Ecuaciones en Derivadas Parciales con difusión no local

Ecuaciones en Derivadas Parciales con difusi´on no local Inmaculada Ben´ıtez Berral Curso 2020/2021 Tutorizado por: Dra. Mar´ıa ´ Angeles Rodr´ıguez Bellido Dr. Antonio Su´arez Fern´andez Dpto. Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico Facultad de Matem´aticas M´aster Universitario en Matem´aticas Trabajo de Fin de M´aster Agradecimientos En primer lugar, me gustar´ıa agradecer a mis tutores, Antonio y Mar´ıa ´ Angeles, por haber tenido tanta paciencia conmigo y por haberme dedicado tanto tiempo. A continuaci´on, a todo el personal docente que me ha ense˜nado a lo largo de mi vida. Agradecer a familiares y a todos los que quiero llamar familia, que me tranquilizaron y motivaron a avanzar cuando, en ocasiones, sent´ıa que todo pesaba demasiado. Por ´ultimo, pero no por ello menos importante, gracias a todos los que han pasado por mi vida en alg´un momento y decidieron dejar huella en la persona que soy a d´ıa de hoy. Aprend´ı que, con apoyo, todo es posible. Gracias por haber hecho posible este trabajo. III Abstract In the present work we make a theoretical study of Partial Differential Equations with non-local diffusion, paying major attention on models coming from population dynamics. For this purpose we will discuss the following topics: initially, the deduction of the problem. Later, a study of the problem in the linear case and another study of the problem in the non-linear case. We follow studying the associated eigenvalue problem. Finally, we study the associated stationary problem, using the sub-supersolution method to study the existence of solution, and we finish applying this method to the logistic equation. V Resumen En el presente trabajo hacemos un estudio te´orico de Ecuaciones en Derivadas Parciales con difusi´on no local, prestando mayor atenci´on a modelos que provienen de la din´amica de poblaciones. Para este prop´osito trataremos los siguientes temas: inicialmente, la deducci´on del problema. Posteriormente, un estudio del problema en el caso lineal y otro estudio en el caso no lineal. Seguimos con un estudio del problema de autovalores asociado. Finalmente, hacemos un estudio del problema estacionario asociado, usando el m´etodo de sub-supersoluci´on para estudiar la existencia de soluci´on y terminaremos aplicando este m´etodo a la ecuaci´on log´ıstica. VI ´ Indice general 1. Introducci´on 1 1.1. Deducci´on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Interpretaci´on del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Resumen del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Caso lineal 9 2.1. Existencia y unicidad del problema . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Principios del m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Comportamiento asint´otico de la soluci´on del problema con difusi´onnolocal.......................... 20 2.3.1. Comportamiento asint´otico . . . . . . . . . . . . . . . 20 3. Caso no lineal 29 3.1. Existencia, unicidad y positividad de la soluci´on con t´ermino de reacci´on globalmente lipschitziano . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.1. Principios del m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2. Resultados de positividad de la soluci´on . . . . . . . . 39 3.2. Existencia, unicidad y positividad de la soluci´on con t´ermino de reacci´on localmente lipschitziano . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.1. Existencia de una ´unica soluci´on . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2. Principios del m´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.3. Resultados de positividad de la soluci´on . . . . . . . . 50 4. Estudio del problema de autovalores 53 4.1. Algunos resultados previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2. Caracterizaci´on del primer autovalor . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3. Monoton´ıa y continuidad del primer autovalor respecto al dominio................................ 57 5. Estudio del problema estacionario 59 5.1. Aplicaci´on: problema estacionario con ecuaci´on log´ıstica . . . . 62 VII ´ INDICE GENERAL VIII A. Espacios de Banach 69 B. Espacios de Hilbert 73 C. Espacios m´etricos de medida 75 D. Operadores 77 Referencias 83 Cap´ıtulo 1 Introducci´on La difusi´on es el proceso mediante el cual la materia se esparce de una parte del sistema a otra [23]. En el caso de la din´amica de poblaci´on, la difu- si´on podr´ıa venir dada, entre otras cosas, por la inmigraci´on y la emigraci´on. Adem´as, tenemos que tener en cuenta que las poblaciones se ven afectadas por la natalidad y la mortandad, que podemos tratar como una fuente y sumidero, respectivamente. 1.1. Deducci´on del problema Para la deducci´on del problema nos centramos en las referencias [18] y [23]. Supongamos que estamos en un h´abitat Ω ⊂RNacotado y consideramos una especie habitando esta regi´on, suponemos que podemos modelar la poblaci´on de este entorno por una funci´on u(x, t) que es la densidad en la posici´on xy en el tiempo t. Para facilitar la notaci´on, vamos a suponer que estamos en dimensi´on 1 en espacio, esto es, N= 1, y despu´es generalizaremos para dimensi´on mayor. Adem´as suponemos que Ω es de la forma [−M, M]. Tratamos de encontrar la velocidad a la que se propaga la poblaci´on, esto es, ∂u ∂t . Discretizamos en espacio y tiempo, para ello, dividimos el h´abitat en intervalos de longitud ∆xy el tiempo en intervalos de longitud ∆t. Discretizamos ∂u ∂t (i, t)≃u(i, t + ∆t)−u(i, t) ∆t.(1.1) Suponemos que la velocidad a la que los individuos se mueven de un sitio ia otro jes constante. Entonces el n´umero total de individuos que abandonan el sitio ipara ir al sitio jdebe ser proporcional a la poblaci´on en el intervalo i, 1 CAP´ ITULO 1. INTRODUCCI´ ON 8 Para ello, comenzamos probando la unicidad de soluci´on del problema (1.15) a partir de un resultado que nos proporciona una cota de una soluci´on de (1.14) si tenemos una familia de supersoluciones. Adem´as, veremos que (1.15) tiene una soluci´on positiva si y solo si γ > λ1(Ω) y esta soluci´on se encuentra en el intervalo γ−1 b(x),γ ´ınfx∈Ωb(x). Seguidamente y para culminar este trabajo, estudiaremos el problema (1.15) en el caso de haber un refugio, esto es cuando b(x) = 0 en un subdominio de Ω. Con este estudio veremos que el problema (1.15) tiene una ´unica soluci´on, que es positiva, si y solo si el par´ametro γse encuentra en el intervalo (λ1(Ω), λ1(Ω0)), donde Ω0es el refugio. Cap´ıtulo 2 Estudio del problema en el caso lineal En este cap´ıtulo vamos a realizar un estudio completo del problema (1.9) en el caso de que no haya fuentes ni sumideros, esto es f(x, u) = 0. Vamos a analizar el siguiente problema          ut=ZRN J(x, y)u(y, t)dy −u(x, t), x ∈Ω, t > 0, u(x, t) = 0, x 6∈ Ω, t > 0, u(x, 0) = u0(x), x ∈Ω. (2.1) para ello nos centraremos en el Cap´ıtulo 2 de [1] y el Cap´ıtulo 3 de [23]. Comenzamos estudiando los puntos de equilibrio del problema (2.1). Sea uuna soluci´on estacionaria de (2.1). Entonces 0 = ZRN J(x, y)u(y)dy −u(x) = ZΩ J(x, y)u(y)dy −u(x) = =ZΩ J(x, y)(u(y)−u(x)) dy =ZRN J(x, y)(u(y)−u(x)) dy, para x∈Ω. Adem´as, la condici´on de contorno indica que u(x) = 0 para x6∈ Ω. Por tanto, para cada x∈RN, u(x) = ZRN J(x, y)u(y)dy. Veamos que esta ecuaci´on junto con la condici´on de contorno implica que u≡0. Para ello, razonamos por reducci´on al absurdo, suponiendo que 9 CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 10 u(x)6= 0. En consecuencia u2(x) = ZRN J(x, y)u(y)dyu(x). Integrando esta ´ultima igualdad en RNse sigue ZRN u2(x)dx =ZRNZRN J(x, y)u(y)dyu(x)dx = =ZRNZRN J(x, y)u(y)u(x)dy dx. Esto implica que ZRNZRN J(x, y)u(y)u(x)−u2(x)dx dy = 0 ⇒ ⇒ −1 2ZRNZRN J(x, y) (u(y)−u(x))2dx dy = 0 ⇒ ⇒u(y)≡u(x), x ∈RN⇒u≡cte !!! Por tanto, la soluci´on trivial es el ´unico punto fijo del problema. Con este problema estamos modelando el caso en el que los individuos fallecen al salir de la regi´on Ω, por tanto podemos formular el problema como      ut=ZΩ J(x, y)u(y, t)dy −u(x, t), x ∈Ω, t > 0, u(x, 0) = u0(x), x ∈Ω. (2.2) A continuaci´on, lo reescribimos como (ut=M(u)(x, t), x ∈Ω, t > 0, u(x, 0) = u0(x), x ∈Ω,(2.3) donde M(u)(x, t) = ZΩ J(x, y)u(y, t)dy −u(x, t). De aqu´ı en adelante, X=Lp(Ω),1≤p≤+∞oX=Cb(Ω), hasta que se indique lo contrario, donde Cb(Ω) denota el espacio formado por las funciones continuas y acotadas de Ω. CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 11 2.1. Existencia y unicidad del problema Vamos a estudiar el problema (2.3), donde u0∈X. Tambi´en definimos el operador KJ∈ L(X) como KJ(u) = ZΩ J(·, y)u(y)dy, por tanto, el operador M=KJ−I∈ L(X). Adem´as, diremos que KJes un operador con n´ucleo J. Si F∈ L(Y) entonces definimos el operador eF t en serie de Taylor como eFt = ∞ X n=0 Fntn n!,con t∈R.