Simulação numérica do comportamento mecânico de materiais celulares

Simulação Numérica do Comportamento Mecânico de Materiais Celulares José Pedro Couto Ferreira da Costa José Pedro Couto Ferreira da Costa Simulação Numérica do Comportamento Mecânico de Materiais Celulares dezembro de 2021 UMinho | 2021 José Pedro Couto Ferreira da Costa Simulação Numérica do Comportamento Mecânico de Materiais Celulares Dissertação de Mestrado Ciclo de Estudos Integrados Conducentes ao Grau de Mestre em Engenharia Mecânica Trabalho efetuado sob a orientação do Professor Doutor Nuno Ricardo Maia Peixinho dezembro de 2021 ii DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição-Não Comercial-Sem Derivações CC BY-NC-ND https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ iii AGRADECIMENTOS Agradeço ao meu orientador, professor doutor Nuno Peixinho, pelo apoio incansável prestado ao longo deste trabalho. Desde a ajuda na escolha do tema, à compreensão e ajuda dada nas múltiplas dúvidas que me fui deparando, pela forma como me foi guiando nesta jornada, foi um pilar que me permitiu terminar esta obra. À minha mulher, Ana Gonçalves, por todo o apoio, ânimo e força que me permitiram seguir sempre em frente. És um exemplo de vida, um modelo a seguir. Aos meus amigos Miguel Vila Ferreira e José Pedro Oliveira, também colegas de curso, pela ajuda e paciência quer durante a dissertação quer durante toda a duração do curso. Acolheram-me, apoiaram-me e acima de tudo nunca me deixaram ficar para trás. Sem vocês nunca teria conseguido. E por fim aos meus pais. Por tudo o que fizeram por mim nesta longa jornada. Nunca deixaram que desistisse, mesmo face a tudo o que aconteceu. São um exemplo de superação, de força de vontade, e foi sempre por vocês que eu continuei. E finalmente vou poder dizer: “Pai, Mãe, terminei o curso”. iv DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. v Simulação Numérica do Comportamento Mecânico de Materiais Celulares RESUMO No decurso da corrente dissertação procedeu-se ao estudo de estruturas celulares através de simulações numéricas do tipo linear elástico. Como objetivo primário apresentava-se a comparação de rigidez entre estruturas celulares regulares e estruturas do tipo TPMS. A fim de contextualizar o problema, o estudo teórico debruçou-se sobre as estruturas celulares em geral e particularmente sobre as estruturas Triply Periodic Minimal Surface, de forma a elucidar o que representam estas geometrias e a enumerar possíveis vantagens que justifiquem um estudo comparativo com outro tipo de estruturas celulares. Ambas as estruturas foram modeladas em softwares CAD, sendo que a estrutura TPMS em estudo foi gerada desde a sua forma matemática, onde se converteu a equação numa superfície de malha, passando pela correção de erros e geração de espessura de casca, podendo assim criar uma estrutura sob a forma matricial para proceder com o estudo numérico. Relativamente às simulações numéricas, estas foram do tipo linear elástico, apenas de compressão, de forma a obter-se a deformação da estrutura e ser possível calcular a rigidez de ambas as estruturas. Foram também comparadas as tensões de Von Mises em ambas. Analisando por fim o comportamento e os valores de rigidez de ambas as estruturas em estudo, foi concluído que a geometria do tipo TPMS apresenta uma rigidez ligeiramente inferior face à estrutura de controlo, motivo que pode ser explicado pela espessura demasiado reduzida, sendo ainda assim uma opção muito viável em situações em que a resistência a cargas à compressão seja solicitada, mas mantendo um peso muito reduzido da estrutura pretendida. PALAVRAS-CHAVE Estruturas Celulares, Simulação Numérica, TPMS, rigidez. vi Numerical Simulation of the Mechanical Behavior of Cellular Materials ABSTRACT During the current dissertation, the study of cellular structures was carried out through numerical simulations of the linear elastic type. The primary objective was to compare the stiffness between regular cell structures and TPMS-like structures. In order to contextualize the problem, the theoretical study focused on cellular structures in general and particularly on the Triply Periodic Minimal Surface structures, in order to elucidate what these geometries represent and to list possible advantages that justify a comparative study with another type of cell structures. Both structures were modelled in CAD software, and the TPMS structure under study was generated from its mathematical form, where the equation was converted into a mesh surface, through error correction and generation of shell thickness, thus being able to create a structure in matrix form to proceed with the numerical study. Regarding the numerical simulations, these were of the linear elastic type, only of compression, to obtain the deformation of the structure and to be able to calculate the stiffness of both structures. Von Mises voltages in both were also compared. Finally, analyzing the behavior and the stiffness values of both structures under study, it was concluded that the TPMS type geometry has a slightly lower stiffness compared to the control structure, which can be explained by the too small thickness, still being a very viable option in