Control predictivo-interactivo basado en modelo y aplicado a procesos por lotes

CONTROL PREDICTIVO-ITERATIVO BASADO EN MODELO Y APLICADO A PROCESOS POR LOTES J. R. Cueli y C. Bordons Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Camino de los Descubrimientos, s/n. 41092 Sevilla, Espa˜na [email protected],bor[email protected] Resumen: Este art´ıculo presenta una soluci´on al control de procesos por lotes basado en un esquema predictivo no lineal. El controlador propuesto incluye caracter´ısticas propias de control iterativo, como es la capacidad de cancelar las perturbaciones que se repiten. El controlador se basa en un modelo del proceso, y es capaz de aprender de un lote al siguiente. Se demuestra que el controlador propuesto es capaz de estabilizar sistemas lineales, y tambi´en cualquier planta no lineal y af´ın en el control con funci´on de salida lineal. Una aplicaci´on experimental sobre una planta real de laboratorio corrobora los resultados te´oricos esperados. Copyright c °2006 CEA-IFAC Palabras clave: Control de procesos por lotes, control ´optimo, control predictivo, algoritmos de aprendizaje. 1. INTRODUCCI´ ON Este art´ıculo trata sobre el control de procesos de duraci´on limitada, cuya caracter´ıstica principal es la periodicidad, bien de las trayectorias de referencia o bien de las perturbaciones a las que se ven sometidos. Como tales, el control de este tipo de procesos presenta dificultades inherentes, entre las cuales cabe nombrar la ausencia de un punto de operaci´on determinado, la fuerte no linealidad propia de los mismos, o la falta de sensores en tiempo real para medir algunas de las variables decisivas para determinar la calidad del producto fabricado. La finalidad de este trabajo es presentar tambi´en ciertos artificios que permiten un mejor control de estos procesos, para as´ı solventar las dificultades encontradas. En efecto, se pueden formular controladores espec´ıficos, lineales o no lineales, que consiguen un seguimiento ´optimo de las trayectorias de referencia, para los cuales se pueden encontrar pruebas de estabilidad y convergencia. Gran n´umero de procesos industriales poseen naturaleza discontinua, y, entre ellos, son muchos los que se caracterizan por la similitud de las trayectorias entre diferentes lotes del proceso. En concreto, cualquier cadena de fabricaci´on genera a gran escala productos que deben cumplir ciertas especificaciones de calidad, lo cual implica que se pueden usar en los mismos controladores iterativos o de aprendizaje. Se pueden encontrar ejemplos en rob´otica, pero tambi´en en control de procesos qu´ımicos o bioqu´ımicos, como pueden ser la industria farmac´eutica, alimentaria, de fabricaci´on de pol´ımeros, semiconductores, etc. El aumento de capacidad de c´alculo en los equipos de control, y la mayor disponibilidad de tiempo que existe en los procesos qu´ımicos (que t´ıpicamente se caracterizan por tener una din´amica m´as lenta que los sistemas mec´anicos o el´ectricos) y la necesidad de una mejora en la eficiencia de los ISSN: 1697-7912. Vol. 3, Núm. 1, Enero 2006, pp. 63-74 procesos y la competitividad de los productos fabricados en los mismos conllevan a concentrar esfuerzos en el ´ambito de algoritmos de optimizaci´on no lineales que sean capaces de realizar mejoras en los sistemas de producci´on. En este punto, los procesos por lotes o tipo batch (Bonvin 1998) ofrecen posibilidades importantes en cuanto a la flexibilidad de los productos fabricados. Los procesos por lotes son aquellos procesos industriales de duraci´on limitada y posiblemente, aunque no siempre, constante, en los cuales el material se incorpora al proceso completamente en una fase inicial, se procesa, y finalmente se obtiene un lote (que es cierta cantidad determinada) del producto preparado. Com´unmente, si el producto fabricado no cambia durante un intervalo de tiempo prolongado, y adem´as se produce en cantidades importantes, se opta por procesos de fabricaci´on continuos, que, en oposici´on a los procesos por lotes, generan un flujo constante de producto a la salida. La raz´on de este uso de procesos continuos es una mejora del rendimiento industrial de los mismos. Pero este hecho s´olo se traduce en beneficios econ´omicos para producciones elevadas. Los procesos por lotes son m´as ventajosos en entornos muy flexibles