Compendio de mecánica práctica para uso de los niños, artistas, artesanos ... : Con el modo de construir la curva que trazaban las granadas arrojadas por los franceses en el sitio de Cádiz ...
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COMPENDIO DE "MECÁNICA PRÁCTICA dl ba SADA PARA USO DE LOS NIÑOS, ARTISTAS , artesanos y demas personas qué no tienen cono= cimiento del cálculo diferencial é integral. Con E: el modo de construir la curva que trazaban las | granadas arrojadas por los franceses en el sitio de , N Cádiz; donde se presenta el plano de esta plaza k y la posicion de las baterías y campamentos del egército sitiador. » | POR | Polos 290 DON JOSEF MARIANO VALLEJO, Catedrático que fué de Matemáticas, Fortificación , Ataque y Defensa de las Plazas en el Ñ Real Seminario de Nobles de esta Corte , Indi= | viduo de la Real Sociedad Económica Matritense, y de otros establecimientos científicos, E e A A ¿ MADRID. IMPRENTA DE DOÑA CATALINA PIÑUELA. 1815.
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- AL REY NUESTRO SEÑOR. r Y propagar la instruccion pública, e a pe 4.sus Reales. e A El | . A 0. y Señor: e e E
a de Matemáticas que publiqué durante la pasada lucha, con el fin de que sirviese principalmente para la instruccion de la juventud que se destinaba'á la honrosa carrera de las armas. La bondad con que V. M. se digno recibirla, me estimuló á presentarle este tratado , que V. M. se ha servido aceptar, honrándome con el permiso de que se lo dedique: distincion, Señor, que grabada en mi corazon, será un incentivo poderoso para hacer muevos esfuerzos y aspi - rar á presentar á V. M. otras obras mas dig - nas de su respeto. Dios guarde la importante vida de V. M. muchos años. Madrid 14 de octubre de 1815. Señor : A los Reales Pies de Vo M- í K , A ir ; LEPE y 1 es dd Josef Mariano Vallejos
PRÓLOGO. S; en todas las obras , de qualquier clase que sean, es conveniente poner un prólogo ó introduccion en que se dé alguna idea del objeto con que se ha formado, en esta es -de absoluta necesidad , no tanto por ser nueva en su género, sino porque en realidad no «puede tener por objeto el primitivo para que se formó, y de que conviene dar una “idea al publico. : "Todos saben los prodigiosos efectos que: ha causado nuestra artillería en la pasada campaña, y que ha merecido los mayores elogios no solo de los sabios militares de las naciones aliadas que nos han ayudado en esta obstinada quanto gloriosa lucha , sino «de los mismos enemigos que han sufrido sus -resultados. Todas estas ventajas provienen principalmente de la sana, sabia y sólida instruccion que han adquirido sus Oficiales en el Colegio de Artillería de Segovia; pero timbien es notorio á A que con motivo - ES ” «ve
[x51] ; bre la materia , como el mismo autor manifiesta en su citado prólaga- En órden á la memoria ó apéndice de dicha tratado sobre la curva que trazaban las granadas arrojadas por los franceses en el sitio de Cádiz, no se puede menos de alabar: ¡gualmenle los muchos cálculos é investigaciones que ha hecho dicho Sr. Vallejo para resolver este problema. Es digno seguramente de consideracion este delicado trabajo ; pero: la. Academia en asunto tan complicado y de tanta trascendenciapara la teoría de la halística, no puede opinar que el problema de la verdadera curva esté resuelto. El autor niega por una parte el influjo del movimiento de rotacion que esperimenta el proyectil en su trayectoria, atribuyendo los efectos que otros hacen depender de este fenómeno al movimiento diurno de la. tierra que introduce tambien en su cálculo; pero como esto no es mas que una opinion, resta que rectificarla y continuar las observaciones y esperímentos , hasta demostrar que no es un problema indeterminado, por describirse la curva en diferentes planos- Por otra parte funda el autor su teoría en varios datos que son por lo menos muy «dudosos, como es la velocidad inicial del proyectil tan diferentemente considerada por los varios autores que de ella tratan, y cuyas teorías, y aun esperiencias ; dejan mucho que desear á la conviccion. La supuesta esfericidad del proyectil, que aun su= poniéndole construido con ecsactitud completa en * -— AA PAE
[x111] las dimensiones, y de homogeneidad perfécta en. su materia , dos datos que la' imaginacion. no admite como posibles en la práctica , siempre ha de padecer una .escentricidad en el todo de su masa por la falta de metal en la boquilla y di- Jerencia en las densidades de la espoleta , la carga de pólvora, plomo ó qualquiera: otra materia que se incluya en la granada ó6 bomba y entre st. Fodo esto , sin contar las corrientes de viento que obran con mas ó menos impulso en diferentes alturas , yy ú veces en sentido contrario, y otras causas aun no bien conocidas , Como la del movimiento curvo lateral. observado continuamente en las escuelas prácticas con las balas de cañon y de fusil, y las granadas tiradas por graduaciones poco superiores á la horizontal, deja poca: esperanza de que el hombre atine la verdadera ruta que un: proyectil de esta especie sigue por la aun poco conocida atmósfera terrestre , que es el teatro de los fenómenos mas varios, instantaneos y pasmosos de la naturaleza , tanto mas confusa para nuestros sentidos , quanto mas diáfana tal vez se presenta á nuestra vista. Pero nada se concibe imposible para lor futuro ; y considerando qué variación de ideas, qué ecsactitud de: cúlculos, qué:cúmulo de otras nuevas produjo la sencilla observacion de la ley del movimiento hecha por el inmortal Newton, nunca debe desanimar el humano entendimiento, por mas que en la resolucion: de los problemas deseados halle la imaginacion insuperables obstáculos. Mejor C0- »
[x1v] | nocidas que al presente la naturaleza y efectos: de los fluidos aeriformes, y otros mas fugaces qué, entran en la composicion de la pólvora , de los, metales, de la atmósfera , Sc... podrán los matemáticos aplicar sus rigorosos y sublimes cála culos , como á otros ramos fisicos , al arte balísz tico, que por ahora es preciso confesar ingenua= mente , se, maneja por prácticas fundadas en observaciones y principios sencillos de la fisica general, enteramente distantes de los resulta= dos que de sus teorías han deducido los hombres mas sabios. Lejos de nosotros el desprecio de sus laboriosos trabajos, por lo menos enseñan los caminos por donde se debe sujetar la naturaleza á la investigacion humana, quando la ecsactitud es de rigorosa necesidad. ¡Así encontrára la segunda á aquella mas dócil á sus deseos y menos varía en. sus fenómenos! pero al. contrario, cada, luz que se la roba ó que ella presenta, nos des= cubre mas y mas lejanos límites de la inmen= sidad de sus operaciones. Considerando todo lo espuesto, repite la Junta, que ambos trabajos honran mucho al profesor Vallejo , y que su publicacion puede ser de mucha utilidad al público, sobre todo el primero ya en su actual estado, y tambien el segundo po= drá recibir mejora de parte del mismo autor, si pareciéndole oportunas las reflecsiones que ante. ceden, quiere admitirlas como elementos de sus, profundas y laboriosas tareas ulteriores. = Sex govia 7 de marzo de 1815. el
pa | INFORME DEL SUBINSPECTOR. He leido con la mayor detencion y cuidado da obra del profesor de matemáticas Don Josef Mariano Vallejo, titulada : Compendio de Mecánica Práctica, ESc. ; y aunque por su modesto anuncio parece que habia de limitarse :el autor á los cortos: conocimientos que se debe suponer en los sugetos para quienes se ha escrito, sin embargo, he visto con sumo placer que ademas de haber desempeñado esta circunstancia, vierte en toda la obra, con profusion , una multitud de nociones importantísimas que no debe ignorar el que desee hacer uso con fruto y utilidad de las leyes del movimiento. La sencillez de los cálculos, el huen órden y eleccion de los mas esenciales principios de la ciencia, y el esquisito cuidado en. amenizarlos con quanto pueda tener una influencia interesante en la materia, hacen que esta obra, aunque en compendio, sea siempre deseada y huscadapor todos aquellos que sin embargo de poseer las partes sublimes de la anatemática , quieren tener recopilado en un corto wolúmen todo lo mas substancial y útil de esta ciencia), «para: aplicarlo inmediatamente á la «práctica. Esto.es lo que'se encuentra , dá mi payecer y de:un modo: satisfactorio en la obra de «que voy. hablando. Conozco muy bien que quando el objeto de un tratado de mecánica es el de desenvolver todos los principios de la ciencia, y .n
[xv] : señalar los caminos por donde se puede llegar á ensancharlos conel -ausilio de-las sabias € ingeniosas teorías , que han originado los cálculos diferencial € integral, todo lo. que sea encerrar- “se en unos límites estrechos , y no dar á conocer lo mejor que se haya escrito por los sabios de to. das las naciones y de todos los tiempos ,.es, ha» blando con propiedad , defraudar al. lector y abusar de su huena fé5 pero cuando, como suce» de en esta obra, el. fin no es otro. que poner la mecánica .al aleance de los jóvenes y artistas, sin necesidad de causarles molestia en dificiles operaciones algebraicas y cálculos elevados , la concision y claridad no faltando al objeto primordial , son dos títulos recomendables y dignos del, aprecia general. Nada hay mas dificil que el componer unos buenos, elementos «de qualquiera ciencia que sean, y. no lo es menos el formar un compendio con la ecsactitud. y precision que se debe; y por esta causa no podré menos de manifestar quan acreedor es del aprecio público el Sr. Vallejo, por el penoso trabujo que se ha tomado en redactar, en pocas páginas, todo. lo que se necesita saber. para valerse. con utilidad de todas las leyes que sirven de base á la maquinaria , y mucho mas en poner con la claridad que es posible, desenvueltas las ideas que la obervacion y. la fisica han suministrado sobre la - scantidad de accion. de los mas. comunes agentes de que el hombre suele echar. mano con, frecuencia para ocurrir á. sus necesidades. Creo no equiva-
[xvr1] carme en asegurar que la Mecánica Práctica de Don José Mariano Vallejo , comprende quanto es necesario para emplear con conocimiento las Juerzas 6 potencias destinadas á aliviar la es- -Pecie humana de sus fatigas. Mas como ya con- Fesa el autor en su prólogo, y dice con bastante Jfundamento la Academia en su informe, esta obra no puede servir de testo en la actualidad en el Colegio del Cuerpo, porque en los establecimientos de esta clase lo que se debe procurar por todos los medios posibles es el enseñar ú los alumnos á discurrir y á pensar , presentándoles las nociones de las ciencias, bajo un aspecto puramente teórico , sín que por esto se descuide el manifestar las aplicaciones prácticas , único fin de nuestros desvelos y tareas literarias. Pero no dejaré de decir que esta obra siempre será útil y provechosa á todos los alumnos que, despues de haber estudiado la teoría de la Mecánica con toda la perfeccion de que es susceptible esta ciencia , deseen tener para los' usos prácticos compiladas sus principales verdades.: Esto. les escusaria acudir en cada caso particular á los cálculos sublimes , cuya aridez no es en todos Hempos ni en todas edades soportable : y con mucha mas razon siendo constante que á la.ma- YOr parte ó casi todos los que se dedican á esta Ciéncia, rara.vez les ocurre aplicar otros prin- C1pi0s que losmas generales y. sencillos , sin que haya ecesidad de apelar á. los conocimientos dificiles ; pues es bien cierto que estos solo sirven 2
[xvrrr] para estender los límites de la ciencia: por suge-» tos dedicados espresamente á este objeto, y para presentar con claridad y precision los resultados de sus investigaciones. > En quanto al apéndice sobre. la curva que ¡describian las bombas arrojadas desde el Trocadero ú Cádiz , poco tendré que añadir á lo que, con tanto acierto, dice la Academia en su informe. Conozco muy bien que los hechos fisicos de que deben deducirse las leyes á que ha de sujetarse la curva ó6 trayectoria que describe un proyectil disparado por una boca de fuego, son erroneos y estan acompañados de una porcion de circunstancias tambien sujetas á mil variaciones dificiles hasta el estremo de ser apreciadas con ecsactitud , aunque se interpongan los cálculos mas ecsímios y profundos. No obstante, como en cosas que juega la naturaleza caprichosamente, es decir, sin sujecion á leyes ni reglas conocidas, lo único que se puede esperar de los resultados - de las investigaciones teóricas , es la mayor aprocsimacion de estas á los hechos que presenta una práctica bien observada , no puedo prescindir de manifestar que aunque la. curva Construida por el profesor Vallejo no es la que realanente trazaban los proyectiles de que trato, porque los principios en que funda su teoría carecen del. grado de evidencia que en estos asuntos se necesita, con todo, no cabe la menor duda en que dicho profesor aclara bastante la materia y 16 trata con mucho pulso y delicadeza, haciendo
[xix] ] entrar en su cálculo la mayor parte de la varie-., dad de incidentes , que se oponen mas ó menos al hallazgo de la verdadera curva. Á primera vista se conoce con facilidad que para conseguir tan laudable fin ha empleado un trabajo ¿mprobo y desabrido ; lo que bajo qualquier aspecto que se mire, no puede menos de ser elogiado por todos los que conocen estas materias. En todo esto no se: debe eesigir cosas que quizás son imposibles, mientras que la naturaleza 10 presente con mas claridad la marcha de sus procedimientos á la observacion del hombre. Es menester contentarse por ahora con meras aprocsimaciones, aunque no se pierda de vista el buscar la ecsactitud ; y por.esta causa: diré siempre que la laboriosidad , ingenio y profundos conocimientos fisicos y matemáticos del autor del apéndice, hacen concebir la alagiieña esperanza de que continuando con tan noble empeño como hasta aqui en sus tareas literarias, llegará con el tiempo á. ilustrar la materia en, cuestion, de modo que la haga cambiar de aspecto en algun tanto, y nada deje que desear de los grandes geómetras que la han tomado por asunto de sus vigilias- Estos, del mismo modo que lo ha hecho el Sr. Vallejo , han apoyado sus ingeniosas teorías en hipótesis mas Ó menos ciertas; y por mas que se han esmerado en escrupulizar todas las contin- Eencias que sirven de obstáculo para fijar el cálculo de un modo general, se han encontrado embarazados al observar quantas y quan varias ] ue
xx] / son estas. Si el objeto fuese únicamente el consa truir la curva bajo ciertas y determinadas sum posiciones, y desentendiéndose de las causas que influyen directa y poderosamente quando llega el momento de la egecucion, no sería tan dificil, como lo es en realidad, Vel graduar el valor poderío de cada uno de los datos que se introducen en la equacion de la trayectoria; pero la práctica , que se desentiende de congeturas y: únicamente se fija en los resultados , no puede prescindir de tomar en consideracion, entre otras cosas menos notables, el movimiento de rotacion de los proyectiles, el que sin embargo de no estar bien determinado hasta ahora , es reputado poralgunos científicos como causa de varios fenómenos al parecer inesplicables : el valor ecsacto y verdadero de la, velocidad inicial, tan diferentemente apreciada que apenas hay un autor que se conforme enteramente con el resultado que otro sienta como seguro é incontestable: la graduacion fija de la espansibilidad de los Auidos elásticos y gaseosos que produce la inflamacion de la pólvora: su combustion mas ó menos instantanea: la justa y cabal estimacion de la rarefaccion del ayre que circunda á la pieza des= pues de haberse hecho con ella varios disparos: . la resistencia de este en sus varios estados y temperaturas : el viento 6 hueco que hay entre el proyectil y la pieza que le arroja: la mayor ó menor presion de la pólvora en la carga: la. variedad de esta, bien sea en la cantidad 6 en.