situations where resistance to compressive loads is required, while maintaining a very low weight of the intended structure. KEYWORDS Cellular Strutures, Numerical Simulation, TPMS, rigidity. vii ÍNDICE AGRADECIMENTOS .................................................................................................... iii RESUMO ...................................................................................................................... v ABSTRACT .................................................................................................................. vi ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................. viii ÍNDICE DE TABELAS ................................................................................................... x LISTA DE ABREVIATURAS, SIGLAS E ACRÓNIMOS ........................................................ xi 1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 1 1.1 Enquadramento .................................................................................................................. 1 1.2 Objetivos ............................................................................................................................ 1 1.3 Estrutura da Dissertação .................................................................................................... 2 2. ESTUDO TEÓRICO ................................................................................................ 3 2.1 Estruturas Celulares em Geral ............................................................................................ 3 2.2 Geometrias TPMS ............................................................................................................... 5 2.3 Artigos e aplicações de estruturas celulares e TPMS.......................................................... 8 3. GEOMETRIA EM ANÁLISE ..................................................................................16 3.1 Definição de Geometria .................................................................................................... 16 3.2 Ferramentas de Modelação .............................................................................................. 17 3.3 Algoritmo de Modelação ................................................................................................... 19 4. SIMULAÇÃO NUMÉRICA .....................................................................................27 4.1 Definição do Caso de Estudo ............................................................................................ 27 4.2 Apresentação e Discussão de Resultados .......................................................................... 35 5. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS .............................................40 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................42 ANEXOS .....................................................................................................................44 Anexo A – Guia Completo de Modelação ....................................................................................... 44 3 2. ESTUDO TEÓRICO Neste capítulo é apresentado um estudo teórico sobre as estruturas celulares, apresentando informações e conceitos considerados cruciais para a contextualização e melhor perceção do trabalho desenvolvido. Primeiro apresenta-se uma introdução global ao tema das estruturas celulares, seguido de uma apresentação do tipo de estruturas TPMS assim como as suas aplicações e artigos sobre outros estudos no mesmo tema. 2.1 Estruturas Celulares em Geral Cada vez mais se olha para as estruturas celulares como uma solução otimizada no mundo atual por oferecerem soluções nas mais diversas áreas. A sua grande vantagem é a capacidade de combinar diferentes propriedades (baixo peso, rigidez, isolamento) numa só estrutura. Face aos materiais convencionais, a sua aplicação tende a ser muito mais vantajosa, pois permite por vezes substituir múltiplos materiais por uma só estrutura. Os pioneiros no estudo deste tipo de materiais foram os engenheiros Lorna J. Gibson e Michael F. Ashby, cujo estudo dos materiais celulares iniciou-se em 1981 [1] e se prolongou durante décadas, com inúmeros artigos que contribuíram indubitavelmente para o avanço das investigações neste tipo de materiais. Seguindo estes autores, uma estrutura ou sólido celular consiste numa rede de suportes sólidos ou placas que constituem as faces e arestas das células, sendo que este tipo arranjo geométrico pode ser considerado periódico ou estocástico. Como tal, pode-se classificar em função da geometria este tipo de estruturas em três grupos: • bidimensionais; • tridimensionais com células fechadas; • tridimensionais com células abertas; No caso das estruturas bidimensionais, considera-se quando uma determinada forma geométrica ocorre repetidamente num plano. O exemplo mais conhecido é a estrutura honeycomb (favo de mel), uma geometria hexagonal repetida periodicamente. As estruturas tridimensionais são constituídas por poliedros, sendo que estas podem ser periódicas ou estocásticas. Um exemplo das estocásticas são as espumas metálicas, onde cada 4 elemento pode apresentar um tamanho e forma diferente. No grupo das periódicas podemos apresentar as próprias estruturas TPMS em estudo. O que difere a estrutura fechada da aberta é que na estrutura fechada as faces são sólidas e fazem com que cada célula seja independente da célula vizinha, ao passo que na célula aberta apenas os seus limites do poliedro são sólidos. As várias células encontram-se ligadas pelas faces abertas dos poliedros, daí a designação de células abertas. Exemplos deste tipo de células podem ser visualizados nas figuras 1 e 2 [2][3]. Figura 1 - Exemplo de estrutura celular bidimensional [2] Figura 2 - Estrutura celular tridimensional aberta (em cima) e fechada (em baixo) [3]. 