Isotopismos de álgebras de Lie filiformes sobre cuerpos finitos

Isotopismos de ´algebras de Lie filiformes sobre cuerpos finitos O.J. Falc´ona, R.M. Falc´ona, J. N´u˜nezb (a) Departamento de Matem´atica Aplicada I, Universidad de Sevilla. E-mail: [email protected], [email protected] (b) Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa, Universidad de Sevilla. E-mail: [email protected] Resumen. El presente trabajo trata la distribuci´on del conjunto Fp nde ´algebras de Lie filiformes de dimensi´on nsobre Z/pZen clases isom´orficas e isot´opicas. Se estudian para ello distintas propiedades que deben verificar las aplicaciones lineales correspondientes, al mismo tiempo que se identifica dicho conjunto con la variedad af´ın asociada a un determinado ideal de polinomios booleanos. Finalmente, para p= 2, se muestra c´omo identificar cada ´algebra de F2 ncon un par de grafos, cuyas clases de isomorfismo pueden identificarse con las clases isom´orficas e isot´opicas de las correspondientes ´algebras. Palabras clave. Isotopismo; ´algebra de Lie filiforme; teor´ıa de grafos. 1 Introducci´ on En esta comunicaci´on buscamos relacionar la Teor´ıa de Lie con la Teor´ıa de grafos, con un doble objetivo. El primero, tratar de utilizar las propiedades de cada una de estas teor´ıas para obtener nuevas propiedades de la otra. El segundo, ya m´as concreto y en la linea del primero ya mencionado, apoyarnos en el estudio de grafos para facilitar la resoluci´on del problema de la clasificaci´on de las ´algebras de Lie (reales o complejas), que permanece abierto en la actualidad. A pesar de que la clasificaci´on de ´algebras de Lie semisimples es ya totalmente conocida, s´olo se conocen hasta el momento clasificaciones expl´ıcitas (listas de ´algebras no isomorfas entre s´ı) de otros tipos de ´algebras para dimensiones peque˜nas. As´ı, de las resolubles, s´olo hasta dimensi´on menor o igual que 6. Del subconjunto de estas ´ultimas, el de las nilpotentes, s´olo hasta dimensi´on menor o igual que 7. Finalmente, de las filiformes, subconjunto de las anteriores, s´olo son conocidas las clasificaciones hasta dimensi´on 12 inclusive [3, 4, 7]. A partir de ah´ı y pese a los numerosos intentos realizados, no se ha llegado a avanzar en este problema. De hecho, incluso algunos expertos, como Shalev y Zelmanov [8], ya han manifestado que es imposible obtener en forma expl´ıcita la clasificaci´on de Avances en Matemática Discreta en Andalucía Vol. III, M. Cera, P. García, R. Moreno y J. C. Valenzuela (ed.), 147-156. ISBN: 978-84-15881-46-9 148 Isotopismos de ´algebras de Lie filiformes sobre cuerpos finitos las ´algebras de Lie nilpotentes de dimensiones superiores. ´ Esta es la raz´on por la que actualmente, adem´as de estar consider´andose problemas que se dirigen m´as a la b´usqueda de nuevas propiedades de estas ´algebras que a la clasificaci´on en s´ı de las mismas, tambi´en se est´an centrando los esfuerzos en buscar resultados parciales en estas clasificaciones, como pudieran ser los de clasificar determinadas familias particulares de ´algebras de Lie o ´algebras de Lie definidas sobre cuerpos finitos, a diferencia de sobre RoC. As´ı, en esta comunicaci´on se clasifican las ´algebras de Lie filiformes de dimensi´on peque˜na sobre Z/pZ, con pprimo, no s´olamente por isomorfismos, que es el criterio habitualmente usado, sino tambi´en por isotopismos, con la doble idea de, por un lado, introducir la clasificaci´on de ´algebras de Lie por estos ´ultimos objetos y por otro, comparar ambas clasificaciones, al objeto de establecer diferencias entre ambas y ver cu´al de las dos aporta mejores resultados. Y todo ello, como se ha indicado, ayud´andonos de la utilizaci´on de objetos propios de la Matem´atica Discreta, con la consiguiente posibilidad de trasladar posteriomente propiedades de estas ´algebras a los mismos y rec´ıprocamente, lo cual permite facilitar el estudio inicialmente abordado. 