o N [xx1] a la especie: la diferente densidad del metal de los proyectiles procedente de la clase de mina que se ha empleado para su estraccion, de su elaboracion, y aun del mas ó menos calórico que hay en la atmósfera en el mismo acto de la fundicion: la diversa produccion de gases segun sea mas ó menos rápida la inflamacion de la pólvora, hecho al parecer estraño pero que ha demostradosuficientemente la Química moderna: la distancia del vido de la pieza al centro de la carga, en lo que hace tambien gran papel su diámetro. Todo esto ha dado márgen á tantas y tan variadas teorías que para hacer cada uno de sus autores que correspondiesen: con lo que manifies- / tan la práctica y la esperiencia, se han visto precisados á engrandecer la influencia de algunas de estas circunstancias por haberlas disminuido gratuitamente en otras; y esto es y ha sido siempre la vausa principal de notarse en sus escritos poca diversidad en quanto á. los últimos. resultados, siendo muy diferentes los datos que han hecho entrar en sus cálculos ; y mientras que el hombre no se vea ausiliado de los instrumentos competentes para determinar con precision por medio de hechos y esperiencias el valor de aquellos , serán siempre diferentemente considerados, y de aquí nacerá inevitablemente un invencible obstáculo que se opondrá siempre la resolucion geométrica del problema. Pero' aunque esto no sea asequible segun el estado actual de las ciencias ausiliares , forzoso es no de-
4 MECÁNICA tomamos por unidad el efectu que una qualquiera produce , tendremos que la espr esion de toda fuerza será una relacion Ó una cantidad mate- - mática que se puede representar por números ó por líneas: y asf, quando digamos que una fuerza P está representada por la línea AB (fig? 13) se deberá concebir que esta línea es la direccion misma de la potencia (*), y que la longitud AB contiene á la unidad lineal AE tantas veces como la: fuerza P contiene á la unidad de fuer- F decir que se tiene as : ; ir —=—, dl 3 €s q F AE Luego podemos decir que P=AB, tomando por unidad de fuerza /" la que está representada por la unidad lineal AE. ' 7 Del mismo modo , quando se consideran dos fuerzas P y Q (fig? 22) y se quieren representar por líneas, basta tomar estas rectas en las mismas direcciones de las fuerzas , y determinar sobre estas líneas dos partes AB y AC que tengan entre sí la misma relacion que estas dos fuer- Pe HB sa zas, de modo que se tenga —= AC: 8 Como un punto d un cuerpo no puede ir Y (%) Se suele pintar una flecha al estremo de: la línea que representa una fuerza, para que sen ñale la direccion en que obra; y así esta fuerza AB se supone aquí que obra desde A ácia B, y no desde B ácia A. | i A A e
PRÁCTICA. 4 5 por muchos caminos un mismo tiempo, tesulta que si muchas fuerzas solicitan á un cuerpo, d se han de destruir mútuamente , en cuyo Caso se dice que estan en equilibrio; ó el punto ó cuerpo se moverá siguiendo una cierta diy eccion, como si únicamente obedeciese á la accion de una sola fuerza. Al conjunto de fuerzas que solicitan 4 un cuerpo se le llama sistema de fuerzas, y se llama resultante ó derivada del sistema, á la fuerza única que resulta de todas las demas, las quales se caracterizan con el nombre de componentes. 7 9 Acerca de las fuerzas nos podemos propomer dos problemas importantísimos, á saber : el de la composicion de las fuerzas, que consiste en hallar la resultante de un sistema dado de fuerzas Óó potencias; y el de la descomposicion de las fuerzas , en el qual se trata de hallar dos ó mas fuerzas cuyo efecto equivalga'al de otra fuerza dada. Y así, supongamos que dos fuerzas P y Q que obran sobre la molécula A (fig? 2?) esten representadas por AB y AC: por el primer problema se trata de encontrar la direccion y mag- —mitud dela resultante AR : y por el segundo, al contrario , se supone dada la fuerza AR, y se buscan otras dos AB,“AC, ó'mas, que equivalgan á ella, ó que produzcan el mismo efecto Que ella. ' - 10 Quando en un sistema de fuerzas se co- Rhoce la resultante, es muy fácil conseguir el equilibrio; porque no hay mas que introducir
6 MECÁNICA una nueva fuerza igual y directamente opuesta á esta resultante. Luego si suponemos que P, Q, Sy T (fig? 3?) , sean quatro fuerzas cuya resul. tante esté representada por la fuerza R, ten. dremos que si se introduce una nueva fuerza. R/ igual y directamente opuesta 4 .R., egtablecerá el equilibrio entre P, Q, S y T, pues que ella destruirá á su resultante. Por lo qual el proble. ma general de la investigacion del equilibrio entre diversas fuerzas , se reduce únicamente á la investigacion de su resultante. Recíprocamente , si suponemos que la fuer» za R'.es la que causa el equilibrio entre las PQ S y T, tomando otra nueva fuerza R igual y directamente opuesta á R', esta nueva fuerza R, igual y directamente opuesta á .R”, será la resultante de las P, Q,S y T.. 11 De donde se infiere que tan fácil nos es pasar de las condiciones del equilibrio 4 las del movimiento, como de las condiciones del movi miento á las del equilibrio. Y pues que ya hemos dado á conocer lo que se entiende por movimien» to y por equilibrio, tenemos manifestado el ob= jeto de la Mecánica , que es la ciencia que trata del movimiento yy equilibrio de los cuerpos; y como de estos se puede hacer:una gran division en sólidos y fuidos (*), resulta que en esta ciencia se deben considerar quatro tratados, á e vet *) Véase la: introduccion, de mi Tratado * Elemental de Matemáticas pág. XVII,
PRÁCTICA. 7 saber: la Estática , que trata del equilibrio de los cuerpos sólidos : la Dinámica, que trata de su movimiento: la Hidrostática, que trata del equilibrio de los cuerpos fluidos ; yla Hidrodinámica , que trata de su movimiento. 12 Hasta estos últimos años se ha considerado el caso del movimiento antes que el del equilibrio ; pero en la actualidad se considera antes el caso del equilibrio, porque en este no hay que atender al tiempo, y de él luego se deducen todas las circunstancias del movimiento, como lo manifestaremos en nuestra Mecánica; pero como los fenómenos del movimiento nos lMaman mas la atencion y se nos hacen mas sensibles, y en este compendito tratamos únicamente de manifestar las principales verdades de la Mecánica, sin detenernos en los cálculos que conducen á su demostracion, trataremos con antelacion el caso del movimiento, aunque en él se debe atender desde luego al tiempo: por lo que nos ocuparemos ante todas cosas en mani- _festar las principales verdades de la DINÁMICA. Del movimiento uniforme. E Se dice que el movimiento es uniforme quando el cuerpo anda en tiempos iguales, es- “pacios iguales: de donde se deduce que si llamaos P el espacio que anda un cuerpo en-la unt-
8 MECÁNICA Y dad de tiempo , por egemplo en un segundo, y T el tiempo que gasta en su movimiento , se tendrá que espresando por E el espacio andado al cabo del tiempo T será E=VxT: al espacio Y, que anda el cuerpo en la unidad de tiempo, se le llama velocidad ; por lo que la equacion anterior nos dice que el espacio que un cuerpo anda al cabo de un cierto tiempo, se halla multiplicando la velocidad por el tiempo. 14 Si despejamos ”" tendremos P= 7 que quiere decir que la velocidad es la relacion que tiene el espacio con el tiempo, d es el quocien-= te que resulta de dividir el espacio por el tiem-= po. La misma equacion nos dá ==> que nos dice que quando se conozca el espacio que anda un cuerpo y la velocidad, hallaremos el tiempo dividiendo el espacio por la velocidad. 15 Si señalamos con las letras minúsculas el espacio, velocidad y tiempo correspondientes á otro cuerpo qualquiera , tendremos e=vxt, y formando proporcion con esta equacion y la que espresa el valor de E, se tendrá E:e:VT::vt (A), que nos dice que los espacios son como los pro= ductos de las velocidades por los tiempos: Ú que estan en razon compuesta de las velocidades y de los tiempos. 16 Sisuponemos V=0, tendremos E:e::T:£, que nos dice que 4 ¿gualdad de velocidades, los A A
PRÁCTICA. 9 espacios son como los tiempos. Y si hubiéramos supuesto P=t, hubiera resultado E eV .0; la qual nos dice que ú igualdad de tiempos los espacios son como las velocidades. 17 Si suponemos que Ex=e tendremos tambien que por ser iguales los dos primeros términos de la proporcion primitiva (A), lo serán tambien los dos últimos, y S€ tendrá Y T—ot; la qual, puesta en proporcion, nos dará Pote T, 6 Tit::uV. La primera de estas proporciones nos dice que á igualdad de espacios, las velocidades estan en razon inversa de los tiempos ; y la segunda, que á igualdad de espacios , los -tiempos estan en razon inversa. de las velocidades. 18 Si multiplicamos estremos y medios en la proporcion primitiva, saldrá Exvxi=exVXxT'; la qual, puesta en proporcion de modo que las yelocidades formen la primera. razon , dará V:w::Ext:exT; que nos dice que, á desigualdad de todo, las velocidades estan. en razon compuesta, directa de los espacios é inversa de los tiempos. 19 La misma equacion puesta en proporcion de modo que los tiempos formen la primera razon, dará T:t::Exv:exV, que nos dice que, dá desigualdad de todo, los tiempos estan en razon compuesta , directa de los espacios é inversa de las velocidades. Conviene que los jóvenes se acostumbren á deducir todas estas consecuencias de la propor”
10 MECÁNICA - cion primitiva (A); porque ocurren con mucha -. frecuencia ocasiones en que hacer semejantes com. paraciones; y entendido una vez, ya están aptos ara todos los casos de la misma especie; en es» a obrita se ofrecerán muchas de estas ocasiones;' y como el principal objeto que en ella nos proponemos es la eoncision, aconsejamos á los que la estudien, que egecuten seis ú ocho veces los cálculos anteriores , hasta que se pongan en estado de hacerlo de memoria: en cuyo caso estarán en disposicion de deducir todas las que nosotros omitiremos en lo sucesivo , tanto á causa de la brevedad, quanto porque son inútiles si los principiantes toman nuestro consejo. “Delas fuerzas, de la cantidad de movimiento y de lo que se llama densidad. - 20 Se llama masa de un cuerpo á la suma ó conjunto de partes materiales de que se compone; y como mientras mas sean las partículas de materia de que se componga un cuerpo, cos. tará mas trabajo ponerle en movimiento, y te= niendo presente que el efecto de la fuerza es hacer andar al cuerpo cierto espacio en un tiempo determinado, resulta que la fuerza que hemos de emplear para mover un cuerpo se mide por el producto de la masa por la velocidad. Luego si llamamos MM la masa de un cuerpo, V la yez locidad que se le ha comunicado, y Pla fuerza que. se haya empleado, tendremos F=MxP, - á 2 0 E
PRÁCTICA. 11 + Al producto MY de la masa por la velocidad ge le llama tambien cantidad de movimiento. Si espresamos por f, M, > las cantidades relativas á otro, cuerpo , tendremos f=mov 5: y formando proporcion, nos resultará F:f.:MV :mv(B),: FSA que nos dice que las fuerzas son como los productos de las masas por las velocidades , ó que las fuerzas están en razon compuesta de las magas y de las velocidades. - : 21 Haciendo las mismas consideraciones que en los ($$ 15, 16, 17) 18 y 19 ) deduciremos 19 que áú igualdad de masas, las fuerzas son como las velocidades :. 2? que á igualdad de velocidades , las fuerzas son como las masas : 32 que á igualdad. de fuerzas , las masas están en razon inversa de las velocidades , 0: las velocidades. en razon inversa de las masas: 4? que á desigualdad de todo, las velocidades están en razon compuesta directa de las fuerzas, éinversa de las 'masas ; y 5% que á desigualdad de todo, las masas están en razon compuesta directa de las fuerzas, € inversa de las velocidades. 22 La- Física esperimental demuestra , por medio de esperimentos, que todos los cuerpos están llenos de agugeros , 4 que se: da el nombre de poros; de donde resulta que, siendo todos los “£uerpos porosos , en un volúmen dado, no todo materia, y que habrá tanta mas materia quanha menos. sean los poros, ó quanto.mas unidas.se Men entre sí las partes materiales de los cuer-
12 O a pos; y á esta mayor ó menor procsimidad de las partes materiales de los cuerpos , se le caracteriza con el nombre de densidad: de manera que se dice de un cuerpo que es mas denso que otro quando en un volúmen ó tamaño igual, con: tiene el uno mas materia que el otro ; y se dice que es menos-denso d mas ralo, quando en ¿gual volúmen contiene menos materia, , En general podemos decir que la densidad es el número de partes materiales que hay en un volúmen dado que se toma por unidad de medida; y como no hay una medida absoluta de la masa de un cuerpo, se usa de una relativa; y así para hallar la masa que hay contenida en un cuerpo cuyo volúmen es conocido, no hay mas que multiplicar la densidad por el volúmen. Luego si llamamos M la masa, D la densidad, y $ el volúmen ó solidéz, se tendrá M=8SXD, y respecto de otro cuerpo será m=sxd, ' queformando proporcionsaldrá M :miSxD:sxd, que nos dice que las masas son como los productos de los volúmenes ó solideces por las densidades. 23 De esta proporcion podríamos deducir las mismas seis consecuencias que se dedugeron de la (A, $ 15)3 pero no ocurre el tener. que conservar en la memoria sino las tres primeras, á saber, que á igualdad de volúmenes las masas son como las densidades ; que á igualdad de den. 'sidades las masas son como los volúmenes ; y que
PRÁCTICA.» 13 á. igualdad de masas , las densidades están en razon inversa de los volúmenes. 24 Si en la proporcion (B) substituimos por M y m sus valores SxD y sxd , se tendrá F:f::SxDxV :sxdxov ; que quiere decir que las fuerzas estan en razon compuesta de los volúmenes, de las densidades, y de las velocidades. De esta proporcion se podrian sacar tambien varias consecuencias ; pero como no ocurren con frecuencia casos en que tengan lugar , no nos detendremos en ello. ; De los movimientos variados, y en particular de los uniformemente acelerados 6 retardados. 25 Quando un cuerpo en tiempos iguales anda espacios desiguales , se dice que su movimiento es variado. Si los espacios que anda el cuerpo en tiempos iguales sucesivos van aumentando , se dice que el movimiento es acelerado, y si van disminuyendo se dice que el movimien= to es retardado. Para que el. movimiento sea. variado; se necesita que haya una fuerza que obre continuamente en el cuerpo; á la qual se le lama fuerza aceleratriz si su efecto es aumentar el movimien», to del cuerpo, y fuerza retardatriz quando su to es disminuir su movimiento. Si esta fuer-- aceleratriz obra constantemente, es decir, que € tiempos iguales haga adquirir aumentos igua-
20 MECÁNICA puesto de modo que no pueden ceder ¿la acción de la pesantez 5 por manera que las moléculas de la superficie estén sostenidas por la incomprensibilidad de las moléculas de lo interior. Para esto, es absolutamente necesario el que la direccion de la pesantez sea perpendicular á la superficie superior de la masa de agua; porque si le fuese obliqua , las partículas de agua que en ella se hallasen, resbalarian sobre esta superficie, sin que las de lo interior pudiesen retenerlas. Luego la direccion de la pesantez es por todas partes perpendicular á la superficie de las aguas en reposo: y este resultado es de todo punto independiente de qualesquiera hipótesis que se hagan sobre la figura de la tierra. 36 Para conocer esta direccion por esperien= cia, se suspende un cuerpo al estremo inferior de un hilo, cuyo otro estremo está fijo; y la direccion que toma este hilo es la que se llama vertícal. Los dos puntos opuestos del cielo que encontraria dicha línea prolongada indefinidamente, se llaman zenith al superior , y nadir al inferior. 37 Puesto que la direccion de la pesántez es rpendicular á la superficie terrestre, resulta que si la tierra fuese plana, y su intersección con un meridiano la supusiéramos representada por AB (fig. 4), la direccion de la pesantez Ó grave dad estaria representada por las líneas MP ; las buales en este caso serian paralelas. Pero no siendo plana la superficie terrestre, sino cóncava ¿cia su interior, estas perpendiculares serán cónver+
PRÁCTICA. 21 gentes ácia lo interior de dicha superficie. Si la tierra fuese perfectamente esférica, la fuerza de la gravedad se dirigiria ecsactamente ácia su centro como representa la (figura 5). Pero como no es esférica y acabamos de indicar que es un esferoide, resulta que las perpendiculares á la superficie no van á parar ecsactamente á su centro; sino al espacio abed comprendido por las evolutas de la elipse que forma una interseccion del esferoide por un plano, como se representa en la (tig. 6); la qual está construida ecsactamente con arreglo á escala en la hipótesis de ser 265:266 la relacion de sus eges ; mas para hacer ver la forma que tiene la evoluta, la hemos construido esta como correspondiendo á una elipse 50 veces imayor, es decir, que el espacio evoluto ahbe4 no corresponde á la elipse APBQ , sino á una elipse cuyo ege mayor fuese igual á 5¿0AB, y el me- nor á 50PQ; y la hemos construido mayor, porque la correspondiente á la elipse de la figura no se veria, 38 En:la mayor parte de las investigaciones que ocurren en la sociedad , se supone sin que resulte error, que la tierra es esférica, y en esta hipótesis fué en la que calculámos las diferencias [Trat. elem. de Mat. T. 18. 657] del ni- Vel verdadero al aparente: y aunque en la realidad la fuerza de la gravedad obra: por líneas cONvergentes., se supone en casi todas las aplicapones que la gravedad obra en la direccion de ¿CAS paralelas ; pues se necesitan 37 varas me-
4 22 MECÁNICA É , didás en la superficie terrestre para que las direcciones de la gravedad á los estremos de esta distancia formen un ángulo de un segundo en el «entro de la tierra. 39 Es necesario no confundir el efecto de la pesantez con el peso. El efecto de la pesantez consiste en comunicar d intentar comunicar á¿ cada parte de la materia, cierta velocidad que es de todo punto independiente del número de las partes materiales: y por lo mismo debajo del recipiente de la máquina neumática (*) despues de haber causado el vacío, estrayendo el ayre, se observa que un pedazo de corcho gasta tanto tiempo en caer como un pedazo de oro, plata, plomo Gzc. Pero el peso es igual ú la fuerza que hemos de emplear para impedir que una masa propuesta obedezca á su pesantez; de donde resulta que el peso pende de la masa, d es proporcional con ella, pero no la pesantez. 40 Quando se considera el peso de un cuerpo sin atender al volúmen que lo contiene, se llama peso absoluto; pero quando se trata de saber quanto pesa alguna materia en un volúmen dado , entónces se llama peso específico: de manera, que el peso específico de un cuerpo es la razon que tiene el número de unidades de su peso “absoluto , con el de las de su volúmen, 6 lo que o 5 rc, (*) Es una máquina por medio de la qual se consigue que no haya aire en una basija qualquiera. pa EA
EP PRÁCTICA. 23 viene á ser lo mismo , peso específico de un cuerpo es el peso comprendido enla unidad de volúmen. De donde resulta que si es conocido el Peso específico y el volúmen , se hallará su peso absoluto multiplicando el peso específico por el volúmen. : : 41 Luego si llamamos P y P” los pesos absolutos de dos cuerpos , p y p' sus pesos específicos , y S y s sus volúmenes ó solideces , tendremos P=Sp ,P'= sp' que suministran esta proporcion P:.P"::Sp:sp”, - que nos.dice que los pesos absolutos están en razon compuesta de los volúmenes y de los pesos específicos. | Si en esta proporcion hiciéramos consideraciones análogas á las que hicimos con la [ (A) $ 15), podríamos deducir que á igualdad de volúmenes, los pesos absolutos eran como los pesos específicos; que á igualdad de pesos específicos, los pesos absolutos son como los volúmenes ; y que á igualdad de pesos absolutos , los pesos específicos estan en razon inversa de los volúmenes. 42 Pues.que las masas son (39) proporcionales á sus pesos , resulta que si las masas de estos dos cuerpos las espresamos por M, M”, podremos poner M:M'::P:P"::Sp:sp' 5 Y suponiendo que los volúmenes sean iguales, se tendrá M:M'::p:p. | como á igualdad de volúmenes (23) las ma- Sas son como las densidades, se verificará que CN este supuesto será M:M';¡D:D',
a de 24 MECÁNICA | ó por tener estas dos proporciones la primera razon comun, tambien se tendrá D:D';:p:p/, que nos dice que las densidades son proporcionales á los pesos específicos. 43 Como es muy importante conocer los pesos específicos de las diferentes substancias, pondremos aquí la siguiente ? TABLA de los pesos ó gravedades específicas de diferentes substancias , comparadas con el agua destilada que se toma por unidad. 10 Substancias metálicas. Oro de 24 quilates fundido, no forjado. 19,258. Oro de 22 quilatesid........... 17,486. Plata de 12 dineros, fundida, y no AI Gp 105474» Plata de 11 dineros y 10 granosid. . 10,175. Platina en bruto,en arenillas. . . . . 15,602. Platina purificada fundida. . . . . + 19,500. Cobre rojo fundido, y no forjado. .... 7,788. Hierro fundido. . ..... 0... 7,207: Hierro forjado en barras , batido ó no batido. + .oprdbioo 5 Taco Ea 7,788. Acero ni templado ni batido. . .... 7,833, Estaño puro fundido y no batido, +, 7,291. Plómo fundido. -.-.«.... +... 11,332. Zinc fundido. +... +... «110. 7y19l. Antimonio fundido, +... +...» + 6,702. >
PRÁCTICA. 29 Piedras preciosas. Diamante oriental blanco. ... . . + » Rubí oriental. .......... «+ Topacio oriental. ......... + +.+* 32 Piedras silíceas. Cristal de Roca transparente de Ma- E A Quarzo cristalizado. . . +... +. +. +* Guijarros de empedrar calles. . ... + Agata Oriental. .... +... .... + Agata Onice. ...... . <... +. Galcedonid ++ . 1%... .....> Cormajina:. seco o ooo ita Piedra de escopeta de color melado. . . Piedra de escopeta de color negruzco . Jaspe verde claro... ........ +... Jaspe pardo... . «¿o .«...... 42 Piedras diversas. Alabastro oriental blanco antiguo. + + Marmol de Borbon. ... +... -..:+* Espato pesado gris, llamado piedra «de Bolonia. . .... +.» > e
26 MECÁNICA Espato fluor blanco. ..... +-. AR Granito rojo de Egipto... ..... Granito rojo del Delfinado. ....-... INN ia Porcelana de Sevres. . ...0.. .l.o. EIA O Agua llovediza. ..... 5 Vino de Borgoña... ....., 69 Aceytes. A DA Acéyte de nuetro A Kceyte de LTS 20). PC oNojes Po A AR 72 Gomas, resinas y grasas. Resina amarilla 6 blanca del pino. ... o A Goma arábiga: >... 0. si 90 A A IA Cera amarilla... o... .. «Gi
PRÁCTICA. | Cera blancas > «sn. ce eses A A a Manteca de cerdo. .. . ... . + parar Tocino lardo....... «0 .* 82 Maderas. Encina de 60 años , el corazon. . + + Corcho. Olmo, el. tronco. .........* Fresno, el tronco... . +... MFPRE REI ARRE Ds sr Pino hembra $0 0 SILES Alamos REPO REUS IL 10 Wanzano: iio. e pee Bs Pra ira OSA Ciruelo. RA Clrero. std HE IATA Avellana RR g Vid, ó cepa de viña... .- +. - + * Sauco: . . - - A IA - Jazmin de España. . . . +. + ++ EN Guayacan RIIIE I e Ebano de América. +... -. + **
28 MECÁNICA Palo de Brasil. ....... +... 1,031 Palo de Campeche... ... 0,913, Ger: eji aa, pe oa ce «0,596. A A pee! 09708: O A 0,726, 92 A yres ó gases. Ayre atmosférico. . . .. o... OJ00123a CABAL e 0,001 19. CES os BEO o o ++. 0,00136, GCAROTOZEDO +... ... .. ». 0,00009. Gas ácido carbónico. ........ 0,00189. Por último, el peso específico de la Pólvora es. ELL LS AR 0,914 44 Esta tabla sirve para hallar el peso abso= luto de un volúmen qualquiera de las materias que contiene : para esto se necesita conocer el peso absoluto de un volúmen igual de agua, teniendo presente que el pie cúbico francés de agua destilada pesa 7o lib.* francesas ; lo que da para el pie cúbico español de agua tambien destilada 47 libras españolas (*); luego multiplicando 47 libras españolas por. el número de (*) Si se quiere tener un valor mas ecsacto del peso del pie .cúbico de agua ,. se tomará el valor que le corresponda ecsactamente, atendiendo á la temperatura y ú la presion de la atmós. Jfera en la tercera tabla de la nota del $. 241.
