Orontii Finei... Arithmetica practica libris quatuor absoluta, omnibus qui mathematicas ipsas tractare volunt perutilis, admodumque necessaria

FINEI DELPHIN. RE» CII mathematicarvm PROFESSORIS: arithmetica PRACTICA, LIBRIS* O.VA tuor abfoluta, omnibusqui Ma» rhcmaticas ipfas rracfcare volunt perutilis ,admodumque necefla* ria: Ex nouiiTima authoris reco* gnicione ,amplior ,ac emendas tior faCta. /Editio rertu. PARISIIS. Ex officina Simonis Colinazi. Cum gratia &priuilcgioChri* ilianiilimi Francorum Regis. ^ORONTIVS FINEVS DELPHINA S, RE* gius difciplinarum (quse Mathematicse vocantur )interpres, Candido,acftudiofole6tori, S- P. D. VM PAVCIS AB HINC ANNIS, LE- flor bcneuolc,in communem philofophantium omnium gratiam aditum,atque ipfi chriJUaniffimo ac potentifjimo Francorum RegiFracifco huiufce nominisprimo, Meccenatinoflro efementiffimo ,confecratutn nojlr£Protomathefis opus,multispergratum effcintelligere mus,audiremufq} uonuullos(morofosforfitan,aut bumiliorcfortnna (fonatos)tum de mole voluminis,tum de pretijgrauitate mummran tes:P(acnit tandem exipfo Protomathefis opere, nojlros Arithmctic£pra&ic£librosfeorjmn impreffos,emendatiores quidem ,au&of/p ac recognitos,vniuerfis bonarum artiumJhtdiofis (nojlris potijfimii auditoribus)rnrfum communicare. Nihilenim vitquam pr<ctcrmijfurifumus,quod velminimam ipfisjludiofis adferre poffit vtilitatem:Vtpote,qni inter ea,que ipfa Dei opti mi maximi liberalitas mortalibus elargitur beneficia, idprejlantijfmutn exijiimemits ,cum pro conceffa. fortuna, velingenij dexteritate rempub.literariam adiutare, cunblifquefideliora fc&antibusfludiaprodeffe conamur. Qua: igitur in Arithmetica uofira tumfolita iutelleElnsprxcocitate ,tum eorum qui opus ipfum excudendumJifcepere ncgligentia,minusfceliciter £ditafuere:caj}igatiorc lima in fuam redegimus harmoniam,multis tum in melius commutatis,tum recenter adiuiiElis :&Colinseo nojlro excudenda tradidimus.Apudquem, cumfingula ipfius Arithmetica tiojlre diftributaforent exemplaria: Collibuit demit tertiam addere recognitionem.Vt vninerfts bone voluntatis hominibusfatis 6ac in partefaciamus:vt nil)iletiamdefideretur,quodnoi(itios huius dfciplinxremoraripoffitauditores.Qmecuque enimadfand tum integrorum tumfragorum numerorumpraxin expedire indicauimus, ea tibi pura, &admodumfacili traditione confcripfimusdabyrintheis illis numerorum,atque vulgarium negotiationum, velexemplorum anfraEIibus (quorum innumerafereextant volumina)prorfus dereliBis-.vtpote ,qui mathematicis tantummodo,hoc ejl,purioris phi(ofophi<c difcipulis vid adgrauiora parare defideramus .Tuit erit igitur , candide le&or,quicunq3 ad mathematica adfpirasphilofophiafocefi, aliquid fdre toto contendisanimo, hofce labores nojlros ambabusfufeipere manibus ,&~boniequttp femper confnlcre-.ipfiq} humanijfitno ac chriflianiffimo Regi nojlro bene precari, cuius munificentia &fattoreh£c tibicomunicauimus. Interea autem expeElabis nojlrasinfex priores libros Geometricos elementoru Euclidis recens au&as &emedatas demonjlrationes ,atoto de indijlria (infauorem videlicetJludiofeiiiuentutis )feparatas volumine : Spheram quoque nojlramfiue Cofmographiam,cajligatiorern atque locupletioremfaElam ,nectton recentibusfcbo(ijs,qn£ vice brutioris poterunt effe commentarij, peropportunifquefugatarum rerum lineamett tis &fupputationibus iflujlratd. Noafpernandos quoque in Ajh olabnmfine Plattifphxrium canones: vna cum ipfo injlrumento nona ac vfuiparatijfima deferiptionefabricato. Theoricas itfuper planctarum,e(eganti methodo, ac inauditafacilitateconfcriptas. Etreliqua demum vniuerfe Mathefis rudimenta ,fepa ratis confcripta &.edenda voluminibus:que tibinon mediocrem vtilitatem cis deleElatione fpcratms adlatura.Vale,LutetieParifiorum, Anno chrjtifalnatoris 1542, Tetrajlichon Orontianum. Cum naturafagax numero menjuquc crearit Singula,ponderibus clauferit inde fuis: Non poteris rerum proprias discernere caufas. Ni teneas numeros,tjuos geometra colit„ A.i/. 2fr>INDEX CAPIT VM.SINGVLI SHVIVSCE ARITHMETICAE LIBRIS CONTENTORVM. CRIBRI PRIMI CAPITA. Caput. De frudtu,atque dignitateipfius Arithmetica:,Prooemium. 1. De numero,elementis, Si arte numerandi. 2. De integrorum Additione. 3. De Subtradione. 4- Dc Multiplicatione. 5.De Diuifione eorundem integrorum . 6. Deintegrorum numerorum Reductione. 7. Dc inuentione Radicis quadratorum numerorum. 8. Decubicae Radicisinuentione. Defupradidorum capitum examine. CLIBRI SECVNDI CAPITA. i. Derationefradionum vulgarium,&earundem expreffione. 2- Dereductione prardictarum fradionum. 3- Dcabbreuiatione fradionum, Si partium quotarum inuentione. 4- Devulgarium fractionum additione. 5-Defubtradioneiam didarum fradionum. *>• De earundem fradionum multiplicatione. 7- Dediuifione prsdidarum fradionum. S- Devtriufq; radicis inuentioneinipfisfradionibus. CLIBRI TERTII CAPITA. 1. Dcratione ac expreffione fradionum aftronomicarum, 2. Defradionum aitronomicarum Additione. 3. DeSubtradioneprodictarum fradionum.. 4. De earundem fradionum Multiplicatione. j. De ipfarum fradionum aftronomicarum Diuifione. 6.Dequadrata: Radicisinucntioneineifdem fractionibus. 7. Decubica iam dictarum fractionum aftronomicarum radice. CQ.VARTI LIBRI CAPITA. 1. DeRationeatq; proportione quantitatu,& fpeciebus vtriufq; principalioribus. 2. De Additione,atq; fubtraftione duarum quarucuq; rationum adinuicem: feu deprodudione rationis ex duabus quibufuis rationibusgenerata:. 3. Deaurea quatuorproportionalium numerorum Regula. 4. Deregula fex quantitatum inuicem proportionalium,eiuIquedifferctijsSC vfu multiplici. ^VIRESCIT VVLNERE VIRTVS. 3» ORONTII FINEI DELPHINATIS, REGII MATHE* MATICARVM PROFESSORIS, DE ARITHMETICA PRACTI* CA LIBRI Q.VATVOR. LIBER PRIMVS, DE INTEGRIS.-HOC EST, eiufdem ipeciei,fiue denominationis tradat numeris. {[DefriiZhi,at(p dignitate ipjius AritbmcticKiVroxmium. NTER LIBERALES MA. thematicas.qua: fola: difciplina: vocan* |dicaftc: nemo fana: mentis ignorat .Eft Dil,niras enim Arithmetica omniu aliarudifcipli arithmetici» narum mater,&nutrix antiquiflimamii hneroru qualitates,vim,& naturam,ac id genus alia demonftrans,qua: abfolutum videntur refpicere numcru.Cuius princi iipiatanta excellunt iiimplicitate ,vt nui* lius artis videatur indigere fuffragfo: fcd eundis opituletur artibus. Ad cuius puritatem illud etiam plurimu facit:quonia nulla diuinita* ti adeo conexa eft difciplina,quantum Arithmetica.NS vnitasom* niu numeroru radix &origo,in fe,^ ie,ac circu feipfam vnica vel ini* partibilis permanetrex cuius tame coaceruatione ,omnis cofurgit & gencratur,ommfq; tandein eam refoluitur numerus .Quemadmo* dum eunda qua? feu difereta, fiue compofita infpedetur Vniuerfo, at fummoreru conditore in definitum digefta ,redadavefunt,& demft zrefoluenda numeru .CQtiot autem vtilitates cognita, quotve laby* pruftug rinthos ignota prabeat Arithmetica;confpicere facile eft. Numero* arithmetica;, rum etenim ratione fublata,tollitur &muficarum modulationu intel ligetia:geometricoru,c^Ieftiumve arcanoru fubtilis aufertur ingref* fio:tollitur Scvniuerfa Philofophia,fiuc qua: diuina,fcuquie contem piatur humanarimperfeda relinquiturlegum adminiftratio, vtpote, qua: iuftitiam quibufuis pro dignitate difpefans,arithmetico femper A.iij. Regula fub» ttaaionis. Documet», cum infer/o» raa fupcrio» ribus eiemen tis non pof» funt auferri. ORONTI IFINEI DELPH. $[Dcfubtrattione. Cap. tII. •aVBTRAHERE, EST NVMERVM AMAIORI, i g|vcl arquali numero,fubtiliter auferrcrvt fa&a fubtradione, fi quod fuerit refiduu innotefcat.Queadmodu fi 4Sfubtras hanturajo, relinquentur*: aut 24 a48,remanens numerus erit 24.Sc fic defimilibus.Maiore porro numeru aminori fubtrahere numero,impoffibileeft:& aqualem ab tequali,fupcruacaneu &inutis le,cum ex tali fubtradione nihil relinqui,prima fronte fit manifcftu. Solum igitur de fubtradione minoris,a maiori numero, videtur cfife traftandu.Cltaq;,in fubtradione Cvt ad re ipfam deueniamus )duo z praecipui nobis occurrunt numeri:vtpote,maior ipfe numerus, aquo facienda eftfubtradio,& is quifubtrahendus eft,qui fub ipfo maiori numero,refpondentibuseiufdem valoris &locis &elementis ,venit collocandus.deinde fubfcribenda efi: in tranfuerlum lineola: fub qua numerus,qui fada fubtradione manebit,reponetur,Qjiibus ita prtes j?aratis,aufercd£ funt primu vnitates ab vnitatibus, dente cofequeter adenis,centena: pofimodum acentenis,&reliqua tandem areliquis, quoufq; ad vltima vtriufq; numeri deueniatur elemeta:refiduo,quod fada particulari fingulorum elementoru fubtradione manebit, fub interieda lineola,dccentibus elementis figillatimexprefib.Cum au= tem alicuius inferioris elementi afuperiori fada fubtradione, nihil relinquetur: tziphra ovenit tunc fubfcribenda. dempto loco vltimo: vbi fruftra poneretur ipfum elementum non fignificatiuiim,ad folam occupationem locorum, &fignificatiuoru elemetoru tranfpofitione depuratu. ffVeriim cum aliquod elemetu ipfius numeri fubtrahedfa ? fibi fupra pofito minime poterit auferri (quod folet eucnirc frequens tius)aufcr ipfum elemetuma 10, &refiduu iunge elemento fuperiori, refultante inde fubfcribe numeru.Vel(& idem efi) ipfi elemeto fupes rioridenamadiungas: &ab adgregato numero fubtrahendu auferas elementu,fubnotato (vti nuper diximus) refiduo, vel fubfcripta tzu phra o,quoties ipfum refiduu nullu efie cotinget.Ite ratione ipfius des n^,altero duorii modoru elemento fuperioriconiundte, addenda efi: vnitas elemento proxime fuccedenti lubtrahedi numeri: &adgrcga= tus inde numerus ab elemeto fuperiori rurfum auferendus eft.Vel(8c facilius)tolIe mentaliter vnitate,ab elemento, proxime fuccedcti, ip* fius quippe numeri,aquovenit facieda fubtradio:&ab imaginato re fiduo,inferiore fubtrahe numeru.Quodfi ide fuperius elementu fue* rit ortollaturhtec vnitasa io,& arefiduo fubtrahendus numerus aufe ratur.fimilifq; difeurfus obferuetur,quoties id necefilim fuerit.Horu ratio eft,quonia virtualiter adcomodatur,imo re vera mutuanda efi ARITH. PRACT. LIB. vniras ab elemeto limitis proxime fuccedetis verius fena, ipfius quis dem numeri aquo fubtradio fit,qu? tradudainproximii ordine ver fus dextra, dece reftituet feu reprgfentabit vnitatcs :qua vnitate vel oportet ab eode proximo &feuo demere,vgI elemento fubrefpondes ti numeri fubtrahedi relKtuere,vt vtriufq; numeri propofita feruetur integritas.Vtru aut borum modoru obferuare malueris,tuo relinquis mus arbitrio:cum eadecx vtroq; fubfequatur operatio. Cum autem plurcs numeros ab eode auferre numero fuerit oper^preciu: eofde in primis in vnum coaceruabisnumerum.Idem facito,vbi datus nume= rus apluribus fuerit fubducendus. 42*EX£MPLO FORSITAN SINGVLA MELIVS INTEL- Exemplum legentur.Sit igitur apropofito numero $4657* fubtrahendus hienus fubtMftlo,s' merus 2t)j8 4.His(vt fupra diximus) debite fubordinatis ,&interie* da fub vtroq; lineolaia dextris &minoribus elementis operari fic ins cipiasiSi 4auferatur a7,relinquentur triarfubfcribe igitur 3. Deinde, 8a/fubrrahi nonpoffunt:aufer igitur 8adecem,relinqucntur z,ha;c, adde ipfisy,fientfeptem.Vcl iungedecem ipfis/,rcfultabunt quindes cim:dic igitur,fi 8auferantur ai/, remanebunt pariter feptemrfcribe itaq; 7,fub interpofita lineola.Poftmodum ratione den? ipfis jfupers addit£e,iungito vnitate prox ime fequeti elemeto numeri fubtrahedi vtpotequinario,fientfex:dicasergo,fi 6tollantur a6,nihil relinques tur; fubfcribito igitur tziphram o. Idem habcbis,fi ab ipfis 6nume* ri aquo fubtradio fir,abftuleris mentaliter vnitatem,qua procedens ti quinario nuper adcomodafl:i,& arelidis scentenis, fubrefponden tes scentenas fubtrahedi abftuleris numeri :nihil enim relinquetur. Rurfum 6a4tolli nonpofiunt: aufer itaque 6a. decem, remanebunt quatuor,hxc iungito ipfis 4, cofurgent odo. Vel adde decem eifdem 4,fient quatuordecim:dicito itaque,fi 6auferantur a14, relinquentur itidcmodo:fubnota refpondenter 8. Tandempropter denam ipfis 4 nuper adiundam.adde vnitatemfuccedetibinario numeri fubtrahe* di,fient tria:dic igitur,fi 3tollantur atribus,nihil relinquetunnihil er go iubfcribas,quoniam tziphra olocum extremu in vanum occupas ret.Nihil etiam relinquetur, fi ab ipfis tribus numeri fuperioris lub* 1traxeris metaliter vnitatem,qu$ pras [cedentibus 4nuper adeomodata fuit: &arelidis duabus vnitatibus ,duas numeri fubtrahendi refpodenter abs ifuleris vnitates. concludendum igi* |tur,fi 16584 fubtrahatur a346/7 :huc remanere numerum,vtpote 8073. Numerus dquo fic fubtrattio. 34637 Numerusfubtrahendus. 1^584 Linea interic&a. Numerus remanens. 8073 ORONTII FINHI DELPH. 0[Dc multiplicatione. Cap. 11II. i=wniVLTIPLICARE,EST dvobvsoblatis NVsi tipUcarc. mU, ykN^^ |meris,alteru toties coponcre, quotfuntin reliquo vnitates: ifeu produ&umex du£tu alterius in reliquum,inucnire nu* IsSsliiLJmcrum, qui toties multiplicandum numerum comprehen* Noerus mul dat,quot funt vnitates inmultiplicante.PermuItiplicandu,eu intellis npjicandus. j-mus nuriieru,qUipro numero vnitatu alterius venit augmetandus. Nucrus mul Multiplicate vero appellamus reliquu.vtpotcqui aliu metitur,&fem per aduerbialiterexprimitur.Exempligratia,(iduxero7 in/,dicendo quinquies 7,producentur 3/:igitur7 multiplicandus,/ vero multiplis cans,& 3/ produdus vocabitur numerus, de fimilibus ide habeto ius Quis numc; dicium.Eu porro numeru folemus efficere multiplicante, qui reliquo dpiicantccal m*nor eftrmultiplicandum vero ,qui maior, non quia idexiftatnc* piencius. ccffarium: fed quoniam facilior redditur multiplicandi ratio.Leuius enim cft inucnire,ter 9que producat numeru,quamnonies 3: tametfi eunde producant numeru,vtpote 27. Na bini numeri multiplicantes fe adinuicem ,generant numeros adinuiccm squales: per decimam fextam feptimi elementorum Euclidis. Demutuo £*IN PRIMIS ITAQ.VE CONTINGIT, NVMERVM 2 numerorum digitu per fefe,vel aliu queuis digitu numeru.hoc eft,elcmcntu quod= tione plKa libet fignificatiuuper feipfum, vel aliud quoduis elementu multiplica rirqute quidem digitoru,vel particularis elementoru multiplicatio, ad quoruuis vel articuloru vel copofitcru numeroru multiplicatione eft fumroe neceflaria,& in proptu femper habenda.Hzec aut digitoru,vel particulariuelementortimultiplicatio, nulla videtur habere difFicub tatc.-modb ipCi digiti vel elementa/,vel 6non excedant vnitates.Ncs mine enim adeo rude(ni prorfusdclirct)arbitramur,qui nefeiat fa» cile iudicare.ter 4,vel quater /,aut quinquies (>,que efficiat numeru: Prima regu» nempeu,2o,& 3°-CCum aut ipfi digiti ad inuicemultiplicandi,plu« 3 ia de multis res /vel 6coprehcnderint vnitates: vtendu cft hac proptitudine, feu gilorum. 6a'regula.Scribe multiplicante digitum fub digito multiplicando,fubie <fta in tranfuerfum lineola: &vtriufq; differentia adenario numero, ad dextram vtriufque locato regionem. Deinde multiplica differens tiamvnius,per alterius differentiam :&produ&u refpondenter fubs feribe numerum.Subtrahe tandem differentiam multiplicatis adigis to multipIicando,autediuerfo:& reliquum pone verfus lamam,poft iam notatum numerum.prouenietenim numerus,ex talium digitoru multiplicatione produ&us.dexter nanq; digitus vnitates, finifter ve® ro dcnas,vel articulum teprafentabit numeru. Quod fi forte exdifs ferendarum multiplicatione, articulus,aut mixtus fiue compofitus ARITH. PRACT. LIB .t. I efficiatur numerus: tuc pro qualibet dena traduceda eff vnitas verfus lamam, &produdisdenis adiungenda,fubfcripta primum tziphrao, aut digito compofiti numeri refpodeter fubnotato. Verbi gratia ,ii libeat in promprufcire,odies 9quem efficiat numerutn:pone 1iuxta t), 8cziuxta 8,verfusdextram:Poftea dicito, bis 1faciunt duo :fcribe ergo z,fub praefatis differeti/s. De* inde fubtrahe 1ab g,vel za9,reliii quetur feptem:fcribc igitur 7,ver* fus beuam, fub ipfis 9&8,fient 72.- Digitus multiplicandus. Digitus multiplicans. Numerus produ&usi ix: Digitus multiplicandus. Digitus multiplicans^ Numerusproduftus. :x: •3 Differentia. .4 Differentia. Igitur odies 9,producunt 72 :quonia7 df articulus,& zdigitus pro* dudi Cqui copofitus eft)numeri. Item li velis inuenire,fexies 7que producat numerum:fubordinatis digitis, &eorum diffieretijs, quibus adenario differunt numero,velut nunc expreffimus,& obieda mons ftrat formula,dicito primum .quater 3faciunt iz, copofitum nume* rumrfubfcribe igicur digitu,vtpote z, &feruato denam. Aufer poft* | modum 3a 6,vel 4a7, relinquetur tria: quibus adde vnitate pro nu* per retenta dena, fict4.ha:c feribiro fub <J, verfus lamam: cofurgent 4z.ConcIudes itaque,fexies 7efficere 42. 4CAlia traditur regula, de multiplicatione digiti, per digitu numeru: quee eff huiufmodi:Propofitisduobus digitis aequalibus autinxquali bus inuicemultiplicandis,effingenumeruarticuluab altero digitoru nominatu:& ab ipfo articulo, toties digitu ipfum articulatu auferto, quot vnitatibus reliquus digitus adenario diftat numero:nam is, qui rande relinquetur numerus,propofitu indicabit. Vtfi velis in exem* pium inuenire,fepties odo que efficiant numeru :finge 7effe 70, <k ab i/s tolle bis 7,hoc eft,i4 Cnam 8per duo diftat aio)relinqucntur optatus numerus. AutfupponitoSoab ipfis 8denominari,&abeifde 80 tolle ter 8,hoceft 24(1117 diftat a10 tribus vnitatibus) relinquetur || ide numerus 56. C^dexpeditiore aut ipforii digitoru multiplicatio* ne ,fubieda ordinauimus tabella. Inuentucrgo curabis digitu mul* tiplicandum ,in alterutro latcraliu numeroru ordinc,&in reliquo mul tiplicante.proufcomodior fefc of* feret ingreftus:offendes enim ad co munemvtriufq; concurfum,nume* ru ex propofita digitoru multipli: CTabula numerorum ex digiti in digitum) multiplicatione produflorum. o| 1 'i314Sl «1 7TTT 10 1.z314S| ^78|9IO z\~ 46 8 |io|iz <4 liL idjiS mw~3o 31369*M|i 8 4l48ii 16 zo|24 z 8 40 5310 15I io i?li» 33 4°|45 30 60 70 "55~ 6 6 >* ii 30I36 41 48|?4 ^IlL 64)72 77 81 8 '4 .d Hlilii 40(48 45 i£J jijL |to| 10 18[271jd|_45 |S4 1 £3_ io 13°l 4°l to\6o I70 7iJ». 90 Excmpltini^ Aliud exem» pium. Secunda re» gula de mul» tiplieatione digitorum. Exemplum. Tertia via multiplicandi digitos, per propria tabellam. ORONTII FINEI DELPH. Exemplum, cationc produdu. Vt fi velis multiplicare 9per 8.Accipito 5» ad ver* ticem ipfius tabella, 8vero in Ia?uo &extremo latere :&in communi angulo inuenies 72,eu quem optabas numerum. Hac igitur via, pros cludos ex digiti in digitum multiplicatione numeros,longo vfu me* morix poteris vel facile commendare. multHica' ^SjECV’NDO>s1NVMERVS PROPONATVR ARTI-<? rioncpcr di» culus,per ipfum digitu multiplicandus:id facies ea qua? fequiturarte. Regula. R^inque tziphras,id eft,elementa non fignficatiua ipfius articuli nu meri,quotquot verfus dextra extiterint:& duc fingula clemeta fignifi catiua eiufde articuli,in oblatu &multiplicate digitu, &produdo des mu numero profatas rurfum anteponito tziphras,vcrfus dextra ipfius Documctii. numeri regione. Quodfi ex dudu alicuius clementi fignificatiui,in ipfumdigitu numerum,articulus aut mixtus fiueeopofitus efficiatur numerus:fcribatur fuo loco tziphra,aut copofiti numeri digirus,& $ qualibet dena vel articuli,aut compofiti numeri,traducatur vnitas ad proxime fuccedente locum,atq; vna cu ibide occurrente numero iuns Exemplum. gamr.{[Proponatur in cxeplu numerus 420,per 3multiplicadus.Duc itaq; 4in3,fientduodccim:quibus adde 00 verfus dextra,in huc mo* dum 1200, 8 1produdu obtinebis cx hac multiplicatione numerum. Aliud exern* Efto rurfum propofitu,multiplicare 23-000, per 7. Duc igitur primum plum'sin 7,fient trigintaquinq;: nota vbi volueris 7, &referua mentaliter tres denas.Deinde multiplica 2per eade7,fiet quatuordecim:quibus adde 3,pro tribus denis nuper referuatis.cofurgent i7,h?c feribe pofl: S,verfus lxua,hoc modo,173-. Tande,ad dextra ipfius numeri 177, ob* miffasreponito tziphras, vrpote oooi&refultabutr^ooo, produdus expremifla multiplicatione numerus. Haud diffimiliter ac exteris Corollarii!, faciendueffe iudicato. Hinc fequitur, quod vnica tziphra o,cuiuis numero dextrorfum adiunda,ipium numeru decies multiplicat:dux vero tziphrx oo,ceties:tres ooo,millefies.&ita c6fcquerer,ininfinitu. Multiplica, 3»T ERTIO, NECESSVM EST COMPOSITVM NVME 7 tinumetT^ rum»Per ipfum digitu aliquado multiplicarccquod facies in huncmos digitum. ’dum. Scribe primum oblatum compofitu &multiplicadum numeru, Rcsula'&fub eo digitu multiplicante:interieda fub vtroq; intranfuerfumlis ncola.Dcinde multiplica quodlibet elementu ipfiuscopofiti numeri, per eundem multiplicante digitum, incipiendo ab vnitatibus,feu pri* mo eiufde copofiti numeri elemento: notatis fub interpofita lineola figillatim produdis numcris,defideratu feu ^pdudu cx ipfa multiplis Primum do, catione coponetibus numeru. Cum aut numerus, ex particulari cu* cumcntum. iufpi amelcmentiperoblatudigitumuItiplicatione produdus, fuerit articulus :retinend* funt dena? praffatu articulum denominantes, & ARITH. PRACT. LIB. I. cjt fubfcribeda eft tziphra o. At fi c6pofitus,fiue mixtus cxtitdrit ipfe nu merus:referuabis fimilirer articulu,fubnotato re/pondenter digito,fi* ue refiduo.Ei porro numero,cjui ex fuccedentis elementi multiplica tione cofurgetrtot addatur vnitates,quot fuerint ipfo dena: ex preces deti vel articulo vel copofito numero reteta?. Rurfumq;(cu opus fue* rit)fimilis difcurfus obferuetur. Verutamencu ad extremii copofiti, vel multiplicadinumeriperueneriselcmenturipfis denisCfi occurrat) in mente rcfernatis nouus locus finiftrorfum adquifendus eft,in quo, per congruu reponantur elementii. Ite; fi in eode copofito &multi* -Sccundii do*- plicando numero inferta fuerint tziphra,id efb,elementa minime fi= cumentura* gmficatiua :nihilex ipfaro tziphrarum multiplicationegencrabitur Cquoniaex nihilo,nihil fiOquare tziphra ovenit refpodentcr lublcri benda.-nifi forte dena,vel denas aliquot habueris,ex procedenti rhftf* tiplicatione retentas, quas tuc loco tziphra proprio fubnotabis ele* mento.$[Dctur inexempluhic numerus zfos ,per/ multiplicandus. Exemplum,- Igitur fubprimo &dextro fpfius numeri elemento,vtpote 8,fcribe j: &tranfuerfale fub vtroq; poitiro lineola. Qjuibus ita praparatis,hac arte procedas,dicedo,quinquies 8,efficiur 40,numera articulu: feribe igitur ofub prafata lineola, adrefpondctia ipforu 8,&referuato me* taliter 4denas ipfum articulu confi:ituetes.Poft:eadicas,qumquieso,, nihil elbfubfcribeda igitur efiet tziphra o, ni quaruor haberes denas ex colle&o nuper articulo referuatas, ^p quibus fnbnotabis4, pofi: o, verfus loua.Cofequenter dicito,quinquies y,faciutvrgintiquinq;,c6* Ipofitnm videlicet numerum: fub* Numerus multiplicandus. i; 08 Ifcribesergo f;8creferuabis arcica Dig/tus multfpl/cans. $llum abinari& denominatu. Tan* Numerus producas, i2j4odemdices,quinquies 1conficiunt !decem,quibus fi duas pro referua* to nuper articuloiuxeris vnftates,fietiz:quo fuo notabis ordine, ver* fus louam,poft y.Producenturitaqjex hac multiplicatione 12/40. 8ART O,SILIBEAT MVLTIPLICARE NVMERVMRegula de articulu,paliu itide articulu numeribReie&is dextris, &primis vtri* ufq; numeri tziphris, duc vniuselemeta fignificatiuain fignificatiua i/,peramai* alterius elementa,&produ&o numero fingulas,id eft,ta multiplicadi !unumcta* quam etia multiplicantis anteponito tziphras,fuo verfus dextra or* dinc.hoc enim modo,productus ex datorum numerorum multiplica tione conflabitur numerus. Veriim fi in articulo &multiplicate nu* Documenta mero duo,vel plura fuerint elementa fignificati.ua:tunc quodlibct ekj"^iaduert£ mentu multiplicandi-Ontellige fignificariuu)ducatur in quodlibet ip fius multiplicantis,per do&rina procedenti numero feptimo huiufce B.j, FINEI DELPH. ORONTII capitis dcclarata.ea tamen induftria:vtfmgula multiplicantis clcm& ta,lingulas procreent numeroru lineas,ab cifde elemetis numerimnU tiplicantis exordia figillatim accipientes. Volo dicere ,cum numes rum mulriplicandum,in primummultiplicantis duxeris elementum: tuncaprimo loco^yerfus Iouam,prqdudum ordinabisnumeru. cum autem per fecundum,afecundo: &cumper tertiu,a tertio.& ita con« fequeter de coteris.SinguIo demum produdorum numerorulmeo,in vnum(additionis officio) componantur numera, rnterpofita rurfum Exemplum, lineola.f^Sit in exemplum numerus iyoo,per zo multiplicadus. Duc itaq; 15 in z,perdodrinam antecedentis numeri feptimi.fient 3o:qut« bus antepone dextrorfumtres tziphras, Hoc modo 30000, vnam qui* dem pro multiplicante.fcilicet zo,&duas ratione multiplicadi numc ri,vrpote iyoo,& abfoluta paucis erit ipfa multiplicatio. Concludens Aliud exems dumigitur.vigcfies iyoo,producere 30000. Rurfum efto propofitum, Plum*multiplicare 34ooo,per 15-0. Igitur ordinatis vt decet elementis fignis ficatiuis:multiplica 34,pedzy.primo quidem per y,iuxta dodrina im* mediate procedentis numeri feptimi,de compofiti numeri per digitu multiplicationc:& prouenient 170.deinde per zrfientq; 68,ab ipfo bi« nario multiplicantis,verfus louam diftribuenda.ne centen$ in denas, aut deno vertantur in vnitates:fed digiti multiplicatis, &produdi p eum numeri debita obferuetur res fpondentia.Porro 170,vna cum 68 (quo 680,in valore reprofentant) eoficiunt 8/o:vclut obieda deferis ptiuncula monftrat .Ipfi tandem Numerus multiplicandus. Numerusmultiplicans. 34 ^$ Numeri produ&i. r7< 68' Prodigorum fumma. Numeruscx finali multiplicatione refultans. - . 8500000 numero 8/0, fi quatuor tziphras, Hoceft,Qooq.dextrorfum adiunxcs ris,tres quide ratione multiplicaH di,& vnam ex parte multiplicantis numeri :Hic conflabitur numerus 8;ooooo,ex profata numerorum multiplicatione produdus. Regula mul nftQ.VINTO, HAYD DISSIMILITER OBLATVM9 copofitinu» quemuisnumeru compofrtu,per articulum,vel econtra, multiplicare SulTJei Poter*snumerum.Relidis enim articuli tziphris.ducclementa fingu icontra. 1& compofiti numeri,in elementu,aut elementa fignificatiua ipfiusar ticuli,quemadmodum dc mutua articulorum multiplicatione,proce* denti odauo docuimus numero,&produdo tandem numero, ciufde articuli anteponito tziphras,ad dextram ipflus numeri regionemrge nerabitur enim numerus,ex talium numerorum inuicem fada multis xempium, plicat{one produdus.|£Addamus vnicii exemplum,quo fingula red* dantur lucidiora.Sit igitur numerus 200,per 36" multiplicandus. Duc AIUTH. PRACT. UB. I. « itaque 36,per i,fient 7i:qiiibus adde verfus dextram, !ioc eflr, ante i, duas tziphras in hunc modu 7ioo,& optatum habebis numerum. Eo* dem modo (1314,per joo,artc nuper exprcflfa multrplicentutihic tan* dem producetur numerus.vtpote 64806. ioaVLTIMO, SVPEREST DEMONSTRARE QVO- DceSpoSrt 7rmicri' peico6 nam pa&o compotitus numerus ,per compotitum :aut mixtus qui* pofi Cf, niuiCi libet ,per alium quemuis numerum multiplicetur. &haec eft praed* P,icationcpua,& difficilior numerorum multiplicatio :quam artificiali difbur? fu ,ex prtedidis ita colligere poteris. Difponantur in primis ,vti Regula, decet ,numeri :vtpote, fingula multiplicantis elementa ,fiib fingu* lis eleinentismultiplicandi, pro difcretalocorum rcfpondcntia ,vna cu fubfcripta lineola fub vtroque tranfuerfaliter poni folita.Poflmo* dum ab vnitatibus,& dextris fiue primis elementis operationem ini* tiado,ducquodlibcteiemcntu numeri multiplicandi in quodlibetele mentummultiplicantis: &produdos figillatim numeros ,afuo loco &elemeto,verfus Iaeuam diftribuas.quos tandem in vnu addas nurae rum:interieda furfum fub eifdem produdis lineola,fub qua produ* dus fiuc refultans ex fada multiplicatione numerus,folito more repo netur.Quemadmoduodauo huiufcc capitis numero,proprio admo? nuimus documento:quod quidem documentum,vnacu duobus prae* ccdentibus,numero feptimo fufficienter expreffis ,in pleniorem corii quae diximus inrelligentiam, venit iterato confulendii. Quibus do? Documetfi.- cumentis,hocetiam adi/'ciemus:videIicet.Quotics aliquod elefnentu multiplicantisfucritnon fignificatiuumrhoceft tzipbra o,ftihiI ex eo producetur: quapropter ab ipfo elemento non fignificariuo ,verfus lamam tor fubnotenturtzip'hf«,quor eIementa multiplicanduscom? prehendir numerus.Snfficir tame vnica tantummodo tziphra refpon denter fubnotata,locu ipfius elementi multiplicantis occupare: quo* niam caeterae(meo faltem iudicio)in vanu feriberentur. Item, quo? Aliud docu* ties aliquod elementum ipfius multiplicatis numeri fuerit i,id eft,vni mentumta$:tunc ab ipfo vnitatis ckmcto,verfus heuam, numerus multiplica dus venit integre diftribuendus. quoniam vnitas neq; in multiplica* tionc,neque indiuifione aliquid immutat. ffExempiari calculo quae Excmpiumidiximus,folito more difcurramus.Sk Crgo multiplicandus hic nume rus f4zj,per zo4.H is itaque velut admonuimus, &feqUcns deferipti* uncula docet,ordinatis:dicito prirnu,quater jfaciunt duodecim:fub* feribe 2ad redu ipforu 4,& feruaro in mete denam.Poffea dicas,qtfa* ter 2efficiunt odo,quibus adde vnitatem pro nuper obferuata dena, fient nouem:fubfcribrto ergo 9,in ordine proximo,verfus laeua.Rur* fum dicito,quater 4coficiunc fedecim:fubnotabis igitur6,feruabifq; B.i/. Numerus multiplicandus. Numerus multiplicans. Numeri produ&i. iio6t. <) zNumerus refultans. ORONTII FINEI DELPH. iterum denam fiue articuIum.Tandem dices,quater $faciunt vigin? ti, quibus fi pro referuata denavnitatem adiunxeris, fient 21: fubfcri* basitaque 1poft fenarium ,&in quinto,atque vltimo limite 2. Hoc primo difcurfu perado ,ad proxime fuccedens numeri multiplicans ris te coferclemetumrquod cumfit tziphra,id eft, nullius fignificatios nis ,nihil ex fua multiplicatio* | ne producet :idcirco fub eade tziphra numeri multiplicatis, alia feribatur tziphra: vel tot (fi volueris)finiftrorfum,quotj in multiplicando numero funt elemeta.Cofequenter ad viti* munumeri multiplicantis deueniendu eft eIemetum:vtpote2. Dic er* go,bis 3faciunt fex:fcribe ergo 6,fub binario. Rnrfumque dicito, bis 2componunt quatuor.-fubfcribito 4,poft fenarium, ad lamam ipfius regionem.Poftea dicas, bis 4efficiunt odo :fubnotabis igitur 8, fuo ordine.dicito tandem,bis yfaciunt decem :ergo fubfcribcnda eft tzi* phra o,& poft eam i,in vltimo loco verfuslamam adquifito.Cum igi tur per ipfumbinariumultiplicafti,ideeffecifti,ac fi dixifies,ducetics j-42j:ex quo dudu,hicrefultat numerus 1084600 ,primo &fecundo loco tziphris occupatis.Idem cenfebis de ceteris elementis, pro loco rumrefpondentia. Demum,fi produdos ex lingulis multiplicatio* nibus numeros,in vnum collegeris numcru,interpofita rurfum lineo* la:probabis ex fada multiplicatione,prouenire 1106292.QJU quidem numerus fc habet ad mulriplicandu, veluti multiplicans ad vnitate. ^!«ndimoi faPLACET TA NDEM,ALIVM MVL TIP L IC A ND ISVB- n dus,omnia nedete modum, omnium quippe certiffimum &facillimu: &ijs ma* arqucTcrtiffi ximeconducente,qui folent obliuiofa mentis imbecillitate laborare, mus. quo. fingula produdorum numeroru elementa, oculari patent infpes dione :neque opus eft articulos in mente referuare ,quorum obii* Ilione plerunque contingit errare. Sed ad rem ipfam properemus. Rcgiiia. Oblatis itaque duobus numeris inuicem multiplicandis: erige fuper abaco figuram quandam redilineam,paruis admodum contextam quadrangulis,cuius longitudo tot quadrangulacomprehendat, quot funt elementa in numero multiplicando: latitudo vero, quot in ipfo multiplicante numero, quodlibet inde quadrangulum,diagonaIi bi* partiatur lineola. Quibus ita pra;paratis,multiplicandus fupra feriba tur numerus.multiplicas vero ad dextrum figura; latus collocetur: co quippe modo,vt fingula cuiuflibet elementa fuis locata fint quadran gulis, &vltimum elementum multiplicantis ,cum primo elemento ii ARITH. PRACT. LIB. I. multiplicandi ad re£hirn&communem veniat angulu, reliquis deor* fum ordine diftributis. Ducantur poftmodiim fingula multiplicans di, per fingula multiplicantis elementa ,&produdinumeri propr//s infcribanturquadrangulisrdigiti quidem fub diagonali, &articuli fu pra. Congregentur tandem iinguli numerorum ordines, ab ipfis lis neis diagonalibus trafucrfaliterieparati,a dextro &inferiori quadras gulo initio fumpto: refultabit enim numerus ex tali multiplicatione produ&us. ®Sit in exemplum numerus sf4, per z6?multiplicandus. Exemplum. Igitur fadta linearum contextura,locatifque fuo ordine numeris,ve* lutifubie&a monftrat formula:ducprimum4inz,fient8, hac feribe intra infimum fuperioris& dextri quadranguli trigonum. Poftea, ducito ?in z,prouenienr 10, articulus numerus:pone itaque oin infi=> mo,& iin fupremo fuccedentis quadranguli trigono. Rurfum ,per ipfum binarium multiplica 3,fienttf:h*cicribe fuo loco. Confer te poftmodum ad medium ipfius multiplicantis elementum,&per ip* fum multiplica 4,producentur z4:fcribe igitur 4intra inferiorem,^ zintra fuperiorem dextri &fecundi ordinis quadranguli trigonum. Et ita confequenter de reliquis: ex fecundo ad primum deucnicndo multiplicantiselementum. Demum abfoluta multiplicatione,adde inuice numeros ex fingulis multiplicationibus prouenientes:in hunc modum .Sub infima contextura; lis ncola,& dextro, atq; inferiori quadrans gulo, ponetziphramo .Deinde dicito, quatuor &z faciunt 6,&c? conficiunt iizfcribe igitur i,fub fequenti verfus Ix uam quadrangulo,dena in mente refers uata. Et dicito rurfum, 8Sc zfaciunt 10 &zefficiunt iz,S; >conftitimnt 17, quibus adde vnitatem pro nuper obleruatadena,fienti8:fubfcribesergo 8, in tertio laeuorfum ordine. Item pro referuata dena,adde xfuccedentibusnumeris: &colligetur ij.vndefi notaueris *,& denam rurfum pro vnitate advltimum tras duxeris ordinem,cofurgent prquibus fuo loco defignatis, habes vni= uerfum numerum ex hac multiplicatione produ£tum,9?810. {[Dediuiftone eorundem integrorum. Gap. V. IVID ERE, EST OBLATVM Q_V EMVIS NVME- Exemplum. rum,per alium aut minorem, vel falcem aequalem numerum J^diuidew* toties adaquate diftribuere, quot in ipfo minori vel aequali fiue partiti, numero funt vnitatesrhoc eft,diuidere eftnumeru artificialiter inues nire,qui quoties numerus diuifor indiuidendo numero praecife cotis B.ii/. ORONTII FINEI DELPH. in rcdua/omimeroriim genere plurimum diffantum redu&ionem ,perconti * nc uu-ui ll 'nuatam iIircrmcdforum &c proxime {uccedcntium numerorum redu drionem efle facicndam.Si velles enim francos ad ruronos reducere: hi primum reducendi funt ad duodenos,&: duodeni tandem ad turo nos.Ediuerfo autem,fi turoni proponerentur ad francos reducendi: hos prius vertes in duodenos,&duodenorum numerum in francos. $[Nec te prtetereat, in reliquis monetarum generibus,poderibus,mes furis,ca:terifq; ciufcemodi rebus, indiuerfas partiu rationes fubdiui* fibilibus,fimili via foreprocededum.Confiderandi nanquefunt mos netarum valores,ponderum &men furarum,a!iarumve reru perferus tandagenera:& abfolneda fingulorum redu<ftio,quemadmodum fu= pra monftraiumus,& ex prtedi&is regulis,ac earundem exemplis elis ccre haud difficile cff. Numct9qua dratus. Radis qua: «Irata. Quadrate multiplicat Ars genera: lis,de qua> drara: ra* <5fDc inuentione radicis quadratorum numerorum, Cap.VII. VADRATAM ALICVIVS NVMERI RADI-i ! cem inuenirc,eff numeru arcificiofo difcuffu colligere: qui per fefe muItiplicatus,oblatu numcrum(fl fuerit quadratus) pr^cifc componat.vel maiorem numeru quadratu efficiat, in oblato numero contentum. Numerum quadratum appellamus,qui ex du £tu alicuius numeri in feipfum producitur. Radix autem quadrata, diciturnumcrtis,ex fuijpfius multiplicatione quadratum efficies nus merum. Ynde quilibet numerus alicuius numeri quadrata videtur ede radixrtamcrfinon omnis numerus radicem habeat quadrata, fed is tanrummodbqui quadratus cff. Habet itaq; mutuam inter fefe cos nexionem radix &quadratus numerus. Igitur quadrare, (eu quadras te numerum aliquem multiplicarc,effoblatumquemuis numerum in feipfum ducere:hoc eff, priefatu numeru toties in vnumcomponere, quot in eodem funt vilitates.Vtpote,fi multiplicauero 4per fefe,dice do quater 4:confurgent enim fedecim.ergo 16,quadratus erit mime* rus:&4,eiufdem numeri quadrata radix. Quadratus itaq; numerus, quandam cum geometrico quadraro videtur habere fimi 4a litudinem:cuius larus quodlibet,radix eiufdem quadras | f ta nominatur .Quemadmodum ex obiedta figura,indar plana: quadrataeq; fuperficiei 16 vnitatibusdiffributa,co prehendere haud obfcurum eff. Suntenim ex omni parte 4vnitates,' quadratum efficientes numerum. Quid autem fit quadratu geo* metricum,fuo loco defcripfimus. JtoDATQ' IGIT VR Q.VOCVN Q.V ENVM ERO CVIVS2 quadratam vis habere radicem: hiic primum ira difponito,vtciufde ARITH. PRACT. LIB. I. iS elementa pedetibuslineolis, adextris finiftrorfum,bina feparentur. *** **&- Sub eo demum numero geminaeducantur parallelae, feu ajquididans ne. ° tes lineae: radicales digitos (veluti quotos in diuifione) fuiceptnr?. His in huc modu praeparatis :ab vltimis &groiTioribus elementis operationem initiando,digitus exquiratur numerus, qui per fefemul tiplicatus,vltimo diftindum verfus laeuaineuacuet numerum, vel q maximam poterit ipfius numeri partem. Quo quidem inuento di gito.-isinterlineasaequidiftantes, fubvltimo locetur numero, atoto numero lineola verfus laeuam fcparato ,fub dextro quippeelemento (fi binis conftet elcmetis)id eft,totius numeri penultimo.Deinde,pr? fatus digitus per feipfum multiplicetur :&produdus inde numerus a fupra refpondenti numero fubtrahatur,refiduo(fi contingat effe)des bite fupra notato,deletis primum,quae feruierunt elementis. Hic de* muminuentus digitus dupletur, hoc cft,per imultiplicetur,^ produc di numeri primu elementu(fi bina coprehendat elementa) fub lineis aequidiftatibus,& proxime dextrorfum antecedeti limiteponatur, res liquo fub eodem digito reipondenter collocato. flfHunc autem primum radicis digitum ,fi minus in hac re fueris exercitatus ,ex obiea da depromes tabella. Vltimum ere;o,5tlae= rrin,- ab•midlS“» uorlum diltindum numerum, aut eo proxi uentio, mo minorem in laeua eiufdem tabella accis pias columna :nam edextra ipfius numeri regione', praefatum numerum digitum res fpondenter offendes.Continetenim ipfa ta bella,Ungulos numeros,ex nouem digitorum in fefc fada multiplica tione produdos .CCRutfuni fub dextro inter proximas lineolas eles mento,alius inueftigetur,& poftea fubfcribatut digitus: qui multipli catus per duplatum prima: radicis numeru ,deleat quae fuper ipfum duplatum &finiftrorfum relida funt,poftmodum in feipfum dudus euacuet quae fuper ipfum digitum ,&verfus laeuam refidua funt eles menta ,vel quam maximam poterit eorundem partem .Hic pariter digitus ,vna cum priusinuentodupletur: &produdi numeri primu elementum,infra parallelas,fub immediate praecedenti collocetur ele mento,reliquis verfus laeuam ordine diftributis, cacellato item prios ri numero,ex duplatione primae radicis generato. fflpfum porro di* Inucntio fa gitum,& reliquos omnes aprimo ,pro numerorum magnitudine reperiendos, fine taediofo difcurfu,hoc modo curabis inuentum. Diuis gitorum. de numerum cuilibet duplato radicum numero fupra &laeuorfum re fpondentem, per ipfummet duplatum &figillatim occurrentem nu=> Digiti. Quadrati. Semel i i Bis z4 Ter j... 9 Quater 416 Quinquies *2-5 Sexies 6 Septies 149 Oftics fi <>4 Nonies 9"" fii ORONTII FI NEIDELPH. merum: nam digitus ex raii diuifione procreatus Cfrequentius enim efficietur digitus)venit inter lineas tequidiftantes pro defiderata ra? dicelocandus.Quem fi velis diligentius examinare: vide an refiduu quod fada fupcreft diuifione,vna cum elemento fub quo reponedus eft digirus,fitmaius,autfaltem aequale numero,qui ex ipfo digito in fe multiplicato praducitur.quoniam fi minus fuerit:ipfe digitus vni? tate,vel ad fummumbinario minor accipiendus eft, quod raro tame euenire continget .Cum porro ex ipfa diuifione proueniens nume? rus fuerit articulus,aut compofitus Cquod nonnunquam euenire fo? iet) accipienduserit digitorum maximus, vtpote 9, vel ad fummum vnitate minor,pro capacitate eiufdem fupraicripti numeri.