Análisis y modelado de un vehículo VTOL híbrido. Caso bidimensional

Equation Chapter 1 Section 1 Proyecto Fin de Grado Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica Análisis y Modelado de un Vehículo VTOL Híbrido. Caso Bidimensional. Autor: Samuel Yanes Luis. Tutores: Manuel Vargas Villanueva. Manuel Gil Ortega Linares. Dpto. Ingeniería de Sistema y Automática Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 II Proyecto Fin de Grado Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica. Análisis y Modelado de un Vehículo VTOL Híbrido. Caso Bidimensional. Autor: Samuel Yanes Luis Tutor: Manuel Vargas Villanueva Profesor titular Manuel Gil Ortega Linares Catedrático de Universidad Dpto. de Ingeniería de Sistemas y Automática Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2019 IV Proyecto Fin de Grado: Análisis y Modelado de un Vehículo VTOL Híbrido. Caso Bidimensional. Autor: Samuel Yanes Luis Tutores: Manuel Vargas Villanueva y Manuel Gil Ortega Linares El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2019 El Secretario del Tribunal VI A Raquel. VIII Agradecimientos Este trabajo no es el fin de una etapa, sino el comienzo de un proceso radicalmente nuevo. Quisiera agradecer en primer lugar a mis tutores, Manuel Vargas y Manuel Gil Ortega, por la oportunidad que se me brindó al participar en este proyecto. Gracias a ellos, he abrazado la Teoría de Control como campo de estudio. Ellos me han regalado la visión de un mundo dinámico, vivo y dispuesto a ser descubierto, modelado y controlado. Por eso, siempre perdurarán en mi carrera como los artífices de la pasión que siento por la Ingeniería. En segundo lugar, este trabajo no podría haber sido posible sin el poderoso e imparable apoyo de mi familia. El cariño de mis padres y su confianza de acero en mí han sido el combustible que permitió que pudiera terminar este documento y seguir adelante ante cada circunstancia adversa. La educación que me dieron, los valores de esfuerzo, justicia y valentía me han hecho lo que soy ahora. Junto con mi hermana, quien estoy seguro de que estaría más orgullosa de mí que nadie, han formado una tríada necesarísima para que cada gráfica pudiese figurar en su lugar correcto. A ellos no les debo mi trabajo, sino mi felicidad entera. En tercer lugar, mis amigos. Han sido una caja de resistencia donde guardar lo malo y recuperar lo bueno. El lugar donde refugiarse ante la tormenta. Sin ellos, la vuelta al hogar estaría incompleta. Han sido la estabilidad inherente dentro del caos. Para ellos, todo mi cariño. En último lugar, me gustaría agradecer a la Escuela Técnica de Ingeniería Superior de Sevilla los 4 años más intensos de mi vida. Sus paredes me han moldeado, formado y forjado regalándome el tesoro más preciado que tengo: un amor infinito por el estudio, la ciencia y la técnica. Si volviera a vivir, volvería a escoger este edificio rojo para estudiar, al que recordaré siempre como un hogar, no por las horas que he pasado bajo su techo, sino por las innumerables historias que me vieron crecer como persona y como profesional. Samuel Yanes Luis Sevilla, 2019 2. Experimentos y resultados 106 2.1. Transición Vuelo Horizontal - Hover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.1.1. Análisis del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.2. Transición Hover - Vuelo Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.2.1. Análisis del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 IX Comparación de los métodos de control implementados 110 1. Comparación de las diferentes metodologías 110 2. Comparación del desempeño del control 113 2.1. Comparación en modo Hover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 2.2. Comparación en modo vuelo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 2.3. Comparación de la transición Hover - Vuelo Horizontal . . . . . . . . . . . . . . 118 2.4. Comparación de la transición Vuelo Horizontal - Hover . . . . . . . . . . . . . . 119 X Conclusiones y horizonte de la investigación 121 A. Descripción de la dinámica de bajo nivel 126 A.1. Subsistema de accionamiento del ángulo de los proprotores . . . . . . . . . . . 126 A.1.1. Dimensionado del motor de Tilt de los proprotores . . . . . . . . . . . . 127 A.2. Subsistema de accionamiento de la velocidad de las hélices . . . . . . . . . . . . 128 A.2.1. Control de la velocidad de giro del motor Brushless . . . . . . . . . . . . 130 A.2.2. Conmutación del bobinado del estátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 A.2.3. Implementación y simulación del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 A.3. Subsistema de accionamiento de los elevadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 B. Simscape Multibody 136 B.1. Simulación de sistemas Multicuerpo - Emergentia . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 B.2. Simulación gráfica - Mechanics Explorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 C. Linealización de las ecuaciones 142 C.1.Expresionesdinámicas................................142 C.2.Linealización .....................................142 C.2.1. Ecuación de Va................................142 C.2.2. Ecuación de γ.................................143 C.2.3. Ecuación de ˙ θB................................144 C.2.4. Ecuación de θB................................144 D. Referencias 145 16 Lista de Figuras 1.1. Vista en perspectiva del V22-Osprey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2. Aeronave Emergentia ................................ 24 2.1. Sistemas de referencia del cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2. Sistemas de referencia del proprotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3. Fuerza y par propulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Simulación del modelo propulsivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5. Fuerza y par propulsivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6. Modelopropulsivo ................................. 34 2.7. Ejes viento y ejes de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8. Fuerzas y pares aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.9. ElevadoresdelV22................................. 36 2.10. Magnitudes físicas alares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.11. Curvas del coeficiente de sustentación hayadas por [1]. . . . . . . . . . . . . . 37 2.12. Subsistema de fuerzas y momentos aerodinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.13. Caja del modelo completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1. Definición de las entradas y salidas en Simulink™............... 40 3.2. Gráficas de equilibrio - Vuelo longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3. Curva de nivel para ˙zB(θB,ΩT hrust) = 0 ..................... 46 3.4. Característica estática de un doble integrador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1. Fuerzas en ausencia de velocidad aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2. Fuerzas en ausencia de velocidad aerodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3. Esquema de bloques de un sistema descrito como espacio de estados. . . . . . 54 5.1. Bucledecontrol................................... 56 5.2. Estructura PID paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3. Esquema de simplificación de sistema para BW 1............... 59 5.4. Experimento de control de θP........................... 60 5.5. Bloque controlador de θP............................. 60 5.6. Esquema PID en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.7. Bloque controlador de zB............................. 62 5.8. Bodecomparativo ................................. 64 5.9. Bloque controlador de xB............................. 65 5.10. Experimento I - Vuelo en ascenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.11. Experimento II - Vuelo en avance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.12. Experimento III - Trayectoria genérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.13. Lugar de las raíces del controlador de Va..................... 69 5.14. Esquema de control para el autopiloto en modo Alt-Hold . . . . . . . . . . . . 70 5.15. Bloque controlador de zBen vuelo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.16. Experimento I - Vuelo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.17. Experimento I - Vuelo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.18. Fuerzas en el cambio de elevación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.1. Región de estabilidad (θPfrente a Va). Fuente: [1] . . . . . . . . . . . . . . . . 75 6.2. Trayectoria deseada sobre el mapa de operación de la aeronave . . . . . . . . 77 6.3. Algoritmo secuencial de transición H-FW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.4. Configuración de autopiloto para transición H-FW . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.5. Gráficas de control de transición directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.6. Seguimiento de la trayectoria mapeada sobre el campo de operación . . . . . 81 6.7. Algoritmo secuencial de transición H-FW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.8. Gráficas de control de transición inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 7.1. Linealización en torno a varios puntos de operación en un sistema SISO . . . 86 17 7.2. Esquema ideal de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.3. Esquema de prelinealización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.4. Proyección del vector de empuje T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.5. Proyección del vector de empuje T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.6. Gestión de las señales de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.7. Experimento I - Vuelo en avance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.8. Experimento II - Vuelo en ascenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.9. Experimento I - Vuelo siguiendo el perfil de altura variable . . . . . . . . . . . 100 7.10. Experimento II - Cambio de Va..........................101 8.1. Esquema para la transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 8.2. Esquema para la transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.3. Perfil de velocidad aerodinámica durante la transición. . . . . . . . . . . . . . 105 8.4. Resultado de la transición I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 8.5. Trayectoria (θP−Va)dentro de la región de estabilidad (rosado). . . . . . . . 107 8.6. Resultado de la transición II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.7. Trayectoria (θP−Va)dentro de la región de estabilidad (rosado) II. . . . . . 109 9.1. Comparación - Experimento en modo Hover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 9.2. Comparación - Experimento con trayectoria genérica . . . . . . . . . . . . . . 114 9.3. Comparación - Experimento de vuelo axial II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 9.4. Comparación - Experimento con trayectoria genérica II . . . . . . . . . . . . . 115 9.5. Comparación - Experimento de vuelo horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 9.6. Comparación - Experimento de vuelo horizontal II . . . . . . . . . . . . . . . 117 9.7. Comparación - Transición Hover →Vuelo Horizontal . . . . . . . . . . . . . . 118 9.8. Comparación - Transición Vuelo Horizontal →Hover ..............119 10.1. Perfil inicial del proprotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.2. ModelodeunmotorDC..............................127 10.3. ServomotorDX-117.................................128 10.4. Esquema interno de funcionamiento de un BLDC en configuración estrella. Fuente: www.renesas.com ..............................129 10.5. Circuito interno BLDC en estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 10.6. Sensores Hall en el interior de un BLDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 10.7. Perfil de la fuerza contra-electromotriz y la terna Hall. . . . . . . . . . . . . . 131 10.8. Esquema de un inversor trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 10.9. Motorutilizado...................................132 10.10.ModeloenSimulink ................................133 10.11. Decodificador de los sensores Hall (izq.) y Lógica de conmutación basada en elcuadranteEMF(der.)..............................133 10.12. Resultado experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.13. Tensiones y corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 10.14. Comparativa con el modelo simplificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 10.15. Creación del SR global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.16. Creación del SR global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.17. Colocación de los sistemas de referencia y articulaciones . . . . . . . . . . . . 138 10.18. Geometría y colocación de los ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.19. Geometría del proprotor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.20. Diagrama completo del simulador gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 10.21. Resultado final del modelado gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 18 Diccionario de términos VTOL Vertical Take Off and Landing. (ˆxB,ˆzB)Ejes del sistema de coordenadas inerciales. θBÁngulo de orientación del vehículo reANspecto de su línea de simetría. θPÁngulo de inclinación de los proprotores. δeÁngulo de inclinación de los elevadores. ΩVelocidad angular de las hélices de los propulsores (rev/s). {I} Sistema de referencia inercial. {B} Sistema de referencia de coordenadas cuerpo. Centrado en el CDM de la aeronave y girado θB. {P} Sistema de referencia de ligado al CDM del proprotor. CDM Centro de masas. LFunción escalar lagrangiana. EpEnergía potencial EcEnergía cinética (q, ˙q)Posición y velocidad de las coordenadas generalizadas del sistema mecánico. JMatriz jacobiana paPosición del CDM del elemento arespecto del sistema de referencia inercial. pb aPosición del CDM del elemento arespecto del sistema de referencia b. vb aVelocidad lineal del CDM del elemento arespecto del sistema de referencia b. ωb aVelocidad angular del CDM del elemento arespecto del sistema de referencia b. ab aAceleración lineal del CDM del elemento arespecto del sistema de referencia b. mPMasa de los proprotores (Kg). mBMasa de la aeronave (Kg). IPInercia de los proprotores (Kg ·m2) . IBInercia de la aeronave (Kg ·m2) . IySuma de las inercias IPyIB. gAceleración de la gravedad (Kg ·m·s−2). JFactor de avance del propulsor. DrDiámetro de las hélices de propulsión. CTCoeficientes de propulsión. TFuerza de propulsión. ρDensidad del aire. nNúmero de proprotores. En nuestro caso n= 2. VaVelocidad aerodinámica. SSuperficie aerodinámica efectiva. 