Interferencias de Landau-Zener en Sistemas Cuánticos de Dos Niveles

Interferencias de Landau-Zener en Sistemas Cu´anticos de Dos Niveles Trabajo de Fin de Grado Manuel Antonio Garc´ıa Bl´azquez Tutelado por Jes´us Casado Pascual Universidad de Sevilla Facultad de F´ısica Departamento de F´ısica At´omica, Molecular y Nuclear ´ Indice general Resumen II Abstract IV 1. Transiciones de Landau - Zener 1 1.1. ContextoGeneral................................ 1 1.2. ElTeoremaAdiab´atico............................. 3 1.3. Transiciones en Sistemas de Dos Niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Modelo de Impulso Adiab´atico 10 2.1. Bases Diab´atica y Adiab´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Probabilidad de Transici´on en un Cruce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Aplicaci´on del Modelo de Impulso Adiab´atico . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1. Evoluci´on Adiab´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2. Transici´on No Adiab´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.3. Probabilidad de Transici´on en un N´umero Arbitrario de Cruces . . 24 2.3.4. L´ımite de Cruce Lento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3. Altas Frecuencias 37 3.1. Planteamiento.................................. 37 3.2. Aproximaci´on de Onda Rotatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Ecuaciones ´ OpticasdeBloch.......................... 42 4. Resoluci´on Num´erica 50 4.1. M´etododeFloquet ............................... 50 4.2. Evoluci´on Temporal de la Probabilidad de Transici´on.................................... 53 4.3. Promediado de la Probabilidad de Transici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Conclusiones 61 A. Propiedades de las Matrices de Pauli 62 Referencias 64 i Resumen Los sistemas con ´unicamente dos niveles energ´eticos son de gran inter´es en f´ısica experimental y te´orica. Por un lado, proporcionan la posibilidad de observar multitud de fen´omenos cu´anticos en su versi´on m´as simple, y por otro; permiten emplear el entorno matem´atico m´as accesible de la mec´anica cu´antica debido a su reducida dimensionalidad. Un ejemplo recurrente de dichos sistemas lo constituyen un ´atomo o mol´ecula de momento angular orbital nulo y n´umero cu´antico de esp´ın 1/2 en el seno de un campo magn´etico. Adem´as, para una configuraci´on con m´as de dos niveles, en ciertas circunstancias como por ejemplo bajas temperaturas resulta razonable la restricci´on a los estados fundamental y primer excitado; con lo que la teor´ıa sobre sistemas de dos niveles tiene un amplio rango de aplicabilidad. El objetivo del presente documento es estudiar el comportamiento de la probabilidad de transici´on entre los dos niveles de un sistema descrito por un hamiltoniano peri´odico en el tiempo. En general, este problema no puede resolverse anal´ıticamente de forma exacta, sin embargo; existen distintos m´etodos que permiten obtener soluciones aproximadas bajo ciertas hip´otesis, as´ı como otros que facilitan una resoluci´on num´erica. A lo largo de los siguientes cap´ıtulos se van a presentar algunos de ellos, tratando de mantener cierto rigor matem´atico. En el cap´ıtulo 1 se detallan las caracter´ısticas comunes a la totalidad de los tratamientos. Adem´as, se enuncia y demuestra el teorema adiab´atico para el caso concreto del sistema de estudio. Este resultado proporciona un punto l´ımite de partida en el que no se producir´ıan transiciones de nivel, lo cual permitir´a poner de relieve la importancia de los distintos par´ametros del sistema, adem´as de ser de utilidad matem´atica. En el cap´ıtulo 2 se desarrolla el modelo de impulso adiab´atico, el cual tiene como pilar fundamental al teorema adiab´atico. Este m´etodo es en muchos sentidos el m´as general, pues permite tratar todo el rango de frecuencias. No obstante, tambi´en es el m´as laborioso de desarrollar y aplicar, siendo sus resultados normalmente m´as imprecisos que los de otros modelos m´as espec´ıficos para la regi´on de par´ametros considerada. Sin embargo, su metodolog´ıa sistem´atica basada en un estudio detallado de las caracter´ısticas energ´eticas del sistema lo convierten en un siguiente paso natural desde el teorema adiab´atico. Este cap´ıtulo est´a basado en gran medida en el art´ıculo [Shevchenko10]. En el cap´ıtulo 3 se utiliza la aproximaci´on de onda rotatoria ´o RWA para obtener una soluci´on aproximada de la probabilidad a frecuencias elevadas. Posteriormente, se extiende este resultado para incluir fenomenol´ogicamente los efectos de decoherencia y relajaci´on por medio de las ecuaciones de Bloch. Esta ´ultima parte presenta un nivel de detalle inferior al del resto del documento, pues un desarrollo m´as pormenorizado exceii RESUMEN der´ıa el prop´osito de ´este. Finalmente, en el cap´ıtulo 4 se presenta el m´etodo de Floquet, que permite aprovechar la periodicidad del hamiltoniano para formular un algoritmo de resoluci´on num´erico de la ecuaci´on de Schr¨odinger en intervalos arbitrarios, en general menos costoso que su resoluci´on directa. Seguidamente, se presentan comparaciones entre estos resultados num´ericos y las correspondientes predicciones de los modelos de impulso adiab´atico y RWA, a fin de juzgar la bondad de ´estas. Al final del documento se recopilan en un ap´endice ciertas propiedades de las matrices y el vector de Pauli, a las que se har´a referencia en alg´un momento durante el texto. iii Abstract Two-level systems are of major interest in both experimental and theoretical physics, for they allow the simplest version of a wide range of quantum phenomena to be observed, in addition to the utilization of the most accesible mathematical tools among quantum mechanics due to its minimal (non-trivial) dimensionality. A frequent example of such systems are atoms or molecules with zero orbital angular momentum and 1/2 spin quantum number in a magnetic field. Furthermore, under certain conditions such as low temperatures, it is reasonabe to consider just the ground and the first excited states within a many-level system. The range of applicability of the two-level system theory is therefore wider than it may seem. In the present document we aim to study the transition probability between the two energy levels of a system described by a time periodic hamiltonian. This problem cannot generally be solved in an exact analytic form, nevertheless there exist several models which provide approximate solutions under some extra assumptions, besides others that may ease a numerical resolution. Over the course of the next chapters, some of these models will be developed, while trying to maintain an acceptable degree of mathematical rigor. In chapter 1 we present the general background for the chapters to come. The adiabatic theorem is formulated and proved for our particular case of interest. This result provides an environment in which energy transitions can be regarded as limits of its applicability, and it will be of mathematical interest. Chapter 2 is dedicated to the adiabatic impulse model, which crucially relies on the adiabatic theorem. This method is in many senses the most general one, for it allows any value of frequency to be treated. However, its development and application can at times be somewhat cumbersome, and its results are often less precise than those obtained with more specific models for a particular region of parameters. Still, its systematic procedure taking into account the energetic properties of the system makes the adiabatic impulse model a natural next step from the adiabatic theorem. This chapter is mainly based on the article [Shevchenko10]. In chapter 3 the rotating wave approximation (RWA) is employed in order to obtain an approximate solution for the transition probability at high frequencies. Afterwards, we extend this result to include phenomenological dephasing and relaxation times via Bloch equations, although the detail level in this extension is lower than in other sections of this document. Finally, in chapter 4 we show how to take advantage of the hamiltonian’s periodicity iv ABSTRACT to formulate an algorithm, based on the Floquet theory for differential equations, to numerically solve the Schr¨odinger equation over arbitrary intervals with improved efficiency. Afterwards, a comparation between this numerical results and those given by the adiabatic impulse model and RWA is presented in order to show the validity of said models. At the end of the document, several useful properties of Pauli matrices and vector are gathered. v CAP´ ITULO 1. TRANSICIONES DE LANDAU - ZENER Cap´ıtulo 1 Transiciones de Landau - Zener 1.1. Contexto General Consideremos un sistema cu´antico no relativista con exactamente dos niveles energ´eticos, no degenerados. Los estados f´ısicos accesibles para dicho sistema pueden entonces representarse por funciones de onda pertenecientes a un espacio de Hilbert complejo de dimensi´on 2, que tomaremos, sin p´erdida de generalidad por isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensi´on finita, como C2con su producto escalar usual; en notaci´on de Dirac: DϕaϕbE=ϕa∗ 1ϕb 1+ϕa∗ 2ϕb 2. Este producto escalar induce la norma vectorial eucl´ıdea: kϕk=phϕ|ϕi=q|ϕ1|2+|ϕ2|2, que a su vez induce la norma matricial espectral: kUk=rm´ax nλ∈C|detU†U−λI= 0o, bien definida ya que U†Ues herm´ıtica y semidefinida positiva, con lo que sus autovalores son reales y no negativos. El operador hamiltoniano (y an´alogamente los dem´as operadores que act´uan sobre los estados del sistema) est´a representado, fijada una base {ϕa, ϕb}del espacio, por una matriz cuadrada de dimensi´on 2: ˆ H −→ hϕa|ˆ H|ϕai hϕa|ˆ H|ϕbi hϕb|ˆ H|ϕai hϕb|ˆ H|ϕbi!