Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales

UNIVERSIDAD DE SEVILLA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE ARQUITECTURA DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS, TEORÍA DE ESTRUCTURAS E INGENIERÍA DEL TERRENO TESIS DOCTORAL ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD DE LAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN SOMETIDAS A MOVIMIENTOS DIFERENCIALES DOCTORANDO RUBÉN DARÍO CANO MARÍN DIRECTOR DE TESIS ANTONIO JARAMILLO MORILLA SEVILLA, MAYO 2014 II Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales RESUMEN Las deformaciones más comunes en edificación están relacionadas con movimientos diferenciales de la cimentación, deformaciones impuestas que dan lugar a la aparición de distorsiones angulares, esfuerzos o tensiones tangentes al movimiento que en caso de superar la resistencia del elemento constructivo al que afecte, estructuras, particiones o instalaciones rígidas, provocarán su fisuración. Desde mediados del siglo XX se ha estudiado el comportamiento de los edificios frente a este tipo de deformaciones, la afección de dichas deformaciones a la estabilidad de la estructura y los daños asociados a la obra secundaria. Estas investigaciones se han centrado en el análisis del comportamiento global de la edificación, ofreciendo mediante métodos teóricos y empíricos, valores de referencia para acotar el rango admisible de distorsión angular en función al tipo de estructura, la altura del edificio, el cociente de su altura y longitud, o el uso al que se destina el edificio. Actualmente el Código Técnico de la Edificación define los valores máximos de distorsiones angulares para el Estado Límite de Servicio, condicionando dicho valor al tipo de estructura, L/300 para estructuras isostáticas y muros de contención, L/500 para estructuras reticuladas, o L/700 en paneles prefabricados. Sin embargo la capacidad de una estructura para asumir estas deformaciones dependerá, entre otros factores, de la rigidez o ductilidad de cada elemento que la compone, por lo que cualquier valor fijo y global de distorsión podría resultar conservador o, por el contrario, dar lugar a deformaciones inadmisibles en la estructura, lo que dependerá entre otras variables de la resistencia de los materiales, las características geométricas o el armado de cada sección. La presente tesis doctoral tendrá como objetivo ofrecer una aproximación a los valores máximos de distorsión angular asociados al Estado Límite Ultimo en secciones rectas de hormigón armado. Asimismo se plantea un procedimiento de cálculo que permita analizar la estabilidad a lo largo de la pieza, definiendo el límite a partir del cual tomará una deformación elástica lineal, elástica no lineal, o plástica hasta alcanzar su rotura, y establecer una relación entre dichas deformaciones y los daños asociados a la albañilería. Rubén Darío Cano Marín III AGRADECIMIENTOS La presente Tesis Doctoral ha sido dirigida por Antonio Jaramillo Morilla, Catedrático de la Universidad de Sevilla, a quien agradezco la generosa disposición que siempre ha tenido a compartir sus conocimientos. A Héctor Cifuentes Bulté, Doctor Ingeniero Industrial y profesor de la Universidad de Sevilla, por su inmensa aportación a este trabajo y los medios informáticos que ha puesto a mi alcance. A Javier Vijande Asensio, Doctor en Física Teórica y profesor de la Universidad de Valencia, por las lecturas, correcciones y aportaciones matemáticas a este documento. A Asemas, Mutua de Seguros y Reaseguros de los Arquitectos, y en especial a Pedro Rodríguez Pérez, por brindarme la oportunidad de realizar los trabajos periciales que han dado lugar a estas inquietudes. A mis padres, Antonio y Encarna, por hacerme ver que no existen más límites que los que uno mismo se impone, y por darme la profesión de la que disfruto todos los días. A mi pareja e hijos, a quienes debo los ratos dedicados a este trabajo. IV Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales NOTACIÓN Distorsión angular  Giro de la cimentación S Asiento de cualquier punto de la cimentación  Distorsión angular  Movimiento diferencial Características del hormigón ck f Resistencia característica del hormigón cd f Resistencia de cálculo del hormigón a compresión cm f Resistencia media a compresión a los 28 días ctd f Resistencia de cálculo del hormigón a tracción ct f Resistencia característica del hormigón a tracción ctm f Resistencia media del hormigón a tracción a 28 días flctm f, Resistencia media a flexotracción cc f Resistencia del hormigón confinado ct  Coeficientes de duración de la carga sobre la resistencia a tracción cc  Coeficientes de duración de la carga sobre la resistencia a compresión c  Coeficiente parcial de seguridad del hormigón cm E Módulo de elasticidad para un hormigón de 28 días c E Módulo de deformación cargas instantáneas c  Deformación del hormigón 1c  Máxima deformación del hormigón a compresión cu  Máxima deformación del hormigón a flexión ctm  Deformación unitaria del hormigón a tracción para su resistencia media ct  Máxima deformación del hormigón a tracción c  Tensión del hormigón Rubén Darío Cano Marín V Características del acero yk f Límite elástico garantizado yd f Resistencia de cálculo del acero s  Coeficiente de seguridad para el acero s E Módulo de elasticidad del acero s  Deformación del acero u  Deformación máxima del acero a tracción 1s  Deformación del acero traccionado 2s  Deformación del acero comprimido u  Deformación última del acero s  Tensión del acero Resultante de esfuerzos ),(  xNc Resultante de axiles del hormigón comprimido ),(  xMc Resultante de flectores del hormigón comprimido ),(  xN Equilibrio de axiles ),(  xM Equilibrio de flectores y M Momento elástico y lineal p M Momento plástico u M Momento último  M Momento flector de la distorsión s M Momento flector de las cargas de servicio Hipótesis de carga k G Valor característico de las acciones permanentes k Q Valor característico de las acciones variables determinantes G  Coeficiente de mayoración de cargas permanentes Q  Coeficiente de mayoración de cargas variables VI Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Características de la sección ´d Recubrimiento de hormigón d Canto útil h Canto total b Ancho 1s A Armadura traccionada 2s A Armadura comprimida 1  Cuantía mecánica del acero traccionado 2  Cuantía mecánica del acero comprimido 0 U Capacidad mecánica de la sección 1s U Capacidad mecánica armadura a tracción 2s U Capacidad mecánica armadura a compresión Características de la fábrica cv f Resistencia virtual a cortante del hormigón  Coeficiente ara la influencia del canto útil k f Resistencia característica a la compresión de la fábrica vk f Resistencia característica a cortante de la fábrica vko f Resistencia a corte puro k  Tensión característica normal media perpendicular a la tabla b f Resistencia normalizada a compresión de las piezas de fábrica Rubén Darío Cano Marín VII ÍNDICE RESUMEN..................................................................................................................................... II AGRADECIMIENTOS .....................................................................................................................III NOTACIÓN .................................................................................................................................IV ÍNDICE....................................................................................................................................... VII CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS...............................................................................11 1.1 INTRODUCCIÓN..................................................................................................................12 1.1.1 LECTURA DE LOS MOVIMIENTOS DIFERENCIALES............................................................14 1.1.2 ANÁLISIS GENERAL DE CAUSAS......................................................................................17 1.1.2.1 Fallos generalizados del suelo ...........................................................................17 1.1.2.2 Fallos locales del suelo ......................................................................................18 1.1.2.3 Fallos de las cimentaciones ..............................................................................19 1.1.2.4 Excavaciones cercanas o colindantes..............................................................21 1.1.2.5 Fallos por acciones combinadas de otras construcciones ...............................21 1.1.2.6 Elementos de contención..................................................................................21 1.1.2.7 Terrenos expansivos............................................................................................23 1.2 OBJETIVOS, ALCANCE Y APLICACIÓN PRÁCTICA DE LA TESIS................................................25 1.2.1 OBJETIVOS....................................................................................................................25 1.2.2 ALCANCE.....................................................................................................................27 1.2.3 APLICACIÓN PRÁCTICA ................................................................................................29 CAPITULO 2. ESTADO DEL ARTE ................................................................................................30 2.1 MOVIMIENTO DIFERENCIAL Y DISTORSIÓN ANGULAR............................................................31 2.1.1 VALORES MÁXIMOS Y ADMISIBLES DE REFERENCIA ........................................................33 2.1.2 CLASIFICACIÓN DE DAÑOS ASOCIADOS A LA DISTORSIÓN ANGULAR............................42 2.2 COMPORTAMIENTO DE LOS MATERIALES .............................................................................46 2.2.1 HORMIGÓN..................................................................................................................46 2.2.1.1 Resistencia de cálculo.......................................................................................46 2.2.1.2 Diagramas tensión-deformación.......................................................................47 2.2.1.3 Comportamiento del hormigón a tracción .......................................................52 2.2.1.4 Modelo tensión-deformación considerado a efectos de cálculo.....................55 2.2.1.5 Confinamiento del hormigón.............................................................................56 2.2.2 MODELOS TENSIÓN DEFORMACIÓN PARA EL ACERO....................................................58 2.3 ANÁLISIS DE LA SECCIÓN A FLEXIÓN ...................................................................................60 2.3.1 TIPOS DE ROTURA EN FLEXIÓN........................................................................................62 VIII Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.3.2 HIPÓTESIS DE CÁLCULO ................................................................................................64 2.3.2.1 Hipótesis de las secciones planas o de Bernouilli...............................................64 2.3.2.2 Equilibrio de esfuerzos........................................................................................65 2.3.3 DOMINIOS DE DEFORMACIÓN .....................................................................................66 2.3.3.1 Definición de los dominios de deformación......................................................67 2.3.3.2 Planos de rotura que definen los dominios de deformación.............................71 2.3.3.3 Curvatura de la sección en rotura y tensiones asociadas.................................75 2.3.3.4 Ecuaciones de equilibrio en los planos de rotura ..............................................77 2.3.3.5 Diagramas de interacción axil-flector................................................................78 2.3.4 MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL ARMADO A FLEXIÓN SEGÚN LA EHE ...........................80 2.3.5 FLEXIÓN COMPUESTA BIAXIAL .......................................................................................83 2.4 SOLICITACIONES TANGENCIALES. ESFUERZO CORTANTE ......................................................85 2.4.1 ROTURA DE LA SECCIÓN POR ESFUERZOS TANGENCIALES.............................................85 2.4.2 ANALOGÍA DE LA CELOSÍA............................................................................................89 2.4.3 INTERACCIÓN FLEXIÓN-CORTANTE ...............................................................................91 2.4.4 CONTRIBUCIÓN DEL HORMIGÓN A CORTANTE EN ROTURA...........................................93 2.5 ANÁLISIS ESTRUCTURAL ........................................................................................................95 2.5.1 ANÁLISIS ELÁSTICO LINEAL.............................................................................................95 2.5.1.1 Limitación de la profundidad de la fibra neutra y la inercia fisurada. ...............96 2.5.1.2 Módulo de elasticidad.......................................................................................97 2.5.2 ANÁLISIS ELÁSTICO LINEAL CON REDISTRIBUCIÓN LIMITADA............................................98 2.5.2.1 Redistribución de esfuerzos en los códigos de proyecto...................................98 2.5.2.2 Longitud de la rótula plástica...........................................................................103 2.6 TENSIÓN DE SERVICIO.......................................................................................................105 2.6.1 COEFICIENTES DE SEGURIDAD DE LOS MATERIALES .....................................................108 2.6.2 VALORES DE LAS ACCIONES. ......................................................................................109 2.6.2.1 Valores representativos de la acción...............................................................110 2.6.2.2 Valores de cálculo de las acciones.................................................................111 2.6.2.3 Hipótesis de carga...........................................................................................112 2.7 COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA FÁBRICA DE LADRILLO...........................................114 2.7.1 CARÁCTERISTICAS MECÁNICAS DE LA FÁBRICA...........................................................114 2.7.2 COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA MAMPOSTERÍA CONFINADA............................119 CAPITULO 3 MODELOS DE CÁLCULO....................................................................................122 3.1 HIPÓTESIS DE PARTIDA .......................................................................................................123 3.1.1 ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DE LAS SIMPLIFICACIONES DE CÁLCULO...........................123 3.1.1.1 Influencia de los coeficientes de minoración de resistencia...........................124 3.1.1.2 Influencia del grado de empotramiento.........................................................126 Rubén Darío Cano Marín IX 3.1.2 ESTIMACIÓN DE LA SITUACIÓN DE SERVICIO................................................................135 3.1.3 HIPÓTESIS PARA EL ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD A NIVEL DE SECCIÓN ..........................137 3.1.3.1 Muestras estadísticas para el cálculo ..............................................................138 3.1.3.2 Armado de las secciones................................................................................142 3.1.3.3 Hipótesis para cálculo no lineal del límite elástico, plástico y de rotura..........144 3.1.3.4 Iteraciones empleadas para el cálculo no lineal............................................147 3.1.3.5 Comparación con cálculos mediante elementos finitos ................................152 3.1.4 HIPÓTESIS PARA EL ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD A NIVEL DE LA PIEZA ............................154 3.1.5 RESUMEN DE COMPROBACIONES Y CÁLCULOS ..........................................................157 3.1.6 CÁLCULO A NIVEL DE SECCIÓN..................................................................................159 3.1.6.1 Distorsión máxima admisible para el comportamiento elástico lineal. ...........166 3.1.6.2 Distorsión máxima admisible para el comportamiento elástico no lineal .......169 3.1.6.3 Distorsión máxima admisible para el límite plástico o de rotura......................172 3.1.6.4 Comparación de valores de distorsión asociados a la rotura.........................175 3.1.6.5 Otras comprobaciones....................................................................................185 3.1.6.6 Comparación mediante el cálculo no lineal por elementos finitos ................194 3.1.7 ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO A NIVEL DE LA PIEZA ................................................198 3.2 DISTORSIÓN ANGULAR ASOCIADA A LA FISURACIÓN DE LA MAMPOSTERÍA ........................208 CAPITULO 4 CASOS PRÁCTICOS............................................................................................213 4.1 DESCRIPCIÓN...................................................................................................................214 4.2 DEFINICIÓN DEL CASO DE ESTUDIO 1................................................................................215 4.2.1 ESTUDIO DE LESIONES Y MOVIMIENTOS DIFERENCIALES................................................220 4.2.2 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD ESTRUCTURAL Y DAÑOS EN OBRA SECUNDARIA.................225 4.3 DEFINICIÓN DEL CASO DE ESTUDIO 2................................................................................231 4.3.1 ESTUDIO DE LESIONES Y MOVIMIENTOS DIFERENCIALES................................................233 4.3.2 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD ESTRUCTURAL Y DAÑOS EN OBRA SECUNDARIA.................238 CAPITULO 5 CONSIDERACIONES FINALES ..............................................................................240 5.1 CONCLUSIONES. ..............................................................................................................241 5.2 APORTACIONES DE LA TESIS DOCTORAL............................................................................245 5.3 FUTURAS LINEAS DE INVESTIGACIÓN ..................................................................................247 5.3.1 INFLUENCIA DE LA ALBAÑILERÍA EN LA RESISTENCIA GLOBAL DE LA ESTRUCTURA...........247 5.3.2 ESTRUCTURAS DE PLACAS............................................................................................247 5.3.3 FLECHAS MÁXIMAS ADMISIBLES...................................................................................247 16 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Lesiones frecuentes en la estructura de hormigón La distorsión angular asociada a un movimiento diferencial dará lugar fundamentalmente a esfuerzos por flexión simple y cortante en la estructura. Estos esfuerzos se concentran en mayor medida en la estructura horizontal, jácenas, nervios de borde, vigas de atado o viguetas, aunque en función a la relación entre la rigidez de las vigas y los pilares, variable que condicionará la capacidad de giro de los nudos, parte de dichos esfuerzos serán transmitidos a los pilares. En el caso de que a un pilar acometan dos o más vigas, pilares en esquina o intermedios con luces en ambas direcciones, se tendrían además esfuerzos por flexión compuesta biaxial, derivada de dos flectores en dos direcciones. Reflejamos a continuación los daños por fisuración generalmente asociados a los momentos flectores y cortantes en pórticos de uno y dos vanos sometidos a asientos diferenciales. Asiento de pilar central Figura 12. Fisuración por los flectores derivados de un asiento diferencial en pilar central Figura 13. Fisuración por los cortantes derivados de un asiento diferencial en pilar central Asiento de pilar extremo Figura 14. Fisuración por los flectores derivados de un asiento diferencial en pilar extremo Figura 15. Fisuración por los cortantes derivados de un asiento diferencial en pilar extremo Capítulo 1. Introducción y objetivos 17 1.1.2 ANÁLISIS GENERAL DE CAUSAS Las causas que pueden dar origen a un siniestro derivado del movimiento diferencial de una edificación, son muy variadas, pudiendo estar asociadas de forma local o general al terreno sobre el que asienta, a la propia cimentación, a las características del edificio o a su propia ejecución. Se expone a continuación una relación de las causas más comunes, compendio de causas planteadas por Serrano Alcudia, F. (1970); Uriel, A. (1982); Muñoz Hidalgo, M. (1997); Broto, C. (2005); Pérez Valcárcel, P. (2005); y Serrano Alcudia, F. (2007), que relacionamos esquemáticamente como sigue. 1.1.2.1 Fallos generalizados del suelo Se producen a una escala urbana e incluso territorial. Laderas inestables, reptación . Se trata de un movimiento lento en las capas o estratos superiores de laderas, que suele dar lugar a pequeñas ondulaciones o terrazas en el terreno, y a la pérdida de verticalidad de los árboles y vegetación existente. Laderas inestables, deslizamiento curvo. Se trata de deslizamientos rotacionales definidos por un plano curvo en materiales poco cohesivos y laderas escarpadas, que suelen mostrarse mediante grietas en lo alto del escarpe. Subsidencia . Es el asiento generalizado de una gran masa de terreno por extracción de agua o terreno de las capas inferiores, riesgo generalmente asociado a la ejecución de grandes excavaciones subterráneas y a cielo abierto, tales como túneles, (metro o circulación rodada de vehículos), galerías de minas, etc. Cavidades y galerías . En el casco histórico de ciudades antiguas suele ser habitual la existencia de galerías, aljibes, antiguas redes de abastecimiento de aguas, cloacas en desuso o pozos, con trazados desconocidos, sobre los que se ejecutan infraestructuras y edificaciones. Movimientos sísmicos . Alteran profundamente y en forma no previsible el área afectada por el sismo, pudiendo dar lugar a efectos como la licuefacción del terreno. 18 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Cambios periódicos de humedad . En terrenos especiales, como pueden ser las arcillas expansivas, estos cambios de humedad suelen implicar cambios de volumen, efecto que se analiza en detalle a continuación. 1.1.2.2 Fallos locales del suelo Se trata de fallos suficientemente localizados como para afectar exclusivamente a un edificio, que pueden tener su origen en las siguientes posibles causas: Capas de insuficiente capacidad portante. Terrenos que por su excesiva deformabilidad, lodos, arcillas muy blandas, arenas muy flojas o rellenos insuficientemente compactados, pueden producir asientos de importancia en una edificación, efecto agravado si además existe una diferencia importante de transmisión de cargas en una misma cimentación. Terrenos con capacidad portante muy diferentes. Puede deberse a la existencia de elementos más resistentes, como afloramientos de roca, elementos de menor resistencia como cavidades, zonas saturadas de agua o variaciones de espesor de los estratos del suelo. Cimentaciones ejecutadas en laderas. Este tipo de fallos locales pueden tener su origen en la diferente exposición del terreno a la intemperie, el apoyo de la cimentación en estratos con diferentes características, la circulación natural de agua pluvial o deslizamientos y corrimientos descritos en el apartado anterior. Figura 16. Asiento por diferente exposición del terreno a la intemperie Figura 17. Asiento por apoyo de la cimentación en estratos diferentes . Capítulo 1. Introducción y objetivos 19 Figura 18. Asiento por la circulación natural de agua pluvial Figura 19. Asiento por deslizamientos y corrimientos 1.1.2.3 Fallos de las cimentaciones Son aquellos que pueden tener su origen en un fallo de diseño, un fallo de dimensionado, un error en el cálculo de las cargas, la consideración de asientos excesivos para la capacidad de deformación de la estructura, una mala elección del relleno o como consecuencia de vicios derivados de la propia ejecución de la cimentación. Cimentaciones insuficientes. Se trata de cimentaciones que por su escasa dimensión transmiten tensiones excesivas al terreno, como por ejemplo los muros de carga de edificaciones antiguas. Cimentaciones flexibles. Generalmente asociado al empleo de losas armadas de grandes dimensiones y escaso espesor, que por su falta de rigidez permiten su deformación por la propia transmisión de cargas o efectos asociados al terreno. Cimentaciones apoyadas en rellenos. La falta de una correcta compactación en encuentros, como saltos de sección de la cimentación, la posible heterogeneidad del relleno debido a su mala calidad o el empleo de diferentes espesores de relleno en zonas de una misma cimentación, pueden dar lugar a asientos diferenciales. 