y competitivos, en los cuales se debe reutilizar en poco tiempo la maquinaria existente para fabricar productos novedosos. Existe otra clase intermedia entre procesos por lotes y continuos, cuya traducci´on literal ser´ıa semilote (semibatch) y que posee caracter´ısticas intermedias entre ambos. En ´estos, se permite la entrada de materia prima una vez comenzado el proceso, la cual se puede emplear como una variable adicional de control. El resultado obtenido es que se mantiene la flexibilidad de los procesos por lotes, mientras que se mejora en cierta medida el rendimiento industrial. En la elecci´on del tipo de controlador es importante conocer las condiciones iniciales del proceso. Si ´estas se mantienen constantes para todo lote, y adem´as la duraci´on del proceso est´a fijada, es preferible usar controladores iterativos a controladores no lineales dise˜nados para seguimiento de consignas. El incorporar informaci´on de lotes anteriores del proceso posibilita la obtenci´on de controladores con mejores prestaciones que los que no tienen en cuenta este hecho. En el caso de que las condiciones iniciales s´olo se impongan en el primer lote de todos, cabe hablar de controladores repetitivos. En algunos casos, las leyes de control de control repetitivo e iterativo son muy parecidas e incluso coinciden, pero en la realidad el hecho de mantener las condiciones iniciales hace que las propiedades de los mismos sean muy diferentes. En concreto, las demostraciones de estabilidad y las propiedades de los sistemas controlados son muy diferentes entre s´ı. El control repetitivo tiene m´as que ver con seguir una trayectoria peri´odica que con procesos con lotes reales. El art´ıculo se organiza de la siguiente forma. La secci´on 2 muestra el estado del arte de controladores iterativos. En secci´on 3 se presenta una soluci´on de naturaleza combinada predictivaiterativa para el control ´optimo de plantas no lineales por lotes. En la secci´on 4 se muestra una aplicaci´on, que permite comprobar el funcionamiento del controlador descrito en la secci´on 3 en una planta piloto de laboratorio. Finalmente se indican las conclusiones generales obtenidas. En cuanto a la notaci´on utilizada en este trabajo para procesos por lotes, se toma la convenci´on siguiente. El sub´ındice se refiere al instante discreto de tiempo dentro del lote, mientras que el super´ındice se emplea para denotar el n´umero de lote (uk tes la se˜nal de control aplicada en el tiempo tdel lote k). El ´ındice de n´umero de lote ser´a omitido en caso de que ´este corresponda con el lote en curso y no haya lugar a confusi´on. Si las variables est´an definidas en tiempo continuo, ´este se denotar´a entre par´entesis: u(t). 2. CONTROLADORES ITERATIVOS Consid´erese una planta descrita mediante las ecuaciones siguientes: ½˙xk(t) = f¡xk(t)¢+g¡xk(t)¢uk(t) yk(t) = h¡xk(t)¢(1) con las condiciones iniciales x(0) = xk(0) = x0(2) y que se conocen las trayectorias para todos los lotes anteriores al actual ¡ui(t), xi(t), yi(t)¢i= 1 . . . (k−1) Los controladores iterativos (Moore 1998) tratan principalmente de refinar la ley de control de cada lote. Para ello, calculan el control bas´andose en el aplicado durante el lote anterior, m´as un t´ermino de correcci´on que te´oricamente debe proporcionar una mejora en el comportamiento del sistema en cada nuevo lote. Es decir, de forma bastante general, se puede decir que la ley de control iterativa est´a dada por uk(t) = uk−1(t)+K¡r(t), xk(t), xk−1(t). . . ¢(3) Dependiendo de la elecci´on del t´ermino de realimentaci´on se tendr´a un esquema de control iterativo u otro. Por ejemplo, si Ks´olo depende de xk−1(t), se obtiene un controlador que se puede decir que est´a en bucle abierto estrictamente hablando. La importancia de esto es que se permite as´ı que la tarea de incluir un retardo en el sistema de control sea directa, pues la realimentaci´on se lleva a cabo usando una variable 64 Control Predictivo-Iterativo Basado en Modelo y Aplicado a Procesos por Lotes Figura 1. Esquema de un controlador iterativo cuya evoluci´on es ya conocida con antelaci´on. Por supuesto, sigue existiendo realimentaci´on en el sistema, pero esta informaci´on se pasa de un lote al siguiente (hay que esperar al final del lote para corregir los errores que se producen en el actual). As´ı, hay muchas clases