(2.4) Por tanto eF t ∈ L(X). Asimismo, cumple la siguiente propiedad eF(s+t)=eFseF t,para s, t ∈R. M´as a´un, en [21], podemos ver que eF t es un grupo uniformemente continuo y que satisface que d dteFt =eFtF. En la p´agina 2 de [9], podemos encontrar el siguiente resultado: Lema 2.1. Sea Xun espacio de Banach y sea F∈ L(X)entonces el sistema (ut=Fu(t), u(0) = u0∈X, (2.5) tiene una ´unica soluci´on, u∈ C∞(R, X), que viene dada por u(t) = eFtu0.(2.6) Demostraci´on. Est´a claro que u(t) = eF tu0es soluci´on del problema (2.5), ya que u0(t) = FeFtu0=Fu(t). Veamos ahora la unicidad de la soluci´on: Sea v(t) otra soluci´on de (2.5) y sea z(t) = e−F tv(t). Entonces z0(t) = −Fe−F tv(t) + e−F tv0(t) = e−F t (−Fv(t) + v0(t)) = =e−Ft (−Fv(t) + Fv(t)) = 0.(2.7) CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 12 Por otro lado, z(0) = v(0) = u0.(2.8) Por tanto, de (2.7) y (2.8), se sigue que z(t) = u0. Pero, por c´omo hab´ıamos definido z(t), se tiene e−Ftv(t) = u0⇒v(t) = eF tu0, es decir, la soluci´on es ´unica.  Definici´on 2.2. Un espacio m´etrico de medida (X, µ, d)es un espacio m´etrico (X, d)con una medida Borel µen X σ-finita, regular y completa, que asocia una medida finita y positiva a las bolas de X. Definici´on 2.3. Sea (X, µ, d)un espacio m´etrico de medida. Diremos que u∈ C∞(R, X)es una soluci´on del problema (2.1) si u(x, t) = u0(x) + Zt 0ZRN J(x, y)(u(y, s)−u(x, s)) dy dx, x ∈Ω, t > 0 y u(x, t) = 0, x 6∈ Ω, t > 0. Proposici´on 2.4. Sea (X, µ, d)un espacio m´etrico de medida. Si KJ∈ L(X) entonces el problema (2.3) tiene una ´unica soluci´on u∈ C∞(R, X)que viene dada por u(t) = eMtu0, donde eMt ∈ L(X). Demostraci´on. Como M∈ L(X), basta aplicar el Lema 2.1 al problema (2.3) para obtener el resultado.  Nota 2.5. La ´unica soluci´on del problema (2.3) es u(t) = eMtu0. Observemos que el flujo de este problema es reversible, a diferencia de los problemas en los que la difusi´on viene dada por el laplaciano. Adem´as, destacamos que la soluci´on del problema con difusi´on no local depende del operador KJ. 2.2. Principios del m´aximo Suponemos que KJes un operador con n´ucleo Jno negativo. Consideramos el problema (ut=KJ(u), u(0) = u0,(2.9) con u0≥0. CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 13 Lema 2.6. Si el dato inicial del problema (2.9) cumple u0(x)≥0entonces u(x, t)≥0, siendo u(x, t)la soluci´on del problema (2.9). Demostraci´on. Usando el Lema 2.1, se sigue que la soluci´on del sistema anterior es u(x, t) = eKJtu0(x). Adem´as, usando el desarrollo de Taylor de la exponencial (2.4), tenemos que la soluci´on de (2.9) es u(x, t) = ∞ X n=0 Kn Jtn n!!u0(x).(2.10) Como J≥0 y u0≥0 entonces KJ(u0)≥0 y usando la expresi´on (2.10) de la soluci´on del problema (2.9), se tiene que u(x, t)≥0, ∀t≥0.  Proposici´on 2.7 (Principio del M´aximo D´ebil).Sea (X, µ, d)un espacio m´etrico de medida y sea KJ∈ L(X)un operador positivo. Sea u0∈Xno negativo, entonces la soluci´on al problema (2.3) es no negativa para todo t≥0. Adem´as, la soluci´on es no trivial, u(x, t)6≡ 0, si u0(x)6≡ 0. Demostraci´on. Sea v(x, t) = etu(x, t), t≥0, x ∈Ω. Observemos que v(x, 0) = u(x, 0) = u0(x) para x∈Ω. Adem´as, vt(x, t) =etu(x, t) + etut(x, t) = et(u(x, t) + M(u)(x, t)) = =et(u(x, t) + KJ(u)(x, t)−u(x, t)) = etKJ(u)(x, t).(2.11) Asimismo, como etno depende de yse tiene que vt(x, t) =etKJ(u)(x, t) = etZΩ J(x, y)u(y, t)dy = =ZΩ J(x, y)etu(y, t)dy =ZΩ J(x, y)v(y, t)dy =KJ(v)(x, t), (2.12) es decir, v(x, t) = etu(x, t) es soluci´on del sistema    dv dt =KJ(v), v(0) = u0≥0. (2.13) Por el Lema 2.6 se tiene que la soluci´on a este problema es no negativa. Por tanto, la soluci´on u(x, t) = e−tv(x, t) del problema (2.3) tambi´en es no negativa. Adem´as, como v(x, t) es soluci´on de (2.13), ves de la forma v(x, t) = u0+Zt 0 KJ(v)(x, s)ds. Como KJ≥0, se sigue que etu(x, t) = v(x, t)≥u0y por tanto u(x, t)6≡ 0 si u06≡ 0.  CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 14 Antes de introducir el Principio del M´aximo Fuerte, necesitamos algunos resultados y definiciones previas. Definici´on 2.8. Sean (Ω, µ, d)espacio m´etrico de medida y R > 0. Se dir´a que Ωes R-conexo si para todo y, z ∈Ω, existen N∈Ny{x0, . . . , xN}un conjunto finito de puntos en Ωtales que x0=y, xN=zyd(xi−1, xi)< R, ∀i= 1, . . . , N. Proposici´on 2.9. Si Ωes compacto y conexo, entonces Ωes R-conexo para cualquier R > 0. Demostraci´on. Como Ω es compacto, dado R > 0, existen n∈Ny {y1, . . . , yn} ⊂ Ω tal que Ω⊂ n [ i=1 B(yi, R/4). Adem´as, para todo i= 1, . . . , n, se tiene que B(yi, R/4) ∩[ j6=i B(yi, R/4) 6=∅, ya que si no fuera as´ı, Ω = B(yi, R/4) ∩[ j6=i B(yi, R/4), lo que contradice el hecho de que Ω sea conexo. De forma an´aloga, para todo i1, . . . , ik∈ {1, . . . , n}se tiene que k [ r=1 B(yir, R/4) ∩[ j6∈{i1...,ik} B(uj, R/4) 6=∅. Probemos ahora que Ω es R-conexo para cualquier R > 0. Dados dos puntos x, y ∈Ω, consideramos x0=xy elegimos una bola tal que x∈B(yi1, R/4), por ser Ω conexo, entonces existe una bola B(yi2, R/4) que corta a la bola B(yi1, R/4), y elegimos x1=yi2. Si y∈B(yi2, R/4), la prueba termina. En el caso contrario, y6∈ B(yi2, R/4), continuamos con el argumento, obteniendo un conjunto finito de puntos {x0, . . . , xn−1}tales que x0=x, xN−1=yyd(xi−1, xi)< R, ∀i= 1, . . . , N, donde N≤n. Por tanto, Ω es R-conexo para cualquier R > 0.  CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 15 Definici´on 2.10. Sea (Ω, µ, d)un espacio m´etrico de medida, sea f: Ω →R una funci´on no negativa y medible. Se define el soporte esencial asociado a fcomo P(f) := {x∈Ω : ∀δ > 0, µ({y∈Ω|f(y)>0} ∩ B(x, δ)) >0}, donde B(x, δ)denota la bola centrada en xcon radio δ. Proposici´on 2.11. Sea f: Ω →Runa funci´on medible no negativa, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. f≥0no id´enticamente nula. 2. µ(P(f)) >0. 3. P(f)6=∅. Demostraci´on. 1⇒2 Supongamos que µ(P(f)) = 0, entonces µ(P(f)c) = µ(Ω\P(f)) = µ(Ω). Por tanto, f≡0 para casi todo en Ω, llegando a contradicci´on con 1. Concluimos entonces que µ(P(f)) >0. 2⇒3 Si µ(P(f)) >0, por las propiedades de las medidas, se sigue que P(f)6=∅. 3⇒1 Supongamos que P(f)6=∅entonces existe x∈Ω tal que para todo δ > 0, µ({y∈Ω|f(y)>0} ∪ B(x, δ)) >0. Entonces existe un conjunto con medida positiva donde fes estrictamente positiva. Concluimos que fno es id´enticamente nula.  Definici´on 2.12. Sea f: Ω →Rfunci´on medible no negativa. Para R > 0, denotamos P0 R(f) = P(f)y definimos los conjuntos abiertos Pn R(f) = [ x∈Pn−1 R(f) B(x, R),∀n∈N. Lema 2.13. Sea (Ω, µ, d)un espacio m´etrico de medida y sea Jtal que J≥0 no id´enticamente nulo, con J(x, y)>0∀x, y ∈Ω,tal que d(x, y)< R, (2.14) para alg´un R > 0. Si f: Ω →Rcon f≥0y no id´enticamente nula. Entonces, P(Kn J(f)) ⊃Pn R(f). CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 16 Demostraci´on. Vamos a realizar esta demostraci´on por inducci´on. Probamos primero que P(KJ(f)) ⊃P1 R(f). Como f≥0 y por la Proposici´on 2.11, se sigue que µ(P(f)) >0. Entonces, KJ(f)(x) = ZΩ J(x, y)f(y)dy ≥ZP(z) J(x, y)f(y)dy. Por tanto, como J(x, y)f(y)≥0 y estamos integrando en un conjunto de medida no nula, KJ(f)(x)>0,∀x∈[ y∈P0 R(f) B(y, R) = P1 R(f).(2.15) Por otra parte, como P1 R(f) es un conjunto abierto de Ω, tenemos que, si x∈P1 R(f), entonces µ(B(x, δ)∩P1 R(f)) >0,∀δ∈R, δ > 0.(2.16) De las ecuaciones (2.15) y (2.16) se deduce que P(KJ(f)) ⊃P1 R(f). Supongamos ahora que se cumple la inclusi´on para n=l, es decir, P(Kl J(f)) ⊃Pl R(f) y veamos que se cumple para l+ 1: P(Kl+1 J(f)) ⊃P1 R(Kl J(f)) = [ x∈P(Kl J(f)) B(x, R)⊃[ x∈Pl R(f) B(x, R) = Pl+1 R(f). Concluimos que P(Kn J(f)) ⊃Pn R(f) para todo n∈N.  Proposici´on 2.14. En las mismas condiciones del Lema 2.13, si Ωes R-conexo y K⊂Ωcompacto, entonces existe n0(f)∈N, tal que K⊂P(Kn J(f)),∀n≥n0. Demostraci´on. Tomamos x0∈P(f). Si se cumple que ∃n0(f)∈Ntal que K⊂Pn R(f)∀n≥n0,(2.17) entonces, usando el Lema 2.13, se sigue que K⊂P(Kn J(f)) ∀n≥n0y quedar´ıa demostrada la proposici´on. Probemos entonces (2.17): CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 17 Como Ω es R-conexo, ∀y∈Ω, ∃My∈Ny{x0, . . . , xMy}tal que xMy=yyd(xi−1, xi)< R, ∀i= 1, . . . , My. Entonces x1∈B(x0, R) = P1 R(x0), x2∈B(x1, R)⊂P2 R(x0), . . . xi∈B(xi−1, R)⊂Pi R(x0),∀i= 1, . . . , My. En particular, y∈PMy R(x0) y B(y, R)⊂PMy+1 R(x0).