El descubrimiento de las cónicas por Menecmo

La Gaceta de la RSME, Vol. 28 (2025), Núm. 2, Págs. 325–339 https://doi.org/10.63427/MZYD9698 325 Historia Sección a cargo de Luis Español González El descubrimiento de las cónicas por Menecmo por José María Ayerbe Toledano Introducción A lo largo del siglo V a. C. la matemática griega va abandonando gradualmente su orientación aritmética como consecuencia, principalmente, de las dificultades surgidas tras la aparición de las magnitudes inconmensurables y de las paradojas asociadas a los primeros razonamientos de corte infinitesimal. De esta forma se inicia un proceso de aumento del rigor en la matemática que favoreció su marcado carácter geométrico y que facilitó que, desde una época muy temprana, se formularan las tres cuestiones que hoy conocemos como los tres problemas clásicos de la geometría griega y que no son otros que la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. El problema de la cuadratura del círculo plantea cómo construir, empleando como únicos instrumentos de dibujo la regla y el compás, un cuadrado de área igual a un círculo dado. Por su parte, el problema de la trisección del ángulo indaga sobre la posibilidad de dividir en tres partes iguales un ángulo cualquiera, utilizando los mismos instrumentos de dibujo. Finalmente, el problema de la duplicación del cubo consiste en obtener un cubo de volumen doble al de uno dado usando en la construcción, como en los dos casos precedentes, rectas y circunferencias únicamente. En [3, pp. 27–33] se expone con cierto detalle la génesis y la evolución histórica de estos problemas durante la etapa griega. Aunque los tres problemas resultaron ser de imposible solución en los términos en los que fueron planteados, los matemáticos griegos supieron encontrar respuestas a los mismos ampliando el conjunto de las que eran admisibles más allá de las construidas tan sólo con la regla y el compás. A los efectos de este artículo interesa referirse especialmente al problema de la duplicación del cubo. El primer matemático que realizó un avance significativo para su solución fue Hipócrates de Quíos, el cual 326 Historia observó que la clave era encontrar dos medias proporcionales, en proporción continua, entre dos magnitudes1, de las cuales la mayor debía ser doble de la menor. La búsqueda de medias proporcionales se convirtió desde entonces en el procedimiento estándar para resolver este problema y el origen de las cónicas está precisamente en la solución encontrada por Menecmo y de la que tenemos noticia a través de un comentario incluido por Eutocio, un matemático del siglo VI d. C., en el Libro II de la obra de Arquímedes Sobre la esfera y el cilindro [2, pp. 372–375]. En el presente artículo se reconstruye el procedimiento probablemente seguido por Menecmo para caracterizar las secciones cónicas a mediados del siglo IV a. C. y se analiza su aplicación para el cálculo de medias proporcionales, poniendo especial énfasis en la similitud de los razonamientos realizados por este importante matemático con los propios de la geometría analítica, de la que es un claro antecedente. El artículo concluye estudiando una aportación realizada por Papo, ya en la Antigüedad tardía, para resolver otro de los problemas clásicos, concretamente el de la trisección del ángulo, mediante el uso directo de la hipérbola. En las demostraciones de los resultados se ha cuidado la fidelidad con el modo de razonar característico de los matemáticos griegos, evitando el uso inapropiado del álgebra y especificando las referencias precisas de los resultados utilizados de los Elementos de Euclides [6], fundamentalmente de los Libros I al III y VI, o de las Cónicas de Apolonio [1]. 