Funciones universales y propiedades de Acotación

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Facultad de Matemáticas Máster Universitario en Matemática Avanzada Departamento de Análisis Matemático FUNCIONES UNIVERSALES Y PROPIEDADES DE ACOTACIÓN Trabajo Fin de Máster presentado por Mercedes Prado Rodríguez Directores: Madel Carmen Calderón Moreno José Antonio Prado Bassas Sevilla, Septiembre de 2015 Índice general Abstract III Resumen V Introducción VII 1. Preliminares 1 1.1. EspaciosdeBaire.............................. 1 1.2. Nociones básicas de topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. BasesdeSchauder ............................. 5 2. Caracterización de conjuntos sub-Arakelian 7 2.1. Antecedentes ................................ 7 2.2. Conjuntos sub-Arakelian y construcción de conjuntos de Arakelian . . . 10 2.3. Condiciones de acotación y universalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. Condiciones de acotación y universalidad para similaridades prefijadas . 14 2.5. Conclusiones y observaciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. Funciones Universales Armónicas 23 3.1. FuncionesArmónicas............................ 23 i Índice Trabajo Fin de Máster 3.2. Conjuntos de Carleman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3. Funciones armónicas universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman 31 4.1. Funciones que preservan la armonicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2. Conjuntos sub-Carleman y condiciones de acotación y universalidad . . 33 4.3. Condiciones de acotación y universalidad bajo sucesiones prefijadas . . 41 4.4. Conclusiones y Observaciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Bibliografía 48 ii Abstract The aim of this Master’s Thesis is to study the latest results of existence of universal entire functions with bounded properties and translate them to the field of harmonic functions. This memory is divided into four chapters. In the first one, we will make a brief reminder of some basic concepts that will be used in subsequent chapters. In the second chapter, we will study the universality of complex functions and we will give some bounded properties of such functions through the concept of Arakelian subsets. In the next chapter we will study the universality of harmonic functions in RN, and will define the notion of Carleman sets and will prove, under certain conditions, the existence of universal harmonic functions on RN. In the last chapter we will see how it is possible to transfer these results from entire functions to harmonic functions on RN. The content of this chapter is original. The completion of this work has allowed us to get into a line of research that combines concepts of Functional Analysis, Operator Theory and Topology. This is a field that has developed mainly in the last 25 years, although its origins date back to the early twentieth century. iii Abstract Trabajo Fin de Máster iv Resumen El objetivo principal de este Trabajo Fin de Máster es realizar un estudio sobre los últimos resultados de existencia de funciones enteras universales con propiedades de acotación y trasladarlos al ámbito de las funciones armónicas. Esta memoria se dividirá en cuatro capítulos. En el primero de ellos, haremos un breve recordatorio de algunas nociones básicas que se usarán en los capítulos posteriores. En el segundo capítulo estudiaremos la universalidad de funciones en el ámbito de las funciones complejas y daremos algunas propiedades de acotación de dichas funciones mediante el concepto de conjunto de Arakelian. En el siguiente capítulo estudiaremos la universalidad de funciones armónicas en RN, definiremos los conjuntos de Carleman y probaremos, bajo ciertas condiciones, la existencia de funciones armónicas universales en RN. En el último capítulo veremos cómo es posible trasladar los resultados de acotación de funciones enteras universales al ámbito de las funciones armónicas en RN, siendo el contenido de este capítulo original. La realización del presente trabajo nos ha permitido adentrarnos en una línea de investigación que conjuga conceptos propios del Análisis Funcional, la Teoría de Operadores y la Topología. Se trata de un campo que se ha desarrollado principalmente en los últimos 25 años, aunque sus orígenes se remonten a las primeras décadas del siglo XX. v Resumen Trabajo Fin de Máster vi Introducción Sea Xun espacio vectorial topológico y sea T:X→Xuna aplicación lineal y continua. Siguiendo a Beauzamy, se dice que Tes hipercíclica si existe un vector x∈Xtal que el conjunto {Tnx:n∈N}es denso en X. Usando esta terminología, en 1929 Birkhoff [11] probó la hiperciclicidad del operador de traslación Taf(z) := f(z+a)(a6= 0) en el espacio de las funciones enteras H(C); a las funciones hipercíclicas respecto del operador de traslación se las conoce como funciones universales en el sentido de Birkhoff. El análogo armónico del Teorema de Birkhoff, es decir, cuando se reemplaza el espacio de funciones enteras H(C) por el espacio h(RN)de funciones armónicas en RN, es debido a Armitage y Gauthier [4]. Principalmente a lo largo de los últimos 30 años, son numerosos los resultados sobre hiperciclicidad que se pueden encontrar en la literatura: hiperciclicidad de operadores de composición, de desplazamiento, crecimiento y/o “acotación” de funciones hipercíclicas, periodicidad de funciones hipercíclicas, condiciones necesarias y/o suficientes para la hiperciclicidad, estructura/tamaño topológico y algebraico