diferentes de controladores, que se dise˜nan con el mismo fin, que es conseguir el mejor ajuste a la trayectoria de referencia. Es importante que el controlador converja en pocas iteraciones, ya que el comportamiento transitorio puede influir en costos asociados al proceso. No obstante, en algunos procesos es posible realizar algunas iteraciones del proceso real para que el controlador obtenga la trayectoria ´optima, pero sin usar la materia prima real, sino alg´un otro material de menor costo y similares caracter´ısticas. Tambi´en es posible el uso de herramientas de simulaci´on para llegar a trayectorias iniciales admisibles. En este punto se puede decir que las t´ecnicas iterativas se pueden emplear tambi´en para la obtenci´on de trayectorias de referencia ´optimas en bucle abierto y la inversi´on de la planta mediante aproximaciones sucesivas. Para plantas continuas se pueden usar los siguientes algoritmos ILC (Iterative Learning Control), conocidos como tipo-P (proporcional) uk+1(t) = uk(t) + Kek(t) (4) otipo-D (derivativo) uk+1(t) = uk(t) + K˙ek(t) (5) La condici´on suficiente que garantiza la estabilidad del sistema controlado mediante la ley de control (5) en un sistema lineal descrito por ½˙xk(t) = Axk(t) + Buk(t) yk(t) = Cxk(t)(6) resulta ser, seg´un (Arimoto y Naniwa 2000), la siguiente kI−CBKki<1 (7) para alguna norma matricial inducida. La norma inducida indica que al aplicar la transformaci´on lineal dada por la matriz correspondiente a un conjunto determinado, ´este se expande, como mucho, seg´un un factor dado por el valor de esta norma inducida. Exactamente la misma condici´on se aplica a sistemas en tiempo discreto (Moore 1993). En cuanto a la estabilidad del ILC de tipo-P, debe consultarse (Kawamura et al. 1988). En el caso de plantas discretas no lineales, existen controladores que mantienen una estructura lineal. Un ejemplo entresacado de entre el gran n´umero existente se tiene en (Moore 2000), el cual se puede usar en plantas no lineales monovariables, pero con funci´on de salida lineal. Si la planta viene dada por ½xk t+1 =f¡xk t¢+g¡xk t¢uk t yk t=h¡xk t¢(8) donde h¡xk t¢=Cxk tel controlador en tiempo discreto est´a especificado por uk+1 t=uk t+Kek t+1 (9) Si la funci´on de salida de la planta es lineal, la condici´on suficiente que debe cumplirse es la siguiente m´ax x∈Rn|I−Cg(x)K|<1 (10) Tambi´en existen resultados de estabilidad para plantas no afines y no lineales controladas mediante leyes lineales. Tal como sucede en varias ocasiones en los procesos por lotes, los resultados son, cuando menos, sorprendentes, como se describe a continuaci´on. En concreto (Xu y Y.Tan 2003) trabajan con sistemas continuos de la forma, totalmente general, siguiente ½˙ xk(t) = f¡xk(t), uk(t)¢ yk(t) = h¡xk(t), uk(t)¢(11) Si se cumple que la condici´on de que existen dos n´umeros positivos α1yα2tales que 0< α1≤∂h/∂u ≤α2(12) entonces se puede aplicar la ley de control dada por ecuaci´on (4). La condici´on suficiente de convergencia, descrita en (Xu y Y.Tan 2003) es m´ax hu |1−Khu|<1 (13) Como se dec´ıa anteriormente, estos resultados son sorprendentes en cuanto que no son equivalentes de ninguna manera las expresiones (10) y (13). Ello es posible perfectamente, pues son condiciones suficientes. En cualquier caso, debe tenerse precauci´on al controlar procesos por lotes, pues pueden aparecer resultados no convencionales. En efecto, la condici´on de estabilidad dada por (Xu y Y.Tan 2003) asume que la funci´on de salida depende expl´ıcitamente de la entrada. Un sistema com´un no presenta esta caracter´ıstica (∂h/∂u = 0) con lo cual el criterio no es aplicable en todos los casos. De cualquier modo, (Xu y Y.Tan 2003) proponen diferentes leyes de control robusta, lineal y no lineal para sistemas de la forma (11) que cumplan la condici´on (12). Bajo condiciones de continuidad Lipschitz de la planta, las demostraciones de estabilidad fijando el instante inicial t= 0, son extensibles a cualquier instante de tiempo. En concreto, si la J. R. Cueli, C. Bordons 65 planta presenta trayectorias con tiempo de escape finito, la demostraci´on de estabilidad es de mayor dificultad. En estos sistemas, el estado va a infinito en tiempo finito, pudi´endose verificar algor´ıtmicamente la existencia de estas trayectorias seg´un (Goriely y Hyde 2000). L´ogicamente, en los controladores