Opusculo sobre probabilidades con aplicacion á algunos juegos de suerte

OPUSCULO SOBRE PROBABILIDADES, CON APLICACION Á ALGUNOS JUEGOS DE SUERTE, " GOMPUESTO CON LICENCIA : MADRID IMPRENTA DE D, EUSEBIO ALVAREZ. ENERO 10 — Se hallará en Madrid en la librerta de Munaiz y Millana, sarrera de San Gerónimo, aúm. 8, P Y ? : 7 7 y e Mi 20 a! y 5 5 a iv “de MN ee a + E y OS > E NG Ss » a ! « 4 - t ¿2 O iabs:9 46t sb meva » bl z "e A S e e » pS y ES OS OPÚSCULO SOBRE PROBABILIDADES, | AAA eos CON APLICACION A ALGUNOS JUEGOS DE SUERTE. Acepciones de las voces CERTEZA Y PROBABILIDAD. AS Aces de pasar á esponer la doctrina del cálculo de ls probabilidades, debe fijarse el sentido dela voz. probabilidad, - Pues quedando vaga é inexacta su siguificacion, daria esto mo= vo á que cada uno formase ideas diferentes sobre: el objeto Ye este cálculo, y sobre los principios sólidos en que se funda. hos podrian creer que por medio de este ramo delas mate= Máticas se determina con toda exactitud el órden y el modo de suceder los acontecimientos, lo que equivaldria 4 preveer lo Íturo; mientras que otros, que por probable no entendiesen “ino lo que es muy inseguro y aun incierto , mirarian este asunto “on desprecio, tendrian por atrevido su objeto, y por quimé-= ticas las importantes verdades que de él se deducen. Unos y Wros se engañarian; pero mucho mas los últimos que los pri- "eros. Aunque las matemáticas no determinen con exactitud el Úrden y el modo de los eventos que han de suceder, porque sien= 9 esto un asunto que no pende de la direccion conocida de Ungan agente, es imposible preveer el órden de los sucesos, terminan sin embargo con toda la evidencia de sus demostaciones el mayor 6 menor número de los que sucederán, y la Mayor ó menor confianza con que debemos esperar la apari-= “lon del acontecimiento que forme el objeto de nuestras inves= ¡Baciones. | 2. Comparando las voces cierto y probable, conocerémos la "erdadera significacion de estas palabras , y el límite que las-se= “a, Si subimos al orígen de nuestras ideas , hallaremós“que: . e [4] todas las debemos 4 las sensaciones 6 impresiones que hacen en nuestros sentidos los objetos existentes, y 4 la facultad Ó capa- | cidad de estos mismos sentidos para recibir las impresiones de los cuerpos. Sino tuviéramos sentidos no sabriamos de la existencia. de los objetos esteriores, y sl estos no tuviesen la pro- ¡edad de hacernos impresiones análogas á las que nuestros seltidos pueden recibir, ignorariamos tambien que los habia, La conciencia, pues, de una sensacion actual Ú presente, y la per- , cepcion clara y evidente de la conveniencia Ó discrepancia de dos ideas, es lo que constituye el mas alto grado de certidumbre. Cuando al despertar por la mañana vemos al sol, afirmamos con la mayor seguridad posible, con certeza absoluta, que es de dia. j -3. Si comparamos este grado de certeza con la que tenemos sobre la' repeticion de aquellos hechos, que hemos cbser= vado siempre sin que les conozcamos escepcion alguna, principiaremos ya 4 notar diferentes grados de certidumbre, La constancia de las leyes de la naturaleza funda tambien de un modo'bastante seguro los motivos de nuestra creencia Ó de nuestras opiniones, pero no de un modo tan absoluto. Al ver qué todos los dias sale'el sol, sin que esto haya dejado de suceder ni una sola vez en tantos millares de años, tenemos bastante confianza de que esto mismo se repetirá los dias siguientes, pol manera que afirmaremos con mucha seguridad que el sol volverá 4 salir de 24 en 24 horas; pero ningun hombre podrá de- | cir: “Estoy seguro de que mañana saldrá el sol, y esto lo co” nozco con la misma certeza con que lo veo hoy sobre el horizonte.” ¿Quién le asegura la repeticion de un hecho, cuyaS leyes no conoce bien? Acaso la ley que hasta el presente ha hecho girar á la tierra sobre su eje, y dar una vuelta entef en:24 horas, cesará 6 se modificará con el tiempo; 6 quizá el sol, en virtud de otras: leyes y de otras revoluciones de loS sistemas planetarios, mudará de lugar en lo sucesivo, y vay? A colocarse á tanta distancia de nuestro planeta, que Ó le pel” damos evteramente de vista, ú no le veamos sino como un“ estrella, Así que, el grado de certidumbre que adquirimos po" medio de la repetición constante y jamas interrumpida de los 'mispios «hechos, está bien cerca de la certeza absoluta , pero no £s.jgual á ella, ! | ES 4. Siguiendo la dl de la certidumbre, y pasando 4 hechos que hayan ofrecido alguna escepcion, la veremos debilitarse mas y mas, 4 medida que estas escepciones hayan sido mas numerosas. Un observador, dice Lacroix, que haya notado constantemente que siempre que llueve baja el mercurio en el barómetro, que entonces sopla el aire de tal punto, y que las nubes tienen estas Ú aquellas circunstancias, mirará como pró. xima la lluvia, cuando vea la coincidencia de todos sus indicios, sin que por esto pueda asegurar que lloverá infaliblemente ; porque se acordará al mismo tiempo que algunas veces han sido engañosas estas apariencias, que el mercurio ha bajado en el barómetro, y que el tiempo ha estado nublado, sin que haya llovido; que vientos Ó corrientes superiores que no se habian previsto, Ó cualesquiera otras modificaciones del aire, han disipado las nubes mas amenazadoras: pero él tendrá una confianza tanto mayor en que lloverá, cuanto mayor sea el número de hechos conformes á su conjetura, que el de los hechos contrarios, 5. Aunque el hecho de llover sea dudoso para el que observa sus indicios, no debemos creer sin embargo que sea casual en sí mismo; porque este hecho natural tiene una depen= dencia inmediata del estado anterior y presente de la atmósfera, y de las consecuencias necesarias de este estado. Una inteligencia superior que conociese todas las condiciones necesa= rias, Waferiria infaliblemente lo que debia suceder. Se puede, pues, asegurar, que propiamente hablando, no hay ningun acon= tecimiento casual; pero hay su equivalente, esto es, la ignorancia que tenemos de las verdaderas causas de los acontecimientos. El hombre limitado en sus conocimientos, no pudiendo conocer todas las circuntancias necesarias para que un acontecimiento suceda, Ó no pudiendo hacer una enumeracion exacta de ellas, lo que hace es tener cuenta con todos los indicios, y si de este exámen resultan mas juicios afirmativos que negativos, entonces siente una inclinacion á creer que el hecho sucederá. Para comprender esto mejor, supongamos que en una urna haya 15 cédulas blancas y 1 negra, y que una persona con los ojos vendados saca una de las 16 cédulas contenidas en la urna. Al ver que el número de las cédulas blancas es mucho mayor que el de las negras, juzgariamos mucho mas posible la salida PP a de una de aquellas que de estas, 6 formariamos 15 juicios para la salida de una cédula blanca, y 1 solo para la salida de una negra; y no podriamos menos de esperar con mucha mas con= fianza que sacase una de aquellas, que el que saliese la negra. Si en vez de 16 cédulas suponemos un millon de cédulas blancas y una sola negra, seria muchísimo mayor nuestra confianza en que saldria una blanca, y no podria menos de causarnos la inas viva sorpresa el que saliese la negra 4 la primera vez. 6. De la degradacion, pues, de la certidumbre, y de la ignorancia de las verdaderas causas de los acontecimientos, nace la probabilidad. Lo absolutamente cierto es aquello que conocemos con toda evidencia, como una sensacion actual, ó la conveniencia 6 discrepancia de dos ideas, v. y. estas: la nieve es blanca; el círculo no es ua cuadrado. Lo cierto simplemente es aquello á que no le conocemos ningun hecho contrario, y que por con= siguiente tenemos una seguridad en que siempre será lo mismo: como que el sol sale todos los dias, y que una piedra arrojada al aire bajará al suelo. Probable es lo que se acerca mas á lo cierto que á lo incierto, aquello que tiene mas razones para suceder que para no suceder, 0 en favor de lo que podemos formar mas Juicios afirmativos que negativos, lo que por consiguiente engaña menos veces, Ó se verifica en la mayor parte de los casos, 7% Debemos notar que hay diferentes grados de probabili. dad, pero en todos ellos ha de ser mayor el número de los jui= cios afirmativos que el de los negativos. En el egemplo pro= puesto la probabilidad de sacar una cédula blanca, cuando no hay mas de 16 en la urna, es mucho menor que cuando hay un millon; pero en ambos casos hay probabilidad, porque los jui= cios afirmativos son mas que los negativos. El número, pues, de juicios afirmativos en contraposicion de los negativos es el que determina el grado de confianza Ú de probabilidad; si se aumenta su número, se aumenta tambien la probabilidad: pero se debe advertir, que no se debe considerar este número: como absoluto, sino como relativo; porque si se aumenta el número de cédulas de un color en la misma proporcion que las del otro, permanecerá siempre la misma proporcion entre los juicios afirmativos y negativos, Si se dobla, por egemplo, el número de cédulas blancas y el de las negras, habrá el mismo grado de confianza que ántes para esperar la salida de una blanca; porque [7] los juicios afirmativos serán 30, y 2 los negativos, lo que es equivalente 4 15 afirmativos y 1 negativo, por ser iguales las dos razones 30:2 y 15:1. De aquí podemos inferir que la medida del grado de coufianza debe ser la razon del número de juicios afirmativos al número total de juicios tanto afirmativos como negativos, En el egemplo propuesto esta medida es la ra= zon que hay entre el número de cédulas blancas y el número total de ellas, esto es: ¿$ Esta medida, pues, espresada nu= méricamente, es lo que se llama probabilidad matemática, que se forma dividiendo el número de lances favorables al acontecimiento por el número total de lances, 8. Segun lo que se acaba de ver, la probabilidad matemá= tica está siempre espresada por una fraccion propiamente dicha, Ó menor que la unidad, á la que se acercará tanto mas cuanto mayor sea el número de lances favorables al acontecimiento que se considera, con relacion al número total de lances; pero nunca podrá igualarse con la nidad sino en el caso de que no exista ningun lance contrario al acontecimiento, en cuyo caso deberia suceder infaliblemente: Si las 16 cédulas de la urna fue» sen todas blancas, infaliblemente saldria una blanca, y entonces estaria espresada la probabilidad de