Similaridad y evolución en la rítmica del flamenco: una incursión de la matemática computacional

“Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 490 — #2 490 LACOLUMNA DE MATEM ´ ATICA COMPUTACIONAL Similaridad y evoluci´on en la r´ıtmica del flamenco: una incursi´on de la matem´atica computacional por Jos´e-Miguel D´ıaz-B´a˜nez, Giovanna Farigu, Francisco G´omez, David Rappaport y Godfried T. Toussaint 1.INTRODUCCI ´ ON La Teor´ıa de la M´usica y las Matem´aticas se han encontrado en multitud de ocasiones a lo largo del desarrollo de ambas y, m´as recientemente en los aspectos computacionales de ambos campos. No en vano existen revistas especializadas de esta ´area tales como Computers and the Humanities,Computing in Musicology oComputers in Music Research. En este trabajo presentamos una conexi´on entre conceptos y herramientas de tales ´areas de investigaci´on donde la geometr´ıa juega un papel importante. Como ejemplos de esta interrelaci´on de estos campos podemos citar los trabajos [33, 8, 29], entre otros. El concepto de ritmo siempre ha sido de gran atractivo para los matem´aticos, quiz´as porque una de las funciones b´asicas del ritmo es la de crear estructura y, como tal, susceptible de estudio por las matem´aticas. Sin embargo, el concepto de ritmo es rico y polis´emico y sus usos y significados cambian mucho con el contexto. Unas veces se confunde con velocidad, otras se asocia a metro musical o comp´as, en ocasiones lo hallamos como sin´onimo de regularidad en la ejecuci´on musical. Dado que este trabajo versa sobre la r´ıtmica del flamenco, y con el fin de ser precisos, vamos a concretar el significado del concepto de ritmo. Hay dos significados que podemos asignar a la palabra ritmo [30, 38, 39, 43]. En el primero, el concepto de ritmo se entiende contrapuesto a los conceptos de altura de sonido (tanto en la melod´ıa u horizontalmente como en la armon´ıa o verticalmente) y de timbre (color del sonido). As´ıenestesentido, podr´ıamos hablar del ritmo en La Consagraci´on de la Primavera,de Igor Stravinsky. En el segundo, m´as espec´ıfico y restringido, ritmo se refiere aunpatr´on de ataques2, producibles por cualquier medio ac´ustico, los cuales pueden estar o no sujetos a un metro o asociados a una velocidad particular [38]. Con este sentido podr´ıamos hablar del ritmo de las palmas en la sole´a o igualmente del ritmo arm´onico de un preludio para piano de Chopin (por ejemplo, el preludio opus 28, no4). En la tradici´on musical de Europa occidental, metro musical o comp´as est´amuy´ıntimamente relacionado con ritmo y, de hecho, es conceptualmente anterior. Seg´un [38] de nuevo, la materia prima r´ıtmica es concebida como un flujo inacabable de pulsos igualmente espaciados y no acentuados. El metro 2Pi´ensese como el momento en que se produce la nota, sea cual sea su naturaleza. “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 491 — #3 LAGACETA 491 musical o comp´as, entonces, se define como la organizaci´on de esos pulsos por medio de acentos distribuidos regularmente. La mayor parte de la m´usica tonal occidental se caracteriza por la recurrencia regular de tales patrones. Hay que destacar que en el vocabulario flamenco el t´ermino comp´as tiene varios significados distintos del anteriormente definido. Normalmente, comp´as es una secuencia r´ıtmica que incluye tambi´en elementos arm´onicos y formales propios de cada estilo. V´ease [19] para la definici´on de t´erminos musicales en el flamenco. Con el fin de evitar confusiones, nosotros usaremos la palabra ritmo en su sentido general, patr´on r´ıtmico para su sentido espec´ıfico y comp´as como sin´onimo de metro musical. Muchos estilos