2 Preliminares Un ´algebra de Lie gde dimensi´on nsobre un cuerpo Kes un K-espacio vectorial de dimensi´on ndotado de una segunda ley interna, llamada producto corchete, que es bilineal, anti-conmutativa y tal que verifica la identidad de Jacobi: J(u, v, w) = [[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0,∀u, v, w ∈g.(1) Se define la sucesi´on de resolubilidad de gseg´un: C1(g) = g,C2(g) = [C1(g),C1(g)], . . . , Ck(g) = [Ck−1(g),Ck−1(g)], . . . (2) Si existe m∈Ntal que Cm(g)≡0, el ´algebra de Lie gse denomina resoluble. Asimismo, se define la sucesi´on de nilpotencia de gseg´un: C1(g) = g,C2(g) = [C1(g),g], . . . , Ck(g) = [Ck−1(g),g], . . . (3) El ´algebra gse denomina nilpotente si existe m∈Ntal que Cm(g)≡0. En particular, toda ´algebra de Lie nilpotente es resoluble. Un ´algebra de Lie nilpotente gde dimensi´on nse dice filiforme, si se verifica que: dim Ck(g) = n−k, ∀k∈ {2,...,n−1}y dim Cn(g) = 0.(4) O.J. Falc´on, R.M. Falc´on, J. N´u˜nez 149 Toda ´algebra de Lie filiforme tiene una base adaptada {e1,...,en}, verificando que: [e1, e2] = 0,[e1, eh] = eh−1,[e2, eh] = [e3, eh] = 0,∀h∈ {3,...,n}.(5) Los productos anteriores se denominan productos debido a la filiformidad del ´algebra y no aparecen habitualmente en la definici´on de la ley de un ´algebra de Lie filiforme, ya que se consideran supuestos. Con respecto a la base adaptada, se verifica: C2(g)≡ {e2,...,en−1}, . . . , Cn−1(g)≡ {e2},Cn(g)≡ {0}.(6) Un ´algebra de Lie filiforme gse dice modelo, si los ´unicos productos no nulos con respecto a una base adaptada son los siguientes: [e1, eh] = eh−1,∀h∈ {3,...,n}.(7) En el presente trabajo nos centramos en el estudio de la familia Fp nde ´algebras de Lie filiformes n-dimensionales, con base adaptada sobre el cuerpo finito Z/pZ. Suponemos adem´as n > 5, puesto que 5 es la dimensi´on m´ınima en la que aparecen productos corchetes diferentes a los debidos a la filiformidad. En efecto: •Si n= 2,3 ´o 4, todos los productos corchetes son nulos. La ´unica ´algebra de Lie es la abeliana en cada dimensi´on. •Si n= 5, el ´unico producto corchete no trivial en ges [e4, e5] = c2 45e2. Las ´unicas ´algebras de Lie son entonces la modelo y el ´algebra con este producto corchete [e4, e5] = c2 45e2. 3 Isotopismos de ´ algebras de Lie Se denomina isotopismo entre dos ´algebras de Lie gyhde dimensi´on nsobre un mismo cuerpo Ka toda terna (f, g, h) de aplicaciones lineales biyectivas entre gyh, tales que h([x, y]) = [f(x), g(y)], para todos x, y ∈g. Se dice entonces que gyhson isot´opicas. Si f=g=h, entonces la correspondiente terna es un isomorfismo de ´algebras de Lie y se denota ´unicamente por f. Puede consultarse [1] para mayor informaci´on. Lema 1. Todo isotopismo (f, g, h)entre gyhverifica que f=g. Demostraci´on. Por las propiedades del producto corchete, dados x, y ∈g, se tiene [f(x), g(y)] = h[x, y] = h(−[y, x]) = −h[y, x] = −[f(y), g(x)] = [g(x), f(y)]. En particular, tomando x=y, se tiene que [f(x), g(x)] = [g(x), f(x)], de lo que se deduce por anti-conmutatividad que f(x) = g(x),∀x∈g. 150 Isotopismos de ´algebras de Lie filiformes sobre cuerpos finitos Sea (f, f, h) un isotopismo entre dos ´algebras de Lie filiformes gyhde dimensi´on nsobre un mismo cuerpo Ky bases adaptadas respectivas {e1,...,en} y{e′ 1,...,e′ n}. Sean F= (fij) y H= (hij ) las matrices de orden nasociadas afyh, respectivamente. Se cumple en particular que h(ei) = h([e1, ei+1]) = [f(e1), f(ei+1)] ∈ he′ 2,...,e′ n−1i, para todo i∈ {2,...,n−1}. Adem´as, como los valores que tomen h(e1) y h(en) no influyen en el hecho de ser (f, f, h) un isotopismo, podemos suponer, por ejemplo, que h(e1) = e′ 1yh(en) = e′ n. Se tiene el siguiente resultado: Lema 2. En las matrices FyHse verifican: a) f2i= 0, para todo i6= 2. b) f11 6= 0. c) h1i=hnj = 0, para todo i6= 1 ypara todo j6=n. d) ∃α∈K\{0}tal que h22 =f33 ·f11, h32 =f43 ·f11, ..., h(n−1)2 =fn3·f11. e) f13 = 0. f) El ´algebra abeliana s´olo es isot´opica a ella misma. g) h(n−1)k=f11fn(k+1) −fn1f1(k+1), k ≥3. h) f1k·fn3= 0,para todo k≥4. i) Si c3′ 4n6= 0, entonces fn3=f(n−1)3 = 0. Si c3′ 4n= 0 pero c2′ 4n6= 0, entonces fn3= 0. Demostraci´on. Por razones de extensi´on, demostramos ´unicamente el apartado (a), siendo an´alogas las pruebas del resto de afirmaciones. Se tiene que [f(e2), e′ 1] = [f(e2), f(f−1(e′ 1))] = h([e2, f−1(e1)]) = h(0) = 0. Luego, 0 = [f(e2), e′ 1] = [Pn j=1 f2je′ j, e′ 1] = Pn j=1 f2j[e′ j, e′ 1]. Por filiformidad, f2j= 0 para todo j≥ 3. Adem´as, 0 = h(0) = h([e2, f−1(e′ 3)]) = [f(e2), e′ 3] = [f21e′ 1+f22e′ 2, e′ 3] = [f21e′ 1, e′ 3] = f21e′ 2, por lo que f21 = 0. Puede suponerse adem´as que fj2= 0, para todo j6= 2, dado que si e′ 2aparece como factor en un corchete de alg´un sumando de la identidad de Jacobi, este corchete siempre se anula, por lo que el valor de fj2es irrelevante. Por tanto, como consecuencia de todo lo anterior, las matrices FyHson de la forma: O.J. Falc´on, R.M. Falc´on, J. N´u˜nez 151 F=         f11 0 0 ... f1n 0 1 0 ... 0 f31 0f33 ... f3n . . . . . . . . . . . . . . . fn10fn3... fnn         , H =           1 0 0 ... 0 0 0f11f33 h23 ... h2(n−1) 0 0f11f43 h33 ... h3(n−1) 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0f11fn3h(n−1)3 ... h(n−1)(n−1) 0 0 0 0 ... 0 1           (8) Con vistas a distribuir los elementos de Fp nen clases de isotopismos, nos interesa determinar el conjunto I(g,h) de isotopismos entre dos ´algebras de Lie cualesquiera g,h∈ Fp n. Es necesario para ello determinar las posibles matrices F= (fij) y H= (hij ) asociadas a tales isotopismos, lo cual puede hacerse de forma algebraica atendiendo al siguiente resultado, cuya prueba se basa en la Proposici´on 2.7 y el Teorema 2.10 de [2]. Teorema 1. El conjunto I(g,h)se puede identificar con el conjunto de ceros del ideal cero-dimensional en Q[f11, ..., fnn, h11, ..., hnn]: I=hfp ij −fij |i, j ∈[n]i+hhp ij −hij |i, j ∈[n]i+hY i∈[p−1] (det(F)−i)i+ hY i∈[p−1] (det(H)−i)i+hX k∈[n] ck ij ·hkl −X u,v∈[n] fiu ·fjv ·cl uv |i, j, l ∈[n]), donde, para todo natural m, denotamos por [m]al conjunto {1,...,m}. Adem´as, |I(g,h)|= dimQ(Q[f11, ..., fnn, h11, ..., hnn]/I).✷ La variedad af´ın V(I) del Teorema 1 y su dimensi´on pueden obtenerse a partir de cualquier base de Gr¨obner de I. En este sentido, ha sido implementado en Singular [5] un procedimiento llamado IsoFla, que ha sido incluido en la librer´ıa lie.lib [6] y que contempla los distintos resultados expuestos en la presente secci´on, con vistas a determinar si dos ´algebras de Lie filiformes son isot´opicas o no. 4 Enumeraci´ on y clasificaci´ on de Fp 6 Como aplicaci´on de los resultados expuestos en la anterior secci´on, nos centramos a continuaci´on en la primera dimensi´on de ´algebras de Lie filiformes a analizar, esto es, n= 6. En concreto, toda ´algebra g∈ Fp 6con base adaptada {e1,...,e6}est´a un´ıvocamente determinada por los siguientes productos corchetes: [ei, ej] = 4 X h=2 ch ijeh,para 4 ≤i < j ≤6,(9) 152 Isotopismos