Curvas de hodógrafo pitagórico

FACULTAD DE MATEM´ ATICAS DEPARTAMENTO DE GEOMETR´ IA Y TOPOLOG´ IA Curvas de Hod´ografo Pitag´orico Memoria realizada por Ana M´artinez Barrag´an Dirigido por: VoBo Dra. M. Carmen M´arquez Garc´ıa Abstract In this work we are going to study the property of the Pythagorean hodographs in curves with different degrees of freedom. First, we are going to see fundamental aspects of curves with this property. Then we are going to study in detail the cubic curves and finally we are goint to see, in less detail, this property in higher order curves. Resumen En este trabajo estudiaremos la propiedad de hod´ografo pitag´orico en curvas con distintos grados de libertad. Primero, veremos los aspectos fundamentales de las curvas con esta propiedad. Luego, estudiaremos con detalle las curvas c´ubicas y finalmente, con menos detalle, veremos la propiedad del hod´ografo en curvas de grado superior. ´ Indice general Introducci´on 9 1. Preliminares 11 1.1. Conceptosprevios......................... 11 2. Hod´ografo Pitag´orico 23 2.1. Introducci´on............................ 23 2.2. Tripleta de polinomios pitag´oricos . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Aspectos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4. Curvasc´ubicas .......................... 30 2.5. Curvas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.6. Longituddearco ......................... 54 2.7. CurvasOffset ........................... 57 2.8. Observaciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Bibliograf´ıa 63 7 8´ INDICE GENERAL Introducci´on Las curvas de B´ezier, concepto fundamental para esta memoria, fueron desarrolladas por primera vez por Paul De Casteljau en 1959, usando el algoritmo que lleva su nombre. Sin embargo, fue Pierre B´ezier quien las di´o a conocer 3 a˜nos m´as tarde, en 1962,de quien tomaron el nombre. Estas curvas fueron un instrumento fundamental del sistema que se desarroll´o para el trazado de dibujos t´ecnicos, en el dise˜no aeron´autico y en el de autom´oviles. Las biograf´ıas de estos matem´aticos siguieron l´ıneas paralelas y muy pr´oximas.Pierre-´ Etienne B´ezier naci´o en Par´ıs en 1910. Su padre era ingeniero y su madre fue una persona muy interesada en la criptograf´ıa y el an´alisis combinatorio. Se gradu´o en ingenier´ıa mec´anica en la Escuela Nacional Superior de Artes y Oficios y un a˜no despu´es en ingenier´ıa el´ectrica en la Escuela Superior de Electricidad y se doctora en Matem´aticas por la Universidad de Par´ıs en 1977. Entr´o en la casa Renault en 1933 donde hasta el 1975 ocup´o el puesto de director de m´etodos matem´aticos.Tambi´en trabaj´o de profesor de ingenier´ıa de producci´on desde 1968 hasta 1979 en la Escuela Nacional de Artes y Oficios. Con la aparici´on de los primeros ordenadores hizo uso de la inform´atica para el dise˜no de carrocer´ıa. As´ı en 1968 present´o un prototipo del sistema Unisurf que fue uno de los pioneros en sistemas de dise˜no geom´etrico asistido por ordenador. Esta modelizaci´on matem´atica se apoya en las curvas que llevan su nombre y que protagonizan su tesis de Doctorado en Matem´aticas. Finalmente, falleci´o en 1999 siendo enterrado en Gallardon, Francia. Paul De Casteljau naci´o en 1930 en Besanon, Francia. Estudi´o F´ısica y Matem´aticas y trabaj´o para la casa Citro¨en, donde en 1959 desarroll´o un algoritmo conocido actualmente como algoritmo de De Casteljau con el que se puede evaluar c´alculos en una cierta familia de curvas polin´omicas. El algoritmo de De Casteljau es todav´ıa ampliamente usado, aunque con algunas modificaciones, ya que es el m´etodo m´as robusto y num´ericamente estable para evaluar polinomios. Finalmente, muri´o en 1999. 9 16 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES y luego proyectar sobre el plano af´ın. Sin embargo, esta manera de proceder no nos proporciona intuici´on sobre la curva plana, ya que los puntos de control del pol´ıgono est´an en el espacio. Por ello, descompondremos, en su lugar, las coordenadas de los v´ertices en dos partes, Pi= (ωi, ωiPi), donde ωies la primera componente del v´ertice i- ´esimo y ωiPison las restantes. A primera vista, esta forma de proceder rompe la simetr´ıa de la expresi´on, pero es pr´actica, ya que Pi∈R2es precisamente la proyecci´on de Pisobre el plano af´ın. Por tanto, estamos describiendo las curvas racionales por medio de un pol´ıgono de control {P0, . . . , Pn}, al modo de las curvas polin´omicas, y unos par´ametros adicionales, {ω0, . . . , ωn}, que denominaremos pesos. La parametrizaci´on de la curva vendr´a dada por h(t) = n X i=0 ωiBn i(t), n X i=0 ωiPiBn i(t)!