1. Las tríadas de Menecmo Menecmo fue un brillante matemático griego, discípulo de Eudoxo de Cnido y perteneciente al grupo de geómetras que desarrollaron su trabajo en la Academia de Platón. Aunque no se sabe prácticamente nada de su vida, parece ser que fue tutor de Alejandro Magno (356–323 a. C.). Proclo [9] se refiere en varias ocasiones a Menecmo, poniendo en valor sus opiniones sobre diferentes temas. Las menciones a «la escuela de Menecmo», a «los seguidores de Menecmo» o al «círculo de Menecmo», recogidas en [9, Comentarios 78 y 254], dan una idea de la importancia que tuvo este matemático y de su influencia en el desarrollo de la geometría griega. En [9, Comentario 67] se señala concretamente que «Menecmo fue un estudiante de Eudoxo también asociado con Platón que, junto con su hermano Dinostrato, hicieron la geometría todavía más perfecta». Además, a los efectos que interesan a este artículo, se apunta en [9, Comentario 112] que «Algunas de estas secciones—en particular las cónicas— fueron descubiertas por Menecmo». Efectivamente, la tradición es unánime en atribuir a Menecmo el descubrimiento de estas curvas como secciones de un cono circular recto. Eratóstenes se refiere también a «los triples cortes del cono de Menecmo» en el poema mediante el cual ofrece el mesolabio2a los dioses y que es reproducido por Eutocio en [2, pp. 382–383]. 1Se dice que dos magnitudes CyDson dos medias proporcionales, en proporción continua, entre otras dos AyBsi se verifica que A/C =C/D =D/B. 2El mesolabio, literalmente «constructor de medias», es un instrumento ideado por Eratóstenes para la obtención material de medias proporcionales. Se ha identificado de tal manera con el problema de la duplicación del cubo que a este se le denomina, también, el problema del mesolabio. La Gaceta ⋆Secciones 327 El procedimiento seguido por Menecmo para la caracterización de las cónicas no se conoce con seguridad, pues no nos ha llegado ningún documento de la época, o alguna reproducción posterior, en el que se detallara este extremo. No obstante, Proclo se refiere en [9, Comentario 111] a la parábola y la hipérbola como las secciones, respectivamente, de un cono rectángulo y de un cono obtusángulo, lo que permite conjeturar, por ser lo más natural y lo más directo, que Menecmo habría obtenido el symptoma o propiedad fundamental de cada una de las cónicas, esto es, las ecuaciones de estas curvas, como diríamos actualmente en términos de la geometría analítica, a partir de la intersección de un cono circular recto con un plano perpendicular a su generatriz. Según que el cono fuera rectángulo, acutángulo u obtusángulo obtuvo una curva diferente que, durante más de un siglo, fueron llamadas simplemente secciones cónicas del cono correspondiente y a las que muchos geómetras griegos posteriores se refieren con frecuencia como las «tríadas de Menecmo». Fue Apolonio, más de cien años después de que hubiera fallecido Menecmo, quien acuñó los nombres de parábola, elipse e hipérbola para cada una de las secciones cónicas. En [8, Vol. II, pp. 111–116] se especula sobre el posible procedimiento seguido por Menecmo y en este artículo se seguirá esencialmente esa hipótesis, si bien se ha completado el estudio de casos y se han sustituido los diagramas planos incluidos en dicha referencia por gráficos tridimensionales. Proposición 1.1.Primer corte del cono. Cálculo del symptoma de la curva obtenida como sección de un cono circular recto rectángulo (de una sola hoja) por un plano perpendicular a su generatriz. Sea OUV un cono circular recto con ángulo recto en el vértice Oy sea Pun punto cualquiera de la curva que se obtiene al cortarlo en el punto Apor un plano perpendicular a la generatriz OAU, como se indica en la Figura 1. Sean AD el segmento paralelo