Correspondance de Howe explicite: paires duales de type II

arXiv:0709.4384v1 [math.RT] 27 Sep 2007 CORRESPONDANCE DE HOWE EXPLICITE: PAIRES DUALES DE TYPE I I EXPLICIT HOWE CORRESPONDENCE: DUAL PAIRS OF TYPE I I ALBERTO MÍNGUEZ Abstrat. In this artile, we give a new metho d for proving Howe orresp ondene in the ase of dual pairs of type (GLn,GLm) over a non-Arhimedean lo ally ompat eld F . The pro of onsists in ombining a study on Kudla's ltration [Kud℄ with the results of [Mi1℄ ab out the irreduibility of a parab olially indued representation. The pro of is valid for F of any harateristi and allows us to make the orresp ondene expliit in terms of Langlands parameters. Hene it generalizes the results of [Wat℄ and answers ompletely all questions studied in [Mu1℄ and [Mu2℄ for dual pairs of type I I. Résumé. Dans et artile, nous prop osons une nouvelle métho de p our démontrer la bijetivité de la orresp ondane de Howe p our les paires duales du type (GLn,GLm) sur un orps F lo alement ompat non arhimédien. La preuve est basée sur une étude soigneuse de la ltration de Kudla [Kud℄ ainsi que sur les résultats de [Mi1℄ à propos de l'irrédutibilité d'une représentation induite parab olique. Elle est valable p our F de aratéristique quelonque et nous permet d'expliiter la bijetion en termes des paramètres de Langlands. Elle généralise don les résultats de [Wat℄ et rép ond totalement aux questions étudiées dans [Mu1℄ et [Mu2℄ pour les paires duales de type I I. Co des MSN : 11F27, 22E50. Introdution Soit F un orps ommutatif lo alement ompat non arhimédien de aratéristique résiduelle p > 0 . Soit ψ:F→C× un aratère additif non trivial de F . Si W est un espae vetoriel sympletique sur F , de dimension nie, on disp ose du group e métapletique f Sp (W) , qui est un revêtement à deux feuillets du group e sympletique Sp (W) , Partially supp orted by MTM2004-07203-C02-01 and FEDER. 1 2 ALBERTO MÍNGUEZ et d'une représentation (ω, S) de f Sp (W) anoniquement attahée à ψ , dite représentation de Weil ou métapletique, sur un espae de fontions S à valeurs omplexes. Soit (G1, G2) une paire duale rédutive ( f. [MVW, 1.I.17℄) dans Sp (W) : ou bien (G1, G2) est une paire de group es lassiques -sympletique, orthogonal, unitaire- (paires duales de typ e I) ou bien une paire de group es linéaires (paires duales de typ e I I). Notons f G1 et f G2 leurs images réipro ques dans f Sp (W) . Soit π une représentation lisse irrédutible de f G1 quotient de ω . Notons S[π] le plus grand quotient π -isotypique de ω . Il est de la forme S[π] = π1⊗Θ (π), en tant que f G1×f G2 -mo dule, où Θ (π) est une représentation lisse de longueur nie de f G1 . Roger Howe et Jean-Loup Waldspurger [Wal℄, [MVW℄ ont prouvé que, dans le as où p est impair et que (G1, G2) est de typ e I, si Θ(π)6= 0 , alors Θ(π) a un unique quotient irrédutible, noté θ(π) . L'appliation π7→ θ(π) est une bijetion entre l'ensemble des représentation lisses irrédutibles π de f G1 telles que Θ(π)6= 0 et l'ensemble des représentation lisses irrédutibles π′ de f G2 telles que Θ(π′)6= 0 . Elle est app elée la orresp ondane de Howe. Nous nous prop osons de montrer un théorème similaire p our les paires duales de typ e I I, valable p our tout p , et d'expliiter, en termes des paramètres de Langlands, la orresp ondane π7→ θ(π) , e qui détermine l'ensemble des représentations π telles que Θ(π)6= 0 . Dans le as des paires duales de typ e I I, Roger Howe, dans un manus- rit non publié, avait prouvé la bijetivité de la orresp ondane. Notre métho de, diérente, rend, de plus, la orresp ondane expliite. Passons à une présentation plus détaillée des résultats : Soit D une algèbre à division de entre F de dimension nie d2 sur F et soient n et m des entiers stritement p ositifs. On note Mn,m (resp. Mn ) l'ensemble des matries n×m (resp. n×n ) à o eients dans D . Le group e GLn(D) des matries inversibles dans Mn sera noté Gn . On note Sn,m =S(Mn,m) l'espae vetoriel des fontions Φ de Mn,m dans C , lo alement onstantes à supp ort ompat. La représentation métapletique ωn,m restreinte à la paire duale Gn×Gm ( f. [MVW, 3.I I I.1℄) est la représentation (0.1) ωn,m(g, g′) = ν(g)−m 2σn,m(g, g′)ν(g′)n 2, où on note ν=|Nrd |F , la valeur absolue de la norme réduite et σn,m :Gn×Gm→GL (Sn,m) la représentation naturelle de Gn×Gm dénie par σn,m (g, g′) Φ (x) = Φ g−1xg′, p our g∈Gn, g′∈Gm, x ∈ Mn,m,Φ∈Sn,m . CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 3 Le résultat prinipal de et artile est le théorème suivant. Théorème 1. (voir orollaire 