5 Um dos exemplos mais comuns de estruturas celulares são os painéis sandwich com núcleo celular. Basicamente estas estruturas são compostas por duas partes, sendo que a sua disposição se assemelha a uma sandwich. As camadas exteriores são normalmente constituídas por um material mais rígido, como chapas metálicas ou compósitos, enquanto o núcleo é ocupado por outro mais leve e de massa reduzida, como as espumas de poliestireno ou cortiça. As estruturas sanduíche têm despertado grande interesse e já estão bastante difundidas em diversos segmentos industriais, sendo suas principais utilizações nas indústrias aeroespacial, militar e civil. Isto deve-se ao facto de combinar alta rigidez à flexão e baixo peso, resultando em uma estrutura muito eficiente. Este tipo de geometria pode ser observado na figura 3. 2.2 Geometrias TPMS As estruturas celulares periódicas 3D baseadas em folha atraem grandes atenções devido à sua leveza e às suas propriedades mecânicas excelentes. Ao contrário de outras estruturas tipo favo de mel e estruturas reticuladas tradicionais, as estruturas celulares baseadas em folha consistem em núcleos de superfície mínima triplamente periódica (TPMS), que são contínuos através do espaço com uma cavidade porosa cercada por superfícies contínuas [4]. Figura 3 - Painel sandwich, neste caso uma telha sandwich usada na indústria da construção civil 6 Um estudo recente dos autores Al-Ketan. Abu Al-Rub e entre outros [6], detalhou os esforços realizados no estudo de tais geometrias. Foi comprovado que estruturas baseadas em geometrias TPMS oferecem maior rigidez, resistência e tenacidade combinadas quando comparadas a outros tipos de estruturas baseadas em escoras. No entanto, o comportamento dinâmico de tais estruturas não foi investigado completamente ainda para ser possível expor outras conclusões. Uma geometria do tipo Triply Periodic Minimal Surface (TPMS) é uma superfície cuja curvatura média desaparece em todos os pontos da superfície e é periódica em três direções independentes. A sua configuração geométrica pode ser descrita como uma superfície contínua e sem interseção com dois lados que dividem o espaço em região porosa e região não porosa. Matematicamente, as geometrias TPMS podem ser visualizadas aproximadamente, com base na sua forma implícita fornecida [4]: 𝜑(𝑟)= ∑𝐴𝑘𝑐𝑜𝑠[2𝜋(ℎ𝑘∙𝑟) 𝜆𝑘+𝑝𝑘]=𝐶 𝑘 𝑘=1 (1) Nesta equação 𝑟 é o vetor de localização no espaço euclidiano, 𝐴𝑘 é o fator de magnitude, ℎ𝑘 é o vetor de rede no espaço recíproco, 𝜆𝑘 é o comprimento de onda periódico, 𝑝𝑘 é o deslocamento de fase e C representa uma constante conhecida como conjunto de nível. Figura 4 - Diferentes geometrias TPMS com variação da sua porosidade [5] 7 Ainda de acordo com a forma implícita, podemos ter quatro aproximações das superfícies, sendo elas a Primitive (P), FRD, IWP e Gyroid (G), sendo que as FRD e IWP podem ser consideradas variantes da aproximação do tipo Diamond (D). Estas são representadas pelas seguintes equações [4] : 𝜑𝑃(𝑟)=−[𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑥)+𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑦)+𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑧)]=𝐶 (2.1) 𝜑𝐹𝑅𝐷(𝑟)=4 𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑦)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑧)−𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙2𝑥) 𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙2𝑦) −𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙2𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙2𝑧)−𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙2𝑦)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙2𝑧)=𝐶 (2.2) 𝜑𝐼𝑊𝑃(𝑟)=−2[𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑦)+𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑧)+𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑦)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙ 𝑧)]+[𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙2𝑥)+𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙2𝑦)+𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙ 2𝑧)]=𝐶 (2.3) 𝜑𝐺(𝑟)=2[𝑠𝑖𝑛(2𝜋 𝑙∙𝑥)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑦)+𝑠𝑖𝑛(2𝜋 𝑙∙𝑦)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑧)+𝑠𝑖𝑛(2𝜋 𝑙∙𝑧)𝑐𝑜𝑠(2𝜋 𝑙∙𝑥)]− 0.8=𝐶 (2.4) De forma a facilitar a visualização dessas mesmas superfícies, apresenta-se na figura 5 a representação da célula unitária das três principais geometrias ( Primitive , Gyroid e Diamond ). Figura 5 – Representação das células unitárias Primitive , Gyroid e Diamond 8 2.3 Artigos e aplicações de estruturas celulares e