El Axioma de Determinación

El Axioma de Determinación Antonio Ferre Luque El Axioma de Determinación Antonio Ferre Luque Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Andrés Cordón Franco Francisco Félix Lara Martín Índice general English Abstract 1 Resumen 3 1. Introducción 5 2. Juegos Infinitos 9 2.1. Preliminares ................................ 9 2.2. Definicionesbásicas............................ 10 2.3. Cardinalidad................................ 14 2.4. Determinación de los juegos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5. Sobre los axiomas de la teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 19 3. El teorema de Gale-Stewart 21 3.1. Notación.................................. 21 3.2. El Teorema de Gale-Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. ElEspaciodeBaire ............................ 23 4. Medida y categoría 29 ii el axioma de determinación 4.1. MedidadeLebesgue............................ 29 4.2. CategoríadeBaire............................. 31 4.3. Conjuntos analíticos y conjuntos de Bernstein . . . . . . . . . . . . . 33 5. Determinación y propiedades de regularidad 37 5.1. La propiedad del conjunto perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2. LapropiedaddeBaire........................... 43 5.3. Determinación y Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 English Abstract The aim of this work is to study the consequences of assuming the axiom of determinacy regarding perfect set property, Baire property and Lebesgue measure. In order to accomplish that, we will study infinite games, Gale-Stewart theorem, Martin theorem and Baire category theorem. This work is divided into 5chapters where the first chapter is an introduction and the next three chapters (2,3,4) are the base of the fifth chapter in which we study the consequences of assuming the axiom of determinacy. Resumen El objetivo de este trabajo es estudiar las consecuencias de asumir como cierto el axioma de determinación en lo referente a la propiedad del conjunto perfecto, la propiedad de Baire y la medida de Lebesgue. Para ello, estudiaremos los juegos infinitos, el teorema de Gale-Stewart, el teorema de Martin y el teorema de categoría de Baire. Este trabajo se divide en 5capítulos donde el primer capítulo es una introducción y los tres siguientes (2,3,4) son la base del quinto capítulo en el cual estudiaremos las consecuencias de asumir el axioma de determinación. 10 el axioma de determinación 2.2 Definiciones básicas Sea 𝐴un subconjunto de 𝜔𝜔. El juego 𝐺(𝐴)se juega como sigue: Hay dos jugadores, Jugador I y Jugador II, que se turnan para elegir un número natural en cada paso del juego. En cada turno 𝑖, denotamos la elección del Jugador I como 𝑥𝑖y la del Jugador II como 𝑦𝑖. Al final, un juego infinito que "se juega", se ve como sigue: I𝑥0𝑥1... II 𝑦0𝑦1... Definición 2.1. Sea 𝑧∶= ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ...⟩una sucesión infinita, llamada partida del juego 𝐺(𝐴). Formalmente, definimos 𝑧(𝑖) = {𝑥𝑖 2i es par 𝑦𝑖−1 2 i es impar Por tanto 𝑥𝑖=𝑧(2𝑖)es el 𝑖-ésimo movimiento del Jugador I, mientras que 𝑦(𝑖) = 𝑧(2𝑖+1) es el 𝑖-ésimo movimiento del Jugador II. El Jugador I gana el juego 𝐺(𝐴)si 𝑧∈𝐴, y el Jugador II ganará si 𝑧∉𝐴. Llamamos al conjunto 𝐴el conjunto de ganancia para el Jugador I. Uno de los conceptos principales en el estudio de los juegos (finitos e infinitos) es el de una estrategia. Informalmente, una estrategia para un jugador es un método para determinar el siguiente movimiento basado en la secuencia de movimientos anteriores. Formalmente, presentamos la siguiente definición: Definición 2.2. Dado 𝐴∈𝜔𝜔, una estrategia para el Jugador I en el juego 𝐺(𝐴)es una función: 𝜎∶ {𝑠∈𝜔<𝜔 ∶|𝑠|es par }←→ 𝜔 Una estrategia para el Jugador II en el juego 𝐺(𝐴)es una función: 2. juegos infinitos 11 𝜏∶ {𝑠∈𝜔<𝜔 ∶|𝑠|es impar}←→ 𝜔 Dada una estrategia 𝜎para el Jugador I y una sucesión infinita 𝑦=⟨𝑦0, 𝑦1, 𝑦2, ...⟩ de respuestas del Jugador II, usamos la notación 𝜎∗𝑦para denotar la partida resultante. De igual forma, dada una estrategia 𝜏para el Jugador II y una sucesión infinita 𝑥=⟨𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, ...⟩de respuestas del Jugador I, usamos la notación 𝑥∗𝜏para denotar la partida resultante. Formalmente: Definición 2.3. 1. Sea 𝜎una estrategia para el Jugador I. Para todo 𝑦=⟨𝑦0, 𝑦1, 𝑦2, ...⟩, definimos 𝜎∗𝑦∶= ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ...⟩ donde cada 𝑥𝑖viene dado por lo siguiente: 𝑥0∶= 𝜎(⟨⟩) 𝑥𝑖+1 ∶= 𝜎(⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ..., 𝑥𝑖, 𝑦𝑖⟩) 2. Sea 𝜎una estrategia para el Jugador I. Para todo 𝑠∈𝜔<𝜔 con |𝑠|=𝑛, definimos 𝜎∗𝑠∶= ⟨𝑥0, 𝑠(0), 𝑥1, 𝑠(1), ..., 𝑥𝑖−1, 𝑠(𝑛− 1), 𝑥𝑖⟩ donde cada 𝑥𝑖viene dado por lo siguiente: 𝑥0∶= 𝜎(⟨⟩) 𝑥𝑖+1 ∶= 𝜎(⟨𝑥0, 𝑠(0), 𝑥1, 𝑠(1), ..., 𝑥𝑖, 𝑠(𝑖)⟩) 3. Sea 𝜏una estrategia para el Jugador II. Para todo 𝑥=⟨𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, ...⟩, definimos 𝑥∗𝜏∶= ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ...⟩ donde cada 𝑦𝑖viene dado por lo siguiente: 𝑦0∶= 𝜏(⟨𝑥0⟩) 𝑦𝑖+1 ∶= 𝜏(⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ..., 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑥𝑖+1⟩) 4. Sea 𝜏una estrategia para el Jugador II. Para todo 𝑡∈𝜔<𝜔 con |𝑡|=𝑛, definimos 𝑡∗𝜏∶= ⟨𝑡(0), 𝑦0, 𝑡(1), 𝑦1, ..., 𝑡(𝑛− 1), 𝑦𝑛−1⟩ donde cada 𝑦𝑖viene dado por lo siguiente: 𝑦0∶= 𝜏(⟨𝑡(0)⟩) 𝑦𝑖∶= 𝜎(⟨𝑡(0), 𝑦0, 𝑡(1), 𝑦1, ..., 𝑡(𝑖)⟩) 5. Sea 𝜎una estrategia para I y sea 𝜏una estrategia para II, definimos 12 el axioma de determinación 𝜎∗𝜏∶= ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ...⟩ donde cada 𝑥𝑖e𝑦𝑖vienen dados por: 𝑥0∶= 𝜎(⟨⟩) 𝑥𝑖+1 ∶= 𝜎(⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ..., 𝑥𝑖, 𝑦𝑖⟩) 𝑦0∶= 𝜏(⟨𝑥0⟩) 𝑦𝑖+1 ∶= 𝜏(⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ..., 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑥𝑖+1⟩) Definición 2.4. Sea 𝜎una estrategia para el Jugador I, denotamos por 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎) ∶= {𝜎∗𝑦∶𝑦∈𝜔𝜔} al conjunto de las infinitas partidas posibles en que I juega según 𝜎. De igual forma, 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜏) ∶= {𝑥∗𝜏∶𝑥∈𝜔𝜔} es el conjunto de las infinitas partidas posibles en que II juega según 𝜏. Ya tenemos todos los conceptos importantes para definir estrategia ganadora: Definición 2.5. Sea 𝐴⊆𝜔𝜔, 1. Una estrategia 𝜎para el Jugador I es una estrategia ganadora para I en 𝐺(𝐴)si para cualquier 𝑦∈𝜔𝜔∶ 𝜎∗𝑦∈𝐴 2. Una estrategia 𝜏para el Jugador II es una estrategia ganadora para II en 𝐺(𝐴)si para cualquier 𝑥∈𝜔𝜔∶ 𝑥∗𝜏∉𝐴 Lema 2.1.Para cualquier 𝐴 ⊆ 𝜔𝜔, los jugadores I y II no pueden tener estrategias ganadoras a la vez. Demostración. Supongamos que tanto I como II tienen estrategias ganadoras 𝜎y 𝜏respectivamente. Sea 𝜎∗𝜏la partida resultante cuando I juega según 𝜎y II juega según 𝜏, entonces por un lado se tiene que 𝜎∗𝜏∈𝐴y por otro se tiene que 𝜎∗𝜏∉𝐴, lo cual es una contradicción. 