6.3 ). Soit π une représentation irrédutible de Gn . (1) Si HomGn(ωn,m, π)6= 0 , alors il existe une unique représentation irrédutible π′ de Gm tel le que HomGn×Gm(ωn,m, π ⊗π′)6= 0. De plus, dim (HomGn×Gm(ωn,m, π ⊗π′)) = 1 . (2) Supposons n≤m . Alors HomGn(ωn,m, π)6= 0 et, si π est le quotient de Langlands (f. setion 6) de τ1× · · · × τN , où τ1,...,τN sont des représentations essentiel lement de arré intégrable, alors π′ est le quotient de Langlands de ν−m−n−1 2× · · · × νm−n−1 2×eτ1× · · · × fτN, où, pour toute représentation τ , eτ désigne sa ontragrediente. Ainsi, si l'on note π∗ les paramètres galoisiens de Langlands de la représentation π , les paramètres de θ(π) sont eπ∗⊕1∗ m−n où on a noté 1∗ m−n les paramètres galoisiens de la représentation triviale de Gm−n . La preuve du théorème 1 se déomp ose en trois parties. D'ab ord, la théorie des fontions zêta de Go dement-Jaquet [GJ℄ nous fournit un entrelaement entre ωn,n et π⊗eπ p our toute représentation irrédutible π , e qui implique, ave un argument lassique ( f. [MVW, 3.I I.5℄), que, si n≤m , alors HomGn(ωn,m, π)6= 0 . Pour montrer l'uniité de la représentation θ(π) , on a b esoin d'utiliser l'artile [Mi1℄ où il est prouvé que l'induite parab olique d'une représentation irrédutible a, dans b eauoup de as, une seule sousreprésentation irrédutible. Dans la setion 2, on dérit expliitement le bord de la représentation métapletique (un sous-ensemble de représentations de Gn ) et on trouve que, p our toute représentation qui n'apparaît pas dans e b ord, la représentation θ(π) est unique. Après, dans la setion 3, on s'inspire de l'artile [Kud℄, et on al- ule une ltration des fonteurs de Jaquet de la représentation métapletique. Cei nous p ermet de montrer dans les setions 4 et 5, par réurrene, l'uniité de la représentation θ(π) , p our les bonnes représentations π . Les mauvaises représentations sont elles qui ont un fonteur de Jaquet bien préis. Or, es représentations n'apparaissent pas dans le b ord de la représentation métapletique ! Pour montrer la paramétrisation de la orresp ondane on a, à nouveau, deux as. Par réurrene, le as des bonnes représentations n'est pas très diile et déoule de [Mi1, Corollaire A.3℄. Pour les autres, on utilise, dans la setion 9, des propriétés subtiles de la lassiation de Zelevinsky des représentations irrédutibles en termes de segments. 4 ALBERTO MÍNGUEZ Je voudrais partiulièrement remerier Colette M÷glin qui m'a prodigué nombre de onseils et idées ainsi que Guy Henniart p our toutes ses suggestions et ritiques. Je remerie aussi Goran Mui et Vinent Séherre p our les remarques et orretions qu'ils m'ont faites à prop os de et artile. 1. Préliminaires Soient F un orps ommutatif lo alement ompat non arhimédien de aratéristique résiduelle p > 0 , D une algèbre à division de entre F et de dimension nie d2 sur F . Soient n, m deux entiers stritement p ositifs. On note Mn,m (resp. Mn ) l'ensemble des matries n×m (resp. n×n ) à o eients dans D et Nrd : Mn→F la norme réduite. Le group e GLn(D) des matries inversibles dans Mn sera noté Gn . Le group e trivial sera noté G0 . A toute partition (ordonnée) α= (n1,...,nr) de l'entier n , orresp ond une déomp osition en blo s des matries arrées d'ordre n . On notera Mα le sous-group e de Gn formé des matries inversibles diagonales par blo s, Pα (resp. Pα ) le sous-group e formé des matries triangulaires sup érieures (resp. inférieures) par blo s, et Uα le sousgroup e de Pα formé des éléments dont les blo s diagonaux sont des matries unité. Le sous-group e Pα est onjugué à Pα dans Gn ave α= (nr,...,n1) . Dans et artile on ne onsidérera que des représentations lisses omplexes et le mot représentation voudra toujours dire représentation lisse omplexe . On notera Irr(Gn) l'ensemble des lasses d'équivalene des représentations irrédutibles de Gn . La représentation triviale de Gn sera notée 1n . Si π et π′ sont deux représentations d'un group e G , on notera HomG(π, π′) l'espae des entrelaements entre π et π′ . On omettra l'indie G quand il n'y a pas de onfusion. On note ♯−rGn n1,...,nr (resp. ♯−rGn n1,...,nr ) le fonteur de Jaquet non normalisé asso ié au parab olique standard Pα (resp. Pα ). On note rGn n1,...,nr=δ−1/2 Pα♯−rGn n1,...,nr, (resp. rGn n1,...,nr=δ−1/2 Pα♯−rGn n1,...,nr ), le fonteur de Jaquet normalisé. Etant donnée une représentation ρi de haque Gni , on notera ♯−indGn Pα(ρ1⊗ · · · ⊗ ρr) l'induite parab olique non normalisée, où on a prolongé la représentation ρ1⊗ · · · ⊗ ρr trivialement sur Uα . CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 5 On note aussi ρ1× · · · × ρr la représentation indGn Pα(ρ1⊗ · · · ⊗ ρr) = δ1/2 Pα♯−indGn Pα(ρ1⊗ · · · ⊗ ρr), induite parab olique normalisée. Soit π une représentation de Gn ; on a un isomorphisme anonique (réipro ité de Frob enius) : (1.1) Hom (π, ρ1× · · · × ρr)≃Hom rGn n1,...,nr(π), ρ1⊗ · · · ⊗ ρr. On a une formule similaire p our l'indution non normalisée et le fonteur de Jaquet non normalisé. On disp ose aussi d'un isomorphisme de réipro ité à la Casselman ( f. [Ber, Theorem 20℄) : (1.2) Hom (ρ1× · · · × ρr, π)≃Hom ρ1⊗ · · · ⊗ ρr, rGn n1,...,nr(π). Pour l'indution non normalisée et le fonteur de Jaquet non normalisé, la formule préédente devient : Hom ♯−indGn Pα(ρ1⊗ · · · ⊗ ρr), π≃ Hom ρ1⊗ · · · ⊗ ρr, δPα♯−rGn n1,...,nr(π). (1.3) Soient n, t ∈Z , 1≤t≤n , π∈Irr(Gn) , χ∈Irr(Gt) . On notera Jacχ(π)6= 0 (resp. Jacχ(π)6= 0 ) s'il existe ρ∈Irr(Gn−t) tel que Hom (π, χ ×ρ)6= 0 (resp. Hom (π, ρ ×χ)6= 0 ). On utilisera à plusieurs reprises la prop osition suivante [Mi1, Prop osition 7.1℄ : Prop osition 1.1. Soient π, π′∈Irr, ρ ∈ C . Les onditions suivantes sont équivalentes : (1) Hom (π′, π ×ρ)6= 0; (2) Hom (ρ×π, π′)6= 0. Corollaire 1.2. Soient π, π′ deux représentations irrédutibles et ρ une représentation uspidale. Les onditions suivantes sont équivalentes : (1) Hom (π′, π ×ρ× · · · × ρ)6= 0; (2) Hom (ρ× · · · × ρ×π, π′)6= 0. Démonstration. Puisque, par [Mi1, Théorème 5.1℄, π×ρ× · · · × ρ n'a qu'un seul sous-mo dule irrédutible et que, par [Mi1, Théorème 5.6℄, ρ×· · ·×ρ×π n'a qu'un seul quotient irrédutible, le orollaire déoule de la prop osition préédente par réurrene.  Si X est un espae lo alement proni, on note S(X) l'espae vetoriel des fontions Φ : X→C lo alement onstantes à supp ort ompat. Le lemme suivant sera utilisé dans le alul expliite de la orresp ondane : Lemme 1.3. Soit X un espae loalement proni, X′ un sous-espae fermé de X . Supposons qu'un groupe loalement proni G agit de façon ontinue sur X et que G·X′=X . Notons H le stabilisateur de X′ dans 6 ALBERTO MÍNGUEZ G . Notons aussi π la représentation naturel le (f. [BZ1, 1.2.2℄ ) de G dans S(X) et ρ la représentation naturel le de H dans S(X′) . Alors : π≃♯−indG H(ρ). Démonstration. Posons Ξ : π→♯−indG H(ρ) φ7→ (g7→ (π(g)φ)|X′). Ξ est bien déni ar X′ est fermé dans X ( f. [BZ1, 1.1.8℄) et 'est un entrelaement entre π et ♯−indG H(ρ) . Construisons une inverse : Soit f∈♯−indG H(ρ) . On dénit φf∈S(X) par φf(x) = f(g)(x′), si x=g·x′ et g∈G et x′∈X′ . Puisque G·X′=X des tels ouples (g, x′) existent et si g1, g2∈G et x′ 1, x′ 2∈X′ sont tels que x=g1·x′ 1=g2·x′ 2 , alors x′ 1=g−1 1g2·x′ 2 et don, si l'on p ose h=g−1 1g2 on a que h∈H . Ainsi f(g1)(x′ 1) = f(g1)(g−1 1g2·x′ 2) =ρ(h)f(g1)(x′ 2) =f(g1h)(x′ 2) =f(g2)(x′ 2). Don φf est bien dénie et le morphisme f7→ φf est un entrelaement entre ♯−indG H(ρ) et π , inverse de Ξ .  On note Sn,m =S(Mn,m) . La représentation métapletique ωn,m restreinte à la paire duale Gn×Gm ( f. Intro dution) est la représentation ωn,m(g, g′) = ν(g)−m 2σn,m(g, g′)ν(g′)n 2. Il est plus naturel de travailler ave la représentation métapletique tordue σn,m et de aluler ses quotients irrédutibles. On déduira ensuite immédiatement les résultats p our la représentation ωn,m . Il est aussi très pratique d'utiliser la notation suivante : on a deux group es linéaires agissant, par multipliation, sur un espae de matries à gauhe et à droite. Dorénavant, p our diérentier es deux ations, on notera G′ , P′ et U′ les group es linéaire, parab olique et unip otent resp etivement, agissant à droite et on gardera les notations G , P et U p our es group es quand ils agissent à gauhe. De même, en as d'ambiguïté, on notera ν′ le aratère ν quand il agit sur G′ . Il p eut sembler une notation un p eu artiielle mais elle failite énormément la ompréhension des aluls. On p ermet les as m= 0 ou n= 0 (ave G0= 0 ou G′ 0= 0 ) p our lesquels M= 0 et σ0,m ≃C est la représentation triviale de G′ m et σn,0≃C est la représentation triviale de Gn . CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 7 2. Le bord de la représentation métapletique Dans ette setion, on rapp elle les résultats de [MVW, 3.I I I℄ et on en déduit quelques premières onséquenes. On xe des entiers p ositifs n et m . Commençons par rapp eler que la théorie des fontions zêta de Go dement-Jaquet [GJ℄ nous fournit, p our toute représentation irrédutible π de Gn , un entrelaement ( f. [MVW, 3.I I.7℄) entre σn,n et π⊗eπ . Par [MVW, 3.I I.5℄, on déduit que, p our toute