Productos de Blaschke

Productos de Blaschke Iván Ruiz Campos Productos de Blaschke Iván Ruiz Campos Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Doble Grado en Física y Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Manuel Jesús Gago Vargas A mis padres. Pese a no tener la formación suficiente como para entender lo escrito en este trabajo, se han esforzado toda su vida para que yo sí sea capaz de hacerlo. Índice general Resumen 1 Abstract 3 Introducción 5 1. Conceptos fundamentales. 11 1.1. Propiedades de los productos de Blaschke. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Extensión numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1. Contracciones y 1-dilataciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3. Operador desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1. Compresión del operador Desplazamiento. . . . . . . . . . . . . 33 2. Curvas de Poncelet y productos de Blaschke. 41 2.1. Curvas de Poncelet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. La clase Sn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. n-Elipses de Blaschke. 57 3.1. 3-elipses de Blaschke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.1. 3-Elipses de Blaschke y condiciones de Cayley . . . . . . . . . . . 60 II PRODUCTOS DE BLASCHKE 3.2. 4-Curvas de Blaschke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.1. Curva generadora de la frontera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2.2. 4-Elipses de Blaschke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.3. n-Elipses convexas de Blaschke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4. (n,p)-Elipses de Blaschke. 83 4.1. Automorfismos del disco elípticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2. Familia de (n,p)-elipses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Resumen En este trabajo, con objetivo de estudiar una serie de curvas, veremos la conexión entre distintas ramas de la matemática: los productos de Blaschke, el Teorema de Poncelet y la extensión numérica de un operador. Estos son conceptos que en un principio parecen alejados entre sí, pero como estudiaremos más adelante, están íntimamente ligados. A través de la extensión numérica de un operador, que surge de los productos de Blaschke, podremos construir lo que se conoce como curvas de Poncelet. Veremos también cuándo estas curvas son elipses y por tanto, verifican el teorema de Poncelet para cónicas. 8PRODUCTOS DE BLASCHKE Figura 3: Extensión numérica de la matriz A =Ã−1 21 2q3 2 01 2−i1 2!. grado n como la función B(z)=µ n Y i=1 z−ai 1−aiz. (2) Los productos de Blaschke se caracterizan porque son funciones holomorfas que cumplen B(D)=DyB(T)=T. Es más, esta es condición suficiente para que una función compleja sea un producto de Blaschke. Dado un λ∈Tse cumple que la ecuación B(z)=λtiene nsoluciones distintas sobre la circunferencia unidad. Esto nos permite identificar npuntos de Tconstruyendo así un polígono inscrito en la misma. Tenemos por tanto, una familia de polígonos inscritos en la circunferencia unidad dados por el producto de Blaschke. Si hacemos la intersección de todos estos polígonos, obtenemos un conjunto cerrado en el interior del disco De inscrito en la familia de polígonos. Es posible que con los dibujos ya el lector se haya percatado de que hay una cierta relación entre todos los conceptos y resultados expuestos. Vamos a revelar la última pieza clave en la conexión de todos ellos. INTRODUCCIÓN 9 Figura 4: Identificación de puntos de la circunferencia a través del producto de Blaschke con µ=1y ceros 0,−1 2y1 2−i1 2. Dos puntos z!,z2∈Testán unidos por un segmento si cumplen B(z1)=B(z2). Como ya hemos mencionado, la teoría de operadores es importante en nuestro discurso, pero en concreto nos centramos en el operador desplazamiento. Definición 0.4. Se define el operador desplazamiento S :H2→H2que lleva f en S(f)definida como S(f)(z)=z f (z), (3) donde H2no es más que el conjunto H2=©f∈L2(T) : ˆ f(n)=0para n <0ª. Este último espacio se estudiará mucho más a fondo, de momento quedémonos con que es un espacio de Hilbert. Dado Bun producto de Blaschke de grado npodemos construir un determinado subespacio KB⊆H2de dimensión n. La restricción del operador desplazamiento a dicho subespacio está representada por una matriz n×nque está dentro de una determinada clase de matrices particular. Lo interesante de estas matrices es que sus autovalores son los ceros del producto de Blaschke Basociado. Pero no solo eso, si calculamos su extensión numérica obtenemos un conjunto de puntos en el interior del disco unidad. Este conjunto tiene una propiedad que enlaza por fin todo 10 PRODUCTOS DE BLASCHKE lo anterior. La frontera del mismo, no es nada más y nada menos que una curva de Poncelet. En otras palabras, hemos hallado un método de construcción de curvas de Poncelet. A partir de aquí surgen una serie de problemas a resolver. Por ejemplo, cuándo esta curva es una elipse. Veremos que para n=3 lo es siempre; y para n=4 si y solo si el producto de Blaschke se puede descomponer como composición de dos productos de Blaschke de grado 2. Otro problema relacionado es cuándo una curva de Poncelet procede de un producto de Blaschke. Lamentablemente, no existe en la actualidad un criterio para hacerlo, pero sí veremos un ejemplo de una curva de Poncelet que no proviene de un producto de Blaschke. Por último, nos planteamos si dada una elipse dentro del círculo unidad en las condiciones del Teorema de Poncelet, proviene de un producto de Blaschke o no. Confirmaremos que si el polígono que la circunscribe es convexo, entonces dicha elipse se construye a partir de un producto de Blaschke, pero si no es así, no tenemos respuesta. En resumen, los productos de Blaschke establecen una conexión entre áreas tan diferentes como Análisis Complejo, Geometría Proyectiva y Análisis Funcional, a través del teorema y las curvas de Poncelet, el concepto de extensión numérica de una matriz y el operador de desplazamiento en un cierto espacio de Hilbert. 1 Conceptos fundamentales. En esta primera parte, vamos a asentar las bases del estudio de las curvas de Poncelet a través de los productos de Blaschke. Vamos a ver, en efecto, la definición de producto de Blaschke, así como sus propiedades principales. Posteriormente veremos el concepto de extensión numérica, propiedades y algunos resultados relacionados. Y por último, estudiaremos el operador desplazamiento y la clase Sn. 1.1 Propiedades de los productos de Blaschke. Definición 1.1 (Producto de Blaschke). Sean ai∈D⊂C,i=1,...,n y µ∈T(siendo Tla circunferencia unidad y Del disco abierto unidad). Definimos entonces el producto de Blaschke asociado como B(z)=µ n Y i=0 z−ai 1−aiz. (1.1) En muchos casos hablaremos del producto de Blaschke B y su conjunto de ceros ai∈Di=1,...,n asociados. Los productos de Blaschke van a ser un conjunto de funciones complejas de vital importancia en el desarrollo de nuestro tema. Estas cumplen una serie de propiedades que probaremos empleando el Teorema del módulo máximo. Proposición 1.2.El teorema del módulo máximo tiene dos versiones equivalentes: 1. Sea funa función analítica en un abierto conexo U⊂Cya∈Ucumpliendo ¯¯f(a)¯¯≥¯¯f(z)¯¯para todo z∈U, entonces fes constante. 12 PRODUCTOS DE BLASCHKE 2. SeaU⊂Cun conjunto abierto acotado y supongamos que fes continua enU y analítica enU, entonces m´ ax{|f(z)|:z∈U}=m´ ax{|f(z)|:z∈∂U}. Demostración. Podemos encontrar la demostración detallada de esta equivalencia en la referencia [5, pp. 128-129]. Proposición 1.3.Una función Bde Blaschke cumple las siguientes propiedades: 1. Son funciones analíticas en un abierto U⊃D. 2. Blleva puntos de Ten puntos de T. 3. Blleva puntos de Den D. Demostración. La prueba de (1) es sencilla. Basta comprobar que existe un abierto Uque contiene a Dy en el que no hay polos de B. Es claro ver que |ai|<1∀i=1,...,n=⇒ ¯¯¯¯ 1 ai¯¯¯¯>1⇐⇒ ¯¯¯¯ 1 ai¯¯¯¯>1⇐⇒ 1 ai∉D con lo que los polos de Bse encuentran fuera del disco unidad. Es suficiente tomar el abierto U=B(0, 1 kai0k)⊃Dcon 1 ai0el de menor norma. Pasemos a (2). Consideremos eiθ∈T, entonces se cumple que ¯¯¯B(eiθ)¯¯¯= n Y j=1¯¯¯¯ eiθ−ai 1−aieiθ¯¯¯¯= n Y j=1 1 ¯¯e−iθ¯¯¯¯¯¯ eiθ−ai 1−aieiθ¯¯¯¯= n Y j=1¯¯¯¯ eiθ−ai e−iθ−ai¯¯¯¯= n Y j=1 |ci| ¯¯ci¯¯=1. Por tanto B(eiθ)∈T. Probemos el punto (3). Para ello, nos limitamos al caso en el que Bsea un producto de Blaschke de grado 1 normalizado (µ=1). Extender esto al caso general es trivial. Consideremos B(z)=z−a 1−az . Como sabemos por (2) |B(eiθ)| = 1 con eiθ∈∂D=Ty por (1) es analítica en Dy continua en ∂D. Luego por la segunda versión del Teorema del módulo máximo (1.2) |B(z)|≤1∀z∈D. Pero como B(z) no es una función constante (solo hay que comprobarlo para un par de valores), se llega a que necesariamente |B(z)|<1 para todo zen el disco unidad. Finalizando así la demostración. 