuenta la interacci´on electrost´atica), puesto que incorpora expl´ıcitamente las correcciones de Coulomb ∆VCoul i(con i= HF, v, s) en el caso de protones incidentes. Como ya se se˜nal´o en la secci´on 3.2, las correcciones de Coulomb aparecen en realidad al aproximar en primer orden un potencial nuclear efectivo que tiene en cuenta la energ´ıa cin´etica disponible para el prot´on debido a la repulsi´on electrost´atica con el n´ucleo blanco. Dicho potencial efectivo equivale a evaluar Vpp(Ep) para protones incidentes a una energ´ıa del proyectil corregida con el desplazamiento de Coulomb E=Ep−∆C, de tal forma en que se tiene2 Vpp(Ep) = ˜ Vpp(Ep−∆C)≡˜ Vpp(E),(5.1) donde ˜ Vindica que debe ser calculado sin considerar el potencial electrost´atico VCoul y ∆Ces el que se present´o en la secci´on 3.1.2. Por tanto seg´un [23], el potencial que se ha empleado es el desarrollo en serie de ˜ Vpp(E) hasta primer orden en ∆C: Vpp (Ep)≈˜ Vpp (Ep)−∆c d˜ Vpp (Ep) dE ,(5.2) donde entonces se puede identificar ∆VCoul =−∆cd˜ Vpp(Ep) dE , por analog´ıa con la definici´on (3.6). As´ı, si en lugar de incluir expl´ıcitamente las correcciones ∆VCoul iseg´un (5.2), como se ha hecho en este trabajo y en [13], se hubieran evaluado los potenciales a E= 26 MeV−∆C de acuerdo a (5.1), se tendr´ıa una simetr´ıa de isoesp´ın m´as completa puesto que Vser´ıa formalmente id´entico para protones y neutrones en su parte nuclear. Ello hubiera implicado probablemente una mejor aproximaci´on a los datos experimentales, pero entonces los par´ametros que caracterizan al potencial ´optico tendr´ıan que haber sido reajustados. 2Este apartado sigue la discusi´on presentada en [23]. 48 Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa [1] P. Fr¨obrich, R. Lipperheide. Theory of nuclear reactions, cap´ıtulo 1. Oxford University Press, 1996. [2] G.R. Satchler. Introduction to nuclear reactions, The MacMillan Press LTD, 1980. [3] A.M. Moro Mu˜noz. Nuclear Reactions. Inelastic, Transfer and Breakup reactions., Master in Nuclear Physics, Departamento de F´ısica At´omica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Sevilla. 25 Sept. 2019. [4] G.R. Satchler. Direct Nuclear Reactions, Oxford University Press, 1983. [5] N.K. Glendenning. Direct Nuclear Reactions, World Scientific Publishing CO , 2004. [6] T. Tamura. Analyses of the Scattering of Nuclear Particles by Collective Nuclei in Terms of the Coupled-Channel Calculation, Rev. Mod. Phys. 37, 679 (1965). DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.37.679. [7] K.S. Krane. Introductory Nuclear Physics, John Wiley and Sons , 2nd ed., 1988. [8] R.F. Casten. Nuclear Structure from a Simple Perspective, Oxford University Press , 1990. [9] A. Bohr, B.R. Mottelson. Nuclear Structure. Volume II: Nuclear Defromations, World Scientific Publishing CO, 1998. [10] J.M. Quesada, D. Martyanov, Efrem Soukhovitskii, R. Capote, S. Chiba. Saturation of coupling of collective levels in optical model calculations of even-even actinides, EPJ Web Conf. 146 (2017), 12013. DOI: https://doi.org/10.1051/epjconf/ 201714612013. [11] R. Capote, E. Sh. Soukhovitskii, J.M. Quesada, S. Chiba. Is a global coupled-channel dispersive optical model potential for actinides feasible?, Phyis. Rev. C72, 064610 (2005). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevC.72.064610. 49 Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa [12] J. J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley Publishing CO., 1994. [13] J.M. Quesada, R. Capote, E. Sh. Soukhovitskii, S. Chiba. Approximate Lane consistency of the dispersive coupled-channels potential for actinides, Phys. Rev. C76, 057602 (2007). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevC.76.057602. [14] C. Mahaux, H. NGO, G.R. Satchler. Causality and the threshold anomaly of the nucleus-nucleus potential, Nucl. Phys. A449, 354-394 (1986). DOI: https://doi.org/ 10.1016/0375-9474(86)90009-6. [15] A.M. Lane. Isobaric spin dependence of the optical potential and quasi-elastic (p,n) reactions, Nucl. Phys. 35, 676-685 (1962). DOI: 10.1016/0029-5582(62)90153-0. [16] I.J. Thompson. Fresco. Versi´on FRES 3.2, Noviembre 2017, LLNL-SM-485670. [17] I.J. Thompson. Coupled reaction channels calculations in nuclear physics, Computer Physics Reports 7, 167-212 (1988). [18] E. Sh. Soukhovitskii, R. Capote, J.M. Quesada, S. Chiba, D.S. Martyanov. Nucleon scattering on actinides using a dispersive optical model with extended couplings, Phys. Rev. C94, 064605 (2016). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevC.94.064605. [19] J.M. Quesada, R. Capote, A. Molina, M. Lozano. Dispersion relations in the nuclear optical model, Computer Physics Communications 153 97 (2003). Enlace del programa: http://cpc.cs.qub.ac.uk/summaries/ADRO. [20] L. F. Hansen, S. M. Grimes, C. H. Poppe, C. Wong. Charge exchange (p,n) reactions to the isobaric analog states of high Znuclei: 73 ≤Z≤92, Phys. Rev. C28, 1934 (1983). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevC.28.1934. [21] L. F. Hansen, I. D. Proctor, D. W. Heikkinen, V. A. Madsen. Nuclear deformation in the actinide region by proton inelastic scattering, Phys. Rev. C25, 189 (1982). DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevC.25.189. [22] A. Rohatgi. WebPlotDigitalizer https://automeris.io/WebPlotDigitizer. Ver- si´on 4.2, abril 2019 (visitado en mayo de 2020). [23] R. Capote, E. Soukhovitskii, J. M. Quesada, S. Chiba. Lane consistency of the dispersive coupled-channel optical model potential, International Conference on Nuclear Data for Science and Technology 2007. DOI: https://doi.org/10.1051/ndata:07765. 