19 cLongitud de la línea de cuerda alar. ¯qVelocidad aerodinámica equivalente. (CL, CM, CD)Coeficientes de sustentación, de pitch y de arrastre respectivamente. (L, D, M)Fuerzas de sustentación, arrastre y momento de pitch respectivamente. αÁngulo de ataque. γÁngulo de asentamiento de la velocidad aerodinámica. (Kp, Ki, Kd)Constantes proporcional, integral y derivariva de un controlador PID. BW Bandwidth - Ancho de banda. U Señal de control virtual. 20 Capítulo I. Introducción, organización y objetivos 1. Organización de la memoria y objetivos El trabajo tiene como objetivo el modelado de la dinámica longitudinal (bidimensional) de un vehículo aéreo de tipo Tilt-Rotor con capacidad de despegue y aterrizaje vertical diseñado para un despliegue rápido y eficiente y el diseño de controladores que permitan conducir la aeronave de una manera segura y robusta. El trabajo puede descomponerse en una serie de hitos Capítulo 1 Organización de la memoria, objetivos y descripción de la aeronave. Capítulo 2 Descripción y verificación de la dinámica del caso bidimensional. Se han descrito las fuerzas (mecánicas, propulsivas y aerodinámicas) que intervienen en la aeronave y se ha desarrollado un simulador basado en los resultados y parámetros obtenidos gracias a una investigaciones anteriores de la aerodinámica del prototipo en cuestión. Capítulo 3 Desarrollo de un algoritmo para obtener los puntos de equilibrio y los posteriores mapas de operación. Se ha desarrollado una técnica basada en diferentes herramientas de análisis matemático (MatLab, Control Toolbox, etc.) para encontrar de manera sistemática los puntos de equilibrio (trimado) de la nave conformada como una caja negra dependiente de sus parámetros, con el fin de caracterizar sus regímenes de vuelo y sus limitaciones (velocidad máxima y de entrada en pérdida, condiciones para vuelo horizontal, ...). Capítulo 4 Diseño de un modelo simplificado atendiendo al régimen de vuelo de la aeronave (Hover o vuelo horizontal) con el objetivo de entender mejor la dinámica del sistema, linealizar en torno a los puntos de operación anteriormente determinados y conocer los límites de cada modo de vuelo. Capítulo 5 Diseño de controladores lineales desacoplados basados en el modelo simplificado anterior. Se proponen distintas estrategias de control basadas en el desacople de las 21 22 Capítulo I. Introducción, organización y objetivos variables de salida (x, z en el caso del modo de vuelo axial / Hover y z, Vaen el caso del vuelo en avance horizontal) y se somete a diferentes experimentos con el fin de demostrar su validez. Capítulo 6 Diseño de un algoritmo de transición basada en un proceso secuencial para la transición de un modo a otro. Se plantea un algoritmo basado en una secuencia de accionamiento para llevar a cabo una transición directa (de modo Hover/Helicóptero a modo avión) y una transición inversa (de modo avión a modo helicóptero) con seguridad y robustez. Capítulo 7 Diseño de otra técnica de control basada en el conocimiento intensivo del sistema (modelo aerodinámico basado en datos de túnel de viento con una caracterización muy realista de los coeficientes aerodinámicos). Se plantea una estructura de prelinealización del sistema de modo que se obtenga un modelo resultante lineal que permita el control en sus dos modos sin tener que limitarnos a un controlador por cada punto de operación. Capítulo 8 Diseño de la estrategia de transición basada en el control prelinealización por realimentación. Se plantea la estrategia de transición basada en la estructura anterior, que resulta casi inmediata gracias a la prelinealización. Capítulo 9 Comparación de los resultados de control. Capítulo 10 Conclusiones y líneas futuras de investigación. Anexo A Caracterización de la dinámica de bajo nivel relacionada con los actuadores (servomotores y motores brushless de los propulsores) y el algoritmo de control de los mismos. Anexo B Desarrollo de una herramienta de visualización en 3D de la aeronave. Anexo C Desarrollo de las expresiones derivadas de la linealización del modelo dinámico. 23 Capítulo I. Introducción, organización y objetivos 2. Introducción y descripción de la aeronave El objetivo de esta parte es exponer detalladamente la física y la dinámica como sólido rígido del sistema basada en una serie de hipótesis y simplificaciones. Se dedicará espacio también para las convenciones matemáticas utilizadas y para la definición de los modelos propulsivo y aerodinámico considerado. Además, se concluirá con la descripción del simulador gráfico 3D (realizado en Matlab™) que servirá como complemento de visualización de los experimentos posteriores a este capítulo. 2.1. Descripción del vehículo El vehículo aéreo sujeto de este estudio se podría clasificar como un VTOL convertible (o híbrido, como suele encontrarse en la literatura científica). Esto implica que el vehículo tiene la capacidad de operar de dos modos bien distintos en cuanto a dinámica: un modo helicóptero y un modo avión (ala fija - fixed wing). Esta dicotomía se debe a la morfología de construcción, que permite la operabilidad y la manejabilidad eficiente de cada modo, gracias a la capacidad de los rotores de abatirse con cierto ángulo. Estos rotores móviles (a partir de ahora proprotores) sirven de propulsores en ambos modos de funcionamiento y son la base del movimiento y sustentación del vehículo. La morfología mecánica recuerda definitivamente a la del vehículo militar V22-Osprey, con dos proprotores orientables gracias a un sistema servomecánico a cada lado. Mientras otros vehículos parecidos (tipo Tilt-Rotor - «motor con inclinación») orientan el ala, como la nave LTV XC-143 o el histórico Canadair CL-84, la aeronave que describimos orientará solo el proprotor y su carenado, dejando el ala completamente fija respecto al cuerpo, cosa no trivial, que afectará decididamente a la aerodinámica, desacoplando en cierta medida el ángulo de los mismos de la aerodinámica general del conjunto cuerpo-alas. Dicha morfología es capaz de aprovechar las particularidades de un helicóptero y de un avión de ala fija en un mismo vehículo. Es bien sabido que los helicópteros son mucho más versátiles en cuanto a su posicionamiento y agilidad se refiere (capacidad de aterrizaje y despegue vertical, maniobrabilidad alta...), no obstante, a la hora de realizar desplazamientos a altas velocidades (vuelo longitudinal) la eficiencia energética es muy baja y se prefiere, para los desplazamientos longitudinales de larga distancia, un avión clásico de ala fija que aprovecha la aerodinámica del fuselaje para sostenerse. El coste de la gran operabilidad de esta clase de vehículos está en el diseño de un control robusto capaz no solo de estabilizar el vehículo en ambos modo de vuelo sino de llevar a cabo una transición limpia y segura. Figura 1.1: Vista en perspectiva del V22-Osprey 24 Capítulo I. Introducción, organización y objetivos 2.2. Proyecto Emergentia Este trabajo se enmarca en la investigación orientada al desarrollo de una aeronave con la morfología anteriormente descrita denominada Emergentia (http://aero.us.es/sesteban/ pages/EMERGENTIA_design.html). El proyecto Emergentia propone el diseño e implementación de un vehículo no tripulado convertible de estas características para un despegue y aterrizaje rápido en situaciones de emergencia. Para situaciones de riesgo o de difícil acceso humano, la capacidad y eficiencia que reside en la morfología VTOL resulta una solución muy conveniente. Figura 1.2: Aeronave Emergentia Para el desarrollo del simulador y posterior autopiloto, se han utilizado los resultados de las investigaciones y diseños realizados por los investigadores (Roncero, S. et al.) en términos de los parámetros aerodinámicos, geométricos y propulsivos necesarios para caracterizar fielmente la aeronave en un simulador. Asimismo, se han utilizado los resultados y conclusiones del análisis de sensibilidad de este mismo prototipo realizado por alumna Marta Núñez Reyes en el marco de su trabajo de fin de grado ([1]). El objetivo último de este proyecto es el diseño de un autopiloto para este prototipo aún en proceso de diseño y construcción. Aún cuando los controladores y estructuras son provisionales (se requerirá un diseño iterativo y verificación posterior después del análisis de resultados) se pretende sentar las líneas de diseño en términos del control con este proyecto y contrastar las hipótesis de diseño inicial mediante la observación del comportamiento dinámico simulado del prototipo y su posterior casación con las distintas estrategias aquí desarrolladas. 2.3. Hipótesis y simplificaciones Antes de proceder al modelado de las ecuaciones, es necesario exponer las hipótesis y simplificaciones asumidas para tener una idea de lo aproximado que estaremos de la realidad: En este trabajo se tratará el caso bidimensional del modelo (plano de movimiento longitudinal), limitando los grados de libertad del sistema a 4: coordenada ˆxB, coordenada ˆzBy los ángulos del cuerpo y de los proprotores respectivamente (θB, θP). Se supondrá, como parte de la simplificación anterior, que los proprotores de la aeronave giran simétricos respecto de un eje común y son idénticos físicamente. Esta hipótesis, por construcción, viene a ser bastante fiel a la realidad del vuelo de este tipo de naves. En todo caso, se considera que se puede sumar tanto las masas como las inercias de ambos proprotores en una sola expresión. 25 Capítulo I. Introducción, organización y objetivos Aún cuando en los helicópteros reales existe la posibilidad de que las hélices cambien su ángulo de colectivo y cíclico (orientación del plano de propulsión sobre el punto de conexión del rotor), se supondrá ambos ángulos nulos y que la estabilización de θBestará a cargo de los mismos proprotores y de las superficies de deflexión. Consideraremos que las únicas variables de control que afectan al sistema serán: el ángulo de los elevadores (δE), el par de los rotores (causante del ángulo de los mismos, θP) y la velocidad de giro de las hélices que afectarán en el marco del modelo propulsivo propuesto (Ω). En lo que respecta a la aerodinámica, solo consideraremos el modelo de fuerzas de arrastre y empuje (drag ylift) para el cuerpo y las alas de la aeronave, no incluyendo los efectos aerodinámicos del carenado de los proprotores. Se asume que en una casuística real, la incertidumbre no superaría cotas demasiado altas como para tener que realizar experimentos en tunel de viento para modelar dichos efectos en el comportamiento de la aeronave. 32 Capítulo II. Modelado de la dinámica de la aeronave e implementación del simulador 3. Fuerzas y pares Si bien hemos descrito y desarrollado un subsistema asociado a la dinámica de los sólidos rígidos que componen la aeronave, para concluir con el diseño del simulador de la misma tendremos que modelar los subsistemas asociados a la generación de las distintas fuerzas que actúan como entradas del bloque dinámico. Estas fuerzas (y pares) tienen distinta naturaleza, atendiendo al fenómeno que las origina. A saber: Fuerzas y pares propulsivos: Generadas por efecto del giro de las hélices de los rotores, en el marco del modelo propulsivo. Fuerzas y pares aerodinámicos: Se generarán por el movimiento relativo del vehículo respecto del aire (medio fluido), dependiendo de las superficies efectivas de control y otros parámetros físicos de del avión y del proprotor. 3.1. Modelo propulsivo - Fuerzas de propulsión Para el caso que nos ocupa, hemos obviado la posibilidad de un ángulo de paso de las hélices con un ángulo de colectivo y cíclico nulo (Apartado 1.2). De este modo, coincidirá el sistema de referencia {D} con {P}. Podemos acudir a un modelo propulsivo lineal típico de los sistemas turbopropulsados, definiendo el vector de fuerza aplicada en el cdm del proprotor: fT{P} P=CT(J)ρΩ2D4 r 0(3.1) Esta fuerza, expresada en el sistema de referencia {P} (el más conveniente), dependerá de las velocidad de giro de los rotores y de un parámetro adimensional CT. Dicho parámetro es denominado coeficiente de empuje y está relacionado con la fuerza que se ejerce en el rotor debido a la diferencia de presión del extradós y el intradós del perfil alar de las aspas del propulsor generada por la velocidad angular de las mismas. Así: J=Va ΩDrm/s rev/s ·m(par´ametro de empuje adimensional)(3.2) Tal y como figura en [2], el coeficiente de propulsión CTpuede modelarse lo suficientemente bien mediante un polinómico de segundo grado de J: CT=CT0+CT1J+CT2J2(3.3) Todos los coeficientes de esta ecuación pueden ser inferidos mediante experimentación en un túnel de viento. El modelo plantea unas curvas dependientes tanto de la velocidad del rotor como de la velocidad aerodinámica de la aeronave. Como la propulsión se basa en la diferencia de velocidades del aire a la entrada y a la salida de las palas, con una velocidad aerodinámica de avance vista por la hélice alta, deberemos girar el rotor mucho más rápido para generar la misma fuerza de propulsión. Como una especificación de diseño relacionada con los motores utilizados, se establece que la velocidad angular máxima de las hélices está en 100 rev/s. Podemos observar en la siguiente gráfica el comportamiento estático de los propulsores: 33 Capítulo II. Modelado de la dinámica de la aeronave e implementación del simulador Figura 2.4: Simulación del modelo propulsivo. Estas gráficas vienen a plantear dos condiciones importantes en el modelo: por un lado, tendremos el régimen de rotación necesario para poder generar una sustentación suficiente. Por otro lado, se evidencia lo anteriormente expuesto y que la velocidad aerodinámica debe acotarse para no perder capacidad de propulsión. Esta fuerza podrá expresarse en el marco de referencia {I} mediante su la proyección sobre los ejes inerciales absolutos: fT I=fT{P} Pcos(θB+θP) −sin(θB+θP)(3.4) El valor escalar del par que genera el esfuerzo de propulsión se puede obtener mediante el producto escalar con el brazo de dicha fuerza: τT I=fT I·(xB Jsin(θP) + zB Jcos(θP)) (3.5) Figura 2.5: Fuerza y par propulsivo Finalmente queda establecido el subsistema propulsivo de la aeronave que recibirá los valores del ángulo del proprotor (θP), el la magnitud de la velocidad del aire (Va) y la velocidad angular de las hélices (Ω). 