Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Máster Máster en Ingeniería Aeronáutica Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Autor: Manuel Ángel Zapata Habas Tutor: Antonio Romero Ordóñez Dpto. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 iii Trabajo Fin de Máster Máster en Ingeniería Aeronáutica Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Autor: Manuel Ángel Zapata Habas Tutor: Antonio Romero Ordóñez Profesor Contratado Doctor Dpto. Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 v Trabajo Fin de Máster: Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Autor: Manuel Ángel Zapata Habas Tutor: Antonio Romero Ordóñez El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal vii Índice Índice vii Índice de Tablas ix Índice de Figuras xi 1 Introducción 1 1.1 Motivación 1 1.2 Revisión Bibliográfica 1 1.3 Objetivo y Metodología 2 1.4 Estructura del documento 3 1.5 Contribuciones originales 3 2 Algoritmos Genéticos 5 2.1 Inspiración de los Algoritmos Genéticos 5 2.2 Funcionamiento de los Algoritmos Genéticos 6 2.2.1 Descripción 6 2.2.2 Diferencias entre Algoritmos Clásicos y Algoritmos Genéticos 8 2.3 Ventajas y desventajas 8 3 Modelo Del Sistema 9 3.1 Descripción del modelo 10 3.2 Cálculo de Potencia y Energía 12 3.3 Ejemplos con funciones armónicas. 13 3.4.1 Aceleración con un armónico 13 3.4.2 Aceleración con dos armónicos 19 4 Análisis LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas 23 4.1 Análisis Línea de Alta Velocidad Córdoba-Málaga 23 4.1.1 Medidas Experimentales LAV Córdoba-Málaga 23 4.1.2 Optimización de la Energía Recolectada para la LAV Córdoba-Málaga 27 4.2 Análisis Línea de Alta Velocidad París- Bruselas 31 4.2.1 Medidas Experimentales LAV París-Bruselas 31 4.2.2 Optimización de la Energía Recolectada para la LAV París-Bruselas 33 4.3 Cálculo de un modelo óptimo global para las LAV Córdoba-Málaga y París-Bruselas 40 4.4 Comparación del modelo óptimo global del sistema con respecto a los óptimos puntuales de las LAV Córdoba-Málaga y París-Bruselas. 44 4.4.1 Comparación de la energía recolectada con el modelo óptimo global con respecto a la máxima posible. LAV Córdoba-Málaga. 44 4.4.2 Comparación de la energía recolectada con el modelo óptimo global con respecto a la máxima posible. LAV París-Bruselas. 45 5 Análisis LAV Madrid-Sevilla en Puente Arroyo Bracea 49 5.1 Medidas Experimentales en Puente Arroyo Bracea 49 5.2 Optimización de la Energía Recolectada. Puente Arroyo Bracea 52 5.3 Cálculo de variables mecánicas óptimas para los datos de Puente Arroyo Bracea 59 5.4 Comparación de la energía recolectada con los diferentes modelos con respecto a la máxima posible. 63 6 Conclusiones y Trabajo Futuros 67 7 Anexo LAV París-Bruselas 69 7.1 Gráficas Medidas Experimentales en el dominio de la frecuencia 69 8 Anexo Puente Bracea 79 8.1 Gráficas Medidas Experimentales en el dominio de la frecuencia 79 8.2. Resultados de la optimización para los diferentes eventos 90 Referencias 99 ix ÍNDICE DE TABLAS Tabla 2–1. Valores por defecto de la función ga de MATLAB 7 Tabla 3–1. Propiedades Material Piezoeléctrico y valor de la carga 12 Tabla 3–2. Valores de la solución para aceleración a 50 Hz 14 Tabla 3–3. Valores de la solución para aceleración a 50 Hz con ruido leve 16 Tabla 3–4. Valores de la solución para aceleración a 50 Hz con ruido fuerte 17 Tabla 3–5. Valores de la solución para aceleración a 40 y 60 Hz 20 Tabla 4–1. Paso de trenes registrados por las vías 1 y 2. LAV París-Bruselas 31 Tabla 4–2. Valores óptimos seleccionados para el punto de diseño global. LAV Córdoba- Málaga y París- Bruselas 43 Tabla 4–3. Valores óptimos seleccionados para el punto de diseño de un modelo para la LAV Córdoba- Málaga 45 Tabla 5–1. Valores de las 5 primeras frecuencias naturales de Puente Arroyo Bracea 50 Tabla 5–2. Paso de trenes registrados en el Puente Arroyo Bracea 50 Tabla 5–3. Valores óptimos seleccionados para el punto de diseño del Modelo 12 Hz. Puente Arroyo Bracea 62 Tabla 5–4. Valores óptimos seleccionados para el punto de diseño del Modelo 9 Hz. Puente Arroyo Bracea 62 Tabla 5–5. Valores óptimos seleccionados para el punto de diseño del Modelo 4 Hz. Puente Arroyo Bracea 62 Introducción 2 por ejemplo, la excitación del viento en edificios, la acción de las olas en plataformas oceánicas, las vibraciones producidas por el tráfico en puentes, o la acción del sismo [5]. De la misma forma, estos sistemas también tienen aplicaciones en vehículos, incluidas suspensiones de automóviles [6] y en sistemas ferroviarios [7]. El ámbito de este trabajo se centra en la recolección de energía de las vibraciones de origen ferroviario. A continuación, se citan algunas de las investigaciones publicadas más relevantes en este ámbito. Gatti et al. [8] presentaron un estudio de la recolección de energía a partir de las vibraciones de la vía producidas por el paso de un tren. Yuan et al. [9] usaron un transductor piezoeléctrico para convertir la energía de vibración de una traviesa en energía eléctrica. De forma similar, Nelson et al. [10] instalaron, en la parte inferior de un carril, un dispositivo para generar energía eléctrica a partir de la vibración originada por el tráfico ferroviario. Brenan et al [11] han investigado el uso de un sistema mecánico de un grado de libertad unido a una estructura que actúa tanto de dispositivo de control de vibraciones como de recolector de energía. Takeya et al. [12] han propuesto un sistema de captación de energía, con dos grados de libertad, para aprovechar la energía de vibración en puentes. Cheng et al. [13] han propuesto un sistema auto-sintonizado en el que la frecuencia de vibración de la masa sísmica se ajusta, con un actuador piezoeléctrico, para incrementar la energía producida. La energía necesaria para accionar el actuador se almacena en un condensador que carga el propio recolector. Li et al. [14] diseñaron un sistema para captar la energía de vibración en una banda de frecuencia mediante un modelo de múltiples grados de libertad. El rendimiento de este recolector se investigó experimentalmente con las vibraciones producidas por el paso de un tren. Uno de los problemas más importantes de los sistemas de recolección de energía está asociado a que el rendimiento del dispositivo de producción de energía se limita a una banda de funcionamiento muy estrecha, alrededor de su frecuencia de resonancia [15]. Si la frecuencia de la excitación se desvía de la condición de resonancia, la potencia de salida se reduce drásticamente. Muchos investigadores han intentado diseñar dispositivos mecánicos basados en algunos de los mecanismos de conversión antes citados [16]. Sin embargo, algunos de los dispositivos de recolección de energía pueden no cumplir con los requisitos de diseño para su correcto funcionamiento. Esta situación se debe principalmente al hecho de que la frecuencia de resonancia del generador, a menudo, no está sintonizada con la de la vibración. En este trabajo, partiendo de medidas experimentales de las vibraciones producidas por el paso de trenes en varias Líneas de Alta Velocidad (LAV). Se analiza y calcula el valor de los parámetros mecánicos (masa, rigidez y amortiguamiento), que optimizan la energía recolectada por el sistema. Analizando la relación entre la frecuencia de sintonización óptima del sistema y las frecuencias de las vibraciones experimentales. 1.3 Objetivo y Metodología El objetivo principal de este trabajo es el cálculo y análisis de los valores de las variables mecánicas (masa, rigidez y amortiguamiento) que optimizan la energía recolectada por un sistema piezoeléctrico. Disponiendo para ello de medidas experimentales de las vibraciones producidas por el paso de trenes, en diferentes Líneas de Alta Velocidad. Para conseguir este objetivo se seguirán los siguientes pasos: - Se definirá un modelo de sistema de recolección de energía, en este caso piezoeléctrico, que permitirá calcular la energía recolectada por el sistema en cada caso. - Se usarán medidas experimentales de vibraciones de trenes, registradas por diferentes autores, en diferentes LAV. - Se usarán algoritmos genéticos para calcular el valor de las variables mecánicas que maximizan la energía recolectada. Se probará la eficacia de este método con ejemplos sencillos e intuitivos. - Se utilizarán algoritmos genéticos para calcular los resultados óptimos para las medidas experimentales en diferentes LAV. - Se definirán modelos óptimos globales y se comparará su capacidad para absorber energía, con respecto a la máxima, para las diferentes medidas experimentales. - Se analizarán los resultados, estableciéndose vínculos entre la frecuencia óptima de sintonización del sistema y las frecuencias de las medidas experimentales. 