Aplicaciones del desarrollo de Magnus a la Mecánica Cuántica

Universidad de Sevilla Facultad de F ´ ısica Aplicaciones del desarrollo de Magnus a la Mec´anica Cu´antica Trabajo Fin de Grado Grado en F ´ ısica Estudiante: Guillermo Mart´ın Romero Tutor: Jes´us Casado Pascual Junio 2023 Resumen En este trabajo de fin de grado se aborda el estudio de los desarrollos perturbativos de Magnus y de Floquet-Magnus como herramientas para la resoluci´on de problemas de evoluci´on temporal en la Mec´anica Cu´antica. Estos procedimientos son ampliamente utilizados en diversos campos de la F´ısica Cu´antica, como la teor´ıa de sistemas cu´anticos abiertos y la F´ısica de la Materia Condensada. El primero que se muestra es el desarrollo perturbativo de Magnus. Con ´el, se presenta una descripci´on sistem´atica de la evoluci´on temporal y puede ser utilizada para calcular soluciones aproximadas en situaciones donde los m´etodos convencionales no son aplicables o en casos donde su acci´on complica la resoluci´on de manera considerable. Por otro lado, el desarrollo de Floquet-Magnus se enfoca en la evoluci´on de sistemas cu´anticos sujetos a campos externos peri´odicos. El desarrollo de Floquet-Magnus es especialmente ´util para describir sistemas cu´anticos sometidos a campos electromagn´eticos oscilantes, como sistemas de ´atomos y mol´eculas bajo la influencia de campos l´aser. En este trabajo, se revisan los fundamentos te´oricos de ambas t´ecnicas y se exploran sus aplicaciones en la resoluci´on de problemas de evoluci´on temporal en Mec´anica Cu´antica. Se presentan ejemplos concretos de su uso, mostr´andose adem´as las ventajas y limitaciones de cada una de estas alternativas. Estas t´ecnicas ofrecen enfoques prometedores y poderosos para abordar diversos problemas en F´ısica Cu´antica y representan ´areas de inter´es activo para la investigaci´on en el campo de la F´ısica Te´orica. i Abstract This undergraduate thesis focuses on the study of the Magnus and the Floquet-Magnus perturbative expansions techniques for solving time evolution problems in Quantum Mechanics. These techniques are widely used in various fields of Quantum Physics, such as the theory of open Quantum Systems and Condensed Matter Physics. The first one that is shown is the Magnus perturbative expansion. With it, a systematic description of temporal evolution is presented and can be used to calculate approximate solutions in situations where conventional methods are not applicable or in cases where their action significantly complicates the resolution. On the other hand, the Floquet-Magnus expansion focuses on the evolution of quantum systems subjected to a periodic external field. This method, based on Floquet theory, provides a simplified and efficient description of the temporal evolution of periodic systems. The Floquet-Magnus expansion is particularly useful for describing quantum systems subjected to oscillating electromagnetic fields, such as atoms and molecules under the influence of laser field. In this thesis, the theoretical foundations of both methods are reviewed, and their applications in solving time evolution problems in Quantum Mechanics are exposed. Concrete examples of their use in specific situations are presented so that we can compare the advantages and limitations of these techniques. These techniques offer promising and powerful approaches to address various problems in quantum physics and represent actively researched areas in the field of Theoretical Physics. ii 0. ´ Indice general ´ Indice general Resumen I Abstract II ´ Indice general III 1 Introducci´on 1 2 Desarrollo de Magnus 3 2.1 Motivaci´on .................................... 3 2.2 Notaci´on ..................................... 4 2.3 Teorema de Magnus ............................... 6 2.4 T´erminos del Desarrollo ............................ 10 3 Floquet-Magnus 15 3.1 Teor´ıa de Floquet ................................ 15 3.2 Desarrollo de Floquet-Magnus ......................... 19 3.3 T´erminos del desarrollo ............................. 21 4 Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica 24 4.1 Modelo I. Modelo peri´odico. .......................... 24 4.1.1 Desarrollo de Magnus .......................... 25 4.1.2 Desarrollo de Floquet-Magnus ..................... 27 4.1.3 Resultados ................................ 29 4.2 Modelo II. Hamiltoniano por partes. ..................... 32 4.2.1 Desarrollo de Magnus .......................... 33 4.2.2 Resultados ................................ 36 iii 4.3 Transformaci´on del problema. ......................... 38 4.3.1 T´erminos Floquet-Magnus ....................... 38 4.3.2 Transformaci´on del problema. ..................... 42 5 Conclusiones 45 Ap´endice I: Demostraci´on de la ec.(2.14) 46 Ap´endice II: Deducci´on de los t´erminos del desarrollo de Magnus 47 Ap´endice III: C´alculo del t´ermino general del desarrollo de Floquet-Magnus. 49 Bibliograf´ıa 51 iv 1. Introducci´on 1. Introducci´on La evoluci´on temporal de los sistemas cu´anticos cerrados se describe mediante la ecuaci´on i¯hd|Ψ(t)⟩ dt =ˆ H(t)|Ψ(t)⟩,(1.1) donde |Ψ(t)⟩1es el vector estado de un cierto sistema f´ısico en el instante de tiempo t,i es la unidad imaginaria y ¯hes la denominada constante de Planck 2. Por otro lado, ˆ H(t) es el hamiltoniano del sistema en ese mismo instante que, en Mec´anica Cu´antica, es el operador que representa la energ´ıa total de un sistema cu´antico. La ecuaci´on (1.1) es la conocida ecuaci´on de Schr¨odinger, que fue descrita por primera vez por el f´ısico austriaco Erwin Schr¨odinger en 1925 en su art´ıculo [3]. A continuaci´on, introducimos el operador de evoluci´on temporal ˆ U(t, t0) tal que |Ψ(t)⟩=ˆ U(t, t0)|Ψ(t0)⟩.(1.2) Este operador transforma el vector estado del sistema en un instante de tiempo t0en el correspondiente en cualquier otro instante t. De forma an´aloga a la ecuaci´on (1.1), existe una ecuaci´on diferencial que rige el comportamiento del operador de evoluci´on temporal. Se obtiene de forma directa introduciendo la definici´on (1.2) en la ecuaci´on (1.1). Se llega a i¯h∂ˆ U(t, t0) ∂t =ˆ H(t)ˆ U(t, t0).(1.3) Evidentemente, el operador de evoluci´on temporal debe verificar que su actuaci´on entre dos instantes de tiempos id´enticos debe ser dejar invariante el vector estado. Por ello, la condici´on inicial que se debe imponer a (1.3) es |Ψ(t0)⟩=ˆ U(t0, t0)|Ψ(t0)⟩ → ˆ U(t0, t0) = ˆ I, (1.4) 1Se est´a utilizando la notaci´on de Dirac, introducida por el el f´ısico brit´anico Paul Dirac (1902-1984) en 1939 en su art´ıculo [1]. 2Introducida por el f´ısico alem´an Max Planck (1858-1947) en su art´ıculo [2]. 