Espacios finitos como modelos en Topología Algebraica

Universidad de Sevilla Facultad de Matem´ aticas Espacios finitos como modelos en Topolog´ıa Algebraica Manuel S´anchez Caballero Curso 2022-2023 Doble Grado en F´ısica y Matem´aticas Tutor: Antonio Rafael Quintero Toscano Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa 12 de julio de 2023 2 Resumen Los espacios topol´ogicos finitos son una clase de espacios que nos permiten obtener informaci´on sobre espacios continuos gracias a su estrecha relaci´on con los complejos simpliciales, adem´as de tener aplicaciones en topolog´ıa digital. En este trabajo nos centraremos en comprender los conceptos principales que relacionan espacios finitos y complejos simpliciales, y en dar una detallada exposici´on de conocidos modelos finitos de espacios topol´ogicos relevantes y de aplicaciones entre ellos. Abstract Finite topological spaces allow us to obtain information about continuous spaces due to the fact that there exists a close relation between finite spaces and simplicial complexes, in addition to they have applications in digital topology. This study collects the main concepts needed to relate finite spaces and simplicial complexes and give a detailed exposition of known examples of finite models of relevant topological spaces and mappings between them. 3 4 ´ Indice general 1. Espacios de Alexandrov 9 1.1. La noci´on de espacio de Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2. Conexi´on por caminos y homotop´ıas en A-espacios . . . . . . . . . . . 12 2. La teor´ıa del orden vista desde la topolog´ıa 15 2.1. Conjuntos ordenados y A-espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Homotop´ıa en A-espacios y orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3. Espacios finitos minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Topolog´ıa simplicial y A-espacios 23 3.1. Complejos simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. La subdivisi´on baric´entrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3. Complejos simpliciales abstractos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4. Poliedros asociados a espacios finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5. Espacios finitos asociados a complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4. Modelos de Alexandrov de espacios topol´ogicos 31 4.1. DiagramasdeHasse............................ 31 4.2. A-modelos de espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3. Algunas construcciones de la topolog´ıa y sus A-modelos . . . . . . . . 38 5. Modelos de Alexandrov de aplicaciones continuas 45 5.1. Aproximaci´on por subdivisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2. A-modelo de la multiplicaci´on compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2.1. Ap´endice.............................. 50 5.3. H-espaciosfinitos ............................. 51 6. A-modelos de las aplicaciones de Hopf y cuadrado de Whitehead 55 6.1. A-Modelo de la aplicaci´on de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2. A-modelo del cuadrado de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5 6´ INDICE GENERAL Introducci´on Los espacios de Alexandrov (A-espacios) proporcionan un lenguaje topol´ogico equivalente al de los conjuntos ordenados. Esto fue probado por primera vez en 1937 por P.S. Alexandrov ( [1]) e independientemente por A.W. Tucker ( [17]). Posteriormente M. McCord ( [14]) y R. Stong ( [16]) demostraron en la d´ecada de 1960-1970 que los invariantes de la topolog´ıa algebraica de los poliedros compactos pod´ıan ser representados por espacios finitos. M´as recientemente, el estudio de la topolog´ıa de los A-espacios se reforz´o con la aparici´on en 2003 de unas notas de J.P. May ( [12]) que se fueron ampliando hasta [13] en 2016, en las que se recoge mucho de lo conocido de la topolog´ıa algebraica de los espacios finitos y dan aplicaciones en problemas relevantes y sus relaciones con otras clases de objetos habituales de la topolog´ıa algebraica. Junto con las notas de May la otra referencia con un contenido panor´amico de la topolog´ıa algebraica de los espacios finitos es la monograf´ıa debida a J.A. Barmak [2]). Ambas aumentaron el conocimiento de la topolog´ıa algebraica y la teor´ıa de homotop´ıa de los A-espacios. Es interesante mencionar que antes de que la topolog´ıa algebraica de los A- espacios alcanzase el nivel de desarrollo actual por May, Barmak y otros autores, los A-espacios ya se utilizaban en topolog´ıa digital para dotar de un lenguaje topol´ogico al an´alisis de im´agenes digitales ( [10]). De manera inversa, el poder modelizar espacios topol´ogicos y aplicaciones continuas por medio de objetos discretos tiene inter´es con vistas a un posible tratamiento con ordenadores. En este trabajo exponemos con detalle las modelizaciones por medio de espacios finitos hechas por K.A. Hardie y sus colaboradores J.J.C. Vermeulen y P.J. Witbooi en [7] y [8]. M´as concretamente, la obtenci´on de modelos en la clase de los espacios finitos de la multiplicaci´on de los n´umeros complejos unitarios, la conocida aplicaci´on de Hopf y el llamado cuadrado de Whitehead. A continuaci´on pasamos a detallar el contenido de la presente memoria. Los tres primeros cap´ıtulos forman una introducci´on a la teor´ıa de los A-espacios y su equivalencia con los conjuntos ordenados. El material es un resumen de los resultados b´asicos de [2] y sus versiones contenidas en varios Trabajos Fin de Grado previos [3], [11]. En el primer cap´ıtulo se muestran los conceptos b´asicos de Topolog´ıa general y Topolog´ıa de A-espacios que usaremos a lo largo del trabajo. El segundo se basa en el estudio de la analog´ıa que existe entre los A-espacios T0y los conjuntos en los que define una relaci´on de orden parcial, debido a su equivalencia. Ya en el tercero introducimos los conceptos de la Topolog´ıa simplicial b´asicos y su relaci´on con los espacios de Alexandrov, donde se comenta el Teorema de McCord y sus implicaciones m´as importantes a nivel general. El cuarto y quinto cap´ıtulo forman la aportaci´on original de esta memoria con respecto a los Trabajos Fin de Grado que comparten gran parte del material intro- 7 8´ INDICE GENERAL ductorio. En el Cap´ıtulo 4 se da la definici´on de modelo en la clase de A-espacio (A-modelo) de un espacio topol´ogico siguiendo a Hardie y sus colaboladores en [7]. Una versi´on m´as general debida a Barmak est´a dada en [2] que comentamos pero dejamos al margen en este trabajo. Se ve en este cap´ıtulo en qu´e condiciones un espacio admite un A-modelo y que ´este es ´unico salvo equivalencia de homotop´ıa d´ebil. Se termina con la descripci´on de distintos modelos modelos de las construcciones fundamentales en teor´ıa de homotop´ıa: el cilindro, el cono, la suspensi´on y el join. El quinto cap´ıtulo est´a dedicado a tratar la A-modelizaci´on de aplicaciones continuas. Se menciona el resultado de Hardie y Vermeulen que garantiza la existencia te´orica de modelos para aplicaciones continuas entre poliedros. No obstante, no es tarea f´acil encontrar A-modelizaciones expl´ıcitas. Como ejemplo, vemos en este trabajo que si s´olo se usan aplicaciones entre A-modelos m´ınimos de las esferas s´olo se puede modelizar una aplicaci´on homot´opicamente trivial cuando las dimensiones son distintas y homeomorfismos que intercambian puntos del mismo nivel en el caso de la misma dimensi´on. El cap´ıtulo contin´ua con el desarrollo minucioso de las modelizaciones expl´ıcitas hechas en [7] y [8] de la multiplicaci´on de complejos unitarios, la aplicaci´on de Hopf y el cuadrado de Whitehead. Todas ellas son explicadas gr´aficamente y con demostraciones detalladas. Cap´ıtulo 1 Espacios de Alexandrov 1.1. La noci´on de espacio de Alexandrov Recordemos que una topolog´ıa sobre un conjunto Xes una familia de subconjuntos de X,T, que cumple las siguientes propiedades: 1. ∅yXest´an en T. 2. La intersecci´on finita de conjuntos de Test´a en T. 3. La uni´on arbitraria de conjuntos de Test´a en T. Al par (X, T) se le llama espacio topol´ogico. Los conjuntos de Tson llamados conjuntos abiertos de (X, T). Notaci´on 1.1.1.Cuando la topolog´ıa Tse supone impl´ıcitamente, o no es relevante en el contexto, denotamos simplemente por Xal espacio topol´ogico, que tambi´en es abreviadamente referido como “espacio”. Un espacio topol´ogico es un espacio de Alexandrov, (abreviado a A-espacio) si la topolog´ıa Tes cerrada tambi´en bajo intersecciones arbitrarias. Es decir, la intersecci´on arbitraria de abiertos es un conjunto abierto. Es obvio que todo espacio finito es un A-espacio, ya que toda intersecci´on de abiertos se puede expresar como una intersecci´on finita. Por tanto, todo lo que se establezca para A-espacios, seguir´a siendo v´alido para los espacios finitos. Hist´oricamente fue el estudio de los espacios finitos el origen de los espacios de Alexandrov cuyas distintas denominaciones corresponden a los diferentes contextos donde han sido estudiados; ver [1], [4]. De