2. juegos infinitos 13 Veamos antes de continuar, algunos ejemplos. Consideremos el siguiente juego: Los jugadores I y II escogen números naturales y el primer jugador en sacar un 5 pierde. Si no se ha sacado ningún 5, I gana. ¿Cómo modelamos este juego? En este juego, se tiene que el conjunto 𝐴(condiciones para que gane I) es: 𝐴∶= {𝑧∈𝜔𝜔∶ ∀𝑛(𝑧(𝑛)≠5) o(∃𝑛(𝑧(2𝑛+ 1) = 5) ∧ ∀𝑘 < 2𝑛+ 1(𝑧(𝑘)≠5))} Claramente el Jugador I tiene una estrategia ganadora fácil: no sacar ningún 5. Formalmente, definimos para todo 𝑖: 𝜎(⟨⟩)≠5 𝜎(⟨𝑥0, 𝑦0, ..., 𝑥𝑖, 𝑦𝑖⟩)≠5 Otro ejemplo: Los jugadores I y II cogen números con la condición de que cada número sea más grande que el anterior. El primer jugador que saque uno más pequeño que el anterior pierde. Si nadie ha roto la regla, II gana. Aquí el conjunto 𝐴es: 𝐴∶= {𝑧∈𝜔𝜔∶ ∃𝑛(𝑧(2𝑛+ 1) ≤𝑧(2𝑛))} Aquí, la estrategia ganadora de II es: siempre coger un número mas grande que el anterior. Formalmente, definimos para todo 𝑖: 𝜏(⟨𝑥0⟩)> 𝑥0 𝜏(⟨𝑥0, 𝑦0, ..., 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑥𝑖+1⟩)> 𝑥𝑖+1 Otro ejemplo: Sea 𝑧∶= ⟨𝑧(0), 𝑧(1), 𝑧(2), ...⟩una sucesión infinita y sea 𝐴= {𝑧}. En este juego, I ganará si tanto éste como II juegan los números 𝑧(0), 𝑧(1), 𝑧(2), ... en orden, es decir, I juega 𝑧(0), luego II juega 𝑧(1), luego I juega 𝑧(2) y así sucesivamente. Si uno de los dos no lo hace, entonces II ganará. Aquí II tiene una estrategia ganadora: en su primer turno jugar un número distinto de 𝑧(1). Formalmente, se tiene que: 𝜏(⟨𝑥0⟩)≠𝑧(1) 14 el axioma de determinación Por tanto II sabrá tras su primer movimiento que ha ganado el juego Todos estos juegos están basados en reglas finitas, es decir, los jugadores pueden saber quién gana en un número finito de movimientos. Sin embargo, en el siguiente juego veremos que ambos jugadores sólo sabrán quién es el ganador tras infinitos movimientos. Dado el siguiente conjunto de ganancia: 𝐴= {𝑧∈𝜔𝜔∶ ∀𝑛∃𝑚≥𝑛(𝑧(2𝑚)) = 0} Aquí, la estrategia ganadora de I es: jugar un cero en cada turno. Formalmente, esto es: 𝜎(⟨⟩)=0 𝜎(⟨𝑥0, 𝑦0, ..., 𝑥𝑖, 𝑦𝑖⟩)=0 2.3 Cardinalidad El estudio de los juegos infinitos 𝐺(𝐴)está relacionado con las propiedades de los conjuntos 𝐴y, en particular, con sus cardinalidades. Teorema 2.1. Sea 𝐴 ⊆ 𝜔𝜔un conjunto numerable. Entonces II tiene una estrategia ganadora en 𝐺(𝐴). Demostración. Se trata de un argumento diagonal: Enumeramos 𝐴por {𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, ...}. Consideremos la siguiente "matriz" 012345... 𝑎0𝑎0(0) 𝑎0(1) 𝑎0(1) 𝑎0(1) 𝑎0(2) 𝑎0(3) 𝑎0(4) ... 𝑎1𝑎1(0) 𝑎1(1) 𝑎1(2) 𝑎1(3) 𝑎1(3) 𝑎1(3) 𝑎1(4) ... 𝑎2𝑎2(0) 𝑎2(1) 𝑎2(2) 𝑎2(3) 𝑎2(4) 𝑎2(5) 𝑎2(5) 𝑎2(5) ... ⋮ La estrategia 𝜏elige siempre un elemento distinto del marcado en negrita 𝑎0(1) + 1, 𝑎1(3) + 1,𝑎2(5) + 1, ... De este modo para todo 𝑥,𝑥∗𝜏≠𝑎𝑖para todo 𝑖. Describimos la siguiente estrategia 2. juegos infinitos 15 ganadora 𝜏para II: En el turno 𝑖, tomar un número natural distinto de 𝑎𝑖(2𝑖+ 1), independientemente de los movimientos anteriores. O, formalmente, definimos para todo 𝑖: 𝜏(⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ..., 𝑥𝑖⟩) ∶= 𝑎𝑖(2𝑖+ 1) + 1 Sea 𝑧el resultado de esta estrategia contra cualquier jugada del Jugador I, i.e., sea 𝑧= 𝑥∗𝜏para cualquier 𝑥∈𝜔𝜔. Escribimos 𝑧∶= ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑥1, 𝑦1, ...⟩. Por construcción, para cada natural 𝑖: 𝑧(2𝑖+ 1) = 𝑦𝑖≠𝑎𝑖(2𝑖+ 1) Por tanto, para cada 𝑖:𝑧≠𝑎𝑖. Luego, 𝑧∉𝐴, y esto prueba que 𝜏es una estrategia ganadora para II. Continuamos con más resultados de cardinalidad. Recordemos que 𝜔𝜔tiene la cardinalidad del continuo, es decir, el cardinal de los números reales, |𝜔𝜔|= 2ℵ0. Definición 2.6. Sean 𝜎y𝜏estrategias para I y II respectivamente, las funciones 𝑓𝜎 y𝑔𝜏, que son funciones de 𝜔𝜔en 𝜔𝜔, vienen dadas por: 𝑓𝜎(𝑦) ∶= 𝜎∗𝑦 𝑔𝜏(𝑥) ∶= 𝑥∗𝜏 Lema 2.2.Toda función 𝑓𝜎es una biyección entre 𝜔𝜔y𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎). Toda función 𝑔𝜏es una biyección entre 𝜔𝜔y𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜏). Demostración. Vamos a probar solo que 𝑓𝜎es biyectiva pues la otra es análoga. Para ver que es biyectiva, basta ver que es inyectiva y sobreyectiva. Inyectividad: Sean 𝑦1, 𝑦2∈𝜔𝜔, si 𝑦1≠𝑦2,entonces las partidas resultantes son distintas, y por tanto 𝑓𝜎(𝑦1) = 𝜎∗𝑦1≠𝜎∗𝑦2=𝑓𝜎(𝑦2),luego 𝑓𝜎es inyectiva. Sobreyectividad: Veamos que para todo 𝑢∈𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎), existe 𝑦∈𝜔𝜔tal que 𝑓𝜎(𝑦) = 𝑢. Por definición del conjunto 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎), tenemos que dado 𝑢∈𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎), existe 𝑦tal que 𝑢=𝜎∗𝑦, luego tomando dicho 𝑦se obtiene que 𝑓𝜎(𝑦) = 𝜎∗𝑦. Luego se tiene que es biyectiva. 16 el axioma de determinación Corolario 2.1.Sea 𝐴un conjunto con |𝐴|<2ℵ0. Entonces I no puede tener una estrategia ganadora en 𝐺(𝐴). Demostración. Sea 𝜎una estrategia ganadora para I, entonces por definición tendríamos que 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎)⊆ 𝐴. Por el lema 2.2, sabemos que existe una biyección entre 𝜔𝜔y𝐴, pero entones la cardinalidad de 𝐴debe ser al menos la de 𝜔𝜔, que es 2ℵ0. Observación 2.1.El teorema 2.1 y el corolario 2.1 también sirven con los roles de I y II cambiados, i.e., si 𝜔𝜔−𝐴es numerable, entonces I tiene una estrategia ganadora, y si |𝜔𝜔−𝐴|<2ℵ0, entonces II no puede tener una estrategia ganadora. 2.4 Determinación de los juegos infinitos Definición 2.7. Un juego 𝐺(𝐴)está determinado si o bien I o bien II tiene una estrategia ganadora. Análogamente un conjunto 𝐴 ⊆ 𝜔𝜔está determinado si el juego 𝐺(𝐴) está determinado. Teorema 2.2. Existe un conjunto no determinado, es decir, un conjunto 𝐴 ⊆ 𝜔𝜔tal que 𝐺(𝐴)no está determinado. Para la demostración de este teorema vamos a necesitar la siguiente definición y el siguiente lema, cuya demostración depende esencialmente del axioma de elección. Definición 2.8. Sea 𝐴un conjunto no vacío y 𝑅una relación binaria definida en 𝐴, entonces 𝑅es una relación de orden si: 1. Reflexiva: Todo elemento de 𝐴está relacionado consigo mismo, es decir, para todo 𝑎∈𝐴, 𝑎𝑅𝑎. 2. Antisimétrica: Si dos elementos se relacionan entre sí, entonces son iguales. Es decir, ∀𝑥, 𝑦 ∈𝐴, (𝑥𝑅𝑦, 𝑦𝑅𝑥 ⇐⇒ 𝑥=𝑦). 