1 1. Introducci´on donde ˆ Idenota al operador identidad en el espacio de Hilbert 3donde trabajemos. Por tanto, resolviendo el problema (1.3) con la condici´on inicial (1.4) quedar´ıa totalmente determinada la evoluci´on de un sistema cu´antico. Este no es un problema sencillo en absoluto y, en general, no existen soluciones anal´ıticas para problemas con un hamiltoniano que dependa de forma arbitraria del tiempo. La soluci´on del problema para un hamiltoniano que sea independiente del tiempo ˆ H es pr´acticamente trivial y quedar´ıa como i¯hdˆ U(t) dt =ˆ Hˆ U(t)→ˆ U(t) = e−i ¯hˆ Ht, donde aqu´ı hemos usado ya la notaci´on que usaremos en la mayor parte del documento que es tomar el origen arbitrario de tiempos t0= 0 y denotar ˆ U(t, 0) ≡ˆ U(t) para simplificar la notaci´on. Los m´etodos perturbativos tradicionales para aproximar la soluci´on de (1.3) presentan el problema de que, al truncar la serie, se pierde la unitariedad del operador evoluci´on ˆ U(t). Sin embargo, mediante el m´etodo de Magnus, para cualquier orden de aproximaci´on se preserva esta propiedad, de la forma que describiremos en las siguientes secciones. Este trabajo se va a centrar, en primer lugar, en utilizar el denominado desarrollo de Magnus 4 en el que se propone una soluci´on tipo exponencial para la ecuaci´on (1.3) y se procede a desarrollar el argumento de la exponencial obteni´endose, en general, mejores resultados. Por otro lado, se va a tratar tambi´en el m´etodo de Floquet-Magnus que es especialmente ´util cuando buscamos una aproximaci´on del operador de evoluci´on temporal en sistemas cu´anticos sometidos a campos externos peri´odicos. Como se ver´a en su secci´on, s´olo necesitaremos obtener la aproximaci´on para un periodo temporal, siendo extendible a cualquier instante de tiempo. Este ´ultimo punto es donde recae principalmente la utilidad y la potencia de este m´etodo. A continuaci´on, introduciremos el desarrollo de Magnus y obtendremos la forma general que presentan los t´erminos de la serie. Asimismo, lo aplicaremos a la resoluci´on de algunos problemas de la Mec´anica Cu´antica comparando la soluci´on anal´ıtica obtenida con la num´erica. 3En resumen es un espacio vectorial completo con producto interno. V´ease el art´ıculo [4] para profundizar m´as acerca de espacios de Hilbert. 4Desarrollado por Wilhelm Magnus (1907-1990), un matem´atico germano-americano, en [5]. 2 2. Desarrollo de Magnus 2. Desarrollo de Magnus 2.1. Motivaci´on Los m´etodos perturbativos tradicionales buscan descomponer, de forma aproximada, el operador de evoluci´on temporal como una suma donde cada t´ermino de orden menor tenga una influencia m´as importante sobre los resultados. Como ya se coment´o en la introducci´on, este tipo de desarrollos presentan un problema notable. El dilema recae en la p´erdida de unitariedad a la hora de truncar la serie. Cuando realizamos un desarrollo perturbativo del operador evoluci´on de la forma ˆ U(t) = ∞ X k=0 ˆ Uk(t), y truncamos la serie en alg´un t´ermino (no podemos trabajar con infinitos t´erminos en la pr´actica por limitaciones t´ecnicas) no tendremos garantizada la unitariedad del operador evoluci´on temporal aproximado. Wilhelm Magnus hizo importantes contribuciones a varios campos de las matem´aticas, principalmente a la teor´ıa de grupos. En este trabajo nos vamos a centrar en su art´ıculo original [5], donde se recoge la, muy posiblemente, mayor aportaci´on cient´ıfica de su carrera. En ´el, propuso otra forma de abordar el problema de encontrar la soluci´on de la ecuaci´on diferencial (1.3) que consist´ıa principalmente en expresarla como ˆ U(t) = eˆ Ω(t).(2.1) Concretamente, buscaremos un desarrollo en serie de ˆ Ω(t), siendo m´as f´acil de garantizar la antihermiticidad de los t´erminos del desarrollo que la unitariedad seg´un m´etodos perturbativos tradicionales. De esta forma, si el operador ˆ Ω(t) es antiherm´ıtico 1se veri- 1Un operador ˆ Aantiherm´ıtico debe verificar que ˆ A†=−ˆ A, donde ˆ A†denota el operador adjunto de ˆ A. 3 2. Desarrollo de Magnus ficar´ıa que el operador evoluci´on ser´ıa unitario ya que ˆ U†(t)·ˆ U(t) = eˆ Ω†(t)eˆ Ω(t)=e−ˆ Ω(t)eˆ Ω(t)=ˆ U(t)·ˆ U†(t) = ˆ I. Uno de los principales retos que plantea esta propuesta de Magnus es encontrar una forma anal´ıtica para el c´alculo de la derivada de una exponencial del tipo (2.1). Motivemos el problema recordando el procedimiento a seguir con funciones no matriciales. En principio, cuando trabajamos con funciones la respuesta a la pregunta acerca del c´alculo de una derivada de una exponencial es trivial y se calcula como def(t) dt =df dtef(t)=ef(t)df dt, siendo funa funci´on derivable definida f:R→C. Sin embargo, esto no se puede aplicar para el caso en el que tenemos en la exponencial un operador ya que, en general, ˆ Ω(t) y su derivada temporal no conmutan. Por lo que habr´ıa que buscar otra forma de encontrar la derivada con respecto al tiempo de la exponencial de un operador con una cierta dependencia temporal. La introducci´on de la propuesta de Magnus supone un esfuerzo matem´atico mayor a priori en la forma que las expresiones matem´aticas que aparecen son m´as complejas que aplicar un m´etodo perturbativo usual. Sin embargo, los resultados que produce junto con la propiedad de conservaci´on de la unitariedad del operador evoluci´on hacen que sea un m´etodo muy usado en la resoluci´on de problemas de este tipo actualmente. 2.2. Notaci´on Todo este tratamiento requiere del uso de una notaci´on que simplifique las expresiones que aparecen. Vamos a introducir algunos operadores y otros conceptos que usaremos en el desarrollo. Definici´on 1. Operador ad ˆ A[·]. Su acci´on sobre un operador cualquiera ˆ Bes la siguiente ad ˆ A[ˆ B] = hˆ A, ˆ Bi,(2.2) donde [·,·]define el conmutador de dos operadores, es decir, hˆ A, ˆ Bi=ˆ Aˆ B−ˆ Bˆ A. Tambi´en se define su acci´on sucesiva del modo ad0 ˆ A[ˆ B] = ˆ B(2.3) adn ˆ A[ˆ B] = hˆ A, adn−1 ˆ A[ˆ B]i,(2.4) 4 2. Desarrollo de Magnus Antes de comenzar vamos a ver f´acilmente que el primer t´ermino de la serie es nulo, es decir, ˆ Ω0= 0. Esto es relativamente sencillo de comprobar si insertamos (2.25)y(2.24) en la ecuaci´on (2.21). Vemos que, en la parte derecha de la ecuaci´on, el hecho de introducir εˆ Λ hace que no existan t´erminos de orden 0 en ε. Por lo que tendremos la ecuaci´on para ˆ Ω0(t) siguiente dˆ Ω0(t) dt = 0,(2.26) donde, usando la condici´on inicial que viene dada en (2.22) se llega a que el t´ermino de orden 0 de ˆ Ω es nulo, ˆ Ω0(t) = ˆ 0,(2.27) por lo que podemos restringir nuestro desarrollo de ˆ Ω a los t´erminos superiores a 0, esto es ˆ Ω(t) = ∞ X k=1 ˆ Ωk(t).(2.28) Pasamos a obtener la expresi´on general de los t´erminos del desarrollo, para ello, procedemos a introducir (2.24)y(2.25) en (2.21). Llegamos a ∞ X k=1 εkdˆ Ωk(t) dt = ∞ X n=0 Bn n!adn ˆ Ω(t;ε)εˆ Λ. Si desarrollamos m´as la expresi´on introduciendo de forma expl´ıcita los conmutadores se obtiene que ∞ X n=0 Bn n!adn ˆ Ω(ˆ Λ) = εˆ Λ + ∞ X n=1 Bn n!"∞ X i1=1 εi1ˆ Ωi1, ..., "∞ X in=1 εinˆ Ωin, εˆ Λ##. Vamos a definir ahora J=Pn j=1 ijy vamos a introducir una delta de Kronecker 5del tipo δJ,Pn j=1 ijde forma que se puede escribir que εPn j=1 ij= ∞ X J=0 εJδJ,Pn j=1 ij= ∞ X J=n εJδJ,Pn j=1 ij, ya que el m´ınimo valor del Jdebe ser nporque los ´ındices ijvar´ıan entre 1 e ∞. Si introducimos este ´ulimo resultado en la expresi´on del desarrollo queda ∞ X k=1 εkdˆ Ωk(t) dt =εˆ Λ + ε ∞ X n=1 Bn n! ∞ X J=n εJδJ,Pn j=1 ij"∞ X i1=1 εi1ˆ Ωi1, ..., "∞ X in=1 εinˆ Ωin,ˆ Λ##. 5Recibe su nombre en honor al matem´atico alem´an Leopold Kronecker quien, en uno de sus art´ıculos principales [8], la defini´o en la forma δij = 0 si i=jyδij = 1 si i=j. 11 2. Desarrollo de Magnus Ahora podemos intercambiar los sumatorios en J y n de la siguiente forma ∞ X k=0 εkdˆ Ωk(t) dt =εˆ Λ + ε ∞ X J=1 εJ J X n=1 Bn n!δJ,Pn j=1 ij"∞ X i1=1 εi1ˆ Ωi1, ..., "∞ X in=1 εinˆ Ωin,ˆ Λ##.(2.29) No perdamos la perspectiva de lo que buscamos con este desarrollo matem´atico planteado. Busc´abamos una ecuaci´on para cada t´ermino del desarrollo (2.23), para ello establecimos una dependencia de cada t´ermino con una potencia de un par´ametro εy fijamos que ˆ Λ era de primer orden en ese par´ametro. Introduciendo esto en la ecuaci´on que cumple ˆ Ω, (2.21), hemos llegado a la expresi´on (2.29). Como las potencias distintas de εson linealmente independientes, para que se cumpla la igualdad se deben verificar igualdades t´ermino a t´ermino. El ´ultimo paso ser´a, por tanto, igualar los t´erminos con igual potencia de ε, lo cual nos lleva a la siguiente regla general que resume todo el desarrollo que hemos realizado dˆ Ωk(t) dt =δk,1ˆ Λ + k−1 X n=0 Bn n!