Diseño y evaluación de un sistema circular de reparto combinado Truck-Dron mediante modelos de aproximación continua

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Máster Máster en Organización Industrial y Gestión de Empresas Diseño y evaluación de un sistema circular de reparto combinado Truck-Dron mediante modelos de aproximación continua Autor: Belén Navarro Carmona Tutor: José David Canca Ortiz Dpto. Organización Industrial I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 Trabajo Fin de Máster Máster en Organización Industrial y Gestión de Empresas Diseño y evaluación de un sistema circular de reparto combinado Truck-Dron mediante modelos de aproximación continua Autor: Belén Navarro Carmona Tutor: José David Canca Ortiz Catedrático de Universidad Dpto. Organización Industrial I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 Trabajo Fin de Máster: Diseño y evaluación de un sistema circular de reparto combinado Truck- Dron mediante modelos de aproximación continua Autor: Belén Navarro Carmona Tutor: José David Canca Ortiz El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Dedicatoria Dedico este trabajo a mi familia y amigos, porque gracias a ellos soy quien soy. I Agradecimientos Me gustaría expresar mi gratitud a mi tutor. Por su acompañamiento y su apoyo constantes. Por ser mi guía y estímulo desde el inicio de este camino. Gracias. III 4Capítulo 2. Estado del Arte En cuanto al reparto con drones (conocidos como “unmanned aerial vehicles” UAVs) se puede afirmar que es un campo con grandes perspectivas de crecimiento cuya operativa debe ser estudiada en mayor profundidad en aras de obtener el máximo beneficio [ 20 ]. Además, diversos autores aseguran que a corto plazo estos sistemas estarán completamente integrados en nuestro día a día [ 15 ]. Estos son algunos motivos por los que, en los últimos años, aparecen numerosos trabajos científicos que abordan la optimización en el reparto mediante el uso de UAVs [ 11 ], [ 17 ], [ 26 ], [ 23 ] Estos trabajos parten de los problemas clásicos de transporte y además incorporan variables y restricciones propias del uso de estos nuevos vehículos como por ejemplo las relacionadas con su limitada autonomía. Muchos de ellos, al igual que nuestro estudio, se basan en un reparto mixto que aúna las ventajas de los camiones y los drones. [ 22 ] presenta un modelo en el que los camiones portan los productos y los drones, sirviendo así de almacén en movimiento; y en el que los productos pueden ser entregados tanto por el propio camión como por los drones que parten de él. Mediante dicho modelo se pretende asignar de forma óptima cada cliente a cada camión o a cada drone, definir las rutas óptimas de los camiones y establecer los lanzamientos adecuados de drones. [ 15 ] resuelven un problema en el que se buscan las rutas de los drones y los camiones de forma conjunta, de modo que se optimice la visita a una serie de clientes distribuidos por el espacio. Al igual que en estudios similares, el camión cumple la función de almacén de productos y de punto de recarga o reemplazo de baterías para los drones. En la misma línea se encuentra el estudio de [ 28 ] que destaca por proponer un uso simultáneo de camiones que porten productos, camiones que porten drones y drones que operen de forma independiente a los camiones. Finalmente, haremos referencia al trabajo de [ 16 ] que de nuevo propone el uso de camiones como una estación de servicio para los drones, manteniendo la clásica función de reparto de productos. La importancia de este estudio reside en la consideración de zonas restringidas de vuelo para los drones, bien por condiciones climáticas, o bien por la existencia de instalaciones delicadas (por ejemplo, un recinto del ejército). Para concluir con la contextualización en la literatura de este trabajo, es necesario destacar que pertenece al conjunto de estudios que plantean modelos de aproximación continua. Estos fueron introducidos en este ámbito de la literatura por diversos autores que comenzaron aplicándolos a diferentes análisis de situaciones ideales [ 18 ], [ 5 ], [ 2 ]. Posteriormente [ 10 ] desarrolló diversos modelos con los que presentó el método de aproximación continua bajo un enfoque más práctico y didáctico. Desde entonces se han desarrollado multitud de trabajos en esta línea debido a que son modelos que resultan sencillos de comprender y de interpretar. Además, su desarrollo e implementación son fáciles puesto que no necesitan multitud de datos precisos, sino que se emplean funciones de distribución para expresar la demanda de los clientes [ 19 ]. Un ejemplo lo proponen [ 9 ] que desarrollan un modelo con el objetivo de descongestionar un sistema de transporte urbano compuesto por calles superficiales y autopistas. Otro caso reciente es el propuesto por [ 12 ] donde usan un modelo de aproximación continua para estimar las distancias y los tiempos de rutas de un problema de minimización de las emisiones de gases de efecto invernadero en un sistema urbano de distribución de cargas. 3 Sistema de reparto mixto En este capítulo se aborda el problema de reparto de mercancías mediante un sistema mixto compuesto por camiones y drones. En primer lugar se detallará en profundidad en qué consiste el problema que se pretende resolver y a continuación se presenta su formulación matemática. Para el desarrollo de la metodología propuesta se sigue un enfoque basado en modelos de aproximación continua, usados para el estudio de problemas para los que se desea derivar conclusiones de tipo general. 3.1 Definición del problema de división en zonas de reparto El problema que se pretende resolver en este estudio consiste en el diseño de un sistema óptimo de reparto de mercancías mediante el uso de drones y camiones en un área extensa de reparto que, por simplicidad, se considera/considerará circular. Por una parte, se supondrá que los clientes se encuentran aleatoriamente distribuidos en la zona de trabajo, por tanto, en lugar de trabajar con puntos de entrega específicos, se considerará un factor de densidad de clientes por km 2 . Por otra parte, supondremos que en el centro de esta se localiza un almacén del cual salen los camiones portando en su interior los productos a entregar, los drones que efectuarán el reparto y un determinado número de baterías de repuesto para cada dron, de modo que cada uno de ellos podrá realizar tantos desplazamientos como baterías de repuesto le sean asignadas. A la hora de diseñar un sistema de reparto de tipo general caben básicamente dos posibilidades: considerar un sistema de tipo radial o de tipo circular. En el primer caso los desplazamientos de los camiones serían radiales y los drones se moverían perpendicularmente a los camiones, cubriendo áreas triangulares desde el centro hasta el contorno de la zona de reparto. En el segundo caso los camiones realizarían movimientos circulares sobre un conjunto de circunferencias concéntricas centradas en el almacén y los drones se moverían en bandas de anchura constante alrededor de los camiones. Puesto que en el primer caso la anchura de la zona de reparto alrededor de cada camión varía con la distancia hasta el almacén, la determinación del número y de las características de los movimientos de los drones resulta muy compleja. En este trabajo se considerará un sistema de reparto de tipo circular, de forma que el área de reparto se encontrará dividida en coronas circulares de igual anchura que será preciso determinar, tal como se muestra en la figura 3.1. Así, cada camión saldrá del almacén siguiendo una trayectoria radial, se posicionará en un punto del centro de la corona que le haya sido asignada y comenzará el reparto, enviando drones a los puntos de entrega , mientras se desplaza siguiendo una trayectoria circular. Los drones deberán realizar la entrega de los productos a los clientes y regresar de nuevo al camión que se encontrará en algún punto más avanzado de su