20 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Figura 20. Asiento por apoyo en rellenos con sección heterogénea Figura 21. Asiento por apoyo en rellenos con sección heterogénea Acciones heterogéneas. Se trata de movimientos diferenciales derivados de una transmisión heterogénea de cargas al terreno, que pueden tener su origen en la existencia de diferentes alturas en un mismo edificio, diferencia de cargas gravitatorias en una misma cimentación o el empleo de cimentaciones diferentes en un mismo inmueble. Figura 22. Diferente transmisión de carga por diferencia de alturas. Figura 23. Diferente transmisión de carga por diferencia de cargas Figura 24. Diferente transmisión de carga por diferentes cimentaciones Degradación estructural. Se produce cuando la cimentación resulta atacada por agentes exteriores, como la degradación de los morteros en cimentaciones de mampostería, la pudrición de pilotes de madera, la sulfatación o carbonatación del hormigón, etc. Acciones exteriores accidentales. Se trata de acciones no previstas en el diseño o cálculo de la cimentación o durante su propia ejecución, tales como: Capítulo 1. Introducción y objetivos 21 - El aumento accidental de la humedad del terreno debido a la falta de drenaje, la rotura de conducciones, retrocesos de agua en redes de saneamiento, etc. - Vibraciones del suelo como consecuencia de actuaciones en solares colindantes, trabajos de compactación del terreno, ejecución de cimentaciones profundas, etc. - La influencia de raíces de árboles cercanos que pueden dar lugar a la rotura de la cimentación por efecto cuña, variaciones de humedad sobre el terreno, rotura de tuberías de distribución de agua o saneamiento, etc. 1.1.2.4 Excavaciones cercanas o colindantes Suele ser frecuente la aparición de daños derivados de la ejecución de excavaciones en núcleos urbanos de población debido a la falta de estudio de las edificaciones colindantes y/o de fallos de diseños o ejecución que hacen inestable la propia excavación, cortes verticales con profundidad excesiva, anchos excesivos de bataches, incorrecto orden de ejecución de bataches, etc. 1.1.2.5 Fallos por acciones combinadas de otras construcciones La consolidación de un suelo sobre el que apoya una edificación puede verse alterada si una cimentación cercana o colindante interacciona con esta, pudiendo provocar el descenso del terreno al verse sometido a una nueva acción de cargas gravitatorias. 1.1.2.6 Elementos de contención Los elementos de contención, muros y pantallas, empleados en la ejecución de excavaciones de gran profundidad, pueden provocar asientos diferenciales en las edificaciones colindantes por varias causas fundamentales: Nivel freático. Los elementos de contención suponen una barrera al paso natural del agua subterránea, implicando en ocasiones un aumento del nivel freático. Tecleo de muros pantallas. La pérdida de verticalidad entre pantallas de hormigón como consecuencia de fallos de ejecución o falta de rigidez del batache, puede dar lugar a la filtración de agua y arrastre de finos procedentes del terreno que contiene. Deformación en cabeza. Los elementos de contención como las pantallas trabajan en voladizo durante la primera fase de excavación y antes de su arriostramiento, lo que da lugar 22 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales de forma inevitable a la deformación en cabeza del elemento, y al consiguiente movimiento diferencial del terreno colindante. Empleo de tirantes como arriostramiento de pantallas o muros. Una práctica constructiva habitual para el arriostramiento de las pantallas, como uso único o compartido con otro tipo de soluciones constructivas, es el empleo de tirantes anclados al terreno que implican la transmisión de nuevas cargas no previstas bajo las edificaciones colindantes. Figura 25. Asiento por aumento del nivel freático Figura 26. Asiento por arrastre de agua y finos Figura 27. Asiento por deformación en cabeza de muro pantalla Figura 28. Asiento por modificación de cargas transmitidas al terreno Capítulo 1. Introducción y objetivos 23 1.1.2.7 Terrenos expansivos. Aunque determinados suelos o rocas pueden experimentar hinchamientos derivados de la modificación de su composición mineralógica, el fenómeno de la expansividad resulta generalmente propio de suelos arcillosos montmorilloníticos, capaces de modificar su estructura laminar ante un cambio de su contenido de humedad, provocando la retracción o hinchamiento del suelo. Los capilares de un suelo arcilloso y expansivo sin saturar, en presencia de agua procedente del nivel freático, agua pluvial, filtraciones, etc., absorberán la humedad desarrollando un incremento de su volumen. Del mismo modo si su contenido de humedad se reduce, el suelo experimentará una retracción. Los cambios de volumen en las arcillas expansivas afectan a la capa activa del terreno y suelen tener una periodicidad anual asociada a los cambios estacionales. Sin embargo pueden existen otras variables que pueden influir, tales como el arbolado existente, posibles roturas o filtraciones de redes de agua o saneamiento, un entorno no urbanizado o protegido mediante acerados, la desecación gradual generada por la sucesiva edificación, la protección del terreno ante la evaporación natural de agua por la propia edificación, etc. Cuando los movimientos diferenciales afectan de forma global a la edificación, el espectro de fisuración puede resultar similar para un hinchamiento del terreno o para una retracción periférica del mismo, efecto que suele estar asociado a la construcción durante el final de una etapa de alto contenido de humedad en el terreno. El efecto contrario a la retracción periférica sería el hinchamiento periférico, que suelen estar relacionado con la falta de acerado perimetral o la eliminación de árboles próximos al inmueble y el consiguiente aumento local de humedad en la zona desecada por las raíces. Este efecto tendría un espectro de fisuración similar al asiento diferencial del conjunto. En otros casos, la morfología de los daños no permite deducir el tipo de movimiento diferencial, al responder a fenómenos superpuestos, siendo habitual los movimientos o deslizamientos de laderas en los cambios de estación seca a húmeda en las arcillas del Sur de España, tales como las margas azules del Guadalquivir. 24 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales El efecto de las arcillas expansivas resulta de interés en gran parte de la región occidental de Andalucía y, en general, en el entorno de la ribera del Guadalquivir, formada por terrenos arcillosos con un carácter de expansividad crítico, según puede deducirse del mapa de riesgo de expansividad de las arcillas del Instituto Geológico y Minero de España (1986), siendo esta una de las causas más habituales de los daños por movimientos diferenciales. Arcillas no expansivas o dispersas en matriz no arcillosa: riesgo de expansividad nulo a bajo Arcillas expansivas subordinadas o empleadas en zonas climáticas sin déficit anual de humedad: riesgo de expansividad bajo a moderado Arcillas expansivas localmente predominantes y emplazas en zonas climáticas con déficit anual de humedad: riesgo de expansividad moderado a alto. Arcillas expansivas predominantes o zonas donde se han presentado problemas de expansividad: riesgo de expansividad alto a muy alto. Figura 29. Mapa de riesgo de expansividad de las arcillas. Instituto Geológico y Minero de España (1986) Capítulo 1. Introducción y objetivos 25 1.2 OBJETIVOS, ALCANCE Y APLICACIÓN PRÁCTICA DE LA TESIS 1.2.1 OBJETIVOS. El empleo de determinados coeficientes de seguridad en el cálculo de una estructura permite que la misma pueda absorber ciertas deformaciones admisibles sin que ello afecte a su estabilidad, es decir podrá asumir un incremento de cargas o de deformación antes de alcanzar el limite de su estado elástico o de su estado plástico hasta la rotura. Por tanto, bajo condiciones únicamente de las cargas habituales de servicio, se podría llegar a admitir una solicitación externa adicional antes de alcanzar el colapso de la estructura, como puede ser el momento flector y el cortante asociado a una distorsión angular. Conocidos los rangos de deformación por los que pasará la pieza antes de su rotura, así como el rango asociado a la situación de servicio, podremos conocer el incremento admisible de deformación hasta que la pieza alcance un rango elástico lineal, elástico no lineal, plástico y de rotura. Figura 30. Ejemplo genérico del incremento admisible de momento flector y curvatura de una sección sometida a las cargas habituales de servicio. 32 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Donde: max  Ángulo de rotación del plano AB con la horizontal max  Ángulo de rotación asociado al movimiento diferencial entre los planos AB y BC max S Asiento máximo de la cimentación experimentado por el punto B maxS  Máximo movimiento diferencial de la cimentación entre los puntos B y C max  Máxima deflexión relativa de la cimentación, definida por la distancia entre el punto B y el plano AD que define el giro del edificio max  Giro relativo del plano AB, Angulo entre el plano AB y el plano AD  Giro de la cimentación. El eurocódigo EC-2 (1992) y el CTE-DB-SE-C (2006) proponen una representación gráfica y formulación similar para definir en dos dimensiones el asiento diferencial y la distorsión angular, en cimentaciones con y sin giro. Figura 2. Definición gráfica del movimiento de cimentaciones sin giro. Donde: S Asiento definido como el descenso de cualquier punto de la cimentación S  Asiento diferencial definido como la diferencia de asiento entre dos puntos cualesquiera de la cimentación ABSAB SS    ( 1)  Distorsión angular definida como el asiento diferencial entre dos puntos dividido por la distancia que les separa AB AB AB SAB L SS L     ( 2) Capítulo 2. Estado del arte 33 Figura 3. Definición gráfica del movimiento de cimentaciones con giro  Distorsión angular definida como el asiento diferencial entre dos puntos dividido por la distancia que les separa AD AD AB AB AB SAB L SS L SS L        ( 3)  Inclinación definida como el ángulo girado con respecto a la vertical según la línea media que define la posición deformada de la cimentación 2.1.1 VALORES MÁXIMOS Y ADMISIBLES DE REFERENCIA Históricamente se ha venido limitando los máximos movimientos diferenciales que puede sufrir un edificio en función de variables como el uso al que se destina, el tipo de cimentación, la naturaleza del terreno, la tipología de la estructura, la relación entre la altura y su longitud, etc. Los efectos de esta deformación impuesta han sido ampliamente investigados desde la década de los cuarenta por Meyerhof, G.G. (1947); Chamecki, S. (1956); Skempton, A.W., et al (1956); Polshin, D.E. et al. (1957); Brown (1969); Grant, R., Christian J.T., and Vanmarcke, E.H. (1974); Burland, J.B., Wroth, C.P. (1974); Boscarding, M.D. and Cording, E.J., (1989); Boone, S.J. (1996); Potts, D.M., Addenbrooke, T.I. (1997); Burland, J.B. (2008); estableciéndose una serie de valores máximos y admisibles de referencia. Polshin, D.E., et al (1945) Condicionan los valores admisibles de distorsión angular a la relación entre la altura "H" y la longitud "L" del edificio, considerándose admisibles para una relación de L/H≤2 valores de distorsión angular  /L≤ 3333, y para L/H≤8 valores de distorsión  /L≤ 1000. 34 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Este planteamiento es el resultado de asimilar el comportamiento de un edificio a una viga de canto biapoyada, cuya rigidez está definida por el valor L/H, de tal modo que un mayor valor de L/H supondrá una mayor ductilidad del conjunto y por tanto mayor capacidad para asumir deformaciones sin que se produzcan daños, y menor valor de L/H una mayor rigidez del edificio y un comportamiento adverso frente a una deformación impuesta. Código Soviético de Edificación (1955) Adopta el planteamiento de Polschin y Tokar a cerca de la relación L/H de los edificios, condicionando la máxima distorsión admisible al número de plantas del edificio. Tipo de edificio Relación L/H Distorsión angular L/3333 ≤3 L/2500 L/2000 Edificio de varias plantas ≤5 L/1428 Edificio de una planta L/1000 Tabla 1. Distorsión angular admisible. Código Soviético de Edificación (1955) Skempton, A.W., et al (1956) Definen los valores de distorsión angular que dan lugar a la aparición de grietas y fisuras en paramentos verticales de mampostería, cerramientos, particiones y muros, así como los valores a partir de los cuales surgirían daños estructurales, según refleja la tabla siguiente. Elemento constructivo Distorsión angular Aparición de grietas en tabiquería L/1000 Aparición de grietas en muros L/300 Aparición de daños estructurales L/150 Tabla 2. Valores de distorsión angular. Skempton, A.W., et al (1956) Bjerrum, L. (1963) Establece una relación entre la máxima distorsión angular admisible y determinados daños asociados, estructurales, fisuración de particiones, daños en instalaciones, etc., reflejados en la tabla y figura siguiente. Capítulo 2. Estado del arte 35 Daños asociados Distorsión angular Límite cuando se teme daño estructural L/100 Límite para el que se hace visible el giro de edificios altos y rígidos L/250 Límite para el que se espera la primera fisura en tabiques L/300 Límite seguro para edificios que no permiten agrietamiento L/500 Límite de peligro para pórticos con arriostramientos diagonales L/600 Límite de distorsión para instalaciones rígidas del edificio L/750 Tabla 3. Valores de distorsión angular y daños asociados Bjerrum, L. (1963) Figura 4. Valores de distorsión angular y daños asociados Bjerrum, L. (1963) Burland, J.B., Wroth, C.P. (1974). Amplían el concepto de rigidez que asimila el comportamiento de un edificio a una gran viga de canto, ofreciendo un método de cálculo que permite relacionar la distorsión con la deformación máxima a tracción debido a la flexión y el cortante que dará lugar a la aparición de daños por fisuración en el edificio. 36 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Figura 5. Fisuración de una viga simple sometida a flexión y cortante Burland, J.B., Wroth, C.P. (1974) Del estudio de campo realizado por los autores, se deduce que el valor crítico de deformación a tracción εcrit a partir del cual se producirá la fisuración de los elementos de fábrica de ladrillo, cerramientos y paramentos divisorios, varía aproximadamente entre 0,05% y 0,1%. Tomando como valor medio 0,075%, estiman que la distorsión angular que dará lugar a la aparición de daños en la mampostería será de L/1333. La distorsión angular correspondiente a la deformación crítica a tracción queda definida por las ecuaciones siguientes: Distorsión para la deformación máxima a tracción debido a la flexión de la viga, maxb  max 2 3 12 b G E hLH I h L L         ( 4) Distorsión para la deformación máxima a tracción debido al cortante de la viga, maxd  max 2 18 1d H G I HL L           ( 5) Capítulo 2. Estado del arte 37 Estas ecuaciones fueron representadas en el gráfico siguiente, que relaciona el cociente de la distorsión angular y la deformación crítica a tracción, con la relación L/H del edificio. Figura 6. Relación entre distorsión angular y rigidez del edificio. Burland (2001) Burland, J.B., Broms, B., De Mello, V.F.B. (1977) Establece una comparación entre los valores obtenidos mediante el concepto de deformación máxima a tracción, idealización de una viga simple con deformación crítica εcrit= 0.075%, y los daños asociados a la distorsión angular Δ/L para diferentes valores de L/H en edificios con deflexión convexa y cóncava, y las estimaciones realizadas por otros autores. 38 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Figura 7. Relación entre distorsión angular cóncava y convexa y valores de L/H, y daños asociados. Burland (1977) Holland (1980) Establece los valores de distorsión a partir de los cuales surgirían daños en diferentes elementos de albañilería. Albañilería Distorsión angular Revestimientos y chapados L/250 Particiones articuladas de ladrillo hueco L/500 Particiones articuladas de ladrillo macizo L/1000 Muros y cerramientos de ladrillo macizo L/2000 Tabla 4. Valores de distorsión para la aparición de daños en revestimientos, Holland (1980) Capítulo 2. Estado del arte 39 Sowers, G.F. (1984) Define los valores máximos de distorsión angular admisibles para diferentes tipos de estructuras, según la tabla siguiente. Estructura Distorsión angular Muro de carga de fábrica de ladrillo L/1000-L/2000 Estructura de hormigón L/250-L/400 Muros de hormigón L/333 Estructura metálica L/200-L/500 Tabla 5. Valores máximos de distorsión admisibles para diferentes estructuras Sowers, G.F. (1984) Bolteus L. (1984) Establece una comparación entre los valores máximos de distorsión angular estimados por Skempton y McDonald, Mayerhof, Polschin y Tokar y Bjerrum, para la aparición de fisuras en elementos de partición y muros, y para la aparición de daños estructurales. Skempton, A.W., et al (1956) Mayerhof (1956) Polshin et al (1957) Bjerrum, L. (1963) Daño estructural 1/150 1/250 1/200 1/150 Fisuración de muros y particiones 1/300 1/500 1/500-1/1000 1/500 Tabla 6. Comparación de valores máximos de distorsión realizada por Bolteus L. (1984) Boone, S.J. (1996), (2001), (2008) y Boone et al (1998) Establece que el umbral para la fisuración de los elementos de mampostería o deformación crítica del edificio dependerá de las características mecánicas y de la conservación del mismo. De este modo, los valores tolerables de deformación por tracción inducida por la distorsión angular variarán entre 0,001% para edificaciones antiguas, hasta 0,01% a 0,03% para edificaciones recientes, pudiendo llegar a 0% para edificaciones en mal estado de conservación. 40 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales CTE-DB-SE-C (2006). Define los valores máximos de distorsiones angulares para el Estado Límite de Servicio, deformaciones a partir de los cuales surgirían daños que afectarían a la apariencia de la obra, al confort de los usuarios o al funcionamiento de equipos e instalaciones, en función al tipo de estructura que se trate. Elemento estructural distorsión angular Estructuras isostáticas y muros de contención L/300 Estructuras reticuladas con tabiquería de separación L/500 Estructuras de paneles prefabricados L/700 Muros de carga sin armar con flexión cóncava hacia arriba L/1000 Muros de carga sin armar con flexión cóncava hacia abajo L/2000 Tabla 7. Valores de distorsión angular el ELS según el CTE-DB-SE-C (2006) Sociedad Española de Mecánica del Suelo e Ingeniería Geotécnica (1999). Por último, se exponen como referencia los umbrales tomados para la primera fase de la ampliación del Metro de Madrid, donde se consideraron aceptables un límite para el asiento máximo de 15mm y un límite para la distorsión angular de L/1000 a L/500 según el tipo de edificación a analizar. En posteriores ampliaciones del Metro de Madrid se han adoptado como valores de referencia los propuestos en las “Jornadas sobre obras de interés geotécnicos ejecutadas por constructores españoles”, Sociedad Española de Mecánica del Suelo e Ingeniería Geotécnica (1999), en las que se consideran la admisibilidad de los movimientos diferenciales, distorsiones angulares y deformaciones horizontales de una estructura, en función al tipo de edificación y su estado de conservación, clasificando los valores en función a su gravedad mediante los colores verde, ámbar y rojo. Capítulo 2. Estado del arte 41 Tabla 8. Umbrales de desplazamientos adicionales admisibles considerados en la ampliación del Metro de Madrid. 