AAA im EE En mm a O OD O y Dn Dn DO DO DO O O O O PRÁCTICA. 29 | pies cúbicos españoles que contenga la materia cuyo peso se trata de averiguar , tendremos el peso de un volúmen igual de agua; y para hallar el peso absoluto de la espresada substancia, diremos : 1. peso específico del agua es al peso específico que en la tabla corresponde á la espresada substancia , como el peso absoluto del volúmen de agua que acabamos de determinar es al peso absoluto de un volúmen igual de la espresada substancia. Por egemplo, si quisiéramos hallar el peso absoluto de 8 pies cúbicos de plomo fundido, buscaríamos primero el peso absoluto de 8 pies cúbicos de agua, multiplicando 8 por 47, y tendríamos que pesarian 376 Jibras españolas. ) Ahora formaré esta proporcion - 1:11,352::376:4268,352 libras españolas, ' y este es el peso que buscaba. 45 De aquí resulta una regla práctica para esta operacion , y se reduce á multiplicar el múmero que espresa el peso específico de la substancia por el número que espresa los pies cúbicos, y este producto volverlo 4 multiplicar por 47 , y el número que resulte espresará en libras españolas lo que pesa el cuerpo. 46 La pesantez ó gravedad obra igualmente sin intermision sobre los cuerpos que se abandonan á ellos mismos , por lo que esta es una fuerza 'aceleratriz constante; y sus leyes serán las que hemos manifestado (6 26 y siguientes” Luego por medio de las fórmulas v=gf, e=48"
MECÁNICA v. D. nos FR |133769| 9442977|514,339 |35,2524 133785) 95767621 514,305 | 35,2542 133799| 9710564|514,390 | 35,2559 133815] 9844379|514:415 | 35,2576 133829) 99782081 514,437 |35,2591 133841] 101120491 514,458 |35,2606 133864| 10379767|514,496 | 35,2632 133877| 10513644| 514,514 | 352644 133885| 10647529] 514,530 | 35,2655 133895| 10781424] 514,544 | 35,2665 133903| 10915327|514,557 |35,2674 133911|11049238| 514,569 | 35,2682 133916| 11183154|514,578 | 35,2688 133923| 113170771514,586 | 35,2694 133926] 11451003|514,592.|35,2698 133929| 11584932| 514,599 | 35,2702 1339371 119867351 514,606 | 35,2707 133854| 10245903|514,478|35,2624 | 133932| 11718864] 514,602 |35,2705 | 133934| 11852798| 514,605 |35,2706 | A A A
Pp * ñ A á S E > PRÁCTICA. E. 49 -Por esta tabla se ve los grandes errores que se cometerian, si se quisiesen hacer aplicaciones por egemplo en Mégico , cuya latitud es 19% 26' por el supuesto de nuestros libros de ser 30,2 pies el valor de g sin espresar que clase de pies son; pues si en alguna aplicacion se Aus que eran 30,2 pies franceses, resultaba un error de mas de ocho centésimas de aumento; y si se ton sen por españoles, de mas de quatro pies y nueve décimas; y qualquiera de estos errores es capaz de producirlos considerabilísimos en las aplicaciones que pueden ocurrir, 5o Si en la equacion e=¿g!?, en vez de + v substituimos su valor — sacado de la v=g%, nos 6 2. q? resultará tambien e=38X=3=—> 28 la qual da v?=2ge, Ó v=WV 28€. 51 Estas equaciones son de un uso muy frecuente; y en la práctica se usa de ciertas espresiones abreviadas que conviene dar á conocer. Se llama velocidad debida á una altura , la velocidad que un cuerpo adquiere despues de haber caido de dicha altura , haciendo abstraccion de toda' resistencia ; y altura debida á una velocidad, quiere decir que es la altura de que deerá caer un cuerpo para adquirir aquella velocidad. ) . 52% Cómo el uso de estas fórmulas. es muy Interesante, haremos aquí algunas aplicaciones» *
38 MECÁNICA suponiéndonos en Cádiz donde la fuerza de la gravedad es 351607 pies españoles , ó tomando solo dos guarismos decimales 35,16, de donde 48=17,5804 pies españoles ó para mayor sen» cillez, solo 17,58, 53 Si senos pidiese quanto tiempo tardaria un cuerpo en caer de 600 pies ; haciendo e=600 : 600 en la equacion e=¿gt?, tendríamos t?=-_ , | 17,58 * lo que da =-1= =5,84 segundos, o 17» 54 Si en este mismo supuesto y parage, quisiésemos averiguar qual era su velocidad al fin de su caida, la equacion v= gt nos daria v=35,16x5,84=205,3 pies españoles. Tambien hubiéramos podido sacar v de la equacion v=V 2 ge =V70,32x600= 205,3: 55 Si se supone que un cuerpo tarda ocho segundos en llegar al fondo de un precipicio $ pozo , y se quiere averiguar su profundidad, la equacion e=>gi*dará e=17,58x64= 1125pies. 56. Si se quisiera averiguar de qué altura deberia caer un cuerpo para adquirir una velocidad de 1200: pies por segundo, la equacion 2 “ o A 1440000 ] e=— nos daría e=————= 20477 pies. 28 - 70,32152 57 Si se arrojase un cuerpo de abajo arriba en direccion vertical, y quisiésemos saber ¿ que * altura habia legado, no tendríamos más que ob.
PRÁCTICA. sérvar quanto tiempo gastaba desde que principió á subir hasta que acabó de “bajar : supongamos que tardó 18”, y tendremos que 9” tardaria ascendiendo y los otros 9”” bajando : luego la equacion e=4gt* nos dará en este caso e= 17,58x81=1423,98 pies. 58 Finalizaremos este punto manifestando - que los cuerpos al caer se separan algo de la vertical ácia el oriente. Mr. Guillelmini ha sido el primero que ha llamado la atencion de los fisicos sobre este punto: haciendo caer cuerpos de una altura de 280 pies españoles, halló un desvío ácia el éste ú oriente de la vertical, de 9,3 lineas españolas. Mr. Henremberg ha repetido estos esperimentos en Hamburgo y ha encontrado un desvío de 4,66 lineas españolas para una altura de 274 pies idm. Este desvío lo causa el movimiento diurno de la tierra de occidente á oriente. Laplace ha sometido estos fenómenos al cálculo, y sus resultados concuerdan con la esperiencia: los dos fisicos citados habian encontrado tambien un pequeño desvío ácia el equador; pe- . rolateoría prueba que no puede haber ninguno en 'este sentido en virtud del movimiento de la tier= ra. Todo es en el supuesto de que el cuerpo ántes de principiar á caer se hallase en reposo; Pero si este cuerpo tiene en el espacio un movimiento qualquiera , al llegar al suelo va á parar Cia el óeste de la vertical ; y quando se le da Un movimiento de abajo arriba verticalmente, la Cantidad de este desvío está espresada por Ingxt3xsen.Ó,
40 MECÁNICA en la qual n representa el ángulo descrito. por la rotacion de la tierra en un segundo , que espresado segun la division antigua y en partes del radio terrestre , tiene por valor despues de dividido por 6 el siguiente 0,000009529335 5 t representa el número de segundos que tarda en llegar al horizonte; g la fuerza de la gravedad ó el duplo del espacio que anda un cuerpo en el primer segundo de su caida, y Ó espresa el complemento de la latitud : en virtud de esto la fórmula se nos convertirá en 0,000009529335XgHx sen. 0. Por último, advertiremos que la gravedad decrece á diferentes alturas en razon inversa de los quadrados de las distancias al centro de la tierra : de donde resulta que si llamamos r al radio medio de la tierra que es de 15231835,5 varas españolas segun las últimas medidas , a la altura de un parage sobre el nivel del mar, 1 la gravedad que en este parage corresponde al nivel del mar, que será el valor de la quinta columna de la tabla del $ 48 segun la latitud , y g'la gravedad que corresponde á la misma latitud y á la altura a sobre el nivel del mar, tendremos Be (r+0 57 de donde sl | y Por medio de esta equacion se hi” calculado la siguiente :
PRÁCTICA. 6r TABLA del decremento de la gravedad á diferentes alturas sobre el nivel del mar : tomando por unidad la que se tiene en dicho nivel del mar, se tendrá que á A 1 A 1 A PP Varas| La grav. será] Varas] La gray. será O A A 50 | 0,999993 1050 | 0,999862 87 856 100 1100 150 1150 849 200 1200 843 250 |. 1250 836 300 1300 829 350 1350 823 = 00. 1400 816 450 1450 810 500 1500 803 Td 1550 797 600 | +. 1600 790 650 | > 1650 784 700 1700 777 750 1750 770 800 | 0,999895 | 1800 764 850 - 888 1850 757 =:go0o2|4:* +. 882 1900 751 950 875 | 1950 744 1000 869 2000 738
5 2 MECÁNICA Varas| La grav. será | Varas |La grav. será soso | os999731 | 2550 | 0999665. 2100 724 2600 659 2150 718 2650 652 2200 711 2700 |. 646 2250 - 705 2750 | 639 2300 698 2800 633 2350 692 2850 626 2400 685 2900 620 2450 679 | 2930 613 2500 672 3000 | + 606 Si por medio de esta tabla quisiéramos ave= riguar qual era la gravedad en el punto mas alto á que llegaban las granadas que arrojaban los Franceses en Cádiz , observaremos que dicho punto estaba sobre el nivel del mar 2044 varas ; porlo qual tomaremos el valor correspon» diente á 2050 varas en la tabla, que es 0,9997315 - COMO la fuerza de la gravedad en Gádiz al nivel del mar la tenemos calculada en el ($47) de 351607 pies españoles, resulta que multiplicando - este valor por 0,999731 que da la tabla, se ten drá 35,15124 pies españoles, que es la fuerza de la gravedad á la espresada altura.