dise˜nados en tiempo discreto para plantas reales no aparece este problema. Por estos motivos se debe tener precauci´on en el control de procesos por lotes mediante controladores iterativos, pues el hecho de tener dos grados de libertad facilita la soluci´on del problema de control, pero tambi´en puede ser un obst´aculo si no se conoce adecuadamente el funcionamiento de estos algoritmos. As´ı pues, nuestro objetivo es mostrar un controlador para sistemas de tipo af´ın, descrito por ecuaciones din´amicas (1) y condiciones iniciales (2), que sea capaz de estabilizar el sistema. Este tipo de ecuaciones se da m´as com´unmente en aplicaciones reales que la ecuaci´on (11) con las condiciones sobre la funci´on de salida (12). En muchos casos pr´acticos es tambi´en posible transformar un sistema en forma general (11) a la forma (1). Si se emplea el punto de vista de teor´ıa de operadores no lineales (por ejemplo la planta se describe por y=fH(u), donde fHes un operador no lineal), tambi´en se pueden encontrar condiciones de estabilidad m´as generales a´un (Albertos y Piqueras 2002), aunque tambi´en m´as dif´ıciles de verificar. 2.1 Controladores iterativos basados en modelo En el caso de plantas lineales, se han dise˜nado diversos controladores basados en modelo y de naturaleza iterativa y que se basan en un modelo. Casi todos plantean un problema de optimizaci´on, de cuya soluci´on se obtiene la ley de control ´optima. La necesidad adicional de optimalidad en los controladores iterativos proviene del hecho de que la estabilidad garantizada no implica un comportamiento transitorio adecuado (Longman 2000). As´ı surge el controlador qilc (Quadratic ILC) (Amann et al. 1996), del cual posteriormente (Lee et al. 2000a) surge cierto n´umero de variantes (ver esquema en la figura 2), dependiendo de si hay restricciones en el problema, si se emplean observadores, si el modelo es determinista, o si se incluye realimentaci´on de la variable de salida en el lote en curso. Los modelos de plantas lineales de la forma ½xk t+1 =Atxk t+Btuk t yk t=Ctxk t (14) Figura 2. Controladores basados en modelo QILC donde los coeficientes son variables en tiempo, pueden ponerse en la forma matricial siguiente y=y0+Gu (15) donde ueyson vectores que recogen informaci´on de un lote completo. El algoritmo de Amann (Amann et al. 1996, Lee et al. 2000a), propone usar la ley de control siguiente, que se calcula al inicio de cada lote para todo instante de tiempo: uk+1 =uk+¡GTQG +R¢−1GTQek(16) donde uk=¡uk 0uk 1· · · uk N−1¢Tes el vector de se˜nales de control, ekel vector de errores en el ´ultimo lote completado, y Q, R son matrices que ponderan el error y el esfuerzo de control en la funci´on objetivo. As´ı, empleando leyes de control del tipo (16), se obtienen controladores que estabilizan sistemas lineales dados por las ecuaciones (14). 3. EL CONTROLADOR INMPC En secciones anteriores se ha revisado una parte de los algoritmos iterativos, incluyendo los que se basan en un modelo de la planta. En este trabajo se ha pretendido extender las t´ecnicas de control iterativo basado en modelo a plantas no lineales que se puedan describir mediante la ecuaci´on (8). Figura 3. Esquema del controlador inmpc 66 Control Predictivo-Iterativo Basado en Modelo y Aplicado a Procesos por Lotes El controlador inmpc (Iterative Nonlinear Model Predictive Control) (Cueli 2004) trata de combinar las capacidades de aprendizaje de los controladores iterativos descritos en secciones anteriores y la optimalidad del control predictivo basado en modelo mpc (Camacho y Bordons 2004), sin perder de vista las nociones de estabilidad y optimalidad del algoritmo. El modelo del controlador se formula en funci´on de las llamadas variables incrementales, que para un proceso por lotes vienen dadas por ˜xt=xt−xk−1 t(17) Se asume que el modelo de la planta no lineal se puede poner en la forma aproximada matricial siguiente ˜y=G˜u(18) Aparentemente, en procesos no lineales, la ecuaci´on (18) no puede emplearse como modelo de los mismos, pero en procesos por lotes la situaci´on cambia. El modelo incremental permite que se cancelen, de forma exacta, las perturbaciones repetitivas, que son aqu´ellas cuyo valor se mantiene constante para el mismo instante de tiempo en diferentes lotes. Adem´as, se puede elegir una trayectoria base (Keyser 