trayectoria. Por simplicidad se considera que cada dron visita a un cliente, realiza la entrega y vuelve al camión. Allí su batería será remplazada por una con carga completa y podrá ser liberado nuevamente para realizar otra entrega. En la figura 3.2 puede verse el esquema de la trayectoria que siguen los drones en la entrega de un producto. Una vez el camión haya agotado todos los productos portados quedará detenido en el punto de su trayectoria en el que envió el último de los productos a entregar, esperará el regreso de todos los drones enviados y volverá al almacén siguiendo de nuevo una trayectoria radial, para ser cargado con nuevos productos y baterías de reemplazo cargadas, tras lo que, si es necesario, comenzará un nuevo ciclo de reparto, como se muestra en la figura 3.2. Supondremos que todos los camiones empleados tienen las mismas características (flota homogénea) y se desplazan a velocidad constante que deberá ser determinada. Además, dispondrán de capacidad de carga limitada, por tanto, es posible que deban llevar a cabo varias idas y vueltas al almacén hasta satisfacer la 5 6Capítulo 3. Sistema de reparto mixto Figura 3.1 Rutas de camiones. Figura 3.2 Desplazamiento más desfavorable. demanda completa. Supondremos también que en cada uno de los viajes el total de drones y baterías es suficiente para efectuar el reparto de toda la mercancía portada, es decir, si por ejemplo se transportan 50 productos, el camión dispondrá de al menos 50 baterías, una por entrega, pudiendo ser el número de drones un divisor entero de esta cantidad. No tiene mucho sentido considerar el caso en que el número de baterías no permita realizar el reparto completo de la carga portada puesto que se estaría incurriendo en ineficiencias que carecen de justificación lógica. Dado que cada corona circular tiene un área diferente, el número de viajes o ciclos de reparto que se necesitan para cubrir su demanda será mayor cuanto más alejada esté del almacén. En la figura 3.3 puede apreciarse como en el mismo tiempo de reparto (misma longitud de trayectoria recorrida en cada corona) se habrá atendido una porción diferente del área total de cada corona. En cuanto al número de clientes, se considerará una distribución superficial homogénea caracterizada por una densidad de demanda constante (clientes/unidad de superficie) que se incorpora en el proceso de decisión en forma de parámetro. 3.2 Expresión matemática del modelo de división en zonas de reparto 7 Figura 3.3 Diferencia entre ángulos recorridos. 3.2 Expresión matemática del modelo de división en zonas de reparto Tras definir el problema que se trata de resolver en este trabajo, se presentan los diferentes parámetros y variables que intervienen en su formulación como un problema de optimización. Parámetros •R: radio del área circular de reparto. Es un dato determinado por el territorio elegido. •ρ : la densidad de demanda uniforme que se extiende sobre el área de reparto. Se considera un dato del problema. •NP: el máximo número de productos que porta un camión en un reparto •ND: el número de drones que son portados por un camión para un reparto. •NB: el número de baterías que son portados por un camión para un reparto. •ˆn : la relación entre el número de baterías y el número de drones portados por un camión para un reparto. •n={1,2...N} : el índice que hace referencia a la corona circular o área de reparto en la que se está desplazando el camión, donde n=1 es la circunferencia más alejada del centro y n=N la más cercana a él. •Vd : velocidad media a la que se desplaza el dron, constante durante todo el recorrido e igual en todas las áreas de reparto. •tmax : tiempo máximo de desplazamiento de un dron, es decir, su autonomía. Se trata de un dato que viene fijado por el fabricante de los drones. Variables auxiliares y de decisión •Ac : el área que abarca un desplazamiento del camión desde que se posiciona en el centro de una corona circular hasta que agota los productos portados y debe volver al almacén. Como se comentó previamente depende de la distancia desde el centro de la corona al almacén. •Ad : el área de reparto que corresponde al desplazamiento del camión desde que despega un dron hasta su vuelta, suponiendo que el dron alcanza el borde de la corona circular, es decir, el dron realiza el mayor desplazamiento posible. •d : amplitud de las zonas de reparto, es decir, anchura de cada corona circular. Es la variable de decisión principal. •Sc: distancia que recorre el camión cuando cubre el área dada por Ad. •Sc0 n : cuerda delimitada por el inicio y el fin del recorrido Sc cuando el camión se desplaza por la corona circular de nivel n. 8Capítulo 3. Sistema de reparto mixto •θn : ángulo recorrido por el camión en la circunferencia de nivel n cuando este realiza un recorrido de distancia igual a Sc. •Sdn : la mayor distancia posible que recorrerá un dron, es decir, la distancia que se corresponde con la máxima autonomía del dron. Esta distancia es dependiente de la corona circular asociada, siendo mayor cuanto más alejada se encuentra del almacén. •Sd0 n : distancia máxima que recorre un dron desde que entrega el pedido hasta que vuelve al camión. Esta distancia es dependiente de la corona circular asociada, siendo mayor cuanto más alejada se encuentra del almacén. •Vc : velocidad media a la que se desplaza el camión, constante durante todo el recorrido e igual en todas las áreas de reparto. •Vd : velocidad media a la que se desplaza un dron, constante durante todo el recorrido e igual en todas las áreas de reparto. •t : tiempo que tarda un dron desde que sale del camión hasta que vuelve de nuevo a él. Dado que se deben sincronizar la recogida de drones y el movimiento del camión, t también es el tiempo que un camión tarda en recorrer la distancia Sc. 3.2.1 Cálculos para la determinación de la anchura de las coronas de reparto Se partirá del conocimiento del radio del área de reparto ( R ), de unos límites para la velocidad de los drones ( Vd ) y de los camiones ( Vd ), de la autonomía de los drones ( tmax ), de la demanda de productos ( ρ ), del número de productos portados en un camión ( NP ) y del ratio ˆn . A partir de estos parámetros se deberá calcular la anchura de cada corona ( d ) y el ángulo recorrido por el camión en un ciclo dentro de cada trayectoria concreta ( θn ). Posteriormente se formulará un modelo de optimización para minimizar los costes totales de reparto de mercancías: •El coste unitario por camión. •El coste asociado a la distancia recorrida por los vehículos •El coste asociado al tiempo total de reparto Previo a la formulación que permitirá determinar coste y asignación óptima de camiones para el reparto completo del área en estudio, es preciso determinar la anchura de las zonas de reparto ( d ) y el ángulo recorrido ( θn ) en función de los datos de partida del problema ( R,ρ,NP,Vd,tmax yˆn ). Para ello, en primer lugar, se debe estudiar la geometría del área de reparto, representada en la Figura 3.4. Si se desea que la separación entre zonas ( d ) sea constante y que se asegure que en todo caso los drones pueden volver de nuevo al camión tras realizar el reparto, se deberán hacer los cálculos en relación a la última zona que se defina, es decir, a la más alejada del almacén, ya que a igualdad de arco recorrido se demuestra matemáticamente en el apéndice A que cuanto más externa es la circunferencia, menor es el ángulo recorrido y mayor es la cuerda delimitada por el arco. Comenzando la numeración de las coronas desde el exterior hacia el centro del área de estudio se cumplirá: θ1≤θ2≤... ≤θn≤... ≤θN(3.1) A partir de los parámetros establecidos pueden establecerse las siguientes relaciones (ver Figura 3.4): Sdn=Sd0 n+d 2,(3.2) Vc =Sc t,(3.3) Vd =Sdn t,(3.4) t=tmax (3.5) En primer lugar, la ecuación (3.2) expresa la distancia que recorre el dron en su vuelo más desfavorable, es decir, alcanzando el borde de la corona circular correspondiente