(2.18) De manera an´aloga, x0∈PMy R(x0). Como Kes compacto, K⊂[ y∈K B(y, R). Entonces existe n∈Ntal que K⊂ n [ i=1 B(yi, R). De la ecuaci´on (2.18), se sigue que ∀yi∃Myital que B(yi, R)⊂PMyi+1 R(x0). Elegimos n0(f) = m´axi=1,...,n(Myi+ 1) y llegamos a que K⊂Pn0(f) R(f). Entonces K⊂Pn(f) R(f)⊂P(Kn J(f)),∀n≥n0.  Observaci´on 2.15. El siguiente contraejemplo muestra que si Jno satisface (2.14), podemos encontrar una funci´on z0para la cual la Proposici´on 2.14 no se satisface. Sea Ω = [0, L]⊂R, con L > 0y fijamos x0∈[0,1] yR > 0tal que (x0−R, x0+R)⊂[0,1]. Consideramos J≥0definida por J(x, y) = (1,si (x, y)∈A 0,caso contrario, donde A= ([0,1]×[0,1])\((x0−R, x0+R)×(x0−R, x0+R)) con d(x, y)< R. Consideramos la funci´on z0: Ω −→ R,z≥0tal que P(z0)⊂[1/2,1]. Como z0(y)=0,∀y6∈ [x0,1], tenemos KJ(z0)(x) = ZΩ J(x, y)z0(y)dy =ZP(z0) J(x, y)z0(y)dy =Z1 x0 J(x, y)z0(y)dy. Adem´as, por la definici´on de J(x, y), para ˜x∈(x0−R, x0)entonces CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 24 2. Para 1≤p0< p1≤+∞, si K∈ L(Lp0(Ω), Lp1(Ω)) es compacto, entonces K∈ L(Lp(Ω), Lp(Ω)),∀p∈[p0, p1], y σLp(K)es independiente de p. 3. Para 1≤p0≤+∞, si K∈ L(Lp0(Ω),Cb(Ω)) es compacto y X=Cb(Ω) oX=Lr(Ω) con r∈[p0+∞], entonces K∈ L(X), y σX(K)es independiente de X. Proposici´on 2.27. Sea (Ω, µ, d)un espacio m´etrico de medida, con µ(Ω) <+∞. Suponemos que KJ∈ L(Lp0(Ω),C(Ω)) es compacto, y p0≤2. Sea X=Lp(Ω), con p∈[p0,+∞], o X=Cb(Ω), y Jsatisface que J(x, y) = J(y, x). Entonces KJ∈ L(X)yσX(KJ)\ {0}es una sucesi´on de autovalores de multiplicidad finita, independiente de X, que converge a 0. Proposici´on 2.28. Sea (Ω, µ, d)un espacio m´etrico de medida, con Ωcompacto y conexo. Supongamos que Jsatisface que J(x, y) = J(y, x) y J(x, y)>0,∀x, y ∈Ωtal que d(x, y)< R, para alg´un R > 0, yKJ∈ L(Lp(Ω),Cb(Ω)), con 1≤p≤+∞, es compacto. Entonces KJ∈ L(Cb(Ω),Cb(Ω)) es compacto, el radio espectral ρCb(Ω)(KJ)es un autovalor positivo simple, y su autofunci´on asociada es estrictamente positiva. Proposici´on 2.29. Sea (Ω, µ, d)un espacio m´etrico de medida. Sea X=Lp(Ω) oX=Cb(Ω). Si K∈ L(X)es compacto, entonces σ(K−I) = {−1}∪{µn}M n=1,con M∈N∪ {+∞}. Si M= +∞, entonces {µn}+∞ n=1 es una sucesi´on de autovalores de K−Icon multiplicidad finita. Definici´on 2.30. Sea Fun operador lineal y acotado en el espacio de Banach Y. 1. Diremos que un conjunto σ1es la parte aislada de σ(F)si σ1y σ2:= σ(F)\σ1son subconjuntos cerrados de σ(F). CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 25 2. Si σ1es la parte aislada de σ(F), definimos la proyecci´on de Riesz de Fcorrespondiente a la parte aislada σ1como Qσ1=1 2πi ZΓ (λI −F)−1dλ, donde λ∈ρ(F)yΓest´a formada por una cantidad finita de curvas de Jordan alrededor de σ1rectificables y orientadas positivamente tales que separan σ1de σ2. Nota 2.31. Observemos que Qσ1es una proyecci´on, ya que Q2 σ1=Qσ1. Podemos encontrar la prueba de esta nota en el Ap´endice D. Proposici´on 2.32. Sea (Ω, µ, d)un espacio m´etrico de medida. Para 1≤p0< p1≤+∞, con 2∈[p0, p1]. Supongamos que F∈ L(X)es autoadjunto en L2(Ω), el espectro de F,σX(F), es independiente de X, y el primer autovalor asociado a F,λ1es simple y aislado, con autofunci´on asociada Φ1∈Lp(Ω) ∩Lq(Ω), para p∈[p0, p1], si X=Lp(Ω), o Φ1∈ C(Ω) ∩L1(Ω) si X=Cb(Ω), y kΦ1kL2(Ω) = 1, donde qes el exponente conjugado de p. Si σ1={λ1}, y Γes la curva que s´olo envuelve λ1, entonces para u∈X, Qσ1(u) = 1 2πi ZΓ (λI −F)−1u dλ =ZΩ u(x)Φ1(x)dxΦ1= = (u, Φ1)Φ1=: Pσ1(u), donde Qσ1es la proyecci´on de Riesz y Pσ1es la proyecci´on de Hilbert sobre el espacio generado por las autofunciones asociadas a σ1. Para profundizar m´as en la proyecci´on de Riesz y de Hilbert, ver [23] y cap´ıtulo 1 de [17]. Teorema 2.33. Sea F∈ L(Y)y sea σ(F)la uni´on disjunta de dos subconjuntos cerrados σ1yσ2, con δ2<Re(σ1)≤δ1, Re(σ2)≤δ2, con δ2< δ1. Entonces la soluci´on de (ut(t) = F(u)(t), t ∈R, u(0) = u0∈Y, cumple l´ım t→∞ ke−µt(u(t)−Qσ1(u)(t))kY= 0,∀µ>δ2. Proposici´on 2.34. Sea σuna parte aislada de σ(F), entonces eFt ◦Qσ=Qσ◦eFt =eF1t, donde F1=F|ImQσ, donde ImQσdenota la imagen de Qσ. CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 26 Podemos ahora probar el resultado de la Proposici´on 2.25: Demostraci´on. De la Proposici´on 2.26 se tiene que σX(KJ) es independiente de X. Adem´as, como J(x, y) = J(y, x), por la Proposici´on 2.27, sabemos que σ(K)\{0}es una sucesi´on real de autovalores {µn}n∈Nde multiplicidad finita que converge a 0. Por otro lado, se satisface la hip´otesis de la Proposici´on 2.28, por tanto el primer autovalor, λ1=ρ(KJ), es un autovalor simple aislado y su autofunci´on asociada, Φ1∈ Cb(Ω), es positiva. Como el espectro no depende de X, tenemos que Φ1∈Xy, en particular, Φ1∈Lp(Ω) ∩Lq(Ω), y Φ1∈ Cb(Ω) ∩L1(Ω). Gracias a la Proposici´on 2.29, sabemos que el espectro, σX(KJ−I)\{−1}, es una sucesi´on de autovalores reales {λn}n∈N={µn}n∈N−1, de multiplicidad finita que converge a −1. Ahora, consideramos σ1={λ1}yσ2={λ2, . . . , λn, . . . } ∪ {−1}, y sea Φ1una autofunci´on positiva asociada a λ1. Como J(x, y) = J(y, x), usando el Lema 2.19, K−Ies autoadjunto en L2(Ω), entonces podemos aplicar la Proposici´on 2.32. Entonces, se sigue que Qσ1(u0) = Pσ1(u0) = CΦ1, donde C=RΩu0(x)Φ1(x)dx RΩΦ1(x)2dx . Adem´as, para u0∈Xgracias al Teorema 2.33, la soluci´on de (2.3) satisface l´ım t→+∞ke−λ1t(u(t)−Qσ1(u)(t)kX= 0.(2.27) Como u(x, t) = e(KJ−I)tu0(x), Pσ1=Qσ1, y por la Proposici´on 2.34 se sigue que Pσ1(u)(x, t) = Pσ1(e(KJ−I)tu0(x))(x, t) = e(KJ−I)tPσ1(u0)(x).(2.28) Por otro lado, como Pσ1(u0)(x) = CΦ1, entonces e(KJ−I)tPσ1(u0)(x) = e(KJ−I)tCΦ1.(2.29) Adem´as, Φ1es una autofunci´on asociada a λ1ye(KJ−I)t= ∞ X n=0 (KJ−I)ntn n!, entonces e(KJ−I)tΦ1= ∞ X n=0 (KJ−I)ntn n!Φ1= ∞ X n=0 (KJ−I)nΦ1tn n!= = ∞ X n=0 λn 1Φ1tn n!=eλ1tΦ1. (2.30) CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 27 De (2.28)-(2.30) se deduce que Pσ1(u)(x, t) = Ceλ1tΦ1(x).(2.31) Y por (2.27) y (2.31) l´ım t→∞ ke−λ1tu(t)−CΦ1kX= 0.  CAP´ ITULO 2. CASO LINEAL 28 Cap´ıtulo 3 Estudio del problema en el caso no lineal En este cap´ıtulo seguimos trabajando con (Ω, µ, d) espacio m´etrico de medida, X=Lp(Ω), con 1 ≤p≤+∞, o X=Cb(Ω), y el operador KJ∈ L(X). Consideramos el problema no lineal con reacci´on local (ut(x, t) = M(u)(x, t) + f(x, u), x ∈Ω, t > 0 u(x, t0) = u0(x), x ∈Ω,(3.1) donde M(u)(x, t)=(KJ−I)(u)(x, t) = ZΩ J(x, y)u(y, t)dy −u(x, t) y f: Ω×R→Res el t´ermino de reacci´on local, y u0∈X. Haremos un estudio de existencia, unicidad y positividad de la soluci´on del problema (3.1) en el caso en el que fsea globalmente lipschitziana o fsea localmente lipschitziana. 3.1. Existencia, unicidad y positividad de la soluci´on con t´ermino de reacci´on globalmente lipschitziano Antes de comenzar, recordemos la definici´on de globalmente lipschitziana: Definici´on 3.1. Diremos que la funci´on g: Ω ⊂RN→Res globalmente lipschitziana en Ωsi existe una constante L > 0tal que |g(x)−g(y)| ≤ Lkx−ykRN,∀x, y ∈Ω. Al valor Lse le llama constante de Lipschitz para gen Ω. 29 CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 30 A continuaci´on definimos el operador de Nemitcky y veremos sus propiedades, las cuales se encuentran detalladas en el Ap´endice B de [23]. Definici´on 3.2. Se define el operador Nemitcky asociado a f: Ω ×R→R como el operador F:X→Xdefinido por F(u)(x) = f(x, u(x)), con u∈X. Definici´on 3.3. Un operador F∈ L(X)es creciente si dados y1, y2∈Y tales que y1≥y2entonces F(y1)≥F(y2). Lema 3.4. Sea F:X→Xel operador Nemitcky asociado a la funci´on f: Ω ×R→R (x, s)7→ f(x, s) 1. Si fes creciente respecto a la variable s∈R, entonces Fes creciente. 2. Si fes globalmente lipschitziana en la variable s∈R, entonces Fes globalmente lipschitziana. 3. Si fes globalmente lipschitziana en la variable s∈R, entonces para una constante β > Lf, donde Lfes la constante Lipschitz de f, entonces f(x, s) + βs es creciente, es decir, para todo s, t ∈Rtal que s≥tse tiene f(x, s) + βs ≥f(x, t) + βt, ∀x∈Ω. Demostraci´on. 1. Como la funci´on fes creciente en la segunda varible, se tiene f(x, s)−f(x, t)≥0,para s, t ∈Rtal que s≥t, ∀x∈Ω. Consideramos u, v ∈X, con u≥v, entonces F(u)(x)−F(v)(x) = f(x, u(x)) −f(x, v(x)) ≥0,∀x∈Ω. Por lo tanto, Fes creciente. 