hecho, Alexandrov llam´o “discretos” a los A-espacios, pero esta terminolog´ıa se emplea actualmente s´olo para la clase de A-espacios cuyos puntos son todos abiertos. La caracter´ıstica distintiva de los A-espacios es la existencia de un abierto m´ınimo para cada uno de sus puntos. Definici´on 1.1.1. Sea Xun A-espacio. Para todo x∈X, se define el abierto m´ınimo de x,Ux, como la intersecci´on de todos los conjuntos abiertos que contienen ax. Obviamente Uxes el menor abierto que contiene a x. De hecho los A-espacios pueden ser definidos como aquellos espacios con abiertos m´ınimos. Esto es, 9 16 CAP´ ITULO 2. LA TEOR´ IA DEL ORDEN VISTA DESDE LA TOPOLOG´ IA Definici´on 2.1.3. Un subconjunto S⊆Xse llama conjunto decreciente si y≤x∈ Simplica y∈S, para x, y ∈X. Para x∈X,↓x={y∈X:y≤x}es un conjunto decreciente llamado ideal principal generado por x. De igual manera, un subconjunto S⊆Xse llama conjunto creciente si y≥x∈S implica y∈S, para x, y ∈X. Para x∈X,↑x={y∈X:y≥x}es un conjunto creciente llamado filtro principal generado por x. Una vez establecidas las nociones principales de los posets, vamos a describir la identificaci´on entre A-espacios y conjuntos preordenados, debida a Alexandrov ( [1]) y a Tucker ( [17]). Denotaremos por Alex a la clase de los A-espacios y aplicaciones continuas, y por PreOrd a la clase de los conjuntos preordenados y aplicaciones que preservan el orden. Lema 2.1.1. Si ≤es un preorden en X, entonces, para todo x∈X, el ideal principal ↓x={y∈X:y≤x}, es el abierto base m´ınima para una A-topolog´ıa sobre Xtal que sus abiertos son exactamente los conjuntos decrecientes (equivalentemente, los cerrados son los conjuntos crecientes). M´as a´un, si ≤es un orden parcial, entonces esta topolog´ıa es T0. Definici´on 2.1.4. La topolog´ıa anterior se conoce como topolog´ıa del preorden ≤y se denota por T≤. Nota 2.1.1.Tambi´en la familia de filtros principales ↑xson los abiertos m´ınimos para una A-topolog´ıa, que es justamente la topolog´ıa del preorden opuesto definido por x≤op ysi y≤x. Rec´ıprocamente, se tiene el siguiente resultado. Lema 2.1.2. En todo A-espacio (X, T) se puede definir un preorden ≤Tllamado preorden de especializaci´on en T, estableciendo x≤Tysi se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes: y∈ {x} ⇐⇒ x∈Uy⇐⇒ {y} ⊆ {x}. M´as a´un, si (X, T) es T0, entonces el preorden ≤Tes, de hecho, un orden parcial. El siguiente teorema da la equivalencia entre pre´ordenes y A-topolog´ıas. Teorema 2.1.1. Toda relaci´on de preorden ≤sobre un conjunto Xcoincide con el preorden de especializaci´on de su topolog´ıa. M´as a´un, toda A-topolog´ıa Tsobre X es la topolog´ıa de su preorden de especializaci´on. Adem´as, f: (X, ≤)−→ (Y, ⪯) es ordenada si y solo si f: (X, T≤)−→ (Y, T⪯) es continua. Nota 2.1.2.Obs´ervese que el abierto m´ınimo de un punto x,Ux, puede definirse, respecto al preorden de especializaci´on ≤T, como Ux=↓x, mientras que la clausura, {x}, puede definirse como {x}=↑x. 2.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y A-ESPACIOS 17 Nota 2.1.3.Dado un espacio finito X, una aplicaci´on inyectiva o sobreyectiva continua f:X−→ Xes un homeomorfismo, ya que por ser Xfinito, fes una biyecci´on y por tanto una permutaci´on de X, luego existe un entero n≥1 tal que fn=IdX. Nota 2.1.4.Los elementos minimales de un conjunto preordenado (X, ≤) son los abiertos unitarios de la A-topolog´ıa asociada al preorden y a su vez, los elementos maximales de Xson conjuntos cerrados unitarios. En particular, Min(X) es un subespacio abierto discreto y Max(X) es un subespacio cerrado discreto. Como todo poset finito tiene alg´un elemento maximal y minimal, todo espacio finito T0 posee al menos un punto que es subconjunto cerrado y otro punto que es abierto. El Teorema 2.1.1 puede reescribirse de la siguiente forma: Teorema 2.1.2. Existe una equivalencia entre la clase Alex y la clase PreOrd, que hace corresponder a un A-espacio (X, T) el conjunto preordenado (X, ≤T), y a una aplicaci´on continua f: (X, TX)−→ (Y, TY) ella misma vista entre conjuntos preordenados, f: (X, ≤TX)−→ (Y, ≤TY). Esta equivalencia se restringe a una equivalencia entre los A-espacios T0y los conjuntos parcialmente ordenados. Por tanto, para estudiar A-espacios T0podemos dedicarnos a estudiar posets y viceversa. Esto ser´a bastante utilizado en los pr´oximos cap´ıtulos. Terminamos esta secci´on con las caracterizaciones de la conexi´on y la compacidad que tenemos de los A-espacios vistas desde el punto de vista de los posets. Para la conexi´on se tiene como consecuencia inmediata del Teorema 1.2.1: Teorema 2.1.3. Un A-espacio Xes conexo (o, equivalentemente, conexo por caminos) si y solo si existe una secuencia de elementos comparables para el orden de especializaci´on entre dos puntos cualesquiera de X. Para la compacidad se tiene el siguiente resultado: Teorema 2.1.4. Un A-espacio es compacto si y solo si Max(X) es finito, y todo x∈Xes menor que alg´un elemento de Max(X). Demostraci´on. Supongamos que Xes compacto, entonces del recubrimiento de X por abiertos m´ınimos X=∪x∈XUxpodemos extraer un subrecubrimiento finito X=Ux1∪ · · · ∪ Uxs. Podemos suponer que ning´un par en J={x1, x2, . . . , xs} es comparable, ya que si xi≤xjentonces Uxi⊆Uxjy podemos eliminar Uxidel subrecubrimiento obtenido. De ello se sigue inmediatamente que J=Max(X) y que todo elemento de Xes menor que alg´un xj. Si se cumplen las condiciones del teorema, dado cualquier recubrimiento por abiertos X=∪α∈ΛΩα, para cada x∈Max(X) consideramos un ´ındice α(x)∈Λ tal que x∈Ωα(x). Entonces Ux⊆Ωα(x)y tenemos, por la segunda condici´on, X= ∪x∈Max(X)Ux⊆ ∪x∈Max(X)Ωα(x), es decir Xes compacto. 18 CAP´ ITULO 2. LA TEOR´ IA DEL ORDEN VISTA DESDE LA TOPOLOG´ IA 2.2. Homotop´ıa en A-espacios y orden Es natural buscar una formulaci´on de las homotop´ıas entre aplicaciones continuas de A-espacios en t´erminos de alguna relaci´on de orden entre tales aplicaciones. Para ello comenzamos observando que si XeYson A-espacios (o, equivalentemente, conjuntos preordenados), se puede dotar al conjunto YXde las aplicaciones continuas de Xen Ydel orden: f≤gsi f(x)≤g(x) en el preorden de Ypara todo x∈X. (2.1) Para espacios finitos esta relaci´on de preorden permite caracterizar la homotop´ıa entre aplicaciones. En efecto, se tiene el siguiente teorema. Teorema 2.2.1. Sea Xun espacio finito e Yun A-espacio cualquiera. Entonces dos aplicaciones f, g :X→Yson homot´opicas si y solo si existe una sucesi´on de aplicaciones f0, ..., fntales que f0=f, fn=gyfies comparable a fi+1 para todo 0≤i≤n−1 respecto al orden en (2.1). Demostraci´on. Sea H:X×I→Yuna homotop´ıa entre las aplicaciones fyg. Por continuidad, para cada x∈Xyt∈Iexiste un ϵ=ϵ(x, t)>0 tal que H(Ux×(t−ϵ, t +ϵ)) ⊆UH(x,t)(ver Proposici´on 1.1.2). Como Xes finito, para cada t∈Ise puede tomar ϵ(t) = m´ın{ϵ(x, t); x∈X}. Tenemos entonces que dado cualquier t∈I, H(Ux×(t−ϵ(t), t +ϵ(t)) ⊆UH(x,t)para todo x∈X. (2.2) Sea δ > 0 el n´umero de Lebesgue del recubrimiento de Ipor los intervalos (t−ϵ(t), t +ϵ(t)) (t∈I). Ahora sea 0 = s0< s1<· · · < sn= 1 una partici´on de I tal que si+1 −si< δ para todo i. As´ı pues para cada subintervalo [si, si+1] existe un ti∈Icon [si, si+1]⊆(ti−ϵ(ti), ti+ϵ(ti)) y por (2.2) H(Ux×[si, si+1]) ⊆UH(x,ti)para todo x∈X. En particular, para las aplicaciones continuas fi=H|X×{si}ygi=H|X×{ti}tenemos fi(x)≤gi(x)≥fi+1(x). Esto es, f=f0≤g0≥f1≤g1≥f2≤. . . fn−1≤gn−1≥ fn=g. Rec´ıprocamente, si tenemos una secuencia f=f0, . . . , f :n=gde aplicaciones comparables por el orden (2.1), por la transitividad de la relaci´on de homotop´ıa podemos suponer que la secuencia se reduce a f≤g(o g≤f, que es un caso an´alogo) y el resultado sigue directamente del Lema 1.2.1. La secuencia en el Teorema 2.2.1 se puede conseguir de manera que la diferencia entres dos aplicaciones consecutivas de la misma sea solo en un punto. Esto es, Proposici´on 2.2.1. Sean f, g :X−→ Ydos aplicaciones homot´opicas entre espacios finitos T0. Entonces existe una sucesi´on f=f0, f1, . . . , fn=gtal que para todo 0≤i<nexiste un punto xi∈Xcon las siguientes propiedades: 1. fiyfi+1 coinciden en X− {xi}. 2. fi(xi)≺fi+1(xi) ´o fi+1(xi)≺fi(xi). 