del conjunto de vectores hipercíclicos... En este Trabajo Fin de Máster se pretende realizar un estudio sobre los últimos resultados de existencia de funciones Birkhoff-universales con propiedades adicionales de acotación y trasladarlos al ámbito de las funciones armónicas. Pero además, modificaremos alguna demostración original y completaremos o mejoraremos otras tantas, para así, obtener una única notación entre todas las utilizadas a lo largo del estudio de estos temas. vii Preliminares Trabajo Fin de Máster El siguiente resultado [5] nos asegura que dada una sucesión básica en X, bajo ciertas condiciones podemos encontrar otra sucesión de Xque sea también básica equivalente a la anterior. Teorema 1.3.4. Supongamos que {xn}nes una sucesión básica en un espacio de Banach Xy que {x∗ n}nes su sucesión de coeficientes funcionales. Supongamos que {yn}nes una sucesión en Xtal que X n kx∗ nk kxn−ynk<1. Entonces {yn}nes una sucesión básica equivalente a {xn}n. 6 Capítulo 2 Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Como objetivo principal, en este capítulo recogeremos algunos de los resultados estudiados por Calderón-Moreno y Prado-Bassas [1] sobre la existencia de funciones universales bajo similaridades que están acotadas en un determinado subconjunto A. En primer lugar repasaremos algunas investigaciones previas a dicho artículo; veremos la definición de conjunto de Arakelian y algunos resultados anteriores sobre acotación y universalidad de funciones. Dedicaremos la siguiente sección a los conjuntos llamados sub-Arakelian, dando algunos ejemplos ilustrativos de este tipo de conjuntos, así como una construcción de conjuntos Arakelian. A continuación estudiaremos la existencia de funciones universales respecto de similaridades y acotadas en un conjunto sub-Arakelian prefijado y, posteriormente, fijaremos previamente también las similaridades. Por último, comentaremos algunas conclusiones y observaciones finales. 2.1. Antecedentes En 1929 Birkhoff [11] probó la existencia de una función fentera que es universal respecto de traslaciones, es decir, cuya familia de trasladadas {f(·+n) : n∈N}es densa en H(C). 7 Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Trabajo Fin de Máster En los últimos 20 años, muchos investigadores han centrado su atención en encontrar funciones que presentan un comportamiento “salvaje”, pero que simultáneamente están, en cierto sentido, controladas. Más concretamente, se pueden encontrar resultados que compatibilizan existencia de funciones universales con propiedades opuestas como la acotación o el decrecimiento rápido (cuando z→ ∞) en conjuntos “grandes”. En 2002, Calderón [12] probó la existencia de una colección de funciones enteras y Birkhoff-universales que están acotadas en un cierto dominio. Denotaremos por Σla familia de regiones planas comprendidas entre dos rectas paralelas. Teorema 2.1.1. Para cada α∈(0,1 2), existe una variedad lineal densa M⊂H(C) tal que, para toda función f∈M\ {0}, se tiene: 1. fes Birkhoff-universal. 2. l´ım z→∞ z∈S exp|z|αf(z)=0,∀S∈Σ.En particular, festá acotada en S. Dos años después, Costakis y Sambarino [13] probaron el siguiente resultado. Teorema 2.1.2. Dado un compacto K⊂C, existe una función fentera tal que: 1. fes Birkhoff-universal. 2. ftiende a cero en todo “sector trasladado” K+{z:ε≤arg z≤2π(1 −ε)} (ε∈(0,1)). El teorema anterior fue generalizado por Gharibyan, Luh y Niess [16] en los siguientes términos. Teorema 2.1.3. Dado un sector S:= {z=z0+reit :r≥0, t ∈[t0−τ, t0+τ]} (z0∈C,t0∈R,0< τ < π), existe un subconjunto denso M⊂H(C)tal que cada función f∈Mestá acotada en Sy es Birkhoff-universal. En 2006, Bernal y Bonilla [7] probaron, bajo ciertas condiciones, la existencia de una función entera fBirkhoff-universal y acotada en un cierto conjunto Aprefijado. Veamos algunos conceptos previos necesarios para enunciar este resultado. 8 Trabajo Fin de Máster Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Definición 2.1.4. Si Fes un subconjunto de C, se dice que Fes un conjunto de Arakelian si F6=∅es cerrado en Cy su complementario respecto al plano extendido C∞=C∪ {∞} es conexo y localmente conexo en el infinito. Observemos que las bandas y los sectores son conjuntos de Arakelian. Definición 2.1.5. Se define el radio inscrito de A⊂Ccomo ρ(A) = sup{r > 0 : ∃a∈Ctal que B(r, a)⊂A}. Veamos ahora el resultado previamente citado. Teorema 2.1.6. Dado un subconjunto A⊂C, entonces las dos propiedades siguientes son equivalentes: 1. Existe un subconjunto F⊂Cde Arakelian tal que A⊂Fyρ(C\F) = +∞. 2. Existe una función entera fBirkhoff-universal y acotada en A. Cuatro años más tarde, Bernal, Calderón y Luh [8] probaron bajo ciertas condiciones la existencia de una familia de funciones enteras Birkhoff-universales que además cumplen una serie de propiedades. Teorema 2.1.7. Si F⊂Ces un conjunto de Arakelian no acotado con ρ(C\F) = +∞, entonces existe un subespacio vectorial M⊂H(C)tal que 1. Mes denso en H(C) 2. Toda función f∈M\ {0}es Birkhoff-universal 3. exp(|z|α)f(z)→0cuando z→0 (z∈C),∀α∈(0,1/2) y∀f∈M. En particular, toda función f∈Mestá acotada en F. 9 Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Trabajo Fin de Máster 2.2. Conjuntos sub-Arakelian y construcción de conjuntos de Arakelian Siguiendo las ideas de Bernal y Bonilla en [7], en 2013 Calderón-Moreno y Prado- Bassas [1] introducen el concepto de conjunto sub-Arakelian. Definición 2.2.1. Decimos que un subconjunto A⊂Ces sub-Arakelian si existe un conjunto F⊂C,F6=C, Arakelian tal que A⊂F. Obsérvese que cualquier conjunto Arakelian, salvo C, es trivialmente sub-Arakelian, pero el recíproco no es cierto. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos 2.2.2. 1. El subconjunto A1={z∈C:|<z| ≤ 2,|z| ≥ 1}es sub-Arakelian si consideramos el conjunto F1={z∈C:|<z| ≤ 2}, ya que este último es un conjunto no vacío, cerrado y cumple que C∞\F1es conexo y localmente conexo en el infinito, es decir, es Arakelian y contiene a A1. Pero A1no es Arakelian pues su complementario respecto al plano extendido no es conexo. Conjunto A1Conjunto F1 2. El subconjunto A2={z∈C:|=z|≤<z, |z−2| ≥ 1}también es sub-Arakelian. Es fácil comprobar que el conjunto F2={z∈C:|=z|≤<z}es Arakelian, pero, igual que antes, A2no es Arakelian pues C∞\A2no es conexo. 10 Trabajo Fin de Máster Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Conjunto A2Conjunto F2 Estos ejemplos nos muestran que un conjunto Aes sub-Arakelian si se convierte, de algún modo, en Arakelian al “rellenar sus agujeros”. Más aún, si tomamos un conjunto Arakelian (distinto de C) y “hacemos agujeros” dentro de él, el conjunto resultante es sub-Arakelian. Por supuesto, también existen conjuntos que no son sub-Arakelian, como por ejemplo C\ {0},C\NóC\ ∞ [ n=1 B(n, 1/2), ya que ningún conjunto, salvo C, “rellenará” sus agujeros. 11 Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Trabajo Fin de Máster El siguiente lema nos permite añadir una sucesión de conjuntos compactos tendiendo a infinito a un conjunto Arakelian sin necesidad de perder la condición de Arakelian. En lo que sigue, dado un conjunto A⊂Cdenotaremos por A◦(resp. ∂A) el interior (resp. la frontera) de A. Lema 2.2.3. Dado un conjunto de Arakelian F⊂C,F6=C, y un punto z0∈C\F, existen dos sucesiones dobles {an,k}k∈N,n≤k⊂Cy{rn,k}k∈N,n≤k⊂(0,+∞)y una sucesión creciente {Rk}k≥0de números positivos tendiendo a infinito tales que: 1. B0∩F=∅, donde B0:= B(z0, R0). 2. Para todo k∈Ny todo n≤k, si definimos los conjuntos Kn,k := B(an,k, rn,k) yBk:= B(0, Rk), entonces los conjuntos Kn,k son disjuntos dos a dos y están contenidos en Bk+1 \(Bk∪F). 3. El conjunto C0:= F∪B0∪[ k∈N j≤k Kj,k es Arakelian. 4. Para cada n∈N, el conjunto Cn:= (F\B◦ n−1)∪B0∪[ k≥n j≤k Kj,k es Arakelian. La siguiente figura representa la construcción realizada en este último lema. 12 Trabajo Fin de Máster Caracterización de conjuntos sub-Arakelian 2.3. Condiciones de acotación y universalidad Definición 2.3.1. Sea Xun espacio vectorial topológico y A⊂X. Decimos que el subconjunto Aes espaciable si existe un subespacio lineal cerrado e infinito-dimensional M⊂Xtal que M\ {0} ⊂ A. Se dice que Aes denso-lineable (resp. maximal denso-lineable) si existe un subespacio lineal M⊂Xdenso tal que M\ {0} ⊂ A(resp. y Mtiene la máxima dimensión algebraica, es decir, dim(M) = dim(X)). Se puede observar que no existe relación entre los conceptos de espaciabilidad y lineabilidad densa; pero sí, entre la lineabilidad densa y la lineabilidad densa maximal: todo conjunto maximal denso-lineable es obviamente denso-lineable, pero el recíproco no es cierto. Además, como H(C)es un espacio vectorial infinito–dimensional, métrico, completo y separable, entonces su dimensión es la del continuo (esto es consecuencia del Teorema de Baire) y para cualquier subespacio Vdel mismo, se cumplirá que dim(V)≤dimH(C). Recordemos que el conjunto de automorfismos de Cviene dado por el conjunto de similaridades, es decir, Aut(C) = {a+bz :a, b ∈C, b 6= 0}. En general decimos que una función entera f:C→Ces universal respecto de similaridades si {f◦ϕ:ϕ∈Aut(C)}es denso en H(C). Dada una sucesión {ϕn}n∈Aut(C), decimos que fes unicersal respecto de {ϕn}n si {f◦ϕn:n∈N}es denso en H(C). En particular, toda función entera Birkhoffuniversal es universal respecto de similaridades, de hecho es universal respecto de {ϕn=ϕ◦(n) · · · ◦ ϕ}ndonde ϕ(z) = z+ 1. En [1] se relaciona la existencia de funciones universales y acotadas en un conjunto A, con la propia condición de Arakelian, estableciendo además una conexión entre la estructura algebraica y la estructura topológica del conjunto de tales funciones. 13 Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Trabajo Fin de Máster Teorema 2.3.2. Sea A⊂C. Entonces son equivalentes: 1. Aes sub-Arakelian. 2. Existe una función entera universal (respecto de similaridades) y acotada en A. 3. El conjunto de funciones enteras universales (respecto de similaridades) y acotadas en Aes denso-lineable. 4. El conjunto de funciones enteras universales (respecto de similaridades) y acotadas en Aes espaciable. 5. El conjunto de funciones enteras universales (respecto de similaridades) y acotadas en Aes maximal denso-lineable. 2.4. Condiciones de acotación y universalidad para similaridades prefijadas Recordemos el concepto de sucesión fugitiva, de acuerdo con los resultados de Bernal y Montes [10] de 1995. Definición 2.4.1. Sea Gun subconjunto abierto de Cy denotamos H(G, G) := {ϕ: G→G:ϕes holomorfa en G}. Se dice que la sucesión {ϕn}n⊂H(G, G)es fugitiva si para todo K⊂Gcompacto, existe n0=n0(K)∈Ntal que K∩ϕn0(K) = ∅. La condición de “ser fugitiva” está directamente relacionada con la existencia de funciones enteras universales. Teorema 2.4.2 (Bernal-Montes [10], 1995).Dada una sucesión de similaridades {ϕn(z) = an+bnz}n, las siguientes condiciones son equivalentes: 1. Existen funciones enteras universales respecto de {ϕn}n. 2. La sucesión {ϕn}nes fugitiva. 3. El conjunto m´ın{|an|,an bn}no es acotado. 