Asignación minmax en el muestreo estratificado con una o varias características

ESTADISTICA ESPAÑOLA Vol. 34, Núm. 131, 1992, págs. 455 a 468 Asignación MinMax en el muestreo estratificado con una o varias características por MARIA TERESA AREVALO QUIJADA y AMPARO MARIA MARMOL CONDE Departamento de Economía Aplicada. Universidad de Sevilla Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales RESUMEN Este trabajo trata el problema de la determinación de los tamaños muestrales en el muestreo estratificado. Para situaciones en que se pretende finalizar el proceso de muestreo en el menor tiempo posible trabajando simultáneamente en los estratos, formulamos un modelo que minimiza el máximo de los tiempos empleados en cada estrato, acotando el error cometido en la estimación, y obtenemos un método exacto que nos proporciona una expresión analítica para los tamaños muestrales, tanto en el caso de la estimación de una como de varias características. Palabras clave: Muestreo estratificado, asignación MinMax, estimación de varias características. Clasificación AMS: 62D05, 90C29, 90A80. ^ ^^ ^ f.^ 1!I)I^ f!( 1) ti{' 1^^ )I -1 1. INTRODUCCION En el diseño de una encuesta con un muestreo simple estratificado para la estimacián de una a varias características, surge el problema de la determinación de los tamaños muestrales en cada estrato. Es frecuente que se deseen incorporar los costes de muestreo (unidades rnonetarias, tiempo de encuesta, distancias...} a la determinación óptima de estos tamaños muestrales, al mismo tiempo que se controla el error que se comete en la estimación de cada una de las características. Así, si es posible definir funciones objetivos que dependan de los costes y formular las limitaciones sobre el error cometido a través de restricciones, se puede plantear un madelo matemático cuya solucibn nos proporcione la asignación deseada. Si lo que se pretende es que el coste total de muestreo, medido en unidades monetarias, sea lo más pequeño posible, deberemos minimizar la suma total de los costes de muestreo en cada estrato. En la literatura aparecen diversos estudios en este sentido. EI primer tratamiento del problema de la determinación de los tamaños muestrales en los estratos para la estimación de una característica fue publicado por Neyman (1934), aunque Tschuprow (1923} independientemente había Ilegado a resultados análogos, permaneciendo su trabajo desconocido hasta entonces. Estos autores dieron la expresión analítica de los tamaños muestrales que minirnizan ei coste total de muestreo, con una varianza prefijada para el estimador de la media de una característica y suponiendo que las funciones de coste en cada estrato son lineales. Los intentos de generalización de la asignación obtenida por Neyman al caso de la estimación de varias características no han dado lugar hasta ahora a procedimientos exactos de resolución, en el sentido de obtener una expresión analítica para los tamaños muestrales. Autores como Yates (1960}, Dalenius (1957) y Kokan y Khan (1967) abordan el problema de la determinación de los tamaños muestrales para la estimacibn de varias características, obteniendo soluciones de compromiso mediante métodos iterados, y Dalenius propone también una solución gráfica para el problema con dos características. Ahora bien, esta asignacián basada en la minimización de la suma de los costes en cada estrato no siempre es la adecuada. Por ejemplo, si se desea terminar el proceso de muestreo en el menor tiempa posible, trabajando simuitáneamente en los distintos estratos, no es el coste total (medido en tiempo de :1ti1(^NAt'It)N MINti1A?^ f^N I^I MUF-ti^^fltt^O ^_STf^^1TIF-1t'fi1U^ ^ i^ON 1^^^^ li ^'^^kl^^^ l^.