El problema de los momentos de Hamburger

FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO El problema de los momentos de Hamburger UNIVERSIDAD DE SEVILLA Luis Galán Valiente Curso 2024-2025 Grado en Matemáticas Tutorizado por Renato Álvarez-Nodarse Índice general Introducción 2 1. Extensiones autoadjuntas de un operador 5 1.1. Puntos regulares y espacios de deficiencia .................. 5 1.2. Operadores simétricos y autoadjuntos .................... 7 1.3. Extensiones autoadjuntas ........................... 8 2. Representación de operadores 13 2.1. Resoluciones de la identidad ......................... 13 2.2. Medidas espectrales .............................. 16 2.3. Integrales espectrales ............................. 18 2.3.1. Integrales espectrales para funciones medibles acotadas ..... 19 2.3.2. Integrales espectrales para funciones medibles no acotadas . . . 20 2.4. Teorema espectral para operadores autoadjuntos .............. 27 3. Problema de los momentos sobre ∗-semigrupos y ∗-álgebras 33 3.1. ∗ −álgebras y ∗ −semigrupos ........................ 33 3.2. ∗ −álgebras conmutativas y ∗ −semigrupos abelianos ........... 35 3.3. El caso 𝑆=ℕ𝑑 0,𝑛∗=𝑛............................ 37 3.4. Primeros resultados sobre existencia y determinación del problema de los momentos ................................. 39 4. Polinomios ortogonales y operadores de Jacobi 43 i ii Índice general 4.1. Definición de polinomios ortogonales .................... 43 4.2. Relaciones de recurrencia de tres términos ................. 45 4.3. El problema de los momentos y los operadores de Jacobi ......... 48 4.4. Polinomios de segunda especie ........................ 49 4.5. Algunas identidades útiles .......................... 52 4.6. El adjunto del operador de Jacobi ...................... 54 5. Aplicación de la teoría de operadores al problema de los momentos 57 5.1. Existencia de soluciones del problema de los momentos de Hamburger . 57 5.2. Determinación del problema de los momentos de Hamburger ....... 59 5.3. Criterios de determinación basados en el operador de Jacobi ....... 61 5.4. Extensiones autoadjuntas del operador de Jacobi .............. 63 6. Conclusiones 67 A. Anexo 69 A.1. Definiciones y resultados preliminares ................... 69 A.2. Resultados destacados ............................. 71 Bibliografía 73 Abstract The study of the Hamburger moment problem will be addressed through operator theory in Hilbert spaces. The first three chapters will provide a foundation for this study. Chapter 1will deal with the problem of self-adjoint extensions of an operator. Chapter 2 will focus on proving the spectral representation theorem for self-adjoint operators. Chapter 3considers real sequences through algebra to facilitate their later study. Subsequently, chapters 4and 5will provide an answer to the problem. Chapter 4 will examine Jacobi operators and orthogonal polynomials, two mathematical entities closely related to the moment problem. Chapter 5brings together all the material studied to address the existence and determination (uniqueness) of the problem, as well as its relation to Jacobi operators and orthogonal polynomials. Finally, chapter 6presents the conclusions of the study. Resumen Se abordará el estudio del problema de los momentos de Hamburger a través de la teoría de operadores en espacios de Hilbert. Los tres primeros capítulos constituirán una base para dicho estudio. El capítulo 1tratará el problema de las extensiones autoadjuntas de un operador. El capítulo 2se centrará en probar el Teorema de representación espectral para operadores autoadjuntos. El capítulo 3contempla las sucesiones reales a través del álgebra para facilitar su estudio posterior. A continuación, los capítulos 4y5darán una respuesta al problema. En el capítulo 4 se verán los operadores de Jacobi y los polinomios ortogonales, dos entes matemáticos íntimamente relacionados con el problema de los momentos. El capítulo 5aúna todo lo estudiado para dar respuesta a la existencia y determinación (unicidad) del problema, así como su relación con los operadores de Jacobi y los polinomios ortogonales. Finalmente, en el capítulo 6se presentan las conclusiones del trabajo. Introducción El problema de los momentos es una cuestión clásica del análisis matemático que se remonta al siglo XIX, relacionado con la posibilidad de reconstruir una medida a partir de sus momentos. La formulación del 𝐾-problema de los momentos es:1 Dada una sucesión real 𝑠= (𝑠𝑛)𝑛∈ℕ0y un conjunto cerrado 𝐾de ℝ. ¿Cuándo existe un medida de Radon 𝜇con soporte en 𝐾tal que 𝑠𝑛=∫ℝ𝑥𝑛𝑑𝜇(𝑥)? ¿Es dicha medida única? El estudio sistemático de este tipo de problemas tuvo su inicio en el siglo XIX de la mano de los trabajos de matemáticos como Pafnuty Chebyshev y sus discípulos, en el contexto de la teoría de la aproximación y la teoría de la probabilidad. Sin embargo, fue el matemático alemán Hans Ludwig Hamburger quien, a principios del siglo XX, formuló y estudió en detalle el problema sobre toda la recta real, que hoy lleva su nombre. Esta será, de hecho, la versión del problema en la cual nos centraremos. Gracias a Hamburger, se demostró que el problema de los momentos está íntimamente relacionado con el análisis funcional, en particular con la teoría de operadores y las funciones definidas positivas. Más adelante, el problema se conectó profundamente con la teoría de ortogonalidad de polinomios, tópico que trataremos. También aparecieron posteriormente variantes del problema, como el problema de los momentos de Stieltjes, donde la medida está soportada en [0,+∞), y el problema de los momentos de Hausdorff, donde la medida está soportada en un intervalo compacto. La importancia histórica del problema de Hamburger no se limita a la teoría de la medida y análisis, sino que también tiene aplicaciones modernas en probabilidad, física matemática y teoría espectral. En este trabajo estudiaremos el problema de los momentos de Hamburger desde el punto de vista del análisis funcional. Para ello, nos basaremos esencialmente en los trabajos de K. Schmüdgen: Unbounded self-adjoint operators on Hilbert space yThe Moment Problem [1,2]. 1El conjunto de medidas de Radon es el conjunto de las medidas "compatibles" con la topología del espacio. 3 4Índice general El trabajo está estructurado como sigue En el capítulo 1se presentan los conceptos de valores y espacios de deficiencia, así como su relación con los operadores simétricos y autoadjuntos. Asímismo, se realiza un estudio fundamentado en dichos conceptos sobre la existencia de extensiones autoadjuntas de un operador. En el capítulo 2se estudia el Teorema de representación espectral a través de las resoluciones de la identidad y su relación con las llamadas medidas espectrales, pasando también por una clase especial de operadores llamados integrales espectrales. En el capítulo 3se trata principalmente el estudio de las sucesiones reales a través de ciertas estructuras algebraicas llamadas ∗ −álgebras para dotarlas de una estructura de función a las cuales podemos asociar un funcional que será crucial en nuestro estudio. También se dan unos primeros resultados sobre la resolución del problema de los momentos cuya utilidad se verá en los capítulos subsecuentes. En el capítulo 4se verán los operadores de Jacobi y los polinomios ortogonales, los cuales constituyen un elemento de estudio importante en nuestro problema. En el capítulo 5se usa lo estudiado anteriormente para dar una respuesta satisfactoria a la existencia y determinación del problema de momentos de Hamburger, así como la estructura de las soluciones en el caso de no determinación del problema. Con el objetivo de hacer el texto lo más autocontenido posible, al final del texto se incluyen un par de anexos que contienen un anexo con definiciones y resultados básicos, para establecer una notación y asentar la base con la que se trabaja, y otro con resultados destacados que serán usados en el transcurso del trabajo. 1 Extensiones autoadjuntas de un operador En este capítulo, estudiaremos las extensiones autoadjuntas de un operador, problema que será relevante en el estudio del problema de momentos de Hamburger. 1.1 Puntos regulares y espacios de deficiencia Definición 1.1. Dado 𝑇un operador lineal, se definen los puntos regulares de 𝑇como los 𝜆∈ℂtales que existe 𝑐𝜆>0con ‖(𝑇−𝜆𝐼)𝑥‖≥𝑐𝜆‖𝑥‖,∀𝑥∈(𝑇). Al conjunto de estos puntos se le denomina 𝜋(𝑇). Definición 1.2. Dado 𝜆∈𝜋(𝑇), al subespacio (𝑇−𝜆𝐼)⟂se le llama subespacio de deficiencia de T en 𝜆y a 𝑑𝜆(𝑇) = dim (𝑇−𝜆𝐼)⟂se le llama valor de deficiencia de 𝑇en 𝜆. Veamos algunas propiedades relativas a los nuevos conceptos presentados. Proposición 1.3. Dado 𝑇un operador lineal en un espacio de Hilbert y 𝜆∈ℂ, entonces 1. 𝜆∈𝜋(𝑇)si y solo si 𝑇−𝜆𝐼 tiene una inversa acotada definida en (𝑇−𝜆𝐼). 2. 𝜋(𝑇)es un subconjunto abierto en ℂ. 3. Si 𝑇es clausurable, entonces 𝜋(𝑇) = 𝜋(𝑇), 𝑑𝜆(𝑇) = 𝑑𝜆(𝑇)y(𝑇−𝜆𝐼)es la clausura de (𝑇−𝜆𝐼)para todo 𝜆∈𝜋(𝑇). 4. Si 𝑇es cerrado y 𝜆∈𝜋(𝑇), entonces (𝑇−𝜆𝐼)es un subespacio cerrado de . Demostración. Veamos la prueba de estas propiedades. 1. La primera propiedad es obvia pues basta darse cuenta de que, en una dirección, la norma de la inversa está acotada por 𝑐𝜆,y en la otra basta con tomar un 𝑐𝜆adecuado, por ejemplo, 𝑐𝜆=‖(𝑇−𝜆𝐼)−1‖−1. 2. Para la segunda, es suficiente tomar 𝜆∈ℂ, 𝜆0∈𝜋(𝑇)y desarrollando tenemos ‖(𝑇−𝜆𝐼)𝑥‖≥(𝑐𝜆0−|𝜆−𝜆0|)‖𝑥‖, 5 12 Capítulo 1. Extensiones autoadjuntas de un operador Lo que acabamos de probar queda resumido en la siguiente proposición: Proposición 1.23. Sea 𝑇un operador simétrico densamente definido, existen tres y solo tres casos posibles: 1. 