34 Capítulo II. Modelado de la dinámica de la aeronave e implementación del simulador Figura 2.6: Modelo propulsivo 3.2. Modelo aerodinámico - Fuerzas y momentos aerodinámicos Hablamos de fuerzas y pares aerodinámicos cuando tenemos un sólido moviendose con cierta velocidad en el seno de un fluido. Es el movimiento relativo respecto a ese fluido lo que genera una distribución de presiones en las paredes exteriores de todo cuerpo que se enfrenta al movimiento en un medio de dichas características. En nuestro caso bidimensional, son bien conocidas las fuerzas que se generan en el fuselaje de la aeronave cuando existe un desplazamiento por el medio: fuerza de sustentación (lift), fuerza de arrastre (drag) y momento de inclinación (pitch momentum). [3] Llegados a este punto, sería conveniente hablar del sistema de referencia utilizado en aeronaútica para expresar dichas fuerzas. Según se indica en [2], las fuerzas de empuje y arrastre están alineadas con el sistema de referencia de estabilidad. Este sistema de referencia viene a tener la dirección X según la proyección del vector de velocidad relativa al viento (−→ Va) sobre el plano de simetría de la aeronave. Estos sistema de referencia vienen a coincidir totalmente cuando el ángulo de resbalamiento de la velocidad aerodinámica de la nave (β) es nulo. Así, definiremos el ángulo de ataque (α), como el ángulo que forma el vector de velocidad relativa al viento (−→ Va) y el eje X del sistema de coordenadas cuerpo. Este ángulo es fundamental en la aeronaútica, puesto que viene a influir directamente en la resistencia aerodinámica que tiene la aeronave y define mayoritariamente su sustentación. Figura 2.7: Ejes viento y ejes de estabilidad 35 Capítulo II. Modelado de la dinámica de la aeronave e implementación del simulador Figura 2.8: Fuerzas y pares aerodinámicos Comúnmente se expresan las fuerzas anteriormente citadas como:      Flift =1 2ρV 2 aSCl Fdrag =1 2ρV 2 aSCD Mpitch =1 2ρV 2 aScCm (3.6) Estas fuerzas están expresadas en ejes viento, anteriormente tratados. Para computarlas en nuestro modelo dinámico podemos pasarlas a ejes cuerpo mediante la transformación siguiente: RB Va=cos(αa)−sin(αa) sin(αa)cos(αa)(3.7) (fa B)(B)=RB Va·(fa B)(Va)(3.8) En las ecuaciones (3.6) aparecen los términos de velocidad aerodinámica (−→ Va), densidad del aire ρKg m3, superficie de contorno del ala (S), la cuerda media del perfil alar (c) y los coeficientes adimensionales aerodinámicos (Cl, CD, Cm). Estos coeficientes están muy relacionados con el perfil del ala, el ángulo de ataque, el número de Reynolds y de las superficies de control [2, 3, 1]. Los coeficientes aerodinámicos se comportan de forma no lineal y dependen de muchos parámetros. Una estrategia común para describir su comportamiento trabaja con la hipótesis de que el ángulo de ataque es pequeño y que tenemos condiciones de vuelo estables. Comúnmente vienen a expresarse los coeficientes por su aproximación de Taylor de primer orden en función de las variables más significativas que influyen en su valor: el ángulo de ataque y la inclinación de las superficies de control. No obstante, como explicaremos más adelante, nosotros haremos uso de una expresión mucho más precisa, desde el punto de vista de una descripción más global, de los coeficientes de sustentación. Antes de exponer las expresiones finales para los coeficientes, habremos de indicar cómo son las superficies de control. Generalmente, toda aeronave de ala fija suele tener 3 superficies controlables: elevadores (elevators) para controlar el ángulo de pitch, timón de cola (rudder) para el control del yaw y alerones (ailerons) para el control del roll. Un ángulo de ataque grande en dichas superficies implica una resistencia al avance mayor y una fuerza de sustentación aerodinámica alta (aún cuando no son la única contribución a dichas fuerzas). En el 36 Capítulo II. Modelado de la dinámica de la aeronave e implementación del simulador caso bidimensional que nos ocupa, la única superficie efectiva son los elevadores, que ejercerán una fuerza (luego un par) para poder controlar el ángulo de pitch de la aeronave. Siguiendo la nomenclatura frecuente en la literatura, la señal de control de los elevadores vendrá dada por el ángulo de la superficie respecto de la horizontal del cuerpo (δe). Figura 2.9: Elevadores del V22 Figura 2.10: Magnitudes físicas alares Generalmente, a falta de mejores datos, se suele utilizar la expresión lineal proveniente del desarrollo en serie de Taylor para Cl. Esta expresión, que no es más que una forma muy aproximada del fenómeno de sustentación, tiene validez hasta cierto valor del ángulo de ataque, a partir del cual comienza a caer, efecto que no queda representado por la aproximación lineal. Para este trabajo académico contamos con la aportación de [1], que analiza y estima de manera muy precisa la curva de Clcomo un polinomio de orden 41 para la misma aeronave que trataremos (Emergentia). Podemos entonces contar con esta contribución para el modelo aerodinámico. El coeficiente Clquedaría de la siguiente forma: Cl(α, δE) = CLα(α) + CLδE·δE(3.9) La curva CLα(α)tendrá la siguiente forma, atendiendo a su forma: Cl,lineal =CL,0+CL,α·α Cl,c´ubica =CL,0+CL,1·α+CL,2·α2+CL,3·α3 Cl,polinomica =CL,0+CL,1·α+... +CL,41 ·α43 (3.10) 37 Capítulo II. Modelado de la dinámica de la aeronave e implementación del simulador Figura 2.11: Curvas del coeficiente de sustentación hayadas por [1]. Si nos fijamos en el comportamiento de la sustentación con el ángulo de ataque, existe un punto en el que la sustentación comienza a caer. Será especialmente importante el tener en cuenta en el simulador especificar este límite, puesto que no es conveniente sobrepasarlo y entrar en pérdida de sustentación (stall). Del mismo modo, podremos expresar el coeficiente aerodinámico para el drag como función del mismo Cl: CD=CD0+CD1·Cl(α, δE) + CD2·Cl(α, δE)2(3.11) La expresión para el coeficiente del momento de pitch viene a seguir una expresión semejante. Esta vez, se ha modelado mediante un desarrollo lineal de los términos estimados también en túnel de viento: Cm=Cm0+Cmαα+CmδEδE+Cm˙ θB ˙ θB(3.12) Finalmente, hemos modelado las fuerzas y momentos aerodinámicos asociados a la aeronave y podemos constituir el subsistema aerodinámico que se integrará debidamente en el simulador: Figura 2.12: Subsistema de fuerzas y momentos aerodinámicos 38 Capítulo II. Modelado de la dinámica de la aeronave e implementación del simulador 4. Modelo completo Para concluir con esta parte, reunimos todos los subsistemas (dinámica del cuerpo, modelo propulsivo y modelo aerodinámico) en un solo sistema integral: La inclusión de las fuerzas generalizadas dentro del modelo dinámico derivado de las ecuación de Euler-Lagrange, tal y como habíamos dicho en el apartado 2.1, ha de hacerse mediante el mapeo de las fuerzas con el jacobiano (de velocidades lineales en las fuerzas y de angulares en los pares). Así, una vez calculadas las fuerzas anteriormente descritas, habrá que aplicar las ecuaciones (2.8) y (2.9) Figura 2.13: Caja del modelo completo Capítulo III. Trimado 1. Principios matemáticos Una vez obtenido un modelo completo del sistema (dentro de las hipótesis y simplificaciones anteriormente enumeradas), será necesario, con el objetivo de diseñar los controladores para los distintos modos de vuelo, obtener un modelo linealizado de la aeronave. La linealización del sistema se hace en torno a un punto de operación (también llamado punto de equilibrio). La definición formal de punto de equilibrio la da [4]: Corolario. «Considérese el siguiente sistema de ecuaciones vectoriales dependientes del tiempo: F(x(t),u(t)) :=        f1(x(t),u(t)) f2(x(t),u(t)) . . . (1.1) donde x(t)es una función vectorial del tiempo que toma valores en el espacio de n-dimensiones y representa el estado completo del sistema, x(t)∈Rn,u(t)es una función escalar del tiempo que representa las entradas del sistema, u(t)∈Rm, y las funciones de Fpresentan continuidad C1, definidas de tal forma que fi:Rn×Rm→Rn. Definiremos los puntos de equilibrio como todos los valores de x(t)yu(t)con los que se cumple que ˙ x(t) = 0.» F(xeq,ueq) = 0 (1.2) En el caso de la aeronave, el vector de estados está compuesto por las variables de salida del sistema previamente modelado, que dará una descripción completa del mismo (dado unos valores de x(t)yu(t), el sistema queda caracterizado unívocamente): x(t) = [xB, zB, θB, θP,˙xB,˙zB,˙ θB,˙ θP]T(1.3) u(t) = [δe,ΩT hrust](1.4) Las ecuaciones que rigen el movimiento de la aeronave (una por cada grado de libertad) se expresarán así: F(x(t),u(t)) :=        FRes x=F{I} x, {B} −F{I} aer,x −F{I} x,T hrust −F{I} x,gen FRes z=F{I} z, {B} −F{I} aer,z −F{I} z,T hrust −F{I} z,gen τRes y=τ{I} y, {B} −τ{I} aer,y −τ{I} y,T hrust −τ{I} gen (1.5) 39 40 Capítulo III. Trimado El problema se se reduce entonces al siguiente: Minimizar kF(xeq,ueq))k Donde xeq = [xB, zB, θB, θP,˙xB,˙zB,˙ θB,˙ θP]T eq yueq = [δe, eq,ΩT hrust, eq]. Por lo general (y en este caso será así), las ecuaciones son no lineales, acopladas e implícitas, por lo que solo se puede aislar una solución mediante técnicas numéricas. El enfoque que aquí se ha aplicado se basa en la utilización de las herramientas de optimización que brinda la plataforma Matlab™disponibles en los paquetes Optimization Toolbox™yControl System Toolbox™. El algoritmo de búsqueda de los puntos mínimos está basado en los métodos denominados Sequential Quadratric Programming, «que constituyen el estado del arte de la resolución de ecuaciones diferenciales numéricas actualmente» ([5]) El método consiste en la aproximación numérica del Lagrangiano del sistema para el posterior cálculo de la matriz hessiana y la resolución de un subproblema QP (Quadratic Problem). La explicación desarrollada de este método escapa delalcance de este trabajo académico pero tiene cierta analogía con el método de Newton-Euler con restricciones de las variables (aportadas por el usuario en base a un conocimiento previo del sistema) para el cálculo de dicha matriz hessiana. De esa matriz se pueden obtener los máximos y mínimos locales de una función no lineal multivariable como se explica en [6]. 2. Resolución del trimado en Matlab™ Para que Matlab™pueda calcular las condiciones de trimado mediante la función trim o findop (para nuestro caso no existen diferencias de uso), hemos de preparar el entorno. Aprovechando que hemos desarrollado un simulador en Simulink™crearemos un espacio de entradas y salidas definidas para que el sistema entienda cuales son los estados a determinar y qué entradas tiene disponibles. Como decíamos en el apartado anterior, Control System Toolbox™ proporciona la forma de determinar qué señales son de entrada y cuáles son de salida tal y como se indica en la figura 3.1. Figura 3.1: Definición de las entradas y salidas en Simulink™ 41 Capítulo III. Trimado Una vez establecidas las entradas y salidas del sistema podemos escribir un programa que permita calcular numerosos puntos de equilibrio dadas diferentes condiciones de contorno variantes. El problema del equilibrio tiene múltiples soluciones dependiendo de la configuración de vuelo de la aeronave. Para facilitar la convergencia del problema, reduciremos las ecuaciones mediante una parametrización del trimado, que consiste en calcular las soluciones suponiendo los valores de una o varias variables. Matlab requerirá una estructura de punto de operacion (Operating Point) donde se especificará para cada variable (ya sea entrada o salida) si se desea buscar un valor estable, el intervalo máximo de valores que han de buscarse, un punto inicial de búsqueda y si el valor es conocido previamente. Una vez especificada esa tabla de valores en la estructura, el programa se dispondrá a hacer los cálculos pertinentes. En este punto, habremos de considerar qué condiciones de contorno hemos de especificar para las condiciones de vuelo que buscamos. Además, es importante entender que con una mala especificación de dichas condiciones el programa podría encontrar una solución absurda o ni siquiera converger. También se ha de tener muy en cuenta si las condiciones que especificamos son demasiado restrictivas como para que exista un punto de operación que cumpla todas las condiciones y, en ese caso, relajar las restricciones y volver a calcular el punto de operación. 2.1. Trimado en vuelo longitudinal (Ala Fija) En condiciones de vuelo longitudinal la aeronave se comporta de la misma forma que un avión de ala fija. Así, podemos especificar que el ángulo de los proprotores debe estar fijo a 0º.3 Por otro lado, bajo estas condiciones, especificaremos que la velocidad en Z es 0, puesto que lo que buscamos es un vuelo estable a lo largo del eje X (en el sistema de referencia inercial). Por otro lado debemos especificar que los valores de posición han de ser, para X y Z, no estables y 0 respectivamente (no hacerlo así indicaría al problema que puscamos un valor concreto de X, cosa absurda cuando el avión vuela horizontalmente). Mediante este tipo de hipótesis no demasiado restrictivas especificaremos las condiciones de contorno del problema de optimización. Las condiciones iniciales del cálculo, si bien no son determinantes, facilitan la velocidad de convergencia substancialmente. En este estudio se utilizarán las condiciones de solución calculadas en [1] para la aeronave Emergentia (la nave que estamos trimando), que aunque los sistemas no son exactamente iguales físicamente, sí suponen un buen punto de partida para el cálculo numérico iterativo. Una forma también de facilitar la convergencia es realizar un barrido de cálculo especificando alguna de los estados o entradas. Parametrizamos de esta forma el problema obligando a la convergencia con unas condiciones precalculadas reduciendo el número de estados a despejar. Nosotros hemos querido barrer el sistema con la entrada de velocidad de los motores de propulsión y con el ángulo del cuerpo de la aeronave ya que, de esta forma, podremos obtener el valor de equilibrio dada una dupla [θB,ΩT hrust]que nos servirá, con la vista puesta en el control, para encontar qué ángulo y qué rps del motor debemos aplicar para alcanzar cierto equilibrio dinámico y para caracterizar la propia estabilidad del sistema dado un ángulo de vuelo. La tabla del problema de optimización quedaría así: 3Esta condición estará garantizada por un lazo de control que se verá más adelante. 48 Capítulo III. Trimado 25 zBd_trimmed_vector = []; 26 xBd_trimmed_vector = []; 27 Omega_ini = 50; 28 increment = 1; 29 Omega_fin = 100; 30 31 for Omega_of_equilibrium = Omega_ini : increment : Omega_fin 32 % Esto es importante - The defaults for all states are: 33 % - Known = false , 34 % - SteadyState = true , 35 % - Min = -Inf , Max = Inf , dxMin = -Inf , and dxMax = Inf. 36 37 % Se entiende : 38 % State (1) -> xB ,zB ,thetaB , thetaP ... 