^k;^1( 1f KI^I I( ,^^ ^^^ muestreo) el que debe determinar la asignación de estos tamaños, es decir, no sería apropiado el uso de una funcián objetivo que sea la suma de todos los tiempos. Supongamos que se está diseñando una encuesta con muestreo estratificado. Se dispone de distintos entrevistadores que son especialistas en cada estrato, no pudiendo haber cambios en la asignación de los entrevistadores a los estratos. EI objetivo que se persigue es la finalización de todas las entrevistas en el menor tiempo posible. Así, si denotamos por t; y n; el tiempo de entrevista y et tamaño de la muestra, respectivamente, en el estrato i-ésimo, lógicamente una asignación que minimice ^t; n; no sería apropiada para esta situación, pues no garantiza la terminación de todas ias entrevistas en un tiempo mínimo. En este tipo de problemas es indicado la utilización del criterio MinMax, ya que, para este objetivo, sería óptima una asignacián que minimice el máximo de ios tiempos totales de entrevista en cada estrato para niveles de varianzas fijadas, es decir, una asignación que minimice Max; {t; n; }. En este trabajo se formalizan este tipo de sítuaciones. Midiendo ei coste en tíempo por unidad muestreada, formulamos y resolvemos un modelo que minimiza e! máxirno de los tiempos empleados en cada estrato y acotamos el error cometido en la estimación, imponiendo que las varianzas totales de los estimadores de las distintas características no superen unos valores prefijados de antemano. Obtenemos un método exacto que nos proporciona una expresión analítica para los tamaños muestrales cuando se pretende finalizar las entrevistas en el menor tiempo posible trabajando simultáneamente en los estratos, tanto para el caso de la estimación de una como de varias características. Así, en el apartado 2 se trata el problema con una sola característica, formulándose como un problema MinMax con una restricción, pues nuestro problema puede transformarse en un problema MinMax con funciones objetivo decrecientes y una restricción lineal, y admite un tratamiento análogo al que utiliza J. R, Brown (1979) para el problema MaxMin con funciones objetivo crecientes con una restrícción lineal. De esta forma se obtiene la expresión analítica de !a asignación MinMax, haciéndose notar las analogías y diferencias que presenta frente a la asignación de Neyman, e ilustrándose la situación con un caso práctico. En el apartado 3 se generaliza al caso de varias características. EI algoritmo que se presenta está basado en los resultados obtenidos por Mármol y Pelegrín Iti111^1`r111 ^}^1'lti( ^ 1 -1 (1991) para problemas MaxMin con funciones objetivo crecientes y varias restricciones lineales. Este algoritmo tiene también en cuenta las limitaciones de que el tamaño muestral en cada estrato no ha de ser menor que ía unidad, ni mayor que el tamaño del estrato, condición que otros autores no plantean hasta la conclusión de los algoritmos que resuelven el problema de la minimización de Ios costes. Se ilustra tambíén el procedimiento con un ejernpla numérico. Hay que hacer notar que, aunque el procedimiento se presenta para funciones de coste lineales en los estratos, esta metodología puede extenderse al caso más genera( de funciones de coste no decrecientes en los rnismos. 2. DETERMINACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA EN CADA ESTRATO PARA LA ESTIMACION DE UNA CARACTERISTICA En lo que sígue supondremos una población de tamaño N dividida en L estratas y que el muestreo dentro de cada estrato es aleatorio simple sin reemplazarniento. Para el i -ésimo estrato i=1, ..., L denotarernos por N^ = número de unidades. n^ =tamaño de !a rnuestra. Yf=valor de la característica bajo estudio para la r-ésima unidad. r=1, ..., N. W = N /N. ,^ 1 N, Y= ^ Yr media en e! estrato. N^ r=1 S? = 1 ^ (N;-1) n , ^ y^^ media muestral en el estrato. r=1 N , ^( Yr- Y^ )2 cuasivarianza en el estrato. r=1 ^ n, s? _ ^ (y^^- y; )2 cuasivarianza muestral. ^n^-1 ^ r-1 =tiempo de muestreo por unidad en el estrato i. Vo =vaior prefijado para la varianza del estimador de la media. L Yst =^ W y^ estimador de la media. i=1 ^tilc;^f ^( I(^^; titl^l!