MPC para el seguimiento del ángulo de cabeceo de un helicóptero

MPC PARA EL SEGUIMIENTO DEL ´ ANGULO DE CABECEO DE UN HELIC ´ OPTERO A. Ferramosca, I. Alvarado, D. Lim´on, E. F. Camacho Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Autom´atica, Universidad de Sevilla. Avda. Camino de los Descubrimientos s/n. 41092 Sevilla, Espa˜na. e-mail: {ferramosca,alvarado,limon,eduardo}@cartuja.us.es Resumen El control predictivo basado en modelo (en ingl´es Model Predictive Control, MPC) es una t´ecnica de control que permite considerar restricciones en entradas y estados. La evoluci´on admisible y la convergencia asint´otica del sistema en bucle cerrado est´a garantizada por medio de una apropiada elecci´on del coste terminal y de la restricci´on terminal. La mayor´ıa de resultados sobre MPC est´an dise˜nados para problemas de regulaci´on. En este art´ıculo se presenta la aplicaci´on de un controlador MPC para el seguimiento de referencias, que asegura la evoluci´on asint´otica del sistema a un punto de equilibrio admisible. Por lo tanto este controlador asegura un seguimiento sin offset de cualquier referencia constante a trozos admisible. Adem´as este controlador necesita s´olo la soluci´on de un problema de programaci´on cuadr´atica en cada periodo de muestreo. Palabras clave: Control predictivo, seguimiento de referencias, conjuntos invariantes, sistemas lineales sujetos a restricciones. 1. INTRODUCCI ´ ON El control predictivo basado en modelo (en ingl´es Model Predictive Control, MPC) es una t´ecnica de control que permite considerar restricciones, en estados y entradas del sistema, en el dise˜no del controlador. Eso se consigue prediciendo la evoluci´on del sistema y calculando la secuencia admisible de se˜nales de control que minimice un funcional de coste, tal que la evoluci´on del sistema satisfaga las restricciones. El problema se puede plantear como un problema de optimizaci´on; la secuencia de control obtenida se aplica con una t´ecnica de horizonte deslizante, resolviendo el problema de optimizaci´on en cada periodo de muestreo. La base te´orica del MPC hoy en d´ıa es bien conocida y la estabilidad asint´otica est´a garantizada por medio de una apropiada penalizaci´on del estado final y a˜nadiendo una restricci´on final [10]. La mayor´ıa de los resultados sobre MPC, consideran el problema de regulaci´on, es decir el problema de llevar el sistema al punto de equilibrio deseado, en general el origen. En [9] se propone un dise˜no de MPC para el seguimiento sin offset de una secuencia admisible de referencias. Est´a claro que para una referencia distinta de cero, se puede hacer un cambio de coordinadas de forma que el ´unico pun- to de equilibrio sea el origen [11]. Sin embargo, la elecci´on de un coste terminal y de restricciones depende del estado de equilibrio deseado; as´ı un cambio de referencia necesita un nuevo dise˜no del controlador. Este enfoque no es factible por la elevada cantidad de c´alculo que se necesita. Existen algunos resultados para resolver el problema de tracking de sistemas lineales. Un primer enfoque notable es el control de referencia [8], donde se a˜nade un filtro no lineal de la referencia para garantizar la evoluci´on admisible del sistema. Esto es como a˜nadir una referencia artificial (la salida del filtro). En [1] se dise˜na un control de referencia para