3 3 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV 1.4 Estructura del documento El presente documento cuenta con ocho capítulos principales. En el capítulo dos se introducen los algoritmos genéticos, describiendo el funcionamiento del método de optimización y sus principales ventajas e inconvenientes. En el capítulo 3, se introduce el modelo usado y las ecuaciones que definen el comportamiento del sistema. Adicionalmente, se detalla como calcular la potencia y energía generada por el sistema. Por último, se muestran y analizan los resultados, en caso de excitar al sistema con aceleraciones de tipo armónico. En el capítulo 4, se muestran los resultados óptimos obtenidos para las diferentes medidas experimentales de vibraciones en las LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas. Se usan los valores óptimos obtenidos para cada punto para seleccionar unas variables mecánicas óptimas globales, que sean las que mejor se ajusten al conjunto de medidas experimentales disponibles. Por último, se comparan la energía recolectada por el modelo con variables mecánicas óptimas globales, en cada punto de medida experimental, con la máxima energía posible en esos puntos. En el capítulo 5, se realiza un análisis similar al realizado en el capítulo 4 pero en este caso para medidas experimentales en el Puente del Arroyo Bracea, perteneciente a la LAV Sevilla-Madrid. Se analizan los resultados obtenidos y se comparan con los del capítulo anterior. En el capítulo 6, se presentan las conclusiones del trabajo y se proponen posibles trabajos futuros relacionados con este. Por último, los capítulos 7 y 8 son anexos en los cuales se han incluido gráficas que se considera que pueden resultar de interés para los lectores del trabajo. 1.5 Contribuciones originales En este apartado se indican algunos de los aspectos más innovadores desarrollados en este proyecto: - El desarrollo de algoritmos en MATLAB, que permiten optimizar los valores de energía obtenida por un sistema de recolección de energía piezoeléctrico, para unas vibraciones ambientales dadas. Para ello, se ha desarrollado un código en el cual se calculan los valores óptimos de las propiedades mecánicas del sistema, mediante el uso de algoritmos genéticos de la librería de MATLAB. - La aplicación del método de optimización, basado en algoritmos genéticos, a casos sencillos de vibraciones armónicas. Permitiendo estos ejemplos entender como el sistema se sintoniza con las vibraciones para obtener la máxima energía posible. - El cálculo de los parámetros mecánicos (masa, rigidez y amortiguamiento) óptimos del sistema, que permiten obtener la máxima energía posible para medidas experimentales de vibraciones en puntos de las LAVs París-Bruselas y Córdoba-Málaga. - El cálculo de la energía máxima recolectada y los valores de las propiedades mecánicas que la optimizan. Para diferentes puntos de medida experimental en el Puente Arroyo Bracea, perteneciente a la LAV Sevilla-Madrid. - La definición de modelos, con unas propiedades mecánicas que son las que permiten recolectar mayor energía, de manera global, para el conjunto de datos disponibles. Comparándose la energía recolectada por estos modelos con la máxima posible para cada punto de medida experimental. - Por último, se llega a una serie de conclusiones en base a los resultados obtenidos. Estas conclusiones pueden ser útiles para tener una primera idea de los valores óptimos de sintonización del sistema, dependiendo de las excitaciones a las que este expuesto. Introducción 4 5 2 ALGORITMOS GENÉTICOS Se define algoritmo como un conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema. Los algoritmos genéticos son algoritmos de optimización inspirados en la evolución biológica, de ahí el nombre de algoritmo genético. Este tipo de algoritmos son usados para la resolución de problemas de búsqueda y optimización. Se considera el nacimiento de los algoritmos genéticos en torno a los años setenta de la mano de John H. Holland con sus publicaciones “Outline for a logical theory of adaptive systems” (1962) y “Adaptation in Natural and Artificial Systems” (1975). En la actualidad debido al desarrollo de la informática y el aumento de la capacidad de computación. Se ha producido un aumento en el uso de estos algoritmos, que se consideran un método robusto y que puede tratar una gran variedad de problemas provenientes de diferentes áreas. En las siguientes secciones, se describe el funcionamiento del algoritmo realizando una analogía con la evolución biológica, y se comentan algunas ventajas e inconvenientes. 2.1 Inspiración de los Algoritmos Genéticos Como se ha comentado anteriormente, los algoritmos genéticos están inspirados en la evolución biológica. En la naturaleza, los diferentes individuos de una población deben competir entre sí por lo recursos necesarios (agua, comida, etc) para sobrevivir. De forma natural, esta lucha hace que los individuos con mejores características, para la supervivencia, tengan más probabilidades de tener un mayor número de descendientes y los individuos menos dotados tengan menos. Figura 2-1. Ejemplo de evolución Algoritmos Genéticos 6 Los genes de los individuos con mejores capacidades se propagarán en las diferentes generaciones, creándose poblaciones con mejores características. Puesto que, de la combinación de las características de buenos ancestros, pueden nacer nuevos individuos con características mejores a las de cualquiera de sus ancestros, las especies evolucionarán adaptándose cada vez mejor al medio en el que viven. Esta idea es la que inspira el desarrollo de los algoritmos genéticos y su uso, para resolver problemas de optimización y búsqueda. 2.2 Funcionamiento de los Algoritmos Genéticos 2.2.1 Descripción Los algoritmos usan una analogía directa con el comportamiento de la naturaleza. Inicialmente se crea una población de individuos. Cada individuo tendrá unas características (en nuestro caso el valor de las variables de optimización masa rigidez y amortiguamiento) aleatorias y será una posible solución al problema. Cada individuo, dependiendo de sus características, obtendrá un valor de la función a optimizar (en nuestro caso sería la energía producida, al igual que en el caso biológico era la supervivencia). Una vez obtenido el valor de la función, para la primera generación de individuos, se crea la siguiente generación. En cada nueva generación, el algoritmo genético usa la población actual para crear la nueva generación, llamada hijos. El algoritmo selecciona a un grupo de individuos de la generación actual, llamados padres, que aportan sus características para formar la siguiente generación. Los individuos elegidos como “padres” son individuos cuyas características han tenido mejor adaptación al problema. En cada nueva generación a partir de los “padres” seleccionados se crean hijos de tres formas diferentes: - Élite: Son los individuos de la generación actual con las características que mejor se ajustan al problema. Estos individuos pasan automáticamente a la próxima generación. - Cruzamiento: Se forman individuos cuyas características se obtienen cruzando las características de diferentes individuos padres. - Mutación: Son individuos formados introduciendo variaciones aleatorias en las características de un único individuo padre. Figura 2-2. Cruzamiento Mutación y Élite La proporción de la nueva generación que es generada por cruzamiento, mutación o élite depende del problema concreto, al igual que el tamaño de la población inicial. En cualquier caso, tanto con la población inicial como con la proporción cruzamiento, mutación y élite es necesario garantizar la diversidad de la población. La diversidad es la distancia media entre los individuos de la población. Correspondiendo mucha diversidad a una distancia media grande y poca diversidad a una distancia media pequeña, como se muestra en la siguiente imagen. 