2.2. HOMOTOP´ IA EN A-ESPACIOS Y ORDEN 19 Demostraci´on. Podemos suponer sin p´erdida de generalidad que f=f0≤gpues el caso f0≥ges an´alogo y podemos razonar paso a paso en la secuencia dada entre f ygpor el Corolario 2.2.1. Se define el conjunto A={x∈X:f(x)=g(x)}. Si A=∅, entonces f=gy no hay nada que probar. Supongamos, por tanto, A=∅y sea x0un punto maximal de A. Se define f1:X−→ Ycomo f1(x) = f(x) si x=x0yf1(x0) = g(x0). Afirmamos que f1es continua. En efecto, si x≤x′con x, x′=x0,f1(x) = f(x)≤f(x′) = f1(x′) por ser fcontinua. Ahora, si x≤x0entonces f1(x) = f(x)≤g(x)≤g(x0) = f1(x0), usando la continuidad de g. En caso de que x0≤x, la maximalidad de x0es Anos dice que f(x) = g(x) a menos que x=x0. Entonces si x0< x,f1(x0) = g(x0) = f(x0)≤f(x) = f1(x). Esto demuestra la continuidad de f1. M´as a´un, f1≤gyA1={x∈X;f1(x)=g(x)}= A− {x0}. Ahora repetimos el razonamiento con A1. Reiter´andolo llegamos a agotar Ay obtenemos una secuencia f=f0≤f1≤ · · · ≤ fn=g. De acuerdo con el Teorema 2.2.1, para la topolog´ıa de Alexandrov asociada al preorden en (2.1), la conexi´on por caminos corresponde a la conexi´on por secuencias de aplicaciones comparables para ese preorden. En teor´ıa de homotop´ıa, si al conjunto YXde la aplicaciones continuas de XaY se le dota de la topolog´ıa compacto-abierto, entonces la relaci´on de homotop´ıa entre aplicaciones en YXse corresponde con la conexi´on de la topolog´ıa compacto-abierto. Recordemos que la llamada topolog´ıa compacto-abierto es la topolog´ıa generada por todas las intersecciones finitas de la forma ∩n i=1⟨Ki, Ui⟩siendo, para cada i,Ki yUiconjuntos compactos y abiertos de XeY, respectivamente, y ⟨K, U⟩={f∈ YX;f(K)⊆U}. Para la topolog´ıa compacto-abierto se tiene el siguiente resultado, conocido como ley exponencial (ver [15]; Teorema 46.11). Recordemos que un espacio Xse dice localmente compacto si para todo punto x∈Xy para todo entorno Nde xexiste un entorno m´as peque˜no de x,K⊆N, que es compacto. El teorema dado en [15] exige la propiedad de Hausdorff, pero esta no es necesaria (ver [11], Teorema 1.5.10). Teorema 2.2.2. Sean YyZespacios topol´ogicos cualquiera y sea Xlocalmente compacto (no necesariamente de Hausdorff). Entonces si YXest´a dotado de la topolog´ıa compacto-abierto, la continuidad de h:X×Z→Yes equivalente a la continuidad de la aplicaci´on bh:Z→YX. Es decir, que la aplicaci´on h→bhinduce una biyecci´on YX×Z∼ =(YX)Z. Como consecuencia inmediata del teorema anterior, si tomamos Z= [0,1], el intervalo unidad eucl´ıdeo, se tiene la siguiente identificaci´on de las homotop´ıas como caminos entre aplicaciones. Corolario 2.2.1. Sea Xun espacio localmente compacto. Entonces para todo espacio Y, dos aplicaciones continuas f, g :X→Yson homot´opicas si y s´olo si est´an conectadas por un camino en YXcon la topolog´ıa compacto-abierto. En general, si Xes un A-espacio localmente compacto, la topolog´ıa compactoabierto no coincide con la topolog´ıa para el preorden en (2.1), por lo que a una homotop´ıa no siempre se le podr´a asociar una secuencia de aplicaciones comparables. Sin embargo, esto s´ı ocurre para los espacios finitos, m´as expl´ıcitamente: 20 CAP´ ITULO 2. LA TEOR´ IA DEL ORDEN VISTA DESDE LA TOPOLOG´ IA Proposici´on 2.2.2. Si Xes un espacio finito e Yes cualquier A-espacio, la topolog´ıa compacto-abierto sobre YXcoincide con la A-topolog´ıa del orden en (2.1). Una demostraci´on de este resultado se encuentra en [3]. Habitualmente, la caracterizaci´on de las homotop´ıas como secuencias de aplicaciones comparables dada en el Teorema 2.2.1 se presenta como consecuencia inmediata del Corolario 2.2.1 (ver [13], [2]). La demostraci´on que se da aqu´ı del Teorema 2.2.1 es una demostraci´on directa que solo utiliza resultados topol´ogicos del Grado de Matem´aticas. La hemos tomado de [3]. 2.3. Espacios finitos minimales Para los conjuntos finitos, la caracterizaci´on de aplicaciones homot´opicas dada en la Proposici´on 2.2.1 permiti´o a Stong (ver [16]) dar un m´etodo para reducir el estudio de los tipos de homotop´ıa de estos espacios al de tipos de homeomorf´ıa. Para ello us´o la siguiente definici´on en t´erminos del orden de especializaci´on. Definici´on 2.3.1. Sea Xun A-espacio. Un punto x∈Xse dice que es eliminable ascendentemente si existe y∈Xcon y≥xtal que z≥ximplica z≥y. De forma similar, un punto x∈Xse dice que es eliminable descendentemente si existe y∈X con y≤xtal que z≤ypara todo z≤x. Se dir´a que un punto es eliminable si lo es ascendentemente o descendentemente . Si x∈Xes un punto eliminable, X−{x}se llamar´a una reducci´on de X. Se dice que Xse reduce a Ysi existe una secuencia de reducciones X=X0, . . . , Xn=Y. Un A-espacio se dice minimal si es T0y no tiene puntos eliminables. A todo subespacio minimal de un A-espacio que sea retracto de deformaci´on de Xse le llama un n´ucleo de X. Para los espacios minimales finitos los tipos de homotop´ıa se reducen al los tipos de homeomorfia. M´as expl´ıcitamente, Stong (ver [16]) obtuvo los siguientes resultados. Teorema 2.3.1. Si Xes un espacio minimal finito y f:X→Xes homot´opica a la identidad entonces fes la identidad. Demostraci´on. De acuerdo con el Teorema 2.2.1 podemos suponer que idX≤fo f≤idX. Supongamos idX≤f. Por la Proposici´on 2.2.1 podemos suponer que existe x0∈Xtal que f(x) = xsi x=x0. Como x0≤f(x0), si existe x1∈Xcon x0≤x1yx0=x1, por la continuidad de fse tiene x0≤f(x0)≤f(x1) = x1. Por tanto x0ser´ıa un punto eliminable gracias af(x0). Esto lleva a contradicci´on pues Xes minimal. La observaci´on anterior lleva a que x0debe ser un elemento maximal, pero entonces f(x0) = x0yfes la propia identidad. El caso f≤idXes an´alogo , apareciendo x0como un punto eliminable descendentemente. Corolario 2.3.1. Toda equivalencia de homotop´ıa entre espacios minimales finitos es un homeomorfismo. Demostraci´on. Si f:X→Yes una equivalencia de homotop´ıa, existe g:Y−→ X tal que f◦g≃idYyg◦f≃idX. Entonces por el Teorema 2.3.1, f◦g=idYy g◦f=idX. 2.3. ESPACIOS FINITOS MINIMALES 21 Adem´as del resultado anterior, Stong tambi´en prob´o en [16] la existencia de n´ucleos para los espacios finitos. Empezamos con al siguiente proposici´on. Proposici´on 2.3.1. Si xes un punto eliminable en X, entonces la inclusi´on i: X− {x} → Xes un retracto de deformaci´on. Demostraci´on. Supongamos que x∈Xes un punto eliminable ascendentemente y sea y≥xtal que para todo z≥xse tiene z≥y. Definimos entonces la retracci´on r:X→X− {x}tomando r(z) = zsi z=xyr(x) = y. Es obvio que r≥id. Probamos ahora que res continua y de esta forma i◦r≃id por el Teorema 2.2.1. Para ver la continuidad, supongamos que w≤w′. Si w, w′=x, por definici´on r(w) = w≤w′=r(w′). Si w=x, entonces r(w) = y≤w′=r(w′). Finalmente, si w′=xtenemos r(w) = w≤x≤y=r(w′). En el caso en el que xsea eliminable descendentemente se razona de manera an´aloga. Teorema 2.3.2. Sea Xun espacio finito. Entonces Xadmite un n´ucleo. Demostraci´on. De acuerdo con el Teorema 1.2.2, Xadmite un retracto de deformaci´on que es T0, por lo que se puede suponer que Xya es T0. Adem´as por la Proposici´on 2.3.1 el quitar un punto eliminable se corresponde con un retracto de deformaci´on. Podemos hacer as´ı desaparecer los puntos eliminables que nos vayan apareciendo hasta llegar a un n´ucleo de Xtras una secuencia de retractos de deformaci´on. Corolario 2.3.2. Dos espacios finitos son homot´opicamente equivalentes si y s´olo si tienen n´ucleos homeomorfos. En particular, todas los n´ucleos de un mismo espacio finito son homeomorfos. Demostraci´on. De la propiedadd transitiva de la relaci´on de homotop´ıa se sigue que los n´ucleos de XeYson homot´opicamente equivalentes. Entonces por el Corolario 2.3.1 estos n´ucleos son homeomorfos. 22 CAP´ ITULO 2. LA TEOR´ IA DEL ORDEN VISTA DESDE LA TOPOLOG´ IA Cap´ıtulo 3 Topolog´ıa simplicial y A-espacios Dado que vamos a usar triangulaciones de espacios, introduciremos los resultados b´asicos de la Topolog´ıa Simplicial en este cap´ıtulo. Despu´es de esto, veremos que existe una estrecha relaci´on entre los complejos simpliciales y los espacios de Alexandrov. 3.1. Complejos simpliciales Una colecci´on de puntos {a0, . . . , an} ⊆ Rmse dice af´ınmente independiente si los vectores {a1−a0, . . . , an−a0}son linealmente independientes. El n-s´ımplice generado por {a0, . . . , an}es el conjunto convexo σn=(x∈Rm:x= n X i=0 λiaicon n X i=0 λi= 1, λi≥0). Los coeficientes λison llamados coordenadas baric´entricas y los puntos aicon 0 ≤ i≤nse llaman v´ertices de σy se escribir´a σ= (a0, . . . , an) para dar expl´ıcitamente los v´ertices de σ. As´ı, un 0-s´ımplice es un punto, un 1-s´ımplice es un segmento, un 2-s´ımplice es un tri´angulo y un 3-s´ımplice es un tetraedro. Dado un s´ımplice σ, el interior (af´ın) de σes el conjunto ◦ σ={x∈σ:λi>0 para todo 0 ≤i≤n}. Definici´on 3.1.1. Sean σyτdos s´ımplices en Rm. Se dice que τes cara de σy se denota por τ≤σ, si los v´ertices de τson v´ertices de σ. Si τ=σyτ≤σse dice que τes una cara propia de σy se denota por τ < σ. Si τ≤σ, se dir´a que ◦ τes una cara abierta de σ. La uni´on de caras propias de un n-s´ımplice σ= (a0, . . . , an) se llama borde de σ, y se denota por • σ. N´otese que • σ={x∈σ:x=Pn i=0 λiaital que λj= 0 para alg´un j}, y por tanto ◦ σ=σ−• σ. Lema 3.1.1. Se tienen las dos propiedades siguientes: 1. Todo s´ımplice es uni´on disjunta de sus caras abiertas. 2. Dos caras de un mismo s´ımplice o son disjuntas o se encuentran en una cara. 23 24 CAP´ ITULO 3. TOPOLOG´ IA SIMPLICIAL Y A-ESPACIOS Definici´on 3.1.2. Se llama complejo simplicial a una colecci´on Kfinita de s´ımplices en alg´un espacio eucl´ıdeo Rnverificando: 1. Si σ1, σ2∈Kentonces σ1∩σ2=∅´o σ1∩σ2es una cara com´un de σ1yσ2. 