PRÁCTICA. | 43 Del movimiento uniforme compuesto, y de la composicion y resolucion de las fuerzas. 59 Se llama movimiento compuesto el que recibe un cuerpo solicitado á un mismo tiempo por varias potencias: 4 cada una de las fuerzas que obran en el cuerpo , se le caracteriza con el nombre de componente, y 4 la fuerza única á que - todas ellas equivalen , se llama derivada 6 resultante como ya tambien hemos indicado (8). Desde luego se deduce que si estas fuerzas obran en una misma direccion , el cuerpo se mo-. verá del mismo modo que si solo estubiese solicitado por una que fuese igual á la suma; y si las fuerzas obran en un sentido directamente opues- to, el cuerpo se moverá del mismo modo que si solo estubiese solicitado por una fuerza que equi= valiese á la diferencia entre la suma de todas las que obran en una direccion, y la suma de las que obran en direccion opuesta. 60 Supongamos ahora que dos fuerzas P y Q (fig. 7) que forman entre sí un ángulo qualquiera PAQ, obren dun mismo tiempo sobre el pun-= to ó cuerpo 4. Sisuponemos que cada una sea sí capaz de producir separadamente en la unidad de tiempo un efecto espresado, el de P por AB, y el de Q por AC; entónces resulta que estas dos fuerzas equivalen á una espresada en magni Y direccion por la diagonal AD del paralelogramo ABDC: y que el cuerpo tardará tanto ticill-
4 MECÁNICA po en andar esta diagonal , como gastaria en an- E ente cada lado. y e el fundamento de toda la Mecánica; y por lo mismo, aunque nuestro objeto no es el demostrar todo lo que digamos , harémos patente su verdad por el siguiente raciocinio. Puesto que el cuerpo ha de obedecer á los dos impulsos 4 untiempo,resultará que para cumplir con la condición que eesige la fuerza P, se deberá separar de la línea AC una magnitud espresada por AB; luego al fin de la unidad de tiempo se hallará en algun punto de la línea BD paralela 4 AC y equidistante de ella la magnitud AB. Por la misma razon, el cuerpo obedeciendo á la fuerza Q , se deberá hallar en algun punto de la CD , paralela 4 AB; y debiéndose hallar á un mismo tiempo en la BD y en la CD, resulta que se hallará en D, ángulo opuesto al en A del paralelogramo ABDC. : : Del mismo modo demostraremos que á la mitad de la unidad de tiempo , el cuerpo deberia hallarse en G mitad de la diagonal AD, y así sucesivamente; luego el camino que habrá andado el cuerpo estará representado en direccion y. en magnitud por la diagonal AD... ; 61 Ahora, como en los triángulos rectilíneos, los senos de los ángulos son como sus lados opuesos, el triángulo CAD nos dará CD: CA: AD:: sen. CAD: sen. CDA: sen. ACD; pero, ADC=DAB por alternos internos , y siendo ACD el suplemento de CAB, tendrán un q | |
| t - PRÁCTICA. 5 mismo seno ; luego si en vez de las líneas CD, CA,AD, ponemos las fuerzas P,Q y R, que representan , y en vez desen. CDA y sen. ACD, sus valores sen. DAB, sen. CAB, tendremos P:Q:R:: sen. CAD: sen. DAB: sen. CAB. Esta espresion nos manifiesta que una qualquiera.de las fuerzas Ó potencias componentes y su derivada está en la razon del seno del ángulo que forman las direcciones de las otras dos. 62 Quando son mas de dos las fuerzas con diferentes direcciones , tambien se pueden reducir: 4 una sola que produzca el mismo efecto que todas ellas: y sí las componentes se hallan en un mismo plano, tambien se hallará en el mismo plano la resultante 6 derivada. Pero antes de manifestar cómo se egecuta esto , debemos advertir que quando una fuerza quetidtnd obra en un cuerpo, ya sea para impelerle , ya para ti- . Far de el, se puede suponer aplicado su impulso á-un punto qualquiera desu direccion. -+63;> Entendido esto:,!supongamos que se tengan quatro fuerzas 'P,Q¿R,S, representadas en direcciones y magnitudes por OP, TQ, RX y SZ, (fig-8) y que sequiera: hullar una fuerza única que. cause en elcuerpo el mismo efecto que todas:ellas juntas. =* pa + Paravesto, se prolongarán PO y QT, hasta que se encuentren en Ay en AP y AQ, se tomarán desde A las AD y AE iguales con PO,QT ; por D y E se acabará el paralelosramo ADIE, y se tendrá que la AT será la resuitante de PyQ juntas
52 MECÁNICA línea 6 area generatriz. La regla de Guldin reg. pecto de las superficies, se reduce á que la superficie de revolucion engendrada por una curva da. “da al rededor de un ege , es igual al. producto de la longitud del arco generador por la circunferencia descrita por su centro de gravedad ; y respecto de los volúmenes , á que el volúmen de un cuerpo engendrado por la revolucion de una curva al rededor de un-ege, es igual al produc- to de la superficie generatriz por la circunferencia que describe su centro de gravedad. Por medio de. estas dos reglas se halla con mucha facilidad la superficie. y volúmen de una multitud de sólidos raros, que acaso se resistirian á los demas métodos que hay para medir la estension. 78 Para determinar el centro comun de gravedad de dos cuerpos, supondremos que sean los 4 y B (fig? 11); y. tendremos que uniendo sus dos centros de gravedad por medio de la línea BA, y dividiéndola de modo que se tenga A+B:A::BA:BC, el punto C será el centro de gravedad comun de dichos cuerpos. E 79 Si fuesen mas de dos los cuerpos cuyo centro comun de gravedad quisiéramos buscar; por egemplo los quatro A,B,C,D, (fig? 12); ha- Maríamos primero el centro de gravedad de dos “de ellos 4 y B, por el método que acabamos de determinar, que supondremos está en M. Despues uniremos el punto M con el centro de otro cuer-
Ls . > y en A a ] LU ' PRÁCTICA. 53 po por egemplo GC; y considerando en M un cuerpo de un peso igual á .4+.B, dividiremos la MC de modo que se tenga M+C=4+B=w-C:C::MC:MN , y el punto N será el centro comun de gravedad de los tres cuerpos 4, .B, C. Despues consideraremos en N un cuerpo de un peso igual con A+B3-C , uniremos N con D y dividiremos la ND , de modo que N+-D=A4+B=+C+D:D::DN:NQ, y se tendrá que el punto Q será el centro de gravedad de los quatro cuerpos espresados. Lo mismo se procederia si hubiese mas. 80 De este método podemos usar para hallar el centro de gravedad del contorno ó dela superficie de un polígono qualquiera irregular. En efecto, si se nos pidiese hallar el centro de gravedad del contorno del polígono ABCDE (fig? 13), dividiremos cada lado en dos partes iguales en M,N,O,P,Q, cuyos puntos serán los centros de gravedad de los lados; y considerando estos puntos” como cuerpos cuyos pesos tengan la misma relacion que los lados AB, BG, CD, DE, EA, se hallará por el método anterior su centro comun de gravedad. : 81 Para hallarle respecto de la superficie, dividiremos el polígono en triángulos de un mo- 0 qualquiera, como por egemplo en los ABE, EBD, DBC; hallaremos los centros de gravedad R,S,T, de estos triángulos por el método es- . Puesto (73); y considerando en estos centros de
54 MECÁNICA ió gravedad cuerpos cuyos pesos tengan entre sí la misma relacion que las superficies de los res. pectivos triángulos ABE, EBD, DBC , se hallará el centro de gravedad de todos ellos por el método general*(79), y se tendrá el de la superficie del polígono. Del movimiento delos cuerpos por planos inclinados. 8: Un ¿cuerpo abandonado á sí mismo por” una superficie plana KLHI (fig? 14) inclinada al horizónte PIHN, no obedece con libertad 4 su pesantez. Parte del impulso que le comunica la gravedad se gasta en comprimir el plano , y la ctra parte se gasta en hacer resbalar el cuerpo á lo largo del plano. Para determinar cada una de estas partes, supongamos que sea G el centro de gravedad de dicho cuerpo , y que GB represente el espacio que andaria cayendo en un instante si estuviese libre: y tendremos que si la GB se descompone en otras dos fuerzas GA, GC, la primera paralela al plano inclinado, y la segunda perpendicular al mismo plano, resultará que la GC será la que quede destruida por el plano; .de manera que al cuerpo solo le que- = dará para moverse la fuerza GA paralela á dicho plano 5 y por consiguiente GÁ representará la velocidad que está para adquirir el cuerpo y adguirirá en el primer instante de su caida. Para mayor sencillez, solo se acostumbra poner en
PRÁCTICA» - 55 estas figuras el perfil, como lo: representa la (Kg? 15): de manera que podemos considerar que el cuerpo se mueve por la recta DE que es á lo que comunmente se llama plano inclinado , del qual FE representa la base 6 el plano horizontal; y se llama altura del plano inclinado á la perpendicular DF, tirada desde el punto D de la DE á la base FE. ) 83 Yaque el cuerpo M ha de andar GÁ en el mismo tiempo que hubiera andado GB, en virtud del impulso libre de la pesantez , si Concebimos que al fin del primer instante vuelve 4 impelerle la gravedad , como en instantes igua» les comunica esta fuerza grados iguales de velocidad, si concebimos, respecto del segundo grado de velocidad. que comunicará en la direc- - cion de la vertical, una resolucion de fuerzas semejante á la que hemos hecho en el primer instante , se echará de ver que el segundo paralelogramo será de todo punto igual al primero, y estará en el mismo plano que él : y procediendo del mismo modo en los instantes siguientes, se llega á inferir que la velocidad á lo largo del plano inclinado crece por grados iguales, esto es, que el movimiento de los cuerpos por planos inelinados, es un movimiento uniformemente acelerado. Luego quanto hemos dicho ($26 y sig.” relativo 4 los movimientos uniformemente acelerados, se aplica, sin quitar ni poner, al mo- Vimiento á lo largo de los planos inclinados: de _ Manera , que las velocidades son como los tiem-
56 MECÁNICA * : | pos 5 los espacios totales andados son como logauadrados de los tiempos ó vamo los quadrados A las velocidades ES. Gi e 84 De todo estose deduce que para poder determinar el movimiento sobre un plano de una inclinacion dada, basta conocer la razon que hay entre la fuerza que acelera y la fuerza de la gravedad: esto es, la razon que hay entre GA GB; la qual se deduce de los triángulos semejantes AGB, FDE que dan DE:DF::GB:GA, la qual nos dice que la longitud del plano inclinado es á su altura como la velocidad que la gravedad comunicaria al cuerpo si estuviese libre, es ú la que le comunica efectivamente á lo largo del plano inclinado. Luego si llamamos L la longitud del plano inclinado y 4 su altura, basta multiplicar las fórmulas del ($26 y sig.” A Dalia . Por] para que espresen lo correspondiente al movimiento por planos inclinados. | | 85 Si suponemos ahora que un cuerpo baja por la vertical DF, y otro ú lo largo de DE (fig? 16), y se quiere saber á que punto del plano DE ha llegado el primero, quando el segundo llega 4 un punto qualquiera A, no hay mas que tirar desde A la AB perpendicular « DE, y el punto B será el que se busca. 86 Si suponemos ahora que haya un tercer plano DG (fig? 17), y que un móvil hubiese andado por él saliendo del punto D, al mismo tiempo que los otros dos andan por DF, DE, ten-
pe - PRÁCTICA. 57 úremos que tirando desde el punto A las perpen= - diculares AB, AC, los puntos A, B, C,serán los puntos donde estos tres móviles llegan al mismo tiempo. 3 ere 87 Si sobre DA como diámetro se describe una semicircunferencia, pasará por los puntos C y B; pues que los ángulos ABD, ACD son rectos; lo que manifiesta que el tiempo de la:caida por una cuerda qualquiera de un círculo, tirada desde el estremo del diámetro vertical , es el mismo que el tiempo de la caida por el mismo diámetro vertical. - 88 Tambien se verifica que los tiempos gastan dos cuerpos en andar los planos DE, DG, _de igual altura, son como las longitudes de estos planos; es decir, que el tiempo que emplease un cuerpo én andar DE, es al tiempo que gastaria en andar DG,como la longitud DE es á la longitud DG. 89 Igualmente se verifica que si muchos cuerpos andan planos de diferente inclinacion, pero de una misma altura , tendrán la misma velocidad despues de haber andado partes de ¿gual altura cada uno en su plano. De la comunicacion del movimiento y choque de los cuerpos. go Quando un cuerpo que se mueve encuen- Tra á otro, se dice que le choca; y como los Cuerpos son impenetrables , esto es, no pueden: dos cuerpos hallarse á un mismo tiempo en un
, EA e $ í 58 MECÁNICA mismo lugar, el primero hace impeler al otro - con que tropieza; luego es preciso que el cuerpo | chocante pierda parte de su movimiento y le. | comunique al cuerpo chocado. y 91 Para manifestar las circunstancias - del choque de los cuerpos, es necesario que demos antes alguna idea de los cuerpos quese carac=. | terizan con el nombre de duros ó blandos. Seria un cuerpo perfectamente duro quando fuese de. una naturaleza tal que no se pudiese doblar ni aplanar quando se le comprimiese ¿ pero como no hay cuerpo de esta especie en la naturaleza, deberemos decir que para averiguar entre los cuerpos quales son mas duros que los otros, hay un medio muy sencillo, de que.se valen los mineralogistas , y consiste en intentar hacer.una ra- “ya en el uno con el otro; y aquel que haga raya en el otro, será el mas duro; por egemplo,, | si pasamos el filo de un cuchillo por encima de | una tabla, á poco que comprimamos el cuchillo, observaremos que hace una raya, lo que mani- ' fiesta que el cuchillo es mas duro que la tabla. Si el filo de un cuchillo.le pasamos por un cristal, por mas que le comprimamos , no. conseguiremos hacer que raye en el cristal, lo que da 4 entender que el cristal es mas duro. que el cuchillo. Si despues pasísemos un diamante por encima de un cristal, observaríamos que le rayaba, lo que manifiesta que el diamante es mas duro que el cristal, y esta es la causa de que los vidrieros tengan un diamante para cortar los cristales, | A A e
PRÁCTICA. 59 92 La propiedad opuesta 4 la dureza se llama blandura ; y así como no hay cuerpos perfectamente duros, tampoco los hay perfectamente blandos. 93 Quandoal comprimir un cuerpo se aplana, y luego que cesa la causa que le comprime vuelve á recobrar su figura , se dice que el cuerpo es elástico; y que es perfectamente elástico. quando ecsactamente vuelve 4 tomar la misma figura que tenia. | 0o Las leyes del choque de los cuerpos elásticos se deducen de las que corresponden al choque de los cuerpos duros, que es del que nos vamos á ocupar ahora. 94 El choque puede ser de dos modos, ó directo 6 indirecto ; es directo quando la direccion de ambos cuerpos se halla sobre una misma línea; y es indirecto , quando las direcciones son diferentes. Supongamos que 4 y B (fig? 18) sean dos cuerpos que se mueven ácia D, yendo B delante; si 4 lleva mas velocidad que B, al cabo de cierto tiempo le alcanzará y le empujará hasta que ambos adquieran una misma velocidad : en cuyo caso cesará la accion de 4 sobre B, y los - dos proseguirán juntos con una misma velocidad, - Mel mismo modo que sino formasen mas que una sola y misma masa. 95 La cantidad de movimiento que pierde el Cuerpo 4 al impeler al cuerpo B, es igual á la _ Cantidad de movimiento que adquiere este últi-
As PEI o 4 Y 60 * MECÁNICA ; mo. Si llamamos Y la velocidad de 4 antes del - choque, v la velocidad de B tambien antes del choque , y * la velocidad comun á ambos despues del choque, como la cantidad de movimien- to debe ser la misma antes y despues del choque, se tendrá xx(4+-B)=4V=+bB0 ; | AV =+Bv AB”: egio es, que la velocidad con que se mueven despues del choque es igual á la suma de las cantidades de movimiento antes del choque , dividida por la suma de las masas. 96 La velocidad que pierde el cuerpo 4 está V—»y) de donde resulta n= representada por P=x=— , o? ca : ABS esto es, es ¿igual al producto de la masa del cuerpo B por la diferencia de las velocidades antes del choque, dividido por la suma de las masas A y B; y la que gana el cuerpo B, es A(V—0w) ARB ” “que espresa ser igual al producto de la masa del cuerpo A por la diferencia de las velocidades antes del choque, dividido por la suma de las masas de A y B. po A 97 Si el cuerpo B estuviese en reposo, se- => V y XxX —UVU—= ria v=0 , y tendríamos > que nos dice que la velocidad despues del choque a a E A
. PRÁCTICA. 61 se halla dividiendo la cantidad de movimiento del cuerpo chocante por la suma de las masas de ambos. ¿ g8 Supongamos ahora que los dos cuerpos caminan al encuentro el uno del otro; en este caso,el que tenga mayor cantidad de movimien- to, que será el que llamaremos cuerpo chocante, hace retroceder al otro; y despues del choque caminarán juntos con igual velocidad , del mismo modo que sino fuese mas que una sola y misma masa. | Supongamos que 4 sea el cuerpo chocante, Y su velocidad, B el chocado, v su velocidad, y x la de ambos despues del choque , y tendremos que P—x será la velocidad que habrá perdido el cuerpo 4, y v+wx la ganada por el cuerpo .B, puesto que ha destruido la v que llevaba ácia E, y ademas ha adquirido la x, en el sentido inverso: y en este caso se verifica que como la cantidad de movimiento que resulte despues del choque , será la diferencia.de la que tenian los cuerposantes, setendrá xx(4+B)=4V—Bo, ESPA B de donde resulta x= ir á A+ B esto es, que la velocidad comun de los dos cuerpos despues del choque es igual á la diferencia de las cantidades de movimiento antes del choque, dividida por la suma de las masas de los Cuerpos. : 99 La velocidad que pierde el cuerpo 4 está
68 MECÁNICA quadradas de las longitudes de los péndulos. “k 112 Tambien se verifica la propiedad de que los números de vibraciones que hacen en un mismo tiempo los péndulos de diferente. longitud, soticitados de diversas gravedades , estan en razon inversa de las raices quadradas de las longitu-. des de los péndulos divididas por las raices quadradas de las gravedades: y si los péndulos se hallanen un mismo patage , los números de 0s- cilaciones en un tiempo dado, estan en razon inwersa de las raices guadradas de las longitudes de los péndulos; ó las longitudes de los péndulos estan en razon inversa de los quadrados de los números de oscilaciones. y 113 Terminaremos este punto poniendo aqui la espresion general de la longitud del péndulo simple que oscila los segundos en un parage qualquiera ; la qual está representada por metros IO A 0,739502-+-03004 208 (seno latitud)” para la nueva division del tiempo, en que el segundo decimal está contenido 100000 veces en el dia medio. metros metros Y por 0,9906309-+-0,005637 (seno latitud) para la antigua division secsagesimal, en que el segundo está contenido 86400 veces en dicho dia medio. f Si queremos reducir estas espresiones á pies españoles » las multiplicaremos por 35889216 2
| 0 AD ce SS O A ar PRÁCTICA. GA ¿pies españoles que tiene el metro (*), y nos re” sultará para la longitud del péndulo simple, cu Ya oscilacion dure un segundo decimal pies españoles 2,654015-+0,015102 (seno latitud)?; y para la longitud del que en cada oscilacion emplea el segundo secsagesimal ó de la antigua division , que es la que nosotros seguimos, pies españoles 3:555297-+0,020231 (seno latitud)”. ara manifestar el modo de hacer uso de esta fórmula , determinaremos la longitud del péndulo simple en Cádiz, cuya latitud es 36% 1/41; á cuyo fin se hallará el logaritmo de este seno que es 9,7746748. Con su duplo que es, borrando la decena en la característica. . .. “os 9,5493496 Sumaremos Log. 0,020231=. .. 8,3060174 Yo Hallare mos. aia 17,8553670, cuya suma corresponde al número 0,0071674; y sumando este con el primer término 3,555297 de la fórmula , hallaremos que la longitud del Péndulo simple que oscila un segundo secsagesimal en Cádiz es 3,562462 pies españoles. Este valor reducido á líneas españolas da $12,994528, que difiere algo del que se hubiera hallado por na AMAN IRA Máticas, te () (S 163) de mi tratado elemental de Max
LS) MECÁNICA. Ía tabla del ($48) encontrando la parte propor- “cional 4 31/41/45 lo qual proviene de que esta fórmula es algo mas ecsacta que el cálculo de Don Jorge Juan , en atencion á que está sacada teniendo presente mayor número de observaciones que las que pudo tener nuestro ilustre sabio, - Para determinar ahora la gravedad en Cádiz no hay mas de formar esta proporcion: Longitud de péndulo en Paris, es á longitud de péndulo en Cádiz , como la fuerza de la gravedad'en Paris es á la fuerzg de la gravedad en Cádiz. : Y como long. de pénd.en Paris=313,614lín.esp. Longitud de péndulo en Gádiz=31 2,994528 id. Fuerza de gravedad en Paris=35,20319 p.*esp?. resulta que la fuerza de gravedad en Cádiz es 35,1607 pies españoles... y Substituyendo en la fórmula el seno de go? y 25' que es la latitud de la plaza mayor de Madrid , y procediendo del mismo modo, se 0b- tiene para la longitud del péndulo simple en dicha capital 3,563801 pies esp. ,.Ó 513,187344 lín.* esp.* y para la fuerza de gravedad 35,1739 pies esp.* Segun el método que hemos adoptado , deberíamos tratar aquí del movimiento de los proyectiles; pero como este punto le deberemos tratar con alguna mas estension, le dejaremos . para ponerle al fin de esta obrita., á causa de que tendremos que hacer uso de algunas propos siciones que siguen.
PRÁCTICA 7t ESTÁTICA: Vociones generales acerca de las máquinas. 114 Se llama Estática la ciencia que trata del equilibrio-de los cuerpos. Este equilibrio en un sistema qualquiera de fuerzas , se consigue fácilmente introduciendo una nueva fuerza que sea igual y directamente opuesta á la resultante del sistema; por loque el asunto que con mas particularidad pertenece á la Estática , es la investigacion de los medios de conseguirle en las máquinas. | 115 Se llaman:en general máquinas á los medios que se emplean para aplicar los agentes que han de vencer cierta resistencia , ó á los medios que empleamos para comunicar, repartir, distribuir ó-dar otra direccion al impulso de las fuerzas. Casi ningun tratado de las matemáticas ha sido susceptible de admitir mas paralogismos y charlatanería que el asunto de las máquinas. La idea vulgar:que se tiene de la Maguinaria es que por medio de una máquina un hombre puede causar el efecto de ciento ; y esto es un absurdo que conviene desde luego desvanecer. Es verdad que por medio de una máquina se puede conseguir que un hombre cause el mismo efecto que ciento por egemplo; pero tambien es Cierto que en este Caso tardará cien veces mas tiempo, y en cierto modo queda col pensado.