7 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 2-3. Ejemplo de alta y baja diversidad En los algoritmos genéticos es necesario que la diversidad de la población inicial sea alta, ya que esto amplia la zona del espacio en la cual el algoritmo puede buscar soluciones. Los criterios de parada usados para finalizar las simulaciones, están en general asociados al número de generaciones a simular, al tiempo de la simulación o a la comparación del valor obtenido para el mejor individuo con el de la media de la población. Si ambos valores son próximos, se tiene garantía de que se ha alcanzado una solución cercana a la óptima. En este caso trabajo concreto para realizar la optimización del sistema mediante algoritmos genéticos, se ha utilizado la función ga de MATLAB. En general se han usado los valores recomendados por defecto de la función (que se muestran en la Tabla 2-1), ya que en la mayoría de los casos han sido suficientes para ajustar los resultados y no es el objetivo principal de este trabajo profundizar en como internamente el algoritmo genético resuelve el problema. Tabla 2–1. Valores por defecto de la función ga de MATLAB Variable Valor Tamaño de la población 50 Porcentaje de Élite 5% Porcentaje de Cruzamiento 80% Porcentaje de Mutación 15% Generaciones 300 En los casos en los que se han encontrado problemas para obtener el óptimo se ha aumentado el tamaño de la población. Esto aumenta la capacidad del método para obtener la solución óptima, pero a cambio aumenta también el coste computacional. Algoritmos Genéticos 8 2.2.2 Diferencias entre Algoritmos Clásicos y Algoritmos Genéticos A continuación, se enumeran algunas diferencias entre los algoritmos clásicos de optimización y los algoritmos genéticos. Algoritmos clásicos: - Generan un solo punto en cada iteración. - La secuencia de puntos obtenidos se aproxima a la solución óptima. - El siguiente punto de la secuencia es seleccionado mediante un cálculo determinista. Algoritmos genéticos: - Generan una población de puntos en cada iteración. - El mejor punto de la población se aproxima a la solución óptima. - El siguiente punto de la secuencia es seleccionado mediante un cálculo que usa generadores de números aleatorios. Por último, cabe destacar que en la actualidad existen otros métodos de optimización que incluyen el uso de número aleatorios. Entre ellos destaca el Método de Montecarlo que permite obtener soluciones óptimas, en términos de probabilidad, para ciertos problemas, haciendo uso de grandes cantidades de números aleatorios. 2.3 Ventajas y desventajas A continuación, se enumeran algunas ventajas e inconvenientes de los Algoritmos Genéticos. Ventajas: - Pueden tratar una gran variedad de problemas provenientes de diferentes áreas. - No se necesitan conocimientos específicos sobre el problema a resolver. - Operan con varias soluciones de forma simultánea, en lugar de trabajar de forma secuencial como las técnicas tradicionales. Desventajas: - Si se generan problemas de diversidad puede converger a un máximo local en lugar de global. - En problemas de alta complejidad en los que se necesite una solución muy precisa el coste computacional puede ser demasiado alto. 9 3 MODELO DEL SISTEMA Como se comentó anteriormente, en la literatura se han propuesto diferentes técnicas para la recolección de energía a partir de vibraciones del ambiente [2]: - Piezoelectricidad: Uso materiales piezoeléctricos para convertir su deformación en electricidad. - Electromagnetismo: Un imán al moverse induce una corriente eléctrica en una bobina. - Electroestática: El desplazamiento relativo de dos placas capacitivas genera una diferencia de potencial. Este trabajo se centrará en la generación de energía a partir de materiales piezoeléctricos. Los materiales piezoeléctricos son materiales cristalinos con la propiedad de que, al ser sometidos a tensiones mecánicas, adquieren una polarización eléctrica y aparece una diferencia de potencial y cargas eléctricas en su superficie. Este sucede también a la inversa (un campo eléctrico crea unas tensiones mecánicas en el material), siendo este comportamiento, en general, reversible, recuperando el material su forma inicial al desaparecer la excitación. Esta propiedad de los materiales piezoeléctricos les permite absorber energía mecánica en forma de vibraciones de su entorno y transformarla en energía eléctrica. Existen diferentes diseños en la literatura para crear un recolector de energía a partir de materiales piezoeléctricos. En la siguiente figura se muestra uno de ellos [17]. Figura 3-1. Ejemplo diseño de colector con material piezoeléctrico. La imagen anterior se corresponde con uno de los modelos más comunes usados en la literatura, que está formado por dos placas simétricas de material piezoeléctrico una a cada lado de una barra. En este ejemplo en concreto la conexión es en serie, pero en la literatura pueden encontrase ambos casos, pudiéndose consultar las ventajas e inconvenientes de cada uno en la Ref. [18]. En los siguientes apartados se introduce el modelo del sistema, que se ha usado en este trabajo, y se calcula la energía generada por él. Por último, se muestran unos ejemplos de la respuesta del sistema, cuando la entrada son diferentes señales armónicas. Modelo Del Sistema 10 3.1 Descripción del modelo La mayoría de los modelos usados en la literatura, para calcular la potencia generada por un colector piezoeléctrico, son modelos de un grado de libertad. Este tipo de modelos permiten obtener una buena primera estimación, de una forma sencilla y con un coste computacional pequeño, comparado con el de modelos más complejos. En este trabajo se ha decidido usar el modelo de un grado de libertad, desarrollado en [19] para predecir la potencia generada en sistemas con acoplamiento electromecánico. Las ecuaciones que definen el comportamiento del sistema son las siguientes: 𝑚𝑧󰇘(𝑡)+𝑐𝑧󰇗(𝑡)+𝑘𝑧(𝑡)− 𝜃𝑣(𝑡)=𝐹(𝑡) (3–1) 𝜃𝑧󰇗(𝑡)+𝐶𝑝𝑣󰇗(𝑡)+𝑣(𝑡) 𝑅=0 (3–2) Donde z es el desplazamiento, m la masa del Sistema, c el amortiguamiento, k la rigidez, θ el acoplamiento electromecánico, 𝑣 el voltaje, F la fuerza externa, 𝐶𝑝 la capacidad eléctrica y R la resistencia de la carga conectada al sistema. Es interesante destacar que se ha considerado despreciable la masa del resto de componentes de sistema, con respecto a la masa de estudio m. Figura 3-2. Modelo mecánico del sistema Figura 3-3. Modelo eléctrico del sistema Teniendo en cuenta que la fuerza externa está asociada al movimiento de la base: 𝐹=−𝑚𝑦󰇘(𝑡) (3–3) 11 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV donde 𝑦󰇘 es la aceleracion de la base. Considerando esto en la ecuación 3.1 y dividendo toda la ecuación entre la masa obtenemos: 𝑧󰇘(𝑡)+𝑐𝑚𝑧󰇗(𝑡)+𝑘 𝑚𝑧(𝑡)− 𝜃 𝑚𝑣(𝑡)=−𝑦󰇘(𝑡) (3–4) Introduciendo las expresiones del factor de amortiguamiento (𝜁) y la frecuencia natural (𝜔𝑛) en la ecuación 3.3 obtenemos: 𝜔𝑛=√𝑘 𝑚 (3–5) 𝜁= 𝑐 2𝑚𝜔𝑛 (3–6) 𝑧󰇘(𝑡)+2𝜁𝜔𝑛𝑧󰇗(𝑡)+𝜔𝑛2𝑧(𝑡)− 𝜃 𝑚𝑣(𝑡)=−𝑦󰇘(𝑡) (3–7) Las ecuaciones que nos quedan para modelar el comportamiento del sistema son: 𝑧󰇘(𝑡)+2𝜁𝜔𝑛𝑧󰇗(𝑡)+𝜔𝑛2𝑧(𝑡)− 𝜃 𝑚𝑣(𝑡)=−𝑦󰇘(𝑡) (3–8) 𝜃𝑧󰇗(𝑡)+𝐶𝑝𝑣󰇗(𝑡)+𝑣(𝑡) 𝑅=0 (3–9) Tenemos dos ecuaciones diferenciales con dos incógnitas. Para simplificar estas ecuaciones podemos tener en cuenta que el movimiento de la base, 𝑦(𝑡), se puede expresar como una suma de funciones armónicas. Si la entrada, 𝑦(𝑡), es una función armónica, las salidas, 𝑧(𝑡) y 𝑣(𝑡), serán también una función armónica. Usando este razonamiento podemos simplificar el problema, pasando de resolver dos ecuaciones diferenciales, a resolver dos ecuaciones algebraicas. Partimos de una excitación de la forma (en todos los términos se va a omitir el ángulo de desfase por simplificar la notación): 𝑦=𝑌𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3–10) Las salidas serán de la forma: 𝑧=𝑍𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3–11) 𝑣=𝑉𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3–12) Calculando las derivadas obtenemos: 𝑦󰇗=𝜔𝑌𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)=𝑖𝜔𝑌𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3–13) 𝑦󰇘=−𝜔2𝑌𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3–14) 𝑧󰇗=𝜔𝑍𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)=𝑖𝜔𝑍𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3–15) 𝑧󰇘=−𝜔2𝑍𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3–16) 𝑣󰇗=𝜔𝑉𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)=𝑖𝜔𝑉𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) (3–17) Modelo Del Sistema 18 Figura 3-11. Aceleración a 50 Hz con ruido leve. Dominio de la frecuencia Figura 3-12. Aceleración a 50 Hz con ruido leve. Dominio de la frecuencia Figura 3-13. Potencia generada sin ruido, con ruido leve y con ruido fuerte. Aceleración a 50 Hz 19 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV 3.4.2 Aceleración con dos armónicos En este apartado se va estudiar el comportamiento del sistema, cuando la aceleración de la base es una suma de dos funciones armónicas de amplitud unidad. Las frecuencias elegidas en este caso son 40Hz y 60Hz. Ver figuras 3-14 y 3-15. 