2. Si σ∈Kyτ≤σentonces τ∈K. Como consecuencia del Lema 3.1.1 se tiene: Lema 3.1.2. Sean σ, τ ∈Kcon ◦ σ∩τ=∅. Entonces σ≤τ. Definici´on 3.1.3. La dimensi´on de Kes el n´umero m´ax {dim σ:σ∈K}. Un s´ımplice σse dir´a que es un s´ımplice maximal en Ksi es de m´axima dimensi´on en K. Un s´ımplice σde un complejo Kse dice principal si no existe ning´un s´ımplice τ∈K tal que σ≤τ. En particular, los s´ımplices maximales de Kson s´ımplices principales. Nota 3.1.1.N´otese que todo s´ımplice σdetermina un complejo simplicial al considerar σy todas sus caras. En lo que sigue, σdenotar´a indistintivamente un s´ımplice o el complejo simplicial determinado por ´el. Definici´on 3.1.4. Un subcomplejo L⊆Kes un conjunto de s´ımplices de Kque es a su vez un complejo simplicial. Se llama m-esqueleto de Ky se denota por Kmal subcomplejo Km={σ∈K: dim σ≤m}. AK0se le llama el conjunto de v´ertices de Ky los 1-s´ımplices ser´an llamados las aristas de K. Definici´on 3.1.5. El conjunto de los puntos de los s´ımplices de Kse denomina poliedro subyacente de K, y se denotar´a por |K|. Se tiene que |K|=S{σ:σ∈K}. Como consecuencia inmediata del Lema 3.1.2 se tiene que todo x∈ |K|est´a en el interior de un ´unico s´ımplice de K, llamado s´ımplice soporte de x. Definici´on 3.1.6. Sean K1yK2complejos simpliciales y φuna aplicaci´on definida entre los v´ertices de K1yK2. Se dice que φes una aplicaci´on simplicial si dado un s´ımplice σ∈K1con σ= (v0, . . . , vn), los v´ertices φ(v0), . . . , φ(vn) est´an en un mismo s´ımplice de K2. Una aplicaci´on simplicial entre KyLse denotar´a como φ:K−→ L. N´otese que la composici´on de aplicaciones simpliciales es siempre una aplicaci´on simplicial. Un isomorfismo simplicial entre dos complejos simpliciales K1 yK2es una biyecci´on φentre los v´ertives tal que (v0, . . . , vn) es un s´ımplice de K1 si y solo si (φ(v0), . . . , φ(vn)) lo es de K2. Toda aplicaci´on simplicial φ:K1−→ K2da lugar a una aplicaci´on continua que seguimos denotando φ:|K1| −→ |K2|definida por extensi´on lineal. Esto es, si x=Pn i=0 λivi∈σ= (v0, . . . , vn) se define φ(x) = Pn i=0 λiφ(vi). Definici´on 3.1.7. Sea Kun complejo simplicial y σ∈Kun s´ımplice. Se llama estrella de σen Kal subcomplejo simplicial st(σ;K) = {τ∈K: existe ρ∈Kcon τ, σ ≤ρ}. 3.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES 25 Obs´ervese que |st(σ;K)|=S{µ:µ∈K, σ ≤µ}. Si x∈ |K|se define la estrella de xen Kcomo el subcomplejo st(x;K) = {τ∈K: existe ρ∈Kcon x∈ρyτ≤ρ}. Por otra parte, se define la estrella abierta de x∈ |K|como el conjunto ◦ st(x;K) = [n◦ µ:µ∈Kyx∈µo. La propiedad clave de la estrella abierta es que define un abierto de la topolog´ıa de |K|. Esto se debe al hecho de que cuando la intersecci´on ◦ st(x;K)∩σno es vac´ıa, entonces x∈σy esa intersecci´on es justamente la diferencia σ−σx, donde σxes el s´ımplice soporte de x, que es un abierto de σ. Definici´on 3.1.8. Se define el engarce olink de σen Kcomo el subcomplejo simplicial lk(σ;K) = {ρ∈st(σ;K) : σ∩ρ=∅} . As´ı mismo, se define el engarce olink de x∈ |K|como el subcomplejo lk(x;K) = {σ∈st(x;K) : x /∈σ}. Definici´on 3.1.9. Dos conjuntos finitos A, B ⊂Rnse dicen unibles si A∪Bes af´ınmente independiente. Se define la uni´on simplicial de AyBcomo el s´ımplice de v´ertices A∪Bo equivalentemente, como el conjunto AB ={λa +µb :a∈A, b ∈B;λ, µ ≥0; λ+µ= 1}. Dos complejos simpliciales, KyLse dicen unibles si todo σ∈Kes unible con todo τ∈L. Se define la uni´on simplicial de KyL, denotada por K∗L, como el complejo simplicial: K∗L={σ, τ, στ :σ∈K, τ ∈L}. Se define el cono de un complejo simplicial K∈Rncomo la uni´on simplicial de Ky un v´ertice v. Se denota como vK y se dir´a cono de v´ertice vy base K. An´alogamente, se define la suspensi´on de Kcomo la uni´on simplicial de Kcon dos v´ertices uyv. Se denota por {u, v}Ky se dir´a suspensi´on de Kcon v´ertices u yv. Nota 3.1.2.Sean K1, K2, K3complejos simpliciales unibles tales que cada uno de ellos es unible a la uni´on simplicial de los otros dos. Es inmediato comprobar que (K1∗K2)∗K3=K1∗(K2∗K3). Corolario 3.1.1. La uni´on simplicial por un cono, es un cono. Demostraci´on. Sean K=aZ un cono y Lun complejo simplicial. Por la Nota 3.1.2 K∗L= (a∗Z)∗L=a∗(Z∗L), que es un cono. 32CAP´ ITULO 4. MODELOS DE ALEXANDROV DE ESPACIOS TOPOL ´ OGICOS Figura 4.1: Modelo m´ınimo de S1. Ejemplo 4.1.1. (Esferas m´ınimas en Alex) Sea Σ1el espacio finito cuyo diagrama de Hasse es Esto es, los abiertos m´ınimos de Σ1son Ua={a},Ub={b},Uc={a, b, c } yUd={a, b, d }. Podemos reiterar este proceso y contin´ua el diagrama de Hasse de altura n Figura 4.2: Modelo m´ınimo de Sn. representando el espacio finito Σn={ai, bi}1≤i≤n+1 de abiertos m´ınimos Uaj={aj }∪{ai, bi|i≤j−1}yUbj={bj}∪{ai, bi|i≤j−1}. Obs´ervese que K(Σ1) es la triangulaci´on de S1con cuatro v´ertices y, en general, K(Σn) es la triangulaci´on de Snobtenida como suspensi´on reiterada de dos puntos K(Σn) = {an+1, bn+1 } ∗ K(Σn−1) = ... ={an+1, bn+1 } ∗...∗ { a1, b1}(ver Figura 4.3) (a) S1(b) S2 Figura 4.3: Triangulaciones de S1yS2. 4.1. DIAGRAMAS DE HASSE 33 Los espacios finitos Σnson llamados esferas (finitas) m´ınimas. La raz´on de este nombre est´a justificada por la Proposici´on 4.2.1 que daremos m´as adelante. Consideremos el conjunto de los n´umeros enteros Z. Sobre ´el, podemos construir una topolog´ıa que da lugar a un A-espacio de la siguiente forma. Definici´on 4.1.3. La recta de Khalimsky es el espacio topol´ogico (Z,T) donde sus abiertos m´ınimos son: 1. Si n∈Zes impar, Un={n}. 2. Si n∈Zes par, Un={n−1, n, n + 1}. Este espacio se corresponde con el poset K= (Z,≼) donde 2k−1≼2k≽2k+ 1 para todo k∈Z. La semirrecta de Khalimsky es el subposet de K,K≥0= (Z≥0,≼). A su vez, dados dos enteros nymcon n≤m−1 el arco de Khalimsky Γm nes el subposet de Kformado por el intervalo [n, m]⊆Z. Para n=m, Γn n={n}se llama arco de Khalimsky degenerado. Figura 4.4: Recta de Khalimsky. (a) Semirrecta de Khalimsky (b) Arco de Khalimsky Γ3 −3 Figura 4.5: Subespacios de la recta de Khalimsky. Observaci´on 4.1.2.Los extremos de cualquier arco de Khalimsky Γm nson puntos eliminables. Esto significa que podemos ir eliminando los extremos izquierdos por ejemplo para ver que {m}es un retracto de deformaci´on fuerte de Γm n. Ejemplo 4.1.2. El plano de Khalimsky es el producto cartesiano de dos rectas de Khalimsky. El orden de este nuevo poset viene dado por: (x, y)≤(z, t)⇐⇒ x≤z ey≤t. El diagrama de Hasse del plano de Khalimsky es complicado de visualizar, por lo que usaremos esta representaci´on gr´afica del plano, entendiendo que se extiende hasta el infinito: 34CAP´ ITULO 4. MODELOS DE ALEXANDROV DE ESPACIOS TOPOL ´ OGICOS Figura 4.6: Plano de Khalimsky. En general, el n-espacio de Khalimsky es el producto de n-copias de la recta de Khalimsky Kn=K×... ×K. Se tiene que K(Kn) es una triangulaci´on de Rn Ejemplo 4.1.3. (Circunferencias y toros de Khalimsky). Una circunferencia de Khalimsky de longitud nes una sucesi´on finita de puntos x1, .., xndonde si xies un punto abierto, entonces xi+1 es un punto cerrado y viceversa, para todo i= 1, ..., n −1; y adem´as x1=xn. Toda circunferencia de Khalimsky es de longitud par, dado que si consideramos una circunferencia de longitud impar, el primer punto y el ´ultimo, al ser el mismo, ser´ıan un punto abierto y cerrado a la vez, lo cual no puede ocurrir en la topolog´ıa de Khalimsky. Figura 4.7: Circunferencia de Khalimsky de 8 puntos. Usando las circunferencias de Khalimsky, se obtienen los toros de Khalimsky de forma similar a como ocurr´ıa con el plano de Khalimsky a partir de la recta de Khalimsky. Dada una n−tupla m= (m1, ..., mn)∈(2Z)n, donde mi≥4 para todo i= 1, ..., n, se define el n-toro de Khalimsky como Tm=Zm1×...×Zmn. Obviamente, un 1-toro de Khalimsky es una circunferencia de Khalimsky. El diagrama de Hasse del 2-toro de Khalimsky es bastante complicado. Por tanto, visualizaremos estos posets a partir del plano de Khalimsky de forma an´aloga a como representamos el toro como identificaci´on de una regi´on del plano. 4.2. A-MODELOS DE ESPACIOS 35 Figura 4.8: Diagrama de Hasse del 2-toro de Khalimsky T(8,4). 