Soluciones débiles en mecánica de fluidos

TRABAJO FIN DE GRADO Soluciones débiles en mecánica de fluidos. Presentado por: Antonio Hidalgo Torné Director: FRANCISCO GANCEDO GARCÍA FACULTAD DE MATEMÁTICAS Departamento de Análisis Matemático Sevilla, Junio 2018 Índice general Abstract 5 Introducción 7 1. Convergencia débil y ecuación del calor 9 1.1. Convergenciadébil ........................... 9 1.1.1. Introducción .......................... 9 1.1.2. Teoremas de Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Ecuacióndelcalor............................ 13 1.2.1. Consideraciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Existencia de soluciones débiles . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2. Ecuaciones de Navier Stokes 29 2.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Continuidad y compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3. Existencia de soluciones débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4. Unicidad de soluciones en dimensión 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Bibliografía 49 3 Abstract The main aim of this work is to prove theoretical results on partial differential equations from fluid mechanics. Particularly, the theoretical development is destined to prove the existence of weak solutions of the Navier-Stokes equations in two and three dimensions. The Navier-Stokes equations is a classical topic in the study of the dynamics of incompressible viscous fluids. Those equations present basic and important open questions such as regularity and finite time singularity formation of the solutions. It is a current area of mathematical research of fundamental interest in particular due to its physical relevance and broad applicability. The first chapter introduces concepts of Functional Analysis that go beyond the scope of what is taught in the degree, and will be very useful in the development of this work. It establishes the main concepts and results related to weak convergence, needed to understand the concept of weak solution. The goal of the first section is to prove the weak compactness of bounded sets in a Hilbert space. Next, we take on the evolution problem of second-order parabolic equations, which has as a representative example the Heat equation. We use variational formulation to prove the existence of weak solutions. For that, we analyze the properties of the terms of the equation. On these properties we will prove some results of continuity and compactness, and we will finally apply Galerkin method. Due to the good properties of the equation, the results are proven in an arbitrary finite dimension and the uniqueness of the solution is proven as well. The techniques used for the study of the equation are repeated in the Navier-Stokes case. This first chapter also serves for acquiring familiarity with the method. The second chapter deals with the Navier-Stokes equation in the complete space of two and three dimensions with the same techniques as in the previous chapter. We will find greater difficulties due mainly to non-linearity. It begins by introducing the usual Hilbert spaces of fluid problems that incorporate incompressibility, and provides results that allow us to tackle the pressure of the equation, simplifying the problem. Next, we analyze in detail the non-linear term, finding a limitation in the dimension of the workspace. After introducing the variational formulation, compactness theorems which are necessary to treat the non-linear term are proven. Finally, the Galerkin method is applied again, and the existence of weak solutions in the cases of two and three 5 6ÍNDICE GENERAL dimensions is proved. The uniqueness in the two-dimensional case is also tested. This problem was originally studied by Jean Leray, who proved in 1934 [11] the existence of weak solutions. For the three-dimensional case, it has recently been proven that there is no uniqueness of weak solutions[3]. Introducción El objetivo principal de este trabajo es probar resultados teóricos de ecuaciones en derivadas parciales que provienen de la mecánica de fluidos. En particular, el desarrollo teórico está enfocado a probar la existencia de soluciones a la ecuación de Navier- Stokes en dos y tres dimensiones. Las ecuaciones de Navier-Stokes son clásicas en el estudio de la dinámica de fluidos viscosos incompresibles. Estas ecuaciones presentan en la actualidad preguntas abiertas básicas e importantes como la regularidad de soluciones y la posible formación de singularidades en tiempo finito. Las ecuaciones de Navier-Stokes se enmarcan en un área actual de investigación matemática de interés fundamental, en particular debido a su relevancia física y una amplia aplicabilidad. El primer capítulo introduce conceptos de Análisis Funcional que van más allá de los conocimientos que se imparten en el grado y serán de gran utilidad en el desarrollo del trabajo. En particular, establece los conceptos y resultados fundamentales relacionados con la convergencia débil necesarios para entender el concepto de solución débil. El objetivo final de la primera sección es demostrar la compacidad débil de conjuntos acotados en un espacio de Hilbert. A continuación se aborda el problema de evolución de ecuaciones parabólicas de segundo orden, que tiene como caso representativo la Ecuación del Calor. Para probar la existencia de soluciones débiles se hace uso de la formulación variacional, para lo cual se analizan inicialmente las propiedades de los distintos términos de la ecuación. Sobre estas propiedades probaremos algunos resultados de compacidad y continuidad, y aplicaremos finalmente el método de Galerkin. Debido a la las buenas propiedades de la ecuación, los resultados se prueban en dimensión finita arbitraria y se prueba además la unicidad de solución. Las técnicas utilizadas para el estudio de la ecuación se repiten en el caso de Navier-Stokes, y este primer caso sirve también para familiarizarse con el método. En el segundo capítulo se aborda la ecuación de Navier-Stokes en el espacio completo de dos y tres dimensiones con las mismas técnicas que en el capítulo