72 _ MECÁNICA No por ésto queremos dar á entender que no sean de la mayor utilidad é importancia las máquinas ¿ sino que queremos fijar este principio que no es bastante conocido , con el fin de que desde luego se conozcan los charlatanes que muchas veces logran sorprender á los. poderosos, con lo qual desacreditan la ciencia que mas utilidades proporciona al género humano. 116 En efecto, aunque al hombre no le es dado aumentar sus fuerzas , no obstante su ingenio le ha proporcionado los medios de darles la direccion conveniente para ocurrir á las muchas necesidades de la vida ; y si en una hora un hombre solo no puede causar el efecto de quatro , sin embargo tiene medios , con el ausilio de las máquinas, para hacerlo él solo aunque en quatro horas; lo qual es una ventaja tan decidida que sin el ausilio de las máquinas no se podrian satisfacer la mayor parte de las necesidades humanas. Pero si se reflecsiona que se emplean como fuerzas ó potencias no solo las del hombre, sino el peso de los cuerpos , la corriente de las aguas, que no nos cuestan mas que darles las direcciones convenientes, la corriente de los vientos , el vapor del agua», Ó las fuerzas de los animales que nos son poco costosas , se verá que haciendo una distribucion conveniente de todas estas fuerzas , que en muchas ocasiones tenemos mas de las que necesitamos , podemos “obtener unas ventajas asombrosas á muy poca costa, y que nose creerian sino se yiesen, Así PS
PRÁCTICA: 73 es que muchas veces sorprende el ver que sin Otro ausilio que el de hacer caer un brazo de agua por una pendiente, ó el de poner un poco de fuego debajo de una caldera que tiene agua para que se convierta en vapor, ó haciendo que un animal haga girar 4 una rueda, se consiga poner en movimiento seis ú ocho piedras de molino, y que se hagan al mismo tiempo todas las preparaciones convenientes con el trigo y harina, ó el dirigir todas las operaciones de una fundicion de cañones, ó en una fábrica de hilados el hacer mover á la vez dos ó tres mil husos «tc. «. 117 Bien analizado el objeto que se trata de conseguir en una máquina , podemos decir que una máquina no es otra cosa , que el agente medio que se emplea para convertir un movimiento dado y de que podemos disponer, en otro tambien dado y que nos es necesario. De manera que averiguando quantos son los movimientos conocidos, y haciendo todas las combinaciones necesarias, se tendrán todas las máquinas que se pueden inventar. Este es un trabajo ya hecho por nuestro amigo Don Agustin de Betancourt, Inspector General que fue de caminos y canales , que ahora: se halla en la corte de Rusia. Este sabio español me enseñó en Madrid su importantísimo trabajo, en el qual se comprendian todas las máquinas que podia haber; Pues era una coleccion de los diferentes movimientos sueltos y sus combinaciones de unos con Otros, para convertir los de una especie en otros:
> 74 MECÁNICA 8 por egemplo el circular continuo , en Circular de vayven, en rectilineo continuo , 4 de vayven, ya sea vertical, ú horizontal 6c.: en dicha coleccion se especificaban las combinaciones que eran conocidas , y ademas tenia construidos una multitud de modelos de las nuevas : sobre cuyo punto debo decir , con toda la ingenuidad que me es característica, que si no hubiera visto esta obra, no hubiera podido formar una justa idea de su importancia. ( | 118 Hecha esta pequeña digresion, debemos advertir que las máquinas conocidas pueden ser de dos modos, á saber , simples y compuestas; por lo regular se consideran siete máquinas simples, á saber , la maroma ó máquina funicular, la palanca, la poléa ó garrucha , el torno , el plano inclinado, la rosca y la cuña , aunque algunas de estas se pueden reducir las unas á las otras. ATAN J Sa : 119 Las compuestas son sumamente variadas segun el objeto 4 que se destinan; pero todo está reducido 4 combinar las simples entre sí — *) Debo advertir que he tenido la satisfac= cion al llegar á Madrid de ver, impreso este apreciable trabajo, al publicar en la escuela Politéenica de Paris el programa del Curso Hilemen» tal de las máquinas-para el año de 1808, por Mr. Hachette, donde se inserta íntegro con el ¿ftulo de ensayo sobre la composicion de las máquinas por los señores Lanz y Betancour,
| PRÁCTICA» 75 del modo mas conveniente. Su perfeccion con» siste en emplear los medios mas simples y que sean mas adequados. Aquí solo trataremos de las mas usadas y que tienen mas estrecha conecsion con las simples, y colocaremos cada una á continuacion de la simple de que principalmente se componga. De la máquina funicular. 120 Se llama maroma ó máquina funicular, $ aquella en que no se hace uso sino de cuerdas para sostener un peso d contrarestar muchas potencias. : El uso mas sencillo que nos ofrece esta máquina es quando dos potencias P., Q, mantienen tirante un hilo, quando este hilo abraza el contorno de «un polígono (fig? 22); en este caso, para que haya equilibrio es necesario que las fuerzas sean iguales. “rex Quando'tres potencias P,Q,R (fig? 23), obran unas contra otras por medio de las cuerdas AP, AQ, AR, unidas por el nudo Á, para que haya equilibrio es necesario que cada una esté representada por el seno del ángulo que forman las direcciones de las otras dos, prolongadas si es necesario; es decir, que se debe veri> ficar que P:Q:R:: sen.QAR: sen.PAR= (*) AS A Á (*) Porque el seno de un ángulo es el 24smo que el seno de su suplemento, :
76 MECÁNICA sen.RAS: sen.QAP= sen.QAS. 122 Si en vez de suponer que estan los treg cordones afianzados con un nudo en el punto A, se verificase que la potencia P estuviese aplicada á un cordon, en cuyo estremo hubiese una sortija por la qual pasase la cuerda QAR , entonces para que haya equilibrio y no pueda correr la sortija, se necesita que la direccion de la potencia sea tal que divida al ángulo QAR en dos partes iguales, y que por consiguiente las potencias Q y R sean iguales y tengan con la P la misma razon que el seno del ángulo QAR con el de su mitad, es decir, que se debe tener P:Q:R:: sen.QAR: sen. IQAR: sen.IQAR. 123 La misma circunstancia se requiere para que haya equilibrio quando la cuerda RAQ tirada por las dos potencias R y Q abraza á un punto fijo ; es decir , que en este caso dichas potencias son iguales; y la direccion de la presion que entonces padece dicho punto fijo , ha de estar en una línea quedivida en dos partes iguales al ángulo QAR, y sea respecto de la una de las dos potencias como el seño de QAR al seno de su mitad QAS. pise 124 Con lo dicho acerca de esta máquina se pueden determinar con suma facilidad las condiciones para el equilibrio entre quantas potencias se quieran, aplicadas á diferentes cordones unidos por un mismo nudo, Ó por nudos dife rentes. - REN
PRÁ CTICA. | 77 De la palanca , balanza y romana. 125 La palanca es una vara inflecsible de una figura qualquiera, que descansa sobre uno de sus puntos C (fig? 24), de tal modo que las fuerzas que se le apliquen no le pueden dar otro movimiento que el de rotacion, esto es, que no puedan hacerle sino dar vuelta al rededor del punto €, que se llama punto de apoyo, hipomoclio ó simplemente apoyo. 126 En la palanca hay tres cosas que con=. siderar, la potencia, la resistencia y el punto de apoyo. Quando la palanca es recta y ademas la. potencia y la resistencia , obran paralelamente la una á la otra, en el caso de equilibrio se veri-. fica que la. potencia está con la resistencia en razon inversa de los brazos de la palanca ; es) decir que enel casode equilibrio setendria(fig? 24, que — P:R::CA:CB; es decir, que si CA es la mitad ó el tercio de CB la fuerza P será la mitad ó el tercio de la resistencia R. Luegoaumentando convenientemente el brazo de palanca BG, y disminuyendo el CA, podremos hacer que una potencia tan pequeña como se quiera, se equilibre con una potencia tan grande como se desee. En esto se fundó Ar- Quimedes para establer aquella atrevida propo- Scion de que si se le diese un punto fijo y una Palanca le seria muy fácil el mover todo el mun- « Decimos que esta proposicion es atrevida,
84 MECÁNICA o ege se pone romo y disminuye su movilidad; “por esta causa se hace uso de otro instrumento en que un solo peso sirve para averiguar el de las mercancías con solo colocarle 4 diferente distancia del punto de apoyo. A este instrumento se le da el nombre de romana. Esta se compone de una palanca AB (fig? 30) colgada de un asa EK que la divide en dos brazos EA, EB, sumamente desiguales. Del brazo mas corto cuelga un platillo ó un garfio C, cuyo destino es sostener los géneros que se deben pesar; y por medio de una argollita se hace correr á lo largo del brazo EB, un peso constante P que se llama pilon. Como en el brazo EB estan señaladas las divisiones correspondientes al número de libras Ú arrobas que se equilibran con el pilon, el uso de la romana es tambien muy sencillo; y así solo nos resta advertir que para hacerse cargo de una romana, no hay mas que saber con quanto entra; esto es, que peso se equilibra con el pilon en la primera division. En toda romana hay dos divisiones , la una se refiere al asa EK que es la que sirve para pesar por mayor, esto es, para pesar géneros de mucho peso ; y se cuelga del asa ek para pesar por menor, esto es, cosas de poco peso. an-9 3 Aqui podríamos esplicar el mecanismo que se emplea para levantar los puentes levadizos; pero como esto se halla en el ($75) del primer: tomo de mi obra militar no nos detendremos en' ello, OA A
reee 2 PRÁCTICA. 95 De las poléas 6 garruchas. 238 La poléa es un cilindro poco grueso, en cuya superficie esterior hay una especie de garganta ó carril donde se introduce tina soga Ú Cuerda, á cuyos estremos se ponen la potencia y la resistencia. Perpendicularmente al centro de la poléa la atraviesa un ege (fig? 31) cuyos estremos dan vuelta con libertad dentro de los hzos de unas armas CK. La poléa puede colocarse de dos diversos modos, á saber , Ó móvil 6 inmóvil. En la poléa inmóvil (fig? 31) la potencia y la resistencia obran en direcciones tangentes al círculo de la poléa: en la móvil la resistencia está aplicada en el centro, ó en una direccion que Pasa por el centro ó ege de la poléa, como se ve en las (fig.* 32 y 33): 139 Enda poléa fija, para que haya equili- > brio , es necesario que la potencia sea igual con la resistencia ; mas ú pesar de esto, nos proporciona el variar la direccion de la fuerza que se ha de emplear. En efecto, quando queremos le- Yantar un pesoá una gran altura, el mismo es- “erzo necesitamos emplear usando de la poléa JA, que haciéndolo ¿ pulso; pero usando de la tan > el peso de nuestro cuerpo nos ayuda en "to grado que lo hacemos con muchísima co- Modidad. ES 40 Enla poléa móvil se verifica el equili- Zando la potencia tiene con la resistencia
86 MECÁNICA la misma razon que el radio de la poléa con la “ subtensa del arco de poléa que abraza la cuerda, es decir, que se tendrá P:.R::CS:SO. De aqui se deduce que el caso mas favorable ara la potencia en la poléa móvil , es quando la direccion de la potencia y de la resistencia son paralelas , en cuyo caso la potencia es á la resistencia como el radio de la poléa es ú su diámetro, ó como uno es á dos. 141 Luego si se combinan muchas poléas móviles, como se manifiesta en la (fig? 34), podremos elevar un gran peso por medio de una fuerza pequeña ; en el caso de equilibrio en esta máquina, se verifica que la potencia es á la resistencia como el producto de todos los radios de las poléas, es: al producto de todas las cuerdas de los arcos de poléa que abrazan los cordones; y si las poléas fuesen iguales y los cordones paralelos, en el caso de equilibrio, serza la potencia ú la resistencia, como la unidad á una potencia del núm. 2 espresada por el número de poléas móviles, esto es, en nuestro caso como 1 es á 238 como 1:8. 142 Pero no-es esta la figura mas acomo-= dada que se puede dar á un sistema de poléas; por lo mismo se suelen disponer de alguno de los modos que representan las (fig. 35, 36, 37 y 38), y que se conocen con el nombre de tróculas. De qualquier manera que varien estas disposiciones, siempre se puede hallar la razon entre la potencia y la resistencia por este principio. La
PRÁCTICA. 87 potencia es á la resistencia como el radio 6 seno de 90% es á la suma de los senos de los ángulos que forma con el horizonte cada uno de los cordones que rematan en las tróculas movibles. Del torno. 143 Se llama torno en general á una rueda atravesada perpendicularmente por un cilindro, cuyos estremos descansan sobre dos apoyos C,G (fig? 39), en la qual una potencia P aplicada en una direccion tangente 4 la circunferencia de la rueda, se lleya tras sí dicha circunferencia, y el cilindro que está sólidamente unido á ellas; y obligándoles 4 dar vueltas al rededor del ege del cilindro, es.causa de que se vayan enroscando sucesivamente al rededor del cilindro las diferentes partes de la maroma DR. á la qual está atado el peso que se.quiere elevar ó arrimar al cilindro. 144 En algunas ocasiones no se hace uso de rueda alguna para hacer que dé vueltas el cilindro, sino que se colocan perpendicularmente á su ege unas palancas E á que se aplica la potentia, y produce el mismo efecto que la rueda, Siendo mas fácil su transporte. En otras lleva el cilindro en sus dos estremos dos cigileñas P, Pr (fig? 40), á las quales se aplica para el Mismo fin la potencia ó fuerza motriz. Rs Quando el ege del cilindro está en situacion “SEtcal, recibe el nombre de argúe ó cabestante:
88 MECÁNICA Qualquiera que sea la disposicion que se le quiera dar á esta máquina, pues ademas puede tener alguna de las formas que espresan las (figuras 41, 42 y 43), siempre se verifica en el caso de equilibrio que la potencia es á la resistencia como el radio del cilindro es al radio de la rueda, 6 4 la longitud de la parte de palanca comprendida entre el centro del cilindro y el punto á que se aplica la potencia. 145 Hay varias máquinas que en todo ó en parte pueden referirse al torno, tales son el crie ó gato, las ruedas dentadas y la grua. En el críc que está representado (fig? 44) el ege que está unido con la cigieña QCP lleva un piñon P , cuyas alas 6 dientes engargantan con los dientes de la barra dentada AB. El ala del piñon dando vueltas levanta la barra AB y todo lo que en ella se apoya. En esta máquina la fuerza es á la resistencia como el radio del piñion es al radio de la cigúeña. De donde resulta que como el radio del piñon se hace muy pequeño con relacion al de la cigúeña , tenemos que con el cric se pueden levantar pesos bastante grandes con una fuerza mediana: esta máquina es de un uso continuo en las maestranzas de artillería ; pues es la mas á propósito para levantar los eges de los carros, cureñas kc. para poder quitar y poner las ruedas. 146 Una rueda dentada es un cilindro móvil al rededor de su ege, y en cuya superficie tiene unos filetes Ó dientes que son paralelos á:
| | | PRÁCTICA. 89 este ege: estos dientes engranan, en los que se forman del mismo modo sobre otra rueda dentada. Sobre él ege de cada rueda dentada se adapta ordinariamente otra que forma cuerpo con ella, y cuyo diámetro es menor; á esta rueda menor se le llama piñon , y 4sus dientes alas. Quando muchas ruedas dentadas 4,B,C,D,E, (fig? 45) se comunican unas con otras por medio de los piñones a,h,c,d, se verifica en el caso de equilibrio que la potencia es á la resistencia como el producto de los radios de todos los piñones , es al producto de todos los radios de las ruedas. De las ruedas dentadas se hacen muchos usos y con fines muy diversos ; pues unas veces sirven para aumentar la fuerza, otfas para mudar la velocidad, otras para que salgan ajustados los movimientos á ciertos periodos de tiempo como en los reloges , y otras finalmente para hacer perceptibles los movimientos sumamente pequeños, y que por lo mismo con la vista sola no se podrian percibir. 147 La grua (fig? 46) se compone de un torno PN, en que la cuerda que se arrolla al cilindro tiene uno de sus estremos fijos en 1, y con el ausilio de las poléas h, c, d, e, transmite la accion de la potencia que se aplica-con el torno N ¿4 una poléa móvil a, de cuyas armas pende el peso 6 resistencia que se trata de elevar. En “sta máquina, como la: poléa móvil a nos redula resistencia á la mitad, y en el caso. de
go MECÁNICA equilibrio se verifica que la potencia es á la re- “sistencia, como el radio del cilindro es al radio de la rueda, se tendrá que la potencia es á la resistencia como el radio del cilindro es al diámetro de la rueda. De esta máquina se hace mucho uso en los puertos de mar para cargar y des» cargar los buques. ; 148 Si sobre un plano AB inclinado al horizonte (fig? 47) se coloca un cuerpo D , este, solicitado por la gravedad no se podrá sostener sino por medio de una fuerza; y asi es que sino se le detiene se dirigirá ácia abajo, bien sea resbalando ó girando: resbalará quando la vertical que pase por su centro de gravedad caiga en alguno de los puntos de contacto del cuerpo con el plano inclinado, como en el cuerpo D 5 Y caerá rodando quando dicha vertical caiga fuera de los puntos en que el cuerpo encuentra el plano inclinado como en el F. Luego para que un cuerpo se sostenga sobre un plano inclinado, se necesita una fuerza ó potencia P (fig! 48); y en el caso de equilibrio se, verifica, que la potencia es á la resistencia, como el, seno del ángulo que forma la direccion de la gravedad con la perpendicular bajada al plano inclinado desde el centro de gravedad del cuerpo, €s al seno del ángulo que forma dicha perpendicular con la direccion de la potencia ; es decir, que en este caso se tendrá P-R:: sen. DCE; sen.DCP. 149 El caso mas favorable para la potencia es quando obra paralelamente al plano inclinado