𝑑+(𝑇) = 𝑑−(𝑇) = 0: La única extensión autoadjunta de 𝑇es 𝑇, luego 𝑇es esencialmente autoadjunto. 2. 𝑑+(𝑇) = 𝑑−(𝑇)≠0: Existen infinitas extensiones autoadjuntas de 𝑇en . 3. 𝑑+(𝑇)≠𝑑−(𝑇): No existe ninguna extensión autoadjunta de 𝑇en . Por último damos un resultado clave en el estudio del problema de los momentos mediante la teoría de operadores. Definición 1.24. Decimos que un operador 𝐽es una conjugación de en él mismo si es una involución antiunitaria, es decir, si para 𝛼, 𝛽 ∈ℂ, 𝑥, 𝑦 ∈cumple 𝐽(𝛼𝑥 +𝛽𝑦) = 𝛼𝐽(𝑥) + 𝛽𝐽(𝑦),⟨𝐽𝑥, 𝐽𝑦⟩=⟨𝑦, 𝑥⟩, 𝐽2𝑥=𝑥. Un operador 𝑇se llama 𝐽-real si 𝐽(𝑇)⊆(𝑇)y𝐽𝑇 𝑥 =𝑇 𝐽𝑥, 𝑥 ∈(𝑇). Observación 1.25. Está claro que 𝐽es biyectivo y preserva la norma, por tanto será una isometría. Lema 1.26. Sea 𝐽una conjugación y 𝑇un operador simétrico densamente definido, tal que 𝑇es 𝐽-real. Entonces 𝑇∗es 𝐽-real. Demostración. Para 𝑢, 𝑣 ∈, entonces ⟨𝑢, 𝐽𝑣⟩=⟨𝐽2𝑢, 𝐽𝑣⟩=⟨𝑣, 𝐽𝑢⟩. Supongamos 𝑦∈(𝑇∗)y sea 𝑥∈(𝑇), entonces 𝐽𝑥 ∈(𝑇)y𝑇 𝐽𝑥 =𝐽𝑇 𝑥. Usando la propiedad que acabamos de comprobar tendremos que 𝐽𝑦 ∈(𝑇∗)y𝑇∗𝐽𝑦 =𝐽𝑇 ∗𝑦, es decir, 𝑇∗es 𝐽-real. Teorema 1.27. Sea 𝐽una conjugación y 𝑇un operador simétrico densamente definido, tal que 𝑇es 𝐽-real. Entonces, 𝑇tiene una extensión autoadjunta en . Demostración. Basta ver que 𝐽es una isometría entre (𝑇∗−𝜆𝐼)y(𝑇∗−𝜆𝐼), luego 𝑑+(𝑇) = 𝑑−(𝑇), es decir, existen extensiones autoadjuntas de 𝑇en . Ya sabemos que 𝐽es una isometría, luego basta ver que 𝐽((𝑇∗−𝜆𝐼)) = (𝑇∗−𝜆𝐼). Dado 𝑢∈(𝑇∗−𝜆𝐼), usando que 𝑇∗es 𝐽-real, tenemos que 𝑇∗𝐽𝑢 =𝐽𝑇 ∗𝑢=𝐽(𝜆𝑢) = 𝜆𝐽𝑢. Por tanto 𝐽𝑢 ∈(𝑇∗−𝜆𝐼), luego 𝐽((𝑇∗−𝜆𝐼)) ⊆(𝑇∗−𝜆𝐼). Realizando el cálculo análogo con 𝜆tenemos que 𝐽((𝑇∗−𝜆𝐼)) ⊇(𝑇∗−𝜆𝐼) = 𝐽2((𝑇∗−𝜆𝐼)). Por tanto, 𝐽((𝑇∗−𝜆𝐼)) = (𝑇∗−𝜆𝐼), lo que nos da el resultado. 2 Representación de operadores En esta sección vamos a estudiar un resultado central de la teoría espectral de operadores, el Teorema de representación espectral. 2.1 Resoluciones de la identidad Empezamos con una definición básica para el desarrollo de esta sección. Definición 2.1. Sea un espacio de Hilbert, entonces se define una resolución de la identidad como una familia uniparamétrica {𝐸(𝜆) ∶ 𝜆∈ℝ}, constituida por proyecciones ortogonales en que cumplen 1. Propiedad de monotonía: 𝜆1≤𝜆2⇒𝐸(𝜆1)≤𝐸(𝜆2).(2.1) 2. Propiedad de continuidad por la derecha: l ım 𝜆→𝜆+ 0 𝐸(𝜆)𝑥=𝐸(𝜆0)𝑥, ∀𝜆0∈ℝ.(2.2) 3. La familia "recorre" los operadores entre el nulo y la identidad: l ım 𝜆→−∞ 𝐸(𝜆)𝑥= 0 yl ım 𝜆→+∞ 𝐸(𝜆)𝑥=𝑥. (2.3) Observación 2.2. La propiedad de monotonía es equivalente a 𝐸(𝜆1)𝐸(𝜆2) = 𝐸(𝑚𝑖𝑛{𝜆1, 𝜆2}), de donde se deduce que cualesquiera dos proyecciones de la resolución conmutan. Podemos definir la resolución en intervalos teniendo en cuenta que la propiedad de monotonía implica que siempre existe el límite 𝐸(𝜆− 0) ∶= l ım 𝜆→𝜆− 0 𝐸(𝜆). 13 14 Capítulo 2. Representación de operadores Además, la resolución así definida será de nuevo una proyección ortogonal que satisface 𝐸(𝜆1)≤𝐸(𝜆− 0)≤𝐸(𝜆2), 𝜆1≤𝜆0≤𝜆2 Definamos pues las proyecciones para intervalos •𝐸([𝑎, 𝑏]) ∶= 𝐸(𝑏) − 𝐸(𝑎−), •𝐸([𝑎, 𝑏)) ∶= 𝐸(𝑏−) − 𝐸(𝑎−), •𝐸((𝑎, 𝑏]) ∶= 𝐸(𝑏) − 𝐸(𝑎), •𝐸((𝑎, 𝑏)) ∶= 𝐸(𝑏−) − 𝐸(𝑎). Esta definición es válida para 𝑎, 𝑏 ∈ [−∞,∞] con 𝐸(−∞) = 0 y𝐸(∞) = 𝐼. En particular, tendremos 𝐸({𝜆}) = 𝐸(𝜆) − 𝐸(𝜆−)y𝐸(𝜆) = 𝐸((−∞, 𝜆]). De lo anterior, se deduce fácilmente que si tenemos dos intervalos 1,2, entonces 𝐸(1)𝐸(2) = 𝐸(1∩2). A continuación, queremos definir los operadores ∫𝑓𝑑𝐸 y∫ℝ𝑓𝑑𝐸 con 𝑓continua. Vamos a tomar primero = [𝑎, 𝑏]. A continuación, extendemos 𝑓a una función continua en  = [𝑎− 1, 𝑏]y tomamos una partición = {𝜆0, ..., 𝜆𝑛}de  (con 𝜆0> 𝑎 − 1). Tomando 𝜁𝑘∈ [𝜆𝑘−1, 𝜆𝑘], definimos entonces la suma de Riemann-Stieltjes como 𝑆(𝑓, ) = 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝑓(𝜁𝑘)(𝐸(𝜆𝑘) − 𝐸(𝜆𝑘−1)). Proposición 2.3 (Operadores integrales en intervalos). Para cualquier 𝑓∈𝐶(), existe un operador acotado 𝐴∶= ∫𝑓𝑑𝐸 en definido unívocamente por la propiedad: ∀𝜀 > 0,∃𝛿(𝜀)>0tal que ‖𝐴−𝑆(𝑓, )‖≤𝜀, ∀𝑧con |𝑧|< 𝛿(𝜀). Es más, si 𝑥∈, tenemos ⟨𝐴𝑥, 𝑥⟩=∫𝑓(𝜆)𝑑⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑥⟩,(2.4) ‖𝐴𝑥‖2=∫|𝑓(𝜆)|2𝑑⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑥⟩.(2.5) Demostración. Para comenzar, fijamos 𝜀 > 0. Tomamos ahora una partición tal que |𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡′)|<𝜀 2cuando |𝑡−𝑡′|≤||con 𝑡, 𝑡′∈ [𝑎− 1, 𝑏].(2.6) Sea ′un refinamiento de tal que ′= {𝜆′ 𝑘,𝑙 ∶𝑘∈ {0, ..., 𝑛}, 𝑙 ∈ {0, ..., 𝑟𝑘}} con 𝜆𝑘=𝜆′ 𝑘,0< ... < 𝜆′ 𝑘,𝑟𝑘=𝜆′ 𝑘+1. Sea 𝑥∈. Usando la ortogonalidad de las proyecciones tenemos que 𝐸(𝜆′ 𝑘,𝑙) − 𝐸(𝜆′ 𝑘,𝑙−1) = 𝐸((𝜆′ 𝑘,𝑙−1, 𝜆′ 𝑘,𝑙]), 2.1. Resoluciones de la identidad 15 luego ‖2(𝑆(𝑓, ) − 𝑆(𝑓, ′))𝑥‖2=‖‖‖‖‖∑ 𝑘∑ 𝑙 2(𝑓(𝜁𝑘) − 𝑓(𝜁′ 𝑘,𝑙))(𝐸(𝜆′ 𝑘,𝑙) − 𝐸(𝜆′ 𝑘,𝑙−1))𝑥‖‖‖‖‖ 2 =∑ 𝑘∑ 𝑙 4|𝑓(𝜁𝑘) − 𝑓(𝜁′ 𝑘,𝑙)|2‖‖‖(𝐸(𝜆′ 𝑘,𝑙) − 𝐸(𝜆′ 𝑘,𝑙−1))𝑥‖‖‖ 2 ≤ (2.6)∑ 𝑘∑ 𝑙 𝜀2‖‖‖(𝐸(𝜆′ 𝑘,𝑙) − 𝐸(𝜆′ 𝑘,𝑙−1))𝑥‖‖‖ 2 =𝜀2‖‖(𝐸(𝑏) − 𝐸(𝜆0))𝑥‖‖2=𝜀2‖‖𝐸((𝜆0, 𝑏])𝑥‖‖2 ≤𝜀2‖𝑥‖2. La última desigualdad es gracias a que las proyecciones ortogonales tienen norma 1 (salvo el caso trivial que sean el operador nulo). De esta manera ‖𝑆(𝑓, ) − 𝑆(𝑓, ′)‖≤𝜀 2.(2.7) Ahora, como 𝑓es continua en un compacto (en [𝑎−1, 𝑏]), será uniformemente continuo en el mismo, así que, ∀𝜀 > 0, existe 𝛿(𝜀)>0tal que si |𝑡−𝑡′|≤𝛿(𝜀)entonces se cumple que |𝑓(𝑡) − 𝑓(𝑡′)|<𝜀 2. Sean 1,2particiones tales que |1|,|2|< 𝛿(𝜀)y ′un refinamiento común de ambas. Entonces, por la desigualdad triangular y usando (2.7), se obtiene que ‖𝑆(𝑓, 1) − 𝑆(𝑓, 2)‖≤𝜀. (2.8) Entonces, tomando {𝑛}𝑛una sucesión de particiones tales que l ım 𝑛→∞|𝑛|= 0, tendremos que {𝑆(𝑓, 𝑛)}𝑛será una sucesión de Cauchy con la norma de operadores, es decir, será convergente a un operador que denotaremos ∫𝑓𝑑𝐸. Finalmente, si escogemos una partición tal que ||< 𝛿(𝜀), entonces, por (2.8), ‖𝑆(𝑓, 𝑛) − 𝑆(𝑓 , )‖≤𝜀a partir de cierto 𝑛, luego tomando límite en 𝑛, tenemos que ‖‖‖‖‖∫𝑓𝑑𝐸 −𝑆(𝑓, )‖‖‖‖‖≤𝜀. Las identidades (2.4)y(2.5) se deducen directamente a partir de aquí. Observación 2.4. Cabe destacar que la decisión de considerar una extensión continua de 𝑓nos ayuda a salvar un posible salto en el punto a, y de hecho, también es fácilmente apreciable que el resultado no depende de la extensión elegida. Podemos definir el operador integral en otro tipo de intervalos, por ejemplo ∫(𝑎,𝑏) 𝑓𝑑𝐸 =∫[𝑎,𝑏] 𝑓𝑑𝐸 −𝑓(𝑎)(𝐸(𝑎) − 𝐸(𝑎−)) − 𝑓(𝑏)(𝐸(𝑏) − 𝐸(𝑏−)). En la siguiente proposición extendemos el resultado obtenido en la proposición 2.3 a toda la recta real. 16 Capítulo 2. Representación de operadores Proposición 2.5 (Operadores integrales en ℝ). Para toda función 𝑓continua en la recta real, existe un operador  𝐴=∫ℝ𝑓𝑑𝐸 tal que ∶= ( 𝐴) = {𝑥∈∶∫ℝ|𝑓(𝜆)|2𝑑⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑥⟩<∞},(2.9)  𝐴𝑥 = l ım 𝑎→∞ 𝑏→−∞(∫[𝑎,𝑏] 𝑓𝑑𝐸)𝑥, ∀𝑥∈,(2.10) ⟨ 𝐴𝑥, 𝑥⟩=∫ℝ 𝑓𝑑⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑥⟩,∀𝑥∈.(2.11) Demostración. Usaremos la notación: {𝑐, 𝑑}=[𝑐, 𝑑]si 𝑐 < 𝑑 o{𝑐, 𝑑}=[𝑑, 𝑐]si 𝑑 < 𝑐. A continuación, tomamos 𝑥∈y unos 𝑎, 𝑏, 𝑎′, 𝑏′∈ℝtales que 𝑎<𝑏y𝑎′< 𝑏′. Tendremos entonces la siguiente desigualdad: ‖‖‖‖‖((∫[𝑎,𝑏] −∫[𝑎′,𝑏′])𝑓𝑑𝐸)𝑥‖‖‖‖‖ 2≤(∫{𝑎,𝑎′} +∫{𝑏,𝑏′})|𝑓(𝜆)|2𝑑⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑥⟩.(2.12) De esta forma, si 𝑥∈, entonces gracias a (2.12), el límite en (2.10) está bien definido. Si el límite en (2.10) está bien definido para 𝑥∈, entonces por (2.5), 𝑥∈. La identidad (2.11) se sigue directamente de (2.4)y(2.10). 2.2 Medidas espectrales En esta sección, encontraremos un enlace entre las resoluciones de la identidad y las medidas espectrales, un ente matemático que va a estar estrechamente relacionado con los operadores y con su descomposición espectral. Consideremos un espacio de Hilbert y 𝔘un álgebra sobre un cierto conjunto Ω. Definición 2.6. Decimos que una aplicación 𝐸de 𝔘en las proyecciones ortogonales de es una premedida espectral si 𝐸(Ω) = 𝐼. 𝐸es numerablemente aditiva. Si 𝔘es además un 𝜎−álgebra, entonces diremos que 𝐸es una medida espectral. Lema 2.7. Si 𝐸es una aplicación finitamente aditiva sobre un álgebra 𝔘en las proyecciones ortogonales de , entonces 𝐸(𝑀)𝐸(𝑁) = 𝐸(𝑀∩𝑁). Demostración. Como 𝐸es finitamente aditiva, para cualesquiera 𝑀1, 𝑀2∈𝔘, tendremos que 𝐸(𝑀1)𝐸(𝑀2)es una proyección, luego si 𝑀1∩𝑀2= ∅, entonces se cumple que 𝐸(𝑀1∩𝑀2) = 0. Consideramos ahora 𝐾=𝑀∩𝑁,  𝑀=𝑀⧵𝐾,  𝑁=𝑁∩𝐾. 2.2. Medidas espectrales 17 Entonces 𝐸( 𝑀)𝐸( 𝑁) = 𝐸( 𝑀)𝐸(𝐾) = 𝐸(𝐾)𝐸( 𝑁)=0. Por tanto 𝐸(𝑀)𝐸(𝑁)=[𝐸( 𝑀) + 𝐸(𝐾)][𝐸( 𝑁) + 𝐸(𝐾)] = 𝐸2(𝐾) = 𝐸(𝐾) = 𝐸(𝑀∩𝑁). Observación 2.8. A partir de este lema, es directo que para todo 𝑀, 𝑁 ∈𝔘las proyecciones 𝐸(𝑀)y𝐸(𝑁)conmutan. Lema 2.9. Una aplicación 𝐸de un álgebra (respectivamente 𝜎−álgebra) 𝔘en las proyecciones ortogonales es una premedida espectral (respectivamente 𝐸es una medida espectral) si y solo si 𝐸(Ω) = 𝐼y∀𝑥∈, 𝐸𝑥(𝜆) = ⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑥⟩en 𝔘es numerablemente aditiva (respectivamente 𝐸𝑥(𝜆)es una medida). Demostración. La implicación hacia la derecha es inmediata por la definición. Para la otra implicación tomamos {𝑀𝑛}𝑛disjuntos y 𝑀= ∪ 𝑛𝑀𝑛. Como 𝐸𝑥es finitamente aditiva para todo 𝑥∈, entonces 𝐸será también finitamente aditiva; por tanto, por el lema anterior 2.7,{𝐸(𝑀𝑛)}𝑛serán proyecciones mutuamente ortogonales. Por ser 𝐸(𝑀𝑛)ortogonales, la serie ∑𝐸(𝑀𝑛)converge como operador. De esta forma, tendremos ⟨𝐸(𝑀)𝑥, 𝑥⟩=𝐸𝑥(𝑀) = ∑𝐸𝑥(𝑀𝑛) = ∑⟨𝐸(𝑀𝑛)𝑥, 𝑥⟩=⟨∑𝐸(𝑀𝑛)𝑥, 𝑥⟩. De aquí es directo que 𝐸(𝑀) = ∑𝐸(𝑀𝑛), luego 𝐸será una premedida espectral. Observación 2.10. Sea E una medida espectral sobre 𝔘en . Cada 𝑥∈da lugar a una medida escalar positiva 𝐸𝑥(𝑀) ∶= ‖𝐸(𝑀)𝑥‖2=⟨𝐸(𝑀)𝑥, 𝑥⟩. Además, esta medida es finita, ya que 𝐸𝑥(Ω) = ‖𝐸(Ω)𝑥‖2=‖𝐼𝑥‖2=‖𝑥‖2. Dados 𝑥, 𝑦 ∈, podemos definir una medida compleja 𝐸𝑥,𝑦 sobre 𝔘definida por 𝐸𝑥,𝑦(𝑀) = ⟨𝐸(𝑀)𝑥, 𝑦⟩; de hecho, podemos expresarla como 𝐸𝑥,𝑦 =1 4(𝐸𝑥+𝑦−𝐸𝑥−𝑦+𝑖𝐸𝑥+𝑖𝑦 −𝑖𝐸𝑥−𝑖𝑦). El siguiente resultado, propio de teoría de la medida, será una herramienta necesaria para el siguiente teorema. Lema 2.11. Sea 𝐸0una premedida espectral sobre un álgebra 𝔘0de subconjuntos de un conjunto Ω. Entonces existe un medida espectral 𝐸sobre el 𝜎−álgebra generada por 𝔘0tal que 𝐸(𝑀) = 𝐸0(𝑀)para todo 𝑀∈𝔘0. Demostración. Una prueba puede encontrarse en [1, Lema 4.9, página 70] Lema 2.12. Sea 𝐸una premedida espectral en 𝔘. Supongamos que (𝑀𝑛)𝑛∈ℕes una sucesión decreciente y (𝑁𝑛)𝑛∈ℕuna sucesión creciente de conjuntos en 𝔘tal que 𝑀= ∩𝑛𝑀𝑛, 𝑁= ∪𝑛𝑁𝑛. Entonces 𝐸(𝑀)=l ım𝑛→∞𝐸(𝑀𝑛), 𝐸(𝑁)=l ım𝑛→∞𝐸(𝑁𝑛). Demostración. Comencemos con el caso para sucesiones crecientes. Dada una sucesión creciente de conjuntos (𝑁𝑛)𝑛∈ℕ, por el resultado análogo para medidas tendremos que ⟨𝐸(𝑁𝑛)𝑥, 𝑥⟩𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ ⟨𝐸(𝑁)𝑥, 𝑥⟩⇒⟨(𝐸(𝑁) − 𝐸(𝑁𝑛))𝑥, 𝑥⟩𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 0. 