previo, pero afrontando mayores dificultades debidas principalmente a la no linealidad. Se comienza introduciendo los espacios de Hilbert habituales de problemas de fluidos que incorporan la incompresibilidad, y se introducen resultados que nos permiten abordar 7 8ÍNDICE GENERAL la presión de la ecuación, simplificando el problema. A continuación se analiza en detalle el término no lineal, encontrando una limitación en la dimensión del espacio de trabajo. Tras introducir la formulación variacional se prueban teoremas de compacidad necesarios para tratar el término no lineal. Por último se aplica de nuevo el método de Galerkin, y se consigue probar la existencia de soluciones débiles en los casos de dos y tres dimensiones. Se prueba también la unicidad en el caso bidimensional. Este problema fue estudiado originalmente por Jean Leray, quien demostró en 1934 [11] la existencia de soluciones débiles. Para el caso tridimensional se ha probado recientemente que no hay unicidad de soluciones débiles [3]. Capítulo 1 Convergencia débil y ecuación del calor En este capítulo vamos a introducir los conceptos y resultados relacionados con la convergencia débil. Estudiaremos también cómo probar la existencia de soluciones débiles en la ecuación del calor en un dominio conexo y acotado con frontera regular, que entenderemos en el trabajo como un paso inicial para abordar la ecuación de Navier-Stokes no lineal, problema que abordaremos en el próximo capítulo. Nos centraremos en demostrar los resultados que no se estudian en el el grado, citando o dando por conocidos los resultados estudiados en las distintas asignaturas. 1.1. Convergencia débil 1.1.1. Introducción En un espacio normado X, decimos que una sucesión {xn}converge a un punto x cuando se cumple ||xn−x||X→0. Si aplicamos una función continua a la sucesión inicial, por propiedades de continuidad se mantiene la convergencia en el espacio de llegada. En particular, si Les una aplicación L:X→Rlineal y continua cumplirá que L(xn)→L(x). La convergencia débil solo exige esta segunda parte, por lo que trivialmente la convergencia normal implica la débil. Veremos que las dos convergencias no son equivalentes, lo que justifica el uso de esta nueva convergencia. El principal resultado que demostraremos en esta sección será que una sucesión acotada en un espacio reflexivo tiene una subsucesión débilmente convergente. Esta propiedad es cierta con convergencia fuerte en espacios de dimensión finita, por lo que la convergencia débil extiende la convergencia habitual a dimensión infinita. Recordemos que el espacio dual X0de un espacio normado Xse define como el conjunto de aplicaciones lineales y continuas de XaR. 9 16 CAPÍTULO 1. CONVERGENCIA DÉBIL Y ECUACIÓN DEL CALOR (Lu, v)L2=ZU− n X i,j=1 (ai,j(x, t)uxi)xjv+ n X i=1 bi(x, t)uxiv+c(x, t)uvdx =ZU n X i,j=1 ai,j(x, t)uxivxj+ n X i=1 bi(x, t)uxiv+c(x, t)uv − n X i,j=1 Z∂U ai,j(x, t)uxivnjdσ, quedando por tanto (Lu, v)L2=ZU n X i,j=1 ai,j(x, t)uxivxj+ n X i=1 bi(x, t)uxiv+c(x, t)uv, ∀v∈H1 0e.c.t. 0≤t≤T. En la ecuación anterior hemos usado integración por partes y que se anulan los términos de frontera gracias a que v∈H1 0. Podemos definir B[u, v;t] := ZU n X i,j=1 ai,j(x, t)uxivxj+ n X i=1 bi(x, t)uxiv+c(x, t)uv dx, (1.3) ∀u, v ∈H1 0e.c.t. 0≤t≤T.Por la definición es fácil ver que Bes una forma bilineal dependiente del tiempo. Nótese que para facilitar la comprensión del problema estamos separando la variable temporal y las espaciales. Es decir, consideramos que ues una aplicación u: [0, T]→H1 0definida consistentemente como [u(t)](x) := u(x, t)(x∈ U, e.c.t. 0≤t≤T)así como f: [0, T]→H−1definida e.c.t. 0≤t≤T. Por el argumento anterior, podemos multiplicar la EDP por v∈H1 0, resultando la igualdad h∂tu, viH−1,H1 0+B[u, v;t] = hf, viH−1,H1 0, e.c.t. 0≤t≤T, (1.4) que es la formulación variacional de (1.2). Hemos denotado hh0, hiH−1,H1 0el producto de dualidad entre cualesquiera h0∈H−1, h ∈H1 0. Este producto de dualidad coincide con el producto escalar en L2cuando h0, h, pertenecen a L2. Para que estas cuentas formales tengan sentido, debe tenerse que ∂tu∈H−1(U) en casi todo t. Recordemos que la forma general de un elemento de H−1es suma de elementos de L2y derivadas de elementos de L2, es decir, w∈H−1⇐⇒ w= w0+Pn i=1 wi xicon wi∈L2∀i= 0,1, . . . , n, donde las derivadas wxiestán tomadas en el sentido de las distribuciones. Gracias a la integración por partes en H1 0podemos probar el siguiente enunciado. Proposición 1.8. Sea Uabierto acotado. Si w=w0+Pn i=1 wi xicon wi∈L2(U)∀i= 0,1, . . . , n, entonces w∈H−1(U)y||w||2 H−1≤Pn i=0 ||wi||2 L2. 1.2. ECUACIÓN DEL CALOR 17 Demostración: Sea v∈H1 0(U), y sea W= (w1, w2, . . . , wn). Integrando por partes, y aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, | hw, viH−1,H1 0|=ZU w0vdx + n X i=1 hwi xi, viH−1,H1 0 =ZU (w0v−W∇v)dx ≤ ≤ZU|w0||v|+|W||∇v|dx ≤ ≤ZU|w0|2+|W|21/2|∇v|2+|v|21/2dx ≤ ≤ZU (|w0|2+|W|2)dx1/2ZU (|∇v|2+|v|2)dx1/2 ≤||w0||L2(U)+||W||L2(U)n||v||H1 0 Por tanto, se tiene que ||w||2 H−1≤||w0||2 L2+||W||2 L2(U)n= n X i=0 ||wi||2 L2. Esto prueba la continuidad de w. Por linealidad de hw, ·iH−1,H1 0, se concluye que wes lineal sobre H1 0. De las ecuaciones (1.3), (1.4), se deduce ∂tu=f−Lu en H−1siempre que la igualdad tenga sentido, para lo cual debemos demostrar que el lado derecho de la igualdad reside en H−1e.c.t. t∈(0, T). Como f∈H−1e.c.t. t∈(0, T), tenemos que comprobar que Lu también. Dado que u∈H1 0,uxi∈L2,∀i= 1, . . . , n, y aij, bi, c ∈L∞∀i, j, se cumple que cu, biuxi, aijuxi∈L2∀i, j. Por tanto, denotando w0=−cu −Pn i=1 biuxi,wi=Pn j=1 aijuxiy en virtud de la proposición anterior, se tiene que ∂tu∈H−1(U)e.c.t. 0≤t≤T. Con esta propiedad ya podemos definir lo que vamos a entender por solución débil, ya que tenemos la siguiente acotación en norma de ∂tu. Corolario 1.9. Si usatisface el problema (1.2), entonces ||∂tu||H−1≤C(||u||H1 0+ ||f||H−1)para un cierto C > 0. Demostración: Como ∂tu=−Lu +f⇒ ||∂tu||H−1≤ ||f||H−1+||Lu||H−1. Por las desigualdades obtenidas en la demostración de la proposición 1.8, se tiene que ||uxixj||H−1≤ ||uxi||L2≤ ||u||H1 0∀i= 1, . . . , n . También se