minimizar un ´ındice de prestaciones de la evoluci´on predicha del sistema. En [3] se prueba que cualquier conjunto invariante para el sistema sujeto a restricciones es un dominio de atracci´on para el seguimiento y se propone una ley de control basada en interpolaciones. En [12] y [1] se muestra como existen semejanzas entre controladores predictivos y gobernadores de mando: los dos calculan una acci´on de control para que las restricciones sean satisfechas y se garantice convergencia a la referencia. La principal diferencia es la manera de considerar esta acci´on de control. En [4] se presenta una estrategia de controldor dual basada en MPC: si el MPC no es factible, el controlador cambia a una modo de recuperaci´on de factibilidad, que conduce el sistema a la regi´on de factibilidad del MPC. En este art´ıculo se presenta la aplicaci´on de una nueva estrategia presentada en [9], al seguimiento del ´angulo de cabeceo de un helic´optero. Como en el caso del control de referencia, se utiliza una referencia artificial como variable de decisi´on del controlador. La factibilidad se garantiza considerando un conjunto invariante para seguimiento como restricci´on terminal y el seguimiento sin offset se garantiza penalizando el error entre la referencia artificial y la referencia deseada. El problema de optimizaci´on es un problema QP y la ley de control permite el seguimiento de cualquier referencia admisible y, por lo tanto, de cualquier secuencia de referencias constantes a trozos. Adem´as, el controlador propuesto es interesante tambi´en en caso de problemas de regulaci´on porque permite obtener un mayor dominio de atracci´on con un funcionamiento local casi ´optimo. Notaci´on: el vector (x, t, r) indica el vector [xT, tT, rT]T; dado λ,λX ={λx :x∈X};int(X) indica el interior del conjunto X; una matriz Tdefinida positiva se indica con T >0 y T >P equivale aT−P >0; kxkPindica la norma euclidea pesada de x, es decir, dada P > 0, kxkP=√xTPx; dados, a∈Rna,b∈Rnby el conjunto Γ ⊂Rna+nb, Proja(Γ) define la operaci´on de proyecci´on, es decir Proja(Γ) = {a∈Rna:∃b∈Rnb,(a, b)∈Γ}; el super´ındice windica que el conjunto Ωwest´a definido en el estado extendido w= [xT, tT, rT]T, mientras Ω = Projx(Ωw) est´a definido en el vector de estados x. 2. DESCRIPCI ´ ON DEL PROBLEMA Sea el sistema lineal discreto descrito por: x+=Ax +Bu y=Cx +Du (1) donde x∈Rnes el estado actual del sistema, u∈ Rmes la entrada actual, y∈Rpes la salida actual yx+es el estado siguiente. El estado del sistema y la se˜nal de control aplicada en el instante kse denotan como x(k) y u(k). El sistema est´a sujeto a restricciones en el estado y en la entrada: x(k)∈ X u(k)∈ U para k≥0. XyUson poliedros compactos y convexos que contienen el origen: X={x∈Rn:Ax·x≤bx}(2) U={u∈Rm:Au·u≤bu}(3) El problema que se considera es el dise˜no de un controlador MPC para el seguimiento de una referencia constante a trozos s(k) de manera que las restricciones sean siempre respetadas. 