] PRÁCTICA. gr como se representa en P”, y se verifica que la potencia es á la resistencia, como la altura del plaro es á su longitud ; es decir, que en este caso se tiene P':R::AG:AB. 150 El caso mas desventajoso para la potencia es quando obra paralelamente á la base del plano inclinado, como se representa en P” ; en cuyo caso se verifica, que la potencia es á la resistencia como la altura del plano inclinado es á su base ; es decir, que entónces se tiene P":R::AG:BG. ' De la rosca. 151 La rosca es un cilindro recto (fig? 49). al rededor del qual está arrollado un sólido que tiene la forma de un prisma paralelográmico, ó triangular, y en el que una de las caras está unida 4 la superficie convecsa del cilindro. El relie- ve espiral formado de este modo en la superficie del cilindro, se llama filete de la rosca; y se llama espira á la parte del filete del prisma, que corresponde 4 una vuelta completa sobre el cilindro. La distancia AB que hay paralelamente al ege HK entre dos espiras correspondientes, se llama altura del paso de la rosca, Ó paso de la rosca, que es igual en toda la longitud del :cilindro, j La rosca entra en un sólido MN llamado tuerca, que en su interior lleya unas concavida- 19s iguales y semejantes al filete de la roscaz de
92 MECÁNICA modo que se puede considerar la tuerca como el “molde del filete de la rosca. 152 La rosca con su tuerca sirve para comprimir los cuerpos ó para levantar pesos; y en el caso de equilibrio se verifica que la potencia es á la resistencia como la_altura del paso de la rosca es á la circunferencia, cuyo radio es igual é la distancia de la potencia al ege del cilindro; de donde se deduce que mientras á mayor distancia obre la potencia » ó sea menor el paso de la rosca , estará mas favorecida la potencia. 153 Ademas de los usos indicados de la rosca, sirve tambien con mucha utilidad para medir las diferentes divisiones de un espacio muy corto AB (fig? 49), lo qual se consigue haciendo que ande el espacio propuesto el estremo E de una rosca DE, cuyos pasos sean iguales; pues si en el otro estremo de la rosca hay una manecilla que moviéndose con el mismo movimiento que la rosca ande sucesivamente las divisiones de una muestra que atraviesa, indagando qué número de vueltas ha de dar la mano para que el punto E ande la longitud conocida AB, se podrá determinar por medio de las vueltas y porcion de vueltas que dicha manecilla haya de dar para que el punto E ande una parte qualquiera de AB, ó se tenga de este modo la verdadera . medida de dicha parte por pequeña que sea, 154 La rosca se puede aplicar á Otras máquinas , y entonces puede aumentar mucho su efecto : quando se aplica á una rueda dentada,
PRÁCTICA. 93 como se representa en la (fig? 50), se llama rosca ó tornillo sin fin; y en el caso de equilibrio se verifica que la potencia es á la resistencia, como el producto del paso de la rosca por el radio del cilindro de que cuelga la resistencia , es al producto del radio de la rueda por'la circunferencia que traza la cigúeña: es decir, que se tiene P:R::ABxLK:HLxcirc.DE. 5 De la cuña. 155 La cuña es un -prisma triangular ABCEDF (fig? 51) que se introduce en una hendidura IZR ya empezada, ó en general, entre dos superficies para hacer mayor la raja, ó apartar sus caras, Óó finalmente para mantenerlas 4 una distancia determinada una de otra: los cuchillos, hachas, dientes $zc. no son otra cosa que cuñas. Para determinar la magnitud de la fuerza que se debe aplicar á la cabeza de la cuña para hendir un cuerpo, se debe conocer ante todas cosas la resistencia que hay que vencer; pero como esta depende de una multitud de circunstancias particulares que hasta ahora no son conocidas, resulta que la teoría de la cuña es aun Muy obscura. Mas segun lo que-se sabe hasta el dia, resulta que en el caso de equilibrio la Potencia es á. la resistencia que sufre la cara O (Giga 52) como el producto ACXVO:ABxVY; Y Tespecto ú la otra cara se verifica que la' po-
Í 100 MECÁNICA : es á la del que sube cargado con 148 libras como 205:109::188:100, cuya razon es acaso baja y puedesuponerse==2:1, lo que es contrario á la asercion de Bernoulli. Un hombre subiendo ha egercido una accion de 280 libras levantadas á 3588,9 pies; pero estuyo luego dos dias sin poder trabajar. El efecto útil es la carga que el hombre lleva. A medida que ésta aumenta , se disminuye la cantidad de accion diaria; pero sino lleva carga, el efecto útil es nulo. Se ha de buscar quánta ha de ser la carga para que el efecto útil diario sea un mácsimo. Se ha visto que la cantidad de accion sin carga es 1595088 libras levantadas ú 1 pie; y con la carga de 148 libras la cantidad de accion diaria es 851400 libras levantadas á 1 pie. Así pues?, 1595088—851400= 743688 levantadas á 1 pie, es lo que ha disminuido la cantidad de accion de un hombre que subia sin carga, con la de 148 libras. : Supongamos que las cantidades de accion rdidas sean proporcionales á las cargas , y sea P una carga qualquiera; la cantidad de accion ue estacarga hace perder es igualá 5025 piesxP. Siendo 1595088 lib.* la cantidad de accion subiendo sin: carga, la cantidad de accion diaria con la carga P será 15950885025 P ; en que 5025 pies es la altura á que puede levantar el peso P. Sea h la altura á que el hombre cargado con
- PRÁCTICA. 1O1I P puede subir por su trabajo diario, Ph será el efecto útil del trabajo y (152-+P) h será la cantidad de accion del hombre, cuyo peso es 152 lib.* Así tendremos (152+P) h=1595088—5025 P, de donde resulta el efecto útil 1595088—5025 Ep Ph= 152 +P Hagamos 1595088=a, 5025=b, 152=k, ..k ) p a— erá Ph= xP: a REP Y para tener el mácsimo de Ph se diferenciará respecto de P, y haciendo =o0, saldrá a E. PE j 1+ os ra Mi Substituyendo los valores numéricos, hallaremos P=0.,758k=115 lib.* 1595088—5025P (q XP : 152 +P : se substituye 115 lib.*en vez de P, tendremos el efecto útil Ph=438134 lib.* elevadas á 1 pie. Resulta de esto que este género de trabajo, en que el hombre sube cargado y baja sin carga, hace consumir inútilmente casi los 3 de la accion del hombre que sube libremente. de - Para verificar si el supuesto hecho de que la iminucion de la cantidad de accion es propor- Cional 4 la carga, es menester ver si. ( 1595088—5025 P=0, que es quando la carga es la mayor) dá un2 Si en la fStarila Ph=
102 MECÁNICA cantidad que se aprocsime á la esperiencia. Esto dí P=317 Mb*> peso que es el mayor que un hombre de fuerza mediana puede llevar á cortísima distancia. Comparemos ahora la cantidad de accion que los hombres pueden suministrar caminando horizontalmente con carga 6. sin ella. | El hombre andando por muchos dias sin carga puede andar fácilmente al dia 179446 pies, 6 en números redondos 180000 pies , que hacen 30 millas ó y leguas de 20000 pies; lo qual es demasiado. La cantidad de accion será pues 180000X152=27360000lib.'* transport.*41 pie, 6 27360 lib.* 4 1000 pies, : 6 1368 lib.* 4 1 legua de 20000 pies, 6550 á 1 legua. A la distancia de 7178 pies 6 7200 pies, el hombre cargado con 125 lib.=5(0 hace seis viages al dia. La carga transportada es la espresada mas el peso del hombre, esto es, 125+152=277 lib.=11(9 y 2 lib. ósolo11 (2. Así, la cantidad de accion diaria es 277x6x7200=11966400lib.*transport.*4 1 pie, 6 598 lib.“ 4 1 legua, 6 240 41 legua. A esta cantidad hay que añadir el cansancio de los 43200 pies que andan para volver á cargar: y de este modo resulta que la cantidad de accion en esté caso es 15840000 lib.* transportadas á 1 pie, 6 320 á 1 legua. | Luego la: cantidad de acción que el hombre puede egercer” quando anda sin carga, es á la — AA
¿A A e to et A PRÁCTICA. 103 que puede egercer con una carga de 50, prócsimamente como 7:4. 0 NY Por informes de personas inteligentes, un hombre robusto cargado con 95 lib.*, ó 100lib.*, 6 4(9, podrá andar al dia unos 70009 pies. La cantidad de accion será (152-+100)x70000 pies=176400001ib.*á 1 pie, 6350 4 1 legua. / Resta determinar quál debe ser la carga para que á igual cansancio produzca el mayor efec- to útil. , La cantidad de accion que hace perder una carga de 5 (0 es equivalente PAL Nós 27360000—15570260=1 1783740 lib.* transportadas á 1 pie, Ó 55—31=240 4 1 legua. + Suponiendo .como antes. que la pérdida de accion es proporcional á la carga, se llega á sacar que el mayor peso que un hombre puede llevar es 11,569 4 muy corta distancia 5 y que. 5,14(0 es la carga que generalmente llevan los que han de hacer varios viages al dia. La cantidad de accion. que el hombre pro- . duce andando sin carga, es á la cantidad de efecto útil andando cargado , como : 3500 : 692,4 3: 505.+.100 » y prócsimamente como $: 1- ' La cantidad de accion subiendo una escalera esá la producida en camino horizontal poco mas Ó menos como 1 4 17. Tambien resulta que se esperimenta igual gansancio al subir un escalon de 6 pulgadas de
104 "MECÁNICA > X1 > . . ancho que al andar 37 pasos en camino hori zontal. | E De la cantidad de accion en el trabajo diario - de conducir carga con carretillas. Belidor en su Ciencia del Ingeniero pone la introduccion de Vauban , en que se lee: “Un hombre, en un dia de trabajo, puede transportar en una carretilla 2 toesas cúbicas (685 pies cúbicos españoles Ú 25% varas cúbicas ) Ó 3,17 brazas cúbicas) á 15 toesas de camino (105 pies españoles). Hace 500 viages; y así anda 52462 pies españoles, y otro tanto con' la carretilla descargada.” 2-2 5. Ea me tl A estos datos hay que añadir otros. Cargada la carretilla, el obrero la' sostiene 4 unos 5.4 pies del ege, y los. brazos sostienen un peso de 40 á 44 libras, y si la carretilla está vacía de 11 ET IL ar 0 s Tambien halla que estando cargada la car. retilla, y sus brazos suspendidos con cuerdas atadas á un parage muy alto, la fuerza para * empujarla en terreno seco y llano era de 4 á 6% libras. Esta fuerza depende del terreno y de la - destreza del obrero. * En los talleres la carga media de las carre. tillas es de 15o lib.* 6 6(0; el peso de las cars retillas varía mucho, y se supone de 63 lib.* ó 26 (0. | El efecto útil será pues s
| PRÁCTICA: 105 - 152X52462= 7974224 lib.* transport. 4 1 pie, 6 16(9 á 1 legua. Comparando este con el efecto útil del hombre que carga á cuestas, estarán en la razon de 1022,7:692,4=148:100. Así 100 hombres con carretillas harán lo mismo que 148 hombres sin ellas. - De la cantidad de accion en las mazas para hincar pilotes. La maza por lo comun pesa de 759 á 976 libras. Los obreros levantan las mazas unos 3,95 ó sea 4 pies. Dan 20 golpes porminuto. No pueden resistir á mas que 3 horas de trabajo efectivo. Regularmentese pone un hombre por cada 41 libras del peso de la maza. -—La cantidad de accion diaria tendrá, pues, por medida 4 piesx40 lib.*x 3600, que este es á razon de 20 golpes por minuto, el número de golpes en 3 horas , lo que dá 576000 lib.* elevadas á 1 pie, 623040 (D á J pie, 0 28,8 lib.* 4 1 legua, ó 576 lib.*á 1000 pies. Comparando esta accion con la que produce el obréro subiendo sincarga pór una escalera, allaremos que son como 75,2: 205, y que la primera es poco mas de $ de la segunda. Sería, pues, ventajoso emplear la accion del Ombre de otro modo. Esta cantidad de acciones muy grande si se para con la que producian en la casa de la
106 MECÁNICA moneda de París acuñiando con maza vertical, La maza pesaba 82 libras. La movian dos hombres, que por consiguiente hacia cada uno un esfuerzo de 41 libras. La maza se levantaba cada vez á 1,4 pies. Levantaban la maza 5200 veces al dia. La cantidad de accion era pues... 1,4X40X5200) Ñ lo que dá 2912000 lib.* levantadas á 1 pie, 6 2912 lib.* á 1000 pies, 6 145,6 lib.* á 1 legua, 650 á 1 legua. Sevdebe atender á que en este caso trabajaron 15 meses seguidos, en lugar que quando clavan estacas pasan á otro trabajo en cansándose , lo que sucede pronto. | 4 Comparando las cantidades de accion de los hombres que suben una escalera, los que trabajan en manubrio y en las mazas , se halla que estan en razon de los números 205; 116375», que prócsimamente son como 8; 5; 3: ARS, De la cantidad de accion cabando con la e pa hazada. Esta investigacion es muy dificil , pero al mismo tiempo es de la mayor importancia ; por lo que pondremos aqui el resultado de lo que se ha podido averiguar en esta materia. : El labrador mete la hazada 10,7 pulgadas es= añolas , y cada vez levanta un peso de tierra de 13 libras españolas , cuyo centro de gravedad
PRÁCTICA» 107 le levanta 4 16 pulgadas. Da unos 20 golpes por minuto. El primer esfuerzo para meter la hazada será de 43 libras: la fuerza para acabar de meterla de 26 libras. En los dias buenos labra» ba 2331 pies quadrados, que hacen 16 estadales reales quadrados : así, la masa de tierra removida era de 2079 pies cúbicos. El pie cúbico de tierra pesaba 89,7 libras. -. Así, la cantidad de accion era 89,7X2079X1,33» lo que dá 74,5 lib.* levantadas á 3588,9 pies. A «cada: vez levantaba tambien la hazada, cuyo peso era 3,7 lib.*, de donde resulta que la cantidad de accion total es 93,4 lib.*á3588,9 pies. Hay que añadir la cantidad de accion para meter la hazada 4.10,7 pulgadas. Tomemos por la resistencia 32,6 libras. Calculando por las tierras removidas á razon de 13 libras por golpe, habrá dado:14316. golpes al dia, y esta parte de accion será.116,5 lib.* elevadas 4 3588,9 pies. Es dificil determinar la cantidad de accion en deshacer los :terrones y tender la tierra; se valúa en'¿ del trabajo diario; y así puede estimarseel totalen 2171lib.*levantadasú 3588,9 pies. En el trabajo del labrador. hay que distinguir dos partes: en la 1% se apoya con los, pies y el cuerpo para meter la hazada;5 y parece que esto no puede producir mas cansancio que subiendo una escalera: en la otra levanta con los brazos un peso, y está en el caso de los que levan: tan la maza. z Comparando la primera parte con el trabajo
108 MECÁNICA del que sube una escalera, resulta =0,261 del trabajo diario. - AR A: Para comparar la segunda parte , tomaremos un medio de los tres casos dichos de la maza, sacar agua y acuñar moneda, y resulta que es =0,69 del trabajo diario. La suma de ambas es 0,26+0,69=0,95, en lo que solo faltan 0,05 ó ¿5 de pérdida de accion. : / / “En esto como en todos los demas casos , la habilidad consiste en emplear las: fuerzas útilmente. Uno hace mas que otro cansándose lo mismo , Óc. | En todos los casos se ha supuesto que el hombre naturalmente empleaba la velocidad conveniente. Parece, por la esperiencia, que los hombres pueden á igual cansancio producir la misma cantidad de accion diaria, variando mucho su velocidad , y entrando en el trabajo: con cortos intervalos de descanso. 55 Hotib 0 * “Parece que este modo de alternar la accion y el descanso, es el mas conveniente á la economía animal; y que los hombres prefieren mas andar velozmente por algunos instantes , y des- Cansar 068 completamente, que no hacer de una tirada el mismo camino con menor velocidad. En el trabajo en que los hombres consumen toda su accion diaria , no se debe ecsigir de ellos mas de 7 á 8 horas de trabajo, cortadas d no con pequeños intervalos de descanso. Las pruebas hechas en pequeño ó por corto 2.
ye PRÁCTICA. IOY tiempo, no sirven para fundar ningun resultado diario; es menester para ello observar un trabajo seguido. La eleccion de los hombres influye sobre la valuacion de la fuerza media. En una quadrilla deben ser todos de igual fuerza: dos Ú tres malos obreros disminuyen el trabajo de los demas. La cantidad de accion varía tambien segun el alimento, y sobre todo por el clima. En los paises cálidos en que el termómetro está rara vez ú menos de 20 grados, no son capaces de la mitad de accion que en nuestros climas. HIDROSTÁTICA. 161 Ya hemos dicho que Hidrostática es la ciencia que trata del equilibrio de los fluidos: la propiedad principal de los fluidos y la única que los distingue de los cuerpos sólidos, consiste en que sus partes ceden á la menor fuerza, y se pueden mover entre sí con toda la facilidad posible, qualquiera que sea por otra parte la union y accion mútua de estas partes. 162 El principio que Clairaut , en su Teoría sobre la figura de la tierra, tomó por base de la Hidrostática, y que en el dia sirve de fundamento á la teoría de esta ciencia, es que sz se concibe un vaso ABC (fig. 53) de una forma y dimensiones qualesquiera , que contenga una masa fuida y un canal DEFG, cuya figura set tambien arbitraria, pero reentrante en s£ mismo,
116 MECÁNICA ' presenté al Escmo- Sr. D. Cayetano Valdés, gobernador de la plaza , para que me franquease las que se hallaban en su alojamiento, en lo que no puso el menor inconveniente; con lo qual pude efectuar los esperimentos siguientes. El dia 17 de marzo de 1812, en la maestranza de artillería de Cádiz, estando el barómetro 4 27 pulgadas francesas y 10 líneas de altura, y el termómetro á los 11 grados de la division de Reaumur , pesé una granada de las arrojadas por los enemigos , que estaba cargada con espoleta, como salió de la pieza; su diámetro era de 7 pulgadas, 8 líneas y 3 puntos franceses (*), la qual en el ayre libre pesó 74 libras, 12 onzas y 12 adarmes en pesas espa» ñolas (*). La misma dentro del agua de algibe ó llovediza pesó 63 libras, 5 onzas y 4 adarmes. Luego perdió dentro del agua 11 libras , 7 Onzas y 8 adarmes 3 y por lo mismo un volúmen de agua PP PX o *y Tomé estas dimensiones en medidas francesas. porque no hallé pie español de que poder hacer uso: lo que confirma todo quanto tengo dicho en varios parages de mis obras acerca del abandono que hay en nuestras medidas. *) Las pesas eran españolas, y debo. confesar que la balanza ó peso en que esto se ejecutó era muy ecsacta , pues era sensible hasta á los adarmes.