𝑦󰇘=𝑠𝑒𝑛(2𝜋40𝑡)+𝑠𝑒𝑛(2𝜋60𝑡) (3–25) Figura 3-14. Aceleración a 40 y 60 Hz Figura 3-15. Aceleración a 40 y 60 Hz. Dominio de la frecuencia Aplicando el algoritmo de optimización obtenemos los valores de masa, rigidez, amortiguamiento, factor de amortiguamiento y frecuencia natural que optimizan la energía recolectada por el sistema. Esto datos se muestran en la Tabla 3-5. Modelo Del Sistema 20 Tabla 3–5. Valores de la solución para aceleración a 40 y 60 Hz Variable Valor Masa (m) 50.748 gr Rigidez (k) 3210.812 N/m Frecuencia natural (𝜔𝑛) 40.033 Hz Amortiguamiento (c) 0.2556 N/m.s Factor de amortiguamiento (𝜁) 0.01 Energía (E) 0.553 𝑚𝐽 Observando los resultados de la tabla podemos ver que, en este ejemplo, el sistema se sintoniza a la frecuencia de 40Hz. La más baja de las dos que componen la señal generada. Los valores de masa, amortiguamiento y rigidez son similares a los obtenidos en los casos del apartado anterior. Es interesante notar que, en este caso, la energía obtenida es aproximadamente un 60% superior a la del caso anterior sin ruido. Esto se debe al hecho de que en este caso la excitación está compuesta por dos funciones armónicas cercanas entre ellas (ver figura 3-14). De esta forma, aunque el sistema está sintonizado a 40 Hz captura parte de la energía de la señal a 60 Hz. Se han realizado diferentes pruebas con señales creadas con funciones armónicas a dos frecuencias diferentes y se ha concluido que, en general, el sistema tiende a sintonizarse con la frecuencia más baja de las dos posibles. Para entender mejor esto, a continuación, se muestran dos figuras. En la primera de ellas, Figura 3-16. Se ha dejado constante el factor de amortiguamiento, en diferentes valores (0.05 0.1 0.2 0.5 1), y se han barrido las variables masa y frecuencia natural con valores desde dos hasta cien, calculando la energía para cada combinación de puntos. Los resultados se representan en la Figura 3-16. Figura 3-16. Energía con respecto a la masa y la frecuencia para diferentes valores de ζ constante En esta Figura, se puede comprobar como los valores óptimos de la energía se encuentran en el entorno de la frecuencia de 40 Hz, para valores altos de la masa y para el factor de amortiguamiento mínimo posible, que en esta representación es 0.05. Como era de esperar, existe un segundo punto óptimo (un máximo local) a una frecuencia cercana a los 60 Hz, que es la otra frecuencia que compone la señal armónica. En la imagen se puede observar como existe un tercer punto, por encima de los 80 Hz, que da valores altos de energía, pero claramente inferiores a los obtenidos a 40 y 60 Hz. 21 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Para finalizar, en la siguiente figura se representa la energía con respecto a la masa y el factor de amortiguamiento, para diferentes valores constantes de la frecuencia natural. En esta gráfica se observa el mismo comportamiento que se ha comentado en la figura anterior y se comprueba que el óptimo se encuentra a la frecuencia de 40 Hz, como se indicó en la Tabla 3-5. Figura 3-17. Energía con respecto a la masa y al factor de amortiguamiento para diferentes valores de 𝜔𝑛 constante Modelo Del Sistema 22 23 4 ANÁLISIS LAVS CÓRDOBA-MÁLAGA Y PARÍS-BRUSELAS En este capítulo se va realizar la estimación de las propiedades mecánicas del sistema, que optimizan la energía absorbida, para diferentes medidas experimentales de vibraciones provocadas por el paso de trenes en Líneas de Alta Velocidad (LAVs). En primer lugar, se introducen las medidas experimentales utilizadas en cada caso, analizando las frecuencias características más importantes. Las medidas experimentales usadas en este capítulo pertenecen a las LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas. En segundo lugar, se calculan los valores óptimos de las propiedades mecánicas del sistema (masa, rigidez y amortiguamiento) con el objetivo de maximizar la energía eléctrica recolectada en cada punto de medida. Para ello, se hace uso de los algoritmos genéticos, como se explicó en el capítulo 2, y se utiliza el modelo de un grado de libertad detallado en el capítulo 3 de este mismo documento. En tercer lugar, se usan los valores óptimos obtenidos para cada punto, para seleccionar unas variables mecánicas óptimas globales, que sean las que mejor se ajusten al conjunto de medidas experimentales disponibles. Por último, se compara la energía recolectada por el modelo con variables mecánicas óptimas globales en cada punto de medida experimental, con la máxima energía posible en esos puntos. 4.1 Análisis Línea de Alta Velocidad Córdoba-Málaga 4.1.1 Medidas Experimentales LAV Córdoba-Málaga Los datos experimentales utilizados en este apartado fueron registrados por Galvín y Domínguez [20] un mes antes de la inauguración de la LAV Córdoba-Málaga. Cuando el Administrador de Infraestructuras Ferroviarias (ADIF) organizó los ensayos de homologación de la línea. Durante estos ensayos, los autores de la investigación, registraron las vibraciones inducidas por el tráfico ferroviario en el carril, la traviesa y en distintos puntos de la superficie del suelo. La vía de la LAV entre Córdoba y Málaga, es una vía sobre balasto de ancho internacional formada por dos carriles UIC 60, situados con sistemas de fijación sobre traviesas prefabricadas de hormigón pretensado, separadas entre sí 0.6 m. Información detallada acerca de la geometría y propiedades de la vía puede consultarse en la Ref. [20]. Análisis LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas 24 Figura 4-1. Línea de Alta Velocidad Córdoba Málaga. Imagen obtenida de la Ref. [20] Los datos usados en este trabajo son las aceleraciones de las vibraciones registradas por los autores de la investigación, durante el paso de un tren TAV S100 circulando a una velocidad de 298 km/h. Estos datos fueron registrados en el carril, la traviesa y en el suelo en puntos situados a 3, 8.6, 11.8, 14.8, 18.1, 21.8, 25.0, 28.34 y 32.3 m del eje de la vía. A continuación, se representan las aceleraciones en el carril. Los datos utilizados para todas las representaciones de este apartado se han obtenido de Galvín y Domínguez [20]. Figura 4-2. Aceleraciones en el carril. LAV Córdoba-Málaga 25 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV En esta imagen podemos observar como las máximas aceleraciones producidas están en el entorno de los 50 m/s2, para una velocidad del tren de 298 km/h. A continuación, se ha pasado la aceleración al dominio de la frecuencia usando la función fft de MATLAB, dividiendo entre el número de muestras existentes. La representación en frecuencia se muestra en la Figura 4-3 y nos permite identificar las frecuencias características de las vibraciones generadas por el paso del tren. Figura 4-3. Aceleraciones en el carril en el dominio de la frecuencia. LAV Córdoba-Málaga En la figura, anterior podemos observar picos en las frecuencias características como son, la frecuencia de paso por bogie 𝑓𝑏=𝑣𝐿𝑏 ⁄=4.43 𝐻𝑧 y sus armónicos superiores relacionados. La frecuencia de paso por eje 𝑓𝑒=𝑣𝐿𝑒 ⁄=27.59 𝐻𝑧 y la frecuencia de paso por traviesa 𝑓𝑡=𝑣𝑑 ⁄=137.96 𝐻𝑧. Además, se observan picos también en frecuencias entre 40 y 80 Hz, asociadas a la irregularidad de la vía y las ruedas del tren. Conocer el valor de estas frecuencias será interesante para el análisis de los resultados que se obtendrán en el apartado siguiente. Más información acerca de las características del tren y del cálculo de estas frecuencias características puede encontrarse en la Ref. [20]. A continuación, se representan las aceleraciones en el dominio del tiempo y la frecuencia para el resto de puntos de medida. Análisis LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas 26 Figura 4-4. Aceleraciones en (a) traviesa, (b) 3 m, (c) 8.6 m, (d) 11.8m, (e) 14.8 m, (f) 18.1 m, (g) 21.8 m, (h) 25 m, (i) 28.4 m, (j) 32.3 m. LAV Córdoba-Málaga En la Figura 4-4 se muestran las aceleraciones en el resto de puntos de medida. Se puede observar como al aumentar la distancia disminuye la amplitud de las aceleraciones, debido al amortiguamiento geométrico e interno del suelo. Por último, en la Figura 4-5, se muestran las aceleraciones en el dominio de la frecuencia en el resto de puntos. Al igual que en el caso anterior se puede observar la disminución de la amplitud con la distancia y picos en las frecuencias características comentadas anteriormente. 27 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 4-5. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia en (a) traviesa, (b) 3 m, (c) 8.6 m, (d) 11.8m, (e) 14.8 m, (f) 18.1 m, (g) 21.8 m, (h) 25 m, (i) 28.4 m, (j) 32.3 m. LAV Córdoba-Málaga 4.1.2 Optimización de la Energía Recolectada para la LAV Córdoba-Málaga En este apartado, a través de los algoritmos genéticos, se optimizará el valor de las variables mecánicas del modelo para maximizar la energía recolectada de las vibraciones detalladas en el apartado anterior. Para cada punto de medida, se calculan las variables óptimas del modelo y la energía eléctrica generada por el sistema. A continuación, se muestran las representaciones gráficas de los valores óptimos obtenidos para todas las variables, con respecto a la distancia. En todos los casos se ha limitado, para obtener resultados con sentido físico, la masa entre 1 y 100 gramos, la frecuencia natural entre 1 y 150 Hz y el factor de amortiguamiento entre 0.01 y 1. Figura 4-6. Energía máxima generada en cada punto. LAV Córdoba-Málaga Análisis LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas 34 Figura 4-14. Energía máxima obtenida por el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 1. LAV París-Bruselas A continuación, en la Figura 4-15, se muestra la frecuencia a la cual se sintoniza el sistema para maximizar la energía, en cada punto de medida para cada una de las pasadas del tren por la vía 1. En esta gráfica se puede observar como en la mayoría los casos el sistema tiende a sintonizarse a frecuencias bajas, cercanas a la frecuencia de paso por bogie. Existiendo ciertos casos puntuales en los que tiende a sintonizarse a frecuencias más altas, asociadas a las vibraciones generadas por el paso de eje y a las vibraciones producidas por las irregularidades de la vía y las ruedas del tren. Figura 4-15. Frecuencias a las que se sintoniza el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 1. LAV París-Bruselas 35 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV En las Figuras 4-16 y 4-17 se representan, respectivamente, los valores de masa y rigidez que optimizan la energía obtenida por el sistema en cada punto para cada uno de los eventos en la vía 1. En cuanto a la masa podemos observar cómo los valores óptimos están muy dispersos, estando todos comprendidos entre 40 y 100 gramos y existiendo un gran número de casos en los cuales la masa óptima es de 100 gramos. Los valores óptimos de la rigidez se encuentran en general por debajo de los 2000 N/m. Figura 4-16. Valores de la masa que optimizan el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 1. LAV París-Bruselas Figura 4-17. Valores de la rigidez que optimizan el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 1. LAV París-Bruselas Análisis LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas 36 Por último, en la Figura 4-18 se representan los valores óptimos del amortiguamiento. En esta figura se observa que la mayoría de los valores óptimos se encuentran comprendidos entre 0.05 y 0.3 N/m.s. Figura 4-18. Valores del amortiguamiento que optimizan el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 1. LAV París-Bruselas A continuación, se representan el máximo de la energía en cada punto para cada evento registrado en la vía 2, y los valores de las propiedades del sistema (frecuencia natural, masa, rigidez y amortiguamiento) que la optimizan. Figura 4-19. Energía máxima obtenida por el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 2. LAV París-Bruselas 37 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV En la Figura 4-19 se representa la energía máxima recolectada. Se puede observar que los valores máximos de la energía son del mismo orden que los obtenidos en el caso de los trenes que pasaban por la vía 1. Además, se puede confirmar el hecho de que no existe una gran influencia de la velocidad de paso del tren en la energía absorbida. En la Figura 4-20 se puede comprobar como en general el sistema tiende a sintonizarse a frecuencias bajas. Existiendo casos en los cuales la sintonización óptima está asociada a la frecuencia de paso por eje y a las vibraciones generadas por las irregularidades de la vía y las ruedas del tren. Figura 4-20. Frecuencias a las que se sintoniza el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 2. LAV París-Bruselas Por último, se representan las masas, rigideces y amortiguamientos para los eventos de la vía. En las representaciones siguientes se puede observar como los valores óptimos obtenidos son similares a los del caso anterior. Análisis LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas 38 Figura 4-21. Valores de la masa que optimizan el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 2. LAV París-Bruselas Figura 4-22. Valores de la rigidez que optimizan el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 2. LAV París-Bruselas 39 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 4-23. Valores del amortiguamiento que optimizan el sistema en los diferentes puntos registrados, para todos los eventos de la vía 2. LAV París-Bruselas Una vez mostrados lo resultados, es interesante comparar los valores óptimos obtenidos para la LAV Córdoba- Málaga y los obtenidos para la LAV París-Bruselas. La diferencia más clara entre ambos casos está en la frecuencia a la cual se sintoniza el sistema para maximizar la absorción de energía. Como se comentó anteriormente, en el caso de Córdoba-Málaga el sistema tiende a sintonizarse en frecuencias entre 20 y 40 Hz cuyas vibraciones están principalmente asociadas al paso por eje. En cambio, en el caso de París-Bruselas en sistema tiende, en la mayoría de los casos, a sintonizarse a bajas frecuencias, cuyas vibraciones están asociadas principalmente al paso por bogie. Para entender esta diferencia tenemos que fijarnos en las propiedades del suelo en cada caso, principalmente en la velocidad de propagación de onda. En el caso de Córdoba-Málaga la velocidad de propagación de onda de Rayleigh en la capa superior del suelo es de 138.9 m/s [20], teniendo en cuenta que la velocidad del tren era de 298 km/h (82.8 m/s) en este caso el régimen es sub-Rayleigh. En el caso de París-Bruselas la velocidad de propagación de onda de Rayleigh en la capa superior del suelo es de 80 m/s [21], observando las velocidades de paso en la Tabla 4-1 podemos comprobar que en la mayoría de estos casos nos encontramos en régimen super- Rayleigh. Esta diferencia hace que las vibraciones producidas en cada caso y por tanto la sintonización del sistema sean diferentes. Más información acerca de las vibraciones producidas en régimen sub- Rayleigh y super-Rayleigh, para las LAV Córdoba-Málaga y París-Bruselas, puede consultarse en la Ref. [22]. Análisis LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas 40 4.3 Cálculo de un modelo óptimo global para las LAV Córdoba-Málaga y París- Bruselas En los dos apartados anteriores, se han calculado los valores de las variables mecánicas que optimizan la energía recolectada en cada punto de medida experimental. En este apartado, se van a usar estos datos para definir unas variables mecánicas del modelo, que sean las que mejor se adaptan al conjunto de datos experimentales. Es decir, en los apartados anteriores calculamos un modelo óptimo para cada punto y en este se va a definir un modelo óptimo global, que sea el que mejor se adapte al conjunto de medidas experimentales que se han usado en este trabajo. Para definir este modelo vamos a usar todos los valores óptimos de las variables mecánicas y su energía asociada, que se calcularon en los apartados anteriores. En primer lugar, en la Figura 4-24, se representa la energía máxima que se puede obtener en cada punto, con respecto a su frecuencia y masa óptima asociada. Figura 4-24. Distribución conjunta de energía con respecto a masa y frecuencia. LAV Córdoba- Málaga y París-Bruselas Con respecto a la frecuencia, podemos observar que hay una gran cantidad de puntos óptimos que se encuentran en frecuencias cercanas a los 5 Hz. Además, es interesante notar, que estos puntos van desde los valores más altos de energía, puntos más cercanos al eje de la vía, hasta los valores más bajos de energía, que se corresponden con los valores más alejados del eje la vía. Con respecto a la masa, se puede observar que las masas óptimas están más distribuidas que las frecuencias. Para masas cercanas a 100 gramos se observa una gran cantidad de puntos óptimos (esto se puede ver de forma más clara en la figura 4-26). Además, estos puntos tienen asociados valores altos y bajos de la energía, lo cual quiere decir que se trata de puntos óptimos tanto cercanos como alejados del eje de la vía. A priori, basándonos en el razonamiento anterior, sería un buen punto de diseño global uno centrado en un valor de la masa cercano a 100 gramos y con una frecuencia natural en torno a 5 Hz. A continuación, para comprobar esto, se ha decidido representar en porcentaje de puntos óptimos en cada intervalo de frecuencia y de masa, como se muestra en las Figuras 4-25 y 4-26. 41 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 4-25. Porcentaje de puntos óptimos en cada intervalo de frecuencia. LAV Córdoba- Málaga y París- Bruselas Figura 4-26. Porcentaje de puntos óptimos en cada intervalo de masas. LAV Córdoba- Málaga y París- Bruselas En la Figura 4-25 se puede observar que, como se comentó anteriormente, la mayoría de los valores óptimos obtenidos para la frecuencia se encuentran en el entorno de los 5 Hz. En la Figura 4-6, se puede observar que la mayoría de los valores óptimos de la masa se encuentran en torno a 100 gramos. Por último, para definir los valores concretos del modelo global, se ha decidido representar la energía acumulada con respecto a valores concretos de la masa y la frecuencia. En las figuras 4-27 y 4-28, se pueden observar los valores que más energía proporcionan. Análisis LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas 42 Figura 4-27. Energía acumulada con respecto a valores de la frecuencia. LAV Córdoba- Málaga y París- Bruselas Figura 4-28. Energía acumulada con respecto a valores de la masa. LAV Córdoba- Málaga y París-Bruselas Con todo lo anterior, se ha decidido seleccionar como punto de diseño, el punto cuyos valores de las propiedades mecánicas se muestran en la Tabla siguiente. Podemos observar que el sistema esta sintonizado a una frecuencia baja, en torno a los 5 Hz, y tiene una masa de 100 gramos. 