3. C ´ ALCULO DE LOS PUNTOS DE EQUILIBRIO ADMISIBLES Sea tun set-point para el sistema y (xs, us) el punto de equilibrio asociado a este set-point, tal que: ·A−I B C D ¸··xs us¸=·0 t¸(4) Sea E=·A−I B C D ¸, F =·A−I B 0 C D Ip¸ con Ipmatriz identidad de orden p. Suponiendo que el rango de Esea igual al rango de F, la ecuaci´on 4 tiene una soluci´on para cada set-point t. La soluci´on se puede escribir como: zs=·xs us¸=M·t+N·r=·Mx Mu¸·t+·Nx Nu¸·r(5) donde res una variable auxiliar que depende del rango de E. Si el rango de Ees m´aximo, la soluci´on es dada por zs=M·t. Si el rango de Ees menor que n+m, la ecuaci´on tiene infinitas soluciones. Entonces el vector rpuede ser considerado como una variable libre en la selecci´on del pun- to de equilibrio y de la entrada para un set-point deseado t. Estando el sistema sujeto a restricciones, las referencias posibles ser´ıan aquellos estados de equilibrio que satisfagan las restricciones. El conjunto de estos estados se define como Xs={xs∈ X : ∃us∈ U t.q. (A−In)xs+Bus= 0}. El conjunto de las entradas de equilibrio admisibles se define como Us={us∈ U :∃xs∈ X t.q. (A−In)xs+ Bus= 0}. El conjunto de todos los set-point admisibles se define como S={s∈Rp:xs∈Xs, us∈ Us,(A−In)xs+Bus= 0 y s =Cxs+Dus}. Entonces, dado un set-point s, el estado y la entrada de equilibrio zs= (xs, us), se puede calcular resolviendo el siguiente problema QP: m´ın zskzsk2 W s.t. Ezs=Fs Axxs≤bx Auus≤bu Si el rango de Ees menos que n+m, la ecuaci´on 4 admite soluciones solo para un subconjunto de set point. Sin embargo en la pr´actica se quiere seguir cualquier set-point, de forma que si el setpoint pertenece al subconjunto, pues se selecciona la soluci´on ´optima; si el set-point deseado no pertenece al subconjunto, pues se calcula un estado de equilibrio de manera que sea m´ınima la desviaci´on entre la salida relativa a este estado y el set point deseado. Entonces, el problema QP se puede escribir de la forma: m´ın zskzsk2 W+ks−[C D]zsk2 Θ s.t. [A−InB]zs= 0 Axxs≤bx Auus≤bu 4. C ´ ALCULO DEL CONJUNTO INVARIANTE PARA SEGUIMIENTO DE REFERENCIA Sea el controlador: u=K·(x−xs) + us(6) tal que estabiliza asintoticamente el sistema en bucle cerrado, donde xsyusson el estado y la entrada de equilibrio que queremos alcanzar. Si la ganancia del controlador Kes tal que todos los autovalores del sistema A+BK est´en en el circulo unitario, entonces el sistema alcanza el punto de equilibrio. Estando el sistema sujeto a restricciones, el controlador es factible s´olo en un entorno del origen. Substituyendo (5) in (6), se encuentran las matrices LtyLrtal que: u=K·x+Lt·t+Lr·r(7) Sea w= (x, t, r) un estado extendido. Entonces, el sistema en bucle cerrado se puede escribir como:   x t r   + =  A+BK BLtBLr 0I0 0 0 I  ·  x t r  (8) es decir, w+=Aw·w. Este sistema est´a sujeto a las restricciones W, donde Wes un poliedro dado por:     Ax0 0 AuK AuLtAuLr 0AxMxAxNx 0AuMuAuNu    ·  x t r  ≤    bx bu bx bu    (9) Un conjunto Ωwes un conjunto invariante para tracking admisible para el sistema (8) sujeto a restricciones W, si para cada w∈Ωw,Aw·w∈Ωw y Ωw⊆W. El m´aximo conjunto invariante para tracking admisible viene dado por [7]: Ow ∞={w:Ai ww∈W, ∀i≥0} Este conjunto puede no estar finitamente determinable, debido a que Awtiene autovalores iguales a 1. Por ello, seg´un [8] se escoge la siguiente variaci´on que s´ı es determinada en un numero finito de pasos. Sea el conjunto Wλ={w= (x, t, r) : u=K·x+ Lt·t+Lr·r∈U, x ∈X, xs=Mx·t+Nx·r∈ λXy us=Mu·t+Nu·r∈λU}; este conjunto es un poliedro dado por:     Ax0 0 AuK AuLtAuLr 0AxMxAxNx 0AuMuAuNu    ·  x t r  ≤    bx bu λbx λbu    (10) Est´a claro que W1=W. El m´aximo conjunto invariante para tracking admisible, para el conjunto de restricciones Wλes: Ow ∞,λ ={w:Ai ww∈Wλ,∀i≥0} Para cualquier λ∈(0,1), Ow ∞,λ est´a finitamente determinado y λOw ∞⊂Ow ∞,λ ⊂Ow ∞. Dado que λse puede escoger arbitrariamente cerca de 1, el conjunto invariate que se obtiene es arbitrariamente cerca del m´aximo conjunto invariante Ow ∞. 