TPMS Devido à polivalência e excelentes características mecânicas das estruturas celulares, estas são aplicadas em diversas áreas, consoante a característica que mais se adeque à situação. A leveza característica das estruturas celulares, aliada à estanquicidade das células fechadas, permite a utilização destas estruturas para efeitos de flutuabilidade, ou seja, são um tipo de estruturas celulares amplamente usadas pela indústria naval. Sendo a rigidez outra das principais características, são amplamente usadas como material estrutural em diversas indústrias, quer seja através de materiais celulares naturais como a madeira, ou de materiais celulares fabricados, como os painéis sandwich . A condutividade térmica reduzida destes materiais torna-os ótimos para isolamento térmico. Cortiça, espumas poliméricas ou espumas de vidro são alguns dos materiais usados, adotados pela indústria de transportes, construção civil ou aeroespacial. Como as estruturas celulares têm a capacidade de absorver a energia de impactos e acelerações bruscas, são cada vez mais usadas como forma de acolchoamento de produtos frágeis, formando um pacote ou invólucro à volta do mesmo. Por fim, devido à sua estrutura interior, as estruturas celulares naturais, principalmente a cortiça, são bastante usadas como isolamento acústico pela indústria da construção civil. Alguns exemplos das aplicações referidas anteriormente são apresentados nas figuras 5 e 6 [7]. Figura 6 – Instalação de isolamento térmico com espumas poliméricas [7] 9 Apesar de todas as aplicações das estruturas celulares anteriormente apresentadas, as estruturas TPMS ainda são materiais muito hipotéticos, e como tal, maioritariamente abordados em estudos e não tanto em aplicações industriais de engenharia. Tal se deve ao facto de serem materiais muito recentes, e à dificuldade de produção deste tipo de geometrias complexas. No entanto, o potencial deste tipo de estruturas é inegável, sendo que diversos estudos se debruçam sobre características e áreas de aplicação das estruturas TPMS, como a redução de peso estrutural, absorção de impacto e biomedicina. Foram e são desenvolvidos estudos que enunciam diferentes métodos de fabrico destes materiais, para além de avaliarem o seu comportamento elástico e plástico, condutividade térmica ou outras áreas de aplicação. Figura 7 – Placas de cortiça usadas para isolamento acústico 10 Citando alguns exemplos, um estudo dos autores I. Maskery, L. Sturm, entre outros [8], estruturas matriciais baseadas em estruturas TPMS foram produzidas por manufatura aditiva de polímeros e examinadas com uma combinação de métodos experimentais e computacionais. Este estudo elucida os mecanismos de deformação e fornece parâmetros numéricos cruciais para estabelecer relações entre as geometrias escolhidas e desempenho mecânico. Foram examinados três tipos de estruturas, sendo elas a Primitive, Gyroid e Diamond , onde foram realizados testes de compressão em provetes, sendo estes validados com posteriores estudos computacionais com métodos de elementos finitos. No final, apresentaram-se os resultados, sendo que a estrutura Primitive apresentou melhores resultados, com um modulo de elasticidade bastante superior às outras duas estruturas, como verificado na figura 7. Figura 8 – Resultados obtidos experimentalmente do estudo de compressão 11 Num outro estudo similar, onde se avalia o comportamento mecânico deste tipo de estruturas, dos autores Shixiang Yu, Jinxing Sun e Jiaming Bai, entre outros [4], anteriormente abordado nesta dissertação, são abordados apenas dois tipos de estruturas TPMS, a Primitive (P) e Gyroid . Estes tipos de estruturas foram projetados com densidade uniforme e graduada e produzidas através do processo de manufatura aditiva, onde foram estudadas as propriedades mecânicas e a capacidade de absorção de energia das amostras impressas de TPMS. Neste estudo apenas foram usados testes experimentais de compressões em quatro tipo de provetes (dois uniformes e dois graduados). Os resultados mostraram que a estrutura Primitive graduada absorveu mais energia durante os testes de compressão, enquanto a energia absorvida na estrutura Gyroid graduada foi próxima da estrutura Gyroid uniforme. Estes resultados podem ser observados na figura 8. Citando novamente um estudo dos autores Nejc Novak, Oraib Al-Ketan, entre outros [6], foi avaliado neste estudo o comportamento compressivo quase-estático e dinâmico de estruturas celulares baseadas em estruturas TPMS. Foram analisados provetes de quatro tipos diferentes de Figura 9 – Resultados finais obtidos para os quatros tipos de estruturas em estudo 12 estruturas TPMS ( Diamond, Gyroid, IWP e Primitive ) com quatro densidades relativas diferentes, que foram fabricadas aditivamente pela técnica de fusão em leito de pó usando pó de aço inoxidável 316L. foram realizados testes experimentais, onde se usaram duas velocidades de carregamento diferentes em testes de compressão, sendo que o comportamento de deformação do teste dinâmico foi capturado usando termografia infravermelha. As matrizes TPMS projetadas matematicamente e propostas neste estudo mostram um bom potencial para uso em aplicações de resistência a colisões ( crashworthiness ) e a capacidade de controlar matematicamente a topologia da matriz, que pode ser aproveitada no projeto de estruturas funcionalmente graduadas para absorção eficiente de energia, e também em estruturas modernas compostas. A comparação entre as diferentes estruturas com quatro densidades relativas diferentes é baseada na avaliação da tensão de plateau e absorção de energia específica. Os resultados mostraram que a matriz Diamond apresenta a maior tensão de plateau , seguida pela matriz Gyroid , depois pela matriz IWP e, finalmente, pela Primitive . Os resultados de absorção de energia específica são da mesma ordem que no caso da tensão de plateau , e a mesma tendência é observada nos resultados quase-estáticos e dinâmicos. Estes resultados podem ser observados na figura 9. Figura 10 – Resultados finais dos quatro tipos de estruturas TPMS para o comportamento quaseestático e dinâmico [6] 19 3.3 Algoritmo de Modelação O principal objetivo da modelação da geometria TPMS é obter um sólido 3D o mais aproximadamente idêntico àquele que a equação primitiva representa. Isto traz uma série de desafios à modelação: primeiramente, os softwares de CAD mais utilizados permitem criar sólidos através da inserção de equações, mas estas têm de ser relativamente simples e inseridas na sua forma paramétrica; o sólido pode ser também modelado apenas através de comandos presentes nos programas acima supracitados, mas haverá sempre erros associados e falhas na representação da geometria; ou pode também ser usado o método de engenharia inversa, onde se faz um scan 3D à geometria que pretendemos modelar, importar para o programa CAD e a partir daí a geometria pode ser manipulada livremente, mas isso também implica ter um modelo físico da geometria em estudo e o hardware de scan 3D. Posto isto, estas dificuldades podem ser contornadas com o apoio de softwares matemáticos, que permitem gerar uma superfície de malha que pode ser modelada. A primeira opção que surge é o software MatLab , dado ser um programa amplamente usado durante grande parte do curso, mas este prova ser infrutífero: para além da limitação de exportar apenas no formato . STL , a superfície gerada tem uma qualidade de malha reduzida, e com demasiadas falhas para ser possível obter um sólido satisfatório. Como tal é necessário encontrar uma alternativa viável, e esta surge sob o programa MathMod, uma versão aprimorada do software anteriormente conhecido por K3DSurf . Figura 17 – Geração da superfície de malha ao inserir a equação 2.1. De salientar também na parte inferior do programa a área de inserção do domínio. 20 Aqui, é possível inserir a equação de forma implícita, definir os limites do domínio em estudo e gerar a superfície. No caso em estudo, é inserida a equação com o respetivo valor de cada membro da equação, e os domínios são estabelecidos como −2≤𝑥 ≥ 2, −2≤𝑦 ≥2 e −2≤𝑧≥2, de forma a representar apenas um elemento. De seguida, exporta-se o ficheiro obtido (no formato . OBJ ) e pode começar a modelação propriamente dita. Teoricamente podia ser aberto diretamente no SolidWorks , mas há duas falhas nesta opção: o programa em questão tem uma secção inteiramente dedicada à manipulação deste tipo de ficheiros, mas apenas para sólidos ou superfícies geométricas simples, como esferas, cilindros ou cubos (fig. 17); dada a complexidade da geometria pretendida, o software não tem a capacidade para converter a malha numa superfície. Para além disso, a malha apresenta falhas que não são possíveis de corrigir diretamente no SolidWorks (fig. 18). Figura 19 – Comando Thicken, onde se podem visualizar uma serie de aberturas entre elementos de malha Figura 18 – Comando Surface Mesh , limitado a superfícies geométricas simples 21 Torna-se então necessário um passo intermédio, no qual se recorre ao software de engenharia inversa Geomagic Design X. Este programa permite corrigir falhas entre os elementos de malha e suavizar a superfície do solido pretendido. Após importar o ficheiro para o programa, o primeiro comando utilizado é o Auto Surface. Este comando permite corrigir as “rugosidades” presentes na superfície, que naturalmente ocorrem por ser uma superfície com elementos de malha. Assim, a superfície fica com um aspeto mais natural, e acima de tudo com menos custo computacional e com maior facilidade de manipular a malha na futura simulação numérica. Importante referir que no tipo de mesh é selecionado a opção Mechanical pois permite uma divisão mais constante da superfície e gera menos falhas que a opção Organic. No Fitting Method , a opção Adaptative permite refinar melhor a superfície em áreas de maior densidade de elementos de malha, o que permite obter um resultado final mais satisfatório. Apesar disso, existem ainda erros na malha, nomeadamente espaços abertos entre elementos de malha, que esta conversão não corrige ou até acaba por gerar. Como tal, usa-se o comando Healing Wizard , que faz uma correção destas falhas e permite obter uma superfície constante e continua. De salientar que ao usar este comando acaba por dar sempre um erro no final, em que diz que 6 aberturas não são possíveis de corrigir. Isto acontece sempre pois as 6 aberturas que ele se refere com as partes ocas da geometria