1997), que no se corresponde con un punto de equilibrio de (8), sobre la cual linealizar el sistema. De esta forma la aproximaci´on lineal puede ser suficientemente buena, y se plantea un controlador similar al epsac (Extended Prediction Self-adaptive Control) (Keyser y Cuawenberghe 1985) en lo que respecta al uso de trayectorias base para el control de plantas no lineales. En procesos por lotes, esta trayectoria base es perfectamente conocida, pues corresponde con la trayectoria seguida por el sistema en el lote anterior. Conocido el modelo incremental de la planta (18), se puede plantear un problema de optimizaci´on con la funci´on objetivo (cuadr´atica) siguiente J= p X i=1 ³˜yk t+i|t−˜rk t+i´2 +λ m X i=1 ¡˜uk t+i−1¢2(19) donde la trayectoria de referencia viene dada por ˜rk t=rk t−yk−1 t(20) y rk t=½rk−1 tsi ¯¯ek−1 t¯¯≥¯¯ek−2 t¯¯ (1 −α)spt+αyk−1 te.o.c (21) La expresi´on (21) se construye de forma que se garantice que la trayectoria de referencia tenga un comportamiento mon´otono. El par´ametro α∈ [0,1) es an´alogo al factor de roll-off en mpc. En este controlador, adem´as de suavizar las trayectorias obtenidas, este par´ametro tiene una utilidad adicional. Si la planta es muy no lineal, αdebe tener valores altos, consiguiendo as´ı un controlador m´as lento, pero en el cual las variables del modelo son m´as peque˜nas. De esta forma se tiene cierto control sobre el error de la linealizaci´on. En plantas casi lineales se puede usar un αpeque˜no. La predicci´on en bucle cerrado se calcula teniendo en cuenta que se puede aplicar el principio de superposici´on, de forma que se puede realizar por hip´otesis la divisi´on cl´asica entre respuesta forzada y libre yk t=Gtuk t+ft(22) donde uk teyk tson vectores futuros con las variables manipuladas y controladas, respectivamente, con mypcomponentes. La respuesta libre ftse calcula iterando bien el modelo lineal (14), o bien el no lineal (8), donde el estado puede ser medido u observado. La entrada al modelo debe ser la se˜nal de control del lote anterior uk−1 t+i. En ftse ha de incluir tambi´en el t´ermino que se debe a las perturbaciones repetitivas, el cual desaparece si se usa el modelo incremental. De hecho, las perturbaciones repetitivas pueden estimarse en funci´on de la discrepancia entre la predicci´on del modelo no lineal y las medidas de sensores. Por otra parte, Gtes la matriz din´amica del sistema en el instante de tiempo t, que se calcula ignorando los t´erminos repetitivos en el modelo. La extensi´on al caso multivariable requiere el uso de matrices constru´ıdas por bloques, y se realiza de manera an´aloga a cualquier controlador predictivo multivariable (Camacho y Bordons 2004), con la salvedad de que se puede incluir un nuevo tipo de restricciones. As´ı, se pueden formular las mismas restricciones que en cualquier controlador predictivo: ym´ın ≤y≤ym´ax um´ın ≤u≤um´ax ∆um´ın ≤ut−ut−1≤∆um´ax (23) y adicionalmente un nuevo tipo que permite restringir el cambio de la secuencia entre dos lotes: δum´ın ≤uk t−uk−1 t≤δum´ax Sustituyendo la ecuaci´on (22) en la funci´on objetivo (19), y en las posibles restricciones (23), se puede plantear en cada instante de tiempo un problema de optimizaci´on qp con restricciones cuya soluci´on permite obtener la ley de control. La t´ecnica de horizonte deslizante tambi´en se utiliza en este controlador, de forma que s´olo se aplica a la planta el primer elemento del vector de se˜nales de control futuras calculado. La diferencia principal de este controlador con qilc estriba en la existencia de un modelo variante en tiempo que adem´as cambia en cada lote, puesto que al inicio de cada lote se calcula el J. R. Cueli, C. Bordons 67 modelo linealizado en torno a la ´ultima trayectoria conocida. 