deduce de la misma proposición que ||u||H−1≤ ||u||H1 0. Sea M= m´axi,j=1,...,n ||c||L∞(UT),||bi||L∞(UT),||aij||L∞(UT). Con esto, acotamos los términos ||(ai,juxi)xj||H−1≤ ||ai,juxi||L2≤M||uxi||L2≤M||u||H1 0e.c.t. t ∈ [0, T],∀i, j = 1, . . . , n. Análogamente, se tiene que ||biuxi||H−1≤ ||biuxi||L2≤ 18 CAPÍTULO 1. CONVERGENCIA DÉBIL Y ECUACIÓN DEL CALOR M||u||H1 0e.c.t. t ∈[0, T],∀i= 1, . . . , n, y se sigue que ||cu||H−1≤ ||cu||L2≤ M||u||H1 0e.c.t. t ∈[0, T]. Aplicando la desigualdad triangular a los sumandos y sumatorios de Lu (ver ecuación (1.1)), obtenemos que ||Lu||H−1≤ n X i,j=1 ||(ai,juxi)xj||H−1+ n X i=1 ||biuxi||H−1+||cu||H−1≤M(n2+n+1)||u||H1 0, en casi todo t. Entonces, en casi todo t∈[0, T]se tiene ||∂tu||H−1≤(1 + M(n2+n+ 1))(||u||H1 0+||f||H−1). A continuación definiremos qué vamos a entender por solución débil al problema planteado. Nuestro objetivo será probar que existe alguna solución débil y, en este caso, probaremos también la unicidad. Definición 1.4. Diremos que una función u∈L2(0, T, H1 0(U)), con ∂tu∈L2(0, T, H−1(U)), es solución débil del problema (1.2) si se cumple (i)h∂tu, vi+B[u, v;t] = hf, vi ∀v∈H1 0(U), e.c.t. 0≤t≤T. (ii) u(0) = g. Nota 1.2. Para que en la definición 1.4 podamos exigir (ii) es necesario probar que u tiene cierta regularidad en tiempo. Este será el objetivo de la siguiente proposición. Para su demostración será necesario utilizar productos de convolución y sucesiones regularizantes. La deducción de estas propiedades puede verse en el capítulo 5 de [6]. Comencemos por definir de forma abstracta qué entendemos por un espacio de funciones continuas con valores en un espacio abstracto. Definición 1.5. Sea Xun espacio de Banach. El espacio C([0, T]; X)se define como el espacio de funciones que en cada instante fijo de tiempo pertenece a Xy que toma valores continuos en tiempo. Es decir, dado φ∈C([0, T]; X), t0∈[0, T], ∀ε > 0,∃δ > 0 : ||φ(x, t)−φ(x, t0)||X≤ε∀t∈(t0−δ, t0+δ)∩[0, T]. Proposición 1.10. Sea Xun espacio de Banach. El espacio C([0, T]; X)es Banach con la norma ||φ||CT(X)= m´axt∈[0,T ]||φ||X(t). 1.2. ECUACIÓN DEL CALOR 19 Demostración: Está claro que por la definición anterior, al ser [0, T]un intervalo compacto cualquier función del espacio tiene una norma finita. Tenemos que comprobar que dicha definición produce una norma. La linealidad es trivial, y también la desigualdad triangular por cumplirse para el máximo. Por ser Xun espacio normado, se tiene también que ||φ||CT(X)= 0 ⇔ ||φ||X(t) = 0 ∀t∈[0, T]. Queda ver que dicha norma hace al espacio completo. Sea {φn}una sucesión de Cauchy en C([0, T]; X). Veamos que existe una función φ∈C([0, T]; X)con l´ımn→∞ ||φn−φ||CT(X)= 0. Sea ε > 0. Por ser sucesión de Cauchy, existe n0∈Ntal que si m, n > n0, entonces ||φn−φm||CT(X)≤ε. Además, por definirse la norma como el máximo, se tiene en particular que ||φn−φm||X(t)≤ ||φn−φm||CT(X)≤ε∀t∈[0, T], por lo que la sucesión {φn(t)} ⊂ Xes de Cauchy en Xpara todo t∈[0, T]. Al ser X espacio de Banach, existe el límite para cada valor de ty podemos definir una función φ: [0, T]→X:φ(t) := l´ımn→∞ φn(t)∀t∈[0, T]. Queda ver que dicha función pertenece al espacio original, y que l´ımn→∞ ||φn−φ||CT(X)= 0. Partiendo de ||φn−φm||X(t)≤ε∀t∈[0, T], m, n > n0(ε), podemos tomar límite cuando m→ ∞, y por la continuidad de la aplicación norma y definición de φ, tenemos que ||φn−φ||X(t)≤ε∀t∈[0, T], n > n0(ε). Con esto ya tenemos que supt∈[0,T]||φn−φ||X(t)≤ε, con lo que solo queda probar que φes una función continua (por tanto tendremos la pertenencia y podremos cambiar supremo por máximo). Sea t0∈[0, T]. Tomando l > n0, al ser φlcontinua, existe δ > 0tal que para todo s∈[0, T]con |t0−s|< δ se tiene que ||φl(t0)−φl(s)||X≤ε. Entonces, por la desigualdad triangular se tiene que ||φ(t0)−φ(s)||X=||φ(t0)−φ(s) + φl(t0)−φl(t0) + φl(s)−φl(s)||X ≤ ||φ(t0)−φl(t0)||X+||φl(s)−φ(s)||X+||φl(t0)−φl(s)||X≤3ε, para todo s∈[0, T]con |t0−s|< δ. Por ser ε > 0arbitrario, queda probada la continuidad en t0, que implica que la función φ∈C([0, T]; X). Proposición 1.11. Sea u∈L2(0, T;H1 0(U)) con ∂tu∈L2(0, T;H−1(U)). Entonces u∈C([0, T]; L2(U)). Demostración: Podemos extender upor 0 fuera del intervalo temporal [0, T]. En particular, considerando la extensión en cualquier intervalo ampliado [−σ, T +σ]para 20 CAPÍTULO 1. CONVERGENCIA DÉBIL Y ECUACIÓN DEL CALOR σ > 0y tomando η∈C∞ c(R), se tiene que, tomando ε > 0, la regularización en tiempo uε(t) := ηε∗u(t) = ZT+σ −σ ηε(s)u(t−s)ds →ε→0+u(t)e.c.t. t ∈(0, T), x ∈U. Tomando ahora δ > 0, se define de forma análoga la regularización uδ. Esta regularización hace a uε(t), uδ(t)continuas en tiempo (ver propiedades de la convolución en [6], capítulo 5), obteniendo uε, uδ∈C([0, T]; H1 0)⊂C([0, T]; L2). De la relación entre producto escalar y norma, se tiene que d dt||uε(t)−uδ(t)||2 L2= 2 ∂tu(t)−∂tuδ, u(t)−uδ(t)H−1,H1 0 . Integrando la expresión anterior entre syt, se obtiene que ||uε(t)−uδ(t)||2 L2=||uε(s)−uδ(s)||2 L2+ 2 Zt s∂tu−∂tuδ, u−uδH−1,H1 0 (τ)dτ, para cualquier 0≤s, t ≤T. Para el producto escalar, vamos a utilizar que 2ha, bi ≤ 2||a||H−1||b||H1 0≤ ||a||2 H−1+||b||2 H1 0 . La ecuación anterior queda ahora como ||uε(t)−uδ(t)||2 L2≤ ||uε(s)−uδ(s)||2 L2+Zt s ||∂tu(τ)−∂tuδ(τ)||2 H−1 +Zt s ||u(τ)−uδ(τ)||2 H1 0dτ. Al ser esto cierto para cualquier 0≤s, t ≤T, y ser los integrandos funciones positivas, la cota también es cierta si integramos en (0, T). Por tener convergencia en casi todo, podemos fijar un stal que uε(s)→u(s)en L2(U). Con esto, anularemos el primer sumando de la última ecuación al tomar límite. Al cumplirse lo anterior para cualquier δ, ε > 0, obtenemos la cota uniforme l´ım sup ε,δ→0 sup 0≤t≤T ||uε(t)−uδ(t)||2 L2(U)≤l´ım ε,δ→0ZT 0 ||∂tuε(τ)−∂tuδ(τ)||2 H−1(U) + l´ım ε,δ→0ZT 0 ||uε(τ)−uδ(τ)||2 H1 0(U)dτ = 0, ya que la regularización converge en casi todo el espacio, y también sus derivadas. Esto muestra que {uε} ⊂ C([0, T]; L2(U)) tiene un límite (cuando ε→0que denotaremos v∈C([0, T]; L2(U)). Dado que la regularización converge en casi todo, por unicidad de límite se deduce que u=v∈C([0, T]; L2(U)) en casi todo. Nota 1.3. En la proposición anterior, se entiende que L2es