Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS YEMPRESARIALES GRADO EN ECONOMÍA RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Trabajo Fin de Grado presentado por Jesús Carlos Couso Díaz, siendo el tutor del mismo el profesor Francisco Begines Begines Vº. Bº. del Tutor: Alumno: D. Francisco Begines Begines D. Jesús Carlos Couso Díaz Sevilla. julio de 2018 GRADO EN ECONOMÍA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO [2017-2018] TÍTULO: RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN AUTOR: JESÚS CARLOS COUSO DÍAZ TUTOR: FRANCISCO BEGINES BEGINES DEPARTAMENTO: DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I ÁREA DE CONOCIMIENTO: METODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA RESUMEN: El trabajo presente tiene como objetivo un análisis de los métodos numéricos y su efectividad en el cálculo de aproximaciones para la resolución de problemas de condiciones iniciales con ecuaciones diferenciales de primer orden. Comenzaremos pues introduciendo el concepto de ecuación diferencial, su origen teórico, su clasificación, así como la problemática presente en su resolución. Posteriormente, procederemos a exponer algunos de los principales métodos para su resolución numérica, a saber, el método de Euler, el método de Euler mejorado, y los métodos de Rung-Kutta de tercer y cuarto orden. Finalmente, analizaremos los resultados obtenidos de aplicar dichos métodos a una ecuación de carácter económico (relación precio-tiempo), para así extraer conclusiones sobre su capacidad como herramienta de estudio. PALABRAS CLAVE: Euler; Runge-Kutta; EDO; Modelo demanda y oferta; Métodos numéricos TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -I- ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................ 1 1.1. Concepto de Ecuación Diferencial Ordinaria .................................................................................... 1 1.2. Solución de una ecuación diferencial ................................................................................................... 1 1.3. Clasificación de ecuaciones diferenciales ordinarias ......................................................................... 2 1.4. Historia de la resolución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias ............................. 3 2. OBJETIVOS DEL TRABAJO ............................................................................................................ 5 3. METODOLOGÍA ................................................................................................................................. 6 3.1. Problema de condiciones de primer orden ........................................................................................ 7 3.2. El método de Euler ................................................................................................................................ 8 3.3. Método de Euler mejorado ................................................................................................................... 9 3.4. Método de Runge-Kutta de tercer orden .......................................................................................... 11 3.5. Método de Runge-Kutta de cuarto orden ........................................................................................ 12 4. APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA ................................................................................... 14 4.1. Modelo económico propuesto ............................................................................................................ 14 4.2. Aplicación del método de Euler ......................................................................................................... 15 4.3. Aplicación del método de Euler mejorado ....................................................................................... 21 4.4. Aplicación del método de Runge-Kutta de tercer orden ............................................................... 26 4.5. Aplicación del método de Runge-Kutta de cuarto orden .............................................................. 31 5. CONCLUSIONES ............................................................................................................................... 37 Figura 1. Ejemplo de la clasificación de ecuaciones diferenciales ......................................................... 3 Figura 2. Interpretación geométrica del método Euler ............................................................................ 9 Figura 3. Interpretación geométrica del método de Euler (II) ................................................................. 9 Figura 4. Interpretación geométrica del método de Euler mejorado ..................................................... 11 Figura 5. Trayectoria de p(t) ................................................................................................................. 15 Figura 6. Método de Euler aplicado para h=0,4 .................................................................................... 16 Figura 7. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler aplicado con h=0,4 ........................... 17 Figura 8. Error para método de Euler aplicado con h=0,4 .................................................................... 