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.13 Los productos de Blaschke son mucho más interesantes. Las propiedades descritas en la Proposición 1.3 no son solo condición necesaria para que sea un producto de Blaschke, también son condición suficiente. Una vez más, para demostrar esto haremos uso del Teorema del módulo máximo 1.2 en sus distintas equivalencias. Lema 1.4.Sea funa función no constante. Entonces fes analítica en un conjunto abierto Uconteniendo a Dy lleva Den sí mismo y Ten sí mismo si y solo si fes un producto de Blaschke. Demostración. ⇐Es evidente a través de la Proposición 1.3, que todo producto de Blaschke Bcumple las propiedades anteriores. ⇒Demostremos la otra implicación. Como fes una función no constante, los ceros de esta no pueden tener puntos adherentes en D, por lo que estos están aislados en D. Como |f|=1 en T, los ceros tampoco pueden tener puntos adherentes en T, entonces necesariamente ftiene un número finito de ceros en D,a1,...,an∈D. Teniendo en cuenta que se cumple |ai|<1∀i=1,...,n⇐⇒ ¯¯¯¯ 1 ai¯¯¯¯>1⇐⇒ ¯¯¯¯ 1 ai¯¯¯¯>1⇐⇒ 1 ai∉D podemos tomar 1 ai0de menor norma y construir U0=U∩B(0,k1 ai0k)⊂Utal que 1 ai0∉U0∀i=1,...,n. Si consideramos ahora el desarrollo en serie de potencias de f se cumple que f=(z−a1)(z−a2)···(z−an)g(1.2) con guna función analítica enU0. Además, como los 1 ai0∉U0∀i=1,...,n, se cumple que ¡(1−aiz)···(1−an)¢−1es analítica enU0de modo que f=z−a1 1−a1z··· z−an 1−anzh=Bh (1.3) siendo huna función analítica en U0y que no se anula en dicho abierto. Así, f/B yB/fson analíticas en U0. Por ser ambas continuas en el compacto D, tienen que alcanzar el máximo. Como |f|=|B|=1 en T,|f/B|=|B/f|=1 en Ty empleando la segunda versión del teorema del módulo máximo se cumple que en D ¯¯¯¯ f B¯¯¯¯≤1 y ¯¯¯¯ B f¯¯¯¯≤1. Y por tanto, |B(z)|=|f(z)|∀z∈D. En consecuencia, |h(z)|=1∀z∈Dy por la versión primera del teorema del módulo máximo h(z)=γ∈T. Confirmamos así que fno es más que un producto de Blaschke. 14 PRODUCTOS DE BLASCHKE Como podemos ver, los productos de Blaschke son funciones muy particulares. Estas están muy bien definidas a través de una serie de características, que en consecuencia, nos proporcionan diversas propiedades. Proposición 1.5.Sea Bun producto de Blaschke de grado ncon ceros en a1,...,an. Entonces se cumple lo siguiente: 1. La derivada del logaritmo de Bes d(log(B(z))) dz =B0(z) B(z)= n X i=1 1−|ai|2 (1−aiz)(z−ai). (1.4) 2. El argumento de B(eiθ) es una función estrictamente creciente de θ. 3. Para cada λ∈T, existen exactamente ndistintas soluciones a la ecuación B(z)=λlas cuales se encuentran en la circunferencia unidad T. Demostración. La prueba de (1) es sencilla, simplemente hay que aplicar las propiedades de la derivada log(B(z)) =log(µ)+ n X i=1¡log(z−ai)−log(1−zai)¢ de donde se sigue que d(log(B(z))) dz =B0(z) B(z)= n X i=1µ1 z−ai−ai 1−aiz¶= n X i=1µ1−zai+zai−|ai|2 (1−aiz)(z−ai)¶= = n X i=1 1−|ai|2 (1−aiz)(z−ai). Para probar (2) vamos a emplear (1). Tomemos z=eiθ. Si escribimos B(eiθ)= eiψ, se cumple que ψ=−ilog(B(eiθ)). (1.5) Derivando y haciendo uso de la regla de la cadena es fácil ver que dψ dθ=eiθB0(eiθ) B(eiθ)=B0(eiθ) e−iθB(eiθ)= n X i=1 1−|ai|2 (e−iθ−ai)(eiθ−ai)= n X i=1 1−|ai|2 |eiθ−ai|2>0 (1.6) donde hemos tenido en cuenta que los a1,...,an∈D. Probemos ahora (3). Para cada λ∈T, queremos resolver B(z)=λo equivalentemente µ(a−a1)(z−a2)···(z−an)=λ(1−za1)(1−a2z)···(1−anz). (1.7) 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.15 Este es un polinomio de grado nen un cuerpo algebraicamente cerrado por tanto, tiene que tener z1,...,zn∈Traíces (contando multiplicidad). El hecho de que estas raíces se encuentren en Tse debe a que B−1(T)=T. Vamos a ver que ninguna de estas raíces es múltiple, en otras palabras, B(z)=λtiene nraíces distintas. Esto es consecuencia directa del punto (2). Como |B(eiθ)|=1, se cumple entonces que |B0(eiθ)|=¯¯¯¯ eiθB0(eiθ) B(eiθ)¯¯¯¯= n X i=1 1−|ai|2 |eiθ−ai|2>0 y en consecuencia B0(eiθ)6=0. Si consideramos F(z)=B(z)−λ, con F(zi)=0, zi∈T. Como F0(zi)=B0(zi)6=0, zies un cero de orden 1. Tenemos entonces que los zison nelementos distintos. Lo que más nos va a interesar de este resultado es que, siendo Bun producto de Blaschke de grado n, identifica npuntos distintos de la circunferencia unidad mediante B(z)=λcon λ∈T. Ejemplo 1.6.Si consideramos el producto de Blaschke normalizado, es decir, con µ=1, y ceros 0, 1 2+i1 2,1 2−i1 2∈D. Podemos dibujar los triángulos que describen los puntos de la forma B(z)=1 y B(z)=−1. Figura 1.1: Conjunto de puntos que verifican B(z)=1y B(z)=−1, con B el producto de Blaschke con µ=1, y ceros 0, 1 2+i1 2,1 2−i1 2∈D. Dos puntos z1y z2en Testán unidos por un segmento si cumplen B(z1)=B(z2). 16 PRODUCTOS DE BLASCHKE Podemos obtener aún más resultados de los productos de Blaschke que nos van a ser interesantes, y algunos útiles para resultados posteriores. Proposición 1.7.Sea Bun producto de Blaschke de grado n≥2 con ceros 0,a1,...,an−1. Sea λ∈Ty denotemos por z1,...,zna las nsoluciones de B(z)=λ. Consideremos la función Fde la siguiente forma F(z)=B(z)/z B(z)−λ=µQn−1 i=1(z−ai) zQn−1 i=1(z−ai)−λQn−1 i=1(1−aiz)= n X i=1 mi z−zi (1.8) Siendo este último término el desarrollo en suma de fracciones simples de F. Entonces se cumple lo siguiente 1. Pn i=1mi=1 2. Para cada i=1,2,...,ntenemos que mi=λ ziB0(zi). 3. Para cada i=1,2,...,ntenemos que 1 mi=1+Pn−1 k=1 1−|ak|2 |zi−ak|2. 4. Para cada i=1,2,...,ntenemos que 0 <mi<1. Demostración. Como ya sabemos, la expansión en fracciones simples de Fes de la forma F(z)= n X i=1 mi z−zi . Consideremos ahora zF(z)= n X i=1 miz z−zi . Haciendo tender z→∞ 1=l´ ım z→∞ B(z) B(z)−λ= n X i=1 mil´ ım z→∞ z z−zi= n X i=1 mi. De modo que Pn i=1mi=1, probando así (1). Pasemos ahora a probar (2). Como sabemos, B(zi)=λ, luego µz−zi B(z)−B(zi)¶B(z) z=(z−zi)B(z) z(B(z)−λ)=(z−zi)F(z)=X k6=i mk(z−zi) z−zk+mi. El término de la izquierda de la igualdad nos insinúa una derivada, es por ello que tomamos z→zi, obteniendo mi=l´ ım z→ziµz−zi B(z)−B(zi)¶l´ ım z→zi B(z) z=B(zi) ziB0(zi)=λ ziB0(zi). 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.17 Probamos así (2). Para probar (3) recurrimos a la fórmula de la Proposición 1.5. Teniendo en cuenta que hemos considerado un cero de Ben 0, se cumple B0(z) B(z)=1 z+ n−1 X k=1 1−|ak|2 (1−akz)(z−ak). En concreto, si tomamos zi∈Ty teniendo en cuenta que zi=1 zi, se cumple ziB0(zi) B(zi)=1+ n−1 X k=1 1−|ak|2 zi(1−akzi)(zi−ak)=1+ n−1 X k=1 1−|ak|2 (zi−ak)(zi−ak)=1+ n−1 X k=1 1−|ak|2 |zi−ak|2. Si tenemos ahora en cuenta que B(zi)=λasí como (2) 1 mi=1+ n−1 X k=1 1−|ak|2 |zi−ak|2. La prueba de (4) se sigue de (3). Como |ak|< 1 por pertenecer al disco unidad, se tiene que 1−|ak|2>0 y por tanto 1 mi=1+ n−1 X k=1 1−|ak|2 |zi−ak|2>1. Luego 0 <mi<1. Una observación interesante de este resultado es que podemos escribir la función F(z) como una combinación convexa de funciones racionales simples. 1.2 Extensión numérica. Uno de los conceptos básicos que vamos a ver ahora es el concepto de extensión numérica de un operador. Este concepto, propio del análisis funcional, se utiliza no solo en matemáticas, sino también algunas ramas de la física como la física cuántica o la física del estado sólido. Nosotros, de momento, nos vamos a centrar en estudiar sus propiedades geométricas. Definición 1.8 (Extensión numérica). Consideremos un espacio vectorial prehilbertiano X , y un operador linear T :X→X . Entonces se define la extensión numérica de T como el conjunto W(T)={〈x|T x〉|x∈X,kxk=1}⊂C. (1.9) 24 PRODUCTOS DE BLASCHKE Por el Lema 1.18 tenemos entonces que W(A3)=nsp1+r2cost+i sr sint:t∈R, 0 ≤s≤1o, que no es más que la elipse de semiejes p1+r2yr, y focos en −1 y 1. Es inmediato comprobar que esta elipse tiene eje menor 2r=ptr(A∗A)−|a|2−|b|2. Basta entonces con ir deshaciendo las transformaciones que hemos ido aplicando sobre la extensión numérica para que lleguemos al resultado que buscamos. Ejemplo 1.20.Si consideramos la matriz A=Ã1 2+i1 21 4q7 2 0i3 4! utilizando la Proposición 1.19 es claro que la extensión numérica de nuestra matriz no es más que el disco elíptico de focos 1 2+i1 2yi3 4, cuyo eje menor es str(A∗A)−¯¯¯¯ 1 2+i1 2¯¯¯¯ 2 −¯¯¯¯ i3 4¯¯¯¯ 2 =1 4r7 2. Figura 1.2: Extensión numérica de la matriz A del ejemplo 1.20 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.25 Definición 1.21. Dado un conjunto de matrices A1,..., Am, (ni×ni, con i =1,...,m) definimos la matriz A1⊕A2⊕...⊕Amcomo m M i=1 Ai=      A10··· 0 0A2··· 0 . . .. . ..... . . 0 0 ··· Am       . (1.13) Si una matriz A es unitariamente equivalente a una matriz en la forma (1.13), decimos que A está en suma directa. Proposición 1.22.Dada un conjunto de matrices A1,..., Am, entonces la extensión numérica de la matriz por bloques A=Lm i=1Aies el cierre convexo del conjunto W(A1)∪W(A2)∪...∪W(Am). Demostración. ⊇Es evidente que W(A) contiene a W(A1)∪W(A2)∪...∪W(Am), basta escoger los vectores unitarios adecuadamente. Además, por el Teorema de Toeplitz-Hausdorf 1.16 tenemos que W(A) es convexo, luego contiene al cierre convexo de W(A1)∪W(A2)∪...∪W(Am). ⊆Consideremos x=(x1,...,xm) unitario con xi∈Cni. Es evidente que se cumple 1 =kxk2=Pm i=1kxik2. De modo que: 〈x|Ax〉= X i=1〈xi|Axi〉= X i=1kxik2〈˜ xi|A˜ xi〉 siendo ˜ xi=xi kxik. Por tanto 〈x|Ax〉está en el cierre convexo de W(A1)∪W(A2)∪...∪ W(Am). Como mencionamos al principio, el concepto de extensión numérica de un operador es algo que se utiliza en Física Cuántica. En esta disciplina, las magnitudes observables se representan a través de operadores lineales hermíticos. Estos operadores actúan sobre un determinado espacio de estados que depende de las magnitudes que caracterizan un determinado sistema. Normalmente este espacio está representado por lo que se conoce como las funciones de onda. Medir un determinado valor, por ejemplo de la posición, en un estado del sistema no es más que calcular el promedio de los valores que pueden alcanzar el operador asociado, en este caso a la posición, en la función de onda. Esto no es más que calcular el valor numérico del operador. En consecuencia, la extensión numérica del operador coincide con el conjunto de valores posibles que podemos medir en un determinado sistema. 