- | PRÁCTICA. 1IZ igual al de esta granada pesaba estas 11'libras, 7 Onzas y 8 adarmes, d 2936 adarmes. - Ahora , si queremos reducir el peso de la granada al que tendria en el vacío , hallaremos quanto pesa un volúmen de ayre igual al de la granada, y teniendo presente que un pie cúbico frances de ayre pesa 1,4 onzas , resulta que un volúmen de ayre igual al de la granada pesa 3 adarmes prócsimamente: por lo qual la granada en un parage donde no hubiese ayre pesaria estos tres adarmes mas; luego su peso en el vacío será 74 libras, 12 onzas y 15 adarmes, 6 19151 adarmes. Luego tendremos densidad de granada: densidad de agua llovediza:: 19151:2936. Pero densidad dé agua llovediza: densidad de ayre (por nuestra tabla $ 43):: 1,046 : 0,00123::850:1, simplificando la última razon. Luego si multiplicamos ordenadamente estas Proporciones y simplificamos la primera razon, %Mitiendo la densidad de agua lovediza que es “omun , resulta > “y “sidad de granada: dens. de ayre:: 19151X850:2936::5544,397:1- de La bomba sin boquillas , cuyo diámetro era 107 Pulg.* 11 lín.* y 3 puntos , pesó en el ayre "5 (9, 11 lib.%, 8 onz.* y 8 adarmes , Ó al rmes , ó añadiendo unos 4 adarmes beso de igual volúmen de ayre, resulta
$18 MECÁNICA que esta en el vacío pesará 34956 adarmes. Dentro del agua lovediza pesó solo 4 (9, 13 lib*, 11 onz.* y 14 adarmes. - Luego desalojó un volúmen de agua, cuyo peso era de 22 lib.”, 12 onz.*, 10 ad.*, Ó 5834 ad.* De donde resulta hi io densidad de bomba:dens. de ayre:!5093,007:1. Una granada nuestra cuyo diámetro era de 7 pulg. , 9 lín.* y $ Puntos, llena de pólvora, y con espoleta'como si se fuese 4 arrojar , pesó al ayre libre 57 lib.*, y onz.* y 4 ad., 614740 ad., é añadiendo 3 adarmes por-lo que el ayre la sos tenia , serán 14743 adar.* : Esta al pesarla en el agua desalojó un volúmen de este líquido, cuyo peso era de 11 lib.* 2 adar.* 6 2818 adar:* De donde resulta por el' mismo método dens. de gran. ntra.:dens. de ayre::4450,124: r. 172 Al tratar del movimiento de los proyectiles, veremos que uno de los elementos que entran en su cálculo , es la relacion que tiene el peso específico del proyectil con el del ayre en que se ha de mover, y que el mayor alcance ue obtuvieron los franceses en sus granadas solo provenia de haber aumentado el' peso específico del proyectil $ rellenándole de plomo, d engrue- a ndo mas la bomba , y de haber prolongado el ánima de las piezas para que Ccomunicasen d estos proyectiles una velocidad inicial mayor que lo regular. | : 173, De los diversos métodos que hay de vas A
PRÁCTICA. 119- luar los pesos específicos solo pondremos aqui uno que se puede comprender con facilidad, y. estel de Klapproth ; que me parece deberle ma-, nifestar , tanto porque no está descrito en ninguna obra nuestra (al menos que yo conozca ), como porque juzgo que debe obtener la prefe-. rencia sobre los otros métodos en la mayor parte de los casos á causa de su sencillez , de su comodidad y de su ecsactitud. Todo el aparato que ecsige , consiste en una balanza ecsacta , y Uno ó muchos frascos de cristal que cierren muy bien , y con su ausilio nos propondremos resolver algunas cuestiones. 12 Hallar el peso especifico de un líquido. Primero se pone en equilibrio el frasco por medio de pesas ; despues se le pesa lleno de agua destilada , teniendo cuidado de taparle ecsactamente. Luego se le llena del líquido que se ecsamina , y dividiendo el último peso por el primero, se obtiene el peso específico buscado. Supongamos que el frasco contenga 864 granos de agua destilada , y solo 673 de éter, el peso específico de este último es de £2Í=0,779» 174 El empleo del areómetro para la esti- Macion del peso específico de los líquidos, es su- Períluo en virtud de lo que acabamos de manifesta, Pero es muy conveniente para averiguar A naturaleza de los líquidos "mezclados , como e Abeza , el vino, el aguardiente , las disolu- ¡Ones de las sales, Sic. ; el peso específico mu- a las proporciones de los principios consti-,
120 MECÁNICA tutivos, y es frecuentemente muy importante conocer para las relaciones científicas, económicas y mercantiles, quántas partes contiene un líido de cada uno de sus principios constitutivos. Para esto se emplea ordinariamente el areómetro. Pero se ve fácilmente que debe tener una escala y una disposicion diferente para cada uso á que se le quiera emplear : por esta causa se le caracteriza con los nombres de pesalicor, de vino, de aguardiente , de alcohol, de cerbeza , kc. 175 La descripcion de uno de estos instrumentos basta para que se pueda uno representar las otras con bastante ecsactitud. Elegiremos para esto el areómetro de alcohol, cuya construccion se reduce á sumergir el areómetro ACB (fig. 57) primero en agua destilada, y se pone o en el parage hasta donde se sumerge , despues en alcohol absoluto (esto es , bien purificado por medio de algunas de las sales privada ya el agua de su cristalizacion y perfectamente pura), y se pone 100 en el parage hasta donde se sumerge. Despues de esto se hace una mezcla de 10 partes de alcohol y de go de agua ; de 20 de alcohol, y de 80 de agua , c. hasta yo de alcohol y 10 de agua. Se sumerge el instrumento en cada una de estas mezclas, se nota hasta que profundidad se sumerge , y se señalan en la escala los números 10, 20, 30, Gc. Los intervalos de estas partes son desiguales , pero como ellos no crecen sino con lentitud , se podria aun dividir cada uno de ellos en 10 partes iguales, y se ten-
DTC LE TED Y 2 DRM ELE >> PRÁCTICA: “121 dria de este modo un instrumento que indicaria inmediatamente quántas partes de alcohol estan contenidas en una mezcla de agua y de alcohol. 176 Terminaremos este punto manifestando el método ingenioso con que 4rchímedes, que se puede considerar como el inventor de la Hidrostática, determinó la cantidad de oro y de plata que habia en yna corona hecha para Hieron rey de Siracusa. El halló que 18 libras de oro pesadas en el agua perdian una libra de. su peso; 18 de plata perdian 11 libra ; y la corona de 18 libras , que era de plata cubierta con una hoja de oro, perdió 14 libras. De donde concluyó en virtud de la regla de aligacion (*) que la cantidad de plata era á la de oro , como las diferencias de los tres números 1, 13, 15 , €s decir, =hH:i=2:1, y que por consiguiente la corona se componia de $ de oro y % de plata , óÓ tenia 6 libras de oro y 12 de plata. HIDRODINAMICA. 177 Ya hemos dicho (11) que Hidrodinámica es la ciencia que trata del movimiento de los fluidos. Acerca de este tratado diremos muy poco ; porque las diversas teorías del movimiento de los fluidos son muy complicadas , Y hay poca conformidad entre los resultados que ellas nos A (*) Vease mi tratado elem. de Mater, tom: Ll (S 28 3) : y q
122 MECÁNICA suministran con la esperiencia. Sin embargo está nos dice que quando un fluido sale de un vaso por un agugero (á que se da el nombre deori, ficio) horizontal , todas las capas horizontales del Áuido conservan su paralelismo al bajar; de manera que los puntos de una misma capa tie nen la misma velocidad vertical. 178 Quando un fluido incompresible se sale de un vaso por un orificio sumamente pequeño, tiene á su salida del vaso una velocidad igual á la: que se debe á la altura de la superficie supe=- rior del fluido sobre el orificio. De donde resulta que si llamamos % dicha altura, la velocidad estará espresada ($30) por VW 28h, donde g, que espresa la fuerza de la gravedad , es igual al valor que le corresponde en la columna de la tabla ($ 48) segun la latitud. 179 - De esta propiedad resulta que si al ori», ficio se le diese una direccion vertical , y se prescindiese de la resistencia del ayre, el fluido se elevaria á la misma altura. En esto es en lo que consiste toda la teoría de los surtidores con que se suelen adornar los patios , jardines , pa=. seos , Gc., y que presentan un aspecto sumamente hermoso y variado. Todo el artificio consiste en poner un depósito de agua en un parage qualquiera que se comunique por medio de una cañería con la pila en que está el surtidor; y resulta que el agua que sale por el surtidor debe subir casi á la misma altura á que ese;
PRÁCTICA: 123 A en el depósito: y segun sea la disposicion del surtidor , así resultan todas las variedades que se notan en este género de adorno que tanto admira 4:los ignorantes, y que tan fácil es de egecutar, como hemos dicho. Son nombrados en todo el globo por su variedad y bella disposicion los surtidores del palacio de nuestros reyes en los jardines de la Granja. "180 Puesto que la velocidad del fluido al salir por un orificio muy pequeño está representada ($178) por W2gh, resulta que si llamamos K la superficie del orificio, en cada unidad de tiempo saldrá una cantidad de fluido espresada por KxW 28h ; y si llamamos Q al volúmen que sale en el tiempo 7, Se tendrá Q=1xKWV 28h. 181. En esta-equacion entran quatro, cantidades diferentes Q, K,t,h, puesto que g es determinada en cada parage ; luego por medio de dicha equacion podremos determinar una qualquiera de dichas cantidades si se nos dan-cono- cidas las otras tres; pues despejándolas en dicha equacion , resulta 1 su * ==, — 5 Esay pq Roi2 > AY ah K _2gh > ES 182 Si espresamos Con letras acentuadas las tidades que convienen á otro Yas0» Aendre=
124 MECÁNICA mos Q' = K'xt'xV 28h' ; y formando propercion , se tendria QQ :KxtxV 28h: K'xt xV 28h! 3 KXxVh:K xUxV W, que si suponemos t=1', se nos convertirá en Q:Q::KVh:K VR; la qual nos dice que, á igualdad de tiempos, las cantidades de fluido que salen son como los productos de las superficies de los orificivs por las raices quadradas de las alturas. Luego si por esperiencia se tiene conocida la cantidad de fuido que sale de un vaso, se podrá conocer por esta proporcion la cantidad que sale de otro qualquiera. 183 Quando el fluido no permanece constantemente 4 una misma altura en el vaso, esto es, quando el fluido que sale no se reemplaza por nuevo fluido que entra, su velocidad á la salida disminuye gradualmente á medida que el fluido baja en el vaso. Si el vaso es un prisma 6 cilin= dro vertical en que la superficie de la hase sea S, la del orificio K, y h la altura, el tiempo en que se vacia totalmente está espresado por la Ss. 5 equacion i="Y4/ da 5 g 184 Terminaremos este punto manifestando que la teoría que enseña á conocer el tiempo en que se vacian los yasos puede servir muy bien |
AR cc e PRÁCTICA: 125 para medir el tiempo , como lo hacian los antiguos por los reloges de agua 4 que llamaban clepsydros. Á estos reloges se les daba diferentes figuras adornadas y variadas, ya fuese con el objeto de causar admiracion á la vista, Ó de formar un espectáculo agradable. La cuestion reducida á los principios de la Hidrodinámica, es saber medir el tiempo que la superficie de un fluido emplea en bajar de una altura propuesta en un vaso de una forma determinada. Las ideas del agua que corre y el tiempo que huye, ofrecen imágenes agradables y comparaciones de que la filosofia y la poesía no pueden dejar de aprovecharse. El clepsydro de Gtesipo ofrece un egemplo interesante de la mas feliz imaginacion. No puede uno menos de sentir una melancolía interior agradable al ver escaparse el agua en forma de lágrimas de los ojos de una figura que parece pagar este tributo de disgus- to á los instantes que se escapan. Este agua va á parar á un depósito vertical , donde hace subir á otra figura que tiene una varilla , por medio de la qual y de su ascension gradual indica las horas sobre una columna. El mismo fluido sirve despues de motor en lo interior del pedestal á un: mecanismo que hace dar á la columna una vuelta al rededor de su ege en un año, de modo que el mes y el dia en que uno está, se encuentra siempre bajo el o cuyo estremo corre á lo largo de una $itical dividida convenientemente.
228 MECÁNICA En primer lugar observaremos que f(€) es constante para una misma trayectoria; 10) es una funcion de la misma forma que f(6), pero que es diferente para cada punto de la curva; luego si calculamos ru y sen. (cos.a)? de grado en grado para todos los contenidos en un quadrante , podremos abreviar considerablemente el cálculo. f(0)= +log. tang. (459+¿a) El calcular el primer término no tiene gran dificultad; porque basta hallar el logaritmo de sen. %, y de esto restar el duplo del logaritmo de cos. , y la resta ver á que número corresponde. El calcular el segundo término no presenta á primera vista mas dificultad que el hallar -en las tablas el logaritmo de la tangente de 45”-+¿x2 5 pero como este logaritmo que tenemos indicado aqui es el logaritmo neperiano, y los logaritmos de las tangentes los tenemos calculados solamente en el sistema tabular, resulta que el logaritmo que hallemos en las tablas le deberemos reducir al neperiano , multiplicándole por el factor constante “2302585092994 5 esto hace mas engorroso el cálculo , pero formando una tabla de este factor constante, análoga á la Pitagórica , y usando del método abreviado de la multiplicación de las decimales , se acorta algo el camino; hallado ya este producto se suma con el resuitado del h | A
PRÁCTICA. 229 primer término, y se tiene lo que se pretende. Como siempre que ha, habido ecsámenes en la Academia militar de la Isla de Leon, he me- 'recido al Gobierno la confianza de que me Comisione para verificar dichos ecsámenes , me convencí de los buenos deseos con que todos los individuos de aquella Academia cooperaban á la ilustracion de nuestros defensores; y D. Mariano Gil de Bernabé, digno director de ella en aquel tiempo, me permitió que encargase el cálculo de los noventa valores de f(w) á dos alumnos de aquel establecimiento , que lo fueron D. Pio Gomez Gutierrez y D. Manuel García. Yo les presenté el tipo del cálculo para los valores de a=1%, a=45" y a=897; encargándoles que cada uno hiciese los cálculos de, por sí, que los comprobasen, que si no confrontaban los resultados, los volyiesen á egecutar, hasta que ambos conviniesen; y en efecto, me calcularon estos valores, que rectificados por mí, son los contenidos en la
230 MECÁNICA Tabla en pS se SERQpieien los valores de £(o ro no og, tang(459+0). VITARA TOA valores valo- |" valores res de res de den. Fo). dea. (a). , 12 [| ojo34911983 | 222 | 0,8295255 22 | oj06981551 | 23 | 0,8737954 32 | 0,10486409 | 24” | 0,9190574 42 | o,13996756 | 25 | 0,9653890 - 52 | ojr731goz2 | 26% | 1,.0141156* 6% | o,21045274 | 272 | 1,0615692 72 | os24578516 | 28% | 1,1115901 82 | oj28200411 | 292 | 1,1630225 9? | 0,21808860 | 30% | 1,2159727 Lo? | o,35437287 | 31% | 1,2705466 11% | 0,39109450- | 32% Mese4> 122 | 0,4289269 | 33% | 1,3850563 132 [0146580596 | 34% | 1,4452617 14% | 0,5097603 352 | 1,5076322 15% | 0:5330317 “| 36% | 1,5723311 16% | os5812553. | 37% | 16373697 172 0,0208585 382 | 1,7094536 189 |.0,6608991 39% | 1,7822798 192 | 0,7020308 40” | 1,8582798 20% | 0,7437072 41% | 1,9377026 21% | 0,7862809 422 | 2,0207770
res dea. 432 44 450 469 472 m valo- PRÁCTICA.» valores de f (0). 2,1079004 2,19930624 2,2955034 2,4108001 2,5040215 2,6172466 | 2,6973475 2,8647228 3,0003932 31451314 312999032 34658171 396441343 3,8363005 4,0439846 .4,2691204 4.51 39366 4,7810595 9190735537 — $3950356 5,7498080 6,1 430020 6,5807841 7,0695368 231 rt | valovalores res de | de f (a). 67 76216633 682 8,2451083 692 8.9546782 702 97684948 710 10,7081518| 722 11,8023208 | 739 | 12,9390269 740 14,6144509 cdo 16,4470891 | 762 18,6761436 | 77% | 21,4273215 780 24,8860023 792 | 29,302198 || g0S 35:095864 812 42,902488 822 53786402 832 69,622716 84% | 93»970399 85% | 134,276299 86938 -166,198671 872 | 369064530 - 8241583595 3287,381347 | a
232 - MECÁNICA Con estos datos calculé una curva para la granada rellena de plomo; y preparé las equaciones para las balas de todos los calibres, “para una granada nuestra y para las bombas sin boquillas que nos arrojaron los franceses; y D. Agustin Lozano, alumno de la misma Academia, se brindó á calcularlas , así como D. Gregorio Galan 4 construirlas ; pero habiendo hallado despues, que le habia dado un dato equivocado, me vi en la precision de volverlo 4 hacer todo de nuevo. 276 Aun se pueden simplificar algun tanto - los cálculos ; porque se pueden calcular de antemano los valores de £(€)—f(u), restando el valor de £(u) del de £(€) quando 'a sea positivo 4 sea ascendente la rama, y sumando el valor de f(%) con el de f(6) quando « sea negativa 6 la rama sea descendente, á cuyos resultados los ; llamaremos F(a); de manera que se tendrá y S= Dg. [ I +Ahxcos.62x1 (a; l, toda la curva, poro qual se podrá calcular de antemano y su logaritmo ; y tambien convendrá _tener calculado el Log. de F(%); y por lo mis- ] > ras aquí los espresados logaritmos, | - porque nos servirán para todas las curvas que tratamos de calcular ó que se calculen en lo sucesivo, suponiendo siempre que el ángulo € del tiro de elevacion sea de 40 grados, Ahora, el factor 4hxcos. 62 es constante para 4
PRÁCTICA. 233 Tabla en que se contienen los valores de Log..F(%) calculados de 4 en 4 grados. ERA AT FIOTIIAATE a PP o e ms se valores de siloñe valores de Logaritmo | ¿o q Logaritmo E(a). E(a). 94562882 | —28* | 0,4727374 977254339 | —32% | 05031292 98731401 | —36% | 0,5353715 9,9727684 | —40% | 05701411 0,0471084 | —442 | 0,6082737 0,1061993 | —48% | 0,6508441 0.1553322 | —52% | 0,6992662 0,1976321 | —56% 0.7554618 oy2351021 | —60% | 0,8221249 o,2691112 | —64? 0,9031596 0,3006493 | —68% 1,0044668 0,3304714 | —720 | 1,1354698 0,3591848 | —76% | 1,3124825 0,3873070 | —80% | 1,5676632 os4153052 | —84? | 1,9814955 04436286 | —88% 2,9172118 e Y como a Log..4hcos.62F(u)=Log.A4hx cos. 6” -+Log.F(«), €n vez de 4h cos. 6? F(«) podremos poner Nú- Mero cuyo logaritmo es [ Log..4hcos.6? +Log.F(x) ],