39 % State (2) -> xBd , zBd , thetaBd , thetaPd ... 40 41 % Especificaciones para State (1) 42 opspec . States (1) .x = [0;0;0; pi /2]; % Estado inicial de búsqueda % 43 opspec . States (1) . SteadyState = [ true ; true ; true ; true ]; %¿Son estables los estados que buscamos ? 44 opspec . States (1) . Known = [ true ; true ; false ; false ]; 45 46 % Especificaciones para State (2) 47 opspec . States (2) .x = [0;0;0;0]; % Estado inicial de búsqueda % 48 opspec .States (2). SteadyState = [true ,true , true , true ]; 49 opspec .States (2) .Known = [false ,false ,false , false ]; 50 51 % Lo mismo para las entradas del sistema ( Omega , tauP y delta_e ) 52 % The defaults for all inputs are Known = false , Min = -Inf , and Max = Inf . 53 54 % Input (1) - Omega 55 % - Condiciones iniciales y de contorno de la entrada Omega 56 opspec . Inputs (1) . Known = false ; 57 opspec . Inputs (1) .u = Omega_of_equilibrium ; 58 opspec . Inputs (1) . Min = 50; 59 opspec . Inputs (1) . Max = 100; 60 61 % Input (2) - tauP 62 % - Condiciones iniciales y de contorno de la entrada tauP 63 opspec . Inputs (2) .u = 0; 64 65 % Input (3) - delta 66 % - Condiciones iniciales y de contorno de la entrada delta 67 opspec . Inputs (3) .u = 0; 68 69 70 % Creamos el objeto de opciones 71 opt = findopOptions(’DisplayReport’,’iter ’); 72 73 74 % Realizamos el trimado 75 [op , opreport ] = findop ( model , opspec , opt ); 76 save(’op ’,’op ’); 77 78 % Guardamos las variables de equilibrio 79 Omega_trimmed_vector = [Omega_trimmed_vector; op.Inputs(1).u]; 80 delta_trimmed_vector = [delta_trimmed_vector; op.Inputs(3).u]; 49 Capítulo III. Trimado 81 tauP_trimmed_vector = [tauP_trimmed_vector; op.Inputs(2).u]; 82 Va_trimmed_vector = [ Va_trimmed_vector ; norm([ op . State (2) .x (1) op . State (2) .x (2) ]) ]; 83 zBd_trimmed_vector = [ zBd_trimmed_vector ; op. State (2) .x (2) ]; 84 xBd_trimmed_vector = [ xBd_trimmed_vector ; op. State (2) .x (1) ]; 85 thetaB_trimmed_vector = [ thetaB_trimmed_vector ; op . State (1) .x (3) ]; 86 thetaP_trimmed_vector = [ thetaP_trimmed_vector ; op . State (1) .x (4) ]; 87 88 end El resultado de dicho cálculo arroja unos resultados esperables. Para mantener el equilibrio en hovering necesitaremos un empuje determinado tal que se compense el peso del vehículo. El trimado devuelve un punto único de equilibrio en esas condiciones, cosa que no es de extrañar puesto que para una velocidad aerodinámica 0 (situación de Hover), solo existe una combinación de condiciones que mantienen la aeronave en equilibrio: ΩT hrust,OP 73.13 (rps) θB,OP 5 (º) θP,OP 85 (º) δe,OP Indiferente5 Cuadro 3: Punto de operación en hovering. 2.3. Trimado en puntos de θPintermedios Es previsible que, en el momento de la transición entre los dos modos de vuelo y durante ciertos momentos, la aeronave pudiera estar en un vuelo donde el ángulo θPpudiera no ser 0ºni 85º. En estos casos, podemos aplicar el algoritmo anterior para un numerosos casos concreto y obtener las condiciones necesarias para llevar a cabo la simulación. La técnica es perfectamente reproducible, aún cuando las condiciones de contornos quedan más abiertas. Si quisiéramos obtener un punto de operación dado un θPdeterminado, deberíamos rebajar las especificaciones y, tal y como se hizo en [1], barrer un intervalo de θPyVa y verificar si existen o no puntos de equilibrio. Es previsible que en muchos caso pudieran no encontrarse un estado estable para cualquiera de los valores del proprotor, lo que indicaría que estamos en zona de pérdida y no podremos volar en esas condiciones. 5Más adelante veremos que la superficie de deflexión no interviene en el equilibrio en Hovering. Capítulo IV. Linealización y modelo simplificado En el diseño de un sistema de control automático debe existir siempre un compromiso entre el parecido del modelo con la realidad y la complejidad del mismo. Es muy importante poseer unas ecuaciones que hagan justicia al sistema real para reducir las posibles incertidumbres a la hora de trasladar el control a la implementación real, y sin embargo, unas expresiones muy complejas dificultan sobremanera el análisis y el diseño del control. La solución intermedia está en el planteamiento de unas expresiones derivadas del modelo completo que representen las dinámicas dominantes que den un punto de partida para el diseño. Hemos visto que el simulador desarrollado posee una dinámica complicada y muy rica. Se ha decidido representar un modelo simplificado de las ecuaciones para dos casos diferenciados: el primero de ellos, para velocidades bajas, donde los efectos aerodinámicos no son especialmente importantes. El otro caso está pensado para representar la dinámica de la aeronave en desplazamiento horizontal, donde las fuerzas aerodinámicas sí que tienen que ser consideradas. Estas ecuaciones sentarán la base para una posterior linealización y diseño del control. 1. Modelo dinámico para baja velocidad aerodinámica Se había dicho anteriormente que las fuerzas aerodinámicas se basaban en la velocidad aerodinámica de la aeronave. Esto es Faerodinamicas ∝V2 a. De este modo, cuando la velocidad aerodinámica está en valores cercanos al 0 podremos suponer que las fuerzas aerodinámicas son despreciables. Así, tendremos que las únicas fuerzas significativas ejercidas sobre el centro de masa serán la fuerza propulsiva y el efecto de la gravedad tal y como queda reflejado en la figura: Figura 4.1: Fuerzas en ausencia de velocidad aerodinámica Por otra parte, se asumirá que la velocidad angular del cuerpo y del proprotor es baja (una 50 51 Capítulo IV. Linealización y modelo simplificado hipótesis que es bastante válida, teniendo en cuenta que la aeronave no está diseñada para tener giros súbitos de la orientación y el efecto del control es el de estabilizar el ángulo): ˙ θB≈0,˙ θP≈0(1.1) Podemos simplificar las matrices M,VyGgracias a esta suposición, lo que conduce a despreciar los términos de Coriollis presentes en V y considerar solo los efectos de las masas y las inercias del cuerpo. Presentamos entonces el equilibrio de fuerzas como: SHover :=     PFx=m·¨xB=T(Ω)·cos(θP+θB) PFz=m·¨zB=−T(Ω) ·sen(θP+θB) + g·m PMy=Iy¨ θB=T(Ω) ·(cos(θP)·zJB +sen(θP)·xJB) (1.2) Definimos ahora cada señal siguiendo el modelo de pequeñas variaciones: x=Xeq + ∆x u=Ueq + ∆u(1.3) Este submodelo válido para velocidades bajas puede linealizarse en torno al punto de operación obtenido en el capítulo anterior. En general: f(x) = f(xeq)+ ∂f ∂y    eq ·∆y+∂f ∂˙y    eq ·∆ ˙y+... +∂f ∂yn)    eq ·∆yn)+∂f ∂u    eq ·∆u+∂f ∂˙u    eq ·∆ ˙u+... +∂f ∂um)    eq ·∆um) | {z } δx (1.4) Identificando y= ¨xB, u = [Ω, θP]y trasladando las variaciones de yal dominio de Laplace tendremos: ∆xB(s) = ∂T ∂Ωeq cos(θP,eq +θB,eq) m·s2·∆Ω(s)−Teqsen(θP,eq +θB,eq) m·s2·∆θP(s)(1.5) donde T(Ω) = 2D2 rρ(CT0D2 rΩ2+CT1DrΩVa+CT2V2 a) ∂T ∂Ω= 2D2 rρ(2CT0D2 rΩ + CT1DrVa) Siguiendo el mismo procedimiento para zB: ∆zB(s) = −T(Ω)eq ·cos(θB,eq +θP,eq) m·s2·∆θP(s)− ∂T ∂Ω·sin(θB,eq +θP,eq) m·s2·∆Ω(s)(1.6) Ahora, para θB: 52 Capítulo IV. Linealización y modelo simplificado ∆θB(s) = ∂T ∂Ω  ·(cos(θP,eq)·zJB +sen(θP,eq )·xJB ) Iy·s2·∆Ω(s)−T(Ω)eq·(−sin(θP,eq )·zJB +cos(θP,eq)·xJB) Iy·s2·∆θP(s) (1.7) Observación. El sistema resultante posee 3 grados de libertad (x, z, θB) y dos señales de actuación (θP,Ω). Si suponemos que los valores de desplazamiento del punto de encaje del proprotor no son nulos (es decir, zJB, xJB 6= 0), entonces se lee de la ecuación (1.7) que tenemos capacidad de actuación. Cuanto mayor sea el valor de desplazamiento, mayor será el efecto que genera el empuje de los motores (T) sobre el centro de masas. En el caso límite en el que (zJB, xJB) = 0, toda acción de T pierde efecto sobre θBy pasamos de tener un sistema subactuado a perder un grado de libertad por la ausencia de acción de control sobre el mismo. Esto no es del todo conveniente, puesto que la ausencia de controlabilidad de el ángulo de orientación de la nave en ausencia de fuerzas aerodinámicas implica que ante bajas velocidades (Hovering o vuelo en avance), dejamos a la merced de la aerodinámica residual, no incluida en el modelo, el ángulo, que, por otra parte, va a aumentar el efecto aerodinámico si se inclina en exceso. Se tiene que el ángulo de equilibrio de la aeronave en hovering es, en el equilibrio (véase la imagen): θB,eq =π 2−tg−1xJB zJB (1.8) Figura 4.2: Fuerzas en ausencia de velocidad aerodinámica Observación. A nivel de diseño de la aeronave es muy importante que se parta de hovering con un ángulo no superior a 10º, puesto que la sustentación aumentaría de manera súbita, tal y como se espera de una aeronave normal y, si fuera mucho mayor incluso, podría partir de un estado de pérdida aerodinámica. Lo ideal sería reducir el valor xJB lo máximo para, sin perder un grado de libertad, disminuir el ángulo de equilibrio a un valor aceptable que genere una sustentación adecuada en vuelo en avance en los primeros instantes. Se puede observar también que, atendiendo al equilibrio de la aeronave en este caso, la suma de los ángulos θB,eq +θP,eq =π/2. Así, con la aeronave en equilibrio y garantizando que dicha suma cumpla que el vector de empuje esté alineado con la fuerza de la gravedad, podremos considerar que las variables (1.5) y (1.6) están desacopladas, pudiéndose plantear que, ante pequeñas variaciones de las señales de control, el movimiento en un eje no afecta al otro. Si sustituimos los valores de equilibrio en las ecuaciones tendremos: 53 Capítulo IV. Linealización y modelo simplificado ∆xB ∆θP (s) = −9,854 s2(1.9) ∆zB ∆Ω (s) = −0,269 s2(1.10) ∆θB(s) = 11,84 s2·∆θP(s) + 5,753 ·10−5 s2·∆Ω(s)→∆θB ∆θP (s) = 11,84 s2(1.11) Este subsistema posee ciertas particularidades interesantes que debieran ser consideradas previamente a la fase del diseño del control: El desacoplo de la dinámica de los ejes x,z es asumible con variaciones pequeñas de las señales de control y siempre que el ángulo θBsea estable. Cuando la señal θPhace variar la velocidad en el eje x, genera un par perturbador en el ángulo θB, luego afectará a la dinámica en el eje z, además de introducir una fuente de inestabilidad en el sistema, puesto que variar θP, afecta a la suma θB+θP. Se hace necesario, por tanto, controlar θB. 2. Modelo dinámico general con Va > 0 Cuando consideramos una velocidad aerodinámica significativa en el modo de ala fija, hemos de introducir los términos de las fuerzas y pares aerodinámicos que estarán muy presentes en las ecuaciones. En el modo ala fija dispondremos de tres señales de actuación: el ángulo del proprotor (θP), la velocidad angular de los rotores (Ω) y ahora, el ángulo de los elevadores traseros (δe). Planteamos unas ecuaciones que rigen la dinámica completa de la aeronave mediante el equilibrio de fuerzas y pares6. Interesa especialmente especificar cómo las variables de estado del sistema a la velocidad aerodinámica (Va), el ángulo de asentamiento de dicha velocidad (denominado también flight path angle -γ) y el ángulo de orientación de la aeronave y su respectiva velocidad angular (θB,˙ θB). Las ecuaciones dinámicas serán: F1=˙ Va=1 m(−D+Tcos(θP+θB−γ)−g·m·sen(γ)) (2.1) F2= ˙γ=1 mVa (L+Tsin(θP+θB−γ)−g·m·cos(γ)) (2.2) F3=¨ θB=1 2 ρV 2 aSc Iy (Cm,0+Cm,α·(θB−γ) + Cm,q·˙ θB+Cm,δe·δe) + T Iy (xJBsen(θP) + zJBcos(θP)) (2.3) La mejor manera de linealizar este sistema de varios grados de libertad y varias señales de control es acudir a una descripción en espacio de estados. Un sistema en espacio de estados viene a describir el comportamiento dinámico de un sistema mediante las relaciones entre su conjunto de entradas, salidas y sus variables de estado, que representan, mediante un espacio vectorial definido por su vector de estado, cómo se encuentra internamente el sistema con una nomenclatura matricial. 6Véase el anexo para la deducción de dichas ecuaciones basadas en el equilibrio de fuerzas y pares y su linealización 54 Capítulo IV. Linealización y modelo simplificado Figura 4.3: Esquema de bloques de un sistema descrito como espacio de estados. Las matrices AyBdefinen la evolución de los estados ( ˙ x) en función del estado actual (x) y el valor de las entradas (u). Las matrices CyDrelacionan las salidas con el vector de estados y con las entradas respectivamente. Esta representación permite, en todo caso, obtener las funciones de transferencia de entrada salida para cada una de sus estados. El sistema dinámico lineal descrito en espacio de estados derivado del sistema no lineal descrito por las ecuaciones 2.1 que queremos encontrar pasa por definir unas matrices A, B, C y Dtales que: ∆ ˙x=A·∆x+B·∆u ∆y=C·∆x+D·∆u(2.4) donde: A=     ∂F1 ∂x1eq · · · ∂F1 ∂xneq . . ..... . . ∂Fn ∂x1eq · · · ∂Fn ∂xneq      B=     ∂F1 ∂u1eq · · · ∂F1 ∂uneq . . ..... . . ∂F1 ∂uneq · · · ∂Fn ∂uneq      n= 4, m = 3 (2.5) y, especificando que cada vector de estado puede considerarse una salida del sistema (que deseamos controlar): C=    1000 0100 0010 0001    D= [04x3]n= 4, m = 3 (2.6) Definimos el vector de estados y el vector de actuación como: x= [Vaγ˙ θBθB]Tu= [Ω δeθP]T Esta forma de expresar un sistema lineal nos permitirá estudiar la aeronave linealizando en torno a multitud de puntos de operación (obtenidos mediante el trimado), así como la dependencia y acoplamiento de las distintas variables. La obtención de las funciones de transferencia que relacionan las entradas con las salidas es inmediata con la siguiente fórmula: 55 Capítulo IV. Linealización y modelo simplificado H(s) = C·(sI −A)−1B=|sI −A+BC|−|sI −A| |sI −A|(2.7) Para estudiar cómo afecta cada una de las actuaciones a las variables, linealizaremos en torno a unos valores de equilibrio obtenidos del trimado en vuelo horizonal: Xeq = [31 0 0 0,0374] Ueq = [80 −0,025 0] tendremos el siguiente sistema linealizado7:     ˙ Va ˙γ ¨ θB ˙ θB    =    −0,68 −5,4 0 −4,4 0,009 −3 0 6,2 3,5 10,34 −283,1−10,34 0 0 1 0        Va γ ˙ θB θB    +    0,27 −0,25 −0,44 0,0003 0,37 0,38 0,027 −19,26 −14,17 0 0 0      Ω δe θP  (2.8) Si suponemos que en el modo de ala fija no variamos θP, hipótesis más que coherente para el control de un avión de morfología ala fija, tendremos las siguientes funciones de transferencia: Va(s) = 0,265(s+ 0,02671) (s2+ 0,613s+ 0,16)∆Ω(s) + −0,248(s−1,13) (s2+ 0,613s+ 0,16)∆δe(s)(2.9) ˙ ∆θB(s) = −0,318(s−2,245)s (s+ 283)(s2+ 0,613s+ 0,16)∆Ω(s)+ −19,26 ·s·(s+ 0,96) (s+ 283)(s2+ 0,613s+ 0,16)∆δe(s)(2.10) ∆γ(s) = 0,00032(s2−12,43s+ 45,6) (s+ 3,1)(s2+ 0,613s+ 0,16)∆Ω(s) + 0,365(s−1,11)(s+ 0,68) (s+ 3,1)(s2+ 0,613s+ 0,16)∆δe(s)(2.11) Consideraciones del modelo linealizado y la actuación dominante en el sistema El modelo en funciones de transferencia, a pesar de evidenciar mucho mejor la dinámica del sistema (mediante una descripción de los polos y los ceros) y el acoplamiento de las variables de control, necesita de especificar la naturaleza de las magnitudes operativas de la actuación. Si nos fijamos, las ganancias tienen sentido siempre y cuando se entienda que los incrementos de sus variables no son de la misma magnitud. Por ejemplo, para la variable de control Ωtendremos que el rango efectivo va de 0 a 100 (rps) mientras que para el incremento de control de ∆δees de ±1,22 rads (±70º). De esta forma, el orden de magnitud varía considerablemente y las ganancias estáticas de las funciones de transferencias de este apartado toman otro significado. De este modo, tendremos que la actuación dominante en la velocidad aerodinámica (Va) recae sobre la variable Ωy el control de la actitud de la aeronave, una vez controlada Va, recae sobre δe. 7Aquí se ha escogido un punto de operación cualquiera, pero puede estudiarse el sistema para los múltiples puntos de operación obtenidos en el trimado para el posterior diseño de un conjunto de controladores PID. Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado El planteamiento inicial para obtener un autopiloto de la aeronave parte de utilizar los modelos lineales que se han obtenido en el capítulo anterior para diseñar unos controladores PID que permitan tanto seguir las referencias de vuelo como rechazar las perturbaciones externas (viento) y las debidas al acoplamiento interno de las señales de control. Figura 5.1: Bucle de control Principios teóricos de un PID: Un PID es un mecanismo de control basado en la realimentación de la variable de salida en un esquema típico de bucle de realimentación. El controlador PID ejerce la acción de control a través de tres mecanismos simultáneos: control proporcional (P), control integral (I) y derivativo (D). Un PID puede expresarse en forma de función de transferencia así: Kpe(t) + Ki t ˆ 0 e(t)dt +Kd de dt L −→ (Kp+Ki s+Kds)e(s)(0.1) Figura 5.2: Estructura PID paralela 56 57 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado Este controlador permite la regulación de las salidas observables de un sistema basándose en el error instantáneo de la salida con la referencia, la integral de ese error y la velocidad del mismo. Los efectos de cada término se resumen en la siguiente tabla: Control proporcional (Kp) Permite disminuir el tiempo de respuesta del bucle de control. Disminuye el error en régimen permanente Disminuye la sensibilidad ante perturbaciones externas. Disminuye la estabilidad del sistema (efecto oscilatorio). Control integral (Ki) Disminuye el error en régimen permanente. Disminuye el tiempo de respuesta del sistema. Disminuye la estabilidad del sistema (efecto oscilatorio). Control derivativo (Kd) Aumenta la estabilidad del sistema (suaviza el transitorio). Disminuye la velocidad de respuesta del sistema. La elección de los parámetros del controlador dependerá indudablemente del sistema para el que estemos diseñando el controlador. Mediante la técnica del lugar de las raíces se puede visualizar fácilmente dónde estarán los polos del bucle cerrado situando los polos, ceros y ganancia del controlador, permitiendo diseñar un controlador con un transitorio y un ancho de banda en bucle abierto adecuado para cada dinámica. A nivel teórico, sea k·G(s)C(s)la dinámica del bucle abierto: GBC(s) = k·G(s)C(s) 1 + k·G(s)C(s)(0.2) Se define el lugar de las raíces como: Definición. El lugar de las raíces es el lugar del plano complejo que anula el polinomio característico de un sistema en bucle cerrado. Esto es, las soluciones de sque hacen 1 + k· C(s)G(s) = 0. 1. Control del ángulo de inclinación del proprotor θP Hasta ahora se ha supuesto que el ángulo de inclinación del proprotor estaba dado como una señal de control. Realmente, en el sistema real no va a ser así y tal y como se explica y 64 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado más rápido que el controlador de posición horizontal. Tomando el modelo y diseñando un PD (no interesa la lentitud que añade el efecto integral, solo la estabilidad de θBen un punto de equilibrio), especificaremos que el ancho de banda es, al menos, 10 veces mayor que el ancho de banda del bucle de control de xB: BWxB= 1 rad/s →BWθB= 10 ·BWxB= 10 rad/s Así, tendremos el siguiente controlador: Valores PID controlador θB Kp2.8 Ki0 Kd0.8 Vemos en el siguiente diagrama de Bode que se verifica, para el bucle abierto, la condición del ancho de banda: Figura 5.8: Bode comparativo Finalmente, el controlador de la posición horizontal xBse sintetiza como la suma de las acciones de control: θref P=θP(exB) + θP(eθB)+(π 2−θB) La acción de control de θP(eθB)tiende a estabilizar θBmás rápido que θP(exB)estabiliza xB, por lo que la dinámica dominante puede resumirse en una acción de control dependiente de exBy una perturbación controlada debida a θB, donde el controlador más lento encuentra que θB≃θB,eq: 65 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado θref P=θP(exB) + Perturbaci´on(θB)(2.5) El bloque en Simulink resultante queda tal que así: Figura 5.9: Bloque controlador de xB 2.4. Experimentos de vuelo Para validar el diseño, realizamos una serie de experimentos: un escalón en altura (vuelo en ascenso), un escalón en posición horizontal (vuelo en avance) y una trayectoria genérica. Vuelo en ascenso: 66 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado Figura 5.10: Experimento I - Vuelo en ascenso Vuelo en avance: 67 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado Figura 5.11: Experimento II - Vuelo en avance 68 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado Trayectoria combinada: Se le especifica una trayectoria sinusoidal en el eje Z y una velocidad constante en el eje X: Figura 5.12: Experimento III - Trayectoria genérica Valoración del desempeño del control Se puede observar que el control en modo helicóptero se comporta de manera deseada. Tenemos que la dinámica del movimiento en el eje Z, ante velocidades bajas, no perturba en exceso el resto de variables del sistema (xByθBse ven inalteradas, como bien se expuso anteriormente, ante incrementos muy pequeños de θP). El comportamiento del control de movimiento en el eje X también cumple con las especificaciones dispuestas en el apartado de diseño. Se comprueba que, efectivamente, existe una perturbación del ángulo de pitch, regulado de manera efectiva y con error nulo en régimen permanente. Las perturbaciones que ejerce el movimiento en dicho eje a la posición en Z se rechazan en tanto el incremento de θPsigue siendo pequeño. Estas perturbaciones serán más notables cuanta mayor velocidad alcance (un escalón de referencia mayor en el mismo tiempo). 69 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado 3. Control en ala fija En el control de vuelo horizontal el objetivo es controlar, por un lado, la velocidad aerodinámica (Va) y por otro lado la altura de la aeronave (h=−zB). Para ello, se fijará el ángulo del proprotor en una posición determinada (el caso límite está en θP= 0) y se utilizarán las dos variables de control disponibles (Ω, δe) para estabilizar la aeronave. En este modo, debemos partir de cierta velocidad aerodinámica significativa, lo que significa que los términos aerodinámicos (lift, drag...) estarán presentes en todo momento. En este modo se tiene que poner especial interés en el control de la velocidad aerodinámica de la aeronave. Los términos aerodinámicos dependen cuadráticamente de Vay para que se pueda variar la altura mediante la acción de control de δe, hay que garantizar que Vaes constante en el entorno de su punto nominal. El diseño de un autopiloto parte de los principios expuestos en [2] y posee la siguiente estrategia: Se diseña un controlador PID para regular la velocidad aerodinámica Vamediante Ω. Para el control de la altura se parte de una estructura PID en cascada que controla el ángulo θB, influyente en la sustentación, para disminuir o aumentar la altura. 3.1. Control de la velocidad aerodinámica Va Teníamos que la dinámica simplificada en el punto de equilibrio nominal (Va= 31 m/s) responde a la siguiente función de transferencia: δVa(s) δΩ(s)=0,265(s+ 0,02671) (s2+ 0,613s+ 0,16) Por el lugar de las raíces puede sintetizarse un controlador como el siguiente: Se especifica un ancho de banda de 1.57 rad/s (2 segundos de tiempo de subida) y un margen de fase de 60º(< 5% de oscilaciones). Figura 5.13: Lugar de las raíces del controlador de Va Los criterios de diseño del controlador estarán en la minimización de la sobreoscilación (amplio margen de fase) y una frecuencia del orden de la frecuencia natural del sistema (no es recomendable un control demasiado agresivo, pues la velocidad aerodinámica afecta en gran 70 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado medida a todas las demás variables del sistema). En este caso, la robustez es muy importante, pues una mala regulación de la velocidad aerodinámica compromete el comportamiento de la aeronave (tiene la dinámica dominante sobre otras variables). Valores PID controlador de Va Kp10.2 Ki2.76 Kd0 Una vez quede la velocidad aerodinámica controlada, podemos pasar a diseñal un controlador para la altura. La estrategia seguida es muy parecida al control en cascada realizado para el modo Hovering. Una serie de PID anidados es la solución más utilizada en los autopilotos y, por lo general, da buenos resultados en las aeronaves de ala fija. 3.2. Controlador de altura h=−zB La dinámica real del movimiento a lo largo del eje Z es bastante compleja, pues intervienen numerosas fuerzas aerodinámicas y propulsivas. La ecuación que rige la velocidad de ascenso de la aeronave es9: ˙z{a} B=−Va·sin(α)(3.1) Si suponemos que γ≃0(hipótesis de vuelo horizontal), tendremos que: ˙z{a} B= ˙zB, α =θB(3.2) Entonces, podemos expresar la velocidad en el eje Z como: ˙zB=−Va·sin(θB)(3.3) Ahora, linealizando la ecuación (supuesta la variación de θBpequeña): zB=z0−Veq a·cos(θeq B) s·δθB(3.4) Atendiendo a esta ecuación, se plantea el siguiente esquema de control con dos controladores anidados: el más interior (más rápido) servirá para llevar θBhasta donde le indique el controlador exterior (más lento), que dispondrá su salida dependiendo del error de altura. Figura 5.14: Esquema de control para el autopiloto en modo Alt-Hold 9Expresándola en ejes aerodinámicos. 71 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado El primer paso, es diseñar un controlador para obtener un ángulo θBdeseado. Utilizamos el modelo que relaciona δecon ˙ θBy aplicamos la misma estrategia que en los anteriores controladores: G˙ θB(s) = ˙ θB δe (s) = −19,26(s+ 0,96) (s+ 283)(s2+ 0,613s+ 0,16) Para los PID de los lazos más interiores usaremos única y exclusivamente controladores proporcionales, que no garantizan error nulo en régimen permanente pero con una ganancia lo suficientemente alta cumplirán el objetivo de prelinealizar el bucle: Valores PID bucle interno Kp-27 Ki0 Kd0 Valores PID bucle externo 8 0 0 Para el controlador de la altura, sí que es conveniente utilizar un efecto integral para rechazar las perturbaciones y un efecto derivativo para evitar las sobreoscilaciones (respuesta amortiguada). Los valores escogidos finalmente son: Valores PID bucle interno Kp-0.01 Ki-0.001 Kd-0.008 El bloque en Simulink resultante de este diseño queda tal que así: Figura 5.15: Bloque controlador de zBen vuelo horizontal 72 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado 3.3. Experimentos de vuelo Para validar los controladores, se realizan dos experimentos: en el primero variamos la altura de referencia y vemos cómo se regula la velocidad aerodinámica, mientras que en el segundo experimento, mantenemos una altura constante mientras la velocidad aerodinámica de referencia cambia. Experimento 1: cambio de altitud Figura 5.16: Experimento I - Vuelo horizontal 73 Capítulo V. Primer planteamiento de control: control PID desacoplado Experimento 2: cambio de velocidad aerodinámica Figura 5.17: Experimento I - Vuelo horizontal 80 Capítulo VI. Transición secuencial basada en desacople 2.1. Experimento y resultados Se ejecuta el experimento, que devuelve los siguientes resultados: Figura 6.5: Gráficas de control de transición directa 81 Capítulo VI. Transición secuencial basada en desacople 2.2. Análisis del resultado Se puede observar que el resultado a la hora de realizar la transición de modo Helicóptero a modo Ala Fija es satisfactorio. Se consigue mantener la altura Z nivelada con un error máximo de 0.25m (en ejes inerciales) . El tiempo efectivo de transición (desde que se solicita tomar impulso hasta que se conecta el último controlador) es de 35 segundos. En ese tiempo, la aeronave recorre 448 metros a lo largo del eje X inercial. Si el viento incide de cola recorrerá más y al contrario si el viento incide de frente. La rapidez y eficiencia de la transición dependerá de la trayectoria de control utilizada y de la agresividad de los controladores. En este trabajo se plantea un posible control, más o menos eficiente, pero robusto. Cuanto más se aproxime la curva de trayectoria al límite, más rápida será la transición pero tanto menos robusta. Se ha decidido escoger esta trayectoria mientras no se tengan los datos precisos de la aeronave, en proceso de diseño y construcción. Figura 6.6: Seguimiento de la trayectoria mapeada sobre el campo de operación 82 Capítulo VI. Transición secuencial basada en desacople 3. Transición de modo Ala Fija a modo Helicóptero En el modo avión tenemos la particularidad de que los cambios de velocidad aerodinámica afectan sobremanera a la sustentación de la nave, lo que afecta mucho a la posición en el eje Z de la nave. Para la estrategia de transición inversa ha de tenerse en cuenta que, para reducir la velocidad aerodinámica debe existir una transición rápida del controlador de altura y un abatimiento también rápido de los proprotores. Igual que no se podía inclinar los rotores rápidamente en la transición directa, debido a la falta de velocidad en los instantes iniciales, en este caso ocurre al revés: no podemos bajar la velocidad aerodinámica tan rápidamente sin antes haber elevado los proprotores. Aprovecharemos por tanto la sustentación temporal que ofrece la velocidad aerodinámica heredada del control anterior para poder inclinar los rotores y conmutar el control de Ωpara garantizar la altura en Z = 0. Por otro lado, el proceso de frenado requiere de compensar la aceleración con el empuje de los motores y a su vez, mediante una fuerza de arrastre (drag) creciente gracias a un ángulo θBelevado (es el mismo comportamiento que se observa en un helicóptero intentando frenar). El algoritmo queda resumido así: Paso 1: La velocidad aerodinámica es alta. Inclinamos los proprotores gradualmente para disminuir el efecto de Ωsobre Vay ganar sustentación por empuje ante la caída de la sustentación aerodinámica. Paso 2: Cuando se supere cierto ángulo de los proprotores (40º), escogido como un punto de equilibrio de los mapas de trimado y mediante ajuste experimental, podemos conmutar el control de la velocidad aerodinámica. Ahora se controla zBcon Ω, lo que garantiza estabilidad en la altura mientras los proprotores siguen inclinándose y disminuyendo Va. Paso 3: Para desacelerar rápidamente se conecta, una vez dentro del rango de actuación del controlador de ˙xB, el regulador de los proprotores, que se inclinarán en sentido inverso al avance disminuyendo Vasignificativamente hasta llevarla a 0. De forma paralela, para ayudar a frenar, se conmuta el controlador de la superficie de deflexión, aún con capacidad de actuación mientras no disminuya la velocidad de la aeronave, para obtener un ángulo θBelevado que a costa de aumentar el lift (rechazado por el controlador de zBa través de Ω), aumenta significativamente la fuerza de arrastre (draft) contraria al movimiento. Paso 4: Cuando Vasea prácticamente 0 y la transición se de por finalizada, entonces se desconecta el control de elevadores. 