3.1 Convergencia para plantas multivariables y horizontes peque˜nos En esta secci´on se trata de mostrar algunas condiciones suficientes bajo las cuales el controlador inmpc converge a las trayectorias de referencia. En concreto, bajo condiciones de regularidad del sistema de control y con horizonte unitario, el controlador basado en el modelo nominal converge a las trayectorias de referencia siempre que la funci´on de salida de la planta sea lineal (Cueli y Bordons 2005b). De esta forma, la no linealidad en esta funci´on de salida (y no en la funci´on de transici´on de estados) puede hacer que la regi´on de convergencia sea finita. As´ı, el objetivo de esta secci´on es caracterizar el efecto de la no linealidad de la funci´on de salida sobre las propiedades de convergencia del algoritmo, derivando unas condiciones que deben verificarse para garantizar estabilidad con el modelo nominal. En la secci´on 3.2 se ilustran estas propiedades con un ejemplo sencillo. El sistema (8) particularizado en el primer instante de tiempo se escribe ½xk 1=f0+g0uk 0 yk 1=h¡xk 1¢(24) con f0=f(x0) y g0=g(x0). El controlador inmpc formula una predicci´on del tipo (22), en la cual la respuesta libre se anula por tratarse del primer instante de tiempo y cumplirse que el estado inicial se mantiene constante en toda iteraci´on (2). La matriz din´amica en este instante viene dada por G=∂h(x) ∂x ¯¯¯¯x=xk−1 1 g0(25) La ley de control, en ausencia de restricciones, se puede obtener anal´ıticamente, derivando la funci´on objetivo (19) respecto a la se˜nal de control ˜uk 0=¡GTG+ Λ¢−1GT£r1−yk−1 1¤(26) donde, en el caso de existir una s´ola variable manipulada, Λ = λI. El sistema en bucle cerrado, puesto en forma incremental, resulta ser del tipo mostrado en la figura 4, y descrito por las ecuaciones siguientes: (˜xk 1=xk 1−xk−1 1=g0˜uk 0 ˜uk 0=¡GTG+ Λ¢−1GT£r1−h¡xk−1 1¢¤ (27) El sistema equivale a una planta din´amica lineal (Σ) la cual se realimenta mediante una funci´on est´atica no lineal (Φ). Puesto que la planta es lineal, se puede realizar la transformaci´on de lazo Figura 4. Diagrama de bloques de planta y controlador inmpc en el instante inicial Figura 5. Diagrama de bloques equivalente (Popov 1973) mostrada en la figura 5, de forma que el bloque g0se incluya en la funci´on no lineal de realimentaci´on. Las ecuaciones se transforman en (Uk 1=Uk−1 1+ ˜uk 0 ˜uk 0=¡GTG+ Λ¢−1GT£r1−h¡g0Uk−1 1¢¤ (28) siendo la relaci´on entre xk 1yUk 1la siguiente xk 1=g0Uk 1=f0+g0uk 0(29) L´ogicamente, Uk 1no corresponde exactamente con la se˜nal de control absoluta uk 0, tal como cabe pensar al ver (28), sino que est´a desplazada un valor constante. Agrupando las dos ´ultimas ecuaciones en una sola, y aplicando la transformaci´on anterior, las ecuaciones del sistema resultan ser de la forma de la iteraci´on de punto fijo siguiente: z(x) = x+¡GTG+ Λ¢−1GT[r−h(g0x)] (30) donde x=Uk 1. La iteraci´on (30) tiene, por hip´otesis, al menos un punto fijo x=z(x), dado por r=h(g0x). Se trata de comprobar si el punto fijo, localmente, es estable y ´unico. Para ello hay que aplicar el teorema de mapas contractivos o del punto fijo de Banach (Vidyasagar 1993). En primer lugar, hay que verificar que si x∈B, tambi´en z(x)∈B, donde Bes un subconjunto 68 Control Predictivo-Iterativo Basado en Modelo y Aplicado a Procesos por Lotes del espacio de estados 1, que en este caso es un entorno del equilibrio especificado por B={x:kx−x∗k ≤ r}(31) A continuaci´on, se denota kδxk=kx−x∗ky se asume que el desarrollo en serie (30) en torno al punto de equilibrio x∗se puede escribir en la forma: z(x) = x∗+¡GTG+ Λ¢−1Λδx +H(x)δx (32) donde H(x)δx contiene los t´erminos no lineales. Por consiguiente: kz(x)−x∗k ≤ ° ° °¡GTG+ Λ¢−1Λ + H(x)° ° °ikδxk (33) luego, para que se cumpla la primera condici´on del teorema de Banach y aplicando la desigualdad triangular, se tiene, ° ° °¡GTG+ Λ¢−1Λ° ° °i+ m´ax x∈BkH(x)ki≤1 (34) En segundo lugar, hay que verificar que kz(x)−z(y)k ≤ ρkx−yk,∀x, y ∈B(35) Puesto que z(x) es una funci´on no lineal, se trata de obtener los coeficientes ρLyρHtales que kF(x)−F(y)k ≤ [ρL+ρH(r)] kx−yk(36) donde el t´ermino ρLes debido a la parte lineal, mientras que ρHse debe a la parte no lineal y depender´a en general del radio de la regi´on de convergencia. Para obtener estos coeficientes, H(x) debe expandirse a su vez en serie de Taylor de primer orden: H(y) = H(x) + ∂H/∂x|ξ(y−x) (37) Teniendo en cuenta (32) y (37), se llega a: z(x)−z(y) = ¡GTG+ Λ¢−1Λ(x−y) (38) +hH(x) + ∂H/∂x|ξ(y−x∗)i(x−y) y, calculando la norma de esta expresi´on, se concluye que ρL=° ° °¡GTG+ Λ¢−1Λ° ° °i(39) ρH≤m´ax x∈BkH(x)ki+ m´ax x∈B° ° ° ° ∂H ∂x ° ° ° °i r(40) 3.1.1. C´alculo del coeficiente ρLTal como se ha explicado en la secci´on anterior, la matriz F=¡GTG+ Λ¢−1Λ determina la propiedades de convergencia del algoritmo inmpc. En concreto, la 1N´otese que Bes una regi´on definida en el espacio de estados Utransformado (figura 5) mediante