musicales se caracterizan por la presencia de ciertos patrones r´ıtmicos que se repiten a lo largo de la pieza y que tienen muchas funciones tales como ser estabilizadores r´ıtmicos, marcar el fraseo (por ejemplo, en buena parte de la m´usica afrocubana), definir el car´acter (tenemos un ejemplo en el tercer movimiento de la sonata para piano de Chopin, opus 35), definir el g´enero (en la siciliana, la chacona, la tarantela y otras), etc. Ejemplos de tales patrones r´ıtmicos, llamados claves en la tradici´on africana y otras, abundan en estilos musicales tan dispares como el son cubano, el gahu de Ghana o el fandango del flamenco. Muchas preguntas surgen en torno a estos patrones r´ıtmicos que funcionan como elementos estructurantes (de ah´ı, como se˜nalamos, su atractivo matem´atico): ¿qu´e caracter´ısticas tienen esos patrones r´ıtmicos para determinar ciertos estilos musicales?, ¿qu´e similaridad podemos encontrar entre esos patrones r´ıtmicos? Entonces una pregunta previa: ¿qu´e medida de similaridad podemos definir entre patrones r´ıtmicos? ¿Puede ser una medida en el sentido matem´atico? Muchas de estas preguntas han encontrado respuestas en los trabajos de diversos autores. Para las claves binarias y ternarias de g´eneros musicales pertenecientes a las tradiciones africanas, afrocubanas y brasile˜nas hay resultados en [45, 46]; para la m´usica flamenca se puede consultar [13, 14]; para la preferencia r´ıtmica y otros problemas, v´ease [8,9,47,48,49]. Nosotros vamos a ocuparnos aqu´ıdeuntipodem´usica que no s´olo se ha creado y desarrollado en Espa˜na, sino que actualmente tiene un reconocimiento e impacto internacional desde el punto de vista acad´emico y cultural que se le hab´ıa negado injustamente a lo largo de la historia. La investigaci´on del flamenco empieza a finales del siglo XIX con los estudios de Machado y ´ Alvarez Dem´ofilo [32], que representan un intento de conocimiento y reconocimiento del flamenco que tuvo un eco relativo, pues el flamenco no se consideraba objeto de estudio cient´ıfico. En las primeras d´ecadas del siglo XX, aparecen una serie de autores (Blas Infante, Cansino Assens y otros), que intentan de nuevo un estudio serio del flamenco. El trabajo de estos autores tuvo continuaci´on en la obra de los autores de la d´ecada de los 60 y posteriores [6, 21, 34, 42]. Las obras de este periodo son meritorias y aportan un trabajo b´ asico: se recogen letras y m´usicas, se transcriben partituras, se hace inventario de int´erpretes, se formulan interpretaciones hist´oricas del origen y la evoluci´on del flamenco, etc. Sin embargo, como se˜nala la flamenc´ologa Cristina Cruces [12] “pecaron de “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 492 — #4 492 LACOLUMNA DE MATEM ´ ATICA COMPUTACIONAL una ret´orica pseudo-cultista y de un cierto esencialismo”. En efecto, muchos de esos estudios no resultan demasiado rigurosos a la luz de los actuales m´etodos de investigaci´on, mucho m´as interdisciplinares y objetivos. V´ease [10] para un acercamiento al problema de la bibliograf´ıa en el flamenco. Es a partir de los a˜nos 80 cuando se empiezan a publicar estudios m´as rigurosos sobre el flamenco (por citar unos pocos, y sin ´animo de ser exhaustivos, y ci˜n´endonos al aspecto musical principalmente, se pueden ver [11, 12, 20, 26, 28, 31, 18, 19, 36, 40, 41, 44]). Queda a´un mucho por hacer, pues “los trabajos musicol´ogicos sobre el flamenco, escasos y dispersos, presentan todav´ıa un car´acter inacabado sobre el que conviene una reflexi´on urgente” [12]. La idea de este estudio consiste en construir un an´alisis que refleje ciertas relaciones entre los estilos flamencos. Indudablemente, hay