≡ H1,1H1,2 H2,1H2,2!, y rec´ıprocamente, a cada matriz de dichas dimensiones le corresponde un operador, fijada una base. Salvo que se especifique lo contrario, cuando expresemos un operador en forma matricial lo haremos respecto a la base ortonormal (1,0)t,(0,1)t, a la cual daremos el nombre de base diab´atica en el cap´ıtulo 2. 1 CAP´ ITULO 1. TRANSICIONES DE LANDAU - ZENER Las matrices de Pauli forman una base de las matrices 2 x 2, con lo que el hamiltoniano puede expresarse como combinaci´on de ellas. Para recalcar que estamos tratando con un sistema m´as general que el de una part´ıcula de esp´ın 1/2, se utilizar´a la notaci´on ˆτi≡ˆσi,∀i=x, y, z, consistente con el Ap´endice A. La ecuaci´on de Liouville-von Neumann para el operador o matriz densidad (ec. 2.52-[Blum]): i~∂ˆρ ∂t = [ ˆ H,ˆρ] indica que la componente del hamiltoniano en la matriz identidad, dado que ´esta conmuta con ρ, no afecta a la evoluci´on temporal del operador densidad, con lo que por simplicidad no consideraremos dicha componente. Por otra parte, supondremos que ´este es un operador bidimensional que puede expresarse en funci´on de ´unicamente dos matrices de Pauli. Concretamente, postulamos el siguiente hamiltoniano dependiente del tiempo: ˆ H(t) = −∆~ 2ˆτx−ε(t)~ 2ˆτz.(1.1) Acerca de este operador: La elecci´on de las matrices ˆτxy ˆτzno supone ninguna restricci´on, dado que mediante transformaciones unitarias (las cuales no alteran valores esperados ni probabilidades) es posible obtener un hamiltoniano como combinaci´on de dos matrices de Pauli cualesquiera; lo cual puede observarse intuitivamente considerando la siguiente analog´ıa geom´etrica: ˆ Hyace en el plano determinado por las dos componentes del vector de Pauli (A.10) que lo conforman. Mediante una rotaci´on de π/2 en torno a la direcci´on correspondiente a la matriz de Pauli que se quiera mantener, se lleva al hamiltoniano al plano caracterizado por las dos matrices deseadas. Esta rotaci´on ser´ıa equivalente a una transformaci´on unitaria. ∆∈R+se denominar´a amplitud de tunelaje, y ε:R→R;est´ımulo. Ambos tienen dimensiones de frecuencia. El primero de ellos se introduce como par´ametro de ajuste propio del sistema relacionado con la separaci´on entre sus niveles energ´eticos, y se supondr´a constante; mientras que el segundo se toma como una funci´on peri´odica, generalmente: ε(t) = ε0+Asen(ωt) (1.2) o bien: ε(t) = ε0+Acos(ωt),(1.3) donde ε0∈Res el denominado offset,A∈R+la amplitud; y ω∈R+la frecuencia (angular). Las expresiones (1.2) y (1.3) se diferencian ´unicamente en una traslaci´on de ωt en un factor de π/2, con lo que el problema es esencialmente el mismo para ambos est´ımulos. Sin embargo, la elecci´on de uno u otro puede reportar una ligera ventaja para el tratamiento matem´atico; con lo que se elegir´a en cada caso la funci´on conveniente, siendo los resultados obtenidos trasladables a la otra situaci´on, simplemente trasladando la escala temporal. Se˜nalar asimismo que ∆ y ε(t) no est´an intr´ınsecamente ligados a las matrices de Pauli que (1.1) les asocia: mediante la transformaci´on ˆ U=1 √2(ˆτx+ ˆτz), que con (A.3) y (A.4) se comprueba que es unitaria, se tiene: ˆ H0(t) = ˆ Uˆ H(t)ˆ U†+i~∂ˆ U ∂t ˆ U†=ˆ Uˆ H(t)ˆ U=−ε(t)~ 2ˆτx−∆~ 2ˆτz, 2 CAP´ ITULO 1. TRANSICIONES DE LANDAU - ZENER es (en orden 0 en Ψ1,2∂tHΨ2,1) la denominada fase de Berry (ec. 10.40-[Griffiths]): αB(t) = iZt 0Ψ(t0)∂tΨ(t0)dt0.(1.33) Las expresiones (1.32) y (1.33) se generalizan sin dificultad a un tiempo inicial arbitrario ti, sustituyendo en los l´ımites inferiores de integraci´on 0 por ti. 1.3. Transiciones en Sistemas de Dos Niveles De acuerdo con el teorema adiab´atico, un sistema de dos niveles no degenerados cuyo estado en un instante inicial fuese una de las dos autofunciones independientes del hamiltoniando (lo cual puede asegurarse midiendo la energ´ıa de la configuraci´on) permanecer´ıa en el correspondiente nivel energ´etico durante toda evoluci´on adiab´atica. Por supuesto, en la pr´actica los procesos adiab´aticos por definici´on no pueden realizarse en tiempo finito, con lo que este teorema debe entenderse como el caso l´ımite de una evoluci´on real, donde existir´a una probabilidad de transici´on entre niveles o estados energ´eticos no nula en general; las cuales son las denominadas transiciones de Landau-Zener. En los siguientes cap´ıtulos trataremos con hamiltonianos peri´odicos cuyo par de niveles energ´eticos no se corta en el tiempo, pero para los que existen instantes de m´aximo acercamiento. Se va a comprobar que, cuando la evoluci´on del sistema provoca oscilaciones alrededor de estos puntos, la probabilidad de transici´on (o su promedio temporal) entre niveles presenta patrones interferom´etricos respecto a los par´ametros que caracterizan al hamiltoniano. Este hecho podr´a eventualmente implicar (en el caso de interferencias constructivas) m´aximos elevados de probabilidad, pudiendo incluso ser una certeza la transici´on entre niveles en ciertos instantes de tiempo y para ciertas configuraciones param´etricas, aun cuando la frecuencia de oscilaci´on (que en el l´ımite tendiendo a cero resultar´ıa en la condici´on adiab´atica, y por tanto en una probabilidad nula) sea peque˜na respecto al resto de magnitudes. 9 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Cap´ıtulo 2 Modelo de Impulso Adiab´atico 2.1. Bases Diab´atica y Adiab´atica Consideremos el operador (1.1) con el est´ımulo (1.2) y A>ε0. En forma matricial: ˆ H(t) = ~ 2 −ε(t)−∆ −∆ε(t)!=~ 2 −(ε0+Asen(ωt)) −∆ −∆ε0+Asen(ωt)!.(2.1) Fijado t∈R, los autovalores y autovectores instant´aneos del hamiltoniano son: E±(t) = ±~ 2Ω(t),(2.2) ϕ±(t) = ϕ±,1(t) ϕ±,2(t)!=N±(t) −∆ ε(t)±Ω(t) 1 , con Ω(t) = p∆2+ε2(t). Imponiendo la normalizaci´on de las autofunciones (i.e., ϕ±(t)  2= 1) se obtienen las constantes de normalizaci´on, las cuales escogemos reales:  1 + pΩ2(t)−ε2(t) Ω(t) + ε(t)!2 N+(t) 2=2Ω(t)N+(t) 2 Ω(t) + ε(t)= 1 ⇒ N+(t) = −sΩ(t) + ε(t) 2Ω(t). Definiendo β±(t) = sΩ(t)±ε(t) 2Ω(t), y hallando an´alogamente N−(t); se obtienen los autoestados: |ϕ±, ti=β∓(t) 1 0!∓β±(t) 0 1!=β∓(t)ϕ↑∓β±(t)ϕ↓,(2.3) donde se han introducido las autofunciones de la matriz zde Pauli: ˆτzϕ↑↓=±ϕ↑↓. Se definen la base diab´atica como {ϕ↑, ϕ↓}, que ser´ıa base de autofunciones del hamiltoniano si ∆ = 0; y la base adiab´atica como {ϕ+(t), ϕ−(t)}, para cada instante de tiempo. Ambas bases pueden emplearse para desarrollar el estado del sistema de dos niveles, siendo: ϕ+(t) ϕ−(t)!= β−(t)−β+(t) β+(t)β−(t)! ϕ↑ ϕ↓!. 10 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Figura 2.1: Niveles energ´eticos diab´aticos y adiab´aticos frente al est´ımulo. E↑=−ε/2, E↓=ε/2 corresponden a los autovalores de (2.1) cuando ∆ = 0. En la figura 2.1 se observa que los niveles adiab´aticos E+yE−experimentan un m´aximo acercamiento (de ∆~) cuando ε(t) = 0, lo cual ocurre si la amplitud es superior al offset. A este punto de m´ınima distancia se le denomina cruce evitado, o simplemente cruce. Lejos de ´el, los estados adiab´aticos tienden a los diab´aticos. Obs´ervese que para ε > 0; el nivel diab´atico superior es E↓. Esta informaci´on es complementaria con la que aporta la figura 2.2, donde se aprecia la (2π/ω)-periodicidad temporal de los niveles adiab´aticos (heredada del est´ımulo), lo cual provoca que se visite repetidamente el cruce evitado. De la definici´on de ´este, se obtienen, imponiendo la minimalidad de E+, los puntos (bien definidos pues A > ε0): ωt1=−arc sen ε0 A, ωt2=π+ arc sen ε0 A=π−ωt1.