antes de volver al camión. A continuación, las ecuaciones (3.3) y (3.4) definen las relaciones entre velocidad, espacio y tiempo del camión y del dron respectivamente cuando recorren las distancias Sc y Sdn . Para obtener el máximo partido a los drones, la 3.2 Expresión matemática del modelo de división en zonas de reparto 9 Figura 3.4 Definición geometría del modelo. ecuación (3.5) fija el tiempo de desplazamiento al máximo de su autonomía, asegurando de este modo la máxima amplitud de las zonas ( d ). Finalmente, sustituyendo t en la expresión (3.4) se obtiene el valor de Sdn . Sdn=tmax ·V d (3.6) Puesto que conocemos el valor de Sdn vamos a expresar esta distancia en función de d y θ1 . Para ello debemos resolver los triángulos que se muestran en la Figura 3.4. π=θ1+2α(3.7) α=1 2(π−θ1)(3.8) Sc0 1=2·(R−d 2)·sin θ1 2(3.9) β=π−α(3.10) β=1 2(π+θ1)(3.11) Sd0 1=qd 2 2+Sc02 1−2·Sc0 1·d 2cos [1 2(π+θ1)] (3.12) Se va a resolver un triángulo isósceles con un ángulo igual a θ1 y dos ángulos iguales a α . Con las ecuaciones (3.7) y (3.8) expresamos la amplitud del ángulo α en función de la de θ1 , dada la relación existente entre los ángulos de un triángulo. Por trigonometría, haciendo uso de la definición del seno se puede establecer el valor de Sc0 1 tal como refleja la ecuación (3.9) . Posteriormente, pasamos al triángulo externo, un triángulo escaleno, que puede ser resuelto conociendo dos de los lados y el ángulo que forman. Para ello, con las ecuaciones (3.10) y (3.11) se ha definido el ángulo β en función de θ1 haciendo uso de la relación de suplementariedad entre α y β . De esta forma, mediante el teorema del coseno se puede expresar Sd0 1 como una función de θ1 y d tal como muestra la ecuación (3.12) . Finalmente, haciendo uso de la definición de Sdn , (ecuación (3.2)) se obtiene: Sd1=d 2+sd 2 2 +Sc02 1−2·Sc0 1·d 2cos [1 2(π+θ1)] (3.13) Sustituyendo la expresión (3.9) en el cálculo de Sd1 se obtiene una primera ecuación que relaciona las variables θ1yd. Sd1=d 2+sd 4 2 +[2(R−d 2)sin θ1 2]2−2[2(R−d 2)sin θ1 2]d 2cos [1 2(π+θ1)] (3.14) 10 Capítulo 3. Sistema de reparto mixto Sd1=d 2+sd 4 2 +4R2·sin2θ1 2−2dR ·sin2θ1 2(3.15) Por otra parte, se conoce la relación entre el número de drones y de baterías portados en un desplazamiento de un camión (desde que sale del almacén hasta que vuelve de nuevo). Esta relación determina el número de desplazamientos de drones, es decir, el número máximo de productos que se pueden repartir. ˆn=NB ND (3.16) Tal como muestra la siguiente expresión, el número de productos a repartir debe ser inferior o igual al número de viajes que se pueden producir. Relación que se cumplirá con signo de igualdad pues de otra forma no se obtiene la máxima eficiencia. ND ·ˆn≥NP (3.17) Figura 3.5 Área de desplazamiento del camión. Como se ha comentado con anterioridad, el número de productos portados por un camión en un desplazamiento es un dato que viene determinado por la capacidad del propio vehículo. Dado que la demanda de productos también es conocida, se puede obtener el área de reparto (Figura 3.5) que corresponde al desplazamiento de un camión. NP =Ac·ρ(3.18) Este área se relaciona directamente con Sc pues es la zona de reparto abarcada por ˆn desplazamientos de longitud Sc (nótese que ˆn contiene el número de baterías de repuesto por dron). Sabiendo que en un desplazamiento Sc se abarca un área igual a Adse obtiene: Ac=ˆn·Ad(3.19) Como se aprecia en la Figura 3.6, las áreas de reparto son coronas circulares definidas por la amplitud del ángulo θ1y los radios externo e interno (RyR−d), por tanto, se puede afirmar: Ad=R2θ1 2−(R−d)2θ1 2(3.20) Ad=θ1d 2(2R−d)(3.21) 3.3 Definición del problema de asignación de vehículos a zonas de reparto 11 Figura 3.6 Áreas de demanda. Finalmente, haciendo uso de las ecuaciones (3.18) , (3.19) y (3.21) se obtiene la segunda de las ecuaciones del sistema que relaciona las variables dyθ1. NP =ρ·ˆn·θ1d 2(2R−d)(3.22) 3.2.2 Ecuaciones finales que relacionan la anchura de las coronas de reparto y el ángulo de la zona de reparto en la corona exterior A partir de la ecuación (3.15) , sustituyendo en ella (3.6) para n=1 y considerando la ecuación (3.22) , disponemos de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: Vdtmax =d 2+sd 4 2 +4R2·sin2θ1 2−2dR ·sin2θ1 2 NP =ρ·ˆn·θ1d 2(2R−d) Resolviendo el sistema de ecuaciones compuesto por las expresiones anteriores, se obtienen los valores de d y θ1 que permiten definir la estructura del escenario del problema a optimizar. La sección 5.1 contiene información detallada del procedimiento de resolución. 3.3 Definición del problema de asignación de vehículos a zonas de reparto Tras realizar la división del área total de reparto en coronas circulares en base a la autonomía de los drones que realizan la entrega de los productos a los clientes, se deben calcular el número de camiones que se necesitan para completar el reparto y la asignación de los mismos a las diferentes zonas preestablecidas. Para ello se parte del conocimiento del número de zonas (una vez calculada la anchura de cada zona) y de la caracterización de cada una de ellas: longitud de la circunferencia central y distancia desde el almacén hasta cualquier punto de dicha circunferencia. Supondremos que tenemos una flota con un número fijo de vehículos que pueden realizar el reparto. Cada uno de ellos podrá ser asignado a una, varias o ninguna de las coronas circulares y deberá realizar un determinado número de ciclos o viajes de reparto. Para cada una de las coronas se definirá un número concreto de ciclos, entendiendo un ciclo como el proceso repetitivo que lleva a cabo un camión cada vez que realiza un viaje desde el almacén. Este proceso de compone se las siguientes etapas: 12 Capítulo 3. Sistema de reparto mixto •Carga en el camión de los productos, los drones y sus baterías. • Trayecto radial del camión desde el almacén hasta un punto de la circunferencia central de una corona. • Trayecto circular por el centro de la corona que transcurre desde que el primer dron sale del camión hasta que sale el dron que realizará la entrega del último producto. •Espera del camión al regreso de los drones. •Trayecto radial desde el centro de la corona hasta el almacén. La Figura 3.7 representa un ciclo de una corona cualquiera. Figura 3.7 Trayecto del camión en un ciclo. Supondremos que cuando un vehículo se asigna a una corona este realiza un número entero de ciclos completos de la misma. El objetivo de este problema es determinar la asignación óptima de vehículos que minimiza el tiempo de reparto. 3.4 Expresión matemática del modelo de asignación de vehículos a zonas En primer lugar se detallan los parámetros. Algunos de ellos son comunes a los presentados en el modelo anterior, otros se han obtenido como resultado de la resolución del mismo y otros se han establecido específicamente para este modelo. Parámetros •R: radio del área total de reparto. Es un dato determinado por el territorio elegido. •ρ : la densidad de demanda uniforme que se extiende en el área de reparto. Se considera un dato del problema. •d : amplitud de las zonas de reparto, es decir, anchura de cada corona circular. Se obtiene como resultado de la resolución del modelo anterior. •j={1,...,NC} : el índice que hace referencia a la corona circular o área de reparto en la que se está desplazando el camión, donde j=1 es la circunferencia más alejada del centro y j=NC la más cercana a él. •θ1 : ángulo recorrido por el camión en la circunferencia de nivel 1 desde que un dron que debe entregar un producto en el límite de la zona sale de él hasta que regresa. Proviene de la resolución del modelo anterior. •ˆn : la relación entre el número de baterías y el número de drones portados por un camión para un reparto. •lg: litros de combustible fósil que consume un camión al recorrer 1km. 3.4 Expresión matemática del modelo de asignación de vehículos a zonas 13 •cb: kWh necesarios para la carga completa de una