représentation irrédutible π de Gn , il existe un sous-quotient irrédutible π′ de ♯−indG′ m P′ m−n,n (1m−n⊗eπ) tel que (2.1) HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′)6= 0. Ainsi, si n≤m , alors Θ(π)6= 0 . Le problème est de montrer que e sous-quotient π′ est l'unique satisfaisant à (2.1) et de déterminer ses paramètres. D'un autre té, la représentation σn,m admet ( f. [MVW, 3.I I.2℄) une ltration 0 = St+1 ⊂St⊂ · · · ⊂ S1⊂S0=Sn,m, où Sk est le sous-espae vetoriel de Sn,m formé des fontions dont le supp ort est formé des matries de rang 1 plus grand ou égal à k , 0≤k≤t= min (n, m) . L'espae Sk+1 est ouvert dans Sk par [BZ1, 1.1.8℄ et, en appliquant le lemme 1.3 ave X′=0 0 0 1i , on montre dans [MVW, 3.I I.2℄ qu'on a un isomorphisme σk=Sk/Sk+1 ≃♯−indGnG′ m Pn−k,k P′ m−k,k (µk), où µk est la représentation de Pn−k,kP′ m−k,k sur S(Gk) dénie par : µk(p, p′) Φ (h) = Φ p−1 4hp′ 4=ρk(p4, p′ 4) Φ (h), p our Φ∈S(Gk), h ∈Gk , p=p10 p3p4, p′=p′ 1p′ 2 0p′ 4 et ρk la représentation naturelle de Gk×G′ k sur S(Gk) dénie par ρk(p4, p′ 4) Φ (h) = Φ p−1 4hp′ 4. Dénition 2.1. On dit que π∈Irr(Gn) apparaît dans le b ord de la représentation σn,m s'il existe k < n tel que HomGn(σk, π)6= 0 . Lemme 2.2. Soient π∈Irr(Gn) , π′∈Irr(G′ m) tel les que Hom(σk, π ⊗ π′)6= 0 . Alors il existe τ, τ′∈Irr(Gk) tel les que Hom ♯−indGn Pn−kk (1n−k⊗τ)⊗♯−indG′ m P′ m−k,k (1m−k⊗τ′), π ⊗π′6= 0. 1 On utilise la dénition de rang sur une algèbre à division de [Bou, 10.12℄ 8 ALBERTO MÍNGUEZ Démonstration. Soient π∈Irr(Gn) , π′∈Irr(G′ m) telles que Hom(σk, π⊗ π′)6= 0 . On a don un entrelaement non nul de ♯−indGnG′ m Pn−k,k P′ m−k,k (µk) dans π⊗π′ . Cei équivaut, par (1.3), à l'existene d'un entrelaement non nul entre µk et δPn−k,k ♯−rGn n−k,k(π)⊗δP′ m−k,k ♯−rG′ m m−k,k(π′). Soit V l'image d'un tel entrelaement ; il existe une sous-représentation irrédutible V′ de V et toute telle sous-représentation est de la forme (1n−k⊗τ)⊗(1m−k⊗τ′) omme représentation de Mn−k,kM′ m−k,k où τ et τ′ sont irrédutibles. Par (1.3), à nouveau, on trouve le résultat.  Corollaire 2.3. Soit π∈Irr(Gn) . Les onditions suivantes sont équivalentes : (1) La représentation π n'apparaît pas dans le bord de σn,m . (2) Il n'existe pas τ∈Irr(Gk) , k < n , tel le que HomGn♯−indGn Pn−k,k (1n−k⊗τ), π6= 0. Démonstration. Pour l'impliation direte, supp osons qu'il existe τ∈ Irr(Gk) , k < n , et un entrelaement non nul de ♯−indGn Pn−k,k (1n−k⊗τ) dans π . Par exatitude du fonteur ♯−ind et [MVW, Lemme 3.I I.3℄, on a un morphisme surjetif de σk dans ♯−indGn Pn−k,k (1n−k⊗τ) qui omp osé ave l'entrelaement préédent nous montre que HomGn(σk, π)6= 0 , i.e que la représentation π apparaît dans le b ord de σn,m .  Rapp elons que, d'après [Mi1, Théorème 5.1℄, p our toute représentation irrédutible π∈Irr(Gn) , la représentation ♯−indG′ m P′ m−n,n (1m−n⊗π) a un unique quotient irrédutible et qu'il apparaît ave multipliité 1 dans l'induite. Le théorème suivant résume tout e que l'on p eut onlure à partir de ette ltration par le rang. Théorème 2.4. Soient n, m des entiers positifs et supposons n≤m . Soient π∈Irr(Gn) qui n'apparaisse pas dans le bord de σn,m . Il existe une unique représentation π′∈Irr(G′ m) tel le que HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′)6= 0. C'est l'unique quotient irrédutible de ♯−indG′ m P′ m−n,n (1m−n⊗eπ). De plus, dim HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′)= 1. Démonstration. On avait vu au début de la setion qu'il existe π′∈ Irr(G′ m) telle que HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′)6= 0 . Montrons qu'elle est unique. Par omp osition ave les morphismes Sj→σn,m , j= 0,...,n , on obtient des morphismes Sj→π⊗π′ . Soit k le plus grand j tel que Sj→π⊗π′ ne soit pas le morphisme nul. On a don que π⊗π′ est un quotient de σk . Par hyp othèse on a k=n et don, Hom (σn, π ⊗π′)6= 0. CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 9 Par dénition de σn on a alors Hom ♯−indGn×G′ m Gn×P′ m−n,n (µn), π ⊗π′6= 0. Par (1.3) et la dénition de µn , on déduit que Hom 1m−n⊗ρn, π ⊗δPm−n,n ♯−rGm m−n,n(π′)6= 0, d'où, par [MVW , Lemme 3.I I.3℄, Hom 1m−n⊗eπ, δPm−n,n ♯−rGm m−n,n(π′)6= 0, et, à nouveau par (1.3), on déduit que π′ est l'unique quotient irrédu- tible de ♯−indG′ m P′ m−n,n (1m−n⊗eπ). Montrons nalement que dim HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′)= 1. Soit λ∈HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′) . La omp osée de λ ave l'inlusion σn֒→σn,m n'est pas nulle. Or, par le lemme [MVW, Lemme 3.I I.3℄, dim HomGn×G′ m(σn, π ⊗π′)= 1, et don ette omp osée est unique à homothéthie près. Ainsi, si dim HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′)>1, on p ourrait onstruire, par ombinaison linéaire, un morphisme non nul λ∈HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′) tel que sa omp osée ave l'inlusion σn֒→σn,m soit nulle. Il existe alors k < n tel que HomGn(σk, π)6= 0, e qui est absurde, par hyp othèse, et qui ahève la démonstration.  