17 Figura 9. Método de Euler aplicado para h=0,1 .................................................................................... 17 Figura 10. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler aplicado con h=0,1 ......................... 18 Figura 11. Error para método de Euler aplicado con h=0,1 .................................................................. 18 Figura 12. Método de Euler aplicado para h=0,04 ................................................................................ 18 Figura 13. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler aplicado con h=0,04 ....................... 19 Figura 14. Error para método de Euler aplicado con h=0,04 ................................................................ 19 Figura 15. Método de Euler aplicado para h=0,01 ................................................................................ 19 Figura 16. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler aplicado con h=0,01 ....................... 20 Figura 17. Error para método de Euler aplicado con h=0,01 ................................................................ 20 Figura 18. Método de Euler mejorado aplicado para h=0,4 .................................................................. 21 Figura 19. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler mejorado aplicado con h=0,4 ......... 22 Figura 20. Error para método de Euler mejorado aplicado con h=0,4 .................................................. 22 Figura 21. Método de Euler mejorado aplicado para h=0,1 .................................................................. 22 Figura 22. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler mejorado aplicado con h=0,1 ......... 23 Figura 23. Error para método de Euler mejorado aplicado con h=0,1 .................................................. 23 Figura 24. Método de Euler mejorado aplicado para h=0,04 ................................................................ 23 Figura 25. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler mejorado aplicado con h=0,04 ....... 24 Figura 26. Error para método de Euler mejorado aplicado con h=0,04 ................................................ 24 Figura 27. Método de Euler mejorado aplicado para h=0,01 ................................................................ 24 Figura 28. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler mejorado aplicado con h=0,01 ....... 25 Figura 29. Error para método de Euler mejorado aplicado con h=0,01 ................................................ 25 Figura 30. Método de R-K de tercer orden aplicado para h=0,4 ........................................................... 26 Figura 31. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de tercer orden mejorado aplicado con h=0,4 ........................................................................................................................................................... 27 Figura 32. Error para método de R-K de tercer orden aplicado con h=0,4 ........................................... 27 Figura 33. Método de R-K de tercer orden aplicado para h=0,1 ........................................................... 27 TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -II- Figura 34. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de tercer orden mejorado aplicado con h=0,1 ........................................................................................................................................................... 28 Figura 35. Error para método de R-K de tercer orden aplicado con h=0,1 ........................................... 28 Figura 36. Método de R-K de tercer orden aplicado para h=0,04 ......................................................... 28 Figura 37. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de tercer orden mejorado aplicado con h=0,04 ......................................................................................................................................................... 29 Figura 38. Error para método de R-K de tercer orden aplicado con h=0,04 ......................................... 29 Figura 39. Método de R-K de tercer orden aplicado para h=0,01 ......................................................... 29 Figura 40. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de tercer orden mejorado aplicado con h=0,01 ......................................................................................................................................................... 30 Figura 41. Error para método de R-K de tercer orden aplicado con h=0,01 ......................................... 30 Figura 42. Método de R-K de cuarto orden aplicado para h=0,4 .......................................................... 31 Figura 43. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de cuarto orden mejorado aplicado con h=0,4 ........................................................................................................................................................... 32 Figura 44. Error para método de R-K de cuarto orden aplicado con h=0,4 .......................................... 32 Figura 45. Método de R-K de cuarto orden aplicado para h=0,1 .......................................................... 32 Figura 46. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de cuarto orden mejorado aplicado con h=0,1 ........................................................................................................................................................... 33 Figura 47. Error para método de R-K de cuarto orden aplicado con h=0,1 .......................................... 33 Figura 48. Método de R-K de cuarto orden aplicado para h=0,04 ........................................................ 33 Figura 49. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de cuarto orden mejorado aplicado con h=0,04 ......................................................................................................................................................... 34 Figura 50. Error para método de R-K de cuarto orden aplicado con h=0,04 ........................................ 34 Figura 51. Método de R-K de cuarto orden aplicado para h=0,01 ........................................................ 35 Figura 52. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de cuarto orden mejorado aplicado con h=0,01 ......................................................................................................................................................... 35 Figura 53. Error para método de R-K de cuarto orden aplicado con h=0,01 ........................................ 36 TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -1- 1. INTRODUCCIÓN Como presentación del presente proyecto, comenzaremos explicando la base misma de la que se nutre, que no es sino la ecuación diferencial ordinaria. Este capítulo pretende exponer las anticipaciones necesarias para el seguimiento de los objetivos del capítulo 2. Se constituye este capítulo introductorio, pues, como la base teórica de la que parte el resto del proyecto. 1.1. Concepto de Ecuación Diferencial Ordinaria Podemos definir una ecuación diferencial como “una igualdad dentro de la cual algunos o todos sus términos son derivadas de alguna variable con respecto a otra”, como indican los autores A Undurraga, Jaime y Venegas, Adolfo en su obra Introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales (2005). Pero esta definición se ajusta a una ecuación diferencial en general. En este trabajo nos centraremos en las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), que son aquellas cuyas funciones dependen de una sola variable independiente (Vázquez Espí, 2013) Estas ecuaciones nos permiten modelar matemáticamente problemas de distintos ámbitos científicos (desde la economía a la física o la ingeniería aplicada) a través de las relaciones entre sus variables. Podemos aportar a modo de ejemplo la ecuación que representa el movimiento de caída de un cuerpo: 𝑑2𝑠 𝑑𝑡2=𝑔−𝑘(𝑑𝑠 𝑑𝑡)2 En este ejemplo observamos que el término 𝑠 (espacio recorrido) depende de la variable 𝑡 (tiempo), y modelizamos su cálculo teniendo en cuenta la dependencia de ambas variables. Utilizaremos en los subsiguientes apartados la siguiente nomenclatura: 𝑦 para la variable dependiente y 𝑥 para independiente. 1.2. Solución de una ecuación diferencial Podemos afirmar que una función cualquiera definida en un intervalo 𝐼, n veces derivable, que al sustituirse en una EDO de n-ésimo orden, la reduce a una identidad, es una solución de dicha ecuación en 𝐼 (Escobar Jiménez, 2010), es decir: 𝐹(𝑥,𝑦,𝑑𝑦 𝑑𝑥,…,𝑑𝑛−1𝑦 𝑑𝑥𝑛−1,𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛)=0 TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -2- Diferenciamos en una ecuación diferencial entre la solución explícita y la implícita. La solución explícita de una ecuación diferencial es aquella función 𝑓(𝑥) que satisface la igualdad al sustituir a la variable dependiente 𝑦 para ∀𝑥∈𝐼. Undurraga et Al. (2005) nos proponen el siguiente ejemplo: Demostrar que la función 𝑦(𝑥)=𝑐1𝑒−𝑥+𝑐2𝑒2𝑥 es solución explícita de 𝑦′′−𝑦′− 2𝑦=0. Procedemos al desarrollo: 𝑑2 𝑑𝑥2(𝑐1𝑒−𝑥+𝑐2𝑒2𝑥)−𝑑 𝑑𝑥(𝑐1𝑒−𝑥+𝑐2𝑒2𝑥)−2(𝑐1𝑒−𝑥+𝑐2𝑒2𝑥) =𝑐1𝑒−𝑥+4𝑐2𝑒2𝑥—𝑐1𝑒−𝑥+2𝑐2𝑒2𝑥−2𝑐1𝑒−𝑥−2𝑐2𝑒2𝑥 =𝑐1𝑒−𝑥+4𝑐2𝑒2𝑥+𝑐1𝑒−𝑥−2𝑐2𝑒2𝑥−2𝑐1𝑒−𝑥−2𝑐2𝑒2𝑥 =𝑐1(𝑒−𝑥+𝑒−𝑥−2𝑒−𝑥)+𝑐2(4𝑒2𝑥−2𝑒2𝑥−2𝑒2𝑥)=𝑐1∙0+𝑐2∙0=0 Por lo que queda demostrado que 𝑦(𝑥)=𝑐1𝑒−𝑥+𝑐2𝑒2𝑥 es solución explícita de 𝑦′′− 𝑦′−2𝑦=0 ∀𝑐1,𝑐2∈ℝ. La solución implícita de una ecuación es aquella función 𝐺(𝑥,𝑦)=0 que defina una o más soluciones explícitas en el intervalo 𝐼. Siguiendo con los ejemplos propuestos por Undurraga et Al. (2005) demostraremos que la igualdad 𝑥2+𝑦2−16=0 es solución implícita de la ecuación implícita 𝑑𝑦 𝑑𝑥=−𝑥 𝑦 en un intervalo −4<𝑥<4, derivamos implícitamente para demostrarlo: 𝑑 𝑑𝑥(𝑥2)+𝑑 𝑑𝑥(𝑦2)−𝑑 𝑑𝑥(16)=𝑑 𝑑𝑥(0) 2𝑥+2𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥−0=0→𝑑𝑦 𝑑𝑥=−𝑥 𝑦 1.3. Clasificación de ecuaciones diferenciales ordinarias Siguiendo la clasificación proporcionada por Carlos Vázquez Espí en su obra Ecuaciones diferenciales. Resolución numérica (2013), podemos distinguir una EDO por su orden, su linealidad y su gradiente. 1. Distinguir una ecuación diferencial como de orden r indica que el máximo orden de las derivadas que la conforman es r TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -3- 2. Si la función y sus derivadas siguen una trayectoria lineal, la ecuación diferencial será considerada como tal. Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n tendrá la siguiente forma: 𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛+𝑎𝑛−1(𝑥)𝑑𝑛−1𝑦 𝑑𝑥𝑛−1 +⋯+𝑎1(𝑥)𝑑𝑦 𝑑𝑥+𝑎0(𝑥)𝑦=𝑏(𝑥) 3. El grado de una ecuación de orden n se define como la máxima potencia del término 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛. Aclaramos que todas las ecuaciones lineales son de grado 1, pero no tiene por qué ser así, al contrario. A modo de ejemplo, el autor proporciona una tabla para facilitar la comprensión de la clasificación, con distintas ecuaciones diferenciales: Figura 1. Ejemplo de la clasificación de ecuaciones diferenciales Ecuación Linealidad Orden Grado 𝑦′′−4𝑦′+2𝑦=𝑒−𝑥 Lineal Orden 2 𝑦′′−4𝑦𝑦′′+2𝑦=𝑒−𝑥 No lineal Orden 2 Grado 1 𝑦′−𝑒𝑦𝑥 =𝑥2 No lineal Orden 1 Grado 1 (𝑦′)2−𝑦𝑒−𝑦 =𝑥𝑒−𝑥 No lineal Orden 1 Grado 2 𝑒𝑥𝑦(4)+2𝑦′′ =1 Lineal Orden 4 𝑦(4)+2(𝑦′′)2=1 No lineal Orden 4 Grado 1 𝑦′′𝑦′+𝑥(𝑦′)2+𝑦=0 No lineal Orden 2 Grado 1 (𝑦′′′)2+(𝑦′′)4+𝑥𝑦=0 No lineal Orden 3 Grado 2 Fuente: Ecuaciones diferenciales. Resolución numérica (Vázquez Espí, 2013) 1.4. Historia de la resolución numérica de las ecuaciones diferenciales ordinarias Procedemos a presentar a continuación un seguimiento histórico de los métodos numéricos necesarios para la resolución de las ecuaciones diferenciales, con el propósito de otorgar un marco social y humanístico sobre su utilidad metodológica. Como dice Simmons (Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. McGraw Hill. 1992), “Las matemáticas sin historia estarían desprovistas de su grandeza, puesto que, como las artes (…), obtienen su grandeza por el hecho de ser una creación humana.” Seguiremos los planteamientos sugeridos por M. Molero; A. Salvador; T. Menarguez y L. Garmendia en su obra Análisis matemático para Ingeniería (Prentice-Hall, 2007), y diferenciaremos dos etapas: la primera, desde los orígenes de los métodos numéricos hasta 1955 (fecha que considera la aparición de los ordenadores); y la segunda desde 1955 hasta 1975 (fecha en la que según la consideración de los autores se pierde la “perspectiva histórica”). Nos centraremos en la primera etapa esencialmente, pues es en la que se desarrollan los métodos expuestos a posteriori en este trabajo. TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -10- 𝑦′=𝑓(𝑡,𝑦(𝑡))↔∫ 𝑑𝑦=∫ 𝑓(𝑡,𝑦(𝑡))𝑑𝑡≅(𝑡𝑗−𝑡𝑗−1) 2(𝑓(𝑡0,𝑦0)+𝑓(𝑡1,𝑦1)) 𝑡𝑗 𝑡𝑗−1 𝑦𝑗 𝑦𝑗−1 Lo cual también podemos expresar como ∫ 𝑓(𝑡,𝑦)𝑑𝑡=ℎ 2(𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1)+𝑓(𝑡𝑗,𝑦(𝑡𝑗))) 𝑡1 𝑡0 Es decir, el error disminuye si se le aplica a la integral de la fórmula general de resolución diferencial el promedio de sus dos valores en los extremos del intervalo (Navas, J., 2006) Ahora bien, nos encontramos con el problema de darle valor a 𝑦(𝑡𝑗), que forma parte de la fórmula al tiempo que es la propia expresión que estamos buscando. Por ello, al aplicar el método sustituimos 𝑦(𝑡𝑗) por su aproximación por el método de Euler. 𝑦(𝑡𝑗)≈𝑦𝑗𝐸𝑈𝐿𝐸𝑅 =𝑦𝑗−1+ℎ𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1) Estructuramos a continuación la fórmula como hemos hecho anteriormente y resumimos el método de la siguiente manera: 𝐾0=𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1) 𝐾1=𝑓(𝑡𝑗,𝑦𝑗−1+ℎ𝐾0) 𝑦𝑗=𝑦𝑗−1+ℎ 2(𝐾0+𝐾1) Para 𝑗=1,2,3,…, con 𝑡𝑗−1 e 𝑦𝑗−1 conocidos. Por lo que obtenemos así la expresión general. A nivel geométrico, podemos observar en el gráfico siguiente que el uso del método del trapecio en la integral permite una mayor corrección del error en cada paso, más eficiente que en el método de Euler. TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -11- Figura 4. Interpretación geométrica del método de Euler mejorado Fuente: Ecuaciones diferenciales. Resolución numérica (Vázquez Espí, 2013) 3.4. Método de Runge-Kutta de tercer orden El método anteriormente mencionado, el de Euler mejorado, no es sino un caso particular de una serie de métodos conocidos como de Runge-Kutta (Navas, 2006). Al igual que el anterior, el método de Runge-Kutta de tercer orden parte de un nuevo método de integración, en este caso por la regla de Simpson, que nos permite obtener la siguiente igualdad respecto a la integral de la fórmula general. ∫ 𝑓(𝑡,𝑦)𝑑𝑡=ℎ 6(𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1)+4𝑓(𝑡𝑗−1 2,𝑦(𝑡𝑗−1 2))+𝑓(𝑡𝑗,𝑦(𝑡𝑗))) 𝑡𝑗 𝑡𝑗−1 Respecto al valor de 𝑦(𝑡𝑗−1 2) lo estimaremos a través del método de Euler de la siguiente forma: 𝑦𝑗−1 2 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚 =𝑦𝑗−1+ℎ 2𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1) Y, esta fórmula, además, nos servirá, como veremos en el desarrollo siguiente, para obtener un valor para 𝑦(𝑡𝑗), ya que, por un lado, y según el método de Euler: 𝑦𝑗=𝑦𝑗−1+ℎ𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1) TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -12- Y, por otro lado, utilizando la estimación de 𝑦(𝑡𝑗−1 2), tenemos también la siguiente expresión: 𝑦𝑗=𝑦𝑗−1+ℎ𝑓(𝑡𝑗−1 2,𝑦𝑗−1 2 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚) Combinando ambas expresiones obtendremos la estimación que utilizaremos en la fórmula final: 𝑦𝑗𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚 =𝑦𝑗−1+ℎ(2𝑓(𝑡𝑗−1 2,𝑦𝑗−1 2 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚)−𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1)) Y es a partir de estas estimaciones que podemos estructurar una fórmula general para el método estructurándola a semejanza de