una clase de funciones y para obtener continuidad en tiempo estamos redefiniendo los valores de la función en un conjunto de medida nula. 1.2. ECUACIÓN DEL CALOR 21 1.2.2. Existencia de soluciones débiles Una vez determinados los espacios a los que pertenecen los elementos del problema y algunas propiedades, estamos en disposición de construir una solución al problema (1.2) utilizando el método de Galerkin, consistente en encontrar soluciones en espacios de dimensión finita y hacer un paso al límite. Vamos a comenzar por construir los espacios de dimensión finita. Proposición 1.12. Existe un conjunto de funciones wk=wk(x), k ∈Ntal que {wk}∞ k=1 está contenido en H1 0(U)y además {wk}∞ k=1 es base ortonormal de L2(U). Demostración: El espacio H1 0es separable por ser subespacio cerrado de L2, que es separable. También es Hilbert, por lo que tiene una base numerable. Dado que H1 0 es denso en L2, por densidad dicha base es también base de L2. Por el método de Gram-Schmidt, podemos ortonormalizar la base según la norma de L2. La idea a desarrollar será buscar funciones um: [0, T]→H1 0(U)de la forma um(t) := m X k=1 dk m(t)wk,(1.5) donde los coeficientes dk m(t)deberán cumplir um(0) = m X k=1 dk m(0)wk;dk m(0) = (g, wk)L2(1.6) h∂tum, wkiH−1,H1 0+B[um, wk;t] = hf, wkiH−1,H1 0,(1.7) para todo 0≤t≤T, k = 1, . . . , m. Se entiende por (,)L2el producto en L2. Es decir, vamos a buscar soluciones que son solución del problema (1.2) en el subespacio de dimensión finita generado por {wk}m k=1. Teorema 1.13. Para cada m= 1,2, . . . existe una única función umde la forma (1.5) cumpliendo las condiciones (1.6),(1.7). Demostración: De la expresión (1.5) se tiene que ∂tum(t) = Pm k=1 ∂tdk m(t)wk. Dado que hemos escogido las funciones wkortonormales para el producto en L2, se cumple que (∂tum(t), wk)L2= m X j=1 (∂tdj m(t)wj, wk)L2=∂tdk m(t).(1.8) Dado que B(ver ecuación (1.3)) es una forma bilineal, podemos calcular análogamente B[um, wk;t] = B"m X j=1 dj m(t)wj, wk;t#= m X j=1 ekj(t)dj m(t),(1.9) 22 CAPÍTULO 1. CONVERGENCIA DÉBIL Y ECUACIÓN DEL CALOR donde ekj(t) := B[wl, wk;t] (k, l = 1, . . . , m).De la expresión de B(1.3) se deduce que la regularidad de los ekj(t)es L∞. Podemos expresar también fk(t) := hf(t), wkiH−1,H1 0. Entonces fk(t)∈L2 T. Como dk msolo es función de t, la derivada parcial en tiempo es una derivada débil ordinaria en tiempo. De este modo, la ecuación (1.7) se escribe como d dtdk m(t) + m X j=1 ekj(t)dj m(t) = fk(t) (k= 1, . . . , m),(1.10) que es un sistema de mecuaciones diferenciales ordinarias en las variables dk msujetos a las mcondiciones iniciales dk m(0) = (g, wk). Por resultados de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (ver [2]), sabemos que existe solución al sistema en un intervalo [0, T]. Vamos a probar que los dk m(t)están acotados en [0, T]. Multiplicando la ecuación (1.10) por dk m(t), obtenemos d dtdk mdk m=−dk m m X j=1 ekj(t)dj m(t) + dk mfk(t). Por la desigualdad triangular, tenemos que 1 2 d dt|dk m|2≤ |dk m| m X j=1 |ekj(t)||dj m(t)|+|dk m(t)||fk(t)|. Utilizando el vector dm(t) = (d1 m(t), d2 m(t), . . . , dm m(t)), podemos ver el sumatorio como un producto escalar. Acotando por el producto de las normas, 1 2 d dt|dk m|2≤ |dk m|||ek(t)||Rn||dm(t)||Rn+1 2|dk m(t)|2+1 2|fk(t)|2. Sumando para k= 1, . . . , m, y acotando los términos ||ek||Rnpor estar en L∞, obtenemos que 1 2 d dt||dm||2 Rn≤C||dm||2 Rn+1 2||fm∗(t)||2 Rn, donde hemos definido fm∗= (f1, f2, . . . , fm). Por la desigualdad de Gronwall, al ser todos los fkde cuadrado integrable en [0, T], se tiene que ||dm||2 Rn(t)≤e2Ct ||dm||2 Rn(0) + Zt 0 ||fm∗(t)||2 Rn≤C0 en el intervalo [0, T]para una constante C0. Por tanto, los coeficientes dk mson acotados en [0, T]y existe una función absolutamente continua dm(t) = (d1 m(t), . . . , dm m(t)) satisfaciendo el Sistema Diferencial Ordinario e.c.t. 0≤t≤T. Definiendo umcomo (1.5), se tiene (1.7) e.c.t. 0≤t≤T. 1.2. ECUACIÓN DEL CALOR 23 Recordamos que la continuidad absoluta significa ser derivable en casi todo, con función derivada integrable-Lebesgue. Es más débil que ser diferenciable pero suficiente para poder tomar derivadas. Solo queda demostrar que podemos tomar límite en la expresión. Esto nos daría un candidato a solución. Probaremos que este candidato es realmente la solución a nuestro sistema de ecuaciones. Para tomar límite necesitamos alguna cota que no dependa de m. Antes de abordar el primer teorema demostraremos un par de resultados previos. Proposición 1.14. Sean a, b,  > 0. Entonces ab ≤a2+b2/4. Demostración: Se obtiene directamente de sustituir en 2xy ≤x2+y2las expresiones (2)1/2ayb (2)1/2. Proposición 1.15. Existen constantes β, γ > 0tales que β||u||2 H1 0(U)≤B[u, u, t] + γ||u||2 L2(U),∀u, v ∈H1 0(U)e.c.t. 0≤t≤T. (1.11) Demostración: Por ser Lun operador elíptico, y por la expresión de B[u, u;t](ver ecuación (1.3)), se tiene que existe θ > 0tal que θZU |∇u|2dx ≤ n X i,j=1 ZU aijuxiuxjdx =B[u, u;t]−ZU n X i=1 biuxiu−cu2dx ≤B[u, u;t] + n X i=1 ||bi||L∞ZU |∇u||u|dx +||c||L∞ZU u2dx. (1.12) Por la proposición 1.14, se tiene que ZU |∇u||u|dx ≤ZU |∇u|2dx +1 4ZU u2dx ( > 0).(1.13) Escogiendo suficientemente pequeño para que Pn i=1 ||bi||L∞<θ 2e insertando (1.13) en (1.12), se obtiene que θ 2ZU |∇u|2dx ≤B[u, u;t] + γZU u2dx para una cierta constante γyθ 2=β. Teorema 1.16. Existe una constante C > 0que solo depende de U, T y los coeficientes de L, tal que m´ax 0≤t≤T||um(t)||2 L2(U)+||um||2 L2 T(H1 0(U)) +||∂tum||2 L2 T(H−1(U)) ≤ ≤C(||f||2 L2 T(H−1(U)) +||g||2 L2(U)) (m= 1,2, . . . )(1.14) 24 CAPÍTULO 1. CONVERGENCIA DÉBIL Y ECUACIÓN DEL CALOR Demostración: Partiendo de la ecuación (1.7), gracias a la linealidad del producto escalar y de B, podemos multiplicar la ecuación k-ésima por dk m(t), y gracias a la expresión (1.5), sumar para k= 1, . . . , m y obtener (∂tum, um)L2+B[um, um;t] = hf, umiH−1,H1 0e.c.t. 0≤t≤T. (1.15) En casi todo t∈[0, T], podemos acotar el miembro de la derecha por |hf, umiH−1,H1 0| ≤ ||f||H−1||um||H1 0≤Cβ||f||2 H−1+β 2||um||2 H1 0.