14 Trabajo Fin de Máster Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Observemos que el resultado anterior también nos caracteriza las sucesiones de similaridades fugitivas. En particular, se tiene que una sucesión de similaridades {z7→ an+bnz}, esta es fugitiva si y solo si existe {nk}ktal que ank→ ∞ yank bnk→ ∞ si k→ ∞. Así, en 2013, Bernal [6] probó el siguiente resultado. Teorema 2.4.3. Dado un subconjunto no acotado A⊂Cy una sucesión prefijada de similaridades {ϕn(z) = an+bnz}, tal que an→ ∞ yan bn→ ∞ si n→ ∞, se tiene que las siguientes condiciones son equivalentes: 1. Existe una función entera acotada en Ay universal respecto de {ϕn}n. 2. El conjunto de funciones enteras acotadas en Ay universales respecto de {ϕn}n es denso-lineable. 3. Existe un subconjunto F⊂CArakelian con A⊂Fy tal que, para cada R > 0, existe n∈Ncon F∩B(an, R|bn|) = ∅. Siguiendo la definición de fugitividad de una sucesión, en 2013, Calderón-Moreno y Prado-Bassas introducen el concepto de fugitividad fuera de un subconjunto dado. Definición 2.4.4. Sea Gun subconjunto abierto de CyA⊂G. Se dice que la sucesión {ϕn}n⊂H(G, G)es fugitiva fuera de Asi para todo K⊂Gcompacto, existe n0=n0(K)∈Ntal que (K∪A)∩ϕn0(K) = ∅. Es claro que toda sucesión {ϕn}nfugitiva fuera de Aes fugitiva, pues el hecho de que (K∪A)∩ϕn(K) = ∅implica K∩ϕn(K) = ∅. Recíprocamente, si {ϕn}nes fugitiva, entonces podemos asegurar que es fugitiva fuera de A, si Aes relativamente compacto en G(es decir, Aes compacto y A⊂G). En efecto, si {ϕn}nes fugitiva, para todo K0compacto, existe un n∈Ntal que K0∩ϕn(K0) = ∅. Sean Kun conjunto compacto y A⊂Grelativamente compacto. Definimos K0como K0:= K∪A. Entonces K0⊂Ges compacto. Tomando el nanterior para tal compacto K0, resulta que (K∪A)∩ϕn(K) = ∅, ya que ϕn(K)⊂ϕn(K0), y por lo tanto {ϕn}nes fugitiva fuera de A. En el caso particular en que G=C, se tiene que Aes relativamente compacto si y solo si Aes acotado. 15 Caracterización de conjuntos sub-Arakelian Trabajo Fin de Máster 22 Capítulo 3 Funciones Universales Armónicas En la primera sección de este capítulo, recordaremos la definición de función armónica, fijaremos la notación que vamos a usar y daremos un resultado que relaciona el espacio L2con las funciones armónicas. Finalizaremos con el estudio de las funciones armónicas universales junto con los conjuntos de Carleman y daremos una prueba de la existencia de un conjunto de funciones armónicas universales respecto de traslaciones. 3.1. Funciones Armónicas Definición 3.1.1. Una función u:A⊂RN→R, se dice que es armónica en el abierto Asi ues de clase C2(A)y satisface la ecuación de Laplace: ∂2f ∂x2 1 +∂2f ∂x2 2 +· · · +∂2f ∂x2 N = 0 en A. Esto se suele escribir como ∇2u= 0 o también como ∆u= 0. Denotaremos por h(RN)el espacio de funciones armónicas de RNy por Pm(RN)el espacio vectorial de todos los polinomios homogéneos de RNde grado m. Asimismo, denotamos por hm(RN)el subespacio de Pm(RN)de todos los polinomios armónicos homogéneos de RNde grado m. 23 Funciones Universales Armónicas Trabajo Fin de Máster Llamemos Sa la frontera de la bola unidad euclidea en RN. Por L2(S)denotamos el espacio vectorial de funciones medibles S→Rtales que kfk2:= ZS|f(x)|2dσ(x)1/2<∞, donde dσ es la medida de Hausdorff (n−1)-dimensional normalizada, sobre el álgebra de los subconjuntos medibles-Lebesgue de S. Es bien conocido que L2(S),k · k2es un espacio de Banach. Definimos la restricción de hm(RN)aSde la siguiente manera. Definición 3.1.2. La restricción de hm(RN)aSse dice que es el conjunto de los polinomios homogéneos armónicos esféricos de grado my viene dado por hm(S) = {p|S:p∈hm(RN)}. Recordemos ahora algunas nociones de espacios de Hilbert. Si Hes un espacio de Hilbert complejo que satisface las siguientes condiciones: (a) Hmes un subespacio cerrado de Hpara cada m (b) Hkes ortogonal a Hmsi k6=m (c) Para cada x∈H, existe xm∈Hmtal que la suma x=x0+x1+· · · , converge en la norma de H, entonces se dice que Hes suma directa de los espacios Hmy se se escribe como H= ∞ M m=0 Hm. Es más, si se cumplen las condiciones anteriores, entonces la suma del apartado (c) es única. Más aún, si se cumplen (a) y (b), entonces se tiene (c) si y solo si el subespacio lineal complejo span(S∞ m=0 Hm)es denso en H. El siguiente resultado [5] nos dice que el espacio L2(S)se puede escribir como suma directa de polinomios homogéneos armónicos esféricos. Teorema 3.1.3. L2(S) = ∞ M m=0 hm(S). 24 Trabajo Fin de Máster Funciones Universales Armónicas 3.2. Conjuntos de Carleman En esta sección definiremos el concepto de conjunto de Carleman y daremos una caracterización de los mismos. Definición 3.2.1. Se dice que F⊂RN,F6=RN, es un conjunto armónico de Carleman en RNsi Fes cerrado y para cada función ucontinua en Fy armónica en F◦ y para cada función :F→(0,1] continua, existe una función varmónica en RNtal que |v(~x)−u(~x)|< (~x)∀~x ∈F. A continuación definiremos el concepto de conjunto fino en un punto, pero necesitaremos algunas nociones previas. Definición 3.2.2. Sea Ω⊂RNun abierto. Una función use dice que es superarmónica (resp. subarmónica) en Ωsi es continua en Ωy cumple que para toda bola B⊂Ω y para toda función varmónica en B, se tiene que si u≥v(resp. u≤v) en ∂B, entonces u≥v(resp. u≤v) en B. Definición 3.2.3. Un punto ξ∈RNse dice que es un punto límite fino de un subconjunto A⊂RNsi cumple las siguientes propiedades: 1. ξes punto de acumulación de A. 2. Para cada función superarmónica udefinida en un entorno abierto de ξ, se tiene que existe una sucesión {xn}n⊂Acon xn→ξtal que u(xn)→u(ξ) (n→ ∞). Dado un subconjunto A⊂RN. Se define el conjunto fino derivado