obtida, e deve-se então ignorar este erro. Figura 20 – Ambiente de trabalho do software de engenharia inversa Geomagic Design X , após importação da geometria a modelar 22 Um dos principais objetivos da utilização deste programa acaba por ser dar a espessura de casca à superfície obtida pela equação, pois só assim é possível gerar um sólido 3D, com volume e densidade, e correr a simulação numérica. Como tal, o comando seguinte é o Thicken, em que se seleciona a superfície pretendida, coloca-se o input de espessura de 0,15 milímetros, a direção que se quer gerar a espessura, e se obtém finalmente um sólido 3D, como observado nas figuras 21 e 22. O valor da espessura é baseado noutros estudos similares, onde se optam por valores que vão desde os 0,15 até ao 1 milímetro [4]. A partir deste ponto pode-se realizar uma transferência direta para o SolidWorks através do comando Live Transfer , e prosseguir com a próxima parte da modelação da geometria. Apenas é necessário selecionar a versão do programa que irá ser utilizada, a opção Start from first feature , para ter a certeza de que todas as superfícies são selecionadas e está pronto a ser exportado. Figura 21 – Introdução dos comandos Auto Surface e Healing Wizard de forma a corrigir os erros de superfície. 23 Figura 23 – Sólido obtido no final da modelação e correção de erros Figura 22 - Geração da espessura de casca, de forma a gerar uma geometria passível de ser simulada 24 A última fase da modelação tem como objetivo limar algumas arestas na geometria obtida e gerar a matriz 4x4x4 para realizar a simulação numérica. Ao abrir o ficheiro no programa SolidWorks, é possível verificar que a superfície apresenta algumas falhas, principalmente junto às aberturas nas extremidades. Ao criar um assembly e criar a matriz, estas falhas vão gerar mais erros e sobreposições de material, o que vai dificultar a criação de uma malha satisfatória e a obtenção de resultados fidedignos na simulação. Como tal, é usado o comando Cut Extrude para limar estas imperfeições nas extremidades e permitir um contacto entre elementos perfeito. No entanto, ao utilizar este comando, o comprimento e altura do elemento irá ser modificado. Mas como o Cut Extrude utilizado foi de apenas 0,03 milímetros, a diferença no tamanho final do elemento e da matriz não irá sofrer alterações relevantes. Posto isto, o passo final é criar um assembly e formar uma matriz 4x4x4. Para além da colocação correta de todos os elementos unitários, foram criadas 2 superfícies de união superior e inferior, onde a carga e as fixações irão ser aplicadas no momento da simulação. Figura 24 – Ambiente de trabalho do SolidWorks 2020 após ser importado diretamente do programa anterior através do comando Live Transfer. 25 O resultado final de todos passos de modelação está apresentado na figura 24. Poderia surgir uma questão pertinente neste momento: não seria muito mais prático gerar diretamente uma matriz do programa MathMod, manipulando os domínios de forma a gerar não um elemento, mas todos os elementos da matriz 4x4x4 juntos? Efetivamente o plano inicial era precisamente este. Mas ao gerar uma superfície tão complexa, alguns problemas foram surgindo: primeiro, o custo computacional aumentou exponencialmente; na correção dos erros da malha, o programa Geomagic Design X acabava por não conseguir corrigir todos os erros; e o maior problema de todos ocorria ao correr o comando Thicken , onde a geração de espessura de casca nunca conseguia ser bem-sucedida. Como tal, a opção de manipular unicamente um elemento e depois multiplicá-lo o número de vezes que fosse necessário mostrou ser a opção mais viável. Face a todas estas operações de modelação e de forma a poder resumir o processo de criação da geometria desde a sua forma de equação até à matriz final, apresenta-se na figura 25 um fluxograma representando todos os passos do algoritmo de modelação. Figura 25 – Matriz obtida após a finalização de todos os passos da modelação 26 Figura 26 – Fluxograma criado de forma a sumarizar todo o processo de modelação MathMod •Conversão da equação matemática para uma superficie de malha Geomagic DesignX •Correção dos erros da malha •Suavização da superficie da estrutura •Geração da espessura de casca SolidWorks •Melhoramento da estrutura nos pontos de contacto •Geração da matriz 4x4x4 27 4. SIMULAÇÃO NUMÉRICA De forma a ser possível testar a viabilidade da estrutura TPMS obtida, procede-se à realização de uma simulação numérica, de forma a examinar o comportamento mecânico da mesma. Usa-se uma estrutura celular clássica, com volume e densidade similares, de forma a comparar os resultados obtidos, onde é realizado um estudo de convergência de malha para a obtenção de resultados o mais fidedignos possível. 