43 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Tabla 4–2. Valores óptimos seleccionados para el punto de diseño global. LAV Córdoba- Málaga y París- Bruselas Variable Valor Masa (m) 100 gr Rigidez (k) 84.415 N/m Frecuencia natural (𝜔𝑛) 4.624 Hz Amortiguamiento (c) 0.0581 N/m.s Antes de finalizar este apartado es interesante reflexionar sobre los datos que se han utilizado y los resultados que se han obtenido. En primer lugar, con respecto a los datos usados, en este apartado se han usado los valores óptimos obtenidos para las diferentes medidas experimentales registradas para las LAV Córdoba-Málaga y París-Bruselas. En este sentido, la cantidad de medidas usadas de la LAV París-Bruselas es mucho mayor que las usadas de la LAV Córdoba-Málaga, ya que de la línea París-Bruselas se disponía de datos de 9 pasadas de trenes y en la línea Córdoba-Málaga únicamente de una. Este hecho hace que el modelo obtenido este más enfocado a la LAV París- Bruselas. Este hecho se analiza en más profundidad en el siguiente apartado. Por último, reflexionando acerca de los resultados obtenidos. En este apartado se ha realizado un análisis cualitativo y cuantitativo para obtener un modelo óptimo global para un conjunto de diversas de medidas experimentales. Hay que tener en cuenta que estas medidas están asociadas a diferentes tipos de trenes, velocidades de paso, tipos de suelo y distancias con respecto al eje de la vía. En este sentido, cabe decir que el modelo obtenido es una primera aproximación cuantitativa. En caso de buscar un diseño en una zona concreta y a una distancia concreta del eje de la vía, sería necesario realizar un estudio más detallado centrándose en ese caso y usando medidas experimentales o modelos analíticos centrados en ese caso concreto. Análisis LAV Madrid-Sevilla en Puente Arroyo Bracea 50 Figura 5-2. Puntos de medida en el Puente Arroyo Bracea. Imagen obtenida de la Ref. [23] Las cinco primeras frecuencias naturales del puente, junto con el modo de vibración asociado, fueron calculadas por los autores de la investigación y se muestran en la Tabla 5-1. Esta información será útil para discutir los resultados en obtenidos en apartados posteriores. Tabla 5–1. Valores de las 5 primeras frecuencias naturales de Puente Arroyo Bracea Frecuencia (Hz) Modo de vibración 1 9.25 Flexión longitudinal 2 10.63 Torsión 3 12.75 Flexión transversal 4 17.92 Torsión 5 24.57 Flexión longitudinal Durante el registro de datos diferentes trenes cruzaron el puente a velocidades comprendidas entre 100 y 280 km/h,. En la siguiente Tabla se muestran los diferentes eventos, registrados por los investigadores, cuyos datos han sido usados en este trabajo. Información detallada sobre la configuración de cada uno de los modelos de tren puede encontrarse en la Ref. [23] Tabla 5–2. Paso de trenes registrados en el Puente Arroyo Bracea Evento Modelo de tren Velocidad [km/h] 1 S102 274 2 S102 262 3 S104 252 4 S130 247 5 S102 274 6 S130 237 7 S100 262 8 S103 279 9 S100 271 10 S252+4c 99 11 S104 252 51 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV A continuación, se representan, a modo de ejemplo, las aceleraciones en el dominio de la frecuencia para los eventos 1 y 2 en el punto 6. Las representaciones gráficas de todas las aceleraciones experimentales en el dominio de la frecuencia, registradas en la campaña experimental de la Ref. [23], que se han usado en este capítulo se pueden encontrar en el Anexo Puente Bracea, Capítulo 8 de este documento, apartado 8.1. Figura 5-3. Aceleraciones en el punto 6 para los eventos 1 y 2. Puente Arroyo Bracea En la Figura 5-3, podemos observar como los picos, que reflejan las masas aceleraciones y vibraciones, coinciden con la frecuencia de paso por bogie (en torno a los 5 Hz) y a las frecuencias naturales del puente, mostradas en la Tabla 5-1. Es interesante destacar que las frecuencias de interés se encuentran en un rango entre 1 y 30 Hz. Por último, es interesante representar las aceleraciones en un punto del evento 8, tren S103 a 279 km/h. En la Ref. [23] se demuestra como las características del tren, unidas a la velocidad de paso, hacen que en este evento el puente entre en resonancia. Por este motivo, en ese evento se produce una amplificación apreciable de la respuesta, a la frecuencia natural del primer modo de vibración (9.25 Hz). En la Figura 5-4 se puede observar este fenómeno en el punto de medida 6. Las representaciones gráficas para el resto de puntos se pueden encontrar en el Anexo Puente Arroyo Bracea, como se comentó anteriormente. Figura 5-4. Aceleraciones en el punto 5 para el evento 8 (resonancia del puente). Puente Arroyo Bracea Análisis LAV Madrid-Sevilla en Puente Arroyo Bracea 52 5.2 Optimización de la Energía Recolectada. Puente Arroyo Bracea En este apartado, a través de los algoritmos genéticos, se optimizará el valor de las variables mecánicas del modelo para maximizar la energía recolectada. Usando como entradas las vibraciones detalladas en el apartado anterior, para el paso de los diferentes trenes sobre el Puente del Arroyo Bracea. Para cada punto de medida se calculan las variables óptimas del modelo y la máxima energía eléctrica recolectada por el sistema. A continuación, se muestran las representaciones gráficas de todas las variables con respecto al punto de medida. En todos los casos se ha limitado, para obtener resultados con sentido físico, la masa entre 1 y 100 gramos, la frecuencia natural entre 1 y 150 Hz y el factor de amortiguamiento entre 0.01 y 1. Se han eliminado ciertos puntos, en algunos eventos, de las representaciones porque los valores recogidos por los sensores daban resultados con poco sentido físico, debidos principalmente a problemas de medida, como por ejemplo la saturación del sensor. Un ejemplo punto eliminado de las representaciones es el punto 10, en el evento 5, cuyas aceleraciones se pueden consultar en el apartado 8.1 de este documento. En este apartado se van a representar y comentar los resultados obtenidos para los eventos 1, 2 y 8. Las conclusiones obtenidas son similares para el resto de eventos, pudiéndose consultar los resultados para cada evento concreto en el Capítulo 8, Anexo Puente Arroyo Bracea, apartado 8.2. En primer lugar, en la Figura 5-5 se representa la energía máxima recolectada en cada punto, para el evento 1. En la figura podemos observar que la energía obtenida en los puntos 4, 5, 6 y 7 es considerablemente mayor que la obtenida en los puntos 1, 2, 3, 9, 10 y 11. Este es un resultado razonable, al tratarse los puntos 4, 5, 6 y 7 de puntos libres en los cuales la amplitud de las vibraciones, y por tanto la energía absorbida de ellas, es mucho mayor que la de los puntos de apoyo del puente (puntos 1, 2, 3, 9, 10 y 11). Se puede observar también que, en general, la energía generada en este caso es mayor que las que se obtenían en el caso de las LAV de París- Bruselas y Córdoba-Málaga. Este resultado es razonable ya que las vibraciones en el puente son mucho mayores que las generadas en el suelo en un tramo de la vía. Además, en este caso concreto el punto en el cual se recolecta mayor energía es el 7, este no es un resultado general como los anteriores, ya que, dependiendo del evento, el punto de mayor energía puede ser el 4, 5 6 o 7 como se verá posteriormente. El punto mayor energía puede estar condicionado por la velocidad del tren, las características geométricas de este e incluso la vía por la que pase, ya que todos estos parámetros alterarán las vibraciones del puente. Figura 5-5. Energía máxima recolectada en cada punto para el evento 1. Puente Arroyo Bracea 53 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV En la Figura 5-6, se representa la frecuencia a la que se sintoniza el sistema en cada punto para el evento 1. En este caso podemos observar como en la mayoría de los puntos el sistema tiende a sintonizarse a una frecuencia ligeramente superior a los 12 Hz. Esto resultado tiene sentido, ya que significa que la frecuencia natural de nuestro sistema se está sintonizando con la tercera frecuencia natural del puente, que es 12.75 Hz, como se indica en la Tabla 5-1. Es interesante notar que esto sucede en todos los puntos, salvo en los puntos 1 y 4. En el punto 1 el resultado óptimo es sintonizar el sistema a una frecuencia cercana a los 30 Hz, asociada a las vibraciones de paso por eje. Por último, en el punto 4 la mejor opción es sintonizar el sistema a una frecuencia comprendida entre 9 y 10 Hz, es decir, sincronizar el sistema entre la primera y la segunda frecuencia natural del puente (9.25 y 9.75 Hz respectivamente). Figura 5-6. Frecuencia natural a la que se