3. Transitiva: Si un elemento de 𝐴está relacionado con otro, y este otro se relaciona a su vez con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último, es decir, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈𝐴, (𝑥𝑅𝑦, 𝑦𝑅𝑧 ⇐⇒ 𝑥𝑅𝑧). Es un orden total si satisface además la siguiente propiedad: Para todo 𝑥, 𝑦 ∈𝐴, (𝑥𝑅𝑦 ∨𝑦𝑅𝑥) 2. juegos infinitos 17 Definición 2.9. Sea 𝐴un conjunto no vacío y 𝑅una relación binaria definida en 𝐴, entonces 𝑅es una relación bien fundada si para todo subconjunto no vacío 𝑆de 𝐴, hay un 𝑚en 𝑆tal que ningún 𝑠en 𝑆cumple que 𝑠𝑅𝑚. Definición 2.10. Un conjunto bien ordenado es un conjunto 𝐼con una relación de orden total ≤tal que la relación <es bien fundada. Es decir, todo subconjunto 𝐽 ⊆ 𝐼 contiene un elemento mínimo (es decir, un 𝛼tal que ∀𝛽∈𝐽(𝛼≤𝛽)). Equivalentemente, esto quiere decir que no hay una sucesión infinita estrictamente decreciente, i.e., no existe {𝛼𝑖∈𝐼∶𝑖∈𝜔}tal que 𝛼0> 𝛼1> 𝛼2> ... Si (𝐼, ≤)es un conjunto bien ordenado, tenemos un principio de inducción transfinita sobre ese conjunto. Y además tenemos Lema 2.3.Para todo conjunto 𝑋, existe un conjunto bien ordenado (𝐼, ≤), que llamamos conjunto de índices de 𝑋, tal que 1. |𝐼|=|𝑋| 2. Para cada 𝛼∈𝐼, el conjunto {𝛽∈𝐼∶𝛽 < 𝛼}tiene cardinalidad estrictamente menor que |𝐼|=|𝑋|. Demostración. Este resultado es esencialmente equivalente al axioma de elección. Omitiremos la demostración. Demostración (Teorema 2.2).Comenzamos contando el número posible de estrategias. Una estrategia es una función de un subconjunto de 𝜔<𝜔 a𝜔. Pero es fácil ver que 𝜔<𝜔 es un conjunto numerable ya que 𝜔<𝜔 =⋃𝑛∈𝜔𝜔𝑛es unión numerable de conjuntos numerables. Por tanto, puede ser identificado con 𝜔mediante una biyección. Luego cada estrategia puede ser identificada con una función de 𝜔a𝜔. Así que hay exactamente tantas estrategias como funciones de 𝜔a𝜔, que son 2ℵ0. Sea ahora 𝖲𝖳𝖱𝖠𝖳 −𝖨el conjunto de todas las posibles estrategias del Jugador I, apliquemos el lema 2.3 a ese conjunto. El conjunto de índices 𝐽tiene cardinalidad 2ℵ0 y la biyección entre 𝖲𝖳𝖱𝖠𝖳 −𝖨y𝐽nos permite identificar cada estrategia del Jugador I con un índice 𝛼∈𝐽. Por consiguiente podemos escribir: 𝖲𝖳𝖱𝖠𝖳 −𝖨= {𝜎𝛼|𝛼∈𝐽} Podemos hacer lo mismo para el conjunto 𝖲𝖳𝖱𝖠𝖳 −𝖨𝖨 que son todas las estrategias posibles del Jugador II, y además podemos usar el mismo conjunto de 𝐽(ya que la cardinalidad es la misma). Así que también tenemos 18 el axioma de determinación 𝖲𝖳𝖱𝖠𝖳 −𝖨𝖨 = {𝜏𝛼|𝛼∈𝐽} Ahora vamos a formar dos conjuntos 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝜔𝜔por recursión sobre (𝐽, ≤). Vamos a definir 𝐴= {𝑎𝛼|𝛼∈𝐽} 𝐵= {𝑏𝛼|𝛼∈𝐽} mediante la siguiente recursión. Caso base: Fijemos 0 ∈ 𝐽como el menor elemento de 𝐽. Tomamos arbitrariamente un 𝑎0∈𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜏0). Ahora, 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎0)contiene más de un elemen- to, así que tomamos 𝑏0∈𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎0)tal que 𝑏0≠𝑎0. Paso recursivo: Sea 𝛼∈𝐽y supongamos que para todo 𝛽 < 𝛼,𝑎𝛽y𝑏𝛽han sido ya escogidos. Nosotros escogeremos a 𝑎𝛽y𝑏𝛽. Nótese que {𝑏𝛽∶𝛽 < 𝛼}está en biyección con {𝛽∈𝐽∶𝛽 < 𝛼}, tiene cardinalidad estrictamente menor que 2ℵ0 (por lema 2.3 (2)). Por otro lado, ya vimos que 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜏𝛼)tiene cardinalidad 2ℵ0. Por tanto, hay al menos un elemento en 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜏𝛼)que no está en {𝑏𝛽∶ 𝛽 < 𝛼}. Escogemos alguno de estos y lo llamamos 𝑎𝛼. Ahora hacemos lo mismo para la colección {𝑎𝛽∶𝛽 < 𝛼} ∪ {𝑎𝛼}. Ésta también tiene cardinalidad menor que 2ℵ0mientras que 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎𝛼)tiene cardinalidad 2ℵ0, así que podemos tomar un 𝑏𝛼en 𝐽 𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠(𝜎𝛼), que no es elemento de {𝑎𝛽∶𝛽 < 𝛼}∪{𝑎𝛼}. Después de haber completado la definición recursiva, hemos definido nuestros conjuntos 𝐴y𝐵. Tenemos las siguientes propiedades: 𝐴∩𝐵= ∅ Demostración. Dado 𝑎∈𝐴, por construcción, hay un 𝛼∈𝐽tal que 𝑎=𝑎𝛼. Ahora, recordemos que en la "etapa 𝛼" del procedimiento recursivo nos aseguramos de que 𝑎𝛼no es igual a 𝑏𝛼para cualquier 𝛽 < 𝛼. Por otro lado, en cada "etapa 𝛾" con 𝛾≥𝛼nos aseguramos de que 𝑏𝛾no es igual a 𝑎𝛼. Por tanto 𝑎𝛼no es igual a 𝑏∈𝐵, probando así la afirmación. 𝐴es no determinado 2. juegos infinitos 19 Demostración. Primero, supongamos que I tiene una estrategia ganadora 𝜎en 𝐺(𝐴). Entonces 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎)⊆ 𝐴, pero hay un 𝛼∈𝐽tal que 𝜎=𝜎𝛼. En la "etapa 𝛼" del procedimiento inductivo tomamos un 𝑏𝛼∈𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜎𝛼), pero por la afirmación 1, 𝑏𝛼no puede estar en 𝐴, luego hay una contradicción. Ahora suponemos que II tiene una estrategia ganadora 𝜏en 𝐺(𝐴). Entonces 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜏) ∩ 𝐴= ∅. Otra vez, 𝜏=𝜏𝛼para algún 𝛼, pero en la "etapa 𝛼" tomamos 𝑎𝛼∈𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠(𝜏𝛼), y esto es una contradicción. Esto completa la prueba del teorema. 2.5 Sobre los axiomas de la teoría de conjuntos Todos los teoremas que hemos probado hasta ahora han sido demostrados en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Ésta es la teoría de conjuntos que se utiliza habitualmente para el desarrollo de las matemáticas. A continuación enunciaremos los axiomas de Zermelo-Fraenkel. 1. Axioma de Extensionalidad: Si 𝑋e𝑌tienen los mismos elementos, entonces 𝑋=𝑌. 2. Axioma del Par: Para cualesquiera 𝑎y𝑏existe un conjunto {𝑎, 𝑏}formado únicamente por 𝑎y𝑏. 3. Axioma de Separación: Si 𝜙es una propiedad (que puede depender de un parámetro 𝑝), entonces para cualquier conjunto 𝑋y parámetro 𝑝existe un conjunto 𝑌= {𝑢∈𝑋∶𝜙(𝑢, 𝑝)} formado por los 𝑢∈𝑋que tengan la propiedad 𝜙. 4. Axioma de la Unión: Para cualquier 𝑋existe un conjunto 𝑌=⋃𝑋, que es la unión de todos los elementos de 𝑋. 5. Axioma de las Partes: Para cualquier 𝑋existe un conjunto 𝑌=(𝑋), que es el conjunto de todos los subconjuntos de 𝑋. 6. Axioma del Infinito: Existe un conjunto infinito. 7. Axioma de Reemplazamiento: Si 𝐹es una función, entonces para cualquier 𝑋 existe un conjunto 𝑌=𝐹[𝑋]={𝐹(𝑥) ∶ 𝑥∈𝑋}. 8. Axioma de Regularidad: Si 𝑋≠∅entonces existe 𝑚∈𝑋tal que para todo 𝑥∈𝑋(𝑥∉𝑚). 9. Axioma de Elección: Toda familia de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. 26 el axioma de determinación Con toda esta información ya podemos enunciar y demostrar el teorema de Gale- Stewart en términos topológicos que, como ya dije al principio de esta sección, es nuestro objetivo. Teorema 3.3 (Gale-Stewart). Si 𝐴es un conjunto abierto o cerrado, entonces 𝐺(𝐴) es determinado. Demostración. La prueba vamos a dividirla en dos partes; la primera, suponiendo que 𝐴es abierto y la segunda, que 𝐴es cerrado. 𝐴es un conjunto abierto: Veamos que, 𝐴⊆𝜔𝜔es abierto ⇐⇒ 𝐴es finitamente decidible Si 𝐴es abierto, entonces podemos escribirlo como 𝐴=⋃{𝑂(𝑠) ∶ 𝑠∈𝐽} para algún 𝐽 ⊆ 𝜔<𝜔. En particular, 𝑂(𝑠)⊆ 𝐴 para cada 𝑠∈𝐽. Dado 𝑥∈𝐴, debe de existir un 𝑠tal que 𝑥∈𝑂(𝑠), entonces 𝑠 ⊲ 𝑥 y todo 𝑦con 𝑠 ⊲ 𝑦 está en 𝑂(𝑠)⊆ 𝐴 y esto implica que 𝐴es finitamente decidible. Sea ahora 𝐴un conjunto finitamente decidible, entonces si 𝑥∈𝐴, existe 𝑠⊲𝑥tal que todo 𝑦 con 𝑠 ⊲ 𝑦 está en 𝐴, pero entonces para todo 𝑥, existe 𝑂(𝑠)con 𝑥∈𝑂(𝑠)tal que 𝑂(𝑠)⊆ 𝐴. Luego podemos escribir 𝐴como unión de abiertos básicos y, por tanto, 𝐴es abierto. Gracias a lo que acabamos de demostrar, se tiene que si 𝐴es abierto, entonces es finitamente decidible y por el teorema 3.1 se tiene que 𝐺(𝐴)es determinado. 