Una nota sobre la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales difusas

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–7) Una nota sobre la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales difusas Y. Chalco-Cano1, M.A. Rojas-Medar2, H. Rom´ an-Flores3 1Departamento de Matem´atica, Universidad de Tarapac´a, Casilla 7D, Arica, Chile. E-mail: [email protected]. 2Universidad del B´ıo-B´ıo Facultad de Ciencias, Departamento de Ciencias B´asicas, Campus Fernando May, Casilla 447, Chill´an, Chile. E-mail: [email protected]. 1Instituto de Alta investigaci´on, Universidad de Tarapac´a, Casilla 7D, Arica, Chile. E-mail: [email protected]. Palabras clave: Ecuaciones diferenciales difusas, derivadas de Hukuhara, existencia y unicidad Resumen Varios trabajos relacionados con la existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones diferenciales difusas son basados en que el problema de Cauchy es equivalente a una ecuaci´on integral. Este hecho que tambi´en es verdadero en el contexto cl´asico, no es siempre verdadero en el contexto de ecuaciones diferenciales difusas donde la derivada es considerada en el sentido generalizado. Mostraremos algunos ejemplos simples para demostrar esto y discutiremos sobre nuevas soluciones para una ecuaci´on diferencial difusa. 1. Introducci´on Existen varias maneras de extender la noci´on de derivada al contexto difuso. Una de las primeras generalizaciones es debida a Puri y Ralescu [13] y esta basada en la noci´on debida a Hukuhara en el contexto mult´ıvoca (H-derivada). Posteriormente, Kaleva [7] usa esta noci´on para desarrollar una teor´ıa de ecuaciones diferenciales difusas (EDF). Usando los conceptos de H-derivada muchos resultados sobre existencia y unicidad son obtenidos para el problema de Cauchy difuso: ˙x(t) = f(t, x(t)); x(t0) = x0(1) donde f:T× Fn→ Fnes continua. Estos resultados son basados en que el problema de Cauchy con la derivada de Hukuhara es equivalente a una ecuaci´on integral del tipo Aumann, vea [7] (vea tambi´en [3, 10, 16, 14, 15, 16, 17], similar al caso cl´asico. 1 Y. Chalco-Cano, M.A. Rojas-Medar, H. Rom´an-Flores La interpretaci´on del problema (1) tiene algunas desventajas, ya que en muchos casos la soluci´on obtenida tiene la propiedad que diam(supp x(t)) es ilimitado cuando t→ ∞, demostrando que esta interpretaci´on no generaliza en una forma apropiada el caso cl´asico [1], [2], [4]. As´ı, es necesario la introducci´on del concepto de derivadas generalizadas, la cual amplia la clase de funciones difusas diferenciables. Con este concepto surgen nuevas soluciones para una EDF, con otras propiedades, pero ya no es cierto que el problema de Cauchy (1) con derivadas generalizadas sea equivalente a una ecuaci´on integral del tipo Aumann, como mostramos en este trabajo. Adem´as, sugerimos otras soluciones para un EDF. 2. Conceptos b´asicos Denotaremos por Knla familia de todos los subconjuntos compactos no vacios de Rn. Si A, B ∈ Knyλ∈R, entonces las operaciones de adici´on y multiplicaci´on por un escalar son definidas como A+B={a+b:a∈A, b ∈B}, λA ={λa :a∈A}. Un conjunto difuso en un conjunto universo Xes una funci´on u:X→[0,1]. El valor u(x)∈[0,1] es llamado grado de pertenencia. Si ues un conjunto difuso en Rn, definimos el nivel αde ucomo [u]α={x∈Rn:u(x)≥α}si 0 < α ≤1 y llamamos soporte de ual conjunto [u]0=supp(u) = {x∈Rn:u(x)>0}. Un conjunto difuso es llamado compacto si [u]α∈ Kn,∀ ∈ [0,1]. Tambi´en, ues llamado convexo si [u]αes un conjunto convexo ∀α∈[0,1]. Denotaremos por Fnel espacio de todos los conjuntos difusos convexos y compactos en Rn. Si u∈ F, entonces ues llamado intervalo difuso y el conjunto de nivel [u]αes un intervalo compacto no vacio para todo α∈[0,1]. En esta nota, denotamos por Cal intervalo difuso definido via sus niveles por [C]α= [0,1−α], para todo α∈[0,1]. La suma y multiplicaci´on por un escalar en Fnson definidos como sigue: (u+v)(y) = sup y1+y2=y m´ın{u(y1), v(y2)} y (λu)(y) = u(y λ) si λ6= 0 χ{0}(y) si λ= 0, donde χ{0}es la funci´on caraster´ıstica de {0}. Es bien conocido que las siguientes operaciones son verdaderas para todos los α-niveles: [u+v]α= [u]α+ [v]α,[λ·u]α=λ[u]α,∀α∈[0,1].