48 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales El Eurocódigo 2 y la Instrucción Española proponen los siguientes valores para el módulo de deformación longitudinal o módulo de elasticidad para un hormigón de 28 días con tensiones comprendidas entre 0 c  y cmc f4,0   . EC-2 (1992) MPa f Ecm cm 3.0 10 22000        (8) EHE (2008). MPafE cmcm 3 8500 (9) Siendo cm f la resistencia media a compresión a los 28 días, valor que puede calcularse como MPaff ckcm 8 si las condiciones de ejecución son buenas. Modelo a corto plazo tensión-deformación parabólica Para cálculos no lineales, el EC-2 y la EHE proponen un modelo tensión deformación parabólico definido a corto plazo. Este modelo sólo se puede emplear para cargas de corta duración. Figura 11. Diagrama tensión-deformación propuesto por el EC2 (1992) y la EHE (2008) para el cálculo estructural no lineal con cargas instantáneas El diagrama anterior corresponde a la siguiente formulación: cmc f k k    )2(1 2    para 1cuc    (10) Donde 1 /cuc     ( 11) cm c cm f Ek 1 05.1   ( 12) 0028.0)(0007.0 31.0 1 cmc f  (13) MPafsi f MPafsi ck cm ck cu 50 100 98 27.0028.0 500035.0 4 1           (14) MODELO TENSIÓN-DEFORMACIÓN PARA EL DISEÑO EN ROTURA DE SECCIONES Capítulo 2. Estado del arte 49 Los modelos más empleados son el rectangular y el parábola-rectángulo, siendo el rango de aplicación el cálculo de la resistencia última de secciones de hormigón. Estos modelos corresponden a los modelos unidimensionales “definidos en rotura”. Modelo parábola-rectángulo El diagrama parábola-rectángulo, desarrollado por el CEB-FIP (1990) sobre los trabajos de Rüsch, H. (1962), consiste en una parábola que nace en el origen y llega con pendiente horizontal al punto de deformación 2/1c  y tensión cd fo ck f, según se considere la resistencia de cálculo o característica del material. El resto del diagrama es una línea horizontal que une el punto de deformación de 2/1c  con el punto de deformación máxima 2/1cu  . El diagrama parábola-rectángulo para valores de cálculo viene dado por la expresión: 2/12/1 2/1 2/1 011 cucccd cc n c c cd c sif sif                         ( 15) Donde n, 1c  y 1cu  serían según la EHE y el EC-2: EHE MPafsi f MPafsi n ck ck ck 50 100 100 6.94.1 502           Deformación de rotura a compresión simple  MPafsif MPafsi ckck ck c5050085.02 502 (‰) 2/1 1    Deformación de deformación última MPafsi f MPafsi ck ck ck cu 50 100 100 4.146.2 505.3 (‰) 4 1           EC-2 MPafsi f MPafsi n ck ck ck 50 90 90 4.234.1 502 4           Deformación de rotura a compresión simple  MPafsif MPafsi ckck ck c5050085.02 502 (‰) 53.0 2    Deformación de deformación última MPafsi f MPafsi ck ck ck cu 50 90 90 5.36.2 505.3 (‰) 4 2           50 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales En el caso de una sección transversal sometida a compresión simple, la deformación máxima del hormigón se limita a 1c  tanto por la EHE como por el EC-2. Si en la sección hay alguna fibra traccionada, el límite de la deformación es 1cu  , correspondiente a la deformación máxima por flexo-compresión. Normas como la americana ACI 318 (2005) o la suiza SIA 162 (1968) plantean una deformación máxima del hormigón a compresión única del 3‰. Figura 12. Diagrama parábola rectángulo del EC-2 (1992) Modelo rectangular El diagrama rectangular corresponde a un valor constante de la tensión de valor cd f  en una profundidad efectiva comprimida de valor x  , siempre que hx   , y de valor h si hx   , siendo h el canto total de la sección y x la distancia de la fibra más comprimida a la fibra neutra. Tanto la EHE como el EC-2 en este caso ofrecen los siguientes valores de  y  : MPafsi f MPafsi ck ck ck 50 200 50 0.1 500.1       (16) MPafsi f MPafsi ck ck ck 50 400 50 8.0 508.0       (17) Capítulo 2. Estado del arte 51 La figura siguiente representa la distribución de tensiones en la zona comprimida del hormigón obtenida a partir del diagrama rectangular. Figura 13. Diagrama rectangular de la tensión según el EC-2 (1992) Comparación entre diagrama rectangular y parábola rectángulo El modelo rectangular no tiene en cuenta el comportamiento no lineal del hormigón, simplificación que, como desarrollamos en capítulos siguientes, penalizará el armado a flexión simple de las secciones como consecuencia del aumento del brazo mecánico de la pieza. Se aporta a continuación una comparación gráfica de la distribución de tensiones empleando ambos procedimientos de cálculo. Figura 14. Diagrama de tensiones normales en la zona comprimida según los diagramas parábola-rectángulo y rectangular 52 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Diagrama bilineal El EC-2 (1992) propone una relación tensión-deformación simplificada mediante un comportamiento bilineal, compatible con la formulación del modelo rectangular, tomando como valores de deformación la máxima a compresión simple 3c  y deformación máxima por flexión 3cu  , según refleja el diagrama y la formulación siguiente. Figura 15. Diagrama bilineal tensión deformación, según la EC-2 (1992) MPafsi f MPafsi ck ck ck c50 40 50 55.075.1 5075.1 (‰) 3           ( 18) MPafsi f MPafsi ck ck ck cu 50 100 90 5.36.2 505.3 (‰) 4 3           ( 19) 2.2.1.3 Comportamiento del hormigón a tracción El hormigón es un material con una baja resistencia a tracción que rompe bajo tensiones muy pequeñas ct f; sin embargo, superando dicha tensión de tracción y tras la fisuración de la pieza, el hormigón sigue aportando una resistencia a tracción que no resulta despreciable. Entre las fisuras surgidas en la pieza existen zonas traccionadas de hormigón aún no fisurada, que mantiene un régimen elástico de deformación y que contribuyen considerablemente a Capítulo 2. Estado del arte 53 la rigidez de la pieza gracias a la adherencia con el acero, que transmite progresivamente sus tracciones al hormigón desde el labio de la fisura. Figura 16. Distribución de tensiones y curvatura en un elemento fisurado. Doñate, A. et al (2003) Hernández Montes, E. y Gil Martín L.M. (2007) reflejan como sigue el diagrama axildeformación de una sección transversal constituida por un cuadrado de hormigón con una barra de acero situada en el centro, considerando mediante línea discontinua la contribución del acero en la deformación media experimentada por la barra (conjunto hormigón-acero). Figura 17. Contribución del hormigón a tracción. Hernández Montes, E. y Gil Martín L.M. (2007) 54 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Justo antes de que se forme la primera grieta, la tensión del hormigón es de ct f y la deformación ct  , cuando se forma la primera grieta la tensión media de tracción en el hormigón disminuye y decrecerá a medida que aumentan el espesor o el número de las fisuras. Sin embargo, la deformación total experimentada por la barra de acero, aún cuando existan numerosas grietas, es menor que la que experimentaría la barra aislada. Vecchio, F.J., y Collins, M.P. (1986) proponen el siguiente diagrama y la siguiente ecuación para el comportamiento del hormigón fisurado.                           2 11 2 max,22 2 c c c f      (20) Donde c cf f f   1 max,2 1708.0  (21) Figura 18. Tensión máxima del hormigón agrietado Vecchio, F.J., y Collins, M.P. (1986) La Teoría Modificada del Campo de Compresiones, TMCC, basada en la relación tensióndeformación del hormigón a tracción planteada por Collins M.P. y Mitchell D. (1991), contempla la formulación y diagrama siguiente: ( 22) ctmccc cctm c ctm ct siE si f         0 5001 21 Donde ctm  es la deformación unitaria correspondiente a ctm f, y 1  y 2  serían: 1  Coeficiente adherencia acero-hormigón 1.0 para barras corrugadas 0.7 para barras lisas, cables y cordones 0 para barras sin adherencia 2  Coeficiente en función del tipo de carga 1.0 para carga no cíclica 0.7 para carga de duración o repetitivas Figura 19 Relación tensión-deformación medida para el hormigón en tracción Capítulo 2. Estado del arte 55 Bentz E. (2005) propone una formulación para el comportamiento a tracción del hormigón basada en el área de hormigón que afecta a la barra de acero, equivalente a 7,5 veces el diámetros en torno a la barra. Resistencia a tracción 1 6.31   M fctm ct   ( 23) Donde    b c d A M ( 24) Siendo b d el diámetro de la barra y c A el área de hormigón perpendicular a la barra que la afecta. 2.2.1.4 Modelo tensión-deformación considerado a efectos de cálculo El procedimiento de cálculo no lineal desarrollado en la presente tesis doctoral se ha basado en el modelo parábola rectángulo definido anteriormente, tomando para la relación tensión deformación del hormigón traccionado el modelo considerado por Collins M.P. y Mitchell D. (1991) , y los valores de n, 1c  y 1cu  establecidos por la Instrucción Española. A continuación se ofrecen las ecuaciones constitutivas y diagrama tensión deformación para un hormigón de HA-30, calculada mediante el programa de cálculo matemático Mathcad 14. ( 25)  11 1 1 21 011 5001 0 )( cucccd cc n c c cd ctmc c ctm cctmcc cc sif sif si f siE                                 Figura 20. Modelo de diagrama tensión deformación empleado en la tesis 56 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.2.1.5 Confinamiento del hormigón El hormigón tiene la capacidad de incrementar su carga a compresión si se le somete a una presión lateral de confinamiento. En las piezas de hormigón, la armadura transversal compuesta por cercos o espirales, es la que proporciona el confinamiento ayudada por la armadura longitudinal. Por tanto, la tensión de confinamiento dependerá de la cuantía de armadura, la posición del hormigón y del axil. De los estudios realizados por Mander J.B., Priestley, M.J.N. and Park, R. (1988), se desprende que las secciones de hormigón confinadas ofrecen una resistencia superior que las secciones convencionales, aumentando el momento último o de rotura, la capacidad de deformación última a flexión y compresión, y la tensión asociada a dichas deformaciones. Figura 21. Modelo tensión deformación del hormigón confinado y no confinado Mander J.B. et al (1988) Los valores de resistencia máxima cc f y la deformación unitaria correspondiente cc  en función de la tensión de confinamiento conf  se pueden tomar, según Mander J.B. et al (1988) como: Resistencia máxima confccc kff  1  ( 26) Deformación unitaria         c conf ccc f k   20 1 ( 27) Los coeficientes 1 k y 2 k de las expresiones anteriores dependen de la presión lateral y del tipo de hormigón. Richart (1928) obtuvo experimentalmente 1 k=4.1 y 2 k=5 1 k. Capítulo 2. Estado del arte 57 Actualmente el uso del confinamiento se ha generalizado y existen formulaciones en las distintas normativas para poder considerarlo de forma segura. La Instrucción Española emplea la siguiente ecuación para calcular la resistencia del hormigón confinado:  wcdccd ff    5.11 ( 28) Donde w  es la cuantía mecánica de los cercos y  es un parámetro que tiene en cuenta la disposición de la armadura transversal y su efectividad. La deformación máxima del hormigón confinado puede calcularse de acuerdo a la siguiente expresión propuesta en el EC-2 (1992). wcuccu      1.0 ( 29) En secciones sometidas a flexo-compresión, generalmente estructuras verticales, pilares, muros y pantallas, el momento último que resiste la pieza depende del par flector-axil, concepto que se analizará más adelante. Ambos esfuerzos crecen mientras la rotura es dúctil, disminuyendo posteriormente el momento flector a medida que aumenta el esfuerzo axil. La ductilidad de una sección está relacionada con la capacidad de deformación de la armadura de tracción más allá del punto de inicio de la plastificación, pudiendo aumentarse de varias formas, reduciendo las tensiones de compresión en el hormigón, lo que se puede conseguir incrementando el canto útil de la pieza, disponiendo más armadura de compresión, o aumentando la anchura del bloque comprimido de la pieza; disponiendo armaduras de acero con características especiales de ductilitad; o aumentando la resistencia y la capacidad de deformación última del hormigón, efecto que puede lograrse mediante el confinamiento del material. Según Pérez Caldentey, A. (2013), sin confinamiento se puede producir una importante pérdida de capacidad portante por efecto de las deformaciones impuestas, sin embargo para axiles pequeños y una armadura transversal pequeña, estos problemas desaparecen cuando se considera el confinamiento al que dan lugar los cercos. 64 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.3.2 HIPÓTESIS DE CÁLCULO Las hipótesis fundamentales para el estudio del hormigón a nivel sección son la hipótesis de las secciones planas o de Bernouilli, que relacionan la compatibilidad de las deformaciones de los materiales en la pieza, y las leyes de equilibrio de esfuerzos, es decir el equilibrio entre las resultantes de las tensiones de hormigón y del acero y los esfuerzos exteriores. 2.3.2.1 Hipótesis de las secciones planas o de Bernouilli Se admite que las deformaciones normales a la sección siguen una ley plana, es decir, que una rebanada de la sección seguirá siendo plana tras su deformación. De este modo, conocidas las deformaciones de dos puntos cualesquiera de la sección, queda definida la distribución de tensiones y deformaciones en toda la rebanada. Para ello se pueden emplear dos procedimientos: 1. El cálculo de las deformaciones en las caras superior e inferior de la sección inf  y sup  2. El cálculo de la deformación en el centro de gravedad cdg  y la curvatura  o rotación experimentada por la sección por unidad de longitud, según la figura siguiente. Figura 27. Distribución de deformaciones Al conocerse las deformaciones en dos fibras de la sección así como una ley de variación lineal, las deformaciones en todas las fibras de la sección quedan definidas como sigue: ´ )( 21 dxdxyxx xss y c           ( 34) Donde c  sería la deformación del hormigón en la fibra superior de la sección, y  la deformación en cualquier fibra de la sección, 1s  la deformación de la armadura traccionada, 2s  la deformación de la armadura comprimida, x la profundidad de la fibra neutra, )(x  la rotación experimentada por la sección, e “y “ la distancia desde la fibra superior a cualquier punto de la sección. Capítulo 2. Estado del arte 65 2.3.2.2 Equilibrio de esfuerzos Para cualquier sección debe de haber equilibrio entre las resultantes de las tensiones de hormigón y acero y los esfuerzos exteriores. Una sección simétrica respecto al plano de sección sometida a tracción simple o compuesta, flexión simple o compuesta, o compresión simple o compuesta, responderá a las siguientes ecuaciones de equilibrio: Equilibrio de axiles 2211 sssscu AANN       (35) Equilibrio de momentos Flexión positiva             ´ 22 2211 d h Ad h AMM sssscu  (36) Flexión negativa             d h Ad h AMM sssscu 2 ´ 22211  (37) Donde c N Resultante del hormigón comprimido  h cc dybN 0  (38) c M Flector generado por la resultante c N        h cc dyy h bM 02  (39) 11 ss A   Resultante de la armadura traccionada 22 ss A   Resultante de la armadura comprimida h Canto de la sección d Canto útil de la sección ´d Recubrimiento mecánico de la sección Figura 28. Condiciones de equilibrios de una sección rectangular 66 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.3.3 DOMINIOS DE DEFORMACIÓN Una sección de hormigón puede agotarse por solicitaciones normales siguiendo distintos planos de deformación que van desde la tracción pura a la compresión pura. La Instrucción Española, el Eurocódigo 2 o la ACI Americana describen toda una serie continua de planos de deformación que producen el agotamiento de la sección, divididos en lo que se denominan dominios de rotura, que a su vez se encuentran limitados por planos de rotura. El Eurocódigo 2 y la EHE considera que la deformación última de agotamiento del hormigón a compresión es diferente en situación de flexo-compresión que en compresión pura, debido a esto aparece el plano de agotamiento de deformación constate 2c  o 3c  , según se considere el modelo parábola-rectángulo o el modelo rectangular del hormigón respectivamente. Establecen por tanto tres puntos por los que pivotan los diferentes planos de deformación: pivote A, correspondiente a la deformación última del acero en tracción; pivote B, para la deformación última del hormigón en compresión con flexión y pivote C para la deformación última del hormigón en compresión pura. A. Límite de alargamiento por tracción de la armadura pasiva B. Límite de deformación unitaria del hormigón a compresión C. Límite de deformación unitaria del hormigón a compresión pura Figura 29. Distribuciones posibles del alargamiento y de la deformación unitaria en ELU. EC-2 y EHE La norma ACI-318 es más sencilla y considera que la rotura se produce únicamente por agotamiento del hormigón a compresión, por lo que todos los planos de rotura pasan por un único pivote, punto B de la figura siguiente. Capítulo 2. Estado del arte 67 B. Límite de deformación unitaria del hormigón a compresión Figura 30. Deformaciones de rotura según la ACI-318-08 En el caso de que se considere para el acero un modelo bilineal sin endurecimiento, el Eurocódigo 2 permite, como la norma ACI- 318, no limitar la deformación del acero a tracción, de tal modo tendremos: B. Límite de deformación unitaria del hormigón a compresión C. Límite de deformación unitaria del hormigón a compresión pura Figura 31. Diagrama de dos pivotes 2.3.3.1 Definición de los dominios de deformación Si se considera el diagrama de pivotes establecido por la Instrucción Española para la definición geométrica y matemática de los siguientes dominios de deformación: 68 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Dominio 1, tracción simple o compuesta Toda la sección trabaja a tracción y las rectas de deformación giran alrededor del punto A correspondiente a un alargamiento de la armadura más traccionada del 01.0 su  , la deformación del hormigón es 0   c  , y las ecuaciones de compatibilidad serían: x-d´ 2sus y c dxxyx         ( 40) Figura 32. Dominio de deformación 1 definidos por los planos 1 y 2. EHE Dominio 2, flexión simple o compuesta. Las rectas de deformación giran alrededor del punto A correspondiente a un alargamiento de la armadura más traccionada del 01.0  u  , la deformación del hormigón varía entre cuc   0, quedando las ecuaciones de compatibilidad como en el caso anterior: x-d´ 2sus y c dxxyx         ( 41) Figura 33. Dominio de deformación 2 definidos por los planos 2 y 3. EHE Capítulo 2. Estado del arte 69 Dominio 3, flexión simple o compuesta Las rectas de deformación giran alrededor del punto B correspondiente a la deformación de rotura por flexión del hormigón cu  . El alargamiento de la armadura más traccionada está comprendido entre sussyd Ef    1 /, y las ecuaciones de compatibilidad serían x-d´ 12 ss y cu dxxyx         (42) Figura 34. Dominio de deformación 3 definidos por los planos 3 y 4. EHE Dominio 4, flexión simple o compuesta Las rectas de deformación giran alrededor del punto B. El alargamiento de la armadura más traccionada está comprendido entre syds Ef /0 1    . x-d´ 12 ss y cu dxxyx         (43) Figura 35. Dominio de deformación 4 definidos por los planos 4 y 5. EHE 70 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Dominio 4ª, flexión compuesta Todas las armaduras están comprimidas y existe una pequeña zona de hormigón en tracción. Las rectas de deformación giran alrededor del punto B. x-d´ 12 ss y cu dxxyx         (44) Figura 36. Dominio de deformación 4ª definidos por los planos 5 y 6. EHE Dominio 5, compresión simple o compuesta Ambos materiales trabajan a compresión. Las rectas de deformación giran alrededor del punto C correspondiente a la deformación de rotura del hormigón por compresión 1c  . ´7 / 3 211 dxdxhx ssc         (45) Figura 37. Dominio de deformación 5 definidos por los planos 6 y 7. EHE Capítulo 2. Estado del arte 71 2.3.3.2 Planos de rotura que definen los dominios de deformación. Los dominios de deformación anteriormente descritos están definidos por los siguientes planos de rotura que los delimitan. Plano 1. Toda la sección a tracción con una deformación de su  (10‰ según la EHE), lo que agota el acero a tracción. El hormigón ya se ha agotado antes a tracción. Este plano corresponde a la “tracción pura”. Figura 38. Plano de rotura 1 Deformación y tensión de los materiales Deformación 10‰ 21   uss    Tensión ydss f  21   Profundidad de la fibra neutra:    x Plano 2. El acero inferior está traccionado con una deformación su  (10‰ según la EHE) y la zona superior de la viga no presenta deformación. En este plano también agota al acero a tracción. Figura 39. Plano de rotura 2 Deformación y tensión de los materiales ´ ´ 10‰ ´ ´´ ´ dh d dhd s us        10‰   us   ydsss fE   22   yds f  1  Profundidad de la fibra neutra: 0  x 72 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Plano 3. El acero inferior está traccionado con una deformación su  y la zona superior de la viga está a compresión con una deformación de cu  . En este plano de deformación el acero agota a tracción y el hormigón agota a compresión. Figura 40. Plano de rotura 3 Deformación y tensión de los materiales x dx dxx cu s scu ´)( ´ ´ ´        sss E´´    Profundidad de la fibra neutra: dxx cusu cu 259.0 d       Plano 4. El acero inferior está a tracción, con una deformación syds Ef /   y la fibra superior de la viga está a compresión con una deformación de cu  . En este plano de rotura la profundidad de la fibra neutra se denomina "profundidad límite" lim x. Figura 41. Plano de rotura 4 Deformación y tensión de los materiales lim lim limlim ´)( ´ ´ ´ x dx dxx cu s scu         sss E´´    no superior a yd f Profundidad de la fibra neutra: y lim lim y d x x         cu cucu cu d Siendo:          dxMpaf dxMpaf E f yk yk s yd 679.00016.0400 625.00021.0500 limy limy y    Capítulo 2. Estado del arte 73 Plano 5. El acero inferior tiene tensión nula y la zona superior de la viga está a compresión con una deformación de cu  . La fibra neutra en este plano se sitúa al nivel del acero inferior. Figura 42. Plano de rotura 5 Deformación y tensión de los materiales cdc f   0  s  Profundidad de la fibra neutra: X=d Plano 6. La fibra inferior tiene tensión nula y la zona superior de la viga está a compresión con una deformación de cu  . La fibra neutra en este plano se sitúa en la fibra inferior de la viga. . Figura 43. Plano de rotura 6 Deformación y tensión de los materiales x d dx cu s scu       ´ ´, donde x=h sss E    no superior a yd f Profundidad de la fibra neutra: X=h 80 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.3.4 MÉTODO SIMPLIFICADO PARA EL ARMADO A FLEXIÓN SEGÚN LA EHE Para que una sección mantenga un equilibrio de fuerzas la resistencia a tracción que ofrecen las armaduras debe equilibrarse con las compresiones del hormigón, existiendo una relación directa entre el armado de la pieza y el momento flector al que se encuentra sometida. De este modo, si se incrementa el momento flector hará falta aumentar la cuantía de armado para mantener el equilibrio, y aumentar la sección de hormigón comprimido para equilibrar las tracciones. El aumento de la sección de hormigón provocará el aumento de la profundidad de la fibra neutra y por tanto el brazo mecánico de la pieza, distancia de las tracciones hasta el centro de gravedad de las compresiones, disminuye. Figura 53 Respuesta tensional de una sección armada con dos armaduras, 1s A < 2s A , sometidas a su máximo momento flector 1 M < 2 M A partir de un determinado momento flector no resulta eficaz disponer más armadura, porque se reduciría el brazo mecánico de la sección y aumentaría la fibra neutra permitiendo mayores compresiones en el hormigón y menores tracciones y tensiones en el acero, dando lugar a la incapacidad para que este llegue a su límite elástico y por tanto que plastifique. Es decir, cuando la deformación del acero s  es inferior al límite elástico y  la eficacia de la armadura disminuye drásticamente haciendo antieconómico equilibrar las tracciones mediante el aumento de la sección, es decir mediante el aumento de las compresiones en el hormigón. Capítulo 2. Estado del arte 81 El caso anterior daría lugar a la rotura de la pieza por compresión, rotura frágil correspondiente a los dominios 4, 4a o 5. El plano de rotura en el que esto ocurre se denomina plano límite, que divide el dominio 3 y 4, al que le corresponde una deformación del hormigón de rotura cuc    y una deformación del acero syds Ef / 1  . Sustituyendo en las ecuaciones de equilibrio se obtiene )/(/ lim xdx ycu    , y despejando el valor de la profundidad de la fibra neutra tendremos: MPafparadx MPafparadx d d x yk yk cuy 500668.0 400617.0 /1 lim lim lim        (59) Figura 54 Plano límite en el diagrama de pivotes de la instrucción española Conocida la profundidad límite de la fibra neutra se puede determinar el momento límite como: MPafparadbfM MPafparadbfM ydcd ydcd 5003916.0 4003717.0 2 lim 2 lim   (60) La normativa española establece la profundidad límite de la fibra neutra para hormigones con resistencia inferior a 50MPa en dx 625.0 lim  , a la que le corresponde un momento límite 2 lim 375.0 dbfM cd  , momento a partir del cual las tensiones en el acero traccionado disminuyen según refleja el gráfico siguiente. 82 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Figura 55 Relación entre las tensiones de la armadura y x. Fig A.7.2 EHE 08 De este modo, el cálculo de secciones sometidas a flexión limita la profundidad de la fibra neutra para que no supere el plano límite correspondiente a lim x, asegurando de este modo la ductilidad de la sección frente a las deformaciones. Para ello se plantean dos posibilidades para el cálculo del armado, si el momento de cálculo es inferior o igual al momento límite dUM d    0 375,0 o si, por el contrario, es superior a este dUMd 0 375,0 . Para ambos casos el Art. 3.1.2 Anejo 7 de la Instrucción propone el siguiente cálculo:   375.05.0 375.0211 20 0 1 1 1     paraUU paraU U f U A s s yd s s (61) 375.0 375.0 375.03.0 0 1 1 2 2 2       para rd dUM paraU U f U A s s yd s s (62) 1. La EHE considera el armado a compresión igual a 0 para momentos de cálculo inferior al momento límite, sin embargo se considera el 30% de la armadura a tracción, según la recomendación del Art. 42.3.5. EHE 08. Siendo  Variable adimensional   0 /UdM    ( 63) 0 U Capacidad mecánica de la sección dbfU cd    0 ( 64) 1s U y 2s U Capacidad mecánica armadura a tracción y compresión Capítulo 2. Estado del arte 83 2.3.5 FLEXIÓN COMPUESTA BIAXIAL La presente tesis doctoral tiene como ámbito de estudio el análisis del comportamiento de las estructuras de hormigón sometidas a distorsión angular como consecuencia de un movimiento diferencial. Debido a que generalmente la resistencia última de un pórtico estará condicionada por las vigas, el objeto de estudio se reduce al análisis del comportamiento de las secciones rectas sometidas a flexión uniaxial, esfuerzos asociados a los dinteles por las cargas de servicio y las distorsiones angulares derivadas de los movimientos diferenciales de la cimentación. Sin embargo los pilares de un pórtico sometido a un movimiento diferencial estarán sometidos a dos momentos flectores en dos ejes principales de inercia, provocando una flexión esviada o flexión compuesta biaxial. Figura 56. Asiento de un pilar en esquina y flectores biaxiales asociados. La diferencia fundamental con la flexión uniaxial reside en que aparece una nueva ecuación de equilibrio, siendo ahora tres las ecuaciones a resolver, una correspondiente a esfuerzos axiles y dos de equilibrio de momentos, según se refleja a continuación: Axiles   psc A pp A ss A cc dAdAdANN  ( 65) Momentos en x   psc A pp A ss A ccx ydAydAydAMM  ( 66) Momentos en y   psc A pp A ss A ccy xdAxdAxdAMM  ( 67) 84 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales La sección deberá resistir una terna dada por yx MMN   definida por una posición de la fibra neutra dada por  y  , según reflejamos en el gráficos siguiente. Figura 57 Flexión compuesta biaxial en una sección rectangular Figura 58. Distribución de tensiones en una sección genérica sometida a flexión biaxial. Capítulo 2. Estado del arte 85 2.4 SOLICITACIONES TANGENCIALES. ESFUERZO CORTANTE Las deformaciones por flecha asociadas a las cargas de servicio así como las deformaciones impuestas por un asiento diferencial del edificio provocan en la estructura horizontal esfuerzos básicamente de flexión y de cortantes, pudiendo confluir esfuerzos torsores en encuentros de vigas no coincidentes, caso no desarrollado en este documento. Los estudios derivados de la Teoría del Campo de Compresiones y la posterior Teoría Modificada del Campo de Compresión, TCC y TMCC, añadieron a la Teoría de la Celosía planteada por Ritter – Mörsch la colaboración de esfuerzos, no despreciable, entre la resistencia a cortante y la resistencia a flexión en las estructuras de hormigón debido a la colaboración del hormigón a tracción tras su fisuración, Thomas T. C. Hsu y Yi-Lung Mo. (2010). 