∈R3, t ∈[0,1], h(t) = Pn i=0 ωiPiBn i(t) Pn i=0 ωiBn i(t)∈R2, t ∈[0,1] (1.1.7) lo que muestra claramente que los pesos son los par´ametros que controlan el denominador de la parametrizaci´on racional. Si todos los pesos son iguales, ω=ωi, i = 0, . . . , n, el denominador desaparece pues n X i=0 ωiBn i(t) = ω n X i=0 Bn i(t) = ω y recuperamos una curva polin´omica h(t) = n X i=0 PiBn i(t), de pol´ıgono de control {P0, . . . , Pn}. En la pr´actica, todos los pesos ωise toman positivos. Su interpretaci´on es bastante sencilla. Basta observar que, si en la expresi´on (1.1.7) hacemos crecer uno de los pesos, ωk, dejando fijos el resto, l´ım ωk→∞ h(t) = l´ım ωk→∞ Pn i=0 ωiPiBn i(t) Pn i=0 ωiBn i(t)=Pk, 1.1. CONCEPTOS PREVIOS 17 lo que muestra que la curva tiende a acercarse al v´ertice Pkcorrespondiente. Este efecto se puede emplear para incrementar la tensi´on de la curva. Sin embargo, este hecho no sirve para acercar indiscriminadamente la curva a todos los v´ertices del pol´ıgono, ya que es obvio que, si multiplicamos todos los pesos por un mismo n´umero λ, la cancelaci´on entre numerador y denominador en (1.1.7) deja la curva invariable. Es decir, para un mismo pol´ıgono de control {P0, . . . , Pn}, los juegos de pesos {ω0, . . . , ωn},{λω0, . . . , λωn}corresponden a una misma parametrizaci´on y, por tanto, a una misma curva racional. Este ´ultimo hecho se puede utilizar para normalizar los pesos, por ejemplo, de modo que el primer peso valga la unidad. Basta escoger λ= 1/ω0. En todo lo anterior, estamos dando por sentado que cualquier punto del plano proyectivo tiene su equivalente en el af´ın, lo cual, como sabemos, no es cierto, ya que podr´ıa corresponder a un punto del infinito. ¿Qu´e sucede si uno de los v´ertices Pies un punto del infinito? Est´a claro que en este caso no tiene sentido hablar del peso ωi, ya que la primera componente del v´ertice va a ser nula, Pi= (0, Pi). En cualquier caso, sabemos que su imagen en el af´ın es un vector, no un punto, por lo que lo denominaremos vector de control. Haciendo esta distinci´on entre puntos y vectores de control, la expresi´on de una curva racional queda as´ı: h(t) = Pn puntos ωiPiBn i(t) + Pn vectores PiBn i(t) Pn puntos ωiBn i(t),(1.1.8) que, para que tenga sentido, deber´a tener al menos un v´ertice que sea punto de control. De lo contrario el denominador se anular´ıa y tendr´ıamos una curva vectorial, en el infinito del af´ın. Propiedades de las curvas racionales Muchas de las propiedades de las curvas de B´ezier se trasladan a las curvas racionales de manera inmediata, incluso de manera manifiestamente mejorada. Para comenzar, seguimos empleando combinaciones baric´entricas de los v´ertices del pol´ıgono de control, ya que, sumando los coeficientes de cada Pi obtenemos la unidad: n X i=0 ωiBn i(t) Pn j=0 ωjBn j(t)= 1. 18 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Esto implica que las propiedades que se derivaban de este hecho para las curvas de B´ezier, tales como que la curva est´a contenida en la envolvente convexa del pol´ıgono de control o que sea invariante bajo transformaciones afines, se siguen manteniendo. Otras propiedades, como que la curva interpole los v´ertices extremos P0, Pno ser sim´etrica, se cumplen tambi´en. Por ejemplo, lo comprobamos para el origen de la curva, h(0) = Pn i=0 ωiPiBn i(0) Pn i=0 ωiBn i(0) =ω0P0 ω0 =P0, y del mismo modo h(1) = Pn. Para una curva racional cuadr´atica normalizada, con ω0=1=ω2, ω1= ω > 0 r(t) = P0(1 −t)2+ 2ωP1t(1 −t) + P2t2 (1 −t)2+ 2ωt(1 −t) + t2 se tiene que: r0(0) = 2ω(P1−P0), r0(1) = 2ω(P2−P1) con lo cual la tangente de la curva para t= 0 tiene la direcci´on del segmento que une P0con P1y la tangente para t= 1, la direcci´on del segmento que une P1con P2. Arcos de circunferencia Frente a las parametrizaciones polin´omicas, que para n= 2 s´olo permiten representar arcos de par´abola, las parametrizaciones racionales describen arcos de circunferencia. Fij´emonos en la parametrizaci´on normalizada, ω0=1=ω2,ω1=ω, con ω > 0, de una curva de B´ezier racional de grado dos: r(t) = (1 −t)2P0+ 2ωt(1 −t)P1+t2P2 (1 −t)2+ 2ωt(1 −t) + t2.(1.1.9) Por simplificar c´alculos, tomemos el arco circular de radio 1 centrado en el origen c(s) = (cos(s),sen(s)) con extremos c(0) = (1,0) y c(α) = (cos α, sen α). Queremos calcular P0, P1, P2yωtal que r(t) sea el arco de circunferencia c(s) entre los puntos (1,0) y (cos α, sen α). Imponiendo las condiciones de interpolaci´on tenemos que P0=r(0) = c(0) = (1,0), P2=r(1) = c(α) = (cos α, sen α) y el v´ertice P1, por simetr´ıa, ser´a (Dcos(α/2), D sen(α/2)). 1.1. CONCEPTOS PREVIOS 19 Para estudiar las direcciones tangentes a la curva c(s) obtenemos su derivada c0(s)=(−sen s, cos s). La tangente a la curva r(t) en P0=r(0) es 2ω(P1−P0) y la derivada de la curva c(s) en cero es c0(0) = (0,1), luego 2ω(P1−P0)|| (0,1). Por otro lado, la tangente en P2=r(1) es 2ω(P2−P1) y la derivada de la curva c(s) en αes c0(α)=(−sen α, cos α), luego 2ω(P2−P1)||(−sen α, cos α). Teniendo en cuenta que P1= (Dcos(α/2), D sen(α/2)) obtenemos que 2ω(P1−P0) = 2ωDcos α 2−1, D sen α 2|| (0,1), por lo que llegamos a que ωDcos α 2−1= 0 y como tenemos que ω > 0 se tiene que D= 1/cos(α/2), con lo cual, P1= (1,tan(α/2)). Para obtener ahora el valor del peso ωpartimos de que P0= (1,0), P1= (1,tan(α/2)) y P2= (cos α, sen α). Sea la reparametrizaci´on del arco circular c(s): c(t) = (cos(tα),sen(tα)),0≤t≤1, por lo que c(1/2) = cos α 2,sen α 2. Sustituyendo t= 1/2 en (1.1.9) tenemos que r(1/2) = (1/4)P0+ 2ω(1/4)P1+ (1/4)P2 (1/4) + 2ω(1/4) + (1/4) =P0+ 2ωP1+P2 2+2ω. Como queremos que las curvas cyrsean la misma, imponemos que c(1/2) = r(1/2), por tanto, se tiene que P0+2ωP1+P2= (1,0)+2ω1,tan α 2+(cos α, sen α) = (2+2ω)cos α 2,sen α 2 con lo que obtenemos el sistema de ecuaciones: 1+2ω+ cos α= (2 + 2ω) cos(α/2) 2ωtan(α/2) + sen α= (2 + 2ω) sen(α/2) 20 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES lo que implica 2ω(1 −cos(α/2)) = 2 cos(α/2) −1−cos α 2ω(tan(α/2) −sen(α/2)) = 2 sen(α/2) −sen