(2) Podemos considerar la siguiente m´etrica en Fn: D(u, v) = sup α∈[0,1] h([u]α,[v]α), para todo u, v ∈ Fn, donde hes la m´etrica de Hausdorff usual. 2 Una nota sobre la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales difusas 3. Soluciones de ecuaciones diferenciales difusas Es conocido que la H-derivada (diferenciabilidad en el sentido de Hukuhara) para aplicaciones difusas fue inicialmente introducida por Puri y Ralescu [13] y esta est´a basada en la H-diferencia de conjuntos, como sigue. Definici´on Sean u, v ∈ Fn. Si existe w∈ Fntal que u=v+w, entonces wes llamada la H-diferencia de uyvy lo denotamos por u−v. Definici´on Sea T= [a, b]un intervalo compacto, y consideramos la aplicaci´on difusa F:T→ Fn. Diremos que Fes H-diferenciable en t0∈Tsi existe un elemento F0(t0)∈ Fn tal que los l´ımites l´ım h→0+ F(t0+h)−F(t0) hand l´ım h→0+ F(t0)−F(t0−h) h existen y son iguales a F0(t0). Aqu´ı los l´ımites son tomados en (Fn, D). En los extremos del intervalo Tconsideramos s´olo la derivada de un lado. Sea f:T× Fn→ Fncontinua y consideremos el siguiente problema de valor inicial: x0(t) = f(t, x(t)), x(a) = x0,(3) donde x0es la H-derivada de xyx0∈ Fn. El problema (3) fue estudiado por diversos autores tanto del punto de vista teorico [3, 7, 10, 14, 15, 16, 17] asi como de sus aplicaciones [5, 6]. Mas, esta interpretaci´on no generaliza en una forma apropiada algunos casos cl´asicos como vemos en el siguiente ejemplo. Ejemplo Consideremos el problema Malthusiano difuso x0(t) = −λx(t) x(0) = X0,(4) donde λ > 0y, como en [3], la condici´on inicial X0es un tri´angulo difuso sim´etrico con soporte [−a, a]. Es decir, [X0]α= [−a(1 −α), a(1 −α)] = (1 −α)[−a, a]. Si x0(t)es la H-derivada, tenemos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales u0 α(t) = −λvα(t), uα(0) = −a(1 −α) v0 α(t) = −λuα(t), vα(0) = a(1 −α). La soluci´on de este sistema es uα(t) = −a(1 −α)eλt and vα(t) = a(1 −α)eλt, y podemos ver que uα(t)≤vα(t)para todo t≥0. Por tanto, la funci´on difusa x(t)que resuelve el problema (4) tiene conjunto de niveles [x(t)]α= [−a(1 −α)eλt , a(1 −α)eλt], para todo t≥0. 3 Y. Chalco-Cano, M.A. Rojas-Medar, H. Rom´an-Flores Esta soluci´on de (4), considerando la H-derivada, tiene la propiedad que diam(supp x(t)) = 2aeλt es ilimitado cuando t→ ∞, demostrando que esta interpretaci´on no generaliza en una forma apropiada el caso cl´asico. Para mejorar esta situaci´on, en [1] y [2] se introduce el concepto de derivada generalizada para la aplicaci´on difusa F:T→ Fn, ampliando la clase de aplicaciones difusas diferenciables. Esta generalizaci´on es definida como sigue. Definici´on Sean F:T→ Fnyt0∈T. Diremos que Fes diferenciable en t0si: (1) existe un elemento F0(t0)∈ Fntal que para todo h > 0suficientemente cerca a 0, existen F(t0+h)−F(t0),F(t0)−F(t0−h)y los l´ımites (en la m´etrica D) l´ım h→0+ F(t0+h)−F(t0) h= l´ım h→0+ F(t0)−F(t0−h) h=F0(t0) o (2) existe un elemento F0(t0)∈ Fntal que, para todo h < 0suficientemente cerca a 0, existen F(t0+h)−F(t0),F(t0)−F(t0−h)y los l´ımites l´ım h→0− F(t0+h)−F(t0) h= l´ım h→0− F(t0)−F(t0−h) h=F0(t0). Note que la primera forma (1) de la Definici´on 3 coincide con la H-derivada. Si Fes diferenciable en la primera forma (1) de la Definici´on 3, esta no es diferenciable en la segunda forma (2) de la Definici´on 3 y viciversa. El siguiente Teorema nos guia como resolver una EDF. Teorema [2] Sea F:T→ F una funci´on y denotemos [F(t)]α= [fα(t), gα(t)], para cada α∈[0,1]. Entonces (i) Si Fes diferenciable en la primera forma (1), entonces fαygαson diferenciables y hF0(t)iα=hf0 α(t), g0 α(t)i.(5) (ii) Si Fes diferenciable en la segunda forma (2), entonces fαygαson diferenciables y hF0(t)iα=hg0 α(t), f0 α(t)i.