5. MPC PARA SEGUIMIENTO DE REFERENCIA Sup´ongase calculado un controlador estabilizante Kpara el sistema (1) y sup´ongase obtenido un conjunto invariante admisible para tracking Xw f. Basandose en eso, en [9] se propone un controlador MPC que garantiza seguimiento de referencias sin offset para cualquier estado de equilibrio admisible bxscontenido en Xf=Projx(Xw f). El MPC propuesto considera una referencia artificial (xs, us) como variable de decisi´on del funcional de coste. Adem´as se penaliza la diferencia entre el estado de equilibrio artificial xsy el estado de equilibrio deseado bxs. Si bxses un punto de equilibrio admisible, esa penalizaci´on garantiza tracking sin offset; sin embargo, si bxsno es admisible, esa penalizaci´on permite que el sistema evolucione a un punto de equilibrio admisible, tal que la diferencia con el estado deseado sea m´ınima. El funcional de coste utilizado es: VN(x, s, u, t, r)= N−1 X i=0 kx(i)−xsk2 Q+ku(i)−usk2 R +kx(N)−xsk2 P+kxs−bxsk2 T donde xes el estado actual, ses el set-point deseado en la salida, ues una secuencia de Nse˜nales de control futuros, x(i) es la predicci´on del estado en el instante idada por x(i+1) = A·x(i)+B·u(i), con x(0) = x,xs=Mx·t+Nx·ryus= Mu·t+Nu·r.bxses el punto de equilibrio asociado al set-point s. Las matrices Q,R,PyTson matrices definidas positivas. Por tanto, u,tyrson las variables de decisi´on y xysson par´ametros del funcional de coste propuesto. El problema PN(x, s) de optimizaci´on MPC est´a dado por: V∗ N(x, s) = m´ın u,t,r VN(x, s, u, t, r) s.t. x(0) = x x(j+ 1) = A·x(j) + B·u(j), u(j)∈U, x(j)∈X, j = 0, . . . , N −1 (x(N), t, r)∈Xw f con Xw fconjunto invariante para tracking en el estado extendido (x,t,r). Dado que esta regi´on es un poliedro, el problema de optimizaci´on es un problema cuadr´atico est´andar, que puede ser resuelto de forma eficiente. 6. PROPIEDADES DEL CONTROLADOR Este controlador resulta interesante por las siguientes propiedades: 1. El controlador garantiza la factibilidad considerando un conjunto invariante para seguimiento como restricci´on terminal. 2. El controlador garantiza tambi´en el seguimiento sin offset penalizando el error entre la referencia artificial y la referencia deseada. La ley de control permite el seguimiento de cualquier referencia admisible y, por lo tanto, de cualquier secuencia de referencias constantes a trozos. 3. El problema de optimizaci´on es un ´unico problema QP multiparam´etrico. 4. La ley de control expl´ıcita se puede calcular utilizando t´ecnicas bien conocidas ([2]). 5. El controlador propuesto es interesante tambi´en en caso de problemas de regulaci´on porque permite obtener un mayor dominio de atracci´on con un funcionamiento local casi ´optimo. 