18 Capítulo 2. Representación de operadores Luego, l ım𝑛→∞(𝐸(𝑁) − 𝐸(𝑁𝑛)) = Θ (operador nulo), es decir, l ım𝑛→∞𝐸(𝑁𝑛) = 𝐸(𝑁). El caso de las sucesiones decrecientes es análogo. Teorema 2.13. Si 𝐸es una medida espectral en un 𝜎−álgebra de Borel 𝔅(ℝ)en , entonces 𝐸(𝜆) ∶= 𝐸((−∞, 𝜆]),(2.13) define una resolución de la identidad. Recíprocamente, para cada resolución de la identidad, existe una única medida espectral sobre 𝔅(ℝ)tal que (2.13)se cumple. Demostración. La primera implicación es la más sencilla. Sea 𝐸un medida espectral en 𝔅(ℝ), hay que ver que se verifica la definición de resolución de la identidad 2.1. La monotonía se tiene de manera inmediata. Para la continuidad por la derecha, consideramos conjuntos de la forma (−∞, 𝜆𝑛]con 𝜆𝑛decreciente y tendiendo a 𝜆; basta entonces usar lema anterior 2.12 para razonar la continuidad. La tercera propiedad (2.3) puede probarse de manera análoga. La otra implicación se prueba como sigue. Consideramos {𝐸(𝜆) ∶ 𝜆∈ℝ}una resolución de la identidad. Como ya vimos podemos definir las proyecciones sobre intervalos. Tomamos ahora el álgebra 𝔘0de todas las uniones finitas de intervalos; es más, cada elemento podrá escribirse en realidad como unión finita y disjunta de intervalos. Por tanto, para cada ∈𝔘0, 𝐸() = ∑𝐸(𝑗)define una proyección, donde = ∪𝑗𝑗con los {𝑗}𝑗disjuntos. Como la función 𝐸𝑥(𝜆)es una función no decreciente, continua por la derecha y l ım 𝜆→−∞ 𝐸𝑥(𝜆)=0, entonces 𝐸𝑥(𝜆)define de manera única una medida 𝜇𝑥sobre 𝔅(ℝ)tal que 𝜇𝑥((−∞, 𝜆]) = 𝐸𝑥(𝜆). Tendremos entonces que 𝜇𝑥() = 𝐸𝑥()y, por ello, 𝐸𝑥() = 𝜇𝑥(), es decir, 𝐸𝑥será numerablemente aditiva en 𝔘0por serlo 𝜇𝑥, luego 𝐸𝑥 será una premedida espectral por el lema 2.9. Finalmente, gracias al lema 2.11,𝐸nos da una medida espectral en 𝔅(ℝ)y la unicidad la tendremos al estar 𝔅(ℝ)generado por los intervalos (−∞, 𝜆]. 2.3 Integrales espectrales Sea 𝔘un 𝜎-álgebra de subconjuntos de Ωy𝐸una medida espectral sobre (Ω,𝔘). Vamos a estudiar las integrales de tipo 𝕀(𝑓) = ∫Ω 𝑓(𝑡)𝑑𝐸(𝑡) = ∫Ω 𝑓𝑑𝐸, con 𝐸una medida finita casi por toda función 𝔘-medible 𝑓∶ Ω →ℂ∪{∞} con respecto a la medida espectral 𝐸. 2.3. Integrales espectrales 19 2.3.1 Integrales espectrales para funciones medibles acotadas Primero construiremos las integrales espectrales 𝕀para funciones características 𝜒𝑀 en conjuntos 𝑀∈𝔘 𝕀(𝜒𝑀) = ∫Ω 𝜒𝑀𝑑𝐸(𝑡) = 𝐸(𝑀). El próximo paso será extenderlas al conjunto de las funciones medibles. Sea =(Ω,𝔘)el espacio de Banach de funciones 𝔘-medibles sobre Ωcon la norma ‖𝑓‖Ω= sup{|𝑓(𝑡)|∶𝑡∈ Ω}. Sea 𝑆el subespacio de funciones simples en , de manera que si 𝑓∈𝑆, entonces 𝑓= 𝑛 ∑ 𝑟=1 𝑐𝑟𝜒𝑀𝑟, con 𝑐1, ..., 𝑐𝑛∈ℂy𝑀1, ..., 𝑀𝑛conjuntos disjuntos dos a dos en 𝔘. Para dichas funciones 𝑓definimos 𝕀(𝑓) = 𝑛 ∑ 𝑟=1 𝑐𝑟𝐸(𝑀𝑟). De la aditividad finita se deduce directamente que la integral 𝕀(𝑓)no depende de la representación de 𝑓elegida. Para extender la definición, nos apoyaremos en el siguiente lema. Lema 2.14. ‖𝕀(𝑓)‖≤‖𝑓‖Ω, 𝑓 ∈𝑆. Demostración. Recordando que toda función era expresable de la forma 𝑓= 𝑛 ∑ 𝑟=1 𝑐𝑟𝜒𝑀𝑟, con 𝑐1, ..., 𝑐𝑛∈ℂy𝑀1, ..., 𝑀𝑛conjuntos disjuntos dos a dos en 𝔘, sabemos entonces, por el lema 2.7, que 𝐸(𝑀𝑘)y𝐸(𝑀𝑙)son ortogonales si 𝑘≠𝑙. Luego, tomando 𝑥∈ ‖𝕀(𝑓)𝑥‖2=‖‖‖‖‖∑ 𝑟 𝑐𝑟𝐸(𝑀𝑟)𝑥‖‖‖‖‖ 2 =∑ 𝑟|𝑐𝑟|2‖𝐸(𝑀𝑟)𝑥‖2≤∑ 𝑟‖𝑓‖2 Ω‖𝐸(𝑀𝑟)𝑥‖2 =‖𝑓‖2 Ω‖‖‖‖‖∑ 𝑟 𝐸(𝑀𝑟)𝑥‖‖‖‖‖ 2≤‖𝑓‖2 Ω‖𝑥‖2. 20 Capítulo 2. Representación de operadores Considerando ahora de manera más general 𝑓∈, tenemos que por la densidad de 𝑆en , podemos generalizar el resultado a funciones medibles, dado que claramente la convergencia no dependerá en ningún caso de la (𝑓𝑛)𝑛elegida. Veamos algunas propiedades del operador 𝕀(𝑓)descrito. Proposición 2.15. Sean 𝑓, 𝑔 ∈(Ω,𝔘), 𝛼, 𝛽 ∈ℂy𝑥, 𝑦 ∈, entonces 1. 𝕀(𝑓) = 𝕀(𝑓)∗,𝕀(𝛼𝑓 +𝛽𝑔) = 𝛼𝕀(𝑓) + 𝛽𝕀(𝑔),𝕀(𝑓𝑔) = 𝕀(𝑓)𝕀(𝑔). 2. ⟨𝕀(𝑓)𝑥, 𝑦⟩=∫Ω𝑓(𝑡)𝑑⟨𝐸(𝑡)𝑥, 𝑦⟩. 3. ‖𝕀(𝑓)𝑥‖2=∫Ω|𝑓(𝑡)|2𝑑⟨𝐸(𝑡)𝑥, 𝑥⟩. 4. ‖𝕀(𝑓)‖≤‖𝑓‖Ω. 5. Sea {𝑓𝑛}⊆. Si 𝑓𝑛→𝑓E-c.p.t. y existe |𝑓𝑛|≤𝑐para todo 𝑛∈ℕ, 𝑡 ∈ Ω, entonces 𝕀(𝑓𝑛)→𝕀(𝑓). Demostración. Veamos la prueba de que 𝕀(𝑓𝑔) = 𝕀(𝑓)𝕀(𝑔)para funciones simples ya que sabemos que, por argumentos de densidad, esto es suficiente; además, el resto de pruebas de las propiedades 1-4 las omitiremos por ser inmediatas. Consideramos 𝑓, 𝑔 ∈𝑆de manera que 𝑓=∑𝑟𝑎𝑟𝜒𝑀𝑟, 𝑔 =∑𝑠𝑏𝑠𝜒𝑁𝑠y𝑓𝑔 =∑𝑟,𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑠𝜒𝑀𝑟∩𝑁𝑠. Entonces 𝕀(𝑓𝑔) = ∑ 𝑟,𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑠𝐸(𝑀𝑟∩𝑁𝑠) = ∑ 𝑟,𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑠𝐸(𝑀𝑟)𝐸(𝑁𝑠) =(∑ 𝑟 𝑎𝑟𝐸(𝑀𝑟))(∑ 𝑠 𝑏𝑠𝐸(𝑁𝑠))=𝕀(𝑓)𝕀(𝑔). Veamos ahora la última propiedad. Sea {𝑓𝑛}⊆, hay que probar que si 𝑓𝑛→𝑓E-c.p.t. y existe |𝑓𝑛|≤𝑐para todo 𝑛∈ℕ, 𝑡 ∈ Ω, entonces 𝕀(𝑓𝑛)→𝕀(𝑓). Dado que ‖𝕀(𝑓)𝑥‖2=∫Ω|𝑓(𝑡)|2𝑑⟨𝐸(𝑡)𝑥, 𝑥⟩, tendremos que ‖(𝕀(𝑓𝑛) − 𝕀(𝑓))𝑥‖2=∫Ω|𝑓𝑛−𝑓|2𝑑⟨𝐸(𝑡)𝑥, 𝑥⟩, 𝑥 ∈, de donde se deduce el resultado a partir del Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue. 2.3.2 Integrales espectrales para funciones medibles no acotadas Sea ahora =(Ω,𝔘, 𝐸)el conjunto de funciones 𝔘-medibles 𝑓∶ Ω →ℂ⋃{∞} que son 𝐸-finitas c.p.t., es decir, 𝐸({𝑡∈Ω∶𝑓(𝑡) = ∞}) = 0. Definición 2.16. Decimos que una sucesión {𝑀𝑛}de conjuntos 𝑀𝑛∈𝔘es una sucesión acotante para un subconjunto ⊆si cada función 𝑓∈está acotada en 𝑀𝑛y para todo 𝑛∈ℕ, 𝑀𝑛⊆ 𝑀𝑛+1 y𝐸(⋃∞ 𝑛=1 𝑀𝑛) = 𝐼. 2.3. Integrales espectrales 21 Observación 2.17. De esta forma, si {𝑀𝑛}es una sucesión acotante, entonces gracias a las propiedades de las medidas espectrales se deduce que 𝐸(𝑀𝑛)≤𝐸(𝑀𝑛+1)para todo 𝑛∈ℕ, que l ım𝑛→∞𝐸(𝑀𝑛)𝑥=𝑥, 𝑥 ∈y que ⋃∞ 𝑛=1 𝐸(𝑀𝑛)es denso en . Teorema 2.18. Sea 𝑓∈, definimos (𝕀(𝑓)) = {𝑥∈∶∫Ω|𝑓(𝑡)|2⟨𝐸(𝑡)𝑥, 𝑥⟩<∞}.(2.14) Sea (𝑀𝑛)𝑛una sucesión acotante de 𝑓. Entonces 1. Un vector 𝑥∈está en (𝕀(𝑓)) si y solo si la sucesión (𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥)𝑛converge en , o equivalentemente, si sup𝑛∈ℕ‖𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥‖<∞. 2. Para 𝑥∈(𝕀(𝑓)), entonces el límite en 𝑛de (𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥)no depende de la sucesión acotante elegida y existe un operador lineal 𝕀(𝑓)en (𝕀(𝑓)) definido por 𝕀(𝑓)𝑥= l ım 𝑛→∞ 𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥, 𝑥 ∈(𝕀(𝑓)). 3. ⋃∞ 𝑛=1 𝐸(𝑀𝑛)⊆(𝕀(𝑓)) y es un d-núcleo1de 𝕀(𝑓). Además, se cumple que 𝐸(𝑀𝑛)𝕀(𝑓)⊆𝕀(𝑓)𝐸(𝑀𝑛) = 𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛), 𝑛 ∈ℕ. Demostración. Veamos la prueba de estas propiedades. 1. Tomemos 𝑥∈(𝕀(𝑓)). Como 𝑓está acotada en 𝑀𝑛, entonces 𝑓𝜒𝑀𝑛∈y el operador acotado 𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)está bien definido como se ha visto en la sección anterior 2.3.1. Usando ahora la tercera de las propiedades vistas en la proposición 2.15, tenemos ‖𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑘)𝑥−𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥‖2=‖𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑘−𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥‖2 =∫Ω|𝑓𝜒𝑀𝑘−𝑓𝜒𝑀𝑛|2𝑑⟨𝐸(𝑡)𝑥, 𝑥⟩ =‖𝑓𝜒𝑀𝑘−𝑓𝜒𝑀𝑛‖2 𝐿2(Ω,𝐸𝑥)con 𝑘, 𝑛 ∈ℕ. Como 𝑓∈𝐿2(Ω, 𝐸𝑥)por (2.14), entonces 𝑓𝜒𝑀𝑛 𝐿2(Ω,𝐸𝑥) ←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑓por el Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, luego (𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑛es una sucesión de Cauchy en 𝐿2(Ω, 𝐸𝑥)y además (𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥)𝑛también será de Cauchy en . Por lo tanto, la sucesión (𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥)𝑛es convergente en . Como la sucesión converge, entonces el conjunto {‖𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥‖∶𝑛∈ℕ}estará acotado probando la primera implicación. Supongamos ahora, para empezar, que el conjunto está acotado, o equivalentemente que 𝑐= sup𝑛‖𝕀(𝑓𝜒𝑀𝑛)𝑥‖<∞. Como (|𝑓𝜒𝑀𝑛(𝑡)|2)𝑛converge monótonamente a|𝑓(𝑡)|2𝐸𝑥-c.p.t. en Ω, el Teorema de la convergencia monótona de Lebesgue nos 1Recordemos que la definición de d-núcleo se da en A.2. 28 Capítulo 2. Representación de operadores lema anterior 2.27 aplicado al operador 𝑝𝑝. Entonces ‖𝑝(𝐴)‖2=‖𝑝(𝐴)∗𝑝(𝐴)‖=‖(𝑝𝑝)(𝐴)‖= sup{|𝛾|∶𝛾∈𝜎((𝑝𝑝)(𝐴))} ≤sup{|𝑝𝑝(𝛾)|∶𝛾∈𝜎(𝐴)} ≤‖𝑝𝑝‖=‖𝑝‖2 . Lema 2.29. Para cada funcional lineal continuo 𝐹sobre el espacio normado (ℂ[𝑡],‖.‖), existe una única medida compleja de Borel regular sobre tal que 𝐹(𝑝) = ∫𝑝(𝜆)𝑑𝜇(𝜆), 𝑝 ∈ℂ[𝑡]. Es más, |𝜇(𝑀)|≤‖𝐹‖,∀𝑀∈(). Demostración. Por el Teorema de aproximación de Weierstrass, los polinomios son densos en (𝐶(),‖.‖), así que para cada funcional lineal continuo sobre (ℂ[𝑡],‖.