^[Iterum fub dextro inter proximas lineolas dextrorfum antecedentes elemen to,congruus,iuxta modum nuperexpreffum,digitus inueftigetunqui per fingula duplati numeri multiplicatus elementa,& poftmodum in feipfum du&us.fingulos fupra locatos,&figillatim refpondentes eua cuct numeros,aut quam maximam poterit eorundem numeroru par? tem .Is confcquenter radicalisdigitus,vna cum prius*inuetis ,&in? ter lineas collocatis digitis,folito more dupletur:& produdus ex du? piatione numerusCvcluti feciftidcc£eteris)dcbito fubfcribatur ordi? ne, deletis antea duplati numeri qua: feruierunt elementis. Rurfumqj difeurfus priori fimilis cotinuetur: quatenus fub primo totius nume 2>uSnta deuencris elemeto .f[Nec te pr?tereat,quoties \fine,vel operatio? 3 nis medio,vnitas pro radicali digito fuperabudaucritrrcponedatunc elfe tziphra o, loco ipfius digitiratq; vna cum prius inuetisradicibus fore dupladam»nifi fub primo totius numeri id accidcritelemento. Irem,cumabfbluta radicis inuentione, nulluexpropofito numero fuperabundaueritrcfiduum:conclndito numerum oblatum effc qua? dratu.quod fi aliter euenerit, praefatus numerus erit minime quadra? tusrneq; radix inuenta,eiufde numeri quadrata vocabitur radix ,fed maximi &quadrati numeri in oblato ipfo numero cotenti. Omnis porro numeri non quadrati ,quod inuenta radice fupereft,aduplata radice denominatur .Poterit &dimidium ipfius numeri refidui Cfi par extiterit)ab eadem inuenta radice denominari .Confurgens au? tem fradio,intcgrje radici adi/cicnda cft.Nam in hunc modumcoi? leda radix,etfi dati numeri non fit vera radix,eft tamen vtcuq; pro? Corollam. pjnCjUa veritati. f[Sequiturex his,quemlibet numerum quadratum, per quadratum numerum multiplicatum: quadratum efficere nume? rum.vt 4in 9,efficiunt 36 numeru,cuius radix eft 6. Radix itemqua:? cunque numeri quadrati duplata ,&demumin fe duda :quadruplu fiii producit quadrati ,vt 4radix de 16 duplata ,efficiunt 8,&8in ARITH. PRACT. LIB. f- i| fe duda faciunt <54. quadruplu ipfius numeri n?, cuius radix eft 4. Hoc proterea inter radices &fuos quadratos offenditur refpohdcntia nu* mcros,vt ipfa ratio quadratorum,ex ratione fuaru radicum in fe du= da gencretun& fi rationis quadratorum radix fuerit nota,nota fxt & ratio radicum,vt 36" ad equorum radi.ces <r,& 3,quo duplam efficiunt rationem: &dupla in duplam multiplicata, quadrupla reddit quo eft inter 36,8i 9. Rationem hic vocamus ,duorum numerorum inuicem comparatorum habitudinem: quam pleriq; proportionem perperam appellare confueuerunt.Scd dehislibro quarto. 45*EXEMPLVM NOSTRO MORE DISCVRRAMVS: Exemplum quo fingula reddantur lucidiora.Sit ergo numerus, cuius quadratam vis inuenire radicem 3-308416. Eoitaq;, vnacuintercidentibus lineos lis,& fubiedis in tranfuerfum parallelis(veluti nuper cxprefTimus,&: fuccedensdefcriptio manifeftat) ordinato.-inueftigabis vltimum nu meru,verfus Iouam totius oblati numeri regione feparatu ,in dextra procedentis^tbello columnula.quem no procifum offendes:accipies igitur 4,numerum proximo minorem.ad lama cuius regfone,occurret tibi z:fcribe ergozjub 3, intra parallelas.Dicito poftmodu,bis z,faciuc quatuor.-aufer 4a^relinquetur vnum.delc igitur fupraferibito i. Dupla confequenter z,fient quatuonferibe 4infra lineas oquidiftan tes,in reduternari/ immediate procedetis. Primo difcurfu cople* to,rurfum inuenias digitum,fub o, &intra profatas lineas collocans dum,hoc modo.partire 13 per 4:& habebis pro quoto numero'3,vnira te relida.quo vnacu procedenti tziphra o,effieietdece:a quibus qua* dratiim iplius ternari; poterit confequenrcr auferri. Infcribas ergo3, fub o: &dicito,quater 3,-faciut duodecim: aufer iz afupra notatis 13, relinquetur vnum.dele itaque 13:8^ feribe i,fnper j.Deinde multiplica 3in fefe, confurgentnouemrtolle 9arelidis 10, iterum manebit vni= tas.cancellabisergo io:&feribes i,fuper o.delebis&4, duplatu prius: inuento radicis numerum, finalitcr duplabis vfrticp radicis digitu,- vtpote z3,fiet quadragintafex :quo figurabis rurfiim infra lineas os quidiftantes,ponendo 6fub 8,& 4fub ipfa tziphra o. Deberes con* fequenter tertiu inuenire digitu, fub immediate procedenti quaterna rio dextra verfus inferibedu. At quonia duplato numero,vtpote 46,= fupra refpodet folum 18, quo per eade 4 6 diuidi minime pofTentndcir co accipieda eft tziphra o,Ioco digitiCnam vnitas fuperabudaret > feribeda fub 4, intra iam didas parallelas.quo fado, cancellabis46, duplatum prius inuento radicisnumerum:rurfdmq; duplabis z3o,& reliiltabunt4^o.hoc fcribito fub profatis lineis oquidiftantibus :o quidefub vnitate, 6autem fub quaternario, &4fub odonario totius' Corollariis. Alius tnod5 inuenkndi quadrata ra* dice fubtilis &pracilus. Mumcr9propofitus Radix quadra Dupli radicu nueri. rxx£ *\X 4=1. ORONTII FINEI DELPH. numeri fuperioriselemento.Tadem parrire numerum 1841, nuperdii piato numero,videlicet 4<Jo refpodente,per eunde numcru 460: Sc ge nerabutur pro quoto numero.4,vnitate reli<fta.qu3e vna cum 6,primo totius oblati numeri elcmeto, faciet fedecirma quibus quadratu eiufs dem quaternari/ poterit(vt requirituOauferri.Scribc igitur 4, fub 6, intra lineas parallelas:& dicito primum.quater 4, efficiunt fedecim: aufer 16, afupra lioratis 18,relinquentur duo.dele itaqj 18: &feribe 2, fuper S.Poftea dicito,fexies 4, faciunt vigintiquatuor: fubtrahe 24,3 fiiprarefpondentibuS24,niKilqueremanebit, cancellabis ergo 24 :Sc tziphrao,relinques inta&a.’qua:tamccfiprimu duplati numeri fit eie mentum,nihil tamen (vt pl^runq; diximus )producere nata eft. Dis . cito tandem.quater4, producut fe decim:roIle igitur 16, arelidis 16, St nullum eritrefiduum. Vnde praaffumptus numerus /30841^, qua» dratus eft:& eius quadrata,& inuenra radix,23o4. In i^cmpium au tem numerinon quadrati, hac acccipito dcfcriptioneiin qua numeri 207948, radix eft 4$6, remanentis | bus 12 ,quaj ~aradice duplata, vel ^nucupabutnr, Sc ad minore reduda fradionem ,efficiunt ^[Ex his facile colligitur,numeri vnico,aut duobus tantum elementis comprchenfirradicem quadratam vnico duntaxat elemento con ftare. Quod fi numerus,tria, velquatuor conrineatelementa :radix eiufdemduobusconftabiccIemetis.Si aurem preefatus numerus quin qtie,velfex elementis repra;fentctur:1* adixciustria continebit clcme ta .Sc ita deinceps. IiaALIVM, SVBTILEM QVIDEM ET PR AEC ISIOs y re,inueniendarum quadrataru radicum, libet ad iungere modum ;vt his valeamus facere fatis,qui fideliori coguntur nonnunquam vti cai culo.Propofito igitur quocunque numero, cuius quadrata radix defi* deratur:adde ipfi numero verfus dextra quotquot volueris tziphras, pari tarne numero diftributas,vtpote 00, aut 0000,vel oooooo,& ita'de inceps,binario femperobferuato tziphrarii incremeto. Refultatis in* de numeri,quadrata extrahe radice,fecundu arte nuper expreffamme gledoprorfus (fi adfueriOex operatione refiduo.ToIIepoftmodu ab ipfa radice tot elemeta, quotus eft dimidius adiundaru tziphraru nu merus: &reliqua verfus la:ua,feruato jpmtegro radicisnumero.Abla ta deinde prafata: radiciselemeta,mulciplicarop que volucris nume=» ru articuliijproutlibuericparteseiufdeintegri denominare :vrpote. Numetusdatus. -4|_i_2 %01ir $14# Radix. 4sd Dupli, ?p0 ARITH. PRACT. LIB. I. 11 perio,fi in dccimas:2o,fi in vigefimas:3o,fi in tr/gefimas:4o,(i in qua dragcfimas.70, fi in quinquagefimas: aut<fo,fi in fcxagefimas integri partes, ipfum volucris reioluere integru.A^pdudo rurfu numero,au* fer tot verfus dextra elementa,quotus eft prxfatus dimidius additam tziphraru numerus:& reliqua manetia lamorfum elemeta, feribe poft integri ia inuenti numeru,pro prima eiufde fradione ab articulo mul tiplicante denominata. Iterum fubtrada nuper elementa, per eunde articulum multiplica,&: aprodudo numero tot, quot prius remoueS tur verfus dextramelementa :&relidum ad lamam numerum,iuxta priorem collocato fradionem ,pro fecunda eiufdem integri {radio* ne ab affumpto articulo denominata. Idque toties facito :quoufqj tot tziphra: pracife relinquantur ,quot funt inipfo dimidio additas rum tziphraru numero. Hoc enim ingenio, prtecifam fatis, pro additarum tziphrarum numero,eiufdem oblati numeri,poteris extrahe re radicem.CEEx quo fequitur,qpanto plures tziphras oblato iunxeris Coroiiariil numero: tanto preeeifiorem eiuidem numeri quadrata fore radicem. notandum' Habebis enim tot fradionum genera,prster integram radice,quotus fuerit dimidius adinndarum tziphrarum numerus, feu quot fuerint earundem,tziphrarumbinarij. ^DETVR IN EXEMPLV M,io numerus:cuiusradix quas Exemplaro tr•.m. r!t.rA drata defideretur. Ipfis itaque io ,adde fex tziphras :confurgent *27 *^#ts x#si t#&6 xff\f( #\ ff\# # &e*? 6 ioooocoo, cuius quidem numeri quadrata ra rumradicu dix, per dodrinam antecedentem, inuenitur quadMttau' 31 6% Cvelut obieda defcriptiomanifeftat)re= manentibusextoto numero ijf6:qux negle* da.fenfibilem non generabunterrore. Tol le igitur tria prima eiufde radicis elementa, hoc cft,i (quoniam dimidius additaru tzi phrarum numerus, eft ternarius) &reliquum elementum, vtpotC3, feruato pro integro fu* tur? radicis numero.Multiplica poftmodum 162,per 60 (placet enim fexagenarium eligere numerum ob partium quotarumultitudine ipfis mathematicisfamiliarem) producenturq; 9720. aquo numero tria rurfum auferas elementa ,videlicet 720: 8c relidum quartu.fcilicet 9, feruato pro primorum minutorumnumes ro,poft 3integra dextram verfus collocando .Rurfum ducito 720, incudem numerum 6o:refultabunt 43200. aquibus iidempferis2oo, hoc eft,tria prima elementa,pro dimidio additarum tziphraru nume ro: fupererunt 43» loco fecundorum feribeda. Tandem multiplicato zoo,per eadem oifient 110oo.vndefublatis tribus primis elemetis no 94- 1 ORONTir FINEI DELPH. fignificatiuis,vtporcooo:reliquaduo elementa fignificatiua ,videli* cec iz.pro fradione tertiorum reponenda funt. Neque vitra proce* dendum eft:quoniam nuper oblata tria elementa,funt non fignifica* tiua,dimidio coiudaru tziphrarafimilia &tequalia numero.ColIige tur crgo,pro defiderata radice?,9,43,iz: ideft.j integra, 9minuta, 45 Notandum, fecunda, 8 fiz tertia integri.ffPolfes tamcn,inuenta radice 316Z, acci* pcrej pro integris,veluti fupra fecimus: fed 1pro decima vnius.inte* gri parte, 6autem pro fex decimis eiufdemparcis decimae ,ztandem pro duabus decimis vnius decimse alterius decima partis integri,de* naria numerorum obferuata ratione. CD* cubica radicis inuentione. Orp.VI 11. jVBICAM ALICVIVS NVMERI RADICEM EX-* Itrahere,eft numeru artificialiter indagarcrqui bis infeipfutn |dudus,velfemel per fefe, &rurfum in produdum multipli* "cacus,propofitumCfi cubusextiterit)efFiciatnumeru,aut ma iorem reftiruat cubii in oblato &minime cubo numero coprehefum. Numerus cu Numerus ergo cubus dicitur is ,qui ex gemina alicuius numeri per feipfummultiplicatione,velexvnico in fefe dudu, &femel in ^pdu* Radix cubi< dum numerugeneratur. Radixergo cubica nihil aliud eft,q ipfenu merus ita multiplicatus,eundem cubum efficiens numerum.Inde cu* Cubice mui bicc multiplicare,eft datum numeru in fefe bis,vcl femcl in feipfum, ttp lcare'&rurfum in produdum ducere .Quemadmodum fi multiplicauero z,in hunc modum.bis zbis,fiunt enim odo:aut dicendo,bis zefficiut quatuor, &bis4 odo.lpfe igitur numerus 8,cubus eft:&: zeiufdecu* bica radix.Dc fimilibus idem habeto iudicium .Hicnumerus cubus, {olidus imaginandus eft: lex quadratis fuperficiebusCinftar taxilli)co prehenfus.ita vt primo duducuiufpiam numeri in fefe, quadratus &c planus defcribaturnumerus:& rurfum ex dudu plani fiue . quadrati numeri,in praaftumptum numeru,fiue latus pia* J ni,fplidus numerus adquiratur. Velut obiedaprajaftum* < pti nuper exempli deferiptio, vtcunquereprafentat: &de fimilibu s,rcfpondenter intelligere potes. MODys AVTEM INVENIENDI CVBICAM A L I- 2 dicem numc cuiusnumeri radicem,haudmultudifiimilis eft ei, que nuper de qua* torum. Jratistradidimus numeris:Hoc in primis excepto, quod elemeta nu* meri,cuius vis habere cubicam radicem,aprimo vcrfuslceuum Bc viti mum Cintercidentibus lineolis) trina feparantur. Pneterea, digitus fub heuo &vltimo reptus &locatus numero,cubice multiplicatur:# fadaprodudi numeri afuperiorifubrradione, idemprimus digitus I8I, *x* ARITH. PRAGt. LlS. I. Hi triplatur,atque refultanris ex rriplatione numeri primum clcmcntu* infra linCasa:quidifl:antes,fubmedio inrerproximaslincolas elemen to locandum eff,C£eteris(vt in quadraris) lseuorfum ordine diftribus tis. Secundo poftmodum inucntus digitus,vnacu priore, in triplam ducitur numcru: &produdriis inde numerus per ipfum digirurm funi multiplicatur (quod non obferuatur in quadratis )deinde qui reful? tat numerus,afuperiori refpe&u triplati figillatim venit auferendus: refiduo,c£im fupereft ,debite fupra notato, ipfe poftmodum digitus in fefe cubice ducitur:&fa&a prodn&i numeri afupra relidfo nume ro fubtra&ione.ambo reperti digiti eripiatur, coftfurgentifq; ftumeri primum elementu, infra parallelas,fub elemento medio inter linteos las verfus dextram immediateptecedentes reponitui^cceterisCvclut antea)iiniftrorfum ordinaris. Inuento rurfum tertio digito, ide cu prius obtetisdigitisintriplatum ducendus eft,&produdfus numerus per ipfum digitumrurfum multiplicandus: vt tandem cubice ductus, totus fupra refpondcns deleatur numerus, vel quammaxfmapoterit eiufdemnumeri pars. Similis tandem cum quarto,vel pluribus radi cum digitis,difcurfusobferuetur: quatenus fub primo totius numeri 3deucniaturelemento.ffNec te prcetereatjnuentos radicu digitos,fub Documenta dextris elemetiseffe locandos: qui .videlicet intercidetibus lineolis, a^ounda”3 toto feparantur numero. Ite, quoties vnitas pro digito fuperabuns dauerit(quod euenire neceffum eft,quado numerus rriplaro fupra po Iitussminor erit decuplo ia inuentse radicis numero,per ipfum' triplas tumnumerum multiplicaro)tziphram o,loco digiti notabis: &cacel laro axiale triplato radicu numero,ipfam radice ex profata tziphra &prius imientis digitis refulrantcm triplabis.arq; primu triplati nu* meri digitum,infra lineas arquidiftatesjub medio inter proximas lis neolas elemero dextrorfumcollocabis,ca:teris(vt prius)ad lxua fuo ordine diftributis. Qjio perad:o,ad reliquoru digitoru inuentionem, modo nuperexprelfo deueniendumeft: quoufqj fub primo totius nus meriperueneris elemento, &completam habueris defiderata: radicis inuentione. Nec mireris oporter, fi fa&ro vniuerfali difcurfu, quod pleruqj fupereft refiduuCvt in non cubicis folet euenire numeris) ip« fam radice excedat.-paruus enim numerus cubice multiplicatus,ma* gnu efficit numeru.Id aurerefiduu,a triplata radice aucrerria eiufdem refiduipars(modo per 3diuidi poffit)abeade integra radicedenomi 4natur. ffSola ergo difficultascffe videtur, in radicalium cfigitoru ins proniptiffi* uentione:proIixum enim &ta:diofum admodum effet,ab 1ad 9, aut enia d^gitotn contrario figillatim difeurrere, vt congruus tandem inueniatur digi dkum adir& tus. Non abfentaneu itaq; duximus,tabcllamconfequeter annedferc, uentiov C.i/. ORONTII FINEI DELPH. produdos ex cubica digitorum multiplicatione numeros continentem :qua &digitos omnes cubice multiplicare Cquod pafTimcftnes celTarium)& primum futura» radicis numeru,in hunc modum poteris Primi digiinuenirc. Confidera igitur inter Cubos eiufdetabello numeros,quis examinatio. eoruficoqualis,aut proximo minor numero,qui verfuslouam totius oblati numeri regionem,ab incidente lineola vltimo feparatunnam digitus ,quem adfmiftrum eiufdem tabella: repericsnumeroru ordi? FprTmS/; ncm’er*cPro defiderata radice fumedus. Reliquos porro digitos a gico regula. primo,hac venaberis arte.Finge te habere tziphram o, pro reperiedo &optato digito: hoc eft ,decupla iam inuentu radicis numeru Cium da nanq; tziphra o,ad dextru cuiufuis numeri limitem, ipfum decies anget numerum) &decuplatu numeru, cum primo radicis digito, vel iam inue tis digitis ,&eade tziphra orefultate, duc in triplatufub parallelis numeru : &per produdii, diuide numeru ipfi tri? piato fupra politu. Nam quotus ex hac diuifione numerus, frequetius erit digi tus :& defiderato radicis digito cole* queter accipiedus.Q_uodfi libeat ipfum digitu fidelius examinarerco fidera an numerus qui ex multiplicatione profati digiti cu prius inue? tis per triplatu numeru, &ex produdi-rurfum multiplicatione peun dem digitu, refuItauerit,fueritoqualis aut maior numero fupra tri? piarum &louorfum pofito: an proterea refiduum quod abfoluta rc* linquetnr diuifione ,vna cum elemento dexrram verfus immediate procedenti, numerum componat maiorem, vel faltem oqiialcmnu? mero, qui ex cubica ipfius inuenti digici multiplicatione confurgit. Quod fi fecuseuenerit:aecipienduseritdigitus,vnitate,vel ad funv mumbinario minor,velut in quadcatisexpreflimus numeris. Exemplum 2» PROPONATVRIN EXE MPLVM HIC NVMERVS, 6 fhuentioms vfp0t:e i28izoo4,cuius cubica velis habere radice.Hoc iraq; numero cubicx radi* r;... rir.r,v1. . cis. (vcluti lupra diximus,&lubiequens indicat rormula) vna cum inci* detibus lineolis &fubiedis in tranfuerfum parallelis ordinato: qu£= rc u,finiftru &vltimo diftindum numerum,in dextro fupra feripto tabello &cuboru numeroruordine.que quidem numerum 12, non in? ucniesprocifurmaccipies igitur 8,numerum proximo minore ,&• of? fendes eregione loua 2, primum futuro radicis digirum.Scribe itaq; 2, fub binario ipforu 12 fupra notatoru ,intra lineas oquidiftantes:&: dicito.bis 2 bis faciunt odo:aufer 8,? u,fupererunt quatuor.deleigi tutu, &feribe 4fuper 2.poffca tripla 2, dicendo, ter 2efficiunt fex: Oigni-! Cubi. Semel 1|fcmef i Bis z|bis 8 1er 31rcr *7 <4 Quater 4|quater Quinquies $|quinquies 1Z5 Sexies 61fexies 116 Septies 7/cpties 343 Odlics «o?Iies 5** Nonies 9nonies. -J2.ST ARITH. PRACT. LIB. I. i‘> fubfcribito 6,infra lineas parallelas,fijb ca relpondenter vnitate,cjaa: octonarium dcxtrorfum immediate praecedit. CConiequenrerfinge te habere o,loco fucccdentis ipfius radicis digiti ,&vna cumprius inuento digito fient 20 :qua: per 6,- nuper triplatum prius inuenta? radicis numerum multiplicabis ,producenturque no. Diuide itaque' numerum 481 ,ipfi triplato fupra relpondentem ,per 120, &proues nientex diuifionc5j pro fecundo radicisdigito fumendarreliCfis 121, qiije vna cum binario dextrorfum antecedente faciunt 1212,aquo nu* mero cubus ipfius ternari/ facile poterit auferri. Scribe igitur 3,' intra lineas tequidiftantes, fub binario numeri 812, intra proximas lineos lasclaufi :&ducito vtrunque radicis digitum ,vrporeydn 6tripla* tum numerum,producentur 138. qua: rurfum multiplicabis per 3, fient 4I4s1ijeg auferes a48i,quae refpondent ipfi triplato numero, relinque tur 6-j. cancellabis ergo 481, St fupra feribes 6-j :videlicet 7fuper wSi 6fuper 8. Ducito tandem 3cubice,dicendo, ter 3ter, fient 27: tolle itas que 27, anuper reliCto numero (>72, refiduum erit cJA/.reliCtis ergo & iriraCtis ,dele 72,Si fupra notato 4/: videlicet /fuper 2, Si 4fupra 7. Quo faCto, tripla 23,fient 69 :hac feribe fub lineis parallelis, 9quis dem fub o, Si 6lub 9totius oblati numeri ,cancellato priori triplato numero, vtpote 6. £[lnueft:igandus cftfmaliter tertius radicis digi* tus, in hunc modum .Decupla 231’nuenta iam radicis elementa,iun* Cta tziphra oad dextram,hoc modo 23o:Siipfum decuplatum radicis numerum 230,multiplica per 69 nuper triplatum inuenra; radicis nus merum, fient 1/870. per hunc ergo numerum 1/870, diuide numerum refiduum eidem triplato numero fupra reipondentem, vtpote 1/4/9°' Si habebis pro quoto numero 4,remanentibus 11x0, qua; vna cum 4 primo totius numeri elemento faciunt 11104, numerum multo maio* rem.quam fit numerus cubus ex cubica eiufdem quaternarij multipli catione produftus. Scribe igitur 4,intra eafdem parallelas, lub 4pti* mo totius numeri clemento:Simultiplicafingulos inuent^ radicis di gitos, videlicet 234,in 69 nuper triplatum numerum ,producenturq; 16146.h&c rurfum multiplica p4*cofurgec 64/84. aufer ergo <>4/84,2 fupra notato niicro (/4/90: 4fi %#fi relinquentur tantummo do 6,qua; feribes fuper o, reliquis eleinetis folito mo re deletis-. Multiplica tan* dem4nuper inuentum radicis digitum cubice, fierit <>4:ha;c fi areficluis- 64 abftuleris ,nihil relinquetur. Quare prius affumptus nume* rus 12812904 cubuseft ;Sc 234 eiufdem vera St cubica radix. G.ii/Y ORONTII FINEI DELPH. ratio, tametfi radix inuera fit vtcuq;pr:ecifa:quonia (i denominator* vtpote p,in feipfum cubice duceretur,fierent 719,quie vnii feptingen* tefimu vigefimu nonu repr^fentant integri,&in toto rurfum abunda Notandum, rct numero. ®Atfi libeat inquirere,an extrada radix non cubi nume ri,fir radix maximi cubi in dato contenti numero: ipfi ia inuenne ra* dici adde i,& produdu in ipfam ducito radice,refultante inde nume* rum triplica,triplato demu numero iugito rurfum i.quonia inde coU ledus numerus maior erit reliduo,fi debita obtinueris radice: quod fi fecus euenerit,alia radix magis exade tibi dtfquirenda eft, &reliqua Cvtprius)abfoluenda.f[Ex his tamen inferre caucas,ad vera minime quadratoru aut non cuboru numerorum tandepoffe deuenire radice: quonia id videtur impoflibile, &cotra propria eiufcemodi numeroru natura. Nulla fiquidenon quadrati aut non cubici numeri radice,etia qtiantumuis fiibtiliter exquifita.mihi dabtsrquin prsecifiore confequi vel facile poffis.queadmodum ex ipfa numeroru ratione,&quinti nu meri feptimi capitisantcccdetis potes elicere corollario. In exeques dis itaq; arithmeticis, aut geometricis operationibus, fatis efle vide* tur.quadrati cuiufpia nucri ,qui dato paulo maior,aut paulo minor, hoc eft,admodum propinquus exiftat numero,radice pramiffo inues Conciufio. ftigare difcurfu.CNcc mutua pradidaru operationu, in examinada io veritate coadiuuatio(etfi quodamodo videatur circularis)a quopia fana; mentis cauillanda eft:quonia fruftra id fit per plura &imbecils liora,quod per pauciora certiffimaqj poteft abfolui. Finis autenofter eft,paucis &aperte velle docere:omniprorfus ambagine feu caniHa* Probat/o ge tione, ambiguis relicta cauillatoribus. Confulimus tamen,non alio neraiis nota* vtendueffc probationis examine,quam reiterato finguloru difcurfu: demptis ad fummu radicibus.Multb nanqj facilius effe videtur.quas libet arithmetica operatione,per mentale diTcurfum ciufde,fiue repes titurn operationis excmplu, rurfum examinare: quam alterius capitis vel operationis officio,idem abfoluere. Sedhaee de integris numeris fintfatis.nuncad fradtos, primo iuxta vulgares ,hpceft ,quotas ip* forum numerorupartes:dein per fexagenaria Aftronomico more fas damdiftributionemCqua potiftimum YtunturMathcmatici)fcrmos nem noftrum conucrtamus. ? |fc)LIBRI PRIMI ARITH.^ METICAE PRACTICAE SINIS. §»LIBER SECV-N- DVS ARITHMETICAE PRACTICAE, DE FRACTIS SECVNDVM VVLGARE-S NVMERIS, SI VE Q.V OTIS INTEGRORVM •NVMERORVM PARTIBVS. f[De rationefraftmum~\>ulgariu,& earundem exyrejfione. Cap. i. VAMVTILIS, ET NECESSARIA videatur effe fraCtoru numeroru exaCta cos t3S gnido:ijs relinquimusiiidicandff, qui circa 1,umfubtiliora Geometria,Vel Arithmetic£e,aue ipfius Aftronomis/ecrefa verfatur.Coftat enimvniuerfam pra^didaru difciplinaru co moditate,frudtumve,ab expedrto fraCtionu pendere calculo:que tanto delectabiliore f£ tearis oportet,quato fradioftirarsiintegros irum doCtrina difficultate fuperat. {[Solent igitur vulgares\6mne'fq; faeci rerum perfcrutatoresCvt ad re ipfam deueniamiis)quicquidab vnira srumtedenominatur,vnurotu velintegru adpellare ,fiue illud realiter, vel abftraCtiue,ad difcreta,continuamve referatur quantitate .Rurium ide integru multifaria diuidere folet(eft enim integriz in quotlibet fra gibile partes) Primo quide,in duas partes inuicea?quales:quaru quaJs Vulgata paf libet medietas,vel vnumfecundum adpellatur integri. SeCudo, ipfum tltlointesri - integrum in tres partes itidem aquales diftribuunt:&: qualibet earum pars tertia,vel vnum tertium integri dicitur.Poftmodiim, idem intes grum diuidunt in quatuor partes, inuicem pariter aquales: &qualis bet illarum vocat vnum quartu integri.Etita confequenter,in quin= ta,fcxta,feptima,vel oCtaua:Sc deinceps quantulibet,ipfum integrum libere diftribuendo.Eft igitur fradrio,partis,aut partium integri affi= gnata diftributio.Sunt igitur fradtiones eiufde nominis inuice ?quas les:vtpotc,vnum fecundum alteri fecundo,vnum tertium cuilibet res liquo tertio,vnum quartum cuilibet eiufdem integri quarto,& ita de reliquis. Hx porro integrorum nuper expreffe fradrioneS, vulgares Pra£iiones; ob id funt adpellane,quoniam ipfis vulgaribus funt familiares,& eifs dem in vulgatis reru vtamur fupputationibus,vel ad differentia fexa genariaru fradrionu,qu$ folis mathematicis videntur efle familiares. ORONTU FINEI DELPH. Panes de quibuslibro proximo.Phyfid tamen &mathematici,cafdem fra? quota, Diones quotas vocat parres,id<ji magis proprio nomine:vtpdte,qua i nia aliquoties fumpta: ipfumcoponunt integrum, medietasei-i inibis fumpta,vel vnu tertiu teracceptu, aut vnuquartu quater repetitu.vnu efficiunt integru:& ita de reliquis in infmitu imaginaris,#: facccden Corollarii?, tibus integroru partibus.f[Ynde patet,continua adifereta quantitas te in hoc difcrepare,quoniam ipfius continui dabilis efl quatiras ma xima(vtpote,magnitudo ipfiusvniuerfi orbis)nufquam aut minima: indiferetis vero minima reperitur p>ars,-vtpotc, vnitas omniu radix numeroru ,at maxima nunquam, dato enim quocunq; numero, per continua vnitatisadditione,potes femper eunde efficere maiof(5:om= ne vero continuum,in femper diuiiibilia,continue diflfibuitur. VuJgariufra jftVVLGAT AS ITAQ.VE FRACTIONES REPRAE*? chorium re« rn.., prifentado. lentare ,elr partes quotas integri ,per congruos numeros decenter exprimere. Ad huiufmodi aute vulgarium fradionu expreffione, duo requiruntur numeri:quoru alter numerator, &reliquus denominator Numerator adpellacuLwOffidu numeratoris c11,talium partiu exprimere numera: Denomina» denominatoris aute,earunde partium denotarequalitate,hoc efl, an. Ior'tcrti3e.,q;uar.t«e,alteriufve fine denominationis. Ciim igitur aliquam prjedidarum fradiqtul volueris arithmetice repraefentare: ipfum nu* metatorem* fupradenominatore numerum ,interieda lineola fitua* bis,& Vtrunq; per re<d.imi exprimes numerum .Vt fi velis exprimere tria quarta,ita facit0',“^;r-|- :duo vero quinta,hoc modo-y-.quin= que autem decima fic-~~:& de eseteris integri partibus,relpodeter in* Fraiho fim* tell/gas.Eiulmodi porro fradionem,in qua videlicet vnicus occurrit dpaiis! ,C pn «umerator,&denominator,fimplicem, aut principalem adpellare fo* iemus:vdn&^At^3^4|^A^iajius infcegri,& his limiles ,&feorfum accepta: ftadiones,qua: immediate fuum refpiciunt integru,per obii* quum pqft fuam ipfam fradionem femper exprimendum. Fraftionis CQ.VAE LIBETinde fimplex aut principalis integri fradio, cuiuf* 4 fubdimfio. m0(Ji ell~-,vel-~-,aut-T-integri,&: his qujecuq; fimilis, in particula* res &prioribus fimilesfubdiuiditur aliquando fradione$:ac fi diflris buta fradio vice obtineret integri. Iphe porro fradiones.fiue quota: fradionis partes,fecundarige,aut fradionis fradiones veniunt appel* land«:qus fuu non refpiciunt integrum,nili alia mediante fradionc. faa* nfc S&^11 Cluarum fradbionis fradionu repradentatione, duo concurrunt, carum repra &numeratores &denominatores.Primus aut numerator, cu fubfcri* fcntatio. pto denominatore,per redu venit exprimedus: pofferior verb &nu* merator &denominator, per obliquum, nulla inter ipfum polferiore numeratore# refpondente denominatorepofita lineola,quo facilius AftlTH. PR;ACT. LIB. th U diftinguatura primis.Naqueadmodum integra perobliquufn expri* menda funt,ita &principalior integri fradio(qua; vice, vt diximus, tenere videtur intcgri)per obliquum fimiliter exprimitur. Eam aute Fraafo priri principaliore nominamus fradionerri,qua; rurfum diftributa eft, feu ciPaliorpoft quamimmediate exprimitur integrum. Verbi gratia,!! velles re praftcntare quatuor tertia vnius quinti integii, faciendum eft hoc pa* do-|- \:vel vnum fecundu vnius quarti integri ,in huncdefcribes modum-i- ‘.duo autem quinta vnius fexti,ita repr^fentabis-j- \. $|[Po{TuntigiturCtametfi id rariffime contingat) elTe duo ,aut plures r, per obliquum exprimendi &numeratores &denominatoresrcum vi= etionisjue*' delicet fradionis fradio,eft alterius fradionis fradio.In exemplum «usfraflio» „.... .<1nistraccio. habes,duo tertia triu quartoru vnius quinti integri,quie in hunemo dufuntrepra;fentanda-|- *'mulla per obliquos numeratores & denominatores interpofita lineola. Quod fi dece quarta vnius fexti vnius terti/ integri repnefentare velles,id facies hoc pa<fto,~ *’ . UanNVMERARE IGIT VR, Q.VANT VM AD PRAESENS Numetatioy n...~feu valoris negotiu pertinet,elt quota; parcis, aut partium quotarum integri, fi= expreflio uedata; fradionis valore ,per repra;fentatiuos exprimere numeros. Simplicis itaq; fradionis Valorem,hoc deprehedes ingenio. Vide an data* fradionis numerator,denominatori fit aqualis: na tunc oblata fradio,vnu pr^cife valet integrum. Quemadmodum funt h$~,-|-, -A-,—:&:fimiles feorfum confiderane fradiones,totiesper numerato rem expreffe,quoties in eodem coprehenduntur integro. ®Quod fi numerator maior fuerit denominatore:ipfa fradio tot gquilialetinte gris,quoties denominator integre continetur in numeratore:atq; tot eiufde denominationis fradiones prteter.intcgru coprehendit ,quot funt vnitates in numeratore,ipfum denominatore conficere minime valetes.Vt in hac fradione-i-,vbi 4numerator femelcotinet? deno= minatore,& prieter ipfa j,vnitate:ideb pnedida fradio-|-, vnu valet integrum,&vnu integritertiu.Rurfum luee fradio^-,duo valet inte gra,& duo integri quarta:propterea,quonia 10 numeratorbis cotinet 4denominatorem,& duas eiufde denominatoris vnitates.f[Porrb fi denominator oblata; fradionisfiumeratore fuperet: eiufcemodi fra* dio no valebit vnu integrum,fed ab eode integro tot eiufde denomie nationis partibus deficict,quot vnitatibus ipfe denominator nume* ratorem excedit. Ea tame fradio cuius denominatoreftminor,vici=! nior eft integro:quam fit ca,cuius denominator eft maior. Offeratur in exemplum h^c fradio-f-,vbi 4denominator fuperat? numerator rem vnitate: idcirco talis fradio-|-,deficit ab integro per vnu quare tum.Iteha;c fradio-J-, quatuor decimis ab integro diftat: prbpterea- ORONTII FINEI DELPH. quod io denominator,fuperet 6numeratorem quatuorvnitatibus. Defrafl/onc EFRACTIONE aute,qux eft alterius fractionis fraCtio,eadc 7 ftaafonij. racj0prorfus habenda eft: faCta foliimodo ad principaliore fraCtione, veluti ad integru quodda,relatione, queadmodu de fraCtione limplici refpeCtu integri iuffimus obferuandu.Neq; opus eft nouo difeurfumi fi volueris prxdiCta in vanureiterare.Hocvnutame generale ferua* bis documentu:tale videlicet fraCtione nuquam valere integrum, fcd ab eode integro tanto magis deficere,quanto alterutrius vel vtriufq; fradtionis denominatorCnumeratoribus inuice xqiialibus)maior ex* titerit.Na-|- *,plus accedunt ad integru,quam-J- ':& extera. De n&uHione yra&filartimfraHionum. Cap. 1 1 . Rcduftionis diffinitio in vulgatis fra« ft/onibus g^MNIVERS AVVLGARIVM FRACTIONVM PRA i Ctica, expeditaq; reliquarum fuccedcntium operationu fup* HrafMmitatio.ab ipfa-reduCtione pendere videtur.-quonia abfoluta propofitarum fraCtionu reduCtione.facile eft vel ipfas inuice addere, aut fubtrahere mutuo,vel reliquas operadi rationes adimplere. Ope* rxprecium ergo duximus,prius quam ad reliqua deueniamus,exaCta reduCtionis arte, exteris anteponere fraCtionu operationibus. CCRe* * ducere igitur in fraCtionibus vulgaribus,eft oblatu in tegroru nume* ru,in liberx denominationis fraCtione,vel c cotrario, cuiufuis itede* nominationis fraCtione,in fubtiIiorc,aut groffiorem trafrriutare: nec non duas,plurefve diuerixnomcnclatur? FraCtioncs in vna eiufdcm* Quxfmaio ve denominationis fraCtione conuertere.Groftiores folemus adpella resj&qu®' rc fr:i&iones,qux potentia maiores cxiftunt,& minore habent deno* fubiiiiorcs. minatorcifubtiliorcs autc,qux amaiori denominatur numero,&po* tentiafunt minores.Verbi gratia,vnufccundumaiuseftvno tertio,& vnu tertiu vno quarto,& ita de reliquis: taaaietfi. binarius denomina* tor fecudi, minor fit ternario aquo tertiu denominatur, ac ipie terna rius minor exiftat quaternario,vnde quartti fua obtinet denominatio ne.^flntef fraCtiones autequ^eiufde fut denominationis, illa maior dicitur,cuius numerator maior eft.-minor aute,qux minore habet nu Qua fraftio meratore; Omnes porro fraCtiones,quxfimiIe inter fuos numerato quTmffior, r^s&denominatores videtur obferuareratione,funtadinuicc xqua= qmcitciEqua les,ide videlicet in valore reprxfcntatcs :veluti fut-|-,— &fim.iles,inter quas fefqualtera denominatoris ad numeratore obfer** uarur habitudo.queadmodum enim.rcontinet 2femcl ,&dimidiam 'Ji. . eiufde binari/ parteiita &6fe habet ad4,& 9ad d,& 1/ ad io,atqj 18 acf iz.qnxlibet igitur propofitaru fraCtionu (ii debite confideretur) duo tertia valet integri. Ideiudicato de quibufcunq; fimilibus,inter quaru ARITH. PRACT. LlR. It. ij numeratores &denominattircseade ratio, vel Iubitvdo feruatuficu* iufmodi funt ha: ,qua: fcquuntur— duplam,vel eiufcemodi-|-,-|-,-|-.&-jf,ia quibustriplam,denominator ad nume ratorem videtur obtinere rationem. Qjiod velim diligeter animad* uertassfi multiplicem operando eupis cuitare laborem. J»IN PRIMIS ITAQ.VE CONTINGIT, INTEGRA, ad fimplice &voIuntaria(vt aleuioribus incipiamus) velle reducere fradione;quod,iuxta doCtriria fcxti capitis libri primi,in huncpote? ris abfolucremodum.Oblatu integrorum nutnemjduc in denominas torem fradionis,ad qua ipfa vis integra reducere :nurfierus enim ex tali multiplicatione ptoduCtus,numeratore data: fractionis oftender. hunc porro numeratore,fi fnper ipfum denommaroreIocaueris,pofi= ta inter vtrunq;lineola:optatum fraCtionis numeru ,oblatis integris refpondente obtinebis,®)Exepli caufa,derur 4integra, ad feptima rc= duccnda.multiplicabis igitur 4,' per 7, fient 28: quze locabis fupra 7, hoc modo,-—.concludes igitur 4integra,!» feptima continere. $9, ATSI EDIVERSO ad integra,fimplice aliqua volueris redu ccre fraCtionefita facito. Diuide numeratorem oblata: fraCtionis, per denominatoreeiufder&numerusquotus indicabit,quot integra ipla fraCtio propofita reftituat.Qubd ficontingat,abfoluta diuifione alis quod fupereffe refiduund denominatione retinebit,apr;eafrumpta:& reducenda: fraCtionisdenominatore. flfDcntur in exeplu,-—-ad intes gra rcducenda.partirc itaq; z8,per 7,proueniec 4:conclirdascrgopra: fata-^,reftituere pra:cife 4integra. Rurfum offeratur^,aci integra pariter reducenda.Diuide 30,per 4,habebifcp pro quoto numero 7ini tegra:remanentibus duabus vnitatibus,qux-—dicecar.0[Quoties au tem numerator oblata: fraCtionis, per denominatorc eiufdem diufdi minimepotcriniudicabis ipfam fraCtione no valere xintcgru.fed tot partibus eiufde denominationis(cuius eft ipfa fraCtio)ab integro defi cere,quot vilitatibus denominator numeratore excedit.queadmodu numero fexto,primi capitis huius fecundi libri, nuper admonuimus. S*»S ECVNDO, CVM FRACTIONEM ALlQiVAM SIM- pliccm,in alia itidem fimplicem volueris reducere fraCtionem: hanc gencralem,& omnium facillima obferiiato regulam. Multiplicaro numeratore ipfius reducenda: fraCfionis,per cu denominatorem ,ad quem oblata fraCtio proponitur reducenda :&produCtu inde numc* rum,diuide per denominatorem eiufdem reducenda: fraCtionis.nam quotus ex diuifione ^pereatus numerus,optat? feu reduCfoe fraCtionis numeratorem offendet .Quod fi cotingat aliquod ex diuifione fu* pereflerefiduum, id fraCtio fractionis adpellabitur :redam fumens' Qualiter ini tegra ad fini plice fraftio’ nereduceda." Exemplum- Simplicis fraftionis ad integra reda ftio. Exemplum. Notandum. Dcredu&io' ne fractionis (implicis ad aliam fimpli ceffaCtionco ORONTII FINEI DELPH. denominationem adenominatore reducendse frad:ionis,obIiqua ves Notandum ro ab ipfo denominatore in quem oblata fra&io reduceda eft. ®Hoc generale documcntu pendere videtur aregula quatuor proportiona* lium,inferius libro quarto declaranda. Tres nanque dati numeri cos gniri funt,& folus quartus defideratur,videlicet redud? fra&ionis nu merator,ad quem denominator propofitus ea iit habiturus rationem, quam habet denominator reducenda fraCtionis ad fuum numeratos rem:id enim ad aequalitatem fraCtionu, aut «qualem in valore reprce* fentationem eft neceifarium,quemadmodum antecedenti numero fe eundo pramiifimus.Primus itaq; numerus eft denominator ipfius res ducenda; fractionis,fecundus numerator eiufdem,tertius vero denos minator propoficus,ad quem oblatam cupis reducere fradtione. Duc igitur tertium in fecundum,vel econtrario, &produCtum diuidc per Exemplum. primum:&habebis quartum.^[Vt fi velis in exemplum reducere adfextarfenfusqusefiti idem eft, ac fi diceres,integro in tria diuifo, 8c eodem in fex ecqualia diftributo,quot cx 6integri partibus, duas vas lent tertias eiufaem integri partesfita vt comparatio— refpeCtu intes gri,eadem fit, qua; Scdefiderataru partium ad 6eiufdem integri pars tes.Duc itaq; zin 6,aut e d;ucrfo,fient 12: htec diuide per 3, proueniet 4,fcribenda fuper 6,hoc modo~-*-.ergo-|-tantam integri portionem repra;fentant,quanta &~-.Ca;teru,cfto propofitu reducere—,ad ters tiaunultiplica sper 3,vcl ecotrario,fient if,qua; diuide per 7,&habe bis pro quoto numero z,relidta vnitate,qu?