δk−1,Pn j=1 ij"∞ X i1=1 εi1ˆ Ωi1, ..., "∞ X in=1 εinˆ Ωin,ˆ Λ##,(2.30) v´alida para todo k∈N. Esta expresi´on se puede escribir de forma m´as compacta si, en lugar de introducir la delta de Kronecker, a˜nadimos un sumatorio con una condici´on dada, por lo que una alternativa a (2.30) ser´a dˆ Ωk(t) dt =δk,1ˆ Λ + k−1 X n=0 Bn n!X n P j=1 ij=k−1"∞ X i1=1 εi1ˆ Ωi1, ..., "∞ X in=1 εinˆ Ωin,ˆ Λ##,(2.31) donde aqu´ı el sumatorio restringido incluye todas las posibles combinaciones de valores de ijtales que su suma den el valor k−1. Analizando un poco las expresiones (2.30) y (2.31) se llega a que, en general para cualquier t´ermino kdel desarrollo, su derivada se obtendr´a como una suma de combinaciones otros t´erminos i, evidentemente i < k, multiplicados por unos coeficientes que vienen dados por los n´umeros de Bernoulli. Podemos observar adem´as c´omo hemos llegado a lo que dese´abamos al comienzo de la secci´on, encontrar ecuaciones diferenciales cerradas para cada t´ermino del desarrollo que, en principio dependen de t´erminos de ´ordenes inferiores. El procedimiento a seguir para obtener el desarrollo es ir construyendo los t´erminos (de menor orden a mayor) resolviendo las sucesivas ecuaciones diferenciales. 12 2. Desarrollo de Magnus Como aplicaci´on de las f´ormulas que acabamos de obtener, (2.30) y (2.31), vamos a calcular los primeros t´erminos del desarrollo. Ya hemos visto que el t´ermino k= 0 es nulo, pasamos por tanto con el t´ermino k= 1. Queda la ecuaci´on diferencial para ˆ Ω1(t) que sigue dˆ Ω1(t) dt =ˆ Λ(t),(2.32) ˆ Ω1(t= 0) = ˆ 0.(2.33) Integrando queda que ˆ Ω1(t) = Zt 0 ˆ Λ(t1)dt1≡Zt 0 dt1ˆ Λ1,(2.34) donde hemos introducido la siguiente notaci´on, ˆ Λ(ti)≡ˆ Λique simplificar´a expresiones pr´oximas. Pasamos ahora con el segundo t´ermino del desarrollo, ˆ Ω2(t), que satisface la ecuaci´on diferencial dˆ Ω2(t) dt =−1 2hˆ Ω1(t),ˆ Λ(t)i,(2.35) ˆ Ω2(t= 0) = ˆ 0.(2.36) Como previamente hemos obtenido el t´ermino de primer orden del desarrollo, nos encontramos preparados para integrar. De esta forma obtenemos ˆ Ω2(t) = −1 2Zt 0 dt1hˆ Ω1(t1),ˆ Λ1i=1 2Zt 0 dt1Zt1 0 dt2hˆ Λ1,ˆ Λ2i.(2.37) Por ´ultimo vamos a encontrar la expresi´on del t´ermino ˆ Ω3(t) que se rige por la ecuaci´on diferencial dˆ Ω3(t) dt =−1 2hˆ Ω2,ˆ Λi+1 12 hˆ Ω1,hˆ Ω1,ˆ Λii,(2.38) ˆ Ω3(t= 0) = ˆ 0,(2.39) donde, siguiendo los pasos que hemos realizado para los t´erminos anteriores, se llega a que ˆ Ω3(t) = 1 6Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3nhˆ Λ1,hˆ Λ2,ˆ Λ3ii+hhˆ Λ1,ˆ Λ2i,ˆ Λ3io.(2.40) El procedimiento matem´atico completo sobre c´omo se integran estas expresiones y la obtenci´on final de estas igualdades para los t´erminos se explica en el Ap´endice II. Vamos a acabar la secci´on recogiendo los resultados m´as relevantes y haciendo un breve resumen de la misma. Esta parte posiblemente sea la m´as laboriosa matem´aticamente 13 2. Desarrollo de Magnus pero, al mismo tiempo, es la que nos ha proporcionado los resultados m´as ´utiles para las aplicaciones pr´acticas. Admitiendo un desarrollo de ˆ Ω(t) en funci´on de un par´ametro ε, del cual es dependiente en primer orden nuestro hamiltoniano, hemos llegado a ecuaciones diferenciales para cada t´ermino del desarrollo, ˆ Ωk(t). Estas expresiones vienen recogidas en las ecuaciones (2.30) y (2.31). Para calcular los t´erminos del desarrollo tendremos que la derivada de cada uno depender´a de t´erminos de orden menor. Es por ello por lo que necesariamente en la pr´actica debemos seguir un orden l´ogico e ir calculando los t´erminos en orden creciente de k. Hemos podido comprobar c´omo la complejidad de estas expresiones aumenta de forma muy abrupta conforme lo hace k. Sin embargo, esto no es algo extra˜no cuando realizamos tratamientos perturbativos. Adem´as, hemos obtenido la expresi´on anal´ıtica de los primeros cuatro t´erminos del desarrollo, es decir, los correspondientes a k= 0,1,2,3. En pr´oximas secciones usaremos principalmente estos primeros cuatro t´erminos para aproximar el operador evoluci´on del sistema y comprobaremos si su comportamiento es realmente bueno comparando con la resoluci´on num´erica del problema. El operador evoluci´on aproximado ser´a ˆ Uaprox, ˆ Uaprox(t) = eˆ Ω1(t)+ˆ Ω2(t)+ˆ Ω3(t).(2.41) Antes de pasar a las aplicaciones del desarrollo que hemos estudiado a ciertos problemas de la Mec´anica Cu´antica, vamos a estudiar otro procedimiento que se utiliza para obtener expresiones anal´ıticas aproximadas de operadores evoluci´on cuando el sistema es peri´odico en el tiempo. Es el desarrollo perturbativo de Floquet-Magnus, que ya comentamos anteriormente. Este m´etodo es especialmente ´util en sistemas cu´anticos que se encuentran sometidos a campos peri´odicos y su utilidad radica en que la aproximaci´on basta con ser calculada en un periodo del sistema. Este hecho lo analizaremos con m´as profundidad en la siguiente secci´on. 14 3. Floquet-Magnus 3. Floquet-Magnus 3.1. Teor´ıa de Floquet Pasamos a analizar una serie de casos que son muy interesantes desde el punto de vista de la Mec´anica Cu´antica porque aparece en muchas situaciones pr´acticas. Nos referimos a el caso de sistemas que est´an sometidos a campos externos peri´odicos. Estos problemas se describen mediante un hamiltoniano ˆ H(t) que es peri´odico en el tiempo con un periodo T > 0. En esta secci´on, trataremos la teor´ıa de Floquet 1aplicada a este tipo de sistemas y, posteriormente, indicaremos c´omo combinar la teor´ıa de Floquet con el desarrollo de Magnus estudiado en la secci´on previa. Comencemos tratando las principales ideas de la teor´ıa que nos van a ser ´utiles en el trabajo. Cuando estamos ante ecuaciones diferenciales del tipo ˆy′(t) = ˆ H(t)ˆy(t),(3.1) con ˆ H(t) peri´odico en el tiempo de cierto periodo T. Floquet encontr´o una forma de expresar las soluciones de la ecuaci´on de forma que sea m´as f´acil de encontrar sus componentes y, adem´as, que pudiese converger mejor. Vamos a ir construyendo el teorema de Floquet paso a paso, para ello, como primer punto, vamos a enunciar y demostrar el siguiente lema. Lema 4. Sea ˆ H(t)un hamiltoniano peri´odico de periodo T, tal que sea ˆ H(t+T) = ˆ H(t) ∀t. Entonces el operador evoluci´on entre dos instantes de tiempo t y t0,ˆ U(t, t0), cumple que ˆ U(t+T, t0+T) = ˆ U(t, t0).(3.2) 1Esta teor´ıa recibe este nombre en honor al matem´atico franc´es Gaston Floquet (1847-1920), quien la mostr´o al mundo en el art´ıculo [9]. 15 3. Floquet-Magnus Demostraci´on. Para empezar con la demostraci´on del lema 4vamos a definir la funci´on ˆ V(t, t0) = ˆ U(t+T, t0+T), que no es m´as que el operador de evoluci´on temporal pero desplazado un periodo del sistema. Encontramos la ecuaci´on diferencial que cumple el operador que acabamos de definir i¯h∂ˆ V(t, t0) ∂t =i¯hd(t+T) dt "∂ˆ U(t′, to+T) ∂t′#t′=t+T =i¯h"∂ˆ U(t′, to +T) ∂t′#t′=t+T , donde hemos definido un nuevo par´ametro t′=t+T. A su vez, el operador ˆ U(t′, t0+T) cumple la ecuaci´on de Schr¨odinger para operadores de evoluci´on. Si tenemos en cuenta la definici´on de t′, queda que i¯h∂ˆ U(t′, t0+T) ∂t′=ˆ H(t′)ˆ U(t′, t0+T)→i¯h∂ˆ V(t, t0) ∂t =ˆ H(t)ˆ V(t, t0), donde se ha usado la premisa ˆ H(t+t0) = ˆ H(t). Podemos ver, entonces, que ˆ V(t, t0) cumple la misma ecuaci´on diferencial que ˆ U(t, t0). Adem´as es f´acil comprobar que tambi´en verifican la misma condici´on inicial ya que ˆ V(t0, t0)≡ˆ U(t0+T, t0+T) = ˆ I. Por lo tanto, si suponemos que estamos en las condiciones para que se cumpla el Teorema de Existencia y Unicidad 2se llega a que ambos operadores deben ser el mismo, es decir, que ˆ V(t, t0)≡ˆ U(t+T, t0+T) = ˆ U(t, t0), y, de esta forma, queda demostrado el lema 4. Ahora vamos a considerar el operador ˆ U(T, 0), que es unitario, al igual que todos los operadores de evoluci´on temporal. Por ende, ser´a un operador normal 3. Vamos a recurrir al Teorema de Descomposici´on Espectral 4seg´un el cual se puede encontrar una 2Este teorema establece condiciones bajo las cuales una ecuaci´on diferencial tiene una ´unica soluci´on. Si bien no existe un art´ıculo principal que lo enuncie, se realiza un desarrolla un an´alisis profundo del mismo en el libro [10] de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). 