‖)existirá una única extensión a 𝐶(). Aplicando a dicha extensión el Teorema de representación de Riesz A.29 obtenemos la existencia y unicidad de 𝜇junto a la última afirmación. Procedemos a probar el resultado. Teorema 2.30. Sea 𝐴un operador acotado autoadjunto sobre un espacio de Hilbert y = [𝑎, 𝑏]⊆ℝtal que 𝜎(𝐴)⊆. Entonces existe una única medida espectral 𝐸sobre el 𝜎-álgebra de Borel ()tal que 𝐴=∫𝜆𝑑𝐸(𝜆). Si 𝐹es otra medida espectral sobre (ℝ)tal que 𝐴=∫ℝ𝜆𝑑𝐹 (𝜆), entonces se cumple que 𝐸(𝑀∩) = 𝐹(𝑀),∀𝑀∈(ℝ). Demostración. Recordemos que podemos considerar tal porque A es autoadjunto. Veamos primero la existencia. Tomamos 𝑥, 𝑦 ∈arbitrarios y definimos el funcional lineal 𝐹𝑥,𝑦 sobre [𝑡]dado por 𝐹𝑥,𝑦(𝑝) = ⟨𝑝(𝐴)𝑥, 𝑦⟩, 𝑝 ∈ℂ[𝑡]. Entonces por el lema 2.28 |𝐹𝑥,𝑦(𝑝)|≤‖𝑝(𝐴)‖‖𝑥‖‖𝑦‖≤‖𝑝‖‖𝑥‖‖𝑦‖.(2.17) Por tanto, 𝐹𝑥,𝑦 es continuo y ‖𝐹𝑥,𝑦‖≤‖𝑥‖‖𝑦‖. Por el lema 2.29, existirá una única medida compleja regular de Borel 𝜇𝑥,𝑦 sobre tal que 𝐹𝑥,𝑦(𝑝) = ⟨𝑝(𝐴)𝑥, 𝑦⟩=∫𝑝(𝜆)𝑑𝜇𝑥,𝑦(𝜆), 𝑝 ∈ℂ[𝑡]. Queremos probar que existe una medida espectral E sobre el 𝜎−álgebra de Borel () tal que 𝜇𝑥,𝑦(𝑀) = ⟨𝐸(𝑀)𝑥, 𝑦⟩, 𝑥, 𝑦 ∈, 𝑀 ∈(). Usando la linealidad del producto escalar en la primera variable y la unicidad de la medida dada por el lema 2.29, tenemos 2.4. Teorema espectral para operadores autoadjuntos 29 que 𝜇𝑥,𝑦 es una forma sesquilineal continua sobre y acotada, ya que se cumple que |𝜇𝑥,𝑦(𝑀)|≤‖𝐹𝑥,𝑦‖≤‖𝑥‖‖𝑦‖. Por tanto, gracias a la versión del Teorema de representación de Riesz para formas sesquilineales acotadas A.28, tenemos que existirá un operador acotado 𝐸(𝑀)tal que 𝜇𝑥,𝑦(𝑀) = ⟨𝐸(𝑀)𝑥, 𝑦⟩con 𝑥, 𝑦 ∈.(2.18) Tomando ahora 𝑝(𝑡)=1en (2.17), tenemos que ⟨𝑥, 𝑦⟩=𝜇𝑥,𝑦() = ⟨𝐸()𝑥, 𝑦⟩con 𝑥, 𝑦 ∈⇒𝐸() = 𝐼. Basta ver que 𝐸(𝑀)es una proyección, ya que por el lema 2.9 esto implicará que es una medida espectral de manera directa. Sean 𝑥, 𝑦 ∈, 𝑝 ∈ℂ[𝑡]. Por (2.17) tendremos que ∫𝑝𝑑𝜇𝑥,𝑦 =⟨𝑝(𝐴)𝑥, 𝑦⟩=⟨𝑝(𝐴)𝑦, 𝑥⟩=∫𝑝𝑑𝜇𝑦,𝑥 =∫𝑝𝑑𝜇𝑦,𝑥, de donde se deduce que 𝜇𝑥,𝑦(𝑀) = 𝜇𝑦,𝑥(𝑀), luego 𝐸(𝑀) = 𝐸(𝑀)∗. Resta probar que 𝐸(𝑀)2=𝐸(𝑀). Tenemos que ∫𝑝𝑑𝜇𝑞(𝐴)𝑥,𝑦 =⟨𝑝(𝐴)𝑞(𝐴)𝑥, 𝑦⟩=⟨(𝑝𝑞)(𝐴)𝑥, 𝑦⟩=∫𝑝𝑞𝑑𝜇𝑥,𝑦. Luego por unicidad tenemos que 𝑑𝜇𝑞(𝐴)𝑥,𝑦 =𝑞𝑑𝜇𝑥,𝑦, y, por tanto, ⟨𝐸(𝑀)𝑞(𝐴)𝑥, 𝑦⟩=∫𝑀 𝑞𝑑𝜇𝑥,𝑦. A partir de aquí podemos deducir a su vez que 𝑑𝜇𝑥,𝐸(𝑀)𝑦=𝜒𝑀𝑑𝜇𝑥,𝑦, lo que lleva a 𝜇𝑥,𝐸(𝑀)𝑦(𝑁) = 𝜇𝑥,𝑦(𝑀∩𝑁)y finalmente 𝐸(𝑀)𝐸(𝑁) = 𝐸(𝑀∩𝑁)donde basta tomar 𝑀=𝑁para probar lo buscado. Ya tenemos lo necesario para probar la "representación espectral" de 𝐴. Tomando 𝑥, 𝑦 ∈, entonces ⟨𝑝(𝐴)𝑥, 𝑦⟩=∫𝑝(𝜆)𝑑⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑦⟩, 𝑝 ∈ℂ[𝑡], luego ⟨𝐴𝑥, 𝑦⟩=∫𝜆𝑑⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑦⟩. Considerando el operador 𝕀(𝑓(𝜆) = 𝜆) = ∫𝜆𝑑𝐸(𝜆), también tenemos ⟨𝕀(𝑓(𝜆) = 𝜆)𝑥, 𝑦⟩=∫𝜆𝑑⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑦⟩. Por tanto, 𝐴=𝕀(𝑓0(𝜆)) = ∫𝜆𝑑𝐸(𝜆), donde 𝑓0(𝜆) = 𝜆. 30 Capítulo 2. Representación de operadores Veamos la unicidad. Sea 𝕀(𝑓) = ∫ℝ𝑓𝑑𝐹 la integral espectral con respecto a otra medida espectral F. Si tomamos de nuevo 𝑓0(𝜆) = 𝜆, tenemos que 𝐴=𝕀(𝑓0(𝜆)). Usando el teorema 2.22 y considerando ahora 𝑁𝑛= [𝑏+ 1∕𝑛, ∞), ⟨𝐴𝐹 (𝑁𝑛)𝑥, 𝐹 (𝑁𝑛)𝑥⟩=⟨𝕀(𝑓0𝜒𝑁𝑛)𝑥, 𝑥⟩=∫𝑁𝑛 𝜆𝑑⟨𝐹(𝜆)𝑥, 𝑥⟩>(𝑏+ 1∕𝑛)‖𝐹(𝑁𝑛)𝑥‖2. Además, como 𝜎(𝐴)⊆[𝑎, 𝑏],⟨𝐴𝑦, 𝑦⟩≤𝑏‖𝑦‖2, 𝑦 ∈. Entonces, si ‖𝐹(𝑁𝑛)𝑥‖2>0, 𝑏 > 𝑏 + 1∕𝑛, lo cual es una contradicción. Por tanto, 𝐹(𝑁𝑛) = 0 y tomando límite en 𝑛 tendremos que 𝐹(𝑏, ∞) = 0. De manera similar probamos que 𝐹(−∞, 𝑎)=0, luego ⟨𝑝(𝐴)𝑥, 𝑥⟩=∫𝑝(𝜆)𝑑⟨𝐹(𝜆)𝑥, 𝑦⟩, 𝑝 ∈ℂ[𝑡]. De aquí se deduce directamente la unicidad, dado que ambas medidas coincidirán en conjuntos de ()por el lema 2.29 y acabamos de comprobar que 𝐹se anula fuera de . Dada la relevancia de los resultados obtenidos en este capítulo incluiremos un resumen de los mismos en la proposición 2.31. Dado un operador 𝐴autoadjunto sobre un espacio de Hilbert , entonces existe una única medida espectral 𝐸𝐴tal que 𝐴=∫ℝ 𝜆𝑑𝐸𝐴(𝜆). Si además consideramos el espacio =(ℝ,(ℝ), 𝐸𝐴)de funciones 𝑓∶ℝ→ℂ∪ {∞} finitas 𝐸𝐴-c.p.t. , entonces podemos considerar, gracias a la noción de integral espectral, los operadores 𝑓(𝐴) = ∫ℝ 𝑓(𝜆)𝑑𝐸𝐴(𝜆), que definen operadores normales cuyo dominio es denso y está dado por (𝑓(𝐴)) = {𝑥∈∶∫ℝ|𝑓(𝜆)|2𝑑⟨𝐸𝐴(𝜆)𝑥, 𝑥⟩<∞}. Dichos operadores tienen las siguientes propiedades, que se heredan directamente de las probadas para integrales espectrales. Proposición 2.31. Sean 𝑓, 𝑔 ∈, 𝛼, 𝛽 ∈ℂ, 𝑥, 𝑦 ∈(𝑓(𝐴)). Entonces 1. ⟨𝑓(𝐴)𝑥, 𝑦⟩=∫𝑓(𝜆)𝑑⟨𝐸𝐴(𝜆)𝑥, 𝑦⟩. 2. ‖𝑓(𝐴)𝑥‖2=∫|𝑓(𝜆)|2𝑑⟨𝐸𝐴(𝜆)𝑥, 𝑥⟩. En particular, si 𝑓=𝑔 𝐸𝐴-c.p.t. en ℝ, entonces 𝑓(𝐴) = 𝑔(𝐴). 3. 𝑓(𝐴)es acotado si y solo si 𝑓∈𝐿∞(ℝ, 𝐸𝐴), en cuyo caso ‖𝑓(𝐴)‖=‖𝑓‖∞. 4. 𝑓(𝐴) = 𝑓(𝐴)∗. En particular, si 𝑓es real 𝐸𝐴-c.p.t. en ℝentonces 𝑓(𝐴)es autoadjunto. 2.4. Teorema espectral para operadores autoadjuntos 31 5. (𝛼𝑓 +𝛽𝑔)(𝐴) = 𝛼𝑓(𝐴) + 𝛽𝑔(𝐴). 6. (𝑓𝑔)(𝐴) = 𝑓(𝐴)𝑔(𝐴). 7. 𝑝(𝐴) = ∑𝛼𝑛𝐴𝑛para todo polinomio 𝑝(𝑡) = ∑𝛼𝑛𝑡𝑛∈ℂ[𝑡]. 8. 𝜒𝑀(𝐴) = 𝐸𝐴(𝑀), 𝑀 ∈(ℝ). 9. Si 𝑓≠0𝐸𝐴-c.p.t. en ℝ, entonces 𝑓(𝐴)es invertible con 𝑓(𝐴)−1 = (1∕𝑓)(𝐴). 10. Si 𝑓≥0𝐸𝐴-c.p.t. en ℝ, entonces 𝑓(𝐴)≥0. Observación 2.32. Si consideramos el operador multiplicación por 𝜑(medible) dado por (𝐴𝑔)(𝑡) = ℎ(𝑡)𝑔(𝑡), entonces (𝑓(𝐴)𝑔)(𝑡) = 𝑓(ℎ(𝑡))𝑔(𝑡). Hemos visto además que los polinomios y la inversa también se comportan de manera coherente con esta notación (Proposición 2.24), lo cual justifica la notación de 𝑓(𝐴)como una "función" sobre 𝐴. A esta asignación se le llama un cálculo funcional sobre 𝐴. 32 Capítulo 2. Representación de operadores 3 Problema de los momentos sobre ∗-semigrupos y∗-álgebras 3.1 ∗ −álgebras y ∗ −semigrupos Definición 3.1. Se denota ∗ −álgebra 𝐴sobre 𝕂a un álgebra sobre 𝕂(espacio vectorial sobre 𝕂equipado con una operación producto) equipada con una operación ∗∶ 𝐴→𝐴 (involución) tal que para 𝑎, 𝑏 ∈𝐴, 𝛼, 𝛽 ∈𝕂se tiene que (𝛼𝑎 +𝛽𝑏)∗=𝛼𝑎∗+𝛽𝑏∗,(𝑎𝑏)∗=𝑏∗𝑎∗,(𝑎∗)∗=𝑎. En el caso que nos va a interesar, ∗-álgebras conmutativas reales, nos bastará con tomar como involución la identidad. Definición 3.2. Sea 𝐴un 𝕂−subespacio lineal de algún ∗ −álgebra sobre 𝕂. Definimos entonces1 𝐴2= Lin{𝑏∗𝑎∶𝑎, 𝑏 ∈𝐴}. Definición 3.3. Un funcional lineal 𝐿∶𝐴2→𝕂se dice que es positivo si cumple 𝐿(𝑎∗𝑎)≥0, 𝑎 ∈𝐴. Lema 3.4. Se 𝐴un subespacio lineal de un ∗ −álgebra 𝐵sobre 𝕂y𝐿∶𝐴2→𝕂un funcional lineal positivo. Entonces se tiene la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple |𝐿(𝑏∗𝑎)|2≤𝐿(𝑎∗𝑎)𝐿(𝑏∗𝑏)con 𝑎, 𝑏 ∈𝐴. Es más, si 𝐵es unitario (tiene elemento unidad) y su elemento unidad también pertenece a 𝐴, entonces 𝐿(𝑎∗) = 𝐿(𝑎), 𝑎 ∈𝐴. Demostración. Veamos solo el caso 𝕂=ℂ, ya que el caso real es análogo. Si consideramos para 𝛼, 𝛽 ∈ℂ, 𝑎, 𝑏 ∈𝐴la expresión 𝐿((𝛼𝑎 +𝛽𝑏)∗(𝛼𝑎 +𝛽𝑏)) = 𝛼𝛼𝐿(𝑎∗𝑎) + 𝛼𝛽𝐿(𝑎∗𝑏) + 𝛽𝛼𝐿(𝑏∗𝑎) + 𝛽𝛽𝐿(𝑏∗𝑏)≥0,(3.1) deducimos que 𝛼𝛽𝐿(𝑎∗𝑏) + 𝛽𝛼𝐿(𝑏∗𝑎)es real. Tomando 𝛼y𝛽adecuadamente es posible lograr que 𝛼𝛽 = 1 y𝛼𝛽 =𝑖, de modo que 𝐿(𝑎∗𝑏) = 𝐿(𝑏∗𝑎). La expresión (3.1) define una 1Usaremos la siguiente notación: Lin{𝑏1, ..., 𝑏𝑛} ∶= {∑𝑖𝛼𝑖𝑏𝑖∶𝛼𝑖∈𝕂}. 33 34 Capítulo 3. Problema de los momentos sobre ∗-semigrupos y ∗-álgebras expresión cuadrática semidefinida positiva, luego su determinante es necesariamente no nulo y vale 𝐿(𝑎∗𝑎)𝐿(𝑏∗𝑏) − 𝐿(𝑏∗𝑎)𝐿(𝑎∗𝑏) = 𝐿(𝑎∗𝑎)𝐿(𝑏∗𝑏) − |𝐿(𝑏∗𝑎)|2≥0. Si 𝐵tiene un elemento unidad 1tal que 1 ∈ 𝐴, entonces tomando 𝑏= 1 en la expresión 𝐿(𝑎∗𝑏) = 𝐿(𝑏∗𝑎)obtenemos 𝐿(𝑎∗) = 𝐿(𝑎), como queríamos probar. En el caso que nos interesa, i.e. ∗ −álgebras reales conmutativas equipadas con la identidad como involución, tenemos que la desigualdad de Cauchy-Schwarz queda 𝐿(𝑎𝑏)2≤𝐿(𝑎2)𝐿(𝑏2)con 𝑎, 𝑏 ∈𝐴. Definición 3.5. Se define semigrupo como el par (𝑆, ◦)con 𝑆un conjunto no vacío equipado con una operación binaria asociativa ◦y con 𝑒∈𝑆un elemento neutro. Definición 3.6. Un ∗ −semigrupo (𝑆, ◦,∗) es un semigrupo (𝑆, ◦)equipado con un involución ∗∶ 𝑆→𝑆. En general se tiene que dado un grupo, podemos convertirlo en un ∗ −semigrupo con la involución 𝑠∗=𝑠−1 y a todo semigrupo abeliano le ocurre igual identidad. Definición 3.7. Una función 𝜑∶𝑆→𝕂sobre un ∗ −semigrupo 𝑆es semidefinida positiva si dados los elementos arbitrarios 𝑠1, ..., 𝑠𝑛∈𝑆y los escalares 𝜉1, ..., 𝜉𝑛∈𝕂, 𝑛 ∑ 𝑖,𝑗=0 𝜑(𝑠∗ 𝑖◦𝑠𝑗)𝜉𝑖𝜉𝑗≥0. El conjunto de funciones semidefinidas positivas lo denotaremos por 𝕂(𝑆). Análogamente se definen las funciones definidas positivas. Dado 𝑆un ∗ −semigrupo, podemos considerar su ∗ −álgebra asociada 𝕂[𝑆]. En particular, 𝕂[𝑆]será un espacio vectorial, cuya base la determinan los elementos de 𝑆y el producto e involución están determinados por las correspondientes operaciones en 𝑆. Entonces, 𝕂[𝑆]es el espacio vectorial cuyos elementos vienen determinados por una combinación lineal finita de elementos de 𝑆. En ese caso, 𝕂[𝑆]se convierte en un ∗ −álgebra unitaria sobre 𝕂con el producto e involución definidos como (∑ 𝑠∈𝑆 𝛼𝑆𝑠)(∑ 𝑡∈𝑆 𝛽𝑡𝑡)=∑ 𝑠,𝑡∈𝑆 𝛼𝑆𝛽𝑡(𝑠◦𝑡); (∑ 𝑠∈𝑆 𝛼𝑆𝑠)∗ =∑ 𝑠∈𝑆 𝛼𝑆𝑠∗. Dado que los elementos de 𝑆forman una base en 𝕂[𝑆], se establece una relación biunívoca entre las funciones 𝜑∶𝑆→𝕂y los funcionales lineales 𝐿𝜑∶𝕂[𝑆]→𝕂dados 3.2. ∗ −álgebras conmutativas y ∗ −semigrupos abelianos 35 por 𝐿𝜑(𝑠) = 𝜑(𝑠), 𝑠 ∈𝑆. A este funcional 𝐿𝜑se le llama funcional de Riesz asociado a𝜑. Definición 3.8. Dada una función semidefinida positiva 𝜑∶𝑆→𝕂, entonces a la matriz semidefinida positiva 𝐻(𝜑)=(𝜑(𝑠∗◦𝑡))𝑠,𝑡∈𝑆se le llama matriz (generalizada) de Hankel asociada a 𝜑. Proposición 3.9. Dada una función 𝜑∶𝑆→𝕂las siguientes afirmaciones son equivalentes: 𝜑es una función semidefinida positiva. 