(2.4) Resulta revelador observar el comportamiento de los coeficientes β±(t) de las autofunciones adiab´aticas ϕ±(t) frente al tiempo (figura 2.3): estos var´ıan bruscamente en las proximidades de los cruces, manteni´endose aproximadamente constantes en los dem´as tramos; comportamiento cuya acentuaci´on es directamente proporcional a ωp(A/∆)2−(ε0/∆)2, como se comprueba evaluando ˙ β±(t1,2). Dado que se trata de una representaci´on temporal, lo anterior se traduce en una variaci´on muy lenta de los estados adiab´aticos para todo instante de tiempo, salvo aquellos lo suficientemente cercanos a t1/ω +kT ot2/ω +kT, con T= 2π/ω el periodo de oscilaci´on y k∈Z. Suponiendo que el sistema se encuentra 11 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Figura 2.2: Niveles adiab´aticos frente al tiempo. Figura 2.3: Coordenadas de ϕ±(t) en la base diab´atica frente al tiempo. 12 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO inicialmente en un estado de la base adiab´atica, resulta entonces razonable asumir la siguiente aproximaci´on, que constituye el modelo de impulso adiab´atico o modelo de la matriz de transferencia: La evoluci´on del sistema est´a gobernada por el teorema adiab´atico en todo instante de tiempo salvo aquellos correspondientes exactamente a cruces evitados, donde puede producirse un cambio de nivel energ´etico. Se utilizar´a la notaci´on t− 1,2para indicar el instante en que el sistema se encuentra en un cruce pero a´un no ha experimentado su efecto, y an´alogamente t+ 1,2cuando el sistema acaba de experimentarlo. A efectos num´ericos, t− 1,2=t+ 1,2, ya que en el modelo est´a impl´ıcito que las transiciones son instant´aneas. Naturalmente, esta discretizaci´on del comportamiento no adiab´atico del sistema no constituye un modelo exacto, pero permite representar el impacto de los cruces en la distribuci´on energ´etica mediante un operador independiente del tiempo, denominado matriz de transferencia, que obtendremos posteriormente. La terminolog´ıa de base y estados adiab´aticos empleada en este cap´ıtulo queda, por su relaci´on con el teorema adiab´atico, justificada. 2.2. Probabilidad de Transici´on en un Cruce Consideremos un entorno pr´oximo al cruce evitado: t0=t−t1,2yω|t0|  1. Desarrollando (1.2) en serie de Taylor en torno a t=t1,2hasta primer orden en t0, se tiene: ε(t)≃ε(t1,2) + Aω cosωt1,2t0(2.4) =         Aωt0q1−ε0 A2,en t1 −Aωt0q1−ε0 A2,en t2          =±vt0,(2.5) donde se ha utilizado que: cosarc sen(x)=√1−x2=−cosπ+ arc sen(x), y se ha introducido el par´ametro positivo con dimensiones de cuadrado de frecuencia: v=Aωcosωt1,2=Aωs1−ε0 A2 .(2.6) Es directo comprobar que el cambio ε→ −εen (2.1) no altera los autovalores (2.2) ni autofunciones normalizadas (2.3) del hamiltoniano, s´olo los intercambia; con lo que el tratamiento del problema es el mismo en t1que en t2. Tomando, sin p´erdida por tanto de generalidad, el signo positivo en (2.5) y renombrando t0at(aunque debe recordarse entonces que ω|t|  1) se obtiene el hamiltoniano linealizado: ˆ H(t) = −∆~ 2ˆτx−vt~ 2ˆτz.(2.7) Supongamos el estado ϕ−, t− 1,2E. Entonces, de acuerdo con [Landau77] la transici´on desde el nivel fundamental al superior (estado ϕ+, t+ 1,2E) puede tratarse de forma similar al problema de la reflexi´on en una barrera de potencial de altura la diferencia entre los 13 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO niveles. De (2.2) y (2.5) se obtiene que E+(t) = E−(t)⇔t=±i∆ v≡teq ∈C. Por tanto, la probabilidad de transici´on |ϕ−i→|ϕ+ien un cruce viene dada por (ec. 53.10-[Landau77] ´o ec. 4.5-[Delone]): P+= exp  −2 ~Im Zteq 0E+(t)−E−(t)dt! ≡e−2 ~Im(I) . Empleando la parametrizaci´on γ(s) = i∆s/v para hallar la integral en el plano complejo: I=i∆ vZ1 0 ~ s∆2−v2∆ v2 s2 ds = s= sen(u) ds = cos(u)du!i~∆2 vZπ 2 0 cos2(u)du =i~∆2 4vπ se llega a la expresi´on, denominada probabilidad de transici´on de Landau-Zener: P+=e−2πδ ≡PLZ ,(2.8) donde se ha introducido el par´ametro de adiabaticidad: δ=∆2 4v.(2.9) Resultados similares aparecieron por primera vez en [Landau32], [Majorana], [St¨uckelberg] y [Zener]. El objetivo es derivar anal´ıticamente la probabilidad de encontrar un estado final dado (|ϕ+, ti´o |ϕ−, ti) partiendo de un estado inicial (|ϕ+, t0i´o |ϕ−, t0i); para lo cual la informaci´on de (2.8) resulta insuficiente ya que, como se ver´a posteriormente, la trayectoria del sistema en el espacio E−t(figura 2.2) da lugar a interferencias. A pesar de ello, esta expresi´on es ´util pues aparecer´a de manera natural durante la aplicaci´on del modelo de impulso adiab´atico. Los resultados m´as manejables pueden obtenerse en los siguientes casos: L´ımite de cruce lento:v∆2⇒δ1, PLZ 1. Notar que δ≈1 tambi´en hace PLZ peque˜na, por lo que puede considerarse como la frontera de este caso l´ımite. L´ımite de cruce r´apido:v∆2⇒δ1, PLZ ≈1. Aunque el m´etodo de impulso adiab´atico puede emplearse para estudiar ambos l´ımites, analizaremos ´unicamente el l´ımite lento (secci´on 2.3.4); el caso de alta frecuencia admite un tratamiento alternativo menos laborioso que se realizar´a en el cap´ıtulo 3. La aplicaci´on del presente modelo al l´ımite r´apido puede encontrarse, por ejemplo, en [Ashhab]. 14 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO 2.3. Aplicaci´on del Modelo de Impulso Adiab´atico 2.3.1. Evoluci´on Adiab´atica Todo estado del sistema de dos niveles puede desarrollarse en la base adiab´atica, cuya evoluci´on temporal desde un instante tihasta otro tfen la regi´on adiab´atica (i.e., tales que ∃n∈Zcumpliendo o bien t1+nT < ti< tf< t2+nT, o bien t2+nT < ti< tf< t1+ (n+ 1)T) viene determinada, por hip´otesis, por el teorema adiab´atico, luego: ψ, tf=ϕ+, tfhϕ+, ti|ψ, tiiexp −i ~Ztf ti E+(t)dt! +ϕ−, tfhϕ−, ti|ψ, tiiexp −i ~Ztf ti E−(t)dt!, (2.10) donde se ha introducido la fase din´amica (1.32) asociada a cada nivel energ´etico. Notemos que en este caso la fase de Berry (1.33) no interviene, ya que (suprimiendo la dependencia temporal en la notaci´on por simplicidad): hϕ±|ϕ±i= 1 ⇒0 = ˆ ∂thϕ±|ϕ±i=ˆ ∂t(hϕ±|)|ϕ±i+hϕ±|ˆ ∂t|ϕ±i=hϕ±|ˆ ∂t|ϕ±i∗ +hϕ±|ˆ ∂t|ϕ±i= 2 Re(hϕ±|ˆ ∂t|ϕ±i) = 2 hϕ±|ˆ ∂t|ϕ±i⇒hϕ±|ˆ ∂t|ϕ±i= 0 , donde el ´ultimo paso se deduce de la expresi´on (2.2) de las funciones adiab´aticas; el ´unico inconveniente consistir´ıa en un factor no real, el cual podr´ıa provenir exclusivamente a trav´es de la constante de normalizaci´on, y a priori ser´ıa relevante ´unicamente si se toma una fase dependiente del tiempo de la forma N0 ±(t) = ∓expiθ±(t)β±(t) (con las nuevas funciones adiab´aticas ϕ0 ±, t= expiθ±(t)|ϕ±, ti), siendo entonces: ϕ0 ±, tˆ ∂tϕ0 ±, t=hϕ±, t|ˆ ∂t|ϕ±, ti+i˙ θ±(t)hϕ±, t|ϕ±, ti=i˙ θ±(t)⇒ α0± B(t) = iZt ti i˙ θ±(t0)dt0=θ±(ti)−θ±(t). Finalmente, si se a˜naden en (2.10) estas fases de Berry asociadas a ϕ0 ±, t: ψ0, tf=eiα0+ B(tf)ϕ0 +, tfϕ0 +, tiψ, tiexp −i ~Ztf ti E+(t)dt!+eiα0− B(tf)ϕ0 −, tfϕ0 −, ti |ψ, tiiexp −i ~Ztf ti E−(t)dt!=ei(θ+(ti)−θ+(tf))eiθ+(tf)e−iθ+(ti)ϕ+, tfhϕ+, ti|ψ, tii exp −i ~Ztf ti E+(t)dt!+ei(θ−(ti)−θ−(tf))eiθ−(tf)e−iθ−(ti)ϕ−, tfhϕ−, ti|ψ, tii exp −i ~Ztf ti E−(t)dt!=ψ, tf. Luego la fase de Berry no interviene en la evoluci´on del sistema, con independencia de la elecci´on de la fase en la constante de normalizaci´on de las funciones adiab´aticas. 15 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Definimos: ζ(tf, ti) = 1 2Ztf ti Ω(t)dt (2.11) y el espinor en el instante tcomo: |χ, ti=   hϕ+, t|ψ, ti hϕ−, t|ψ, ti  . Trabajar con el espinor implica utilizar la base adiab´atica para representar los operadores, de forma an´aloga a c´omo emplear la funci´on de onda implica normalmente el uso de la base diab´atica. Haciendo uso de (2.2) y (A.5); la evoluci´on adiab´atica del sistema est´a entonces caracterizada por la relaci´on: χ, tf=e−iζ(tf,ti)ˆτz|χ, tii,(2.12) esto es, los estados inicial y final est´an relacionados por un operador unitario, denominado matriz de evoluci´on, que en la base adiab´atica est´a representado por la matriz: ˆ U(tf, ti) = e−iζ(tf,ti)ˆτz.(2.13) Adem´as, resulta ´util particularizar los casos: ˆ U1,2=e−iζ1,2ˆτz,(2.14) ζ1=ζ(t2, t1), ζ2=ζ(t1+T, t2),(2.15) que constituyen las fases din´amicas adquiridas por el sistema debido al tr´ansito entre cruces consecutivos. La anterior terminolog´ıa invita a denominar zona 1 o primera a cada regi´on comprendida entre t1+nT yt2+nT, y zona 2 o segunda entre t2+nT y t1+ (n+ 1)T, independientemente del periodo concreto. De su expresi´on, se observa que ζ1yζ2corresponden al ´area bajo la curva superior (E+/~) de la figura 2.2 en las zonas 1 y 2, respectivamente. Se˜nalar que, debido a la T- periodicidad de Ω(t), la definici´on (2.15) es independiente del periodo en el que se integre: s´olo depende de si se hace en la zona primera o segunda. A continuaci´on imponemos simult´aneamente: a) ω|t|  1, luego el hamiltoniano linealizado (2.7) es v´alido. b) v|t|  ∆, que en conjunci´on con a) y (2.5) implica que ε(t)∆. Intuitivamente, ambas condiciones podr´ıan parecer contradictorias, puesto que a) implica estar en un cierto entorno del cruce, mientras que ε(t)∆ sugiere estar, observando 16 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO la figura 2.1, lejos de ´el. Sin embargo, se tiene de (2.6) que v|t|=w|t|pA2−ε2 0; lo cual puede conectar simult´aneamente las situaciones a) y b) si: ∆ pA2−ε2 0ω|t|  1.