(1.16) Reescribiendo el término (∂tum, um)L2como la derivada distribucional d dt 1 2||um||2 L2(U)= (∂tum, um)L2, si sumamos la desigualdad (1.11) a la ecuación (1.15), d dt 1 2||um||2 L2(U)+β||um||2 H1 0(U)≤γ||um||2 L2(U)+hf, umiH−1,H1 0.(1.17) Aplicando ahora la desigualdad (1.16), obtenemos d dt 1 2||um||2 L2(U)+β 2||um||2 H1 0(U)≤γ||um||2 L2(U)+Cβ||f||2 H−1(U),(1.18) e.c.t. 0≤t≤T. Al ser la norma definida positiva, la desigualdad (1.18) implica entonces d dt 1 2||um||2 L2(U)≤γ||um||2 L2(U)+Cβ||f||2 H−1(U). Denotando ahora η(t) := ||um(t)||2 L2(U), ξ(t) := ||f(t)||2 H−1(U), la desigualdad anterior se transforma en d dtη(t)≤γη(t) + Cβξ(t)e.c.t. 0≤t≤T. La desigualdad de Gronwall implica que η(t)≤eγt η(0) + CβZt 0 ξ(s)ds(0 ≤t≤T).(1.19) De la ecuación (1.6) y por ortonormalidad de las funciones wkse deduce que η(0) = ||um(0)||2 L2= m X k=1 (g, wk)2 L2≤ ∞ X k=1 (g, wk)2 L2=||g||2 L2(U). 1.2. ECUACIÓN DEL CALOR 25 Por esto y por la expresión de ξ(t), se deduce de (1.19) que m´ax 0≤t≤T||um(t)||2 L2(U)≤C(||g||2 L2(U)+||f||2 L2 T(H−1(U))).(1.20) Aplicando este resultado al término derecho de la ecuación (1.18) e integrando entre 0 yT, obtenemos que ||um(T)||2 L2− ||um(0)||2 L2+ 2β||um||2 L2 T(H1 0)≤C(||g||2 L2+||f||2 L2 T(H−1) de donde, agrupando el término negativo a la derecha y teniendo en cuenta que la norma es definida positiva se obtiene la cota ||um||2 L2 T(H1 0)≤C(||g||2 L2(U)+||f||2 L2 T(H−1))(1.21) para otra constante C. Aplicando el corolario 1.9 con umobtenemos que ||∂tum||H−1(U)≤C(||f||H−1(U)+||um||H1 0(U)). Integrando esta expresión entre 0yTy aplicando la desigualdad (1.21) y la desigualdad 2ab ≤a2+b2, obtenemos ||∂tum||2 L2 T(H−1(U)) =ZT 0 ||∂tum||2 H−1(U)dt ≤C2ZT 0 (||f||H−1(U)+||um||H1 0(U))2dt =C2ZT 0 ||f||2 H−1(U)+||um||2 H1 0(U)+ 2||f||H−1(U)||um||H1 0(U)dt ≤2C2ZT 0 ||f||2 H−1(U)+||um||2 H1 0(U)dt ≤C0(||g||2 L2(U)+||f||2 L2 T(H−1(U))) Sumando esta expresión a (1.20) y (1.21) y renombrando la constante C, obtenemos el resultado deseado. Para probar la existencia de solución débil, usaremos antes la siguiente proposición. Proposición 1.17. Sea uk* u en L2(0, T;H1 0(U)) y∂tuk* v en L2(0, T;H−1(U)). Entonces v=∂tu. Demostración: Por la definición de convergencia débil, se deduce que ZT 0ZU ukφ dxdt =huk, φiD0,C∞ c⇒ hu, φiD0,C∞ c, para cualquier φ∈C∞ c(UT). Por propiedades de la derivada distribucional, podemos integrar por partes y obtener hv, φiD0,C∞ c(h∂tuk, φiD0,C∞ c=− huk, ∂tφiD0,C∞ c*− hu, ∂tφiD0,C∞ c. Como el límite débil es único, y por definición de derivada distribucional, se tiene que ∂tu=ven D0y por tanto en L2(0, T;H−1(U)). 32 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE NAVIER STOKES Proposición 2.2. Sean r∈[1,∞]yp1, p2, . . . , pl∈[1,∞]tales que l X k=1 1 pk =1 r Entonces, || Ql k=1 fk||Lr≤Ql k=1 ||fk||Lpk. En particular, si fk∈Lpk∀k= 1, . . . , l ⇒ Ql k=1 fk∈Lr. Demostración: Nos basaremos en la desigualdad de Hölder y la técnica de inducción. El caso base l= 1 es trivial. Supongamos el resultado cierto para l−1. Sin pérdida de generalidad, tenemos p1≤p2≤ · · · ≤ pl. Distinguiremos dos casos: -Caso 1: pl=∞. Entonces el factor p−1 l= 0. Acotando flpor su supremo y aplicando la hipótesis de inducción, tenemos trivialmente ||f1f2. . . fl||Lr≤ ||f1f2. . . fl−1||Lr||fl||L∞≤ l Y k=1 ||fk||Lpk. -Caso 2: Si pl6=∞necesariamente r6=∞, y los valores p:= pl pl−r, q := pl rson conjugados en (1,∞). Por la desigualdad de Hölder, || l Y k=1 fk||r Lr=|||f1f2. . . fl−1|r|fl|r||L1≤ |||f1f2. . . fl−1|r||Lp|||fl|r||Lq. Elevando a 1/r, la expresión queda como ||f1f2. . . fl||Lr≤ ||f1f2. . . fl−1||Lpr ||fl||Lqr . Como qr =plyPl−1 k=1 1/pk= 1/r −1/pl= (pl−r)/rpl= 1/pr, utilizando la hipótesis de inducción queda probado el resultado. Con esta desigualdad y las siguientes proposiciónes sobre espacios de Sobolev, podremos demostrar la continuidad del operador b. Proposición 2.3. Sea U⊂Rn. Si u∈H1 0(U), entonces para cualquier n≥3se tiene ||u||Lk(U)≤c(U)||u||H1 0, para k= 2n/(n−2). Proposición 2.4. Sea U∈R2. Si u∈H1 0(U), entonces se tiene ||u||Lk(U)≤c(U)||u||H1 0, para cualquier k∈[1,∞). Demostración: Puede verse en [1], página 85. Para el caso n= 3, la proposición 2.4 nos da k= 6. Esta proposición implica que si u∈V⇒u∈L6. Al ser u∈H1 0, se tiene también u∈L2y por tanto, por interpolación u∈Lqcon q∈[2,6]. 2.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 33 Proposición 2.5. El operador b(u,v,w)está bien definido y es trilineal y continuo en H1 0×H1 0×H1 0, para n= 2,3. Demostración: Observemos que podemos escribir b(u,v,w) = ((u· ∇)v,w)L2= n X i,j=1 Zui(Divj)wj, donde se tiene trivialmente que bes trilineal. Como u∈H1 0, por las proposiciones anteriores se tiene que para n= 2,3,ui∈L4. Por ser v∈H1 0, se tiene que Divj∈L2. Por el mismo motivo que ui, se tiene también que wj∈L4. Dado que 1 4+1 2+1 4= 1, la proposición 2.2 implica que ui(Divj)wj∈L1y que Zui(Divj)wj ≤ ||ui||L4||Divj||L2||wj||L4≤c2(U)||u||H1 0||v||H1 0||w||H1 0. Por lo que el operador b(u,v,w)está bien definido, y al ser un sumatorio finito se tiene que |b(u,v,w)| ≤ n X i,j=1 Zui(Divj)wj ≤c(n)c2(U)||u||H1 0||v||H1 0||w||H1 0, lo que demuestra la continuidad del operador para dimensión 2 y 3. Corolario 2.6. Para cualquier abierto medible U⊂Rnse tiene que b(u,v,w)es una forma trilineal y continua en V×V×V. Demostración: Por definición, V⊂H1 0. Lema 2.7. b(u,v,v) = 0 ∀u,v∈V. Además, b(u,v,w) = −b(u,w,v),∀u,v,w∈V Demostración: Por densidad, será suficiente demostrarlo para u,v∈V. En este caso, se cumple que ZuiDivjvj=ZuiDi (vj)2 2=−1 2ZDiui(vj)2. Por tanto, el doble sumatorio de bresulta b(u,v,v) = n X i,j=1 Zui(Divj)vj=−1 2 n X i,j=1 ZDiui(vj)2=−1 2 n X j=1 Z=0 (∇ · u)(vj)2= 0. Para la otra afirmación, utilizando la linealidad de by el resultado previo tenemos que 0 = b(u,v+w,v+w) = b(u,v,v+w) + b(u,w,v+w) =b(u,v,v) + b(u,v,w) + b(u,w,v) + b(u,w,w) =b(u,v,w) + b(u,w,v). Por último, introduciremos un resultado importante sobre la regularidad de bque será necesario al estudiar el problema completo. 