ecuaci´on (29). No obstante, esta regi´on se convierte en otra de igual radio en el espacio de se˜nales de entrada u. convergencia muy cerca del equilibrio es exponencial con coeficiente ρL=kFki. Se puede comprobar que aplicando propiedades b´asicas de las matrices, la matriz Fse puede poner en la forma: F=¡PΩPT+ Λ¢−1Λ = £P(Ω + Λ) PT¤−1Λ (41) donde Pes una matriz ortonormal y los autovalores de GTGson reales y positivos, es decir, Ωi>0. Esto se cumple cuando la matriz Ges de rango completo, lo cual equivale a decir que es necesario asumir que el sistema es controlable. Se cumplir´a, adem´as F=P(Ω + Λ)−1PTΛ = P(Ω + Λ)−1ΛPT (42) Para m´as detalles acerca de los pasos seguidos para llegar a la ecuaci´on (42), ver el cap´ıtulo relativo a matrices sim´etricas del libro (Lay 1994). En este caso se encuentra una cota de la norma de la matriz F, dada por la expresi´on: ρL=1 1 + Ωm´ın/λm´ax ∈(0,1) (43) con Ωm´ın el autovalor m´ınimo de la matriz GTG, yλm´ax el m´aximo peso del esfuerzo de control en la funci´on objetivo. 3.2 Ejemplo de c´alculo de la regi´on de convergencia Para la siguiente planta el objetivo es comprobar que el controlador es estable en la regi´on de convergencia. xt+1 =µ0,9 0,7 0 0,5¶xt+µ0,3 −0,1¶ut(44) yt= 2 + 3x1+ 2x2 1+ 15x3 1(45) En primer lugar se debe calcular la regi´on de convergencia en torno a un punto de equilibrio de (44). Se han calculado el radio de la regi´on de convergencia y el coeficiente ρL. Este coeficiente se obtiene directamente calculando la matriz din´amica Gdel sistema linealizado en el punto de equilibrio. El radio de la regi´on de convergencia rse debe calcular mediante un procedimiento iterativo. En primer lugar se elige un valor de rsuficientemente grande. A continuaci´on se obtiene la parte no lineal H(x) igualando (30) y (32). El m´aximo de H(x) y de su derivada se puede calcular para la regi´on de radio rdado. En este punto se puede calcular ρsumando la parte lineal (39) y la no lineal (40). En el caso ρ > 1, se disminuye el radio de convergencia mediante un factor, y se repite el procedimiento. ´ Este acaba en cierto tiempo, pues la parte no lineal H(x) se anula en el equilibrio. J. R. Cueli, C. Bordons 69 Para que este algoritmo converja es condici´on indispensable que ρL<1. El resultado de estos c´alculos viene mostrado en el cuadro 1, con el punto de equilibrio correspondiente al set point dado, el coeficiente ρLy el radio de la regi´on de convergencia en u, para λinmpc = 1. Repitiendo los mismos c´alculos para λinmpc = 0,001 (cuadro 2), se comprueba que si bien ρLdisminuye, ρHaumenta mucho m´as, haciendo en conjunto que la regi´on de convergencia se haga m´as peque˜na. Cuadro 1. Regi´on de convergencia, λinmpc = 1 u∗x∗ 1sp ρLr 0 0 2 0.5525 2.54 0.2226 0.3562 4 0.0976 0.16 0.4324 0.6918 10 0.0147 0.02 Cuadro 2. Regi´on de convergencia, λinmpc = 0,001 u∗x∗ 1sp ρLr 0 0 2 0.001233 0.002997 0.2226 0.3562 4 0.000108 0.000127 0.4324 0.6918 10 0.000015 0.000032 Ahora se muestra en la figura 6 la regi´on de convergencia (gr´afica inferior en trazo grueso) supuesto que el set point var´ıa entre 2 y 4, e interpolando linealmente en la zona intermedia. En la figura 7 se han simulado un par de iteraciones del controlador inmpc con λ= 1 y α= 0. Restringiendo la se˜nal de control a esta regi´on, el sistema en bucle cerrado ser´a estable. 0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 sp Set point y región de convergencia 0 10 20 30 40 50 60 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 u t Figura 6. Regi´on de convergencia Evidentemente, al aumentar el set point (ver cuadro 1) la no linealidad es mayor y por lo tanto, la regi´on de convergencia se hace menor. En la figura 8 se muestra c´omo el mismo controlador se hace inestable al aumentar el set point de 4 a 10. Est´a claro que la disminuci´on de la regi´on de convergencia provoca la inestabilidad del sistema. Puesto que la regi´on de convergencia se define en un entorno de la trayectoria de equilibrio, hay 0 10 20 30 40 50 60 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 y Set point, región de convergencia y varias iteraciones Set point 1 iter. 2 iter. 0 10 20 30 40 50 60 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 u t Región convergencia Figura 7. Simulaci´on dentro de la regi´on de convergencia una forma de estabilizar este sistema haciendo uso del par´ametro αa costa de ralentizar la convergencia. Se puede modificar el mismo para que la transici´on se realice de forma m´as suave. La regi´on de convergencia se define respecto a la trayectoria suavizada, y as´ı se consigue mantener la se˜nal de control dentro de esta regi´on, aunque la misma sea peque˜na. La figura 9 se ha obtenido con α= 0,5, mostrando un comportamiento estable. 