83 Capítulo VI. Transición secuencial basada en desacople Figura 6.7: Algoritmo secuencial de transición H-FW 84 Capítulo VI. Transición secuencial basada en desacople Algoritmo de transición Ala Fija - Hover 3.1. Experimento y resultados Se ejecuta el experimento, que devuelve los siguientes resultados: Figura 6.8: Gráficas de control de transición inversa 85 Capítulo VI. Transición secuencial basada en desacople 3.2. Análisis del resultado Se observa que la transición es satisfactoria. El error máximo en altura es de 0.58 metros en el eje Z inercial, lo que es un buen indicador de el desempeño final del control, al menos, en condiciones de vuelo estable y sin perturbaciones. El tiempo efectivo de transición (desde que se activa a los 15 segundos hasta que la velocidad aerodinámica es 0) es de 31 segundos. En este tiempo la aeronave recorre unos 545 metros en el eje X inercial. La rapidez del control dependerá en gran medida de la capacidad de frenado que tenemos. Un ángulo de frenado más acusado en el control de Hover implicará una disminución más súbita de la velocidad aerodinámica, pero puede introducir ciertos efectos indeseados: inclinación excesiva del ángulo θB(sustentación momentánea grande; peor para el control de altura) y los posibles efectos aerodinámicos sobre el modelo propulsivo cuando la hélice se orienta contra el sentido de Va. La rapidez y eficiencia de la transición dependerá de la trayectoria de control utilizada y de la agresividad de los controladores. En este trabajo se plantea un posible control, más o menos eficiente, pero robusto. Cuanto más se aproxime la curva de trayectoria al límite, más rápida será la transición pero tanto menos robusta. Se ha decidido escoger esta trayectoria mientras no se tengan los datos precisos de la aeronave, en proceso de diseño y construcción. Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación 1. Planteamiento introductorio Hasta ahora se ha planteado el control mediante la linealización de un sistema multiacoplado en el entorno de un punto de operación. A partir de ahí, se han desarrollado diversos controladores PID que sirven para estabilizar los estados del sistema y seguir ciertas referencias. La estrategia planteada solo requiere de un conocimiento local del sistema y de la robustez inherente de los controladores PID. Esto hace que estemos dejando de lado el conocimiento total de las ecuaciones que rigen la aeronave para quedarnos con una aproximación para el diseño, que será válida siempre en el entorno de ese mismo punto de operación y ante variaciones pequeñas de las señales de control. Como se ha visto, si queremos transicionar el modo de vuelo de la aeronave, será necesario llevar al límite las hipótesis lineales planteadas en el control desacoplado, sufriendo las consecuencias de un cambio en la dinámica que empeore el comportamiento final del control. Tanto en el modo Hovering como en el de vuelo horizontal, tendremos que plantear numerosos controladores lineales para diversos puntos de operación del sistema tal y como se plantea en [8]. Esto puede resultar efectivo cuando tenemos sistemas de pocos grados de libertad y el esquema de control es simple, porque de otro modo, tendríamos que diseñar un conjunto grande de dichos controladores para múltiples puntos de las superficies de operación y acudir a grandes tablas de ajustes de parámetros (Gain Scheduling Tables) de laboriosa obtención. Adicionalmente, esto no garantiza ninguna clase de optimalidad y requiere de un suavizado efectivo a la hora de conmutar entre controladores. Figura 7.1: Linealización en torno a varios puntos de operación en un sistema SISO 86 87 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación Está visto que la no linealidad del sistema y lo fuertemente acoplado que está sugiere utilizar alguna técnica de control que permita invertir el sistema o, al menos, precompensarlo de cierta forma para que podamos controlarlo de manera efectiva con controladores lineales, garantizando su estabilidad. Planteemos primero, como un ejercicio mental (e ingenuo), el siguiente control: Figura 7.2: Esquema ideal de inversión Está claro que, desde un punto de vista teórico e ideal, si se pudiera plantear tal esquema, tendríamos que yRef =y. No obstante, existen numerosos problemas por los cuales no es posible comenzar a dibujar sobre esta idea: Requiere que F(x, u)sea completamente invertible (cosa generalmente imposible). Requiere que F(x, u)sea estable (tampoco se cumple). OF−1(x, u)es exactamente la inversa de F(x, u)o la incertidumbre hace imposible el seguimiento de referencia alguna. Es imposible lidiar con perturbación externa alguna, pues no estamos realimentando de ninguna forma. No obstante, sí resulta interesante la idea de poder cancelar cierta dinámica no lineal presente en las ecuaciones que rigen el comportamiento del sistema para quedarnos con aquellas partes lineales. Este planteamiento se denomina prelinealización por realimentación y está presente por toda la literatura de control no lineal de sistemas (véase el caso, por ejemplo, del control por prelinealización en brazos robots manipuladores - técnica del par calculado). 2. Planteamiento matemático Recordemos las ecuaciones que rigen el comportamiento dinámico (simplificado) del sistema, es decir, las ecuaciones de la mecánica de vuelo: F1=˙ Va=1 m(−D+Tcos(θP+θB−γ)−g·m·sen(γ)) (2.1) F2= ˙γ=1 mVa (L+Tsin(θP+θB−γ)−g·m·cos(γ)) (2.2) F3=¨ θB=1 2 ρV 2 aSc Iy (Cm,0+Cm,α·(θB−γ) + Cm,q·˙ θB+Cm,δe·δe) + T Iy (xJBsen(θP) + zJBcos(θP)) (2.3) Planteemos el siguiente cambio de variables, definiendo las siguientes señales virtuales de control: 88 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación U:=      m˙ Va=UT mVa˙γ=UθP Iy¨ θB=Uδe (2.4) Queda el sistema de ecuaciones como: F:=      UT=−D+Tcos(θP+θB−γ)−g·m·sen(γ) UθP=L+Tsin(θP+θB−γ)−g·m·cos(γ) Uδe= ¯q·c·(Cm,0+Cm,α·(θB−γ) + Cm,q·˙ θB+Cm,δe·δe) + T(xJBsen(θP) + zJBcos(θP)) (2.5) Si somos capaces de encontrar una solución, dado el valor de la terna Uy del vector de estados x= [Vaγ θB˙ θB]T, de los valores de las señales de actuación u= [Ω θPδe]Tque cumplan la igualdad marcada por el sistema F, tendremos la siguiente dinámica garantizada:                  UT=m˙ Va→Va(s) UT(s)=1 m·s UθP=mVa·˙γ→Va(s) UθP(s)=1 Va·m·s Uδe=Iy¨ θB→Va(s) Uδe(s)=1 Iy·s2 (2.6) El esquema de prelinealización quedaría de la siguiente forma: Figura 7.3: Esquema de prelinealización El bloque de prelinealización quedará configurado por la resolución de las ecuaciones de F, en un caso no trivial de sistema de ecuaciones no lineal al que habrá que prestar especial atención. 89 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación Es importante considerar los siguientes aspectos de este acercamiento: Cuanto más preciso sea el modelo que usemos para la prelinealización mejores resultados dará el método. Nosotros estamos usando las ecuaciones casi exactas de la dinámica del simulador, no obstante, no será así en el caso real, por lo que será necesario considerar cierta incertidumbre. Para asegurar la estabilidad del sistema, las señales de control virtuales Uestarán dadas por tres controladores PID que sean capaces de paliar los efectos de las incertidumbres y las perturbaciones externas. Las ecuaciones no lineales no siempre tienen solución en todo el dominio de sus variables, por lo que habrá de estudiar su continuidad y resolubilidad. 96 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación Para el modo en vuelo horizontal tendremos 3 referencias resultantes de la prelinealización: VRef a, γRef , θRef B. Estas tres variables de referencia no pueden especificarse con cualesquiera valores tal y como se ha visto en los mapas de operación. De esta forma, si queremos un conformar un autopiloto que disponga de una entrada de zRef B, deberemos crear una etapa previa de configuración que permita obtener la altura deseada mediante unas referencias de ángulo adecuado. Este problema se ha solventado mediante una técnica ya utilizada. El ángulo de pitch viene a resultar de un lazo exterior que es proporcional al error en la altura deseada. Tal y como se configuró en el control desacoplado, θRef Baumentará cuando tengamos que ascender y disminuye cuando tengamos que descender. En régimen permanente, el ángulo será el de equilibrio con el error en Z = 0. Figura 7.6: Gestión de las señales de referencia 97 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación 5. Experimentos y resultados 5.1. Hovering El primer experimento consiste en comandar una serie de escalones en las referencias tanto de x como de z: Vuelo en ascenso Figura 7.7: Experimento I - Vuelo en avance 98 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación Vuelo en avance Figura 7.8: Experimento II - Vuelo en ascenso 99 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación Trayectoria combinada: Utilizando la trayectoria genérica que especificamos en el anterior diseño de control. 100 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación 5.2. Vuelo horizontal Realizamos los mismos experimentos que con el control desacoplado con el fin de comparar más adelante los resultados: Experimento I: Cambio de altura Figura 7.9: Experimento I - Vuelo siguiendo el perfil de altura variable 101 Capítulo VII. Control mediante prelinealización por realimentación Experimento II: Cambio de velocidad aerodinámica Figura 7.10: Experimento II - Cambio de Va Capítulo VIII. Transición mediante prelinealización por realimentación 1. Planteamiento de la estrategia Una vez prelinealizado el sistema y comprobado que se obtienen resultados satisfactorios en ambos modos de vuelo se ha de plantear la estrategia adecuada para obtener unas transiciones seguras y rápidas. A pesar de que la aeronave es capaz de volar en cualquier régimen de velocidad aerodinámica con un ángulo de los proprotores concreto (limitado por dicha velocidad), se asume que en una misión genérica, se querrá partir de una velocidad aerodinámica 0 (Hover) hasta una velocidad aerodinámica generalmente alta (vuelo horizontal) para un despliegue ágil en una situación de emergencia. En el contexto de esta estrategia de control, se especificará una curva de velocidad aerodinámica de referencia que partirá de una de las dos condiciones a la otra. Si el control sigue la referencia de velocidad aerodinámica, junto a las referencias adecuadas de θByγ, se tendrá que el sistema pasa de un punto de operación a otro de manera estable. Tal y como se veía en el capítulo de Transición por Control Desacoplado, estaremos planteando una trayectoria en las superficies de equilibrio por las que movernos. No obstante, a diferencia de el anterior caso, con este método, solo podemos especificar el movimiento en la dimensión de Va, puesto que θPse controla indirectamente mediante la resolución de las ecuaciones en el bloque de prelinealización. Esta característica del método plantea que no es inmediato escoger la trayectoria en el espacio de estados de la aeronave, pues depende indirectamente de las condiciones iniciales de vuelo y las finales. Esto se entiende cuando observamos que, para una misma velocidad aerodinámica (pongamos 30 m/s), la aeronave puede viajar con un ángulo γ= 0 con distintos valores de θPyΩ. Esto tiene mucho que ver con que, en muchos sistemas dinámicos, las ecuaciones no son ni inyectivas (puesto que no existe una correspondencia única entra las entradas y las salidas) ni sobreyectivas (porque no todas las entradas se traducen en un punto estable). En el control de transición, no seremos capaces, por tanto, de escoger explícitamente dentro del modo de vuelo horizontal, la actitud de vuelo (ángulo de proprotores, ángulo de ataque, etc) pero sí de que sea estable en esos términos. Adicionalmente se ha de pensar en que la prelinealización tiene sus limitaciones en el punto en el que la velocidad aerodinámica es despreciable. Cuando Vasea lo suficientemente pequeña deberemos cambiar las ecuaciones despreciando los términos aerodinámicos. Este cambio de controladores introduce ciertos transitorios en las señales virtuales que habrá que filtrar debidamente para obtener un cambio suave en las señales de control físicas. El umbral de Vase escogerá atendiendo a un criterios tanto experimentales como basados en las curvas de equilibrio. 