muchos aspectos en que dichas relaciones pod´ıan basarse, dada la riqueza estil´ıstica del flamenco. Nosotros nos hemos centrado en el ritmo porque, entre los muchos factores musicales que constituyen el flamenco, sin duda, es de los m´as sobresalientes. Una manera sencilla de llevar a cabo este an´alisis ser´ıa la de desnudar la m´usica flamenca de letra, armon´ıa y melod´ıa y dejar s´olo el ritmo (en su sentido general) como ´unico elemento. Esta simplificaci´on no se basa s´olo en la sencillez de an´alisis, sino que tambi´en es consecuencia de las dificultades para formalizar la armon´ıa y sobre todo la melod´ıa. Adem´as, es l´ogico pensar en el ritmo a la hora de simplificar el estilo por el papel de estabilizadores r´ıtmicos que desempe˜nan los patrones r´ıtmicosenlosdistintoscantesflamencos.Apoy´andonos en esta idea, hemos realizado un estudio de los patrones r´ıtmicos ternarios de palmas del flamenco. Este estudio est´a inspirado en el an´alisis filogen´etico que se usa habitualmente en Biolog´ıa. Ese an´alisis requiere la existencia de una distancia, que est´a definida sobre el material gen´etico. Normalmente, la distancia consiste en medir cu´an diferentes son dos materiales gen´eticos dados. La distancia da lugar a su vez a una matriz de distancias. A partir de ´esta, y gracias a t´ecnicas de Bioinform´atica [15, 27], se reconstruye un ´arbol que refleja las relaciones evolutivas entre especies. Nosotros sustituiremos el c´odigo gen´etico por ritmos y, en primer lugar, definiremos una distancia entre patrones r´ıtmicos. Existen varias distancias que se pueden usar para medir cu´an lejos se encuentran dos patrones r´ıtmicos. En otros contextos, en Fon´etica [22, 23] o M´usica [25, 50] por nombrar dos, aparecen varios ejemplos. Nosotros hemos usado dos distancias, la cronot´onica y la de permutaci´on dirigida, que captan adecuadamente la idea de lejan´ıa entre patrones r´ıtmicos. Por ´ ultimo, aplicando las herramientas adecuadas obtenemos el ´arbol filogen´etico para los patrones r´ıtmicos del flamenco. En [13] y [14] se puede consultar una versi´on m´as t´ecnica que la aqu´ı se expone. Uno de los objetivos de este trabajo es, por una parte, proporcionar al music´ologo flamenco herramientas de an´alisis, en este caso, del ritmo; y por otro, a partir de las conclusiones que surjan, sugerirle ideas sobre cuestiones musicol´ogicas tan actuales como el estudio sobre las relaciones entre los diferentes estilos, origen y procedencia de los estilos, contraste los existentes ´arboles geneal´ogicos del cante flamenco, determinaci´on de posibles propiedades de “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 493 — #5 LAGACETA 493 preferencia de estilos, b´usqueda de posibles estilos ancestrales, influencias de m´usicas externas a Andaluc´ıa, etc. 2.ALGUNAS NOCIONES SOBRE LOS RITMOS FLAMENCOS Si existe una clara se˜na de identidad del flamenco con respecto a otras m´usicas, ´esta es la ejecuci´on de los ritmos con palmas, donde el patr´on r´ıtmico subyacente se manifiesta a trav´es de palmas acentuadas. El g´enero flamenco tiene unas caracter´ısticas estil´ısticas, entre las que resaltan los patrones r´ıtmicos de palmas. El flamenco usa predominantemente compases ternarios de 12/8, esto es, compases de 12 pulsos agrupados en grupos de tres. En principio, se tocan las 12 palmas que marca el comp´as de 12/8 y el patr´on r´ıtmico emerge acentuando unas cuantas. En el fandango, por ejemplo, se da un acento (palmada fuerte) seguido de dos silencios (palmada d´ebil) cuatro veces seguidas. Puede verse aqu´ı, a la luz de las definiciones dadas en la introducci´on, la ´ıntima relaci´on que hay en la m´usica flamenca