34 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE NAVIER STOKES Proposición 2.8. Si u∈L2(0, T;V), entonces hBu,viV0,V := b(u,u,v) = ((u· ∇)u,v)(L2)n(2.4) ∀v∈V, e.c.t. t ∈[0, T]satisface Bu∈L1(0, T;V0). Demostración: Por ser btrilineal y continuo, se tiene trivialmente que Bu∈V0 con ||Bu||V0≤c||u||2 V∀u∈V, e.c.t. t. Integrando esta desigualdad entre 0yT, obtenemos ZT 0 ||Bu(t)||V0dt ≤cZT 0 ||u(t)||2 Vdt, y por hipótesis el último término es acotado, lo que termina la demostración. Una vez estudiado el término no lineal, queda comprobar que si u∈L2(0, T;V) entonces los términos lineales pertenecen a L1(0, T;V0). Para el dato f, asumiremos que f∈L2(0, T;V0)por analogía con el capítulo anterior. También se puede imponer f∈L1(0, T;H)y tendríamos un desarrollo análogo. Este caso puede verse con detalle en [14]. Proposición 2.9. Para cualquier u∈V, se tiene que la forma ((u,v)) := h−∆u,viV0,V es lineal y continua en V. Demostración: La linealidad se tiene directamente por ser el producto de dualidad lineal. Para ver la continuidad, solo tenemos que acotar. Integrando por partes y usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, ((u,v)) = h−∆u,viV0,V =− n X i,j=1 hDjDjui, viiH−1,H1 0= n X i,j=1 ZDjuiDjvi ≤ n X i=1 Z|∇ui|2)1/2Z|∇vi|2)1/2 ≤ ||u||V||v||V. Acabamos de demostrar que el elemento −∆u∈V0. Por tanto, ∆representa una aplicación lineal y continua de Ven V0. Ahora vamos a demostrar que el término ∆u pertenece al espacio deseado. Proposición 2.10. Si u∈L2(0, T;V)entonces ∆u∈L2(0, T;V0). Demostración: El resultado es consecuencia de que ∆sea una aplicación lineal y continua de Ven V0. Más explícitamente, usando el resultado anterior tenemos que ZT 0 ||∆u||2 V0≤ZT 0 ||u||2 V≤C. Queda tratar el término temporal ∂tu. Gracias a haber tratado el resto de términos este se consigue de la ecuación 2.2 2.2. CONTINUIDAD Y COMPACIDAD 35 h∂tu−∆u+ (u· ∇)u−f,viV0,V = 0 ⇒ h∂tu,viV0,V =h∆u−(u· ∇)u+f,viV0,V , ∀v∈V, t ∈(0, T).Es decir, que ∂tu= ∆u−(u· ∇)u+fy como cada sumando de la derecha pertenece a L1(0, T;V0)o a L2(0, T;V0)⊂L1(0, T;V0), se tiene que ∂tu∈L1(0, T;V0). En la contención hemos usado que el intervalo (0, T)es acotado. Una vez analizados todos los términos, presentamos el problema variacional completo. Como último detalle, observamos que h∂tu,viV0,V =d dt hu,viV0,V , (ambos términos son escalares). Ya podemos definir qué vamos a entender por solución débil al problema. Definición 2.1. Sea f∈L2(0, T, V 0)y sea u0∈H. Diremos que una función u∈ L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H)∩C([0, T]; V0), con ∂tu∈L4/3(0, T;V0)es solución débil del problema de Navier-Stokes si satisface        d dt hu,viV0,V =hf+ ∆u−Bu,viV0,V ,∀v∈V, e.c.t. t ∈(0, T) u(0) = u0 hBu,viV0,V : = b(u,u,v) = ((u· ∇)u,v)(L2)n. (2.5) El operador Bestá definido como en la ecuación (2.4). Nótese que la condición ∇·u= 0 viene implícita en el espacio al que pertenece u. Para que la condición inicial tenga sentido necesitamos algún tipo de continuidad para la solución, lo cual se tratará en la siguiente sección. 2.2. Continuidad y compacidad En esta sección abordaremos algunos resultados enfocados a demostrar la existencia de soluciones débiles, pero no trataremos el problema directamente hasta la siguiente sección. Empezaremos por demostrar que tenemos continuidad en la solución, lo cual es necesario si queremos que la condición inicial tenga sentido. Teorema 2.11. Sea Xun espacio de Banach con dual X0y sean g, u ∈L1(0, T;X). Entonces son equivalentes: 1. ues en casi todo igual a una primitiva de g. Es decir, u(t) = ξ+Zt 0 g(s)ds, ξ ∈X, e.c.t. t ∈[0, T] 36 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 2. Para cada función test φ∈D((0, T)) se tiene que ZT 0 u(t)φ0(t)dt =−ZT 0 g(t)φ(t)dt φ0=dφ dt  3. Para todo η∈X0se tiene que d dt hη, u(t)iX0,X =hη, g(t)iX0,X en (0, T), en el sentido de las distribuciones. En particular, con estas condiciones se tiene que u∈C([0, T]; X). Demostración: La continuidad se deduce, por ejemplo, de 1., ya que ues la primitiva de una función integrable. Como φse anula en ayb, integrando por partes se obtiene que 1.⇒2., 3.. Demostraremos a continuación 3.⇒2.y después 2.⇒1.. 3.⇒2.Suponiendo que 3.es cierto, hu(t), ηies función de te integrando por partes se cumple que ZT 0 hu(t), ηiφ0(t)dt =−ZT 0 hg(t), ηiφ(t)dt. Podemos agrupar todo a la izquierda de la ecuación. Al ser φ, φ0escalares en cada instante de tiempo, podemos agruparlos respectivamente con g, u dentro del producto dual, obteniendo ZT 0 hu(t)φ0(t), ηidt +ZT 0 hg(t)φ(t), ηidt = 0. Dado que las integrales están bien definidas, por linealidad podemos intercambiar integrales con productos y obtener ZT 0 u(t)φ0(t)dt +ZT 0 g(t)φ(t), ηdt = 0 ∀η∈X0. Por tanto, se tiene ZT 0 u(t)φ0(t)dt +ZT 0 g(t)φ(t) = 0, satisfaciendo 2. 2.⇒1.. Para probar la implicación restante, comenzamos por simplificar el enunciado con el cambio de variable u0(t) = Zt 0 g(s)ds, v(t) = u(t)−u0(t). Integrando por partes se comprueba que ZT 0 v(t)φ0(t)dt =ZT 0u(t)−Zt 0 g(s)φ0(t)dt =−ZT 0 (−g(t) + g(t))φ(t)dt = 0 (2.6) 2.2. CONTINUIDAD Y COMPACIDAD 37 para cualquier φ∈D((0, T)), por lo que g= 0. El objetivo ahora es probar que ves un elemento constante de X. Para ello, tomamos φ0∈D((0, T)) tal que RT 0φ0(t)dt = 1. Con esta propiedad, cualquier función φ∈D((0, T)) cumple que ZT 0 (φ(t)−λφ0(t))dt = 0,con λ=ZT 0 φ(t)dt. Por ser nula en un entorno de 0yT, se tiene que la primitiva de φ(t)−λφ0(t)∈ D((0, T)), y la denotaremos por ψ. Se cumple entonces que φ−λφ0−ψ0= 0 en D((0, T)). Por tanto, gracias a la ecuación (2.6) se tiene que ZT 0 (φ(t)−λφ0(t)−ψ0(t))v(t)dt = 0 ⇒ZT 0 φ(t)v(t)dt =ZT 0 φ0(t)v(t)dt ZT 0 φ(t)dt. Denotando ahora ξ=RT 0φ0(t)v(t)dt, agrupando términos se tiene que ZT 0 (v(t)−ξ)φ(t)dt = 0,∀φ∈D((0, T)). La arbitrariedad de φdemuestra que v(t) = ξ e.c.t. t ∈(0, T). Para nuestro problema, al ser Vun espacio de Hilbert se tiene en particular que es Banach y reflexivo, y tomando X≡V0se tiene que X0≡Vy se cumple que u satisface la condición 3.y las hipótesis del teorema, por lo que u∈C([0, T]; V0). El término no lineal dificulta el problema, ya que la convergencia débil no es suficiente para probar que, si tomamos una sucesión um*uentonces Bum*upor no ser una aplicación lineal en u. Por ello, abordaremos a continuación resultados que permitan probar la convergencia deseada. Empecemos por un lema previo. Lema 2.12. Consideremos tres espacios de Banach reflexivos X1, su dual X0 1yX0 tales que X1,→X0es una inclusión compacta y X0,→X0 1es una inclusión continua. Denotaremos sus normas como || · ||X1,|| · ||X0y|| · ||X0 1respectivamente. Entonces, ∀ε > 0∃C>0tal que para cualquier x∈X1se cumple ||x||X0≤ε||x||X1+C||x||X0 1. Demostración: Supongamos que el resultado es falso, y lleguemos a un absurdo. En ese caso podemos encontrar x∈X1que cumplen la desigualdad inversa para cualquier valor fijo de C, por lo que existe una sucesión {xm} ⊂ X1tal que ||xm||0≥ε||xm||X1+m||xm||X0 1. 