4.1 Definição do Caso de Estudo O tipo de simulação escolhida para este caso em estudo foi um teste linear elástico, de compressão, de forma a medir a deformação sofrida pela estrutura quando aplicada uma carga sobre a mesma. Para tal, e de forma a haver um ponto de comparação, foi criada uma estrutura celular clássica mais simples, obtida através de subtração periódica de material num cubo, tal como exemplificado na figura 26, baseado num estudo recente que utiliza o mesmo método de criação da estrutura [11]. Para isso, foi criada uma estrutura paralelepipedal com elementos esféricos de tamanho uniforme, com um raio de 2 milímetros, que foi subtraída a um cubo com dimensões de 20x20 milímetros. O passo seguinte é usar o comando Cut Extrude no SolidWorks de forma que a estrutura final tenha dimensões de atravancamento idênticas à estrutura TPMS em estudo. Tal como na estrutura TPMS criada, foram adicionadas duas superfícies de união superior e inferior, para serem aplicadas as cargas e fixações. O resultado final pode ser visualizado na figura 27. Partindo de um exemplo de outros estudos no mesmo tipo de estrutura [4], atribuíram-se a ambas as estruturas as propriedades mecânicas de um aço inoxidável 316L, propriedades essas que estão listadas na tabela 1. 28 Figura 28 - Estrutura final de comparação Figura 27 – Estrutura paralelepipedal com elementos esféricos de tamanho uniforme e cubo que formam a base da estrutura clássica 35 4.2 Apresentação e Discussão de Resultados Concluídas as simulações numéricas para os diferentes tamanhos de elementos de malha e para ambas as estruturas, apresentam-se nas tabelas 3 e 4 os resultados obtidos, quer para o deslocamento total de cada estrutura, quer para os valores de tensão máxima. Estrutura de Comparação Simulação nº Tamanho de elemento (mm) Tensões de Von Mises máximas (MPa) Deslocamento Máximo (mm) 1 2 59,313 0,0021964 2 1,625 80,459 0,002208 3 1,25 85,635 0,0021743 4 0,875 86,434 0,0022662 5 0,5 91,129 0,0023141 Tabela 3 – Resultados obtidos de deslocamentos e tensões máximas da estrutura de comparação Estrutura TPMS em Estudo Simulação nº Tamanho de elemento (mm) Tensões de Von Mises máximas (MPa) Deslocamento Máximo (mm) 1 2 474,47 0,023959 2 1,625 473,84 0,02399 3 1,25 475,45 0,023997 4 0,875 466,7 0,02404 5 0,5 475,31 0,024214 Tabela 4 - Resultados obtidos de deslocamentos e tensões máximas da estrutura TPMS Com a obtenção dos valores da deformação das estruturas em estudo, é possível realizar uma comparação da rigidez entre as duas estruturas, e verificar qual das estruturas oferece uma maior rigidez estrutural. O cálculo da rigidez é obtido pela relação carga-deslocamento, que está relacionada com a elasticidade dos corpos e no comportamento linear dos mesmos na fase elástica de deformação, e que 36 diz que a força exercida sobre um corpo é igual à deformação medida vezes a constante de rigidez do material, como indicado na equação 3.1: 𝐹 =𝐾𝑑 (3.1) sendo 𝐹 a força exercida (Newtons), 𝐾 a constante de rigidez (Newtons/metros) e 𝑑 o deslocamento medido da deformação. Como o objetivo é calcular a rigidez da estrutura, reorganiza-se a equação para se obter: 𝐾 =𝐹𝑑 ⁄ (3.2) e assim ser obter os valores de 𝑘 para cada tamanho de elemento de malha. Como as estruturas em estudo não apresentam um valor de massa e volume exatamente iguais, e de maneira a realizar uma comparação o mais objetiva possível, o valor da rigidez obtido é então dividido pela massa total da estrutura excetuando as chapas de união superior e inferior, resultando assim num valor de rigidez por unidade de massa apenas das estruturas celulares. O valor de massa da estrutura de controlo é de 16,42 gramas, sendo que o da estrutura TPMS é de 2,77 gramas. Estes valores, para ambos os 𝐾, podem ser consultados nas tabelas 5 e 6. Segue-se um exemplo do cálculo desses valores de 𝐾. • Simulação nº1: 𝐹 =1000 𝑁; ∆𝑙 =0,0021964 𝑚𝑚 =2,1964∗10−6 𝑚 𝐾 = 1000 2,1964∗10−6 ⟺𝑘 =455290475 𝑁 𝑚 ⁄ 𝐾𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 ⁄ = 455290475 (16,42∗10−3)⟺𝐾𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 ⁄ = 27727799900 𝑁𝑚∗𝑘𝑔 ⁄ Estrutura de Comparação Simulação Nº Rigidez (𝑴𝑵 𝒎 ⁄ ) Rigidez por unidade de peso (𝑴𝑵 𝒎 ⁄∗𝒌𝒈) 1 455,29 27727,80 2 452,90 27582,13 3 459,92 28009,63 4 441,27 26873,77 5 432,13 26317,51 Tabela 5 – Resultados calculados da rigidez na estrutura clássica 37 Face aos valores finais calculados, podemos concluir que a estrutura TPMS em estudo apresenta valores de rigidez cerca de metade do valor dos da estrutura clássica, o que vai de encontro aos valores de deslocamento mais elevados que esta apresentou. No entanto há que salientar que os valores de deslocamento da estrutura TPMS foram sensivelmente dez vezes mais elevados. Relativamente ao estudo de convergência, há uma clara relação linear entre a diminuição do valor da rigidez e a diminuição do tamanho dos elementos de malha, o que leva a considerar que o real valor de rigidez da estrutura será ainda mais baixo que os valores apresentados. Em contraste, os valores da deformação aumentam ligeiramente ao diminuir o tamanho dos elementos. Por último, sobre as tensões de Von Mises, o estudo não foi conclusivo pois os valores apresentados não indicam algum tipo de relação linear entre eles, onde se pode observar uma oscilação positiva e negativa durante a diminuição do tamanho dos elementos. O que foi efetivamente observado, durante o estudo numérico, é que a zona de tensão máxima era mais próxima do centro da estrutura, em ambas as estruturas, como pode ser observado nas figuras 35 e 36. Estrutura TPMS em Estudo Simulação Nº Rigidez (𝑴𝑵 𝒎 ⁄ ) Rigidez por unidade de peso (𝑴𝑵 𝒎 ⁄∗𝒌𝒈) 1 41,74 15067,86 2 41,68 15048,39 