a la base del cono que une el punto Acon la generatriz OV , BC el diámetro de la circunferencia obtenida al cortar el cono por el plano paralelo a la base que pasa por PyNel punto de corte del segmento BC con el plano perpendicular a la generatriz OAU en A. Finalmente, sean L,FyGlos puntos de dicho plano perpendicular que se obtienen al trazar, respectivamente, el eje del cono OW y los segmentos paralelos al eje desde los puntos DyC. Dado que por la simetría de la superficie cónica respecto del plano OUV se tiene que NP es perpendicular a BC, sigue que3NP es media proporcional entre BN y NC, es decir BN NP =NP NC y, en consecuencia, N P 2=BN ·NC. Por otra parte, los triángulos rectángulos ANB yNCG son semejantes ya que sus ángulos son iguales4, por lo que BN AN =NG NC .Así, se tiene que NP 2=AN ·NG. Como5AN =DC y DC =F G sigue que NG =AF . Además como OL corta a AD en su punto medio y el triángulo rectángulo formado por este punto junto con AyLes semejante al triángulo rectángulo ADF sigue que AF = 2AL. Por tanto NP 2= 2AL·AN, donde AL es una magnitud constante que coincide con la distancia del punto Aal vértice del cono, ya que el triángulo rectángulo OAL es isósceles6.□ 3Elementos, Prop. VI.13 y 17. 4Elementos, Prop. I.15, I.32 y VI.4. 5Elementos, Prop. I.34. 6Elementos, Prop. I.6. 328 Historia Figura 1: Parábola. La relación NP 2= 2AL ·AN, común para todos los puntos Pde la curva, es realmente la aportación de Menecmo y representa el symptoma o propiedad fundamental de la línea. Expresada con la terminología actual, la curva obtenida por la intersección del cono y el plano perpendicular a la generatriz OAU en el punto A es una parábola de latus rectum 2AL. En efecto, si llamamos AN =xyNP =y, siendo Ael origen de coordenadas, AG el eje de abscisas y OAU el eje de ordenadas, la expresión anterior queda y2= 2kx que, efectivamente, es la ecuación de una parábola de latus rectum 2k= 2AL. Proposición 1.2.Segundo corte del cono. Cálculo del symptoma de la curva obtenida como sección de un cono circular recto acutángulo (de una sola hoja) por un plano perpendicular a su generatriz. Sea OUV un cono circular recto acutángulo y sea Pun punto cualquiera de la curva que se obtiene al cortar el cono en el punto Apor un plano perpendicular a la generatriz OAU. Este plano cortará a la generatriz OV en un punto A′. Sean AD el segmento paralelo a la base del cono que une el punto Acon la generatriz OV , BC el diámetro de la circunferencia obtenida al cortar el cono por el plano paralelo a la base que pasa por PyNel punto de corte del segmento BC con el plano perpendicular a la generatriz OAU en A. Finalmente, sean L,FyGlos puntos del segmento AA′que se obtienen al trazar, respectivamente, el eje del cono OW y los segmentos paralelos al eje desde los puntos DyC, como en la Figura 2. Razonando como en la proposición anterior se tiene que NP es media proporcional entre BN yNC y, por tanto, NP 2=BN ·NC. Dado que los triángulos rectángulos ABN yNCG son semejantes sigue que BN AN =NG NC y, por tanto, N P 2=AN ·NG. Como además los triángulos rectángulos ADF yNCG también son semejantes, se obtiene que7AD AF =NC NG y así NP 2=AN ·AF ·NC AD . Finalmente, como también son semejantes A′CN yA′DA,NC AD =NA′ AA′, luego NP 2=AF AA′·AN ·NA′. Así, dado que OL corta a AD en su punto medio y el triángulo rectángulo formado por este punto junto con AyLes semejante al triángulo rectángulo ADF , sigue que AF = 2AL. 7Elementos, Prop. I.29. y VI.4. La Gaceta ⋆Secciones 329 Figura 2: Elipse. Se obtiene NP 2=2AL AA′·AN ·(AA′−AN)=2AL ·AN −2AL AA′AN2 ya que NA′=AA′−AN.