38 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE NAVIER STOKES Definiendo ahora ym=xm ||xm||X1 ∈X1, la desigualdad anterior resulta ||ym||X0≥ε+m||ym||X0 1 con ||ym||X1= 1 por definición. Al ser X1reflexivo, la bola unidad es débilmente compacta. Se tiene entonces que existe una subsucesión ym0* y ∈X1. Denotaremos ym0=ympor comodidad. Al ser la inclusión X1,→X0compacta, existe una subscesión de {ym}que converge en X0. De nuevo denotaremos dicha subsucesión como {ym}. Dado que y∈X1⊂X0y la convergencia fuerte implica la débil, necesariamente se tiene que ym→yfuerte en X0. Como ||ym||X0≥m||ym||X0 1y||ym||X0es acotado se tiene que ||ym||X0 1→0. Por tanto, ||y||X0 1= 0 y debe tenerse y= 0, pero ||ym||X0≥ε⇒ ||y||X0≥ε > 0, lo cual es contradictorio. Con ayuda de este lema, podemos probar un resultado que nos aporta convergencia fuerte. Necesitaremos también el siguiente teorema. Teorema 2.13. Sea U⊂Rnun abierto acotado. Entonces, la inyección H1 0,→L2es compacta, así como la inyección L2,→H−1. Demostración: Este teorema es un caso particular del teorema de Rellich, cuya demostración puede verse en [7], página 200. Teorema 2.14. Sea una sucesión {fk} ⊂ L2(0, T;H1 0)∩C([0, T]; L2)cumpliendo las condiciones ||fk||L2 T(H1 0)≤M, ∀k∈N, ||fk||L∞ T(L2)≤M, ∀k∈N, ||fk(t2)−fk(t1)||H−1≤L|t2−t1|α, para algún M, L > 0,0< α ≤1. Entonces, existe una subsucesión {fkj}y una función f∈L2(0, T;H1 0)∩L∞(0, T;L2)con fkj→fen L2(0, T;L2). Demostración: Puede verse un resultado más general en [12] (teorema de Lions- Aubin). La prueba sigue una estrategia similar a un resultado del mismo tipo en [9]. Al ser el espacio L2(0, T;H1 0)reflexivo, por ser la sucesión acotada en este espacio existe una subsucesión fkj* f ∈L2(0, T;H1 0). Por ser L∞(0, T;L2)el dual de L1(0, T;L2), que es separable, existe una subsucesión de {fkj}(que denotaremos igual por abuso de notación) que satisface fkj∗ * f ∈L∞(0, T;L2). 2.2. CONTINUIDAD Y COMPACIDAD 39 Nótese que al ser H1 0⊂L2, por unicidad de límite debe tenerse que las fson iguales, y por eso las denotamos igual. Ya tenemos un candidato para cumplir la convergencia fuerte. Vamos a demostrar que la norma de la diferencia tiende a 0. Por el lema 2.12, ∀η > 0,∃Cηtal que ||fkj−f||L2(t)≤η||fkj−f||H1 0(t) + Cη||fkj−f||H−1(t). Tomando norma en L2(0, T), por la desigualdad triangular se tiene que ||fkj−f||L2 T(L2)≤η||fkj−f||L2 T(H1 0)+Cη||fkj−f||L2 T(H−1).(2.7) Por ser ||fkj||L2 T(H1 0)≤M, y por ser la norma del límite menor o igual al supremo del límite de la norma, ||f||L2 T(H1 0)≤M. Aplicando la desigualdad triangular, se tiene que ||fkj−f||L2 T(H1 0)≤2M. Para el otro sumando, aplicando la desigualdad de Hölder obtenemos ||fkj−f||L2 T(H−1)≤ ||fkj−f||L∞ T(H−1)||1||L2 T=T1/2||fkj−f||L∞ T(H−1). Con estas cotas, la desigualdad (2.7) proporciona ||fkj−f||L2 T(L2)≤2Mη +CηT1/2||fkj−f||L∞ T(H−1). Como ηes arbitrario, si demostramos que ||fkj−f||L∞ T(H−1)→0, habremos terminado la demostración. Consideremos los tiempos Q∩[0, T] = {ti}i∈N. Este conjunto es denso en [0, T]y numerable. Al ser {fk} ⊂ C([0, T]; L2), la sucesión {fkj(t1)} ⊂ L2. Por el teorema 2.13, existe una subsucesión fkj1(t1)→f(t1)en H−1. Repitiendo el razonamiento, podemos tomar una subsucesión {fkj2}⊂{fkj1}tal que fkj2(t2)→f(t2) en H−1. Continuando con el procedimiento, para cada itomamos una subsucesión {fkji}⊂{fkji−1}de forma que fkji(ti)→f(ti)en H−1. Tomamos ahora la sucesión diagonal que toma el elemento i-ésimo de la sucesión i-ésima {fkj0}. Por comodidad, denotaremos esta sucesión como {fkj}. Esta sucesión cumple que fkj(ti)→f(ti)en H−1∀i. (2.8) Por ser el intervalo [0, T]compacto, de cualquier recubrimiento por abiertos podemos extraer un subrecubrimiento finito. Por ser {ti}denso, un conjunto de abiertos centrados en ellos cubre el intervalo entero. Por tanto, para cualquier δ > 0existe un recubrimiento finito de la forma [0, T]⊂ L [ l=1 til−δ1/α 31/αL1/α , til+δ1/α 31/αL1/α .(2.9) Por la propiedad (2.8), existe Kltal que ∀kj1, kj2≥Klse tiene ||fkj2(til)−fkj1(til)||H−1<δ 3. 40 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE NAVIER STOKES Tomando ahora K= m´ax{K1, . . . , KL}, se tiene que ∀kj1, kj2≥K, ||fkj1(t)−fkj2(t)||H−1≤ ||fkj1(t)−fkj1(til)||H−1+||fkj1(til)−fkj2(til)||H−1 +||fkj2(til)−fkj2(t)||H−1 ≤L|t−til|α+δ 3+L|t−til|α para cualquier tilcon l= 1,...,L. De (2.9) se deduce que para cualquier t, podemos imponer |t−til|<δ1/α 31/αL1/α tomando el índice ilapropiado. Con esto, podemos acotar ||fkj1(t)−fkj2(t)||H−1≤3δ 3=δ, para cualquier valor de t, por lo que la sucesión {fkj}es de Cauchy en L∞ T(H−1)y por ser un espacio de Banach se cumple que fkj→fen L∞ T(H−1). Nuestros siguientes pasos serán dar resultados que permitan aplicar este teorema. Construir una sucesión y demostrar que es acotada se hará con ayuda del método de Galerkin, por lo que se abordará en la siguiente sección. En particular, ya vimos al principio del capítulo que los espacios V, H son Hilbert por ser subespacios cerrados de un espacio de Hilbert. Esto implica que son Banach y reflexivos. 