α y de la segunda ecuaci´on llegamos a que 2ωsen α 21 cos(α/2) −1= 2 sen α 2−2 sen α 2cos α 2= 2 sen α 21−cos α 2, por lo que si tomamos 0 < α < π, ω=1−cos(α/2) (1 −cos(α/2))/(cos(α/2)) = cos α 2. Sustituyendo en la primera ecuaci´on comprobamos el valor de ω: 2 cos α 2(1 −cos α 2) = 2 cos α 2−1−cos α por tanto −2 cos2α 2=−1−cos α luego 2 cos2α 2= 1 + cos2α 2−sen2α 2, lo cual es cierto. Se puede ver que a partir de los P1yωcalculados, r(t)=(r1(t), r2(t)) verifica que r2 1(t) + r2 2(t) = 1: De la Ecuaci´on (1.1.9) llegamos a que r(t) = (1 −t)2(1,0) + 2ωt(1 −t)(1,tan(α/2)) + t2(cos α, sen α) (1 −t)2+ 2t(1 −t)ω+t2. Se tiene r2 1(t) + r2 2(t) = =((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2cos α)2 ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2+ +(2t(1 −t) sen(α/2) + t2sen α)2 ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2= 1.1. CONCEPTOS PREVIOS 21 =(1 −t)4+ 4t2(1 −t)2cos2(α/2) + t4cos2α ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2+ +4t(1 −t)3cos(α/2) + 2(1 −t)2t2cos α+ 4t3(1 −t) cos(α/2) cos α ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2+ +4t2(1 −t)2sen2(α/2) + t4sen2α+ 4t3(1 −t) sen(α/2) sen α ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2= =(1 −t)4+t4+ 2t2(1 −t)2(2 cos2(α/2) + 2 sen2(α/2) + cos α) ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2+ +4t(1 −t)3cos(α/2) + 4t3(1 −t)(cos(α/2) cos α+ sen(α/2) sen α) ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2= =((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2 ((1 −t)2+ 2t(1 −t) cos(α/2) + t2)2= 1 Luego la curva racional r(t) es el arco de circunferencia c(t). 22 CAP´ ITULO 1. PRELIMINARES Cap´ıtulo 2 Hod´ografo Pitag´orico El hod´ografo de una curva param´etrica plana r(t) = (x(t), y(t)) es el lugar geom´etrico descrito por la primera derivada de la curva, r0(t) = (x0(t), y0(t)). Se dice que una curva polin´omica param´etrica tiene hod´ografo pitag´orico si existe un polinomio σ(t) tal que x02(t) + y02(t) = σ2(t) y diremos que {(x0(t), y0(t), σ(t)}es una “tripleta pitag´orica”. Aunque la curva de hod´ografo pitag´orico tiene menos grados de libertad que una curva param´etrica polin´omica arbitraria del mismo grado, aquella presenta propiedades notablemente atractivas desde un punto de vista pr´actico. Por ejemplo, su longitud de arco se puede expresar como una funci´on polin´omica del par´ametro y sus curvas offsets son curvas polin´omicas racionales. A lo largo de este cap´ıtulo presentaremos una caracterizaci´on algebraica de la propiedad del hod´ografo pitag´orico, analizaremos sus implicaciones geom´etricas en t´erminos de curvas de B´ezier y estudiaremos las propiedades en diversas aplicaciones. 2.1. Introducci´on La representaci´on de curvas y superficies en una forma adecuada de computaci´on eficiente y sistem´atica es un problema b´asico en el dise˜no asistido por ordenador. La mayor´ıa de estas representaciones son formuladas como curvas param´etricas polin´omicas, [4]. Los arcos de curvas polin´omicas planas, se definen de una forma equivalente a : x(t) = Pn k=0 aktk, y(t) = Pn k=0 bktk,para t∈[0,1].(2.1.1) 23 24 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO Dichos arcos pueden unirse con varios ´ordenes de continuidad formando curvas spline para una interpolaci´on de datos uniforme. Se representan f´acilmente incrementando uniformemente ty evaluando el polinomio (2.1.1). Una deficiendia inmediata de la forma (2.1.1) es la poca ”flexibilidad” que presentan, esto puede remediarse permitiendo la forma racional r(t) = X(t) W(t),Y(t) W(t), donde X(t), Y(t) y W(t) son polinomios. Obviamente, las curvas polin´omicas son un subconjunto propio de las curvas racionales y la extensi´on a las formas racionales no presenta dificultades computacionales significativas, [4]. Figura 2.1: Segmento de curva param´etrica diferenciable y vectores de velocidad a lo largo de ese segmento. Figura 2.2: El hod´ografo es el lugar geom´etrico generado al trasladar estos vectores al origen Las curvas param´etricas polin´omicas tienen ciertas limitaciones que degradan su utilidad general en aplicaciones pr´acticas de dise˜no. Nuestro ob- 2.1. INTRODUCCI ´ ON 25 jetivo es identificar un subconjunto de curvas polin´omicas para las cuales estas limitaciones se “relajan” y resaltar las propiedades ´utiles que surgen. Para facilitar este trabajo, recurrimos a la noci´on de hod´ografo de una curva plana r(t)=(x(t), y(t)), es decir, el lugar geom´etrico descrito por la derivada param´etrica r0(t)=(x0(t), y0(t)) de esta curva, [1]. Si trepresenta el tiempo, el hod´ografo describe el vector velocidad de la trayectoria r(t) = (x(t), y(t)), Figura 2.2 y Figura 2.1. Antes de continuar, seamos m´as espec´ıficos sobre algunas de las limitaciones de las curvas polin´omicas mencionadas anteriormente. Cuando dicha curva se representa evaluando de forma uniforme el valor del par´ametro {tk}, los puntos geom´etricos resultantes {rk}no est´an uniformemente espaciados a lo largo de la curva, ya que su “flujo param´etrico” es necesariamente desigual si no es una l´ınea recta. Para compensar esto se requiere una determinaci´on de la relaci´on funcional entre la longitud de arco sa lo largo de la curva y el par´ametro t. En general, s(t) es una integral que no puede resolverse con funciones elementales de ty recurriendo a m´etodos