2. Como fes globalmente lipchitziana, ∃Lf∈Rtal que ∀s, t ∈R|f(x, s)−f(x, t)| ≤ Lf|s−t|,∀x∈Ω. CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 31 Probemos que Fes globalmente lipschitziana en X=Lp(Ω), para 1≤p < +∞. Sean u, v ∈Lp(Ω), entonces kF(u)−F(v)kLp(Ω) =ZΩ |F(u)(x)−F(v)(x)|pdx1/p = =ZΩ |f(x, u(x)) −f(x, v(x))|pdx1/p ≤ ≤ZΩ Lp f|u(x)−v(x)|pdx1/p =Lfku−vkLp(Ω). Con lo cual, Fes globalmente lipschitziana en Lp(Ω), con 1 ≤p < +∞. Veamos ahora que Fes globalmente lipschitziana en X, siendo X=L∞(Ω) o X=Cb(Ω). Sean u, v ∈X, entonces kF(u)−F(v)kX= sup x∈Ω |F(u)(x)−F(v)(x)|= = sup x∈Ω |f(x, u(x)) −f(x, v(x))| ≤ ≤sup x∈Ω Lf|u(x)−v(x)|=Lfku−vkX. Por lo tanto, Fes globalmente lipschitziana en X. 3. Como fes globalmente lipschitziana, |f(x, s)−f(x, t)| ≤ Lf|s−t|, entonces para s≥t, −Lf(s−t)≤f(x, s)−f(x, t)≤Lf(s−t). Elegimos β > Lf, lo que implica que (f(x, s) + βs)−(f(x, t) + βt) =f(x, s)−f(x, t) + β(s−t)≥ ≥ − Lf(s−t) + β(s−t) = =(β−Lf)(s−t)≥0.  Definici´on 3.5. Se dice que una soluci´on, u, del problema (3.1) es fuerte si usatisface la ecuaci´on para casi todo x∈Ω. CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 32 Teorema 3.6. Sea Yun espacio de Banach, supongamos que el operador H:Y→Ygenera un semigrupo en Y, que lo denotamos por eHt. Consideramos el problema (ut(t) = H(u)(t) + g(t), t > t0 u(t0) = u0∈Y. (3.2) Supongamos que g∈ C([t0, t1], Y ), u0∈ D(H), donde D(H)es el espacio de funciones infinitamente derivables en Hy de soporte compacto en H, y ues una soluci´on de (3.2) que viene dada por u(t) = e−H(t−t0)u0+Zt t0 e−H(t−s)g(s)ds. Adem´as, supongamos que 1. O bien, g∈ C([t0, t1],D(H)); 2. O bien, g∈ C1([t0, t1], Y ). Entonces u∈ C1([t0, t1], Y )∩C([t0, t1],D(H)), y es una soluci´on fuerte de (3.2) en Y. La demostraci´on de este teorema puede encontrarse en la Secci´on 4.2 (p´agina 109) de [21]. Expresamos ahora el problema (3.2) dependiendo del operador Nemitcky, F, asociado a f: (ut(x, t) = M(u)(x, t) + F(u)(x, t), x ∈Ω, t ∈R, u(x, 0) = u0(x), x ∈Ω.(3.3) Como estamos en el caso de que fes globalmente lipschitziana, por el Lema 3.4, se sigue que el operador Ftambi´en es globalmente lipschitziano. Lema 3.7. Sea S∈ L(Y)un operador tal que −δ≤Re(σ(S)) ≤δ, entonces para todo ε > 0existe una constante C0=C0(ε)tal que keStkL(Y)≤C0e(δ+ε)|t|∀t∈R. Demostraci´on. Usando la Definici´on D.11, se sigue que eSt =1 2πi ZΓ eλt(λI −S)−1dλ. CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 33 Para cada curva Γ orientada positivamente, se tiene que −δ−ε≤Re(λ)≤δ+ε, ∀λ∈Γ, entonces para t≥0 keStkL(Y)= 1 2πi ZΓ eλt(λI −S)−1dλ≤1 2πZΓ eRe(λ)t|(λI−S)−1|dλ ≤C0e(δ+ε)t y, de manera an´aloga, para t < 0, keStkL(Y)≤C0e−(δ+ε)t. Por tanto, keStkL(Y)≤C0e(δ+ε)|t|∀t∈R.  Proposici´on 3.8. Sea M∈ L(X)y sea F:X→Xglobalmente lipschitziana. Entonces el problema (3.3) tiene una ´unica soluci´on global u∈ C1((−∞,+∞), X), para cada u0∈X, con u(·, t) = eMtu0+Zt 0 eM(t−s)F(u)(·, s)ds. (3.4) Demostraci´on. Definimos F(u) := eMtu0+Zt 0 eM(t−s)F(u)(·, s)ds y fijamos T > 0. Buscamos ahora los puntos fijos de Fen el espacio m´etrico C([−T, T], X), que es completo para la norma del supremo. Veamos primero que F:C([−T, T], X)→ C([−T, T], X). Sea u∈ C([−T, T], X), entonces, como Fes globalmente lipschitziana, F(u)∈ C([−T, T], X). Ahora bien, como M=KJ−I∈ L(X), se tiene que −kMkL(X)<|σ(M)|<kMkL(X), entonces por el Lema 3.7, existen a, C ∈R>0tales que keMtkL(X)≤Cea|t|,∀t∈R.(3.5) CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 40 Como en la demostraci´on de la Proposici´on 3.9, estamos en las hip´otesis de la Proposici´on 2.7, por lo tanto eSMtu0≥0,∀t∈[0, T].(3.14) Adem´as, como F(0) ≥0, β > 0 y F(·) + βI es creciente, entonces F(u) + βu ≥0 para todo u≥0. Por tanto, se tiene eSM(t−s)(F(u0) + βu0)≥0,∀t∈[0, T],∀s∈[0, t].(3.15) Haciendo uso de (3.14) y (3.15), u2(t)≥0 para todo t∈[0, T]. Repitiendo este argumento, se tiene que un(t)≥0, ∀t∈[0, T]. Como un(t)→u(t) cuando n→+∞para cada n≥1, entonces u(t)≥0 en C([−T, T], X), ∀t∈[0, T]. Consideramos de nuevo el mismo problema pero en esta ocasi´on, con dato inicial u(x, T), entonces, argumentando como antes, la soluci´on a este problema es no negativa para todo t∈[T, 2T]. Por la unicidad de la soluci´on, se tiene que u(t)≥0 para todo t∈[0,2T]. Repitiendo esta argumento, concluimos que la soluci´on, u(t), del problema (3.3) es no negativa, u(t)≥0, para todo t≥0.  Proposici´on 3.13 (Positividad fuerte).Sean M∈ L(X),Jno negativo, F:X→Xoperador globalmente lipschitziano y ΩR-conexo. Supongamos que existe una constante β > 0tal que F+βI es creciente y F(0) ≥0. Sea u0∈Xtal que u0≥0no id´enticamente cero. Si Jsatisface (3.9), entonces u(t, u0)>0,∀t > 0. Demostraci´on. Denotamos SM:= M−βI. Sabemos que la soluci´on del probema (3.3) es el punto fijo de F(u)(t) = eSMtu0+Zt 0 eSM(t−s)(F(u)(·, s) + βu(s)) ds. (3.16) Adem´as, como Jsatisface la hip´otesis del Principio del M´aximo Fuerte en el caso lineal, Proposici´on 2.16, se tiene que eSMtu0>0,∀t > 0.(3.17) Asimismo, como u≥0 para todo t≥0, y (F+βI)(u)≥0 para todo u≥0, por la Proposici´on 2.16, tambi´en se tiene Z1 0 eSM(t−s)(F(u)(x, s) + βu(x, s)) ds ≥0,∀t≥0.(3.18) Por tanto, de (3.17) y (3.18), se tiene que u(t)>0 para todo t > 0.  CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 41 3.2. Existencia, unicidad y positividad de la soluci´on con t´ermino de reacci´on localmente lipschitziano Como en la Secci´on 3.1, comenzamos recordando la definici´on de localmente lipschitziana: Definici´on 3.14. Se dice que la funci´on g: Ω ⊂RN→Res localmente lipschitziana en Ωsi Ωes abierto y para todo z∈Ω, existe ε(z)>0tal que B(z, ε(z)) ⊂Ω,∃L(z) : |g(x)−g(y)| ≤ L(z)kx−ykRN,∀x, y ∈B(z, ε(z)). A continuaci´on, para trabajar con el problema (3.1) con t´ermino de reacci´on, f, localmente lipschitziano, introducimos el siguiente problema auxiliar (ut(x, t)=(KJ−I)(u)(x, t) + fk(x, u(x, t)),(x, t)∈Ω×R, u(x, 0) = u0(x), x ∈Ω,(3.19) donde, fijado k > 0, fk: Ω ×R→Res la funci´on globalmente lipschitziana definida por fk(x, u) = f(x, u) para |u| ≤ k, ∀x∈Ω.(3.20) Podemos ahora hacer uso del operador de Nemitcky, que vimos en la Secci´on 3.1, Definici´on 3.2 y reescribir este problema auxiliar como (ut(x, t) = M(u)(x, t) + Fk(u)(x, t),(x, t)∈Ω×R, u(x, 0) = u0(x), x ∈Ω,(3.21) donde Fk:X→Xes el operador de Nemitcky asociado a fk. Denotamos a la soluci´on del problema (3.21) por uk(t, u0) = Fk(t)u0. A este problema, podemos aplicarle todo lo visto en la Secci´on 3.1. Por tanto, tenemos que Fk es un operador globalmente lipschitziano, luego existe una ´unica soluci´on del problema (3.21). Definici´on 3.15. Se dice que u, u ∈ C([a, b], X)son, respectivamente, subsoluci´on y supersoluci´on de (3.3) si u≤uen [a, b]y u(t)≤eM(t−s)u(s) + Zt s eM(t−s)F(u)(r)dr, u(t)≥eM(t−s)u(s) + Zt s eM(t−s)F(u)(r)dr. CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 42 Proposici´on 3.16. Sea M=KJ−I∈ L,Jno negativo, F:X→X globalmente lipchitziana y supongamos que existe una constante β > 0tal que F+βI es creciente. Sea u(t, u0)la soluci´on de (3.3) con dato inicial u0∈X, y sea u(t)una supersoluci´on de (3.3) en [0, T]. Si u(0) ≥u0, entonces u(t)≥u(t, u0),∀t∈[0, T].(3.22) Demostraci´on. Denotamos SM:= M−βI. Sea u(t) soluci´on del problema (3.3) entonces es soluci´on fuerte y es el ´unico punto fijo de F(u)(t) = eSMtu0+Zt 0 eSM(t−s)(F(u)(·, s) + βu(s)) ds en C([0, ε], X), donde εes suficientemente peque˜no. Elegimos ρ≤m´ın{ε, T}, entonces u(t)∈Xexiste para todo t∈[0, ρ]. Est´a claro que, por definici´on de supersoluci´on, usatisface u(t)≥ F(u)(t),∀t∈[0, ρ].(3.23) Consideramos la siguiente sucesi´on (u1(t) = u(t), un+1(·, t) = F(un)(·, t),∀n≥1.(3.24) Entonces un(t) converge a u(t) en C([0, ρ], X). A continuaci´on vamos a probar por inducci´on que u≥un,∀n, en casi todo C([0, ρ], X).(3.25) Como u1=u, entonces u≥u1=uy por tanto se cumple (3.25) para n= 1. Adem´as, por definici´on de supersoluci´on se tiene que u(t)≥ F(u) = F(u1) = u2, y, por lo tanto, la desigualdad (3.25) se cumple para n= 2. Supongamos ahora que se cumple (3.25) para n=k, es decir, u≥uk,en casi todo C([0, ρ], X).(3.26) Probemos que entonces se sigue cumpliendo para k+ 1. Por el Principio del M´aximo D´ebil, Proposici´on 3.9, se tiene que Fes creciente en C([0, ρ], X) y de las ecuaciones (3.23), (3.24) y (3.26), se tiene u≥ F(u)≥ F(uk) = uk+1,∀t∈[0, ρ].