102 103 Capítulo VIII. Transición mediante prelinealización por realimentación Esquema de control Para el control de transición se ha añadido una etapa previa de control del ángulo γRef . Tal y como se hizo con θBen el capítulo anterior, resulta conveniente suavizar el error de γy adecuarlo a la altura de referencia. De este modo, se especifica que γRef será proporcional al error de la altura en un esquema de PID anidado. Esto evita una situación contradictoria en las referencias que podría llevar a la inestabilización: si tenemos cierto error en Z, la tendencia del controlador de θBserá el de variar el ángulo para establecerse en la altura objetivo. No obstante, esto implica inevitablemente que el ángulo γha de variar mientras dure esta regulación. Si especificamos un ángulo de referencia 0 para γ, tendremos que el autopiloto pretende corregir la altura y mantenerla recta al mismo tiempo, cosa imposible. De esta forma, con este arreglo se tiene que ante cierto error de altura, γse acomoda convenientemente. Así, volvemos a tener un control con dos entradas de referencia: VayzRef B: Figura 8.1: Esquema para la transición Este PID se diseña pensando en que un valor máximo admisible de error en Z (5 metros) tiene que generar un ángulo γmáximo de 25º, así: Valores del PID13 KP-0.09 KI-0.03 KD-0.05 Cuadro 6: PID zB→γRef Finalmente, el esquema de control del autopiloto para la transición será: 13Estos valores fueron ligeramente retocados posteriormente mediante un ajuste fino basado en los experimentos. 104 Capítulo VIII. Transición mediante prelinealización por realimentación Figura 8.2: Esquema para la transición 105 Capítulo VIII. Transición mediante prelinealización por realimentación 1. Generador de la referencia de Va:se generará como una rampa saturada y filtrada por un sistema de primer orden. Figura 8.3: Perfil de velocidad aerodinámica durante la transición. 2. Interruptor de conmutación de los controladores: como se había dicho, la singularidad que plantea el bloque de prelinealización cuando Vase acerca a 0 requiere de ser tratada mediante un cambio de controladores. Para tal fin, conmutaremos los controladores cuando alcancen cierto nivel de Va. Al conmutar, se generan transitorios que pueden estropear el desempeño final pero que pueden eliminarse con un filtrado de las señales de control virtuales. Hay que tener en cuenta que para el control de movimiento axial en baja velocidad las señales virtuales no se corresponden directamente con las señales virtuales en el control en avance horizontal. A falta de un modelo general que pueda lidiar con ambos modos a la vez, se plantea esta solución de consenso que lejos de ser óptima, es efectiva gracias en parte a la robustez de los controladores PID. 3. Controlador en el modo de vuelo horizontal: Se implementan los controladores del modo horizontal junto con el bloque de prelinealización correspondiente. Adicionalmente, se incluye un filtrado para las señales de control (UT, UθP, Uδe). 4. Controlador en el modo Hovering: Aparte de los correspondientes controladores y su prelinealización, tendremos el bloque de traducción de la velocidad aerodinámica de referencia a sus correspondientes referencias de posición inercial (xRef B, zRef B). 112 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados Control desacoplado Control por prelinealización Comportamiento durante la transición Con el control desacoplado θPes una variable controlada en bucle abierto, por lo que el resto del autopiloto se acomoda a dicha variable. Esto permite que la aeronave se convierta a su morfología de ala fija una vez terminada la transición, que es, sin pérdida de generalidad, la postura óptima de vuelo horizontal (menor nivel de Ω con θP= 0). Como θPes una señal de control pasiva, la conversión hacia el vuelo horizontal depende de las condiciones iniciales. El algoritmo garantiza la estabilidad gracias a la compensación de los términos no lineales, pero la actitud de la aeronave viene dada por trayectorias en las superficies de trimado no conocidad a priori. Implementación en un microcontrolador (discretización) El control PID desacoplado consiste en un conjunto de PIDs clásicos que pueden implementarse fácilmente en un microcontrolador. Es necesario revisar el ancho de banda de cada uno para comprobar si la frecuencia de muestreo de un microcontrolador es capaz de cumplir con la frecuencia de Nyquist del controlador más rápido (control de la velocidad del pitch). Más allá de las implementación de los PID, será necesario tener las medidas de zB, xB, θB,˙ θBy de Vao, al menos, una estimación fiel de las mismas. Debe ejecutarse en cada ciclo de control el algoritmo de prelinealización (a la tasa del controlador más rápido). Aún cuando el tiempo de cálculo está acotado, se requieren numerosas operaciones (multiplicaciones, divisiones, sumas y restas) para sacar un resultado. Esto acota el ancho de banda aguas arriba del control y el desempeño final. Se necesita, además de las variables zB, xB, θB,˙ θByVa, el valor del ángulo γ, que será normalmente pequeño y difícil de medir/estimar (ya sea por medición del ángulo de ataque o de otra forma). Esto podría ser potencialmente problemático a nivel de implementación. 113 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados 2. Comparación del desempeño del control 2.1. Comparación en modo Hover El comportamiento de ambas mecánicas de control se refleja en los siguientes experimentos: Figura 9.1: Comparación - Experimento en modo Hover Se observa que el comportamiento a baja velocidad es muy parecido con ambos algoritmos. No obstante, en la mecánica de prelinealización, se tiene un control más agresivo (con las mismas especificaciones a la hora de diseñar los PID de ambas partes) lo que se traduce en un seguimiento de las referencias más rápido a costa de señales de control más bruscas. 114 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados Figura 9.2: Comparación - Experimento con trayectoria genérica Cuando especificamos una trayectoria genérica, el algoritmo se comporta exactamente igual. El resultado evidencia que, a baja velocidad, el desempeño del control es el mismo para ambas alternativas. No obstante, no será así para cualquier rango de operación. Veamos qué ocurre cuando sometemos a ambos algoritmos a referencias más bruscas (mayores escalones, mayor velocidad): 115 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados Figura 9.3: Comparación - Experimento de vuelo axial II Resulta evidente que el algoritmo de prelinealización obtiene unos resultados significativamente mejores. Esto es así debido a una razón esencial: el controlador PID desacoplado sufre las consecuencias de una velocidad alta (recordemos que fue diseñado en un punto de operación donde Veq a= 0) y la no linealidad se pierde (sobretodo en el movimiento en el eje X), por lo que el seguimiento a esa velocidad (>1m/s) se sale de las condiciones de diseño. En el control desacoplado no ocurre así ya que, al tener en cuenta toda la dinámica del sistema, es capaz de gestionar ΩyθPconjuntamente obteniéndose una respuesta prácticamente lineal. Así, será necesario limitar la velocidad de las referencias en el control desacoplado para evitar comportamientos bruscos de la aeronave. El único inconveniente en el mecanismo de prelinealización se plantea en el hecho de que, al utilizar también Ωen el movimiento por el eje X y no solo θP, se tiene una acoplamiento más fuerte que en la mecánica desacoplada (se observa una sobreoscilación del 5% (0.25 m) cuando se aplica el escalón de referencia a la posición xB). Si realizamos nuevamente un experimento con una trayectoria genérica mucho más agresiva (2.5 m/s de velocidad en X y ±5 metros en Z): Figura 9.4: Comparación - Experimento con trayectoria genérica II Aquí se observa nuevamente que la efectividad de la prelinealización es tanto mejor que el 116 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados algoritmo contrario cuanto más nos alejamos de la velocidad de hover. Esto será fundamental a la hora de comenzar a diseñar el prototipo físico, puesto que, previsiblemente, será el control en hover el punto inicial de implementación. 2.2. Comparación en modo vuelo horizontal El comportamiento de ambas mecánicas de control se refleja en los siguientes experimentos: Figura 9.5: Comparación - Experimento de vuelo horizontal 117 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados Las trayectorias de vuelo son muy similares en ambos casos, no así la forma en que se consiguen. Si nos fijamos en las gráficas de los actuadores, el sistema prelinealizado hace uso del ángulo de los proprotores (θP) para estabilizar la velocidad aerodinámica junto con Ω. Este comportamiento permite trabajar de manera lineal con cierta independencia de la velocidad aerodinámica exigida. Veamos el comportamiento con una referencia en escalón de 50m (referencia exigente): Figura 9.6: Comparación - Experimento de vuelo horizontal II El comportamiento devuelve resultados interesantes en el sentido de que el mecanismo por desacople se comporta de manera muy adecuada. Si bien el transitorio del método de prelinealización tiene una sobreoscilación del 4.5% (2.3m) y con el mecanismo de PIDs desacoplados tenemos un 13% (6.5m), los tiempos de subida son muy parecidos (12 segundos). Además, es reseñable el hecho de que la regulación de la velocidad aerodinámica sea más rápida y robusta con el PID de desacople. Esto puede resultar ventajoso en el control de vuelo horizontal, donde es necesario una gran robustez sobretodo en la regulación de la velocidad aerodinámica, no solo para el ascenso o descenso en altura sino para mantener la estabilidad de vuelo ante perturbaciones externas debido a ráfagas de viento (significativas en vuelos con cierta altitud). 118 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados 2.3. Comparación de la transición Hover - Vuelo Horizontal Ejecutando los experimentos de transición, tendremos: Figura 9.7: Comparación - Transición Hover →Vuelo Horizontal La transición directa (o transición Hover - Vuelo Horizontal) tiene marcadas diferencias de un método a otro. Con el método desacoplado obtenemos una transición bastante más rápida y con menor desviación vertical (eZB). No obstante, el perfil de velocidad aerodinámica no está predefinido (es una trayectoria resultante no comandada como referencia). Mientras en el método desacoplado especificamos θP, en el método por prelinealización escogeremos Va 119 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados (garantizada por el controlador correspondiente). Esto resulta en que al final, el valor de equilibrio de θPno pueda escogerse. Esto tiene incidencia en la eficiencia de movimiento, puesto que con un valor de θP= 0 tendremos que aplicar un valor menor de Ω. 2.4. Comparación de la transición Vuelo Horizontal - Hover Ejecutando los experimentos de transición, tendremos: Figura 9.8: Comparación - Transición Vuelo Horizontal →Hover En la transición de Vuelo Horizontal a Hover tendremos que, como solo existe un único punto de equilibrio en hovering, sí se tiene una unicidad de la solución en ambos métodos. El método 120 Capítulo IX. Comparación de los métodos de control implementados desacoplado es más agresivo en el sentido de los cambios de ángulo de pitch. En este sentido, el ángulo escogido para realizar las transiciones (que aportan sustentación o aumentan la fuerza de drag) es fundamental en la transición desacoplada, mientras que para el control prelinealizado se escoge de forma proporcional al error en altura, por lo que el perfil de dicha variable es menos brusco. En el caso del control prelinealizado se tiene que la transición es más rápida debido a la velocidad de cambio del ángulo de los proprotores. En este punto se plantea la posibilidad de estudiar dicha curva de transición y poder adaptarla a la transición secuencial a modo de tilt-corridor (trayectoria de transición de θP) y verificar si de esta forma se consigue una transición más rápida. Capítulo X. Conclusiones y horizonte de la investigación Este trabajo, enmarcado en la investigación en curso para el desarrollo de una aeronave convertible plantea un reto en el ámbito del control. Se ha visto que el modelo utilizado es harto preciso y muy amplio, lo que se traduce en simulaciones muy largas y pesadas. Además, al haber incluido la dinámica completa de los mecanismo de proprotores (con su geometría, modelo propulsivo, etc) se introducen características novedosas que no se suelen encontrar en los estudios relacionados con aeronaves Tilt-Rotor en particular ni UAVs en general. Así, en este trabajo se ha pretendido plantear las líneas básicas de la descripción de tan complejo sistema (aún cuando solo se trata de la dinámica lateral del mismo) y un precepto de control para el desarrollo final y completo de un autopiloto real volcado en un prototipo físico microcomputado. En el apartado del modelo, simulador y trimado, podemos concluir con que se ha obtenido el modelo bidimensional del sistema, con todas las características obtenidas en ensayo en laboratorio, conformándose un simulador efectivo que representa fielmente la dinámica de la aeronave. Asimismo, se obtiene un método eficaz y sistemático para obtener los puntos de trimado de la aeronave, aspecto fundamental para la linealización del sistema y en un futuro, habiendo introducido parámetros actualizados (masas, inercias, etc) recalcular dichas superficies de operación con rapidez. En el apartado del control, se han trazado las líneas básicas de dos algoritmos diferentes. Aún cuando los resultados son efectivos con ambas técnicas, se evidencia la robustez y sencillez del método de prelinealización, adaptable a un rango de operación mucho más amplio y con una perspectiva de investigación mayor. No obstante, el método de PIDs desacoplados, no es desdeñable y plantea cierta base fundamental para el conocimiento del comportamiento de la aeronave y ha servido para evidenciar la necesidad de cambios en la morfología de la aeronave: en un principio, la posición de anclaje de los proprotores estaba demasiado separada del centro de masas, por lo que se decidió disminuir dicha distancia en pos del control (conclusión que sirve como feedback para los diseñadores de la aeronave). Así, este cambio plantea la necesidad de generar una aeronave con la misma aerodinámica pero con las ala más atrasadas o colocar el centro de masas más adelantado de lo que en un inicio se previó (implicaciones en el modo de vuelo del avión - contribuye a una postura de vuelo picado). 