3 41,67 15043,99 4 41,60 15017,09 5 41,30 14909,18 Tabela 6 - Resultados calculados da rigidez na estrutura TPMS 38 De forma a facilitar a comparação entre a rigidez absoluta e a rigidez por unidade de peso das duas estruturas em estudo, apresentam-se dois gráficos nas figuras 37 e 38 com os valores de rigidez obtido nas simulações de cada tamanho de elemento de malha. Figura 37 - Visualização da distribuição das tensões de Von Mises na estrutura TPMS (com zoom à direita) Figura 36 - Visualização da distribuição das tensões de Von Mises na estrutura de comparação 39 0 50000000 100000000 150000000 200000000 250000000 300000000 350000000 400000000 450000000 500000000 1 2 3 4 5 Rigidez Absoluta (N/m) Estrutura Controlo Estrutura TPMS 0 5E+09 1E+10 1,5E+10 2E+10 2,5E+10 3E+10 12345 Rigidez por unidade de Peso (N/m*kg) Estrutura Controlo Estrutura TPMS Figura 38 - Rigidez por unidade de peso das estruturas em estudo Figura 39 - Rigidez absoluta das estruturas em estudo 40 5. CONCLUSÕES E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS Face aos resultados obtidos e comparando os valores de rigidez, a primeira conclusão é que a estrutura TPMS em estudo apresenta valores de rigidez inferiores face à estrutura de comparação. O deslocamento obtido foi significativamente superior na estrutura TPMS, e isso refletiu-se nos valores de rigidez resultantes. De facto, isso pode ser atribuído a uma espessura de casca demasiado reduzida, que influencia negativamente a estrutura, porque apesar de terem sido comparadas duas geometrias com dimensões de atravancamento similares, o valor de massa da de controlo é aproximadamente seis vezes superior que o da TPMS. Mas observando os valores de rigidez por unidade de peso constata-se que estes sobem consideravelmente, o que atesta o potencial que este tipo de estruturas possui. Nos valores de rigidez absoluta é apresentado um rácio próximo dos 10:1 a favor da estrutura de comparação, que desce para 2:1 quando se refere aos valores de rigidez por unidade de peso. Comparando os valores das tensões de Von Mises, a estrutura de comparação naturalmente apresentou valores mais reduzidos, condizentes com os deslocamentos também mais reduzidos. Observou-se um ligeiro aumento no valor quando menor se tornava o tamanho dos elementos de malha. Na estrutura TPMS não foi possível observar uma correlação entre o valor das tensões e o tamanho dos elementos de malha, apesar de o valor se manter relativamente constante. Ainda assim é de salientar que face ao peso reduzido e dimensão da estrutura TPMS, a carga aplicada produz deslocamentos infinitesimais, o que prova a rigidez deste tipo de materiais e os torna extremamente viáveis como materiais estruturais onde poderão ser solicitados ao impacto e absorção de cargas, mantendo uma massa total da estrutura reduzida. Com o evoluir dos métodos e cadência de produção, as estruturas celulares do tipo Triply Periodic Minimal Surface têm os atributos necessários para vingarem num mercada cada mais competitivo e exigente. Relativamente aos desenvolvimentos futuros, o passo lógico seguinte seria aumentar a espessura de casca deste tipo de geometria, verificando efetivamente se os valores de rigidez aumentam como foi previsto, ou se o aumento de valor de massa não justifica o ligeiro aumento da rigidez. Um outro detalhe que pode ter influência nos resultados obtidos na simulação numérica é a seleção de um estudo de casca (Shell Strutures ) e não de um estudo sólido, quando é realizada a simulação no Ansys 2021. Isto apenas se aplica para casos de espessura de casca muito reduzida, como é o caso deste estudo, mas permite otimizar o comportamento da estrutura e talvez obter resultados mais fidedignos. É algo que pode ser tido em conta em estudos futuros deste tipo. A partir daí podem-se apontar uma serie de caminhos possíveis: continuar o estudo de convergência até atingir o limite computacional, de forma a convergir para os valores de rigidez mais 41 próximos dos reais; testar todo o tipo possível de estruturas do tipo TPMS, fazendo uma comparação comportamental entre todas as estruturas possíveis de modelar computacionalmente, e observar qual obtém melhores valores de rigidez e deslocamento; realizar simulações numéricas de tração e de fadiga, do tipo não linear, e realizar ensaios práticos em provetes para validar as simulações anteriormente descritas. 42 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Ashby, M. F. (1983). Mechanical Properties of Cellular Solids. Metallurgical Transactions. A, Physical Metallurgy and Materials Science , 14 A (9), 1755–1769. https://doi.org/10.1007/BF02645546 [2] Kamalieva, R. N., & Charkviani, R. V. (2017). Creation of Ultra-light Spacecraft Constructions Made of Composite Materials. 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Passo 2 – Exportação da geometria obtida em superfície de malha num formato que permita a modelação da mesma (neste caso é .OBJ). 51 Passo 11 – Criação das superfícies de união superior e inferior (são ambas a mesma superfície, basta criar uma) com o comando Extrude Boss/Base. Passo 12 – Criação do Assembly final ao unir as superfícies de união à matriz celular, e consequente obtenção da estrutura TPMS final.