26 PRODUCTOS DE BLASCHKE 1.2.1 Contracciones y 1-dilataciones. Veamos para finalizar esta sección algunas definiciones y un último resultado. Definición 1.23 (Contracción). Dado un operador T :X→X lineal y continuo, decimos que es una contracción si y solo si su norma es menor que 1. Es decir, si y solo si kTk=sup{kT xk:x∈X,kxk=1}≤1. Definición 1.24. Decimos que una matriz B es una 1-dilatación unitaria de una matriz A de dimensión n ×n, si es una matriz (n+1)×(n+1) unitariamente equivalente a una matriz de la forma U=      ∗ A. . . ∗ ∗ ··· ∗ ∗       . con U una matriz unitaria. Proposición 1.25.Si una matriz Atiene una 1-dilatación unitaria B, entonces Aes una contracción. Demostración. Supongamos que dada la matriz Aexiste una 1-dilatación B de la misma. Sin pérdida de generalidad vamos a suponer que B=      ∗ A. . . ∗ ∗ ··· ∗ ∗       . Si tomamos un vector unitario de la forma x=(v,0) ∈Cn+1, se cumple que kBxk=kAvk≤kBkkxk=1⇒kAk≤1. Llegando así a que Aes una contracción. El concepto de 1-dilatación se puede generalizar a m-dilatación de la manera natural. Además, podemos encontrar el siguiente resultado. Proposición 1.26.Toda matriz Aes una contracción si y solamente si existe una m-dilatación Bde A. 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.27 Demostración. La demostración de este enunciado se desvía del contenido del trabajo por lo que simplemente vamos a dejar como referencia [3] para aquella persona que esté interesada. A partir de una contracción A, podemos construir la 1-dilatación en función de un parámetro λ∈Tsimplemente añadiendo una fila y una columna a Ae imponiendo la ortonormalidad de las columnas. Este método no es óptimo, ni nos garantiza, en un principio, la existencia de dicha 1-dilatación. Proposición 1.27.Sea Auna matriz en representación de una determinada contracción. Entonces la extensión numérica W(A) está contenida en el disco unidad D. Demostración. Consideremos un número complejo w∈W(A), entonces existe un x∈Cnunitario tal que w=〈x|Ax〉. Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple que |w|=|〈x|Ax〉|≤kx|kkAxk. Si tenemos además en cuenta que Arepresenta a un operador lineal continuo y que tiene norma menor o igual que 1, vemos que |w|=|〈x|Ax〉|≤kxkkAxk≤kAk≤1. Por tanto, se tiene que w∈Dverificando así la contención. 1.3 Operador desplazamiento En la sección anterior hemos hablado de operadores en general. Es en esta en la que vamos a estudiar un operador concreto, el operador desplazamiento. El estudio de este se tiene que hacer cuidadosamente. En primer lugar, tenemos que construir un espacio de Hilbert poco conocido, el espacio de Hardy, y a partir de él estudiar cómo se comporta nuestro operador en distintos subespacios. Debido a que los conceptos que aquí se tratan, pese a ser elementales, son algo nuevos, necesitan de un estudio y una construcción detallados. Proposición 1.28.El espacio de las funciones complejas de módulo al cuadrado integrable, en el sentido de Lebesge, L2(T), es un espacio de Hilbert con el producto 〈f|g〉=Z2π 0f(eiθ)g(eiθ)dθ 2π, (1.14) 28 PRODUCTOS DE BLASCHKE donde dθ/2πdenota la medida normalizada de Lebesgue. Observación 1.29.En este espacio, si dos funciones son iguales salvo un conjunto de medida nula entonces tienen la misma integral. Es por ello que en lugar de funciones se trata con clases de equivalencia. Aún así, tratamos los elementos de L2(T) como si fuesen funciones. Proposición 1.30.El conjunto de funciones {en}n∈Zcon en(z)=znes un conjunto ortonormal de L2(T). No solo eso, también es un conjunto completo, es decir, una base de nuestro espacio. Demostración. Este es un resultado básico del Análisis de Fourier. Aún así, vamos a ver la primera parte. Si al lector le interesa ver una demostración más completa, le recomendamos [12]. kenk2=〈en|en〉=Z2π 0e−inθeinθdθ 2π=Z2π 0 dθ 2π=1 〈en|em〉=Z2π 0e−inθeimθdθ 2π=Z2π 0ei(m−n)θdθ 2π=−i 2π(m−n)hei(m−n)θi2π 0=0 Observación 1.31.Dada un función f∈L2(T), podemos escribir f(eiθ)=+∞ X −∞ aneinθ, donde an=〈en|f〉= ˆ f(n). Pasemos ahora a un segundo espacio denominado espacio de Hardy, H2(D). Consideremos una función fanalítica definida como f(z)=P∞ n=0anznen D, construimos fr:T→Cdefinida por fr(eiθ)=f(reiθ) para 0 <r<1. Obtenemos así una función continua fr∈L2(T). Teniendo en cuenta que {en}n∈Zes una base ortonormal y aplicando la identidad de Parseval, se cumple kfr(eiθ)kL2(T)=Z2π 0|f(reiθ)|2dθ 2π=Z2π 0¯¯¯¯ ∞ X n=0 anrneinθ¯¯¯¯ 2dθ 2π =∞ X n,m=0 anamrnrmZ2π 0ei(n−m)θdθ 2π=X n=0|an|2r2n. Estas integrales crecen en cuanto rcrece, por tanto, definimos H2(D) como sigue: 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.29 Definición 1.32 (Espacio de Hardy). Se define el espacio de Hardy (H2(D)) como el conjunto de funciones analíticas f :D→Cpara las cuales l´ ım r→1−Z2π 0|f(reiθ)|2dθ 2π<∞. La norma en este espacio se define como kfk2 H2(D)=l´ ım r→1−Z2π 0|f(reiθ)|2dθ 2π. (1.15) Observación 1.33.Como podemos expresar f∈H2(D) como f=P∞ n=0anzn, se cumple que kfk2 H2(D)=l´ ım r→1−Z2π 0|f(reiθ)|2dθ 2π=l´ ım r→1− ∞ X n=0|an|2r2n=∞ X n=0|an|2. Este espacio puede ser observado desde otro punto de vista gracias al teorema de Fatou del límite radial. Teorema 1.34 (Teorema del límite radial de Fatou). Sea f ∈H2(D), entonces el límite radial l´ ım r→1−f(reiθ)=f?(eiθ) (1.16) existe casi en todo T. Donde f ?=l´ ımn→∞ frn∈L2(T)con rn→1−. Demostración. La prueba de este teorema se encuentra en [9, p. 28]. A partir del Teorema 1.34 podemos construir un producto escalar en el espacio H2(D). Definición 1.35. Dadas dos funciones f ,g∈H2(D)se define el producto escalar como 〈f|g〉H2(D)=l´ ım r→1−Z2π 0f(reiθ)g(reiθ)dθ 2π. (1.17) Observación 1.36.Teniendo en cuenta el Teorema de la Convergencia Dominada y el Teorema 1.34 se cumple que 〈f|g〉H2(D)=l´ ım r→1−Z2π 0f(reiθ)g(reiθ)dθ 2π=Z2π 0f∗(reiθ)g∗(reiθ)dθ 2π=〈f∗|g∗〉L2(T). (1.18) Es por ello que podemos extender en casi todo punto de Ttoda función f∈H2(D) por f∗. Esto hace que sea habitual identificar H2(D) con el subespacio vectorial cerrado de L2(T) dado por H2=©f∈L2(T) : ˆ f(n)=0 para n<0ª. (1.19) 30 PRODUCTOS DE BLASCHKE Como el producto escalar es una función continua en cada una de sus componentes, el subespacio anterior es cerrado por ser intersección de preimágenes de espacios cerrados a través de funciones continuas. En lo que resta de tema, vamos a identificar H2(D) con H2, y la norma y el producto escalar de H2(D) con el de L2(T). Ejemplo 1.37.Veamos algunos ejemplos de funciones dentro del espacio de Hardy. 1. Como cabe de esperar, un producto de Blaschke Bes una función del espacio de Hardy. Son analíticas en D, acotadas por 1 en D, y por tanto el límite de (1.15) es finito. 2. Los polinomios son funciones que se encuentran trivialmente en H2(D). Vamos a estudiar ahora más a fondo un ejemplo que nos va a ser útil a lo largo del resto del capítulo. Definición 1.38 (Núcleo de Cauchy). Dado un elemento a ∈Ddefinimos el núcleo reproductor o núcleo de Cauchy a la función ka(z)=1 1−az . (1.20) Proposición 1.39.Dado a∈D, se cumple que ka∈H2(D) con norma kkak2=1 1−|a|2. Además, si f∈H2(D), se cumple que 〈ka|f〉= f(a). (1.21) Demostración. Mediante el mismo razonamiento al que hemos recurrido en el Teorema 1.3 y en el Lema 1.4, kano tiene polos en Dy por tanto, es analítica. Si consideramos la norma del denominador |1−az|2=1+|a|2|z|2−2ℜ(az)≥1+|a|2|z|2−2|a||z|=(1−|a||z|)2. A partir de esta desigualdad, si tenemos en cuenta que z∈D, se cumple que |1−az|2≥(1−|a|)2∀z∈D =⇒|ka(z)|2≤1 (1−|a|)2∀z∈D. 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.31 Afirmamos así que es acotada, con lo que el límite radial es finito. A través de la serie geométrica, es inmediato llegar a que ka(z)=1 1−az =∞ X n=0 anzn, con lo que ka∈H2(D). Si tenemos en cuenta la Observación 1.33, vemos que kkak2=∞ X n=0|a|2n=1 1−|a|2. Probemos ahora el último resultado. En primer lugar, es fácil de comprobar que 〈ka|en〉= ˆ ka(n)=an. Como el producto escalar es una función lineal en la segunda componente, se cumple que, dado un polinomio p∈C[z]⊂H2(D), 〈ka|p〉=p(a). Además, los polinomios son densos en L2(T) ([4, p. 28]) y por tanto los son en el subespacio H2(D). Si a esto le sumamos que el producto escalar es una función continua, tenemos por último que 〈ka|f〉= f(a) para cualquier ffunción analítica. El núcleo de Cauchy es una función recurrente en el análisis de funciones de variable compleja, debido a que está involucrado en grandes teoremas de esta rama mencionada. Para nosotros será útil a la hora de construir subespacios de H2gracias a sus propiedades. Ahora que ya hemos construido el espacio de Hardy, es hora de hablar del operador principal que va a ser clave a la hora de conectar los productos de Blaschke con la extensión numérica. Definición 1.40 (Operador desplazamiento). Se define el operador desplazamien- to S :H2(D)→H2(D)como aquel que aplica f ∈H2(D)en S(f)definida por S(f)(z)=z f (z). 