𝐿𝜑es un funcional positivo sobre el ∗ −álgebra 𝕂[𝑆]. La matriz 𝐻(𝜑)=(𝜑(𝑠∗◦𝑡))𝑠,𝑡∈𝑆es una matriz hermítica semidefinida positiva. Demostración. Dado 𝑎=∑𝑠∈𝑆𝛼𝑆𝑠∈𝕂[𝑆], 𝐿𝜑(𝑎∗𝑎) = ∑ 𝑠,𝑡∈𝑆 𝜑(𝑠∗◦𝑡)𝛼𝑆𝛼𝑡=∑ 𝑠,𝑡∈𝑆 𝐻𝑠,𝑡𝛼𝑆𝛼𝑡. La primera igualdad da la primera equivalencia (𝜑↔𝐿𝜑) y la segunda igualdad la segunda equivalencia (𝜑↔𝐻(𝜑)). Corolario 3.10. Si 𝜑∶𝑆→𝕂es una función semidefinida positiva entonces 𝜑(𝑠∗) = 𝜑(𝑠), 𝜑(𝑠∗◦𝑠)≥0,∀𝑠∈𝑆, (3.2) |𝜑(𝑠∗◦𝑡)|2≤𝜑(𝑠∗◦𝑠)𝜑(𝑡∗◦𝑡),∀𝑠, 𝑡 ∈𝑆. (3.3) En particular si 𝜑(𝑒)=0(𝑒es el elemento neutro en 𝑆) entonces 𝜑(𝑡)=0, para todo 𝑡∈𝑆. Demostración. Por la proposición anterior 3.9,𝐿𝜑es positivo, luego se cumple que 𝜑(𝑠∗◦𝑠) = 𝐿𝜑(𝑠∗𝑠)≥0. Por tanto, gracias al lema 3.4 tenemos (3.2) y (3.3). Además, si 𝜑(𝑒)=0, tomando 𝑠=𝑒en la segunda expresión, tenemos que 𝜑≡0. 3.2 ∗ −álgebras conmutativas y ∗ −semigrupos abelianos Consideremos ahora que 𝐴es un ∗ −álgebra unitario y conmutativo sobre 𝕂y𝑆un ∗ −semigrupo abeliano. Definición 3.11. Definimos un funcional carácter 𝜒∶𝐴→𝕂en 𝐴al funcional que cumple 𝜒(1) = 1, 𝜒(𝑎𝑏) = 𝜒(𝑎)𝜒(𝑏), 𝜒(𝑎∗) = 𝜒(𝑎)con 𝑎, 𝑏 ∈𝐴. Al conjunto de caracteres de 𝐴lo denotamos  𝐴y lo dotamos de la topología inducida por la convergencia puntual. Asumiremos además que  𝐴es un espacio de Hausdorff localmente compacto . 36 Capítulo 3. Problema de los momentos sobre ∗-semigrupos y ∗-álgebras Observación 3.12. Se impone Hausforff para que los caracteres sean suficientemente "distinguibles" con la topología impuesta y la compacidad local se impone para tener condiciones adecuadas para aplicar ciertos teoremas de representación que aseguran además la existencia de medidas de Radon. Definición 3.13. Sea 𝐾un subconjunto cerrado de  𝐴, un funcional lineal 𝐿∶𝐴→𝕂 se llama 𝐾−funcional de momentos si existe una medida de Radon 𝜇sobre  𝐴tal que supp(𝜇)⊆ 𝐾, la función 𝜒↦𝜒(𝑎)es 𝜇−integrable sobre  𝐴y verifica 𝐿(𝑎) = ∫ 𝐴 𝜒(𝑎)𝑑𝜇(𝜒), 𝑎 ∈𝐴. Decimos además que dicho funcional es 𝐾−determinado si dicha medida de Radon es única. Observación 3.14. Cuando 𝐾= 𝐴, se dice que 𝐿es un funcional de momentos y en lugar de 𝐾−determinado se dice que es determinado. Lema 3.15. Cada 𝐾−funcional de momentos es un funcional lineal positivo en A. Demostración. Sea 𝑎∈𝐴, para cada 𝜒∈ 𝐴tenemos que 𝜒(𝑎∗𝑎) = 𝜒(𝑎)𝜒(𝑎∗) = |𝜒(𝑎)|2. Por tanto, 𝐿(𝑎∗𝑎) = ∫ 𝐴𝜒(𝑎∗𝑎)𝑑𝜇(𝜒) = ∫ 𝐴|𝜒(𝑎)|2𝑑𝜇(𝜒)≥0. A continuación, haremos el desarrollo análogo sobre ∗ −semigrupos S. Definición 3.16. Definimos una función carácter 𝜒∶𝑆→𝕂en 𝑆a la función cumpliendo 𝜒(0) = 1, 𝜒(𝑠+𝑡) = 𝜒(𝑠)𝜒(𝑡), 𝜒(𝑠∗) = 𝜒(𝑠)con 𝑠, 𝑡 ∈𝑆. Al conjunto de caracteres de 𝑆lo denotamos 𝑆∗y es también un ∗ −semigrupo abeliano al que llamaremos semigrupo dual de S con la multiplicación como operación, la conjugación compleja como involución y el carácter constante como elemento neutro. Supondremos, como antes, que a 𝑆∗lo dotamos de la topología inducida por la convergencia puntual y asumiremos además que es un espacio de Hausdorff localmente compacto. Definición 3.17. Sea 𝐾un subconjunto cerrado de 𝑆∗. Una función 𝐿∶𝑆→𝕂se llama 𝐾−función de momentos si existe una medida de Radon 𝜇sobre 𝑆∗tal que supp(𝜇)⊆ 𝐾, la función 𝜒↦𝜒(𝑠)es 𝜇−integrable sobre 𝑆∗y verifica 𝜑(𝑠) = ∫𝑆∗ 𝜒(𝑠)𝑑𝜇(𝜒), 𝑠 ∈𝑆. Decimos además que dicha función es 𝐾−determinada si dicha medida de Radon es única. Observación 3.18. Cuando 𝐾=𝑆∗, se dice que 𝑓es una función de momentos y en lugar de 𝐾−determinada se dice que es determinada. 3.3. El caso 𝑆=ℕ𝑑 0,𝑛∗=𝑛37 Observando todo lo precedente podemos apreciar una relación biunívoca entre la nociones de funcional carácter y función carácter. De hecho, una función 𝜒∶𝑆→𝕂es un carácter en 𝑆si y solo si su funcional de Riesz 𝐿𝜒es un carácter en 𝕂[𝑆]. Análogamente, 𝜑será una 𝐾−función de momentos en 𝑆si y solo si 𝐿𝜑es un 𝐾−funcional de momentos en 𝕂[𝑆]. Es más, uno será determinado si y solo si lo es el otro. Por tanto, se deduce que el problema de los momentos sobre 𝑆y sobre 𝕂[𝑆]son equivalentes. Además se tiene el siguiente corolario Corolario 3.19. Cada 𝐾−función de momentos es semidefinida positiva. 3.3 El caso 𝑆=ℕ𝑑 0,𝑛∗=𝑛 Si consideramos el semigrupo ℕ𝑑 0con la involución identidad entonces este define un ∗ −semigrupo. Si consideramos ahora la aplicación (𝑛1, ..., 𝑛𝑑)↦𝑥𝑛1 1...𝑥𝑛𝑑 𝑑tenemos que constituye un ∗ −isomorfismo de ∗ −álgebras de 𝕂[ℕ𝑑 0]sobre 𝕂[𝑥1, ..., 𝑥𝑑]con la involución 𝑥∗ 𝑗=𝑥𝑗, por tanto 𝕂[ℕ𝑑 0] ≅ 𝕂[𝑥1, ..., 𝑥𝑑]. Claramente, para cualquier 𝑡∈ℝ𝑑existe un carácter 𝜒𝑡dado por 𝜒𝑡(𝑝) = 𝑝(𝑡), 𝑝 ∈𝕂[𝑥1, ..., 𝑥𝑑]. Recíprocamente, dado un carácter 𝜒, tomamos 𝑡𝑗=𝜒(𝑥𝑗), luego 𝜒(𝑥𝑗) = 𝜒((𝑥𝑗)∗) = 𝜒(𝑥𝑗). Entonces 𝑡∈ℝ𝑑y 𝜒(𝑝) = 𝑝(𝜒(𝑥)) = 𝑝(𝑡) = 𝜒𝑡(𝑝). Por tanto, (ℕ𝑑 0)∗= {𝜒𝑡∶𝑡∈ℝ𝑑} ≅ ℝ𝑑, 𝜒𝑡(𝑝) = 𝑝(𝑡). Una función en ℕ𝑑 0es una multisucesión (𝑠𝛼)𝛼∈ℕ𝑑 0con funcional de Riesz 𝐿𝑠(𝑥𝛼) = 𝑠𝛼, 𝑛 ∈ℕ𝑑 0. Dado que la involución es la identidad, se deduce que las funciones semidefinidas positivas toman valores reales. Recordemos que una sucesión real 𝑠es una función semidefinida positiva si y solo si ∑ 𝛼,𝛽∈ℕ𝑑 0 𝑠𝛼+𝛽𝜉𝛼𝜉𝛽≥0, 𝜉 multisucesión real finita. Tenemos que 𝑠es una sucesión de momentos (función de momentos) si y solo si existe un medida de Radon 𝜇en ℝ𝑑tal que 𝑥𝛼∈1(ℝ𝑑, 𝜇)y 𝑠𝛼=∫ℝ𝑑 𝑥𝛼𝑑𝜇, 𝛼 ∈ℕ𝑑 0. Equivalentemente, 𝑝(𝑥) ∈ 1(ℝ𝑑, 𝜇)y𝐿𝑠(𝑝) = ∫ℝ𝑑𝑝(𝑥)𝑑𝜇, 𝑝 ∈ℝ[𝑥1, ..., 𝑥𝑑]. Dado que consideraremos el caso 𝑑= 1, reescribimos lo anterior para dicho caso. 44 Capítulo 4. Polinomios ortogonales y operadores de Jacobi (𝑤𝑘)𝑛 𝑘=0 serán bases para los polinomios de grado menor o igual que 𝑛y por hipótesis de inducción se deduce que 𝑤𝑛=𝛼𝑝𝑛. Finalmente, basta recordar que ambas bases tenían coeficiente líder positivo, luego la única posibilidad es que 𝛼= 1. Definición 4.4. A estos polinomios (𝑝𝑛)𝑛∈ℕ0los llamaremos polinomios ortogonales de primera especie. A continuación, probaremos una fórmula explícita para dichos polinomios. Proposición 4.5. Definimos 𝐷−1 = 1. Entonces tendremos que 𝑝0(𝑥) = 1∕𝑠1∕2 0y para 𝑛∈ℕ, 𝑘 ∈ℕ0 𝑝𝑛(𝑥) = 1 √𝐷𝑛−1𝐷𝑛 |||||||||||||| 𝑠0𝑠1𝑠2…𝑠𝑛 𝑠1𝑠2𝑠3…𝑠𝑛+1 𝑠2𝑠3𝑠4…𝑠𝑛+2 ………… … 𝑠𝑛−1 𝑠𝑛𝑠𝑛+1 …𝑠2𝑛−1 1𝑥 𝑥2…𝑥𝑛 |||||||||||||| ,(4.1) ⟨𝑥𝑛, 𝑝𝑛⟩𝑠=√𝐷𝑛 𝐷𝑛−1 ,⟨𝑥𝑘, 𝑝𝑛⟩𝑠= 0,∀𝑘 < 𝑛. (4.2) El coeficiente líder de 𝑝𝑛será √𝐷𝑛−1 𝐷𝑛 ; en particular, 𝑝1(𝑥) = 𝑠0𝑥−𝑠1 √𝑠0(𝑠0𝑠2−𝑠2 1) . Demostración. Que 𝑝0(𝑥) = 1∕𝑠1∕2 0lo tenemos por hipótesis. Veamos que los polinomios definidos en la ecuación (4.1) no son otros que los polinomios ortogonales de primera especie. Empezamos probando primero (4.2). Multiplicando (4.1) por 𝑥𝑘, usando la linealidad del determinante y aplicando el operador 𝐿𝑠, obtenemos 𝐿𝑠(𝑥𝑘𝑝𝑛) = 1 √𝐷𝑛−1𝐷𝑛 |||||||||||||| 𝑠0𝑠1𝑠2…𝑠𝑛 𝑠1𝑠2𝑠3…𝑠𝑛+1 𝑠2𝑠3𝑠4…𝑠𝑛+2 … … … … … 𝑠𝑛−1 𝑠𝑛𝑠𝑛+1 …𝑠2𝑛−1 𝑠𝑘𝑠𝑘+1 𝑠𝑘+2 …𝑠𝑘+𝑛 |||||||||||||| .(4.3) Si 𝑘<𝑛, dos filas del determinante (4.3) son iguales, luego el determinante es nulo; si 𝑘=𝑛, obtenemos el determinante de Hankel 𝐷𝑛, luego 𝐿𝑠(𝑥𝑛𝑝𝑛) = √𝐷𝑛 𝐷𝑛−1 , lo cual prueba (4.2). Para probar que el coeficiente líder de 𝑝𝑛es √𝐷𝑛−1 𝐷𝑛 es suficiente desarrollar el determinante por su última fila. De esta forma, el coeficiente líder será 𝐷𝑛−1 √𝐷𝑛−1𝐷𝑛 =√𝐷𝑛−1 𝐷𝑛 . Veamos ahora que constituyen una base ortonormal. A partir de (4.2), se deduce que si 𝑘≠𝑛, entonces ⟨𝑝𝑛, 𝑝𝑘⟩𝑠= 0. Por otro lado, si 𝑘=𝑛, usando de nuevo (4.2), se 4.2. Relaciones de recurrencia de tres términos 45 tiene ⟨𝑝𝑛, 𝑝𝑛⟩𝑠=𝑝(𝑛) 𝑛⟨𝑥𝑛, 𝑝𝑛⟩𝑠=√𝐷𝑛−1 𝐷𝑛√𝐷𝑛 𝐷𝑛−1 = 1. Luego (𝑝𝑛)𝑛es una base ortonormal que cumplen las condiciones impuestas en la proposición (4.1), luego la unicidad nos asegura que estos polinomios son los polinomios ortogonales de primera especie de la definición 4.4. Demos a continuación una definición general de polinomio ortogonal. Definición 4.6. Una sucesión (𝑅𝑛)𝑛∈ℕ0es llamada sucesión de polinomios ortogonales (OPS) con respecto a 𝑠si 𝑅𝑛∈ℝ[𝑥],deg(𝑅𝑛) = 𝑛y⟨𝑅𝑘, 𝑅𝑛⟩𝑠= 0, 𝑘 ≠𝑛. Observación 4.7. Habrá, por lo general, numerosas bases ortogonales, pero todas son proporcionales a la base ortonormal (𝑝𝑛)𝑛∈ℕ0, i.e., 𝜏𝑛‖𝑅𝑛‖−1𝑅𝑛=𝑝𝑛, con 𝜏𝑛tal que el coeficiente líder de 𝑝𝑛sea positivo. Además, de la base ortonormal, podemos encontrar otra base muy relevante, también única, la base armónica. Definición 4.8. Decimos que dada la base ortonormal, la base mónica (con coeficiente líder 𝑎𝑛= 1) asociada será 𝑃𝑛(𝑥) = √𝐷𝑛 𝐷𝑛−1 𝑝𝑛(𝑥) = 1 𝐷𝑛−1 |||||||||||||| 𝑠0𝑠1𝑠2…𝑠𝑛 𝑠1𝑠2𝑠3…𝑠𝑛+1 𝑠2𝑠3𝑠4…𝑠𝑛+2 … … … … … 𝑠𝑛−1 𝑠𝑛𝑠𝑛+1 …𝑠2𝑛−1 1𝑥 𝑥2…𝑥𝑛 |||||||||||||| , 𝑛 ∈ℕ.(4.4) Esta base esta constituida por polinomios mónicos y tendremos unicidad gracias a la unicidad de la base ortonormal. Por tanto, tenemos dos bases destacables: la base ortonormal (𝑝𝑛)𝑛∈ℕ0y la base mónica (𝑃𝑛)𝑛∈ℕ0. 4.2 Relaciones de recurrencia de tres términos Los polinomios ortogonales satisfacen relaciones de recurrencia de tres términos. Proposición 4.9. Sean (𝑝𝑛)𝑛la sucesión de polinomios ortonormales de primera especie, entonces la sucesión (𝑝𝑛)𝑛satisface la siguiente relación de recurrencia a tres términos 𝑥𝑝𝑛(𝑥) = 𝑎𝑛𝑝𝑛+1(𝑥) + 𝑏𝑛𝑝𝑛(𝑥) + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1(𝑥)con 𝑎−1 = 1 y𝑝−1(𝑥)=0,(4.5) donde 𝑎𝑛=√𝐷𝑛−1𝐷𝑛+1𝐷−1 𝑛y𝑏𝑛=𝐿𝑠(𝑥𝑝2 𝑛). Además, 𝑎𝑛>0y𝑏𝑛∈ℝpara todo 𝑛∈ℕ0. En particular 𝑝0(𝑥) = 𝑠−1 2 0, 𝑝1(𝑥) = 𝑠−1 2 0𝑎−1 0(𝑥−𝑏0), 𝑝2(𝑥) = 𝑠−1 2 0[𝑎−1 0𝑎−1 1(𝑥−𝑏0)(𝑥−𝑏1) − 𝑎0𝑎−1 1]. 46 Capítulo 4. Polinomios ortogonales y operadores de Jacobi Demostración. Es directo que 𝑎𝑛>0y𝑏𝑛∈ℝ. Por otro lado, {𝑝0, ..., 𝑝𝑛+1}es una base del espacio de polinomios con deg(𝑝)≤𝑛+ 1, luego 𝑥𝑝𝑛(𝑥) = ∑𝑛+1 𝑘=0 𝑐𝑛,𝑘𝑝𝑘(𝑥), de donde se deduce que 𝑐𝑛,𝑛+1 =𝑝(𝑛) 𝑛 𝑝(𝑛+1) 𝑛+1 =𝑎𝑛. Además, 𝑐𝑛,𝑘 =⟨𝑝𝑛, 𝑥𝑝𝑘⟩𝑠= 0, para todo 𝑛>𝑘+ 1; es más, 𝑐𝑛,𝑛 =𝐿𝑠(𝑥𝑝2 𝑛) = 𝑏𝑛. Finalmente, usamos que 𝑐𝑛−1,𝑛 es real, luego 𝑐𝑛,𝑛−1 =⟨𝑝𝑛, 𝑥𝑝𝑛−1⟩𝑠=𝐿𝑠(𝑥𝑝𝑛𝑝𝑛−1) = ⟨𝑝𝑛, 𝑛 ∑ 𝑘=0 𝑐𝑛−1,𝑘𝑝𝑘⟩𝑠=𝑐𝑛−1,𝑛. Por tanto, 𝑎𝑛−1 =𝑐𝑛,𝑛−1. Todo esto nos conduce al resultado. Corolario 4.10. El coeficiente líder de 𝑝𝑛(𝑥)es √𝐷𝑛−1 𝐷𝑛 =𝑠−1 2 0 𝑛−1 ∏ 𝑘=0 𝑎−1 𝑘, 𝑛 ∈ℕ. Observación 4.11. La relación (4.5)puede ser reescrita como 𝑝𝑛+1(𝑥)=(𝑥−𝑏𝑛)𝑎−1 𝑛𝑝𝑛(𝑥) − 𝑎𝑛−1𝑎−1 𝑛𝑝𝑛−1(𝑥)con 𝑎−1 = 1 y𝑝−1(𝑥)=0.