batería •α : factor que expresa los kilogramos de CO2 emitidos a la atmósfera con el consumo de 1 litro de combustible fósil. •β : factor que expresa los kilogramos de CO2 emitidos a la atmósfera con el consumo de 1 kWh de electricidad. •i={1,...,I}: el índice que hace referencia a cada uno de los camiones que componen la flota. Variables A continuación se exponen las variables de decisión y los cálculos intermedios o auxiliares: •NC : número de coronas en las cuales se divide el área total de reparto. Es proporcionado por el modelo anterior. •Vc : velocidad media a la que se desplaza el camión, constante durante todo el recorrido e igual en todas las áreas de reparto. •Sc1: distancia que recorre el camión en la corona de nivel 1cuando se cubre la amplitud θ1. •Spj : distancia que recorre el camión entre que se envían el primer producto y el último en la corona de nivel j. •rj: radio de la circunferencia central de la corona circular de nivel j. •NCIj: número de ciclos necesarios para completar el reparto en la corona de nivel j. •lcj : distancia recorrida por un camión en la realización de un ciclo perteneciente a una corona de nivel j. •xi j : número de ciclos de la corona de nivel j que son realizados por el camión i . Es la variable de decisión principal de este modelo. •LCi: distancia de reparto del camión i. •TCi: tiempo de reparto del camión i. •TT: tiempo de reparto del sistema. •CC: consumo de CO2por parte de los camiones. •CD: consumo de CO2por parte de los drones. •CT: consumo total de CO2en el sistema de reparto. 3.4.1 Cálculos auxiliares de modelo mixto A partir de d y del radio del área total R se calcula el número de coronas en las que se divide el área circular de reparto. NC =R d(3.23) Conociendo el número de coronas ( NC ), la anchura de las mismas ( d ) y el ángulo que se recorre en la corona más externa θ1se calcula la longitud del arco Sc1: Sc1=θ1(NC ·d−d 2)(3.24) Esta longitud representa la distancia que recorrerá el camión sin tener que realizar reemplazos en las baterías de los drones. Dado que en los vehículos se porta una relación de baterías-drones igual a ˆn , los vehículos recorrerán en cada ciclo de la corona más externa una longitud de arco Sp1igual a: Sp1=ˆnSc1(3.25) Partiendo de esta medida máxima teórica se puede calcular el número de ciclos necesarios para cubrir cada una de las coronas dividiendo la longitud total de la circunferencia entre esta cantidad. NCIj=d 2πrj Sp1 e(3.26) donde rjviene dado por la expresión: rn=R−(2j−1)d 2(3.27) 20 Capítulo 4. Sistema de reparto monovehículo TCi= NC ∑ j=1 tcjxi j i=1,...,I(4.11) LCi= NC ∑ j=1 lcjxi j i=1,...,I(4.12) NCIj= I ∑ i=1 xi j j=1,...,NC (4.13) Este modelo sigue la misma estructura que el presentado para el modelo híbrido en el apartado ?? . La variable principal es xi j que modela el número de ciclos de la corona j que se asignan al vehículo i . El objetivo del problema es minimizar el tiempo de reparto, expresado por la variable TT , ver (4.9) , que se define como una cota superior del tiempo de reparto de cada vehículo ( TCi ), como se impone en las restricciones (4.10) . La longitud total recorrida por cada vehículo se calcula a través de las restricciones (4.12) . La condición principal que se debe respetar es que todos los ciclos de cada corona sean asignados a algún vehículo, (4.13) . 4.2.4 Minimización del tamaño de flota Min ∑I i=1δi(4.14) s.a.: TCi≤TT f ixed ∀i=1,...,I(4.15) TCi= NC ∑ j=1 tcjxi j i=1,...,I(4.16) LCi= NC ∑ j=1 lcjxi j i=1,...,I(4.17) NCIn= I ∑ i=1 xi j j=1,... NC (4.18) δi NC ∑ j=1 NCIj= NC ∑ j=1 xi j i=1,...,I(4.19) En este modelo se parte del tiempo máximo en el que debe ejecutarse el reparto ( TT fixed ) y se pretende minimizar el número de vehículos a emplear, (4.14) . Las variables principales son las variables binarias δi que toman el valor 1 si el vehículo i se emplea y 0 si no. El tiempo prefijado de reparto (el obtenido en el modelo híbrido) se define como cota superior del tiempo de reparto de cada vehículo (restricciones (4.15) ) y estos se calculan en base a los ciclos que se le asignen en cada corona, como se observa en las restricciones (4.16) . La longitud recorrida por cada vehículo se obtiene imponiendo las restricciones (4.17) . Se fuerza a la realización de todos los ciclos de la zona de reparto usando (4.18) . Finalmente se ha añadido el conjunto de restricciones (??) para modelar que si un vehículo no se emplea en el reparto, no le sea asignado ningún ciclo en ninguna corona. 4.2.5 Indicadores de eficiencia modelo monovehículo De cara a una comparación objetiva de los sistemas de transporte híbrido y monovehículo se han definido dos indicadores principales de eficiencia, que se describen brevemente a continuación. Tiempo de reparto De forma análoga a lo establecido en el apartado 3.4.3, el tiempo de reparto del sistema vendrá definido por el mayor de los tiempos de reparto de los camiones. Siendo conocidas la velocidad a la que se desplazan los 4.2 Expresión matemática del modelo 21 camiones, la asignación de ciclos a cada vehículo y la distancia que se recorre en la ejecución de cada ciclo de cada corona, se puede expresar: TT =m´ ax i=1,...,I(1 Vc NC ∑ j=1 LCjxi j)(4.20) Emisiones de dióxido de carbono En este caso las emisiones de CO2 son causadas en su totalidad por el consumo de combustible fósil de los camiones que efectúan el reparto, siendo estas proporcionales a la distancia total recorrida. CT =lg ·α NC ∑ j=1 (NCIjlcj)(4.21) 5 Experimentación En este capítulo se detalla el proceso de experimentación diseñado para el desarrollo del trabajo expuesto a lo largo de este trabajo fin de máster. Se expone previamente el mecanismo utilizado para la resolución del sistema no lineal de ecuaciones que permite calcular las variables dyθ1a fin de dimensionar las zonas de reparto. 5.1 Modelo para el cálculo de dyθ Tal como se ha reflejado en el capítulo 3 en la sección 3.2, el cálculo de la anchura de las coronas en las que se divide el área de reparto ( d ) y del ángulo que se recorre en la corona más externa cuando un dron realiza un desplazamiento que requiere el máximo de su autonomía (θ1) se lleva a cabo mediante la resolución del sistema formado por las siguientes ecuaciones. tmax ·Vd =d 2+sd 4 2 +4R2·sin2θ1 2−2dR ·sin2θ1 2(5.1) NP =ρ·ˆn·θ1d 2(2R−d)(5.2) Puede apreciarse a simple vista que la resolución de este sistema de ecuaciones no resulta trivial. Con el fin de resolver de forma fácil este sistema de ecuaciones en los diferentes experimentos que se presentan a continuación, se ha optado por utilizar las librerías de optimización no lineal del software LINGO. Para ello se plantea el siguiente modelo de optimización, cuyo objetivo consiste en minimizar la diferencia entre los dos términos de una de las ecuaciones del sistema propuesto. Se incluyen algunas restricciones adicionales que acotan las velocidades de camiones y drones dentro de unos valores razonables. Min h +e(5.3) s.a.: Sc1−h+e=d 2+rd2 4+4R2·sin2θ1 2−2dR ·sin2θ1 2(5.4) tmax ·Vd =Sc1(5.5) NP =ρ·ˆn·θ1d 2(2R−d)(5.6) NC =R d(5.7) Sc1=θ1(R−d 2)(5.8) 23 24 Capítulo 5. Experimentación Vc =Sc1 tmax (5.9) Vcmin ≤Vc ≤Vcmax (5.10) Vdmin ≤Vd ≤Vdmax (5.11) Siendo las únicas variables independientes de este modelo: d , θ1 , Vc,Vd,h y ed . Estas dos últimas son simplemente las holguras que se tratan de minimizar, de modo que cuanto más próximos a 0 sean sus valores, mayor grado de exactitud se obtiene en la resolución del sistema de ecuaciones y, por tanto, los valores proporcionados por el modelo para las variables d y θ1 . La expresión (5.7) calcula el número de coronas que se establecen en base al radio de la ciudad y a la amplitud d que se obtenga. Finalmente se define la longitud recorrida por cada camión en un ciclo de la corona más externa y la velocidad a la que circulan estos en función de dicha distancia. Para evitar soluciones extrañas se limitan los valores de la velocidad de drones y camiones dentro de unos rangos razonables, acordes con sus características técnicas y con la normativa vigente. 