^1-1\ I^J I I titl'f titkF l ^ ! tiIK,^111f I( ^[^( ^ c ^ ^ ti I ti^^ ^ ^^k1 ^^ ^^k ^^ I I I{I^I I^ 1^ Con esta notación, si los tiempos son lineales en cada estrato, la función de tiempo total en cada uno de ellos será t, n^ , i=1, .. ., n; y la varianza total del estimador de la media cuando se quiere estirnar una característica es L ^^ySr )_ ^ w'2S2 i=1 1 1 ) n N ^^ Nosotros proponemos una asignación que minimice el máximo de los tíempos empleados en cada estrato prefijando el valor para ia varianza total del estimador. Con esto conseguiremos una precisión determinada en la estimación de la media. Esta asignación es la solución al problema Min Max {t^ n,} 1 ^r <L L s.a.: ^ W2S2 ^ ^ 1 1 n. , N. , ) Problema que mediante el cambio de variable x; _ 1 i=1,..,L n. , se convierte en un probiema MinMax con una restricción lineal y funciones objetivos decrecientes, cuya solución puede obtenerse de forma similar a la que obtiene Brown (1979) para el problema MaxMin con funciones objetivos crecientes. Esta solución es n= L ^ ^ 2 S? t^ L V + 1 W. S ? U ^ I J N ^y^ A esta asignación la denominaremos asignación MinMax. Notemos que los tamaños muestrales obtenidos de esta forma son inversamente proporcionales a los tiempos por unidad de muestreo en cada estrato, por lo que a medida que el tiempo de muestreo en un estrato aumente disminuirá el tamaño de la muestra en el mismo. f ti(:1(>Ititl( ^1 i `^t'^1^1()t ;1 Obsérvese la relación que hay entre la forma analítica de esta asignación y la asignación de Neyman, que tiene la expresión n= L ^ w s ^t w s, ; `, ^ ^ tl ^ V + 1 WS2 0 ^ ^ ^ N ^_^ aunque en esta asignación los tamaños muestrales dependen, además, dírectamente de los tamaños de los estratos y de las varianzas de los mismos, e inversamente de las raíces de los tiempos de entrevistas, su utilización será adecuada cuando el objetivo sea !a rninimización de los costes totales y no en situaciones como la planteada. De la misma forrna que en el caso de la asignación de Neyman, esta solución MinMax no tiene en cuenta el hecho de que ia asignación del tamaño muestral en los estratos na puede ser menor que uno ni mayor que el tamaño del estrato, es decir, 1<_ n^ ^ N^ . En el apartado 3, al estudiar el caso general, se incarporan estas restricciones. A modo de ilustracián, con objeto de hacer patente la diferencia entre la asignacián de Neyrnan y la asignación MinMax, considérese la siguiente situación, modificación de un ejemplo que aparece en Pandurang y otros ( 1984): Se quiere estimar la media de la variable «cultivo de trigo» en una determinada zona agrícola que comprende 340 pueblos. Estos pueblos han sido estratificados según el tamaño de su área de cultivo en cuatro estratos, como se rnuestra en la columna 2 de la tabla adjunta. EI número de pueblos de los diferentes estratos viene dado en la coiumna 3. Las muestras serán tomadas por equipos de entrevistadores que trabajarán de forma independiente en cada uno de los estratos, siendo los tiempos de entrevista por unidad de muestra distintos según los estratos. Los tiernpos de entrevistas estimados y las desviaciones típicas de los estratos S; para la variable vienen dados en las columnas 4 y 5 de la tabla. ESTRATO TAMAÑO N; t^ S^ S? 1 0-500 63 2 56,3 3.169,69 2 501-1.500 199 1 116,4 13.548,96 3 1.501-2.500 53 2 186,0 34.596,0 4 >2.500 25 3 361,3 130.537,69 ;1ti1(^NA('I^)N ti1fNM^1`i f^N 1^( tilt^tti^T^ltF•^ ^ f=tif^Ft^^^f^IFI(^^.lN)( (1!^ I^N•^t)^^^+^kl.