num´ericos para aproximar esta integral, el resultado es ineficiente y potencialmente propenso a errores. Otro problema surge con respecto a las curvas offset. En aplicaciones tales como el mecanizado de control num´erico, el inter´es est´a en la curva ro(t) = r(t)+dn(t), curva dada a una distancia fija dde la curva polin´omica r(t) en la direcci´on de su vector normal n(t). La curva ro(t) no es, en general, una curva polin´omica. De hecho, hace m´as de un siglo, [10], se prob´o que si r(t) es de grado n, la curva offset a una distancia ±d, tomada en conjunto, constituye una curva algebraica irreducible con una ecuaci´on impl´ıcita fo(x, y) = 0 de grado 4n−2 en general, [7]. Este hecho ha llevado a la formulaci´on de varios esquemas heur´ısticos de aproximaci´on polin´omica por partes para las curvas offset. Las curvas polin´omicas que se presentan en este cap´ıtulo superan estas deficiencias. Sus longitudes de arco son meramente funciones polin´omicas del par´ametro, mientras que sus curvas offsets son curvas racionales de grado relativamente bajo para distancias ±d. En vista de los diversos usos pr´acticos de las curvas offset, esta ´ultima propiedad es especialmente significativa. Las formas racionales son el esquema omnipresente de representaci´on can´onica de los sistemas de modelado geom´etrico, y la posibilidad de describir las curvas offset precisamente en t´erminos de ellas facilita el procedimiento utilizado en distintas aplicaciones. 32 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO teniendo en cuenta (1.1.1), se tiene que, C·1 = C·P3 j=0 B3 j(t). Por tanto, obtenemos: x(t) = C |{z} x0 B3 0(t) + u2 0−v2 0 3+C | {z } x1 B3 1(t) + (u2 0−v2 0)+(u0u1−v0v1) 3+C | {z } x2 B3 2(t) +(u2 0−v2 0)+(u0u1−v0v1)+(u2 1−v2 1) 3+C | {z } x3 B3 3(t) = xkP3 k=0 B3 k(t). (2.4.5) De la misma forma, y(t) = R2u(t)v(t)dt =R[2u0v0B2 0(t)+(u0v1+u1v0)B2 1(t)+2u1v1B2 2(t)]dt = 2u0v0RB2 0(t)dt + (u0v1+u1v0)RB2 1(t)+2u1v1RB2 2(t)dt =2u0v0 3 3 X k=1 B3 j(t) + D1+(u0v1+u1v0) 3 3 X j=2 B3 j(t) + D2=2u1v1 3 3 X j=3 B2 j(t) +D3=B3 1(t)2u0v0 3+B3 2(t)2u0v0+ (u0v1+u1v0) 3 +B3 3(t)2u0v0(u0v1+u1v0)+2u1v1 3+ (D1+D2+D3) | {z } D ·1 =D |{z} y0 B3 0(t) + 2u0v0 3+D | {z } y1 B3 1(t) + 2u0v0+ (u0v1+u1v0) 3+D | {z } y2 B3 2(t) +2u0v0+ (u0v1+u1v0)+2u1v1 3+D | {z } y3 B3 3(t) = ykP3 k=0 B3 k(t). (2.4.6) Tenemos entonces que los puntos de control de la curva r(t) = (x(t), y(t)) = (xkP3 k=0 B3 k(t), ykP3 k=0 B3 k(t)) = P3 k=0(xk, yk)B3 k(t), Pk= (xk, yk), vienen dados a partir de las siguientes expresiones: 2.4. CURVAS C ´ UBICAS 33 P0= (x0, y0) = (C, D), P1=u2 0−v2 0 3+C, 2u0v0 3+D=P0+1 3(u2 0−v2 0,2u0v0), P2=(u2 0−v2 0)+(u0u1−v0v1) 3+C, 2u0v0+ (u0v1+u1v0) 3+D =P1+1 3(u0u1−v0v1, u0v1+u1v0), P3=(u2 0−v2 0)+(u0u1−v0v1)+(u2 1−v2 1) 3+C, 2u0v0+ (u0v1+u1v0)+2u1v1 3+D=P2+1 3(u2 1−v2 1,2u1v1). (2.4.7) Aunque estas expresiones son id´oneas para la parametrizaci´on de las curvas con hod´ografo pitag´orico c´ubicas desde un punto de vista computacional, no son, sin embargo, las m´as apropiadas desde un punto de vista intuitivo. Por ello, vamos a formular unas propiedades m´as geom´etricas de estas curvas. Teorema 2.4.1 Sea r(t)una curva c´ubica definida por los puntos de control, Pk. Sean L1, L2, L3las longitudes de los lados del pol´ıgono de control y θ1,θ2 los ´angulos interiores en los v´ertices P1yP2. Las condiciones L2=pL1L3yθ2=θ1(2.4.8) son necesarias y suficientes para asegurar que r(t)tenga hod´ografo pitag´orico. Demostraci´on. Sea r(t) una curva c´ubica con hod´ografo pitag´orico definido por los puntos de control dados anteriormente, Pk. Denotamos por djk la distancia entre PjyPk(j6=k). As´ı, L1=d01,L2=d12 yL3=d23. d01 =kP1−P0k=1 3p(u2 0−v2 0)2+ (2u0v0)2 =1 3pu4 0−2u2 0v2 0+v4 0+ 4u2 0v2 0=1 3pu4 0+ 2u2 0v2 0+v4 0 =1 3p(u2 0+v2 0)2=1 3(u2 0+v2 0) = u2 0+v2 0 3, (2.4.9) 34 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO Figura 2.3: Los par´ametros geom´etricos L1, L2, L3, θ1yθ2definen la forma del pol´ıgono de control de la curva c´ubica. d12 =kP2−P1k=1 3p(u0u1−v0v1)2+ (u0v1+u1v0)2 =1 3pu2 0u2 1+v2 0v2 1+u2 0v2 1+u2 1v2 0=1 3p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1) =p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1) 3, (2.4.10) d23 =kP3−P2k=1 3p(u2 1−v2 1)2+ 4u2 1v2 1=1 3pu4 1+v4 1−2u2 1v2 1+ 4u2 1v2 1 =1 3pu4 1+ 2u2 1v2 1+v4 1=1 3p(u2 1+v2 1)2=u2 1+v2 1 3. (2.4.11) Claramente se tiene la condicion d12 =√d01 ·d23, pues pd01 ·d23 =ru2 0+v2 0 3 u2 1+v2 1 3=p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1) 3. 2.4. CURVAS C ´ UBICAS 35 Antes de continuar con la demostraci´on, enunciamos el teorema del coseno para un tri´angulo de lados a, b ycy ´angulo interior δque forman los lados a yb. c2=a2+b2−2ab cos δ. Aplic´andolo a nuestra demostraci´on y teniendo en cuenta la Figura 2.3 se tiene: d2 02 =d2 12 +d2 01 −2d12d01 cos θ1⇒cos θ1=d2 01 +d2 12 −d2 02 2d12d01 . d2 13 =d2 23 +d2 12 −2d23d12 cos θ2⇒cos θ2=d2 12 +d2 23 −d2 13 2d12d23 . Vamos a calcular d2 02 yd2 13: P2−P0=1 3[(u2 0−v2 0,2u0v0)+(u0u1−v0v1, u0v1+u1v0)] =1 3(u2 0−v2 0+u0u1−v0v1,2u0v0+u0v1+u1v0), P3−P1=P2+1 3(u2 1−v2 1,2u1v1)−P0−1 3(u2 0−v2 0,2u0v0) =1 3[(u2 0−v2 0+u0u1−v0v1,2u0v0+u0v1+u1v0) −(u2 0−v2 0,2u0v0)+(u2 1−v2 1,2u1v1)] = 1 3(u2 1−v2 1+u0u1 −v0v1,2u1v1+u0v1+u1v0), por tanto, d2 02 =kP2−P0k2=1 9[(u2 0−v2 0+u0u1−v0v1)2−(2u0v0+u0v1u1v0)2] 1 9[(u2 0−v2 