(3.27) CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 43 Queda probado (3.25). Adem´as, un(x, t) converge a u(x, t) en C([0, ρ], X). Entonces se sigue que u(t)≥u(t, u0),∀t∈[0, ρ]. Si tomamos ahora ˜ρ≤T, entonces existe la supersoluci´on u(t) para todo t∈[ρ, ˜ρ], con ˜ρ≤2ε. Consideramos de nuevo el problema (3.3), esta vez con dato inicial ˜u0(ρ) = u(·, ρ), entonces ˜u(t) es el ´unico punto fijo de F(˜u)(t) = eSM(t−ρ)˜u(·, ρ) + Zt ρ eSM(t−s)(F(˜u(·, s) + β˜u(·, s)) ds en C([ρ, ˜ρ], X) y la supersoluci´on satisface por definici´on que u(t)≥ F(u(t)). Siguiendo el mismo argumento de antes, se tiene que u(t)≥˜u(t, ˜u0),∀t∈[ρ, ˜ρ]. Por la unicidad de la soluci´on del problema (3.3), se sigue que u(t)≥u(t, u0),∀t∈[0,˜ρ]. Continuando este argumento, se prueba (3.22).  Nota 3.17. Se obtiene un resultado an´alogo para subsoluciones, con las desigualdades cambiadas: Proposici´on: En las hip´otesis de la Proposici´on 3.16, si u(0) ≤u0, entonces u(t)≤u(t, u0),∀t∈[0, T].(3.28) Para el siguiente resultado, es conveniente recordar dos resultados importantes del estudio de las ecuaciones diferenciales: Teorema 3.18 (Teorema de Peano).Sea Aun subconjunto abierto de R×R, con f:A→Runa funci´on continua y y0(x) = f(x, y(x)) una ecuaci´on diferencial de primer orden definida en A, entonces cada problema de valores iniciales y(x0) = y0, con (x0, y0)∈Atiene una soluci´on local, y:B→R, donde Bes un entorno de x0. CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 44 Teorema 3.19 (Teorema de Picard-Lindel¨of).Consideramos el problema de valores iniciales (y0(t) = f(t, y(t)), y(t0) = y0.(3.29) Supongamos que fes localmente lipschitziana en y, es decir, la constante Lipschitz puede ser independiente de t, y continua en t, entonces para alg´un ε > 0, existe una ´unica soluci´on y(t)del problema (3.29) en el intervalo [t0−ε, t0+ε]. Podemos ahora exponer el siguiente resultado sobre la soluci´on del problema (3.31). Proposici´on 3.20. Sea KJ∈ L(X),Jno negativo, y supongamos que la funci´on localmente lipschitziana, f, satisface que existen g0∈ C1(R), s0, δ > 0 tales que (h0(·)−1)s2+f(·, s)s≤g0(s)s≤ −δ|s|,∀|s|> s0,(3.30) donde h0(x) = ZΩ J(x, y)dy ∈L∞(Ω). Entonces existe una ´unica soluci´on global de (3.19) y viene dada por u(·, t) = eMtu0+Zt 0 eM(t−s)f(·, u(·, s)) ds. (3.31) Adem´as, u∈ C1([0,+∞), X)es una soluci´on fuerte en X. Demostraci´on. Fijamos r > s0. Como g0∈ C1(R), el siguiente problema auxiliar tiene soluci´on local ´unica gracias al Teorema de Peano y al Teorema de Picard-Lindel¨of: (˙v(t) = g0(v(t)) v(0) = r. (3.32) Adem´as, se tiene que vest´a definida para t≥0. De hecho, de la ecuaci´on (3.30), y como ˙v(t) = g0(v(t)), entonces v(t) decrece para cada ttal que v(t)> s0, y v(t)>−s0para todo t≥0. Como v(0) = r, y r > s0, se tiene que |v(t)| ≤ r, ∀t≥0.(3.33) Consideramos la funci´on fkdefinida en (3.20), donde el dato inicial u0∈X cumple que ku0kL∞(Ω) ≤r. (3.34) CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 45 Por la Proposici´on 3.8, sabemos que existe una ´unica soluci´on fuerte de (3.21) con dato inicial u0,uk(·, t, u0)∈ C1(R, X), que viene dada por uk(·, t) = eMtu0+Zt 0 eM(t−s)Fk(uk)(·, s)ds. Si elegimos k=r, como |v(t)| ≤ r, para todo t≥0, se tiene que fk(x, v(t)) = f(x, v(t)),∀t≥0,∀x∈Ω. De esta ´ultima igualdad y de las desigualdades que vienen dadas por (3.30) se tiene (h0(·)−1)v(t)2+fk(·, v(t))v(t)≤g0(v(t))v(t)≤ −δ|v(t)|,(3.35) para todo ttal que |v(t)|> s0. Probemos ahora que ves una supersoluci´on de (3.21). Para ello, denotamos tv:= ´ınf{t > 0|v(t) = s0}, que est´a bien definido, puesto que ves continua y v(0) > s0. Ya que v(t) es independiente de la variable x, entonces KJ(v(t)) = h0v(t). Como v(t)> s0 para cada t∈[0, tv) y de la expresi´on (3.35), entonces para cada t0 vtal que 0< t0 v< tv, se tiene que KJ(v)(t)−v(t) + fk(·, v(t)) = (h0−1)v(t) + fk(·, v(t)) ≤g0(v(t)) = ˙v(t), para todo t∈[0, t0 v]. Luego, existe g:R→X, con g≥0 tal que ˙v(t) = M(v)(t) + fk(v)(t) + g(t),para t∈[0, t0 v]. Con lo cual v(t) = eMtv(s) + Zt s eM(t−r)(fk(v)(r) + g(r)) dr, para t∈[0, t0 v], s ≤t. Como ges no negativa, entonces Zt s eM(t−s)g(r)dr ≥0 y por tanto v(t)≥eMtv(s) + Zt s eM(t−r)fk(v)(r)dr. Es decir, ves una supersoluci´on de (3.21) en [0, t0 v]. CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 46 De manera an´aloga, si introducimos el problema auxiliar (˙w(t) = g0(w(t)) w(0) = −r, (3.36) y argumentando de la misma manera, se tiene que existe twtal que para todo 0< t0 w< tw,wes una subsoluci´on de (3.21) en [0, t0 w], y |w(t)| ≤ r, ∀t≥0.(3.37) Elegimos ahora T < m´ın{tv, tw}, como u0∈Xsatisface que ku0kL∞(Ω) < r, y r > s0, entonces v(t) y w(t) son, respectivamente, subsoluciones y supersoluciones de (3.21) en [0, T]. Por tanto, por la Proposici´on 3.16, se deduce que w(t, −r)≤uk(t, u0)≤v(t, r),∀t∈[0, T].(3.38) Por otro lado, de las ecuaciones (3.33), (3.37) y (3.38), se tiene |uk(t, u0)| ≤ r=k∀t∈[0, T].(3.39) Por la desigualdad (3.34) y como r > s0fijado, entonces r > m´ax{s0,ku0kL∞(Ω)}. Por la definici´on de la funci´on fky por (3.39) se tiene que fk(·, uk(t)) = f(·, uk(t)). Por lo tanto, uk(·, t, u0) es soluci´on del problema (3.1), donde fes una funci´on localmente lipschitziana, de manera que, denotamos u(·, t, u0) = uk(·, t, u0) y probamos la existencia de soluci´on de (3.1) para todo t∈[0, T], adem´as, u es una soluci´on fuerte de (3.1) en X, dada por (3.31), con u∈ C1([0, T], X), y por (3.39), tenemos que |u(·, t, u0)| ≤ r=k∀t∈[0, T].(3.40) Es m´as, esta desigualdad se cumple para r= m´ax{s0,ku0kL∞(Ω)}. Consideramos a continuaci´on el mismo problema (3.1), con flocalmente lipschitziana y con dato inicial ˜u0(T) = u(·, T, u0), entonces por la ecuaci´on (3.40), el dato inicial est´a acotado por r. De tal manera que, razonando como anteriormente, consideramos los problemas auxiliares (3.32) y (3.36), CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 47 con r= m´ax{s0,ku0kL∞(Ω)}, entonces existe una soluci´on fuerte de (3.1), ˜u∈ C1([0,2T], X), dado por u(·, t) = eMtu0+Zt 0 eM(t−s)f(·, u(·, s)) ds y adem´as, |u(·, t, u0)| ≤ r=k, ∀t∈[0,2T]. Repitiendo este argumento, se prueba que para cualquier T > 0, existe una soluci´on fuerte, u∈ C1([0, T], X) de (3.1), donde fen localmente lipchitziana, que viene dada por (3.31). Nos queda probar la unicidad de la soluci´on. Para ello, consideramos una soluci´on u∈ C1([0, T], X) del problema (3.1) con dato inicial u0, que satisface (3.31). Como u∈ C1([0, T], X) entonces existe una constante ˜ Ctal que sup t∈[0,T] sup x∈Ω |u(x, t, u0)|<˜ C. Si elegimos k > ˜ Centonces fk(·, u(·, t)) = f(·, u(·, t)) y entonces la soluci´on ukde (3.21), que sabemos que es ´unica por la Proposici´on 3.8 es soluci´on de (3.1). Por tanto uyukcoinciden. Es m´as, por la Proposici´on 3.8 sabemos que esta soluci´on es fuerte y viene dada por (3.31). Esto prueba la unicidad de la soluci´on.  3.2.1. Existencia de una ´unica soluci´on Con el siguiente resultado probaremos que la soluci´on udel problema (3.1) es una soluci´on del problema (3.21). Por lo cual, la soluci´on ude (3.1) satisface todas las propiedades de monoton´ıa que ya hemos probado para el problema (3.21) y por tanto, quedan demostrados todos los resultados detallados en las Secciones 3.2.2 y 3.2.3. Teorema 3.21. Sea KJ∈ L(X),h0∈X, y sea fla funci´on localmente lipchitziana que satisface que existen C∈R>0yD∈R≥0tales que f(·, s)s≤Cs2+D|s|,∀s. (3.41) Entonces existe una ´unica soluci´on del problema (3.1) con dato inicial u0∈X que viene dada por u(·, t) = eMtu0+Zt 0 eM(t−s)f(·, u(·, s)) ds. (3.42) CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 48 Adem´as, u∈ C([0, T], X)es una soluci´on fuerte de (3.1) en Xpara todo T > 0. Demostraci´on. Veamos que se cumple la desigualdad (3.41) para (h0−1)s+ f(·, s). Como h0∈X, y f(·, s) satisface (3.41), se tiene ((h0−1)s+f(·, s))s=(h0−1)s2+f(·, s)s≤(h0−1)s2+Cs2+D|s| ≤ ≤(kh0−1kL∞(Ω) +C)s2+D|s| ≤ C1s2+D|s|. (3.43) Fijamos r∈R>0e introducimos el problema auxiliar (˙v(t) = C1v(t) + D v(0) = r. (3.44) Resolvemos este sistema con ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea por el m´etodo de variaci´on de constantes, v(t) = −D C1 +eC1tr+D C1,∀t∈R yv(t)≥0 es creciente para todo t∈R. Sea T > 0, entonces 0≤v(t)≤v(T),∀t∈[0, T].(3.45) Consideramos ahora el problema (3.21), donde Fkes el operador de Nemitcky asociado a fk, y fkest´a definida por (3.20). Sea uk(·, t, u0) la soluci´on de (3.21) con dato inicial u0∈Xtal que ku0kX≤r. Mediante la Proposici´on 3.8, sabemos que existe una ´unica soluci´on fuerte uk(·, t, u0)∈ C1(R, X) que satisface uk(·, t) = eMtu0+Zt 0 eM(t−s)Fk(uk)(·, s)ds. (3.46) Elegimos ktalque k≥v(T). Por la definici´on de fky (3.45) se tiene fk(x, v(t)) = f(x, v(t)),∀t∈[0, T],∀x∈Ω.