□ Esta relación, común para todos los puntos Pde la curva, es la aportación de Menecmo, el symptoma de la línea. Expresada con la terminología actual, la curva obtenida es una elipse de latus rectum 2AL. En efecto, si llamamos AN =xy NP =y, siendo Ael origen de coordenadas, AA′el eje de abscisas y OAU el eje de ordenadas, la expresión anterior queda y2= 2kx −2k AA′x2que, efectivamente, es la ecuación de una elipse de latus rectum 2k= 2AL. Proposición 1.3.Tercer corte del cono. Cálculo del symptoma de la curva obtenida como sección de un cono circular recto obtusángulo (de una sola hoja) por un plano perpendicular a su generatriz. Sea OUV un cono obtusángulo y, como en las proposiciones anteriores, sea Pun punto cualquiera de la curva que se obtiene al cortar el cono en el punto Apor un plano perpendicular a la generatriz OAU. Sean AD el segmento paralelo a la base del cono que une el punto Acon la generatriz OV ,BC el diámetro de la circunferencia obtenida al cortar el cono por el plano paralelo a la base que pasa por PyNel punto de corte del segmento BC con el plano perpendicular a la generatriz OAU en A. Sea A′el punto de corte de las rectas AN yOC y sean L,FyGlos puntos de la recta AA′que se obtienen al trazar, respectivamente, el eje del cono OW y los segmentos paralelos al eje desde los puntos DyC, todo ello tal como se indica en la Figura 3. Se verifica que NP es media proporcional entre BN yNC,N P 2=BN ·NC. Dado que los triángulos rectángulos ABN yNCG son semejantes, es BN AN =NG NC 330 Historia Figura 3: Hipérbola. y, por tanto, NP 2=AN ·NG. Como también son semejantes tanto los triángulos NGC yADF como los A′NC yA′AD, se tiene que NG AF =NC AD yNC AD =A′N A′A. Por tanto, NP 2=AN ·AF ·NC AD =AN ·AF ·A′N A′A=AF A′A·AN ·A′N. Se obtiene NP 2= 2AL ·AN +2AL A′A·AN2 con, como en las proposiciones anteriores, AF = 2AL yA′N=A′A+AN.□ Esta relación, común para todos los puntos Pde la curva, es la aportación de Menecmo, el symptoma de la línea. Expresada con la terminología actual es una hipérbola (de una sola hoja) de latus rectum 2AL. En efecto, si llamamos AN =x yNP =y, siendo Ael origen de coordenadas, A′Gel eje de abscisas y OAU el eje de ordenadas, la expresión anterior queda y2= 2kx +2k A′Ax2que, efectivamente, es la ecuación de una hipérbola de latus rectum 2k= 2AL. Ya hemos apuntado que fue Apolonio el primero que denominó a las tríadas de Menecmo con los nombres de parábola, elipse e hipérbola que seguimos utilizando en la actualidad8. Como se señala en [7, p. 58] «A lo largo de la Historia de la Matemática, los conceptos han sido siempre más importantes que la terminología utilizada, pero en este caso el cambio de nombre de las secciones cónicas debido a Apolonio tiene una importancia más allá de lo meramente nominalista. Los términos adoptados en realidad no eran nuevos, sino que procedían del lenguaje pitagórico de la solución de ecuaciones cuadráticas del método de Aplicación de las áreas. Elipse significa deficiencia; Hipérbola significa exceso—en el lenguaje ordinario una hipérbole es una exageración—, y por último Parábola significa equiparación». Y efectivamente, si atendemos a las ecuaciones de las secciones cónicas que acabamos de obtener, la parábola tiene la propiedad característica de que para todo punto de la curva el cuadrado construido sobre su ordenada es exactamente igual 8Aunque existe un amplio consenso sobre este punto, en [5, pp. 9–17] se especula con la posibilidad de que los nombres de parábola, elipse e hipérbola fueran utilizados con anterioridad a Apolonio. La Gaceta ⋆Secciones 331 al rectángulo de lados la abscisa y el latus rectum, de ahí la utilización del término «equiparación», mientras que en el caso de la elipse es menor, por eso se emplea el vocablo «deficiencia», y en el caso de la hipérbola es mayor, lo que sugiere la utilización de la palabra «exceso» para denominar la curva. A este hecho