3Un operador normal ˆ Aes aquel que conmuta con su operador adjunto ˆ A†, es decir, ˆ Aˆ A†=ˆ A†ˆ A. 4El Teorema de Descomposici´on Espectral, o simplemente Teorema Espectral, establece las condiciones bajo las cu´ales un operador puede ser diagonalizado, en el caso que nos concierne basta con asumir que si el operador es normal, se va a poder diagonalizar. Uno de los primeros art´ıculos en abordar el tema es el del matem´atico polaco Stefan Banach (1892-1945), [11]. 16 3. Floquet-Magnus descomposici´on del operador ˆ U(T, 0) en la forma ˆ U(T, 0) = X j λjˆ Πj,(3.3) donde los λjson los autovalores del operador ˆ U(T, 0) y los operadores ˆ Πjson los proyectores sobre el subespacio asociado a cada autovalor. Del hecho de que el operador es unitario, se debe verificar que el m´odulo de los autovalores deben ser la unidad, es decir, |λj|= 1. Esto se puede comprobar de forma sencilla tomando un autovalor λgen´erico asociado a un autovector |λ⟩. Si partimos de estados normalizados, entonces se tiene que ⟨λ|λ⟩= 1 = ⟨λ|ˆ I|λ⟩. Ahora bien, el operador identidad se puede obtener como ˆ I=ˆ U†(T, 0)ˆ U(T, 0). Si introducimos esta forma de escribir el operador identidad en la expresi´on anterior llegamos a que ⟨λ|ˆ U†(T, 0)ˆ U(T, 0) |λ⟩=λ∗λ⟨λ|λ⟩=|λ|2= 1. Con este resultado podemos escribir una forma, lo m´as general para los autovalores de ˆ U(T, 0) como λj=e−iφj→ ˆ U(T, 0) = X j e−iφjˆ Πj, donde los valores de φjson reales y se pueden escoger φj∈[−π, π), que se conoce como Primera Zona de Brillouin. Ahora estamos en disposici´on de definir un operador ˆφde la forma ˆφ=X j φjˆ Πj.(3.4) Este es un operador herm´ıtico evidentemente ya que ˆφ†=X j φ∗ jˆ Π† j=X j φjˆ Πj= ˆφ, donde hemos usado que φ∗ j=φjporque φjes real y que ˆ Π† j=ˆ Πj, una propiedad de los operadores proyectores del hecho de ser herm´ıticos. Podemos definir ahora, a partir de ˆφ, un operador tambi´en herm´ıtico ˆ HF=¯h Tˆφ. (3.5) 17 3. Floquet-Magnus Evidentemente es un operador herm´ıtico porque tanto, Tcomo ¯hson reales. Entonces, si introducimos la definici´on (3.5) en (3.3) se llega a una expresi´on para ˆ U(T, 0) que queda ˆ U(T, 0) = exp(−iX j φjˆ Πj) = e−iˆφ=e−iT ¯hˆ HF.(3.6) A continuaci´on vamos a usar el resultado anterior para definir otro operador que aparecer´a en el teorema de Floquet que enunciaremos por ´ultimo. Este operador ˆp(t) tendr´a la forma ˆp(t) = ˆ U(t, 0)eit ¯hˆ HF.(3.7) Adem´as, verifica la propiedad enunciada en el siguiente lema. Lema 5. Sea el operador ˆp(t)definido en (3.7). Se verifica la siguiente propiedad a partir de la definici´on de ˆ HFdada en (3.6), ˆp(t+T) = ˆp(t).(3.8) Demostraci´on. Para la demostraci´on del lema, vamos a necesitar la siguiente propiedad que cumplen los operadores de evoluci´on temporal, ˆ U(t2, t0) = ˆ U(t2, t1)ˆ U(t1, t0).(3.9) Empezamos sustituyendo la forma expl´ıcita de ˆp(t+T) y usando la propiedad (3.9) ˆp(t+T) = ˆ U(t+T, 0)eit+T ¯hˆ HF=ˆ U(t+T, T)ˆ U(T, 0)eit ¯hˆ HFeiT ¯hˆ HF. Ahora, sustituyendo la forma de ˆ U(T, 0) por la que vimos en (3.6) llegamos a ˆp(t+T) = ˆ U(t+T, T)e−iT ¯hˆ HFeiT ¯hˆ HFeit ¯hˆ HF=ˆ U(t+T, T)eit ¯hˆ HF. Por ´ultimo, usaremos el lema 4para usar la propiedad de periodicidad el operador evoluci´on cuando estamos con hamiltonianos peri´odicos y se llega a ˆp(t+T) = ˆ U(t+T, T)eit ¯hˆ HF=ˆ U(t, 0)eit ¯hˆ HF= ˆp(t). Resumiendo todo lo que hemos visto en esta secci´on, partimos de la expresi´on de un hamiltoniano peri´odico en el tiempo de cierto periodo T > 0, y definimos una serie de operadores que cumplen algunas propiedades que hemos demostrado. Todo esto culmina con la enunciaci´on del siguiente teorema. 18 3. Floquet-Magnus Teorema 6 (Teorema de Floquet).Sea un problema peri´odico en el tiempo, de cierto periodo T, se tiene entonces que el operador de evoluci´on temporal del sistema, ˆ U(t, 0) ≡ ˆ U(t)se puede escribir como ˆ U(t) = ˆp(t)e−it ¯hˆ HF,(3.10) donde el operador ˆp(t)es peri´odico en el tiempo tambi´en de periodo T, es decir, ˆp(t+T) = ˆp(t). Por otro lado el operador ˆ HFes herm´ıtico y no depende del tiempo. Este teorema es el c´enit del apartado y recoge la idea principal de Floquet, escribir las soluciones de problemas como (1.3), con hamiltonianos peri´odicos, como el producto de dos componentes, una peri´odica, ˆp(t), y otra que no lo es pero involucra en la exponencial un hamiltoniano constante en el tiempo. El tratamiento que propone Floquet tiene una ventaja computacional muy clara y es que no es necesario calcular la soluci´on para todo instante de tiempo t, basta con calcularla en un periodo Tya que el operador ˆp(t) es peri´odico de ese periodo justamente. Por otro lado, el otro operador hamiltoniano que aparece en la soluci´on, ˆ HF, es constante en el tiempo por lo que es innecesario calcularlo en m´as de un instante de tiempo. Esto supone un gran avance de c´alculo y una mejora evidente de la labor computacional del problema. En la siguiente secci´on vamos a buscar unas expresiones aproximadas para estos operadores ˆp(t) y ˆ HFtal y c´omo lo hicimos para el caso del desarrollo de Magnus. Para ello, encontraremos primero unas ecuaciones cerradas que deben cumplir los mismos e introduciremos los desarrollos, de nuevo dependientes de un par´ametro, para finalmente calcular ecuaciones para cada uno de los t´erminos. Uno de los ´articulos que tratan este tema es [12], una revisi´on donde se fusiona de forma clarividente las teor´ıas de Magnus y Floquet en el marco de la Mec´anica Cu´antica. 3.2. Desarrollo de Floquet-Magnus Como hemos comentado anteriormente, en esta secci´on vamos a ver en qu´e consiste la idea de aplicar el desarrollo de Magnus a la propuesta de Floquet para la resoluci´on de problemas con hamiltonianos peri´odicos. Vamos a obtener expresiones cerradas para los t´erminos que aparecen en el desarrollo de Floquet-Magnus y podremos obtener las ventajas y desventajas que presenta esta v´ıa de resoluci´on del problema de evoluci´on temporal de los sistemas cu´anticos. 19 3. Floquet-Magnus Ya vimos que la ecuaci´on que rige el comportamiento del operador de evoluci´on temporal en un sistema cu´antico cualquiera es dˆ U(t) dt =ˆ Λ(t)ˆ U(t),(3.11) donde ˆ Λ(t) es un operador antiherm´ıtico que se relacionaba con el hamiltoniano del problema ˆ H(t) mediante ˆ Λ(t) = −iˆ H(t) ¯h. Procedemos, entonces, a introducir en (3.11) el resultado del Teorema de Floquet, es decir, (3.10) y, desarrollando las derivadas se llega a la ecuaci´on siguiente d dt hˆp(t)e−it ¯hˆ HFi=ˆ Λ(t)ˆp(t)e−it ¯hˆ HF→ dˆp(t) dt etˆ F+ ˆp(t)ˆ Fetˆ F=ˆ Λ(t)ˆp(t)etˆ F, donde hemos introducido la notaci´on ˆ F≡ − i ¯hˆ HF. Si ahora multiplicamos por la derecha por e−tˆ Fllegaremos a la siguiente ecuaci´on para ˆp(t) y ˆ F, dˆp(t) dt =ˆ Λ(t)ˆp(t)−ˆp(t)ˆ F,ˆp(0) = ˆ I. (3.12) La condici´on inicial proviene de que se debe verificar que ˆ U(0) = ˆ U(0,0) = ˆ I= ˆp(0)eˆ 0. Ahora vamos a introducir la propuesta de Magnus combinada con la de Floquet, que consiste principalmente en buscar el operador ˆp(t) como una exponencial del tipo Magnus, es decir, buscar ˆp(t) = eˆ Σ(t),(3.13) a partir de la cu´al deberemos encontrar una ecuaci´on para ˆ Σ(t). Para ello, procedemos de forma similar a como hicimos en la secci´on de los t´erminos de Magnus. Realizaremos tambi´en un desarrollo en series tanto para ˆ Σ(t) como para ˆ F y encontraremos una f´ormula general que deber´an cumplir todos los t´erminos de los desarrollos ˆ Σ(t) = ∞ X n=0 ˆ Σn(t),(3.14) ˆ F = ∞ X j=0 ˆ Fj.