𝐴es un conjunto cerrado: Si 𝐴es cerrado, su complementario es abierto, es decir, 𝜔𝜔⧵𝐴es abierto. Por el apartado anterior tenemos que entonces 𝐺(𝜔𝜔⧵𝐴) es determinado. Como 𝐺(𝜔𝜔⧵𝐴)está determinado, entonces o bien I o bien II tiene una estrategia ganadora. Supongamos que el Jugador I tiene una estrategia ganadora, entonces por el lema 2.1, el Jugador II no puede tener una estrategia ganadora, entonces toda estrategia 𝜏para II verifica que para todo 𝑥∈𝜔𝜔: 𝑥∗𝜏∈𝜔𝜔⧵𝐴 lo que siginifica que 𝑥∗𝜏∉𝐴, luego II tiene una estrategia ganadora en 𝐺(𝐴). Si suponemos ahora que II tiene una estrategia ganadora en 𝐺(𝜔𝜔⧵𝐴), razonando de manera similar llegamos a que I tiene una estrategia ganadora en 𝐺(𝐴). Por tanto, 𝐺(𝐴)está determinado. 3. el teorema de gale-stewart 27 Observación 3.1.Obsérvese que en la primera parte de la prueba, demostramos que los conjuntos finitamente decidibles son precisamente los abiertos del espacio Baire. Llegados aquí, nos preguntamos si hay más familias de conjuntos que impliquen la determinación de los juegos asociados a sus miembros. Ya sabemos que los finitamente decidibles y los abiertos o cerrados del espacio de Baire la implican. Pero, ¿hay más?. Podríamos ver si la familia de las intersecciones numerables de abiertos, notada como 𝐺𝛿, lo cumple. También, podríamos hacerlo con la familia de las uniones numerables de cerrados notada como 𝐹𝜎. Sin embargo, hay un resultado todavía más fuerte, ya que además de demostrar que las familias anteriores, 𝐺𝛿y𝐹𝜎, implican la determinación de sus juegos, también demuestra que existen otros conjuntos que la implican. Definición 3.9. Sea 𝑋un conjunto no vacío y ⊆(𝑋). Decimos que es una 𝜎-álgebra sobre 𝑋cuando se verifican las siguientes condiciones: 𝑋∈ Si 𝐴∈, entonces 𝐴𝑐∈ Si {𝐴𝑛}𝑛≥1⊂, entonces ⋃∞ 𝑛=1 𝐴𝑛∈ Definición 3.10. Definimos la 𝜎-álgebra de Borel como la menor 𝜎-álgebra que contiene a todos los conjuntos abiertos. A los elementos de les decimos conjuntos de Borel o borelianos. Teorema 3.4 (Martin). Si 𝐵 ⊆ 𝜔𝜔es un boreliano, entonces 𝐺(𝐵)está determinado. Este teorema no lo vamos a demostrar, pues la prueba es bastante compleja y está fuera de nuestro alcance. Sin embargo, es inmediato comprobar que implica la determinación de 𝐺(𝐴)para todo 𝐴∈𝐺𝛿o𝐴∈𝐹𝜎ya que 𝐺𝛿, 𝐹𝜎⊆ 4 Medida y categoría 4.1 Medida de Lebesgue En esta sección recordaremos conceptos y resultados sobre la medida de Lebesgue, los cuales nos servirán de gran utilidad en el siguiente capítulo. Definición 4.1. Sea X un conjunto no vacío y ⊆(X) una 𝜎-álgebra sobre 𝑋. Se llama espacio medible al par (𝑋, )y conjunto medible a cada miembro de  Definición 4.2. Sea (𝑋, )un espacio medible. Una medida sobre (𝑋, )es una aplicación 𝑚∶←→ [0,+∞] tal que 𝑚(∅) = 0 y es numerablemente aditiva, es decir, si {𝐴𝑛}𝑛≥1⊂y los 𝐴𝑛son dos a dos disjuntos, entonces 𝑚(⋃∞ 𝑛=1 𝐴𝑛) = ∑∞ 𝑛=1 𝑚(𝐴𝑛). A la terna (𝑋, ,m)se le denomina espacio de medida. La siguiente proposición resume algunas propiedades básicas de toda medida 𝑚: Proposición 4.1.Sea (𝑋, ,𝑚)un espacio de medida. Se verifica: 1. 𝑚es finitamente aditiva, es decir, si 𝐴1, 𝐴2, ..., 𝐴𝑁∈son dos a dos disjuntos, entonces 𝑚(⋃𝑁 𝑛=1 𝐴𝑛) = ∑𝑁 𝑛=1 𝑚(𝐴𝑛). 2. 𝑚es monótona, es decir, si 𝐴, 𝐵 ∈y𝐴⊆𝐵entonces 𝑚(𝐴)≤𝑚(𝐵). 3. Si 𝐴, 𝐵 ∈con 𝐴⊆𝐵y𝑚(𝐴)<+∞, entonces 𝑚(𝐵⧵𝐴) = 𝑚(𝐵) − 𝑚(𝐴). La medida 𝜇de Lebesgue suele introducirse mediante una medida exterior asociada a ella: Definición 4.3. Se llama medida exterior sobre un conjunto 𝑋a una aplicación 𝑚∗∶ (X) ←→ [0,+∞] nula sobre el conjunto vacío, monótona y numerablemente subaditiva, es decir: 30 el axioma de determinación 1. 𝑚∗(∅) = 0. 2. Si 𝐴⊆𝐵entonces 𝑚∗(𝐴)≤𝑚∗(𝐵). 3. Si {𝐴𝑛}∞ 𝑛=1 ⊂(X) entonces 𝑚∗(⋃∞ 𝑛=1 𝐴𝑛)≤∑∞ 𝑛=1 𝑚∗(𝐴𝑛). Definición 4.4. Denotamos, como es habitual, al conjunto de los números reales por ℝ. Sea 𝐴 ⊆ ℝ. Definimos la aplicación 𝜇∗∶(ℝ)←→ [0,+∞] dada por 𝜇∗(𝐴) = ínf {∑∞ 𝑘=1 long(𝐼𝑘) ∶ 𝐴 ⊆ ⋃∞ 𝑘=1 𝐼𝑘, 𝐼𝑘intervalos ⊆ℝ} Teorema 4.1. La aplicación 𝜇∗de la definición anterior verifica las siguientes propiedades: 1. 𝜇∗es una medida exterior. 2. 𝜇∗es invariante por traslaciones, es decir, 𝜇∗(𝑎+𝐴) = 𝜇∗(𝐴)para todo 𝑎∈ℝy todo 𝐴 ⊆ ℝ. Aquí 𝑎+𝐴∶= {𝑎+𝑥∶𝑥∈𝐴}. 3. 𝜇∗es homotética, es decir, 𝜇∗(𝜆𝐴) = |𝜆|𝜇∗(𝐴)para todo 𝜆∈ℝy todo 𝐴 ⊆ ℝ. Aquí 𝜆𝐴 ∶= {𝜆𝑥 ∶𝑥∈𝐴}. 4. Si 𝐸 ⊂ ℝes numerable, 𝜇∗(𝐸)=0. 5. Si 𝐼es un intervalos entonces 𝜇∗(𝐼)coincide con su longitud. Observación 4.1.La aplicación 𝜇∗se denomina medida exterior de Lebesgue. Definición 4.5. Un conjunto 𝐸 ⊆ ℝse dice medible Lebesgue si se verifica que 𝜇∗(𝐴) = 𝜇∗(𝐴∩𝐸) + 𝜇∗(𝐴∩𝐸𝑐)para todo 𝐴 ⊆ ℝ. Es bien conocido que los conjuntos medibles forman una 𝜎-álgebra que denotaremos por . Se denomina medida de Lebesgue a la aplicación 𝜇∶←→ [0,+∞] dada por 𝜇∶= 𝜇∗| Ya que 𝜇proviene de 𝜇∗, se tiene la propiedad de invariancia por traslaciones y la propiedad de homotecia. Además los conjuntos 𝜆+𝐴y𝜆𝐴 son medibles Lebesgue siempre que 𝐴lo sea. También obtenemos que 𝜇es una medida completa, es decir, que si 𝐴∈y𝜇(𝐴)=0, entonces para todo 𝐵 ⊆ 𝐴,𝐵∈. Además cada conjunto 𝐸 ⊂ ℝnumerable es medible Lebesgue con 𝜇(𝐸) = 0. Por último, se tiene que si 𝜇∗(𝐴)=0, entonces 𝐴∈. Teorema 4.2. Todo abierto, todo cerrado, la unión numerable de medibles, la intersección numerable de medibles, todo conjunto de Borel, el complementario de un medible, todo intervalo y todo subconjunto compacto de ℝes medible Lebesgue. La medida de Lebesgue de un intervalo coincide con su longitud y la medida de un compacto es finita. Definición 4.6. Decimos que un conjunto 𝐴 ⊆ ℝtiene medida nula si su medida exterior de Lebesgue es 0. 4. medida y categoría 31 Las siguientes proposiciones resumen las principales propiedades de los conjuntos de media nula. Proposición 4.2.La unión numerable de conjuntos de medida nula tiene medida nula. Proposición 4.3.Sea 𝑆 ⊆ ℝtal que 𝑆∩ [𝑘, 𝑘 + 1] tiene medida nula para todo 𝑘∈ℤ. Entonces, 𝑆tiene medida nula. Proposición 4.4.Para todo 𝑋 ⊆ ℝexiste 𝐴medible con 𝑋 ⊆ 𝐴 y𝜇∗(𝑋) = 𝜇(𝐴). Proposición 4.5.Dados 𝑋 ⊆ ℝy𝐴medible con 𝑋 ⊆ 𝐴 y𝜇∗(𝑋) = 𝜇(𝐴), se cumple que todo conjunto medible 𝑍 ⊆ (𝐴⧵𝑋)tiene medida nula. 4.2 Categoría de Baire El objetivo de esta sección es demostrar el teorema de categoría de Baire y obtener como corolario que todo espacio de Baire es de segunda categoría. El teorema de Categoría de Baire es un resultado de análisis y topología general que establece que si 𝑆es o bien un espacio completamente metrizable o bien es un espacio de Hausdorff localmente compacto, entonces la intersección numerable de cualquier colección de abiertos densos en 𝑆, sigue siendo densa en 𝑆. Aquí solo veremos el caso en el que 𝑆 es un espacio completamente metrizable. Definición 4.7. Sea (𝑋, )un espacio topológico, decimos que 𝐴⊆𝑋es un conjun- to denso en 𝑋si 𝐴=𝑋, es decir, la clausura topológica del conjunto es todo el espacio. Equivalentemente, 𝐴⊂𝑋es denso si corta a cualquier abierto no vacío. Definición 4.8. Sea (𝑋, )un espacio topológico y 𝐴⊆𝑋, 1. 𝐴es denso en ninguna parte o diseminado si el interior de su clausura es vacío. 2. 