entre patr´on r´ıtmico (ritmo en su sentido restringido) y comp´as.Dehecho,eshabitualenelmundo flamenco hablar de “comp´as” en lugar de patr´on r´ıtmico. Adem´as de este patr´on, que podemos llamar peri´odico, existen otros aperi´odicos, llamados de amalgama. Estos patrones r´ıtmicos se pueden pensar como una combinaci´on de un comp´as de 3/4 (compuesto por dos acentos fuertes con dos acentos d´ebiles intercalados) y un comp´as de 6/8 (compuesto por tres acentos fuertes con un acento d´ebil intercalado). Claro es entonces que el juego r´ıtmico reside en la distribuci´on de los acentos y buena parte del atractivo del flamenco descansa en esa distribuci´on. Patrones r´ıtmicos de amalgama son los utilizados en las soleares,lasbuler´ıas,lasalegr´ıas,lasseguiriyas olasguajiras.Manuales did´acticos recientes donde pueden consultarse una clasificaci´on de los estilos flamencos en base al patr´on r´ıtmico de palmas son [19, 20] y [36]. Existen estilos flamencos que usan compases binarios de 2/4 o 4/4 (palmadas fuertes cada dos o cada cuatro tiempos). Estos incluyen el tango flamenco y sus variantes, tales como la rumba y otros. Todos esos estilos binarios del flamenco usan un mismo patr´on r´ıtmico, a saber, [1 234] donde los acentos aparecen en letra negrita [20]. Aqu´ısehaceunan´alisis comparativo s´olo sobre los ritmos en comp´as ternario (v´ease la figura 1). Los patrones r´ıtmicos ternarios tienen m´as variedad y riqueza que los binarios. Adem´as, estamos interesados en la filogenia de estos estilos y es l´ogico estudiar los ternarios solos. Por ´ultimo, hay autores [37] que llegan a afirmar que los patrones binarios proceden todos de Hispanoam´erica y, por tanto, no podr´ıan ofrecer informaci´on sobre la evoluci´on de los estilos flamencos anteriores a su incorporaci´on. A continuaci´on detallamos los patrones r´ıtmicos ternarios del flamenco y alguna de sus posibles notaciones o representaciones. La notaci´on que habitualmente se usa en la did´actica del flamenco es num´erica, resaltando los lugares donde se produce un acento (v´ease la figura 2). Cada patr´on r´ıtmico ha sido etiquetado por un estilo de cante que lo usa. Esto no significa ni mucho menos “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 494 — #6 494 LACOLUMNA DE MATEM ´ ATICA COMPUTACIONAL Fandango Soleá Bulería Guajira Seguiriya Figura 1: Cinco patrones r´ıtmicos ternarios en comp´as de 12/8. [12345678910 11 12] −fandango [1 2 345678910 11 12]−sole´a [1 2 345678910 11 12]−buler´ıa [1234567891011 12] −seguiriya [12345678910 11 12] −guajira Figura 2: Notaci´on de los patrones r´ıtmicos ternarios del flamenco. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 Guajira 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 Bulería 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 Seguiriya 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 Soleá 3 Figura 3: Los cuatro compases aperi´odicos ternarios del flamenco. “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 495 — #7 LAGACETA 495 que cada patr´on r´ıtmico sea exclusivo de ese cante. Por ejemplo, el patr´on del fandango es el de las sevillanas; el de la sole´ase usa tambi´en para las buler´ıas oalegr´ıas; el de la buler´ıa para las buler´ıas por sole´a; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras. La representaci´on num´erica anterior no resulta ´util para contabilizar diferencias ni visualizar ciertas propiedades geom´etricas en las que estamos interesados. Proponemos aqu´ı dos notaciones m´as ilustrativas como aparecen en las figuras 1 y 3. La figura 1 presenta la notaci´on binaria donde los espacios negros-blancos se identifican con unos-ceros. En la representaci´on como pol´ıgonos convexos de la figura 3, el “0” marca la posici´on en el tiempo en la cual comienza el patr´on r´ıtmico y los v´ertices indican d´onde est´an los acentos. Existen otras notaciones como la cronot´onica [23], la de histogramas [23] o la ar´abica [51] (por sectores). 