(6) Ejemplo Volvamos al problema Malthusiano difuso x0(t) = −λx(t) x(0) = X0,(7) Ahora, consideramos x0(t)en la segunda forma (2) de la Definici´on 3 y denotemos por [x(t)]α= [uα(t), vα(t)] los niveles de x(t). Entonces, del Teorema anterior, resolvemos el siguiente sistema diferencial u0 α(t) = −λuα(t), uα(0) = −a(1 −α) v0 α(t) = −λvα(t), vα(0) = a(1 −α), y la soluci´on es uα(t) = −a(1 −α)e−λt and vα(t) = a(1 −α)e−λt, 4 Una nota sobre la existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales difusas y podemos ver que uα(t)≤vα(t)for all t≥0. Por lo tanto, la funci´on difusa x(t)que es soluci´on de (7) en este caso tiene niveles [x(t)]α= [−a(1 −α)e−λt , a(1 −α)e−λt], para todo t≥0. Note que si consideramos en (7) la derivada x0en la segunda forma (2) de la Definici´on 3, entonces el resultado es mas intuitivo para (7) que usando la H-derivada, ya que ahora diam(supp x(t)) = 2ae−λt →0cuando t→ ∞. De los ejemplos anteriores podemos ver que la soluci´on de una EDF depende de la eleci´on de la derivada: en la primera forma o en la segunda forma. De esta manera, la soluci´on puede ser elegida adecuadamente. 4. Existencia de soluciones Sea f:T× Fn→ Fncontinua y consideremos el problema de valor inicial difuso: x0(t) = f(t, x(t)), x(a) = x0,(8) donde x0es la derivada de xen el sentido generalizado (Definici´on 3). Como vimos en la Secci´on anterior, podemos elegir la soluci´on de una ecuaci´on diferencial difusa adecuadamente, pero como mostramos en los ejemplos a continuaci´on, ni siempre existe soluci´on de una EDF considerando la derivada s´olo en la segunda forma (2), mismo que fsea continua. Mas precisamente, no vale el siguiente resultado Teorema Un aplicaci´on x:T→ Fnes una soluci´on de (8) si y solo si esta es continua y satisface la siguiente ecuaci´on integral x(t) = x0+Zt a f(s, x(s))ds, t ∈T. El resultado anterior, s´olo vale si en (8) x0es la H-derivada, ver [7]. Esto contradice lo escrito por los autores en [2], donde se afirmaba la existencia de una soluci´on cuando fes continua. Ejemplo Sea f: [0, π]×F → F definida por f(t, x(t)) = C·cos(t)y considere el siguiente problema: x0(t) = C·cos(t) x(0) = χ{0}.(9) En esta caso, la ecuaci´on integral tipo Aumann es dado por x(t) = x(0) + Zt 0 C·cos(s)ds, ∀t∈T= [0, π] (10) lo cual implica que [x(t)]α=[0 ,(1 −α) sin(t)] ,0≤t≤π/2 [(1 −α)(sin(t)−1) ,(1 −α)] , π/2≤t≤π(11) para todo α∈[0,1]. Luego, de [7] x(t)es la soluci´on de (9) si x0es la H-derivada de x. 5 Y. Chalco-Cano, M.A. Rojas-Medar, H. Rom´an-Flores Podemos ver tambi´en que (9) no tiene soluci´on si consideramos x0s´olo en el sentido de la segunda forma (2) de la Definici´on 3. Ahora, si nosotros consideramos x0en la primera forma (H-derivada) en el intervalo [0, π/2] y en la segunda forma en el intervalo [π/2, π], obtenemos que x(t) = C·sin(t) es una soluci´on de (9), generando as´ı otra soluci´on diferente. Luego, del an´alisis de los ejemplos anteriores, la pregunta natural es, ¿Cu´antas soluciones tiene el problema 8? ¿siempre existen al menos dos soluciones? ¿son exactamente dos soluciones?. Otra pregunta es, ¿c´omo modificar la ecuaci´on integral de tipo Aumann afin de que se cumpla el Teorema 4?. Son cosas que tentaremos responder en trabajos futuros Agradecimientos Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el proyecto Fondecyt-Chile 1061244 y 7060272. El segundo autor ha sido financiado parcialmente por BFM2003-06446-C02-01, Ministerio de Ciencia y Tecnolog´ıa de Espa˜na y Cooperaci´on Internacional Brasil-Espa˜na, financiado por la CAPES y el Ministerio de Educaci´on de Espa˜na, proyecto Nro. 2137-05-4. Referencias [1] B. Bede and S. G. Gal, Generalizations of the differentiability of fuzzy number valued functions with applications to fuzzy differential equation, Fuzzy Sets and Systems 151 (2005) 581-599. [2] Y. Chalco-Cano and H. 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