(2.16) Para que el m´etodo de impulso adiab´atico sea v´alido, es necesario estar en la regi´on de par´ametros caracterizada por la desigualdad entre los extremos de la ecuaci´on (2.16) (o al menos no cerca de la regi´on pA2−ε2 0∆). Esto puede conciliarse con el l´ımite de cruce lento si ωes lo suficientemente peque˜na. De a) y b) se tiene entonces: Ω(t) = p∆2+ (vt)2≃v|t| ⇒ β±(t)≃s|t|±t 2|t|⇒     β+(t)≃1, β−(t)≃0,si t > 0 β+(t)≃0, β−(t)≃1,si t < 0. Esto indica que existe efectivamente una regi´on que es a la vez lo suficientemente cercana al cruce evitado para linealizar el hamiltoniano, y lo suficientemente lejana a ´este para aproximar los estados adiab´aticos por los diab´aticos. Mientras se mantengan las hip´otesis a) y b), vamos a hacer el cambio de notaci´on: t→tasint´otico ≡tapara recalcar la condici´on b). De esta forma, usando lo anterior y (2.3): |ϕ+, tai ≃      −ϕ↓,si ta>0 ϕ↑,si ta<0 ,|ϕ−, tai ≃      ϕ↑,si ta>0 ϕ↓,si ta<0. (2.17) Veamos qu´e ocurre con la fase din´amica adquirida entre t= 0 (correspondiente al cruce, ya que recordemos que en el hamiltoniano linealizado la variable temporal se redefin´ıa con origen en t1,2) y ±ta(tomamos ta>0, correspondiendo −taal caso negativo de (2.17)): ζ(±ta,0) = 1 2Z±ta 0p∆2+ (vt)2dt = vt/∆ = senh(u) vdt/∆ = cosh(u)du !∆2 2vZ±arcsenh(vta ∆) 0 cosh2(u) du =∆2 4v1 2senh(2u) + uu=±arcsenh( vta ∆) u=0 (1) =±δ  vta ∆s1 + vta ∆2 + arcsenh vta ∆  (2) = ±δ  za √2δr1 + z2 a 2δ+ ln r1 + z2 a 2δ+za √2δ!  (3) ≈ ±  z2 a 2+δ 2+δln r2 δza+rδ 2 1 za!  =±  z2 a 2+δ 2+δln r2 δza1 + δ 2z2 a! ≈ ±"z2 a 2+δ 2+δln (√2za)−δ 2ln δ#⇒ ζ(±ta,0) ≈ ±φ(za)−φδ,(2.18) 17 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO donde: (1) senh(±2 arcsenh(x)) = ±2 senh(arcsenh(x)) cosharcsenh(x)=±2x√1 + x2. (2) arcsenh(x) = ln √1 + x2+x(ec. 1.622-1 [Gradshteyn]). Adem´as, se ha introducido la siguiente notaci´on: z=rv 2t . (2.19) (3) v|t|  ∆ = 2√vδ ⇒ |za|  √2δ⇒2δ/z2 a1. Luego desarrollando en primer orden en serie de Taylor: r1 + z2 a 2δ=za √2δs1 + 2δ z2 a≈za √2δ1 + δ z2 a. y se ha introducido la notaci´on: φ(za) = z2 a 2+δln (√2za), φδ=δ 2(ln (δ)−1) .(2.20) N´otese que ζ(ta,0) = ζ(0,−ta). 2.3.2. Transici´on No Adiab´atica De acuerdo con el modelo de impulso adiab´atico, existe un operador ˆ N(matriz de transferencia) que contiene toda la informaci´on sobre el comportamiento del sistema de dos niveles en un cruce evitado. En particular, la evoluci´on desde −tahasta tapuede descomponerse secuencialmente en un tramo adiab´atico −ta→0−, seguido de uno no adiab´atico t= 0−→0+y otro adiab´atico t= 0+→ta: |χ, tai=ˆ U(ta,0+)ˆ Nˆ U(0−,−ta)|χ, −tai(2.13) =e−iζ(ta,0)ˆτzˆ Ne−iζ(ta,0)ˆτz|χ, −tai.(2.21) Los operadores o matrices de evoluci´on vienen dados por (2.18). Para hallar ˆ N, es necesario entonces determinar los espinores en los tiempos asint´oticos. Para ello resolvemos la ecuaci´on de Schr¨odinger i~ˆ ∂t|ψi=ˆ H|ψicon el hamiltoniano linealizado (2.7), lo cual da lugar, en la representaci´on o base diab´atica, al sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas:            i~dψ1(t) dt =−~vt 2ψ1(t)−~∆ 2ψ2(t) i~dψ2(t) dt =−~∆ 2ψ1(t) + ~vt 2ψ2(t). (2.22) Para desacoplarlas, basta con aumentar el orden de derivaci´on: 18 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Se tiene, simplemente operando con (2.14) y (2.39) en forma matricial (en la base adiab´atica): NU2NU1= α−γ∗ γ α∗!≡M , (2.41) donde: α= (1 −PLZ)e−iζ+−PLZe−iζ−,(2.42) γ=pPLZ(1 −PLZ)eiθSe−iζ++e−iζ−,(2.43) ζ+=ζ1+ζ2+ 2θS,(2.44) ζ−=ζ1−ζ2.(2.45) Las siguientes relaciones ser´an de utilidad en lo que sigue: 1−|α|2= 1 −(1 −PLZ)2−P2 LZ +PLZ(1 −PLZ)(ei(ζ+−ζ−)+e−i(ζ+−ζ−)) = PLZ(1 −PLZ)(2 + ei(ζ+−ζ−)+e−i(ζ+−ζ−)) =|γ|2,(2.46) |γ|2= 2PLZ(1 −PLZ)(1 + cos(ζ+−ζ−)) = 2PLZ(1 −PLZ)(1 + cos(ζ+) cos(ζ−) + sen(ζ+) sen(ζ−)) ,(2.47) Im(α) = PLZ sen(ζ−)−(1 −PLZ) sen(ζ+)⇒ Im2(α) = (1 −PLZ)2sen2(ζ+) + P2 LZ sen2(ζ−)−2PLZ(1 −PLZ) sen(ζ+) sen(ζ−).(2.48) Para calcular el operador de evoluci´on (2.40), es necesario determinar la n-´esima potencia de (2.41), para lo cual vamos a expresarla en funci´on de una matriz diagonal semejante. Esto puede conseguirse utilizando como matriz de paso la formada por los autovectores de M, en cuyo caso las entradas de la matriz diagonal ser´an sus autovalores (pues son las coordenadas de toda matriz en la base formada por sus autovectores). El polinomio caracter´ıstico de Mes, en la variable λ: |γ|2+|α|2+λ2−λ(α∗+α) = λ2−2λRe(α) +|γ|2+|α|2= 0 ⇔ λ= Re(α)±qRe2(α)−|α|2−|γ|2(2.46) = Re(α)±qRe2(α)−1. 25 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Luego los autovalores de (2.41) son: λ1,2= Re(α)±iq1−Re2(α),(2.49) y sus autovectores asociados vienen dados por: α−Re(α)∓iq1−Re2(α)u↑ 1,2−γ∗u↓ 1,2=iIm(α)∓q1−Re2(α)u↑ 1,2−γ∗u↓ 1,2= 0. Dado que la normalizaci´on no importa para nuestros intereses actuales, tomamos, por ejemplo u↑ 1,2= 1 ⇒ u1,2=  1 i γ∗hIm(α)∓p1−Re2(α)i .(2.50) Sea entonces P=u1u2la matriz de paso, cuya inversa es: P−1=1 2p1−Re2(α)  p1−Re2(α) + Im(α)iγ∗ p1−Re2(α)−Im(α)−iγ∗  . De esta forma, si Des la matriz diagonal con entradas dadas por (2.49), se verifica: Mn= (PDP−1)n=PDnP−1, por cancelaci´on de los factores P−1Pentre t´erminos sucesivos. Denotando a= Im(α), b=p1−Re2(α) , se tiene entonces que: Mn=   1 1 i γ∗(a−b)i γ∗(a+b)     λn 10 0λn 2      a+b 2b iγ∗ 2b b−a 2b−iγ∗ 2b   =       λn 1 a+b 2b+λn 2 b−a 2b iγ∗ 2b(λn 1−λn 2) i γ∗ a2−b2 2b(λn 1−λn 2)−λn 1 2b(a−b) + λn 2 2b(a+b)       . Esta expresi´on es simplificable introduciendo el par´ametro: cos φ= Re(α)⇒(2.51) sen φ=q1−Re2(α) = q1 + Im2(α)−|α|2(2.46) =q|γ|2+ Im2(α),(2.52) 26 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO (bien definido pues de (2.46) se deduce que |α| ≤ 1) que permite expresar (2.49) como: λ1,2= cos φ±isen φ=e±iφ yb= sen φ. Los elementos de Mnquedan entonces: (Mn)1,1: 1 2 sen φheinφ(sen(φ) + Im(α)) + e−inφ(sen(φ)−Im(α))i= 1 2 sen φsen(φ)2 cos(nφ) + Im(α)2isen(nφ)= cos(nφ) + iIm(α)sen(nφ) sen(φ). (Mn)1,2: iγ∗ 2 sen(φ)(einφ −e−inφ) = −γ∗sen(nφ) sen(φ). (Mn)2,1: i γ∗ Im2(α)−sen2(φ) 2 sen(φ)(einφ −e−inφ)(2.52) =|γ|2 γ∗ sen(nφ) sen(φ)=γsen(nφ) sen(φ). (Mn)2,2: 1 2 sen φheinφ(sen(φ)−Im(α)) + e−inφ(sen(φ) + Im(α))i= cos(nφ)−iIm(α)sen(nφ) sen(φ). Por tanto, en la base adiab´atica: (M)n=(NU2NU1)n≡ m11 −m∗ 21 m21 m∗ 11 !=       cos(nφ) + iIm(α)sen(nφ) sen(φ)−γ∗sen(nφ) sen(φ) γsen(nφ) sen(φ)cos(nφ)−iIm(α)sen(nφ) sen(φ)       . (2.53) En la pr´actica, a falta de est´ımulo (ε= 0), el sistema se encontrar´a, en circunstancias est´andares, en su estado fundamental. Por ello, vamos a fijar el estado inicial |ϕ−, t1i, y determinar la probabilidad de encontrar el estado final |ϕ+, ti. El an´alisis para cualquier otra combinaci´on |ϕ±, t1i→|ϕ±, ties totalmente an´alogo. De esta forma, aplicando (2.53) en (2.40), se distinguen los casos: 27 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO 1) t∈Zona 1: PI +(n) =hϕ+, t|ϕ−, t1i 2=hϕ+, t1|ˆ T†(t, t1)|ϕ−, ti 2=hϕ−, t|ˆ T(t, t1)|ϕ+, ti∗ 2 (U(t, t1+nT)Mn)2,1 2= eiζ(t,t1+nT)γsen(nφ) sen(φ) 2 =|γ|2sen2(nφ) sen2(φ). (2.54) 2) t∈Zona 2: PII +(n) =(U(t, t2+nT)NU1Mn)1,2 2= −m∗ 21p1−PLZ e−i(θS+ζ1+ζ(t,t2+nT )) −m∗ 11pPLZ ei(ζ1−ζ(t,t2+nT )) 2= |m21|2(1 −PLZ) +|m11|2PLZ +pPLZ(1 −PLZ)W≡p+pPLZ(1 −PLZ)W , con W=m21m∗ 11ei(θS+2ζ1)+m∗ 21m11e−i(θS+2ζ1). Para simplificar esta expresi´on, ser´a necesario un poco de ´algebra. Vamos por partes: |m11|2= cos2(nφ) +Im2(α)sen2(nφ) sen2(φ)= cos(2nφ)+ sen2(nφ)+ Im2(α)sen2(nφ) sen2(φ). p=PLZ cos(2nφ) + h|γ|2(1 −PLZ) + PLZ(Im2(α) + sen2(φ))isen2(nφ) sen2(φ) (2.52) = PLZ cos(2nφ) + h|γ|2+ 2 Im2(α)PLZisen2(nφ) sen2(φ). m21m∗ 11 =γsen(2nφ) 2 sen(φ)−iγ Im(α)sen2(nφ) sen2(φ)="γ∗sen(2nφ) 2 sen(φ)+iγ∗Im(α)sen2(nφ) sen2(φ)#∗ =m∗ 21m11 . Q≡γei(θS+2ζ1)(2.43) a(2.45) =pPLZ(1 −PLZ) (eiζ++eiζ−). W=sen(2nφ) sen(φ)Re(Q)+2sen2(nφ) sen2(φ)Im(α) Im(Q)(2.48) =⇒pPLZ(1 −PLZ)W= sen(2nφ) sen(φ)PLZ(1−PLZ )(cos(ζ+)+cos(ζ−))+sen2(nφ) sen2(φ)2PLZ(1−PLZ )[PLZ sen2(ζ−) −(1 −PLZ) sen2(ζ+)−(1 −2PLZ) sen(ζ+) sen(ζ−)] . 28 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO cos(ζ+)+cos(ζ−) = 2 cosζ++ζ− 2cosζ+−ζ− 2= 2 cos(ζ1+θS) cos(ζ2+θS). Reuniendo las expresiones para pyW, junto a (2.47) y (2.48) se tiene, para el t´ermino que acompa˜na a sen2(nφ) sen2(φ)en PI +(n), que denominamos 2Q1: sen2(ζ+)2PLZ(1 −PLZ)2−2PLZ(1 −PLZ )2+ sen2(ζ−)[2P3 LZ + 2P2 LZ(1 −PLZ)] + sen(ζ+) sen(ζ−)[2PLZ(1 −PLZ)−4P2 LZ(1 −PLZ)−2PLZ(1 −PLZ )(1 −2PLZ)] + 2PLZ(1 −PLZ)(1 + cos(ζ+) cos(ζ−)) ⇒ Q1=P2 LZ sen2(ζ−) + PLZ(1 −PLZ)(1 + cos(ζ+) cos(ζ−)) .