(3.15) 20 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica 4.1.2. Desarrollo de Floquet-Magnus En esta secci´on vamos a pasar a realizar los c´alculos para obtener los t´erminos del desarrollo de Floquet-Magnus del problema. Para ello, recordamos la forma que ten´ıa el operador evoluci´on de Floquet-Magnus. Esta ven´ıa dada por ˆ UF−M(t) = ˆp(t)etˆ F, con ˆp(t) un operador peri´odico. Vamos a comenzar obteniendo los t´erminos del desarrollo en serie del operador ˆ F, que vienen dado por la f´ormula general (3.19). Como ya hemos obtenido los primeros dos t´erminos del desarrollo de Magnus, su obtenci´on es pr´acticamente trivial teniendo en cuenta que el periodo del campo externo aplicado es T=2π ω, quedan los t´erminos ˆ F1=ˆ Ω1(T) T=ω 2πˆ Ω12π ω =−iω 4π∆2π ωˆσx−A ω[cos(2π)−1] ˆσz, por lo que se llega a ˆ F1=−i∆ 2ˆσx.(4.13) De la misma forma se puede obtener el segundo t´ermino del desarrollo de ˆ F, ˆ F2. Para ello usamos la expresi´on a la que llegamos para ˆ Ω2(t) como ˆ F2=ˆ Ω2(T) T=ω 2πˆ Ω22π ω =−ωiA∆ˆσy 8πω2[2 sin(2π)−2πcos(2π)−2π], que nos lleva a que ˆ F2=−iA∆ˆσy 2ω.(4.14) Una vez hemos obtenido los primeros t´erminos del desarrollo de ˆ F, pasamos con los de ˆp(t), que tienen en sus expresiones los t´erminos de ˆ F. Empezamos con ˆ Σ1(t), que sigue la ecuaci´on ˆ Σ1(t) = Zt 0 dt1ˆ Λ1−tˆ F1 =−i 2∆tˆσx−A ω[cos(ωt)−1] ˆσz+i∆ˆσxt 2, 27 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica lo cual nos da como resultado el siguiente valor para ˆ Σ1(t) ˆ Σ1(t) = iA 2ω[cos(ωt)−1] ˆσz.(4.15) Pasamos al segundo t´ermino ˆ Σ2(t). Este sigue la f´ormula (3.23). Lo primero que haremos ser´a evaluar el conmutador que aparece dentro de la integral, que podemos escribir como ˆ Λ1+ˆ F1=−i∆ˆσx−iA 2ωsin(ωt)ˆσz→ hˆ Λ1+ˆ F1,ˆ Σ1(t1)i=∆A 2ω[cos(ωt1)−1] [ˆσx,ˆσz] =−iA∆ˆσy ω[cos(ωt1)−1] . Una vez hemos realizado este c´alculo previo, podemos obtener directamente el valor de ˆ Σ2(t) queda como ˆ Σ2(t) = 1 2Zt 0 dt1−iA∆ˆσy ω[cos(ωt1)−1]−tiA∆ˆσy 2ω. El t´ermino que est´a fuera de la integral se anula con uno de los t´erminos que aparecen tras integrar dejando el siguiente valor de ˆ Σ2(t) ˆ Σ2(t) = −iˆσy∆A 2ω2sin(ωt).(4.16) Por tanto, con el c´alculo hasta el segundo orden de estos desarrollos de ˆ Σ(t) y de ˆ F, llegamos a la siguiente expresi´on anal´ıtica aproximada para ˆ UF−M(t), ˆ UF−M(t) = eˆ Σ1(t)+ˆ Σ2(t)et(ˆ F1+ˆ F2).(4.17) Para comprobar c´omo de buenas son nuestras aproximaciones (4.12)y(4.17), vamos a partir de un estado gen´erico inicial, |y0⟩, por lo que el estado en cualquier instante de tiempo vendr´a dado por |y(t)⟩=ˆ U(t)|y0⟩. Tomaremos el estado inicial como |y0⟩=  1 0 , y, por tanto, la evoluci´on temporal de los valores esperados se los operadores de Pauli vendr´an dadas por ⟨ˆσi(t)⟩=⟨y(t)|ˆσi|y(t)⟩=⟨y0|ˆ U†(t)ˆσiˆ U(t)|y0⟩.(4.18) 28 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica 4.1.3. Resultados En esta secci´on vamos a presentar los resultados de la simulaci´on de la evoluci´on de los valores esperados de los tres operadores de Pauli en el tiempo. Para ello vamos a darles a los par´ametros del sistema unos ciertos valores que ser´an los siguientes A ω=1 2πy∆ ω=1 4π, donde usamos unidades adimensionales del problema. Cabe destacar que se podr´ıa haber utilizado cualquier pareja de valores para los par´ametros en la simulaci´on. Representaremos primero en un periodo los valores esperados usando el operador evoluci´on calculado num´ericamente, el obtenido mediante el desarrollo de Magnus y el resultante de aplicar Floquet-Magnus. Se muestran los resultados en la Fig. 4.1. Se puede comprobar que, aun habiendo usado s´olo dos t´erminos en cada desarrollo, tanto de Magnus como de Floquet-Magnus, las soluciones aproximadas siguen muy bien el comportamiento de la resoluci´on num´erica del programa. Esto es para un periodo ´unicamente. Podemos realizar la simulaci´on para cinco periodos del problema y llegar´ıamos al resultado que se muestra en la Fig. 4.2. Se puede ver en la imagen c´omo, principalmente si nos enfocamos en el valor esperado de ˆσx, se ve una diferencia m´as marcada entre el desarrollo de Magnus y el de Floquet- Magnus. El m´etodo de Floquet-Magnus aplicado a hamiltonianos peri´odicos de este tipo en general da mejores resultados y en un intervalo temporal m´as amplio. De nuevo podemos comprobar que simplemente habiendo tomado dos t´erminos de los desarrollos, lo cual conlleva un c´alculo anal´ıtico moderado, podemos emular con muy buena precisi´on el comportamiento de la soluci´on num´erica del problema. En la siguiente secci´on trataremos otro caso de hamiltoniano, en ese caso, ser´a un hamiltoniano definido por partes. 29 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.90 0.95 1 (c) Cálculo Magnus Cálculo numérico Cálculo Floquet-Magnus -0.4 -0.2 0 (b) -0.05 0 0.05 (a) Figura 4.1: Valores esperados de los operadores de Pauli en el tiempo (unidades adimensionales). El valor de los par´ametros empleados es A/ω = 1/(2π)y∆/ω = 1/(4π). Se representa con una l´ınea continua negra el valor esperado de los operadores usando la resoluci´on num´erica del problema, con una l´ınea punteada roja la soluci´on usando el m´etodo de Magnus y con una l´ınea discont´ınua la soluci´on tras aplicar Floquet-Magnus. Todo esto para un periodo del hamiltoniano. (a) Valor esperado del operador de Pauli ˆσx. (b) Valor esperado del operador de Pauli ˆσy. (c) Valor esperado del operador de Pauli ˆσz. 30 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica 012345 -1 -0.5 0 0.5 (c) Cálculo Magnus Cálculo numérico Cálculo Floquet-Magnus -0.75 -0.5 -0.25 (b) -0.1 0 0.1 0.2 (a) Figura 4.2: Valores esperados de los operadores de Pauli en el tiempo. El valor de los par´ametros empleados es A/ω = 1/(2π)y∆/ω = 1/(4π). Se representa con una l´ınea continua negra el valor esperado de los operadores usando la resoluci´on num´erica del problema, con una l´ınea punteada roja la soluci´on usando el m´etodo de Magnus y con una l´ınea discont´ınua la soluci´on tras aplicar Floquet-Magnus. Todo esto para cinco periodos del hamiltoniano. (a) Valor esperado del operador de Pauli ˆσx. (b) Valor esperado del operador de Pauli ˆσy. (c) Valor esperado del operador de Pauli ˆσz. 31 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica 4.2. Modelo II. Hamiltoniano por partes. Como hemos comentado, en este segundo modelo vamos a considerar un hamiltoniano definido por partes, que viene dado por ˆ H(t) = ¯h 2[∆ˆσx+A(t)ˆσz],(4.19) donde A(t) se define a trozos en la forma A(t) =    A1si 0 < t ≤t0 A2si t0< t ≤T. (4.20) Este modelo lo hemos propuesto para ilustrar el comportamiento del desarrollo de Magnus frente a la soluci´on anal´ıtica del problema que, evidentemente para este problema se puede encontrar ya que el hamiltoniano por partes es independiente del tiempo en cada intervalo. Para ello, lo primero que vamos a hacer es encontrar la soluci´on anal´ıtica del problema para el operador evoluci´on, para el cual, tenemos dos problemas de hamiltonianos contantes en el tiempo. Estos exhiben la forma siguiente dˆ U(t) dt =−i ¯hˆ Hˆ U(t), donde la soluci´on se expresa como ˆ U(t) = e−i ¯hˆ Ht. Previo paso a expresar la soluci´on vamos a hacer un cambio