32 PRODUCTOS DE BLASCHKE Observación 1.41.Si a cada función f∈H2(D) le asociamos el vector correspondiente a los coeficientes del desarrollo en serie f→(a0,a1,...). A la función S f le corresponde S f →(0,a0,a1,...). Como su nombre indica, el operador desplazamiento, valga la redundancia, desplaza los coeficientes del desarrollo en serie añadiendo un término nulo. Esto nos permite ver que, bajo la definición (1.19), el operador Slleva funciones de Hardy en funciones de Hardy. Observación 1.42.Fijémonos que se cumple S(f)(z)=z∞ X n=0 anzn=∞ X n=0 anzn+1 =⇒kS f k2=0+∞ X n=0|an|2=kfk2. Ejemplo 1.43.Con lo que conocemos sobre operadores y sobre la extensión numérica, podemos calcular W(S). A través de la desigualdad de Cauchy-Schwartz con f∈H2(D) de norma 1, tenemos |〈f|S f 〉|≤kfkkS f k=1. Luego, W(S)⊆D. Sea a∈D, consideremos el núcleo de Cauchy normalizado ˜ ka(z)=p1−|a|2 1−az que cumple 〈˜ ka|S˜ ka〉=(1−|a|2)〈ka|Ska〉=(1−|a|2)Ska(a)=a(1−|a|2) 1−|a|2=a, de modo que D⊆W(S)⊆D. Veamos si la frontera del disco unidad está contenida en la extensión numérica de S. Supongamos λ∈W(S)∩T, entonces existe una función g∈H2(D) con norma 1 que cumple 〈g|Sg〉=λ 1=|λ|=|〈g|Sg〉|≤kSgkkgk≤1. En concreto, |〈g|Sg〉|=kSgkkgk, se alcanza entonces la igualdad de Cauchy-Schwartz. Por tanto existe un escalar µ∈Ccon Sg =µg. Pero esto es imposible pues se tendría que cumplir zg(z)=µg(z)∀z∈D, lo cual es cierto solo si g(z)=0. Concluimos entonces que W(S)=D. 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES.33 Si el operador desplazamiento es el operador más importante en el estudio de este tema, el operador retroceso es el segundo más importante. Definición 1.44 (Operador retroceso). Definimos el operador retroceso S∗:H2(D)→ H2(D)como el operador que me lleva una función f ∈H2(D)tal que f (z)=P∞ n=0anzn en la función S∗(f)(z)=f(z)−f(0) z=∞ X n=0 an+1zn. (1.22) Observación 1.45.Representamos f∈H2(D) mediante la sucesión (a0,a1,...) donde f=P∞ n=0anzn. El operador desplazamiento construye una aplicación de la forma (a0,a1,...) →(a1,a2,...). El hecho de que hayaamos denotado al operador retroceso por S∗no es mera casualidad. La siguiente proposición aclara este hecho. Proposición 1.46.El operador retroceso S∗es el adjunto del operador desplazamiento S. Demostración. Para probar esto, simplemente tenemos que comprobar que se cumple la igualdad 〈S f |g〉=〈f|S∗g〉 para todo f,g∈H2(D). Si f(z)=P∞ n=0anznyg(z)=P∞ m=0bmzm. Teniendo en cuenta la linealidad del producto escalar, se cumple: 〈S f |g〉=〈∞ X n=0 anzn+1|∞ X m=0 bmzm〉= ∞ X n=0 ∞ X m=0 anbm〈zn+1|zm〉= =∞ X n=0 ∞ X m=0 anbmδn+1,m=∞ X n=0 anbn+1 〈f|S∗g〉=〈∞ X n=0 anzn|∞ X m=0 bm+1zm〉= ∞ X n=0 ∞ X m=0 anbm+1〈zn|zm〉= =∞ X n=0 ∞ X m=0 anbm+1δn,m=∞ X n=0 anbn+1. 1.3.1 Compresión del operador Desplazamiento. Como vamos a ver en el capítulo 2, la clave para construir las curvas de Poncelet es el operador desplazamiento. En concreto nos va a interesar su representación en 40 PRODUCTOS DE BLASCHKE es de la forma A=Ãa1p1−|a1|2p1−|a2|2 0a2!. Si recordamos ahora la Proposición 1.19, tenemos que la extensión numérica de nuestra matriz Ano es más que la elipse de focos a1ya2y eje menor ptr(A∗A)−|a1|2−|a2|2. En concreto el eje menor vale: A∗A=Ãa10 p1−|a1|2p1−|a2|2a2!·Ãa1p1−|a1|2p1−|a2|2 0a2!= =µ|a1|2∗ ∗ |a2|2+(1−|a1|2)(1−|a2|2)¶ ptr(A∗A)−|a1|2−|a2|2=p1−|a1|2p1−|a2|2=[A]12. La 1-dilatación Uλcorrespondiente a Aes la matriz Uλ=   a1p1−|a1|2p1−|a2|2−a2p1−|a1|2 0a2p1−|a2|2 λp1−|a1|2−λa1p1−|a2|2λa1a2   . En la sección 3.1 hablaremos más de este caso particular y veremos una familia de curvas asociadas a este tipo de matrices. 2 Curvas de Poncelet y productos de Blaschke. En esta sección vamos a ver, por fin, la conexión de todos los fundamentos que hemos visto anteriormente. A través del concepto de curva de Poncelet vamos a relacionar los productos de Blaschke, la extensión numérica y el operador desplazamiento. Al final del capítulo, estudiaremos lo que se conoce como la clase Snde matrices que va a ser clave para responder, parcialmente, una de las principales cuestiones que nos planteamos en este capítulo, ¿provienen las elipses de Poncelet de productos de Blaschke? 2.1 Curvas de Poncelet. Teorema 2.1 (Teorema de Poncelet). Sean DyCdos cónicas en un mismo plano. Si es posible encontrar para un n ≥3, un polígono de n lados que simultáneamente se inscribe en D(lo que significa que todos sus vértices se encuentran en D) y circunscrito alrededor de C(lo que significa que todos sus bordes son tangentes a C), entonces es posible encontrar un número infinito de ellos. Cada punto de DoCes un vértice o una tangencia (respectivamente) de uno de dichos polígonos. Observación 2.2.El Teorema de Poncelet está descrito para dos cónicas cualesquiera. En nuestro caso vamos a trabajar con la circunferencia unidad y una curva Cque en un principio no tiene por qué ser una cónica. Este teorema se puede adaptar a un contexto más general si no nos restringimos solamente a cónicas. Para ello generalizamos el concepto de curva de Poncelet a través de la siguiente definición. 42 PRODUCTOS DE BLASCHKE Figura 2.1: Ejemplo de 5-elipse de Poncelet. En este caso los polígonos no son convexos. Definición 2.3 (Curva de Poncelet). Una curva diferenciable Cen Ddecimos que tiene la propiedad de Poncelet o la n-propiedad de Poncelet, si para todo z ∈Texiste un polígono de n lados inscrito en Tque circunscribe a Cy tiene z como un vértice. Diremos entonces que Ces una n-curva de Poncelet. Nuestro objetivo va a ser construir curvas con esta propiedad. Es aquí donde realmente vamos a unificar todos los conocimientos previos. Antes de entrar en materia, veamos un resultado que nos va a permitir hacer una consideración genérica sobre los productos de Blaschke con los que vamos a trabajar. Proposición 2.4.Dado un producto de Blaschke Bde la forma B(z)= n Y i=1 z−ai 1−aiz, con ai∈D entonces se cumple que C:=B−B(0) 1−B(0)B(2.1) es un producto de Blaschke con C(0) =0 e identifica puntos de la misma manera que B. Es decir, si B(z1)=B(z2) entonces C(z1)=C(z2). Demostración. QueC(0) =0 es inmediato; solo hay que sustituir. Si B(z1)=B(z2) es también sencillo ver que C(z1)=C(z2). Solo nos quedaría ver que Ces un producto de Blaschke. Para ello, vamos a recurrir a la caracterización 1.4 de los productos de 2. CURVAS DE PONCELET Y PRODUCTOS DE BLASCHKE.43 Figura 2.2: Ejemplo de 4-curva de Poncelet. Blaschke. Podemos escribir Ccomo C(z)=(ψ◦B)(z) siendo ψ(z)=z−B(0) z−B(0)z el producto de Blaschke de grado 1 con cero en B(0). Esta última función es un automorfismo del disco en el disco y de la circunferencia unidad en la circunferencia. De modo que, por composición, es inmediato que Ces una función analítica en Dque va del disco unidad en el disco y de la circunferencia unidad en la circunferencia. Por tanto, Ces un producto de Blaschke. Este resultado nos va a permitir considerar todos los próximos productos de Blaschke de aquí en adelante con un cero en 0. En otras palabras, se cumple que B(0) =0. Lema 2.5.Sean SyTmatrices (n+1)×(n+1) que difieren solo en la (n+1,n+1) entrada S=µA B C s ¶yT=µA B C t ¶ con A,ByCmatrices n×n,n×1 y 1×n, respectivamente. Entonces se cumple que detS−detT=(s−t)det A(2.2) 44 PRODUCTOS DE BLASCHKE Este lema nos va a permitir demostrar uno de los principales teoremas de esta sección. Con él, vamos a estrechar la conexión entre los productos de Blaschke y la compresión del operador desplazamiento. Teorema 2.6. Sea A una matriz (n−1)×(n−1) en forma estándar 1.30. Para cada λ∈T, denotamos por Uλla 1-dilatación que aparece en 1.31. Sea B1el producto de Blaschke de grado n−1con ceros en los autovalores de A. Entonces, los autovalores de Uλson las n soluciones en Tde la ecuación B(z)=λcon B(z) :=zB1(z). Demostración. Vamos a demostrar este resultado por inducción en el número kde ceros de B1. Consideremos el producto de Blaschke normalizado con cero a1∈D. Como sabemos, la matriz en forma estándar asociada es A=¡a1¢, cuya familia de 1-dilataciones es la siguiente Uλ=Ãa1p1−|a1|2 λp1−|a1|2−λa1!. Si buscamos ahora los autovalores de la anterior matriz, tenemos que resolver la ecuación det(zI −Uλ)=0. Realizamos lo cálculos pertinentes y obtenemos ¯¯¯¯¯ z−a1−p1−|a1|2 −λp1−|a1|2z+λa1¯¯¯¯¯=0⇐⇒ ⇐⇒ z(z−a1)−λ(1−a1z)=0⇐⇒ ⇐⇒ B(z)=zz−a1 1−a1z=λ. Planteemos como hipótesis de inducción que se cumple para k−1 ceros que el polinomio característico es det(zI −Uλ)=zQk−1 i=1(z−ai)−λQk−1 i=1(1−aiz). Supongamos ahora que B1tiene kceros, si tenemos en cuenta la representación de la matriz Uλ(k+1×k+1) dada por (1.31), se cumple que det(zI −Uλ)=(z−ak)·V1(z)+q1−|ak|2·detV2(z), siendo V1(z) (resp. V2(z)) la matriz k×kobtenida a partir de la matriz zI −Uλal eliminar la k-ésima fila y la k-ésima columna (resp. la k-ésima fila y la (k+1)-ésima 2. CURVAS DE PONCELET Y PRODUCTOS DE BLASCHKE.45 columna). Si hacemos uso del Lema 2.5 para el cálculo del determinante de V1(z) y V2(z) tenemos det(zI −Uλ)=(z−ak)(−ak)·det(zI −U0 λ)+µ−z ak−z¶det(zI −A0)¸ +(1−|ak|2)£det(zI −U0 λ)+(−z)det(zI −A0)¤, donde A0es la (k−1)×(k−1) matriz triangular superior que representa la compresión del operador desplazamiento con ceros a1,...,ak−1yU0 λsu 1-dilatación unitaria. Si hacemos uso de la hipótesis de inducción, tenemos det(zI −Uλ)=(1−akz)det(zI −U0 λ)+z£(z−ak)−(1−akz)¤det(zI −A0) =(1−akz)"z k−1 Y i=1 (z−ai)−λ k−1 Y i=1 (1−aiz)# +z£(z−ak)−(1−akz)¤ k−1 Y i=1 (z−ai)= =z k Y i=1 (z−ai)−λ k Y i=1 (1−aiz). En consecuencia, los autovalores de Uλson aquellos que verifican det(zI −Uλ)=0⇐⇒ z k Y i=1 (z−ai)−λ k Y i=1 (1−aiz)=0⇐⇒ ⇐⇒ z k Y i=1 z−ai 1−aiz=λ⇐⇒ B(z)=λ Proposición 2.7.Sea Bun producto de Blaschke y sea Ala matriz en forma estándar 1.30 asociada. Entonces todos los autovalores de A, y por tanto los ceros de B, están en el interior de W(A). Demostración. Cambiar el orden de los ceros de Bno altera el operador Aen sí ni su extensión numérica, simplemente cambia el orden de las columnas. Por lo que si tomamos un autovalor a∈W(A), podemos considerar A=      ap1−|a|2p1−|b|2? 