121 128 Anexo A: Caracterización de la dinámica de bajo nivel Figura 10.3: Servomotor DX-117 Las especificaciones son las siguientes: Tensión de operación 12 ~ 18.5V Resolución 0.29º Reductora (Rm) 192.6 Velocidad máxima sin carga 85 rpm Par máximo (18.5V - 1.9A) 3.77 N·m Secs/60º0.129 s Cuadro 8: Tabla de especificaciones del DX-117. Fuente: www.robotis.us Se observa a simple vista que las prestaciones de este motor son buenas y supone un principio importante a la hora de dimensionar el coste y peso final de la aeronave. Si bien no poseemos los parámetros eléctricos suficientes para hacer un modelo en tensión, sí podemos tomar las características del fabricante y suponer que el comportamiento dinámico del sistema θRef P→θPse comportará aproximadamente como un sistema de primer orden como: θP θRef P (s) = 1 0,041s+ 1 Esto casa con la dinámica simulada y permite determinar que, en el caso de que colocáramos este motor no se diferenciaría demasiado del control en par que hemos realizado. A.2. Subsistema de accionamiento de la velocidad de las hélices La velocidad angular de las hélices (Ω) se consigue gracias a un par de motores sin escobillas (brushless). Estos motores presentan varios pares de polos en forma de iman permanente en el rotor y un estátor con un bobinado para cada fase. El movimiento del rotor ocurre gracias al campo magnético variante que se genera cuando se energizan las bobinas del estátor, es decir, el entrehierro de cada bobinado estatórico genera un campo magnético fijo que causa un par de rotación en el imán del rotor cuando se conmuta sucesivamente la conexión de cada bobina. Asimismo, la velocidad de rotación y su dirección se consigue mediante la variación del sentido y magnitud de la corriente por las bobinas. 129 Anexo A: Caracterización de la dinámica de bajo nivel Figura 10.4: Esquema interno de funcionamiento de un BLDC en configuración estrella. Fuente: www.renesas.com Tal y como ocurre en el motor de continua con escobillas, se genera por cada bobina una fuerza contra-electromotriz que se se opone a la corriente inducida por la tensión en la bobina. El esquema eléctrico del modelo es que el que sigue: Figura 10.5: Circuito interno BLDC en estrella Si aplicamos la ley de Kirchhoff a las mallas, tendremos las ecuaciones diferenciales de fase:      vab =Ld dt (ia−ib) + R(ia−ib) + ea−eb vbc =Ld dt (ib−ic) + R(ib−ic) + eb−ec vca =Ld dt (ic−ia) + R(ia−ib) + ea−eb (A.5) Donde las expresiones de las fuerzas contra-electromotrices serán:      ea=ke 2Ω·F(θe) eb=ke 2Ω·F(θe−2π 3) ec=ke 2Ω·F(θe−4π 3) (A.6) y donde θees el ángulo eléctrico del motor, es decir, el ángulo del motor tantas veces como pares de polos tenga el rotor: θe=pp·θP(A.7) La ecuación del par generado viene dada por: Tm=kt 2F(θe)ia+Fθe−2π 3ib+Fθe−4π 3ic(A.8) 130 Anexo A: Caracterización de la dinámica de bajo nivel Donde F es la función de la onda de la fuerza contra-electromotriz que, en el caso de los motores BLDC tiene forma trapezoidal:            1,0≤θe<2π 3 1−6 πθe−2π 3,2π 3≤θe< π −1, π ≤θe<5π 3 −1 + 6 πθe−2π 3,5π 3≤θe<2π (A.9) A.2.1. Control de la velocidad de giro del motor Brushless La estrategia de control de la velocidad de giro del motor consiste en la energización secuencial de las bobinas del motor dependiendo de la posición del actual del rotor. La posición del rotor puede medirse de dos formas: Mediante sensores de efecto Hall: Un sensor Hall discreto es capaz de detectar un campo magnético. Si acoplamos 3 de estos sensores en torno al rotor, obtendremos una terna de valores discretos que varía cada 60ºeléctricos (o cada 60/ppºfísicos). De este modo, conmutamos dos bobinas (una positivamente y la otra negativamente; la tercera queda desconectada) dependiendo del cuadrante (del fasor eléctrico) en el que se encuentre el rotor (Es el caso de la imagen 10.4). Figura 10.6: Sensores Hall en el interior de un BLDC Sin sensores (sensorless) mediante la medición de la fuerza contra-electromotriz: Como la fuerza contra-electromotriz se supone trapezoidal (simplificación), puede obtenerse la posición angular eléctrica mediante la observación de los niveles de dicha tensión en cada fase y aplicando la función inversa de F. Esta técnica es más dificil de implementar debido a que la EMF tiene una forma no ideal y que en el momento de la conmutación, existe una perturbación del par. 131 Anexo A: Caracterización de la dinámica de bajo nivel Figura 10.7: Perfil de la fuerza contra-electromotriz y la terna Hall. A.2.2. Conmutación del bobinado del estátor Una vez determinado el ángulo eléctrico (da igual el modo), podemos pasar a diseñar la secuencia de conmutación del BLDC. A nivel electrónico utilizaremos un inversor de puente completo y tres fases como el de la imagen (10.8). Con los IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor) del inversor, podremos conmutar el bobinado según la tabla (9) Figura 10.8: Esquema de un inversor trifásico 132 Anexo A: Caracterización de la dinámica de bajo nivel Ángulo eléctrico Sensores Hall IGBT activado Polaridad de la fase H1 H2 H3 A B C [0º-60º) 1 0 0 (M1,M4) + - Off [60º-120º) 1 1 0 (M1,M6) + Off - [120º-180º) 0 1 0 (M3,M6) Off + - [180º-240º) 0 1 1 (M3,M2) - + Off [240º-300º) 0 0 1 (M5,M2) - Off + [300º-360º) 1 0 1 (M5,M4) Off - + Cuadro 9: Tabla de conmutación A.2.3. Implementación y simulación del sistema Para la implementación en Matlab, nos apoyeremos en la librería Simscape Power Systems, que provee de un modelo paramétrico de un motor BLDC y del entorno para simular los componentes eléctricos que hacen falta. Diseñamos el modelo del motor usando las características comerciales del motor que usaremos en la práctica (un motor AXI 5345/16HD): Figura 10.9: Motor utilizado RPM/V 195 Máxima corriente 90 A Corriente de cortocircuito 2.1 A Resistencia interna 34mΩ Par máximo (18.5V - 1.9A) 3.77 N·m Número de polos 16 Inercia mecánica del eje14 Cuadro 10: Tabla de especificaciones del AXI-5345/16HD. Fuente: www.modelmotors.cz El modelo en Matlab/Simulink será el siguiente: 14Incluyendo la inercia de la hélice. 133 Anexo A: Caracterización de la dinámica de bajo nivel Figura 10.10: Modelo en Simulink Figura 10.11: Decodificador de los sensores Hall (izq.) y Lógica de conmutación basada en el cuadrante EMF (der.) Se ha implementado un controlador PI para cerrar el lazo y que la salida siga la referencia. Adicionalmente y atendiendo a la dinámica resultante, con un cero dominante en bucle cerrado (sobreoscilación amortiguada), se incorpora un prefiltro a la referencia (la dinámica más lenta de ΩRef en el control de la aeronave completa hará las veces de esta filtro). Realizando un experimento con distintos escalones de velocidad angular deseada, tendremos los siguientes resultados: Figura 10.12: Resultado experimento 134 Anexo A: Caracterización de la dinámica de bajo nivel Figura 10.13: Tensiones y corrientes Vemos que la dinámica resultante puede asemejarse a un sistema de primer orden. Con el objetivo de plantear simulaciones más rápidas en el proyecto de Simulink de la aeronave, no incluiremos el modelo completo del motor BLDC, sino una función de transferencia lineal que represente el bucle cerrado que aquí se ha obtenido en el entorno de operación de los 60 rps. Se modela el bucle cerrado como un sistema de segundo orden sobreamortiguado de ganancia unidad: ΩRef (s) Ω(s)=2500 s2+ 95,5s+ 2500 (A.10) Figura 10.14: Comparativa con el modelo simplificado A.3. Subsistema de accionamiento de los elevadores Los elevadores forman parte del sistema de actuación aerodinámico de la nave y el mecanismo de movimiento no es más que un servomotor que dispone un ángulo a disposición del autopilo- to. Este comportamiento es exactamente igual al especificado en el apartado primero de esta parte. Habiendo explicado el funcionamiento de un servomotor, escogeremos uno que cumpla con ciertos requisitos de velocidad y par. 135 Anexo A: Caracterización de la dinámica de bajo nivel En la dinámica de los elevadores es compleja. En términos de pares aerodinámicos se suele modelar mediante un desarrollo en serie de Taylor, donde el momento en el punto de enganche de los alerones dependerá del ángulo de ataque, del ángulo de deflección del mismo, la forma del elevador, etc. Esta aerodinámica no está calculada en tunel de viento ni se ha proveído ninguna información respecto de la morfología del mismo actuador (en proceso de modelado y construcción en el momento de la redacción de este trabajo), por lo que renunciamos a indagar más allá de la información dinámica que nos provee un actuador comercial en términos de ancho de banda y par. Suponemos por tanto que los actuadores tienen una dinámica igual que la del motor DX- 17 más arriba descrito. De este modo, podemos modelar el bucle cerrado del susbsistema de control del elevador como un sistema de primer orden, asumiendo que esto es una fuente de incertidumbre a la hora de la implementación en el modelo real: δe(s) δRef e(s)=1 0,041s+ 1 (A.11) Observación. La expresión desarrollada en términos de Taylor de la dinámica del alerón queda modelada de la siguiente forma, expresada con el objetivo de servir para futuras investigaciones: τe=Je¨ δe+he(Va, α, δe)(A.12) Donde he=He,eq +1 2ρV 2 aSece·(bα∆α+bδe∆δe)(A.13) A saber: He,eq Valor de equilibrio del par del alerón. ∆α, ∆δeIncrementos respecto del valor de equilibrio del ángulo de ataque y del ángulo de deflexión de los elevadores. Se, ceSuperficie efectiva y cuerda alar de los elevadores, respectivamente. 136 Anexo B: Programación de un simulador visual para la aeronave Emergentia Anexo B: Programación de un simulador visual para la aeronave Emergentia B. Simscape Multibody Simscape ™es una librería de alto nivel desarrollada por MathWorks para el entorno Matlab- Simulink. Esta librería permite la creación rápida de modelos físicos basados en bloques (mismo paradigma que Simulink) pertenecientes a diversos dominios de trabajo. Cada dominio de trabajo queda asociado a sistemas de distinta naturaleza (mecánicos, electrónicos, hidrofluídicos, térmicos...) que pudieran o no interconectarse entre sí mediante alguna interfaz y que están representados por bloques parametrizables. De este modo, tendremos una serie de sublibrerías con un conjunto muy nutrido de sistemas típicos de la ingeniería. A saber: Módulo Driveline: conjunto de sistemas mecánicos clásicos tales como motores, engranajes, cajas de cambio y ruedas neumáticas. Módulo Electronics: conjunto de sistemas electrónicos, tanto actuadores como componentes discretos (transistores, elementos pasivos...). 15 Módulo Multibody: bloques típicos de descripción de sistemas físicos de varios eslabones. Encontraremos fuerzas, transformaciones de sistemas de referencias y articulaciones de varios tipos. Módulo Fundation: multitud de sistemas físicos de diversa índole. Actuadores hidráulicos, sistemas de transferencia de calor, etc. Módulo Power Systems: sistemas asociados al intercambio de potencia calorífica y eléctrica. Este gran compendio de bloques puede ser asociado debidamente para formar sistemas mutltidominio, realistas desde el punto de vista de la simulación y transparentes desde la perspectiva de la programación. B.1. Simulación de sistemas Multicuerpo - Emergentia La utilidad del Simscape reside en la facilidad de crear sistemas complejos mediante un lenguaje gráfico y transparente como Simulink. En ocasiones, el nivel de esfuerzo dedicado al modelado de sistemas dinámicos de diversa naturaleza, con muchas conversiones y sistemas acoplados, hace que se pierda cierta abstracción del problema de control y que las simulaciones sean sumamente frágiles y difícilmente parametrizables o escalables. En los sistemas en los que intervienen fuerzas, pares, inercias, tensiones y corrientes en motores, señales de potencia moduladas e incluso la resistencia del viento, se hace vital poseer una herramienta de alto nivel que permita dos cosas: la primera, crear un entorno de alto nivel con abstracción 15Compatible íntegramente con la implementación y descripción mediante en el entorno SPICE. 137 Anexo B: Programación de un simulador visual para la aeronave Emergentia suficiente como para no tener que trabajar a nivel de integración de ecuaciones diferenciales de modelos muy concurrentes y la segunda, proveer de herramientas realistas de personalización del entorno fáciles de implementar. En este último aspecto es donde focalizaremos la atención ya que, si bien Simscape Multibody sirve para la síntesis de la mecánica de cualquier sólido, nos valdremos de su conjunto de bloques gráficos para generar un visualizador de la física de la aeronave cuyo modelo hemos obtenido previamente. Simscape nos hará el papel de intérprete del estado del vehículo tras una simulación y nos aportará una perspectiva gráfica de conjunto. El primer paso será el crear un sistema de referencia inercial absoluto16, como en todo sistema físico, sobre el cual obtendremos las magnitudes observables de nuestro objeto. Todo sistema de referencia global posee tres bloques de configuración: - World Frame: Da acceso a un sistema de ejes fijos, ortogonal y dextrógiro con origen en (0,0,0). Cualquier sistema de referencia o cuerpo unido a este SR pertenecerá al mismo. - Mechanism Configuration: Aplica ciertos parámetros mecánicos al sistema como la gravedad (introducida como un vector) y el paso de perturbación para la computación de las derivadas parciales. - Solver: Provee de un método de integración, el dominio de la integración (temporal o temporal+frecuencial) y otros parámetros matemáticos. Figura 10.15: Creación del SR global Una vez creado el sistema de referencia inercial, podremos ir añadiendo los distintos sistemas de referencia de cada sólido que se autodefine según unos ejes propios que habrá que colocar debidamente respecto al SRINERCIAL mediante transformaciones del sistema de referencia. Las transformaciones de ejes se pueden especificar en Simscape de muchas formas (giros mediante MTH17, secuencia de rotación, rotación en ejes alineados con la base y translaciones en cartesiano, cilíndricas...) pero siempre serán respecto de su Base (B) y proveerán un nuevo SR por el puerto Follower (F). 16Solo se admite un sistema global por cada entorno. Si queremos añadir un sistema asociado se usará un bloque Frame. 17Matrices de transformación homogénea 144 Anexo C: Linealización de las ecuaciones de la dinámica de vuelo C.2.3. Ecuación de ˙ θB ∂¨ θB ∂Vaeq =ρScV eq a IyCM,0+CM,α ·(θeq B−γeq) + CM,q ˙ θeq B+CM,δδeq e+(C.19) +nρD2 r Iy (xJBsen(θP) + zJBcos(θP)) ·(CT,1DrΩeq + 2CT,2Veq a) ∂¨ θB ∂γ eq =ρScV 2eq a 2Iy ·(−CM,α)(C.20) ∂¨ θB ∂˙ θBeq =ρScV 2eq a 2Iy ·(CM,q)(C.21) ∂¨ θB ∂θBeq =ρScV 2eq a 2Iy ·(CM,α)(C.22) ∂¨ θB ∂Ωeq =nρD2 r Iy (xJBsen(θP) + zJBcos(θP)) ·2CT,0D2 rΩeq +CT,1DrVeq a(C.23) ∂¨ θB ∂δeeq =ρScV 2eq a 2Iy ·(CM,δ)(C.24) ∂¨ θB ∂θPeq =Teq Iy (xJBsen(θP) + zJBcos(θP)) (C.25) C.2.4. Ecuación de θB ∂˙ θB ∂Vaeq = 0; ∂˙ θB ∂γ eq = 0 ∂˙ θB ∂˙ θBeq = 1 ∂˙ θB ∂θBeq = 0 (C.26) ∂˙ θB ∂Ωeq = 0; ∂˙ θB ∂δeeq = 0 ∂˙ θB ∂θPeq = 0 (C.27) 145 Referencias D. Referencias [1] M. Nuñez, S. Esteban, and M. Vargas, “Estudio de sensibilidad de las condiciones de equilibrio de una aeronave convertible durante las fases de vuelo longitudinal: avance, axial y transición.” 17, 24, 35, 36, 37, 41, 42, 49, 75 [2] R. W. 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