se refiere también Proclo en [9, Comentario 420] donde señala: «Eudemo9y su escuela nos cuentan que estas cosas—la aplicación de áreas por yuxtaposición, por exceso y por defecto— son antiguos descubrimientos de la Musa pitagórica. Los geómetras posteriores tomaron estas denominaciones y las aplicaron a las líneas cónicas, llamando a una de ellas parábola, a otra hipérbola y a la tercera elipse, mientras que los hombres de la antigüedad, semejantes a dioses, veían que estos términos significaban la construcción de áreas, en el plano, sobre una línea recta finita».10 2. Aplicación de las cónicas al problema de la duplicación del cubo En esta sección vamos a estudiar cómo pueden utilizarse las cónicas para obtener medias proporcionales en proporción continua y, en consecuencia, para solucionar el problema de la duplicación del cubo, lo que permitió a Papo calificar este problema como sólido11. Para ello analizaremos críticamente la construcción de Menecmo recogida por Eutocio en [2, pp. 372–375]. Antes de proceder a revisar la construcción de Menecmo, recordemos que Hipócrates de Quíos ya había observado que, si aes la arista del cubo a duplicar, para hallar la arista del cubo de volumen doble basta encontrar dos medias proporcionales xeyentre ay2ay tomar xcomo la arista buscada. Es decir, hemos de hallar x eytales que a x=x y=y 2a.De la doble igualdad anterior sigue que xeypueden obtenerse, por ejemplo, como intersección de la parábola 2ax =y2y la hipérbola equilátera xy = 2a2o como intersección de las parábolas 2ax =y2yay =x2. Precisamente Menecmo realiza estas dos construcciones y desarrolla un procedimiento muy similar al utilizado por Descartes en su Geometría dos mil años después, si bien carece de la herramienta del álgebra de la que disponía el genio francés, lo que ha permitido a algunos autores (ver referencias en [4, p. 134]) sostener que el discípulo de Eudoxo conocía ya, en cierta forma, la geometría analítica. Proposición 2.1.Primera solución de Menecmo. Obtener dos medias proporcionales entre dos líneas dadas ayecomo intersección de una parábola y una hipérbola equilátera. 9Eudemo de Rodas fue un notable matemático que vivió a finales del siglo IV a. C. y que escribió uno de los primeros libros de Historia de la Matemática, una obra desaparecida pero de la que se tiene constancia por otros autores. 10Podemos observar en esta cita que Proclo no menciona expresamente a Apolonio como la persona que acuñó los nombres de parábola, elipse e hipérbola, sino que se limita a hablar de «geómetras posteriores» a los pitagóricos, lo que podría apoyar la conjetura planteada en [5]. 11Según Papo, los problemas geométricos se clasifican en planos, sólidos o lineales según que puedan ser resueltos, respectivamente, sólo con rectas y circunferencias, mediante la utilización adicional de las cónicas o empleando otras líneas distintas a las anteriores. 332 Historia Supongamos en primer lugar que ambas medias proporcionales bycya han sido halladas y consideremos una línea OH [que se toma como eje de referencia horizontal, ver Figura 4]. Sobre ella situemos un punto Zde forma que OZ =c, dibujemos la línea perpendicular a OH en Zy determinemos en ella un punto Vde forma que ZV =b. Completemos el rectángulo determinado por los vértices O,ZyVtrazando la recta perpendicular a la línea OH por Oy situando en ella el punto Ktal que OK =ZV . Dado que bycson medias proporcionales, en proporción continua, entre aye, se tiene que a b=b c=c e, de donde sigue que a·c=b2, esto es, a·OZ =ZV 2 [es decir, si escribimos x=OZ ey=ZV , entonces el punto Vverifica la ecuación ax =y2]. Así el punto Vpertenece a una parábola12 con vértice en Oylatus rectum a. Pero de la relación entre las medias proporcionales