5.2 Experimentos del sistema de transporte híbrido Como se ha comentado en capítulos anteriores este sistema de transporte considera una serie de parámetros que resultan necesarios para determinar su diseño óptimo. Estos son: • La densidad productos, es decir, el número de entregas que deben realizarse por km2 del área de reparto. •El número de productos que pueden ser portados en cada camión. •La autonomía de los drones, es decir, su tiempo máximo de vuelo. •La relación entre el número de drones y de baterías portadas en cada camión. •El radio de la ciudad. •Las velocidades máxima y mínima a la que pueden desplazarse los drones. •Las velocidades máxima y mínima a la que pueden desplazarse los camiones. • El tamaño de flota, es decir, el número máximo de camiones que pueden ser empleados para el reparto de productos. Para analizar de qué manera afectan los valores de estos parámetros sobre las soluciones del sistema propuesto, se han realizado una serie de experimentos que consisten en la resolución de los modelos expuestos en las secciones anteriores manteniendo constantes algunos de los parámetros y variando otros, con el fin de determinar el efecto que producen sobre el valor de la función objetivo y el valor de las variables. Además de estos parámetros, es necesario conocer los valores relacionados con el consumo energético del sistema para poder calcular las emisiones de CO2 que se producen en el reparto, y de esta forma, poder comparar las diferentes instancias y determinar las diferencias entre el sistema híbrido Dron-Camión y el que sólo considera camiones como vehículos de reparto. • Consumo de combustible fósil de los camiones. Según datos de los Ministerios de Transportes, Movilidad y Agenda Urbana; y de Industria, Comercio y Turismo el consumo medio de los camiones oscila entre los 21 y los 26 litros cada 100 km. Basándonos en esto se ha establecido un valor de consumo de 0,235 litros por km recorrido. • Consumo de energía para carga de baterías, cb , expresado como el número de kWh necesarios para la carga completa de una batería. Para la autonomía fijada se puede establecer un valor igual a 4,8·10−3 kWh. • Emisiones de CO2 . El factor que expresa los kilogramos de CO2 emitidos a la atmósfera con el consumo de 1 litro de combustible fósil se ha considerado como 2,79 CO2 por litro en base a datos proporcionados por el departamento de transportes de la Generalitat de Cataluña. • Emisiones debidas a la producción eléctrica. El factor que expresa los kilogramos de CO2 emitidos a la atmósfera con la producción de 1 kWh de electricidad. Este se ha tomado como 0,181 kg CO2 por kWh en base a los datos del mix eléctrico nacional de 2010. 5.2 Experimentos del sistema de transporte híbrido 25 5.2.1 Valores de parámetros para los experimentos de sistema híbrido Experimento H1. En primer lugar, se ha resuelto el problema manteniendo todos los parámetros constantes y modificando únicamente la densidad de productos. Los valores exactos introducidos se muestran en la Tabla 5.1. Experimento H2. El segundo experimento realizado ha consistido en la variación del tamaño de la flota de vehículos frente al mantenimiento constante del resto de parámetros. Los valores concretos empleados se aprecian en la Tabla 5.2. Experimento H3. A continuación, se ha optado por el estudio del efecto conjunto que producen el número de productos portados en cada camión y el tamaño de flota. Las instancias concretas que se han resuelto en este experimento se encuentran representadas en la Tabla 5.3. Tabla 5.1 Valores del experimento de sistema híbrido 1. INSTANCIA PARÁMETRO UNIDAD H1.1 H1.2 H1.3 Densidad de productos [productos/ km2] 10 5 1 Número de productos [productos] 50 50 50 Autonomía [horas] 0,2 0,2 0,2 Relación drones y baterías [baterías/dron] 2 2 2 Radio [km] 6 6 6 Velocidad máxima drones [km/horas] 30 30 30 Velocidad mínima drones [km/horas] 45 45 45 Velocidad máxima camiones [km/horas] 60 60 60 Velocidad mínima camiones [km/horas] 30 30 30 Tamaño de flota [vehículos] 20 20 20 Tabla 5.2 Valores del experimento de sistema híbrido 2. INSTANCIA PARÁMETRO UNIDAD H2.1 H2.2 H2.3 H2.4 Densidad de productos [productos/ km2] 10 10 10 10 Número de productos [productos] 50 50 50 50 Autonomía [horas] 0,2 0,2 0,2 0,2 Relación drones y baterías [baterías/dron] 2 2 2 2 Radio [km] 6 6 6 6 Velocidad máxima drones [km/horas] 30 30 30 30 Velocidad mínima drones [km/horas] 45 45 45 45 Velocidad máxima camiones [km/horas] 60 60 60 60 Velocidad mínima camiones [km/horas] 30 30 30 30 Tamaño de flota [vehículos] 10 15 20 30 Tabla 5.3 Valores del experimento de sistema híbrido 3. INSTANCIA PARÁMETRO UNIDAD H3.1 H3.2 H3.3 H3.4 H3.5 H3.6 Densidad de productos [productos/ km2] 5 5 5 5 5 5 Número de productos [productos] 30 20 10 30 20 10 Autonomía [horas] 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Relación drones y baterías [baterías/dron] 2 2 2 2 2 2 Radio [km] 6 6 6 6 6 6 Velocidad máxima drones [km/horas] 30 30 30 30 30 30 Velocidad mínima drones [km/horas] 45 45 45 45 45 45 Velocidad máxima camiones [km/horas] 60 60 60 60 60 60 Velocidad mínima camiones [km/horas] 30 30 30 30 30 30 Tamaño de flota [vehículos] 20 20 20 10 10 10 26 Capítulo 5. Experimentación 5.2.2 Resultados obtenidos en la resolución del sistema de transporte híbrido En este apartado se muestran los resultados obtenidos con la realización de los tres experimentos expuestos en los apartados inmediatamente anteriores. Experimento H1. Tal como se ha explicado, el primer experimento aborda el efecto que supone en el sistema la variación de la densidad de productos a entregar. Se aprecia que a medida que disminuye este parámetro, también lo hace el tiempo total de reparto del sistema. La misma relación se aprecia con las emisiones de CO2 y con el número de vehículos empleados. A pesar de que el tamaño de flota se ha fijado para el desarrollo de este experimento, el resultado indica que con densidades inferiores o iguales a 5 productos por km2 no sería necesario el uso de la flota completa (20 camiones). Estos resultados son coherentes. puesto que los camiones recorren una menor distancia cuanto menor es el número de productos a entregar y del mismo modo decrece el número de baterías que se emplean. En cuanto a la velocidad del dron, esta aumenta a medida que disminuye la densidad de productos, pues para alcanzar la sincronía con los camiones los drones se ven obligados a recorrer una mayor distancia en el mismo tiempo. Sin embargo la velocidad de los camiones permanece prácticamente constante a lo largo de los tres escenarios. Tabla 5.4 Resultados del experimento de sistema híbrido 1. Unidades H1.1 H1.2 H1.3 Densidad de productos [productos/km2] 10 5 1 Velocidad dron [km/h] 31.28 34.37 37.43 Velocidad camión [km/h] 31.25 33.33 31.25 Tiempo de reparto [horas] 2.0617 1.2018 1.1818 Emisiones de CO2[kg CO2] 351.16 171.40 65.97 Número de vehículos [vehículos] 20 15 6 En la Figura 5.1 se aprecia como el número de ciclos que realiza cada camión es mayor cuanto mayor es la densidad de productos. Así, en la primera instancia la mayoría de los vehículos realizan dos ciclos completos, mientras que en la última instancia la mayoría de los vehículos no realizan ningún ciclo. En la Figuras 5.2 y 5.3 se muestra como el número de coronas en las que se divide la ciudad es mayor cuanto mayor es la densidad de productos y por consiguiente, la anchura de estas es menor cuanto mayor es la densidad. Figura 5.1 Número de ciclos realizados por camión en el experimento de sistema híbrido 1. Experimento H2. Con el experimento 2 se pretende estudiar el efecto que produce sobre el sistema la modificación en el tamaño de flota. En primer lugar puede apreciarse que todos los vehículos de la flota son utilizados para el reparto, no quedando ninguno ocioso como sucedía en el caso anterior. También cabe señalar que el tiempo de reparto disminuye a medida que crece el tamaño de flota, aunque esta disminución no se ve afectada con el aumento de 20 a 30 vehículos. Se comprueba que las emisiones de CO2 que se producen en cada instancia son las mismas. Esto se debe a que el tamaño de flota no influye en el número de productos a entregar (que determina el número de baterías empleadas) ni en la distancia que recorren los camiones, por ello, la velocidad de los drones y los camiones permanece constante a lo largo de las instancias de este experimento. 