-y- ’,id eft,vnu feptimu Notandum, vnius terti/ nominabitur.Igitur-A-, &-“Cu-|- 'ide fut. C^cd eiufce modi fradtionu reduCtiones,ex quibus fraCtionis fraCtio generatur, fummopere fugieda; funr.N 6reduces itaq; fraCtione aliqua fimplice, in alterius fimpiicis fraCtionis denominationeinireduced^fradtionis denominator,fuerit pars quota denominatoris propofiti.Vertes itaq; facile,fecuda in quarta,aut in fexta,velino<ftaua.Similiter reduces fa cile,tertia ad fexta,vel nona,fiue duodecima.Nuq aute reduces tertia in quarta,vel quarta in quinta,fcu quinta in feptima,abfq; fra&ione fraCtionis:propterca q; eiufcemodi denominatores ,fut numeri adins uice primi,id eft, qui nulla habet parte quota comune pr^ter vnitate. Dc teducen EINDESI FRACTIONEM FRACTIONIS, AD SIM- <5 frafticmisad pl' cem placuerit reducere fraCtionem:id facies hac arte. Multiplica fraftionem denominatores adinuicem,& communis efficietur denominator.duc fimpiicem. aIteru numeratori! in reliquum, &confurgente numeru co= munem facito numeratore,fupra iam obtentum denominatore cois denomina** ^ocanc^um'Communem adpellamus denominatorem ,qui proprios tot5&numc multarum fra&ionum denominatores coprehcndir. Idemiudicato tatoc. ARITH. PRACT.' LIS. II. itf dcnnmeratorecomuni.C;ProponaturexepIigratia-|- J. ,ad fimplice Exemplum: &occurrente fradione reducenda.Mulciplica igitur4>per 3,fiec ia,co= munis denominator.poftea ducito i,in z,fiunt 2tantumodb:harc feri bcfuper ii.inhucmoau—.Ergo-|- ‘,valenty-integri:qua; breuius per '—repitefentatur. Modum aute abbreuiandi qualibet fradionem,- infra docebimus.CVerumli fradio fradionis propofita, fuerit altes Documenta rius fradionis fradio, hoceft, duos aut plures habuerit numeratores ^1^“”®, &denominatores per obliquum cxprimendosrfada duoru primorum metatores redudione.produdum in lcquente tertium multiplicetur, &rurfum Stores!" 14 produdum in fuccedentequartum,&ita confequenter,pro continge re numeratoru &denominatorum multitudine. f[Vt fi velles inexs Exemplum, cmplum,reducere ad fradione vnam fimplicem-y •*':duc primu 3in 4,fient 12, &rurfum uin 5,confurgent 72, communis denominas tor.Haud diflimiliter multiplicabisz in 2, fient 4, &rurfum 4ini, 5c redibut eadem 4:qu£epro communi,fupra 72, locabis denumeratote. Ergo— ‘ ,conucrtuntur ad~fiue-~-,aur~. ‘ 72»Q. VOD SILIBEAT FRACTIONEM itide fradionis, ad FnOfonem liberam,&non contingentem reducere fradionem:modum operadi ^ITredm haud diffimilem abeo,quem prarmiffa numero quinto regula docet, cere fra£tio* obferuabis. Reducas itaq; primu data fradionis fradione,in fradio nem* nem fimplice*per antecedens documentum. Deinde propofiru denos minatoremrad que oblata fradionis fradionem reducere placer, duc in numeratore ipfius dat» fradionis,qui ex mutua numeratoru muls tiplicationc refultat,&produdu diuide per commune denominatore,- qui cx mutua denominatorueiufde fradionis multiplicatione cofur git:& habebis numeratote eiufdem fradionis reducenda?,fupra datu feribendum denominatorem. At fi aliquod refiduum ex ipfa relinqua tur diuifione,id fradio fradionisdicetur:ciiius redadenominatio.a denominatore communi,ex mutua praefatorum dcnofriinatoru mul* tiplicationeprodudo pendebitrobliqua vero ab eo denominatore,ili que oblata fradionis fradio proponitur reduceda. $[Aperiamus exs Exemplum. emploqua?diximus:finrq; praraflumpta-y ’,reducenda ad duodes cima.Duc igitur iz in z,fienr 24,& 4in 3,nenti2:partirc.24,per 12, ha bebis pro quoto numero z,fcribenda fuper 12 propoficum denominas torem.Ergo— *,reducuntur ad-y-,quae valet—. ffDentur rurfum eadem-j- 'adodaua reduceda.Multiplicabis igitur 8,pcrz,fienti^ Sc 4fimilirerper3,prouenient rurfum 12 :diuides tandem itf.per iz, & quotus numerus erit 1, relidis 4diuidendis,quae-A- ’dicentur,St bres 8uiusrepraefentanrurpcr-g-.vel-j- ‘integri. CHoc generale tamen' Documenta1 feruabis documentum ,tam pro fradione fimplici (de qua numera r‘0£3ndumo' DaL ORONTII FINEI DHLPH. quinto)quam etiam pro fradione fradionis ad fimplicem reducenda fradionem.-videlicet, Cum numerus ex denominatoris propofiti, in numeratore ipfius oblatse ftadionis multiplicatione productus, non poterit per proprium aut communem eiufde reducend? fradionis de* nominatore,modo nuper expreffo,partiri: tunc huiufmodi fradione fcico non polfe conficere vnufingulare denominatoris propofiti,hoc eft~j-,fi propofitus denominator extiterit3,vel-^-,fi fuerit 4, &ita de Exemplum, reliquis. fl[ExepIi gratia,~-no poiTunt ad tertia reduci: bis enim 3fa* cerent 6,qua: no poffutit diuidiperiz:cocludendu igitur-7f-,no valere —-.Eade ratione-p ',no poiTunt ad quarta rcduci:quonia bis4,eff£ ciunt 8,qua per comune denominatore vtpote iz, minime diuidi pof* funt.Ergo-j- ‘,queadmodum 8c~~ Jnonvald-A-integri.Quapros pter fruftra niteris huiufmodi,fimilelq; facere redudiones:reducend£ igitur funt fradiones.aut fradiones fradionu eiufcemodi,ad fradio nes fubtiliores,qua videlicet amaiori denominantur numero. *AVTEM ACCIDERI T,vt fradio fradionis ad aliam itis 9 nisinfrafiio demfradionis fradione proponatur reduceda:operaberis in hucmo* nem^conuer du.Reducito primum denominatores atq; numeratores reducedse fra tatur. dionis,in vnu comune denominatore,atq; numeratore ,fada vnius in alteru multiplicatione: ide facito depropofitis denominatoribus. Deinde multiplica ipfum denominatore propofituita rcdudu,in com mune numeratore reducedie fradionis, &produdu diuide per denos minatore comune ciufdem oblata fradionis :&optatu numeratore. Nota derefi fijpra diximus,obtinebis. Porro cum aliquid ex diuifione res linquetur,id fradio fradionis alterius fradionis veniet adpellandu, hoc eft,duobus obliquis &numeratoribus,&denominatoribus,pr£ter reduexprimetur: cuius reda denominatio fumetur adenominatore comuni ipfius oblatas fradionis.prima vero obliquaru denominatios numaredo^reliquaab obliquo denominatore,ad quevis ipfamfra Exemplum, dione fradionis reducere,pendebit.ffAccipiamus in exeplum-j- *, ad fexta ‘conuertenda.Ducito itaq; primum 3in 4,vel econtrario fi ent iz:fimiliter &zin 6,vel ediuerfo, confurgent pariter iz. Deinde multiplicato iz propofiti denominatoris, per znumeratoris, fient Z4; haseparrire per iz comunis denominatoris ipfiusdat? fradionis,pros uenient z, nullo manente refiduo ,qua: feribes fupra 6. Relinquitur Aliudexem* igitur,— jefficere-- ’integri. ffEfto rurfum, ad maiorem fingu* pium. lorum euidentiam ,propofitum vertere-^- ‘,ad quinta id cft, vnius fecundi fiue medietatis integri. Multiplices ergo primum4in 3, fient iz :item sper z,fient 10 ,Duc iterum 10 in 3numeratoris, confurgent 30 :hac partire per iz, prouenient ex diuifione z, relidis ARITH. PRACT. LlB. tl. if qua? per iz diuidi non pofTunr.Scribe igitura, fupra f,in hunc modu religa 6vocato-A- *‘,id eft,d duodecima vnius quinti vni* us fecundi intcgri,qua? breuius per-2-,vcl4-' [rcpra?fent5tur. |[Ide velim intelligas effc faciedu,fi propofita? fradionu fradiofies, plures habuerint denominatores per obliquu exprimedos:fada enim fingu Ioru in vnu comune redudionc, ducedo in tertiu produdu ex primis 10 denominatoribus,idc*operadi modus obferuetur.CVerum ii accidat Notandum* in huiufmodi fradionu conuerfione,duos iimiles adeifc denominato res:eofde prorfus relinques inrados,&:opcraberis cu reliquis denomi natoribus per redii vel obliquii exprimendis.Veluti fi~~ jpropone rentur reducenda ad fexta *.Relinques igitur 4redu ,&4obliquu denominatores:&: multiplicabis 6per z, fientiz, qua? diuides per 3, Sc habebis 4, icribenda fupra tfjVrhic-A- \.1 gitur iniienimus hac arte lconuerti in-A ’.Idem obferuatode fimilibus: &fedula mens te notato,fioptaueris^ non modica operationum cofuliond liberari. 11 VMPORRO DVAE FVERINT OBLATAE FRA* Duaruftifia dioneslimpliccs,varia?potilfimumdcnominationi$*ad vna Iimplice jj* fradione pari modo reducenda?: talem obferuato regula. Multiplica ce redu&io. primum vnius denominatore,per denominatorem alterius: &produ dum comunem vtriufq; facito denominatore.Duc poftmodum nus meratore prim:e fradionis,in denominatore fecunda:: &producetur numerator eiufde prima? fradionis.confequenter multiplica numera rorem fccuda? fradionis,pct denominatore (intclligo propriu>ipiius prima?.*fietenim numerator eiufde fecunda: fradionis.Hos tandepe* culiares numeratoresiimul adde,vt comunis inde furgat numerator: quem fuper comunem vtriufq; fradionis denominatore Iocabis,in* tcrpofitaCvr foIet)virguIa. Primus ergo numerator indicabit ,quot partes ciufccmodi denominationiscontineantur in prima fradione: &particularis fecunda? fradionis numerator,quot in fccuda. f[Sint Exemplum, exempli caufa,-f-8c-j-,ad vna Iimplice fradionem reducenda. Mul tiplica igitur 3denominatoreprima? fradionis ,per 4denominatore fecuda?,aut ediuerfo.fient iz:qus pro comuni denominatore feritabis. Cofequenter,2 numeratoreprima? fradionis, ducito in 4denominas tore fecunda?,fient 8:ha?c nota fupra —.Rurfum, ducito 3numeratos rem fecunda fradionis,in3 denominatore ipfius prima?,fient <>:qua; notabis fuper-|-.Tande hos peculiares vtriufq; fradionis numerato i7res frmul adde,cofurgent 17/cribenda fuper iz,in huc 8pmodu-^.Cocludes igitur-|-&-*-ad vna Iimplice fra —~~ Xdione conuerfa,efficere-Af:ex quibus 8fiunt a-A-,& 3iz 4 19a-f ,qua? reducuntur ad vnu integru, integri. Dii/. ORONTII FINEI DELPH. modoipfum refiduu fit pars ipfius diuiforis,aut partes illius coprchd Regul^ani. dat.Tdedc ceteris rcfpodeter velim intclligas.COmnis tande nume 7 ma uerten: fus^u-non metitur aliquis digitoruCexcepta vnitatc, qua: comunis omniunumcroru eftmefura)no habet parte quota, prseterq denomi=* nara ab aliquo impariuSc copofitoru numerorum, quos fola metitur vnitas ,&primos adpellarc (olemus :cuiufmodi funt 11,13, 17, &c. Documetu Quod fi velis in proptu repcrire,dato quocuq; numero,an poffit ad< notandum. aquate partiri per alique primorii numerormeofuge ad tabula vniucr fale,feu proportionale,quam libro proximo,in expeditiorem frattio* nu fexagenariaru pra&ica inferuimus. Propofitu itaq; numeru diuidc per 60:deinde inueftigato numeru quotu ad lamu, remanentem vero numerum ad dextrum ordinem numeroru, fub quo volueris numero primo,ad vertice ipfius tabula reperto, diftribntoru. quos fi offendes ris pracifos iudicabis oblatu numeru per eude primu &verticale nus mcruforediuifibile, aliternoteundueft: igitur ad aliu numeru primu. St fub eo ide quod prius obfcruadu.Sut aute numeri primi, ad tabul$ vertice occurreres rantumodo fedecim.ab i,ad/9 comprchefhvtpotc. Exemplum. 3,y,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,73,^9. CDcmusin cxeplu numeru nty.huncfi diuidasper 60,colliges pro quoto numero 2, remanetibus 49.inueftigetur itaq; 28c 49,modonup expreffo ,fub aliquo numero primo,vrpote i3:hos tadeoffedes,indecimatcrtia linea.Cocludas igi tur i(?9, poffe diuidi per 13. Eade via probabis, ^29 diuidi poflep 23. Peculiamin 2»REI,I Q.V VMEST,VT SPECIALI DI SCVRSV, VEL8 quotam dati artificio, doceamus inuenire ,quotas dati cuiuflibet numeri partes, a atiufius nu. bjnafio vfq. adfienariu numerum denominationeobtinentesiquo ra De tertia diores vtcunq; facilitare valeamus. Si velis itaq; fcire, an datus nu parte. merus habeat tertia partc(na dc feciida feu dimidia,pr$ccdeti numes ro quarto, generalem pr$mifimu$ regula)adde fingula elemeta fcors fum,&veluti digiti cofiderata.na fi colletta inde numeru ternarius metiatur,fcito prsefatu numeru tertia habere parte: fecus eueniente, minime.Vtfi proponatur numerus 2itf:adde 6cui,fiet 7,quibus adius git02, c6furgent9.Sc quonia ternarius metitur 9: igiturdatusnumes rus 216.habettertia partem,vtpotc 72.I dem iudicabis dc numero 161: De quatta. Ij &2coponunt fimiliter 9. CQu°d fi libuerit agnofeere ,an 9 Sofitus numerus quarta parte obtineat: duplica fecundu elemcntu enumcri,hoc eft, denas,feu primum articulum, &produ£tu,ads de primo elementofiue digito ipfius oblati numeri.&fi rcfultans in* de numerus metiatur aquaternario ,huiufmodi numerus habebit quarta; aliter no.Iubemus aute no attingere cetenas,aut millenas, 8c reliquos articulos aprimo; quoniam huiufmodi numeri ccntenari/. ARTTH. PRACT. LJB. II. 31 &colledi centenaru articuli, femper habent quarta partem .Derui' in exeplum numerus zitf.dupla igitur i.fientz,quibus adde 6, refulta bunt 8: qui quide odonariusnumerus, aquaternario metitur.igitur oblatusnumeruszi<5,habetquarta partem. Ideiudicabis de numero 10 288,&reliquisquibufcunq; propolitis numeris. f[Ad inueniendu au tcm,an oblatus numerus,in quinq; partes fit diuifibilis: confidera an ipfe numerusfit articuIus,autcopofitus.Si naq; fuerit articulus,vt 10, 20,30, 40,5-0,ioo,iooo:is habet quinta:fi aute datus numerus copofitus extitcrit,nunq obtinebit quinta,nifi digitus,hoc eft,primu ipfius numeri elementu fuerit, r.cuiufmodi funt hi numeri 15-^5-,v,14.5,116?, 8c fimiles quinario terminati. Quod fi abftuleris primum dati numeri quinta habetis elementu,&refiduu duplaueris, iuda vnitate,fi primu elementu fuerit 5-:habebis via admodu facili, qu^na fit ipfius dati nu meri quinta pars. Vt fi velis facere periculu dczzf: tollej^rclinquenturzz,h?c duplica,fient 44, quibus adde i,cofurgent 4j-.pronuntiabis igitur 45-,efficere quinta parte ipfius numeri zz5-:queadmodum &<54. 11 quinta integrare parte numeri 3zo.|fSi volueris cofequenterinueni= re,an datus numerus habuerit fexta:quadrupla fingulos articulos, &c produdos numeros adde fimul,vna cu primo ipfius numeri elemeto. Nafi refultans inde numerus metiatur afenario, cocludes oblatu nu* meru fexta obtinere parte:q> fi fccus euenerit,fecus etia iudicabis.Of feratur exeplicaufa numerus 138. quadruplabis igitur 1, fiet 4,deinde 3,fient iz,qu£ fimul coponut n>,quibus adde 8,refultabur 24. At quo* nia z4,a fenario metiri coftat: concludedu igitur,propofitii numerum iz 138,habere fexta parte. CAc fi libeat inquirere,an oblatus quifpia nu merus poflideac leptima parte: no eftregula facilior ea, qua numero feptimo nuper tradidimus,cum7fitnumerus primus.Vt fi velles fci= re an k58 habeat feptima: diuides primu 168 per 60, fient2 pro quoto numero,remanentibus 48.qua:re itaq; modo nuper expreffo, z&4Z fub 7,in eade fuccedeti tabula proportionali: qua: cum ibide prseci= fe rcperiatur,no dubitabis profatum numeru i<58 ,polfe diuidi per 7, 13 quare &habere feptima. Ad cognofcedu aute,anpropofirus nume rus odaua polfideat:dupla fecundu ipfius numeri clemetu, vrpote de= nas,&quadrupla tertiii, hoceft,cetenas,millenis intadis,&produdos inde numeros adde fimufvnacu primo totius numeri elemeto fiue di gito.Quonia fi refultans numerus metiatur ab odonario, ipfe datus numerus odaua parte habebit.-finaute, carebit odaua. Hiciubemus millenas prorfus intadas relinqui:quonia omnis millenarius numc= rus, odonario metitur numero, centies enim &vigefies quinquies 8,. vel odies izf, coficiut xooo numeru. Accipiamus in exeplui368:dupla De quinta parte. Notandun/ Dc fexta. De feptima' numeroruttf parte. De oftauS- ORONTII FINEI DELPH. itaq*, 6,fient iz,quadrupla deinde 3,fiet rurfum iz,qu? fimul efficiuc-24* quibus fi addideris 8,cofurget3z. Atqui ?z metiutur ab 8:metietur igi An datus nu cur fpfeottonarius pra:affumptu numeru 1368 .CCdfequeter, fi velis 14 merus habes *.,rr„' at nona pte. examinare,vtru datus numerus nona parte poliidcat: adde murce lin gula totius numeri elementa feorfum accepta.veluti numero odtauo, pro reperieda tertia parte,prarcepimus.Na fi 9,refultate metiatur nu* meru,metietur fimiliter &ipfum numeru datu. Eftro in exeplu propofi tus numerus 432.Adde igitur 4&3,fiet 7,quibus rurfum addito i,y ro* ueniet 9. Sed noucnarius metitur9:igitui’43z nona parte obtinebit,&c Dc parte dc cofequeter tertia,per corollarii! fexti nuifieri.([Finalicer fi decima ali 1$ xomm!mK Cll ^us -numeri partem defideraueris,hocgcneralc docum-Stum obferua bis:vtpote,Omnis articulus numerus,veluti 10, zo,30,40,^0, 100, 1000, aut his fimilis,habetdecima,pcr diffinitionearticuli,capite primo li bri primi declararamullus vero copofitus numerus,ficuti nec digitus. Notandum, in 10 partes aquales partibilis eft. ®Qubd fi velis in promptu fcire, quama fit ipfius dati numeri pars decima :tolle folumodo primiito* tius numeri e!ementu,na refiduu decima ciufde numeri parte indica* bit.Vetbi gratia,offeratur numerus izo.tolle igitur o, relinquetur iz: ergo iz eft decima pars ciufde numeri izo.pcfuecedentibus,atq; fimi libus quotis numerorii partibus, quas funt pene infinita;, rcfpodenter iudicabisma ifthaec videtur,etia rudifl5mo,faccre fatis,qu«e pro maio ribusnumeris,in quibus maior eft difficultas,^ inparuis,fpecialiter Regulagene rradidimus.flfLibet tamehac vniuerfale addere regula. Diuide nume ra ls*rum datu, per denominatore propofitu.na fi numerus ipfe praicife di* uidatur per oblatu denominatore,is habebit parte quota propofica:fe cus aute eucniete,nullam talis nomenclatura: partem obtinebit. <B[De^ulgarium fraSiipnUnt additione. Cap.111 1 .' Additio fra> ftionum eu-- dem haben-- tiuin deno* minatorem. EPWUrO GENERALI VVLGARIVM FRACTlONVM,i O||g|etiaqualiucunq; propofitaruadditione,hocfanec| facillimu fjLlajMobfernabis documetLl.Cofidcra.an propofirc& addenda: fra* (ftiones,eiufde fuerint dcnominationis:anve diuerfam fortita:fintno menclatura. Si primu acciderit:collige tantumodo numeratores ea* rude fra<ftionuadinuice,&refultante inde numeru,feribito pro nume ratore, fupra comune prxdidarufratftionu denominatore, interpoli* Exemplum. taCvt folct) virgula|[Exepli gratia,fint-f- 5c~-,in vna fumma collige da. Adde igitur numeratores adinuice.vtpote, j- 8C7,fient duodecims feribe itaq; iz,fuper 8,comune vtriufq; fra&ionis denominatore,hoc modoJ|-.ergo-f-,&-f-fimul iunfta, coponut-^-. Et quonia numera* tdrfciliceriz.maioreftdenominatorcudcirco fidiuiferisizper8,vnn ARITH. PRACT. LIB. II. 3* colligetur integrum,relidis-|-,qu£e valet-|-integri.Huiufmocli naq; Notandum* fradiones femper ad integra funt reducenda::&quse funt remotiores ab integro,in eas vertenda: funt fradiones,qu$ ad ipfum integruma gis accedunt,&minoribus exprimutur numeris.quemadmodum pris mo &fecundo numero capitis antecedentis cxprelTimus\ turpe enim eft feribere—;cu vnu valeat integru,&—intcgri.quod femel didum voluinusme prius opportune dida, importuna citatione repetamus, iJ*CVM AVTEM IPSAE COMPONENDAE FRACTIO nes,vanos habuerint denominatores:reducatur in primis ad vineum nevariosde* denominationis genus, illius videlicet fradionis,ad cuius denomina "eThabfufi. tione cetera; facilius erunt couertibilcs.perdodrina antecedetis fecu= di capitis.quo fado,coponantur in vnufinguli fradionu addedarum numeratores,&fub inde colledo numero comunis locetur denomina tor,vcIuti nupadmonuimus.f[Efto propofitii inexeplu, addere fimul Exemplum. -|-&-§-.Quonia igitur—-,facilius vertutur in fexta,qeade-^couerte retur in tertia:^ppterea q> vnu fextii nunq facit vnu tertiu, fed vnu ter riu fuperatfexta parte integri: idcirco reduces ipfa~, ad fextoru de= nominatione, per quintu numeru pneallegati fecundi capitis antece dentis,fient-|-. Adde itaq; numeratores adinuice, vtpote 4&: y, cofur getpiquiE feribes fupra 6,comunem vtriufque fradionisdenomina= rorem, in hunc modum-f-.Concludendum igitur,—,6c—|—,fimul iun da efficere-^-:qua: advnum integrum,&-4~intcgri reducuntur. j?»AT SI FRACTIONES ADDENDAE MVLT IPLI- ces habuerint inter fefe denominatores Cquod frequetius euenire fo= tendum pro let) vtpote q> vnius fradionis denominator ,alterius fit quota pars: agonibus, hoc fumme notaduobferuabis documcntu.Diuide maiore denomina ciuaMI deno* tore, per iplumminorem:& per quotu numeru (qui denotat quoties niuscftake* ide minor denominator in maioricotineatur) multiplica ipfum mi= n“s s quota nore denominatore,atq;eiufde minoris denominatoris numeratore: eo naq; modo,fradioncaminori numero denominata, perq facili & ingeniofa via,reduces ad denominatore alterius .Addepoftmodum numeratores adinuice, &produdonumero comune fubfcribito da nominatorem:quemadmodum immediate procedenti numero primo prsecepimus,&abfoIuta erit propofitarumfradionum additio. CDentur admaiorem quie diximus elucidatione,-j-&-|-inuiceadde Exemplum» da.Igitur quonia 3minor denominator, cotinetur in maiori fcilicct 9ter:multiplicabis 3per ternariu,fiet 9, &rurfum 1per eiide terna riu, fient 3:qu* feribes fupra 9,vt hic Eruntitaq; -~ &-§-fimul adiuge da.adde igitur z&c 3, fient s>feribeda fuper alterutru nouenarium: in hunc modu-|-. ergo-j-,&--~fimul iunda, efficiunt-|-.)([Similiter fi txem ORONTII FINEI DELPH. proponatur colligeda —j‘-.Sc-^-rquonia io cotinet/bis,idcirco multis plicabis /per z, fient io,fimiIiscupriori denominatorJrcru per eudeni binariu,mulriplices numeratore ipliusminoris denominatoris,vtpo= te 2, fiet 4,fcribeda fuper io.erutigitur-~-,&-4-inuicecoponeda.adde itaque? &4,numeratores,fient7: htec fcribc fuper io, pro defiderato numeratore,vt hic -^.Concludendum igitur,— &-,* efficere-—. mfl?fo‘ S*VERVM SI CONTINGAT EASDEM FRACTIONES 4 reliquis tra» inuicemaddcndas,talibus coftare,fcu reptasfcntariniimeris,vt altera lios^abend *nalterashoc eft, alterius denominatione, abfq; fradione fradionis bus dcnomi (quce maxime fugieda eft) no poflet facile couerri,vt ^ppofira tando narores. abfoluatur additio:has tibi veniut ad vna fimplice fradione reduce* d£,perdodrina vndecimi.aut decimiquarti numeri prasallegari fccu di capitis huius libri.Omnisnanq; fradionu additio,redudio quarda efle videtur,at no ccotrariomo enim redudio quadiber, pro additio* Exemplum. ne fumeda eft. flfSint cxcpli caufa-^-, ’iriuice colligeda.Claru eft, neqrfmquinta,neq; ipla-j-in tertia,abfq; remanes te fradione fradionis pofie coucrci.duc igitur/ in 3, fieti/^p denominatote comuni.deinde z,in /;fiet 10, feribeda fuper-|~.rurfum ducito 3in ?,fient 9,notan* da fupcr-J-. Igitur-J-reducuntur ad-~-,&-|-ad-|-. adde itaq; 10 &9: ^pdudos numeratores,cofurget 19 numeratore comuni,feribeda fup i/,in hucmodu-fJ.Ergo-|-&-J- fimul addita,producut-{|-:quje vnum faciunt integrum,&^-integri. CoroHaml REVIDENS ITA Q.V ERELI NQ.VIT VR, QVCTIES / fradionu mi plures &diuerfas denominationisfradiones adinuice, aut fradionu ccm velcfi" «adiones inter fefc,vel cu fimplicibus, aut mixtis fradionibus,item integris ad-, incegracu fradione,pluribtifve fradionibus,aut cu fradione fradio dendis. ni$,vel pluribus fradionu fradionibus addere fuerit operaspretnnre* currendu efte ad prasmifFam,& fufficientcr expreffam redudionis ar* tcm.NuUaenim patieris addendo difficultate, modo pfamominatum caput fecundu fedula mente notaoerrs.neq; opus eft nouo, &lios ri difcurfurcum prarmemorat£e,&his quotcuq; fimiles fradionu addi tiones.ab ipfa redudione pendere,imo necdifcrepare videatur. Addere etenim inhuiufmodi fradionibus vulgaribus ,nihil aliud eft.g plures fradiones,in vna fimplice reducere,fiue colligere fradione. 19 10 9 1; IfDe fubtratlionc iam ditiarumfractionum. Cap.V.' |N SVBTRACTIONE VVLGARIVM FRACTIO* |num,idemrefpondenter eftobferuandu,quodin additione. -Quoniam fi du«e propofita: fradiones eiufdem fuerint ARITH. PRACT. tlB. II. 33 dciidminationisjVoIueriTq; altera ab altera fubtrahcre,vtpoteminos rea maiorimtimerator ipfius minoris &fubtrahed§ fraftionis,aufere du$ eft amaioris fradionis numeratore, aqua videlicctCqueadrilodu in integris)debet ipfa fubtradio fieri, &fub refiduo comunisvtriufq; fiue peculiaris alterutrius fra&ionis denominatorcollocadus, inter» ieda folito more lineola,Hic maiore vocamus fradione, cuius nurrie rator maior efhminore vcrb,&fubtraheda,qu?minorc habet nume* ratore. Ite,queadmodum: in integris folemus obfernare numeris,du? folumoccurrutiri fubtradione fradioneS,eftq; minor amaiori femp auferenda:quonia aqualis ab squali fruftra,& maior aminori nun^ fubtrahitur.ffExepli gratia,jpponatur-|-aufereda a-J-.Subtrahes ita- Exemplum. q;2 a3,relinquetur 1,cui fubfcribito 4,in hucmodii —.Igitur fi~tol= Iatiira-|-,rehdiquetur--}-integri.Eodemodofi-}-auferatura--|-,relin<| tur^-:queadmodu-f-ablata a-A,relinquut-jA,quaj valent-}- integri. S»>AT SI PROPOSITAE ET MVTVO SVBTRAHEN' |’,li™^u dx fradiones.druerfos habuerint denominatores.-altera earu (prout ftiambusva facilior fefe obtulerit comoditas >irr' denominatione alterius couers nosden 1 oirI tatur,perquintu numeru lecudi capitis,aut rertiu numeru antecedens bemibus. tiscapitis quarti.deinde minoris &fubtrahede fradionis numerator, anumeratore maioris auferatur, fub manete refiduo^omuilisfcriba rnr denominator: veluti procedenti numero figillatim exprefiimus. (^Detur in excplu ab-^-aufereda.Reduces itaq; primu-}-ad deci= Exemplum.' ma,fient~:fubtrahespoftmodum 6ab 8, relinquentur 2, quibus fub* feribes 10, vt hic-—-. Ergofubtradis-|-ab~, relinquuntur—, qua; valent-}-integri .Haud diffimiliter fi -~a. —-proponantur auferen da :reduces in primis ad nona,fient-|-:a quibusdemum auferes relinquetur—,id cft, vnum integri nonum. SftCVM AVTEM ALTERA PROPOSITARVM FRAs ^egu dionii no poterit facile conuerti in alterius denominatione,vrpotc, ncraiis. maior in denominatione minoris, vel ipfa minor in maioris deno* minatione:vtraq; ad vna fimplice reducatur fradione,pervndecimu numeru eiufdein fecundi capitis, deinde fiat minoris numeratoris a maiori fubtradfo ,refiduo fupra comune denominatore collocato : queadmodum fupra diximus. CVt fi velis exepli caufa, fubtrahere Exemplum-/ reduces in pvimis~8c—*rad vna fradionc fimplice,&cornune dcnominatione,muItiplicadodcnominatores adinuice,& denomi inatore vnius in alterius numeratorem :queadmodum fuo z\ y lloco diximus, &obie£ta formula monftrat .Vertentur igi* T"X~tur ipfa-|-&-y-ad quindecima:ex quibusio fient a-A,& 12 15 ‘a-A.Auferitaque 10, a12,relinquentur 2, quibus fubfcribes E* ORONTII FI NEI DELPH. i/, communem vtriufquc fradionis redudse denominatorem -« Dc fubtra. Concludes itaque -|-,fubtrada a—relinquere—. ftiomfraaiS»» VERVM SI AB INTEGRO, VEL DATO Q.V OPIAM4 oms ab mtc intcgr0ru nur»er0,aufereda fit aliqua fradio, quonia 1integra,tot fis milibus cequiualet fradionibus,quot funt vnitates in fubtrahedg fra* dionis dcnominatore:idcirco numeratore datg fradionis auferes ab eiufde fradionis denominatore ,rcfiduumq; fup cude rurfum locabis denominatore,cancellatoprius,vel tade integro.CVtpote,fi iubearis • fubrrahere-|-a duodus integris, fubtrahe fa7,116 fecus ac fi eade~- a~-(qua; vnii valet integra) ,pponeretur aufereda,relinquetur 2: qua; rurfum feribito fupra 7,hoc modo —-, auferafq; rab ipfis duobus in* tegris. Relinquetur ergo fada fubtradione,i integrum, &-|-intcgri. Corollpriu £•* EXHIS, ET PRAEDICTIS OMNIBVS RELI NQ.VI* ; imegrotaA tlir nianifeftu,quoties integra, &fimplices fradiones, aut fradiones tr^tionum fradionu,apluribus fradionibus,vcl integris, aut mixtis feu fradios ue generib9nu fradionibus, &ceteras eiufcemodi fradionii mixturas,aquibufi trauldi^ cuncl> fradionu gcneribus,fubtrahere fuerit oper^pretiu:ad redudio* nis arte prius eflc recurredu:hoc eft,fingula fradionu genera,ta ea fci licet aquibus fubtra dio facieda eft,qccia aufereda,ad vnicafimplice eiufdemq;denominationisfradioneforecouerteda:deindeabfolueda effe omnia,ad fubtradionis arte(eo quo nucdiximus modo)ptinetia. e.Dcearimdem fraciionum multiplicatione. Cap.V I. 'VEMADMODVM IN INTEGRIS, ITA ET 1Nt Vadis integroru numeris,multiplicatio 116 minimam ipfius ^j[-artis videtur obtinere partem: idcirco fingula multiplicatio nis di/crimina,intcr frados accidetia numeros,difeurrere no erit im portunu. Sit ergo prima &vniuerfalis htec regula. Propofitis quis bufcunq; fradionibusper fefe,velin alias quafcuq; fradiones multis plicadis.-ducatur in primisnumeratores inter fefc,& optata fradio* nis numerator generabitur.Rurfu denominatores adinuice multiplis cetur:fietqj pdudte fradionis denominator,fub profato numeratore Exemplum ponedus.interieda foIitomoreIineoIa.®Eftoprimumincxeplufims z tionisLftV plex fradio,p fimplice multiplicada fradione:vtpote-L-per-“. Duc itaq; numeratores adinuice ,fcilicet 4in 2:fiet 8, numerator optatus, ftione fim» deinde multiplica denominatores,hoc eflr, $per sicofurget i^qme f> piiam. denominatore fub eifde 8collocabis,intcrpofitavirguIa,vt hic~.Er Defraftio* go-|-per-y-, vel ecotrario multiplicata,producut -^. ^[Scd offeratur 3 nispSSo fradio fradionis,pcr fradione itide fradionismultiplicanda:vtpote nem frafti< _JL ,per-|— *.Duc igitur 2in 1, fient 2,& rurfum 2in ?,prouenient pE£ti’«!qu« tandem per 1multiplicata no augetur: ergo 6erit numerator Regulagi neralis no ARITH. PRACT. LIB. II. 34 proclude fradionis.CofequentermuItipIica 3per 4,ficnt 12, qu? rura fum duc in y,cofnrger 60, hcec tande per 2multiplicata efficient 120S qu? pro denominatore fradionis optat£e,fub prius obteto numerato* re,vrpote<5,refp6deferannotabis.Igitur ex hac' multiplicatione pro* 4uenient—*:que abbreuiata reducurur ad^-inregri.f£Eodem modo,fi atioM^k! fradio fimplexjin fradione fradionis fiue mixtam ,aut econtrario &<oms fi m. proponeretur multiplicada,faciendii effie iudicabis.Vtfint verbi gra* Sioneml?» tia-j- \,qute oporteat ducere in-|— integri vel ediuerfo .Dic igitur, Bionis, quateri faciunt 4,&ter4 efficiunt 12: qua? pro numeratore feruabis, pofcea dicito,quinquies 3faciut 1/,quater aute 1/ copOnut 60, pro de? nominatore generat? fradionis,fub 12 pr?obrcnro numeratore locati da, in hunc modu-^* :qu? ad breuiore redada fradion£m,per~-intes' gri repradentantur. Neq; alienu habcndu eft iudiciu, de quibufcnttq; 5mixtis fradionibusadinuicemultiplicadis.f[Necdiffimiliter eft ope Wiiftfpfica* randu,cum fuerit aliqua fimplex fradio cu fradione fradionis,in fra calonis' g dionefimplice:aut fimplex fradio,per fimplicS fradione,vuacu fra dione fradionis multiplicada.Vtpote,fi-|-&-^- *pet-A-integri,aut Stionem econtrario velles multiplicare.Bis enim tria faciut <>,& quater 6effi ftaaioTiis* ciunc 24:qu?produdu indicant numeratorem.infuper.ter 4faciut 12, bis aute 12 efficiut 24,quinquies demu 24 producunt 120, pro denomi natore,fubprafatis 24,in hunc modii annotanda-^*: quse ad breuio* 6remcouerfa fradionetn valet —integri. ^[Reliquas autem fimpliciu,- De reiiqufs atq; mixtarii fradionu occurrentes in multiplicatione cobinatioflesWi/stnter figillatim explicare,fuperuacaneuiudicamus:Vtpotc,qu? ex pr?d idis ^JSSK- facile coprehendipoflunt.Siue enim fradione fimpliccm cu fradio* ne fcadionis,in fradionem eria fimplice &fradionem fradionis.vel plures- &fimplices fradiones,per plures itidem fradiones fimplices, aut demu fradiones fradionum tam per fefe, quam per fimplices fra diones multiplicare fuerit operarpretium, fempereft facienda nume ratorum atq; denominatorum ,tam per redumquam per obliquum expreffiorum, inter fefe multiplicatio, quemadmodum multiplici nu= perdeclarauimusexemplo:tranfeamus igitur ad reliqua. 7i*GVM AVTEM SIMPLEX FRACTIO PER INTEGRA gmpkxfra proponetur multiplicadarducendus eft fradionis numerator in ipfo* Pc° integra rum integroru numeru,&produdiifcribedufuperden.ominatore eiuf multiplicari1 d£ fradionis.Exempli caufa,fint-|-per 4integra multiplicanda.duc igitur 3in 4,fient i2:qu? feribe fupra 7,in huc modu-—.Ergo-^-per 4 integra multiplieata,,pducunt^A:quje vnu valet mtegru,&-|-integri. Si enim diuiferis 12 per 7, proueniet 1integri pro quoto numero;, re* lidis sintegri fcptimis.qiuequidemdiuifio fempercrit obferuanda,- EAj, OR.ONTII FINEI DELPH. quoties pdudusex multiplicatione numerator,maior fuerit eiufdefri dionis denominatore: vt ^pduda, fimul &reduda fradio cofurgar. fhonT e” fi per integra fradio fradionis ^ponatur multiplicada ,in 8 i.itcg«muJ 4uavidelicet duo funt numeratores,&denominatoresrducprimu nu tipiicacio. nieratores& denominatores inter fefe,modo fiepius exprefio. deinde per antecedentem regulam, multiplica numeratorem communem, per datum integrorum numcrum:& fiprodudus numerus fuerit ma* ior communi denominatore, diuide ipfum per eundem communem dcnominatorem,ex mutua particularium denominatorum multiplis catione produdum .nam inde refultantem, Se ad integra redudam Exemplum, fradionem habebis-CDentur inexemplum— ',periy integra mul tiplicanda. Dqp igitur primum zin i: fient z,communis fcilicet nume rator. rurfum ducito yin 3,fient if: qu:e cumune paritet indicabunt denominatorem Multiplica poftmoduz per i? integra,fient jorqua: partire per i/,hoc eft,denominatorem,prouenient zintegra pracife, abfq; rclida fradione. Ide fac defimilibus quibufcunq; fradionum fradionibus, perqueuis integrorum,vel e contrario numeru ,multis Notandum. plicandis.GEln his igitur fradionum multiplicationibus, folus obla* tg fradionis numerator pro data integrorum augetur multirudinc: at non ediuerfo: quod &aftronomicis fimul probabis accidere mi* friftfone'” nut'j s-C.Verum,fi integra cum fradione ,per integra voluerismuls 9 qualiter per tiplicare:duc prius integra in fefe,& nota produdum integrorum nu riphcanda. U^meruni deinde multiplica ipfius fradionis numeratorem,per integra fradione carentia, iuxta dodrinam feptimi numeri immediateprais cedentis:&confurgcntem inde numerum adde referuato integrorum Exemplum, numero .®Vt fi velles exempli graria nudtiplicarc 5per 4, integra integri, duc 4in /,fient.zo. rurfum duc numeratorem datofras dionis ,in ipfay integra ,fient 10 tertia ,qua: valent^ integra ,8c~- integri: adde itaque ea cum ipfis zo integris, confurgent 23 integra, &iintegri tertium .tantum igitur ex hac multiplicatione produs Aii«modus. cetur .f[Vel aliter ,reduc integra fradioni adiacentia, ad idemges 10 nus commune cum eadem fradione lua :deinde operare per dodris nam feptimi numeri immediate procedentis. Repetatur antecedens cxemplu :vbi yintegra, per 4Sc~integri ^ppofuimus multiplicans da. Ducigitur4in3, fient iz tertia: quibus adde~,confurgent haec ducito in 5integra,confurgent-7^:qua; Z3 valent integra, &-J- De tntegro» integri, veluti per alium modum inuenimus. f[Cum autem integra n ftionc,pec vna cum limplici fradione ,per integra &fradionem itidem fims fta£Hone Um pficcm multiplicanda proponentur :duc in primis alterum intes multiplica* grorum numerum per reliquum ,&fubfcribe produdum .Deinde ARITH. PRACT. LIB. II. 3. multiplica numeratore fradionis multiplicada:,per integra multipli? cantia .idem quoque facito de numeratore fradionis multiplicantis per integra multiplicanda,perantecedentis numeri feptimi documcs tum: &produdos inde numer6s(fubtradis,atquc prioribus adiudis integris )adde fimul,ii fradiories extiterintfimiles. q> fi fuerint diifi* miles,pone cuiuilibct numeratorem fupra denominatorem propriu; &cas in vnamreducito fradione,pcr vndecimu numerum fecudi capitis huius libri. Tandem multiplicato vnampnedidarum fradionum in reliqua,per documentum primi, &exemplum fecundi numeri huius capitis:& confurgentem inde fradione, adde priori &nuper rclidx fradioniCna eundem habebit denominatorem;)fubdudisfem per integris,prioribus tandem adiungendis. Nam hoc 'modo produ= dumex multiplicatione numerum,ex integris &fradione refultaute obtinebis. CObi/cianturexempIicatifa, 4integra integri, per $ integra &-^-multiplicanda. Duc itaque primum 4in/, fient 2o:qua: lcribefeorfum.deinde4 in j,fient~:qux3 valent integra,cumio in= tegris adiungenda,&-|-integri. Multiplica poftmodhm 2per f,fient -y-:qu?3 ruriiim valent integra prioFibusaddenda,&~integri.Reli= da conicquenter-A_&—-integri, ad vnafimplice reducito fradione: prouenient-^-integri.Tandem multis Frafiiones. plica—^per-y-ficnt— :qu«e vna cu — efficiunt-—-, aquibus vnu auferatur, 5cprioribus addatur integrum :&res linquentur-—, qua: breuius reprxfen* tantur per-jf-.Colligentur ergo ex pro' pofita multiplicatione t-j integra,&: -—integri.^fPotcris &alia, multoque breuiori &faciliori via, idem rcfpons denter abfoluere:reducendo vtrunque integrorum numerum, &ad fuam adiungendo fradionem. fada nanque redudione, fi altera confurgetiu inde fradionumper reliquam multiplicetur ,iuxta regulam primo & fecundo numero huius capitisexprelfam:genitusexpropofitamulti= plicarione nafcetur numerus. {[Repetatur in exempluprcefata 4in- tegra &-j-,pcr sintegra &-|-multiplicada:quo facilius operationu agnofcaturrefpodentia.ex 4igitur integrisSc-*— ,fient-A-:& ex sintegris Sc-l-.coiurgent-^l-.Icaq; fimultiplicaueris-~-per~~,vel econrario,producentur~:qux 27 valent integra, breuius per-jf-re? 13 pnefentata.CEx his omnibus facile colIigitur,c?tcrarum quarucunq; tam fimpliciumquametiammixtarum fradionum Cqua: fradiones E.ii/. "vs—'' *3 384_ 3jr 8 —2_ a712 iXi a4 Exemplum. Alius mod9 facilior prse» cedente. Exemplum.- Corollariu' dc reliquis integrorum' ORONTII FINEI DELPH. numerumducito in datas fradionis numeratore,produdumq; ftatuC numeratore defideratas radicis .Poftmodum cubu ipfius mutuati nus meri per oblatas fractionis numeratore cubice multiplicato, ducendo cubii ei ufde mutuati numeri per ipfum numeratorc,&rurfum produ* dum per eunde numeratoremultiplicando,proucniente cofequenter numeruindenominatore propofitas fradionis ducito,atq; rcfultantis inde numeri cubica (imiliter extrahito radicem. Na ipfa erit optata Exemplum radicis denominator.f[OfFeratur rurfum exepli caiifa, prius accepta quadrata: ra ~-*-,vt alternata videaturoperationu refpondentia:fi'tq; mutuatus nu mam^vfam merus tf.Duc itaq; 17 in <5,fient i6z:quas feruato pro futuras radicis de tertij' modi. nominatote.Poftca,ducito 6in fefe cubice,producentur 11 6: quaspris mum ducito in 27,fient y83z.Sc rurfum y83z per 27 multiplicato,con=* furgent iy74£j4:quas tande multiplicata per 8,efficiunt iz^iz.quoru radix cubica cit 108: qua reponito fupra i6z, pro numeratore radicis ciufde oblatas fradionis.hoc modo—.Hasc aute-J-°® ad breuiore folia to more couerfa fradione,reducutur ad~:quse pro radice cubica eos in non cubis rundem—fuperius adinuenra fucre.CAddamus& exemplu inno cu dampartem bicis,per vltima via eiufdem terti/ modi.repetantur itaq;—-,fitq; ide «eteij modi, numerus 6mutuatus:in quem ducito io,fient tfo,quas referuabis in nu meratore futuras radicis.aeindc cubu ipforu <?,vtpote 216, cubice muL tiplica per ipfu oblata fradionisnumeratore,fciiicet io.rcfultabuntqj cx primo dudu 2160,ex fecundo aure zn>oo:qu£e tandem multiplicas to per 29,producentur tfz^oo.quoru radix cubica efi: 8y :qua: fub 60 Primum co Pro deuominatorc locabis,vt hic--. qu$ abbreuiararcducuturad-“, roUarium. &ipfa-{|-verrunciir in duo fere tertia.ffEx prasdidis omnibus (equi*. y tur,ca in non quadratis, quam minime cubis fradionibus, quadrata aut cubica oblatas fradionis radicem,per adiundutertiu modum ads inuenta,tanto prgcifioreefTe.veritariq; proximioresquanto mutuatus numerusmaior extiterit.Item,prima partem eiufdemodi terti/, prass citiorem efle fecunda,tam in quadratis quamin cubicis fradionibus. Corollaria {[Sequitur etiam,propofitas quateunq; tam fimplicium quam etiam fecundum, mixtarum fradionum, vel integrorum cum fradionibus cobinatio* nes,ad vnicam &fimpliccm fradionem fore reducendas prius.quam earundem quadrata vel cubicam radicem inueftigare proponassques admodumin casteris obteruauimus fupputationum operationibus. ^SECVNDI LIBRI ARITH^ METI CAE PRACTICAE, FINIS. 