0)2+ (u0u1−v0v1)2+ 2(u2 0−v2 0)(u0u1−v0v1)+4u2 0v2 0 +(u0v1+u1v0)2+ 4u0v0(u0v1+u1v0)] = 1 9[u2 0(u2 0+u2 1+ 2u0u1 −2v0v1+v2 0+v2 1+ 4v0v1) + v2 0(v2 0+v2 1−2u0u1+ 2v0v1+u2 0+u2 1 +4u0u1)] = 1 9(u2 0+v2 0)[(u0+u1)2+ (v0+v1)2], 36 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO d2 13 =kP3−P1k2=1 9[(u2 1−v2 1+u0u1−v0v1)2+ (2u1v1+u0v1+u1v0)2] =1 9[(u2 1−v2 1)2+ (u0u1−v0v1)2+ 2(u2 1−v2 1)(u0u1−v0v1)+4u2 1v2 1 +(u0v1+u1v0)2+ 4u1v1(u0v1+u1v0)] = 1 9[u2 1(u2 1+u2 0+ 2u0u1 −2v0v1+v2 1+v2 0+ 4v0v1)] = 1 9(u2 1+v2 1)[(u0+u1)2+ (v0+v1)2]. Obtenemos as´ı que: cos θ1= (u2 0+v2 0)2+ (u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1)2−(u2 0+v2 0)[(u0+u1)2+ (v0+v1)2] 9 2 9(u2 0+v2 0)p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1) =1 2 (u2 0+v2 0)+(u2 1+v2 1)−(u0+u1)2−(v0+v1)2 p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1) =1 2−2(u0u1+v0v1) p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1)=−(u0u1+v0v1) p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1), cos θ2=u2 1+v2 1+u2 0+v2 0−(u0+u1)2−(v0+v1)2 2p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1) =−(u0u1+v0v1) p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1)= cos θ1. (2.4.12) Con esto se sigue que θ2=θ1´o θ2= 2π−θ1. Para probar que s´olo puede darse la primera igualdad, veamos que sen θ1= sen θ2. Teniendo en cuenta que el producto vectorial de dos vectores es a×b= (kakkbksen θ)uz, se tiene que sen θ1=(∆P1×∆P0)uz d01d12 , sen θ2=(∆P2×∆P1)uz d23d12 , 2.4. CURVAS C ´ UBICAS 37 donde uzes un vector unitario ortogonal al plano que contiene a la curva r(t) y ∆Pk=Pk+1 −Pk,k= 0, . . . , n −1. Calculamos entonces sen θ1y sen θ2: ∆P0=P1−P0=1 3(u2 0−v2 0,2u0v0), ∆P1=P2−P1=1 3(u0u1−v0v1, u0v1+u1v0), ∆P2=P3−P2=1 3(u2 1−v2 1,2u1v1). As´ı, ∆P1×∆P0=1 9 uxuyuz u0u1−v0v1u0v1+u1v00 u2 0−v2 02u0v00 =1 9(−u3 0v1 +u2 0u1v0−v2 0u0v1+v3 0u1)uz, ∆P2×∆P1=1 9 uxuyuz u2 1−v2 12u1v10 u0u1−v0v1u0v1+u1v00 =1 9(−u2 1u0v1 u3 1v0−v3 1u0+v2 1u1v0)uz. Entonces, d01d12 =1 9(u2 0+v2 0)p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1), d23d12 =1 9(u2 1+v2 1)p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1). 38 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO Y se tiene que: sen θ1= 1 9[(u2 0(−u0v1+u1v0) + v2 0(−u0v1+u1v0)] 1 9(u2 0+v2 0)p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1) =v0u1−u0v1 p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1), sen θ2=u2 1(u1v0−u0v1) + v2 1(u1v0−v1u0) (u2 1+v2 1)p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1) =v0u1−u0v1 p(u2 0+v2 0)(u2 1+v2 1). Por tanto, sen θ1= sen θ2⇒θ1=θ2. Rec´ıprocamente, sea r(t) cualquier curva c´ubica cuyo pol´ıgono de control satisfaga θ1=θ2. Podemos adoptar un sistema de coordenadas en el que los lados del pol´ıgono de control sean de la forma: ∆P0=L1(1,0), ∆P1=L2(cos(π−θ),sen(π−θ)) = L2(−cos θ, sen θ), 2.4. CURVAS C ´ UBICAS 39 ∆P2=L3(cos(2(π−θ)),sen(2(π−θ))) = L3(cos 2θ, −sen 2θ). 40 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO Utilizando la propiedad (1.1.4), tenemos que: r0(t) = 3[∆P0B2 0(t)+∆P1B2 1(t)+∆P2B2 2(t)] = 3(L1B2 0(t)−L2cos θB2 1(t) +L3cos 2θB2 2(t), L2sen θB2 1(t)−L3sen 2θB2 2(t)). As´ı, x02(t) = 9L2 1B4 0(t)−9L1L2cos θB4 1(t) + (6L2 2cos2θ+ 3L1L3cos 2θ)B4 2(t) −9L2L3cos θcos 2θB4 3(t)+9L2 3cos22θB4 4(t), y02(t) = 6L2 2sen2θB4 2(t)−9L2L3sen θsen 2θB4 3(t)+9L2 3sen22θB4 4(t), y se tiene que: x02(t) + y02(t) = 9L2 1B4 0(t)−9L1L2cos θB4 1(t) + (6L2 2+ 3L1L3cos 2θ)B4 2(t) −9L2L3(cos θcos 2θ+ sen θsen 2θ) | {z } cos θ B4 3(t)+9L2 3B4 4(t). Los coeficientes, ck, de este polinomio respecto a la base de Bernstein de grado 4 son: c0= 9L2 1, c1=−9L1L2cos θ, c2= 6L2 2+ 3L1L3cos 2θ, c3=−9L2L3cos θ, c4= 9L2 3. (2.4.13) Por lo tanto, si el pol´ıgono de control de r(t) satisface L2=√L1L3, entonces veamos que x02(t) + y02(t) coincide con el cuadrado del polinomio: σ(t) = 3[L1B2 0(t)−L2cos θB2 1(t) + L3B2 2(t)],(2.4.14) que es: σ2(t) = 9[L1B2 0(t)−L2cos θB2 1(t) + L3B2 2(t)]2 = 9[(L1B2 0(t) + L2cos θB2 1(t))2+ (L3B2 2(t))2+ 2(L1B2 0(t) +L2cos θB2 1(t))(L3B2 2(t))] = 9L2 1B4 0(t)−9L1L2cos θB4 1(t) +(6L2 0cos2θ+ 3L1L3)B4 2(t)−9L2L3cos θB4 3(t) +9L2 3B4 4(t). 2.4. CURVAS C ´ UBICAS 41 Aplicando la condici´on L2=√L1L3y cos 2θ= 2 cos2θ−1 tenemos que 6L2 2cos2θ+3L1L3= 6L2 2+3L1L3cos 2θ, y por tanto los coeficientes de B4 2(t) de los polinomios x02(t) + y0(t) y σ2(t) coinciden. Entonces r(t) es una curva con hod´ografo pitag´orico siempre y cuando las condiciones del teorema se cumplan.  Recordamos que desde un punto de vista algebraico, seg´un el Lema 2.3.2, de los 2(n+ 1) grados de libertad de las curvas polin´omicas de grado n, las curvas con hod´ografo pitag´orico del mismo grado tienen n+ 3 grados de libertad. De estos 2(n+ 1) ´o n+ 3, escogimos dos para fijar el origen, uno para orientar los ejes y dos para la reparametrizaci´on, quedando 2n−3 ´o n−2. Por lo que es claro que las curvas c´ubicas con hod´ografo pitag´orico tendr´an un solo grado de libertad. Sin embargo, desde un punto de vista geom´etrico, una curva c´ubica, en general, viene determinada, salvo movimientos r´ıgidos, por L1,L2,L3,θ1yθ2. Teniendo en cuenta que el movimiento r´ıgido a˜nadir´ıa tres grados de libertad correspondientes a la elecci´on del origen de coordenadas y la orientaci´on de los ejes, obtenemos un total de ocho grados de libertad para las curvas polin´omicas c´ubicas. Las