Remarque 2.5. En partiulier, si π est une représentation uspidale, il existe une unique π′ (l'unique quotient irrédutible de ♯− indG′ m P′ m−n,n (1m−n⊗eπ) ), telle que HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′)6= 0 En eet, si π est uspidale, il n'existe pas τ∈Irr(Gk) , k < n , telle que HomGn♯−indGn Pn−k;k(1n−k⊗τ), π6= 0, et don, par le orollaire 2.3, elle n'apparaît pas dans le b ord de σn,m . 3. Suite de Kudla Dans ette setion, on refait les aluls de [Kud℄, p our les paires duales de typ e I I. On veut aluler une suite de omp osition des fon- teurs de Jaquet de la représentation σn,m . Soient t, i des entiers, 0< t ≤n , 0≤i≤inf {t, m} . Fixons quelques notations p our ette setion :  On notera haque matrie m∈ Mn,m par m=a b=a m1m2, où a∈ Mt,m, b ∈ Mn−t,m, m1∈ Mn−t,i, m2∈ Mn−t,m−i, . 16 ALBERTO MÍNGUEZ Par le lemme géométrique ( f. [Zel, 1.6℄) et la maximalité de b , on déduit que : HomindG′ rb P′ ra,rb−ra νm−n 2eχ×...×νm−n 2eχ⊗νra 2rG′ m−ra rb−ra,m−rb (σn−ra,m−ra)ν′−ra 2, ρ⊗νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ⊗ρ′6= 0. D'après la prop osition 3.3, il existe alors i∈ {0,...,rb−ra} tel que Hom τ′ i, ν m−n+ra 2eχ× · · · × νm−n+ra 2eχ⊗νra 2ρ′6= 0. Le lemme suivant se montre omme le lemme 4.1 Lemme 4.2. Les seuls τ′i qui peuvent avoir des quotients de la forme i-dessus sont τ′rb−ra et τ′rb−ra−1 . Or, si νm−n 2eχ6=νm−2n−1 2 , (i.e. si χ6=νn+1 2 ) seul τ′rb−ra peut en avoir. Ainsi on a, à nouveau, deux as : Cas A.1 Hom τ′rb−ra, ν m−n+ra 2eχ× · · · × νm−n+ra 2eχ⊗νra 2ρ′6= 0 (e qui arrive, en partiulier, d'après le lemme préédent si χ6=ν2m−n+1 2 et χ6=νn+1 2 ). Cas A.2 Hom τ′rb−ra−1, ν m−n+ra 2eχ× · · · × νm−n+ra 2eχ⊗νra 2ρ′6= 0 et, dans e as, il faut que χ=νn+1 2 . Regardons d'ab ord le as A.1. Lemme 4.3. Dans le as A.1, on a b=a . Démonstration. Si Hom indG′ rb P′ ra,rb−ra νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ⊗νra 2τ′rb−raν′−ra 2, ρ⊗νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ⊗ρ′6= 0, alors, par dénition de τ′rb−ra , on a aussi Hom indGn−ra Pn−rb,rb−ra νrb−ra 2σn−rb,m−rbν′−rb+ra 2⊗ν−ra 2χ× · · · × ν−ra 2χ, ν−ra 2ρ⊗νra 2ρ′6= 0, où on a fait le pro duit de b−a fois la représentation ν−ra 2χ , et don, par maximalité de a , il faut que b=a .  Avant de passer aux autres as, résumons les résultats obtenus en une prop osition. Prop osition 4.4. Soient π∈Irr Gn , π′∈Irr G′ m tel les que π⊗π′ soit un quotient de σn,m . Soit aussi χ6=(νn+1 2 ν2m−n+1 2 CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 17 une représentation irrédutible uspidale de Gr . Alors a=b où a et b sont dénis par les onditions suivantes : (1) Il existe ρ∈Irr(Gn−ra) ave π ֒→χ×χ× · · · × χ×ρ, où on a fait le produit de a fois la représentation uspidale χ et a est maximal. (2) Il existe ρ′∈Irr(G′ m−rb) ave π′֒→ρ′×νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ, où on a fait le produit de b fois la représentation uspidale νm−n 2eχ et b est maximal. De plus, on a Hom σn−ra,m−ra, ν −ra 2ρ⊗νra 2ρ′6= 0. 5. Uniité La prop osition préédente, ave le théorème 2.4, nous p ermet de montrer l'uniité de la orresp ondane thêta. Théorème 5.1. Supposons n≤m . Soit π une représentation irrédu- tible de Gn . Il existe une unique représentation irrédutible π′ de G′ m tel le que HomGn×G′ m(ωn,m, π ⊗π′)6= 0. De plus, dim HomGn×G′ m(ωn,m, π ⊗π′)= 1 Démonstration. Par réurrene on p eut supp oser que le théorème est vrai p our toute paire Gi, G′ j , où ij < nm . Montrons-le p our la paire (Gn, G′ m) . Soit π′∈Irr G′ m telles que π⊗π′ soit un quotient de σn,m . Montrons que π′ est uniquement déterminée par π . Supp osons d'ab ord qu'il existe χ6=(νn+1 2 ν2m−n+1 2 une représentation uspidale de Gr , et τ∈Irr(Gn−r) ave π ֒→χ×τ. Soit a > 0 et ρ∈Irr(Gn−ra) ave π ֒→χ×χ× · · · × χ×ρ, où on a fait le pro duit de a fois la représentation uspidale χ et a est maximal. D'après la prop osition préédente, il existe ρ′∈Irr(G′ m−ra) ave π′֒→ρ′×νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ, où on a fait le pro duit de a fois la représentation uspidale νm−n 2eχ . De plus, on a Hom σn−ra,m−ra, ν −ra 2ρ⊗νra 2ρ′6= 0. 