3.MEDIDAS DE SIMILARIDAD RITM´ ICA Como advertimos en la introducci´on, para construir ´arboles filogen´eticos es necesario contar con una distancia que mida la similaridad r´ıtmica. La distancia deber´ıa comportarse de modo que cuanto mayor sea la distancia entre los patrones r´ıtmicos, menor sea la similaridad r´ıtmica. Existen ya en la bibliograf´ıa varias distancias definidas entre patrones r´ıtmicos. De hecho, este problema est´a relacionado con problemas de aproximaci´on de patrones en la teor´ıa de reconocimiento de formas [16]. Nosotros usaremos dos distancias que han demostrado funcionar bien en otros estudios sobre el ritmo: la distancia de cronot´onica y la distancia de permutaci´on dirigida. La idoneidad de una distancia u otra para el estudio de ritmos es un tema actual de investigaci´on (en [48] se puede consultar un gran n´umero de referencias sobre esta cuesti´on). 3.1LA DISTANCIA CRONOT ´ ONICA La idea de Gustafson (propuesta por primera vez en 1983) se explica mejor con un ejemplo. Consideremos el ritmo de la seguiriya, dado por [1234567891011 12]. En esta representaci´on, las duraciones relativas de los intervalos de tiempo no se pueden observar f´acilmente. En una visualizaci´on de ritmos v´ıa histogramas los sucesos importantes, tales como el comienzo, el final y el ataque de las notas, se dibujan a lo largo del eje y[23], lo que da como resultado el espectro de intervalos adyacentes del ritmo. En dicha representaci´on la longitud relativa de los intervalos es claramente visible, pero se pierde la informaci´on temporal a lo largo del eje x. Para obtener una representaci´on gr´afica que posea las ventajas de ambos m´etodos, Gustafson usa el tiempo en ambas dimensiones. El resultado de esa uni´on se ilustra en la figura 4, que muestra los cinco patrones r´ıtmicos del flamenco en notaci´on cronot´onica. Cada elemento temporal “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 496 — #8 496 LACOLUMNA DE MATEM ´ ATICA COMPUTACIONAL entre sucesos (intervalos) es ahora una caja y ambos ejes xeyrepresentan la longitud temporal del intervalo. Gustafson se refiere a esta representaci´on como elementos temporales representados por cuadrados, o m´as brevemente TEDAS (Temporal Elements Displayed AsSquares, en las siglas inglesas). Las uniones de los cuadrados representadas en la figura 4 se pueden ver como funciones rectil´ıneas mon´otonas del tiempo. 01234567891011 12 Fandango 01234567891011 12 Soleá 01234567891011 12 Bulería 01234567891011 12 Seguiriya 01234567891011 12 Guajira Figura 4: Representaci´on cronot´onica de los cinco ritmos flamencos. Dada la representaci´on cronot´onica de dos ritmos, hay un gran n´umero de formas de medir la disimilaridad. En [48] la disimilaridad se mide por el ´area que queda entre ambas funciones. Utilizaremos esa medida aqu´ıynos referiremos a ella por el nombre dado en [48]. La matriz de distancias obtenida con esa distancia se muestra en la figura 5. “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 497 — #9 LAGACETA 497 Soleá Bulería Seguiriya Guajira Fandango Matriz de Distancias Cronotónicas 6 Soleá Bulería Seguiriya Guajira Fandango 14 12 8 8 8410 6 Σ 0 0 0 06 28 34 26 36 40 Figura 5: Matriz de la distancia cronot´onica de los cinco ritmos. 