7. APLICACI ´ ON DEL CONTROLADOR El sistema a controlar es un helic´optero de dos rotores paralelos a escala de laboratorio dise˜nado por Quanser (figura 1), descrito en [5] y [6]. Figura 1: Helic´optero de laboratorio Quanser Consulting La maqueta tiene tres grados de libertad medidos mediante tres encoders: el ´angulo de alabeo oroll (giro en torno a un eje paralelo a la direcci´on de avance), el ´angulo de cabeceo o pitch (giro en torno a un eje perpendicular a la direcci´on de avance, ´angulo αen la figura 1), y el ´angulo de gui˜nada o yaw (giro en torno a un eje perpendicular al suelo). Los actuadores son dos rotores el´ectricos de tensi´on continua, acoplados a cada lado del eje longitudinal, y que accionan las dos h´elices del helic´optero, produciendo una fuerza proporcional a la tensi´on de entrada. El cuerpo del sistema est´a unido por medio de una barra a un punto fijo alrededor del cual est´a permitido su giro. Adem´as dispone de un contrapeso para aliviar el esfuerzo de los motores. 7.1. FUNCI ´ ON DE TRANSFERENCIA El modelo del helic´optero est´a descrito en [5] y [6]. La variable a controlar es el ´angulo de cabeceo α. La funci´on de trasferencia del sistema es la funci´on entre el ´angulo αy la suma de las fuerzas F1yF2 proporcionadas por los dos rotores, es decir: α(s) Fsuma(s)= l1 Je s2+be Jes+[mg(h+d)+Mg(h−l3sin θ)] Je (11) Siendo la suma de las fuerzas ejercidas por las h´elices proporcional a la tensi´on el´ectrica aplicada a los motores a trav´es de la constante km, se deduce la siguiente ecuaci´on: α(s) v(s)=kml1 Jes2+bes+·mg(h+d)+ Mg(h−l3sin θ)¸(12) que es la funci´on de transferencia que relaciona el ´angulo de cabeceo αcon la tensi´on el´ectrica v. Esta ecuaci´on se puede escribir de la forma: α(s) v(s)=k·ωn2 s2+ 2 ·ξ·ωn·s+ωn2(13) donde α(s) se expresa en radiantes y v(s) en voltios. Como se explica en [6], la planta introduce un retraso, as´ı que la funci´on de transferencia, que sustituye a 13, es: α(s) v(s)=k·ωn2 s2+ 2 ·ξ·ωn·s+ωn2·e−sT (14) Los valores de los par´ametros son k= 0,113, ξ= 0,11, ωn= 0,58 y T= 0,1. 7.2. SEGUIMIENTO DEL ´ ANGULO DE CABECEO El sistema se ha considerado en espacio de estados. Las matrices del sistema LTI en tiempo continuo son: A=·0 1 −0,3364 −0,1276 ¸, B =·0 0,0380 ¸, C=£1 0 ¤, D = 0 Se ha discretizado el sistema con un tiempo de muestreo Ts = 0,01s, como se sugiere en [6]. Las matrices del sistema LTI discretizado son: A=·1,0000 0,0100 −0,0034 0,9987 ¸, B =·0,0019 0,3799 ¸×10−3, C=£1 0 ¤, D = 0. La restricciones en el entrada son: umin =−17,4 yumax = 2,6. Se supone que el helic´optero pueda bascular respecto al eje perpendicular a la direcci´on, de un ´angulo m´aximo de ±90 grados. As´ı que se considera kxk∞≤π/2 [rad] como restricci´on en el estado. El controlador local y la matriz de Lyapunov Pse han calculados utilizando un LQR. Las matrices utilizada han sido Q= 100 ·I2yR= 1 o R= 0,1. El sistema se ha controlado con el MPC propuesto, considerando un horizonte de control Nc= 3, un horizonte de predicci´on Np= 3 y una matriz T= 10·P. La referencia a seguir ha sido una secuencia de referencias constantes a trozos con valores de set-point s1=−0,3491, s2=−1,2, s3= 0,25 y s4=−0,3491. −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x1 x2 Figura 2: Invariante para tracking y regi´on de atracci´on −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 x1 x2 s3 s2 s1 Figura 3: Evoluci´on de los estados En la figura 2 se muestran el invariante para seguimiento de referencia (en l´ınea de trazos) y la regi´on de atracci´on (en l´ınea continua). En la figura 3 se muestra la evoluci´on de los estados del sistema (en l´ınea de trazos). En las figuras 4(a) y 5(a) se muestran las evoluciones del sistema en los dos casos de R= 1 y R= 0,1. En las 0 20 40 60 80 100 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 tiempo (s) ángulo de cabeceo (rad) (a) Tracking de la referencia. 