18 ALBERTO MÍNGUEZ Par hyp othèse de réurrene, ρ′ est uniquement déterminée par ρ et, par [Mi1, Théorème 5.1℄, π′ est l' unique sous-mo dule irrédutible de ρ′×νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ. Sinon, la représentation π est telle que, si Jacχ(π)6= 0 et χ uspidale, alors χ∈nνn+1 2, ν 2m−n+1 2o . Dans e as π n'apparaît pas dans le b ord de σn,m ar elle n'est pas quotient d'une représentation de la forme ♯−indGn Pn−k,k (1n−k⊗τ) ave τ∈Irr(Gk) . En eet, si Hom ♯−indGn Pn−k,k (1n−k⊗τ), π6= 0, on trouve, après normalisation, que Hom indGn Pn−k,k νk 2⊗νk−n 2τ, π6= 0. Par onjugaison, on déduit Hom indGn Pk,n−kνk−n 2τ⊗νk 2, π6= 0 puis, par (1.2), Hom νk−n 2τ⊗νk 2, rGn Pk,n−k(π)6= 0, et, à nouveau par onjugaison, Hom νk 2⊗νk−n 2τ, rGn Pn−k,k (π)6= 0, et don Jacν −n+2k+1 2(π)6= 0 . Cei n'est p ossible que si k=n ou k=m e qui est absurde. Ainsi d'après 2.4, π′ est l'unique quotient de ♯−indG′ m P′ m−n,n (1m−n⊗eπ) .  6. La orrespondane expliite Soient π∈Irr(Gn), π′∈Irr(G′ m) telles que HomGn×G′ m(ωn,m, π ⊗π′)6= 0. La n de l'artile est onsaré au alul des paramètres de Langlands π′ en termes de eux de π . Soient τ1,...,τN des représentations essentiellement de arré intégrable et α1, . . . , αN∈R tels que, p our tout 1≤i≤N , ναiτi soit une représentation de arré intégrable. Soit σ une p ermutation de {1,...,N} telle que ασ(i)≥ασ(j) si i < j . La représentation τσ(1) × τσ(2) ×· · ·×τσ(N) a un unique quotient irrédutible, et on dira que 'est le quotient de Langlands de τ1× · · · × τN . Supp osons que π est le quotient de Langlands de τ1× · · · × τN , où τ1,...,τN sont des représentations essentiellement de arré intégrable. Notons alors θ∗ m(π) le quotient de Langlands de νm−2n−1 2× · · · × ν−m+1 2×νm−n 2eτ1× · · · × νm−n 2fτN. CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 19 Théorème 6.1. Si m≥n et HomGn×G′ m(σn,m, π ⊗π′)6= 0, alors π′=θ∗ m(π) . Remarque 6.2. En partiulier, si m=n , π′=eπ , omme on l'avait déjà montré au début de la setion 2. Dans la preuve, on supp osera alors m > n . Des théorèmes 5.1 et 6.1, il résulte, ave la normalisation orresp ondante, un théorème similaire p our la représentation ωn,m ( f. (0.1)) : Corollaire 6.3. Soit π une représentation irrédutible de Gn . (1) Si HomGn(ωn,m, π)6= 0 , alors il existe une unique représentation irrédutible π′ de G′ m tel le que HomGn×G′ m(ωn,m, π ⊗π′)6= 0. De plus, dim HomGn×G′ m(ωn,m, π ⊗π′)= 1 . (2) Supposons n≤m . Alors HomGn(ωn,m, π)6= 0 et, si π est le quotient de Langlands de τ1× · · · × τN , où τ1,...,τN sont des représentations essentiel lement de arré intégrable alors π′ est le quotient de Langlands de ν−m−n−1 2× · · · × νm−n−1 2×eτ1× · · · × fτN. Pour la preuve du théorème 6.1, on va utiliser plusieurs fois le lemme suivant [Mi1, Théorème A.3℄ Lemme 6.4. Soient χ une représentation uspidale de Gr tel le que χ6=(νn+1 2 ν2m−n+1 2,ρ∈Irr(Gn−r) , et π l'unique sous-représentation irrédutible de χ×ρ . Notons π′ l'unique sous-représentation irrédutible de ν−r 2θ∗ m−r(ν−r 2ρ)×νm−n 2eχ . Alors π′=θ∗ m(π). Corollaire 6.5. Soient χ une représentation uspidale de Gr , χ6= (νn+1 2 ν2m−n+1 2. Soient a∈N∗ , ρ∈Irr(Gn−ra) , et π l'unique sous-repré- sentation irrédutible de χ×· · ·×χ×ρ où on a fait le produit de a fois la représentation χ . Notons π′ l'unique sous-représentation irrédutible de ν−ra 2θ∗ m−ra(ν−ra 2ρ)×νm−n 2eχ×· · · ×νm−n 2eχ, où on a fait le produit de a fois la représentation νm−n 2eχ . Alors π′=θ∗ m(π). Démonstration. Par réurrene sur a . Si a= 1 , 'est le lemme 6.4. Supp osons a > 1 . Notons π1 l'unique sous-représentation irrédutible de 20 ALBERTO MÍNGUEZ χ×· · ·×χ×ρ où on a fait le pro duit de a−1 fois la représentation χ . Notons π′ 1 l'unique sous-représentation irrédutible de ν−ra 2θ∗ m−ra(ν−ra 2ρ)× νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ, où on a fait le pro duit de a−1 fois la représentation νm−n 2eχ . Alors, par hyp othèse de réurrene π′ 1=ν−r 2θ∗ m−r(ν−r 2ρ) et, de plus π est l'unique sous-représentation irrédutible de χ×π1 et π′ est l'unique sous-représentation irrédutible de π′ 1×νm−n 2eχ . Le résultat déoule, à nouveau, du lemme 6.4.  7. Le as simple Supp osons qu'il existe χ6=(νn+1 2 ν2m−n+1 2 une représentation uspidale de Gr et un entier stritement p ositif a , tels que l'une des onditions suivantes équivalentes (par la prop osition 4.4) soit satisfaite : (1) Il existe ρ∈Irr(Gn−ra) ave (7.1) π ֒→χ×χ× · · · × χ×ρ, où on a fait le pro duit de a fois la représentation χ , a maximal. (2) ou bien, il existe ρ′∈Irr(G′ m−ra) ave (7.2) π′֒→ρ′×νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ, où on a fait le pro duit de a fois la représentation νm−n 2eχ , a maximal. Puisque, par la prop osition 4.4, Hom σn−ra,m−ra, ν −ra 2ρ⊗νra 2ρ′6= 0, et a > 0 , on p eut supp oser, par hyp othèse de réurrene, que (7.3) ρ′=ν−ra 2θ∗ m−ra ν−ra 2ρ On déduit de (7.1), (7.2) et (7.3), grâe au orollaire 6.5, que π′= θ∗ m(π) . 