50 Anexo A. Anexo A A.1. Input de la reacci´on 238U(p,n)238Np Se muestra a continuaci´on el archivo de entrada completo en FRESCO, para el c´alculo de la reacci´on de intercambio de carga. La parte mostrada en la tarjeta 4.1 es una versi´on simplificada de la que se presenta aqu´ı, para facilitar su comprensi´on. 238Upn238Np &FRESCO hcm=0.1 rmatch=50 rintp=0.5 jtmax=30 absend=-0 dry=F jump(1:6:1)= 0 0 0 0 0 0 jbord(1:6)= 0 0 0 0 0.0 0.0 thmin=5 thmax=-180.00 thinc=1 ips=1 iter=0 iblock=6 pralpha=F nnu=24 treneg=100 smats=2 xstabl=1 pel=1 exl=1 lab=1 lin=1 lex=1 elab(1:4)= 26 0 0 0 nlab(1:3)= 0 0 0 fatal=F nosol=F psiren=F unitmass=1.000 finec=137.03599d0 / &PARTITION namep=’p’ massp=1.0078 zp=1 namet=’238U’ masst=238 zt=92 qval=0.0000 pwf=F nex=3 / &STATES jp=0.5 bandp=1 ep=0.00 cpot=1 jt=0.0 bandt=1 et=0.00 fexch=F / &STATES jp=0.5 copyp=1 bandp=1 ep=0.00 cpot=1 jt=2.0 bandt=1 et=0.04491 fexch=F / &STATES jp=0.5 copyp=1 bandp=1 ep=0.00 cpot=1 jt=4.0 bandt=1 et=0.14841 fexch=F / 51 A.1. El input de fresco Anexo A. &PARTITION namep=’n’ massp=1.0088 namet=’Np238’ masst=238 zt=93 qval=-0.930 pwf=F nex=3 / &STATES jp=0.5 bandp=1 ep=0.00 cpot=2 jt=0.0 bandt=1 et=19.4934 fexch=F / &STATES jp=0.5 copyp=1 bandp=1 ep=0.00 cpot=2 jt=2.0 bandt=1 et=19.5383 fexch=F / &STATES jp=0.5 copyp=1 bandp=1 ep=0.00 cpot=2 jt=4.0 bandt=1 et=19.6418 fexch=F / &partition / &POT kp=1 itt=F at=238 rc=1.2174 ac=0.551 / &POT kp=1 type=11 shape=12 itt=F p2=285.027 p3=0. p4=4411.57 p5=0. p6=-22679.9 / &POT kp=1 type=1 itt=F p1=44.942 p2=1.252 p3=0.636 / &POT kp=1 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.76901 p3=0.0 p4=0.481048 p5=0.0 p6=-0.0434495 / &POT kp=1 type=1 itt=F p1=2.314 p2=1.253 p3=0.680 p4=1.828 p5=1.253 p6=0.678 / &POT kp=1 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.77043 p3=0.0 p4=0.481432 p5=0.0 p6=-0.0434842 / &POT kp=1 type=2 itt=F p1=3.815 p2=1.181 p3=0.603 p4=13.212 p5=1.181 p6=0.603 / &POT kp=1 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.6687 p3=0.0 p4=0.453768 p5=0.0 p6=-0.0409855 / &POT kp=1 type=3 itt=F p1=4.480 p2=1.121 p3=0.590 p4=-0.130 p5=1.121 p6=0.590 / 52 A.2. C´alculo de potenciales Anexo A. &POT kp=2 itt=F at=238 rc=1.2174 ac=0.551 / &POT kp=2 type=11 shape=12 itt=F p2=288.125 p3=0. p4=4459.52 p5=0. p6=-22926.4 / &POT kp=2 type=1 itt=F p1=40.641 p2=1.252 p3=0.636 / &POT kp=2 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.76901 p3=0.0 p4=0.481048 p6=-0.0434495 / &POT kp=2 type=1 itt=F p1=2.145 p2=1.253 p3=0.680 p4=0.308 p5=1.253 p6=0.680 / &POT kp=2 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.77143 p3=0.0 p4=0.481432 p5=0.0 p6=-0.0434842 / &POT kp=2 type=2 itt=F p1=3.124 p2=1.181 p3=0.603 p4=5.870 p5=1.181 p6=0.603 / &POT kp=2 type=11 shape=12 itt=F p1=0.0 p2=1.6687 p3=0.0 p4=0.453768 p5=0.0 p6=-0.0409855 / &POT kp=2 type=3 itt=F p1=5.407 p2=1.121 p3=0.590 p4=-0.020 p5=1.121 p6=0.590 / &pot / &overlap / &COUPLING icto=2 icfrom=1 kind=9 ip2=2 p1=1.0 p2=1.0 / &coupling / A.2. C´alculo de potenciales El siguiente programa en MATLAB calcula las profundidades de los potenciales en el canal p+238U o n+238Np mediante las expresiones (3.8) a (3.15), as´ı como los potenciales de transici´on mediante (3.25) y (3.26). Toma como argumentos de entrada la energ´ıa del proyectil, Z,N, la energ´ıa de Fermi y un indicador de si se trata de un prot´on o un neutr´on incidente. 53