5.2 Experimentos del sistema de transporte híbrido 27 Figura 5.2 Número de coronas en las que se divide el área en el experimento de sistema híbrido 1. Figura 5.3 Anchura de las coronas en el experimento de sistema híbrido 1. Tabla 5.5 Resultados del experimento de sistema híbrido 2. Unidades H2.1 H2.2 H2.3 H2.4 Tamaño de flota [vehículos] 10 15 20 30 Tiempo de reparto [horas] 3,3411 2,2561 2.0617 1.4104 Velocidad dron [km/h] 31.29 31.29 31.29 31.29 Velocidad camión [km/h] 31.25 31.25 31.25 31.25 Emisiones de CO2[kg CO2] 351.16 351.16 351.16 351.16 Número de vehículos [vehículos] 10 15 20 30 Figura 5.4 Número de ciclos realizados por camión en el experimento de sistema híbrido 2. En la Figura 5.4 puede apreciarse como cuanto menor es el número de vehículos que se emplean en el reparto, mayor es el número de ciclos que debe realizar cada uno de ellos. Así, en la instancia H2.1 la media es superior a 3 mientras que en la instancia H2.4 se encuentra entre 1 y 2. En las Figuras 5.4 y 5.5 se muestra cómo la variación en el tamaño de flota no influye en la distribución del espacio de reparto (número de coronas y anchura de las mismas), por lo que estas variables permanecen constantes a lo largo de las diversas instancias. 28 Capítulo 5. Experimentación Figura 5.5 Número de coronas en las que se divide el área en el experimento de sistema híbrido 2. Figura 5.6 Anchura de las coronas en el experimento de sistema híbrido 2. Tabla 5.6 Resultados del experimento de sistema híbrido 3. Unidades H3.1 H3.2 H3.3 H3.4 H3.5 H3.6 Número de productos [productos] 30 20 10 30 20 10 Tamaño de flota [vehículos] 20 20 20 10 10 10 Tiempo de reparto [horas] 1.9868 2.1350 4.0392 3.0883 4.1458 7.9116 Velocidad dron [km/h] 30.55 31.34 30.07 30.55 31.34 30.07 Velocidad camión [km/h] 30 31.67 30.83 30 31.67 30.83 Emisiones de CO2 [kg CO2] 297.69 440.57 825.39 297.69 440.57 825.39 Número de vehículos [vehículos] 20 20 20 10 10 10 Experimento H3. La Tabla 5.6 muestra los resultados obtenidos en la resolución del experimento 3, en el que se ha estudiado la variación simultánea del tamaño de flota y del número de productos que pueden ser portados en cada camión. Nuevamente se comprueba que todos los vehículos de la flota son empleados. En cuanto al tiempo de reparto se aprecia que para un tamaño de flota constante, el tiempo aumenta conforme disminuye el número de productos portados. Por otra parte, para una capacidad de productos constante, el tiempo aumenta conforme disminuye el tamaño de la flota. En relación a las emisiones, se ha comprobado con anterioridad que estas no se ven afectadas por el tamaño de la flota, pero sí aumentan conforme disminuye la cantidad de productos portados en el camión, puesto que es necesario la realización de un mayor número de ciclos para poder atender la demanda. En la Figura 5.7 se muestra cómo cuanto menor es el número de productos portados y menor el tamaño de flota, mayor es el número de ciclos que debe realizar cada camión. La Figura 5.8 refleja como el tamaño de flota no influye en la distribución del área de reparto, pero a medida que disminuye el número de productos que pueden ser portados en cada camión, aumenta el número de coronas, lo cual concuerda con la Figura 5.9 en la que se observa como el ancho de cada corona disminuye en una relación directa con el número de productos portados. 5.3 Experimentos del sistema de transporte monovehículo 29 Figura 5.7 Número de ciclos realizados por camión en el experimento de sistema híbrido 3. Figura 5.8 Número de coronas en las que se divide el área en el experimento de sistema híbrido 3. Figura 5.9 Anchura de las coronas en el experimento de sistema híbrido 3. 5.3 Experimentos del sistema de transporte monovehículo Para la resolución de este sistema es necesario fijar los valores de una serie de parámetros en base a la resolución del sistema híbrido, de manera que se pueda realizar una comparativa razonable entre ambos. Estos parámetros son: • La densidad productos, es decir, el número de entregar que deben realizarse por km2 del área de reparto. •El número de productos que pueden ser portados en cada camión. •El radio de la ciudad. •La velocidad media a la que se desplazan los camiones. •Anchura de cada corona en las que se divide el área de reparto. •Número de coronas en las que se divide el área de reparto. Además, cada uno de los dos modelos que se han resuelto presenta un parámetro característico que se comentará en los apartados siguientes. 6 Conclusiones En este trabajo se ha analizado un sistema teórico de transporte híbrido compuesto por una flota de camiones que portan en su interior drones y mercancía. Los productos transportados son entregados a los clientes por los drones. El sistema analizado se aplica a una zona de reparto circular que se divide en coronas concéntricas dentro de las cuales se desplazan los dos tipos de vehículos, siguiendo trayectorias circulares los camiones mientras que los drones se mueven en el interior de cada corona. En primer lugar, para poner este problema en contexto se ha presentado un resumen de la literatura científica en el que se muestran referencias sobre problemas típicos de gestión de transporte, problemas concretos que abordan los sistemas híbridos, problemas específicos que tratan el reparto mediante el uso de drones y finalmente estudios de modelos de aproximación continua. Posteriormente se ha desarrollado el modelado del sistema híbrido propuesto y a continuación, con el fin de establecer una comparativa que permita justificar la bondad del modelo híbrido propuesto, se ha procedido al desarrollo de un modelo de transporte monovehículo que únicamente hace entregas mediante el uso de camiones. La mejora de la eficiencia que se consigue mediante la implantación de un sistema de transporte híbrido ha sido comprobado en el capítulo dedicado a la experimentación. La principal conclusión que se puede extraer del estudio llevado a cabo es que la implantación de un sistema de transporte híbrido compuesto por camiones y drones resulta más eficiente en cuanto a tiempo total de reparto y emisiones de CO2en comparación con un sistema que únicamente involucre a camiones. Como líneas futuras de investigación se plantea el estudio de un sistema radial aplicado nuevamente a un área de reparto circular en la que los camiones puedan realizar desplazamientos radiales de ida y vuelta al almacén mientras que los drones se mueven en sectores circulares, completando de esta manera las estrategias clásicas de distribución ordenada en una ciudad. 