3.2LA DISTANCIA DE PERMUTACI ´ ON DIRIGIDA Dadas dos secuencias binarias, patrones r´ıtmicos en nuestro caso, la distancia de Hamming [24] se define simplemente como el n´umero de espacios en los que no coincide el acento. De esta forma, si tenemos un patr´on r´ıtmico representado por un vector n-dimensional X=(x1,x 2,... ,x n) donde xi=1 si el golpe es fuerte y xi= 0 si el golpe es d´ebil, la distancia de Hamming entre dos secuencias XeYse define como: dH(X,Y )= n  i=1 |xi−yi| donde Y=(y1,y 2,... ,y n). Esta distancia se puede calcular f´acilmente en tiempo O(n), aunque no resulta interesante para nuestro objetivo, puesto que puede modificarse sustancialmente un patr´on r´ıtmico y la distancia puede no variar. Con objeto de cubrir esa deficiencia de la distancia de Hamming, se han propuesto muchas variaciones y generalizaciones. A modo de ejemplo, proponemos al lector la distancia de Hamming borrosa [4]. La distancia de Hamming borrosa entre dos secuencias binarias n-dimensionales contempla desplazamientos, inserciones y borrados y se puede calcular usando programaci´on din´amica en tiempo O(n2). Sin embargo, hablaremos aqu´ı de una distancia de similaridad que lleva consigo un concepto muy simple, la permutaci´on. Una permutaci´on es un intercambio de un ‘uno’ y un ‘cero’ que son adyacentes en una cadena binaria. Intercambiar la posici´on de elementos en cadenas de n´umeros es una “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 498 — #10 498 LACOLUMNA DE MATEM ´ ATICA COMPUTACIONAL operaci´on fundamental en los algoritmos de ordenaci´on [5]. Sin embargo, en la bibliograf´ıa de ordenaci´on, una permutaci´on puede ser un intercambio entre elementos no adyacentes. Cuando se requiere que los elementos sean adyacentes, la permutaci´on se llama mini-permutaci´on o permutaci´on primitiva [2]. Aqu´ı llamaremos simplemente permutaci´on al intercambio de dos elementos adyacentes. La distancia de permutaci´on entre dos patrones r´ıtmicos se define como el m´ınimo n´umero de permutaciones que se necesitan para convertir un patr´on r´ıtmico en otro. Por ejemplo, el patr´on X=[101011010101]puede convertirse en el patr´on Y=[101101101010]conunm´ınimo de cuatro permutaciones, a saber, intercambiando la tercera, la quinta, la sexta ylas´eptima posici´on con los correspondientes silencios que van detr´as de ellos. La distancia de permutaci´on se puede ver como una versi´on simplificada de la distancia de Hamming borrosa de [4] que resulta cuando s´olo se consideran desplazamientos cuyo coste es la longitud de dicho desplazamiento. Esta medida parece m´as apropiada para un an´alisis de similaridad entre vectores binarios que la distancia de Hamming o la distancia eucl´ıdea [48]. Desde el punto de vista musical es razonable usar esta distancia. El o´ıdo humano considera como pr´oximos dos patrones r´ıtmicos si el n´umero de cambios entre acentos es peque˜no y si tales cambios ocurren entre acentos adyacentes. Adem´as, es interesante observar que, el comp´as buler´ıa resulta precisamente de la permutaci´on de un uno yuncero en el comp´as sole´a.Unejemplodeesta distancia aplicada a patrones r´ıtmicos del flamenco se ilustra en la figura 6. Ciertos autores [20, 36] sugieren que ´esa es la evoluci´on natural entre ambos patrones r´ıtmicos. Figura 6: Distancia de permutaci´on entre seguiriya y guajira: dP(seguir, guaj)=4. “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 505 — #17 LAGACETA 505 la influencia que han ejercido los otros estilos en dicho patr´on r´ıtmico? La guajira, como es sabido, es un estilo flamenco de los llamados de ida y vuelta, esto es, que fueron llevados a Sudam´erica y, tras una remodelaci´on seg´un los gustos de los m´usicos sudamericanos, fueron posteriormente incorporados a la m´usica flamenca. ¿Est´a probada musicalmente dicha