(4.6) Proposición 4.12. Sean los determinantes Δ𝑛=||||||||||| 𝑠0𝑠1𝑠2…𝑠𝑛−1 𝑠𝑛+1 𝑠1𝑠2𝑠3…𝑠𝑛𝑠𝑛+2 𝑠2𝑠3𝑠4…𝑠𝑛+1 𝑠𝑛+3 … … … … … … 𝑠𝑛𝑠𝑛+1 𝑠𝑛+2 …𝑠2𝑛−1 𝑠2𝑛+1 ||||||||||| ,Δ0=𝑠1.(4.7) Entonces se tiene que 𝑏𝑛+1 =Δ𝑛+1 𝐷𝑛+1 −Δ𝑛 𝐷𝑛 , 𝑚 ∑ 𝑛=0 𝑏𝑛=Δ𝑚 𝐷𝑚 . Demostración. De la relación de recurrencia (4.6), (𝑥−𝑏0)𝑝0=𝑎0𝑝1, y usando que 𝐿𝑠(𝑝1)=0, se deduce 𝑝0𝑠1=𝐿𝑠(𝑝0𝑥) = 𝐿𝑠(𝑝0𝑏0) = 𝑝0𝑏0𝑠0 o equivalentemente, 𝑏0=𝑠1𝑠−1 0=Δ0 𝐷0 . Desarrollando el determinante en (4.1) por la última fila, se deduce además que los coeficientes de 𝑥𝑛y𝑥𝑛−1 son, respectivamente, √𝐷𝑛−1 𝐷𝑛 y−Δ𝑛−1 √𝐷𝑛−1𝐷𝑛 . Ahora, comparando los coeficientes de 𝑥𝑛a ambos lados de la relación de recurrencia (4.5), tenemos −Δ𝑛−1 √𝐷𝑛−1𝐷𝑛 = − √𝐷𝑛−1𝐷𝑛+1 𝐷𝑛√𝐷𝑛𝐷𝑛+1 +𝑏𝑛√𝐷𝑛−1 𝐷𝑛 ⇒𝑏𝑛=Δ𝑛 𝐷𝑛 −Δ𝑛−1 𝐷𝑛−1 ⇒𝑏𝑛+1 =Δ𝑛+1 𝐷𝑛+1 −Δ𝑛 𝐷𝑛 , 4.2. Relaciones de recurrencia de tres términos 47 como queríamos probar. Usando la expresión anterior para 𝑏𝑛+1 y𝑏0=Δ0 𝐷0 , se tiene la identidad 𝑚 ∑ 𝑛=0 𝑏𝑛=Δ𝑚 𝐷𝑚 , pues la suma es una suma telescópica. A partir de la relación de recurrencia que tenemos para (𝑝𝑛)𝑛∈ℕ0, podemos obtener una relación de recurrencia equivalente para (𝑃𝑛)𝑛∈ℕ0dada por Proposición 4.13. Sea (𝑃𝑛)𝑛∈ℕ0la OPS mónica para s. Entonces 𝑃𝑛+1(𝑥)=(𝑥−𝑏𝑛)𝑃𝑛(𝑥) − 𝑎2 𝑛−1𝑃𝑛−1(𝑥), 𝑃−1(𝑥)=0.(4.8) En particular 𝑃0(𝑥)=1, 𝑃1(𝑥) = 𝑥−𝑏0, 𝑃2(𝑥)=(𝑥−𝑏0)(𝑥−𝑏1) − 𝑎2 0. Teorema 4.14 (Teorema de Favard). Sean (𝛼𝑛)𝑛∈ℕ0, 𝛼−1 = 1 y(𝛽𝑛)𝑛∈ℕ0sucesiones complejas y (𝑅𝑛)𝑛∈ℕ0una sucesión de polinomios mónicos determinada biunívocamente por la relación de recurrencia 𝑅𝑛+1(𝑥)=(𝑥−𝛽𝑛)𝑅𝑛(𝑥) − 𝛼2 𝑛−1𝑅𝑛−1(𝑥)con 𝑅−1(𝑥)=0 y𝑅0(𝑥)=0.(4.9) Entonces, existirá una sucesión real definida positiva tal que (𝑅𝑛)𝑛∈ℕ0es la OPS mónica si y solo si 𝛼𝑛>0, 𝛽𝑛∈ℝpara 𝑛∈ℕ0. Si el valor 𝑠0es conocido y positivo, entonces la sucesión está determinada biunívocamente. Es más, si 𝛼𝑛>0, 𝛽𝑛∈ℝpara 𝑛∈ℕ0y𝑠0>0, entonces existe una medida 𝜇∈𝑠tal que 𝜇(ℝ) = 𝑠0y para 𝑗, 𝑘 ∈ℕ0, 𝑗 ≠𝑘, 𝑛 ∈ℕse cumple ∫ℝ 𝑅𝑗(𝑥)𝑅𝑘(𝑥)𝑑𝜇(𝑥)=0,∫ℝ 𝑅𝑛(𝑥)2𝑑𝜇(𝑥) = 𝛼𝑛−1𝛼𝑛−2 …𝛼0𝑠0.(4.10) Observación 4.15. El Teorema de Favard se deja sin prueba ya que posteriormente se prueba un teorema que es una versión generalizada del mismo.1 Si comparamos (4.8) y (4.9) obtenemos que 𝛼𝑛=𝑎2 𝑛, luego, por (4.10), tenemos el siguiente corolario Corolario 4.16. Sea (𝑃𝑛)𝑛la base mónica. Entonces se tiene la siguiente igualdad: ‖𝑃𝑛‖2 𝑠=𝐿𝑠(𝑃2 𝑛) = 𝑎2 𝑛−1𝑎2 𝑛−2 …𝑎2 0𝑠0, 𝑛 ∈ℕ. 1Ver el teorema 4.18. 48 Capítulo 4. Polinomios ortogonales y operadores de Jacobi 4.3 El problema de los momentos y los operadores de Jacobi La relación de recurrencia nos permite relacionar el problema de los momentos con una familia especial de operadores: los operadores de Jacobi. Consideramos 𝑠el espacio de Hilbert resultado de completar (ℂ[𝑥],⟨., .⟩𝑠)y𝑋el operador multiplicación por la variable 𝑥con dominio ℂ[𝑥]sobre 𝑠dado por 𝑋𝑝(𝑥) = 𝑥𝑝(𝑥), 𝑝 ∈(𝑋) = ℂ[𝑥]. Entonces, 𝑋es un operador simétrico definido por densidad sobre 𝑠. Tenemos que 𝑠es un espacio de Hilbert con una base ortonormal {𝑝𝑛∶𝑛∈ℕ0}, luego existe un isomorfismo unitario con 𝑙2(ℕ0)definido por 𝑈𝑝𝑛=𝑒𝑛con {𝑒𝑛∶𝑛∈ℕ0}, su base canónica. Entonces, por (4.5), 𝑇=𝑈𝑋𝑈−1 es un operador simétrico en 𝑙2(ℕ0)dado por 𝑇 𝑒𝑛=𝑎𝑛𝑒𝑛+1 +𝑏𝑛𝑒𝑛+𝑎𝑛−1𝑒𝑛−1, 𝑒−1 = 0.(4.11) El dominio de este operador (𝑇) = 𝔡= {(𝛾0, ..., 𝛾𝑛,0, ...) ∶ 𝛾𝑘∈ℂ, 𝑛 ∈ℕ}. De esta forma, para cualquier sucesión finita, obtenemos 𝑇(∑ 𝑛 𝛾𝑛𝑒𝑘𝑛)=∑ 𝑛 𝛾𝑛(𝑎𝑛𝑒𝑛+1 +𝑏𝑛𝑒𝑛+𝑎𝑛−1𝑒𝑛−1) =∑ 𝑛 (𝑎𝑛𝛾𝑛+1 +𝑏𝑛𝛾𝑛+𝑎𝑛−1𝛾𝑛−1)𝑒𝑛, 𝛾−1 = 0. Esto es equivalente a considerar que el operador 𝑇actua sobre una sucesión 𝛾como la multiplicación por la matriz infinita 𝕁=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑏0𝑎00 0 0 ⋯ 𝑎0𝑏1𝑎10 0 ⋯ 0𝑎1𝑏2𝑎20⋯ 0 0 𝑎2𝑏3𝑎3⋯ 0 0 0 𝑎3𝑏4⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .(4.12) Una matriz de esta forma es llamada matriz de Jacobi (semi-finita). El correspondiente operador 𝑇≡𝑇𝕁es llamado operador de Jacobi. Por tanto, hemos probado que el operador multiplicación 𝑋es unitariamente equivalente al operador 𝑇. 4.4. Polinomios de segunda especie 49 Esto permite recuperar la sucesión 𝑠(salvo por 𝑠0) a partir del operador de Jacobi 𝑇: 𝑠𝑛𝑠−1 0=𝑠−1 0⟨𝑥𝑛1,1⟩𝑠=⟨𝑋𝑛𝑝0, 𝑝0⟩𝑠=⟨𝑇𝑛𝑒0, 𝑒0⟩. Por tanto, 𝑠𝑛𝑠−1 0es la primera entrada de la matriz 𝐽𝑛. Además, si 𝑠0= 1, tendremos determinados todos los momentos 𝑠𝑛por la matriz de Jacobi. En particular 𝑠1𝑠−1 0=⟨𝑇 𝑒0, 𝑒0⟩=𝑏0, 𝑠2𝑠−1 0=⟨𝑇2𝑒0, 𝑒0⟩=𝑏2 0+𝑎2 0. Observación 4.17. Si consideramos una sucesión definida positiva 𝑠y𝑠 ∶= 𝑐𝑠, 𝑐 > 0, entonces ambas tendrán la misma matriz y el mismo operador de Jacobi. También tendremos que los operadores multiplicación para ambas sucesiones son unitariamente equivalentes y 𝜇∈𝑠si y solo si 𝑐𝜇 ∈𝑠. Recíprocamente, si tenemos una matriz de Jacobi, con 𝑎𝑛>0, 𝑏𝑛∈ℝpara 𝑛∈ℕ0. Sea el operador 𝑇con dominio (𝑇) = 𝔡en 𝑙2(ℕ0)dado por (4.11). Entonces 𝑇es un operador simétrico y 𝑇(𝑇)⊆(𝑇). Si ahora definimos 𝑠= (⟨𝑇𝑛𝑒0, 𝑒0⟩)𝑛, esta definirá una sucesión definida positiva con 𝑠0= 1, cuyo correspondiente operador de Jacobi será 𝑇. Todo esto nos conduce al siguiente resultado Teorema 4.18. Existe una correspondencia biunívoca entre las sucesiones definidas positivas con 𝑠0= 1 y las matrices de Jacobi con 𝑎𝑛>0, 𝑏𝑛∈ℝpara 𝑛∈ℕ0. Así mismo, existe una equivalencia unitaria entre el operador multiplicación 𝑋y el operador de Jacobi 𝑇dado por un isomorfismo 𝑈tal que 𝑈𝑝𝑛=𝑒𝑛, 𝑛 ∈ℕ0. En este contexto, los parámetros de 𝐽:𝑎𝑛, 𝑏𝑛, son los números que aparecen en la relación de recurrencia de tres términos (4.5) Observación 4.19. Este resultado es la generalización del Teorema de Favard 4.14. 4.4 Polinomios de segunda especie Sean los parámetros de Jacobi 𝑎𝑛, 𝑎−1 = 1; 𝑏𝑛con 𝑛∈ℕ0para una sucesión definida positiva 𝑠. Dada una sucesión compleja 𝛾≡(𝛾𝑛)𝑛∈ℕ0definimos la sucesión compleja 𝛾dada por (𝛾)𝑛=𝑎𝑛𝛾𝑛+1 +𝑏𝑛𝛾𝑛+𝑎𝑛−1𝛾𝑛−1, 𝑛 ∈ℕ0, 𝛾−1 = 0.(4.13) Por tanto, define una aplicación lineal en el espacio vectorial de sucesiones complejas. Dada 𝛾∈𝔡, es sencillo ver que 𝛾∈𝔡,𝛾=𝑇 𝛾. 50 Capítulo 4. Polinomios ortogonales y operadores de Jacobi Sea 𝑧∈ℂ, consideramos la siguiente relación de recurrencia de tres términos: (𝑇 𝛾)𝑛=𝑎𝑛𝛾𝑛+1 +𝑏𝑛𝛾𝑛+𝑎𝑛−1𝛾𝑛−1 =𝑧𝛾𝑛.(4.14) Como 𝑎𝑛>0, si fijamos dos datos iniciales, suponiendo que se satisface la relación de recurrencia (4.14), tendremos definida la sucesión de ahí en adelante de manera unívoca. Si fijamos 𝛾−1 = 0, 𝛾0=𝑠−1∕2 0y asumimos que se satisface la relación, entonces comparando (4.14)y(4.5) concluimos que 𝛾𝑛es el valor 𝑝𝑛(𝑧)de los polinomios en la proposición 4.3, abreviando: 𝔭𝑧= (𝑝0(𝑧), 𝑝1(𝑧), ...), 𝑧 ∈ℂ.(4.15) Si ahora fijamos 𝛾0= 0, 𝛾1=𝑎−1 0𝑠−1∕2 0(o bien, 𝛾−1 = −𝑠1∕2 0, 𝛾0= 0), tendremos los valores 𝑞𝑛(𝑧) ∶= 𝛾𝑛unívocamente determinados. Usando de nuevo la relación de recurrencia (4.14), se deduce fácilmente que 𝑞𝑛(𝑧)es un polinomio en 𝑧de grado 𝑛− 1, abreviando: 𝔮𝑧= (𝑞0(𝑧), 𝑞1(𝑧), ...), 𝑧 ∈ℂ.(4.16) Veremos posteriormente que forma tienen estos polinomios. Lema 4.20. 𝔭𝑧=𝑧𝔭𝑧y𝔮𝑧=𝑠1∕2 0𝑒0+𝑧𝔮𝑧, 𝑧 ∈ℂ. Demostración. Por la relación de recurrencia (4.14) tenemos 𝔭𝑧=𝑧𝔭𝑧, 𝑛 ∈ℕ0y𝔮𝑧=𝑧𝔮𝑧, 𝑛 ∈ℕ. Además (𝔮𝑧)0=𝑎0𝛾1+𝑏0𝛾0=𝑠1∕2 0. Definición 4.21. A los polinomios (𝑞𝑛)𝑛∈ℕ0los denotamos polinomios ortogonales de segunda especie. Observación 4.22. Si consideramos los polinomios 𝑝𝑛(𝑧) = 𝑠−1∕2 0𝑎0𝑞𝑛+1(𝑧), estos cumplen la relación de recurrencia (4.14)con los parámetros desplazados: 𝑎𝑛=𝑎𝑛+1, 𝑏𝑛=𝑎𝑏+1 y 𝑝−1(𝑧) = 0, 𝑝0(𝑧) = 1. Por tanto, por el teorema 4.18, estos polinomios son polinomios 4.4. Polinomios de segunda especie 51 ortonormales de primera especie con respecto a la matriz de Jacobi desplazada  𝕁=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 𝑏1𝑎10 0 0 ⋯ 𝑎1𝑏2𝑎20 0 ⋯ 0𝑎2𝑏3𝑎30⋯ 0 0 𝑎3𝑏4𝑎4⋯ 0 0 0 𝑎4𝑏5⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .(4.17) La correspondiente sucesión definida positiva será, por tanto, (𝑠𝑛)𝑛= (⟨ 𝑇𝑛𝑒0, 𝑒0⟩)𝑛, con  𝑇 el correspondiente operador de Jacobi. 𝑞𝑛(𝑧)son polinomios ortogonales para la sucesión 𝑠. Observación 4.23. Vamos a buscar una expresión para (𝑞𝑛)𝑛∈ℕ0, y para ello vamos a considerar, para un 𝑧∈ℂ, el siguiente polinomio: 𝑔(𝑥) = 𝑛 ∑ 𝑘= 𝛾𝑛𝑥𝑘⇒𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑧) 𝑥−𝑧= 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝑘−1 ∑ 𝑙=0 𝛾𝑘𝑧𝑘−𝑙𝑥𝑙 Este es un polinomio en 𝑥, luego podemos aplicarle el funcional 𝐿𝑠∶= 𝐿𝑠,𝑥. Proposición 4.24. 𝑞𝑛(𝑧) = 𝐿𝑠,𝑥 (𝑝𝑛(𝑥) − 𝑝𝑛(𝑧) 𝑥−𝑧)≡𝑟𝑛(𝑧). Demostración. Por la relación de recurrencia (4.14), se tiene que 𝑎𝑛 𝑝𝑛+1(𝑥) − 𝑝𝑛+1(𝑧) 𝑥−𝑧+𝑏𝑛 𝑝𝑛(𝑥) − 𝑝𝑛(𝑧) 𝑥−𝑧+𝑎𝑛−1 𝑝𝑛−1(𝑥) − 𝑝𝑛−1(𝑧) 𝑥−𝑧=𝑧𝑝𝑛(𝑥) − 𝑝𝑛(𝑧) 𝑥−𝑧+𝑝𝑛(𝑥). Si aplicamos 𝐿𝑠,𝑥 a esta igualdad, obtenemos 𝑎𝑛𝑟𝑛+1(𝑧) + 𝑏𝑛𝑟𝑛(𝑧) + 𝑎𝑛−1𝑟𝑛−1(𝑧) = 𝑧𝑟𝑛(𝑧). Tenemos también que 𝑟0(𝑧) = 0 = 𝑞0(𝑧), 𝑟1(𝑧) = 𝑞1(𝑧). Por tanto, 𝑟𝑛(𝑧)y𝑞𝑛(𝑧)cumplen la misma relación de recurrencia (4.14) con misma condición inicial, es decir, 𝑟𝑛(𝑧)≡𝑞𝑛(𝑧) para todo 𝑛∈ℕ0. Gracias a que conocemos la expresión de 𝑝𝑛(𝑧)en función de los momentos 𝑠𝑛y la expresión de 𝑞𝑛(𝑧)en función de 𝑝𝑛(𝑧)tendremos el siguiente corolario Corolario 4.25. Sea 𝑞𝑛,𝑘(𝑧) = ∑𝑘−𝑙 𝑙=0 𝑠𝑘−𝑙−1𝑧𝑙, 𝑞𝑛,0= 0. Entonces 𝑞𝑛(𝑧) = 1 √𝐷𝑛−1𝐷𝑛 |||||||||||||| 𝑠0𝑠1𝑠2…𝑠𝑛 𝑠1𝑠2𝑠3…𝑠𝑛+1 𝑠2𝑠3𝑠4…𝑠𝑛+2 … … … … … 𝑠𝑛−1 𝑠𝑛𝑠𝑛+1 …𝑠2𝑛−1 𝑞𝑛,0(𝑧)𝑞𝑛,1(𝑧)𝑞𝑛,2(𝑧) … 𝑞𝑛,𝑛(𝑧) |||||||||||||| con 𝑛∈ℕy𝑧∈ℂ.(4.18) 52 Capítulo 4. Polinomios ortogonales y operadores de Jacobi La siguiente proposición precisa de la función 𝑓𝑧y la transformación 𝐼𝜇descritas en el anexo A.2. Proposición 4.26. Si tenemos 𝜇∈𝑠y𝑧∈ℂ⧵ℝ, entonces ⟨𝑓𝑧, 𝑝𝑛⟩𝐿2(ℝ,𝜇)=𝑞𝑛(𝑧) + 𝐼𝜇(𝑧)𝑝𝑛(𝑧),(4.19) ‖𝔮𝑧+𝐼𝜇(𝑧)𝔭𝑧‖2= ∞ ∑ 𝑛=0 |𝑞𝑛(𝑧) + 𝐼𝜇(𝑧)𝑝𝑛(𝑧)|2≤Im 𝐼𝜇(𝑧) Im(z) .(4.20) En particular, 𝔮𝑧+𝐼𝜇(𝑧)𝔭𝑧∈𝑙2(ℕ0). Es más, tendremos la igualdad si y solo si 𝑓𝑧∈𝑠. Demostración. Tenemos que claramente 𝑓𝑧∈𝐿2(ℝ, 𝜇). Entonces ⟨𝑓𝑧, 𝑝𝑛⟩𝐿2(ℝ,𝜇)=∫ℝ 𝑝𝑛(𝑥) − 𝑝𝑛(𝑧) 𝑥−𝑧𝑑𝜇(𝑥) + ∫ℝ 𝑝𝑛(𝑧) 𝑥−𝑧𝑑𝜇(𝑥) =𝐿𝑠,𝑥 (𝑝𝑛(𝑥) − 𝑝𝑛(𝑧) 𝑥−𝑧)+𝑝𝑛(𝑧)𝐼𝜇(𝑧) = 𝑞𝑛(𝑧) + 𝑝𝑛(𝑧)𝐼𝜇(𝑧). Como (ℂ[𝑥],⟨., .