4.2. A-modelos de espacios Definici´on 4.2.1. Sea Wun espacio topol´ogico y Xun A-espacio T0. Diremos que X es un modelo de Alexandrov (o un A-modelo) de Wsi |K(X)|es homot´opicamente equivalente a W. Diremos que Xes un A-modelo m´ınimo si es un modelo finito de cardinal m´ınimo. En los ejemplos de la secci´on anterior tenemos modelos de S1,Sn,R,R2o el toro. Es interesante observar que Σnes el modelo finito m´ınimo de Sn. Esto es, Proposici´on 4.2.1. El espacio finito Σnes el modelo de Sncon menor cardinal. Demostraci´on. Consideremos Yotro modelo finito de Sncon menor cardinal que Σn. Como |K(Y)|es homot´opicamente equivalente a Sn, tenemos que Hn(|K(Y)|,Z2)∼ =Hn(Sn,Z2)∼ =Z2. Entonces necesariamente dim(|K(Y)|)≥ny el diagrama de Hasse de Ytiene al menos n+ 1 niveles. Como el cardinal de Yes ≤2n+ 1, alg´un nivel s´olo contiene un punto y0. En tal caso los puntos de nivel superior ser´ıan eliminables descendentemente por orden creciente de niveles. De esta forma, vemos que Ytiene como retracto de deformaci´on fuerte a un cono de v´ertice y0y por tanto Yes contr´actil. Esta contradicci´on demuestra la proposici´on. Es importante puntualizar que pueden existir varios A-modelos no homot´opicamente equivalentes de un mismo espacio W. Esto se debe a la siguiente observaci´on. Nota 4.2.1.Si bien ψXes siempre una equivalencia de homotop´ıa d´ebil, solo puede ser una equivalencia de homotop´ıa cuando |K(X)|es una uni´on disjunta de poliedros contr´actiles. Podemos suponer que Xes conexo por caminos pues toda equivalencia de homotop´ıa preserva el n´umero de componentes conexas e induce equivalencias de homotop´ıa entre ellas. En tal caso, si g:X−→ |K(X)|es una inversa homot´opica de ψX, la imagen de g◦ψX:|K(X)| −→ |K(X)|debe ser un subconjunto conexo de 36CAP´ ITULO 4. MODELOS DE ALEXANDROV DE ESPACIOS TOPOL ´ OGICOS un poliedro y contener solo una cantidad finita de puntos. Esto solo es posible si es un ´unico punto, luego la identidad de |K(X)|es homot´opica a una constante y por tanto este poliedro debe ser contr´actil. A´un siendo el poliedro |K(X)|contr´actil, ψXpuede no ser una equivalencia de homotop´ıa, como muestra el siguiente ejemplo (puede encontrarse en el Ejemplo 4.2.1 de [2]). Ejemplo 4.2.1. Sea Xel espacio finito cuyo diagrama de Hasse aparece en la Figura 4.9 (a). Es inmediato que no tiene puntos eliminables, por tanto es un espacio minimal y no puede ser contr´actil. Sin embargo, su complejo simplicial asociado, K(X), es la triangulaci´on del cuadrado que aparece en la Figura 4.9 (b). Entonces, usando el Teorema 3.4.1, Xes del tipo de homotop´ıa d´ebil de un punto, pero no es contr´actil. Este ejemplo muestra que la contractibilidad de un espacio finito Xno equivale a la contractibilidad de su complejo simplicial asociado K(X). Figura 4.9: Espacio y su complejo asociado. En particular, el espacio puntual tiene al espacio finito del ejemplo anterior como A-modelo no homot´opicamente equivalente al espacio puntual. Obs´ervese que los arcos de Khalimsky, la semirrecta o la recta de Khalimsky son modelos del punto no homemorfos entre s´ı pero son todos ellos contr´actiles. Todas las circunferencias de Khalimsky son modelos de S1representando distintos tipos de homotop´ıa pues al ser espacios minimales, las equivalencias de homotop´ıa entre ellos ser´ıan necesariamente homeomorfismos por el Corolario 2.3.1. S´olo se puede asegurar que los A-modelos de un espacio topol´ogico fijado tienen todos el mismo tipo de homotop´ıa d´ebil. Esto es, Proposici´on 4.2.2. Si X1yX2son A-modelos de un mismo espacio topol´ogico W, entonces X1eX2son del mismo tipo de homotop´ıa d´ebil. Demostraci´on. De acuerdo con el teorema de McCord (Teorema 3.4.1) tenemos que Xies d´ebilmente equivalente a |K(Xi)|. Como cada |K(Xi)|es homot´opicamente equivalente a W, se sigue que X1yX2son del mismo tipo de homotop´ıa d´ebil. Tambi´en tenemos el siguiente resultado que determina los tipos de homotop´ıa de los espacios que admiten A-modelos finitos. Proposici´on 4.2.3. Un espacio Wadimite un A-modelo finito Xsi y s´olo si X tiene el mismo tipo de homotop´ıa que un poliedro. 4.2. A-MODELOS DE ESPACIOS 37 Demostraci´on. Obviamente la existencia del A-modelo Xda lugar a una equivalencia de homotop´ıa W≃ |K(X)|. Rec´ıprocamente, si tenemos una equivalencia de homotop´ıa W≃ |K|, consideremos el espacio finito X=X(K), para el cual K(X) = sdK; ver Secci´on 3.4. Entonces tenemos una equivalencia de homotop´ıa |K(X)|=|sdK|=|K| ≃ W. Ejemplo 4.2.2. Sea Y={1/n}n≥1∪ {0} ⊆ R. Entonces Yes un espacio compacto que no tiene un A-modelo finito pues no puede tener el tipo de homotop´ıa de un poliedro ya que los poliedros compactos s´olo tienen un n´umero finito de componentes conexas y este n´umero es invariante por equivalencias de homotop´ıa. Un ejemplo de espacio compacto y conexo por caminos que no posee un A-modelo finito es el espacio Xconocido como c´ırculo de Varsovia Figura 4.10: C´ırculo de Varsovia. En efecto, de acuerdo con la Proposici´on 4.2.3 bastar´a ver que Xno tiene el tipo de homotop´ıa de un poliedro |K|. Si suponemos que para cierto poliedro |K|tenemos una equivalencia de homotop´ıa f:|K| → X, observamos que la imagen de fno puede ser todo Xya que en tal caso Xser´ıa localmente conexo por el Teorema de Hahn-Mazurkiewicz (ver Teorema 31.5 en [20], ver Teorema 2.15 [5]). Entonces por conexi´on y compacidad f(|K|) es un arco cerrado y f:|K| −→ f(|K|) es homot´opicamente trivial. Para una inversa homot´opica de f,g:X→ |K|, tenemos que f◦g≃id|K|es homot´opicamente trivial y por ello |K|yXdeben ser contr´actiles. Veamos que Xno es contr´actil y habremos llegado a una contradicci´on. De existir una homotop´ıa H:X×I→Xentre idXy una aplicaci´on constante cx0, por ser Xconexo por caminos podemos suponer que x0es el punto indicado en el dibujo. Entonces la restricci´on α=H|{x0}×Idefine un lazo en Xbasado en x0, por lo que la imagen de αes un arco en Xque contiene a x0. Esto significa que debe existir un n0tal que para todo n≥n0,xnno est´a en la imagen de α. Por otro lado, para cada n≥n0,H|{xn}×Ies un camino entre xnyx0y por tanto debe existir tntal que H(xn, tn) = xn0. Por compacidad podemos suponer sin p´erdida de generalidad que tnconverge a alg´un t0. Por continuidad α(t0) = H(x0, t0) = xn0, lo que nos lleva a una contradicci´on. Nota 4.2.2.En este trabajo, se ha definido un A-modelo siguiendo [7] en la Definici´on 4.2.1. No obstante en [2] se define un A-modelo de un espacio topol´ogico Xcomo un A-espacio Ytal que XeYtengan el mismo tipo de homotop´ıa d´ebil (ver Definici´on 3.4.1). 38CAP´ ITULO 4. MODELOS DE ALEXANDROV DE ESPACIOS TOPOL ´ OGICOS Si A−Bmodelo indica un A-modelo en el sentido Barmak, se tiene que un espacio Xadmite un A−Bmodelo finito si y s´olo si X≃dP, con P=|K|un poliedro compacto. En efecto, en tal caso X≃dP=|K| ≃dX(K) de acuerdo con el Teorema 3.5.1. Rec´ıprocamente por el Teorema de McCord (Teorema 3.4.1), si Yes un A−Bmodelo finito de X, entonces X≃dY≃d|K(Y)|. Obs´ervese que los espacios YyXen el Ejemplo 4.2.2, que no admiten A-modelos, s´ı admiten A−Bmodelos, siendo en el caso de Yel conjunto de los n´umeros naturales con la topolog´ıa discreta y para Xel punto. N´otese tambi´en que la misma demostraci´on de la Proposici´on 4.2.1 prueba que Σnes tambi´en A−Bmodelo m´ınimo de Sn. 4.3. Algunas construcciones de la topolog´ıa y sus A-modelos Las construcciones b´asicas topol´ogicas tienen una analog´ıa finita, de manera que si por ejemplo tenemos un modelo finito de un cierto espacio, un modelo finito del cono del espacio ser´a el cono finito del modelo finito del espacio. Recordemos las construcciones topol´ogicas elementales obtenidas como espacios cocientes. Sea Xun espacio topol´ogico y consideremos el intervalo I= [0,1]. Se denomina cilindro sobre X al espacio producto de ambos, notado por X×I. Se define el cono sobre X al espacio cociente X×I/ ∼, donde ∼denota la relaci´on de equivalencia dada por: (x, 1) ∼(y, 1), para cualesquiera x, y ∈X. Se denota por C(X). A su vez, se define la suspensi´on sobre X como el espacio cociente X×I/ ∼, donde ∼ahora denota la relaci´on de equivalencia siguiente: (x, 0) ∼(y, 0) y (x, 1) ∼(y, 1), para todo x, y ∈X. Se denota por S(X) Observaci´on 4.3.1.Es f´acil ver que podemos definir la suspensi´on de un espacio Xa partir del cono directamente al identificar todos los puntos [x, 0] ∈C(X). En algunas ocasiones haremos uso de esta propiedad aunque no se diga expl´ıcitamente. Las nociones de cilindro y cono para A-espacios est´an dados en la siguiente definici´on. Definici´on 4.3.1. Dado un A-espacio X, un cilindro de X en Alex (abreviado a A-cilindro) es un producto Im nX=X×Γm ndonde Γm nes un arco de Khalimsky. Un cono de X en Alex es un A-espacio Cm nX=X×Γm−1 n∪ { ∗ }, con n≤m−1 y siendo el orden el dado en X×Γm−1 ny (x, m −1) ≤ ∗ para todo x∈X. Aunque cilindros y conos para distintos (n, m)y(n′, m′) no son homeomorfos en general (pues no tienen el mismo n´umero de puntos), s´ı son homot´opicamente equivalentes. Lema 4.3.1. Cualquier cilindro Im nXtiene el mismo tipo de homotop´ıa que X. Por otro lado, cualquier cono Cm nXes contr´actil. Demostraci´on. Como ya se mencion´o en la Observaci´on 4.1.2, todo arco de Khalimsky Γm ntiene como retracto de deformaci´on fuerte cualquiera de sus extremos. Por tanto, todo cilindro Im nXtiene el tipo de homotop´ıa del propio espacio X∼ =X×{m}. 