3? g^LIBER TERTIVS ARITHMETICAE PrACTICAE, DE FRA* CTIS ITIDEM NVMERIS: SED IVXTA MENTEM ASTRONOMORVM, PER SEXAGENARIAM PARTIVM SVCCESSIONEM DISTRIBVTIS. ratione,ac exprcjjioncftaftionum Ajironomicartm.Cap. L ONSVEVERVNT ASTRO NO MI, Curfexagc ac in vniuerfum Mathematici,in cadefhum nariusnumei «.rrus amathc motuum ,aliarum quoque rerum iupputa* maticis eic> tionibus,fexagenaria numerorum vri dilTri^ ftuseft* butionervtpote, quoniam fexagenarius nu* merus huic negotio comodior cfle videtur, propter numerofam partium quotarum ciuf dem numeri multitudinem. Habet enimfe* xagenarius numerus fecundam partem ,vts pote 30,tertiam,fcilicet zo,quartam iy,quintam iz,fextam 10, decima ^duodecimam y.quindecimam4,vigefimam 3,trigefimam z,&fexa=s gefimam partem, qua; eft vnitas :quod alteri cuipiam intra centum non videtur euenire numero .Cum igitur vniucrfus aftronomorum Frlftioncs calculus, circa motuum cadeftium inueftigationem potiflimum ver= Aftrcnomi. fetur,ca;IefKa autem corpora circularem (velut alibi deducetur )fint xr1. . .\•r•~culum rela» adepta figuram,qua; motu itidem circulari iuapte natura mouerico t*. uincuntur:neccfTum fuit,prsefa tum calculum aftronomicu, ad ipfum circulum fupputando rcferre.Per circuIumCetfi proprio alibi diffinia tur Ioco)intelIigimus figuram planam,vnica linea,qua; circunferen i' ' tia eiufdem circuli dicitur,terminatam:in cuius medio punttum in= diuifibile lignatur,centrum ipfius circuli nominatum,aquo omnes re ctie linea; ad circunferetiam eiufdem circuli produdfce funt aquales. |[At quoniam finis aftronomica; fupputationis effe videtur, motus finis Aftro< fyderum ad circulum Zodiacum,vel Eclypticam, feu viam folare(na nomid caP ha;c idem funt)immediate referrei&inrefpondente in cade Eclyptis cu ’ ca, fyderum nos tandem inducere locum. Circulus autem Zodiacus, Circuiuszo.i vel Eclyptica,ad proprium motum ipfius Solis,intra vnius anni com-- Edyptiea* pictum interuallu dcfcribituriqui quide annus, in ndiuiditurmefes; Grados. ORO NTII FINEI DELPH. iz notabilioribus in hac inferiori regione,admotum ipfius Solis ac* cidentibus effeduum tran{mutationibus,refpondcntes. Idcirco,vt al ternata menfium &lignorum,&reliquorum accidentium obferuetur refpondetiatpra;fatum circulum Zodiacu in n,& adinuicem aequales signii m«0* f0lemusdiuiderepartcs,qua;figna,hocefl,infigniorescircuIi portio* “piam, nesadpellantur. Sub quibus videlicetdifcurrente Sole,lignanter hasc inferiora mutari confpicimus.Eft igiturfignum.duodecima parscir* culi. Quodlibet inde fignum,in 30 fubdiuidimus partes adinuicem a:qualcs,qua: gradus vel integra dicuntur,ad menfis vnius fimilitudis nem,qui 30 fere complediturdies:vrgraduu circuli numerus, nume=* ro dierum ipfius anni(qui eft j6f,vna fere cum -^Opropemodum res fpondeat.trigcfies enim 12, aut duodecies3o,conficiunt 360: perambu lar enim Sol fingulo die,vnum fere gradu. Rurfum quemlibet gra» du in 60 partes adinuice aquales fubdiuidut Alfronomi: qua; prima. Minutum, vulgariter autem minuta dicuntur .Primum ergo fiue minutum ,eft fexagefima gradus ,vel integri particula.Quodlibet inde minutum, ,in 60 diuidunttequalia.-qua: fecunda nominantur. Vnde per fecum dumintelligimus,iplius minuti partem iexagdimam.Conlequenter, fecudum quodlibet,in 60 fragitur tertia.Tertium quoque,in 60 quars ta. Quartum,in 60 quinta.Quintu, in totidem fexta.& ita deinceps, Tettifi Scc fexagenaria diftributionefemperobferuata:rarotame,imb ferenum quam in aftronomicis aut geographicis fupputationibus deuenitur Decolleris v^3ue ad decima.i|fAnimaduertendumeft:pra;rerea,quemadmodum 3 graduum &ii gradibus per fexagenariam fubdiuifionem,profata; circuli fradios nes minuendo defeenduntrita ex eifdcm gradibus furfum afeendem maiores ad> do,contrarius ordo fradionum colligitur.ex 60 nanq; gradibus vnu pellantur. comp0nitur fignum,maius adpcl!atum,duo minora comprehendens figna:& hoc modo ,fignum critfexta pars circuli. Ex6o deinde mas ioribusfignis,vnum coficitur,primum:atq; ex 60 primis,vnum collis gitur fecundum.ex 60 vero fecundis,vnu refpodentcr efficitur tertiu: necnonex 60 terti/s vnum quartum.& ita confequenter,quantumIis bet vitra progrediendo. Qua; quidem hoc modo colleda: fradiones Cimo vcriuscollediones) maiores adpellantur ,&in vfutn vel con< ffrudionem nonnullarum tabularum affronomicarum Cquales fiunt, Alphonfin£e)principaliter occurrat:propter comodam ipfius fexages narite diftributionis fucceffionem. Pramemorata; vero circuliparri» tiones, ab eifdem gradibus deorfum ordinata;, fradiones proprie & minores didte funt :quibus vulgariter ,&frequentius vti confueui* Potefbte emus. Ex ipfis autem minoribus fradionibus, qua; nomine funt mas 5gX» fores,potentia minores exiftunttvolo dicere,vnumminutumaiuseffe carutt,. ’ rtaftioncs minores. Dc extrinfc ARITH. PRACT. LIB. ili. 40 fecundo,& vnum fecundum maius tertio,& ita de reliquis ,tametfi a minori denominentur numero. Secus elt judicandum de maioribus, agradibus furfum afcendendocolle&is fradtionibus :nam primum maiuseft figno,& fecundum maius primo, atque tertium maius fecu* do,&confequenter ita de reliquis.quemadmodum ex fuppolita colles 4itione veldiftributione fexagenaria deducere facile eft.^fC^tcri quo «eliquo* que tum maiores tumetiam minores circuli, etiam quantumuismi* rfi^iuliione! nimi,in csleftibus,elementaribufve corporibus,aut vbiuis libere des lignati,ad ipfius Zodiaci primari; circuli fimilitudinem:infuperius enarratas partes refpondentcr diuiduntur,hoc effc, in gradus 3<Jo,atq; • lingulorum graduum tum fraitiones fexagenarias,tum in figna8c yalias colleitionum diftributiones. #[His vtcunque praelibatis ,illud Dea(trono> primum in omniprcediitarumfraitionum operatione feruadumeft: alommc^ vt inter ipfas fractiones altronomicas ,qua: potentia funtmaiores, prcflione. verfus lamam congruis elementis fiue numeris exprimantur collos ccnturve,reliquis, vtpote fubrilioribus ad dextram luo ordine diltris butis,quodlibct earundem fraitionum genere propria denominatio* nis inferiptionefemper ornato.Similcsitem fub fimilibusreponatur, co quippe modo,vr quee eande iortirse funt nomenclaturamlibi mus tuo reipondeant:vtpote,figna lignis,gradus gradibus, minuta minu* tis,&c reliqua reliquis, feruato fingulorum ordine. Vndccumfraitio* num genus aliquod intermedium abfuerit ,vtpote gradus cu fecun* dis, nullis intcrcidentibusminutis,vel huiufmodidocus eiufdemgcs neris vnica vel gemina tziphra venit occupandus, quo facilius reli* qua inter fcfediltinguantur genera, quemadmodum cx luecedenri* bus videre licebit. f[Dcfraftiomm aflronomicarum additione. Cap. 11. RIVS Q.VAM ALIQ.VA PR OPO SI TARVM I fraitionumaltronomicarum operatio, fupputatiove man* num . aftrc,i detur exeeutioni ,illud potilfimum feruandum admone* operatione, «mus:vt oblata ligna minora,ad maiora reducantur,ex duo* bus minoribus vnum maius colligendo lignum ,&fuperabundantes gradus,vnum maius lignu integrare non valentes,fuccedentibus ad* iungendo gradibus,vt nuper expreffa fexagenaria diltriburionis ob* leruatio continuetur,qua: non minimam operando videtur prceltare facilitarem. Abfolutis nanq; lingulis operationibus,eadem ligna ma iorapoterisCli velis)ad minora fiue communia rurfum conuertere li gnarquodlibetlignumaiusinduo verfa vice diuidendo,& ex 30 gra* dibus vnum refpondenter colligendo lignum. Additionis fraftionum aftronomi» Catii regula. Exemplum additiois fra ccionii aliro nomicarir. ORONTII PINEI DELPH. CCurn igitur fra&iones aftronomicas inuicem addere fueritr operta £ precium: fa&a Tignorum comodo quo nunc diximus redu<Rione,di* fponito fingula fra&ionum genera, quemadmodum numero quinto antecedentis primi capitis annotauimus. Poftmodu,a dextris Sc fub* tilioribus fradfionum generibus operationem incipias,ad finiftra Si groffiora iigillatim procededo:fingulorum generum vnitates,poffea denas.folito Si capite fecundo libri primi fufFicienter cxprefTo more congregando ,refukantibus inde numeris fub interiedfca lineola re# fpondenter annotatis. Quoties tamen alicuius generis dena: in plu* res yrcfultauerint.-proquibuflibetd denis.vnirasfuccedetibus imme* diati generis vnitatibus eflradijcienda.namcuiuflibet generis quadi* bet vnitas,proxime fequentis generis 60 valet vnitates: vridefir, vc quorlibetfingulorum generum do vnitates ,in proximo Sc laruorfum antecedenti genere,per fblam vnitatem repnEfenrentur,adco vt ma= ximus cuiufcunq; fra&ionis numerus nunquam excedat /9. Quod fi operatione finita, figna crcucrint in plura y: debet toties auferri dfi# gna,quoties id fieri permittitur, relidis tantummodo figriis paucio* ribus d,circulu non integrantibusmi forfitan operationis propofitio contrariu obferuare copcllat.queadmodum in Alphonfinarum,& fi* milium tabularum folet cuenire canonibus. ?*SINT IN EXEMPLVM PRAEDICTOR VM, dSIGNA 3 communia, zj gradus, 3y minuta, Si 32 fecunda, addenda 9Tignis iti* demcommunibus, iy gradibus, 4° minutis, &18 fecundis.d itaque figna communia vertentur in 3figna maiora.&ipfa 9communia fi* gna, 4maiora conficient: relidis 30 gradibus, qui vna cum gradibus 1y, efficient 4>- gradus. vclut inferius pofita deferiptio monftrat. Dic igitur primum,afecundorum vnitatibus exordiendo^ &8faciiitde* eem :fubfcribe itaque tziphrarn o, dena mefttaliter obferuata. Hanc poftmodum vnitatum colledam denam, fuccedentibus denis pro vni tate coniungas:dicens,x Sc 3facifint quatuor,& 1efficiunt y: fuonota* bis ergo y, Tuo loco. Deinde, ad minuta pcrucniedo,dicito,y&o funt ratummodo quinquc.-fubfcribitoy ,Sc rurfum dicito,3&4 faciunt Te* ptem.-fubnota 1,& detineto d,qua; valent do minuta .Pro ipfis autem 6minutorum denis,traducito ad fuccedentes gradus vnitatem:diccn do ,1&3faciunt quatuor ,&yreifituunt nouem :feribito 9fub primograduum el’emento,& interieda lineola. &dicito confequentcr,2 &4componunt fex :nihil ergo fubfcribas ,fed detineto 6denas eo* rundem graduum vnummaius fignum integrantes. Tandem ad fi* gna deucniendo, iungito vnitatem fuccedentibus {ignorunt vnitatibus, pro 6denis ex colie&jone graduum nuper obferuatis:hoc pa&o. ARITH. PRACT. LIB. III. 4* CExeplum in fignis maioribus. Signa maiora. Gradus. Minuta. Secunda. 44f 40 18 33Z z9is fo CIdcexcmplu in fignis comunibus. Signa comunia, Gradus. Minuta. Secunda. io' if 40 18 ^Z$ IS ,.V 49i/ S°' 1St 3faciunt quatuor ,St 4 effis ciunt odo :aquibus debes fc* mei auferre 6, 8t reli&a 1figna refpondenter fubnota re. Reful* tabunt igitur ex propofitorum numerorum additione ,zfi* gna maiora ,9gradus ,if mis nuta,& s° fecundaiqua; quidem zligna ,4minora fcu commu* rjia ligna rcftituiint. $[DeJubtraftione prceAiftarumfrctciiontirh. Cap. III. rfVBTRACTIO AVTEM FRACTIONVM ASTRO nomicarum, in hunc modum venit abfolucnda.Difponair aionfi albo Itur in primis finguli propofitarum fradtionum numeri,ve* nom,ca ^ %ut ars ipfa requirit,&nuper declarauimus. fractiones itaq; fubtrahendx inferiorem folito more polfideant ordinem,fub quibus tranfuerfalis producatur lineola:lignis vtriufque ordinis (ficommu* niaextiterint) ad maiora figna prius tranfmutatis. deinde aminori fractionum genere operationem initiando, inferiores vnitates, po* fteadcnaj,a iuperioribus eiufdem generis vilitatibus St denis figilla* tim auferantur ,refiduo, cum {uperfuerit ,refpondenter fubnotato: quemadmodumcapite 3, libri 1,pro integrorum additione tradidi* zmus. $f[Porrb cum ipfe dense fiibtrahendarum fraClionum ,a-fupe* Documenta rionbus &eiufdem generis denis' fubtrahi non poterunt Cquod fie* pinseuenire folet) aufer ipfum denarum numeruma60: St refidunm fuperiodbus vna cum elemento fuperiori iunCtum refpondenter fubfcribito ,in* fra lineam tranfuerfalem. Aut fi velis ,eidem fuperiori numero ad* de 60 :Sth compofito numero fubtrahendum denarum auferto nu= merum ,fubnotato Cvoluti nuper admoniliirius >refiduo .Ratio* ne autem ipforum 60 ,altero duorum modorum fuperiori denarum additorum numero ,iungenda cft vnitas dextro fucccdentis St fub* trahendi generis elemento :St confurgcns inde numerus, afupra re* ipondenti confcquentcr auferendus .Vel CSt idem eft) tolle men* taliter vnitatem ab vniratibus proximi St fuperioris verfus lamam gencris:& arefiduo numero, fubtrabendas eiufdemgeneris aufer v* nitates. Quod fi in eodem' genefe fuperiori nulla fuerit vnitas, vt* pote articulo exiftente numero :mutuetur vnitas afiniftro ciufdein generis elemento, qua; 10 in dextro valebitvnitatcs .Si autem locus' F-J. Notandum pro fubtn> ftionc (igno rum. Hxemplmn fubtrafHo; rus fraftio» nuni a(tro: nomicarii. ORONTII FINEI DELPH. eiufdcm fuperioris generis caruerit numero, &tziphris foliim occu* petur :recurrendum cft ad genus fra&ionis proximo maius ,verius heuam.a quo mutuabis vilitatem, qua: ad eundem iuccedentis &dexs tri generis traducta locum, 60 valebit vnitates :aquibus fubtraheiis dus Cveluti nunc cxpreilimus) auferatur numerus.limilifque difeurs fus obferuetur ,quoties id ncccflum fuerit, Demum ,fi contingat 3 1fubtrahendarum fra&ionum figna, non polle afuperiori fignorum auferri numero :integrum mutuabis circulum ,hoc cft ,6figna ma=> iora ,&ab ipfis vna cum occurrentibus lignis ,propofitam abfolues lubtra<ftionem ,refiduis infra lineam reipondenter iubnotatis .I11 aftronomicisnanquefupputationibus ,maiorem fra&ionum nnrnes rum ,aminori cogimur plerunque fubtrabere numero :vnde nccefi lum cif,intcgram circuli rurfum mutuare reuolutionem, quiein addi® tionc rei/citur. JaOFFERANT VR EXEMPLI CAVSA, 3SIGNA MA-4 iora 1/, gradus, minuta 00, ofccuda :aquibus oporteat auferre 4 figna itidem maiora ,10 gradus ,iz minuta ,&c 2/ fecunda. Aminos ribus igitur,vtpotc fecundis,lubrra&ioncm initiabis .Et quoniam/ atziphra ononpofliint auferri :adde 10 ipfi o, fient folum dccem.a quibus fubtrahc/,rclinquentur quinque-.fcribc igitur /,fub interpolis ta lineola. Adde confequcnter vnitatem inferiori &prox ime fequen ti verfus lamam elemento,vtpote binario:ficnt tria.igitur fi 3fubtra* liantur atribus, nihil relinquetur :nihil ergo fublcribcndum cft. Ad minuta confequcnter dcuenicndo,z rurfum atziphra ofubtrahi non poliunt :addo itaque 10 eidem o, fient tantummodo dccem.a quibus lubtrahe z, relinquentur o&o: fiibnotabis igitur reipondenter 8.Suc= cedenti poftmodiim Sc inferiori ciufdem generis vnitati adde i,fienc z,qux rurfum afuperiori tziphra ominime poliunt auferri :iungito itaque 6 denas eidem tziphra: olocum denarum occupanti,& manes bunt tf, non augmentato numero.ab ipfis ergo 6tolle z,relinquens turquatuor :(cribe fub linea &refpondcnti limitC4.Succedenti aus tem tziphra: o,locum vilitatum fubtrahendorum graduum occupan* ti, adde rurfum vnitatem: quam aufer conlcqucnter afupra relpons dentibus /gradibus ,remanebunt quatuor ,in redtum fubfcribens da .Et quoniam zab vnitate fupra pofita fubtrahi minime poli funt: adde rurfum 6denas ipfi vnitati denarum eorundem graduum, fient feptem. igitur fi zauferantur a7, relinquentur quinque: fubres ponito 5,infra lineam tranfucrfalcm. Subtrahendorum tandem fis gnorum vilitatibus, vtpotc 4, iungito conlequcntcr vnitatem, fient quinque :qua: non poliunt atribus lignis auferri, mutuanda itaque ARITH. PRACT. LIB. III. CExcmpIuinlignis maioribus. Signa maiora. Gradus. Minnta. Secunda. 3if 00 30 416 iz Zf 45-4 48f CIde exemplumfigniscomunibus. Signacomunia. Gradus. Minuta. Secunda. 6if 00 30 8 z° iz if 9*4.48 $ nuta,&/ fecunda:velut vltima indicat funt 6figna maiora, qua: vna cum eifdem tribus facient p:a quibus fi dempferis $,fupen-- erunt qitatuor.fubnotabis er» go 4, fuo loco :&relinquens tur ex profata fubtradione 4 figna, sagradus,48 minuta, &Sfecunda. Htec autem ad communem fignorum acce* ptionem redama,efficiunt 9fi gna minora,24 gradus,48 mi numerorum formula. fS.De earundemfractionum multiplicatione'; Cap. IIIL 1Klg^Niversa fractionvmastro^omicarvm ^''^^{difficultas,& qu^ maxime folet fi:udiofbs5i fecretioribusma tbematicarum alienare praceptis.infiiecedcntibus operatio nibus,vtpote muItipIicatione,diuifione,& vtriufq; radicis inuentios: ne,confi{l;efe vidctur.In quorum tamen ftudioforum gratiam,fmgu= laadeo breuiter, &c aperte nitemur abfoluere :vtnefeias vterfit facis lior,an fimplicium numeroru,an praxfidarii fradionu operandi mo» zdus. Vtre igitur paucis exordiamur:duo funt in fractionum aftrono dv^ffraa"» micarum multiplicationecofiderada.Primu cit, denominatio produs «umallro* Ctiex quauis fradionu multiplicationenumeri. Alteru, rpfe multiplis muTrfpiica? cadi modusiquem dupfici,& admodum facili via delcribcmus. tione* 3'5»AD. FACILIOREM PRIMI ELVCID ATIONEM,SE* Denomina» quente ordinauimus tabella. In qua fi Iateraliter ingrdiarisjioc eft, SSSTfiS fi denominatore multiplicanda: fradionis in fuprema &tranfuerfali 61,01111 linea,multiplicantis vero in extrema &finiftraCvel econtrario^per» '° a',nw* quiras,& inrrorfum ab vtroq; redi(fi me progrediendo, comune arti» madaertas anguIu:ibideprodud$ fradionis denominationem offem des.^[Vtfi libeat in cxemplu-agnofcere ,qualis numerus producitur E*empi'umv cx dudu quartorum in tertia:accipe quarta ad vertice tabella:,&ter» tia in extrema &lama columnula,aut econtrario,aquibus introrfum reda te coferas via:ofFendes enim in angulo comuni feptima.coclu» des igitur,quarta per tertia multiplicata,efficere feptima. Citem,fi velis multiplicare minuta,'per fecunda ,acceptis in tabula: vertice minutis,&fecundis in Ia:uo ordine, aut ediuerfo: concurrent ad communem vtriufqueangulum tertia. Inferes itaque,ininuta per fecunda multiplicata conficere tertia. F.ij, ORONTII FINEI DELPH. Tabella denominationum produdarum fradionum in multiplicatione. Ia-. |seni. LJrima Signa |(Jrad. |Minu. |Secti. 1'err. |,Quar.j Quita Sexta Septi Sccun . (-Jiiicn Quar. Tcrc. Sccun. |Prima Signa 1m|z*4 Prima _Ju.iv. fert. Sccun. Prima |Signa Sm|z(345 Signa Tcrt. Sccun. Prima Signa gm'i 14?.4 'irad. Sccun. Prima Signa *741?67 Mmu. Prima Signa gn. t-74S1678 Serim. Signa smi(54?6I78|9 1rrr. Kmz?67I89 .'imr. 1m|i’ ?41?6h_XJ yTO u )uira z5.. 4s1789 1 Yo 1J .11 1i4Srm 515Yo fn 11 I •..•i» 1.41?«7IS910 iY |ii |1?114 Notandum <S[Summatim igitur habes ,exdudu fignorum in figna ,fieri prima maiora: &fignorum in gradus,vel ediucrfo,figna rcdirc.Itcrri ex gra duumper gradus multiplicatione, proucnire gradus. Ex dudu vero cuinfpiam maioris aut minoris fradionis in figna ,vel econtrario: fieri genus fradionis datafradione proximo maius.Ciimautemgra dus per fradionem aliquam maiorem vel minorem ,aut ediucrfo multiplicantur: ciufdcm generis atque nomenclatura; fradio produ* citur. Sunrquc ha:c omnia de maioribus fignis intclligenda :propter fexagenariam illam continuandam inter fradiones circuli diftribu* tioneiti. Porro cum minor fradio per eiufdem,altcriufve generis fra dionem multiplicatur: fradio producitur,cx vtriufque multiplicans riv Sc multiplicande fradionis fimul adgrcgato denominatorenomi nata: vt ex nuper accepto licet exemplo cernere. Secus efi: de maioris bus fradionibus,inuicem multiplicatis:confurgit enim fradio,cuius nomcnclarura cx vtriufq; fradionis denominatore/ed iunda vnita* te componitur. Qjiod fi fradio maior per minore,vel ediucrfomul tiplicetuf:fit genus intcrmcdium.tantum diftans ab ipfa maiorifras dione,quantum minor diffat agradibus. SimUas <,,2:AD SECVNDVM CONSEQ.VENTER DEVENIENDO, 4 fraflionis )> contingit ipfas fradiones afironomicas,dupliciter inuicem multipli ncmfimpS» cari,aul: cnim fok fradio, in ciufdcm, altcriuTvc generis fradionem <cm. ducitur:vel plm‘es,& diuerforum generum fradiones adinuice multiplicantur. Primum abfoluerc quam facile efi-,per quartum caput Iis bri primi: efi enim duarum tantummodo fradionum eadem, ac fims plicium numerorum adimplenda multiplicatio ,dempta produda; «ompium. fradionis denominatione. tfi volucris exempli gratia' ,, multiplis 4? ARITH. PRACT. LIB. IU. care 40 minuta per j-o fecunda, producentur 2000,qua; tertia diccn* tur: quoniam 1denominator minutorum, Scz fecundorum denos minator efficiut3,a quibus produdtus denominatur numerus .Quod fi eadem 2000 tertia per 60 diuiferis ,reducentur ad 33 fecunda ,& 20 tertia :fi ea qusefexto capite ipfius primi libri diximus, diligens ter annotaucris. S?®C VMAVTEM PL VRES,DI VERSOR VMQV EGENE= Primus mo* ni fradtiones adinuicem proponentur multiplicanda id primum abs candTdiuTr» foluerc poteris via redudtionis, quam prxallcgato capite fexto libri ^n^'0 c n r u^e primi fufficienter elucidauimus ,vna cum eiufdem primi libri capite genera. quarto.Reduccs igitur vtrunque propofitarum fradtionum ordinem, tam fcilicet multiplicandum ,quam etiam multiplicantem, ad mini= mum fradtionis genus in eodem ordine comprehenfum: perfexage= nariam antecedentium maiorum fradtionum continuatam multiplis cationem. Deinde multiplicabis vnum refultantium numerorum in rcliquum:confiderata ipfius produdtinumeri denominatione .quem quidem produdtum numerum ,per obferuatam rurfum fexagenaria diuifionem,poteris tandem in fua,vel iftderefultatia conuertercfra* dtionum genera. ^[Exempli caufa ,proponantur iy minuta, &20 fc= Exemplanti eunda, per 10 tertia, 8t i2quarta multiplicanda. Duc itaque xy minus ta in 60,fient 900 fecundarqux vna cum 20 fecundis,efficiunt 920. Sis militer multiplica 10 tertia per t>o,fient 600 quartarhxc aure 12 quartis adiundta, faciunt tfi2.1gitnr fi tandem multiplicaueris 920 fecunda, per 612 quarta,producentur f6504.0 fextarnam fecunda dudta in quar ta generant fexta.Vnde fi rurfum eade $6$040 fexta cotinub per tfo.di uiferis ,donec pro quoto numero occurrat numerus minor 6o:coIIis genturex propofitarum fradtionum multiplicatione,2tertia,36 quars ta,& quinta 24. Eodem modo facito, fi plura &adinuicem multiplis canda proponantur fradtionum genera. tf^ALlVM, MVLTO Q.V1DEM EXPE DITIORE M, ETDc fecundo omnium facillimum,multiplicandi libet annedtere modum,quo eof=> demfradtos celerius fere ,quam integros poteris inuiccm multiplis muitipiican care numeros :per auream illa proportionalem tabularum aftrono® dlrnodo‘ micarum tabulam ,quam in hunc finem ,&reliquarum fubtiliorum operationum expeditionem,in maximum quoque laboris fubleua= men ,ftudiofe collegimus ,&in hunc modum ,adufquctfo numes rum infefe multiplicatum producendo compofuimus.^Inprimis ca Competitio pitales &tranfuerfalesduplauimus numeros ,produdtis inde numes ris ,cofdcm rurfum capitales adiungendo: fdquefemper continuauis immediate mus ,donec finem fexagefimi obtinuerimus ordinis.quotics autem rucccdcntls’ F.iij. ORONTI IFINEI DELPH. £» TAB VLAPROPORTIONALIS, «g ira I°47 1I34 I°4» 113 049 050 138 140 I°5‘I°5i|| 053 1142I 144II 146 054I 055 148|15° 056 152 1°L 7 !!S| iis » 3 14m1zi 38 124 312 227 230 31(5 320 Iz33 I238II 139 |324I 328 332 242I 245 3 3 <>| 34°248 344 348 M3° 40 15 6 I35° |43» 355 441 40 448 53(1 624 711 80 4541° 454 50 14'5 420 156512 425 S'8 43°| 435 524I 53°44° 538 445 542 450 548 455 554 853 752 851 95° 5° 6 0 70 80 9° 7 |_8 9Iri LS .519 616 73 750 5.43 5 5° 632 (5 40 721 730 810 820 I557 64 |648 (55(5 I739 748 |830 840 6x1 74 757 850 | 61 8| 615 illi 652 _7i8 82<t| 639 738 833 93° 646 744 842 94° «3 1 ii 23 14 i> z6 1% 9Sli 1044 \i\i »37 914 848 936 859 9i° 948 10 0I9.2'932 |x0121024 943 1036 1954 1° 5" 10481 ii 0 10 16 II12 10 27 1124 1031, 1136 1049 1148 iiT^ 10 yS >‘ 4? 1024 x1 0 '148 ‘«s in 1050 II.to lix 311 10 11 54 12 8 1129 1222 12 8 '3 4Ulli 12 34 ilii ‘i 47 ‘3*8 13 0 14 ° ,1245 13 0 1' 3 3»'3 52 13 15 ‘3 3°|| 1345 1 '4 °|[ I4' 5 1414II1440I 1456H15 12 ‘43° 1528 ‘4 45 ‘5 44 ‘5 0 16 0 I?J'3 '9 14 4'414 1417 1444 15 18 1536 '5 1 15 54 '5 ‘8||i 535 l'5 52||‘8 9 i<5iz||i <5 3o|i<548 ||i 76 16 26 17 24 ‘643 ‘742 17 0 18 0 '4 34 I5i°| 166 i^ 5i w» 16 17 17 14 1(5 0 .(f 4li 17 36 :su 1550 I16 91628 17 0>7 20 1647 ‘7 4° r/ 6 '7 25 1801820 ‘744 ‘8 5 1840 19 0 18 22 1920 ‘»4‘ ‘94° 19 0 173° 1820 17 5' '8 12 '1842 19 4‘»33 19 26 18 54 19 '5 1948 2° '° 1956 1957 2032 1054 2018 21 16 2° 39 2, 3t 1738 1814 l9‘« i.0 5rf 18 X 1848 '9 35 18 24 19 ii 2048 18471119 10 19 3»11 10 ° 2025112050 I'9 33 ‘95» I2024 2048 Ili 15 21 40 122 62232 20 19 21 11 22 5 |2258 2042 21 5 21 36 11 0 irfoi 2255 23 24 23 5° 21 28 2151 2224 2248 2320 2345 241 62442 22 14 23 12 2410 25 8 2237 23 38 24 35 25Ji 23 0 24 0 25 0 26 0 17 3° 34 ?S 3<3 10 41 1118 t! 11 9 11 y6 1143 ii 36 21 14 13 12 22 3II2230 I2257 23 24 I2348 2416 2351 1418 2445 25 12 25 40 25 12 2539 26 82636 26 6 27 4 26 33 27 32 27 0 28 0 2341 I2410 14301125 0 15 '9||i5 5° i(5 8 1 1 2. (> 40 i» 57 |i73° ’-7 4»II i» 20 2« 35)129 19 24J 30 0 I2439 25 825 37 26 30 26 62635 17 027 30 27 427 33 28 02830 28 2 29 ° 28 3‘ 2930 29 0 30 0 14 17II 144» ii 4II ilii sub 3IIIISJ E» 2723 28 1 6 2754 2825 2848 2920 2856 2927 2951 3024 2958 13 °58 3029 3128 31 0 I28 3 M54 |i 945 io 3» J3S29 9 30 22942 30 15 30 36 31 ‘0 3048 31 2f 31 44 3218 13 154 132 52 3227 33 26 33 ° 34 ° 3°5 5 3'4» 3241 33J4 3'3°32 5 32 2-4 33 0 33 18 33 55 3412 345° 3240 33 38 34 32 3528 33 ‘5 34 ‘2 33 5° 3448 34 25 3524 35 ° 36 0 31 27 [32 4 32 183256 .35 9 36 635 48 3844 3823 3722 37 ° 38 0 37 ?li Ili 11 lo.yl 19 4"3-24I ii ' 'i 30 13 31 2 3'5' 3050 3140 I') +' 19 54 3040! 3-3 332 3° 3 3 2° 33 933 4»34 27 3520 35 83545 36 03640 3024 3720 37 3 38 037 42 384° 3821 .39 2°1 39 ° 40 0 3Z73148 >3 29 34x0 134 5'||35 32 3»'3 37 638 54 37 35 3748 383° 38 16 3912 3»57 39 54 393 » 4036 40 191 41 1B| 41 0 42 0 43 44 43 48 47 ,K 49 wz 34 3°l ilii 3 3 4' 34.i8 35'5 3<J i ?<549 3414 35 11 36 «I 3(548| 37 36 3824 35 7 35 5R 3645 37 34 3823 35 5°36331137 16 37 59 3852 3842 3915 3936 4020I 40 S 41 44°5‘ 4148 4‘34 4232 42 ‘71 43 ‘8| 43 ° 44 ° ii 3»'51 39 03945 40 30 41 15 41 24 42 10 42 ° 4256 42 45 43 42 43 3° 4428 44 15/ 45 i4l 45 ° 48 0 3910 39 57114°44 41 31 42 18 43 5 43 x244 043 52 4448 4439 4536 4526 4624 $:j| 47 ° 4l_° 37 34 38 zo .5»13 3911 40 1 40 50 4050 4i4°41 39II4218 +230H43 20 43 ‘7 44 644 55 45 °45 5°4544 4640 4835 47 3°4722 48 20 q*f9° 5° 0 39 639 57 ti 36 4'39 42 28 4230 43 20 43 21 B44 12 45 345 54148 45 4648 474° 47 3» 4832 4»27 49 24 1-9 i» 50 1 6 5: 4 ‘° yz 0 53 4038 4131 4114 43 ii 44 0 4448 43 '7 4410 45 345 56 4648 4649 4742 48 35 48 38 49 3°j.9 28 5024 50 21 51 18 51 14 5212 ILI 33 ° 54 0 §I41 10 !4i56 43 544 55 45 44 45 5° 4640 46 45 47 3»47 4° 4832 4»35 4928 49 3°5°2.5 5024 51 2°| 51 20 52 16 52 15 iiii 53 ‘° 54 8 54 555 ° 55 4II58 0 58 3]57 0 57 2)58 ° 434i 4418 4439 45 16 45 3» 4» 14 47 12 48 0 46 33 4.722 4811 49 ° 4730 4820 4910 50 0 4»27 1 49 i8| 5°9] 51 oj 49 24 5021 5''4 52 7 53 0 S' 18II52 15 53 I2f 52 12II53 io|| 54 b| 53 854 5I55 4| 54 °n55 °N 58 °| 54 9! 55 855 0 58 4 57 2 58 0 r i45 '4 48 04613 47 0 58 3 57 °| 58 1859 0 59 ogtfo 0 47 AfUTH. PRACT. LIB. III. i|[Deipfarumfraftiomin ajlronomicarim diuijione. Cap.V. JVO SVNT IN FRACTIONVM ASTRO OMI> : carum diuifione,quemadmodum &mrrfuiiiplicatione,con ncfra&ionu fideranda.Primuefl:,denominatio quota: fradionis’ cxpar= ticuiari fi* adionu diuifione generata: aliud enim atq; aliud fradionu genus in diuifione, veltit&in multiplicatione producitur. Reliquum eft.ipfe diuidendi modus: quem rurfum duplici via conformiter ab- Toluemus.primo,fada fingulorum generum tam diuidentium,quain etiam diuidendarum fradionium redudion.e ,ad minimum genusin vtroque contentum ordine:deinde per tabulam proportionalem immediate pracedentem,modo certe admodum facili,&celeritate calculi gaudentibus non iniucundo; jHiIN FACI LEM PRIMI declarationem, fubicda ordinauimus inucntfo <Je' tabella, lnueftigabis igitur denominatorem ipfius diuided&fradionis in fupremo &trantuerfali denominationu ordine, diuidentis vein diuifione ro in lauo &extremali,vel econtrario, proutcommodius acciderit: WL lonum’ &ab vtroqj introrfum reda procedas via.donec comunem vtriufqj cocurfiim attigeris: quonia in eo denominatorem quota fradionis offendes. Verbi gratia,fi velis agnofeere quale genus fradionis pro- Exemplum, uenit ex diuifione quartorum per feptima: inuenias denominatione quartorum in finiftro latere ipfius tabellg, &feptimorum nomenclatura ad vertice:reperies enim in communi vtriufqj concurfu ?,produ damexpropofita diuifione fradionem denominantia. $[Tabella denominationum generatarum ei diuifione fradionum. Oui.llquatl. |Ter. |Secu. |Pria |ligna |jjrad. |Min. |Secti. |Ter. |quar. |quita |(exta |lepti ciuar.||grad. |ni |z|?|4 ? *7819l :io Ti ii ferc.|| mg1m|i|54?671S9IO ri' Sccfi.|jTni |g|lii z4?sI718 9 Eiia |'| ? figSTjJ 4m«n; « 'i Ir1» ni i?451«1789 gm|Ti41?IS T~ 8 grad.ll si1jin g1mz*14IS67 Min.|| 6S141?t*1gm2-17 1*4 SS Seca. 11~r SI? 145z|lii gili |z1345 'Pert-ll S7|«154T1Tmg1m|z? 4 Quar.ll 98I7|S S'4 |?. ini |g|ni JL ? Qui.|| To 918I7«9I4?4. |.*TT ,s i Texta. || II IO I9I87 _ 64y. U. 1mgni Septi.H it |ii |io |9817161S4111 ' £ni g j/• .k .i.~. _—v^oroiiann 3f[Ex quibus racile deducitur,figna per figna (intellige femper maionotandum*' ra)diuifa,rcfHtuere gradus:ficuti gradus per gradus diftributps,pariter efficere gradus.Item ex diuifione fignorum per gradus,prouenire mmuta:quemadmodu eadem figna per minore diuifa fradione.danr Particularis fwftiotiuiii alltonoinioriiiii inter Jcfedtiiilio. lixcmplum. Quo p»ft'o caxk-m fra* eliones, per tabulam li> gillarim Ji. uiiimtur* Exemplum. ORONTII FI NEI DELPH. minorem,fed qua: proxime maioris eft denominationis fradiorie:v£ pote,cum per tertia diuiduntur,proueniut Quoties autem gradus per minore fradione diuidutur, reffcituut eandem pro quoto numero fradione.Cum porro fradio,per fradione,aIterius tamegeneris di* uiditur,fit pariter fradio:fed abeo denominata numcro,quifubtra.s do denominatore maioris aminoris denominatorerelinquitur,velu ti fi tertia proponatur diuidedaper feptima,fient quarta:fi enim3au feratur a7,relinquetur 4.Vnde tandem relinquitur euidens, quamli* bec fradionemper aliam eiufdegencris fradionem diftributa,produ cerc gradus:vtpote,cu tertia per tertia ,vel quarta per quarta diuidi iubcntur,vclur ipfa tabella demoftrat. lilii ergo fradionis numerum, pro diuidedocongrucntius accipiendum admonemus,cui extrinfeca denominatio maior eft:& pro diuidetc,qui minore potentia fortitus cftdenominarionc.NamCveluc integris folet accidere numeris) nuU lumfradionu ordine potetia minorem diuidere poflibilc cft,per fra* dionunumeru potentia maiorem.Potentia autem Kuiufcemodi fra* dionii,ex primo &ad l^ua colfituto deprehedes fradionum genere. £•) Q.V ANTVM AD SECVNDVM PRINCIPALE. CON-4 tingit in primis fradionemaliqua,per eiufdem alteritffvegcneris diuidi fradionem,vel plura fradionum genera, per plurcs itidem pars tiri fradioncs:quoru vtrunq; duplici,&admodum facili via,adimple re docebimus. Cum igitur aliqua fradio, per alia eiufde,a!teriiifve generis fradionem diuidi iubeturridno aliter abfolues,quam pro in= tegroru diuifionc,capite quinto libri primi tradidimus. Si velles itas q; diuidere 1S00 minuta,per 30 gradus,inuenies pro quoto numero 60 minurama fradio diuifa per gradus ,relinquit (imile pro quoto nus mero fradionem. ^[Singulom ante generum prgdidarum fradionum inter fefc faciendam diuiiionem,pcr arcalcm ingreffum in anteceden tem tabulam proportionalem, multo leuiuspotdis ab(bluere:inhuc quippe modum. Infuprcmo &tranfuerfali lateralium numerorum ordine,numeru diuidentis inucnito fradionisrfubquo redi (fimede* (cedendo,numdum diuidenda: fradionis inueftigato, in dextro qui= dem arcaliu numerorumordine .quem (i praedum offcnderis,ab eos dem in (iniftram lateralium numeroru columna reda procedas via: quem ibidem reperies numerum, quotam propofita: diuifionis fradi onem adpellabisiillius quippe dcnominationis,qua qDpofitf &inuice cf iuidciida: fradionesproducerenata: (iint.^[Offcratur exempli gras tiaytf minuta,per 14 tertia diuideda, Jnucntis itaq; 14 ad vertice pri mx pagina: ipfius tabula: proportionalis:fub eifdem 14 rediffime dc* (eendedo, coperics o,^,fola tziphra finiftru locum occupate. ab ipfis ARITH. PRACT. LIB. III. 4g ergoytf.fiadfiniftru &extremaIeIateraliunumcroru ordine reda de= ucneris via,offendes 4.& quonia minuta per tertia diuifa,producut (es cudarcocludes ex diuifioneytf minutoru, per 14 tertia, prouenire 4(cs 6cunda.fl[Pot:eris etia no minus facile,duasfimuloccurretes 5cinuicc Duatfi fra* fuccedetes fradiones,per vnius generis fradione diuidere:vtpote gra vnSiui» dus cu minuris,vclminuta cu fecudis, aut fecunda cu certi;s,& fimiles fccundu fradionu cobinationes ,per liberu quodeuq; fradionis genus: tuncq; 2^™ tabuf repertus infiniftrojjlatcre,pro quota fradione numerus,illius erit de= nominationis,qua pducit groffior &finiftra fradio,p oblata &diui dente fradione diftributa .CExepli caufa, efto propofitum diuidere Exemplum, gradus 12, &30 minuta,per minuta iy.Inucntis igitur iy,in frotifpicio primae paginse ipfius tabula? _pportionalis,ab ipfis iy deorfum redif= fime defcedas: offendes enim pr$cife 12,30: aquibus fi ad heuulatera* liu ordine,redo perrexeris tramite, rcperiesyo.& quonia finifter &po retia maior numerus eftiz graduu, gradus aute per minuta diftributi reftituut minutaridcircoexpropofita diuifione,veniut pquoto nume 7royo minuta .Citem haud difiimiliter eafdcm binas &fucccdentes Qualiter p fradiones.perduo inuicempariterfuccedentia fradionugenera diui hmprop!»* derepoterisrinhuc quippe modu.Vtrunq; diuidetiu fradionunumc* nonale, ex* rum,non in vertice,fed in finiftro hteraliuordinc,fimuIinuenitoCna aione^ per multo facilior erit operatio,fi vrraqj diuidetiu fradionu in eadem fa cie tabula; comperiatur) &ab eifdem verfus dextram reda progredie datur gene* do via, copara adinuicem numeros in cadecoluna eregionecuiufiira* bet diuidentiu occurreres,quouiqjdiuidedas videas integrari fradio* nes,iugendo videlicet dexrru &c groffiori fradioni reipodente, cu fi* niftro illius qui (libriliori refpodet,numeru: hoc naq; perado,capita* lis eiufde columna; numerus pro quoto venit accipiedusnumero,qui eam obtinebit denominatione,qua; ex diuifione groffioris Scdiuideda; fradionis,pcrgroffioreipfius diuidentisgeneratur.f[Sint inexe* Exemplum. plum,3o minuta,& 48 fecunda,diuidenda per fecunda iy,& tertia 24. Copcrtis itaq; primu iy &24,in finiftro lateraliu ordineprimgpaging eiufde tabula proportionalis ,ab vtroq; dextra verfus rediflime p* cedcndo:offendes in eade columna,eregione quide ipforum iy:o,3o. &fub his in redu eorunde 24:0,48^11$ fi modo nuper expreflo con< iunxeris, facient.3o,48,diuidedaru fradionum numeratores, accipies igitur pro quota fradione,numeru ad vertice eiufdem column^fimul occurrente,vtpote 2.atqui minuta,diuifa per fecuda,generat minuta: inferas itaq;*ex ppofita diuifione,venire pro quoto numero 2minuta. 8VMPORROdiuidedu fub diuidere precife no poteris inucnire Documen. „•„••..„*1r-tum quando numeru ,minore accipito propinquiore: "u obleruato numeru, numcn non ptscifc repe iiutuHnca» dcin tabula la ptopor* portionali. Exemplum. Aliud ex-cm pium. ORONTII FINEI DE LPii. ad vertice einfde coluna; fimul occurrente.Accipito poftmodum diffe rentia inter ipfum minorepropinquiore,&propofitu numeru diuide? dutn:qua fub praefato diuidete fraddonu numero rurfum animadaer tas.ea ante inuenra,verticale eiufde colun? pro fecudo quotae fra&io? nis genere fumito numeru, proxime fuccedentis denominationis cu primo.quod li huiufmodi differetiampraeife no innencris: fimilem rurfum cu differentia ipfius difFeretijedifcurfum irerabis.rertiu ipfius quota; fradrionis accipiendo numeru,proxime fubtilioris nomencla* tura: cumprasobeento fecundo, na (vt femel didu lic> obtenta deno? minatione primo generat? fradrionis,reliquaru denominatio fuu fer? uat ordine:quod no in diuifione tantummodo,fcd &in reliquisoperationibus venit obferuadu.ffEfto verbi gratia propofitu diuidete iz gradus &5-9 minuta,pminuta 4o.Inuenies itaqjprimu 40, ad vertice terti? pagina: iplius tabui? jjportionalis, fub quibus rede defcededo, minore &ppinquiorc offendes numeru,vtpotc 12,40:0 quoru regione lama,in ipfo latcraliu ordinc,occtirret pprimo quoto numero 19, qua; ffepius expreffa ratione minuta dicetur.Accipito poftmodu diflerccia, qua; eft inter 12,40,&12,5-9, vtpotc *9 minuta:qua differetia rurfum cu rabis inuctafub eifde 4o.atcu no fit pr?cife reperibilis,accipiedus eff: numerus proximo minor, fciliccr 18 minuta, &4° fecunda:® finiftra qnoruregione,colliges 28,qu?fccunda veniut adpellada. Rurfum ac? cipito differentiam ipfora 19 minutorum,&18 minutorum cum 40 fe cundis.-videlicct 20 fecunda.qua; tande fub profatis 40 minutis inue ffigato.-quibus proci fc repertis,offendes in codc finiftro latcraliu or? dilicto, qua' tertia dcnomiftabis.Proueniet igitur expropofita diui» (ionc,19 minuta,28 fecunda, &30 tertia.^fDctur rurfum ad maiorem Ungulorum clucidatione,gradus minuta 40, fecuda zj-jdiuideda per 10 minuta,&20 fecunda.Inuentis itaq; 10 &20, in pr?memoraro’Iarc? raliu ordine &cogruente pagina (accidet autein tertia, profumpto nunc exemplo) offendes ad dextra ipforum regione numerum proxi mo minore ipfo diuidcndo,vtpote 6,20 furfum,& 12,40 deorfurmqu? promiflo modo fimul iundra, reprofentant 6gradus,32 minuta, &C40 lccunda. accipito igitur pro quota fradione,numeru ad Vertice ciuf? dem columna; fimul occurrente, vrpote 38, aminutis denominanda. Deinde fume differentiam inter diuidcndu,& ipfum proximo mino rem numerum: quam expericscffe minutoru7, &4j fccundoru.hanc rurfunl differentiam eredra regione vtriufq;'diuidcrium inueftigato; &inuenies in redum ipforum 10, &in eadem tabula; pagina 7,30 fub bis ad redam lineam cu 2o,refpondcrc 17,0, qua; fimul faiito mo? xccolleda 9cfficiimr 7minuta,&45- fccuda, profatam antecedentium ARITH. PRACT. LIB. IIX. 4P numerorum difFerentiam.Concurrentem igitur ad verticem eiufdem columna fumito numerum, vtpote 43-, qua; fecundadicentur,&poft 38 minuta pro fecundo quoti numeri genere fnntreponenda.Conclu des iraque ,exprauniffa diuilione generari 38 minuta, &: 4/ fecunda, f[Cum igitur fub genere diuidente,vnum tantumodo genus diuides Notandum, dum habes inuenire, illud accipies in dextro numerorum ordine:fi aure duo,accipiesmaiusinordinel£uo,minus aute in ipfo ordine dextro duoru numerorum fub ipfo verticali &diuifore concurrentiu. 