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 tiempo (s) ángulo de cabeceo (rad) (b) Evoluci´on de la referencia artificial Figura 4: Seguimiento de una referencia constante a trozos con Q= 100 ·I2yR= 1. figuras 4(b) y 5(b) se muestran las evoluciones de las referencias artificiales en los dos casos de R= 1 y R= 0,1. En las figuras se dibujan en l´ınea continua las referencias, en l´ınea de trazos las evoluciones del sistema y en l´ınea de trazos y puntos las referencias artificiales x∗ s(k). Como se puede ver, las evoluciones del sistema son admisibles en cada instante y por cada variaci´on de la referencia. Adem´as se puede ver como, cuando hay un cambio de referencia no factible, el controlador encuentra una referencia artificiale factible y la sigue. En la figura 5 se ve como escogiendo R= 0,1 se han eliminado las oscilaciones debidas al los autovalores complejos conjugados del sistema. Aunque, las oscilaciones que ocurren en caso de R= 1 (fig. 4) no son grandes y se rechazan rapidamente. 0 20 40 60 80 100 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 tiempo (s) ángulo de cabeceo (rad) (a) Tracking de la referencia. 40 42 44 46 48 50 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 tiempo (s) ángulo de cabeceo (rad) (b) Evoluci´on de la referencia artificial Figura 5: Seguimiento de una referencia constante a trozos con Q= 100 ·I2yR= 0,1. Referencias [1] Bemporad, A., Casavola, A., Mosca, E., (1997) “Nonlinear control of constrained linear systems via predictive reference management”, IEEE Transaction on Automatic Control, Vol: 42, 340-349. [2] Bemporad, A., Morari, M., Dua, V., Pistikopoulos, E., (2002) “The explicit linear quadratic regulator for constrained systems”, Automatica, Vol: 38, 3-20. 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[8] Gilbert, E., Kolmanovsky, I., Tan, K., (1994) “Nonlinear control of discret time linear systems with state and control constraints: a reference governor with global convergence properties”, En:Proceedings of 33th IEEE Conference on Decision and Control, Lake Buena Vista, FL, USA, December 14-16. [9] Limon, D., Alvarado, I., Alamo, T., Camacho, E.F. (2005) “MPC for Tracking of Piece- Wise Constant References for Constrained Linear Systems”, En: Proceedings of 16th IFAC World Congress, Prague, Czech Republic, July 4-8. [10] Mayne, D.Q., Rawlings, J.B., Rao, C.V., Scokaert, P.O.M., (2000) “Constrained model predictive control: Stability and Optimality”, Automatica, Vol: 36, 789-814. [11] Muske, K., Rawlings, J.B., (1993) “Model predictive control with linear model”, AIChe Journal, Vol: 39, 262-287. [12] Rossiter, J., Kouvaritakis, B., (1998) “Refernce governors and predictive control”, En: Proceedings of the American Control Conference, Philadelphia, PA, USA, June 24-26. A. AP´ ENDICE A.1 An´alisis de estabilidad En este apartado se dan las condiciones suficientes para garantizar la estabilidad asint´otica del controlador, de manera que el sistema en bucle cerrado alcance asintoticamente cualquier punto de equilibrio s∈S. Las demostraciones de los lemas y del teorema que aqu´ı se presentan, se pueden encontrar en [9]. Sea O∞(xs) el m´aximo