Afde Acomo el conjunto de puntos límite finos de A. Un conjunto A⊂RNse dice que es fino en el punto finito ξsi dicho punto no es un punto límite fino de A, esto es, si ξ6∈ Af. Veamos ahora una condición necesaria y suficiente para que un conjunto sea de Carleman. Dado un cerrado F⊂RN, definimos b Fcomo la unión de Fcon las componentes acotadas de RN\F. 25 Funciones Universales Armónicas Trabajo Fin de Máster Teorema 3.2.4 (Gardiner y Goldstein (1995)[15]).Sea Fun subconjunto cerrado de RN. Entonces Fes un conjunto de Carleman si y sólo si se dan las dos siguientes condiciones: 1. RN\b FyRN\F◦son finos en los mismos puntos que F. 2. Para cada subconjunto compacto K, existe un conjunto compacto Lque contiene: •A todas las componentes acotadas de RN\(K∪F)cuya clausura corta a K. •A todas las componentes de F◦que intersecan a K. 3.3. Funciones armónicas universales Como ya se ha comentado, Birkhoff [11] probó la existencia de una función entera universal bajo traslaciones. El análogo al Teorema de Birkhoff para funciones armónicas de RN, es decir, cuando se reemplaza el espacio de funciones enteras H(C)por el espacio h(RN)de funciones armónicas en RN, es debido a Armitage y Gauthier [4]. En estas condiciones, definiremos el concepto de función armónica universal como sigue. Definición 3.3.1. Una función armónica ven RNse dice que es universal si a cada función armónica uen Rle corresponde una sucesión {#» an}n≥1⊂RN(que depende de u) tal que satisface l´ım n→∞ v(~x +#» an) = u(~x) uniformemente en compactos de RN. Teorema 3.3.2. Existen funciones armónicas universales en RN. En 2002, Bonilla [2] demostró que existen muchas más funciones armónicas universales, en concreto probó su espaciabilidad. Teorema 3.3.3. Existe un espacio vectorial Mcerrado, infinito–dimensional, de funciones armónicas en RNtal que cada función v∈M\ {0}es universal respecto de traslaciones. 26 Trabajo Fin de Máster Funciones Universales Armónicas Demostración. Sea {εm}m≥0una sucesión de números positivos tal que ∞ X m=0 εm<1. Sea {#» an}∞ n=0 ⊂RNuna sucesión de puntos distintos que diverge suficientemente rápido a infinito de manera que podemos construir discos cerrados Bn,n= 0,1,2, . . . disjuntos dos a dos, centrados en los puntos #» an, que forman una familia localmente finita y cuyos radios tienden a infinito. Podemos suponer que #» a0:= #» 0yB0:= B(#» 0,1), la bola unidad cerrada. Recordamos que hk(RN)es el espacio de polinomios armónicos homogéneos de grado k. Tomamos {qk,l :l= 1, . . . , lk}una base de hk(RN)y{qm}∞ m=1 una enumeración de {qk,l}según el grado. Sea {pn}n≥1el conjunto de combinaciones lineales finitas de qmcon coeficientes racionales, que es denso en h(RN). Tomando i(m, n) := (n+m)(n+m+1) 2+m, dividimos {#» an}nen infinitas subsucesiones {# » ai(m,n)}disjuntas. Definimos Fcomo la unión de todas las bolas Bn(n≥0). Entonces Fes cerrado y por el Teorema 3.2.4 es un conjunto de Carleman. Para cada m∈N, definimos las funciones um:F→Rcomo: um(~x) :=          qm(~x)si ~x ∈B0 0si ~x ∈Bi(k,n), k 6=m pn(~x −# » ai(m,n))si ~x ∈Bi(m,n). Es calro que umes continua en Fy armónica en F◦. Entonces, por definición de conjunto de Carleman, para cada función m(~x) : F→(0,1] continua, existe una función vmarmónica en Rntal que |um(~x)−vm(~x)|< m(~x), para ~x ∈F. (1) En particular, si consideramos m(~x) : F→(0,1] como: m(~x) :=      εmsi ~x ∈B0 εm 2nsi ~x ∈Bi(k,n), k, n ∈N. 27 Funciones Universales Armónicas Trabajo Fin de Máster Entonces para un m∈Nfijo, tenemos |vm(~x)−qm(~x)|< εmsi ~x ∈B0(2) |vm(~x +# » ai(m,n))|<εm 2nsi ~x +# » ai(k,n)∈Bi(k,n), k 6=m(3) |vm(~x +# » ai(m,n))−pn(~x)|<εm 2nsi ~x +# » ai(m,n)∈Bi(m,n).(4) Sea Eel espacio vectorial de todas las series ∞ X m=0 αmvmque convergen uniformemente en compactos de RN. Sea Mla clausura de Een h(RN). Entonces: Mes cerrado, por ser la clausura de E. Mes ∞-dimensional. Efectivamente, por el Teorema 3.1.3, se tiene que {qmS}es base de Schauder en L2(S), con Sla frontera de la bola unidad. Sea {q∗ mS}la sucesión de los coeficientes funcionales, de manera que q∗ mS:L2(S)→R, q∗ mS  ∞ X j=1 αjqj =αm. Es fácil comprobar que   q∗ mS  2= 1. Por otra parte, por (2), ∞ X m=0   q∗ mS  2  vm−qmS  2= ∞ X m=0   vm−qmS  2 ≤ ∞ X m=0 kvm−qmk∞ < ∞ X m=0 εm <1 y usando el Teorema 1.3.4, se llega a que {vm}es base de Schauder en L2(S). En particular, se tiene que Mes ∞-dimensional. Para terminar sólo nos resta probar que cada función v∈M\ {0}es armónica universal. Para ello es suficiente demostrar que l´ım n→∞ v(~x +# » ai(m,n))−pn(~x)= 0 28 Trabajo Fin de Máster Funciones Universales Armónicas uniformemente en compactos. Dado v∈M, existen sucesiones de series en Eque convergen a vuniformemente en subconjuntos compactos y, por continuidad de la norma k·k2respecto de la norma k·k∞, tenemos que esa sucesión de series converge a ven L2, por tanto ves representable como serie convergente en L2(S)en la base de Schauder vm. Sea ∞ X m=0 αmvmla representación de ven L2(S). Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que αk= 1, para algún k. Sea (∞ X m=0 αl mvm)l≥1 una sucesión de series de Eque convergen a ven compactos. Podemos considerar αl k= 1,∀l. Más aún, dado un subconjunto compacto K, existe n0tal que K+# » ai(m,n)⊂Bi(k,n), ∀n>n0. Entonces, usando en primer lugar la desigualdad triangular y a continuación las desigualdades (4) y (5), se tiene lo siguiente: para ε > 0ynsuficientemente grande, obtenemos para cada ~x ∈Kque v(~x +# » ai(m,n))−pn(~x) ≤v(~x +# » ai(m,n))− ∞ X m=0 αl mvm(~x +# » ai(m,n))+ + ∞ X m=0 αl mvm(~x +# » ai(m,n))−pn(~x) ≤ε 2+vk(~x +# » ai(m,n))−pn(~x)+ ∞ X m=0 m6=kαl mvm(~x +# » ai(m,n)) ≤ε 2+εk 2n+ ∞ X m=0 m6=k αl m εm 2n=ε 2+ ∞ X m=0 αl m εm 2n ≤ε 2+  {αl m}  2k{εm}k2 2n=ε 2+hP∞ m=0(αl m)2i1/2hP∞ m=0 ε2 mi1/2 2n ≤ε 2+hP∞ m=0(αl m)2i1/2 2n=ε 2+  {αl m}  2 2n≤ε 2+k{αm}k2+ 1 2n≤ε. donde la penúltima desigualdad se tiene debido a que {αl m}m l→∞ −→ {αm}men L2. Así, se tiene la universalidad de la función armónica v∈M\ {0}. 