(3.47) Por otro lado, se tiene que KJ(v(t)) = h0v(t), ya que v(t) es no negativa para todo t∈[0, T] y se ten´ıa la desigualdad (3.43). Entonces KJ(v)(t)−v(t) + fk(·, v(t)) =h0v(t)−v(t) + fk(·, v(t)) ≤ ≤Cv(t) + D= ˙v(t),∀t∈[0, T], CAP´ ITULO 3. CASO NO LINEAL 49 por lo tanto, ves una supersoluci´on de (3.21) para todo t∈[0, T]. De manera similar, vamos a considerar el problema auxiliar (˙w(t) = C1v(t)−D w(0) = −r, (3.48) y vamos a probar que wes una subsoluci´on de (3.21). Observemos que w(t) = −v(t) y se tiene que |w(t)|< v(T)∀t∈[0, T].(3.49) Como w(t)≤0 para todo t∈[0, T], se tiene KJ(w(t)) = h0w(t). Por lo tanto, KJ(w)(t)−w(t) + fk(·, w(t)) =h0w(t)−w(t) + fk(·, w(t)) ≥ ≥C1w(t)−D= ˙w(t).(3.50) Por consiguiente, wes una subsoluci´on de (3.21) para todo t∈[0, T]. Adem´as, de la Proposici´on 3.16, tenemos que w(t, −r)≤uk(t, u0)≤v(t, r),∀t∈[0, T].(3.51) De las ecuaciones (3.45), (3.49) y (3.51) se sigue que |uk(t, u0)| ≤ m´ın{|v(t, r)|,|w(t, −r)|} < v(T)≤k∀t∈[0, T].(3.52) Por la definici´on de fk, se tiene que fk(·, uk(t, u0)) = f(·, uk(t, u0)), con lo que uk(x, t, u0) es una soluci´on de (3.1), con ffunci´on localmente lipschitziana. Si denotamos uk(t, u0) = u(t, u0), queda probada la existencia de soluci´on del problema (3.1) para todo t∈[0, T] y, adem´as, ues una soluci´on fuerte en Xy viene dada por (3.42). Probemos ahora la unicidad de la soluci´on. Para ello, consideramos una soluci´on u∈ C([0, T], X) del problema (3.1) con dato inicial u0∈X, que viene dada por (3.42). Como u∈ C([0, T], X), entonces sup t∈[0,T] sup x∈Ω |u(x, t, u0)|<˜ C. Si elegimos k > ˜ C, entonces fk(·, u(·, t)) = f(·, u(·, t)) y por tanto uk, soluci´on de (3.21), es una soluci´on de (3.1). Por tanto, uyukcoinciden. Adem´as, por la Proposici´on 3.8, tenemos que la soluci´on uk∈ C1([0, T], X) es ´unica, fuerte y viene dada por (3.42).  CAP´ ITULO 4. ESTUDIO DEL PROBLEMA DE AUTOVALORES 56 mientras que de la igualdad (4.9), se tiene la caracterizaci´on (4.5), ya que kKJkL2(Ω) = sup u∈L2(Ω) u6=0 ZΩZΩ J(x, y)u(x)u(y)dx dy ZΩ u2(x)dx . Para deducir (4.6), expandimos 1 2ZΩZΩ J(x, y)(u(x)−u(y))2dy dx ZΩ u2(x)dx (4.10) y le aplicamos el teorema de Fubini (Ver Ap´endice A). Por tanto, la expresi´on (4.10) queda 1 2ZΩZΩ J(x, y)[u2(x) + u2(y)−2u(x)u(y)] dx dy ZΩ u2(x)dx Fubini = =1 2ZΩZΩ J(x, y)u2(x)dydx +ZΩZΩ J(x, y)u2(y)dxdy ZΩ u2(x)dx − −ZΩZΩ J(x, y)u(x)u(y)dx dy ZΩ u2(x)dx = =1 2ZΩ u2(x)dx +ZΩ u2(y)dy ZΩ u2(x)dx −ZΩZΩ J(x, y)u(x)u(y)dx dy ZΩ u2(x)dx , y como el par´ametro de integraci´on es mudo, se tiene 1 2ZΩZΩ J(x, y)(u(x)−u(y))2dy dx ZΩ u2(x)dx = 1 −ZΩZΩ J(x, y)u(x)u(y)dx dy ZΩ u2(x)dx . Usando (4.5), se sigue (4.6).  CAP´ ITULO 4. ESTUDIO DEL PROBLEMA DE AUTOVALORES 57 Corolario 4.3. Para el primer autovalor, λ1(Ω), se tiene la siguiente estimaci´on: 1 |Ω|ZΩ A2(x)dx1/2 ≤1−λ1(Ω) ≤sup y∈ΩZΩ A(x)J(x, y)dx1/2 , (4.11) donde A(x) = ZΩ J(x, y)dy, y |Ω|denota la medida de Ω. Demostraci´on. Si tomamos u≡1 en (4.4), se tiene 1−λ1(Ω) ≥1 |Ω|ZΩ A2(x)dx1/2 , queda as´ı probada la primera desigualdad de (4.11). Por otro lado, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz (ver Ap´endice B), se tiene ZΩZΩ J(x, y)u(y)dy2 dx ≤ZΩ A(x)ZΩ J(x, y)u2(y)dydx. Usando de nuevo el Teorema de Fubini, Teorema A.6, tenemos ZΩZΩ J(x, y)u(y)dy2 dx ≤ZΩ u2(y)ZΩ A(x)J(x−y)dxdy ≤ ≤sup y∈ΩZΩ A(x)J(x, y)dxZΩ u2(y)dy. Usando la caracterizaci´on (4.4) de λ1en esta ´ultima desigualdad, se sigue (1 −λ1(Ω))2≤sup y∈ΩZΩ A(x)J(x, y)dx, quedando probada la segunda desigualdad de (4.11).  4.3. Monoton´ıa y continuidad del primer autovalor respecto al dominio En el siguiente resultado se prueba la monoton´ıa del primer autovalor respecto al dominio. CAP´ ITULO 4. ESTUDIO DEL PROBLEMA DE AUTOVALORES 58 Teorema 4.4. El primer autovalor del problema (4.1) en Ω,λ1(Ω), es decreciente con respecto del dominio, es decir, si Ω1⊂Ω2, entonces λ1(Ω1)> λ1(Ω2). Demostraci´on. Como Ω1⊂Ω2, entonces L2(Ω1)⊂L2(Ω2). Por la caracterizaci´on (4.4), tenemos que λ1(Ω1)≥λ1(Ω2). Para ver que la desigualdad es estricta, suponemos que λ1(Ω1) = λ1(Ω2), entonces tenemos una autofunci´on asociada, la cual es positiva en Ω1, y nula en Ω2\Ω1pero esto se contradice con el Principio del M´aximo Fuerte. Por lo tanto, λ1(Ω1)> λ1(Ω2).  Nota 4.5. Como hemos visto en el Teorema 4.2 que λ1(Ω) >0y, adem´as, λ1(Ω) = 1 − kKJkL2(Ω), se sigue que kKJkL2(Ω) <1. En el siguiente resultado, cuya prueba puede verse en [1] y escapa del objetivo de este trabajo, se prueba que el primer autovalor es diferenciable respecto a una peque˜na perturbaci´on del dominio. En realidad, nosotros s´olo usaremos en el cap´ıtulo siguiente el car´acter continuo de esta aplicaci´on. Teorema 4.6. Sea λ1(Ω) el primer autovalor del problema (4.1) y sea Ωδ= Ω ∩ {x∈RN:d(x, ∂Ω) < δ}, entoces λ1(Ωδ)es diferenciable con respecto a δen δ= 0. Cap´ıtulo 5 Estudio del problema estacionario Consideramos el problema estacionario asociado a (1.9),   ZΩ J(x, y)u(y)dy −u(x) + f(x, u) = 0, x ∈Ω, u(x)=0, x 6∈ Ω. (5.1) En este cap´ıtulo, vamos a realizar un estudio del problema estacionario (5.1). Para ello, nos centraremos en la referencia [15] y usaremos el m´etodo de subsupersoluci´on para estudiar la existencia de soluci´on. Definici´on 5.1. Diremos que una funci´on u∈L1(RN)es una supersoluci´on del problema (5.1) si   ZΩ J(x, y)u(y)dy −u(x) + f(x, u)≤0, x ∈Ω, u(x)≥0, x 6∈ Ω. De igual manera, diremos que u∈L1(RN)es una subsoluci´on del problema (5.1) si   ZΩ J(x, y)u(y)dy −u(x) + f(x, u)≥0, x ∈Ω, u(x)≤0, x 6∈ Ω. Adem´as, diremos que la supersoluci´on (o subsoluci´on) es estricta si la desigualdad se da de manera estricta. 59 CAP´ ITULO 5. ESTUDIO DEL PROBLEMA ESTACIONARIO 60 Definici´on 5.2. Sea Xun espacio de Banach. Definimos el operador MC∈ L(X)como MCu(x) := ZΩ J(x, y)u(y)dy −(1 + C)u(x). El siguiente resultado es un Principio del M´aximo para ecuaciones estacionarias. Proposici´on 5.3. Sea u∈ C(Ω) ∩L1(RN)tal que MCu≤0en Ωyu≥0 en RN\Ω. Entonces u > 0ou≡0en Ω. Demostraci´on. Sea m= ´ınf x∈Ωu(x) y supongamos que m < 0. Si ualcanza su m´ınimo en x0∈Ω, entonces 0 = u(x0)−m≥1 1 + CZΩ J(x0, y)u(y)dy −m≥ ≥m1 1 + CZΩ J(x0, y)dy −1. (5.2) Esto implica que ZΩ J(x0, y)dy ≥1 + C, lo cual es una contradicci´on si C > 0. Por otro lado, si C= 0, se tiene ZΩ J(x0, y)dy = 1, es decir, la bola B(x0,1) est´a contenida en Ω. Por tanto, el ´ınfimo de uno se puede alcanzar en ∂Ω, y en particular uno es constante. Luego, podemos elegir x0tal que u(x0) = mpero u(x)6≡ men B(x0,1). Entonces la expresio´on (5.2) queda ZΩ J(x0, y)(u(y)−m)dy = 0, con lo cual, u≡men B(x0,1) que es una contradicci´on. Por lo tanto, m≥0, esto es, u≥0. Adem´as, si u(x1) = 0 para alg´un x1∈Ω, entonces ZRn J(x1, y)u(y)dy = 0, lo que implica que u≡0 en un entorno de x1. Por conectividad, se llega a que u≡0 en Ω.  CAP´ ITULO 5. ESTUDIO DEL PROBLEMA ESTACIONARIO 61 Nota 5.4. De manera inmediata, del Principio del M´aximo, si u∈L2(RN) verifica MCu= 0 en Ωcon u= 0 en RN\Ωentonces u≡0. Por lo tanto el problema   ZΩ J(x, y)u(y)dy −(1 + C)u(x) = f(x), x ∈Ω, u= 0, x ∈RN\Ω, admite una ´unica soluci´on u∈L2(RN)para cada f∈L2(Ω). En el siguiente resultado se prueba que, bajo la existencia de una sub y supersoluci´on, existe una soluci´on de (5.1). Teorema 5.5. Supongamos que fes localmente lipschitziana1con respecto de uy supongamos que existe una subsoluci´on acotada uy una supersoluci´on acotada udel problema (5.1) tales que u≤uen Ω. Entonces el problema (5.1) admite una soluci´on m´ınima, u−, y una soluci´on m´axima, u+, en el intervalo [u, u]. Demostraci´on. Como fes localmente lipschitziana con respecto de u, elegimos C > 0 tal que g(x, u) = f(x, u)−Cu es decreciente en el intervalo [´ınfx∈Ωu, supx∈Ωu]. Sea u1la ´unica soluci´on del problema (ver Nota 5.4)   ZΩ J(x, y)u(y)dy −(1 + C)u(x) = g(x, u(x)), x ∈Ω, u= 0, x ∈RN\Ω. Veamos que u≤u1≤u. Se tiene, MCu1=g(x, u)≤MCuen Ω con u1≥u en RN\Ω. Entonces, por el Principio del M´aximo u1≥u. Del mismo modo, MCu1=g(x, u)≥g(x, u)≥MCuen Ω con u1≤uen RN\Ω implica que u1≤u. Sea ahora u2soluci´on del problema   ZΩ J(x, y)u(y)dy −(1 + C)u(x) = g(x, u1(x)), x ∈Ω, u= 0, x ∈RN\Ω. 1Recordamos la definici´on de localmente lipschitziana en el Cap´ıtulo 3. CAP´ ITULO 5. ESTUDIO DEL PROBLEMA ESTACIONARIO 62 De manera an´aloga, se sigue que u≤u1≤u2≤u. Podemos iterar este proceso y definir una sucesi´on creciente de funciones {un}n∈Ntales que u≤un≤uy   ZΩ J(x, y)un(y)dy −(1 + C)un(x) = g(x, un−1(x)), x ∈Ω, un= 0, x ∈RN\Ω. (5.3) Si llamamos u−(x) := sup n∈N un(x), por propia construcci´on de la sucesi´on, se tiene u≤u−≤u. Adem´as, usando el Teorema de convergencia mon´otona y la continuidad de g, tomando l´ımite en (5.3) se sigue que u−es soluci´on de (5.1). Veamos ahora que u−es la soluci´on m´ınima de (5.1) en [u, u]. Sea u∗otra soluci´on que verifica u≤u∗≤u. Entonces, MCu∗=g(x, u)≤MCuen Ω con u∗≥uen RN\Ω. Luego, por el Principio del M´aximo, u∗≥u, lo que implica que u−≤u∗. Con lo cual, u−es la soluci´on m´ınima. De manera similar, construimos una sucesi´on decreciente de funciones {vn}n∈Ntal que u≤vn≤uyvn→u+:= ´ınfn∈Nvn, que es la m´axima soluci´on del problema (5.4) en [u, u].  