234 MECÁNICA EN , _por lo que tendremos lo que se ve en (G), Dirijámonos ahora 4 determinar el Log. de 4Ahxcos.6? que es constante ; y tendremos que en nuestro supuesto de que el ángulo de proyeccion sea de 407. se tendrá por último resultado haciendo la operacion por logaritmos Log. 4h4xc0s.6*=0,6909361. Ahora tambien debemos observar que el logaritmo que afecta 4 todo lo que hay dentro del paréntesis, es tambien el logaritmo neperiano; y por lo mismo, si señalamos con Log. los logaritmos tabulares , en vez de - log. podremos poner lo que se ve en (H). S Cuya espresion nos suministra la siguiénte regla práctica para hallar el arco de curva $: véase en la tablita anterior el Logarítmo de F(«) que corresponde á a; con él súmese el Logaritmo constante 0,6909361 5 véase á qué número corresponde esta suma de Logaritmos; añádasele una unidad á dicho número, y búsquese su Logaritmo; despues hállese el Logaritmo de este Logaritmo que acabamos de encontrar, y súmese con el Logaritmo constante 4,1042451 ; y el resultado espresará el Logaritmo de la longitud A S, que buscando á qué número correspPonde, se tendrá el valor de S espresado en pies. 277 Construida la curva se obtiene con facilidad su amplitud, 6 lo que es lo mismo, sualcance horizontal y su mácsima altura por medio ' DA AI A A e A ADA Ak
AAPP _ - ; PRÁCTICA» 235 de la escala ; $ si se calculan las Az, Ax, se tendrá la mácsima altura sumando todos los valores de Az hasta llegar 4 aquel en que 04=0; y la amplitud sumando los valores de Ax hasta llegar á aquel en que la suma de todos los valores de Az , bajando, sea igual á la suma de todos los valores de Az subiendo. Pero como aun hay mas circunstancias que determinar en una de estas curvas, y es la velocidad que tiene el proyectil en un punto qualquiera, el tiempo que tarda en llegar 4 un punto determinado y elángulo de caida, manifestaremos las fórmulas que conducen á su determinacion: Para determinar la velocidad en un punto qualquiera , basta determinar el valor de la altura debida á la velocidad ; y si la llamamos h” se llega 4 obtener esta equacion > hxcos. 62xsec.a? ¿e A + Ahxcos.6 NE) —K2)] * en cuyo segundo miembro todo es constante, escepto w, que varía para cada punto. Y si llamamos V" á la velocidad que tiene en un punto qualquiera, resulta A COS.0% 1+4hxcos.6” [£(6)—K(0)].. donde vemos que en el segundo miembro todo es constante , escepto Y que yaría segun el punto que se considere; Juego la velocidad de un pun” to qualquiera se puede teterminar Con toda
236 MECÁNICA AA -ecsactitud ; esta fórmula es susceptible de mucha * simplificacion por Logaritmos, pues se tiene Log.V"=Log.cos.6-+7Log.2gh—Log.c08.%—.... BLog, 1+Ahxcos.£?[ £(8)—£(a) ) y como los dos primeros términos son constantes, sumando sus valores. desde luego , resulta . 3,1400265 , y se tendrá - | Log. Y "=3,1400265—Log. C08. U—= .» 2... 1 Log, +Ahxcos.€? [ £(€)—£(x) ) : la qual nos dice que para hallar la velocidad , no hay que hacer mas que restar del Logaritmo constante 3,1400265, la suma de los Logaritmos de cos. « y la mitad del de 1+4hxcos. 6? [ £(6)—f(0) ]. 278 No sucede lo mismo con el tiempo, es decir, que no se puede hallar con toda ecsactitud el tiempo que ha gastado el proyectil en lNegar 4 un parage determinado, porque las condiciones conducen 4 una equacion que no se puede integrar. Para hallarlo por aprocsimacion , se procede del mismo modo que para calcular las Az, Ax; es decir que se calcula separadamente Me At en que se anda una porcion de arco 5 si se espresa con a” el ángulo que forma la tangente de la curya con la horizontal en el principio del arco, y con a” el que forma al fin del espresado arco , se obtiene lo que se ye en (1). 2
Eze a” PRÁCTICA. 237 Aunque este valor aparece tan complicado, no obstante , los cálculos hechos para construir la curva , nos pueden servir para esto sin mucha complicacion; en efecto; el numerador es igual á AS, el qual se conoce restando el valor de S del de su inmediato siguiente. Tambien nos resultan calculados los valores 1+-4hcos.6* 0) —1(a)*) y llamando Má este valor, Y M' al que corresponde á u', se obtiene AS AÁt=- er TITTL FOO A : ym ym Luego todo está reducido á calcular primero ue sec. a! el valor de A) de 4en 4 grados para todos los valores desde 40% hasta el ángulo negativo con que cae; lo qual se consigue por medio de las tablas trigonométricas apuntando el complemento del Logaritmo coseno (*) restando de él la mitad del Logaritmo de M, viendo á que número corresponde este valor; despues se sumab dós valores consecutivos, y se toma la mitad de su logaritmo, el qual se suma con el Logaritmo . 1! Constante de cos.6 2; esta suma se resta 2 | it (5) Porque no hallándose en las tablas los
244 MECÁNICA de curva comprendido desde el orígen hasta que ha disminuido el ángulo de la direccion de la tangente con el horizonte 4 grados, 6 lo que es lo mismo el ángulo de dicha tangente ha llegado 4 sersolo 36%, de 40% que era al principio; luego este es el valor de Ab (fig? 73)- | Ahora, considerado. este arco como línea recta, de la que no se diferencia mucho, para hallar bm, no hay mas que sumar con el Log. de Ab el del seno del ángulo hAm; y para mayor ecsactitud , se tomará no el seno de ¿40%, +36 6 ai :2 > Luego si con el Log. de Ab, que es 3,6850005 se suma el Log. sen. 38%=9,7893420 , se sacará despues de borrada la decena del complemento 3,4743425) sino el de Ñ cuyo Logaritmo corresponde al número. 2980,87, | que es el valor de Azómb. Y si con el mismo Logaritmo 3,6850005 .. se suma el Log. cos.38%=9.,8965321: , resulta borrando la decena del boplenente: 3145815326, ' que corresponde al número 3815,33, ueses el yalor de Ax 6 Am. Í Para hallar la velocidad que tiene la granada en el punto bh sumaremos el Logaritmo de cos. 36% que es 9,9079576 con la mitad de la espresion (A) que es el Logaritimo de / A A A A a nn e AA di A Ai it > a ETE 5 A A
- Su PRÁCTICA.» | 245 ( +4Ahcos.6? [ £(€) —£(u) )) , Y su suma 0,0983833 la restaremos del Logarit- Mo constante 3,1400265, Y se obtiene por resta 3,0416432 » cuyo Logaritmo corresponde al número 1100,63, que es la velocidad que tiene la granada en el punto b; lo qual comprueba que solo en los Primeros instantes ecsiste una velocidad mayor que 1550 pies. | Para hallar el tiempo que ha tardado la granada en ir desde A hasta hb, sumaremos la velocidad primitiva en A que es 1800 con 110056, y su suma la dividiremos por 2, con lo qual se obtienen 1450,3 pies por velocidad media, con que sin error se puede suponer corrido todo el arco Ab uniformemente; y dividiendo la longitud del arco Ab=4841,7 por esta velocidad, resultan 3,338 segundos, que es el tiempo empleado en correr el espresado arco Ab. 286 Para continuar ahora encontrando el arco siguiente he, necesitamos recurrir á la tala ($ 225); y teniendo én consideracion lo es- Puesto ($ 284), y practicando el cálculo como ACabamos de manifestar, llegaremos ú tener los Ares que se ven en la tabla (*) del pliego Cálculos. iS : Con los quales está construida la (fig? 76), Poniendo que cada unidad dela escala vale A
246 «MECÁNICA siete pies y medio españoles , Ú dos varas y media. : El punto de mayor curvatura se halla, en virtud de lo espuesto ($ 280),:en el punto P que corresponde á un valor de «=-=—9%9' y 40", y el de menor velocidad se obtiene por el cálculo ácia el punto en que la tangente forma con el horizonte un ángulo de —24”, esto es, en Q. Creciendo este ángulo, crece esta velocidad; pero Juego que ha llegado al arco de —89?, y que la granada se halla á mas de 20000 pies debajo de la horizontal, suponiendo que la tierra no le sirviese de obstáculo , vuelve 4 disminuir la velocidad, que se halla en la tabla ser 601, quando en el punto correspondiente á —88* era de —613 pies. i Por último, calculando la distancia 4 que debemos tirer la asíntota vertical, se halla en virtud de lo dicho ser ú la de 59 pies del punto que corresponde al valor de «=—89"; y por consiguiente la asíntota vertical está representada por la LK. 287 Para manifestar lo que influye la resistencia del ayre, he calculado por la fórmula [(m)$ 258] la parábola que corresponde á estos mismos datos; y construida segun los valores que he hallado ; “resulta la rama de parábola EFH, que iria á encontrar á la AR 4 una distancia de A diez veces mayor que AG, y su alcance, suponiendo que el movimiento hubiera sido en el yacío, resultaba de 90958 pies ó
PRÁCTICA. 247 30318 varas; quando el que resulta de tomar con el compas la amplitud AR de la verdadera trayectoria , solo es de 17064. pies Ó 5688 Varas, que es mas de cinco veces menor que el resultado de la suposicion del vacío. esto com= prueba que de ningun modo se puede considerar el movimiento verdadero de los proyectiles, como aprocsimado:al parabólico , puesto que no se puede considerar como un valor aprocsimado de 30318 varas el de 5688 varas. El alcance regular que tenian las granadas arrajodas por los franceses en las baterías de la cabezuela y del ángulo, es en efecto de estas 5688 varas , pues la mayor parte caian ácia la plaza de .S. Juan. de Dios y la casa Aduana, donde se hallaba la Regencia; y todos estos parages estan comprehendidos por el arco 1% (fis? del plano), que es el que comprende toda la parte que se hallaba bajo el alcance segun el cálculo que acabamos de hacer. Hay otra circunstancia que favorecia el mayor alcance de las arrojadas por los franceses; y es el movimiento diurno de la tierra; en efec- to, la tierra da una vuelta al rededor de su ege de occidente á orierite en 24 horas; y luego que el proyectil toma en el ayre la velocidad que € comunica la pólvora inflamada, 10 camina ya Sino en virtud de esta fuerza, y POr consiguiente €be caer mas al oeste una cantidad espresada r lo que haya andado la tierra mientras el Proyectil se halla en el ayre; y como los fran-
248 MECÁNICA ceses afrojaban sus bombas de oriente 4 poniente, resulta que se aumentaba su alcance tanto mas quanto mas andubiese la tierra; así es, que en los 39,87 que permanecian sus granadas en el ayre, andaba la tierra cerca de 6 varas; de suerte , que arrojadas las mismas granadas en la direccion de poniente á oriente , hubieran alcanzado esta cantidad menos; arrojadas en la direccion del meridiano, hubieran padecido un desvío ácia el oeste, espresado por esta misma cantidad; y tirando en direccion intermedia, se obtendrian todos aquellos desvíos que Robins y otros autores han atribuido al movimiento de torsion. Sobre cuyo punto no tengo reparo en anunciar mi modo singular de pensar y decir, que todos los desvíos é irregularidades que han notado los autores de artillería en sus pruebas, se deben atribuir al movimiento de la tierra y de la atmósfera, mas bien que al movimiento de rotacion y torsion, cuya ecsistencia se ha tratado de probar con esperimentos; y que las pruebas que se hagan sobre este punto nunca serán decisivas sino se toma en consideracion la situacion de la pieza con relacion al meridiano, y se apunta el verdadero estado de la atmósfera por medio de todos los instrumentos meteorológicos , pues“el alcance varía mucho con relacion á esta circunstancia; así es, que en tiempo !uvioso se quedaban muy cortas, y en aquellos dias de levante fuerte y que se hallaba la atmósfera despejada , alcanzaron con esceso, como
PRÁCTICA. 249 sucedió en la que cayó en la pared de la iglesia de S. Antonio en la madrugada del dia 18 de agosto de 1812, cuyo alcance fue de 6320 varas, á causa de estar bien despejada la atmósfera y soplar un viento levante bastante fuerte ; de manera que los dias de fuerte levante se hallaban bajo el alcance de las granadas todos los parages comprendidos por el arco TX (fig? del plano), que era la mayor parte de la poblacion. Para que se manifieste á los sentidos qual es el aumento de alcance que resulta de haber aumentado el peso específico de la granada rellena de plomo, calcularemos la curva que trazari2 una granada nuestra con las mismas circunstancias; esto es , con la misma velocidad inicial de 1800 pies españoles por segundo, y arrojada por un ángulo de elevacion:de 40%. En esta se obtiene la equacion que se ve en (M). La qual da los resultados que se ven en la tabla (**) del pliego de cálculos. 288 Aunque el coeficiente 4, correspondiente 4 la bomba sin boquillas , sea menor que el de la granada rellena de pólvora , la espresion de S manifiesta que á igualdad de circunstancias alcanzará mas aquella en que 4 sea menor 5 la esperiencia demostró que dichas bombas alcanzaban menos que las granadas; lo que prueba QUe Á estas no se les puede comunicar tania Velocidad inicial como 4 aquellas; lo qual no tra dificil de preveer por la comparacion de las Piezas con que las arrojaban-
o ¿MECÁNICA 289 Habiendo manifestado ya las principales circunstancias del movimiento de los proyectiles, solo me falta advertir que esta teoría no se halla tratada con toda aquella ecsactitud matemática que yo desearia , pues falta atender á que la direccion de la gravedad no obra en líneas paralelas, sino por líneas convergentes ácia el centro de la tierra. El atender á esta circunstancia complica considerabilísimamente los cálculos ; pero no por eso es imposible ; yo concibo 25 con toda claridad el modo de plantear la cuestion , y tengo principiados los cálculos para ello; pero al ver su complicacion, no me he determinado á emprenderlo, porque ignoro si el público y el Gobierno apreciarian este trabajo tanto como merecen los inmensos sacrificios que ecsigia por mi parte. En efecto, las dificultades que hay que vencer son considerables ; pero el espíritu humano tiene medios para superarlas si pone en egercicio todas sus facultades ¿ y por lo que hace á la cuestion que nos ocupa, debo confesar que las ciencias ecsactas se hallan hoy en un punto de adelantamiento tal, que es muy posible perfeccionar esta teoría; y que solo falta, en mi entender, para conseguirlo, el que los Gobiernos protejan convenientemente á los que se propongan vencer las dificultades que se les presenten. FIN.
INDICE 251 DE LAS MATERIAS CONTENIDAS EN ESTA OBRA» N Pág. ociones preliminares... ......*** I Dinámica. Del movimiento uniforme... .....+.+** 7 De las fuerzas, de la cantidad de movimiento y de lo que se llama densidad. . 10 De los movimientos variados, y en particular de los uniformemente acelerados ó ETADOAOR e a e 13 Del movimiento libre de los cuerpos some= ” tidos solo 4 la accion de la gravedad. . . 16 Tabla de los pesos ó gravedades específicas de diferentes substancias , comparadas con el agua destilada que se toma por unidad 0783 3. A OO gb abla que contiene la longitud de cada grado del meridiano, la distancia de cada paralelo al equador, la longitud del péndulo simple que oscila los segundos Sec - Sagesimales, y la fuerza de la gravedad en cada paralelo. - -.....+** o... abla del decremento de Ja gravedad á di- - —ferentes: alturas sobre el nivel del mar. 33 41
252 Del movimiento uniforme compuesto, y de la composicion y resolucion de las fuerzas: De los momentos y sus usos para la composicion y resolucion de las fuerzas... De los centros de gravedad.......... Del movimiento de los cuerpos por planos TA e A e De lacomunicacion del movimiento y choque O AA Del movimiento de oscilacion y de los pén- UU pa eos o EN Estática. Nociones generales acerca de las máquinas. De la máquina funicular. .......... De la palanca, balanza y romana. ..... De las poléas Ó garruchas. .......... A O A De TP no ts, o pd y Ei A De los obstáculos que sufren las potencias quando obran por medio de las máquinas. Resultado' de varios esperimentos hechos - para determinar la cantidad de accion que los hombres pueden suministrar por su trabajo diario, segun los diferentes modos con que emplean sus fuerzas, estraido de una memoria de Mr. Coulomb. De la cantidad de accion en el trabajo diario 97 de conducir carga con carretillas... ... 104
253 De la cantidad de accion en las mazas para hincar pilotes... ... «<<. «- sd astipj e la cantidad de accion cabando con la OREA ARPA NAS Idrostática: 0 ó. e e a TO Idrodinámica... . co... «ou... 121 Vel barómetro, termómetro, pirómetro, al higrómetro , pluviómetro, anemómetro,, EN - Atmidómetro, electrómetro y eudiómetro: Y de algunos hechos físicos que debe co- -Mocer toda. persona bien educada. . . . + + 128 A general de las sustancias simples que se conocen , y de algunos hechos físicos importantes, juntamente con la. descripatálogo de las sustancias simples. . . .- - 150 tar al logaritmo de una cantidad en que entre el valor de la densidad del ayre tomada al nivel del mar, para que dicho logaritmo corresponda á la densidad del COEN á la altura que se 'espresa. .. . +.» 159 Ssultado sobre el peso del agua pura que me ha franqueado el Sr, D. Juan de PINO e 176 : la del peso del pie Cúbico de agua, en Pe, Vacío y á diferentes temperaturas. « - 179 Tab del pie cúbico de ayre atmosférico. . 181 | De * del peso del agua pura en el ayre. . 182 | d Movimiento de los proyectiles, contan- | 9 con la resistencia del ayrez y Cons-
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