sintonizada el sistema en cada punto para el evento 1. Puente Arroyo Bracea A continuación, en la Figura 5-7 se representa la masa óptima para cada punto de medida del evento 1. En esta imagen podemos observar como en la mayoría de los casos se obtienen valores de la masa por encima de los 60 gramos. Cabe destacar que existen varios puntos en los cuales la solución óptima es seleccionar la masa máxima permitida, que es 100 gramos. En la Figura 5-8 se representa la rigidez óptima para cada punto de medida del evento 1. En esta imagen podemos observar como la rigidez óptima, en la mayoría de los casos, se encuentra por debajo de los 600 N/m. Para finalizar el análisis del evento 1, en la Figura 5.9, se representan los valores óptimos del amortiguamiento para los diferentes puntos de medida. Se puede observar que en todos los casos se tiende a valores pequeños del amortiguamiento, comprendidos entre 0.09 y 0.16 N/m.s. Análisis LAV Madrid-Sevilla en Puente Arroyo Bracea 54 Figura 5-7. Valores de la masa que optimizan la energía recolectada para cada punto del evento 1. Puente Arroyo Bracea Figura 5-8. Valores de la rigidez que optimizan la energía recolectada para cada punto del evento 1. Puente Arroyo Bracea 55 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 5-9. Valores del amortiguamiento que optimizan la energía recolectada para cada punto del evento 1. Puente Arroyo Bracea A continuación, se va a realizar el análisis de los resultados obtenidos para el evento 2, tren S102 a 262 km/h. En primer lugar, en la Figura 5-10, se representa la energía máxima recolectada para el sistema en este evento. Puede observarse, como la distribución de energía es muy similar a la del caso anterior, siendo los puntos que generan mayor energía los puntos 4, 5, 6 y 7. Cabe destacar que, en general, los valores de energía obtenida en este evento son menores y que en este caso el punto, en el cual, la energía generada es mayor es el 5. Figura 5-10. Energía máxima recolectada en cada punto para el evento 2. Puente Arroyo Bracea Análisis LAV Madrid-Sevilla en Puente Arroyo Bracea 56 Pasando ahora a analizar la que sucede con la frecuencia de sintonización del sistema. En la Figura 5-11, se representa la frecuencia a la que se sintoniza el sistema en cada punto, para el evento 2. En este caso observando la figura sí que existen diferencias apreciables con el evento anterior. En la figura podemos observar que no existe una frecuencia a la que se sintonice el sistema en la mayoría de los puntos. De hecho, se observa que existen tres frecuencias dominantes, y en cada una de ellas se sintonizan varios puntos. Las frecuencias de sintonización están en este caso en torno a los 5 Hz, correspondiéndose con la frecuencia de paso de bogie, 9 Hz, correspondiéndose con la primera frecuencia natural de puente que de 9.25 Hz, y 12 Hz, correspondiéndose con la tercera frecuencia natural del puente, que es de 12.75 Hz. Este caso es un ejemplo claro en el que se puede ver que, si las vibraciones no tienen una frecuencia claramente dominante, la sintonización óptima del sistema en cada punto no tiene por qué ser la misma. Un ejemplo diferente a este y similar al visto para el evento 1, lo veremos a continuación. Cuando analicemos el comportamiento del sistema en el evento 8, en el que cabe recordar que se producía la resonancia del puente. Figura 5-11. Frecuencia natural a la que se sintonizada el sistema en cada punto para el evento 2. Puente Arroyo Bracea Para concluir el análisis de este evento, en la Figura 5-12 se pueden observar los valores de la masa, rigidez y amortiguamiento que optimizan la energía para el evento dos. Es interesante notar que, aunque las frecuencias de sintonización óptimas sean diferentes en cada punto, en la mayoría de los casos la masa óptima es la mayor posible, dentro del rango permitido. 57 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 5-12. Valores de la masa, rigidez y amortiguamiento que optimizan la energía recolectada para cada punto del evento 2. Puente Arroyo Bracea Para finalizar este apartado, a continuación, se muestran los resultados obtenidos en la optimización del evento ocho. Cabe recordar que en este evento pasaba por el puente un tren S103 a 279 km/h, esta velocidad de paso unida a las características del tren hacían que el puente entrase en resonancia, amplificándose así la vibración del puente. En la Figura 5-13 se representa la máxima energía recolectada en cada punto para este evento. En esta figura puede observarse como el punto de mayor recolección de energía es el punto 6, que es el punto más alejado de los apoyos. Teniendo en cuenta que el modo de vibración asociado a la primera frecuencia de resonancia es de flexión longitudinal, este resultado tiene sentido ya que la energía máxima obtenida en cada punto concuerda con los máximos desplazamientos de cada punto. La representación gráfica de la deformada del puente asociada al primer modo de vibración se puede consultar en la Ref. [23]. Figura 5-13. Energía máxima recolectada en cada punto para el evento 8. Puente Arroyo Bracea En la Figura 5-14 se representa la frecuencia natural a la que se sintoniza el sistema, para obtener la máxima energía posible en cada punto. Podemos observar cómo, en la mayoría de los casos, el sistema se sintoniza a una comprendida entre 9 y 10 Hz. Este resultado quiere decir que nuestro sistema se está sintonizando con la resonancia del puente, ya que la frecuencia de resonancia de este es de 9.25 Hz, como se indicó en la Tabla 5-1. En la figura, se puede observar también como el punto 4 es el único que se sintoniza a una frecuencia cercana a la frecuencia de paso de bogie. Análisis LAV Madrid-Sevilla en Puente Arroyo Bracea 58 Figura 5-14. Frecuencia natural a la que se sintonizada el sistema en cada punto para el evento 8. Puente Arroyo Bracea Para concluir este apartado, en la Figura 5-15, se pueden observar los valores de la masa, rigidez y amortiguamiento que optimizan la energía en este caso, están claramente definidos, siendo del orden de 100 gramos, 375 N/m y 0.12 N/m.s respectivamente. Figura 5-15. Valores de la masa, rigidez y amortiguamiento que optimizan la energía recolectada para cada punto del evento 8. Puente Arroyo Bracea 59 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV 5.3 Cálculo de variables mecánicas óptimas para los datos de Puente Arroyo Bracea En este apartado, se pretende definir los valores de las propiedades mecánicas que mejor se adaptan al conjunto de datos experimentales indicados en el apartado 5.1 de este trabajo. Para ello, se van a usar los datos del apartado anterior, en el que se calculó el valor de las propiedades mecánicas que optimizan la energía recolectada en cada punto de medida experimental. Es decir, en el apartado anterior se calculó un modelo óptimo para cada punto y en este se pretende definir un modelo óptimo que se adapte, lo mejor posible, al conjunto de medidas experimentales que tenemos. Para decidir las propiedades mecánicas de este modelo vamos a analizar todos los datos, mostrados en el apartado anterior y en el apartado 7.2, de forma conjunta. En primer lugar, en la Figura 5-16, se representa la energía máxima que se puede obtener en cada punto, con respecto a su frecuencia y masa óptima asociada. Figura 5-16. Distribución conjunta de energía con respecto a masa y frecuencia. Puente Arroyo Bracea En la Figura 5-16, con respecto a la frecuencia, podemos observar que existen una gran cantidad de puntos óptimos en frecuencias comprendidas entre 8 y 13 Hz. Además, estos puntos van desde valores altos hasta bajos de energía, lo cual nos indica que se corresponden con diferentes puntos de medida en el puente. Esto es razonable ya que en ese rango de frecuencias se encuentran las tres primeras frecuencias naturales del puente que son, como se indica en la Tabla 5-1, 9.25 Hz, 10.63 Hz y 12.75 Hz. Adicionalmente, también se observa un grupo de puntos óptimos, para valores algo más bajos de energía, en frecuencias cercanas a 4 Hz, estando asociados a la frecuencia de paso por bogie. Por último, en torno a 30 Hz existen pequeños grupos de puntos para niveles de energía, en general, no muy altos, lo cual no convierte a esta frecuencia en un buen punto de diseño. Estos últimos puntos están asociados a la sintonización con la frecuencia de paso por eje. Con respecto a la masa, en la Figura 5-6, podemos observar que todos los puntos tienen una masa comprendida entre 40 y 100 gramos. En esta figura se puede observar que, aunque existen puntos dispersos para diferentes valores de la masa, la mayoría de los puntos óptimos tienen asociados una masa de 100 gramos. Además, para esta masa existen puntos con valores de energía altos y bajos, lo cual nos indica que es una masa óptima para diferentes puntos de medida en el puente y confirma que este valor