29 Funciones Universales Armónicas Trabajo Fin de Máster 30 Capítulo 4 Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman En este capítulo extenderemos los resultados de universalidad, estudiados en el Capítulo 2, desde el ámbito de las funciones analíticas de variable compleja al de las funciones armónicas. Los resultados de esta sección son, en su mayoría originales y se han recogido en [3]. En la primera sección, veremos qué tipo de funciones son las que preservan la armonicidad. En la siguiente, daremos una construcción de conjuntos de Carleman, análoga a la de conjuntos de Arakelian, y presentaremos condiciones de acotación y universalidad para funciones armónicas. Continuaremos con condiciones de acotación y universalidad en la siguiente sección, pero esta vez fijando previamente las sucesiones. Finalizaremos el capítulo con algunas observaciones y las conclusiones obtenidas. 4.1. Funciones que preservan la armonicidad En el capítulo anterior definimos las funciones armónicas universales bajo traslaciones, pero ahora queremos trabajar no sólo con traslaciones, sino también con dilataciones. Reescribiremos la definición de universalidad como sigue. 31 Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman Trabajo Fin de Máster Sea Eel espacio vectorial de todas las series ∞ X m=0 αmVmque convergen uniformemente en compactos de RN. Sea Mla clausura de Een h(RN). Mes cerrado por ser la clausura de E. Mes lineal por construcción. Las funciones de Mestán acotadas en A. En efecto, por (3) se tiene que |Vn(~x)|< 1,∀~x ∈F, es decir, Vnesta acotada en Fy por tanto en A. Veamos que Mes ∞-dimensional. En primer lugar, {qmS}es base de Schauder en L2(S), donde Ses la frontera de B, por el Teorema 3.1.3. Sea {q∗ mS}la sucesión de los coeficientes funcionales, de manera que q∗ mS:L2(S)→R, q∗ mS ∞ X n=1 αnqn!=αm. Es fácil comprobar que   q∗ mS  2= 1 para cada m∈N. Aplicando la desigualdad (2) y   q∗ mS  2= 1, se tiene que la sucesión Vmcumple ∞ X m=0   q∗ mS  2  Vm−qmS  2= ∞ X m=0   Vm−qmS  2 ≤ ∞ X m=0   Vm−qmS  ∞ ≤ ∞ X m=0 εm<1. Entonces, usando el Teorema 1.3.4 se llega a que {Vm}es base de Schauder en L2(S)y por ello, Mes ∞-dimensional. Falta demostrar que cada función V∈M\ {0}es armónica universal. Esto quedará probado, habida cuenta de la densidad de {pk}, si se muestra que l´ım n→∞ Vrn,k Rk ~x +# » an,k−pk(~x)= 0 uniformemente en compactos en RN. 38 Trabajo Fin de Máster Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman Dado V∈M, existen sucesiones de series en Eque convergen a Vuniformemente en subconjuntos compactos y, por continuidad de la norma k·k2respecto de la norma k·k∞, tenemos que esa sucesión de series converge a Ven L2(S), por tanto Vtiene representante como serie de L2(S). Sea ∞ X m=0 αmVmel representante de Ven L2(S). Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que αn= 1, para algún n. Sea { ∞ X m=0 αl mVm}una sucesión de series de Eque convergen a Ven compactos. Debido a la continuidad de las proyecciones, podemos admitir sin pérdida de generalidad que αl n= 1, para todo l∈N. Más aún, si ~x ∈Bk(k~xk< Rk), entonces definimos #» y:= rn,k Rk ~x +# » an,k que pertenece a Kn,k =B(# » an,k, rn,k)pues k#» y−# » an,kk=    rn,k Rk ~x +# » an,k −# » an,k   = rn,k Rkk~xk<rn,k Rk Rk=rn,k. Entonces, aplicando la desigualdad triangular y las desigualdades (4) y (5), se tiene, para ε > 0, para k≥nylsuficientemente grandes y para ~x ∈Bke ~y := rn,k Rk~x +# » an,k, tiene lugar la siguiente cadena de desigualdades: Vrn,k Rk ~x +# » an,k−pk(x) =V(~y)−pk ~y −# » an,k rn,k/Rk! ≤V(~y)− ∞ X m=0 αl mVm(~y)+ ∞ X m=0 αl mVm(~y)−pk ~y −# » an,k rn,k/Rk! ≤ε 2+ ∞ X m=0 m6=n αl mVm(~y) + Vn(~y)−pk ~y −# » an,k rn,k/Rk! ≤ε 2+ ∞ X m=0 m6=nαl mVm(~y)+Vn(~y)−pk ~y −# » an,k rn,k/Rk! ≤ε 2+ ∞ X m=0 m6=n |αl m|εm 2k+εn 2k=ε 2+ ∞ X m=0 |αl m|εm 2k ≤ε 2+  {αl m}  2k{εm}k2 2k=ε 2+"∞ X m=0 (αl m)2#1/2"∞ X m=0 ε2 m#1/2 2k ≤ε 2+  {αl m}  2 2k≤ε 2+k{αm}k2+ 1 2k≤ε. 39 Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman Trabajo Fin de Máster Entonces l´ım k→∞ sup ~x∈Bkvrn,k Rk ~x +# » an,k−pk(~x)= 0 con {pk}k≥0denso en h(RN). Así, por el Teorema 1.2.4 se tiene que {v◦ϕk}k es denso, con ϕk(~x) := rn,k Rk ~x +# » an,k para cada k∈N, y por tanto ves armónica universal. 3. Consideramos las funciones {vn}nconstruidas en la prueba del apartado (1), sólo para n≥2. Observar que, en esta construcción, cada función un(~x)(n≥2) está definida como 0en los compactos de la forma K1,k, así que podemos decir que los vn (n≥2) son “pequeños” en estos conjuntos. Sea ahora Md=span{vn:n≥2}. Continuamos como en el apartado (1) y concluimos que Mdes un subespacio lineal y denso de funciones acotadas en Ay, salvo la función nula, universales. A continuación, dividimos Nen infinitas sucesiones estrictamente crecientes {p(n, j)}j (n∈N)y procedemos como en el apartado (2) pero definiendo Uncomo Un(~x) :=                          qn(~x)si ~x ∈B 0si ~x ∈F 0si ~x ∈Kj,k, k ≥2, j ≤k 0si ~x ∈K1,p(n,k), n 6=j, k ∈N pk ~x −# » a1,p(n,k) r1,p(n,k)/Rp(n,k)!si ~x ∈K1,p(n,k), k ∈N. Nos centraremos en la sucesión {K1,k}ky la dividiremos en infinitas subsucesiones. En una de ellas veremos la propiedad de aproximación y en las demás, intentaremos controlar la función. Tomamos Vncomo en la demostración del apartado (2). Sea Msla clausura del espacio vectorial de todas las series ∞ X m=0 αmvmque convergen uniformemente en compactos de RN. El espacio Mses de dimensión infinita y cada función distinta de cero está acotada en Ay es universal respecto de similaridades. Finalmente definimos Mm´ax := span{Md∪Ms}que es densa (pues contiene a Md) y tiene dimensión máxima (pues Msla tiene). 