(2.55) Y para el t´ermino que acompa˜na a sen(2nφ) sen(φ), que denominamos Q2; utilizando el ´ıtem anterior a ´este se tiene: Q2= 2PLZ(1 −PLZ) cos(ζ1+θS) cos(ζ2+θS).(2.56) Por tanto, la probabilidad con el estado final en la zona 2 es: PII +(n)=2Q1 sen2(nφ) sen2(φ)+Q2 sen(2nφ) sen(φ)+PLZ cos(2nφ).(2.57) N´otese que la dependencia temporal de (2.54) y (2.57) es a trav´es de n=b(t−t1)/Tc, con lo que se trata de funciones continuas en las regiones adiab´aticas entre cruces (zonas 1 y 2), presentando discontinuidades de salto en ´estos (recordar que la probabilidad de inter´es va alternando entre PI +yPII +tras pasar cada cruce, y ambas son, en general, distintas). Este comportamiento est´a en perfecto acuerdo con la descripci´on del modelo de impulso adiab´atico, en la cual la poblaci´on de los niveles puede variar exclusivamente en los cruces. Para un n´umero suficientemente elevado de periodos, resulta razonable tratar la variable ncomo continua, y obtener el promedio de las probabilidades anteriores. Recordando que sen2= 1/2, sen = cos = 0 ; y usando (2.52), se tiene: PI +=1 2|γ|2 |γ|2+ Im2(α),(2.58) PII +=Q1 |γ|2+ Im2(α).(2.59) 29 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Teniendo en cuenta el recorrido de los par´ametros que se desprende de (2.46) (|α|2, |γ|2<1), se observa que PI +es m´axima, con valor 1/2, si y s´olo si Im(α) = 0. Esta circunstancia se conoce como condici´on de resonancia, la cual podemos expresar haciendo uso de (2.48) como: (1 −PLZ) sen(ζ+)−PLZ sen(ζ−)=0.(2.60) Obs´ervese que PI +yPI +pueden relacionarse entre s´ı a trav´es de la condici´on de resonancia. En efecto, de (2.47) y (2.55) se sigue: |γ|2=2Q1+ 2PLZ(1 −PLZ) sen(ζ+) sen(ζ−)−2P2 LZ sen2(ζ−) = 2Q1+ 2PLZ sen(ζ−)[(1 −PLZ) sen(ζ+)−PLZ sen(ζ−)] . (2.61) Por ello, cuando se verifica la condici´on de resonancia, se tiene: |γ|2= 2Q1⇒PI += PII += 1/2. Con lo que, en resonancia, la probabilidad de encontrar al sistema en el nivel superior no depende, en promedio, de la zona del periodo final. El papel de las fases din´amicas, adquiridas por el sistema durante los tr´ansitos adiab´aticos, es trascendental en su evoluci´on, como se puede apreciar en las expresiones de probabilidad y condici´on de resonancia. 2.3.4. L´ımite de Cruce Lento Consideremos el caso l´ımite v∆2,δ1 , PLZ 1 , 1 −PLZ ≈1 . Esta situaci´on es, a priori, la m´as cercana a mantener las poblaciones de los niveles energ´eticos y, en consecuencia, respetar el teorema adiab´atico durante la totalidad de la evoluci´on del sistema. Veamos primero qu´e forma adopta la fase de Stokes (2.38). Para ello notemos que, como para cualquier n´umero complejo; ln Γ(x) = ln (Γ(x)eiarg Γ(x)) = ln (Γ(x)) + iarg Γ(x)⇒Im (ln Γ(x)) = arg (Γ(x)) . Dado que δ1 y arg(1 −iδ)≈π/2< π, se tiene (ec. 8.327-3 [Gradshteyn]): ln (Γ(1 −iδ)) ≈1 2−iδln (1 −iδ)−1 + iδ +1 2ln (2π) = 1 2−iδ[ln (√1 + δ2)+ iarg (1 −iδ)] −1 + iδ +1 2ln (2π)≈1 2−iδln (δ)−iπ 2−1 + iδ +1 2ln (2π)⇒ Im (ln Γ(1 −iδ)) = arg (Γ(1 −iδ)) ≈ −δ(ln (δ)−1) −π 4, con lo que: θS≈0.(2.62) 30 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Por otra parte, la condici´on de resonancia (2.60) adopta entonces la forma: (1 −PLZ) sen(ζ+)≈0⇒ζ+ (2.62) =ζ1+ζ2=kπ , ∀k∈Z.(2.63) De acuerdo a (2.61), la diferencia entre |γ|2y 2Q1, y por tanto entre (2.58) y (2.59); decrece conforme lo hace PLZ, con lo cual resulta razonable en el l´ımite de cruce lento considerar, por simplicidad, que PI +=PII +≡P+. Despreciando los t´erminos Pm+1 LZ frente a aqu´ellos Pm LZ ,∀m∈N0en las expresiones (2.48) y (2.55), e introduci´endolas en (2.59) ´o equivalentemente (2.58): P+=Q1 |γ|2+ 2Q1≈PLZ(1 + cos(ζ+) cos(ζ−)) sen2(ζ+)+2PLZ(1 + cos(ζ+) cos(ζ−)) ,(2.64) que es la f´ormula de la probabilidad promedio de tr´ansito |ϕ−i→|ϕ+ial cabo del tiempo, en condiciones de PLZ 1. A primera vista parece depender de 4 variables o par´ametros con dimensiones de frecuencia (A,ε0,ωy ∆) a trav´es de PLZ,ζ+yζ−(o equivalentemente de δ,ζ1yζ2), pero esta dependencia puede simplificarse a las 3 variables adimensionales A∗=A/∆, ε∗ 0=ε0/∆ y ω∗=ω/∆ , ya que podemos expresar las variables intermedias como: δ=1 4ω∗p(A∗)2−(ε∗ 0)2, ζ1=∆ 2Zt2 t1r1 + ε2(t) ∆2dt = s=ωt ds =ωdt !1 2ω∗Zarc sen(ε∗ 0/A∗)+π −arc sen(ε∗ 0/A∗)p1+(ε∗ 0+A∗sen(s))2ds, ζ2=1 2ω∗Z−arc sen(ε∗ 0/A∗)+2π arc sen(ε∗ 0/A∗)+πp1+(ε∗ 0+A∗sen(s))2ds . Por otra parte, se aprecia en (2.64) que la condici´on de resonancia (2.63) implica un valor maximal de P+= 1/2 , al igual que en el caso general de la secci´on 2.3.3. Adem´as, dicha probabilidad es m´ınima cuando: cos(ζ+) cos(ζ−) = −1,(2.65) en cuyo caso P+= 0 . ´ Esta es la condici´on de interferencia destructiva en el l´ımite que nos ocupa. Debe se˜nalarse que la condici´on de resonancia (2.63) es necesaria, pero no suficiente, para que (2.64) alcance un m´aximo, dado que podr´ıa verificarse simult´aneamente (2.65); lo cual anular´ıa la probabilidad. Dado el impacto que la resonancia tiene en la din´amica del sistema, ser´ıa de gran inter´es obtener una expresi´on anal´ıtica de la condici´on de resonancia en funci´on de A,ε0 yω; que son los par´ametros controlables del problema. Desafortunadamente, en el caso 31 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO general esto no va a ser posible, debido a que ζ1yζ2son integrales el´ıpticas, en la que los par´ametros anteriores intervienen en los l´ımites de integraci´on as´ı como, junto a ∆, en el integrando; con lo cual (2.63) s´olo proporciona una relaci´on impl´ıcita a evaluar num´ericamente. Sin embargo, existen dos situaciones en las que es posible obtener una expresi´on m´as sencilla: ε0= 0 :Por (2.4); t1= 0, t2=π/ω, con lo que por periodicidad de (2.2), se deduce de (2.15) y (2.11) que ζ1=ζ2, donde: ζ1=1 2Zπ/ω 0p∆2+A2sen2(ωt)dt = x=ωt dx =ωdt !∆ 2ωZπ 0r1 + A2 ∆2sen2(x)dx (1) = ∆ ωZπ/2 0v u u t 1 + A2 ∆2!−A2 ∆2cos2(x)dx = α=π/2−x dα =−dx ! √∆2+A2 ωZπ/2 0s1−A2 ∆2+A2sen2(α)dα (2) =√∆2+A2 ωE sA2 ∆2+A2 , donde: (1) El integrando presenta simetr´ıa par respecto a x=π/2. (2) Ees la integral el´ıptica completa de 2aespecie (ec. 8.111-3 y 8.112-2 [Gradshteyn]). Recordando (2.16), podemos aproximar: E rA2 ∆2+A2!≈E(1) = 1, por su definici´on. Por tanto, la condici´on de resonancia toma la forma: ζ+= 2ζ1≈2A ω=kπ ⇒A=ωkπ 2,∀k∈Z.(2.66) ∆ε0:En este caso el factor ∆2en Ω(t) es apenas relevante para el valor de la integral, con lo que: ζ1≈1 2Zt2 t1ε(t)dt (2.4) =1 2Zt2 t1 ε(t)dt =ε0 2(t2−t1)−A 2ω(cos(ωt2)−cos(ωt1)) = ε0 2ω "π+ 2 arc sen ε0 A#+A ωcos arc sen ε0 A!=πε0 ω−ε0 ωarc cos ε0 A+pA2−ε2 0 ω, donde se ha utilizado que arc sen(x) = π/2−arc cos(x). An´alogamente para la fase 32 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO en la zona 2, teniendo en cuenta que en esta regi´on ε(t) es negativo: ζ2≈ −1 2Zt1+T t2 ε(t)dt =−ε0 2ω π−2 arc sen ε0 A!+A ωcos arc sen(ε0 A)= −ε0 ωarc cos ε0 A+pA2−ε2 0 ω. Por tanto, la condici´on de resonancia toma la forma: ζ+=πε0 ω−2ε0 ωarc cos ε0 A+2pA2−ε2 0 ω=kπ , ∀k∈Z.(2.67) De ambos casos, el primero es evidentemente el m´as satisfactorio, pues constituye una relaci´on sencilla entre los par´ametros Ayω, fijado ε0= 0. El segundo caso no supone una mejor´ıa tan remarcable respecto a la situaci´on general; pero, aunque no proporciona una expresi´on expl´ıcita para el tercer par´ametro (fijados los otros dos), al menos no requiere la computaci´on de ninguna integral el´ıptica. El caso de offset nulo permite analizar anal´ıticamente el patr´on de interferencias de forma sencilla. Fijado ωlo suficientemente peque˜no para verificar el l´ımite v∆2, que en este caso se reduce a Aω ∆2; por (2.66), los m´aximos de probabilidad se dar´an cuando Avalga un m´ultiplo entero de ωπ/2, mientras que por (2.65) la condici´on de m´ınimo es (dado que ζ−=ζ1−ζ2= 0): ζ+= (2k+ 1)π , ∀k∈Z. Luego, utilizando que ζ1≈A/ω: P+(A, ε0= 0) ≈         m´ax(P+) = 1 2⇔A=ωkπ 2,∀k∈Z m´ın(P+) = 0 ⇔A=ωπ 2(2k+ 1) ,∀k∈Z. (2.68) En las figuras 2.4 y 2.5 se muestra un ejemplo num´erico de la dependencia de la probabilidad promedio de transici´on sin offset frente a A/∆, con ω/∆ = 0,05. El l´ımite de aplicabilidad de (2.64) viene dado por el de la condici´on de cruce lento: Aω/∆2≈1, con lo que debe ser aproximadamente A/∆<20. Por otra parte, por (2.16), para que el m´etodo de impulso adiab´atico sea v´alido en este caso, debe ser al menos A/∆>1. De hecho, dado que en la deducci´on de las expresiones (2.68), cuyo significado queremos ilustrar gr´aficamente, se utiliz´o que A∆; deber´ıamos tomar una regi´on donde se tenga al menos A/∆>10. Teniendo esto en cuenta, se