sacar una cédula blanca por la fraccion 3é que es igual á 1; por manera que la unidad es el símbolo de lo absolutamente cierto, Es, pues, evidente que cuanto mas se acerca la fraccion de la probabilidad 4 la unidad, tanto mas se acerca la probabilidad á la certeza; y que si dicha fraccion llega 4 ser igual 4 1, entonces deja de ser el he= cho probable, y pasa á ser absolutamente cierto, Despues vere= mos con cuanta exactitud responde el cálculo Á estas propo+ siciones, * 9. Tambien debe notarse que cada acontecimiento incierto da orígen á dos probabilidades contrarias, la de que el acontecimiento sucederá, y la de que no sucederá, Y como infalible» mente ha de suceder lo uno ó lo otro, siendo la uuidad el sim. bolo de la certeza, la suma de estas dos probabilidades contra. rias debe ser igual á la unidad, En el egemplo de la urna la Probabilidad de sacar una cédula blanca es Fé, y la de sacar Una negra, 6 la de no sacar una blanca, es 35; y la suma de ¿42 26 5 16 16 16 . Como los lances favorables 6 contrarios á un acontecimiento fs pueden ser conocidos 6 desconocidos, se divide este tratado en dos partes: la primera trata de aquellas cuestiones en que el número de lances de cada especie, 6 la relacion de estos números, es asignable y puede deducirse ¿ priori; y la segunda se ocupa de la teoría que somete al cálculo de las probabilidades, aquellas cuestiones en que el número total de lances y sus relaciones con el de los de cada especie, no se puede determinar. Aquí se resolverán solamente algunas cuestiones pertenecientes á la primera, dando algunas fórmulas generales para resolver otras semejantes, Determinacion A priori de la probabilidad matemática, 10. Se ha dicho (7) que la medida de la probabilidad matemática es la fraccion que resulta de dividir el número de lances favorables por el número total de lances. Ahora añadiremos que es necesario para la determinacion de la probabilidad que todos los lances sean igualmente posibles, porque sino lo son, varía entonces la probabilidad respectiva de cada lance. Supongamos en confirmacion de esto, que se tiran dos dados de 4 seis caras cada uno, señaladas con los números desde el r hasta el 6; si llamamos A al un dado y B al otro, á poco que reflexionemos, conoceremos que cada una de las caras del dado A puede presentarse con cada una de' las del dado B; de suerte que podrán suceder los 36 lances que mauifiesta la tabla siguiente: LbVOVOB0DEN Doo 0eo A AT t s-Considerando- separa E OO de, la tabla, no puede menos de notarse que todos tienen un mis: | ho giada de' probabilidad, porque. todós son igualmente posi- ' es: asique, sacar 1 con el dado A y 4,con «el dado, B.es: tan probable como:sacar 6; con uno y otro dado. La probabi=- lidad deocada uno de estos lances es 57, porque entre todos. ellos no hay mas de uno de ¿cada especie, Ó ro hay ninguno igual 4 otro, Pero 8i consideramos la salida de los puntos sin: distiucion de órden"ó delos dados)que los' producen, no es ya una misma lla: probabilidad de sacar dos puntos. 1 «y 4» y la de sacar 6 y 6 6 las senas; porque'la: probabilidad de estas les sé porno: haber mas de un lance entre los 36 que las produzcan; mientras/que para sacar; «y 4 0 4 y 1, hay dos. lances entre los 36:de la tabla; y por:consiguiente:la probabilidad de saarir y 4 sinodistincion de órden es ¿=> 00: N - Sicen' vez desconsiderar, los puntos separadamente; ho con- * sideramos sino el número que, suman restos puntos tomados co-: lectivamente, hallaremos diversas probabilidades para cada número. Si se exigiese, v. g. sacar el número 2 cou una, tirada de | gi dos dados, como entrelos 36 lances que pueden suceder,' losuno delellos:da 2, queses el lancesr y.1 no puede.salir el 'número'2 sino dea sola manera, y su probabilidad será 355 sí como tampoco hay ¡masode:un lance para sacar el punto 12;'. - pero el: número 7, por egemplo; puede :obtenerse con los. seis. : lances diferentés 1. yÓ3 6 y,15 2 4 555 Y 253 y-454y 35. | de este caso será la probabilidad: de sacar el número 7. con : uha sola tirada de los! dos dados $¿=3: Del mismo moda sa= : caremos que la probabilidad de¡sacar 3 puntos es ¿==¿5 la | le sacar 4, ==; la de sacar 5; 37=3 Kc. 1 11.7 Sieúdo tres los iddados.en vez de dos, se aumenta con= gia es coi de los ¡lances 5 porque, segun la.doc= AI trina de las combinaciones; cada uno: de los puntos del nuevo. : da, que llamarenzos; Cy puede: combinarse ¿con cada ¿uno de * los 36Jances quecpueden suceder; con «dos dados ;, así que eb, nú-'* mero de lances ns. con; tres! dados es 366216, coma | : ETS yn : : E > . , se ve en la talla sigui A A E O E ÓS: e AA | E 1 pb 0.094 AU de 0d . rad: DE. 3 = : “a á Í _ Ñ ' ») > * : : - Mp a 5 Ñ o 9.0:6134.4 iaa > Lo CO y A E AS A A ELIO AI A ies CABLIAL AGARRAR LA A AN a. A Y € 5 ES E 6] ] q K nera qué “el cálculo responde perfectamente. con. sus resultados 4 la evidencia de los raciocinios, id en 20 167 Muchas'veces el acontecimiento: que se pide, se compone del concurso de:otros: muchos, que tiene cada uno su proba= bilidad propia, de las que se debe deducir la del primero. Si se tratase , por ejemplo, de sacar de una baraja de 40 naipes una figura de palo deteriniñado, y se dividiése la baraja en cuatro paquetes: con las ro cartas de cada palo cada uno, mezcladas en= tre ellas desun: modo ignorado, pudiendo estar indiferentemente la carta designada en uno cualquiera de los cuatro paquetes, la probabilidad de dirigir la mano al paquete que la contiene es 3; pero como este paquete contiene 1O cartas entre las que solo se encuentran 3 figuras, la probabilidad de sacar una de estas, cuando se lleva la mano al paquete que la contiene , será 5. Asi que pará acertar con la carta determinada, es necesario el concurso de dos'acontecimiéntos , cuyas probabilidades son 5 y $: La prox babilidad de este concurso es, el producto de las dos precedentes; por que siendo los paquetes iguales y conteniendo uno solo la carta designada , los lances que la dan. son + del número totabde lances; y como de los 10 lances contenidos en este 4 tres sola- “mente lenan la condicion pedida ¿se deberán tomar los É de £ para obtener la razon del número de lances favorables al número total de lances; será pues la probabilidad. buscada ixt=z3. Esta probabilidad es la misma que se halla suponiendo todas las cartas juntas en sun paquete, donde solo, se encontrarán:3- figúras de cada palo entre las 40 cartas: la probabilidad pues de sacar una de aquellas, siendo 3 los lances. favorables y 37 los con- . / id trarios es AT A 34 3 > 3 RA ap 0 ¿obrioy 0 Jas BALA 0 AO. 17. El ejemplo anterior-puede representarse por la tirada simultanta de dos dados;-de-los.cuales” el uno tenga 4 caras, una señalada con la letra-A y las otras blancas, y el otro ro caras, tres señaladas con la letra B y las otras blancas: el concurso de las letras A y B será precisamente semejante al de los acontes _ cimientos del número «anterior. Pero pudiéndose presentar cual. quiera de las caras del primer dado: con cualquiera de las del se= +, 17) E , gundo, el número total de lances será 4x 1040; y entre este número 3 solamente formados por la combinacion de la cara A del primer dado con las tres caras B del segundo, llenan la con- a. + . FA .]. ; 3 ua Y 3 dicion pedida; la probabilidad que se busca, será pues F==2, como ya lo hemos hallado de otra manera. . mM » 18. En general, si representa la probabilidad de m—=n un acontecimiento, y la de otro, la probabilidad de su p +9 concurso será m P mp | Xx = + mn p+Yg (mn) (p+9) porque podemos suponer que se tiran dos dados, de los que el primero tenga m caras señaladas con la letra A y n caras blancas, y el segundo p caras señaladas con la letra B y q caras blan= cas, Entonces el número total de lances posibles será, como hemos visto en el ejemplo anterior y en el número 10, el producto de todas las caras del primer dado por todas las del segundo, esto es, (mn) (p+4); pero entre este número de lances so» larsente hay las mp combinaciones de las caras señaladas con la Jetra A y de las señaladas con B, que produzcan el acontecimiento pedido; así que la probabilidad del concurso de las letras A y Bes mp m P x (mn) (p+J) nHAR p+9 Estas consideraciones pueden estenderse al concurso de tres acontecimientos A, B, C, cuyas probabilidades particulares fuesen | [18] la probabilidad de su concurso será mpr m P Tr xx _ _ ___—__—_——_J_JJJ————————Jzm—_— x X (man) (p+q) ((+s) mn p+q r-+s, y del mismo modo cualquiera que fuese el número de los acon= tecimientos. Si llamamos probabilidad simple la de cada acontecimiento en particular, y probabilidad compuesta la de su concurso, se puede establecer generalmente este principio: la probabilidad com» puesta esel producto de las probabilidades simples. 16. Por medio de las probabilidades compuestas se abrevian mucho los cálculos, pues se evita el tener que formar el desarrollo de todas las combinaciones posibles. Supongamos que se hayan juntado en un paquete los 12 naipes de un mismo palo de una baraja de 48 cartas, y que se pregunta la probabilidad de que las dos primeras cartas del paquete sean el as, y el dos, por ejemplo, Si hubiesemos de sacar esta probabilidad ajustando todos los lances posibles 6 todas las combinaciones de las 12 cara tas, tendriamos que considerar que en el primer lugar puede hallarse el 1 y en el segundo el 2, 6 el 1 y 331 y 451 y 531 y 6; 1 Y751 y 851 y931y1031 y 115 1 y 1256el 2 y 1; 2y3,2y 432 y5,2y6,2y732y8,2y9;2 y 1032 y 11; 2 y 1236€l 3 y 1; 3 y 223y433y5,3y 6,3 y 7; 3 y 8; 3y933y 10,3 y 1153 12;0el 4 y 1534 y234y03; 4 y 534 Y 034 Y 754 Y 8,4 Y 954 Y 1034 y 1154 y 123 6 el Sy155y2,5 y 335y435y635y755 y8;5 y 935 y 10; Sy1135y12;6el 6 y1:6y26y3;6y 456 y 5; 6y7:6y8;536y09;6 y 10;6 y 1136 y 1256€el 7 y 1; INARNIY Ary 05 7 Y 05 503 7.J 957 y 103 7 10 7. Y- 123 0 el.8-y 15 8 y 258 y3,8 y 458 y 5; 8 y 658 y 758 Y 958 y 10; 8 y 11; 8 y 1256el 9 y 1; 9Y2%59Y339y439y559y659y7:9y8;9y 10; 9y 1159 y126el 10 y 1310 y 2; 10 y 3,10 y 4; 10 y 5; 10 y 6; 10 y 7510 y 8; 10 y 9; 10 y 11510 y 1256 el 15 Vols 11.7, 25.11 Y,3) 11 Y:43 X1 Y 53.11 y 65 11/7511 y 83 11 Y 9; 11 y 10511 y 12 6el 12y 15 12 Y 2; 12 y 3; 12 Y 45 12 y 5; 12 y-Ó; 12 y 7; 12 y 8; 12 y 9; 12 y 10; 12 Y 11. : [xo Entre estas 132 combinaciones de 4 dos cartas que pueden hallarse en los dos primeros lugares del paquete, la primera solamente llena la condicion pedida, luego hay un lance para que suceda el acontecimiento deseado, y 131 para que no suceda; será pues su probabilidad 1 1 A o ÍA, "rara >. 1-H131 132 Mucho trabajo nos hubieramos ahorrado, si nos hubiesemos va» lido de la fórmula de las permutaciones. Todas las que se pueden formar con 12 cartas son el producto de 1.2. 3. 4... 11. 12; y observando que cuando dos de las cartas del paquete tienen un sitio determinado, quedan 10 que se pueden combinar entre sí de todas las maneras posibles; esto es; de 1. 2. 3. 4... 10 maneras, serán estos los lances que producen el acontecimiento deseado; cuya probabilidad será por consiguiente AAA A does LOs 5 10 ME Di hadisos LOS TITO ¿DA y suprimiendo los factores 1. 2. 3. 4w. 10, que son comunes: al numerador y denominador, queda solamente a Tr 12 132? que es lo mismo que ya habiamos sacado. Pero esta misma probabilidad la sacaremos facilisimamente por medio de las probabilidades compuestas: para esto consideraremos, que la probabilidad de que el as sea la primera carta del paquete es F, puesto que podria hallarse en uno cualquiera de los 12 sitios del paquete; quitada la primera carta quedan 1 1; asi que la probabilidad de que el dos se halle en el primer lugar de estas 11 es H75 la probabilidad pues del concurso de estos 11 dos acontecimientos será 20) De este mismo modo hallareimos con igual facilidad, que lá probabilidad, de que las tres ADE cartas del paquete sean el as, el des y eltres, es ¿3x7 x+335= 33557 5 la de que las cua» tro primeras sean el as, A des: el tres, y el cuatro es a 20. Para convencernos mas claramente de la facilidad con que se resuelven los problemas por medio de las probabilidades compuestas, supongamos dos urnas, en una de las cuales haya 2 bolas blancas y 1 negra, y en la otra 4 blancas y 1 negra; y que se pide la probabilidad de sacar una blanca, tomando á Ja casualidad de una cualquiera de las dos urnas. . La probabilidad de meter la mano en la primera urna es 1, y la de sacar una bola blanca de esta urna cuando se ha metido la mano en ella es 4; la probabilidad pues del concurso de estos dos arontecimientos es ¿<=%. Del mismo modo la probabilidad compuesta de la segunda urna es ==. Ahora e las dos probabilidades ¿ y £; porque cada una de ellas espresa una parte de los lances favorables al acontecimiento pedido , puesto que tanto se puede llevar la mano 4 la aloN urña como á la segunda: será pues la probabilidad total == Del mismo modo calcalaremos la probabil idad de sacar una bola negra, que es ¿+5=.%. Sumando con E resulta la unidad , como debe suceder, porque sé trata de dos acontecimientos de los que precisamente ha de suceder uno, / Este egemplo puede dar márgen á un error, que vamos'á prevenir. A primera vista pudiera pensarse que siendo 8 las bolas contenidas en las dos urnas, eutre las que se encuentran 6 blancas y 2 negras, la prol babilidad de sacar una blanca será £=3; cuya fraccion es mayor que 77 que hemos sacado antes, Este error proviene de que para considerar juntas las bolas de las dos urnas, se necesita que el número de bulas sea el mismo en una y otra, para que todos los lances sean igualmente posibles, lo que no sucederia sin esta circunstancia. En efecto, consideraudo separadas las bolas , la probabilidad de sacar una de las de la primera urna es igual á la de sacar una de las de la EN segunda; pero: si. se consideran juntas todas" las bolas, «siendo entonces 8, de las cuales 3 son dela primera 'urna y 5 de la segunda, ya no es igual la de sacar una de las de la primera 4 la de sacar una de las de la segunda; siendo z la probabilidad de sacar una de las bolas de la primera urna, y Z la de sacar una de las de la segunda. Pero esta diferencia de probabilidades desaparece: 1.2 cuando el número de bolas es el mismo:én una y otra urna; porque entonces, aunque se consideren juntas todas las bolas, la probabilidad de sacar una de las de la primera es igual 4 la de sacar uña de las dela segunda; ==" EDI 5 mé 22 Reduciendo al mismo denominador las probabilidades 2 y £ de sacar una bola blanca de cada urna, lo que no al. tera los valores respectivos de estas probabilidades , pues dichas fracciones siempre son del mismo valor aunque se reduzcan al mismo denominador. Haciéndolo asi se convierten en y 35: de este modo se considera que la primera urna contiene 10 bolas; blancas y 5 negras, y la segunda 12 blancas y 3 negras; las pro= babilidades respectivas son las mismas que antes (7), y el núz “mero total de bolas se ha hecho el mismo en cada urna: consideran= do ahora estas bolás reunidas en una solá urna en número de 3o, de las cuales 22 son blancas, la probabilidad de sacar una bola blanca es A que es lo, que antes habiamos sacado, 3.2 Cuando entre las bolas blancas y negras de la primera urna hay las misma razon que entre las bolas «blancas y negras: de la segunda. Si suponemos que en la primera haya 9 bolas blancas y 3 negras, y €n la segunda 15 blancas y 5 negras, como en una y otra urna Ja razon de las blancas á las negras es la misma, esto es, 3:1, Ja misma probabilidad sacaremos en este cdso considerándolas aparte, que si las suponemos reuvidas. En efecto, la'de sacar una bola blanca de la primera urna es 1 =2%5 y la. de sacar una blanca: de la segunda es P3=355 la suma de estas dos probabilidades es $ 124 => ol suponemos ahora todas las bolas juntas, como entre todas son 32, de las que 24 son «blancas, será la probabilidad de sacar una blanca H=f. y 21. Si se quiere una demostracion general de toda esta doctrina, supongamos urnas en núméro «2, que contenga cada * uña bolas blancas y n negras; y UrDAS €n número b, que cons [22 tenga cada una p bolas blancas y 7 negras; y procediendo como en el egemplo numérico de las dos urnas, hallaremos que la probabilidad de dirigir la mano 4 cualquiera de las urnas a, es (44 ——5 y la probabilidad de sacar una bola blanca de estas ur- a—+0b m nas , cuando se ha dirigido la mano 4 ellas es ——,; | Mn, | a m la de su concurso será pues ——x——, Del mismo.modo la a+b men probabilidad del concurso de las dos probabilidades parciales E para sacar una bola blanca de las urnas ¿ es ——— ; ab p+q y la suma de ambas probabilidades es a m bp amp) +bp(m-n) HA AAA AAA a ab men ab p4g (a+b) (Mn) (p-+-4) y haciendo para abreviar U4b=C) MAÁRNZT ) Pp q=5, Se Con: vierte la fraccion anterior en ams—+-bpr De tr CrS Si se reducen 4 un mismo denominador las fracciones m p . ms pr =- y -> resultarán las ==>, y se podrán reemplazar T S TS rs todas las urnas por una sola que contenga ers bolas, de las cuales sean ams-+bpr blancas; de donde se forma la probabilidad 23 espresada por la fraccion hallada poco hace, que es diferente de amm+bp la fraccion ——— que resulta de dividir el número actua] de ar=+bs bolas blancas por el número tótal y actual de bolas; porque el número actual de bolas blancas es am=+bp y' elonúmero total . de bolas es ar-+bs; y suponiendo todas las bolas reunidas, seria A | am—+bp la probabilidad de sacar ma blanca: =—, fraccion que es di- AAA AA | ams—b pr _ ferente de la verdadera que ya hemos sacado ina Crs Pero esta desigualdad desaparece, :1.2:cuando: el múmero de bolas es el mismo en cada urna; porque entonces r=5, y MISA 92 TOPES de 109. aclara rob es2: obosibi ams=-bpr am—+bp , 2 ers ar—=bs porque siendo r=s se tendrá e al q. Y , tn Y ¿3 ams-+bpr* amr=bpr an+bp. am+bp ambp am-+bp o. —— A a PP pr crs asiobi se ar: asb)r ar==br. ar+bs - 2. Cuando :en todas las urnas hay la misma:rázon entre el número de las bolas blancas y el de las negras;: porque si llama= mos h esta razon, se tendrá: segun los principios de la aritmética, n=lm; I=hpsrm(1+h),s=p(1 +1), ams=bpr . am-—=bp con lo.que las espresiones ————=" y . E Un MICISS - ar—=bs A A A ci cc [24] 1 se reducen una y otra á luego serán iguales; porque 1 +h am + bp am—+bp am=bp — e — os ar—-bs . a(m--mh) Hb (p+ph) am+— amh=+ bp—4bph y dividiendo sus dos términos por el numerador, se reduce á ib oops so ams +bpr. caía (p+ph)+bp(m--mh) — y HAZ ——_—_—_— EA crs " (a+b)(p+—ph) (mamá) amp-ramph--bpm-+-bpmh ¿ api2amplisrampl? + bpm=-2bpmh-=bpunh" que dividiendo sus dos términos por el numerador, se reduce 1 tambien á 1—+4h Determinacion de las probabilidades en las pruebas repetidas de aso ato dos mismosslan ceso ón * 0 22. Este género de probabilidades se determina por medio de las probabilidades compuestas. Si nos proponemos, por egemplo, sacar:dos veces seguidas el punto 6otirando dos veces el mismo dado, equivale esto al concurso:de:.dos acontecimientos, cuyas probabilidades: simples .son 7 para cada uno: será, pues, la probabilidad de sacar dos veces el 6, ixi=>55 del mismo modo hallarewos que la probabilidad de no sacar el 6 en nin- - guna de las dos tiradas es ¿x¿=3¿ La suma de estas dos probabilidades noes 1; porque: ademas de los acontecimientos que acabamos deconsiderar, puede suceder que se saque el 6:4.la primera tirada y 4 la seguuda no, Ó que no se saque á la pri- 25 mera y sí 4 la segunda: la a de sacar el 64 la primera tirada es z, y la de que á la segunda salga cualquiera-de los otros puntos, y no salga el 6 es £, y el concurso de estas dos probabilidades es ¿<¿=>35. Del mismo modo la probabilidad de que el 6 no salga sino 4 la segunda tirada es ¿x2= 3%; y sumando todas las probabilidades de los cuatro acontecimientos posibles, se tiene o ANS titi 1 Asimismo la probabilidad de sacar el 6 tres veces seguidas en tres tiradas del mismo dado es ¿=¿«¿=737, y la de no sacarlo en ninguna de las tres tiradas es «>= Ademas de estos dos acontecimientos hay todavía otros seis que tambien son posibles, que son: la de sacar el 6 á la primera tirada, y en las otras dos no; la de sacarlo á la segunda, y en las otras dos no; la de sacarlo á la tercera, y no en las dos primeras; la de sacarlo en las dos primeras, y en la tercera no; la de sacarlo en la primera y tercera, y en la seguada no; y la de no sacarlo sino en las dos últimas tiradas: las probabilidades respectivas de estos seis lances son > j : A ER EE a ES RA TOR ET AT 9 2 > oa > 5 ESTE ALA Y La suma de las probabilidades de estos ocho acontecimientos es igual 4 la unidad, porque se han considerado todos los lances posibles; en efecto 1% E Ar | E :=0 | ET ==> 23, Discurriendo del mismo modo es fácil sacar la proba= bilidad de los lances que pueden ocurrir tirando cuatro, cinco, seis, etc. veces el mismo dado; pero en vez de calcular así una despues de otra las diversas probabilidades de los acontecimientos que resultan de las tiradas sucesivas del mismo dado, se pueden obtener todas de una vez por medio de una. misma fórmula, Para esto basta considerar, que si en una prueba hay 78 | 4 A AAA AA NN a [3a Si se hubiese exigido Pa sacar el 4 al menos una vez , hubiera sido necesario tomar los cinco primeros términos del desarrollo de (e+-f)%5 pero como e+/=1, y por Consi» guiente (e+f)'=1, la suma de los cinco primeros términos será igual á 1-f*; y es mas fácil calcular el término f* y restarlo de la unidad, lo que dará — 3125__ 4631 o A A A —Á rro 65 7776 7776 para la probabilidad pedida; la que siendo mayor que 7, manifiesta que es probable que el punto 4 salga una vez en cinco tiradas, La probabilidad del acontecimiento contrario, esto es, de que no salga ni una vez siquiera el punto 4 en las cinco tiradas es f£=3%%%, porque no conteniendo el término f* á la e, indica solamente la repeticion de los acontecimientos B. Se ha determinado la probabilidad pedida por medio de su contraria; y así se debe hacer siempre que la espresion de esta sea mas sencilla que la de la primera, 28. Se ve por el egemplo anterior que la probabilidad de sacar el punto 4, que no es mas de ¿ 4 la primera prueba, va creciendo por la repeticion de las tiradas del dado. Esto puede dar motivo á la cuestion siguiente: determinar el número de pruebas necesario para que un acontecimiento adquiera una pro= babilidad dada. Si se pidiese en cuantas tiradas del mismo dado se obtendria la probabilidad a de que el punto 6 salga al menos una vez, se tendria emm, f=¿, a=x-1 (porque la condicion propuesta abraza todos los términos menos el último), y se deberia determinar x« con la condicion de que la suma de los términos : ce +jefr" fuese igual 4 a, lo que no se podria hacer sino por ensayos repetidos ; pero tomando la probabilidad contraria espresada por el término f”, que en la hipótesis establecida debe ser igual 4 1-a, se tendrá, haciendo 1-a=b, la ecuacion E [33] f*=b, de donde x log. f=l0g. b, x= log» b. log, f. Si sustituimos 4 las letras f y 5 las fracciones se hallará 1.2 Lt—l.r, ¿2 l.s-—l.n Con esta fórmula podemos resolver la cuestion siguiente: hallar el número necesario de tiradas de dos dados en que haya tanta probabilidad de sacar los, dos seises 6 las senas, como de no sacarlas. En este caso tendremos X= 1 + e=% LA 56 (10); de donde sacaremos Hom LN == —————- —=24, 65 1,.36--1,35 lo cual manifiesta que el acontecimiento propuesto es menos Probable que su contrario, cuando no se abrazan mas de 24 Pruebas ; y mas probable cuando se abrazan 25. 29. Las probabilidades simples se pueden determinar tambien por medio de las de los acontecimientos compuestos. Por ejemplo, conociendo un jugador que en una partida formada de tres puntos puede ceder dos de ellos d su contrario, para que haya igualdad entre los dos, se pide la probabilidad que tiene el Primer jugador de ganar un punto, De la propuesta se infiere que tiene la probabilidad de gatar los tres puntos seguidos, porque perderia el juego si su Contrario ganase uno antes: tendremos, pues, en este caso PR 3 e=2, de dondee=V2 . que se reduce casi 4 0,7937 un poco menos de ¿. [34 Si el primer jugador no LN sino uno de los tres puntos. entonces los lances en su favor serian Ó ganar los tres punto seguidos, 0 4 lo inenos tres en cuatro tiradas, porque si ps diera dos golpes, ganaria su contrario la partida; ¿ asi que $ tendria uu o EE ejef= y poniendo en lugar de f su valor 1- ho) e convierte la espresion, anterior en + 4%x1-0)=0t440-40t=4e*-30%=3; y resolviendo esta última ecuacion por. "medio de las ecuaciones numéricas, se halla o, 6143. 3o. Una vez que los términos del desarrollo (m--n)* indican los lances favorables 4 cada uno de los acontecimientos compuestos, que, en un número .x de pruebas pueden resulta de las diversas sucesiones de los acontecimientos simples A y B, es fácil determinar cuál de estos acontecimientos tiene mas lances en su favor, y es por consiguiente mas probable. Para esto no haf mas que buscar cuál de los términos del desarrollo (m--n)" tient un valor mas considerable. Si se hace mn, el término mayor será aquel que ocupe el medio de la fórmula cuando el número x sea par, y cuando este número sea impar, habrá entonces enmedio del desarrollo dos términos consecutivos que serán iguales entre sí y mayores que cualquiera de los otros, como se puede ver en las primeraS potencias del binomio mn (man) =m*+2mn-=n* (m2) 'm*23m*n+3mn*4en? (mn)'=m*=+4mN+6m*n?+-4mn3+4n4 (man) '=m*+5m*n-+10m*n?*+10m*n"2+-5mn4-en!. Siendo m=n los desarrollos de estas cinco potencias del bí- MoMmio se convierten en [35] m2 -m* m?+-3m*+3m*3-m* | mt+4m*+6m*+4m%-4m1* m33+5m*-10mi+10m*%45m%+m"; donde se observa que los términos de enmedio de las potencias pares 2m* y 6m*, son respectivamente los mas considerables, porque tienen el mayor coeficiente, siendo una misma la cantidad que afectan; así como tambien se ve que en las potencias impares hay enmedio de sus desarrollos dos términos iguales 3m* y rom*, que tambien son los mayores, De aquí se infiere que si se considera un juego en que el número de lances sea el mismo en favor del acontecimiento 4 que de. su contrario B, que es la hipótesis m=n. los acontecimientos compuestos mas probables serán, 1 vez A y 1 vez Ben 2 pruebas; 2 veces Á y 2 veces B en 4 pruebas, y así de las demas cuando el húmero de pruebas es par, Pero cuando este número sea impar, habrá en cada prueba dos acontecimientos compuestos de igual probabilidad y mayor que las de todos-los demas, á saber: 2 veces Á y 1 vez B, 6 2 veces B y 1 vez 4 en 3 pruebas; 3 veces A y 2 veces B, Ó 3 veces B y 2 veces 4 en 5 pruebas, y así de las demas. Las probabilidades de: estos diversos acontecimientos son; 2 m* 2 m.m Para 1 vez Á y 1 vez B, 2 veces Á y 2 veces B, === 3 veces Ay 3 veces B, 4 veces Á y 4 veces B, AAA IN [36] 3 a veces Á y 1 vez B,ó6 3m E 2 veces B y 1 vez Á, PEO : E s Di 3 veces Á y 2 veces B, 6 10 Mm E 10 z% 5 2 veces A y 3 veces B, iii pa E , e + «e. 7 s 4 veces Á y 3 veces B, Ú 35 m Ss 35 4 veces B y 3 veces 4, (rim) E 138 31. Estas diversas probabilidades van decreciendo 4 medida que aumenta el número de pruebas, lo cual es muy sencillo; porque aunque cada una sea la mayor de todas las que nacen del número de pruebas de que hace parte, no corresponde sin embargo sino 4 uno solo de los acontecimientos compuestos, que se multiplican 4 medida que se abraza un número mayor de pruebas; y como la suma de todas las probabilidades de un desarrollo es igual á 1, cuanto mayor sea el número de términos, anas dividida estará entre ellos la unidad. 32. No sucede asi con las probabilidades relativas de los diversos acontecimientos compuestos que da el mismo número de pruebas. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 1 vez A y 1 vez B mas bien que 2 veces seguidas A, siendo el cociente de la probabilidad absoluta de estos diversos acontecimientos divi- «dida por la suma de las probabilidades de los dos (1 4), se tendrá a 3 us z ———= Z — 1 1. pl 3 La probabilidad de sacar a veces A y dos veces B.,mas bien _'que 4 veces 4 de seguida, es - 6 53 HS — Qe es e =l [37] la de sacar 3 veces A y 3 veces £ mas bien que 6 veces A de seguida, es | | - 20 6 A IIA e 21 74 La de sacar 4 veces A.y 4 veces B, mas bien que'8 veces se= guidas la 4, es 35 r ETA AREA La de sacar 2 veces A y 1 vez B, Ú 2 veces B y una vez A mas bien que 3 veces 4, 6 B, de seguida, es 3 e a 3 Eve] 4 00] 0 + e lA La de sacar 3 veces 4 y 2 veces B, 6 3.veces B y 2 veces Á, mas bien que 5 veces A 6 B de seguida, es. -* 3 16 10 3 — — ” —: SN I A LL 4 ==; y la de sacar 4 veces A y 3 veces B, 6 4 veces B, y 3 veces A mas bien que 7 veces seguidas 4-6-B,'es-* 35 i Lp 36 11 128 128 Continuando de esta manera el cálculo, se podrá inferir la diferencia de posibilidad entre los acontecimientos compuestos de la repeticion constante del mismo acontecimiento simple, y la de aquel cuya composicion se aproxime mas á la razon de posibilidad de los acontecimientos simples. 7 33, Es facil sacar las fórmulas generales de donde se dedu- A A A A td 38 cen todas las observaciones de ¡Ñ números anteriores ; pues para esto no se necesita mas que calcular el término medio del desarrollo de una potencia par del binomio, ó los dos que ocupen el mismo lugar cuando la potencia es impar, La espresion del primero es o] (2-1)... (5 - 55 1) Zo =% x (2-1)... Xx E+» x áíáC__=>->z->->->-3mmIEAXAAKÁ n A-3z AAA Ñan m*, 1. Los. pr , ' 1. 2... e 2 2 cuando MM, % La de los otros dos es 2-1 a (u-1). (a- — +1) — 7(u-1) (a+1) ras | - mM n pants | 2 a (a)... Es + 1) == nd go m XII X. Zo. 34. Cuando m y n no son iguales, es decir, cuando no hay el mismo número de lancés en favor de los acontecimientos simples A y B, el acontecimiento compuesto mas probable es aquel en que el número de acontecimientos A es al de los acontecimientos B, como el número de lances favorables al primero es al número de lances favorables al segundo, : _ Para comprender bien esta proposicion hagamos m= 3, n 2; y hagamos sucesivamente «=5,=10,= 15. Esto quiere decir que los, lances en favor de 4 y de B, están en razon de 39 8; a, Esto supuesto, vamos dar que de todos los aconteci= mientos compuestos, que pueden resultar de un número x de pruebas , el mas probable será aquel en que el número de acon» tecimientos 4, sea al número de acontecimientos B, como 3: a, En efecto, siendo x=5 el desarrollo de (m-+-n) será m' + 5mmn + 10m + 10m 10 +5mntn*; donde se ve que el mayor término de este desarrollo es 10m n*, y por consiguiente este-será el acontecimiento compuesto mas probable, y en él se verifica, que los acontecimien- -tos A son 4 los acontecimientos B.como 3: 2. Facil es conocér que este es el mayor término del desarrollo; pues sustituyendo ¿en vez de m y n sus valorés, y poniéndole 4 cada término el denominador que debe llevar, esto es, (m-—-=n), resultan las probabilidades [is 35 24310) 90 194 ys do 3 — => para 5 veces 4, (man) 023015 3125 "y : 5 mn 5. 34 o Vd 810 , AA == A AAXÁ para 4 veces Á y 1 vez B,' (matan ol logias «daa (ia la 10 m? ni 10.3. 2 1080 A = = —— para 3 veces Á y 2 veces B, (mn) 5 3125 cremn? 10,32% 720 . =z ES para 2 veces 4 y 3 veces B, (many 5* “3125 5mn* 5. 3, 21 240 | = ——— = — para 1 vez Á y 4 veces B, (mn) s* 3125 n a' 32 o para 5 veces Á, (+1) ts 315 | [40] Del mismo modo. siendo 10 ó 15 las pruebas, los desarro- Jos de (mn)? y (mn) son, el primero n'*—+ 10 mn +45 mén*+ 120 1mn + 210mnt+252m'n* + 210m*n*+120%8 9 +45m n + 10 MH"; y el segundo a me 15 m0tn+105min+455m*1n34-1365 mn +3003 ¿misnózbdo5 mn +6435 1 n7+,6435 m'n*+5005 mn a ¿3003 m'n Isma 4G5mint os5maB+15mn en", En cuyos desarrollos, sustituyendo en vez de m y n sus valores, se observa que en el de (m-=n y? el término mas considerable es e $ 210món' 210,3.%2 2440440 a) A Ea (mn) gu 9765625 y en el de (m-=n)" el término mas considerable lo es el 5o005mén* 50053891 63048585609 (mm +n) 58 30517578125 33 cuyas fracciones, que son las mayores de todas, como se puede comprobar , espresan la probabilidad de sacar. 6. veces Á y 4 veces B en 10 pruebás; y y veces A y 6 veces B, en 15 pruebas; y los números 6 y 4, 9 y 6 están en la misma razon que 3: 2, Si comparamos las tres fracciones P252, ¿11910 y Cóosicesós. veremos que la tercera es menos que la segunda y esta Menor que la primera; lo cual es conforme á lo dicho en el número 31; pero cada una de estas tres probabilidades es-la mayor con. relacion á todas Jas que se deducen del mismo desarrollo, 35. Como solo los múltiplos de 5 pueden dividirse en dos 41] números enteros que estén A sí en razon de 3: 2, el desar.. rollo de las potencias, cuyo esponente no sea un múltiplo de'5, no contendrá términos en que los esponentes de las letras m y n estén en dicha razon; pero los términos que se aproximen mas á llenar esta condicion, serán los mas, considerables, como lo vamos 4 ver por la determinacion algébrica de (m==n)*. Siendo el término general del desarrollo de (m-+n)* x (%-1) (2-2)... (1-9 1) n?r, LL. 2 dee q se halla precedido del término 0 (a-=1) (0-2)... (1-92) — my. 1. 2.3... q-1 £ y dividiendo por esta última espresion la primera, se tendrá el cociente La y rg+1 RN an-qn-en 2 m q cuya fraccion será la razon de dos términos consecutivos toma= dos en un lugar cualquiera del desarrollo propuesto; valor que disminuye á medida que el número y aumenta. Segun esto es evidente, que un: término será mayor ó menor que el que le precede segun que xn-qn -n >1,02 1; qm 1 Si pues esta fraccion es mayor que r, será el numerador tn -qn-n > qm; si á-los dos miembros de esta desigualdad Añadimos la cantidad qn, resultará 2n-+mn>qm-=-qn; y di- e A Vidiéndolos por m-t-=n se convertirá en > q» Del 6 Uca ll DI DS AS AA A A AS A A A A iS: | | [48] St se sacasen dos naipes por arriba y fuesen 2 treses, la probabilidad de ganar el primer jugador sería —— 4 2 0 E 6 3 y la del segundo cari a e =—; 2 at 6 3 y últimamente si se sacasen 3 treses y 1 dos por arriba, enton-= ces las probabilidades serian == 3 - mes : Y == para el primero y ¿ Para el segundo aa CUESTION SEGUNDA. 39. Supongamos que apuesta un jugador que saldrá primero un dos que un tres sacando por debajo de la baraja: la carta que - está encima no se sabe cuál es, pero se sabe que no es el dos de oros, ¿que probabilidad tiene de ganar? Tambien resolveremos este ejemplo por medio de las probabilidades relativas; pero toda la dificultad de este problema consiste , en determinar los lances que tiene en su favor cada uno de los jugadores. Para averiguarlo, consideraremos, que segun el orden con que estea combinados los 40 naipes de la ba= raja , saldrá primero un dos ó un tres. Las combinaciones - diferentes de las cuarenta cartas de la baraja son el producto de 1.2. 3........ 40—%2, y de este número de combinaciones la mitad, que es 222% haria ganar al primer jugador, y la otra mitad al segundo sí se ignorase' absolutamente -el órden en que están combinados los 40 naipes; pero como se sabe que el dos de oros no está encima, habrá que rebajar del núme- [49] ro total de combinaciones, todas aquellas en que el dos de oros debiera ocupar la parte superior, esto es, habrá que reba- Jar 1. 2. 3........... 39 =5 combinaciones, y el residuo espre= sará el número de combinaciones diferentes con que pueden estar combinadas las 4o cartas, sin que el dos de oros esté encima: la cuestion está pues reducida á averiguar cuantas de las combinaciones que se deben rebajar harian ganar al primer jugador, y cuantas á su contrario, para restar cada uno de estos números de los lances que corresponden á cada jugador. Ahora bien, el número de combinaciones que harian ganar al primer jugador, aun estando el dos de oros encima, es las tres séptimas partes del número s, que rebajadas del número 7; dan P$-2= 22245; y el número de combinaciones que harían ganar al segundo, estando el des de oros encima, es las cuatro séptimas partes del número s, que rebajadas del número = dan E 222. segun esto las probabilidades respectivas de los dos jugadores son, para el primero M. 7-3, 5. 2 M. 7-4. 5. 2+M. 7-3, 5. 2. que poniendo en logar de m y s sus valores se convierten en 1/2:3..... 40. 7-3. 1. 2. 3..... 39. 2 _P.- qQErOR Ñ_Ñ o 1.2, 30. 40.7-4.1,2. 30. 39. 2+4-1,2,3...40.7-3.1.2, 3... 39, 2 y quitando los factores comunes al numerador y denominador queda reducida esta fraccion á 40. 7-3. 2 274 137 If 40. 7-4. 2 +40, 7-3. 2 546 273 la probabilidad del segundo es Mo 7-4 S. 2 M. 7-40 S. 24m. 7-3. 5 2 di [50] Y. 2%: 3300.00 40 7=4+ 1.2% does 39.2" A o 5 5 1.2.30:40.7-4e1.2. 3.039.210 2 3. 40.7-3.1,2. 3... 39.2 40. 7-4. 2 272 136 40. 7-4. 2+40.7-3, 2 546 273 Las únicas dudas que pueden ocurrirse con respecto 4 este problema, son las dos siguientes: 1.* si el número s representa en realidad las combinaciones en que el dos de oros ocupa la parte superior. ja Pero esto «es fácil de entender; (pues suponiendo «que en la baraja falte «el «dos de oros, se pueden hacer con los 39 naipes restantes 1.2.3... 39 «combinaciones, «en cada una de las cuales se puede colocar el «dos «de -oros encima. 2,2 Si de este número s los 5 harian ganar al primer jugador y los otros al segundo. Esto «es evidente, pues-no «contando con «el dos de oros que ocupa la parte «superior «en dicho número .s de combinaciones, las otras 39 cartas restantes estarán «combinadas de todas las maneras posibles, y como entre ellas se encuentran 3 doses y 4 treses, las combinaciones en que venga un dos ó un tres delante estarán divididas en razon de 3:4. puso - Para convencernos prácticamente de esto ,. hagamos todas las:combinaciones posibles primero con 3, y luego con 4 letras, que son: las siguientes: [51] cor: 3 letras con 4 letras 1.2.3.4.=24 más combinaciones. combinaciones.. 90 =Xp2qu we RR >28 A O Si suponemos ahora en las combinaciones de 3 letras que siempre que la a esté delante gana un jugador, y que cuando esté delante la 5-6 la c gana el otro, hallaremos 2 lances en favor del primero y 4 en. favor del segundo, es decir en razon de 1:2; lo mismo que se observa en las combinaciones de 4 letras, en las que en 8 de ellas está delante la a, y en las otras 16 estan delante la 56 la c, es decir, en razon de 1:2. Lo mismo sucederia aunque las combinaciones fuesen de muchas mas letras; pues cada una de ellas estará delante un número de veces igual al de cada una de las otras, y por lo mismo el número de veces que una letra se halle delante, es al número de veces que se hallen delante otras dos letras como 1:2; y el número de veces que se hallen delante dos letras es al en que se hallen delante otras tres letras, como. 2:3; y generalmente el número de veces que alternativamente se hallen delante un número designado de letras, es al en que se encuentren primero otro número designado de letras, como el número de las primeras es al de las segundas. Así que en el problema que nos ocupa, en el número s de combinaciones, en el que el dos, de“oros está encima, los 52 otros 3 doses estarán delante con respecto 4 los 4 treses en la misma razon que 3:4. Con estas observaciones nos será muy fácil resolver los demas problemas de este género que se puedan proponer, como si se pidiese, por-egemplo, la probabilidad que tiene cada uno de los dos jugadores en la misma cuestion , en la suposicion que se sepa que ninguno de los 4 doses está encima. En este caso la probabilidad del 1.* sería 1.2.3....40.7-=-1,2.3....39.4.3.2, TA A A A A A _— o 1 2230.40.7-1 2.3.039.4 492 + 102.3 .00940.7-1.2,3..39,403.2, 40.7-4.3,2 206.32 A a ad —— 40.7-4.4-2+40.7-4.3.2, 504 63 y la del 2.* 1.2.3....40.7-1.2.3....39.4.4.2 1.2,3...40.7-1.2.3...39.4.4.2-+-1.2.3..40.7-1.2.3..89.4.3,2 40.7-4.4.2 2489 131 40.7-4.4.2+-40.7-4.3,2 504 63 CUESTION TERCERA. 40. Un jugador apuesta contra otro que tirando 7 veces un dado de seis caras sacará lo menos dos veces el punto 6, y el «contrario apuesta que tirándolo yg veces sacará al menos 3 veces el punto 6, ¿qué probabilidad tienen de ganar? Por la fórmula del n.? 27 se ve que el primero tiene la probabilidad | C+70f+atefse3etfi+30ftesreft= Apt lo 0185 0 gd AS y 011625 0 13125 7703 ada AS TA 2 33 [53] y el segundo “ye j+360f 484041260 4126011484095 q 1796446. 898223 — 10077696 5033848 y comparando ahora las dos probabilidades últimas, hallaremos 17798. 38814246144 23328 A Hi 99768109928 =0,6494 23328 503883482 para el primer jugador ; y 98012 20993863784 $038848 = —————_=0,3505 398223 1122 59768109928 5038248 23328 para el segundo. CUESTION CUARTA. 41. ¿Cuántas veces se debe tirar un dado de seis caras para tener una” probabilidad igual 4 > = de sacar el 6 4 lo menos una vez? Este egemplo se resuelve por la lejano del n.? 38, en la que todos los términos, menos el último, deben sumar 2, y el último Í; será pues ) -L23-1.4 f” =é de donde x= = 9,59; 1.6-15 lo que manifiesta que abrazando mas de y tiradas, se tiene una probabilidad superior á 7 22 de sacar el 6 4 lo menos una vez, Si se pidiese el número de tiradas necesario para tener una “probabilidad de £ de sacar los cuatro seises tirando 4 dados, PEI AID II A «reed 154] 1.5 entonces sata =2055,79; 1.1296-1.1295 últimamente para que haya tanta probabilidad de sacar las se has coto para no sacarlas tirando con los mismos 4 dados ¿$0 Necesitam;: bilidadora *ob«íb sora obasrearro [.2 = 885,38 'tiradas x— l.1296-1.1295 CUESTION QUINTA, 42. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden combinar las 4o cartas en el juego del ¿resillo, 6 cuántos son los lances d este Jueppda ss da | ISS Para resolver esta. cuestion , tendremos presente lo dicho acerca de las potencias de los polinomios en el n.? 37. Considerando que en este juego cada uno de los tres jugadores. tiene 9 cartas, y que quedan 13 sobrantes en el platillo, inferire: mos que los lances de este juego estarán espresados por el coeficiente de a9b%c*d** en: el desarrollo de (a+b=c4d)*, el cual es E OO 1.2.3.0.9X1.2.3.09X1.20309<1.203000:.13 :.que suprimiendo los factores comunes al numerador y denominádor, se reduce á 2.3.5."7."13,"17,19:23.29.31=1592814947068800 número de disposiciones diferentes en que pueden quedar repartidas las 40 cartas entre los 3 jugadores y el platillo, Suponiendo , que la.1oo* parte de los 600000000 de habitantes que se regulan en el mundo sepan este juego, que se dividan en ternas , y jueguen . en efecto cuatro horas cada dia; suponiendo tambien que un juego con otro dure 3 minutos, se. necesitarian 15650980534 (55 años para que se verificasen 55 las combinaciones del tresillo; y esto en el supuesto de no repetirse ninguna, Sin embargo, no debe creerse que ascienda 4 tanto el número de lances esen= cialmente diferentes del tresillo. Hay juegos, por ejemplo, que son imperdibles de cualquier modo que esten distribuidas las demas cartas, y de cualquier modo que se jueguen. Un juego de 7 triunfos de espada, mala, punto, rey, caballo, seis y cinco, es imperdible; y tambien lo.es otro dé espada, punto,-rey, caballo, sota, tres y sels, etc. | | CUESTION SESTA.. 43. Cuatro jugadores A, B, C, D han reunido 15 fichas en una urna, de Jas que y son blancas y 6 negras, y han'convenido en que el primero que saque una ficha negra ganará el juego. El jugador 4.es el 1.? que debe:sacar, B el 2.*, Cel 3%, y Del 4.2, y así en este Órden: las fichas que se sacan de la urna no se vuelven á meter en ella, ¿qué probabilidad tiene cada uno de ganar? Supongamos .m .el número de fichas blancas y n el de las - megras; la probabilidad de sacar una negra será | mn mM > * 4 e y la de sacar una. blanca ; E , y como segun-las «condiciaxs nes del juego no se acaba éste :aunque se saque una ficha blanca; m será tambien la probabilidad de que. se pasará á la se- , Ñ . M x ) > gunda tirada, ¡0 «de-que tendrá lugar la segunda tirada : para que ésta se verifique, habrá sido necesario que se sacase una blanca en la tirada anterior; así que en esta segunda tirada quedarán m-1 fichas blancas, y las probabilidades en :esta,tirada serán mM-Y a - de sacar una blanca, EN y p ' -¿M+-1—+N 4 » _——— de sacar:una negra. +. 900 FrimAn eisacarjama megrá. — y oouclo e — Estas probabilidades deben multiplicarse por la de que ten drá lugar la segunda tirada para obtener: las probabilidades d los dos acontecimientos que de ella resultan (1 7), lo que dará mM-1 m ———— X == de sacar una blanca el jugador 3 M-I+4 MN n >. M-1+Nn Man de sacar una negra, Si B saca una blanca, ya no quedarán en la urna mas de m-a fichas blancas, y discurriendo para la tercera tirada como para la ! | m-2 segunda, hallaremos ———— de sacar una blanca, y m-2n M-2+N de sacar una negra; y multiplicando estas probabilidades por la de que se pasará 4 la tercera tirada, que es - m-1 ¿O ad m(m-1) mien men (men) (m-1==n Y m (mx) on CET 0 de sacar una negra, (man) (m-1+n ) m-2+n ó en favor del jugador C, tendremos m(m=1 M2 (m-1) Mea de sacar una blanca, (man) (m-14-8) m-24n + que será la“de que tendrá logar la 4.* tirada, Si C saca una blanca, no quedarán en la urna mas de m-3, y las probabilidades de la 4.* tirada serán A de sacar m=3+nN una blanca, y > de sacar una negra, y multiplicándolas S | [57] por la de que tendrá lugar la 4.2 tirada, se tendrá m(m-1) (m-2) n (Men) (m-1--n) (m-2+n) m-3n —— en favor del jugador D, m(m-x)(m-2) m-3 (mn) (m-1n) (m-24n) m-3=n contra D, ú de que tendrá lugar la 5.* tirada, Si el jugador D saca una blanca , volverá 4 sacar el jugador 4, y como no habrán quedado mas de m- 4 blancas, tendrá la probabilidad m(m-1)(m-2m-3) n Fx e (mn) (m-1==n) (m-2-1) (m-3-2n) men de ganar, m (m-)(m-2)(m-3) m-á (mn) (M-1-=n) (M-2-n) (M-3-=n) m-4==n de perder, Continuando de este modo, y haciendo para E senci= llez m==n=r, se formará la série ma mn(m-x) mn(m=x Xm-2) TATI AR r0=1) rlr=2)(r=2) > r(r=3)(r=2)(1=3) mn(r=r)(ra=2Xm-3)— mn(m=x)im-2Xm=3m-5) all) NN mrkm=x)(m-2)(m=3) (m=4) (m-S5) rlr=1)lr=2)(r=3)(r=4)0=5)(r=6) en la que el 1,*, 5,9, 9.” términos espresan las probabilidades 8 n A] r S etc., A O DO DO O NN 64 no puede hallarse mas de POr id seguidas despues del primer lugar; la disposicion BAAJAAB, por ejemplo, no puede entrar en la de seis golpes, por que la disposicion BA4A44 termina el juego al cuarto golpe. Con estas observaciones facilmente hallaremos los diversos acontecimientos posibles, que son: al primer golpe al segundo al tercero al cuarto etc, Á ÁA ABA ABAA 6 b : AB ABB ABAB BA BAÁA ABBA LB BAB ABBB BAAA pd BAAB lo sol sabio BABA BABE Buscando en esta tabla, que es fácil continuar , las disposiciones en que una letra se halle repetida dos veces mas que la otra, que son las que terminan el juego, se hallarán 2 en dos goles, á saber A4 y BB; 4 en cuatro golpes, que son 4B 44, ABBB, BAÁA, y BABB,; y así de las demas, Y como la probabilidad de ganar un pe se ha supuesto +, la de ganar dos puntos seguidos será +.7=% que será la probabilidad de cada uno de los Acontesimitatos del ceuta golpe; la de cada uno 1 de los de tres golpes sera >.7.7=35 la de cada uno de los de cuatro golpes será +. Lii=E, qn ; por consiguiente, una vez que hay dos lances que terminan el juego en dos golpes, ha- e A probabilidad de que el juego se acabará al segundo golpe; aa z de probabilidad de que se-acabará al cuarto golpe; y por e mismo habrá £ ¿77=% de probabilidad de que el juego no pasará del cuarto golpe ; ; del mismo modo hallariamos 5% 7 == a de que el juego no pasará del sesto golpe, +3 E o =x5 de que no pasará del octavo golpe, y vasi de los demas. Es inútil advertir que el juego no puede ter minar, segun las «condiciones impuestas, sino en un número par de golpes, Segun esto, y siendo la superioridad pedida de dos puntos so- lamente, la fórmula que dá las probabilidades para dos golpes es (e+f)=e* +axff”; en la que el término e* indica la probabilidad de que el jugador 4, ganará los dos puntos seguidos, y por consiguiente que se acabará el juego en dos golpes; 2ef, la probabilidad de que no se acabará el juego en dos golpes, porque uno de los jugadores gana un punto y otro su contrario; y f* la probabilidad de que ganará el juego el jugador B, y que se acabará el juego en dos golpes; de modo que e* +f? indica la probabilidad de que se acabará el juego en dos golpes. Si consideramos mas tiradas será fácil sacar las probabilidades de la misma fórmula , multiplicándola por ef tantas veces como mas tiradas se consideren, lo que es conforme á los principios de las probabilidades compuestas (18); pero como los términos e* y f? terminan el juego, no se deben multiplicar por ef por que indicarán lances de tres letras que no se pueden verificar: así que solo se multiplicarán los términos que no deciden el juego. Haciéndolo con el aef por e-+f resultarán los af 2ef* correspondientes 4 los acontecimientos BAA4, ABB de los que ninguno decide el juego. Considerando cuatro golpes, y multiplicando por e-+f los dos últimos términos, tendremos ” 20 fef "_+20f « en que el término de enmedio corresponde al caso en que no Se acaba el juego: y como no puede acabarse este sino en un niúmero par de golpes, será mas fácil tomar por multiplicador e+oef+f”, y continuando la operacion, vendremos á parar á esta progresion geométrica 2ef, 4e*f”?, 8e*f?, 16e*f* etc. para las probabilidades de que no se acabará el juego en estos ') [66] golpes; y suponiendo que las probabilidades simples sean para ganar cada punto, se tendrá para las probabilidades de que no se acabará el juego al 2.0, al 4., al 6.2, al 8.2 etc. golpe; y restando de la unidad cada una de estas fracciones, resultarán las A ES AS TE 214 que espresarán las probabilidades de que se acabará el juego en los mismos golpes, | | Cuando el esceso de los puntos que hacen ganar es de mas de dos, entonces la regla qué hay que seguir es la siguiente: Para hallar la. probabilidad de que el juego, en que el jun gador A debe ganar. p puntos al jugador B, ó. éste q puntos al jugador A, no se acabará en un número .r. de golpes, multipliquese el binomio e+£ por sí mismo tantas veces como unidades haya en r-1, teniendo cuidado despues de cada multiplicacion de borrar los términos en.que el esponente de la letra e sea ma— yor en la cantidad p que el esponente de f, así como los LC Miz nos en que el esponente de f sea mayor que el de e en la canti. dad q; Y los términos restantes darán la: probabilidad. pedida. Los términos que se borran es porque corresponden á acontecimien= tos que terminan el juego. Si se hubiese convenido, por egemplo, en que el jugador A debiese ganar 3 puntos mas que su contrario, y este 2 puntos' mas que el jugador A para ganar el Juego, :y se pidiese la probabilidad de que se acabará el juego al 7.? golpe, entonces DEB 92 107 y despues de seis multiplicaciones hallariamos 21034130 f*; [67] - y si se supone que e=f=2, equivaldrán dichos términos 4. : AS Ads ET 128 128 64 , para la probabilidad de que no se acabará el juego en 7 golpes; y restando esta probabilidad de 1, se tendrá la de que se acabará el juego 4 los 7 golpes, la cual es 1-¿2=2 Si el esceso de los puntos del jugador A hubiese de ser 5 para ganar el juego, y el de los del jugador B hubiesen de ser 4 - para lo mismo, y se pidiese la probabilidad de que se acabará | el juego en 12 tiradas, entonces PS) (=4) 112 y despues de 11 multiplicaciones se llegaria 4 2740 ftH+4400f+406e:f*; y suponiendo que tambien fuese 3 la probabilidad de ganar un punto, equivaldria esta espresion á 274-+440+406 1120 BS: 2048 2048 — 64 que esla probabilidad de que no se acabará el juego ; la cual, restada de la :anidad, dará la probabilidad pedida, que es 2, la Que siendo menor que % manifiesta que no es probable que se acabe el juego en 12 tiradas. ( Se ve por lo que precede, que cuando el esceso de los puntos - *S:algo'considerable, se necesita mucho número de tiradas para Que haya probabilidad de que.se acabe el juego, ú de que lo gane, Wo de los jugadores. Esto manifiesta que la clase de juegos en Que se atraviesa dinero, menos perjudicial 4 las costumbres, es. que llamamos de los juegos al, rebatir; sobre todo cuando se: Ja un esceso algo grande; pues por mucho tiempo que empleen. * ellos los jugadores, no se puede atravesar un número. consi derable de juegos; así como son los mas perjudiciales cuando no Y atraviesa dinero, porque consumen el tiempo, que es de un. [68] valor inestimable. No considerando, por egemplo, mas de 4 puntos de esceso, se necesitarian 12 tiradas para llegar 4 una probabilidad mayor que ; de que se acabará el juego con este número de golpes, como se manifiesta en las diversas multiplicaciones de e-+f que siguen: y erf e+srjfof?; Pe+lflj—_f; pep 6fregef*; 40 f+100f "+10 *fi+4f*; 140 [+20 ft+1 ¿efe 10 +3 fe fi+É1 geft; 48e*f *+-680% Ef"; 48 fi H1160/*H+H1160f*+480%f 55 1640 442320 f*2+1640*f6; a x640”f 4439 Cf i+3960 41640”; 164 fi+5 60 fi4+7ga0 fis 60 f”+164e*f*; y suponiendo siempre e=f=%, y calculando cada una de estas espresiones , Se halla que sus valores son: 1, 1,1, 221% 2 1,2, 2, y E2; que espresan las probabilidades de que n0 se acabará el juego en 1, 2,3,.....r2 golpes; y como solo la última de' estas fracciones es menor que E, inferiremos que la probabilidad contraria, 6 la de que se acabará el juego, no e% mayor que 2 sino se abrazan 12 tiradas. Hay mucho que teparar en las espresiones anteriores. EM primer logar la 1, 2% y 3, es cada nna igual 4x1, do que | [69] manifiesta que ciertamente no se acabará el juego en una ni en dos, ni en tres tiradas (8); lo cual es evidente por las mismas “condiciones del juego, pues solamente se puede acabar cuando un jugador haya ganado 4 puntos mas que su contrario, para, lo que se necesitan jugar lo menos cuatro tiradas. En segundo lugar la 4% y 5%» la 62y7., la“o. y 9%, la AA o son iguales entre si5 y esto es muy sencillo , porque aunque los lances que no acaban el juego son en doble número en un número impar de tiradas que en el número par anterior , como puede verse, continuando la tabla de las combinaciones de las letras 4 y B, tambien es cierto que abrazando un golpe mas hay que multiplicar la fraccion anterior por 2 para obtener la probabilidad compuesta del golpe siguiente, y por consiguiente lo que por una parte se aumenta, por otra se disminuye. Cuando la probabilidad de ganar un punto es menor que z, se viene 4 parar tambien á una progresion geométrica, cuando el esceso que hace ganar es de dos puntos solamente Pero en este caso no se pueden calcular las probabilidades de que se acabará el juego por medio de sus contrarias, sino que hay que calcularlas directamente. La regla que hay que seguir para esto es la misma que la anterior, sin mas diferencia que el poner aparte el valor de los términos que se van borrando, pues su suma dá las probabilidades de que se acabará el juego en 2, 4, 6 etc. tiradas. Siendo 7, por egemplo, la probabilidad de ganar un punto, hallariamos A para la probabilidad de que se acabará el juego en dos tiradas; ES 3 LAA 223 22 fuzrfi= ii para la de que se acabará en cuatro tiradas; 4/2 17 O > 2 22 __206 fi 40 =p 7739 para la de que se acabará en seis tiradas; y así de las demas. Donde .se advierte, que cuando la probabilidad de ganar un punto es menor que 7 se necesita un gran número de tiradas para llegar 4 una probabilidad mayor que ¿ de que se acabará el juego, aun cuando la conclusion de este dependa únicamente del esceso de 2 puntos, [70] 003099 LITA DETERMINACION DE LAs O robabilivaes De fa SBoteria O E RO CUESTION DECIMA. ¿Qué probabilidad tiene de acertar el que ha señalado uno 4 mas de los go números de la Lotería? 47. Este juego se hace por lo comun á cuenta de los go= biernos, y consiste en meter en una caja go números desde el y hasta el 90, y estraer 5 de ellos. Con anticipacion han señalado los jugadores en las respectivas administraciones los números que quieren jugar, pagando al respecto de la clase de su Jugada; y despues de publicada la estraccion acuden á cobrar sus ganancias los que han tenido acierto 4 las administraciones donde jugaron. Es muy diverso el modo de hacer las Jugadas; unos señalan uno ó mas números, y los juegan á estracto sim= ple Ó á estracto determinado; y si sale alguno 4 algunos de los que jugaron, reciben un premio igual á 10 veces lo que juga» ron á cada estracto simple de los que aciertan, 0 4 50 veces lo que jugaron á cada estracto determinado de los que aciertan, Otros señalan 2 Ó mas números, y los juegan al ambo; y si aciertan 2 números ganan un ambo, si aciertan tres números ganan 3 ambos, si 4, ganan 6 ambos, y si aciertan los 5 ganan ro ambos: por cada ambo que ganan reciben un premio igual ú 238 veces lo que jugaron 4 cada ambo de los que aciertan. Otros últimamente señalan 3 Ó mas números, y los juegan al terno, y si aciertan 3 números ganan un terno, si 4, ganan 4 ternos, y si los 5, ganan ro ternos; y por cada terno que aciertan reciben un premio igual 4 4250 veces lo que ju- [71] -garon á cada terno de los que aciertan. Cada uno paga tantos ambos Ó ternos como combinaciones diferentes de á dos 6 de 4 tres números es posible hacer con los números que juegan. -Si, por egemplo, se juegan 5 números al ambo, se pagarán £¿=r0 ambos; si se juegan los 5 números al terno , se pagan L=10 ternos ¿ y si se juegan al ambo y teruo, se pagan 1o ambos y Lo ternos. Si se juegan 10 números al ambo, se pagan 2=45 : pe ambos ; si se juegan al terno, se pagan ¿£22=120 ternos; y si se juegan al ambo y terno, se pagan 45 ambos y 120 ter- -nos, Despues de esto tratemos de resolver la cuestion propuesta. Puesto que en cada estraccion se sacan 5 números de los go, .es evidente que cada número tiene 35=75 de probabilidad para salir; así que el que ha señalado un número tiene 37 de pro- -babilidad para acertarlo, y F¿ para no acertarlo.- De aquí no debe inferirse que el que ha señalado 2 6 3 números «tiene H O ¿5 de probabilidad para acertar uno; porque entonces el que señalase 18 números tendria ¿% de probabilidad de acertar uno, y como esta fraccion es igual á la unidad, se seguiria que el que juega 18 números tiene certeza de acertar uno; lo cual es un absurdo. | Para sacar las probabilidades de agertar un número seña= lando dos 6 mas de ellos, consideraremos que una estraccion es una combinacion de 5 números cualesquiera de los go, y como estos componen — 2 —= 430149268 combinaciones de 4 5 números ó cinquinas , tendrá 4-su favor el jugador todas aquellas cinquinas que contengan uno Ó mas números de los que señaló. Si; por egemplo , se juegan dos números, y se quiere saber la: probabilidad de acertar uno, habrá 4 favor to= das aquellas cinquinas que contengan uno de los números designados. La cuestion está pues reducida 4 buscar este número, Esto es súmamente fácil pues no hay mas que calcular las cua ternas que componen los 88 números restantes, y juntar 'alrer= nativamente á cada una de ellas cada uno de los dos números =señalados; asi que se tendrán 4 favor LÉ2363524663780 . . . . d+. , 1.2.3+4 , Cinquinas; y dividiendo ahora este número por el número to= tal de cinquinas, se tendrá $423 0,1061 de probabilidad de acertar nada mgs de un-número-señalando dos. Si sequisiese saber la probabilidad de acertar 4 lo:menos uno de los dos, en- 2] tonces no solo habria 4 favor todas las cinquinas que contuviesen uno de los números señalados, sino tambien todas aquellas que contuviesen los dos: estas últimas se forman averiguando los ternos de los 88 números restantes, para juntar 4 la vez á cada uno de ellos los dos números designados; y se tendrán otros *E$2%£—109736 lances favorables, que agregados á los 4663780 anteriores, componen 4773516 lances favorables, que divididos por el número total de lances, se tendrá 4773516 031086 que es la probabilidad de acertar á lo menos un número, designando dos. 48. Para resolver el problema que nos ocupa con toda generalidad, consideraremos una lotería compuesta de n números, y que en cada estraccion se sacan m5 segun lo que, la probabi- - Jidad de que designando £ números, se acertarán s, se hallará formando la espresion del número de combinaciones de los n-é números restantes tomados en número m-s, que será (n-t) (n=t-1)(1-t=2)...... $ n=t-(m=s) +1 > 2 1,2, AR (m-s) o . considerando despues que los £ números designados pueden com binarse de t(6-1)((-2)».....((=s+1) Maneras, SA se multiplicará esta última espresion por la anterior para obtener el número de lances favorables. El número total de lances se sacará formando las combinaciones que componen los n números de la lotería tomados en número y, que son » n(n-1)....(n-m-+-1) A. Lim ..../1% ; [73] - y dividiendo por último el número de lances favorables por el número total de lances, se tendrá la probabilidad pedida, la cual es PAS 1 2.3 A (0) t(c-1)(0-2)....(C=s-+H-1) A (AE —MMM» A. ) 120 TN=1 ).».... (M=M-+-1) fórmula que se simplifica, suprimiendo los factores comunes al humerador y denominador, y ; Cuando la probabilidad pedida no es-la de la salida de un húmero preciso de números designados, sino la de que no se acertarán menos de. un número determinado ,r, por egemplo, entonces se pondrán en lugar de s los números Ty TT, PL caos.» hasta m, sit>m, ó hasta £ si tm, Con estos antecedentes fícilmente resolveremos todos los problemas de este género que se puedañ proponer, . Supongamos en primer lugar que se han señalado 20 de les go números, y hallaremos por las fórmulas anteriores, las Probabilidades siguientes: PA, SA Para no acertar ninguno de los 20 números, 70,69.68.67.66.. 