⟩𝑠)es un subespacio de 𝐿2(ℝ, 𝜇), entonces (𝑝𝑛)𝑛∈ℕ0es un sistema ortonormal en 𝐿2(ℝ, 𝜇); por tanto, (4.20) se deduce de la desigualdad de Bessel, ya que los ⟨𝑓𝑧, 𝑝𝑛⟩𝐿2(ℝ,𝜇)son los coeficientes de Fourier en 𝐿2(ℝ, 𝜇). De aquí se deduce también la conclusión sobre la igualdad. La norma al cuadrado de 𝑓𝑧sería ‖𝑓𝑧‖2 𝐿2(ℝ,𝜇)=∫1 |𝑥−𝑧|2𝑑𝜇(𝑥) = ∫1 𝑧−𝑧(1 𝑥−𝑧−1 𝑥−𝑧)𝑑𝜇(𝑥) = Im 𝐼𝜇(𝑧) Im(z) . Corolario 4.27. 𝔭𝑧∈𝑙2(ℕ0)si y solo si 𝔮𝑧∈𝑙2(ℕ0)con 𝑧∈ℂ⧵ℝ. 4.5 Algunas identidades útiles Sean 𝛾= (𝛾𝑛)𝑛∈ℕ0, 𝛽 = (𝛽𝑛)𝑛∈ℕ0, 𝑎 = (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ0sucesiones complejas. Definimos entonces una nueva sucesión que denominamos Wronskiano, dada por 𝑊(𝛾, 𝛽)=(𝑊(𝛾, 𝛽)𝑛)𝑛∈ℕ0con 𝑊(𝛾, 𝛽)𝑛=𝑎𝑛(𝛾𝑛+1𝛽𝑛−𝛾𝑛𝛽𝑛+1), 𝑛 ∈ℕ0.(4.21) Sea ahora la aplicación definida por (4.13), es decir, (𝛾)𝑛=𝑎𝑛𝛾𝑛+1 +𝑏𝑛𝛾𝑛+𝑎𝑛−1𝛾𝑛−1 con 𝑛∈ℕ0y𝛾−1 = 0. Vamos a probar el lema fundamental de esta sección, que sirve de base para demostrar el resto de resultados. 4.5. Algunas identidades útiles 53 Lema 4.28. Sean 𝛾= (𝛾𝑛)𝑛∈ℕ0, 𝛽 = (𝛽𝑛)𝑛∈ℕ0sucesiones complejas y sean 𝑥, 𝑧 ∈ℂ. Entonces 𝑛 ∑ 𝑘=0 ((𝛾)𝑘𝛽𝑘−𝛾𝑘(𝛽)𝑘) = 𝑊(𝛾, 𝛽)𝑛, 𝑛 ∈ℕ0.(4.22) Sean ahora 𝑚, 𝑛 ∈ℕ0, 𝑛 > 𝑚. Si (𝛾)𝑘=𝑥𝛾𝑘y(𝛽)𝑘=𝑧𝛽𝑘para 𝑘∈ {𝑚+ 1, ..., 𝑛}, entonces (𝑥−𝑧) 𝑛 ∑ 𝑘=𝑚+1 𝛾𝑘𝛽𝑘=𝑊(𝛾, 𝛽)𝑛−𝑊(𝛾, 𝛽)𝑚.(4.23) En particular, si 𝑥=𝑧, 𝑊(𝛾, 𝛽)𝑛=𝑊(𝛾, 𝛽)𝑚.(4.24) Demostración. Notamos que 𝑛 ∑ 𝑘=0 ((𝛾)𝑘𝛽𝑘−𝛾𝑘(𝛽)𝑘)=(𝑎0𝛾1+𝑏0𝛾0)𝛽0−𝛾0(𝑎0𝛽1+𝑏0𝛽0) + 𝑛 ∑ 𝑘=1 [(𝑎𝑘𝛾𝑘+1 +𝑏𝑘𝛾𝑘+𝑎𝑘−1𝛾𝑘−1)𝛽𝑘−𝛾𝑘(𝑎𝑘𝛽𝑘+1 +𝑏𝑘𝛽𝑘+𝑎𝑘−1𝛽𝑘−1)] =𝑎0(𝛾1𝛽0−𝛾0𝛽1) + 𝑛 ∑ 𝑘=1 [𝑎𝑘(𝛾𝑘+1𝛽𝑘−𝛾𝑘𝛽𝑘+1) − 𝑎𝑘−1(𝛾𝑘𝛽𝑘−1 −𝛾𝑘−1𝛽𝑘)] =𝑊(𝛾, 𝛽)0+ 𝑛 ∑ 𝑘=1 [𝑊(𝛾, 𝛽)𝑘−𝑊(𝛾, 𝛽)𝑘−1] = 𝑊(𝛾, 𝛽)𝑛. El resto del lema se deduce directamente a partir de esta última igualdad. Como aplicación directa del lema, se deducen las siguientes identidades: Proposición 4.29. Dados 𝑥, 𝑧 ∈ℂ, 𝑛 ∈ℕ0, entonces 𝐴𝑛(𝑥, 𝑧)=(𝑥−𝑧) 𝑛 ∑ 𝑘=0 𝑞𝑘(𝑥)𝑞𝑘(𝑧) = 𝑎𝑛(𝑞𝑛+1(𝑥)𝑞𝑛(𝑧) − 𝑞𝑛(𝑥)𝑞𝑛+1(𝑧)),(4.25) 𝐵𝑛(𝑥, 𝑧) = −1 + (𝑥−𝑧) 𝑛 ∑ 𝑘=0 𝑝𝑘(𝑥)𝑞𝑘(𝑧) = 𝑎𝑛(𝑝𝑛+1(𝑥)𝑞𝑛(𝑧) − 𝑝𝑛(𝑥)𝑞𝑛+1(𝑧)),(4.26) 𝐶𝑛(𝑥, 𝑧) = 1 + (𝑥−𝑧) 𝑛 ∑ 𝑘=0 𝑞𝑘(𝑥)𝑝𝑘(𝑧) = 𝑎𝑛(𝑞𝑛+1(𝑥)𝑝𝑛(𝑧) − 𝑞𝑛(𝑥)𝑝𝑛+1(𝑧)),(4.27) 𝐷𝑛(𝑥, 𝑧)=(𝑥−𝑧) 𝑛 ∑ 𝑘=0 𝑝𝑘(𝑥)𝑝𝑘(𝑧) = 𝑎𝑛(𝑝𝑛+1(𝑥)𝑝𝑛(𝑧) − 𝑝𝑛(𝑥)𝑝𝑛+1(𝑧)).(4.28) Esta última se conoce como fórmula de Christoffel-Darboux. Demostración. Una prueba puede encontrarse en [2,Proposición 5.24, página 109] 60 Capítulo 5. Aplicación de la teoría de operadores al problema de los momentos Supongamos ahora que 𝑋es esencialmente autoadjunto. Dado 𝑧∈ℂ⧵ℝ, como 𝑋es esencialmente autoadjunto, (𝑥−𝑧𝐼)ℂ[𝑥]es denso en 𝑠(pues sus índices de deficiencia, 𝑑±(𝑇) = dim (𝑇−𝜆𝐼)⟂son 0) y por tanto existe (𝑟𝑛(𝑥))𝑛en ℂ[𝑥]cumpliendo l ım 𝑛→∞(𝑥−𝑧)𝑟𝑛(𝑥)=1. Si ahora 𝜇es una medida representante de 𝑠, esta es finita y la función acotada 𝑓𝑧está en 𝐿2(ℝ, 𝜇) ∩ 𝐿1(ℝ, 𝜇). Tendremos entonces |𝐼𝜇(𝑧) − 𝐿𝑠(𝑟𝑛)|2=||||∫𝑅 (𝑥−𝑧)−1𝑑𝜇(𝑥) − ∫𝑅 𝑟𝑛(𝑥)𝑑𝜇(𝑥)|||| 2 ≤(∫𝑅|(𝑥−𝑧)−1 −𝑟𝑛(𝑥)|𝑑𝜇(𝑥))2 ≤‖1‖2 𝐿2(ℝ,𝜇)∫ℝ|(𝑥−𝑧)−1 −𝑟𝑛(𝑥)|2𝑑𝜇(𝑥) =𝑠2 0∫ℝ|𝑥−𝑧|−2|1−(𝑥−𝑧)𝑟𝑛(𝑥)|2𝑑𝜇(𝑥) ≤𝑠2 0 |Im(z) |2∫ℝ|1−(𝑥−𝑧)𝑟𝑛(𝑥)|2𝑑𝜇(𝑥) =𝑠2 0 |Im(z) |2‖1−(𝑥−𝑧)𝑟𝑛(𝑥)‖2 𝑠 𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 0. Por tanto, 𝐼𝜇(𝑧)=l ım𝑛𝐿𝑠(𝑟𝑛)no depende de la medida representante elegida, luego, por la fórmula de Stieltjes-Perron A.26, la medida 𝜇está unívocamente determinada por 𝑠, es decir, el problema está determinado. Además, por las desigualdades anteriores, tenemos que para2𝑧∈ℂ⧵ℝ,𝑓𝑧está en la clausura de ℂ[𝑥]en 𝐿2(ℝ, 𝜇), y como el subespacio generado por estas funciones es denso por el lema anterior 5.6, entonces también lo será ℂ[𝑥]. Corolario 5.8. Si 𝜇∈+(ℝ), la sucesión de momentos de 𝜇está determinada si y solo si ℂ[𝑥]es denso en 𝐿2(ℝ,(1 + 𝑥2)𝑑𝜇). Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que 𝑠es definida positiva, ya que, en otro caso, 𝜇tendrá soporte compacto, luego ℂ[𝑥]será denso en 𝐿2(ℝ, 𝜇)y 𝑠será determinada por el corolario 3.27. Sabemos ahora, por el teorema anterior 5.7, que 𝑠está determinada si y solo si 𝑋es esencialmente autoadjunto, o equivalentemente (𝑥±𝑖)ℂ[𝑥]es denso en 𝑠. Recordando que 𝑠⊆ 𝐿2(ℝ, 𝜇)y que 𝑠≅𝐿2(ℝ, 𝜇)si 𝑠 es determinada, de nuevo por el teorema 5.7, entonces 𝑠es determinada si y solo si (𝑥± 𝑖)ℂ[𝑥]es denso en 𝐿2(ℝ, 𝜇). Queremos probar que esta última afirmación es equivalente a que ℂ[𝑥]sea denso en 𝐿2(ℝ,(1 + 𝑥2)𝑑𝜇). Supongamos que (𝑥±𝑖)ℂ[𝑥]es denso en 𝐿2(ℝ, 𝜇). Bastará con ver que ℂ[𝑥]⟂= {0}. Sea 𝑓∈ℂ[𝑥]⟂y sea 𝑝∈ℂ[𝑥]arbitrario, 2Recordemos que la función 𝑓𝑧es la definida en el anexo A.2. 5.3. Criterios de determinación basados en el operador de Jacobi 61 entonces 0 = ⟨𝑓, 𝑝⟩𝐿2(ℝ,(1+𝑥2)𝑑𝜇)=∫ℝ 𝑓(𝑥)𝑝(𝑥)(1 + 𝑥2)𝑑𝜇 =∫ℝ [(𝑥−𝑖)𝑓(𝑥)][(𝑥+𝑖)𝑝(𝑥)]𝑑𝜇 =⟨(𝑥−𝑖)𝑓(𝑥),(𝑥−𝑖)𝑝(𝑥)⟩𝐿2(ℝ,𝜇). Entonces, por la densidad de ℂ[𝑥]en 𝑠, tenemos que (𝑥−𝑖)𝑓(𝑥)=0en 𝐿2(ℝ, 𝜇)y usando que (𝑥−𝑖)≠0para todo 𝑥∈ℝ, se obtiene que 𝑓(𝑥)=0en 𝐿2(ℝ, 𝜇)como queríamos probar. La otra implicación es análoga. Corolario 5.9. Si existen 𝑧0∈ℂ⧵ℝy una sucesión (𝑟𝑛(𝑥))𝑛∈ℕ, 𝑟𝑛∈ℂ[𝑥]tales que l ım 𝑛→∞(𝑥−𝑧0)𝑟𝑛(𝑥)=1en 𝑠, entonces el problema de los momentos está determinado. Demostración. Fijado 𝑝∈ℂ[𝑥], como 𝑧0es un cero de 𝑝(𝑥) − 𝑝(𝑧0)entonces se cumple que 𝑝(𝑥) − 𝑝(𝑧0) = 𝑞(𝑥)(𝑥−𝑧0), luego (𝑥−𝑧0)(𝑞+𝑝(𝑧0)𝑟𝑛) = 𝑝−𝑝(𝑧0) + 𝑝(𝑧0)(𝑥−𝑧0)𝑟𝑛 𝑛→∞ ←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 𝑝−𝑝(𝑧0) + 𝑝(𝑧0) = 𝑝. Por tanto, como ℂ[𝑥]es denso en 𝑠entonces (𝑋−𝑧0𝐼)ℂ[𝑥]es denso en 𝑠. Como además sabemos que 𝑋tiene índices de deficiencia iguales, entonces 𝑋es esencialmente autoadjunto y por tanto 𝑠está determinado. Teorema 5.10. Sea 𝜇∈𝑠, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. 𝜇es una solución de von Neumann. 2. 𝑓𝑧está en la clausura de ℂ[𝑥]en 𝐿2(ℝ, 𝜇),∀𝑧∈ℂ⧵ℝ. 3. 𝑓𝑧0está en la clausura de ℂ[𝑥]en 𝐿2(ℝ, 𝜇)para algún 𝑧0∈ℂ⧵ℝ. Demostración. La implicación 1→2se tiene porque ℂ[𝑥]es denso en 𝐿2(ℝ, 𝜇), luego 𝑓𝑧está en su clausura. La implicación 2→3es directa. Resta probar que 3→1. Sea 𝑏= Im(𝑧0)yla clausura de ℂ[𝑥]en 𝐿2(ℝ, 𝜇). Suponemos que 𝑓𝑧0∈. Por inducción se prueba que 𝑓𝑘 𝑧0∈,∀𝑘∈ℕ. Esto implica además que 𝑓𝑘 𝑧0∈. Sabemos por el lema 5.6 que el subespacio lineal generado por dichas funciones es denso en 𝐿2(ℝ, 𝜇). Por tanto, como este subespacio lineal está contenido en , que era la clausura de ℂ[𝑥], se sigue que ℂ[𝑥]es denso y, por tanto, que 𝜇es una solución de von Neumann. 5.3 Criterios de determinación basados en el operador de Jacobi Comenzamos incluyendo un lema que será necesario más adelante. 62 Capítulo 5. Aplicación de la teoría de operadores al problema de los momentos Lema 5.11. Sean 𝑐= (𝑐𝑛)𝑛, 𝜑 = (𝜑𝑛)𝑛, 𝜓 = (𝜓𝑛)𝑛, 𝜂 = (𝜂𝑛)𝑛, 𝜁 = (𝜁𝑛)𝑛∈𝑙2(ℕ0). Si 𝑓= (𝑓𝑛)𝑛∈ℕ0es una sucesión compleja cumpliendo 𝑓𝑛+1 =𝑐𝑛+𝜑𝑛 𝑛 ∑ 𝑘=0 𝜂𝑘𝑓𝑘+𝜓𝑘 𝑛 ∑ 𝑘=0 𝜁𝑘𝑓𝑘, 𝑛 ∈ℕ0,(5.5) entonces 𝑓∈𝑙2(ℕ0). Demostración. Una prueba puede encontrarse en [2,Lema 6.15, página 129] Teorema 5.12. Para cualquier sucesión 𝑠definida positiva las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. El problema de los momentos para 𝑠está indeterminado. 2. El operador de Jacobi 𝑇no es esencialmente autoadjunto. 3. 𝔭𝑧∈𝑙2(ℕ0)para algún (equivalentemente para todo) 𝑧∈ℂ⧵ℝ. 4. 𝔮𝑧∈𝑙2(ℕ0)para algún (equivalentemente para todo) 𝑧∈ℂ⧵ℝ. 5. 𝔭𝑧,𝔮𝑧∈𝑙2(ℕ0)para algún (equivalentemente para todo) 𝑧∈ℝ. 6. 𝔭𝑧,𝔮𝑧∈𝑙2(ℕ0)para algún (equivalentemente para todo) 𝑧∈ℂ. Demostración. Varias implicaciones serán directas. Así, 1↔2, por el teorema 5.7,2↔ 3por el corolario 4.35 y3↔4, por el corolario 4.27. Además 6→4y6→5son inmediatas. Para las restantes, basta probar que, si 𝔭𝑧0,𝔮𝑧0∈𝑙2(ℕ0)para algún 𝑧0∈ℂ, entonces 𝔭𝑧,𝔮𝑧∈𝑙2(ℕ0)para todo 𝑧∈ℂ. Supongamos que 𝔭𝑧0,𝔮𝑧0∈𝑙2(ℕ0)y fijemos 𝑧∈ℂ. Tomamos ahora 𝑐𝑛=𝑝𝑛+1(𝑧), 𝜑𝑛= (𝑥−𝑧)𝑞𝑛+1(𝑧), 𝜓𝑛= (𝑧−𝑥)𝑝𝑛+1(𝑧), 𝜂𝑛=𝑝𝑛(𝑧), 𝜁𝑛=𝑞𝑛(𝑧).(5.6) Entonces todas las sucesiones en (5.6) están en 𝑙2(ℕ0)y usando la primera identidad del corolario 4.31 obtenemos una relación del tipo (5.5), luego, por el lema anterior 5.11, 𝔭𝑧∈𝑙2(ℕ0). Si usamos la segunda identidad del corolario 4.31, se obtiene de manera análoga que 𝔮𝑧∈𝑙2(ℕ0). Corolario 5.13. Si 𝑠es una sucesión de momentos indeterminada, entonces para todo 𝑧∈ℂlas sucesiones 𝔭𝑧,𝔮𝑧∈(𝑇∗)y 𝑇∗𝔭𝑧=𝔭𝑧, 𝑇 ∗𝔮𝑧=𝑠1∕2 0𝑒0+𝑧𝔮𝑧. Corolario 5.14. Si ∑∞ 𝑛=0 𝑎−1 𝑛= ∞, entonces el operador de Jacobi 𝑇es esencialmente autoadjunto y el problema de los momentos es determinado. Demostración. Si asumimos que 𝑇no es esencialmente autoadjunto, entonces se cumple que 𝔭𝑧,𝔮𝑧∈𝑙2(ℕ0), 𝑧 ∈ℂ⧵ℝ. Por tanto, 𝑎−1 𝑛=𝑝𝑛(𝑧)𝑞𝑛+1(𝑧) − 𝑝𝑛+1(𝑧)𝑞𝑛(𝑧)⇒ ∞ ∑ 𝑛=1 𝑎−1 𝑛≤2‖𝔭𝑧‖𝑙2(ℕ0)‖𝔮𝑧‖𝑙2(ℕ0)<∞, lo que es una contradicción. 5.4. Extensiones autoadjuntas del operador de Jacobi 63 Teorema 5.15 (Teorema de Carleman). Sea 𝑠una sucesión definida positiva que cumple la llamada condición de Carleman: ∞ ∑ 𝑛=1 1∕ 2𝑛 √𝑠2𝑛= +∞. Entonces 𝑠es una sucesión de momentos de Hamburger determinada. Demostración. Si 𝑠0>0y(𝑠𝑛)𝑛cumple la condición de Carleman entonces también lo hará (𝑠𝑛𝑠−1 0), luego, sin pérdida de generalidad, asumiremos que 𝑠0= 1. Como además sabemos3que el coeficiente líder de 𝑝𝑛es (𝑎0...𝑎𝑛−1)−1 y como ⟨𝑥𝑘, 𝑝𝑛⟩= 0,0≤𝑘<𝑛, tenemos que ⟨(𝑎0...𝑎𝑛−1)−1𝑥𝑛, 𝑝𝑛⟩=⟨𝑝𝑛, 𝑝𝑛⟩= 1. Ahora, por la desigualdad de Cacuhy-Schwarz tenemos que 1≤(𝑎0...𝑎𝑛−1)−2𝑠2𝑛, es decir, 1∕ 2𝑛 √𝑠2𝑛≤(𝑎0...𝑎𝑛−1)−1∕𝑛, 𝑛 ∈ℕ. Usando la fórmula de Stirling4, se sigue que (1∕𝑛!)1∕𝑛≤𝑒∕𝑛. Usando lo anterior y la desigualdad aritmético-geométrica5entonces (1 𝑎0 ... 1 𝑎𝑛−1 )1∕𝑛 =(1 𝑛!)1∕𝑛(1 𝑎1 ... 𝑛 𝑎𝑛−1 )1∕𝑛≤𝑒 𝑛2 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝑘 𝑎𝑘−1 . Si fijamos ahora 𝑁∈ℕy tomamos 𝑘>𝑁, obtenemos 𝑁 ∑ 𝑛=𝑘 𝑘 𝑛2≤𝑁 ∑ 𝑛=𝑘 2𝑘 𝑛(𝑛+ 1) ≤2𝑘 𝑁 ∑ 𝑛=𝑘(1 𝑘−1 𝑁+ 1)<2. Todo lo anterior nos conduce a 𝑁 ∑ 𝑛=1 1∕ 2𝑛 √𝑠2𝑛≤𝑁 ∑ 𝑛=1 𝑒 𝑛2 𝑛 ∑ 𝑘=1 𝑘 𝑎𝑘−1 = 𝑁 ∑ 𝑘=1 𝑁 ∑ 𝑛=𝑘 𝑒 𝑛2 𝑘 𝑎𝑘−1 ≤𝑁 ∑ 𝑘=1 𝑒 𝑎𝑘−1 𝑁 ∑ 𝑛=𝑘 𝑘 𝑛2≤2𝑒 𝑁−1 ∑ 𝑘=0 1 𝑎𝑘 . Entonces, como se cumple la condición de Carleman, ∑∞ 𝑛=0 𝑎−1 𝑛= ∞ y𝑠está determinada. 