9J*EX PRAEDICTIS omnibus colledim intelledis relinquitur ArsdMden manifeftu,quonampado datus etiam quarufcunq; fradionu aftrono micarum numerus ,per aliu quemuis fradionu numeru pluribus ge= neribusintegratum,diuidi non minus-facilepoffirradminiculo vide= g*aro'S,pcr licet ipiiusprsememoratce tabula: proportionalis .Idem itaq; faciedii knfpropo* eft ,de lingulis propolitarum fradionum generibus inter fefe :quod tionaicn:. dequibullibet integrorum numeroru elcmetis capite y. Jib.i. relpodes 10 ter iuffimus obferuandum.neq; opus eftdouodocumentornifi volue= rispra:dida,exemplis etiam declarata,in vanum repetere .^[Dentur Exemplum. igiturCnete longiori verborum detineamus ambagine} 41 gradus, j minuta, zfecuda,9 tertia,Sc 43- quarta, diuidenda per 4gradus, 3- mi= nuta,& 3fccuda.Singulis itaq; diuidendi generibus fuo ordine diftris butis^ppriifq; denominationi! ornatis fiipraferiptionibus :trahe fub ipfo diuidendaru fradionu ordine,duaslineas squidiltares,intra quas prouenietes ex diuifione fradiones locabuntur. Deinde feribito diui fore,fub eifdem ?quidiftantibus lifieisteo quippe modo,vr groffior di uiforis.numcri fradio,groffiori relpodeat ipfius diuidendi,&: reliqu? reliquis,gradatim verfus dextram ordinatis. Locabis igitur 4gradus fub 4zgradibus,&3- minuta fub $minutis,atq; 3fecunda fub duobus fecudisiPodmodum inuetos cura tres ipliusdiuiforis numeros,vepo te 4,3-,3,ad vertice primg pagin? ciufde tabui? jpportiorialis:& fub ip* fis linearim difcurredomueftiga numeros, qui fepius exprcllo more coniudi.&ineadelinea cocurrentes, integret numerum ipli diuilori fuprapofitum, vel maximamquam potertit eiufdem numeri partem. Videbis ergo primu,an fub 4inucniantur 41 gradusrqui cum no fint adxquate reperibiIes,idcirco fumes 0,40 ,numeru proximo miriore. &qua: in eadem linea iplis 3\&3fubrefpodent.vtpote o,fo,fub3,:&o; 30, fub 3. ad heua quoru regione,.’ofFendes inter laterales numeros 10: primu videlicet quot* fradionis numeru. Et quoni2ex:diuifione gra duum per gradusCqui funt groffiores vtriufq; ordinis fradioncs}fiut pariter gradusreritipfe numerus itf,agradibus denominandus,fcribe' dufquelub graduum titulo, intra lineas sequidilfantes. Ipfos autem ORONTII FINEI DELPFt. immeros40,^0,50, vna (fi velis)cu antecedentibus tziphris.fuis locis refpodetcr annotabis,fuper ipfumdiuidedunurneru,»vtpote 40 fupet 4z gradus,/o ftiper yminuta, &30 fuper 2. fecunda:nalti quem ordine feruardiuidentiu fradionu numeri (cuiufmodi funt 4,.r,3)eundem re tinent numeri fub eifde in tabula rcfpondenter inuenti.His itapra;* paratis.fubtrahe fupraferiptos 40 gradus,&j-o minuta,atqj 30 fecuda, afubrefpodentibus numcris,per tertiu caput huius JibriiS: relinquen rurfa&a fubtradionc,gradus 1,minuta 14, &3z fecunda,qua; rurfum fupra notabis, deletis quoru fada eft fubrradio numeris. fl[Hoc pri* mo difcurfu perado, reiterabisdiuifore ,fingulos eiufdem numeros ad proximu verfus dextram traducendo genus, priori diuiforecaceh lato.Rurfumq; fub eifdem numeris 4,^,3,in eodem fupremo lateraliu ordine repertis,fuprapofitos,Sc ex fada fubtradionc relisos inuefti* gabis numeros:fada lemper ad potetia maiore coparatione.quifucs ccdcntiu fempervidetur efle regula. Er quonia fub eifde 4,vnus gra* dus& 14 minuta inucniri praicifc 116 poffunt:accipiedus eft numerus proximo minor, vidcliccti, 1z,& in eadem linea lub j&3 refpodctes, vtpote i,3o,6c 0,14.in hcuoautcciufdc linea: termino, fefe offerentis: qua; minuta dicentur,(cribedapoft 10 gradus, intra lineas a:quidiftan tes,pro fecudoquot? fractionis numero. Singulos ite fub diuiforibus inuetos numeros,fcilicet 1, iz,1,30,&o,5-4,fupraferibito fuo ordine,po nedo dextrum antecedentis,cum iiniftro proxime fcquentis ordinis: queadmodum fucccdcns numerorudcfcriptiomoftrat.Quibus abfo* Jutis,fubtrahe fingulos nuper inuentos numeros, a(ubrefpodentibus lingulis fradionu numeris,duobus fimuloccurrctibus fubtrahendaru fradionu numeris in vnu coaceruatis: &remanebunt copleta fubtra* dione.i minutum,1pariter fccundu, tertia, &4y quarta: qua: tande annotabis fupra eofde fubtrados &c primum cacellatos numeros ,^p debita finguloru refpodctia.Cofequeter rcnouatoCvt prius) diuifore, accipito fub cifdeiiumcris ipfiiis diuiforis 4,y,3: numeru,relido nuper numeroCftpotes)squalc.offc des autem fub 4:1, o.&inea* de linea fuby:i,iy. fub ipfis ve ro tribus:o,4y.qu9 folito,&fu perius expreffo more coniun* da,rcpra:fentat 1minutum, 1 (ccundu ,1/ tertia, &4/ quar= ta: quantus fcilicet eft nume= rus,cx proxime fada fubtras dione relidus. Scribe itaque Gradus. Minur. Scciida. Tert. Quarta. * #x$ ** , , TV«Fwfll.IKllW *5dluHentfbwwjj rryL .y tf $4EifttoSu.!!*' I'4 J* 4x•S• ARITH. PRACT. LIB. III. yo profatos &fub diuiforibus nuper inuetos numeros,{iiper eucle relisu ex proxima fubtradionenumeru,proutfinguloru ordo rcquirit:&Ia* terale numeru ,ad lamii eiufdem linea; terminum fimul occurrentem, vrpote i;,fcribito intra lineas,fub titulo fecundoru. Suprafcriptos au tem numeros, afubrefpondentibustandcm auferto numeris ,&ni* hil relinquetur: vndepropofitus fradionum numerus, per ipfum diui forem adaquate diuifus eft.Habes igitur pro quota fradione, iogra* dus,i8 minuta,&iy fecunda. jj rsPOT ERIS ETIAM ALIA VIA EVNDEM, IMO ET alium quemuis oblatum fradionum numerum, per ipfum.vcl alium canmdcfVa» queeunq; c!iuiforem,refpondenter diftribuere:fada primum vtriufq; ftion." a?r° Jr..,r..Knomicaru, n ordinis,diuidendi icilicet& diuiioris numeri redudione, ad mimmu nc tabula, fua: fradionisgenus, per continuatam fexagenaria multiplicatione, quemadmodum capite fexto libri primi generaliter exprellimus. Re* liqua enim ad ipfam diuifio.nempertinentia,nonaliter funt poifmo* dum abfoluendaiqu^m pro integrorum diuifione,capitequintoeiuf» demlibri primi declarauimus. Animaduertenda tameefl: ipfius quo* ti numeri denominatio:quam cx (ecudo& tertio numero huiufceca* pitiseliccre poteris. Item fi velis ipfum quotum numerum,ad fexage nariam fradionumrurfumcouerterc difiributionennid facito perdo drinam pra;allegati fexti capitis eiufdc primi libri, ipfum quotii nu* merum,&reliquostfo maiores, per eundem numerum 60 continue di nnidendo.Scd htec plus, quam faris .$[R-epcrarnus in exempluprafa* Exemplum, tum numerum graduum, y minutorum, zfecundorum,? tertiora, &4J quartorumrper eundem qui prius numerum,vtpore 4gradus, y minuta ,fecunda diuidendum. Ex diuidendis itaq; fradionibus ,eo quem nuneexprefiimus modo redudis, fiunt ^4^40778/ quarta. Ex diuiforis autem redudionc,proueniunt 14703 fecunda: veluti fubiedse numerorum,&ipfarum „,redudionii indi* Gradus. 4r11 6oeant rormula: ,ad Minuca. x4°maj0re finguloru Sfima minurorii. 2. 45' OlllCldatlOncm TC ,60fpondenter aditi* Secunda. 14700 r Secunda. 3Ctx .Na mimmu sumaicdorn. 14703 genus diuidenda* rum fradionuefl: quarta,3dpfarudiuidcntiucfi: fecunda.-ad qua: pro* pofiti debent,antediuifione,couerti numeri.Qjuibus abfolutis.diuidc G.i/. ORONTII FINEI DELPH. profata 5454°77%S quarta,per eadem 14703 fecunda,iuxtadodrinam quinti capitis ipfius primi libri,inftar integrorii numeroru :&c habe- bis pquoto numero 37095 fecunda,nam quarta,diuifaper fecuda,rej ftituunt fecunda. Quod li prxfata 37095 fecunda,diuifcris per 6o:fiet cx ipfa diuifione 618 minuta,relidis 15 fecundis.Rurfum fi 618 minu taper eade 60 diuiferisrprouenient 10 gradus,retnancntibus 18 minu tis.Colligcntur itaq; cx propofitaru fradionum diuifione,10 gradus* 18 minuta,&c i5fecunda:quemadmodumper antecedentem modum, coadiuuante tabula proportionali,nuper offendimus. CDc quadratas radicis inuentioncjn cijdcmfrasionibus. Cap.V I. iJp^MNES FERE, Q_V IDE FRACTIONIBVS ASTROi IJnomicis tradaucrat,& quadrat?,&cubica; radicis inuentio* [t^^»fli'nem.vclut forfita nimiu difficile,aut fubticuiflTc.vel obfcure nimis,ppcramvc tradidiffe facile coffat.Conabimur itaq;, in aftrono micis fradionibus,vtriufq; radicis inucrionc facillima reftituere. Pri mbjfada finguloru gcncrii ^ppofitaru fradionit, ad vnicu redudione: deinde (idqj Icuius multo) pantecedente proportionaliu nuineroru tabula,vt ipfius tabui? numerofa cdmoditatu declaremus aplitudine. ^o’extrahe s1^ T ICITVR(vt primu adgrediamur) ifignu maiu$,z5 gras t di quadrata dus,37 minuta,27 fecunda,2tertia,&z4 quarta: quorum radicemitis aiiro.MdS bearis inuenire quadratam. H^cprimu reducito ad minima; fradiotine tabula, nis denominatione, vtpotcadquarta:hocmodo. ifignu maius,valet 6ogradus:qui vnacuin 25 gradibus,efficiunt 85.Hos igitur 85 gradus fi multiplicaucris per 60,fient 5100 minuta rquibus adde minuta 37,rea fultabiit 5137. Ha;c rurfiim5i37 minuta ducito in 6o,proucnict 308220 iecunda:quxvna cumfccudis27,coficiunt 30 8247.Qu?quidc 308247 fecunda, iteru per 60 multiplicata, vnacii duobus terci/s refpodenter adiundis,producunt 18494822 tcrtia.Tandcfi eade 1849482.2- tertia, per 60 multiplicaucris, &produdo iunxeris quarta 24:prxaflumptus numerus ad 1109689344 quarta reducetur. Horum itaque 1109689344 quartorum, per dodrina x.r feptimi capitis libri pru _*t*_ 1111, quadrata extrahe ra= xx\fi 4-Numerus quadrat». dicem: qua offendes effe 1 3 31—ad}xquadrata. 1,,-i&Kadices duplat*. 33312. quemadmodu ob= &/&-#/ ieda deferiptio manifes ftat.Ht quoniam operxpretium cft,ipfam radicem in fefe multiplicas tam, praefatum quartorum integrare numerum ,nulla autem fradio infcipfam duda facit quarta,ni fuerint fecunda: idcirco 3331* nuper ARITH. PRACT, LIB. III. $t fnuentus radicis numerus, afecundis denominationem obtinebit. Quod ii contingatita redu&um numera ab impari numero fore de* Notandum* nominatum,cuiufmodi iunc tertia,quinta, feptima &c.tuc ipfum nu* merummultiplicabis adbucper 60 ,vr proxime fuccedentis fradrio* nis nomenclaturam fortiatur.qute apari fempcrdenorninaturnume ro,& bifariam facile diuiditur.Nam radix quadrata,adimidia parte eius femper denominatur numeri ,in cuius denominatione propofis tus fradionu coucrfus eft numerus.Demu fi prasfara 33312 fecunda di uiferis per tfo.prouenietsSS minuca:relidisn fecundis.Rurfum cade SSS minuta diuide per <?o,producentur 9gradus: remanentibus iy mi nutis.CocIudasigituri iignu,23- gradus,37 minuta,27 fecuda,z tertia, &24 quarta,habere pro quadrata radice 9gradus,!/ minuta,&12 fes 3eunda.®Supereft ad fecundii peruenife modurquo pr?a'flfumpri,& da? Modus inve ti cuiufuis ali eritis fradionti numeri,quadrata radix, per rabula pro* ^ar^pr^df portionale inueftip-atur.Reperatur itaq; nuper oblatus numerus,(cili= forum fra. 1r- m1•1r-1 1..„ctfonum ra« cet ittgnu*2jr gradus,37 mmura,27 lccuda,2 tcrtia,& 24 quarta: vtres dfce,pcrta* gula,vna cum exeplo, ad faciliore omniu intelligetiam difcirrramus. ^Je r°poi: Ipfum ergo numeru in abaco fuodiiponiro ordine,&proprijs fingu lorum gencru nominibus ornatojfubiedis in trafuerfum 1ineis <xquis diftantibus,futuraradicem foliromorercceptnris.Quibus ita prxpas Exemplum ..o.,-Vr.rprima? «adv ratis, innetnga inter quadratos numeros iplius tabula? pro'rorrionacis. lis,craifioribus lineolis feparatos,& diagonalem obferuantes ordine ipfum nuper oblatu numerum, cuiusquadrata cupis inuen/re radice: que non potes pratei fu moffendere, accipies igitur numeru proximo minore,in prima tabui? paginafefe offerete,ytpore r,2i:qu?z figrii?,& 2t gradu (eu gradus 81 veprxientac.Dcbcs efiiftitib integriis (ea gfadi busCquoties occurrerinOprimaria deducere radicis denominatione, feu primu radicis colligere numeru: quoniam gradus primaria con* ftituunc ipfiuscirculi partitionem, &ligna nihil aliud funt ejeorunde graduum collediones.Scribc igitur 1luper r,&21 fupra 2/:& numes rum ad vertice, aut Iteuam regionem iplius quadrati fimul occurrens tem,vtpote 9,fcribitofub cildem 2/ gradibus,intra lineas aquidifian tes,pro primo radicis numero.Subtrahepoftmodum 1&2i,ab 1&2/; &relinquentur 4gradus, re fpondenter fupra notandi,cacellatis prio ribus numeris.Dupla tandeipfos 9gradus radicis,fiet 18 gradusrhos 4reponito fub eifdem 9gradibus,infra lineas a?quidiftantes.®Hocpri Exemplum mo difcurfu perado,accipe 18 gradus, duplatum nuper inuenra: radidki*. cis numerum,in finiftro lateraliu ordineraquo verfus dextram reda proceditovia,donec refidunm offenderis numeru: iundo quadrato,' in longum ciufdem column? funul occurrente numero.Ereda itaque G,iij„ ORONTII FINEI DEL PI-I. tes&U rati" Pri^nc^pa^s habenda confideratio. {[Omnes itaq; adinuiccmcompa* $ naks magni rata: magnitudines, quarum vtranq; communis aliqua magnitudo, tudmcs. {cu pars metitur quota,communicantes flue cornmenfurabiles,atquc habitudo* Srat*ona^cs effe dicuntur:& qua: inter ipfas repcritur habitudo,rationa lisitide vocitatur.Cuiufmodi funt omnes numeri abinario in infini* tum comprehenfi,quos in vniuerfum metitur vnitas, certa inter fefc rationem vel habitudinem obtinentes:omnes item cotinus:,&ad nu* meros relata: magnitudines,quarum ratio vel habitudo determinatis Incommuni exprimitur numeris. Qua: autem fub communem alicuius magnitu* naicGjticma dinis,feu partis quota: menfuram non cadunt, iucommunicates, aut gnituduws. incommenfurabiles,irrationales quoque magnitudines adpcllantur: Irrationalis inter quas contingens ratio vel habitudo, irrationalis furdaverefpo furia ratio 11 dcntefdicitur, vtpotc qua: nullo poteft: exprimi numero ,&propter* dicitur. ca ,tum ipli natura: ,tum nobis relinquitur ignota .Quemadmo* dum eucnire folet inter radices non quadratorum, aut minime cu* bicorum numerorum ,&ipfoscum inuiccm comparantur numeros: inter quoque diagonium,& latus cuiufuis quadrati geometrici,&qug Coroilatiu. fimilis videntur effe difpofitionis. {[Omnis ergo arithmetica ratio, 4 videtur effe rationalis :geometrica vero ,rationalem Scirrationa* lem perferutatur magnitudinum habitudinem. Singula: quoque ra* tiones eidem generi continuorum accidentes ,vtpote lineis, acci* dunr &reliquis omnibus continuorum generibus ,vtpotc fuperfi* cicbus ,atque folidis: at dc numeris fecus cfi: iudicandum.Nnnc iras que, de rationali magnitudinum habitudine vteunque tranabimus: pollen irrationalem (no loco difcutcre nitemur. {[Communientium f igitur magnitudinum ratio, qua: rationalis vocatur habitudo,aut a:* qualitatis,aut ina:qualitatis nomenclaturam adipifeitur. Aequalitas Ratio aqua tis,quotics duarum inuiccm aequalium magnitudinum fit compara* Inaq/itatis. t'io. Inarqualicaris vero,cum vel maior magnitudo minori compara iiufcquaiira» tur,& maioris inajqualitatis ratio dicitur: aut chm minor ad maiore Minoris, refertur magnitudinem :&ratio minoris inaequalitatis adpellatur. Vtraquc rurfum, maioris videlicet &minoris ina:qualitatis ratio, in quinque fpecies principaliter fubdiftriburtur: tres quidem fimpli* ces.qua: iunt multiplex, fuperparticularis ,&fuperpartiens :&duas compofiras,quas multiplicem fuperparticularem ,&multiplicem fu* Ratio inuis pcrparticntcm adpellarc folemus.{[MuItiplexitaq; maioris inarqua* $ t,pIcx'liraris ratio dicitur,cum maior magnitudo minorem plurics,quam fe mei adaquate comprehendit:quod fi bis acciderit,dupla:fi ter,tripla: Ratio fupet» fiquatcr,quadrupla,& ita deinceps nominatur.Superparticularis au* pamcuians. Cem ratio fit,quoties maior magnitudo continet minorem femel ,5c ARITH. PRACT. LIB. UIU parte infuper ciufcJe minoris quotam :qua: fi fuerit—-,hu iufmodi ra tio fefqualtera:fi-j-,'fefquitertia,fi aute ruerit-|-,{efquiquarta,&fic in infinitu adpellada eft. Suppartiesvero ratio dici folet,cu maior magni RatiofiipCf tudo minore itide fcmel coprehedit,&: aliqua praterea ipfius minoris partlens< parte no quotam.-qua: quide ratio,partim anumeratore,partim quoq; hdenominatore eiufde partis no quota:, peculiarem fortitur nomen* elaturam. Nam fi fuerint-Mpfius minoris ,eadem ratio fuperbipar* tiens tertiasdicetur: fi-A-jfupertripartiens quartas: fi vcro-A-, fuper* quadripartiens quintas:& deinceps ita,pro carunde partium varieta* te peculiariter nuncupabitur.MuItipIex deinde ratio fuperparticula* Multiplex ris efficitur,quoties magnitudo maior pluries,qu^m femel ipfam mi* norem comprehendit, &partem eiufdem minoris quotam:vnde par* tim amultiplici,partim etia afuperparticulari ratione(ex quibus con furgiodenominatur,vtpote fi maior comparatam magnitudinu bis contineat ipfam minorem,&-A-eiufde ,tunc huiufmodi ratio dupla fefqualtera diceturifi ter -,tripla fcquitertia .* fi quater &—,qua* drupla fefquiquarta:&ficin infinitu venit adpellanda.Multiplex tan dem fuperpartiens ratio nominatur,cu ipfa maior magnitudo mino rem pluries itidem continet ,&partem infuper eiufde non quotam: qua: rurfum partim amultiplici, partim quoq;afuperpartiete ratio* ne (ex quibus componitur) nomen obtinebit. Vt fi maior minorem bis comprehendat magnitudinem,&-|^-ciufde minoris ,eiufcemodi ratio dupla fuperbipartiens tertias vocabitur:fi ter &-|-,tripla fuper* triparties quartasjfi quater &-|-quadrupIa fuperquadriparties quin* tas:&fic confequcnter de fimilibus,pro varia multiplicis &fuperpar* 7tientis occurrete rationis diipofitione. ffSpecies autem minoris ina;* qualitatisesedem funt,ac inter eofdem folent euenire terminos, cum nomisqua» pramemoratis fpeciebus maioris inaequalitatis: variato folummodo htat,s' terminoru ordine,coparando videlicet minorem magnitudinem ipfi maiori,iun£ta huiufmodi fyllaba fub.fiet itaque fubmultiplex.fubfu* perparticularis,fubfuperpartiens:&ita de reliquis tam fimplicibus,q etiamcompofitis rationum fpeciebus.queadmodumex praediatis coi* 8ligere haud difficileeft.CAdquorum omnium maiorem clucidatio* w nem, &in particulare fingulorum exemplum, fequentem ordinaui* butededawi mus numerorum defcriptionem:iuxta qua fpecies,tum rationis mul* tiplicis,tum fuperparticularis,atq; fuperpartientis funt annotata::n5 quidem omnes,fed pro ipfius defcriptioniscapacitate:quam potesCfi pluresoptaueris)quantumlibetlibere continuare,verticales &fupre* mos infimis,aut Iseuos dextris &extremalibus,pro columnarum, feu linearum refpondcntia,componedo numeros.Cum igitur inferiores ORONTII FINEI DELPH. fupcrioribus columnatim coparaueris numeros, maioris inarqualita* tis rationes habebis:fi vero ijdem fuperiores inferioribus coparecur, minoris inxqualitatisrationes verfo videbis ordine. «TSpudes rationis imil* ffRalinnis 1'upcrparti; •ISpati.s rationis Ius ,U|<i|S |io|7I[mi6liB|io||b •id 1, UU ‘a/ P iKls c. b, fcfqnaltera. g. <i, fuptripart.quartas. 4|8fH|i6|iojz4|i8|3i|36|4o||a (I. a, quadrupla, c. a, qaintupkt. o. il, fclipiiqaarta. .f, fupqutrupar.ibxcas R- “i lfeptupla. h. a, octupla. ii. g, lolqmluptinia. S-Spccies multiplicis lupcrparticiil.iris. 11r4I i-1|zl> 13sI41I4.I/I |6 3170 11>> sx K. i’ ibfqnSnona!*' e. b, dupla Icfqualtcra. |8 |K)'ji4l3z|4^|48K6|64|7al®°ll *' 1- a. vmlocupla . Kk^r!;;u'":l - — I, (uraTBfintiisth.Piwi ipec es multipli F1b, quadrupla ll-lqitcra |io|zo|3o|4o|fo|(>o|7o|b'o|i)o|'»»|| k1'1y1 11|zz|3 3I4-+W d66j'77 1 8 : h1V91"° II 1 1...» Cc, triplafnpa bipartiens tertias . ja»HIS, AD FACILIOREM SVCCEDENTIVM INTEbp Iigentiam praelibatis,de proportionibus cofequenter differamus-Pro* Proportioportio cil duaru, pluritfmve rationu, aut differentiarum inuice copa* nfs diffinitio Hin ilitndo,in tribus ad minus terminis coftituta. Omnes iraq; Proportio-. difcrcta^cociftuiEVC quantitatcs,intcr quas cade ratio,vel aequalis dii* naiia,qux. ferentia reperitur,proportionales cflc dicuntur. Proportionum alia arithmctica,alia geometrica,alia vero harmonica nucnpatur. Aridi* Arithmetica mctica proportio(qua progreffione adpcllant) eft coparatoru inuice proportio, nnmeroru.eadeobferuata differentia :vt inter bos numeros 8,6,4*na queadmodum odtonarius ,fenariu binario fuperat:ita fcnarius,eode Differentia, binario quaternariu excedit. Differentia igitur adpcllamus,exce{fum, quo maior quantitas minore fuperat:vel quo minor vincitur amaio G i e a °‘ouiT rl -Geometrica vero .pporrio cft.accidetiu inter coparatas inuice ma 11«Tnirudincsrarionti fimilicudorveliiti fi dupla dupl*,aut tripla tripl^, vel alia quguis ratio limili c6parctur.Vtporc,fi dicamus,queadmodu 8 ad 4,ita 6ad 3:vci qua ratione habent Z7 ad 9, cande feruat 9ad 3,& Harmonica ?advnitate.Harmonica tande proportio eft,qu? nec in differentiam, proportio. ’in rarionu(iinilitudine confiftit:fcd efficitur, cum tribus oblatis terminis,qua ratione habet maximus ad minimu,candeobfcruat dif ferentia maximi fupramediu, ad differentia medi/ fupraminimu. Vt inter bosvidetur accidere numeros 6,4,3.113 quemad* <> »4>3modum fenarius ad ternariu dupla obtinet ratione: ita &binarius differctia fenarij &quaternari/,ad vni* CorollatiCi. tatc,qu£e eft ciufde quaternarij fupra ternariu differentia. $[I line fa* cilc patet,arithmcrica proportionem ageometrica :&harmonica ab vtraquediferepare. At quoniamgeometrica proportio,fola interca:* teras peculiari nomine proportionis venit adpcllanda,caedem quoq; extera: nuper expreffe proportiones ,noftro negotio paru conferre ARlTH. PRACT. LIB. 1 1 1f. videtunidcirco reliquis nuc confulto prxtermillis, de foja geometrica proportione tra&abimus. 10 ^PROPORTIO ITAQ.VE GEOMETRICA, VEL CON= PwpottW tinua, aut difcontinua rcpcritur. Continua diximus euenirepropor= tontimai* tione:quoties propofitis quotlibet eiufde generis quatitatibus.omniu antecedentiu ad proxime confequetes, eade oblefuatur rationis habi tudo.Vt queadmodu fe habet prima ad fecunda, icafecuda ad tertia, &tertia adquarta,& deinceps quantumlibet: in huc quippe modum, vt prima antecedentis tantumodo.vltima verb confequentis, funga* ab cd tur officio.Vt in magnitudinibus.ficut AadB,itaB,adC, & i|Cad D.vel in numeris,quemadmodbm fe habent 8ad 4, eo* J’dem modo&4ad2,atq; 2advnitatem:vbiq; enim dupla pa tio continuatur. |[ConfFat igitur continua propottione in Corollaria .1 c0n- *t-1 1 t•rnotandum. tribus adminus terminis rore conitittita;! te genere diuerla, non pofle continua proportione ligari. Adde quod continue proportionalia quantitatu teque multiplicia aut fubmultis plicia,continua pariter obferuanc inter fefe proportione.Et ediuerfo, quatitatesquaru teque multiplicia aut fubmultiplicia coti* nua proportione ligantuncontinue proportionalia diceda funt.Pros pofitis nanq; rurlum numeris 8, 4,2 ,1, fi tripli verbi gratia fingulo* rum accipiantur numeri,vtpote 24,i2,6,j:hi fimiliter duplS inter fefe ratione obtinebunt. Eade q»oq; rationu fimilitudo feruabitur, intet fubmultipliccs.-queadmoduex profatis numeris elicere faeilb potes,- per conuerfam terminorum coparatiorie. Ide etia iudicabis,de fingu Iis eorunde corinuc propo/tionaliu differenti/s,fuo itiuici ordine coparatis:velut obiedfanumeroru defcriptiomon= .3ftrat; Qua enim ratione habet 27 ad 9,& 9,ad 3, 18AW atq; 3ad i:cam retinent 18 ad 6,atque 6ad 2(na vtrobiq; tripla)atqui 18, eftdiffcrentia primi ad fecundu:<> autem,ip* fius fecundi ad tertium:& 2,eiufdem terti; ad vltimum. 11 2»DISCON.TINVA VERO PROPORTIO GEOMETRI'* cadiciturccum propofitis quatuor,p!uribufve quatitatibus.prima ad difcotftiua. fecunda eam habet ratione, qua tertia ad quarta, &quinta ad fexta: &confcqueter ita,pro dataru quantitatu fnultitudine.eo quippe mo* do,vt confequetts prima; rationis,nonfiat antecedes proxime fucce dentis fecunda; rationisineq; fimiliter confequens ipfius fecunda;,ter tia; rationis efficiatur antecedes: vt in continuis diximus euenire pro* portionibus.fed omnes irnparinumerodiftributa;, antcccdetes tantfi modo nominetur:fubpari autem cadentes ordine, confequeiites. Vt exempli caufa ,ficut Emagnitudo ad Fmagnitudinem ita Gad ORONTII FINEI DELPH.' Cotolbiiu notatu di-. gnum. H.vclin numeris,qucadmod£im iz ad 8, ita 6ad^vrrobiq; efgH enim fefqualtera ratio compcritur.f[Hincfcquitur,difcon T tinuam proportione quatuor ad minus requirere terminos, 1 atq; inter quantitates genere diuerfas indifferenter inuenu * ri:propter confequetis prims rationis,ab antecedente fecu* * ds difcontinuatione.Poffumus iraq; dicere,(icut Ead F,ita 6t ad 4:autqueadmodilm izad8,fic GadH. Omniu prsterea quantitatu difeontinua proportione difpofitaru sque mul* lt tiplicia aut fubmultiplicia prima: &fecunda: ,cuteque multiplicibus tertis &quarts,& reliquis fi occurrat: cade ratione proportionatur. Etvice verfa,quotIibet quantitatesquaru squemultiplicia prims Sc fccuds cusque multiplicibus tertis &quarts,& csteris occurretibus, eade ratione fuerint proportionatadunt inter fefc difeotinue^ppors tionales.Quctnadmodu obieda numeroru defcriptiomo/hatnn qua priusacccptorunumeroruiz,8,<>, 1.,. r*.Multiplices tripli. 36 ij. .t3iz 4, tripli funt accepti ,vtpotcjtf, Dilcontinue fpoctionati* iz—8.6— 4 z4,i8,u,fubdupIiautctf,4,3,z.Si= SutK,uP,< *64•5a cut igitur iz ad 8,& 6ad 4:ita $6 ad Z4,&i8ad iz ,atque 6ad 4»&J adz,8e cstcra. Dif^topop PRAEDICTIS OMNIBVS, PER CONTRARIAM iz tio quanma fingUlorQinterpretatione colligitur,quaritatu neq; continue,ncq; difs continue proportipnaliu diffinitio. Qribrnia fi prima quantitatu ma« iorcm.aut minore ratione habuerit ad fecunda cj tertia obtineat ad qitartadniiufmodi comparatio,(iue rationum habitudo,difproportio nominatur,& ipfs quatirares difproportionales, vel improporriona* Codit/odif. Ics adpellatur. Difproportionaliu itaq; quaritatu sque multiplicia, propoitiona auc fubmultiplicia prim$& fccud^maiore,minoremvc ratione obth nebtit,qsquc multiplicia,vel fubmultiplicia tertis &quarts. Quod fi sque: multiplicia aut fubmultiplicia prims &: fecuds magnitudu nismaiore,aut minore obtineant inter lefe ratione,q, sque multipli* cia vel fubmultiplicia tertis &quarts :infertur verla vice, propofi* tas quantitates effe difproportionales.Qjuorum exempla dare,fupers fluum exilhmamus: vtpote,qus per cotrariam proportionalium has hirudinem elici vel facile ponunt* J»SV'PEREST TANDEM, PAVCVLA DE PROPOR-B tionii fpeciebus,in medium adducerctqusnihilaliud efle videntur.q varis rerminoru acccptiones,infercndive modi,ex continua aut difs continua proportione dedutSbi,ad faciliore intclligentia quinti deme torum Euclidis.vna cu prsdidtis rationu& proportionu deferiptioni Permutata bus,haud:paru conducentes. f[In primis itaq; fefe offert permutata ratior ARITH. PRACT. LIB. IIII. /7 ratio.Dicitur aute ratio permutata,cu antecedes prima?,c6paratur ad antecedens fecunda; rationis,tanqad confequens,&:c6fequensipfiiis prima; tanq antecedes,ad confequens eiufde fecunda;:id eft,cu vterq; 84^3 terminusprima;rationisfitantecedes,&vrerqj f ? \?terminus fecunda: verritur in officium confe* -A. /^ucntis.Vtli Aad Bfuerit, ficut CadD ;ex eo ^^ ^ inferamus,crgo ficut Aad C,ita Bad D. ffCo* uerfa vero ratio,eft antecedcntiu in confequentia,&c6fequentium in antecedentia tranfmutatio. Vtpote,fi fuerit eade ratio Aad B, qua; C adD: &acontraria terminoru acceptione cocludamus, igitur licut B ad A,ita Dad C.In permutata ergo, atque conucrfa ratione,tam ante cedentia quim etiam confcquentia ,fecundum fubftantiam manent eadem.CConuerfio autem rationis, quam euerfam rationem itidem nuncupamus, eft comparatio cuiuflibet antecedentis ad differetiam, qua idem antecedens fuum excedit confequens .Quemadmodum fi ia, 8464zdixerimus,fi AB ad Beam habet ratione, AB *acd t> cquamCDadD:ergo AB ad Adifferentia, V_y Jerit veluti CDad differentiam C.Elt au= ^tem Aexceflus AB,fuper ipfum B:&C differentia,qua C Dfuperat ipfum D. ®[Elf &alia rationucoparatio,qua; copofita,feu coniun&a ratio dici tur.Copolita ratio,cfi acceptio cuiuflibet antecedetis,vna cucofeque* te proprio,ad ipfum confequens. Veluti fi eadefit ratio AadB, qua; 1% s464xCad D,in hunc modu intulerimus: igitur ab abcd cvficut A B copofita ad B.ica CDcopofita ad WVipfam D. queadmodum obie<5ti fupra Ii* ^^teras indicat numeri.CHuic cotraria eft difiun£ta,feu diuifa ratio. Eft enim coparatio differentiam cuiuflibet antecedetis fupra fuu confeques,ad ipfum cofeques.vtpote.fi tota AB ad Bea obferuetratione,quam tota CDad D, inferatur ex eo: igitur queadmodum Aad B.ita Cad D.Patet itaq;,in euerfa,copofita,atq; di uifa ratione,terminos eofde fecudufubftatiam minime remanere: ta* metfi nihil fumaturextrinfecu.C Aequa tande ratio nominatur,quo* ties duobus quatitatum ordinibus tequali multitudine diftributis,ca# demq; rationu ^pportione colligatis ,prima alterutrius ordinis fe ha= betad eiufde ordinis vltima,veluti prima reliqui ordinis ad vltimam ciufdem:autfi velis, per medioru fubtradione, extremorir ratio eade vtrobiq; rcperitur.Exepli gratia,fint primi ordinis quantitates A,B,C; fecundi vero D,E,F:ftntque AB,& DEfcfqualtera,BCvcro &EF,du* pia:vel AB, &E F dupla ,BC autem atque DE fefqualtera rationis H.j. Conucrfa raf Couerfio tu tionis,aut e» uafa ratio. Coiufhi adt copofita Ut Diuifi, for difiun&a ra* do. Aequa ratio Duarum ra> t/orul in vnst compolitio, qualiter fas cienda. Exemplum primum de muldpliciu rationum additione. ORONTII FINEI DELPH. habitudinCjppdrtionatg.Si fnerit igirurA ' adB,ficuc DadE,&B ad C,velut Ead F: vel Aad B,{icut Ead F, &Bad C,vcluti Dad E: &fubfumatur,crgo licut Aad C,ita D ad F. Pradi&as fex rationu acceptioncs,fpeciefveproportionu,demo Urat Euclides cjuinco geometricorum elementorum: ad quem,liplus ra defideres,confugere poteris.H? enim funt principaliores.&noftro fufeepto negotio latis vtcunque facientes,rationum atque proportio num diffinitionessquarede his nunc efto latis. ww: f[Dc additione,atque fubtraflionc duarum quarumcunque ratiottuth adinuicem: jeu de produHionc rationis, ex duabus quibufuis rationibus inuiccm multiplicatis aut diuifisgenerata. Cap.i I. 5lO N PARVVM VIDET VR ADFERRE IVVA- i men i/s,qui circa magna Ptolcmad coltru&ioneCqua vocac aAlmageltu)aliave fccrctiora mathematicam documcta lis «piufculc verfantur, in proptu cognofcerc :quamam ratio ex duabus quibufuis obIatis,& inuicc adiun&is, mutudve liibtra&is feu multiplicatis adinuice aut diuifisquantitatu rationibus componatur, potiffimum quumper regulam fex proportionalium magnitudinum, ab eode Ptolomeo fubtiliter excogitata ,&anobis in proximu cla» rius elucidandam ,operarpretium lit,eafdem fex quantitates inuicem proportionaIcs,ad quaternarium reducere numerum:8c in vfum illius conuertcrc regula:,qua: tribus oblatisTiumcris,quartum docet inueni re proportionaIcm,quemadmodum proximo capite, ipfam quatuor proportionalium exprimendo regula ,ligillatim manifeftum efficies mus. Cln primis itaquc.gencratam ex duabus quibulcunque ratio= 2 nibus inuicem adiun&is leu multiplicatis doceamus inuenire ratios nem:fitque h?c generalis &femper obferuanda regula .Propolitk duabus.quibufuisquantitaturationibus ,in vna rationem coponen* dis,ducito primum terminu vnius.in primu altcriusterminu :&pros dudhim facito primuterminum confurgcntis inde rationis .Deinde multiplicato fccundu alterutrius terminu,per terminum fecundu relis qimprodudtumq; Ifatuatur fecundus eiufde copolita: rationis termi nus.Na hoc modo confurgcntc ex duabus propofitis ratione habes bisrab co lemper denominanda numero ,qui ex vtriufq; propofitaru rationu inter fefc multiplicatis denominatoribus coponetur .ffSintj primum in exemplu dua: rationes multiplices ,Aquidem ad Bdupla, &Cad Drripla:ex quaru compolitione, refultantc cogaris habere ras tionem .Duc igitur Ain C,aut c contrario :&fiat Enumerus, quem ARITH. PRACT. LIB. IIII. fS fubfcribito,pro primo ipfius producendg rationis termino. Deinde multiplicato B in D,vel ediuerfo: &confurgat numerus ,F,profecudo eiufde produ&a: rationis ter mino collocandus.CocIudas itaq;,ratione Aad B,vna curatione Cad Drcfficere ratione Ead F, Atqui ratio Aad Bdupla,Caute ad Dtripla fufcepta elfiigitur fi multiplicaueris a, ipfius dupla; rationis denomi* natorem,per 3dcnominatorem ipfius tripis, fient 6denominator eiuf dem copofits rationis.quapropter Ead Ffextiipla dicetur habere ra» tionem,ex additionedupls cum tripla conftituta.Ex his facile patet, cx duabus rationibus duplis,generari quadruplam: ex duabus autem rriplis,nocupIam:ex binis vero quadruplis,fedecuplam.& cstera. 4f[Dentur rurfum in exeplu, dus rationes fuperparticulares, vtpoteG Secmdfi e* ad Hfefqualtera,& Kad I, fefquitertia.Duc igitur CinK,& fiar Mrite Hin L,&confurgar N.Erit itaq; Mprimus perparticuia terminus, Naute lecundus ipfius compos addendfs. firse rationis M,N:qua dupla effe confiat, fi enim i-~-denominator fefqualtera: ra* ticnis,ducatur in i-|-denominatorem fefquitertia;,per dotfirinam vn decimi numeri fexti cap. libri fcciidirfientz, aquibus dupla ratio des nominatur. Hinc relinquitur euidens,curnam diapente cofonantia Corollam iunfta cum diateffaron,diapafon confonantiamCquam duplam fole* notandum, mus adpellare>componant:nam diapente in fefqualtera, diateffaron vero in fefquitcrtia ratione confifiit. Colligitur etiam ex prxdi&is, duas rationes fefqualtera-s.duplam fefqufquartam efficere rationem: 1duas vero fefquitertias.coponerefuperleptupartietem nonas. fl[Pros Exemplum .1.1r|*. ,,rterrui, dera* ponantur iterum,in maiorem ungulorum euidentiam,du£e iuperpars tionn fuper, tientes inuice addenda: rationes :fcilicet Oad Pfuperbipartiens ters partientium tias, &Q.ad Rlupertripartiens quars tas. Duco itaq; primu, Oin Q_, &fit S primus tcrminusrdemde Pin R, effis citur Tfecundus terminus copofitse rationis Sad T, qua cft dupla fuperu decupartiens duodecimas.ficnim duxeris i-|-denominatore fuperbr* partientis tertias.in i~k quibus fupertripartiens quartas denomina tur:proucnient z&-n->qu£e produ&a; rationis denominationeofiens dunt. Sequitur ergo.duas fuperbipartientes tertias, dupla fuperfepttf Coroflartf' partientem nonas coponere rationem.Duas vero fupertripartienrcs quartas,reddere tripla fefquifedecimam. Item ex fefqualtera cum fus perbipartipnte tertias,duplam felqualtcram cofici rationem. Atq; ex H.ij. Superbiparticns tertias. Supertriparties quartas. o.f— }.P Q-7 4-R Dupla fupcrundecupars tiens duodecimas. S.tf rz.T Sefquairera. Sclquftcrtia. 1C.3 —z.H. K.4 —3.1. Dupla. M.I2—6.N. A. 4_—z.B. C.93.D. Dupla. Tripla. | E.Jtf. 6. F. |Sextnpla. 1 ORONTII FINEI DELPH. fefquitertia,&fupertriparticnte quartas, confurgcre duplam fefqui* tertiam. Probabis ctia,quoties dux rationes minoris inaequalitatis* inuice coponuntur:femper generari ratione vtraq; minore, velut ex* prxafTumptis excmpliselicere haud difficile potes: vertendo primos cuiuflibec rationis terminos in fecundos,& e diuerfo,ta fimul adden daru rationu,cj etiamearu qux ex eifdeprodudx feu compofitx funt. Demite 'KVM avtem rationem aratione svbtra-s bete,aut ratione per alia diuidere fuerit operxpretiu (ratione intelli» fcu diuifioc. gas velim,no omne indifferenter aqualibet:fed minore tantum ama* iori) vt differentiae ratio,qua maior ipfam minorem videtur excede* Regula gc. rc ratione,innotcfcat:in huc facito modu. Collocato minore &fub* ncwiis. trahenda ratione,! ub ipfa maiore,a qua videlicet fubtradio facieda cft.autdiuidentefub diuidcda.ducito poftmodu primu fuperioris ra* tionis tcrminu.in fecundu terminu inferioris &fubtrahedx rationis: &produdu futura:, feu relidx,aut generata: rationis facito primum tcrmiuu.ducito confequctcr fecundu ciufde fuperioris rationis termi nnm,in primu ipfius infcrioris:produdumq; ffatuatur fecundus ter* minus ciufde relidx fcu generata: rationis. Hxc aute ex huiufcemo* di fubtradione generata ratio,ab eo femper venit denominanda nu* mero.qni exdiuifione denominatoris ipfius maioris rationis,p deno nnfufmuim‘nator^minoris &fubtrahedx rationis generatur.ffDemus exem= 7 SpJicibus. plu in multiplicibus:fitq; Aad Bratio tripla:a qua dupla ratione,qua: cll:CadD,iubeamur aufcrre.Ordinatis itaq;, veluti nucdiximus,ter* minis, duco AinD: &fit E, primus ipfiusreli* dx rationis terminus. Duco rurfum Bin C: &c confurgit F,fccudus ciufde rationis terminus. Tandc quonia tripla: denominatoreft ternarius,& ipfius dupla: bina rius:fi? diuidantur per 2,prouenient i~~, id eft ,vnum &dimidium, ux fefqualtera rationis denominatore oftedunt.Cocludendu igitur, upla ratione atripla fubduda,relinquere fcfqualtera:aut fi velis,tri* mium H^am rat*oncrn ipfhm duplam fefqualtera fuperare. ffOfferanturrur $ c.iKiurn, de fum in exemplum dux rationes fuperparticulares:vtpote,G ad Hfcf* cllia hera,& IC ad Lfcfquitcrtia,ab eadem fefqualtera ratione tolleda. R-epofitisigi tur fuo ordine terminis, ducatur in pri= misG in L:& fiat M.Rurfum Hper Kmultiplicetur:fitq; produduN. Aio icaq;,ratione Gad H, ratione ipfius Kad L,hoceft, fefqualtera ip fam fcfquitcrtia,ca qux eft Mad Nratione fupcrarc:qua fefquiodaua efie,relinquirur manifcftu .Quonia fi i~fefqualtcrx denominator, per i-J- denominatore fefquitertix diuidatur ,per dodrinam feptimi Selqualccra. Scfquircrri.i. .Sclquiottaua. 1M-p 8.N. Tripla. IA.p\ ^3-B. 1C.4/\a.D. -Scliiualrcra. U.18 1i.F. ARITH. PRACT. LIB. Illi. fp capitis antecedetis fecudi librhproueniet quibus fefquio&aua ratio denominatur.quod etiam prtemifii cum literis videtur indicare S> numcri.De ceteris ide. f[Atfi fuperpartiente, afuperpartiente velis teniG Pin{bf auferre rationem,non aliter operaberis.Exempli caufa,efl:o Oad P ra perparticmi tio,fupertripartiens quartas :aqua,ratioQ,adR fuperbipartiens ter* bus' J.up.ripmfe qa».»,:Io . 7s^-4. PItias*ftMurida fit. Duc itaque Oin R, Supcrbipattics tertias. |Q.y^Vs.R, &pducatur S:deinde Pin Q.,& fiat T*. ^e'qu -1 --1^ma'|6‘z-~z°'—Quale igitur rationem habebit Sad T,cadem ratione fupertripartiensquartas,hoc eft,0 ad P, fuperat fu» perbipartientem tertias,quae eftipfius Q_ad R:ca autem erit fcfquiui* gefima. Nam ii i-^-fupcrtriparticntis quartas denominator, diu idas tur per i-|-denominatorem ipfius fuperbipartientis tertias:fient pro quoto numero i-^-,a quibus reli&a ieu generata ratio venit denomi nanda. Dequibufcunq; fimilibus idem habeto iudicium:fiucfimpli= ccs inter fefc rationes,aut fuperparticulares,atque fuperpartietes iti= dem inter fefc,vel fuperparriculares aut fuperpartietes afimplicibus, fiue fuperparticulares aiuperpartientibus auferenda proponantur, 10 4[Hincfequitur,fi multiplicem aratione multiplici,vel iiipcrparticu corollaria, larem afuperparticulari,aut fnperpartientem afuperpartiente Ceiuf= dem tame denominationis)fubduxeris:prouenire,fcu generari ratioa nem aequalitatis.Vtpote.fiduplam adupla, fefqualteram afcfqualte* ra,fuperbiparrientetertiasafuperbipartiente tertias, aut eiufcemodi rationem auferre iubearis:ttincque ratio cuius antecedens maius cfi, venit alteri fuprafcribenda.qucmadmodum fubie&a: in maiore om*= nium elucidationem.yidentur indicare deferiptiones. jDupla. I/4. Sefqualcera. ISupblparties tertias, j| |Dupla. 