muestra en la figura 2.5 una vista ampliada de la figura 2.4, con las divisiones del eje horizontal adaptadas a (2.68) (corresponden a un rango de aproximadamente 11 < A/∆<12). En ella se aprecia que los picos (valles, resp.) de probabilidad coinciden aproximadamente con los m´ultiplos pares (impares, resp.) de ωπ/2, como es de esperar. En la regiones A/∆∈(0,1) S(20,∞), el modelo en el l´ımite lento deja de ser fiable; y en la regi´on complementaria a ´esta, donde s´ı esperamos que lo sea, se aprecian comportamientos que no concuerdan con (2.68) en ciertas partes (como los m´aximos reducidos en A/∆<10 o los elevados m´ınimos en A/∆>15). Este ejemplo, correspondiente a las circunstancias m´as sencillas posibles, pone de manifiesto 33 CAP´ ITULO 2. MODELO DE IMPULSO ADIAB ´ ATICO Figura 2.4: P+frente a A/∆, con ε0= 0 , ω/∆ = 0,05. Se ha utilizado (2.64) con (2.62), calculando ζ1yζ2num´ericamente para una hilera de valores A/∆ . Figura 2.5: Idem a la figura 2.4, ampliada. la dificultad de analizar anal´ıticamente la probabilidad de tr´ansito. Sin embargo, podemos determinar num´ericamente el comportamiento de P+en funci´on de la amplitud y el offset, fijada la raz´on ω/∆. A este efecto, se presenta en las figuras (2.6), (2.7) y (2.8) un mapeado de dicha probabilidad sobre el plano A/∆ - ε0/∆, donde el c´odigo de colores indica su valor. El valor ω/∆ determina en cada caso las regiones de aplicabilidad del l´ımite de cruce lento (o equivalentemente, de (2.64), que es la expresi´on 34 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS que es la soluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger para |ψ00i(3.15). Podemos recuperar la soluci´on de la ecuaci´on original para |ψi(3.3) deshaciendo las dos transformaciones unitarias seg´un (3.14): |ψ, ti=ˆ U† iˆ U† ii |ψ00, ti, aunque no es necesario de cara al c´alculo de probabilidades ya que estas transformaciones no modifican ninguna magnitud medible. La expresi´on (3.18) permite determinar la probabilidad de tr´ansito entre estados cualesquiera, fijados los par´ametros del sistema. Nos centraremos en el paso desde el nivel fundamental al excitado, cuya asignaci´on depende del signo de ε0como se dijo en la secci´on 3.1. Pero en cualquier caso, la probabilidad es la misma: P(k) up (t) =ϕ↑↓, tϕ↓↑,0 2=cos|~u|tˆ I+isen(|~u|t)(~v ◦ˆ ~τ)1,2 2 = cos|~u|tˆ I+isen(|~u|t)(~v ◦ˆ ~τ)2,1 2(3.17) = i(−1)k∆ 2|~u|JkA ωsen(|~u|t) 2 = ∆2 k 4|~u|2sen2(|~u|t) = ∆2 k 8|~u|2h1−cos2|~u|ti, donde se ha introducido el par´ametro: ∆k= ∆JkA ω.(3.19) Luego, sustituyendo la expresi´on (3.17) para |~u|, se obtiene: P(k) up (t) = ∆2 k 2δω2 k+ ∆2 k"1−cosqδω2 k+ ∆2 kt#,(3.20) que es una funci´on oscilatoria en el tiempo con periodo 2π/pδω2 k+ ∆2 k, valor inicial cero (como era de esperar, ya que en ese instante el estado del sistema se ha impuesto diferente al final) y valores extremales 0 y ∆2 k/(δω2 k+ ∆2 k)≤1,∀k∈Z. A altas frecuencias, resulta especialmente ´util considerar el promedio temporal de las funciones que describan al sistema, siendo en este caso: Pk up =∆2 k 2δω2 k+ ∆2 k,(3.21) expresi´on que alcanza un m´aximo (de Pk up = 1/2), considerando su relaci´on funcional con la frecuencia de sinton´ıa, cuando δωk= 0 ; lo cual por (3.9) puede suceder cuando se cumple la relaci´on entre par´ametros: ε0/ω ∈Z. 41 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS Resulta de inter´es estudiar la dependencia de la probabilidad promedio de transici´on respecto a los par´ametros controlables del sistema, tal y como se llev´o a cabo en el cap´ıtulo 2 con las figuras 2.6, 2.7 y 2.8. A este respecto, la expresi´on (3.21) presenta dos inconvenientes: Al variar los par´ametros ωyε0, el modo que define la probabilidad de transici´on es asimismo susceptible de cambio; con lo que no ser´ıa correcto utilizar una misma expresi´on compuesta por un ´unico modo fijo en una representaci´on gr´afica en la que alguna o ambas magnitudes variasen. A este efecto es habitual considerar la suma sobre todos los modos: Pup =X k∈Z Pk up =1 2X k∈Z ∆2 k δω2 k+ ∆2 k .(3.22) Esta extensi´on a una f´ormula cerrada se basa en el hecho de que (3.21) decrece r´apidamente conforme|δωk|aumenta (las funciones de este tipo se dice que presentan un pico Lorentziano), con lo que realmente solo es necesario evaluar uno o dos sumandos. Tanto (3.21) como (3.22) presentan discontinuidades evitables sobre las rectas definidas por ε0/ω = cte ∈Z(⇒Pup ≃1/2) variando A, localizadas exactamente en los (infinitos) ceros de Jε0/ω, donde Pup = 0 . Este comportamiento poco realista puede arreglarse introduciendo dos constantes fenomenol´ogicas: T1yT2, que son los denominados periodos de relajaci´on ydesfase, respectivamente. A grandes rasgos, el primero de ellos representa el tiempo que el sistema tarda en desexcitarse al estado fundamental; mientras que el segundo da cuenta del intervalo temporal, a partir de la fijaci´on de unas condiciones iniciales dadas, en que se mantiene la coherencia (y por tanto, el sistema se comporta seg´un las leyes de la mec´anica cu´antica, dando lugar al comportamiento interferom´etrico que estamos analizando). Estos dos par´ametros representan la interacci´on del sistema con su entorno. A continuaci´on vamos a considerar un m´etodo diferente y m´as general que el de la aproximaci´on de onda rotatoria con el fin de tener en cuenta los periodos de relajaci´on y desfase del sistema, y veremos que los resultados para la probabilidad son funcionalmente muy similares. Se˜nalar que no se va a hacer especial hincapi´e en el significado f´ısico de T1y T2(para nosotros son simplemente dos constantes de ajuste), ni se va a desarrollar el nuevo m´etodo desde el nivel elemental que corresponder´ıa, ya que esto por s´ı solo podr´ıa constituir otro trabajo o memoria diferentes; nuestro objetivo es generalizar ligeramente el resultado de la RWA con el fin de estudiar su dependencia en ε0,A,ωy ∆. 3.3. Ecuaciones ´ Opticas de Bloch Consideremos el sistema de dos niveles gobernado por el hamiltoniano (3.16) (equivalente unitario de (3.1)) y la matriz de densidad asociada a dicho sistema en la base diab´atica (ec. 1.36-[Blum]): ρ(t) = 1 2 1 + Z X −iY X+iY 1−Z!,(3.23) 42 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS donde ρ(t)1,1,ρ(t)2,2representan la probabilidad de encontrar al sistema en los estados ϕ↑yϕ↓, respectivamente (notar que ρ(t)1,1+ρ(t)2,2= 1,∀t). Los par´ametros adimensionales X,Y,Zson reales y dependen, en general, del tiempo. Separando la parte temporal del hamiltoniano: ˆ H00(t) = ˆ H0+ˆ V(t) =      −~δωk 20 0~δωk 2      +     0 (−1)k+1 ~∆ 2JkA ω (−1)k+1 ~∆ 2JkA ω0      . Denotamos, como es habitual, H0 i,j,Vi,j a los correspondientes elementos de matriz (en la base diab´atica) de las componentes del hamiltoniano. Definimos a continuaci´on: ~α =       (V1,2+V2,1)/~ (V1,2−V2,1)/~ (H0 1,1−H0 2,2)/~        =       (−1)k+1∆Jk(A/ω) 0 −δωk        ,(3.24) as´ı como el denominado vector de pseudoesp´ın: ~ν =       trρ(t)τx trρ(t)τy trρ(t)τz        (3.23) =       X Y Z        ,(3.25) cuya evoluci´on temporal viene determinada por las ecuaciones ´opticas de Bloch (ec. 8.86- [Blum], donde Z0= 0, o m´as generalmente; ec. 8 a 10-[Shevchenko05]) en funci´on de los periodos de relajaci´on y desfase:        ˙ X ˙ Y ˙ Z        =       (~α ×~ν)1−X/T2 (~α ×~ν)2−Y/T2 (~α ×~ν)3−(Z−Z0)/T1        (3.19) =       δωkY−X/T2 −δωkX+ (−1)k∆kZ−Y/T2 (−1)k+1∆kY−(Z−Z0)/T1        ,(3.26) donde Z0es el valor de Zen equilibrio t´ermico a una temperatura absoluta Tdel sistema con su entorno, que viene dado a partir de la distribuci´on de Boltzmann (ec. 8.43-[Blum]): ρT.eq. 1,1 ρT.eq. 2,2 =eβ(E2−E1)⇒ZT.eq. ≡Z0=eβ 2(E2−E1)−e−β 2(E2−E1) eβ 2(E2−E1)+e−β 2(E2−E1)= tanh β(E2−E1) 2, con β= 1/(kBT), y E1,E2los autovalores del presente hamiltoniano. Supondremos bajas temperaturas, que es la condici´on necesaria para aproximar por sistema de dos niveles en 43 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS multitud de casos, con lo que podemos aproximar Z0≈l´ımx→0tanh1/x= 1. Por fijar ideas, vamos a obtener la probabilidad de transici´on del estado ϕ↑al ϕ↓, es decir; ρ(t)2,2= (1 −Z(t))/2 , siendo ρ(0)2,2= (1 −Z(0))/2=0 ⇒Z(0) = 1 . Por otro lado, donde antes tom´abamos promediado temporal, ahora imponemos r´egimen estacionario ( ˙ X=˙ Y=˙ Z= 0) para eliminar la dependencia temporal, ya que en principio no estamos tratando con funciones peri´odicas. Resolviendo el sistema (3.26) num´ericamente, observamos que ρ(t)2,2tiende (a efectos pr´acticos en tiempo finito) a dicho valor estacionario con independencia de la condici´on inicial ρ(0)2,2, como se observa en la figura 3.1. Esta independencia se debe al uso del hamiltoniano resultante de aplicar la aproximaci´on de onda rotatoria, que permite eliminar la dependencia temporal. Figura 3.1: Evoluci´on temporal de la probabilidad de encontrar al sistema en el estado ϕ↓, partiendo de ϕ↑(azul) y ϕ↓(rojo). T= 2π/ω. Para unificar la notaci´on con (3.21) y (3.22), denotaremos X,Y,Za las correspondientes soluciones estacionarias. En ese caso, desarrollando el sistema (3.26): Y=X T2δωk⇒1 T2 2δωk +δωkX= (−1)k∆kZ , (−1)k+1∆k T2δωk!X=Z−1 T1⇒ (−1)k∆kT2 2δωk 1 + T2 2δω2 k Z=(−1)k+1T2δωk ∆kT1 (Z−1) ⇒ T1T2 2∆2 kδωk+T2δωk(1 + T2 2δω2 k) T1∆k(1 + T2 2δω2 k)!Z =T2δωk T1∆k⇒Z=T2δωk(1 + T2 2δω2 k) T2δωk(1 + T2 2δω2 k) + T1T2 2∆2 kδωk =1 + T2 2δω2 k 1 + T2 2δω2 k+T1T2∆2 k≡Zk. 44 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS Luego: Pk up =1 2(1 −Zk) = 1 2"∆2 k 1 T1T2+T2 T1δω2 k+ ∆2 k#.