0b? . . .. . .. . . 0 0 ?       . 46 PRODUCTOS DE BLASCHKE Si tomamos ahora vectores de norma 1 de la forma x=(x1x20...0)Tpodemos ver que la extensión numérica de A2="ap1−|a|2p1−|b|2 0b# está contenido en W(A). Por la Proposición 1.19, W(A2) no es más que la elipse de focos ayby eje menor p1−|a|2p1−|b|2. Esta elipse es no degenerada y contiene al autovalor a, luego es un punto interior de W(A). Definición 2.8. Se define una línea de apoyo de W (A)como una curva que corta a la frontera de W (A)en un punto (posiblemente con multiplicidad mayor que 1) o todo un intervalo. Lema 2.9.Sea n>1 y Auna matriz n×n. Todo punto de W(A) en la curva definida por la frontera de esta, que no sea diferenciable, es un autovalor de A. Demostración. Sea wen la frontera de W(A) no diferenciable. Como W(A) es cerrado y convexo, existen dos diferentes líneas de apoyo que pasan por w. Como w∈W(A), existe un vector unitario x∈Cntal que w=〈x|Ax〉. Si xyAx son linealmente dependientes entonces wes un autovalor y ya habríamos terminado. Supongamos que son linealmente independientes y consideremos el subespacio de Cndado por S=〈x,Ax〉. Sea AS=PSA|Ssobre S, con P|Sla proyección ortogonal sobre S. Vemos que 〈x|ASx〉=〈x|PSA|S〉=〈x|Ax〉=w, (2.3) de modo que w∈W(A|S). Por la proposición 1.19 W(A|S) es un disco elíptico. Este tiene que ser degenerado (un segmento) porque si no, el punto o sería interior o la frontera sería diferenciable. Además, wse debe encontrar en uno de los extremos del segmento por el mismo razonamiento que antes. En consecuencia, wes un autovalor de A|S, de manera que Ax =PSA|Sx=A|Sx=wx. (2.4) Llegamos así a que wes un autovalor de A. Lema 2.10.Sea Auna matriz (n−1)×(n−1) en forma estándar y, para cada λ∈ T, sea Uλla 1-dilatación unitaria de A. Entonces los autovalores de Uλson todos distintos y son los vértices de un polígono convexo de nlados inscrito en Ty que circunscribe a W(A) con cada lado tangente a la frontera de la extensión numérica en exactamente un punto. 2. CURVAS DE PONCELET Y PRODUCTOS DE BLASCHKE.47 Demostración. Por la Proposición 1.5 y el Teorema 2.6 es claro que los autovalores, w1,...,wndeUλson distintos. Ordenamos estos por argumento creciente. También es obvio, por ser la matriz unitaria (sus autovalores son de módulo 1), que el polígono que forman está inscrito en T. Es por ello que lo realmente interesante de la prueba es demostrar que dicho polígono circunscribe a W(A). En primer lugar, veamos que el segmento que une wn−1ywncorta a W(A). Esta prueba se puede adaptar fácilmente a cualquier par de vértices wjywj+1(los índices son tomados módulo n). Sea V=[In−1,0], que denota a una matriz (n−1)×n. ComoUλes unitaria, y por tanto normal, es unitariamente equivalente a una matriz (n+1)×(n+1) diagonal D formada por los autovalores de Uλ. En consecuencia podemos escribir A=V UλV∗=V X DX ∗V∗ para una cierta matriz, n×n,Xunitaria. Llamando V1=V X ((n−1)×n) tenemos que A=V1DV ∗ 1. Tomemos ahora la matriz, n×n,Ej=(elm) tal que ej j =1 y el resto ceros. Tenemos que A=V1Ãn X j=1 wjEj!V∗ 1. También se cumple que n X j=1 Ej=In y por tanto, n X j=1 V1EjV∗ 1=In−1. Consideremos ahora Kj=ker(V1EjV∗ 1)⊆Cn−1, vamos a encontrar un x∈Tn−2 j=1Kj⊂ Cn−1. Para ello, vamos a demostrar que esta intersección es no vacía por inducción sobre mpara 1 ≤m≤n−2, viendo que dimÃm \ j=1 Kj!≥n−1−m. Sin centrarnos en los elementos del producto de matrices, nos queda una matriz de la forma V1EjV∗ 1=¡α1v|α2v| ··· | αn−1v¢ 48 PRODUCTOS DE BLASCHKE con αi∈Cpara todo i=1,...,n−1 y v∈Cn−1. Con lo que rg(V1EjV∗ 1)≤1 y por tanto dimker(V1EjV∗ 1)=n−1−rg(V1EjV∗ 1)≥n−2. Esto es genérico para cualquier jluego dimKj≥n−2∀j=1,...,n, verificando así el primer paso de la demostración. Vamos a suponer que dim³Tm j=1Kj´≥n−1−mpara 1 ≤m≤n−3. Si tenemos en cuenta nuestra hipótesis de inducción así como la fórmula de la dimensión de la intersección dim(S∩T)=dimS+dimT−dim(S+T), (2.5) llegamos a que dimÃm+1 \ j=1 Kj!=dimÃm \ j=1 Kj!+dimKm+1−dimÃÃm \ j=1 Kj!+Km+1!≥ ≥(n−1−m)+(n−2)−(n−1) =n−1−(m+1). Se verifica entonces la desigualdad para todo 1 ≤m≤n−2 planteada y tomando m=n−2 tenemos que dimÃn−2 \ j=1 Kj!≥1. Existe por tanto, un vector unitario x0∈Tn−2 j=1Kjcon el que vamos a encontrar un punto de W(A) que pertenece también al segmento que une wn−1ywn. 〈x0|Ax0〉=〈x0| n X j=1 wjV1EjV∗ 1x0〉= =wn−1〈x0|V1En−1V∗ 1x0〉+wn〈x0|V1EnV∗ 1x0〉=wn−1αn−1+wnαn. Además αj=〈x0|V1EjV∗ 1x0〉=〈V∗ 1x0|EjV∗ 1x0〉=|(V∗ 1x0)j|2≥0 para todo j=1,...,n y αn−1+αn=〈x0|V1En−1V∗ 1x0〉+〈x0|V1EnV∗ 1x0〉= =〈x0| n X j=1 V1EjV∗ 1x0〉=〈x0|In−1x0〉=kx0k2=1. Por tanto, 〈x0|Ax0〉 ∈ W(A) pertenece al segmento formado por wnywn+1. Solo nos quedaría probar que este es un punto de tangencia. Supongamos que existen 2. CURVAS DE PONCELET Y PRODUCTOS DE BLASCHKE.49 x,yvectores de norma uno linealmente independientes con 〈x|Ax〉y〈y|Ay〉pertenecientes al segmento formado por wn−1ywn. De la misma manera que hicimos antes, vemos que 〈x|Ax〉= n X j=1 wj〈x|V1EjV∗ 1x〉 luego necesariamente para que esté en el segmento, 〈x|V1EjV∗ 1x〉=0 para todo j= 1,...,n−2. Entonces para dichos jse verifica 0=〈x|V1EjV∗ 1x〉=〈V∗ 1x|EjV∗ 1x〉=|(V∗ 1x)j|2. En consecuencia V1EjV∗ 1x=0 para todo j=1,...,n−2. Análogamente se tiene para y, luego x,y∈Tn−2 j=1Kj. Como xeyson linealmente independientes, tenemos que dim³Tn−2 j=1Kj´≥2. Así, una vez más a través de la fórmula de la dimensión, llegamos a que dimÃn−1 \ j=1 Kj!=dimÃn−2 \ j=1 Kj!+dimKn−1−dimÃÃn−2 \ j=1 Kj!+Kn−1!≥ 2+(n−2)−n+1=1. Podemos entonces tomar u∈Tn−1 j=1Kjvector unitario de tal modo que 〈u|Au〉= n X j=1 wj〈u|V1EjV∗ 1u〉=wn〈u|V1EnV∗ 1u〉= =wn〈u| n X j=1 V1EjV∗ 1u〉=wn〈u|u〉=wn, (2.6) o equivalentemente wn∈W(A)∩T= ;, llegando así a una contradicción con la Observación 1.3.1. Teorema 2.11. Sea A una matriz en forma estándar y consideremos la familia de 1-dilataciones unitarias {Uλ}λ∈Tdescritas por 1.31. Entonces W (A)=Tλ∈TW(Uλ). Demostración. Consideremos λ∈Ty la respectiva 1-dilatación Uλasociada a A. Entonces se cumple que A=P∗UλPcon Pla matriz n×(n−1) P=         1 0 ··· 0 0 1 ··· 0 . . .. . ..... . . 0 0 ··· 1 0 0 ··· 0         . 56 PRODUCTOS DE BLASCHKE suponiendo que jes el menor índice para el cual λj,...,λn+1son todos autovalores de U1, como vimos antes, se tiene que vj−1no está en W(T), una vez más una contradicción. Por tanto, T=T1es una compresión del operador desplazamiento y en consecuencia, es de la forma SBcon Bun determinado producto de Blaschke de grado n. Como ya sabemos por la Proposición 2.10, esto indica que W(T) está inscrito en Pcon vjcon j=1,...,npuntos de tangencia. Con estos resultados terminamos esta sección. Aunque al lector le parezcan en un principio algo alejados de lo que hemos estudiado al comienzo de esta segunda parte, estos serán relevantes a la hora de demostrar en la sección 3.3 si las elipses de Poncelet provienen de productos de Blaschke o no. 3 n-Elipses de Blaschke. 3.1 3-elipses de Blaschke. En la sección anterior hemos hablado de curvas de Poncelet obtenidas con nproductos de Blaschke. Esta vez nos vamos a centrar en las que obtenemos para n=3, que como vamos a ver más adelante, se corresponden con elipses. Es por ello que hablamos de 3-elipses de Blaschke. Teorema 3.1. Sea B el producto de Blaschke con ceros 0,a1,a2∈D. Para λ∈T, sean z1,z2,z3las soluciones de B(z)=λ. Entonces las líneas que unen zjy zkcon j6=k, son tangentes a la elipse de ecuación |w−a1|+|w−a2|=|1−a1a2|. (3.1) Recíprocamente, todo puto de la elipse es tangente a una recta que une dos puntos de Tque B identifica. Demostración. Con las herramientas que ya tenemos simplemente tenemos que encadenar una proposición tras otra. Si consideramos el producto de Blaschke B1 con ceros a1,a2y su matriz asociada 2×2 en forma estándar A=Ãa1p1−|a1|2p1−|a2|2 0a2!. Por la Proposición 1.19 la extensión numérica de Ano es más que la elipse de focos a1ya2, y eje menor p1−|a1|2p1−|a2|2. Si tenemos en cuenta la geometría de la elipse, la cual podemos ver en la Figura 3.1, tenemos que el semieje mayor es s|a1−a2|2 4+(1−|a1|2)(1−|a2|2) 4= =1 2p1−a1a2−a2a1+|a1a2|2=1 2|1−a1a2|. 58 PRODUCTOS DE BLASCHKE Por lo que la extensión numérica de Ano es más que la elipse de ecuación |w−a1|+|w−a2|=|1−a1a2|. Figura 3.1: Focos y semiejes de una elipse genérica Por el Teorema 2.6 sabemos que para cada λ∈T, las soluciones de B(z)=λ no son más que los autovalores de la 1-dilatación Uλde A. Por el Lema 2.10, estas forman un triángulo que circunscribe a W(A) es decir, a la elipse que hemos descrito anteriormente. Finalizamos así el teorema. Observación 3.2.Es posible demostrar el resultado anterior sin elaborar todos los resultados anteriores sobre la extensión numérica y el operador desplazamiento. Si recordamos la Proposición 1.7 se puede escribir F(z)=B(z)/z B(z)−λ= n X i=1 mi z−zi . Se puede demostrar aritméticamente que ζj=mj+1zj+mjzj+1 mj+mj+1(3.2) con j=1,2,3 módulo 3, es un punto de la elipse tangente al segmento formado por los ya descritos zjyzj+1. Ejemplo 3.3.Si consideramos el producto de Blaschke B(z)=zz−1 2(1+i) 1−z 2(1−i) z+1 2(1+i) 1+z 2(1−i) 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.59 obtenemos la elipse de ecuación ¯¯¯¯ w−1 2(1+i)¯¯¯¯+¯¯¯¯ w+1 2(1+i)¯¯¯¯=3 2. Figura 3.2: 3-elipse de Blaschke a partir del producto con ceros 0, 1 2(1+i)y−1 2(1+i). Proposición 3.4.Sea Euna elipse con focos a1ya2. Si Epuede ser circunscrito en un triángulo Tinscrito en T, entonces Ees una 3-elipse de Blaschke con focos a1y a2y eje mayor |1−a1a2|. Demostración. Por el Teorema 3.1 sabemos que existe una elipse E1con focos en a1ya2que tiene la propiedad que dado un punto z∈T, existe un triángulo, Tz, que la circunscribe y está inscrito en Tcon un vértice en z. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el eje mayor de Ees más largo que el eje mayor de E1. Como ambas tienen los mismos focos, es evidente que E1está en el interior de E. Sean z1,z2,z3los vértices del triángulo T. Consideremos ahora el triángulo Tz1que circunscribe a E1y con vértices z1,w2,w3. Como Ees mayor que E1y las elipses son cofocales, el argumento de w2debe ser mayor que el de z2; es decir, el segmento uniendo z1yw2se encuentra por debajo del que une z1yz2. Análogamente, el segmento que une z1yw3está por encima del segmento que une z1yz3. Pero entonces, el segmento que une w2yw3se encuentra fuera de Ey por tanto, no es tangente a E1. Esto implica que la única posibilidad sea que EyE1coincidan. Finalizando así la prueba. 60 PRODUCTOS DE BLASCHKE Figura 3.3: Esquema de la demostración de la Proposición 3.4. 3.1.1 3-Elipses de Blaschke y condiciones de Cayley Un producto de Blaschke Bde grado 3, con ceros en 0,ayben el interior del disco unidad Dtiene asociado una elipse de la siguiente forma. Dado λ∈T=∂D, existen tres soluciones distintas z1,z2,z3∈Tde la ecuación B(z)=λ. Se verifica que las rectas que unen los puntos zizjson tangentes a la elipse Ede ecuación |w−a|+|w−b|=|1−¯ ab|. Se tiene así que la circunferencia unidad Ty la elipse Eforman una 3-configuración de Poncelet. Las condiciones de Cayley asociadas al teorema de Poncelet nos dicen que una condición equivalente para que se tenga una 3-configuración es que el desarrollo de la función pdet(tT+E) en t=0 tenga un término cuadrático igual a cero. El orden es importante, pues el triángulo debe estar inscrito en Ty circunscri- to a E. Se puede ver el enunciado general para cónicas sin puntos singulares en ([7, p. 4]). En primer lugar, analice mos un ejemplo y los problemas que nos podemos encontrar para verificarlo. Consideremos los valores a=1 2+1 2i,b=−3 4+1 4i. La ecuación 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.61 de la elipse Easociada es a:=1/2+1/2*I:b:=-3/4+1/4*I: w:=x+I*y: fa:=evalc(abs(w-a)^2); 2 2 fa := x - x + 1/2 + y - y > fb:=evalc(abs(w-b)^2): > f0:=evalc(abs(1-conjugate(a)*b)^2); 29 f0 := -- 16 > E:=(fa+fb-f0)^2-4*fa*fb; / 2 11 2 \2 E := |2 x + 1/2 x - -- + 2 y - 3/2 y| \ 16 / 2 2 2 2 - 4 (x - x + 1/2 + y - y) (x + 3/2 x + 5/8 + y - 1/2 y) > expand(E); 19 89 2 2 199 --- x + -- y - x - 7 y + 5/2 x y - --- 16 16 256 Tenemos entonces que la matriz asociada a la elipse Ees ME=     −199 256 −19 32 89 32 −19 32 −1 5/4 89 32 5 4−7      . 62 PRODUCTOS DE BLASCHKE La ecuación para la circunferencia unidad es x2+y2−1=0, y su matriz asociada es MT=     −100 0 1 0 0 0 1      . Entonces > with(LinearAlgebra): > ME:=Matrix([[-199/256, -19/32, 89/32],[-19/32,-1,5/4],[89/32, 5/4, -7]]); [-199 -19 89 ] [---- --- -- ] [256 32 32 ] [ ] [-19 ] ME := [--- -1 5/4] [32 ] [ ] [ 89 ] [ -- 5/4 -7 ] [ 32 ] > MT:=Matrix([[-1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]); [-1 0 0] [ ] MT := [ 0 1 0] [ ] [ 0 0 1] > E1:=sqrt(Determinant(t*MT + ME)); 3 2 1/2 (-4096 t + 29584 t - 29928 t + 7569) E1 := ----------------------------------------- 64 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.63 > taylor(E1, t=0,4); 87 43 32 3 4 -- - -- t - -- t + O(t ) 64 16 87 El término en t2tiene coeficiente nulo y, en efecto, las dos cónicas forman una 3- configuración de Poncelet. En la figura 3.4 aparece este caso. Se pueden ver otros ejemplos de las condiciones de Cayley en [17, p. 45-48]. Figura 3.4: 3-elipse. El problema que planteamos ahora es dar una prueba de que la elipse Ey la circunferencia Tforman una 3-configuración de Poncelet basada en las condiciones de Cayley. En [6] hay una prueba geométrica. Podemos hacer una prueba mediante cálculo simbólico en MAPLE. restart:with(LinearAlgebra): a:=a1+a2*I:b:=b1+b2*I: w:=x+y*I: 64 PRODUCTOS DE BLASCHKE fa:=evalc(abs(w-a)^2): fb:=evalc(abs(w-b)^2): f0:=evalc(abs(1-conjugate(a)*b)^2): E:=(fa+fb-f0)^2-4*fa*fb: M00:=subs([x=0,y=0],E): M01:=coeff(subs(y=0,E), x): M02:=coeff(subs(x=0,E), y): M11:=coeff(E, x^2): M12:=coeff(coeff(E,x), y): M22:=coeff(E, y^2): ME:=Matrix([[M00, 1/2*M01, 1/2*M02], [1/2*M01, M11, 1/2*M12], [1/2*M02, 1/2*M12, M22]]): xx:=Vector([1,x,y]): expand(Transpose(xx) . ME . xx - E); 0 MT:=Matrix([[-1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]): E1:=sqrt(Determinant(t*MT + ME)): expr1:=subs(t=0, diff(E1,t$2)): numexpr1:=numer(expr1) : expand(numexpr1); 0 Verificando así que la circunferencia Ty una elipse proveniente de un producto de Blaschke forman una 3-configuración de Poncelet. Esto podría ser una prueba alternativa a la demostración del Teorema 3.1. 3.2 4-Curvas de Blaschke. 3.2.1 Curva generadora de la frontera. Tras estudiar el caso de las 3-elipses, vamos a pasar a las 4-elipses. Este avance a priori parece inmediato, pero su construcción es mucho más compleja. Para tratar 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.65 estas elipses tenemos que recurrir al trabajo de Kippenhahn [14] sobre la extensión numérica de matrices. Proposición 3.5.Dada una matriz Acuadrada n×n, se puede descomponer como A=HA+iKA(3.3) donde HAyKAson matrices hermíticas. A HAse conoce como la parte real de Ay a KAla parte imaginaria. Demostración. Basta escribir HA=A+A∗ 2;KA=A−A∗ 2i. Teorema 3.6. Si A =HA+iKAy HAtiene autovalores α1≤α2≤... ≤αnmientras que KAtiene autovalores β1≤β2≤...βn, entonces W (A)está contenido en el rectángulo formado por las rectas x =α1, x =αn, y =β1e y =βn. Los lados del rectángulo comparten o un punto o todo un intervalo. Demostración. Vamos a dar una ligera idea de la primera parte; el resto, como ya hemos mencionado, se encuentra en [14]. Si tenemos en cuenta que tanto la parte real de Acomo su parte imaginaria son matrices hermíticas, sus autovalores son reales. No solo eso, sino que son matrices normales, y como ya hemos visto en el Ejemplo 1.17, su extensión numérica no es más que el cierre convexo de sus autovalores. En consecuencia, la extensión numérica de HAyKAserán intervalos reales cerrados y acotados. Por otro lado, si z∈W(A), entonces z∈W(HA)+iW (KA). Tomemos v∈Cncumpliendo tal que 〈v|Av〉=z. Se cumple entonces que 〈v|HAv〉= 〈v|Av〉+〈v|A∗v〉 2=z+z 2=ℜ(z)∈W(HA). De manera totalmente análoga se cumple que ℑ(z)∈W(K A), terminando así la primera parte de la demostración. Este teorema nos permite acotar la frontera de la extensión numérica de una cierta matriz A. Si realizásemos un giro de la extensión numérica a través de un giro de la matriz podríamos hallar nuevos límites del conjunto. Repitiendo este proceso encajonaríamos la región lo suficiente como para conocer la frontera de W(A). 72 PRODUCTOS DE BLASCHKE De manera similar formamos uHA1+vKA1+wI, recalcando que s≥0.    uℜ(a)+vℑ(a)+w(u−iv)s 20 (u+iv)s 2uℜ(b)+vℑ(b)+w0 0 0 uℜ(c)+vℑ(c)+w   . Podemos escribir los respectivos determinantes como polinomios en C[u,v][w] de la forma C3(u,v)+C2(u,v)w+C1(u,v)w2+w3 donde Cj(u,v) denota un polinomio homogéneo de grado j. Comparemos ahora los coeficientes de LAyLA1. Observando las respectivas matrices podemos apreciar que los coeficientes de w3yw2son iguales para ambos polinomios. A partir del coeficiente que acompaña a wllegamos a la primera condición para que LAsea igual a LA1 s2=|x|2+|y|2+|z|2. Si consideramos ahora el coeficiente que acompaña al término constante llegamos a la condición s2c=a|z|2+b|y|2+c|x|2−xyz. (3.9) A partir de estas condiciones construimos el siguiente teorema. Teorema 3.17. Sean a,b,c∈C, y sean x,y,z∈Ccon al menos uno no nulo. Sea A=   a x y 0b z 0 0 c   . Entonces la curva de Kippenhahn C(A)es un punto autovalor de A y una elipse si y solo si alguno de los autovalores λverifica (|x|2+|y|2+|z|2)λ=a|z|2+b|y|2+c|x|2−xyz. (3.10) Si se satisface esta condición, entonces C(A)es la unión de λy la elipse con foco en los otros dos autovalores de A. La longitud del eje menor de esta es s =p|x|2+|y|2+|z|2. Demostración. Ya hemos indicado anteriormente un pequeño esbozo de lo que podría ser una demostración. Para más detalles de la misma se recomienda la referencia [13]. 