de notaci´on en el problema para que las expresiones se simplifiquen. En concreto vamos a dividir nuestro hamiltoniano, −i ¯hˆ H en dos hamiltonianos constantes que se escribir´an como ˆ Λ = −i 2(∆ˆσx+A1ˆσz) 0 < t ≤t0(4.21) ˆ Λ′=−i 2(∆ˆσx+A2ˆσz)t0< t ≤T. (4.22) Ahora, si usamos la propiedad de los operadores de evoluci´on temporal (3.9) se llega a la siguiente soluci´on para el operador evoluci´on ˆ U(t) =    eˆ Λtsi 0 < t ≤t0 eˆ Λ′(t−t0)eˆ Λt0si t0< t ≤T, (4.23) 32 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica donde el primer t´ermino es pr´acticamente trivial obtenerlo teniendo en cuenta la ecuaci´on de Schr¨odinger para el operador evoluci´on. El segundo t´ermino se obtiene utilizando que ˆ U(t) = ˆ U(t, t0)ˆ U(t0). Expresando completamente la soluci´on anal´ tica, teniendo en cuenta las expresiones de los operadores ˆ Λ y ˆ Λ′se llega a que ˆ U(t) =      exp −i 2(∆ˆσx+A1ˆσz)tsi 0 < t ≤t0 exp −i 2(∆ˆσx+A2ˆσz) (t−t0)exp −i 2(∆ˆσx+A2ˆσz)t0si t0< t ≤T. 4.2.1. Desarrollo de Magnus Para proseguir vamos a calcular los t´erminos del desarrollo de Magnus para el problema. En primer lugar, calcularemos ˆ Ω1(t). Partimos de su expresi´on general (2.34), entonces obtenemos lo siguiente ˆ Ω1(t) = Rt 0dt1ˆ Λ1=    Rt 0dt1ˆ Λ si 0 < t ≤t0 Rt0 0dt1ˆ Λ + Rt t0dt1ˆ Λ′si t0< t ≤T. Resulta la siguiente expresi´on para ˆ Ω1(t) ˆ Ω1(t) =    ˆ Λtsi 0 < t ≤t0 ˆ Λt0+ˆ Λ′(t−t0) si t0< t ≤T. (4.24) Pasamos con el caso de ˆ Ω2(t), cuya expresi´on viene dada por (2.37). Evidentemente, para t<t0, el valor de ˆ Ω2(t) = 0 ya que el conmutador del integrando ser´ıa nulo. Para t > 0 nos quedar´ıa lo siguiente ˆ Ω2(t) = 1 2Zt 0 dt1Zt1 0hˆ Λ1,ˆ Λ2i=1 2Zt t0 dt1Zt0 0 dt2hˆ Λ′,ˆ Λi(t0< t ≤T), ya que es el ´unico intervalo temporal de t1yt2donde el conmutador es distinto de cero. Evaluamos el valor del conmutador que aparece en el integrando hˆ Λ′,ˆ Λi=−1 4[∆ˆσx+A2ˆσz,∆ˆσx+A1ˆσz] =−1 4{∆A1[ˆσx,ˆσz]+∆A2[ˆσz,ˆσx]} =−i∆ˆσy 2(A2−A1), donde de nuevo hemos usado las propiedades de conmutaci´on de los operadores de Pauli (4.9). Queda entonces para el segundo t´ermino lo siguiente ˆ Ω2(t) =      0 si 0 < t ≤t0 −i∆ 2(A2−A1)ˆσyt0(t−t0) si t0< t ≤T. (4.25) 33 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica Pasamos entonces con el tercer y ´ultimo t´ermino que calcularemos para este caso. Su expresi´on viene dada por (2.40). Evidentemente, al igual que con el caso de ˆ Ω2(t), para t < t0, se tiene que ˆ Ω3(t) = 0 ya que los conmutadores se anular´ıan al ser el mismo operador el que se conmuta. Pasamos a estudiar el caso en el que t0< t ≤T. Procedemos a dividir la integral en distintos intervalos temporales y obtenemos que las ´unicas partes de la integral que no se anulan son ˆ Ω3(t) = 1 6Zt t0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3nhˆ Λ1,hˆ Λ2,ˆ Λ3ii+hhˆ Λ1,ˆ Λ2i,ˆ Λ3io =1 6Zt t0 dt1Zt0 0 dt2Zt2 0 dt3hhˆ Λ′,ˆ Λi,ˆ Λi+1 6Zt t0 dt1Zt1 t0 dt2Zt0 0 dt3hˆ Λ′,hˆ Λ′,ˆ Λii. Evaluamos ahora r´apidamente los conmutadores que aparecen en los integrando teniendo el resultado anterior de hˆ Λ′,ˆ Λi. Queda que hhˆ Λ′,ˆ Λi,ˆ Λi=∆i 2(A1−A2) (A1ˆσx−∆ˆσz), hˆ Λ′,hˆ Λ′,ˆ Λii=∆i 2(A1−A2) (∆ˆσz−A2ˆσx). Si, ahora, integramos teniendo en cuenta que los integrandos son independientes del tiempo se llega a la siguiente expresi´on para ˆ Ω3(t) ˆ Ω3(t)=0,0< t ≤t0(4.26) ˆ Ω3(t) = ∆i 24 (A1−A2)t2 0(t−t0)(A1ˆσx−∆ˆσz) + t0(t−t0)2(∆ˆσz−A2ˆσx), t0< t ≤T. (4.27) Los objetivos principales que buscamos en este modelo calculando tres t´erminos del desarrollo son, por un lado, comprobar c´omo a partir del tercer t´ermino los c´alculos se complican considerablemente y, por otra parte, introducir un m´etodo que nos permite verificar que nuestros c´alculos son correctos. Esta t´ecnica consiste en usar la f´ormula de Baker-Campbell-Hausdorff 4, que tiene la forma siguiente eˆ Xeˆ Y=eZ,(4.28) ˆ Z=ˆ X+ˆ Y+1 2hˆ X, ˆ Yi+1 12 hˆ X, hˆ X, ˆ Yii−1 12 hˆ Y , hˆ X, ˆ Yii+· · · .(4.29) Se puede ver a simple vista c´omo esta f´ormula tiene una aplicaci´on directa a nuestro caso ya que, para el segundo intervalo temporal, conocemos la soluci´on anal´ıtica que tiene 4Recibe su nombre por los tres matem´aticos que la desarrollaron Henry Baker, Edward Campbell y Felix Hausdorff. Fue por primera vez introducida en el art´ıculo [16], por Henri Poincar´e (1854-1912) y posteriormente ser´ıa desarrollada por los matem´aticos Henry Baker, Edward Campbell y Felix Hausdorff. 34 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica la forma del primer t´ermino de (4.28), es decir, un producto de exponenciales, y estamos buscando mediante el desarrollo de Magnus una expresi´on tipo exponencial. Entonces haciendo las siguientes analog´ıas ˆ X=ˆ Λ′(t−t0),ˆ Y=ˆ Λt0,ˆ Z=ˆ Ω(t), podemos asociar a cada t´ermino de ˆ Zt´erminos del desarrollo de Magnus y comprobar que coincidan. El primer t´ermino de ˆ Ω(t), es decir, ˆ Ω1(t) coincide claramente con ˆ X+ˆ Yya que ˆ Ω1(t) = ˆ Λt0+ˆ Λ′(t−t0) = ˆ Y+ˆ X(t0< t ≤T).(4.30) El segundo t´ermino de ˆ Ztambi´en es sencillo comprobar que coincide con el segundo t´ermino del desarrollo de Magnus ya que 1 2hˆ X, ˆ Yi=1 2t0(t−t0)hˆ Λ′,ˆ Λi=−i∆ˆσy 2t0(t−t0)(A2−A1) = ˆ Ω2(t) (t0< t ≤T).(4.31) Pasamos el tercer t´ermino de Z, el que involucra a los dobles conmutadores, vamos a comprobar que ese t´ermino coincide con ˆ Ω3(t). Para ello, vamos a hacer los c´alculos previos siguientes 1 12 hˆ X, hˆ X, ˆ Yii=i(t−t0)2t0∆ 24 (A1−A2) (∆ˆσz−A2ˆσx), 1 12 hˆ Y , hˆ X, ˆ Yii=i(t−t0)t2 0∆ 24 (A1−A2) (∆ˆσz−A1ˆσx), por lo que, si combinamos los t´erminos tal y c´omo aparecen en (4.29) se llega a que 1 12 hˆ X, hˆ X, ˆ Yii−1 12 hˆ Y , hˆ X, ˆ Yii=ˆ Ω3(t) (t0< t ≤T).(4.32) De esta forma hemos obtenido los primeros t´erminos que hab´ıamos calculado usando el desarrollo de Magnus de manera alternativa. Pasamos entonces a comprobar gr´aficamente los resultados anal´ıticos exactos con los que nos proporciona la aproximaci´on de Magnus. Para ello consideraremos de nuevo el mismo estado inicial que en el primer modelo |y0⟩=  1 0 , y veremos los valores esperados de los operadores de Pauli entre t= 0 y t=T. Los valores que asignaremos a los par´ametros del problema ser´an A1T= 1; A2T=3 4;t0 T=1 2; ∆T=1 4 35 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica 4.2.2. Resultados En esta secci´on presentaremos los resultados del c´alculo de los valores esperados de los operadores de Pauli ˆσx,ˆσy,ˆσz. Se comparar´an las soluciones exacta y aproximada por Magnus del operador evoluci´on. La soluci´on calculada con el desarrollo de Magnus viene dada por ˆ UMagnus =eˆ Ω1(t)+ˆ Ω2(t)+ˆ Ω3(t).(4.33) Los resultados se presentan en la Fig 4.3. En esta podemos ver c´omo para el intervalo temporal 0 < t ≤t0, la soluci´on de Magnus coincide con la resoluci´on exacta, hecho que es evidente a partir de las expresiones que hemos calculados. Para el segundo intervalo temporal t0< t ≤T, la soluci´on de Magnus aproxima razonablemente bien la soluci´on exacta. Es necesario hacer notar que, en la resoluci´on del problema usando el teorema de Magnus, se ha realizado de forma que se pueda comparar bien un resultado exacto te´orico con uno aproximado. Evidentemente el problema de evoluci´on del sistema lo podr´ıamos haber partido en dos subproblemas, uno antes del cambio de hamiltoniano y otro tras el mismo. En ese caso, si hubi´esemos aproximado mediante Magnus ambos hamiltonianos habr´ıamos obtenido exactamente la misma soluci´on que la te´orica. La aproximaci´on de Magnus en ese caso coincidir´ıa con la soluci´on exacta y quedar´ıa de la siguiente forma ˆ UMagnus(t) =    ˆ UMagn,1=eˆ Λtsi 0 < t ≤t0 ˆ UMagn,2(t, t0)ˆ UMagn,1(t0) = eˆ Λ′(t−t0)eˆ Λt0si t0< t ≤T, (4.34) donde ˆ UMagn,2(t, t0) es el operador de evoluci´on aproximado mediante Magnus en los instantes de tiempos superiores a t0. Podemos comprobar ahora como coincide con el operador te´orico exacto dado que todos los conmutadores que aparecen en los t´erminos del desarrollo de Magnus son nulos porque el hamiltoniano es constante en ese caso y coincide con ˆ Λ′. Evidentemente, si interpretamos Tcomo un periodo temporal, este problema podr´ıa haber sido extendido a m´as periodos introduciendo as´ı la posibilidad de obtener un desarrollo de Floquet-Magnus. Se ha preferido usar un modelo de este tipo para calcular hasta un orden m´as alto el desarrollo de Magnus e introducir un m´etodo alternativo para obtener un desarrollo aproximado de la soluci´on en este caso como es la f´ormula de Baker-Campbell-Hausdorff mostrada. Se ilustran a continuaci´on los resultados. 