2.4.1 ROTURA DE LA SECCIÓN POR ESFUERZOS TANGENCIALES El efecto de las tensiones tangenciales, (torsor y cortante), provoca la inclinación de las tensiones principales de tracción con respecto a la directriz de la pieza. Para cargas reducidas estas tensiones de tracción no superan la resistencia a tracción del hormigón, si embargo cuando las cargas aumentan el hormigón se fisura reajustando las tensiones entre el hormigón y la armadura de forma variable hasta la rotura de la pieza. Rüsch, H. (1972) establece cinco tipos de rotura diferentes en una viga esbelta sometida a esfuerzos tangenciales reflejada en el esquema siguiente: Figura 59. Tipos de rotura por esfuerzos tangenciales 86 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 1. Rotura por flexión pura Se produce tras una deformación excesiva de la armadura a tracción que supone un aumento de la fibra neutra para movilizar mayores compresiones en el hormigón, y la rotura por compresión de la fibra superior de la pieza. Si la cuantía de la armadura traccionada es alta se producirá la rotura a compresión de la pieza sin que el acero alcance su límite elástico. 2. Rotura por cortante La falta de armado transversal en el apoyo provoca que la zona comprimida del hormigón resista parte del esfuerzo cortante, provocando la fisuración inclinada, que puede llegar a la parte superior de la fibra comprimida ante el aumento de esfuerzos. 3. Rotura por flexión y cortante La falta de armadura transversal provoca que las fisuras producidas por flexión y cortante suban llegando a provocar la rotura por compresión de la fibra superior de la pieza. 4. Rotura por compresión del alma Se produce en piezas en T o doble T si las tensiones por cortante superan la resistencia característica del hormigón. 5. Rotura por deslizamiento de armaduras Las tensiones en la armadura traccionada crecen en el apoyo de la pieza como consecuencia de los esfuerzos cortantes y gracias a las tensiones de adherencia entre el hormigón y el acero. Si las armaduras no están suficientemente ancladas puede producirse su deslizamiento en la zona de máximo cortante. 2.4.1.1. Rotura por cortante y flexión-cortante Las vigas de hormigón pueden presentar dos tipos de grietas de cortante, "grietas de cortante" y "grietas de flexión-cortante"; las primeras son las producidas en el alma de las vigas y se deben a la tensión de cortante, y las segundas son las que iniciadas por la tensión normal son continuadas por la tensión cortante. Capítulo 2. Estado del arte 87 Figura 60. Grietas de cortante y grietas de flexión-cortante La distribución de tensiones tangenciales máximas relacionadas con el esfuerzo de cortante del hormigón fisurado en servicio obedece a la ley de Colignon, y quedan reflejas en el gráfico y la formulación siguiente. z z Ib SV     ( 68) Donde V Esfuerzo cortante z S Momento estático respecto al centro de gravedad de la sección total homogénea. z I Momento de inercia respecto al centro de gravedad de la sección total homogénea. b Ancho de la sección de estudio Figura 61. Distribución de tensiones tangenciales máximas Si se estudia el problema aplicando la Teoría de la Elasticidad se puede establecer que la rotura por cortante se producirá cuando la tensión principal de tracción sea igual a la resistencia máxima a tracción del hormigón ct f. 88 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Sólo hasta ese instante se puede aplicar Teoría de Elasticidad puesto a partir de ese momento el hormigón se agrieta y ya no se comporta como un medio continuo. Imponiendo que la tensión principal de tracción sea igual a ct f, del círculo de Mohr de la figura anterior se deduce que: 22 2 2 xx ct f            ( 69) Sutherland, H., Clifford, W. (1926) establecen una distribución de tensiones tangenciales distinta, calculando el valor de  en la fibra neutra: Figura 62. Tensiones de cortante en la fibra neutra En esta figura cualquier plano a-b comprendido entre la fibra neutra y la armadura de tracción debe verificar la siguiente ecuación para equilibrar la diferencia de tracciones existentes en la armadura de tracción dT : dxbT   ( 70) Estableciendo equilibrio de momentos de las acciones exteriores sobre la rebanada en el punto donde se aplica la resultante de compresiones: dxVzT  ( 71) Combinando las dos ecuaciones anteriores se puede definir la tensión máxima como sigue: bz V   max  ( 72) Capítulo 2. Estado del arte 89 2.4.2 ANALOGÍA DE LA CELOSÍA Bajo pequeñas cargas de tracción el hormigón presentará fisuras perpendiculares a la dirección principal de tracción. Una vez que aparecen estas fisuras la resistencia del hormigón en la dirección principal de tracción es nula y dejan de ser aplicables los principios de la Mecánica de los Medios Continuos. Una hipótesis, presentada por Ritter - Mörsch, consiste en considerar que la viga se comporta internamente como una celosía en la que los elementos a compresión, cordón superior y diagonales, están constituidos por el hormigón presente en la viga, los elementos a tracción están constituidos por la armadura longitudinal inferior actuando como tirante y la armadura transversal actuando como montante. Figura 63. Representación gráfica de a celosía Sin embargo las bielas comprimidas en el modelo de Ritter - Mörsch formaban 45º con la horizontal, comprobándose posteriormente que en hormigón armado este ángulo es ligeramente menor. Se plantea por tanto la analogía de la celosía con una orientación genérica de las bielas de hormigón y de la armadura de cortante, siendo  el ángulo que forman las bielas de hormigón con la horizontal y  es el ángulo de la armadura de cortante con la horizontal. Figura 64. Analogía de celosía y distribución de esfuerzos 96 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.5.1.1 Limitación de la profundidad de la fibra neutra y la inercia fisurada. El Eurocódigo y la Instrucción Española ofrecen la siguiente expresión para el cálculo de la fibra neutra y la inercia fisurada en régimen elástico de una sección. Profundidad de la fibra neutra                                           2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ´ 12 111         n d d ndx (93) Inercia fisurada               ´ 3 ´ 321 d x dxAn x dxdAnI ssf (94) Siendo: 1  Cuantía mecánica del acero traccionado bdAs/ 11   2  Cuantía mecánica del acero comprimido bdAs/ 22   n Constantes adimensional cs EEn /  Calculando ambos valores en función del momento flector al que se somete la sección, podemos comprobar que la formulación establecida para el cálculo de armado a flexión limita la profundidad de la fibra neutra para garantizar un comportamiento elástico de la sección.                                                    2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 ´ 12 111 d d d d d d d ddf M M Mn dM dM M M MndMx         (95)                   r Mx rMxMAn Mx dMxdMAnI d dds d ddsf 33 21 (96) Resolviendo gráficamente las expresiones anteriores para una sección genérica tendremos Capítulo 2. Estado del arte 97 Figura 70. Relación entre x y el momento flector para el cálculo elástico Figura 71. Relación entre la inercia fisurada y x para el cálculo elástico 2.5.1.2 Módulo de elasticidad Según se ha visto anteriormente el Eurocódigo 2 y la Instrucción Española proponen para tensiones comprendidas entre 0  c  y cmc f4,0   los siguientes valores medios para el módulo de elasticidad del hormigón: EC-2 MPa f Ecm cm 3.0 10 22000        ( 97) EHE MPafE cmcm 3 8500 ( 98) Siendo cm f la resistencia media a compresión a los 28 días, valor que puede calcularse como MPaff ckcm 8 si las condiciones de ejecución son buenas. 0 0.068 0.135 0.203 0.27 0.338 0.405 0.473 0.54 0.608 0.675 6103  0.012 0.018 0.024 0.03 0.036 0.042 0.048 0.054 0.06 If M() XM() d 0 0.068 0.135 0.203 0.27 0.338 0.405 0.473 0.54 0.608 0.675 2.5 106  510 6  7.5 106  110 7  1.25 107  1.5 107  1.75 107  210 7  2.25 107  2.5 107  M XM() d 98 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.5.2 ANÁLISIS ELÁSTICO LINEAL CON REDISTRIBUCIÓN LIMITADA DE ESFUERZOS El análisis elástico lineal con redistribución limitada de esfuerzos se basa en admitir que las estructuras de hormigón hiperestáticas experimentarán cierto grado de plastificación en sus empotramientos, permitiendo la formación de rótulas plásticas. La rotula plástica es un concepto teórico que idealiza el comportamiento de una sección de hormigón en la que la armadura de tracción ha alcanzado la plastificación y puede girar bajo incrementos de carga sin apenas aumentar el momento flector. Este efecto implica que las estructuras adquieran una mayor capacidad de deformación si se considera que, tras la plastificación relativa de los materiales, la inercia de las secciones se ve reducida, siendo inferior a la inercia bruta o fisurada considerada en el cálculo lineal. La capacidad de formación de rótulas plásticas dependerá fundamentalmente de la ductilidad de la estructura, característica que está directamente relacionada con la profundidad de la fibra neutra, es decir, del dominio de deformación en el que se ubique el plano de rotura. De tal modo, las diferentes instrucciones permiten que se considere que las secciones con valores de "x" inferiores generalmente a 0,45 veces el canto útil, cuyos planos de rotura pivotan en dominio 1, 2 y parte del dominio 3, puedan experimentar un incremento admisible de deformación como consecuencia de la disminución de la rigidez de la pieza, que se traduce en una redistribución de esfuerzos equivalente. Esta limitación tiene como objetivo evitar que la armadura traccionada no llegue a plastificar en rotura debido al traspase de tensiones a la cara comprimida de la sección, que implica el empleo de secciones menores con mayores profundidades de fibra neutra. Por tanto puede resultar desaconsejable la redistribución de esfuerzos en vigas planas, Borja Varona Moya, F., García Andino, L., López Juárez, J.A. (2010) . 2.5.2.1 Redistribución de esfuerzos en los códigos de proyecto La mayoría de los códigos de proyecto permiten tener en cuenta cierta redistribución de esfuerzos sin necesidad de comprobar explícitamente la capacidad de deformación de las rótulas plásticas. El porcentaje de esta redistribución respecto al valor procedente de un análisis elástico está limitado y además se exigen ciertos requisitos para garantizar una ductilidad mínima adecuada. Capítulo 2. Estado del arte 99 CEB-FIP (1990) El margen de redistribución permitido depende de la resistencia del hormigón, de la profundidad de la fibra neutra, de la traslacionalidad de la estructura y del tipo de acero, siendo mayor en los aceros de alta ductilidad. Siendo  el factor de redistribución o cociente entre los momentos redistribuido y elástico, el planteamiento es el siguiente: a) Aceros de ductilidad alta o normal (S y A respectivamente): d x 25.144.0   si MPafck 3512   (99) d x 25.155.0   si MPafck 6040   (100) b) Aceros de ductilidad reducida (B): d x 25.175.0   si MPafck 6012   (101) Instrucción EHE La redistribución de esfuerzos es aplicable a los “ dinteles de pórticos” en edificación sensiblemente intraslacionales, permitiéndose una redistribución limitando superiormente el valor de la profundidad relativa, x/d a 0.45 independientemente del tipo de acero empleado como refleja la siguiente ecuación: 012556  d x r (102) La redistribución permitida está limitada a 20% en los aceros de ductilidad normal (S) y a 30% en los aceros de ductilidad especial (SD). otherwisesi xsi dxdsix xrs 20 448.00 448.0288.012556 )(    (103) otherwisesi xsi dxdsix xrsd 30 448.00 448.0208.012556 )(    (104) 100 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales En esta fórmula se observa que para profundidades relativas x/d mayores de 0.45 no se permiten redistribuciones (r=0) y para una profundidad relativa de 0.33 se permite aplicar una redistribución del r=15%, según puede extraerse de la solución gráfica de la formulación anterior. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 rsx() rsd x() x Figura 72. Redistribución de esfuerzos según la instrucción Española. ACI–318 La redistribución de los esfuerzos sólo se puede aplicar a las vigas continuas y a las piezas sometidas a flexión de pórticos no traslacionales. El margen de redistribución permitido depende de la diferencia entre las cuantías geométricas de las armaduras de tracción y de compresión, 21   . Analíticamente, el planteamiento es el siguiente:          b    21 12.01 (105)          b    21 2.08.0 (106) b    5.0 21  (107) Siendo  el factor de redistribución y b  la cuantía crítica de la armadura de tracción, es decir aquella para la que se produce la rotura crítica en flexión simple. La redistribución máxima permitida es del 20%. Capítulo 2. Estado del arte 101 Figura 73. Capacidad de rotación plástica según el Código ACI EC-2 Como en el CM 90, la redistribución de los esfuerzos se puede llevar a cabo sin necesidad de verificar previamente la capacidad de rotación plástica de las secciones críticas, sólo en los elementos sometidos a flexión. El margen de redistribución permitido depende de las mismas variables contempladas por el CM 90, más la deformación de rotura por flexión del hormigón. Analíticamente, asignando a cu  el mismo significado que en el CEB-FIP (1990), el planteamiento es el siguiente: a) Aceros de ductilidad alta (C): 70.0 21  d x kk  si MPafck 50  (108) 70.0 43  d x kk  si MPafck 50 (109) a) Aceros de ductilidad normal (B): 80.0 21  d x kk  si MPafck 50  (110) 80.0 43  d x kk  si MPafck 50 (111) Los valores de 1 k , 2 k , 3 k y 4 k pueden ser diferentes entre instrucciones, aunque EC-2 recomienda los siguientes valores, que para 0035.0  cu  , coinciden con los del CM 90: 102 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 54.0 0014.0 6.025.1 44.0 3 42 1           k kk k cu  (112) La redistribución máxima permitida es del 30%, 0.170.0    , si se utiliza acero de ductilidad alta o normal y del 20%, 0.180.0    si el acero es de ductilidad baja. El dimensionamiento de los soportes debe hacerse con los momentos obtenidos del análisis elástico lineal del pórtico sin redistribución alguna. Figura 74. Capacidad de rotación plástica según el EC-2 El Eurocódigo en relación al porcentaje de redistribución propone una fórmula similar a la norma española. Para un análisis plástico en los que se debe garantizar mucha más capacidad de rotación, el Eurocódigo limita la profundidad de la fibra neutra a 0.25d. La Instrucción Española recomiendo limitar la profundidad de la fibra neutra al 45% del canto útil para dimensionar a flexión simple. Asimismo, el código americano ACI-318 también recomienda limitar la profundidad de la fibra neutra en flexión simple al 75% de su valor límite, lo que equivale al 46% del canto útil de la sección. Capítulo 2. Estado del arte 103 2.5.2.2 Longitud de la rótula plástica El cálculo lineal con redistribución limitada de esfuerzos que se empleará en este documento para el análisis del comportamiento de secciones sometidas a distorsión angular, se centra en la rebanada de la pieza coincidente con el empotramiento, lugar donde se concentran los esfuerzos que condicionaran la resistencia última de la pieza, y donde se genera la rótula plástica. Sin embargo, desde el empotramiento existe una longitud que de forma gradual también se ve afectada por la plastificación de los materiales. Si analizamos una pieza en voladizo sometida a una carga puntual en el extremo, el momento último se localiza en el empotramiento, existiendo longitud que mantiene un régimen plástico gradual hasta alcanzar el momento flector y M, correspondiente a la deformación lineal de la sección. Por encima de esta rebanada, la barra se comporta esencialmente elástica, ya sea con sección fisurada o sección no-fisurada, mientras que en la región localizada entre y M y u M el acero y/o el hormigón habrán plastificado. Figura 75. Ménsula con carga lateral. Distribución de flectores y curvaturas sin efecto del cortante Figura 76. Modelo de rótulas plásticas o inelasticidad concentrada 104 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales La ley de curvaturas seccionales presenta un pico en la zona de plastificación, indicando que allí las rotaciones crecen mucho más rápidamente que en la zona elástica. Dicha zona tiende a concentrarse en una longitud finita, conocida como Longitud plástica , que, por condiciones de equilibrio, toma un valor máximo teórico de: Rotación plástica  p Lyp dxx  )( (113) Longitud plástica V MM Lyu p   (114) Entre las expresiones empíricas para determinar p L, puede utilizarse la siguiente, propuesta por Park, R. y Paulay, T. (1994): ydp fLL   022.008.0 (115) En este modelo, L es la longitud del elemento y  es el diámetro de las armaduras longitudinales. El Eurocódigo EC-2 (1992) recomienda tomar de forma simplificada una longitud de la rótula plástica igual a 1,2 veces el canto total. En general la longitud plástica de una pieza dependerá entre otros factores de: La forma de la ley de los momentos flectores. Las rótulas plásticas debidas a cargas uniformemente distribuidas suelen tener mayor longitud que las correspondientes a cargas puntuales, y las que aparecen en los vanos son mayores que las de los apoyos. La presencia de los esfuerzos cortantes concomitantes con el momento flector. El esfuerzo cortante provoca una inclinación de las fisuras, incrementa la tensión de la armadura principal de flexión a una cierta distancia del punto de momento máximo (decalaje), aumentando con ello la plastificación en otras secciones con un momento menor que el plástico en flexión. El diámetro de la armadura de tracción. La pérdida de adherencia producida por los altos niveles de las tensiones tangenciales tiene un efecto similar al caso anterior, extendiendo la zona plastificada a puntos adyacentes. Capítulo 2. Estado del arte 105 2.6 TENSIÓN DE SERVICIO Según se ha expuesto en la introducción a este documento, el empleo de determinados coeficientes de seguridad en el cálculo de una estructura permite que, en una situación de servicio, la misma pueda absorber ciertas deformaciones admisibles sin que ello afecte a su estabilidad, es decir podrá asumir un incremento de cargas o de deformación antes de alcanzar el Estado Límite Último. En general, los coeficientes de seguridad tratan de cubrir las incertidumbres asociadas a la resistencia del propio material, al cálculo de la estructura o a factores aleatorios externos asociados al edificio o a la obra, definidas por Jiménez Montoya, P., García Meseguer, A., Morán Cabré, F., Arroyo Portero, J.C. (2012) como sigue: Factores aleatorios Principales causas de incertidumbres Magnitud en que son tenidos en cuenta a nivel de diseño Resistencia de los materiales Variabilidad de los materiales Defectos de ensayo Correlación entre probeta y realidad Resistencia de cálculo de los materiales Valor de las cargas y otras acciones Variabilidad de las acciones no permanentes Variabilidad de los pesos propios Valor de cálculo de las acciones Proceso de cálculo Precisión de las hipótesis de cálculo Errores numéricos Grado de rigor Valor de cálculo de las acciones Características geométricas y mecánicas de la estructura real Defectos de ejecución (dimensiones de las secciones, posición de las armaduras, excentricidades adicionales, etc. Resistencia de cálculo de los materiales Valores de cálculo de las acciones otros Precisión de las medidas, errores en planos, errores de interpretación Valores de cálculo de las acciones Tabla 14. Aplicación de los coeficientes de seguridad , Jiménez Montoya y cols (2012) De forma general existen tres factores que garantizan la seguridad del cálculo de la estructura, así como en general el comportamiento lineal y elástico ante una situación de servicio: - La aplicación de coeficientes de seguridad en los materiales. - Los coeficientes de mayoración de las cargas y acciones. - La aplicación de cargas permanentes y variables generalmente superiores a las reales. 112 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Tabla 20. Coeficientes parciales de seguridad para los Estados Límites Últimos. Tabla 4.1 CTE-DB-SE (2006) 2.6.2.3 Hipótesis de carga La Instrucción Española ofrece las siguientes combinaciones de acciones para los diferentes estados límites. Estado límite último ( 123) Situaciones persistentes o transitorias: 0011 * *kQkQkPk G kG QQPGG   Situaciones accidentales 2211 * *kQkQkAkPk G kG QQAPGG   Situación sísmica: 22 * *kQEkAkPk G kG QAPGG   Estado límite de servicio ( 124) Combinación poco probable o característica 0011 * *kQkQkPk G kG QQPGG   Situaciones frecuente 2211 * *kQkQkPk G kG QQPGG   Situación cuasipermanente: 22 * *kQkPk G kG QPGG   Siendo : kGG   Valores característicos ponderados de las acciones permanentes * *k GG   Valores característicos ponderados de acciones permanentes de valor no cte. kP P  Valores característicos ponderados de las acciones de pretensado 11 kQ Q  Valor característico ponderado de la acción variable determinante 00 kQ Q    Valores representativos de combinación ponderados de la acción variable concominante 11 kQ Q   Valor representativo frecuente ponderado de la acción variable determinante 22 kQ Q    Valor representativo cuasipermanente ponderado de la acción variable determinante kA A  Valor característico ponderado de la acción accidental EkA A  Valor característico ponderado de la acción sísmica Capítulo 2. Estado del arte 113 Jiménez Montoya et al (2012) establece para edificaciones convencionales las siguientes simplificaciones de las combinaciones de hipótesis anteriores: Estado límite último ( 125) Situaciones persistentes o transitorias: kQkG QG    Situaciones accidentales kQkG QG    9.0 Situación sísmica: kQEkAkG QAG     8.0 Estado límite de servicio ( 126) Combinación poco probable o característica kQk QG    Situaciones frecuente kQk QG     9.0 Situación cuasipermanente: kQk QG     6.0 El código americano ACI 318 (2005) no aplica coeficientes de minoración a los materiales sino a los esfuerzos resistentes, por lo que establece unos coeficientes medios de mayoración de cargas superiores a los anteriormente indicados, 4.1   para cargas permanentes y 7.1  para cargas variables, así como las siguientes hipótesis de carga para el estado límite último: Combinación de acciones: )(4.1 FG  )//(5.0)(6.1)(2.1 RSQHQTFG c  )8.0/()//(6.02.1 WQRSQG c )//(5.06.02.1 RSQQWG c  SQEG 2.02.1  HWG 6.16.19.0  HEG 6.19.0  Siendo: G Carga permanente F Empujes líquidos T Tª, retracción, fluencia, asientos Q Sobrecarga H Empuje del terreno c Q Sobrecarga en cubierta S Nieve R Lluvia W Viento E Sismo 114 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.7 COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA FÁBRICA DE LADRILLO La de fábrica de ladrillo, paramentos divisorios y cerramientos, son por su rigidez los elementos constructivos en los que de forma inmediata se producen los primeros daños por fisuración derivados de un movimiento diferencial. La lectura de dichos daños, así como su comparación con los valores obtenidos mediante la nivelación topográfica permitirán deducir cual ha sido el comportamiento del edificio ante dicha deformación impuesta, es decirn si se han producido deformaciones y/o giros en el conjunto edificado. Con objeto de poder establecer una relación entre el comportamiento de la estructura y la albañilería, se aporta en el capítulo siguiente un método simplificado planteado por Cano Marín R.D. (2013b), para deducir los valores de distorsión que permiten la fisuración de la albañilería, por lo que procedemos a continuación al análisis de sus características mecánicas. 