37 Apéndice A Demostraciones matemáticas En este apéndice se incluyen algunas demostraciones de relaciones matemáticas que se dan entre los parámetros y variables de los diferentes modelos matemáticos expuestos y que se consideran conocidas en el desarrollo de los mismos. A.1 Longitud de las cuerdas comprendidas por un arco de igual longitud en circunferencias de diferente radio A lo largo del desarrollo del modelo matemático que define el sistema de transporte compuesto por una flota de camiones que portan drones en su interior 3.2 se ha asumido que a igualdad de arco recorrido, cuanto más externa es la circunferencia, menor es el ángulo recorrido y mayor es la cuerda delimitada por el arco. En este apartado se puede demostrar que esto es así, tanto de forma analítica, como de forma numérica. Se comienza por definir los diferentes parámetros que se emplearán en la demostración, los cuales pueden verse representados en la figura A.1: •l: longitud de arco definida, igual en ambas circunferencias. •r: radio de la circunferencia de menor longitud. •R: radio de la circunferencia de mayor longitud. •a: cuerda definida por el arco en la circunferencia de menor longitud. •ˆa: cuerda definida por el arco en la circunferencia de mayor longitud. •θ: ángulo definido por el arco en la circunferencia de menor longitud. •ˆ θ: ángulo definido por el arco en la circunferencia de mayor longitud. Empleando la expresión del cálculo de la longitud de una cuerda en función del radio de la circunferencia y de la amplitud del ángulo central se tiene: a=2rsin θ 2(A.1) ˆa=2Rsin ˆ θ 2(A.2) Se quiere demostrar que a≤ˆaque es equivalente a afirmar que a/ˆa≤1donde: a ˆa=r R·sin θ/2 sin ˆ θ/2≤1(A.3) Para el caso en el que se tiene R=2rse pueden establecer las siguientes relaciones: l=Rˆ θ(A.4) l=rθ(A.5) 39 40 Capítulo A. Demostraciones matemáticas Figura A.1 Descripción de los parámetros. Rˆ θ=rθ(A.6) 2rˆ θ=rθ(A.7) ˆ θ=r 2rθ=1 2θ(A.8) Sustituyendo en la relación entre los arcos (A.3) la equivalencia de ángulos que se muestra en la expresión (A.8) se obtiene: a ˆa=1 2·sin θ/2 sin θ/4(A.9) Para simplificar las expresiones se ha optado por realizar el cambio de variables θ/4=αquedando: a ˆa=1 2·sin 2α sin α(A.10) Haciendo uso de la expresión del ángulo doble: a ˆa=1 2·2·sin α·cos α sin α=cos α(A.11) Por la definición del coseno se puede afirmar que siempre será inferior o igual a 1 para cualquier ángulo, por tanto, se demuestra analíticamente a/ˆa≤1para cualquier ángulo. Para el caso en el que se tiene R=3rse pueden establecer las siguientes relaciones: 3rˆ θ=rθ(A.12) ˆ θ=r 3rθ=1 3θ(A.13) Sustituyendo en la relación entre los arcos (A.3) esta nueva equivalencia de ángulos que se obtiene en la expresión (A.8) se tiene: a ˆa=1 3·sin θ/2 sin θ/6(A.14) A.1 Longitud de las cuerdas comprendidas por un arco de igual longitud en circunferencias de diferente radio 41 En este caso para simplificar las expresiones se ha llevado a cabo el cambio de variables θ/6=α quedando: a ˆa=1 3·sin 3α sin α=1 3·sin α+2α sin α(A.15) Haciendo uso de la expresión del ángulo suma: a ˆa=1 3·sin α·cos 2α+cos α·sin 2α sin α(A.16) Desarrollando el seno del ángulo doble: a ˆa=1 3·sin α·cos 2α+cos α·2 sin α·cos α sin α=1 3·sin α·cos 2α+cos2α·2 sin α sin α=1 3(cos 2α+2 cos2α) (A.17) A continuación, empleando la expresión del coseno del ángulo doble: a ˆa=1 3(cos2α−sin2α+2 cos2α) = 1 3(3 cos2α−sin2α)(A.18) De nuevo se obtiene una expresión de la cual se puede afirmar que para cualquier valor de α se obtendrá una relación a/ˆa≤1quedando así validada de forma analítica la demostración. De forma numérica se han comprobado numerosos casos hasta poder afirmar que la relación expuesta se cumple para todos los radios gracias a las tendencias que se han observado y que a continuación se expresarán. La comprobación numérica se ha realizado en base a la variable principal del modelo d (se recuerda que esta variable hace referencia a la anchura de cada zona de reparto con forma de corona circular). En base a ella se pueden expresar los diferentes radios centrales de cada corona como: rn=R−(2n−1)d 2(A.19) Donde n expresa el índice de la corona, siendo n=1 la más externa y n=N la corona más próxima al centro. Res el radio de la circunferencia que define el área total. Figura A.2 Relación de radios. En base a esto se han fijado valores de R y d de modo que se establezcan 10 coronas en cada caso, por tanto, se trabajará con el valor de 10 radios para cada círculo. Por otra parte, se fijarán diversas longitudes de arco a recorrer, lo que proporcionará diferentes amplitudes del ángulo recorrido, no llegando en ningún caso a completarse la circunferencia completa en ningún caso. 42 Capítulo A. Demostraciones matemáticas Tabla A.1 Valores del ángulo y la cuerda para circunferencia de radio 10. R 10 d 1 l 1 1,1 1,21 1,33 1,46 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 9,5 0,10526 0,99954 0,11579 1,09939 0,12737 1,20918 0,14011 1,32991 0,15412 1,46265 2 8,5 0,11765 0,99942 0,12941 1,09923 0,14235 1,20898 0,15659 1,32964 0,17225 1,46229 3 7,5 0,13333 0,99926 0,14667 1,09901 0,16133 1,20869 0,17747 1,32925 0,19521 1,46178 4 6,5 0,15385 0,99901 0,16923 1,09869 0,18615 1,20825 0,20477 1,32868 0,22525 1,46101 5 5,5 0,18182 0,99862 0,20000 1,09817 0,22000 1,20756 0,24200 1,32775 0,26620 1,45978 6 4,5 0,22222 0,99794 0,24444 1,09726 0,26889 1,20636 0,29578 1,32615 0,32536 1,45765 7 3,5 0,28571 0,99660 0,31429 1,09548 0,34571 1,20398 0,38029 1,32299 0,41831 1,45345 8 2,5 0,40000 0,99335 0,44000 1,09115 0,48400 1,19822 0,53240 1,31534 0,58564 1,44327 9 1,5 0,66667 0,98158 0,73333 1,07552 0,80667 1,17746 0,88733 1,28776 0,97607 1,40667 10 0,5 2,00000 0,84147 2,20000 0,89121 2,42000 0,93562 2,66200 0,97139 2,92820 0,99431 l 1,61 1,77 1,95 2,14 2,36 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 9,5 0,16953 1,60858 0,18648 1,76900 0,20513 1,94530 0,22564 2,13904 0,24821 2,35190 2 8,5 0,18947 1,60810 0,20842 1,76836 0,22926 1,94445 0,25219 2,13791 0,27741 2,35039 3 7,5 0,21473 1,60742 0,23621 1,76745 0,25983 1,94324 0,28581 2,13630 0,31439 2,34825 4 6,5 0,24777 1,60639 0,27255 1,76608 0,29980 1,94143 0,32978 2,13389 0,36276 2,34504 5 5,5 0,29282 1,60476 0,32210 1,76391 0,35431 1,93854 0,38974 2,13005 0,42872 2,33993 6 4,5 0,35789 1,60193 0,39368 1,76014 0,43305 1,93353 0,47635 2,12338 0,52399 2,33106 7 3,5 0,46015 1,59634 0,50616 1,75271 0,55678 1,92364 0,61245 2,11024 0,67370 2,31361 8 2,5 0,64420 1,58281 0,70862 1,73473 0,77949 1,89976 0,85744 2,07852 0,94318 2,27151 9 1,5 1,07367 1,53426 1,18104 1,67038 1,29914 1,81454 1,42906 1,96579 1,57197 2,12256 10 0,5 3,22102 0,99921 3,54312 0,97991 3,89743 0,92943 4,28718 0,84039 4,71590 0,70587 Tabla A.2 Valores del ángulo y la cuerda para circunferencia de radio 20. R 20 d 2 l 2 2,2 2,42 2,66 2,93 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 19 0,10526 1,99908 0,11579 2,19877 0,12737 2,41836 0,14011 2,65982 0,15412 2,92530 2 17 0,11765 1,99885 0,12941 2,19847 0,14235 2,41796 0,15659 2,65928 0,17225 2,92458 3 15 0,13333 1,99852 0,14667 2,19803 0,16133 2,41738 0,17747 2,65851 0,19521 2,92355 4 13 0,15385 1,99803 0,16923 2,19738 0,18615 2,41651 0,20477 2,65735 0,22525 2,92201 5 11 0,18182 1,99725 0,20000 2,19634 0,22000 2,41512 0,24200 2,65551 0,26620 2,91956 6 9 0,22222 1,99589 0,24444 2,19453 0,26889 2,41272 0,29578 2,65231 0,32536 2,91530 7 7 0,28571 1,99320 0,31429 2,19096 0,34571 2,40797 0,38029 2,64599 0,41831 2,90690 8 5 0,40000 1,98669 0,44000 2,18230 0,48400 2,39645 0,53240 2,63067 0,58564 2,88653 9 3 0,66667 1,96317 0,73333 2,15103 0,80667 2,35492 0,88733 2,57552 0,97607 2,81334 10 1 2,00000 1,68294 2,20000 1,78241 2,42000 1,87123 2,66200 1,94277 2,92820 1,98863 l 3,22 3,54 3,90 4,29 4,72 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 19 0,16953 3,21716 0,18648 3,53799 0,20513 3,89060 0,22564 4,27809 0,24821 4,70380 2 17 0,18947 3,21620 0,20842 3,53671 0,22926 3,88890 0,25219 4,27583 0,27741 4,70079 3 15 0,21473 3,21484 0,23621 3,53489 0,25983 3,88648 0,28581 4,27260 0,31439 4,69650 4 13 0,24777 3,21279 0,27255 3,53217 0,29980 3,88285 0,32978 4,26778 0,36276 4,69008 5 11 0,29282 3,20952 0,32210 3,52783 0,35431 3,87708 0,38974 4,26009 0,42872 4,67986 6 9 0,35789 3,20386 0,39368 3,52029 0,43305 3,86705 0,47635 4,24676 0,52399 4,66213 7 7 0,46015 3,19268 0,50616 3,50542 0,55678 3,84729 0,61245 4,22049 0,67370 4,62722 8 5 0,64420 3,16561 0,70862 3,46945 0,77949 3,79951 0,85744 4,15705 0,94318 4,54303 9 3 1,07367 3,06852 1,18104 3,34076 1,29914 3,62908 1,42906 3,93157 1,57197 4,24512 10 1 3,22102 1,99842 3,54312 1,95983 3,89743 1,85887 4,28718 1,68078 4,71590 1,41173 Se aprecia fácilmente que en cada circunferencia, para una longitud de arco determinada a medida que disminuye el radio definido para cada corona, disminuye también la longitud de la cuerda comprendida