Definición y estudio de una función indefinidamente diferenciable de soporte compacto

DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE DE SOPORTE COMPACTO J. Arias de Reyna Martínez Recibido : 5 noviembre 1980 PRESENTADO POR EL ACADÉMICO CORRESPONDIENTE D. ANTONIO DE CASTRO BRZEZICKY 1. Introducción La existencia de funciones indefinidamente diferenciables de soporte compacto definidas en R es un hecho elemental pero de consecuencias importantes. Las funciones de esta naturaleza suelen construirse a partir del ejemplo de Cauchy, y por esto sus derivadas sucesivas son difíciles de manejar. Este problema ha sido el que nos ha llevado a definir la función que estudiamos en este trabajo. Al considerar la figura 1 (imagen de una función de esta clase y de su derivada), nos surgió la siguiente cuestión : ¿ Existe una función ^ € 5) (R) tal que : a) sop(ll) = [-1, 1]. b) 11 (t) > O para — 1< í < 1. c) 11(0) = 1. d) Existe una constante ^ > O tal que, para todo ¿ € R, 1Í'(0 = ^11Í(2/ + 1) - f[(2^-l)l ? Es clara la interpretación geométrica de la cuestión. Esta idea intuitiva se revela acertada y hemos conseguido demostrar que existe una única función f[ que cumple las condiciones anteriores. Resulta además que la constante k que aparece en d) es necesariamente igual a 2. 22 J. ARIAS DE REYNA MARTINEZ Vimos también que la función ^ tiene otras propiedades importantes, como son su interpretación como una probabilidad (teorema 3), el constituir con sus trasladadas una partición de la unidad (teorema 5), la forma tan sencilla de sus derivadas sucesivas (teorema 4) y, la más importante de todas, que no siendo una función racional, sus valores en todos los puntos diádicos son números raFig. 1. cionales que pueden calcularse efectivamente. Por esto y por estar sus derivadas tan estrechamente relacionadas con la función, se deduce que no sólo la función sino también todas sus derivadas pueden calcularse exactamente en los puntos diádicos. La única referencia que conocemos de esta función se encuentra en un artículo de Jessen y Wintner (1935) en el que aparece definida por su transformada de Fourier, como ejemplo de función indefinidamente derivable, sin estudiar ninguna de sus propiedades. DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIARLE 23 '2. Existencia y unicidad TEOREMA 1.—Existe una única función f : R —> R indefinidamente diferenciable y de soporte compacto tal que: «) Sop(^) = [-1,1]. b) Ht) > O para — 1< t < 1. c) 11(0)-1. d) Existe una constante k > O tal que para todo t € R 1í'(t) = k[ff (2t + l)- H (2t-l)l, Siendo la constante k que aparece en d) necesariamente igual a 2. DEMOSTRACIÓN.—En primer lugar, suponiendo la existencia de |[, wamos a probar que fe = 2 y ff está determinada de manera única. Puesto que f € 5) (R) su transformada de Fourier es una función «entera f (s)= J f it) e-2niezdt (1) Además las transformadas de ^' (t), f (2 ¿ + 1) y ^ (2 t — 1) son 2TZÍZ % {z), e^i^ tí (^/2), e-^iz ^ (z/2) respectivamente. La condición d) se traduce pues en >v k sen Tz z A K ^a)= í[ (z/2) 2 %z (2) Usando reiteradamente esta relación se obtiene H (z) = (kl2)'- n 2^ % z \ 2''+i (3) 24 J. ARIAS DE REYNA MARTINEZ Las condiciones a) y b) implican que ^ (0) = f ^ (t) d t ";> 