1 :Sefqualtera. JSupbiparties tertias. |5•| jAeqliraris - 1 16.—16. |]| Aequalitatis. 36.—|7icqualitatis. |30.’—^o7| Sequitur etiam,duplam aquadrupla ratione fubdu&am, relinques re duplam.Sivcro fefqualtcra,ab ipfa dupla fubducatur,generabitur fcfquitertia:& fi ab eadem ratione dupla dematur fefquitertia, relin= quetur vetfa vice fefqualtera.Item fuperbipartientem tertias,atripla ratione fublatam,producere fuperquadripartientem quintas :quem* admodum fefquitertia,a fupertriparticte quartas ablata,relinquit fu* nperquintupartietem fedecimas. f[Quod fi minore &c fubtuahenda fu Notandum» prafcripferisratione,inuerfofcilicetordine,obferuauenfq;pr^miiram numerorum alternatim.fa&am multiplicationem:conncr{a etiam ra tionis comparatio producetur,vtpote,minoris inaequalitatis. vt que* admodum minor &c fupraferipta ratio,praecedit ipfirni maiorem: ita primus,qui producetur numerus, minor erit fecundo .Monftrabitur ORONTII FI.NEI DELPH. pium,aitcro Pro quoto numero 16minuta. ®Efto rurfum propofitu inuenire par? u numerorum te proportionale dctfo minutis,in ea ratione quafe habet if minuta, rcpSibu? &z4fecunda,ad minuta zS.Inuentis ergo 28, ad caput fecuda; pagis exiftente, nx ipfius rabula; proportionalis:fub ipfis 28 rediffime defcedcdo,ofs fendes tade if, 24 pnecife.a quibus, adfiniftru 8t extremu numeroru ordine,fi redo peruencris tramiteroccurrettibi 33 minuta,ad qua260 eande ratione obfcruant,qua 28 minuta ad minuta 1s, St fecunda 24. Exemplum arSint item, maioris euidctiecanfa, bin^numeroru differetia;, vtpos 16 quadoaltera ._N.„r-i i r diiiercntiani tc, maior35- mmutoru,minor vero minutoru 18, &iecudoru ^.placeat qffuntprx» 5auteinueftigare flmilc parte de 60 minuris, prout fe habet 18 minuta, ci(e rcpcnbi &3-4 fecunda,ad ipfa $5 minuta.Occurretibus itaq; is minutis in fro= ies numeri. tjfp Ic j0terfftT pagin? fbpiusexpreffg tabula; proportionalis,fubcifde reda defccndcndolinca,non potes ada;quate reperirc i8j4:accipies igitur numcrii proximo minore,vtpote, 18,40, cquoru heua St extres ma regione,videbis 32 minuta.Quibus obferuatis,aufcr 18 minuta,St 40 fecuda,aprofatis 18 minutis &j^fcoidisiSt rclida differentia, erit 14 fecundoru. His 14 fecundis rurfum fub profatis3y minutis procife rcpcrtis:oftcndes l^uorfum.in dcfccndcnte lateraliu numerorum ors dinc24,qua; fecunda veniunt adpcllanda. quibus fi 32 minuta folito more coniunxcrisirefultabunt 32 minuta,St 24 fecunda,pro defideras to proportionali numero.Sunc igitur ipfa 32 minuca,& 24 fecunda,to tapars deminutis 60: quota parsfunt 18 minuta,8t /4 fccunda,de3.f Exemplum minutis. COperaiprctium tande fitproportionata aflumere parte dc numerorum 60 ni, iiutis:iuxta ratione,qua habet 1/ minuta,St 30 fecunda,ad minu difleretia mi ra 20,St fecunda 4o.Tamctfi 20, St 40, in rrafucrfo capitalium numes xta 1‘roru ordine rcpcriatur:no rame codc intuitu,vcl in cade facie ytrunqj numerum cofpicerc facile cft Cquod ad faciliorcrcquiritur operatios ncnV)idcirco prafatos.numeros 2o,8t4o,in heuo St cxtremali defeens dentiu latere curabis imientos, congruentis ad Kocpaginse.-a quibus dextram verfus reda procedas via,donec in eadem coluna occurrat tibi numeri,qui iundo dextro fupremi cu finiftro infimi,c6ponat 1/, 3o,ideft,iyminuta,8t 30 fecuda. In tertia itaq; pagina pr^memorata; tabui» proportionalis,c dextra regione ipfoiU2o, offendes inter arca les numeros iy,o:c reda autc regione ipforu 4o,fub cifdeiy,o,fefc offe rent 30,o:quiquide numeri, nuper expreffo modo c6iudi,faciur minu ta ij,St 30 fecuda.Vndc fi ad vertice ciufde coIung,in qua profatosnu * meros i/,o,St 30,0 rcpcrifli,ocuIos direxcrisrvidebis 4/ minuta,cu que optabas numcru,ciufdc quippe rationisadtfo minuta coparatu.cuiuf Corollaria modi fut minuta,St3o fecuda,refpedu 20 minutoru. St 40 fecudoru. notam dii faci^ colligitur, tabula ^portionale intrada effe lateraliter: 18 ARITH. PRACT. LIB. IIIR Gj quoties ipfie tabula:,quibus eadem proportionalis tabula,ad repcrie dam parce proportionale fufFragatur,laterali praefricantur ingreflii. Quod fi profata: tabula: areatim ingrediaturi&ipfaquoqj ^portio nalis tabula,areatim intradaeft*Addc ^per laterale ingreflum in ip fam tabula proportionale,multiplicatur lolumodb numeri, abfij; g* du&i diuifione: pareale 'vero introitu diuiduturnulla praced&e mul tiplicatione. Adeo vt ^pdudus ex duefru terti/ in fecudu numerus,no fit rurfum p60 diuidedusmeq; fecudus per tertiu, vel ecotrario mul tiplicadus prius, c[ produ<fru diuidaturp 60. Horu videtur efle ratio* quoniadiilateraliter ingreditur,60 primus eftnumcrus, &ideo diuifor, per coditioneipfius regula: du aute areatim intratur,ipfe nume* rustf.o cft in ordine tertius.Suppletur itaq; diuifio, iningrefiii latera: li,& in areali multiplicatiorper fola numeroru tralpofitione.Quonia QuidnuitU multiplicare per 5oCintelligo femper de fraefrionibus aftronomicis) Plicare j* to cft oblatos numeros ,in proxima: denominationis genus Ia:uorfum trafmutarc:vtpote,minuta in gradus,fecuda in minuta,tertia cofeque ter in fecuda,&cset.Diuidere aute per <Jo,efl: iplbs numeros,ad proxi= „id ^ mefubtiliore denominatione figillatim traducere :videlicet gradus uflcrcgcol in minuta,minuta in fecuda,& fecuda in tertia,&cast.Solum igitur co fiderada: funt, vellateraliu,vel arealiu numerorum denominationes: queadmodum quarto,&quinto capitibus libri tertij,fufficieteradmo nuimus.Nec mireris oportet,fi primus aut fecudus numerus,fit pleru= q;minutoru:tertiusaute,vel inuetus quartus fecudoru, alteriufve ge= neris.quonia minuta nihil aliud fune,qfccudap fexagenariucolledra numeru:ipfa vero fecuda,minuta videtur effe dilgregata. De citeris relpodeter iudicadueft.Eft igitur virtualis denominationis obferua= ta refpodetia.Rcducedi tamen elfent numeri(veluti fupra docuimus)' ad vnica denominatione,vtpote,primus cutertio,vel fecudus cum ac quifito quarto:fi pvulgatu vfum regula: quatuor proportionaliu,non aute per ipfam tabula proportionale, in talibus contingeret operari. ffDe regulaJex quantitatum inuicem proportionalium ,eiufque diffe* rentijs &yfu multiplici. Cap.I III. 1BSPSVLLA INTER RATIONALES QVANTITA-' |||Sl|tes praftatior inuenitur regula, pr?cipufe quas ad aeleftium g^^^qjmotuu inueftigatione tanta: videatur effe comoditatis:cu* iufmodi eft ea ,quam fex proportionaliu quantitatum adpellare fo lemus, ab ipfo Ptolemteo primum excogitata. Demonftrauit itaque Ptolcmai Ptolema:us(vtrem paucis attingamus)capite duodecimo libri primi dcmoftMri<>’ fua: magna; conftruftionis Cquam vocant AImageftum)fi dus linea: Regula lex quanticatu» Primus & Iccii dus mos dus, de ratio nutri copoli rione ,inter fex proportionales qua titates. Six numeri proporciona Ies. ORONTII FINEI DELPH. rc&a*,cuiufmodi funt AB,& AC,ex eodem pundo Ademittatur, da* tum comprehendentes angulum qui BAC,& areliquis earundem 1if nearu terminis,vtpotc, B&C,dua aliae reda: Ii* A nea BD, &CE,in cafdcm lineas altcrnatim re- A fledantur,in eodem fefc intcrfecantes pundo, /\ fciliccc F:q> ratio BA,ad AE,coponitur ex dua* e/\ bus rationibus,vtpote,ratione BD,adDF, &ra tionc FC, ad CE. 1tem quod ratio BE,ad EA,cx /^^xA duabus itide rationibus integratur rex ratione Ns\ quidem BF,ad FD, &ratione DCad CA. Que* admodu praallegato capite,geometrico difcurfu cofirmatur;& infra figillatim cxprcffimus.vbi fingulas taliu rationum copofitioncs pof* fibiles ac impoffibiles aperuimus .Hinc orta eft illa fex jpportionaliu quantitatum regula. Ex praefata nanqj Ptolemari demonitratione re* linquiturcuides.dabilcs cfiefex quantitatcsinuicem ita proportiona rasrvt ratio prima? ad fccudam compofita fit cx rationibus tertia: ad quartam,&quinta? ad fextam.Porro cx hacpraoftenfa rationis com* pofitione,i7 vtiles generantur rationum compofitiones: qua? vna cu ipfa radice,funt numero i8.Ptolcma?us autem duabus tantummodo, &praallegato loco dcmoftraris rationum compofirionibus,conten* tus fuit:vrpote,qua? fuo negotio videbatur facere fatis.Volumus ira* que,c?teras rationum combinationes.modofve polfibiles.inter quaf* cunq; lex quantitates, eo quo nunc diximus modo proportionatas ac cidctes,figillarim aperirerquo ipfii clarius eluccfcat regula ,&in cora gratiam,quibus vium eiufdcm regula? fex proportionalium quanti* tatum,contingetclfe neceffariiim. EDATIS 1GITVR SEX QVANTIT ATIB VS CVTAB- j ipfo primo,&radicalimodo fumamus exordium) quarum ratio pri* ma? ad fecunda,compofita fit ex rationibus tertia? ad quarta, &quin* ta? ad fextam :ex eo primum infertur fecundus modus,vtpotc, quod eadem ratio prima? quantitatis ad fecundam, ex ratione tertia ad fc* xtam,atque ratione quinta ad quarta itidem generatur. Sulcipiantur enim,ad maiorem fingulorumeuidcntiam,fcx numeri ira fe habetes adinuice ,vcluti prima &radicalis nuper allegata rationis copofitio pf11 ppOnit.fi 11 tq; hll iUfinodi.lMmus.Seciidus,Terdus.(^artas.Qulntus.Scxtus. (PPrimnsigituradfccudunu* *>*>3*4> merum ,hoc cft,i ad 2,fubdu= \/ \/ \/ piam obtinet rationemrtertius autem ad quartum, vtpotc,? ad 4, fub* fefquiterriam:& quintusadfextu.tf videlicet ad 9, fubfefqualtera.Atquiex ratione fiibfcfquitema, vna cu fubfefqualtera, fubdupla ratio ARfTH. PRACT. LiB. tittJ 64 confurgit.quemadmocjum ex {ecudo eapite huius libri, Scobieftariii meroru defcriptione facile manifeftatur .ffTcrtitfsrurfum ad fextu, hoeeft,3ad9,fubtripU:quintusatfteadquar a'Im° 3’41 tum,6videlicet ad 4,feiqualtera videtur lia bere ratione. Subtripla vero1 ,&fefqualtera, fubduplam fimiliter ratione conftituunt:' ve luti fecunda numerorum formula moftrat. Vtrobiqjenimconfurgit numerus t8, ad 36 3numerumc6paratus.HTertioautemodo,ratioprim? quantitatis **** tertiam, ex ratione fecudce ad quartam,& ratione quinta ad fextam Componitur.Ex pra:mifiis nanqj fex numeris clarum eft,primu ad ter tium,hoccft,i ad 3,fubtriplam obtinere rationem, fecundi autem ad quartum,fubdupla: &quinti ad fextum, fubfefquaftera ratio coperi* tur.Quod fi per doftfinam antecedentis fe Sublefquitertia. 1 Subfcfqualtcra. 13-4 |6— P Subdupla. 11*>— 36 1. .... 1 Subtripla. Scfqualtera. 39 6—-4 Subdupla. 18 — Subdupla. Subfcfquaftcra.- Subtripla. )i*-1—'3^1 eundi capitis, fubdupla &fubfefquakeram in vnam eompofueris rafionefmconfurgec fubtripla. queadmodumpropria numeroru videtur indicare deferi* 4ptio.CQuarto,ratio eiufdem prima: quatitatis ad ipfam tertia,ex bi* Modus qua* nis rurfum integratur rationibus:ipfius nempe fecunda: ad fextam,8c ratione quinta: ad quartam.Sccundus enim numerus ad fextum, zvi delicet ad 9,fubquadrupla fefqualterafrr: quintus autem ad quartu, id eft,6 ad 4,fefi* qualteram rationem obferuat.qu^ quidem dua: rationes, iterum fubtriplam rationem Subquadtupla Ceiqualtera. Scfqualtera. *p tf— 4 |Subtripla. |12.—}<5| conftituunt: vtex obiedra numerorum defcriptiuncula patet. SCQuinto vero modo,ratio prima: quantitatis ad quintam ,refultat Modusqui»? ex copofitionc rationiseiufdemfccund? ad fextam,& ipfius tertigad tus* quartam.Primus nanq; numerus,fcilicet 1ad quintunv.vtpote 5,ratios nem habet fubfextupla. Porro inter z&9,id eft,fccudu &fextumnu* meru,fubquadrupla fefqualteram:inter vero tertium &quartum,hoe eft,3 ad4,fubfefquitertiamc6ftat inueniri rationem.Ipfa vero fubfe xtupla,ex eadem fubquadrupla fefqualtera, &fubfefquitertia ratione eonflatur:quoniam zin 3faciunt 6, ex du&u autem 9in 4,confurgut 36,fcxruplam ad 6obtinentia ratione: velut hxc indicat formula.' CSexto,ratio eiufde prim? quantitatis' Modus fe»' Subquadtuplalelqualtera . Subfefquitertia. f 19 1.3- 4 Subfextupla. l<?— 3*5 ad ipfam quinta, conftituitur paritet ex ratione fecunda: quantitatis *tus" ad quarta,&tertia: ad ipfam lexta.Secudus etenim numerus ad quar rum/ubduplam: tertius aute ad fextum, fubtriplam rationem obfeiV uat.qu? quidem rationes fimul iundta:, profata rationem fubfextupla ORONTII FINEI DELPH. Subdupia. Subtripla. 139 Subiextupla. 1«—i« Modus fc-- ptimus. Ccjnae inter eunde primum &quintum offenditur numeru )rurfum coponerc videntur: queadmodum obie&a nume rorum deferiptio monftrat.tfSeptimo autem copofitionis modo fit, 7 vc ratio fecunda; quantitatis ad quartam,refultet cx binisrationibus, prima; quidem ad tertiam,&fexta; ad quintam.cofiatcnim inter pr? affumptos numeros, zad 4fubduplam obtinere rationem, xautead 3,hoc efi,primus ad tertiu numeru,fub* triplam :&9ad 6,fextus videlicet ad quintu,fefqiialtcram ratione habere vi Subtripla. Ii: 3 Scfqualtera. 196 Subdupia. 19—18 Modus oft: uus. detur, quaequidc bina: rationesdebito more coniun£he ,fubdupla efi: ficiutrvelut calculus ipfemanifefiat.ffO&auo fcquitur,ratione eiuf* 8 dem fecunda; quantitatis ad eandem quartam,generari cx ratione pri mx ad quinta, atque ratione ipfius fexta;,ad tertiam .Clarum efi: 1 ad 6, id efi:,primum ad quintum numerum, fubfextuplam habere ra= tioncip autc ad3,vtpotc fextu ad tertiu* tripla. Ha; porro fimul iiiifia; rationes, componut rurfum fubdupla :qualis in* Subiextupla. i.— i Tripla. 1p3 Subdupia. 1!> —» rfecundum &quartum,zfcilicet ad 4reperitur. f[Nono fubfequu 9 tur modo,quod ratio prtememorata; fccund? quantitatis ad fextam, generatur cx rationibus prima; ad tertiam, &quart? ad quintam.Na cx profatis numeris facile colligitur, eunde fccucju numeru ad fextu, hoc efi, zad 9,fubquadrupla fcfqualtcram obferuare rationem. 1au= tem ad 3,primus videlicet ad tertium numeru, fubtripla:4 rurfum ad 6,id efi,quartus ad ipfumquintu,fubfcfa qualteram ratione obferuat.Atqui fub* tripla &fubfcfqualtera ,eadem ratione Subtripla. SuMciqualtern. Subquadmpla (eiqualtera. | fubquadrnplam fcfqualtcram euidentiffime componunt. HDccimo relinquitur euidens,eandem fecundam quantitatem ad fc 10 xtam,rationem nabere fimiliter compofita ex ratione prim? ad quin tam ,&quarta; ad ipfam tertiam .Primus enim datorum numeroru ad quintum,! videlicet adtf,fubfcxtuplam:quartus autem ad tertium, fefquitertiam videtur obtinere ratione."-.s^Ja Quod fi fubfextuplam vna cum fefquh '"' tertia ratione iunxeris,rcfultabit profata - Scfquitcrtia. | Subqdrupla fcfqualtera. | Modus v decimus. ratio fubquadrupla fefqualtcra:quam zad 9,hoc eft,fccudu ad fextu *diximus habere numeru.f[Vndecimo,ratio terti? quatitatis ad quaiv Ir tam,generatur ex ratione prima; ad fccuda, &ratione fexta; ad ipfam quintam.Excifdcmnanqjnumcris fit manifeftum,tertium ad ipfum quartum, 3videlicet ad 4,fubfefquitertiam obferuare ratione.Primus ARITH. PRACT. LIB. II II. 61 Subdupla. 11 Sefqualtera. 1P* Subfefquuertia. 1P — autem ad fecundum,hoceft,i ad2,fubduplam:atq; fextus adquintu, vtpote,9ad tf, fefqualtera rationem obti net.SubdupIa vero &fefqualtera,eande *—fubfcfquitertiam rationem conftituunt: velut adiunfta te docebit formula. f[Duodecimo confequeter elicitur modo, eandem rationem ipfius terti? quatitatisadquarta,ex ra= tioneprims ad quinta ,&fexts ad fccuda itidem intcgrari.Subfextu pia nanq; ratio,qus inter primu &quintum numerum, hoc eft,i ad <f, offenditur,vn& cu ratione quadrupla fefqualtera, quam habet fextus numerus ad fecundum,vtpote,9ad2,fa; pius expreflo more coniun&s :reftituut profatam rationem fubfefquirertia, in* .SubfcxtUpJa. Quadrupla fefqualtera. | 16 Pz Sublelquitertia. 9IZ 13 ter ipfum tertium &quartum accidentem numeru .CDccimotertio manifeftatur,quod ratio eiufdem tertis quantitatis ad fextam, cx bi nis quoq; rationibus colligiturrex ratione quidemprim? ad fecunda, &quarta: ad quinta. Id aure ex prius datis ofteditur numeris.3 enim ad 9, hoc eft, tertius ad fextum numerum, fubtriplam rationem ob* feruat.porro inter primum &fecundu, fubdupla,quarti autem ad quintum nus merum fubfefqualtcra offenditur ratio. Subdupla. SubfcfquaItera. * £ Subtripla. 4IZ Itaq; Ii fubduplam,& fubfefqualteram fimul adiunxeris:fubtripla r 14 tioconfurgct.f[Decimo quarto confequitur ordine, eandem ratione ff,? tertis quantitatis ad lextam,ex ratione prima; adqumtam,atquera* tione quart? ad fecundam rurfum generari.Primus enim numerus ad quintum>hoccft,iad <?,fubfexcuplam:quaftus vero ad fecundum,vr* pote,4ad 2, duplam videtur habere ratio nem. Qua; quidem fimul iun&s ratior -nes ,fubtriplam itidem conficiunt ratior Subfextupla. Dupla. 14* Subtripla. 14 nem:qus inter ipfum tertium &quartu reperitur numerum.Hsc au 1stem omnia,ex prsfenti numeroru indicatur fupputationc. CDecimo quinto,ratio quart? qtitatis ad fuccedente quinta,cofurgit ex ratione fecuds ad prima,&ratione tertis ad fexta cftitate.Ex datis enim fex proportionalibus numeris claru eft, ipfum quartu ad quintu numeru, 4videlicet ad 6,fubfcfqualtera habere ratione. At fecudus ad primu,2 •1 quidem adi, dupla:tertius aute ad fextu, hoc eft 3adsi.fubtripla ratione obferuat. -Quodfi duplam &fubtriplam fimul ad* dideris,conflabitur fubfefqualtera:vt ex obiecfta licet videre formula. i<? ^[Decimofexto fubfequitur, quod eadem ratio quarts ad quintam, Modusdeci* componitur itidem ex ratione fecunds quantitatis ad fextam ,&lnu extus' I.j. Dupla. Subtripla. 13P Subfefqualrera. 69 ORONTII FINEI DELPH. tertia: ratione ad ipfam prima. Quod itapereofdem elucefcit numeros: quoniam fecundum ad Textum numerum, hoceft,zad 9,fubquas druplam fefqualteramrtertium vero ad primum, 3fcilicet ad 1,tripla c6ft.1t obtinere ntione.Subquadrunla aure fcfqualtera ,vna cu tripla,fubfefs Tripla. 131 qualteram ratione conficere videtur: ——-fou,l>fcra '*-- -9 qualis inter quartum &quintum, hoc eft:,4&^offenditur numeru. Modus dcci ^[Decimo autem feptimo neceffum eft euenire modo,vt quinta ad fe 17 mufltpum» xtani quantitate,rationem habeat compofitam ,cx rationibusprima: ad fecundam,&quart§ ad ipfam tertiam.Quoniam 6ad 9,quintuvi dclicet ad (extum numeru, fubfefqualteram habere rationem crebro diximus.Hxc aurem conficitur cx fubdupla, qua: eft: inter primu 8c fe cunduni:& fefquitcrtia,qua obferuat quartus numerus ad tcrtiii.Si nanq; du xcris 1in 4, fient 4: cx duftuVcro zin Modus dcci mufoft.iuus 3,proucnient porro 4ad (>,fubfcfqualtcra ratione ligatur, CVIrimo,^ in ordine dccimooftauo,Iicct inferre modo, prxfatara* 18 tionemquint^ ad Textam quantitatem,cx ratione prim? ad tertiam, atque ratione quarto: ad fccudam tandem integrari,Nam(vt eifdem femper vtamurnumeris) 1ad3fubtriplam:4 autem ad z,duplam ra* tionem habet. Ex ratione autem lubtripla ,vna cum ipfa ratione du* pia,eadem fubfefqu altera ratio generatur :quam inter 6&9,hoc eft:, quintum &fextu prodiximus accidere numeru.Ide iudicato de quibulamq; fex numeris inuiccm ita pro? porrionatis ,vt primus &aPtolemxo demonfIratus modus oftcndit.-nccnon dc continuis etiam quibufeunque magnitudinibus,fimilcm interfefe rationum obferuancibus compofitionem. Dc reliquis ^PRAETER HOS 18 MODOS' VTILES, Q.VIBVS IN-«9 St inutl ter quafcunquc fex inuiccm proportionatas quantitates, ratio duaru primaru ex binis rationibus reliquarum quatuor generatur, alios of* fendere eft: impofTibilc. Cetera: enim rationum compofitioncs inter prxaftumptos numeros reperibiles ,vtpote, ratio primi ad quartum, eiufdemve primi ad Textum ,item fecundi ad tertium vel ad quintu, necnon ratio terti/ ad quintum,&quarti ad Textum (nonfunt autem plures numero) eandem legem feu regula: conditionem minime pof) funt obfcruarcrvt aduabus quibufeunque exterorum quatuor nume rorum rationibus componantur.Quemadmodum tu ipfe,per eorun* demnumerorum difeurfum ,auxilio prxcedcntis fecundicapitis,ex* periri vel facile potes. ARITH. PRACT. 1IB. IlIL 66 CCongruu itaque duximus, Dc lucccdJ.- in maiorem linguloru elueunes prafacos dationem,eofHcm 18 modos modos com figilUtim ntipetexprefiosi^ prt *” eCC* auumpeos humerbs propor* tionales, vtpote.T, i,3,4,6,9, in fnccedente perft'ringerc:ta bella: In qua quide tabella-, fingite eo modo locatu itio. mus,&in fuu ordine repofui mus numeras,prout ipla res gula,vel ratiotiu videtur ops tare copofitio. In prima itas q$ &Iseua ipiius tabella: doli* nula ,priifii locatur numeri 'ad numeros fecuda: colunus la* figillatim referedi: quoru fatio,ex ratione numerorum tertis columna; ad numeros quart$,atq; ratione numeros rufuecedeiitis quintae colun§ ; ad numeros Texts compont tur .Adeo vt facile pateat, qui numeri inccr eofijcm fex proportionales funganturofficio primi, qufveteundr.atft terti/,[fiue quarti, vel quinti, aut deniq; fextr. Inferti quoquefurit numeri, quo* rum fatio nullampatitur aliarum tationu compofitionem .Sed hsec; plus,quam fatisrquoniam ipfa tabella primo intuitu per fefe fit adeo manifefta,vt ampliori non videatur indigere declaratione. iirORELIQVVM EST IGITVR, VSVM EIVSDEM guk fex proportionalium elucidare quantfcatu :vt ijs facilior pateat tiutum. aditus,qui circa magna ipfius Ptolemsicoftrudionem ,aliavefimi* lia verfantur opera. G[Datisigiturqmbufcurique fex numeris iriuice ita proporrionatis ,vt ratio duorum Oblatorum, copofita fit cx binis rarionibusesterorumquatuor :fi quifipkmeorundcmfex numeros rumfuerit ignotus, per aliorum cognitionem' in hunc modum pote* 22.ntmuen1r1.fI0n: primamlextus numerus ignotus, duc itaque ieeimnfcndi fextfi dum ili tertiu,& produ&umdiuide per primum :quotu rurfum ejfcdi*-"umcrum ... r,.1ignotum. uifione numerum, ducin quintum, produernmque dluide per quartum,&habebis eunde fextum numerum. Rcfumantur in exemplum ExcmpUmr* ~~“7“W‘ JUTAB-VLA 18 MODORVM poffibilium quibus inter 6piQgortionales nus meros,ratio duorum primorum ex binis rationibus reliquorum quatuor 1 .....componitur.. • Modicombinatio» •num vtiles.-' . Ord.o numerorit Modi in, UtfleS. 1• ffllfl Primus modus, 1r-ii|?l4)6|? Secundusi l-i a-(3[9)6|4 .Tertius. •E3|z,l4|dlp Quartus. 'r 1l»IJf«l4 1|4|p|p|olo |Primus. Quintus. 1|6iz|sl3|4 Sextus. .11.tf|*l.4bl9 ... <919 1 01P1° Secundus. *3iofo 1 0|o || Tertius. Septimus, |4l 1I3l9l «MI oAauus. *l4l.i|6|9l3ll 2|<J|o|o|o|o || Quartus. | Nonus. .2|p 416)1 I Decimus. *96413 • Vndecinius. i4I*916!... Duodecimus. *4<619.1» <6 0 o|o Quintus. Decimullertius. 191441.6 Decimulquartus. 31911.«ijra Decimuiquintus. 4)6|2|i |3l9l Dccimuliextus. 4|6Ul9l?UI! 1 41910101©1 0 Sextiis. ,I Decimuiicptimus. 1! Uecimurottauus. jj 61p11h1412 Quadoquin tus ignoras tur numerus tegula. Exemplum Ars inueni3 di quartum numerum. Exemplum. Inuentio ter tij numeri ignoti. Exemplum. De fecundo numero ctia ignoto. Exemplum. Qualiter pri mus minies rus obtinen dus. ORONTI IFINEI DELPH. prius aflumptifex numeri proportionales,iuxta primum modum di ftributi,fcilicet i,z,3,4,<J,9:fitquc 9defideratus numerus .Duc igitur zin 3, fient 6:quae diuide per x,redibunt iterum <?. ha;c rurfum ducito in^quintumlcilicct numerum, confurgent3tf: quardiuifa per4,da* bunt pro quoto numero 9. «[Si autem quintus ignorcturrduc primum in quartum ,&produdu diuide per tertium.quod ex hac tandem diuifionc procreatur.duc ite rum in fextum numerum, &produdum diuide per fecudum:&quinti tum obtinebis numerum. Exempli caufa,ignoretur numerus d.Dud itaque 1in 4, fient tantummodo 4: qua; diuide per 3,prouenicnti 5c ha;c rurfum multiplica per 9, confurgcnt i2:qua; diuifa perz, ge* ncranttf,numerum qui deliderabatur. «[At fi quartus fuerit.incognitus numcrus:duccndus eft fecufidus in z4 tertium,&produdum diuidendumper primum .quotus inde numes rus per quintum multiplicaduscft,& refultansdiuidcndusperipfum numerum fextum. Vtp.Qte,fit 4incognitus numerus.duces ergo zin j.fient 6:quar diuides per r, manebunt 6(quoniam vnitas,ncq; inmul tiplicatione, neque in diuifione auget numerum) hxcpcr quintum, hoc eft ^multiplicabis numerum, confurgcnt 36: qua; fi diuiferis per 9,habebis pro quoto &optato numero 4. «[Verum fi tertius ignotus fit :hunc ita curabisinuentum. ducpriVj/ mum in quartum numerum,produdumque diuide per fecundum.eu autem qui cx huiufcemodi partitionenafeetur numerum,duc rurfum in fextum: &c proucnicntcm inde numerum diuide per quintum. Ignoretur enim tertius, vtpotc 3. Duco igitur xin 4, fiunt folummos do 4: quxdiuido per z,& zitidem generantur, ha:c iterum multiplico per 9,confurgut i8:qua; tandem diuifa per 6,dant 3pro quoto &pri* us ignoto numero. «[Qubdfi defideretur fecundus numerus, ita facito .duc primum in 26 quartum, &c produdum inde numerum partire per tertium: proucnis entem rurfum numerum ducito in fextum, produdumque diuidito per quintum,&habebis fecundum. Ex praaffumptis nanque fex nu* meris,z eft fecundus:quem fi per alios velis inuenire,in hunc procedi to modum.Ducatur 1in 4, fient folum 4: qua; diuide per 3,nafcentur 1&-~--.ducito rurfum 1&~-in 9,refultabunt iz:hxc diuifa per tf,gcne rantz,optatum numerum fecundum. «[Tandem fi primus ignotus fuerit numerus, is ita per alios colligas Z7 tur.MuItiplicetur fecundus per tcrtiu,& produdus per quartu diuida tur:generatus inde numerusper quintu rurfum muItipl icetur,produ= dufq; numerus diuida tur per ipfum fextu :relinquetur enimprimus. ARim PRACT. LfB. Ittt. Duc itaque (ne apra^affumptis difcedamus numefis) zin 3, fiet 6:Exempium.- quse diuifaper 4,danti &-4-.hsec rarfu.m multiplicata per 6,produ* eunt <fiqu£e per 9,hoc eft,fextum diutia n'umeruUi,refi:ituunt 1, primu &defideratum inter acceptos proportionales numerum, 2,8 f[Haud diifimiIiivia,datum-quemuishorumfex proportionalium^ Corollaria, ' merorum,iuxta quemlibet exprarmifiis 17 pofTibilibus rationum co» pofitionibus diftributorum,curabis inuentumecnon &oblatos quof» cunque fex numeros,fimilibus rationum commixturis,feu proportio nibus adinuicem colligatos, ifHAE.C. SVNT IGITV.R,AMIC$ AC STYDIOSE LE» Concinito d:or,qute de abfoluta numerorum,tam integrorum,quam vulgari &!‘01,s* aftronomica partium ratione diftributorum praxi,pfo ceterarum di fciplinarum introdu&ione ,confcribenda Bc demum ^denda cenfui» musnA gratiampotiffimum ftudiofa; ac erudita iuuentutis, atq;om» nium eorum,qui faniorem.hoc eft, mathematica defiderant, velali/s tradere conantur philofophiam.Quam.facilis autem,pura,ordinata vel vtilis,atq; neceifaria fit h^c Arithmeticanoiiraitibi cadidcle&or, ac i/s omnibus relinquimus iudicandum,qui diiciplinas ab artibus, & artes alinguis,hoccft,diuina ab humanis,feu lucem atenebris diftin* guerenorunt.glNec miretur quifpiam,aut nobis leuiter imponat ,fi Notandum, hanc noftram Arithmetica; praxin ,innumera regularum feu vulgas riumqu;eftionummultitudine,onerarc diftulerimus: vtpote, quonia id non inutile tantiim.fed viro etiam mathematico cenfuimus indis gnum. Q_uis enim ignorat(ni iudicio carucrit.aut difciplinaru prors ius fuerit ignarus^omnestum mathematicarum,tum ciuiliuin& hii» manarum asionum fupputationes ,qua; per ipfos tradfantur nuinec ros,vt plurimum fore rationales^&proinde aprsemifla ,&tertio hu» ius libri capite omnibus modis exprefla ,quatuor proportionaliu nus merorum pendereregula. Na fiue geometricas vel aftronomicas des moftrationes calculo experiri iuuet arithmetico,fiue rerum omnium emptiones,venditiones,permutationefve, dana iniuper ac lucra pro» portionare,hoc eft,pro data rerum,menfurarum,ponderum,moneta» rum,& temporum ratione feu diucrfitate,rationales ac proportiona* tasinuenire partes,fuerit opersepreciu: femper in quatuor proportio» nales incidere cogimur numeros,qui vel in ipfo proponutur campo, vel partim fefe offerunt,partim vero mutuandi funt ,&pro a&ionu varietate componendi, ac demum in fuum redigendi veniunt ordi= nem. Hac igitur dc caufa, puriorem ac vniuerfalem Arithmetica: ptaxin ,omnibus fupputandi rationibus indiffereter adeommodam, his quatuor libris perftringenda fore duximus: equibus, tanquame Uij. ORONTII FIMEI DELPH. enimelemetain ijs conjtjlere locis,adqucefuapte natura &moucri &pcrmancrcfuni inclinata. Ignis igitur, elutijumme leuis ,fupremu locu ademtus ejl: ad que naturali - ter mouetur.Acr leuior Aqua &Terra, fub Igne immediatefedem obtinuitiad quam motieri, &in qua~\>erfariprocliuis cff elidetur.Aqua porro refpefliuegrauis, inter Ae rem &Terram coadunata locatur .Terra deniep ~\>clut omnutgrauiJJima,deorfumcp Cofumatio.Jimplicitcr tendens, infmu locu,)?tpote mediu Vniuerft,iurefortita ejl. Operaepreciu ejl infuper,ea elementa fimul effc^icina,qucz primam aliquam qualitatu didentur ba here comunem:M ea quee ex omni parte aduer fantur,intermedio aliquo,&lumWroque (ymbolifante, colligentur elemento. Cum igitur Ignis &r Aer de caliditate participent,Acr &Aqua in humiditate coueniant,Aqua demum &Terra in frigiditatefa- ‘clutn ejl~)?t IgnisJit cotiguus Aeri, Aer Aqux,Aqua~\>crb ipji Terra. Nec potuit Ignis cum Aqua,aut Aer cum Terra proxime >e/ immediate collocari, ob qualitates illorum ex omni parte contrarias: idcirco media interpojitaJunt elementa,in qualitatibus cum utroque Licino participantia. Cur in Acre autc Acrem trifaria diflingui prcedixcrimusiid defolofrigoris, aut caloris ac tur icgiScs! tidcnteyclim intelligas. Qjioniam fuprema Acris regio Igni contigua cfl ,dictimque circunducitur (yt illic gcneratiYidcntur indicare cometae') contrahit itaque tum abipfo motu,tum afolaribus radijs per Ignem inipfum Aerademiffsmaiorem calorem, intermediae eius partes. Infma quoque ac nobisT>icina Aeris pars, ob multiplicem & continuam radiorumfolarium d Terra reflexionem incalefcit. Hincft,\t media ip? Jius Aeris regio calore dejlitutafemper exiflatfrigidaitantocpfrigidior, quanto circun flantes calidiores. Vbi rurfum Aere plus incalefcre contigerit (yt circa Orbis mediu} illic extremaefe fc dilatant regiones :media^ero contrahitur. At 'abi plus habundaucritfrigoris(ytifub ipfis Mundi polis)media ipftus Aeris regio ampliorft,extrema: Deijxquxin autem coartantur. Hcec aute omnia ex metheorologicis imprejjionibus, qua in ipfogc- ™nt"l neratur Aere,fiit manifcfla. Ignita:fiqttidemjcd debiliores mprcfjioncs,in infmo coiionibus. tingut Acris interflitio:fortiores autc(yt Cometa}inJuprcmo.Qgice^erb abfcg inten fo non pojfunt acciderefrigore, in medio eiufdcm Acris interuallo generantur. CDecadeftium orbium,numero,politione,&ordine. Cap.1 11. Ofto rantfi Acleftis porro machina,quinta aphilofophis elTentia nuncupata, x bes. v_yin odto principales orbes,vtraq; terminatuialuperficic Mudo co= ccntricos,atq; inuice cotiguos dilgregaturrvtpote in lepte errantiu fys dcru,feu planetarii,Lunx incj, Mercurij,Veneris,Solis,Martis, Iouis,& Saturni orbes,atq; Firmametu, innumera ftellaru fixani,hoc eft, firma ac inuariata inter lefe diftantia obleruantium,multitudine decoratum. Situs ac or* flEIntcrhos autem cadeftes orbes,Firmamentum ipfum(quod &Apia % orbiunf 111 nes <^c^tur )ve^ur*exterorum orbium maximus,& extremum totius Mundi ornamentum ,orbem Saturni circulariter ambit .faturnius, SPHAE. MVMDI, SIVE COSMOC. LIB. I. 3 orbe Iouis.iouianus,orbe Martis.inartiaIis,SoIare mediu inter errantes orbem, folaris, orbe Veneris,venereus,or bem Mefcuri/.mer= curialis, orbe Luna2 omniu infimu atq; minimu,circa pradi da regione elemen* tare immediate cqU locatu.Hic enim caj 1oru ordo, fidiifimis dcprebenfus ©bier* uationibus,& argu= mentis, ab omnibus receptus eft Aftro* nomis. ffQjteadmodu in cleme Pluralitas or tis,rebus materia fitbmibiu in C*1q ' tiijlratibusjijlinfiionc ac pluralitate offeudimtis:hauddiffunditer bin Ccclo,pfcHio ris effentiaccp fint elemeta,rerumepformas imprimite,difereta particulariuorbiii coperitur multitudo,quev in oiionariu tande dprudetioribus pbilojopbis rcdaSla cjl numerum. Quodaute oFfo tatumJint calefies orbesiexpeculiari cuiujlibct eorundem orbiii Cur 0Q0 tS motuCqui ad motum deprehenditurjyderum') bcum adinuicem,tum apropriafiella- ^’^,efte9 rumfixarum latione dfiintto,maxime colligitur. Tot nanquefiunt orbes, quot diucrfi motus afirorumfimplices-.quoniam idem corpusfimplex, pluribus &quidemfimpluibusnon potefl moucrilationibus.SinanqueCcdum effiet continuu, Vnicofimplici motu circunduccrctur.Quemadmodm primo bfecundo Coeli,ac quinto Metbapbyfi«e,ab Arijfotelc deducitur. Nccfiupra Yirmomentum,aut claritatejyderum,aut aliqua couin ccnte ratione;Catium aliquod mobile imaginari compellimur: nifiorfitan circulos aliquot immobiles,eruditionis aut calculigratia, nobis effinxerimus. 6ihnario igitur cu Platone, Arifiotele,Ptolcmceo,ccetenfique probatiffimis autboribus (qui circamotusaxflrorm pkilofophatifiunt)mobilium orbium erimus contenti numero. uod infiuquibus sr-. per ijdcm ccvlefies orbesfiupraficripto fiefieinuicem ambiant ordine:ex tardiorefuperio- &dh\ctis dc* rum,&Velocitate inferiorum fyderum motu,circuitioneVe deprebenfium efi.Supcrioodo Sii» ra enimfiydera tardius circiieunt, lentiufique mouentur:Vtpote,qucz maiorem dejcrihut otbium’ circulu,b ipfiprimo reguiatoque totiusVniucrf Orbis motu magisfe conformant, b plus impediuntur alatione propria. Cuius contrarium inferioribus accidere Vide? tur orbibus. Ex occultatione praterea fuperiorum ,ab cifdem inferioribus fyderibus :infici iorafiquidemfiydera ,inter oculum noflrum &fuperiora nonnunquam con - fiituuntur.quibus addemus lociVifit, id efi,per radiumVifualem confiyderati ,'a Veio A.ii]. ORONTII FI MEI delph. Diucrfita a eorutJ^f/derum loco differentiam: quam afpedusVocamus diuerftatem. Ef enim fpeftus. ' 'cifpeClus diuerjitasyarcus circuli magni per loci Verticem eduCti ,qui duabus lineis re- Ciis intercipitur,quarum altera ex Mundi centro, reliqua^ero ab injicientis oculo,per centrum fyderis,in pmfatum extenditur circulum. Hic autem arcus maior offenditur inJyderibus Terr^icinioribus,quam in ijs quoe remotiorafunt ,etfdemjyderibus in eadem altitudine cojlitutis. Vtfi Afuerit Miidi centrum,Boculus, Caftrum~\>icinius,Dremo tius, E F Hautem^aerticalis circulus', linea >cri loci AE,perWriufquefyderis centrum eduCta, Yifuales denique radij BE,atque BG:perfpicuii, effajlrum C, maiorem habere afpeClus diuerfitatem ,ipfo D. maior enim ef arcus EEJpfoG F:quod pnvter ocularem infpeClionem ,exiy& 16 primi elementorum Euclidis confrmare haud difficile ejl. Cum igitur maiore ajpe- Chisdiuerjitateipf Lunat quam Mercurio, &Mercurio quam Veneri,ac deinceps ita (feruato que diximus ordine') contingere doceat expcricntiafuprafcriptum planetarum admittere cogimur ordinem. His non incommode obieClam fubiecimus formulam,eot-undem planetarum ordinem,figuras,colores,atqs naturas complectentem. Ordo naturalis |quo ad nos Nomina. figura: Colores. Natur® Planetarum. l)7Saturnus. I) plumbeus Frigidus &liccus,maleuolus. *i«luppiter. V|ltanneus |Calidus &humidus,beneuolus. 1 11S1Mars. .Cf Icalibcus |Calidus &(iccus,maleuolus. 1 4i4I-’»»!- 0|aureus |Calidus &liccus.bcneuolus. I S1ll Venus. 9|cuprea. 1frigida 8c liumida,bcneuoln. i. IFrigida &humida,bcncuola. Ovium dii: ij.lunirx ac rotunda: II- Quod CxIi motus fiteir cularis.' FigursTfopc rlmetra:. €.Qine nani cadeftium orbium figura atq; motus. Cap. 11 1 1. I Pfis porro qdeftibus orbibus(queadmodu &toti Vniuerfo)fpli£= i rica,rotudavc deputata cft figura, omniu ifopcrimetraru ,hoc eft, intra eunde ambitum deferiptarum figuratu capaciflima, aptifth ma quoq; motui,etia in quacunq; pofitionis differentia: &propterea ip fi Cadoc6ueniens,admodumq; ncceflaria, tii jPpter eum motu qui eide Cado innatus eft,tii etia ob fupradidoru orbiti diuerfa latione circudu= doni multitudine.CEft enim cadeftiii corporu motus circularis, loge z quide perfedior motu redo(qui quatuor cogenitus eft elcmetis) nepe quod fiat circa mediu Vniuerfi,no diflocato toto corpore,fed fola par= tiu immutatapofitionis fijcceflione:& ^pinde nobiliori debetur corpo= ri, vtpote ca.defti.Huc pr^tcrca circulare motu inellc C^lo,ex cotidiana ta orientiu &occidentiu,c| femp apparetiu fyderu, obferuari licet infpe dioncrcu ipfa fydera no moueatur ,nifi ad motu orbiu qbus adfixa fut. C1ftperimctrasfolemus adpellarefguras,qua: in eodem circuloCftfuerint planx)Ve\ t SPHAE. MVN. SIVE COSMOG. LIB. I. 4 jneadefpbaraCfi de folidis agatur figuris} cofcviptafunUquartoiclelicct^nufquifp angulustcirculi circumferentiam^utfpharafuperficiem tagit.Qjfod aute omnia fla- Cur Hopetu narum circulus, &folidarumfpbarafit capacffimafiguraru,ex eojit manifcflum;quo niamfingula retlilinearum &circulo inscriptarumfigurarum latera, binis &in ea- (lc capacilfo dem circuli circunferentia coaffumptis puntlis terminatur,ad qua adplicata refla linea,boccfjpfiarum figurarum latera intra eunde circulum cadunt,per fecundam tertij elementorum Euclidis. Hincfit, >tfingulafolidarumfigurarum plana retiis limitata lineis,intra circunfcriptam fpbceram rejpondenter coincidant. Velutifiubictla \tcun- Ffgura rot53 que demonftratfigura.Comodijfima ejl igitur ipfiCalofigurafipbarica. Adde,cp jppter ^u£fpha:_ .calefiunt orbiumfefe inuicem circulariter ambientiii, gruens, atep diuerffique motibus circundutlorum,fiuperius enarranecefl' arl;I - tam multitudinem,Calum aliam quamfpharicam no patereturfiguram: niyellemusipfum Calufeiffione atp offenfione pati,dari quoqp?acuu,&r alia fubjequi incomoda,qua anaturalifiunt reprobataphilofopbia. Qsfiadmodumfiubferipta^videtur indicare formula. Anguli enim A,B,C, D, ea qua prius occupabat loca E,EtG,H,relinqucnt\acua :&circumpofita partes >elis nolis abf cindetur,aut ife anguliA,B,C,D,in no locumfiubintrabunt. Idemquop ex ouali,acfimilibus qtiibufcunque irregularibus figuris^nicafupcrficic terminatisfubfequetur inconueniens.Nafi intra orbem A,B,C, .Ecuius axis A, C, aliu orbefotpote G,K,H,L,circu axe G,H,mouerifinxeris Qnam calcfiium orbium motus diuerfos habetpolos &a axes') partes K, &L, 3qua priusfub E,& F, erant cojlituta, orbem /l A,B,C,difcindent,manebuntp partes ipfat hcircum E,& Evacua: tiiyellesCali partes,ajfidue confringi &dilatari, &proinde alijs partibus cedere. Qmomnia epabfurdafint &reprobanda,minimus non ignorat philofophia tyrucuzhs.