2.7.1 CARÁCTERISTICAS MECÁNICAS DE LA FÁBRICA El CTE-DB-SE-F (2006) establece una resistencia característica a la compresión de la fábrica k f, correspondiente a un esfuerzo normal a los tendeles, según los valores de la tabla siguiente. Tabla 21. Resistencia característica a compresión de las fábricas. Tabla 4.4. CTE-DB-SE-F (2006) Según Tena, A. (2001) la resistencia a la compresión de la mampostería puede estimarse como: pm ff 45.0 Para piezas de barro y sílico-calcáreas pm ff 60.0 P ara piezas de hormigón Capítulo 2. Estado del arte 115 Donde m f es la resistencia a la compresión de la mampostería y p f es la resistencia a la compresión de la pieza. Como resistencia característica a cortante vk f de una fábrica con mortero ordinario y juntas llenas, el CTE-DB-SE-F establece los siguientes valores: Para mortero ordinario y juntas llenas bkvkovk fff 065.036.0     (127) Para mortero ordinario y llagas a hueso bkvkovk fff 045.045.0     (128) Para mortero ordinario y tendel hueco bkdvkovk f t g ff 05.036.0   (129) Donde vko f es la resistencia a corte puro, con tensión de compresión nula, que puede determinarse para morteros ordinarios como sigue: Tabla 22. Resistencia característica a cortante de las fábricas. Tabla 4.5. CTE-DB-SE-F (2006) k  Si hay compresión, la tensión característica normal media perpendicular a la tabla, debida a la compresión debida a las cargas permanentes sobre el nivel considerado b f Es la resistencia normalizada a compresión de las piezas de fábrica, con el esfuerzo actuando perpendicular a la tabla, valores establecidos entre 10-25MPa 116 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 2.7.1.1 Deformabilidad El CTE establece como diagrama tensión-deformación de la fábrica la forma genérica que se representa en la figura siguiente. Como diagrama de cálculo permite adoptar la rama "b" o "c" de la figura, sin embargo en el caso de uso de piezas aligeradas o huecas que puedan presentar rotura frágil antes de desarrollar la rama horizontal, se establece el uso de la rama "a" de la figura. Figura 80. Diagrama tensión deformación de las fábricas. Figura 4.2. CTE-DB-F Meli, R. (1975) propone una curva de tipo trilineal para el diagrama tensión-deformación de la mampostería, donde el primer tramo describe la deformación del muro sin fisurar, el segundo tramo corresponde a la zona entre el agrietamiento y la carga máxima o de colapso, y la tercera línea el rango de deformación que permite el elemento para una misma carga máxima, rama horizontal que se mantiene hasta la deformación de colapso. Figura 81. Curva trilineal propuesta por Meli, R. (1979). Capítulo 2. Estado del arte 117 Asimismo Meli, R. (1979) propone un diagrama tensión-deformación para elementos de mampostería donde distingue entre paramentos de bloque de hormigón vibrado, (bloque de concreto en la figura siguiente); paramentos de piezas macizas de barro (tabique recocido); paramento de ladrillo perforado, (tabique con huecos verticales); y tabique tipo rejilla, (tabique de capuchina). Figura 82. Diagrama tensión deformación de la fábrica en compresión Meli, R. (1979) En este modelo se propone que la resistencia lateral del muro puede mantenerse en un determinado intervalo de deformaciones, sin embargo, otros investigaciones como Tomazevic, M. (1997) propone modelos que incluyen una reducción importante de la resistencia de la mampostería ante la aplicación de tensiones superiores a la máxima. Figura 83. Curva bilineal para el comportamiento de la mampostería. Tomazevic (1997) 118 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales El CTE plantea como módulo de elasticidad secante instantáneo "E" de una fábrica de ladrillo, un valor igual a 1000 veces la resistencia a cortante k f para cálculos de Estado Límite Último y el 60% de dicho valor para cálculo del Estado Límite de Servicio. De los ensayos realizado por Meli, R. (1971) se deduce que los módulos de elasticidad secantes obtenidos mediante ensayo en laboratorio varían considerablemente para la fábrica ejecutada con piezas pequeñas, debido al mayor número de juntas por unidad de longitud, pudiendo variar la resistencia de la fábrica en función a las continuidad mecánica del mortero de cemento, el espesor de la junta y su homogeneidad. Finalmente propone los siguientes valores aproximados: mm fE 450 Para piezas de barro (130) mm fE 600 Para piezas de concreto (131) Como módulo de elasticidad transversal "G", el CTE-DB-F considera que puede tomarse el 40% del módulo de elasticidad E. Este valor se emplea además en la ACI-530 (2005), UBC (1997), IBC (2000), NTCM (2002), Según Tena, A. (2001), si se considera un comportamiento elástico y lineal para el mortero y las piezas del elemento de fábrica, se puede tomar como módulo de elasticidad de la mampostería m E y el de las piezas p E la siguiente expresión: M t t p m E E       1 1 (132) Donde Relación entre el espesor de la junta de mortero j t y el espesor de la pieza p t p j tt t   (133) Relación entre el módulo de elasticidad de la junta j E y de la pieza p E p j ME E   (134) Capítulo 2. Estado del arte 119 De la formulación planteada por Tena, A. (2001) se deduce que las juntas de mortero tienen una influencia pequeña en el módulo de elasticidad de la mampostería, que dependerá fundamentalmente de la rigidez de las piezas, según refleja la figura siguiente. Figura 84. Variación del módulo de elasticidad de la mampostería en función a la relación modular para relaciones de espesores fijas Tena, A. (2001) 2.7.2 COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LA MAMPOSTERÍA CONFINADA BAJO TENSIÓN DIAGONAL Los principales tipos de rotura de la mampostería en un ensayo de compresión diagonal pueden darse del siguiente modo: 1. La fisuración diagonal atraviesa las piezas. Este tipo de rotura se da generalmente cuando la resistencia de las piezas es menor que la resistencia de adherencia del mortero. 2. La fisuración se produce en las juntas. Se produce cuando la resistencia de las piezas es mayor que la resistencia de adherencia del mortero con las piezas, por lo que el agrietamiento se produce en el elemento débil que en este caso es la junta. 3. Fisuración mixta. Se produce cuando el esfuerzo resistente a la tensión de las piezas es semejante a la adherencia entre piezas y mortero, en este caso el agrietamiento diagonal se da tanto en las piezas como en las juntas. 120 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales A. Fallo por las piezas B. Fallo por las juntas C. Fallo mixto Figura 85. Modos de rotura en ensayos de compresión diagonal Meli, R. (1979) Según Meli R. (1975) los elementos de mampostería confinada tienen un comportamiento ante cargas laterales semejante al obtenido mediante los ensayos de compresión diagonal, sin embargo la fuerza cortante que produce el agrietamiento es menor cuando el ensayo se realiza en voladizo que cuando se efectúa en compresión diagonal. Plantea que el esfuerzo cortante que produce el agrietamiento diagonal en un muro sujeto a cargas laterales y sin esfuerzos de compresión significativos puede estimarse como: cda VV 8.0 ( 135) Donde a V Esfuerzo cortante que produce el agrietamiento en un muro con cargas laterales. cd V Esfuerzo cortante que produce el agrietamiento en un ensayo a compresión diagonal Figura 86. Ensayo de distorsión angular en muro de mampostería confinada Meli, R. (1975). Capítulo 2. Estado del arte 121 Los ensayos realizados por Meli, R. (1975) reflejan que la deformación angular que provoca el agrietamiento de un elemento de mampostería confiada varia entre 0.0015 y 0.0025, es decir L/400 y L/666 siendo L la longitud del elemento. Sin embargo para ensayos a compresión diagonal la deformación que produce la rotura de la mampostería varía entre 0.0005 y 0.0015, es decir L/600 y L/2000. Tena, A. y Miranda, E. (2003) establecen que la deformación total que resiste un elemento de mampostería sometido a deformaciones impuestas es la suma de la deformación resistida por cortante y la deformación resistida por flexión: fcT     (136) Donde: IE LV c   3   Deformación por cortante (137) GA LV f     Deformación por flexión (138) Siendo A Área de la flexión I Inercia de la sección del cerramiento 12/ 3 HBI  G Módulo de rigidez del cerramiento o elasticidad a cortante. E Módulo de elasticidad del cerramiento  V Esfuerzo cortante  Coeficiente que depende de las restricciones a las deformaciones de los extremos, y que consideramos igual a 1 como empotramiento perfecto. Sustituyendo las expresiones anteriores:             GA L IE L V T 3   (139) Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 128                    M M M M b b 3 2 ´ ´ (5) Sustituyendo las expresiones de los giros y nudos tendremos:               pvvp pv vpv vpv KKKK KK M KKK MKKKM 321216 42 4)(16 2)(4 222 2 32    (6) Sustituyendo el valor del giro:                                pvvp pv v pvvp pv vbb KKKK KKK MM KKKK KK KMMM 321216 2412 1 321216 42 61 22 2 22 32   (7) El grado de empotramiento será:            pvvp pv v KKKK KKK 321216 2412 122 2  (8) Dividiendo por 2 p K todos los miembros de la expresión anterior se obtiene el grado de empotramiento en función al cociente de la rigidez de la viga y el pilar vp K como sigue:            vpvp vpvp vp KK KK K321216 2412 1)( 2 2 1  (9) Resolvemos gráficamente la ecuación anterior como sigue: Figura 3. Relación entre el cociente de la rigidez viga-pilar y el grado de empotramiento 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1Kvp  Kvp Capítulo 3. Modelo de cálculo 129 Análisis matricial del grado de empotramiento de un pórtico de dos vanos simétricos Se estudia a continuación un pórtico formado por dos vanos, sometido a un asiento diferencial de un pilar central. Figura 4 Asiento de pilar central en un pórtico de dos vanos El sistema matricial de ecuaciones estaría definido como sigue: paa paa p a a a a KMM KMM K M M M M 222 211 2 1 2 1 2 1 4´ 2´ 42 24 ´ ´                                          vvdd vvdd v d d d d KKMM KKMM K M M M M 3233 3222 3 2 3 2 3 2 42´ 24´ 42 24 ´ ´                                          pbb pbb p b b b b KMM KMM K M M M M 344 333 4 3 4 3 4 3 2´ 4´ 42 24 ´ ´                                          (10) vvee vvee v e e e e KKMM KKMM K M M M M 5355 5333 5 3 5 3 5 3 42´ 24´ 42 24 ´ ´                                          pcc pcc p c c c c KMM KMM K M M M M 566 555 6 5 6 5 6 5 2´ 4´ 42 24 ´ ´                                          Del sistema de ecuaciones despejamos el giro de los nudos no coaccionados: )(4 0)(40 )(4 0)(40 5555 2222 vp pvce vp vpda KK M KKMMM KK M KKMMM           (11) Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 130 Sustituyendo los giros se obtienen los momentos flectores en el nudo o 2 y 3:             )( 1 )( 4252 vp v vp v ved KK K M KK MK MKMMM                 )(2 1 )(2 2´´ 233 vp v vp v ved KK K M KK MK MKMMM     (12) Dividiendo por p K todos los miembros de la expresión anterior se determina el grado de empotramiento en función al cociente de la rigidez de la viga y el pilar vp R. El grado de empotramiento en los nudos extremos del pórtico 2 y 5 y en el nudo central 3 quedará definido por las siguientes expresiones:           )1( 1 2 vp vp ext K K  (13)           )1(2 1 2 vp vp cent K K  (14) Resolvemos gráficamente la ecuación anterior como sigue Figura 5. Relación entre el cociente de la rigidez viga - pilar y el grado de empotramiento para el asiento de pilar central en un pórtico de dos vanos 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2ext Kvp  2cent Kvp  Kvp Capítulo 3. Modelo de cálculo 131 Análisis matricial del grado de empotramiento de un pórtico de dos vanos simétricos Se estudia en este caso un pórtico formado por dos vanos sometido a un asiento diferencial de un pilar del extremo. Figura 6. Asiento de pilar extremo en un pórtico de dos vanos El sistema matricial de ecuaciones estaría definido como sigue: vvdd vvdd v d d d d KKMM KKMM K M M M M 3233 3222 3 2 3 2 3 2 42´ 24´ 42 24 ´ ´                                          pbb pbb p b b b b KMM KMM K M M M M 344 333 4 3 4 3 4 3 2´ 4´ 42 24 ´ ´                                          (15) vvee vvee v e e e e KKMM KKMM K M M M M 5355 5333 5 3 5 3 5 3 42´ 24´ 42 24 ´ ´                                          pcc pcc p c c c c KMM KMM K M M M M 566 555 6 5 6 5 6 5 2´ 4´ 42 24 ´ ´                                          Del sistema de ecuaciones anterior despejamos el giro de los nudos no coaccionados:                       v pvp vp v pvp vpv KKKK KK M KKKK KKK M2 2 2 2 2281648 24 281648 )(42                         v pvp vp v pvp pvv KKKK KK M KKKK KKK M2 2 2 2 3281648 64 281648 )2(42   (16) Sustituyendo el valor de los giros se obtienen los momentos flectores: Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 132            v pvp vvp dKKKK KKK MM 2 2 2 2281648 2024 1             v pvp vvp dKKKK KKK MM 2 2 2 3281648 2824 1  Dividiendo por 2 p K todos los miembros de la expresión anterior se determina el grado de empotramiento en función al cociente de la rigidez de la viga y el pilar vp K. El grado de empotramiento en los nudos extremos del pórtico 2 y 5 y en el nudo central 3 quedará definido por las siguientes expresiones:            2 2 3281648 2024 1 vpvp vvp ext KK KK  (17)            2 2 3281648 2824 1 vpvp vpvp cent KK KK  (18) Resolvemos gráficamente la ecuación anterior como sigue Figura 7 Relación entre el cociente de la rigidez viga - pilar y el grado de empotramiento para el asiento de pilar extremo en un pórtico de dos vanos 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 3ext Kvp  3cent Kvp  Kvp Capítulo 3. Modelo de cálculo 133 Análisis estadístico mediante el cálculo matricial de la estructura en SAP Tomamos para el cálculo una estructura formada por tres pórticos en cada sentido de 5m de longitud y tres plantas de 2.5m de altura, formada por pilares rectangulares de 30x30cm, y vigas con geometría variables ancho x canto total de 50x10cm, 30x30cm, 10x50cm. Se establece por tanto una relación rigidez viga/rigidez pilar variable de 0 a 1.5, y cargas variables uniformemente distribuidas de 0kN/ml y 10kN/ml. Figura 8. Axonometría de la estructura en SAP para el análisis del empotramiento Analizamos el momento flector asociado a una distorsión angular producida por asiento diferencial fijo de 10cm, en un pilar de esquina, en un pilar centrado de un pórtico exterior, y un pilar centrado de un pórtico interior. Dicho momento flector será comparado con el resultante de estimar la viga con un biempotramiento perfecto en sus extremos, siendo el cociente entre ambos el porcentaje del empotramiento o capacidad de giro del nudo. Estos resultados quedan representados en el anexo 11 del documento, del que extraemos los resultados expuestos en la tabla siguiente. Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 134 EMPOTRAMIENTO nudo exterior Nudo interior TIPO DE ASIENTO b (cm) h (cm) Q (kN) P1 P2 P3 P1 P2 P3 0 100% 100% 97% 10 50 10 100% 100% 98% 0 70% 67% 55% 30 30 10 70% 68% 56% 0 55% 53% 43% PILAR DE ESQUINA 50 10 10 55% 53% 44% 0 100% 100% 97% 100% 100% 97% 10 50 10 100% 100% 98% 100% 100% 98% 0 80% 84% 66% 85% 89% 76% 30 30 10 79% 83% 65% 85% 89% 77% 0 70% 74% 53% 78% 82% 68% PILAR CENTRAL EXTERIOR 50 10 10 69% 73% 52% 78% 82% 68% 0 100% 100% 97% 100% 100% 97% 10 50 10 100% 100% 98% 100% 100% 98% 0 81% 84% 68% 84% 87% 76% 30 30 10 80% 83% 66% 84% 87% 76% 0 70% 74% 53% 79% 81% 66% PILAR CENTRAL INTERIOR 50 10 10 70% 73% 51% 79% 81% 66% Tabla 2. Porcentaje de empotramiento para las diferentes hipótesis calculadas con SAP 2000 Considerando que la relación habitual de rigidez viga-pilar suele estar entre 0.5 y 1.5, se podría estimar que el coeficiente de empotramiento medido en tanto por ciento sería de 76% a 80% para pilares centrados y entre el 60% y 70% para pilares en esquina, aumentando la capacidad de giro de los nudos a medida que disminuimos las cargas gravitartorias. Sin embargo los resultados anteriores responden a un cálculo elástico y lineal de la estructura, alejado del comportamiento real tras la posible plastificación de los materiales. En este supuesto, es decir la formación de rótulas plásticas, se produciría una reducción de los momentos flectores negativos tras la plastificación de la sección, compensando el giro del nudo viga-pilar con el giro de la viga a lo largo de su longitud plástica. Este efecto, que no ha sido analizado en la presente tesis, dará lugar a valores más cercanos al empotramiento perfecto que los obtenidos con el cálculo anterior. Capítulo 3. Modelo de cálculo 135 3.1.2 ESTIMACIÓN DE LA SITUACIÓN DE SERVICIO Como ya se ha descrito, la única variable que puede concretarse a efectos del análisis de la situación de servicio de la estructura son los coeficientes de mayoración de carga. Estos coeficientes son de tipo probabilístico, es decir, están relacionados con la variabilidad de las cargas y se calculan por tanto en función a estas, existiendo una serie de coeficientes de simultaneidad que reducirán los coeficientes de mayoración de las carga variables en función al tipo de acciones simultáneas consideradas. De tal modo, cuando la acción variable actúa de forma aislada el valor será el característico, si consideramos dos o más acciones variables, sobrecarga y viento, el coeficiente de simultaneidad variará entre 0.5 y 0.7, y para acciones variables concominantes en situaciones accidentales o sísmicas, entre 0.2 y 0.6. Sin embargo resulta habitual el empleo de una serie de simplificaciones para el cálculo de las combinaciones de acciones. De tal manera, la memoria de cálculo de Cype 2011b contempla para situaciones persistentes o transitorias, o sísmicas las siguientes combinaciones: Para una acción variable kQkjGj jQG     (19) Para dos o más acciones variables kiQi i kjGj jQG      9.0 (20) Para situaciones sísmicas, p.p. y sobrecarga KEAkiQi i kjGj jAQG , 8.0         (21) Asimismo, Jiménez Montoya et al (2012) plantea una simplificación de la combinación de acciones para la situación persistente o transitoria definida como sigue: kQkG QG    Donde: k G Valor característico de las acciones permanentes k Q Valor característico de las acciones variables determinantes. G  Coeficiente de mayoración de cargas permanentes 35.1  G  Q  Coeficiente de mayoración de cargas variables 50.1  G  Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 136 Estas hipótesis reducen o eliminan los coeficientes de simultaneidad de las acciones, lo que dará lugar a resultados de cálculo menos restrictivos. Sin embargo, entendemos que esta simplificación queda compensada con las establecidas en las hipótesis de partida para el coeficiente de minoración de resistencia y el grado de empotramiento de la estructura, por lo que el cálculo segurá quedando del laso de la seguridad. Tomando la simplificación de la combinación de acciones para la situación persistente o transitoria planteada por Jiménez Montoya, podemos estimar un coeficiente medio de mayoración de cargas dado por la expresión siguiente: kk kQkG MQG QG       (22) Resolviendo la ecuación de dos variables anterior para un rango de valores de cargas permanentes y variables de 2kN/m² a 8kN/m², y 2kN/m² a 5kN/m², respectivamente, se obtiene una mayoración de las cargas características empleadas para el cálculo entre 139% y 145%, es decir un coeficiente medio de mayoración de 45.139.1   M  . Figura 9. Ábaco de coeficientes medios de mayoración de cargas Por lo anteriormente expuesto podemos deducir que la tensión de servicio de la estructura, considerando únicamente los coeficientes de mayoración de carga para las acciones de cálculo, oscila entre el 69% y el 72% de la tensión de cálculo de la estructura. Capítulo 3. Modelo de cálculo 137 3.1.3 HIPÓTESIS DE PARTIDA PARA EL ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD A NIVEL DE SECCIÓN La ley de esfuerzos derivada de las cargas de servicio y la distorsión angular de una viga vendrá dada generalmente por el cortante y el flector de la pieza. El resultado de los momentos flectores t M debido a las cargas de servicio s M y la distorsión  M, provocará un aumento de los momentos negativos en el nudo opuesto al descenso, y los reducirán en el nudo que asienta. En función a la distorsión angular que experimente la estructura y la relación entre el flector s M y  M, el nudo que sufre el descenso podrá llegar a desarrollar un flector positivo para el que no está diseñada la estructura. Sin embargo, para que esto suceda, la resultante de momentos t M debería suponer un incremento de esfuerzos del 100% respecto a los esfuerzos asociados a la situación de servicio, superior al incremento admisible que permitirá la eliminación del coeficiente de mayoración de cargas, que en tanto por ciento oscilará entre el 39% y el 45%. Por lo anteriormente expuesto serán los esfuerzos experimentados por el nudo opuesto al descenso los que condicionen la resistencia última de la pieza, que según desarrollamos en el subapartado 3.1.6.5, vendrá condicionada por el momento flector. Figura 10. Resultante f M  con momentos negativos en ambos empotramientos Figura 11. Resultante f M  con momentos positivo en el nudo del descenso. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ML() MfL() MfL() L 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.6 0.39 0.18 0.03 0.24 0.45 0.66 0.87 1.08 1.29 1.5 ML() MfL() MfL() L Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 144 3.1.3.3 Hipótesis para el cálculo no lineal del límite elástico, plástico y de rotura Para analizar el comportamiento de la estructura frente a la deformación impuesta por un movimiento diferencial, se requiere, conocida su situación de servicio, definir los límites de esfuerzos y deformación que darán lugar a su comportamiento elástico lineal, elástico no lineal, y plástico o de rotura. Si consideramos para el acero un modelo tensión-deformación bilineal, sin endurecimiento y simétrico según la figura siguiente, el material mantendrá un régimen elástico y lineal hasta alcanzar una deformación sydsy Ef /    , momento a partir del cual plastificará hasta alcanzar su rotura para un valor de deformación 01.0   su  . Tomando para el hormigón el modelo parábola-rectángulo antes definido, podemos considerar que el material mantendrá un régimen elástico y lineal hasta alcanzar una deformación ccdcy Ef /4.0  , elástico no lineal hasta alcanzar el inicio de la deformación plástica o de rotura a compresión simple 002.0  cp  , y un régimen plástico desde dicho valor hasta su rotura por flexo-compresión, equivalente a 0035.0  cu  . Figura 15. Modelo tensión-deformación del acero Figura 16. Modelo tensión-deformación del hormigón Si trasladamos los anteriores valores de deformación a un diagrama de pivotes, se obtienen dos dominios para el límite lineal y elástica definidos por los planos que pivotan en los valores sy  y cy  , cuyo máximo momento flector será y M, dos dominios para el límite elástico no lineal definidos por los pivotes sy  y cp  con flector asociado p M, y dos dominios de deformación por los que pasarán los planos de rotura, definidos por los pivotes su  y cu  , cuyo momento flector será u M, según reflejamos en la figura siguiente. Capítulo 3. Modelo de cálculo 145 Figura 17. Modificación del diagramas clásico de pivotes Admitiendo la hipótesis de que las deformaciones normales a la sección siguen una ley plana y por tanto una variación lineal, al conocerse las deformaciones en dos fibras de la sección quedan definidas las deformaciones en todas sus fibras según las siguientes ecuaciones de compatibilidad: ´ )( 21 dxdxyxx xss y c           Empleando las leyes de equilibrio de esfuerzos y las leyes de compatibilidad, se puede determinar el momento flector máximo asociado a cada fase de deformación de la pieza, así como el incremento admisible de esfuerzos desde la situación de servicio. Los valores máximos de curvatura para cada rango de comportamiento serán: Límite elástico lineal      xxsi x xxsi dx x y cy y sy y lim lim    (34) Límite elástico no lineal      xxsi x xxsi dx x p cp p sp p lim lim    (35) Límite plástico ó rotura      xxsi x xxsi dx x u cu u su u lim lim    (36) Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 146 Donde el valor de la profundidad de la fibra neutra que definirá el cambio de dominio lim x, se puede deducir despejando la expresión siguiente: Límite elástico lineal sycy cy ydx     lim (37) Límite elástico no lineal spcp cp pdx     lim (38) Límite plástico ó rotura sucu cu udx     lim (39) Mediante las leyes de equilibrio de esfuerzos deducimos la rigidez de la sección y el momento flector máximo asociado a cada rango de deformación. El incremento admisible de momento flector hasta alcanzar el límite para el comportamiento elástico lineal, no lineal y plástico o de rotura vendrá definido por la diferencia entre el momento asociado a dichos rangos de deformación )( y xM , )( p xM ó )( u xM y el momento de servicio. La suma de los esfuerzos generados por las cargas de servicio y el asiento diferencial de la estructura podrá dar lugar a los siguientes escenarios: - Que la suma del flector generado por la deformación y las cargas de servicio t M, no supere el flector máximo para el comportamiento elástico y lineal de la sección )( y xM . - Que el momento flector t M sea superior al momento )( y xM e inferior a )( p xM , en cuyo caso la sección perderá su comportamiento lineal. - Que el momento flector t M sea superior al momento )( p xM e inferior al momento último )( u xM , en cuyo caso la sección tendrá un comportamiento plástico. - Que el momento flector t M sea superior al momento )( u xM , en cuyo caso se producirá la rotura de la sección por plastificación del acero y/o compresión del hormigón. Capítulo 3. Modelo de cálculo 147 3.1.3.4 Iteraciones empleadas para el cálculo no lineal El análisis no lineal tiene el gran inconveniente de requerir a priori conocer la armadura en cada sección de la estructura, y la necesidad de realizar iteraciones del cálculo para obtener una proporcionalidad entre la causa y el efecto. Generalmente el proceso se inicia con el cálculo de la ley de esfuerzos mediante un análisis elástico lineal, y en función a la deformación de los materiales se obtiene una nueva distribución de rigideces que a su vez altera la ley de esfuerzos, requiriendo una iteración sucesiva del cálculo hasta alcanzar una distribución de los esfuerzos y rigideces coherentes. A. Determinación de la gráfica momento curvatura La gráfica momento curvatura estará formada por infinitos puntos    ,M, cuya pendiente queda definida por la rigidez K de la pieza, dada por ambas variables. Con objeto de simplificar la obtención de la gráfica   M que nos servirá para el cálculo iterativo de la rigidez de la pieza, y en base al planteamiento fijado por Doñate A, Calavera J., Gálligo J. M., Gómez A., Marí A.R., Perepérez B., Ruano N., (2003) y Ziad N. Taqieddin Z.N. and Voyiadjis G.Z. (2009), realizamos una simplificación transformando la curva en cinco líneas definidas por un total de cinco puntos correspondientes a la inercia bruta y las inercias para el elástico lineal, elástico no lineal, plástica y de rotura de la pieza. Para ello empleamos la ecuación de la recta dada por dos puntos, siendo M y  las variables a determinar. v MM    1 1  , siendo v la pendiente dada por 12 12    MM Aislando el valor  /M, se determina la rigidez de la pieza como sigue:   MvMM MMv MK    11 )(  (40) La pendiente y las diferentes rectas y la rigidez asociada a la misma vendrán dadas por las siguientes expresiones: Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 148 Rigidez elástica lineal L y L y M M   (41) Rigidez para la fase elástica lineal a no lineal L y NL y L y NL y L y L yMMMM       (42) Rigidez para la fase elástica no lineal a plástica NL yp NL yp NL y NL yMMMM       (43) Rigidez para la fase elástica no lineal a rotura pu pu p pMMMM       (44) Rigidez para la pieza en estado de rotura u u MM   (45) Figura 18. Idealización del gráfico   M Calculados los valores de rigidez entre la curva real y la idealizada en el punto medio de las rectas de mayor longitud, correspondientes a la fase elástica lineal – no lineal, no lineal – plástica y plástica – rotura, comprobamos que la diferencia de rigideces, expresadas en el gráfico anterior como )(MK, resulta despreciable. Capítulo 3. Modelo de cálculo 149 B. Modelo de iteración del cálculo Tomamos como partida el planteamiento gráfico propuesto por Murcia Vela, J. y Aguado de Cea, A. (1983) y Murcia Vela, J., Aguado de Cea, A., Marí Bernat A.R. (1993), que desarrollamos matemáticamente hasta la obtención un algoritmo que permita la iteración del cálculo hasta la obtención de un valor convergente entre el momento flector y la rigidez de la sección. Esta propuesta está definida por dos etapas fundamentales e iterativas. La primera etapa resuelve mediante un cálculo lineal el valor de la rigidez asociada al momento flector para el cálculo lineal 1 M. En esta fase los esfuerzos equilibran a las acciones, sin embargo esta solución, representada en una sección genérica de la estructura por el punto L M11,  , no cumple con las deformaciones reales del material, que vendrá definida por NL M11,  . La diferencia entre ambos puntos dará lugar a un incremento de curvatura 1  , diferencia de la curvatura real y la obtenida en el cálculo de estas etapas, y a una reducció asociada del momento flector 1 M, que dará lugar al punto L M22 ,  , siendo esta la segunda etapa del cálculo. Este proceso se puede repetir de forma iterativa hasta converger en un único resultado, según refleja el gráfico siguiente. Figura 19. Gráfico del cálculo iterativo Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 150 Desarrollamos como sigue las dos etapas fundamentales del cálculo iterativo: 1. Obtención de la curvatura lineal asociada al momento 1 M LL KM / 11   2. Obtención de la curvatura no lineal asociada al momento 1 M )(/ 111 MKM L  3. Obtención del incremento de curvatura LNL 111      4. Obtención del incremento de momento asociado a 1   L KM 11    5. Momento flector tras la primera iteración de cálculo. 112 MMM  El cálculo iterativo reflejado en el gráfico anterior continuaría como sigue: 1 2 2   L LK M  2 2 2MK M NL   NLL 222       L KM 22     223 MMM    21 3 3   L LK M  3 3 3MK M NL   LNL 333       L KM 33     334 MMM    321 4 4   L LK M  4 4 4MK M NL   NLL 444       L KM 44     445 MMM    Con objeto de sintetizar el procedimiento de cálculo hemos procedido a determinar el algoritmo que define el cálculo iterativo, despejando el valor de los momentos flectores y eliminando de la ecuación el valor de la curvatura.          1 12 2MK K MM L  1 2 23 2           L LK MK K MM   21 3 34 2           L LK MK K MM   321 4 45 2           L LK MK K MM          L KMK M11 1 11            LL NLL KMK M MK M K M11 2 21 2 22 2221           L KMK M11 3 3321  Capítulo 3. Modelo de cálculo 151          1 12 2MK K MM L (46)                   12 1 1 2 23 MK K M MK K MM LL (47)                   12 2 2 3 34 MK K M MK K MM LL (48)                   12 3 3 4 45 MK K M MK K MM LL (49) Las ecuaciones anteriores pueden quedar definidas mediante la siguiente matriz con valor de  k2, siendo el momento flector 0 0  M                      12 2 2 1 1 k L k k L kk MK K M MK K MM (50) Al representar gráficamente el valor de k M/d M, siendo d M el momento de cálculo lineal, para diferentes valores de k, se obtiene la oscilación de las iteraciones de cálculo respecto al valor al que confluyen, según queda reflejado en el gráfico siguiente, resuelto mediante Mathcad para una sección L:7m, b: 20cm, L/d: 25 y q:15kN/m² 2 3.8 5.6 7.4 9.2 11 12.8 14.6 16.4 18.2 20 0.65 0.68 0.71 0.74 0.77 0.8 0.83 0.86 0.89 0.92 0.95 Mk Md k Figura 20. Iteración de cálculo, para una sección L: 7m, b: 20cm, L/d: 25 y q: 15kN/m² Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 152 3.1.3.5 Comparación con cálculos mediante elementos finitos El modelo de cálculo iterativo no lineal anteriormente descrito será comparado con los resultados obtenidos mediante el cálculo informático por elementos finitos realizado con Lusas Finite Element Analysis Versión 14.7-10. Se calculan un total de 24 piezas de hormigón de 5m de luz con relación luz/canto variable de L/10 a L/25, armado superior e inferior simétrico variable de 226mm² y 982mm², y anchos variables de 200 a 600mm y recubrimiento de 35mm. Tomando como base el planteamiento de Ziad N. Taqieddin Z.N. and Voyiadjis G.Z. (2009), el ensayo consiste en la simulación de una distorsión angular en una sección recta de hormigón mediante la aplicación de una carga puntual en un extremo, que se incrementa progresivamente en escalones de carga de 2kN hasta la rotura de la pieza. X Y Z Figura 21. Definición gráfica de la geométrica de la viga Se emplea una discretización uniforme compuesta por 4 divisiones en dos dimensiones para las barras de acero, y una discretización también uniforme de los planos de hormigón compuesto por 4 divisiones en tres dimensiones. Empleamos un módulo de Young para el acero de 210000MPa y un coeficiente de poisson de 0.3. Tomamos como tensión inicial para el inicio de la plastificación 434,78MPa y una deformación última de 0.01. Para el hormigón tomamos un módulo de Young de 42000, un coeficiente de poisson de 0.2, una resistencia uniaxial de compresión de 25MPa, una deformación máxima a compresión de 0.002, y una deformación máxima a flexo-compresión de 0.0035. X Y Z Figura 22. Definición gráfica de la discretización de la viga Consideramos la viga con un biempotramiento perfecto permitiendo el movimiento en el extremo derecho, para ello coaccionamos el movimiento y el giro en x e y en la superficie izquierda, y el movimiento en x en la derecha. Capítulo 3. Modelo de cálculo 153 X Y Z Figura 23. Definición gráfica de las coacciones de la viga Por último aplicamos una carga concentrada y puntual de 1 N en el extremo con movimiento vertical libre, que se irá incrementando en escalones de carga de 2kN hasta llegar a la máxima deformación posible mediante un cálculo no lineal. X Y Z Figura 24. Definición gráfica de la deformación de la viga para el último incremento de carga Los resultados quedan representados en un gráfico que relaciona el desplazamiento en mm para los diferentes incrementos de carga utilizadas medidas N, hasta alcanzar la máxima deformación por distorsión angular que puede asumir la viga. Figura 25 Gráfico que relaciona el desplazamiento vertical con los diferentes incrementos de carga Por último reflejamos el comportamiento plástico del hormigón y el acero mediante mapas de contorno para el máximo incremento de carga posible X Y Z Figura 26. Mapa de deformación plástica del hormigón X Y Z Figura 27. Mapa de deformación plástica del acero 256 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Figura 53. Diagrama idealizados y de cálculo de tensión deformación para acero de armaduras pasivas en tracción y compresión, según EC-2. Figura 54. Diagrama tensión deformación para acero Figura 55. Tensiones y deformaciones a lo largo del proceso de carga, prefisuración elástica, fisuración elástica y fase de prerrotura. Figura 56. Diagrama momento - curvatura de piezas con rotura dúctil. Figura 57. Diagrama momento - curvatura para de piezas con rotura frágil. Figura 56. Distribución de deformaciones Figura 57. Condiciones de equilibrios de una sección rectangular Figura 60. Distribuciones posibles del alargamiento y de la deformación unitaria en ELU. EC-2 Figura 61. Deformaciones de rotura según la ACI-318-08 Figura 62. Diagrama de dos pivotes Figura 63. Dominio de deformación 1 definidos por los planos 1 y 2. EHE Figura 64. Dominio de deformación 2 definidos por los planos 2 y 3. EHE Figura 65. Dominio de deformación 3 definidos por los planos 3 y 4. EHE Figura 66. Dominio de deformación 4 definidos por los planos 4 y 5. EHE Figura 67. Dominio de deformación 4ª definidos por los planos 5 y 6. EHE Figura 68. Dominio de deformación 5 definidos por los planos 6 y 7. EHE Figura 69. Plano de rotura 1 Figura 70. Plano de rotura 2 Figura 71. Plano de rotura 3 Figura 72. Plano de rotura 4 Figura 73. Plano de rotura 5 Figura 74. Plano de rotura 6 Figura 75. Plano de rotura 7 Figura 76. Dominios y planos de deformación de la sección de hormigón. Figura 77. Relación entre curvatura última y profundidad de la fibra neutra Figura 78. Relación entre la tensión y la profundidad de la fibra neutra Figura 79. Relación entre la tensión y la profundidad de la fibra neutra Figura 78. Relación momento de rotura y tensiones en el hormigón y el acero Índice de figuras, gráficos, tablas y anexos 257 Figura 79. Relación entre el momento de rotura y la profundidad de la fibra neutra Figura 80. Diagrama de pares momento-axil Figura 83 Representación gráfica de As1(x) y As2(x) en función de x/d Figura 84 Respuesta tensional de una sección armada con dos armaduras, As1<As2 sometidas a su máximo momento flector M1<M2 Figura 85 Plano límite en el diagrama de pivotes de la instrucción española Figura 86 Relación entre las tensiones de la armadura y x. Fig A.7.2 EHE 08 Figura 87. Asiento de un pilar en esquina y flectores biaxiales asociados. Figura 88 Flexión compuesta biaxial en una sección rectangular Figura 89. Distribución de tensiones en una sección genérica sometida a flexión biaxial. Figura 90 Tipos de rotura por esfuerzos tangenciales Figura 91 Grietas de cortante y grietas de flexión-cortante Figura 92 Distribución de tensiones tangenciales máximas Figura 93 Tensiones de cortante en la fibra neutra Figura 94 Representación gráfica de a celosía Figura 95 Analogía de celosía y distribución de esfuerzos Figura 96 Equilibrio de esfuerzos aportado por las armaduras transversales Figura 97 Equilibrio de esfuerzos aportado por el hormigón Figura 98 Fuerzas internas en el modelo de celosía Figura 99 Ejemplo de decalaje de la ley de momentos Figura 100 Efecto arco en una viga biapoyada Figura 101. Relación entre x y el momento flector para el cálculo elástico Figura 102. Relación entre la inercia fisurada y x para el cálculo elástico Figura 103. Redistribución de esfuerzos según la instrucción Española. Figura 104. Capacidad de rotación plástica según el Código ACI Figura 103 Capacidad de rotación plástica según el EC-2 Figura 104 Ménsula con carga lateral. Distribución de flectores y curvaturas sin efecto del cortante Figura 105. Modelo de rótulas plásticas o inelasticidad concentrada Figura 108. Incremento de tensión hasta la rotura por compresión o plastificación 258 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Figura 109. Incremento de tensión para un plano de rotura ubicado en dominio 2 Figura 110. Incremento de tensión para un plano de rotura ubicado en dominio 4 Figura 111. Diagrama tensión deformación de las fábricas. Figura 4.2. CTE Figura 112. Curva trilineal propuesta por Meli, R. (1979). Figura 113. Diagrama tensión deformación de la fábrica en compresión Meli, R. (1979) Figura 114. Curva bilineal para el comportamiento de la mampostería. Tomazevic (1997) Figura 113 Variación del módulo de elasticidad de la mampostería en función a la relación modular para relaciones de espesores fijas Figura 114 Modos de rotura en ensayos de compresión diagonal Meli, R. (1979) Figura 117. Ensayo de distorsión angular en muro de mampostería confinada Meli, R. (1975). Figura 118. Esfuerzos generados por la distorsión angular de una viga Figura 119. Asiento en pilar extremo en un pórtico de un vano Figura 120. Relación entre el cociente de la rigidez viga-pilar y el grado de empotramiento Figura 121 Asiento de pilar central en un pórtico de dos vanos Figura 122. Relación entre el cociente de la rigidez viga - pilar y el grado de empotramiento para el asiento de pilar central en un pórtico de dos vanos Figura 123. Asiento de pilar extremo en un pórtico de dos vanos Figura 124 Relación entre el cociente de la rigidez viga - pilar y el grado de empotramiento para el asiento de pilar extremo en un pórtico de dos vanos Figura 125. Axonometría de la estructura en SAP para el análisis del empotramiento Figura 126. Ábaco de coeficientes medios de mayoración de cargas Figura 127. Resultante f M  con momentos negativos en ambos empotramientos Figura 128. Resultante f M  con momentos positivo en el nudo del descenso. Figura 129.Modelo tensión deformación parábola rectángulo Figura 130. Modelo rectangular Figura 131. Aplicación a una sección del modelo parábola rectángulo y rectangular. Figura 132. Modelo tensión deformación del acero Figura 133. Modelo tensión deformación del hormigón Figura 131. Modelo tensión deformación del hormigón Índice de figuras, gráficos, tablas y anexos 259 Figura 131. Modelo tensión deformación del hormigón Figura 134. Modificación del diagramas clásico de pivotes Figura 135. Idealización del gráfico   M Figura 136. Gráfico del cálculo iterativo. Figura 137. Iteración de cálculo, para una sección L: 7m, b: 20cm, L/d: 25 y q: 15kN/m² Figura 138 Definición gráfica de la geométrica de la viga Figura 139Definición gráfica de la discretización de la viga Figura 140 Definición gráfica de las coacciones de la viga Figura 141 Definición gráfica de la deformación de la viga para el último incremento de carga Figura 142 Gráfico que relaciona el desplazamiento vertical con los diferentes incrementos de carga Figura 143. Mapa de deformación plástica del hormigón Figura 144. Mapa de deformación plástica del acero Figura 145. Comportamiento de una pieza de hormigón sometida a una distorsión angular. Figura 146. Valores de deformación del hormigón en los ensayos con LUSAS Figura 147. Valores de deformación del acero en los ensayos realizados con LUSAS Figura 148. Representación gráfica del armado de la pieza Figura 149 Representación gráfica del comportamiento de una pieza sometida a distorsión angular Figura 150. Representación del diagrama de curvaturas en función de f Figura 151. Vista aérea de la ubicación de la promoción de viviendas Figura 152. Emplazamiento de la promoción y ubicación del bloque 1 Figura 153. Ejemplos de detalles constructivos. Proyecto de 80 viviendas “Huerta en medio” Figura 154. Planta sótano del Bloque 1 de la Manzana R1. Figura 155. Planta baja del Bloque 1 de la Manzana R1. Figura 156. Planta alta del Bloque 1 de la Manzana R1. Figura 158. Viviendas inspeccionadas del Boque 1, Manzana R1. Figura 159. Distorsiones medidas en planta baja Figura 160. Distorsiones medidas en planta baja 260 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Figura 161. Distorsiones medidas en planta primera Figura 162. Distorsiones medidas en planta primera Figura 163. Imagen aérea de la promoción y ubicación de la vivienda. Guillena. Figura 164. Ubicación de la vivienda objeto de estudio. Guillena. Figura 165. Levantamiento de daños en planta baja. Guillena. Figura 166. Nivelación topográfica forjado P1. Guillena. Figura 167. Levantamiento de daños planta primera. Guillena. Figura 168. Nivelación topográfica forjado cubierta. Guillena. Figura 169. Nivelación topográfica, levantamiento de daños y análisis de la estabilidad Índice de figuras, gráficos, tablas y anexos 261 INDICE DE GRÁFICOS Gráfico 1. Influencia del recubrimiento en el cálculo de la fibra neutra Gráfico 2. Influencia de d´/d en el cálculo de la inercia fisurada. Gráfico 3. Comparación gráfica de resultados de distorsión asociada a la rotura, según los diferentes procedimientos de cálculo Gráfico 4. Comparación de la distorsión asociada a la rotura y al comportamiento plástico Gráfico 5. Comparación de la distorsión máxima admisible para la rotura por cortante y flexión, mediante cálculo lineal. Gráfico 6. Máxima distorsión angular calculada mediante MEF para el ELU Gráfico 7. Máxima distorsión angular calculada mediante cálculo no lineal para el ELU Gráfico 9. Dstorsión angular máxima para el límite elástico no lineal Gráfico 10. Cálculo no lineal de la distorsión angular máxima admisible para la rotura 262 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales INDICE DE TABLAS Tabla 1. Distorsión angular admisible. Código Soviético de Edificación (1955) Tabla 2. Valores de distorsión angular. Skempton, A.W., et al (1956) Tabla 3. Valores de distorsión angular y daños asociados Bjerrum, L. (1963) Tabla 4. Valores de distorsión para la aparición de daños en revestimientos Holland (1980) Tabla 5. Valores máximos de distorsión admisibles para diferentes estructuras Sowers, G.F. Tabla 6. Comparación de valores máximos de distorsión realizada por Bolteus L. (1984) Tabla 7. Valores de distorsión angular el ELS según el CTE-DB-SE-C (2006) Tabla 8. Umbrales de desplazamientos adicionales admisibles considerados en la ampliación del metro de Madrid. Tabla 9. Clasificación de los daños MacLeod, I.A. & Littlejohn, G.S. (1974) Tabla 10. Clasificación de daños visibles Burland, J.B., Broms, B., De Mello, V.F.B. (1977). Tabla 11. Tabla de categoría de daños. Boscarding, M.D. and Cording, E.J., (1989) Tabla 12. Clasificación de daños según Hintse (1994) Tabla 13. Tabla de valores par - axil Tabla 14. Aplicación de los coeficientes de seguridad Jiménez Montoya y cols (2012) Tabla 15. Coeficientes parciales de seguridad de los materiales para Estados Límites Últimos Tabla 16 Clasificación de acciones Tabla 17 Coeficiente de simultaneidad tabla 4.2 CTE-DB-SE (2006) Tabla 18 Coeficientes de simultaneidad tabla A.1.1 según EC-1 Tabla 19. Coeficientes parciales de seguridad para los ELU. Tabla 12.1.a. EHE Tabla 20. Coeficientes parciales de seguridad para os Estados Límites Últimos. CTE-DB-SE Tabla 21. Resistencia característica a compresión de las fábricas. Tabla 4.4. CTEDB-SE-F (2006) Tabla 22. Resistencia característica a cortante de las fábricas. Tabla 4.5. CTE-DB-SE-F (2006) Tabla 24. Porcentaje de empotramiento para las diferentes hipótesis calculadas con SAP Tabla 25. Resistencia característica a compresión de las fábricas. Tabla 4.4. CTE-DB-SE-F Tabla 26. Resistencia característica a cortante de las fábricas. Tabla 4.5. CTE-DB-SE-F (2006) Tabla 27. Acciones gravitatorias Índice de figuras, gráficos, tablas y anexos 263 INDICE DE TABLA DE RESULTADOS Tabla de resultado 1. Cálculo no lineal para el comportamiento elástico Tabla de resultado 2. Cálculo no lineal para el comportamiento plástico Tabla de resultado 3. Cálculo no lineal para la rotura Tabla de resultado 4. Cálculo lineal de la distorsión angular asociada a la rotura Tabla de resultado 5. Cálculo lineal con redistribución de la distorsión asociada a la rotura. Tabla de resultado 6. Comparación de valores de distorsión asociados a la rotura para el cálculo lineal, lineal con redistribución y no lineal Tabla de resultado 