condiciones (2.4.8) obtenidas al imponer a estas curvas la propiedad del hod´ografo pitag´orico nos rebajan el n´umero de grados de libertad a seis, de los cuales tres corresponden al movimiento r´ıgido y otros tres son los par´ametros geom´etricos que describen dos de las longitudes de los lados del pol´ıgono de control y el ´angulo θ. Seg´un el Lema 2.3.2 las curvas c´ubicas con hod´ografo pitag´orico pueden tener un grado de libertad, as´ı que dos de los tres par´ametros geom´etricos van a intervenir si se impone que la curva est´a parametrizada naturalmente. En t´erminos de (u0, u1)y(v0, v1), vemos que el polinomio σ(t) que completa la tripleta pitag´orica con x0(t) e y0(t) est´a descrito en la forma de Bernstein-B´ezier por: σ(t) = (u2 0+v2 0)B2 0(t)+(u0u1+v0v1)B2 1(t)+(u2 1+v2 1)B2 2(t), que es claramente equivalente a la expresi´on (2.4.14) teniendo en cuenta las expresiones (2.4.9), (2.4.10), (2.4.11) y (2.4.12). Ejemplo 2.4.2 La condici´on L2=√L1L3implica que las longitudes L1,L2 yL3de los lados del pol´ıgono de control, o bien son id´enticas o bien son 48 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO x(t) = d(t2−1), y(t) = ±d √3t(t2−1).(2.4.16) Demostraci´on. Consideramos la forma est´andar de una curva c´ubica con punto de corte descrita en la definici´on anterior. Tenemos entonces que: x0(t) = 2pt, y0(t) = q(3t2−2δt −1). As´ı, x02(t) + y02(t) = 4p2t2+q2(3t2−2δt −1)2 =q29t4−12δt3+4p2 q2+ 4δ2−6t2+ 4δt + 1 =q2[9t4−12δt3+ (4f2+ 4δ2−6)t2+ 4δt + 1], donde f=p q. Para que cumpla la propiedad de hod´ografo pitag´orico se debe verificar que x02(t) + y02(t) es el cuadrado de un polinomio. Es decir, px02(t) + y02(t) = q(At2+Bt +C). O lo que es lo mismo, x02(t) + y02(t) = q2[A2t4+ 2ABt3+ (B2+ 2AC)t2+ 2BCt +C2]. Entonces, se deben verificar las siguientes ecuaciones: A2= 9, 2AB =−12δ, 2AC +B2= 4f2+ 4δ2−6, 2BC = 4δ, C2= 1. Resolviendo el sistema formado por las tres primeras ecuaciones, obtenemos los siguientes valores: A=±3, B=∓2δyC=±[2 3f2−1]. Vamos a sustituir los valores obtenidos en las dos ´ultimas ecuaciones. En la primera de ellas tenemos −δ2 3f2−1=δcomo hemos asumido que f6= 0, la ´unica posibilidad para que se cumpla esta ecuaci´on es δ= 0. Ahora sustituimos Cen la ´ultima ecuaci´on y obtenemos 2 3f22 3f2−2= 0 2.5. CURVAS DE ORDEN SUPERIOR 49 lo que implica que f2= 3 pues f6= 0. As´ı, q=±p √3, donde la elecci´on del signo corresponde al sentido en el que se recorre la curva. Por tanto, en forma est´andar, la curvas c´ubicas con hod´ografo pitag´orico est´an dadas por (2.4.16) donde la cantidad drepresenta la distancia desde el origen hasta el punto de intersecci´on con el eje OX. Adem´as otra propiedad que se desprende de las ecuaciones (2.4.16) es que x(t) = x(−t) y y(t) = −y(t), por tanto la curva es sim´etrica respecto al eje OX. En la Figura 2.8 se muestran varios ejemplos de estas curvas.  Figura 2.8: Curvas c´ubicas Tschirnhausen con los valores d= 005, d= 1, d= 105, d= 2 y d= 205. 2.5. Curvas de orden superior Una aplicaci´on importante de las curvas param´etricas c´ubicas es la interpolaci´on de secuencias ordenadas de puntos en el plano mediante arcos de curvas c´ubicas y pegados con continuidad de clase C2, es decir, curvas splines 50 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO c´ubicas. Los arcos que describen dichos splines generalmente se construyen usando la interpolaci´on de Hermite, [2]. Desafortunadamente, las curvas c´ubicas con hod´ografo pitag´orico son, en general, demasiado inflexibles para la interpolaci´on de clase C2. Para lograr cierta flexibilidad en el dise˜no y al mismo tiempo conservar las ventajas de la propiedad de hod´ografo pitag´orico, debemos recurrir a curvas de mayor grado. Para tales curvas, ser´a una tarea dif´ıcil y prolongada proporcionar un an´alisis tan completo y detallado como el dado en la Secci´on 2.4 para las curvas c´ubicas ya que tal an´alisis deber´ıa tener los siguientes objetivos principales: 1. Formular restricciones geom´etricas intuitivas (como (2.4.8) en el caso de las c´ubicas) en el pol´ıgono de control que garantice la propiedad de hod´ografo pitag´orico, o de otro modo proporcionar procedimientos simples de construcci´on geom´etrica para tales curvas. 2. Identificar las formas esenciales que tendr´an las curvas con hod´ografo pitag´orico de un cierto grado mediante el an´alisis de sus puntos singulares, la identificaci´on de la forma est´andar y evaluar la idoneidad de estas formas para su uso en problemas de dise˜no geom´etrico. En esta secci´on nos limitaremos a dar un breve esbozo de algunas de las caracter´ısticas m´as destacadas de las curvas con hod´ografo pitag´orico de cuarto y quinto grado. Como sabemos de (2.3.1): x0(t) = w(t)[u2(t)−v2(t)], y0(t) = 2w(t)u(t)v(t). Si w(t) = cte, entonces r(t) no es de grado 4, pues ni x0(t) ni y0(t) pueden ser de grado 3 ya que ni el caso en el que u(t) y v(t) sean de grado 1, ni el caso en el que el grado de uno de ellos fuese 2 y el otro fuese 1, son posibles. Si w(t)6=cte, entonces para que r(t) sea de grado 4 tiene que ocurrir que deg(w(t)) = deg(u(t)) = deg(v(t)) = 1, y por tanto, r(t) tiene un punto singular que se corresponde con el valor del par´ametro que anula al polinomio w(t). Escribiremos el polinomio m´onico w(t) en la forma de Bernstein B´ezier: w(t) = −ξB1 0(t) + (1 + ξ)B1 1(t), 