2.3. Existencia de soluciones débiles Aplicaremos el método de Galerkin de forma análoga al capítulo anterior con la ecuación del calor, y veremos cómo resolver las dificultades añadidas. El comienzo es similar: al ser Vun subespacio del espacio métrico separable H1 0se tiene que Ves separable. Al ser Vdenso en V, podemos tomar un conjunto de elementos w1,w2, . . . de Vque forman una base de V. Por el algoritmo de Gram-Schmidt, podemos imponer que la base sea ortonormal en L2. Pretendemos encontrar, para cada valor de m∈N, una solución de la forma um= m X i=1 gi m(t)wi,(2.10) que satisfaga el sistema            h∂tum(t),wjiV0,V +h−∆um(t),wjiV0,V +b(um(t),um(t),wj) = hf(t),wjiV0,V , e.c.t. t ∈[0, T], j = 1, . . . , m. um(0) = u0m,u0m= m X i=1 gi m(0)wi; (2.11) 2.3. EXISTENCIA DE SOLUCIONES DÉBILES 41 por tanto u0mes la proyección en Hde u0∈Hen el espacio generado por {wj}m j=1. Ya hemos visto en la sección 1 de este capítulo que todos los términos tienen sentido y son lineales en sus componentes (nótese que en el término no lineal aparece um dos veces). Teniendo en cuenta la ecuación (2.10), la ecuación (2.11) se traduce en un sistema diferencial (no lineal) para los {gi m}m i=1. En concreto, la derivada se escribe como h∂tum(t),wjiV0,V = m X i=1 h∂tgi m(t)wi,wjiV0,V = m X i=1 (wi,wj)(L2)n∂tgi m(t) = ∂tgj m(t). Para la derivada de segundo orden, por linealidad tenemos que h−∆um(t),wjiV0,V = m X i=1 h−∆gi m(t)wi,wjiV0,V = m X i=1 h−∆wi,wjiV0,V gi m(t). El término no lineal también se puede expresar en función de la base, gracias a la linealidad en cada componente b(um(t),um(t),wj) = b( m X i=1 gi m(t)wi, m X l=1 gl m(t)wl,wj) = = m X i=1 b(wi, m X l=1 gl m(t)wl,wj)gi m(t) = m X i,l=1 b(wi,wl,wj)gi m(t)gl m(t). Para el dato inicial, tendremos en cuenta que um(0) = Pm i=1 gi m(0)wi, por lo que gi m(0) = (u0m,wi)L2= (u0,wi)L2.Con esto, el sistema (2.11) se puede reescribir como                  ∂tgj m(t) + m X i=1 h−∆wi,wjiV0,V gi m(t) + m X i,l=1 b(wi,wl,wj)gi m(t)gl m(t) = hf(t),wjiV0,V , t ∈[0, T] gj m(0) = (u0,wj) (2.12) para j= 1, . . . , m. Observamos que los coeficientes que acompañan a las gi mson constantes, y que el último término de cada ecuación tiene regularidad L2, luego es integrable. Al ser la derivada una función integrable, se tiene que los coeficientes son continuos en su intervalo de definición. El sistema (2.12) tendrá solución en un intervalo temporal [0, tm]. Para mayor detalle, mirar el libro [2]. Queremos que la solución esté definida en el intervalo [0, T], pero podría pasar que al tomar m→ ∞ ocurra que tm→0. Nuestro primer objetivo será probar que esto no ocurre, y podremos hablar de solución al sistema en [0, T]para cada valor de myTfijo, pero arbitrario. Después tendremos que probar que dicha solución resuelve el problema de Navier Stokes cuando m→ ∞. 48 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE NAVIER STOKES Al ser cierto para cualquier v∈D(U)y por ser la norma una aplicación continua en este espacio, se tiene el mismo resultado para cualquier v∈H1 0(U). Lema 2.21. Si n= 2, |b(u,v,w)| ≤ 21/2||u||1/2 L2[[u]]1/2[[v]]||w||1/2 L2[[w]]1/2∀u,v,w∈H1 0.(2.25) Si upertenece a L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H), entonces Bu∈L2(0, T;V0)y ||Bu||L2 T(V0)≤21/2||u||L∞ T(H)||u||L2 T(V) Demostración: Aplicando la desigualdad de Hölder generalizada y Cauchy-Schwarz, obtenemos |b(u,v,w)| ≤ 2 X i,j=1 Z|ui(Divj)wj|dx ≤ 2 X i,j=1 ||ui||L4||Divj||L2||wj||L4 ≤ 2 X i,j=1 ||Divj||2 L2!1/2 2 X i=1 ||ui||2 L4!1/2 2 X j=1 ||wj||2 L4!1/2 . Aplicando el lema 2.20, P2 i=1 ||ui||2 L4≤21/2P2 i=1(||ui||L2||∇ui||L2)≤21/2||u||L2[[u]]. Aplicando el mismo resultado para wj, se tiene (2.25). Si los vectores pertenecen a V, por tenerse b(u,v,w) = −b(u,w,v), se tiene aplicando la ecuación (2.25) que |b(u,v,w)| ≤ 21/2||u||1/2 L2[[u]]1/2[[w]]||v||1/2 L2[[v]]1/2∀u,v,w∈V. En particular, se tiene que |b(u,u,v)| ≤ 21/2||u||L2[[u]][[v]] ∀u,v∈V y por tanto que ||Bu||V0≤21/2||u||L2[[u]] ≤21/2||u||L2||u||V∀u∈V. Como u∈L2(0, T;V)∩L∞(0, T;H), se tiene que ||Bu||L2 T(V0)≤21/2||u||L∞ T(H)||u||L2 T(V). Teorema 2.22. La solución al problema (2.5) en el caso n= 2 es única. Demostración: Supongamos que tenemos dos soluciones u1,u2. Entonces, la diferencia u=u1−u2satisface las ecuaciones (u0−∆u+Bu1−Bu2= 0 ⇒u0−∆u=−Bu1+Bu2, u(0) = 0. 2.4. UNICIDAD DE SOLUCIONES EN DIMENSIÓN 2 49 Multiplicando la primera ecuación por u, llegamos a que d dt||u(t)||2 L2+ 2[[u(t)]]2= 2b(u2(t),u2(t),u(t)) −2b(u1(t),u1(t),u(t)).(2.26) Usando el lema 2.7 y la linealidad de b, vemos que podemos escribir b(u1(t),u1(t),u(t)) = b(u1(t),u1(t),u(t))+b(u1(t),u(t),u(t)) = b(u1(t),u2(t),u(t)). Aplicando esto a la identidad (2.26), y usando el lema 2.21 tenemos que d dt||u(t)||2 L2+ 2[[u(t)]]2=−2b(u(t),u2(t),u(t)) ≤23/2||u||L2[[u]][[u2]] ≤2[[u(t)]]2+||u||2 L2[[u2]]2. Por tanto, se tiene d dt||u(t)||2 L2≤ ||u||2 L2[[u2]]2. Como [[u2]]2es integrable, podemos multiplicar la desigualdad anterior por el factor integrante exp −Rt 0[[u2(s)]]2dsy llegamos a que d dt exp −Zt 0 [[u2(s)]]2ds· ||u(t)||2 L2≤0, e integrando obtenemos que ||u(t)||2 L2= 0 ∀t∈[0, T], por lo que u1=u2. 50 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE NAVIER STOKES Bibliografía [1] R. A. ADAMS,Sobolev spaces. Academic Press (1987). [2] L. BARREIRA AND C. VALLS,Ordinary Differential Equations. American Mathematical Society (2012). [3] T. BUCKMASTER AND V.VICOL,Nonuniqueness of weak solutions to the Navier- Stokes equations, arXiv:1709.10033 [math.AP]. [4] P. CONSTANTIN AND C. FOIAS,Navier-Stokes Equations. Chicago Lectures in Mathematics. The University of Chicago Press (1988). [5] J. B. CONWAY,A course in Functional Analysis. Second Edition. Springer (1996). [6] L. C. EVANS,Partial Differential Equations. Second Edition. American Mathematical Society (2010). [7] GERALD B. FOLLAND,Introduction to Partial Differential Equations. Second Edition. Princeton University Press (1995). [8] G. FRIEDLANDER AND M. JOSHI,Introduction to the theory of distributions. Second Edition. Cambdirge University Press (1998). [9] F. GANCEDO, P. CONSTANTIN, D. CÓRDOBA AND R.M. STRAIN,On the global existence for the Muskat problem. J. Eur. Math. Soc., 15, no. 1, 201-227, 2013. [10] G. LEONI,A First Course in Sobolev spaces. Second Edition. American Mathematical Society (2017). 51 52 BIBLIOGRAFÍA [11] J. LERAY,Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Math. 63 (1934), no. 1, 193-248. [12] A. J. MAJDA AND A. L. BERTOZZI,Vorticity and Incompressible Flow. Cambridge Univeristy Press (2002). [13] G. DE RHAM,Variétés Différentiables. Hermann (1960). [14] R. TEMAM,Navier Stokes Equations. Volume 2. North Holland (1979).