I ∞ 0 (∑) no es totalmente tonelado

/QQ]) no es tota/mente tone/ado por J. ARIAS DE REYNA Recibido: 24 septiembre 1982 Presentado por el académico correspondiente Antonio de Castro Brzezicki Abstract Let X be an infinite a-ñoíá and denote by IQ'ÇL) the space spanned by the characteristic functions of elements of Z, endowed with the supremum norm. We prove that /^(L) is not totally barrelled. Valdivia (1979) demostró que el espacio /¿P(S) generado por las funciones características de los elementos de una a-álgebra E es supratonelado. Posteriormente Valdivia-Pérez Carreras (1981) plantean el problema de si este espacio será totalmente tonelado. Aquí probamos que, si S es infinita, lo(L) no es totalmente tonelado. Construiremos una sucesión de subespacios £„ cerrados de /¿^(E), tales que: a) /o-(i:) = U £,. b) Cada £„ es de codimensión infinita en lo'(E). De esto se deduce que existe un recubrimiento numerable de IQÇZ) por subespacios no tonelados (Valdivia-Pérez Carreras (1981)). Teorema. Sea Z una a-álgebra infinita. El espacio l^ÇE) no es totalmente tonelado. Demostración. Denotemos por 2^ el espacio de las sucesiones <x„ : n E oj} tales que x„ 6 {O, 1} para cada n. Sea /„ c= 2^ el conjunto de las sucesiones cuya coordenada n-ésima es 0. El conjunto {/„ : n e co} genera el álgebra ^ de las uniones finitas de cilindros de 2^. Como E es una cr-álgebra infinita, existe una sucesión <(C„ : ^i e co> en Z de conjuntos distintos dos a dos. Podemos construir entonces (Sierpinski (1958), p. 107) una sucesión {B„ : n e co> en E de conjuntos disjuntos dos a dos. Finalmente, a partir de <B„ : w e co> es fácil obtener una sucesión {A„ : n e œ} de conjuntos independientes de Z (Semadeni (1971), p. 469). Por ser {/„ : ñ e co} un conjunto independiente y generador de ^, existe un único homomorfismo de álgebra de Boole u : ^ ^ Z tal que w(/„) = A„ (Sikorski (1964), p. 36). Este homomorfismo es inyectivo, pues puede verse fácilmente en un isomorfismo entre '^ y el álgebra generada por {A„ : n e o)} en Z. 78 J. ARIAS DE REYNA Designamos por X Q 7 los espacios de Stone correspondientes a las álgebras Z y ^, respectivamente. El homomorfismo u induce una aplicación continua entre los compactos ü: X ^^Yy por ser u inyectiva, ü es sobreyectiva (Semadeni (1971), p. 281). Tomemos Z a X cerrado tal que ü \ Z sea irreducible (Semadeni (1971), p. 108). Sea <J„ '.neoj) una sucesión formada por todos los cilindros de ^. Para cada n, J„ denota el abierto y cerrado en Y correspondiente a J„. Si G es un abierto en X tal que G fl Z 7^ 0, existe un n tal que ü~\j,) f) Z cz G (Semadeni (1971), p. 446). El espacio I0ÇL) es isométrico al espacio ^o{X) de las funciones continuas definidas en Z y que sólo toman un número finito de valores. Para cada natural n, denotemos por f „ el subespacio de ^o{X) formado por las funciones que toman un valor constante en w"HJ;,) H Z. ^o(X) = [j F„. En efecto: sea (f) e ^o{X) y tomemos y E Z. Existe G abierto y cerrado de X tal que </> es constante en G y además y e G. Por la propiedad antes mencionada existe n tal que ü~\j,j) íl Z cz G y, por tanto, ^ e F„. Es claro que F„ es cerrado de ^oWBasta, pues, ver que ningún F„ es de codimensión finita. Sea Fn uno de estos subespacio^ y fijemos arbitrariamente un número natural k. Vamos a encontrar k funciones ^1, (/)2,..., </>fe en ^oW I Fn que sean linealmente independientes. Tomemos k cilindros J„j, J^^,..., J„^ en ^ disjuntos dos a dos y tales que J^^ U J^^ U • U J„^ cz J„. Como w | Z es sobre, existen puntos y^eZ {i = 1, 2, ..., /c) tales que {¿(yi) eJn.(i = 1,2,..., k). Sean ahora G i (/ = 1, 2,...,/c) abiertos y cerrados de X tales que y^ e G¿ (/ = 1, 2, ..., /c) e j/j ^ Gj (/ 7^ j). Sea (^¿ la función característica de G^. Puesto que (l)i{yj) = ô^ es claro que las (^^ (/ = 1, 2, ..., /c) son linealmente independientes. Además yi e ü~\J,) f) Z para todo /, luego toda cf) G F„ es constante en {yi, ..., jj. Esto implica que el cociente ^o(X)/Fn el espacio generado por {(/)i + f„,..., 0fe + Fn} tiene dimensión ^fc — 1. Como esto es válido para todo k natural, F„ es de codimensión infinita en ^o{X). BIBLIOGRAFÍA SEMADENI, Z.: Banach spaces of continuous functions, vol. 1, Polish Scientific Publishers, Warszawa (1971). SiERPiNSKi, W.: Carinal and Ordinal numbers, Polish Scientific Publishers, Warszawa (1958). SiKORSKi, R.: Boolean Algebras (2.^ éd.). Springer, Berlin (1964). VALDIVIA, M.: «On certain barrelled normed spaces», Ann. Inst. Fourier, 29, 3, 39-56 (1979). , y PÉREZ CARRERAS, P.: «On totally Barrelled Spaces», Math. Z., 178, 263-269 (1981). Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla