Análisis del efecto de tamaño y forma de la entalla en componentes sometidos a fatiga
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Tesis Doctoral Ingeniería Mecánica Análisis del efecto de tamaño y forma de la entalla en componentes sometidos a fatiga Autor: José Antonio Balbín Molina Directores: Alfredo Navarro Robles Catedrático Víctor Chaves Repiso Profesor titular Dpto. de Ingeniería Mecánica y Fabricación Industrial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020
A mis padres
Agradecimientos Me gustar´ıa agradecer en estas breves l´ıneas a todas aquellas personas que han formado parte de esta etapa. En primer lugar, quiero expresar mi gratitud a mis directores de tesis, Alfredo y V´ıctor, por su ayuda prestada en todo momento, su buen hacer y la confianza depositada desde el primer d´ıa. Gracias tambi´en al resto de miembros del departamento de Ingenier´ıa Mec´anica y Fabricaci´on por la ayuda recibida. Tambi´en me gustar´ıa agradecer al Dr. Nicol´as Larrosa, la grata bienvenida y su labor de orientaci´on y motivaci´on durante mi estancia investigadora en Bristol. iii
Resumen El crecimiento de grietas por fatiga es el mecanismo de fallo m´as com´un en estructuras industriales o componentes mec´anicos, ya que generalmente est´an sujetos a cargas c´ıclicas. La presencia de discontinuidades geom´etricas como las entallas provoca un aumento de la tensi´on local y puede conducir a una formaci´on temprana de grietas peque˜nas. Comprender el proceso de fatiga en componentes con entalla y estimar sus l´ımites de fatiga es de gran inter´es para los ingenieros e investigadores, por lo que los m´etodos para predecir el fallo por fatiga deben tener en cuenta su efecto. El objetivo principal de esta tesis es evaluar la resistencia a fatiga de componentes entallados teniendo en cuenta el efecto de tama˜no del propio componente. Por este motivo se ha realizado la formulaci´on de un m´etodo de c´alculo, basado en la propagaci´on de grietas peque˜nas, que considera el efecto de tama˜no finito a la vez que se han llevado a cabo ensayos experimentales representativos de este efecto. La primera parte de esta tesis consiste en el desarrollo de un m´etodo para la estimaci´on del l´ımite de fatiga de componentes entallados en los que la grieta nace de la ra´ız de la entalla. El m´etodo combina la t´ecnica de los elementos finitos y el uso del modelo microestructural de grieta peque˜na propuesto por Navarro y de los R´ıos (modelo NR) y su formulaci´on est´a basada en el trabajo de Hartranft y Sih que propone la superposici´on de problemas para obtener una anulaci´on sucesiva e iterativa de las tensiones en los contornos de inter´es. El objetivo es dotar al m´etodo de la capacidad y versatilidad para estimar la resistencia a fatiga de componentes en los que la entalla es de tama˜no y forma arbitrarios. Para ello, el m´etodo desarrollado consiste en la descomposici´on del problema original de un componente entallado, de geometr´ıa real, en diferentes escenarios m´as simples. La divisi´on del problema original en estos escenarios m´as simples v
reduce enormemente la dificultad de resoluci´on y s´olo precisa de un proceso iterativo entre las resoluciones de ambos escenarios para conseguir la soluci´on del problema original. La base del proceso iterativo desarrollado consiste en que la soluci´on a un escenario representa las condiciones de contorno necesarias para resolver el otro escenario. Este proceso iterativo se repite sucesivamente hasta hallar la convergencia. Para comprobar la funcionalidad y validar el m´etodo, se han realizado varias comparaciones con ensayos de fatiga sobre componentes entallados presentes en la literatura. Se han analizado diferentes tama˜nos y tipolog´ıas de entallas as´ı como varios materiales, obteni´endose en todos ellos estimaciones de l´ımite de fatiga cercanas a los valores experimentales. Adem´as, estas estimaciones se han comparado tambi´en con las obtenidas mediante otros m´etodos como los de distancia cr´ıtica, entre otros. La segunda parte de esta tesis consiste en tareas experimentales relacionadas con el efecto de tama˜no finito del componente. Se ha realizado una extensa cantidad de ensayos de fatiga sobre probetas entalladas y fabricadas en acero inoxidable. El efecto de tama˜no relativo de la entalla sobre el tama˜no del componente ha sido analizado, fijando el di´ametro exterior de las probetas e incrementando progresivamente el radio de la entalla. Con esto se pretende evaluar el efecto de tama˜no finito sobre la resistencia a fatiga y la influencia de las superficies cercanas a la microgrieta, debido al aumento del tama˜no de la entalla y la correspondiente reducci´on progresiva del ligamento. Se ha obtenido una curva S-N para cada configuraci´on y los l´ımites de fatiga obtenidos han sido comparados con las predicciones del m´etodo iterativo desarrollado en este trabajo y tambi´en con las predicciones de otros m´etodos. Se ha observado que los valores experimentales discrepan con las estimaciones te´oricas, siendo ´estas ´ultimas extremadamente conservativas. Este hecho ha sido atribuido al endurecimiento del material y a las tensiones residuales provenientes del proceso de mecanizado de las probetas. Por tanto, se ha propuesto un m´etodo pr´actico para aproximar dichos efectos a trav´es de la tensi´on ´ultima de rotura de las piezas mecanizadas. Finalmente, las probetas ensayadas, cuya vida a fatiga se sit´ua en la zona de alto n´umero de ciclos, han sido analizadas a trav´es de diferentes t´ecnicas microsc´opicas. Se han evaluado las superficies de fractura para localizar los puntos de iniciaci´on y observar la propagaci´on de grieta. Los resultados obtenidos muestran que tanto la iniciaci´on como la propagaci´on de grieta se sit´uan muy cerca del punto y direcci´on de m´axima tensi´on principal, respectivamente.
Abstract Fatigue crack growth is the most common failure mechanism in industrial structures or mechanical components, as they are generally subjected to cyclic loading. The presence of geometric discontinuities such as notches, causes an increase in local stress at the notch root and this can lead to early formation of small cracks. Understanding the fatigue process in notched components and estimating their fatigue limits is of great interest to engineers and researchers, so the methods for predicting fatigue failure must take their effect into account. The main goal of this thesis is to evaluate the fatigue strength of notched components taking into account the size effect of the component itself. For this reason, a calculation method has been formulated, based on the propagation of small cracks, that collects the effect of finite size while representative experimental tests of this effect have been performed. The first part of this thesis consists on the development of a method for estimating the fatigue limit of notched components in which the crack grows from the notch root. The method combines the finite elements technique and the use of the short crack microstructural model proposed by Navarro and de los R´ıos (NR model) and its formulation is based on the technique proposed by Hartranft and Sih that proposes the superposition of problems to obtain a successive and iterative cancellation of the stresses in the contours of interest. The objective is to provide a capable and versatile method to estimate the fatigue strength of components in which the notch is of arbitrary size and shape. To do this, the developed method consists on the breakdown of the original problem of a notched component, of real geometry, in different simpler scenarios. The division of vii
´ Indice de figuras 1.1. Ejemplo de representaci´on de curva S-N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Par´ametros relacionados con amplitud de carga constante. . . . . . . . . 4 1.3. Modos b´asicos de apertura de grieta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. Crecimiento de grieta en funci´on del FIT. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5. Representaci´on esquem´atica del diagrama de Kitagawa-Takahashi. . . . 10 1.6. IntegralJ.................................... 12 1.7. Esquema del crecimiento de una grieta peque˜na. . . . . . . . . . . . . . 14 1.8. Distribuci´on de tensiones σyy en la ra´ız de una entalla. . . . . . . . . . . 17 1.9. Simplificaci´on del diagrama de Frost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. Modelado mediante dislocaciones del problema de una grieta, zona pl´astica y barrera en medio infinito y sometido a una tensi´on externa uniforme. 25 2.2. Grieta bloqueada en las barreras microestructurales. . . . . . . . . . . . 27 2.3. Divisi´on en dos intervalos del problema de la grieta aplicando simetr´ıa. . 32 2.4. Funci´on de distribuci´on de dislocaciones te´orica y num´erica. . . . . . . . 35 2.5. Grieta naciendo de una entalla y definida mediante dislocaciones. . . . . 37 2.6. Grieta naciendo de un agujero circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.7. Gradiente de tensi´on en la l´ınea de la grieta. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8. Tensiones σi,N 3para el caso de grieta naciendo de un agujero circular. . . 42 2.9. Tensiones σN Li para el caso de grieta naciendo de un agujero circular. . . 42 3.1. M´etodo de Schwarz-Neumann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2. Descomposici´on del problema real en escenarios m´as simples. . . . . . . 48 3.3. Detalles del escenario 1 en la primera iteraci´on (k=0). .......... 49 3.4. Detalles del escenario 2 en la primera iteraci´on (k=0). .......... 49 3.5. Detalles del escenario 1 en la segunda iteraci´on (k=1)........... 50 3.6. Detalles del escenario 2 en la segunda iteraci´on (k=1)........... 50 3.7. Descripci´on esquem´atica del algoritmo IMFEM. . . . . . . . . . . . . . . 54 3.8. AlgoritmoIMFEM............................... 56 3.9. Modelado del algoritmo IMFEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.10. Comunicaci´on entre los diferentes procesos del algoritmo IMFEM. . . . 59 3.11. Geometr´ıa de placa (a) y modelado en elementos finitos (b)........ 60 xv
´ Indice de figuras xvi 3.12. Gradiente de tensiones de una placa con agujero circular. . . . . . . . . 61 3.13. Tensiones σN Li en funci´on de la longitud de grieta. . . . . . . . . . . . . . 62 3.14. N´umero de iteraciones realizadas en funci´on del grano iestudiado. . . . 64 3.15. Convergencia del valor de tensi´on en la barrera σi 3obtenida en cada iteraci´on para un agujero de radio 0.3 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.16. Convergencia del valor de tensi´on en la barrera σi 3obtenida en cada iteraci´on para un agujero de radio 0.7 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.17. Convergencia del valor de tensi´on en la barrera σi 3obtenida en cada iteraci´on para un agujero de radio 4.0 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.18. Tensiones σN Li obtenidas en las diferentes iteraciones para un agujero de radio0.4mm.................................. 69 3.19. Tensiones σN Li obtenidas en las diferentes iteraciones para un agujero de radio0.6mm.................................. 69 3.20. Tensiones σN Li obtenidas en las diferentes iteraciones para un agujero de radio2.0mm.................................. 70 4.1. Resultados de Duquesnay para el acero SAE 1045 y predicciones con variosmodelos. ................................ 73 4.2. Resultados de Duquesnay para la aleaci´on de aluminio 2024-T351 y predicciones con varios modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3. Resultados El Haddad et al. para el acero CSA G40.11 y predicciones convariosmodelos............................... 74 4.4. Resultados de Frost para el acero medio (0.22 % C) y predicciones con variosmodelos. ................................ 76 4.5. Resultados de Zambrano et al. para el acero de fundici´on EN-GJS-400- 18-LT y predicciones con varios modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.6. Resultados de Meneghetti et al. para el acero C10 y predicciones con variosmodelos. ................................ 80 4.7. Resultados de Luk´aˇs et al. para el cobre y predicciones con varios modelos. 81 4.8. Resultados de Luk´aˇs et al. para el acero (2.25 Cr - 1 Mo) y predicciones convariosmodelos............................... 81 4.9. Resumen de los trabajos evaluados para la validaci´on del modelo IMFEM. 83 4.10. Geometr´ıa de probeta ensayada por Wiersma con doble entalla en U. . . 86 4.11. Gradiente de tensiones en la entalla para las probetas ensayadas por Wiersma. ................................... 89 4.12. Secci´on neta de las probetas y grieta creciendo. Dimensiones en mil´ımetros. 90 5.1. Detalle de la microestructura del acero AISI 304L. . . . . . . . . . . . . 94 5.2. Detalle de la geometr´ıa de las probetas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3. Efecto de tama˜no finito debido al tama˜no de entalla. . . . . . . . . . . . 96 5.4. Perfil 3d de rugosidad obtenido en el fondo de entalla. . . . . . . . . . . 97 5.5. M´aquina de ensayos de fatiga MTS 809. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
´ Indice de figuras xvii 5.6. Ejemplo de curva S-N con 14 ensayos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.7. Curva S-N para radio de entalla 0.2 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.8. Curva S-N para radio de entalla 0.6 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.9. Curva S-N para radio de entalla 1.3 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.10. Curva S-N para radio de entalla 2.0 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.11. Curva S-N para radio de entalla 2.5 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.12. Curva S-N para radio de entalla 3.0 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.13. Vista de la superficie de fractura de la probeta R25A12 de entalla de radio2.50mm. ................................ 109 5.14. Vista de la superficie de fractura de la probeta R3A16 de entalla de radio 3.00mm. ................................... 109 5.15. Esquema de la medida del ´angulo de inicio de grieta. . . . . . . . . . . . 110 5.16. Detalle de la medida del ´angulo de inicio de grieta. . . . . . . . . . . . . 110 5.17. Superficie 3D de una probeta con entalla de radio 0.60 mm y perfil de la grieta en las primeras 800 micras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.18. Superficie 3D de una probeta con entalla de radio 3.00 mm y perfil de la grieta en las primeras 800 micras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.1. Detalla de la malla definida en Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.2. Esquema del gradiente de tensiones σyy en la entalla. . . . . . . . . . . . 117 6.3. Esquema del gradiente de tensiones σyy en la entalla. . . . . . . . . . . . 118 6.4. Factor Ktcalculados por elementos finitos y factor Kfobtenido a trav´es devariosm´etodos. .............................. 120 6.5. Factores KtyKfcalculados para diferentes longitudes cr´ıticas L. . . . . 120 6.6. Valores experimentales de l´ımite de fatiga entallado y estimaciones te´oricas realizadas con varios m´etodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.7. Superficies de fractura de una probeta entallada despu´es de un ensayo detracci´on. .................................. 124 6.8. Estimaci´on del l´ımite de fatiga entallado basado en los valores actualizados del l´ımite de fatiga intr´ınseco del material. Comparaci´on con resultadosexperimentales. ............................ 125
´ Indice de tablas 2.1. Valores num´ericos de tensi´on en la barrera σ3y error porcentual en funci´on del n´umero de ecuaciones Nutilizado. . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1. Propiedades de los materiales ensayados por Duquesnay et al. . . . . . . 73 4.2. Propiedades del acero ensayado por El Haddad et al. . . . . . . . . . . . 75 4.3. Propiedades del acero ensayado por Frost. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.4. Propiedades del acero de fundici´on ensayado por Zambrano et al. . . . . 76 4.5. Propiedades de la aleaci´on en base n´ıquel ensayada por Ren et al. . . . . 77 4.6. Resultados de Ren et al. para la aleaci´on de N´ıquel Udimet 720 y predicciones con varios modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.7. Propiedades del acero inoxidable AISI 304L. . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.8. Resultados de probetas entalladas en V fabricadas en AISI 304L y predicciones con varios modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.9. Propiedades del acero al carbono C10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.10. Propiedades de los materiales ensayados por Luk´aˇs et al. . . . . . . . . . 82 4.11. Valores de error relativo de las estimaciones realizadas con el m´etodo IMFEM..................................... 84 4.12. Propiedades del acero AISI 316L ensayado por Wiersma et al. . . . . . . 86 4.13. Geometr´ıa de las muestras ensayadas por Wiersma. . . . . . . . . . . . . 86 4.14. Factores de concentraci´on de tensiones de los casos analizados por Wiersma referidos a secci´on bruta y neta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.15. L´ımites de fatiga de los casos analizados por Wiersma y estimaciones con diferentes m´etodos. Resultados referidos a secci´on neta. . . . . . . . . . 87 4.16. Distancia cr´ıtica de Peterson (a=0.146 mm) para las probetas ensayadas porWiersma.................................. 88 5.1. Composici´on del acero inoxidable AISI 304L. . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2. Propiedades mec´anicas del acero AISI 304L. . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.3. Valores de rugosidad en la entalla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.4. Medidasdedureza............................... 98 5.5. Datos de los ensayos de tracci´on sobre probetas entalladas. . . . . . . . 99 xix
´ Indice de tablas xx 5.6. Valores experimentales del l´ımite de fatiga y factor de fatiga en entallas, Kf, para cada tama˜no de entalla ensayado. . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.7. ´ Angulos de iniciaci´on de grieta para cada tama˜no de entalla. . . . . . . 108 5.8. ´ Angulos de propagaci´on de grieta para cada tama˜no de entalla. . . . . . 114 6.1. Factores de concentraci´on de tensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.2. Valores experimentales y recalculados de la tensi´on ´ultima de tracci´on y l´ımite de fatiga entallado para los diferentes tama˜nos de entalla. . . . . 123 6.3. Medidas de dureza y conversi´on a tensi´on ´ultima de tracci´on. . . . . . . 125 B.1. Ensayos de fatiga para probetas con entalla de radio 0.2 mm. . . . . . . 177 B.2. Ensayos de fatiga para probetas con entalla de radio 0.6 mm. . . . . . . 178 B.3. Ensayos de fatiga para probetas con entalla de radio 1.3 mm. . . . . . . 178 B.4. Ensayos de fatiga para probetas con entalla de radio 2.0 mm. . . . . . . 179 B.5. Ensayos de fatiga para probetas con entalla de radio 2.5 mm. . . . . . . 179 B.6. Ensayos de fatiga para probetas con entalla de radio 3.0 mm. . . . . . . 180
Cap´ıtulo 1 El proceso de fatiga El fallo por fatiga es un proceso de da˜no estructural progresivo y localizado, que se produce en un componente mec´anico cuando ´este se encuentra sometido a una o varias cargas variables en el tiempo. La causa m´as com´un de fallo en elementos estructurales es la fatiga. El fallo del componente mec´anico se debe a la aparici´on de peque˜nas grietas, generalmente, en la superficie del componente, las cuales crecen hacia el interior, mermando las propiedades mec´anicas hasta la rotura final. Por ello, este problema se debe abordar adecuadamente desde el proceso de dise˜no para evitar que estos fallos puedan llegar a ser catastr´oficos. Desde mediados del siglo XIX el proceso de fatiga ha sido caso de estudio. En la fase de dise˜no se reconoci´o la necesidad de conocer los diferentes m´etodos por los cuales un material o componente puede fallar. Con el desarrollo de la m´aquina de vapor, medios de transporte y el uso m´as extendido de dispositivos mec´anicos, los fallos de las piezas m´oviles que soportaban una carga aplicada repetida en el tiempo comenzaron a convertirse en una ocurrencia com´un. Se descubri´o que los fallos se produc´ıan con la aplicaci´on de tensiones nominales bajas pero en situaciones en las que la carga cambiaba repetidamente y generalmente se ubicaban en un cambio de secci´on en el componente o estructura. Debido a que estos fallos ocurr´ıan en una parte del componente que hab´ıa funcionado satisfactoriamente durante cierto tiempo, la opini´on general se desarroll´o en torno a la idea de que el material se hab´ıa “cansado” de soportar la carga o que la re-aplicaci´on continua de la carga hab´ıa agotado, de alguna manera, la capacidad del 1
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 2 material para soportarla. As´ı, la palabra fatiga fue acu˜nada para describir estos hechos y el nombre se ha seguido utilizando hasta nuestros d´ıas. Las primeras m´aquinas de ensayo de fatiga de materiales fueron creadas en esta ´epoca por autores como W¨ohler [1], lo que provoc´o el comienzo de una gran etapa de realizaci´on de ensayos. A este autor se le reconoce la invenci´on de la conocida curva S-N que consist´ıa en la representaci´on de los resultados de los ensayos realizados, es decir, la carga aplicada frente a la vida o ciclos del componente hasta la rotura. Una de las representaciones m´as comunes de la curva S-N es en doble escala logar´ıtmica. Una expresi´on, en t´erminos de doble escala logar´ıtmica, de la curva S-N es la conocida ecuaci´on de Basquin [2] (ecuaci´on 1.1). En esta expresi´on el coeficiente Arepresenta el valor de la tensi´on alterna, S, para 1 ciclo de vida. El exponente Bes la pendiente de la l´ınea que representa la curva S-N en doble escala logar´ıtmica. Basquin, a principios del siglo XX, comprob´o que los resultados experimentales de la curva S-N se ajustaban razonablemente bien a una relaci´on lineal de pendiente negativa entre la amplitud de tensi´on aplicada So rango de tensi´on aplicada ∆Sy los ciclos de vida Nsiempre y cuando se realizara una representaci´on en doble escala logar´ıtmica. En la figura 1.1 se muestra un ejemplo. S=A×NB(1.1) Se comprob´o experimentalmente que en la zona de alto n´umero de ciclos, normalmente considerada a partir de 106ciclos, se presentaba una relaci´on horizontal en aceros, siendo com´un su representaci´on mediante una flecha con el objetivo de definir esos ensayos como aquellos que no han finalizado con rotura, es decir, aquellos correspondientes a vida infinita. Uno de los datos m´as importantes que se puede extraer de la curva S-N de W¨ohler para un acero concreto, es el l´ımite de fatiga o tensi´on correspondiente a vida infinita. El l´ımite de fatiga representa el nivel de tensi´on por debajo del cual no se produce la rotura. Dicho de otro modo, el n´umero de ciclos de vida hasta la obtenci´on de la rotura tiende a infinito siempre y cuando la tensi´on aplicada al s´olido sea inferior al valor del l´ımite de fatiga. Este par´ametro depende de muchos factores, como pueden ser el tipo de carga, la existencia de tensi´on media, la geometr´ıa del componente, las condiciones ambientales, etc. Sin embargo, en materiales como aluminios o cobres no se
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 3 log N log S Límite de fatiga Figura 1.1: Ejemplo de representaci´on de curva S-N. encontr´o esta relaci´on horizontal de la tensi´on de l´ımite de fatiga por debajo de la cual no se produc´ıa la rotura, y en ese momento no se supo dar explicaci´on a este hecho. En el dise˜no de componentes sometidos a fatiga es imprescindible analizar c´omo es la historia de carga aplicada. Esta puede ser aleatoria, aunque puede contener partes sustanciales que pueden considerarse como repetitivas dentro del funcionamiento del componente. El comportamiento de los materiales sometidos a fatiga suele caracterizarse con cargas de amplitud constante (ver figura 1.2). Por consiguiente, la nomenclatura usada en dise˜no a fatiga incluye definiciones como tensi´on media Sm, tensi´on alterna Sa, tensi´on m´axima Smax, tensi´on m´ınima Smin o rango de tensi´on ∆S, entre otros. Las relaciones algebraicas entre estos t´erminos son: Sm=Smax +Smin 2(1.2) Sa=Smax −Smin 2=∆S 2(1.3) Las tensiones de tracci´on y compresi´on se consideran de signo positivo y negativo, respectivamente. El ratio de tensi´on, R, es un par´ametro muy com´un en la descripci´on
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 10 a1a0a2 Longitud de grieta, a (Log) Tensión aplicada, S (Log) MFEL umbral (K ) th Límite de fatiga ( )SFL Aproximación de El Haddad Crecimiento de grieta pequeña Grieta grande. Zona de aplicación de MFEL Figura 1.5: Representaci´on esquem´atica del diagrama de Kitagawa-Takahashi. A medida que se aumenta la tensi´on aplicada, la tensi´on umbral se separa de esta l´ınea inclinada de pendiente -1/2 y se acerca a la horizontal definida por el l´ımite de fatiga intr´ınseco del material. Taylor y Knott [11] definieron tres longitudes de grieta que son importantes para comprender este diagrama de Kitagawa-Tahakashi y que est´an representadas en la figura 1.5. El valor a1define la longitud de grieta peque˜na m´ınima capaz de reducir la resistencia a fatiga del s´olido. El valor a2corresponde a la longitud de grieta a partir de la cual es v´alida la teor´ıa de la MFEL. Por ´ultimo, la longitud de grieta a0, obtenida de la intersecci´on de la l´ınea inclinada de la MFEL y la l´ınea horizontal marcada por el l´ımite de fatiga del material SF L, puede ser un valor aproximado para diferenciar entre grieta peque˜na y grande y cuya expresi´on es a0=1 πKth SFL 2 (1.12) El uso de este par´ametro ficticio a0permite utilizar la MFEL para grietas peque˜nas, tal y como indicaron El Haddad et al. [12]. Estos autores mostraron que las estimaciones mejoraban en aquellos casos de peque˜nas longitudes de grieta si se a˜nade la longitud ficticia a0seg´un la expresi´on 1.13.
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 11 S=K pπ(a+a0)(1.13) Tanaka et al. desarrollaron un modelo similar y concluyeron que la variable a0estaba relacionada con el tama˜no de grano del material y con el efecto del cierre de grieta [13]. 1.2.3. Mec´anica de la Fractura Elasto-Pl´astica La MFEP es aplicada en aquellos casos en los que la hip´otesis de zona pl´astica peque˜na delante de la grieta no se cumple y, por tanto, la descripci´on mediante el campo el´astico puede llevar a grandes errores. La MFEP est´a indicada para aquellos materiales que trabajan normalmente en la zona elasto-pl´astica, como pueden ser los metales de alta ductilidad. Tambi´en puede ser aplicada cuando se aplican cargas altas, lo que provoca que la zona pl´astica sea de gran tama˜no. Para ello, se han desarrollado un amplio n´umero de par´ametros como el desplazamiento entre caras de la grieta δ[14] o la integral J [15] para reemplazar al FIT y poder as´ı evaluar la deformaci´on en los alrededores del v´ertice de grieta. Se demostr´o que la integral J es un concepto basado en un balance de energ´ıa y describe la variaci´on de energ´ıa de deformaci´on por unidad de avance de grieta en los s´olidos el´asticos no lineales. La integral J, al igual que el FIT, caracteriza el campo de tensiones en las proximidades del v´ertice de la grieta. En un problema en 2D, si se tiene un contorno cerrado, Γ, alrededor del v´ertice de la grieta y ´este se sigue en sentido anti-horario, la expresi´on de la integral J es: ZΓWdy −T∂u ∂xds(1.14) d´onde Tes el vector de tensiones, ues el vector de desplazamiento en direcci´on x, y ds es un elemento diferencial del camino seguido, Γ. La energ´ıa de deformaci´on por unidad de volumen es Wy se define: W=Zε 0 σijdεij (1.15)
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 12 Γ x y ds T u Figura 1.6: Integral J. d´onde σij yεij representan las tensiones y deformaciones locales, respectivamente. Se puede demostrar que J= 0 a lo largo de cualquier contorno cerrado. Por otro lado, el desplazamiento entre las caras de la grieta (crack tip opening displacement en ingl´es, CTOD) puede considerarse como una medida de la intensidad del campo elasto-pl´astico. Si la plastificaci´on es peque˜na, se puede obtener un valor del CTOD basado en el FIT, el l´ımite de fluencia σys y el m´odulo de elasticidad del material E: CTOD =δ=4 π K2 Eσys (1.16) 1.2.4. Grietas peque˜nas Una grieta peque˜na se define como aquella grieta cuyo tama˜no es del orden de los par´ametros microestructurales del material como el tama˜no de grano o la distancia intragranular. F´ısicamente, algunos autores definen las grietas peque˜nas como aquellas cuya longitud se sit´ua por debajo de un mil´ımetro, siendo este el tama˜no aproximado a partir del cual se pueden encontrar grietas mediante m´etodos de inspecci´on [16].
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 13 El comportamiento de grietas peque˜nas es un tema complejo debido a la variedad de factores que pueden afectar al proceso. Muchos investigadores han publicado trabajos sobre grietas peque˜nas y han aportado explicaciones y modelos para justificar los resultados y el comportamiento de estas grietas [17–21]. La diferencia fundamental entre grietas peque˜nas y grietas grandes se basa en que las grietas peque˜nas crecen para valores de FIT menores que ∆Kth. Esto choca con lo visto en la figura 1.4 que es la base de la MFEL que postula que las grietas grandes no pueden crecer por debajo de ese valor umbral de FIT. Seg´un la MFEL no se producir´ıa la rotura por fatiga en componentes sin concentradores de tensi´on bajo la aplicaci´on de una carga levemente superior al l´ımite de fatiga, ya que la grieta es muy peque˜na al principio y, por tanto, el FIT ser´ıa menor que ∆Kth. Esta predicci´on de la MFEL es evidentemente incorrecta. La diferencia entre el crecimiento de grietas peque˜nas y grandes fue descrita por varios autores [13, 22–24]. Varios comportamientos an´omalos fueron investigados. Se ha comprobado experimentalmente que las grietas peque˜nas crecen a mayor velocidad que lo que se predice mediante la MFEL [11, 25]. Adem´as, el proceso de crecimiento de grietas peque˜nas se caracteriza por tener un patr´on oscilante como se representa en la figura 1.7, es decir, en el que la velocidad de propagaci´on sufre sucesivas aceleraciones y deceleraciones. Estas variaciones en el ritmo de crecimiento son debidas a la interacci´on de la grieta con las diferentes barreras microestructurales. Entre esas fluctuaciones de crecimiento puede darse el caso de que la grieta no contin´ue su propagaci´on y se convierta en una grieta no propagante, es decir, que la grieta no sea capaz de superar una determinada barrera si no se aumenta la carga aplicada sobre el componente. En resumen, se demostr´o que las grietas peque˜nas de una longitud en torno a 1-10 granos del material presentan valores de FIT inferiores al valor umbral de grieta grande y crecen, hecho que no contemplaba la MFEL y que deb´ıa ser estudiada en profundidad. Es en ese caso d´onde se centra la MFM. Otra de las diferencias fundamentales entre grietas peque˜nas y grietas grandes es el cierre de grieta. Se conoce como cierre de grieta al proceso por el que se produce la interferencia entre las caras de la grieta durante la aplicaci´on de la carga c´ıclica. Durante d´ecadas se han identificado diferentes mecanismos de cierre de grieta en metales y aceros, entre los que destacan el cierre de grieta inducido por plasticidad [17, 26, 27],
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 14 log ΔK log da/dN ΔKth Grieta grande Grieta pequeña MFM MFEL Figura 1.7: Esquema del crecimiento de una grieta peque˜na. el cierre de grieta inducido por oxidaci´on [28] o el cierre inducido por rugosidad [29], entre otros. Newman [27] realiz´o un modelo del cierre de grieta inducido por plasticidad en grietas peque˜nas apoy´andose en el trabajo previo de Dugdale [30] para representar la zona pl´astica en el v´ertice de grieta y evaluar la deformaci´on pl´astica en la superficie de la misma. El contacto entre las caras de la grieta durante la aplicaci´on de carga da como resultado el retraso de la apertura de la grieta, es decir, se reduce el rango del FIT entre la apertura y la aplicaci´on de carga m´axima. Adem´as, varios autores [27, 31] observaron que el efecto del cierre de grieta era menor en grietas peque˜nas y aumentaba con la longitud de grieta. El efecto del cierre de grieta puede ser analizado en funci´on de un rango de FIT “efectivo” que s´olo considera la parte del proceso de aplicaci´on de carga en el que la grieta est´a abierta: ∆Kef =Kmax −Kap (1.17) d´onde Kmax se refiere al FIT m´aximo en el ciclo de carga y Kap es el FIT correspondiente
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 15 al momento en el que no existe interferencia entre las caras de la grieta. Para un mismo FIT, el rango efectivo ∆Kef al que est´a sometido la grieta peque˜na es superior al de la grieta grande, resultando en una mayor velocidad de propagaci´on de grieta. Los modelos sensibles a la microestructura son, sin duda, una v´ıa necesaria para el an´alisis del crecimiento de grietas peque˜nas. As´ı, estos enfoques desarrollan un marco de modelado que sirve para determinar el crecimiento de grietas peque˜nas que eventualmente pueden propagarse y aportan argumentos que pueden justificar las observaciones experimentales y mejoran los aspectos que la MFEL o incluso la MFEP no son capaces de explicar. Durante d´ecadas han sido varios los investigadores que han propuesto y desarrollado modelos microestructurales. Estos modelos se han aplicado ampliamente para explicar la dependencia de la microestructura en el crecimiento de grietas peque˜nas y para analizar problemas de ingenier´ıa en los que los conceptos MFEL y MFEP son inaplicables. Algunos de estos modelos microestructurales se han utilizado para analizar diferentes variables sobre el comportamiento a la fatiga, como el efecto del tama˜no de grano [32], el efecto de t´ecnicas como el shot-peening [33], el efecto de los campos de tensi´on de contacto y residual [34] y el efecto de las condiciones ambientales [35], entre otras aplicaciones. Este trabajo se centra en uno de esos modelos microestructurales, concretamente en el desarrollado por los autores Navarro y de los R´ıos [36–38]. Este modelo aporta una explicaci´on al comportamiento de grietas peque˜nas que crecen a trav´es de la microestructura del material bajo la aplicaci´on de una carga c´ıclica. De manera que las fluctuaciones en la velocidad de crecimiento son descritas mediante la interacci´on de la grieta con las diferentes barreras microestructurales. El enfoque micromec´anico se centra en el modelado de la grieta y las barreras microestructurales mediante dislocaciones distribuidas [39] y utiliza el diagrama de Kitagawa-Takahashi [10] para cuantificar la resistencia relativa que ofrecen las sucesivas barreras al crecimiento de la grieta peque˜na. 1.3. Resistencia a fatiga en presencia de entallas En la mayor´ıa de componentes estructurales y elementos mec´anicos pueden encontrarse discontinuidades geom´etricas, tales como agujeros, cambios de secci´on, radios de
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 16 transici´on, o simples marcas de mecanizado que se denominan concentradores de ten- si´on o entallas. El efecto m´as relevante de la presencia de una entalla es que genera un aumento de tensi´on y deformaci´on en sus proximidades. Si el componente est´a sometido a la aplicaci´on de una carga c´ıclica, la probabilidad de que se forme la grieta de fatiga en esas proximidades de la entalla, y no en otra parte del componente, es m´as alta. Adem´as, una grieta peque˜na naciendo de una entalla puede presentar ritmos de crecimiento superiores [22, 40] y produce la rotura por fatiga del componente para cargas aplicadas menores que en el caso de geometr´ıas sin entalla. En la pr´actica, la concentraci´on de tensi´on en una entalla se caracteriza por el punto de mayor tensi´on, alcanzado en la superficie, y la disminuci´on progresiva o gradiente de tensi´on a trav´es del material, como se muestra en la figura 1.8. Com´unmente se utiliza el factor de concentraci´on de tensiones el´astico Ktcuando se habla de la tensi´on m´axima alcanzada en una entalla. Este par´ametro se define como el cociente entre la tensi´on m´axima alcanzada en la entalla σmax y la tensi´on nominal aplicada al componente Snom. El valor de Ktes funci´on de la geometr´ıa de la entalla y puede expresarse en t´erminos de tensi´on nominal bruta o neta. Kt=σmax Snom (1.18) En el campo de investigaci´on del da˜no por fatiga, cabe destacar varios autores del siglo XX como Neuber [41] y Peterson [42] que dedicaron su esfuerzo al estudio y an´alisis de piezas entalladas y sometidas a fatiga, y que posteriormente publicaron manuales d´onde se recogen los casos m´as comunes de geometr´ıas y carga junto a los valores de Kt. Sin embargo, estos manuales pueden ser sustituidos hoy en d´ıa por t´ecnicas de c´alculo num´erico como el M´etodo de los Elementos Finitos aunque no han dejado de ser documentos de referencia. La presencia de la entalla normalmente tiene el efecto directo de que la grieta por fatiga se inicie desde su superficie, generalmente desde el punto de tensi´on m´axima. Aunque hay ocasiones en que la rotura no se produce por la zona de la entalla, porque ´esta sea muy peque˜na, y se se puede producir en otro lugar d´onde hay un defecto considerable, corrosi´on localizada, etc. Otra consecuencia es que la rotura por fatiga suele producirse con menos ciclos aplicados o con una tensi´on aplicada menor. Por otro lado, la presencia
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 17 σmax = K S t nom Snom σyy Snom x r Figura 1.8: Distribuci´on de tensiones σyy en la ra´ız de una entalla. de la grieta conduce a una disminuci´on del l´ımite de fatiga, que se cuantifica con el factor de resistencia a fatiga de la entalla, Kf: Kf=L´ımite de fatiga sin entalla L´ımite de fatiga con entalla (1.19) Este factor Kfsuele tener un valor menor que el factor de concentraci´on de tensi´on Kt. La disminuci´on de la resistencia a fatiga de componentes entallados depende no s´olo del factor Ktsino tambi´en de otros aspectos como el radio de fondo de entalla o las propiedades mec´anicas del material. Debido a esto, Neuber desarroll´o un expresi´on semi-emp´ırica para el c´alculo del factor Kf: Kf= 1 + Kt−1 1 + pρ/r (1.20)
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 18 d´onde res el radio de fondo de entalla y ρes una longitud caracter´ıstica que depende del material. Los valores del par´ametro ρpara aceros fueron tabulados en un trabajo posterior [43]. Por su parte, Peterson desarroll´o una expresi´on parecida para estimar el resultado del factor Kf[44]. Kf= 1 + Kt−1 1 + l1/r (1.21) d´onde l1es una longitud caracter´ıstica del material que posee una expresi´on para el caso de los aceros en la que se utiliza la tensi´on de rotura del material SUT S [45, 46]. l1= 0,0254 2070 SUT S 1,8 (1.22) Resulta necesario hacer hincapi´e en que ambas expresiones para aproximar el valor de Kf, propuestas por Neuber y Peterson, son emp´ıricas. Estas f´ormulas y las longitudes caracter´ısticas del material asociadas a cada una de ellas expresan el hecho de que, en entallas de gran tama˜no y con grandes radios de fondo de entalla, es esperable que Kf≃Kt. Sin embargo, en entallas peque˜nas y agudas se tiene un peque˜no efecto de la entalla en la resistencia del componente KfKt[47]. En las ´ultimas d´ecadas, Taylor ha extendido los m´etodos de volumen cr´ıtico al proporcionar una f´ormula expl´ıcita para calcular la longitud caracter´ıstica Ldel material utilizando el valor umbral del FIT Kth y el l´ımite de fatiga intr´ınseco del material SFL [48, 49], sin necesidad de usar ning´un Kty esto hace se pueda aplicar a cualquier geometr´ıa y carga. Destacan los m´etodos del punto, de l´ınea y ´area. En el m´etodo del punto, la rotura por fatiga en el componente entallado se produce si la tensi´on a una cierta distancia, L/2, del borde de la grieta alcanza el valor del l´ımite de fatiga intr´ınseco del material (ver ecuaci´on 1.23). El m´etodo de la l´ınea y del ´area son similares. Es decir, estos m´etodos predicen la rotura por fatiga si se tiene una tensi´on media en una cierta l´ınea o ´area por encima del l´ımite de fatiga del material. Puede entenderse que se trata de una elaboraci´on, o, mejor, una simplificaci´on, de la idea de volumen cr´ıtico manejada por Neuber y Peterson. No basta con que la tensi´on
Cap´ıtulo 1. El proceso de fatiga 19 Límite de fatiga sólido entallado, SN FL Factor de concentración de tensiones, Kt Fractura completa Grietas no propagantes Zona sin grietas Umbral de iniciación Umbral de propagación S /k FL t 1 0 SFL σ π= K / √ th ( a) Figura 1.9: Simplificaci´on del diagrama de Frost. sea muy alta s´olo en el borde de la entalla, porque la grieta puede dejar de propagarse dependiendo del gradiente. L=1 πKth SFL (1.23) En este trabajo se har´a uso de los m´etodos de Neuber, Peterson y el m´etodo del punto de Taylor para realizar estimaciones de resistencia a la fatiga con el objetivo de realizar comparaciones entre resultados experimentales y estimaciones obtenidas con el modelo microestructural presentado en esta tesis. 1.3.1. Grietas no-propagantes Es bien sabido que tanto la profundidad como el radio de fondo de entalla son dos de los par´ametros m´as relevantes para estimar la resistencia a fatiga de un s´olido entallado. Los autores Frost y Dugdale [50, 51] realizaron ensayos en probetas planas y cil´ındricas de acero al carbono con el objetivo de evaluar el efecto de la entalla sobre la resistencia a fatiga y de observar la propagaci´on de las grietas formadas en la ra´ız de la entalla. Se
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 26 AZc −c f(ξ)K(x, ξ)dξ + (σy(x)−σf(x)) = 0 (2.1) d´onde Arepresenta una constante del material cuya expresi´on depende de si las dislocaciones son de tornillo, A=Gb/2π, o de cu˜na, A=Gb/(2π(1 −ν)), d´onde Ges el m´odulo de elasticidad transversal y νes el coeficiente de Poisson.f(ξ) es la funci´on de distribuci´on de dislocaciones y tambi´en es la inc´ognita en la ecuaci´on. K(x, ξ) es el Kernel o n´ucleo de la ecuaci´on y representa la fuerza que una dislocaci´on situada en ξ ejerce sobre una dislocaci´on situada en x, y su expresi´on depende de la geometr´ıa del componente, siendo K(x, ξ)=1/(x−ξ) para este ejemplo. σy(x) es la tensi´on el´astica sobre la l´ınea de la grieta que es producida por la tensi´on aplicada externa σen un an´alisis el´astico del s´olido sin grieta. En el ejemplo actual, σy(x) = σ. La resistencia al movimiento de dislocaciones es la llamada tensi´on de fricci´on σf(x) que toma valor cero en la grieta [57] si se asume que no hay interferencia entre las caras de la grieta durante la propagaci´on de esta. A la tensi´on σf(x) en la barrera se le denomina σ3y hace referencia a la tensi´on que logra contener a las dislocaciones de la grieta. Es una inc´ognita de la ecuaci´on, necesaria para mantener el equilibrio de dislocaciones, y su valor es diferente en las sucesivas barreras, d´onde la grieta queda bloqueada. Adem´as, a esta tensi´on se le denomina σi 3para indicar que se trata de la tensi´on en la barrera de una grieta bloqueada en la barrera i-´esima. La tensi´on σf(x) en la zona pl´astica es llamada σ2y su valor se aproxima al l´ımite el´astico del material. Para el problema representado en la figura 2.1 la ecuaci´on de equilibrio de dislocaciones posee soluci´on anal´ıtica que puede obtenerse aplicando el teorema de inversi´on de Muskhelishvili [59]. f(ξ) = 1 Aπ2(σ2−σ1)cosh−1 1−n1ξ n1−ξ−cosh−1 1 + n1ξ n1+ξ +σi 3−σ2cosh−1 1−n2ξ n2−ξ−cosh−1 1 + n2ξ n2+ξ (2.2) Adem´as, de la condici´on de existencia de considerar que la funci´on de distribuci´on de dislocaciones es acotada en ambos extremos se obtiene [60]:
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 27 y x, ξ 1 0n a c σ σ x´, ξ´ by Figura 2.2: Grieta bloqueada en las barreras microestructurales. (σ2−σ1) sin−1n1+σi 3−σ2sin−1n2+π 2σ−σi 3= 0 (2.3) de d´onde puede obtenerse el valor de σi 3despejando. El valor m´aximo de la tensi´on en la barrera σi 3se da cuando la grieta alcanza la barrera y apenas existe zona pl´astica (n1=n2≈1) como se observa en la figura 2.2. Por lo que se obtiene la relaci´on entre la tensi´on aplicada al s´olido σy la tensi´on en la barrera σi 3: σi 3=1 cos−1n π 2σ(2.4) siendo n=a/c, como ya se ha dicho. El modelo NR define el l´ımite de fatiga del material σFL para un s´olido sin entalla sujeto a la aplicaci´on de tensi´on uniforme c´ıclica σ, como la tensi´on externa m´ınima que es necesario aplicar para que la grieta supere la primera barrera, tal y como otros autores concluyeron [61, 62]. Por tanto, si se introduce σFL en
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 28 la ecuaci´on 2.4, se obtiene la resistencia m´axima de la primera barrera, que se denomina σ1∗ 3, es decir, el valor cr´ıtico de tensi´on en la barrera que es necesario alcanzar de forma local para que la grieta avance al segundo grano. Su expresi´on queda: σ1∗ 3=1 cos−1n π 2σFL (2.5) La resistencia de la segunda y sucesivas barreras pueden calcularse introduciendo en la ecuaci´on 2.5 la tensi´on externa σLi. Esta tensi´on σLi hace referencia a la tensi´on m´ınima necesaria para que la grieta continue su propagaci´on en funci´on de su longitud inicial. Su valor se obtiene del diagrama de Kitagawa-Takahashi del material [10] para una grieta de longitud a=iD/2. σi∗ 3=1 cos−1n π 2σLi (2.6) En caso de no disponer del diagrama de Kitagawa-Takahashi experimental para el material deseado, puede aproximarse el valor de la tensi´on σLi a trav´es de diferentes m´etodos [12, 63]. En el presente trabajo se utiliza la propuesta de Vallellano et al. [64]: σLi =σFL √a0 h(iD/2)j+aj 0−(D/2)ji1 2j (2.7) d´onde el par´ametro a0=1 πKth σF L 2es la distancia cr´ıtica definida por El Haddad [12] y Kth es el valor umbral de crecimiento de grieta peque˜na. El exponente jes la variable propuesta por Vallellano que aporta resultados v´alidos para un amplio rango de materiales si se sustituye por un valor de j= 2.5 [64]. 2.3. Resoluci´on num´erica del modelo NR En relaci´on al modelado del problema de la grieta mediante dislocaciones, es necesario indicar que solo existe soluci´on anal´ıtica conocida de la ecuaci´on integral para el caso de dislocaciones en medio infinito, d´onde el Kernel de la ecuaci´on 2.1 es igual a K=
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 29 1/(x−ξ). En el resto de situaciones como dislocaciones situadas en medio semi-infinito o cerca de una contorno o entalla, por ejemplo, el Kernel de la ecuaci´on integral es m´as complejo, ya que su expresi´on tiene m´as t´erminos y no existe soluci´on anal´ıtica para dicha ecuaci´on. Por eso es necesario recurrir a una t´ecnica num´erica de resoluci´on del problema. La resoluci´on del problema del equilibrio de dislocaciones en la grieta creciendo a trav´es de un material puede ser resuelto num´ericamente siguiendo la propuesta de Chaves [58, 65]. La metodolog´ıa consiste en una modificaci´on del m´etodo descrito por Erdogan, Gupta y Cook [66–68] que aporta soluciones aproximadas para ecuaciones integrales con singularidades tipo Cauchy en la forma: S(x) = Z1 −1 f(ξ)K(x, ξ)dξ (2.8) La propuesta adapta el m´etodo a aquellos casos en los que la funci´on inc´ognita posee una o varias singularidades en su dominio, en este caso f(ξ) es la inc´ognita y la singularidad est´a en x=ξ. Para realizar la resoluci´on num´erica se hace uso de ciertas propiedades de los polinomios ortogonales con el prop´osito de definir la funci´on inc´ognita como el producto de una una funci´on continua suave φ(ξ), cuya soluci´on no se conoce, y una funci´on de peso ω(ξ) conocida, es decir, se aplica la t´ecnica de integraci´on mediante cuadraturas. En este problema concreto se va a utilizar la cuadratura de Gauss-Chebyshev, que se expresa mediante la siguiente ecuaci´on: S(x) = Z1 −1 φ(ξ)ω(ξ)K(x, ξ)dξ (2.9) La expresi´on de la funci´on de peso de la cuadratura depende directamente de c´omo sea el valor de la funci´on inc´ognita en los extremos del intervalo de integraci´on, es decir, acotado o singular. Suponiendo que la funci´on inc´ognita sea acotada en los extremos, la funci´on de peso es ω(ξ) = (1 −ξ)1 2(1 + ξ)1 2. La t´ecnica propuesta por Erdogan et al. permite transformar la ecuaci´on integral en un conjunto de N+ 1 ecuaciones lineales algebraicas al utilizar la cuadratura para el caso acotado-acotado:
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 30 S(vk) = N X i=1 1−ui 2 (N+ 1)(vk−ui)φ(ui)k= 1,2, ..., N + 1 (2.10) La funci´on inc´ognita pasa de estar definida de forma continua mediante la variable ξa hacerlo en un conjunto discreto de N puntos, ui, denominados puntos de integraci´on. La variable xtambi´en se discretiza a un conjunto de puntos vk, denominados puntos de colocaci´on. La funci´on de peso discretizada es, para esta cuadratura, ω(ui) = (1 − u2 i)(N+ 1). Por lo que la ecuaci´on 2.1 quedar´ıa transformada en: 1 A[σy(vk)−σf(vk)] = N X i=1 1−u2 i (N+ 1)(ui−vk)φ(ui)k= 1,2, ..., N + 1 (2.11) El m´etodo usado aporta las N+ 1 ecuaciones necesarias para calcular la soluci´on que consiste en los Nvalores de la funci´on de distribuci´on de dislocaciones en la grieta f(ξ) y el valor ´unico de la tensi´on en la barrera σi 3. Sin embargo, este m´etodo no recoge bien la singularidad que existe en la funci´on de distribuci´on de dislocaciones en la conexi´on entre la grieta y la barrera. Por esta raz´on, Chaves [65] propone la divisi´on del problema en varios intervalos, de manera que la singularidad logar´ıtmica de la funci´on inc´ognita coincidan con uno de los l´ımites de esos intervalos. En este trabajo se opt´o por dividir el problema de una grieta en dos intervalos. El primer intervalo contempla la grieta hasta el punto de divisi´on entre grieta y barrera y tiene el car´acter de acotado-no acotado. El segundo intervalo contempla desde el punto de transici´on entre grieta y barrera hasta la totalidad de la barrera, defini´endose como no acotado-acotado. En resumen, se tiene un problema acotado en ambos extremos aunque los diferentes intervalos que lo componen poseen algunos de sus extremos en forma no acotada. Este proceso de divisi´on provoca que las cuadraturas, que es necesario utilizar en este caso, sean las correspondientes al problema acotado-singular, para el primer intervalo, y singularacotado, para el segundo. Adem´as, la expresi´on de los pesos son tambi´en diferentes. Este tipo de cuadraturas que poseen uno de los extremos singular, aportan solo N ecuaciones en cada intervalo, como se explica m´as adelante, por lo que ser´a necesario una ecuaci´on m´as para tener el mismo n´umero de ecuaciones que de inc´ognitas.
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 31 Por otro lado, en este trabajo se ha optado por simplificar el problema de la grieta en medio infinito gracias a la condici´on de simetr´ıa para x= 0, tal y como se muestra en la fig. 2.3. En este caso de simetr´ıa d´onde solo se contempla media grieta, el Kernel de la ecuaci´on, Ksim(x, ξ), se define: Ksim(x, ξ) = K(x, ξ)−K(x, −ξ) = 1 x−ξ+−1 x+ξ(2.12) De ahora en adelante, el Kernel para el caso sim´etrico de la ecuaci´on 2.12 se seguir´a denominando K(x, ξ) en el resto de ecuaciones. Otro efecto de la resoluci´on del problema de la grieta utilizando la condici´on de simetr´ıa es que el equilibrio de tensiones en la l´ınea de la grieta s´olo se realiza en el intervalo [0, c]: AZc 0 f(ξ)K(x, ξ)dξ + (σy(x)−σf) = 0 (2.13) Las variables relacionadas con el intervalo de la grieta (acotado-no acotado) est´an representadas por el sub´ındice 1 y las correspondientes a la barrera (no acotado-acotado) con el sub´ındice 3 (ver figura 2.3). Hay que resaltar la ausencia de la zona pl´astica puesto que para calcular la resistencia a fatiga del componente se considera que ´esta no existe y que el frente de grieta se sit´ua en el l´ımite que marca la barrera microestructural. En base a esto, la ecuaci´on 2.13 se puede escribir como: AZa 0 f1(ξ1)K(x1, ξ1)dξ1+AZc a f3(ξ3)K(x1, ξ3)dξ3+ (σy(x1)−σ1) = 0 (2.14) AZa 0 f1(ξ1)K(x3, ξ1)dξ1+AZc a f3(ξ3)K(x3, ξ3)dξ3+ (σy(x3)−σ3) = 0 (2.15) D´onde las variables adimensionales de posici´on, x1, ξ1, x3, ξ3, est´an definidas seg´un los intervalos mostrados en la fig. 2.3. Por lo que se cumple que x1[0, n] y x3[n, 1]. El siguiente paso es hacer un cambio de variable para que el intervalo de integraci´on sea [−1,1] y poder as´ı aplicar la cuadratura y resolver num´ericamente el problema. Los cambios de variable son:
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 32 y x,ξ σ σ 1 0 σ3 n ac ,xξ1 1 ,xξ3 3 Figura 2.3: Divisi´on en dos intervalos del problema de la grieta aplicando simetr´ıa. ξ1= (u1+ 1)n 2c ξ3=1−n 2(u3+ 1) + nc x1= (v1+ 1)n 2c x3=1−n 2(v3+ 1) + nc(2.16) Las expresiones de los puntos de colocaci´on e integraci´on son: u1j=cos π2j−1 2N+ 1u3j=cos π2j 2N+ 1j= 1,2, ..., N v1m=cos π2m 2N+ 1v3m=cos π2m−1 2N+ 1m= 1,2, ..., N (2.17)
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 33 El equilibrio de tensiones en la grieta pasa a reescribirse, seg´un el cambio de variable hecho, de la siguiente manera: AZ1 −1 f1(u1)K(v1, u1)nc 2du1+AZ1 −1 f3(u3)K(v1, u3)(1 −n)c 2du3+ [σy(v1)−σ1] = 0 (2.18) AZ1 −1 f1(u1)K(v3, u1)nc 2du1+AZ1 −1 f3(u3)K(v3, u3)(1 −n)c 2du3+ [σy(v3)−σ3] = 0 (2.19) En este punto del problema se aplica el m´etodo de Erdogan et al. y la funci´on inc´ognita, tal y como se explica m´as arriba, se transforma en un producto de una funci´on continua no conocida y una funci´on de peso conocida: fj(uj) = ωjφjj= 1,3 (2.20) Las funciones de peso ωjson conocidas y su expresi´on depende de c´omo sea el intervalo. En este caso, acotado-no acotado para el intervalo de la grieta y no acotado-acotado para la barrera: ω1(ξ) = r1 + u1 1−u1 ω3(ξ) = r1−u3 1 + u3 (2.21) Gracias a la t´ecnica propuesta por Erdogan et al. y al desarrollo formulado por Chaves, el sistema de ecuaciones integrales, formado por las ecuaciones 2.18 y 2.19, pasa a ser un sistema de ecuaciones algebraicas:
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 34 Acπ N X j=1 2(1 + u1j) 2N+ 1 K(v1m, u1j)n 2φ1(u1j) + 2(1 −u3j) 2N+ 1 K(v1m, u3j)1−n 2φ3(u3j) + [σy(v1m)−σ1]=0 m= 1,2, ..., N (2.22) Acπ N X j=1 2(1 + u1j) 2N+ 1 K(v3m, u1j)n 2φ1(u1j) + 2(1 −u3j) 2N+ 1 K(v3m, u3j)1−n 2φ3(u3j) + [σy(v3m)−σ3]=0 m= 1,2, ..., N (2.23) En este momento, el sistema consta de 2Necuaciones algebraicas y 2N+ 1 inc´ognitas que son los Nvalores de φ1(u1j), los Nvalores de φ3(u3j) (jvar´ıa entre 1 y N) sumado a la inc´ognita de tensi´on en la barrera σ3. La ecuaci´on que falta se obtiene al imponer una condici´on en el punto en el que se unen los intervalos, es decir, justo en el punto d´onde se produce la singularidad en la funci´on de distribuci´on de dislocaciones. La condici´on impuesta supone que f(ξ) debe ser igual a ambos lados de ese punto de uni´on de intervalos. Por lo que queda: φ1(1) = φ3(−1) (2.24) La cuadratura no aporta los valores exactos de φ1(1) y φ3(−1). Sin embargo, se puede usar la extrapolaci´on propuesta por Krenk [69] que fue resuelta por Hills et al. [39]. Igualmente, hay que tener en cuenta la definici´on de los intervalos del problema para obtener una expresi´on correcta de esta interpolaci´on. La expresi´on de la interpolaci´on necesaria es: N X i=1 sin 2i−1 2N+1Nπ tan 2i−1 2N+1π/2φ1(u1i) = N X i=1 sin 2i−1 2N+1Nπ tan 2i−1 2N+1π/2φ2(u2(N+1−i)) (2.25)
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 35 -1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 -30 0 30 f( x )* p 2 *A 2 / s x f( x ) teórica f( x ) numérica Figura 2.4: Funci´on de distribuci´on de dislocaciones te´orica y num´erica. En la figura 2.4 se muestra un ejemplo de la funci´on de distribuci´on de dislocaciones de una grieta en medio infinito, comparando la soluci´on anal´ıtica y num´erica. Se aprecia como la funci´on antisim´etrica de distribuci´on de dislocaciones posee la singularidad en los puntos de transici´on entre la grieta y la barrera. Con el objetivo de realizar un an´alisis de sensibilidad del n´umero de ecuaciones ´optimo para realizar las estimaciones se ha resuelto num´ericamente el caso de una grieta en medio infinito utilizando diferentes valores del n´umero de ecuaciones N. El par´ametro de comparaci´on en este an´alisis ha sido la tensi´on en la barrera σi 3. Por simplificaci´on, se aplica al problema una tensi´on externa de valor 1 MPa. El ejemplo ha sido realizado para una grieta de tama˜no 15 medios granos, proponiendo un tama˜no medio de grano de 50 µm. En la tabla 2.1 se muestra el resultado num´erico del cociente de la tensi´on en la barrera σi 3con respecto a la tensi´on aplicada σ, en funci´on del n´umero de ecuaciones N. Adem´as,
Cap´ıtulo 2. Modelo microestructural de crecimiento de grieta peque˜na 42 0 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 70 Tensión s i, N 3 (MPa) Grano i Figura 2.8: Tensiones σi,N 3para el caso de grieta naciendo de un agujero circular. 0 10 20 30 40 50 120 140 160 180 200 Tensión s N Li (MPa) Grano i Figura 2.9: Tensiones σN Li para el caso de grieta naciendo de un agujero circular.
Cap´ıtulo 3 M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados En este cap´ıtulo se describe la t´ecnica realizada para evaluar la resistencia a fatiga de componentes que poseen un concentrador de tensi´on o entalla, de tama˜no y forma arbitrarios. Se detalla el proceso por el que se combina el uso del modelo microestructural NR de crecimiento de grieta peque˜na y el m´etodo de los elementos finitos para hallar la soluci´on. La metodolog´ıa propuesta se ha denominado IMFEM, de sus siglas en ingl´es Iterative Microstructural Finite Elements Methodology. 3.1. El m´etodo iterativo Existen diferentes soluciones anal´ıticas en la literatura para el an´alisis de grietas en componentes sometidos a fatiga, como se describe en el cap´ıtulo 1. La mayor parte de esas soluciones est´an enfocadas a analizar geometr´ıas de grieta ideales dentro del r´egimen el´astico. Sin embargo, el n´umero de soluciones para problemas de grietas que conllevan la interacci´on con contornos vecinos es reducido. Esto se debe, en cierto modo, 43
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 44 R12 R1 R2 Figura 3.1: M´etodo de Schwarz-Neumann. a que en aquellas situaciones en las que la grieta intersecta un borde o superficie, el proceso para obtener la soluci´on se vuelve m´as complicado. En este trabajo, se ha desarrollado una metodolog´ıa iterativa que estriba en el m´etodo de Schwarz-Neumann [71, 72]. Este m´etodo matem´atico demostr´o que la soluci´on de un problema definido sobre una regi´on con una geometr´ıa m´as o menos complicada, pero que puede ser definida como intersecci´on de regiones con contornos m´as simples, puede obtenerse mediante una adecuada combinaci´on de las soluciones, m´as f´aciles de obtener, de esas otras regiones con contornos m´as sencillos. En particular, esa combinaci´on consiste en la superposici´on iterativa de las soluciones de esos problemas m´as simples en los que puede descomponerse el problema inicial. Por ejemplo, consid´erese el siguiente problema. Una placa cuadrada con un agujero en el centro y sometida a tracci´on en los bordes, representada en la figura 3.1. Si el agujero es peque˜no comparado con las dimensiones de la placa, la soluci´on de las tensiones ser´a aproximadamente la correspondiente a un agujero circular situado en una placa infinita, cuya soluci´on, dada originalmente por Kirsch [73] es bien conocida y tiene una expresi´on anal´ıtica que puede encontrarse en cualquier libro de elasticidad [74, 75]. Por supuesto si no hubiera agujero, la soluci´on es todav´ıa m´as simple, una tensi´on uniforme en toda la placa. Por este razonamiento se deduce que en este problema se conoce la soluci´on cuando se considera cada contorno por separado, es decir, conocemos la soluci´on del agujero en la placa infinita, donde no hay contorno cuadrado, y conocemos la soluci´on de la placa cuadrada sin el agujero. Sin embargo, la soluci´on cuando “act´uan” los dos contornos a la vez no es conocida, es decir, cuando hay un agujero cuyo radio no es despreciable comparado con la longitud del lado de la placa cuadrada. En este caso, adem´as, la geometr´ıa puede entenderse como la intersecci´on de las dos regiones cuya
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 45 soluci´on se conoce. La placa finita con el agujero es la intersecci´on de una placa infinita con el agujero y de una placa cuadrada finita sin agujero. Por tanto, el m´etodo de Schwarz-Neumann justamente sirve para construir una soluci´on para esa regi´on de intersecci´on a partir de las soluciones para las dos regiones “mayores” por separado. M´as adelante se describe en detalle la aplicaci´on de este m´etodo. Esta idea fue aplicada por primera vez a problemas donde uno de los contornos es una grieta por Kullgren et al. [76], quienes propusieron el m´etodo alternante de elementos finitos, el cual fue dise˜nado para evaluar factores de intensidad de tensiones en grietas el´ıpticas naciendo de agujeros en placas combinando el uso del an´alisis de problemas de grieta simples con la simulaci´on de s´olidos mediante elementos finitos. La t´ecnica propuesta por Kullgren pasa por realizar la descomposici´on de un problema real de un s´olido con grieta en dos subproblemas. Un subproblema descrito por una grieta en medio infinito y el otro subproblema referenciando al an´alisis el´astico de tensiones de un s´olido sin grieta. La consecuencia directa de aplicar esta descomposici´on en problemas m´as simples es que se puede estudiar cualquier tama˜no y geometr´ıa de componente. El m´etodo de Kullgren et al. fue usado posteriormente por otros autores en problemas de mec´anica de la fractura [77–80]. En este trabajo, se ha desarrollado esta metodolog´ıa iterativa y se ha aplicado al caso de una grieta que crece desde una entalla e interact´ua con la microestructura del material. El objetivo es evaluar la resistencia a fatiga de componentes que poseen entalla, combinando el uso del modelo NR y el m´etodo de los elementos finitos. El modelo microestructural NR, descrito en el cap´ıtulo 2, permite analizar el crecimiento de grietas peque˜nas. En sus inicios, el modelo NR fue desarrollado para dar soluci´on al problema de una grieta en medio infinito, el cual posee soluci´on anal´ıtica conocida. En las situaciones en las que la grieta intersecta un borde o superficie, la resoluci´on del problema se vuelve m´as ardua debido a la complejidad del n´ucleo presente en la ecuaci´on de equilibrio de dislocaciones (ecuaci´on 2.1). Navarro et al. [64, 81] desarrollaron una primera aplicaci´on del modelo microestructural NR en geometr´ıas con entalla. Obtuvieron una soluci´on anal´ıtica para una entalla el´ıptica sometida a carga en Modo III. La definici´on del problema se transform´o matem´aticamente al estudio del equilibrio de las dislocaciones en un plano semi-infinito y se redujo a una ecuaci´on integral singular similar a la que ya se resolvi´o del caso infinito. M´as tarde, Vallellano [82] propuso una generalizaci´on de esta soluci´on para entallas con formas diferentes a la el´ıptica y para
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 46 grietas que crecen en Modo I. Despu´es, en el trabajo de Chaves et al. [83] se desarroll´o un m´etodo para estimar la resistencia a fatiga de componentes entallados a trav´es del modelo NR, d´onde la grieta nace de la ra´ız de la entalla. Est´a basado en una t´ecnica desarrollada para el c´alculo de FIT de grietas naciendo de entallas [84, 85] d´onde se usa la soluci´on fundamental de una dislocaci´on en un medio semi-infinito. Este m´etodo fue validado para varias geometr´ıas de entalla. Sin embargo, la limitaci´on de ese m´etodo se encuentra en la diversidad de geometr´ıas del concentrador de tensiones que pueden ser analizadas, ya que la formulaci´on del modelo depende directamente del contorno cercano a la grieta haciendo casi imposible evaluar numerosos tipos diferentes de geometr´ıa de entalla porque las expresiones del n´ucleo solo son conocidas para casos muy concretos. Otro aspecto limitante es que dicho m´etodo considera el problema semi-infinito sin que se tenga en cuenta el posible efecto de un contorno cercano que se sit´ue frente a la entalla. Esta tesis representa una continuaci´on a la l´ınea iniciada por Larrosa [86, 87] en la que se present´o por primera vez un m´etodo alternante que combinaba la representaci´on del crecimiento de la grieta por fatiga considerando de forma expl´ıcita su interacci´on con la microestructura con la soluci´on tensional del componente mediante elementos finitos. En el presente trabajo se ha desarrollado una formulaci´on m´as robusta, siguiendo la t´ecnica desarrollada por Hartranft y Sih [88] de combinar el m´etodo alternante con una anulaci´on sucesiva e iterativa de las tensiones en los contornos de inter´es, tal como se describe detalladamente m´as abajo. Todo este contexto previo a esta tesis, motiv´o la idea principal de este trabajo, la cual se basa en analizar el efecto de tama˜no finito en componentes entallados y sometidos a fatiga. Esto se consigue mediante dos partes fundamentales. Por un lado, se obtiene una metodolog´ıa iterativa que permite estudiar la resistencia de componentes mec´anicos entallados y sometidos a fatiga, en los que la forma y tama˜no, tanto del componente como de la entalla, sean arbitrarios y que puedan ser de tama˜no reducido para evaluar el efecto de tama˜no finito del componente. Por otro lado, se realizan los correspondientes ensayos experimentales de fatiga representativos de este efecto de tama˜no finito. La principal ventaja sobre la que se apoya la metodolog´ıa iterativa IMFEM propuesta es en la resoluci´on del problema real y complejo mediante su simplificaci´on en diferentes escenarios m´as simples y aplicando una superposici´on entre ellos. Durante la aplicaci´on
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 47 de la metodolog´ıa IMFEM, el modelo NR se encarga de evaluar la propagaci´on de la grieta creciendo en un medio infinito, mientras que el an´alisis el´astico mediante elementos finitos est´a destinado a obtener el gradiente de tensiones que provoca la entalla sobre la l´ınea de la grieta. Es necesario indicar que se supone que la grieta crece en Modo I desde el principio. La simplicidad de los subproblemas en los que se descompone el problema real es lo que aporta valor a esta metodolog´ıa, ya que sus resoluciones son sencillas. Obviamente, este m´etodo tambi´en posee ciertas limitaciones, como es el caso de que actualmente s´olo es posible analizar problemas de componentes entallados en dos dimensiones y en los que s´olo existe un ´unico concentrador de tensiones y una grieta que nace de la ra´ız de la entalla. 3.2. La metodolog´ıa IMFEM Hartranft y Sih describen un ejemplo de aplicaci´on del m´etodo alternante al espacio com´un entre dos semiplanos con unas condiciones de contorno espec´ıficas [88]. Partiendo de esta idea, se describe la formulaci´on de la metodolog´ıa IMFEM a trav´es de un ejemplo, con el objetivo de expresar detenidamente los detalles de c´omo esta t´ecnica iterativa, propuesta en este trabajo, puede ser aplicada a componentes entallados sometidos a carga c´ıclica, en los que la grieta nace de la ra´ız de la entalla. El problema original a resolver es el de un s´olido entallado, en el que una grieta se propaga debido al efecto de la aplicaci´on de una carga c´ıclica. Se propone la divisi´on de este problema original en dos escenarios m´as simples para realizar una superposici´on iterativa de las soluciones a esos dos escenarios como proceso necesario para hallar la soluci´on del problema original. Esto significa que durante una iteraci´on se resuelve primero un escenario y de la soluci´on calculada se determinan las condiciones de contorno a aplicar al otro escenario. Finalizadas las resoluciones de ambos escenarios, la iteraci´on actual finaliza y comienza una nueva d´onde la soluci´on del ´ultimo escenario resuelto representa las condiciones de contorno iniciales del otro escenario en la nueva iteraci´on. As´ı, este proceso se repite hasta conseguir la convergencia deseada. Un criterio de convergencia m´as afinado provocar´a, posiblemente, la realizaci´on de un mayor n´umero de iteraciones, desembocando en un resultado m´as preciso.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 48 Problema original Escenario 1 Escenario 2 Figura 3.2: Descomposici´on del problema real en escenarios m´as simples. Para llevar a cabo este m´etodo, el problema de s´olido entallado de geometr´ıa real sometido a fatiga, denominado problema original, queda dividido en los escenarios 1 y 2, tal y c´omo se muestra en la figura 3.2. El escenario 1, representa un problema el´astico lineal de un s´olido de geometr´ıa original sin grieta, bajo una carga aplicada (pudiendo no ser uniforme). El escenario 2 corresponde al caso de una grieta presente en un plano infinito que interact´ua con la microestructura del material. La soluci´on al problema real pasa por realizar la superposici´on de las soluciones de ambos escenarios de una forma iterativa mediante un algoritmo. El escenario 1 se resuelve mediante la t´ecnica de elementos finitos y el escenario 2 a trav´es de la resoluci´on num´erica del modelo NR descrita en el cap´ıtulo 2. A continuaci´on, se detalla el proceso. Al inicio de la primera iteraci´on (k= 0), se resuelve el escenario 1, representado en la figura 3.3, haciendo uso de cualquier software comercial de c´alculo por elementos finitos. El s´olido entallado sin grieta est´a sometido a una tensi´on externa que es la tensi´on a la que est´a sometido el problema original y tiene valor σy(x, h/2) = σy(x, −h/2) = q0(x). Seguidamente se extrae el gradiente de tensiones el´asticas de tracci´on que act´ua sobre la l´ınea de grieta ficticia, σy(x, 0), que toma valor σy(x, 0) = p1(x). La resoluci´on del escenario 1 siempre se realiza mediante la t´ecnica de elementos finitos, ya que el problema consiste en modelar la geometr´ıa y calcular el gradiente producido por la entalla al aplicar las condiciones de contorno.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 49 σy(x, h/2) = q (x) 0 σy(x, -h/2) = q (x) 0 x y h D1 Escenario 1 p (x) 1 Figura 3.3: Detalles del escenario 1 en la primera iteraci´on (k=0). Escenario 2 - p (x) 1 σy(x, h/2) = - q (x) 1 σy(x, -h/2) = - q (x) 1 Figura 3.4: Detalles del escenario 2 en la primera iteraci´on (k=0).
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 50 σy(x, h/2) = q (x) 1 σy(x, -h/2) = q (x) 1 x y h D1 Escenario 1 p (x) 2 Figura 3.5: Detalles del escenario 1 en la segunda iteraci´on (k=1). Escenario 2 - p (x) 2 σy(x, h/2) = - q (x) 2 σy(x, -h/2) = - q (x) 2 Figura 3.6: Detalles del escenario 2 en la segunda iteraci´on (k=1).
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 51 El siguiente paso es resolver el escenario 2, que se muestra en la figura 3.4, siguiendo el modelo NR. Es necesario resaltar que el equilibrio de dislocaciones en la grieta se calcula aplicando sim´etricamente el valor de tensi´on sobre ambas caras de la grieta y cambiado de signo, −p1(x). La aplicaci´on de esta carga sobre la grieta produce las tensiones σy(x, h/2) = σy(x, −h/2) = −q1(x) en las aristas superior e inferior del contorno ficticio del componente. S´olo existe inter´es en las tensiones producidas en direcci´on yporque el resto se establecen en valor cero para que las condiciones de contorno de esas tensiones en las dem´as direcciones se cumplan de manera exacta. El escenario 2 se solventa a trav´es de la resoluci´on num´erica del problema de la grieta en medio infinito bajo un gradiente de tensiones. En este caso se debe seguir el proceso descrito en el apartado 2.3 pero incluyendo el gradiente de tensi´on que act´ua sobre la grieta σy(x, 0). Dicha resoluci´on, aporta tanto el valor de tensi´on en la barrera, σi,k 3, como la funci´on de distribuci´on de dislocaciones en la grieta, f(ξ)k. El ´ultimo paso de esta primera iteraci´on corresponde al c´alculo de las tensiones en el contorno ficticio de este escenario 2. A partir de f(ξ)k, se pueden calcular estas tensiones aplicando las correspondientes funciones de influencia que representan el efecto de una dislocaci´on situada en ξen un punto de coordenadas (x, y). La expresiones de las tensiones en el contorno son [39]: σxx(x, y) = AZc 0 f(ξ)k(x−ξ)[(x−ξ)2−y2] [(x−ξ)2+y2]2−(x+ξ)[(x+ξ)2−y2] [(x+ξ)2+y2]2dξ (3.1) σyy(x, y) = AZc 0 f(ξ)k(x−ξ)[(x−ξ)2+ 3y2] [(x−ξ)2+y2]2−(x+ξ)[(x+ξ)2+ 3y2] [(x+ξ)2+y2]2dξ (3.2) σxy(x, y) = AZc 0 f(ξ)ky[(x+ξ)2−y2] [(x−ξ)2+y2]2−y[(x−ξ)2−y2] [(x+ξ)2+y2]2dξ (3.3) d´onde xeyrepresentan las coordenadas de los puntos del contorno ficticio y ξla coordenada de la dislocaci´on sobre la l´ınea de la grieta. En este momento finaliza la primera iteraci´on del proceso.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 58 contra, si la diferencia es superior al 0.1 %, se vuelven a calcular las tensiones en el contorno del s´olido y se comienza una nueva iteraci´on hasta que se consiga la convergencia deseada. Una vez alcanzada dicha convergencia el ciclo del algoritmo para la longitud de grieta analizada termina para comenzar uno nuevo correspondiente a la siguiente longitud de grieta. Cuando se han analizado una cantidad considerable de granos y se ha obtenido la convergencia en todos ellos, se calcula la estimaci´on del l´ımite de fatiga entallado SN FL a partir de las tensiones σN Li, obtenidas en funci´on de los valores de tensi´on en la barrera σi,N 3para cada longitud de grieta, tal y como se describe en el apapartado 2.4.1. El algoritmo IMFEM ha sido dise˜nado para que su ejecuci´on se produzca de manera autom´atica. Esto quiere decir que, una vez establecido cu´antas longitudes de grieta se van a estudiar y el n´umero de iteraciones m´aximo a realizar (opcional), el proceso se realiza ´ıntegramente sin necesidad de procesamiento intermedio. Tanto la propia ejecuci´on del algoritmo en la consola de Python instalada en el ordenador o nodo de c´alculo como las simulaciones de elementos finitos de Abaqus se realizan en segundo plano, obteni´endose un menor consumo de recursos, lo que permite la posibilidad de ejecutar diferentes problemas en paralelo si se desea. Una caracter´ıstica del proceso de parametrizado del algoritmo es que todo est´a programado modularmente para simplificar la formulaci´on y desarrollo del mismo (ver figura 3.9), es decir, existen varias funciones a las que se realizan las llamadas correspondientes desde el c´odigo principal y en el momento oportuno del proceso de c´alculo. Toda la programaci´on del m´etodo se incluye al final de este documento, en el Anexo 4. Un tema muy importante es la comunicaci´on entre el propio algoritmo IMFEM y sus diferentes funciones dise˜nadas, los modelos de Abaqus y las subrutinas programadas. Todo el proceso est´a dise˜nado para que la comunicaci´on se realice mediante archivos de texto, de manera que los valores alfanum´ericos, tanto de entrada como salida, se almacenan o leen directamente de estos archivos de texto. Adem´as, todo el proceso se realiza dentro de un mismo directorio local de trabajo del ordenador. Esto significa que todos los c´odigos de Python y Abaqus deben estar en la misma carpeta para el correcto funcionamiento del algoritmo (ver figura 3.10). As´ımismo, los archivos de texto generados tambi´en se encuentran en ese lugar.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 59 CÓDIGO PRINCIPAL Declaración de variables Recorrido longitudes de grieta Iteración 0 Escenario 1 (Abaqus) Escenario 2 (Modelo NR) Sucesivas iteraciones Escenario 1 (Abaqus) Escenario 2 (Modelo NR) Estimación límite de fatiga SUBRUTINAABAQUS Lectura tensiones contorno Aplicación cargas no uniformes sobre contorno MODELO NR Resolución grieta medio infinito Cálculo de tensiones en el contorno ABAQUS Creación de la geometría Propiedades del material Condiciones de contorno Mallado de la geometría Resolución Exportación gradiente de tensiones IMFEM Figura 3.9: Modelado del algoritmo IMFEM. Código principal y funciones de Python Modelos de Abaqus y subrutina Variables almacenadas como archivos de texto Directorio local Figura 3.10: Comunicaci´on entre los diferentes procesos del algoritmo IMFEM. 3.4. Aplicaci´on del algoritmo IMFEM a una placa con agujero circular A continuaci´on se procede a exponer un ejemplo de la aplicaci´on del m´etodo IMFEM al caso particular de un problema b´asico, como es el representado por una placa con agujero circular sometida a una carga c´ıclica axial. Concretamente, se ha escogido el trabajo de Duquesnay et al. [91] para tener una referencia de la geometr´ıa del componente y de la entalla, y de las propiedades del material. Los materiales utilizados para la fabricaci´on de las probetas fueron el acero SAE 1045 y la aleaci´on de aluminio
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 60 r 44.6 116.8 y x S S (a) (b) Figura 3.11: Geometr´ıa de placa (a) y modelado en elementos finitos (b). 2024-T351. Las propiedades se adjuntan en la tabla 4.1. Las probetas tienes un ancho de 116.8 mm y un alto de 44.6 mm. Los radios de los agujeros son 0.12, 0.25, 0.5 y 1.5 mm. Para este ejemplo solo se van a realizar las estimaciones de resistencia a fatiga de la placa fabricada en acero SAE 1045. Para ello, se introducen inicialmente en el algoritmo algunos datos del material como son el tama˜no de grano (35 µm) o el l´ımite de fatiga intr´ınseco del acero (606 MPa, R=-1), adem´as de las dimensiones geom´etricas de la placa. En este caso, se ha optado por simular en el software de elementos finitos solamente un cuarto de placa debido a la simetr´ıa en ambos ejes. Por otro lado se establece una longitud de grieta m´axima de 100 granos, es decir, el algoritmo realizar´a tantos ciclos completos como longitudes de grieta se han indicado para hallar la convergencia en cada una de ellas. Otro aspecto importante es que el diagrama de Kitagawa-Takahashi del acero en cuesti´on, bajo esas condiciones de carga, no est´a disponible, por lo que se har´a uso de la aproximaci´on de Vallellano descrita en el cap´ıtulo 2. Finalmente, ya que el algoritmo est´a parametrizado, se hace un barrido de resultados para un radio de agujero que var´ıa entre 0.12 y 5.0 mm.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 61 0 1 2 3 4 5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 s yy / S Distancia al borde de la entalla (mm) Radio 0.3 mm Radio 0.4 mm Radio 0.7 mm Radio 0.9 mm Radio 2.0 mm Radio 4.0 mm Figura 3.12: Gradiente de tensiones de una placa con agujero circular. Una vez indicados todos los par´ametros de entrada necesarios, se pone en marcha la ejecuci´on del algoritmo. Como se ha descrito anteriormente, el primer paso es realizar un an´alisis el´astico de las tensiones que se producen en el ligamento de la placa debido al agujero. En la imagen 3.12 se muestran este gradiente σyy, producido por la tensi´on remota S, para diferentes tama˜nos de entalla. Despu´es, seg´un el modelo NR, se van calculando las tensiones σN Li para cada longitud de grieta. El m´aximo valor de estas tensiones σN Li corresponder´a al l´ımite de fatiga de la placa con agujero. En la figura 3.13 se muestra el rango de tensiones ∆σN Li en funci´on de la longitud de grieta. La figura incluye los resultados de una selecci´on de tama˜nos de agujero en doble escala logar´ıtmica. Esta representaci´on corresponde al diagrama de Kitagawa-Takahashi estimado para este material y para los diferentes radios de agujero analizados. Adem´as, se han a˜nadido la estimaci´on de la MFEL y la l´ınea que marca el l´ımite de fatiga intr´ınseco del material para completar la comparaci´on. Por un lado, es destacable la forma de la curva que presentan los agujeros m´as peque˜nos. A medida que la grieta crece desde su
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 62 1 10 100 100 200 300 400 500 600 700 Ds Li N (MPa) Grano i Radio 0.3 mm Radio 0.4 mm Radio 0.7 mm Radio 0.9 mm Radio 2.0 mm Radio 4.0 mm MFEL Límite de fatiga Figura 3.13: Tensiones σN Li en funci´on de la longitud de grieta. longitud inicial, la tensi´on necesaria para que ´esta se propague aumenta hasta llegar a un m´aximo que corresponde con el l´ımite de fatiga para ese caso en concreto. Ese valor de tensi´on marca el umbral entre grietas propagantes y no propagantes. Es decir, si desde el inicio se aplica una tensi´on m´ınimamente inferior al m´aximo de la curva se tendr´a una grieta que se propagar´a hasta una longitud aproximada de 10 granos y quedar´a ah´ı detenida mientras no se aumente la carga aplicada. Por otro lado, para tama˜nos de agujero superiores se muestra c´omo hay una gran dependencia de la entalla, ya que la tensi´on m´axima de la curva se obtiene en la longitud inicial de grieta. Esto anterior significa que una vez iniciada la grieta en estas geometr´ıas extremas de agujero, ´esta se propaga hasta el fallo si se mantiene la tensi´on aplicada.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 63 3.4.1. An´alisis de convergencia En este apartado se va a realizar un an´alisis del proceso de convergencia que realiza el algoritmo IMFEM sobre el ejemplo anterior de una placa con agujero circular. Para ello se van a utilizar los resultados obtenidos de las predicciones realizadas con los mismos tama˜nos de entalla definidos en las figuras 3.12 y 3.13. En primer lugar se realiza una evaluaci´on del n´umero de iteraciones que el algoritmo realiza en cada caso, es decir, cu´antas iteraciones hacen falta para hallar la convergencia dependiendo de la longitud de grieta estudiada en cada ciclo. En la figura 3.14 se representa los resultados, d´onde el n´umero de iteraciones necesarias hasta obtener el nivel de convergencia est´a ilustrado en funci´on de la longitud de grieta. En concreto, en esta figura 3.14 se representan todos los tama˜nos de entalla situ´andose cada uno en un gr´afico independiente, en orden vertical de mayor a menor tama˜no de agujero. Los diferentes gr´aficos comparten la misma escala del eje horizontal d´onde se refleja la longitud de grieta definida como el n´umero de granos que abarca la grieta. El color utilizado para cada tama˜no de agujero es el mismo que fue definido en la figura 3.12. Se puede apreciar que no existe homogeneidad en cuanto al n´umero de iteraciones realizadas en funci´on del tama˜no del tama˜no de entalla para una misma longitud de grieta. Sin embargo, es destacable que en todos los radios de agujero representados se aprecia c´omo existen dos partes que pueden diferenciarse, una para las longitudes de grieta m´as peque˜nas y otra para longitudes de grieta superiores. En todos los casos representados el n´umero de iteraciones realizadas es siempre superior en longitudes de grietas mayores. En segundo lugar se eval´uan los resultados obtenidos para el par´ametro microestructural de tensi´on en la barrera en las diferentes iteraciones. Tal y como se ha explicado anteriormente, el par´ametro sobre el que se eval´ua la convergencia es la tensi´on obtenida en la barrera σi 3. Se ha realizado un an´alisis de la diferencia existente entre el valor obtenido en cada iteraci´on σi,k 3y el obtenido en la iteraci´on final σi,k=final 3del proceso de convergencia algor´ıtmico. En la figuras 3.15, 3.16, y 3.17 se muestran los resultados para los tama˜nos de agujero 0.3, 0.7 y 4 mm. En el eje vertical se representa el cociente entre el valor de σi,k 3de cada iteraci´on y el valor de la iteraci´on final. Adem´as, en este eje de ordenadas se ha marcado el valor 1.00 con una l´ınea discontinua horizontal que
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 64 0 20 40 60 80 100 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 Grano i Radio 0.3 mm Radio 0.4 mm Nº iteraciones, k Radio 0.7 mm Radio 0.9 mm Radio 2.0 mm Radio 4.0 mm Figura 3.14: N´umero de iteraciones realizadas en funci´on del grano iestudiado.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 65 representa la convergencia alcanzada. Se han representado varias longitudes de grieta para los tres tama˜nos de agujero, concretamente las longitudes de grieta de 1, 3, 5, 7, 21 y 46 granos. Cada figura corresponde a un tama˜no de entalla, y en ellas se incluyen los datos de todas las longitudes de grieta analizadas representados en gr´aficos diferentes en orientaci´on vertical y ordenados de menor a mayor longitud de grieta. En cuanto a los resultados obtenidos, existe una clara diferencia entre los casos de longitudes de grieta peque˜na y los de grietas grandes respecto a la evoluci´on de la diferencia del par´ametro σi,k 3en cada iteraci´on. Para las longitudes de grieta peque˜nas se observa que desde la iteraci´on inicial hay una menor variaci´on del par´ametro de tensi´on en la barrera con respecto al obtenido en la ´ultima iteraci´on. Adem´as, se aprecia c´omo la variaci´on fluct´ua en cada iteraci´on en torno a la l´ınea horizontal de convergencia en y= 1,00. Sin embargo, en grietas de longitud superior se observa como la variaci´on es bastante mayor en las primeras iteraciones, la cual se reduce conforme se incrementa el n´umero de iteraciones realizadas por el algoritmo. Por ´ultimo, se ha realizado una evaluaci´on de las tensiones necesarias para superar cada barrera microestructural, σN Li, calculadas en cada iteraci´on para un amplio rango de longitudes de grieta. Se han analizado tres tama˜nos de entalla, concretamente 0.4, 0.6 y 2.0 mm. Los resultados se muestran en las figuras 3.18, 3.19 y 3.20 d´onde las tensiones σN Li, obtenidas en diferentes iteraciones, se ha representado frente a la longitud de grieta correspondiendo cada figura a un tama˜no de entalla diferente. Existe un patr´on en los tres tama˜nos de entalla estudiados, ya que se aprecia una diferencia notable entre los resultados de estas tensiones σN Li correspondientes a la primera iteraci´on (k= 0) y los del resto de iteraciones (k6= 0). As´ımismo, la diferencia entre las tensiones σN Li del conjunto iteraciones k6= 0 es inferior y se reduce, incluso, conforme el tama˜no de entalla aumenta.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 66 0123456 0.8 0.9 1.0 0.8 0.9 1.0 0.8 0.9 1.0 0.8 0.9 1.0 0.8 0.9 1.0 0123456 0.8 0.9 1.0 i = 1 Radio 0.3 mm i = 3 s i, k 3 / s i, k = final 3 i = 5 i = 7 i = 21 Iteración, k i = 46 Figura 3.15: Convergencia del valor de tensi´on en la barrera σi 3obtenida en cada iteraci´on para un agujero de radio 0.3 mm.
Cap´ıtulo 3. M´etodo iterativo para la predicci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados 67 0123456 0.8 0.9 1.0 0.8 0.9 1.0 0.8 0.9 1.0 0.8 0.9 1.0 0.8 0.9 1.0 0123456 0.8 0.9 1.0 Radio 0.7 mm i = 1 i = 3 s i, k 3 / s i, k = final 3 i = 5 i = 7 i = 21 Iteración, k i = 46 Figura 3.16: Convergencia del valor de tensi´on en la barrera σi 3obtenida en cada iteraci´on para un agujero de radio 0.7 mm.
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 74 0.1 10.5 2 3 50 100 150 200 250 300 Límite de fatiga, Ds FL N (MPa) Radio de entalla, r (mm) Experimental Peterson Taylor Chaves et al. IMFEM Figura 4.2: Resultados de Duquesnay para la aleaci´on de aluminio 2024-T351 [91] y predicciones con varios modelos. 0.1 1 10 150 200 250 300 350 400 450 500 Límite de fatiga, Ds FL N (MPa) Radio agujero, r (mm) Experimental Peterson Taylor Chaves et al. IMFEM Figura 4.3: Resultados El Haddad et al. para el acero CSA G40.11 [12] y predicciones con varios modelos.
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 75 Tabla 4.2: Propiedades del acero ensayado por El Haddad et al. [12]. Material ∆Kth (MPa√m) ∆σF L (MPa) R Acero CSA G40.11 15.9 580 -1 4.2. Entallas en forma de V Frost ensay´o placas con entallas en forma de V con un ancho de 63.5 mm y una profundidad de entalla de 5.08 mm variando el radio de fondo de entalla [51]. El ´angulo de la entalla en V era de 55 grados. El material utilizado fue un acero com´un cuyas propiedades se muestran en la tabla 4.3. El valor de la constante l1caracter´ıstica necesaria para el c´alculo del factor Kfde Peterson tiene un valor de l1=0.42 mm. La longitud cr´ıtica del acero CSA G40.11 para el m´etodo del punto de Taylor es L=0.32 mm. El tama˜no de grano medio no es un dato aportado por el autor y ha sido estimado en D=0.068 mm [81]. Los resultados experimentales de ensayos finalizados en rotura y run-outs, junto a las predicciones de los diferentes m´etodos, se muestran en la figura 4.4. En este caso, el l´ımite de fatiga experimental est´a situado entre las roturas y los run-outs en cada caso representado. Tabla 4.3: Propiedades del acero ensayado por Frost [51]. Material Kth (MPa√m)σF L (MPa) R Acero medio (0.22 % C) 6.5 202 -1 En el trabajo de Zambrano et al. [93] se analizan resultados de ensayos de fatiga sobre probetas planas con doble entalla en V. Las entallas dise˜nadas tienen la misma profundidad igual a 5.1 mm, y el radio de fondo de entalla var´ıa entre un valor m´ınimo igual a 0.19 mm y un valor m´aximo igual a 1.5 mm. El ´angulo definido para la forma en V es igual a 55 grados. Las probetas fueron fabricadas en acero de fundici´on denominado EN-GJS-400-18-LT y las propiedades mec´anicas se incluyen en la tabla 4.4. El valor de la constante l1caracter´ıstica necesaria para el c´alculo del factor Kfde Peterson tiene un valor de l1=0.51 mm. La longitud cr´ıtica de Taylor estimada para este material tiene
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 76 2 4 6 8 10 12 14 20 40 60 80 100 Límite de fatiga, s FL N (MPa) K t Experimental roturas Experimental run-outs Peterson Taylor Chaves et al. IMFEM Figura 4.4: Resultados de Frost para el acero medio (0.22 % C) [51] y predicciones con varios modelos. un valor de L=0.49 mm para este material. El tama˜no medio de grano del acero reportado por los autores es igual a D=0.032 mm. Los resultados experimentales de ensayos finalizados en rotura y run-outs, junto a las predicciones de los diferentes m´etodos, se muestran en la figura 4.5. En este caso, el l´ımite de fatiga experimental est´a situado entre las roturas y los run-outs en cada caso representado. Tabla 4.4: Propiedades del acero de fundici´on ensayado por Zambrano et al. [93]. Material ∆Kth (MPa√m) ∆σF L (MPa) R Acero EN-GJS-400-18-LT 14.3 362 -1
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 77 4 6 8 10 12 14 30 60 90 120 Límite de fatiga, Ds FL N (MPa) K t Experimental run-outs Experimental roturas Peterson Taylor Chaves et al. IMFEM Figura 4.5: Resultados de Zambrano et al. para el acero de fundici´on EN-GJS-400- 18-LT [93] y predicciones con varios modelos. Ren et al. [94] ensayaron probetas cil´ındricas, de 5 mm de di´ametro, entalladas en V fabricadas en una aleaci´on de base N´ıquel cuyas propiedades se muestran en la tabla 4.5. Las entallas fueron dise˜nadas con un ´angulo de 60 grados, una profundidad de 0.267 mm y un radio de fondo de entalla de 0.213 mm. El valor de la constante l1caracter´ıstica necesaria para el c´alculo del factor Kfde Peterson tiene un valor de l1=0.022 mm. A trav´es del valor umbral para grietas peque˜nas [95] para este material, se ha calculado la longitud cr´ıtica de Taylor L=0.033 mm. El tama˜no medio de grano aproximado se sit´ua entre D=0.054 y D=0.064 mm seg´un los autores. Los resultados experimentales de l´ımite de fatiga, junto a las predicciones de los diferentes m´etodos, se muestran en la tabla 4.6, ya que s´olo se dispone de un punto experimental. Tabla 4.5: Propiedades de la aleaci´on en base n´ıquel ensayada por Ren et al. [94] Material σUT S (MPa) σF L (MPa) R Udimet 720 1503 981 0.1
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 78 Tabla 4.6: Resultados de Ren et al. para la aleaci´on de N´ıquel Udimet 720 [94] y predicciones con varios modelos. L´ımite de fatiga σN FL (MPa) Experimental 514 Peterson 454.48 Taylor 505.19 Chaves et al. 583.10 IMFEM 571.17 En un trabajo independiente a esta tesis y dentro de nuestro grupo de investigaci´on, se ensayaron probetas planas entalladas en V y fabricadas en acero inoxidable AISI 304L cuyas propiedades se muestran en la tabla 4.7. La entalla tiene un ´angulo de 55 grados y una profundidad de 5 mm. El radio de fondo de entalla es 0.5 mm, el ancho de la probeta igual a 20 mm y la longitud 200 mm. El valor de la constante l1caracter´ıstica necesaria para el c´alculo del factor Kfde Peterson tiene un valor de l1=0.20 mm. La longitud cr´ıtica de Taylor estimada para este material tiene un valor de L=0.18 mm para este material. El tama˜no medio de grano del acero es igual a D=0.08 mm [96]. Los resultados experimentales de l´ımite de fatiga, junto a las predicciones de los diferentes m´etodos, se muestran en la tabla 4.8, ya que s´olo se dispone de un punto experimental. Tabla 4.7: Propiedades del acero inoxidable AISI 304L [96]. Material Kth (MPa√m)σF L (MPa) R AISI 304L 7.4 316 -1
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 79 Tabla 4.8: Resultados de probetas entalladas en V fabricadas en AISI 304L [96] y predicciones con varios modelos. L´ımite de fatiga σN FL (MPa) Experimental 32.50 Peterson 47.60 Taylor 48.15 Chaves et al. 44.48 IMFEM 42.25 4.3. Entallas en forma de U Meneguetti et al. ensayaron placas planas con doble entalla en U [97]. Las probetas tienen un ancho de 23 mm. Todas las entallas fueron dise˜nadas con una profundidad de 5 mm variando el radio de fondo de entalla. Las probetas fueron fabricadas en acero de bajo contenido al carbono C10, cuyas propiedades se muestran en la tabla 4.9. El valor de la constante l1caracter´ıstica necesaria para el c´alculo del factor Kfde Peterson tiene un valor de l1=0.46 mm. La longitud cr´ıtica de Taylor para este material es L=0.08 mm. El tama˜no medio de grano reportado por los autores es D=0.018 mm. Los resultados experimentales, junto a las predicciones de los diferentes m´etodos, se muestran en la figura 4.6. En este caso, los resultados experimentales representados corresponden a roturas en la zona de alto n´umero de ciclos, concretamente por encima de 106ciclos por lo que el l´ımite de fatiga experimental quedar´ıa ligeramente por debajo de los datos experimentales representados. Tabla 4.9: Propiedades del acero C10 [97]. Material ∆Kth (MPa√m) ∆σF L (MPa) R Acero medio C10 5.6 360 0.1
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 80 5 10 15 30 60 90 120 150 180 Límite de fatiga, Ds FL N (MPa) K t Experimental Peterson Taylor Chaves et al. IMFEM Figura 4.6: Resultados de Meneghetti et al. para el acero C10 [97] y predicciones con varios modelos. 4.4. Entallas en forma semicircular Luk´aˇs et al. realizaron un estudio sobre el efecto de tama˜no de las entallas en fatiga ensayando probetas cil´ındricas, de 5 mm de di´ametro, con entallas circunferenciales de perfil semicircular cuyos radios variaban entre 0.01 y 0.8 mm [98]. Se ensayaron dos materiales distintos, un cobre al 99.98 % de pureza y un acero com´un en recipientes a presi´on (2.25 Cr - 1 Mo) cuyas propiedades se muestran en la tabla 4.10. El valor de la constante l1caracter´ıstica necesaria para el c´alculo del factor Kfde Peterson tiene un valor de l1=1.43 mm para el cobre, y l1=0.29 para el acero. La longitud cr´ıtica para el m´etodo del punto de Taylor es L=0.09 mm para el cobre y L=0.1 mm para el acero. El tama˜no medio de grano reportado por los autores es D=0.05 mm para el cobre D=0.03 mm y para el acero. Los resultados experimentales de l´ımite de fatiga, junto a las predicciones de los diferentes m´etodos, se muestran en las figuras 4.7 y 4.8.
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 81 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 30 60 90 Límite de fatiga, s FL N (MPa) Radio entalla, r (mm) Experimental Peterson Taylor Chaves et al. IMFEM Figura 4.7: Resultados de Luk´aˇs et al. para el cobre [98] y predicciones con varios modelos. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 50 100 150 200 250 Límite de fatiga, s FL N (MPa) Radio entalla, r (mm) Experimental Peterson Taylor Chaves et al. IMFEM Figura 4.8: Resultados de Luk´aˇs et al. para el acero (2.25 Cr - 1 Mo) [98] y predicciones con varios modelos.
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 82 Tabla 4.10: Propiedades de los materiales ensayados por Luk´aˇs et al. [98]. Material Kth (MPa√m)σF L (MPa) R Cobre 2.7 73 -1 Acero (2.25 Cr - 1 Mo) 6.0 220 -1 4.5. Discusi´on de los resultados Una vez presentados los diferentes casos de validaci´on, puede comprobarse la flexibilidad del m´etodo propuesto en esta tesis, ya que han sido analizados diferentes morfolog´ıas de entalla al igual que varios materiales. En todos los tipos de entalla y materiales analizados se observa, de manera general, que el m´etodo IMFEM desarrollado aporta predicciones de resistencia a fatiga bastante similares a los m´etodos comparados y a los valores experimentales. En la figura 4.9 se ha realizado un resumen de los diferentes trabajos que se han evaluado para realizar la validaci´on del modelo IMFEM. En concreto se representa el valor experimental frente al valor estimado mediante el m´etodo iterativo junto a unas bandas de error relativo. El dato de error relativo ha sido calculado tomando como referencia el valor experimental de l´ımite de fatiga. Seg´un las bandas de error incluidas en el gr´afico, puede observarse que pr´acticamente todos los casos analizados se sit´uan dentro del rango ±20 %, definido por la regi´on entre ambas l´ıneas discontinuas en color granate. La l´ınea continua e inclinada de color negro hace referencia a la situaci´on de igualdad entre la estimaci´on y el valor experimental de l´ımite de fatiga. Puede considerarse que las estimaciones realizadas, para una variada morfolog´ıa de entalla y diferentes materiales, se aproximan de manera correcta a los valores de ensayos de fatiga sobre piezas entalladas encontrados en la literatura. En la tabla 4.11 se encuentran los valores de error relativo en porcentaje (definido seg´un la ecuaci´on 4.2) y en valor absoluto, correspondientes a los valores individuales de l´ımite de fatiga de cada trabajo analizado al inicio de este cap´ıtulo y representados en la figura 4.9.
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 83 100 300 500 700 100 300 500 700 + 20 % Límite de fatiga experimental (MPa) Límite de fatiga estimado (MPa) Duquesnay acero Duquesnay aluminio El Haddad Frost Zambrano Ren AISI 304L Meneghetti Lukás acero Lukás cobre - 20 % Figura 4.9: Resumen de los trabajos evaluados para la validaci´on del modelo IMFEM. Error % = valor experimental −valor estimado valor experimental ·100 (4.2) Como se ha comentado m´as arriba, en una gran parte de los casos analizados se obtiene individualmente un error relativo inferior al 20 %. Adicionalmente, se ha calculado el valor medio del error relativo obtenido, de forma global, en la comparaci´on de todos los l´ımites de fatiga de cada trabajo de la literatura. Es destacable el hecho de que se han encontrado s´olo dos trabajos en los que se superan el 20 % de error medio, concretamente un 36,86 % y 30,35 % de diferencia relativa entre las estimaciones del m´etodo IMFEM y los valores experimentales. Estas variaciones corresponden al caso del acero inoxidable AISI 304L (entalla en V) y al trabajo de Meneghetti et al. (entalla en U), respectivamente.
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 90 110 a 90 Sección neta restante Figura 4.12: Secci´on neta de las probetas y grieta creciendo. Dimensiones en mil´ımetros. restante del componente. Dicha secci´on neta restante ha sido estimada restando la superficie ocupada por una grieta de longitud a=4 granos a la secci´on neta inicial del componente (secci´on rectangular de 0.11 mm ×0.09 mm). Se asume que la grieta crece desde el punto medio del espesor y posee un frente de grieta semicircular (ver figura 4.12). Por este motivo, se puede considerar, de manera aproximada, que el l´ımite de fatiga estimado por este m´etodo debe corresponder a los resultados obtenidos en el cuarto grano, que son los indicados en la tabla 4.15. Adem´as, puede comprobarse que las estimaciones obtenidas mediante el m´etodo iterativo IMFEM se ajustan razonablemente bien a los valores obtenidos en los ensayos. Tambi´en es destacable la diferencia entre las estimaciones realizadas con el m´etodo de Chaves y el m´etodo IMFEM, ambos apoyados en el modelo NR, ya que la ventaja del m´etodo IMFEM es que captura el efecto de las superficies cercanas a la entalla (back surfaces, en ingl´es), en este caso el efecto de tama˜no finito del micro-componente. Siguiendo el mismo razonamiento del p´arrafo anterior, los valores de l´ımite de fatiga aportados por el m´etodo IMFEM s´ı se puede considerar v´alidos porque el grano decisivo es el segundo o el tercer grano en las probetas estudiadas y las tensiones reportadas como l´ımite de fatiga producen tensiones menores al l´ımite de rotura del material en la secci´on neta resistente en cada caso. Por este motivo, el m´etodo IMFEM se diferencia del m´etodo de Chaves y aporta una mayor ventaja cuando se trata de estimar
Cap´ıtulo 4. Validaci´on del m´etodo IMFEM 91 el l´ımite de fatiga en micro-componentes. No obstante, hay que recalcar de nuevo que el m´etodo IMFEM est´a basado en el modelo NR, el cual realiza las predicciones de l´ımite de fatiga estableciendo una relaci´on entre par´ametros micromec´anicos con las propiedades macrosc´opicas del material. Esto, puede llegar a ser puesto en duda porque existen otros factores que podr´ıan influir y no se tienen en cuenta, sobre todo, en micro-componentes. Sin embargo, a la vista est´an los resultados presentados al inicio de este cap´ıtulo d´onde se muestra la comparativa entre resultados experimentales y predicciones de este m´etodo, lo que corrobora, de forma inequ´ıvoca, la aplicabilidad pr´actica de este modelo microestructural en una amplia variedad de casos. Finalmente, otro punto importante a destacar es la limitaci´on impuesta por la hip´otesis hecha por la que se considera la propagaci´on de la grieta en Modo I desde el principio. La validaci´on de esta hip´otesis se comprueba en situaciones como las representadas en las figuras 3.13, 3.18 o 3.19, por ejemplo, d´onde se aprecia c´omo el l´ımite de fatiga se obtiene aproximadamente en torno al d´ecimo grano. Este hecho hace referencia a la conocida como etapa II de crecimiento, por la que la grieta tiende a propagarse en direcci´on perpendicular a la carga aplicada. Seg´un la formulaci´on actual del modelo NR, resulta imposible considerar el fen´omeno f´ısico de la existencia de las etapas I y II en el crecimiento y propagaci´on de la grieta. Es decir, en los casos en los que el primer grano fuera la barrera “decisiva” para obtener el l´ımite de fatiga, ser´ıa m´as correcto realizar la hip´otesis de que la grieta crece aproximadamente a 45◦inicialmente (plano de m´axima tensi´on cortante), lo que corresponder´ıa a la etapa I. Sin embargo, hasta que se consiga implantar correctamente ese proceso f´ısico en el modelo, resulta m´as apropiada la hip´otesis por la que se considera ´unicamente que la grieta se propaga como si estuviera en todo momento en la etapa II (plano de m´axima tensi´on principal). En resumen, el m´etodo IMFEM, que consiste en la descomposici´on del problema de componente entallado en dos subproblemas m´as simples junto al an´alisis de la propagaci´on de grieta mediante el modelo NR, puede considerarse adecuado para la estimaci´on de resistencia a fatiga de componentes entallados, siendo su ventaja principal la versatilidad en el an´alisis de geometr´ıas de componente entallado fabricados con diferentes materiales.
Cap´ıtulo 5 Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas En este cap´ıtulo se realiza una descripci´on de las caracter´ısticas y detalles del material utilizado, el dise˜no geom´etrico y el proceso de mecanizado necesario para la fabricaci´on de las probetas con entalla. El objetivo de la geometr´ıa de las probetas fabricadas es conseguir situaciones en las que se produzca un efecto de tama˜no finito debido a las dimensiones de la entalla con respecto al componente, de manera que no se pueda analizar el problema como medio infinito, que es lo habitual. Adem´as, se detallan los ensayos de fatiga que se han realizado y se muestran los resultados obtenidos. Por ´ultimo se describe el an´alisis de la superficie de fractura realizado sobre las probetas ensayadas con objeto de evaluar la iniciaci´on y propagaci´on de grieta. 5.1. Dise˜no y an´alisis de las probetas entalladas 5.1.1. Material El material utilizado en este trabajo es acero inoxidable comercial AISI 304L, el cual fue previamente caracterizado [96, 101]. Su composici´on se detalla en la Tabla 5.1. La microestructura presenta granos austen´ıticos con bandas de ferrita delta y el tama˜no 93
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 94 Figura 5.1: Detalle de la microestructura del acero AISI 304L. Tabla 5.1: Composici´on del acero inoxidable AISI 304L. Elemento % peso Elemento % peso C 0.021 Ni 8.148 P 0.029 Mo 0.215 S 0.024 Ti 0.0005 Si 0.34 N 0.08 Mn 1.485 Cu 0.39 Cr 18.227 medio de grano, D, es igual a 80 µm. Una imagen obtenida del an´alisis cristalogr´afico de la microestructura se muestra en la figura 5.1. Las propiedades mec´anicas del acero inoxidable se muestran en la Tabla 5.2. 5.1.2. Geometr´ıa Las probetas son cil´ındricas y tienen una entalla circunferencial de perfil semicircular que se encuentra en el punto medio de su eje longitudinal, tal y como se aprecia en la figura 5.2. donde D1es el di´ametro exterior, o di´ametro bruto, con un valor fijo de 8 mm para todas las muestras fabricadas, des el di´ametro neto en la zona de la entalla
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 95 Tabla 5.2: Propiedades mec´anicas del acero AISI 304L [96, 101]. Tensi´on ´ultima SUT S 654 MPa L´ımite el´astico σy(0,2%) 467 MPa Factor de intensidad de tensiones umbral KIth 7.4 MPa√m Elongaci´on 56 % Figura 5.2: Detalle de la geometr´ıa de las probetas. cuyo valor se define a partir del radio de la entalla, r, que es igual a la profundidad de la entalla. Se han fabricado y analizado seis tama˜nos de entalla diferentes, tomando r los valores 0.2, 0.6, 1.3, 2.0, 2.5 and 3.0 mm. La dr´astica diferencia entre los tama˜nos de entalla se ha elegido ex profeso para evaluar el efecto de tama˜no del componente. Los casos de las probetas con los tama˜nos de entalla m´as peque˜nos pueden ser clasificados como una entalla en un medio semi-infinito, mientras que aquellos con tama˜nos m´as grandes deben ser clasificados como medio finito debido a la enorme reducci´on de la secci´on neta (ver figura 5.3).
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 96 Figura 5.3: Efecto de tama˜no finito debido al tama˜no de entalla. 5.1.3. Mecanizado Las probetas se realizaron partiendo de barras cil´ındricas de acero inoxidable de 22 mm de di´ametro y cuatro metros de largo. Las probetas fueron mecanizadas mediante torneado por control num´erico en dos pasos. Primero se realiz´o una operaci´on de cilindrado para reducir el di´ametro hasta 8 mm partiendo de los 22 mm iniciales de la barra de origen. El valor de la velocidad de rotaci´on de la pieza en esta operaci´on de cilindrado fue de 1000 rpm y fue elegido porque a mayores velocidades se produc´ıan vibraciones no deseadas. La profundidad radial se estableci´o en 0.5 mm y el avance se program´o a un ratio de 0.15 mm/rev. El siguiente proceso consiste en la realizaci´on de la entalla. En esta parte del mecanizado se consigui´o realizar la geometr´ıa haciendo uso de la t´ecnica de ranurado por la que la geometr´ıa de la entalla queda definida mediante diversas pasadas que la herramienta realiza de forma circunferencial e incrementando la profundidad progresivamente. En este caso se utiliza una profundidad radial de 0.1 mm, un avance de 0.12 mm/rev y, de nuevo, una rotaci´on constante a 1000 rpm. Todas las muestras a excepci´on de las que poseen el tama˜no m´as peque˜no de entalla fueron mecanizadas en la misma empresa externa y siguiendo los mismos par´ametros de mecanizado. Las correspondientes al radio de entalla 0.2 mm, las realiz´o una empresa diferente y los par´ametros de mecanizado variaron ligeramente: profundidad radial 0.7 mm y un avance de 0.2 mm/rev para la operaci´on de cilindrado y profundidad radial 0.1 mm y avance 0.1 mm/rev para la fase de ranurado. Una vez m´as, la velocidad de rotaci´on de la pieza fue de 1000 rpm. Ninguna de las muestras fueron sometidas a un tratamiento t´ermico despu´es del proceso de mecanizado.
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 97 5.1.4. Rugosidad Una vez fabricadas las probetas, se realizaron medidas de rugosidad para evaluar la calidad del acabado superficial. Las medidas fueron tomadas en la superficie del fondo de entalla por ser la zona m´as influyente en la aparici´on de grietas debido a la concentraci´on de tensiones. Se analizaron aquellas muestras correspondientes a los radios de entalla 0.6, 1.3, 2.0 and 3.0 mm. Fue imposible tomar medidas en aquellas con la entalla de menor tama˜no. Para este proceso se hizo uso del perfil´ometro ´optico 3D sin contacto Sensofar S-Neox. La medici´on consiste en capturar el fondo de entalla como una superficie en 3D. A esta superficie se le extrae la capa topogr´afica y despu´es se nivela para eliminar la inclinaci´on y poder tomar medidas correctamente. Un ejemplo de la superficie 3D del fondo de entalla sobre la que se tomaron medidas se muestra en la Fig. 5.4. De este proceso se obtienen los valores medios de rugosidad para la superficie medida, concretamente se calculan la rugosidad media, Ra, y la rugosidad cuadr´atica media, Rq, siguiendo la norma ISO 25178. Los valores de rugosidad medidos se muestran en la tabla 5.3. Se puede observar que el acabado superficial es bueno y, por tanto, deber´ıa afectar m´ınimamente a la resistencia a fatiga de las muestras. Figura 5.4: Perfil 3d de rugosidad obtenido en el fondo de entalla.
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 98 Tabla 5.3: Valores de rugosidad en la entalla. Radio de entalla r(mm) Ra(µm) Rq(µm) 0.60 0.1774 0.22747 1.30 0.2231 0.2786 2.00 0.2011 0.2522 3.00 0.1881 0.2597 5.1.5. Dureza Al recibir las muestras mecanizadas no se contempl´o la posibilidad de realizar medidas de dureza. Sin embargo, a medida que se iban teniendo resultados de resistencia a fatiga, se decidi´o tomar medidas de dureza en una secci´on transversal de la probeta desde la ra´ız de la entalla hasta el interior de la secci´on. Varias medidas de dureza Vickers HV10 fueron tomadas a las probetas de radio de entalla 0.2, 2.5 y 3.0 mm, ya que del resto no quedaban muestras porque hab´ıan sido usadas para ensayos de fatiga y tracci´on. Los valores medidos de dureza se muestran en la tabla 5.4. Tabla 5.4: Medidas de dureza. Radio de entalla r(mm) Dureza Vickers 0.20 231 2.50 293 3.00 266 5.2. Ensayos sobre probetas entalladas 5.2.1. Ensayos de tracci´on En la caracterizaci´on previa del acero inoxidable utilizado en este trabajo, se realizaron ensayos de tracci´on sobre probetas sin concentradores de tensi´on, siendo la resistencia a tracci´on SUT S = 654 MPa. Por otra parte, durante la realizaci´on de este trabajo se realizaron ensayos est´aticos de tracci´on en las probetas de todos los tama˜nos de entalla. Los valores de resistencia ´ultima a la tracci´on SUT S est´an indicados en la tabla 5.5. Los valores de SUTS han sido calculados dividiendo la fuerza aplicada en el ensayo de
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 99 tracci´on entre la secci´on neta de cada muestra, sin tener en cuenta la concentraci´on de tensi´on producida por la entalla. Tabla 5.5: Datos de los ensayos de tracci´on sobre probetas entalladas. Radio de entalla r(mm) 0.20 0.60 1.30 2.00 2.50 3.00 SUT S (MPa) 756 851 937 900 890 857 5.2.2. Ensayos de fatiga Uno de los objetivos de este trabajo ha sido la realizaci´on de ensayos de fatiga con objeto de evaluar el efecto del tama˜no de la entalla sobre la resistencia a fatiga de las muestras. Todos los ensayos de fatiga se llevaron a cabo utilizando la m´aquina servohidr´aulica MTS 809 Biaxial 100 KN mostrada en la figura 5.5. La m´aquina consta de dos mordazas hidr´aulicas, en la que la mordaza superior est´a solidaria al puente y la inferior es la encargada de aplicar la carga c´ıclica a las muestras. Los ensayos se realizan en tracci´on-compresi´on a una frecuencia de 8 Hz, bajo control de carga con R= -1 (tensi´on media nula) y usando una carga variable sinusoidalmente. Los tests finalizaron bien por rotura de la probeta o bien por run-out. Debido a la baja frecuencia de los ensayos, el resultado de vida infinita o run-out se estableci´o en 3,5×106ciclos. 5.3. Curvas S-N El prop´osito de la realizaci´on de los ensayos a fatiga es la obtenci´on de las curvas S- N para cada tama˜no de entalla fabricado. En la actualidad, existen muchos m´etodos normalizados para construir las curvas de vida a fatiga en los que se necesitan un n´umero m´ınimo de ensayos para considerar v´alida la curva obtenida. En este trabajo, la poca cantidad de acero inoxidable disponible para mecanizar todas las probetas con los seis tama˜nos de entalla fue la raz´on por la que se sigui´o el m´etodo desarrollado por la Sociedad Japonesa de Ingenieros Mec´anicos (1981). Este m´etodo es id´oneo para conseguir una curva S-N con una cantidad muy peque˜na de ensayos. Los detalles del proceso se encuentran en el trabajo de Nakazawa y Kodama [102]. Esta propuesta divide la curva S-N en dos partes, una inclinada que consta de 8 ensayos repartidos en 4 niveles
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 106 Tabla 5.6: Valores experimentales del l´ımite de fatiga y factor de fatiga en entallas, Kf, para cada tama˜no de entalla ensayado. Radio de entalla, r(mm) L´ımite de fatiga entallado, SN FL (MPa) Kf 0.20 211.83 1.50 0.60 232.67 1.80 1.30 323.40 1.58 2.00 278.40 1.31 2.50 406.00 1.17 3.00 389.53 1.08 de fatiga sin entalla, SF L, y el l´ımite de fatiga para la misma muestra con entalla: Kf=SFL/SN FL. De los resultados de l´ımite de fatiga obtenidos para los diferentes tama˜nos de entalla, lo m´as llamativo es que algunos de ellos son superiores al l´ımite de fatiga del propio material, obtenido con probetas sin entalla. En el siguiente cap´ıtulo se procede a analizar los resultados obtenidos. 5.4. An´alisis microsc´opico de la superficie de fractura Existen m´etodos te´oricos que proporcionan una predicci´on de vida en componentes con entalla que se basan en la idea propuesta de que dicha longitud depende de las propiedades internas del material en cuesti´on. Algunos ejemplos son los m´etodos de distancia cr´ıtica propuestos por Taylor [48, 49] o el propio modelo microestructural NR [38]. La caracter´ıstica fundamental de estos m´etodos es que se centran en el an´alisis del gradiente de tensiones producido en una determinada l´ınea que parte desde la ra´ız de la entalla (focus path), normalmente en una zona que se sit´ua entre el primer y el d´ecimo grano, ya que se asume que esa extensi´on es representativa del progreso que lleva la grieta en el componente. Un aspecto importante a tener en cuenta de estos modelos de predicci´on de vida a fatiga es la simplificaci´on que hacen de la grieta al considerarla como una l´ınea recta. Esta t´ecnica es razonable si se asume que una de las dos fases de la grieta es mucho mayor que la otra. En este trabajo se ha analizado la l´ınea que abarca los primeros diez granos
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 107 desde el punto de inicio de la grieta. Para ello, las superficies de fractura de las probetas ensayadas fueron evaluadas utilizando diferentes t´ecnicas microsc´opicas. Concretamente se realiz´o el an´alisis usando un microscopio ´optico, un microscopio electr´onico de barrido de emisi´on de campo (tecnolog´ıa SEM) FEI TENEO y un perfil´ometro ´optico 3D sin contacto Sensofar-S Neox. El objetivo es identificar el origen o punto de iniciaci´on de la/s grieta/s principales y observar su evoluci´on durante los primeros granos, ya que es la etapa m´as cr´ıtica para determinar su influencia sobre el componente. Se prest´o especial atenci´on al punto de iniciaci´on (hot-spot) en la entalla y a la direcci´on de grieta en los primeros granos (focus path). S´olo han sido analizadas aquellas muestras finalizadas en rotura cuya vida fue superior a 105ciclos, que son las correspondientes a la zona de vida a alto n´umero de ciclos. 5.4.1. Iniciaci´on de grieta La geometr´ıa de la entalla de la probeta dise˜nada para este trabajo hace que el punto de mayor concentraci´on de tensiones se sit´ue justo en el punto medio de la entalla, es decir, en el de mayor profundidad de la misma (Ver Fig. 5.2). Al ser una entalla circunferencial, el hot-spot hace referencia a una circunferencia completa. En el ´ambito experimental se asume que las grietas se originan en la superficie exterior, ya que coincide con el punto de m´axima tensi´on principal (hot-spot) propag´andose hacia el interior de la superficie del componente. Al ser circular la secci´on de la probeta, no es posible anticipar dicho punto de iniciaci´on y esa es la raz´on de analizar la superficie de fractura en su totalidad. Para confirmar que las grietas se originan en el punto correspondiente al hot-spot se hace un an´alisis del acabado superficial en la entalla y as´ı poder corroborar que no existen marcas o defectos que afecten a la nucleaci´on de grietas, ya que un mal acabado dar´ıa pie a la aparici´on de numerosas grietas que, m´as tarde, se puedan unir en un mismo frente para crecer de manera conjunta. Sin embargo, un buen acabado superficial conlleva la aparici´on de un bajo n´umero de grietas. La descripci´on del proceso se detalla en el apartado 5.1.4 y los valores de rugosidad obtenidos se muestran en la tabla 5.3. A continuaci´on, las superficies son analizadas en un microscopio electr´onico de barrido. Este tipo microscopio ofrece una calidad de imagen muy alta para poder deducir d´onde se encuentran los puntos de iniciaci´on de grieta con mayor detalle. Varios ejemplos pueden verse en las figuras 5.15 y 5.16 donde se muestra toda la superficie de fractura
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 108 Tabla 5.7: ´ Angulos de iniciaci´on de grieta para cada tama˜no de entalla. Radio de entalla, r(mm) 0.60 1.30 2.00 2.50 3.00 ´ Angulo iniciaci´on α11.60◦2.60◦5.30◦0.30◦0.40◦ y se indica el punto de inicio de la grieta mediante una flecha. En ambos casos parece que hay una grieta principal, los puntos de inicio de grieta se sit´uan en la parte inferior de la imagen y puede verse como la propagaci´on de la grieta y la superficie de rotura final est´an en la parte superior de la imagen. Una vez que se identifica el punto de origen de la grieta en la parte exterior de la secci´on, se procede a calcular el ´angulo de iniciaci´on de la grieta αy el de propagaci´on βen el plano de simetr´ıa axial antes comentado para indicar la posici´on del hot-spot y la direcci´on del focus path, respectivamente. Se consigue mediante una medida en el microscopio ´optico sobre el alzado de la probeta, midiendo la diferencia de posici´on en la circunferencia de este punto de inicio con el de m´axima tensi´on principal que coincide con la horizontal, permitiendo as´ı calcular el ´angulo de iniciaci´on mediante la expresi´on α= arcsin(∆h/r). Un esquema del proceso est´a definido en la figura 5.15 y un ejemplo de medida real est´a representada en la figura 5.16. Debido a que las probetas est´an sometidas a carga axial, el valor te´orico del ´angulo αque corresponde al inicio de la grieta en el hot-spot est´a situado a cero grados con la horizontal que marca el centro del radio de la entalla. Concretamente, se ha analizado una muestra de cada tama˜no de entalla. En la tabla 5.7 se muestran los valores medidos para cada tama˜no de entalla. Los resultados muestran que el inicio de las grietas est´a cercano al punto de m´axima tensi´on principal porque todos los valores est´an cercanos a cero grados. Es destacable el valor del ´angulo de iniciaci´on para los radios de entalla 0.6 y 2.0 mm que son sensiblemente m´as altos que el resto. 5.4.2. Propagaci´on de grieta La propagaci´on de las grietas en las superficies de fractura de las probetas se analiza con un perfil´ometro 3D. Esta herramienta permite trasladar la imagen capturada a una superficie en tres dimensiones, la cual se ha analizado trazando un plano de simetr´ıa
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 109 Figura 5.13: Vista de la superficie de fractura de la probeta R25A12 de entalla de radio 2.50 mm. Figura 5.14: Vista de la superficie de fractura de la probeta R3A16 de entalla de radio 3.00 mm.
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 110 α r Δh Figura 5.15: Esquema de la medida del ´angulo de inicio de grieta. Δhr α Figura 5.16: Detalle de la medida del ´angulo de inicio de grieta.
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 111 axial que incluye al hot-spot y al eje de revoluci´on de la probeta. De manera que se puede observar el perfil de la grieta durante los primeros granos de material. En las figuras 5.17 y 5.18 se muestran varios ejemplos de estas superficies capturadas. La zona marcada en color rojo corresponde a aquellos puntos con mayor altura y la marcada en tonos azules a los de menor altura. Las zonas en negro corresponden a aquellos puntos que, por poseer una excesiva pendiente, no han podido ser capturados por la lente del microscopio. Las alturas relativas de cada punto son las correspondientes a las del plano de m´axima tensi´on principal. Se confirma que en todos los casos estudiados las grietas nacen desde la superficie exterior y se propagan en direcci´on hacia el interior de la secci´on. El n´umero de grietas en cada caso var´ıa, as´ı podemos encontrar casos como el de la figura 5.17 en el que se aprecian varios planos, uno en color amarillo y otro en color azul, que pueden corresponder a grietas originadas en planos diferentes. Sin embargo, en la figura 5.18 parece haber una sola grieta principal que abarca toda la superficie. Aun as´ı, independientemente del n´umero de grietas, todas se unen para formar un frente de grieta com´un que, normalmente, abarca desde la mitad de la superficie hasta llegar a la zona de rotura (´area de color rojo en ambas figuras 5.17 y 5.18). Junto a las superficies en tres dimensiones se adjunta un gr´afico que muestra las alturas del perfil de propagaci´on de la grieta indicado en cada imagen y correspondiente a un plano paralelo al eje de revoluci´on de la probeta que contiene al punto de inicio de la grieta. La longitud del perfil es de 800 micras desde el punto de inicio de la grieta en el borde exterior de la secci´on, que corresponde, aproximadamente, a la longitud que abarcan los diez primeros granos (se recuerda que el tama˜no medio de grano para este material es de 80 µm), y permite observar la diferencia de alturas entre el punto de iniciaci´on y el punto final situado a 800 micras. Esta diferencia de alturas entre ambos puntos corresponde al ´angulo de propagaci´on βcalculado mediante la expresi´on β= arcsin(∆h/800). La diferencia de altura ∆hen el caso de la probeta de radio 0.60 mm representada en la figura 5.17 da un valor de 35.31 µm. Por otro lado, esta diferencia de alturas, ∆h, en el caso de la probeta de radio 3.00 mm (figura 5.18) es de 19.23 µm. Los valores obtenidos para los diferentes tama˜nos de entalla est´an indicados en la tabla 5.8. Se ha escogido una muestra de cada tama˜no de entalla para realizar el an´alisis. Se deduce de los resultados obtenidos que la propagaci´on de grieta est´a cercana a la
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 112 Figura 5.17: Superficie 3D de una probeta con entalla de radio 0.60 mm y perfil de la grieta en las primeras 800 micras.
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 113 Figura 5.18: Superficie 3D de una probeta con entalla de radio 3.00 mm y perfil de la grieta en las primeras 800 micras.
Cap´ıtulo 5. Ensayos de fatiga sobre probetas entalladas 114 direcci´on de m´axima tensi´on principal por situarse en el entorno de los cero grados con la horizontal. Todos los ´angulos de propagaci´on medidos est´an por debajo de cinco grados. Tabla 5.8: ´ Angulos de propagaci´on de grieta para cada tama˜no de entalla. Radio de entalla, r(mm) 0.60 1.30 2.00 2.50 3.00 ´ Angulo propagaci´on β2.50◦4.90◦2.20◦0.20◦1.40◦
Cap´ıtulo 6 An´alisis de los resultados experimentales En este cap´ıtulo se analizan los resultados obtenidos de los ensayos de fatiga de las muestras entalladas. El objetivo es comparar los resultados experimentales con la estimaci´on que aportan varios m´etodos presentes en la literatura y el m´etodo iterativo desarrollado en esta tesis. 6.1. Estimaci´on del l´ımite de fatiga para probetas entalladas Como paso previo a la estimaci´on te´orica de la resistencia a fatiga, se realiz´o un an´alisis del gradiente de tensiones producido en el ligamento de la entalla a consecuencia de la concentraci´on de tensi´on. Para ello, se model´o la geometr´ıa real de la probeta en un software de elementos finitos, concretamente en Abaqus. El dise˜no se hizo de forma param´etrica, de manera que fue posible hacer un amplio estudio de la influencia del radio de entalla desde valores muy peque˜nos hasta valores muy grandes. Radios de entalla muy peque˜nos provocan que el ligamento de la entalla sean lo suficientemente 115
Cap´ıtulo 6. Discusi´on de los resultados 122 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 S FL = 316 MPa Límite de fatiga entallado (MPa) 2r/D 1 Experimental Neuber Peterson Taylor Chaves et al. IMFEM Figura 6.6: Valores experimentales de l´ımite de fatiga entallado y estimaciones te´oricas realizadas con varios m´etodos. sumados al peque˜no tama˜no de la zona de medida, como es la ra´ız de la entalla, y a su superficie curva. Al no disponer de datos de tensi´on residual en la entalla, nos gustar´ıa contemplar si un procedimiento basado en pruebas est´aticas m´as simples se puede emplear para estimar la resistencia de fatiga de componentes entallados. La idea es simplemente reutilizar los mismos m´etodos de estimaci´on pero corrigiendo los datos del l´ımite de fatiga intr´ınseco del material, en reconocimiento de que el proceso de mecanizado de la entalla ha resultado en un “material”, de alguna manera, m´as resistente y diferente para cada tama˜no de entalla. Por este motivo, se realizaron ensayos de tracci´on de las probetas entalladas. La Tabla 6.2 de nuevo muestra los resultados que se refieren a la secci´on neta. Desafortunadamente, en la etapa en la que se encontraba la investigaci´on en ese momen- to, solo pod´ıamos permitirnos ensayar a tracci´on una sola muestra para cada tama˜no de
Cap´ıtulo 6. Discusi´on de los resultados 123 Tabla 6.2: Valores experimentales y recalculados de la tensi´on ´ultima de tracci´on y l´ımite de fatiga entallado para los diferentes tama˜nos de entalla. Radio de entalla, r(mm) SUTS (MPa) SN FL recalculado (MPa) 0.20 756.00 241.35 0.60 851.00 226.48 1.30 937.00 284.86 2.00 900.00 329.40 2.50 890.00 363.83 3.00 857.00 379.47 entalla, de modo que no se pueda dar una estimaci´on de la dispersi´on de los resultados obtenidos. Seg´un los valores indicados, se ve que las resistencias a la tracci´on aumentan con el radio de la entalla hasta los dos valores m´as grandes, cuando comienza a caer, debido probablemente al ligamento que es muy peque˜no para estas geometr´ıas de entalla tan agresivas. Todas las resistencias a la tracci´on son m´as altas que la resistencia a la tracci´on del componente sin entalla (654 MPa). Adem´as, todas las superficies de fractura de las muestras ensayadas a tracci´on resultaron superficies del tipo de copa y cono, mostrando un comportamiento d´uctil definido. Un ejemplo se muestra en la figura 6.7. Se puede ver que para el material sin entalla, la relaci´on entre el l´ımite de fatiga y la resistencia a la tracci´on m´axima es 316/654 = 0.48, muy cerca del valor generalmente empleado. Manteniendo este valor fijo y utilizando las resistencias a la tracci´on de las probetas entalladas, se han calculado nuevos datos de referencia del l´ımite de fatiga y se han vuelto a calcular los l´ımites de fatiga para cada tama˜no de entalla (Tabla 6.2). Solo el m´etodo iterativo IMFEM se ha utilizado para este c´alculo. Se asume que las propiedades del material, como la longitud Lno cambian. Sin embargo, si esto se relacionase con una longitud f´ısicamente significativa, como el tama˜no del grano, podr´ıa ocurrir que el endurecimiento del material est´e asociado con un cambio (probablemente una disminuci´on) de esta longitud. Los resultados se muestran en la figura 6.8. Adem´as, y solo por comparaci´on, los resultados obtenidos despu´es de estimar el l´ımite de fatiga promedio utilizando el valor medio de la resistencia a la tracci´on con entalla (865 MPa) tambi´en se representan en la figura 6.8 y se comparan con el nuevo l´ımite de fatiga estimado del material, que se ha calculado aplicando 865·0.48 = 415.2 MPa. Este m´etodo simple propuesto aporta estimaciones cercanas a los resultados experimentales
Cap´ıtulo 6. Discusi´on de los resultados 124 Figura 6.7: Superficies de fractura de una probeta entallada despu´es de un ensayo de tracci´on. del que se puede concluir que el uso de la resistencia a la tracci´on con entalla puede ser una forma ´util de introducir en el criterio de fatiga la influencia del estado de tensi´on triaxial causado por la presencia de la misma. Una alternativa m´as pr´actica para evaluar el estado de endurecimiento en el ´area de la entalla puede ser medir la dureza directamente, en lugar de tener que ensayar muestras a tracci´on. Podr´ıa decirse que este procedimiento proporcionar´ıa un valor promedio de la resistencia en la zona de la entalla, que puede considerarse m´as representativo. El valor de dureza dar´ıa una estimaci´on local. Tal vez, tomar varias lecturas en diferentes puntos a lo largo del perfil de la entalla y promediarlas podr´ıa ser la soluci´on. El valor representativo elegido se podr´ıa convertir a una resistencia a la tracci´on aproximada equivalente a trav´es de tablas de conversi´on como las que se dan, por ejemplo, en el est´andar ISO 18265:2013. Solo para ilustrar la viabilidad de este procedimiento, se tomaron medidas de dureza Vickers en algunas muestras entalladas, proceso descrito en
Cap´ıtulo 6. Discusi´on de los resultados 125 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 nueva estimación S FL = 415.2 MPa Límite de fatiga entallado (MPa) 2r/D Experimental IMFEM - Estimación S UTS individual IMFEM - Estimación S UTS media Figura 6.8: Estimaci´on del l´ımite de fatiga entallado basado en los valores actualizados del l´ımite de fatiga intr´ınseco del material. Comparaci´on con resultados experimentales. el apartado 5.1.5. Estos valores obtenidos y comparados con los conseguidos experimentalmente de resistencia a tracci´on de las muestras entalladas son similares y se muestran en la tabla 6.3. Para finalizar esta discusi´on debe mencionarse otra situaci´on que puede explicar la divergencia entre los valores experimentales y las predicciones te´oricas extremadamente conservadoras. Este efecto de mayor resistencia de las muestras entalladas, puede estar Tabla 6.3: Medidas de dureza y conversi´on a tensi´on ´ultima de tracci´on. Radio de entalla r(mm) Dureza Vickers SUTS (MPa) 0.20 231 745 2.50 293 942 3.00 266 855
Cap´ıtulo 6. Discusi´on de los resultados 126 relacionado con la triaxialidad de tensiones producidas en la zona de la entalla, y la tensi´on de tracci´on hidrost´atica que la acompa˜na, tambi´en puede ser un factor contribuyente. Sin embargo, se ha descartado esta explicaci´on por dos motivos. Primero, debido a que se sabe que la resistencia a la fatiga se ve afectada negativamente por la superposici´on de una tensi´on de tracci´on hidrost´atica, ya que la tensi´on hidrost´atica promueve la apertura de grietas por fatiga y, por lo tanto, reduce las resistencia del componente. Esto es exactamente lo contrario de lo que se ha defendido aqu´ı. Adem´as, si bien el efecto de mayor resistencia en ensayo est´atico de tracci´on se ha registrado para muchos materiales d´uctiles, la obtenci´on de l´ımites de fatiga de muestras entalladas por encima del correspondiente al material sin entalla es menos com´un. Por lo tanto, se puede concluir que debe haber algo m´as en juego. Sin embargo, debemos admitir que quiz´as haya otros efectos sobre la fatiga asociados con la triaxialidad que a´un no somos capaces de identificar. Para otros materiales o geometr´ıas de entalla, esto ciertamente puede ser una influencia importante y, por lo tanto, debe tenerse en cuenta cuidadosamente.
Cap´ıtulo 7 Conclusiones y trabajos futuros - Conclusions and future work En este cap´ıtulo se detallan las hechos m´as relevantes y las conclusiones obtenidas de la realizaci´on de esta tesis, tanto a nivel te´orico como a nivel experimental. Adem´as se describen las posibles tareas que permitan seguir desarrollando este trabajo en el futuro. Este cap´ıtulo est´a redactado en castellano e ingl´es. 7.1. Conclusiones En esta tesis se ha analizado el crecimiento y propagaci´on de grietas peque˜nas naciendo desde entallas mediante un modelo microestructural para representar, de una manera m´as fiel, el comportamiento f´ısico de estas grietas peque˜nas. El problema de la grieta ha sido resuelto, apoy´andose en la teor´ıa de dislocaciones distribuidas, mediante un proceso num´erico en el que se han aplicado las condiciones de simetr´ıa para simplificar la formulaci´on de la discretizaci´on del problema de la grieta peque˜na sometida a un gradiente de tensiones producido por la entalla. Un m´etodo iterativo ha sido implementado para evaluar la resistencia a fatiga de componentes entallados. El m´etodo combina la resoluci´on de problemas mediante la t´ecnica 127
Cap´ıtulo 7. Conclusiones y trabajos futuros - Conclusions and future work 128 de los elementos finitos y el modelo microestructural de Navarro y de los R´ıos. La formulaci´on del m´etodo describe una superposici´on iterativa de problemas que conduce, finalmente, a la anulaci´on sucesiva de las tensiones obtenidas en los contornos de inter´es. La propuesta desarrollada aboga por la descomposici´on de un problema original en diferentes escenarios m´as simples consiguiendo la soluci´on del problema real mediante un proceso iterativo entre las soluciones de los diferentes escenarios en los que se divide el problema. Por un lado, se realiza un an´alisis el´astico de tensiones en un componente con geometr´ıa real sin entalla mediante la t´ecnica de los elementos finitos. Por otro lado se resuelve el problema de una grieta, modelada mediante una distribuci´on continua de dislocaciones seg´un las indicaciones del modelo NR, en un medio infinito. Se realizan iteraciones entre ambos escenarios hasta hallar la convergencia, donde la soluci´on a un escenario define las condiciones de contorno para resolver el otro escenario. La principal ventaja y lo que aporta realmente valor a la metodolog´ıa iterativa desarrollada es la descomposici´on del problema original en escenarios m´as simples para que la resoluci´on de estos escenarios simplificados sea mucho m´as sencilla. Por esta raz´on, el m´etodo iterativo no requiere de la soluci´on particular del equilibrio de dislocaciones para cada caso estudiado, sino que simplemente necesita la soluci´on del caso infinito. La formulaci´on del m´etodo iterativo le aporta flexibilidad y versatilidad, ya que permite analizar la resistencia a fatiga de componentes con entallas de cualquier forma y tama˜no. Adem´as, el efecto de todos los contornos del componente cercanos a la grieta son tenidos en cuenta mediante el an´alisis el´astico del gradiente de tensiones en la entalla que var´ıa seg´un la geometr´ıa del componente. Se ha validado el m´etodo iterativo IMFEM realizando comparaciones con ensayos experimentales de fatiga descritos en la literatura, entre los que se encuentran componentes que poseen distintas morfolog´ıas y tama˜nos de entalla y fabricados con materiales diferentes. Los resultados obtenidos son consistentes porque las predicciones de l´ımite de fatiga, realizadas con el m´etodo iterativo, se ajustan correctamente a los valores experimentales y son, adem´as, similares a las obtenidas a partir de otros m´etodos como los de distancia cr´ıtica, entre otros. Lo m´as destacable del m´etodo desarrollado es que aporta una base f´ısica al proceso de estimaci´on de propagaci´on de grietas por fatiga, ya que incluye la presencia de la propia grieta en su formulaci´on, cosa que no hacen los m´etodos de distancia cr´ıtica. Por este motivo, el hecho de obtener estimaciones similares a estos m´etodos cl´asicos es relevante en un an´alisis de propagaci´on de grieta por
Cap´ıtulo 7. Conclusiones y trabajos futuros - Conclusions and future work 129 fatiga. Adem´as, se ha comprobado la ventaja del m´etodo IMFEM frente a estos m´etodos de distancia cr´ıtica, en el an´alisis de componentes de dimensiones muy peque˜nas. El m´etodo IMFEM destaca con estimaciones de l´ımite de fatiga m´as ajustadas porque, entre otras razones, recoge perfectamente el efecto de los contornos cercanos a la entalla sobre la propagaci´on de la grieta, mientras que las predicciones de los m´etodos de distancia cr´ıtica son cuestionados ya que, a veces, la propia distancia cr´ıtica excede las dimensiones del propio componente. Se muestran los resultados de una extensa campa˜na de ensayos de fatiga sobre probetas cil´ındricas con entalla circunferencial de perfil semicircular fabricadas en acero inoxidable AISI 304L. El efecto de tama˜no finito del componente sobre la resistencia a fatiga ha sido analizado, fijando el di´ametro exterior de las probetas e incrementando progresivamente el radio de la entalla. Se ha obtenido una curva S-N para cada configuraci´on y los l´ımites de fatiga obtenidos han sido comparados con las predicciones del m´etodo iterativo desarrollado en este trabajo y tambi´en con las predicciones de otros m´etodos. La discrepancia entre los valores experimentales y las estimaciones te´oricas, siendo ´estas ´ultimas extremadamente conservativas, ha sido atribuida al endurecimien- to del material y a las tensiones residuales provenientes del proceso de mecanizado de las probetas. Debido a esto, se ha propuesto un m´etodo pr´actico para aproximar dichos efectos a trav´es de la tensi´on ´ultima de rotura de las piezas mecanizadas que aporta estimaciones adecuadas de l´ımite de fatiga. Por ´ultimo, el an´alisis microsc´opico de la superficie de fractura de las probetas ensayadas, y situadas en la zona de alto n´umero de ciclos, confirma que los puntos de iniciaci´on y la propagaci´on de las grietas se sit´uan muy cerca del punto y direcci´on de m´axima tensi´on principal, respectivamente. 7.2. Trabajos futuros A continuaci´on se plantean diferentes opciones que pueden considerarse futuras l´ıneas de trabajo a desarrollar como continuaci´on de esta tesis.
Cap´ıtulo 7. Conclusiones y trabajos futuros - Conclusions and future work 130 Desarrollar la adecuaci´on del modelo microestructural para que contemple la etapa I de crecimiento de la grieta en la parte inicial de la fase de propagaci´on, dot´andolo as´ı de mayor fundamento f´ısico. Realizar una extensi´on del m´etodo iterativo implementado, con el objetivo de analizar componentes sometidos a carga multiaxial para dotar de una mayor realidad las situaciones que pueden ser estimadas. Estudiar, a trav´es del m´etodo iterativo, geometr´ıas en las que existan varios agujeros simulando poros del material, por ejemplo. Esto podr´ıa ser un primer paso para el an´alisis de propagaci´on de grietas peque˜nas por fatiga en, las cada vez m´as comunes, piezas fabricadas con impresi´on 3D. Profundizar en el estudio de resistencia a fatiga en micro-componentes mediante el m´etodo iterativo desarrollado con el objetivo de constatar las diferencias entre este m´etodo y los modelos de distancia cr´ıtica. En este caso, es necesario encontrar en la literatura m´as trabajos experimentales diferentes con los que poder realizar comparaciones. Evaluar en profundidad el posible efecto de la triaxialidad de tensiones en los ensayos experimentales realizados en este trabajo para conocer c´omo afecta a la resistencia a fatiga de componentes d´onde existe un efecto de tama˜no finito notable. Realizar nuevos ensayos experimentales de fatiga controlando, de manera exhaustiva, todo el proceso de mecanizado y transformaci´on del material con el objetivo de tener un registro completo que ayude a verificar el estado de las muestras, previo y durante los ensayos. Analizar el efecto de tama˜no de la entalla sobre la resistencia a fatiga en muestras sometidas a carga multiaxial y realizar un estudio de la iniciaci´on y propagaci´on de grieta. Probablemente, para este punto sea necesario realizar un nuevo dise˜no de probeta y de concentrador de tensi´on que facilite este an´alisis.
Cap´ıtulo 7. Conclusiones y trabajos futuros - Conclusions and future work 131 7.3. Conclusions In this thesis, the growth and propagation of small cracks originating from notches has been analyzed using a microstructural model to represent, in a more faithful way, the physical behavior of these small cracks. The crack problem has been solved, relying on the distributed dislocations technique, by means of a numerical process in which the conditions of symmetry have been applied to simplify the formulation of the problem of a small crack subjected to a stress gradient produced by the notch. A method, which is based on the Finite Element Alternating Method, has been implemented to evaluate the fatigue strength of notched components. The method combines the finite element technique and the Navarro y de los R´ıos microstructural model. The formulation of the method describes an iterative superposition of different problems that leads, finally, to the successive cancellation of the stresses obtained in the contours of interest. The developed proposal promotes the breakdown of an original problem into different simpler scenarios, achieving the solution of the real problem through an iterative process between the solutions of the different scenarios in which the problem is divided. On the one hand, an elastic stress analysis is performed on a real and uncracked component using the finite elements technique. On the other hand, the problem of a crack in an infinite medium is modeled by a continuous distribution of dislocations according to the indications of the NR model. Iterations are performed between both scenarios until convergence is achieved, where the solution to one scenario defines the boundary conditions to solve the other scenario. The main advantage and what really adds value to the developed iterative methodology is the division of the original problem into simpler scenarios so that the resolution of these simplified scenarios becomes much easier. For this reason, the developed model does not require the particular solution of the dislocation equilibrium for each case, but simply needs the well-known solution of the infinite case. The formulation of the iterative method provides flexibility and versatility, since it allows to analyze the fatigue strength of arbitrarily shaped notched components. In addition, the effect of all the contours of the component close to the crack are taken into account by means of the elastic analysis of the stress gradient in the notch, that varies according to the geometry of the component.