5.1. Aplicaci´on: problema estacionario con ecuaci´on log´ıstica En este apartado vamos a usar el m´etodo de sub-supersoluci´on, visto en el Teorema 5.5, para estudiar la existencia de soluci´on del problema estacionario (5.1) con ecuaci´on log´ıstica f(x, u) = γu(x)−b(x)u2(x), con γ∈Ry b(x)>0. El problema queda   ZΩ J(x, y)u(y)dy −u(x) + γu(x)−b(x)u2(x) = 0, x ∈Ω, u(x) = 0, x 6∈ Ω. (5.4) CAP´ ITULO 5. ESTUDIO DEL PROBLEMA ESTACIONARIO 63 Para ello, primero estudiaremos el caso en el que b(x)>0 y despu´es estudiaremos el caso en el que hay refugio, esto es, cuando b(x) = 0 en alg´un subconjunto de Ω. En este caso, γrepresenta la tasa de natalidad de la especie, mientras que b(x)u2(x) representa las limitaciones del medio. El siguiente resultado nos proporciona una cota de una soluci´on de (5.1) si tenemos una familia de supersoluciones. Ser´a usado para probar la unicidad de soluci´on de (5.4). Proposici´on 5.6. Sea {ut}t≥t0una familia de supersoluciones estrictas y continuas de (5.1) tal que la funci´on que a cada tle asocia utes continua con valores en C(Ω). Supongamos que ues una soluci´on continua de (5.1) con u < ut1en Ωpara alg´un t1> t0y que f(x, u)es localmente lipschitziana en uen x∈Ω. Entonces u≤ut0en Ω. Demostraci´on. Observemos que la continuidad de ut(x) con respecto de x en Ω y t∈[t0, t1] implica que utest´a acotada en Ω. Por tanto, por la regularidad de la funci´on f, podemos tomar C > 0 tal que la funci´on g(x, u) = f(x, u)−Cu es decreciente en el intervalo "´ınf x∈Ωu(x),sup t∈[t0,t1]sup x∈Ω ut(x)#. Fijamos ahora t= ´ınf{t > t0:u > ut∈Ω}. Entonces t0≤t≤t1, queremos probar que t=t0. Por reducci´on al absurdo, supongamos que t>t0. Por continuidad se tiene que u≤ut, entonces MCu=g(x, u)≥g(x, ut)≥MCut. Por la Proposici´on 5.3 se tiene que u≡vtou>uten Ω. Como utes una supersoluci´on estricta, podemos descartar la primera posibilidad. Por la continuidad de uten t, podemos afirmar que u < utpara t < t cercano a t, lo cual contradice el hecho de que tera una ´ınfimo. Por tanto, t=t0yu≤ut0.  Teorema 5.7. Supongamos b(x)>0. Entonces el problema (5.4) tiene una soluci´on positiva, uγ, si y s´olo si γ > λ1(Ω). En este caso, uγ∈ C(Ω) es ´unica. Adem´as, para γ≥1se tienen las siguientes cotas de la soluci´on uγ γ−1 b(x)≤uγ≤γ ´ınf x∈Ωb(x).(5.5) CAP´ ITULO 5. ESTUDIO DEL PROBLEMA ESTACIONARIO 64 Demostraci´on. Comenzamos probando que si existe una soluci´on no trivial del problema (5.4), entonces γ > λ1(Ω). Para ello, suponemos que u∈L1(Ω) es una soluci´on positiva de (5.4). Sea Φ1una autofunci´on positiva asociada al autovalor λ1(Ω). Multiplicando la ecuaci´on de (5.4) por Φ1e integrando en Ω, se tiene ZΩ Φ1(x)ZΩ J(x, y)u(y)dy dx −ZΩ u(x)Φ1(x)dx = =−γZΩ u(x)Φ1(x)dx +ZΩ b(x)u2(x)Φ1dx. (5.6) Aplicando el Teorema de Fubini y teniendo en cuenta que Φ1es una autofunci´on asociada a λ1(Ω), entonces podemos reescribir la expresi´on (5.6) como −λ1(Ω) ZΩ u(y)Φ1(y)dy =−γZΩ u(x)Φ1(x)dx +ZΩ b(x)u2(x)Φ1(x)dx | {z } >0 . Entonces (γ−λ1(Ω)) ZΩ u(y)Φ1(y)dy > 0⇒γ > λ1(Ω). Supongamos ahora que γ > λ1(Ω) y veamos mediante el m´etodo de subsupersoluci´on que existe una soluci´on positiva de (5.4). Tomamos u=εΦ1yu=M. Veamos que uyuson sub-supersoluciones para εsuficientemente peque˜no y Msuficientemente grande. Para que u=εΦ1sea subsoluci´on, se tiene que cumplir ZΩ J(x, y)εΦ1dy −εΦ1 | {z } =−λ1(Ω)εΦ1 +γεΦ1−b(x)(εΦ1)2≥0. Esto es equivalente a λ1(Ω) ≤γ−b(x)εΦ1, o escrito de otra forma b(x)εΦ1≤γ−λ1(Ω), lo cual es cierto siempre que εsea lo suficientemente peque˜no. Por otro lado, para que u=Msea supersoluci´on, se tiene que cumplir que ZΩ J(x, y)M dy −M | {z } =0 +γM −b(x)M2≤0 CAP´ ITULO 5. ESTUDIO DEL PROBLEMA ESTACIONARIO 65 y esto se cumple si Mb(x)≥γ, lo que es cierto para Msuficientemente grande. Por tanto, por el m´etodo de sub-supersoluciones, existe una soluci´on positiva del problema (5.4). A continuaci´on, veamos que toda soluci´on positiva es continua en Ω. Para ello, primero probamos la cota inferior de (5.5), esto es, γ−1≤b(x)uen casi todo Ω para γ > 1. Como ZΩ J(x, y)u(y)dy ≥0, se sigue de (5.4) que (1 −γ)u(x)−b(x)u2(x)≤0, de donde se tiene lo que quer´ıamos probar. Por otro lado, tenemos que (1 −γ)u+bu2=ZΩ J(·, y)u(y)dy ∈ C(Ω).(5.7) Observemos que 1−γ+ 2bu > 1−γ+bu > 0,en Ω para λ1(Ω) < γ ≤1 y para γ > 1. Esto implica que la funci´on (1 −γ)t+bt2 es invertible con respecto a ty por tanto, la expresi´on (5.7) implica que u∈ C(Ω). Probemos ahora la cota superior de (5.5). Sea x0∈Ω un punto donde u alcanza su m´aximo. Si b(x0)u(x0)> γ, llegar´ıamos a una contradicci´on, ya que u(x0)<ZΩ J(x0, y)u(y)dy ≤u(x0)ZΩ J(x0, y)dy ≤u(x0). Por lo cual, b(x0)u(x0)≤γ, de donde se sigue la segunda desigualdad de (5.5). El siguiente paso de esta demostraci´on va a ser probar la unicidad de la soluci´on. Suponemos que u, v son soluciones continuas del problema (5.4). Llamamos vt=tv, veamos que es una supersoluci´on de (5.4) para t > 1. Para ello, lo que tenemos que probar es ZΩ J(x, y)tv(y)dy −tv(x) + γtv(x)−b(x)t2v2(x)≤0, AP´ ENDICE A. ESPACIOS DE BANACH 72 Ap´endice B Espacios de Hilbert Para la redacci´on de este ap´endice se ha utilizado el Cap´ıtulo 1 de [11] y el Cap´ıtulo 5 de [20]. Definici´on B.1. Sea Hun C-espacio vectorial. Se dice que la aplicaci´on (·,·) : H×H→C (x, y)7→ (x, y) es un producto escalar si para tres vectores cualesquiera x, y, z ∈H, y para cualesquiera dos escalares αyβ, se verifican las siguientes propiedades: (x, x)≥0y(x, x) = 0 ⇔x= 0,(B.1a) (x, y)=(y, x),(B.1b) (x, αy +βz) = α(x, y) + β(x, z),(B.1c) donde, para z∈C, denotamos por zal conjugado de z, esto es, si z=a+bi, con a, b ∈R, entonces z=a−bi. Nota B.2. Observemos que a partir de las condiciones (B.1b) y(B.1c) se obtiene (αy +βz, x) = α(y, x) + β(z, x). Definici´on B.3. Sea Hun C-espacio vectorial dotado de un producto escalar, (·,·), se dice que (H, (·,·)) es un espacio prehilbertiano. Definici´on B.4. Se define una norma asociada a un producto escalar (·,·) como kxk:= p(x, x). Definici´on B.5. Un espacio de Hilbert es cualquier espacio prehilbertiana completo respecto a la norma asociada al producto escalar (·,·). 73 AP´ ENDICE B. ESPACIOS DE HILBERT 74 Proposici´on B.6 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz).Si Xes un espacio vecctorial con producto escalar, (·,·), asociado y si x, y ∈Xentonces |(x, y)| ≤ kxk kyk.(B.2) Demostraci´on. En el caso x= 0, se tiene que |(x, y)|= 0. Por otra parte, kxk= 0. Queda probada as´ı la desigualdad de Cauchy-Schwarz para x= 0. Suponemos ahora que x6= 0. Sea p(λ) = kλx −yk2≥0, λ ∈R, se tiene p(λ) = kxk2λ2−2Re(x, y)λ+kyk2≥0.(B.3) Buscamos λque minimice la funci´on p(λ), dp dλ = 2λkxk2−2Re(x, y)=0⇒λ0=1 kxk2Re(x, y) es un punto cr´ıtico. d2p dλ2(λ0)=2kxk2>0⇒λ0=1 kxk2Re(x, y) es un m´ınimo. Tenemos que 0≤p(λ0) = 1 kxk2[Re(x, y)]2−21 kxk2[Re(x, y)]2+kyk2= =kyk2−1 kxk2[Re(x, y)]2. Es decir, kxk2kyk2−[Re(x, y)]2≥0⇒ kxk kyk ≥ Re(x, y). Como (x, y)∈C, podemos expresarlo como (x, y) = eiθ|(x, y)|, donde θ∈R es el argumento de (x, y). De la desigualdad anterior, se sigue que |(x, y)|=Re|(x, y)|= Re e−iθ(x, y)= Re(eiθx, y)≤ keiθxk kyk= =|eiθ| kxk kyk=kxk kyk. Por tanto se obtiene la desigualda kxk kyk≥|(x, y)|.  Ap´endice C Espacios m´etricos de medida Para la redacci´on de este ap´endice, se ha utilizado la referencia [19]. Definici´on C.1. Sea Xun conjunto. Decimos que el par (X, d)es un espacio m´etrico si des una distancia, esto es, una funci´on d:X×X→[0,+∞) que, para todo x, y, z ∈X, cumple las siguientes propiedades: 1. d(x, y)≥0yd(x, y) = 0 ⇔x=y, 2. d(x, y) = d(y, x), 3. d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z). Adem´as, definimos las boles en Xcomo B(x, r) = {y∈X:d(x, y)< r}, donde x∈Xyr > 0. Definici´on C.2. Una colecci´on Mde subconjuntos de Xse dice que es σ- ´algebra en Xsi Mverifica 1. X∈ M. 2. Si A∈ M, entonces Ac∈ M, donde Ac=X\A. 3. Si A= +∞ [ n=1 An, y An∈ M para n= 1,2, . . . , entonces A∈ M. Definici´on C.3. Sea Xun espacio topol´ogico, denotamos por Ba la menor σ-´algebra en Xtal que cada conjunto abierto de Xpertenece a B. Definici´on C.4. Una medida positiva es una funci´on µ:M → [0,+∞) definida en un σ-´algebra M, que cumple µ +∞ [ n=1 An!