^^^ tik^^t If kltill^^ ^1ti ^(^) Se desea terminar todas las entrevistas en el menor tiempo posible, trabajando simultáneamente en los estratos, y para controlar el error de la estimacián impondremos que P{^ys^-Y^<_44,7}=0,95 [1 J donde Y denota la media poblaciona! y ySt el estimador de la media. Si el estimador ysr se distribuye normalmente, entonces P{IYst-Y^<_ 2 SE(yS^)}=0,95 [2] De las ecuaciones [1 J y[2J se deduce que debe diseñarse la encuesta de forma que la varianza total del estirnador de la media V ( yst )<500 En estas condiciones, la asignación MinMax proporciona unos tarnaños muestrales que, redondeados por exceso para conservar el nivel de varianza, dan lugar a n ^=8; n 2=16; n 3=$; n 4=6. Por tanto, se pueden finalizar todas las entrevistas en 18 unidades de tiempo y éste es el menor tiempo posible, al ser esta asignación la solución al problema Min Max {2n ^, n 2, 2n 3, 3n 4} s.a.: 108,83 1- 1+4.641 46 1-- 1 +840 66 1_ 1 + n^ 63 ' n 2 199 ' n 3 53 +705, 76 1 _ ^ <_500 n4 25 Ahora bien, si pretendemos minimizar la suma total de los tiempos de entrevistas será más adecuado usar ia asignación de Neyrnan, que proporciona unos tamaños muestrales (redondeados por exceso) de n 1=3; n 2=21; n 3=7; n 4=5. 3. DETERMINACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA EN CADA ESTRATO PARA LA ESTIMACION DE VARIAS CARACTERISTICAS Trataremos el problema general donde se quieren estirnar varias características con funciones de tiempo de entrevista en cada estrato lineales y crecientes, y con precisiones para la estirnación de la rnedia de cada una de las I til 11^1`1It l t ^I'1ti^ ^ I ^ características fijadas de antemano. Lo que podemos expresar como que la varianza total de! estimador de la media para cada característica sea menor o igual que un determinado valor. Para un problerna con L estratos y H características sea S,^=cuasivarianza de la característica j-ésima en el estrato i-ésimo, i=1, ..., L, j =1, ..., H. Vá= nivel máximo prefijado para la varianza del estimador de la media de la característica j -ésima, j =1, . .. , H. La función objetivo será Max {t, n, } i =1, . .. , L y las restricciones tendrán la forma 2c^ z ^ ^ J ^l i=1 1 n N ^^ 1 ) <Vó j=1, ..., H Por tanto, el problema a resolver será Min Max {t^n^} 1 <i <L L 2 2 s.a.: ^ W S i ij i=1 ^ =1^ •- , 1 <_n^<_N^ i=1, ..., L Que tiene funciones objetivo lineales, pero cuyas restricciones relativas a la varianza del estimador no lo son. Si hacemos un cambio de variable y Ilamamos n. , ^f 1 _ ^Vó n N. ^^ 1 , EI problema se transforma en ^\til(^N^^(^I^)N !^^11N!^1:^^ f^N I^I ^11'f^tilltk^^at^tilk^>lll It ^^I)^^l ta^ 1'ti^ ^'^ ^ ^KI tN , , Min Max -N x +1 1 ^ ._ L ,^ L s.a.: ^ W2S ^2X^<_Vo j=1, ..., H J i=1 1 p<x<1- i=1, ..., L ti i 11? ^i 9 I Irl^l It ^^ -^{^.^ Probierna con restricciones iineaies y cuyos objetivos son funciones estrictamente decrecientes, ya que son inversos de funciones lineales. Mármol y Pelegrín (1991} tratan el problema de maximizar la mínima recompensa con funciones continuas y estrictamente crecientes cuando las restricciones son lineales con coeficientes positivos. En nuestro caso, tratamos de rninimizar el máximo de los tiempos de entrevista en cada estrato, siendo las funciones en el objetivo continuas y decrecientes. Siguiendo una metodología análoga a la utilizada en el trabajo anteriorrnente citado, construimos un procedimiento para resolver nuestro problema. En función de las variables originales, la descripción del método sería la siguiente: Resolvemos el problema relajado Min Max {t^ n^} 1 <_i sL L 1 1 s.a.: ^ W^2S^^ - <_Vó j =1, ..., H (11) n^ n i =1 i mediante el siguiente algoritmo. Algoritmo I que t. 1 ^ W^ 2S^2 ' - ^Vp j =1, ..., H ^ z N^ i=1 n;>1 i=1, ..., L PASO 1: Para las H+L restricciones del problema, hallar zk k^ 1, ..., H+L tal r-1,..,L 2H+^