8. Sur les paramètres de Zelevinsky Soit r∈R, n ∈N∗ . On dit que la suite ∆ = {r, r + 1,...,r+n−1} de nombres réels est un segment et l'ensemble de tous les segments sera noté S . Il est muni d'une ation de R dénie par k{r, r + 1,...,r+n−1}={k+r, k +r+ 1,...,k+r+n−1}. On notera aussi b({r, r + 1,...,r+n−1}) = r, e({r, r + 1,...,r+n−1}) = r+n−1. CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 21 les extrémités du segment. On note l({r, r + 1,...,r+n−1}) = n sa longueur. On dénit un préordre sur S par ∆≤∆′ si b(∆) ≤b(∆′) . On note M(S) l'ensemble de multisegments, i.e, des fontions m:S→N à supp ort ni (on p ensera à un ensemble de segments omptés ave multipliités). Un multisegment ∆1,∆2,...,∆N est dit rangé si ∆N≤ · · · ≤ ∆2≤∆1 . A haque segment ∆ = {r, r + 1,...,r+n−1} on asso ie une représentation irrédutible de GLn(D) , notée h∆it , dénie omme l'unique quotient irrédutible de νr×νr+1 ×· · ·×νr+n−1 . La représentation h∆it est essentiellement de arré intégrable. La ontragrédiente g h∆it est la représentation De ∆Et où e ∆ = {−r−n+ 1,−r−n+ 2,· · · − r} . A haque multisegment ∆1,∆2,...,∆N on asso ie une représentation irrédutible de GLPl(∆i)(D) , notée h∆1,∆2,...,∆Nit , dénie omme l'unique quotient irrédutible de ∆σ(1)t×∆σ(2)t× · · · × ∆σ(N)t , où σ est une p ermutation de l'ensemble {1,...,N} telle que le multisegment ∆σ(1),∆σ(2),...,∆σ(N) soit rangé. La ontragrédiente ^ h∆1,∆2,...,∆Nit est la représentation Df ∆1,f ∆2,...,g ∆NEt . La prop osition suivante, dans le as D=F est montré dans [Zel, 6.9.℄. Dans le as où D6=F la preuve est analogue et se trouve dans [Mi2, 2.3.7℄. Prop osition 8.1. Soit ∆1,∆2,...,∆N un multiensegment rangé, ave ∆1={b, b + 1, . . . , e} et ∆N={b′, b′+ 1,...,e′} , alors (1) Si Jacνlh∆1,∆2,...,∆Nit6= 0 on a que l≥e′ . (2) Si Jacνlh∆1,∆2,...,∆Nit6= 0 on a que l≤b . 9. Fin de la preuve On s'est ramené aux as où π et π′ sont des représentations très partiulières, des représentations vériant les propriétés suivantes : J.1 Si Jacχ(π)6= 0 et χ uspidale, alors χ∈nνn+1 2, ν 2m−n+1 2o , J.2 si Jacχ(π′)6= 0 et χ uspidale, alors χ∈nν−m−1 2, ν m−2n−1 2o . On va utiliser les propriétés de la setion préédente p our terminer la preuve du théorème 6.1. On rapp elle qu'on supp ose m > n . Soit π∈Irr(Gn) telle que Jacνn+1 2(π)6= 0 . Soit a maximal tel que π ֒→χ×χ× · · · × χ×ρ, où on a fait le pro duit de a fois le aratère χ=νn+1 2 . On se trouve, ave les notations de la setion 4, dans le as A. On rapp elle que l'on a deux p ossibilités, A1 et A2 : 22 ALBERTO MÍNGUEZ Cas A.1 Ou bien, il existe ρ′∈Irr(G′ m−a) ave π′֒→ρ′×νm−n 2χ−1× · · · × νm−n 2χ−1, où on a fait le pro duit de a fois le aratère νm−n 2χ−1 , a maximal et Hom σn−a,m−a, ν −a 2ρ⊗νa 2ρ′6= 0 (prop osition 4.4) ; Par hyp othèse de réurrene, on a que : (9.1) π′֒→ρ′×νm−2n−1 2× · · · × νm−2n−1 2 où ρ′=ν−a 2θ∗ m−a(ν−a 2ρ) =Dνm−2n−1 2,...,ν−m+1 2, ν m−n 2f ∆1,...,νm−n 2g ∆NEt si ρ=h∆1,...,∆Nit , ave les notations de la setion préédente. Lemme 9.1. Il n'existe pas des représentations irrédutibles π et π′ satisfaisant aux onditions J.1, J.2 et (9.1) . Démonstration. D'après J.1, on sait que, si Jacχ(π)6= 0 et χ uspidale, alors χ∈nνn+1 2, ν 2m−n+1 2o . Par 8.1.(1), tous les segments de ρ nissent alors par ei≥n+1 2 . Ainsi, par dénition de ρ′ , tous les segments de ρ′ ommenent alors par b′ i≤m−2n−1 2 . De plus, puisque m6=n , nνm−2n−1 2o est un segment de ρ′ et don, par [Mi1, Théorème 6.6.(3)℄, il existe τ′∈ Irr(G′ m−a−1) tel que ρ′֒→τ′×νm−2n−1 2 e qui ontredit la maximalité de a .  Cas A.2 Alors on a bien (ave les notations de 4.4) Hom τ′b−a−1, ν m−n+a 2eχ× · · · × νm−n+a 2eχ⊗νa 2ρ′6= 0. Dans e as on a une prop osition similaire à la prop osition 4.4 Prop osition 9.2. Soient π∈Irr Gn , π′∈Irr G′ m tel les que π⊗π′ soit un quotient de σn,m satisfaisant aux onditions J.1 et J.2. Soit aussi χ=νn+1 2 un aratère de G1 . Alors a=b−1 où a et b sont dénis par les onditions suivantes : (1) Il existe ρ∈Irr(Gn−a) ave π ֒→χ×χ× · · · × χ×ρ, où on a fait le produit de a fois le aratère χ et a est maximal. (2) Il existe ρ′∈Irr(G′ m−b) ave π′֒→ρ′×νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ, où on a fait le produit de b fois le aratère νm−n 2eχ et b est maximal. CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 23 De plus, on a Hom σn−a,m−a−1, ν −a 2−1ρ⊗νa+1 2ρ′6= 0. Démonstration. On a que Hom indGb P′ a,b−aνm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ⊗νa 2τ′b−a−1ν−a 2, ρ⊗νm−n 2eχ× · · · × νm−n 2eχ⊗ρ′6= 0, d'où, par dénition de τ′b−a−1 , Hom indGn−a Pn−b−1,b−a−1νb+1 2σn−b+1,m−bν′−b 2⊗ν−a 2χ× · · · × ν−a 2χ, ρ⊗ρ′6= 0, où on a fait le pro duit de b−a−1 fois le aratère ν−a 2χ , et don, par maximalité de a , on a b=a+ 1 .  