0 asr que tomando límites se obtiene que k = 2 j sen 2h î (^)=t (0) n w. %Z Si existe una solución a nuestro problema será única, pues al ser % de decrecimiento rápido, por el teorema de inversión de Fourier, '^{t)= j Í{x)e^-'*- d^ (5> y la condición c) determinará el valor de f (0) que es lo que queda para determinar jf. Veremos más adelante que, para que se verifique c), debemos poner f (0) = 1, por lo que en lo que sigue llamaremos f a la función definida por (4) poniendo f (0) = 1. Pasamos ahora a probar la existencia de f. Partimos de la función f definida por (4). Es claro que f es una función entera pues el producto converge uniformemente en compactos. La fórmula (2) puede usarse para obtener el desarrollo en serie de potencias f (^)= y\ '^ (2Tz)^k (6> f^o (2/6)1 donde los Ck son números racionales determinados por la relacióni de recurrencia (2^ + l)2«^^^= 2, í^o \ 2 h I * 2>è + l " Ci, (7)1 que prueba que todos los Ck son positivos. En general '*• {2k + l) {2k-í)...í r= 1 n (S»"-!)-' (8> DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE 2^ donde los F^ son naturales, Fg = 1, F^ = 1, F^ = 19, Fg = 2 915,. F^ = 2 788 989. Teniendo en cuenta se z n z XT / 2 \ sen % z XT / 2* \ —=n «=-77 y —=nn-- Z n = í ^ 2'»/ Tí Z «:=l\ «*/ se obtiene Í|(0)=|| |cos-i:i) =|IÍ1-~J1_J (9^ -n(-^)"-n(' m = i \ 2**" I w = 1 \ donde V2 (m) es el mayor exponente tal que 2^2 ^^^ divide a m. Es claro que f restringida a R es indefinidamente diferenciable.. Vamos a probar que es de decrecimiento rápido. Designemos por / (x) = (sen x)/x, para todo x € R^. Entonces i / (•^) i "^ 1 y I sen 4; I < 1 y se tiene, para todo n, CO »«—• 1 / „ \ \x** f (í«r)| = | X** JJ /{%xl2^)\ ^ x"\ JJ /{%xl2^)\ é: 2*^^^ ic^« Además es fácil ver que existe una constante My > O para cada f € N tal que | ô^ / (x) | '< Mr, por lo que Usando ahora la regla de derivación de un producto infinito y la. misma idea que en la acotación de | 4;""^ f (x) | se obtiene ^2 —^^^—2m ^''/(^^/2M| I^«n/('^^/^MI^ s il ! ... J/ Î H í = 1 A 4: A,. 4, V !J M,, ... Us^ ( 2 TC'-2-^1^1-...-^/^/) 2^ * ^7c-''<oo s J1Î...X/Î H donde la suma extendida a S se refiere a los conjuntos {^1 ... ^¿f de naturales tales que ^^ + ... + ^t = f y ÍÍ > 1 ; y la sumatoria en H a todos los conjuntos {fe^, ..., ht} de naturales distintos, entre sí. •^6 JARIAS DE REYNA MARTINEZ Habiendo probado que ff es de decrecimiento rápido podemos definir jf por medio de la ecuación (5). Se obtiene así una función in- «definidamente diferenciable de decrecimiento rápido. Por verificar ^ la ecuación (2) para k = 2 se obtiene que ^ verifica d) para k = 2. Debemos probar que verifica además a), b) y c), en lugar de usar para esto directamente el teorema de Paley-Wiener, preferimos el siguiente método que proporciona más información. Definimos ¡im como la medida de Radon en R cuya transformada •de Fourier vale ^(!^»)=n 1"=°^--?-1 ^'""^ j>uesto que Z^-^ -1 -fB.j-'^** = eos \ 2 2 / 2^ ^ I h^-^ - 1 -fh.t-^-^ = eos (11) ^ni es el producto de convolución m I -^ 1 \^ ^^= ^ _ B->b-i-f_a ->^-i (12) >^ = i \ 2 ' 2 "^ / •donde las potencias deben entenderse también como productos de convolución. Es claro que || i^x^ || =1, [im > O y sop ((x^) c [— 1, 1], esto ultimo debido a que J^ Ok + i ~~ ' k = i ^ LEMA 1.—La sucesión de medidas [x^ converge para la topología ^n (SVÍb (R), C^ (R)) /jacía la medida |[ X gw^ tiene densidad f[ r^^ pecto de la de Lebesgue X, DEMOSTRACIÓN.—Sea C^ (R) el espacio de Banach de las funcio- :nes complejas continuas y acotadas definidas en R. Como las pt^ están en la bola unidad del dual, que es débilmente compacta, existe Tuna medida (x adhérente a la sucesión [x^. Puesto que ff ((x^) —> 9 (^ 1) en C^ (R), ha de ser ff ([x) = DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE 27 = ^ (f[ X) ; y, por ser ff inyectiva en el espacio de las medidas de IRadon acotadas, \h = ^ X. Como existe un único punto adhérente, -debe ser el límite débil de la sucesión [x^. Por ser |x^ —> f[ X débilmente se obtiene que jf satisface la condición a) y, puesto que % es continua, que |f (^r) > O para todo ji'CR. Sabemos que ¡ ^ {t) d t = % {^) = 1, pero ahora también sabemos que sop {%) c: [— 1, 1] luego o o — 1 —1 o o (0)= l^'(t)dt= / 2 ( 11 (2/ + l)--1T (2r-l))^/ y ^ verifica la condición c). Por último f verifica b). En efecto, por el mismo razonamiento ^anterior se tiene, para todo x € (— 1, 0), TT (:^)-2 / f (2íf + l) dt (13) -/ luego f[ es no decreciente en (—1,0) [por ser T i^) ^ ^]- Como ^f es par, se deduce que jf (^) > O implica ^ (t) "> O para todo 4 '€ (— Xy x). Finalmente ^ (x) > O implica ^f ((x — l)/2) > O y por tanto tí (t) > O para t € (— 1, 1). 3. Otras expresiones de la función t[ Hemos visto dos posibles definiciones de la función ^ : la expresión (5) y la dada por el lema 1. Ahora vamos a obtener otras •dos, una como límite puntual de una sucesión de funciones escalonadas y otra mediante una integral. En primer lugar necesitamos algunas definiciones y notaciones. Sea p,n la sucesión de polinomios definidos por la relación de rrecurrencia A = l; Pnix)==p„_,{x^) (l+x)- (14) 28* J. ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ Es fácil ver que /'•(^)=n(i^) El grado gn de pn está determinado por las relaciones ^0 = 0; gn = 2s^„^, + n (16" y por tanto gn 12 n 2" 2 22 2" Comparando (12) y (14) se tiene que pi^ es la medida que se obtiene sustituyendo en el polinomio I ^ '' f Pn (X) cada potencia ^^ por S ^^ 2 Por último, para cada n € N, sea f ^ la función escalonada quese obtiene en 2 ^ ^ / ¿>^^ (4;) sustituyendo cada potencia x^ por la función característica del intervalo multiplicada por 2". Tenemos entonces : TEOREMA 2.—Tf es el límite de la sucesión de escalonadas ^m. DEMOSTRACIÓN.—Basta tener en cuenta que, para una función f característica de intervalo de extremos diádicos, se tiene lim li^ (/)= lim y 1f^ /=/1¡ /. DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE . 29 gunto con el hecho fácilmente comprobable de que f^ es monótona :iío decreciente en (— 1, 0) y monótona no creciente en (O, 1) y además %m (0) = 1. Es fácil ver que í>m^, {0C)=Pm {X) (14.:^4-;r2+...+:^2- + l-l) (18) Esto proporciona un algoritmo fácil para obtener las f^ y tam- ^bién prueba que ;J^ ( ;^ ) = ( 1 + X ) ( 1 -f X + x2 + :xr3 ) . . . ( 1 4- ^ f . . . 4í^*'"-») (19) ;y por tanto la interpretación combinatoria siguiente del coeficiente de x"" en p^ {x) : El coeficiente de ^** en p^n (^) es el número de descomposiciones de f, f = ^1 + ^2 + ••• + «^m tales que O < ^^ < 2' —1. oo TEOREMA 3.