^Hincftty eide Calo?oeluti perfefliori interfmplicia corpori,>circularis &om nium perfetlior inft motusiad circulare enim motufphxricaYidetur admodii cogrue - re figura,forep aptiffimaCna quatuor illas motus retii differentias, binas inquafur- Ulsex 'ac‘ fum,totidemp deorfum,ipfis quatuor elemetiscopeterepraofenfum ef.) Potcritenim boc modo Calum ipfum,cxfupraferipta orbium particularium,etiam in^ariaspofitiones atpfuper diuerfo axe circundu?ioru,integrarimultitudinc.Atqui expediebat Calu. in piares atp diutrfa latione circumtolutos orbes df gregari: necnon &Munduipfum fecundafe totu quiefeere &locii non mutare.Qjia minime concederentur,fi Calum A.iiif. ORONTII FINEI DELPH. Ab expetien aliam,quamfpbaricajioura,&tnotum alium,cp circularem obtinuiffet.Hunc prccterea Ma*motum circulare confirmant,tum oricntia &occidentia,tum fcmper apparentiaJydera. Experimur enim Jlellas oriri, &paulatim eleuarifurfum, donec mediu Califafligiu poffideant:deinde pedetentim dcfcendcrc,moxdifparcre,pojlmodu aliquandiufub Terra latitare, rurfumcp priflina continuare circuitione.QmquideJlellce,cum perfcjeita tnoueri noti \alcantCvt in naturali deduffuw ejl philosophia') conclude»du ejl rationabiliter ,jlellas ipjas tamfixas quam crraticas,d proprijs orbibus ita circunduci,& eofdem calefies orbes moueri circulariter. CDeduplici cadeflis motus differentia ,&fiimmaria vtriufque quantitate. Cap. V. DVplex aute in Cado offenditur circularis motus differentia,tum i axium &terminoru politione,tu velocitatis quatitate diftin&a. Alius fiquide ell motus totius,aliusverd partiu,tf.phyficoru.Vni Motus pn. ^-Catii machina,,ppria &indcfefla totius Miidi latione,ab or= fo deputan» tu per meridie ad occafum,circa Terra continue regulariterq; circudu* dus Oibf. citur>intcgr5reuolutione intra vigintiquatuor vulgariu horarum in= teruallu adimplendo. Quo quide motu(que diurnu, fcu mundanu ad= pellare folemus)nullus fupradidoru orbiu proprie,aut (eipfo,fed velu= ti pars tantu Vniuerfi,vna cu Igne ac fuprema Aeris regione, circunfer Motus fccun tur.®Singuli nihilominus particulares orbes(vt ex ipfis deprehendis % adueWiisdV mus ftclIis)proprio motu,ab occidente per meridie verfus ortu ,fuper Hiris" SpClU a^istlultIe 'roJ,v ^axc>ac 111 diucrfis temporu interuallis cotranitutur. Qualitas rc Stellatus enim orbis, in 36000 annis Aegyptiacis, hoc efl communibus “Cquoru quilibet ex 36f tantiimodo perficitur diebus)iuxta Ptolematu, orbis. ac noftram obferuatione,circulu copIct.Saturnus verd in 30 annis,Iup= piter in iz, Mars in duobus, Sol in 36$ diebus naturalibus ,8c 6fere ho= nsCqux' annuam efficiunt temporis quantitatemOVenus atque Mercu rius,velutifcre Sol,Luna autem in Z7 diebus &8propemodum horis, completum videtur abfolucre circulum. Dcptimo ^Cotidiano nobis conflat experimento,motumquendam circularem ab oriente\erfus t 8cvniuerfali occafum,cunelis ovlcjlibus orbibus ejfecommuncmiad cuius regulatam circunduElionu>tu ‘nem,non omnes tantummodo calefies orbesfcd &rariorajtmul trahuntur elementa, ytpote Ignis &Superior pars Acris,\>eluti cometas in ipfi> Aicregenerati,&diurna Cee li reuolutione circundutli,maniSeflant. Hincftpvt polos &axem huius motus,Mundi axem atque polos Cnon autem alicuius particularis orbis )non iniuria locitemus. Primfi moi Primum ergo mobile dicitur,totum ipSum Cadum,aut \muerfus Orbis: primus nanblle*que 6- yniucrSalis motus,totius Orbis proprius ejl. SPHAE. MVMDI, SIVE COSMOG. LIB. I. f ffamabfurdum igitur &areHe philofophantibus alienumJit,contra natura - lem rerum ordinem,nulla cogente Vel rationeVel experientia, nouosfupra Pirmamen* tumjomniare mobiles orbes Cnift id gratia lucidioris effingatur intelligentice) cuiuis Jana; cogitationis relinquimus diiudicandum .Qincquid enim fuper oVcauum orbem De figmen» prudentiores excogitarunt ajlronomi,fuitfola circulorum ad contemplationem motus tis aftrono» ipfius oftaui orbis neccffariorum imaginatio. Idem quoque 'velim habeas iudicium ,de peculiaribus errantium fyderum lineamentis, circulis, aut orbibus Cquibus tota referta efl planetarum theorica)&hisffmilibus inuentis,ad contemplandam apparentem in motibus diuerfitatem,& in fdeliorem aliquem calculum redigendam ,exVbertate Geo zmetrice fubtiliter admodum excogitatis. {[Prczter hunc autemfupradiclum motum De Cecundo 'vniuerfalemCqucm primujiue diurnum adpellari diximus') alius efl motus eidem pri= &peculiari tno &VniuerJali motui penitus aduerfus: ft enim contraria pojitione, ab occafuVide- °rlumotu' licet ad ortum,&fuper alijs polis 6axe,cuilibetfupradiflorum orbium cceleflium innatus &peculiaris. Volo paucis dicere,Jingulos orbes propria &intrinfeca latione ab occidente adorientem Casii partem moueri.quanquam reuolutiones fuas diuerfisinue * niantUr adimplere temporibus: Vt textus ipfe luculenter explicat.Quanto enimfydera remotiorem aTerra poffident orbem,tanto maiorem deferibunt circulum ,&primo motui in aduerfum magisfe conformant: Vnde tardius proprio motu percipiuntur circunfcrri. Cuius contrarium eisVidetur acciderefellis,quce Terree propiores confecutce funt orbes. Hic porrofecundus motus, ab antiquis ita primum cognitus ef.Viderut Vndc per» enim Sole &alios erratesjocu ortus &occafusVltro citrocpmutare &meridiano aut «ptusfccun feminofturno tempore eandem minime confequi altitudinem(etiam in eodemfphccrceft prius fteila! tu) fednunc ad locorum Vertices accedere, nunc ab eifdemremouerilongius, obliquas tum motus' dietimfaciendo gyrationes. Quare non imprudenter concltferunt,alios effc polos ,cirta quos is peculiaris fyderum motus &primo contrarius efficitur: quoniam Vtruncpfu per eifdem polis &axe,natura non pofjet admittere, idem quoque motus ,per fellarim fxarum obferuationem non minusfacile deprehenfus efl. Primi nanque talium rerum admiratores,cumflellas fxas inuariatam inter fefe diflantiam obferuare comprobarent, anotabili quapiam illarum,feptem errantes Verfus ortumfucceffxut procedere cognouerunt,ab eademquefellafucceffu temporis fenfibiliterelongari,rurfumque in diuerfis temporum intcruallis ad ipfam tandem redire feliam. Quodin Luna, propter motum quem habetVelocem,breui poteris expc riri tempore:obferuata eiufdc Lunce coiunttione3 Vel intercapedine ,cunotabili quapidfellarufxarum, totiejque examinata Verfus ortum difantia , quatenus ipfa Luna adeandemfeliam peracioad motum proprium reuertatur circulo.ln cuius reifaciliorem intelligentiam, rudioribus hanc libuit obij -pt#diaorfi cerefguram. {[Vt autem horum motuum ratione motuum fi» Cfi defitfpheera materialis) facilius deprehendas: |Snwtio ORONTII FINEI DELPH. cfto circa munii centrum A,deferimus oclauus orbis B,C,D,E, jolaris 'tero globus F, G,H,I :f(ntque poli primi motus punffa B,D, fecundi autem &in aduerfum nitentis pun - fta F, H. Imaginetur itaque totum calefle corpus ^niuerfape Calorum midtitudo circum axem B,D,ex punftoC,in E,& rurfumin C,re deundo,continue circunuolui ifolaris^erb globus moneri in contrariumfuperaxe F,H, expunflo quidem G,in punFlum I,boc efl,ex auflro in boream,rurfumqueex eodem punfto I,ad punSlum G,boc cfl, aborea mundi parte in auflralcm annatim reuertendo. idem habeto indicium de reliquis VagantiumJyderum orbibus. CDequiere,loco, figura,&magnitudine Terra:. Cap.V 1. TOtius vcr6 Terra: moles,localem non cefetur habere motum: i vtpotc, qua: veluti grauiffima infimum locum (ad quemfuapte non habet. natura tendere videtur) confcquuta cft ,aquo per circunftantia (cum multo rariora ac leuiora fint) non poteft dimoueri corpora. CQuiefcit igitur Terra in medio Vmuerfi,motum vndiquaque refrn z Vni> gic-ns, circa eiufdcm Vniucrfi centrum conglobata:Cuius qujes, ad mo neri! poffidc tumCaeli conueniens cfl, atque neceflaria.Qubd autem in medio con* IC’iiflut Vniucrfi, indicant a:quinodia, proportionata dierum atque no= dium incremeta atque decrementa ,luminalium cclipfcs, pariles item vmbrarum flexiones,&qua* funt huiufmodi. €. tft autem ipfius Telia j Tcuacu a. rjs&Aqu^fruftulatini (inuatimvc circufparfx*, vnica forinfecus &co= ffiSgu! tiguata lupcrficies: qua; rotundam ex omniparte videtur habere figu= ram*ram.Cuius rei tcftis cft,diuerfii temporis orientalium ab occidetalibus fupputatio,rotunditas vmbrx*, in cclipfi lunari dcprehenfa ,&tum Io* eorum,tumfyderum apparitio, occultatiovc,pro vario itineris quaqua uerflim contingens intcruallo.ftNec habet idem globus terreftris fen= 4 quTpunitu fibilem ad totum VniucrfumCimb nec ad folarem orbem relatus)quarcipcftu vni titatemded veluti pudum,centrum ciufde Vniucrfi reprxfcntat.Queutrh Ctins. atjmoc|l 'im ex ip{lssequinodijs,& Mathematicorum Ctanquam in cen= tro Mundi fadis )obferuationibus, ac fenfibili ad breuiffimum Terra; tradum Caeli mutatione,ftellarum denique Terra ipfam longe fupera tiu vifuali magnitudine,afimili fado iudicio :colligere vel facile licet. MnuUomo €Terra in primis non mouetur circulariter :nam is motus calcjlibus deputatus cfl 1 dofccfidnre corporibus.^Miis enim corporisJimplicis,>nicus efl motusJimplexrvelutifupra deduxi tota moucf . SPHAE. MVN. SIVE COSMOG. LIB. I. 6 ms.Neque extrinfeco aliquo\iolentante:cum Tenafitfummegrauis,& omniii den fijfima,necnon Aere longi rariori atque leuiori elemento (inundata. Namfi alteriu. raptu,circularem cogeretur infequi motumiidpotijfimum ad^elocijjtmam primi motu, circunduflionem contingeret, trahente fecum Terram Aere. Et proinde neque moti reflo,aut naturaliter aut~\>iolenter,afuo loco eam dimoucri eflpojjibile. Omne praeterea motum,quiefccnte aliquo didetur indigere: quies igitur Terra,ad Cali motum conuenienserat atque neceffaria. Adde, quodfi Terra moneretur, nulla calejliu mo tuum haberi pojjet ratio,totdqj rerum cofunderetur harmonia: praeter alia qua contra experientiamfubfequemturincommoda.^Qujefcit igitur Terrafecundumfe totam: atque in medio totius Orbis conglobata re/idet. Quodprater id, quod ad eum locii moueri (ytifupra diximus") atque in eodem quiefeerefuapte naturafit inclinata: multis alijs confrmatur argumentis.ln primis enim,non contingeretomnes mediam Cali par tem ybique confpicere: Mpotc, quoniam^nicus tantummodo circulorum maiorum,qui ptr Terra centrum educerentur. Orbem ipjum bifariam diuideret :cateri autem omnes inaequaliter. Veluti obiecla hac Orbis indicatformula ,cuius centrum A, poli autem punfla B Cf\>bi Terram extra idem punflu A,Mpote in "J cD,>el E, aut Fparte locaueris. SiTcrrapra tcrea alibiforet ,quam in medio Vniuerfi: dierum &noUium artificialium nufquam accidere poffet aqualitas,nec adeo regulata Mriufque decrcmcntayd incrementa:autfmilesymbra - rum proiefliones.fexionefve pariles: nec quas didemus Luminarium experiremur ecli pfes,ytjote,Solis dum Luna coniungitur, aut ipftus Lunacum Soli diametraliter aduerfatur. Hacautem omnia, &ftmilia quamplurima^qua longum ejfet recenfere )minime pojfent accidere,fTerra alium locum,quam mediumfortita juiffet Vniuerf. f£Exfupradittis aute,& ipfa colligimus experientia ,Terram cum Aqua frujlulatim acfinuatim cimnfparfafivnicdforinfecus efficerefeu contiguarefuperjiciem: qua in ro tundam ex omni partefiubincuruari figuram, multis argumentisfateri compellimur .In primis enim fecundum eam pofitione ,qua ab ortu ad occafum, aut econtrafumitur ,&longitudo nominatur, id ita ejfcft manifefum .Quoniamfyderanoneo - dem^bique terram oriuntur, occidunCve tempore, |aut ad omnium^erticesfimul perducuntur:fed cimius orientalibus ,apud occidentales 'vero tardius. jfQuod ex Lunarifacile deprehenditur eclipfuqua etfyno eodemque accidat tempore ,differt nihilominus ipfius temporis fupputatio ,offenditurque Quiestettx neceffaria. Terra in mc dio totius Jo cata proba-- turVniucrii. Rationes co uineentes, g> Terta fit in medio Mun di. Telluris 8c Aqua; fuper» ficics vnica, cacjj rotuda. Argumenta de ea Terrse politione, qus Longi; tudo dicitur. ORONTII FINEI DELPH. orientaliumfiupputatio, maiorfiupputatione occidcntaliu,quonid Sol bis tardius, illisae ro celerius apparuitVcl occultatus ejl. Qucadmodm ex obiefla potes elicerefigura: in qua Luna citius ortiuis,qudm occiduis,per duaru boraru interuallu, figuratur cclipjdri. c Ex ‘pf° Fa'tcrca Lumdtfetlujde licebit cofirmarc.Vmbra enimfiecifdu perfpeFUuost fpc&ua" ta^scfifigurcv,qualis &opacu acuius interpofitione caufiatur.At in Luna defeFlibus , Vtnbia conglobati cx Tellure &Aqua corporis rotudam experimur:Telluris igitur & Argumcntu Aqiuvglobus, rotildaVidetur haberefigura. In trafiuerfiam quoepa fieptentrione ad reptcmonir tmi^c‘PJ,US Tdluris &Aqux pofiittoncQqux latitudo dicitur)hoc idem experimur. ad auftvum. QjgoniamJlellcv queefiunt circa borcalcm Mundi po lum,ab ijs perpetuo confipiciuntur, qui eundem polu Juprafinitorem habent eleuatum:qux Verofiunt cir ca polum meridionalem tantundem infira deprefifium,ab eifidcmVidcri nullo modopojjunt. Quodfi >erfius aujlrum proficificantur,eaedemficllcc borea - les prorjus occultabuntur, aufiralibusficfic refiponde. ter manficfilantibus:& ediuerfio.Vt cx bacVtcuuque potes conieHare figura .Borcales enim Jlellcv ABCjfiempcr apparebunt: auflralcsVero DEF, ijs nuncp erunt confipicua,qui habitant locum C,cuius contrarium illis Ridebitur acci - dire>5«iji6 H, conjlituentur .QmiMriufque &Tot* &AquasSujfidcns k* SitT ntmi"aCis'viictur Rurjiim, yAqua moriis nmiitatemjcCe qua de,i[W JijfmOatjK confimatm. Siculas fanes ipfms Aqua:,in dedmori loci, pendi,*, ty cctro Umidi fruparl,juape naturaJiuereJunt mlmatAimfi, MobfimiUm {artium omnium affectum ,eidem centro Mundifiri amentur coque frofiuquce , £r proindein orbemjeje di jfundant, rotundam exterius caufiantcs juper ficum.Quod autc Aqua non pojfiitin planum conjificrc, ita demonjlratur.Eflo circulus AB C, Mundi centro D, per exteriores Aqux partes circunfcriptusfintquc DA&D C, eiufidem circulifiemidiametri ,datum Vero planu, quod in retium linea A C coextenditur. Et diuidatur ACrefla bifariam in punflo E, per decimamprimi elementorum Euclidis :extendaturtp Jemidiamcter DEB. Cumigitur A&Cpunila in ipfius circuli confijlat circunferentia:ad ea igitur punfla adplicata refla linea AEC,intra eundem circulum cadit ,per fecundam tertiieorundem elementorum:&proindefiecat in punflo E,prxfatum DBfiemidiame trum-Et quoniam DA,DB,£r DCfiemidiametri, fiunt per circuli diffinitionem ad - inuiccm xqualesfiuhtraflo BEfegmento,reliquum EDVtroque &DA(&DC,fit midiametro minus erit:& punflu confiequenter EjongeVicinm centro D,quam eade SPHAE. MVN. SIVE COSMOG. LIB. I. 7 punffa A&C,fluet igitur Aqua exiflens in AWC, ad locum E. Ex hoc itaquefln gulis Aqua: partibus congenito,&quaquauerfum accidente defluxu, propofltaflubinfcr 4tur Aqua: rotunditas. |[Q uod demum Terrafenflbilem non habeat ,ad totum Vni-Quod Tcifu uerfum relata, quantitatem:ex ijs primum qua: de afpeflus diuerfltate commento'z. .tertij capitis expreffimus,fit manifeflum.Diuerfltasemm afpeftus,in Sole minima efl: nbilis ’ Rt ad &in Marte,Vixperceptibilis.Qjeee quidem aflpeUusdiuerfltas,cm ex Terreepedeat vSuerfum? fcmidiamctro:ft,Vt Terra:globus adfolarem aut martialem orbem relatus ,paruce Primarac/oadmodumVideatur effle quantitatis. Vix itaep perceptibilis erit,fl toti comparetur Vni - uerfo. Vrcetereaybicunqucfucrimus,Cceli medietateVidemus,&flellarum magnitu Scciida ratio dines inuariatas confpicimus:artiflciales quoque dies noftibus aequari, flngulo amo bis experimur. Quae minime poffent accidere,fl Terreeflemidiameterfenflibilem cum Vniuerflo quatitatem haberet. Qnemadmodu exfucccdeti clarius eluceflcitformula. In qua propter notabilemfemidiametri Terree AE, ad totum Orbem BG CH,quantitate:fl- ExemPIum" nitor DFE,quiper FTerree couexu deflribitur, non diuidet ipfum orbem BGCHbifariam , Veluti circulus BAC. Diurnus itaque arcus D GE, notiurno EHD, perpetuo minor erit :& fle nunquam accidet cequin obi ium .Stella rurflumin DVel E,conflituta, multo minorapparebit quam in G:quoniam FG,Vtraque FD, & EE, perfeptimam tertij elementorum Euclidis minor efl .quee autem propioraflunt (flcclufla difformitate medij )folito maiora didentur. Huc accedunt Mathematicoruobflruationes :quee tales &tamfideles offenduntur, Tert, 'a«tio acfl Mundi centrum idemforet cum inflrumentorum (quibusVtimur)centris. QuinnoMnd3' etiam oblatis duabusflellis ediametro conflitutis,licebit altera oriente,alteram occidete,per aflrolabi dioptramflmul obferuare:tam exigua efl femidiametri Terra: ,ad totius Orbisfemidiametrum relata quantitas. Adde quod paruo afeptentrione in me - Quarta ra. ridiem(aute contra')peragrato latitudinis interuallo, \>aldefenflbiliter Variatur polo-ti0, rum atquejyderum habitudo,dierum influper &noUium quantitas: quee non adeofubito contingere poffent,fl Terra refpcHu,Vniuerfl Orbis notabilis efjet magnitudinis. Stellas demu quotquot Vifu percipiuntur(exceptis Luminaribus)quafl punUafen - Ratio ufnj fus exiflmat-.tametfl quet inter illas apparet minima,omnium Aflronotftorum conflenta &vitiaia! fu ,maiorJit tota Terra .Afortiori igitur argumento, Terra feu conglobata ex Tellure &Aqua moles,toti relata Vniuerfo, quafl punUum ac ipftus Vniuerfl centrum, imaginanda efl. . J CCorollarium notandum. CVmigitur Mundus fit corpus folidum, hoc eft plenu,vel ih ejuo Cur Mund*> vacuum ipfa non patitur natura ,figura: pneterea circularis, &[P^”r< nun" circa proprium axem abfque intermiflione voluatur, Terram ORONfll FINEI DELPH. Juccedentium iy graduum ajccnfionibus, earundem horarum ajcenjtonesJigillatim eliticndo.Qjtas in partes horarum aequaliumJiue temporis,eandem conuertes-.dando quibujlibet iy gradibus~\>nam horam aequalem ,cuilibet autemgradui 4horae minuta, & cuilibet minutogradus 4horaeJccuda.Hoc enim paffo, temporanea euiujlibet inaequas Dcfupputa-. lis horae durationem obtinebis. Hinc tabulam inaequalium horarum,Sole ab initio Ca da insqua* _^jorni per Arietem adjinem "Vfque Geminorum ajcendente ,condercTclfacile potabufa °rteris:quam caetcris EclipticaeJtgnis aCancri 'vertice ad calcem \>fque Sagittari/ Qquae dcfccndentia \ocantur')rejpondentcr adaptabis. Nam infmgulis Eclipticae punElis^bi aequales accidunt afcenjionales differentiae, &aequales diurnorum atque noUurnorum lignorum ajcenjtones:eadem contingunt dierum &no£lium artijicialium,in eadem Or bis parte,atque horarum inaequalium diferimina . Et proinde nulla erit hora; inaequalis magnitudo,quae pluries in ipja non repetatur tabula:Jiue diurnoJiue noffurno adeom- Declaratio modetur tempori. Vt ex ea quaeJcquitur potes experiri tabula: qua tibi adJaepius daijfucccditls tam poli ctriticijublimitatcm 48graduum &40 minutorum ,in exemplumJupputainsqualium uimus. In cuius parte laeuajex ajccndcntiaJigna,in dextro autem latere,totidem dejee horarum, rep0 Jujmus : JCJtrium tantummodograduum intcruallis ([obyicinas admodum ipjarum inaequalium horarum quantitatesffdiJlributa.AdTcrticcm aute 12 horas diurnas,&in calce noHurnas: dum Sol ajccndentia perambulatffgna ,rcjpondcnter annotauimus.Qjiae quidem injeriores boree diurnas,fuperiores autem noilurnas repraejentabunt horas: quandiu Sol dejeendentiaffgna percurret. Intrabis ergo cum oblatiffgni gradu,&horajurjum aut deorjum accepta lateraliter.nd in angulo communi ipjtus horae inaequalis deprehendes quantitatem .QJtodfi gradum Solis praecijum non inucneris:accipies gradum illi proximiorem in tabula reperibilcm abjqiic iailuraJenfibili. Exemplum. Exempli gratia ,Jit locus Solis in if gradu Tauri : 6' opcravprcciumJit agnojeere, quanta cjl boree quintae inaequalis diurnae , Woftauee noUurnee quantitas. Accipies igitur 1fgradu Tauri in ordine lacuo ,horamTero quintam in frontijpitio^el offaua in calce tabulae :&in angulo communi offendes 19gradus, &30 minuta.TantuseJl arcus Acquatoris,eidem horae quintae inaequali diurnae ,Tcl oUauae noUurnae rejpondens. Si Sol autem poffiderct rygradum Leonis :eademJorct ottaucc horae diurnae,- 'Vel quintae noUurnee quantitas. Caetcra peruiaJunt. fcfcSEQV ITVR TABVLA Q,VANTITATIS horarum inaequalium,ram dici quam nodis artificialis: Adpoli ardici fublimita= tem 48 graduum &40 minu= torum,per Authorcm adcuratilfime fupputata<. If ORONTII FINEI DELPH. j^ efotfqu* Pro ipjaru deniap horarii inaequalia conuerfioncjboc ejl, ad aequaliii horarum partes ad sequalcs (quibus tepora metmurycdu£lione:collifedus ejl arcusfcmidiurnus atcp feminoftur- &^diuctfo nus ^ 0cl fin*sanusfetninoHurni,initium horae primae inaequalis diurncefnis ‘'verofemidiurni,initiu primaehora?noHurnce dcjignabit.Qjipdfi arcui feminoHurno, primae horae diurnae quatitote adiiixeris:co fabitur initiu horaefecundae. CuiJi rurjum ciufde horaefecudce addideris interuallu:initiu horte tertiae inaequalis refultabit. EtJic deinceps,pcr continua interuallorii horarioru additionem,reliquarum horarii exordia, a media noffejupputdda coaceruabis.Haud aliter dcnoFturnis horisfacito,ab ipjo meri die numerandis :addendo arcuifemidiurnofngula noUurnarum horarum interflitia. AtJi aequales ad inaequales horasMrfaPeicc coucrtere libuerit,tolle arcufeminoUumu adato tepore amedia nofte fupputato ,>cl arcufemidiurnii atempore quod ameridie fuerit numcratii-.relinquetur enim tepusab ortu^el occafu Solis referendu.d quo detra has inaequaliu horarii quatitates,diurnariifcilicct adiurno, &noUurnaru anoUurno, juo ordine: &in occurrite inaequale hora diurna,aut noHurna tande incides, &domi' Dc vulgata nanti illa hora plancta rcfpodcter agiofccs. C! Vulgarcs tame Ajlronomi,tam die $no-6 jrmjiialiuin artificiale, in iz vartes inuicc aquales diuiderc folet:& huiufccmodi partes,boras horarum di; ,c-J ,. n-. . . -J-i« (tributione. nihilominus tiuvqualcs appellat, cotra propria maruaijjinitionc. qua au no pojjuntnc - parajic illi interpretatur,cp horae diurnae noUurnis coparataeyt plurimi! eifdcfunttna iores aut minores.exccpto eo tepore,quo dies artificialis ipfi noili fit aequalis,quas tunc diciit ejfe inuicc aequales-.atop diurnas 'a noUurnis tuc maxime difcrepare,cum maxima diei &nociis accidit inaequalitas.Quae quide horarii dijlributio, etji ab innumeris receptaJit, mihi tame non potuit coyftp facerefatis:quin tande 4nobis citatd^eteruopi nionc,infequcnddforefupraferiptis probaremus argumctis.Vtpotc qui non ignoramus , ciufccmodi partes aequales tam dici quam noHis artificialis,in aliumfinem,cpW horas dcjignari't,fuijfe nonnuncp rationabiliter cxcofitatas:de quibus aliasfuo loco dijfufius Vndc orta (Pe0fau^OCra^a^mils 'Videtur tame cx doinificadi ratione Pto[emaei(qud duode vulgarii! lio-, cimo capite Jccudi libri narrauimusfa pojlcrisftiijjc ahduclce. Ii enim recliifupponebat fpbcercvftu,&arcu diumu atap noHurnu in 6partes aequales diuidcbatCPt domorii in - qualesjdiftri tcrfitiafub^crticali circulo (que illi repraefentabat Acquatoryofequeretur. Vnde cum iz inevtjualcs horas ta diei ap noftis artificialis negare no poffcnt:arbitratifunfvnamquamap diei^cl noHis artificialisfextd parte(qua praefatus Ptolemaeus infolq domorum crcclioneMcbatur^duas tales horas continere, &fimul duodenarium coficcrc numariiQjai diuidedi ratione,ad omneJpbcvrcv pofitione, &dicrii atqs ttoffiu artificialium quantitate,indifferenter &libere, nimium adeommodarunt,Si qui tamenJint qtii yfitata potius,ap^eram &rationale inaequaliu horarii traditione imitari malint:imi* tentur quantum-')?oluerint. non poterunt tamen impedire,quin mcum(fcut &illifuuy De horam_de his pro conccffa dexteritate profera iudiciu.fJDiuiditur aute quaelibet tum aequalis, 7 quamin*'. tum inaequalis hora,in 60 prima minuta,&minutu quodlibet in 60 fecunda:quodlibet luas fraaSo- ^indefecundum in 60 tertia:&fic deinceps quantumlibet,fexagenaria diflributionc nes diftribufemper obfcruata.Qm quidem horariifrasiones,temporaneae haud iniuria^vocitantionc‘tur: &haud dijjimilemJortiutlir additionis, fubtraUionis,multiplicationis, diuifonis. SPHAE. MVN. SIVE COSMOG. L1B. IIII. do altcriufi~\>cfiupputationis ratione, qua de circulifiragmetis libro tertio nojlrce conjcriffimus Arithmetica.Yeruntame hac atiimaduerjione itaris oportet:Yt queadmodiim dies efiuis horis coponutur,fic menfes exfiuoru dicru conficiantur numero,&quafijitatam huiufccmodi rem cocernere didetur harmonia,afiua coflitutionc no dficcdant. Ex his Qu» panes omnibv tade colligitur.cuilibetgradui Acquatoris,4 aqualis hora minuta ref podere: & cuilibet minutogradus,4fecunda: cuilibet itefecido, 4tertia: &fic deinceps proportio- &.cdu|rfo naliter. Et^erfamice, chnYnicuicp hora aquali, ij rcfpondcat Acquatorisgradusfit rc pon “' Vt cuilibet aqualia horarii minuto, minutagradus:& cuilibet horafecudo, if fcaida cotribuantur. Et confcqucntcr ita,proJtngulorii ordine.llac tanie alternata partili tepo fis &circuli dijlributioflue cofiondtia,no potefl inter inaquales horas &eiufidc circuli partes refpondenter obfcruarv.propter ipfaru inaqualiu horarietaria ac inflabile quati tatc.Qjtancp illarii qualibet infiua minutorufragmetafiubdiuidatur.Vt aute Aequatoris arcus, ia refpodctes teporis particulas,ac ediuerfo,proptius reducere pojjisfubfcri ptas libuit anneilcre tabellas:qua adeofiuntfaciles,Vt ampliori no egeat declaratione. ir* Tabella conucrlionfs minutorum hos i-:c aiqualis.in oraclus Sc mi.A,equatori?. | lltJLTabella conucrlionisrgiaduuin Aequas II 1|ftoris,in horas &mi.tcmporis. i Hora Hora 1Accito. I Aeijco. ceporisll ||Aecjco. |icooiis. || Mi. | (f. Im. Is- 1irt. jo.|rii. llii-l |iio. |m. II i\ °151 3°| 3i I4:> IIUI uul 3J1 4S "i? 33 I ii «5 45 3 4°.i:ai lui *.|3 5 635 3« 37 38 5°w u:|h 7 8a45 ii 15 30 7 8ollli _di*. 9~15 39945 9w1132 Illo 1 1 T3 __ T45 7? 57 10 15 I2 44 4»| liti i\$ 43 10 45 '13 52-1 5‘H «S t|S '5 1(i 345 11 >5 3° 15 Ll 4) pn; 17 18 4l547 48 1245 17 18 ii 3 312 19 49Ii '5 30 2.0 I 120 P3 3±0 21 5 5 51 52 '3 45 L'24 28 II52 3 3 2-4 2» z3 Z4 2-3 26 27 zS s 653 13 «5 3o 2-3 24 32- 36 ii 312 L6 6 6 7 55 56 >3 '4 45 nPJ 4U 44 || 5 5 3 3 4« 44 w\ :: >5 i||*7 1 30 1IMI ! 48 32 57 58 s 3 48 52 2-9 7li WV, 45 I15> 03°l .15859 60 s 4 5<> ‘inss1 "2 |'£.| 1.Tt.fr[| pq |m illi 111 - €. Dc folarium altitudinum calculo ,pro dato loco ipfius Solis,&poli botcalis exaltatione, Cap.V . HJiij. ORONTII FINEI DELPH. PRius quam aurem vmbrarum rationes examinemus: openepre* cium eft demonftrare,ejualiter Solis altitudines ,pro dato eius in Ecliptica loco, &poli borealis exaltatione fupputetur.Nampro varia ipfius Solis altitudine :diuerlas vmbrarum necdlum eft: accidere doqufcl. tm,S quantitates. HEft igitur Solis altitudo,arcus circuli verticalis, ejui ab i Horizonte ad Solis vique centrum comprehenditur :&per altitudinu SiiwS c^numcratur parallelos.Hx-c autem fub Meridiano circulo conftituto ,na,&vbi Sole,contingit omniummaxima,qug dato poliunt accidere die. Tales tingltaitttu rur^um orru Solis,ad meridiem vfq; caufantur iplius Solis altitudi= diiics. ncs:quales ameridie,ad occafum.ca tamen ratione,vt in temporibus a?= qualiter ameridie diftantibus,a?quales ab Horizonte Sol conlequatur Vt incridi.i' altitudines. <|[ Meridiana itaque Solis altitudo ,in primis lic colligitur, z "udocolliga Adde eleuationi Acquatoris, leu complemento polaris altitudinis,bo= tUf.rcalcm loci Solis dcclinationemrvel iplam aufer declinatione, fi ea fue* rit aullralis.conlurget enim,aut relinquetur contingens hora meridia* na iplius Solis altitudo.Si Solautem declinatione carucrit:illius altitu* .€1Ad alia verb $ ffipputabis. Duc a/tltudinS*" ^inumi'c^um arcus Eclipticae inter afeendens Ecliptice pundum, & datum locum Solis comprehenli,in linum redum altitudinis meridia* nx pundi Ecliptica: medium Caeli tunc attingentis :&produdum di* uide per linumredumarcus ciufdcm Ecliptice,qui inter Horizontem &Meridianum per datum Solis locum comprehenditur, procreabis e* nim linum redum,cuius arcus propolitam Solis indicabit altitudinem. ,’.;us ,l'a1dn ^LCiim autem Sol alterutrum occupaucrit ;equinodiorum:nulla neq; 4 medi; Cauli* neque alccndetis cognitione opus eft. Sufficit enim multi* plicare linum redum complementi data: polaris altitudinis, in linum complementi diftantix Solis ameridie :&produdum diuidereper le= Tertia pars midiamctrii.CQuoties rurfum diftantia Solis ameridie quadranti cir* f ciufdi. cano. CUHpi-aeciCc fuerit xqualisCcui refpondent 6aequales horx*)ftifficitrur= lum ducere linum redum altitudinis polaris,in linum redumdeclina* tionis loci Solis :&produdum diuidere per eundem lemidiametrum. i?no”anda ^mc fabula altitudinum folarium ad quemuis gradum Ecliptica?, &: altitudinis oblatam poli fublimitatcm,facili admodum compones artificio. Qua* Solis tabula. iitcr autem afeendens Eclipticx* pundum ,atque medium Cx*Ii dato quouis attingens tempore colligatur :capite feptimo libri terti/ fuffi* cicntcr cxprcftimus. fimul &heundafit,altitudimmfolarium ,ac^mbrarum cxacla cognitio: ijs relinquimus iudicandum', qui circa folarium horologiorum cotijlruffiioiies. CANON do meridiana,ab Acquatoris altitudine no dilcrcpabit aiianiAmcri tempora ,eandem Solis altitudinem in hunc modum i SPHA£. MVN. SIVE COSMOG. LIB. IIIL 61 dimenfones altitudinum rerum ercatarum, fmilia tum ajlronomica tumgeographica \>erfatifunt. &quemadmodu cxnoflris folarium horologiorum, Ajlrolabi, quadratum, &aliorum injlrumeiitorum libris (Ji cos perlegere nongraueris') tibiflet manifeflutn. i{[Ex decimo igitur capite antecedentisfecundi libri,folaris altitudo dijfinitur cjfc ar- Altitudinis cus circuli^crticalis per centrum Solis cduFli, inter Horizonta» &ipjtus Solis ccntru ,ol;"ls comprehenfus-.quem dinumerant altitudinum paralleli,ab Horizontegradatitn infurgentes, &adSolem^fque intercepti. Quemadmodum in ipftus decimi capitis figura , defyderis altitudine EF,exemplum dedimus. Et quoniam Sol non potcjl altius exybfna cod.7 tollifuper Horfontem, quam dum fub Meridiano locatur circulo :clarum cjl meri - dianamjooc cjl,meridiano tempore contingentem Solis altitudinem,omnium fore ma - Jis contingit ximam qua intra oblatum diem poffunt accidere. Maxima ergo Solis altitudo,qua; tolllcitudo' to anno in data regione contingere potefl ,Solefub afliuo Soljlitio, atque Meridiano circulo conflituto caujatur: minimalrerb, dum Sol hjemalefolflitium ,&ipfum Meridianumjimul occupat circulum. (Quod autem in temporibus cequaliter dMeridie cur in tem» diflantibus,aqualis caufentur altitudines:hoc ideoft, quoniam Sol in^crticalcs circulos cvqualiter itidem aMeridiano diflantes, &in eundem incidit altitudinis paralie- <(ic d/ihntu lum. In horis igitur ,quarum^vna efl antemeridiana &altera pomeridiana ,&qua; aceant alti Jimul iunUce conjiciunt iz,Sol aquales confequitur altitudincs:\tpotc hora 11ante &tudines. prima pofl meridie,Jimiliter hora io ante &zpofl ipjum meridiem. Etfle conflequcnter de ccetcris'M exfucccdenti altitudinumfolarium potes elicere tabula. clariorem porroJupputationis meridianarum altitudinum intclligcntiam: ft dati DcmonfTia loci Meridianus ABC,polus Mundi ariticus B, Aequator DE, Horizon AEC,ipfus Aequatoris altitudo CD,borealis declinadimnfi alti tio Solis DF, auflralis~vcr'o DG, Clarum cf igitur, meridianam Solis altitudinem CF,rcfultarc ex Aequatoris clcuatione CD, &ipfa boreali declinatione DF: altitudinem porro Me ridianam CG, cxfubtrattionc auflralis declinationis DG,ab eadem Aequatoris altitudine CD,remanere. Cum autem Sol nullam habuerit declinationc(\>tpotcJub cvquinoftijs confitutus )meridiana illius altitudo ,ab ipfus Aequatoris altitudine CD,minime diferepabit: Sol enimfub ipfo timcmouetur Aequatore. 3CRE LIQ.V ASporro ipfus Solis altitudines, eo alibi quam fub Meridiano, hoc Qmonis au eflfub alijs horarum circulis conflituto: multis diucrftfquc modisfupputare ,in noflra tcccdcmisdc erat pote flate. Sed clariorem &omniumfacillimum, &qui nibil\idctUr prafupponcait ftudi rc quodin prceccdentibus libris iampridem nonft declaratum, tibi felegimus: cx 33- pro <,LC,a ’ poftionc fecundi libri beteris epitomatis (jcuius authorem ignoro )in magnam Ptole mcci coflruffioncm,& rcfpondente 43 propoftionc fecundi itidc libri notii epitomatis lo.Regiomontani depromptum. In Mraquc enim demonflratur ,fnum rcchim arcus ORONTII FINEI DELPH. Ecliptica ititer Hortyntem&r Meridianum comprebcnf,adfinum retium altitudinis puntli medi) Ceeli eam habere rationem, quam finus rettus arcus eiufdcm Ecliptica: qui prcefatum Hori^ontem &locum Solis intercipitur,adfinum rectum propojitafo - laris altitudinis .Hinc per 4proportionalium numerorum regulam,ft tertium duca - SupradifH tur jnfCundum,& produtlum per primum diuidatur,quartum innotefeet. Eflo in p“ew clarioremfnpulorum intelligentiam propofitum inuefigare ,quantafit altitudo Solis, hora nona ante meridiem,Sole initium geminorum pojjidente: &in eo Horizonte,jupra quem polus artlicus 48 gradibus Ik 40 minutis eleuatur. Per dotlrinam itaque prevallcgatiJeptimi capitis libri tertij facile confat, 14 gradum Arietis ad medium Cee li pcrucnirci^erb Leonisgradum refpondeter afcendtrc.lpfius porro 14gradus Arietis declinatio,ex quarto capite fecundi libri, deprehenditur cjjc $graduum, &32 minus torum. Hanc itaque declinationem(cum fit (eptcntrionalis )addo complemento datee polaris altitudinis,\>tpotcgradibus 41,minutis 20: confurgunt gradus 46, minuta $2. tanta cf altitudo ipftusgradus medii Ccvliuuiusfinus relitus cjt partium 43, minutorum 47, 9 fecundorum. Ab ortu pnrterca ad locum Solis datum,offenduntur gradus 64:quorumfinus rctlus, cf partium fj, minutorum 5fecundorum 40. item ab ortu ad medium Cevlifuntgradus uo:quos tollo cx 180 gradibus dimidii circuli, relinquunturgradus 70,quorumfinus relitus habet partes $6,minuta 22,fecunda $4. Duco igitur fj,ff,40,in 43,47,9 funt partes colletice 39,fmphccs^eio partes 21,mmu ta\6,fecunda 21,tcrtia 41.Hcec diuido per f6,2z,S4'-& P r0 c lu0^° nafcuntur numero, partes 41,minuta f2,fecunda 48 ,quorum arcus efgraduum 44,minutorum i6.Tan ta cf propofita Solis fuper Hori^ntem altitudo. | 11 11 II 1 1<JU loi\. d.11.1,9 ami' meridiem. 1!' J : ,•1 1•1Mi- || )|ptt-.s . | Mi, |leuid ... I fcilcuutio poli arctici data. 114° 1II oIoIo «11 Lotus .Solis datus. Lh_ _2_ o1Ii °l “1 i Medium Carli tempore dato. 1V14 o12-L-£d " Aiiendcns eodem tempore. II Q. -I- o°1 ° O Aliinido medij Carit. 46 51 •U 147 'l Ab alctndc-mc ad lorum Solis. |] 04 O 1 — !J 1® 4U__ j II Ab alccndente ad medium Carli. || wc. O50 |u54 11 41 Altitudo Solis hora data. 44 I0II 4. 1S»l 4»- II Scciidx par- $[Citm autem Sol alterutrum pojfidctcequinotiiorum: tuncfnus quadrantis Aequarisciurdcoi* toris inter Horispntem &Meridianum comprebcnfi,adfinum retium altitudinis ip - datio, ftus AcquatorisQpuce eadem cf cum eleuationis poli complemento )eandem habet rationem:quamfinus retlus eitfdem Acquatoris qui inter Hori^ontcm £/ locum Solis deprehenditur, adfinum retium ipftus altitudinis folaris. Hincfupraferiptum cano= ncmCyt in ipfa continetur literaj\>tcunquefacilitauimus:fufficit enim multiplicareftjutn retium complementi datee polaris altitudinis,infinum retium complementi difatt tiev Solis ameridie, hoc ef,arcus Acquatoris qui inter Hori^ontem &locum Solis de= prehenditur: &productum diuidere perfinum quadrantis ipfus Aequatons ,fwe per SPHAE. MVN. SIVE COSMO G. LIB. Ilii H fmidiametru. Exempligratia,propotiatut rurfum boranona ante meridie,Sole ittitiu Exemptefr Arietis occup&teuuius altitudo,in cade quce prius eleuatione poli,48 graduu &40 mi nutorudefderetur. Difantia itaap Solis aMeridie,ejl 4$ graduum: &ipjius diftantiw coplementugraduum itidem 4/.quorumfnus regius, ejl partium 41, minutorum z/y fecundorum 3$. Sinus autem reHus complementi data: polaris altitudinis C>tpote , 41 gradus, &10 minutorum') continet partes 39, minuta 37^>na cum 34, fecundis. Hos itaqueJinus reFfos inuicem multiplico, &produFlum diuido per 60 partesfemidiamc* tri:proueniunt tandem partes 28 ,minutum 1,fecundafere 12. Quorum arcus ejl 27 graduum,&minutorum 30.tanta ejl prxfata Solis altitudo hora nona, Sole initium Arietis occupante. Exemplifitf mula.' Sfdijlantia Solis ameridiefuerit preeeijegraduum yoQquibus 6boree refpondet Tertte pafv cequalesfeuior rurfum efficietur calculus. Si duxeris enimfnum retium altitudinis po tis , fuprad:» laris, infnum reFlum declinationis ipfus Solis,&produFlum diuiferis per totius qua uiterpmld, drantisfnum:procreabiturftnus reffus contingentis tuncfolaris altitudinis. Namjinus quadrantis,adfwum retium polaris altitudinis eam tunc habet rationem:quam f nus reftus declinationis Solis,adfwum reFlum altitudinis ipfus Solis. Demus rur- £Xen,pfojh? fum Solem pojfidere initium Geminorum,&datam horamforefexta ante meridiem: dqua ad ipfum meridiemfunt boreefex, quibus refpondcntgra.90. Declinatio itaque Solis efgraduum 20.minutorum iiiquorumfnus reilus habet partes 20,minuta43- fecunda 4. Sinus autem reFlusfumptee polaris altitudinis, efpartium 4?,minutorum 3,fecundorum 10. Duco igitur 4$,3,10,in 20,43,4, &produFlum diuido per 60 partesfemidiametri-.nafuntur tandem partes is,minuta 33 fecundafere 24.Quorum arcus efgraduum if &duorum circiter minutorum. Tantam ergo pronunciabis propoftam ipfusSolis altitudinem, horafexta ante meridiem: Sole initium Geminorum occupante. ExemplifosT mula. HHtfc fgitur artefequentem altitudinumfolarium tibifupputauimus tabulam:adfcepius datam poliarfticifublimitatem 48 graduum, & 40 minutorum.in qua tabula,me ridianas in primis Solis altitudines per quinos Eclipticaegradus numerauimus :cceteris autem horis tam ante quam pof meridiem accidentes ipfus Solis altitudines,per denos tantummodogradus eiufdem Ecliptica: libuit in exemplum difribuere. Intrabis ergo tabulam lateraliter,cu hora data ad^erticem, &gradu loci Solis ad loeua coajfumptis,- ORONTII FINEI DELPH. nam in communi &aediWriufaue angulo,quafctam Solis offendes altitudinem. At fi cum data Solis altitudine} dextra regionegradus loci Solis perqufita,arcatim ipfam intraveris tabulamiinuenies \erfa\?ice ad tabulaVcrticem horam, qua talis contingere folet altitudo. Verumfi inMroque tam laterali quam areali congrejfu,prcecifos non offenderis numeros:per geminum proxime circunjlantium numerorum ingrejfum, inter mediosVelgraduum Ecliptica;,yel ipfarum altitudinum, &horarum numeros de more proportionabis,quemadmodu capite quartofecundi libri, &alibifiepius annotavimus. S^tabvla altitvdTnvm" solis, qvaT libet hora diei artificialis,Adpoli ar&ici fublimi= t-nrrm 48 ?ra.Sc ^o.minut. accidentium. „17 .P 11 , nII 7ii~ Slcu^ne *9^Siiuuet autem per locum Solis cognitum ,&eius altitudinem ,abfque prxceden' numerate ”1ta^a»horam f[ cm >crfifticc colligere :ficfacito .Ducfinum reftum SPHAE, MVNi SI-VE COSMCSCI. LlE. Illfj tj mentx^el datxfolatis altitudinis, in fwum rc&um anusfmiimni ipjtus Solis, & produBum diuidc perJimm retium altitudinis meridianas ciufdm Solis:jiet enimfif nusrcftus,cuius arcus in refpondentes temporis partes conuerjus,cpuoejtam indicabit bo ramici ab ortu Solis numerandam,fl datum tempusfuerit ante meridiem-Ml ab ip- Jlus Solis oeeafu,\bi praefatum tempuspomeridiamm extiterit. Cuius rei periculum Expiato: facere potes,exjubiettaformularia Cjua Solem initii Arietis pofjidcrefuppofmmust&r datam ipjtus Solis altitudinem,falemfecunda: partis antecedentis canonis exemplo re perimus! Vnde tres horas ab ortu Solis,fttn noctem eum arcufcminoBumo conficiunt horas ante meridiem,conuerfo refultareyides ordincrin datayelim inuUi^as pii atilici altitudine 48 graduum, &40 minutorum. Exempli Coi mula. "ysis-l 8la- 1 “'•II ILE2J. Mi.