2.5. CURVAS DE ORDEN SUPERIOR 51 identificamos t=ξcomo el valor del par´ametro en el punto singular. Al igual que para las curvas de grado 3, expresamos u(t) = u0B1 0(t) + u1B1 1(t) y v(t) = v0B1 0(t) + v1B1 1(t) en la forma de Bernstein B´ezier. Teniendo en cuenta, x0(t) = w(t)[u2(t)−v2(t)] = −ξ(1 −t)[(u2 0−v2 0)(1 −t)2+ (u2 1−v2 1)t2 +2(u0u1−v0v1)(1 −t)t] + (1 −ξ)t[(u2 0−v2 0)(1 −t)2+ (u2 1−v2 1)t2 +2(u0u1−v0v1)(1 −t)t] = −ξ(u2 0−v2 0)(1 −t)3 +(1 −ξ)(u2 0−v2 0)(1 −t)2t+ 2(1 −ξ)(u0u1−v0v1)(1 −t)t2 −ξ(u2 1−v2 1)(1 −t)t2+ (1 −ξ)(u2 1−v2 1)t3−2ξ(u0u1−v0v1)(1 −t)2t, y0(t) = 2w(t)u(t)v(t)=2w(t)[u0(1 −t)(v0(1 −t) + v1t) +u1t(v0(1 −t) + v1t)] = −2ξu0v0(1 −t)3+ 2(1 −ξ)u0v0(1 −t)2t −2ξ(u0v1+u1v0)(1 −t)2t+ 2(1 −ξ)(u0v1+u1v0)(1 −t)t2 −2ξu1v1(1 −t)t2+ 2(1 −ξ)u1v1t3−2ξ(1 −t)[u0v0(1 −t)2 +(u0v1+u1v0)(1 −t)t+u1v1t2] + 2(1 −ξ)t[u0v0(1 −t)2 +(u0v1+u1v0)(1 −t)t+u1v1t2]. e integrando ambas ecuaciones usando argumentos similares a los utilizados en la Secci´on 2.4, llegamos a que las curvas de grado 4 con hod´ografo pitag´orio, r(t) = P0B4 0(t) + P1B4 1(t) + P2B4 2(t) + P3B4 3(t) + P4B4 4(t), tienen puntos de control de la forma: P1=P0−ξ 4(u2 0−v2 0,2u0v0), P2=P1+(1 −ξ) 12 (u2 0−v2 0,2u0v0)−ξ 6(u0u1−v0v1, u0v1+u1v0), P3=P2+(1 −ξ) 6(u0u1−v0v1, u0v1+u1v0)−ξ 12(u2 1−v2 1,2u1v1), P4=P3+(1 −ξ) 4(u2 1−v2 1,2u1v1), donde el punto inicial P0es arbitrario. Hay que tener en cuenta que el pol´ıgono de control se degenera si elegimos ξ= 0 ´o ξ= 1 (P1=P0en el primer caso y P4=P3en el segundo). De hecho, esto deber´ıa haberse esperado, ya que por la propiedad (1.1.4) de las curvas 52 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO de B´ezier, deducimos que r0(0) = 4(P1−P0) y r0(1) = 4(P4−P3) y tendr´ıamos r0(0) = 0 ´o r0(1) = 0, por lo que el punto singular ser´ıa P0´o P4. En la Figura 2.9 se ilustran algunos ejemplos de curvas de grado 4 con hod´ografo pitag´orico. Estos han sido generados haciendo elecciones arbitrarias de los par´ametros (u0, u1), (v0, v1) y ξ. Obviamente, este enfoque ofrece poca informaci´on geom´etrica sobre la forma de la curva resultante. Figura 2.9: Ejemplos de curvas cu´articas con hod´ografo pitag´orico para t∈ [0,1]. En la primera de ellas ξ=1 2, mientras que en la otra la c´uspide ha sido elegida fuera del intervalo [0,1]. Estos ejemplos sugieren que las curvas de grado 4 con hod´ografo pitag´orico tambi´en podr´ıan compartir la propiedad de convexidad de las curvas c´ubicas, es decir, tampoco poseen puntos de inflexi´on reales. De hecho, x0(t)y00(t)− x00(t)y0(t) es un polinomio de grado 4 en t, que factoriza en (t−ξ)2por un polinomio de grado 2 con discriminante −4(u0v1−u1v0)2, el cual es siempre negativo. As´ı, las curvas cu´articas con hod´ografo pitag´orico no tienen puntos de inflexi´on reales ya que κ(t) no cambia de signo, [8]. En el caso de las curvas cu´articas, el pol´ıgono de control se describe mediante siete par´ametros geom´etricos: las longitudes de los lados L1, L2, L3, L4 y sus tres ´angulos interiores que forman ´estos θ1, θ2, θ3. Veamos los grados de libertad que poseen estas curvas. En general, a las curvas polin´omicas de grado 4 les corresponden diez grados de libertad, de los cuales debemos descontar cinco que corresponden a la elecci´on del origen, orientaci´on de los ejes y reparametrizaci´on de la curva. Por el Lema 2.3.2 sabemos que las curvas con hod´ografo pitag´orico tienen n−1 grados de libertad menos que las que no poseen esta propiedad. Por este motivo, las curvas cu´articas con hod´ografo 2.5. CURVAS DE ORDEN SUPERIOR 53 pitag´orico poseen 2 grados de libertad. Con esto podemos concluir que los n−1 grados de libertad, en nuestro caso tres, corresponden al n´umero de restricciones independientes de los par´ametros L1, L2, L3, L4, θ1, θ2yθ3que caracterizan la propiedad del hod´ografo pitag´orico para las curvas de grado 4. Estas restricciones no presentan una interpretaci´on tan intuitiva como las condiciones (2.4.8) del caso c´ubico. Por ejemplo, a partir de los puntos de control de las curvas cu´articas se deduce la siguiente restricci´on, [8]: ξ2L4(3|1−ξ|L2 2−|ξ|L1L4) = (1 −ξ)2L1(3|ξ|L2 3−|1−ξ|L1L4), que relaciona las longitudes de los cuatro lados del pol´ıgono de control y la ubicaci´on del punto singular ξ. Las curvas de grado 5 con hod´ografo pitag´orico son obtenidas eligiendo λ= 0, µ= 2 ´o λ= 2, µ= 0, donde λ=deg(w) y µ=max[deg(u), deg(v)]. Las curvas correspondientes al primer caso carecen de puntos singulares, mientras que las correspondientes a este ´ultimo tienen dos c´uspides reales ordinarias, un punto singular real de segundo orden o ning´un punto singular real, seg´un si el discriminante de w(t) = 0 es positivo, cero o negativo, respectivamente. Cuando w(t) es una constante y u(t) = u0B2 0(t) + u1B2 1(t) + u2B2 2(t), v(t) = v0B2 0(t) + v1B2 1(t) + v2B2 2(t), los puntos de control son de la forma: P1=P0+1 5(u2 0−v2 0,2u0v0), P2=P1+1 5(u0u1−v0v1, u0v1+u1v0), P3=P2+2 15(u2 1−v2 1,2u1v1) + 1 15(u0u2−v0v2, u0v2+u2v0), P4=P3+1 5(u1u2−v1v2, u1v2+u2v1), P5=P4+1 5(u2 2−v2 2,2u2v2), donde P0es arbitrario. S´olo vamos a mencionar una restricci´on sobre las longitudes de los lados del pol´ıgono de control que surge de manera directa de las expresiones dadas: L2 L4 =qL1 L5. 