36 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica donde el hamiltoniano a pasado a ser ˆ H′(t), es decir, i¯hdˆ V(t) dt =ˆ H′(t)ˆ V(t) con (4.44) ˆ H′(t) = exp iA 2ωsin(ωt)ˆσz∆¯h 2ˆσxexp −iA 2ωsin(ωt)ˆσz.(4.45) Si nos fijamos bien, la expresi´on (4.45) se corresponde con una rotaci´on alrededor del eje zde ´angulo A ωsin(ωt), queda entonces el hamiltoniano ˆ H′(t) con la forma ˆ H′(t) = ∆¯h 2cos A ωsin(ωt)ˆσx−sin A ωsin(ωt)ˆσy.(4.46) Nuestra labor ahora ser´a tratar el problema para ˆ V(t) con los m´etodos que hemos estudiado. En principio lo podremos calcular con Magnus o con Floquet-Magnus y luego aplicar la definici´on de ˆ V(t), (4.42), invirti´endola para volver al operador de partida ˆ U(t). De aqu´ı en adelante consideraremos el operador ˆ Λ′=−i ¯hˆ H′(t) = −i∆ 2cos A ωsin(ωt)ˆσx−sin A ωsin(ωt)ˆσy,(4.47) como el operador que introduciremos en la expresiones de los t´erminos de los desarrollos (bien de Magnus o de Floquet-Magnus). Ya que hemos realizado para este modelo un desarrollo de Floquet-Magnus, aqu´ı vamos a realizar un desarrollo de Magnus para comprobar c´omo de bien ajusta los valores esperados. Se obtendr´an los t´erminos ˆ Ω1(t) y ˆ Ω2(t) usando (2.34)y(2.37). De esta forma se encontrar´a una expresi´on aproximada para ˆ V(t), que nombraremos como ˆ VMagnus(t) = eˆ Ω1(t)+ˆ Ω2(t). Podremos obtener el operador de evoluci´on aproximado, ˆ UMagnus(t), para el problema que nos interesa y del cual tenemos una resoluci´on num´erica como ˆ UMagnus(t) = exp −iA 2ωsin(ωt)ˆσzˆ VMagnus(t), es decir, invirtiendo (4.42). A continuaci´on, en la Fig. 4.5 se representa el resultado de este c´alculo, compar´andolo con la resoluci´on num´erica y al desarrollo de Floquet-Magnus obtenido en el apartado anterior. Se puede observar c´omo a´un haciendo un desarrollo menos potente que el de Floquet-Magnus, realizando previamente una transformaci´on al problema se obtienen mucho mejores resultados. Este efecto es claro en la gr´afica (a) sobre todo, donde se representa el valor esperado de ˆσx, que era pr´acticamente donde se apreciaba m´as diferencia entre el m´etodo de Floquet-Magnus y la resoluci´on num´erica. 43 4. Aplicaciones a la Mec´anica Cu´antica 012345 0.3 0.5 0.7 0.9 (c) Cálculo numérico Aproximación Floquet-Magnus Método Magnus transformación -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 (b) -0.2 -0.1 0 0.1 (a) Figura 4.5: Valores esperados de los operadores de Pauli en el tiempo para para comparar el m´etodo modificar el problema inicial con la aplicaci´on directa del m´etodo de Floquet- Magnus y el resultado num´erico. Los valores de los par´ametros son A/ω = 1/(π)y∆/ω = 1/(8π). Se representa con una l´ınea continua roja el valor esperado de los operadores calculado de manera num´erica y con una l´ınea discont´ınua azul los valores esperados calculados tras usar el m´etodo de Floquet-Magnus. Adem´as, con una l´ınea punteada negra se muestran los resultados obtenidos mediante la transformaci´on del problema. Se visualizan cinco periodos temporales. (a) Valor esperado del operador de Pauli ˆσx. (b) Valor esperado del operador de Pauli ˆσy. (c) Valor esperado del operador de Pauli ˆσz 44 5. Conclusiones 5. Conclusiones En conclusi´on, en este trabajo de fin de grado se ha abordado el estudio de las t´ecnicas de los desarrollos perturbativos de Magnus y de Floquet-Magnus para la resoluci´on de problemas de evoluci´on en Mec´anica Cu´antica. En primer lugar, se expuso el teorema de Magnus, que proporciona una v´ıa para resolver de manera aproximada los problemas de c´alculo del operador de evoluci´on temporal de un sistema cu´antico. Asimismo, se obtuvieron la f´ormula cerrada de los t´erminos en general, as´ı como los primeros elementos del desarrollo. Por otro lado, se introdujo parte de la teor´ıa de Floquet que nos condujo hasta el desarrollo de Floquet-Magnus, que tiene gran utilidad para obtener la evoluci´on de sistemas cu´anticos sometidos a campos peri´odicos. Esta t´ecnica simplifica y agiliza el c´alculo de la evoluci´on temporal en sistemas peri´odicos. A lo largo de este trabajo, se han explorado aplicaciones de estas t´ecnicas presentando ejemplos concretos que ilustran la utilidad y el potencial de estas herramientas en la resoluci´on de problemas. En estos ejemplos, se han introducido puntualmente herramientas como la f´ormula de Baker-Campbell-Hausdorff o un prototipo de problema en el que una transformaci´on inicial conduce a mejores resultados. Es importante mencionar que tanto el desarrollo de Magnus como el de Floquet- Magnus tienen limitaciones y ´areas de mejora. La convergencia de los desarrollos puede ser problem´atica en casos de alta complejidad, y se requiere un an´alisis cuidadoso de la validez de las aproximaciones realizadas. Adem´as, se abren oportunidades para explorar nuevas aplicaciones y extensiones de estas t´ecnicas en diferentes contextos y sistemas f´ısicos. Estas herramientas son valiosas en el arsenal del f´ısico te´orico y ofrecen perspectivas prometedoras para la comprensi´on y el an´alisis de sistemas cu´anticos en diferentes situaciones. Se espera que este trabajo sirva como punto de partida para futuras investigaciones y avances en este fascinante campo de estudio. 45 Ap´endice I Ap´endice I: Demostraci´on de la ec.(2.14) En esta secci´on vamos a demostrar que se verifica ˆ f(s)≡esˆ Aˆ Be−sˆ A= ∞ X k=0 sk k!adk ˆ A(ˆ B). Para ello vamos a hacer un desarrollo en serie del primer t´ermino alrededor de s= 0 y, asumiendo que el desarrollo converge, se obtendr´ıa ese resultado. Partimos de la derivada del primer t´ermino respecto a s, dˆ f(s) ds =esˆ Aˆ Aˆ Be−sˆ A−esˆ Aˆ Bˆ Ae−sˆ A=esˆ Ahˆ A, ˆ Bie−sˆ A. Por lo que se tiene que "dˆ f(s) ds #s=0 =hˆ A, ˆ Bi= ad ˆ A(ˆ B). Pasamos a demostrar que "dnˆ f(s) dsn#s=0 = adn ˆ A(ˆ B). Lo haremos por inducci´on. Como hemos visto, para n= 1 se cumple. Por lo tanto, asumimos por hip´otesis que se cumple para n′=ny vemos si se cumple para n′=n+ 1. Comenzamos derivando con respecto a snuestra hip´otesis de inducci´on, que es la siguiente dnˆ f(s) dsn=esˆ Aadn ˆ A(ˆ B)e−sˆ A. La derivada por tanto queda d ds dnˆ f(s) dsn!=esˆ Aˆ Aadn ˆ A(ˆ B)e−sˆ A−esˆ Aadn ˆ A(ˆ B)ˆ Ae−sˆ A =esˆ Ahˆ A, adn ˆ A(ˆ B)ie−sˆ A=esˆ Aadn+1 ˆ A(ˆ B)e−sˆ A. Por lo que se demuestra lo que quer´ıamos. Por ´ultimo podemos realizar el desarrollo ˆ f(s)≡esˆ Aˆ Be−sˆ A= ∞ X k=0 "dnˆ f(s) dsn#s=0 sk k!