1.2.3.4.5 pes 1,.2,3.4.5 90.89.88.87.86 =0,27533 Para acertar un número nada mas, ...,70.69.68.67 20 1.2.3,4.5., , AR A AKÁA 0,4173 1.2.3.4 1 90:89.88.87.86 10 MY mat l—= monte; ol os de 2 Ia [mue Y C m-2 ? m-2 ESA m-3 1 ir a DE ES nto eg oto, a id O LE A A ad DP ppt AO Pr se determinará por medio de una série, tanto mas conver= gente cuanto mayor sea el número n la razon de cada tér-= mino de la fórmula propuesta comparado con el primero; y será fácil determinar la probabilidad que se busca por medio de dicha fórmula, la quecon las observaciones últimas queda reducida 4 AED "pop ia >») Para obtener Ía probabilidad pedida se deben calcular tantos términos de la fórmula como unidades haya en ir, Si suponemos mi=30, ¿=5, que son las condiciones de la lotería primitiva, hallaremos calculando los seis primeros tér= minos para la probabilidad de que hayan salido todos los nú= meros en r1oo estracciones 0,7410 Considerando solo 85 estracciones, hallariamos 0,4887. En 150 estracciones la probabilidad de que hayan salido todos los números es 0,983r, y últimamente en 200 -estracciones la misma probabilidad es 0,99902.. [33] De la esperanza, matemática y de-la'valuacicn de las apuestas 52, Entiéndese por esperanza matemática el producto de Una suma eventual por la probabilidad de obtenerla. Si , por egem- Plo, hay un fondo de una importancia « destinado para aquel de dos jugadores que gane el juego,:y suponemos que uno tiene 3 de probabilidad. para ganarlo: y el otro %,:la esperanza mare. Mática del primero sobre dicho fondo será ¿<a =3, y la del segundo Fxw==*%2: por manera que tratando de enagenar su 'Speranza uno de los jugadores, loque equitativamente puede dedir. por la suya el primero esify y el segundo = 53. Segun esto es muy: fácil determinar la parte que cada Uno deberá poner en el fondo antes: de principiarse »el juego; Pues es claro que la parte: de cada uno. debe: ser proporcional á4 esperanza que tiene de ganar. De aquí se infiere que la suma Ye cada uno de los Jugadores debe poner en el fondo del Juego de ser proporcional al número de lances que tiene en su favor; * suerte que llamando e la. probabilidad de un jugador, Fla £. otro, y ab las sumas que ¡ponen- en el fondo, para que el dartido sea equitativo, debe verificarse: la proporcion asbriesf, de donde af=be. Si, por/egemplo, apuesta un Jugador “sacar un punto deter tnado-tiraudo: con 'ua dado: de seis «Caras, lo” que debe poner “el fondo es 1, y Su contrario 5,-porque el primero no tiene Mas de-un lance en su favor, mientras éste tiene cinco; y de Ste modo se: verifica la proporcion 5:6::1:5, Esto es muy icillo, «pero para comprenderlocon:mas: claridad, suponga= 43 que seis jugadores se.han repartido los:seis ladcas que pue= | 5 suceder, «cuando se-tita umdadó ode :sejs Caras, tomando da uno el suyo; en:este «caso todos: deberán poner igual cano “ad en el fondo ,, porque no hay razon ninguna para que uno Y Mas y otro menos. En este estado, si otro Jugador quise sustituirse 4 cinco de los que han apostado, Ó quisiese Mprarles su esperanza:,: deberia: dat» 4 cada uno sú dinero; Por consiguiente este Jugador pondria ?5. tantos mas que su “rario,, Del tolsmo ¡modo discurriremos con respecto 4'otros 11 [ 82: egemplos mas complicados, Si, e egemplo, se quiere saber lo que debe poner en el fondo:el que apuesta sacará lo menos do$ veces el punto 4 tirando cinco veces el mismo dado, sabiendo por el número 27 que la probabilidad de este lance es a, inferiríamos que debia poner 1526'y su contrario 6250, 54. Cuando la decision del juego depende de pruebas .repetidas, y han tenido lugar ya algunas de ellas, varía la esperanza matemática y puede adquirir: mas 6 /menos importancia: Supongamos que apuesta uno sacar 2 veces seguidas el punto 6 tirando dos veces un dado de 6 caras, y que por consiguienté ha puesto 1 en el fondo y su contrario 35; despues de esto sé tira una vez el dado y sale un 6, y “antes de tirarse la segunda wez se convienen en separarse, ¿qué cantidad debe tomar cada “uno? Es:claro que el primero debe llevarse 6 y su'contrario 30; porque habiendo salido ya una vez el 6, la decision de la suette depende de que salga 6 no el 6 en la tirada que queda; Y como la probabilidad de que salga el 6 en esta tirada es z, ] la de que no salga ¿, se llevará el primero la sesta parte de fondo y el segundo las cinco sestas: partes. * p Del: mismo modo, si suponemos que hay un fondo destin2” do para aquel de dos jugadores que gane antes tres juegos, ) que, habiendo ganado uno de ellos dos juegos y el otro un quiere separarse, nos será fácil determinar por medio de 1% probabilidades compuestas la parte que cada uno se debe lleva!" Para' esto consideraremos que: si se hubiese jugado un jueg mas , y lo hubiese ganado el primero, se llevaria todo el fondo: la probabilidad de este acontecimiento es 3. Si el juego lo gan el segundo jugador, cada uno de ellos habria ganado dos juego? y el siguiente decidiria la suertes pero como la probabilid! de que llegue 4 jugarse este juego es 4, tendrá cada jugador 4 probabilidad de ganarlo: ahora bien, esta última probabilid* es la única esperanza que le queda al segundo jugador, mienté* que el primero tiene ademas 3 desde el juego precedente; sel pues las probabilidades ú las esperanzas que quedan 4 cada W | | para el primer jugador ¿+-3=¿, y para el 2.” £5 y por consiguiente si el fondo del juego fuese 36 piezas» primero se llevaria 36x3=27, y el segundo 36xF=9+» e Hemos considerado aquí la separacion de los jugadores an | [83 dé la decision de su suerte como pa de convencion, pero 'en muchos casos puede ser necesaria; y esto sucede cuando no se puede determinar el fin del juego, el que puede ser intermina= ble en los juegos al rebatir. Supongamos, contrayéndonos al egem> plo del n.? 46, cuestion 9.?, que el jugador 4 gana un puto al primer golpe, y que entonces propone la separacion. Segun la tabla del número citado si sale 44 la primera tirada, ya no quedan para la segunda sino los acontecimientos 4 0 B, de los que cada uno tiene 4 de probabilidad; si sale el primero gana el jugador 4, y si sale el segundo quedan reducidos á la igualdad los dos jugadores; Ó quedan, como al principio del juego, con la probabilidad 3 de ganar; luego el primer jugador tiene, despues de ganado un punto, 4 -3=3=¿ de probabilidad de ganar, y el segundo FxF=3 solamente; y por CONSi= guiente si se separan, se llevará el primero los 4 del fondo, y el segundo $. CONCLUSION, Por todo lo que precede se ha podido notar la exactitud de que es susceptible el Cálculo de las Probabilidades, y hasta qué “punto puede fundar los «motivos de nuestra opinion sobre los acontecimientos inciertos: Es verdad que por medio de este ramo de las Matemáticas no se fija de un modo preciso - lo que infaliblemente debe suceder ; pero se determina con toda la exactitud de:un cálculo rigorosamente verdadero el grado. de confiariza «con que: debemos «esperar. el acontecimiento que sea el objeto de nuestro interes; y esto. es ya sin duda muy importante. Aunque sea cierto que con solo: el auxilio de la - Tazon podemos llegár 4 descubrir la: mayor 6 menor probabilidad de un acontecimiento, nos es imposible sin embargo. deter= minar el grado de confianza. con que debemos: esperarlo, sin valernos para esto del cálculo; y aurt nos puede suceder que, lle> WYados de las apariencias,' tengamos por muy probables algunos hechos , quez sujetándolos 4 un cálculo matemático, resulten ser improbables, ó que'sea menor que 7 la fraccion que esprese Su probabilidad: ña Solo las leyes de las combinaciones y algunos principios de álgebra, nos han conducido al descubrimiento de las verdades importantes que contiene esta primera seccion del Cál- 04 culo de: las Probabilidádes.- Pero “estas mismas leyes y Ta apli cación de las partes mas elevadas del álgebra, conducen 4 resul. tados mucho mas interesaútes en la determinacion de los proba: bilidades d ¡posteriori: La consideración de las pruebas repetidas, y la determinacion de las probabilidades compuestas de los acontecimientos que de ellas resultan con arreglo/4 sus probabilida= des simples , hizo concebir laideáa: de hiacer servir de una ma-= nera incontestable la observación de los acontecimientos pasados 4 la determinación de'los: futuros, y llegará conocer la proba. bilidad de los: hechos únicamente por medio. de las observacio. hes, por que es demostrado, que en una larga série de pruebas, la distribucion de los acontecimientos simples tiende continvamente 4 aproxirmarse 4 larazon de su probabilidad. Esta ley que se prusba 'por:el cálculo, y que acredita la esperiencia; es mu luminosa , y dió-motivo á Jacobo Bernoulli. para llevar el Cálculo de las Probabilidades mas l-jos de lo que tal vez podian imagiz nar los primeros que se ocuparon de él,:con el único Objeto de resolver cuestiones relativas á los juegos de suerte, Bernoulli comparó: los acontecimientos, cuya causa no” seicoroce, 4 lab exo tracciones repetidas de vana: urna que contuviese: un número ignorado de billetes blancos y negros ; pero que permaneciese siempre el mismo número; wolvieñdo 4:meter en Ja urna 4 cada tirada el billete que se hubiese: sacado: esta suposición es leyíz tima, pues pudiéndose mirar como infinito el número de los acontecimientos naturales, no*debe considerarse quese dismi - nuye sensiblemente, porque: se «verifiquen los que “observamos, Esto le dió ¡motivo 4: proponerse el siguiente problema que túvo sin Tesolveren sulibro de memoria por espacio de veinte años, á saber: Buscar'si, aumentando: sin cesar él múmero de observaciones , se hacta crecer la probabilidad de tener la verdadera razon entre el número de lances que producen un acontecimiento Y los lances contrarios, de tal modo que dicha probabilidad llegase d ser mayor que un. grado determinado «de certeza. La solucion de este problema, y: la de otros; que se le siguieron, abrió un estenso campo donde: seegercitaron sublimes talentos é ilustres geómetras, aplicando con tanto fruto el Cálculo' de las Probabilidades á las ciencias físicas, morales y políticas, :: ; 00 . Hito 1 st ob Aa delo «contenido en este opúsculo, Acepciones de las voces certeza. y. probabilidad. :-. 3 Definicion de la probabilidad matemática. ..... 7 La unidad es el símbolo de lo absolutamente cierto. . ibid, Determinacion a priori de la probabilidad matemd- AAA cl NE ERE A EA Cómo se obtiene P probabilidad ASEO e E Cómo se obtiene la probabilidad compuesta. ..... 18 Determinacion de las probabilidades en las pruebas repetidas de los mismos lances. .....o..... 24 Cómo se determina el número necesario de A para que un acontecimiento adquiera una probabi- A AO O A E OE. E Cómo se determinan las probabilidades simples por medio de las compuestas. .. o... A a A E Cual es el acontecimiento compuesto mas eobabTe en un número cualquiera de pruebas. «......... 34 Resolucion de varias cuestiones por medio de las PrOO ADA ION cta aa o ao 47 A AE AAA ES SEL A E ¿CONAg CEN A a a o O A LALA TARA TES AA e... 33 TUE ea a ia e .......o.. dé TOS A a ARDE ON cos Eo, dentarias, RA dE A PUEDA: y o cacas mao... DA Determinacion de las probabilidades de la Lotería. . 7o OEA AA ID O Ra 13 Ñ De la esperanza matemática y de la valuacion de A a ao do e eN le Conclysion. Jedi tó oo 0 aa oe 83 t Gúñ * í í i os, A i . r ERA : y > E A A A e A A A A » ? 9.06 Ue ¿5 sa +e eos . « Ñ ) ” a . . Página. Línea. ERRATAS, Dice. de el los 5+* (m--m)* (m--m) m, 5.3.t2* n +1365m"*n —+5005mw%n 210,32 menos á que se —+35e*f +1260%f 6, Léase, de ellos 5 - (m+m)8 (m-—-11)8 m*, DISTA ní —+1365m*n* —+5005m n? 210.3.424 menor que se +H35e0f* +126e%f? 6* >»