𝐴es de primera categoría o deficiente si es la unión numerable de conjuntos densos en ninguna parte. Diremos que 𝐴es de segunda categoría si no es de primera categoría. 3. 𝐴tiene la propiedad de Baire si hay un abierto 𝑂tal que 𝐴▵𝑂= (𝐴⧵𝑂)∪(𝑂⧵𝐴) es de primera categoría. Observación 4.2.En el caso de espacio de Baire, 𝑋 ⊆ 𝜔𝜔es denso en ninguna parte o diseminado si todo abierto básico 𝑂(𝑡)contiene un abierto básico 𝑂(𝑠)⊆ 𝑂(𝑡)tal que 𝑂(𝑠) ∩ 𝑋= ∅. 32 el axioma de determinación Definición 4.9. Un espacio completamente metrizable es un espacio topológico (𝑋, ) para el cual existe al menos una métrica 𝑑en 𝑋tal que el espacio métrico (𝑋, 𝑑)es completo y 𝑑induce la topología . Un espacio polaco es un espacio topológico completamente metrizable y separable (es decir, contiene un conjunto denso numerable). Observación 4.3.Ejemplos de espacios polacos son el conjunto 𝜔(con la topología discreta), los reales ℝ, el conjunto ℝ𝑛, el espacio de Baire 𝜔𝜔y el intervalo abierto (0,1) Teorema 4.3 (Teorema de categoría de Baire). Si 𝑋es un espacio completamente metrizable, entonces la intersección numerable de conjuntos abiertos densos en 𝑋es densa. Para demostrar el teorema, nos será de gran ayuda el siguiente resultado: Teorema 4.4 (Teorema de intersección de Cantor). Un espacio métrico (𝑋, 𝑑) es completo si y sólo para toda sucesión decreciente 𝐹0⊇ 𝐹1⊇ 𝐹2⊆ ... de subconjuntos cerrados no vacíos de 𝑋con diametro(𝐵𝑛)←→ 0, la intersección ⋂𝑛𝐹𝑛es unitaria. Demostración (Teorema 4.3).Sea 𝑑una métrica en 𝑋tal que (𝑋, 𝑑)es completo y sea (𝑈𝑛)una sucesión de abiertos densos en 𝑋. Sea ahora 𝑉un abierto no vacío en 𝑋. Como 𝑈0es denso, 𝑈0∩𝑉≠∅. Escojamos ahora una bola abierta 𝐵0de diámetro menor que 1tal que 𝐵0⊆ 𝑈0∩𝑉. De igual forma, como 𝑈1es denso, 𝑈1∩𝑉≠∅ y escojamos una bola abierta 𝐵1de diámetro menor que 1∕2 tal que 𝐵1⊆ 𝑈1∩𝐵0. Haciendo lo mismo sucesivamente, tenemos una sucesión de bolas abiertas (𝐵𝑛)tales que para cada 𝑛: 1. diámetro(𝐵𝑛)<1∕2𝑛 2. 𝐵0⊆ 𝑈0∩𝑉 3. 𝐵𝑛+1 ⊆ 𝑈𝑛+1 ∩𝐵𝑛 Como (𝑋, 𝑑)es un espacio métrico completo, el teorema de intersección de Cantor nos asegura que ⋂𝑛𝐵𝑛=⋂𝑛𝐵𝑛es unitaria. Sea 𝑥∈𝑋tal que {𝑥} = ⋂𝑛𝐵𝑛, entonces 𝑥∈⋂𝑛𝑈𝑛⋂𝑉. Corolario 4.1.Si 𝑋es un espacio polaco, 𝑋es un conjunto de segunda categoría en sí mismo. Demostración. Sea 𝑋un espacio polaco, supongamos que 𝑋es de primera categoría en sí mismo. Si tomamos una sucesión de cerrados densos en ninguna parte (𝐹𝑛) tales que 𝑋=⋃𝑛𝐹𝑛, entonces los conjuntos 𝑈𝑛=𝑋⧵𝐹𝑛son densos, pues el complementario de un conjunto denso en ninguna parte es denso, y abiertos, y además ⋂𝑛𝑈𝑛= ∅, lo que contradice al teorema de categoría de Baire. 4. medida y categoría 33 4.3 Conjuntos analíticos y conjuntos de Bernstein En esta sección veremos otro tipo de conjuntos que son también muy importantes: los analíticos y los de Bernstein. Los primeros serán fundamentales en el capítulo siguiente y los segundos nos darán un resultado que demuestra la incompatibilidad del axioma de determinación y el axioma de elección. Definición 4.10. Un subconjunto 𝐴de un espacio polaco es analítico si es la imagen continua de un subconjunto de Borel de algún otro espacio polaco. Teorema 4.5. Todo conjunto 𝐴 ⊆ ℝanalítico es medible Lebesgue. Definición 4.11. Decimos que un subconjunto cerrado 𝐴 ⊆ ℝ𝑛es un conjunto perfecto si todos sus puntos son de acumulación. Un resultado fundamental sobre conjuntos perfectos es el teorema de Cantor- Bendixson que permite descomponer todo cerrado no numerable de ℝ𝑛en un conjun- to perfecto y un conjunto numerable. Puesto que el cardinal de un conjunto perfecto es 2ℵ0, esto prueba que el cardinal de un cerrado infinito es ℵ0o2ℵ0. Teorema 4.6 (Cantor-Bendixson). Sea 𝐹 ⊂ ℝ𝑛un subconjunto no numerable y cerrado, entonces podemos escribir 𝐹como la unión disjunta de un conjunto perfecto 𝑃 y un conjunto numerable 𝐶. Observación 4.4.En el siguiente teorema, aire es la clase de los conjuntos que tienen la propiedad de Baire, es la clase de los conjuntos de medida nula, es la clase de los conjuntos de primera categoría y   es la clase de los conjuntos densos en ninguna parte. Teorema 4.7. Si 𝐴∈⧵o𝐴∈aire ⧵, entonces existe un conjunto perfecto 𝑃tal que 𝑃 ⊂ 𝐴. En la demostración del teorema 4.7 vamos a utilizar los siguientes resultados. El primero de ellos es una consecuencia del teorema de intersección de Cantor. Teorema 4.8. Si 𝐾0⊃ 𝐾1⊃ 𝐾2⊃ ... es una sucesión decreciente de compactos no vacíos de ℝ𝑛, entonces la intersección ⋂∞ 𝑖=0 𝐾𝑖es no vacía. Teorema 4.9. Para todo 𝐴∈existe un 𝐹que es 𝐹𝜎y un 𝐺que es 𝐺𝛿tales que 𝐹 ⊂ 𝐴 ⊂ 𝐺 y𝐺⧵𝐹tiene medida nula. Demostración (Teorema 4.7).Supongamos primero que 𝐴∈⧵, entonces por el teorema 4.9, existe un 𝐹que es 𝐹𝜎tal que 𝐹 ⊂ 𝐴 y𝐴⧵𝐹∈. Por tanto, 𝐹∈⧵. 34 el axioma de determinación Sea 𝐹=⋃𝑛<𝜔 𝐹𝑛, donde los 𝐹𝑛son cerrados de ℝ𝑛. Nótese que al menos uno de los 𝐹𝑛tiene que ser no numerable, pues si todos los 𝐹𝑛lo fueran entonces 𝐹sería unión numerable de conjuntos de medida nula y, por tanto, 𝐹tendría medida nula. Así que sea 𝐹𝑛no numerable, por el teorema de Cantor-Bendixson, hay un conjunto perfecto 𝑃 ⊂ 𝐹𝑛⊂ 𝐹 ⊂ 𝐴. Sea ahora 𝐴∈aire⧵con 𝐴=𝑈▵𝑆siendo 𝑈un abierto no vacío y 𝑆∈. Sea 𝑆=⋃𝑛<𝜔 𝑆𝑛para una sucesión (𝑆𝑛)con 𝑆𝑛∈  para todo 𝑛. Vamos ahora a construir una familia de abiertos no vacíos {𝑈𝑠⊂ 𝑈 ∶𝑠∈ 2<𝜔}por inducción sobre la longitud |𝑠|de una sucesión 𝑠. Tomamos un conjunto acotado 𝑈∅tal que 𝑈∅⊂ 𝑈 ⧵𝑆0y continuamos la inducción manteniendo que la siguiente condición se cumpla para todo 𝑠∈ 2<𝜔: (I) 𝑈𝑠0y𝑈𝑠1son bolas abiertas tales que 𝑈𝑠0∩𝑈𝑠1= ∅,𝑈𝑠0∪𝑈𝑠1⊂ 𝑈𝑠⧵𝑆|𝑠|. donde 𝑠0=𝑠⌢⟨0⟩y𝑠1=𝑠⌢⟨1⟩. Supongamos que ya hemos construido 𝑈𝑠. Como 𝑈𝑠∈  se tiene que 𝑈𝑠⧵𝑈𝑠≠∅, es abierto, luego podemos encontrar dos bolas abiertas disjuntas en 𝑈𝑠⧵𝑈𝑠. Disminuyendo el radio, si es necesario, podemos satisfacer la condición (I). Esto completa la construcción. Sea ahora 𝐹𝑛=⋃{𝑈𝑠∶𝑠∈ 2<𝜔,|𝑠|=𝑛}y𝐹=⋂𝑛<𝜔 𝐹𝑛, se tiene que 𝐹 ⊂ 𝑈 y 𝐹𝑛∩𝑆𝑛= ∅ para todo 𝑛 < 𝜔. Luego 𝐹 ⊂ 𝑈 ⧵𝑆 ⊂ 𝐴. Además, cada 𝐹𝑛es compac- to, pues es unión finita de conjuntos cerrados y acotados y, por tanto, 𝐹también es compacto. Basta probar entonces que 𝐹es no numerable pues si no lo es, el teorema de Cantor-Bendixson implica que existe un conjunto perfecto 𝑃tal que 𝑃 ⊂ 𝐹 ⊂ 𝐴. Para probar que 𝐹no es numerable, consideramos para cada 𝑓∈ 2𝜔el conjunto 𝐹𝑓=⋂𝑛<𝜔 𝑈𝑓|𝑛⊂ 𝐹 . Por el teorema 4.8 se tiene que cada 𝐹𝑓es no vacío. Además los conjuntos {𝐹𝑓∶𝑓∈ 2𝜔}son disjuntos dos a dos, luego si 𝑓, 𝑔 ∈ 2𝜔son distintas, 𝑛=min{𝑖<𝜔∶𝑓(𝑖)≠𝑔(𝑖)}, y 𝑠=𝑓|𝑛=𝑔|𝑛entonces 𝐹𝑓∩𝐹𝑔⊂ 𝑈𝑠0∩𝑈𝑠1= ∅. Sea ahora 𝑐∶ 2𝜔←→ 𝐹una función de elección para la familia {𝐹𝑓∶𝑓∈ 2𝜔}, esto es, 𝑐(𝑓) ∈ 𝐹𝑓para todo 𝑓∈ 2𝜔. Entonces 𝑓es inyectiva y por tanto |2𝜔|≤|𝐹|, luego 𝐹no es numerable. Teorema 4.10. Existe un conjunto 𝐵 ⊂ ℝ𝑛tal que ni 𝐵ni ℝ𝑛⧵𝐵contienen un conjunto perfecto. 