| lecuda 10L£l ULU 010 Altitudo Solis dato contingens tempore. • 111^7 1 s° 11 L_*4 JZ I9° I01to (_ 010 Altitudo meridiana Solis. i I4* XI inr1n134 145 0i*zl135 ULtiora repta ?ab ortu,vel ji.ance meridie. || J2-L2l ,i.?. 10 1 0 CDe veraque vmbra,re&a inquam &verfa, earumque diffe= rentijs Si calculo, Cap. VI. His in hunc modumexpolitis, vmbrarum rationes examinandae funt. Vmbra igitur,aut redta,aut verla eocipieda elt. liciti id-- ymlsra tes pellamus vmbra,qua; in rc&u Horizotis feu piam terreftm eide Horizonti parallelo coextenditur:& ab vmbrofo luper eodem plano adreilos angulos erefto caufatur.Verfa porrd nominatur vmbra, qua: VmtiaveA verfo modo fe habet:vtpote,qua: impium terreilrcvel Horizontale fa’ planum ad perpendiculo incidit,&fit ab vmbrofo ip.fi Horizonti paral ilelo. CQualiseft igitur ratio finus redii altitudinis Solis fuper Hori= veitiatum zonte.adfinu re&um coplementi eiufde altitudinisitale obleniat.vm» brofum ad fuamvmbram reda,vel vmbraverfa ad fuum vmbrolum: idtafo. &ediuerfo. CData igitur Solis altitudine ,&vmbrofi nota quantitas te: ipfius vmbra re&a: aut verfa;, per quatuor proportionalium regu» lam,obtinere poteris longitudinem. Et tabulam confequenter vmbra= ron vivbM rum fupputareiqua; pro Solis altitudinibus gradatim diitributis ,pro- a, tutudi.-, portionatas vtnufque vmbra: quantitates figillatim comprehendat. ,CPer datam infupervmbneieihe aut verfc dati vmbroli in notas par Danvm. 1 tesdiftributi quatitatem, ipfius Solis altitudinem ,aconuerfa fuppu. tandi ratione, colligere non minusfacile poteris. dudcrc. ,f^ymh-afecundum philofophos nihil aliud efl ,(juafn lumen diminutum ,feufyecies Quidvrfu quadam opaci corporis luminofofemper aduerfa. Caufatur cnim^mbra,quoties opacu ORONTI! FINEI DELPH. aujlralem perambulat Ecliptica’ medietate, Vmbra meridiana conuertitur adBored:dii Verofeptetrionalem poffidet eiufde Ecliptica partem, eadcVmbra meridianafelitur femper ad Aujlrum.ln Vtroqjporro xquinoftiorum,boc cjl, in Arietis aut Libra capi - te conjlituto Sole,nulla contingit 'vmbra meridiana: propterea quod eiufcemodi retium JpharaJitu incolctes,habent Verticefub Aequatore, &Sole tunc confequentcrfub eorii SvStSTii Vertfe*^ien“babctl^*fl indicium de ijs,quorum Vertex inter ipfum Aequatore rct Aequato &alterum tropicorum coflituiturfola nacp teporis inaqualitate,eadem Vmbraru pro* Ium tropico ‘c^l0>Ies differre Videntur.Na parallelus, qui perhoruVerticem trafire diffinitur, diui rum con(li> dit Ecliptica in duas partes inaequales:quaru maiorVerfus Aequatore, minor auteVer fus proximu Tropicum relinquitur.Cu igitur Sol interfeffiones eiufde paralleli cii Ecliptica poffidet, nulla fitVmbra meridiana:fed eo boreale Eclipticae partem perambulate, Vrnbra retia meridiana porrigitur ad Auflru-.du Vero auflrinamgraditurJverfaVice in rumvcrtices BoreaJleftitur.f[Ex quo rurjum eluce fcit,quodfub quolibet tropicofemel in anno,nuifub tropicis /<i contingitVmbrameridiana: &quemadmodiiJub auflrali tropico eadeVmbra meri - coUocatitui. diana jiujqudflctlitur ad Borea,itaJub borcali nuncp porrigitur ad auflrii.Sol enim no potefl ad corti peruenireVerticem,quifub alterutro habitant tropico: niji du maximam ab AcquatoreVerfus eiidem tropicu obtinet declinationem: hoc autemfemel in anno tatummodo contingit:du.fcilicet ad ipfum perducitur tropicu, tuneqs nullaftVmbra meridiana. Et quoniam habitantibusfub Borcali tropico, tota Ecliptica manet auflralis, & fub auflraliJemper inclinatur ad Boream:neceffum efl,Vtfub Boreali tropicoVmbrce re Hoe meridianaeJemperfeFlantur ad Boream,&fub aujlraliVerfaVice conuertatur ad Dc ijs <]uo< auflrum.^Elinc confequentcrfubinfertur: extra praefatos tropicos conjlituto Vertice, 7 inter Tropi Vfljfow# reftam meridiana in eufemper infeci polum,quifuper datum eleuaturHocos &cirai; nantem-Talium nanq$Vcrticem Sol nufcp attingitfcd continue Vel in boreali. Ve/ in cSitituicur? ait frci^Mundi pai tcVerfatur.Apud eos enim quorum Vertex efl inter Cancri tropicu &artticum parallelum,Sol ab ipfoVertice manetfemper auflralis:& ob idVmbra me ridiana cotinuefeclitur ad Borca. Vbi autem Vertex inter tropicu Capricorni, &parallelum antartficu coflituiturft econuerfo:Sol enim cotinueVerfatur in partefepten- Qualis vm» trionali,quapropterVmbra meridianaVerfus Auflrufemper extenditur. |[I« ijstan-8 braru infle» dem locis,quorumVertex,fub arFlicoVel antarffico locatur parallelo,Ve/ inter ipfos paartificialis® rallelos &Mundi polos,autfub ipfis Mundi polis conjlituitur,hoc efl,Vbi dies artifeia «ut lis naturali coaequatur,Vel ipfum diem naturalemfuperat: quandiu luxftne noBe contis. tinuatur,tandiuVrnbra refta quaqua Verfum Horizonte circunducitur. Qneadmodu exfupradiBis, &obiefta ante oculos materialifphccra,coprehedere no efl difficile. Eit igitur,Vtfub arftico polo,Sole ab Arietis capite,per initium Cancri adfnem Vfy Virginis dfcurrente,Vrnbra rcBce circum Horientem continue reuoluanturfub antarfficoVctb polo,quandiu reliquam Eclipticae partem Solipfe occupauerit. Q,VARTI COSMOGRAPHIAE SEVdg, MVNDANAE SPHAERAE, FINIS. iWLiber Quintus ,vbi de Geo- GRAPHICIS, CHOROGRAPHICIS, ET Hydrographicis tradatur inftitutis:& tum paralie* lorum,ac climatum rationes, locorum longitu* dines,& latitudines,viatoria?que illorum di flantia,tum vana; terreftris Orbis in plano defcriptiones,mira fa= cilitate traduntur. CDecirculis atque parallelis,fuper conglobata Telluris &AquaJ fuperficie refpondenter coaptandis:atque de magni cuiullibet cir* culi ad datum quemuis parallelum ratione. Cap. I. LLIQ_VV^M E^ST ^TANDEM, E' COEPB|m molibro determinare :vt his fatis in hac par* Hre faciamus,qui vel Ptolem^u &alios Geogra ii pb°s intelligere ,vel nouas Orbis terraru de= itrirtter maiores itaque circulos, quos in cosleili fphasra conftituimus, Circuli ter* fex primarij,vtpote Aequator ,dati cuiuflibet loci Meridianus, Honzon,ambo Coluri,& is qui per duorum quorumcunq; locorum verti, ces tranfire diffinitur Cquem viatorium poffumus adpellare circulum) fuper conglobata Telluris &Aqua: fuperficie ,veniunt refpondenter Jcoaptandi. Exminoribus autem,duo Tropici,totiddmque circuli po lares: Vnacum fmgulis datorum quorumcuq; locorum parallelis, per ipfa quidem loca libere,gradatimve ab Aequatote in vtramque parte diftributis. Vtquemadmodum eorundem effileftium circulorum offi. cio,fyderfi venamur habitudines:haud diffimiliter per eos ,quos fuper ipfo terreftri globo defignamus, locorumpofitiones,atque diftantias zobtinere valeamus.®Hinc manifeftum eft, compotitam ex Tellure St ^ft.rre[trI Aquafuperficie' in quinque regiones praicipuas,flue Zonas,figura,ma. gnitudine,atqi natura differentes Cquemadmodiim &Coslum)refpon=na vocatur,, 6I.«/. ORONTII FINEI DELPH. Jenter liparam In hunc quippe modum,vt duo quarlibct loca vitro ci trdq; circulum Aequatorem aique femota,pro parili declinatione So= lisCcicteris autem paribus} fimilemfere Aeris videntur habere tempe= Qua nifa. ratura-CHabetautcm Aequator,feu quiuis alius maior circulus,ad da i "nSfScu” tum quemlibet parallelum,&minorem circulum eam rationeiquam fi ad minora. nus quadrantis,lemidiameterve magni circuli, ad linum rcctii copleme ti diftantiai ciuldcm paralleli ab Aequatote. Idem cenlcto,de lingulis eorundemcirculorum quadrantibus,alillve partibus,atq; partiu trag= mentis. Hincrurfum elucefcit,quam facile iit tabulam codere nume= ralemiqux’ Ungulorum quadrantum,vel partium Aequatons, ad qua» drantes,vel partes lingulas dati cuiuilibet paralleli,rationes oftendat. Dc „[„[*, CbK capite[exto antecedentis primi libriJit manifefium,Terram ipfant,Vnd ci Aqua iLTicilti citir jrufiulatint eircufparjaglobu quendd efficere partimaquea partimVero terrejlrijuper - jj figura mntudam ex omni parte Videtur haberefguramiatque ipjmglo bum,medium Vmuerfc.Vehti centrum,immobiliter pojfidere. Himfitfot cxlefiium eu terrejlribus mutua quadam circulorumVideatur cjje rcfipondentiaiadeoVt quemadmo dum per circulos in Coelo prudenter imaginatos,fyderumVenantur habitudincsiita pei rejpondentes in globo terrefirijocorum pojitiones,atquc dtfiantias,b quaVtriep Calo 'Videlicet &TerreeJunt comunia,confequenter obtineamus. Nonfunt tamen omnes circuli, quos calejli fipbara coaptauimus, ad Geographia contemplationem neceffarij: nequefinguli qui ad ipfium geogrerphicumVideniurfpeflare negotii,ipfi Calo eoaptadi. Circuli mas maiores itaque cireulos.hosfex primarios ipji tcmjlri globo ,profingulorum i refpodnltia tantummodo coaptamusfialittt Aequatorem, datiemujltket loti Meridianum,Hortantem,Vtrunep Colcmm.tH Viatorium anuli magnum qui per oblata qua uis duo loca deferibitur. Hi nanqut eirculijmilcm adVniuerfumTelluris ambitum rationem obferuantiquam calefies ad totum ipfum Calutn.habent enim idem commune centrum,Yniuerfum bifariam dirimentes, fhtqs hi temfires circuli,Vcluti partes eoru- ..dem maiorum in caleftifpbara dejeriptorum. Haud dijfimiliterfuper eodemglobo ternotes* mU rcjlri,binos Tropicos,totidemcp polares circulos (pios 4minores adpcllitant)rejpondenter imaginamur'.quorum rationalis dependentia itaVcnit ahfirahcndapvt aMundi centro ad extrema dimetientis cuiufiibct eorum,rcfftv producantur linea,&per carum fefliones cumfapius exprejfa Telluris &Aquafuperficie, ipfc minores circuli tranfire dkniantur.Qsumaimodm fuceedensVtriufqs calefies &terrcfirisfpbxraVi Hguin dctla Jctu!indicarefigura: In qua Horioqon redas calejlis quidem ABCD, terreftris Veto “tto'NOPQiPolus Midi arHicus A,antarilkusC,quibus in prccfata Telluris &Aqua fuperficie fubrefpondcnt punda NP. Meridianus AC,fiubmeridianus autem NP. Aequator injuper BD, &fubaqtiator OQ: Aefiiuusfime Cancri tropicus EF.trepiaisVerb hycmalisJiue Capricorni GH,quibus refpondcntfiubtropici RS,atque TV, SPHAE. MVN.’ SIVE COSMOC: LIB. V. quorumfitus indicat linea: rerta ER,F S, >,H V, adto^ tittsfybcercc centru co currentes-.Polares demum circuli arrticus quidem I K ,antarrti cusYeroLM,quibus fubrejfondet in eadeg £ globi cerrejtrisJuj)er-° ncieXY ,etZCr,a lineis iX,KY ,et L Z,M(ir yrajiniti. Qnafigura nojtram ULiiO uvitullis [cr[laa cuijjc cognouimusiM eande,iu plurimis a- 'Vmer llos autem Multares mutos ,alios itidem minores circulos tidefpbxrtu terrenriioaptarelolemus:quosyocantparallelos,bocefi,tummite,tiipftAequaton,at^ ialltli!, tropicis aut Lanius mulis Cfaita duorum quorumlibet ititerjefe coparationeyaiqua Uter ex omni parte dijlantes . Aquibus parallelis ,y»iuerfafere,tuGeogapbun, cum Cbmmpbixnetomuo pendereytd,tur.quemadmodu mjcquenubus uo loeodemllrare nitemur. Hos autem parallelos,per oblata quauuap lota, bpro libero mujlt.bet ou,Ut« at arbitrio,imprimis edudmusLpartibus diflingenda lotorumfeuprouinekm dtjmm na 'a ambus eefdem parallelos plmnpdetlomuumsM eu qui per Lutetia,aut LUg dunumyel eiulcemodi loca tranfm diffinitur. Praecipue tume tpjos parallelos ab Ac, aualm\e,[u!\trunp Mundi polum gadatim ordiuamustcumJahtetU tota babtibdm.yel partem eius dejydtratd,i» Jolido.plandye dcpmgmus. Qjio qmdemmdo,coa(]umvtis Meridianis perfagulos Aequatorisgadus edulits,baud diffimlis contextura Micro titrocu circulu Aequatorcm cjjmturtquaMcrtudcsb altitudmu cuculos, luvtr Horizonte conjlituerc,decimo capitejetuitdt libri monjbaumus. Smglos praeterea bmaiores atque minores imulos proprio nomine,iunila bacjyllabajub.modcrmores exprimere eonfieuirunCMjubetquatoreni,[ubmendianum,jubtropmm,)ubparallcium,b:ita de rebquis.quod anMclis obferuari.neaetfubtuo relinquimus arbitrio, tmnt nianifejlum ejiMokd aTellure bAquajuperfciem ,atemjtnbus Teo- *lata, polaribus rdreuHspnp praecipuas diffingi ngonestquee ZenosMulgmter apdc ^ona» pellanturSuniletu inter Mejas ad ipfam totajupeffimex Tellure bAqua rejultante ftmaiaw. obtinentes rationm.qud tceleffis admuice,atqsad tpfum Citi» obfcruant.Qwadmodtt ex pramijfa licet inj[icere dejeratione. Has autem Zonas,&jigura,V magnitudine, ORONTII FINEI DELPH. atque natura differre: capite nono librifecundi ,fufficicnter ojledims:quaptopter de Vbina fimi» ^is ^Ccrius difputarefuperfedemus. Qualibet tamen duo loca,Vitro citrocp circulum lis Acris te» Aequatorem cequefemota,pro parili declinatione Solis (jcceteris aute paribus exijleatiperatura. jws^fimilemfere Aeris coplexionem alternatim haberelidentur. Tantu enim fere te - poris,ab cequinoflioVerno ad autunaleVerfus Borea Sol ipfe prceterire didetur:quantum abipjoautiinali ad ide Vernum cequinoftiumVerfus aujlrum.Adde,quod qualibet Ecliptica punfla aqualitcrab AequatoreJ'emota ,eandem fortiuntur declinationem: ex quo radiorumfolariumJimilis proie£lio,atqs reflexio ,ibidemfubjequitur. Secludi - musytdque locorum accidentia, &quacunque Aeris qualitatem immutare poffunt :6* de ea tatummodo loquimur temperatura, qua in 4anni temporibus,exfolo acccjfu atep receffu Solis,propterJimilem radiorum proietlionem,atque reflexionem accidit,cumVi delicet in locis aqualitcrab AequatoteJemotis Sol ipje conflituitur. Quamratio autem Aequatorfeu quiuis alius circulus maior, eam habeat ratione ad datu j ne quilibet quemuis parallelum,jeu minore circulu,qua obferuatfinus quadrantis ,adfinum reclu culus addal ^plementi dijlantia ciufdem paralleli ab Aequatore-.ita demonflratur. SitVnus eterta quemuis rejlribus meridianis,circulus ABC D, Aequator BLD,oblatus Vero parallelus EKF, raildum. Pa8 Pcr cuius ccntru H,& Mundi ccntru G, traducatur axis ACC( omnes enim paralleli fub eodem axe locatuQque ortbogonalitcr interfecet dimetiens Aequatoris BGD,atqs ipfius paralleli dimetiens EHF. Perfinuum itaque dijfinitioncm(quam infra trade - m«s}B GeritJinusrcflus totius quadrantis AB: refla autem E Hfinus reflus ipfius arcus AE,complementiVidelicet diftanticz BE, dati paralleli ab AequatoreB LD. Atqui circulifeje adinuice habent,JicutVcl corii dimetientes,Vel qua: ex eorum ducuntur centris. Aequator igitur BLD,ad EKFparallelii eam babet ratione, qua. femidiameter BGadfemi- :diametrii EH:boc efl, quafinus quadrantis, ad finum reftu coplementi diJlanticeBE. Eandem quoq; ratione obfrupt quadrans ad quadratem, feugradus ad gradum,atepfimilis pars ad parte fmtlc.Ejl autem BGnota,nempefemidiameter totiujVe quadrantisfmus:Jimilitcr& E Hnota. a namfubduflo arcu BEcquem notumfupponimusjex quadrate BA, relinquetur AE, complementumiVnde &per tabulafmuu,cognofcetur EH.Tribus aute notis,Vtpote, reflis BG,6" EH,atq$ toto Aequatote BLD,Vel eius quadrante,Jiuegradu:pcr regu lam 4. proportionalium,quarti innotefcct,datusfcilicet parallelus EHE,Vel quadras, fiuegradus eiufdem paralleli,in partibus quidem,qualiu totus Aequator efl $6o,&eiUS quadrans 90jimilium,autgradus quilibet primorum minutoru 60. Et refpondenterita Exempla 1. de cceteris. Supponamus in exemplum,arcum BEfore 3ograduum,qualiu quadrans drStisadqua AB efl 9o:J(tqi propojitum inuenire rationem partium quadratis Aequatoris BL,ad drantem. quadrante EKdati paralleli.Aufero itaqg primu 30 a90: &relinquitur comglementu $PHAH. MVti. SIVE CdSMOG. LIB. V. ^ AFgraduti 6o,quortiJtnus rettus EH,offenditur ejfe partiti fi, mwutorufjJecunddA rti 4i.hac duco in 90 gradus quadrantis BHjiunt partes copajitce 77jimplices 'pera partes f6,minuta 31, fecunda 30 ,quce diuido tandem per 6o,finumyideluet totum: & ijde redibunt partiti &minutoru numeri, fingulis tamtimodbgeneribus in proximefuc-* tedete denominatione. 'Verj'is dextra. immutatis.Qjialiti igitur partiti quadrans Aequa - toris ejl 90italiti partiti quadrans EKdati paralleli ejl ~j-j,minutorti f6, fecundorti 31^ iertiorti 30. Rurfum quoniajicut quadrans ad quadrante,ita pars adJimile parte. ji z.exepln,ie multiplicaueris igitur partes 77,;minuta $6,fecunda 31,tertia 30,per 60 minuta \mus gradus Aequatoris,&produttti diuiferis per $o:prodibtit tande minuta fi,fectida /7, tertia ^i.Qjialitiergo minutortirtnusgradus Aequatoris ef 60Jalitirtnusgradus dati paralleli offenditur ejfe fifectidorti f7, &tertiorti 41.Haud alienti de certeris habeto iudicium.Najieut fnus quadratis,adftnuieftti complemeti dijlatice dati paralleli ab Notandum.' Aequatore,autfemidiameter Aequatoris ad dati paralleli femidiametrum :fc minuta 60 'vnius gradus eiufdem Aequatoris ,ad minuta 'vnius gradus ipjius dati paralleli. Primus autemnumerus ejl 6oJimiliter &tertius:quapropter idemjinus reftus complemeti,femidiameterbe dati paralleli,abfp prcefata multiplicatione atep diuifione , propojitti minutorti^niusgradus ofedet numerti, mutatis tattimodo denominationibus. igitur artefuccedete tabula,infudiofortifubleuame,accuratefupputauimus: bi- Derat/one partito quide ordine digefa.Na in Iceua eius parte,geminis coflata coltinis-.cbtinetur ra fucocd& tiones Aequatoris,feu magni circuli,ad'fngulos parallelos gradati ab eode Aequatore di Stabula:* flributos:in partibus,qualiti Aequatoris quadras ejl 90. D extraxero eiufde tabula par te,collegimus rationes eiufde Aequatoris ad praefatos parallelostin partibus,qualiti^nus gradus ipjius Aequatoris , "W cuiujlibct magni circuli ejl'60. Quam'vero necejfaria jit heee tabula ,tjs maxime quilpel Geographicas ,aut Chorogtaphieasfolet depingere chartas: fuo loco monfrabimus. Huius itaque tabulce yfum , >nico faeilitabimus VflIS tabuiai exemplo.Sit igitur oblatus parallelus, qui per Lutetiam Parijiorum educiturJiflans ab fuccedentfe Aequatoregradibus circiter 48.Qjicero itaque in Iceua tabulce parte 48 gradus:quibus cxemPlunTl' inuentis,offendo edextra ipforum regionegra. 60,mi. 13 fec. 18'. Ato itaque,dati paralleliquadrante,cotincre 60 gra.13.mi.fc.1S,qualiti Aequatoris quadras ejl 90.Q uodji eofde 48 gradus,in dextra tabulce parte curaueris inuefitos: colliges ad dextra ipforti re gione,40 minuta,8fecunda, &tertia.Concludes ergo,qUaliti partium 'vnusgradus Aequatoris ef 6o:talitigradti\nti dati paralleli cotincre 40,ynd cum 8fecundis, & tertijs $z. Porrofcontingat ipfsgradibus introitualibus cohaerere minuta ,intrabis Notandum cti duobus proximis,&integrisgraduti numeris,&collcftorti ad dextram numerorum ^‘S^dibus accipies dijferetia:de quafumes parte proportionale,in ea ratione, quafe habent 60,ad tet minuta. minuta data.qua parte proportionale,fubtrabes anumero qui ad dextra minorisgraduti numerirepertus ejl:reltquetur enim optatus partiti ipfus quadratis,"\>el minUtorifanius gradus dati paralleli numerus.Vtfdatus parallelus diflet ab Aequatore 48gradibus, Vna cti 40 minutistintrabis primum cti 48,dein cti ipfs 4^gradibus, abfoluefp reliqua adffum regulce pertinetia,^admodumfrequeter exprejfimus ,&in talibus obferuare SPHAE. MVN. SIVE COSMOC. LIB. V. 78 «[De parallelis Climatum diftinftoribus:Et qurfnam pafto, dato lucis arcu maximo,polares Ungulorumparallelorum inueftigentur altitudines. Cap. 11. ALiam infuper GeograpHi excogitarunt parallelorum diftribu» donem,vitro citroque circulum Aequatorem,tantainuicemdi= ft,n£t0res. itantium intercapedine ,quanta maximarum dierum per vnius hora? quadrantem fufficit immutare quantitatem: quos Climatum di= ftinAores appellant. Sunt enim climata,orbicularia telluris aut aqu?,Ctam vel amborum interualla, iuxta maximarum dierum per hora dimidiu obferuatum incrementum, ab Aequatore verfus vtrunquepolum luis diftinAa parallelis :in hunc quippe modum,vt ab initio cuiuilibet Cli= matis ad illius medium, &ab ipfo medio ad finem eiufdem, vel principium fuccedentis climatis ,maximarum dierum per ipfum hora qua= zdrantem obferuetur differentia. CQuanquam autem harc Climatum Vm^cifmaw excogitatio,a vulgaribus Geographis in feptenarium redaAa fit numen0jac cotij rummihilominus tame ab Aequatore verfus vtrunq; polum, &vfq; ad numerus, eos parallelos,vbi Sol ad diei naturalis quantitatem femel in anno fine noAelucefcit,z4funt annumeranda. Vitra quem parallelum ,contis nuara lucis augmentatio per dierum naturalium,dein menfium,ob an= 3guftiam fptuera,venit obferuanda fuccelfionem.CLCum porro dato lu= CANO N cis arcu maximo,volueris agnofeere quantum polus eleuetur fuper eo* rum Horizontem, qui fubdato quouis deguntparallelo :fic facito, ^perducito finumreAumcomplementi declinationis punAi Eclipticg dati, <jato pa3 in linum reAum arcus femidiurni ,produArimque diuidito per finum «iWo con, quadrantis:fiet enim finus complementi amplitudinis ortiUE lpfius da= tipunAi.Quod fi duxeris tadem finum reAum declinationis eiufdem punAi in finum quadrantis ,&produAumdiuiferis per finum reAum prius inuenra amplitudinis ortiuaz:nalcetur finus complementi delyde 4rara polaris altitudinis.CVerum h?cfupputandi ratio terminatur, vbi DeWm, dies maximus eft horarum Z4:vbi autem Z4 exuperauerit horas, ita fa= numeratis, cit6. Conuertito primum tempus cotinuara lucis in arcum Ecliptica;, per verum motumSolis quotidianum,&complemeti medietatis illius arcus accipito declinationem: nam ipfius declinationis eomplemtum, qusfitam poli monftrabit exaltationem. Hinc poteris lingula iam di Aoru parallcloru, &Climatu diferimina, in propria redigere tabulam. !|[AdGeographicum non parumYiietur fpettarenegotium,regulatafn quandam tnaximarum dierum auomentationemjupra diemjub Aequatore contingentem Cquijemdiftjftorib9. ORONTII FINEI DELPH. per ejl horarum iz) prafinire.Congruum itaquefuit,praeterfuprachffos parallelos,a* lios 'vltrocitroque circulum Aequatorem,>«jus Mundi polos, alia ratione dijlribuere: ~Vtpote, per eos Telluris aut Aquae traftus ,in quibus continuatum maximarum die - rum pervilius horte quadrantem obferuatur incrementum.Hinc propria nomenclatura, Deratione eiufcemodi paralleli, climatum diJlinElores adpellantur. Climata nanque, fecundum eoruminfH. Ceographos,nihil aliud e jf elidetur,quam orbicularia Telluris aut Aquae,fielMriufcp tutionc. interualla-.tantae quidem latitudinis ,quanta maximarum dierum artificialiumfujficit notabiliter immutare quantitatem .quamquidem 'variationem, ftue differentiam-.dimidium aequalis horae primi Climatum infiitutores comprehendere 'Voluerunt.inbunc quidem modum,'Vt'Vnumquodque clima tribus ex iam dialis parallelis dijlinguatur , ~Vtpotc, duobus limitesfinientibus, &tertiofic per medium climatis eduflo: >t cum de - fignet locum,in quo dies maxima per hora quadrante augetur,fuper eam diem maxima Dcinscquali quae in eiufde Climatis accidit initio. Haec igitur Climata tanto ~\>identur effc maiora, n/ciinmii. < luant0 ^>ul,,iorafiunt Aequatori circulo, tantoque minora,quanto ab eodem Aequatore remotiora: propter aequalemfere partium, quae circum Aequatorem ambitum &angu- Jlam magis rotunditatis ipfius Telluris &aquae adMrumque polorum inclinationem .Primus enim parallelus plus difiat ab Aequatore ,quamfecundus ab eodem primo,&- idemfecundus ab ipfio primo plus, quam tertius afecundo, &ita de cateris.Nam ad 'Variationem primi quadrantis horarij fupra diem aequinoctialem, maior requiritur altitudinis polaris differentia ,quam ad^ariationem fecundi :maior item adficundi, quam ad terti)'Variationcm,& confequenter ita de caeteris .Primum ergo Clima maius ejl fecundofecundum tertio, tertium quarto: &fic ~vfquc ad 'vltimum. % Propter gd J[Et quoniam maximafere pars terrefiris &habitabilis Orbis, quae circa Aequatorem moddclima ^'Vcr fus Aufirum cxtenfa ejl, atque ea quae polo fubijcitur arClico, primis Geographis ta avulgari, fuijjcfiidetur ignota,nccno £r potire intermediaefcptcntrionalis (quam inhabitamus) phis^im o” partcs cxtremales ,difficilis prauaeque habitationis ab eifdem fiunt exijlimatae :idcirco dinata. jeptenario Climatumfuere contenti numero,intra praediftee Zonafeptentrionalis mc= Dcpeculiari dias atque temperatiores partes, if ex profatis parallelis diflributo. Hac autem 7cli- mcnciatura* mataa^infignioribus lotisCVtpotc, duitatibus, infulis, montibus,autfluminibus,per queo medius cuiujlibet climatis traducitur parallelus-.peculiari nomenclatura denominarunt. Clima enim cuius medius parallelus tranfitper Rhodum infulam,Diarhodos,id ejl, clima per Rhodum appellarunt: cuius autem medius parallelus per Rhornam traijcitur, Diarbomes .&fic de reliquis .Qgiemadmodumfequensfigura pro parte demonjlrat. In qua Meridianus per occiduam noflrce habitabilis parte eduClus ABCD, polus ArClicus A,AntarClicus C,Aequator BD,Tropicus Cancri EF,Capricorni autem tro picus GH,Polares^ero circuli IK,& LM,Climata denicp inter NO,parallelum ipfi Aequatori 'Viciniorem, &remotiorem PQcomprehenfa ,atquefuo diflributa ordine. Horum porro elimatu dijlatias,tum ab Aequatore,tum adinuice,atcp polares illorit eleuationes,& maximam dieru quatitates proximefuccedenti tabula deferiptas offendes. Exemplaris feptem vul. garium cli» matum dc» fignacio. Quancp alite hac itafe habeant,&a\ulgatibus receptaJint Geographis: cogimUr elimatu ve» tamen nonfine mathematica ratione,praefata elimatufeu parallelorii difiributione, ab tacjiftribu* AequatoreA>erfus Mriicp polorii Mundi,yfip ad eum loeuJioillatim extcderc,ybiJemel in anno dies naturalisJine aliqua nattis obfcuritate luccfcitijiue per aquas,[tue per habitabiles aut inhabitabiles ipftus Tena partes educantur.Qjipnia recedete 'Vertice ab Aequatore(ybi diesfemper ejl horarii iz)& alterutro polorii fenfm eleuato,caufatur eiufcemodi maximam dieru artifeialiu diferepantia, extera quocp prioribus libris enarrata diferimina. Nemine itap adeo rude exijhmamus,qui non facileyideat ipforum elimatu atp paralleloruWrationcs,ab ipfo Aequatore^erjus eofde Mundi polosfore di jlribuedas.lta enim C. Ptolemaeus eiufcemodi parallelos,capite 6libri zfuce magna: co pofitionis ordinauit. Ab Aequatore igitur circulo,'vfp ad eum locu^bi dies maximus Cgot^fint ejl z4 horarii,erunt 48 paralleli ,&climata 24.ab hoc autem loco\fcp ad proximum c„ndfi vetS polum,quoniam ipftus polimoduuA>ariatafublimitas fenfbilem multum maximarum dierum artificialium caufat inaequalitatem: non iuxta quadrantes horariosjed per liberam quamuis dierum naturalium collettionem .eiufdem maxima lucis\enit obferuada continuatio. Qjumadmodum ex proximefuccedenti licebit infpicere tabula. 3CQVEMAD MODv'M autem per notam polifublimitatem,cuiufibet puntti Antc^djjj Ecliptica diurnu arcum,capite tertio libri quartifupputare docuimus:fCverfaVice per fupputadala datam maximi diei artificialis quantitatem ,altitudinem ipfws poli colligere ejl operaprecium.ln primis ergofupputada ejl ortiua dati puntti Ecliptica, feu loci Solis ampli - ri demum al tudo:quam etf capitefexto libri terti), per datam poli fublimitate inuenire docuerimus: c* ORONTII FINEI DELPH. Calivs modvs observandi loncitvdinis atque latitudinis duorum quorumcunque locorum differentias,per folidam vel armillarem &vulgatam Iphseram, Partes fphi ra: folid.e, huic nego-- cio deferuisi Atmillaris fphacra: pari tes,eiulde cu procedenti » bus offici/. Qua: ad ca< nonis cxccu tione pricno fceda vel (tip poneda fint. QVamuisfuprafcriptusmodusobferuadilongitudinales locorum i differentias, Jit omnium certifjimus :cum raro tamen lunares conficiantur ecli- *—pf es>& nebulofa~vt plurimum heris perturbetur caligine-.commodiffimum exiffimauimusfi aliam fupputandi rationem hoc loco perfringeremus ,per jolidam Videlicet aut armillarem &'Vulgatamfpbceram. ^Compares itaque tibifpbceramfolidam ,in qua jit Horizon circulus congrua baft ac x fuffentaculis munitusAn quem Meridianus ad rettos incidat angulos ,fpbceram ipfam circa Mundi polos deferens:atque per Horizontisfcijfuras tali ereftus artificio, ‘Vt poli ipfi cum fpbcvra eleuari ac deprimifacile pojfint. Iw ipfa autem fpbcera, ambo coluri, "Vna cum Acquatore circulofint delineati. Et quilibet eorumfimiliter &Horizon atep Meridianus tn 4quadrantes,& quadrans quilibet in 90 gradus folito more diflributus Jit. Ab Horizpntis tandem\>ertice,quadrans circuli in 90 itidem partitus gradus demittatur,in omnem Horizontis partem libere circumuolubilis. ^LQupdft armillari iuuetMiJpbcera,praeter Horizontem,& Meridianum,atque\er 3 ticalem circuli quadrantem ,geminis coluris &Aequatorc tantum tibi opus ejl :quos tribus armillis inuicem ecqualibus &fmilibus, mutuifque fcijfurisad reffos angulos colligatis reprcefentabis. Et illarum quamlibet in 4quadrantes, &'vnumquenque quadrantem tn 90gradus diuides: &tandem circa Mundi polos in Meridiano notatos,re uoluendas coaptabis .Quemadmodumfequens armillarisfpbtrrcv defriptio monflrat. In qua Horizpn ABCD, Meridianus EFGH, Mundi poli punfta EG, alter colutoruE LGM,reliquus autemfub Meridiano EFGHconjlitutus intelligaturfAequatoryero LFMH, demijjus tandem e'Vertice Nquadrans circuli NO. (5£Ol>kis itaque duobus quibufeunque locis longitudine atque latitudine inuicem diffe - 4 tentibus: fi longitudinis atque latitudinis illorum differentias,per ipfam autfolidam, aut armillarem^olueris obtinerefpbceram,tria in primis nota effe oportet, primum eff, alterutrius loci latitudo:fecundum,arcus"Viatorius inter ipforum locorumVertkes com prehenfus-.tertiuiriVcrb, angulus pofitionis, quemfacit prcefatus arcus "viatorius, cum eius loci Meridiano, cuius latitudo nota eff. Primum facile deprehenditur per ea,qua: boc capite, & 13 cap.fecundi libri expojitafunt.Secundum~Verb, perfuccedentis capitis traditionem.Tertium denique,~Velut infra quamprimum demonffrabimus. Locum igitur, cuius latitudo notafupponitur, primumfacilioris intelligentice gratia nuncupabis: alium^verbfecundtim.Quadrantem praterea "Verticalem','viatorium arcum:ipfius autem primi loci Meridianum, fixum adpellabisMruttqueArero colurum,mobilem aliorum locorum Meridianum\ocitare poteris:quoniam alteruter colurorum ad datum cuiujlibetfecundi loWVerticc ad motu fpheerae perduHus,illius loci Mcridianu reprefentabit. SPHAE. MVN. SIVE COSMOC.' UB. V. 7 f Armilla» tis fph*« ra:,adfn» ucdigana das longi tudinfs arqt lati* tuainis locouinj differens tus infer uientis, deleris ptiOf y$[Siut igiturfolidajiue armillariWpoImisfpbtxra-.eleuabis in primisCyt re paucis Canonis $* expediam^Mundi polii ar?licu,ad primi loci latitudine,&obferuatu pofitionis angulu dboreali~vel aujlrali Meridiani cu Hori^otefeffioncjn ipfo fupputabis Horizon te, &tio. Jiniyerticale quadrate ad amiijjim applicabis.In quo ab ipjo^erticeyeifus Horizonte Viatorium arcu inter datoru locoruVrtices comprebefum numerabis,&per illius jine alterutrum mobilium Meridianorum fine colurorumtcircunduttafpbxra) adVtguem adplicabis.Nam arcus Acquatoris,inter primi loci Meridianum &ipjhn mobilem com prebcnfusjonoitudinalem eorundem locorum dijferetiam indicabit:Arcus autc eiujdent ORONTII: FINEI DELPH. Meridiani mobilisJtue coluri,qui profatum Aequatore &ipfum Perticalem quadrati - Notandum. tem intercipitur,jecundi loci prafniet latitudinem. Si pojitionis igitur angulusfuerit orientalis,fecundus locus erit orientalior primo:fi autem occidentalis, occidentalior. Itemfiprcefatus angulusfuerit auflralis, idem locusfecundus auflralior erit primo: & ji borealis,borcalior. De angulis^clim intclligas ,quifunt reclo minores :namfitalis angulusfuerit reBus,oblata locafola longitudine dijcrepabunt. Arcum via* ^[Addcquod per cognitamPtriufcp loci latitudinem^Pnk cum longitudinis differentia: $ (hviccdigno Piatorius arcu sperjapice dignojeetur .Obliquata nanquefpbcera iuxta primi loci la= fcere. titudinem,Poluatur ipfafpheera :quatenus inter fxum primi loci,&mobilemfecundi loci Meridianum,longitudinalis datorum locorum includatur differentia. In ipfo pojlca mobili Meridiano,Jccundi loci latitudofupputetur ,&per illiusfnem ,Perticalis feu "Viatorius quadrans ad amuffim coextendatur. Nam quantus erit eiufdem quadrantis arcus,inter eo(dem Meridianos comprebenfis-.tantus erit &arcus Piatorius magni circuli, qui inter datorum locorum clauditurPcrtices .Cui quantum refpondeat terrcflris itineris interuallum: exfequenti perdfces capite. Anguli pofi Reliquum eft demonflrare ,qualiter prcefuppofitus angulus pofttionis obferuetur. j tio facillima. Defcribe igiturfuper aliquo plano ad libellam praparato,& circa datu in eo centrum A, femicirculuBCD, cuius circuferetia in 180 gradusJolito more diuidatur,diflributis ex punBo BPcrfus D,&ediuerfo, eorundem 180 graduum numeris. Centro pofhnodum A,coaptetur regula, geminis pinnacidijs ediametrofubtiliter perforatis ornata:qualem tibi reprcefentat AE. His ita conflruBis,inuenias lineam meridianam primi loci Qcuius latitudo nota jupponitur )iuxta doBrinamjexti capitis antecedentisfecundi libri: wcuius dircBumfemidiameter ABad amuffim collocetur, ipfo BCDfemicirculo adortumPcl occafum,fuper Horizontisfuperficie cocxtcnfo, prout locusfecundus orientaliorPel occidentaliorfuerit ipfo primo. Dirige tandem regulam AEPerfus locumfecundum, &rfleBc bine inde regulam ,donec aut ipfum locumfecundum,autlinea c itinerariam quee ad'Hllum loeu reBa ponigiturPia, perforamina pinnacidiorum Pifuali radio comprehendas. Naquantusfuerit arcusfemicirculi BCD} inter regula:fiducialem lineam AE, &proximiore ipfius diametri BDparte coprebefus:tatus erit ipfe Alixautho» poftionis defyderatus angulus.f[Plures alias obfer ncs' nUentl°mn^acfL,PPut“di rationes excogitauimus: quibus prcefatce locorum logitudinales atque latitudinales differcticefuhtili &admodum certo deprehendatur artifcio.Qjice cum multa prcefupponat,quoe hoc no habetur opereun proprium Polumefeorfum confcribeda refertiamus. SPHAE. MYN. SIVE COSMOG. LIB. V. 7« iT PLACET TANDEM iajtgniorumlocorum,cmtatum,& oppidorum,-per imiores nolim melioris Europae redonesfeu proumciasjparjm confliMom.tm M- oitudinum ab occidente,tum latituimiab Motore tabum ameftemquam pro mdt cionoflroatqueoWtriMmumtuHionemultiplia,iuamyeriorepotumuseffeams, in eorum voMimmmtumqm tabulas Ajhouomitasfupputa, 0*1 bomtafolma aliitve aflronomicayel tofmograpbica injlrumenta,ad propriamfa, c:e gmcie ff derabunt. Diflinximus itaque,maioris audentiaegratia, Metropoles hac Utera M,Epifcopales~verb duitates ijla C,Oppida autemfic Otquaeftfuerint emporia,bacf,mammis Utera E. I» primis ergofefe offert ai dextram cuiajlibetloci regionem ,ipja longitudo,deinde latitudo [eu pii borealis exaltatio:iu gradibus quidem &mmuusM mjo lis pkmquegrulibus,qualium Meridiani quadrans eflgo.Reliqua autem omnia,tum contexturam,tum^fumipfius tabulae refpicicntia,prima injpeilioncjefc offerunt adeo TI.< r.17.Iituitilr iuriire.mui. De fuccede. ti longitudo ilum accgla» ticudinii ta* bula. 'fcfcTABVLA LONGITVD1NVM AB OCCIDtN atque latitudinum ab Aequatore,in(igniorum locorum, ciuitatu,& oppidoru, per famofas noftra; melioris ^ Europa; regiones conftitutorum,Ab Au* thore recenter verificata. TE, llSL llu.m. | Ji.Locorum nomina | EX G A LL1A iUongi|| II Lacii M|| ^Locorum nomina tudo. 1[|tudo. l| EX GALLIA. llcudo. 11 1\(j .|m. (L Vienna 2.6 1oj| Ei oll II Lalcurra v-d ?oll II Lorona MIlii «11 1151 0. Srianlbnum £| 2a |3°| Grationopolis C| 27 ]°l Tavantalia M2J>| °| 145 ,a| | Lebretum ^ Leftorium CI- si usis 145 145 d1 (Jondomum E Aure9vel Auxitana MIlii SII Ilii l 3i 1Mauriana Gm144 |43 3°|| 1 3°ll 11 Lombarium C Tholofa MIlii “ii !£ lii fuinia C2.1 z6 35 |43 .51 1 Agendicum C Rinum CJii ii si15 Homonum Uid 11« ij Aquenlis M22 Conferana C| 22 “II ia5° 3° 50 Viuarium G1*5 7.6 45 Ilii I1 fclctta MII 11 Carcaflona C| II 22 aIli. Auinio M- 25 1.6 45 Ilii 15|| S. Pontius '~- Narbona Ml|iili°ll Ili* Caualiicium '•-> 26 5 Ilii Agata £ Mirapiloc C. Jii IIS 11 Arelatum MTJsl z6 5° II41 45|l 45 Lodeua C Bcfcrium Cti 3£Ilii Mali ilia Gz6 3° 41 5Mons pellulanus O Aftrericum Cii II43 Draguiniana <-> 18 15 r4i 15 | Vabra C |Vaurinum CIlii 15 IIS — u| Perpiniana O |Albia CIi 3° i£l Ilii Burdigala fd ~78 Elii 30 5° IMoncalbanum C |Cadurcum C3° Ilii Vafadcum ^Iit I! Tir |Rhodium |S.Florus || 23_i2 1m K‘Uif. ORONTII FINEI DELPH. ONTlNVATIO TABVLAE PRAECEDENTIS. 3LLocorum nomina Cex gauia AQ.VITANIA. Longi 1' tudo. |tr II P J«LLocorum nomina EX GALLIA BELGICA. |Longi* 1 tudo. j Ll Lati* ||tudo. U. *>• (J. _G.|m.| j|U. m. Menda; L. An/cfum.Lepny Cz4 ME43 44 SjRothomagus MI II 2. 1 Ebrofca C| H22 3149 13° 1149 I2-0 «LEX GALLIA CELTICA. jbellouacuin C Ambianis C13 13 ili IMS Lugdunum M Niuerniuin CE145 4<> I5j 4°l Siluaneitum C Sueflio Cz3 z4III 1148140 Imi 50 Bituris M Clarus mons CI? 40 s° ffd (44 45 1 5°l Remis M Laudunum Cz5 14 45IIBIS Sarlacum C Lemouica C.II 15 3°|44 145 aNouiomus C Cameracum Cz4 z5Ii 149 149 10 40 Pctragoricum C Engolifma Ci »5 1°|44 144 |45 45 40 50 ° Attrebatum C Morinum Cz4 x3i_l£ Conacuin O Xantona CHyprae O Brug® Oz4 14 ii20 Kupclla O Pi£tauis C-‘5 45 04<5 *5 35 Gandauum O Tornacum C1 L1 z5 z5Sle «5 Luxiona C Molinum O30 4<5 5° 4<> 3° Bruxell* O Antuerpia E26 2(5 ii 5° i5 Nanctum C Rhedona C15 47 30 48 ‘5 Louanium O Traieftum C26 z7 28 28 45 115° lS11 5 1 fflal 45 T° 5o Venetum *C Crifopitum Cio 48 30 48 5 45 Campen C Cleuiacum O S.Briocus C Dola Cis 3° 3° 15 5 3° 30 Geldria O Colonia agrip. Ml9 19 4J Ili I ZS S.Maclouius C Andegauis C£1Aquifgranum O Leodium C- 28 28 45 5° »5° 49 49 55 40 3° 10 Cenomanum C Turonia Mn451||47 151 1147 55 3° Luxcniburgus O Virdunum C28 z7 l5 30 Ambolia O Blcfis O11 iilJS 35 35 Jullum C Bafi/ea C28 29 45 48 47 20 45 '/indocinum Aurelia C ITS |i8 Ii 1E55 3° Mettis C Treucris M- 28 29 3° 3i 3° ~5 1.5 3° 49 49 5° 5° 49 49 10 45 20 .0 40 >5 Abrinca C Conflanti® C1 1 35 Confluentia C Maguntia M Bayoca C Caaomum 0Us> 45 49 049 IO Vormacia C Spira .C3i 3i Sagium C Lexoufum Cp |zo 50 48 30 49 40 15 Argentina C3° ‘5 48 45 Alenconium O Carnutum C1«? |22 15 4» 048 35 15 «LEX MAGNA GERMANIA. Lutetia Parilioru R Meldis CVi 1*3 30 48 30 48 40 30 Dauentria C Groning C29 29 5° 52 II 3° 15 Seno M Carhalanum C1047 30 48 45 12 Francfordia E Curia C31 3Z40 5° L+7 3o Treae C Lingo C645 3° 48 47 5 3° Marburgum C Monafterium C_3Z 31 10 I51 0152 5 Hcduum C Diuio Oin 45 4(5 47 5° Padelbornum C Bremen MJi 20 IJ2 i° 153 40 Caulonum C Matifco C-6 [E 3° 0 45 3° 46 _±1 4(5 47 3° 40 Heidelbergum O VIma C3Z 33 0I49 0148 3° .3° Laulana C AlrifTrodorum CIO Hcrbipolrs C Catellum C33 33 30 1,50 10 Jyi 30 Friburgum O Lucerna O?• !£ 4d 47 40 Verden .C Noilingena C33 33 3° 153 50 148 z5 50 luregium O Conflantia C11 30 47 47 3° Ambcrga C Augufla C34 34 047 0148 «5 5 SPHAE. MVN. SIVE COSMOfl, LIB. V, 11 OTINVATIO TAB VLAE PRAECEDENTIS. .Lypli. Salis burgum C Brandeburgum Nijbrandeburg Roftochium Milha C Patauia c Pcurbachium 'C Friburgum c A Berlinui Lundifmagna C| fraga Griplhaldia Vienna panno SE Sili Grandnitz Sandomira Dantifcui Mons Regius Conftantinopolis Cj Neapplis C Capua .M4 Aquilea ^i Bcneucntum CjrJ RHOMA Prf Viterbia C!4!?s Perufa Cn{34 ISense,vel Sena CIJ114 (L Locorii nomina. Florentia Pifa VENETI AE. Tridentuny C| Padua C| Placentia Papia Mediolanum Nouaria Tdrtoftai Afta Oralia Albinga Ni(a,vel Nice^ C Viis bona Barfalos Gades Pottugallia C| Braga Compoftellur Corduba Zamora Scgouia Almaria Toletum Caifaraugufta Vianna Valentia Caftiglio Pampcluna Daroca Sagarofla il«l EE [Document text truncated for crawler view.]