(3.27) T´ecnicamente, la matriz de densidad (3.23) corresponde al sistema con el hamiltoniano resultante de aplicar la transformaci´on unitaria (3.14); pero al deshacer dicha transformaci´on para el operador densidad se observa que las componentes diagonales (y por tanto las probabilidades) no cambian, ya que en general: eiατz ρ1,1ρ1,2 ρ2,1ρ2,2!e−iατz= ρ1,1ei2αρ1,2 e−i2αρ2,1ρ2,2!,∀α∈R. Por tanto, considerando la suma para todos los modos, obtenemos el valor estacionario de la probabilidad de transici´on (o de permanencia) al estado ϕ↓: Pup =1 2X k∈Z ∆2 k 1 T1T2+T2 T1δω2 k+ ∆2 k =1 2X k∈Z J2 k(˜ A) 1 T∗ 1T∗ 2+T∗ 2 T∗ 1(ω∗(k−˜ε0))2+J2 k(˜ A),(3.28) donde se han introducido los par´ametros adimensionales ˜ A=A/ω, ˜ε0=ε0/ω,ω∗=ω/∆, T∗ 1,2=T1,2∆ a efectos de reducir de 6 a 5 el n´umero de variables de Pup y hacerlas independientes de la elecci´on de un sistema de unidades. La expresi´on (3.28) es la generalizaci´on buscada de (3.22), coincidiendo con esta ´ultima en el l´ımite T1=T2→ ∞. Hacer tender ambos par´ametros a infinito equivale a eliminar los efectos de relajaci´on y decoherencia (no se alcanzar´ıan en tiempo finito), los cuales no fueron tenidos en cuenta en la derivaci´on de (3.22); con lo que era de esperar encontrar este l´ımite. Sin embargo, que T1yT2 deban aumentar a la misma velocidad no podemos explicarlo sin un estudio detallado de los fen´omenos anteriores. Se muestra en las figuras (3.2) a (3.8) un mapeado de la probabilidad (3.28) sobre el plano A/ω -ε0/ω para distintos valores de ω/∆ , T1∆ y T2∆ . El incremento del n´umero de par´ametros necesarios para caracterizar cada figura genera una casu´ıstica m´as profunda que la encontrada en el l´ımite de cruce lento del cap´ıtulo 2, lo cual hace necesario que nos ci˜namos a una determinada ruta. De esta forma, se va a empezar por el triplete de valores ω/∆ = 300 , T1∆ = 500 , T2∆=0,5 , de acuerdo con [Shevchenko10] (p´ag. 12), y sobre ´estos se van a analizar las consecuencias de reducir o incrementar en al menos un orden de magnitud cada uno de dichos par´ametros individualmente (manteniendo los otros dos constantes). En cada figura se eval´uan ´unicamente los correspondientes 1 o 2 mayores sumandos de la serie que define a Pup para cada punto del mallado del plano. El segundo sumando es despreciable en todos los puntos salvo aquellos donde la parte decimal de ˜ε0es 0,5; que es donde la frecuencia de sinton´ıa no est´a un´ıvocamente determinada. En el primer caso (figura 3.2) se observa que la probabilidad es nula en todas partes salvo en un fino entorno de las diferentes rectas ε0/ω =z∈Z(en rojo se marcan arbitrariamente dos de ellas), donde la frecuencia de sinton´ıa asociada al modo zse anula. Esto supone maximizar, en la variable ε0/ω, el mayor de los sumandos de la serie, lo 45 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS Figura 3.2: Pup (3.28) frente a A/ω yε0/ω, con ω/∆ = 300, T1∆ = 500, T2∆ = 0,5. cual da lugar a los m´aximos Pup ≈0,5, que se alternan con regiones de m´ınimos (de longitud apreciablemente constante en todo el plano) de forma que el valor de A/ω sobre el que se encuentra centrado el n-´esimo m´ınimo (contando en A/ω creciente a partir de A/ω =ε0/ω) de la recta de modo zcoincide con el n-´esimo cero de Jz; como se observa con las dos rectas blancas, las cuales marcan concretamente los dos primeros ceros de J3(que son tambi´en los de J−3). Los primeros m´aximos se aprecian m´as largos que los siguientes y, especialmente los de las rectas de modos m´as peque˜nos, tambi´en m´as anchos. Por otra parte, las dos rectas rosas vienen dadas por A=ε0, condici´on l´ımitrofe para la aplicaci´on del modelo de impulso adiab´atico en el cap´ıtulo 2, pero a priori sin especial significado en el presente contexto; aunque se observa que Pup cae r´apidamente a 0 por debajo de ellas (a consecuencia del comportamiento de las funciones de Bessel). En las figuras 3.3 y 3.4 se observa que la anchura de los m´aximos es inversamente proporcional a ω/∆, o m´as precisamente; la anchura de las regiones de probabilidad m´ınima es directamente proporcional a este par´ametro. El valor de los m´aximos se mantiene en 0,5, pues estos vienen determinados por una frecuencia de sinton´ıa nula o muy peque˜na. El comportamiento de Pup en T1∆ se observa cualitativamente similar, pero invertido, a aqu´el en ω/∆; de acuerdo a las figuras 3.5 y 3.6. La presencia de 1/T∗ 1en el primer t´ermino de los denominadores de (3.28) implica que este par´ametro s´ı afecta a los sumandos para los que la frecuencia de sinton´ıa se anula, especialmente al reducirse ya que tiende a disminuir notablemente dichos sumandos; como se aprecia en la figura 3.5 donde 46 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS Figura 3.3: Pup (3.28) frente a A/ω yε0/ω, con ω/∆ = 50, T1∆ = 500, T2∆=0,5. los m´aximos disminuyen su altura. Por ´ultimo, los resultados respecto a T2∆ constituyen dos situaciones interesantes. En la figura 3.7 se observa una difuminaci´on del patr´on interferom´etrico habitual: los m´aximos menguan y no se sit´uan claramente sobre las rectas ε0/ω ∈Z. Aqu´ı resulta satisfactorio contemplar el significado f´ısico del periodo de desfase T2, que al ser peque˜no implica que el sistema comienza a comportarse cl´asicamente al cabo de poco tiempo, atenuando el impacto cu´antico de las interferencias. La figura 3.8 corresponde, como se dijo previamente, al caso en que (3.28) tiende a (3.22), ya que T∗ 1=T∗ 2y son suficientemente elevados. Sin embargo, las zonas Aε0, donde Pup = 0; son a´un un reducto de los efectos de relajaci´on y decoherencia (a medida que T∗ 1=T∗ 2aumenten, los m´aximos ir´an bajando, eventualmente todos hasta A/ω = 0, en el infinito). 47 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS Figura 3.4: Pup (3.28) frente a A/ω yε0/ω, con ω/∆ = 1200, T1∆ = 500, T2∆=0,5. Figura 3.5: Pup (3.28) frente a A/ω yε0/ω, con ω/∆ = 300, T1∆ = 5, T2∆ = 0,5. Figura 3.6: Pup (3.28) frente a A/ω yε0/ω, con ω/∆ = 300, T1∆ = 2500, T2∆=0,5. 48 CAP´ ITULO 3. ALTAS FRECUENCIAS Figura 3.7: Pup (3.28) frente a A/ω yε0/ω, con ω/∆ = 300, T1∆ = 500, T2∆ = 0,005. Figura 3.8: Pup (3.28) frente a A/ω yε0/ω, con ω/∆ = 300, T1∆ = T2∆ = 500. 49 CAP´ ITULO 4. RESOLUCI ´ ON NUM ´ ERICA Cap´ıtulo 4 Resoluci´on Num´erica En este cap´ıtulo vamos a computar la evoluci´on temporal de la probabilidad de transici´on para el sistema de dos niveles, as´ı como su promedio, y a comparar con los resultados de los modelos de impulso adiab´atico y de onda rotatoria. En general, el enfoque anal´ıtico de este problema puede no ser trivial, como se ha visto en los cap´ıtulos 3 y (principalmente) 2; siendo inviable la obtenci´on de una soluci´on exacta para el hamiltoniano arm´onico utilizado. Sin embargo, dado que estamos tratando con un sistema de dimensi´on finita, es posible emplear m´etodos de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales para calcular num´ericamente la soluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger. Adem´as, es posible aprovechar la periodicidad temporal del hamiltoniano para agilizar los c´alculos, de acuerdo a la teor´ıa de Floquet. 4.1. M´etodo de Floquet Supongamos que el sistema de dos niveles est´a descrito por el hamiltoniano (1.1) con cualquiera de los est´ımulos (1.2) o (1.3). En ese caso, se cumple que ˆ H(t) es un operador herm´ıtico y (2π ω=T) - peri´odico: ˆ H(t+T) = ˆ H(t),∀t∈R.