4. medida y categoría 35 Para la prueba necesitaremos el siguiente teorema: Teorema 4.11. Todo subconjunto perfecto 𝑃 ⊂ ℝ𝑛tiene la cardinalidad del continuo. Demostración (Teorema 4.10).En primer lugar, sea la familia de todos los conjuntos perfectos de ℝ𝑛y sea la clase de los conjuntos borelianos, entonces ||≤2ℵ0ya que ⊂y||= 2ℵ0. Por el lema 2.3 existe (𝐽, ≤) bien ordenado tal que |𝐽|=|| y para todo 𝛼∈𝐽,|{𝛽∈𝐽∶𝛽 < 𝛼}|<|𝐽|. Sea = {𝑃𝜉∶𝜉∈𝐽}, por inducción transfinita sobre 𝜉∈𝐽definimos las sucesiones ⟨𝑎𝜉∶𝜉∈𝐽⟩y⟨𝑏𝜉∶𝜉∈𝐽⟩tomando en el paso 𝜉∈𝐽los puntos 𝑎𝜉≠𝑏𝜉de ℝ𝑛tales que 𝑎𝜉, 𝑏𝜉∈𝑃𝜉⧵({𝑎𝜁∶𝜁 < 𝜉}∪{𝑏𝜁∶𝜁 < 𝜉}) Esto se puede hacer porque |{𝑎𝜁∶𝜁 < 𝜉}∪{𝑏𝜁∶𝜁 < 𝜉}|= 2|{𝛽∈𝐽∶𝛽 < 𝜉}|<2ℵ0 y porque gracias al teorema 4.11, |𝑃𝜉|= 2ℵ0. Esto termina la construcción. Sea ahora 𝐵= {𝑎𝜉∶𝜉∈𝐽}, entonces para cada conjunto perfecto 𝑃hay un 𝜉∈𝐽 tal que 𝑃=𝑃𝜉. Entonces como 𝑎𝜉∈𝑃∩𝐵y𝑏𝜉∈𝑃∩ (ℝ𝑛⧵𝐵)se tiene que ni 𝑃 ⊂ 𝐵 ni 𝑃 ⊂ (ℝ𝑛⧵𝐵). Definición 4.12. Los conjuntos 𝐵que verifican el enunciado del teorema 4.10 son los conjuntos de Bernstein. Teorema 4.12. Un conjunto de Bernstein 𝐵 ⊂ ℝ𝑛no es ni medible ni tiene la propiedad de Baire. Demostración. Supongamos que 𝐵∈. Al ser un conjunto de Bernstein, no puede contener un conjunto perfecto y, por tanto, gracias al teorema 4.7 se tiene que 𝐵tiene medida nula y lo mismo sucede con el complementario, es decir, ℝ𝑛⧵𝐵∈yℝ𝑛⧵𝐵 tiene medida nula. Entonces ℝ𝑛=𝐵∪ (ℝ𝑛⧵𝐵)tiene medida nula , lo cual es falso y por tanto 𝐵∉. Supongamos que 𝐵∈aire. Al ser un conjunto de Bernstein, no puede contener un conjunto perfecto y, por tanto, gracias al teorema 4.7 se tiene que 𝐵es de primera categoría y lo mismo sucede con el complementario, es decir, ℝ𝑛⧵𝐵∈aire y ℝ𝑛⧵𝐵 es de primera categoría. Entonces ℝ𝑛=𝐵∪ (ℝ𝑛⧵𝐵)es de primera categoría, pero como ℝ𝑛es un espacio polaco, el corolario 4.1 nos asegura que ℝ𝑛es de segunda categoría, lo cual es una contradicción. 42 el axioma de determinación 2. Si II tiene una estrategia ganadora en 𝐺∗(𝐴), entonces 𝐴es un conjunto numerable. Para la prueba del teorema, nos apoyaremos en la siguiente definición: Definición 5.10. Sea 𝜏una estrategia ganadora para el Jugador II. Para una posición 𝑝∶= ⟨𝑠0, 𝑛1, 𝑠1, 𝑛2, ..., 𝑠𝑖−1, 𝑛𝑖⟩escribimos 𝑝∗=𝑠0⌢𝑠1⌢... ⌢𝑠𝑖−1. Entonces para cualquier posición 𝑝y𝑥∈𝜔𝜔decimos que: 𝑝es compatible con 𝑥si existe un 𝑠𝑖tal que 𝑠𝑖(0) ≠𝑛𝑖y𝑝∗⌢𝑠𝑖⊲ 𝑥. 𝑝rechaza a 𝑥si 𝑝es compatible con 𝑥y para todo 𝑠𝑖, con 𝑠𝑖(0) ≠𝑛𝑖, la siguiente posición según 𝜏, es decir, la posición 𝑝⌢⟨𝑠𝑖, 𝜏(𝑝⌢⟨𝑠𝑖⟩)⟩, no es compatible con 𝑥. Demostración (Teorema 5.2). 1. Sea 𝜎una estrategia ganadora para el Jugador I en 𝐺∗(𝐴)y sea el conjunto 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠∗(𝜎)={𝜎∗𝑦∶𝑦∈𝜔𝜔}. Definimos ahora: 𝑇𝜎= {𝑠∈𝜔<𝜔 ∶𝑠 ⊲ (𝜎∗𝑡)para algún 𝑡} Es claro que 𝑇𝜎es un árbol pues si 𝑠∈𝑇𝜎y𝑠′⊲ 𝑠, entonces 𝑠′⊲(𝜎∗𝑡)y esto implica que 𝑠′∈𝑇𝜎. Además [𝑇𝜎] = 𝑃 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠∗(𝜎)⊆ 𝐴, pues para cualquier (𝜎∗𝑦) ∈ 𝜔𝜔, se tiene que para todo 𝑠∈𝑇𝜎, 𝑠 ⊲ (𝜎∗𝑦). Por tanto, sólo queda ver que 𝑇𝜎es un árbol perfecto. Tomamos un 𝑡∈𝑇𝜎y sea 𝑖el menor movimiento tal que 𝑡⊲𝑠0⌢... ⌢𝑠𝑖. Ahora el Jugador II puede jugar con 𝑛𝑖+1 en su siguiente movimiento, después de que I, asumiendo que él juega según 𝜎, juegue con 𝑠𝑖+1 tal que 𝑠𝑖+1(0) ≠𝑛𝑖+1. Sea ahora 𝑚𝑖+1 =𝑠𝑖+1(0). En vez de jugar con 𝑛𝑖+1, el Jugador II podría haber jugado con 𝑚𝑖+1, lo cual habría obligado al Jugador I a jugar con 𝑡𝑖+1 tal que 𝑡𝑖+1(0) ≠𝑚𝑖+1. Pero entonces 𝑡𝑖+1 ≠𝑠𝑖+1 y por tanto las sucesiones 𝑠0⌢... ⌢𝑠𝑖⌢𝑠𝑖+1 y 𝑠0⌢... ⌢𝑠𝑖⌢𝑡𝑖+1 son extensiones de 𝑡incompatibles según 𝜎y por tanto ambas son elementos de 𝑇𝜎. Luego 𝑇𝜎es un árbol perfecto contenido en 𝐴, lo que implica que 𝐴tiene la propiedad del conjunto perfecto. 2. Supongamos ahora que el Jugador II tiene una estrategia ganadora 𝜏. Veamos que para todo 𝑥∈𝐴, hay una y sólo una posición que rechaza a 𝑥. Dado 𝑥∈𝐴, supongamos que no existe ninguna posición que rechaze a 𝑥. Entonces en cualquier momento de la partida, el Jugador I puede jugar con un 𝑠𝑖tal que 𝑠0⌢... ⌢𝑠𝑖⊲ 𝑥 y, por tanto, la estrategia 𝜏del Jugador II no puede hacer nada para evitar que I consiga su objetivo. Esto quiere decir que existe una 5. determinación y propiedades de regularidad 43 sucesión 𝑦de movimientos jugados por el Jugador I tales que 𝑥=𝑦∗𝜏∈𝐴, lo que contradice que 𝜏sea una estrategia ganadora para el Jugador II. Veamos ahora que toda posición rechaza como mucho a un 𝑥. Supongamos que 𝑝rechaza a 𝑥y a 𝑦con 𝑥≠𝑦. Por definición, 𝑝es compatible con 𝑥e𝑦, así que el Jugador I puede jugar con 𝑠𝑖tal que 𝑠𝑖(0) ≠𝑛𝑖,𝑝∗⌢𝑠𝑖⊲ 𝑥 y 𝑝∗⌢𝑠𝑖⊲ 𝑦. Pero entonces, el Jugador I puede jugar con un 𝑠𝑖tal que cualquier extension 𝑝∗⌢𝑠𝑖⌢⟨𝑛⟩no puede ser un segmento incial de 𝑥e𝑦a la vez pues debe de existir un 𝑛tal que 𝑥(𝑛)≠𝑦(𝑛). Entonces, sea 𝑛𝑖+1 =𝜏(𝑝⌢⟨𝑠𝑖⟩)se tiene que 𝑝⌢⟨𝑠𝑖, 𝑛𝑖+1⟩no es compatible o bien con 𝑥o bien con 𝑦, luego 𝑝rechaza a 𝑥o a 𝑦. En consecuencia, si definimos ahora el conjunto 𝐾𝑝= {𝑥∈𝜔𝜔∶𝑝rechaza a 𝑥}, se tiene que 𝐴 ⊆ ⋃𝑝𝐾𝑝y, por lo que acabamos de ver, el conjunto 𝐾𝑝es unitario, luego 𝐴está contenido en una unión numerable de conjuntos unitarios y, por tanto, 𝐴es numerable. Estos dos últimos teoremas prueban, en conjunto, que todo conjunto determinado tiene la propiedad del conjunto perfecto que es lo que queríamos demostrar. Corolario 5.1.𝖣𝖾𝗍(Γ) implica que todo conjunto de Γtiene la propiedad del conjunto perfecto. Demostración. En efecto, sea 𝐴∈ Γ, entonces 𝐴∗∈ Γ. Como 𝐺(𝐴∗) = 𝐺∗(𝐴)está determinado, entonces o bien I tiene una estrategia ganadora o bien II tiene una estrategia ganadora. Si la tiene I, entonces 𝐴contiene un árbol perfecto. Si la tiene II, entonces 𝐴es un conjunto numerable. Luego, en cualquier caso, 𝐴tiene la propiedad del conjunto perfecto. 5.2 La propiedad de Baire En esta sección estudiaremos la propiedad de Baire, una propiedad que ha sido importante durante mucho tiempo para los topólogos. Además veremos que los conjuntos determinados tienen la propiedad de Baire. Aquí trabajaremos con el juego de Banach-Mazur que introducimos a continuación: Dado un conjunto 𝐴⊆𝜔𝜔, el juego de Banach-Mazur, notado como 𝐺∗∗(𝐴), consiste en: Dos jugadores, I y II, juegan con sucesiones no vacías de numeros naturales 44 el axioma de determinación 𝑠𝑖, 𝑡𝑖∈𝜔<𝜔: I𝑠0𝑠1... II 𝑡0𝑡1... Entonces 𝑧∶= 𝑠0⌢𝑡0⌢𝑠1⌢𝑡1⌢... y diremos que el Jugador I gana en 𝐺∗∗(𝐴) si y sólo si 𝑧∈𝐴. Al igual que con 𝐺∗(𝐴), el juego de Banach-Mazur también se puede reformular como el juego definido en el capítulo 2. Como hicimos con 𝐺∗(𝐴), sea 𝜙∶𝜔←→ (𝜔<𝜔 ⧵⟨⟩)una biyección, se tiene que 𝐺∗∗(𝐴) = 𝐺(𝐴∗∗)siendo 𝐴∗∗ el siguiente conjunto: 𝐴∗∗ = {𝑧∈𝜔𝜔∶𝜙(𝑧(0)) ⌢𝜙(𝑧(1)) ⌢𝜙(𝑧(2)) ⌢... ∈𝐴} Observación 5.5.La prueba de que 𝐺∗∗(𝐴) = 𝐺(𝐴∗∗)se realiza de forma similar a la que aparece en la observación 5.3. Teorema 5.3. Sea Γuna clase en negrita. Si 𝐴∈ Γ, entonces 𝐴∗∗ ∈ Γ. Demostración. Tenemos que 𝐴∗∗ =𝑓−1[𝐴], siendo 𝑓∶𝜔𝜔←→ 𝜔𝜔la función dada por: 𝑓(𝑧) ∶= 𝜙(𝑧(0)) ⌢𝜙(𝑧(1)) ⌢𝜙(𝑧(2)) ⌢... Basta probar entonces que 𝑓es continua. En efecto, fijado 𝑧y sea 𝑠⊲𝑓(𝑧). Sea 𝑛el menor número tal que 𝑠⊲𝜙(𝑧(0)) ⌢𝜙(𝑧(1)) ⌢𝜙(𝑧(2)) ⌢... ⌢𝜙(𝑧(𝑛)). Sea ahora 𝑡∶= ⟨𝑧(0), 𝑧(1), ..., 𝑧(𝑛)⟩, entonces para cualquier 𝑦con 𝑡⊲𝑦se tiene que: 𝑓(𝑦) = 𝜙(𝑧(0)) ⌢𝜙(𝑧(1)) ⌢𝜙(𝑧(2)) ⌢... ⌢𝜙(𝑧(𝑛)) ⌢𝜙(𝑦(𝑛+ 1)) ⌢... Entonces 𝑠 ⊲ 𝑓(𝑦)y, por tanto, cumple la definición de continuidad. Como 𝐴∈ Γ, la primera condición de la definición de Γnos asegura que 𝐴∗∗ =𝑓−1[𝐴]∈Γ. Teorema 5.4. Sea 𝐴⊆𝜔𝜔un conjunto, se verifica: 1. Si el Jugador II tiene una estrategia ganadora en 𝐺∗∗(𝐴), entonces 𝐴es de primera categoría. 