40 Trabajo Fin de Máster Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman La acotación de cada miembro de Mm´ax en Aes evidente. El problema se nos presenta en la prueba de la universalidad, pues si v∈Mm´ax, podría estar en Mdo en Ms(y en ambos casos se tendría la universalidad de la función) o bien podría ser una combinación lineal de elementos de ambas, con lo cual, a priori, no tendríamos asegurada dicha propiedad. Veamos que, aún así, sí se tiene la universalidad. Sea v∈Mm´ax \ {0}. Si v∈Md, entonces ves universal. En caso contrario, si v∈Mm´ax \Md, podemos escribir vcomo v=w+ m X k=1 αkvk, para alguna w∈Ms\ {0}y algunos α1, . . . , αm∈Rym∈N. Así, wasume el papel de la función que aproximamos, mientras que los vk(k= 1, . . . , m) son pequeños en los conjuntos que estamos considerando. 4.3. Condiciones de acotación y universalidad bajo sucesiones prefijadas Reescribimos el concepto de fugitividad en Cy lo extendemos a RNcomo sigue. Definición 4.3.1. Sea Gun subconjunto abierto de RN, sea h(G, G) := {ϕ:G→ G:ϕes armónica en G}yA⊂G. 1. Se dice que la sucesión {ϕn}n⊂h(G, G)es fugitiva si para todo K⊂Gcompacto, existe n0=n0(K)∈Ntal que K∩ϕn0(K) = ∅. 2. Se dice que la sucesión {ϕn}n⊂h(G, G)es fugitiva fuera de Asi para todo K⊂Gcompacto, existe n0=n0(K)∈Ntal que (K∪A)∩ϕn0(K) = ∅. Al igual que en el caso complejo, se tiene que toda sucesión fugitiva fuera de Aes fugitiva, pero el recíproco se tiene si Aes relativamente compacto en G. En particular, si la sucesión {ϕn}nes de la forma ϕn(~x) = #» an+λn~x, podemos dar una caracterización de cuando dicha sucesión es fugitiva. 41 Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman Trabajo Fin de Máster Proposición 4.3.2. Sea {ϕn}n≥1={#» an+λn~x}n≥1. Se tiene que la sucesión {ϕn}n≥1 es fugitiva en RNsi y sólo si l´ım sup n→∞ m´ın(1 |λn|k#» ank,k#» ank)!= +∞. Demostración. . ⇒Suponemos que {ϕn}n≥1es fugitiva; entonces existe una subsucesión {ϕnk}k≥1 fugitiva tal que B(#» 0, k)∩ϕnkB(#» 0, k)=∅para todo k≥1. Por lo tanto, se tiene que kϕnk(#» 0)k=k# » ankk> k y así, l´ım supk→∞ k# » ankk= +∞. Es suficiente probar que l´ım supn→∞ 1 |λnk|k# » ankk= +∞. Por reducción al absurdo, suponemos que esto no es cierto. En ese caso, existiría un M > 0real tal que 1 |λnk|k# » ankk< M, para todo k≥1. Si consideramos el compacto B(#» 0, M)⊂RN, tenemos #» 0 = ϕnk −1 |λnk|k# » ankk!∈B(#» 0, M)∩ϕnkB(#» 0, M)∀k≥1, lo que contradice la fugitividad de la subsucesión {ϕnk}k≥1y por tanto se cumple que l´ım supn→∞ 1 |λnk|k# » ankk= +∞. ⇐Suponemos ahora que l´ım supn→∞ m´ın n1 |λn|k#» ank,k#» anko= +∞. Si fijamos un compacto K⊂RN, entonces existe un r > 0tal que K⊂B(#» 0, r). Como la sucesión m´ınn1 |λn|k#» ank,k#» ankon≥1 no es acotada, existe m∈Ntal que k# » am/λmk>2ry k# » amk>2r. De esta forma se tiene, para todo x∈B(#» 0, r), que kϕm(~x)k=k# » am+λm~xk ≥ k# » amk−|λm| k~xk =k# » amk1 + |λm| k# » amkk~xk>2r1−r 2r=r. Luego hemos probado que K∩ϕn(K)⊂B(#» 0, r)∩ϕnB(#» 0, r)=∅, así que {ϕn}n≥1 es fugitiva. Veamos en el siguiente teorema que si se tiene una sucesión prefijada y fugitiva fuera de un Carleman, el conjunto de funciones armónicas acotadas en Ay universales bajo dicha sucesión prefijada es denso-(maximal) lineable y espaciable. 42 Trabajo Fin de Máster Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman Teorema 4.3.3. Sean A⊂RNy{ϕn(~x) = #» an+λn~x}nuna sucesión de similaridades de RN. Si existe un subconjunto F⊂Rnarmónico Carleman tal que A⊂Fy{ϕn}n es fugitiva fuera de F, entonces 1. El conjunto de funciones universales armónicas bajo {ϕn}ny acotadas en Aes denso-lineable. 2. El conjunto de funciones universales armónicas bajo {ϕn}ny acotadas en Aes espaciable. 3. El conjunto de funciones universales armónicas bajo {ϕn}ny acotadas en Aes maximal denso-lineable. Demostración. Por hipótesis, existe F⊂RNarmónico Carleman. Entonces existen R0∈(0,1) y#» x0∈RN\Ftales que B(#» x0, R0)∩F=∅,∀n≥n0. Sea R1:= n0+ 1. Entonces como ϕnes fugitiva fuera de F, existe N(1) 1∈N tal que F∪B(#» 0, R1)∩ϕN(1) 1B(#» 0, R1)=∅. Definimos pues B1=B(#» 0, R1)y K1,1=ϕN(1) 1B(#» 0, R1)=B(# » aN(1) 1,|λN(1) 1|R1). Elegimos R2(> R1)con K1,1⊂B(#» 0, R2). Luego, como ϕnes fugitiva fuera de F, existe N(2) 1∈Ntal que F∪B(#» 0, R2)∩ϕN(2) 1B(#» 0, R2)=∅. Sea R0 2(> R2) tal que ϕN(2) 1B(#» 0, R2)⊂B(#» 0, R0 2). Entonces existe N(2) 2∈Nde tal forma que la intersección F∪B(#» 0, R0 2)∩ϕN(2) 2B(#» 0, R0 2)es vacía. Definimos B2=B(#» 0, R2) yKn,2=ϕN(2) nB(#» 0, R2)=B(# » aN(2) n,|λN(2) n|R2), para n= 1,2. Obsérvese que, al ser R0 2> R2, se tiene que K1,2∩K2,2=∅. Escogemos ahora R3(> R0 2> R2). Entonces, de la misma forma que antes, definimos B3=B(#» 0, R3)yKn,3=ϕN(3) nB(#» 0, R3)=B(# » aN(3) n,|λN(3) n|R3), para n= 1,2,3. Continuamos recursivamente construyendo las dos sucesiones Bk=B(#» 0, Rk)y Kn,k =ϕN(k) nB(#» 0, Rk)=B(# » aN(k) n,|λN(k) n|Rk) (n= 1,2, . . . , k;k∈N), de modo que Bkes disjunto con cada Kn,k y los Kn,k son dos a dos disjuntos entre sí. Notemos que los conjuntos BkyKn,k así construidos satisfacen las condiciones del Lema 4.2.1. Seguimos la prueba como la del Teorema 4.2.3 y obtenemos los apartados (1), (2) y (3). 