de ´algebras de Lie filiformes sobre cuerpos finitos El ´algebra gpuede identificarse con la terna (c2 45, c2 46, c2 56)∈(Z/pZ)3, puesto que, debido a (5) y a la identidad de Jacobi, se verifica que:      c2 45 =c3 46 =c4 56, c2 46 =c3 56, c3 45 =c4 45 =c4 46 = 0. (10) En particular, haciendo uso de los resultados expuestos con anterioridad en el presente trabajo, mostramos en la Tabla 1 la distribuci´on en clases isom´orficas e isot´opicas de Fp 6, para p∈ {2,3}. p Isomorfismos Isotopismos 2{(0,0,0)} {(0,0,0)} {(0,0,1)} {(0,0,1)} {(0,1,0)} {(0,1,0),(0,1,1)} {(0,1,1)} {(1,0,0),(1,0,1)} {(1,0,0),(1,0,1)} {(1,1,0),(1,1,1)} {(1,1,0),(1,1,1)} 3{(0,0,0)} {(0,0,0), {(0,0,1),(0,0,2)} {(0,0,1),(0,0,2)} {(0,1,0),(0,1,1),(0,1,2)} {(0,1,0),(0,1,1),(0,1,2), {(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2)}(0,2,0),(0,2,1),(0,2,2)} {(1,0,0),(1,0,1),(1,0,2),{(1,0,0),(1,0,1),(1,0,2), (1,0,0),(1,0,1),(1,0,2)}(1,0,0),(1,0,1),(1,0,2)} {(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),{(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2), (1,2,0),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,0),(1,2,1),(1,2,2), (2,1,0),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,0),(2,1,1),(2,1,2), (2,2,0),(2,2,1),(2,2,2)}(2,2,0),(2,2,1),(2,2,2)} Tabla 1: Clases isot´opicas de Fp 6 5 Grafos asociados a F2 n La distribuci´on en clases isom´orficas e isot´opicas de los elementos de Fp npuede simplificarse una vez identificada cada ´algebra de Lie filiforme con unos determinados grafos, cuyos invariantes podr´ıan utilizarse a la hora de elaborar dicha clasificaci´on. Para poner de manifiesto esta relaci´on, nos centramos a continuaci´on O.J. Falc´on, R.M. Falc´on, J. N´u˜nez 153 en el caso p= 2. Para ello, identificamos cada ´algebra filiforme g∈ F2 ncon base adaptada {e1,...,en}con dos grafos Gg 1yGg 2, cuyos respectivos conjuntos de v´ertices son: V(Gg 1) = {v{i,j,k}|i, j, k ∈gtal que i+j=k} ∪ {vi|i∈g} ∪ {v{i,j}|i, j ∈gtal que i6=j}. V(Gg 2) = V(Gg 1)∪ {wi|i∈ he2,...,en−1i} ∪ {w{i,j,k}|i, j, k ∈ he2,...,en−1ital que i+j=k}. Sus respectivos conjuntos de aristas se definen de la siguiente forma: E(Gg 1) = {v{i,j,k}vi|i, j, k ∈gtal que i+j=k} ∪ {viv{i,j}|i, j ∈g} ∪ {v{i,j}vk|i, j, k ∈gtal que [i, j] = k}. E(Gg 2) = {v{i,j,k}vi|i, j, k ∈gtal que i+j=k} ∪ {viv{i,j}|i, j ∈g} ∪ {v{i,j}wk|i, j, k ∈gtal que [i, j] = k} ∪{wiw{i,j,k}|i, j, k ∈gtal que i+j=k}. Atendiendo a la anterior construcci´on y a la definici´on de isomorfismo e isotopismo de ´algebras de Lie filiformes de F2 n, se verifica en particular el siguiente resultado: Teorema 2. Dos ´algebras de Lie filiformes g1,g2∈ F2 nson isomorfas (respectivamente, isot´opicas) si y s´olo si sus grafos asociados Gg1 1yGg2 1(respectivamente, Gg1 2yGg2 2) son isomorfos. ✷ Las Figuras 1 y 2 muestran, como ejemplo, parte de los grafos Gg 1yGg 2asoci- ados al ´algebra de Lie filiforme g∈ F2 6, cuya ley viene dada por: [e4, e5] = e2,[e4, e6] = e3,[e5, e6] = e2+e4.(11) 6 Futuras l ´ ıneas de investigaci´ on Se plantean las siguientes dos futuras l´ıneas de investigaci´on: a) El estudio de propiedades e invariantes de los grafos definidos en la anterior secci´on, lo que permitir´a caracterizar y simplificar la distribuci´on en clases isot´opicas e isom´orficas del conjunto de ´algebras de Lie filiformes de F2 n. b) El desarrollo de un estudio similar para el caso de grafos asociados al conjunto Fp n, con pprimo impar. 154 Isotopismos de ´algebras de Lie filiformes sobre cuerpos finitos Fig. 1: Subgrafo de Gg 1. Fig. 2: Subgrafo de Gg 2. Referencias [1] Albert, A. A. 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