4.3. ALGUNAS CONSTRUCCIONES DE LA TOPOLOG´ IA Y SUS A-MODELOS39 Para el caso de los conos, a continuaci´on veremos que todos tienen el tipo de homotop´ıa de CX:= X∪ {∗} (con x≤ ∗ para todo x∈X), que es contr´actil por el Corolario 1.2.1. Supongamos entonces que n≤m−2 pues si n=m−1, Cm nX∼ =CX. En tal caso la inclusi´on j:{m−1},→Γm nse extiende a bj:CX−→ Cm nXcon bj(∗) = ∗y bj(x)=(x, m−1). M´as a´un, la constante cm−1: Γm−1 n−→ Γm−1 n, con cm−1(i) = m−1 para todo n≤i≤m−1, se extiende a una aplicaci´on continua bcm−1:Cm nX−→ CX dada por bcm−1(x, i) = xybcm−1(∗) = ∗. Teniendo en cuenta que Γm−1 nse retrae a {m−1}al ir quitando una secuencia de puntos eliminables, por la demostraci´on de la Proposici´on 2.3.1 podemos encontrar una homotop´ıa H: Γm−1 n×I−→ Γm−1 ntal que H(i, t)∈ {i, i+1}para todo i≤m−2 yH(m−1, t) = m−1 para todo t. Esta homotop´ıa da lugar a una homotop´ıa b H:Cm nX×I−→ Cm nXdefinida por b H((x, i), t) = (x, H(i, t)) si n≤i≤m−1 y b H(∗, t) = ∗para todo t∈I. Es obvio que b H(−,0) = idCm nXyb H(−,1) = bj◦bcm−1. N´otese que b Hes continua en ∗. En efecto, el abierto m´ınimo de ∗en Cm nXes U∗={∗}∪X×{m−1}si mes par y U∗={∗}∪X×{m−1, m−2}si mes impar. En el primer caso la homotop´ıa b Hcumple b H(U∗×I)⊆U∗trivialmente. En el segundo caso, b H((x, m −1), t)=(x, H(m−1, t)) = (x, m −1) ∈U∗yb H((x, m −2), t) = (x, H(m−2, t)) ∈Ux× {m−1, m −2} ⊆ U∗. Definici´on 4.3.2. Al cono CX=X∪{∗}con x≤ ∗ para todo x∈Xse le llama el cono no Hausdorff de X. Para las suspensiones tenemos la siguiente definici´on. Definici´on 4.3.3. Dado un A-espacio X, una suspensi´on de X en Alex (abreviado A-suspensi´on) es el A-espacio Sm nX=X×Γm−1 n∪ { ∗0,∗1}, con n≤m−1 y donde ∗0y∗1no son comparables y (x, m −1) ≤ ∗0, (x, m −1) ≤ ∗1para todo x∈X. Esto es la uni´on de dos copias del cono Cm nXa lo largo de X×Γm−1 n. De manera an´aloga a lo hecho para el cono se puede probar que cualquier suspensi´on Sm nXes homot´opicamente equivalente a la suspensi´on SX=X∪{∗0,∗1} con x≤ ∗0yx≤ ∗1para todo x∈X. A SXse le llama la suspensi´on no Hausdorff de X Definici´on 4.3.4. Sean XeYdos espacios topol´ogicos. Se define el join de XeY como el subespacio de C(X)×C(Y), X∗Y=X×C(Y)∪C(X)×Y. Con esta definici´on, el cono C(X) es homeomorfo al join de Xcon un espacio puntual P={p}. En efecto, C(P) es homeomorfo al intervalo [p, ∗], as´ı que el join X∗Pes la uni´on en el producto C(X)×C(P) de los subespacios C(X)×P=C(X)× {p}yX×C(P)∼ =X×[p, ∗] con intersecci´on X× { p}. Gr´aficamente 40CAP´ ITULO 4. MODELOS DE ALEXANDROV DE ESPACIOS TOPOL ´ OGICOS Figura 4.11: Cono visto como join por un punto. Igualmente la suspensi´on de X,S(X), es el join de Xcon el espacio discreto de dos puntos D={d1, d2}. En efecto, C(D) es homeomorfo a un intervalo [d1, d2] con el v´ertice del cono ∗correspondiendo a un punto del interior. As´ı que el join X∗Des la uni´on en C(X)×C(D) de los subespacios C(X)× D=C(X)× { d1} ∪ C(X)× { d2}yX×C(D)∼ =X×[d1, d2] con intersecci´on X×D=X× { d1, d2}. Gr´aficamente Figura 4.12: Suspensi´on vista como join por dos puntos. Nota 4.3.1.La construcci´on join tiene la siguiente definici´on alternativa salvo homeomorfismo. Sea Z=X⊔X×Y×I⊔Yla uni´on disjunta de los tres espacios indicados. Sobre Zse define la relaci´on de equivalencia generada por (x, y, 0) ∼xy (x, y, 1) ∼y para todo x∈Xey∈Y. Denotamos por X∗wYal espacio cociente Z/ ∼, al que llamaremos join de Whitehead. Existe una aplicaci´on continua ν:Z−→ X×Ydada por ν(x) = (x, ∗y)∈ X×C(Y), ν(y) = (∗x, y)∈C(X)×Y,ν(x, y, t) = (x, [y, 1−2t]) ∈X×C(Y) si 0≤t≤1/2 y ν(x, y, t) = ([x, 2t−1], y)∈C(X)×Ysi 1/2≤t≤1. Aqu´ı ∗xy ∗yson los v´ertices de C(X) y C(Y), respectivamente. La relaci´on de equivalencia inducida por νcoincide con la generada por ∼y as´ı νinduce una biyecci´on continua ¯ν:X∗wY−→ X∗Y. Se tiene entonces el siguiente resultado. 4.3. ALGUNAS CONSTRUCCIONES DE LA TOPOLOG´ IA Y SUS A-MODELOS41 Proposici´on 4.3.1. La aplicaci´on ¯ν:X∗wY−→ X∗Yes homeomorfismo cuando XeYson espacios compactos y Hausdorff. En particular, si XeYson poliedros compactos. Demostraci´on. De la hip´otesis se sigue que X∗wYser´ıa compacto y X∗Y⊆ C(X)×C(Y) ser´ıa Hausdorff. Es bien conocido que toda biyecci´on continua de un espacio compacto a otro Hausdorff es homeomorfismo. Observaci´on 4.3.2.Un resultado conocido de topolog´ıa simplicial visto en la asignatura Homolog´ıa Simplicial del Grado en Matem´aticas es que el poliedro subyacente de una uni´on simplicial de complejos K∗Les homeomorfo al join |K| ∗ |L|. Esto es, K∗Les una triangulaci´on de |K|∗|L|. Dados dos A-espacios XeY, a partir de conos cualesquiera Cm nXyCq pYse define un join en Alex (A-join) de manera natural. Todos los A-joins de XeYson homot´opicamente equivalentes. Esto se debe a que Cm ntiene a CXcomo retracto de deformaci´on fuerte como vimos en la demostraci´on del Lema 4.3.1. A partir de aqu´ı es directo que el join X⊛Yhecho a partir de los conos de pares (n, m)y(p, q) tiene como retracto de deformaci´on fuerte al join no-Hausdorff X⊛Ydefinido en [7] como sigue. Definici´on 4.3.5. Dados dos posets XeY, se define el join no-Hausdorff X⊛Y= CX×Y∪X×CY⊆CX×CY En [2] se da la siguiente definici´on de join en Alex. Definici´on 4.3.6. Dados dos A-espacios XeY, el join de Barmak de XeYes el A-espacio X⊛BY=X⊔Ydonde las relaciones de XeYse mantienen y adem´as x≤ypara todo x∈X,y∈Y. Es f´acil probar que X⊛BYno tiene en general el mismo tipo de homotop´ıa que X⊛Y, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.3.1. Sean X={x1, x2}eY={y1, y2}dos espacios discretos con dos puntos. Entonces X⊛BY= Σ1es el modelo m´ınimo de S1. De hecho, se tiene en general que Σn⊛BΣm= Σn+m+1. 48CAP´ ITULO 5. MODELOS DE ALEXANDROV DE APLICACIONES CONTINUAS Un razonamiento an´alogo nos lleva al mismo resultado para µx=µ◦jxcon jx(y)=(y, x), esto es, para traslaciones a derecha. Dados xeyen distintos niveles, tenemos que µx(y) es un elemento en el nivel de y. An´alogamente µy(x) est´a en el mismo nivel que x. Pero entonces µy(x) = µ(x, y) = µx(y) est´a en el mismo nivel que x, lo que nos lleva a contradicci´on. Nota 5.2.2.Como consecuencia de las Proposici´ones 5.1.1 y 5.2.2 tenemos todas las posibles aplicaciones entre los modelos m´ınimos de las esferas. Al observar que el modelo finito m´as simple para S1no sirve, podr´ıamos aplicar 5.1.1 para encontrar un modelo finito que nos sirva. Probaremos expl´ıcitamente que mediante una sola subdivisi´on, la aplicaci´on µ:sd1 X(Σ1)×sd1 X(Σ1)−→ Σ1dada por la tabla de la Figura 5.1 es un A-modelo de la multiplicaci´on. Ver Nota 5.2.3 Figura 5.1: Tabla de la aplicaci´on µ Nota 5.2.3.Para hacer m´as comprensible las figuras representando a Σ1y su subdivisi´on, los elementos de Σ1y de sd1 X(Σ1) se denotar´an con n´umeros complejos adecuados para que los v´ertices de K(Σ1) se correspondan con estos n´umeros en el plano complejo. (a) Σ1. (b) sd1 X(Σ1). Figura 5.2: Modelos finitos con notaci´on compleja. Teorema 5.2.1. La aplicaci´on µes un moldelo finito de la multiplicaci´on de n´umeros complejos unitarios. Nota 5.2.4.La multiplicaci´on de n´umeros complejos unitarios se entender´a definida sobre |K(sd1 X(Σ))| × |K(sd1 X(Σ))|mediante el homeomorfismo hde la Nota 5.2.1. Adem´as, en la demostraci´on del Teorema 5.2.1 usaremos los siguientes lemas. 5.2. A-MODELO DE LA MULTIPLICACI ´ ON COMPLEJA 49 En primer lugar recordemos que al expresar los elemntos de S1en coordenadas polares, x=eiθx, la multiplicaci´on de traduce en la suma de los argumentos. De esta forma la preimagen por mde p=eiα (fibra de p) corresponde a la recta θx+θy=α Lema 5.2.1. Consideremos la triangulaci´on de S1×S1dada por K(sd1 X(Σ1)× sd1 X(Σ1)). Entonces, en la siguiente tabla Figura 5.3: Diagrama de bandas. cada banda es mandada por men la arista del mismo color en K(Σ1). En particular la fibra de cualquier v´ertice de K(Σ1) es una recta de K(sd1 X(Σ1)×sd1 X(Σ1)). Demostraci´on. De acuerdo con las observaciones anteriores, cada banda est´a descrita por la desigualdad nπ/2≤θx+θy≤(n+ 1)π/2 (nmod 4) y su imagen por mvisto como suma de argumentos es justamente la arista (nπ/2,(n+ 1)π/2). En particular la fibra de nπ/2 es la recta θx+θy=nπ/2, como podemos ver en la siguiente figura. Figura 5.4: En ella podemos ver que las rectas rojas son las preim´agenes de los v´ertices de K(Σ1). Lema 5.2.2. Para (x, y)∈ |K(sd1 X(Σ1)×sd1 X(Σ1))|, se tiene que m(x, y) precede a K(µ)(x, y) respecto al sentido antihorario de S1. M´as a´un, el ´angulo γ(x, y) medido desde m(x, y) hasta K(µ)(x, y) es menor estricto que π. Demostraci´on. Si (x, y) es un v´ertice que se encuentra en el borde de una banda entonces una tediosa comprobaci´on de 36 casos (ver Ap´endice 5.2.1), nos dice que m(x, y) = K(µ)(x, y) o bien K(µ)(x, y) es el v´ertice posterior a m(x, y) en el sentido antihorario. En particular γ(x, y)≤π/2. En el caso de que (x, y) sea un v´ertice interior a una banda (n−1)π/2≤θx+θy≤ nπ/2 se tiene que K(µ)(x, y) = nπ/2. Entonces m(x, y) es un punto interior de ((n−1)π/2, nπ/2) por el Lema 5.2.1. 