los anteriores en tres expresiones que unidas nos dan la expresión final: 𝐾0=𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1) 𝐾1=𝑓(𝑡𝑗−1+ℎ 2,𝑦𝑗−1+ℎ 2𝐾0) 𝐾2=(𝑡𝑗−1+ℎ,𝑦𝑗−1−ℎ𝐾0+2ℎ𝐾1) 𝑦𝑗=𝑦𝑗−1+ℎ 6(𝐾0+4𝐾1+𝐾2) 3.5. Método de Runge-Kutta de cuarto orden El método de Runge-Kutta de cuarto orden podemos secuenciarlo de siguiendo la misma lógica que el de tercer orden, pero con una nueva etapa, que corrija el error de la estimación de 𝑦𝑗−1 2 . Obtenemos así una nueva secuencia de cuatro etapas: 𝐾0=𝑓(𝑡𝑗−1,𝑦𝑗−1) 𝐾1=𝑓(𝑡𝑗−1+ℎ 2,𝑦𝑗−1+ℎ 2𝐾0) 𝐾2=𝑓(𝑡𝑗−1+ℎ 2,𝑦𝑗−1+ℎ 2𝐾1) 𝐾3=𝑓(𝑡𝑗−1+ℎ,𝑦𝑗−1+ℎ𝐾2) TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -13- De la que extraemos la siguiente expresión general: 𝑦𝑗=𝑦𝑗−1+ℎ 6(𝐾0+2𝐾1+2𝐾2+𝐾3) Para 𝑗=1,2,…,𝑛 con 𝑡𝑗−1 e 𝑦𝑗−1 conocidos Esta expresión general es la fórmula base para el método Runge-Kutta de cuarto orden, que por su simplicidad y por el número de etapas que contiene (lo que permite la disminución del error en el cálculo), se erige como uno de los métodos más utilizados en resolución numérica, invisibilizando a su predecesor y siendo conocido por muchos simplemente como método de Runge-Kutta (Vázquez Espí, 2013). Con el método de Runge-Kutta de cuarto orden cerramos el capítulo sobre metodología, y con ello, damos por finalizado el primer objetivo. Hemos expuesto en este apartado los procesos a los que someteremos, en el siguiente apartado del presente trabajo, al modelo económico propuesto, para poder testar así su eficacia metodológica. TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -14- 4. APLICACIÓN DE LA METODOLOGÍA Como hemos adelantado en el apartado anterior, a continuación, procederemos a aplicar los métodos numéricos expuestos a un modelo propuesto económico de oferta y demanda, con el objetivo de verificar y comparar su efectividad, y completar así el segundo objetivo del trabajo. En primer lugar, expondremos el modelo económico al que someteremos a dos procesos. Por un lado, su transformación en una única ecuación diferencial, que sujeta a unas condiciones iniciales que a continuación expondremos, será sometida a los métodos de estudio. Por otro lado, la obtención de la ecuación solución que nos permite conocer para cada valor de la variable independiente el valor exacto de la variable dependiente, para así poder hallar el error cometido para cada aproximación en cada uno de los métodos, y poder comparar así su eficacia como herramienta. 4.1. Modelo económico propuesto El modelo económico expuesto a continuación, ha sido tomado del artículo Oferta y demanda: un modelo matemático con ecuaciones diferenciales (Escobar Jiménez, 2010). Se trata de un modelo de oferta y demanda definido por las siguientes ecuaciones: {𝑆=160−5𝑝(𝑡)−3𝑝′(𝑡) 𝐷=40+3𝑝(𝑡)+𝑝′(𝑡) Siendo 𝑆 la cantidad ofertada en miles de unidades, 𝐷 la cantidad demandada en miles de unidades, 𝑝 el precio en €, y 𝑡 el tiempo. Igualamos ambas ecuaciones según el principio económico de equilibrio entre oferta y demanda, quedándonos la siguiente expresión: 160−5𝑝(𝑡)−3𝑝′(𝑡)=40+3𝑝(𝑡)+𝑝′(𝑡) 𝑝′(𝑡)+2𝑝(𝑡)=30 𝑝′(𝑡)=30−2𝑝(𝑡) Quedándonos así una ecuación diferencial con la estructura típica de un problema de condiciones iniciales de primer orden, con 𝑝 como variable dependiente y 𝑡 como variable independiente. Así mismo, a solución general de la ecuación anterior es: 𝑝=𝐶𝑒−2𝑡+15 A su vez, disponemos también otro dato esencial para la resolución del problema, esto es, el valor inicial de la variable dependiente. TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -15- 𝑝(0)=20 Aplicando esta condición a la ecuación general obtenemos la expresión que nos permite conocer el valor exacto del precio conforme al tiempo: 20=𝐶𝑒−2∙0+15 20=𝐶+15 𝐶=5 𝑝=5𝑒−2𝑡+15 El siguiente gráfico nos muestra la trayectoria del precio en el tiempo (curva solución de 𝑝(𝑡)). Donde queda demostrado que al tender la variable dependiente a infinito, el precio se estabiliza en 15 €. 𝑡→∞; 𝑝→15. Figura 5. Trayectoria de p(t) Fuente: Oferta y demanda: un modelo matemático con ecuaciones diferenciales. (Escobar Jiménez, 2010) Con estos datos por delante, procederemos al estudio numérico del problema de condiciones iniciales {𝑝′=30−2𝑝(𝑡) 𝑝(0)=20 ; para un intervalo [0,4], con los valores de la variable independiente 𝑡 equiespaciados por una amplitud ℎ, cuyo valor iremos variando a lo largo del estudio para poder hacer una comparativa de mayor perspectiva sobre los métodos usados. Incluiremos en el estudio, como hemos comentado anteriormente, el error cometido en el cálculo, que se define como el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y la aproximación calculada 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟=|𝑉.