por el arco. A.1 Longitud de las cuerdas comprendidas por un arco de igual longitud en circunferencias de diferente radio 43 Tabla A.3 Valores del ángulo y la cuerda para circunferencia de radio 30. R 30 d 3 l 3 3,3 3,63 3,99 4,39 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 28,5 0,10526 2,99862 0,11579 3,29816 0,12737 3,62755 0,14011 3,98973 0,15412 4,38795 2 25,5 0,11765 2,99827 0,12941 3,29770 0,14235 3,62694 0,15659 3,98892 0,17225 4,38687 3 22,5 0,13333 2,99778 0,14667 3,29704 0,16133 3,62606 0,17747 3,98776 0,19521 4,38533 4 19,5 0,15385 2,99704 0,16923 3,29606 0,18615 3,62476 0,20477 3,98603 0,22525 4,38302 5 16,5 0,18182 2,99587 0,20000 3,29450 0,22000 3,62268 0,24200 3,98326 0,26620 4,37934 6 13,5 0,22222 2,99383 0,24444 3,29179 0,26889 3,61907 0,29578 3,97846 0,32536 4,37295 7 10,5 0,28571 2,98981 0,31429 3,28644 0,34571 3,61195 0,38029 3,96898 0,41831 4,36035 8 7,5 0,40000 2,98004 0,44000 3,27344 0,48400 3,59467 0,53240 3,94601 0,58564 4,32980 9 4,5 0,66667 2,94475 0,73333 3,22655 0,80667 3,53238 0,88733 3,86329 0,97607 4,22001 10 1,5 2,00000 2,52441 2,20000 2,67362 2,42000 2,80685 2,66200 2,91416 2,92820 2,98294 l 4,83 5,31 5,85 6,43 7,07 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 28,5 0,16953 4,82575 0,18648 5,30699 0,20513 5,83591 0,22564 6,41713 0,24821 7,05570 2 25,5 0,18947 4,82431 0,20842 5,30507 0,22926 5,83336 0,25219 6,41374 0,27741 7,05118 3 22,5 0,21473 4,82225 0,23621 5,30234 0,25983 5,82972 0,28581 6,40890 0,31439 7,04475 4 19,5 0,24777 4,81918 0,27255 5,29825 0,29980 5,82428 0,32978 6,40166 0,36276 7,03512 5 16,5 0,29282 4,81429 0,32210 5,29174 0,35431 5,81562 0,38974 6,39014 0,42872 7,01979 6 13,5 0,35789 4,80579 0,39368 5,28043 0,43305 5,80058 0,47635 6,37014 0,52399 6,99319 7 10,5 0,46015 4,78902 0,50616 5,25813 0,55678 5,77093 0,61245 6,33073 0,67370 6,94082 8 7,5 0,64420 4,74842 0,70862 5,20418 0,77949 5,69927 0,85744 6,23557 0,94318 6,81454 9 4,5 1,07367 4,60278 1,18104 5,01114 1,29914 5,44361 1,42906 5,89736 1,57197 6,36768 10 1,5 3,22102 2,99763 3,54312 2,93974 3,89743 2,78830 4,28718 2,52117 4,71590 2,11760 Tabla A.4 Valores del ángulo y la cuerda para circunferencia de radio 40. R 40 d 4 l 4 4,4 4,84 5,32 5,86 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 38 0,10526 3,99815 0,11579 4,39754 0,12737 4,83673 0,14011 5,31965 0,15412 5,85061 2 34 0,11765 3,99769 0,12941 4,39693 0,14235 4,83591 0,15659 5,31856 0,17225 5,84916 3 30 0,13333 3,99704 0,14667 4,39606 0,16133 4,83475 0,17747 5,31702 0,19521 5,84711 4 26 0,15385 3,99606 0,16923 4,39475 0,18615 4,83301 0,20477 5,31470 0,22525 5,84403 5 22 0,18182 3,99449 0,20000 4,39267 0,22000 4,83025 0,24200 5,31102 0,26620 5,83912 6 18 0,22222 3,99177 0,24444 4,38905 0,26889 4,82543 0,29578 5,30461 0,32536 5,83060 7 14 0,28571 3,98641 0,31429 4,38191 0,34571 4,81593 0,38029 5,29198 0,41831 5,81379 8 10 0,40000 3,97339 0,44000 4,36459 0,48400 4,79290 0,53240 5,26134 0,58564 5,77307 9 6 0,66667 3,92634 0,73333 4,30207 0,80667 4,70984 0,88733 5,15105 0,97607 5,62668 10 2 2,00000 3,36588 2,20000 3,56483 2,42000 3,74246 2,66200 3,88555 2,92820 3,97725 l 6,44 7,09 7,79 8,57 9,43 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 38 0,16953 6,43433 0,18648 7,07598 0,20513 7,78121 0,22564 8,55618 0,24821 9,40760 2 34 0,18947 6,43241 0,20842 7,07343 0,22926 7,77781 0,25219 8,55165 0,27741 9,40158 3 30 0,21473 6,42967 0,23621 7,06978 0,25983 7,77296 0,28581 8,54520 0,31439 9,39299 4 26 0,24777 6,42557 0,27255 7,06433 0,29980 7,76571 0,32978 8,53555 0,36276 9,38016 5 22 0,29282 6,41905 0,32210 7,05565 0,35431 7,75416 0,38974 8,52019 0,42872 9,35973 6 18 0,35789 6,40771 0,39368 7,04057 0,43305 7,73410 0,47635 8,49352 0,52399 9,32426 7 14 0,46015 6,38536 0,50616 7,01084 0,55678 7,69457 0,61245 8,44097 0,67370 9,25443 8 10 0,64420 6,33122 0,70862 6,93891 0,77949 7,59902 0,85744 8,31410 0,94318 9,08606 9 6 1,07367 6,13704 1,18104 6,68152 1,29914 7,25815 1,42906 7,86315 1,57197 8,49024 10 2 3,22102 3,99685 3,54312 3,91966 3,89743 3,71774 4,28718 3,36156 4,71590 2,82346 44 Capítulo A. Demostraciones matemáticas Tabla A.5 Valores del ángulo y la cuerda para circunferencia de radio 50. R 50 d 5 l 5 5,5 6,05 6,66 7,32 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 47,5 0,10526 4,99769 0,11579 5,49693 0,12737 6,04591 0,14011 6,64956 0,15412 7,31326 2 42,5 0,11765 4,99712 0,12941 5,49616 0,14235 6,04489 0,15659 6,64820 0,17225 7,31145 3 37,5 0,13333 4,99630 0,14667 5,49507 0,16133 6,04344 0,17747 6,64627 0,19521 7,30888 4 32,5 0,15385 4,99507 0,16923 5,49344 0,18615 6,04127 0,20477 6,64338 0,22525 7,30503 5 27,5 0,18182 4,99312 0,20000 5,49084 0,22000 6,03781 0,24200 6,63877 0,26620 7,29890 6 22,5 0,22222 4,98972 0,24444 5,48632 0,26889 6,03179 0,29578 6,63077 0,32536 7,28825 7 17,5 0,28571 4,98301 0,31429 5,47739 0,34571 6,01992 0,38029 6,61497 0,41831 7,26724 8 12,5 0,40000 4,96673 0,44000 5,45574 0,48400 5,99112 0,53240 6,57668 0,58564 7,21633 9 7,5 0,66667 4,90792 0,73333 5,37759 0,80667 5,88730 0,88733 6,43881 0,97607 7,03335 10 2,5 2,00000 4,20735 2,20000 4,45604 2,42000 4,67808 2,66200 4,85693 2,92820 4,97157 l 8,05 8,86 9,74 10,72 11,79 n r theta a theta a theta a theta a theta a 1 47,5 0,16953 8,04291 0,18648 8,84498 0,20513 9,72651 0,22564 10,69522 0,24821 11,75950 2 42,5 0,18947 8,04051 0,20842 8,84178 0,22926 9,72226 0,25219 10,68956 0,27741 11,75197 3 37,5 0,21473 8,03709 0,23621 8,83723 0,25983 9,71620 0,28581 10,68150 0,31439 11,74124 4 32,5 0,24777 8,03197 0,27255 8,83041 0,29980 9,70714 0,32978 10,66944 0,36276 11,72520 5 27,5 0,29282 8,02381 0,32210 8,81956 0,35431 9,69270 0,38974 10,65024 0,42872 11,69966 6 22,5 0,35789 8,00964 0,39368 8,80071 0,43305 9,66763 0,47635 10,61690 0,52399 11,65532 7 17,5 0,46015 7,98170 0,50616 8,76355 0,55678 9,61822 0,61245 10,55122 0,67370 11,56804 8 12,5 0,64420 7,91403 0,70862 8,67363 0,77949 9,49878 0,85744 10,39262 0,94318 11,35757 9 7,5 1,07367 7,67130 1,18104 8,35190 1,29914 9,07269 1,42906 9,82893 1,57197 10,61280 10 2,5 3,22102 4,99606 3,54312 4,89957 3,89743 4,64717 4,28718 4,20195 4,71590 3,52933 Índice de Figuras 3.1 Rutas de camiones 6 3.2 Desplazamiento más desfavorable 6 3.3 Diferencia entre ángulos recorridos 7 3.4 Definición geometría del modelo 9 3.5 Área de desplazamiento del camión 10 3.6 Áreas de demanda 11 3.7 Trayecto del camión en un ciclo 12 4.1 Rutas de camiones 17 5.1 Número de ciclos realizados por camión en el experimento de sistema híbrido 1 26 5.2 Número de coronas en las que se divide el área en el experimento de sistema híbrido 1 27 5.3 Anchura de las coronas en el experimento de sistema híbrido 1 27 5.4 Número de ciclos realizados por camión en el experimento de sistema híbrido 2 27 5.5 Número de coronas en las que se divide el área en el experimento de sistema híbrido 2 28 5.6 Anchura de las coronas en el experimento de sistema híbrido 2 28 5.7 Número de ciclos realizados por camión en el experimento de sistema híbrido 3 29 5.8 Número de coronas en las que se divide el área en el experimento de sistema híbrido 3 29 5.9 Anchura de las coronas en el experimento de sistema híbrido 3 29 5.10 Comparativa de los tiempos de reparto obtenidos en cada instancia del experimento MT1 32 5.11 Comparativa de los tiempos de reparto obtenidos en cada instancia del experimento MT2 32 5.12 Comparativa de los tiempos de reparto obtenidos en cada instancia del experimento MT3 32 5.13 Comparativa de los tiempos de reparto obtenidos en cada instancia del experimento MF1 33 5.14 Comparativa del número de vehículos obtenido en cada instancia del experimento MF1 33 5.15 Comparativa de los tiempos de reparto obtenidos en cada instancia del experimento MF2 33 5.16 Comparativa del número de vehículos obtenido en cada instancia del experimento MF2 34 5.17 Comparativa de las emisiones producidas en cada escenario 34 5.18 Comparativa del tiempo de reparto conseguido en cada escenario 34 A.1 Descripción de los parámetros 40 A.2 Relación de radios 41 45