influencia en los aspectos r´ıtmicos que aqu´ı tratamos? ¿Hasta qu´e punto? Remitimos al lector interesado en m´as informaci´on a los trabajos recientes [35, 17]. Teniendo en cuenta la ‘reciente’ incorporaci´on de la guajira, y fij´andonos en el ´arbol filogen´etico generado por la distancia de permutaci´on dirigida, cabe pensar que el fandango es el m´as primitivo, dado que es el otro patr´on r´ıtmico que se encuentra en el centro. ¿Hay hechos musicol´ogicos que confirman esta teor´ıa, por otra parte, cada vez m´as extendida dentro del mundo del flamenco? Por ejemplo, en todas las provincias andaluzas se encuentra una modalidad evolucionada del fandango. Nos estamos refiriendo a los estilos de malague˜nas, grana´ınas otarantas etc. Sin ir m´as lejos, leemos, entre otros, en [20] que “el fandango es la fuente de todos los patrones flamencos”. Un nuevo aspecto que volver´ıa a indicar la importancia geneal´ogica del fandango es la reconstrucci´on de los patrones r´ıtmicos ancestrales citados en la construcci´on de los grafos con la herramienta SplitsTree yqueall´ıaparecen sin etiqueta. Haciendo uso de la distancia de permutaci´on dirigida, se puede obtener un hipot´etico patr´on ancestral que se encuentra justo en el centro del ´arbol. Actualmente, es un problema abierto el dise˜no de algoritmos eficientes que reconstruyan los nodos ancestrales. En ocasiones, puede hacerse el c´alculo a mano. Para el caso de patrones r´ıtmicos flamencos con la distancia de permutaci´on dirigida, la representaci´on r´ıtmica obtenida es [100100100110],quedehecho,seusaenelflamencocomoterminaci´on ocoletilla para los fandangos de Huelva [31]. Por otra parte, si eliminamos la guajira de nuestro estudio, estilo que hemos dicho parece ser posterior a los dem´as en el flamenco, el fandango yla sole´ason los nodos que juegan un papel central en el an´alisis filogen´etico (con respecto a la distancia de permutaci´on dirigida). ¿Sugerir´ ıa esto que adem´as del fandango aparece la sole´acomo patr´on r´ıtmico primitivo? ¿Se entender´ıa entonces que, de estos patrones primitivos y, tras un proceso evolutivo, fueron apareciendo los dem´as? Un hecho que respaldar´ıa esta hip´otesis puede encontrarse en el reciente uso del patr´on r´ıtmico aqu´ı llamado buler´ıa,yque proviene de la sole´asin m´as que permutar un acento con un silencio. Por su parte, ya existen teor´ıas que indican que la seguiriya es un estilo incorporado al flamenco a finales del siglo XIX y principios del XX [28]. Finalmente, aventuraremos algunas hip´otesis sobre las medidas de preferencia en el flamenco. Es conocida la inclinaci´on de los flamencos llamados “puristas” por los estilos que usan el patr´on de la sole´a. ¿Podr´ıa residir la explicaci´on de este hecho en su alto ´ındice de contratiempo? Por otro lado, tambi´en es conocida la popularidad que goza la buler´ıa entre el p´ublico flamenco en general. ¿Constituye la propiedad de la asimetr´ıa r´ıtmica una posible explicaci´on de ese hecho? “Computacion82” — 2005/6/29 — 15:28 — page 506 — #18 506 LACOLUMNA DE MATEM ´ ATICA COMPUTACIONAL AGRADECIMIENTOS Los resultados de este art´ıculo fueron obtenidos durante el First International Workshop on Computational Music Theory celebrado bajo el auspicio del Departamento de Matem´atica Aplicada de la Escuela Universitaria de Inform´atica (U.P.M.) en junio de 2003. REFERENCIAS [1] S. Arom, African Polyphony and Polyrhythm, Cambridge University Press, England, 1991. [2] T. Biedl, T. Chan, E.D. Demaine, R. Flescher, Golin, J.A. King y I. 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Toussaint School of Computer Science McGill University Correo electr´onico: [email protected]ll.ca