54 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO Por otro lado, si w(t) = w0B2 0(t) + w1B2 1(t) + w2B2 2(t) y u(t), v(t) son funciones lineales, los puntos de control son de la forma: P1=P0+w0 5(u2 0−v2 0,2u0v0), P2=P1+w0 10 (u0u1−v0v1, u0v1+u1v0) + w1 10 (u2 0−v2 0,2u0v0), P3=P2+w0 30 (u2 1−v2 1,2u1v1) + 2w1 15 (u0u1−v0v1, u0v1+u1v0) +w2 30 (u2 0−v2 0,2u0v0), P4=P3+w1 10 (u2 1−v2 1,2u1v1) + w2 10 (u0u1−v0v1, u0v1+u1v0), P5=P4+w2 5(u2 1−v2 1,2u1v1), donde P0es arbitrario. Si ξ1yξ2son los valores del par´ametro tdonde hay puntos singulares, los coeficientes de Bernstein de w(t) en estas ecuaciones son: w0=ξ1ξ2, w1=−[(1 −ξ1)ξ2+ (1 −ξ2)ξ1] 2, w2= (1 −ξ1)(1 −ξ2). En la Figura 2.10 se muestran algunos ejemplos de curvas de grado 5 con c´uspide y sin c´uspide. De nuevo, estos fueron generados de manera aleatoria eligiendo libremente los par´ametros (u0, u1), (v0, v1)y(ξ1, ξ2) ´o (u0, u1, u2) y (v0, v1, v2). El polinomio x0(t)y00(t)−x00(t)y0(t) es un polinomio de grado 6. Este polinomio viene determinado por los factores (t−ξ1)2y (t−ξ2)2por una ecuaci´on de segundo grado cuyo discriminante es ∆ = −4(u0v1−u1v0)2<0, [8]. 2.6. Longitud de arco La longitud de arco a lo largo de una curva polin´omica r(t)=(x(t), y(t)) aumenta a un ritmo 2.6. LONGITUD DE ARCO 55 Figura 2.10: Ejemplos de curvas con hod´ografo pitag´orico de grado 5. El primero tomando λ= 0 y µ= 2 y el segundo λ= 2 y µ= 0. ds dt =px02(t) + y02(t), respecto al par´ametro t. La longitud smedida desde t= 0 viene dada por: s(t) = Zt 0qx02(t) + y0(t)dt, pero esta integral no admite, en general, una expresi´on en t´erminos de funciones elementales. El c´alculo de las longitudes de arco de los segmentos de curva polin´omica, por lo general implica una aproximaci´on mediante m´etodos num´ericos en casos espec´ıficos. Si la curva r(t) tiene hod´ografo pitag´orico, sabemos que existe un polinomio σ(t) tal que x02(t) + y02(t) = σ2(t), por tanto se reescribe la ecuaci´on anterior como: s(t) = Zt 0|σ(t)|dt, (2.6.1) 56 CAP´ ITULO 2. HOD ´ OGRAFO PITAG ´ ORICO que implica un c´alculo elemental. De hecho, si r(t) se ha construido eligiendo los polinomios u(t), v(t) y w(t) e integrando las ecuaciones (2.3.1), sabemos que σ(t) = w(t)[u2(t) + v2(t)]. Primero consideraremos los casos en los que σ(t) no cambia de signo, pues la necesidad de tomar el valor absoluto en la ecuaci´on anterior puede ser un inconveniente. Habiendo asumido σ(t) = w(t)[u2(t) + v2(t)] y MCD(u(t), v(t)) = 1, se verifica que σ(t) no tiene ra´ıces reales y se puede considerar positiva para valores de t∈(−∞,+∞) siempre y cuando w(t) no tenga ra´ıces reales. En particular, si w(t) es constante, σ(t) ser´a de grado n−1 y se puede escribir de la forma: σ(t) = n−1 X k=0 σktk, t ∈(−∞,+∞), cuando r(t) es una curva con hod´ografo pitag´orico de grado n. La longitud de arco sde r(t) medido desde t= 0 es la funci´on poli´omica s(t) = n X k=1 σk−1tk k. En este caso s(t) es una funci´on mon´otoma creciente, ya que su derivada, σ(t), es positiva para todo t. Ejemplo 2.6.1 Consideramos las curvas c´ubicas Tschirnhausen (2.4.16), as´ı x0(t) = d2t,y0(t) = ±d(3t2−1) √3yσ(t) = |d|(3t2+ 1) √3. Al integrar σ(t) vemos que la longitud de arco de esta curva, medida desde r(0), viene dada por la expresi´on polin´omica simple: s(t) = Zt 0 σ(t)dt =|d| √3t(t2+ 1). Para una curva con hod´ografo pitag´orico encontar el valor del par´ametro t0en el que se alcanza una longitud de arco s0, implica la determinaci´on de la ra´ız de la ecuaci´on polin´omica s(t)−s0= 0. Vamos a suponer que w(t) no es constante. En este caso, s´olo tenemos que preocuparnos de las ra´ıces de multiplicidad impar del polinomio w(t), ya que en esos valores es donde σ(t) cambia de signo. As´ı, si t1, . . . , tNdenota, en 2.7. CURVAS OFFSET 57 orden ascendente, las ra´ıces de multiplicidad impar de w(t), debemos dividir la integral (2.6.1) en aquellos valores {tk}que se encuentran dentro del rango de integraci´on y luego sumar las integrales de σ(t) sobre los subintervalos resultantes con signos alternos. 2.7. Curvas Offset Sea n(t) el vector normal unitario de la curva polin´omica r(t) = (x(t), y(t)) en cada punto. La curva offset de la curva r(t) ser´a, fijada una distancia d, el lugar geom´etrico definido por ro(t) = r(t) + dn(t). Las coordenadas de ro(t) vienen descritas por: xo(t) = x(t) + dy0(t) px02(t) + y02(t), yo(t) = y(t)−dx0(t) px02(t) + y02(t). Aunque estas ecuaciones constituyen una descripci´on precisa de la curva offset, la presencia del radical px02(t) + y02(t) es desafortunada desde la perspectiva de los sistemas de modelado que se adhieren a formas polin´omicas y racionales como su representaci´on can´onica. Las curvas offset de curvas con hod´ografo pitag´orico se pueden identificar con una familia de curvas polin´omicas racionales y, por lo tanto, son totalmente compatibles con la funcionalidad geom´etrica de los sistemas de modelado geom´etricos. Si r(t)=(x(t), y(t)) = Pn k=0(xk, yk)Bn k(t) es una curva de B´ezier de grado ncon hod´ografo pitag´orico tal que w(t) no tiene ra´ıces reales, entonces σ(t) = px02(t) + y02(t) debe ser un polinomio positivo para todo valor real tde grado n−1. La curva offset, ro(t), a una distancia dde r(t) puede expresarse en la forma racional ro(t)=(xo(t), yo(t)) = X(t) W(t),Y(t) W(t), donde X(t) = σ(t)x(t) + dy0(t) = P2n−1 k=0 XkB2n−1 k(t), Y(t) = σ(t)y(t)−dx0(t) = P2n−1 k=0 YkB2n−1 k(t), W(t) = σ(t) = P2n−1 k=0 WkB2n−1 k(t).