—Sea <r = 0 X^ /a medida definida en [O, 1]^, siendo Xk la medida de Lebesgue en [O, 1]. Para —1 <x < O se tiene U (x) = a (r^^)IO^ y -^ ^x + \\ DEMOSTRACIÓN.—Consideremos en [— 1, 1]^ la medida « / 1 1 \ «* = ! \ 2 2 / ik = 1, 2, ...) y designemos la variable en el espacio [—1, 1]^ por Sea [Ji la medida definida en {O, 1}^ como producto de la medida •«que asigna a O y 1 peso 1/2. Entonces ^^ = /^ (|JL) siendo ^ : {O, I}"" —> :[— 1, 1]^ definida por /fc (si, £2, •••) = (¿it, 1, 4.2, •••) donde tk.m^T-'^-^ si £^ = 1 y tk,m=-T-*^~^ si s^ = 0, También es ^ la medida imagen de la de Lebesgue en [O, 1] por 36 J. ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ y tener en cuenta /(2^)= ^U-/(^) (38) con lo que se obtiene Z dft xn (39) donde d^ = 1 y vale la relación de recurrencia : («4-1) {2--l)d„= 2^ [ \ d, yèr=0 \ k I De aquí que, con Gn entero, se tiene k que junto a (33) y o (40) dn=^ "*- TT (2^-1)^1 (41) (« + !)! f=i 1 tf(/)^/ (42) determina los valores de % (1 — 2~"^). Con esto estamos en condiciones de probar el siguiente teorema : TEOREMA 7.—La función f toma valores racionales en todos los puntos diádicos. DEMOSTRACIÓN.—Sea t = q/2^ con \ q \ <,2'^ y vamos a calculas tf (q 2-^"). DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE 37 Como f y todas sus derivadas se anulan en — 1 la fórmula integral del resto de la fórmula de Taylor proporciona J n\ 11(^2usando ahora la expresión de la derivada tz-ésima 1 i"^^\ C ^ (/)= 2^ ^ ^ I {/- :r)«0(2« + i (l-\-x)) dx n\ J -1 Teniendo en cuenta que, para 2 /j < 2"^^"^ (1 + .v) < 2 (/^ + 1), se verifica 6 (2^ +1 (1 + ^r)) = (— 1)'<^> f (2^^ + ^1 + x)—2h — l) y haciendo 2^^ + ^ (1 + x) — 2 h — 1 = u ^ (n^-2\ q + % -1 1I( n\ f^Q J \ 2^*+! 2« + i / + 2"-! i ^ (_1).(A) I [2{^ —/^)+ 2« + ^-!—«]« II («)^« = — 1 _ , („..) .^r,- que junto con 1 1 — 1 O y (34) prueba nuestro teorema, pudiéndose escribir f (^2--) = = 2 ^ 2^ (-\)s(/^) 1 [2(^-;^)4.2^+1-11'' -2* 11(l-2-2*-i) A = o >fe = O (?í - 2 /è) ! 38 J. ARIAS DE REYNA MARTINEZ Para el cálculo puede obtenerse primero el denominador común •de ^ {q 2""*^) para un n fijo, y usando (30) es posible entonces calcular el valor exacto de ^{q^r'^). Así para ^ = 5 el denominador común es 33177600 = 2^^ 3^ 5^ y se obtiene: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 33 33 33 33 33 32 32 31 30 29 28 26 24 22 20 18 16 177 177 177 175 152 062 842 431 780 873 707 283 622 768 784 733 662 588 600 11(^^/32) 1 "êôô tu 1 312 1 381 400 819 088 819 600 219 888 019 000 381 712 1 381 800 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 14 12 10 8 6 4 3 2 1 177 515 443 393 409 555 893 470 304 396 746 334 115 25 2 600 ÏÏ (ÇIZ2) __ 888 219 600 581 712 381 000 781 512 781 200 219 288 19 0 Bibliografía BouRBAKi, N. (1958). Fonctions d'une variable réelle. Hermann, París. HEWITT, E. y STROMBERG, K. (1965). Real and abstract analysis. Springer, Berlin. HoRVATH, J. (1966). Topological Vector Spaces and Distributions. Vol. 1, Addison Wesley, Reading, Massachusetts. JESSEN, B. y WINTNER, A. (1935). Distribution functions and the Riemann Zeta function. Trans. Amer. Math. Soc, 38, 48-88. Departamento de Teoría de Funciones Facultad de Matemáticas Tarfia, s/n. Sevilla-12