también puede obtenerse que b·c=a·e, esto es, ZV ·OZ =a·e[es decir, xy =a·e], de donde sigue que13 el punto Vtambién está sobre una hipérbola equilátera que tiene a las rectas OH yOK como asíntotas y determina sobre ellas rectángulos de área constante a·e. Llegados a este punto, el álgebra actual permite obtener las dos medias proporcionales como solución del sistema de ecuaciones determinado por ambas curvas. Sin embargo, para los griegos este no era el camino ya que el álgebra simbólica era inexistente y su sistema de representación numérico muy limitado. Ellos tenían que realizar la construcción geométrica que les permitiera obtener efectivamente los segmentos by c, a ello se aplica a continuación Menecmo. O Z H KV Figura 4: Intersección de hipérbola equilátera y parábola. Sean pues las dos líneas ayey sea OH «una línea en posición» limitada en O[o sea, un eje de referencia con origen en O]. Desde O[es decir, con vértice en O] tracemos la parábola14 de eje OH ylatus rectum a. Sea ahora OK un eje perpendicular aOH [es decir, el eje de ordenadas] y tracemos la hipérbola equilátera15 que tiene aOH yOK como asíntotas y determina sobre ellas rectángulos de área constante a·e. Finalmente consideremos el punto de intersección de ambas curvas Vy sean KV yZV las perpendiculares trazadas desde él [abscisa y ordenada del punto V]. 12Cónicas, Prop. I.11. 13Cónicas, Prop. II.12. 14La construcción se recoge en Cónicas, Prop. I.52. 15La construcción se recoge en Cónicas, Prop. II.5. La Gaceta ⋆Secciones 333 Como Vestá sobre la parábola, se verifica16 ZV 2=a·KV , es decir, a ZV =ZV KV o, equivalentemente, a ZV =ZV OZ . Por otra parte, como Vestá sobre la hipérbola, se tiene que17 ZV ·KV =a·e, es decir, a ZV =KV eoa ZV =OZ e. Así se tiene que a ZV =ZV OZ =OZ e.Por tanto, si llamo b=ZV yc=OZ se tiene que a,b,cyeestán en proporción continua como se quería. □ Proposición 2.2.Segunda solución de Menecmo. Obtener dos medias proporcionales como intersección de dos parábolas. Para ello, igual que en el caso anterior, supongamos en primer lugar que ya hemos obtenido las dos medias proporcionales, en proporción continua, BD yBE entre dos líneas dadas BC yAB. Por tanto se tiene que BC BD =BD BE =BE AB . Dispongamos los cuatro segmentos «en ángulo recto» [tal como se recoge en la Figura 5, de forma que se determinan los ejes de referencia AD yCE] y tracemos también «en ángulo recto» ZD yZE [o sea, se considera el punto Zque completa el rectángulo con B,D yEy se establecen sus coordenadas]. Como BC BD =BD BE , sigue que BD2=BC ·BE, es decir, ZE2=BC ·ZD. Así, el punto Zestá sobre la parábola de eje BE, vértice Bylatus rectum la constante BC. Por otra parte, como BD BE =BE AB sigue que BE2=AB ·BD, es decir, ZD2=AB ·EZ. Así el punto Ztambién está sobre la parábola de eje BD, vértice en Bylatus rectum la constante AB. En consecuencia, el punto Zdeterminado por los segmentos BD yBE es el punto de intersección de ambas parábolas. B DA EZ C Figura 5: Intersección de dos parábolas. Igual que antes, Menecmo se aplica a continuación a realizar la construcción geométrica que le permita obtener las dos medias proporcionales buscadas. Sean pues AB yBC dos líneas dadas, que disponemos en ángulo recto como se indica en la Figura 5 [para determinar los ejes de referencia] y dibujemos la parábola de eje perpendicular a AB, vértice en Bylatus rectum BC. Asimismo, dibujemos la parábola18 de eje perpendicular a BC, vértice en Bylatus rectum AB. Sea Zel punto de intersección de ambas parábolas y consideremos las perpendiculares ZD yZE [es decir, las coordenadas de Zrespecto del sistema de referencia elegido]. 16Cónicas, Prop. I.11. 17Cónicas, Prop. II.12. 18La construcción de ambas parábolas se recoge en Cónicas, Prop. I.52.