conjunto invariante de estados que pueden llevarse a xsde manera admisible por medio de la ley de control 6. Lema 1. Sea bxsun estado de equilibrio admisible y sean xsyusestado y entrada de equilibrio para el sistema 1 tal que xs∈int(X) y us∈int(U). Sea Kun controlador lineal estabilizante con matriz de Lyapunov P. Entonces, existe λ∈[0,1] y xs= λxs+ (1 −λ)bxstal que: (1) xs∈O∞(xs) (2) Para todos T > P yxs6=bxs, pues: kxs−xsk2 P+kxs−bxsk2 T<kxs−bxsk2 T Lema 2. Sea el sistema (1) sujeto a las restricciones (2). Sea u=Kx un controlador estabilizante con matriz de Lyapunov Ptal que: (A+BK)TP(A+BK)−P=−(Q+KTRK) con Q∈Rn×nyR∈Rm×mmatrices definidas positivas. Consid´erese cualquier x∈Xf= Projx(Xw f). Sea xsun estado de equilibrio admisible tal que x∈O∞(xs). Entonces: V∗ N(x, s)≤ kx−xsk2 P+kxs−bxsk2 T donde bxses un estado de equilibrio asociado a s. Lema 3. Sea dada una referencia sy el estado de equilibrio asociado bxs; se asume que para un estado xdado, la soluci´on ´optima del problema PN(x, s) es tal que kx−x∗ skQ= 0; entonces kx−bxskQ= 0. Teorema 1. Sea el sistema 1 sujeto a las restricciones 2. Sean Q∈Rn×nyR∈Rm×mmatrices definidas positivas. Sea u=Kx un controlador estabilizante con matriz de Lyapunov Ptal que: (A+BK)TP(A+BK)−P=−(Q+KTRK) Sea dada una matriz T > P. Se asume que Xw f= Ow ∞,λ, calculado para un dado λ∈(0,1) y por el controlador K. Entonces, para cualquier estado inicial factible x0∈Xny para cualquier set-point admisible s∈λS, el controlador MPC propuesto ([9]) lleva asintoticamente al sistema a sde una manera admisible. Factibilidad. Sea xkel estado en el instante actual k, tal que xk∈XN. Sea (u∗(k), t∗(k), r∗(k)) la soluci´on ´optima del problema PN(x, s) en el instante k, con un coste ´optimo V∗ N(xk,bxs). Sea xk+1 el estado siguiente. Sea t(k+ 1) = t∗(k), r(k+ 1) = r∗(k) y u(k+ 1) = {u∗(1; k), ..., u∗(N−1; k), K(x∗(N;k)−x∗ s(k)) + u∗ s(k)} Entonces, (u(k+ 1), t(k+ 1), r(k+ 1)) es una soluci´on factible, debido a que la soluci´on ´optima en el instante ky a la invariancia de Xw f. Entonces, xk+1 ∈XN. Convergencia. Consid´erese la solucci´on factible en el instante k+1 presentada anteriormente. Entonces ([10]): V∗ N(xk+1,bxs)≤VN(xk+1,bxs,uk+1, tk+1, rk+1) ≤V∗ N(xk,bxs)−kxk−x∗ s(k)k2 Q Siendo el coste ´optimo definido positivo y no creciente, entonces: l´ım k→∞ kxk−x∗ s(k)kQ= 0 y en virtud del Lema 3 : l´ım k→∞ kxk−bxs(k)kQ= 0 Por lo tanto, el sistema alcanza bxs. Corolario 1. El conjunto de estados de equilibrio admisibles que pueden ser seguidos sin offset es λXs. Dado que λXs⊂O∞y dado que la evoluci´on del sistema se queda en XN, el sistema puede seguir cualquier referencia admisible. Una secuencia de referencias constantes a trozos puede ser seguida sin offset. Si la referencia deseada sno es admisible, el controlador lleva al sistema a un estado de equilibrio admisible xsde manera que la distancia kxs−bxskT sea m´ınima. Corolario 2. El teorema de estabilidad puede extenderse considerando Xw fcomo cualquier conjun- to invariante admisible para seguimiento de referencias. En este caso, el conjunto de referencias que pueden seguirse sin offset es b S={s∈Rp: ∃(x, s, r)∈Xw f, x =Mx·s+Nx·r}. Corolario 3. Este controlador usado para regulaci´on, tiene una regi´on de atracci´on potencialmente mayor que un MPC convencional para regulaci´on, debido a que la restricci´on terminal es mayor.