43 Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman Trabajo Fin de Máster Finalmente, caracterizamos el casos de una sola aplicación. Nos preguntamos pues, en qué casos la aplicación ϕ:RN→RN,ϕ(~x) = ~a +λ~x es fugitiva, es decir, en qué caso la sucesión de iteradas de ϕ, que viene dada por ϕn(~x) = ϕ◦. . . (n)◦ϕ(~x) = n−1 X k=0 λk~a +λn~x, es fugitiva. Proposición 4.3.4. Sea ϕ:RN→RN,ϕ(~x) = ~a+λ~x. Entonces se tiene que {ϕn}n≥1 es fugitiva en RNsi y solo si λ= 1 y~a 6=#» 0. Demostración. . ⇒Suponemos que {ϕn}n≥1es fugitiva. Por la Proposición 4.3.2, esto es equivalente a l´ım sup n→∞ m´ın(1 |βn|k# » αnk,k# » αnk)!= +∞, donde {βn=λn}n≥1⊂Ry{# » αn= n−1 X k=0 λk~a}n≥1⊂RN. Si ~a fuese el vector cero, entonces l´ım sup n→∞ m´ın(1 |βn|k# » αnk,k# » αnk)!= l´ım sup n→∞ (m´ın{0,0})=0, lo cual contradice la Proposición 4.3.2, por lo que se deduce que ~a 6=#» 0. Podemos distinguir los siguientes cuatro casos: |λ|>1; entonces l´ım sup n→∞ m´ın(1 |βn|k# » αnk,k# » αnk)! = l´ım sup n→∞ m´ın(     n−1 X k=0 1 λn−k~a    ,     n−1 X k=0 λk~a    )! = l´ım sup n→∞      n−1 X k=0 1 λn−k~a     ≤l´ım n→∞ k~ak1 |λ|n n−1 X k=0 |λ|k =k~ak |λ| − 1. lo que contradice la Proposición 4.3.2. 44 Trabajo Fin de Máster Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman |λ|<1; en este caso l´ım sup n→∞ m´ın(1 |βn|k# » αnk,k# » αnk)! = l´ım sup n→∞ m´ın(     n−1 X k=0 1 λn−k~a    ,     n−1 X k=0 λk~a    )! = l´ım sup n→∞      n−1 X k=0 λk~a     ≤l´ım n→∞ k~ak n−1 X k=0 |λ|k =k~ak 1− |λ|. lo que también contradice la Proposición 4.3.2. λ=−1; si esto ocurre, n−1 X k=0 λk= n−1 X k=0 (−1)k=   1si n−1es impar 0si n−1es par. Por lo tanto l´ım supn→∞ m´ın n1 |βn|k# » αnk,k# » αnko≤1. y como antes, tenemos una contradicción con la Proposición 4.3.2. λ= 1; entonces n−1 X k=0 λk= n−1 X k=0 1k=n, y de esta forma l´ım sup n→∞ m´ın(1 |βn|k# » αnk,k# » αnk)!= l´ım sup n→∞ kn~ak= +∞, que sí cumple la Proposición 4.3.2. De esta forma, concluimos que λ= 1. ⇐Recíprocamente, suponemos que λ= 1 y~a 6=#» 0. Luego, βn= 1,# » αn=n~a y así l´ım sup n→∞ m´ın(1 |βn|k# » αnk,k# » αnk)!= l´ım sup n→∞ kn~ak= +∞ y por la Proposición 4.3.2, {ϕn}n≥1es fugitiva en RN. Por lo tanto, del resultado anterior se deduce que {ϕn}n≥1es fugitiva en RNsi y solo si ϕes una traslación, es decir, ϕ(~x) = ~x +~a. Si ~a ∈RN\ {#» 0}, el rayo desde el origen que pasa por ~a se denotará por L~a. 45 Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman Trabajo Fin de Máster Definición 4.3.5. Dado un subconjunto A⊂Rny~a ∈RN\ {#» 0}, definimos el radio inscrito angular de Acomo ρ~a(A) = sup{r > 0 : ∃~x ∈L~a tal que B(~x, r)⊂A}. Corolario 4.3.6. Sea A⊂RNy~a ∈RN\ {#» 0}. Son equivalentes: 1. Existe un subconjunto F⊂RNCarleman tal que A⊂Fyρ~a(RN\F) = +∞. 2. Existe un subconjunto F⊂RNCarleman de manera que A⊂Fy la aplicación ϕ(~x) = ~x +~a es fugitiva fuera de F. 3. Existe una función farmónica acotada en Atal que la sucesión {f(~x +n~a)}n∈N es densa en h(RN). 4. El conjunto de funciones farmónicas acotadas en Atales que la sucesión {f(~x +n~a)}n∈Nes densa en h(RN)es maximal denso-lineable y espaciable. Demostración. . 2⇔3⇔4Se tiene por el Teorema 4.3.3. 1⇔2Hay que demostrar que ϕ(~x) = ~x +~a es fugitiva fuera de Fsi y solo si ρ~a(RN\F)=+∞. (⇐)Suponemos que ϕes fugitiva fuera de F. Entonces ∀r > 0,∃n∈Ntal que B(#» 0, r)∪F∩B(n~a, r) = ∅, luego B(n~a, r)⊂RN\F. Ya que res arbitrario, se deduce que ρ~a(RN\F) = +∞. (⇒)Suponemos que ρ~a(RN\F)=+∞. Sea r > 0fijo. Tenemos que ρ~aRN\(F∪B(#» 0, r))= +∞. Entonces existe #» c∈RNtal que #» c∈L~a yB(#» c , r +|~a|)⊂RN\F∪B(#» 0, r). Como ~a, #» c∈L~a, los vectores ~a y#» cson proporcionales (∃k > 0tal que #» c=k~a). De esta forma, existe un n0∈N(n0≤k)tal que n0k~ak≤k#» ck<(n0+ 1)k~aky así, kn0~a −#» ck=kk~a −n0~ak=|k−n0|k~ak=kk~ak − n0k~ak=k#» ck − n0k~ak ≤(n0+ 1)k~ak − n0k~ak=k~ak. 46 Trabajo Fin de Máster Funciones armónicas universales y conjuntos sub-Carleman Entonces ∀~x ∈B(n0~a, r), aplicando la desigualdad triangular se tiene que k~x −#» ck≤k~x −n0~ak+kn0~a −#» ck ≤ r+k~ak, es decir, ~x ∈B(#» c , r +k~ak). Por tanto, ϕn0B(#» 0, r)=B(n0~a, r)⊂B(#» c , r +k~ak)⊂Rn\(F∪B#» 0, r).Con lo que podemos concluir que ϕn0B(#» 0, r)∩F∪B(#» 0, r)=∅y que ϕes fugitiva fuera de F. 4.4. Conclusiones y Observaciones finales 1. De la misma forma que en la prueba del Teorema 2.3.2 (ver [1]) en el ámbito complejo, en la del Teorema 4.2.3, en el ámbito armónico, se tiene la existencia de funciones armónicas universales que están acotadas en un conjunto sub-Carleman A. Por otro lado, si Aes acotado, entonces es sub-Carleman y cualquier función entera está acotada en A. Además, si Ano es sub-Carleman, existen muchas funciones universales que no están acotadas en A. Del Teorema 4.2.3 se deduce el siguiente resultado. Teorema 4.4.1. El conjunto de funciones armónicas universales es maximal densolineable y espaciable. 2. El Teorema 4.2.3 nos dice que el conjunto de funciones armónicas universales que están acotadas en un conjunto sub-Arakelian A, al que denotaremos por H(A), es grande en sentido algebraico. El tamaño de H(A)en sentido topológico depende de si Aestá o no acotado. Si Aestá acotado, entonces H(A)es grande en sentido topológico, pues es residual en el espacio de Baire h(RN)(ver [4]). Por otro lado, si Ano está acotado, H(A)es pequeño en sentido topológico, pues es de primera categoría en h(RN). En efecto, si definimos B(A) = {u∈h(RN) : uacotada en A} 47