de la masa es apropiado para un primer punto de diseño. Para entender lo explicado anteriormente, de una forma más visual, en las Figuras 5-17 y 5-18 se representan los porcentajes de puntos óptimos en diferentes rangos de frecuencias y masas respectivamente. Análisis LAV Madrid-Sevilla en Puente Arroyo Bracea 66 67 6 CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTUROS En este trabajo se ha realizado la optimización, mediante el uso de algoritmos genéticos, de un sistema piezoeléctrico de recolección de energía. Para ello, se han optimizado las propiedades mecánicas del sistema, usando como valores de entrada diferentes medidas de excitaciones provocadas por el paso de trenes en Líneas de Alta Velocidad. A continuación, se presentan las conclusiones más importantes que se han obtenido. En primer lugar, en todos los casos estudiados, los valores de energía obtenidos, en cada pasada de un tren, son pequeños. Esto hará necesario que el sistema recolecte y almacene energía durante un periodo de tiempo. Una vez conseguida la energía necesaria, de forma puntual, esta energía podrá ser usada por el sistema electrónico asociado, pudiendo ser por ejemplo un sistema de registro y envío de datos. En segundo lugar, se ha comprobado que la energía óptima se obtiene cuando la frecuencia natural del sistema se sintoniza con la de las vibraciones. Adicionalmente, se ha podido comprobar que el rendimiento del recolector de energía se limita a una banda de funcionamiento muy estrecha alrededor de su frecuencia de resonancia. Produciéndose una drástica disminución de la energía producida si la frecuencia de las vibraciones se desvía de la frecuencia natural del recolector. En tercer lugar, se ha comprobado que para maximizar la energía producida el sistema debe tener una masa elevada (dentro de las limitaciones físicas que el diseño permita) y un amortiguamiento pequeño, para permitir al sistema oscilar el mayor tiempo posible, aumentando así la energía recolectada. Comparando los valores de energía para las diferentes medidas utilizadas. Se ha comprobado que, como era de esperar, la energía recolectada en las medidas de Puente Arroyo Bracea es mayor, en general, que la obtenida, usando las medidas de las LAVs Córdoba-Málaga y París-Bruselas. Esto es debido, principalmente, a que las vibraciones en el puente están menos amortiguadas que en el suelo. En los casos en los que se han usado de medidas experimentales en el suelo, es decir, los casos Córdoba-Málaga y París-Bruselas. Se ha comprobado como la velocidad de paso del tren no afecta considerablemente a la energía, siendo la distancia al eje de la vía la variable que más condiciona la energía recolectada. Se ha comprobado como en el caso de Córdoba-Málaga (régimen sub-Rayleigh) el resultado óptimo es sintonizar el sistema a una frecuencia cercana a la frecuencia de paso por eje. En París Bruselas (régimen super-Rayleigh), se ha comprobado que el resultado óptimo se obtiene sintonizando el sistema a frecuencias cercanas a la frecuencia de paso por bogie. En el análisis realizado usando las medidas del Puente Arroyo Bracea. Se ha obtenido que, dependiendo de variables como el tipo de tren, la velocidad del tren o la vía de paso, la frecuencia óptima de sintonización es diferente. En la mayoría de los casos, la frecuencia óptima está asociada a una de las frecuencias naturales del puente o a la frecuencia de paso de bogie. Se ha observado también que, en casos puntuales, la frecuencia óptima puede estar asociada a la frecuencia de paso por eje. Los resultados obtenidos en este trabajo validan el uso de los algoritmos genéticos para la optimización de problemas de este tipo. Además, dan unos primeros resultados cualitativos y cuantitativos de la optimización de la energía producida por un sistema de recolección piezoeléctrico. Conclusiones y Trabajo Futuros 68 A continuación, se presentan algunas líneas de trabajo futuro relacionadas con este trabajo:  En primer lugar, se podría usar el algoritmo desarrollado para analizar otras medidas experimentales de vibraciones producidas por trenes. Aumentado así la cantidad de datos disponibles para la creación de modelos óptimos de recolección de energía.  En segundo lugar, se podría introducir en el algoritmo la optimización de las propiedades del material piezoeléctrico y de la resistencia de la carga. Esto llevaría asociado un aumento de tiempo de computación, ya que se pasaría de tres variables de optimización a seis, pero permitiría una mejora en la cantidad de energía recolectada.  En tercer lugar, se podría modificar el modelo usado. Podría desarrollarse un modelo de dos grados de libertad. Usando una segunda masa conectada a la primera con una muelle y un amortiguador. En este caso tendríamos un sistema con seis variables de optimización, considerando fijas las propiedades piezoeléctricas del material y la resistencia de la carga.  Por último, como trabajo futuro se propone la fabricación de un recolector de energía. Esto permitiría tener un valor experimental de la energía producida por el sistema de recolección, que podría ser comparada con el valor que predice el modelo. Para el diseño de este recolector sería necesario también realizar un trabajo previo, asociado a la búsqueda de los materiales piezoeléctricos disponibles en el mercado. Buscando el tipo de material y la geometría del diseño que proporcione las variables óptimas, tanto mecánicas como eléctricas, necesarias. 69 7 ANEXO LAV PARÍS-BRUSELAS 7.1 Gráficas Medidas Experimentales en el dominio de la frecuencia Figura 7-1. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 11 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 4-11. LAV París-Bruselas Anexo LAV París-Bruselas 70 Figura 7-2. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 12 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 4-11. LAV París-Bruselas 71 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 7-3. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 13 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 4-11. LAV París-Bruselas Anexo LAV París-Bruselas 72 Figura 7-4. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 14 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 4-11. LAV París-Bruselas 73 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 7-5. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 21 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 4-11. LAV París-Bruselas Anexo LAV París-Bruselas 74 Figura 7-6. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 22 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 4-11. LAV París-Bruselas 75 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 7-7. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 23 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 4-11. LAV París-Bruselas 82 Figura 8-4. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 4 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 5-2. Puente Arroyo Bracea 83 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 8-5. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 5 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 5-2. Puente Arroyo Bracea 84 Figura 8-6. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 6 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 5-2. Puente Arroyo Bracea 85 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 8-7. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 7 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 5-2. Puente Arroyo Bracea 86 Figura 8-8. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 8 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 5-2. Puente Arroyo Bracea 87 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 8-9. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 9 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 5-2. Puente Arroyo Bracea 88 Figura 8-10. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 10 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 5-2. Puente Arroyo Bracea 89 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 8-11. Aceleraciones en el dominio de la frecuencia para el evento 11 en los diferentes puntos de medida indicados en la Figura 5-2. Puente Arroyo Bracea 90 8.2. Resultados de la optimización para los diferentes eventos Figura 8-12. Energía máxima recolectada y valores óptimos de la frecuencia natural, masa, rigidez y amortiguamiento. En cada punto de medida experimental del evento 3. Puente Arroyo Bracea 91 Aplicación de algoritmos genéticos para optimizar la recolección de energía cinética en LAV Figura 8-13. Energía máxima recolectada y valores óptimos de la frecuencia natural, masa, rigidez y amortiguamiento. En cada punto de medida experimental del evento 4. Puente Arroyo Bracea 98 99 REFERENCIAS [1] C.B. Williams, R.B. 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