50CAP´ ITULO 5. MODELOS DE ALEXANDROV DE APLICACIONES CONTINUAS Ahora, sea (x, y)∈˚σcon σ= (w1, w2) una arista con w1en la recta θx+θy= (n−1)π/2 y w2en el interior de la banda. Entonces, por la observaci´on anterior, K(µ)(w2) = nπ/2 y por ser K(µ) simplicial K(µ)(w1)=(n−1)π/2 o nπ/2. Por tanto, K(µ)(x, y) = nπ/2 o est´a en el interior de la arista ((n−1)π/2, nπ/2). En el primer caso K(µ)(x, y) precede a m(x, y). En el segundo, observemos que si (x, y) = (1 −λ)w1+λw2entonces se comprueba (Teorema de Pit´agoras) que la distancia de (x, y) a la recta (n−1)π/2, llamada l, es menor que λ. Entonces por ser K(µ) simplicial K(µ)(x, y) = (1 −λ)K(µ)(w1) + λK(µ)(w2) = (1 −λ)(n−1)π/2 + λnπ/2. Por tanto λes la distancia de K(µ)(x, y) a (n−1)π/2 y como lsigue siendo la distancia de (n−1)π/2 a m(x, y) se concluye que m(x, y) precede a K(µ)(x, y) Supongamos ahora que (x, y) est´a en el interior de un tri´angulo σde v´ertices v1, v2yv3con los dos primeros en la recta θx+θy= (n−1)π/2 y v3en el interior de la banda. Como hemos observado antes K(µ)(v3) = nπ/2 y K(µ)(v1) y K(µ)(v2) pueden tomar los valores (n−1)π/2 y nπ/2 ya que m(v1) = m(v2)=(n−1)π/2. Si K(µ)(v1) = K(µ)(v2) = nπ/2 ya tenemos que m(x, y) precede a K(µ)(x, y). Si no, K(µ) lleva σen la arista ((n−1)π/2, nπ/2). M´as a´un si (x, y) = P3 i=1 λivi con λi>0, podemos escribir (x, y) = (1−ρ)p+ρv3donde ρ=λ3yp=λ1/(1−ρ)v1+ λ2/(1−ρ)v2est´a en la cara de σde v´ertices v1yv2. En particular m(p)=(n−1)π/2 y podemos repetir el argumento anterior con pen el lugar de w1yv3en el lugar de w2. Para el caso en el que los v´ertices del borde de la banda aparezcan en la recta θx+θy=nπ/2, el razonamiento es an´alogo. Con ello se termina la demostraci´on. Demostraci´on. (del Teorema 5.2.1) Es una comprobaci´on directa (ver 5.2) que la aplicaci´on µpreserva el orden, por tanto es una aplicaci´on continua entre espacios finitos. Ahora, usando la identificaci´on proporcionada por el homeomorfismo x7→ x/∥x∥, definimos para todo punto (x, y)∈ |K(sd1 X(Σ1)×sd1 X(Σ1))|la aplicaci´on H((x, y), t) como el punto del arco de m(x, y) a µ(x, y) de ´angulo arg(m(x, y))+tγ(x, y), donde γ(x, y) es el ´angulo proporcionado por el Lema 5.2.2. Esta aplicaci´on es continua y define una homotop´ıa entre myK(µ); esto es, µes un modelo finito de m. 5.2.1. Ap´endice Aqu´ı damos los valores para los 36 casos mencionados en la prueba del Lema 5.2.2. Denotaremos por [a+bi] = (a+bi)/∥(a+bi)∥. 5.3. H-ESPACIOS FINITOS 51 m([1],[1]) = [1] µ(1,1) = 1 m([1 + i],[1]) = [1 + i]µ(1 + i, 1) = i m([1 + i],[1 + i]) = [i]µ(1 + i, 1 + i) = i m([i],[1]) = [i]µ(i, 1) = −1 m([i],[1 + i]) = [−1 + i]µ(i, 1 + i) = −1 m([i],[i]) = [−1] µ(i, i) = −1 m([−1 + i],[1]) = [−1 + i]µ(−1 + i, 1) = −1 m([−1 + i],[1 + i]) = [−1] µ(−1 + i, 1 + i) = −i m([−1 + i],[i]) = [−1 + i]µ(−1 + i, i) = −i m([−1 + i],[−1 + i]) = [−i]µ(−1 + i, −1 + i) = −i m([−1],[1]) = [−1] µ(−1,1) = −1 m([−1],[1 + i]) = [−1−i]µ(−1,1 + i) = −i m([−1],[i]) = [−i]µ(−1, i) = 1 m([−1],[−1 + i]) = [1 −i]µ(−1,−1 + i) = 1 m([−1],[−1]) = [1] µ(−1,−1) = 1 m([−1−i],[1]) = [−1−i]µ(−1−i, 1) = −i m([−1−i],[1 + i]) = [−i]µ(−1−i, 1 + i) = −i m([−1−i],[i]) = [1 −i]µ(−1−i, i) = 1 m([−1−i],[−1 + i]) = [1] µ(−1−i, −1 + i) = i m([−1−i],[−1]) = [1 + i]µ(−1−i, −1) = i m([−1−i],[−1−i]) = [i]µ(−1−i, −1−i) = i m([−i],[1]) = [−i]µ(−i, 1) = 1 m([−i],[1 + i]) = [1 −i]µ(−i, 1 + i)=1 m([−i],[i]) = [1] µ(−i, i)=1 m([−i],[−1 + i]) = [1 + i]µ(−i, −1 + i) = i m([−i],[−1]) = [i]µ(−i, −1) = −1 m([−i],[−1−i]) = [−1 + i]µ(−i, −1−i) = −1 m([−i],[−i]) = [−1] µ(−i, −i) = −1 m([1 −i],[1]) = [1 −i]µ(1 −i, 1) = 1 m([1 −i],[1 + i]) = [1] µ(1 −i, 1 + i) = i m([1 −i],[i]) = [1 + i]µ(1 −i, i) = i m([1 −i],[−1 + i]) = [i]µ(1 −i, −1 + i) = i m([1 −i],[−1]) = [−1 + i]µ(1 −i, −1) = −1 m([1 −i],[−1−i]) = [−1] µ(1 −i, −1−i) = −i m([1 −i],[−i]) = [−1−i]µ(1 −i, −i) = −i m([1 −i],[1 −i]) = [−i]µ(1 −i, 1−i) = −i 5.3. H-espacios finitos En el apartado anterior vemos en particular que un modelo de la multiplicaci´on de un grupo topol´ogico, no es sino una aplicaci´on que cumple las propiedades de grupo salvo homotop´ıa. Este fen´omeno es habitual en topolog´ıa algebraica y llev´o a Hopf a presentar lo que hoy se conoce como un H-espacio. Esta secci´on recoge un importante resultado de Stong que nos dice que en Alex los ´unicos H-espacios conexos son los triviales. Recordemos la definici´on de H-espacio. 52CAP´ ITULO 5. MODELOS DE ALEXANDROV DE APLICACIONES CONTINUAS Definici´on 5.3.1. Sea Xun espacio topol´ogico y m:X×Xuna aplicaci´on continua que llamaremos multiplicaci´on. Un elemento e∈Xse dice elemento neutro homot´opico para msi para las aplicaciones i1, i2:X→X×X, dadas por i1(x)=(x, e) ei2(x)=(e, x), las composiciones m◦i1ym◦i2son homot´opicas a la identidad de X. Un H-espacio es un espacio Xdotado de una multiplicaci´on mcon un elemento neutro homot´opico e. Se denota por el par (X, e). Nota 5.3.1.Obviamente todo grupo topol´ogico es un H-espacio, pero existen muchos ejemplos de H-espacios que no son grupos topol´ogicos, siendo el espacio de lazos el ejemplo cl´asico, el cual se ve en la asignatura Geometr´ıa y Topolog´ıa de Superficies del Grado en Matem´aticas. Recordemos que Ω(X, x0) denota el conjunto de aplicaciones continuas α: [0,1] −→ Xtales que α(0) = α(1) = x0. Entre estas aplicaciones, llamadas lazos en x0, podemos definir la multiplicaci´on de la siguiente forma: dados dos lazos αyβ,m(α, β) = α∗βes el lazo (llamado yuxtaposici´on de αyβ) α∗β(t) = α(2t) si 0 ≤t≤1/2 β(2t−1) si 1/2≤t≤1} Esta multiplicaci´on tiene como elemento neutro homot´opico el lazo constante en x0, pues α∗cx0≃αrelativamente a {0,1}. Sin embargo, veamos que no podemos encontrar un elemento neutro. En caso de que existiese un lazo e(t) tal que α∗e=α para todo lazo α, tendr´ıamos que α∗e(t) = α(2t) si 0 ≤t≤1/2 e(2t−1) si 1/2≤t≤1 Esto significa que α(2t) = α(t) para todo t∈[0,1/2]. Entonces para t0arbitrario en [0,1] se tiene α(2(t0/2)) = α(t0/2) = α(t0/4) = ... =α(t0/2n) para nun entero positivo arbitrario. Luego, tomando l´ımite a ambos lados α(t0) = l´ım n→∞ α(t0) = l´ım n→∞ α(t0/2n) = α(0) = x0 Por tanto, el lazo αs´olo puede ser constante, lo que nos lleva a una contradicci´on. La primera observaci´on sobre la noci´on de H-espacio es que, por definici´on, es un invariante homot´opico. Con m´as detalle, se tiene el siguiente resultado. Lema 5.3.1. Sea f:X→Yuna equivalencia de homotop´ıa. Si (X, e) es un H- espacio, tambi´en lo es (Y, f(e)). Demostraci´on. Sea g:Y→Xuna inversa homot´opica de f. Si mXes la multiplicaci´on de (X, e) se define mY:Y×Y→Ycomo la composici´on mY=f◦mx◦(g×g). Para ver que (Y, f(e) es un H-espacio para la multiplicaci´on mY, simplemente observamos que si : X×I→Xes una homotop´ıa entre g◦fyidX, entonces γ(t) = H(e, t) 5.3. H-ESPACIOS FINITOS 53 define un camino entre gf(e) y e. Por tanto mX(x, γ(t)) define una homoktop´ıa entre id ≃mX(x, e) y h(x, gf(e)). As´ı pues mY(y, f(e)) = f(mX(g(y), gf(e))) ≃f(g(y)≃ idY(y). An´alogamente mY(e, y)≃idY(y). Como una extensi´on de los resultados obtenidos en la secci´on anterior incluimos aqu´ı el estudio que hizo Stong de los H-espacios en [16] del que se deduce que, salvo en casos triviales, no es posible que un A-modelo de un H-espacio topol´ogico Wsea el transferido por el operador Kde un H-espacio en Alex, ya que para espacios finitos la noci´on de H-espacio es extremadamente restrictiva como muestra la siguiente proposici´on. Proposici´on 5.3.1. Sea (X, e) un H-espacio finito. Entonces la componente de e, Xe, es contr´actil. Demostraci´on. Supongamos que Xes minimal. En tal caso las aplicaciones m(x, e) ym(e, x), al ser homot´opicas a la identidad, coinciden con la identidad de X. Sea p∈Xeyγ(t) un camino en Xentre eyp. Entonces H:X×I→Xdad por H(x, t) = m(x, γ(t) es una homotop´ıa entre f(x) = m(x, p) y la identidad. Por tanto f(x) vuelve a ser la identidad y x=m(x, p) para todo p∈Xe. De manera an´aloga x=m(q, x) para todo q∈Xe. Por tanto, q=m(q, p) = pyXese reduce a un punto. Sea ahora (X, e) cualquier H-espacio finito y h:X→Muna equivalencia de homotop´ıa donde Mes minimal. Tambi´en (M, h(e)) tiene estructura de H-espacio por el Lema 5.3.1 y por ello la componente de h(e), Mh(e), se reduce a {h(e)}. Como hes una equivalencia de homotop´ıa define una biyecci´on entre componentes Cx←→ Ch(x)y adem´as una equivalencia de homotop´ıa entre Cx≃Ch(x). En particular, Xe≃Mh(e), lleg´andose as´ı al resultado deseado. Corolario 5.3.1. Todo H-espacio finito conexo es contr´actil. Nota 5.3.2.La proposici´on anterior s´olo garantiza la contractibilidad de la componente Xe. Por ejemplo, si X=Y⊔ {e}es la uni´on disjunta donde Yes cualquier espacio finito, se puede definir sobre Xla estructura de H-espacio siguiente: m(e, e) = e,m(y, e) = m(e, y) = ypara todo y∈Yym(y, y′) = ypara y, y′∈Y. Un resultado m´as fuerte que permite llegar a que todas las componentes son contr´actiles cuando el H-espacio no es conexo se consigue exigiendo al H-espacio los an´alogos homot´opicos de las otras dos propiedades de un grupo, esto es, asociatividad y existencia de inverso. As´ı, se dice que un H-espacio es asociativo si las composiciones m◦(m×id):(X×X)×X→X×X→Xym◦(id×m) : X×(X×X)→X×X→X son homot´opicas. Se dice que el H-espacio admite inverso homot´opico a la izquierda si existe una aplicaci´on continua l:X×Xtal que para la diagonal ∆ : X→X×X, ∆(x) = (x, x), la composici´on m◦(l×id)◦∆ : X→X×X→X×X→X es homot´opica a la constante ce(x) = e. An´alogamente se define inverso homot´opico a la derecha como una aplicaci´on continua r:X→Xpara la cual la composici´on m◦(id ×r)◦∆ : X→X×X→X×X→X 54CAP´ ITULO 5. MODELOS DE ALEXANDROV DE APLICACIONES CONTINUAS es homot´opica a ce. Nota 5.3.3.En el ejemplo visto en la 5.3.1, un lazo α(t) de Ω(X, x0) tiene como inverso homot´opico el lazo ¯α(t) = α(1 −t). Stong prob´o en [16] el siguiente resultado. Teorema 5.3.1. Cualquier H-espacio finito asociativo que admite inversos homot´opicos a izquierda y derecha tiene todas sus componentes conexas contr´actiles. Esto es, los ´unicos (salvo equivalencia de homotop´ıa) H-espacios finitos en las condiciones anteriores son los espacios discretos. Cap´ıtulo 6 A-modelos de las aplicaciones de Hopf y cuadrado de Whitehead En este cap´ıtulo estudiaremos c´omo obtener un A-modelo de la aplicaci´on de Hopf y del cuadrado de Whitehead, los cuales fueron publicados en [7] y en [8]. 