7. Comparación entre momento último y momento de cálculo Tabla de resultado 8. Reducción del momento para la situación de servicio tras la iteración no lineal del cálculo Tabla de resultado 9. Comparación de la distorsión asociada a la rotura y al comportamiento plástico Tabla de resultado 10. Comparación de resultados obtenidos mediante MEF y cálculo no lineal de la distorsión angular asociada a ELU Tabla de resultado 11. Distorsión angular admisible de la fábrica Tabla de resultado 12. Caso práctico. Estudio de la estabilidad estructural y daños asociados en albañilería 264 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales INDICE DE ANEXOS Anexo 1. Combinaciones de cargas, geometrías y resistencias estimadas para el cálculo. Anexo 2. Cálculo no lineal de la máxima distorsión angular admisible para el comportamiento elástico Anexo 3. Cálculo no lineal de la máxima distorsión angular admisible para el comportamiento plástico Anexo 4. Cálculo no lineal de la máxima distorsión angular admisible para la rotura Anexo 5. Comparación de distorsión máxima admisible para el estado plástico y la rotura Anexo 6. Cálculo lineal de la máxima distorsión angular admisible para la rotura. Anexo 7. Cálculo lineal con redistribución limitada de esfuerzos para la máxima distorsión angular admisible asociada a la rotura. Anexo 8. Comparación del cálculo lineal, lineal con redistribución limitada de esfuerzos y no lineal, de la máxima distorsión angular admisible asociada a la rotura de la pieza. Anexo 9. Cálculo lineal de la máxima distorsión angular admisible para la rotura debido al esfuerzo cortante. Anexo 10. Valores de convergencia del cálculo iterativo del momento flector de servicio. Anexo 11. Comparación del cálculo no lineal y el cálculo mediante MEF Anexo 12. Resultados de cálculo lineal y elástico con SAP 2000 del grado de empotramiento. Anexo 13. Levantamiento de daños, y nivelación topográfica de las viviendas afectadas. Anexos 265 Anexo 1. Combinaciones de cargas, geometrías y resistencias estimadas para el cálculo 272 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d y x lim x )( y xM sky MM / EI distorsión 20 10 0,622 0,193 36,77 23,57% 55010 No admite 15 0,653 0,193 18,86 12,09% 19646 No admite 20 0,686 0,193 11,93 7,65% 9823 No admite 25 0,720 0,193 8,59 5,50% 6140 No admite 40 10 0,581 0,193 66,57 42,67% 93110 No admite 15 0,610 0,193 34,14 21,88% 33254 No admite 20 0,641 0,193 21,61 13,85% 16627 No admite 25 0,673 0,193 15,54 9,96% 10392 No admite 60 10 0,567 0,193 95,84 61,44% 130700 No admite 15 0,595 0,193 49,15 31,51% 46679 No admite 20 0,625 0,193 31,11 19,94% 23339 No admite 5 25 0,656 0,193 22,38 14,35% 14587 No admite 20 10 0,633 0,193 54,23 20,09% 99140 No admite 15 0,665 0,193 27,81 10,30% 35407 No admite 20 0,698 0,193 17,60 6,52% 17704 No admite 25 0,733 0,193 12,66 4,69% 11065 No admite 40 10 0,585 0,193 96,63 35,79% 163200 No admite 15 0,614 0,193 49,55 18,35% 58286 No admite 20 0,645 0,193 31,36 11,62% 29143 No admite 25 0,677 0,193 22,56 8,36% 18214 No admite 60 10 0,568 0,193 138,13 51,16% 226400 No admite 15 0,596 0,193 70,84 26,24% 80857 No admite 20 0,626 0,193 44,83 16,60% 40429 No admite 6 25 0,658 0,193 32,25 11,95% 25268 No admite 20 10 0,646 0,193 75,93 17,74% 165100 No admite 15 0,678 0,193 38,94 9,10% 58964 No admite 20 0,712 0,193 24,64 5,76% 29482 No admite 25 0,748 0,193 17,73 4,14% 18426 No admite 40 10 0,590 0,193 133,13 31,11% 264600 No admite 15 0,620 0,193 68,27 15,95% 94500 No admite 20 0,650 0,193 43,21 10,10% 47250 No admite 25 0,683 0,193 31,09 7,26% 29531 No admite 60 10 0,570 0,193 189,00 44,16% 363100 No admite 15 0,599 0,193 96,92 22,65% 129679 No admite 20 0,628 0,193 61,34 14,33% 64839 No admite 7 25 0,660 0,193 44,13 10,31% 40525 No admite Anexos 273 Anexo 3. Cálculo no lineal de la máxima distorsión angular admisible para el comportamiento plástico 274 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d p x lim x )( p xM sk pMM / EI distorsión 10 0,299 0,479 25,37 226% 2454 347 15 0,372 0,479 19,61 283% 1134 235 20 0,462 0,479 17,68 222% 656 150 20 25 0,552 0,479 13,71 162% 454 172 10 0,268 0,479 36,77 327% 3716 291 15 0,310 0,479 25,05 223% 1589 230 20 0,362 0,479 20,81 185% 927 191 40 25 0,421 0,479 18,84 233% 601 112 10 0,257 0,479 48,20 428% 4945 268 15 0,288 0,479 30,60 272% 2025 207 20 0,326 0,479 24,15 215% 1223 174 3 60 25 0,369 0,479 21,07 187% 733 149 10 0,317 0,479 52,54 197% 6604 383 15 0,408 0,479 42,86 185% 3113 237 20 0,516 0,479 35,76 172% 1845 187 20 25 0,582 0,479 28,57 139% 1330 249 10 0,276 0,479 71,77 269% 9556 317 15 0,329 0,479 51,63 194% 4247 255 20 0,393 0,479 44,57 193% 2488 174 40 25 0,470 0,479 41,51 194% 1619 120 10 0,262 0,479 91,13 342% 12380 288 15 0,300 0,479 60,76 228% 5214 229 20 0,347 0,479 50,06 188% 3008 193 4 60 25 0,401 0,479 44,81 214% 1976 124 10 0,335 0,479 94,40 181% 14440 409 15 0,444 0,479 80,16 187% 6227 205 20 0,562 0,479 59,92 148% 4207 260 20 25 0,580 0,479 54,46 130% 3157 301 10 0,286 0,479 123,41 237% 20270 341 15 0,348 0,479 92,71 189% 8496 246 20 0,425 0,479 82,36 186% 5448 172 40 25 0,511 0,479 70,40 172% 3628 146 10 0,268 0,479 152,70 293% 25980 305 15 0,313 0,479 106,23 204% 10220 241 20 0,369 0,479 89,93 190% 6524 184 5 5 60 25 0,433 0,479 82,57 189% 4305 133 Anexos 275 kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d p x lim x )( p xM sk pMM / EI distorsión 10 0,352 0,479 154,21 180% 27570 403 15 0,481 0,479 134,20 183% 12910 212 20 0,574 0,479 98,35 138% 8468 314 20 25 0,575 0,479 94,03 125% 6489 341 10 0,295 0,479 194,80 216% 37890 361 15 0,367 0,479 151,56 185% 16240 241 20 0,457 0,479 137,69 185% 10310 163 40 25 0,547 0,479 108,18 154% 7107 188 10 0,274 0,479 236,08 262% 47290 323 15 0,326 0,479 170,20 189% 21090 263 20 0,390 0,479 147,44 184% 12410 185 6 60 25 0,467 0,479 137,89 187% 8183 127 10 0,369 0,479 235,31 178% 48750 396 15 0,509 0,479 192,02 167% 22700 255 20 0,571 0,479 155,58 133% 15540 341 20 25 0,570 0,479 150,44 123% 12010 368 10 0,305 0,479 290,61 203% 65060 377 15 0,386 0,479 231,60 181% 30330 251 20 0,488 0,479 208,18 180% 17780 165 40 25 0,575 0,479 157,24 141% 12670 200 10 0,281 0,479 344,56 241% 79800 339 15 0,340 0,479 255,92 179% 36040 274 20 0,412 0,479 226,11 183% 21410 179 5 7 60 25 0,500 0,479 200,00 174% 14110 137 10 0,353 0,479 38,92 186% 3474 386 15 0,480 0,479 33,58 187% 1613 207 20 0,582 0,479 23,90 141% 1053 293 20 25 0,605 0,479 20,97 120% 760 433 10 0,298 0,479 50,15 223% 4859 351 15 0,369 0,479 38,62 195% 2241 238 20 0,458 0,479 34,73 194% 1316 155 40 25 0,548 0,479 27,24 162% 894 172 10 0,278 0,479 61,53 273% 6134 314 15 0,330 0,479 44,01 196% 2713 252 20 0,400 0,479 39,00 217% 1581 160 10 3 60 25 0,469 0,479 34,98 254% 1026 97 276 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d p x lim x )( p xM sk pMM / EI distorsión 10 0,386 0,479 85,05 179% 9612 383 15 0,534 0,479 65,34 156% 4649 297 20 0,580 0,479 54,56 128% 3163 402 20 25 0,593 0,479 49,91 113% 2382 587 10 0,315 0,479 103,66 194% 13220 386 15 0,405 0,479 84,26 182% 6152 243 20 0,512 0,479 71,01 170% 3634 187 40 25 0,582 0,479 56,18 138% 2614 255 10 0,289 0,479 122,84 230% 16060 347 15 0,354 0,479 92,86 186% 7355 258 20 0,434 0,479 82,73 185% 4344 170 4 60 25 0,521 0,479 63,98 155% 2893 154 10 0,418 0,479 158,70 178% 21250 367 15 0,574 0,479 112,07 137% 10730 423 20 0,574 0,479 106,64 122% 7650 475 20 25 0,583 0,479 99,94 111% 5845 700 10 0,333 0,479 186,00 179% 28550 419 15 0,440 0,479 157,37 181% 13510 231 20 0,557 0,479 118,99 147% 8282 261 40 25 0,580 0,479 106,89 128% 6195 315 10 0,301 0,479 214,85 206% 34530 374 15 0,378 0,479 169,49 181% 16150 256 20 0,476 0,479 155,11 185% 9344 157 5 60 25 0,567 0,479 116,13 145% 6586 218 10 0,450 0,479 266,74 178% 40470 347 15 0,570 0,479 192,85 132% 22000 468 20 0,568 0,479 186,37 120% 15870 520 20 25 0,574 0,479 177,32 110% 12220 774 10 0,350 0,479 303,53 178% 54460 410 15 0,450 0,479 250,00 170% 25850 218 20 0,574 0,479 192,79 136% 16610 326 40 25 0,575 0,479 184,35 124% 12720 362 10 0,313 0,479 343,85 191% 65160 398 15 0,402 0,479 280,52 179% 30850 249 20 0,510 0,479 238,40 167% 18230 191 10 6 60 25 0,576 0,479 191,43 135% 13230 264 Anexos 277 kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d p x lim x )( p xM sk pMM / EI distorsión 10 0,482 0,479 411,70 177% 69520 334 15 0,566 0,479 307,38 130% 40670 491 20 0,562 0,479 300,00 119% 29530 542 20 25 0,567 0,479 288,31 110% 22880 736 10 0,367 0,479 462,82 177% 94360 401 15 0,505 0,479 381,26 166% 44910 254 20 0,571 0,479 304,78 132% 30450 357 40 25 0,570 0,479 294,76 121% 23540 396 10 0,325 0,479 516,09 181% 112100 417 15 0,426 0,479 432,85 179% 53310 240 20 0,540 0,479 340,89 152% 32240 239 10 7 60 25 0,573 0,479 301,48 131% 24190 294 10 0,406 0,479 53,70 183% 4402 362 15 0,564 0,479 38,53 148% 2173 347 20 0,592 0,479 33,24 124% 1475 463 20 25 0,617 0,479 29,20 106% 1081 1357 10 0,328 0,479 64,53 191% 5988 389 15 0,450 0,479 50,00 175% 2849 227 20 0,540 0,479 41,94 162% 1699 211 40 25 0,594 0,479 34,36 135% 1238 263 10 0,299 0,479 75,82 225% 7337 349 15 0,371 0,479 58,53 196% 3387 237 20 0,461 0,479 52,73 196% 1961 151 3 60 25 0,551 0,479 41,05 162% 1356 172 10 0,454 0,479 120,87 181% 12420 341 15 0,574 0,479 85,81 134% 6572 453 20 0,582 0,479 79,41 117% 4621 597 20 25 0,598 0,479 72,61 104% 3476 1978 10 0,353 0,479 138,08 181% 16430 398 15 0,482 0,479 119,36 183% 7851 211 20 0,578 0,479 86,32 139% 4989 309 40 25 0,589 0,479 78,98 122% 3724 385 10 0,316 0,479 156,91 196% 19890 383 15 0,407 0,479 127,84 184% 9306 239 20 0,515 0,479 107,02 170% 5507 187 15 4 60 25 0,582 0,479 85,22 139% 3967 251 278 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d p x lim x )( p xM sk pMM / EI distorsión 10 0,499 0,479 216,32 171% 26960 360 15 0,569 0,479 167,46 129% 15880 513 20 0,573 0,479 158,65 115% 11360 652 20 25 0,584 0,479 148,42 105% 8692 1389 10 0,378 0,479 253,91 181% 36310 386 15 0,523 0,479 200,17 161% 17460 274 20 0,575 0,479 165,64 131% 11930 359 40 25 0,582 0,479 155,43 118% 9062 450 10 0,334 0,479 281,77 180% 43160 412 15 0,443 0,479 238,94 183% 20420 226 20 0,560 0,479 179,34 147% 12550 260 5 60 25 0,580 0,479 162,36 130% 9430 301 10 0,534 0,479 330,53 153% 52990 463 15 0,563 0,479 291,93 126% 32900 551 20 0,565 0,479 280,49 115% 23770 656 20 25 0,574 0,479 266,18 106% 18330 1181 10 0,403 0,479 422,11 179% 69550 373 15 0,561 0,479 306,16 144% 34360 368 20 0,570 0,479 286,55 127% 24510 406 40 25 0,575 0,479 273,18 116% 18830 504 10 0,351 0,479 460,18 179% 82370 405 15 0,480 0,479 401,60 183% 38540 212 20 0,574 0,479 293,09 137% 25240 318 6 60 25 0,575 0,479 280,23 125% 19340 347 10 0,568 0,479 473,49 139% 94190 607 15 0,558 0,479 468,76 124% 61070 573 20 0,559 0,479 454,54 115% 44440 638 20 25 0,556 0,479 435,50 108% 34480 935 10 0,428 0,479 653,14 179% 120400 359 15 0,572 0,479 467,75 136% 62410 429 20 0,565 0,479 458,59 124% 45380 432 40 25 0,568 0,479 441,76 115% 39550 517 10 0,369 0,479 702,02 179% 142700 395 15 0,508 0,479 575,23 166% 68460 249 20 0,571 0,479 463,56 133% 46300 346 15 7 60 25 0,570 0,479 448,26 122% 35790 377 Anexos 279 Resultado gráfico de la distorsión máxima admisible para el comportamiento plástico 0 50 10 0 150 200 250 300 350 400 8 101214161820222426 L/ d L/asiento 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 8 101214161820222426 L/ d L/asiento L:3m, b:20-40-60cm, q: 5kN/m² L:4m, b:20-40-60cm, q: 5kN/m² 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 8 101214161820222426 L/ d L/asiento 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 8 101214161820222426 L/ d L/asiento L:5m, b:20-40-60cm, q: 5kN/m² L:6m, b:20-40-60cm, q: 5kN/m² 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 8 101214161820222426 L/ d L/asiento 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 8 101214161820222426 L/ d L/asiento L:7m, b:20-40-60cm, q: 5kN/m² L:3m, b:20-40-60cm, q: 10kN/m² 280 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 0 100 200 300 400 500 600 700 8 101214161820222426 L/ d L/asiento 0 100 200 300 400 500 600 700 800 8 101214161820222426 L/ d L/asiento L:4m, b:20-40-60cm, q: 10kN/m² L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/ d L/asiento 0 100 200 300 400 500 600 700 800 8 101214161820222426 L/ d L/asiento L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 8 101214161820222426 L/ d L/asiento 0 500 1000 1500 2000 2500 8 101214161820222426 L/ d L/asiento L: 3m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² Anexos 281 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 8 101214161820222426 L/ d L/asiento 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 8 101214161820222426 L/ d L/asiento L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 8 101214161820222426 L/ d L/asiento L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² 288 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 20 40 60 80 100 120 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 3m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² 0 20 40 60 80 100 120 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 20 40 60 80 100 120 140 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² 0 20 40 60 80 100 120 140 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 20 40 60 80 100 120 140 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² L: 3m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² Anexos 289 0 20 40 60 80 100 120 140 160 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² 0 20 40 60 80 100 120 140 160 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 3m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² 290 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 50 100 150 200 250 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² 0 50 100 150 200 250 300 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² Anexos 291 Anexo 5. Comparación de distorsión máxima admisible para el estado plástico y la rotura 292 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales DISTORSIÓN kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d PLÁSTICO ROTURA 20 10 347 89 15 235 62 20 150 62 25 172 79 40 10 291 74 15 230 59 20 191 51 25 112 35 60 10 268 68 15 207 53 20 174 46 3 25 149 40 20 10 383 100 15 237 68 20 187 86 25 249 96 40 10 317 82 15 255 67 20 174 47 25 120 53 60 10 288 73 15 229 59 20 193 51 4 25 124 33 20 10 409 107 15 205 86 20 260 112 25 301 101 40 10 341 88 15 246 65 20 172 55 25 146 67 60 10 305 78 15 241 63 20 184 49 5 5 25 133 46 Anexos 293 DISTORSIÓN kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d PLÁSTICO ROTURA 20 10 403 106 15 212 98 20 314 125 25 341 106 40 10 361 94 15 241 64 20 163 66 25 188 83 60 10 323 83 15 263 69 20 185 50 6 25 127 53 20 10 396 105 15 255 116 20 341 129 25 368 110 40 10 377 98 15 251 67 20 165 76 25 200 98 60 10 339 87 15 274 72 20 179 53 5 7 25 137 63 20 10 386 102 15 207 96 20 293 120 25 433 107 40 10 351 91 15 238 64 20 155 61 25 172 79 60 10 314 81 15 252 66 20 160 43 10 3 25 97 42 294 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales DISTORSIÓN kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d PLÁSTICO ROTURA 20 10 383 102 15 297 131 20 402 130 25 587 108 40 10 386 101 15 243 68 20 187 86 25 255 98 60 10 347 90 15 258 68 20 170 58 4 25 154 71 20 10 367 113 15 423 169 20 475 138 25 700 116 40 10 419 110 15 231 83 20 261 112 25 315 104 60 10 374 97 15 256 68 20 157 72 5 25 218 93 20 10 347 134 15 468 177 20 520 145 25 774 123 40 10 410 108 15 218 96 20 326 128 25 362 109 60 10 398 104 15 249 69 20 191 87 10 6 25 264 101 Anexos 295 DISTORSIÓN kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d PLÁSTICO ROTURA 20 10 334 154 15 491 182 20 542 151 25 736 127 40 10 401 106 15 254 115 20 357 133 25 396 114 60 10 417 109 15 240 79 20 239 104 10 7 25 294 105 20 10 362 102 15 347 151 20 463 126 25 1357 119 40 10 389 102 15 227 72 20 211 96 25 263 97 60 10 349 90 15 237 63 20 151 63 3 25 172 79 20 10 341 127 15 453 170 20 597 137 25 1978 115 40 10 398 105 15 211 93 20 309 122 25 385 102 60 10 383 100 15 239 68 20 187 86 15 4 25 251 96 296 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales DISTORSIÓN kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d PLÁSTICO ROTURA 20 10 360 165 15 513 179 20 652 146 25 1389 121 40 10 386 103 15 274 124 20 359 129 25 450 109 60 10 412 108 15 226 83 20 260 113 5 25 301 102 20 10 463 203 15 551 188 20 656 152 25 1181 127 40 10 373 103 15 368 155 20 406 135 25 504 115 60 10 405 107 15 212 98 20 318 125 6 25 347 107 20 10 607 247 15 573 195 20 638 157 25 935 131 40 10 359 119 15 429 170 20 432 141 25 517 119 60 10 395 105 15 249 114 15 7 20 346 130 Anexos 297 0 50 100 150 200 250 300 350 400 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 50 100 150 200 250 300 350 8 101214161820222426 L/d L/asiento 5kN/m² - L: 3m – b: 20cm 5kN/m² - L: 3m – b: 40cm 0 50 100 150 200 250 300 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 8 101214161820222426 L/d L/asiento 5kN/m² - L: 3m – b: 60cm 5kN/m² - L: 4m – b: 20cm 0 50 100 150 200 250 300 350 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 50 100 150 200 250 300 350 8 101214161820222426 L/d L/asiento 5kN/m² - L: 4m – b: 40cm 5kN/m² - L: 4m – b: 60cm 304 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Anexo 6. Cálculo lineal de la máxima distorsión angular admisible para la rotura Anexos 305 CARGA GEOMETRÍA CÁLCULO LINEAL kN/m2 LUZ (m) b (cm) L/d Md/Ms xf (d) EI distorsión 10 1,410 0,149 1821 789 15 1,410 0,218 1130 490 20 1,410 0,286 803 348 20 25 1,410 0,358 625 271 10 1,410 0,107 1911 829 15 1,410 0,157 1202 521 20 1,410 0,206 859 372 40 25 1,410 0,255 657 285 10 1,410 0,088 1955 848 15 1,410 0,13 1242 538 20 1,410 0,17 889 385 3 60 25 1,410 0,21 683 296 10 1,410 0,17 5619 771 15 1,410 0,25 3474 477 20 1,410 0,33 2485 341 20 25 1,410 0,4 1898 260 10 1,410 0,123 5928 813 15 1,410 0,18 3707 509 20 1,410 0,236 2636 362 40 25 1,410 0,292 2023 278 10 1,410 0,101 6082 834 15 1,410 0,149 3835 526 20 1,410 0,195 2739 376 4 60 25 1,410 0,241 2100 288 10 1,410 0,189 13450 756 15 1,410 0,278 7862 467 20 1,410 0,371 6037 339 20 25 1,410 0,417 4367 145 10 1,410 0,136 14240 800 15 1,410 0,2 8389 499 20 1,410 0,262 6299 354 40 25 1,410 0,326 4861 273 10 1,410 0,112 14660 823 15 1,410 0,165 8703 517 20 1,410 0,217 6548 368 5 5 60 25 1,410 0,268 5020 282 306 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales CARGA GEOMETRÍA CÁLCULO LINEAL kN/m2 LUZ (m) b (cm) L/d Md/Ms xf (d) EI distorsión 10 1,410 0,206 27430 743 15 1,410 0,303 16970 460 20 1,410 0,392 12130 329 20 25 1,410 0,428 8672 235 10 1,410 0,149 29130 789 15 1,410 0,218 17050 490 20 1,410 0,286 12850 348 40 25 1,410 0,358 10010 271 10 1,410 0,123 30010 813 15 1,410 0,18 18770 509 20 1,410 0,236 13340 362 6 60 25 1,410 0,292 10260 278 10 1,410 0,222 50310 733 15 1,410 0,327 30980 455 20 1,410 0,402 21600 316 20 25 1,410 0,436 15560 228 10 1,410 0,16 53300 780 15 1,410 0,234 32870 483 20 1,410 0,309 23510 344 40 25 1,410 0,386 18450 270 10 1,410 0,132 55000 805 15 1,410 0,194 34150 502 20 1,410 0,254 24360 356 5 7 60 25 1,410 0,315 18750 274 10 1,380 0,204 3362 787 15 1,380 0,300 2079 486 20 1,380 0,394 1515 350 20 25 1,380 0,451 1071 250 10 1,380 0,147 3570 835 15 1,380 0,216 2217 519 20 1,380 0,283 1578 368 40 25 1,380 0,354 1225 287 10 1,380 0,121 3677 860 15 1,380 0,178 2301 538 20 1,380 0,234 1636 383 10 3 60 25 1,380 0,289 1255 294 Anexos 307 CARGA GEOMETRÍA CÁLCULO LINEAL kN/m2 LUZ (m) b (cm) L/d Md/Ms xf (d) EI distorsión 10 1,380 0,234 10340 765 15 1,380 0,347 6458 478 20 1,380 0,417 4374 324 20 25 1,380 0,464 3175 232 10 1,380 0,169 11040 816 15 1,380 0,247 6814 504 20 1,380 0,326 4871 360 40 25 1,380 0,398 3737 277 10 1,380 0,139 11380 843 15 1,380 0,204 7082 524 20 1,380 0,268 5038 372 4 60 25 1,380 0,333 3888 288 10 1,380 0,26 24710 749 15 1,380 0,386 15640 474 20 1,380 0,43 10140 307 20 25 1,380 0,471 7417 223 10 1,380 0,187 26380 800 15 1,380 0,275 16290 494 20 1,380 0,366 11810 358 40 25 1,380 0,415 8594 261 10 1,380 0,155 27310 828 15 1,380 0,227 16930 513 20 1,380 0,298 12040 365 5 60 25 1,380 0,375 9458 287 10 1,380 0,283 50390 737 15 1,380 0,397 30890 452 20 1,380 0,439 20290 297 20 25 1,380 0,475 14840 217 10 1,380 0,204 53800 787 15 1,380 0,3 33330 486 20 1,380 0,391 23890 349 40 25 1,380 0,426 17060 249 10 1,380 0,169 55790 816 15 1,380 0,247 34500 504 20 1,380 0,326 24660 360 10 6 60 25 1,380 0,395 18900 276 308 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales CARGA GEOMETRÍA CÁLCULO LINEAL kN/m2 LUZ (m) b (cm) L/d Md/Ms xf (d) EI distorsión 10 1,382 0,305 92190 727 15 1,382 0,406 55790 435 20 1,382 0,445 36640 289 20 25 1,382 0,478 27040 213 10 1,382 0,219 98230 775 15 1,382 0,324 60970 481 20 1,382 0,401 42500 335 40 25 1,382 0,434 30610 242 10 1,382 0,181 102000 805 15 1,382 0,266 63000 497 20 1,382 0,353 45400 358 10 7 60 25 1,382 0,405 33620 265 10 1,400 0,249 4916 728 15 1,400 0,372 3108 460 20 1,400 0,438 2039 302 20 25 1,400 0,495 1462 217 10 1,400 0,179 5246 777 15 1,400 0,263 3248 480 20 1,400 0,349 2332 345 40 25 1,400 0,418 1770 259 10 1,400 0,148 5426 804 15 1,400 0,217 3369 499 20 1,400 0,285 2394 355 3 60 25 1,400 0,357 1864 276 10 1,400 0,285 15190 709 15 1,400 0,401 9239 433 20 1,400 0,452 6028 283 20 25 1,400 0,498 4360 204 10 1,400 0,205 16150 757 15 1,400 0,302 10030 468 20 1,400 0,394 7153 335 40 25 1,400 0,439 5101 239 10 1,400 0,17 16770 785 15 1,400 0,249 10360 485 20 1,400 0,329 7406 347 15 4 60 25 1,400 0,399 5665 266 Anexos 309 CARGA GEOMETRÍA CÁLCULO LINEAL kN/m2 LUZ (m) b (cm) L/d Md/Ms xf (d) EI distorsión 10 1,400 0,318 36300 697 15 1,400 0,415 21370 410 20 1,400 0,46 14150 272 20 25 1,400 0,499 10450 199 10 1,400 0,228 38600 741 15 1,400 0,338 24040 461 20 1,400 0,41 16570 316 40 25 1,400 0,45 11900 227 10 1,400 0,189 40100 770 15 1,400 0,277 24770 475 20 1,400 0,369 17980 345 5 60 25 1,400 0,417 13080 250 10 1,400 0,349 74620 691 15 1,400 0,424 42680 395 20 1,400 0,465 28630 265 20 25 1,400 0,5 21190 196 10 1,400 0,249 78650 728 15 1,400 0,372 49720 460 20 1,400 0,42 32720 303 40 25 1,400 0,457 23740 220 10 1,400 0,205 81760 757 15 1,400 0,302 50570 468 20 1,400 0,392 36210 335 6 60 25 1,400 0,427 25870 240 10 1,400 0,379 138300 691 15 1,400 0,431 76920 384 20 1,400 0,47 52170 261 20 25 1,400 0,5 38950 195 10 1,400 0,268 143600 718 15 1,400 0,39 89870 450 20 1,400 0,428 58750 294 40 25 1,400 0,462 42980 215 10 1,400 0,221 149300 746 15 1,400 0,326 92780 463 20 1,400 0,401 64440 322 15 7 60 25 1,400 0,435 46430 232 310 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta L: 3m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 500 600 700 800 900 8 10 12 14 16 1820222426 L/ d distorsión L/delta L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 500 600 700 800 900 8 10 12 14 16 1820222426 L/ d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 50 0 600 70 0 800 900 1000 8101214161820222426 L/ d distorsión L/delta L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 5kN/m² L: 3m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² Anexos 311 CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 50 0 600 70 0 800 900 8 101214161820222426 L/ d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 50 0 600 70 0 800 900 810 1214161820222426 L/ d distorsión L/delta L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 50 0 600 70 0 800 900 8101214161820222426 L/ d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 500 600 700 800 900 8 10 12 1416 1820222426 L/ d distorsión L/delta L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 50 0 600 70 0 800 900 8 1012 14 161820222426 L/ d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 50 0 600 70 0 800 900 8 10 12 14 16 18 20222426 L/ d distorsión L/delta L: 3m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² 312 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 50 0 600 70 0 800 900 8101214161820222426 L/ d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 500 600 700 800 8101214161820222426 L/ d distorsión L/delta L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 0 200 