5.4 Extensiones autoadjuntas del operador de Jacobi Habiendo estudiado la existencia y determinación del problema, resta responder una última cuestión: Qué forma tienen las soluciones cuando el problema no es determinado. 3Se deduce directamente de la relación de recurrencia (4.6). 4Ver [5, página 45]. 5La desigualdad aritmético-geométrica usada es:𝑥1+... +𝑥𝑛 𝑛≥𝑛 √𝑥1...𝑥𝑛con 𝑥1, ..., 𝑥𝑛∈ℝ+. 64 Capítulo 5. Aplicación de la teoría de operadores al problema de los momentos Dada 𝑠una sucesión de momentos de Hamburger indeterminada, vamos a estudiar la forma de sus extensiones autoadjuntas. Recordemos que para todo 𝑧∈ℂ, las sucesiones 𝔭𝑧,𝔮𝑧∈(𝑇∗)satisfacen 𝑇∗𝔭𝑧=𝑧𝔭𝑧y𝑇∗𝔮𝑧=𝑠1∕2 0𝑒0+𝑧𝔮𝑧. En particular, 𝑇∗𝔭0= 0, 𝑇 ∗𝔮0=𝑠1∕2 0𝑒0con 𝑝0(𝑧) = 𝑠−1 2 0y𝑞0(𝑧)=0. Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que 𝔭=𝑠1∕2 0𝔭0,𝔮=𝑠−1 2 0𝔮0, luego 𝑇∗𝔭= 0, 𝑇 ∗𝔮=𝑒0con 𝔭= (1, ...)y𝔮= (0, ...). Lema 5.16. (𝑇∗) = (𝑇)⊕ℂ𝔮0⊕ℂ𝔭0. Demostración. Es inmediato que (𝑇)⊕ℂ𝔮0⊕ℂ𝔭0=(𝑇)⊕ℂ𝔮⊕ℂ𝔭⊆(𝑇∗), así que veamos la inclusión contraria. Tenemos que ⟨𝑇∗(𝜑+𝑐0𝔮+𝑐1𝔭), 𝜓 +𝑑0𝔮+𝑑1𝔭⟩−⟨𝜑+𝑐0𝔮+𝑐1𝔭, 𝑇 ∗(𝜓+𝑑0𝔮+𝑑1𝔭)⟩=𝑐0𝑑1+𝑐1𝑑0, para 𝜑, 𝜓 ∈(𝑇)y𝑐0, 𝑐1, 𝑑0, 𝑑1∈ℂarbitrarios. Como 𝑇tiene índices de deficiencia (1,1), entonces dim (𝑇∗)∕(𝑇)=2y será suficiente probar que 𝔮,𝔭son linealmente independientes módulo (𝑇). Si 𝑐0𝔮+𝑐1𝔭∈(𝑇), entonces ⟨𝑇∗(𝑐0𝔮+𝑐1𝔭), 𝑑0𝔮+𝑑1𝔭⟩=⟨𝑐0𝔮+𝑐1𝔭, 𝑇 ∗(𝑑0𝔮+𝑑1𝔭)⟩⇒𝑐0𝑑1+𝑐1𝑑0= 0. Como 𝑑0, 𝑑1∈ℂson arbitrarios, entonces 𝑐0=𝑐1= 0, luego 𝔮,𝔭son6linealmente independientes módulo (𝑇). Teorema 5.17. Las extensiones autoadjuntas de un operador de Jacobi 𝑇en 𝑠≅𝑙2(ℕ0) son los operadores de la forma 𝑇𝑡=𝑇∗↾(𝑇𝑡), 𝑡 ∈ℝ∪ {∞} donde (𝑇𝑡) = (𝑇)⊕ℂ(𝔮0+𝑡𝔭0)con 𝑡∈ℝ,y(𝑇∞) = (𝑇)⊕ℂ𝔭0. Demostración. Consideramos 𝐴una extensión autoadjunta de 𝑇en 𝑠, entonces, como 𝑇 ⊆ 𝐴, tenemos que 𝐴∗⊆ 𝑇 ∗, lo que implica que 𝐴está definido por su dominio (𝐴). Como teníamos que dim (𝑇∗)∕(𝑇)=2,dim (𝐴)∕(𝑇)=1y sabemos que existirá un único 𝜂∈(𝐴)(salvo multiplicación por escalar) tal que 𝜂∉(𝑇). Por el lema anterior 5.16,𝜂=𝑐0𝔮0+𝑐1𝔭0∈(𝐴); es más, tendremos que 𝜂=𝑠0𝔮+𝑡𝔭, 𝑡 ∈ℂ o𝜂=𝔭. Veamos el caso 𝜂=𝑠0𝔮+𝑡𝔭. Sean 𝑐0, 𝑑0, 𝑑1∈ℂ, 𝜑, 𝜓 ∈(𝑇). Se tiene que ⟨𝐴(𝜑+𝑐0𝜂), 𝜓 +𝑑0𝔮+𝑑1𝔭⟩−⟨𝜑+𝑐0𝜂, 𝑇 ∗(𝜓+𝑑0𝔮+𝑑1𝔭)⟩=𝑐0(𝑠0𝑑1−𝑑0).(5.7) 6Ser linealmente independientes módulo (𝑇)es ser linealmente independientes en el cociente (𝑇∗)∕(𝑇). 5.4. Extensiones autoadjuntas del operador de Jacobi 65 Si ahora tomamos 0≠𝜈=𝑑0𝔮+𝑑1𝔭∈(𝐴), entonces 𝜈=𝜆𝜂, 𝜆 ∈ℂ, de donde se deduce que 𝑐0(𝑠0𝑑1−𝑑0) = 𝑐0𝑠0𝑑0(𝑡−𝑡). Por tanto, 𝐴será simétrico si y solo si 𝑡∈ℝ. Además, como 𝜂=𝑠0𝔮+𝑡𝔭=𝑠1∕2 0(𝔮0+𝑡𝔭0) ∈ 𝔻(𝐴), entonces 𝐴=𝑇𝑡. Para el caso restante, se obtiene la expresión ⟨𝐴(𝜑+𝑐1𝜂), 𝜓 +𝑑0𝔮+𝑑1𝔭⟩−⟨𝜑+𝑐1𝜂, 𝑇 ∗(𝜓+𝑑0𝔮+𝑑1𝔭)⟩=𝑐1𝑑0,(5.8) y, de manera análoga, se obtiene que 𝐴=𝑇∞y es simétrico. Tenemos entonces que los operadores 𝑇𝑡, 𝑡 ∈ℝ∪ {∞} son simétricos. Queda por probar que los operadores 𝑇𝑡son además autoadjuntos. Supongamos que 𝐴=𝑇𝑡no es autoadjunto. Entonces 𝑇 ⊆ 𝑇 ⊆ 𝐴 ⊆ 𝐴∗⊆ 𝑇 ∗, con 𝐴≠𝐴∗, luego dim (𝑇∗)∕(𝐴)=1 (ya que dim (𝑇∗)∕(𝑇)=2) y, por tanto, 𝐴∗=𝑇∗. Así, obtenemos ⟨𝐴(𝜑+𝑐0𝜂), 𝜓 +𝑑0𝔮+𝑑1𝔭⟩=⟨𝜑+𝑐0𝜂, 𝑇 ∗(𝜓+𝑑0𝔮+𝑑1𝔭)⟩, ⟨𝐴(𝜑+𝑐1𝜂), 𝜓 +𝑑0𝔮+𝑑1𝔭⟩=⟨𝜑+𝑐1𝜂, 𝑇 ∗(𝜓+𝑑0𝔮+𝑑1𝔭)⟩. Por tanto, se tiene que los lados derechos de la igualdades (5.7)y(5.8) se anulan con 𝑐0, 𝑐1, 𝑑0, 𝑑1∈ℂarbitrarios, lo cual es una contradicción, es decir, necesariamente los operadores 𝑇𝑡son autoadjuntos. 66 Capítulo 5. Aplicación de la teoría de operadores al problema de los momentos 6 Conclusiones En este trabajo hemos estudiado el problema de los momentos de Hamburger, que, dada una sucesión real 𝑠= (𝑠𝑛)𝑛, nos planteaba dos preguntas: ¿Cuándo existe un medida de Radon 𝜇tal que 𝑠𝑛=∫ℝ𝑥𝑛𝑑𝜇(𝑥)? ¿Es dicha medida única? A lo largo del estudio del problema de los momentos, se ha conseguido responder satisfactoriamente a dichas preguntas. Además, en el transcurso del estudio, se han estudiado resultados que poseen gran relevancia por si mismos. En el capítulo 1, se ha estudiado el problema de la extensión autoadjunta de un operador, obteniendo resultados que caracterizan la existencia de dichas extensiones. Dada la importancia de los operadores autoadjuntos dentro del análisis funcional este resultado es de gran relevancia, puesto que permite utilizar toda la teoría desarrollada alrededor de estos operadores. Por otro lado, se ha visto también uno de los de los resultados centrales de la teoría de operadores, el Teorema de representación espectral. Este se ha probado en el capitulo 2, y muestra la conexión entre la teoría de operadores y la teoría de la medida, permitiéndonos representar los operadores autoadjuntos a través de sus medidas espectrales. Este resultado es clave para trabajar con este tipo de operadores. Aunque de forma breve, también hemos trabajado el problema de los momentos desde un enfoque algebraico en el capítulo 3. De esta forma, estudiando las sucesiones reales como funciones en ∗ −álgebras, podemos relacionarlas biunívocamente con operadores lineales, dando un primer paso en la resolución del problema de los momentos. Además, llama la atención la interconexión entre distintas áreas de las matemáticas, ya que el hecho de usar el álgebra aporta herramientas que facilitan drásticamente el estudio. En el capítulo 4, se han introducido los polinomios ortogonales y los operadores de Jacobi, íntimamente relacionados entre ellos. Estos dos entes matemáticos, sobre todo los polinomios ortogonales, son un tópico muy estudiado en diversos problemas de las matemáticas, que en este caso aportan principalmente resultados sobre la determinación del problema de los momentos. Finalmente, en el capítulo 5, se ha dado respuesta a las dos preguntas que se plantearon en un inicio, aportando resultados sobre la existencia y unicidad del problema. De entre las numerosas formas de estudiar el problema de los momentos, esta, a través del análisis funcional y más concretamente de la teoría de operadores, es considerada por 67 68 Capítulo 6. Conclusiones varios autores como una de las formas más elegantes para realizar este estudio, además de una de las más cortas. Merece la pena mencionar que el final de este trabajo no hace sino abrir las puertas a otros problemas interesantes relacionados con el problema de los momentos: Generalizaciones del problema de los momentos real unidimensional. La continuación directa de este estudio podría abordar, bien el problema de los momentos en sucesiones generalizadas, o bien el problema de los momentos para sucesiones complejas, ambos problemas estudiados también en [2]. Otros resultados relevantes para el problema de los momentos. Se quedan en el tintero diversos resultados interesantes, como puede ser el Teorema de Markov, que relaciona el problema de los momentos con las fracciones continuas. Este puede encontrase, por ejemplo, en [2, Secciones 6.6y6.7]. Aplicaciones del problema de los momentos. Podría ser también interesante rescatar algunas aplicaciones del problema de los momentos, como por ejemplo su aplicación en el área de la estadística donde los resultados vistos pueden ser usados para estudiar cuando una distribución de probabilidad queda unívocamente determinada por sus momentos. Extensiones de los estudios hechos a lo largo del trabajo. Muchos de los resultados estudiados a lo largo del trabajo, que en este caso han sido herramientas para estudiar el problema de los momentos, tienen mucha importancia por si mismos, luego cualquier estudio que los tome como base resultará altamente interesante. Destacan, en este sentido, los estudios realizados en capítulos 1y2, puesto que, como ya se ha mencionado, la teoría de operadores autoadjuntos y representación de operadores son tópicos centrales en el análisis funcional. A Anexo A.1 Definiciones y resultados preliminares A continuación, por completitud, se exponen algunas definiciones y resultados necesarios para la comprensión del trabajo. Los resultados aquí enunciados se han extraido principalmente de [1]. Definición A.1. Dado un operador lineal T, se denota por (𝑇)a su dominio, por (𝑇) a la imagen de este y por (𝑇)a su núcleo. Estos serán subespacios lineales. Definición A.2. Llamamos d-núcleo de 𝑇a un subespacio lineal de (𝑇)si es denso en ((𝑇),‖.‖𝑇)y permite definir el operador por densidad en (𝑇). Observación A.3. Se usará en numerosas ocasiones el término "operador densamente definido", lo cual implica que existe un d-núcleo que permite definir nuestro operador en su dominio por densidad. Definición A.4. A la restricción de 𝑇a un subespacio de su dominio ⊆(𝑇)la denotamos 𝑇↾. Definición A.5. Se dice que un operador 𝑇es una extensión de 𝑆y se escribe 𝑆 ⊆ 𝑇 si (𝑆)⊆(𝑇)y𝑆𝑥 =𝑇 𝑥, ∀𝑥∈(𝑆). Proposición A.6. Sea 𝑇un operador lineal y continuo de un espacio normado a uno de Banach. Entonces podemos extender 𝑇a la clausura de su dominio de forma que preserva la lineal y continuidad. Es más, conservará la norma. Observación A.7. Otro resultado directo sobre extensiones nos dice que si tenemos un operador 𝑇con dominio maximal (el dominio más grande donde está bien definido), entonces necesariamente cualquier extensión suya es el mismo. Definición A.8. Si (𝑇) = {0}, entonces el operador inverso 𝑇−1 es el operador definido por (𝑇−1) = (𝑇)y𝑇−1(𝑇(𝑥)) = 𝑥, ∀𝑥∈(𝑇). Definición A.9. Definimos el resolvente de 𝑇, operador lineal cerrado, 𝜌(𝑇)como el conjunto de puntos tal que 𝑇−𝜆𝐼 tiene inversa acotada en y el espectro de 𝑇como 𝜎(𝑇) = ℂ⧵𝜌(𝑇). Definición A.10. Un operador se llama cerrado si su grafo es cerrado, y será clausurable si existe una extensión cerrada. 69