(4.1) Consideremos el operador de evoluci´on del sistema respecto a un tiempo inicial t0∈Rfijo, i.e., tal que ˆ U(t, t0)|ψ, t0i=|ψ, ti,∀t≥t0,ψsoluci´on de la ecuaci´on de Schr¨odinger. Por definici´on, debe cumplirse que ˆ U(t0, t0) = ˆ I, operador identidad; y tomando derivadas temporales: i~dˆ U(t, t0) dt |ψ, t0i=i~d|ψ, ti dt =ˆ H(t)|ψ, ti=ˆ H(t)ˆ U(t, t0)|ψ, t0i. Por tanto, el operador de evoluci´on satisface el siguiente sistema diferencial:          i~dˆ U(t, t0) dt =ˆ H(t)ˆ U(t, t0),∀t≥t0 ˆ U(t0, t0) = ˆ I . (4.2) Notemos adem´as que se trata de un operador unitario, ya que: 50 CAP´ ITULO 4. RESOLUCI ´ ON NUM ´ ERICA figuras 4.6 y 4.7; de donde adem´as se deduce que Pup es r´apidamente decreciente cuando ε0/ω se aleja de un n´umero entero, caracter´ıstica tambi´en en acuerdo con los resultados de dicha aproximaci´on. A frecuencias intermedias, como era de esperar se observa que esta aproximaci´on en general no es adecuada, aunque en ciertos casos (particularmente, cuando ε0/ω ∈Z) s´ı puede serlo. Figura 4.6: Pup frente a t/T, con A/∆ = 12, ε0/∆ = 0 y ω/∆ = 300 (ε0/ω = 0). Figura 4.7: Pup frente a t/T, con A/∆ = 12, ε0/∆ = 2 y ω/∆ = 300 (ε0/ω = 0,0067). Por ´ultimo, en la figura 4.8 se muestra el resultado para ω/∆≈0. La probabilidad de transici´on en este caso es pr´acticamente nula (observar la escala del eje vertical) en todo 57 CAP´ ITULO 4. RESOLUCI ´ ON NUM ´ ERICA instante de tiempo. N´otese que en este caso el teorema adiab´atico no puede aplicarse ya que los niveles energ´eticos diab´aticos s´ı se cruzan durante la evoluci´on del sistema. Figura 4.8: Pup frente a t/T, con A/∆ = 20, ε0/∆ = 3 y ω/∆ = 10−4. 4.3. Promediado de la Probabilidad de Transici´on Extendemos la definici´on de promedio temporal de la probabilidad de transici´on entre estados de la base diab´atica (4.10) al caso en que ´esta no es una funci´on peri´odica como: Pup = l´ım s→∞ 1 sZs 0ϕ↑↓,(t0+τ)ˆ U(t0+τ, t0)ϕ↓↑, t0 2dτ . (4.11) De esta forma, podemos aplicar una aproximaci´on de (4.11) sobre la probabilidad (4.10) obtenida num´ericamente mediante el m´etodo de Floquet, calculando el ´area bajo la curva de probabilidad entre el tiempo inicial empleado en (4.2) y otro instante finito pero suficientemente grande. Consideraremos que un l´ımite superior de integraci´on ses adecuado si la diferencia con el promedio temporal empleando 5ses de orden 10−3o inferior. Por lo visto en la secci´on 4.2, el resultado num´erico y el dado por la RWA para Pup deben coincidir (pues lo hacen las dependencias temporales) para frecuencias altas. Vamos a comparar en esta ocasi´on con el modelo de impulso adiab´atico, para lo cual consideramos el hamiltoniano (1.1) con el est´ımulo (1.2) en el m´etodo de Floquet. Vamos a comparar concretamente con las probabilidades promedio (2.58) y (2.59) correspondientes a las zonas 1 y 2 (ver secci´on 2.3), siendo la probabilidad promedio resultante la media ponderada seg´un la medida de ambas zonas: P+=1 T(t2−t1)PI ++ (T+t1−t2)PII +,(4.12) 58 CAP´ ITULO 4. RESOLUCI ´ ON NUM ´ ERICA donde t1yt2vienen dados por (2.4), y el tiempo inicial para el m´etodo de Floquet lo tomamos para coincidir con el tiempo de partida empleado en el desarrollo del modelo de impulso adiab´atico, es decir, t0=t1. En favor de la exactitud, vamos a considerar el siguiente orden en la fase del teorema adiab´atico, siendo entonces el operador de evoluci´on adiab´atico (2.13) (de acuerdo a ec. A.2a-[Shevchenko10]): ˆ U(tf, ti) = exp−i(ζ(tf, ti) + π 4)ˆτz. Esto repercute en el an´alisis realizado ´unicamente en la fase de Stokes (2.38), que pasa a ser ((de acuerdo a ec. 25-[Shevchenko10])): θS=−π 4+δ(ln (δ)−1) + arg (Γ(1 −iδ)); lo cual afecta a las probabilidades promedio (2.58) y (2.59) a trav´es de los par´ametros (2.43) y (2.44). Lo ´ultimo que debemos tener en cuenta para la comparativa es considerar la transici´on entre estados de la base adiab´atica, con lo que (4.10) ahora corresponde a: Ptrans(t) = P+(t) =hϕ+, t|ϕ−, t0i 2(2.3) =hβ−(t)ϕ↑, t−β+(t)ϕ↓, ti hβ+(t0)ˆ U†(t, t0)ϕ↑, t+β−(t0)ˆ U†(t, t0)ϕ↓, ti 2 =β−(t)β+(t0)U∗ 1,1(t, t0) +β−(t)β−(t0)U∗ 2,1(t, t0)−β+(t)β+(t0)U∗ 1,2(t, t0)−β+(t)β−(t0)U∗ 2,2(t, t0) 2. (4.13) Empleando (4.12) para el c´alculo con el modelo de impulso adiab´atico (calculando de forma exacta la fase de Stokes con el t´ermino de orden superior) y haciendo el cambio de base dado por (4.13) sobre el integrando de (4.11) para el c´alculo del promediado con el m´etodo de Floquet, se obtienen los resultados de las figuras 4.9, 4.10 y 4.11. Figura 4.9: P+frente a A/∆, con ε0/∆ = 0, y ω/∆ = 0,5. 59 CAP´ ITULO 4. RESOLUCI ´ ON NUM ´ ERICA Figura 4.10: P+frente a A/∆, con ε0/∆ = 0, y ω/∆ = 3. Figura 4.11: P+frente a A/ω, con ε0/ω = 0, y ω/∆ = 300. Se observa que las discrepancias entre las dos soluciones disminuyen con A. Adem´as, cuando A→ ∞, ambos procedimientos tienden a P+= 0,5 para todas las frecuencias. Se aprecia que las oscilaciones obtenidas mediante el modelo de impulso adiab´atico decrecen fuertemente al aumentar la frecuencia. 60 CONCLUSIONES Conclusiones El estudio realizado acerca de la probabilidad de transici´on entre los dos niveles del sistema pone de manifiesto los l´ımites del teorema adiab´atico para describir un proceso real. Para la pr´actica totalidad del rango de frecuencias ω, existe una amplia regi´on del espacio de par´ametros (A,ε0) donde dicha probabilidad (o su promedio temporal) entre estados adiab´aticos es del orden de al menos 0,1 , de acuerdo con los c´alculos num´ericos. Para altas frecuencias, dicha ruptura de la adiabaticidad era de esperar, pero para bajas; constituye un hecho remarcable. El modelo de impulso adiab´atico permite explicar este hecho mediante la adquisici´on de fases din´amicas en las regiones entre cruces evitados, pudiendo resultar en interferencias constructivas o destructivas seg´un los valores de los tres par´ametros anteriores, lo cual tiene un impacto importante en el comportamiento del sistema. Los resultados te´oricos predichos por la aproximaci´on de onda rotatoria para la probabilidad de transici´on a frecuencias elevadas est´an en excelente acuerdo con los num´ericos, pudiendo resultar adecuada su aplicaci´on incluso para frecuencias intermedias en ciertas regiones param´etricas. Esto permite ejercer un control fiable sobre la evoluci´on del sistema, en el sentido de que es posible fijar la amplitud y el offset del est´ımulo para impedir las transiciones de nivel; lo cual no es en general factible para frecuencias m´as reducidas. Conocidos A,ε0yω, los resultados obtenidos pueden utilizarse para estimar experimentalmente el par´ametro ∆, propio en general del sistema. Para ello puede observarse el impacto en la probabilidad promedio de variar controladamente una de las tres magnitudes anteriores, manteniendo fijas las otras dos. Esto requiere medir repetidamente la energ´ıa del sistema en distintos instantes de tiempo, siempre tras haber preparado (o medido) el sistema en su estado fundamental. Tambi´en ser´ıa posible estimar los par´ametros de interacci´on del sistema con su entorno (fijado ´este): T1yT2, una vez conocido ∆. Para ello podr´ıa medirse la longitud del tramo de probabilidad promedio nula fijados ω(suficientemente elevada) y ε0=kω (k∈Z), y variando A; adem´as de otras caracter´ısticas como el valor de los m´aximos. 61 AP ´ ENDICE A Ap´endice A Propiedades de las Matrices de Pauli Empleando la notaci´on introducida en la secci´on 1.3, los operadores de Pauli est´an representados en la base diab´atica (1,0)t,(0,1)tpor las siguientes matrices, que son las denominadas matrices de Pauli: ˆτx= 0 1 1 0!,ˆτy= 0−i i0!,ˆτz= 1 0 0−1!.(A.1) A partir de ellas se definen adem´as: ˆτ+= ˆτx+iˆτy= 0 2 0 0!,ˆτ−= ˆτx−iˆτy= 0 0 2 0!.(A.2) Se deduce directamente que estas matrices cumplen las siguientes propiedades: Toda matriz compleja 2 x 2 puede expresarse como combinaci´on lineal con coeficientes complejos de ˆ I(matriz identidad de orden 2),ˆτx,ˆτy,y ˆτz. ˆτ2 i=ˆ I , ˆτ† i= ˆτi,∀i=x, y, z . (A.3) ˆτmˆτn=δmn ˆ I+iX l=x,y,z εmnl ˆτl,∀m, n =x, y . (A.4) donde εijk es el denominado s´ımbolo de Levi-Civita. Dado α∈R: eiαˆτz= eiα 0 0e−iα!.(A.5) 62 AP ´ ENDICE A Prueba: empleando la definici´on de exponencial de una matriz, se tiene: eiαˆτz=∞ X n=0 (iαˆτz)n n! (A.3) =∞ X k=0 (iα)2k (2k)! ˆ I+∞ X l=0 (iα)2l+1 (2l+ 1)! ˆτz=ˆ I∞ X k=0 (−1)kα2k (2k)! + ˆτz ∞ X l=0 i(−1)l(α)2l+1 (2l+ 1)! = cos(α)ˆ I+isen(α)ˆτz= eiα 0 0e−iα!. eiαˆτzˆτze−iαˆτz= ˆτz.(A.6) eiαˆτzˆτxe−iαˆτz= 0ei2α e−i2α0!=1 2(ei2αˆτ++e−i2αˆτ−).(A.7) e−iαˆτzˆτ+eiαˆτz=e−i2αˆτ+.(A.8) e−iαˆτzˆτ−eiαˆτz=ei2αˆτ−.(A.9) Se define el vector de Pauli como: ˆ ~τ = ˆτx~ux+ ˆτy~uy+ ˆτz~uz,(A.10) siendo ˆ ~τ ∈ M2(C)⊗R3(⊗denota el producto tensorial entre espacios vectoriales) y ~ux,~uy,~uz∈R3los elementos de una base cartesiana ortonormal. Definiendo el siguiente producto tensorial: ◦:R3×(M2(C)⊗R3)−→ M2(C) ~un◦ˆ ~τ = (unx, uny, unz)◦ˆ ~τ 7−→ unxˆτx+unyˆτy+unzˆτz,(A.11) se demuestra que (ec. 16.62-[Merzbacher]): expiα(~un◦ˆ ~τ)= cos(α)ˆ I+isen(α)(~un◦ˆ ~τ),(A.12) siendo α∈Ry~un∈R3unitario. 63 REFERENCIAS Referencias [Ashhab] Sahel Ashhab et Al. 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