= ∞ X k=0 sk k!adn ˆ A(ˆ B). c.q.d 46 Ap´endice II Ap´endice II: Deducci´on de los t´erminos del desarrollo de Magnus En este ap´endice ahondaremos m´as en la obtenci´on de los primeros t´erminos del desarrollo. Los dos primeros son pr´acticamente triviales. Empezamos con el t´ermino ˆ Ω0(t), ten´ıamos que dˆ Ω0(t) dt =ˆ 0, con la condici´on inicial que ten´ıamos para ˆ Ω(t= 0) = ˆ 0 se debe cumplir que ˆ Ω0=ˆ 0∀t. Continuamos con el siguiente t´ermino, ˆ Ω1(t), dˆ Ω1(t) dt =ˆ Λ(t)→ˆ Ω1(t)−ˆ Ω1(0) = Zt 0 dt1ˆ Λ1, de nuevo tomando ˆ Ωi(0) = ˆ 0∀i, se llega a ˆ Ω1(t) = Rt 0dt1ˆ Λ1. Seguimos con el t´ermino ˆ Ω2(t), dˆ Ω2(t) dt =−1 2hˆ Ω1,ˆ Λi→ˆ Ω2(t) = −1 2Zt 0 dt1hˆ Ω1(t1),ˆ Λ1i. Insertando el valor de ˆ Ω1que obtuvimos antes pero ahora evaluado en t1queda ˆ Ω2(t) = −1 2Zt 0 dt1Zt1 0 dt2ˆ Λ2,ˆ Λ1. Como la integral es lineal y el conmutador tambi´en, se puede sacar la integral fuera del mismo, si le damos la vuelta al conmutador, este cambia de signo y se llega ˆ Ω2(t) = 1 2Zt 0 dt1Zt1 0 dt2hˆ Λ1,ˆ Λ2i. Vamos ahora a ver la forma que tiene el tercer t´ermino dˆ Ω3(t) dt =−1 2hˆ Ω2,ˆ Λi+1 12 hˆ Ω1,hˆ Ω1,ˆ Λii, ˆ Ω3(t) = Zt 0 dt1−1 2hˆ Ω2,ˆ Λ1i+1 12 hˆ Ω1,hˆ Ω1,ˆ Λ1ii. 47 Ap´endice II Introducimos ahora las formas que tienen ˆ Ω1yˆ Ω2y se obtiene ˆ Ω3(t) = (∗) −1 4Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3hˆ Λ2,ˆ Λ3i,ˆ Λ1+ (∗∗) 1 12 Zt 0 dt1Zt1 0 dt2ˆ Λ2,Zt1 0 dt3ˆ Λ3,ˆ Λ1. Evaluamos los t´erminos (∗) y (∗∗) por separado. Empezamos por el t´ermino (∗). Usamos la linealidad de la integral y los conmutadores, tambi´en usamos que intercambiar los elementos del conmutador lo cambia de signo (∗) = 1 4Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3hˆ Λ1,hˆ Λ2,ˆ Λ3ii. Pasamos con el t´ermino (∗∗), usamos primero la linealidad de la integral de nuevo y vamos a dividir la integral final en 2 integrales (∗∗) = 1 12 Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt1 0 dt3hˆ Λ2,hˆ Λ3,ˆ Λ1ii =1 12 Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3hˆ Λ2,hˆ Λ3,ˆ Λ1ii+1 12 Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt1 t2 dt3hˆ Λ2,hˆ Λ3,ˆ Λ1ii. Ahora usamos la propiedad Rα 0dx Rx 0dyf(x, y) = Rα 0dy Rα ydxf(x, y), que en nuestro caso se traducir´a en Zt1 0 dt2Zt1 t2 dt3hˆ Λ2,hˆ Λ3,ˆ Λ1ii=Zt1 0 dt3Zt3 0 dt2hˆ Λ2,hˆ Λ3,ˆ Λ1ii. Por lo que, si ahora intercambiamos los ´ındices 2 y 3 se llega a que (∗∗) tiene el valor (∗∗) = 1 12 Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3hˆ Λ2,hˆ Λ3,ˆ Λ1ii+Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3hˆ Λ3,hˆ Λ2,ˆ Λ1ii. Ahora usaremos la identidad de Jacobi que nos dice que hˆ A, hˆ B, ˆ Cii+hˆ C, hˆ A, ˆ Bii+hˆ B, hˆ C, ˆ Aii=ˆ 0.(5.1) De esta forma se tiene que hˆ Λ2,hˆ Λ3,ˆ Λ1ii=−hˆ Λ1,hˆ Λ2,ˆ Λ3ii−hˆ Λ3,hˆ Λ1,ˆ Λ2ii. Asimismo, ya sabemos que hˆ Λ3,hˆ Λ2,ˆ Λ1ii=−hˆ Λ3,hˆ Λ1,ˆ Λ2ii. Por tanto el t´ermino (∗∗) quedar´a de la forma (∗∗) = 1 12 Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3n−hˆ Λ1,hˆ Λ2,ˆ Λ3ii−2hˆ Λ3,hˆ Λ1,ˆ Λ2iio. Por ´ultimo, sumando los t´erminos (∗) y (∗∗) se obtiene ˆ Ω3(t) (∗)+(∗∗)≡ˆ Ω3(t) = 1 6Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3nhˆ Λ1,hˆ Λ2,ˆ Λ3ii−hˆ Λ3,hˆ Λ1,ˆ Λ2iio =1 6Zt 0 dt1Zt1 0 dt2Zt2 0 dt3nhˆ Λ1,hˆ Λ2,ˆ Λ3ii+hhˆ Λ1,ˆ Λ2i,ˆ Λ3io. 48 Ap´endice III Ap´endice III: C´alculo del t´ermino general del desarrollo de Floquet-Magnus. En el desarrollo de la ecuaci´on diferencial que siguen los t´erminos de los desarrollos de Floquet-Magnus ˆ Σk(t) y ˆ Fkllegamos a la ecuaci´on (3.17), que nos indica lo siguiente ˆ Σ′(t) = ∞ X k=0 Bk k!adk ˆ Σ(t)"ˆ Λ(t)− ∞ X j=0 1 j!adj ˆ Σ(t)(ˆ F)#. En este apartado vamos a desarrollar el t´ermino que involucra a ˆ F. Es por ello que empezamos expres´andolo en la forma ∞ X k=0 ∞ X j=0 Bk k!j!adk+j ˆ Σ(t)(ˆ F) = ∞ X k=0 ∞ X j=0 ∞ X l=0 Bk k!j!δl,k+jadl ˆ Σ(t)(ˆ F), donde hemos aprovechado para introducir una delta de Kronecker de lcon k+jy as´ı podr´ıamos introducir un sumatorio en ldesde 0 hasta ∞. Reordenando los sumatorios se puede escribir ∞ X k=0 ∞ X j=0 Bk k!j!adk+j ˆ Σ(t)(ˆ F) = ∞ X l=0 adl ˆ Σ(t)(ˆ F) ∞ X k=0 ∞ X j=0 δl,k+j Bk k!j!. Ahora bien este ´ultimo doble sumatorio en kyjse puede reescribir como sigue ∞ X k=0 ∞ X j=0 δl,k+j Bk k!j!= l X k=0 Bk k!(l−k)!, por lo que se llega a que ∞ X k=0 ∞ X j=0 Bk k!j!adk+j ˆ Σ(t)(ˆ F) = ∞ X l=0 adl ˆ Σ(t)(ˆ F) l X k=0 Bk k!(l−k)!. 49 Ap´endice III Vamos ahora a trabajar con este ´ultimo sumatorio en kpara simplificarlo lo m´aximo posible. Para ello, usaremos las propiedades de los n´umeros de Bernoulli. En particular, usaremos la siguiente propiedad, que se puede extraer de [6], Bm=δm,0− m−1 X k=0 m!Bk k!(m−k+ 1)!, m = 0,1,2.... (5.2) A continuaci´on haremos el cambio de variables m+ 1 = lpara que la expresi´on se vaya aproximando a lo que buscamos. Lo combinaremos con la igualdad que sigue l−2 X k=0 Bk k!(l−k)! = l X k=0 Bk k!(l−k)! −Bl l!−Bl−1 (l−1)!. La propiedad (5.2) quedar´a, por tanto, de la forma siguiente 0 = δl−1,0 (l−1)! − l X k=0 Bk k!(l−k)! +Bl l!. Por tanto, podemos introducir esta relaci´on en la expresi´on inicial para el t´ermino que nos interesa de la ecuaci´on para ˆ Σk(t) y se obtiene la siguiente expresi´on ∞ X k=0 ∞ X j=0 Bk k!j!adk+j ˆ Σ(t)(ˆ F) = ∞ X l=0 adl ˆ Σ(t)(ˆ F) l X k=0 Bk k!(l−k)! = ∞ X l=0 adl ˆ Σ(t)(ˆ F) δl−1,0 (l−1)! +Bl l!. Por tanto la equaci´on queda en la forma siguiente dˆ Σ(t) dt = ∞ X k=0 Bk k!adk ˆ Σ(t)hˆ Λ(t)−ˆ Fi+δk−1,0adk ˆ Σ(t)(ˆ F).(5.3) 50 5. Bibliograf´ıa Bibliograf´ıa [1] P. A. M. Dirac, “A new notation for quantum mechanics,” Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 35, no. 3, p. 416–418, 1939. [2] M. Planck, “¨ Uber das elementarquantum der wirkung,” Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, vol. 2, no. 17, pp. 202–210, 1900. [3] E. Schr¨odinger, “Quantisierung als Eigenwertproblem,” Annalen Phys., vol. 386, no. 18, pp. 109–139, 1926. [4] J. von Neumann, “Mathematische grundlagen der quantenmechanik,” Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, vol. 1, pp. 245–272, 1932. [5] W. Magnus, “On the exponential solution of differential equations for a linear operator,” Commun. Pure Appl. Math., vol. 7, pp. 649–673, 1954. [6] J. Bernoulli, “Meditationes de summˆa singularium proprietatum serierum infinitarum,” Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, vol. 5, pp. 71– 94, 1713. [7] L. Euler, “Meditationes circa singulare serierum genus,” Novi Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, vol. 3, pp. 29–61, 1732. [8] L. Kronecker, “Zur theorie der ganzen algebraischen zahlen,” Journal f¨ur die reine und angewandte Mathematik, vol. 92, pp. 1–123, 1881. [9] J. Floquet, “Sur les ´equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients p´eriodiques,” Annales de l’´ Ecole Normale Sup´erieure, vol. 12, pp. 47–88, 1883. [10] J.-L. Lagrange, Cours d’Analyse de l’ ´ Ecole Polytechnique. Chez Courcier, 1797. 51 Bibliograf´ıa [11] S. Banach, “Sur les op´erations dans les ensembles abstraits et leur application aux ´equations int´egrales,” Fundamenta Mathematicae, vol. 3, no. 1, pp. 133–181, 1922. [12] S. Blanes, F. Casas, J. Oteo, and J. Ros, “The Magnus expansion and some of its applications,” Physics Reports, vol. 470, no. 5, pp. 151–238, 2009. [13] W. Pauli, “Zur quantenmechanik des magnetischen elektrons,” Zeitschrift f¨ur Physik, vol. 43, no. 9-10, pp. 601–623, 1927. [14] T. Levi-Civita, “Caratteristiche di un sistema completo di integrali abeliani,” Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 15, pp. 111–158, 1901. [15] A. Einstein, “Die grundlage der allgemeinen relativit¨atstheorie,” Annalen der Physik, vol. 354, no. 7, pp. 769–822, 1915. [16] H. Poincar´e, “Sur les groupes continus,” Acta Mathematica, vol. 22, no. 1, pp. 185– 190, 1899. [17] D. Bernoulli, “Opuscules math´ematiques: ou, m´emoires sur diff´erens sujets de g´eom´etrie, de m´ecanique, d’optique, d’hydrodynamique, et de musique,” Opuscules math´ematiques: ou, M´emoires sur diff´erens sujets de g´eom´etrie, de m´ecanique, d’optique, d’hydrodynamique, et de musique, vol. 1, pp. 9–52, 1734. 52