= +∞ X n=1 µ(An), 75 AP´ ENDICE C. ESPACIOS M´ ETRICOS DE MEDIDA 76 para una colecci´on {An}n∈Ndisjunta de M. Definici´on C.5. Un espacio de medida, (X, M, µ)tiene definida una medida positiva en el σ-´algebra, M, y llamamos conjuntos medibles en Xa los componentes de M. Definici´on C.6. 1. Se dice que una medida µes completa si cada subconjunto de un sonjunto con medida nula es medible. 2. La medida µdefinida en una σ-´algebra Men Xes σ-finita si Xes una uni´on numerable de conjuntos Xi, con medida finita. Definici´on C.7. Un espacio m´etrico de medida (X, µ, d)es un espacio m´etrico (X, d)con una medida de Borel µen X σ-finita, regular y completa, que asocia una medida finita y positiva a las bolas de X. Ap´endice D Operadores Para la realizaci´on de los siguientes resultados sobre operadores, se han utilizado las referencias [8], [22] y el cap´ıtulo 6 de [6]. Definici´on D.1. 1. Un operador lineal (o simplemente operador) Ten un espacio de Banach Xes una aplicaci´on tal que T(αx +βy) = αTx +βTy, ∀x, y ∈Xy∀α, β ∈C.(D.1) 2. La suma de dos operadores T,Ses el operador T+Sdefinido por (T+S)x:= Tx +Sx, ∀x∈X. (D.2) La composici´on de TySes el operador T◦Sdefinido por (T◦S)x:= T(Sx),∀x∈X. (D.3) El producto de un operador Tcon un n´umero complejo αes el operados αT definido por (αT)x:= α(Tx),∀x∈X. (D.4) 3. Una funci´on f∈Xno nula es autofunci´on de Tcon autovalor αsi Tf =αf. (D.5) 4. El adjunto de un operador Tes el operador T†definido por la condici´on: (x, T†y) = (Tx, y),∀x, y ∈X, donde (·,·)denota el producto escalar en X. 77 AP´ ENDICE D. OPERADORES 78 5. Un operador Tes autoadjunto si T=T†. Es decir, para todo x, y ∈X, se tiene (x, Ty)=(Tx, y) = (y, Tx)∗.(D.6) 6. Un operador Tes antiherm´ıtico si T=−T†. Teorema D.2. 1. Los autovalores de un operador autoadjunto Tson reales. 2. Los autovectores correspondientes a dos autovalores diferentes son ortogonales. Demostraci´on. 1. Sea αun autovalor del operador Tentonces Tx =αx ⇒(x, Tx) = (x, αx) = α(x, x) = αkxk2. Por otro lado, por ser Tun operador autoadjunto se tiene (x, Tx)=(Tx, x)=(αx, x) = α∗kxk2. Por tanto α∈R. 2. Sean α1, α2dos autovalores distintos y x1, x2sus autovalores correspondientes. Se tiene α2(x2, x1) = (T†x2, x1) = (Tx2, x1)=(x2, Tx1) = α(x2, x1), como α16=α2, entonces (x2, x1) = 0.  Definici´on D.3. Un operador T∈ L(X1, X2)es invertible si existe S∈ L(X2, X1)tal que T◦S=IX2yS◦T=IX1, donde I:Xi→Xi, es la funci´on identidad del conjunto Xi, para i= 1,2. Definici´on D.4. Sean T∈ L(X)yλ∈C. Decimos que λes un autovalor de Tsi T−λI no es inyectivo; es decir, si existe x∈X\ {0}tal que Tx =λx . Cualquier x∈X\ {0}que satisface Tx =λx, decimos que es un autovector asociado al autovalor λ. Al conjunto de todos los autovalores de Tlo llamamos espectro de Ty lo denotemos σX(T). En el caso que no sea necesario especificar el espacio, solamente se escribir´a σ(T). Definici´on D.5. Sea T∈ L(X)y sean λ1, . . . , λnsus autovalores. Se denomina radio espectral de Tal mayor autovalor de Ten valor absoluto y lo denotaremos por ρX(T), ρX(T) = m´ax i=1,...,n{|λi|}. En el caso que no sea necesario especificar el espacio, solamente se denotar´a por ρ(T). AP´ ENDICE D. OPERADORES 79 Definici´on D.6. Sean X,Ydos espacios de Banach; denotemos por BXla bola unidad cerrada de X. Una aplicaci´on lineal T:X→Yse dice que es un operador compacto si T(BX)es relativamente compacto en Y; es decir, si su clausura T(BX)es compacta. Denotamos por K(X, Y )al conjunto de todos los operadores compactos de Xen Y. Nota D.7. Los siguientes criterios de conjuntos relativamente compactos se pueden encontrar en [2]y[14]: 1. Ses relativamente compacto si y s´olo si toda sucesi´on de Scontiene una subsucesi´on de Cauchy. 2. Ses relativamente compacto si y s´olo si ∀ε > 0,Sse puede recubrir por un n´umero finito de bolas de radio ε. 3. Sean SyTconjuntos relativamente compactos y subconjuntos de un espacio de Banach, entonces S+Tes un conjunto relativamente compacto. 4. Sea Sun conjunto relativamente compacto en un espacio de Banach, entonces su envolvente es convexa. 5. Sea Sun conjunto relativamente compacto del espacio de Banach X, sea Yun espacio de Banach y M⊂ L(X, Y ), entonces M(S)es relativamente compacto. Teorema D.8. Todo subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativamente compacto. Demostraci´on. Sea Xun espacio de Banach. Sean B⊂Xun conjunto relativamente compacto y A⊂B. Al ser Bun conjunto relativamente compacto, Bes compacto. Sea ahora, una sucesi´on (xn) de Aentonces (xn) tambi´en es sucesi´on de Bque por ser relativamente compacto, (xn) contiene una subsucesi´on de Cauchy. Sea (x0 n)⊂(xn) la sucesi´on de Cauchy de (xn) en B, entonces se tiene la siguiente cadena de contenciones (x0 n)⊂(xn)⊂A⊂B, por lo tanto (x0 n) tambi´en es una sucesi´on de Cauchy contenida en (xn) en A. Podemos concluir que Aes relativamente compacto.  Proposici´on D.9. Se tienen las siguientes propiedades de operadores compactos: AP´ ENDICE D. OPERADORES 80 1. Sean S, T :X→Ydos operadores lineales compactos, entonces el operador S+Tes compacto. 2. Sea Zun espacio de Banach, S∈ L(Y, Z)yT:X→Ycompacto. Entonces S◦Tes compacto. 3. Sea α∈RySun operador compacto, entonces el operador αS es compacto. 4. Sea Xun espacio de Banach, S∈ L(X, Y )yT:Y→Zcompacto. Entonces T◦Ses compacto. 5. Sea Sn:X→Yuna sucesi´on de operadores compactos que convergen uniformemente a Sy tal que l´ımn→+∞kSn−Sk= 0. Entonces Ses un operador compacto. Demostraci´on. 1. Se tiene que BS:= S(BX) y ST:= T(BX) son relativamente compactos en Y. Por tanto, BS+BTes relativamente compacto. Adem´as, se tiene la siguiente contenci´on (S+T)(BX)⊂S(BX) + T(BX) = BS+BT. Por el teorema D.8, como (S+T)(BX) es un subconjunto de un conjunto relativamente compacto entoces es relativamente compacto. 2. Sea el compacto K=T(BX) en Y. Entonces S(K) es compacto en Z. Adem´as, (S◦T)(BX) = S(T(BX)) ⊂S(K). Pero como un subconjunto de un conjunto compacto siempre es relativamente compacto, se tiene que S◦Tes compacto. 3. La demostraci´on de este apartado es un caso particular del apartado 2. 4. Sea S∈ L(X, Y ), entonces por los resultados destacados en el ap´endice, S(BX)⊂B(0, R), donde R=kSkL(X,Y ). Adem´as, por la linealidad de T, T(B(0, R)) = kSkL(X,Y )T(BX). Por otro lado, (T◦S)(BX) = T(S(BX)) ⊂T(B(0, R)) = kSkL(X,Y )T(BX), que es compacto por el apartado 3 y como todo subconjunto de un compacto es relativamente compacto, entonces T◦Ses compacto. AP´ ENDICE D. OPERADORES 81 5. Sea ε > 0 y sea n∈Nsuficientemente grande tal que kSn−Sk< ε. Como Snes una sucesi´on de operadores compactos entonces podemos recubrir Sn(BX) por un n´umero finito de bolas de radio ε. En este caso, podemos recubrir S(BX) por un n´umero finito de bolas de radio 2εcentradas en el mismo punto. Por tanto, Ses un operador compacto.  Proposici´on D.10. K(X, Y )es un subespacio vectorial cerrado de L(X, Y ). Demostraci´on. Sea Tnuna sucesi´on de operadores compactos y Tun operador acotado tal que kTn−TkL(X,Y )→0, por tanto, por la Proposici´on D.9 se sigue que Tes compacto. Se tiene entonces que para todo ε > 0 se puede recubrir T(BX) mediante un n´umero finito de bolas de radio ε, donde BX denota a la bola unidad en X. Fijamos ntal que kTn−TkL(X,Y )<ε 2. Como Tn(BX) tiene clausura compacta, existe un recubrimiento finito de Tn(BX) mediante bolas de radio ε 2, Tn(BX)⊂[ i∈I Byi,ε 2. Por lo tanto T(BX)⊂[ i∈I B(yi, ε).  Definici´on D.11. Sean F∈ L(Y)yfuna funci´on anal´ıtica en un entorno de σ(F)⊂C. Sea tambi´en Uun conjunto abierto cuya frontera, Γ, est´a formada por una cantidad finita de curvas de Jordan rectificables y orientadas positivamente. Supongamos que U⊂σ(F), y que U∪Γest´a contenida en el dominio en el que fes anal´ıtica. Entonces el operador f(F) = 1 2πi ZΓ f(λ)(λI −F)−1dλ est´a bien definido y f(F)∈ L(Y). Nota D.12. Recordando la definici´on de proyecci´on de Riesz correspondiente a la parte aislada σ1,Qσ1, que encontramos en la Definici´on 2.30, podemos probar que Qσ1es realmente una proyecci´on. Podemos encontrar este resultado en [17]: Qσ1es una proyecci´on, ya que Q2 σ1=Qσ1.