2. Si el Jugador I tiene una estrategia ganadora en 𝐺∗∗(𝐴), entonces 𝑂(𝑠)⧵𝐴es de primera categoría para algún abierto básico 𝑂(𝑠). 5. determinación y propiedades de regularidad 45 Para la prueba del teorema, nos apoyaremos en la siguiente definición: Definición 5.11. Sea 𝜏una estrategia ganadora para el Jugador II. Para una posición 𝑝∶= ⟨𝑠0, 𝑡0, ..., 𝑠𝑛, 𝑡𝑛⟩escribimos 𝑝∗=𝑠0⌢𝑡0⌢... ⌢𝑠𝑛⌢𝑡𝑛. Entonces para cualquier posición 𝑝y𝑥∈𝜔𝜔decimos que: 𝑝es compatible con 𝑥si 𝑝∗⊲ 𝑥 𝑝rechaza a 𝑥si 𝑝es compatible con 𝑥y para cualquier 𝑠𝑛+1, la siguiente posición según 𝜏, es decir, la posición 𝑝⌢⟨𝑠𝑛+1, 𝜏(𝑝⌢⟨𝑠𝑛+1⟩)⟩, no es compatible con 𝑥. Demostración (Teorema 5.4). 1. Sea 𝜏una estrategia ganadora para el Jugador II y sea 𝑝=⟨𝑠0, 𝑡0, ..., 𝑠𝑛, 𝑡𝑛⟩una posición. En primer lugar veamos que para todo 𝑥∈𝐴, existe una posición que rechaza a 𝑥. Si no existiese tal posición, entonces para cualquier sucesión con la que juegue I, la siguiente posición según 𝜏será compatible con 𝑥. De igual forma, en el siguiente turno juegue con lo que juegue I, la siguiente posición según 𝜏también será compatible con 𝑥, es decir, el Jugador II no puede impedir que I consiga su objetivo. Luego existe una sucesión 𝑦de movimientos jugados por I tales que 𝑥=𝑦∗𝜏∈𝐴, pero entonces 𝜏no sería una estrategia ganadora. Veamos ahora que para toda posición 𝑝, el conjunto 𝐹𝑝∶= {𝑥∶𝑝rechaza a 𝑥} es denso en ninguna parte. Sea 𝑂(𝑠)un abierto básico. Distinguimos dos casos: Caso 1: ¬(𝑝∗⊲ 𝑡). Si no se tiene que 𝑝∗⊲ 𝑠, entonces debe de existir un 𝑡 con 𝑠 ⊲ 𝑡 tal que ¬(𝑝∗⊲ 𝑡). Como 𝑠 ⊲ 𝑡, se tiene 𝑂(𝑡)⊆ 𝑂(𝑠)y entonces para 𝑥∈𝑂(𝑡),𝑥es incompatible con 𝑝∗y, por tanto, 𝑂(𝑡) ∩ 𝐹𝑝= ∅. Caso 2: 𝑝∗⊲ 𝑠. Si 𝑝∗⊲ 𝑠, sea 𝑠𝑛+1 la sucesión tal que 𝑝∗⌢𝑠𝑛+1 =𝑠y sea 𝑡𝑛+1 =𝜏(𝑝⌢⟨𝑠𝑛+1⟩). Sea ahora 𝑡∶= 𝑠⌢𝑡𝑛+1, se tiene que 𝑠⊲𝑡y por tanto 𝑂(𝑡)⊆ 𝑂(𝑠). Dado 𝑥∈𝑂(𝑡), se tiene que 𝑝no rechaza a 𝑥pues en la siguiente posición nos queda que 𝑝∗⌢⟨𝑠𝑛+1, 𝑡𝑛+1⟩=𝑡, y al ser 𝑥elemento de 𝑂(𝑡), se tiene que 𝑡⊲𝑥y por tanto 𝑂(𝑡) ∩ 𝐹𝑝= ∅. En definitiva, nos queda que 𝐴 ⊆ ⋃𝑝𝐹𝑝y como cada 𝐹𝑝es denso en ninguna parte, se tiene que 𝐴es unión numerable de densos en ninguna parte y, por tanto, 𝐴es de primera categoría. 2. Sea 𝜎una estrategia ganadora para el Jugador I y sea 𝑠el primer movimiento de I según 𝜎, es decir, 𝜎(⟨⟩) = 𝑠. Sea ahora 𝑠0el primer movimiento de I en 46 el axioma de determinación 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴), veamos que II tiene una estrategia ganadora en 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴) siendo 𝑂(𝑠)un abierto básico. Si ¬(𝑠 ⊲ 𝑠0), entonces II juega con cualquier 𝑡0tal que 𝑠0⌢𝑡0es incompatible con 𝑠. Tras esto, da igual con lo que jueguen, pues el resultado final es un 𝑥∉𝑂(𝑠)y por tanto 𝑥∉𝑂(𝑠)⧵𝐴, luego II gana en 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴). Si 𝑠 ⊲ 𝑠0y𝑠′ 0es tal que 𝑠⌢𝑠′ 0=𝑠0. Entonces II considera un "juego auxiliar". Este juego auxiliar es el juego 𝐺∗∗(𝐴)en donde I juega según 𝜎. Los movimientos que hace II en 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴)dependen de los movimientos que I haga en el juego auxiliar. El primer movimiento en el juego auxiliar es 𝑠, entonces II responde con 𝑠′ 0y luego I vuelve a responder con 𝑡0=𝜎(⟨𝑠, 𝑠′ 0⟩). Ahora el Jugador II usa 𝑡0como respuesta al movimiento del Jugador I en 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴), que era 𝑠0. Después, en 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴)el Jugador I juega con 𝑠1y II responde con 𝑠1en el juego auxiliar. En este último, el Jugador I juega con 𝑡1=𝜎(⟨𝑠, 𝑠′ 0, 𝑡0, 𝑠1⟩), entonces II juega con dicho 𝑡1en 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴)y así sucesivamente. En las dos tablas siguientes podemos ver mejor todo este razonamiento en donde la primera tabla corresponde a 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴)y la segunda corresponde al juego auxiliar. I𝑠0𝑠1... II 𝑡0𝑡1 I𝑠=𝜎(⟨⟩)𝑡0=𝜎(⟨𝑠, 𝑠′ 0⟩)𝑡1=𝜎(⟨𝑠, 𝑠′ 0, 𝑡0, 𝑠1⟩) II 𝑠′ 0𝑠1... La partida resultante en 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴)será 𝑥=𝑠0⌢𝑡0⌢𝑠1⌢𝑡1⌢..., mientras que en el juego auxiliar será 𝑥=𝑠0⌢𝑠′ 0⌢𝑡0⌢𝑠1⌢𝑡1⌢... y como en éste el Jugador I estaba jugando según 𝜎, la cual es una estrategia ganadora, se tiene que 𝑥∈𝐴y, por tanto, en 𝐺∗∗(𝑂(𝑠)⧵𝐴)se tiene que 𝑥∉𝑂(𝑠)⧵𝐴, lo cual quiere decir que II gana. Entonces, gracias al apartado 1, se tiene que 𝑂(𝑠)⧵𝐴es de primera categoría. El Teorema 5.3 junto con el Teorema 5.4, son fundamentales para probar el objetivo principal de esta sección: La determinación implica la propiedad de Baire. 5. determinación y propiedades de regularidad 47 Corolario 5.2.𝖣𝖾𝗍(Γ) implica que todo conjunto de Γtiene la propiedad de Baire. Demostración. Para llevar a cabo la prueba, vamos a tener en cuenta la siguiente afirmación: Dada una clase en negrita Γtal que para todo 𝐴∈ Γ,𝐴es de primera categoría o𝑂(𝑠)⧵𝐴de primera categoría para algún 𝑂(𝑠). Entonces todo 𝐴∈ Γ satisface la propiedad de Baire. Demostración. Dado 𝐴∈ Γ, distinguimos dos casos: •𝐴es de primera categoría. Este caso es sencillo pues si tomamos el conjunto vacío ∅, que es abierto, se tiene que 𝐴▵∅=(𝐴⧵∅) ∪ (∅ ⧵𝐴) = 𝐴∪ ∅ = 𝐴, el cual es de primera categoría por hipótesis y, por tanto, 𝐴tiene la propiedad de Baire. •𝑂(𝑠) − 𝐴es de primera categoría. Para este caso definimos el siguiente conjunto: 𝑂=⋃{𝑂(𝑠) ∶ 𝑂(𝑠)⧵𝐴es de primera categoría} Claramente se tiene que 𝑂es un conjunto abierto pues es unión de abiertos básicos y, por definición de dicho conjunto, se tiene que 𝑂⧵𝐴es unión numerable de conjuntos de primera categoría y, por tanto, es de primera categoría. Tenemos ahora que probar que 𝐴⧵𝑂es de primera categoría. Por definición de Γ, se tiene que para todo cerrado 𝐶, si 𝐴∈ Γ, entonces 𝐴∩𝐶∈ Γ, luego usando esto aquí, se tiene que 𝐴∩𝑂𝑐=𝐴⧵𝑂∈ Γ. Así que por hipótesis, se tiene que 𝐴⧵𝑂es de primera categoría o que 𝑂(𝑠)⧵(𝐴⧵𝑂)es de primera categoría para algún 𝑂(𝑠). Si no fuera de primera categoría, entonces 𝑂(𝑠)⧵(𝐴⧵𝑂)es de primera categoría , o lo que es lo mismo, que 𝑂(𝑠)⧵(𝐴⧵𝑂) = 𝑂(𝑠)∩(𝐴⧵𝑂)𝑐=𝑂(𝑠)∩(𝐴∩𝑂𝑐)𝑐=𝑂(𝑠)∩(𝐴𝑐∪𝑂) = (𝑂(𝑠) ∩ 𝐴𝑐)∪(𝑂(𝑠) ∩ 𝑂)=(𝑂(𝑠)⧵𝐴)∪(𝑂(𝑠) ∩ 𝑂) es de primera categoría. Esto implica que: 1. 𝑂(𝑠)⧵𝐴es de primera categoría 2. 𝑂(𝑠) ∩ 𝑂es de primera categoría Pero si 𝑂(𝑠)⧵𝐴es de primera categoría, la definición del conjunto 𝑂implica que 𝑂(𝑠)⊆ 𝑂 y esto a su vez implica que 𝑂(𝑠)∩𝑂=𝑂(𝑠)es de primera categoría, lo cual es imposible en el espacio de Baire por el corolario 4.1. Por tanto, 𝐴⧵𝑂es de primera categoría , luego 𝐴tiene la propiedad de Baire. 