300 400 50 0 600 70 0 800 8 1012 14 16 1820222426 L/ d distorsión L/delta L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² Anexos 313 Anexo 7. Cálculo lineal con redistribución limitada de esfuerzos para la máxima distorsión angular admisible asociada a la rotura 320 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 0 100 200 300 400 500 600 8 101214161820222426 L/ d 0 100 200 300 400 500 600 8101214161820222426 L/ d L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 8 101214161820222426 L/ d 0 100 200 300 400 500 600 8 101214161820222426 L/ d L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 10kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 8 101214161820222426 L/ d 0 100 200 300 400 500 600 8 101214161820222426 L/ d L: 3m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² L: 4m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² Anexos 321 0 100 200 300 400 500 600 8 101214161820222426 L/ d 0 100 200 300 400 500 600 8 101214161820222426 L/ d L: 5m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² L: 6m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 700 8 101214161820222426 L/ d L: 7m, b: 20-40-60cm, q: 15kN/m² 322 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Anexo 8. Comparación del cálculo lineal, lineal con redistribución limitada de esfuerzos y no lineal, de la máxima distorsión angular admisible asociada a la rotura de la pieza Anexos 323 distorsión kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d LINEAL LINEAL CON REDISTRIBUCIÓN NO LINEAL 10 789 474 89 15 490 317 62 20 348 247 62 20 25 271 218 79 10 829 479 74 15 521 316 59 20 372 237 51 40 25 285 193 35 10 848 482 68 15 538 317 53 20 385 237 46 3 60 25 296 190 40 10 771 474 100 15 477 321 68 20 341 260 86 20 25 260 237 96 10 813 477 82 15 509 316 67 20 362 239 47 40 25 278 199 53 10 834 480 73 15 526 316 59 20 376 237 51 4 60 25 288 192 33 10 756 474 107 15 467 327 86 20 339 279 112 20 25 145 225 101 10 800 475 88 15 499 316 65 20 354 243 55 40 25 273 119 67 10 823 478 78 15 517 316 63 20 368 238 49 5 5 60 25 282 195 46 324 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales distorsión kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d LINEAL LINEAL CON REDISTRIBUCIÓN NO LINEAL 10 743 475 106 15 460 335 98 20 329 284 125 20 25 235 222 106 10 789 474 94 15 490 317 64 20 348 247 66 40 25 271 128 83 10 813 477 83 15 509 316 69 20 362 239 50 6 60 25 278 199 53 10 733 476 105 15 455 345 116 20 316 279 129 20 25 228 220 110 10 780 474 98 15 483 319 67 20 344 253 76 40 25 270 229 98 10 805 476 87 15 502 316 72 20 356 241 53 5 7 60 25 274 204 63 10 787 487 102 15 486 345 96 20 350 300 120 20 25 250 250 107 10 835 486 91 15 519 326 64 20 368 254 61 40 25 287 224 79 10 860 488 81 15 538 324 66 20 383 246 43 10 3 60 25 294 204 42 Anexos 325 distorsión kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d LINEAL LINEAL CON REDISTRIBUCIÓN NO LINEAL 10 765 492 102 15 478 369 131 20 324 295 130 20 25 232 232 108 10 816 485 101 15 504 330 68 20 360 268 86 40 25 277 240 98 10 843 486 90 15 524 325 68 20 372 251 58 4 60 25 288 216 71 10 749 499 113 15 474 399 169 20 307 291 138 20 25 223 223 116 10 800 486 110 15 494 336 83 20 358 288 112 40 25 261 236 104 10 828 485 97 15 513 327 68 20 365 258 72 5 60 25 287 235 93 10 737 508 134 15 452 391 177 20 297 288 145 20 25 217 217 123 10 787 487 108 15 486 345 96 20 349 297 128 40 25 249 233 109 10 816 485 104 15 504 330 69 20 360 274 87 10 6 60 25 276 237 101 326 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales distorsión kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d LINEAL LINEAL CON REDISTRIBUCIÓN NO LINEAL 10 727 522 154 15 435 385 182 20 289 287 151 20 25 213 213 127 10 775 490 106 15 481 356 115 20 335 293 133 40 25 242 266 114 10 805 487 109 15 497 335 79 20 358 280 104 10 7 60 25 265 234 105 10 728 486 102 15 460 378 151 20 302 267 126 20 25 217 217 119 10 777 477 102 15 480 327 72 20 345 271 96 40 25 259 238 97 10 804 478 90 15 499 325 63 20 355 249 63 3 60 25 276 220 79 10 709 499 127 15 433 380 170 20 283 286 137 20 25 204 204 115 10 757 479 105 15 468 338 93 20 335 289 122 40 25 239 233 102 10 785 477 100 15 485 324 68 20 347 262 86 15 4 60 25 266 232 96 Anexos 327 distorsión kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d LINEAL LINEAL CON REDISTRIBUCIÓN NO LINEAL 10 697 517 165 15 410 372 179 20 272 283 146 20 25 199 199 121 10 741 482 103 15 461 354 124 20 316 284 129 40 25 227 228 109 10 770 478 108 15 475 330 83 20 345 282 113 5 60 25 250 229 102 10 691 542 203 15 395 368 188 20 265 281 152 20 25 196 196 127 10 728 486 103 15 460 378 155 20 303 279 135 40 25 220 220 115 10 757 479 107 15 468 338 98 20 335 288 125 6 60 25 240 225 107 10 691 577 247 15 384 366 195 20 261 261 157 20 25 195 195 131 10 718 492 119 15 450 384 170 20 294 277 141 40 25 215 215 119 10 746 480 105 15 463 348 114 20 322 283 130 15 7 60 25 232 274 112 328 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 3m, b: 20cm, q: 5kN/m² L: 3m, b: 40cm, q: 5kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 3m, b: 60cm, q: 5kN/m² L: 4m, b: 20cm, q: 5kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 4m, b: 40cm, q: 5kN/m² L: 4m, b: 60cm, q: 5kN/m² Anexos 329 0 100 200 300 400 500 600 700 800 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 5m, b: 20cm, q: 5kN/m² L: 5m, b: 40cm, q: 5kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 100 200 300 400 500 600 700 800 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 5m, b: 60cm, q: 5kN/m² L: 6m, b: 20cm, q: 5kN/m² 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 8 101214161820222426 L/d L/asiento L: 6m, b: 40cm, q: 5kN/m² L: 6m, b: 60cm, q: 5kN/m² 336 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Anexo 9. Cálculo lineal de la máxima distorsión angular admisible para la rotura debido al esfuerzo cortante Anexos 337 kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d d M (kNm) s M (kNm) distorsión 10 15,86 11,25 85 15 15,86 11,25 42 20 15,86 11,25 39 20 25 15,86 11,25 48 10 15,86 11,25 118 15 15,86 11,25 55 20 15,86 11,25 34 40 25 15,86 11,25 27 10 15,86 11,25 150 15 15,86 11,25 66 20 15,86 11,25 39 3 60 25 15,86 11,25 27 10 37,6 26,66 75 15 37,6 26,66 40 20 37,6 26,66 50 20 25 37,6 26,66 49 10 37,6 26,66 100 15 37,6 26,66 48 20 37,6 26,66 30 40 25 37,6 26,66 32 10 37,6 26,66 123 15 37,6 26,66 57 20 37,6 26,66 35 4 60 25 37,6 26,66 24 10 73,43 52,08 69 15 73,43 52,08 48 20 73,43 52,08 62 20 25 73,43 52,08 49 10 73,43 52,08 89 15 73,43 52,08 44 20 73,43 52,08 33 40 25 73,43 52,08 39 10 73,43 52,08 108 15 73,43 52,08 51 20 73,43 52,08 32 5 5 60 25 73,43 52,08 27 338 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d d M (kNm) s M (kNm) distorsión 10 126,9 90 64 15 126,9 90 55 20 126,9 90 61 20 25 126,9 90 49 10 126,9 90 82 15 126,9 90 42 20 126,9 90 38 40 25 126,9 90 46 10 126,9 90 98 15 126,9 90 48 20 126,9 90 30 6 60 25 126,9 90 32 10 201,51 142,91 61 15 201,51 142,91 64 20 201,51 142,91 61 20 25 201,51 142,91 49 10 201,51 142,91 77 15 201,51 142,91 60 20 201,51 142,91 43 40 25 201,51 142,91 49 10 201,51 142,91 91 15 201,51 142,91 45 20 201,51 142,91 31 5 7 60 25 201,51 142,91 36 10 31,05 22,5 70 15 31,05 22,5 59 20 31,05 22,5 53 20 25 31,05 22,5 50 10 31,05 22,5 90 15 31,05 22,5 45 20 31,05 22,5 47 40 25 31,05 22,5 50 10 31,05 22,5 108 15 31,05 22,5 52 20 31,05 22,5 32 10 3 60 25 31,05 22,5 34 Anexos 339 kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d d M (kNm) s M (kNm) distorsión 10 73,6 53,33 63 15 73,6 53,33 76 20 73,6 53,33 65 20 25 73,6 53,33 52 10 73,6 53,33 80 15 73,6 53,33 42 20 73,6 53,33 52 40 25 73,6 53,33 52 10 73,6 53,33 93 15 73,6 53,33 47 20 73,6 53,33 44 4 60 25 73,6 53,33 43 10 143,75 104,16 67 15 143,75 104,16 86 20 143,75 104,16 64 20 25 143,75 104,16 51 10 143,75 104,16 73 15 143,75 104,16 49 20 143,75 104,16 64 40 25 143,75 104,16 52 10 143,75 104,16 85 15 143,75 104,16 43 20 143,75 104,16 43 5 60 25 143,75 104,16 53 10 248,4 180 77 15 248,4 180 86 20 248,4 180 64 20 25 248,4 180 51 10 248,4 180 69 15 248,4 180 57 20 248,4 180 65 40 25 248,4 180 52 10 248,4 180 66 15 248,4 180 56 20 248,4 180 62 10 6 60 25 248,4 180 50 340 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d d M (kNm) s M (kNm) distorsión 10 394,45 285,33 125 15 394,45 285,33 83 20 394,45 285,33 62 20 25 394,45 285,33 49 10 394,45 285,33 67 15 394,45 285,33 83 20 394,45 285,33 62 40 25 394,45 285,33 50 10 394,45 285,33 62 15 394,45 285,33 64 20 394,45 285,33 62 10 7 60 25 394,45 285,33 50 10 47,25 33,75 61 15 47,25 33,75 85 20 47,25 33,75 62 20 25 47,25 33,75 48 10 47,25 33,75 74 15 47,25 33,75 45 20 47,25 33,75 57 40 25 47,25 33,75 70 10 47,25 33,75 86 15 47,25 33,75 43 20 47,25 33,75 40 3 60 25 47,25 33,75 49 10 112 80 76 15 112 80 83 20 112 80 62 20 25 112 80 50 10 112 80 66 15 112 80 57 20 112 80 62 40 25 112 80 50 10 112 80 45 15 112 80 41 20 112 80 50 15 4 60 25 112 80 50 Anexos 341 kN/m² LUZ (m) b (cm) L/d d M (kNm) s M (kNm) distorsión 10 218,75 156,25 92 15 218,75 156,25 83 20 218,75 156,25 62 20 25 218,75 156,25 49 10 218,75 156,25 61 15 218,75 156,25 70 20 218,75 156,25 60 40 25 218,75 156,25 50 10 218,75 156,25 70 15 218,75 156,25 48 20 218,75 156,25 63 5 60 25 218,75 156,25 50 10 378 270 110 15 378 270 83 20 378 270 62 20 25 378 270 49 10 378 270 59 15 378 270 84 20 378 270 62 40 25 378 270 50 10 378 270 66 15 378 270 56 20 378 270 62 6 60 25 378 270 50 10 600,25 428,75 125 15 600,25 428,75 83 20 600,25 428,75 62 20 25 600,25 428,75 49 10 600,25 428,75 67 15 600,25 428,75 83 20 600,25 428,75 62 40 25 600,25 428,75 50 10 600,25 428,75 62 15 600,25 428,75 64 20 600,25 428,75 62 15 7 60 25 600,25 428,75 50 342 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 20 40 60 80 10 0 12 0 14 0 16 0 8 10 12 14 16 1820222426 L/ d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 20 40 60 80 10 0 12 0 14 0 8 10 12 14 16 1820222426 L/ d distorsión L/delta L: 3m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 5kN/m² L: 4m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 5kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 20 40 60 80 10 0 12 0 8 10 12 14 16 1820222426 L/ d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 20 40 60 80 10 0 12 0 8 10 12 14 16 1820222426 L/ d distorsión L/delta L: 5m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 5kN/m² L: 6m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 5kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA ELU 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 0 8 10 12 14 16 1820222426 L/ d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 20 40 60 80 100 120 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta L: 7m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 5kN/m² L: 3m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 10kN/m² Anexos 343 CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta L: 4m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 10kN/m² L: 5m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 10kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 20 40 60 80 100 120 140 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta L: 6m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 10kN/m² L: 7m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 10kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta L: 3m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 15kN/m² L: 4m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 15kN/m² 344 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 20 40 60 80 100 120 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta L: 5m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 15kN/m² L: 6m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 15kN/m² CALCULO LINEAL DE LA DISTORSIÓN ANGULAR PARA EL CORTANTE MÁXIMO 0 20 40 60 80 100 120 140 8 101214161820222426 L/d distorsión L/delta L: 7m, b: 20 – 40 – 60 cm, q: 15kN/m² Anexos 345 Anexo 10. Valores de convergencia del cálculo iterativo del momento flector de servicio 352 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales GEOMETRÍA CARGA COMPORTAMIENTO Luz (mm) L/d ARMADO ANCHO (mm) AXIL (N) DESPLAZ (mm) DISTORSIÓN c  s  200 105 65 77 0,00129 0,00425 400 180 53 94 0,00097 0,00278 2 Ø 12 600 265 78 64 0,00159 0,00579 200 168 48 104 0,00093 0,00179 400 260 58 86 0,00121 0,00315 L/10 2 Ø 25 600 340 58 86 0,00141 0,00341 200 56 83 60 0,00115 0,00239 400 95 73 68 0,00097 0,00141 2 Ø 12 600 140 92 54 0,00131 0,00269 200 92 75 67 0,00099 0,00168 400 140 72 69 0,00091 0,00152 L/15 2 Ø 25 600 180 70 71 0,00088 0,00135 200 36 105 48 0,00111 0,00127 400 61 118 42 0,00134 0,00161 2 Ø 12 600 85 108 46 0,00118 0,00127 200 58 71 70 0,00064 0 400 92 100 50 0,00102 0,00147 L/20 2 Ø 25 600 120 107 47 0,00112 0,00164 200 26 175 29 0,00169 0,00191 400 44 168 30 0,00161 0,00169 2 Ø 12 600 61 185 27 0,00181 0,00197 200 45 104 48 0,00081 0,00014 400 70 135 37 0,00121 0,00122 5000 L/25 2 Ø 25 600 90 155 32 0,00146 0,00158 Anexos 353 X Y Z 1,15463E-3 1,0103E-3 0,865971E-3 0,721642E-3 0,577314E-3 0,432985E-3 0,288657E-3 0,144328E-3 0,0 Maximum 1,29896E-3 at node 137 Minimum 0,0 at node 2 X Y Z 3,67374E-3 2,93899E-3 2,20424E-3 1,4695E-3 0,734748E-3 0,0 -0,734748E-3 -1,4695E-3 -2,20424E-3 Maximum 4,25452E-3 at node 2 of element 4 Minimum -2,35821E-3 at node 11 of element 24 L: 5m, b: 20cm, L/d: 10, As1 y As2: 2ø12 X Y Z 0,864575E-3 0,756503E-3 0,648432E-3 0,54036E-3 0,432288E-3 0,324216E-3 0,216144E-3 0,108072E-3 0,0 Maximum 0,972127E-3 at node 137 Minimum -0,520387E-6 at node 111 X Y Z 2,62899E-3 2,19083E-3 1,75266E-3 1,3145E-3 0,87633E-3 0,438165E-3 0,0 -0,438165E-3 -0,87633E-3 Maximum 2,78535E-3 at node 2 of element 4 Minimum -1,15814E-3 at node 11 of element 24 L: 5m, b: 40cm, L/d: 10, As1 y As2: 2ø12 X Y Z 1,42732E-3 1,24891E-3 1,07049E-3 0,892078E-3 0,713662E-3 0,535247E-3 0,356831E-3 0,178416E-3 0,0 Maximum 1,594E-3 at node 11 Minimum -11,7433E-6 at node 84 X Y Z 5,26679E-3 4,21343E-3 3,16007E-3 2,10671E-3 1,05336E-3 0,0 -1,05336E-3 -2,10671E-3 -3,16007E-3 Maximum 5,79327E-3 at node 2 of element 4 Minimum -3,68695E-3 at node 11 of element 24 L: 5m, b: 60cm, L/d: 10, As1 y As2: 2ø12 354 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales X Y Z 0,831748E-3 0,727779E-3 0,623811E-3 0,519842E-3 0,415874E-3 0,311905E-3 0,207937E-3 0,103968E-3 0,0 Maximum 0,935316E-3 at node 137 Minimum -0,400368E-6 at node 106 X Y Z 1,66441E-3 1,38701E-3 1,10961E-3 0,832207E-3 0,554804E-3 0,277402E-3 0,0 -0,277402E-3 -0,554804E-3 Maximum 1,79958E-3 at node 2 of element 4 Minimum -0,697039E-3 at node 11 of element 24 L: 5m, b: 20cm, L/d: 10, As1 y As2: 2ø25 X Y Z 1,06695E-3 0,933585E-3 0,800216E-3 0,666847E-3 0,533477E-3 0,400108E-3 0,266739E-3 0,133369E-3 0,0 Maximum 1,2002E-3 at node 137 Minimum -0,119728E-6 at node 17 X Y Z 2,71627E-3 2,17301E-3 1,62976E-3 1,08651E-3 0,543254E-3 0,0 -0,543254E-3 -1,08651E-3 -1,62976E-3 Maximum 3,13571E-3 at node 2 of element 4 Minimum -1,75358E-3 at node 11 of element 24 L: 5m, b: 40cm, L/d: 10, As1 y As2: 2ø25 X Y Z 1,01392E-3 0,887177E-3 0,760438E-3 0,633698E-3 0,506959E-3 0,380219E-3 0,253479E-3 0,12674E-3 0,0 Maximum 1,14055E-3 at node 137 Minimum -0,107833E-6 at node 17 X Y Z 2,87645E-3 2,30116E-3 1,72587E-3 1,15058E-3 0,57529E-3 0,0 -0,57529E-3 -1,15058E-3 -1,72587E-3 Maximum 3,41068E-3 at node 2 of element 4 Minimum -1,76693E-3 at node 11 of element 24 L: 5m, b: 60cm, L/d: 10, As1 y As2: 2ø25 Anexos 355 1,02405E-3 0,896041E-3 0,768035E-3 0,640029E-3 0,512023E-3 0,384018E-3 0,256012E-3 0,128006E-3 0,0 Maximum 1,15205E-3 at node 5 Minimum 0,0 at node 2 X Y Z 2,08057E-3 1,73381E-3 1,38704E-3 1,04028E-3 0,693522E-3 0,346761E-3 0,0 -0,346761E-3 -0,693522E-3 Maximum 2,39487E-3 at node 2 of element 4 Minimum -0,725976E-3 at node 1 of element 1 X Y Z L: 5m, b: 20cm, L/d: 15, As1 y As2: 2ø12 0,865978E-3 0,757731E-3 0,649483E-3 0,541236E-3 0,432989E-3 0,324742E-3 0,216494E-3 0,108247E-3 0,0 Maximum 0,973942E-3 at node 137 Minimum -0,282929E-6 at node 106 X Y Z 1,38708E-3 1,18892E-3 0,990769E-3 0,792616E-3 0,594462E-3 0,396308E-3 0,198154E-3 0,0 -0,198154E-3 Maximum 1,40651E-3 at node 2 of element 4 Minimum -0,376874E-3 at node 26 of element 4 X Y Z L: 5m, b: 40cm, L/d: 15, As1 y As2: 2ø12 1,1701E-3 1,02384E-3 0,877579E-3 0,731316E-3 0,585052E-3 0,438789E-3 0,292526E-3 0,146263E-3 0,0 Maximum 1,31637E-3 at node 137 Minimum 0,0 at node 2 X Y Z 2,69178E-3 2,24315E-3 1,79452E-3 1,34589E-3 0,897259E-3 0,44863E-3 0,0 -0,44863E-3 -0,897259E-3 Maximum 2,69575E-3 at node 2 of element 4 Minimum -1,34192E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 60cm, L/d: 15, As1 y As2: 2ø12 356 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 0,881177E-3 0,77103E-3 0,660883E-3 0,550736E-3 0,440588E-3 0,330441E-3 0,220294E-3 0,110147E-3 0,0 Maximum 0,990933E-3 at node 137 Minimum -0,390873E-6 at node 111 X Y Z 1,57542E-3 1,31285E-3 1,05028E-3 0,787708E-3 0,525138E-3 0,262569E-3 0,0 -0,262569E-3 -0,525138E-3 Maximum 1,68723E-3 at node 2 of element 4 Minimum -0,675894E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 20cm, L/d: 15, As1 y As2: 2ø25 0,814046E-3 0,71229E-3 0,610535E-3 0,508779E-3 0,407023E-3 0,305267E-3 0,203512E-3 0,101756E-3 0,0 Maximum 0,915802E-3 at node 137 Minimum 0,0 at node 2 X Y Z 1,50351E-3 1,28873E-3 1,07394E-3 0,859151E-3 0,644363E-3 0,429576E-3 0,214788E-3 0,0 -0,214788E-3 Maximum 1,52458E-3 at node 2 of element 4 Minimum -0,40851E-3 at node 26 of element 4 X Y Z L: 5m, b: 40cm, L/d: 15, As1 y As2: 2ø25 0,787875E-3 0,689391E-3 0,590906E-3 0,492422E-3 0,393938E-3 0,295453E-3 0,196969E-3 98,4844E-6 0,0 Maximum 0,886134E-3 at node 137 Minimum -0,225101E-6 at node 106 X Y Z 1,33286E-3 1,14245E-3 0,952043E-3 0,761634E-3 0,571226E-3 0,380817E-3 0,190409E-3 0,0 -0,190409E-3 Maximum 1,35153E-3 at node 2 of element 4 Minimum -0,362142E-3 at node 26 of element 4 X Y Z L: 5m, b: 60cm, L/d: 15, As1 y As2: 2ø25 Anexos 357 0,98734E-3 0,863923E-3 0,740505E-3 0,617088E-3 0,49367E-3 0,370253E-3 0,246835E-3 0,123418E-3 0,0 Maximum 1,11041E-3 at node 137 Minimum -0,350551E-6 at node 111 X Y Z 1,11977E-3 0,93314E-3 0,746512E-3 0,559884E-3 0,373256E-3 0,186628E-3 0,0 -0,186628E-3 -0,373256E-3 Maximum 1,27156E-3 at node 10 of element 21 Minimum -0,408089E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 20cm, L/d: 20, As1 y As2: 2ø12 1,19257E-3 1,0435E-3 0,89443E-3 0,745359E-3 0,596287E-3 0,447215E-3 0,298143E-3 0,149072E-3 0,0 Maximum 1,34148E-3 at node 137 Minimum -0,161913E-6 at node 85 X Y Z 1,5968E-3 1,33066E-3 1,06453E-3 0,798398E-3 0,532265E-3 0,266133E-3 0,0 -0,266133E-3 -0,532265E-3 Maximum 1,60952E-3 at node 10 of element 21 Minimum -0,785674E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 40cm, L/d: 20, As1 y As2: 2ø12 1,04883E-3 0,917724E-3 0,786621E-3 0,655517E-3 0,524414E-3 0,39331E-3 0,262207E-3 0,131103E-3 0,0 Maximum 1,17942E-3 at node 137 Minimum -0,513928E-6 at node 111 X Y Z 1,18225E-3 0,985212E-3 0,78817E-3 0,591127E-3 0,394085E-3 0,197042E-3 0,0 -0,197042E-3 -0,394085E-3 Maximum 1,2772E-3 at node 10 of element 21 Minimum -0,496179E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 60cm, L/d: 20, As1 y As2: 2ø12 358 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 0,571197E-3 0,499797E-3 0,428398E-3 0,356998E-3 0,285599E-3 0,214199E-3 0,142799E-3 71,3996E-6 0,0 Maximum 0,642508E-3 at node 137 Minimum -88,848E-9 at node 17 X Y Z 0,0 Maximum 0,0 at node 1 of element 1 Minimum 0,0 at node 1 of element 1 X Y Z L: 5m, b: 20cm, L/d: 20, As1 y As2: 2ø25 0,914078E-3 0,799818E-3 0,685558E-3 0,571299E-3 0,457039E-3 0,342779E-3 0,228519E-3 0,11426E-3 0,0 Maximum 1,02834E-3 at node 5 Minimum 0,0 at node 2 X Y Z Component: EPMax 1,45078E-3 1,24353E-3 1,03627E-3 0,829019E-3 0,621764E-3 0,414509E-3 0,207255E-3 0,0 -0,207255E-3 Maximum 1,47111E-3 at node 2 of element 4 Minimum -0,394183E-3 at node 26 of element 4 X Y Z L: 5m, b: 40cm, L/d: 20, As1 y As2: 2ø25 p 0,998298E-3 0,873511E-3 0,748724E-3 0,623936E-3 0,499149E-3 0,374362E-3 0,249575E-3 0,124787E-3 0,0 Maximum 1,12257E-3 at node 5 Minimum -0,516024E-6 at node 111 X Y Z 1,6301E-3 1,39723E-3 1,16436E-3 0,931485E-3 0,698614E-3 0,465743E-3 0,232871E-3 0,0 -0,232871E-3 Maximum 1,63954E-3 at node 2 of element 4 Minimum -0,456302E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 60cm, L/d: 20, As1 y As2: 2ø25 Anexos 359 1,50559E-3 1,31739E-3 1,12919E-3 0,940992E-3 0,752794E-3 0,564595E-3 0,376397E-3 0,188198E-3 0,0 Maximum 1,69364E-3 at node 137 Minimum -0,140509E-6 at node 85 X Y Z 1,68902E-3 1,35121E-3 1,01341E-3 0,675607E-3 0,337804E-3 0,0 -0,337804E-3 -0,675607E-3 -1,01341E-3 Maximum 1,91535E-3 at node 10 of element 21 Minimum -1,12488E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 20cm, L/d: 25, As1 y As2: 2ø12 1,43411E-3 1,25485E-3 1,07558E-3 0,896318E-3 0,717055E-3 0,537791E-3 0,358527E-3 0,179264E-3 0,0 Maximum 1,61332E-3 at node 137 Minimum -48,1853E-9 at node 85 X Y Z 1,46745E-3 1,17396E-3 0,880468E-3 0,586978E-3 0,293489E-3 0,0 -0,293489E-3 -0,586978E-3 -0,880468E-3 Maximum 1,69021E-3 at node 10 of element 21 Minimum -0,95119E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 40cm, L/d: 25, As1 y As2: 2ø12 1,60357E-3 1,40312E-3 1,20267E-3 1,00223E-3 0,801783E-3 0,601337E-3 0,400891E-3 0,200446E-3 0,0 Maximum 1,80401E-3 at node 137 Minimum 0,0 at node 2 X Y Z 1,78252E-3 1,42601E-3 1,06951E-3 0,713007E-3 0,356503E-3 0,0 -0,356503E-3 -0,713007E-3 -1,06951E-3 Maximum 1,97551E-3 at node 10 of element 21 Minimum -1,23302E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 60cm, L/d: 25, As1 y As2: 2ø12 360 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 0,721329E-3 0,631163E-3 0,540997E-3 0,450831E-3 0,360665E-3 0,270499E-3 0,180332E-3 90,1662E-6 0,0 Maximum 0,811112E-3 at node 137 Minimum -0,383971E-6 at node 106 X Y Z 0,138784E-3 0,118958E-3 99,1314E-6 79,3051E-6 59,4788E-6 39,6526E-6 19,8263E-6 0,0 -19,8263E-6 Maximum 0,140728E-3 at node 2 of element 4 Minimum -37,7081E-6 at node 26 of element 4 X Y Z L: 5m, b: 20cm, L/d: 25, As1 y As2: 2ø25 1,07217E-3 0,938145E-3 0,804125E-3 0,670104E-3 0,536083E-3 0,402062E-3 0,268042E-3 0,134021E-3 0,0 Maximum 1,20619E-3 at node 137 Minimum 0,0 at node 2 X Y Z 1,09083E-3 0,909028E-3 0,727223E-3 0,545417E-3 0,363611E-3 0,181806E-3 0,0 -0,181806E-3 -0,363611E-3 Maximum 1,22891E-3 at node 10 of element 21 Minimum -0,407337E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 20cm, L/d: 25, As1 y As2: 2ø25 1,30161E-3 1,13891E-3 0,976211E-3 0,813509E-3 0,650807E-3 0,488106E-3 0,325404E-3 0,162702E-3 0,0 Maximum 1,46431E-3 at node 137 Minimum -4,53842E-9 at node 85 X Y Z 1,58289E-3 1,31907E-3 1,05526E-3 0,791443E-3 0,527629E-3 0,263814E-3 0,0 -0,263814E-3 -0,527629E-3 Maximum 1,58543E-3 at node 10 of element 21 Minimum -0,788896E-3 at node 11 of element 24 X Y Z L: 5m, b: 20cm, L/d: 25, As1 y As2: 2ø25 Anexos 361 Anexo 12. Resultados de cálculo lineal y elástico con SAP 2000 del grado de empotramiento 368 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 10X50 CENTRAL INTERIOR SIN CARGAS 10X50 CENTRAL INTERIOR 10KN Anexos 369 30X30 CENTRAL INTERIOR SIN CARGAS 30X30 CENTRAL INTERIOR 10KN 370 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales 50X10 CENTRAL INTERIOR SIN CARGAS 50x10 CENTRAL INTERIOR 10KN Anexos 371 Anexo 13. Levantamiento de daños, y nivelación topográfica de las viviendas afectadas 372 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Calle Nelson Mandela 2. Anexos 373 374 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Anexos 375 Calle Nelson Mandela 8 376 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Anexos 377 384 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Calle Teresa de Calcuta 3 Anexos 385 386 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Anexos 387 Calle Teresa de Calcuta 5 388 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Anexos 389 390 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Calle Teresa de Calcuta 7 Anexos 391 392 Análisis de la estabilidad de las estructuras de hormigón sometidas a movimientos diferenciales Anexos 393 Calle Teresa de Calcuta 9