6.1. A-Modelo de la aplicaci´on de Hopf La definici´on por Hopf en 1931 de la aplicaci´on que lleva su nombre (la definici´on original de Hopf se diferencia de la que sigue en una reordenaci´on de cordenadas) h:S3→S2, h(a, b, c, d)=(a2+b2−c2−d2,2(ad +bc),2(bd −ac)), marc´o el inicio de lo que hoy se conoce como teor´ıa de homotop´ıa. Las importantes propiedades geom´etricas y algebr´aicas de la aplicaci´on de Hopf se estudian en varias ´areas de las matem´aticas y se aplican en f´ısica te´orica ( [18]). En teor´ıa de homotop´ıa la aplicaci´on de Hopf es un caso particular de la llamada construcci´on de Hopf, que se define como sigue. Definici´on 6.1.1. Sean X,YyZespacios topol´ogicos y f:X×Y→Zuna aplicaci´on continua. Se llama construcci´on de Hopf de fa la aplicaci´on hf:X∗Y=CX ×Y∪X×CY →SZ dada por hf([x, t], y) = [f(x, y),1+t 2] y hf(x, [y, s]) = [f(x, y),1−s 2]. Si se usa la definici´on alternativa de join X∗wY= (X⊔X×Y×I⊔Y)/∼vista en 4.3.1, entonces hfqueda definida simplemente por hf([x, y, t]) = [f(x, y), t]. La aplicaci´on de Hopf aparece (salvo homotop´ıa, ver XI.4. Ejemplo 1 en [19]) como la construcci´on de Hopf de f:S1→S1la multiplicaci´on de n´umeros complejos unitarios. Si consideramos f:S3→S3la multiplicaci´on cuaterni´onica aparece la aplicaci´on de Hopf hf:S3∗S3∼ =S7→S4∼ =S(S3). La siguiente definici´on es una r´eplica en la clase de los A-espacios de la construcci´on de Hopf. 55 56CAP´ ITULO 6. A-MODELOS DE LAS APLICACIONES DE HOPF Y CUADRADO DE WHITEHEAD Definici´on 6.1.2. Sean X,YyZA-espacios y f:X×Y→Zuna aplicaci´on continua. Se define la construcci´on de Hopf no Hausdorff de fcomo la aplicaci´on hf:X⊛Y→SZdada por: hf(x, y) = f(x, y),si (x, y)∈X×Y, hf(ˆx, y) = ˆnyhf(x, ˆy) = ˆs, siendo ˆx, ˆylos m´aximos de CXyCY, respectivamente, y ˆn, ˆslos elementos maximales de SZ. Queremos ver la compatibilidad de los A-modelos finitos con la construci´on de Hopf. Para ello usaremos los siguientes lemas. Lema 6.1.1. Sean X,Y,Zespacios finitos y f:X×Y→Zcontinua. Entonces K(hf) : K(X⊛Y)→ K(SZ) = SK(X) es homot´opica a la construcci´on de Hopf de K(f): hK(f):|K(X∗Y)|=C|K(X)| × |K(Y)| ∪ |K(X)| × C|K(y)| → S|K(Z)|=|K(SZ)|. Demostraci´on. Bastar´a probar que para todo x∈ |K(X⊛Y)|hay un segmento uniendo K(hf)(x) y hK(f)(x) totalmente contenido en S|K(Z)|=|K(SZ)|. As´ı tendremos definida la homotop´ıa lineal H(x, t) = (1 −t)K(hf)(x) + thK(f)(x). Para ello observamos que K(X⊛Y) = K(CX×Y)∪K(X×CY) es un subcomplejo simplicial de K(CX×CY) cuyos v´ertices son pares vi= (pi, qi)∈CX×CY− {cX, cY)}y un s´ımplice σ= (v1, . . . , vs) corresponde a una cadena Aσen CX×CY. N´otese que en Aσpueden aparecer algunos pioqirepetidos. Si x∈σ, podemos suponer que algunos pison cXya que vs= (ps, qs)≤(cX, qs) = vs+1 y reemplazamos σpor σ′= (v1, . . . , vs, vs+1). Por simplicidad supongamos que p1=· · · =pm=cX. Como x=Ps i=1 λivicon λicoordenadas baric´entricas (Ps i=1 λi= 1 y λi≥0), por ser K(hf) simplicial y la definici´on de hf, tenemos K(hf)(x) = s X i=1 λihf(pi, qi) = m X i=1 λif(cX, qi) + s X i=m+1 λif(pi, qi) = λbn+ (1 −λ)y, donde λ=Pm i=1 λiey=Ps i=m+1 λi 1−λf(pi, qi). As´ı yes un punto del s´ımplice γ∈ K(Z) de v´ertices f(pi, qi) (m+ 1 ≤i≤s). Esto es, K(hf)(x) est´a en el s´ımplice bnγ del cono superior de SK(Z). Por otro lado, sabemos que si K(X) es un complejo simplicial en Rnel cono topol´ogico C|K(X)|es homeomorfo al cono geom´etrico (a∈Rn+1 −Rn) a|K(X)|={(1 −ε)z+ta;z∈ |K(X)|} ⊆ Rn+1, que lleva [z, t] en (1 −t)z+ta. En particular la clase [z, 1] se identifica con el v´ertice a. Ahora observamos que x= (x1, x2)∈τ1×τ2para los s´ımplices de K(CX) y K(CY)τ1= (p1, . . . , ps) y τ2= (q1, . . . , qs). As´ı pues, en coordenadas baric´entricas, x1= ( m X i=1 νi)cX+ s X i=m+1 νipi=νcX+ (1 −ν)pyx2= s X i=1 βiqi, 6.1. A-MODELO DE LA APLICACI ´ ON DE HOPF 57 donde ν=Pm i=1 νiyp=Ps i=m+1 νi 1−νpi. Con la identificaci´on de conos de m´as arriba, xse escribe como el par ([p, ν], x2)∈ C|K(X)| × |K(Y)|, y hK(f)(x)=[K(f)(p, x2),1 + ν 2]∈ |K(SZ)|=S|K(Z)|. Si tomamos el s´ımplice τ′ 1= (pm+1, . . . , ps) y Aτ′ 1yAτ2denotan las cadenas en Xe Ycorrespondientes a estos s´ımplices, tenemos que (p, x2)∈ |K(Aτ′ 1)| × |K(Aτ2)|= |K(Aτ′ 1×Aτ2)|y por tanto (p, x2) pertenece a un s´ımplice ρasociado a una cadena en Aτ′ 1×Aτ2, (pj1, qk1), . . . (pjt, qkt, con ji∈ {m+ 1, s}yki∈ {1, . . . , s}. Entonces por la definici´on de K(f) y ser esta aplicaci´on simplicial se sigue que K(f)(p, x2) est´a en el s´ımplice γ1∈ K(SZ) de v´ertices f(pji, qki). De nuevo usando la identificaci´on de conos se llega a que hK(f)(x) est´a en el s´ımplice bnγ1, que es cara de bnγ y as´ı hK(f)(x),K(hf)(x)∈bnγ. La convexidad de este s´ımplice concluye la demostraci´on ya que el caso en que pi=cYpara alg´un i es completamente an´alogo al anterior. Lema 6.1.2. Sea Xun espacio compacto y Runa relaci´on de equivalencia tal que el espacio cociente X/Res Hausdorff. Si se define la relaci´on de equivalencia R′sobre X×Ipor (x, t)R′(y, s) si xRyyt=s, entonces la aplicaci´on ψ:X×I→(X/R)×I dada por ψ(x, t) = ([x], t) induce un homeomorfismo e ψ: (X×I)/R′→(X/R)×I. Demostraci´on. La relaci´on de equivalencia definida por ψes justamente R′, por lo que la aplicaci´on inducida e ψ: (X×I)/R′→(X/R)×Ies una biyeccion continua. Por la hip´otesis, el espacio origen es compacto y el de llegada es Hausdorff, por lo que e ψes un homeomorfismo. Lema 6.1.3. Sean X,YyZespacios topol´ogicos tales que XeYson compactos y Zes Haudorff. Dadas dos aplicaciones homot´opicas f, g :X×Y→Z, sus construcciones de Hopf hfyhgtambi´en son homot´opicas. Demostraci´on. Sea H:X×Y×I→Zuna homotop´ıa entre fyg. Usaremos la definici´on alternativa de la construcci´on de Hopf hf, hg:X∗Y=X×Y×I/ ∼→ Z, y definimos la aplicaci´on F: (X×Y×I)×I→Z×I, F(x, y, t, s)=(H(x, y, s), t), que obviamente es continua. Sea la composici´on de Fcon la proyecci´on π:Z×I→ SZ, G=π◦F: (X×Y×I)×I→Z. Si R=∼la relaci´on sobre X×Y×Ique define X∗YyR′la relaci´on dada en el Lema 6.1.2, es inmediato comprobar que Ges compatible con la relaci´on R′por lo que Ginduce una aplicaci´on continua e G: (X×Y×I)×I/R′→SZ. Entonces la composici´on de e Gcon el homeomorfismo del Lema 6.1.2 nos da una homotop´ıa entre hfyhg e H=e G◦ψ: (X∗Y)×I= ((X×Y×I)/R)×I∼ =(X×Y×I×I)/R′→SZ definida como e H([x, y, t], s)=[H(x, y, s), t]. 64CAP´ ITULO 6. A-MODELOS DE LAS APLICACIONES DE HOPF Y CUADRADO DE WHITEHEAD |K(Σ1⊛1 0Σ1)|K(f)// h′ 1  S2|K(Σ1)| h′ 2  CS1 [π,π] //S(S1) es conmutativo salvo homotop´ıa. En efecto, si Hes la homotop´ıa entre K(g) y la composici´on πobtenida en la demostraci´on del Lema 6.2.1, definimos una homotop´ıa e Hentre K(f)=[K(g),K(g)] yh′ 2◦[π, π]◦h′ 1tomando e H(([x, t1]c, y), t2) = H([x, t1]c, t2) y e H((x, [y, t1]c), t2) = H([y, t1]c, t2). La buena definici´on de e Hsigue de que Hes constantemente el polo sur en todos los puntos de la base del cono. Es inmediato comprobar que la homotop´ıa deseada es e H. Concluimos comentando c´omo se pueden visualizar las fibras sobre los puntos de Σ2: Si volvemos a la representaci´on de S3como uni´on de dos toros macizos, estos toros se corresponden en el modelo finito con los productos cuya uni´on forman Σ1⊛Σ1y as´ı cada toro macizo finito est´a formado por la circunferencia gu´ıa y dos superficies t´oricas, una de ellas com´un. La fibra del polo norte es justamente las dos circunferencias gu´ıa de 4 puntos y la fibra del polo sur es la superficie t´orica de 16 puntos compartida por los dos toros macizos. Obs´ervese tambi´en que las fibras de los puntos del ecuador de Σ2,±1,±i, son pares de circunferencias de 4 puntos entrelazadas ya que cada una de ellas es un paralelo de un toro macizo. Bibliograf´ıa [1] P.S. Alexandroff. Diskrete R¨aume. Math. Sbornik, 2(1937), 501–519. [2] J.A. Barmak. Algebraic topology of finite topological spaces and applications, Lecture Notes Math., vol. 2032. Springer, 2011. [3] A.M. Cumplido. La noci´on de homotop´ıa para espacios finitos y espacios de Alexandrov. Trabajo Fin de Grado(2022). Facultad de Matem´aticas. Universidad de Sevilla. [4] O. Fr¨ohlich. Das Halbordnungssystem der topologischen R¨aume auf einer Menge. Mathematische Annalen, 156(1964) 79–95. [5] M. Gandul. La curva de Hilbert y otras curvas que rellenan ´areas o vol´umenes. Trabajo Fin de Grado (2019). Facultad de Matem´aticas. Universidad de Sevilla. [6] K.A. Hardie, J.J.C. Vermeulen. Homotopy theory of finite and locally finite T0 spaces. Expo. Math., 11(1993), 331–341. [7] K.A. 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