𝐸−𝑝𝑗| 4.2. Aplicación del método de Euler TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -16- Comenzaremos nuestro estudio aplicando el método de Euler al problema de condiciones iniciales anteriormente expuesto. Siguiendo la estructura planteada en el capítulo dedicado a la metodología. La expresión del método de Euler para la ecuación diferencial planteada es: 𝐾0=30−2𝑝𝑗−1 𝑝𝑗=𝑝𝑗−1+ℎ𝐾0 Procedemos, pues a mostrar los resultados de la aplicación del método, según la amplitud ℎ utilizada (para facilitar la exposición de dichos resultados, agruparemos en una tabla las cinco primeras y cinco últimas aproximaciones extraídas, es decir, las correspondientes a los cinco primeros y últimos valores de la variable independiente, sin tener en cuenta los valores iniciales). Mostramos a continuación de cada tabla un gráfico comparando el valor aproximado con el exacto y otro mostrando la trayectoria del error, que serán comentados a final del apartado a modo de conclusiones. En el gráfico la curva 𝑦𝑗 muestra los valores de las aproximaciones 𝑝𝑗 y la curva 𝑦(𝑡𝑗) el valor real para cada 𝑡𝑗, cuyos valores están representados en el eje de abscisas. En el caso del error, los valores del eje de abscisas comienzan desde el 𝑡𝑗 siguiente a 0, por ser en el que se comienza a hacer una aproximación. Esta estructura se seguirá en el resto de apartados del presente capítulo Tomando una amplitud ℎ=0,4, es decir, una 𝑛=10: Figura 6. Método de Euler aplicado para h=0,4 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 Valor exacto Error 0 20 -10 20 0 0,4 16 -2 17,2466448 1,24664482 0,8 15,2 -0,4 16,0094826 0,80948259 1,2 15,04 -0,08 15,4535898 0,41358977 1,6 15,008 -0,016 15,203811 0,19581102 2 15,0016 -0,0032 15,0915782 0,08997819 2,4 15,00032 -0,00064 15,0411487 0,04082874 2,8 15,000064 -0,000128 15,0184893 0,01842532 3,2 15,0000128 -2,56E-05 15,0083078 0,00829499 3,6 15,0000026 -5,12E-06 15,0037329 0,00373037 4 15,0000005 -1,024E-06 15,0016773 0,0016768 Fuente: Elaboración propia TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -17- Figura 7. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler aplicado con h=0,4 Fuente: Elaboración propia. Figura 8. Error para método de Euler aplicado con h=0,4 Fuente: Elaboración propia Tomando una amplitud ℎ=0,1, es decir, una 𝑛=40: Figura 9. Método de Euler aplicado para h=0,1 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 Valor exacto Error 0 20 -10 20 0 0,1 19 -8 19,0936538 0,09365377 0,2 18,2 -6,4 18,3516002 0,15160023 0,3 17,56 -5,12 17,7440582 0,18405818 0,4 17,048 -4,096 17,2466448 0,19864482 0,5 16,6384 -3,2768 16,8393972 0,20099721 3,6 15,0016226 -0,00324519 15,0037329 0,00211034 3,7 15,0012981 -0,00259615 15,0030563 0,00175819 3,8 15,0010385 -0,00207692 15,0025023 0,0014638 3,9 15,0008308 -0,00166153 15,0020487 0,00121791 4 15,0006646 -0,00132923 15,0016773 0,0010127 Fuente: Elaboración propia. TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -18- Figura 10. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler aplicado con h=0,1 Fuente: Elaboración propia Figura 11. Error para método de Euler aplicado con h=0,1 Fuente: Elaboración propia Tomando una amplitud ℎ=0,04, es decir, una 𝑛=100: Figura 12. Método de Euler aplicado para h=0,04 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 Valor exacto Error 0 20 -10 20 0 0,04 19,6 -9,2 19,6155817 0,01558173 0,08 19,232 -8,464 19,2607189 0,02871894 0,12 18,89344 -7,78688 18,9331393 0,03969931 0,16 18,5819648 -7,1639296 18,6307452 0,04878039 0,2 18,2954076 -6,59081523 18,3516002 0,05619261 3,84 15,0016696 -0,00333912 15,0023099 0,00064032 3,88 15,001536 -0,00307199 15,0021323 0,00059629 3,92 15,0014131 -0,00282623 15,0019683 0,00055523 3,96 15,0013001 -0,00260013 15,001817 0,00051695 4 15,0011961 -0,00239212 15,0016773 0,00048125 Fuente: Elaboración propia. TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -19- Figura 13. Aproximaciones y valor exacto para método de Euler aplicado con h=0,04 Fuente: Elaboración propia Figura 14. Error para método de Euler aplicado con h=0,04 Fuente: Elaboración propia Tomando una amplitud ℎ=0,01, es decir, una 𝑛=400: Figura 15. Método de Euler aplicado para h=0,01 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 Valor exacto Error 0 20 -10 20 0 0,01 19,9 -9,8 19,9009934 0,00099337 0,02 19,802 -9,604 19,8039472 0,0019472 0,03 19,70596 -9,41192 19,7088227 0,00286267 0,04 19,6118408 -9,2236816 19,6155817 0,00374093 0,05 19,519604 -9,03920797 19,5241871 0,00458311 3,96 15,0016769 -0,00335371 15,001817 0,00014015 3,97 15,0016433 -0,00328664 15,001781 0,00013771 3,98 15,0016105 -0,00322091 15,0017458 0,00013531 3,99 15,0015782 -0,00315649 15,0017112 0,00013295 4 15,0015467 -0,00309336 15,0016773 0,00013063 Fuente: Elaboración propia TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -26- 4.4. Aplicación del método de Runge-Kutta de tercer orden La expresión resultante de aplicar el método Runge-Kutta de cuarto orden al modelo propuesto es la que sigue: 𝐾0=30−2𝑝𝑗−1 𝐾1=30−2(𝑝𝑗−1+ℎ 2𝐾0) 𝐾2=30−2(𝑝𝑗−1−ℎ𝐾0+2ℎ𝐾1) 𝑝𝑗=𝑝𝑗−1+ℎ 6(𝐾0+4𝐾1+𝐾2) Procedemos a partir de aquí, pues, a continuar en la línea de los métodos anteriores. Tomando una amplitud ℎ=0,4, es decir, una 𝑛=10: Figura 30. Método de R-K de tercer orden aplicado para h=0,4 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 Valor exacto Error 0 20 -10 -6 -8,4 20 0 0,4 17,1733333 -4,34666667 -2,608 -3,6512 17,2466448 0,07331149 0,8 15,9446756 -1,88935111 -1,13361067 -1,58705493 16,0094826 0,06480703 1,2 15,410619 -0,82123795 -0,49274277 -0,68983988 15,4535898 0,04297079 1,6 15,1784824 -0,35696476 -0,21417886 -0,2998504 15,203811 0,02532864 2 15,0775803 -0,15516068 -0,09309641 -0,13033497 15,0915782 0,01399785 2,4 15,0337216 -0,06744318 -0,04046591 -0,05665227 15,0411487 0,00742715 2,8 15,0146577 -0,0293153 -0,01758918 -0,02462485 15,0184893 0,00383167 3,2 15,0063712 -0,01274238 -0,00764543 -0,0107036 15,0083078 0,00193659 3,6 15,0027693 -0,00553869 -0,00332321 -0,0046525 15,0037329 0,00096358 4 15,0012037 -0,00240748 -0,00144449 -0,00202229 15,0016773 0,00047357 Fuente: Elaboración propia TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -27- Figura 31. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de tercer orden mejorado aplicado con h=0,4 Fuente: Elaboración propia Figura 32. Error para método de R-K de tercer orden aplicado con h=0,4 Fuente: Elaboración propia Tomando una amplitud ℎ=0,1, es decir, una 𝑛=40: Figura 33. Método de R-K de tercer orden aplicado para h=0,1 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 Valor exacto Error 0 20 -10 -9 -8,4 20 0 0,1 19,0933333 -8,18666667 -7,368 -6,8768 19,0936538 0,00032043 0,2 18,3510756 -6,70215111 -6,031936 -5,62980693 18,3516002 0,00052467 0,3 17,7434139 -5,48682771 -4,93814494 -4,60893528 17,7440582 0,00064433 0,4 17,2459415 -4,49188295 -4,04269466 -3,77318168 17,2466448 0,00070334 0,5 16,8386774 -3,67735484 -3,30961936 -3,08897807 16,8393972 0,00071978 3,6 15,0037224 -0,00744485 -0,00670036 -0,00625367 15,0037329 1,0505E-05 3,7 15,0030474 -0,00609485 -0,00548536 -0,00511967 15,0030563 8,8391E-06 3,8 15,0024948 -0,00498965 -0,00449069 -0,00419131 15,0025023 7,4321E-06 3,9 15,0020424 -0,00408486 -0,00367637 -0,00343128 15,0020487 6,2448E-06 4 15,0016721 -0,00334414 -0,00300973 -0,00280908 15,0016773 5,2437E-06 Fuente: Elaboración propia TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -28- Figura 34. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de tercer orden mejorado aplicado con h=0,1 Fuente: Elaboración propia Figura 35. Error para método de R-K de tercer orden aplicado con h=0,1 Fuente: Elaboración propia Tomando una amplitud ℎ=0,04, es decir, una 𝑛=100: Figura 36. Método de R-K de tercer orden aplicado para h=0,04 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 Valor exacto Error 0 20 -10 -9,3 -9,264 20 0 0,04 19,6155733 -9,23114667 -8,8619008 -8,55173427 19,6155817 8,3986E-06 0,08 19,2607034 -8,52140688 -8,1805506 -7,89423133 19,2607189 1,5506E-05 0,12 18,9331178 -7,86623567 -7,55158624 -7,28728072 18,9331393 2,147E-05 0,16 18,6307188 -7,26143752 -6,97098002 -6,72699572 18,6307452 2,6426E-05 0,2 18,3515697 -6,70313947 -6,4350139 -6,20978841 18,3516002 3,0493E-05 3,84 15,0023095 -0,00461894 -0,00443418 -0,00427899 15,0023099 4,0346E-07 3,88 15,0021319 -0,00426381 -0,00409326 -0,00395 15,0021323 3,7632E-07 3,92 15,001968 -0,00393599 -0,00377855 -0,0036463 15,0019683 3,5097E-07 3,96 15,0018167 -0,00363337 -0,00348803 -0,00336595 15,001817 3,2729E-07 4 15,001677 -0,00335402 -0,00321986 -0,00310716 15,0016773 3,0518E-07 Fuente: Elaboración propia TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -29- Figura 37. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de tercer orden mejorado aplicado con h=0,04 Fuente: Elaboración propia Figura 38. Error para método de R-K de tercer orden aplicado con h=0,04 Fuente: Elaboración propia Tomando una amplitud ℎ=0,01, es decir, una 𝑛=400: Figura 39. Método de R-K de tercer orden aplicado para h=0,01 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 Valor exacto Error 0 20 -10 -9,9 -9,804 20 0 0,01 19,9009933 -9,80198667 -9,7039668 -9,60986773 19,9009934 3,32E-08 0,02 19,8039471 -9,60789426 -9,51181532 -9,41957953 19,8039472 6,5086E-08 0,03 19,7088226 -9,41764514 -9,32346869 -9,2330593 19,7088227 9,5696E-08 0,04 19,6155816 -9,23116321 -9,13885158 -9,05023241 19,6155817 1,2507E-07 0,05 19,5241869 -9,04837387 -8,95789014 -8,87102575 19,5241871 1,5324E-07 3,96 15,001817 -0,00363401 -0,00359767 -0,00356279 15,001817 4,8743E-09 3,97 15,001781 -0,00356206 -0,00352643 -0,00349224 15,001781 4,7898E-09 3,98 15,0017458 -0,00349152 -0,00345661 -0,00342309 15,0017458 4,7068E-09 3,99 15,0017112 -0,00342238 -0,00338816 -0,00335531 15,0017112 4,6252E-09 4 15,0016773 -0,00335462 -0,00332107 -0,00328887 15,0016773 4,545E-09 Fuente: Elaboración propia TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -30- Figura 40. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de tercer orden mejorado aplicado con h=0,01 Fuente: Elaboración propia Figura 41. Error para método de R-K de tercer orden aplicado con h=0,01 Fuente: Elaboración propia Como podemos observar, continuamos en la línea de los métodos anteriores en cuanto a la trayectoria tanto del error como de las aproximaciones. De nuevo, la disminución de ℎ, que implica el aumento de valores de 𝑡, supone un aumento de la precisión en el cálculo, que en el caso de este método alcanza altas cotas, hasta el punto de poder considerar el error como residual. TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -31- 4.5. Aplicación del método de Runge-Kutta de cuarto orden Por último, y en la línea de los anteriores apartados, acabaremos el capítulo con el estudio del modelo a través del método de Runge-Kutta de cuarto orden, que seguirá la siguiente expresión: 𝐾0=30−2𝑝𝑗−1 𝐾1=30−2(𝑝𝑗−1+ℎ 2𝐾0) 𝐾2=30−2(𝑝𝑗−1+ℎ 2𝐾1) 𝐾3=30−2(𝑝𝑗−1+ℎ𝐾2) 𝑝𝑗=𝑝𝑗−1+ℎ 6(𝐾0+2𝐾1+2𝐾2+𝐾3) Tomando una amplitud ℎ=0,4, es decir, una 𝑛=10: Figura 42. Método de R-K de cuarto orden aplicado para h=0,4 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 𝐾3 Valor exacto Error 0 20 -10 -6 -7,6 -3,92 20 0 0,4 17,2586667 -4,51733333 -2,7104 -3,43317333 -1,77079467 17,2466448 0,01202185 0,8 16,020315 -2,04063004 -1,22437803 -1,55087883 -0,79992698 16,0094826 0,01083243 1,2 15,4609103 -0,92182061 -0,55309237 -0,70058367 -0,36135368 15,4535898 0,00732054 1,6 15,2082085 -0,4164171 -0,24985026 -0,31647699 -0,1632355 15,203811 0,00439753 2 15,0940547 -0,18810948 -0,11286569 -0,14296321 -0,07373892 15,0915782 0,00247655 2,4 15,0424877 -0,08497532 -0,05098519 -0,06458125 -0,03331033 15,0411487 0,00133893 2,8 15,0191931 -0,03838619 -0,02303171 -0,0291735 -0,01504739 15,0184893 0,00070377 3,2 15,0086702 -0,01734032 -0,01040419 -0,01317864 -0,00679741 15,0083078 0,00036237 3,6 15,0039166 -0,0078332 -0,00469992 -0,00595323 -0,00307061 15,0037329 0,00018367 4 15,0017693 -0,00353852 -0,00212311 -0,00268927 -0,0013871 15,0016773 9,1946E-05 Fuente: Elaboración propia TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -32- Figura 43. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de cuarto orden mejorado aplicado con h=0,4 Fuente: Elaboración propia Figura 44. Error para método de R-K de cuarto orden aplicado con h=0,4 Fuente: Elaboración propia Tomando una amplitud ℎ=0,1, es decir, una 𝑛=40: Figura 45. Método de R-K de cuarto orden aplicado para h=0,1 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 𝐾3 Valor exacto Error 0 20 -10 -9 -9,1 -8,18 20 0 0,1 19,0936667 -8,18733333 -7,3686 -7,45047333 -6,69723867 19,0936538 1,2901E-05 0,2 18,3516214 -6,70324271 -6,03291844 -6,09995087 -5,48325254 18,3516002 2,1125E-05 0,3 17,7440841 -5,48816825 -4,93935142 -4,99423311 -4,48932163 17,7440582 2,5944E-05 0,4 17,2466731 -4,49334628 -4,04401166 -4,08894512 -3,67555726 17,2466448 2,8322E-05 0,5 16,8394262 -3,67885238 -3,31096714 -3,34775567 -3,00930125 16,8393972 2,8985E-05 3,6 15,0037334 -0,00746671 -0,00672003 -0,0067947 -0,00610776 15,0037329 4,2354E-07 3,7 15,0030566 -0,00611324 -0,00550192 -0,00556305 -0,00500063 15,0030563 3,564E-07 TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -33- 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 𝐾3 Valor exacto Error 3,8 15,0025026 -0,00500511 -0,0045046 -0,00455465 -0,00409418 15,0025023 2,9968E-07 3,9 15,0020489 -0,00409785 -0,00368807 -0,00372905 -0,00335204 15,0020487 2,5182E-07 4 15,0016775 -0,00335505 -0,00301954 -0,00305309 -0,00274443 15,0016773 2,1146E-07 Fuente: Elaboración propia Figura 46. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de cuarto orden mejorado aplicado con h=0,1 Fuente: Elaboración propia Figura 47. Error para método de R-K de cuarto orden aplicado con h=0,1 Fuente: Elaboración propia Tomando una amplitud ℎ=0,04, es decir, una 𝑛=100: Figura 48. Método de R-K de cuarto orden aplicado para h=0,04 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 𝐾3 Valor exacto Error 0 20 -10 -9,6 -9,616 -9,23072 20 0 0,04 19,6155819 -9,23116373 -8,86191718 -8,87668705 -8,52102877 19,6155817 1,3473E-07 TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -34- 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 𝐾3 Valor exacto Error 0,08 19,2607192 -8,52143839 -8,18058085 -8,19421515 -7,86590117 19,2607189 2,4875E-07 0,12 18,9331396 -7,8662793 -7,55162813 -7,56421417 -7,26114217 18,9331393 3,4444E-07 0,16 18,6307456 -7,26149122 -6,97103157 -6,98264996 -6,70287922 18,6307452 4,2394E-07 0,2 18,3516007 -6,70320144 -6,43507338 -6,4457985 -6,18753756 18,3516002 4,8918E-07 3,84 15,0023099 -0,00461976 -0,00443497 -0,00444236 -0,00426437 15,0023099 6,4731E-09 3,88 15,0021323 -0,00426458 -0,00409399 -0,00410082 -0,00393651 15,0021323 6,0376E-09 3,92 15,0019684 -0,0039367 -0,00377923 -0,00378553 -0,00363386 15,0019683 5,6309E-09 3,96 15,001817 -0,00363403 -0,00348867 -0,00349449 -0,00335447 15,001817 5,251E-09 4 15,0016773 -0,00335464 -0,00322045 -0,00322582 -0,00309657 15,0016773 4,8963E-09 Fuente: Elaboración propia Figura 49. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de cuarto orden mejorado aplicado con h=0,04 Fuente: Elaboración propia Figura 50. Error para método de R-K de cuarto orden aplicado con h=0,04 Fuente: Elaboración propia TFG-ECO. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -35- Tomando una amplitud ℎ=0,01, es decir, una 𝑛=400: Figura 51. Método de R-K de cuarto orden aplicado para h=0,01 𝑡𝑗 𝑝𝑗 𝐾0 𝐾1 𝐾2 𝐾3 Valor exacto Error 0 20 -10 -9,9 -9,901 -9,80198 20 0 0,01 19,9009934 -9,80198673 -9,70396687 -9,70494706 -9,60788779 19,9009934 1,3289E-10 0,02 19,8039472 -9,60789439 -9,51181545 -9,51277624 -9,41763887 19,8039472 2,6052E-10 0,03 19,7088227 -9,41764534 -9,32346888 -9,32441065 -9,23115712 19,7088227 3,8304E-10 0,04 19,6155817 -9,23116346 -9,13885183 -9,13977495 -9,04836797 19,6155817 5,0061E-10 0,05 19,5241871 -9,04837418 -8,95789044 -8,95879528 -8,86919828 19,5241871 6,1337E-10 3,96 15,001817 -0,00363402 -0,00359768 -0,00359805 -0,00356206 15,001817 1,951E-11 3,97 15,001781 -0,00356206 -0,00352644 -0,0035268 -0,00349153 15,001781 1,917E-11 3,98 15,0017458 -0,00349153 -0,00345662 -0,00345697 -0,00342239 15,0017458 1,8838E-11 3,99 15,0017112 -0,00342239 -0,00338817 -0,00338851 -0,00335462 15,0017112 1,8511E-11 4 15,0016773 -0,00335463 -0,00332108 -0,00332142 -0,0032882 15,0016773 1,819E-11 Fuente: Elaboración propia Figura 52. Aproximaciones y valor exacto para método de R-K de cuarto orden mejorado aplicado con h=0,01 Fuente: Elaboración propia