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.73 Observación 3.18.Nos restringimos al estudio de matrices triangulares superiores porque, como sabemos por el Lema de Schur, toda matriz es unitariamente equivalente a una matriz triangular superior y la extensión numérica es invariante para matrices unitariamente equivalentes. Proposición 3.19.Sea A=   a x y 0b z 0 0 c    con x=p1−|a|2p1−|b|2,y=−bp1−|a|2p1−|c|2 y z=p1−|b|2p1−|c|2 la representación usual de la compresión del operador desplazamiento correspondiente al producto de Blaschke B1con ceros a,b,c∈D. Entonces W(A) es un disco elíptico con foco aybsi y solo si (|x|2+|y|2+|z|2)c=a|z|2+b|y|2+c|x|2−xyz. (3.11) Demostración. ⇐Sabemos por el Teorema 3.17 que la condición (3.11) se satisface si y solo si C(A) consiste en una elipse y un autovalor de A. Como Aes una matriz en forma estándar, dicho autovalor tiene que estar en el interior de W(A), con lo que W(A) es en consecuencia un disco elíptico. ⇒Supongamos que la frontera de W(A) es una elipse con focos en ayb. Como Arepresenta al operador SB1, sabemos que el autovalor cse encuentra en el interior de la elipse. Si tomamos entonces A1como en (3.8), se tiene que W(A1)=W(A). Se cumple, por tanto, que LA=LA1y en consecuencia se debe verificar la ecuación (3.11). Antes de pasar a dar una condición necesaria y suficiente que debe cumplir un determinado 4-producto de Blaschke para que de lugar a una elipse, vamos a definir una serie de conceptos. Definición 3.20. Decimos que un producto de Blaschke B es factorizable si puede ser escrito como B=C◦D con C y D dos productos de Blaschke. 74 PRODUCTOS DE BLASCHKE Observación 3.21.Nos centramos ahora en descomponer productos de Blaschke B de grado 4. Como ya discutimos en la Proposición 2.4 podemos considerar sin pérdida de generalidad que Btiene un cero en 0. Para ello basta considerar la función ψc(z)=c−z 1−cz (3.12) con c∈Dy tomar ψB(0) ◦B. Así Bes factorizable, es decir, B=C◦Dsi y solo si B=C◦ψ−1 D(0)◦ψD(0)◦Dsi y solo si existen productos de BlaschkeC1yD1con B=C1◦ D1yD1(0) =0. Como además hemos considerado que B(0) =0, necesariamente se tiene que cumplir que C1(0) =0. Es por ello que nos podemos limitar simplemente a estudiar los productos de Blaschke factorizables de la forma B(z)=³zα−z 1−αz´◦³zc−z 1−cz ´(3.13) Lema 3.22.Sea a,c∈C. Para ψc(a)=c−a 1−ca , se cumple 1−|ψc(a)|2=(1−|a|2)(1−|a|2) |1−ca|2. (3.14) Teorema 3.23. Sea B1un producto de Blaschke de grado 3con ceros en a,b,c∈D, y sea B el producto de Blaschke definido por B(z)=zB1(z). Entonces B factorizable si y solo si la extensión numérica de la matriz representando la compresión del operador SB1es un disco elíptico. Demostración. Para ambas implicaciones vamos a hacer uso del siguiente cálculo. Sea Ala matriz en forma estándar representando SB1. Esta verifica, siguiendo la notación de (3.8) x=p1−|a|2p1−|b|2,y=−bp1−|a|2p1−|c|2, y z=p1−|b|2p1−|c|2. Así se tiene que c|x|2+b|y|2+a|z|2−xyz = =c(1−|a|2)(1−|b|2)+b|b|2(1−|a|2)(1−|c|2) +a(1−|b|2)(1−|c|2)+b(1−|a|2)(1−|b|2)(1−|c|2)= =c(1−|a|2)(1−|b|2)+a(1−|b|2)(1−|c|2)+b(1−|a|2)(1−|c|2) (3.15) 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.75 y s=|x|2+|y|2+|z|2= =(1−|a|2)(1−|b|2)+|b|2(1−|a|2)(1−|c|2)+(1−|b|2)(1−|c|2). (3.16) ⇒Supongamos que Bse puede descomponer de la forma (3.13). Es evidente por tanto, que B(z)=C(zψc(z)), donde C(z)=zψα(z) para un determinado α∈D. Como ψces su propio inverso, es fácil comprobar que B(ψc(z)) =B(z). De manera que ψcpermuta los ceros de B. A través de la definición, ψcpermuta 0 con c. Como los ceros de Bson 0,a,b,c∈Dse cumple que b=ψc(a). Comprobemos ahora que la extensión numérica de SB1es un disco elíptico con focos en ay en b=ψc(a). Es por ello que tenemos que demostrar que (|x|2+|y|2+|z|2)c=a|z|2+b|y|2+c|x|2−xyz. Rotar los ceros de Ba través de un factor λ∈Tno cambia ni la forma de la extensión numérica ni la ecuación anterior. De manera que podemos suponer que c∈R. Calculemos primero s2ya|z|2+b|y|2+c|x|2−xyz para nuestra matriz. Usando que b=c−a 1−ca , el Lema 3.22 y la ecuación (3.15) llegamos a s2=(1−|a|2)(1−|c|2)(1−|a|2)+|a−c|2+(1−|c|2) |1−ca|2. Como hemos tomado c∈R, simplificando tenemos s2=(1−|a|2)(1−|c|2) |1−ca|2(2−2cℜ(a)). La ecuación (3.16) y el Lema 3.22 dan lugar a a|z|2+b|y|2+c|x|2−xyz =c(1−|a|2)2(1−|c|2) |1−ca|2+a(1−|a|2)(1−|c|2)2 |1−ca|2+b(1−|a|2)(1−|c|2) =(1−|a|2)(1−|c|2) |1−ca|2¡c(1−|a|2)+a(1−|c|2)+(c−a)(1−ca)¢ =c(1−|a|2)(1−|c|2) |1−ca|2(2−2cℜ(a)) =cs2. Por el Teorema 3.17, la curva generadora de la frontera C(A) está formada por una elipse y un punto (autovalor de A). Como ya vimos en la Proposición 2.7, los 76 PRODUCTOS DE BLASCHKE autovalores de Ase encuentran en el interior de W(A) de modo que necesariamente W(A) es una elipse. ⇐En este sentido, si asumimos que W(A) es un disco elíptico vamos a demostrar que esto implica que los ceros de Bson 0,a,cyψc(a). Si esto es así, entonces los ceros de Bson los mismos que los del producto de Blaschke Ãzz−β 1−βz!◦³zc−z 1−cz ´ donde β=ac−a 1−ca . Por tanto, Bsería factorizable. Supongamos entonces que los ceros de Bson 0,a,b,c∈Dy que la extensión numérica de Aes una elipse. En este caso, el Teorema 3.17, nos indica que uno de los autovalores λ, debe verificar s2λ=a|z|2+b|y|2+c|x|2−xyz. (3.17) Si reordenamos los ceros de B1en la matriz Aseguimos teniendo una matriz que representa el operador SB1, luego tiene la misma extensión numérica. Así, podemos asumir que dicho λno es más que c, y vamos entonces a demostrar que b=ψc(a). Para ver esto, si sustituimos las ecuaciones (3.15) y (3.16) en (3.17) c|b|2(1−|a|2)+c(1−|b|2)=a(1−|b|2)+b(1−|a|2). Si despejamos ahora c c=a(1−|b|2)+b(1−|a|2) 1−|ab|2. (3.18) En consecuencia ψc(a)=c−a 1−ca =b−a|b|2−b|a|2+a|ab|2 1−|a|2−ab +ab|a|2=b. Finalizamos así la demostración. Observación 3.24.Se puede observar que para la matriz 3×3 que hemos considerado en la 3.19 la longitud del eje menor es s=¡tr(A∗A)−|a|2−|b|2−|c|2¢1/2 . (3.19) Proposición 3.25.Sea Bun producto de Blaschke de grado 4. Entonces la curva asociada a Bes una elipse si y solo si Bes factorizable. Demostración. La prueba es una consecuencia directa del Teorema 3.23, basta considerar C=ψB(0) ◦B. Ambos son productos de Blaschke y forman la misma curva pues ambos identifican los mismos puntos de la circunferencia. Ahora no tenemos más que aplicar el Teorema 3.23 y tener en cuenta que ψB(0) es un isomorfismo. 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.77 Figura 3.8: 4-Elipse de Blaschke a través de B(z)=µzz−1 2 1−z 2¶◦µzz−i1 2 1+zi 2¶. 3.3 n-Elipses convexas de Blaschke. Las curvas de Poncelet que hemos considerado hasta ahora han estado inscritas en polígonos convexos. Sin embargo, el teorema de Poncelet también considera elipses inscritas en polígonos no convexos. Es por ello que es útil tomar una nueva definición que nos permita aclarar la distinción. Definición 3.26. Dada una elipse de Poncelet Edecimos que es una elipse convexa de Poncelet si alguno de los polígonos inscritos en Dque circunscriben a Ees convexo. Una vez que tenemos esta definición podemos encontrar un importante Teorema de unicidad al respecto, pero para obtener este primero tenemos que asentar una serie de resultados. Teorema 3.27. Existe una única función multiplicidad de intersección Ip(C,D) para todas las curvas C y D en P2(C)cumpliendo las siguientes propiedades. 1. Ip(C,D)=Ip(D,C). 2. Ip(C,D)= ∞ si p pertenece a una componente común de C y D, en otro caso Ip(C,D)es un entero no negativo. 3. Ip(C,D)=0si y solo si p ∉C∩D. 78 PRODUCTOS DE BLASCHKE 4. Dos líneas se cortan en p con multiplicidad de intersección 1en su único punto de intersección. 5. Si C1y C2están definidas por polinomios homogéneos P1(x,y,z)y P2(x,y,z)y sea C definida por P(x,y,z)=P1(x,y,z)P2(x,y,z) entonces Ip(C,D)=Ip(C1,D)+Ip(C2,D). 6. Si C y D están definidas por los polinomios homogéneos P(x,y,z)y Q(x,y,z)de grados n y m, y E está definido por el polinomio PR +Q con R(x,y,z)homogéneo de grado m −n entonces Ip(C,D)=Ip(C,E). Demostración. La función multiplicidad de intersección tiene distintas definiciones, nosotros usamos la de Kirwan [15], pero puede, si el lector lo prefiere, hacer uso de las construcciones de [8] y/o [1]. En esta primera puede encontrar la demostración del teorema. A partir de la definición de multiplicidad de intersección se enuncia el Teorema de Bézout. Teorema 3.28 (Teorema de Bézout). Si C y D son dos curvas proyectivas de grado n y m en P2(C)que no tienen ninguna componente en común, entonces hay exactamente n ·m puntos de intersección contando multiplicidad, es decir X p∈C∩D Ip(C,D)=n·m. Como consecuencia de este teorema tenemos la siguiente proposición. Proposición 3.29.Sean CyDcurvas algebraicas y Pun punto en P2(C). Entonces IP(C,D)=1 si y solo si Pes un punto no singular de CyDy las líneas tangentes de CyDen Pson distintas. Demostración. La demostración de este resultado, al igual que el anterior, se encuentra en [15]. Estamos ahora preparados para enunciar y demostrar el teorema clave que va a dar como consecuencia el resultado que buscamos. 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.79 Teorema 3.30. Sea A una matriz n×n (n ≥2) y sea E un disco elíptico en el plano. Supongamos que W (A)y E tienen l ≥1rectas de apoyo L1,...,Llen común con m (0≤m≤l) de las intersecciones Lk∩W(A)∩E no vacías. Si l +m≥2n+1, entonces E⊆W(A). En este caso, el número 2n+1es la cota óptima, en el sentido de que si l+m<2n+1, no se cumple el resultado. Demostración. Sea Lalguna de las líneas de apoyo de W(A) y E, y sea Pel punto de tangencia de Ly∂E. Consideremos además, como hicimos en 3.2, C(A) la curva generadora de la frontera de W(A). En un principio, tenemos distintos casos que considerar. 1. Pno está en W(A). Como Les tangente a C(A), se corresponde, por dualidad, con el punto L∗intersección deC(A)∗y∂E∗. Entonces IL∗(C(A)∗,∂E∗)≥1 por la definición de la multiplicidad de intersección. 