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 y 0 10 20 30 40 50 60 −5 0 5 u t Figura 8. Inestabilidad al aumentar el set point 3.3 Mejoras Como se ha comprobado, el controlador descrito converge bajo ciertas condiciones bastante generales. No obstante, en aplicaciones pr´acticas pueden aparecer incertidumbres en el modelo, as´ı como ruidos en la planta. Siendo as´ı, se pueden introducir algunas mejoras en el controlador, que no deben modificar de forma notable el comportamiento nominal, y que aumentan el grado de robustez del controlador. En los procesos por lotes se puede usar una serie de filtros espec´ıficos, que se aplican en tiempo 70 Control Predictivo-Iterativo Basado en Modelo y Aplicado a Procesos por Lotes 0 10 20 30 40 50 60 2 4 6 8 10 y Set point 1 iter. 2 iter. 3 iter. 4 iter. 5 iter. 0 10 20 30 40 50 60 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 u t Figura 9. Estabilizaci´on suavizando trayectoria de referencia real o bien antes de iniciarse el nuevo lote. El filtro ewma (Moyne et al. 2001) pertenece al primer tipo, y ha sido usado en industria de semiconductores. Dada la entrada al filtro x, el valor obtenido viene dado por la expresi´on yk(t) = λfxk(t) + (1 −λf)yk−1(t) (46) Los filtros de mediana se aplican al principio del lote a la secuencia completa, y su objetivo es suavizar las variables (Mezghani et al. 2002) para evitar en lo posible un aumento de varianza en presencia de incertidumbres sin deteriorar el comportamiento nominal. Estos filtros permiten que el controlador funcione bien en entornos con mayor nivel de ruido que en su ausencia, lo cual hace su uso adecuado en algunas aplicaciones pr´acticas. Adicionalmente se puede incluir en el controlador predictivo una verificaci´on de la predicci´on interna del algoritmo de control, que asegure que el funcionamiento es correcto y que el modelo es adecuado. 4. APLICACI´ ON A UNA PLANTA REAL Figura 10. Reactor piloto En esta secci´on se muestra una aplicaci´on pr´actica del controlador en una planta piloto que emula un reactor exot´ermico. En (Cueli y Bordons 2005a) se muestra otra aplicaci´on a una planta de pH. La planta piloto consta de un dep´osito de agua, en el cual est´a inmersa una resistencia, y un bucle de recirculaci´on equipado con un intercambiador de calor (figura 10). El objetivo es mantener un perfil de temperaturas especificado, usando para ello el caudal de recirculaci´on. La idea es simular la reacci´on qu´ımica exot´ermica mediante el calor aportado por la resistencia, tal como se hace por ejemplo en (Santos et al. 2000). El calor se genera siguiendo el patr´on dado por las ecuaciones no lineales de una reacci´on qu´ımica de segundo orden (Lee et al. 2000b): ½dCA/dt =−k0e−E/RT C2 A Q(t)=(−∆H)V k0e−E/RT C2 A (47) donde Tes la temperatura absoluta dentro del reactor y la concentraci´on inicial del reactivo es Ca(0) = Ca0. Mediante aplicaci´on de balance de materia de y energ´ıa se puede obtener un modelo din´amico para control, que viene dado por las ecuaciones: mC ˙ T=FC (Te−T) + Q(t) (48) y Te−T=β(Tew−T) (49) donde βes el rendimiento del intercambiador, que en este caso se asume de la forma β=aeF+be(Tew−T) + ce(50) yQ(t) es el calor generado en la reacci´on exot´ermica, calculado seg´un la ecuaci´on (47). Los par´ametros de la planta se muestran en el cuadro 3, donde Tmes el tiempo de muestreo. Cuadro 3. Par´ametros de la planta Par´ametro Valor Unidades Tew25 oC m29,6 Kg ae−879 ·10−6h/Kg be−243 ·10−6oC−1 ce0,964 - T035 oC F00 Kg/h Tm15 s En los controladores iterativos no es necesario modelar la parte repetitiva del proceso, puesto que al realizar la diferencia con el lote anterior, ´esta se cancela. En este trabajo consideramos que Q(t) es una perturbaci´on repetitiva, de forma que el modelo en el que se basar´a el controlador se obtiene agrupando (48-50) y cancelando el t´ermino repetitivo: ˙ T=Tew−T m©[be(Tew−T) + ce]F+aeF2ª (51) J. R. Cueli, C. Bordons 71