Ainsi, il existe ρ′∈Irr(G′ m−a−1) ave π′֒→ρ′×νm−n 2χ−1× · · · × νm−n 2χ−1, où on a fait le pro duit de a+1 fois le aratère νm−n 2χ−1 , a maximal et Hom σn−a,m−a−1, ν −a 2−1ρ⊗νa+1 2ρ′6= 0. Alors, par hyp othèse de réurrene on a dim Hom σn−a,m−a−1, ν −a 2−1ρ⊗νa+1 2ρ′= 1, et ρ′=ν−a−1 2θ∗ m−a(ν−a 2−1ρ) =Dνm−2n−3 2,...,ν−m+1 2, ν m−n 2f ∆1,...,νm−n 2g ∆NEt. si ρ=h∆1,...,∆Nit . Lemme 9.3. Supposons que π et π′ sont deux représentation irrédu- tibles qui satisfont aux onditions J.1, J.2 et tel les que π est un sousmodule de νn+1 2× · · · × νn+1 2×ρ , où on a fait le produit de a fois le aratère νn+1 2 , π′ est un sous-module de ρ′×νm−2n−1 2× · · · × νm−2n−1 2 où on a fait le produit de a+ 1 fois le aratère νm−2n−1 2χ−1 et ρ′=Dνm−2n−3 2,...,ν−m+1 2, ν m−n 2f ∆1,...,νm−n 2g ∆NEt si ρ=h∆1,...,∆Nit . Alors π′=θ∗ m(π) . 24 ALBERTO MÍNGUEZ Démonstration. Notons π′ 1 l'unique sous-représentation irrédutible de ρ′×νm−2n−1 2× · · · × νm−2n−1 2, où on a fait le pro duit de a fois le aratère νm−2n−1 2 , alors, d'après le orollaire 6.5, on a que π′ 1=ν−a 2θ∗ m−a−1(ν−a 2π) =Dνm−2n−3 2,...,ν−m+1 2, ν m−n 2f ∆′ 1,...,νm−n 2g ∆′ NEt si π=h∆′ 1,...,∆′ Nit . De plus, π′ est l'unique sous-représentation irrédutible de π′ 1× νm−2n−1 2 . Voyons nalement que π′=θ∗ m(π) . Puisque d'après J.1, on sait que, si Jacχ(π)6= 0 et χ uspidale, alors χ∈nνn+1 2, ν 2m−n+1 2o . Par la prop osition 8.1(1), tous les segments de la forme ∆′ nissent alors par ei≥n+1 2 . Ainsi, tous les segments de la forme νm−n 2f ∆′ i ommenent par b′ i≤m−2n−1 2 et, a fortiori, tous les segments de π′ 1 ommenent par b′ i≤m−2n−1 2 . Ainsi, par [Mi1, Théorème 6.6(.2)℄, on a que π′=Dνm−2n−1 2, ν m−2n−3 2,...,ν−m+1 2, ν m−n 2f ∆1,...,νm−n 2g ∆NEt=θ∗ m(π).  Il ne nous reste maintenant à traiter que les as où π et π′ sont des représentations vériant les propriétés suivantes : H.1 Si Jacχ(π)6= 0 et χ uspidale, alors χ=ν2m−n+1 2 , H.2 si Jacχ(π′)6= 0 et χ uspidale, alors χ=ν−m−1 2 . Prop osition 9.4. Il n'existe pas de représentations irrédutibles π∈ Irr(Gn) et π′∈Irr(G′ m) , m > n , satisfaisant aux onditions H.1 et H.2 et tel les que Hom(σn, π ⊗π′)6= 0 Soit π∈Irr(Gn) vériant H.1 et soit a maximal tel que π ֒→χ×χ× · · · × χ×ρ, où on a fait le pro duit de a fois le aratère χ=ν2m−n+1 2 . On a alors, ave les notations de la setion 4, que Cas A Ou bien, Hom (τa, χ ×χ× · · · × χ⊗ρ⊗π′)6= 0, Cas B ou bien, Hom (τa−1, χ ×χ× · · · × χ⊗ρ⊗π′)6= 0. C'est à dire : Cas A Puisque m6=n on est bien dans le as A.1 et don, d'après 4.4, il existe ρ′∈Irr(G′ m−a) ave π′֒→ρ′×νm−n 2χ−1× · · · × νm−n 2χ−1, CORRESPONDANCE DE HOWE: PAIRES DUALES DE TYPE I I 25 où on a fait le pro duit de a fois le aratère νm−n 2χ−1 , a maximal et Hom σn−a,m−a, ν −a 2ρ⊗νa 2ρ′6= 0. Cei n'est pas p ossible. En eet, par réurrene, on a que : π′֒→ρ′×ν−m−1 2× · · · × ν−m−1 2, et ρ′=Dνm−2n−1 2,...,ν−m+1 2, ν m−n 2f ∆1,...,νm−n 2g ∆NEt si ρ=h∆1,...,∆Nit . Il y a ainsi des segments de π′ ommençant par xi>−m−1 2 e qui, par la prop osition 8.1(2), ontredit H.2. Cas B Sinon montrons qu'il existe ρ′∈Irr(G′ m−a+1) ave π′֒→ρ′×νm−n 2χ−1× · · · × νm−n 2χ−1, où on a fait le pro duit de a−1 fois le aratère νm−n 2χ−1 , a maximal et Hom σn−a,m−a+1, ν −a 2ρ⊗νa+1 2ρ′6= 0. En eet, Hom (τa−1, χ ×χ× · · · × χ⊗ρ⊗π′)6= 0 implique que Hom indG′ m P′ a−1,m−a+1 νm−n 2χ−1× · · · × νm−n 2χ−1⊗ νa 2σn−a,m−a+1ν′−a−1 2, ρ ⊗π′6= 0. Soit b maintenant maximal tel qu'il existe une représentation irrédutible ρ′ de G′ m−b ave π′ quotient de νm−n 2χ−1× · · · × νm−n 2χ−1×ρ′ où on a fait le pro duit de b fois le aratère νm−n 2χ−1 . D'après le orollaire 1.2 on a une èhe non nulle rG′ m b,m−b(π′)֒→νm−n 2χ−1× · · · × νm−n 2χ−1⊗ρ′. Puisque χ6=νn+1 2 , on montre, omme dans 4.4, que b=a−1 et don Hom σn−a,m−a+1, ν −a 2ρ⊗νa+1 2ρ′6= 0. Ainsi, il existe ρ′∈Irr(G′ m−a+1) ave π′֒→ρ′×νm−n 2χ−1× · · · × νm−n 2χ−1, où on a fait le pro duit de a−1 fois le aratère νm−n 2χ−1 , a maximal et Hom σn−a,m−a+1, ν −a 2ρ⊗νa+1 2ρ′6= 0. Alors, par hyp othèse de réurrene on a π′֒→ρ′×ν−m−1 2× · · · × ν−m−1 2,