2. Pestá en W(A) y en C(A). En este caso el punto de intersección L∗de C(A)∗y ∂E∗tiene una línea tangente P∗en común. Entonces IL∗(C(A)∗,∂E∗)≥2 por 3.29. 3. Pestá en W(A) pero no en C(A). Este caso podría corresponderse con el del Ejemplo 3.6, donde existen puntos en W(A) que no están en C(A). Esto implica que Les tangente a C(A) en otros dos puntos QyR. Tenemos entonces que considerar otros dos casos: a)QyRse encuentran en componentes distintas, denotadas C1yC2de C(A). Entonces C∗ 1yC∗ 2son componentes de C(A)∗y IL∗(C(A)∗,∂E∗)≥IL∗(C∗ 1,∂E∗)+IL∗(C∗ 2,∂E∗)≥1+1=2, donde la primera desigualdad se da por una de las propiedades la multiplicidad de intersección. b)QyRse encuentran en la misma componente Cde C(A). En este caso el punto L∗en C∗tiene al menos dos líneas tangentes Q∗yR∗a C(A)∗. Así L∗es un punto singular de C(A)∗y deducimos de 3.29 que IL∗(C(A)∗,∂E∗)≥2. En todos los casos considerados IL∗(C(A)∗,∂E∗) es al menos tan grande como la cantidad (1 o 2) que contribuye la línea de apoyo La la suma l+m. Entonces si l+m≥2n+1, PjIL∗ j(C(A)∗,∂E∗)≥2n+1. Como los grados de C(A)∗y∂E∗son ny 2, respectivamente, el teorema de Bézout 3.28 implica que C(A)∗y∂E∗tiene componentes en común. Inferimos de la irreducibilidad de la elipse ∂E∗que ∂E∗es una 80 PRODUCTOS DE BLASCHKE componente deC(A)∗. Entonces ∂Ees una componente deC(A) como requeríamos yE⊆W(A). Para ver que 2n+1 es la cota óptima, consideremos E=Dyn=3, l=5 (se verifica que n≥2 y n≤l≤2n). Sea Pel polígono de 5 lados con vértices a1,...,a5que circunscribe a Econ bjcon j=1,...,5 puntos de tangencia. Sea ahora m=2n−l=1 y tomemos la matriz A=   b10 0 0a30 0 0 a5   . Por ser Auna matriz diagonal su extensión numérica no es más que el cierre convexo de sus autovalores, es decir, el polígono que une b1,a3ya5. Este polígono cumple que tiene l=5 líneas de apoyo en común con Eym=1 intersecciones Lk∩W(A)∩E no vacías, donde Lkcon k=1,...,ldenota a las líneas de apoyo, es decir, los lados del polígono P. Sin embargo, como podemos ver en la Figura 3.9 no se cumple que E⊆W(A). Observación 3.31.Es importante aclarar que en un principio el caso (1) de 3.30 se puede dar, pero es cuando imponemos la condición l+m≥2n+1 cuando descartamos esta posibilidad. Lo que nos interesa de este teorema no es el resultado en sí, sino la proposición que este implica. Proposición 3.32.Sea Eun disco elíptico contenido en D. Entonces Ees la extensión numérica de una matriz A,n×n, en forma estándar si y solo si ∂Ees una (n+1)- elipse de Poncelet convexa. En este caso, Aes única salvo transformaciones unitarias. Demostración. ⇒La condición necesaria está ya probada. Como sabemos toda curva que proviene de una matriz en forma estándar es una curva convexa de Poncelet. ⇐Para probar la condición suficiente, sea Puno de los polígonos de n+1 lados tangentes a ∂Econ v1,...,vn+1puntos de tangencia. Por el Teorema 2.17 existe una matriz Aen forma estándar tal que W(A) está circunscrito por Pcon v1,...,vn puntos de tangencia. Entonces EyW(A) tienen n+1 líneas de apoyo en común con npuntos de intersección. De modo que, por el Teorema 3.30, E⊆W(A). Para probar la igualdad E=W(A), sea λ1=λ0 1un punto arbitrario de T. Dibujamos sucesivamente desde λj(respectivamente λ0j), j=1,...,n+1, líneas tangentes a ∂E(respectivamente a ∂W(A)), que cortan a Ten λj+1(respectivamente λ0j+1). Como por 3. N-ELIPSES DE BLASCHKE.81 Figura 3.9: Ejemplo de la extensión numérica de una matriz (triángulo gris) y una cónica (círculo) que verifican las condiciones del Teorema 3.30 pero no la cota l +m≥ 2n+1, siendo l =5, n =3y m =1. Podemos apreciar como el círculo no se encuentra en el interior de la región gris. hipótesis ∂Ees una elipse de Poncelet convexa y todas las curvas provenientes de una matriz en forma estándar son curvas convexas de Poncelet, podemos suponer λj=eiθj(respectivamente λ0j=eiθ0j) con θ1=θ0 1y 0 ≤θ1<θ2<···<θn+2=θ1+2π (respectivamente 0 ≤θ0 1<θ0 2< ··· < θ0 n+2=θ0 1+2π). Como E⊆W(A), es fácil de ver que θj≥θ0jpara todo jy, más aún, si θj0>θ0j0para algún j0, entones θk>θ0 k para todo k≥j0. Como θn+2=θ0 n+2necesariamente se tiene que cumplir θj=θ0j. Así ∂Ey∂W(A) están circunscritas por el mismo conjunto de polígonos de n+1 lados con vértices en T. Si recordamos que EyW(A) son la intersección de la región delimitada por cada uno de estos polígonos, concluimos que E=W(A). Observación 3.33.Esta proposición se puede enunciar de manera equivalente como que toda elipse convexa de Poncelet proviene de un producto de Blaschke y por tanto, es una elipse de Blaschke. Hemos llegado a un resultado bastante importante, y es que toda toda elipse E en Dcircunscrita por un polígono convexo Pinscrito en Tproviene de un producto de Blaschke B. Hemos caracterizado, dentro de la familia de elipses de Poncelet, a una gran parte de ellas. Aún así, todavía nos queda ver una condición necesaria y/o suficiente de elipses inscritas en polígonos no convexos. 88 PRODUCTOS DE BLASCHKE y eje mayor de longitud 2sin φ 2, donde φ=argÃe2πi k−|b|2 |b|2e2πi k−1!. (4.6) Si k=2 la elipse no es más que el punto a=2b 1+|b|2. (4.7) Observación 4.13.Las elipses obtenidas en la proposición anterior son (k,1)-elipses de Blaschke y obtenemos una por cada factor kde n. Proposición 4.14.Sea a∈Dyφ∈[0,2π) tal que Ma,φes un automorfismo elíptico del disco de orden n>1 con punto fijo b∈D. Sea Bun producto de Blaschke cumpliendo B◦Ma,φ=B. Si n1,n2,...,nlson todos los divisores de nmayores que 1, entonces Bda lugar a lelipses de Poncelet con una de ellas posiblemente degenerada. Los focos de todas estas elipses se encuentran en el círculo centrado en b 1+|b|2 que pasa por el origen. Demostración. Este resultado no es más que un corolario de todos los resultados expuestos anteriormente. A estas alturas conocemos múltiples métodos para construir elipses de Poncelet a través de elipses de Blaschke. En un principio, el uso del operador desplazamien- to parece distinto de los automorfismos elípticos del disco. Sin embargo, podemos conectar ambas construcciones empleando teoría de operadores. Definición 4.15 (Operador composición). Dado un automorfismo del disco Ma,φ se define el operador composición CMa,φ:B→Bcomo CMa,φ(f)=f◦Ma,φ(4.8) donde Bes el conjunto de todos los productos de Blaschke. Observación 4.16.Para todo aquel interesado en comprobar que este operador está bien definido puede consultar [18, p. 16]. Es entonces claro que la condición B◦Ma,φ=Bes equivalente a que Bsea una autofunción de CMa,φasociada al autovalor 1. Si hacemos uso de esto, así como del Lema 4.10 y la Proposición 4.14, tenemos un resultado particular para esta clase de productos de Blachke. 4. (N,P)-ELIPSES DE BLASCHKE.89 Proposición 4.17.Sea a∈Dyφ∈[0,2π) tal que Ma,φes un automorfismo elíptico del disco de orden n>1. Supongamos que Bes un producto de Blaschke de grado nautofunción del operador composición asociada al autovalor 1. Sean n1,...,nl los divisores de nmayores que 1. Entonces para todo entero pkcon 1 ≤pk<n 2y mcd(pk,nk)=1 existe una (nk,pk)-elipse de Blachke. Ejemplo 4.18.Si tomamos el producto de Blaschke B(z)=µ−0.1+0.3i−z 1−(−0.1−0.3i)z¶6 . Construimos una familia de elipses de Blaschke compuesta por una (6,1)-elipse (6- elipse) , una (3,1)-elipse (3-elipse) y una (2,1)-elipse (2-elipse correspondiente a un punto). Podemos ver en la Figura 4.3 esta familia de elipses. Figura 4.3: Familia de elipses de Blaschke para el Ejemplo 4.18. Si ahora consideramos todos los resultados de las secciones 1.3, 4 y del Capítulo 2, obtenemos la siguiente proposición que nos permite hilar todo al operador desplazamiento. Proposición 4.19.Sea a∈Dyφ∈[0,2π) tal que Ma,φes un automorfismo elíptico del disco de orden n>1, y sea Bun producto de Blaschke de grado n−1. Supongamos que el producto de Blacshke C(z)=zB(z) cumple C◦Ma,φ=C. Entonces la extensión numérica de SBes un disco elíptico. 90 PRODUCTOS DE BLASCHKE Como podemos ver, en este capítulo hemos encontrado un método de construcción de elipses de Blaschke de cualquier orden. Hemos dado además un paso más allá, pudiendo construir también elipses que estén inscritas en polígonos que no sean convexos. La pregunta que nos surge ahora es si toda elipse de Poncelet, convexa o no, proviene de un producto de Blaschke (y por tanto son elipses de Blaschke). Ya probamos en la Proposición 3.32 que si el polígono que la circunscribe es convexo entonces proviene de un producto de Blaschke. Sin embargo, si la familia de polígonos que circunscriben a la elipse no es convexa, entonces no tenemos garantía, en principio, de que provengan de un producto de Blaschke. Bibliografía [1] BIX, R. Conics and cubics, second ed. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2006. A concrete introduction to algebraic curves. [2] BRIESKORN, E., AND KNÖRRER, H. Plane algebraic curves. Birkhäuser Verlag, Basel, 1986. Translated from the German by John Stillwell. [3] CHOI, M.-D., AND LI, C.-K. Constrained unitary dilations and numerical ranges. J. Operator Theory 46, 2 (2001), 435–447. [4] CONWAY, J. B. The theory of subnormal operators, vol. 36 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1991. [5] CONWAY, J. B. Functions of one complex variable. II, vol. 159 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995. [6] DAEPP, U., GORKIN, P., SHAFFER, A., AND VOSS, K. Finding ellipses, vol. 34 of Carus Mathematical Monographs. 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