48 el axioma de determinación Sea ahora 𝐴∈ Γ, entonces 𝐴∗∗ ∈ Γ. Como 𝐺(𝐴∗∗) = 𝐺∗∗(𝐴)está determinado, entonces, o bien I tiene una estrategia ganadora en 𝐺∗∗(𝐴), o bien II tiene una estrategia ganadora en 𝐺∗∗(𝐴). Si la tiene I entonces 𝑂(𝑠)⧵𝐴es de primera categoría para algún abierto básico 𝑂(𝑠)por el teorema 5.4. Si la tiene II entonces 𝐴es de primera categoría de nuevo por el teorema 5.4. Aplicando ahora la afirmación anterior, obtenemos que todo conjunto 𝐴tiene la propiedad de Baire que es lo que queríamos demostrar. 5.3 Determinación y Medida de Lebesgue En esta sección trataremos la relación que existe entre la medida de Lebesgue y el axioma de determinación. Veremos que si suponemos dicho axioma como cierto, todo conjunto de reales es medible Lebesgue. Ahora vamos a introducir un juego infinito, al que llamaremos "juego de los cubrimientos". Dicho juego tendrá un papel fundamental para demostrar un lema que veremos mas adelante. Antes de definirlo, necesitamos probar que el conjunto 𝐾𝑛de todos los conjuntos 𝐺tales que 1. 𝐺es la unión finita de intervalos abiertos con extremos racionales 2. 𝜇(𝐺)≤𝜖 22(𝑛+1) (siendo 𝜇la medida de Lebesgue) es numerable para cada 𝑛. Proposición 5.1.Para todo 𝑛∈𝜔, el conjunto 𝐾𝑛es numerable. Demostración. El conjunto de los intervalos abiertos con extremos racionales se puede inyectar en ℚ×ℚ. Sea ahora 𝐾𝑛=⋃∞ 𝑛=0 𝐾𝑛𝑝 siendo 𝐾𝑛𝑝 el conjunto de todos los conjuntos 𝐺tales que 1. 𝐺es la unión de 𝑝intervalos abiertos con extremos racionales 2. 𝜇(𝐺)≤𝜖 22(𝑛+1) Entonces 𝐾𝑛𝑝 se puede inyectar con (ℚ×ℚ)𝑝. Como este último es numerable, entonces 𝐾𝑛𝑝 también lo será y, por tanto, 𝐾𝑛es unión de conjuntos numerables, luego es numerable. 5. determinación y propiedades de regularidad 49 Ahora ya si podemos definir el juego de los cubrimientos. Sea 𝑆 ⊆ [0,1] y dado 𝜖 > 0, establecemos dicho juego como sigue: Sea ⟨𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, ...⟩una sucesión de ceros y unos y sea 𝑎el número real dado por: 𝑎=∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 2𝑛+1 Sea ahora (𝐺𝑛 𝑘)𝑘∈𝜔una enumeración del conjunto 𝐾𝑛. Una partida ⟨𝑎0, 𝑏0, 𝑎1, 𝑏1, ...⟩la gana el Jugador I si 1. 𝑎𝑛= 0,1para todo 𝑛∈𝜔. 2. 𝑎∈𝑆. 3. 𝑎∉⋃∞ 𝑛=0 𝐺𝑛 𝑏𝑛. Por tanto, en este juego el Jugador I jugará con un numero real 𝑎∈𝑆y el Jugador II intentará cubrirlo mediante la unión ⋃∞ 𝑛=0 𝐻𝑛tales que 𝐻𝑛∈𝐾𝑛para todo 𝑛. Lema 5.1.Si 𝑍es un conjunto de medida nula, entonces puede ser cubierto mediante una unión numerable de conjuntos 𝐻𝑛con 𝐻𝑛∈𝐾𝑛para todo 𝑛∈𝜔. Demostración. Como 𝑍tiene medida nula, entonces 1. 𝑍 ⊆ ⋃∞ 𝑛=0 𝐺𝑛 2. ∑∞ 𝑛=0 𝜇(𝐺𝑛)< 𝜖0 donde 𝜖𝑛=𝜖 22(𝑛+1) y los 𝐺𝑛son intervalos abiertos. Como ℚes denso en ℝ, podemos tomar los intervalos con extremos racionales. Al ser ∑∞ 𝑛=0 𝜇(𝐺𝑛)convergente, existe 𝑁∈𝜔tal que para todo 𝑛1≥𝑁se tiene que: ∑∞ 𝑛=𝑛1𝜇(𝐺𝑛)< 𝜖1 Aplicando esto sucesivamente, obtenemos una sucesión 0 = 𝑛0< 𝑛1< ... < 𝑛𝑘< ... tal que: ∑∞ 𝑛=𝑛𝑘𝜇(𝐺𝑛)< 𝜖𝑘 50 el axioma de determinación Si tomamos 𝐻𝑚=⋃𝑛𝑚+1 𝑛=𝑛𝑚𝐺𝑛, que cumple que 𝐻𝑚∈𝐾𝑚para todo 𝑚∈𝜔y, obtenemos el resultado. Una vez visto el juego de los cubrimientos, vamos a enunciar y a demostrar un lema que será fundamental para alcanzar nuestro objetivo. Lema 5.2.Supongamos cierto AD. Sea 𝑆 ⊆ ℝtal que todo medible 𝑍 ⊆ 𝑆 tiene medida nula. Entonces, 𝑆tiene medida nula. Demostración. Sea 𝑆 ⊆ ℝun conjunto que cumple la propiedad del enunciado. Gracias a la proposición 4.3 y a que lo que realicemos en un cierto intervalo podemos llevarlo a otro mediante una traslación, podemos restringirnos al [0,1]. Así que, sea 𝑆 ⊆ [0,1], veamos que 𝜇(𝑆)∗< 𝜖 para todo 𝜖 > 0. Para ello, nos apoyamos en la siguiente afirmación: El Jugador I no tiene una estrategia ganadora en el juego de los cubrimientos. Demostración. En efecto, supongamos que I si tiene una estrategia ganadora 𝜎. Sea 𝑓∶𝜔𝜔←→ ℝla función que a cada 𝑏=⟨𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, ...⟩∈𝜔𝜔le asigna el número real 𝑎=𝑓(𝑏)tal que ⟨𝑎0, 𝑏0, 𝑎1, 𝑏1, ...⟩=𝜎∗𝑏y𝑎=∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 2𝑛+1 , tenemos que probar que 𝑓 es continua. Sea 𝑓=ℎ◦𝑔siendo ℎ∶𝜔𝜔←→ ℝla función dada por ℎ(⟨𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, ...⟩) = 𝑎y siendo 𝑔∶𝜔𝜔←→ 𝜔𝜔la función dada por 𝑔(𝑏) = ⟨𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, ...⟩. Esta función está bien definida ya que al jugar I con ceros y unos, se tiene que 𝑎 < ∞. Como la serie ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 2𝑛+1 es covergente, dado 𝜖 > 0, existe 𝑁∈𝜔tal que para todo 𝑚′≥𝑁se tiene que ∑∞ 𝑛=𝑚′ 𝑎𝑛 2𝑛+1 <𝜖 2. Para probar que 𝑓es continua bastará probar que ℎy𝑔lo son. Ahora bien, la continuidad de 𝑔puede probarse razonando como en las pruebas de continuidad dadas en las demostraciones de los teoremas 5.1 o 5.3. Para ello basta tener en cuenta que dadas 𝑡1, 𝑡2∈𝜔<𝜔 se tiene 𝑡1⊲ 𝑡2⇐⇒ 𝑔(𝑡1)⊲ 𝑔(𝑡2) Por otro lado, si 𝑠∈𝜔<𝜔 con |𝑠|=𝑁entonces, para todo 𝑎, 𝑎′∈𝑂(𝑠), se tiene que 5. determinación y propiedades de regularidad 51 |ℎ(𝑎) − ℎ(𝑎′)|≤∑∞ 𝑗=𝑁 1 2𝑗+1 Por tanto, dado que ∑1 2𝑛+1 es una serie convergente, tomando 𝑁suficientemente grande podemos hacer el valor |ℎ(𝑎)−ℎ(𝑎′)|tan pequeño como queramos. Esto basta para probar la continuidad de ℎ. Por tanto 𝑓es continua. Como 𝑓es continua, el conjunto 𝑍=𝑓(𝜔𝜔)es analítico, pues es imagen de una función continua de 𝜔𝜔en ℝ. Como es analítico, también es medible y además al ser 𝜎una estrategia ganadora para I, se tiene 𝑍 ⊆ 𝑆 y, por tanto, 𝑍tiene medida nula. Por el lema 5.1, podemos cubrir 𝑍mediante la unión 𝐻𝑛=⋃∞ 𝑛=0 𝐺𝑛con 𝐻𝑛∈𝐾𝑛 para todo 𝑛∈𝜔, luego si el Jugador II juega con ⟨𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, ...⟩donde 𝐺𝑛 𝑏𝑛=𝐻𝑛y I juega según 𝜎, entonces II gana, lo que contradice que 𝜎sea una estrategia ganadora. Entonces, como suponemos cierto AD, el juego de los cubrimientos está determinado y, por tanto, el Jugador II debe tener una estrategia ganadora. Sea 𝜏una estrategia ganadora para II, para cada sucesión finita 𝑠=⟨𝑎0, ..., 𝑎𝑛⟩de ceros y unos, sea 𝐺𝑠∈𝐾𝑛 el conjunto 𝐺𝑛 𝑏𝑛, donde ⟨𝑏0, ..., 𝑏𝑛⟩son los movimientos que el Jugador II juega según 𝜏como respuesta a 𝑎0, ..., 𝑎𝑛. Como 𝜏es una estrategia ganadora, todo 𝑎∈𝑆está en el conjunto ⋃{𝐺𝑠∶𝑠⊂𝑎}y por tanto: 𝑆 ⊆ ⋃{𝐺𝑠∶𝑠∈ {0,1}𝜔} = ⋃∞ 𝑛=1 ⋃𝑠∈{0,1}𝑛𝐺𝑠 Ahora para todo 𝑛≥1, si 𝑠∈ {0,1}𝑛, entonces 𝜇(𝐺𝑠)≤𝜖 22(𝑛+1) ≤𝜖 22𝑛, luego por la subaditividad de la medida 𝜇∗(𝑆)≤𝜇(⋃∞ 𝑛=1 ⋃𝑠∈{0,1}𝑛𝐺𝑠)≤∑∞ 𝑛=1 𝜇(⋃𝑠∈{0,1}𝑛𝐺𝑠)≤∑∞ 𝑛=1 𝜖 2𝑛= 𝜖 2 1− 1 2 =𝜖. Como 𝜖 > 0es arbitrario, entonces 𝜇∗(𝑆)=0y, por tanto, 𝑆es de medida nula. Teorema 5.5. Supongamos cierto AD. Entonces todo conjunto de números reales es medible Lebesgue. Demostración. Sea 𝑋 ⊆ ℝy sea 𝐴 ⊇ 𝑋 un conjunto medible con la propiedad de que todo medible 𝑍 ⊆ 𝐴 ⧵𝑋(posible por las proposiciones 4.4 y 4.5). Entonces el lema anterior nos segura que 𝐴⧵𝑋tiene medida nula, luego es medible y, por tanto, su complementario